CAPITULO I Elasticidad
L os arbotante arbotantess uti liza li zan n la la resi r esiste stenci ncia a a la compresi compresión ón y el peso peso de la pied piedrr a par para a sostener sostener la catedral catedral de N otr otr e D ame ame de P ari s.
Física General II
I.
ANALISIS DE ESFUERZOS: 1.1.
Elasticidad Elasticid ad
Optaciano L. Vásquez García
2011
Conceptos y Definiciones
INTRODUCCIÓN
Las diversas estructuras y máquinas, de cuyo diseño y construcción se ocupa el ingeniero en su actividad práctica, deben tener ente otras, la propiedad de r esiste si stenci ncia a mecá mecáni nica ca, es decir, deben oponerse a la rotura al ser sometidas a la acción de fuerzas externas (cargas). Con este propósito, los elementos (piezas) de las estructuras y máquinas deberán ser fabricadas del material correspondiente y tener las correctas dimensiones. El primer objetivo de la Resistencia de materiales, es estudiar los métodos de cálculo de la resistencia de las construcciones.
Además de esto, en muchos casos, es necesario determinar las variaciones de forma y de las dimensiones (deformaciones), que surgen en los elementos de las construcciones construcciones sometidas a cargas. cargas. Los cuerpos rígidos, indeformables, estudiados en la Mecánica, en realidad no existen Las deformaciones de un sólido sometido a carga en general son pequeñas y se detectan con los extensómetros. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes de equilibrio y de movimiento. Sin embargo, estas deformaciones son de gran utilidad para el diseño de estructuras y piezas. Al mismo tiempo, en muchos casos, resulta necesario limitar el valor de las deformaciones, a pesar de ser pequeñas en comparación con las dimensiones del elemento, ya que en caso contrario sería imposible el funcionamiento normal de la construcción. La propiedad del elemento de oponerse a las deformaciones de llama Rigidez . De aquí que el segundo objetivo es la exposición de los métodos de cálculo de la rigidez de los elementos de las construcciones.
El problema siguiente de la Resistencia de Materiales es el estudio de la estabilidad de las formas de equilibrio de los cuerpos reales. La estabilidad, es la capacidad de un elemento de oponerse a grandes perturbaciones del equilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbación pequeñas. También se dice que el equilibrio es estable, si a una variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de las deformaciones. Por tanto el tercer objetivo es la exposición de los métodos de cálculo de la estabilidad de los elementos de las construcciones.
Al realizar los tipos de cálculo indicados anteriormente, se debe tender a una economía máxima del material, es decir, las dimensiones de las piezas de las máquinas y estructuras no deben ser superiores a las necesarias. Para ello es necesario del estudio de las propiedades de los materiales utilizados, así como de las características de las cargas aplicadas. Ello se consigue realizando experimentos en el laboratorio, así como de la experiencia en el diseño y el mantenimiento de la construcciones.
1.2.
SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.
Para el mejor entendimiento de la Resistencia de Materiales se introducen ciertas suposiciones (hipótesis) respecto a las propiedades de los materiales, a las cargas (fuerzas) y al carácter de interacción con los elementos estructurales, para simplificar el cálculo de los elementos de las construcciones. Estas son:
Primera suposición: El material debe ser considerado macizo y continuo . Es decir, debe despreciarse la estructura atomística, discontinua de la materia. Esto se explica por el hecho de que las dimensiones de las piezas reales son muy superiores a la distancia entre átomos. Segunda suposición: El elemento del cual está hecho el elemento se considera homogéneo, es decir tiene propiedades idénticas en todos los puntos. En este caso los metales son materiales altamente homogéneos. Menos homogéneos son la madera, el hormigón, la piedra, los plásticos de relleno. El hormigón por ejemplo, está compuesto por piedras pequeñas, grava, gravilla, cuyas propiedades son distintas de las del cemento. La madera tiene nudos, de propiedades diferentes al resto de madera. Sin embargo, los cálculos realizados de los experimentos muestran que la suposición de homogeneidad es satisfactoria. El material del cual se hace la pieza debe ser isótropo, es decir sus propiedades en Tercera suposición: todas las direcciones deben ser iguales. Las investigaciones demuestran que los cristales que forman muchos
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ANALISIS DE ESFUERZOS: 1.1.
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Conceptos y Definiciones
INTRODUCCIÓN
Las diversas estructuras y máquinas, de cuyo diseño y construcción se ocupa el ingeniero en su actividad práctica, deben tener ente otras, la propiedad de r esiste si stenci ncia a mecá mecáni nica ca, es decir, deben oponerse a la rotura al ser sometidas a la acción de fuerzas externas (cargas). Con este propósito, los elementos (piezas) de las estructuras y máquinas deberán ser fabricadas del material correspondiente y tener las correctas dimensiones. El primer objetivo de la Resistencia de materiales, es estudiar los métodos de cálculo de la resistencia de las construcciones.
Además de esto, en muchos casos, es necesario determinar las variaciones de forma y de las dimensiones (deformaciones), que surgen en los elementos de las construcciones construcciones sometidas a cargas. cargas. Los cuerpos rígidos, indeformables, estudiados en la Mecánica, en realidad no existen Las deformaciones de un sólido sometido a carga en general son pequeñas y se detectan con los extensómetros. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes de equilibrio y de movimiento. Sin embargo, estas deformaciones son de gran utilidad para el diseño de estructuras y piezas. Al mismo tiempo, en muchos casos, resulta necesario limitar el valor de las deformaciones, a pesar de ser pequeñas en comparación con las dimensiones del elemento, ya que en caso contrario sería imposible el funcionamiento normal de la construcción. La propiedad del elemento de oponerse a las deformaciones de llama Rigidez . De aquí que el segundo objetivo es la exposición de los métodos de cálculo de la rigidez de los elementos de las construcciones.
El problema siguiente de la Resistencia de Materiales es el estudio de la estabilidad de las formas de equilibrio de los cuerpos reales. La estabilidad, es la capacidad de un elemento de oponerse a grandes perturbaciones del equilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbación pequeñas. También se dice que el equilibrio es estable, si a una variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de las deformaciones. Por tanto el tercer objetivo es la exposición de los métodos de cálculo de la estabilidad de los elementos de las construcciones.
Al realizar los tipos de cálculo indicados anteriormente, se debe tender a una economía máxima del material, es decir, las dimensiones de las piezas de las máquinas y estructuras no deben ser superiores a las necesarias. Para ello es necesario del estudio de las propiedades de los materiales utilizados, así como de las características de las cargas aplicadas. Ello se consigue realizando experimentos en el laboratorio, así como de la experiencia en el diseño y el mantenimiento de la construcciones.
1.2.
SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.
Para el mejor entendimiento de la Resistencia de Materiales se introducen ciertas suposiciones (hipótesis) respecto a las propiedades de los materiales, a las cargas (fuerzas) y al carácter de interacción con los elementos estructurales, para simplificar el cálculo de los elementos de las construcciones. Estas son:
Primera suposición: El material debe ser considerado macizo y continuo . Es decir, debe despreciarse la estructura atomística, discontinua de la materia. Esto se explica por el hecho de que las dimensiones de las piezas reales son muy superiores a la distancia entre átomos. Segunda suposición: El elemento del cual está hecho el elemento se considera homogéneo, es decir tiene propiedades idénticas en todos los puntos. En este caso los metales son materiales altamente homogéneos. Menos homogéneos son la madera, el hormigón, la piedra, los plásticos de relleno. El hormigón por ejemplo, está compuesto por piedras pequeñas, grava, gravilla, cuyas propiedades son distintas de las del cemento. La madera tiene nudos, de propiedades diferentes al resto de madera. Sin embargo, los cálculos realizados de los experimentos muestran que la suposición de homogeneidad es satisfactoria. El material del cual se hace la pieza debe ser isótropo, es decir sus propiedades en Tercera suposición: todas las direcciones deben ser iguales. Las investigaciones demuestran que los cristales que forman muchos
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materiales tienen propiedades muy diferentes según las diferentes direcciones que se consider e. Sin embargo, en el caso de materiales compuestos por granos finos, las propiedades en distintas direcciones son iguales. Para materiales como la madera, el hormigón armado esta suposición es lícita con cierta aproximación.
Cuarta suposición: Se considera que las fuerzas internas, originales, las mismas que preceden a la aplicación de cargas externas se consideran nulas. Es sabido que las fuerzas de interacción entre partículas del material, cuyas distancias varían, se oponen a la variación de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas exteriores. Al hablar de fuerzas interiores, en adelante tendremos en cuenta estas fuerzas despreciando las fuerzas moleculares que existen en el cuerpo sometido a cargas. Esta suposición no se cumple cabalmente en ninguno de los materiales utilizados en ingeniería. Así por ejemplo, se sabe que en el acero existen fuerzas internas como producto del enfriamiento que experimenta el material, en la madera estas fuerzas aparecen como producto del secamiento de la misma, y en l concreto armado aparecen durante el fraguado. Quinta suposición: Esta suposición también se llama principio d e superposición de cargas . Se expresa como el efecto debido a la acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo es igual a la suma de los efectos de las acciones de estas fuerzas, aplicadas consecutivamente, en orden arbitrario. Esta hipótesis se cumple cuando se cumplen las siguientes condiciones: Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños comparados con las dimensiones del sólido. Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas.
VENANT. El valor de las fuerzas interiores en los Sexta suposición: También llamado principio de SAINT – VENANT. puntos del sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo concreto de aplicación de estas cargas. Este principio permite en muchos casos sustituir un sistema de fuerzas por otro, estáticamente equivalente, lo que nos permite simplificar los cálculos.
1.3.
FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS
Consideremos un sólido de forma arbitraria sobre el que actúan un conjunto de fuerzas exteriores (concentradas o distribuidas) tal como se muestra en la figura 1.1a
(a) Figura 1.1
(b)
(a) Cuerpo sometido a fuerzas externas mostrando un plano de corte imaginario; (b) Porción de cuerpo sep separado rado mostrand strando o las las fuerza fuerzass internas internas..
Para obtener las fuerzas internas que actúan sobre una región específica dentro del cuerpo es necesario utilizar el método de las secciones. Para ello debe hacerse un corte imaginario a través de una región específica dentro del cuerpo donde van a determinarse las fuerzas internas. Las dos partes son separadas y se procede a trazar el diagrama de sólido libre de una de las partes. Esta situación se ilustra en la figura 1.1b. En el diagrama puede observarse que existe realmente una distribución de fuerzas interiores las que actúan sobre el área expuesta de la sección. Estas fuerzas representan los efectos del material de la parte superior del cuerpo actuando sobre el material adyacente. Aunque la distribución de las fuerzas internas es desconocida se acude a las ecuaciones de equilibrio estático para relacionar las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo con la fuerza y momento resultantes de la distribución, F y M en cualquier punto específico O sobre el área seccionada como se muestra en la figura 1.2a. Al hacerlo
R
RO
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así, observe que F actúa a través del punto O, aunque su valor no dependa de la localización del punto. De otro lado, M si depende de la localización. En general puede escogerse como el centroide del área seccionada.
R
RO
(a)
(b)
Figura 1.2. (a) F uerza y momento resultante de las fuerzas internas; (b) Componentes rectangulares de la fuerza y momentos r esultantes.
Las componentes de F y M según las direcciones x, y y z, mostradas en la figura 1.2b, indican la aplicación de cuatro diferentes tipos de carga definidas como sigue:
R
RO
1.3.1. Fuerza normal (Nz). Es aquella fuerza que actúa perpendicularmente al área. Ésta fuerza se desarrolla siempre que las fuerzas externas tienden a jalar o empujar los dos segmentos. 1.3.2. Fuerza cortante (V). Es aquella fuerza que reside en el plano imaginario de corte y se desarrolla cuando las fuerza externas tienden a ocasionar el deslizamiento de una parte del cuerpo sobre el otro. 1.3.3. Momento o par torsional (Tz). Aquel momento que aparece cuando las fuerzas externas tienden a torcer una parte del cuerpo respecto a la otra. 1.3.4. Momento flexionante (M). Aquel momento causado por las fuerzas externas que tienden a flexionar al cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano. 1.4.
ESFUERZO En esta sección se muestra la forma para determinar la fuerza y el momento internos resultantes en un punto específico sobre el área seccionada del cuerpo tal como se muestra en la figura 1.3a, la obtención de la distribución de cargas internas es muy importante en la mecánica de materiales. Para resolver este problema es necesario desarrollar un medio para describir la distribución de una fuerza interna en cada punto del área seccionada. Para esto, es necesario establecer el concepto de esfuerzo.
Figura 1.3. (a) Fuerza y momento resultantes de las fuerzas internas; (b) Fuerza ΔF actuando sobre un ΔA y (c) Fuerza normal y cortante
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Consideremos al área seccionada subdividida en pequeñas áreas ΔA , tal como se muestra en la figura 1.3b. La fuerza f inita muy pequeña que actúa sobre ΔA es ∆⃗ . Esta fuerza como todas las demás tendrá una dirección
única, pero para nuestro estudio la descomponemos en dos ∆⃗ y ∆⃗ las mismas que son normales y tangenciales al área respectiva como se ve en la figura 1.3c.
∆⃗ o sus componentes también tiende a cero. Sin embargo, el cociente entre la fuerza y el área tenderán a un límite finito. Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna sobre un plano específico (área) que pasa por un punto. Cuando el área ΔA tiende a cero, la fuerza
1.4.1.
Esfuerzo normal (σ). Se define como esfuerzo normal a la intensidad de fuerza, o fuerza por unidad de área, actuando perpendicularmente a ΔA. Matemáticamente se escribe F n
lim
A
A0
(1.1)
Si la fuerza o esfuerzo normal “jala” sobre el elemento de área ΔA como se muestra en la figura 1.4a, se llama esfuerzo de tensión, mientras que si “empuja” sobre ΔA se denomina esfuerzo de compresión .
1.4.2.
Esfuerzo cortante (τ). Se define como esfuerzo cortante a la intensidad de fuerza o fuerza por unidad de área, que actúa tangencialmente a ΔA. Matemáticamente este esfuerzo se escribe.
lim
F t
A0
1.4.3.
A
(1.2)
Componentes cartesianas del esfuerzo. Para especificar mejor la dirección del esfuerzo, se descompone en componentes rectangulares x, y y z, orientados como se muestra en la figura 1.4a. El elemento de área A x y y las tres componentes cartesianas de la fuerza ∆⃗ se muestra en la figura 1.4b. Bajo estas condiciones las componentes del esfuerzo son
z
zx
lim
A0
lim
A0
zy lim
A0
F z A F x A
F y A
(1.3)
(1.4)
(1.5)
El subíndice z se usa para indicar la dirección de la línea normal hacia fuera, que especifica la orientación de ΔA y los subíndices x e y se refieren a los ejes coordenados en cuya dirección actúan los esfuerzos cortantes.
(a) (b) Figura 1.4. Determinación de esfuerzos normales y cortantes.
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(c)
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1.5.
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ESFUERZO NORMAL MEDIO DE UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE.
En la figura 1.5a, se muestra un elemento estructural al cual se le aplica las cargas P, estas fuerzas son colineales con el eje centroidal de la barra y producen cargas de tensión. Estas fuerzas se llaman fuerzas axiales. Si cortamos imaginariamente a la barra a través de la sección transversal a-a, se puede dibujar el DCL de la mitad inferior de la barra como se muestra en la figura 1.5b. El equilibrio nos indica que en la sección hay una distribución de fuerzas cuya resultante es F, la misma que es normal a la superficie e igual en magnitud a la fuerza externa P y tiene una línea de acción que es colineal con P. La intensidad media de la fuerza interna por unidad de área normal es el esfuerzo normal medio expresado como F
m
A
(1.6)
En este libro se usa el símbolo σ para denotar el esfuerzo normal. Se adopta la convención de asignarle un signo positivo si el esfuerzo es de tensión por el contrario se asigna un signo negativo si el esfuerzo es de compresión.
∆⃗ la misma que representa la resultante de las fuerzas internas transmitidas, como se muestra en la figura 1.5c. En estas condiciones es esfuerzo se determina mediante la ecuación Para determinar el esfuerzo en un punto se divide al área en elementos ΔA sobre los que actúa una fuerza
lim A0
(a)
F A
(b)
(1.7)
(c)
Figura 1.5. E lemento estructural cargado axialmente En general el valor obtenido para el esfuerzo obtenido para un punto dado en una sección transversal es diferente al obtenido mediante la ecuación (1.6) y se encuentra que el esfuerzo varía en la sección. La figura 1.6 muestra a una barra delgada sometida a fuerzas axiales de compresión P y P’, estas variaciones son pequeñas en puntos alejados del extremo, pero notoria en puntos cercanos al extremo.
Figura 1.6. Vari ación del esfuerzo normal en un elemento estructural cargado axi almente
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1.6.
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ESFUERZO CORTANTE MEDIO
En la sección 1.3 se definió al esfuerzo cortante como la componente del esfuerzo que actúa paralelamente al plano de la sección transversal de corte. Para ver como aparece este esfuerzo consideremos un elemento tal como se muestra en la figura 1.7 al que se le ha aplicado una fuerza P. Si los soporte B y D se consideran rígidos y P es suficientemente grande, ésta ocasionará que el material de la barra falle a lo largo de los planos AB y CD. El diagrama de cuerpo libre del segmento central no apoyado mostrado en la figura 1.7b, indica que una fuerza cortante V = F/2 debe aplicarse a cada sección para mantener el equilibrio. Bajo estas condiciones el esfuerzo cortante medio distribuido sobre cada área seccionada se define por V
med
A
(1.8)
Donde: τ med = Esfuerzo cortante medio en la sección, se asume que es el mismo en toda la sección; V cortante interna resultante en la sección determinada a partir del equilibrio; y A = Área de la sección
=
fuerza
La distribución del esfuerzo cortante medio se muestra actuando sobre la sección derecha de la figura 1.7c. Debe observarse que τ med tiene la misma dirección que V.
