Elías Catalán Sánchez
Física II
ELASTICIDAD 2.1
Introducción. Conceptos básicos
Hasta ahora se han considerado los cuerpos como sólidos (que no se deforman al aplicarles fuerzas) pero esto es una idealización que no ocurre en los cuerpos reales que si se deforman. Los estiramientos, aplastamiento y torsiones de los cuerpos reales cuando se les aplican fuerzas son demasiados importantes para ser despreciados Un cuerpo se deforma cuando al aplicarle fuerzas éste cambia de forma o de tamaño.
La elasticidad estudia la relación entre las fuerzas aplicadas a los cuerpos y las correspondientes deformaciones sobre todos en los cuerpos elásticos.
OTRA DEFINICIÓN Es la capacidad de un sólido de recuperar su forma después de que ha sido deformado por una fuerza externa es la elasticidad . Al aplicarle una fuerza a un sólido, se produce una tensión entre entre las moléculas que lo forman, de modo que las distancias entre estas cambian y el sólido se deforma. Si la fuerza con que están unidas las moléculas es muy grande, la deformación será pequeña; pero si la fuerza que une a las las moléculas es débil, una tensión pequeña producirá una gran deformación. Cuando se deja de aplicar la fuerza, las moléculas vuelven a su posición original El límite de elasticidad es la máxima fuerza que se puede ejercer sobre un material, de modo que este recupere su forma. Si la fuerza es mayor a este límite, el material quedara deformado, d eformado, ya que la separación entre las moléculas será tan grande que no volverán a su posición original.
Cuerpo elástico: Aquel que cuando desaparecen las fuerzas o momentos exteriores recuperan su forma o tamaño original.
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Cuerpo inelástico: Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos no retorna perfectamente a su estado inicial.
Comportamiento Plástico: Cuando las fuerzas aplicadas son grandes y al cesar estas fuerzas el cuerpo no retorna a su estado inicial y tiene una deformación permanente. La deformación está íntimamente ligada a las fuerzas existentes entre los átomos o moléculas pero aquí se ignorará la naturaleza atómica o molecular de la materia considerando el cuerpo como un continuo y tendremos en cuenta las magnitudes medibles: fuerzas exteriores y deformaciones. Para cada clase de alteración de la forma, introducimos una cantidad .llamada esfuerzo que caracteriza la intensidad de las fuerzas que causan el cambio de forma. El esfuerzo (tensión) en un punto se define como el valor límite de la fuerza por unidad de área, cuando éste tiende a cero:
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En las curvas esfuerzo- deformaciòn de un material hay un tramo de comportamiento perfectamente elastico en el que la ralación esfuerzo – deformación es lineal ( esta termina en el punto a). De ahí hasta punto b (de límite elástico) el material sigue un comportamiento elástico ( sigue habiendo una relaciòn entre esfuerzo y deformaciòn), auque no es lineal, y si se retira el esfuerzo se recuperara la longitud inicial. Si se sigue aumentando la carga ( por encima del punto b), el material se deforma ràpidamente y si se retira el esfuerzo no se recupera la longitud inicial, quedando una deformación permanente y el cuerpo tiene un comportamiento Plástico. Si se sigue aumentando la carga ( por encima de b), El material llegara a un estado en el que se rompe ( punto c)
2.2 Esfuerzo normal. El esfuerzo es una medida de la fuerza por unidad de área ( en la que se aplica)que causa la deformaciòn.Si la fuerza aplicada no es normal ni paralela a la superficie, siempre puede descomponerse en la suma
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vectorial de otras dos tal que siempre una sea normal y la otra paralelela a la superficie considerada.Los esfuerzos con direcciòn normal a la secciòn, ( sigma) y se denominan como esfuerzo
se denotan normalmente como
de tracción o tension caundo apunta hacia afuera de la secciòn, tratando de estirar al elemento analizado, y como esfuerzo de compresión cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar al elemento analizado. El esfuerzo con direcciòn paralela al area en la que se aplica se denota como
(tau) y representa un esfuerzo de corte ya que este esfuerzo trata
de cortar el elemento analizado, tal como una tijera cuando corta papel.
2
Las unidades del esfuerzo en el SI es N/m , que recibe el nombre de Pascal (Pa) y asì llamado en honor del cientifico y filosofo francés del siglo XVII Blaise Pascal. En el sistema britanico, la unidad lógica sería la libra por pie cuadrado, 2
pero es más comun usar la libra por pulgada cuadrada (lb/pulg ) psi y los factores de convesión son. 1psi =6895Pa
-4
y
1Pa = 1.450x10 psi
2.3 Deformación unitaria longitudinal .
Si a una barra de longitud l le aplicamos una fuerza de tensiòn F y la barra sufre un alargamiento (l - lo) =l, se define la deformaciòn longitudinal como:
La deformaciòn longitudinal es la variaciòn relativa de longitud.
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Se consideran tres tipos de deformación, y se define un módulo de elasticidad para cada uno:
Módulo de Young: mide la resistencia de un sólido aun cambio en su longitud.
