Cap i. Fisica II. Elasticidad

CAPITULO I Elasticidad

Los arbotantes utilizan la resistencia a la compresión y el peso de la piedra para sostener la catedral de Notre Dame de Paris.

I.

ANALISIS DE ESFUERZOS: 1.1.

Conceptos y Definiciones

INTRODUCCIÓN

Las diversas estructuras y máquinas, de cuyo diseño y construcción se ocupa el ingeniero en su actividad práctica, deben tener ente otras, la propiedad de resistencia mecánica , es decir, deben oponerse a la rotura al ser

Física ene!a" II

E"astici#a#

Optaciano L. $%s&'e( a!cía

sometidas a la acción de fuerzas externas (cargas). on este propósito, los elementos (piezas) de las estructuras y máquinas deberán ser fabricadas del material correspondiente y tener las correctas dimensiones. !l primer ob"etivo de la #esistencia de materiales, es estudiar los métodos de cálculo de la resistencia de las construcciones.

$demás de esto, en muc%os casos, es necesario determinar las variaciones de forma y de las dimensiones (deformaciones), que surgen en en los elementos de las construcciones construcciones sometidas a cargas. cargas. Los cuerpos r&gidos, indeformables, estudiados en la 'ecánica, en realidad no existen Las deformaciones de un sólido sometido a carga en general son pequeñas y se detectan con los extensómetros. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes de equilibrio y de movimiento. in embargo, estas deformaciones son de gran utilidad para el diseño de estructuras y piezas. $l mismo tiempo, en muc%os casos, resulta necesario limitar el valor de las deformaciones, a pesar de ser pequeñas en comparación con las dimens dimension iones es del elemen elemento, to, ya que en caso caso con contra trario rio ser&a ser&a imposi imposible ble el funcio funcionam namien iento to normal normal de la construcción. La propiedad del elemento de oponerse a las deformaciones de llama Rigidez . e aqu& que el segundo ob"etivo es la exposición de los métodos de cálculo de la rigidez de los elementos de las construcciones.

!l problema siguiente de la #esistencia de 'ateriales es el estudio de la estabilidad de las formas de equilibrio de los cuerpos reales. La estabilidad, es la capacidad de un elemento de oponerse a grandes perturbaciones del equilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbación pequeñas. *ambi+n se dice que el equilibrio es estable, si a una variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de las deformaciones. or tanto exposició ción n de los métodos métodos de cálcul cálculo o de la estabi estabilid lidad ad de los elemento elementoss de las el tercer tercer ob ob"e "eti tivo vo es la exposi construcciones.

$l realizar los tipos de cálculo indicados anteriormente, se debe tender a una econom&a máxima del material, es decir, las dimensiones de las piezas de las máquinas y estructuras no deben ser superiores a las necesarias. ara ello es necesario del estudio de las propiedades de los materiales utilizados, as& como de las caracter&sticas de las cargas aplicadas. !llo se consigue realizando experimentos en el laboratorio, as& como de la experiencia en el diseño y el mantenimiento de la construcciones.

1.).

SU*OSICION SU*OSICIONES ES INTRODU INTRODUCIDA CIDAS S EN LA RESISTENCI RESISTENCIA A DE +AT +ATERIA ERIALES. LES.

ara el me"or entendimiento de la #esistencia de 'ateriales se introducen ciertas suposiciones (%ipótesis) respecto a las propiedades de los materiales, a las cargas (fuerzas) y al carácter de interacción con los elementos estructurales, para simplificar el cálculo de los elementos de las construcciones. !stas son-

*!i,e!a s'posici-n: !l material debe ser considerado macizo y continuo . !s decir, debe despreciarse la estructura atom&stica, discontinua de la materia. !sto se explica por el %ec%o de que las dimensiones de las piezas reales son muy superiores a la distancia entre átomos. elemento to del cual está %ec%o %ec%o el elemento elemento se con consid sidera era homogéneo, es decir tiene Se'n#a Se'n#a s'posici-n: s'posici-n: !l elemen propiedades id+nticas en todos los puntos. !n este caso los metales son materiales altamente %omog+neos. 'enos %omog+neos son la madera, el %ormigón, la piedra, los plásticos de relleno. !l %ormigón por e"emplo, está compuesto por piedras pequeñas, grava, gravilla, cuyas propiedades son distintas de las del cemento. La madera tiene tiene nud nudos, os, de propie propiedad dades es difere diferente ntess al resto resto de madera madera.. in embarg embargo, o, los cálcul cálculos os realiz realizado adoss de los experimentos muestran que la suposición de %omogeneidad es satisfactoria. !l material del cual se %ace la pieza debe ser isótropo, es decir sus propiedades en Te!ce!a s'posici-n: todas las direcciones deben ser iguales. Las investigaciones demuestran que los cristales que forman muc%os materiales tienen propiedades muy diferentes segn las diferentes direcciones que se considere. in embargo, en el caso de materiales compuestos por granos finos, las propiedades en distintas direcciones son iguales. ara materiales como la madera, el %ormigón armado esta suposición es l&cita con cierta aproximación.

70


E"astici#a#


C'a!ta s'posici-n: e considera que las fuerzas internas, originales, las mismas que preceden a la aplicación de cargas externas se consideran nulas. !s sabido que las fuerzas de interacción entre part&culas del material, cuyas distancias var&an, se oponen a la variación de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas exteriores. $l %ablar de fuerzas interiores, en adelante tendremos en cuenta estas fuerzas despreciando las fuerzas moleculares que existen en el cuerpo sometido a cargas. !sta suposición no se cumple cabalmente en ninguno de los materiales utilizados en ingenier&a. $s& por e"emplo, se sabe que en el acero existen fuerzas internas como producto del enfriamiento que experimenta el material, en la madera estas fuerzas aparecen como producto del secamiento de la misma, y en l concreto armado aparecen durante el fraguado. /'inta s'posici-n: !sta suposición tambi+n se llama principio de superposición de cargas. e expresa como el efecto debido a la acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo es igual a la suma de los efectos de las acciones acciones de estas estas fuerzas, fuerzas, aplicadas aplicadas consecutivame consecutivamente, nte, en orden arbitrario. arbitrario. !sta %ipótesis se cumple cumple cuando cuando se cumplen las siguientes condiciones-

•

•

Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños comparados con las dimensiones del sólido. Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas.

Se0ta s'posici-n: *ambi+n llamado principio de $/0* 1 2!0$0*. !l valor de las fuerzas interiores en los puntos del sólido, situados suficientemente le"os de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo concreto de aplicación de estas cargas. !ste principio permite en muc%os casos sustituir un sistema de fuerzas por otro, estáticamente equivalente, lo que nos permite simplificar los cálculos. 1.. 1..

FUER FUERZA ZAS S E2TE E2TERN RNAS AS E INTE INTERN RNAS AS

onsideremos un sólido de forma arbitraria sobre el que actan un con"unto de fuerzas exteriores (concentradas o distribuidas) tal como se muestra en la figura 3.3a

(a) Fi'!a 1.1

(b)

3a) Cuerpo sometido a fuerzas externas mostrando un plano de corte imaginario; b) Porción de cuerpo separado mostrando las fuerzas internas.

ara obtener las fuerzas internas que actan sobre una región espec&fica dentro del cuerpo es necesario utilizar el m+todo de las secciones. ara ello debe %acerse un corte imaginario a trav+s de una región espec&fica dentro del cuerpo donde van a determinarse las fuerzas internas. Las dos partes son separadas y se procede a trazar el diagrama de sólido libre de una de las partes. !sta situación se ilustra en la figura 3.3b. !n el diagrama puede observarse que existe realmente una distribución de fuerzas interiores las que actan sobre el área expuesta de la sección. !stas fuerzas representan los efectos del material de la parte superior del cuerpo actuando sobre el material adyacente. $unque la distribución de las fuerzas internas es desconocida se acude a las ecuaciones de equilibrio estático para relacionar las fuerzas exteriores que actan sobre el cuerpo con la fuerza y momento resultantes de la distribución, M RO

F R

y

en cualquier punto espec&fico 4 sobre el área seccionada como se muestra en la figura 3.5a. $l %acerlo

70


E"astici#a#


F R

as&, observe que

acta a trav+s del punto 4, aunque su valor no dependa de la localización del punto. e otro

M RO

lado,

si depende de la localización. !n general puede escogerse como el centroide del área seccionada.

(a)

(b)

Fi'!a 1.). a) !uerza y momento resultante de las fuerzas internas; b) Componentes rectangulares de la fuerza y momentos resultantes.

F R

M RO

Las componentes de y segn las direcciones x, y y z, mostradas en la figura 3.5b, indican la aplicación de cuatro diferentes tipos de carga definidas como sigue-

1..1. F'e!(a no!,a" 3N(4. !s aquella fuerza que acta perpendicularmente al área. 6sta fuerza se desarrolla siempre que las fuerzas externas tienden a "alar o empu"ar los dos segmentos. 1..). F'e!(a co!tante 3$4. !s aquella fuerza que reside en el plano imaginario de corte y se desarrolla cuando las fuerza externas tienden a ocasionar el deslizamiento de una parte del cuerpo sobre el otro. 1... +o,ento o pa! to!siona" 3T(4. $quel momento que aparece cuando las fuerzas externas tienden a torcer una parte del cuerpo respecto a la otra. 1..5. +o,ento f"e0ionante 3+4. $quel momento causado por las fuerzas externas que tienden a flexionar al cuerpo respecto a un e"e que se encuentra dentro del plano. 1.5.

ESFUERZO !n esta sección se muestra la forma para determinar la fuerza y el momento internos resultantes en un punto espec&fico sobre el área seccionada del cuerpo tal como se muestra en la figura 3.7a, la obtención de la distribución de cargas internas es muy importante en la mecánica de materiales. ara resolver este problema es necesario desarrollar un medio para describir la distribución de una fuerza interna en cada punto del área seccionada. ara esto, es necesario establecer el concepto de esfuerzo.

70


E"astici#a#


Fi'!a 1.. a) !uerza y momento resultantes de las fuerzas internas; b) !uerza "! actuando sobre un "# y c) !uerza normal y cortante

onsideremos al área seccionada subdividida en pequeñas áreas 8$, tal como se muestra en la figura 3.7b. La ∆ F

fuerza finita muy pequeña que acta sobre 8$ es

. !sta fuerza como todas las demás tendrá una

dirección nica, pero para nuestro estudio la descomponemos en dos

∆ F n

y

∆ F t

las mismas que son

normales y tangenciales al área respectiva como se ve en la figura 3.7c. uando el área 8$ tiende a cero, la fuerza

∆ F

o sus componentes tambi+n tiende a cero. in embargo, el

cociente entre la fuerza y el área tenderán a un l&mite finito. !ste cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna sobre un plano especfico (área) que pasa por un punto.

1.5.1.

Esf'e!(o no!,a" 394. e define como esfuerzo normal a la intensidad de fuerza, o fuerza por unidad de área, actuando perpendicularmente a 8$. 'atemáticamente se escribe ∆ F n σ = lim ∆ !→: ∆ ! (3.3) i la fuerza o esfuerzo normal ;"ala< sobre el elemento de área 8$ como se muestra en la figura 3.=a, se llama esfuerzo de tensión, mientras que si ;empu"a< sobre 8$ se denomina esfuerzo de compresión .

1.5.).

Esf'e!(o co!tante 3 >4. e define como esfuerzo cortante a la intensidad de fuerza o fuerza por unidad de área, que acta tangencialmente a 8$. 'atemáticamente este esfuerzo se escribe.

∆ F t ∆ !→: ∆ !

τ = lim

1.5..

(3.5)

Co,ponentes ca!tesianas #e" esf'e!(o. ara especificar me"or la dirección del esfuerzo, se descompone en componentes rectangulares x, y y z, orientados como se muestra en la figura 3.=a. !l ∆ ! = ∆ x∆ y ∆ F elemento de área y las tres componentes cartesianas de la fuerza se muestra en la figura 3.=b. ?a"o estas condiciones las componentes del esfuerzo son

σ z

70

= ∆lim !→:

∆ F z ∆ !

(3.7)


E"astici#a#

τ zx

τ zy


= ∆lim !→: = ∆lim ! →:

∆ F x ∆ ! (3.=)

∆ F y ∆ !

(3.@)

!l sub&ndice z se usa para indicar la dirección de la l&nea normal %acia fuera, que especifica la orientación de 8$ y los sub&ndices x e y se refieren a los e"es coordenados en cuya dirección actan los esfuerzos cortantes.

(a)

1.6.

(b)

(c)

Fi'!a 1.5. Determinación de esfuerzos normales y cortantes.

ESFUERZO NOR+AL +EDIO DE UN ELE+ENTO CARADO A2IAL+ENTE.

!n la figura 3.@a, se muestra un elemento estructural al cual se le aplica las cargas *, estas fuerzas son colineales con el e"e centroidal de la barra y producen cargas de tensión. !stas fuerzas se llaman fuerzas axiales. i cortamos imaginariamente a la barra a trav+s de la sección transversal a"a, se puede dibu"ar el L de la mitad inferior de la barra como se muestra en la figura 3.@b. !l equilibrio nos indica que en la sección %ay una distribución de fuerzas cuya resultante es F7 la misma que es normal a la superficie e igual en magnitud a la fuerza externa * y tiene una l&nea de acción que es colineal con *. La intensidad media de la fuerza interna por unidad de área normal es el esfuerzo normal medio expresado como

σ m

=

F !

(3.A) !n este libro se usa el s&mbolo 9 para denotar el esfuerzo normal. e adopta la convención de asignarle un signo positi#o si el esfuerzo es de tensión por el contrario se asigna un signo negati#o si el esfuerzo es de compresión. ara determinar el esfuerzo en un punto se divide al área en elementos 8$ sobre los que acta una fuerza

∆ F

la misma que representa la resultante de las fuerzas internas transmitidas, como se muestra en la figura 3.@c. !n estas condiciones es esfuerzo se determina mediante la ecuación ∆ F σ = lim ∆ !→: ∆ ! (3.B)

70


E"astici#a#

(a)


(b)

(c)

Fi'!a 1.6. $lemento estructural cargado axialmente !n general el valor obtenido para el esfuerzo obtenido para un punto dado en una sección transversal es diferente al obtenido mediante la ecuación (3.A) y se encuentra que el esfuerzo var&a en la sección. La figura 3.A muestra a una barra delgada sometida a fuerzas axiales de compresión * y *8, estas variaciones son pequeñas en puntos ale"ados del extremo, pero notoria en puntos cercanos al extremo.

1.9.

Fi'!a 1.9. %ariación del esfuerzo normal en un elemento estructural cargado axialmente ESFUERZO CORTANTE +EDIO

!n la sección 3.7 se definió al esfuerzo cortante como la componente del esfuerzo que acta paralelamente al plano de la sección transversal de corte. ara ver como aparece este esfuerzo consideremos un elemento tal como se muestra en la figura 3.B al que se le %a aplicado una fuerza *. i los soporte ? y  se consideran r&gidos y * es suficientemente grande, +sta ocasionará que el material de la barra falle a lo largo de los planos $? y . !l diagrama de cuerpo libre del segmento central no apoyado mostrado en la figura 3.Bb, indica que una fuerza cortante 2 C DE5 debe aplicarse a cada sección para mantener el equilibrio. ?a"o estas condiciones el esfuerzo cortante medio distribuido sobre cada área seccionada se define por

τ med

=

$ ! (3.F)

onde- >med C !sfuerzo cortante medio en la sección, se asume que es el mismo en toda la secciónG $ % fuerza cortante interna resultante en la sección determinada a partir del equilibrioG y ! % Hrea de la sección La distribución del esfuerzo cortante medio se muestra actuando sobre la sección derec%a de la figura 3.Bc. ebe observarse que > med tiene la misma dirección que $.

70


E"astici#a#

(a)


(b)

(c)

Fi'!a 1.. $sfuerzo cortante medio en un elemento estructural 1.9.1. Co!tante si,p"e. Las placas unidas por un perno (3,Fa) y (3,Fe) as& como las placas pegadas mostradas en la figuras 3.Fc, respectivamente son e"emplos de elementos con conexiones a cortante simples. Los diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras 3.FbG 3.Fd, 3.Ff y las ecuaciones de equilibrio muestran que las fuerzas internas cortantes 2 son iguales a la fuerza exterior aplicada , respectivamente, y el esfuerzo cortante viene expresado por

τ =V / A =

F A

(e) Fi'!a 1.;. $lementos sometidos a esfuerzo cortante simple 1.9.). Co!tante #o<"e

(f)

Las placas unidas por un perno, figura 3.Ia cuya vista transversal se da en la figura 3.Ie, y las placas pegadas mostradas en la 3ig figuras 3.Ia y 3.Ic, respectivamente son e"emplos de elementos con conexiones a cortante dobles, en este caso debe observarse que aparecen dos superficies cortantes Los diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras 3.IbG 3.IdG 3.Ie y las ecuaciones de equilibrio muestran que las fuerzas internas cortantes 2 C DE5 y el esfuerzo es

70

τ =V / A = F / 2 A

.


E"astici#a#


(e) Fi'!a 1.=. $lementos sometidos a esfuerzo cortante doble

1..

(f)

ESFUERZO DE A*LASTA+IENTO

!l esfuerzo de aplastamiento o de apoyo se presenta sobre la superficie de contacto entre dos elementos interactuantes. ara el caso de la conexión mostrada en la figura 3.3:a. !l remac%e e"erce sobre la platina ! una P

fuerza gráfico

P

igual y opuesta a la fuerza

F

que e"erce la platina sobre el remac%e v+ase figura 3.3:b. !n este

es la resultante de todas las fuerzas distribuidas en la superficie interior de un cilindro de diámetro

d y longitud t igual al espesor de la platina. ebido a que la distribución de esfuerzos, es muy comple"a, se usa un

valor medio para el esfuerzo de aplastamiento 9 b, el mismo que se obtiene dividiendo la fuerza

P

y el área

proyectada del remac%e en la platina (figura 3.3:c). ebido a que esta área es igual a td , donde t es el espesor de la platina y d el diámetro del remac%e, se tiene. & &

σ b

=

!b

=

td

(a)

(b)

(3.I)

(c)

Fi. 1>. Definición de esfuerzo de aplastamiento. 1.9.

ESFUERZO EN UN *LANO O?LICUO onsideremos un elemento de sección transversal $ : sometido a dos fuerzas

P

y

P'

tal como se

muestra en la figura 3.33a. i trazamos imaginariamente un plano inclinado que forma un ángulo J con el plano normal (figura 3.33b) y dibu"amos el L de la parte izquierda del elemento (figura 3.33c) se %alla a partir de la ecuaciones de equilibrio, que las fuerzas distribuidas en la sección inclinada deben ser equivalentes a la fuerza P 

.