(a)
(b)
(c)
Figura 1.7. E sfuerzo cortante medio en un elemento estructural 1.6.1. Cortante simple. Las placas unidas por un perno (1,8a) y (1,8e) así como las placas pegadas mostradas en la figuras 1.8c, respectivamente son ejemplos de elementos con conexiones a cortante simples. Los diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras 1.8b; 1.8d, 1.8f y las ecuaciones de equilibrio muestran que las fuerzas internas cortantes V son iguales a la fuerza exterior aplicada P, respectivamente, y el esfuerzo cortante viene expresado por = ⁄ =
(e) Figura 1.8. E lementos sometidos a esfuerzo cortante simple
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(f)
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1.6.2. Cortante doble Las placas unidas por un perno, figura 1.9a cuya vista transversal se da en la figura 1.9e, y las placas pegadas mostradas en la 1ig figuras 1.9a y 1.9c, respectivamente son ejemplos de elementos con conexiones a cortante dobles, en este caso debe observarse que aparecen dos superficies cortantes Los diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras 1.9b; 1.9d; 1.9e y las ecuaciones de equilibrio muestran que las fuerzas internas cortantes V = F/2 y el esfuerzo es = ⁄ = ⁄2 .
(e) Figura 1.9. E lementos sometidos a esfuerzo cortante doble
1.7.
(f)
ESFUERZO DE APLASTAMIENTO
El esfuerzo de aplastamiento o de apoyo se presenta sobre la superficie de contacto entre dos elementos interactuantes. Para el caso de la conexión mostrada en la figura 1.10a. El remache ejerce sobre la platina A una fuerza igual y opuesta a la fuerza ⃗ que ejerce la platina sobre el remache véase figura 1.10b. En este gráfico es la resultante de todas las fuerzas distribuidas en la superficie interior de un cilindro de diámetro d y longitud t igual al espesor de la platina. Debido a que la distribución de esfuerzos, es muy compleja, se usa un valor medio y el área proyectada del para el esfuerzo de aplastamiento σ b, el mismo que se obtiene dividiendo la fuerza remache en la platina (figura 1.10c). Debido a que esta área es igual a td , donde t es el espesor de la platina y d el diámetro del remache, se tiene. b
P
(a)
Ab
(b)
P
td
(1.9)
(c)
Fig. 10. Definición de esfuerzo de aplastamiento. 1.6.
ESFUERZO EN UN PLANO OBLICUO Consideremos un elemento de sección transversal A 0 sometido a dos fuerzas y ′ tal como se muestra en
la figura 1.11a. Si trazamos imaginariamente un plano inclinado que forma un ángulo θ con el plano normal
(figura 1.11b) y dibujamos el DCL de la parte izquierda del elemento (figura 1.11c) se halla a partir de la ecuaciones de equilibrio, que las fuerzas distribuidas en la sección inclinada deben ser equivalentes a la fuerza .
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Figura 1.11. E sfuerzo normal y cortante en planos i nclinados Descomponiendo P en sus componentes F y V, normal y tangencial a la respectiva sección, se obtiene que F
P cos
(1.10)
Psen
(1.11)
V
representa la resultante La fuerza representa la resultante de las fuerzas normales distribuidas en la sección y de las fuerzas distribuidas paralelas al plano inclinado (figura 1.11d). El valor medio de los correspondientes esfuerzos será
F
A
V
(1.12)
A
(1.13)
Remplazando las ecuaciones (1.10) y (1.11) en las ecuación (1.12) y (1.13), resulta
P cos A Psen A
(1.14)
(1.15)
(1.16)
De la gráfica se observa que A
A0 cos
Al sustituir este valor del área en las ecuación (1.14) y (1.15), se obtiene: P cos 2 A0
P 2 A0
sen 2
(1.17) (1.18)
De la ecuación (1.17) se observa que el esfuerzo normal es máximo cuando θ = 0º y que tiende a cero a medida que θ se aproxima a 90º. El valor máximo del esfuerzo es
max
P A0
De la ecuación (1.18) se observa que el esfuerzo cortante es máximo cuando el ángulo θ = 45º . P max 2 Ao
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(1.19)
(1.20)
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II.
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ANALISIS DE LA DEFORMACIÓN UNITARIA: Conceptos y Definiciones 2.1.
INTRODUCCIÓN. Utilizando los conceptos de la estática en la sección anterior se establecieron las relaciones entre las fuerzas internas y los esfuerzos, evaluándose los esfuerzos normales y cortantes para distintos elementos sometidos a cargas externas. Así mismo se evaluaron esfuerzos sobre superficies inclinadas de elementos. En ningún momento se observó las deformaciones que producen la aplicación de cargas externas a un cuerpo deformable. Es sabido que en el diseño de elementos estructurales o componentes de máquinas es de importancia considerar en el mencionado diseño las deformaciones que experimentan los cuerpos. Por ello es importante discutir en esta sección las deformaciones producidas por las fuerzas externas cuando son aplicadas a un cuerpo deformable real, estableciéndose algunos métodos para medir tales deformaciones. 2.2.
DESPLAZAMIENTO, DEFORMACIÓN Y DEFOMACIÓN UNITARIA 2.2.1 Desplazamiento. Si sobre un cuerpo deformable se aplica un sistema de cargas externas, cada una de las partículas que componen el cuerpo puede experimentar desplazamientos entre sí. Para determinar tales desplazamientos se utiliza el desplazamiento que es una magnitud vectorial que mide el movimiento de una partícula de una posición a otra. Para evaluar las deformaciones que experimenta un cuerpo deformable consideremos un cuerpo hecho de un material continuo tal como se muestra en la figura 1.12. Las tres partículas A, B y C antes de la aplicación de fuerzas están localizadas en el cuerpo como se ve en la figura. Después de la aplicación de las fuerzas externas el cuerpo se deforma cambiando de posición y por tanto las nuevas posiciones de las partículas son A’, B’ y C’. El desplazamiento de la partícula A viene descrito por el vector u(A).
Figura 1.12. Desplazamiento que experimenta una partícula.
2.2.2
Deformación. La aplicación de las cargas externas ocasionan que las líneas AB y BC inicialmente rectas, se convierten en líneas curvas A’B’ y A’C’. Por lo tanto, las longitudes de AB y AC así como el ángulo θ, serán diferentes de las longitudes curvas A’B’ y A’C’ y el ángulo θ’. Es decir la deformación se define como la diferencia entre las longitudes y las orientaciones relativas de las dos líneas en el cuerpo debido a los desplazamientos de cada partícula debido a la aplicación de las cargas externas al cuerpo.
2.2.3 Deformación unitaria. La deformación unitaria se utiliza para describir la deformación por cambios en la longitud de segmentos de línea y los cambios en los ángulos entre ellos. Existen dos tipos de deformación unitaria:
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Deformación unitaria normal. Designada por la letra griega épsilon (ε), expresa el alargamiento o acortamiento de un segmento de línea por unidad de longitud de un cuerpo durante la deformación. Para encontrar una expresión matemática para la deformación unitaria normal, considere una línea recta AB dentro de un cuerpo no deformado como se muestra en la figura 1.13a, esta línea está ubicada a lo largo del eje n y tiene una longitud inicial Δs. Después de la deformación la línea recta se transforma en una línea curva con una longitud Δs’ como se muestra en la figura 1.13b.
(a) Figura 1.13.
(b)
(a) Cuerpo sin deformación y (b) C uerpo deformado
El cambio en la longitud es entonces ( Δs’ – Δs). La deformación unitaria normal promedio ε prom se define como s' s (1.21) prom s A medida que el punto B se escoge cada vez más cercano al puno A, la longitud de la línea se vuelve cada vez más corta, de tal modo que s 0 . De igual forma B’ se aproxima a A’ de modo que s' 0 . Por lo tanto, la deformación unitaria normal en el punto A es la dirección n está dada por
s ' s
lim
B A a
lo largo de n
s
(1.22)
En algunos casos se conoce la deformación unitaria normal, por lo que se desea determinar la longitud final del segmento corto en la dirección n para ello se usa la relación
s' 1 s
(1.23)
Por tanto cuando ε es positiva, la línea inicial se alargará, mientras que si ε es negativa la línea se acortará.
Debido a que la deformación unitaria es el cambio de longitud por unidad de longitud, entonces ella será una cantidad adimensional . Por la pequeñez de esta cantidad, la deformación unitaria normal en el SI se expresa como ( μm/m). Deformación uni tari a normal de elementos sometidos a cargas axiales. Consideremos un barra de peso despreciable BC, de longitud L y área transversal A, suspendida de su extremo B tal como se muestra en la figura 1.14a. Si ahora se aplica una carga externa P al extremo libre C, la barra experimentará un alargamiento δ como se ve en la figura 1.14b.
Figura 1.14. (a) E lemento sin carg a axial, (b) elemento sometido a carga axial P mostrando la deformación que le produce y (c) diagrama fuerza-deformación.
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Al elaborar un diagrama fuerza-deformación, se obtiene una gráfica como se ve en la figura 1.14c. Debe señalarse que aunque este diagrama contiene información útil para el análisis de la barra en estudio, no puede utilizarse para predecir el comportamiento de otra barra del mismo material pero con dimensiones diferentes. Así por ejemplo, la barra B’C’ de sección transversal 2A y longitud L, experimentará la misma deformación δ cuando se aplica una fuerza 2 P (ver figura 1.15a) siendo en ambos casos el esfuerzo normal el mismo. Por otro lado, cuando la barra B’’C’’ de longitud 2L y área transversal A es sometida a una fuerza P experimenta una deformación 2δ (ver figura 1 .15b) obtenién dose además que el cociente entre el alargamiento y la longitud inicial es el mismo.
(a)
(b)
Figura 1.15. (a) E lemento de longitud L sometido a una carga 2P y (b) elemento de área y longi tud 2L sometido a una carga P
Por ello la deformación unitaria normal está dado por
L
(1.24)
Si el desplazamiento es a lo largo de una línea recta. Consideremos dos puntos A y B sobre la recta x como se muestra en la figura 1.16a,. Después de la aplicación de la carga externa, los puntos A y b se desplazan a los puntos A1 y B1, respectivamente. Las coordenadas de los puntos x A y x B a x A + u A y x B + u B. Entonces las longitudes inicial y final son L0 = x B – x A y L f = (x B + u B ) – ( x A + u A ).
F igur a 1.16. Deformación unitaria en una línea recta
La deformación unitaria será
med Donde u A
L f L0 L0
uB u A
(1.25)
x B xA
y u B son los desplazamientos de los puntos A y B
u B
uA
es el desplazamiento relatico
Si ahora se construye una gráfica esfuerzo (σ) - deformación unitaria normal (ε), se obtiene una curva característica para cada uno de los materiales la que no depende de las dimensione de la probeta. Esta relación se discutirá más adelante. Por otro lado, cuando la sección del elemento sometido a cargas
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externas es de sección variable como se muestra en la figura 1.17a, el esfuerzo normal varía a lo largo del elemento por ello es necesario definir la deformación en cierto punto Q considerando un pequeño elemento de longitud no deformado x como se ve en la figura 1.17b.
(a)
(b)
Figura 1.17 (a) E lemento de sección vari able sin carg a axi al y (b) elemento de sección vari able sometido a carga axial. Si es el alargamiento del pequeño elemento bajo la carga exterior dada, la deformación unitaria en estas condiciones será. lim x 0
x
d dx
(1.26)
Deformación angular o cortante.
La deformación unitaria angular o cortante se define como el cambio en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de línea inicialmente perpendiculares. Este ángulo se denota por γ y su valor se mide en radianes. Para mostrar esto consideremos dos segmentos de línea AB y AC a lo largo de los ejes perpendiculares n y t como se muestra en la figura 1.18a. Después de la deformación las líneas rectas AB y AC se vuelven curvas y el ángulo ent re eles es θ’ ver la figura 1.18 b. Por lo tanto, la deformación unitaria
angular será nt
2
lim
B A a
lo largo de n C A a lo largo de t
'
(1.27)
Debe observarse que si θ’ es menor que 90º, la deformación angular es positiva por el contrario si θ’ es
mayor de 90º la deformación angular es negativa.
(a)
(b)
Figura 1.18. (a) Angulo entre dos rectas perpendiculares de un cuerpo sin deformación y (b) ángulo entre dos líneas de cuerpo deformado
Por otro lado cuando un cuerpo es sometido a una fuerza cortante Fs tal como se muestra en la figura 1.19, el cuerpo cambia su forma de rectangular a romboidal. Si uno de los lados se mantiene fijo el lado superior experimenta un desplazamiento δ s
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Elasticidad
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Figura 1.19. Deformación angular o cortante en un plano La deformación angular promedio se obtiene dividiendo la deformación δ s en longitud L
yx
tg yx
x L
una dirección normal y la
(1.28)
Para aquellos casos en los cuales la deformación no es uniforme, la deformación angular en un punto viene dada por
xy ( P ) lim
L 0
x L
d x dL
(1.29)
Análisis de deformaciones unitarias pequeñas. En muchos problemas ingenieriles, un cuerpo solo experimenta pequeños cambios en sus dimensiones. La aproximación de pequeñas deformaciones simplifica en alto grado la solución de tales problemas. En la figura 1.20 se muestra un ejemplo de cómo evaluar la deformación.
F igura 1.20. Deformaciones pequeñas. La fuerza que actúa sobre la barra provoca que el punto P se mueva en una cantidad D en un ángulo θ referido a la dirección de la barra. La ley de los cosenos aplicada al triángulo nos permite determinar L f ,
esto es 2
D D 2 cos L f L D 2 L0 D cos L0 1 L0 L0 2 0
2
(a)
Teniendo en cuenta la ecuación (1.24) se puede determinar la deformación promedio en la barra AP , es decir.
L f L0 L0
2
D D 1 2 cos 1 L0 L0
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(b)
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Si se considera de que D << L0, en este caso se desprecia el término cuyo exponente es 2 y si se usa el binomio de Newton se obtiene
D
L0
1
cos .......... ... 1
(c)
Simplificando la ecuación anterior se obtiene peq
D cos
L0
(1.30)
El cambio dimensional y deformación están linealmente relacionados en la ecuación (1.30), lo cual no ocurre con la ecuación (a), esto implica que los cálculos de pequeña deformación resultarán en un sistema lineal, eso simplifica los cálculos
III.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 3.1.
INTRODUCCIÓN.
Si se tiene un alambre de un metal y una cuerda de hule con igual longitud antes de experimentar una deformación al someterlos a cargas externas iguales experimentarán deformaciones diferentes. No debe de sorprenderse al observar que el hule se deforma mucho más que el alambre de acero. Esta situación pone de manifiesto que las propiedades mecánicas cumplen una importante función en el desarrollo de las fórmulas para relacionar el cambio dimensional con las cargas aplicadas. La descripción cualitativa de un material mediante adjetivos como elástico, dúctil, frágil tiene un significado muy específico que es necesario conocer, ya que estos adjetivos nos permiten describir a los materiales. La descripción cuantitativa se realiza a través de ecuaciones que describen las curvas esfuerzo- deformación de cada uno de los materiales. Los parámetros en las ecuaciones se determinan experimentalmente. Por ello el objetivo de esta sección es comprender la descripción cualitativa y cuantitativa de las propiedades mecánicas de los materiales.
3.2.
DIAGRAMAS ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA.
Se ha visto en la sección anterior que cuando se traza un diagrama carga-deformación se obtiene un diagrama tal como el mostrado en la figura 1.14c. Debe señalarse que aunque este diagrama contiene información útil para el análisis de elemento en estudio, no puede utilizarse para predecir el comportamiento de otros elementos del mismo material pero con dimensiones diferentes. Por ello es necesario buscar otro tipo de diagrama que nos permitan caracterizar a un material en general. Estos diagramas son los diagramas esfuerzo-deformación unitaria. Para obtener estos diagramas se realizan ensayos de tensión o de compresión estandarizados uno de ellos es lo normado por la ASTM.
3.2.1. Ensayo de tensión. Uno de los ensayos mecánicos esfuerzo-deformación más comunes es el realizado a tracción. Este ensayo es utilizado para determinar varias propiedades de los materiales que son importantes para el diseño. Normalmente se deforma una probeta hasta la rotura, con una carga de tracción que aumenta gradualmente y que se aplica axialmente a lo largo del eje de una probeta. En la figura 1.21a se muestra algunas probetas cilíndricas normalizadas y en la figura 1.21b se muestran probetas planas normalizadas. Generalmente la sección de la probeta es circular, pero también se utilizan probetas de sección rectangular. Durante el ensayo, la deformación está confinada en la región más estrecha del centro, la cual tiene una sección uniforme a lo largo de su longitud. El caso de probetas cilíndricas el diámetro normalizado es aproximadamente 12,8 mm (0,5 pulgadas), mientras que la longitud de la sección reducida de ser igual a
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por lo menos cuatro veces su diámetro, siendo usual 60 mm. La longitud de prueba es de 50 mm (2 pulgadas) como se ve en la figura 1.21c.
(a)
(b)
(c) Figura 1.21. Probeta de tracción normalizada con sección circular
La probeta se instala con sus extremos en las mordazas de la máquina de ensayos de tracción como se muestra en la figura 1.22. Máquina que se diseña para alargar la probeta a una velocidad constante, y para medir continua y simultáneamente la carga instantánea aplicada (con una celda de carga) y el alargamiento resultante (utilizando un extensómetro). El ensayo dura varios minutos y es destructivo, o sea la probeta del ensayo es deformada de forma permanente y a menudo rota,
Figura 1.22. Máquina de ensayos de tracción con un sistema de procesamiento automático de datos.
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3.2.2. Diagrama esfuerzo normal - deformación unitaria. El resultado del ensayo se registra en una banda de papel como carga en función del alargamiento. Estas características carga-deformación dependen del tamaño de la probeta. Para minimizar los factores geométricos, la carga y la deformación son normalizadas para obtener los parámetros esfuerzo nominal y deformación nominal , respectivamente ver la figura 1.23.
