Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables. Montalvo F.

´ FRANCISCO MONTALVO DURAN

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

Departamento de Matemáticas, Universidad de Extremadura, Badajoz 2003

Índice General I

Iniciaci´ on a los Espacios Normados

1

1 Espacios Normados Conceptos básicos . . . . . . . . . La estructura de espacio normado Conexión en espacios normados . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3 3 6 8 10

2 Normas Equivalentes Equivalencia de normas . . Espacios de dimensión finita L´ımites y continuidad . . . Ejercicios . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

15 15 17 21 27

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3 El Teorema de Stone-Weierstrass 31 El teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 El teorema de Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4 Linealidad Aplicaciones lineales continuas . . . . . . Norma de una aplicación lineal y continua Aplicaciones multilineales continuas . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II C´ alculo Diferencial para Funciones de Varias Variables Reales

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

39 39 40 42 44

47

5 Derivadas Parciales 49 Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 vii

viii

Contenido Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 55

6 La Diferencial de Fr´ echet 57 Tangencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Diferenciabilidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7 Funciones de Clase C1 Preliminares . . . . . . Condición suficiente de Algunos ejemplos . . . Ejercicios . . . . . . .

. . . . . . . . . . diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Reglas Formales de Derivaci´ on Regla de la cadena . . . . . . Fórmula de Leibnitz . . . . . El teorema del valor medio . Ejercicios . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

69 69 71 73 76

. . . .

77 77 80 82 86

9 Derivadas Parciales de Orden Superior 91 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 El teorema de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10 Diferenciales de Orden Superior La diferencial de orden r en un punto Relación con las derivadas parciales . . Reglas de derivaci´ on . . . . . . . . . . Permutación en el orden de derivaci´ on Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

97 . 97 . 98 . 102 . 105 . 108

11 Teoremas de Taylor 111 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Los teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 12 Extremos Relativos 123 Condiciones necesarias de extremo . . . . . . . . . . . . . . . 123 Condición suficiente de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 La matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Contenido

ix

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 13 Funciones Impl´ıcitas: Existencia Un teorema de punto fijo . . . . . . . . El problema de las Funciones Impl´ıcitas Existencia de funciones impl´ıcitas . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Funciones Impl´ıcitas: Lema fundamental Teorema general . Ejercicios . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

131 . 131 . 133 . 136 . 138

Derivaci´ on 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

15 Funciones Inversas 147 Derivada de funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Inversión local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 16 Variedades y Extremos Condicionados Variedades diferenciables . . . . . . . . . Variedad tangente . . . . . . . . . . . . Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . Distintas presentaciones de una variedad Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Medida e Integraci´ on en Rn

153 153 155 157 159 161

165

17 Medida Exterior 167 n Semintervalos de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Medida exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 18 Conjuntos Medibles La identidad de Caratheodory . . . La σ-álgebra de conjuntos medibles Conjuntos medibles y no medibles Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

181 181 183 186 190

x

Contenido

19 La Medida de Lebesgue 193 Propiedades de la medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 193 El problema de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 20 Conjuntos de Borel ´ σ-Algebras . . . . . . . . . . La σ-álgebra de Borel . . . . Transformaciones de medibles Otras propiedades de m∗ . . Ejercicios . . . . . . . . . . . 21 Caracterizaci´ on de Funciones Definiciones . . . . . . . . . Funciones simples . . . . . . El teorema principal . . . . Ejercicios . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

199 199 200 202 204 207

Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

209 209 210 212 215

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

217 217 222 223 227

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

22 Espacio de Funciones Medibles Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . Aritmética en [−∞, ∞] . . . . . . . . . Propiedades de las funciones medibles Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

23 Integraci´ on Preliminares . . . . . . . . Conjuntos de medida nula Propiedades de la integral Los espacios Lp . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . .

. . . en la . . . . . . . . .

. . . . . . . integraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

229 229 231 233 240 241

24 Teoremas de Convergencia Convergencia monótona . Convergencia dominada . Consecuencias . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

245 245 248 251 254

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

25 Primitivas e Integrales 257 Las integrales de Riemann y Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 257 Teorema Fundamental del Cálculo Integral . . . . . . . . . . . 259 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Contenido

xi

26 El Teorema de Fubini-Tonelli 267 El teorema de Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 El teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 27 T. Cambio de Variables 273 Transformación de medibles por funciones de clase C 1 . . . . 273 El teorema del cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . 276 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

iii

Introducci´ on La asignatura está estructurado en tres partes: I. Iniciación a los Espacios Normados, II. Calculo Diferencial, III. Medida e Integración en Rn . La primera parte está pensada con un triple objetivo: estudiar las cuestiones esenciales sobre equivalencia de normas y linealidad que después se utilizarán en el desarrollo del Cálculo Diferencial; servir de pretexto para repasar los conceptos y propiedades b´ asicas de la topolog´ıa de un espacio métrico y, en particular, de Rn ; y, por u ´ltimo, abordar el estudio de la convergencia uniforme, como la convergencia en un cierto espacio de funciones, para concluir con el teorema de aproximación uniforme de Weierstrass y la generalización del mismo debida a Stone. En la segunda parte se establece el C´ alculo Diferencial. Los temas que se incluyen están muy determinados por la tradición y por el marcado carácter auxiliar para otras materias. Hay un primer bloque en el que se extienden a las funciones de varias variables las reglas y teoremas habituales del c´ alculo con derivadas, tanto para las de primer orden como para las de orden superior. Se obtienen as´ı, la regla de la cadena, la fórmula de Leibnitz etc., para terminar con los teoremas de Taylor y su aplicación a los problemas de extremos relativos. En un segundo bloque, con materia espec´ıfica sólo de las varias variables, se dan los primeros pasos para el estudio de las Variedades Diferenciables: se prueban los teoremas de existencia y derivabilidad de funciones impl´ıcitas, los teoremas sobre funciones inversas, para terminar con un cap´ıtulo sobre variedades en Rn . En este u ´ltimo tema se incluyen algunas caracterizaciones del Espacio Tangente a una variedad en un punto, que se aplicarán en la obtención de condiciones de extremo sobre variedades. Si bien no hay un interés especial en trabajar en dimensión infinita, no se ha querido renunciar a la ventaja que supone el uso de las técnicas de los Espacios Normados. As´ı, tanto el concepto de funci´ on diferenciable como las reglas del cálculo con derivadas de cualquier orden, se formulan en este marco. Sin embargo, el objetivo son las funciones de varias variables reales y la obtención rigurosa de los teoremas ligados con sus propiedades de as o menos expl´ıcita, diferenciación. En la mayor parte de ellos, de forma m´ interviene el teorema de valor medio de las funciones de una variable o bien una consecuencia del mismo, que relaciona el car´ acter lipschitziano de una aplicación con la acotación de sus derivadas parciales o su diferencial. La

iv versión más fuerte de este u ´ltimo resultado establece que la menor constante de Lipschitz para una función f , diferenciable en un segmento de un espacio normado y que toma sus valores en otro espacio normado, es “ sup kDf (x)k”. Por el interés que en s´ı mismo tiene este u ´ltimo resultado, que a veces se conoce como “teorema de valor medio vectorial”, se ha incluido en un Anexo la demostración del mismo, extra´ıda del excelente libro de Flett[12]. Sin embargo, para el desarrollo del Cálculo Diferencial en Rn tal versi´ on no resulta necesaria. De hecho, sin recurrir a ella y sin ning´ un esfuerzo adicional, puede obtenerse: el teorema de caracterización de las aplicaciones de clase C r en término de la continuidad de las derivadas parciales de orden r; el teorema de Schwartz que, en su forma más general, establece la simetr´ıa de la diferencial de orden r de una función en un punto; el teorema local on es algo más larga que la que usa de Taylor (en este caso, la demostraci´ del teorema del valor medio vectorial, y que puede verse, por ejemplo, en Cartan [5]); el teorema de existencia de funciones impl´ıcitas... La tercera parte se dedica a la Medida y la Integral de Lebesgue en n R . Para la construcción de la medida se sigue el método de Caratheodory, que define los conjuntos medibles utilizando sólo la medida exterior. Este procedimiento, adem´ as de ser completamente generalizable a los espacios de medida abstracta, parece el más rápido y no precisa distinguir el caso acotado del no acotado. En los primeros cap´ıtulos se estudian, pues, las propiedades de la familia de los conjuntos medibles y de la medida de Lebesgue y su relación con la topolog´ıa de Rn . El desarrollo de la integración para funciones de varias variables, que se aborda a continuación, se basa en el concepto “geométrico” de función medible. Una función no negativa se dirá medible cuando su conjunto de ordenadas (o subyacente a su gráfica) es un conjunto medible. La medida de este conjunto será, por definición, su integral. Inmediatamente, con ayuda de las propiedades ya estudiadas de la medida, se obtendr´ a un teorema de caracterización de funciones medibles en los términos que son habituales en los espacios de medida abstracta. Algunas de los t´ıpicos resultados sobre integración, tales como la desigualdad de Chebyshev o el teorema de la convergencia monótona, serán consecuencias directas de esta definición geométrica de integral. El estudio de las Funciones Medibles, la linealidad del operador integral y los teoremas de convergencia y sus consecuencias, completan básicamente el bloque teórico sobre la Integral de Lebesgue en ´ltimos cap´ıtulos están enfocados al Cálculo Integral. En primer Rn . Los u lugar se estudia, en algunos casos particulares, la relaci´ on entre primitivas e integrales (teorema fundamental del C´ alculo Integral), después se establece el teorema de Fubini-Tonelli, que reduce el c´ alculo de una integral m´ ultiple

v al cálculo de integrales simples y, por u ´ltimo, el teorema del Cambio de Variables. Al margen de las referencias utilizadas para elaborar los distintos cap´ıtulos, quiero destacar aqu´ı dos influencias esenciales. La primera, la de las notas sobre Integración de mi amigo, el profesor Carlos Ben´ıtez, y sobre todo de dos de las peculiaridades de esas notas: la presentaci´ on unificada de la medida de Jordan y la de Lebesgue, y la noci´ on geométrica de la Integral. De hecho, la idea de plasmar en un libro sus notas fue lo que determinó mi decisión de ponerme a escribir. Espero que el resultado conseguido no le desagrade y, en todo caso, agradezco su confianza y su generosidad, sin lo cual este proyecto no lo hubiera podido realizar. La otra influencia a que asico, y quizás poco conocido, me refiero es la ejercida por un libro muy cl´ el segundo tomo de las “Fontions de Variables Réelles” de Garnir [15]. Es impresionante la cantidad de detalles, ejemplos, ejercicios y problemas con que el autor adorna la exposición de los resultados. Ahora agradezco a mi profesor en la Universidad de Valladolid, Antonio Pérez, que se emplease a fondo para explicarnos la Integración Lebesgue en Rn , a través de este libro.

Parte I

Iniciaci´ on a los Espacios Normados

Cap´ıtulo 1

Espacios Normados Conceptos b´ asicos Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una norma sobre E es una aplicación de E en R que satisface las tres propiedades siguientes: 1. kxk = 0 si y sólo si x = 0 2. kλxk = |λ| kxk, ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E 3. kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ E Al n´ umero real kxk se le denomina norma del vector x y se dice que el par (E, k · k) es un espacio normado. Ejemplos 1.1 (1) Las u ńicas normas sobre R son el valor absoluto y sus m´ ultiplos positivos. En efecto, sea k k una norma cualquiera sobre R y sea k = k1k. Entonces kxk = kx·1k = |x|k1k = k|x|. (2) En Rn las normas más utilizadas son Ã k(x1 , . . . , xn )kp =

n X

!1/p |xi |p

, p≥1

i=1

k(x1 , . . . , xn )k∞ = max{|x1 |, . . . , |xn |}. La comprobación, en las del tipo p, de la tercera propiedad de norma se basa en la desigualdad de Hölder (Ver ejercicio 1A), aunque para el caso p = 2 3

4

Espacios Normados

1.1

cabe una demostración alternativa, basada en la desigualdad de CauchySchwartz. La k · k2 es la norma de la geometr´ıa eucl´ıdea, ella forma parte del importante grupo de normas que se derivan de un producto escalar y que vamos a estudiar a continuaci´ on: (3) Normas Eucl´ıdeas (o Prehilbertianas). Definici´ on 1.2 Si E es un espacio vectorial real, un producto escalar sobre E es una aplicación h , i : E ×E → R que cumple las siguientes condiciones: 1. hx, xi > 0, para x 6= 0. 2. hx, yi = hy, xi, para todos x, y ∈ E. 3. hλx, yi = λhx, yi. 4. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi. A partir de un producto escalar se puede definir una norma sin más que tomar kxk = hx, xi1/2 . Para demostrarlo necesitamos establecer antes la desigualdad de Cauchy-Schwartz: (1.1)

∀x, y ∈ E,

khx, yi| ≤ kxk kyk.

En efecto, sean x, y dos vectores no nulos de E. Entonces, seg´ un la condición 1 de la definición de producto escalar, hx + λy, x + λyi ≥ 0,

∀λ

por lo que de la bilinealidad del mismo se deduce que λ2 hy, yi + 2λhx, yi + hx, xi ≥ 0,

∀λ.

equivalentemente (1.2)

λ2 kyk2 + 2λhx, yi + kxk ≥ 0,

∀λ.

Es bien conocido que un polinomio de segundo grado, ax2 + bx + c, tiene signo constante si y sólo si su discriminante, b2 − 4ac, es menor o igual que 0, Aplicado esto al polinomio (en λ) (1.2), resulta inmediatamente la desigualdad buscada. Comprobemos ya que kxk = hx, xi1/2 es una norma. Las dos primeras condiciones de norma se obtiene directamente de la definición. Veamos pues la tercera: kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + kyk2 + 2 hx, yi ≤ kxk2 + kyk2 + 2 kxk kyk = (kxk + kyk)2 .

1.2

Espacios Normados

5

En particular, si consideramos en Rn el producto escalar habitual: Pn hx, yi = i=1 xi yi , la norma asociada es n X kxk = hx, xi1/2 = ( x2i )1/2 = kxk2 . i=1

Sea ahora E = C[0, 1], el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo compacto [0,1]. Sobre este espacio puede definirse muchas normas de interés: (4) Definiendo un producto escalar en E mediante la fórmula: Z

1

hf, gi =

f (t)g(t)dt, 0

(La u ńica condición de producto escalar que no es trivial de comprobar es la primera, es decir que el producto escalar de una función no nula por s´ı misma es estrictamente positivo (ejercicio)) se construye, siguiendo el procedimiento descrito antes, una norma eucl´ıdea µZ 1/2

kf k = hf, f i

1

=

¶1/2

2

f (t)dt

.

0

También son normas sobre E: Z (5) kf k =

1

|f (t)| d t.

0

(6)

kf k = max{|f (t)| : t ∈ [0, 1]}.

Esta u ´ltima norma se conoce como norma de la convergencia uniforme: Es claro que una sucesión de funciones de este espacio {fp } converge en el sentido de esta norma a la función f si y sólo si converge uniformemente i.e., si, para ε > 0, existe un ´ındice ν tal que, si p ≥ ν, entonces |fp (x)−f (x)| < ε para todo x. (7) Otros espacios normados habituales del Análisis son los espacios lp , p ≥ 1 y l∞ (ver ejercicio 1B). lp , es el espacio vectorial de las sucesiones de K de potencia p-ésima sumable, es decir de las sucesiones (xn ) tales que P |xn |p < ∞, dotado de la norma kxn kp =

³X

|xn |p

´1/p

.

6

Espacios Normados

1.2

l∞ , es el espacio vectorial de las sucesiones acotadas de n´ umeros reales (o complejos) con la norma del supremo, es decir: k(x1 , x2 , ..., xn , ...)k = sup{|x1 |, |x2 |, ..., |xn |, ...}. De la definición de norma se deducen las siguientes propiedades adicionales: 4. kxk ≥ 0, ∀x ∈ E. 5. kxk = k − xk, ∀x ∈ E. 6. kx − yk ≤ kxk + kyk. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 7. ¯kxk − kyk¯¯ ≤ kx − yk (kx + yk). Las propiedades 5 y 6 son evidentes. La propiedad 4 se obtiene as´ı: 0 = kx − xk ≤ kxk + k − xk = 2kxk ⇒ kxk ≥ 0. Por u ´ltimo observemos que 7 equivale a que −kx − yk ≤ kxk − kyk ≤ kx − yk, desigualdades éstas que se prueban fácilmente a partir de la condición (3) de norma. 1.3 Toda norma lleva asociada de forma natural una distancia d definida por d(x, y) = kx − yk. Esta distancia posee dos propiedades especiales: (i) d es invariante por traslaciones, es decir d(x, y) = d(x + a, y + a), cualesquiera que sean los puntos x, y, a ∈ E. (ii) d es absolutamente homogénea por homotecias, es decir d(λx, λy) = |λ| d(x, y). Ambas propiedades se comprueban de forma inmediata. Rec´ıprocamente, es fácil ver que toda distancia sobre un espacio vectorial E que tengan las propiedades (i) y (ii) induce una norma sobre E (concretamente, kxk = d(x, 0)).

La estructura de espacio normado Puesto que en un espacio normado se superponen dos estructuras, una algebraica, la de espacio vectorial, y otra topol´ ogica, la inducida por la métrica, todos los conceptos y propiedades asociadas a ellas admiten una formulación en este nuevo marco. Redefinamos, por ejemplo, los conceptos:

1.5

Espacios Normados • Bola abierta, B(a, r) = {x : kx−ak < r}. Análogamente bola cerrada, B[a, r] y esfera, S[a, r]. • Sucesión convergente. {xn } → x si para cada ε > 0 existe un ´ındice ν tal que si n ≥ ν entonces kxn − xk < ε. • Función continua en un punto. f : E → F es continua en el punto x0 si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que si kx − x0 k < δ entonces kf (x) − f (x0 )k < ε. Análoga definición para función uniformemente continua. • Función lipschitziana. La función f : E → F se dice lipschitziana si existe una constante k > 0 tal que kf (x) − f (y)k ≤ kkx − yk. • Isometr´ıa. f es una isometr´ıa si kf (x) − f (y)k = kx − yk.

Proposici´ on 1.4 Toda propiedad topológica, uniforme o lipschitziana que tenga una bola abierta (cerrada), la tienen todas las bolas abiertas (cerradas). En particular si la bola cerrada unidad, B[0, 1], es compacta entonces toda bola cerrada es compacta. Demostraci´ on. Consideremos la aplicación T : E → E definida por T (x) = a + rx. Esta aplicación es un homeomorfismo lipschitziano, ya que es lipschitziana: kT (x) − T (y)k = ka + rx − (a + rx)k = rkx − yk, e inversible:

−a 1 + y. r r resulta del mismo tipo que T , esta aplicación también es T −1 (y) =

Y puesto que T −1 lipschitziana. As´ı pues T es un homeomorfismo lipschitziano que, además, lleva la bola unidad en la bola con centro en a y radio r, ya que trivialmente B[a, r] = a + rB[0, 1]. Se tiene pues que toda propiedad a lo sumo lipschitziana de la bola unidad es también propiedad de cualquier otra bola, de lo que se deduce ya lo que quer´ıamos. 1.5 A continuación vamos a rese˜ nar algunas propiedades algebraicotopológicas de los espacios normados.

7

8

Espacios Normados

1.5

1. Ning´ un subespacio vectorial propio tiene puntos interiores. 2. Un espacio normado es localmente compacto si y sólo si la bola cerrada unidad es compacta. 3. Ning´ un espacio normado puede ser compacto. 4. Todo espacio normado es conexo (por arcos) y localmente conexo (por arcos). 5. La adherencia de la bola abierta es la bola cerrada del mismo centro y radio. 6. Un conjunto abierto es conexo si y sólo si es conexo por arcos. La primera de estas propiedades es geométricamente intuitiva (Visualizase en el plano eucl´ıdeo). Formalmente es as´ı: En primer lugar observemos que si L es un subespacio vectorial propio, 0 no es interior a L. En efecto, si x 6∈ L, entonces en toda bola centrada en 0 existe alg´ un vector λx proporcional a x. Trasladar a cualquier otro punto la situación del 0 es un sencillo ejercicio. (2) Prácticamente ha sido demostrada ya. Si la bola cerrada unidad es compacta, entonces cualquier bola cerrada es compacta, luego cada punto admite un entorno compacto, es decir que E es localmente compacto. Rec´ıprocamente, si a admite un entorno V compacto, entonces también es compacta cualquier bola cerrada con centro en a contenida en V, y por la proposición 1.4, la bola cerrada unidad es compacta. Que no puede existir un espacio normado compacto es obvio. Todo espacio normado es un conjunto no acotado (si x 6= 0 se pueden encontrar proporcionales a x de norma tan grande como se quiera). La propiedad (5) se deja como ejercicio. Las demás propiedades las comentamos más ampliamente a continuación.

Conexi´ on en espacios normados En un espacio normado tiene sentido considerar varias formas de conexión, algunas de ellas de naturaleza puramente algebraica. Definici´ on 1.6 Se denomina segmento de extremos a, b, al conjunto [a, b] = {a + t(b − a) : t ∈ [0, 1]} = {(1 − t)a + tb : t ∈ [0, 1]}. El conjunto A se dirá convexo si para cada par de puntos de A, el segmento que los une está totalmente contenido en A.

1.9

Espacios Normados

Proposici´ on 1.7 Toda bola es un conjunto convexo. Demostraci´ on. Sean x, y dos puntos de la bola B(a, r) y sea z = (1−t)x+ty un punto del segmento [x, y]. Entonces kz − ak = k(1 − t)x + ty − ((1 − t)a + tak ≤ (1 − t)kx − ak + tky − ak < (1 − t)r + tr = r. Proposici´ on 1.8 Todo espacio normado es conexo (por arcos) y localmente conexo. Demostraci´ on. Todo espacio normado es conexo por arcos, ya que para cada par de puntos x, y de E el segmento [x, y] define un arco (aplicaci´ on continua de un intervalo compacto de R en E) que une al punto x con el punto y. Este arco es la aplicación continua ϕ : [0, 1] → E, definida por ϕ(t) = a + t(b − a). Para demostrar que E es localmente conexo, observemos en primer lugar que por ser cada segmento un arco, se tiene trivialmente que cada conjunto convexo es conexo por arcos. Luego, de la proposición anterior resulta que para cada punto x de E, las bolas centradas en x constituyen una base de entornos conexos de x. El concepto de segmento admite una generalización natural Definiciones 1.9 (i) Llamaremos Poligonal de vértices x0 , x1 , ..., xn al conjunto n−1

∪ [xi , xi+1 ],

i=0

o indistintamente a la aplicación (claramente continua) ϕ : [0, n] → E definida por ϕ(t) = xi + (t − i)(xi+1 − xi ), si t ∈ [i, i + 1]. (ii) Un conjunto A se dirá conexo por poligonales si cada par de puntos x, y ∈ A se pueden conectar mediante una poligonal contenida en A y de extremos x e y. Es claro que convexo ⇒ conexo por poligonales ⇒ conexo por arcos ⇒ conexo.

9

10

Espacios Normados

1.10

Proposici´ on 1.10 En un espacio normado E, un conjunto abierto U es conexo si y sólo si es conexo por poligonales (a fortiori si y sólo si es conexo por arcos). Demostraci´ on. Sea U un abierto conexo y a un punto de U . Llamemos A al conjunto de puntos de U que se pueden conectar con a mediante una poligonal contenida en U . Vamos a demostrar que A es un conjunto a la vez abierto y cerrado en el subespacio topológico U . Esto implicará, en virtud de la conexión de U , que A coincide con U (A es no vac´ıo ya que al menos el punto a ∈ A). A es abierto: Sea x ∈ A y sea B(x, r) una bola centrada en x y contenida en U . Esta bola debe estar contenida ´ıntegramente en A, pues cada punto y de la misma se conecta con el centro x mediante el segmento [y, x], y x con a mediante una poligonal, luego también y se conecta con a mediante una poligonal. A es cerrado en U: Mediante un razonamiento análogo al anterior, se prueba que U \ A es un conjunto abierto.

Ejercicios 1A Sean p, q n´ umeros reales positivos tales 1/p + 1/q = 1 (observar que en estas condiciones p y q deben ser mayores que 1). (a) Demostrar la desigualdad: xy ≤

1 p 1 q x + y , p q p

1

x, y ≥ 0. 1

q

´ n. Escribir xy = e p ln x + q ln y Indicacio y tener en cuenta que la función ex es convexa. (b) (Desigualdad de Hölder) Utilizar el apartado anterior para demostrar que n X i=1

xi yi ≤

Ã n X i=1

!1/p Ã |xi |

p

n X

!1/q |yi |

q

.

i=1

En otros términos, hx, yi ≤ kxkp kykq , x = (x1 , . . . , xn ); y = (y1 , . . . , yn ). ´ n. Suponer en una primera etapa que kxkp = 1, kykq = 1 y Indicacio demostrar que entonces hx, yi ≤ 1. Pn 1/p (c) Demostrar que kxkp = ( i=1 |xi |p ) es una norma sobre Rn . 1B Sea p un n´ umero real mayor o igual queP1 y denotemos por lp al conjunto de ∞ sucesiones de n´ umeros reales (xn ) tales que n=1 |xn |p < ∞. Definamos también l∞ como el conjunto de las sucesiones acotadas de n´ umeros reales.

1F

Espacios Normados

11

(a) Probar que lp y l∞ son espacios vectoriales y que la expresiones kxkp =

∞ ¡X

|xn |p )1/p ;

kxk∞ = sup |xn | n∈N

n=1

definen sendas normas sobre lp y l∞ (b) Demostrar que la adherencia en l∞ del conjunto de sucesiones que tienen todos sus términos nulos, salvo un n´ umero finito de ellos, es c0 : el espacio vectorial de sucesiones reales que convergen a 0. (c) Probar que l∞ no es separable pero c0 s´ı. 1C Demostrar que si k · k es una norma sobre Rn tal que (*)

k(u1 , . . . , un )k ≤ 1

⇒

|ui | ≤ 1,

entonces |xi | ≤ kxk, para cada x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . Dar ejemplos de normas que no satisfagan la condición (*) para ning´ un i. 1D Estudiar si las expresiones siguientes definen una norma sobre R2 : p 1. k(x, y)k = 4x2 + y 2 . p 2. k(x, y)k = |x| + |y|. p 3. k(x, y)k = |x| + | 3 x3 + y 3 |. p 4. k(x, y)k = (x − y)2 + y 2 . p p 1E Demostrar que el conjunto {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| < 1} no es convexo (hacer un dibujo de este conjunto). Deducir de ello que p ¢2 ¡p |x| + |y| k(x, y)k = no es una norma sobre R2 ¿qué condición falla? 1F Sean (Ei , i = 1, 2, . . . , n) una familia finita de espacios normados y empleemos la notación com´ un k · k para designar a las normas de Ei . (a) Demostrar que k(x1 , . . . , xn )k =

n X

αi kxi k,

αi ≥ 0,

i=1

k(x1 , . . . , xn )k =

p

kx1 k2 + . . . + kxn k2

son normas sobre E = E1 × . . . × En . (b) Utilizar lo anterior para demostrar que p k(x, y, z)k = (2|x| + |y|)2 + z 2 es una norma sobre R3 .

12

Espacios Normados

1G

1G Sea (E, k · k) un espacio normado. Estudiar si la aplicación de E en s´ı mismo, f (x) = xkxk, es continua, uniformemente continua o lipschitziana. 1H Encontrar una norma sobre R2 para la que la esfera unidad sea la elipse de ecuación x2 + 4y 2 = 4. 1I

(a) Probar que en un espacio normado un conjunto A es acotado si y sólo si existe una constante k tal que kxk ≤ k, para todo x de A. (b) Demostrar que en C[0, 1] todo conjunto acotado mediante la norma k · k∞ R1 es también acotado mediante la norma kf k1 = 0 |f (t)|dt. ¿Es cierto el rec´ıproco? (c) Sea A = {Pn (t) = t+1/2 t2 +. . .+1/n tn : n ∈ N} ¿Es A un conjunto acotado para estas normas?

1J Sea F un espacio vectorial cerrado del espacio normado E. Probar que al espacio vectorial cociente E/F se le dota de estructura de espacio normado definiendo kx + F k = inf{kx + yk : y ∈ F } = d(x, F ).

1K Sea (E, k · k) un espacio normado y sea d(x, y) = kx − yk ¿Puede ser d la distancia discreta? 1L

(a) Probar que d(x, y) =

|x − y| 1 + |x − y|

es una distancia sobre R invariante por traslaciones, pero que no es absolutamente homogénea por homotecias. (b) Probar que p d(x, y) = 3 |x3 − y 3 | es una distancia sobre R absolutamente homogénea por homotecias, pero no invariante por traslaciones. (c) Si d es una distancia sobre el espacio vectorial E, que no es invariante por traslaciones o absolutamente homogénea, ¿puede ser la aplicación x → d(x, 0) una norma sobre E. 1M Probar que la bola abierta unidad de un espacio normado E es homeomorfa a todo el espacio E. ´ n. Probar que la aplicación Indicacio T (x) = establece el homeomorfismo buscado.

x 1 + kxk

1T

Espacios Normados

13

1N Sea E un espacio normado y f una aplicación continua de E en R tal que f (x) 6= 0 para todo punto x ∈ E. Probar que entonces, o bien f (x) > 0 para cada x, o bien f (x) < 0 para cada x ¿Es válida esta conclusión si se sustituye en lo anterior E por la esfera unidad? 1O

(a) Probar que un espacio normado es completo (se dice entonces que es de Banach) si y sólo si su bola cerrada unidad es completa. (b) Probar que un espacio normado es separable si y sólo si la bola unidad es separable.

1P Sea {xn } con xn 6= 0 para todo n, una sucesión de Cauchy en un espacio normado. (a) Probar que la sucesión de n´ umeros reales {kxn k} es convergente. Sea α su l´ımite. (b) Probar que si α > 0 entonces la sucesión { kxxnn k } es de Cauchy. (c) Demostrar con un ejemplo que si α = 0, la sucesión { kxxnn k } no es necesariamente de Cauchy. 1Q Sea {xn } una sucesión convergente a 0 en un espacio normado. Probar que también converge a 0 la sucesión: yn =

x1 + x2 + . . . + xn n

1R Sea E el espacio normado C[0, 1] dotado de la norma de la convergencia uniforme y A = {f : f (0) = f (1) = 1; kf k = 1}. (a) Calcular la adherencia y el interior de A. (b) ¿Es A un conjunto conexo? (c) ¿Es A compacto? 1S Sea E un espacio vectorial sobre R. Demostrar que una aplicación k·k : E → R es una norma si y sólo si satisface las condiciones 1 y 2 de norma y la bola unidad {x : kxk ≤ 1} es un conjunto convexo. o

1T Sea A un conjunto convexo de un espacio normado tal que A6= ∅. Probar que o

cl (A) = cl ( A).

o

o

´ n. Probar que si a ∈ A, x ∈ A entonces el segmento [a, x) ⊂ A. Indicacio

Cap´ıtulo 2

Normas Equivalentes. Espacios Normados de Dimensi´ on Finita Dos son los resultados más importantes que, sobre la equivalencia de normas, veremos en este cap´ıtulo. El primero de ellos establece que, en el marco de los espacios normados, la equivalencia de normas es siempre lipschitziana. El segundo que sobre un espacio de dimensi´ on finita, todas las normas son equivalentes. Incluiremos también en este cap´ıtulo la caracterización topológica, dada por F. Riesz, de los espacios normados de dimensión finita. Para terminar desarrollaremos algunas técnicas de ´ındole práctico para la existencia de l´ımite (continuidad) de funciones de varias variables.

Equivalencia de normas Definici´ on 2.1 Dos normas sobre un mismo espacio vectorial E se dicen equivalentes, cuando inducen la misma topolog´ıa sobre E. La proposición que veremos a continuación determinará que no tengamos necesidad de distinguir, como pasaba en los espacios métricos, entre distintas formas de equivalencia de normas. Proposici´ on 2.2 Dos normas k · k y k · k∗ sobre E son equivalentes si y sólo si existen dos constantes a, b > 0 tales que (2.1)

akxk ≤ kxk∗ ≤ bkxk , 15

∀x ∈ E.

16

Normas Equivalentes

2.2

Demostraci´ on. En efecto, si ambas normas son equivalentes, las bolas abiertas relativas a ellas, {B(x, r) : x ∈ E, r > 0} y {B ∗ (x, r) : x ∈ E, r > 0} constituyen dos bases de una misma topolog´ıa. Entonces, puesto que B(0, 1) es un conjunto abierto debe existir r > 0 tal que B ∗ (0, r) ⊂ B(0, 1). Lo que significa que kxk∗ < r ⇒ kxk < 1. Sea a un n´ umero real tal que 0 < a < r, y un vector cualquiera. Si y 6= 0 es claro que el vector u = a(y/kyk∗ ) verifica que kuk∗ = a < r, y por tanto que kuk < 1. Se deduce pues que para y 6= 0, akyk < kyk∗ . En todo caso akyk ≤ kyk∗ . Intercambiando los papeles de ambas normas, se obtiene la otra desigualdad. Rec´ıprocamente, si para todo x ∈ E se tiene que akyk ≤ kyk∗ ≤ bkxk, es fácil deducir entonces que la aplicación Identidad: Id : (E, k · k) → (E, k · k∗ ) es un homeomorfismo lipschitziano. En particular, las topolog´ıas que inducen estas normas sobre E coinciden, luego k · k y k · k∗ son equivalentes. En la proposición anterior hemos demostrado que si dos normas sobre un mismo espacio vectorial E son equivalentes, los espacios normados (E, k · k) y (E, k · k∗ ) no sólo tienen las mismas propiedades topológicas, sino también las mismas propiedades uniformes y lipschitzianas. Puede resumirse este hecho diciendo que en los espacios normados, la equivalencia de normas es siempre lipschitziana. Antes de pasar al estudio de los espacios normados de dimensi´ on finita, es conveniente establecer algunas cuestiones referentes al producto de espacios normados. Definici´ on 2.3 (Norma producto) Sean (Ei , k · ki ), i = 1, 2, . . . , n, un n´ umero finito de espacios normados. Llamaremos norma producto de las normas k · ki a la norma sobre E = E1 × . . . × En , k(x1 , . . . , xn )k∞ = max(kx1 k1 , . . . , kxn kn ).

Además de la norma producto, se puede probar que también definen normas sobre E las expresiones Ã p !1/p X p k(x1 , . . . , xn )kp = kxi ki . i=1

2.6

Normas Equivalentes

17

Obviamente, si los espacios Ei = R para todo i y k · ki = | · |, entonces las normas anteriores son las ya estudiadas k · k∞ y k · kp de Rn . Proposici´ on 2.4 Todas las normas anteriores son equivalentes e inducen en E la topolog´ıa producto de los espacios (Ei , k · ki ). Demostraci´ on. Es fácil ver que kxk∞ ≤ kxkp ≤ n1/p kxk∞ , lo que demuestra que todas estas normas son equivalentes. Asimismo constituye un sencillo ejercicio comprobar que la topolog´ıa que éstas inducen sobre E es la producto de los espacios (Ei , k · ki ). Como indicación, observar que, con respecto a la norma producto k · k∞ , las bolas en E son productos de bolas en Ei , es decir: B(a, r) =

n Y

B(ai , r) ;

a = (a1 , . . . , an ).

i=1

Espacios de dimensi´ on finita Como establece el teorema de Riesz, los espacios normados de dimensi´ on finita son, bajo el punto de vista topológico, esencialmente diferente a los de dimensión infinita. Antes de enunciar este teorema, observemos que el modelo matemático en el que se representan los espacios normados de dimensión finita es Rn , en el sentido de que: Proposici´ on 2.5 Si E es un espacio normado de dimensión finita n, entonces existe alguna norma sobre Rn , tal que E es isométrico a Rn con esa norma. on. Sea T : x → (xi ) el isomorfismo de espacio vectoriales que Demostraci´ asocia a cada vector x de E sus coordenadas xi ∈ R en una base dada. Obviamente kyk∗ = kT −1 (y)k define una norma sobre Rn , para la que T es una isometr´ıa. La propiedad más importante de Rn como espacio normado, se establece en la proposición siguiente Proposici´ on 2.6 En Rn todas las normas son equivalentes.

18

Normas Equivalentes

2.6

Demostraci´ on. Vamos a probar que cada norma k · k sobre Rn es equivalente a la norma k · k1 (k(x1 , . . . , xn )k1 = |x1 | + · · · + |xn |). Consideremos para ello la aplicaci´ on k · k : (Rn , k · k1 ) → R. Esta aplicación es continua pues, si denotamos por ei = (0, . . . , 1, . . . , 0) y M = max(ke1 k, . . . , ken k) , entonces n ¯ X ¯ ¯kxk − kyk¯ ≤ |xi − yi |kei k ≤ M kx − yk1 . i=1

Además, si en la desigualdad anterior se toma y = 0, se tiene (2.2)

kxk ≤ M kxk1 .

Sea ahora S = {x : kxk1 = 1}. Este conjunto es compacto ya que es un cerrado que es subconjunto de un compacto. Concretamente, S ⊂ [−1, 1]n . (Nótese que seg´ un 2.4 la topolog´ıa del espacio normado (Rn , k · k1 ) es la topolog´ıa producto). Se deduce entonces que la aplicación k·k : (Rn , k·k1 ) → R alcanza un m´ınimo sobre S, es decir existe un punto u0 ∈ S tal que ku0 k ≤ kuk cualquiera que sea u ∈ S. Sea m = ku0 k y x 6= 0, cualquiera (m > 0 pues u0 6= 0). Puesto que x/kxk1 es un punto de S, se tiene: ° ° ° x ° ° (2.3) m≤° ° kxk1 ° ⇒ mkxk1 ≤ kxk. De 2.2 y 2.3, se deduce que ambas normas son equivalentes. 2.7 De lo anterior se pueden extraer las siguientes consecuencias 1. En Rn un conjunto es compacto si y sólo si es cerrado y acotado (respecto de cualquier norma). Sabemos que en todo espacio métrico cada compacto es un conjunto cerrado y acotado. Para probar que en Rn el rec´ıproco también es cierto, basta observar que si un conjunto es acotado respecto de una norma es también acotado respecto de cualquier norma equivalente. As´ı, si K es cerrado y acotado, entonces es acotado respecto a la norma producto, luego existe alguna constante r > 0 tal que, para todo x = (x1 , . . . , xn ) ∈ K |xi | ≤ r, (i = 1, 2, . . . , n)

⇒

De esto se sigue pues que K es compacto.

K ⊂ [−r, r]n .

2.9

Normas Equivalentes

19

2. Rn es un espacio de Banach respecto de cualquier norma. Es fácil ver que esto es cierto para la norma producto (una sucesión de puntos de Rn es de Cauchy si y sólo si las sucesiones coordenadas son de Cauchy etc.) Además, si k · k es otra norma cualquiera, Rn tiene las mismas propiedades topológicas, uniformes y lipschitzianas para ambas normas, ya que seg´ un la proposición anterior, son equivalentes. En particular (Rn , k · k) es completo (propiedad uniforme). 3. Todo subespacio vectorial de dimensión finita de un espacio normado es cerrado. En efecto, si F es un subespacio vectorial de dimensión n del espacio normado (E, k · k), entonces (F, k · k) es isométrico a Rn (proposición 2.5), luego es completo. Como todo conjunto completo de un espacio métrico es cerrado, se deduce ya que F es cerrado. Vamos a terminar esta sección con la caracterización topológica de los espacios normadas de dimensión finita, dada por F.Riesz. Usaremos para ello el siguiente lema Lema 2.8 Sea E un espacio normado y F un subespacio vectorial propio y cerrado en E. Entonces para cada 0 < ε < 1 existe un vector x ∈ E tal que ε < d(x, F ) < 1.

on. Puesto que F es un conjunto cerrado distinto de E, existe Demostraci´ alg´ un vector y tal que d(y, F ) > 0. Entonces alg´ un proporcional de y, λy, debe verificar que ε < d(λy, F ) < 1. Tomemos ahora un vector u ∈ F tal que kλy − uk < 1, y sea x = λy − u. Es claro entonces que ε < d(λy, F ) = d(x, F ) ≤ kxk < 1.

Teorema 2.9 (T. de Riesz) Si E es un espacio normado, son equivalentes: (a) E es de dimensión finita. (b) La bola cerrada unidad es compacta.

20

Normas Equivalentes

2.6

(c) Los conjuntos compactos de E son, justamente, los cerrados y acotados. (d) E es localmente compacto. Demostraci´ on. En primer lugar veamos que las condiciones (b), (c) y (d) son equivalentes: Supongamos que se verifica (b), y sea K un conjunto cerrado y acotado. Entonces K es subconjunto de una bola cerrada, por ejemplo K ⊂ B[a, r]. Por la proposición 1.4, sabemos que B[0, 1] y cualquier otra bola cerrada resultan simultáneamente compactas o no compactas. Se deduce pues que K es un subconjunto cerrado de un compacto, y por lo tanto K también es compacto. Trivialmente (c) implica (d). Y aplicando de nuevo la proposici´ on 1.4, se demuestra que (d) implica (b). (a) implica todas las demás condiciones. Por u ´ltimo, veamos que los espacios normados de dimensión finita son ńicos en los que la bola cerrada unidad es compacta: los u En efecto, supongamos que E tiene dimensión infinita. Vamos a aplicar el lema 2.8 para encontrar una sucesión en la bola unidad que no tiene ninguna subsucesión convergente: Sea x1 un vector no nulo de E y sea F1 = lin {x1 }, el subespacio generado por x1 . Como dim(F1 )=1, F1 es cerrado. Existe por tanto un punto x2 tal que kx2 k < 1,

1 kx1 − x2 k > . 2

Procediendo igual con el subespacio cerrado (y propio) generado por los vectores x1 , x2 , encontramos un punto x3 tal que kx3 k < 1,

1 kx1 − x3 k > , 2

1 kx2 − x3 k > . 2

Es evidente que, de este modo, se construye una sucesión {xn } de puntos de la bola unidad, que no admite subsucesiones de Cauchy, pues cada dos términos de la misma distan entre s´ı más de 1/2. Por lo tanto tampoco admite subsucesiones convergentes, luego la bola cerrada unidad no es compacta, como se trataba de probar.

2.11

Normas Equivalentes

21

L´ımites y continuidad El contenido de este parágrafo es eminentemente práctico. En él se exponen algunas técnicas para el estudio de la continuidad (existencia de l´ımite) para una función de varias variables reales, f : A ⊂ Rn → Rp . Si p = 1, es decir si f toma sus valores en R, se dirá que f es una funci´ on escalar. Cuando p > 1, una función de este tipo se dirá que es una función vectorial. En ese caso escribiremos f = (f1 , f2 , . . . , fp ), donde fi (x) es la coordenada i-ésima de f (x), es decir las funciones f1 , f2 , . . . , fp son las funciones coordenadas de f . Definici´ on 2.10 Sea f : A ⊂ Rn → Rp y a un punto de acumulaci´ on de A. Diremos que el punto l ∈ Rp es l´ımite de la función en el punto a, lo que denotaremos como lim f (x) = l, x→a

si para ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < kx − ak < δ ⇒ kf (x) − lk < ε.

Es claro que la función f es continua en a si y sólo si lim f (x) = f (a).

x→a

Nótese que en la definición anterior, de acuerdo con la proposición 2.6, pueden utilizarse las normas que se quieran, es decir: “Si l es l´ımite de la función f en el punto a con respecto a dos normas en Rn y Rp , l es también l´ımite de f en a respecto a cualquier otro par de normas”. Proposici´ on 2.11 Sea f = (f1 , f2 , . . . , fp ) una función de A ⊂ Rn → Rp y a un punto de acumulación de A. Entonces lim f (x) = l = (l1 , . . . , lp )

x→a

⇔

lim fi (x) = li

x→a

Demostraci´ on. Si en Rp utilizamos la norma producto, es evidente que la definición de l´ımite para f en a puede expresarse en los siguientes términos: para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < kx − ak < δ

⇒

|fi (x) − li | < ε ,

∀i

lo que equivale a decir que li es el l´ımite de fi en a, para todo i.

22

Normas Equivalentes

2.12

2.12 Para estudiar la existencia de l´ımite y/o la continuidad para funciones de varias variables se tendrá en cuenta, en primer lugar, las propiedades generales de las funciones continuas entre espacios topológicos (la composición de continuas es continuas, las aplicaciones constantes, la identidad, las proyecciones,... son continuas), o las que hacen referencia a la estructura vectorial de los espacios normados (el conjunto de las aplicaciones que toman sus valores en un espacio normado y que son continuas en un punto es también un espacio vectorial, ver ejercicios 2A,2B). Además, después de la proposición anterior, dicho estudio bastará hacerse para funciones escalares. Para ellas podemos establecer sin dificultad que 1. El producto de funciones continuas en un punto es una función continua en ese punto. 2. Si f, g son funciones continuas en un punto a y g(a) 6= 0, entonces f /g es continua en a. Análogos resultados y consideraciones se pueden obtener sobre la existencia de l´ımites en un punto. Ejemplo 2.13 Las funciones polinómicas son continuas: En efecto, toda función polinómica es suma de monomios, es decir de aplicaciones de la forma (x1 , ..., xn ) → axk11 . . . xknn , que son continuas por ser el producto de aplicaciones del tipo (x1 , ..., xn ) → a ,

(x1 , ..., xn ) → xi .

2.14 En lo que sigue trataremos de buscar criterios que nos permitan estudiar la existencia de l´ımite (continuidad), en aquellos casos en que las reglas generales para el cálculo de l´ımites (2.12) no sean aplicables, es decir cuando aparezcan indeterminaciones. Cuando tales criterios sean aplicables, se evitará tener que usar, para resolver esas indeterminaciones, el engorroso método ε − δ que proporciona la definición de l´ımite. Para simplificar trabajaremos con funciones escalares de dos variables. Si f : A ⊂ R2 → R y (x0 , y0 ) un punto de acumulaci´ on de A, entonces, de acuerdo con la definición 2.10, l=

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y),

2.16

Normas Equivalentes

si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que  |x − x0 | < δ, |y − y0 | < δ       |x − x0 | + |y − y0 | < δ 0 < k(x − x0 , y − y0 )k < δ p   (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ     ......................

23

            

⇓ |f (x, y) − l| < ε, on suficiente para existencia de l´ımite) Con las nota2.15 (Condici´ ciones anteriores, si existen dos constantes positivas M y α tales que, para (x, y) en alg´ un entorno de (x0 , y0 ), se verifica que |f (x, y) − l| ≤ M k(x − x0 , y − y0 )kα entonces l = lim(x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y).

Ejemplo 2.16 Consideremos la funci´ on f (x, y) =

(1 − y)(x − 1)2 + y 2 si (x, y) 6= (1, 0) ; f (1, 0) = 1. (x − 1)2 + y 2

Esta función es continua en el punto (1,0), pues ¯ ¯ ¯ (1 − y)(x − 1)2 + y 2 ¯ |f (x, y) − 1| = ¯¯ − 1¯¯ 2 2 (x − 1) + y |y|(x − 1)2 ≤ |y| ≤ k(x, y) − (1, 0)k∞ . = (x − 1)2 + y 2 Hay que hacer notar que la condición de la proposición anterior no es necesaria, es decir una función puede tener l´ımite y no satisfacer ninguna desigualdad de ese tipo. (Compruébense, por ejemplo, con la función f (x, y) = en el punto (0,0)).

1 + y2 )

ln(x2

24

Normas Equivalentes

2.17

Definici´ on 2.17 (L´ımites iterados) Con las notaciones anteriores, a cada uno de los l´ımites lim ( lim f (x, y)),

x→x0 y→y0

lim ( lim f (x, y))

y→y0 x→x0

se les denomina l´ımites iterados. Proposici´ on 2.18 Si existe el l´ımite de una función en un punto (x0 , y0 ) es decir, l = lim(x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y), entonces también existen y son iguales a “l”los l´ımites iterados. (Se supone que para cada y 6= y0 y x 6= x0 existen los l´ımites limx→x0 f (x, y) y limy→y0 f (x, y)). Demostraci´ on. Resulta directamente de aplicar la definición de l´ımite. Definici´ on 2.19 (L´ımites direccionales) Llamaremos l´ımites direccionales de la función f en el punto (x0 , y0 ) a los l´ımites siguiendo rectas que pasen por el punto, es decir limx→x0 f (x, y0 +m(x−x0 )). (Análoga definición para l´ımite siguiendo curvas que pasan por el punto). Nota. La condición 2.15 as´ı como la definición 2.17 se generalizan de manera natural al caso de funciones de 3 o m´ as variables. Para generalizar también la noción de l´ımites direccionales de una función en un punto, deberemos escribir en forma paramétrica las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto. As´ı si a = (a1 , . . . , an ), entonces x1 = a1 + th1 , x2 = a2 + th2 , . . . , xn = an + thn es la ecuación de la recta que tiene como vector director h = (h1 , . . . , hn ) y que pasa por a. El l´ımite siguiendo esta recta será entonces lim f (a1 + th1 , . . . , an + thn ).

t→0

Para n = 2 el l´ımite anterior coincide con el l´ımite direccional en el sentido de la definición 2.19, siguiendo la recta de pendiente m = h2 /h1 . Como en el caso de los l´ımites iterados, es evidente que la existencia de l´ımite implica la de los l´ımites direccionales y siguiendo curvas. Se deduce, pues, que la existencia de los l´ımites iterados, direccionales y siguiendo curvas son condiciones necesarias para la existencia del l´ımite. Por lo tanto: NO existe l´ımite cuando 1. No existe alguno de los l´ımites iterados o existen pero son distintos.

2.23

Normas Equivalentes

25

Ejemplo 2.20 Consideremos la funci´ on x2 + y si (x, y) 6= (0, 0); f (x, y) = p x2 + y 2

f (0, 0) = 0.

Esta función no es continua en (0, 0) ya que uno de los l´ımites iterados no existe: x2 + y y lim ( lim p ) = lim = ±1. y→0 x→0 y→0 |y| x2 + y 2 Ejemplo 2.21 Este es un ejemplo de una función para la que los l´ımites iterados existen pero son diferentes (luego el l´ımite no existe) (x + y − 1) ln(x2 + 2y 2 ) , (x − 1)2 + y 2

f (x, y) =

si (x, y) 6= (1, 0).

Se tiene que 2(x − 1) ln x =2 (x − 1)2 y ln(1 + 2y 2 ) 4y lim ( lim f (x, y)) = lim = lim = 0. 2 y→0 x→1 y→0 y→0 1 + 2y 2 y lim (lim f (x, y)) = lim

x→1 y→0

x→1

2. No existe alguno de los l´ımites direccionales o existen, pero no son iguales. Ejemplo 2.22 Sea f (x, y) =

x2

xy si (x, y) 6= (0, 0). + y2

Los l´ımites direccionales de esta función no son todos iguales. En efecto: mx2 m = 2 2 2 x→0 (m + 1)x m +1

lim f (x, mx) = lim

x→0

que depende de m. Se deduce pues que el l´ımite no existe. Ejemplo 2.23 Sea f (x, y) =

x2 y si (x, y) 6= (0, 0); x4 + (y − x)2

f (0, 0) = 0.

Es inmediato comprobar que limx→0 f (x, mx) = 0 para m 6= 1. En cambio para m = 1 el l´ımite anterior no existe, es decir la función no tiene l´ımite en (0,0) siguiendo la recta y = x y por lo tanto no admite l´ımite en ese punto (no es continua en (0,0)).

26

Normas Equivalentes

2.23

3. No existe el l´ımite siguiendo alguna curva que pasa por el punto o el l´ımite var´ıa dependiendo de la curva que se tome. Ejemplo 2.24 Consideremos la función f (x, y) =

xy 2 si (x, y) 6= (0, 0). x2 + y 4

Tanto los l´ımite iterados como los l´ımites direccionales en el punto (0,0) existen y valen 0, sin embargo esta función no tiene l´ımite en ese punto, ya √ que si tomamos las curvas y = m x, se tiene: m2 x2 m2 = . x→0 x2 + m4 x2 m4 + 1

√ lim f (x, m x) = lim

x→0

Es decir los l´ımites siguiendo esa familia de curvas existen todos pero son diferentes entre s´ı, luego el l´ımite no existe. Ejemplo 2.25 Sea f (x, y) =

x2 ln y , x4 + (x2 + ln y)2

si (x, y) 6= (0, 1);

f (0, 1) = 0.

Es inmediato comprobar que también en este caso los l´ımites iterados en (0,1) valen 0. En cuanto a los l´ımites direccionales x2 ln(1 + mx) ln(1 + mx) ln 1 = lim 2 = 2 = 0. 4 2 2 x→0 x + (x + ln(1 + mx)) x→0 x + (x + 1/x ln(1 + mx)) m lim

Sin embargo tampoco existe el l´ımite ya que si consideramos la curva y = 2 e−x , que obviamente pasa por (0,1), la función admite l´ımite siguiendo esta curva, pero es diferente de 0. Aunque los casos más frecuentes sobre la existencia de l´ımite en un punto se resuelven mediante el estudio desarrollado anteriormente, a veces no queda más remedio que acudir al estudio ε − δ. En esos casos puede ayudar el paso a coordenadas polares (sólo si f es una función de dos variables). 2.26 (Coordenadas polares para l´ımite en (0,0)) La función f tiene l´ımite en (0, 0), es decir l = lim(x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y), si y sólo si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que si r < δ entonces |f (r cos θ, rsen θ) − l| < ε (uniformemente en θ).

2C

Normas Equivalentes

27

Demostraci´ on. Basta espresar la condición de l´ımite en coordenadas polares. Ejemplo 2.27 Sea f (x, y) =

y sen (x2 + y 2 ) si x 6= 0; x

f (0, y) = 0.

Pasando a polares se obtiene f (r cos θ, rsen θ) = tan θsen r2 . La condición anterior no se cumple, pues existe ε (por ejemplo ε = 1) tal que cualquiera que sea δ > 0 se puede encontrar r < δ de manera que | tan θsen r2 | > 1 para alg´ un θ. Basta tomar r < δ con la condición r2 6= kπ y θ tal que | tan θ| > 1/|sen r2 |. Se deduce pues que la aplicación no es continua en (0,0). Tampoco resulta continua en ning´ un punto de la forma (0, y0 ). Si y02 6= kπ es obvio, pues entonces lim(x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) = ∞. En otro caso, puede comprobarse que los l´ımites direccionales no son todos iguales. En los puntos con x 6= 0 se pueden aplicar los teoremas generales sobre funciones continuas para probar que la función s´ı que es continua.

Ejercicios 2A Demostrar que en todo espacio normado la aplicación suma (i) Es continua. (ii) Es abierta. Más precisamente, si U es un conjunto abierto de E y A es un conjunto cualquiera, entonces A + U es abierto. (iii) No es cerrada. Sin embargo, si K es compacto y F cerrado, entonces K + F es también cerrado. Indicaci´ on. Para probar que no es cerrada considérense los conjuntos F1 = Eje X y F2 = {(x, 1/x) : x > 0}. 2B

(a) Demostrar que, en todo espacio normado E, la aplicación “multiplicación por escalares”es una aplicación continua. (b) Sea S = {x ∈ E : kxk = 1}. Demostrar que esta aplicación lleva el conjunto [0, 1] × S sobre la bola cerrada unidad, B[0, 1] = {x ∈ E : kxk ≤ 1}. (c) Deducir de (b) que el espacio normado E es de dimensión finita si y sólo si la esfera unidad S es compacta.

2C Demostrar que en todo espacio normado

28

Normas Equivalentes

2C

(a) La adherencia de un subespacio vectorial es un subespacio vectorial. (b) La adherencia de un conjunto convexo es también convexo. 2D Sea E un espacio normado y k · k, k · k∗ dos normas comparables sobre E, i.e., o bien existe una constante positiva a > 0 tal que kxk ≤ akxk∗ , ∀x ∈ E, o bien existe una constante positiva b > 0 tal que kxk∗ ≤ bkxk, ∀x ∈ E. Probar que si {xn } es una sucesión en E que converge respecto a ambas normas, entonces los limites coinciden. 2E Sea f la aplicación definida sobre el conjunto C = {(x, y) : x2 6= y 2 } de R2 como µ ¶ sen x − sen y ex − ey , f (x, y) = . x−y x+y Demostrar que f es continua sobre C y que se puede extender a R2 continuamente. 2F Estudiar la existencia de los siguientes l´ımites 1.

1 − cos(x − y) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) lim

(x + 1)y 3 + x2 p (x,y)→(0,0) x2 + y 4 2x2 + y 2 − xy p p 5. lim (x,y)→(0,0) 2 x2 + y 2 − 3x2 + 2y 2 3.

lim

xα y β (x,y)→(0,0) sen x2 + sen y 2 x3 − y 2 + z 3 9. lim (x,y,z)→(0,0,0) x2 + y 2 + z 2 cos xz − cos yz 11. lim (x,y,z)→(0,0,0) x2 + y 2 + z 2 √ 1 + cos(x + 3y) 13. lim (x,y)→(π,0) 1 + y 2 + cos(x − y) 7.

(x + 1)y 2 + x2 p (x,y)→(0,0) x4 + y 4 xy 2 + π 2 (x − 1)2 p 4. lim (x,y)→(1,0) sen 4 πx + y 4 x3 (x + y) 6. lim (x,y)→(0,0) (x + y)2 + x2 y 2 2.

lim

(x2 + y 3 )(x2 + y 2 ) x2 + y 4 (x,y)→(0,0) x3 − y 3 + z 3 10. lim (x,y,z)→(0,0,0) x2 + y 2 + z 2 cos xz − cos yz 12. lim (x,y,z)→(0,0,0) (x2 + y 2 + z 2 )2

lim

8.

14.

lim

(y + ln(x − 1))2 2 (x,y)→(2,0) ey + x2 − 4x + 3 lim

2G Demostrar que si (Ei ) es una familia Q infinita de espacios normados, ninguna norma sobre el espacio vectorial E = Ei puede inducir sobre E la topolog´ıa producto de los espacios Ei . 2H Demostrar que la expresión k(x, y, z)k =

p

x2 + (y − x)2 + (z − y)2

define una norma sobre R3 . Compararla con la norma eucl´ıdea.