70


E"astici#a#


Fi'!a 1.11. $sfuerzo normal y cortante en planos inclinados escomponiendo * en sus componentes F y $, normal y tangencial a la respectiva sección, se obtiene que

F = & cosθ

(3.3:)

$ = &sen θ La fuerza

F

representa la resultante de las fuerzas normales distribuidas en la sección y

(3.33) V

representa la

resultante de las fuerzas distribuidas paralelas al plano inclinado (figura 3.33d). !l valor medio de los correspondientes esfuerzos será F

σ =

!θ

(3.35)

τ =

$ !θ (3.37)

#emplazando las ecuaciones (3.3:) y (3.33) en las ecuación (3.35) y (3.37), resulta

σ =

& cosθ !θ (3.3=)

τ =

&senθ !θ (3.3@)

e la gráfica se observa que

!θ

=

!: cos θ (3.3A)

$l sustituir este valor del área en las ecuación (3.3=) y (3.3@), se obtiene & σ = cos 5 θ !: (3.3B)

70


E"astici#a#

τ =


& 5 !:

sen( 5θ )

(3.3F) e la ecuación (3.3B) se observa que el esfuerzo normal es máximo cuando J C :K y que tiende a cero a medida que J se aproxima a I:K. !l valor máximo del esfuerzo es &

σ max

=

!: (3.3I)

e la ecuación (3.3F) se observa que el esfuerzo cortante es máximo cuando el ángulo J C =@K. &

τ max

=

5 !o (3.5:)

II.

ANALISIS DE LA DEFOR+ACIÓN UNITARIA: Conceptos y Definiciones ).1.

INTRODUCCIÓN. tilizando los conceptos de la estática en la sección anterior se establecieron las relaciones entre las fuerzas internas y los esfuerzos, evaluándose los esfuerzos normales y cortantes para distintos elementos sometidos a cargas externas. $s& mismo se evaluaron esfuerzos sobre superficies inclinadas de elementos. !n ningn momento se observó las deformaciones que producen la aplicación de cargas externas a un cuerpo deformable. !s sabido que en el diseño de elementos estructurales o componentes de máquinas es de importancia considerar en el mencionado diseño las deformaciones que experimentan los cuerpos. or ello es importante discutir en esta sección las deformaciones producidas por las fuerzas externas cuando son aplicadas a un cuerpo deformable real, estableci+ndose algunos m+todos para medir tales deformaciones. ).).

DES*LAZA+IENTO7 DEFOR+ACIÓN @ DEFO+ACIÓN UNITARIA ).).1 Desp"a(a,iento. i sobre un cuerpo deformable se aplica un sistema de cargas externas, cada una de las part&culas que componen el cuerpo puede experimentar desplazamientos entre s&. ara determinar tales desplazamientos se utiliza el desplazamiento que es una magnitud vectorial que mide el movimiento de una part&cula de una posición a otra. ara evaluar las deformaciones que experimenta un cuerpo deformable consideremos un cuerpo %ec%o de un material continuo tal como se muestra en la figura 3.35. Las tres part&culas $, ? y  antes de la aplicación de fuerzas están localizadas en el cuerpo como se ve en la figura. espu+s de la aplicación de las fuerzas externas el cuerpo se deforma cambiando de posición y por tanto las nuevas posiciones de las part&culas son $M, ?M y M. !l desplazamiento de la part&cula $ viene descrito por el vector '($).

Fi'!a 1.1). Desplazamiento &ue experimenta una part'cula .

70


).).)

E"astici#a#


Defo!,aci-n. La aplicación de las cargas externas ocasionan que las l&neas !' y '( inicialmente rectas, se convierten en l&neas curvas $M?M y $MM. or lo tanto, las longitudes de !' y !( as& como el ángulo J, serán diferentes de las longitudes curvas !)'M y !)() y el ángulo JM. !s decir la deformación se define como la diferencia entre las longitudes y las orientaciones relativas de las dos l&neas en el cuerpo debido a los desplazamientos de cada part&cula debido a la aplicación de las cargas externas al cuerpo.

).). Defo!,aci-n 'nita!ia. La deformación unitaria se utiliza para describir la deformación por cambios en la longitud de segmentos de l&nea y los cambios en los ángulos entre ellos. !xisten dos tipos de deformación unitaria Deformación unitaria normal. esignada por la letra griega +psilon (N), expresa el alargamiento o acortamiento de un segmento de l&nea por unidad de longitud de un cuerpo durante la deformación. ara encontrar una expresión matemática para la deformación unitaria normal, considere una l&nea recta $? dentro de un cuerpo no deformado como se muestra en la figura 3.37a, esta l&nea está ubicada a lo largo del e"e n y tiene una longitud inicial 8s. espu+s de la deformación la l&nea recta se transforma en una l&nea curva con una longitud 8sM como se muestra en la figura 3.37b.

(a) Fi'!a 1.1.

(b)

a) Cuerpo sin deformación y b) Cuerpo deformado

!l cambio en la longitud es entonces (8sM 1 8s). La deformación unitaria normal promedio N prom se define como ∆ s O−∆ s ε pro m = ∆ s (3.53) $ medida que el punto ' se escoge cada vez más cercano al puno !, la longitud de la l&nea se vuelve cada ∆ s → : ∆ s O → : vez más corta, de tal modo que . e igual forma ?M se aproxima a !) de modo que . or lo tanto, la deformación unitaria normal en el punto ! es la dirección n está dada por

ε =

∆ s O−∆ s ' → ! a lo largo de n ∆ s lim

(3.55) !n algunos casos se conoce la deformación unitaria normal, por lo que se desea determinar la longitud final del segmento corto en la dirección n para ello se usa la relación

∆ s O = (3 + ε ) ∆s (3.57) or tanto cuando N es positiva, la l&nea inicial se alargará, mientras que si N es negativa la l&nea se acortará.

70


E"astici#a#


ebido a que la deformación unitaria es el cambio de longitud por unidad de longitud, entonces ella será una cantidad adimensional . or la pequeñez de esta cantidad, la deformación unitaria normal en el / se expresa como ( *m+m). Deformación unitaria normal de elementos sometidos a cargas axiales. onsideremos un barra de peso despreciable ?, de longitud  y área

transversal !, suspendida de su extremo ? tal como se muestra en la figura 3.3=a. i a%ora se aplica una carga externa * al extremo libre , la barra experimentará un alargamiento P como se ve en la figura 3.3=b.

Fi'!a 1.15. a) $lemento sin carga axial( b) elemento sometido a carga axial P mostrando la deformación &ue le produce y c) diagrama fuerzadeformación.

$l elaborar un diagrama fuerzaQdeformación, se obtiene una gráfica como se ve en la figura 3.3=c. ebe señalarse que aunque este diagrama contiene información til para el análisis de la barra en estudio, no puede utilizarse para predecir el comportamiento de otra barra del mismo material pero con dimensiones diferentes. $s& por e"emplo, la barra ')() de sección transversal -! y longitud , experimentará la misma deformación P cuando se aplica una fuerza 5 * (ver figura 3.3@a) siendo en ambos casos el esfuerzo normal el mismo. or otro lado, cuando la barra '))()) de longitud - y área transversal ! es sometida a una fuerza * experimenta una deformación 5P (ver figura 3.3@b) obteni+ndose además que el cociente entre el alargamiento y la longitud inicial es el mismo.

(a)

(b)

Fi'!a 1.16. a) $lemento de longitud L sometido a una carga *P y b) elemento de área y longitud *L sometido a una carga P

or ello la deformación unitaria normal está dado por

70


E"astici#a#


ε =

δ , (3.5=)

i el desplazamiento es a lo largo de una l&nea recta. onsideremos dos puntos $ y ? sobre la recta x como se muestra en la figura 3.3Aa,. espu+s de la aplicación de la carga externa, los puntos $ y b se desplazan a los puntos $3 y ?3, respectivamente. Las coordenadas de los puntos x ! y x ' a x !  u ! y x '  u '. !ntonces las longitudes inicial y final son / % x ' 0 x ! y  f % 1x '  u ' 2 01 x !  u ! 2.

!igura +.+,. Deformación unitaria en una l'nea recta

La deformación unitaria será

ε med =

, f − ,: ,:

=

− u! x ' − x !

u'

(3.5@)

u ' − u ! onde u !

y u ' son los desplazamientos de los puntos $ y ?

es el desplazamiento relatico

Si ao!a se construye una gráfica esfuerzo (9) Q deformación unitaria normal (N), se obtiene una curva caracter&stica para cada uno de los materiales la que no depende de las dimensione de la probeta. !sta relación se discutirá más adelante. or otro lado, cuando la sección del elemento sometido a cargas externas es de sección variable como se muestra en la figura 3.3Ba, el esfuerzo normal var&a a lo largo del elemento por ello es necesario definir la deformación en cierto punto R considerando un pequeño elemento ∆ x de longitud no deformado como se ve en la figura 3.3Bb.

(a)

(b)

Fi'!a 1.1 a) $lemento de sección -ariable sin carga axial y b) elemento de sección -ariable sometido a carga axial.

∆δ i es el alargamiento del pequeño elemento ba"o la carga exterior dada, la deformación unitaria en estas condiciones será.

∆δ d δ = ∆ x →: ∆ x dx

ε = lim

(3.5A) Deformación angular o cortante.

70


E"astici#a#


La deformación unitaria angular o cortante se define como el cambio en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de l&nea inicialmente perpendiculares. !ste ángulo se denota por S y su valor se mide en radianes. ara mostrar esto consideremos dos segmentos de l&nea !' y !( a lo largo de los e"es perpendiculares n y t como se muestra en la figura 3.3Fa. espu+s de la deformación las l&neas rectas !' y !( se vuelven curvas y el ángulo entre eles es JM ver la figura 3.3Fb. or lo tanto, la deformación unitaria angular será

γ nt

=

π 5

θ O − ' → ! alim lo largo de n  → $ a lo largo de t

(3.5B) ebe observarse que si JM es menor que I:K, la deformación angular es positiva por el contrario si JM es mayor de I:K la deformación angular es negativa.

(a)

(b)

Fi'!a 1.1;. a) #ngulo entre dos rectas perpendiculares de un cuerpo sin deformación y b) ángulo entre dos l'neas de cuerpo deformado

or otro lado cuando un cuerpo es sometido a una fuerza cortante Fs tal como se muestra en la figura 3.3I, el cuerpo cambia su forma de rectangular a romboidal. i uno de los lados se mantiene fi"o el lado superior experimenta un desplazamiento P s

Fi'!a 1.1=. Deformación angular o cortante en un plano

La deformación angular promedio se obtiene dividiendo la deformación P s en una dirección normal y la longitud 

γ yx

≈ tg γ yx =

δ x , (3.5F)

ara aquellos casos en los cuales la deformación no es uniforme, la deformación angular en un punto viene dada por

70


E"astici#a#


∆δ x d δ x = ∆ , →: ∆ , d,

γ xy ( & ) = lim

(3.5I)

An%"isis #e #efo!,aciones 'nita!ias pe&'eBas. !n muc%os problemas ingenieriles, un cuerpo solo experimenta pequeños cambios en sus dimensiones. La aproximación de pequeñas deformaciones simplifica en alto grado la solución de tales problemas. !n la figura 3.5: se muestra un e"emplo de cómo evaluar la deformación.

!igura +.*. Deformaciones pe&ue/as.

La fuerza que acta sobre la barra provoca que el punto  se mueva en una cantidad  en un ángulo J referido a la dirección de la barra. La ley de los cosenos aplicada al triángulo nos permite determinar  f , esto es 5

, f

=

5 :

,

+ 3 + 5 ,: 3 cosθ = ,: 5

 3   3   3 +   + 5 ,   cosθ ,  :   :  (a)

*eniendo en cuenta la ecuación (3.5=) se puede determinar la deformación promedio en la barra !& , es decir.

ε =

, f − ,: ,:

5

   3  = 3 +  3  + 5    cosθ − 3  ,:   ,:  (b)

i se considera de que 3 TT /, en este caso se desprecia el t+rmino cuyo exponente es - y si se usa el binomio de 0eUton se obtiene

 

ε = 3 +

 3 cosθ + .......... + ...   − 3 ,:  (c)

implificando la ecuación anterior se obtiene

ε pe4

=

3 cosθ ,: (3.7:)

!l cambio dimensional y deformación están linealmente relacionados en la ecuación (3.7:), lo cual no ocurre con la ecuación (a), esto implica que los cálculos de pequeña deformación resultarán en un sistema lineal, eso simplifica los cálculos

70


III.

E"astici#a#


*RO*IEDADES +ECNICAS DE LOS +ATERIALES .1.

INTRODUCCIÓN.

i se tiene un alambre de un metal y una cuerda de %ule con igual longitud antes de experimentar una deformación al someterlos a cargas externas iguales experimentarán deformaciones diferentes. 0o debe de sorprenderse al observar que el %ule se deforma muc%o más que el alambre de acero. !sta situación pone de manifiesto que las propiedades mecánicas cumplen una importante función en el desarrollo de las fórmulas para relacionar el cambio dimensional con las cargas aplicadas. La descripción cualitativa de un material mediante ad"etivos como elástico, d5ctil, frágil tiene un significado muy espec&fico que es necesario conocer, ya que estos ad"etivos nos permiten describir a los materiales. La descripción cuantitativa se realiza a trav+s de ecuaciones que describen las curvas esfuerzoQ deformación de cada uno de los materiales. Los parámetros en las ecuaciones se determinan experimentalmente. or ello el ob"etivo de esta sección es comprender la descripción cualitativa y cuantitativa de las propiedades mecánicas de los materiales.

.).

DIARA+AS ESFUERZO DEFOR+ACIÓN UNITARIA.

e %a visto en la sección anterior que cuando se traza un diagrama cargaQdeformación se obtiene un diagrama tal como el mostrado en la figura 3.3=c. ebe señalarse que aunque este diagrama contiene información til para el análisis de elemento en estudio, no puede utilizarse para predecir el comportamiento de otros elementos del mismo material pero con dimensiones diferentes. or ello es necesario buscar otro tipo de diagrama que nos permitan caracterizar a un material en general. !stos diagramas son los diagramas esfuerzo"deformación unitaria. ara obtener estos diagramas se realizan ensayos de tensión o de compresión estandarizados uno de ellos es lo normado por la $*'.

.).1. Ensayo #e tensi-n. no de los ensayos mecánicos esfuerzo"deformación más comunes es el realizado a tracción. !ste ensayo es utilizado para determinar varias propiedades de los materiales que son importantes para el diseño. 0ormalmente se deforma una probeta %asta la rotura, con una carga de tracción que aumenta gradualmente y que se aplica axialmente a lo largo del e"e de una probeta. !n la figura 3.53a se muestra algunas probetas cil&ndricas normalizadas y en la figura 3.53b se muestran probetas planas normalizadas. Veneralmente la sección de la probeta es circular, pero tambi+n se utilizan probetas de sección rectangular. urante el ensayo, la deformación está confinada en la región más estrec%a del centro, la cual tiene una sección uniforme a lo largo de su longitud. !l caso de probetas cil&ndricas el diámetro normalizado es aproximadamente 35,F mm (:,@ pulgadas), mientras que la longitud de la sección reducida de ser igual a por lo menos cuatro veces su diámetro, siendo usual A: mm. La longitud de prueba es de @: mm (5 pulgadas) como se ve en la figura 3.53c.

70


E"astici#a#

(a)


(b)

(c) Fi'!a 1.)1. Probeta de tracción normalizada con sección circular

La probeta se instala con sus extremos en las mordazas de la máquina de ensayos de tracción como se muestra en la figura 3.55. 'áquina que se diseña para alargar la probeta a una velocidad constante, y para medir continua y simultáneamente la carga instantánea aplicada (con una celda de carga) y el alargamiento resultante (utilizando un extensómetro). !l ensayo dura varios minutos y es destructivo, o sea la probeta del ensayo es deformada de forma permanente y a menudo rota,

Fi'!a 1.)). 0á&uina de ensayos de tracción con un sistema de procesamiento automático de datos.

.).). Dia!a,a esf'e!(o no!,a"  #efo!,aci-n 'nita!ia. !l resultado del ensayo se registra en una banda de papel como carga en función del alargamiento. !stas caracter&sticas cargaQdeformación dependen del tamaño de la probeta. ara minimizar los factores geom+tricos, la carga y la deformación son normalizadas para obtener los parámetros esfuerzo nominal y deformación nominal , respectivamente ver la figura 3.57.

70


E"astici#a#


Fi'!a 1.). 0uestra normalizada utilizada en ensayo de tracción !l esfuerzo nominal o de ingeniera 9 se determina mediante la ecuación.

σ =

& !: (3.73)

!n donde & es la carga instantánea aplicada perpendicularmente a la sección de la muestra y !/ es el área de la sección transversal original antes de aplicar la carga. La deformación nominal o de ingeniera se define como

ε =

,i

− ,: ,:

=

δ ,: (3.75)

onde- / es la longitud original antes de aplicar la carga, y i es la longitud instantánea. $lgunas veces i "  / se expresa mediante P y es el alargamiento producido por la deformación, o cambio en la longitud en un instante determinado. i se grafican lo valores correspondientes de 9 y N, la curva se llama diagrama con#encional de esfuerzo" deformación unitaria. !ste diagrama es importante ya que nos permite obtener la resistencia a tensión (o compresión) de un material sin considerar la geometr&a del material. in embargo, debe de precisarse de que nunca serán exactamente iguales los diagramas esfuerzoQdeformación para un material particular, ya que los resultados dependen entre otras variables de la composición del material, las imperfecciones microscópicas, de la forma en 4ue fueron fabricados, de la #elocidad de la carga y de la temperatura de ensayo.

$ continuación discutiremos la curva convencional del acero, material muy utilizado en la fabricación de componentes estructurales y mecánicos. !n la figura 3.5= se muestra el diagrama 9 1 N de una probeta de acero. !n dic%a gráfica se observa cuatro maneras diferentes en que el material se comporta dependiendo de la cantidad de deformación unitaria inducida en el material.

70


E"astici#a#


Fi'!a 1.)5. Diagrama esfuerzodeformación para un acero estructural Comportamiento elástico. ecimos que el material es elástico cuando recobra su forma original despu+s de la suspensión de la carga aplicada a ella. !ste comportamiento elástico ocurre %asta cuando el material alcanza el lmite de proporcionalidad el diagrama 9 1 N es prácticamente una l&nea recta. !n estas condiciones el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria. !l esfuerzo que le corresponde al l&mite de proporcionalidad se llama esfuerzo elástico  9p"4. i el esfuerzo excede un poco el l&mite de proporcionalidad el material todav&a puede responder elásticamente. in embargo, la curva tiende a aplanarse causando un incremento mayor en la deformación unitaria. !sto contina %asta que el esfuerzo alcanza el l&mite elástico. ara determinar este esfuerzo es muy complicado debido a la cercan&a en que se encuentran estos puntos.

n ligero incremento del esfuerzo más allá del l&mite elástico provoca un colapso del material ocasionando que el material se deforme permanentemente. !ste comportamiento se llama fluencia. !l esfuerzo que origina la fluencia se llama esfuerzo de fluencia 1 y ) y la deformación que ocurre se llama deformación plástica. !n algunos aceros se encuentra dos valores para el l&mite de fluencia uno superior y otro inferior pero una vez que se alcanza +ste ltimo el material se deforma sin la aplicación de carga. !luencia.

na vez que la fluencia termina, la aplicación de carga a la probeta ocasiona que se eleve nuevamente pero más suavemente %asta alcanzar el esfuerzo 2ltimo (9u). La elevación en la curva se denomina endurecimiento por deformación.