Figura 1.23. Muestra normalizada utilizada en ensayo de tracción El esfuerzo nominal o de ingeniería σ se determina mediante la ecuación.
P
(1.31)
A0
En donde P es la carga instantánea aplicada perpendicularmente a la sección de la muestra y A0 es el área de la sección transversal original antes de aplicar la carga. La deformación nominal o de ingeniería se define como
Li
L0
L0
L0
(1.32)
Donde: L0 es la longitud original antes de aplicar la carga, y Li es la longitud instantánea. Algunas veces Li - L0 se expresa mediante δ y es el a largamiento producido por la deformación, o cambio en la longitud en un instante determinado.
Si se grafican lo valores correspondientes de σ y ε, la curva se llama diagrama convencional de esfuerzodeformación unitaria. Este diagrama es importante ya que nos permite obtener la resistencia a tensión (o
compresión) de un material sin considerar la geometría del material. Sin embargo, debe de precisarse de que nunca serán exactamente iguales los diagramas esfuerzo-deformación para un material particular, ya que los resultados dependen entre otras variables de la composición del material, las imperfecciones microscópicas, de la forma en que fueron fabricados, de la velocidad de la carga y de la temperatura de ensayo.
A continuación discutiremos la curva convencional del acero, material muy utilizado en la fabricación de componentes estructurales y mecánicos. En la figura 1.24 se muestra el diagrama σ – ε de una probeta de acero. En dicha gráfica se observa cuatro maneras diferentes en que el material se comporta dependiendo de la cantidad de deformación unitaria inducida en el material.
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Figura 1.24. D i agram agr ama a esfu esfue er zo-de zo-defor form mación par par a un acer acer o estru estructural ctural C ompo omporr tami tami ento elásti elástico. co. Decimos que el material es elástico cuando recobra su forma original después de la suspensión de la carga aplicada a ella. Este comportamiento elástico ocurre hasta cuando el material alcanza el límite de proporcionalidad el diagrama σ – ε es prácticament e una línea recta. En estas condiciones el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria. El esfuerzo que le corresponde al límite de proporcionalidad se llama esfuerzo elástico ( σpl). Si el esfuerzo excede un poco el límite de proporcionalidad el material todavía puede responder elásticamente. Sin embargo, la curva tiende a aplanarse causando un incremento mayor en la deformación unitaria. Esto continúa hasta que el esfuerzo alcanza el límite elástico. Para determinar este esfuerzo es muy complicado debido a la cercanía en que se encuentran estos puntos. F luencia. luencia. Un ligero incremento del esfuerzo más allá del límite elástico provoca un colapso del material ocasionando que el material se deforme permanentemente. Este comportamiento se llama fluencia. El esfuerzo que origina la fluencia se llama esfuerzo de fluencia (σ y ) y la deformación que ocurre se llama deformación plástica. En algunos aceros se encuentra dos valores para el límite de fluencia uno superior y otro inferior pero una vez que se alcanza alcanza éste último el material se deforma sin la aplicación de carga. E ndurecimie ndurecimi ento por por defor deform maci aci ón. Una vez que la fluencia termina, la aplicación de carga a la probeta ocasiona que se eleve nuevamente pero más suavemente hasta alcanzar el esfuerzo último (σu). La elevación en la curva se denomina endurecimiento por deformación.
(a)
(b)
Figura 1.25. (a) Probeta de acero mostrando el inicio de la estricción y (b) probeta fracturada, observe la forma formación ción del cono cono y la cop copa
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Estricción. Cuando la probeta alcanza el esfuerzo último, comienza a experimentar una disminución en la sección transversal en una zona localizada, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este efecto se debe al reacomodo de los planos de deslizamiento que se forman dentro del material y las deformaciones producidas se deben a esfuerzos cortantes. Como resultado aparece una estricción o cuello en la zona a medida que la probeta se alarga cada vez más como se muestra en la figura 1.25a. Una vez que se alcanza el esfuerzo cortante máximo la probeta fractura tal como se ve en la figura 1.25b.
3.2.3. Materiales Dúctiles y frágiles. frágiles. Materiales Dúctiles. Todo aquel material que puede experimentar deformaciones grandes antes de la fractura se llama material dúctil. Esta propiedad mecánica hace que el ingeniero escoja a estos materiales para el diseño de estructuras o elemento de máquinas por su capacidad de estos materiales para absorber energía sin sufrir sobrecarga exhibiendo una deformación grande antes de fallar. porcent rcenta aje de elonga longació ción n o el el Una forma como expresar el grado de ductilidad de un material es el po po porcent rcenta aje de red reducció ucción n de área rea en el momento de fractura. Esto es:
Porcentaje de elongación
L f
L0
L0
Porcentaje de reducción de área
(100)%
A f
A0
A0
(100)%
(1.33) (1.34)
Donde A f es es el área de la sección transversal después de la fractura y A0 es el área de la sección trasversal inicial. Además del acero existen muchos otros materiales que tienen este comportamiento tales como el latón, el molibdeno y el zinc experimentando curvas esfuerzo deformación análogas es decir presentan una zona elástica, una zona de fluencia, una zona de deformación por deformación sufriendo una estricción para llegar a fracturar. Sin embargo, muchos muchos otros materiales no presentan fluencia más allá de la zona elástica. El aluminio por ejemplo no presenta un punto de fluencia bien definido, y por consiguiente se utiliza el método método de la desviaci desvi ación ón para determinar el esfuerzo de fluencia . Esto se consigue escogiendo una deformación unitaria del 0,2% y desde este punto situado sobre el eje ε en el diagrama esfuerzo deformación se traza una recta paralela a la porción recta inicial de la curva. El punto de intersección de esta línea con la curva define el esfuerzo de fluencia. Este criterio se muestra en la figura 1.26
Figura 1.26. E squema squema donde donde se indi ca cómo cómo se obtiene obtiene el el esfuerzo esfu erzo de fluencia luenci a para para el alumini alumin i o.
Materiales frágiles. Aquellos materiales que presentan poca o ninguna fluencia antes de la fractura se denominan frágiles. Destacan entre otros la fundición gris, el concreto armado, el vidrio, etc. Estos materiales en general son ensayados en máquinas de compresión tal como c omo se muestra en la figura 1.27a. La forma como se produce la fractura frágil está mostrada en la figura 1.26a. En el caso del concreto el diagrama esfuerzo-deformación dependen fuertemente de la composición (agua, arena, grava y cemento); del tiempo y de la temperatura de curado. En la figura 1.27c se muestra el diagrama esfuerzo-deformación para el concreto. En él se observa que el esfuerzo de compresión máximo es de casi 12,5 1 2,5 veces mayor que su esfuerzo de fractura a tensión. Por ello es que el concreto siempre se refuerza con acero en estructuras.
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(b)
(a)
(c)
Figura 1.27. (a) Máquina Máquina de de co compresión resión (b) Prob P robe eta fra fr acturad cturada a de de un un ma materi teri al fr ágil y (b) ro r otura tura fr ágil gi l de una prob probe eta de acero cero (c) Di agra gr ama esfuerzo sfuerzo-d -de eforma formación ción para una muest uestra ra de conc concret reto o.
3.2.4. Ley de Hooke. En un ensayo de tracción, la relación esfuerzo normal y deformación unitaria normal en la región lineal establece que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación normal, esto se traduce en la expresión. (1.35) E
La ecuación (1.34) se conoce como ley de Hooke , siendo E la pendiente de la recta y se denomina módulo de Young o módulo de elasticidad. Las unidades de E son las mismas que las del esfuerzo por ser la deformación unitaria una cantidad adimensional.
3.2.5. Razón de Poisson. Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza de tracción axial, no sólo se alarga sino también experimenta una contracción lateral. Sucede el efecto inverso cuando las cargas son de compresión. Estos casos se muestran en las figuras 1. 28a y 1.28b. Al aplicar la carga P a la barra, su longitud se incrementa en una cantidad δ y su radio experimenta una contracción δ’. Las defo rmaciones axial y lateral se expresan long
y
L
lat
'
r
(1.36)
S. D. Poisson descubrió que dentro del rango elástico, la razón entre estas deformaciones unitarias es constante. A esta relación se le llama módulo de Poisson (ν) y tiene un valor único para cada uno de los materiales considerado homogéneo e isótropo, expresado por
lat long
(1.37)
El módulo de Poisson es adimensional y para la mayoría de materiales toma un valor dado por 0 0,5
20
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Figura 1.28. (a) E lemento sometido a carga de tensión y (b) elemento sometido a una carga de compresión
3.2.6. Diagrama esfuerzo-deformación unitaria por cortante. La figura 1.29a, muestra una sección de un material homogéneo e isótropo, sometido a esfuerzos cortantes, el efecto de tale esfuerzos ocasiona que el material se distorsione quedando como lo muestra la figura 1.29b. La deformación angular u nitaria a cortante será γ xy. Los materiales sometidos a esfuerzos cortantes también pueden ser estudiados en el laboratorio utilizando muestras en forma de tubos y sometidos a pares torsores. Los datos obtenidos nos permiten determinar el esfuerzo cortante y la deformación angular, con estos datos se traza un diagrama esfuerzo cortantedeformación angular unitaria cortante. Este diagrama para un material dúctil se observa en la figura 1.29c. Al igual que en el ensayo de tracción, este material exhibe un comportamiento elástico – lineal cuando se somete a corte y tendrá un esfuerzo de proporcionalidad definido. También presenta un endurecimiento por deformación hasta llegar al esfuerzo cortante último. Finalmente el material comenzará a perder su resistencia al cortante hasta que se produce la fractura.
(a)
(b)
(c)
Figura 1.29. (a) F orma del elemento inicial (b) elemento después de ser sometido a esfuerzos cortantes y (c) Diagrama esfuerzo cortante-deformación unitaria cortante
Múltiples materiales de ingeniería presentan el comportamiento elástico lineal, de modo que el esfuerzo cortante es proporcional a la deformación angular por cortante, cumpliéndose en estos casos también la ley de Hooke
G
(1.38)
Donde G es el módulo de rigidez, su valor se determina calculando la pendiente de la línea recta en el diagrama. Al igual que el módulo de Young el módulo de rigidez tiene las mismas unidades (N/m 2). Una relación muy importante que relaciona las tres constantes del material E, G y ν se da a continuación
G
E 2 1
21
(1.39)
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IV.
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ELEMENTOS AXIALES. 4.1.
INTRODUCCIÓN.
En esta sección se analiza el método para determinar el esfuerzo normal en elementos estructurales o mecánicos cargados axialmente, de otro lado se determina la deformación de estos elementos. Así mismo se mostrará un método para determinar las reacciones en los soportes en los que se encuentran empotrados elementos deformables.
4.2.
DEFORMACIÓN DE MIEMBROS SOMETIDOS A CARGAS AXIALES 4.2.1. Miembro uniforme sometido a dos cargas axiales Cuando una barra recta de sección uniforme es sometida a una carga axial en sus extremos, experimentará una deformación constante y un esfuerzo constante como se muestra en la figura 1.30.
Figura 1.30. E lemento de sección constante sometido a fuerzas axiales Si no se sobrepasa el límite de proporcionalidad se puede aplicar la ley de Hooke para encontrar una relación entre la deformación y la fuerza aplicada, es decir
E
E A L
P
PL
(1.40)
EA
4.2.2. Miembro uniforme sometido a varias cargas axiales. Si una barra está sometida a varias cargas axiales en diferentes puntos a lo largo de la barra, o si la barra está compuesta por partes que tienen diferentes secciones de diferentes materiales tal como se muestra en la figura 1.31, entonces el cambio de longitud de cada una de las parte se determina utilizando la ecuación (1.40). Finalmente el cambio total de longitud de la barra compuesta se determina sumando algebraica las deformaciones individuales de cada porción. Esto es
i
22
P i Li E i Ai
(1.41)
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Donde Ai y E i son ambos constantes para el segmento i-ésimo y la fuerza P i es la fuerza interna en el segmento i-ésimo de la barra, fuerza que es calculada a partir de las ecuaciones de equilibrio.
Figura 1.31. E lemento sometido a varias fuerzas
4.2.3. Elemento de sección no uniforme sometido a carga axial variable. Para aquellos casos en los cuales la fuerza axial es variable o el área transversal varía continuamente como se muestra en la figura 1.32a, la ecuación (1.40) no es aplicable. Para determinar la deformación se divide al elemento estructural en elementos diferenciales en forma de obleas de longitud dx y área A(x). El DCL de la oblea muestra que la fuerza interna sobre ella es P(x). Esta carga deformará a la oblea en una cantidad d δ tal como se ve en la figura 1.32b.
Figura 32. (a) E lemento de sección variable sometida a carga axial vari able y (b) Oblea de material utilizada para determinar la deformación en el elemento El esfuerzo y la deformación unitaria en el elemento son
P ( x)
A( x)
d
dx
(1.42)
(1.43)
Si se cumple con la ley e Hooke, se tiene
E P ( x) d E A( x) dx P ( x) d dx EA( x)
(1.44)
Para determinar la deformación total de la barra se procede a integrar la ecuación (1.44) sobre toda la longitud del elemento estructural. Esto es
L
0
P ( x )dx EA( x)
23
(1.45)*
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4.3.
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ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE ESTÁTICAMENTE INDETERMINADO.
Cuando una barra tal como se muestra en la figura 1.33, está sometida a una fuerza axial, la aplicación de las ecuaciones de equilibrio a lo largo del eje nos permite determinar la reacción en el soporte fijo. Este tipo de problema se llama estáticamente determinado . Por el contrario si la barra esta empotrada en ambos extremos como se muestra en la figura 1.33a, el DCL de dicha barra (figura 1.33b) muestra que existen dos reacciones desconocidas. La ecuación de equilibrio de fuerzas se expresa F y 0 FB FA P 0
(a)
(1.46)
(b)
F igura 1.33. (a) E lemento estáticamente indeterminado y (b) D CL del elemento
Debido a que la ecuación estática por sí sola no permite determinar las reacciones, este problema es estáticamente indeterminado. Para resolver el problema se utiliza la geometría de las deformaciones. Especificándose una ecuación que determina las condiciones de desplazamiento llamado condición de compatibilidad . En este caso es el desplazamiento relativo de un extremo de la barra respecto al otro el mismo que es igual a cero ya que los muros no ceden. Por tanto (1.47) A / B 0
Esta ecuación puede expresarse en términos de las cargas aplicadas obteniéndose F A L AC EA
F B L BC
EA
0
(1.48)
La solución de las Ecuaciones (1.45) y (1.47) permite obtener las reacciones en los soportes.
LCB L
F A P
V.
L AC L
F B P
(1.49)
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN. Consideremos una barra BC de longitud L y sección transversal A, empotrada en B y sometida a una carga axial P que se incrementa lentamente como se muestra en la figura 1,33a. Si se traza una gráfica P en función de δ se
obtiene una curva como se muestra en la figura 1.33b la cual es característica de la barra BC.
24
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El trabajo realizado por P cuando la barra se alarga una pequeña cantidad es igual al producto de la magnitud de P y el desplazamiento , esto es Pd
dU
(1.50)
El trabajo total cuando l barra experimenta una deflexión será U
Pd
(1.51)
Y es igual al área bajo la curva P Vs δ.
El trabajo realizado por , cuando se aplica lentamente a la barra, debe producir el incremento de alguna energía asociada con la deformación de la barra- Esta energía se llama energía de deformación y se expresa como
Edeformaciòn U
1
0
Pd
(1.52)
En el caso de deformaciones lineales y elásticas la relación P – δ, es una línea recta cuya ecuación es = , entonces la energía se escribe E
0
1
k d E
2 1 2
k 2
1 2
( k )
P
Si las deformaciones están en el rango elástico se cumple que = , entonces la energía es E
E
1 2
P
2
1 P L
PL EA
1
P
2
2 EA
1 EA
(1.53)
2
2 2L
Para barras de secciones variables sometidas a cargas externas variables, la energía se determina usando la ecuación
E
x1
P x2 dx
0
2 EA x
Densidad de Energía. Se define como la energía por unidad de volumen, esto es
25
(1.54)
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E
E V
E
Pd AL
0
1
0
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(1.54)
d x
Donde 1 es la deformación correspondiente a la elongación 1. Para el caso en que 1 = = deformación de ruptura, se conoce como tenacidad del material . Por tanto la tenacidad de un material es igual al área bajo la gráfica esfuerzo-deformación. Por otro lado si el esfuerzo aplicado permanece dentro del límite elástico (proporcionalidad) se cumple la ley de Hooke ( = ) entonces la densidad de energía es
E
1
0
d x
E
1 2
2
E 1
1
E x d x
12
0
(1.55)
2 E
Si el esfuerzo correspondiente es el de fluencia, a la densidad de energía se le llama módulo de resilencia
resilencia
26
f 2 2 E
(1.56)
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Los esfuerzos en cada una de las barras serán
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 01
Barra AB
Dos barras sólidas cilíndricas están soldadas en B como se muestra en la figura. Halle el esfuerzo normal en el punto medio de cada barra.
AB
F AB A AB
30kN 2
d / 4
120 kN
30.10 3
m 2
2
AB 42,4 MPa.......... .......... ..... Rta. Barra BC. BC BC
F BC
A BC
70k N
d
2
280 k N
/4
50.10
3 2
m
2
2
35,65 MN / m .......... .......... ..... Rta
Problema 02 Una barra homogénea AB de 150 kg de masa soporta una fuerza de 2 kN , como puede verse en la figura. La barra está sostenida por un perno en B y un cable CD de 10 mm de diámetro. Determine el esfuerzo ejercido en el cable.