2N

Normas Equivalentes

29

2I Sea (E, k · k) un espacio normado. Probar que mediante la expresión k(x, y)k = kx + yk + kx − yk se define una norma sobre E × E, equivalente a la norma producto. ´ n. La equivalencia entre esta norma y la norma producto constituye un Indicacio fácil ejercicio si antes se prueba la desigualdad 2kxk ≤ kx + yk + kx − yk, para todos x, y ∈ E. 2J Sea E = C([0, 1] y consideremos las normas Z kf k∞ = max |f (t)| , t∈[0,1]

1

kf k1 =

|f (t)|dt. 0

(a) ¿Son comparables ambas normas? ¿y equivalentes? (b) Estudiar la continuidad del producto de funciones de E, respecto a las normas anteriores. 2K Sea E el espacio vectorial de las funciones polinómicas sobre el intervalo [0, 1]. Consideremos sobre él las normas: ka0 + a1 x + . . . + an xn k∞ = max(|a0 |, . . . , |an |) ka0 + a1 x + . . . + an xn k1 = |a0 | + · · · + |an | ka0 + a1 x + . . . + an xn k = max |a0 + a1 x + . . . + an xn |. x∈[0,1]

Establecer las comparaciones posibles entre ellas, probando, en particular, que la primera y la tercera no son comparables. 2L Sea f una aplicación entre espacios normados y supongamos que existe limx→x0 kf (x)k ¿se mantendrá la existencia de este l´ımite si se cambia la norma k · k por otra equivalente? 2M Calcular la adherencia del conjunto ½ ¾ 1 1 3 1 A = (x, y, z) ∈ R : + + = 1 . x y z

2N Sea K = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 − 2z ≤ 2, x + y + z ≤ 1}. o

(a) Probar que K es un conjunto compacto de R3 y hallar K y Fr(K). (b) Sea S = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 − 2z = 2} y M la traza sobre S del conjunto {(x, y, z) : x + y + z < 1}. Obtener el interior, la adherencia y la frontera de M , relativo al subespacio S.

30

Normas Equivalentes

2O

2O

(a) Demostrar las desigualdades 1. x2 + y 2 − x2 y 2 ≥ 1/2(x2 + y 2 ), si |x| < 2. x4 + y 4 − x2 y 2 ≥ 1/2(x4 + y 4 ), ∀x, y.

√

2 o |y| <

√

2.

(b) Estudiar, teniendo en cuenta las desigualdades anteriores, los siguientes l´ımites: lim

(x,y)→(0,0)

¡

x3 y 2

¢2 , x2 y 2 − (x2 + y 2 )

xα y β , α, β ≥ 0. (x,y)→(0,0) x4 + y 4 − x2 y 2 lim

2P Estudiar, pasando a coordenadas polares, los siguientes l´ımites y(x2 + y 2 )3/2 , (x,y)→(0,0) (x2 + y 2 )2 + y 2 lim

x3 (x + y) . (x,y)→(0,0) (x + y)2 + x2 y 2 lim

2Q Estudiar la continuidad uniforme de la aplicación f (x, y) = sen 2

1 x2 + y 2

en C1 = {(x, y) : 0 < x2 + y 2 < 1} y en C2 = {(x, y) : x2 + y 2 > 1}.

Cap´ıtulo 3

El Teorema de Stone-Weierstrass Vamos a ver en esta lección el teorema clásico de Weierstrass y la importante generalización del mismo dada por Stone.

El teorema de Weierstrass El teorema de Weierstrass establece que cada funci´ on continua sobre un intervalo [a, b] de R puede ser aproximada uniformemente por polinomios o, dicho de otro modo, que los polinomios constituyen una familia uniformemente densa de C[a, b]. Cuando se trata de aproximar una función por polinomios, parece inevitable pensar en los polinomios de interpolación (polinomios que toman el umero finito de puntos dados)1 , como mismo valor que la función en un n´ on de una buenos aproximantes. Sin embargo, los polinomios de interpolaci´ función no convergen, en general, ni siquiera puntualmente hacia la funci´ on. Por ejemplo, Berstein [4] demostró que los polinomios de interpolaci´ on de la función |x| en [−1, 1], para puntos igualmente separados, s´ olo convergen en los puntos −1, 1 y 0. También es famoso el ejemplo de Runge: los polinomios de interpolación de la función (incluso anal´ıtica) 1/(1 + x2 ), para puntos equidistantes del intervalo [−5, 5], diverge para |x| ≥ 3, 63....(Ver [18]). Por otra parte sólo para las funciones anal´ıticas puede garantizarse que los polinomios de Taylor converjan uniformemente. Se observa, pues, 1

Es bien conocido que para cada n + 1 puntos del plano {(xi , yi ) : x1 < x2 < . . . xn+1 } existe un u ńico polinomio de grado menor o igual que n que pasa por ellos.

31

32

El Teorema de Stone-Weierstrass

3.1

que la aproximación uniforme de una funci´ on continua mediante polinomios debe ir por otros derroteros (Ver Cheney [6]). La demostración que vamos a hacer del teorema de Weierstrass es debida a Berstein. Teorema 3.1 Para una función continua f definida sobre el intervalo [0, 1], la sucesión de polinomios Bn (f )x =

n X

¡ ¢ f (k/n) nk xk (1 − x)n−k

k=0

converge uniformemente hacia la función f . ¡n¢ k n−k , con lo que podreon. Denotemos por r (x) = Demostraci´ k k x (1 − x) Pn mos escribir, Bn (f )x = k=0 f (k/n)rk (x). Llamaremos a Bn (f ) el polinomio n-ésimo de Berstein de la función f . Tendremos necesidad de conocer los polinomios de Berstein de las funciones 1, x y x2 : Bn (1)x =

n X

n X ¡n¢ k ¡ ¢n n−k x (1 − x) = x + (1 − x) rk (x) = = 1, k k=0

k=0

Bn (x)x =

n X

n X ¡ ¢ (k/n) nk xk (1 − x)n−k (k/n)rk (x) =

k=0 n X

=x

k=0

¡n−1¢ k−1 (1 − x)n−k = x, k−1 x

k=1 2

Bn (x )x = =

=

n X

n

x X ¡n−1¢ k−1 (k/n) rk (x) = k k−1 x (1 − x)n−k n 2

k=0 n−1 X

x n

k=1

¡ ¢ j n−1−j (j + 1) n−1 j x (1 − x)

j=0

n−1 n − 1 X j ¡n−1¢ j x x (1 − x)n−1−j n n−1 j j=0

+

n−1 x X ¡n−1¢ j n−1−j j x (1 − x) n j=0

n−1 2 1 = x + x. n n

3.1


33

Veamos que Bn (f ) converge uniformemente hacia f . (Observemos que esto es verdad para f = 1, x o x2 ). Hemos de probar que para ε > 0 existe un ´ındice ν tal que Si n ≥ ν ,

|f (x) − Bn (f )(x)| ≤ ε ∀x, P o lo que es lo mismo, teniendo en cuenta que nk=0 rk (x) = 1, que Si n ≥ ν ,

n ¯X ¯ ¯ (f (x) − f (k/n))rk (x)¯ ≤ ε ∀x ∈ [0, 1]. k=0

Puesto que f es uniformemente continua en [0,1], debe existir un δ > 0 tal que si |x − y| < δ entonces |f (x) − f (y)| < ε. Sean x ∈ [0, 1] y n ∈ N cualesquiera y consideremos los conjuntos I1 = {k : 0 ≤ k ≤ n, |x − k/n| ≤ δ} ,

I2 = {k : 0 ≤ k ≤ n, |x − k/n| > δ}.

Entonces n ¯ X ¯X ¯ (f (x) − f (k/n))rk (x)¯ ≤ |f (x) − f (k/n)|rk (x) k=0

k∈I1

+

(3.1)

X

|f (x) − f (k/n)|rk (x)

k∈I2

≤ε+

X

|f (x) − f (k/n)|rk (x).

k∈I2

Sea M una cota superior de la funci´ on f en [0,1]. Observemos que la condición k ∈ I2 significa que (x − k/n)2 > δ 2 . Luego 1 k ∈ I2 ⇔ 1 < 2 (x − k/n)2 . δ Se tiene entonces que X 2M X |f (x) − f (k/n)|rk (x) ≤ 2 (x − k/n)2 rk (x) δ k∈I2

k∈I2

n 2M X (x − k/n)2 rk (x) ≤ 2 δ

2M ¡ = 2 x2 δ

n X k=0

k=0 n X

rk (x) − 2x

k=0

(k/n)rk (x) +

n X

¢ (k/n)2 rk (x)

k=0

2M ¡ n−1 2 1 ¢ = 2 x2 − 2x2 + x + x δ n n 2M 2M = 2 x(1 − x) ≤ 2 . δ n δ n

34


3.1

De lo anterior se deduce que también el segundo sumatorio en 3.1 puede hacerse menor que ε, independientemente de c´ ual sea x, sin más que tomar n suficientemente grande. Por tanto la sucesi´ on de polinomios de Berstein de la función f converge uniformemente a f . Nota. Nótese que la demostración del teorema anterior está basada fundamentalmente en el hecho de que los polinomios de Berstein correspondientes a las funciones 1, x y x2 convergen uniformemente a estas funciones. Este atico ruso Korovkin, que consihecho fue destacado y utilizado por el matem´ guió de esta manera, una fruct´ıfera generalización del teorema de Weierstrass (Ver [6]). Nota. El teorema de Weierstrass se generaliza sin dificultad a un intervalo compacto [a, b] de R. En efecto: Sea f : [a, b] → R continua y sea g = f ◦ ϕ donde ϕ(t) = (b − a)x + a. La función g está definida entonces en [0,1]. Si Bn (g) son los polinomios de Berstein para la función g, es claro que la sucesión Bn (f ) = Bn (g) ◦ ϕ−1 converge uniformemente a f y se obtiene fácilmente que n X ¡ ¢ 1 f (b − a)k/n + a (x − a)k (b − x)n−k . Bn (f )x = (b − a)n k=0

El teorema de Stone La generalización más importante del teorema de Weierstrass es la de Stone. Su teorema, conocido como el teorema de Stone-Weierstrass, caracteriza en términos sumamente sencillos las álgebras de funciones continuas que son uniformemente densas en C(X), para X compacto. Este es un teorema de gran interés, no sólo pr´ actico, en cuanto que permite la construcción de nuevos ejemplos, sino también teórico. Sin él no se concibe, actualmente, un estudio serio de los anillos de funciones continuas y su relación con la topolog´ıa del espacio. En todo lo que sigue X denotará un espacio topológico compacto. X sustituirá as´ı al intervalo [0,1], que era el espacio marco para la sección anterior. Sobre C(X) consideraremos la norma de la convergencia uniforme. Necesitaremos algunas definiciones y resultados previos antes de establecer el teorema de Stone-Weierstrass: Definici´ on 3.2 Una familia F de funciones de C(X) se dice que separa puntos de X si para cada par de puntos distintos de X, x 6= y, existe

3.4


35

alguna función f ∈ F tal que f (x) 6= f (y). La familia F se dice que separa puntos fuertemente si para cada par de puntos distintos de X, x 6= y, y para cada par de n´ umeros reales α, β existe alguna función f ∈ F tal que f (x) = α, f (y) = β. Lema 3.3 Todo subespacio vectorial F de C(X) que separa puntos de X y contiene las funciones constantes, separa puntos fuertemente. Demostraci´ on. Sean x, y dos puntos distintos de X, α, β dos n´ umeros reales y f ∈ F una función que separe x de y. Vamos a probar que existe alguna función de la forma λf + µ (y por tanto perteneciente a F) que toma el valor α en x y el valor β en y. Bastará resolver el sistema λf (x) + µ = α λf (y) + µ = β que tiene solución u ńica ya que f (x) 6= f (y). Concretamente resulta: λ=

α−β ; f (x) − f (y)

µ=α−

α−β f (x). f (x) − f (y)

Lema 3.4 (Kakutani-Stone) Si F es un ret´ıulo vectorial (i.e., F es un espacio vectorial que satisface la condición: si f, g ∈ F entonces sup(f, g) ∈ F e inf(f, g) ∈ F), que separa puntos de X y contiene a las funciones constantes, entonces F es uniformemente denso en C(X). Demostraci´ on. Sea ε > 0, f ∈ F y x ∈ X. Para cada t 6= x sea ft una función de F tal que ft (t) = f (t); ft (x) = f (x). Tal función existe puesto que F separa puntos fuertemente. Sea entonces Vt = {z : ft (z) > f (z) − ε}. Vt es un conjunto abierto que contiene, obviamente, a x y a t y sobre él la función ft no sobrepasa, por debajo, en más de ε a la función f . Cuando t recorre X \ {x} los conjuntos Vt constituyen un recubrimiento abierto de X que, como X es un espacio compacto, admitirá un subrecubrimiento finito, es decir X = Vt1 ∪ Vt2 ∪ . . . ∪ Vtk . Consideremos la función de F, gx = sup(ft1 , . . . , ftk ). Entonces si z es un punto de X que pertenece, por ejemplo, al abierto Vtj , se tiene: gx (z) ≥ ftj (z) > f (z) − ε.

36


3.4

Se deduce, pues, que la función gx no sobrepasa, por debajo, en m´ as de ε a la función f en ning´ un punto z de X. Además gx coincide con f en el punto x, es decir gx (x) = f (x). Procediendo con las funciones gx como hicimos antes con las funciones ft , o sea construyendo el recubrimiento de X mediante los abiertos Ux = {z : gx (z) < f (z) + ε} y extrayendo un subrecubrimiento finito, se obtiene una funci´ on g = inf(gx1 ,. . . , gxp ) de F que no sobrepasa a la función f en más de ε, ni por abajo ni por arriba, es decir f (z) − ε < g(z) < f (z) + ε ,

∀z ∈ X.

Teorema 3.5 (Stone-Weierstrass) Todo álgebra F de C(X) que separa puntos y contiene a las funciones constantes es uniformemente densa en C(X) (i.e., densa respecto a la norma de la convergencia uniforme en C(X)). on. Todo se reduce a probar que la clausura uniforme de un Demostraci´ álgebra de C(X) es un ret´ıculo vectorial. Pues entonces, aplicando el teorema de Kakutani, cl(F) resultar´ıa ser un conjunto denso en C(X), lo que implicar´ıa, por ser cerrado, que cl(F) = C(X). Teniendo en cuenta las fórmula sup(f, g) = 1/2(f + g + |f − g|) ,

inf(f, g) = 1/2(f + g − |f − g|),

y que en todo espacio normado la adherencia de un subespacio vectorial es un espacio vectorial, sólo falta probar que (3.2)

f ∈ cl (F)

⇒

|f | ∈ cl (F).

Sea ε > 0 y consideremos g ∈ F tal que kg − f k < ε. Entonces también se verifica que k|g| − |f |k ≤ kg − f k < ε. Por lo tanto, para demostrar 3.2 sólo será preciso demostrar a su vez que g∈F

⇒

|g| ∈ cl (F).

Sea M tal que |g(x)| ≤ M para todo x ∈ X (g es continua sobre un compacto). La función |g| es la composición de las funciones g

|·|

X → [−M, M ] → R x → g(x) → |g(x)|

3D


37

Por el teorema de Weierstrass la función t → |t| puede aproximarse uniformemente por polinomios, es decir ¯ que para ¯ ε > 0 existe un polinomio P (t) = a0 + a1 t + · · · + ak tk tal que ¯|t| − P (t)¯ ≤ ε, para todo t ∈ [−M, M ]. Como para cada x ∈ X, t = g(x) ∈ [−M, M ], se tiene que ¯ ¯ ¯|g(x)| − a0 + a1 g(x) + · · · + ak g k (x)¯ ≤ ε , ∀x ∈ X. Entonces, teniendo en cuenta que F es un álgebra que contiene a las funciones constantes, la función a0 + a1 g + · · · + ak g k ∈ F y por lo tanto la desigualdad anterior prueba que |g| ∈ cl (F). Corolario 3.6 Si K es un compacto de Rn , entonces los polinomios sobre K constituyen una familia uniformemente densa de C(K). Demostraci´ on. La familia P de polinomios sobre K está formada por las funciones del tipo X ai1 i2 ...in xi11 xi22 · · · xinn , (ik = 0, 1, . . .), finitas

luego es obvio que constituye un álgebra que contiene a las funciones constantes. Además separa puntos: Sean a, b son dos puntos distintos de K, supongamos, por ejemplo, que la coordenada k de a es diferente que la de b, es decir ak 6= bk , entonces el polinomio P (x) = xk toma un valor distinto en a que en b. Del teorema anterior se deduce, pues, que P es uniformemente denso en C(K).

Ejercicios 3A Obtener los polinomios de Berstein de la función |x| sobre el intervalo [−1, 1]. 3B Demostrar que las siguientes familias de funciones de C[0, 1] son uniformemente densas en C[0, 1]: Las poligonales. Las funciones de clase C ∞ . Las funciones lipschitzianas. 3C Demostrar que el espacio vectorial de C[0, 1] generado por las funciones {enx : n ∈ Z}, es uniformemente denso en C[0, 1]. 3D Demostrar que, en C(R), los polinomios no sólo “no son” uniformemente densos, sino que, además, es imposible que una sucesión de polinomios pueda converger uniformemente en todo R a una función que no sea un polinomio.

38


3E

3E Demostrar que todo álgebra E de funciones de C[0, 1], cerrada uniformemente, que contiene a las funciones constantes, es cerrada respecto a la composición con funciones continuas definidas sobre R, es decir f ∈ E ⇒ ϕ ◦ f ∈ E,

∀ϕ ∈ C(R).

(Por ejemplo, si f ∈ E entonces sen f ∈ E). 3F Probar que ni el álgebra, ni el ret´ıculo de C[0, 1] generados por la función h(x) = x es uniformemente denso en C[0, 1]. Calcular las clausuras respectivas. ¿Qué hipótesis de los teoremas de densidad se incumplen? 3G Demostrar que la familia, L, de los polinomios de grado impar, es uniformemente densa en C[0, 1], a pesar de no constituir un álgebra ni contener a las funciones constantes. 3H Demostrar que una condición necesaria para que una familia F de C(X) con X compacto sea uniformemente densa es que F separe puntos. Como aplicación, véase que la familia F de polinomios que tienen todos sus términos de grado par, no puede ser densa en C[−1, 1] ¿Y en C[0, 1]?. 3I Demostrar que si una función f , continua sobre el intervalo [a, b], satisface la condición Z b xk f (x)dx = 0, ∀k ≥ 0, a

entonces f = 0.

Cap´ıtulo 4

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones lineales y n-lineales continuas. Los teoremas de caracterizaci´ on para estas aplicaciones, que veremos en este cap´ıtulo, son consecuencias importantes de esa conexión. Puesto que no es nuestro objetivo en este curso profundizar en el conocimiento de los espacios normados, nos limitaremos a considerar, además de los teoremas de caracterización aludidos, sólo algunas técnicas de linealidad, que nos serán u ´tiles después para el Cálculo Diferencial.

Aplicaciones lineales continuas on 4.1 Si E, F son dos espacios normados y T : E → F es una Proposici´ aplicación lineal entre ellos, entonces son equivalentes: (a) T es continua. (b) T es continua en 0. (c) T está acotada en la bola unidad. (d) Existe una constante M tal que kT (x)k ≤ M kxk para todo x ∈ E. (e) T es lipschitziana. Demostraci´ on. (a) implica (b) trivialmente. (b) implica (c) La continuidad en 0 garantiza que kT (x)k ≤ 1 siempre que kxk ≤ δ, para alg´ un δ. Entonces, si x ∈ B[0, 1] se tiene kδxk ≤ δ y por tanto kT (δx)k = δ kT (x)k ≤ 1, es decir kT (x)k ≤ 1/δ = M. 39

40

Linealidad

4.1

(c) implica (d) Supongamos T acotada por M en B[0, 1] y sea x 6= 0 cualquiera. Entonces kT (x/kxk)k ≤ M y por tanto kT (x)k ≤ M kxk. (d) implica (e) Es evidente, debido a la linealidad de la aplicaci´ on T . (e) implica (a) Trivial. Ejercicio. Probar que los enunciados anteriores son también equivalentes un punto”. a “T es continua en alg´ Ejemplo 4.2 Toda aplicación lineal entre espacios de dimensión finita es continua. En efecto, si T : Rn → F es una aplicación lineal, entonces X P kT (x)k = kT ( xi ei )k ≤ |xi |kT (ei )k ≤ M kxk1 , donde ei = (0, .., 1, 0..0) y M = max{kT (ei )k : i = 1, 2, .., n}. Ejemplo 4.3 Sea E = C[0, 1] dotado de la norma de la convergencia uniforme, y consideremos la aplicación T : E → R definida por Z 1 f (t) dt. T (f ) = 0

T es una aplicación lineal trivialmente, y es continua pues Z Z 1 ¯ 1 ¯ ¯ ¯ |T (f )| = f (t) dt ≤ |f (t)| dt ≤ kf k∞ . 0

0

on definido entre los Ejemplo 4.4 Consideremos ahora el operador derivaci´ espacios C 1 [0, 1] y C[0, 1], D(f ) = f 0 . Esta aplicación es claramente lineal, pero no es continua respecto a la norma de la convergencia uniforme, pues es bien conocido que aunque una función (derivable) sea l´ımite uniforme de una sucesión de funciones derivables {fn }, la función derivada f 0 no es en general el l´ımite (ni siquiera puntual) de la sucesión {fn0 }.

Norma de una aplicaci´ on lineal y continua Hemos demostrado que si T es una aplicación lineal y continua entre los a acotada sobre la bola cerrada espacios normados E y F , entonces T est´ unidad, es decir el conjunto {kT (x)k : kxk ≤ 1} est´ a acotado superiormente. Si denotamos por kT k al extremo superior (la menor de las cotas superiores) de este conjunto, es inmediato comprobar que, de esta forma, definimos una

4.5

Linealidad

41

norma en el espacio vectorial L (E, F ) de las aplicaciones lineales y continuas de E en F . Abreviadamente escribiremos kT k = sup kT (x)k. kxk≤1

Por otra parte, si se observa la demostraci´ on de que (c) implica (d) en la proposición anterior, es claro que lo que en realidad se demuestra all´ı es que cualquier cota superior de T en la bola unidad vale también como constante en la desigualdad (d) y como constante de Lipschitz para T (y rec´ıprocamente, como fácilmente se comprueba). Por tanto kT k es también la menor constante de Lipschitz para la aplicación T . 4.5 Algunas de las propiedades elementales de la norma de una aplicación lineal son las siguientes: (a) kT (x)k ≤ kT kkxk, (b) kT k ≤ M

⇔

∀x ∈ E. kT (x)k ≤ M kxk,

∀x.

(c) kT k = sup{kT (x)k : kxk ≤ 1} = sup{kT (x)k : kxk < 1} = sup{kT (x)k : kxk = 1}. (d) kT ◦ U k ≤ kT k kU k. En (a) sólo dice que kT k es una constante de Lipschitz, lo cual forma parte de la definición de kT k. (b) kT k ≤ M , significa que M es una cota superior de T en la bola unidad, lo que, seg´ un establecimos antes, equivale a que M sea constante de Lipschitz para T o a que kT (x)k ≤ M kxk. (c) Hemos de demostrar que kT k es también la menor de las cotas superiores de cada uno de los conjuntos {kT (x)k : kxk = 1} ,

{kT (x)k : kxk < 1}.

Como kT k es cota superior del conjunto {kT (x)k : kxk ≤ 1}, es evidente que es también cota superior de cada uno de los conjuntos anteriores. Demostremos primero que kT k es también la menor cota superior de {kT (x)k : kxk = 1}, es decir que si “α es cota superior de {kT (x)k : kxk = 1} entonces kT k ≤ α”. Teniendo en cuenta la definición de kT k, para que esto suceda bastará probar que α es cota de {kT (x)k : kxk ≤ 1}. En efecto, si x 6= 0 y kxk ≤ 1 entonces x/kxk es un vector de norma 1, luego kT (x/kxk)k ≤ α ⇒ (1/kxk)kT (x)k ≤ α ⇒ kT (x)k ≤ αkxk ≤ α.

42

Linealidad

4.5

Veamos finalmente que kT k es también la menor cota superior de {kT (x)k : kxk < 1}, es decir que si “β es cota superior de {kT (x)k : kxk < 1} entonces kT k ≤ β”. Como antes, sólo habrá que demostrar que β es cota superior de {kT (x)k : kxk ≤ 1}. Sea x con kxk ≤ 1, entonces para cada 0 < ε < 1, se tiene que kεxk < 1, luego kT (εx)k ≤ β. Por otra parte, es claro que kT (x)k = lim kT (εx)k. ε→1−

De ambas hechos se deduce entonces que kT (x)k ≤ β, que era lo que quer´ıamos demostrar. (d) Aplicando dos veces (a) resulta k(T ◦ U )(x)k ≤ kT k kU k kxk, es decir que kT k kU k es una constante de Lipschitz para la aplicación lineal T ◦ U , luego kT ◦ U k ≤ kT k kU k.

Aplicaciones multilineales continuas Para las aplicaciones multilineales continuas cabe hacer un estudio paralelo al anterior. As´ı pues, comenzaremos con un teorema de caracterizaci´ on para estas aplicaciones, para pasar después a construir una norma canónica en el espacio vectorial que ellas forman. Una aplicación T : E1 × E2 × . . . × En → F se dice n-lineal cuando es lineal en cada coordenada, es decir T (. . . , λxi + µyi , . . .) = λ T (. . . , xi , . . .) + µ T (. . . , yi , . . .).

Proposici´ on 4.6 . Para una aplicación n-lineal, las condiciones siguientes son equivalentes: (a) T es continua. (b) T es continua en 0. (c) T está acotada sobre la bola unidad. (d) Existe una constante M tal que kT (x1 , x2 , . . . , xn )k ≤ M kx1 k kx2 k . . . kxn k.

4.6

Linealidad

43

Demostraci´ on. Obviamente (a) implica (b). (b) implica (c). Por ser T continua en 0, existe un δ tal que kT (x1 , . . . , xn )k ≤ 1

si kx1 k ≤ δ, . . . , kxn k ≤ δ.

Por tanto, si y1 , . . . , yn son puntos de la bola unidad se tiene que kT (δy1 , . . . , δyn )k ≤ 1, lo que implica que kT (y1 , . . . , yn )k ≤ M =

1 . δn

(c) implica (d). Sean x1 , .., xn puntos distintos de 0, entonces por (c) se tiene que kT ( kxx11 k , . . . , kxxnn k )k ≤ M ⇒ kT (x1 , x2 , . . . , xn )k ≤ M kx1 k kx2 k . . . kxn k. (d) implica (a) Sea a = (a1 , .., an ) un punto cualquiera. Para probar que T es continua en a basta hacer tender hacia a mediante puntos x = (x1 , .., xn ) de un entorno acotado de a. As´ı puede suponerse kx1 k ≤ α, .., kxn k ≤ α, para alguna constante α. Entonces: kT (x1 , . . . , xn ) − T (a1 , . . . , an )k ≤ kT (x1 , x2 , . . . , xn ) − T (a1 , x2 , . . . , xn )k + kT (a1 , x2 , . . . , xn ) − T (a1 , a2 , x3 , . . . , xn )k + ...... + kT (a1 , . . . , an−1 , xn ) − T (a1 , a2 , . . . , an )k = kT (x1 − a1 ,x2 , . . . , xn )k + kT (a1 , x2 − a2 , x3 , . . . , xn )k +

...

+kT (a1 , . . . ,an−1 , xn − an )k ≤ M αn−1 (kx1 − a1 k + . . . + kxn − an k). De estas desigualdades se sigue que la funci´ on T es continua en a. Nota. A diferencia de las aplicaciones lineales, una aplicaci´ on n-lineal y continua no nula nunca es lipchitziana. Para simplificar, supongamos que T es una aplicación bilineal y sean u, v dos vectores tales que T (u, v) 6= 0. Que T no es lipschitziana se deduce entonces de la igualdad T (λu, µv) = λµT (u, v) y de que la aplicación bilineal de R × R en R, (λ, µ) → λµ, no es ni siquiera uniformemente continua (Ejercicio).

44

Linealidad

4.7

4.7 Como para el caso lineal, la proposición anterior permite definir de forma natural una norma en el espacio L n (E1 ×. . .×En , F ) de las aplicaciones n-lineales continuas de E1 × . . . × En en F : kT k = sup{kT (x1 , . . . , xn )k : kx1 k ≤ 1, . . . , kxn k ≤ 1}. Y, como antes, kT k es la menor de las constantes M para la que es cierta la desigualdad kT (x1 , x2 , . . . , xn )k ≤ M kx1 k kx2 k . . . kxn k, y por lo tanto se tiene kT (x1 , x2 , . . . , xn )k ≤ kT k kx1 k kx2 k . . . kxn k.

Ejercicios 4A Considerar C[0, 1], el espacio vectorial de las aplicaciones continuas sobre [0, 1] que toman sus valores en R, y sea T : C[0, 1] → C[0, 1] la aplicación T (f )(x) = p(x) · f (x), donde p es una aplicación fija de C[0, 1] . (a) Probar que T es una aplicación lineal y continua, tanto si en C[0, 1] se tiene la norma de la convergencia uniforme como si se tiene la norma kf k1 = R1 |f (t)|dt. 0 (b) Obtener, para cada una de las normas anteriores, la norma de la aplicación T , suponiendo que p sea la función p(x) = x. ´ n (Para el apartado (b) en el caso que la norma sobre C[0, 1] sea k · k1 ). Indicacio R1 R1 Para conseguir una función f tal que 0 |f (x)|dx y 0 x|f (x)|dx se diferencien poco, pensar que bastar´ıa con que f fuese distinta de 0 sólo cerca del punto x = 1. 4B Sean E y F dos espacios normados. (a) Probar que la convergencia en el espacio L (E, F ) implica la convergencia puntual. (b) Si {Tn } es una sucesión convergente de L (E, F ) y {xn } es una sucesión convergente de puntos de E, probar que {Tn (xn )} es una sucesión convergente de puntos de F 4C Sea E un espacio normado y denotemos por E 0 al espacio normado L (E, K) (que se le denomina dual topológico de E). Probar que E 0 es un espacio de Banach. 4D Sea E = C[a, b], dotado R xde la norma de la convergencia uniforme, y sea T : E → E la aplicación T (f )(x) = a f (t)dt. (a) Probar que T es lineal y continua y hallar kT k.

4H

Linealidad

45

(b) Deducir de (a) el siguiente teorema: Si {fn } es una sucesión de funciones de clase C 1 sobre el intervalo [a, b] tal que 1. La sucesión {fn (a)} es convergente. 2. La sucesión de las derivadas {fn0 } converge uniformemente en [a, b] hacia alguna función g. Entonces la sucesión {fn } converge uniformemente en [a, b] hacia una función f de clase C 1 tal que f 0 = g. 4E

(a) Sean E, F espacios normados, S un subespacio vectorial denso de E y T una aplicación lineal y continua de E en F . Probar que entonces kT k = kT|S k, donde con T|S se denota a la restricción de T a S. (b) Sea T : (R2 , k · k1 ) → (R2 , k · k1 ) la aplicación lineal T (x, y) = (x + y, y). Determinar kT k y kT|S k, siendo S = {(x, y) : x = y}.

4F

(a) Sea E un espacio normado y T ∈ L (E, E). Probar que la imagen por T de la bola abierta unidad, T (B(0, 1)), está contenida en B(0, kT k). (b) Sea T la aplicación lineal de R2 en R2 dada por la matriz µ ¶ 1 −2 2 −2 Comprobar que T (B(0, 1)) es un conjunto abierto, pero distinto de B(0, kT k). (c) Demostrar que si la imagen de la bola abierta unidad por una aplicación T ∈ L (E, F ) es un conjunto abierto, entonces la aplicación T es abierta e inversible. ´ n. La condición implica, en particular, que 0 es interior al subesIndicacio pacio vectorial Im T , luego Im T = E. (d) Dar un ejemplo de aplicación T ∈ L (E, F ) tal que T (B(0, 1)) no sea un conjunto abierto.

4G Sea T la aplicación lineal de R3 en R definida por T (x, y, z) = ax + by + cz. Demostrar que   |a| + |b| + |c|    √  2 2 2 kT k = a +b +c     max(|a|, |b|, |c|) seg´ un que consideremos en R3 respectivamente las normas k · k∞ , k · k2 , k · k1 . 4H Sea T la aplicación lineal de (R2 , k · ki en (R2 , k · ki dada por la matriz µ ¶ a 1 1 a siendo a un n´ umero real arbitrario. Probar que para i = 1, 2 y ∞, kT k = 1 + |a|.

46

Linealidad

4I

4I Calcular la norma de: (a) La aplicación lineal T (x, y) = 2x − y, seg´ un se considere en R2 la norma k · k1 o la norma eucl´ıdea. (b) La aplicación lineal T : (R2 , k · k∞ ) → (R2 , k · k1 ) dada por la matriz µ ¶ 2 −1 1 1 (c) La aplicación bilineal de (R2 , k · k1 ) × R en R, T (x, y, z) = (2x + y)z (d) La aplicación lineal de C[0, 1] en R Z

Z

1/2

T (f ) =

1

f (x)dx − 0

f (x)dx 1/2

(Se supone en C[0, 1] la norma de la convergencia uniforme)

Parte II

C´ alculo Diferencial para Funciones de Varias Variables Reales

Cap´ıtulo 5

Derivadas Direccionales y Derivadas Parciales Iniciamos, con este cap´ıtulo, el cálculo diferencial para funciones de varias variables reales. Aunque el marco de trabajo ser´ a, con frecuencia, el de los espacios normados, nuestro interés se centra en la generalización del concepto de derivada, y el estudio de sus propiedades, a las funciones de varias variables reales. Si esta extensi´ on se hace a las funciones definidas sobre un espacio normado, es para aprovechar las técnicas ya estudiadas de los espacios normados y también porque, en ocasiones, necesitaremos de esta generalidad para poder establecer con comodidad algunos de los resultados clásicos del cálculo diferencial. Si f es una función real de una variable real, sabemos que f es derivable en el punto a si existe (5.1)

f (a + h) − f (a) . h→0 h

f 0 (a) = lim

Es obvio que el concepto anterior de funci´ on derivable puede extenderse, sin modificación alguna, a las funciones de una sola variable, pero que toman valores en un espacio normado cualquiera F . En particular si f : A ⊂ R → Rp , es fácil ver que f 0 (a) = (f10 (a), f20 (a), . . . , fp0 (a)). Esta fórmula es igualmente válida si f es una función de 1 variable que toma sus valores en un producto finito de espacios normados. Sin embargo, cuando f es una función varias variables (o de “variable vectorial”), no podemos definir f 0 (a) como en (5.1) pues el “h” por el que habr´ıa que dividir no ser´ıa, en ese caso, elemento de un cuerpo. A´ un ser´ıa esto posible para las funciones de variable compleja, pero éstas no son objeto de estudio en este curso. En lo sucesivo, por tanto, 49

50

Derivadas Parciales

5.1

el término variable habrá que entenderlo como variable real, y del mismo modo un espacio normado ser´ a, siempre, un espacio normado real. No obstante, hemos de se˜ nalar que no existen diferencias esenciales entre un cálculo diferencial real y un cálculo diferencial complejo. Antes de proceder a la extensión definitiva del concepto de derivada a las funciones de varias variables, vamos a dedicar un primer cap´ıtulo a la introducción de dos conceptos básicos, el de derivada direccional y el de derivada parcial. Aunque pueda parecer exagerado, se podr´ıa afirmar que el Cálculo Diferencial en dimensión finita consiste en el cálculo con derivadas parciales.

Derivadas direccionales o

Definici´ on 5.1 Sea f : A ⊂ E → F, a ∈ A y h 6= 0 un vector de E. Se dirá que f es derivable en el punto a, siguiendo el vector h, si existe (5.2)

Dh f (a) = lim

t→0

f (a + th) − f (a) . t

Al elemento de F, Dh f (a), se le denominará derivada de f en a, siguiendo el vector h. Cuando f admite derivada siguiendo cualquier vector no nulo, se dirá también que f admite derivadas en todos las direcciones. Sea f , para concretar, una función de A ⊂ Rn en R. Consideremos la recta de ecuación x = a + th, t ∈ R (recta que pasa por a y tiene a h como vector director). Entonces f (a + th) son los valores que toma f sobre esta recta, y por tanto, por analog´ıa con los l´ımites direccionales, podr´ıa pensarse en denominar al l´ımite 5.2, como la derivada de la función f en a siguiendo la recta x = a+th. Esto ser´ıa correcto, de no ser porque para cada vector director de esa recta puede resultar un valor distinto para Dh f (a). Concretamente, es fácil ver que Dλh f (a) = λDh f (a). Debido a esto, se ha convenido en destacar por cada dirección dos de estas derivadas: Dh f (a) y D−h f (a), siendo h uno de los dos vectores de esa dirección y norma 1, denominando “derivada direccional en a” al valor |Dh f (a)| = |D−h f (a)|. (Sólo hablaremos de derivada direccional en el sentido anterior para funciones escalares varias variables reales, y la norma que se utilizará en ese caso será la norma eucl´ıdea).

5.4

Derivadas Parciales

51

5.2 La existencia de derivadas en todas las direcciones, será una condición necesaria para que una función sea derivable en un punto. Pero ésta condición es muy débil. Es posible, por ejemplo, que una función verifique esto y no sea ni siquiera continua. Ejemplo (Una función no continua en un punto, que admite en ese punto derivadas en todas las direcciones). f (x, y) =

x2 y si (x, y) 6= (0, 0); x4 + y 2

f (0, 0) = 0.

Si tomamos v = (h, k) y aplicamos la definición para calcular la derivada en el punto (0,0) siguiendo el vector v, resulta Si k 6= 0, Si k = 0,

f (th, tk) t3 h2 k h2 = lim 4 4 = t→0 t→0 (t h + t2 k 2 )t t k Dv f (0, 0) = 0. Dv f (0, 0) = lim

Sin embargo, esta función no es continua en (0,0), pues aunque los l´ımites iterados y direccionales existen todos y valen 0, los l´ımites siguiendo las curvas y = mx2 son todos diferentes.

Derivadas parciales o

Definici´ on 5.3 Sea f : A ⊂ Rn → F y sea a ∈ A. Se dirá que f admite derivada parcial j-ésima en a, si f es derivable en a, siguiendo el vector ej = (0, ..0, 1, 0, .., 0). Emplearemos la notación (∂f /∂xj )(a) o, también, Dj f (a), para designar a la derivada parcial j-ésima de f en a. Es decir: f (a + tej ) − f (a) ∂f (a) = Dej f (a) = lim t→0 ∂xj t f (a1 , . . . , aj + hj , . . . , an ) − f (a) = lim hj →0 hj f (a1 , . . . , aj−1 , xj , aj+1 , . . . , an ) − f (a) = lim . xj →aj xj − aj De las igualdades anteriores resulta: Proposici´ on 5.4 La función f admite derivada parcial j-ésima en a si, y sólo si, la aplicación g : xj → f (a1 , .., aj−1 , xj , aj+1 , .., an ) es derivable en aj , siendo (∂f / ∂xj )(a) = g 0 (aj ).

52

Derivadas Parciales

5.4

De lo que ya hemos visto, se deduce que la existencia de derivadas parciales en un punto, respecto a cualquier ´ındice, no implica la continuidad en ese punto. Asimismo tampoco puede derivarse la existencia de otras derivadas direccionales. Por ejemplo, la funci´ on f (x, y) =

x2

xy si (x, y) 6= (0, 0); + y2

f (0, 0) = 0.

admite derivadas parciales en (0,0), respecto a las dos variables, sin embargo, en ese punto no es, ni continua, ni admite otras derivadas direccionales que las parciales. El concepto de derivada parcial es, a pesar de la aparente descalificación que ejemplos como el anterior suponen, el m´ as importante del cálculo diferencial en dimensión finita. Vamos a ver a continuación un resultado, que se enuncia exclusivamente en términos de derivadas parciales, y que constituye un auténtico teorema de valor medio para funciones de varias variables no necesariamente derivables (en estos momentos a´ un no sabemos qué es una función derivable de varias variables). Precisaremos de un sencillo lema de carácter geométrico. Lema 5.5 Sean x0 , x1 , . . . , xp un n´ umero finito de puntos de Rn alineados, (es decir existe un vector “u” tal que x1 = x0 + t1 u, x2 = x0 + t2 u, . . . , xp = x0 + tp u), y supongamos que 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ . . . ≤ tp . Entonces kxp − x0 k =

p X

kxi − xi−1 k,

i=1

cualquiera que sea la norma que consideremos en Rn . on. Es inmediato comprobar que Demostraci´ p X

kxi − xi−1 k = kuk(t1 + (t2 − t1 ) + . . . + (tp − tp−1 )) = tp kuk,

i=1

kxp − x0 k = tp kuk.

Escribiremos x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xp para denotar que los puntos x0 , x1 , . . . , xp están en las condiciones del lema.

5.6

Derivadas Parciales

53

Teorema 5.6 Sea U un conjunto abierto convexo de Rn y f : U → Rp una función que admite derivadas parciales respecto a cualquier ´ındice en cada punto de U . Supongamos además que existe M > 0 tal que ¯ ¯ ¯ ¯ ∂fi ¯ ≤ M, ∀x ∈ U ; i = 1, . . . , p ; j = 1, . . . , n. ¯ (x) ¯ ¯ ∂xj Entonces f es lipschitziana en U . Más precisamente, para todos x, y ∈ U , se tiene (5.3)

kf (x) − f (y)k∞ ≤ M kx − yk1 .

Demostraci´ on. Puede suponerse que f es una función escalar, pues si el teorema fuese cierto para funciones escalares, entonces para una funci´ on vectorial, f = (f1 , f2 , ..., fp ), se tendr´ıa también: kf (x) − f (y)k∞ = max |fi (x) − fi (y)| ≤ M kx − yk1 . 1≤i≤p

Veamos, en primer lugar, que la desigualdad 5.3 se verifica sobre cada n-cubo cerrado contenido en U . Por definición, un n-cubo (cerrado) es un producto cartesiano de n intervalos (cerrados) de R de la misma longitud. Es decir, un conjunto de la forma C = [c1 , d1 ] × . . . × [cn , dn ],

con d1 − c1 = d2 − c2 = . . . = dn − cn .

Por tanto un punto z = (zi ) está en C si y sólo si ci ≤ zi ≤ di , para todo i. Supongamos C ⊂ U y tomemos dos puntos x, y de C. Entonces f (x) − f (y) =f (x1 , x2 , . . . , xn ) − f (y1 , x2 , . . . , xn ) + f (y1 , x2 , . . . , xn ) − f (y1 , y2 , x3 , . . . , xn ) .................................................. + f (y1 , y2 , . . . , yn−1 , xn ) − f (y1 , . . . , yn ). Evidentemente cada uno de los nuevos puntos que utilizamos en esta descomposición pertenecen a C, y en cada paso los dos puntos que aparecen sólo se diferencian en una de las coordenadas. Entonces, la existencia de derivadas parciales en cada punto de C, nos permite aplicar en cada uno de los pasos anteriores el teorema de valor medio para funciones de una variable, de lo que resulta que f (x) − f (y) =

X ∂f (y1 , . . . , yj−1 , θj , xj+1 , . . . , xn )(xj − yj ), ∂xj

54

Derivadas Parciales

luego |f (x) − f (y)| ≤ M

n X

5.6

|xj − yj | = M kx − yk1 .

j=1

Veamos ya que la desigualdad anterior se verifica en todo el abierto convexo U : Sean x, y dos puntos de U . Puesto que el segmento K = [x, y] es un compacto contenido en U, K dista una cantidad positiva de U c . Sea entonces 0 < λ < d∞ (K, U c ). Es evidente que cualquiera que sea el punto z de K, el n-cubo cerrado, B∞ [z, λ], está totalmente contenido en U. Sea u el vector unitario en la dirección del vector y − x, es decir u=

y−x , ky − xk∞

y consideremos los puntos de K, x0 = x, x1 = x0 + λu, x2 = x0 + 2 λu, . . . , xp = y, donde p es el primer natural para el que x0 +p λu ≥ y. Es claro entonces que cada dos puntos consecutivos de los anteriores se encuentran en un mismo n-cubo contenido en U (basta observar que ellos están a una distancia λ uno del otro). Aplicando la etapa anterior, se tiene entonces que |f (x) − f (y)| ≤

n−1 X i=0

|f (xi ) − f (xi+1 )| ≤ M

n−1 X

kxi − xi+1 k1 = M kx − yk1 .

i=0

Corolario 5.7 Sea U un conjunto abierto de Rn y f : U → Rp una función que admite derivadas parciales en U localmente acotadas. Entonces f es localmente lipschitziana en U. on. Para cada x de U , existe una bola centrada en x, B(x, rx ), Demostraci´ tal que en ella todas las derivadas parciales están acotadas por el mismo n´ umero Mx . Teniendo en cuenta que las bolas son conjuntos convexos, del teorema anterior se sigue que kf (u) − f (v)k∞ ≤ Mx ku − vk1 ,

∀u, v ∈ B(x, rx ).

Corolario 5.8 Si todas las derivadas parciales de una funci´ on f : U ⊂ Rn → p R son nulas en U y U es conexo, entonces f es constante.

5D

Derivadas Parciales

55

Demostraci´ on. Puesto que todas las derivadas parciales están acotadas por 0, del corolario anterior se deduce que f es localmente constante. En particular f es continua en U . Resulta por tanto que, si a ∈ U , el conjunto A = {x ∈ U : f (x) = f (a)} es abierto y cerrado de U , luego A = U ya que U es conexo.

Ejercicios 5A Estudiar continuidad y existencia de derivadas parciales para las funciones ( ln(1 + (x − y)2 ) si x − y > 1 1. f (x, y) = x − y + ln 2 si x − y ≤ 1 p 2. f (x, y) = x4 + sen 2 xy  3  x si (x, y) 6= (0, 0) 2 3. f (x, y) = x + y 2  0 si (x, y) = (0, 0) ( sen x−sen y si x 6= y x−y 4. f (x, y) = cos x si x = y 5B (a) Probar que si k · k es una norma cualquiera sobre Rn , entonces la aplicación x → kxk es una aplicación lipschitziana que no admite derivadas direccionales en 0. (b) Sea U = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} \ {0} × [0, 1], y consideremos la función f definida sobre U por ( y 2 si x > 0 e y ≥ 0 f (x, y) = 0 en otro caso Probar que U es un abierto conexo (no convexo) sobre el que f es continua, admite derivadas parciales acotadas, pero no es lipschitziana. 5C (a) Probar que si f es una función lipschitziana sobre un abierto U de Rn y admite derivadas parciales, respecto a cualquier ´ındice, en todo punto de U , entonces sus derivadas parciales están acotadas en U . (b) Estudiar si la función f (x, y, z) = sen(x2 − y 2 + z 2 ) es lipschitziana o localmente lipschitziana en R3 . 5D (a) Probar que toda aplicación lipschitziana f : A ⊂ E → F, donde E y F son espacios de Banach, se extiende a una aplicación lipschitziana sobre A.

56

Derivadas Parciales

5D

(b) Sean A, B dos conjuntos no vac´ıos de un espacio normado, con B ⊂ A, y supongamos que cada uno de los conjuntos B, A \ B y A es convexo. Probar entonces que una aplicación f es lipschitziana sobre A si y sólo si es lipschitziana sobre B y sobre A \ B. (c) Estudiar si las aplicaciones f (x, y) = sen |x − y|,

g(x, y, z) = sen |x2 + y 2 − z 2 |

son lipschizianas o localmente lipschitzianas. 5E Consideremos la función ( f (x, y) =

x sen ln(x2 + y 2 ) si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

Probar que f es una función continua en todo punto, que admite derivadas parciales acotadas en R2 \ (0, 0) ¿Es lipschitziana? 5F (a) Sea U un abierto conexo de Rn y supongamos que f, g : U → Rp son dos funciones tales que, en cada punto x ∈ U , ∂fi /∂xj (x) = ∂gi /∂xj (x), cualesquiera que sean los ´ındices i, j. Probar entonces que las funciones f y g se diferencian en una constante. (b) Determinar las funciones f : R2 → R que satisfacen las ecuaciones ∂f (x, y) = 1 ; ∂x

∂f (x, y) = y, ∂y

∀(x, y).

5G Sea I un intervalo abierto de R, U un abierto de Rn y f : (t, x) ∈ I×U → f (t, x) una función escalar. Demostrar que si ∂f (t, x) = 0, ∂t

∀(t, x) ∈ I × U

entonces f no depende de t, es decir f (t1 , x) = f (t2 , x) cualesquiera que sean t1 , t2 , x.

Cap´ıtulo 6

La Diferencial de Fr´ echet Es bien conocido que una función de una variable f es derivable en un punto a si y sólo si su gráfica admite una recta tangente (no vertical) en el punto (a, f (a)). Queremos que una función de varias variables que sea derivable en un punto tenga una propiedad geométrica análoga. Previamente debemos formalizar la noción de tangencia.

Tangencia on 6.1 Un vector w de un espacio normado G se dirá tangente al Definici´ conjunto M ⊂ G en el punto c ∈ M , si existe alg´ un arco γ : [t1 , t2 ] → G satisfaciendo: i)γ(t) ∈ M para cada t, ii) existe t0 ∈ (t1 , t2 ) tal que γ(t0 ) = c, iii) γ es derivable en t0 y γ 0 (t0 ) = w. En particular si el arco de curva γ : [t1 , t2 ] → G es derivable en t0 ∈ (t1 , t2 ), entonces γ 0 (t0 ) es un vector tangente a la curva en c = γ(t0 ). Geométricamente, un vector tangente a M en c es pues un vector tangente a alguna curva trazada sobre M pasando por c (ver ejercicio 6A para una definición más general de vector tangente tomada del libro de Schwartz [26].) Al conjunto de vectores tangentes a M en el punto c ∈ M se le denotar´ a por Tc (M ). 6.2 La definición anterior nos va a permitir dar una interpretaci´ on geométrica de la derivada de una función en un punto siguiendo un vector: Sea E, F espacios normados, f : A ⊂ E → F , y M = {(x, f (x)) : x ∈ A} o

su gráfica. Para a ∈ A y h 6= 0 un vector de E, consideremos la curva 57

58

La Diferencial de Fr´ echet

6.2

γ(t) = (a + th, f (a + th)). γ es una curva contenida en M que pasa por c = (a, f (a)), además, puesto que ¡ f (a + th) − f (a) ¢ , γ 0 (0) = h, lim t→0 t es obvio, que f es derivable en a siguiendo el vector h si y sólo si γ es derivable en 0. Se deduce que si f es derivable en a siguiendo el vector h entonces γ 0 (0) = (h, Dh f (a)) es un vector tangente a M en el punto c.

Diferenciabilidad en un punto o

Definici´ on 6.3 Sea f : A ⊂ E → F, a ∈ A. Se dice que f es diferenciable en a (en el sentido de Fréchet), si existe una aplicación lineal y continua L ∈ L (E, F ) tal que (6.1)

f (x) − [f (a) + L(x − a)] = 0. x→a kx − ak lim

Para funciones de una variable, la definición anterior coincide con la de función derivable en un punto. En efecto, supongamos que f es una función de una variable (con valores en un espacio normado F ) derivable en a, entonces f (x) − f (a) f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a) = f 0 (a) ⇒ lim =0 x→a x→a x−a x−a f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a)] ⇒ lim = 0. x→a |x − a| lim

Puesto que L(h) = f 0 (a)h es una aplicación lineal de R en F , de esto se deduce que f es diferenciable, en el sentido de la definición anterior. Rec´ıprocamente, puesto que las aplicaciones lineales de R en F son de la forma h → m · h, la condición de diferenciabilidad dice en este caso que lim

x→a

f (x) − [f (a) + m(x − a)] = 0, |x − a|

lo cual equivale, sin más que invertir las implicaciones anteriores, a que f sea derivable en a y m = f 0 (a).

6.4


59

Vamos a ver ahora y en los cap´ıtulos sucesivos que la definición que hemos adoptado para función diferenciable satisface todas las expectativas que cab´ıa esperarse de una buena generalización del concepto de derivada. Además, en la proposición siguiente, demostraremos que la ambig¨ uedad que parece indicar la expresión “existe alguna aplicaci´ on L ∈ L (E, F )”, es sólo aparente. Esto ya sab´ıamos que era as´ı para funciones de una variable: Si f es de una variable y diferenciable en a, la u ńica aplicación lineal que satisface la condición 6.1 es L : h → f 0 (a)h. Ahora veremos que esto es cierto en todo caso. Proposici´ on 6.4 Si f : A ⊂ E → F es una aplicación diferenciable en el o

punto a ∈ A, entonces: (a) f es derivable en a en todas las direcciones. (b) La aplicación h → Dh f (a) es lineal y continua. (c) La aplicación del apartado anterior es la u ńica aplicación L de L (E, F ) para la que f (a + h) − f (a) − L(h) lim = 0. h→0 khk (d) Si M es la gráfica de f y c = (a, f (a)), el conjunto Tc (M ) es un subespacio vectorial de E×F isomorfo a E (que no contiene vectores de la forma (0, v) con v 6= 0). Precisamente, Tc (M ) = {(h, Dh f (a)) : h 6= 0} ∪ {(0, 0)}. on. (a) Sea h un vector no nulo de E. Entonces, de la diferenDemostraci´ ciabilidad de f en a se sigue que existe L ∈ L (E, F ) tal que f (a + th) − f (a) − tL(h) = 0, t→0 |t|khk lim

lo que equivale a que lim

t→0

f (a + th) − f (a) − tL(h) = 0. |t|

Como f (a + th) − f (a) − tL(h) =0 ⇔ t→0 |t| f (a + th) − f (a) ⇔ lim = L(h), t→0 t lim

f (a + th) − f (a) − tL(h) =0 t→0 t lim

60


6.4

se deduce, pues, que f es derivable en a, siguiendo cada vector h y que la aplicación L no puede ser otra más que la que lleva h en Dh f (a), lo cual demuestra (b) y también (c). Veamos finalmente que también se satisface (d): puesto que f es derivable en a en todas las direcciones, ya hemos visto que para cada h 6= 0 el vector (h, Dh f (a)) ∈ Tc (M ). Rec´ıprocamente, sea w = (h, v) ∈ E × F un vector tangente a M en c. Nosotros queremos probar que w = (h, Dh f (a)). Puesto que w ∈ Tc (M ), debe existir una curva γ : [−δ, δ] → E × F contenida en M, que pasa por c y tiene a w como vector tangente. Puede suponerse pues que γ(t) = (x(t), f (x(t)); γ(0) = (x(0), f (x(0)) = (a, f (a)); (x(0)) γ 0 (0) = (x0 (0), limt→0 f (x(t))−f ) = (h, v). As´ı que hemos de ver que t lim

t→0

f (x(t)) − f (x(0)) = Dx0 (0) f (a) = lim 1/tDx(t)−x(0) f (a) t→ t

equivalentemente que f (x(t)) − f (x(0)) − Dx(t)−x(0) f (a) = 0. t→0 t

(6.2)

lim

En efecto, observemos que si x(t) = x(0) = a entonces la expresión ° ° ° f (x(t)) − f (x(0)) − Dx(t)−x(0) f (a) ° ° ° ° ° t toma el valor 0, y en otro caso se puede escribir as´ı: kf (x(t)) − f (x(0)) − Dx(t)−x(0) f (a)k kx(t) − x(0)k . kx(t) − x(0)k |t| De la diferenciabilidad de f en a y la acotación de kx(t)−x(0)k en un entorno |t| de 0, se deduce entonces (6.2). Después de lo visto, es claro ya que la aplicación h → Dh f (a) establece un isomorfismo de espacios vectoriales entre E y Tc (M ). En particular, esto significa que si f es una función escalar n variables reales diferenciable en un punto a, entonces el conjunto de vectores tangentes a su gráfica en el punto (a, f (a)) es un hiperplano vectorial de Rn+1 . La proposición anterior admite claramente la siguiente lectura: Proposici´ on 6.5 Una aplicación f : A ⊂ E → F es diferenciable en el o

punto a ∈ A, si y sólo si satisface las tres condiciones siguientes:

6.7


61

(i) f es derivable en a en todas las direcciones. (ii) La aplicación h → Dh f (a) es lineal y continua. (iii) f (a + h) − f (a) − Dh f (a) = 0. h→0 khk lim

Nota. Una aplicación que satisface las condiciones (i) y (ii) se dice diferenciable en a en el sentido de Gateaux. (Un amplio estudio de la diferencial de Gateaux puede verse en el libro de Flett [12]). o

Definici´ on 6.6 Si f : A ⊂ E → F es diferenciable en el punto a ∈ A, a la u ńica aplicación lineal de E en F , que satisface la definición 6.3, la llamaremos diferencial de la función f en a, y la denotaremos como Df (a). Por la proposición anterior, Df (a) es la aplicación definida por Df (a)h = Dh f (a). En dimensión finita, es decir si E = Rn , la fórmula anterior puede completarse con la expresión correspondiente en términos de derivadas parciales, pudiéndose obtener también un resultado análogo al de la proposición 6.5: o

Proposici´ on 6.7 Sea f : A ⊂ Rn → F y a ∈ A, entonces (a) Si f es diferenciable en a entonces f admite derivadas parciales en a respecto a cualquier ´ındice y (6.3)

n X ∂f Df (a)h = (a)hj . ∂xj j=1

(b) Si f admite derivadas parciales en a respecto a cualquier ´ındice y P ∂f (a)hj f (a + h) − f (a) − nj=1 ∂x j = 0, (6.4) lim h→0 khk entonces f es diferenciable en a. Demostraci´ on. (a) Si f es diferenciable en a entonces admite, seg´ un hemos visto, derivadas en todas las direcciones, en particular f tiene derivadas siguiendo los vectores ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), que son, por definición, las

62


derivadas parciales en a. Sea h = canónica, entonces Df (a)h =

n X

P

hj Df (a)ej =

j=1

6.7

hj ej un vector de Rn , escrito en la base n X j=1

n X ∂f hj Dej f (a) = (a)hj . ∂xj j=1

(b) Si f satisface 6.4, entonces f es diferenciable en a, ya que la aplicación lineal y continua ∂f L : h −→ (a)hj ∂xj verifica la condición de diferenciabilidad 6.1. Si F es también de dimensión finita, i.e., F = Rk , y denotamos por f1 , .., fk a sus funciones coordenadas, la fórmula 6.3 puede escribirse matricialmente como sigue:     ∂f1 ∂f1 ∂f1 h1  ∂x1 (a) ∂x2 (a) . . . ∂xn (a)       ∂f   h2  ∂f2 ∂f2 2     (a) (a) . . . (a)  ×   Df (a)h = Dh f (a) =  ∂x2 ∂xn  ∂x1   h3  .  ...    ... ... ...     · · ·  ∂fk  ∂fk ∂fk (a) (a) . . . (a) hn ∂x1 ∂x2 ∂xn La matriz anterior es conocida como matriz jacobiana, en honor al matemático Jacobi. Df (a) es, pues, la aplicación lineal cuya matriz asociada es la matriz jacobiana. Nota. Ya sabemos que en el caso de que f sea una funci´ on de una variable, su diferencial en a es la aplicación Df (a)h = f 0 (a)h. Y aunque en todo lo que sigue los términos, diferencial de f en a y derivada de f en a, los consideraremos sinónimos, y emplearemos la notaci´ on Df (a) para referirnos a ellos, conservaremos, no obstante, la notaci´ on f 0 (a) para referirnos, en el caso de que f sea de una variable, a f (a + h) − f (a) , h→0 h

f 0 (a) = lim

por lo que se tiene que f 0 (a) = Df (a) · 1. La siguiente proposición establece que la diferenciabilidad es invariante frente a isomorfismos de espacios normados. Dos espacios normados E1 y E2

6.9


63

se dirán isomorfos si se puede establecer entre ellos un isomorfismo Φ de espacios vectoriales que también es homeomorfismo. Del carácter lineal y continuo de Φ y Φ−1 se deduce fácilmente la existencia de dos constantes a, b > 0 tales que akxk ≤ kΦ(x)k ≤ bkxk para todo x Proposici´ on 6.8 Consideremos el diagrama conmutativo siguiente f1

A1 ⊂ E1 −−−−→   Φy

F1   yΨ

f2

A2 ⊂ E1 −−−−→ F2 donde Φ y Ψ denotan isomorfismos entre los espacios Ei y Fi respectivao

mente. Entonces f1 es continua (diferenciable) en el punto a1 ∈ A1 si y sólo o

o

si f2 es continua (diferenciable) en a2 = Φ(a1 ) ∈ A2 = Φ(A1 ). Demostraci´ on. Puesto que f2 = Ψ ◦ f1 ◦ Φ−1 es claro que si f1 es continua en a1 entonces f2 es continua en a2 = Φ(a1 ). Supongamos que f1 diferenciable en a1 . Para probar que f2 diferenciable en a2 , bastará comprobar que f2 (a2 + h2 ) − f2 (a2 ) − (Ψ ◦ Df1 (a1 ) ◦ Φ−1 )(h2 ) = 0. h2 →0 kh2 k lim

Si sustituimos aqu´ı f2 por Ψ ◦ f1 ◦ Φ−1 , h2 por Φ(h1 ) y tenemos en cuenta que h1 → 0 si y sólo si Φ(h1 ) → 0, es fácil ver que la condición a demostrar es que lim

h1 →0

Ψ(f1 (a1 + h1 ) − f1 (a1 ) − Df1 (a1 )h1 ) =0 kΦ(h1 )k

y, por la continuidad de Ψ, que lim

h1 →0

f1 (a1 + h1 ) − f1 (a1 ) − Df1 (a1 )h1 = 0. kΦ(h1 )k

Pero esto es consecuencia directa de que f1 es diferenciable en a1 y de que por ser Φ isomorfismo existe una constante k > 0 tal que kΦ(h1 )k ≥ kkh1 k. Proposici´ on 6.9 Una función diferenciable en un punto a es continua en ese punto. De hecho, existe alg´ un entorno V de a y alguna constante M ≥ 0 tal que si x ∈ V , entonces kf (x) − f (a)k ≤ M kx − ak.