$ndurecimiento por deformación.

(a)

(b)

70


E"astici#a#


Fi'!a 1.)6. a) Probeta de acero mostrando el inicio de la estricción y b) probeta fracturada( obser-e la formación del cono y la copa

uando la probeta alcanza el esfuerzo ltimo, comienza a experimentar una disminución en la sección transversal en una zona localizada, en lugar de %acerlo en toda su longitud. !ste efecto se debe al reacomodo de los planos de deslizamiento que se forman dentro del material y las deformaciones producidas se deben a esfuerzos cortantes. omo resultado aparece una estricción o cuello en la zona a medida que la probeta se alarga cada vez más como se muestra en la figura 3.5@a. na vez que se alcanza el esfuerzo cortante máximo la probeta fractura tal como se ve en la figura 3.5@b. $stricción.

.).. +ate!ia"es Dcti"es y f!%i"es. +ate!ia"es Dcti"es. *odo aquel material que puede experimentar deformaciones grandes antes de la fractura se llama material dctil. !sta propiedad mecánica %ace que el ingeniero esco"a a estos materiales para el diseño de estructuras o elemento de máquinas por su capacidad de estos materiales para absorber energ&a sin sufrir sobrecarga ex%ibiendo una deformación grande antes de fallar. na forma como expresar el grado de ductilidad de un material es el porcenta3e de elongación o el porcenta3e de reducción de área en el momento de fractura. !sto esorcenta"e de elongación

=

L f − ,:

,:

(3::)W

(3.77) orcenta"e de reducción de área =

$ f − !:

!:

(3::)W

(3.7=) onde ! f es el área de la sección transversal despu+s de la fractura y !/ es el área de la sección trasversal inicial. $demás del acero existen muc%os otros materiales que tienen este comportamiento tales como el latón, el molibdeno y el zinc experimentando curvas esfuerzo deformación análogas es decir presentan una zona elástica, una zona de fluencia, una zona de deformación por deformación sufriendo una estricción para llegar a fracturar. in embargo, muc%os otros materiales no presentan fluencia más allá de la zona elástica. !l aluminio por e"emplo no presenta un punto de fluencia bien definido, y por consiguiente se utiliza el m4todo de la des-iación para determinar el esfuerzo de fluencia. !sto se consigue escogiendo una deformación unitaria del :,5W y desde este punto situado sobre el e"e N en el diagrama esfuerzoQ deformación se traza una recta paralela a la porción recta inicial de la curva. !l punto de intersección de esta l&nea con la curva define el esfuerzo de fluencia. !ste criterio se muestra en la figura 3.5A

Fi'!a 1.)9 . $s&uema donde se indica cómo se obtiene el esfuerzo de fluencia para el aluminio.

+ate!ia"es f!%i"es. $quellos materiales que presentan poca o ninguna fluencia antes de la fractura se denominan frágiles. estacan entre otros la fundición gris, el concreto armado, el vidrio, etc. !stos materiales en general son ensayados en máquinas de compresión tal como se muestra en la figura 3.5Ba. La

70


E"astici#a#


forma como se produce la fractura frágil está mostrada en la figura 3.5Aa. !n el caso del concreto el diagrama esfuerzoQdeformación dependen fuertemente de la composición (agua, arena, grava y cemento)G del tiempo y de la temperatura de curado. !n la figura 3.5Bc se muestra el diagrama esfuerzoQdeformación para el concreto. !n +l se observa que el esfuerzo de compresión máximo es de casi 35,@ veces mayor que su esfuerzo de fractura a tensión. or ello es que el concreto siempre se refuerza con acero en estructuras. (b)

(a)

(c)

Fi'!a 1.). 3a4 0á&uina de compresión b) Probeta fracturada de un material frágil y b) rotura frágil de una probeta de acero c) Diagrama esfuerzodeformación para una muestra de concreto.

.).5. Ley #e ooGe. !n un ensayo de tracción, la relación esfuerzo normal y deformación unitaria normal en la región lineal establece que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación normal, esto se traduce en la expresión. σ = 6 ε (3.7@) La ecuación (3.7=) se conoce como ley de 7oo8e , siendo ! la pendiente de la recta y se denomina módulo de 9oung o módulo de elasticidad. Las unidades de ! son las mismas que las del esfuerzo por ser la deformación unitaria una cantidad adimensional.

.).6. Ra(-n #e *oisson. uando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza de tracción axial, no sólo se alarga sino tambi+n experimenta una contracción lateral. ucede el efecto inverso cuando las cargas son de compresión. !stos casos se muestran en las figuras 3. 5Fa y 3.5Fb. $l aplicar la carga * a la barra, su longitud se incrementa en una cantidad P y su radio experimenta una contracción PM. Las deformaciones axial y lateral se expresan

ε long =

δ

ε lat

, y

70

=

δ O r

(3.7A)


E"astici#a#


. . oisson descubrió que dentro del rango elástico, la razón entre estas deformaciones unitarias es constante. $ esta relación se le llama módulo de Poisson 5) y tiene un valor nico para cada uno de los materiales considerado %omog+neo e isótropo, expresado por

ν = −

ε lat ε long (3.7B)

!l módulo de oisson es adimensional y para la mayor&a de materiales toma un valor dado por : ≤ ν ≤ :,@

Fi'!a 1.);. a) $lemento sometido a carga de tensión y b) elemento sometido a una carga de compresión

.).9. Dia!a,a esfuerzodeformación unitaria po! co!tante. La figura 3.5Ia, muestra una sección de un material %omog+neo e isótropo, sometido a esfuerzos cortantes, el efecto de tale esfuerzos ocasiona que el material se distorsione quedando como lo muestra la figura 3.5Ib. La deformación angular unitaria a cortante será S xy. Los materiales sometidos a esfuerzos cortantes tambi+n pueden ser estudiados en el laboratorio utilizando muestras en forma de tubos y sometidos a pares torsores. Los datos obtenidos nos permiten determinar el esfuerzo cortante y la deformación angular, con estos datos se traza un diagrama esfuerzo cortanteQ deformación angular unitaria cortante. !ste diagrama para un material dctil se observa en la figura 3.5Ic. $l igual que en el ensayo de tracción, este material ex%ibe un comportamiento elástico 1 lineal cuando se somete a corte y tendrá un esfuerzo de proporcionalidad definido. *ambi+n presenta un endurecimiento por deformación %asta llegar al esfuerzo cortante ltimo. Dinalmente el material comenzará a perder su resistencia al cortante %asta que se produce la fractura.

(a)

Fi'!a 1.)=.

(b)

(c)

a) !orma del elemento inicial b) elemento despu4s de ser sometido a esfuerzos cortantes y c) Diagrama esfuerzo cortantedeformación unitaria cortante

'ltiples materiales de ingenier&a presentan el comportamiento elástico lineal, de modo que el esfuerzo cortante es proporcional a la deformación angular por cortante, cumpli+ndose en estos casos tambi+n la ley de XooYe

70


E"astici#a#


τ = :γ (3.7F) onde V es el módulo de rigidez, su valor se determina calculando la pendiente de la l&nea recta en el diagrama. $l igual que el módulo de Zoung el módulo de rigidez tiene las mismas unidades (0Em 5). na relación muy importante que relaciona las tres constantes del material !, V y [ se da a continuación

:

=

6 5 ( 3 −ν ) (3.7I)

I$.

ELE+ENTOS A2IALES. 5.1.

INTRODUCCIÓN.

!n esta sección se analiza el m+todo para determinar el esfuerzo normal en elementos estructurales o mecánicos cargados axialmente, de otro lado se determina la deformación de estos elementos. $s& mismo se mostrará un m+todo para determinar las reacciones en los soportes en los que se encuentran empotrados elementos deformables.

5.).

DEFOR+ACIÓN DE +IE+?ROS SO+ETIDOS A CARAS A2IALES 5.).1. +ie,
Fi'!a 1.>. $lemento de sección constante sometido a fuerzas axiales i no se sobrepasa el l&mite de proporcionalidad se puede aplicar la ley de XooYe para encontrar una relación entre la deformación y la fuerza aplicada, es decir

σ = 6 ε

70


E"astici#a#


δ  = 6    !  , 

&

δ =

&, 6! (3.=:)

5.).). +ie,
δ = ∑ δ i

=∑

& i ,i 6 i !i

(3.=3) onde !i y 6 i son ambos constantes para el segmento iQ+simo y la fuerza & i es la fuerza interna en el segmento iQ+simo de la barra, fuerza que es calculada a partir de las ecuaciones de equilibrio.

Fi'!a 1.1. $lemento sometido a -arias fuerzas

5.).. E"e,ento #e secci-n no 'nifo!,e so,eti#o a ca!a a0ia" Ha!ia<"e. ara aquellos casos en los cuales la fuerza axial es variable o el área transversal var&a continuamente como se muestra en la figura 3.75a, la ecuación (3.=:) no es aplicable. ara determinar la deformación se divide al elemento estructural en elementos diferenciales en forma de obleas de longitud dx y área !1x2. !l L de la oblea muestra que la fuerza interna sobre ella es &1x2. !sta carga deformará a la oblea en una cantidad d P tal como se ve en la figura 3.75b.

Fi'!a ). a) $lemento de sección -ariable sometida a carga axial -ariable y b) 6blea de material utilizada para determinar la deformación en el elemento

!l esfuerzo y la deformación unitaria en el elemento son

70


E"astici#a#


& ( x ) !( x )

σ =

(3.=5) d δ

ε =

dx

(3.=7) i se cumple con la ley e XooYe, se tiene

σ = 6 ε d δ  = 6    !( x )  dx 

& ( x )

d δ =

& ( x ) 6!( x)

dx (3.==)

ara determinar la deformación total de la barra se procede a integrar la ecuación (3.==) sobre toda la longitud del elemento estructural. !sto es

δ =



& ( x )dx

∫ 6!( x) :

(3.=@)\

5..

ELE+ENTO CARADO A2IAL+ENTE ESTTICA+ENTE INDETER+INADO.

uando una barra tal como se muestra en la figura 3.77, está sometida a una fuerza axial, la aplicación de las ecuaciones de equilibrio a lo largo del e"e nos permite determinar la reacción en el soporte fi"o. !ste tipo de problema se llama estáticamente determinado . or el contrario si la barra esta empotrada en ambos extremos como se muestra en la figura 3.77a, el L de dic%a barra (figura 3.77b) muestra que existen dos reacciones desconocidas. La ecuación de equilibrio de fuerzas se expresa

∑ F y = : ⇒ F' + F! − & = :

(a)

(3.=A)

(b)

70


E"astici#a#


!igura +.77. a) $lemento estáticamente indeterminado y b) DCL del elemento

ebido a que la ecuación estática por s& sola no permite determinar las reacciones, este problema es estáticamente indeterminado. ara resolver el problema se utiliza la geometr&a de las deformaciones. !specificándose una ecuación que determina las condiciones de desplazamiento llamado condición de compatibilidad . !n este caso es el desplazamiento relativo de un extremo de la barra respecto al otro el mismo que es igual a cero ya que los muros no ceden. or tanto

δ ! E ' = : (3.=B) !sta ecuación puede expresarse en t+rminos de las cargas aplicadas obteni+ndose

F ! , !( 6!

−

F ' , '( 6!

=: (3.=F)

La solución de las !cuaciones (3.=@) y (3.=B) permite obtener las reacciones en los soportes.

F !

,  = &   ('   , 

F '

,  = &   !(   ,  (3.=I)

$.

ENERA DE DEFOR+ACIÓN. onsideremos una barra ? de longitud L y sección transversal $, empotrada en ? y sometida a una carga axial  que se incrementa lentamente como se muestra en la figura 3,77a. i se traza una gráfica  en función de P se obtiene una curva como se muestra en la figura 3.77b la cual es caracter&stica de la barra ?. !l traba"o

dU

realizado por  cuando la barra se alarga una pequeña cantidad

la magnitud de  y el desplazamiento

dδ

dδ

es igual al producto de

, esto es

d;

= &d δ (3.@:)

!l traba"o total cuando l barra experimenta una deflexión ;

= ∫ &d δ

Z es igual al área ba"o la curva  2s P.

70

δ

será

(3.@3)


!l traba"o realizado por

E"astici#a#

P


, cuando se aplica lentamente a la barra, debe producir el incremento de alguna

energ&a asociada con la deformación de la barraQ !sta energ&a se llama energa de deformación y se expresa como

6deformaci
δ 3

= ; = ∫ :

&d δ (3.@5)

!n el caso de deformaciones lineales y elásticas la relación  1 P, es una l&nea recta cuya ecuación es

P = kδ

,

entonces la energ&a se escribe 6

δ

= ∫ : 8δ dδ = =

6

3 5 3 5

8δ 5

3 5

( 8 δ )δ

& δ

i las deformaciones están en el rango elástico se cumple que

6

=

¿

PL EA

, entonces la energ&a es

&, = 3 &δ = 3 &  ÷ 5 5  6!

6 =

3 & 5 , 5 6!

=

3 6! 5 5,

δ 5 (3.@7)

ara barras de secciones variables sometidas a cargas externas variables, la energ&a se determina usando la ecuación 6 =

x3

& x5 dx

∫ 5 6! :

x

(3.@=)

Densi#a# #e Ene!ía. e define como la energ&a por unidad de volumen, esto es

70


E"astici#a#

µ 6 =


6

µ 6

$

δ

= ∫ :

&d δ !,

ε 3

= ∫ : σ d ε x (3.@=)

onde

ε1

es la deformación correspondiente a la elongación

δ 1

. ara el caso en que

ε 1= ε R

C

deformación de ruptura, se conoce como tenacidad del material . or tanto la tenacidad de un material es igual al área ba"o la gráfica esfuerzoQdeformación. or otro lado si el esfuerzo aplicado permanece dentro del l&mite elástico (proporcionalidad) se cumple la ley de XooYe

( σ = E ε ) x

entonces la densidad de energ&a es

µ 6

ε3

= ∫:

σ dε x 3

ε 3

= ∫ :

µ 6 = 6 ε 5

5 3

=

6ε x d ε x

σ 35 5 6 (3.@@)

i el esfuerzo correspondiente es el de fluencia, a la densidad de energ&a se le llama módulo de resilencia

µ resilencia

=

σ f 5 5 6 (3.@A)

70


E"astici#a#


*RO?LE+AS RESUELTOS

∑ F y = : F !' = & F !' = 7:8= .......... .......... .......... ........( 3)

*!o<"e,a >1 os barras sólidas cil&ndricas están soldadas en ? como se muestra en la figura. Xalle el esfuerzo normal en el punto medio de cada barra.

!cuaciones de equilibrio para la barra $?

∑ F x = : F '( = 7:8= + =:8= F '( = B: 8= Los esfuerzos en cada una de las barras serán 'arra !'

So"'ci-n ara determinar el esfuerzo en cada una de las secciones de las barras, se determina las fuerzas internas en cada una de ellas. ara esto se traza el L de cada porción de la barra y se aplica las ecuaciones de equilibrio. !n la figura (a) se muestra el L para la barra $? y en (b) el L para $?

F !'

σ !'

= =5,= M&a.......... .......... ..... Rta.

π d 5 E =

=

35: 8=

=

! !'

=

7:8=

σ !'

π (7:.3: −7 ) m 5 5

'arra '(. F '(

σ '(

= 7@,A@ M= E m 5 .......... .......... ..... Rta

π d 5 E =

=

5F: 8=

=

! '(

=

B:8=

σ '(

π (@:.3: −7 ) m 5 5

*!o<"e,a >) na barra %omog+nea $? de >?/ 8g de masa soporta una fuerza de - 8= , como puede verse en la figura. La barra está sostenida por un perno en ? y un cable  de >/ mm de diámetro. etermine el esfuerzo e"ercido en el cable.

!cuaciones de equilibrio para la barra $?

70


E"astici#a#


So"'ci-n !n la figura se muestra el L de la barra %omog+nea $?, cuyo peso es ] C 3=B: 0

So"'ci-n atos e incógnitas σ '3

= @: M&aG.. ! '3 = F:: mm 5 G..& = __

!n la figura se muestra el L de $?

$plicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene

∑ M ' = : + @ ( 7m ) = F(3 senθ ( 7 m )  = 35::: + ==3: = 7 F (3  ÷  @ F(3 = AF7B, @ = ..................................(3) 5::: = ( A m )

onocida la fuerza D  (tensión), el esfuerzo estará dado por F (3

σ (3

= FB,3 M&a.......... .......... .......... .......... Rta.

5

π d E =

=

=( AF7I ,= = )

=

!(3

=

AF7I ,= =

σ (3


∑ M ' = : Bsenϕ ( 3, = ) + B cos ϕ = & ( 3, = + 3, = sen7:K )   7 :, @A 3,I5 B + ÷ = &  :, @A 5 + 3,I5 5 :,@A 5 + 3,I5 5÷  5

π (3:.3: − 7 ) m 5 5

*!o<"e,a >. abiendo que la porción central del eslabón ? tiene una sección uniforme de A// mm-. etermine la magnitud de la carga  para la cual el esfuerzo normal en la barra ? sea de ?/ M&a. ^

& =

5B   7  & =

5 7

 ÷ :, @A5 + 3, I55÷  :, @A + 3, I5

 5, =F ÷  5 

( σ '3 !'3 ) 

& = 77:AA,B = ..........................Rta .

*!o<"e,a >5

70


E"astici#a#


e quiere punzonar una placa, tal como se indica en la figura, que tiene un esfuerzo cortante ltimo de 7:: 'a. (a) si el esfuerzo de compresión admisible en el punzón es de =:: 'a, determine el máximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 3:: mm de diámetro. (b) i la placa tiene un espesor de 3: mm, calcular el máximo diámetro que puede punzonarse.

π .e.d .τ R

 π .d 5   = σ max   =  

e=

σ ma x d =τ R

=

3:: mm( =:: M&a ) =( 7:: M&a )

e = 77,7mm.......... .......... .......... .... Rta.

!l valor de d max si e3 C3: mm, será

 τ R  7:: M&a   = =(3:mm )     =:: M&a   σ ma x 

d = =d 

d = 7:mm.......... .......... .......... .......... ... Rta.

*!o<"e,a >6 i la palanca representada en la figura está en equilibrio. (a) eterminar el diámetro de la barra $? si el esfuerzo normal está limitado a >// M&a. (b) eterminar el esfuerzo cortante en el pasador situado en , de -/ mm de diámetro.

So"'ci-n atos e incógnitas > u C 7:: 'a, 9 ad C=:: 'a, e C __G d C 3:: mmG e3 C3: mmG d 3 C__. !n primer lugar se determina la relación entre la carga de rotura de la placa y el esfuerzo cortante & R & R

 d   = τ R ! R = τ R 5π    e   5   = π .e.d .τ R .......... .......... .......... .(3)

So"'ci-n

omo se conoce el esfuerzo máximo de compresión, se determina la carga máxima necesaria que se debe aplicar para poder punzonar la placa, esto es

= σ max !  π .d 5   & ma x = σ max   .......... .......... ..(5) =  

atos e incógnitas

σ !'