Solución Para determinar el esfuerzo en cada una de las secciones de las barras, se determina las fuerzas internas en cada una de ellas. Para esto se traza el DCL de cada porción de la barra y se aplica las ecuaciones de equilibrio. En la figura (a) se muestra el DCL para la barra AB y en (b) el DCL para ABC
Solución En la figura se muestra el DCL de la barra homogénea AB, cuyo peso es W = 1470 N
Ecuaciones de equilibrio para la barra AB F y 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
F AB P F AB 30kN .......... .......... .......... ........( 1)
M 0 B
2000 N 6m W 3m FCD sen 3m
Ecuaciones de equilibrio para la barra ABC
4 12000 4410 3 F CD 5
F x 0 F BC 30kN 40kN F BC 70kN
FCD
27
6837,5 N ..................................(1)
Física General II
Elasticidad
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Conocida la fuerza F CD (tensión), el esfuerzo estará dado por CD CD
F CD
ACD
46839 ,4 N
6839 ,4 N
d
2
/4
P
10.10
3 2
m
2Q
0, 56 1, 92 3 0, 562 1, 922
P
2
P
87,1 MPa.......... .......... .......... .......... Rta.
2011
2 2, 48 BD ABD 3 2
33066, 7 N ..........................Rta.
Problema 03.
Problema 04
Sabiendo que la porción central del eslabón BD tiene una sección uniforme de 800 mm2. Determine la magnitud de la carga P para la cual el esfuerzo normal en la barra BD sea de 50 MPa. φ
Se quiere punzonar una placa, tal como se indica en la figura, que tiene un esfuerzo cortante último de 300 MPa. (a) si el esfuerzo de compresión admisible en el punzón es de 400 MPa, determine el máximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 100 mm de diámetro. (b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm, calcular el máximo diámetro que puede punzonarse.
Solución Solución
Datos e incógnitas Datos e incógnitas BD
50 MPa;.. A BD
2
800mm ;..P ??
τ
u
= 300 MPa,
σ
ad =400
MPa, e = ??; d =
100 mm; e1 =10 mm; d 1 =??.
En la figura se muestra el DCL de ABC
En primer lugar se determina la relación entre la carga de rotura de la placa y el esfuerzo cortante P R P R
d R A R R 2 e 2 .e.d . R .......... .......... .......... .(1)
Como se conoce el esfuerzo máximo de compresión, se determina la carga máxima necesaria que se debe aplicar para poder punzonar la placa, esto es Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene M B 0 Qsen 1, 4 Q cos P 1, 4 1, 4 sen30º
0, 56 1, 92 2 2 0, 562 1, 922 0, 56 1, 92
Q
3 P 2
P ma x
ma x A
P ma x
.d 2 .......... .......... ..(2) ma x 4
El corte de la placa se producirá cuando la carga de rotura es igual a la carga axial admisible
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Física General II
Elasticidad
P R P max ..........
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Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
.......... .......... .........( 3)
F x 0 D x P 30000 cos 60º N D x P 15000 N .......... .......... .....( 1)
Remplazando las ecuaciones (1) y (2) en (3), se tiene .d 2 .e.d . R max 4 e e
max d 4 R
2011
100 mm400 MPa
F y 0
4300 MPa
D y 30000 sen60º N
33,3mm.......... .......... .......... .... Rta.
D y 15000 3 N .......... .......... .......( 2)
El valor de d max si e1 =10 mm, será M D 0 P 0,2m 30000 sen30º 0,24m P 31177 N .......... .......... .......... .(3)
300 MPa d 4d R 410mm 400 MPa max d 30mm.......... .......... .......... .......... ... Rta.
Remplazando la ecuación (3) en (1), resulta
Problema 05 Si la palanca representada en la figura está en equilibrio. (a) Determinar el diámetro de la barra AB si el esfuerzo normal está limitado a 100 MPa. (b) Determinar el esfuerzo cortante en el pasador situado en D, de 20 mm de diámetro.
D x
31177 N 15000 N
D x
46177 N .......... .......... .......... (4)
La fuerza de reacción en la articulación D, sera D D x2 D y2 46177 2 25981 2 D 52984 N .......... .......... .......... .........( 5)
Parte (a). Cálculo del diámetro de la barra AB. De la definición de esfuerzo normal, se tiene AB
P
A
4 P
2
.d AB
4 P
d AB
d AB
Solución
. AB
431177
. 100 .10
6
19,9mm.......... .......... ...... Rta.
Datos e incógnitas AB
100 MPa;..d AB
??;.. P
??;..d P
Parte (b). Para determinar el esfuerzo cortante en el pasador D de 20 mm de diámetro, primero se determina la fuerza cortante, esto es
20mm
En la figura se muestra el DCL de la palanca
La ecuación de equilibrio proporciona
29
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
F y 0
F y 0
2 P t D 52984 N
F AB 30kN .......... .......... .......( 1)
P t 26492 N .......... .......... ......( 6)
Barra BC
El esfuerzo cortante será 4 P t
d 2
426492 N
2011
20.10
3
m
F y 0
F BC P Q 30kN 40kN
F BC 70kN .......... .......... .........( 2)
84,33 MPa.......... ....... Rta.
La deformación total de la barra será
Problema 06
Dos barras cilíndricas sólidas unidas en B están cargadas como se muestra en la figura. La barra AB es de acero ( E = 200 GPa ) y la barra BC es de latón ( E = 105 GPa). Determinar: (a) La deformación total de la barra compuesta; (b) La deflexión del punto B.
F i Li E i Ai
F AB L AB E AB A AB
30000 0,25
F BC L BC E BC A BC
70000 0,3
0,03 2 105 .10 9 0,05 2 4 4 0,053 mm 0,102 mm 0,155 mm.......... .......... .......... Rta. 200 .10
9
La deflexión del punto B, viene expresado por el acortamiento de la varilla BC. B
B
F BC L BC E BC A BC
70000 0,3
105 .10
9
2 0,05 4
0,102 mm.......... .......... ....... Rta.
Solución Problema 07.
Datos e incógnitas E AB
200 GPa;.. E AC
105GPa;.. T
??;.. B
Un bloque prismático de concreto de masa m ha de ser suspendido de dos varillas cuyos extremos están al mismo nivel, tal como se muestra en la figura. Determinar la relación de las secciones de las varillas, de tal manera que el bloque no se desnivele.
?? .
En primer lugar se determina las fuerzas internas en cada una de las barras. Para ello se traza el DCL de las diferentes pociones tal como se ve en la figura
Solución Datos e incógnitas “m”; Eac = 200 GPa; Lac= 3 m;
EAl = 70 Gpa LAl = 6 m; AAl/Aac = ??
En la figura se muestra el DCL del bloque Barra AB
30
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
2011
Solución Datos e incógnitas P 50kN ;.. E ac 200 GPa ;.. Aac 300 mm 2 ; Lac 3m;.. C ??;.. B ??
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
En la figura se muestra el DCL de la barra rígida CD F y 0
Fac Fal mg ...................................(1) M A 0 Fal 5m mg 3m
Fal
3
mg .................................(2) 5 Remplazando la ec.(2) en (1), se tiene F ac
3 5
Aplicando la segunda condición de equilibrio, se tiene M D 0
mg mg F ac
2 5
50000 N 2m N C 4m
mg .......... .......... .......( 3)
N C 25000 N .......... .......... .........( 1)
Como el bloque no debe desnivelarse, entonces las deformaciones de las varillas de acero y de aluminio deben ser iguales, es decir ac
al
Fac Lac Eac Aac
En la figura se muestra el DCL de la barra rígida ABC
Fal Lal Eal Aal
E L F ac al al Aac Eal Lac F ac 200GPa 6m 3mg / 5 70GPa 3m 2mg / 5 Aal
Aal Aac Problema 07
Al aplicar la segunda condición de equilibrio, se tiene M A 0 N C
8, 57........................ Rta.
4,5m F 3m 3 F 4,525000 N ac
ac
F ac
37500 N .......... .......... .......( 2)
Para determinar las deflexiones, se grafica la barra ABC después de aplicada la carga P = 50kN.
Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente rígidas, están articuladas en A y en D y separadas en C mediante un rodillo, como se muestra en la figura. En B una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN . Determinar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C, así como el desplazamiento del punto B.
Del gráfico por triángulos semejantes, se tiene ac 3
C 4,5
C 1,5 ac .......... .......... ....( 3)
31
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
La deflexión del punto B, será B
B
B
ac
F Y 0 F AB FCD
F ac Lac
37500 (3)
200 .10 300 .10
6
FCD
1, 25m 20kN 0,5m FCD 8kN .......................(2)
1,87mm.......... .......... .......... .. Rta.
B
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
1,8.......... .......... ...... Rta.
F AB
La deflexión del punto C será C
C
20kN ...................(1)
M A 0
E ac Aac
9
2011
8k N 20k N F AB
1,51,87 mm
12k N .......... .......... .(3)
En la figura se muestra la relación entre las deformaciones
2,80mm.......... .......... ....... Rta.
Problema 08 El conjunto consta de tres barras de titanio y una barra rígida AC. El área de la sección transversal de cada barra se da en la figura. Si se aplica una fuerza vertical de P = 20 kN al anillo F, determine el desplazamiento vertical del punto F. Considere que E Ti = 350 GPa. Por semejanza de triángulos, se tiene E
CD
0, 75
AB
CD
1, 25
1, 67 E AB 0, 67 CD
FL FL 0, 67 EA AB EA CD
1, 67 E
12.103 2 350.109 60.106
0, 67 8.103 2 350.109 45.106
1, 67 E 1,14.103 m 6, 8.104 m
1, 08mm.......................(4) La deformación de la barra EF, está dado por E
Solución Datos e incógnitas
20.10 1,5 FL 9 6 EA EF 350 .10 75.10
EF P
20 kN ;.. E Ti 350GPa;.. F ??
3
EF 1,14mm.......... .......... ........( 5)
En la figura se muestra el DCL de la barra rígida AEC El desplazamiento del punto F, será F E EF 1,08mm 1,14mm F 2,22mm.......... ...... Rta.
Problema 09 La viga rígida horizontal ABCD está soportada por barras verticales BE y CF y está cargada por fuerzas verticales P 1 = 90 kip y P 2 = 80 kip que actúan en los puntos A y D, respectivamente, como se muestra en la figura. Las barras BE y CF son de acero (E = 29.10 6
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
32
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
psi) y tienen un áreas transversales de A BE =19,5 pul2 y ACF =16.8 pul2. Determinar los desplazamientos verticales de los puntos A y B.
Por semejanza de triángulos, se tiene BE
A 6 A
BE
Datos e incógnitas.
ACF
CF
A
12
FL FL 2 BE ´ CF 2 EA BE EA CF 2 80.103 12
110.103 9
A
A
2, 895.103 pie 1, 83.103 pie
A
1,12.103 pies.........................(4)
29.106 22,1
29,5.106 18,3
Calculemos ahora el desplazamiento del punto
Solución
P 100 kip,..Q
2011
6
90kip; E
18,3 pu lg; D
A
29,5ksi;.. A BE
??;.. A
22,1 pu lg
D
A
??
En la figura se muestra el DCL de la viga ABCD.
D
A
20 10 3
1,47.10 10
3
1,12.10
1,47.10
3
3
pie
1,12.10
3
pie
D
A
D
(1,12.10
D
2,29.10 3 pie.......... .......... . Rta.
3
3
4,9.10
3
3,73.10 3 ) pie
Problema 10 Cada uno de los conectores AB y CD es de acero (29.106 psi) y tienen una sección transversal uniforme de 0,25 pulg x 1 pulg. Halle la mayor carga que puede suspenderse de E si la deflexión del punto E no debe pasar de 0,01 pulg.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene F y 0
F BE F CF 190 kip.......... .......... (1) M B 0
F CF 6 p 100 kip6 p 90kip8 p F CF 110 kip.......... .......... ..(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), resulta F BE 110 ki p 190 kip F BE
80ki p.......... .......... ..(3)
En la figura se muestra el diagrama de los desplazamientos de cada una de las barra cuando se aplican las cargas externas
Solución Datos e incógnitas E 29ksi,.. A 0,25 pu lg;.. P max ??
En la figura se muestra el DCl de la barra rígida BCE.
33
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
2011
De las ecuaciones (6) y (7), resulta 15 B
C
10
E
C
Teniendo en cuenta que δ E =0,01
.......... .......( 8)
pulg, la ecuación (8),
se escribe Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene.
15 B
F Y 0
25 C
0,1 pu lg .......... ..(9)
Remplazando las ec. (4) y (5) en (9), resulta
FCD FAB P 0 P
FCD FAB P
1066 lbf....... .......... ....Rta.
M B 0
Problema 11.
FCD (10 pu lg) P(25 pu lg) 0 FCD 2,5 P ............(2)
La plataforma rígida de la figura tiene una masa despreciable y descansa sobre dos barras de aluminio, cada una de 250 mm de longitud. La barra central es de acero y tiene una longitud de 249,9 mm. Calcule el esfuerzo en la barra de acero una vez que la carga central P de 400 kN se haya aplicado. Cada barra de aluminio tiene un área de 120 mm 2 y un módulo de elasticidad de 70 GPa. La barra de acero tiene un área de 2400 mm2 y un módulo elástico de 200 GPa.
Remplazando la ec (2) en la ec.(1), resulta 2,5 P F AB F AB
P
1,5 P .......... .......... ..(3)
Asumiendo que las fuerzas en las barras AB y CD son de tensión, las deflexiones de los puntos B y C son: B
B
C
C
F AB 8 pu lg FL EA AB 29.106 lb / pu lg 1 x1 pu lg 2 4 6 1,1.10 F AB ..............(4) FCD 8 pu lg FL EA CD 29.106 lb / pu lg 1 x1 pu lg 2 4 1,1.106 F CD ...................(5)
Solución
Datos e incógnitas
En la figura se muestra el diagrama de las deformaciones
Lal
0,25m;.. Lac
Aal
120 mm ;.. E al
E ac
2
200 GPa;.. ac
0,2499 m;.. P
70GPa ;.. Aac
400 kN ;
2400 mm
2
?? .
En al figura se muestra el DCL de la placa rígida. Además se supone que P también deforma al acero.
Por semejanza de triángulos, se tiene B 10 x E 15 x
C
C
x x
x x
10 C B C 15 C B C
.........( 6)
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
.......... (7)
34
Física General II
Elasticidad
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2011
F y 0
2 Fal Fac P 2 Fal Fac 400.103 N 2 al Aal ac Aac 400.103 N ..............(1) Independientemente a la ecuación de equilibrio estático se determina la relación entre los esfuerzos a través de la relación entre las deformaciones, esto es
Aplicando las ecuaciones de equilibrio a la barra, se tiene M A 0
ac
al
F ac
0,25
70.10 al
9
ac
0,2499
200 .10
9
br
2 F ac 5 F br 6 P
. L . L E al E ac al
2m F 5m P 6m
2 ac Aac 5 br Abr 6 P .......... .....( 1)
0,1.10 3 m
En la figura se muestra la geometría de las deformaciones
0,34986 ac 28.10 6 .......... (2)
Sustituyendo la ec. (2) en (1), resulta 2 0, 35
ac
28.106 (1, 2.10 4 ) 2, 4.10
4
ac
400.10 3
Simplificando, resulta ac
163 ,7 MPa.......... ... Rta.
Por semejanza de triángulos, se tiene
Problema 12.
ca
Una barra rígida, de masa despreciable, está articulada en un extremo y suspendida de una varilla de acero y una de bronce, según se muestra en la figura. ¿Cuánto vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de 120 MPa ni uno en el bronce de 70 MPa?.
2 br
br
5 2,5 ac
br Lbr
E br
br
2,5
ac Lac E ac
1,56 ac .......... .......... ..(2)
La ec. (2), determina una relación que debe existir necesariamente entre esfuerzos, es evidente que si se llega a σ ac = 120 MPa, se sobrecarga el bronce por alcanzar según la ec. (2) un esfuerzo de 186,7 MPa. Por lo tanto es el esfuerzo en el bronce el que limita la carga y entonces el esfuerzo en el acero será 70 MPa
ac
1,56 ac
44,87 MPa.......... .......... ..(3)
Solución Remplazando el valor máximo del esfuerzo en el bronce y el valor del esfuerzo obtenido para el acero, en la ec.(1), se obtiene
Datos e incógnitas P max
??;.. ac
120 MPa;.. br
70 MPa.
En la figura se muestra el DCL de la barra AB
2 44,87.10 6 900 .10 6 5 70.10 6 300 .10 6 6 P P 30,96kN .......... .... Rta.
35
Física General II
Elasticidad
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Problema 13.
Las dos barras de aluminio AB y AC tienen diámetros de 10 mm y 8 mm, respectivamente. Determinar la fuerza P máxima vertical que puede ser soportada. El
AC
F AC ad
A AC
P 2
4 150 .10
6
P
=150 MPa.
2
d AC
4 P
8..10
esfuerzo admisible de tensión para el aluminio es σ ad
2011
2
3
7539 ,82 N .......... ......... Rta.
Problema 14. Una barra de cobre AB sometida a una carga de tensión P = 500 kN , cuelga de un perno sostenido por dos pilares de acero. La barra de cobre tiene una longitud de 10 m, área transversal de 8100 mm 2 y un módulo de elasticidad E C =103 GPa. Cada pilar de acero tiene una altura de 1 m, un área A= 7500 mm2 y E = 200 GPa. Determinar el desplazamiento δ del punto
Solución
A.