64


6.9

Demostraci´ on. Por la diferenciabilidad de f en a existe δ > 0 tal que si kx − ak ≤ δ entonces kf (x) − f (a) − Df (a)(x − a)k ≤1 kx − ak ⇒kf (x) − f (a) − Df (a)(x − a)k ≤ kx − ak. Sea V = B(a, δ) y x ∈ V , entonces kf (x) − f (a)k ≤ kf (x) − f (a) − Df (a)(x − a)k + kDf (a)(x − a)k ≤ (1 + kDf (a)k)kx − ak.

Ejercicios 6A (Una definici´ on m´ as general de vector tangente) Sea M un subconjunto de un espacio normado G, c ∈ M y v ∈ G. Se dirá que v es tangente a M en c, si existe una sucesión {zn } de puntos de M y una sucesión de escalares {λn > 0} tal que: zn → c, λn (zn − c) → v. Se denotará por Tc (M ) al conjunto de vectores tangentes a M en c. (a) Probar que un vector no nulo v es tangente a M en c si y sólo si existe una sucesión {zn } ⊂ M, zn 6= c tal que zn → c,

zn − c → v. kzn − ck

(b) Sea γ : (a, b) ⊂ R → G una curva contenida en M que pasa por el punto c ∈ M . Para concretar, sea c = γ(t0 ). Probar que si γ es derivable en t0 entonces el vector v = γ 0 (t0 ) es un vector tangente a M en c. (c) Sean E, F espacios normados y f : A ⊂ E → F una aplicación continua y o

derivable siguiendo un vector h en el punto a ∈ A. Probar que el vector (h, Dh f (a)) es un vector tangente en el punto c = (a, f (a)) a la gráfica de la función f . (e) Sea f : A ⊂ E → F una función diferenciable en un punto a y M su gráfica: 1. Demostrar que el conjunto de los vectores tangentes a M en el punto c = (a, f (a)) es el subespacio vectorial isomorfo a E, Tc (M ) = {(h, Df (a)h) : h ∈ E}. 2. Demostrar que el vector v es tangente a M en c = (a, f (a)) si y sólo si v es tangente en c a alguna curva contenida en M que pasa por c.

6G


65

6B Considerar la función f (x, y) = x2 − 2y. (a) (b) (c) (d)

Probar que f es una función diferenciable en el punto (0,1). Obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (0,1,-2). Calcular la derivada de f en (0,1) siguiendo el vector v = (2, 3). Encontrar alguna curva sobre la gráfica de la función f , que pase por el punto (0,1,-2) y tenga como vector tangente en ese punto a (2, 3, D(2,3) f (0, 1)). (e) ¿En qué dirección es máxima la derivada direccional de f en (0,1)? Calcularla.

6C Estudiar si entre todos los planos de R3 que tienen como vector normal a (1/2,1,1) existe alguno que sea tangente a la función f (x, y) = xsen y. 6D Estudiar la existencia de derivadas direccionales en (0,0) para las funciones p p f1 (x, y) = 3 x3 + y 3 ; f2 (x, y) = 3 x3 + y 4 ¿Son G-diferenciables en (0,0)? ¿diferenciables? ´ n: Para estudiar la diferenciabilidad de f2 en (0,0), puede resultar u Indicacio ´til saber que, si r es un n´ u mero real > 0 y denotamos por g a la funci´ o n g(u) = √ √ 3 u + r − 3 u, entonces g es no negativa y alcanza un máximo absoluto en el punto u = −r/2. 6E Supongamos que f es una función escalar de dos variables, continua en el punto (0,0), y sea g(x, y) = xf (x, y). Probar que g es diferenciable en (0,0). 6F Sea f (x, y) = (x2 , xy). Calcular kDf (0, 1)k cuando se considera en R2 la norma k · k1 . o

6G Sean E, F espacios normados, f : A ⊂ E → F y a ∈ A. (a) Si f es diferenciable en a, probar que f (a + h) − f (a) lim = h→0 khk

( 0 No existe

si Df (a) = 0 si Df (a) 6= 0

(b) Probar que si f admite derivadas en a siguiendo cualquier vector y (∗)

lim

h→0

kf (a + h) − f (a)k = α 6= 0 khk

entonces kDh f (a)k = αkhk, para todo h ∈ E. (c) Deducir de (b) que si dim E > dim F y f satisface (∗) entonces f no puede ser diferenciable en a. ´ n. De ser diferenciable en a, existir´ıa alg´ Indicacio un vector no nulo en el n´ ucleo de Df (a).

66


6G

(d) Si f es diferenciable en a, entonces son equivalentes: i) Existe limh→0

kf (a + h) − f (a)k khk

ii) kDf (a)hk = kDf (a)kkhk para todo h ∈ E. (e) Considerar las funciones p f1 (x, y) = x2 + y 2 ;

(p x2 + y 2 p f2 (x, y) = − x2 + y 2

si x ≥ 0 si x < 0

Probar que ambas funciones satisfacen la condición (∗) en (0,0), cuando se considera la norma eucl´ıdea en R2 . Ninguna de las dos funciones son diferenciables en (0,0), pero mientras que la función f1 no admite derivadas direccionales, la función f2 s´ı. (f) Sea f la función f (x, y) = (sen x − cos y, cos x + sen y) Calcular kDf (π/3, π/3)k respecto a la norma eucl´ıdea y comprobar que f es una función del tipo estudiado en (d). 6H Probar que la función f (x) = x3/2 sen 1/x, no es lipschitziana en ning´ un entorno de 0.

f (0) = 0 es derivable en 0, pero

6I Estudiar continuidad, existencia de derivadas parciales, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad en el origen de coordenadas, para cada una de las funciones siguientes. (Supondremos que todas estas funciones toman el valor 0 en el origen) x4 + x2 y 2 + y 5 x2 + y 4 4 x + y4 3. f (x, y) = 2 x + y2 ln(1 + xy) 5. f (x, y) = p x2 + y 2 (x2 + y 3 )(x2 + y 2 ) 7. f (x, y) = x2 + y 4 1. f (x, y) =

6J

x3 − y 3 x2 + y 2 sen (x3 + xyz) 4. f (x, y) = 2 x + y2 + z2 ln(1 + xy) 6. f (x, y) = p 3 x2 + y 2 xy p 8. f (x, y) = x2 + x2 + y 2 2. f (x, y) =

1. Estudiar la diferenciabilidad de la función f (x, y) = sen |x2 − y 2 |, en los puntos (0,0) y (1,1). 2. Estudiar la diferenciabilidad en (0,0) de la función f (x, y) = |xy|α , seg´ un los valores de α ≥ 0.

6K


67

3. Estudiar continuidad, existencia de derivadas parciales, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad en los puntos (0,0) y (0,1), para la función (p x4 + sen 2 (xy) si x ≥ 0 p f (x, y) = 4 2 − x + sen (xy) si x < 0 4. Considerar la funciones f (x, y) = f (x, y) =

xy(x2 + y 2 )3/4 ; + y 2 )1/2 + x2

y 2 (x2

y(x2 + y 2 )3/2 ; (x2 + y 2 )2 + y 2

f (0, 0) = 0

f (0, 0) = 0.

Probar, utilizando coordenadas polares, que son funciones continuas y G-diferenciables en (0,0), pero no diferenciables en dicho punto. 6K Demostrar que la función x5 − y 3 f (x, y) = p ; x6 + y 4

f (0, 0) = 0

es diferenciable en (0,0). ´ n: Probar que Indicacio 0≤

p

x6 + y 4 − y 2 ≤ |x|3 ,

∀x, y.

Cap´ıtulo 7

Funciones de Clase C1 Vamos a considerar ahora la extensi´ on a varias variables del concepto de 1 función de clase C . Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables, trataremos de establecer, paralelamente, el mismo resultado para las aplicaciones de clase C 1 .

Preliminares Definici´ on 7.1 Sea f : U ⊂ E → F donde U un conjunto abierto de E. Diremos que f es de clase C 1 sobre A ⊂ U , lo que denotaremos por f ∈ C 1 (A), si (i) f es diferenciable en cada punto x de A. (ii) La aplicación Df : x → Df (x) es continua en A. Aunque no se exprese explicitamente, siempre que escribamos f ∈ C 1 (A) supondremos que f está definida sobre alg´ un conjunto abierto que contiene a A. Veremos en este cap´ıtulo un teorema de caracterización para estas aplicaciones, en términos de derivadas parciales. Para establecer con comodidad dicho teorema y también otros posteriores, necesitaremos algunos resultados previos. Proposici´ on 7.2 Sea f : A ⊂ E → F1 × F2 × . . . × Fk . Es decir f = o

(f1 , f2 , ..., fk ) y sea a ∈ A . Entonces, f es diferenciable en a (f ∈ C 1 (A)) si y sólo si cada función coordenada fi es diferenciable en a (fi ∈ C 1 (A)). Se verifica entonces que Df (a)h = (Df1 (a)h, Df2 (a)h, ..., Dfk (a)h). 69

Funciones de Clase C1

70

7.2

Demostraci´ on. Supongamos que cada fi es diferenciable en a, entonces teniendo en cuenta la proposici´ on 2.11 0= ¶ µ f1 (a + h) − f1 (a) − Df1 (a)h fk (a + h) − fk (a) − Dfk (a)h , . . . , lim lim h→0 h→0 khk khk µ ¶ f1 (a + h) − f1 (a) − Df1 (a)h fk (a + h) − fk (a) − Dfk (a)h = lim ,..., h→0 khk khk f (a + h) − f (a) − (Df1 (a)h, . . . , Dfk (a)h) = lim , h→0 khk y puesto que la aplicaci´ on h → (Df1 (a)h, Df2 (a)h, . . . , Dfk (a)h) es lineal y continua (está en L (E, F1 × . . . × Fk )), se deduce que f es diferenciable en a, siendo Df (a)h = (Df1 (a)h, Df2 (a)h, ..., Dfk (a)h). Rec´ıprocamente, si f es diferenciable en a entonces lim

h→0

f (a + h) − f (a) − Df (a)h = 0, khk

lo que implica, usando de nuevo 2.11, que lim

h→0

fi (a + h) − fi (a) − πi (Df (a)h) = 0, khk

i = 1, 2, . . . , k

donde πi es la proyecci´ on sobre Fi . Esto significa que fi es diferenciable en a, y Dfi (a) = πi ◦ Df (a). Veamos por u ´ltimo que f es de clase C 1 si y sólo si cada fi es de clase 1 C , es decir que la aplicación Df : x → Df (x) es continua si y s´ olo si la aplicación x → (Df1 (x), . . . , Dfk (x)) es continua. En efecto, kDf (x) − Df (a)k ≤ ε ⇔ k(Df (x) − Df (a))hk ≤ εkhk, ∀h °¡ ¢° ⇔ ° (Df1 (x) − Df1 (a))h, . . . , (Dfk (x) − Dfk (a))h ° ≤ εkhk, ⇔ k(Dfj (x) − Dfj (a))hk ≤ εkhk,

∀h

∀h, ∀j = 1 . . . , k

⇔ kDfj (x) − Dfj (a)k ≤ ε, ∀j = 1 . . . , k. Nota. Obsérvese que a pesar de la fórmula Df (x)h = (Df1 (x)h, Df2 (x)h, ..., Dfk (x)h), las aplicaciones Dfi no son las funciones coordenadas de la aplicación Df , pues Df (x) 6= (Df1 (x), Df2 (x), ..., Dfk (x)) ya que Df (x) ∈ L (E, F1 × . . . × Fk ) mientras que (Df1 (x), Df2 (x), ..., Dfk (x)) ∈

7.3


71

Qk

ıa lineal entre estos dos i=1 L (E, Fi ). Sin embargo, existe una isometr´ espacios normados que aplica Df (x) sobre (Df1 (x), Df2 (x), ..., Dfk (x)) (la prueba de esto está impl´ıcita en la demostraci´ on anterior), y por tanto que Df es continua si y sólo si, para cada i, Dfi es continua, se puede obtener como consecuencia de la proposición 6.8

Condici´ on suficiente de diferenciabilidad o

Teorema 7.3 Sea f : A ⊂ Rn → Rp , y a ∈ A. Si f admite derivadas parciales, respecto a cualquier ´ındice, en un entorno del punto a y éstas son aplicaciones continuas en a, entonces f es diferenciable en a. Demostraci´ on. Observemos antes de nada que la hipótesis, las derivadas parciales de f son continuas en a, es equivalente a que esto mismo suceda para las funciones coordenadas, ya que es evidente que ¡ ∂f1 ¢ ∂fp ∂f (x) = (x), . . . , (x) . ∂xj ∂xj ∂xj Puesto que suponemos que las aplicaciones ∂fi ∂fi :x→ (x) ∂xj ∂xj están definidas en a, para que f sea además diferenciable se tendrá que verificar que P ∂f (a)(xj − aj ) f (x) − f (a) − nj=1 ∂x j (7.1) lim = 0. x→a kx − ak Para ello vamos a aplicar el teorema 5.6 a la función n X ∂f g(x) = f (x) − f (a) − (a)(xj − aj ). ∂xj j=1

Es claro que

∂gi ∂fi ∂fi (x) = (x) − (a). ∂xj ∂xj ∂xj

Por tanto, aplicando el hecho de que las derivadas parciales de f son continuas en a, se tiene que para todo ε > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que si x ∈ V = B[a, δ] entonces ¯ ∂gi ¯ ¯ ∂fi ¯ ∂fi ¯ (x)¯ = ¯ (x) − (a)¯ ≤ ε, ∀i, j. ∂xj ∂xj ∂xj


72

7.3

Se deduce, pues, que la función g cumple en V las hipótesis del teorema 5.6, luego es lipschitziana en V . En particular, si x ∈ V kg(x) − g(a)k∞

n X ° ° ∂f ° (a)(xj − aj )°∞ ≤ εkx − ak1 , = f (x) − f (a) − ∂xj j=1

que, obviamente, significa que f satisface la condici´ on 7.1. Nota. Obsérvese que del hecho de que la función g de la demostración anterior sea lipschitziana en V , se deduce que P ∂f f (x) − f (y) − nj=1 ∂x (a)(xj − yj ) j lim = 0. kx − yk (x,y)→(a,a) Una función que satisface la condici´ on anterior se dice que es estrictamente diferenciable en a. Por lo tanto, se ha demostrado que si f es una función cuyas derivadas parciales son continuas en a, entonces f es algo más de diferenciable en a, es estrictamente diferenciable en a. En particular, es fácil ver que f es, en ese caso, lipschitziana en alg´ un entorno de a. Corolario 7.4 Sea f : U ⊂ Rn → Rp con U un abierto, entonces f es de clase C 1 sobre U si, y sólo si, admite derivadas parciales continuas en U . Demostraci´ on. Si f admite derivadas parciales continuas en U , por el resultado anterior, se tiene que f es diferenciable en cada punto de U. Para que f ∈ C 1 (U ) sólo falta ver que la aplicación Df es continua en U . Trabajemos, para concretar, con la norma producto de Rn : kDf (x) − Df (a)k = sup kDf (x)h − Df (a)hk khk≤1 n n ° ∂f °X ° ¡ ∂f ¢ ° X ∂f ∂f ° = sup ° (x) − (a) hj ° ≤ (x) − (a)°. ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj |hj |≤1 j=1

j=1

De las desigualdades anteriores se deduce trivialmente que si las aplicaciones son continuas en a, entonces también es continua en a la aplicación Df. Rec´ıprocamente, si Df es continua en a, entonces ° ∂f ° ∂f ° (x) − (a)° = k(Df (x) − Df (a))ej k ∂xj ∂xj ≤ kDf (x) − Df (a)kkej k = kDf (x) − Df (a)k, lo que expresa que la aplicaci´ on ∂f /∂xj es continua en a.

7.6


73

Corolario 7.5 Sea U un abierto de Rn y f : U ⊂ Rn → Rp una función de clase C 1 sobre U , entonces 1. f es localmente lipschitziana. 2. f es lipschitziana sobre cada compacto K ⊂ U . on. Teniendo en cuenta que las derivadas parciales de f est´ an Demostraci´ acotadas sobre cada bola cerrada contenida en U , del corolario 5.7 resulta entonces que f es localmente lipschitziana. Supongamos ahora que K es un compacto contenido en U y sea 0 < λ < d(K, U c ). (Utilizaremos, para situarnos en el marco del teorema 5.6, la norma k · k1 en Rn y la norma k · k∞ en Rp ) Denotemos por K1 al conjunto on de λ, es claro que K1 = {x ∈ U : d(x, K) ≤ λ}. De acuerdo con la elecci´

∪ B(y, λ) ⊂ K1 ⊂ U.

y∈K

Además es fácil probar que K1 es un compacto (ejercicio). Sea entonces α una cota superior de f en K, y β una cota superior para las derivadas parciales de f en K1 . Entonces si x, y ∈ K puede suceder: 1. kx − yk < λ. En este caso y ∈ B(x, λ) ⊂ K1 , luego kf (x) − f (y)k ≤ βkx − yk.

2. kx − yk ≥ λ, entonces kf (x) − f (y)k ≤ 2α ≤ 2α

kx − yk . λ

Luego f es lipschitziana sobre K de constante M = max(β, 2α/λ).

Algunos ejemplos Vamos a dar, para terminar, algunos ejemplos de funciones de clase C 1 utilizados con frecuencia en demostraciones de tipo te´ orico. Ejemplos 7.6 Las siguientes aplicaciones son de clase C 1 : (a) Las aplicaciones constantes. (b) Las aplicaciones lineales y continuas. (c) Las aplicaciones bilineales y continuas.


74

7.6

En efecto, (a) Las funciones constantes son aplicaciones de clase C 1 . Si f (x) = α, para todo x, entonces f (x + h) − f (x) 0 = = 0, khk khk lo cual implica que f es diferenciable en x y Df (x) = 0 para cada x. Luego Df es la aplicación idénticamente nula y, por tanto, f es de clase C 1 . (b) Toda aplicación lineal y continua es de clase C 1 . Supongamos, en primer lugar, que T es una forma lineal sobre Rn , es decir T (x1 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn . Obviamente T admite derivadas parciales en cada punto, concretamente: ∂T (x) = aj , ∂xj

∀x.

Y, puesto que éstas son aplicaciones constantes, son continuas, luego por el corolario 7.4, T es una aplicaci´ on de clase C 1 . Observemos que la matriz jacobiana de DT (x) no es otra que la matriz que representa a la aplicación lineal T , por lo que necesariamente DT (x) = T . Todo lo anterior es válido para una aplicación lineal y continua cualquiera, es decir que si T ∈ L (E, F ), entonces T ∈ C 1 (E) y DT (x) = T , para todo x de E. En efecto: T (x + h) − T (x) − T (h) T (x) + T (h) − T (x) − T (h) = lim = 0, h→0 h→0 khk khk lim

lo que significa que T es diferenciable en x y DT (x) = T . As´ı pues DT es una aplicación constante: la aplicación que lleva cada x de E en el elemento T de L (E, F ), por tanto T ∈ C 1 (E). (c) Sea ahora T una aplicación bilineal y continua. Para fijar ideas supongamos en primer lugar que T es la aplicación producto de dos n´ umeros reales, es decir la aplicación (x, y) → xy. Se tiene entonces que

∂T = y; ∂x

∂T = x. ∂y

Luego las aplicaciones ∂T /∂x y ∂T /∂y son continuas, lo que implica que T es de clase C 1 y DT (x, y)(h, k) = hy + xk = T (h, y) + T (x, k) .


7.6

75

En el caso general, si T es una aplicación bilineal y continua de E × F en G, vamos a probar que T es diferenciable en cada punto y que DT (x, y)(h, k) = T (h, y) + T (x, k). (Obsérvese que la aplicación (h, k) → T (h, y) + T (x, k) es una aplicaci´ on lineal y continua de E × F en G) En efecto, T ((x, y) + (h, k)) − T (x, y) − T (h, y) − T (x, k) k(h, k)k (h,k)→(0,0) lim

= = lim

lim

(h,k)→(0,0)

T (x + h, y + k) − T (x, y) − T (h, y) − T (x, k) k(h, k)k

T (x, y) + T (h, y) + T (x, k) + T (h, k) − T (x, y) − T (h, y) − T (x, k) k(h, k)k =

T (h, k) = 0. (h,k)→(0,0) k(h, k)k lim

La u ´ltima igualdad es consecuencia de que kT (h, k)k ≤ kT k khk kkk ≤ kT k k(h, k)k2 . Finalmente comprobemos que DT es continua: Observemos primero que la aplicación DT resulta ¡en este caso! lineal (Comprobarlo). Por lo tanto, para demostrar que es continua podemos utilizar la proposici´ on 4.1, que caracteriza a las aplicaciones lineales continuas. kDT (x, y)k =

sup

kDT (x, y)(h, k)k

k(h,k)k≤1

=

sup

kT (h, y) + T (x, k)k

k(h,k)k≤1

≤

sup

kT k khk kyk + kT k kxk kkkk

k(h,k)k≤1

≤ kT k(kxk + kyk) ≤ 2 kT k k(x, y)k.


76

7.7

Ejemplo 7.7 Sean E, F y G espacios normados. Una aplicación bilineal y continua con la que nos encontraremos algunas veces es la aplicación de L (E, F ) × L (F, G) en L (E, G) (T, U ) → U ◦ T

Ejercicios 7A Sean f, g dos funciones escalares no nulas de una variable. Probar que la función h(x, y) = f (x) · g(y) es de clase C 1 si y sólo si f y g son de clase C 1 . 7B Probar que todas las funciones siguientes son diferenciables en (0, 0) Estudiar si también satisfacen la condición suficiente de diferenciabilidad en (0, 0) ¿Cuáles son de clase C 1 ? 1. f (x, y) =

x3 , x2 + y 4

3. f (x, y) = xy cos

f (0, 0) = 0

1 , x2 + y 2

f (0, 0) = 0

p x4 + y 4 ( sen xy si xy ≥ 0 4. f (x, y) = xy si xy < 0 2. f (x, y) =

7C Sea T una aplicación n-lineal y continua de E1 × · · · × En en F . Probar que T es de clase C 1 y obtener la fórmula DT (x1 , . . . , xn )(h1 , . . . , hn ) = T (h1 , x2 , . . . , xn ) + T (x1 , h2 , x3 , . . . , xn ) + . . . + T (x1 , . . . , xn−1 , hn )

Cap´ıtulo 8

Reglas Formales de Derivaci´ on En este cap´ıtulo extenderemos a las funciones de varias variables las reglas del cálculo de derivadas para las funciones de una variable: regla de la cadena, fórmula de Leibnitz, etc. Los mismos enunciados de los teoremas e incluso las mismas fórmulas, van a seguir siendo formalmente válidos para las funciones de varias variables. Proposici´ on 8.1 Si f, g son funciones diferenciables en un punto a (de clase C 1 ), entonces también es diferenciable en a (de clase C 1 ) la función λf + µg. Y se verifica que D(λf + µg)(a) = λDf (a) + µDg(a).

on. Es consecuencia inmediata de la definición de función difeDemostraci´ renciable (función de clase C 1 ) y de la unicidad de la diferencial en un punto.

Regla de la cadena Proposici´ on 8.2 Sean E, F y G espacios normados y f : A ⊂ E → F , g : B ⊂ F → G. o

o

(i) Si f es diferenciable en a ∈ A y g es diferenciable en el punto f (a) ∈ B, entonces la aplicación u = g ◦ f es diferenciable en a y se tiene que (8.1)

D(g ◦ f )(a) = Dg(f (a)) ◦ Df (a) 77

(Regla de la Cadena).

78

Reglas Formales de Derivaci´ on

8.2

(ii) Si B ⊃ f (A), f ∈ C 1 (A) y g ∈ C 1 (B), entonces u ∈ C 1 (A). Demostraci´ on. Observemos en primer lugar que por ser f continua en a y f (a) interior a B, existe alg´ un entorno V de a tal que f (V ) ⊂ B, y por tanto la aplicación u = g ◦ f est´ a definida sobre V . Veamos que u es diferenciable en a: Sea ε > 0. Puesto que f es diferenciable en a, existe δ1 > 0 tal que si khk ≤ δ1 kf (a + h) − f (a) − Df (a)hk ≤ εkhk. De igual modo, por la diferenciabilidad en el punto f (a) de la aplicaci´ on g, existe η > 0 tal que si kkk ≤ η kg(f (a) + k) − g(f (a)) − Dg(f (a))kk ≤ εkkk. Por u ´ltimo, y debido también a la diferenciabilidad de f en a (ver 6.9), existen δ2 > 0 y α > 0 tal que si khk ≤ δ2 entonces kf (a + h) − f (a)k ≤ αkhk ≤ η. Luego, para khk ≤ δ = min(δ1 , δ2 ) y k = f (a + h) − f (a), se tiene k(g ◦ f )(a + h) − (g ◦ f )(a) − (Dg(f (a)) ◦ Df (a))hk ≤ kg(f (a) + k) − g(f (a)) − Dg(f (a))kk + kDg(f (a))(f (a + h) − f (a) − Df (a)hk ≤ εkkk + εkDg(f (a))kkhk ≤ (α + kDg(f (a))k)εkhk. Esto demuestra que si khk ≤ δ k(g ◦ f )(a + h) − (g ◦ f )(a) − (Dg(f (a)) ◦ Df (a))hk ≤ M εkhk, donde M = α + kDg(f (a))k, es decir que u = g ◦ f es diferenciable en a y que Du(a) = Dg(f (a)) ◦ Df (a). Supongamos ahora que f y g son de clase C 1 . Seg´ un lo anterior la aplicación u es diferenciable en cada punto de A y se tiene que Du(x) = Dg(f (x)) ◦ Df (x). Si consideramos entonces la descomposición de Du x → (Dg(f (x)), Df (x)) → Dg(f (x)) ◦ Df (x), resulta que Du es continua por ser composición de dos aplicaciones continuas, la primera de ellas continua por serlo sus funciones coordenadas, (Dg) ◦ f y Df , y la segunda por tratarse de una aplicación bilineal del tipo considerado en 7.7.

8.4


79

Corolario 8.3 (T. del valor medio) Sea [a, b] un segmento de Rn contenido en el abierto U . Supongamos que f : U ⊂ Rn → Rp es una aplicación continua en cada punto de [a, b] y diferenciable en (a, b) y que existe un n´ umero real M tal que kDf (x)k ≤ M,

∀x ∈ (a, b),

entonces kf (b) − f (a)k ≤ M kb − ak.

Demostraci´ on. Sólo daremos aqu´ı la demostración para el caso en que la norma utilizada en Rp sea la norma producto. Para el caso general, ver el anexo. Consideremos la aplicación λ : [0, 1] ⊂ R → Rn definida por λ(t) = a + t(b − a). Esta aplicación es claramente continua en [0,1] y derivable en (0,1), siendo λ0 (t) = b − a. Denotemos entonces por fi a la i-ésima funci´ on coordenada de f y sea gi = fi ◦ λ; gi es una función escalar de una variable, que por ser composición de dos funciones derivables es, seg´ un lo anterior, derivable en cada punto de (0,1), siendo su derivada, gi0 (t) = Dfi (λ(t))(b−a). Se deduce pues que (8.2)

|gi0 (t)| ≤ kDfi (λ(t)kkb − ak.

Teniendo en cuenta que si la norma utilizada en Rp es k k∞ , entonces kDfi (x)k ≤ kDf (x)k (ejercicio), de 8.2 se deduce que |gi0 (t)| ≤ kDfi (λ(t)kkb − ak ≤ kDf (x)kkb − ak ≤ M kb − ak; aplicando ahora el teorema de valor medio para funciones escalares de una variable, se tiene que kf (b) − f (a)k∞ = max |fi (b) − fi (a)| = max |gi (1) − gi (0)| ≤ M kb − ak.

8.4 A la sencillez formal de la regla de la cadena será preciso adjuntar, a efectos de cálculo, su reformulaci´ on en términos de derivadas parciales. Es claro que, en dimensión finita, lo que expresa la fórmula, Du(a) = Dg(f (a)) ◦ Df (a), es que la matriz jacobiana de la aplicación u en el punto a es el producto de las matrices jacobianas de la aplicación g en el punto

80


8.4

f (a) por la matriz jacobiana de la f en a, es decir, si f : A ⊂ Rn → Rp y g : B ⊂ Rp → Rk , entonces:       ∂g1 ∂g1 ∂f1 ∂f1 ∂u1 ∂u1 · · · · · · ···  ∂y1 ∂yp   ∂x1  ∂x1 ∂xn  ∂xn          ∂g ∂g ∂f2  ∂u2  2  ∂f2  ∂u2  2 ···     · · · ··· = ×  ∂x1 ∂y1 ∂yp     ∂x1 ∂x ∂x n n       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . .      ∂u  ∂gk ∂fp ∂fp  ∂uk ∂gk  k ··· ··· ··· ∂x1 ∂xn (a) ∂y1 ∂yp f(a) ∂x1 ∂xn (a) Esta igualdad matricial nos permite escribir entonces lo que podemos llamar la regla de la cadena para derivadas parciales: p

X ∂gi ∂ui ∂fs (a) = (f (a)) (a). ∂xj ∂ys ∂xj s=1

F´ ormula de Leibnitz on 8.5 Sean f, g : A ⊂ E → R aplicaciones diferenciables en Proposici´ un punto a (de clase C 1 en A), entonces su producto, f · g, es también diferenciable en a (de clase C 1 en A) y se tiene que D(f · g)(a) = f (a)Dg(a) + g(a)Df (a) (F´ ormula de Leibnitz).

Demostraci´ on. Si escribimos s = f · g como composición de las funciones x → (f (x), g(x)) → f (x)·g(x), para probar que s es diferenciable en a (de clase C 1 en A), sólo hemos de ver que la aplicación T de R2 en R, (u, v) → u·v, es de clase C 1 . Pero esto ya lo sabemos, puesto que T es una aplicación bilineal. La fórmula de Leibnitz se obtiene ya sin más que aplicar la regla de la cadena. En efecto, si denotamos por φ a la aplicación x → (f (x), g(x)), entonces Ds(a)h = D(T ◦ φ)(a)h = (DT (φ(a)) ◦ Dφ(a))h = DT (f (a), g(a)) (Df (a)h, Dg(a)h) = T (Df (a)h, g(a)) + T (f (a), Dg(a)h) = g(a)Df (a)h + f (a)Dg(a)h = (g(a)Df (a) + f (a)Dg(a))h.

8.7


81

Se tiene pues que D(f · g)(a) = f (a)Dg(a) + g(a)Df (a). Proposici´ on 8.6 Sean f, g : A ⊂ E → R aplicaciones diferenciables en un punto a (de clase C 1 en A). Si g(a) 6= 0 (g no se anula en ning´ un punto de A), entonces la aplicación h = f /g es diferenciable en a (de clase C 1 en A). Se tiene entonces que (8.3)

D(f /g)(a) =

g(a)Df (a) − f (a)Dg(a) . g(a)2

Demostraci´ on. Basta ver que si g(a) 6= 0 (g no se anula en ning´ un punto de A), entonces la aplicación 1/g es diferenciable en a (de clase C 1 en A). Escribiendo 1/g como la composición de las aplicaciones x → g(x) →

1 , g(x)

eso se sigue de que la aplicación de R en R, t → 1/t, es de clase C 1 en R \ {0}. La fórmula 8.3 se obtiene de la correspondiente fórmula para funciones de una variable y de la fórmula de Leibnitz. Nota. No consideraremos aqu´ı la diferenciabilidad de la inversa de una función, ya que el estudio de funciones inversas ser´ a el objeto de otro cap´ıtulo posterior. 8.7 Los resultados anteriores nos permitirán construir una extensa familia de funciones de clase C 1 . Empecemos, por ejemplo, con los polinomios: Como se sabe un polinomio de varias variables es una aplicación de la forma X f (x1 , x2 , . . . , xn ) = ai1 ...in xi11 . . . xinn , ik = 0, 1, . . . finita

Puesto que la suma y el producto de aplicaciones de clase C 1 es una aplicación de clase C 1 , es evidente que los polinomios son de clase C 1 ya que las aplicaciones (x1 , x2 , . . . , xn ) → ai1 ...in (x1 , x2 , . . . , xn ) → xik lo son, por ser, respectivamente, aplicaciones constantes y lineales.

82


8.7

Aplicando 8.6, las funciones racionales (cocientes de dos polinomios) son de clase C 1 sobre el conjunto de puntos donde el polinomio del denominador no se anula. Por u ´ltimo, mediante la composición de las funciones anteriores con funciones de una variable de clase C 1 , se obtienen nuevas funciones de varias variables y de clase C 1 : sen (x2 + y 2 ),

log(1 + x2 + y 2 ),

1 , 1 + cos2 (xyz)

...

ANEXO: El teorema del valor medio La versión más usual de los teoremas de valor medio para funciones de una variable, establece que 8.8 Si f es una función continua en un intervalo compacto [a, b] de R y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe alg´ un punto intermedio a < ξ < b tal que f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a). Este teorema puede extenderse textualmente a las “funciones escalares”de alido para funciones vectoriales (ver varias variables, pero, en cambio, no es v´ ejercicio 8H). Para las funciones vectoriales a´ un puede obtenerse un teorema de valor medio que implica, en particular, la fórmula conocida como de los incrementos finitos: kf (b) − f (a)k ≤ sup kDf (x)kkb − ak. x∈(a,b)

Teorema 8.9 (Funciones Escalares) Si f es una función escalar definida sobre un conjunto A de un espacio normado, continua sobre el segmento [a, b] ⊂ A y derivable en (a, b) siguiendo el vector b − a, entonces existe ξ ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = D(b−a) f (ξ).

on. Sea g(t) = f (a + t(b − a)), t ∈ [0, 1]. Esta aplicación es Demostraci´ continua en [0, 1], ya que g = f ◦ λ, donde λ es la aplicación de [0, 1] en [a, b]

8.10


83

definida por λ(t) = a + t(b − a), que es claramente continua. Además es derivable en cada punto t de (0,1), pues g(t + s) − g(t) f (a + (t + s)(b − a)) − f (a + t(b − a)) = lim s→0 s→0 s s = D(b−a) f (a + t(b − a)). lim

Aplicando a g el teorema 8.8, se deduce que existe alg´ un punto t0 en (0,1) tal que f (b) − f (a) = g(1) − g(0) = g 0 (t0 ) = D(b−a) f (ξ),

ξ = a + t0 (b − a).

Nota. Si en el teorema anterior se supone f diferenciable en (a, b), entonces este teorema establece que existe un punto ξ en el segmento (a,b) tal que f (b) − f (a) = Df (ξ)(b − a), fórmula que en dimensión finita puede escribirse f (b) − f (a) =

X ∂f (ξ)(bj − aj ). ∂xj

Para el teorema de valor medio para funciones vectoriales usaremos la siguiente versión del teorema de valor medio para funciones de R en R: Lema 8.10 Sea [a, b] un intervalo compacto de R y f : [a, b] → R una aplicación continua que admite derivada a la derecha en cada punto de (a, b). Se tiene que 1. Si f+0 (t) ≥ 0 para todo t ∈ (a, b), entonces la función f es no decreciente en [a, b]. 2. Si |f+0 (t)| ≤ M para todo t ∈ (a, b), entonces |f (b) − f (a)| ≤ M (b − a). on. 1. Supongamos primero que f+0 (t) > 0 para todo t ∈ (a, b). Demostraci´ Bastará probar que f (a) ≤ f (b). Supongamos, por el contrario, que f (b) < f (a) y sea c un punto intermedio entre f (a) y f (b), es decir f (a) > c > f (b). Sea tc el mayor de los puntos t ∈ [a, b] para los que f (t) = c. Debido a la continuidad de f en [a, b], es claro que tal punto existe y pertenece a (a, b) y, de acuerdo con su definición, se tiene que: u > tc

⇒

f (u) < f (tc )

⇒

f (u) − f (tc ) < 0. u − tc

84


8.10

Pero la anterior condición implica que f+0 (tc ) ≤ 0, en contra de la hipótesis. Si f+0 (t) ≥ 0 para todo t ∈ (a, b), entonces, para cada ε > 0 la función 0 (t) > 0 para todo t ∈ (a, b), luego g(t) = f (t) + ε(t − a) verifica que g+ f (a) = g(a) ≤ g(b) = f (b) + ε(b − a). Por el carácter arbitrario de ε se deduce que f (a) ≤ f (b). 2. Si |f+0 (t)| ≤ M para todo t ∈ (a, b), entonces las funciones g1 (t) = f (t) + M (t − a) y g2 (t) = M (t − a) − f (t) son no decrecientes, pues sus derivadas a la derecha en todo punto son no negativas. Luego: f (a) = g1 (a) ≤ g1 (b) = f (b) + M (b − a) ; −f (a) = g2 (a) ≤ g2 (b) = M (b − a) − f (b). De ambas desigualdades se deduce que |f (b) − f (a)| ≤ M (b − a). Nota. Observemos que si en el lema anterior se supone f+0 (t) > 0, para todo t ∈ (a, b) entonces lo que se obtiene es que f es estrictamente creciente en [a, b], pues, por un lado f no decreciente, obliga a que f (a) < f (b) ya que, de lo contrario, f ser´ıa constante y por lo tanto f 0 (t) = 0, para todo t. En consecuencia si se tuviese que |f+0 (t)| < M , la misma demostraci´ on dada para el apartado 2 del lema, conducir´ıa ahora a que |f (b)−f (a)| < M (b−a). Corolario 8.11 Sea [a, b] un intervalo compacto de R y f : [a, b] → R una aplicación continua que admite derivada a la derecha en cada punto de (a, b), entonces existe alg´ un punto t0 ∈ (a, b) tal que |f (b)−f (a)| ≤ |f+0 (t0 )(b−a)|. on. Si, por el contrario, |f (b) − f (a)| > |f+0 (t0 )(b − a)|, entonces, Demostraci´ tomando M = |f (b) − f (a)|/(b − a) y teniendo en cuenta la nota anterior, resultar´ıa que |f (b) − f (a)| < M (b − a) = |f (b) − f (a)| lo cual es absurdo. Teorema 8.12 Sean E, F espacios normados. Si f : A ⊂ E → F es una aplicación continua en el segmento [a, b] ⊂ A y diferenciable en (a, b) , entonces existe un punto ξ ∈ (a, b) tal que kf (b) − f (a)k ≤ kDf (ξ)(b − a)k. En consecuencia, si existe un n´ umero real M tal que kDf (x)k ≤ M, para cada x ∈ [a, b], entonces kf (b) − f (a)k ≤ M kb − ak.

8.12


85

Demostraci´ on. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que f (a) = 0. Consideremos la aplicación g : [0, 1] → R definida por g(t) = kf (a + t(b − a))k. La prueba del teorema va a resultar del hecho de que la funci´ on g es continua y admite derivada a la derecha de cada punto t ∈ (0, 1), 0 (t)| ≤ kDf (a + t(b − a))(b − a)k. En efecto, si verificándose además que |g+ suponemos eso, entonces, por el corolario 8.11, existe t0 ∈ (0, 1) tal que 0 kf (b) − f (a)k = |g(1) − g(0)k ≤ |g+ (t0 )| ≤ kDf (a + t0 (b − a))(b − a)k.

Veamos pues que g es derivable a la derecha en cada punto de (0,1). Sea t0 ∈ (0, 1). Puesto que f es derivable en x0 = a + t0 (b − a), para t > t0 se tiene que f (a + t(b − a)) = f (x0 ) + (t − t0 )Df (x0 )(b − a) + (t − t0 )ε(t)kb − ak, siendo ε(t) una función que tiende a cero cuando t → t0 . Entonces, lim

t→t+ 0

kf (a + t(b − a))k − kf (a + t0 (b − a))k g(t) − g(t0 ) = lim + t − t0 t − t0 t→t0 = lim

t→t+ 0

kf (x0 ) + (t − t0 )Df (x0 )(b − a)k − kf (x0 )k . t − t0

Por lo tanto, para que g sea derivable a la derecha en t0 bastar´ a que exista lim

t→t+ 0

kf (x0 ) + (t − t0 )Df (x0 )(b − a)k − kf (x0 )k , t − t0

con otras palabras que la función t → kf (x0 ) + tDf (x0 )(b − a)k tenga derivada a la derecha en 0. Observemos que esta función es del tipo t → ky + tzk, donde y, z son dos vectores dados. Es inmediato comprobar que estas funciones son convexas y, por tanto, derivables a la derecha en cada punto. Aunque también puede demostrarse esto directamente: La función ky + tzk − kyk σ(t) = t es creciente a la derecha de 0. Sean 0 < t < u, (∗) ky + uzk − kyk ky + tzk − kyk tky + uzk − uky + tzk + (u − t)kyk − = . u t ut Como uky + tzk − tky + uzk ≤ kuy + utz − ty − tuzk = (u − t)kyk,

86


8.12

se deduce de (∗) que σ(t) ≤ σ(u). Por otra parte ¯ ky + tzk − kyk ¯ ktzk ¯≤ |σ(t)| = ¯ = kzk ⇒ −kzk ≤ σ(t). t |t| As´ı, σ es una función nodecreciente a la derecha de 0 y acotada inferiormente, luego existe limt→0+ σ(t) y además | limt→0+ σ(t)| ≤ |z|. En el caso particular que nos interesa, habr´ıamos demostrado pues que ¯ kf (x0 ) + tDf (x0 )(b − a)k − kf (x0 )k ¯¯ 0 |g+ (t0 )| = ¯ lim ≤ kDf (x0 )(b − a)k. t t→0+ (Para otros teoremas de valor medio ver Flett [12] y Cartan [5]).

Ejercicios 8A Sea f una función escalar de clase C 1 . Probar que también es de clase C 1 la función h(x, y) = |f (x) + f (y)|3 .

8B Demostrar que si la función escalar, f , es diferenciable en 0 y f (0) = 0, entonces f 2 (x) = 0. x→0 kxk lim

8C Estudiar si las siguientes funciones son diferenciables o de clase C 1 : p 1 ; (0, 0) = 0 2. (x, = 1. f (x, y) = xy sen 2 x2 + sen4 y f f y) x x + y2 ( p x2 y 2 sen xy1 2 si x 6= 0 o y 6= 0 4. f (x, y) = (x − y)4 + z 4 3. f (x, y) = f (x, 0) = f (0, y) = 0  2  x y xy si x > 0 5. f (x, y) = p ; f (0, 0) = 0 6. f (x, y) = x + y 2 4 2  x +y 0 si x ≤ 0 7. f (x, y) =

y3 ; f (0, 0) = 0 x4 + y 2

8. f (x, y) = xy sen |x − y|.

8D (a) Probar que la función de una variable g(t) = es de clase C 1 .

t2 1 + |t|

8G


87

(b) Utilizar (a) para probar que también es de clase C 1 la función h(x, y) =

(x − y)2 1 + |x − y|

8E (a) Probar que la función g(t) =

sen t , t 6= 0; t

g(0) = 1,

es de clase C 1 . (b) Estudiar, teniendo en cuenta (a), si las funciones siguientes son diferenciables o de clase C 1 :  3 3 3  sen(x − y + z ) 3 3 3 h(x, y, z) = x −y +z  1 3

3

si x3 − y 3 + z 3 6= 0 en otro caso

3

sen(x − y + z ) si x2 + y 2 + z 2 6= 0; x2 + y 2 + z 2   sen x − sen y si x 6= y x−y h(x, y, z) = cos x si x = y.

h(x, y, z) =

h(0, 0, 0) = 0

´ n. Para estudiar la tercera función utilizar la fórmula Indicacio x−y x+y sen x − sen y = 2 sen cos 2 2 8F Sea f : A ⊂ Rn → R una aplicación de clase C 1 sobre A. (a) Probar que si K es un compacto y convexo de interior no vac´ıo contenido en A, entonces sup kDf (x)k x∈K

es la menor constante de Lipschitz de f en K. (b) Considerando en R2 , sucesivamente, las normas k · k1 , k · k2 y k · k∞ , calcular la menor constante de Lipschitz de la aplicación f (x, y) = x2 + sen(x + y) en el compacto |x| ≤ 1, |y| ≤ 1. ´ n: Tener en cuenta los ejercicios 1T y 4G) Indicacio 8G Sea h : A ⊂ (Rn , k · k∞ ) → (Rp , k · k∞ ) una aplicación de clase C 1 sobre A. Demostrar si C es un n-cubo cerrado (centrado, para concretar, en el punto a, y de lado l) contenido en A, entonces h(C) está contenido en el p-cubo cerrado de centro h(a) y lado α · l, donde α = max{kDh(x)k : x ∈ C}. ¿Se mantiene lo anterior si en vez de la norma k · k∞ se considera la norma k · k2 o hay que cambiar el valor de α?

88


8H

8H Sea f : R → R2 dada por f (t) = (cos t, sen t). Probar que para a, b ∈ R distintos, no existe ning´ un n´ umero real c tal que f (b) − f (a) = Df (c)(b − a)

8I Sea E un espacio normado y Φ la aplicación definida por Φ(x, y) = x − T (2x − y, x), donde T es una aplicación bilineal y continua de E × E en E. Probar que Φ es de clase C 1 y calcular DΦ(x, y). 8J Sea E un espacio normado y Φ : L (E, E) → L (E, E), la aplicación Φ(T ) = T 2 − 2T . Probar que Φ es de clase C 1 y hallar DΦ(T ). o

8K Sean f, g : A ⊂ R → L (E, E) aplicaciones derivables en un punto t0 ∈ A. Demostrar que también es derivable en t0 la aplicación h : t → f (t) ◦ g(t), siendo su derivada h0 (t0 ) = f 0 (t0 ) ◦ g(t0 ) + f (t0 ) ◦ g 0 (t0 ).

8L Sean E, F espacios normados, T : E ×E → F , la aplicación T (x, y) = a(x+y)r , donde a es una aplicación r-lineal simétrica de E × · · · × E en F y a(x + y)r denota abreviadamente a(x+y, . . . , x+y). Probar que T es de clase C 1 y calcular DT (x, y) (Tener en cuenta el ejercicio 7C). 8M En este ejercicio g y ϕ serán en todos los casos una función escalar de clase C 1 (aunque no siempre del mismo n´ umero de variables). Supuesto esto, se trata de probar que la función h construida a partir de g es también de clase C 1 y de calcular sus derivadas parciales en términos de las funciones g y ϕ y sus derivadas parciales: 1. h(x, y, z) = g(x2 − z, sen xyz)

2. h(x, y, z) = g(x + y − z 2 )

3. h(x) = g(x3 , sen x, x − 1)

4. h(x) = g(x2 , g(x, sen x))

5. h(x, y) = g(x2 , g(x, sen y)) 7. h(x) = xg(x + g(x))

6. h(x, y, z) = xg(xy) + yg(xz) + zg(yz) 8. h(x, y, z) = g(x, y) + g(x, z) + g(y, z)

9. h(x, y) = g(x + ϕ(x, y))

10. h(x, y) = g(x, yϕ(x, y))

8O


89

8N Como en el ejercicio anterior, g y ϕ denotarán funciones escalares de clase C 1 . Sean: (a) h(x, y, z) = g(xy, ϕ(yz)), con ϕ(0) = 0 ;

ϕ0 (0) = 1 ;

∇g(0, 0) = (2, 3)

Calcular ∇h(0, 1, 0). (b) h(x, y) = x · g(x, y, y), con g(1, 0, 0) = 1 ;

∇g(1, 0, 0) = (1, 2, −2).

Calcular ∇h(1, 0). (c) h(x, y, z) = g(xz, g(y, z)), con g(0, 1) = 0 ;

∇g(0, 0) = (1, 2) ;

∇g(0, 1) = (−3, 4).

Calcular ∇h(0, 0, 1). 8O Probar que la función Z h(x, y) =

x+y

e−t

2

+x

dt

0

es diferenciable en cada punto y calcular su diferencial. ´ n: Tener en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral: Indicacio R x Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces la función F (x) = a f (t)dt es derivable y su derivada es F 0 (x) = f (x).

Cap´ıtulo 9

Derivadas Parciales de Orden Superior La extensión a funciones de varias variables del concepto de derivada de orden superior, aunque teóricamente no ofrece ninguna dificultad, presenta ciertas complicaciones de naturaleza formal que se hacen especialmente patentes a la hora de establecer las reglas habituales de cálculo. Las complicaciones (al menos las pedagógicas) son algo menores cuando se trabaja en dimensión finita, ya que entonces el uso de derivadas parciales permite considerar a las derivadas de orden superior como objetos más “tangibles”. Comenzaremos, pues, estableciendo en esta lecci´ on el concepto de derivada parcial de orden superior.

Definiciones Conviene tener presente en todo lo que sigue que para que una funci´ on f sea derivable (aunque sea parcialmente) en un punto a es preciso que esté definida en un entorno de a. Recordemos también que la derivada parcial ∂f /∂xj (a), coincide con la derivada en el punto aj de la aplicación: xj → f (a1 , . . . , aj−1 , xj , aj+1 , . . . , an ). o

Sea f : A ⊂ Rn → F, a ∈ A. Llamaremos derivada parcial segunda de f respecto a xi y xj en el punto a, a la derivada respecto xi de la función ∂f /∂xj en el punto a. Abreviadamente ∂2f ∂ ¡ ∂f ¢ (a) = (a). ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj 91

92

Derivadas Parciales de Orden Superior

9.1

Se deduce, pues, que la función f es derivable respecto a las variables xi y xj en el punto a, si y sólo si la aplicación ∂f ∂f :x→ (x) ∂xj ∂xj está definida en alg´ un entorno de a y admite derivada parcial respecto a xi en el punto a. Más generalmente, si j1 , j2 , . . . , jr son n´ umeros naturales (independientes entre s´ı) comprendido entre 1 y n, definiremos inductivamente ¢ ∂ ¡ ∂ r−1 f ∂rf (a) = (a). ∂xj1 . . . ∂xjr ∂xj1 ∂xj2 . . . ∂xjr Cuando el resultado final de una derivaci´ on parcial sólo dependa del n´ umero de veces que se deriva respecto a cada variable, y no del orden en que se realiza tal proceso (esto no suceder´ a siempre), cabe utilizar una notación abreviada para designar a las derivadas parciales de orden superior. As´ı mediante la expresión ∂rf (a), ∂xi11 ∂xi22 . . . ∂xinn denotaremos al resultado de efectuar r derivaciones parciales: in respecto a xn , in−1 respecto a xn−1 , etc. y por u ´ltimo i1 derivaciones respecto a x1 . Por tanto i1 + i2 + · · · + in = r. Algunos de los ik pueden ser iguales a 0, lo on alguna respecto a la variable xk que expresará que no se realiza derivaci´ (en cuyo caso omitiremos en la expresión anterior el término ∂xikk ).

El teorema de Schwartz El teorema más clásico en relación al problema de la permutabilidad de las derivadas es el conocido como teorema de Schwartz o de las derivadas parciales segundas cruzadas. Teorema 9.1 Sea f una función escalar de dos variables. Supongamos que para cada (x, y) de alg´ un entorno V de un punto (x0 , y0 ), existen ∂f (x, y), ∂x

∂f (x, y), ∂y

∂2f (x, y), ∂x∂y

9.1


93

∂2f es continua en (x0 , y0 ). Entonces también existe ∂x∂y la otra derivada cruzada en (x0 , y0 ), y se verifica que y que la aplicación

∂2f ∂2f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ). ∂y∂x ∂x∂y

Demostraci´ on. De la definición se deduce fácilmente que (9.1) ¶ µ ∂2f f (x, y) − f (x0 , y) − f (x, y0 ) + f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim lim . y→y0 x→x0 ∂y∂x (x − x0 )(y − y0 ) Denotemos por G(x, y) = f (x, y) − f (x0 , y) − f (x, y0 ) + f (x0 , y0 ). Vamos a probar que ∂2f G(x, y) = (x0 , y0 ). ∂x∂y (x,y)→(x0 ,y0 ) (x − x0 )(y − y0 ) lim

La existencia de este l´ımite doble implicará, por tanto, la del l´ımite iterado 9.1 que es lo que buscamos. Por hipótesis, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si |x−x0 | < δ y |y−y0 | < δ, entonces ¯ 2 ¯ ¯ ∂ f ¯ ∂2f ¯ ¯ ¯ ∂x∂y (x, y) − ∂x∂y (x0 , y0 )¯ < ε; además podemos suponer que en este entorno, es decir en la bola de centro (x0 , y0 ) y radio δ, las tres funciones ∂f ∂f ∂ 2 f , , , ∂x ∂y ∂x∂y están bien definidas. Sea (x, y) un punto cualquiera de ese entorno, que lo supondremos fijo en adelante. Consideremos entonces la función de una variable ϕ(z) = f (x, z)− f (x0 , z). Es inmediato comprobar que G(x, y) = ϕ(y) − ϕ(y0 ). Por otra parte, la existencia de derivada parcial respecto de y en ese entorno implica que ϕ es derivable, siendo su derivada ϕ0 (z) =

∂f ∂f (x, z) − (x0 , z). ∂y ∂y

94


9.1

Aplicando entonces el teorema del valor medio a ϕ en el intervalo [y0 −δ, y0 + δ], se deduce que existe un punto ξy intermedio entre y0 e y tal que ϕ(y) − ϕ(y0 ) = ϕ0 (ξy )(y − y0 ), luego,

·

¸ ∂f ∂f G(x, y) = (x, ξy ) − (x0 , ξy ) (y − y0 ), ∂y ∂y

que implica G(x, y) = (x − x0 )(y − y0 ) Consideremos ahora la aplicación g: z →

∂f ∂y (x, ξy )

−

∂f ∂y (x0 , ξy )

x − x0

.

∂f (z, ξy ). ∂y

Esta aplicación es derivable en cada punto del intervalo [x0 − δ, x0 + δ], precisamente µ ¶ ∂2f ∂ ∂f 0 (z, ξy ) = (z, ξy ). g (z) = ∂x ∂y ∂x∂y Aplicando entonces el teorema del valor medio resulta g(x) − g(x0 ) =

∂2f (ξx , ξy )(x − x0 ), ∂x∂y

donde ξx es alg´ un punto comprendido entre x y x0 . Se deduce pues que ∂2f G(x, y) = (ξx , ξy ) (x − x0 )(y − y0 ) ∂x∂y y por tanto

¯ ¯ ¯ ¯ G(x, y) ∂2f ¯ ¯ ¯ (x − x0 )(y − y0 ) − ∂x∂y (x0 , y0 )¯ < ε.

9.2 El teorema de Schwartz puede formularse para funciones de m´ as de dos variables. En efecto si f es una función de las variables x1 , x2 , . . . , xn , que satisface respecto a las coordenadas xi y xj , las condiciones del teorema anterior, entonces también satisface estas condiciones la función de dos variables g(xi , xj ) = f (a1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , an ). Se deduce, por tanto, que las derivadas parciales cruzadas de la función g coinciden en (ai , aj ), pero es fácil comprobar que éstas coinciden con las derivadas parciales segundas de f respecto a las coordenadas xi y xj en a.

9.3


95

El corolario siguiente es una extensión u ´til del teorema anterior para derivadas de orden mayor que 2: Corolario 9.3 Supongamos que todas las derivadas parciales de orden r de la función escalar f son continuas en un punto a. Entonces cada derivada parcial de orden r de f en a es independiente del orden en que se efect´ uen las derivaciones. Demostraci´ on. Observemos, en primer lugar, que de la hipótesis se deduce que cada derivada parcial de orden r −1 de la función f debe ser una función continua en alg´ un entorno del punto a. En efecto, sea g = ∂ r−1 f una de estas ∂g derivadas. Se tiene entonces que, para cada j, es una función continua ∂xj en a, luego g es estrictamente diferenciable en a y, en particular, continua en alg´ un entorno de a (ver nota posterior al teorema 7.3) Razonemos por inducción sobre r. Para r = 2, tenemos hipótesis sobradas para poder otesis de aplicar el teorema de Schwartz. Supongamos entonces, como hip´ inducción, que si una función escalar admite derivadas parciales de orden r − 1 continuas en un punto, el c´ alculo de estas derivadas de orden r − 1 en ese punto no depende del orden en que se efect´ uen las derivaciones. Sea la derivada de orden r en a ∂rf (a) , ∂y1 ∂y2 . . . ∂yr

yk ∈ {x1 , . . . , xn },

y consideremos, mediante una permutaci´ on de y1 , y2 , . . . , yr , la derivada de orden r ∂rf (a). ∂yi1 ∂yi2 . . . ∂yir Supongamos en primer lugar que yi1 = y1 . Puesto que, por hipótesis de inducción, en las derivadas de orden r − 1 de f se puede cambiar el orden de derivación (en todos los puntos de alg´ un entorno de a), podemos escribir ∂rf ∂ (a) = ∂y1 ∂y2 . . . ∂yr ∂yi1

µ

∂ r−1 f ∂y2 . . . ∂yr

¶ (a) =

∂rf (a). ∂yi1 ∂yi2 . . . ∂yir

Supongamos ahora que y1 6== yi1 , por tanto y1 = yik con k 6= 1. Entonces {yi1 , . . . , yc on de {y2 , . . . , yr }. Por inducción ik , . . . , yir } es una permutaci´

96


9.3

se deduce que ¶ ∂ r−1 f (a) ∂y2 . . . ∂yr ∂rf (a) ∂y1 ∂yi1 . . . ∂ yc ik . . . ∂yir ¶ µ ∂2 ∂ r−2 f (a) ∂y1 ∂yi1 ∂yi2 . . . ∂ yc ik . . . ∂yir µ ¶ ∂2 ∂ r−2 f (a) ∂yi1 ∂y1 ∂yi2 . . . ∂ yc ik . . . ∂yir ∂rf (a). ∂yi1 ∂yi2 . . . ∂yir

∂rf ∂ (a) = ∂y1 ∂y2 . . . ∂yr ∂y1 = = = =

µ

Ejercicios 9A Comprobar si en las funciones siguientes se da la igualdad entre las derivadas parciales cruzadas en (0, 0). Estudiar en cada caso si se satisfacen las condiciones del teorema de Schwartz. x2 − y 2 ; f (0, 0) = 0. x2 + y 2 2. f (x, y) = x2 y 2 cos 1/x ; f (0, y) = 0. 1 3. f (x, y) = x2 y 2 sen 2 ; f (x, 0) = f (0, y) = 0. xy 1. f (x, y) = xy

9B Consideremos los operadores diferenciales ∂f ∂2f ∂f ∂2f ,..., ); ∆f = + ··· + 2 ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂x2n ∂f ∂f ∂F1 ∂Fn H f = x1 + · · · + xn ; div(F1 , . . . , Fn ) = + ··· + ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xn µ ¶ ∂F3 ∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1 rot(F1 , F2 , F3 ) = ∇ × F = − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∇f = (

A los operadores anteriores se les conoce, en el orden en que han sido definido, como operador: Gradiente, Laplaciano, Hamiltoniano, Divergencia y Rotacional. Supuesto que se pueden permutar las derivaciones, demostrar que 1. ∆ f = div ∇f

2. div(rot F ) = 0.