= 3:: M&aG..d !' = __G..τ & = __G..d & = 5: mm

& ma x

!n la figura se muestra el L de la palanca

!l corte de la placa se producirá cuando la carga de rotura es igual a la carga axial admisible & R

= & ma x .......... .......... .......... .........( 7)

#emplazando las ecuaciones (3) y (5) en (7), se tiene

70


E"astici#a#



∑ F x = : 3 x = & + 7:::: cos A:K = 3 x = & + 3@::: = .......... .......... .....( 3) ∑ F y = : 3 y = 7:::: senA:K = 3 y = 3@::: 7 = .......... .......... .......( 5) ∑ M 3 = : & ( :,5m ) = 7:::: sen7:K ( :,5=m ) & = 733BB = .......... .......... .......... .(7)

La ecuación de equilibrio proporciona

∑ F y = : 5 & t = 3 = @5IF= = & t = 5A=I5 = .......... .......... ......( A)

#emplazando la ecuación (7) en (3), resulta 3 x 3 x

= 733BB = + 3@::: = = =A3BB = .......... .......... .......... (=)

!l esfuerzo cortante será τ =

La fuerza de reacción en la articulación , sera

arte (a). álculo del diámetro de la barra $?. e la definición de esfuerzo normal, se tiene

=

= & & = 5 ! π .d !'

d !'

=

= &

d !'

= 3I,Imm.......... .......... ...... Rta.

π .σ !'

=

π d 5

=

=( 5A=I5 = )

π ( 5:.3: −7 m )

τ = F=,77 M&a.......... ....... Rta.

= 3 x5 + 3 y5 = =A3BB 5 + 5@IF3 5 3 = @5IF= = .......... .......... .......... .........( @) 3

σ !'

= & t

=( 733BB )

π .(3:: .3: A )

*!o<"e,a >9 os barras cil&ndricas sólidas unidas en ? están cargadas como se muestra en la figura. La barra $? es de acero ( 6 % -// :&a ) y la barra ? es de latón ( 6 % >/? :&a). eterminar- (a) La deformación total de la barra compuestaG (b) La deflexión del punto ?.

arte (b). ara determinar el esfuerzo cortante en el pasador  de 5: mm de diámetro, primero se determina la fuerza cortante, esto es

So"'ci-n atos e incógnitas

70


6 !'

E"astici#a#

= 5:: :&a G.. 6 !( = 3:@ :&aG..δ C = __G..δ ' = __ .


δ '

!n primer lugar se determina las fuerzas internas en cada una de las barras. ara ello se traza el L de las diferentes pociones tal como se ve en la figura

δ '

=

F '( , '( 6 '( ! '(

=

B:::: ( :,7)

 π :,:@ 5    = 

3:@ .3: I 

= :,3:5 mm.......... .......... ....... Rta.

*!o<"e,a >. n bloque prismático de concreto de masa , %a de ser suspendido de dos varillas cuyos extremos están al mismo nivel, tal como se muestra en la figura. eterminar la relación de las secciones de las varillas, de tal manera que el bloque no se desnivele.

?arra $?

So"'ci-n

∑ F y = : F !' = 7:8= .......... .......... .......( 3)

atos e incógnitas ;m
?arra ?

∑ F y = : F '( = & + B = ( 7:8= + =:8= ) F '( = B:8= .......... .......... .........( 5)

!n la figura se muestra el L del bloque

La deformación total de la barra será δ = δ =

∑ 6 F , ! i

i

i

i

=

F !' , !' 6 !' ! !'

7:::: ( :,5@)

+

+

F '( , '( 6 '( ! '(

$plicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

B:::: ( :,7)

 π :,:7 5  3:@ .3: I  π :,:@ 5      =   =  δ = :,:@7 mm + :,3:5 mm δ = :,3@@ mm.......... .......... .......... Rta. 5:: .3: I 

∑ F y = : Fac + Fal = mg ...................................(3) ∑ M ! = : ⇒ Fal ( @m ) = mg ( 7m )

La deflexión del punto ?, viene expresado por el acortamiento de la varilla ?.

Fal =

7 @

mg .................................(5)

#emplazando la ec.(5) en (3), se tiene

70


F ac

+

7 @

E"astici#a#

mg = mg

F ac

=

5 @

mg .......... .......... .......( 7)

omo el bloque no debe desnivelarse, entonces las deformaciones de las varillas de acero y de aluminio deben ser iguales, es decir

Fac ,ac

∑ M 3 = :

6al !al

@:::: = ( 5m ) = = ( ( =m )

= δ al ⇒

!al

 6  ,  F =  ac÷ al÷ ÷al  6al ,ac  F ac 5:::&a Am  7mg E @ =  ÷ ÷ ÷   B::&a  7m  5mg E @

!al

6ac !ac

=

$plicando la segunda condición de equilibrio, se tiene

Fal ,al

δ ac

!ac


= (

= 5@::: = .......... .......... .........( 3)

!n la figura se muestra el L de la barra r&gida $?

= F,@B........................ Rta.

!ac *!o<"e,a >

os barras $? y  que se suponen absolutamente r&gidas, están articuladas en $ y en  y separadas en  mediante un rodillo, como se muestra en la figura. !n ? una varilla de acero ayuda a soportar la carga de ?/ 8= . eterminar el desplazamiento vertical del rodillo situado en , as& como el desplazamiento del punto ?.

$l aplicar la segunda condición de equilibrio, se tiene

∑ M ! = : = ( ( =,@m ) = F ac ( 7m ) 7 F ac = =,@( 5@::: = ) F ac = 7B@:: = .......... .......... .......( 5) ara determinar las deflexiones, se grafica la barra $? despu+s de aplicada la carga  C @:Y0.

So"'ci-n atos e incógnitas el gráfico por triángulos seme"antes, se tiene

& = @:8= G.. 6 ac , ac

= 5:: :&a G.. !ac = 7:: mm 5 G = 7mG..δ ( = __G..δ ' = __

!n la figura se muestra el L de la barra r&gida 

70


δ ac 7

δ (

E"astici#a#

=


!n la figura se muestra el L de la barra r&gida $!

δ ( =,@

= 3,@δ ac .......... .......... ....( 7)

La deflexión del punto ?, será F ac , ac

δ '

= δ ac =

δ '

=

δ '

= 3,FBmm.......... .......... .......... .. Rta.

6 ac !ac

7B@:: (7) 5:: .3: I ( 7:: .3: − A )

δ

'


∑ F 9 = : F !' + F(3 = 5:8= ...................(3) ∑ M ! = : F(3 ( 3, 5@m ) = 5: 8= ( :,@m ) F(3 = F8= .......................(5)

= 3,F.......... .......... ...... Rta.

La deflexión del punto  será

= 3,@(3,FBmm ) δ ( = 5,F:mm.......... .......... ....... Rta. δ (

#emplazando la ec. (5) en (3), resulta

*!o<"e,a >;

F !'

!l con"unto consta de tres barras de titanio y una barra r&gida $. !l área de la sección transversal de cada barra se da en la figura. i se aplica una fuerza vertical de  C 5: Y0 al anillo D, determine el desplazamiento vertical del punto D. onsidere que ! *i C 7@: Va.

+ F8= = 5:8= F !' = 358= .......... .......... .(7)

!n la figura se muestra la relación entre las deformaciones

or seme"anza de triángulos, se tiene

So"'ci-n atos e incógnitas & = 5:8= G.. 6 Ci

= 7@: :&aG..δ F = __

70


δ 6 − δ (3 :, B@

δ !' − δ (3

=

3, 5@

E"astici#a#

& = 3:: 8ip,..B = I:8ipG 6 = 5I,@8siG.. ! '6 = 55,3 pu lg

⇒ 3, ABδ 6 = δ !' + :, ABδ (3

!(F

 F, + :, AB  F,  ÷  ÷  6! !'  6!  (3

3, ABδ 6 = 

=

35.3:7 ( 5 ) 7@:.3:I ( A:.3: −A ) −

+


= 3F,7 pu lgG δ 3 = __G..δ ! = __

!n la figura se muestra el L de la viga $?.

:, AB ( F.3:7 ) ( 5 ) 7@:.3: I ( [email protected]: −A )

−

3, ABδ 6 = 3,3=.3: 7 m + A,F.3: = m

δ 6 = 3, :Fmm.......................(=)

La deformación de la barra !D, está dado por $plicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene

 F,  = 5:.3: 7 (3,@) δ 6F =    6!  6F 7@: .3: I ( [email protected]: −A ) δ 6F = 3,3= mm.......... .......... ........( @)

∑ F y = : F '6 + F (F = 3I: 8ip.......... .......... (3) ∑ M ' = : F (F ( A p ) + 3:: 8ip( A p ) = I:8i p(F p ) F (F = 33: 8ip.......... .......... ..(5)

!l desplazamiento del punto D, será

= δ 6 + δ 6F = 3,:Fmm + 3,3=mm δ F = 5,55mm.......... ...... Rta. δ F

#esolviendo las ecuaciones (3) y (5), resulta

*!o<"e,a >= La viga r&gida %orizontal $? está soportada por barras verticales ?! y D y está cargada por fuerzas verticales  3 C I: Yip y  5 C F: Yip que actan en los puntos $ y , respectivamente, como se muestra en la figura. Las barras ?! y D son de acero (! C 5I.3: A psi) y tienen un áreas transversales de $ ?! C3I,@ pul5 y $D C3A.F pul5. eterminar los desplazamientos verticales de los puntos $ y ?.

F '6 + 33: 8i p = 3I: 8 ip F '6

= F:8ip.......... .......... ..(7)

!n la figura se muestra el diagrama de los desplazamientos de cada una de las barra cuando se aplican las cargas externas

or seme"anza de triángulos, se tiene

So"'ci-n atos e incógnitas.

70


δ '6

− δ ! A

δ ! δ !

=

δ (F

E"astici#a#

− δ !

!n la figura se muestra el l de la barra r&gida ?!.

35

F, F, = 5δ '6 `−δ (F = 5  ÷ −  ÷  6! '6  6! 

=


5 ( F:.3:7 ) ( 35 ) 5I.3:A ( 55,3)

−

(F

33:.3:7 ( I ) 5I,@.3: A ( 3F,7 )

= 5,[email protected]: −7 pie − 3,F7.3: −7 pie δ ! = 3,35.3: −7 pies.........................(=) δ !

$plicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene. alculemos a%ora el desplazamiento del punto δ '6

− δ ! A

δ 3

=

− δ ! =

δ 3

− δ ! 5:

3: 7

(3,=B.3: − − 3,35.3: − ) pie 7

3:

7

(3,=B.3: − − 3,35.3: − ) pie

δ 3

= δ ! +

δ 3

= (3,35.3: −7 + =,I.3: −7 − 7,B7.3: −7 ) pie = 5,5I.3: −7 pie.......... .......... . Rta.

δ 3

∑ F 9 = : F(3 − F!' − & = : F(3 = F!' + & ∑ M ' = : F(3 (3: pu lg) − & (5@ pu lg) = : F(3 = 5,@& ............(5)

7

7

7

#emplazando la ec (5) en la ec.(3), resulta 5,@ & = F !' + & F !'

*!o<"e,a 1> ada uno de los conectores $? y  es de acero (5I.3:A psi) y tienen una sección transversal uniforme de :,5@ pulg x 3 pulg. Xalle la mayor carga que puede suspenderse de ! si la deflexión del punto ! no debe pasar de :,:3 pulg.

= 3,@ & .......... .......... ..(7)

$sumiendo que las fuerzas en las barras $? y  son de tensión, las deflexiones de los puntos ? y  son F !' ( F pu lg ) F, =   = ÷  6! !' 5I.3:A lb E pu lg  3 x3 pu lg 5  = ÷ δ ' = 3,3.3: −A F !' ..............( =)

δ '

F(3 ( F pu lg )  F, = ÷  6! (3 5I.3:A lb E pu lg  3 x3 = ÷  

δ ( =  δ (

pu lg 5

= 3,3.3:−A F (3 ...................(@)

!n la figura se muestra el diagrama de las deformaciones

So"'ci-n atos e incógnitas 6 = 5I8 si,.. ! = :,5@ pu lgG.. & ma x = __

70


E"astici#a#


or seme"anza de triángulos, se tiene δ ' 3: − x

δ 6 3@ + x

= =

δ ( x

δ ( x

⇒ x = ⇒ x =

3:δ (

δ '

+ δ (

3@δ (

δ '

− δ (

So"'ci-n

.........( A)

atos e incógnitas .......... (B)

= :,5@mG.. , ac = :,5=II mG.. & = =:: 8= G !al = 35: mm 5 G.. 6 al = B::&aG.. !ac = 5=:: mm 5 6 ac = 5:: :&aG..σ ac = __ . ,al

e las ecuaciones (A) y (B), resulta 3@( δ '

+ δ ( ) = 3:(δ 6 − δ ( ).......... .......( F)

*eniendo en cuenta que P ! C:,:3 pulg, la ecuación (F), se escribe 3@δ '

!n al figura se muestra el L de la placa r&gida. $demás se supone que * tambi+n deforma al acero.

+ 5@δ ( = :,3 pu lg .......... ..(I)

#emplazando las ec. (=) y (@) en (I), resulta & = 3:AA lbf....... .......... ....#ta.


*!o<"e,a 11. La plataforma r&gida de la figura tiene una masa despreciable y descansa sobre dos barras de aluminio, cada una de 5@: mm de longitud. La barra central es de acero y tiene una longitud de 5=I,I mm. alcule el esfuerzo en la barra de acero una vez que la carga central * de =:: Y0 se %aya aplicado. ada barra de aluminio tiene un área de 35: mm 5 y un módulo de elasticidad de B: Va. La barra de acero tiene un área de 5=:: mm5 y un módulo elástico de 5:: Va.

70

∑ F y = : 5 Fal + Fac = & 5 Fal + Fac = =::.3:7 = 5σ al !al + σ ac !ac = =::.3:7 = ..............(3) /ndependientemente a la ecuación de equilibrio estático se determina la relación entre los esfuerzos a trav+s de la relación entre las deformaciones, esto es


E"astici#a#


= δ ac + ∆  σ . ,  =  σ . ,  + ∆      6  al  6  ac

δ al

σ al ( :,5@) B:.3:

σ al

I

=

σ ac ( :,5=II ) 5:: .3:

I

+ :,3.3: −7 m

= :,7=IFA σ ac + 5F.3: A .......... (5) $plicando las ecuaciones de equilibrio a la barra, se tiene

ustituyendo la ec. (5) en (3), resulta 5 ( :, 7@σ ac + 5F.3: ) (3, 5.3:− ) + 5, =.3:− σ ac A

=

=

∑ M ! = : F ac ( 5m ) + F br ( @m ) = & ( Am ) 5 F ac + @ F br = A & 5σ ac !ac + @σ br !br = A & .......... .....( 3)

= =::.3:7

implificando, resulta σ ac

= 3A7 ,B M&a.......... ...Rta. !n la figura se muestra la geometr&a de las deformaciones

*!o<"e,a 1). na barra r&gida, de masa despreciable, está articulada en un extremo y suspendida de una varilla de acero y una de bronce, segn se muestra en la figura. uánto vale la carga máxima  que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de 35: 'a ni uno en el bronce de B: 'a_.

or seme"anza de triángulos, se tiene δ ca 5 δ br

=

δ br

@ = 5,@δ ac

σ br ,br 6 br

σ br

So"'ci-n

σ ac , ac 6 ac

= 3,@Aσ ac .......... .......... ..(5)

La ec. (5), determina una relación que debe existir necesariamente entre esfuerzos, es evidente que si se llega a 9 ac C 35: 'a, se sobrecarga el bronce por alcanzar segn la ec. (5) un esfuerzo de 3FA,B 'a. or lo tanto es el esfuerzo en el bronce el que limita la carga y entonces el esfuerzo en el acero será

atos e incógnitas & ma x

= 5,@

= __G..σ ac = 35: M&aG..σ br = B:M&a.

!n la figura se muestra el L de la barra $?

B: M&a = 3,@Aσ ac

σ ac

70

= ==,FB M&a.......... .......... ..(7)


E"astici#a#


∑ F x = : F !( = F !' cos =@K  3  F !( = & 5  ÷  5 F !( = & .........................(5)

#emplazando el valor máximo del esfuerzo en el bronce y el valor del esfuerzo obtenido para el acero, en la ec. (3), se obtiene

5( ==,FB.3: A )( I:: .3: −A ) + @( B:.3: A )( 7:: .3: −A )

= A &

& = 7:,IA8= .......... .... Rta.

tilizando el esfuerzo admisible, se tiene

(σ !' ) ad =

*!o<"e,a 1. Las dos barras de aluminio $? y $ tienen diámetros de 3: mm y F mm, respectivamente. eterminar la fuerza * máxima vertical que puede ser soportada. !l esfuerzo admisible de tensión para el aluminio es 9 ad C3@: 'a.

3@: .3: A

=

F !' ! !'

=

& 5 π 5 d !' =

= & 5

π (3:.3: − 7 )

5

espe"ando el valor de  se tiene & = F77: .= = .......... ....( 7)

tilizando el esfuerzo admisible para la barra $, se tiene ( σ !( ) ad =

So"'ci-n

F !( ! !(

& 5

=

π

= 3@: .3: A

!n la figura se muestra el l del nudo $

=

5

d !(

= &

(

π F..3:

−7

)

5

& = B@7I ,F5 = .......... ......... Rta.

*!o<"e,a 15. na barra de cobre $? sometida a una carga de tensión & % ?// 8= , cuelga de un perno sostenido por dos pilares de acero. La barra de cobre tiene una longitud de 3: m, área transversal de F3:: mm 5 y un módulo de elasticidad 6 ( %>/D :&a. ada pilar de acero tiene una altura de 3 m, un área !% E?// mm- y 6 % -// :&a. eterminar el desplazamiento P del punto $.


∑ F y = : F !' sen=@K = & F !'

= &

5......................(3)

70


E"astici#a#



∑ F y = : F 3 + F 5 = & 5 F 3 = & ⇒ F 3 = 5@: 8 = .......... .......... (7)

So"'ci-n atos e incógnitas & = @:: 8= G.. ,(u 6 cu 6 ac

= 3:mG.. !cu = F3:: mm 5 G = 3:7:paG.. ,ac = 3mG.. !ac = B@:: mm 5 = 5:: :&a.

el diagrama de una porción de la barra de acero se obtiene la fuerza interna en el acero

!n la figura se muestra el L de una porción de la barra $?

Las ecuaciones de equilibrio nos da

∑ F y = : F 3 = F ac = 5@: 8 .......... .......... .......... .(=) $plicando las ecuaciones de equilibrio se obtiene

La deformación de las barras de acero con respecto al punto fi"o  es 5@: .3: 7 (3)  F, 

∑ F y = : F !' = & = @:: 8= .......... .......... .....( 3)

δ 6 E 3 δ 6 E 3

=   =  6!  ac 5:: .3: I ( B@:: .3: − A ) = :,3AB mm ↓ .......... .......... .......... .(@)

La deformación será F !' , !'