Módulo de corte: mide la resistencia al movimiento de los planos dentro de un sólido paralelos unos con otros.
Módulo de volumétrico: Mide la resistencia de los sólidos o líquidos a un cambio en su volumen
2.3 Modulo de Young. La razón de proporcionalidad entre el esfuerzo (fuerza por unidad de área) y deformación unitaria (deformación por unidad de longitud) Esta dada por la constante Y, Denominada Modulo de Young, que es característico de cada material.
Que en la literatura aparece en la forma
Las unidades del módulo de Young son las del esfuerzo, ya que la deformación unitaria no tiene unidades
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2.4 Coeficiente de Poisson Cuando estiramos un cuerpo en una dirección éste se contrae en las dimensiones perpendiculares al estiramiento. Todo elemento solicitado a carga axial experimenta una deformación no solo en el sentido de la solicitud (deformación Primaria
x) , sino también según el eje
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perpendicular ( deformación secundaria o inducida y, z ), o sea , toda tracción longitudinal con alargamiento implica una contracción transversal ( disminución de la sección del elemento estirado) El coeficiente de Poisson es la relación de la deformación perpendicular a la axial.
Y si el cuerpo es isótropo:
Cuerpo isótropo: Tiene las mismas características físicas en todas las direcciones-
Anisótropo, cuando depende de la dirección. Cuerpo homogéneo: Tienen igual densidad. Inhomogéneo: Diferente densidad. Los cuerpos homogéneos e isotrópicos tienen definidas sus características elásticas con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson Problema. 1.Dos varillas redondas, una de acero y la otra de cobre, se unen por los extremos. Cada una tiene 0.750m de longitud y 1.50 cm de diámetro. La 3
combinación se somete a una tensión con magnitud de 4x10 N. Para cada varilla, determine: a) la deformación; b) el alargamiento Problema 2.Una cuerda de nailon de las utilizadas por los montañistas se alarga 1,5m bajo la acción del peso de un escalador de 80kg. Si la cuerda tiene 50m de longitud y 9mm de diámetro, ¿Cuál es el módulo de Young para este material? Si el coeficiente de Poisson para el nailon es 0.2, calcúlese el cambio que experimenta el diámetro bajo la acción de este cambio. Problema 3.
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Una varilla de laton de 1.40m de longitud y área transversal de 2.00cm se sujeta por un extremo al extremo de una variilla de niquel de longitud y 2
secciòn de 1.00 cm . La varilla compuesta se someta a fuerzas iguales y 4
opuestas de 4.00 x10 N en sus extrremos. a) Calcule la longitud L de la varilla de niquel si el alargamiento de ambas varillas es el mismo. b)¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla? C) ¿Qué deformaciòn sufre cada varilla? Problema 4.Una masa de 12.0kg sujeta al extremo de un alambre de alumnio con longitud no estirada de 0.50m, se gira en un circulo vertical con una rapidez angular constante de 120 rpm(rev/min). El área transversal del 2
alambre es de 0.014 cm . Calcule el alargamiento del alambre cuando la masa está : a) en el punto más bajo del circulo ; b) en el punto más alto de la trayectoria. Problema 5.Una varilla de 1.05 m de longitud con peso despreciable está sostenida en sus extremos por alambres A Y B de igual longitud (ver fig.) El área transversal de A es de 2.00mm2, y la de B, 2
4.00 mm . El módulo de Young del alambre A es 11
11
de 1.80x10 Pa; el de B, 1.20x10 Pa. ¿En qué punto de la varilla deber colgarse un peso w a fin de producir: a) Esfuerzos iguales en A y B? b) ¿Deformaciones iguales en A y B?
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2.4 MODULO DE DEFORMACIÓN VOLUMETRICO
Cuando un cuerpo se sumerge a gran profundidad en el mar, el agua ejerce una presión casi uniforme en toda su superficie y reduce un poco su volumen . Esta situción es diferente de los esfuerzos y deformaciones de tensión y compresión que hemos visto. Este esfuerzo en éste caso es una presión uniforme por todos lados, y la deformación resultante es un cambio de volumen. Usamos los terminos Esfuerzo de volumen y deformación de valumen para describir estas cantidades . Si un objeto se sumerge en un fluido ( liquido o gas) en reposo, el fluido ejerce una fuerza sobre todas las partes de la superficie del objeto; esta fuerza es perpendicular a la superficie. (Si tratáramos de hacer que el fluido ejerciera una fuerza paralela a la superficie, el fluido se deslizaría a un lado para contrarestar la acción) La fuerza F por unidad de area que el fluido ejerce sobre la superficie de un objeto sumergido es la presión p en el fluido:
La presión tiene las mismas unidades que el esfuerza; las unidades de uso común incluyen 1Pa (=1N/m2) y 1 lb/ pulg2 (1psi) También se usa comúnmente la Atmósfera, que se abrevia atm. Una atmosfera es la
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presión media aproximadamente de una atmosfera terrestre sobre el nivel del mar. 5
2
1 atmosfera = 1 atm = 1.013x10 Pa = 14.7 lb/ pulg
La presión desempeña el papel del esfuerzo en un cambio de volumen. La deformación correspondiente es el cambio fraccionario en el volumen. Es decir, el cambio de volumen original Vo: Deformación de volumen =
La deformación de volumen es el cambio de volumen por unidad de volumen; al igual que la deformación por tensión o compresión, es un número puro sin dimensiones.