3. H ∆ − ∆ H = −2 ∆

4. ∆ f = 0 ⇒ ∆ ∆((x21 + · · · + x2n )f ) = 0.

Cap´ıtulo 10

Diferenciales de Orden Superior En este cap´ıtulo extenderemos a las funciones definidas sobre espacios normados el concepto de función r-veces diferenciable y de clase C r y obtendremos las correspondientes reglas de c´ alculo. En el caso de espacios de dimensión finita, veremos la relación entre dichos conceptos y las derivadas parciales de orden r. Para el desarrollo de este cap´ıtulo se ha seguido fundamentalmente el libro de Flett [12] y, en menor medida, el de Avez [2].

La diferencial de orden r en un punto Definici´ on 10.1 Sea f : A ⊂ E → F una aplicación entre espacios normao

dos, a ∈ A y r un n´ umero natural mayor que 1. Inductivamente, diremos que f es r-veces diferenciable en a si la aplicación Dr−1 f es diferenciable en a. Escribiremos entonces Dr f (a) = D(Dr−1 f )(a).

Para r = 2, la definición anterior expresa que f es 2-veces diferenciable en a a preciso si la aplicación Df : x → Df (x) es diferenciable en a. (Para ello ser´ pues que, previamente, la aplicación Df esté definida en alg´ un entorno de a). La derivada segunda de la aplicación f en a o sea la diferencial en a de la aplicación Df debe ser, como siempre, una aplicaci´ on lineal, pero en este caso, un tanto especial, concretamente (10.1)

D2 f (a) ∈ L (E, L (E, F )). 97

98

Diferenciales de Orden Superior

10.1

De 10.1 se deduce que la aplicación (h, k) → (D2 f (a)h)k es bilineal, lo que indica que la aplicaci´ on lineal D2 f (a) se comporta como una aplicación bilineal de E × E en F , una aplicación bilineal que además es continua, pues k(D2 f (a)h)k)k ≤ kD2 f (a)kkhkkkk. Con frecuencia se dirá incluso que D2 f (a) es una aplicación bilineal y escribiremos D2 f (a)(h, k) en lugar de ((D2 f (a)h)k. Análogas consideraciones cabe hacer para una función r-veces diferenciable en un punto a. Dr f (a) será ahora un elemento del espacio L (E, (E, . . . , L (E, F ) . . . , )). (Por comodidad denotaremos a este espacio por L r (E, F )). Como antes, se puede considerar a Dr f (a) como una aplicación r r-lineal continua de E × E × z}|{ . . . ×E en F , y se tiene kDr f (a)(h1 , . . . , hr )k ≤ kDr f (a)kkh1 k · · · khr k.

Relaci´ on con las derivadas parciales La proposición siguiente, aunque formulada en el marco general de los Espacios Normados, será esencial para establecer, en dimensión finita, la relación entre derivadas de orden superior y derivadas parciales de orden superior. Proposici´ on 10.2 Sea f : A ⊂ E → F una aplicación r-veces diferenciable o

en un punto a ∈ A . Entonces se verifica la siguiente fórmula Dr f (a)(h1 , . . . , hr ) = Dh1 (Dh2 . . . Dhr f )(a).

on. Por inducción. Para r = 1 la fórmula ya es conocida. SuponDemostraci´ gamos como hipótesis de inducción que la fórmula es cierta en cada punto en que f sea (r-1)-veces diferenciable. Entonces Dr f (a)(h1 , . . . , hr ) ¡ ¢ = D(Dr−1 f )(a)h1 (h2 , . . . , hr ) = Dh1 (Dr−1 f )(a)(h2 , . . . , hr )

10.3


99

µ

¶ Dr−1 f (a + th1 ) − Dr−1 f (a) (10.2) = lim (h2 , . . . , hr ) t→0 t Dr−1 f (a + th1 )(h2 , . . . , hr ) − Dr−1 f (a)(h2 , . . . , hr ) (10.3) = lim t→0 t Dh2 (. . . Dhr f )(a + th1 ) − Dh2 (. . . Dhr f )(a) = lim t→0 t = Dh1 (Dh2 . . . Dhr f )(a). Para demostrar la igualdad entre las expresiones 10.2 y 10.3, observemos que las igualdades anteriores a éstas expresan que Dr−1 f (a + th1 ) − Dr−1 f (a) , t→0 t

Dr f (a)h1 = lim es decir que, si denotemos por φt =

Dr−1 f (a + th1 ) − Dr−1 f (a) , t

entonces kφt − Dr f (a)h1 k ≤ ε, si |t| < δ. De lo anterior se deduce, teniendo en cuenta que φt −Dr f (a)h1 ∈ L r−1 (E, F ), que k(φt − Dr f (a)h1 )(h2 , . . . , hr )k ≤ εkh2 k · . . . · khr k, si |t| < δ, lo que significa que Dr f (a)(h1 , . . . , hr ) = lim φt (h2 , . . . , hr ) t→0

Dr−1 f (a + th1 )(h2 , . . . , hr ) − Dr−1 f (a)(h2 , . . . , hr ) = lim , t→0 t lo que prueba la igualdad entre 10.2 y 10.3. Corolario 10.3 En las condiciones anteriores, si E = Rn , y por ei denotamos al vector de Rn que tiene un 1 en la coordenada i-ésima y un 0 en todas las demás, entonces Dr f (a)(ej1 , . . . , ejr ) =

∂rf (a). ∂xj1 . . . xjr

100


10.3

Demostraci´ on. Cuando E = Rn , de la fórmula de la proposición anterior se deduce que Dr f (a)(ej1 , . . . , ejr ) = Dej1 (Dej2 . . . Dejr f )(a) =

∂rf (a). ∂xj1 . . . xjr

10.4 De lo anterior vamos a deducir que, en dimensi´ on finita, la aplicación r D f (a), debido a su carácter r-lineal, queda determinada por sus derivadas parciales de orden r: De manera general, una aplicación T de L r (E, F ), si E es un espacio de dimensión n, queda determinada por los nr puntos de F , aj1 ...jr = T (ej1 , . . . , ejr ), donde {ei }, i = 1, 2, .., n, es una base de E. En efecto, sean hj = (h1j , h2j , . . . , hnj ), j = 1, 2, .., r, vectores arbitrarios de Rn . Entonces X

T (h1 , . . . , hr ) =

hj11 . . . hjrr aj1 ...jr .

1≤j1 ,...,jr ≤n

Además, es fácil comprobar (aunque pesado) que la aplicación de L r (E, F ) r en F n r Φ : T ∈ L r (E, F ) → (aj1 ...jr )1≤j1 ,...,jr ≤n ∈ F n es un isomorfismo de espacios vectoriales. Del corolario anterior se deduce que, si T es la aplicación Dr f (a), entonces aj1 ...jr =

∂rf (a), ∂xj1 . . . ∂xjr

luego X

Dr f (a)(h1 , . . . , hr ) =

hj11 . . . hjrr

1≤j1 ,...,jr ≤n

∂rf (a), ∂xj1 . . . ∂xjr

fórmula que para r = 2 se escribe as´ı D2 f (a)(h, k) =

X 1≤i,j≤n

hi kj

∂2f (a). ∂xi ∂xj

De la relación que hemos establecido entre diferenciales de orden r y derivadas parciales de orden r, se deduce Corolario 10.5 Para una función f : A ⊂ Rn → Rp son equivalentes:

10.7


101

o

(i) f es r-veces diferenciable en un punto a ∈ A . (ii) f es (r-1)-veces diferenciable en un entorno del punto a y todas las derivadas parciales de orden r-1 son diferenciables en a. Demostraci´ on. Escribamos la aplicación Dr−1 f como composición de las aplicaciones ¶ µ ∂ r−1 f (x) → Dr−1 f (x). x→ ∂xj1 . . . ∂xjr−1 1≤j1 ,...,jr−1 ≤n La primera aplicación es diferenciable en a si y sólo si lo son las derivadas parciales de orden r−1 de f. En cuanto a la segunda, se trata de la aplicaci´ on r−1 Φ−1 de F n en L r−1 (E, F ) que constru´ıamos antes, y que por ser lineal entre espacios de dimensión finita, es diferenciable en todo punto. De todo ello es fácil deducir ya que los enunciados (i) y (ii) son equivalentes. Definici´ on 10.6 Sean E y F espacios normados y U un conjunto abierto de E. Una aplicación f : U ⊂ E → F se dice de clase C r sobre el subconjunto A de U , lo que denotaremos por f ∈ C r (A), si es r-veces diferenciable en cada punto x de A y la aplicación x → Dr f (x) es continua en A. La aplicación se dirá de clase C ∞ si es de clase C r para todo r. Aunque no se especifique, una funci´ on f ∈ C r (A) se supondrá definida en alg´ un abierto que contiene a A. Proposici´ on 10.7 Sea f : U ⊂ Rn → Rp con U abierto. Entonces f ∈ r C (U ) si y sólo si todas las derivadas parciales de orden r son continuas en U . Demostraci´ on. Veamos por inducción sobre r que si todas las derivadas paron es de clase C r . Para r = 1 ciales de orden r son continuas entonces la funci´ esto ya ha sido probado. Supondremos cierto para r − 1. De la hip´ otesis resulta que cada derivada parcial de orden r − 1 de la funci´ on f es una función de clase C 1 (observar que, abreviadamente, cada derivada parcial de orden r puede obtenerse mediante la f´ ormula ∂ r f = ∂(∂ r−1 f )). En particular cada derivada parcial de orden r − 1 es una aplicación continua, luego, por hipótesis de inducción, f es de clase C r−1 . Consideremos la descomposición µ ¶ ∂ r−1 f (x) x→ → Dr−1 f (x). ∂xj1 . . . ∂xjr−1 1≤j1 ,...,jr−1 ≤n

102


10.7

Por hipótesis, la primera de las aplicaciones en el diagrama anterior es de clase C 1 . En cuanto a la segunda, se trata del isomorfismo vectorial Φ, luego (en dimensión finita) también de clase C 1 . Se deduce pues que la aplicación Dr−1 f es de clase C 1 , por ser composición de dos aplicaciones de clase C 1 , y por tanto f es de clase C r . Rec´ıprocamente, si f es de clase C r , entonces el diagrama ¶ µ ∂ r f (x) r , x → D f (x) → ∂xj1 . . . ∂xjr−1 1≤j1 ,...,jr ≤n nos permite deducir que las derivadas parciales de orden r son continuas.

Reglas de derivaci´ on A efectos de cálculo, las derivadas de orden superior se comportan como las a más u ´til ver esto en el caso general de funciones de primer orden. Nos ser´ definidas entre espacios normados. Proposici´ on 10.8 Si f y g son funciones r-veces diferenciables en un punto a (de clase C r ), entonces la función λf + µg es también r-veces diferenciable en a (de clase C r ) y se tiene que Dr (λf + µg)(a) = λDr f (a) + µDr g(a).

on. Por inducción. Para r = 1 ya se ha demostrado. Supuesta Demostraci´ cierta la proposición para r-1, supongamos que f y g son r-veces diferenciable en a. Entonces, por hipótesis de inducción, la función Dr−1 (λf + µg) está definida en un entorno de a y se tiene que Dr−1 (λf + µg) = λDr−1 f + µDr−1 g. Se deduce pues que Dr−1 (λf + µg) es diferenciable en a y que £ ¤ £ ¤ D Dr−1 (λf + µg) (a) = D λDr−1 f + µDr−1 g (a) = λDr f (a) + µDr g(a). El resultado siguiente es un caso particular de la regla de la cadena para derivadas de orden superior, que hemos de establecer antes del teorema general.

10.10


103

Lema 10.9 Sean E, F y G espacios normados, f : A ⊂ E → F una aplio

cación r-veces diferenciable en un punto a ∈ A (de clase C r en A) y T una aplicación lineal y continua de F en G. Entonces la aplicación T ◦f es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A) y se verifica que £ ¤ Dr (T ◦ f )(a)(h1 , . . . , hr ) = T Dr f (a)(h1 , . . . , hr ) .

Demostraci´ on. Por inducción sobre r. El caso r = 1 resulta directamente de la aplicación de la regla de la cadena. Supongamos que f es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A) con r > 1. Entonces D(T ◦ f )(x) = T ◦ Df (x), lo que nos dice que la aplicación D(T ◦f ) es la composición de las aplicaciones T

x → Df (x) →1 T ◦ Df (x). Es fácil de comprobar que T1 es una aplicaci´ on lineal y continua. Resulta entonces que D(T ◦ f ) = T1 ◦ Df , por lo que, aplicando la hipótesis de inducción, se deduce que D(T ◦ f ) es (r-1)-veces diferenciable en a (de clase C r−1 en A). Para demostrar la fórmula procedamos también por inducción. Para r = 1 ya es conocida. Suponiendo que es cierta también para r − 1, se tiene: Dr (T ◦ f )(a)(h1 , . . . , hr ) = Dr−1 (D(T ◦ f ))(a)(h1 , . . . , hr ) = Dr−1 (T1 ◦ Df )(a)(h1 , . . . , hr ) ¡ ¢ ¡ ¢ = Dr−1 (T1 ◦ Df )(a)(h1 , . . . , hr−1 ) hr = T1 Dr f (a)(h1 , . . . , hr−1 ) hr ¡ ¢ = T ◦ Dr f (a)(h1 , . . . , hr−1 ) hr £ ¤ = T Dr f (a)(h1 , . . . , hr ) .

Corolario 10.10 Una función f = (f1 , f2 , . . . , fp ) de A ⊂ E en F1 ×. . .×Fp o

es r-veces diferenciable en un punto a ∈ A (de clase C r en A) si y sólo si cada fi es diferenciable en a (de clase C r en A). Se tiene entonces que (10.4) ¡ ¢ Dr f (a)(h1 , . . . , hr ) = Dr f1 (a)(h1 , . . . , hr ), . . . , Dr fp (a)(h1 , . . . , hr ) .

104


10.10

Demostraci´ on. Si f es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A), entonces, por la proposición anterior, fi = πi ◦f (πi es la proyecci´ on i-ésima) es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A). El rec´ıproco y la fórmula 10.4 se siguen de las dos proposiciones anteriores sin más que tener en cuenta que X f= Ii ◦ fi , donde Ii es la inmersión canónica z → (0, . . . , z, . . . , 0). o

o

Proposici´ on 10.11 Sean f : A ⊂ E → F , a ∈ A, B ⊃ f (A), f (a) ∈ B y g : B ⊂ F → G. Si f es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A) y g es r-veces diferenciable en f (a) (de clase C r en B), entonces la aplicación u = g ◦ f es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A). Demostraci´ on. Por inducción sobre r. Para r = 1 ya ha sido demostrado. alida para funciones (r-1)-veces Supongamos que la regla de la cadena es v´ r−1 diferenciable (de clase C ), entonces si r > 1 las funciones f y g son diferenciables en alg´ un entorno de a y f (a) respectivamente, y se tiene que Dh(x) = Dg(f (x)) ◦ Df (x). Consideremos la siguiente descomposición de Dh, x → (Dg(f (x)), Df (x)) → Dg(f (x)) ◦ Df (x). Las dos aplicaciones de que consta el diagrama anterior son (r-1)-veces diferenciable en a (de clase C r−1 ). La segunda por tratarse de una aplicación bilineal y continua y la primera porque sus dos funciones coordenadas son, otesis de inducción, (r-1)-veces diferenciables en a teniendo en cuenta la hip´ r−1 (de clase C ), luego, de nuevo por hipótesis de inducción, se tiene que Dh es (r-1)-veces diferenciables en a (de clase C r−1 ). Proposici´ on 10.12 Sean f, g : A ⊂ E → R aplicaciones r-veces diferenciables en un punto a (de clase C r en A), entonces su producto, h = f · g, es también r-veces diferenciable en a (de clase C r en A). Demostraci´ on. Basta descomponer h como x → (f (x), g(x)) → f (x) · g(x) y aplicar la proposición anterior. Proposici´ on 10.13 Sean f, g : A ⊂ E → R aplicaciones r-veces diferenciables en un punto a (de clase C r en A). Si g(a) 6= 0 (g no se anula en ning´ un punto de A), entonces la aplicación h = f /g es r-veces diferenciable en a (de clase C r en A).

10.17


105

Con ayuda de los resultados anteriores, es fácil probar ahora las siguientes generalizaciones del corolario 10.5 y la proposición 10.7. Proposici´ on 10.14 Para una función f : A ⊂ Rn → Rp y los n´ umeros naturales 1 ≤ k < r, son equivalentes: o

(i) f es r-veces diferenciable en un punto a ∈ A . (ii) f es k-veces diferenciable en un entorno del punto a y todas las derivadas parciales de orden k son (r − k)-veces diferenciables en a. Proposici´ on 10.15 Para una función f : U ⊂ Rn → Rp (U abierto) y los n´ umeros naturales 1 ≤ k ≤ r, son equivalentes: (i) f es de clase C r sobre U . (ii) Todas las derivadas parciales de orden k de f son de clase C r−k sobre U . (Por convenio, una función de clase C 0 es una función continua).

Permutaci´ on en el orden de derivaci´ on Anteriormente abordamos el problema de la permutabilidad de las derivadas y establecimos el clásico teorema de Schwartz. En esta sección vamos a continuar con aquel asunto, viendo, en primer lugar, una consecuencia de dicho teorema (más precisamente de su generalizaci´ on 9.3). Proposici´ on 10.16 Sea U un abierto de Rn y f : U → Rp una aplicación de clase C r sobre U , entonces las derivadas parciales de orden r de f son independientes del orden en que se realicen las derivaciones. on. Es consecuencia directa de la proposición 10.7 y el corolario Demostraci´ 9.3 . La condición de la proposición anterior es muy fuerte. En lo que sigue vamos a demostrar que se consigue el mismo efecto suponiendo s´ olo que la aplicación sea r-veces diferenciable. Proposici´ on 10.17 Sea f : A ⊂ Rn → Rp una función 2-veces derivable en un punto a, entonces ∂2f ∂2f (a) = (a). ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi

106


10.17

Demostraci´ on. Puesto que sólo han de intervenir dos coordenadas y basta hacer el estudio para cada función coordenada, se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que f es una funci´ on escalar de las variables x e y. Ya vimos en la proposición 9.1 que ¶ µ ∂2f f (x, y) − f (x0 , y) − f (x, y0 ) + f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim lim x→x0 y→y0 ∂x∂y (x − x0 )(y − y0 ) µ ¶ ∂2f f (x, y) − f (x0 , y) − f (x, y0 ) + f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim lim . y→y0 x→x0 ∂y∂x (x − x0 )(y − y0 ) Pero desafortunadamente las condiciones de esta proposici´ on no permiten deducir, como entonces, la existencia del l´ımite “doble”. Sea, no obstante G(x, y) = f (x, y) − f (x0 , y) − f (x, y0 ) + f (x0 , y0 ) y procedamos como en 9.1. Obtenemos entonces ∂2f G(x, y) − (x0 , y0 ) (x − x0 )(y − y0 ) ∂x∂y ¢ 1 ¡ ∂f ∂f ∂2f = (x, ξy ) − (x0 , ξy ) − (x0 , y0 )(x − x0 ) x − x0 ∂y ∂y ∂x∂y = (10.5)

1 ¡ ∂f ∂f (x, ξy ) − (x0 , y0 ) x − x0 ∂y ∂y

¢ ∂2f ∂2f (x0 , y0 )(x − x0 ) − 2 (x0 , y0 )(ξy − y0 ) ∂x∂y ∂y ¡ ¢ ∂f ∂f ∂2f 1 − (x0 , ξy ) − (x0 , y0 ) − 2 (x0 , y0 )(ξy − y0 ) . x − x0 ∂y ∂y ∂y −

Nuestra intención, al considerar la igualdad 10.5, es la de utilizar el hecho de que la función ∂f /∂y es derivable en (x0 , y0 ) (ya que f es 2-veces derivable en (x0 , y0 )). As´ı, dado ε > 0, si |x − x0 | y |y − y0 | son suficientemente peque˜ nos, podemos escribir, teniendo eso en cuenta, que ¯ ¯ ¯ ¯ G(x, y) ∂2f ¯ ¯ ≤ ε k(x − x0 , ξy − y0 )k + k(0, ξy − y0 )k − (x , y ) 0 0 ¯ (x − x0 )(y − y0 ) ∂x∂y ¯ |x − x0 | k(x − x0 , y − y0 )k ≤ 2ε . |x − x0 |

10.19


107

De igual forma obtendr´ıamos ¯ ¯ ¯ ¯ ∂2f G(x, y) ¯ ≤ 2ε k(x − x0 , y − y0 )k . ¯ − (x , y ) 0 0 ¯ (x − x0 )(y − y0 ) ∂y∂x ¯ |y − y0 | De todo ello podemos deducir entonces que para |x − x0 | y |y − y0 | suficientemente peque˜ nos ¯ 2 ¯ ¯ ∂ f ¯ ∂2f ¯ ¯ ≤ 2ε k(x − x0 , y − y0 )k +2ε k(x − x0 , y − y0 )k . (x , y )− (x , y ) 0 0 0 0 ¯ ∂x∂y ¯ ∂y∂x |x − x0 | |y − y0 | En particular, tomando |x − x0 | = |y − y0 |, se tiene que ¯ 2 ¯ ¯ ∂ f ¯ ∂2f ∂2f ∂2f ¯ ¯ (x , y ) − (x , y ) ≤ 4ε ⇒ (x , y ) = (x0 , y0 ). 0 0 ¯ 0 0 ¯ ∂x∂y 0 0 ∂y∂x ∂x∂y ∂y∂x [Hemos utilizado la norma producto k(x, y)k = max(kxk, kyk)]. La proposición anterior admite la siguiente generalización: Proposici´ on 10.18 Si f : A ⊂ Rn → Rp es una función r-veces derivable en un punto a, entonces las derivadas parciales de orden r en el punto a sólo dependen del n´ umero de veces que se deriva respecto de cada variable, es decir son independientes del orden de derivaci´ on. on. Es idéntica a la del corolario 9.3, sólo hay que tener en cuenta Demostraci´ que cada derivada parcial de orden r − 2 de la función f es una función 2veces diferenciable en a. Corolario 10.19 Si f : A ⊂ Rn → Rp es una función r-veces derivable en un punto a, entonces su derivada de orden r en el punto a es una aplicación rlineal simétrica, es decir, cualquiera que sea la permutaci´ on σ de {1, 2, . . . , r} se verifica Dr f (a)(h1 , . . . , hr ) = Dr f (a)(hσ(1) , . . . , hσ(r) ). Demostraci´ on. Basta tener en cuenta la proposición anterior en la f´ ormula que relaciona las derivadas de orden r de una función en un punto con sus derivadas parciales de ese mismo orden. En efecto, sea σ una permutaci´ on de {1, 2, . . . , r}. Entonces: X ∂rf r 1 (a) Dr f (a)(hσ(1) , . . . , hσ(r) ) = hjσ(1) . . . hjσ(r) ∂xj1 . . . ∂xjr 1≤j1 ,...,jr ≤n

=

X

1≤j1 ,...,jr ≤n

hk11 . . . hkr r

∂rf (a), ∂xj1 . . . ∂xjr

108


10.19

donde {k1 , . . . , kr } es una permutaci´ on de {j1 , . . . , jr }. De la proposición anterior se deriva entonces que X

Dr f (a)(hσ(1) , . . . , hσ(r) ) = =

hk11 . . . hkr r

1≤k1 ,...,kr ≤n Dr f (a)(h1 , . . . , hr ).

∂rf (a) ∂xk1 . . . ∂xkr

Ejercicios 10A Estudiar si las funciones siguientes son r-veces diferenciables o de clase C r (r = 1, 2, . . .): x4 ; x2 + y 2 x2 y 2 ; 3. f (x, y) = 2 x + y2

1. f (x, y) =

f (0, 0) = 0

2. f (x, y) = (x − y)2 |x − y|

f (0, 0) = 0

4. f (x, y) =

p x4 + y 4 .

10B Probar que la función f (x, y) = x2 (x − y)2 sen

1 ; x−y

f (x, x) = 0

es 2-veces diferenciable en (0,0), pero no es de clase C 1 en ning´ un entorno de (0,0). 10C En este ejercicio g será una función escalar de clase C ∞ . Se pide calcular, en términos de g y/o sus derivadas parciales, las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función h en cada uno de los casos siguientes: 1. h(x, y) = g(x + g(x.y)) 3. h(x, y) = g(y, g(x, y)) 4. h(x) = g(x, sen x)

2. h(x, y, z) = zg(x, y) − g(xz, y) 4. h(x, y, z) = g(z, g(x, y)) 6. h(x) = g(x, g(x, x))

10D Probar que la función Z

x2 y 2 +x2 z 2 +y 2 z 2

h(x, y, z) = 0

es de clase C ∞ y obtener

∂2h (1, 0, 0). ∂x∂y

2

e−t dt

10H


109

p 10E Denotemos por r = r(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 y sea f una función de R en R de clase C 2 . Probar que si r 6= 0 entonces 1. H f (r) = rf 0 (r). 2. ∆ f (r) = f 00 (r) +

n−1 0 f (r) r

Ver el ejercicio 9B para las definiciones de H y ∆ 10F Demostrar (a) Si h(x, y) = g(ax ± by), entonces 1/a2

2 ∂2h 2∂ h = 1/b ∂x2 ∂y 2

(b) Si h(x, y) = xg(ax + by), entonces 1/a2

2 ∂2h ∂2h 2∂ h − 2/ab + 1/b = 0. ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

(c) Si h(x, y) = xg(y/x), entonces x2

2 ∂2h ∂2h 2∂ h + 2xy + y = 0. ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

10G Una función escalar f de varias variables se dice homogénea de grado p si f (tx) = tp f (x) para todo t > 0. (a) Probar que si f es una función homogénea de grado p, sus derivadas parciales de orden r < p (si existen) son funciones homogéneas de grado p − r. (b) Si f es una función homogénea y diferenciable, sea g(t, x) = f (tx) = tp f (x). Probar que X ∂f ∂g (x) = ptp−1 f (x) = xi (tx). ∂t ∂xi Deducir de esto que H f = pf (c) Demostrar que las funciones homogéneas diferenciables (de grado p) son justamente las que verifican la condición H f = pf . ´ n. Considerar la función g(t, x) = 1/tp f (tx) y probar que la conIndicacio dición H f = pf implica que ∂g ∂t (t, x) = 0, aplicar entonces el resultado del ejercicio 5G 10H Probar que una función f : Rn → Rp es de clase C ∞ si y sólo si sus derivadas parciales de cualquier orden son funciones localmente acotadas.

110


10I

10I Sean E, F, G espacios normados, f : A ⊂ E → F 2-veces diferenciable en o

o

a ∈ A, B ⊃ f (A) y g : B ⊂ F → G 2-veces diferenciable en f (a) ∈ B. Probar la fórmula ¡ ¢ D2 (g ◦ f )(a)(u, v) = Dg(f (a))D2 f (a)(u, v) + D2 g(f (a)) Df (a)u, Df (a)v

10J Sea g una función escalar de dos variables y clase C ∞ , y definamos a partir de g la función de una variable h(x) = g(x, x). Demostrar que h es una función de clase C ∞ y que su derivada n-ésima viene dada por la fórmula: h

(n)

(x) =

n µ ¶ X n k=0

∂ng (x, x) k ∂xk ∂y n−k

Cap´ıtulo 11

Teoremas de Taylor Una vez más nos disponemos a extender a las funciones de varias variables resultados ya conocidos para funciones de una variable, los teoremas de on del concepto de aproximación de Taylor. Comenzaremos con la extensi´ polinomio de Taylor y, más generalmente, del concepto de polinomio al marco de los espacios normados.

Definiciones Definici´ on 11.1 Sea f : A ⊂ E → F una aplicación r-veces diferenciable o

en un punto a ∈ A. Llamaremos polinomio de Taylor de orden r de la función f en a a la expresión

Pr f (a)x = f (a) +

r X 1 k D f (a)xk , k! k=1

k

donde con Dk f (a)xk denotamos abreviadamente a Dk f (a)(x, .c . ., x). En dimensión finita, es decir si E = Rn , teniendo en cuenta la fórmula que relaciona la diferencial de orden k de una función con sus derivadas 111

112

Teoremas de Taylor

11.1

parciales de orden k, el polinomio de Taylor quedará as´ı µ ¶ ∂f ∂f Pr f (a)x = f (a) + (a)x1 + . . . + (a)xn ∂x1 ∂xn µ 2 2 1 ∂ f ∂ f (a)x1 x2 + (a)x21 + 2 2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ¶ ∂2f + (a)x2 x1 + . . . ∂x2 ∂x1 + ................................................................. Como vemos, el polinomio de Taylor resulta un polinomio de varias variables en el sentido habitual. Observemos que, debido a que se pueden permutar las derivaciones, en el polinomio de Taylor aparecen muchos términos iguales entre s´ı. Por ejemplo si r ≥ 5, el n´ umero de términos repetidos, cuya parte literal es x21 x37 será igual al n´ umero de formas posibles de obtener ∂5f (a) ∂x21 ∂x37 es decir a las permutaciones con repetición de cinco elementos con dos y tres repetidos, por tanto 5!/2!3!. Luego, una vez agrupados todos estos términos, nos quedará un término en x21 x37 , cuyo coeficiente será: ∂5f 1 ∂5f 1 5! (a) = (a). 2 3 5! 2!3! ∂x1 ∂x7 2!3! ∂x21 ∂x37 Definici´ on 11.2 Si E, y F son dos espacios normados, llamaremos polinomio de grado r a toda función de E en F de la forma a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + ar xr , donde cada ak es una aplicación k-lineal simétrica y continua de E k en F y ar 6= 0. En el polinomio de Taylor los coeficientes ak son precisamente las aplicaciones k-lineales simétricas (1/k!)Dk f (a).

Los teoremas Nuestro objetivo en esta sección será obtener teoremas de aproximaci´ on de funciones diferenciables mediante polinomios. Dada una función f , se dirá

11.3

Teoremas de Taylor

113

que el polinomio P (x) = a0 + a1 x + a2x + . . . + ar xr aproxima a f hasta el orden k (k = 1, 2, ...) en un entorno del punto a si lim

h→0

f (a + h) − P (h) = 0. khkk

En el siguiente teorema veremos que, como en el caso de una variable, el polinomio de Taylor de orden r de una función r-veces diferenciable en un on en un entorno del punto. punto, aproxima hasta el orden r a esta funci´ Para ello vamos a usar como lema una versión conveniente del teorema de aproximación (¿local?) de Taylor para funciones de una variable Lema 11.3 Sea f : [a, b] ⊂ R → R una función (r-1)-veces derivable en [a, b] y r-veces derivable en a. Entonces existe un punto ξ ∈ (a, b) tal que µ ¶ (b − a)r f r−1 (ξ) − f r−1 (a) r − f (a) . f (b) − Pr f (a)(b − a) = r! ξ−a Demostraci´ on. Por inducción sobre r. Veamos que el lema es cierto para r = 2. Consideremos para ello las funciones siguientes ¡ ¢ g(x) = f (x) − P2 f (a)(x − a) = f (x) − f (a) + f 0 (a)(x − a) + 1/2f 00 (a)(x − a)2 h(x) = (x − a)2 . Puesto que f es derivable en [a, b], es evidente que g y h son también derivables en [a, b]. Aplicando entonces el teorema del valor medio, se tiene que ¡ ¢ ¡ ¢ g(b) − g(a) h0 (ξ) = h(b) − h(a) g 0 (ξ) , a < ξ < b. Haciendo las sustituciones correspondientes obtenemos ¡ ¢ 2(f (b) − P2 f (a)(b − a))(ξ − a) = (b − a)2 f 0 (ξ) − (f 0 (a) + f 00 (a)(ξ − a)) , lo que implica (b − a)2 f (b) − P2 f (a)(b − a) = 2

µ

¶ f 0 (ξ) − f 0 (a) 00 − f (a) , ξ−a

que es justamente la fórmula que buscábamos. Supongamos pues, como hipótesis de inducción, que el resultado se verifica para r −1, y consideremos las funciones g(x) = f (x) − Pr f (a)(x − a) h(x) = (x − a)r .

114

Teoremas de Taylor

11.3

Es inmediato comprobar que g y h son derivables en [a, b]. Aplic´ andolas entonces el teorema del valor medio, se tiene ¡ ¢ ¡ ¢ g(b) − g(a) h0 (ξ1 ) = h(b) − h(a) g 0 (ξ1 ) , a < ξ1 < b. O sea que (11.1) ¡ ¢ r f (b) − Pr f (a)(b − a) (ξ1 − a)r−1 ¡ ¡ ¢¢ f r (a) = (b − a)r f 0 (ξ1 ) − f 0 (a) + f 00 (a)(ξ1 − a) + . . . + (ξ1 − a)(r−1) . (r − 1)! La expresión entre corchetes es f 0 (ξ1 ) − Pr−1 f 0 (a)(ξ1 − a), por lo que aplicando la hipótesis de inducción a f 0 en el intervalo [a, ξ1 ], podemos escribir µ ¶ (ξ1 − a)r−1 f r−1 (ξ) − f r−1 (a) r 0 0 − f (a) , f (ξ1 ) − Pr−1 f (a)(ξ1 − a) = (r − 1)! ξ−a donde a < ξ < ξ1 . De esto se deduce, teniendo en cuenta 11.1 que ¡ ¢ r f (b) − Pr f (a)(b − a) (ξ1 − a)r−1 µ r−1 ¶ r−1 f (ξ) − f r−1 (a) r (ξ1 − a) r = (b − a) − f (a) , (r − 1)! ξ−a luego (b − a)r f (b) − Pr f (a)(b − a) = r!

µ

¶ f r−1 (ξ) − f r−1 (a) r − f (a) . ξ−a

Nota. Observemos que el lema anterior no resulta válido para r = 1. Concretamente, no es cierto en general que si f es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en a exista un punto ξ intermedio tal que ¶ µ ¡ ¢ f (ξ) − f (a) − f 0 (a) . f (b) − f (a) + f 0 (a)(b − a) = (b − a) ξ−a En efecto, realizando una serie de operaciones elementales, lo anterior significar´ıa que para alg´ un punto intermedio entre a y b se deber´ıa de satisfacer la igualdad f (b) − f (a) f (ξ) − f (a) = . b−a ξ−a Pero es fácil de encontrar muchas funciones para las que eso no es posible.

11.4

Teoremas de Taylor

115

Teorema 11.4 (Local de Taylor) Si la aplicación f : A ⊂ Rn → Rp es o

r-veces diferenciable en un punto a ∈ A, entonces su polinomio de Taylor de orden r en a aproxima hasta el orden r a f en un entorno del punto a. Es decir f (a + h) − Pr f (a)h lim = 0. h→0 khkr Demostraci´ on. Es evidente que la demostración estará completa si se prueba que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si khk ≤ δ entonces kf (a + h) − Pr f (a)hk ≤

1 εkhkr . r!

Obviamente se puede suponer que f es una función escalar. Por ser f r-veces diferenciable en a existe δ tal que si kuk ≤ δ entonces kDr−1 f (a + u) − Dr−1 f (a) − Dr f (a)uk ≤ ε. kuk

(11.2)

Fijemos h tal que khk ≤ δ, a + h ∈ A y f resulte (r-1)-veces derivable en [a, a + h]. Consideremos la aplicaci´ on F = f ◦ λ, donde λ es la aplicación del intervalo [0, 1] en A dada por λ(t) = a + th. Puesto que λ es una aplicación de clase C ∞ , la aplicación F es r-veces derivable en 0 y (r-1)-veces derivable en [0,1]. Por tanto, a la aplicación de una variable, F , se le puede aplicar el lema anterior, de lo que resulta µ ¶ 1 F (r−1) (θ) − F (r−1) (0) r − F (0) . (11.3) F (1) − Pr F (0)1 = r! θ Para escribir esta igualdad en términos de la función f y sus derivadas, vamos a utilizar la fórmula (que después demostraremos) F (k) (t) = Dk f (a + th)hk . De este modo, 11.3 queda as´ı µ

f (a + h) − Pr f (a)(a + h)

+ θh)hr−1 − Dr−1 f (a)hr−1 − Dr f (a)hr θ 1 Dr−1 f (a + θh) − Dr−1 f (a) − Dr f (a)(θh) r−1 = h . r! θ

1 = r!

Dr−1 f (a

¶

116

Teoremas de Taylor

11.4

Se deduce pues que ¯ ¯ ¯f (a + h) − Pr f (a)h¯

¯ ¯ ¯ 1 Dr−1 f (a + θh) − Dr−1 f (a) − Dr f (a)(θh) r−1 ¯ ¯ =¯ h ¯¯ r! θ 1 kDr−1 f (a + θh) − Dr−1 f (a) − Dr f (a)(θh)k ≤ khkkhkr−1 . r! θkhk De la condición (11.2) se sigue que kDr−1 f (a + θh) − Dr−1 f (a) − Dr f (a)(θh)k ≤ ε. θkhk Por tanto kf (a + h) − Pr f (a)hk ≤

1 εkhkr . r!

11.5 Demostración de la fórmula F (k) (t) = Dk f (a + th)hk . Razonemos por inducci´ on. Para k = 1, se obtiene sin más que aplicar la regla de la cadena ¡ ¢ F 0 (t) = D(f ◦ λ)(t)1 = Df (λ(t)) ◦ Dλ(t) 1 = Df (a + th)λ0 (t) = Df (a + th)h. Supongamos cierta la fórmula para k − 1, es decir F (k−1) (s) = Dk−1 f (a + sh)hk−1 . Esta aplicación resulta ser la composición de las funciones λ

g

[0, 1] → A ⊂ Rn → R s → x = a + sh → Dk−1 f (x)hk−1 Luego F (k) (t) = (F (k−1) )0 (t) = D(F (k−1) (t)1 = D(g ◦ λ)(t)1 = Dg(a + th)h. Para terminar sólo queda calcular la diferencial de la aplicación g en el punto a + th. Para ello consideremos la siguiente descomposici´ on de g: Dk−1 f

φ

x −−−−→ Dk−1 f (x) −−−−→ Dk−1 f (x)hk−1

11.7

Teoremas de Taylor

117

El segundo factor en la descomposición anterior es una aplicación lineal y continua, por lo que se deduce que F (k) (t) = Dg(a + th)h = D(φ ◦ Dk−1 f )(a + th)h = (φ ◦ Dk f (a + th))h = Dk f (a + th)hk .

11.6 Seg´ un el teorema local de Taylor, una condición suficiente para que una función pueda aproximarse hasta el orden r mediante un polinomio, en un entorno de un punto, es que sea r-veces diferenciable en ese punto. Esta condición no es, sin embargo, necesaria (para un teorema rec´ıproco del teorema de Taylor, ver Avez [2, §4.5]). En efecto, consideremos, por ejemplo, la función 1 f (x) = x3 sen . x El polinomio 0 aproxima hasta el orden 2 a la función f en un entorno de 0, pues f (x) 1 lim = lim x sen = 0. x→0 x2 x→0 x En cambio, f no es 2-veces derivable en 0. Teorema 11.7 (Unicidad del polinomio de Taylor) Sea f : A ⊂ Rn → o

Rp y a ∈ A. Entonces, para cada r ≥ 1 existe a lo sumo un polinomio de grado ≤ r, que aproxima a f hasta el orden r en un entorno del punto a. En particular, si f es r-veces diferenciable en a, entonces ese polinomio es el de Taylor de orden r. on. Para simplificar, vamos a hacer la demostración en el punto Demostraci´ a = 0. Supongamos entonces que existen dos polinomios que satisfacen el teorema, es decir f (x) − (a0 + a1 x + . . . + ar xr ) =0 x→0 kxkr f (x) − (b0 + b1 x + . . . + br xr ) lim =0 x→0 kxkr lim

y probemos que ambos polinomios coinciden. Si llamamos ck = ak − bk , nuestra hipótesis implica que c0 + c1 x + . . . + cr xr = 0. x→0 kxkr lim

118

Teoremas de Taylor

11.7

Se trata de ver, por tanto, que el u ńico polinomio que tiene la propiedad anterior es el idénticamente nulo, o sea que ck = 0 para todo k. Procederemos por inducción. Trivialmente c0 = 0. Supongamos que cj = 0 si j < k y veamos que también ck = 0 : Observemos en primer lugar que la condici´ on c0 + c1 x + . . . + cr xr =0 x→0 kxkr lim

implica que

c0 + c1 x + . . . + cr xr = 0 , ∀k ≤ r. x→0 kxkk lim

Se tiene entonces

µ ¡ x ck xk + . . . + cr xr x ¢ = lim ck 0 = lim ,..., k x→0 x→0 kxk kxk kxk ¢ ¡ x x ,..., ,x + ... + ck+1 kxk kxk ¶ ¡ x ¢ x + cr ,..., , x, . . . , x kxk kxk ¡ x x ¢ ,..., , = lim ck x→0 kxk kxk

donde la segunda igualdad se obtiene gracias a que ° ° ° ¡ x ¢° x °cj ° ° kxk , . . . , kxk , x, . . . , x ° ≤ kcj k · 1 · . . . · 1 · kxk . . . kxk ¡ x ¢ x ,..., , x, . . . , x = 0 , ∀j > k. ⇒ lim cj x→0 kxk kxk Hemos obtenido pues que

ck xk = 0. x→0 kxkk Por tanto, cualquiera que sea x 6= 0, se tiene que lim

0 = lim

t→0+

ck (tx)k tk ck xk ck xk = lim = , ktxkk kxkk t→0+ tk kxkk

lo que implica ck xk = 0, para todo x. Para probar que de esto se deduce ya que ck = 0, basta tener en cuenta la siguiente fórmula para aplicaciones k-lineales y simétricas (ver [22]) 1 X (11.4) ck (x1 , . . . , xk ) = ε1 ε2 . . . εk ck (ε1 x1 + . . . + εk xk )k , k!2k donde εi = ±1.

11E

Teoremas de Taylor

119

Teorema 11.8 Sea f : A ⊂ Rn → R, donde A es un conjunto abierto. Si f es de clase C r en el segmento [a, b] ⊂ A y (r + 1)-veces diferenciable en (a, b), entonces existe un punto ξ ∈ (a, b) tal que f (b) − Pr f (a)(b − a) =

1 Dr+1 f (ξ)(b − a)r+1 . (r + 1)!

Demostraci´ on. Basta aplicar el teorema de Taylor con resto de Lagrange a la función de una variable F (t) = f (a + t(b − a)) en el intervalo [0,1]. Nota. El teorema global de Taylor anterior (s´ olo válido en esta forma para funciones escalares), es para el caso r = 1 el teorema del valor medio para funciones escalares (ver Teorema 8.9): Si f : A ⊂ Rn → R es una funci´ on continua en el segmento [a, b] ⊂ A y derivable en (a, b), entonces existe un punto ξ ∈ (a, b) tal que X ∂f f (b) − f (a) = Df (ξ)(b − a) = (ξ)(bj − aj ). ∂xj

Ejercicios 11A Obtener el coeficiente del término en x4 yz 2 del desarrollo de Taylor en el origen de una función de las variables x, y, z. 11B Si en el desarrollo de Taylor en el origen de una función de las variables x, y, z el u ńico término de grado 7 es 3x4 yz 2 , ¿cuáles son las derivadas parciales de orden 7 de esta función en (0, 0, 0)? 11C Supuesta conocida la función f y sus derivadas, obtener el polinomio de Taylor de orden 2 de la función g(x, y, z) = f (xy, xz) en un entorno del punto (0, 0, 0). 11D Obtener el polinomio de Taylor de orden 3 de la funciones cos x f (x, y) = ; g(x, y) = cos xy cos y en un entorno de (0,0) 11E (a) Probar que si P es un polinomio de grado r, entonces Q(x) = P (x + a) es también un polinomio de grado r. De hecho Q es el polinomio de Taylor de orden r de P en el punto a. (b) Obtener los polinomios de Taylor de orden 2, 3 y 4 de la función f (x, y, z) = 1 + xy + 2yz − x3 − 3yz 2 en los puntos (0, 0, 0) y (1, 0, −2). Expresar f como un polinomio en potencias de (x − 1), y, (z + 2).

120

Teoremas de Taylor

11F

11F Sea f (x, y) = 3x2 y 2 +x4 +y 4 +sen3 xy. Demostrar que el polinomio de Taylor de orden 5 para la función f en (0,0) es igual a 3x2 y 2 + x4 + y 4 . 11G Supongamos que f es una función de clase C 6 , tal que f (x, y, z) − (2x − yz 2 + x2 yz + z 3 x2 ) = 0. (x2 + y 2 + z 2 )3 (x,y,z)→(0,0,0) lim

(a) Obtener P6 f (0, 0, 0)(x, y, z), P5 f (0, 0, 0)(x, y, z) y P3 f (0, 0, 0)(x, y, z) (b) Calcular las derivadas parciales de f en (0, 0, 0) hasta el orden 6. 11H Demostrar, sin tener que hacer el cálculo, que todas las derivadas parciales de orden ≤ 8 de la función f (x, y) = sen(x9 + y 9 ) son nulas en (0,0). Probar asimismo que igual sucede con las de orden ≤ 5 para la función g(x, y, z) = cos xyz. 11I Estudiar la existencia de los l´ımites siguientes haciendo el desarrollo de Taylor que convenga y aplicando después el teorema de Taylor que proceda. 1. 3. 5. 7. 9.

xy − sen x sen y x2 + y 2 xy − sen x sen y p lim (x,y)→(0,0) x6 + y 6 p 2xy − 1 + cos 2(x + y) lim x2 + y 2 (x,y)→(0,0) xey − yex − x + y lim x2 + y 2 (x,y)→(0,0) xey − yex lim (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim

(x,y)→(0,0)

xy − sen x sen y (x2 + y 2 )3/2 sen x + cos y − cos x − x + y 2 4. lim x2 + y 2 (x,y)→(0,0)

2.

lim

(x,y)→(0,0)

sen2 x + sen2 y x2 + y 2 (x,y)→(0,0) xey − yex − x + y + x3 8. lim x2 + y 2 (x,y)→(0,0) xey − yex − x + y 10. lim x2 + y 2 (x,y)→(0,0) 6.

lim

11J Sean f, g funciones escalares de varias variables y de clase C ∞ tales que f (0) = g(0) = 0, y para las que el cociente f (x)/g(x) está definido en todo punto x 6= 0 de alg´ un entorno de 0 (para concretar se puede suponer por tanto que g(x) ≥ 0 en ese entorno). (a) Para cada x denotemos por r(x) y s(x), respectivamente, a los n´ umeros naturales más peque˜ nos (o infinito) tales que Dr(x) f (0)xr(x) 6= 0, Ds(x) g(0)xs(x) 6= 0. Demostrar que si existe limx→0 f (x)/g(x) = l (l finito), entonces: i) r(x) ≥ s(x) para todo x; ii) si para alg´ un x, r(x) > s(x), l = 0; iii) si para alg´ un x, r(x) = s(x) < ∞, l 6= 0. (b) Sea r = min{r(x) : x ∈ Rn } , s = min{s(x) : x ∈ Rn } y supongamos que r y s son finitos, es decir Dr f (0) 6= 0, Ds g(0) 6= 0, y éstas son las primeras derivadas de f y g que no se anulan en 0. Se tiene entonces:

11L

Teoremas de Taylor

121

i) Si r < s el limx→0 f (x)/g(x) no es finito. ii) Si r = s una condición necesaria para la existencia de limx→0 f (x)/g(x) es que Dr f (0) = kDs g(0). En ese caso, si existe el l´ımite, su valor es k (y por tanto 6= 0). x2 + y 3 iii) Sea h(x, y) = 2 . Es evidente que en este ejemplo x + y4 r = s = 2, 1/2D2 f (0, 0)(x, y)2 = 1/2D2 g(0, 0)(x, y)2 = x2 . Sin embargo, no existe lim(x,y)→(0,0) f (x, y)/g(x, y). iv) Si r > s el u ńico valor posible del limx→0 f (x)/g(x) es el 0. (c) Cada una de estas condiciones implica la siguiente: g(x) = ∞. kxks ii) Ds g(0)xs 6= 0, ∀x 6= 0. iii) Existe λ > 0 tal que g(x) ≥ λkxks para x en alg´ un entorno de 0. iv) Si r > s entonces limx→0 f (x)/g(x) = 0. Si r = s y Dr f (0) = lDs g(0) (l 6= 0) entonces limx→0 f (x)/g(x) = l. i) limx→0

11K En cada uno de los ejemplos siguientes comprobar si se satisface la condición necesaria (a) y/o alguna de las condiciones suficientes de (c) y estudiar la existencia del l´ımite en (0,0). 1. h(x, y) = 3. h(x, y) = 5. h(x, y) = 7. h(x, y) = 9. h(x, y) =

(x − y)3 . (x − y)2 + x4 x5 + y 3 x2 − x3 y 2 + y 4 x x4 + y 4 − x2 y 2 + y 6 4 x + y 2 x2 + y 4 x + y 6 x4 + x2 y 2 + y 6 4 x + y 2 x2 + (x + y)6 x4 + x2 y 2 + y 6 x sen y − y sen x (sen2 x + sen2 y)2

x5 + y 3 x − x2 y 2 + y 4 x x4 + y 4 − x2 y 2 + y 6 x5 + y 3 x2 − x3 y 2 + y 4 x 4. h(x, y) = x4 + x2 y 2 + y 6 5 x + y4 x + y7 6. h(x, y) = 4 x + x2 y 2 + y 6 x sen y − y sen x 8. h(x, y) = sen2 x + sen2 y xy − sen x sen y 10. h(x, y) = x4 + y 4 2. h(x, y) =

11L Sea P un polinomio homogéneo de n variables y grado k ≥ 1 y f : R → R una función derivable hasta el orden que necesitemos. Consideremos la función g = f ◦ P. (a) Probar que para cada 0 ≤ j < k se verifica que Pkr+j g(0)x = Pr f (0)(P (x)) (b) Aplicar (a) para calcular el polinomio de Taylor de orden 7 en (0,0) de la función f (x, y) = cos(x2 − xy).

122

Teoremas de Taylor

11M

11M (a) Sea f : R → R una función n-veces diferenciable en 0. Probar que si 1 ≤ k < n, la función g(t) =

f (t) − Pn f (0)t ; tn−k

g(0) = 0

es k-veces diferenciable en 0. ´ n: Razonar por inducción sobre k. Indicacio (b) Deducir de (a) que si f es n-veces diferenciable en 0 (n ≥ 2), entonces la función f (t) − f (0) h(t) = ; h(0) = f 0 (0) t es (n − 1)-veces diferenciable en 0, siendo Pn−1 g(0)t = f 0 (0) + 1/2!f 00 (0)t + . . . + 1/n!f (n) (0)tn−1 (c) Utilizar lo anterior para demostrar que las funciones   sen x − sen y si x 6= y x−y g1 (x, y) = cos x si x = y √   1 − 1 + xy si xy 6= 0 g2 (x, y) = xy  0 si xy = 0 son de clase C ∞ (g2 en alg´ un entorno de (0,0)). Obtener el polinomio de Taylor de orden 4 en (0,0) de ambas funciones. 11N Sea f : R2 → R. (a) Probar que si f es una aplicación de clase C r , entonces la aplicación g(x, y) = xf (x, y) es (r + 1)-veces diferenciable en (0,0). (b) Demostrar que Pr+1 g(0, 0)(x, y) = xPr f (0, 0)(x, y).

Cap´ıtulo 12

Extremos Relativos Una aplicación clásica del Teorema Local de Taylor, que vimos en el cap´ıtulo anterior, es el estudio de los extremos relativos de una función escalar. Aunque la analog´ıa con el caso de una variable es total, hay algunas diferencias que surgen de manera natural por el paso a una dimensión superior. En lo sucesivo trabajaremos con funciones escalares, definidas sobre un conjunto A ⊂ Rn . Se dirá que una tal función presenta un extremo relativo o

en un punto a ∈ A, si existe un entorno V de a contenido en A, tal que la diferencia f (x) − f (a) no cambia de signo cuando x ∈ V : M´ aximo Si f (x) − f (a) ≤ 0. M´ınimo Si f (x) − f (a) ≥ 0.

Condiciones necesarias de extremo Cuando f es una función diferenciable se obtiene la siguiente condici´ on nealoga a la de funciones de una variable. cesaria de extremo, totalmente an´ Proposici´ on 12.1 Si f es diferenciable en a y presenta un extremo relativo en ese punto, entonces Df (a) = 0. on. Supongamos, para concretar, que f presenta un m´ınimo en Demostraci´ a. Sea entonces h un vector cualquiera y sea δ > 0 tal que para cada t ∈ [−δ, δ] f (a + th) − f (a) ≥ 0. Sea F = f ◦ λ, donde λ es la aplicación de [−δ, δ] en A, λ(t) = a + th. Entonces F es una aplicación de una variable, derivable en 0 y que presenta 123

124

Extremos Relativos

12.1

un m´ınimo relativo en ese punto. Luego su derivada en 0, F 0 (0) debe ser igual a 0. Se tiene pues: 0 = F 0 (0) = Df (a) · h.

12.2 Por tanto, el proceso para encontrar los puntos de extremo relativo para una función diferenciable comienza con el planteamiento del sistema Df (x) = 0 ⇔

∂f (x1 , · · · , xn ) = 0, i = 1, 2, · · · , n. ∂xi

Los puntos solución de este sistema de n ecuaciones con n inc´ ognitas se denominan puntos cr´ıticos . Después de la proposición 12.1, una condición necesaria para que la función f presente un extremo relativo en un punto x es que x sea un punto cr´ıtico. Es bien conocido que para funciones de una variable, una condición necesaria y suficiente para que una función suficientemente derivable presente un extremo relativo en un punto cr´ıtico, es que la primera derivada que no se anule en ese punto (supuesta que hay alguna) sea de orden par. Para funciones de varias variables, las cosas son menos simples y esta condición, aunque necesaria, no será suficiente para garantizar la existencia de extremo. on 12.3 Sea f : A ⊂ Rn −→ R una aplicación derivable hasta el Proposici´ o orden r > 1 en el punto a ∈ A y supongamos que Dk f (a) = 0, k ≤ r − 1 y Dr f (a) 6= 0. Entonces, las siguientes condiciones son necesarias para que f presente un extremo relativo en el punto a: 1. r sea par. 2. Dr f (a)hr tenga signo constante. Concretamente Dr f (a)hr ≥ 0 para todo h (≤ 0), si en a hay un m´ınimo (máximo). on. Sea Demostraci´ ε(h) =

f (a + h) − Pr f (a)h (ε(0) = 0). khkr

Entonces (12.1)

f (a + h) − f (a) −

1 r D f (a)hr = ε(h) · khkr , r!

donde, por el teorema local de Taylor, ε(h) → 0 cuando h → 0.

12.4

Extremos Relativos

125

Supongamos, por ejemplo, que f presenta un m´ınimo en a y sea h un vector no nulo arbitrario. Existe entonces un n´ umero real δ > 0 tal que f (a + th) − f (a) ≥ 0 si | t |≤ δ. De la ecuación 12.1 se sigue que para | t |≤ δ 1 r D f (a) (th)r + ε(th) · khkr ≥ 0 r!

⇒

tr r D f (a)hr + | t |r ε(th) · khkr ≥ 0, r!

y dividiendo por | t |r la expresión anterior, se tiene que para | t |≤ δ µ ¶ 1 t r r (12.2) D f (a)hr + ε(th) · khkr ≥ 0. r! | t | Pasando al l´ımite cuando t → 0+ en 12.2 y teniendo en cuenta que ε(th) → 0 , cuando t → 0, se deduce que (12.3)

1 r D f (a)hr ≥ 0 Para todo h ∈ Rn . r!

Si r fuese impar, lo anterior sólo ser´ıa posible si Dr f (a)hr = 0, ya que la condición 12.3 implica también que 0 ≤ Dr f (a)(−h)r = (−1)r Dr f (a). Entonces, al ser h arbitrario, la aplicación r-lineal Dr f (a) deber´ıa ser nula (ver fórmula 11.4), lo que contradice la hipótesis. Por lo tanto r es par y Dr f (a)hr ≥ 0. Nota. Como hemos visto la condici´ on r par de la proposición anterior no es preciso exigirla de modo expl´ıcito, ya que se deduce de la condición Dr f (a) tiene signo constante

Condici´ on suficiente de extremo Proposici´ on 12.4 Sea f : A ⊂ Rn −→ R una aplicación derivable hasta el o orden r > 1 en el punto a ∈ A y supongamos que Dk f (a) = 0, k ≤ r − 1. Entonces, una condición suficiente para que f presente un extremo relativo en a es que Dr f (a)hr > 0 para todo h 6= 0 (m´ınimo) o que Dr f (a)hr < 0 para todo h 6= 0 (máximo) Demostraci´ on. Consideremos la aplicación Φ : h → Dr f (a)hr . Se trata de una aplicación continua que toma sus valore en R, luego alcanza un m´ınimo sobre cada compacto, en particular sobre la esfera unidad S . As´ı pues, existe alg´ un punto u0 con ku0 k = 1 tal que cualquiera que sea u ∈ S, Dr f (a)ur ≥

126

Extremos Relativos

12.4

Dr f (a)ur0 = λ. La hipótesis de esta proposición implica que el n´ umero λ debe ser estrictamente positivo. Sea ahora h 6= 0 un vector cualquiera. Entonces µ ¶ h h 1 Dr f (a) ,··· , ≥λ ⇒ Dr f (a)hr ≥ λ khk khk khkr ⇒ Dr f (a)hr ≥ λkhkr .