En la figura se muestra el DCl del nudo A
Solución
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene Datos e incógnitas
F y 0
P
F AB sen45º P F AB P 2......................(1)
F 0 F cos 45º F
500 kN ;.. LCu
E cu
E ac
103 Gpa;.. L ac
10m;.. Acu
1m;.. Aac
2
8100 mm ;
7500 mm
2
200 GPa.
x
AC
F AC F AC
En la figura se muestra el DCL de una porción de la barra AB
AB
1 P 2 2 P .........................(2)
Utilizando el esfuerzo admisible, se tiene F AB
AB
ad
A AB
P 2
4
150 .10
6
2
d AB
4 P 2
10.10
3 2
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se obtiene
Despejando el valor de P se tiene
F y 0
P 8330 .4 N .......... ....( 3)
F AB P 500 kN .......... .......... .....( 1)
Utilizando el esfuerzo admisible para la barra AC, se tiene
La deformación será
36
Física General II F AB L AB
Elasticidad
A / B
A / B
5,99mm .......... .......... .........( 2)
E AB A AB
(500 .10 3 )10
103 .10 9 8100 .10 6
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2011
100 mm2 desde B hasta C como se ve en la figura. En el punto C actúa una carga P 1 = 10 kN. Un brazo horizontal BD está articulado en B con la barra vertical y soporta una carga P 2 = 26 kN en el extremo D. Calcular la deflexión verti cal δ en el punto C. Considere que a = b y E = 200 GPa para el acero, además desprecie el peso de la barra.
En seguida se determina la deformación de cada una de las barra de acero. Para ello se traza el DCL del perno, en donde actúan las fuerzas: F1 ; F2 y la fuerza exterior P
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene F y 0
Solución
F 1 F 2 P
Datos e incógnitas
2 F 1 P F 1 250 kN .......... .......... (3)
Del diagrama de una porción de la barra de acero se obtiene la fuerza interna en el acero
L1
P 1
0,5m;. A1 10kN ;.. P 2
2
160 mm ;. L 2
26k N ;.. E
0,8m;. A2
200 GPa;.. C
100 mm
2
??
En la figura se muestra el DCL de la barra horizontal BDE.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
Las ecuaciones de equilibrio nos da
M O 0
F y 0
P a P 2 b
F 1 F ac 250 k .......... .......... .......... .( 4)
como
La deformación de las barras de acero con respecto al punto fijo D es 250 .10 3 1 FL E / D 9 6 EA ac 200 .10 7500 .10 E / D 0,167 mm .......... .......... .......... .(5)
a b, se tien
P P2 P 26kN .......... .........( 1)
En la figura se muestra el DCL de la barra compuesta ABC
El desplazamiento del punto A será A A / B E / D 5,99mm 0,167 mm A 6,16mm.......... ....... Rta.
Problema 15. Una barra vertical de acero ABC tiene una longitud L 1 = 0,5 m y un área de sección transversal A 1 = 160 mm2 desde A hasta B; una longitud L 2 = 0,8 m y un área A 2 =
37
Física General II
Elasticidad
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Trazando el DCL de una porción de barra BC se procede a determinar la fuerza interna en BC.
2011
= 120kN y P2 = 50kN. Determinar los esfuerzos en cada uno de los materiales si cada uno de los extremos está firmemente empotrado en muros rígidos e indeformables. Considere para el acero: L = 300mm; A = 600mm2; E = 200GPa, para el aluminio L = 400 mm; A = 1200 mm 2, E = 70 GPa y para el bronce: L = 600 mm; A = 2400 mm 2; E = 83 GPa.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene F y 0
F AC P 1 F AC 10kN .......... ......( 2)
Solución
En la figura se muestra una porción de la barra ABC para determinar la fuerza interna en AB
En la figura se muestra el DCL de la barra compuesta
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene F x 0 R A R B P 1 P 2 R A R B 120 kN 50kN R A R B 170 kN .......... .......... ....(1)
Para determinar la fuerza interna en la barra de acero, se traza el DCL de una porción de ella como se muestra en la figura y se aplica las ecuaciones de equilibrio
F y 0
F AB P P 1 F AB 10kN 26kN F AB 16kN ..( 3)
Calculo de la deflexión total del punto C C AB BC F x 0
FL FL EA AB EA BC 16.10 3 0,5
9
200 .10 160 .10
25.10 C 1,5.10
4
4
6
m 4.10
F ac R B ...tensión.......... .......... .........( 2) 10.10 0,8 3
m 4
9
200 .10 100 .10
6
Para determinar la fuerza interna en el bronce se traza el DCL tal como se muestra en la figura y se aplica las ecuaciones de equilibrio
m
m.......... .......... ......... Rta.
Problema 16 Una varilla está formada de tres partes distintas, como se muestra en la figura, y soporta las fuerzas axiales P 1
38
Física General II
Elasticidad
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2011
Solución
F x 0
F br R A .....Compresiónn.......... .......... .(3)
En la figura se muestra el DCL de la cuña.
Para determinar la fuerza interna en el aluminio se traza el DCL tal como se muestra en la figura y se aplica las ecuaciones de equilibrio
F x 0 RA Fal P 1
Aplicando las ecuaciones de equilibrio
Fal P RA ............tensión........(4)
F x 0
Por condición del ejercicio, como los muros no ceden la deformación total es nula, entonces FL FL FL 0 EA EA br al EA ac R A 0, 6 120 RA o, 4 83 2400
70 1200
F AB
F AB
0,3 0....(5) 200 600 RB
F br
R A
96,99kN .... compresión
F ac
R B
73,01kN ...tensión
F BC 5529 lb
ac
al
br
Aac F al Abr F br Abr
600 .10
F AB 3000 5529 cos 70º F AB 4891 lb
23,01.10 1200 .10
96,99.10 2400 .10
121,7 MPa
3
6
19,17 MPa
3
6
(3)
El esfuerzo normal medio está dado por
3
6
(2)
Remplazando la ec (2) en (1), se tiene
Finalmente los esfuerzos serán 73,01.10
(1)
F BC sen70º 6000 sen60º
23,01kN .......... .tensión
F ac
F BC cos 70º 3000
F y 0
Resolviendo simultáneamente las ec. (1), (2), (3), (4) y (5), resulta
F al
F BC cos 70º 6000 cos 60º
AB
AB
BC
AB
F AB A AB
4891lb
2 pu lg(1,5 pu lg)
1630 lb / pu lg F BC A BC
2
Rta.
5529 lb
4,5 pu lg(1,5 pu lg)
819 lb / pu lg 2
Rta.
Problema 18.
40,4 MPa
La estructura de dos miembros está sometida a la carga mostrada. Determine el esfuerzo normal medio y el esfuerzo cortante medio que actúa en las secciones a-a y b-b. El elemento estructural CB tiene una sección transversal cuadrada de 2 pulg por lado.
Problema 17. La junta está sometida a la fuerza axial de miembro de 6 kip. Determine el esfuerzo normal medio que actúa sobre las secciones AB y BC. Suponga que el miembro es liso y que tiene 1,5 pulg de espesor.
39
Física General II
Elasticidad
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Solución
2011
Los esfuerzos normal y cortante medios serán
En la figura se muestra el DCL de la viga AB.
b b b
b
b
b
b
b
F n An
8 pu lg 2
8,48lb / pu lg 2
F t At
67,84lb
Rta.
117 ,50lb
4 pu lg(2 pu lg)
14,68lb / pu lg 2
Rta.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
Problema 19. M A 0 F BC sen60º (8m) 80lb(8m) 300 lb. pie F BC 135 ,68lb (1)
La barra BC está hecha de acero cuyo esfuerzo admisible de tensión es σ adm =155 MPa. Determine su diámetro más pequeño para que pueda soportar la carga mostrada. Suponga que la viga está conectada por un pasador en A.
El esfuerzo normal medio en la sección a-a BC
F BC A BC
135 ,68lb 2 pu lg(2 pu lg)
AB 33,92lb / pu lg 2
Rta.
Se determina el normal y cortante medios en la sección b-b, para esto se determina las fuerzas internas
Solución. En primer lugar se procede a determinar la resultante de las fuerzas distribuidas que actúan sobre la viga. F 1 F 2
Del diagrama se tiene
1
2 1 2
3m15000 N / m
1,5m15000 N / m
22500 N
11250 N
Se traza el DCL de la viga rígida AB
F t F BC cos 30º 135 ,68 cos 60º F t 117 ,50lb F n F BC sen30º 135 ,68 sen30º F n 67,84lb
Se procede a determinar el área de acción de F t y Fn Aplicando las ecuaciones de equilibrio se determina la fuerza en A. M 0 A
F 2 (1m) F 1
2,5m F 4,5m
11250 N (1m) 22500 N (2,5m) (4,5m) F F 15000 N
An At ( x)(2 pu lg) (4 pu lg)( 3 pu lg)
40
Física General II
Elasticidad
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Se procede a determinar el diámetro “d”. d d
F
A
F
d 2 / 4 4(15000 N )
4 F
F R
basealtura
2 3w
1
2
6mw (4)
Remplazando la ec. (4) en (2) (3), resulta
(155 .10 6 N / m 2
11.10 mm
1
F R
2011
Rta.
Problema 20.
F CD
FAB
2 3 1 3
3w F
CD
3w F
AB
2w
(5) (6)
w
Sustituyendo el valor del esfuerzo dado en el enunciado del problema, el varilla CD, resulta
La viga rígida AC está soportada por las barras AB y CD cuyos diámetros son de 10 mm y 15 mm, respectivamente. Determine la intensidad w de la carga distribuida de manera que el esfuerzo normal medio en cada barra no exceda de 150 MPa.
CD ACD F CD 6
2
2 d 2w 4
150 .10 N / m
2 3 15.10 m 2w 4 w 13253 ,6 N / m (7)
150 MN / m 2
Sustituyendo el valor del esfuerzo dado en el enunciado del problema, el varilla AB, resulta AB A AB
Solución.
150 .10 6 N / m 2
En la figura se muestra el DCL de la viga AC rígida de masa despreciable.
4
d
2
F AB
w
2 10.10 3 m w 4 w 11780 ,9 N / m
150 MN / m 2
(7)
De las ecuaciones (7) y (8) se concluye que la intensidad w menor que se puede aplicar sin sobrepasar el valor del esfuerzo admisible es w = 11780,9 lb.
Problema 21.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
Una estructura simple se usa para sostener una carga de 65 kN, tal como se muestra en la figura. Determine: (a) el diámetro mínimo del tirante AB si el esfuerzo normal en la varilla se limita a 100 MPa. (b) Los diámetros mínimos para los pasadores A y B si el esfuerzo cortante en los seguros se limita a 70 MPa. (c) El diámetro mínimo para el seguro C si el esfuerzo cortante en el seguro se limita a 85 MPa.
F y 0
F AB F CD F R
(1)
MA 0
F CD (6m) F R 4m F CD
2 F R 3
(2)
Remplazando la ecuación (2) en (1), se tiene F AB
F AB
2 3
F R
F R
3
F R
(3)
La fuerza resultante de las fuerzas distribuidas es igual al área
41
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
2011
Se procede a determinar el diámetro del tirante AB. Como éste está sometido a esfuerzo normal se tiene.
Solución En la figura se muestra el DCL de la estructura BCD
d
F AB
A AB
4 F AB
d
d
2
4181250
4 F AB
100.10 6
48mm
(Rta)
El diámetro mínimo del segura en A y B se determina utilizando la definición de esfuerzo cortante y observando que ambos pasadores actúan a cortante simple.
F t
At
4 F t
d
2
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene F 0 C F
d
4 F t
sen 65 cos
d
AB
C x
3 5
F AB
5 65 13
(1)
C x F AB cos 65 sen
4 12 C x F AB 65 5 13
d
5 12 4m 65 3m 65 6m
13
RC
At
4 RC
d
2
4(221450)
58mm
85.10 6
(Rta)
Problema 22. (3)
Una barra rígida AD está sostenida por dos varillas, como se muestra en la Fig. No hay deformación unitaria en las barras verticales antes de aplicar la carga P. Después de aplicar la carga P, la deformación unitaria axial en la varilla BF es de 400 μm/m. Determine: (a) la deformación unitaria axial en la varilla CE; (b) la deformación unitaria axial en la varilla CE si hay un espacio libre de 0,25 mm en la conexión del seguro C antes de aplicar la carga.
Remplazando las ec. (3) en (1) y (2) 3 181,25k N 25k N 5 83.75k N (4) 4 181,25kN 60kN 5
C y
C x 205kN
(5)
La reacción en la articulación C será
RC
(Rta)
13
3 4 75kN 360kN 5 F AB 181.25kN
RC
57mm
4 RC
d
F AB
C x
(2)
M C 0 F AB sen
6
El diámetro mínimo del seguro C se determina utilizando la definición de esfuerzo cortante y observando que el pasador también está sometido a cortante simple.
F y 0
C x
79.10
x
x
4(181250)
C x2
83.75 2
221.45kN
C y2
205 2 (6)
42
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
La deformación unitaria en la varilla CE será
Solución Datos e incógnitas. εBF = 400.10 -6m/m; εCE
En primer lugar se determina el desplazamiento del punto B.
B
L BF
B
B
LBF
400.10
400.10
6
2011
6
CE
CE
6
m
3
m
950.10
600.10
LCE
1,58.10
3
m/m
(Rta)
Problema 23.
m / m(1m)
m
C
Una barra rígida ABC está sostenida por dos eslabones como se muestra en la figura. El eslabón BD está hecho de una aleación de aluminio (E = 73 GPa) y tiene un área transversal de 1250 mm 2. El eslabón CE está hecho de acero estructural (E =200 GPa) y tiene una sección transversal de 750 mm 2: determine el esfuerzo normal en cada uno de los eslabones y la deflexión del punto A cuando se aplica la carga P de 50 kN:
(1)
En la figura se muestra el diagrama de desplazamientos de la estructura
Utilizando triángulos semejantes se tiene C
B
240 mm 80 mm 6 C 3 B 3400 .10 m C 1200.10
6
m
Solución
La deformación unitaria en la varilla CE será C
CE
CE
1200.10
600.10
LCE
2.10
3
6
3
Datos e incógnitas
m
Eal = 73 GPa; Aal =1250 mm2; E ac= 200GPa; Aac =750 mm2; P = 50kN, σac = ¿????; σ al = ¿????; En la figura se muestra el DCL de la barra ABC
m
m/m
(Rta)
Determinación de la deformación unitaria cuando existe un espacio libre de 0,25 mm en C. Para esto se traza el diagrama de desplazamientos como se muestra en la figura.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene F y 0
F al F ac 50kN
Utilizando triángulos semejantes se tiene C
0,25.10
3
240mm C C
3 B
0,95.10
3
F al
3
3400.10
6
m
0,3 50 KN 0,9 F al 150kN
80mm
0,25.10
M C 0
B
(1)
0,25.10
3
m
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
m
43
(2)
Física General II
Elasticidad
150kN F ac
Optaciano L. Vásquez García
50kN
A
0,6 x
F ac
F ac
100kN
100kN (compresión)
F ac Lac
Aac E ac ac
A
100.10 3 (0,4) 6
Aal E al
1250.10
9.86.10
ac
4
6
m
4
0, 236
3,49mm
Rta
Una barra rígida CD está sometida a carga y sostenida como se muestra en la figura. Las barras A y B están libres de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barra A es de acero inoxidable (E = 190 GPa) y tiene un área transversal de 750 mm 2. La barra B está hecha de una aleación de aluminio (E = 73GPa) y tiene un área transversal de 1250 mm 2. Después de aplicar la carga P, se encuentra que la deformación unitaria en la barra B
150.103 (0,6)
Problema 24.
750.10 (200.10 )
F al Lal
9.86.10
9
La deformación de la varilla de aluminio (BD) será al
x
0,6 0,236
2,667.10 4 m
al
A
(3)
La deformación de la varilla de acero (CE) será ac
2011
(73.109 )
es de 1200 μm/m. Determine: (a) Los esfuerzos en las
barras A y B; (b) El desplazamiento vertical (deflexión) del seguro D y (c) la carga P.
Los esfuerzos en ambos elementos serán:
al
3
F al
150.10 N
Aal
1250 mm
al
ac
2
120 MPa
Rta
3
F ac
100.10 N
Aac
750mm
al
2
133 MPa
Rta
Para determinar la deflexión del punto A, se traza la geometría de las deformaciones la misma que se representa en la Fig.
Solución En primer lugar se procede a determinar la deflexión de B
B L B
B
B
De la semejanza de triángulos se tiene x al
0,3
B LB
600.10
ac
0,3
9,86.10
4
x
2.667.10
6
1200.10 6 (0,5m)
m
(1)
En la figura se muestra el diagrama de las deformaciones a partir del cual se procede a determinar la deflexión de A.
x
x
4
x 0,236m
Por otro lado se tiene Mediante triángulos semejantes
44
Física General II E
B
0,5m E
Elasticidad
0,2m 1500.10
6
E
5
2
(600.10
6
A
E A
A
E
1500 .10
1200.10
A
6
B E B
2 B A B 4 A A A 6 P
6
L B
B A
A
600.10
6
P
73.10
m
9
N / m
2
1200.10
6
Rta.
9
m 190.10 N / m
2
1m
228 MPa
(Tensión)
Rta.
Parte (b). Cálculo del desplazamiento del seguro en D los esfuerzos. Del diagrama de deformaciones se obtiene
0,6m D
Rta.
Una pila de concreto de sección cuadrada tiene 6 m de altura como se muestra en la figura. Los lados convergen desde un ancho de 1.0 m en la base hasta 0,5 m en la parte superior. Determine el acortamiento del pilar bajo una carga de compresión P = 1400 kN (desprecie el peso propio de la pila). Suponga que el módulo de elasticidad del concreto es 24 GPa.
(3)
87,6 Pa (Tensión)
150,5kN
Problema 25.
4 m 5
L A
D
0,5m
A E A
2(87,6.10 6 )(1250.10 6 ) 4( 228.10 6 )(750.10 6 ) 6 P
cos
m
A
4 2 F B 5 F A 6 P 5
Parte (a). Cálculo de los esfuerzos B
0,2m F sen 0,5m P 0,6m
(2)
De la geometría de la deformación de la barra A, se tiene Cos
2011
M C 0
m)
F B
m
Optaciano L. Vásquez García
B
D
6
m
0,2m 1800.10
3(600.10
6
Solución
m)
Para resolver el problema se divide a la estructura en elementos diferenciales a una distancia z y de espesor dz , tal como se muestra en la figura.