δ ! E '

=

δ ! E '

= @,IImm ↓ .......... .......... .........( 5)

6 !' ! !'

=

(@:: .3: 7 )(3:)

!l desplazamiento del punto $ será

3:7 .3: I (F3:: .3: − A )

δ ! δ !

!n seguida se determina la deformación de cada una de las barra de acero. ara ello se traza el L del perno, en donde actan las fuerzas- F1 G F) y la fuerza exterior *

70

= δ ! E ' + δ 6 E 3 = @,IImm + :,3AB mm = A,3Amm.......... ....... Rta.

*!o<"e,a 16.


E"astici#a#


na barra vertical de acero $? tiene una longitud L 3 C :,@ m y un área de sección transversal $ 3 C 3A: mm 5 desde $ %asta ?G una longitud L 5 C :,F m y un área $ 5 C 3:: mm5 desde ? %asta  como se ve en la figura. !n el punto  acta una carga  3 C 3: Y0. n brazo %orizontal ? está articulado en ? con la barra vertical y soporta una carga  5 C 5A Y0 en el extremo . alcular la deflexión vertical P en el punto . onsidere que a % b y ! C 5:: Va para el acero, además desprecie el peso de la barra.

*razando el L de una porción de barra ? se procede a determinar la fuerza interna en ?.

So"'ci-n atos e incógnitas

= :,@mG. !3 = 3A: mm 5 G. ,5 = :,FmG. !5 = 3:: mm 5 & 3 = 3:8= G.. & 5 = 5A8= G.. 6 = 5:: :&aG..δ ( = __ ,3


!n la figura se muestra el L de la barra %orizontal ?!.

∑ F y = : F !( = & 3 ⇒ F !( = 3:8= .......... ......( 5) !n la figura se muestra una porción de la barra $? para determinar la fuerza interna en $?


∑ M O = : & ( a ) = & 5 ( b ) como a = b, se tien  = 5 ⇒ & = 5A8= .......... .........( 3) !n la figura se muestra el L de la barra compuesta $?

70


E"astici#a#


∑ F y = : F !' = & − & 3 F !' = 3:8 = − 5A8= ⇒ F !' = −3A8= ..(7)

∑ F x = : R ! + R ' = & 3 + & 5 R ! + R ' = 35: 8= + @:8= R ! + R ' = 3B: 8= .......... .......... ....(3)

alculo de la deflexión total del punto  δ (

= δ !' + δ '( F,   F,  =    +    6!  !'  6!  '( − 3A.3: 7 ( :,@) = + −A I 5:: .3: (3A: .3:

)m


ara determinar la fuerza interna en la barra de acero, se traza el L de una porción de ella como se muestra en la figura y se aplica las ecuaciones de equilibrio

3:.3: 7 ( :,F) 5:: .3: I (3:: .3: − A )

= −[email protected]: − = m + =.3: − = m δ ( = 3,@.3: − = m.......... .......... ......... Rta. ∑ F x = : F ac = R ' ...tensión.......... .......... .........( 5)

*!o<"e,a 19 na varilla está formada de tres partes distintas, como se muestra en la figura, y soporta las fuerzas axiales  3 C 35:Y0 y  5 C @:Y0. eterminar los esfuerzos en cada uno de los materiales si cada uno de los extremos está firmemente empotrado en muros r&gidos e indeformables. onsidere para el acero- L C 7::mmG $ C A::mm5G ! C 5::Va, para el aluminio L C =:: mmG $ C 35:: mm 5, ! C B: Va y para el bronce- L C A:: mmG $ C 5=:: mm 5G ! C F7 Va.

ara determinar la fuerza interna en el bronce se traza el L tal como se muestra en la figura y se aplica las ecuaciones de equilibrio

∑ F x = : F br = R ! ..... (ompresiónn.......... .......... .(7) ara determinar la fuerza interna en el aluminio se traza el L tal como se muestra en la figura y se aplica las ecuaciones de equilibrio

So"'ci-n !n la figura se muestra el L de la barra compuesta

∑ F x = : ⇒ R! + Fal = & 3 Fal = & − R! ............tensión........(=)

70


E"astici#a#


or condición del e"ercicio, como los muros no ceden la deformación total es nula, entonces  F, + F,    F, =:  6!÷  6!÷ + 6! ÷   br   al  ac − R ! ( :, A ) ( 35: − R! ) ( o, = ) + + F7 ( 5=:: )

B: ( 35::)

R' ( :, 7) 5:: ( A::)

= :....(@)

#esolviendo simultáneamente las ec. (3), (5), (7), (=) y (@), resulta

= R ! = IA,II8= ....compresión F ac = R ' = B7,:38= ...tensión F al = 57,:38= .......... .tensión

$plicando las ecuaciones de equilibrio

F br

F !'

∑ F x = : − F '( cos B:K = A::: cos A:K F !' = F '( cos B:K +7:::

(3)

Dinalmente los esfuerzos serán σ ac

=

F ac !ac

σ al

=

F al

σ br

=

F br

!br !br

= = =

B7,:3.3: A:: .3:

7

−A

57,:3.3: 35:: .3:

7

−A

IA,II.3: 7 5=:: .3: − A

∑ F y = : F '( senB:K = A::: senA:K F '( = @@5I lb

= 353,B M&a

(5)

= 3I,3B M&a #emplazando la ec (5) en (3), se tiene

= =:,= M&a

F !' F !'

= 7::: + @@5I cos B:K = =FI3 lb

(7)

*!o<"e,a 1. !l esfuerzo normal medio está dado por La "unta está sometida a la fuerza axial de miembro de A Yip. etermine el esfuerzo normal medio que acta sobre las secciones $? y ?. uponga que el miembro es liso y que tiene 3,@ pulg de espesor.

F !'

=

σ !'

= 3A7: lb E pu lg 5

σ '(

=

σ !'

= F3I lb E pu lg 5

! !' F '( ! '(

=

=FI3lb

σ !'

=

5 pu lg(3,@ pu lg) #ta.

@@5I lb =,@ pu lg(3,@ pu lg) #ta.

*!o<"e,a 1;. La estructura de dos miembros está sometida a la carga mostrada. etermine el esfuerzo normal medio y el esfuerzo cortante medio que acta en las secciones a"a y b"b. !l elemento estructural ? tiene una sección transversal cuadrada de 5 pulg por lado.

So"'ci-n !n la figura se muestra el L de la cuña.

70


E"astici#a#


el diagrama se tiene

= F '( cos 7:K = 37@ ,AF cos A:K F t = 33B ,@:lb F n = F '( sen7:K = 37@ ,AF sen7:K F n = AB,F=lb F t

e procede a determinar el área de acción de D t y Dn

So"'ci-n !n la figura se muestra el L de la viga $?.

!n

Los esfuerzos normal y cortante medios serán


∑ M ! = : F '( senA:K (Fm) = F:lb(Fm) + 7:: lb. pie F '( = 37@ ,AFlb (3) !l esfuerzo normal medio en la sección aQa F '(

F n

=

σ b− b

= F,=Flb E pu lg 5

τ b −b

=

σ b− b

= 3=,AFlb E pu lg 5

!n F t !t

=

AB,F=lb

σ b− b

=

F pu lg 5 #ta.

33B ,@:lb = pu lg(5 pu lg) #ta.

37@ ,AFlb

σ '(

=

σ !'

= 77,I5lb E pu lg 5

! '(

=

= !t = ( x)(5 pu lg) = (= pu lg)(7 pu lg)

5 pu lg(5 pu lg)

*!o<"e,a 1=.

#ta.

e determina el normal y cortante medios en la sección bQb, para esto se determina las fuerzas internas

70

La barra ? está %ec%a de acero cuyo esfuerzo admisible de tensión es 9 adm C3@@ 'a. etermine su diámetro más pequeño para que pueda soportar la carga mostrada. uponga que la viga está conectada por un pasador en $.


E"astici#a#


So"'ci-n. !n primer lugar se procede a determinar la resultante de las fuerzas distribuidas que actan sobre la viga. 3

F 3

= ( 7m )(3@::: = E m ) = 55@:: =

F 5

= (3,@m )(3@::: = E m ) = 335@: =

5 3

So"'ci-n.

5

!n la figura se muestra el L de la viga $ r&gida de masa despreciable.

e traza el L de la viga r&gida $?

$plicando las ecuaciones de equilibrio se determina la fuerza en $.

∑ M ! = : F 5 (3m ) + F 3 ( 5,@m ) = F ( =,@m ) 335@: = (3m) + 55@:: = (5,@m) = (=,@m) F F = 3@::: =


∑ F y = : F !' + F (3 = F R ∑ '$ = : F (3 (A m) = F R ( =m ) F (3

=

(3)

5 F R

(5)

7

e procede a determinar el diámetro ;d<. σ = d =

F !

=

π d 5 E =

= F

πσ

#emplazando la ecuación (5) en (3), se tiene

F

=

=(3@::: = )

π (3@@ .3: A = E m 5

d = 33.3: mm

#ta.

F !'

+

F !'

=

5

F R 7 F R

= F R (7)

7

La fuerza resultante de las fuerzas distribuidas es igual al área

*!o<"e,a )>.

F R

La viga r&gida $ está soportada por las barras $? y  cuyos diámetros son de 3: mm y 3@ mm, respectivamente. etermine la intensidad  de la carga distribuida de manera que el esfuerzo normal medio en cada barra no exceda de 3@: 'a.

70

3

3

= ( base)( altura) = ( Am )(  )

5 F R = 7

5

#emplazando la ec. (=) en (5) (7), resulta

(=)


E"astici#a#

5

F (3

= ( 7) ⇒ F (3 = 5

(@)

D$?

= ( 7) ⇒ F !' = 

(A)

7 3 7


ustituyendo el valor del esfuerzo dado en el enunciado del problema, el varilla , resulta

So"'ci-n

= F (3  π  3@: .3: A = E m 5  d 5  = 5  =  5  π  3@: M= E m 5   ([email protected]: −7 m ) = 5  =   = 375@7 ,A = E m σ (3 !(3

!n la figura se muestra el L de la estructura ?

(B)

ustituyendo el valor del esfuerzo dado en el enunciado del problema, el varilla $?, resulta σ !' ! !'

= F !'

 π d 5  =    = 

3@: .3: A = E m 5 

 π  (3:.3: −7 m ) 5 =    =   = 33BF: ,I = E m


3@: M= E m 5 

(B)

e las ecuaciones (B) y (F) se concluye que la intensidad U menor que se puede aplicar sin sobrepasar el valor del esfuerzo admisible es 8 9 ++:(< lb.

*!o<"e,a )1. na estructura simple se usa para sostener una carga de A@ Y0, tal como se muestra en la figura. etermine- (a) el diámetro m&nimo del tirante $? si el esfuerzo normal en la varilla se limita a 3:: 'a. (b) Los diámetros m&nimos para los pasadores $ y ? si el esfuerzo cortante en los seguros se limita a B: 'a. (c) !l diámetro m&nimo para el seguro  si el esfuerzo cortante en el seguro se limita a F@ 'a.

∑ F x = : ( x = F !' senθ − A@ cos α 7  @  ( x = F !' + A@  @  37 

∑ F y = : ( x = F !' cos θ + A@ sen α =  35  ( x = F !' + A@  @  37 

(5)

∑ M ( = : F !' sen θ ( = m )

@ 35 = A@    ( 7m ) + A@    ( Am )  37   37 

 7   ( = ) = B@ 8= + 7A: 8=  @  F !' = 3F3 .5@ 8=

F !' 

#emplazando las ec. (7) en (3) y (5)

70

(3)

(7)


( x ( x

( y ( x

E"astici#a#


7  =    3F3,5@8= − 5@8=  @  (=) = F7.B@8=

τ

R ( !t

= R(

d =

=  =    3F3,5@8= + A:8=  @  = 5:@8= (@)

=

πτ

=

= R( π d

5

=(553=@:)

=

π ( [email protected]: A )

d = @Fmm

(#ta)

La reacción en la articulación  será

*!o<"e,a )).

R(

=

+ ( y5

R(

= F7 .B@ 5 + 5:@ 5 = 553 .=@ 8=

( x5

(A)

e procede a determinar el diámetro del tirante $?. omo +ste está sometido a esfuerzo normal se tiene. σ

d =

=

F !' ! !'

= F !'

πσ

=

= F !' π d

5

=(3F35@: )

=

na barra r&gida $ está sostenida por dos varillas, como se muestra en la Dig. 0o %ay deformación unitaria en las barras verticales antes de aplicar la carga . espu+s de aplicar la carga , la deformación unitaria axial en la varilla ?D es de =:: mEm. etermine- (a) la deformación unitaria axial en la varilla !G (b) la deformación unitaria axial en la varilla ! si %ay un espacio libre de :,5@ mm en la conexión del seguro  antes de aplicar la carga.

π (3:: .3: A )

d = =Fmm (#ta) !l diámetro m&nimo del segura en $ y ? se determina utilizando la definición de esfuerzo cortante y observando que ambos pasadores actan a cortante simple. τ

d

=

=

= F t πτ

F t !t

=

=

So"'ci-n

= F t π d

5

atos e incógnitas. N?D C =::.3:QAmEmG N!

=(3F35@:) π

( BI.3: ) A

!n primer lugar se determina el desplazamiento del punto ?.

d = @Bmm

(#ta)

ε

!l diámetro m&nimo del seguro  se determina utilizando la definición de esfuerzo cortante y observando que el pasador tambi+n está sometido a cortante simple.

70

=

δ '

, 'F

⇒ δ ' = ε ,'F = =::.3: −A m E m(3m)

δ '

= =::.3: −A m (3)

!n la figura se muestra el diagrama de desplazamientos de la estructura


E"astici#a#

Optaciano L. $%s&'e( a!cía δ (

ε (6

=

ε (6

= 3,@F.3: −7 m E m

,(6

=

I@:.3: −A m A::.3: −7 m (#ta)

*!o<"e,a ). na barra r&gida $? está sostenida por dos eslabones como se muestra en la figura. !l eslabón ? está %ec%o de una aleación de aluminio (! C B7 Va) y tiene un área transversal de 35@: mm 5. !l eslabón ! está %ec%o de acero estructural (! C5:: Va) y tiene una sección transversal de B@: mm 5- determine el esfuerzo normal en cada uno de los eslabones y la deflexión del punto $ cuando se aplica la carga  de @: Y0-

tilizando triángulos seme"antes se tiene δ ( = δ ' 5=: mm F: mm δ ( = 7δ ' = 7( =:: .3: − A m ) δ (

= 35::.3: − A m

La deformación unitaria en la varilla ! será δ (

=

ε (6

= 5.3: −7 m E m

,(6

=

35::.3: −A m

ε (6

A:: .3: −7 m (#ta)

eterminación de la deformación unitaria cuando existe un espacio libre de :,5@ mm en . ara esto se traza el diagrama de desplazamientos como se muestra en la figura.

So"'ci-n atos e incógnitas !al C B7 VaG $al C35@: mm5G ! acC 5::VaG $ac CB@: mm5G  C @:Y0, 9ac C ____G 9 al C ____G !n la figura se muestra el L de la barra $? tilizando triángulos seme"antes se tiene δ ( + :,[email protected]: −7 5=:mm

=

δ ' F:mm

= 7δ ' − :,[email protected]: −7 = 7( =::.3: −A m ) − :,[email protected]: −7 m δ ( = :,[email protected]: −7 m δ (

La deformación unitaria en la varilla ! será


∑ F y = : F al + F ac = @: 8=

70

(3)


E"astici#a#


ara determinar la deflexión del punto $, se traza la geometr&a de las deformaciones la misma que se representa en la Dig.

∑ M ( = : F al ( :,7) = @: G= ( :,I ) F al = 3@:8=

(5)

#emplazando la ec. (5) en (3), resulta 3@:8= + F = @: 8= ac

F ac F ac

e la seme"anza de triángulos se tiene

= −3::8= = 3::8= (compresión )

x

(7)

δ al

δ ac

=

!ac 6 ac

=

I,FA.3:

F al ,al !al 6 al

=

−=

=

:,7 − x 5.AAB.3:

−=

− 3:: .3: 7 (:,=) B@: .3: − A ( 5:: .3: I )

x = :,57Am

or otro lado se tiene δ δ ! = al :,A + x x −= δ ! = I.FA .3: :,A + :,57A :,57A

La deformación de la varilla de aluminio (?) será

=

δ ac

= 5,AAB.3: −= m ↑

δ ac

δ al

:,7 − x

x

La deformación de la varilla de acero (!) será F ac ,ac

=

3@:.3: 7 (:,A) 35@:.3:

−A

(B7.3: I )

δ !

= 7,=Imm #ta

= I.FA.3:

δ ac

−=

m↓

*!o<"e,a )5. Los esfuerzos en ambos elementos seránσ al

F = al !al

na barra r&gida  está sometida a carga y sostenida como se muestra en la figura. Las barras $ y ? están libres de esfuerzos antes de aplicar la carga . La barra $ es de acero inoxidable (! C 3I: Va) y tiene un área transversal de B@: mm 5. La barra ? está %ec%a de una aleación de aluminio (! C B7Va) y tiene un área transversal de 35@: mm 5. espu+s de aplicar la carga , se encuentra que la deformación unitaria en la barra ? es de 35:: mEm. etermine- (a) Los esfuerzos en las barras $ y ?G (b) !l desplazamiento vertical (deflexión) del seguro  y (c) la carga .

3@: .3: 7 = = 35@: mm 5

σ al

= 35: M&a #ta

σ ac

=

F ac !ac

σ al

=

3::.3: 7 = B@:mm 5

= 377 M&a #ta

70


E"astici#a#


δ !

= 35::.3: −A m (7)

*a!te 3a4. (álculo de los esfuerzos σ '

=

δ ' 6 '

=

, '

A::.3: −A m( B7.3: I = E m 5 ) :,@m

So"'ci-n !n primer lugar se procede a determinar la deflexión de ? δ ε = ' , '

⇒ δ ' = ε ' ,' = 35::.3:

−A

σ '

= FB,A &a (*ensión) δ ! 6 !

σ !

σ !

= 55F M&a

, !

=

35::.3:

=

−A

#ta. m(3I:.3: = E m I

3m

(*ensión)

(3) !n la figura se muestra el diagrama de las deformaciones a partir del cual se procede a determinar la deflexión de $.

#ta.

*a!te 3<4. (álculo del desplazamiento del seguro en 3 los esfuerzos. el diagrama de deformaciones se obtiene δ 3 :,A m

δ 3

=

δ ' :,5 m

⇒ δ 3 = 7(A:: .3: − A m)

= 3F::.3: −A m #ta.

'ediante triángulos seme"antes :,@m

δ 6

=

δ '

:,5m

⇒ δ 6 =

@ 5

(A::.3:

−A

m)

*a!te 3c4. (álculo de la fuerza &

= 3@::.3: −A m (5)

!n la figura se muestra el L de la ?arra !

e la geometr&a de la deformación de la barra $, se tiene δ (osθ = ! ⇒ δ ! = δ 6 cosθ δ 6 δ !