(12.4)

Veamos ya que en las condiciones de esta proposici´ on la función f presenta un m´ınimo relativo en el punto a. 1 r D f (a)hr + ε(h)khkr r! µ ¶ λ λ r r ≥ khk + ε(h)khk = + ε(h) khkr . r! r!

f (a + h) − f (a) =

Como ε(h) → 0 cuando h → 0 y λ > 0, de lo anterior se deduce que f (a + h) − f (a) ≥ 0 para h suficientemente peque˜ no, luego f presenta un m´ınimo en a. Nota. En la proposición anterior puede sustituirse la hipótesis “Dr f (a)hr > 0 para todo h 6= 0 (resp. < 0)” por “r es par y Dr f (a)hr 6= 0 para todo h 6= 0”. Además que r sea par sólo hay que exigirlo en el caso de que f sea una función de una variable, en cuyo caso la demostración es trivial. Supongamos que se trabaja en dimensión estrictamente mayor que 1 y que Dr f (a)hr 6= 0 para todo h 6= 0. Consideremos de nuevo la aplicación Φ : h → Dr f (a)hr . Entonces P = Rn \ {0} es un conjunto conexo y por tanto su imagen por la aplicación continua Φ, Φ(P ), es un conjunto conexo de R. Este conjunto conexo, si suponemos que Dr f (a)hr 6= 0 para todo h 6= 0, debe ser un intervalo que no contenga a 0, lo que sólo es posible si Dr f (a)hr > 0 para todo h 6= 0 o bien Dr f (a)hr < 0 para todo h 6= 0. 12.5 En resumen, el procedimiento general para la obtención de los puntos de extremos relativos es el siguiente: 1. Obtención de los Puntos Cr´ıticos ∂f (x1 , · · · , xn ) = 0, i = 1, 2, · · · , n ∂xi Supongamos que a es un punto cr´ıtico y la primera derivada de la función f que no se anula en a es la de orden r, entonces:

12.7

Extremos Relativos

127

2. r impar La función f no tiene extremos en a 3. r par y Dr f (a)hr 6= 0 para todo h 6= 0. La función presenta un extremo en a: • M´ınimo si Dr f (a)hr > 0 para todo h 6= 0. • M´ aximo si Dr f (a)hr < 0 para todo h 6= 0. 4. r par, pero existe alg´ un h 6= 0 tal que Dr f (a)hr = 0. • Dr f (a)hr no tiene signo constante. La función f no tiene extremos en a • Dr f (a)hr tiene signo constante. Caso Dudoso.

Hessiano En esta sección vamos a estudiar la existencia de extremos en un punto en el caso particular de que la primera derivada que no se anule en ese punto sea la de orden 2, es decir Df (a) = 0 y D2 f (a) 6= 0. Para ello vamos a apoyarnos en la teor´ıa de las formas cuadráticas. 12.6 Una forma cuadrática φ sobre un espacio vectorial E es una aplicación de E en R que coincide con la restricción a la diagonal de una forma bilineal simétrica ϕ, es decir para cada x ∈ E φ(x) = ϕ(x, x). La forma cuadrática φ se dirá definida si φ(x) 6= 0, para cada x 6= 0 y se dirá positiva (resp. negativa) si para todo x, φ(x) ≥ 0 (resp. φ(x) ≤ 0). Como es bien conocido, en dimensión finita, la forma cuadrática φ est´ a determinada por una matriz cuadrada y simétrica, la matriz (aij ) con aij = ϕ(ei , ej ), ei = (0, . . . , 1, . . . , 0). Por definición llamaremos Menor Principal de esta matriz a cada menor cuya diagonal principal esté formada por elementos de la diagonal principal de φ. Denotaremos por ∆i , i = 1, 2, . . . , n al menor principal de orden i formado con las i primeras filas y las i primeras columnas. Los siguientes resultados sobre formas cuadráticas pueden verse en [13] Proposici´ on 12.7 Para una forma cuadrática φ sobre Rn se tiene: (i) φ es positiva si y sólo si todos los menores principales de la matriz asociada son no negativos.

128

Extremos Relativos

12.7

(ii) φ es negativa si y sólo si los menores principales de orden par son no negativos y los menores principales de orden impar no positivos. (iii) φ es definida positiva si y sólo si ∆i > 0 para todo i. (iv) φ es definida negativa si y sólo si (−1)i ∆i > 0 para todo i. Para aplicar esto al estudio de los extremos relativos, supongamos pues que f es una función escalar de n variables reales tal que Df (a) = 0 y D2 f (a) 6= 0. Consideremos entonces la forma cuadrática X ∂2f (a)hi hj φ(h) = D2 f (a)h2 = ∂xi ∂xj i,j

La matriz asociada a esta particular forma cuadrática se conoce con el nombre de Hessiano de f en a y se trata, obviamente, de la matriz de las derivadas parciales segundas en a       H(a) =      

∂2f (a) ∂x21

∂2f ∂x1 ∂x2 (a)

∂2f

∂2f

∂x2 ∂x1 (a)

∂x22

···

(a)

···

···

···

···

∂2f ∂xn ∂x1 (a)

∂2f ∂xn ∂x2 (a)

···

∂2f ∂x1 ∂xn (a)



    ∂x2 ∂xn (a)     ···    ∂2f (a) ∂x2 ∂2f

n

un ve´ıamos en las secciones anteriores, en el caso que estamos consideSeg´ rando una condición necesaria de m´ınimo relativo en a es que D2 f (a)h2 ≥ 0 para cada h, es decir que φ sea positiva. Y una condición suficiente que D2 f (a)h2 > 0 para todo h 6= 0, es decir que φ sea definida positiva. La proposición anterior nos da pues un criterio práctico para reconocer, a partir del Hessiano, la existencia, en algunos casos, de extremos relativos. 12.8 Cuando f es una función de dos variables, el criterio del Hessiano tiene mayor alcance, es decir son menos los casos en los este criterio no nos permite decidir si existe o no un extremo en el punto. Concretamente, sea z = f (x, y) y (a, b) un punto cr´ıtico de f . Formemos el Hessiano de f en (a, b)   H(a, b) = 

∂2f (a, b) ∂x2

∂2f ∂x∂y (a, b)

∂2f ∂x∂y (a, b)

∂2f (a, b) ∂y 2

  

12C

Extremos Relativos

129

Entonces, si denotamos por ∆ al determinante de H(a, b), resulta 1. ∆ > 0 ⇒ Extremo: M´ınimo si ∆1 > 0. M´ aximo si ∆1 < 0 2. ∆ < 0 ⇒ No hay extremo 3. ∆ = 0 ⇒ Caso Dudoso Lo anterior se obtiene fácilmente como consecuencia del criterio general: Si ∆ > 0 es inmediato comprobar que ∆1 6= 0, luego seg´ un el criterio del hessiano, habrá un m´ınimo si ∆1 > 0 y un máximo si ∆1 > 0. Si ∆ < 0, la forma cuadrática φ no es ni positiva ni negativa, pues tanto para una cosa como para la otra es preciso que los menores principales de orden par sean no negativos y ∆ es un menor de orden 2.

Ejercicios 12A Sea f : U ⊂ Rn → R una función r-veces diferenciable en el abierto U (r > 1) y supongamos que para alg´ un punto a ∈ U se tiene 1. todas las derivadas de orden menor que r se anulan en a; 2. para cada x de alguna bola centrada en a, Dr f (x)hr ≥ 0 para todo h ∈ Rn . Probar que entonces f presenta un m´ınimo relativo en a. 12B Estudiar la existencia de extremos relativos para las funciones 1. f (x, y) = x4 + y 4 − 2(x − y)2

2. f (x, y) = x3 + y 2 − xy 2

3. f (x, y) = x3 + y 3 − 3x2 y 2 + 1

4. f (x, y, z) = x4 + y 4 − 3x2 y 2 xz

5. f (x, y, z) = 2x4 + 2y 4 + z 4 − 4x2 y 2 z

6. f (x, y) = 2x4 + 3y 4 − 4x2 y 3

7. f (x, y) = x2 y + x2 + 2xy + xy 2 + y 2

8. f (x, y) = x4 + y 4 − xy 3 + 1

9. f (x, y) = x4 + y 4 − xy 4 + 1

10. f (x, y) = y 2 − 3x2 y + 2x4

11. f (x, y) = x3 + 3x2 y − xy 2 + 1

12. f (x, y) = x2 y 2 + xy 4

12C Demostrar que los siguientes enunciados son equivalentes (a) x2 + y 2 + z 2 ≥ α(xy + xz + yz), para todos x, y, z. (b) La función f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − α(xy + xz + yz), presenta un m´ınimo relativo en el punto (0, 0, 0). (c) α ∈ [−2, 1].

130

Extremos Relativos

12D

12D Estudiar la existencia de extremos relativos para las funciones f (x, y) = sen |xy|, ax+y 2

0 < x ≤ π/2,

0 < y ≤ π/2.

+ b sen(x + by ) − y 2 . µ ¶ 1 1 f (x1 , . . . , xn ) = x1 x2 · · · xn + an+1 + ... + , (a > 0) , x ∈ Ω = (0, ∞)n x1 xn X 2 2 f (x1 , . . . , xn ) = ( ai xi )e−(x1 +...+xn )

f (x, y) = e

2

2

12E Demostrar que entre los pol´ıgonos convexos de n lados inscritos en una circunferencia, el pol´ıgono regular es el de mayor per´ımetro y también el de mayor área. 12F (T.de Rolle) Sea A un conjunto abierto de Rn de adherencia compacta, y ¯ Entonces, si f es sea f una función escalar diferenciable en A y continua en A. constante sobre la frontera de A existe un punto a ∈ A tal que Df (a) = 0.

Cap´ıtulo 13

Funciones Impl´ıcitas: Existencia El teorema de las funciones impl´ıcitas constituye, junto con el de la funci´ on inversa, la herramienta teórica básica para el estudio de las variedades diferenciables (curvas, superficies,...). Nosotros lo obtendremos como corolario de un teorema de punto fijo, que es una modificaci´ on del teorema de Banach de la aplicación contractiva.

Un teorema de punto fijo Lema 13.1 Sea X un espacio métrico cualquiera, Y un espacio métrico completo y B una bola de Y de centro b y radio r. Supongamos que k : X × B → Y es una aplicación que satisface: (a) k es contractiva respecto a la segunda variable, es decir existe una constante 0 < c < 1 tal que para cada x ∈ X, d (k(x, y1 ), k(x, y2 )) ≤ c d(y1 , y2 ). (b) k mueve el centro de B a una distancia menor (estrictamente) que r(1 − c), es decir, para cada x ∈ X, d(k(x, b), b) < r (1 − c). En estas condiciones se tiene que para cada x ∈ X existe un u ńico punto y = h(x) ∈ B que satisface la ecuación k(x, y) = y. Demostraci´ on. Para cada x ∈ X consideremos la aplicación kx : B → F , definida por kx (y) = k(x, y). Si esta aplicación fuese contractiva y estuviese definida de un espacio métrico completo en s´ı mismo, por el teorema de Banach del punto fijo, esta aplicaci´ on tendr´ıa un u ńico punto fijo, es decir 131

132

Funciones Impl´ıcitas: Existencia

13.1

existir´ıa un u ńico punto y ∈ B tal que k(x, y) = y, que es lo que queremos demostrar. Por la hipótesis (a), la aplicación kx es claramente contractiva. En cuanto a las demás condiciones del teorema del punto fijo, supongamos en primer lugar que B es una bola cerrada. En ese caso B es un subespacio cerrado de un espacio métrico completo, luego él también es completo. Además kx (B) ⊂ B, pues si y ∈ B, es decir d(y, b) ≤ r, entonces d(kx (y), b) = d(k(x, y), b) ≤ d(k(x, y), k(x, b)) + d(k(x, b), b) ≤ c d(y, b) + (1 − c)r = r. Luego en este caso podemos concluir como quer´ıamos. Supongamos ahora que B es una bola abierta. Para cada x fijado sea r0 > 0 (dependiente de x) tal que d(k(x, b), b) < r0 (1 − c) < r(1 − c) y denotemos por B 0 a la bola cerrada de centro b y radio r0 . Entonces la restricción a B 0 de la aplicación kx est´ a en las condiciones del caso anterior, luego debe tener un u ńico punto fijo en B 0 . Con esto queda garantizada la existencia de un punto fijo para la aplicaci´ on kx en B, pero no la unicidad. Supongamos que y1 , y2 son dos puntos fijos para la misma aplicaci´ on kx , es decir kx (y1 ) = y1 , kx (y2 ) = y2 . Entonces d(y1 , y2 ) = d(kx (y1 ), kx (y2 )) ≤ cd(y1 , y2 ) y como c < 1, se deduce de lo anterior que y1 = y2 . En otros términos, el resultado anterior dice que con esas hipótesis sobre k, la ecuación k(x, y) = y define (impl´ıcitamente) una función h. Para cada x ∈ X, h(x) es el u ńico punto fijo de la aplicación kx en la bola B. Corolario 13.2 Sea k la aplicación anterior y sea (x0 , y0 ) un punto solución de la ecuación k(x, y) = y (por tanto y0 = h(x0 )). Si suponemos además que k es continua en (x0 , y0 ), entonces la aplicación h también es continua en x0 .

13.4


133

Demostraci´ on. Sea ε > 0. Por la continuidad de k en (x0 , y0 ), podemos encontrar un δ > 0 tal que si d(x, x0 ) < δ entonces d (k(x, h(x0 )), k(x0 , h(x0 ))) < ε(1 − c), luego d(h(x), h(x0 )) = d (k(x, h(x)), k(x0 , h(x0 ))) ≤ d (k(x, h(x)), k(x, h(x0 ))) + d (k(x, h(x0 )), k(x0 , h(x0 ))) ≤ cd(h(x), h(x0 )) + ε(1 − c). De lo anterior se deduce que d(h(x), h(x0 )) < ε.

El problema de las Funciones Impl´ıcitas Antes de enunciar el teorema de existencia de Funciones Impl´ıcitas, conviene precisar bien algunos conceptos que vamos a utilizar con frecuencia y hacer algunas consideraciones sobre el tipo de problemas que vamos a tratar ahora. Definici´ on 13.3 Sean X, Y espacios topológicos, M un subconjunto no vac´ıo de X × Y y (a, b) un punto de M . Diremos que M es, en alg´ un entorno de (a, b), la gráfica de una función de x (de y), si existen entornos abiertos U y V de a y b, respectivamente, y una función h definida sobre U (una función g definida sobre V ) tal que M ∩ (U × V ) = {(x, h(x)) : x ∈ U } (M ∩ (U × V ) = {(g(y), y)) : y ∈ V }) Observemos que en la definición anterior se pide algo más que la existencia de un entorno W de (a, b) tal que M ∩ W sea la gráfica de una función de x (de y)(Ver ejercicio 13C) Proposici´ on 13.4 Sean X, Y espacios topológicos, M un subconjunto no vac´ıo de X × Y y (a, b) un punto de M . Son equivalentes: (a) M es, en alg´ un entorno de (a, b), la gráfica de alguna función de x (de y). (b) Existen entornos abiertos U y V de a y b, respectivamente, tales que para cada x ∈ U (y ∈ V ) existe un u ńico y ∈ V (x ∈ U ) con (x, y) ∈ M . Demostraci´ on. (a)⇒ (b). Supongamos, para concretar, que existen entornos abiertos U y V de a y b, respectivamente, y una función h : U → Y tal que M ∩ (U × V ) = {(x, h(x)) : x ∈ U }. Entonces, si x ∈ U existe un punto

134


13.4

h(x) ∈ V tal que (x, h(x)) ∈ M ; y si para alg´ un y ∈ V se satisface que (x, y) ∈ M entonces (x, y) ∈ M ∩ (U × V ), por lo que de (a) se deduce que y = h(x). (b)⇒ (a). Sean U y V en las condiciones de (b) y definamos la aplicación de U en V , h(x) = u ńico punto y ∈ V tal que (x, y) ∈ M . Es claro entonces que M ∩ (U × V ) = {(x, h(x)) : x ∈ U }. Ejemplos 13.5 1. Sea M el conjunto de puntos del plano que satisfacen la ecuación sen2 (π/2)xy = 1. Es claro que M es la unión de las hipérbolas xy = 2k + 1, k ∈ Z. Para cada x existen pues infinitos y tales que (x, y) ∈ M y también, para cada y infinitos x tales que (x, y) ∈ M . Luego M no puede ser la gráfica de una función de x ni tampoco la gráfica de una función de y. Sin embargo, es fácil ver que localmente s´ı, es decir para cada (x, y) ∈ M , M es, en alg´ un entorno de (x, y), la gráfica de una función de x (y en este caso también de y). 2. Sea ahora M el conjunto de puntos del plano que satisfacen la ecuación (y − x2 )(x2 + y 2 − 1) = 0. Tampoco M es, globalmente, la gráfica de una función de x ni la de una función de y. Pero, en este caso, ni siquiera localmente lo es. Concretamente en esta curva hay tres tipos diferentes de puntos: Para algunos existe un entorno U × V tal que la traza de M con él es la gráfica de una función de x definida sobre U y también la gráfica de una función de y definida sobre V . Para otros, como por ejemplo el (0,1), dicha traza sólo es la gráfica de una función de x o sólo de y, como en el caso del punto (1,0). Por u ´ltimo 2 2 están los dos puntos de corte de la curva y = x con la curva x + y 2 = 1, en ning´ un entorno de ellos M puede ser la gráfica de una función. Un subconjunto M ⊂ Rk se dirá que es una variedad diferenciable de dimensión n < k y clase C r si M es, en un entorno de cada punto z ∈ M , la gráfica de alguna función de n-variables y clase C r . Las variedades diferenciables son objetos matemáticos básicos para la Geometr´ıa Diferencial: una parte importante de esta materia es el C´ alculo Diferencial e Integral sobre Variedades. Seg´ un esta definición es claro que el conjunto M del primero de los ejemplos es una variedad diferenciable de R2 de dimensión 1, mientras que no lo es el del segundo ejemplo. El estudio de las variedades diferenciables se fundamenta en el teorema de las funciones impl´ıcitas. Para establecer dicho teorema, partiremos de una ecuación de la forma f (x, y) = 0, donde f es una función definida sobre un subconjunto A ⊂ Rn × Rp y con valores en Rp . La ecuación consiste en realidad en un sistema de p ecuaciones (tan-

13.6


135

tas ecuaciones como coordenadas yj ). Muchas curvas y superficies clásicas vienen dadas como el lugar geométrico de los puntos que satisfacen un sistema de los anteriores: Una curva plana, mediante una sola ecuación de dos incógnitas. Una superficie, también mediante una sola ecuación pero de tres incógnitas. Una curva en R3 , como intersecci´ on de dos superficies, es decir mediante un sistema de dos ecuaciones y tres inc´ ognitas. Nuestro interés no estará en resolver la ecuación f (x, y) = 0, lo cual puede ser un problema bien dif´ıcil e incluso insoluble de forma exacta, sino en estudiar si el lugar geométrico M de los puntos que satisfacen esta ecuaci´ on, es, en alg´ un entorno de un punto (a, b) de M , la gráfica de una función de x. Cuando esto ocurre, se dirá, también, que en alg´ un entorno de (a, b) la ecuación permite un entorno de (a, b), la ecuación despejar a y como función de x, o que, en alg´ define a y como función impl´ıcita de x. El teorema de existencia de funciones impl´ıcitas establecerá condiciones suficientes para ello. Para enunciarlo necesitaremos a´ un algunas notaciones y resultados previos: Sea f = (f1 , . . . , fp ) una función de A ⊂ Rn × Rp en Rp y (a, b) un punto o

de A. Denotaremos entonces por D1 f (a, b) a la diferencial (si existe) de la función x → f (x, b) en el punto a. De la misma forma se define D2 f (a, b). Es evidente que D1 f (a, b) y D2 f (a, b) son, respectivamente, las aplicaciones lineales dadas por las matrices ¶ µ ¶ µ ∂fi ∂fi (a, b) ; (a, b) . ∂xj ∂ys i,s i,j La proposición siguiente constituye una generalización natural de resultados bien conocidos. o

Proposici´ on 13.6 Sea f : A ⊂ Rn × Rp −→ Rp y (a, b) un punto de A. (a) Una condición suficiente para la existencia de D2 f (a, b) es que existan todas las derivadas parciales ∂fi /∂yj en un entorno del punto (a, b) y sean continuas en (a, b). (b) Si f es derivable en (a, b) entonces tanto D1 f (a, b) como D2 f (a, b) existen y se tiene que Df (a, b)(h, k) = D1 f (a, b)h + D2 f (a, b)k. Demostraci´ on. (a) Es inmediato comprobar que las hipótesis dadas implican que la aplicación y → f (a, y) admite derivadas parciales en un entorno del punto b, que además son continuas en ese punto. Es bien conocido que esto

136


13.6

es suficiente para la diferenciabilidad de esta aplicaci´ on en b o lo que es lo mismo para la existencia de D2 f (a, b). (b) Si f es diferenciable en (a, b) entonces la aplicación x → f (x, b) es diferenciable en a ya que es composición de las aplicaciones x → (x, b) → f (x, b). Además por la regla de la cadena se tiene que D1 f (a, b)h = Df (a, b)(h, 0). Análogamente la D2 f (a, b) también existe, pudiéndose escribir finalmente Df (a, b)(h, k) = Df (a, b)(h, 0) + Df (a, b)(0, k) = D1 f (a, b)h + D2 f (a, b)k.

Existencia de funciones impl´ıcitas o

Teorema 13.7 Sea f : A ⊂ Rn × Rp −→ Rp y (a, b) un punto de A tal que f (a, b) = 0. Supongamos que (i) f es continua en (a, b). (ii) Las derivadas parciales ∂fi /∂yj existen en alg´ un entorno del punto (a, b) y son continuas en (a, b). ¶ µ ∂fi (a, b) 6= 0. (iii) det ∂yj En estas condiciones, existen dos bolas abiertas U y V , centradas en a y b respectivamente, tales que para cada x ∈ U existe un u ńico punto y = h(x) ∈ V verificando la ecuación f (x, y) = 0, i.e., M ∩(U ×V ) = {(x, h(x)) : x ∈ U }. Además la función h es continua en a. Demostraci´ on. 1 [?] Vamos a ponernos en situación de aplicar el lema 13.1. Teniendo en cuenta que la condición (ii) implica la existencia de D2 f (a, b), definamos k(x, y) = y − (D2 f (a, b))−1 (f (x, y)). Es inmediato comprobar entonces que f (x, y) = 0 ⇐⇒ k(x, y) = y. Por otra parte la aplicaci´ on k hereda las propiedades de continuidad y derivabilidad de f . En particular, es continua en (a, b) y admite derivadas 1

La demostraci´ on est´ a sugerida por el método de Newton de obtenci´ on numérica de ra´ıces en una ecuaci´ on

13.7


137

parciales respecto a yj en alg´ un entorno de (a, b) que además son continuas en (a, b). En efecto, si denotamos por T a la aplicación lineal y continua (D2 f (a, b))−1 se tiene k(x, y) = y − (T ◦ f )(x, y). Luego f continua en (a, b) implica k continua en (a, b). Para probar que k admite las mismas derivadas parciales que f , basta tener en cuenta que T , al ser lineal y continua, es diferenciable, siendo su diferencial en cada punto la propia aplicación T . Es fácil ver también que ∂(T ◦ f ) ∂f =T ◦ . ∂yj ∂yj Esta u ´ltima fórmula nos demuestra que las derivadas parciales ∂ki /∂yj son continuas en (a, b). Un sencillo cálculo nos permite afirmar además que ∂ki (a, b) = 0. ∂yj En efecto, la D2 k(a, b) es la derivada en b de la aplicación y −→ k(a, y) = y − (D2 f (a, b))−1 (f (a, y)), que, aplicando la regla de la cadena, resulta igual a IdRp − (D2 f (a, b))−1 ◦ D2 f (a, b) = 0. De lo anterior se deduce que dado 0 < c < 1, existen n´ umeros reales s1 > 0 y r > 0 tales que ¯ ¯ ¯ c ¯ ∂ki ¯ (x, y)¯¯ ≤ , kx − ak < s1 , ky − bk < r ⇒ ¯ ∂yj p lo cual significa que para cada x con kx − ak < s1 , la aplicación kx : y → k(x, y) tiene sus derivadas parciales acotadas en la bola B = B(b, r). Por tanto se trata de una aplicación contractiva, más concretamente, si kx−ak < s1 , ky − bk < r entonces c kk(x, y1 ) − k(x, y2 )k∞ ≤ ky1 − y2 k1 ≤ c ky1 − y2 k∞ . p Por otra parte, de la continuidad de k en (a, b) se deriva que existe un n´ umero real s2 > 0 tal que kx − ak < s2 =⇒ kk(x, b) − bk < r(1 − c). Por tanto la restricción de k a X ×B, donde X = {x : kx−ak < s}, s = min(s1 , s2 ), satisface las condiciones del lema 13.1 y las de su corolario, por lo que el teorema queda demostrado. Los entornos U y V del enunciado son respectivamente las bolas abiertas X y B.

138


13.8

Corolario 13.8 Si en el teorema anterior se sustituye la hipótesis “f continua en (a, b)”por (i)’ f es continua en un entorno de (a, b). Entonces la aplicación h definida impl´ıcitamente por la ecuación f (x, y) = 0 es continua en alg´ un entorno de a. Demostraci´ on. Es consecuencia directa del corolario 13.2.

Ejercicios 13A Dar ejemplos de funciones de clase C ∞ , f , para las que el conjunto M = {(x, y) : f (x, y) = 0} sea respectivamente ∅, finito e infinito numerable. 13B Consideremos las funciones f1 (x, y) = 1 + cos πxy; f2 (x, y) = sen π(x2 + y 2 ); f3 (x, y) = (x2 + y 2 ) cos πxy y sea Mi = {(x, y) : fi (x, y) = 0} (i = 1, 2, 3). (a) Probar que (0, 0) es el u ńico punto de Mi en el que las funciones fi no satisfacen una de las hipótesis del teorema de existencia de funciones impl´ıcitas. (b) Probar que existen entornos abiertos U, V de 0 tales que M1 ∩ (U × V ) es la gráfica de una función de x definida en U y continua en 0. (c) Probar que existen entornos abiertos U, V de 0 tales que M2 ∩ (U × V ) es la gráfica de una función de x definida en U , pero no continua en 0. (d) Probar que no existen entornos abiertos U, V de 0 tales que M3 ∩ (U × V ) sea la gráfica de una función de x definida en U . 13C (a) Sean X, Y espacios topológicos, M un subconjunto no vac´ıo de X × Y y (a, b) un punto de M . Es evidente que cada uno de los enunciados implica el siguiente, probar, sin embargo, que las implicaciones contrarias no se dan: 1. Existen entornos abiertos U y V de a y b y una función h, definida sobre U , tal que M ∩ (U × V ) = {(x, h(x)) : x ∈ U }. 2. Existe un entorno abierto W de (a, b) y una función h, definida sobre un entorno abierto U de a, tal que M ∩ W = {(x, h(x)) : x ∈ U }. 3. Existe un entorno abierto W de (a, b) y una función h, definida sobre un conjunto B ⊂ X, tal que M ∩ W = {(x, h(x)) : x ∈ B}. sugerencia: Para probar que 2 no implica 1, tomar como M el lugar geométrico M3 del ejercicio anterior. (b) Probar que los enunciados 1 y 2 son equivalentes, si en ellos se exige además que h sea continua en a.

13E


139

13D Sea f : G ⊂ Rn × Rp → Rp y supongamos que el conjunto M = {(x, y) : f (x, y) = 0} es, en un entorno de cada uno de sus puntos, la gráfica de alguna función continua de la variable x (es decir, la ecuación f (x, y) = 0 permite despejar localmente a la variable y como función continua de x). (a) Dar alg´ un ejemplo que demuestre que M no es, en general, un conjunto conexo. (b) Si C es la componente conexa de un punto (x0 , y0 ) ∈ M , probar que el conjunto A = prx M es un conjunto abierto y conexo, y que existe a lo sumo una aplicación h continua sobre A tal que h(x0 ) = y0 y que tenga su gráfica contenida en M . (c) La existencia de una aplicación h del tipo anterior está garantizada si f es una función escalar de dos variables reales. (La demostración no es inmediata). No es as´ı para funciones escalares de más variables: (d) Sea la función f (x, y, z) = x sen z−y cos z definida en el abierto U = {(x, y, z) : x 6= 0, y 6= 0}, y sea M = {(x, y, z) ∈ U : f (x, y, z) = 0}. Probar i) M es conexo. ii) M es, en alg´ un entorno de cada uno de sus puntos, la gráfica de alguna función continua de las variables x, y. iii) No existe ninguna función continua h de las variables x, y definida en A = prxy (M ) tal que f (x, y, h(x, y)) = 0, para todo (x, y) ∈ A. (e) Si h es una aplicación de clase C 1 de Rn en s´ı mismo, cuyo jacobiano no se anula en ning´ un punto, entonces la ecuación y − h(x) = 0 sólo permite, en general, despejar localmente a x como función de y (teorema de la función inversa), a pesar de que el conjunto M = {(x, y) : y − h(x) = 0} es conexo. 13E Estudiar si el sistema x2 − y 2 + 2t = 2 z 2 − t2 − xy = −1 permite despejar dos de las variables un entorno √ √ como función de las otras dos en alg´ del punto (x0 , y0 , z0 , t0 ) = ( 6, 0, 3, −2) y en alg´ un entorno del punto (0, 0, 0, 1).

Cap´ıtulo 14

Derivaci´ on de Funciones Impl´ıcitas El teorema de existencia de funciones impl´ıcitas y sobre todo su corolario, muestra cómo las condiciones de continuidad de la aplicación f las hereda ´ıntegramente la función h definida impl´ıcitamente a partir de la ecuaci´ on f (x, y) = 0. Vamos a ver en este cap´ıtulo que igual sucede con la diferenciabilidad.

Lema fundamental o

Lema 14.1 Sea f : A ⊂ Rn × Rp → Rp y (a, b) un punto de A tal que f (a, b) = 0. Supongamos que h es una función continua en a tal que h(a) = b y que verifica f (x, h(x)) = 0 para cada x de alg´ un entorno U de a. Entonces, si (i) f es diferenciable en (a, b), y ¶ µ ∂fi (ii) det (a, b) 6= 0, ∂yj la aplicación h es también diferenciable en a y su diferencial en a se calcula mediante la fórmula: Dh(a) = −D2 f (a, b)−1 ◦ D1 f (a, b).

Demostraci´ on. Vamos a probar en primer lugar que, supuesta h diferenciable en a, su diferencial en a es la de la fórmula. 141

142

Funciones Impl´ıcitas: Derivaci´ on

14.5

Puesto que f (x, h(x)) = 0 para cada x ∈ U , la composición de las aplicaciones x → (x, h(x)) → f (x, h(x)) = 0 es la aplicación idénticamente nula sobre U . Aplicando entonces la regla de la cadena, se tiene que para todo u ∈ Rn 0 = Df (a, b)(u, Dh(a)u) = D1 f (a, b)u + (D2 f (a, b) ◦ Dh(a))u. En esta identidad es fácil despejar Dh(a), no hay más que componer con D2 f (a, b)−1 en la igualdad anterior, obteniéndose la fórmula buscada. Probemos que h es diferenciable en a: Hemos de ver que h(a + u) − h(a) + (D2 f (a, b)−1 ◦ D1 f (a, b))u = 0. u→0 kuk lim

Como hipótesis tenemos que f es diferenciable en el punto (a, b), luego lim

(u,v)→(0,0)

f (a + u, b + v) − f (a, b) − D1 f (a, b)u − D2 f (a, b)v = 0. kuk + kvk

Consideremos en la expresión anterior v = h(a + u) − h(a). Teniendo en cuenta que h es continua en a, es decir (h(a + u) − h(a)) → 0 cuando u → 0) y que f (x, h(x)) = 0, se deduce que D2 f (a, b)(h(a + u) − h(a)) + D1 f (a, b)u = 0, u→0 kuk + kh(a + u) − h(a)k lim

o equivalentemente (componiendo con D2 f (a, b)−1 ) que h(a + u) − h(a) + (D2 f (a, b)−1 ◦ D1 f (a, b))u = 0. u→0 kuk + kvk lim

Observamos entonces que la diferencia entre las expresiones que dan la diferenciabilidad de f en (a, b) y la diferenciabilidad de h en a est´ au ńicamente en el denominador de las mismas. Si escribimos h(a + u) − h(a) + (D2 f (a, b)−1 ◦ D1 f (a, b))u = kuk h(a + u) − h(a) + (D2 f (a, b)−1 ◦ D1 f (a, b))u kuk + kvk · , kuk + kvk kuk

14.2


143

donde v = h(a + u) − h(a), bastará probar para terminar que cuando u → 0, la expresión kuk + kvk kuk está acotada: kvk = kh(a + u) − h(a)k ≤kh(a + u) − h(a) + (D2 f (a, b)−1 ◦ D1 f (a, b))uk + k(D2 f (a, b)−1 ◦ D1 f (a, b))uk ≤ε(kuk + kvk) + kD2 f (a, b)−1 kkD1 f (a, b)kkuk, donde ε es arbitrario y las desigualdades se verifican para u suficientemente peque˜ no, es decir siempre que kuk < δ (que depende de ε). Se deduce que (1 − ε)kvk ≤ (ε + kD2 f (a, b)−1 kkD1 f (a, b)k)kuk. Por lo que tomando por ejemplo ε = 1/2, se tiene ya que kuk + kvk kvk =1+ ≤ 1 + 2kD2 f (a, b)−1 kkD1 f (a, b)k. kuk kuk

Teorema general o

Teorema 14.2 Sea f : A ⊂ Rn × Rp → Rp y (a, b) un punto de A tal que f (a, b) = 0. Supongamos que (i) f es r-veces diferenciable en (a, b) (De clase C r en alg´ un entorno de (a, b)). (ii) Las derivadas parciales ∂fi /∂yj existen en alg´ un entorno del punto (a, b) y son continuas en (a, b). µ ¶ ∂fi (iii) det (a, b) 6= 0. ∂yj En estas condiciones, existen dos bolas abiertas U y V , centradas en a y b respectivamente, tales que para cada x ∈ U existe un u ńico punto y = h(x) ∈ V verificando la ecuación f (x, y) = 0. Además la función h es r-veces diferenciable en a (De clase C r en alg´ un entorno de a).

144


14.2

Demostraci´ on. La diferenciabilidad de la función h en el punto a es consecuencia inmediata del lema 14.1. El resto de la demostración del teorema se basa en el siguiente caso particular del mismo: Si f diferenciable en un entorno del punto (a, b), entonces la función impl´ıcita h determinada por la ecuaci´ on f (x, y) = 0, es también diferenciable en un entorno del punto a, y su diferencial en a se calcula mediante la fórmula Dh(x) = −D2 f (x, h(x))−1 ◦ D1 f (x, h(x)). Para probarlo, consideremos un entorno W del punto (a, b) sobre el que f sea diferenciable. Podemos suponer también que en todo punto (x, y) ∈ W se tiene que det(D2 f (x, y)) 6= 0. En efecto, escribamos la aplicaci´ on (x, y) → det(D2 f (x, y)) como composici´ on de las funciones del diagrama ¶ µ ¶ µ ∂fi ∂fi (x, y) → det (x, y) . (x, y) → ∂yj ∂yj i,j i,j Puesto que, por hipótesis, las derivadas parciales de f respecto a las coordenadas y son continuas en (a, b) y la aplicaci´ on determinante es también continua, la función composición es continua en (a, b). De la hipótesis det( D2 f (a, b)) 6= 0 resulta entonces que, para todo (x, y) en alg´ un entorno de (a, b), det( D2 f (x, y)) 6= 0. Tomando ahora los entornos U y V del teorema de existencia de funciones on h está en las condiciones impl´ıcitas satisfaciendo que U × V ⊂ W , la funci´ del lema 14.1 en cada punto x ∈ U , pues h es continua en x (Corolario 13.8), f diferenciable en (x, h(x)) y det (D2 f (x, h(x)) 6= 0. Se deduce pues que h es diferenciable en cada x de U , siendo Dh(x) = −D2 f (x, h(x))−1 ◦ D1 f (x, h(x)). Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a ver ya que si f es r-veces diferenciable en (a, b), entonces h es asimismo r-veces diferenciable en a. (Una demostración análoga puede hacerse para el caso C r ): Usaremos la siguiente caracterización de funciones r-veces derivable en un punto: Una función ϕ es r-veces diferenciable en un punto a si y sólo si ϕ es diferenciable en alg´ un entorno de a y sus derivadas parciales de primer orden son funciones (r-1)-veces diferenciables en a. Supongamos que f es r-veces diferenciable en el punto (a, b) y probemos por inducción que la aplicación h, que nos proporciona el teorema de existencia de funciones impl´ıcitas, es r-veces diferenciable en a. Para r = 1, el

14B


145

resultado ya sabemos que es cierto. Supongamos r > 1 y que por hipótesis de inducción la aplicación h es (r-1)-veces diferenciable en a. La aplicación f es diferenciable en alg´ un entorno del punto (a, b) y cada una de sus derivadas parciales es (r-1)-veces diferenciable en (a, b). Entonces h debe ser diferenciable en alg´ un entorno de a, pudiéndose calcular su diferencial por la fórmula Dh(x) = −D2 f (x, h(x))−1 ◦ D1 f (x, h(x)), lo que implica que ∂hi 1 (x) = · gik (x, h(x)), ∂xk det D2 f (x, h(x)) donde las funciones gik son sumas de productos de derivadas parciales de primer orden de la función f . Lo mismo cabe decir para la función det D2 f (x, h(x)), de la que además sabemos que es distinta de cero en alg´ un entorno de a. Por tanto para probar que las derivadas parciales de primer orden de la aplicación h son (r-1)-veces diferenciable en a, bastará comprobar que eso mismo les pasa a las aplicaciones x → ∂fs (x, h(x)). Pero cada una de estas aplicaciones es a su vez la composición de las aplicaciones x → (x, h(x)) y ∂fs , que son (r-1)-veces diferenciable en a por hipótesis.

Ejercicios 14A Sean x, y, z, t cuatro variables ligadas entre s´ı por las ecuaciones x3 + y 3 + z 3 + t3 = 0 x2 + y 2 + z 2 + t2 = 1 Comprobar que la expresión ∂x/∂y puede tener másp de un significado, p p y calcular p todos sus posibles valores para (x0 , y0 , z0 , t0 ) = (− 3/8, − 1/8, 3/8, 1/8). ¿Qué ocurre para (x0 , y0 , z0 , t0 ) = (1/2, −1/2, 1/2, −1/2)? 14B Considerar las funciones √ f1 (x, y) = y − x2 3 y;

p f2 (x, y) = y − x 3 y 3 + x.

Probar que las dos son diferenciables en (0, 0), sus derivadas respecto a y en (0,0) son distintas de 0, pero no son continuas en (0,0). Comprobar que f1 (x, h(x)) = 0 para más de una función h diferenciable en 0. En cambio sólo existe una función h verificando f2 (x, h(x)) = 0.

Cap´ıtulo 15

Funciones Inversas En este cap´ıtulo estudiaremos condiciones para la derivaci´ on de la inversa de una función de varias variables y, en particular, extenderemos a estas funciones la fórmula (g −1 )0 (g(a)) = 1/g 0 (a). Sin embargo, el principal resultado de este cap´ıtulo es el teorema conocido como Teorema de la Función Inversa. Lo obtendremos a partir del teorema de las funciones impl´ıcitas y constituirá el otro pilar básico de la Geometr´ıa Diferencial. Formalmente este teorema consiste en una condici´ on suficiente para que una función de varias variables, g, admita localmente una función inversa con las mismas propiedades de diferenciabilidad que g.

Derivada de funciones inversas El u ńico resultado de esta sección tiene por objeto establecer condiciones para que la inversa de una función biyectiva y diferenciable sea también diferenciable. Si no se ha incluido en el cap´ıtulo dedicado a las reglas de derivación, es porque todo el estudio sobre funciones inversas está estrechamente ligado al de las funciones impl´ıcitas. Teorema 15.1 Sea g : A ⊂ Rn → Rn una aplicación inyectiva y difereno

ciable en un punto a ∈ A. Entonces la aplicación g −1 es diferenciable en el punto b = g(a) si y sólo si o

(a) b ∈ g(A) y g −1 es continua en b. ¶ µ ∂gi (a) 6= 0. (b) det ∂xj En tal caso se tiene que Dg −1 (b) = (Dg(a))−1 . 147

148

Funciones Inversas

15.1

Demostraci´ on. Veamos que las condiciones son necesarias. Si g −1 es diferenciable en b, entonces esta aplicación (que debe estar definida en alg´ un entorno de b) es continua en b. Por otro lado, aplicando la regla de la cadena resulta que Dg(a) ◦ Dg −1 (b) = idRn , de lo que se deduce que Dg(a) es una aplicación lineal inversible (es decir se verifica (b)), siendo adem´ as Dg −1 (b) = (Dg(a))−1 . Que las condiciones anteriores también son suficientes resulta del lema 14.1, aplicado a las funciones f (x, y) = g(x) − y; h = g −1 , cambiando en él los papeles de las coordenadas y y las coordenadas x.

Inversi´ on local o

Teorema 15.2 (Lema fundamental) Sea g : A ⊂ Rn → Rn , a ∈ A y supongamos que (a) g admite derivadas parciales en alg´ un entorno del punto a, continuas en a. ¶ µ ∂gi (a) 6= 0. (b) det ∂xj Entonces existen U y V , entornos abiertos de a y b = g(a) respectivamente, tales que la restricción de g a U es una biyecci´ on de U sobre V , cuya inversa es diferenciable en b. Demostraci´ on. Observemos en primer lugar que de (a) se deriva que g es una un entorno de a (ver Nota). aplicación diferenciable en a y continua en alg´ Teniendo en cuenta esto, es f´ acil ver que la función f (x, y) = g(x)−y satisface la condiciones para poder aplicar el teorema de las Funciones Impl´ıcitas en el punto (a, b) respecto de las coordenadas x, es decir siendo x el bloque de coordenadas a despejar. Concretamente, f (a, b) = 0, f es una función derivable en (a, b) y continua en alg´ un entorno de (a, b), admite derivadas parciales continuas en (a, b) y det(∂fi /∂xj )(a, b) =

∂gi (a) 6= 0. ∂xj

Existen, por tanto, dos entornos U1 y V , de a y b respectivamente (si se quiere, bolas abiertas), tales que ∀y ∈ V, ∃(´ unico) x ∈ U1 tal que y = g(x).

15.4

Funciones Inversas

149

Con otras palabras, cada punto y de V tiene una u ńica antimagen x en U1 . Luego la aplicación que nos proporciona el teorema de las F. Impl´ıcitas es la aplicación g −1 : V → U1 y → x = g −1 (y) ∩ U1 que, seg´ un dicho teorema, es diferenciable en b. (Más precisamente habr´ıa que decir que la aplicación anterior es una sección o inversa local sobre V de la aplicación g). Tomando el entorno de a, U = g −1 (V ) ∩ U1 , es evidente que g establece una biyección entre U y V . Observar que U se puede tomar abierto, ya que g la podemos suponer continua sobre U1 . Para establecer el teorema de las Funciones Inversas en su formulaci´ on clásica necesitaremos dar la siguiente definición: Definici´ on 15.3 (i) Sean U, V dos abiertos de Rn . Una aplicación g : U → V es un difeomorfismo de clase C r si es biyectiva y tanto g como g −1 son diferenciables de clase C r . Es habitual también denominar a una aplicación de este tipo un cambio de coordenadas. (ii) Una aplicación g : U ⊂ Rn → Rn es un difeomorfismo local de clase C r , si para cada x de U existe alg´ un entorno abierto Ux ⊂ U tal que r g es un difeomorfismo de clase C entre Ux y g(Ux ). De la definición anterior se sigue que si g : U ⊂ Rn → Rn es un difeomorfismo local entonces g es localmente inyectiva. Además g es una aplicación abierta: sea W un abierto contenido en U y veamos que para cada x ∈ W g(W ) es entorno de g(x). Por hipótesis sabemos que existe un entorno abierto Ux tal que la aplicación g : Ux → g(Ux ) es un difeomorfismo. En particular g(Ux ) es un conjunto abierto de Rn y g un homeomorfismo entre Ux y g(Ux ). Se tiene entonces que g(Ux ∩ W ) es un entorno abierto de g(x) contenido en g(W ) Teorema 15.4 (Teorema de la funci´ on inversa) Sea Ω un abierto de Rn y g : Ω → Rn una aplicación de clase C r sobre Ω. µ ¶ ∂gi (a) Si det (a) 6= 0, entonces existe un entorno abierto de a, U , tal ∂xj que: la restricción de g a U es inyectiva, g(U ) es abierto y g : U → g(U ) es un difeomorfismo de clase C r .

150

Funciones Inversas

15.4

(b) Una condición necesaria y suficiente para que g sea un difeomorfismo local de clase C r sobre Ω es que para cada x ∈ Ω µ ¶ ∂gi (x) 6= 0. det ∂xj Demostraci´ on. (a) Seg´ un el lema anterior existen entornos abiertos U y V de a y b = g(a) respectivamente tales que g : U → V es una biyección. Para probar que g es un difeomorfismo de U sobre V , sólo hay que tener en cuenta que la aplicaci´ on g −1 : V → U es la que proporciona el teorema de las Funciones Impl´ıcitas para la función f (x, y) = g(x) − y, y que por lo tanto hereda las propiedades de f , en particular debe ser de clase C r . (b) Es evidente, después del apartado (a), que esta condición es suficiente para que g sea un difeomorfismo local. Rec´ıprocamente, si para x ∈ Ω existe un entorno abierto Ux tal que g : Ux → g(Ux ) es un difeomorfismo, entonces la inversa de esta aplicación es en g(x). Pero esto implica, µ diferenciable ¶ ∂gi seg´ un el teorema 15.1, que det (x) 6= 0. ∂xj Corolario 15.5 Sea g : Ω ⊂ Rn → Rn una aplicación de clase C r sobre Ω. Entonces g es un difeomorfismo de Ω sobre g(Ω) si y sólo si satisface las dos condiciones siguientes: (a) g es inyectiva. (b) Para cada x ∈ Ω, det

µ

¶ ∂gi (x) 6= 0. ∂xj

Demostraci´ on. Que las dos condiciones anteriores son suficientes se derivan inmediatamente del teorema anterior. Que también son necesarias resulta −1 de que, seg´ un el teorema 15.1, ¶ para que g sea derivable en el punto g(x) µ ∂gi (x) 6= 0. es necesario que det ∂xj

Ejercicios 15A (T. aplicaci´ on inyectiva) Sea g : U ⊂ Rn → Rp una aplicación de clase C 1 sobre el abierto U y supongamos que para todo punto x ∈ U , Dg(x) es inyectiva. Probar entonces que g es una aplicación localmente inyectiva. on suprayectiva) Sea g : U ⊂ Rn → Rp una aplicación de 15B (T. aplicaci´ 1 clase C sobre el abierto U y supongamos que para todo punto x ∈ U , Dg(x) es suprayectiva. Probar entonces que g es una aplicación abierta.

15I

Funciones Inversas

151

15C Probar que no puede existir una aplicación de clase C 1 e inyectiva de un abierto de R2 en R. 15D Sea g : R → R2 una aplicación de clase C 1 . Probar que si x ∈ R existe alg´ un entorno de x cuya imagen por g no es entorno de g(x). 15E Sea g la transformación de coordenadas dada por las ecuaciones u = x2 − y;

v = xy

y consideremos el abierto U = {(x, y) : det Dg(x, y) 6= 0}. (a) Estudiar si g es un difeomorfismo local o global sobre U . (b) ¿Es g localmente inyectiva sobre R2 ? (c) Probar que la transformación anterior define un cambio de coordenadas (difeomorfismo global) sobre el abierto V = {(x, y) : x2 − y < 0} y utilizase en la ecuación funcional · ¸ ∂ ∂f f (x, y) + x (x, y) = xy. ∂y ∂x 15F Estudiar si la aplicación g(x, y, z) = (x2 − y − z, 2x + y + z, x + y − z) es un difeomorfismo del abierto V = {(x, y, z) : x > −1} sobre g(V ). 15G Sea g : (a, b) ⊂ R → R una aplicación derivable en (a, b) con g 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b). Probar que g admite función inversa diferenciable en cada punto del abierto g(a, b). 15H Si f es una función de 2 variables y clase C 2 , transformar la expresión x2

∂2f ∂2f ∂f ∂f + y2 2 + x +y 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

mediante el cambio x = eu ; y = ev . 15I (a) Transformar la ecuación diferencial y 0 = f (x, y) mediante el cambio de variables x = x(u, v); y = y(u, v). (b) Utilizar coordenadas polares para plantear y resolver el siguiente problema: Obtener el perfil que debe tener unas tijeras para que corten en ángulo recto.

Cap´ıtulo 16

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los cap´ıtulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Impl´ıcitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación al estudio de las Variedades Diferenciables. Nosotros utilizaremos este estudio para tratar, con el rigor necesario, un tipo de problema que aparece con frecuencia en la práctica, el de los extremos condicionados, y con el que daremos por terminado el Cálculo Diferencial en varias variables.

Variedades on 16.1 (Definici´ on expl´ıcita) Sea M un subconjunto no vac´ıo Definici´ k de R . Se dirá que M es una variedad diferenciable de dimensión 1 ≤ n < k y clase C r si M es, en alg´ un entorno de cada punto c ∈ M , la gráfica de alguna función h de n variables y clase C r . La primera observación que es necesario hacer es que la funci´ on h, debido al carácter local de la misma, puede cambiar de un punto a otro, y asimismo las n coordenadas de las que depende. Por tanto si M es variedad, de acuerdo con la definición, para el punto c ∈ M se podrán distribuir las k coordenadas de los puntos z de Rk en dos bloques x, y de n y p = k − n coordenadas, de forma que si c = (a, b), existen U y V entornos abiertos de a y b y una función h de clase C r sobre U verificando que M ∩ (U × V ) = {(x, h(x)) : x ∈ U }. (Es obvio que el bloque de coordenadas x no es necesariamente el de las n primeras coordenadas de los puntos z ∈ Rk , aunque, por comodidad, escribamos z = (x, y)) 153

154

Variedades y Extremos Condicionados

16.2

Teorema 16.2 (Definici´ on impl´ıcita) El conjunto no vac´ıo M ⊂ Rk es una variedad diferenciable de dimensión 1 ≤ n < k y clase C r si y sólo si para cada c ∈ M existe un entorno abierto W de c y una función f : W ⊂ Rk → Rk−n de clase C r tal que 1. Rango(Df (c)) = k − n. 2. M ∩ W = {z ∈ W : f (z) = 0}. Demostraci´ on. Supongamos que M es un variedad diferenciable de dimensión n y sea c un punto de M . Escribamos como antes c = (a, b) y sean U y V entornos abiertos de a y b tales que M ∩ (U × V ) = {(x, h(x)) : x ∈ U } para alguna función h de las n-variables x y de clase C r en U . Entonces, la función f , definida sobre el entorno de c, W = U × V , f (x, y) = h(x) − y, verifica lo que se quiere, pues claramente un punto (x, y) ∈ W pertenece a M si y sólo si f (x, y) = 0. Además, la matriz jacobiana de Df (c) es la siguiente 

 ∂f1 ∂f1  ∂x1 (c) · · · ∂xn (c) 1 0 · · · 0    ∂f  ∂f 2 2  (c) · · · (c) 0 1 · · · 0  , ∂xn  ∂x1   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    ∂fp  ∂fp (c) · · · (c) 0 0 · · · 1 ∂x1 ∂xn que tiene un menor de orden p = k − n, luego rg(Df (c)) = p. Rec´ıprocamente, si M satisface la condición del teorema en c ∈ M , denotemos por y = (y1 , . . . , yp ) a uno de los grupos de coordenadas tal que el menor de Df (c) correspondiente a las derivaciones respecto a yj es diferente de 0, y por x = (x1 , . . . , xn ) al grupo formado con el resto de las coordenadas. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el bloque x un esto, los puntos de M que están es el de las n primeras coordenadas. Seg´ en el entorno W son los que verifican la ecuación f (x, y) = 0. Además, de la hipótesis se deduce que f satisface las condiciones del teorema de existencia de Funciones Impl´ıcitas en c = (a, b). Luego, existen entornos abiertos U y V de a y b, respectivamente, con U × V ⊂ W y una función h de clase C r de U en V , cuya gráfica es M ∩ (U × V ).

16.4


155

Variedad tangente En el cap´ıtulo 6 se definió el concepto de vector tangente en un punto c de un conjunto M ⊂ Rk . Geométricamente, un vector tangente a M en c no era más que un vector tangente a alguna curva trazada sobre M pasando por c (ver ejercicio 6A para una definición más general de vector tangente). Se vio entonces que, en el caso particular de que M sea la gráfica de una función h de n variables reales y diferenciable en un punto a, el conjunto Tc (M ) de vectores tangentes a M en el punto c = (a, h(a)) es un espacio vectorial de dimensión n, cuya expresión es Tc (M ) = {(u, Dh(a)u) : u ∈ Rn }. Proposici´ on 16.3 Si M es una variedad diferenciable de Rk de dimensión 1 ≤ n < k y clase C r y c ∈ M , entonces el conjunto Tc (M ) es un subespacio vectorial de Rk de dimensión n Demostraci´ on. Puesto que, localmente, M es la gráfica de una función de n variables y clase C r , basta tener en cuenta lo comentado en el párrafo anterior. A Tc (M ) se le llamará el espacio vectorial tangente a la variedad M en c y al trasladado a c de este subespacio, i.e., c + Tc (M ) se le llamará pues la variedad tangente a M en c. Un punto z de Rk pertenecerá a la variedad tangente a M en c si (z − c) ∈ Tc (M ). Vamos a caracterizar ahora el espacio vectorial tangente a un variedad en un punto a partir de la definici´ on impl´ıcita. Suponemos, pues, que M es una variedad de Rk determinada, en un entorno W del punto c ∈ M , como el lugar geométrico de los puntos de W que satisfacen la ecuaci´ on f (z1 , z2 , . . . , zk ) = 0, donde f = (f1 , f2 , . . . , fp ) es una función de clase C r tal que rg(Df (c)) 6= 0. (Abreviadamente, nos referiremos a lo anterior diciendo que M está determinada en un entorno de c por la función f = (f1 , . . . , fp )). Se tiene entonces Proposici´ on 16.4 Si M es la variedad determinada en un entorno del punto c ∈ M por la función f = (f1 , . . . , fp ), entonces Tc (M ) = ker Df (c) = ∩ ker Dfi (c).

Demostraci´ on. Sea v ∈ Tc (M ). Entonces v es el vector velocidad en c de alguna curva γ contenida en M y que pasa por c. Es decir γ(t) ∈ M y

156


16.4

para alg´ un t0 , γ(t0 ) = c y γ 0 (t0 ) = v. Puesto que M está determinada en un entorno de c por f y γ esta contenida en M , se deduce que, para t suficientemente próximo a t0 , f (γ(t)) = 0. Luego derivando en t0 , se obtiene que Df (γ(t0 ))γ 0 (t0 ) = 0, o sea Df (c)v = 0, T que nos dice que v ∈ ker Df (c) = pi=1 ker Dfi (c). Para demostrar que Tc (M ) ⊃ ker Df (c) basta tener en cuenta que ambos subespacios tienen la misma dimensión. En efecto, como por hip´ otesis, el rango de la aplicación lineal Df (c) es igual a p, su n´ ucleo debe ser un subespacio de dimensión igual a n = k − p.

Multiplicadores de Lagrange Vamos a desarrollar en esta secci´ on una técnica clásica, basada en el uso de Multiplicadores, para la obtención de condiciones de extremo sobre una variedad. Dichas condiciones no diferirán formalmente de las ya vimos para extremos relativos. o

Definici´ on 16.5 Sea ϕ : A ⊂ Rk → R una función escalar, c ∈ A y M una variedad diferenciable que contiene a c. Se dirá que ϕ presenta un extremo sobre M (o condicionado) en el punto c, si existe un entorno W de c tal que ϕ(z) − ϕ(c) no cambia de signo cuando z ∈ W ∩ M . Proposici´ on 16.6 En la situación anterior, una condición necesaria para que la función ϕ presente un extremo en c sobre la variedad M es que Dϕ(c)v = 0, para todo v ∈ Tc (M ). Se dice en ese caso que c es un punto cr´ıtico de ϕ sobre la variedad M . Demostraci´ on. Sea v ∈ Tc (M ) y γ una curva contenida en M que pase por c y tenga a v por vector tangente en c. Es decir, γ(t0 ) = c, y γ 0 (t0 ) = v en alg´ un punto t0 . Entonces la función de la variable t, ϕ ◦ γ, presenta un extremo relativo en el punto t0 , luego D(ϕ ◦ γ)(t0 ) = 0. Se tiene pues 0 = D(ϕ ◦ γ)(t0 )1 = Dϕ(γ(t0 ))γ 0 (t0 ) = Dϕ(c)v.