Rta.
Parte (c). Cálculo de la fuerza P En la figura se muestra el DCL de la Barra CED
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
45
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
2011
La deformación unitaria del elemento diferencial será
d
dz
La deformación de la pila será
6
E 0
P E
dz
0
EA Z
F y 0 FB 120.10 lb 0 3
dz
F B 120.103 lb
dz
6
0
P
6
(1)
0,5 2 x2
Fuerza interna en el tubo de acero
Mediante triángulos semejantes se tiene 6
z
x
0,25
x
0,04167 z
(2)
Remplazando la ec. (2) en (1) se tiene 3
1400.10 N 9
24.10 N / m
2
3
1400.10 N 9
24.10 N / m
2
dz
6
0,5 20,04167 z 6
F y 0 FA 85.10 lb 120.10 lb 0 3
2
0
F A 205.103 lb
dz
0,5 0,08 z 0
3
2
Cambio de longitud del tubo A
Parte (a)
Integrando la ecuación anterior, se obtiene
0,714mm
A
Rta.
F A L0, A E A AA
Problema 26 A
El miembro a tensión de la figura consta de un tubo A de acero estructural ( E ac = 29.106 lb/pulg 2), que tiene un diámetro exterior de 6 pulg y un diámetro interior de 4,5 pulg ; y de una barra sólida B de aleación de aluminio ( E al = 10,6.106 lb/pulg 2) que tiene un diámetro de 4 pulg . Determine: (a) El cambio de longitud del tubo de acero, (b) La deflexión total del miembro, (c) Los esfuerzos normal y cortante máximos en el tubo de acero
FA L0, A
E A
2 2 ( de d i ) 4
4(205.103 )(50)lb. pul
29.106
lb
(6 2 4,52 ) pu lg 2 pu lg 2
A 28, 57.103 pu lg
Cambio en la longitud de B
B
F B L0, B E B AB
FB L0, B
2 d B 4
E B 3
B
4(120.10 )(40)lb. pul
(10, 6.10 B
6
lb pu lg
2
)(4 pul )
2
36, 04.10 3 pu lg
Parte (b) Deflexión total
T 8,57.103 pu lg 36, 04.103 pu lg
Solución Fuerza interna en la barra sólida B
T 64,1.103 pul
46
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
Parte (c). Esfuerzos cortante máximo: En la figura se muestra la fuerza en la sección inclinada y el área correspondiente. Para que los esfuerzo cortante sea
2011
Solución
En la figura se muestra el DCL de la barra rígida AB en una posición inclinada
máximo el ángulo θ = 45°
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene Ft
FA cos 45
sen45
A0
205.10
A
A
3
A0 sen45
lb(
2 2
4
M 0 0 ) 144, 96 klb
P (0, 3cos ) F D (0, 05cos ) F C (0,1cos )
0,3 P 0, 05F D 0,1F C
( 2)(62 4,52 ) pu lg 2 )
A 17, 49 pu lg
0, 3 P 0, 05 D AD 0,1 C AC
2
0,3 P 0, 05(2500.106 ) D 0,1(625.10 6 ) C
Esfuerzo cortante máximo max
F t A
0,3(106 ) P 125 D 62, 5 C
144,96 klb 17, 49 pu lg
2
8286
lb
D
0.09.10
3
F A A0
205klb
4
(62
4, 52 ) pu lg 2
16570
50mm
lb pu lg
C
EC 2
0,3 C 9
73.10 C
Problema 27 La barra C mostrada en la figura es una varilla de aleación de aluminio ( E al = 73 GPa ) tiene un área de sección transversal de 625 mm2. El miembro D es un poste de madera ( E m = 12 GPa ) y tiene una sección transversal de 2500 mm2. Si los esfuerzos normales admisibles son 100 MPa para el aluminio y 30 MPa para la madera. Determine el valor máximo admisible de la carga P.
100mm
C L0,C
(1)
Principio de compatibilidad
pu lg 2
El esfuerzo normal es máximo cuando el ángulo es 0°. Entonces su valor será max
0
2( 2(
D L0, D E D
2( D 0.09.10 3 )
12.10
43,8.106
3
) 0,18.10
9
) 0,18.10
0,15 D
6, 08 D
C
3
(2)
Si el esfuerzo en la madera es D entonces se tiene C 6,08(30.106 ) 43,8.106
30MPa ,
C 226MPa
La ecuación anterior indica que se sobrecarga el aluminio, entonces es el esfuerzo en el aluminio el que debe usarse. Entonces tenemos C
100.106
6, 08 D
D
6, 08 D
43, 8.106
43, 8.106
9,24MPa
Remplazando este valor en la ecuación (1) resulta
0, 3(106 ) P max 125(9, 24.106 ) 62, 5(100.106 ) P max = 24683 N
47
Rta.
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
2011
5. La sección transversal del punzón y la matriz de la figura es un círculo de una pulgada de diámetro. Una fuerza P = 6 kips se aplica al punzón. Si el espesor de la placa es t = 1/8 pulg. Determine el esfuerzo cortante promedio en la placa a lo largo de la trayectoria del punzón.
PROBLEMAS SOBRE ESFUERZO. 1. Dos barras Cilíndricas AB y BC Están soldadas por una placa rígida en B y sometida a las cargas indicadas. Sabiendo que la fuerza P = 28,2 kip. Determine los esfuerzos normales promedios en: (a) AB y (b) en BC
6. En la figura se muestra el croquis de un punzón y matriz para hacer arandelas. Determine la fuerza P necesaria para troquelarlas en términos del espesor t de la placa, la resistencia promedio de ésta al
2. La lámpara de 6 kg que aparece en la figura cuelga de un techo por medio de alambres de 0,75 mm de diámetro. Determine el esfuerzo de tensión en los alambres AB y BC
esfuerzo cortante τ y los diámetros internos y
externo de las arandelas d 1 y d2.
3. El dispositivo mostrado en la figura sirve para determinar la resistencia de la madera al esfuerzo cortante. Las dimensiones del bloque de madera son 6 pulg x 8pulg x 1.5pulg . Si la fuerza requerida para partirla es de 12 kip, determine la resistencia promedio de la madera al esfuerzo cortante.
7. La estructura mostrada en la figura soporta una carga P = kN. Determine: (a) el esfuerzo normal en el elemento BD si este tiene una sección transversal de área ABD = 8.103 mm2. (b) El esfuerzo cortante en el perno en A si este tiene un diámetro de 25 mm y actúa a cortante doble.
4. Dos tubos de hierro de fundición se unen con adhesivo en una longitud de 200 mm como se muestra en la figura. Los diámetro externos de cada uno de los tubos son de 50 mm y 70 mm, respectivamente y el espesor de su pared es de 10 mm. Si se separan al transmitir una fuerza de 100 KN . ¿Cuál fue el esfuerzo cortante promedio en el adhesivo justo antes de la separación
8. La fuerza axial P = 12.10 3 lb actúa sobre un miembro rectangular, como se muestra en la figura. Determine los esfuerzos normal y cortante promedio sobre el plano inclinado AA.
9. La pieza de madera está sometida a una fuerza de tensión de 85 lb. Determine los esfuerzos normales
48
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
2011
13. Un conjunto de puntal y cable ABC sostiene una carga vertical P = 15 kN. El cable tiene una sección transversal efectiva de 120 mm 2 y el puntal un área de 250 mm2: determine los esfuerzos normales en el cable y en el puntal e indicar si son de tensión o de compresión.
y cortantes medios desarrollados en las fibras de la madera orientadas a lo largo de la sección a-a a 15° con el eje de la pieza. Rta: σ = 1,90 psi; τ = 7,08 psi.
10. En la figura se muestra un modelo simplificado del brazo de un joven al levantar un peso. El área de la sección transversal del bíceps se estima en 2 pulg 2. Determine el esfuerzo normal promedio en el músculo y la fuerza cortante promedio en la articulación del codo A.
14. Cada uno de los cuatro eslabones verticales tienen una sección transversal rectangular de 8 por 36 mm y cada uno de los cuatro pines tienen 16 mm de diámetro. Determine los valores máximos de los esfuerzos normales medios en cada eslabón conector en: (a) en los puntos B y D y (b) y en los puntos C y E. Rta: σ BD = 101,6 MPa; σ CE = -21,7 MP a
11. Calcule el esfuerzo de compresión en la biela mostrada en la figura cuando se aplica una fuerza P = 10 lb al pedestal de freno. Suponga que la línea de acción de la fuerza P es paralela a la biela, cuyo diámetro es d = 0,22 pulgadas y las otras dimensiones ilustradas se miden perpendicularmente a la línea de acción de P. Rta: σ = 1446,9 lb/pulg 2.
15. Sabiendo que la porción central del eslabón BD tiene una sección uniforme de 800mm 2. determine la magnitud de la carga P para la cual el esfuerzo normal en esa porción BD sea de 50 MPa. R ta: P = 62,745 N
12. Todos los pernos mostrados en la figura trabajan en cortante simple y tienen un diámetro de 40 mm. La sección transversal de todos los miembros es cuadrada. Determine el esfuerzo cortante máximo en el perno A y los esfuerzos axiales en el miembro BD.
49
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
16. En la figura se ve un punzón para perforar placas de acero, Si se usa un punzón con diámetro de 0,75 pulg para perforar un agujero en una placa de ¼ pulg, Si se requiere una fuerza de P = 28000 lb. ¿Cuál es el esfuerzo cortante medio en la placa y el esfuerzo normal medio en el Punzón.
2011
¿Cuál es el valor admisible de la carga P que actúa sobre la unión B
20. La pieza mostrada en la figura está hecha de acero con un peso específico de 7500 kg/m3. Determine el esfuerzo de compresión medio que actúa en los puntos A y B.
17. El elemento de madera inclinado AB de una armadura está ensamblada en una cuerda inferior de 4 x 6 pulg , como se muestra en la figura. Determine la fuerza de compresión axial en el miembro AB cuando el esfuerzo cortante promedio paralelo al grano en el extremo de la cuerda inferior es de 225 lb/pulg 2. Rta: P = 4,88 klb
21. Un empalme en madera se fabrica con adhesivo como se muestra en la figura. La longitud de la región pegada es L = 4 pulg y el espesor de la madera es de 3/8 pulg . Determine el esfuerzo de corte promedio en el adhesivo.
18. Las dos barras de aluminio soportan la fuerza vertical de P = 20 kN . Determine sus diámetros requeridos si el esfuerzo permisible de tensión para el aluminio es de σ = 150 MPa . Rta: d AB = 15,5 mm y d AC = 13 mm
22. Un empalme en madera se fabrica con adhesivo como se muestra en la figura. La unión transmite una fuerza P = 20 kips y tiene las siguientes dimensiones L = 3 pulg , a = 8 pulg y h = 2 pulg. Determine el máximo esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante en el adhesivo.
19. Una viga horizontal AB con sección transversal rectangular y longitud de 2,4 m está sostenida mediante un puntal inclinado CD como se muestra en la figura. El puntal, que se compone de dos barras planas está unido a la viga en el punto C por un perno de diámetro d = 16 mm . Si el esfuerzo tangencial admisible es el perno es de 90 MPa.
23. Dos tiras de un material plástico están unidas, como se muestra en la figura. El esfuerzo cortante
50
Física General II
Elasticidad
Optaciano L. Vásquez García
medio en el adhesivo debe limitarse a 950 kPa. Halle la longitud L de la placa de empalme necesaria si la carga axial soportada por la junta es de 50 kN
2011
una masa de 75 kg y un radio de 100 mm. Determine: (a) El esfuerzo axial medio en el cable de acero CD de 3 mm de diámetro; (b) El diámetro mínimo requerido para el seguro A si el esfuerzo cortante en el seguro debe limitarse a 10 MPa. El seguro A está a cortante doble. Rta: (a) σ CD = 54,24 MPa, (b) d = 6,37 mm
24. Los elementos de madera están unidos por placas de madera contrachapada pegadas a las superficies en contacto. Si la separación entre extremos es de 6 mm y el cortante último de la junta pegada es de 2,5 MPa. Determine la longitud L para la cual el factor de seguridad es 2,75 con la carga mostrada.
28. La viga está soportada por un pasador A y un eslabón BC. Determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador B que tiene un diámetro de 20 mm y está sometido a cortante doble.
25. La flecha compuesta consiste en un tubo AB y en una barra sólida BC. El tubo tiene un diámetro interno de 20 mm y un diámetro externo de 28 mm. La barra tiene un diámetro de 12 mm. Determine el esfuerzo normal medio en los puntos D y E
29. La barra que se muestra en la figura tiene una sección transversal rectangular de 200 x 100 mm . Determine: (a) los esfuerzos normal y cortante en el plano a-a; (b) los esfuerzos normal y cortante máximos en la barra. Rta: (a) σ = 18,75 MPa; τ = 10,83 MPa
26. Se utiliza un acople para conectar una varilla de plástico de 2 pulgadas de diámetro con una varilla de 1,5 pulgadas, como se muestra en la figura. Si el esfuerzo cortante promedio en el adhesivo debe limitarse a 500 lb/pulg 2. Determine la longitud mínima L1 y L2 requeridas para la junta si la carga aplicada es P = 8000 lb.
. 30. El marco soporta la carga mostrada. El perno en A tiene un diámetro de 0,25 pulg y está sometido a cortante doble. Determine el esfuerzo cortante promedio en el perno.
27. Un cilindro está sostenido por una barra y un cable, tal como se muestra en la figura. El cilindro tiene
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31. Determine la intensidad w máxima de la carga distribuida que puede ser soportada por la viga atirantada de manera que no se exceda un esfuerzo cortante admisible de 100 MPa en los pernos de 12 mm de diámetro en A y B, ni se exceda tampoco un esfuerzo normal admisible de 150 Mpa en el tirante AB de 15 mm de diámetro.
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34. El soporte cilíndrico de aluminio de 200 mm de diámetro soporta una carga compresiva de 300 kN . Determine los esfuerzos normales y cortantes medios actuando sobre la sección a-a.
35. Las tres barras de acero son utilizadas para soportar la carga P. Si los alambre soportan un esfuerzo admisible σ adm = 165 MPa. Si el alambres AB; BC y BD tienen diámetros de 6 mm, 5 mm y 7 mm, respectivamente. Determine la fuerza más grande posible P que se debe aplicar para que ninguno de los alambres fallen.
32. La estructura se encuentra sometido a la fuerza de 7 kN . Determine los diámetros requeridos para los pernos en A y B si los esfuerzos de corte admisibles en el material es de adm = 40 MPa. El perno en A se encuentra sometido a cortante doble mientras que el perno en B se encuentra sometido a cortante simple.
36. El cable BD tiene una resistencia a la rotura de 25 kips y el factor de seguridad con respecto a la falla requerido en el cable es 3,2. Determine la fuerza más grande P que se puede aplicar con seguridad al elemento ABC.
33. Determine el esfuerzo normal medio en la sección a-a y el el esfuerzo cortante medio en la sección b-b del elemento AB de peso despreciable. La sección transversal del elemento es cuadrada de 0,5 pulg por lado.
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PROBLEMAS SOBRE DEFORMACIONES. 37. la viga rígida es soportada por un pasador en A y dos alambres BD y CE. Si la carga aplicada sobre la viga produce un desplazamiento de 10 mm del extremo C hacia abajo. Determine la deformación unitaria normal en cada uno de los alambres. Rta: εBD = 0,00107mm/mm; ε CE = 0,00250mm/mm
40. La viga rígida es soportada por un pasador en A y los alambres BD y CE. (a) Si la aplicación de la carga P produce un desplazamiento de 10 mm hacia abajo, determine la deformación normal en los alambres CD y DE. (b) si la máxima deformación normal en cada alambre es 0,02. Determine el máximo desplazamiento vertical de la carga P. R ta: 11,2 mm
38. Como resultado de la aplicación de la fuerza P, en el punto B de la figura se observó un movimiento de 0,06 pulg hacia arriba. Si la longitud de la barra A es de 24 pulg . Determine la deformación normal media en ella 41. la viga rígida es soportada por un pasador en a y dos alambres BD y CE. Si la carga distribuida sobre la viga ocasiona un desplazamiento vertical de 10 mm del extremo C. Determine la deformación unitaria normal en cada uno de los alambres. Rta: εBD = 0,00276mm/mm; εCE = 0,0050mm/mm 39. La barra rígida CD de la figura es horizontal cuando no está sometida a carga, mientras que las barras A y B no están sujetas a deformación. Cuando se aplica la carga P, se encuentra que la deformación unitaria axial en la barra B es de 0,0015 pulg/pulg . Determine: (a) La deformación unitaria axial en la barra A y (b) La deformación unitaria axial en la barra A si hay un espacio libre de 0,005 pulg en la conexión entre las barras A y B. Rta: (a) 938 μpulg/pulg; (b) 313 μpulg/pulg
42. Como resultado de la aplicación de la fuerza P, en el punto B de la figura se observó un movimiento
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de 0,06 pulg hacia arriba. Si la longitud de la barra A es de 24 pulg . Determine la deformación normal media en ella.
47. Debido a la aplicación de la fuerza P, en el punto B de la figura se observó un movimiento a la izquierda de 0,75 mm. Si las longitudes de las barras A y F es de 1,2 m. Determine la deformación unitaria normal media en dichas barras.
43. Como resultado de la aplicación de la fuerza P, en el punto B de la figura se observó un movimiento de 0,06 pulg hacia arriba. Si las longitudes de las barras A y F es de 24 pulg . Determine la deformación normal media en cada una de las barras
48. El rodillo en P puede deslizarse en la ranura sólo en la cantidad indicada. Determine la deformación en la barra AP, mediante: (a) mediante el cálculo de la longitud deformada de AP sin aproximaciones de pequeña deformación, (b) usando aproximaciones de pequeñas deformaciones.