)

( :,@m )

δ ' = A::.3: −A m

δ 6

5

=  = 3@::.3: − A m    @ 

70


E"astici#a#



∑ M ( = : F ' ( :,5 m ) + F ! sen φ ( :,@m )

= & ( :,Am )

=  + @   F ! = A &  @  5σ ' ! ' + =σ ! ! ! = A & −A A 5(FB,A.3: )(35@: .3: ) + =(55F.3: A )(B@:.3: − A ) = A & 5 F '

& = 3@:,@8=

#ta.

*!o<"e,a )6. na pila de concreto de sección cuadrada tiene A m de altura como se muestra en la figura. Los lados convergen desde un anc%o de 3.: m en la base %asta :,@ m en la parte superior. etermine el acortamiento del pilar ba"o una carga de compresión  C 3=:: Y0 (desprecie el peso propio de la pila). uponga que el módulo de elasticidad del concreto es 5= Va.

La deformación unitaria del elemento diferencial será

ε =

d δ dz

La deformación de la pila será

So"'ci-n ara resolver el problema se divide a la estructura en elementos diferenciales a una distancia z y de espesor dz , tal como se muestra en la figura.

A & σ dz = dz : 6 : 6! H A

δ =

∫

δ =

& 6

∫

dz

A

∫ [ :,@ + 5 x] :

(3)

5

'ediante triángulos seme"antes se tiene z = A ⇒ x = :,:=3AB z x :,5@ (5) #emplazando la ec. (5) en (3) se tiene

7

δ =

3=::.3: = 5=.3:I = E m 5 7

δ =

3=::.3: = I

5=.3: = E m

5

dz

A

∫ [ :,@ + 5( :,:=3AB z ) ] :

A

dz

∫ [ :,@ + :,:F z ] :

5

5

/ntegrando la ecuación anterior, se obtiene

70


E"astici#a#

δ = :,B3= mm


ambio de longitud del tubo $

Parte a)

#ta. δ !

=

*!o<"e,a )9 !l miembro a tensión de la figura consta de un tubo $ de acero estructural ( 6 ac % -I.>/J lb+pulg -), que tiene un diámetro exterior de J pulg y un diámetro interior de K,? pulg G y de una barra sólida ? de aleación de aluminio ( 6 al C >/,J.>/J lb+pulg -) que tiene un diámetro de K pulg . etermine- 3a4 !l cambio de longitud del tubo de acero, 3<4 La deflexión total del miembro, 3c4 Los esfuerzos normal y cortante máximos en el tubo de acero

δ !

=

F ! ,:, ! 6 ! !!

F! ,:, !

=

 π (d 5 − d 5 ) e i  = 

6 ! 

=(5:@.3:7 )(@:)lb. pul u r

lb π (A5 − =,@5 ) pu lg 5 5I.3: 5  pu lg A

δ !

= 5F,@B.3:−7 pu lg ↓

ambio en la longitud de ?

δ '

δ '

=

F ' ,:, ' 6 ' !'

=(35:.3:7 )(=:)lb. pul

=

u r

δ '

Duerza interna en la barra sólida ?

 π d 5 '  = 

6 ' 

π (3:, A.3:A =olución

F' ,:, '

=

lb )(= pul )5 5 pu lg

= 7A, :=.3:−7 pu lg ↓

Parte b) eflexión total

δ C

∑ F

y

= : ⇒ F' − 35:.3:7 lb = : u r F ' = 35:.3:7 lb

= F, @B.3:−7 pu lg ↓ +7A, :=.3:−7 pu lg ↓ δ C = A=,3.3: −7 pul

Parte c). !sfuerzos

cortante máximo- !n la figura se muestra la fuerza en la sección inclinada y el área correspondiente. ara que los esfuerzo cortante sea máximo el ángulo J C =@

Duerza interna en el tubo de acero

∑

F y

u r

= : ⇒ F! − [email protected]: 7 lb − 35:.3: 7 lb = : u r F ! = 5:@.3:7 lb

Ft

70

= F! cos =@° = 5:@.3:7 lb(

5 5

u r

) = 3==,IA8lb


sen=@° =

!:

⇒ !=

!

!: sen =@°

E"astici#a#

=

π =

∑ M = :

( 5)(A5 − =, @5 ) pu lg 5 )

:

& (:, 7cos θ ) − F 3 (:, :@ cos θ ) − F ( (:,3cosθ ) = :

! = 3B, =I pu lg 5

= :, :@F 3 + :,3F ( :, 7 & = :, :@σ 3 !3 + :,3σ ( !( :,7 & = :, :@(5@::.3:−A )σ 3 + :,3([email protected]:−A )σ ( :, 7(3:A ) & = 35@σ 3 + A5, @σ ( (3) :, 7 &

!sfuerzo cortante máximo

τ max

=

F t !

=

3==,IA 8lb 3B, =I pu lg 5

= F5FA

lb pu lg 5

!l esfuerzo normal es máximo cuando el ángulo es :. !ntonces su valor será σ max

=

F ! !:

=

5:@8lb

π =


= 3A@B:

(A 5 − =, @5 ) pu lg 5

rincipio de compatibilidad δ 3 + :.:I.3:−7 @:mm

lb

=

σ ( ,:,(

pu lg 5

6( :,7σ ( I

*!o<"e,a )

B7.3:

La barra  mostrada en la figura es una varilla de aleación de aluminio ( 6 al % ED :&a ) tiene un área de sección transversal de J-? mm-. !l miembro  es un poste de madera ( 6 m % >- :&a) y tiene una sección transversal de -?// mm-. i los esfuerzos normales admisibles son >// M&a para el aluminio y D/ M&a para la madera. etermine el valor máximo admisible de la carga .

σ(

δ ( 3::mm

= 5( = 5(

⇒ δ ( = 5(δ 3 + :.:I.3:−7 )

σ 3 ,:, 3 6 3

:,3@σ 3 I

35.3:

) + :,3F.3:−7 ) + :,3F.3:

= A, :Fσ 3 + =7,F.3:A

−7

(5)

σ 3 = 7: M&a i el esfuerzo en la madera es entonces se tiene σ ( = A,:F(7:.3:A ) + =7,F.3: A

,

σ ( = 55A M&a La ecuación anterior indica que se sobrecarga el aluminio, entonces es el esfuerzo en el aluminio el que debe usarse. !ntonces tenemos

= A, :Fσ 3 + =7,F.3: A 3::.3: A = A, :Fσ 3 + =7,F.3: A σ 3 = I,5= M&a σ(

#emplazando este valor en la ecuación (3) resulta =olución

!n la figura se muestra el L de la barra r&gida $? en una posición inclinada

:,7(3:A ) & max

= 35@(I, 5=.3:A ) + A5,@(3::.3:A )

& max C 5=AF7 0

#ta.

*RO?LE+AS SO?RE ESFUERZO. 1. os barras il&ndricas $? y ? !stán soldadas por una placa r&gida en ? y sometida a las cargas indicadas. abiendo que la fuerza & % -A,- 8ip. etermine los esfuerzos normales promedios en(a) $? y (b) en ? $plicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

70


E"astici#a#

). La lámpara de J 8g que aparece en la figura cuelga de un tec%o por medio de alambres de /,E? mm de diámetro. etermine el esfuerzo de tensión en los alambres $? y ?

. !l dispositivo mostrado en la figura sirve para determinar la resistencia de la madera al esfuerzo cortante. Las dimensiones del bloque de madera son J pulg x Apulg x >.?pulg . i la fuerza requerida para partirla es de >- 8ip, determine la resistencia promedio de la madera al esfuerzo cortante.

5. os tubos de %ierro de fundición se unen con ad%esivo en una longitud de -// mm como se muestra en la figura. Los diámetro externos de cada uno de los tubos son de ?/ mm y E/ mm, respectivamente y el espesor de su pared es de >/ mm. i se separan al transmitir una fuerza de >// G= . uál fue el esfuerzo cortante promedio en el ad%esivo "usto antes de la separación

6. La sección transversal del punzón y la matriz de la figura es un c&rculo de una pulgada de diámetro. na fuerza & % J 8ips se aplica al punzón. i el espesor de la placa es t % >+A pulg. etermine el esfuerzo cortante promedio en la placa a lo largo de la trayectoria del punzón.

70


9. !n la figura se muestra el croquis de un punzón y matriz para %acer arandelas. etermine la fuerza  necesaria para troquelarlas en t+rminos del espesor t de la placa, la resistencia promedio de +sta al esfuerzo cortante > y los diámetros internos y externo de las arandelas d 3 y d5.

. La estructura mostrada en la figura soporta una carga  C Y0. etermine- (a) el esfuerzo normal en el elemento ? si este tiene una sección transversal de área $? C F.3:7 mm5. (b) !l esfuerzo cortante en el perno en $ si este tiene un diámetro de 5@ mm y acta a cortante doble.

;. La fuerza axial  C 35.3: 7 lb acta sobre un miembro rectangular, como se muestra en la figura. etermine los esfuerzos normal y cortante promedio sobre el plano inclinado $$.

=. La pieza de madera está sometida a una fuerza de tensión de F@ lb. etermine los esfuerzos normales y cortantes medios desarrollados en las fibras de la madera orientadas a lo largo de la sección aQa a 3@ con el e"e de la pieza. >ta? 1 9 +(< psi; @ 9 :( psi.


E"astici#a#


el cable y en el puntal e indicar si son de tensión o de compresión.

1>. !n la figura se muestra un modelo simplificado del brazo de un "oven al levantar un peso. !l área de la sección transversal del b&ceps se estima en 5 pulg 5. etermine el esfuerzo normal promedio en el msculo y la fuerza cortante promedio en la articulación del codo $.

11. alcule el esfuerzo de compresión en la biela mostrada en la figura cuando se aplica una fuerza  C 3: lb al pedestal de freno. uponga que la l&nea de acción de la fuerza  es paralela a la biela, cuyo diámetro es d C :,55 pulgadas y las otras dimensiones ilustradas se miden perpendicularmente a la l&nea de acción de .

15. ada uno de los cuatro eslabones verticales tienen una sección transversal rectangular de F por 7A mm y cada uno de los cuatro pines tienen 3A mm de diámetro. etermine los valores máximos de los esfuerzos normales medios en cada eslabón conector en- (a) en los puntos ? y  y (b) y en los puntos  y !. >ta? 1 D 9 ++(, 0Pa; 1 C$ 9 *+(: 0Pa

>ta? 1 9 +AA,(< lbBpulg * .

1). *odos los pernos mostrados en la figura traba"an en cortante simple y tienen un diámetro de K/ mm. La sección transversal de todos los miembros es cuadrada. etermine el esfuerzo cortante máximo en el perno $ y los esfuerzos axiales en el miembro ?.

1. n con"unto de puntal y cable $? sostiene una carga vertical  C 3@ Y0. !l cable tiene una sección transversal efectiva de 35: mm 5 y el puntal un área de 5@: mm 5- determine los esfuerzos normales en

70

16. abiendo que la porción central del eslabón ? tiene una sección uniforme de F::mm5. determine la magnitud de la carga  para la cual el esfuerzo normal en esa porción ? sea de @: 'a. >ta? P 9 ,*(:A N

19. !n la figura se ve un punzón para perforar placas de acero, i se usa un punzón con diámetro de :,B@ pulg para perforar un agu"ero en una placa de 


E"astici#a#


pulg, i se requiere una fuerza de  C 5F::: lb. uál es el esfuerzo cortante medio en la placa y el esfuerzo normal medio en el unzón.

1. !l elemento de madera inclinado $? de una armadura está ensamblada en una cuerda inferior de K x J pulg , como se muestra en la figura. etermine la fuerza de compresión axial en el miembro $? cuando el esfuerzo cortante promedio paralelo al grano en el extremo de la cuerda inferior es de --? lb+pulg -.

)>. La pieza mostrada en la figura está %ec%a de acero con un peso espec&fico de E?// 8g+mD. etermine el esfuerzo de compresión medio que acta en los puntos $ y ?.

RtaL & % K,AA 8lb

1;. Las dos barras de aluminio soportan la fuerza vertical de & % -/ 8= . etermine sus diámetros requeridos si el esfuerzo permisible de tensión para el aluminio es de  % >?/ M&a.

)1. n empalme en madera se fabrica con ad%esivo como se muestra en la figura. La longitud de la región pegada es  % K pulg y el espesor de la madera es de D+A pulg . etermine el esfuerzo de corte promedio en el ad%esivo.

RtaL d !' % >?,? mm y d !( % >D mm

1=. na viga %orizontal $? con sección transversal rectangular y longitud de -,K m está sostenida mediante un puntal inclinado  como se muestra en la figura. !l puntal, que se compone de dos barras planas está unido a la viga en el punto  por un perno de diámetro d % >J mm . i el esfuerzo tangencial admisible es el perno es de I/ M&a. uál es el valor admisible de la carga  que acta sobre la unión ?

70

)). n empalme en madera se fabrica con ad%esivo como se muestra en la figura. La unión transmite una fuerza & % -/ 8ips y tiene las siguientes dimensiones  % D pulg , a % A pulg y h % - pulg. etermine el máximo esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante en el ad%esivo.


*7.

E"astici#a#


os tiras de un material plástico están unidas, como se muestra en la figura. !l esfuerzo cortante medio en el ad%esivo debe limitarse a I@: Ya. Xalle la longitud L de la placa de empalme necesaria si la carga axial soportada por la "unta es de @: Y0

). n cilindro está sostenido por una barra y un cable, tal como se muestra en la figura. !l cilindro tiene una masa de E? 8g y un radio de >// mm. etermine? a) !l esfuerzo axial medio en el cable de acero  de D mm de diámetro J b) !l diámetro m&nimo requerido para el seguro $ si el esfuerzo cortante en el seguro debe limitarse a >/ M&a. !l seguro $ está a cortante doble. RtaL 1a2  (3 % ?K,-K M&a, 1b2 d % J,DE mm

)5. Los elementos de madera están unidos por placas de madera contrac%apada pegadas a las superficies en contacto. i la separación entre extremos es de J mm y el cortante ltimo de la "unta pegada es de -,? M&a. etermine la longitud  para la cual el factor de seguridad es -,E? con la carga mostrada.

*.

La viga está soportada por un pasador $ y un eslabón ?. etermine el esfuerzo cortante promedio en el pasador ? que tiene un diámetro de -/ mm y está sometido a cortante doble.

)6. La flec%a compuesta consiste en un tubo $? y en una barra sólida ?. !l tubo tiene un diámetro interno de -/ mm y un diámetro externo de -A mm. La barra tiene un diámetro de >- mm. etermine el esfuerzo normal medio en los puntos  y !

*,.

e utiliza un acople para conectar una varilla de plástico de - pulgadas de diámetro con una varilla de >,? pulgadas, como se muestra en la figura. i el esfuerzo cortante promedio en el ad%esivo debe limitarse a @:: lbEpulg 5. etermine la longitud m&nima > y - requeridas para la "unta si la carga aplicada es & % A/// lb.

70

)=. La barra que se muestra en la figura tiene una sección transversal rectangular de -// x >// mm . etermine- (a) los esfuerzos normal y cortante en el plano aQaG (b) los esfuerzos normal y cortante máximos en la barra. RtaL 1a2  % >A,E? M&aN O % >/,AD M&a


E"astici#a#

. 7. !l marco soporta la carga mostrada. !l perno en $ tiene un diámetro de /,-? pulg y está sometido a cortante doble. etermine el esfuerzo cortante promedio en el perno.

1. etermine la intensidad  máxima de la carga distribuida que puede ser soportada por la viga atirantada de manera que no se exceda un esfuerzo cortante admisible de >// M&a en los pernos de 35 mm de diámetro en $ y ?, ni se exceda tampoco un esfuerzo normal admisible de >?/ Mpa en el tirante $? de >? mm de diámetro.

). La estructura se encuentra sometido a la fuerza de E 8= . etermine los diámetros requeridos para los pernos en $ y ? si los esfuerzos de corte admisibles en el material es de τadm % K/ M&a. !l perno en $ se encuentra sometido a cortante doble mientras que el perno en ? se encuentra sometido a cortante simple.

70


. etermine el esfuerzo normal medio en la sección aQa y el el esfuerzo cortante medio en la sección bQb del elemento $? de peso despreciable. La sección transversal del elemento es cuadrada de :,@ pulg por lado.

5. !l soporte cil&ndrico de aluminio de -// mm de diámetro soporta una carga compresiva de D// 8= . etermine los esfuerzos normales y cortantes medios actuando sobre la sección a"a.

6. Las tres barras de acero son utilizadas para soportar la carga *. i los alambre soportan un esfuerzo admisible  adm % >J? M&a. i el alambres $?G ? y ? tienen diámetros de J mm, ? mm y  ,,, respectivamente. etermine la fuerza más grande posible * que se debe aplicar para que ninguno de los alambres fallen.


E"astici#a#

9. !l cable ? tiene una resistencia a la rotura de -? 8ips y el factor de seguridad con respecto a la falla requerido en el cable es D,-. etermine la fuerza más grande  que se puede aplicar con seguridad al elemento $?.


=. La barra r&gida  de la figura es %orizontal cuando no está sometida a carga, mientras que las barras $ y ? no están su"etas a deformación. uando se aplica la carga , se encuentra que la deformación unitaria axial en la barra ? es de /,//>? pulg+pulg . etermine- a) La deformación unitaria axial en la barra $ y b) La deformación unitaria axial en la barra $ si %ay un espacio libre de /,//? pulg en la conexión entre las barras $ y ?. >ta? a) <7 EpulgBpulg; b) 7+7 EpulgBpulg

*RO?LE+AS SO?RE DEFOR+ACIONES. . la viga r&gida es soportada por un pasador en $ y dos alambres ? y !. i la carga aplicada sobre la viga produce un desplazamiento de >/ mm del extremo  %acia aba"o. etermine la deformación unitaria normal en cada uno de los alambres. 5>. La viga r&gida es soportada por un pasador en $ y los alambres ? y !. (a) i la aplicación de la carga  produce un desplazamiento de >/ mm %acia aba"o, determine la deformación normal en los alambres  y !. (b) si la máxima deformación normal en cada alambre es /,/-. etermine el máximo desplazamiento vertical de la carga . >ta? ++(* mm

;. omo resultado de la aplicación de la fuerza , en el punto ? de la figura se observó un movimiento de /,/J pulg %acia arriba. i la longitud de la barra $ es de -K pulg . etermine la deformación normal media en ella 51. la viga r&gida es soportada por un pasador en a y dos alambres ? y !. i la carga distribuida

70


E"astici#a#

sobre la viga ocasiona un desplazamiento vertical de 3: mm del extremo . etermine la deformación unitaria normal en cada uno de los alambres.

5). omo resultado de la aplicación de la fuerza , en el punto ? de la figura se observó un movimiento de /,/J pulg %acia arriba. i la longitud de la barra $ es de -K pulg . etermine la deformación normal media en ella.