16.8


157

Corolario 16.7 (Multiplicadores de Lagrange) Sean M y ϕ en las condiciones de la definición 16.5 y supongamos que M está determinada, en un entorno del punto c ∈ M , por las funciones f1 , f2 , . . . , fp . Entonces, una condición necesaria para que la aplicación ϕ presente un extremo sobre la variedad M en el punto c, es que existan p n´ umeros reales λ1 , . . . , λp tales que c sea un punto cr´ıtico de la función F = ϕ + λ1 f1 + . . . + λp fp . Demostraci´ on. Por la proposición anterior, si ϕ presenta un extremo condicionado en c entonces Dϕ(c)v = 0 para todo v ∈ Tc (M ) = ∩ ker Dfi (c). Luego ker Dϕ(c) ⊃ ∩ ker Dfi (c), y esto implica ya lo que quer´ıamos, en virtud del lema algebraico siguiente Lema 16.8 Si g1 , g2 , . . . , gp son formas lineales independientes de Rk y g es otra forma lineal tal que ker g ⊃ ∩pi=1 ker gi , entonces existen p n´ umeros reales λ1 , . . . , λp tales que X g+ λi gi = 0.

on. Completemos la familia de formas lineales g1 , g2 , . . . , gp hasta Demostraci´ obtener una base B = {g1 , . . . , gp , gp+1 , . . . , gk }. Entonces g=

k X

µi gi .

i=1

Sea {e1 , . . . , ek } la base dual de B, es decir gi (ej ) = δij . Es evidente entonces que si i ≤ p < j, p \ ej ∈ ker gi ⊂ ker g, i=1

luego 0 = g(ej ) =

k X

µi gi (ej ) = µj gj (ej ) = µj ,

i=1

P lo que implica que g = pi=1 µi gi . Tomando λi = −µi resulta lo que quer´ıamos. También se pueden conseguir condiciones de segundo orden, es decir expresadas en términos de las derivadas de orden 2, para la existencia de extremo condicionado en un punto de una variedad:

158


16.9

Proposici´ on 16.9 Con las notaciones del corolario 16.7, supongamos que existen n´ uP meros reales λ1 , . . . , λp tales que c es un punto cr´ıtico de la función F = ϕ + λi fi , es decir DF (c) = 0, pero que D2 F (c) 6= 0. Entonces una condición necesaria (suficiente) para que la función ϕ presente un m´ınimo sobre M en c es que la forma cuadrática D2 F (c) sea positiva (definida positiva) sobre Tc (M ), el espacio tangente a M en c. Análogas condiciones para máximo. on. Supongamos que en el entorno W de c Demostraci´ M ∩ W = {z ∈ W : fi (z) = 0} = {(x, h(x)) : x ∈ U },

c = (a, h(a)),

donde, seg´ un vimos, h es la función definida impl´ıcitamente por el sistema fi (z) = 0. Consideremos la funci´ on definida en el abierto U de Rn por Φ(x) = ϕ(x, h(x)). Es claro entonces que ϕ presenta un extremo sobre M en c si y sólo si la función Φ presenta un extremo relativo a. Vamos a probar entonces que las condiciones del enunciado son condiciones de extremo relativo para Φ en a. Para ello sólo necesitamos obtener DΦ(a) y D2 Φ(a) en términos de las derivadas de la función F : Observemos en primer lugar que, puesto que fi (x, h(x)) = 0, Φ(x) = F (x, h(x). Entonces, aplicando la regla de la cadena, resulta DΦ(a)u = DF (a, h(a))(u, Dh(a)u). Por lo tanto la condici´ on DF (c) = 0 implica DΦ(a) = 0. Aplicando ahora la regla de la cadena para derivadas de orden 2 (ver acilmente, teniendo presente que c es un punto Ejercicio 10I) se deduce f´ cr´ıtico de la función F , que D2 Φ(a)u2 = D2 F (c)(u, Dh(a)u)2 . De esta igualdad se deduce ya que D2 Φ(a) es positiva o definida positiva seg´ un que lo sea D2 F (c) sobre los vectores de la forma (u, Dh(a)), que son justamente los del espacio vectorial tangente a M en c.

Anexo: Distintas presentaciones de una variedad Para las subvariedades de Rk es habitual considerar otras definiciones, además de las ya establecidas, la definición paramétrica y la definición difeomórfica [2]:

16.11


159

Teorema 16.10 (Definici´ on param´ etrica) Un subconjunto M ⊂ Rk es una variedad diferenciable de dimensión n y clase C r si y sólo si para cada c ∈ M existe un entorno abierto W y una aplicación j : O → Rk (O, abierto de Rn ), tal que 1. j es un homeomorfismo entre O y W ∩ M . 2. j es de clase C r y rg(Dj(u)) = n, para todo u ∈ O. Se dice entonces que (O, j) es una parametrización de W ∩ M . Demostraci´ on. Supongamos que M es una variedad diferenciable y sea, entonces, W un entorno abierto de c ∈ M tal que W ∩ M = {(x, h(x)) : x ∈ U }. Puesto que h es continua, es claro que la aplicación j definida sobre U por j(x) = (x, h(x)), es un homeomorfismo entre U y W ∩ M (W ∩ M es la gráfica de h). Por otra parte, es evidentemente que rg(Dj(x)) = n, para todo x ∈ U . Luego si tomamos O = U, (O, j) es una parametrizaci´ on de W ∩ M. Rec´ıprocamente, supongamos que (O, j) es una parametrización de W ∩ M . Sean j1 , . . . , jn n funciones coordenadas de j tales que Dj1 (c), . . . , Djn (c) sean formas lineales independientes (tales funciones existen ya que el rango de Dj(u) es n para todo u ∈ O, y en particular en u0 = j −1 (c)). Sean x1 = j1 (u); x2 = j2 (u); . . . xn = jn (u). Por el teorema de la Funci´ on Inversa, la aplicación g = (j1 , . . . , jn ) es un difeomorfismo entre un entorno abierto O1 de u0 y un entorno abierto U de a = g(u0 ). Escribiendo u = g −1 (x), se tiene que 1. existe un entorno abierto W1 de c tal que j(O1 ) = W1 ∩ M (tengamos en cuenta que j es un homeomorfismo entre O y W ∩ M ). 2. W1 ∩ M = {(g(u), jn+1 (u), . . . , jk (u)) : u ∈ O1 } = {(x, jn+1 (g −1 (x)), . . . , jk (g −1 (x))) : x ∈ U }. Se deduce pues que W1 ∩ M = {(x, h(x)) : x ∈ U }, siendo h = (jn+1 ◦ g −1 , . . . , jk ◦ g −1 ). Teorema 16.11 (Definici´ on difeom´ orfica) Un subconjunto M ⊂ Rk es una variedad diferenciable de dimensión n y clase C r si y sólo si para cada c ∈ M existe un entorno abierto W y un difeomorfismo de clase C r , ϕ : W → ϕ(W ), tal que ϕ(W ∩ M ) = ϕ(W ) ∩ F , siendo F un subespacio vectorial de Rk de dimensión n.

160


16.11

Demostraci´ on. Supongamos que M satisface las condiciones de la definición difeomórfica y sea c ∈ M . Se puede suponer que el subespacio F es justamente Rn × {0} × . . . × {0}. En efecto, bastar´ıa considerar un isomorfismo vectorial T de Rk que llevase F en este otro subespacio y tomar el difeomorfismo T ◦ ϕ. Llamando entonces fi = ϕn+i , se tiene que M ∩ W = {z ∈ W : fi (z) = 0}. Además las formas lineales Dfi (z) independientes en cada punto de W , ya que ϕ es un difeomorfismo. Luego M es una variedad determinada impl´ıcitamente en un entorno de c por las funciones f1 , . . . , fp . Rec´ıprocamente, supongamos que M está determinada impl´ıcitamente en un entorno abierto W de c por las funciones f1 , . . . , fp . Escribamos z = (x, y), siendo y uno de los bloques de p coordenadas verificando que det(∂fi /∂yj (c)) 6= 0, y consideremos la función ϕ : z = (x, y) −→ (x, f1 (z), . . . , fp (z)). Esta función es de clase C r y es fácil ver que su matriz jacobiana tiene determinante no nulo en c. Del Teorema de la Funci´ on Inversa se deduce un entorno abierto de c, W0 ⊂ W . que ϕ es un difeomorfismo sobre alg´ Puesto que M ∩ W = {z ∈ W : fi (z) = 0}, se tiene que ϕ(M ∩ W0 ) = ϕ(W0 ) ∩ Rn × {0} × {0}.

Ejercicios 16A Estudiar si el conjunto M de los puntos que satisfacen las ecuaciones siguientes son variedades diferenciables y en tal caso de qué dimensión. 1.

x2 + y 2 + z 2 + xy + yz − xz = 0

2. x2 + y 2 + z 2 + xy + yz − xz = 1

16B Hallar la distancia (a) entre la recta x + y = 1 y la hipérbola xy = 2. (b) entre las curvas ( x2 − xy + y 2 − z 2 y z x = = ; 1 2 4 x2 + y 2

=1 =1

16C Hallar la distancia al origen de la curva intersección de las superficies xyz = a;

y = bx,

a > 0, b > 0.

16J


161

16D Estudiar los extremos de la funciones 1. 2. 3. 4.

f (x, y) = (x − y)n sujetos a la condición x2 + y 2 = 1. f (x, y) = x + y sobre la variedad x2 − y 2 + xy = 1. f (x1 , . . . , xn ) = (x1 · · · xn )2 con la condición x21 + · · · + x2n = 1. f (x, y) = cos2 x + cos2 y con x + y = π/4.

16E Sea M el conjunto de puntos de R3 que satisfacen el sistema ( x2 + y 2 − z = 1 x − y + z2 = 1 (a) Probar que M es una variedad diferenciable. (b) Hallar la ecuación de la recta tangente a M en (1, 0, 0). (c) Estudiar si la función g(x, y, z) = xyz − x − y + z presenta un extremo sobre M en el punto (1, 0, 0). 16F (a) Obtener el paralelep´ıpedo recto de menor área entre los que tienen igual volumen. (b) Obtener el paralelep´ıpedo de mayor volumen entre los que tienen igual área. 3 16G Calcular la norma del p funcional lineal de R , T (x, y, z) = 2x − y + z respecto 2 2 2 de la norma k(x, y, z)k = x + y + z .

16H Probar que las relaciones x = 2u − v y =u+v z = u.v definen (paramétricamente) una variedad diferenciable de R3 de dimensión 2. 16I Sea f (x, y, z) = xy − z 2 . Probar que f es lipschitziana sobre el conjunto M = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1} y hallar su menor constante de Lipschitz respecto a la norma eucl´ıdea. 16J Sea M = {(x, y, z) 6= (0, 0, 0) : x3 + y 3 + z 3 = 2(x + y + z)2 }. (a) Probar que M es una variedad diferenciable. (b) Determinar los posibles puntos de M en los que el plano x + y = 0 sea tangente a M. (c) Determinar la recta tangente a la curva intersección de M con el plano x+y = 0 en el punto (1, −1, 2).

162


16K

16K Sea K = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y 2 ; z ≤ x + 1}. Probar que K es un compacto y hallar el máximo y el m´ınimo absoluto de la función ϕ(x, y, z) = y 2 − 2x + z sobre K. 16L Calcular el máximo y el m´ınimo absoluto de la función ϕ(x, y, z) = x + y − z sobre el compacto K = {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 1, x2 + y 2 + z 2 ≤ 4}. 16M Estudiar si la función ϕ(x, y, z) = 1/2x + y presenta un extremo relativo sobre la variedad 1 M = {(x, y, z) : x3 + y 3 − xz + yz = √ }. 2

16N Sea M el lugar geométrico de los puntos de R3 que satisfacen el sistema xy + z = 1;

x2 + y 2 − z 2 = 2.

Probar que M es una variedad y estudiar si la función ϕ(x, y, z) = z presenta alg´ un extremo sobre M . 16O Calcular la distancia al eje Y de la curva M de R3 dada por las ecuaciones y − xz = 1;

x + y + z = 4.

Parte III

Medida e Integraci´ on en Rn

Cap´ıtulo 17

La Medida Exterior de Lebesgue en Rn El cálculo de longitudes, áreas y vol´ umenes es uno de los asuntos matemáticos con más larga tradición histórica, habiéndose desarrollados a este fin abundantes técnicas a lo largo de los siglos. Sin embargo, no es hasta bien aticos ven la necesidad de dar una entrado el siglo XIX, cuando los matem´ definición rigurosa de los conceptos de longitud, área y volumen. Este ser´ a el problema que nosotros abordaremos en esta lección y en algunas de las sucesivas. En este curso no estamos interesados en definir la longitud de una curva, ni el área de una superficie no plana, por lo que s´ olo trataremos el problema n de “intentar” asignar a cada subconjunto de R un n´ umero real mayor o igual que cero (+∞), su n-medida, y que será su longitud, área o volumen, seg´ un que n sea 1, 2 o 3. En el caso n = 1, no hay ninguna duda sobre cuál ha de ser la medida (longitud) de, por ejemplo, un segmento o una unión finita de segmentos. Elegida una unidad de longitud, un segmento se representa en R por un intervalo [a, b], luego es l´ ogico tomar como longitud de este segmento al n´ umero b − a. En cambio no parece claro cuál deba ser la longitud de otros subconjuntos de n´ umeros reales, como por ejemplo el conjunto Q de los racionales. Para medir áreas es natural comenzar con figuras geométricamente sencillas, y obtener, a partir de éstas, el área de otras más complicadas. As´ı, definiremos en primer lugar el área de un rectángulo. Si C es un rectángulo de lados a y b, su área será a·b. Para extender esta medida a otras figuras planas, parece natural respetar el criterio de que si una figura plana se descompone en una cantidad finita (incluso numerable) de rectángulos 165

166

Medida Exterior

17.11

disjuntos dos a dos, su área sea la suma de las áreas de estos rect´ angulos. Precisamente, la propiedad de que la medida del “todo”sea igual a la suma de las medidas de las “partes”, es lo que se tomará como definici´ on de medida abstracta. Análogas consideraciones cabe hacer sobre el concepto de volumen de un cuerpo en el espacio. Definici´ on 17.1 Sea X un conjunto y F una familia de subconjuntos de X. Una aplicación µ : F ⊂ P(X) → [0, ∞] se dirá que es una medida finitamente aditiva , si para cada colección finita (Ai ) de conjuntos disjuntos dos a dos de F tales que ∪ Ai ∈ F, se tiene que µ(∪ Ai ) =

X

µ(Ai ).

µ se dirá que es una medida (o también medida numerablemente aditiva o σ-aditiva) si para cada colección numerable (Ai ) de conjuntos disjuntos dos a dos de F tales que ∪ Ai ∈ F, se tiene que µ(∪ Ai ) =

X

µ(Ai ).

(Supondremos que α < +∞, α + ∞ = ∞, para cada α ∈ R). Esta definición, siendo tan general, permite la construcción de numerosas medidas: 1. µ(A) = 0 para todo A ⊂ X. 2. µ(A) = ∞ para todo A ⊂ X. ( p , si A tiene p elementos 3. µ(A) = ∞ , si A es infinito. 4. Aunque no lo precisemos aqu´ı, toda probabilidad ser´ a también una medida. Pero en este curso la u ńica medida que estamos interesados en construir es la medida de Lebesgue en Rn , que denotaremos por “m”, y que mide longitudes, áreas o vol´ umenes seg´ un que n=1,2 ó 3.

17.2

Medida Exterior

167

Semintervalos de Rn La primera familia sobre la que definiremos la medida de Lebesgue ser´ a la de semintervalos. Definici´ on 17.2 En Rn llamaremos Semintervalo a cada producto cartesiano de n intervalos acotados de R Q de la forma [ai , bi ), ai < bi i = 1, 2, . . . , n. La medida del semintervalo I = ni=1 [ai , bi ) es el n´ umero real m(I) = (b1 − a1 ) × (b2 − a2 ) × · · · × (bn − an ). Por convenio, consideraremos al ∅ como un semintervalo de medida 0. Para n = 2 un semintervalo es un rectángulo de lados paralelos a los ejes coordenados, al que le falta parte del borde. Puede parecer un poco extra˜ no comenzar este proceso de medir con la consideración de un tipo tan particular de rectángulos, en vez de trabajar desde un principio con rectángulos arbitrarios, definiendo su medida como el a en que aceptar, producto de las longitudes de sus lados. La razón de esto est´ de entrada, que la medida de un rectángulo abierto y del rect´ angulo cerrado que tiene los mismos lados coinciden, puede ser demasiado fuerte para una mentalidad matemática: Lo anterior tiene m´ as apariencia de teorema que de algo asumible como hipótesis. Como punto de partida nos deber´ıamos de limitar, pues, a considerar todos los rectángulos del mismo tipo, en lugar de rectángulos arbitrarios (por ejemplo todos abiertos, o todos cerrados o semintervalos). Y de todas estas subfamilias, la más adecuada es la de semintervalos: Mediante semintervalos podemos obtener una partición numerable del plano (y de cualquier conjunto abierto), en cambio eso no es posible hacerlo a base sólo ositos, de rectángulos abiertos o de rectángulos cerrados. Para nuestros prop´ lo anterior constituye una importante propiedad de los semintervalos de la que habremos de hacer uso en más de una ocasión (Ver Zaanen [30]). Nuestro objetivo inmediato es demostrar que “m” es una medida σaditiva sobre la familia de semintervalos. Posteriormente extenderemos esta medida a conjuntos más generales (ser´ıa deseable que esta extensión la pudiésemos hacer a cada subconjunto de Rn , pero, como veremos, esto es imposible manteniendo el carácter σ-aditivo de la medida). Para todo ello necesitaremos destacar algunas de las propiedades de la familia de semintervalos y de la medida definida sobre ella.

168

Medida Exterior

17.3

Proposici´ on 17.3 Sea I un semintervalo de Rn . Entonces para cada ε > 0 existen semintervalos I1 , I2 tales que o

o

I1 ⊂ I ⊂ I ⊂ I 2 y m(I2 ) − ε ≤ m(I) ≤ m(I1 ) + ε.

Demostraci´ on. Consideremos la aplicación n Y (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) −→ (yi − xi ) Φ

i=1

de R2n en R. Esta aplicación es continua yaQque es un polinomio de 2n variables. Sea entonces el semintervalo I = [ai , bi ). De la continuidad de Φ en ((ai ), (bi )) se deduce que si nos aproximamos suficientemente al punto ((ai ), (bi )) mediante puntos ((xi )ni=1 , (yi )ni=1 ) con ai < xi < yi < bi o con puntos tales que xi ≤ ai , bi ≤ yi se consiguen los intervalos I1 , I2 requeridos. Proposici´ on 17.4 mintervalo.

(a) La intersecci´ on finita de semintervalos es un se-

(b) La diferencia de dos semintervalos puede expresarse como unión de una familia finita de semintervalos disjuntos dos a dos. Q Q [ai , bi ), J = [ci , di ). Entonces Y I ∩J = [ai , bi ) ∩ [ci , di ),

on. (a) Sean I = Demostraci´

y es obvio que, si esta intersección es no vac´ıa, entonces hi = max{ai , ci } < ki = min{bi , di } y Y I ∩J = [hi , ki ). Q Q (b) Consideremos los semintervalos I = [ai , bi ), J = [ci , di ). Puesto que I \ J = I \ I ∩ J, puede suponerse sin pérdida de generalidad que J ⊂ I. Prolongando los lados de los semintervalos I, J obtenemos en cada eje los tres semintervalos [ai , ci ), [ci , di ), [di , bi ). Estos intervalos (alguno de los cuales puede ser, eventualmente, vac´ıo) constituyen una partición de [ai , bi ). Si formamos todos los n-productos posibles

17.6

Medida Exterior

169

tomando como factores a estos intervalos, se obtiene trivialmente una partición finita del semintervalo I, uno de cuyos miembros es el semintervalo J. Por tanto I \ J es igual a la unión del resto de los semintervalos de la partición. La partición del semintervalo I, obtenida de la forma anterior, diremos que constituye un cuadriculado o red del semintervalo I. Más generalmente, sea Qn el semintervalo I = i=1 [ai , bi ) y consideremos en cada eje una partici´ on finita de [ai , bi ). Entonces, la colección de semintervalos, {Ks }, obtenidos como antes (es decir, formando los n-productos posibles que tienen en el factor i, (i = 1, . . . , n), un semintervalo de la partición de [ai , bi )), constituye una partición de I que se denomina cuadriculado o red de I. Lema 17.5 Si {Ks } es un cuadriculado del semintervalo I entonces, X m(I) = m(Ks ).

Demostraci´ on. Para no complicar en exceso las notaciones, supongamos n = 2. Sea I = [a1 , b1 ) × [a2 , b2 ), y a1 = t0 < t1 < . . . < tp = b1 ; a2 = u0 < u1 < . . . < uq = b2 particiones de [a1 , b1 ) y [a2 , b2 ). Entonces cada cuadr´ıcula es de la forma Ks = [ti , ti+1 ) × [uj , uj+1 ), luego X X m(Ks ) = (ti+1 − ti )·(uj+1 − uj ) i,j

=

X i

=

X

(ti+1 − ti )

X

(uj+1 − uj )

j

(ti+1 − ti )·(b2 − a2 )

i

=(b2 − a2 )(b1 − a1 ) = m(I). Proposici´ on 17.6 Sean I0 , I1 , . . . , Ip una colección finita de semintervalos de Rn . P (a) Si I0 ⊂ ∪pk=1 Ik entonces m(I0 ) ≤ m(Ik ). P (b) Si Ik ∩ Ir = ∅ (k 6= r) y ∪ Ik ⊂ I0 entonces m(Ik ) ≤ m(I0 ).

170

Medida Exterior

17.6

Demostraci´ on. (a) Prolongando los lados de los semintervalos I0 , I1 , . . . , Ip (como en la proposición anterior) se obtiene en cada eje una colección finita de semintervalos disjuntos. Si se construyen a partir de ellos todos los nproductos posibles, la colección finita Ks de semintervalos disjuntos de Rn que resulta, proporciona un cuadriculado de cada Ik . Concretamente, cada Ik es la unión de los Ks que lo cortan. Se tiene pues que X m(Ik ) = m(Ks ). Ks ⊂Ik

Entonces, si I0 ⊂ ∪pk=1 Ik , cada semintervalo que está contenido en I0 está también contenido en alg´ un Ik (k ≥ 1), y por tanto X X X X m(I0 ) = m(Ks ) ≤ m(Ks ) = m(Ik ). Ks ⊂I0

k Ks ⊂Ik

(b) Se demuestra de forma an´ aloga. Para quien no le guste la demostración anterior, vamos a ver, a continuaci´ on, la singular demostración que dio Von Newman [24] de este resultado. Demostraci´ on*. (a) Supongamos, en primer lugar, que todos los intervalos Q Ik = [aki , bki ) verifican que las longitudes de sus lados son mayores que 1, es decir bki − aki > 1, y denotemos por NIk al n´ umero de elementos de Ik que tienen como coordenadas (todas) n´ umeros enteros. Si se tiene en cuenta que umeros un semintervalo de R cuya longitud l esté comprendida entre los n´ naturales N y N + 1 (N ≤ l ≤ N + 1), contiene N o N + 1 enteros, resulta que n n Y Y k k (bi − ai − 1) ≤ NIk < (bki − aki + 1). Como NI0 ≤ (17.1)

P

i=1

i=1

NIk , de la relación anterior resulta que n Y XY (b0i − a0i − 1) ≤ (bki − aki + 1). i=1

k

i

Si las longitudes de los lados de los Ik no fuesen todas mayor o igual que 1 entonces, tomando r un natural suficientemente grande, los semintervalos rIk ser´ıan del tipo anterior (y es obvio que rI0 ⊂ ∪pk=1 rIk ). Aplicando la desigualdad 17.1 se obtiene n XY Y (rb0i − ra0i − 1) ≤ (rbki − raki + 1), i=1

k

i

17.7

Medida Exterior

171

equivalentemente n Y XY 1 1 (bki − aki + ), (b0i − a0i − ) ≤ r r i=1

k

i

lo que, pasando al l´ımite cuando r → ∞, implica n XY Y (bki − aki ), (b0i − a0i ) ≤ i=1

k

i

P

o sea que m(I0 ) ≤ m(Ik ). (b) Resulta como en (a), sin m´ as que observar que si Ik ∩Ih = ∅, entonces para cualquier n´ umero real r 6= 0, rIk y rIh son también semintervalos disjuntos. Proposici´ on 17.7 Sean I0 , I1 , I2 , . . . una colección numerable de semintervalos. P (a) Si I0 ⊂ ∪∞ m(Ik ). k=1 Ik entonces m(I0 ) ≤ P (b) Si Ik ∩ Ir = ∅ (k 6= r) y ∪ Ik ⊂ I0 entonces m(Ik ) ≤ m(I0 ). Demostraci´ on. (a) Veamos que ∞

I0 ⊂ ∪ Ik k=1

⇒

m(I0 ) ≤

∞ X

m(Ik ).

k=1

Para cada ε > 0 y para cada k, sean J y Hk semintervalos tales que J ⊂ I0 , m(I0 ) ≤ m(J) + ε/2, o

Ik ⊂ H k , m(Hk ) ≤ m(Ik ) + ε/2k+1 . Puesto que J es un compacto, se deduce que J ⊂ ∪finita Hk , luego aplicando la proposición anterior se tiene que m(J) ≤

X finita

m(Hk ) ≤

∞ X

m(Hk ) ≤

k=1

Por tanto

k=1 ∞

m(I0 ) ≤ m(J) +

∞ X

ε m(Ik ) + . 2

ε X ≤ m(Ik ) + ε, 2 k=1

172

Medida Exterior

17.7

lo que implica, por ser ε arbitrario, que m(I0 ) ≤

∞ X

m(Ik ).

k=1

(b) Si los semintervalos Ik son disjuntos entre s´ı y están contenidos en I0 entonces, por la proposición anterior, se tiene que para cada p ∈ N p X

luego también

P∞

k=1 m(Ik )

m(Ik ) ≤ m(I0 ),

k=1

≤ m(I0 ).

Corolario 17.8 Si F denota a la familia de semintervalos de Rn , la aplicación m : F ⊂ P(Rn ) → [0, ∞] , que asigna a cada semintervalo el producto de las longitudes de sus lados, es una medida numerablemente aditiva. on. Si el semintervalo I se escribe como Demostraci´ I = ∪ Ik , donde los Ik son semintervalos disjuntos entre s´ı entonces, del apartado (a) de la proposición anterior, se deduce que X m(I) ≤ m(Ik ) y del apartado (b) que

X

m(Ik ) ≤ m(I).

Medida exterior En esta sección vamos a extender la medida de semintervalos a conjuntos más generales. Vamos a comenzar asignando a cada subconjunto A de Rn un n´ umero real (+∞), m∗ (A) ≥ 0, que pretendemos sea su medida. Definici´ on 17.9 Si A ⊂ Rn , llamaremos medida exterior del conjunto A, al elemento de [0, +∞], nX o m∗ (A) = inf m(Ik ) : A ⊂ ∪ Ik donde este ´ınfimo está extendido al conjunto de colecciones numerables, {Ik }, de semintervalos que recubren el conjunto A.

17.11

Medida Exterior

173

Es inmediato comprobar que la definición anterior tiene perfecto sentido, ya que, por una parte, para cada conjunto existe alguna colecci´ on numerable P de semintervalos que lo recubre, y por otra, todas la sumas m(Ik ) están acotadas inferiormente por 0, luego el extremo inferior de todas ellas existe en [0, +∞]. Precisamente por ser la medida exterior del conjunto A el extremo inferior de un conjunto de n´ umeros reales, se deduce Proposici´ on 17.10 Sea A un conjunto de Rn . El n´ umero α ∈ [0, +∞] es la medida exterior de A si y sólo si se dan las dos condiciones 1. Cualquiera que sea Pla colección {Ik } de semintervalos con A ⊂ ∪ Ik , se tiene que α ≤ m(Ik ). 2. Para cada ε > 0, existe alguna colección {Ik } de semintervalos que recubre a A y tal que X m(Ik ) ≤ α + ε. Probaremos a continuación que la medida exterior de un semintervalo coincide con su n-volumen, es decir la medida que ya le hab´ıamos asignado. Pero, desafortunadamente, m∗ no es numerablemente aditiva sobre la totalidad de P(Rn ) y, por tanto, no es una medida sobre P(Rn ). Sin embargo, podremos encontrar después una familia M de subconjuntos de Rn , suficientemente amplia (contiene a los semintervalos, a todos los abiertos, cerrados etc.), de forma que la restricción de m∗ a M s´ı que sea numerablemente aditiva.

Propiedades de la Medida Exterior Proposici´ on 17.11 La medida exterior de un semintervalo I es igual al producto de las longitudes de sus lados. Es decir m∗ (I) = m(I). Demostraci´ on. Sea I un semintervalo no vac´ıo de Rn . Por definición nX o m∗ (I) = inf m(Ik ) : I ⊂ ∪ Ik , donde este ´ınfimo está extendido al conjunto de colecciones numerables, {Ik }, de semintervalos que recubren el conjunto I. Como un recubrimiento trivial de I lo constituye el propio {I}, resulta que m∗ (I) ≤ m(I).

174

Medida Exterior

17.11

Para obtener la desigualdad contraria, sea {Ik } una colección numerable de semintervalos que recubran a I. Como por la proposición 17.7(a) X m(I) ≤ m(Ik ), resulta m(I) ≤ inf

nX

m(Ik ) : I ⊂ ∪ Ik

o

= m∗ (I),

con lo que termina la demostración. La siguiente propiedad de la medida exterior es la Monoton´ıa y su demostración es inmediata. Proposici´ on 17.12 Si A ⊂ B entonces m∗ (A) ≤ m∗ (B). Aunque como ya anunciamos la medida exterior no va a ser numerablemente aditiva en todo Rn , s´ı va a ser, en cambio, σ-subaditiva. Proposici´ on 17.13 Sea {Ak }∞ on numerable de conjuntos de k=1 una colecci´ n R . Entonces X m∗ (∪ Ak ) ≤ m∗ (Ak ).

Demostraci´ on. Consideremos para cada ε > 0 y para cada k, una colección numerable de semintervalos, {Iki }, tal que Ak ⊂ ∪ Iki , i

X

m(Iki ) ≤ m∗ (Ak ) +

i

ε . 2k

Entonces A ⊂ ∪k,i Iki (una colecci´ on numerable de semintervalos). De la definición de m∗ (A) se deduce entonces que XX X X m∗ (A) ≤ m(Iki ) = m(Iki ) ≤ m∗ (Ak ) + ε. k,i

k

i

k

La conclusión resulta ya de que ε es arbitrario. Una de las propiedades que cab´ıa esperar de una medida en Rn es la ser invariante frente a movimientos. Aunque es cierto que la medida exterior tiene esta propiedad, la demostraci´ on general de la misma la vamos a aplazar de momento (ver Lema 27.2). S´ olo vamos a probar ahora que la medida exterior es Invariante por Traslaciones.

17.15

Medida Exterior

175

Proposici´ on 17.14 La medida exterior de Lebesgue es invariante por traslaciones. Es decir, para todo conjunto A de Rn y para todo punto x, se tiene que m∗ (x + A) = m∗ (A). Demostraci´ on. El resultado es cierto si A es un semintervalo. En efecto, si Q A es el semintervalo ni=1 [ai , bi ), entonces es evidente que x+A=

n Y [xi + ai , xi + bi ). i=1

Por lo tanto m∗ (x + A) =

Y Y (xi + bi − (xi + ai )) = (bi − ai ) = m∗ (A).

En general, si A es un conjunto cualquiera, veamos que m∗ (x + A) ≤ Sea (Ik ) una colección de semintervalos tal que A ⊂ ∪ Ik . Entonces x + A ⊂ ∪(x + Ik ), por lo que de la definici´ on de medida exterior resulta que X X m∗ (x + A) ≤ m(x + Ik ) = m(Ik ). m∗ (A).

Esto significa que m∗ (x + A) es una cota inferior del conjunto nX o m(Ik ) : A ⊂ ∪ Ik , por tanto m∗ (x + A) ≤ m∗ (A). La desigualdad contraria se obtiene de la anterior escribiendo A = (−x)+ (x + A). As´ı, m∗ (A) = m∗ ((−x) + (x + A)) ≤ m∗ (x + A). Por u ´ltimo, vamos a ver que la medida exterior de Lebesgue no es numerablemente aditiva. Para ello vamos a dar el ejemplo cl´ asico de Vitali, el cual proporciona, a partir del axioma de elección, una familia numerable de conjuntos de R, disjuntos dos a dos, cuya suma de medidas no coincide con la medida de la unión de ellos. Ejemplo 17.15 (Vitali) Sea A un conjunto acotado de n´ umeros reales con m∗ (A) > 0. Supongamos, por ejemplo, A ⊂ [−r, r). Definimos sobre A la relación de equivalencia x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q.

176

Medida Exterior

17.15

Obviamente cada clase de equivalencia es de la forma (x+Q)∩A, luego es un conjunto numerable. Se deduce pues que existe una cantidad no numerable de clases de equivalencia. Sea V un conjunto obtenido seleccionando en cada clase un u ńico representante (observar que para ello se hace uso del Axioma de Elección), y consideremos, para cada racional q del intervalo [−2r, 2r), el conjunto Vq = q + V . Se tiene entonces 1. Los conjuntos Vq son disjuntos dos a dos. En efecto, si x ∈ Vq1 ∩ Vq2 , entonces x = q1 + a1 = q2 + a2 ⇒ a1 − a2 ∈ Q. Es decir los puntos de V , a1 y a2 , están relacionados, y esto implica, por la construcción de V , que a1 = a2 , y por tanto, q1 = q2 . 2. A ⊂ ∪ Vq ⊂ [−3r, 3r), q ∈ Q ∩ [−2r, 2r). En efecto, sea x ∈ A, y sea a ∈ V tal que q = x − a ∈ Q. Entonces x = q + a ∈ q + V, siendo |q| = |x−a| < 2r, como se sigue fácilmente de que tanto x como a estén en [−r, r). De igual modo si x ∈ Vq , es decir x = q + a con −2r ≤ q < 2r y a ∈ V (por tanto −r ≤ a < r), entonces x ∈ [−3r, 3r). Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a comprobar que X m∗ (∪ Vq ) 6= m∗ (Vq ), lo que demostrará que m∗ no es σ-aditiva en todo Rn : Por una lado, de la monoton´ıa de la medida exterior, se deduce que 0 < m∗ (A) ≤ m∗ (∪ Vq ) ≤ 6r. Por otro, como la medida exterior es invariante por traslaciones, m∗ (Vq ) = m∗ (V ), y por tanto P ∗ m (Vq ) = 0 , si m∗ (V ) = 0 P

m∗ (Vq ) = ∞ ,

si m∗ (V ) > 0

Tanto enPun caso como en otro, resultar´ıa imposible que m∗ (∪ Vq ) fuese igual a m∗ (Vq ). (Comprobar además que la primera opción, es decir ∗ m (V ) = 0, no puede darse).

17D

Medida Exterior

177

Ejercicios 17A Sea I un semintervalo de Rn . Probar que para todo conjunto A tal que o

−

I ⊂ A ⊂ I , se tiene que m∗ (A) = m(I). 17B (Sobre conjuntos de medida nula). (a) Probar que la medida exterior de cada conjunto numerable es igual a 0, pero que el rec´ıproco no es cierto (considerar el conjunto de Cantor). (b) Demostrar que la gráfica de una función continua de R en R es un conjunto de medida nula en R2 . (c) Demostrar que todo conjunto de medida nula tiene interior vac´ıo, pero que el rec´ıproco no es cierto. 17C Probar que la medida exterior de Lebesgue no es finitamente aditiva en P(Rn ). 17D Extender a Rn el ejemplo de Vitali.

Cap´ıtulo 18

Conjuntos Medibles La identidad de Caratheodory En el cap´ıtulo anterior vimos que la medida exterior de Lebesgue no resulta σ-aditiva en todo Rn . Ahora vamos a construir una familia M de subconjuntos de Rn , a los que llamaremos medibles, que goza de buenas propiedades conjuntistas y topológicas, y sobre la cual m∗ ser´ a una verdadera medida, es decir una función de conjunto numerablemente aditiva. Definici´ on 18.1 (Caratheodory) Un conjunto B de Rn se dirá medible si, para todo conjunto A, se verifica la siguiente identidad. m∗ (A) = m∗ (A ∩ B) + m∗ (A \ B). Denotaremos por M a la familia de conjuntos medibles. Aunque después dedicaremos una sección para estudiar la familia M y la restricción de m∗ a M , ya podemos obtener como consecuencia directa de la definición que m∗ es finitamente aditiva sobre M , incluso un resultado algo más fuerte: 18.2 Si L ∈ M y A es un subconjunto cualquiera de Rn disjunto con L, entonces (18.1)

m∗ (A ∪ L) = m∗ (A) + m∗ (L).

Demostraci´ on. Inmediata. 179

180

Conjuntos Medibles

18.2

La definición anterior de conjunto medible es una elaboración conveniente de otra más natural, en la que interviene no sólo la medida exterior, sino también una medida interior. Aunque el estudio de esta medida interior, y en consecuencia, esta otra v´ıa de introducción de los conjuntos medibles, no será objeto de este curso, vamos a exponer en qué consiste. Simplemente, se pretende aclarar, con ello, la definición de Caratheodory. En el cap´ıtulo anterior hemos establecido la técnica para medir conjuntos de Rn . Esta consiste en aproximar por fuera la medida de un conjunto a partir de recubrimientos numerables por semintervalos (de ah´ı el nombre alogamente podr´ıa concebirse una medida interior, de medida exterior). An´ aproximando los conjuntos por dentro. Para que todo fuese coherente con nuestra intuición, ambas formas de medir deber´ıan conducir al mismo resultado. Sin embargo, era bien conocido ya en la época de Lebesgue que, cuando se utilizaban s´ olo colecciones finitas de semintervalos para aproximar, pod´ıan aparecer conjuntos no medibles, en el sentido de que su medida exterior difer´ıa de la interior (por ejemplo, tal era el caso del conjunto de los o que tal hecho suced´ıa, preciracionales del intervalo [0,1]). Lebesgue pens´ samente, por la limitaci´ on que supon´ıa el uso exclusivo de colecciones finitas de semintervalos. Sin embargo, Vitali, primero, y posteriormente Haussdorf y Banach-Tarski (Ver Natanson [23] y Benedetto [3]), demostraron que la ra´ız de tales males se encontraba en la propia Teor´ıa de Conjuntos y más concretamente en el Axioma de Elecci´ on. La presencia de este axioma hará inevitable que surjan conjuntos con diferentes medida exterior que interior (Ver [3], Solovay [27] y Moore [21]). Definici´ on 18.3 Sea A un conjunto de Rn contenido en el semintervalo I. Llamaremos medida interior de A al n´ umero real m∗ (A) = m(I) − m∗ (I \ A).

Esta es la definición de medida interior que propuso Lebesgue. Con ella se aparta de la idea de Jordan de aproximar, también internamente, la medida de un conjunto mediante intervalos contenidos en él. As´ı, por ejemplo, con su definición, la medida interior del conjunto I de los irracionales de [0,1] es m∗ (I) = 1 − m∗ (Q) = 1, mientras que si tratáramos de aproximar mediante intervalos contenidos en I, la medida (interior) de este conjunto ser´ıa 0, ya que los u ńicos intervalos contenidos en I son los puntos (y el u ńico semintervalo el ∅).

18.5

Conjuntos Medibles

181

Pasar de la definición 18.3 a definir la medida interior de un conjunto A, sin la restricción A ⊂ I, requiere algunos detalles más (Ver Williamson [28]). Después de esto se puede probar el siguiente resultado: Proposici´ on 18.4 Si B es un conjunto con m∗ (B) < ∞, entonces B es medible (en el sentido de Caratheodory) si y sólo si m∗ (B) = m∗ (B) (medible en el sentido de Lebesgue). Sólo vamos a demostrar parte de la proposición, concretamente, que si B es un conjunto acotado y medible en el sentido de Caratheodory, entonces también es medible en el sentido de Lebesgue. En efecto, sea I un semintervalo que contenga a B. Entonces de la identidad de Caratheodory m(I) = m∗ (I ∩ B) + m∗ (I \ B) = m∗ (B) + m∗ (I \ B), se deduce que m∗ (B) = m(I) − m∗ (I \ B) = m∗ (B).

La σ-´ algebra de conjuntos medibles Teorema 18.5 La familia M de conjuntos medibles tiene las siguientes propiedades: (a) Es cerrada respecto al paso a complementario, es decir si B ∈ M entonces B c ∈ M . (b) Es cerrada respecto a uniones numerables, es decir si Bi ∈ M , i = 1, 2, . . ., entonces ∪∞ i=1 Bi ∈ M . Además, la restricción de m∗ a M es numerablemente aditiva. Demostraci´ on. Antes de nada, observemos que cuando haya de comprobarse que se satisface la identidad de Caratheodory, bastará con ver que se cumple la desigualdad m∗ (A ∩ B) + m∗ (A \ B) ≤ m∗ (A), ya que, por la monoton´ıa de la medida exterior, la otra desigualdad siempre se da. M es cerrada por paso a complementarios. Si B ∈ M entonces para cada conjunto A se tiene m∗ (A) = m∗ (A ∩ B) + m∗ (A \ B).

182

Conjuntos Medibles

18.5

Como A \ B = A ∩ B c y A ∩ B = A \ B c , la igualdad anterior puede escribirse en la forma m∗ (A) = m∗ (A ∩ B c ) + m∗ (A \ B c ), lo que expresa que B c ∈ M . M es cerrada respecto a uniones finitas. Supongamos que B1 , B2 ∈ M y veamos que el conjunto B1 ∪ B2 satisface la identidad de Caratheodory. En primer lugar, por ser B1 medible, se tiene m∗ (A ∩ (B1 ∪ B2 )) = m∗ (A ∩ (B1 ∪ B2 ) ∩ B1 ) + m∗ (A ∩ (B1 ∪ B2 ) \ B1 ) = m∗ (A ∩ B1 ) + m∗ (A ∩ B1c ∩ B2 ), Por tanto m∗ (A ∩ (B1 ∪ B2 )) + m∗ (A \ (B1 ∪ B2 )) = m∗ (A ∩ B1 ) + m∗ (A ∩ B1c ∩ B2 ) + m∗ (A ∩ B1c ∩ B2c ). Teniendo en cuenta ahora que B2 es medible, los dos u ´ltimos sumandos anteriores se transforman en m∗ (A ∩ B1c ∩ B2 ) + m∗ (A ∩ B1c ∩ B2c ) = m∗ (A ∩ B1c ), y de todo ello se deduce ya que m∗ (A ∩ (B1 ∪ B2 )) + m∗ (A \ (B1 ∪ B2 )) = m∗ (A), es decir B1 ∪ B2 es medible. Observemos que del proceso seguido en la demostraci´ on anterior se deduce, para B1 y B2 disjuntos, la siguiente fórmula: m∗ (A ∩ (B1 ∪ B2 )) = m∗ (A ∩ B1 ) + m∗ (A ∩ B2 ), de la que resulta, en particular, la aditividad finita, es decir B1 ∩ B2 = ∅

⇒

m∗ (B1 ∪ B2 ) = m∗ (B1 ) + m∗ (B2 ).

Por inducción, lo anterior se extiende inmediatamente a un n´ umero finito de conjuntos medibles.

18.5

Conjuntos Medibles

183

σ-aditividad. Sea Bi , i = 1, 2, . . . , una colecci´ on numerable de conjuntos medibles, disaneamente que juntos entre s´ı. Vamos a demostrar simult´ ∞

∞

i=1

i=1

∪ Bi ∈ M y m∗ ( ∪ Bi ) =

∞ X

m∗ (Bi ).

i=1

En efecto, ∞

∞

i=1

i=1

m∗ (A ∩ ( ∪ Bi ) + m∗ (A \ ∪ Bi ) (18.2)

≤

∞ X

∞

m∗ (A ∩ Bi ) + m∗ (A \ ∪ Bi ) i=1

i=1

= lim

Ã k X

k→∞

! ∗

∗

∞

m (A ∩ Bi ) + m (A \ ∪ Bi ) . i=1

i=1

Por otra parte sabemos que para todo k, ∪ki=1 Bi es medible y k

∗

m (A ∩ ( ∪ Bi )) = i=1

k X

m∗ (A ∩ Bi ),

i=1

por tanto k X

∞

m∗ (A ∩ Bi ) + m∗ (A \ ∪ Bi ) ≤ i=1

i=1

k X

k

m∗ (A ∩ Bi ) + m∗ (A \ ∪ Bi ) i=1

i=1

k

k

i=1

i=1

= m∗ (A ∩ ( ∪ Bi )) + m∗ (A \ ∪ Bi ) = m∗ (A), de lo que se deduce que Ã k ! X ∞ (18.3) lim m∗ (A ∩ Bi ) + m∗ (A \ ∪ Bi ) ≤ m∗ (A). k→∞

i=1

i=1

Hemos demostrado que ∞

∞

i=1

i=1

m∗ (A ∩ ( ∪ Bi ) + m∗ (A \ ∪ Bi ) ≤ m∗ (A), lo que significa que ∪Bi es medible. Además puesto que la desigualdad contraria de esta u ´ltima también es cierta, resulta que las desigualdades y 18.3 son, en realidad, igualdades, y por lo tanto se tiene en particular que ∞

∞

i=1

i=1

m∗ (A ∩ ( ∪ Bi ) + m∗ (A \ ∪ Bi ) =

∞ X i=1

∞

m∗ (A ∩ Bi ) + m∗ (A \ ∪ Bi ), i=1

184

Conjuntos Medibles

18.5

lo que implica, tomando A = Rn , ∗

∞

m ( ∪ Bi ) = i=1

∞ X

m∗ (Bi ),

i=1

es decir la aditividad numerable de m∗ sobre M . M es cerrada respecto a uniones numerables Sean Bi ∈ M , i = 1, 2, . . . ,. Formemos los conjuntos i−1

Bi0 = Bi \ ∪ Bi , i = 1, 2, . . . , . s=1

∞ 0 Obviamente estos conjuntos son disjuntos dos a dos y ∪∞ s=1 Bi = ∪s=1 Bi . Por lo que si además fuesen medibles, entonces de la etapa anterior se deducir´ıa 0 que ∪∞ s=1 Bi ∈ M . Cada conjunto Bi es diferencia de dos conjuntos medibles, luego para terminar sólo hay que probar que si dos conjuntos C1 y C2 son medibles, entonces C1 \ C2 también es medible. Y, en efecto, esto resulta de lo ya visto y de las identidades conjuntistas

C1 \ C2 = C1 ∩ C2c = (C1c ∪ C2 )c .

Conjuntos medibles y no medibles Hemos establecido en la sección anterior las buenas propiedades conjuntistas de las que goza la familia M de los conjuntos medibles. Anticip´ andonos un poco al cap´ıtulo 20, vamos a considerar ahora (de momento s´ olo a modo de ejemplos) algunos tipos de conjuntos medibles, a partir de los cuáles podremos caracterizar all´ı todos los demás. Esto nos permitirá ver, además, que, si bien la familia M no es P(Rn ), se llega bastante lejos con la extensión de la medida de semintervalos a la familia M . Proposici´ on 18.6 Todo conjunto de medida nula es un conjunto medible. Demostraci´ on. Sea B con m∗ (B) = 0. Entonces si A es un conjunto cualquiera, utilizando la monoton´ıa de la medida exterior, se tiene m∗ (A ∩ B) + m∗ (A \ B) = m∗ (A \ B) ≤ m∗ (A), lo que prueba que B es medible.

18.8

Conjuntos Medibles

185

Esta proposición nos permite afirmar que los puntos, los conjuntos finitos o numerables, como Q por ejemplo, son conjuntos medibles, por tener medida cero. Pero no solo los conjuntos numerables van a tener medida cero, como veremos cualquier arco de curva continuo de Rn (n > 1) será también un conjunto de medida nula. En R, el bien conocido conjunto de Cantor constituye un ejemplo de conjunto no numerable que también mide cero. Precisamente, de la existencia de conjuntos no numerables con medida nula, podemos deducir que el cardinal de la familia M de conjuntos medibles coincide con el de P(R) (Ejercicio). Como cab´ıa esperar también es medible cada semintervalo. Para demostrarlo vamos a utilizar como lema la siguiente debilitación de la condición de Caratheodory de conjunto medible: Lema 18.7 Un conjunto B de Rn es medible si, y sólo si, para cada semintervalo I se tiene que m∗ (I) = m∗ (I ∩ B) + m∗ (I \ B). on. Se trata de probar que basta la condición del lema para que Demostraci´ se satisfaga la identidad de Caratheodory para cada subconjunto A de Rn . En efecto, para ε > 0 sea (Ik ) una colecci´ on numerable de semintervalos tal que X A ⊂ ∪ Ik y m(Ik ) ≤ m∗ (A) + ε. Entonces A ∩ B ⊂ ∪ Ik ∩ B y A \ B ⊂ ∪ Ik \ B. Luego

≤

X

m∗ (A ∩ B) + m∗ (A \ B) X m∗ (Ik ∩ B) + m∗ (Ik \ B) = (m∗ (Ik ∩ B) + m∗ (Ik \ B)) X = m∗ (Ik ) ≤ m∗ (A) + ε. X

Puesto que ε es arbitrario, de esto se deduce que B es medible. Proposici´ on 18.8 Cada semintervalo de Rn es un conjunto medible. Demostraci´ on. Sea J un semintervalo de Rn y veamos que m∗ (I) = m∗ (I ∩ J) + m∗ (I \ J) para cada semintervalo I.

186

Conjuntos Medibles

18.8

Escribamos I \ J = ∪ps=1 Ks , siendo {Ks } una partición finita de I \ J por semintervalos. Entonces, si a {Ks } a˜ nadimos el semintervalo I ∩ J, obtenemos una partición finita de I. Luego X m∗ (I ∩J)+m∗ (I \J) = m(I ∩J)+m∗ (∪ Ks ) ≤ m(I ∩J)+ m(Ks ) = m(I), P donde hemos usado la subaditividad de m∗ (en m∗ (∪Ks ) ≤ m(Ks )) y la proposición 17.8. Esto significa, después del lema, que J es medible. A continuación vamos a probar que todo abierto de Rn es un conjunto medible. Esto podr´ıa obtenerse, de manera sencilla, como consecuencia de la propiedad de Lindelof de los conjuntos de Rn (Ejercicio), sin embargo nosotros vamos a establecer un resultado más profundo, que incluye en particular ´til después. el que queremos, y que va a sernos u Proposici´ on 18.9 Todo abierto de Rn admite una partición numerable por semicubos que tienen su adherencia contenida en él. on. Llamaremos semicubo de lado l a un semintervalo que tiene Demostraci´ todos sus lados de la misma longitud l. Si U es abierto, entonces se trata de on numerable (Ck ) de semicubos disjuntos dos a dos y encontrar una colecci´ tales que Ck ⊂ U . Para ello vamos a proceder as´ı: Consideremos, en primer lugar, una partición de Rn mediante semicubos de nalando en cada eje los n´ umeros lado 1 (Puede hacerse esto, por ejemplo, se˜ enteros y formando todos los n-productos posibles de semintervalos de R que tienen como extremos dos enteros consecutivos). Denotemos por S1 a la colección (numerable) de los semicubos de esta partición, y reservemos aquellos que tienen su adherencia contenida en U . Denotemos a dicha subcolección por C1 . A continuación, obtenemos una nueva partición de Rn , ahora por semicubos de lado 1/2, dividiendo los lados de cada semicubo de S1 en dos partes iguales (De cada semicubo de lado 1 se obtendr´ an entonces 2n semicubos de lado 1/2). Sea S2 esta partici´ on y llamemos C2 a la subcolección de S2 obtenida tomando los semicubos de adherencia contenida en U y que, además, no son subconjuntos de alg´ un semicubo de C1 (ya tomado en la etapa anterior). De este mismo modo se conseguir´ıa para cada k = 1, 2, . . . una partición de Rn , Sk , formada por semicubos de lado 1/2k−1 y una subcolección de ésta, Ck , en la que est´ an aquellos que tienen su adherencia contenida en U

18.9

Conjuntos Medibles

187

y que no proceden de semicubos tomados en las etapas anteriores, es decir que no son subconjuntos de ning´ un semicubo de C1 , C2 , . . ., Ck−1 . Sea C = ∪Ck la familia de semicubos tomados en las distintas etapas. Evidentemente todos ellos son disjuntos entre s´ı y constituyen una cantidad numerable. Vamos a probar que U=

[ {C : C ∈ C }.

Como por construcción, los semicubos de C est´ an contenidos en U , sólo hemos de ver que U ⊂ ∪{C : C ∈ C }. Supongamos que x es un punto de Rn que no está en ninguno de los semicubos de C , y veamos que entonces x 6∈ U . Denotemos por Sk al u ńico semicubo de la partición Sk en el que se encuentra el punto x. De acuerdo con nuestra suposición, ninguno de los semicubos Sk pertenece a la familia C . Puesto que S1 ⊃ S2 ⊃ . . ., esto significa que Sk 6⊂ U, luego existe xk ∈ S k ∩ U c . Entonces xk , x ∈ S k

⇒

d∞ (xk , x) ≤ 1/2k−1 (lado de Sk ).

Se tiene pues que la sucesión {xk } converge a x, y como xk ∈ U c , que es un conjunto cerrado, se deduce que x ∈ U c . Debido a las propiedades conjuntistas de la familia M , adem´ as de los conjuntos abiertos, van a ser medibles también los cerrados, los conjuntos Fσ y Gδ etc.; los intervalos de cualquier tipo y, en general, los conjuntos cuya frontera sea un conjunto de medida nula (Ejercicio 18C). Ya sabemos que, al no ser m∗ σ-aditiva en todo Rn , la familia M es distinta de P(Rn ). Un ejemplo de conjunto no medible lo constituye el conjunto de Vitali. Para comprobar esto s´ olo hay que tener en cuenta que las traslaciones mantienen el carácter medible (Ejercicio18G), pues entonces, si el conjunto V de Vitali fuese medible, los conjuntos Vq (véase ejemplo de Vitali también lo ser´ıan y, en consecuencia, m∗ (∪Vq ) deber´ıa ser igual P 17.15) m∗ (Vq ). En cuanto al cardinal de la familia de conjuntos que no son a medibles, éste resulta ser el mismo que la de los medibles. Para verlo, basta observar que si J es un intervalo de R disjunto con V , entonces para todo subconjunto A ⊂ J el conjunto V ∪ A es no medible.

188

Conjuntos Medibles

18A

Ejercicios 18A Probar que para todo A ⊂ Rn , o nX m∗ (A) = inf m(Ik ) : A ⊂ ∪Ik con el ´ınfimo extendido sólo al conjunto de colecciones numerables, {Ik }, de intervalos “abiertos”que recubren el conjunto A. 18B Sean A1 , A2 dos subconjuntos de Rn tales que d(A1 , A2 ) > 0. Probar que m∗ (A1 ∪ A2 ) = m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ). 18C Probar que todo conjunto B de Rn cuya frontera sea un conjunto de medida nula es medible. 18D Sea B ⊂ Rn y supongamos que para cada ε > 0 existen dos conjuntos medibles C, D tales que B ⊂ C, B c ⊂ D y m(C ∩ D) < ε. Probar que B es medible 18E Probar que un conjunto B es medible si y sólo si, cualesquiera que sean los conjuntos A1 ⊂ B, A2 ⊂ B c , se tiene m∗ (A1 ∪ A2 ) = m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ) 18F Obtener la medida del conjunto de n´ umeros reales de [0, 1] que en su expresión decimal sólo tienen “ceros y unos”. 18G Probar que si B es un conjunto medible de Rn entonces, para todo a ∈ Rn , a + B es también medible. 18H Sea A un conjunto de Rn con m∗ (A) < ∞. Demostrar que si A contiene un conjunto medible B tal que m(B) = m∗ (A), entonces A es medible. ¿Es esto cierto si m∗ (A) = ∞? 18I Demostrar que para cada α ∈ [0, 1) existe un conjunto perfecto, tipo Cantor, de medida igual a α. ´ n. Elegir adecuadamente las longitudes δ1 , δ2 , . . . , de los intervalos cenIndicacio trales que se quitan en cada paso de la construcción del conjunto tipo Cantor. 18J Demostrar que para todo conjunto A de Rn y todo α se tiene que m∗ (αA) = |α|n m∗ (A), y que si B es medible entonces αB también es medible. 18K Probar que existen conjuntos no medibles de cualquier medida.

18N

Conjuntos Medibles

189

18L (La Medida de Jordan). Dado un conjunto acotado C ⊂ Rn se define la medida exterior de Jordan de C como X m (C) = inf{ m(Ik ) : C ⊂ ∪Ik }, donde con (Ik ) se denota a las colecciones finitas de semintervalos que recubren al conjunto C. (a) Probar que en la definición anterior los semintervalos Ik se pueden tomar disjuntos entre s´ı. Análogamente, se define la medida interior de Jordan del conjunto acotado C como X m (C) = sup{ m(Ik ) : C ⊃ ∪Ik }, donde con (Ik ) se denota a las colecciones finitas de semintervalos disjuntos entre s´ı contenidos en C. (b) Probar que m (C) ≤ m∗ (C) ≤ m (C). El conjunto acotado C se dirá j-medible (Jordan-medible) si m (C) = m (C). (c) Probar que el conjunto Q ∩ [0, 1] no es un conjunto j-medible. (d) Demostrar que si C es un conjunto j-medible entonces su frontera es un conjunto de medida nula. (e) Deducir del apartado anterior que todo conjunto j-medible es Lebesgue medible. (f) Encontrar un abierto de R que contenga al conjunto Q ∩ [0, 1] y cuya frontera tenga medida no nula. 18M Sea A un subconjunto acotado de Rn y I un semintervalo que contenga a A. Se define entonces m∗ (A), la medida interior de Lebesgue de A, como m∗ (A) = m(I) − m∗ (I \ A) (a) Probar que m∗ (A) es independiente del intervalo I que contenga a A. (b) Demostrar que para todo conjunto acotado A m∗ (A) ≤ m∗ (A). (c) Comparar las medidas interiores de Jordan y de Lebesgue del conjunto Q ∩ [0, 1]. (d) Probar que un conjunto acotado B es Lebesgue medible si y sólo si m∗ (B) = m∗ (B). 18N Probar que la medida exterior de Lebesgue es invariante por rotaciones. Se sugieren los siguientes pasos: (a) Sea Q0 el semicubo (0, 1]n , T la rotación y k = m∗ (T (Q0 )). Probar que si Q es un semicubo entonces T (Q) es un conjunto medible y m∗ (T (Q)) = km(Q).

190

Conjuntos Medibles

18N

(b) Probar que esta u ´ltima fórmula es válida para los conjuntos abiertos. (c) Teniendo en cuenta que la rotación de la bola eucl´ıdea unidad es simplemente una traslación de dicha bola, probar que la constante k debe ser igual a 1. (d) Deducir, teniendo en cuenta el ejercicio 18A, que m∗ es invariante por T .

Cap´ıtulo 19

La Medida de Lebesgue. Problema de la Medida Hemos demostrado en el cap´ıtulo anterior que la medida exterior de Lebesgue es una “medida”sobre la familia M de los conjuntos medibles. Por definición, vamos a llamar entonces medida de Lebesgue, a la restricción de m∗ a M . A partir de ahora, para referirnos a la medida de un conjunto medible B utilizaremos la notación m(B) en lugar de m∗ (B).