44. Repita el problema anterior para las barras mostradas en la figura.
49. Repita el problema anterior para la barra mostrada en la figura
45. Debido a la aplicación de la fuerza P en la posición B de la figura se observó u movimiento hacia la izquierda de 0,75 mm. Si la longitud de la barra A es 1,2 m. Determine la deformación normal media en ella.
50. El rodillo en P se desliza en la ranura como se indica en cada caso. Determine el cambio dimensional en las barras AP y BP por aproximaciones de pequeña deformación.
46. Debido a la aplicación de la fuerza P, en el punto B de la figura se observó un movimiento a la izquierda de 0,75 mm. Si las longitud de la barra A es de 1,2 m. Determine la deformación unitaria normal media en dichas barras.
51. El rodillo en P se desliza en la ranura como se indica en la figura. Determine el cambio
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dimensional en la barras AP y BP por aproximaciones de pequeña deformación.
55. Los dos alambres están conectados en A. Si la fuerza P ocasiona que el punto A se desplace horizontalmente 2 mm, determine la deformación unitaria normal desarrollada en cada alambre.
52. Parte de la varilla de mando de un avión consta de un miembro rígido CBD y de un cable flexible AB. Si se aplica una fuerza al extremo D del miembro y ocasiona una deformación unitaria normal en el cable de 0,0035 mm/mm, determine el desplazamiento del punto D. En la posición original el cable no está estirado.
Rta: 0,00578 mm/mm
Rta: 4,38 mm
56. Si una carga aplicada a la barra AC ocasiona que el punto A se desplace hacia la izquierda una cantidad L, determine la deformación unitaria normal en el alambre AB. Inicialmente, = 45°. Rta: 0,5ΔL/L
53. Cuando se aplica la fuerza P al extremo del brazo de palanca rígido ABC como se muestra en la figura, el brazo rota en sentido antihorario alrededor del pasador en A un ángulo de 0,05°. Determine la deformación unitaria normal desarrollada en el alambre BD.
57. La pieza de plástico es originalmente rectangular. Determine el esfuerzo normal medio a lo largo de las diagonales AC y DB.
54. La fuerza aplicada al extremo C del brazo de palanca rígido ocasiona que el brazo gire alrededor de A un ángulo de 3° en sentido horario. Determine la deformación unitaria promedio en el alambre. Originalmente el alambre se encuentra sin deformar. 58. Antes de aplicar la carga P en el sistema de la figura, el espacio entre la placa rígida y la barra B
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61. La placa rectangular está sometida a las deformaciones mostradas por las líneas punteadas. Determine: (a) las deformaciones unitarias medias a lo largo de la diagonal AC y del lado AB, y (b) la deformación unitaria cortante media γ xy.
es de 0,18 mm. Una vez aplicada la carga P, la deformación axial en la barra B es de -2500 m/m. Determine la deformación axial en la barra A
59. La carga P produce una deformación unitaria axial en el poste de latón B de la figura de 0,0014 pulg/pulg . Determine: (a) La deformación unitaria axial en la varilla A de aleación de aluminio. (b) La deformación unitaria axial en la varilla A de aleación de aluminio si hay un espacio libre de 0,005 pulg en la conexión entre A y C, además del espacio libre de 0,009 pulg entre B y C.
62. La carga P produce una deformación unitaria axial en el poste de acero D de la figura de 0,0075 m/m. Determine: (a) La deformación unitaria axial en la varilla de aluminio C. (b) La deformación unitaria axial en la varilla C de aleación de aluminio si existe un espacio libre de 0,10 mm en la conexión en E, además del espacio libre de 0,09 mm en la conexión en E, además del espacio libre de 0,09 mm entre B y D antes de aplicar la carga P.
Rta: (a) 1000 μpulg/pulg; (b) 900 μpulg/pulg
Rta: (a) 8100 μm/m; (b) 900 μm/m
60. El cuadrado se deforma hasta adoptar de forma descrita por las líneas punteadas. Determine (a) el esfuerzo normal medio a lo largo de las diagonales AC y DB y (b) las deformaciones angulares en A,
63. La unidad de aislamiento vibratorio consta de dos bloques de caucho endurecido adheridos a una placa AB y a soportes rígidos como se muestra en la figura. Sabiendo que para el caucho utilizado τ adm = 220 psi y G = 1800 psi . Y que la fuerza P = 3,2 kips puede causar una deflexión vertical de 0,1 pulg a la placa AB. Determine las dimensiones a y b más pequeñas requeridas.
B, C y D. El lado D’B’ permanece horizontal. Rta: εBD = 0,00161mm/mm; εCE = 0,126mm/mm
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64. Un cojinete de elastómero (G = 0,9 MPa) es utilizado para soportar una viga de un puente como se muestra y proporcionar flexibilidad durante los terremotos. La viga no puede desplazarse más de 10 mm cuando se aplica la carga lateral P = 22 kN. Sabiendo que el esfuerzo cortante admisible máximo es de 420 kPa. Determine: (a) la dimensión b más pequeña requerida y (b) el espesor a requerido.
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67. Una viga rígida reposa en posición horizontal sobre dos cilindros de aluminio 2014-T6 que tienen longitudes sin carga que se muestran en la figura. Si cada cilindro tiene un diámetro de 30 mm. Determine la colocación de la carga x de modo que la viga permanezca horizontal. ¿Cuál es el nuevo diámetro del cilindro A después de haberse aplicado la carga?. Considere que νal = 0,35 R ta: x = 1,53 m; d = 30,008 mm
68. El tubo rígido AC es soportado por un pasador en A y por un alambre DB de acero ( E = 29 ksi). Si el alambre tiene un diámetro de 0,25 pulg . Determine la carga P si el extremo C se desplaza 0,075 pulg hacia abajo. R ta: P = 570 lb
65. El soporte consta de tres placas rígidas conectadas entre sí por medio de dos cojinetes de hule situados simétricamente. Si se aplica una fuerza vertical de 5 N a la placa A. Determine el desplazamiento vertical aproximado de esta placa debido a las deformaciones unitarias cortantes en el hule. Cada cojinete tiene dimensiones transversales de 30 mm y 20 mm. G = 0,20 MPa. Rta: δ = 0,833 mm
69. La barra AD es rígida y se encuentra inicialmente en posición horizontal. Si el peso W ocasiona que el punto B se desplace 0,025 pulg hacia abajo. Determine la deformación unitaria en los alambres DE y BC. Además, si los alambres están hechos de acero ( E = 200 GPa) y tienen una sección transversal de 0,002 pul 2, determine el peso W.
66. El bloque plástico mostrado está pegado al soporte rígido y a una placa vertical, a la cual se aplica una fuerza P de 240 kN . Sabiendo que para el plástico utilizado G = 1050 MPa, halle la deflexión de la placa.
Rta: εDE = 0,00116pulg/pulg; ε DE = 0,00116 pulg/pulg;
W = 112 lb
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70. El tubo es soportado por un pasador en C y un alambre AB que tiene un diámetro de 0,2 pulg . Determine la deformación del alambre AB cuando sobre el tubo actúa la carga distribuida mostrada.
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PROBLEMAS SOBRE ELEMENTOS CARGADOS AXIALMENTE. 73. Un tubo hueco A de acero estructural ( E = 200 GPa) con un diámetro exterior de 60 mm y un diámetro interior de 50 mm está unida a una barra sólida B de aluminio ( E = 73 GPa) que tiene un diámetro de 50 mm sobre una mitad de longitud y un diámetro de 25 mm sobre la otra mitad. La barra está sometida a cargas y sostenida como se muestra en la figura. Determine: (a) El cambio de longitud del tubo de acero, (b) El alargamiento total del miembro, (c) Los esfuerzos máximos normal y cortante en la barra de aluminio y en el tubo de acero.
Rta: 0,0821 pulg
Rta: (a) 0,313 mm; (b) 1,865 mm
71. Dos barras son utilizadas para soportar la carga P mostrada en la figura. Si las longitudes de AB y AC antes de la aplicación de la carga son de 5 pulg y 8 pulg , respectivamente y las coordenadas de posición del anillo es (0; 0). Después de aplicarse la carga P al anillo las deformaciones unitarias normal en las barras son ε AB = 0,02 pulg/pulg y son ε AB = 0,035 pulg/pulg . Determine las coordenadas de posición del anillo después de la aplicación de la carga. Rta: x = -0,192 pulg; y = -0,218 pulg
74. El ensamble consiste de una barra CB de acero ( E = 200 GPa) y una barra BA de aluminio ( E = 70 GPa) teniendo cada una un diámetro de 12 mm. Si el sistema es sometido a las cargas axiales mostradas. Determine: (a) el desplazamiento de los puntos B y A y (b) la elongación de la barra AC. Rta: δ B = 1,59 mm y δ A = 6,14 mm
75. La barra compuesta de acero inoxidable ( E = 20 GPa) mostrada en la figura consta de dos segmentos, AB y BD, cuyas áreas transversales son de 600 mm2 y 1200 mm2, respectivamente. Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el desplazamiento de B respecto a C.
72. El alambre AB de acero (E = 200 GPa) tiene un área transversal de 10 mm 2 y no está estirado cuando θ = 45°. Determine la carga P necesaria para que θ = 44,9°. Rta: P = 2,46 kN
76. La barra rígida BDE es soportada por los conectores AB y CD. El conector AB es de
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aluminio ( E = 70GPa) y tiene un sección transversal de 500 mm2, el conector CD es de acero ( E = 200GPa) y tiene un área transversa de 600 mm2. Halle las deflexiones de: (a) B, (b) D y (c) E
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mm está unida a un collarín rígido y pasa a través del tubo. Si se aplica una carga de tensión de 80 kN a la barra, determine el desplazamiento del extremo C de la barra.
80. Un tubo A de aleación de aluminio ( E = 73 GPa), con un diámetro exterior de 75 mm, se utiliza para sostener una varilla B de acero ( E = 200 GPa) de 25 mm de diámetro, como se muestra en la figura. Determine el diámetro interior del tubo A requerido si la deflexión máxima del extremo de la varilla sujeto a carga debe limitarse a 0,40 mm. R ta: d = 57,5 mm
77. La estructura mostrada consiste en dos barras rígidas originalmente horizontales. Están soportadas por pasadores y barras de acero (E = 210 GPa) de 6 mm de diámetro- Si se aplica la carga vertical de 20 kN a la barra inferior AB. Determine el desplazamiento en C, B y E.
78. El miembro a tensión de la figura consta de un tubo A de acero estructural ( 29.106 lb/pulg 2), que tiene un diámetro exterior de 6 pulg y un diámetro interior de 4,5 pulg; y de una barra sólida B de aleación de aluminio ( 10,6.106 lb/pulg 2) que tiene un diámetro de 4 pulg . Determine: (a) El cambio de longitud del tubo de acero, (b) La deflexión total del miembro, (c) Los esfuerzos máximos normal y cortante en la barra de aluminio.
81. Un elemento estructural está hecho de un material que tiene una densidad ρ y un módulo de elasticidad E. Determine el desplazamiento de su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso y la fuerza exterior P.
82. La barra rígida esta soportada por la barra CB conectada ésta en sus extremos por pasadores; la barra CB tiene un área transversal de 14 mm 2 y está hecha de aluminio 6061-T6. Determine la deflexión vertical de la barra en D cuando se aplica la carga distribuida. Rta: δD = 17,3 mm
79. El conjunto mostrado en la figura consiste en un tubo AB de una aleación de aluminio (E =73 GPa) con área transversal de 500 mm 2. Una barra de acero inoxidable (E = 190 GPa) con diámetro de 12
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86. Una barra tiene una longitud L y el área de su sección trasversal es A. Determine su alargamiento debido tanto a la fuerza P como a su propio peso. El material tiene una densidad ρ y un módulo de
elasticidad E.
83. Una barra de acero A-36 está sometida a las cargas que se muestran en la figura. Si el área de la sección transversal de la barra es de 60 mm 2, determine el desplazamiento de B y de A. Desprecie el tamaño de los acoples B, C y D. Rta: δ A = 2,64 mm 87. Una barra plana de sección transversal rectangular de lado L y espesor constante t, se somete a una fuerza de tracción P como se muestra en la figura. El ancho de la barra cambia en forma lineal, desde b1 en el extremo menor hasta b2 en el mayor. Determine el alargamiento de la barra.
84. El sistema de eslabones está formado por tres miembros de acero A-36 ( E = 28.103 ksi) conectados por pasadores; cada miembro tiene un área transversal de 0, 75 pulg 2. Si se aplica una fuerza horizontal P = 6 kip al extremo B del miembro AB. Determine el desplazamiento horizontal del punto B
88. Un tubo de acero A-36 tiene un radio exterior de 20 mm y un radio interior de 15 mm. Si entre justamente entre las paredes fijas antes de ser cargado, determine la reacción en las paredes cuando se somete a la carga mostrada. Rta: F C = 4,80 kN; (b) F A = 11,2 kN
89. La barra tiene un ligero ahusamiento y longitud L. Está suspendida del techo y soporta una carga P en su extremo. Determine el desplazamiento se su extremo libre debido a esta carga si se desprecia el eso propio. El módulo de elasticidad es E 85. La barra de acero tiene un área en su sección transversal de 3 pulg 2 y un módulo de elasticidad E = 35.10 3 ksi. Determine el desplazamiento de su extremo A cuando está sometido a la carga distribuida mostrada. Rta: δ A = 0,0128 pulg
90. Determine el desplazamiento relativo a un extremo de la placa tronco prismático con respecto al otro extremo cuando está sometida a una carga axial P
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94. El radio de un cono truncado de sección circular varía con x de la manera siguiente R(x) = (r/L)(5L - 4x) ver figura. Determine el alargamiento del cono truncado debido a su propio peso en términos de E; L, r y γ, donde E y γ son el módulo de elasticidad y el peso específico del material, respectivamente.
91. La barra rígida AB es soportada por un pasador en A y por una barra de acero ( E = 200 GPa) BC de 500 mm2 de sección transversal. Determine el desplazamiento vertical del extremo B de la barra rígida cuando se le aplica la carga distribuida mostrada en la figura.
95. Un tubo de acero está lleno de concreto y sometido a una fuerza de compresión de 80 kN . Determine el esfuerzo en el concreto y en el acero debido a esta carga. El tubo tiene un diámetro exterior de 80 mm y un diámetro interior de 70 mm. E ac= 200 GPa y
Rta: δ B = 4,17 mm
E c = 24 GPa
92. Una barra de sección rectangular de aluminio ( E = 10000 ksi, ν = 0,25) de ¾ pulg de espesor consta de una sección transversal uniforme y una piramidal, como se observa en la figura. La altura de la sección piramidal varía conforme a h(x) = 2 -0,02x . Determine: (a) El alargamiento de la barra bajo las cargas aplicadas, (b) El cambio de dimensión en la dirección y en la sección BC.
96. La columna mostrada en la figura es construida de concreto de alta resistencia ( E = 4,2.103 ksi) y 6 varillas de acero reforzado ( E = 29.103 ksi). Si al sistema se le somete a una carga axial de 30 kip. Determine el diámetro requerida de cada varilla de tal manera que la cuarta parte de la carga sea soportada por el concreto y las tres cuartas partes de la carga sea soportada por el acero. Rta d = 1,80 pulg
93. Dos barras cilíndricas, una de acero ( E = 200 GPa ) y la otra de latón (E = 105 GPa) están unidas en C y y restringidas a moverse por los soportes rígidos A y E. Si se aplica un sistema de cargas axiales como se muestra en la figura. Determine: (a) las reacciones en A y en E y (b) la deflexión de C. Las dimensiones se dan en milímetros
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97. El conjunto consta de tres barras de titanio y una barra rígida AC. El área de la sección transversal de cada barra se da en la figura. Si se aplica una fuerza horizontal de P = 30 kN al anillo F, determine el ángulo de inclinación de la barra AC. Considere que E Ti = 350 GPa. Rta: θ = 0,063.10 -3 rad
101. Las tres barras colgantes están hechas del mismo material y tienen las mismas áreas A en sus secciones transversales. Determine el esfuerzo normal medio en cada una de las barras si la barra rígida ACE está sometida a la fuerza P. 98. La barra compuesta consiste en un segmento AB de acero A-36 de 20 mm de diámetro y de segmentos extremos DA y CB de latón C83400 de 50 mm de diámetro. Determine el desplazamiento del punto A con respecto a B debido a la carga aplicada. Rta: δ A/B = 0,335 mm
102. La longitud del alambre de acero de 2 mm de diámetro, ha de ser ajustada de manera que, sin carga aplicada, exista una luz de 1,5 mm entre el extremo B de la viga rígida ACB y un punto de contacto E. Sabiendo que E = 200 GPa, halle la posición a la cual se debe colocar un bloque de 20 kg sobre la viga de tal manera que el extremo B de la viga entre en contacto con el apoyo E. R ta: x = 92 mm
99. Una barra rígida AB descansa sobre los dos postes cortos mostrados en la figura. AC está hecho de acero ( E = 200 GPa) y tiene un diámetro de 25 mm; BD está hecho de aluminio ( E = 73 GPa) tiene un diámetro de 50 mm. Determine el desplazamiento del punto F situado en AB cuando se aplica una carga vertical de 90 kN sobre este punto.
100. El poste central B del conjunto tiene una longitud original de 124,7 mm, mientras que los postes A y C tienen una longitud de 125 mm. Si las tapas arriba y abajo se consideran rígidas, determine el esfuerzo normal promedio en cada poste. Los postes están hechos ed aluminio y tienen cada uno un área transversal de 400 mm2. E = 70 GPa.
103. El soporte consisten un poste sólido de latón C83400 ( E = 101 GPa) que está rodeado por un tubo de acero inoxidable 304 ( E = 193 GPa ). Antes de aplicar la carga el hueco entre estas dos partes es de 1 mm. Dadas las dimensiones mostradas, determine la carga axial máxima que puede aplicarse a la tapa rígida A sin generar fluencia en ninguno de los materiales. R ta: P = 198 kN
Rta: σ A = σ C = 189 MPa; σ B = 21,4 MPa.