5. omo resultado de la aplicación de la fuerza , en el punto ? de la figura se observó un movimiento de /,/J pulg %acia arriba. i las longitudes de las barras $ y D es de -K pulg . etermine la deformación normal media en cada una de las barras

55. #epita el problema anterior para las barras mostradas en la figura.

56. ebido a la aplicación de la fuerza  en la posición ? de la figura se observó u movimiento %acia la izquierda de /,E? mm. i la longitud de la barra $

70


es >,- m. etermine la deformación normal media en ella.

59. ebido a la aplicación de la fuerza , en el punto ? de la figura se observó un movimiento a la izquierda de /,E? mm. i las longitud de la barra $ es de >,- m. etermine la deformación unitaria normal media en dic%as barras.

5. ebido a la aplicación de la fuerza , en el punto ? de la figura se observó un movimiento a la izquierda de /,E? mm. i las longitudes de las barras $ y D es de >,- m. etermine la deformación unitaria normal media en dic%as barras.

5;. !l rodillo en  puede deslizarse en la ranura sólo en la cantidad indicada. etermine la deformación en la barra $, mediante- (a) mediante el cálculo de la longitud deformada de $ sin aproximaciones de pequeña deformación, (b) usando aproximaciones de pequeñas deformaciones.

5=. #epita el problema anterior para la barra mostrada en la figura


E"astici#a#


6. uando se aplica la fuerza  al extremo del brazo de palanca r&gido $? como se muestra en la figura, el brazo rota en sentido anti%orario alrededor del pasador en $ un ángulo de :,:@. etermine la deformación unitaria normal desarrollada en el alambre ?. 6>. !l rodillo en  se desliza en la ranura como se indica en cada caso. etermine el cambio dimensional en las barras $ y ? por aproximaciones de pequeña deformación.

61. !l rodillo en  se desliza en la ranura como se indica en la figura. etermine el cambio dimensional en la barras $ y ? por aproximaciones de pequeña deformación.

6). arte de la varilla de mando de un avión consta de un miembro r&gido ? y de un cable flexible $?. i se aplica una fuerza al extremo  del miembro y ocasiona una deformación unitaria normal en el cable de /,//D? mm+mm, determine el desplazamiento del punto . !n la posición original el cable no está estirado. RtaL K,DA mm

65. La fuerza aplicada al extremo  del brazo de palanca r&gido ocasiona que el brazo gire alrededor de $ un ángulo de 7 en sentido %orario. etermine la deformación unitaria promedio en el alambre. 4riginalmente el alambre se encuentra sin deformar.

66. Los dos alambres están conectados en $. i la fuerza  ocasiona que el punto $ se desplace %orizontalmente 5 mm, determine la deformación unitaria normal desarrollada en cada alambre. RtaL /,//?EA mm+mm

70


E"astici#a#

69. i una carga aplicada a la barra $ ocasiona que el punto $ se desplace %acia la izquierda una cantidad ∆L, determine la deformación unitaria normal en el alambre $?. /nicialmente, θ C =@.


aleación de aluminio si %ay un espacio libre de /,//? pulg en la conexión entre $ y , además del espacio libre de /,//I pulg entre ? y . RtaL 1a2 >/// *pulg+pulgN 1b2 I// *pulg+pulg

RtaL /,?P+

6. La pieza de plástico es originalmente rectangular. etermine el esfuerzo normal medio a lo largo de las diagonales $ y ?. 9>. !l cuadrado se deforma %asta adoptar de forma descrita por las l&neas punteadas. etermine (a) el esfuerzo normal medio a lo largo de las diagonales $ y ? y (b) las deformaciones angulares en $, ?,  y . !l lado M?M permanece %orizontal.

6;. $ntes de aplicar la carga  en el sistema de la figura, el espacio entre la placa r&gida y la barra ? es de /,>A mm. na vez aplicada la carga , la deformación axial en la barra ? es de "-?// µm+m. etermine la deformación axial en la barra $ 91. La placa rectangular está sometida a las deformaciones mostradas por las l&neas punteadas. etermine- (a) las deformaciones unitarias medias a lo largo de la diagonal $ y del lado $?, y (b) la deformación unitaria cortante media S xy.

6=. La carga  produce una deformación unitaria axial en el poste de latón ? de la figura de /,//>K pulg+pulg . etermine- (a) La deformación unitaria axial en la varilla $ de aleación de aluminio. (b) La deformación unitaria axial en la varilla $ de

70


E"astici#a#


9). La carga  produce una deformación unitaria axial en el poste de acero  de la figura de /,//E? m+m. etermine- (a) La deformación unitaria axial en la varilla de aluminio . (b) La deformación unitaria axial en la varilla  de aleación de aluminio si existe un espacio libre de /,>/ mm en la conexión en !, además además del espacio espacio libre libre de /,/I mm en la conexi con exión ón en !, además además del espacio espacio libre libre de /,/I mm entre ? y  antes de aplicar la carga . RtaL 1a2 A>// *m+mN 1b2 I// *m+m

96. !l soporte consta de tres placas r&gidas conectadas entre s& por medio de dos co"inetes de %ule situados sim+tricamente. i se aplica una fuerza vertical de placa $. determ determine ine el despla desplazam zamien iento to ? = a la placa vertic vertical al aproxi aproximad madoo de esta esta placa placa deb debido ido a las deformaciones unitarias cortantes en el %ule. ada co"inete tiene dimensiones transversales de D/ mm y -/ mm. V C :,5: 'a.

9. La unidad de aislamiento vibratorio consta de dos bloques de cauc%o endurecido ad%eridos a una placa $? y a soportes r&gidos r& gidos como se muestra en la figura. abiendo que para el cauc%o utilizado O adm adm % --/ psi y : % >A// psi. Z que la fuerza & % D,puede de causar causar una deflexi deflexión ón vertical vertical de /,> 8ips pue a la placa $?. etermine las dimensiones a y pulg a b más pequeñas requeridas. 99. na viga r&gida reposa en posición %orizontal sobre do doss cili cilind ndro ross de alum alumin inio io 5: 5:3= 3=Q*A Q*A qu quee tien tienen en longitudes sin carga que se muestran en la figura. i cada cada cili cilind ndro ro tien tienee un diám diámet etro ro de D/ mm. etermine la colocación de la carga x de modo que la viga permanezca %orizontal. uál es el nuevo diám diámet etro ro del del cili cilind ndro ro $ desp despu+ u+ss de %abe %abers rsee aplicado la carga_. onsidere que Qal % % /,D? RtaL x % >,?D mN d % D/,//A mm

co"ine nete te de elas elastó tóme mero ro (V C :,I :,I 'a) 'a) es 95. n co"i utilizado para soportar una viga de un puente como se muestra y proporcionar flexibilidad durante los terremotos. La viga no puede desplazarse más de 3: mm cuando se aplica la carga lateral  C 55 Y0. abi abien endo do qu quee el esfu esfuer erzo zo corta cortant ntee admi admisi sibl blee máxi máximo mo es de =5 =5:: Ya. a. ete eterm rmin inee- (a) (a) la dimensión b más pequeña requerida y (b) el espesor a requerido.

9. !l tubo r&gido $ es soportado por un pasador en $ y por un alambre ? de acero ( 6 % -I 8si). i el

70


E"astici#a#


alambre tiene un diámetro de /,-? pulg . etermine la carga  si el extremo  se desplaza /,/E? pulg %acia aba"o. >ta? P 9 : lb

9;. La barra $ es r&gida y se encuentra inicialmente en posición %orizontal. i el peso ] ocasiona que el punto punto ? se despl desplac acee /,/-? pulg %acia aba"o. etermine la deformación unitaria en los alambres ! y ?. $demás, si los alambres están %ec%os de acer aceroo (! C 5:: Va) Va) y tien tieneen un unaa secc secció iónn transversal de /,//- pul -, determine el peso ].

9=. !l tubo es soportado por un pasador en  y un alambr alambree $? que tiene tiene un diámetro diámetro de /,- pulg . etermine la deformación del alambre $? cuando sobre el tubo acta la carga distribuida mostrada.

>. os barras son utilizadas para soportar la carga  mostrada en la figura. i las longitudes de $? y $ antes de la aplicación de la carga son de ? pulg y y A respec ecti tiva vame ment ntee y las las coor coorde dena nada dass de pulg , resp posición del anillo es (:G :). espu+s de aplicarse la carga  al anillo las deformaciones unitarias normal en las barras son  !' % /,/- pulg+pulg y y son  !' % etermine ine las coo coorde rdenad nadas as de /,/D? pulg+pulg pulg+pulg . eterm posición del anillo despu+s de la aplicación de la carga.

1. !l alambre $? de acero (! C 5:: Va) tiene un área área transv transvers ersal al de 3: mm 5 y no está está estir estirad adoo cuando J C =@. etermine la carga  necesaria para que J C ==,I. RtaL & % -,KJ 8=

RtaL /,/A-> pulg

*RO?LE+AS SO?RE ELE+ENTOS CARADOS A2IAL+ENTE.

70


E"astici#a#


). n tubo %ueco $ de acero estructural ( 6 % -// :&a) con con un diámet diámetro ro exte exteri rior or de J/ mm y un diámetro interior de @: mm está unida a una barra sólida ? de aluminio ( 6 % ED :&a) que tiene un diámetro de ?/ mm sobre una mitad de longitud y un diámetro de -? mm sobre la otra mitad. La barra está sometida a cargas y sostenida como se muestra en la figura. etermine- (a) !l cambio de longitud del tubo de acero, (b) !l alargamiento total del miembr miembro, o, (c) Los esfuer esfuerzos zos máximo máximoss normal normal y cortante en la barra de aluminio y en el tubo de acero. RtaL 1a2 /,D>D mmN 1b2 >,AJ? mm

arra r&g r&gida ida ?! es sop soporta ortada da po porr los los 6. La barra cone conect ctor ores es $? y . . !l cone conect ctor or $? es de alum alumin inio io ( 6 6 % E/:&a) y tiene un sección transversal de ?// mm-, el conector  es de acero ( 6 área transver transversa sa de J// 6 % -//:&a) y tiene un área mm-. Xalle las deflexiones de- (a) ?, (b)  y (c) !

. !l ensamble consiste de una barra ? de acero ( 6 unaa barr barraa ?$ de alum alumin inio io 6 % -// :&a) y un ( 6 6 % E/ :&a) teniendo cada una un diámetro de >- mm. i el sistema es sometido a las cargas axiales mostradas. etermine(a ) el desp despla laza zami mien ento to de los los pu punt ntos os ? y $ y (b) (b) la elongación de la barra $. RtaL S ' % >,?I mm y S ! % J,>K mm

5. La barra compuesta de acero inoxidable ( 6 % -/ mostra rada da en la fig figura ura cons consta ta de dos :&a) most segmentos, $? y ?, cuyas áreas transversales son de J// mm- y >-// respectivamente mente.. >-// mm -, respectiva etermine el desplazamiento vertical del extremo $ y el desplazamiento de ? respecto a .

estructura tura mostra mostrada da con consis siste te en dos barras barras 9. La estruc r&gi r&gida dass orig origin inal alme ment ntee %o %ori rizo zont ntal ales es.. !stá !stánn soportadas por pasadores y barras de acero (! C ->/ :&a) de A mm de diámetroQ i se aplica la carga carga vertical vertical de -/ 8= a la barra barra infe inferio riorr $?. $?. etermine el desplazamiento en , ? y !.

. !l miembro a tensión de la figura consta de un tubo $ de acero estructural ( -I.>/J lb+pulg -), que tiene un diámet diámetro ro exte exteri rior or de J pulg diámetroo pulg y un diámetr interi interior or de K,? pulgN y de una barra sólida ? de aleación de aluminio ( >/,J.>/J lb+pulg -) que tiene un diámetro de K pulg . etermine- (a) !l cambio de longitud del tubo de acero, (b) La deflexión total

70


E"astici#a#


del miembro, (c) Los esfuerzos máximos normal y cortante en la barra de aluminio.

extremo inferior ba"o el efecto de su propio peso y la fuerza exterior .

;. !l con"unto mostrado en la figura consiste en un tubo $? de una aleación de aluminio (! CB7 Va) con área transversal de @:: mm 5. na barra de acero inoxidable (! C 3I: Va) con diámetro de 35 mm está unida a un collar&n r&gido y pasa a trav+s del tubo. i se aplica una carga de tensión de F: Y0 a la barra, determine el desplazamiento del extremo  de la barra.

;1. La barra r&gida esta soportada por la barra ? conectada +sta en sus extremos por pasadoresG la barra ? tiene un área transversal de 3= mm 5 y está %ec%a de aluminio A:A3Q*A. etermine la deflexión vertical de la barra en  cuando se aplica la carga distribuida.

=. n tubo $ de aleación de aluminio ( 6 % ED :&a), con un diámetro exterior de B@ mm, se utiliza para sostener una varilla ? de acero ( 6 % -// :&a) de -? mm de diámetro, como se muestra en la figura. etermine el diámetro interior del tubo $ requerido si la deflexión máxima del extremo de la varilla su"eto a carga debe limitarse a /,K/ mm.

>ta? F D 9 +:(7 mm

;). na barra de acero $Q7A está sometida a las cargas que se muestran en la figura. i el área de la sección transversal de la barra es de A: mm 5, determine el desplazamiento de ? y de $. esprecie el tamaño de los acoples ?,  y . >ta? F # 9 *(,A mm

>ta? d 9 :( mm

;>. n elemento estructural está %ec%o de un material que tiene una densidad  y un módulo de elasticidad !. etermine el desplazamiento de su

70

;. !l sistema de eslabones está formado por tres miembros de acero $Q7A ( 6 % -A.>/D 8si) conectados por pasadoresG cada miembro tiene un área transversal de /, E? pulg -. i se aplica una fuerza %orizontal & % J 8ip al extremo ? del


E"astici#a#

miembro $?. etermine el desplazamiento %orizontal del punto ?


etermine el desplazamiento de su extremo $ cuando está sometido a la carga distribuida mostrada.

6 % D?.>/ D 8si.

>ta? F # 9 (+* pulg

;5. na barra tiene una longitud L y el área de su sección trasversal es $. etermine su alargamiento debido tanto a la fuerza  como a su propio peso. !l material tiene una densidad  y un módulo de elasticidad !.

;6. na barra plana de sección transversal rectangular de lado L y espesor constante t, se somete a una fuerza de tracción  como se muestra en la figura. !l anc%o de la barra cambia en forma lineal, desde b> en el extremo menor %asta b- en el mayor. etermine el alargamiento de la barra.

;9. La barra tiene un ligero a%usamiento y longitud L. !stá suspendida del tec%o y soporta una carga  en su extremo. etermine el desplazamiento se su extremo libre debido a esta carga si se desprecia el eso propio. !l módulo de elasticidad es !

;. La barra de acero tiene un área en su sección transversal de D pulg - y un módulo de elasticidad

70

;;. etermine el desplazamiento relativo a un extremo de la placa tronco prismático con respecto al otro extremo cuando está sometida a una carga axial 

;=. n tubo de acero $Q7A tiene un radio exterior de -/ mm y un radio interior de >? mm . i entre "ustamente entre las paredes fi"as antes de ser cargado, determine la reacción en las paredes cuando se somete a la carga mostrada. RtaL F ( % K,A/ 8=N 1b2 F ! % >>,- 8=

=>. La barra r&gida $? es soportada por un pasador en $ y por una barra de acero ( 6 % -// :&a) ? de ?// mm- de sección transversal. etermine el desplazamiento vertical del extremo ? de la barra r&gida cuando se le aplica la carga distribuida mostrada en la figura. RtaL S ' % K,>E mm

=1. na barra de sección rectangular de aluminio ( 6 % >//// Ysi, Q % /,-? ) de T pulg de espesor consta de una sección transversal uniforme y una piramidal, como se observa en la figura. La altura de la sección piramidal var&a conforme a h1x2 % - "/,/-x. etermine- (a) !l alargamiento de la barra ba"o las cargas aplicadas, (b) !l cambio de dimensión en la dirección y en la sección ?.


E"astici#a#


etermine el diámetro requerida de cada varilla de tal manera que la cuarta parte de la carga sea soportada por el concreto y las tres cuartas partes de la carga sea soportada por el acero. Rta d % >,A/ pulg

=). os barras cil&ndricas, una de acero ( 6 % -// :&a) y la otra de latón (! C 3:@ Va) están unidas en  y y restringidas a moverse por los soportes r&gidos $ y !. i se aplica un sistema de cargas axiales como se muestra en la figura. etermine- (a) las reacciones en $ y en ! y (b) la deflexión de . Las dimensiones se dan en mil&metros

=. !l radio de un cono truncado de sección circular var&a con x de la manera siguiente R1x2 % 1r+21? " Kx2 ver figura. etermine el alargamiento del cono truncado debido a su propio peso en t+rminos de 6N , r y S, donde ! y S son el módulo de elasticidad y el peso espec&fico del material, respectivamente.

=5. n tubo de acero está lleno de concreto y sometido a una fuerza de compresión de A/ 8= . etermine el esfuerzo en el concreto y en el acero debido a esta carga. !l tubo tiene un diámetro exterior de A/ mm y un diámetro interior de E/ mm. 6 ac% -// :&a y

=9. !l con"unto consta de tres barras de titanio y una barra r&gida $. !l área de la sección transversal de cada barra se da en la figura. i se aplica una fuerza %orizontal de & % D/ 8= al anillo D, determine el ángulo de inclinación de la barra $. onsidere que 6 Ci % D?/ :&a. RtaL U % /,/JD.>/ "D rad

=. La barra compuesta consiste en un segmento $? de acero $Q7A de 5: mm de diámetro y de segmentos extremos $ y ? de latón F7=:: de @: mm de diámetro. etermine el desplazamiento del punto $ con respecto a ? debido a la carga aplicada. RtaL S !+' % /,DD? mm

6 c % -K :&a

=6. La columna mostrada en la figura es construida de concreto de alta resistencia ( 6 % K,-.>/D 8si) y A varillas de acero reforzado ( 6 % -I.>/D 8si). i al sistema se le somete a una carga axial de D/ 8ip.

70

=;. na barra r&gida $? descansa sobre los dos postes cortos mostrados en la figura. $ está %ec%o de acero ( 6 % -// :&a) y tiene un diámetro de 5@ mmG ? está %ec%o de aluminio ( 6 % ED :&a) tiene un diámetro de ?/ mm. etermine el desplazamiento del punto D situado en $? cuando se aplica una carga vertical de I/ 8= sobre este punto.


E"astici#a#

==. !l poste central ? del con"unto tiene una longitud original de >-K,E mm, mientras que los postes $ y  tienen una longitud de >-? mm. i las tapas arriba y aba"o se consideran r&gidas, determine el esfuerzo normal promedio en cada poste. Los postes están %ec%os ed aluminio y tienen cada uno un área transversal de K// mm-. 6 % E/ :&a. RtaL  ! %  ( % >AI M&aN  ' % ->,K M&a.