Propiedades de la medida de Lebesgue Las propiedades de la medida de Lebesgue que vamos a obtener aqu´ı (y nadir, si se quiere, a la lista de propiedades de la medida que se pueden a˜ exterior), serán consecuencia exclusivamente de la aditividad numerable y de las propiedades conjuntistas de M (ver teorema 18.5), es decir estas mismas propiedades las tendr´ıa también cualquier función de conjunto (no negativa) definida sobre una familia de conjuntos con las propiedades de M (una σ-álgebra) que fuese σ-aditiva. Nótese que, además de las propiedades se˜ naladas en dicho teorema, hemos visto de forma más o menos expl´ıcita que M es también una familia cerrada respecto a intersecciones numerables y respecto a la diferencia de conjuntos, que contiene al ∅ y a Rn . Proposici´ on 19.1 Si B1 , B2 ∈ M y B1 ⊂ B2 entonces, m(B2 ) = m(B1 ) + m(B2 \ B1 ). En particular, si B1 tiene medida finita entonces, m(B2 \ B1 ) = m(B2 ) − m(B1 ). Demostraci´ on. Escribiendo B2 = B1 ∪ (B2 \ B1 ) y utilizando la aditividad 191

192

La Medida de Lebesgue

19.1

finita de la medida de Lebesgue, se tiene m(B2 ) = m(B1 ) + m(B2 \ B1 ). Si m(B1 ) < ∞, podemos pasar al otro miembro m(B1 ), con lo que resulta la fórmula m(B2 \ B1 ) = m(B2 ) − m(B1 ). Proposici´ on 19.2 Si B1 , B2 ∈ M entonces, m(B1 ∪ B2 ) + m(B1 ∩ B2 ) = m(B1 ) + m(B2 ). Demostraci´ on. Si escribimos B1 ∪B2 = B1 ∪(B2 \B1 ∩B2 ), entonces, teniendo en cuenta que los conjuntos B1 y B2 \ (B1 ∩ B2 ) son disjunto y medibles, se tiene que m(B1 ∪ B2 ) = m(B1 ) + m(B2 \ B1 ∩ B2 ). Si el conjunto B1 ∩ B2 tuviese medida finita, podr´ıa aplicarse la fórmula anterior, con lo que se tendr´ıa m(B1 ∪ B2 ) = m(B1 ) + m(B2 ) − m(B1 ∩ B2 ), y pasando m(B1 ∩ B2 ) al primer miembro, resulta la f´ ormula que buscamos m(B1 ∪ B2 ) + m(B1 ∩ B2 ) = m(B1 ) + m(B2 ). Obsérvese que esta fórmula se verifica trivialmente cuando m(B1 ∩B2 ) = ∞. Proposici´ on 19.3 Si B1 ⊂ B2 ⊂ . . . ⊂ Bk . . . , es una sucesión creciente de conjuntos medibles, entonces m(∪Bk ) = limk→∞ m(Bk ) Demostraci´ on. Puesto que la sucesión de conjuntos es creciente, es claro que Bk

= B1 ∪(B2 \ B1 ) ∪ . . . ∪(Bk \ Bk−1 ),

∞

∪ Bk = B1 ∪(B2 \ B1 ) ∪ . . .

k=1

y que los conjuntos Bi \ Bi−1 son disjuntos entre s´ı y medibles. Por lo tanto ∞

m( ∪ Bk ) = k=1

∞ X i=1

m(Bi \ Bi−1 ) = lim

k→∞

k X i=1

m(Bi \ Bi−1 ) = lim m(Bk ). k→∞

Nota. Veremos en el siguiente cap´ıtulo que esta propiedad de la medida es también una propiedad de la medida exterior, es decir esta proposición es cierta aunque los conjuntos Bk no sean medibles.

19.5


193

Proposici´ on 19.4 Si B1 ⊃ B2 ⊃ . . . ⊃ Bk . . . , es una sucesión decreciente de conjuntos medibles de medida finita, entonces m(∩Bk ) = limk→∞ m(Bk ) Demostraci´ on. Formemos la sucesión creciente de conjuntos medibles B1 \ B2 ⊂ B1 \ B3 ⊂ . . . B1 \ Bk ⊂ . . . De la proposición anterior resulta que m(∪(B1 \ Bk )) = lim m(B1 \ Bk ). k→∞

Entonces, teniendo en cuenta que ∪(B1 \ Bk ) = B1 \ ∩Bk y que por ser los conjuntos de medida finita, m(B1 \ Bk ) = m(B1 ) − m(Bk ), resulta m(B1 ) − m(∩ Bk ) = m(∪(B1 \ Bk )) = lim m(B1 \ Bk ) = m(B1 ) − lim m(Bk ), k→∞

k→∞

lo que implica que m(∩ Bk ) = lim m(Bk ). k→∞

Nota. Es habitual presentar el resultado anterior con la hip´ otesis m´ as débil, “alguno de los conjuntos Bk es de medida finita”. Para probar que el resultado anterior se mantiene también con esta hipótesis, basta observar que por ser la sucesión de conjuntos monótona decreciente, para cada ´ındice j se tiene que ∞

∞

k=1

k=j

∩ Bk = ∩ Bk .

Por tanto si m(Bj ) < ∞ (que implica m(Bk ) < ∞ para todo k ≥ j), se deduce que ∞

∞

k=1

k=j

m( ∩ Bk ) = m( ∩ Bk ) = lim m(Bk ). k→∞

Los ejemplos siguientes demuestran que sin las hipótesis todos los conjuntos son medibles y de medida finita el resultado anterior no es válido en general. Ejemplos 19.5 1. Sea Bk = (k, ∞), k = 1, 2, . . .. Es claro que m(Bk ) = ∞ ⇒

lim m(Bk ) = ∞,

k→∞

en cambio

∩ Bk = ∅ ⇒ m(∩ Bk ) = 0.

194


19.5

2. Sean V y Vq los conjuntos construidos en el ejemplo de Vitali, V1 , V2 , . . . una numeración de los conjuntos {Vq } y denotemos por Ak = ∪j≥k Vj . Entonces, es fácil comprobar que la sucesión decreciente de conjuntos (no medibles, pero de medida exterior finita) A1 ⊃ A2 ⊃ . . ., satisface

∩ Ak = ∅ ,

m(Ak ) ≥ m(V ) > 0,

luego m(∩Ak ) = 0 mientras que limk→∞ m(Ak ) ≥ m(V ) > 0.

El problema de la medida El ejemplo dado por Vitali puso de manifiesto no s´ olo que la medida exterior de Lebesgue no es σ-aditiva en todo R, sino que es imposible construir una medida (σ-aditiva) para todos los subconjuntos de R, que sea además invariante por traslaciones y asigne a cada intervalo su longitud. En efecto, sea V un conjunto de Vitali contenido, por ejemplo, en A = [−1, 1]. Si µ fuese una medida de estas caracter´ısticas definida en P(X), deber´ıa de verificarse que ½ ¾ X 0 µ(∪ Vq ) = µ(Vq ) = , ∞ seg´ un que µ(V ) = 0 ó µ(V ) > 0. Pero ambas posibilidades se contradicen con el hecho de que [−1, 1] ⊂ ∪ Vq ⊂ [−6, 6]. (Obsérvese que de la aditividad de µ resulta que µ es también monótona). Si bien, después de lo anterior, no resulta posible extender la medida de Lebesgue a P(R), manteniendo la invariancia por traslaciones, s´ı que se han obtenido extensiones de la misma a familias de conjuntos estrictamente más grandes que la σ-´ algebra M de los conjuntos medibles ([19], [17]). Como ya hemos se˜ nalado, la existencia de conjuntos no medibles es consecuencia de la presencia en la teor´ıa de conjuntos del Axioma de Elección(AC). Concretamente, si a los axiomas de la teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) a˜ nadimos (AC), entonces aparecen subconjuntos en R que no son Lebesgue-medibles. Pero esto no significa que sin el axioma de elección, es decir sólo con los axiomas (ZF), se pueda demostrar que todo conjunto es medible. De hecho, si se sustituye (AC) por la Hipótesis del Continuo (Cohen demostró que la hipótesis del continuo es independiente del axioma de elecci´ on [8]), también se pueden construir conjuntos no Lebesgue-medibles en R.

19C


195

Por otra parte Solovay ([27]) ha demostrado que también es concebible un modelo matemático con la axiomática de Zermelo-Fraenkel (ZF), en el que todo subconjunto de R sea Lebesgue-medible. En términos m´ as precisos: La proposición todo subconjunto de R es Lebesgue-medible, es consistente con los axiomas (ZF).

Ejercicios 19A Dar ejemplos de conjuntos medibles B1 ⊂ B2 para los que m(B2 \ B1 ) sea, sucesivamente, igual a 0, 1, ∞. 19B (Teorema de Borel-Cantelli) Sea {Bp } un sucesión de conjuntos medibles y supongamos que ∞ X m(Bp ) < ∞. p=1

Probar que el conjunto P de los puntos de Rn que están en infinitos Bp tiene medida nula. ´ n. Observar que el conjunto P = ∩p ∪j≥p Bj . Indicacio 19C Sea B un conjunto medible contenido en el intervalo cerrado [a, b] y sea h la aplicación de [a, b] en R definida por h(x) = m(B ∩ [a, x]). (a) Probar que h es continua y creciente. (b) Probar que si B es un abierto denso de [a, b] entonces h es estrictamente creciente. (c) Demostrar que para cada n´ umero real 0 ≤ α ≤ m(B) existe un conjunto medible Bα ⊂ B tal que m(Bα ) = α. (d) Demostrar que si m(B) > 0 entonces, para cada 0 < α < m(B), B contiene un subconjunto no medible V tal que m∗ (V ) = α.

Cap´ıtulo 20

Conjuntos de Borel Hemos demostrado ya que la familia M de los conjuntos medibles contiene a todos los abiertos de Rn y, por tanto, a todos los conjuntos que podamos formar a partir de los abiertos mediante las operaciones: paso a complementarios, uniones e intersecciones numerables, etc. Todos estos conjuntos constituirán la familia de conjuntos de Borel, que nos proponemos estudiar en este cap´ıtulo. Veremos que la relaci´ on entre estos conjuntos y los conjuntos medibles es mucho más estrecha que la de una simple relaci´ on de contenido.

´ σ-Algebras En primer lugar, vamos a precisar un concepto al que ya nos hemos referido anteriormente, el de σ-álgebra. Definici´ on 20.1 Sea X un conjunto. Una familia A de subconjuntos de X diremos que forman una σ-álgebra si satisface las condiciones siguientes: 1. Los conjuntos ∅ y X pertenecen a A . 2. A es cerrada por paso al complementario, es decir si B ∈ A entonces Bc ∈ A . 3. A es cerrada respecto a uniones numerables, es decir si Bk ∈ A , k = 1, . . . entonces ∪Bk ∈ A . Procediendo como para la σ-álgebra M , se deduce que si A es una σ-´ algebra entonces A es cerrada también respecto a las intersecciones numerables y respecto a la diferencia de conjuntos. Por otra parte es inmediato comprobar 197

198

Conjuntos de Borel

20.1

que cualquier intersecci´ on de σ-´ algebras es también una σ-álgebra. Esto permite dar la siguiente definición. on 20.2 Dada una familia F de subconjuntos de un conjunto X, Definici´ llamaremos σ-álgebra generada por F, a la menor σ-álgebra que contiene a F. Denotaremos a veces a esta σ-álgebra por σ(F). Es claro que σ(F) está siempre bien definida. De hecho, σ(F) es la intersección de todas la σ-álgebras que contienen a F. (Nótese que al menos hay una σ-álgebra que contiene a F, la familia P(X) de todos los subconjuntos de X).

La σ-´ algebra de Borel Si X es un espacio topológico, a la σ-´ algebra generada por los abiertos de X se le denomina σ-álgebra de Borel. Sabemos que en Rn la σ-álgebra de Borel, B, está contenida en M (existen ejemplos que prueban que esta contención es estricta) y a ella pertenecen adem´ as de los abiertos, los cerrados, los conjuntos Fσ y los Gδ as´ı como los semintervalos etc. Ha sido precisamente la familia de semintervalos la que se ha tomado como base para definir on, que ésta la medida de un conjunto y vamos a demostrar a continuaci´ también puede obtenerse a partir de otras familias de conjuntos Borel, como la de los abiertos, la de los Gδ , compactos etc. Proposici´ on 20.3 Para cada conjunto A ⊂ Rn se tiene: (a) m∗ (A) = inf{m(U ) : U abierto ⊂ A}. (b) Existe un conjunto Gδ , G, que contiene a A y tal que m(G) = m∗ (A). Demostraci´ on. (a) Por la monoton´ıa de la medida exterior, m∗ (A) es menor o igual que la medida de cada abierto que contiene a A. Luego sólo hará falta ver que existen abiertos que contienen a A y de medida tan próxima a la de A como se desee. Sea ε > 0 y (Ij ) una colecci´ on numerable de semintervalos tales que X A ⊂ ∪ Ij , m(Ij ) ≤ m∗ (A) + ε. Consideremos entonces para cada j un semintervalo Kj tal que o

Ij ⊂ Kj ,

m(Kj ) ≤ m(Ij ) +

ε . 2j

20.4

Conjuntos de Borel

199 o

Obviamente A está contenido en el abierto U = ∪ Kj y m(U ) ≤

X

m(Kj ) ≤

X

m(Ij ) + ε ≤ m∗ (A) + 2ε.

(b) Si para cada natural k elegimos un abierto Uk ⊃ A tal que m(Uk ) ≤ m∗ (A) + 1/k, entonces la medida del conjunto Gδ , G = ∩Uk ⊃ A, coincide con la del conjunto A. (Es importante observar que esto no significa que el conjunto G \ A sea de medida nula. De hecho, esto u ´ltimo sólo va ser cierto cuando el conjunto A sea un conjuntos medible, como vamos a ver en el siguiente teorema). Teorema 20.4 Para un conjuto B de Rn , las condiciones siguientes son equivalentes (i) B es medible. (ii) Para cada ε > 0 existe un abierto U ⊃ B tal que m∗ (U \ B) < ε. (iii) Para cada ε > 0 existe un cerrado F ⊂ B tal que m∗ (B \ F ) < ε. (iv) Existe un conjunto Gδ , G ⊃ B, tal que m∗ (G \ B) = 0. (v) Existe un conjunto Fσ , H ⊂ B, tal que m∗ (B \ H) = 0. on. Si B es un conjunto medible de medida finita y U es un Demostraci´ conjunto abierto que contiene a B con m(U ) < m(B) + ε, entonces m(U \ B) = m(U ) − m(B) < ε. Si, por el contrario, m(B) = ∞, sea {Ck } una partición numerable de Rn por conjuntos de medida finita (por ejemplo semicubos). Entonces, llamando Bk = B ∩ Ck y considerando un abierto Uk ⊃ Bk con m(Uk \ Bk ) < ε/2k , se tiene X m(Uk \ Bk ) < ε. U = ∪ Uk ⊃ B y m(U \ B) ≤ m(∪(Uk \ Bk )) ≤ Esto demuestra que i) implica ii). ii) implica iv) Tomemos para cada natural p un abierto Up ⊃ B tal que m∗ (Up \ B) < ε/p. Entonces el conjunto G = ∩Up satisface la condición iv), pues m∗ (G \ B) ≤ m∗ (Up \ B) < 1/p, ∀p ⇒ m∗ (G \ B) = 0.

200

Conjuntos de Borel

20.4

iv) implica i) En efecto, escribamos B = G \ Z con Z = G \ B. Entonces, por la condición iv), Z es un conjunto de medida nula, luego medible. Resulta as´ı que B se escribe como diferencia de dos conjuntos medibles y es, por tanto, también un conjunto medible. Para probar que la condición ii) es también equivalente a las ya vistas, procedemos as´ı: B es medible si y sólo si B c es medible si y sólo si para cada ε > 0 existe un abierto U ⊃ B c tal que m∗ (U \ B c ) < ε. Como U \ Bc = B \ U c, denotando por F al cerrado U c , se deduce de lo anterior que B es medible si y sólo si para cada ε > 0 existe un cerrado F ⊂ B tal que m∗ (B \ F ) < ε. De forma análoga se demuestra que la condición v) es también equivalente a las otras. Corolario 20.5 Un conjunto L es medible si y sólo si es de la forma L = B ∪ Z, donde B es un conjunto Borel y Z es un subconjunto de un Borel N de medida nula. Demostraci´ on. El teorema anterior establece que L es medible si y sólo si existen dos conjuntos H, G (Fσ y Gδ respectivamente), tales que H ⊂ L ⊂ G y m(G \ L) = m(L \ H) = 0. Entonces, el corolario resulta ya tomando B = H, Z = L \ H y N = B2 \ B1 . Como vemos, los conjuntos medibles quedan perfectamente determinados a algebra de Borel. Este hecho suele expresarse partir de los conjuntos de la σ-´ diciendo que la σ-álgebra M de los conjuntos Lebesgue-medibles es la compleción respecto a la medida de Lebesgue de la σ-álgebra B de los conjuntos Borel.

Transformaciones de medibles En esta sección vamos a considerar un tipo particular de transformaciones de Rn que mantiene el carácter medible de los conjuntos, dentro del que se encuentran las aplicaciones de clase C 1 . Nosotros usaremos este hecho posteriormente en el Cap´ıtulo 27, dedicado al cambio de variables en la integral. Debemos se˜ nalar que el carácter medible no es una propiedad topológica, es decir no es invariante frente homeomorfismos (ver Ejercicio 20C).

20.7

Conjuntos de Borel

201

Lema 20.6 Sea T : U ⊂ Rn → Rn una aplicación lipschitziana, de constante k respecto de la norma k · k∞ . Entonces, (a) Para todo cubo Q contenido en U se tiene que m∗ (T (Q)) ≤ k n m(Q). (b) T transforma conjuntos de medida nula en conjuntos de medida nula. Demostraci´ on. (a) Sea u0 el centro de Q y l el lado. Puesto que T es lipschitziana, kT (u) − T (u0 )k∞ ≤ kku − u0 k∞ ≤ k l/2 ,

∀u ∈ Q

lo que nos indica que T (Q) está contenido en un cubo centrado en T (u0 ) y de lado k l. Por tanto m∗ (T (Q)) ≤ (k l)n = k n m(Q) (b) Sea Z un conjunto de medida nula y V un conjunto abierto tal que Z ⊂ V ; m(V ) < ε Escribamos V = ∪Ck , como unión numerable de semicubos disjuntos. Entonces X m∗ (T (Z)) ≤ m∗ (T (V )) ≤ m∗ (T (Ck )) X ≤ k n m(Ck ) = k n m(V ) < k n ε. Del carácter arbitrario de ε se deduce ya que m∗ (T (Z)) = 0. Proposici´ on 20.7 Si T : U ⊂ Rn → Rn una aplicación localmente lipschitziana en el abierto U , entonces la imagen por T de cada conjunto medible es medible. Demostraci´ on. Sea B ⊂ U un conjunto medible. Por tanto B = H ∪Z donde H es un Fσ y Z un conjunto de medida nula. Es fácil comprobar que H puede escribirse como unión numerable de conjuntos compactos y por tanto T (H) (debido a la continuidad de T ) es también un conjunto Fσ . Para que T (B) sea medible sólo habrá que ver que T (Z) es un conjunto de medida cero. En efecto, consideremos para cada u del abierto U una bola abierta contenida en U , donde T sea una aplicación lipschitziana. Entonces, teniendo en cuenta que cada subconjunto de Rn tiene la propiedad de Lindelöf, podemos escribir ∞

U = ∪ B(ui , ri ). i=1

202

Conjuntos de Borel

20.7

Si denotamos entonces por Zi = Z ∩ B(ui , ri ), para que el conjunto T (Z) sea de medida nula bastará con que cada uno de los conjuntos T (Zi ) lo sea. Pero esto u ´ltimo es consecuencia directa del lema anterior, ya que T es lipschitziana sobre B(ui , ri ). Corolario 20.8 Toda transformaci´ on de Rn que sea lineal o de clase C 1 lleva conjuntos medibles sobre conjuntos medibles. Demostraci´ on. Estas aplicaciones son localmente lipschitzianas.

Otras propiedades de m∗ Vamos a considerar en esta secci´ on dos nuevas propiedades de la medida exterior de Lebesgue: su buen comportamiento de la misma respecto al paso al l´ımite en sucesiones crecientes de conjuntos (no necesariamente medibles) y también respecto a la medida de un producto cartesiana de conjuntos. Ambas propiedades las usaremos en el cap´ıtulo siguiente para obtener el teorema caracterización de las funciones medibles. Proposici´ on 20.9 Si A1 ⊂ A2 ⊂ . . ., es una sucesión no decreciente de conjuntos entonces m∗ (∪ Ak ) = lim m∗ (Ak ) k→∞

Demostraci´ on. Sean Gk , k = 1, . . ., conjuntos Gδ tales que Gk ⊃ Ak y m(Gk ) = m∗ (Ak ). Si la sucesión {Gk } fuese también creciente, se tratar´ıa de aplicar el resultado, ya probado, de idéntica formulaci´ on que el que buscamos, pero con conjuntos medibles. Como esto, en general, no sucede, vamos a construir la sucesión ∞

∞

j=1

j=2

B1 = ∩ Gj , B2 = ∩ Gj , . . . , Los conjuntos {Bk } son también medibles y constituyen una sucesión creciente. Además Bk ⊃ Ak y m∗ (Ak ) ≤ m(Bk ) ≤ m(Gk ) = m∗ (Ak ), luego m∗ (∪ Ak ) ≤ m(∪ Bk ) = lim m(Bk ) = lim m∗ (Ak ) ≤ m∗ (∪ Ak ). k→∞

k→∞

20.10

Conjuntos de Borel

203

Vamos a obtener ahora un caso particular de la f´ ormula m∗ (A × B) = ∗ ∗ m (A) · m (B), concretamente aquél en que B es un intervalo. Ver [24] para una demostración en el caso general. Proposici´ on 20.10 Para todo conjunto A de Rn y para todo semintervalo p J de R se tiene que m∗ (A × J) = m∗ (A) · m(J). Demostraci´ on. Vamos a considerar varias etapas: (1) Es inmediato que la fórmula se verifica si A es un semintervalo o un conjunto abierto. (2) Si A, B son dos conjuntos de medida finita, entonces m∗ (A × B) ≤ m∗ (A) · m∗ (B). Para cada ε > 0, se pueden encontrar dos colecciones numerables de semintervalos {Ik }, {Js } tales que X X A ⊂ ∪ Ik , B ⊂ ∪ Js y m(Ik ) ≤ m∗ (A) + ε, m(Js ) ≤ m∗ (B) + ε S resulta entonces que A × B ⊂ Ik × Js y X X X X m(Ik × Js ) = m(Ik ) · m(Js ) = m(Ik )( m(Js )) ≤ k,s

k,s

X

k

s

m(Ik )(m∗ (B) + ε) ≤ (m∗ (A) + ε) · (m∗ (B) + ε) =

k

m∗ (A) · m∗ (B) + εm∗ (A) + εm∗ (B) + ε2 . Puesto que ε es arbitrario y los conjuntos tienen medida finita , de lo anterior se deduce finalmente que m∗ (A × B) ≤ m∗ (A) · m∗ (B). (3) Si m∗ (A) = 0, entonces m∗ (A×B) = 0 cualquiera que sea el conjunto B. Por la desigualdad anterior, esto es evidentemente cierto si el conjunto B es de medida finita. En el caso de que m∗ (B) = ∞, descomponiendo el conjunto B como unión numerable de conjuntos Bp de medida finita, se tendr´ıa A × B = ∪ A × Bp es decir A × B es una unión numerable de conjuntos de medida nula, luego él también es de medida nula.

204

Conjuntos de Borel

20.10

Nota. Para que la desigualdad m∗ (A × B) ≤ m∗ (A) · m∗ (B) tenga validez en todo caso, sólo habr´ıa que convenir en tomar en este contexto 0 · ∞ = 0 y α · ∞ = ∞ si α 6= 0. Lema 20.11 Si A × K ⊂ U , donde K es un compacto y U un abierto, entonces existe un abierto O tal que A × K ⊂ O × K ⊂ U.

(4) Para cada conjunto A y cada semintervalo J, se verifica la siguiente fórmula m∗ (A × J) = m∗ (A) · m(J). Sea U un abierto tal que A × J ⊂ U, y m(U ) ≤ m∗ (A × J) + ε y sea O un abierto tal que A × J ⊂ O × J ⊂ U . Entonces m∗ (A) · m(J) ≤ m(O) · m(J) = m(O) · m(J) = m(O × J) ≤ m(O × J) ≤ m(U ) ≤ m∗ (A × J) + ε. Por el carácter arbitrario de ε, se deduce que m∗ (A) · m(J) ≤ m∗ (A × J) y, por tanto, también se da la igualdad ya que la desigualdad contraria la hemos demostrado antes. Que también, m∗ (A × J) = m∗ (A) · m(J), se obtiene del hecho de que Z = J \ J es un conjunto de medida nula, se tiene que (20.1)

m∗ (A × J) ≤ m∗ (A) · m(J) = m∗ (A) · m(J) = m∗ (A × J) ≤ m∗ (A × J) + m∗ (A × Z) = m∗ (A × J).

Observemos que para la demostraci´ on de 20.1 s´ olo se ha necesitado que el conjunto Z sea de medida nula, por lo tanto la fórmula es válida para J un intervalo de cualquier tipo. Corolario 20.12 Si L1 ⊂ Rn y L2 ⊂ Rp son conjuntos medibles entonces el conjunto L1 × L2 es medible. Demostraci´ on. Escribiendo Li = Bi ∪ Zi , i = 1, 2, con Bi Borel y Zi de medida nula, podemos descomponer L1 × L2 como unión de medibles de la siguiente forma (ver Ejercicio 20A) L1 × L2 = B1 × B2 ∪ B1 × Z2 ∪ Z1 × B2 ∪ Z1 × Z2 .

20G

Conjuntos de Borel

205

Ejercicios 20A Demostrar que la σ-álgebra de Borel en Rn está generada por las siguientes familias de conjuntos: Los semintervalos, los conjuntos compactos, los conjuntos del tipo {(x1 , . . . , xn ) : x1 ≤ b1 , . . . , xn ≤ bn }. 20B Sean X, Y espacios topológicos (a) Probar que si h es una aplicación continua de X en Y entonces la contraimagen por h de un conjunto de Borel en Y es un conjunto de Borel de Y . (b) Utilizar que las proyecciones en un producto topológico son continuas para probar que el producto cartesiano de un conjunto de Borel de X y un conjunto de Borel de Y es un conjunto de Borel en X × Y . 20C Sea B un abierto denso de [0, 1] tal que m(B) < 1 (por tanto m([0, 1]\B) > 0). (a) Demostrar que la aplicación ϕ(x) =

m(B ∩ [0, x]) m(B)

es un homeomorfismo de [0, 1] en [0, 1] (ver ejercicio (19C). (b) Probar que m(ϕ(B)) = 1. (c) Sea V un conjunto no medible contenido en [0, 1] \ B. Probar que ϕ(V ) es un conjunto medible que no es un conjunto de Borel. (d) Observar que ϕ no mantiene el carácter medible de los conjuntos, a pesar de ser un homeomorfismo. 20D Demostrar que si B es un conjunto medible, entonces m(B) = sup{m(K) : K compacto ⊂ B}. Rec´ıprocamente, si la fórmula anterior es cierta y B es de medida finita, entonces B es medible. 20E Probar que todo subespacio vectorial propio de Rn es un conjunto de medida nula de Rn . 20F Probar que la gráfica de toda función continua f : U ⊂ Rn → Rp , donde U es un conjunto abierto, es un conjunto de medida nula. En particular, probar que toda variedad diferenciable de Rk de dimensión n < k es un conjunto de medida nula de Rk . 20G Probar que para un conjunto B ⊂ Rn son equivalentes: (a) B es medible. (b) B × Rp es medible. (c) Si J es un semintervalo, B × J es medible.

Cap´ıtulo 21

Caracterizaci´ on de Funciones Medibles Una vez estudiada en los cap´ıtulos anteriores la medida de Lebesgue en Rn , vamos a desarrollar ahora la integraci´ on en el sentido de Lebesgue. La idea básica será llamar integral de una función no negativa a la medida de su afica). conjunto de ordenadas (o subyacente a su gr´

Definiciones y resultados previos Sea f una función de Rn en [0, ∞], llamaremos conjunto de ordenadas de la función f al conjunto Ord (f ) = {(x, y) ∈ Rn × [0, ∞) : 0 ≤ y < f (x)}.

Definici´ on 21.1 Una función no negativa f : Rn → [0, ∞] se dirá medible, si el conjunto Ord(f ) es un conjunto medible de Rn+1 . Llamaremos integral de la función medible (no negativa) f a Z f = m(Ord (f )).

un Nota. El suponer que una función medible pueda tomar el valor ∞ en alg´ punto tendrá como ventaja una mayor comodidad en los c´ alculos. Además, 207

208

Caracterizaci´ on de Funciones Medibles

21.1

muchos resultados podrán ser formulados de manera más sencilla al poderse englobar en un mismo enunciado casos particulares que de otro modo deber´ıan figurar aparte. R Aunque algunas de las propiedades del operador pod´ıan ser establecidas ahora, la fundamental de todas ellas, la linealidad, la demostraremos a partir del que puede considerarse como teorema principal de la integración Lebesgue: el teorema de caracterización de funciones medibles. Para su demostración necesitaremos algunos resultados previos: Lema 21.2 Sea f una función medible no negativa, b un n´ umero real no negativo yRB un conjuntoR medible de Rn . Entonces la función f + bXB es medible y (f + bXB ) = f + bm(B) (en esta igualdad convenimos en que 0 · ∞ = 0) on. Seg´ un la definición, la función f + bXB será medible si es Demostraci´ medible su conjunto de ordenadas. Es f´ acil intuir (con la ayuda de alg´ un dibujo) e inmediato de comprobar que Ord (f + bXB ) =B × [0, b) ∪ B c × R ∩ Ord (f ) ¡ ¢ ∪ (0, b) + (Ord (f ) ∩ B × R) . Se tiene pues que Ord (f + bXB ) es un conjunto medible ya que es unión de tres conjuntos medibles disjuntos. Teniendo en cuenta que la medida es invariante por traslaciones, se deduce además que Z (f + bXB ) = m(Ord (f + bXB )) = bm(B) + m(Ord (f ). Lema 21.3 (Teorema de la convergencia mon´ otona) Si {fk } es una sucesión creciente de funciones medibles no negativas y f (x) = lim fk (x), entonces f es una función medible y Z Z f = lim fk .

k→∞

k→∞

on. Como las funciones fk son medibles y 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ . . ., enDemostraci´ tonces, por definición, los conjuntos Ord (fk ) son medibles, y es fácil deducir que Ord (f1 ) ⊂ Ord (f2 ) ⊂ . . .

21.6


209

Además, por ser f (x) = limk→∞ fk (x), también se obtiene fácilmente que Ord (f ) = ∪ Ord (fk ), por tanto f es una función medible ya que Ord (f ) es una unión numerable de conjuntos medibles, pudiéndose calcular entonces su integral en la forma Z Z f = m(Ord (f )) = lim m(Ord (fk )) = lim fk . k→∞

k→∞

Corolario 21.4 Sea {bk } una colección finita o infinita numerable de n´ umeros reales no negativos y sea, para cada k, B un conjunto medible. Entonces k R P P la función t = bk XBk es medible y t = bk m(Bk ). Demostraci´ on. Razonemos por inducción para probar el caso Rfinito del corolario: si t = bXB , entonces Ord (f ) = B × [0, b), por tanto t = bm(B) (realmente esta demostración no era necesaria ya que este caso se deduce del lema 21.2, sin más que tomar f = 0). Supongamos como P hipótesis de inducción que el resultado es cierto para p − 1 y sea t = pk=1 bk XBk . R P P Entonces la función f = p−1 f = p−1 k=1 bk XBk es medible y k=1 bk m(Bk ). Aplicando ahora el lema 21.2, se deduce que t = f + b X p Bp es medible y R R Pp t = f + bp m(Bp ) = k=1 bk m(Bk ). El caso infinito se deduce ya del teorema P de la convergencia monótona aplicado a la sucesión de funciones medibles { pk=1 bk XBk }. Definici´ on 21.5 Llamaremos función simple a toda función de la forma X bk XBk , s= finita

donde para cada k, bk es un n´ umero real (por tanto 6= ±∞) y Bk un conjunto medible. Cuando los conjuntos Bk sean intervalos, se dirá que s es una función escalonada. Corolario 21.6 Toda función simple no negativa es medible. Demostraci´ on. Se deduce del corolario 21.4, sin m´ as que observar que “una funci´ olo puede expresarse en la forma s = X on simple s es no negativa si y s´ bk XBk con todos los coeficientes bk ≥ 0” (ver ejercicio 21A). f inita

210


21.7

El teorema principal Teorema 21.7 Para una función f de Rn en [0, ∞], las siguientes condiciones son equivalentes: (i) f es medible. (ii) Para cada n´ umero real α, el conjunto f −1 (α, +∞] = {x : f (x) > α} es medible. (iii) Existe una sucesión no decreciente de funciones simples no negativas, que converge puntualmente hacia f . Abreviadamente, 0 ≤ sk % f. Demostraci´ on. i) implica ii). Sea α un n´ umero real y denotemos A(α) = {x : f (x) > α}. Como f ≥ 0, si α < 0, el conjunto A(α) = Rn , que es medible. Supongamos entonces α ≥ 0. Sea I un semintervalo de Rn y veamos que el conjunto A(α) satisface la identidad de Caratheodory, es decir que m(I) = m∗ (I ∩ A(α)) + m∗ (I \ A(α). Para ello, consideremos el semintervalo J = I × (α, α + 1/k] y utilicemos la hipótesis, f medible, o sea que (21.1)

m(J) = m(J ∩ Ord (f )) + m(J \ Ord (f )).

Es fácil comprobar (y de constatar mediante un dibujo adecuado) que J ∩ Ord (f ) ⊃ I ∩ A(α + 1/k) × (α, α + 1/k], J \ Ord (f ) ⊃ I \ A(α) × (α, α + 1/k]. Teniendo en cuenta en 21.1 estas inclusiones y la f´ ormula 20.10, se obtiene m(J) = 1/k · m(I) ≥ 1/k · m∗ (I ∩ A(α + 1/k)) + 1/k · m∗ (I \ A(α)), que implica (21.2)

m(I) ≥ m∗ (I ∩ A(α + 1/k)) + m∗ (I \ A(α)).

Para terminar sólo nos queda eliminar 1/k en A(α + 1/k). Esto es posible gracias a que la sucesi´ on de conjuntos, {I ∩ A(α + 1/k)}, es mon´ otona creciente y, como puede verificarse fácilmente, I ∩ A(α) = ∪ I ∩ A(α + 1/k),

21.7


211

entonces de la proposición 20.9 se deduce que m∗ (I ∩ A(α)) = lim m∗ (I ∩ A(α + 1/k)). k→∞

Teniendo en cuenta, por u ´ltimo, que la desigualdad 21.2 es cierta para todo k, se tiene que m(I) ≥ m∗ (I ∩ A(α) + m∗ (I \ A(α)), lo que demuestra que A(α) es medible. ii) implica iii). La demostración de esta implicación se basa en una técnica clásica de aproximación uniforme: dado ε > 0 consideremos la función   si f (x) ≤ ε 0 t(x) = (p − 1)ε si (p − 1)ε < f (x) ≤ pε   ∞ si f (x) = ∞. Es obvio entonces que para cada x ∈ Rn tal que f (x) < ∞ se tiene que 0 ≤ f (x) − t(x) ≤ ε. Por lo tanto la sucesión {tk } construida de esta forma para los sucesivos valores de ε = 1/2k , k = 1, 2, ..., converge a la función f (observemos que esta convergencia es uniforme si f es una función finita, i.e., que no toma el valor +∞ en ning´ un punto). También es cierto que la sucesión {tk } es monótona creciente. En efecto, sea x ∈ Rn : si f (x) = 0 ó f (x) = ∞ entonces tk (x) = tk+1 (x); si 0 < f (x) < ∞ y p es el n´ umero natural para el que (p − 1)/2k < f (x) ≤ p/2k , entonces tk (x) = (p−1)/2k . Para calcular el valor de tk+1 en ese punto basta observar que la condición (p − 1)/2k < f (x) ≤ p/2k puede expresarse (sin más que multiplicar y dividir por 2) por (2p − 2)/2k+1 < f (x) ≤ 2p/2k+1 , luego tk+1 (x) = (2p − 2)/2k+1 = (p − 1)/2k ó tk+1 (x) = (2p − 1)/2k+1 , seg´ un que (2p − 2)/2k+1 < f (x) ≤ (2p − 1)/2k+1 ó (2p − 1)/2k+1 < f (x) ≤ 2p/2k+1 . En cualquier caso tk (x) ≤ tk+1 (x). Pero las funciones tk no son necesariamente simples: si llamamos Bk1 = {x ∈ Rn : f (x) ≤ 1/2k }, Bkp = {x ∈ Rn : (p−1)/2k < f (x) ≤ p/2k } (p > 1), es claro que estos conjuntos son disjuntos y por tanto la funci´ on (P ∞ k p=1 (p − 1)/2 XBkp (x) si f (x) < ∞ tk (x) = ∞ si f (x) = ∞, toma un n´ umero finito de valores s´ olo cuando a partir de un ´ındice p todos los conjuntos Bkp son vac´ıos (para una función finita si y sólo si f es acotada). Sin embargo, a partir de la sucesión {tk }, vamos a poder construir la sucesión de funciones simples que buscamos: Sea sk = tk ∧ k. Se tiene entonces:

212


21.7

1. sk ≤ sk+1 . Trivial 2. limk→∞ sk (x) = f (x). Si f (x) = ∞ entonces sk (x) = k, luego limk→∞ sk (x) = ∞. Si f (x) < ∞ entonces a partir de alg´ un término (que depende de x, salvo que f sea una función acotada) sk (x) = tk (x) y limk→∞ sk (x) = limk→∞ tk (x) = f (x) (uniformemente si f es acotada). 3. sk es una función simple. Es fácil comprobar que k

sk =

k2 X

(p − 1)/2k XBkp + kXCk ,

p=1

donde Ck = {x : f (x) > k}. Entonces sk es simple ya que por hipótesis f satisface la condici´ on ii) y, por tanto, los conjuntos Bkp y Ck son medibles: Bkp = {x ∈ Rn : (p − 1)/2k < f (x) ≤ p/2k } = {x ∈ Rn : (p − 1)/2k < f (x)} ∩ {x ∈ Rn : f (x) > p/2k }c . iii) implica i). Sea 0 ≤ sk % f , siendo sk simple. Como, por el corolario 21.6, sk es medible, se deduce del teorema de la convergencia mon´ otona que f es medible y además que Z (21.3) f = lim sk . k→∞

Nota. La conclusión 21.3 significa obviamente que si f es una función medible no negativa entonces Z Z © ª f = sup s : s simple, 0 ≤ s ≤ f . En los textos sobre teor´ıa de la medida, es habitual definir as´ı la integral de una función medible no negativa. Corolario 21.8 Sean f, g funciones medibles no negativas y c ∈ R+ . Entonces las funciones f + g y cf son medibles y se tiene que Z Z Z Z Z (f + g) = f + g; cf = c f. Demostraci´ on. Demostraremos sólo lo que respecta a la suma, de forma análoga se puede proceder para la multiplicaci´ on por escalares. Sean pues f, g medibles no negativas; supongamos, en primer lugar que son simples.

21C


213

Entonces f + g también es simple y porR tanto,R seg´ un el corolario 21.4, se R tiene que f + g es medible y (f + g) = f + g. En el caso general, sean 0 ≤ sk % f, 0 ≤ tk % g, dos sucesiones no decrecientes de funciones simples no negativas, convergiendo a f y a g, respectivamente. Entonces 0 ≤ sk + tk % f + g, por lo que, aplicando el teorema de la convergencia monótona y la etapa anterior, se deduce que µZ Z Z Z ¶ Z Z (f + g) = lim (sk + tk ) = lim sk + tk = f + g. k→∞

k→∞

Ejercicios 21A (a) Probar que una función s : Rn → R es simple si y sólo si toma un n´ umero finito de valores y para cada α ∈ R el conjunto s−1 (α) es medible. (b) Probar que la funci´ Xon simple s es no negativa si y sólo si se puede expresar en la forma s = bk XBk con todos los coeficientes bk ≥ 0. f inita

21B (a) Probar que toda función medible f ≥ 0 puede expresarse en la forma X f= bk XBk . k∈D⊂N

(b) Probar que si Gk es P un conjunto Gδ tal que Bk ⊂ Gk y m(Gk \ Bk ) = 0 entonces {x : f (x) 6= bk XGk } es un conjunto de medida nula. 21C (a) Probar que si B es un conjunto medible de Rn y de medida finita, entonces para cada ε > 0 existe un conjunto E que es unión finita de semintervalos tal que m(B∆E) < ε (B∆E = (B \ E) ∪ (E \ B)). (b) Probar la fórmula |XB − XE | = XB∆E . (c) Sea f ≥ 0 una función medible. Probar que si {sp } es una sucesión de funciones simples tal que 0 ≤ sp % f , entonces tp = sp X{x : kxk≤p} es otra sucesión de funciones simples que verifica 0 ≤ tp % f . (d) Sea f ≥ 0 una función medible. Utilizar el teorema de Borel-Cantelli (Ejercicio 19B) y los apartados anteriores para construir una sucesión de funciones escalonadas {αp } que converja en casi todo punto de Rn a f , es decir tal que {x : {αp (x)} no converge a f(x)} sea de medida nula.

Cap´ıtulo 22

Espacio de Funciones Medibles Igual que la σ-álgebra de los conjuntos medibles, la familia de funciones medibles, además de contener a todas las funciones “razonables”(por supuesto son medibles todas las continuas, las integrables en el sentido de Riemann etc.), goza de muy buenas propiedades algebraicas, que nos proponemos estudiar en este cap´ıtulo. Antes vamos a generalizar la definici´ on de función medible dada en el cap´ıtulo anterior.

Definiciones y ejemplos De las tres definiciones equivalentes de función medible no negativa que proporciona el teorema 21.7, la que resulta más cómoda para trabajar con ella es la (ii). Nosotros vamos a adoptar esta definici´ on para extender el concepto de función medible al caso general de funciones con signo variable y cuyo dominio de definición pueda ser un subconjunto propio de Rn . Definici´ on 22.1 Sea B un conjunto medible de Rn y f una función con valores en R, cuyo dominio de definición contiene a B. Se dirá que f es medible sobre B o que f|B es medible si, para cada α ∈ R, el conjunto {x ∈ B : f (x) > α} es medible. Consecuencia directa de la definición es la siguiente proposición Proposici´ on 22.2 Sean B1 , B2 conjuntos medibles contenidos en el dominio de una función f . 215

216

Espacio de Funciones Medibles

22.2

(a) Si B1 ⊂ B2 y f|B2 es medible, entonces f|B1 también es medible. (b) f|B1 ∪B2 es medible si y sólo si f|B1 y f|B2 son medibles. Demostraci´ on. Es inmediato. Ejemplos 22.3 El primer ejemplo de función medible que hemos visto es el de función simple. De la caracterización dada para las funciones medibles, es inmediato comprobar que también va a ser medible cada función continua y más precisamente, 1. Sea f una función definida sobre el conjunto medible B. Supongamos que el conjunto D(f ) de los puntos de discontinuidad de f es de medida nula, entonces f es medible sobre B. En efecto, denotemos por C(f ) al conjunto de puntos de continuidad de f (C(f ) es medible, pues C(f ) = B \ D(f )). Como hipótesis se tiene entonces que f|C(f ) es continua. Veamos que {x ∈ B : f (x) > α} es un conjunto medible. {x ∈ B : f (x) > α} = {x ∈ C(f ) : f (x) > α} ∪ {x ∈ D(f ) : f (x) > α}. El conjunto {x ∈ C(f ) : f (x) > α} = f|−1 (α, +∞] C(f )

es, debido a la continuidad de f|C(f ) , abierto en el subespacio C(f ), es decir que {x ∈ C(f ) : f (x) > α} = O ∩ C(f ), donde O es un abierto de Rn , luego es un conjunto medible. Como D(f ) es de medida nula, se deduce ya lo que quer´ıamos, es decir que {x ∈ B : f (x) > α} es un conjunto medible. En particular, se deduce de lo anterior que 2. Toda función Riemann integrable sobre un intervalo [a, b] es medible sobre él. Por el teorema de Lebesgue de caracterización de las funciones Riemann integrables, sabemos que estas funciones son continuas salvo en un conjunto de medida cero, luego son medibles. 3. Existen funciones medibles que no son continuas en ning´ un punto

22.3


217

Quizás la más famosa de estas funciones sea la “función de Dirichlet”, f = XQ , es decir la función que vale 1 sobre los racionales y 0 sobre los irracionales (O mejor, su restricción a un intervalo Racotado, g = XQ∩[a,b] ). g es una función simple, luego es medible, siendo g = m(Q ∩ [a, b]) = 0. Observemos que g constituye un ejemplo de una función cuya integral en el sentido de Lebesgue existe, pero no as´ı en el de Riemann, ya que es discontinua en todo punto y por tanto no es R-integrable. Como antes con los conjuntos no medibles, la presencia en la Teor´ıa de Conjuntos del Axioma de Elección hace que también existan funciones no on entre conjuntos medibles. De hecho se puede establecer la siguiente relaci´ y funciones (no) medibles: 3. Un conjunto B es medible si y sólo si la función XB es medible. En efecto, si B es medible entonces XB es una funci´ on simple y, por tanto, medible. Rec´ıprocamente si XB medible entonces B = {x : XB (x) > 0} es medible.

Aritm´ etica en [−∞, ∞] Cada vez que hemos trabajado con R = R ∪ {−∞, +∞}, se ha usado de forma más o menos expl´ıcita un orden, una topolog´ıa y una aritmética, que respeta las estructuras ya existentes en R. Y de nuevo ahora, para el estudio de las funciones medibles, tendremos necesidad de hacerlo. As´ı, respecto al orden, R es el resultado de a˜ nadir al conjunto totalmente ordenado R, un primer elemento (−∞) y un u ´ltimo elemento (+∞). Justamente usamos este orden, al expresar el hecho de que la medida de un umero real en la forma m∗ (A) = ∞. conjunto A sea mayor que cualquier n´ La convergencia de una sucesión de n´ umeros reales (xk ) a +∞ cobra el sentido habitual de convergencia hacia un punto de un espacio topológico, cuando se define en R la topolog´ıa que tiene como base de abiertos los abiertos de R y los intervalos de la forma [−∞, a), (b, +∞]. En cuanto a la aritmética de R, ya hemos hecho uso de ella, por ejemplo, cuando dec´ıamos que la fórmula m(A ∪ B) = m(A) + m(B) es v´ alida para cada par de conjuntos medibles y disjuntos, conviniendo en que si m(A) = ∞ entonces m(A) + m(B) = ∞ + m(B) = +∞, y as´ı poder expresar con esa fórmula el hecho cierto de que si uno de los conjuntos mide +∞, entonces el conjunto A ∪ B también mide +∞. Otro de los convenios aritméticos, habituales en teor´ıa de la medida y la integraci´ on, es definir 0 · ∞ = 0. Se utilizará este convenio para definir el producto de dos funciones medibles en

218


22.3

todo punto y para recoger también en la fórmula m∗ (A1 × A2 ) = m∗ (A1 ) · m∗ (A2 ), el resultado “el producto cartesiano de un conjunto de medida nula por otro de medida arbitraria es de medida nula” (Conviene observar cierta cautela a la hora de usar que 0·∞ = 0, no vaya a resultar falso el resultado o la fórmula en que se emplee). Por el contrario, es habitual no definir ∞ − ∞. Desde el punto de vista de la teor´ıa de la medida, para mantener la validez de la fórmula sobre conjuntos medibles A1 ⊂ A2 , ⇒ m(A2 \ A1 ) = m(A2 ) − m(A1 ), no es preciso definir ∞ − ∞, ya que dicha f´ ormula sólo es válida cuando m(A1 ) < ∞. Por otra parte, puede comprobarse (Ejercicio) que si se definiese, por ejemplo, ∞ − ∞ = 0, la suma dejar´ıa de ser asociativa en R. Concretando, la aritmética que supondremos en R, y respecto a la cual hablaremos de la suma, producto, etc., de funciones será la siguiente: α + ∞ = +∞, ∀α 6= −∞ α − ∞ = −∞, ∀α = 6 +∞ α · ∞ = ±∞, ( Seg´ un regla de los signos ), α 6= 0 0·∞=0 ∞ − ∞, No se define . Es importante tener en cuenta que los puntos ∞ y −∞ no deben transponerse, en general, en una igualdad o desigualdad en la que estén involucrados, ya que éstos no admiten ni elemento opuesto ni inverso. Por otra parte, es posible comprobar que las propiedades habituales de las operaciones con umeros reales siguen teniendo vigencia en R con esta aritmética. En parn´ ticular es inmediato verificar que la bien conocida propiedad a≤b c≤d

⇒ a+c≤b+d

sigue siendo válida en R, siempre que a + c y b + d , sean distintos de ∞ − ∞

Propiedades de las funciones medibles En esta sección vamos a analizar el comportamiento de las funciones medibles respecto a las operaciones usuales. El siguiente lema y su corolario serán de uso frecuente. Lema 22.4 Sea B un conjunto medible de Rn y f una función con valores en R y cuyo dominio de definición contiene a B. Entonces, son equivalentes:

22.5


219

(i) Para cada n´ umero real α, el conjunto {x ∈ B : f (x) > α} es medible. (ii) Para cada n´ umero real α, el conjunto {x ∈ B : f (x) ≤ α} es medible. (iii) Para cada n´ umero real α, el conjunto {x ∈ B : f (x) < α} es medible. (iv) Para cada n´ umero real α, el conjunto {x ∈ B : f (x) ≥ α} es medible. Demostraci´ on. Es claro que i) y ii) son equivalentes y también iii) y iv), ya que los conjuntos involucrados en sus respectivos enunciados son complementarios respecto a B uno del otro. Veamos, por ejemplo, que también son equivalentes i) y iv). En efecto, si suponemos medible cada conjunto de la forma {x ∈ B : f (x) > α}, entonces el conjunto {x ∈ B : f (x) ≥ β} puede escribirse como intersección numerable de conjuntos de esa forma: {x ∈ B : f (x) ≥ β} =

∞ \

{x ∈ B : f (x) > β − 1/k},

k=1

por lo que también resulta medible. Del mismo modo se procede para establecer que iv) implica i). Corolario 22.5 Si f, g son funciones medibles sobre el conjunto medible B, entonces también son medibles los conjuntos {x ∈ B : f (x) < g(x)}, {x ∈ B : f (x) ≤ g(x)}, {x ∈ B : f (x) = g(x)}. Demostraci´ on. Todo resulta de la observaci´ on siguiente: [ {x ∈ B : f (x) < g(x)} = {x ∈ B : f (x) < q < g(x)}. q∈Q

Seg´ un esto, el conjunto {x ∈ B : f (x) < g(x)} es unión numerable de conjuntos medibles, pues para cada n´ umero racional q {x ∈ B : f (x) < q < g(x)} = {x ∈ B : f (x) < q} ∩ {x ∈ B : q < g(x)}. El conjunto {x ∈ B : f (x) ≤ g(x)} es el complementario en B del conjunto {x ∈ B : f (x) > g(x)}, que acabamos de probar (cambiando f por g) que es medible. Por u ´ltimo, {x ∈ B : f (x) = g(x)} = {x ∈ B : f (x) ≤ g(x)} ∩ {x ∈ B : f (x) ≥ g(x)}.

220


22.6

Proposici´ on 22.6 Si f, g son funciones medibles, entonces también son medibles las funciones (f ∨ g)(x) = sup(f (x), g(x)) y (f ∧ g)(x) = inf(f (x), g(x)). Más generalmente, si {fk } es un sucesi´ de funciones medibles, entonces W on V también son medibles las funciones fk y fk . Demostraci´ on. Es evidente que sup(fk (x)) > α ⇔ ∃k / fk (x) > α, luego {x :

_

de lo que se deduce que es medible.

fk (x) > α} =

W

[ {x : fk (x) > α}, k

fk es medible. Análogamente se prueba que

V

fk

Proposici´ on 22.7 Si {fk } es una sucesión de funciones medibles, entonces también son medibles las funciones limfk , limfk . Demostraci´ on. La función f = limfk viene dada, por definición, mediante la fórmula f (x) = lim (inf(fk (x), fk+1 (x), . . .)), k→∞

es decir f (x) es el l´ımite de la sucesión monótona creciente de n´ umeros de R, inf(f1 (x), f2 (x), . . .) ≤ inf(f2 (x), f3 (x), . . .) ≤ . . . luego, si denotamos por gk (x) = inf(fk (x), fk+1 (x), . . .)), se tiene que f (x) = sup(g1 (x), g2 (x), . . .). Que f es medible Wresulta ya de V la proposición anterior, sin más que tener en cuenta que f = gk y gk = i≥k fi . Análogamente se demuestra que la función limfk es medible. Corolario 22.8 Si {fk } es un sucesión de funciones medibles y B es el conjunto de los puntos x ∈ Rn en los que existe (en R) limk→∞ fk (x), entonces la función f (x) = limk→∞ fk (x) es medible sobre B.

22.10


221

Demostraci´ on. Puesto que, como es bien conocido, la sucesión {fk (x)} tiene l´ımite si y sólo si su l´ımite superior y su l´ımite inferior coinciden, entonces B = {x : limfk (x) = limfk (x)}, es decir B es el conjunto de puntos donde coinciden dos funciones medibles, luego es un conjunto es medible seg´ un el corolario 22.5. Además f es medible sobre B, puesto que coincide con la restricción a B de la función medible limfk (x). Proposici´ on 22.9 Si f es medible y λ es un n´ umero real, entonces también son medibles las funciones f + λ, λf y |f |. Demostraci´ on. f + λ es una funci´ on medible ya que {x : (f + λ)(x) > α} = {x : f (x) > α − λ}. Es inmediato que λf es medible si λ = 0. En el caso λ 6= 0, basta observar que ½ {x : f (x) > α/λ} si λ > 0 {x : λf (x) > α} = {x : f (x) < α/λ} si λ < 0 Por u ´ltimo, si f es medible, entonces la función |f | también es medible pues |f | = f ∨ −f. Proposici´ on 22.10 Si f, g son funciones medibles, entonces la función f +g es medible sobre el conjunto B de los puntos x ∈ Rn en los que la suma f (x) + g(x) está bien definida, es decir donde es 6= ∞ − ∞. Demostraci´ on. De la igualdad {x : f (x) = +∞} =

∞ \

{x : f (x) > k}

k=1

es fácil deducir que B es un conjunto medible. Para probar la proposici´ on sólo hemos de ver ya, que para cada α, {x ∈ B : f (x)+g(x) > α} es medible. Pero, (22.1)

{x ∈ B : f (x) + g(x) > α} = {x ∈ B : f (x) > α − g(x)}

y como, seg´ un la proposición anterior, la función α − g es medible, este conjunto debe ser medible, en virtud del corolario 22.5.

222


22.11

Proposici´ on 22.11 Si f, g son dos funciones medibles, entonces la función h = f · g es medible. Demostraci´ on. Veamos, en primer lugar, que si ϕ es una función medible, entonces la función ϕ2 es también medible. En efecto, ½ √ √ {x : ϕ(x) > α} ∪ {x : ϕ(x) < − α}, si α ≥ 0 2 {x : ϕ (x) > α} = Rn , si α < 0 Denotemos por B1 al conjunto de puntos en los que las funciones f y g son finitas. Es claro que B1 es un conjunto medible, pudiéndose escribir, cuando x ∈ B1 , que h(x) = (f · g)(x) = 1/2[(f + g)2 (x) − f 2 (x) − g 2 (x)], luego, por las propiedades de las funciones medibles ya vistas, h es medible sobre B1 . Es evidente que, fuera de B1 , los u ńicos valores posibles para la función h son 0, +∞, −∞. Si denotamos, respectivamente, por B2 , B3 , B4 , los conjuntos en los que h toma esos valores, es fácil ver que cada uno de ellos es medible. Por ejemplo, B3 ={x : f (x) > 0 y g(x) = +∞} ∪ {x : f (x) < 0 y g(x) = −∞} ∪ {x : g(x) > 0 y f (x) = +∞} ∪ {x : g(x) < 0 y f (x) = −∞}. Luego h es también una función medible sobre cada uno de los conjuntos Bi (i=2,3,4) (Comprobase), de lo que se deduce lo que quer´ıamos, es decir, que h es medible sobre Rn = B1 ∪ B2 ∪ B3 ∪ B4 . Proposici´ on 22.12 Si f, g son funciones medibles, entonces también es medible la función f /g sobre el conjunto B = {x : 0 < |g(x)| < ∞}. Demostraci´ on. Obviamente sólo será preciso probar que 1/g es medible sobre B. {x ∈ B : 1/g(x) > α} ={x ∈ B : g(x) > 0} ∩ {x : α g(x) < 1}∪ {x ∈ B : g(x) < 0} ∩ {x : α g(x) > 1}.

Nota. La composición de funciones medibles no es, en general, una función medible (ver Ejercicio 22A).

22D


223

Ejercicios 22A (a) Probar que si f es una aplicación medible y g : R → R es continua, entonces g ◦f es medible. En particular son funciones medibles las aplicaciones: sen f (x), ef (x) , etc. (b) Probar que si existe un conjunto B medible tal que f −1 (B) es un no medible, entonces la aplicación XB ◦ f es una función no medible (por tanto la conclusión del apartado anterior no es cierta si se supone solamente que g es medible). (c) Demostrar que si f es medible y g es un difeomorfismo entonces f ◦g es medible. En particular, si f es medible entonces también es medible la aplicación f (ax + b), a, b ∈ R. 22B Probar que si la función f : [a, b] → R es derivable entonces la función f 0 , derivada de f , es una función medible. 22C Encontrar ejemplos de funciones no medibles, para las que el módulo o el cuadrado sea medible. 22D Si {x : f (x) = α} es medible para todo n´ umero real α, ¿es medible la función f ?

Cap´ıtulo 23

Integraci´ on de Funciones Medibles Nos proponemos estudiar en este cap´ıtulo las propiedades fundamentales del operador “integral”. En particular, extenderemos aqu´ı al caso de funciones medibles arbitrarias las propiedades ya vistas en el cap´ıtulo 21 sobre la integración de funciones medibles no negativas.

Preliminares Dada una función f medible sobre un conjunto B (contenidoR en su dominio) y con valores en R ∪ {+∞, −∞} nos proponemos definir B f . Conviene hacer antes algunas precisiones e introducir algunas notaciones: abusando de notación, denotaremos por f XB a la función, definida en Rn , que coincide con f en B y toma el valor 0 en B c . Es inmediato comprobar entonces que la función f es medible sobre B si y sólo si f XB es medible. Si f es una función no negativa escribiremos OrdB f = Ord(f XB ) = {(x, y) : x ∈ B, 0 ≤ y < f (x)} Definici´ on 23.1 (a) Si f : Rn → R ∪ {+∞, −∞} es una función medible, se define Z Z Z f = f + − f − = m(Ord (f + )) − m(Ord (f − )). (b) Si f es una función medible sobre B se define Z Z f = (f XB ). B

225

226

Integraci´ on

Por tanto, i) si f ≥ 0 entonces

R B

23.1

f = m(OrdB f );

ii) si f tiene signo variable entonces Z Z Z + (23.1) f= f − f − = m(OrdB f + ) − m(OrdB f − ) B

(observar que (f XB

B

B

)+

f + XB

=

y (f XB )− = f − XB ).

on 23.2 Sea f es una función medible sobre un conjunto medible Definici´ B. Diremos que existe la integral de f sobre B, si la fórmula 23.1 tiene R sentido, es decir si f = 6 ∞ − ∞, y diremos que f es integrable sobre B si B R as es finita. B f existe y adem´ Proposici´ on 23.3 Sean B1 , B2 dos conjuntos medibles contenidos en el dominio de una función medible f . R R (a) Si B1 ⊂ B2 y f ≥ 0 entonces 0 ≤ B1 f ≤ B2 f. (b) Si B1 ∩ B2 = ∅ entonces Z (23.2)

Z f=

B1 ∪B2

Z f+

B1

f, B2

donde la igualdad anterior tiene además el sentido de que un miembro de la misma está bien definido si y sólo si el otro lo está. on. (a) Si f ≥ 0 y B1 ⊂ B2 entonces Demostraci´ Z Z f = m(OrdB1 f ) ≤ m(OrdB2 f ) = B1

f.