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es A = 1,25 pulg 2 y su longitud es de 24 pulg . Determine la fuerza aplicada F si el punto B se mueve 0,002 pulg hacia arriba
108. Se supone que la viga horizontal es rígida mientras soporta la carga distribuida mostrada. Determine el ángulo de inclinación de la viga después de haberse aplicado la carga distribuida como se muestra. Cada poste es de madera con 120 mm de diámetro y una longitud original (descargada) de 1,4 m. considere que E mad = 12 GPa. Rta: θ = 1,14.10-3 grados
104. Una barra rígida BCD está engoznada en el punto C. Si el módulo de elasticidad del poste A es E = 30000 ksi, su área transversal es A = 1,25 pulg 2 y su longitud es de 24 pulg . Determine la fuerza aplicada F si el punto B se mueve 0,002 pulg hacia arriba.
105. El poste A de acero inoxidable 304 tiene un diámetro de d = 50 mm se encuentra rodeado por un tubo B hecho de bronce C83400. Ambos se encuentra en reposo sobre la superficie horizontal como se muestra en la figura. Si la fuerza de 25 kN es aplicada a la lámina rígida superior. Determine el diámetro d que debe tener el poste para que la carga sea repartida igualmente en el poste y el tubo.
109. La barra rígida AB es soportada por dos cables de aluminio ( E = 10000 ksi) con un diámetro de 172 pulg la barra se encuentra en posición horizontal antes de la aplicación de la carga. Determine el ángulo de rotación de la barra con respecto a la horizontal cuando se aplica una carga P = 5 kips.
106. ¿Cuál es el desplazamiento relativo del punto A con respecto al punto D?. Considere que l AB = 300 mm, l CD = 400 mm y l CD = 500 mm
110. Una barra rígida está engoznada en el punto C con un perno de acero de 2 mm de diámetro y que actúa cortante doble. Si el módulo de elasticidad de la barra A es E = 100 GPa, su área transversal es A = 15 mm2 y su longitud es de 1,2 m. Determine (a) la fuerza aplicada F si el punto B se mueve 0,75 mm hacia la izquierda, (b) el esfuerzo cortante en el perno C.
107. La barra rígida BCD está engoznada en el punto C. Si el módulo de elasticidad de la varilla A de peso despreciable es E = 30000 ksi, su área transversal
Rta: (a) F = 3750 N, (b) τ = 667 MPa
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111. El cable BC de 2 mm de radio está hecho de acero ( E = 200 GPa). Sabiendo que el máximo esfuerzo normal en el cable no debe exceder 190 MPa y que la elongación en el mismo lo puede exceder los 6 mm, encuentre la máxima carga P que podría aplicarse a la estructura mostrada.
115. El rodillo en P se mueve en la ranura debido a la fuerza F = 100 kN . El elemento AP tiene una sección transversal A = 100 mm2 y un módulo elástico de 200 Gpa. Determine el desplazamiento del rodillo.
112. Cada uno de los eslabones AB y CD está hechos de aluminio y tienen una sección transversal de 125 mm2. Sabiendo que ellos soportan el miembro rígido BC, determine la deflexión del punto E
116. Una fuerza F = 20 kN se aplica al rodillo que corre dentro de una ranura. Las dos barras tienen una sección transversal de A = 100 mm2 y un módulo de elasticidad E = 200 GPa. La barra AP y BP 200 mm y 250 mm, tienen longitudes de respectivamente. Determine el desplazamiento del rodillo y el esfuerzo axial en la barra A
113. La barra rígida ABC es soportada por dos cables de aluminio ( E = 10000ksi) con un diámetro de ½ pulg , como se muestra en la figura. Determine los alargamientos de los cables CE y BD cuando se le aplica una carga de P = 5 kips.
117. Una fuerza F = 20 kN se aplica al rodillo que corre dentro de una ranura. Las dos barras tienen una sección transversal de A = 100 mm2 y un módulo de elasticidad E = 200 GPa. La barra AP y BP tienen longitudes de 200 mm y 250 mm, respectivamente. Determine el desplazamiento del rodillo y el esfuerzo axial en la barra A.
114. La barra rígida BCD está engoznada en el punto C. Si el módulo de elasticidad del poste A es E = 100 GPa, su área transversal es A = 15 mm2 y su longitud es de 1,2 m. Determine la fuerza aplicada F si el punto B se mueve 0,75 mm hacia la izquierda.
118. Entre la placa rígida y la barra A de la figura existe una brecha de 0,004 pulg antes de que se aplique la fuerza F. la placa está engoznada en el punto C. Las longitudes de las barras A y B es de 30 y 50 pulg , respectivamente. Ambas barras tienen un área
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transversal de A = 1 pul 2 y un módulo de elasticidad E = 30000ksi. Si P = 100 kips. Determine el esfuerzo axial en las barras A y B.
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y 125 MPa, respectivamente. Determine la fuerza máxima F que puede aplicarse. 110 MPa
122. Una estructura conectada con seguros está sujeta a cargas y sostenida como se muestra en la figura. El miembro CD es rígido y horizontal antes de aplicar la carga P de 75 kN . La barra A está hecha de acero estructural ( E = 200 GPa) y la barra B está hecha de aluminio (E = 73 GPa). Si los esfuerzos admisibles son 125 MPa para el acero y 70 MPa para el aluminio, determine : (a) El área transversal mínima aceptable para la barra B si la barra A tiene un área transversal de 625 mm2 y (b) El desplazamiento vertical del extremo D de la barra rígida.
119. Una fuerza F = 20 kN se aplica al rodillo que corre dentro de una ranura. Las dos barras tienen una sección transversal de A = 100 mm2 y un módulo de elasticidad E = 200 GPa. La barra AP y BP tienen longitudes de 200 mm y 250 mm, respectivamente. Determine el desplazamiento del rodillo y el esfuerzo axial en la barra A
Rta: (a) 2570 mm 2; (b) 6,51 mm
120. Entre la placa rígida y la barra A de la figura existe una brecha de 0,004 pulg antes de que se aplique la fuerza F. La placa está engoznada en el punto C. Las longitudes de las barras A y B es de 1 m y 1,5 m, y sus diámetros de 5 mm y 30 mm, respectivamente. La barras son de acero ( E = 200 GPa) y tienen un módulo de Poisson = 0,28 Si la fuerza F = 75 kN . Determine: (a) el cambio dimensional en la longitud de la dos barras y (b) su cambio en el diámetros.
123. Dos barras delgadas se fijan firmemente a una placa rígida, como se muestra en la figura. El área de la sección transversal de cada barra es de 20mm2. La fuerza F debe colocarse de tal manera que la placa rígida sólo se muestra horizontalmente 0,05 mm sin girar. Determine la fuerza F y su ubicación h en los dos casos siguientes. (a) Ambas barras son de acero, con módulo de elasticidad E = 200 GPa. (b) La barra (1 es de acero ( E = 200 GPa) y la barra 2 de aluminio ( E = 70 GPa).
124. La barra rígida CDE, mostrada en la figura, es horizontal antes de aplicar la carga P. El tirante A es una barra de acero ( E= 210 GPa) rolado en caliente con una longitud de 450 mm y un área transversal de 300mm2. el poste B es un madero de roble ( E = 12 GPa) con una longitud de 375 mm y un área transversal de 4500 mm2. Después de que se aplica la carga P de 225 kN , determine: (a) Los esfuerzos normales en la barra A y el poste B. (b)El
121. Entre la placa rígida y la barra A de la figura existe una brecha de 0,004 pulg antes de que se aplique la fuerza F. La placa está engoznada en el punto C. Las longitudes de las barras A y B es de 1 m y 1,5 m, y sus diámetros de 5 mm y 30 mm, respectivamente. La barras son de acero (E = 200 GPa) y tienen un módulo de Poisson = 0,28. Si los esfuerzos admisibles en las barras A y B son de
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esfuerzo cortante en el seguro de 20 mm de diámetro en C, que se encuentra a cortante doble. (c) El desplazamiento vertical del punto D.
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Rta: A A = 0,419 pulg 2; A B = 1,067 pulg 2.
125. Dos cables idénticos AB y BC soportan una carga P = 225 N . La distancia entre los soportes A y C es b = 1 m y los cables forman un ángulo θ = 55° con la horizontal; está, hechos de acero de alta resistencia y su rigidez EA = 165 kN.m 2. Determine
128. Las barras A y B tienen un área de sección transversal de 400 mm 2 y un módulo de elasticidad E = 200 GPa . Entre la barra A y la placa rígida hay una brecha antes de que se aplique la fuerza F, como se observa en la figura. Si F = 10 kN . Determine: (a) el esfuerzo axial en la barra B y (b) el cambio dimensional de la barra A.
el desplazamiento hacia abajo, δ, del punto B,
debido a la carga P.
Rta: σ B = 68,7 MPa, δ A = 0,146 mm
126. Una barra de sección rectangular de aluminio ( E = 10000 ksi), una barra de acero ( E = 30000 ksi) y una barra de latón ( E = 15 000 ksi) forman la estructura mostrada, todas tienen el mismo espesor de de 0,5 pulg . Si existe una brecha de 0, 02 pulg antes de que se aplique las fuerzas P = 15 kips a la placa rígida y suponiendo que ésta no gira, determine: a) El esfuerzo axial en el acero y b) el desplazamiento de la placa rígida respecto a la pared derecha.
129. Barras sólidas de sección circular de latón (E = 100 GPa, ν = 0,34) y aluminio (E = 70 GPa, ν = 0,33)
del mismo diámetro extremo, como se muestra en la figura. Con base en la carga indicada determine: (a) El movimiento de la Placa C con respecto de la palca A y (b) el cambio de diámetro del cilindro de latón. (c) El diámetro interno máximo del tubo de acero si el factor de seguridad respecto de falla a fluencia debe ser al menos 1,2. El esfuerzo de fluencia del acero es de 250 MPa
127. La estructura conectada con seguros mostrada en la figura ocupa la posición mostrada cuando no está sujeta a cargas. Cuando se aplican a la estructura las cargas D = 16 klb y E = 8 klb , la barra rígida C debe colocarse horizontal. La barra A está hecha de aluminio ( E = 10600 klb/pulg 2) y la barra B está hecha de bronce (E = 15000 klb/pulg 2). Si los esfuerzos normales en las barras deben limitarse a 20 klb/pulg 2 en el aluminio y 15 klb/pulg 2 en el bronce. Determine: (a) Las áreas mínimas que serían adecuadas para las barras; (b) los cambios de longitud de las varillas A y B.
130. La barra rígida esta soportada por dos postes cortos de madera y un resorte. Si cada uno de los postes tiene una altura de 500 mm y un área transversal de 800mm2 y el resorte tiene una rigidez k = 1.8 MN/m y una longitud no estirada de 520 mm,
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determine la fuerza en cada poste después de aplicada la carga a la barra. E mad = 11GPa. Rta: F = 40 kN
134. Una estructura conectada con seguros está sujeta a cargas y sostenida como se muestra en la figura. El miembro CD es rígido y está horizontal antes de aplicar la fuerza P. La barra A es de aluminio ( E = 10,6.106 lb/pulg 2) tiene un área trasversal de 2,25 pulg 2. La barra B es de acero inoxidable ( E = 28.106 lb/pulg 2) y tiene un área transversal de 1,75 pulg . Después de que se aplica la carga P a la Estructura, determine: (a) Los esfuerzos normales en las barras A y B; (b) el esfuerzo cortante en el seguro en C de 0,5 pulg de diámetro que está a cortante doble y (c) el desplazamiento vertical del punto D. Rta: (a) σ A = 2,21 klb/pul 2 , σ B = 2,91 klb/pul 2
131. Tres barras de acero ( E = 200 GPa) A; B y C tienen longitudes L A = 4 m ; L B = 3 m y LC = 2 m , como se muestra en la figura. Todas tienen la misma área de sección transversal de 500 mm2. Determine: (a) El alargamiento de la barra B, (b) El esfuerzo normal en la barra C.
132. El conector horizontal BC tiene ¼ pulg y está hecho de acero de 60 ksi de resistencia última a tensión. Cuál debe ser el ancho w del conector si la estructura se diseñó para soportar P = 8 kip con un factor de seguridad igual a 3?. 135. La barra rígida en forma de L es soportado por un pasador en A y dos varillas de acero ( E = 200 GPa) que tienen una longitud sin deformar de 12 pulg y un área de sección transversal de 0,0125 pul2. Determine la fuerza desarrollada en cada uno de los alambres cuando a uno de los extremos de la barra rígida se le aplica una carga vertical de 350 lb. Rta: F B = 86,6 lb; F C = 195 lb
133. La barra C mostrada en la figura es una varilla de aleación de aluminio ( E = 73 GPa ) tiene un área de sección transversal de 625 mm2. El miembro D es un poste de madera ( E = 12 GPa) y tiene una sección transversal de 2500 mm2. Si los esfuerzos normales admisibles son 100 MPa para el aluminio y 30 MPa para la madera. Determine el valor máximo admisible de la carga P. Rta: P max = 24683 N
136. La barra rígida ABD es soportada por un pasador en A, un alambre de acero BC ( E = 200 GPa ) con
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139. La barra vertical rígida AB esta empernada en A y soportada por dos barras de aluminio de 1 pulg de diámetro y cuyo módulo de elasticidad es E = 10.103 ksi. Determine el desplazamiento del extremo B de la barra cuando sobre ella se aplica la carga horizontal de 2 kip.
una longitud sin deformar de 200 mm y un área de sección transversal de 22,5 mm2 y de un poste corte de aluminio ( E = 70 GPa ) cuya longitud sin carga es de 50 mm y una sección transversal de 40 mm2. Si a uno de los extremos de la barra rígida se le aplica una carga vertical de 450 N . Determine el esfuerzo normal medio en la barra vertical y en el poste corto.
Rta: 0,00257 pulg
Rta: σ D = 13,4 MPa, σ BC = 9,55 MPa
137. Una barra rígida ABC está sostenida por dos eslabones como se muestra en la figura. El eslabón BD está hecho de una aleación de aluminio ( E = 73 GPa ) y tiene un área transversal de 1250 mm2. El eslabón CE está hecho de acero estructural ( E = 200 GPa) y tiene una sección transversal de 750 mm2. Determine el esfuerzo normal en cada uno de los eslabones y la deflexión del punto A cuando se aplica la carga P de 50 kN .
140. Si el espacio entre el extremo del ensamble de acero (E = 200 GPa) y el muro rígido en D es de 0,15 mm. Determine las reacciones en A y en D cuando en la unión B se le aplica una carga P = 200 kN.
Rta: R A = 180 kN: R D = 20,4 kN
141. Una fuerza P se aplica a una barra engoznada en el punto O mediante un perno hecho de acero de 0,25 pulg de diámetro, como se muestra en la figura. Las barras A y B so de acero ( E = 30000 ksi). El área de la sección transversal de las barras A y B son de A A = 1 pulg 2 y A B = 2 pulg 2. Si la deflexión admisible en el punto C es de 0,01 pulg y el esfuerzo admisible en las barras es de 25 ksi. (a) Determine la magnitud de la fuerza P que puede aplicarse. (b) Si el perno actúa a cortante doble ¿cuál será el esfuerzo cortante en dicho perno?.
138. El ensamble consta de dos varillas AB Y CD de una aleación de cobre ( E = 101 MPa) de 30 mm de diámetro; de una varilla de acero inoxidable EF ( E = 193 GPa) de 40 mm de diámetro y de una placa rígida G. Suponiendo que los soportes A, C y F son rígidos. Determine el esfuerzo normal medio en cada una de las barras. Rta: σ AB = σ CD = 26,5 MPa, σ EF = 33,8 MPa
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142. La barra A de la figura es una varilla de acero ( E = 30.106 lb/pul 2) que tiene un área transversal de 1,24 pulg 2. El miembro B es un poste de latón ( E = 15.106 lb/pulg 2) que tiene un área transversal de 4 pulg2. Determine el valor máximo admisible de la carga P si los esfuerzos normales admisibles son 30 klb/pulg 2 para el acero y 20 klb/pulg 2 para el latón.
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145. La barra rígida AB de peso despreciable se mantiene en posición horizontal gracias a dos barras de acero (E = 200GPa) y de 12 mm de diámetro, antes de aplicar la carga P = 20kN. Determine el ángulo de inclinación de la viga después de la aplicación de P.
Rta: P max = 167,9 klb
146. La viga rígida ABC de peso despreciable se mantiene en posición horizontal mediante un pasador de 8 mm de diámetro en A y un cable de acero BD de 481 mm 2 de sección transversal. Sabiendo que H = 1,6 m, L1 = 3 m y L2 = 1,5 m. Determine después de la aplicación de la carga P = 32 kN : (a) El esfuerzo normal en el cable, (b) la deflexión del punto C y (c) el esfuerzo cortante en el pasador en A si éste actúa a cortante doble
143. Las tres barras colgantes están hechas de acero ( E = 200 GPa) y tienen la misma sección transversal A = 450 mm2. Determine el esfuerzo normal medio en cada una de las barras cuando a la viga rígida se le aplica las cargas mostradas en la figura. Rta: σ AD = 79,6 MPa; σ BE = 96,3 MPa¸ σ CF = 113 MPa
147. La barra rígida AD es soportada por un pasador en A y por los alambres BC y DE. Si la deformación unitaria normal admisible máxima en cada alambre es εadm = 0,003. Determine el desplazamiento vertical máximo de la carga P.
144. La barra rígida se mantiene en posición horizontal mediante un perno en A y dos varillas de acero ( E = 29.103ksi) BC y DC y cuyas secciones transversales son de 0,04 pulg 2. Determine el esfuerzo normal medio en cada una de las barras. Rta: σ CD = 15,4 ksi; σ BC = 11,4 ksi
148. El brazo de palanca mostrado en la figura es soportado por dos alambres de acero ( E = 200
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