Modulo de volumen. La razón del esfuerzo de compresión uniforme a la deformación por compresión uniforme recibe el nombre de Módulo Volumétrico:
Incluye un signo menos en esta ecuación porque un aumento de presión siempre causa una reducción de volumen. Dicho de otro modo, si p es positivo , V es negativo. El modulo de volumen es en si una cantidad positiva. Una cantidad más usada es la compresibilidad y es el reciproco del módulo de volumen y se denota por k:
La compresibilidad es la disminución fraccionaria de volumen, - V/Vo por unidad de aumento P de la presión. Las unidades de la compresibilidad son las inversas ala presión, Pa
-1
o atm
-1
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Tabla de compresibilidad de Líquidos
Problema 1.¿Qué incremento de presión se requiere para disminuir el volumen de un metro cúbico de agua en un 0,005 por ciento?
Problema 2.Una prensa hidraulica contiene 0.25 m2 ( 250L) de aceite. Calcule la disminución del aceite cuando se somete a un aiumento de presión p = 7
1.6 x10 Pa ( = 160 atm o 2300 psi). El modulo de volumen del aceite es B 9
4
= 5.0 x 10 Pa ( = 5.0x10 atm)y su compresibilidad k =1/B = 20x10
-6
-1
atm
Problema 3.-
Calcule densidad del agua del océano a una profundidad en que la presión 2 es de 3430 N/cm . La densidad en la superficie es 1024 kg/m 3. El módulo de compresibilidad del agua es 45.8 x10 -11 Pa -1 Problema Si con aluminio se fabrica un cubo de 10 cm de lado, se quiere saber las deformaciones que experimentará en una compresión uniforme, perpendicular a cada una de sus caras, de una tonelada, y cuándo esta misma fuerza actúa tangencialmente a la superficie de una de sus caras, estando el cubo só1idamente sujeto por la cara opuesta.
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Modulo de corte, Cizalladura. Hasta hora solo hemos tendo en cuenta fuerzas normales a las superficies que dan lugar a esfuerzos normales y a deformaciones de volumen. Suponga ahora que las fuerzas F que se aplican son tangenciales a una supericie A, el cambio que se produce en el cuerpo es solo en cambio de forma ya que el volumen permanece constante. El esfuerzo cortante o tangencial o de cizalladura , es la fuerza de corte o tangencial por unidad de área
El esfuerzo cortante tiene las dimesiones que la presión pero tiene la dirección de la fuerza tangencial 2
Las unidades del esfuerzo cortante son ls mismas de la presióm N / m en el S.I. Cuando actúan esfuerzos cortantes el material se deforma como si el material(p.e libro) estubiera formado por l´çaminas paralelas y se deforman como lo haría el libro de la figura ; a esta deformación se supone un deslizamiento según el esfuerzo cortante o de cizalladura se denomina deformación cortante o cizalladura y vale:
La figura muestra un cuerpo deformado por esfuerzo de corte. En la figura , las fuerzas de igual magnitud pero de dirección opuesta actúan de forma tangente a las superficies de extremo opuestas del objeto.
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Definamos el esfuerzo de corte como la fuerza F, que actúa tangente a la superficie, dividida entre el área A sobre la que actua :
El esfuerzo de corte, al igual que los otros tipos de esfuerzo, es una fuerza por unidad de área. La figura muestra que una cara del objeto sometido a esfuerzo de corte se desplaza una distnacia x relativa a la cara opuesta. Definamos la deformación de corte como el cociente del desplazamiento x entre la dimensiones tranversal h:
El modulo de elasticidad correspondiente se denomina Modulo de corte o de cizalladura y se denota por S
Problema 1.-
Un cubo de acero de 5 cm de arista se halla sometido a 4 fuerzas cortantes, de 1200 kg, cada una, aplicadas en sentidos opuestos sobre caras opuestas. Calcule la deformación por cizalladura. Problema 2.Una estatua se encuentra soldada a un pedestal de latón, que se muestra en la figura. Al producirse un movimiento sísmico se observa un desplazamiento lateral de la cara superior del pedestal de 0,25mm. Calcular: a) El esfuerzo de corte. b) La magnitud de la fuerza producida por el movimiento sísmico. El pedestal de latón tiene una altura de 1m y una sección cuadrada de 0,5m de lado. El módulo de Young del latón es 3,5x1010 Pa 10 2 Módulo de corte, cizalladura o rigidez G del latón es 1,7 10 N/m
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