1>). !l soporte consisten un poste sólido de latón F7=:: ( 6 % >/> :&a) que está rodeado por un tubo de acero inoxidable 7:= ( 6 % >ID :&a ). $ntes de aplicar la carga el %ueco entre estas dos partes es de > mm. adas las dimensiones mostradas, determine la carga axial máxima que puede aplicarse a la tapa r&gida $ sin generar fluencia en ninguno de los materiales. >ta? P 9 +< GN

1>>. Las tres barras colgantes están %ec%as del mismo material y tienen las mismas áreas $ en sus secciones transversales. etermine el esfuerzo normal medio en cada una de las barras si la barra r&gida $! está sometida a la fuerza .

1>. na barra r&gida ? está engoznada en el punto . i el módulo de elasticidad del poste $ es 6 % D//// 8si , su área transversal es ! % >,-? pulg y su longitud es de -K pulg . etermine la fuerza aplicada D si el punto ? se mueve /,//- pulg %acia arriba. 1>1. La longitud del alambre de acero de - mm de diámetro, %a de ser a"ustada de manera que, sin carga aplicada, exista una luz de >,? mm entre el extremo ? de la viga r&gida $? y un punto de contacto !. abiendo que 6 % -// :&a, %alle la posición a la cual se debe colocar un bloque de -/ 8g sobre la viga de tal manera que el extremo ? de la viga entre en contacto con el apoyo !. >ta? x 9 <* mm

70

1>5. !l poste $ de acero inoxidable 7:= tiene un diámetro de d % ?/ mm se encuentra rodeado por un tubo ? %ec%o de bronce F7=::. $mbos se encuentra en reposo sobre la superficie %orizontal como se muestra en la figura. i la fuerza de -? 8= es aplicada a la lámina r&gida superior. etermine el diámetro d que debe tener el poste para que la carga sea repartida igualmente en el poste y el tubo.


E"astici#a#

1>6. La barra r&gida ? está engoznada en el punto . i el módulo de elasticidad de la varilla $ de peso despreciable es 6 % D//// 8si, su área transversal es ! % >,-? pulg - y su longitud es de -K pulg . etermine la fuerza aplicada D si el punto ? se mueve /,//- pulg %acia arriba


1>=. na barra r&gida está engoznada en el punto  con un perno de acero de 5 mm de diámetro y que acta cortante doble. i el módulo de elasticidad de la barra $ es 6 % >// :&a, su área transversal es ! % >? mm - y su longitud es de >,- m. etermine (a) la fuerza aplicada D si el punto ? se mueve /,E? mm %acia la izquierda, (b) el esfuerzo cortante en el perno . >ta? a) ! 9 7: N( b) @ 9 ,,: 0Pa

1>9. e supone que la viga %orizontal es r&gida mientras soporta la carga distribuida mostrada. etermine el ángulo de inclinación de la viga despu+s de %aberse aplicado la carga distribuida como se muestra. ada poste es de madera con >-/ mm de diámetro y una longitud original (descargada) de >,K m. considere que !mad C 35 Va. >ta? H 9 +(+A.+7 grados

11>. !l cable ? de - mm de radio está %ec%o de acero ( 6 % -// :&a ). abiendo que el máximo esfuerzo normal en el cable no debe exceder >I/ M&a y que la elongación en el mismo lo puede exceder los J mm, encuentre la máxima carga  que podr&a aplicarse a la estructura mostrada.

+:. uál es el

desplazamiento relativo del punto $ con respecto al punto _. onsidere que l !' % D// mm, l (3 % K// mm y l (3 % ?// mm

111. ada uno de los eslabones $? y  está %ec%os de aluminio y tienen una sección transversal de >-? mm -. abiendo que ellos soportan el miembro r&gido ?, determine la deflexión del punto !

1>;. La barra r&gida $? es soportada por dos cables de aluminio ( 6 % >//// 8si) con un diámetro de >E pulg la barra se encuentra en posición %orizontal antes de la aplicación de la carga. etermine el ángulo de rotación de la barra con respecto a la %orizontal cuando se aplica una carga & % ? 8ips.

70


E"astici#a#


etermine el desplazamiento del rodillo y el esfuerzo axial en la barra $

11). La barra r&gida $? es soportada por dos cables de aluminio ( 6 % >////8si2 con un diámetro de V pulg , como se muestra en la figura. etermine los alargamientos de los cables ! y ? cuando se le aplica una carga de & % ? 8ips.

11. La barra r&gida ? está engoznada en el punto . i el módulo de elasticidad del poste $ es 6 % >// :&a, su área transversal es $ C 3@ mm5 y su longitud es de >,- m. etermine la fuerza aplicada D si el punto ? se mueve /,E? mm %acia la izquierda.

119. na fuerza F % -/ 8= se aplica al rodillo que corre dentro de una ranura. Las dos barras tienen una sección transversal de ! % >// mm- y un módulo de elasticidad 6 % -// :&a. La barra $ y ? tienen longitudes de -// mm y -?/ mm, respectivamente. etermine el desplazamiento del rodillo y el esfuerzo axial en la barra $.

11. !ntre la placa r&gida y la barra $ de la figura existe una brec%a de /,//K pulg antes de que se aplique la fuerza F. la placa está engoznada en el punto . Las longitudes de las barras $ y ? es de D/ y ?/ pulg , respectivamente. $mbas barras tienen un área transversal de ! % > pul - y un módulo de elasticidad ! C 7::::Ysi. i & % >// 8ips. etermine el esfuerzo axial en las barras $ y ?.

115. !l rodillo en  se mueve en la ranura debido a la fuerza F % >// 8= . !l elemento $ tiene una sección transversal ! % >// mm- y un módulo elástico de -// :pa. etermine el desplazamiento del rodillo.

116. na fuerza F % -/ 8= se aplica al rodillo que corre dentro de una ranura. Las dos barras tienen una sección transversal de ! % >// mm- y un módulo de elasticidad 6 % -// :&a . La barra $ y ? tienen longitudes de -// mm y -?/ mm, respectivamente.

70

11;. na fuerza F % -/ 8= se aplica al rodillo que corre dentro de una ranura. Las dos barras tienen una sección transversal de ! % >// mm- y un módulo de elasticidad 6 % -// :&a. La barra $ y ? tienen longitudes de -// mm y -?/ mm, respectivamente. etermine el desplazamiento del rodillo y el esfuerzo axial en la barra $


E"astici#a#


m&nima aceptable para la barra ? si la barra $ tiene un área transversal de J-? mm- y b) !l desplazamiento vertical del extremo  de la barra r&gida. RtaL 1a2 -?E/ mm-N 1b2 J,?> mm

11=. !ntre la placa r&gida y la barra $ de la figura existe una brec%a de /,//K pulg antes de que se aplique la fuerza D. La placa está engoznada en el punto . Las longitudes de las barras $ y ? es de > m y >,? m, y sus diámetros de ? mm y D/ mm, respectivamente. La barras son de acero ( 6 % -// :&a) y tienen un módulo de oisson ν % /,-A i la fuerza F % E? 8= . etermine- (a) el cambio dimensional en la longitud de la dos barras y (b) su cambio en el diámetros.

1)>. !ntre la placa r&gida y la barra $ de la figura existe una brec%a de /,//K pulg antes de que se aplique la fuerza D. La placa está engoznada en el punto . Las longitudes de las barras $ y ? es de > m y >,? m, y sus diámetros de ? mm y D/ mm, respectivamente. La barras son de acero (! C 5:: Va) y tienen un módulo de oisson ν % /,-A. i los esfuerzos admisibles en las barras $ y ? son de >>/ M&a y >-? M&a, respectivamente. etermine la fuerza máxima F que puede aplicarse.

1)1. na estructura conectada con seguros está su"eta a cargas y sostenida como se muestra en la figura. !l miembro  es r&gido y %orizontal antes de aplicar la carga  de E? 8= . La barra $ está %ec%a de acero estructural ( 6 % -// :&a) y la barra ? está %ec%a de aluminio (! % ED :&a). i los esfuerzos admisibles son >-? M&a para el acero y E/ M&a para el aluminio, determine ? a) !l área transversal

70

1)). os barras delgadas se fi"an firmemente a una placa r&gida, como se muestra en la figura. !l área de la sección transversal de cada barra es de -/mm-. La fuerza D debe colocarse de tal manera que la placa r&gida sólo se muestra %orizontalmente /,/? mm sin girar. etermine la fuerza D y su ubicación % en los dos casos siguientes. (a) $mbas barras son de acero, con módulo de elasticidad 6 % -// :&a. (b) La barra (3 es de acero ( 6 % -// :&a) y la barra 5 de aluminio ( 6 % E/ :&a).

1). La barra r&gida !, mostrada en la figura, es %orizontal antes de aplicar la carga . !l tirante $ es una barra de acero ( 6% ->/ :&a) rolado en caliente con una longitud de =@: mm y un área transversal de D//mm-. el poste ? es un madero de roble ( 6 % >- :&a2 con una longitud de DE? mm y un área transversal de K?// mm-. espu+s de que se aplica la carga * de --? 8= , determine- (a) Los esfuerzos normales en la barra $ y el poste ?. (b)!l esfuerzo cortante en el seguro de -/ mm de diámetro en , que se encuentra a cortante doble. (c) !l desplazamiento vertical del punto .


E"astici#a#


1)5. os cables id+nticos $? y ? soportan una carga & % --? = . La distancia entre los soportes $ y  es b % > m y los cables forman un ángulo U % ??W con la %orizontalG está, %ec%os de acero de alta resistencia y su rigidez 6! % >J? 8=.m -. etermine el desplazamiento %acia aba"o, P, del punto ?, debido a la carga .

1)6. na barra de sección rectangular de aluminio ( 6 % >//// 8si), una barra de acero ( 6 % D//// 8si) y una barra de latón ( 6 % >? /// 8si) forman la estructura mostrada, todas tienen el mismo espesor de de /,? pulg . i existe una brec%a de /, /- pulg antes de que se aplique las fuerzas & % >? 8ips a la placa r&gida y suponiendo que +sta no gira, determine- a) !l esfuerzo axial en el acero y b) el desplazamiento de la placa r&gida respecto a la pared derec%a.

1)9. La estructura conectada con seguros mostrada en la figura ocupa la posición mostrada cuando no está su"eta a cargas. uando se aplican a la estructura las cargas 3 % >J 8lb y 6 % A 8lb, la barra r&gida  debe colocarse %orizontal. La barra $ está %ec%a de aluminio ( 6 % >/J// 8lb+pulg -) y la barra ? está %ec%a de bronce (! C >?/// 8lb+pulg -). i los esfuerzos normales en las barras deben limitarse a -/ 8lb+pulg - en el aluminio y >? 8lb+pulg - en el bronce. etermine- (a) Las áreas m&nimas que ser&an adecuadas para las barrasG (b) los cambios de longitud de las varillas $ y ?.

1). Las barras $ y ? tienen un área de sección transversal de =:: mm 5 y un módulo de elasticidad 6 % -// :&a . !ntre la barra $ y la placa r&gida %ay una brec%a antes de que se aplique la fuerza D, como se observa en la figura. i F % >/ 8= . etermine- (a) el esfuerzo axial en la barra ? y (b) el cambio dimensional de la barra $. RtaL  ' % JA,E M&a, S ! % /,>KJ mm

1);. ?arras sólidas de sección circular de latón (! C 3:: Va, [ C :,7=) y aluminio (! C B: Va, [ C :,77) del mismo diámetro extremo, como se muestra en la figura. on base en la carga indicada determine(a) !l movimiento de la laca  con respecto de la palca $ y (b) el cambio de diámetro del cilindro de latón. (c) !l diámetro interno máximo del tubo de acero si el factor de seguridad respecto de falla a fluencia debe ser al menos 3,5. !l esfuerzo de fluencia del acero es de 5@: 'a

RtaL ! ! % /,K>I pulg -N ! ' % >,/JE pulg -.

1)=. La barra r&gida esta soportada por dos postes cortos de madera y un resorte. i cada uno de los postes tiene una altura de @:: mm y un área transversal de F::mm5 y el resorte tiene una rigidez Y C 3.F '0Em y una longitud no estirada de @5: mm,

70


E"astici#a#


determine la fuerza en cada poste despu+s de aplicada la carga a la barra. ! mad C 33Va. RtaL F % K/ 8=

1>. *res barras de acero ( 6 % -// :&a) $G ? y  tienen longitudes  ! % K m G  ' % D m y ( % - m , como se muestra en la figura. *odas tienen la misma área de sección transversal de ?// mm-. etermine- (a) !l alargamiento de la barra ?, (b) !l esfuerzo normal en la barra .

11. !l bloque plástico mostrado está pegado al soporte r&gido y a una placa vertical, a la cual se aplica una fuerza  de -K/ 8= . abiendo que para el plástico utilizado : % >/?/ M&a , %alle la deflexión de la placa.

1. La barra  mostrada en la figura es una varilla de aleación de aluminio ( 6 % ED :&a ) tiene un área de sección transversal de J-? mm-. !l miembro  es un poste de madera ( 6 % >- :&a) y tiene una sección transversal de -?// mm -. i los esfuerzos normales admisibles son >// M&a para el aluminio y D/ M&a para la madera. etermine el valor máximo admisible de la carga . RtaL & max % -KJAD =

15. na estructura conectada con seguros está su"eta a cargas y sostenida como se muestra en la figura. !l miembro  es r&gido y está %orizontal antes de aplicar la fuerza . La barra $ es de aluminio ( 6 J % >/,J.>/ lb+pulg ) tiene un área trasversal de -,-? pulg -. La barra ? es de acero inoxidable ( 6 % -A.>/ J lb+pulg -) y tiene un área transversal de >,E? pulg . espu+s de que se aplica la carga  a la !structura, determine- (a) Los esfuerzos normales en las barras $ y ?G (b) el esfuerzo cortante en el seguro en  de /,? pulg de diámetro que está a cortante doble y (c) el desplazamiento vertical del punto . >ta? a) 1 # 9 *(*+ GlbBpul * ( 1  9 *(<+ GlbBpul *

1). !l conector %orizontal ? tiene X pulg y está %ec%o de acero de J/ 8si de resistencia ltima a tensión. uál debe ser el anc%o U del conector si la estructura se diseñó para soportar & % A 8ip con un factor de seguridad igual a D_.

16. La barra r&gida en forma de L es soportado por un pasador en $ y dos varillas de acero ( ! C 5::

70


E"astici#a#


Va) que tienen una longitud sin deformar de 35 pulg y un área de sección transversal de :,:35@ pul5. etermine la fuerza desarrollada en cada uno de los alambres cuando a uno de los extremos de la barra r&gida se le aplica una carga vertical de 7@: lb. RtaL F ' % AJ,J lbN F ( % >I? lb

1;. !l ensamble consta de dos varillas $? Z  de una aleación de cobre ( 6 % >/> M&a) de D/ mm de diámetroG de una varilla de acero inoxidable !D ( 6 % >ID :&a) de K/ mm de diámetro y de una placa r&gida V. uponiendo que los soportes $,  y D son r&gidos. etermine el esfuerzo normal medio en cada una de las barras. RtaL  !' %  (3 % -J,? M&a,  6F % DD,A M&a

19. La barra r&gida $? es soportada por un pasador en $, un alambre de acero ? ( 6 % -// :&a ) con una longitud sin deformar de 5:: mm y un área de sección transversal de --,? mm- y de un poste corte de aluminio ( 6 % E/ :&a ) cuya longitud sin carga es de @: mm y una sección transversal de =: mm5. i a uno de los extremos de la barra r&gida se le aplica una carga vertical de K?/ = . etermine el esfuerzo normal medio en la barra vertical y en el poste corto. RtaL  3 % >D,K M&a,  '( % I,?? M&a

1=. La barra vertical r&gida $? esta empernada en $ y soportada por dos barras de aluminio de > pulg de diámetro y cuyo módulo de elasticidad es 6 % >/.>/D 8si. etermine el desplazamiento del extremo ? de la barra cuando sobre ella se aplica la carga %orizontal de - 8ip. RtaL /,//-?E pulg

1. na barra r&gida $? está sostenida por dos eslabones como se muestra en la figura. !l eslabón ? está %ec%o de una aleación de aluminio ( 6 % ED :&a ) y tiene un área transversal de 35@: mm5. !l eslabón ! está %ec%o de acero estructural ( 6 % -// :&a) y tiene una sección transversal de E?/ mm-. etermine el esfuerzo normal en cada uno de los eslabones y la deflexión del punto $ cuando se aplica la carga  de ?/ 8= .

15>. i el espacio entre el extremo del ensamble de acero 16 % -// :&a2 y el muro r&gido en  es de /,>? mm. etermine las reacciones en $ y en  cuando en la unión ? se le aplica una carga & % -// 8=. >ta? > # 9 + GN? > D 9 *(A GN

70


E"astici#a#


viga r&gida se le aplica las cargas mostradas en la figura.

151. na fuerza  se aplica a una barra engoznada en el punto 4 mediante un perno %ec%o de acero de /,-? pulg de diámetro, como se muestra en la figura. Las barras $ y ? so de acero ( 6 % D//// 8si). !l área de la sección transversal de las barras $ y ? son de ! ! % > pulg - y ! ' % - pulg -. i la deflexión admisible en el punto  es de /,/> pulg y el esfuerzo admisible en las barras es de -? 8si. (a) etermine la magnitud de la fuerza  que puede aplicarse. (b) i el perno acta a cortante doble cuál será el esfuerzo cortante en dic%o perno_.

15). La barra $ de la figura es una varilla de acero ( 6 % D/.>/J lb+pul -) que tiene un área transversal de >,-K pulg -. !l miembro ? es un poste de latón ( 6 % >?.>/J lb+pulg -) que tiene un área transversal de = pulg5. etermine el valor máximo admisible de la carga * si los esfuerzos normales admisibles son D/ 8lb+pulg - para el acero y -/ 8lb+pulg - para el latón.

155. La barra r&gida se mantiene en posición %orizontal mediante un perno en $ y dos varillas de acero ( 6 % -I.>/D8si) ? y  y cuyas secciones transversales son de /,/K pulg -. etermine el esfuerzo normal medio en cada una de las barras. RtaL  (3 % >?,K 8siN  '( % >>,K 8si

156. La barra r&gida $? de peso despreciable se mantiene en posición %orizontal gracias a dos barras de acero (! % -//:&a) y de >- mm de diámetro, antes de aplicar la carga  C 5:Y0. etermine el ángulo de inclinación de la viga despu+s de la aplicación de .

RtaL & max % >JE,I 8lb

15. Las tres barras colgantes están %ec%as de acero ( 6 % -// :&a) y tienen la misma sección transversal ! % K?/ mm-. etermine el esfuerzo normal medio en cada una de las barras cuando a la

70

159. La viga r&gida $? de peso despreciable se mantiene en posición %orizontal mediante un pasador de A mm de diámetro en $ y un cable de acero ? de =F3 mm5 de sección transversal. abiendo que 7 % >,J m,  > % D m y - % >,? m. etermine despu+s de la aplicación de la carga & % D- 8= - (a) !l esfuerzo normal en el cable, (b) la deflexión del punto  y (c) el esfuerzo cortante en el pasador en $ si +ste acta a cortante doble

Cap i. Fisica II. Elasticidad

Recommend Documents