B2

(b) Puesto que los conjuntos B1 y B2 son disjuntos, es obvio que XB1 ∪B2 = XB1 + XB2 . Por lo tanto, si f ≥ 0, se sigue de 21.8 que Z Z Z f = f (XB1 ∪B2 ) = (f XB1 + f XB2 ) B1 ∪B2 Z Z Z Z = f XB1 + f XB2 = f+ f. B1

B2

Supongamos ahora f de signo arbitrario. Entonces Z Z Z f= f+ − f− Z ZB1 ∪B2 ZB1 ∪B2 Z B1 ∪B2 Z Z ¡ ¢ + + − − = f + f − f + f = f+ B1

B2

B1

B2

B1

B2

f,

23.5

Integraci´ on

227

lo que prueba la igualdad (23.2). Veamos, por u ´ltimo, que la existencia de uno de los miembros en esta igualdad implica la existencia del otro:R R R R Es fácil comprobar que para que ni B1 f , ni B2 f ni B1 f + B2 f tomen la forma ∞ − ∞ es condici´ R on necesaria Ry suficiente que se d´ Re una de estas dos alternativas: o bien B1 f + < ∞ y B2 f + < ∞ o bien B1 f − < ∞ y R R − olo si B1 ∪B2 f 6= ∞ − ∞. B2 f < ∞. Pero esto sucede si y s´

Conjuntos de medida nula en la integraci´ on Vamos a comenzar esta sección introduciendo una terminolog´ıa habitual en la integración Lebesgue: Definici´ on 23.4 Se dice que una propiedad o definición P es válida en casi todo punto (de un conjunto B), o casi siempre (en B), si el conjunto Z de los puntos (de B) donde P no es válida es de medida nula. Emplearemos las notación c.s. para referirnos abreviadamente a la expresión casi siempre. c.s

De este modo, f = g, significa que si Z = {x : f (x) 6= g(x)}, entonces m(Z) = 0. Una función es continua en casi todo punto de B, si el subconjunto de B donde la función no es continua es de medida nula. Una sucesión c.s. {fk } de funciones converge c.s hacia la función f , abreviadamente fk → f , si converge puntualmente a f , salvo en un conjunto de medida nula (que puede ser el vac´ıo), es decir si m({x : fk (x) 6→ f (x)}) = 0. La función f es finita c.s. si el conjunto {x : |f (x)| = ∞} es de medida nula. La función f + g está definida en c.t.p si el conjunto de puntos x en los que f (x) + g(x) = ∞ − ∞ es de medida nula. El porqué del término c.s. hay que buscarlo en el papel que juegan los conjuntos de medida cero en la integraci´ on: Lema 23.5 Si Z es un conjunto de medida nula, entonces toda función f es medible sobre Z y se tiene que Z f = 0. Z

228

Integraci´ on

23.5

Demostraci´ on. Puesto que los conjuntos de medida nula son medibles, es evidente que toda funci´ on f es medible sobre Z. Sin pérdida de generalidad, puede suponerse que f ≥ 0. Entonces, Z f = m(0rdZ f ). Z

¡ ¢ R Como 0rdZ f ⊂ Z ×[0, ∞) y m Z ×[0, ∞) = 0, se deduce que Z f = 0. c.s.

Proposici´ on 23.6 Si f es una función medible y g = f , entonces g es medible y Z Z f = g, en el sentido de que si existe una de las integrales, entonces también existe la otra y ambas coinciden. Demostraci´ on. Supongamos f medible y Z = {x : f (x) 6= g(x)} de medida nula. Entonces {x : g(x) > α} = {x ∈ Z : g(x) > α} ∪ {x ∈ Z c : g(x) > α}. Como en Z c , g = f , la igualdad anterior se puede escribir as´ı: {x : g(x) > α} = {x ∈ Z : g(x) > α} ∪ {x ∈ Z c : f (x) > α} = {x ∈ Z : g(x) > α} ∪ {x : f (x) > α} ∩ Z c , de lo que resulta trivialmente que {x : g(x) > α} es medible. La igualdad de las dos integrales se obtiene aplicando 23.2 y el lema anterior Z Z Z Z Z f= f+ f= f = f XZ c , Zc Zc Z ZZ g = gXZ c , de donde se deduce que

R

f=

R

g, ya que f XZ c = gXZ c .

Este resultado indica que, para calcular la integral de una funci´ on medible f , no importa cuáles sean los valores que tome f sobre un conjunto de medida nula, Z. La integral de esta función va a depender exclusivamente de los valores que tome en Z c , es decir Z Z f= f. Zc

23.8

Integraci´ on

229

As´ı, para calcular (estudiar) la integral de una función sólo es preciso que esté definida en casi todo punto. Debido a esto, en los teoremas relativos a funciones medibles y a la integral de Lebesgue, es normal que las hip´ otesis deban ser verificadas sólo en casi todos los puntos.

Propiedades de la integral El primer bloque de propiedades que vamos a ver a continuación, se derivan directamente del hecho de que la integral de una funci´ on medible no negativa es la medida de su conjunto de ordenadas. Aunque, para simplificar, trabajaremos con funciones definidas en todo n R , los resultados se extienden a funciones medibles sobre conjuntos medibles, sin más que tener en cuenta que una función es medible sobre B si y sólo f XB es medible y la fórmula Z Z f = f XB . B

Proposici´ on 23.7 (Desigualdad de Ch´ ebyshev) Sea f una función medible y sea, para cada n´ umero real α ≥ 0, Aα = {x : |f (x)| ≥ α}, entonces Z Z m(Aα ) ≤ 1/α |f | ≤ 1/α |f |. Aα

on. Es inmediato comprobar que Demostraci´ Aα × [0, α) ⊂ OrdAα |f |, luego

Z α m(Aα ) ≤ m(OrdAα |f |) =

Z |f | ≤

|f |.

Aα

De la desigualdad de Chébyshev se pueden extraer estas dos u ´tiles consecuencias: Corolario 23.8 Si f es una función medible y no negativa, entonces Z c.s. f =0 ⇔ f = 0

230

Integraci´ on

23.8

Demostraci´ on. Teniendo en cuenta que {x : f (x) > 0} =

∞ [

{x : f (x) ≥ 1/k}

k=1

y aplicando la desigualdad de Chébyshev para cada k, se obtiene que {x : f (x) > 0} es de medida nula, pues Z m({x : f (x) ≥ 1/k}) ≤ k f = 0.

Corolario 23.9 Toda función integrable es finita c.s. Demostraci´ on. Se trata de probar que el conjunto de puntos donde la función toma el valor ±∞ es de medida nula. En efecto, sea Z = {x : f (x) = ∞} =

∞ \

{x : f (x) ≥ k}.

k=1

Todos los términos de la sucesión decreciente de conjuntos, Zk = {x : f (x) ≥ k} = {x : f + (x) ≥ k}, son medibles y de medida finita, pues Z m(Zk ) ≤ 1/k f + < ∞, luego m(Z) = lim m(Zk ) = 0. Para demostrar que el conjunto T = {x : f (x) = −∞} también es de medida nula, proceder´ıamos de la misma forma, teniendo en cuenta ahora que T = {x : f − (x) = ∞}. Proposici´ on 23.10 Si f, g son funciones medibles y f ≤ g, entonces Z Z f ≤ g, siempre que estas integrales existan. R R Demostraci´ on. Si 0 ≤ f ≤ g, entonces Ord f ⊂ Ord g, luego f ≤ g. + + − − Si Rf y g tienen R signo arbitrario, entonces f ≤ g y f ≥ g . Luego, si tanto f como g existen, se tiene que R + R + Z Z Z Z Z Z R f − ≤ R g− ⇒ f = f + − f − ≤ g + − g − = g. f ≥ g

23.11

Integraci´ on

231

Un caso particular de dos funciones como las anteriores cuyas integrales existen es el siguiente: R R + Sean f ≤ g dos funciones medibles. Si f − < ∞ o bien R Rg < ∞, entonces las integrales de f y g existen las dos (y por tanto f ≤ g ). R R R Si f −R < ∞ entonces f existe y como f − ≥Rg − , g − < ∞, luego también existe g. Análogamente con la condición si g + < ∞. Proposici´ on 23.11 (a) Si f es una función medible, entonces Z Z ¯ ¯ ¯ f ¯ ≤ |f |. (b) Una función f es integrable si y sólo si es medible y su módulo es integrable. Demostraci´ on. Puesto |f | = f + + f − , de 21.8 se sigue que Z Z Z + (23.3) |f | = f + f − . Los dos¯ Rresultados ¯ ¯ R que queremos ¯ Rprobar Rse derivar´ R R an de la igualdad anterior: (a)¯ f ¯ = ¯ f + − f − ¯ ≤ f +R+ f − = |f R |. − R + (b) Si f es integrable, entonces f < ∞ y f < ∞, luego |f | < ∞, es decir |f | es también integrable. Rec´ıprocamente, siRf medible R y |f | es integrable, entonces de la igualdad (23.3), resulta que f + y f − son finitas, luego f integrable (ya que por hipótesis es también medible). Nótese que hemos tenido necesidad de suponer que f es medible, ya que esto no resulta de que |f | sea integrable. Veamos el siguiente ejemplo: Sea V el conjunto de Vitali (conjunto no medible) y consideremos la función ½ 1 si x ∈ V f (x) = −1 si x ∈ V c La función f no es medible (por ejemplo, {x : f (x) > 0} = V ), en cambio |f | = 1 que s´ı que es medible. Si queremos que |f | sea además integrable, basta con modificar la función anterior, considerando la función f · XI , con I un intervalo acotado que contenga a V . Las ´ltimas propiedades que vamos a ver a continuaci´ on establecen que R dos u “ ” es un operador lineal. Esto ya ha sido probado para funciones medibles no negativas, sólo queda pues ver el caso general :

232

Integraci´ on

23.12

Proposici´ on 23.12 Sea f es una función medible y λ un escalar real. Si la integral de f existe, entonces la integral de λf también existe y se tiene Z Z λ f = λ f.

Demostraci´ on. Puede suponerse λ 6= 0, pues si λ = 0 la fórmula se verifica trivialmente. Supongamos f medible: Si λ > 0, entonces es claro que (λf )+ = λf + y (λf )− = λf − . Luego Z Z Z Z Z + − + λf = (λf ) − (λf ) = λf − λf − µZ ¶ Z Z =λ f + − f − = λ f. Si λ < 0, entonces se ve fácilmente que (λf )+ = (−λ)f − y (λf )− = (−λ)f + . Luego, teniendo en cuenta que (−λ) > 0, se tiene Z Z Z Z Z + − − λf = (λf ) − (λf ) = (−λ)f − (−λ)f + µZ ¶ Z Z − + = (−λ) f − f = λ f.

Proposici´ on 23.13 Si f, g son funciones medibles, entonces Z Z Z (f + g) = f + g, siempre que, con la aritmética de R, esta igualdad tenga sentido, lo cual va a ocurrir siempre que el términoR de Rla derecha de R R la igualdad tenga sentido, es decir si las tres expresiones, f, g y f + g son 6= ∞ − ∞. Demostraci´ on. (Conviene notar que, aunque no se haya especificado, la función f + g se supone definida, al menos, en c.t.p). Como hipótesis tenemos que f y g son funciones R medibles R R tales R que f + g está definida en casi todo punto, y las integrales, f, g y f + g existen. Un caso particular en el sabemos que se satisfacen estas hipótesis es cuando f, g son funciones integrables. Vamos a ver que la fórmula es cierta en este caso: observemos en primer lugar que

23.13

Integraci´ on

233

f, g integrables ⇒ f + g integrable. R R R En efecto, |f + g| ≤ |f | + |g| ⇒ |f + g| ≤ |f | + |g| < ∞. En virtud del corolario 23.9 se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que las funciones f, g son finitas en todo punto. Teniendo en cuenta las relaciones f = f + − f − , g = g + − g − , f + g = (f + g)+ − (f + g)− , podemos escribir (f + g)+ − (f + g)− = f + − f − + g + − g − , equivalentemente (por ser f y g finitas) (f + g)+ + f − + g − = (f + g)− + f + + g + . por lo que, aplicando la aditividad del operador integral para funciones medibles no negativas, se tiene que Z Z Z Z Z Z + − − − + (f + g) + f + g = (f + g) + f + g + . Como las funciones f , g y f + g son integrables, todos los sumandos anteriores son 6= ∞, luego Z Z Z Z Z Z + − + − + (f + g) − (f + g) = f − f + g − g − , es decir

Z

Z (f + g) =

Z f+

g.

Supongamos R ahora que la integral de una de las dos funciones es infinita, por ejemplo, f = +∞. De acuerdo con las hipótesis con las que trabajamos, esto significa que Z Z Z Z Z + − − f = ∞, f < ∞, g < ∞, f + g = +∞, se deduce, teniendo enR cuenta que (f + g)− ≤ f − + g − , que Rde lo que − (f + g) < ∞R y, por tanto, que (f + g) existe. Para terminar sóRlo queda ya probar que (f + g) = +∞. Por el contrario, supongamos que (f + g) fuese finita, es decir f + g integrable. Entonces f + g ser´ıa finita c.s. y, por tanto, también f y g. Razonando como antes llegar´ıamos a que c.s.

(f + g)+ + f − + g − = (f + g)− + f + + g + , de lo que concluir´ıamos que Z Z Z Z Z Z + − − − + (f + g) + f + g = (f + g) + f + g + , lo cual es absurdo, pues el primer término de esta igualdad ser´ıa finito, mientras que el segundo ser´ıa +∞.

234

Integraci´ on

23.13

Los espacios Lp Vamos a terminar este cap´ıtulo con algunas consideraciones sobre las funciones integrables. Proposici´ on 23.14 Si f es una función medible, g integrable y |f | ≤ g entonces f es también integrable. on. Inmediata. Demostraci´ El criterio anterior nos permitir´ a reconocer, en la práctica, si una función de aspecto complicado es integrable, comparándola con algunas ya estudiadas previamente. Es frecuente utilizar este criterio en una de estas dos versiones: 23.15 Si f es una función medible y acotada sobre un conjunto B de medida finita, entonces f es integrable sobre B. Demostraci´ on. Si |f (x)| ≤ M para todo x ∈ B, entonces |f |XB ≤ M XB . Luego f integrable sobre B, concretamente Z |f | ≤ M m(B). B

23.16 Toda función continua y finita en todo punto es integrable sobre cada compacto contenido en su dominio. Demostraci´ on. Si f es una función continua sobre el compacto K, entonces f está acotada en el conjunto de medida finita K, luego es integrable sobre K seg´ un el criterio anterior. Nota. Es importante observar que la hipótesis “f continua”del criterio anon 1/x terior no puede sustituirse por “f continua c.s.”Por ejemplo la funci´ es continua en todos los puntos del compacto [0, 1], menos en el 0. Como veremos en el cap´ıtulo 13, esta función no es integrable sobre [0,1]. (Es obvio que esta función no es acotada y por tanto no puede utilizarse el argumento de 23.15). Definici´ on 23.17 Si B es un conjunto medible, denotaremos por L 1 (B) al conjunto de las funciones integrables y finitas sobre B. Escribiremos L 1 en lugar de L 1 (Rn ).

23D

Integraci´ on

235

De acuerdo con la proposición 23.11, una función f que toma Rsólo valores reales pertenecerá a L 1 (B) si y sólo si es medible sobre B y B |f | < ∞. Asimismo, de esta proposición y del comportamiento lineal del operador integral, se deduce que L 1 (B) es ret´ıculo vectorial (espacio vectorial y ret´ıculo). Vamos a denotar por L1 (B) al espacio vectorial cociente resultado de identificar las funciones de L 1 (B) que son iguales en c.t.p. En este espacio vectorial se puede definir una norma, conocida como norma de la convergencia en media, de la siguiente forma Z kf k = |f |. B

La comprobación de que esto es una norma es inmediata. Más generalmente, si p ≥ 1 un n´ umero real, las funciones medibles y finitas de potencia p-ésima integrables sobre B constituyen también un espacio vectorial que se denotará como L p (B). A partir de él se construye como antes el espacio Lp (B), que también resulta ser un espacio normado respecto de la norma Z ¡ ¢1/p kf kp = |f |p . B

No obstante, las comprobaciones en el caso general no son f´ aciles y las omitiremos.

Ejercicios 23A Probar que una función f es medible si y sólo si existe una sucesión de funciones escalonadas que converge c.s hacia f . 23B Probar que dos funciones continuas que son iguales c.s. son iguales en todo punto. 23C Sea f una función con dominio en Rn . Se dice que un abierto Ω es un abierto de anulación de la función f si f es igual a 0 en casi todo punto de Ω. Probar que si Ωf es la unión de todos los abiertos de anulación de f entonces f = 0 c.s. en Ωf . 23D Sea U un abierto de R que contenga a los racionales del intervalo [0, 1] y tal que m([0, 1] \ U ) > 0 (Probar que tales abiertos existen). (a) Sea P = [0, 1]\U . Demostrar que la función XP es discontinua en cada punto x ∈ P.

236

Integraci´ on

23D

(b) Sea f (x) = d(x, P ) = inf{|x − s| : s ∈ P } y g = X{0} . Probar que f es continua, g es continua c.s, pero g ◦ f no es continua c.s. 23E Una función f : Rn → R se dice Borel-medible si para cada α ∈ R el conjunto {x : f (x) > α} es un Borel. (a) Si fk es una sucesión de funciones de Rn en R que converge puntualmente a la función f , probar que {x : f (x) > α} = ∪ ∩ {x : fk (x) > α + 1/p} p,q k≥q

(b) Probar que el l´ımite de una sucesión de funciones Borel-medibles es una función Borel-medible. (c) Probar que si f es una función medible existe una función g Borel-medible c.s. tal que f = g.(Ver Ejercicio 21B(b)). 23F Si f, g son funciones integrables ¿son integrables las funciones f ∧g, f ∨g, f g?. 23G Sea f una función medible. (a) Probar que si f es continua y no negativa, entonces Z f = 0 ⇒ f = 0. (b) Probar que si para todo conjunto medible B,

R B

c.s.

f = 0 entonces f = 0.

23H Probar que la gr´ afica de una función medible f : Rn → R es un conjunto de medida nula. ´ n. Gra (f ) ⊂ Ord (f + 1/p) \ Ord (f ). indicacio 23I (a) Utilizar el ejercicio 21C para probar que si s es una función simple inRtegrable, entonces para cada ε > 0 existe una función escalonada α tal que |s − α| < ε. (b) Probar que las funciones escalonadas son densas en L1 . 23J Sean f, g funciones medibles estrictamente positivas. Probar que f ∈ L1 1 + fg

⇔

¡ 1¢ inf f, ∈ L 1. g

23K Demostrar que si f es una función integrable en R y existe limx→∞ f (x) entonces este l´ımite vale 0. Dar alg´ un ejemplo de una función integrable que no admita l´ımite en el infinito.

23M

Integraci´ on

237

23L Demostrar que si f es una función medible no negativa que toma el valor 1 R en un conjunto de puntos de medida infinita, entonces f = ∞. 23M Estudiar la integrabilidad en el intervalo [0, 1] de las funciones f (x) = sen 1/x, g(x) =

x−1 . ln x

Cap´ıtulo 24

Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesi´ R on de funciones medibles para que se puedan permutar los s´ımbolos “ ” y “ lim ”, es decir para que Z Z (24.1) lim fk = lim fk . En este cap´ıtulo consideraremos otras condiciones bajo las que sea cierta la fórmula 24.1. A lo largo de él hemos de tener presente que siempre que unas determinadas hipótesis conduzcan a la validez de la igualdad anterior, esas hipótesis restringidas a un conjunto medible B garantizan también, si no se dice nada en contra, la validez de la misma sobre B, es decir Z Z (24.2) lim fk = lim fk , B

B

De igual modo, estas hipótesis sólo deberán ser verificadas normalmente en casi todo punto.

Convergencia mon´ otona El teorema de la convergencia mon´ otona para funciones no negativas proporciona, invirtiendo las hipótesis, un teorema de convergencia para funciones no positivas. Por lo que, hasta aqu´ı, tendr´ıamos un teorema de convergencia para sucesiones no decrecientes de funciones no negativas (0 ≤ fk %), y otro para sucesiones no crecientes de funciones no positivas (0 ≥ fk &). En general las hipótesis de estos dos teoremas no podrán ser intercambiadas. As´ı, para una sucesión no creciente de funciones no negativas (0 ≤ fk &) no es seguro que la fórmula 24.1 sea válida: 239

240

Teoremas de Convergencia

24.1

Ejemplo 24.1 Sea {fk } la sucesión de funciones fk (x) = 1/k. Esta sucesión es claramente no decreciente, todas las funciones son no positivas y converge puntualmente a 0. Es inmediato comprobar que Z fk = +∞, ∀k, y por tanto

Z +∞ = lim

Z fk 6=

Z lim fk =

0 = 0.

No obstante, manteniendo la monoton´ıa de la sucesión pero sin hacer referencia alguna al signo de las funciones, a´ un es posible obtener un buen teorema de convergencia: Teorema 24.2 (De la convergencia mon´ otona generalizado) Sea {fk } una sucesión monótona (da igual que sea creciente o decreciente) de funciones medibles. Si alguna de las de esta sucesión es integrable, R funciones R entonces las dos expresiones, lim fk y lim fk , existen y Z Z lim fk = lim fk .

on. Supongamos, para concretar, que la sucesión es no decrecienDemostraci´ te y que la función fk es integrable. Consideremos entonces la sucesión no decreciente de funciones medibles y no negativas, definida c.s., {fs − fk }s≥k . Si llamamos f = lim fs , es claro que 0 ≤ fs − fk % f − fk (c.s.) luego, por el teorema de la convergencia mon´ otona para funciones no negativas, Z Z lim (fs − fk ) = (f − fk ) s→∞

y, por tanto, si fuese cierto que Z Z Z Z Z Z (24.3) (fs − fk ) = fs − fk ; (f − fk ) = f − fk ,

24.3


se tendr´ıa

Z lim

Z fs −

Z fk =

Z f−

241

Z fk ⇒ lim

Z fs =

f.

Veamos pues que 24.3 se verifica: Escribamos fs = (fs − fk ) + fk . Entonces, puesto que fk es integrable y (fs − fk ) ≥ 0, se satisfacen las condiciones de la proposición 23.13 para deducir que Z Z Z Z Z Z fs = (fs − fk ) + fk ⇒ (fs − fk ) = fs − fk . R R R De igual modo se demuestra que (f − fk ) = f − fk . El resultado siguiente nos servirá de lema para la demostración de otro teorema de convergencia muy utilizado, el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Teorema 24.3 (Lema de Fatou) (a) Si {fk } es una sucesión de funciones medibles no negativas, entonces Z Z limfk ≤ lim fk . (b) Si {fk } una sucesión de funciones medibles no positivas negativas, entonces Z Z limfk ≥ lim fk . V Demostraci´ on. (a) Sea gk = j≥k fj . Obviamente, {gk } es una sucesión no decreciente de funciones medibles y no negativas y lim gk = limfk , luego

Z

Z

Z Z lim gk = lim gk ≤ lim fk , R R donde la desigualdad, lim gk ≤ lim fk , se obtiene as´ı: De la definici´ on de gk se deduce que gk ≤ fj , para cada j ≥ k, por tanto Z Z Z Z Z Z gk ≤ fj , ∀j ≥ k ⇒ gk ≤ inf fj ⇒ lim gk ≤ lim fk . limfk =

j≥k

(b) Resulta de (a) aplicado a la sucesión {−fk }.

242


24.4

Convergencia dominada Teorema 24.4 Sea {fk } una sucesión de funciones medibles que converge puntualmente a la función f y supongamos que existe una función integrable F tal que |fk | ≤ F , entonces (a) f es integrable. Z Z (b) f = lim fk . Demostraci´ on. De la condición |fk | ≤ F y la convergencia puntual de la sucesión fk hacia la función f , se deduce trivialmente que |f | ≤ F , lo que implica (por F integrable) que on fk y f son funciones integrables. R R cada funci´ Veamos que f = lim fk . Tenemos por hip´ otesis que −F ≤ fk ≤ F , para todo k. Aplicando entonces el lema de Fatou (a) a la sucesi´ on de funciones no negativas {fk + F }, resulta Z Z Z (f + F ) = lim(fk + F ) ≤ lim (fk + F ), de donde se deduce, haciendo uso de la linealidad del operador integral, que Z Z f ≤ lim fk . Análogamente, aplicando de nuevo el teorema de Fatou, ahora a la sucesión de funciones no positivas {fk − F }, obtendr´ıamos Z Z f ≥ lim fk . y uniendo ambas desigualdades, teniendo en cuenta que el l´ımite inferior de una sucesión de numeros reales es menor o igual que el l´ımite superior, se tiene ya Z Z Z Z f ≤ lim

fk ≤ lim

fk ≤

f,

lo que implica que todas las desigualdades anteriores son, en realidad, igualR dades y por tanto, que existe lim f (por coincidir el l´ımite superior y el k R inferior) y es igual a f . El corolario siguiente proporciona una versi´ on “fuerte”del teorema de la convergencia dominada.

24.6


243

Corolario 24.5 Sean {fk } y f como en el teorema anterior. Entonces Z lim |fk − f | = 0.

Demostraci´ on. Vamos a aplicar lo obtenido antes a la sucesión {|fk − f |}. Por hipótesis la sucesión de funciones {|fk − f |} converge a 0 en cada uno de los puntos x en que estén definidas las funciones |fk − f |, luego en c.t.p., pues fk y f son funciones integrables. |fk − f | ≤ 2 F , siendo la función 2 F integrable, luego Z lim

|fk − f | = 0.

En el teorema anterior hemos hecho referencia a una versi´ on fuerte del mismo, pareciendo indicar con ello que Z Z Z lim |fk − f | = 0 ⇒ lim fk = f ? k→∞

k→∞

Z Esto es verdad, pero siempre que existan las integrales

fk , concretamente:

Proposici´ onR 24.6 Sean {fk } y f funciones medibles y supongamos que para cada k, fk 6= ∞ − ∞, entonces Z Z Z Z lim |fk − f | = 0 ⇒ f 6= ∞ − ∞, y lim fk = f. k→∞

k→∞

R Demostraci´ on. Para ε > 0 sea ν ∈ N tal que |fk − f | < ε si k ≥ ν. Supongamos en primer lugarRque todas las fk , k ≥ ν son integrables. R funciones R Entonces, se tiene que (fk − f ) = fk − f , por lo que podemos escribir Z Z Z Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ fk − f ¯ = ¯ (fk − f )¯ ≤ |fk − f | < ε, R R luego, limk→∞ fk = f . R Supongamos que existe p ≥ ν tal que fp = ∞ y escribamos f = (f − fp ) + fp . De las hipótesis y del R teorema de aditividad de la integral (Proposición 23.13) se deduce que f existe y Z Z Z (24.4) f = (f − fp ) + fp = ∞.

244


24.6

Por otra parte, escribiendo fk = (fk − f ) + f R vemos que fkR = ∞, para todo k ≥ ν. Luego, también en este caso, R limk→∞ fk = f . R Ejemplos triviales que muestran que laR condición limk→∞ |fk − f | = 0 no implica la existencia de las integrales fk , pueden construirse sin más que tomar fk = f para todo k, y f una función medible, cuya integral no existe (por ejemplo f (x) = −1, si x ≤ 0; f (x) = 1, si x > 0). R R Por otra parte, el nuevo Rejemplo prueba que la condición limk→∞ fk = f no implica que limk→∞ |fk − f | = 0. Ejemplo. Sea fk = −1/k X[−k,0] + 1/k X[0,k] ; f = 0. R Como fk = 0, se tiene que Z Z lim fk = f = 0. k→∞

En cambio,

Z lim

k→∞

|fk − f | = 2 6= 0.

Vamos a ver a continuaci´ on dos casos particulares del teorema de la convergencia dominada: Corolario 24.7 Sea B un conjunto medible y de medida finita, y sea {fk } una sucesión de funciones medibles sobre B, que converge puntualmente sobre B a una función f . Supongamos que se satisface una de las dos condiciones siguientes: (i) Existe una constante M tal que |fk (x)| ≤ M , para cada x ∈ B. (ii) La sucesión {fk } converge uniformemente en B a la función f . Entonces,

Z lim

k→∞ B

|fk − f | = 0.

on. La condición i) significa que Demostraci´ |fk XB | ≤ M XB .

24.9


245

R Puesto que la función F = M XB es integrable ( M XB = M ·m(B) < ∞) y {fk XB } → f , aplicando el teorema de la convergencia dominada, se tiene que Z Z 0 = lim

k→∞

|fk XB − f XB | = lim

k→∞ B

|fk − f |.

De la condición ii) se deduce que, dado ε > 0, |fk − f |XB ≤ εXB para k suficientemente grande. Por lo que, aplicando de nuevo el teorema de la convergencia dominada, resulta lo que queremos.

Consecuencias 24.8 Si {fk } es una sucesión de funciones medibles, no negativas, entonces Z X XZ fk . fk =

Para probarlo sólo hay que aplicar el teorema de la convergencia monótona on de funciones no negativas y la aditividad del operador integral a la sucesi´ gk =

k X

fi .

i=1

24.9 Si {Bk } es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos dos a dos, f una función medible sobre ∪Bk , y suponemos que existe su integral sobre ∪Bk , entonces Z XZ f= f. ∪Bk

Bk

Si f ≥ 0, entonces, del resultado anterior y la igualdad X f X∪Bk = f XBk , se deduce que

Z f X∪Bk =

XZ

f XBk =

XZ Bk

f.

246

Teoremas de Convergencia En el caso general, supongamos por ejemplo que Z

Z

Z +

f= ∪Bk

f −

f

∪Bk

−

=

XZ

∪Bk

24.9

R

+

∪Bk

f −

f + < ∞, entonces

XZ

Bk

f −,

Bk

R que nos dice que ∪Bk f es la diferencia de dos series de términos positivos, siendo la primera de ellas convergente. Se tiene entonces que Z Z XZ XZ XZ XZ + − + − f= f − f = ( f − f )= f. ∪Bk

Bk

Bk

Bk

Bk

Bk

Para escribir las igualdades anteriores hemos utilizado el siguiente resultado, cuya demostración constituye un sencillo ejercicio: P P Si ak , bk son dos series de términos positivos, y suponemos que una de ellas es convergente, entonces X

ak −

X

bk =

X (ak − bk ).

24.10 Sea B1 ⊂ B2 ⊂ . . . una sucesión no decreciente de conjuntos medibles, y supongamos que f es una función medible cuya integral sobre ∪Bk existe, entonces Z Z f = lim f. ∪Bk

k→∞ Bk

Si f ≥ 0, la demostración resulta de aplicar el teorema de la convergencia monótona a la sucesión no decreciente {f XBk }. En el caso general se procede como antes. 24.11 Sea B1 ⊃ B2 ⊃ . . . una sucesión no creciente de conjuntos medibles, y supongamos que f es una función integrable sobre alg´ un Bk , entonces Z Z f = lim f. ∩Bk

k→∞ Bk

En caso de ser f ≥ 0, la demostraci´ on resultará de aplicar el teorema 24.2 a la sucesión {f XBk }, de ah´ı la necesidad de la hip´ otesis f integrable sobre alg´ un Bk . El caso general, como en los resultados precedentes.

24.13


247

24.12 Sea {Bk } una sucesión de conjuntos medibles, tal que lim m(Bk ) = 0. Entonces, si f es una función integrable, se tiene que Z lim f = 0.

k→∞

k→∞ Bk

on. El resultado es evidentemente cierto si f es una función Demostraci´ acotada, pues entonces Z Z ¯ ¯ ¯ ¯ |f | ≤ c ⇒ f ≤ |f | ≤ cm(Bk ) → 0. Bk

Bk

En general, denotemos por Cα = {x : |f (x)| ≥ α}. Entonces Z

Z

Z

|f | = Bk

Z

|f | +

Por tanto

|f | ≤ c Bk ∩Cα

Bk ∩Cα

Z |f | ≤ Bk

Z lim

|f | , ∀α > 0, Cα

Z |f | ≤

Bk

|f | + αm(Bk ).

Z

lim en particular,

Cα

|f | , ∀p = 1, 2, . . . Cp

R Pero la sucesión de integrales, Cp |f |, tiende a 0 en virtud de 24.11, ya que R obviamente C1 ⊃ C2 ⊃ . . .. Se deduce pues que lim Bk |f | = 0. Corolario 24.13 (Continuidad absoluta) Si f es una función integrable, entonces para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que Z ¯ ¯ ¯ m(B) < δ ⇒ f ¯ < ε. B

on. De lo contrario, existir´ıa un ε > 0 y una Demostraci´ ¯ R sucesi´ ¯ on de conjuntos {Bk } tales que m(Bk ) < 1/k, mientras que ¯ Bk f ¯ > ε, lo cual contradice 24.12.

248


24A

Ejercicios 24A Sea f una función integrable y Bp = {x : |f (x)| ≥ p}. (a) Probar que limp→∞ p m(Bp ) = 0. (b) Probar que ∞ X p m(Bp+1 \ Bp )) < +∞. p=0

(c) Probar que la condición sobre f en el apartado (a) no implica f integrable. La condición en el apartado (b) implica que f es integrable si {x : f (x) 6= 0} es de medida finita. 24B Encontrar sucesiones monótonas {fk } que no satisfagan las hipótesis de ninguno de los teoremas de convergencia monótona y tales que R • fk = ∞ − ∞ , ∀k. R R • lim fk 6= lim fk R R • lim fk = lim fk 24C (a) Probar que si {fk } es una sucesión de funciones integrables que converge uniformemente a una función f sobre un conjunto B de medida finita, entonces f es integrable sobre B y Z Z f = lim fk . B

B

(b) Demostrar que la condición del apartado anterior, B de medida finita, no se puede quitar. (c) Construir una sucesión de funciones {fk } que converja uniformemente en un conjunto de medida finita B y tal que para todo k Z fk = ∞ − ∞. B

24D Probar que si Bk y B son conjuntos medibles tales que m(Bk ∆B) → 0, entonces Z Z lim f= k→∞

Bk

B

para toda f integrable. 24E Demostrar que si f es una función integrable entonces Z ∞ 2 lim e−m sen x · f (x) = 0. m→∞

0

24K


249

24F Consideremos la sucesión de funciones px2 1 cos . px − y px − y

fp (x, y) =

(a) Probar que se trata de una sucesión de funciones medibles que converge c.s. ¿hacia qué función? (b) ¿Se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada en B = {(x, y) : 0 < y < x < 1}. 24G Probar que si f es una función medible sobre el intervalo [a, b] y para cada Rx c.s. x ∈ [a, b] se tiene que a f =R0, entonces f = 0. ´ n. Observar que I f = 0 para cada semintervalo contenido en [a, b] y indicacio utilizar la continuidad absoluta de la integral. 24H Sea f ∈ L 1 (R) derivable en 0 y tal que f (0) = 0. Probar que la función g(x) = f (x)/x es integrable en R. que converge 24I Sea fk una sucesión monótona de funciones reales e integrables R puntualmente a una función f . ¿Es cierto entonces que limk→∞ |f − fk | = 0? 24J Sea fk una sucesión de funciones mediblesR que converge puntualmente a una R función f . Probar que si existe M > 0 tal que |fk | ≤ M entonces |f | ≤ M . 24K Sea fk una sucesión de funciones medibles “no negativas”que converge puntualmente a una función integrable f y sea para cada k, Bk = {x : f (x) ≥ fk (x)}. (a) Probar que

Z lim

k→∞

(b) Probar que

Z

(f − fk ) = 0. Bk

Z |f − fk | =

Z (f − fk ) + 2

(f − fk ). Bk

(c) Deducir de los apartados anteriores que R R si, además de las R hipótesis iniciales sobre {fk } y f , se tiene que lim fk = f , entonces lim |f − fk | = 0. ¿Puede suprimirse la hipótesis fk ≥ 0 para cada k? y la hipótesis f integrable?

Cap´ıtulo 25

Primitivas e Integrales En este cap´ıtulo vamos a trabajar con funciones de una variable. En él estableceremos un caso particular del Teorema Fundamental del Cálculo Integral (ver [3] para el caso general), con el que iniciaremos el cálculo con Rb R integrales. Utilizaremos la notaci´ on a f (t)dt para referirnos a [a,b] f

Las integrales de Riemann y Lebesgue En Análisis I se estudiaron las funciones Riemann-integrables en un intervalo acotado [a, b]. Nosotros hemos visto ya que todas estas funciones son medibles en el sentido de Lebesgue (Ejemplo 2 de 22.3). Vamos a ver ahora que, en realidad, son Lebesgue-integrables, y, aunque Riemann y Lebesgue difieran en la técnica de integraci´ on, la integral de una funci´ on es la misma tanto como integrable Riemann que como integrable Lebesgue. Proposici´ on 25.1 Si f es una función integrable Riemann en el intervalo [a, b], entonces f es también integrable Lebesgue y su integral como función Rb integrable Riemann, R a f , coincide con su integral como función integrable Rb Lebesgue, L a f . on. Sin pérdida de generalidad puede suponerse que la funci´ on Demostraci´ f ∈ R[a, b] es no negativa. Para cada partición P : a = t0 < t1 < . . . < tp = b, de [a, b], se tiene (25.1) L(P, f ) =

X

Z mi (ti −ti−1 ) ≤ R 251

b

f ≤ U (P, f ) = a

X

Mi (ti −ti−1 )

252

Primitivas e Integrales

25.1

donde mi = inf{f (t) : t ∈ [ti−1 , ti ]}, Mi = sup{f (t) : t ∈ [ti−1 , ti ]}. Rb Además sabemos que R a f es el u ńico n´ umero real que satisface 25.1 para todas las particiones. Ahora bien, es evidente que ¡ ¢ L(P, f ) = m ∪ [ti−1 , ti ] × [0, mi ) ¡ ¢ ≤ m(Ord[a,b] f ≤ U (P, f ) = m ∪ [ti−1 , ti ] × [0, Mi ) Rb y, por tanto, el n´ umero real L a f = m(Ord[a,b] f , est´ a comprendido entre cada dos sumas de Riemann, luego Z b Z b R f =L f. a

a

La siguiente proposición, junto con el corolario 25.7, nos ser´ au ´til para calcular la integral de funciones acotadas o no, definidas sobre conjuntos acotados o no. En particular, también establece la relación entre la integral de Lebesgue y la extensión de la integral de Riemann a las funciones no acotadas o definidas sobre conjuntos no acotados. Proposici´ on 25.2 Sea f una R b función que admite integral sobre el intervalo (a, b) con a, b ∈ R, es decir a f 6= ∞ − ∞. Entonces, Z b Z y Z y Z b (25.2) f = lim f (t)dt = lim f (t)dt = lim f (t)dt. a

x→a+ y→b−

y→b−

x

Demostraci´ on. Supongamos primero que

a

Rb a

x→a+

x

f = +∞, pero lim

y→b−

Ry a

f (t)dt 6=

+∞,. En ese caso existir´ıa alg´ un n´ umero real M y puntos y tan próximos a b como se quiera (tan grandes como se quiera, si b = +∞), para los que Ry f (t)dt ≤ M . Por lo tanto se podr´ ıa encontrar una sucesi´ on yp % b tal a que Z yp

f ≤ M , ∀p a

lo que implicar´ıa, aplicando 24.10, que Z yp Z b lim f= f ≤M a

a

25.3


en contra de que

253

Rb

f = ∞. Rb Ry En el supuesto de que a f fuese finita y distinta de limy→b− a f (t)dt, se tendr´ıa, como antes, alg´ un ε > 0 y una sucesión yp % b, para la que a

¯ ¯

Z

Z

b

f− a

yp

¯ f ¯ > ε,

a

Ry Rb lo que contradice el que lim a p f = a f . La prueba de las demás igualdades de (25.2) es análoga. Nota. Puede ocurrir que alguno de los l´ımites de (25.2) exista y sea finito, Rb mientras que la integral a f no esté definida. Un ejemplo t´ıpico de esta situación lo constituye la función f (x) =

sen x x

cuya integral en [0, ∞) no existe, y sin embargo (ver Apostol [1]) Z lim

y→∞ 0

y

sen x π = . x 2

Al valor de este l´ımite es habitual llamarlo integral impropia, pudiéndonos encontrar a veces con la notación Z →b Z x f = lim f. a

x→b−

a

Teorema fundamental del c´ alculo integral Parece conveniente enunciar este teorema en términos de primitivas. Definici´ on 25.3 Si F 0 (x) = f (x), para cada x de un intervalo I de R, se dirá que F es una primitiva de la función f en I. Es bien conocido que 1. Dos primitivas de una misma función en un intervalo se diferencian en una constante. F 0 = G0 en I implica que (F − G)0 = 0, luego F − G es constante en I.

254


25.3

2. Si f admite una primitiva en I, entonces f no tiene discontinuidades de salto. Si f es la derivada de alguna función, entonces debe satisfacer la propiedad de los valores intermedios. Es inmediato comprobar que esto está re˜ nido con que f presente alg´ un salto. En particular esto implica, obviamente, que muchas funciones integrables Riemann no admiten primitivas. La versión más clásica del teorema fundamental del cálculo integral es para funciones continuas y puede enunciarse as´ı: 25.4 Si f es una R x función continua sobre un intervalo [a, b] entonces la función, F (x) = a f (t)dt, es una primitiva para la función f en [a, b]. Más precisamente: Z x 0 G (x) = f (x), ∀x ∈ [a, b] ⇔ G(x) = f + C. a

on y derivaci´ on son pues, en el contexto del teorema Las operaciones integraci´ precedente, inversas una de la otra: R Rx D f a f −→ −→ f continua derivable F clase C 1

D

−→

F0 continua

R

−→

Rx a

F 0 = F (x) − F (a)

Nos proponemos analizar ahora si existen otros casos en los que integración y derivación también resulten operaciones inversas: Rx Teorema 25.5 Sea f ∈ L 1 [a, b] y F (x) = a f (t)dt, entonces (i) F es continua en cada punto x ∈ [a, b]. (ii) (T. de diferenciaci´ on de Lebesgue) F es derivable en c.t.p. de c.s. [a, b] y F 0 (x) = f (x). En particular, F 0 (x) = f (x) en todo punto x en el que f sea continua. Demostraci´ on. La demostración de (i) es consecuencia directa de la continuidad absoluta del operador integral (Corolario 24.13). En efecto, Z Z ¯ x+h ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |F (x + h) − F (x)| = f = f ¯ < ε , si m([x, x + h]) = |h| < δ. x

[x,x+h]

25.6


255

(ii) El teorema de diferenciación de Lebesgue escapa al contenido de este curso, su demostración puede verse en Kolmogorov [20] y Benedetto [3]. Veamos, no obstante, que F 0 (x) = f (x) cuando f es continua en x. Dado ε > 0, sea δ > 0 el que corresponda por la continuidad de f en x, entonces si |h| < δ se tiene que ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯ F (x + h) − F (x) ¯ ¯ 1 ¯¯ x+h ¯ ¯ ¯ − f (x) = f (t)dt − hf (x) ¯ ¯ |h| ¯ ¯ h x ¯ Z x+h ¯ Z x+h Z x+h ¯ 1 ¯¯ 1 = f (t)dt − f (x)dt¯¯ ≤ |f (t) − f (x)|dt ≤ ε. ¯ |h| x |h| h x Se tiene pues que, en las condiciones del teorema anterior, integrando primero y derivando después recuperamos la función en c.t.p.: f integrable

R

−→

Rx

f derivable c.s.

D

−→

a

f (c.s.)

Vamos a analizar ahora lo que sucede cuando invertimos las composiciones, es decir si primero derivamos y después integramos en un contexto más general que el de 25.4. F derivable

D

−→

F0 ¿integrable?

R

−→

Rx a

F 0 = F (x) − F (a).

Lo que expresa el diagrama es lo siguiente: El que una función F sea derivable en todo punto no implica que F 0 tenga que ser integrable. Pero si F 0 es integrable, entonces derivando primero y después integrando recuperamos la función en todo punto. Damos a continuación un enunciado preciso de todo esto Teorema 25.6 Supongamos que f es una función que admite una primitiva F en el intervalo [a, b]. Entonces: (a) Es posible que f no sea integrable en [a, b]. (b) Si f es acotada en [a, b] entonces f es integrable en [a, b]. Z x (c) Si f es integrable en [a, b] entonces F (x) = f + C(constante). a

Demostraci´ on. (a) El ejemplo clásico lo constituye la derivada de la función F (x) = x2 sen

1 . x2

256


25.6

Es inmediato de comprobar que esta función es derivable en todo punto, siendo su derivada la función f (x) = 2xsen

2 1 1 − cos 2 ; f (0) = 0. x2 x x

Para probar que f no es integrable en [a, b] (a pesar de admitir primitiva), bastará ver que la funci´ on h(x) = 1/x cos 1/x2 no es integrable en [a, b]. En efecto, puesto que cos

1 1 ≥ , x2 2

si

¡ −π ¢ 1 π ∈ + 2kπ, + 2kπ 2 x 3 3

es fácil deducir que h+ (x) ≥ 1/2

∞ p X

− π/3 + 2kπ X( √

1 1 ,√ ) π/3+2kπ − π/3+2kπ

k=1

lo que implica (después de algunos cálculos elementales) que r ¶ Z Xµ 6k − 1 + h ≥ 1/2 1− 6k + 1 X X 1 2 √ √ ¡√ ¢ ≥ 1/2 ≥ 1/2 = ∞. 6k + 1 6k + 1 6k + 1 + 6k − 1 R Rb Análogamente se demuestra que h− = ∞. Esto prueba pues que a f = ∞ − ∞. (b) Sabemos que toda función medible y acotada es integrable sobre cada conjunto medible de medida finita. Luego para demostrar que, en las condiciones de este apartado, f es integrable sobre [a, b], sólo hemos de probar que es medible: Puesto que f = F 0 , se tiene ¡ ¢ f (x) = lim n F (x + 1/n) − F (x) n→∞

lo que expresa que f es el l´ımite puntual de la sucesión¢de funciones medibles ¡ (ya que F es continua), fn (x) = n F (x + 1/n) − F (x) . Se deduce pues que f es también medible, como quer´ıamos ver. (c) Sólo haremos la demostración de este apartado para el caso de funciones acotadas. Una demostración, usando técnicas elementales, para el caso no acotado puede verse en Rudin ([25]) o en Cohn ([9]). Supongamos pues que f = F 0 es una funci´ on acotada en [a, b], es decir, para todo x

25.6


257

de [a, b] , |f (x)| ≤ M para alg´ un M . Es evidente que para demostrar la igualdad de (c) bastará comprobar que Z F (b) − F (a) =

b

f (t)dt (F. de Barrow). a

Consideremos para cada n´ umero natural n la partición de [a, b] , a = t0 < t1 < . . . < tp = b, tal que ti+1 − ti = (b − a) /n. Definimos entonces, para cada n, la función simple: sn =

X F (ti+1 ) − F (ti ) ti+1 − ti

X Ji

siendo J0 = [t0 , t1 ], Ji = (ti , ti+1 ](i = 1, 2, . . .). La sucesión {sn } verifica entonces lo siguiente: 1. {sn (x)} → f (x). En efecto, sea x ∈ [a, b]. Es fácil probar, por un lado, que f (x) = F 0 (x) =

lim

y,z→xy
F (z) − F (y) z−y

por otro, sn (x) =

F (ti+1 ) − F (ti ) ti+1 − ti

donde [ti , ti+1 ] es el intervalo de la partición de [a, b] asociada a n (y por tanto de longitud (b − a) /n) en el que está el punto x. De ambos hecho se deduce ya trivialmente que {sn (x)} converge a F 0 (x). 2. |sn (x)| ≤ M. Como F es derivable en todo punto, del teorema del valor medio se deduce que sn (x) = F 0 (ξ), ξ ∈ (ti , ti+1 ) lo que implica que sn está, como F 0 , acotada por M . R 3. Para todo n, sn = F (b) − F (a). Z X sn = (F (ti+1 ) − F (ti )) = F (b) − F (a).

258


25.6

La sucesión {sn } satisface pues las condiciones del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, por lo que podemos concluir que Z b Z f = lim sn = F (b) − F (a). a

Corolario 25.7 Supongamos que f es una función que admite una primitiva F en el intervalo abierto (a, b), a, b ∈ R y que además es integrable sobre Rb cada intervalo compacto [x, y] ⊂ (a, b). Entonces, si a f 6= ∞ − ∞, se tiene que Z b f = x→a lim (F (y) − F (x)). a

y→b

Demostraci´ on. Basta aplicar la proposición 25.2 y tener en cuenta que, R y en estas condiciones, se puede aplicar la fórmula de Barrow para calcular x f .

Ejercicios 25A ¿Es posible encontrar alguna función f que admita primitiva en todo punto Rb de un intervalo cerrado [a, b] y tal que a f = ∞? 25B Estudiar si la función f (x) = sen 1/x admite una primitiva en [0, 1]. 25C (a) Estudiar la integrabilidad seg´ un los valores de α > 0 de la función f (x) = 1/xα en un entorno de 0 y en un entorno de ∞. (b) Utilizar el apartado anterior para estudiar la integrabilidad en (0, ∞) de las funciones 1 1−x √ √ , , x + x2 x − x2 25D Estudiar la integrabilidad de las funciones ln x ln x e1/x sen x, x ∈ [0, 1]; , √ , x2 − ln x x(1 + x) 1 , x ∈ [e, ∞] x(ln x)2

x ∈ (0, ∞)

25E Estudiar y calcular, cuando sea posible, los siguientes l´ımites Z ∞ Z ∞ k k √ lim , lim 2 k→∞ 0 k→∞ 0 (x + k)2 + kx2 kx + x Z ∞ Z ∞ sen2 kx x , lim lim 3 2 2 k→∞ 0 k→∞ 0 x + k cos x x + k 2 sen2 x

25F


259

25F Probar las desigualdades: 1 1 √ p ≤ 1 + √ + . . . + √ ≤ 2 p. p 2 1 1 ln(p + 1) ≤ 1 + + . . . + ≤ ln p + 1. 2 p √ ´ n. Tener en cuenta que las funciones 2 x y ln x son primitivas, respecindicacio √ tivamente, de las funciones 1/ x y 1/x. √

Cap´ıtulo 26

El Teorema de Fubini-Tonelli Veremos en este cap´ıtulo que el cálculo de una integral m´ ultiple se reduce al de integrales simples. Concretamente se va a probar que si f (x, y) es una función medible de n + k variables, que no cambia de signo o que es integrable, entonces las integrales iteradas Z (26.1)

¡

Z

¢ f (x, y) dy dx ,

Z

¡

Z

¢ f (x, y) dx dy

R existen y son iguales, siendo su valor precisamente f . PorR tanto repitiendo el proceso tantas veces como sea necesario, el cálculo de f se reducirá al de ciertas integrales simples.

El teorema de Tonelli El primer caso que vamos a considerar en el que se da la igualdad entre la integral de una función y sus integrales iteradas, es el de funciones medibles no negativas. Teorema 26.1 Sea f : Rn+k → [0, +∞] medible. Entonces: (i) La función de la variable y ∈ Rk , f (x, −) : y → f (x, y), es medible p.c.t. (para casi todo) x ∈ Rn . R (ii) La función g, definida p.c.t. x por g(x) = f (x, y) dy, es medible. R R (iii) g dx = f (es decir la integral de f coincide con sus integrales iteradas). 261

262

El Teorema de Fubini-Tonelli

26.1

La demostración del teorema general puede reducirse al caso particular en que f = XE , la función caracter´ıstica de un conjunto medible, utilizando el siguiente hecho: 26.2 (a) Si una función f ≥ 0 satisface el teorema de Tonelli, entonces también lo satisface la función c f , cualquiera que sea la constante c ≥ 0. (b) Si {fk } es una sucesión de funciones no negativas que P satisfacen el teorema de Tonelli, entonces también lo satisface la función fk . Demostraci´ on. Ambos apartados se demuestran de forma análoga. (b) Denotemos Zk = {x ∈ Rn : fk (x, −) no es medible}. Por hipótesis cada uno de estos conjuntos es de medida P nula. Es claro entonces que si x 6∈ Z = ∪Zk , la serie de funciones de y, fk (x, −), es medible, R Pluego medible x. La funci´ o n g definida en c.t.p. mediante, g(x) = p.c.t. fk (x, y)dy = PR otesis) y no fk (x, y)dy, es laR suma de las funciones medibles (por hip´ negativas, gk (x) = fk (x, y)dy, y por tanto es una función medible. Por u ´ltimo Z Z X Z X Z XZ XZ g(x)dx = gk (x)dx = gk (x)dx = fk = fk = f. Como consecuencia de este resultado, la demostraci´ on del teorema de Tonelli bastar´ıa hacerla para funciones del tipo f = XE . En efecto, éste podr´ıa extenderse ya a las funciones simples no negativas. Además si f es una función medible no negativa sabemos que existe una sucesi´ on creciente {sk } de funciones simples no negativas que converge puntualmente a f . Escribiendo entonces ∞ X (sk+1 − sk )(x) f (x) = s1 (x) + k=1

se deduce que f es una suma de funciones simples, y por tanto el teorema se extender´ıa también a f . Si E es un subconjunto de Rn+k y x ∈ Rn , escribiremos E(x) = {y ∈ (x, y) ∈ E}. Análogamente E(y). Puesto que el conjunto E es medible si y sólo si XE es una función medible, el teorema 26.1 para f = XE se enuncia entonces as´ı: Rk :

Lema 26.3 Sea E ⊂ Rn+k un conjunto medible. Entonces (i) El conjunto E(x) es medible p.c.t. x ∈ Rn .

26.3


263

(ii) La función g(x) = m∗ (E(x)), es medible. R (iii) m(E) = m∗ (E(x))dx . Demostraci´ on. La haremos en varias etapas: 1. E es un intervalo, es decir E = I × J. Entonces E(x) =

(

J si x ∈ I ∅ si x 6∈ I

⇒

g(x) = m(E(x)) = m(J)XI (x).

g es pues una función simple y su integral,

R

g = m(J) · m(I) = m(E).

2. E es un conjunto abierto. Que el lema se satisfacePen este caso es consecuencia de 26.2, ya que si E es abierto, XE = XEk , para una cierta colección numerable, {Ek }, de semintervalos disjuntos dos a dos. (ver 18.9 para probar que tal colección existe). Observemos que en este caso E(x) es una uni´ on numerable de semintervalos, luego E(x) es un conjunto medible para todo x. 3. E es un conjunto Gδ acotado. Entonces E se puede escribir como intersecci´ on numerable de una sucesión decreciente de conjuntos abiertos y acotados. Sea E = ∩Uk . Se tiene: m(E) = lim m(Uk ) ;

E(x) = ∩Uk (x) ;

m(E(x)) = lim m(Uk (x)).

luego E(x) medible, por ser intersecci´ on numerable de medibles. La aplicación g(x) = m(E(x)) es medible, por ser el l´ımite de la sucesión (monótona) de funciones medibles (integrables por ser Uk acotado), gk (x) = m(Uk (x) y Z Z g(x)dx = lim gk (x)dx = lim m(Uk ) = m(E).

4. E es un conjunto de medida nula acotado. Sea G un conjunto acotado y Gδ tal que E ⊂ G y m(G) = 0. Como G satisface el teorema, entonces Z 0 = m(G) = m(G(x))dx

264


26.3

de lo que se deduce que G(x) y también E(x) ⊂ G(x) son de medida nula p.c.t. x. Por tanto, E(x) R medible p.c.t. x, g(x) = m(E(x)) = 0 c.s., (luego g es medible) y g = 0 = m(E). 5. E es un conjunto medible acotado. Entonces E = G \ Z, donde G es un Gδ y Z ⊂ G de medida nula. Por tanto m(E) = m(G) ; E(x) = G(x) \ Z(x) ; m(E(x)) = m(G(x)) p.c.t. x. c.s.

Luego E(x) medible c.s., g(x) = m(E(x)) = m(G(x)) es medible y Z Z g(x)dx = m(G(x)) = m(G) = m(E).

6. E es un conjunto medible. Se escribe E como unión numerable de conjuntos medibles acotados y disjuntos (equivalentemente XE como suma de funciones caracter´ısticas de medibles acotados), y se aplica 26.2.

El teorema de Fubini Como ya se˜ nalamos al principio las integrales iteradas también coinciden con la integral de la función cuando ésta es una función integrable. El enunciado preciso de este hecho lo constituye el teorema de Fubini: Teorema 26.4 Sea f : Rn+k → R integrable. Entonces: (i) La función de la variable y ∈ Rk , f (x, −) : y → f (x, y), es integrable p.c.t. x ∈ Rn . R (ii) La función g, definida p.c.t. x por g(x) = f (x, y) dy, es integrable. R R (iii) g dx = f (es decir la integral de f coincide con sus integrales iteradas). on. Sea f = f + − f − . Por hipótesis f + y f − son integrables y Demostraci´ al ser también no negativas, satisfacen el teorema de Tonelli, es decir Z Z Z ¡ ¢ f + (x, y) dy dx = f + < +∞ , Z Z Z ¡ ¢ f − (x, y) dy dx = f − < +∞,

26B


265

R por tanto, si denotamos por g1 (x) = f + (x, y) dy, se tiene que g1 es una función de x integrable y en consecuencia finita c.s. o lo que es lo mismo f + (x, −) es integrable p.c.t. x.R An´ alogamente se prueba que f − (x, −) es integrable p.c.t. x y g2 (x) = f − (x, y) dy es integrable, luego f (x, −) = f + (x, −) − f − (x, −) es integrable p.c.t. x. La función Z Z Z + g(x) = f (x, y) dy = f (x, y) dy − f − (x, y) dy = g1 (x) − g2 (x) está definida c.s. y es integrable, por ser diferencia de dos funciones integrables. Por u ´ltimo, Z Z Z g(x) dx = g1 (x) dx − g2 (x) dx Z Z Z Z Z Z Z ¢ ¢ ¡ ¡ + − + − = f (x, y) dy dx − f (x, y) dy dx = f − f = f. Nota. Para aplicar el teorema de Fubini-Tonelli a funciones cuyo dominio no es todo Rn+k , basta tener en cuenta la fórmula Z Z f = f XE . E

Por tanto, si f ≥ 0 o integrable sobre el conjunto medible E, se tiene que Z Z Z Z Z Z ¡ ¡ ¢ ¢ f = f XE = f (x, y)dy dx = f (x, y)dy dx, E

E(x)

A

E(x)

donde A = {x ∈ Rn : m(E(x)) > 0}. Los conjuntos A y E(x) son “los l´ımites de integración”, y el proceso descrito para su obtención será el que se seguirá habitualmente en la pr´ actica.

Ejercicios 26A Sea E un subconjunto medible de Rn+k . Probar que E es de medida nula si y sólo p.c.t x ∈ Rn , m(E(x)) = 0. 26B Sean A, B subconjuntos cualesquieras de Rn y Rk respectivamente, G un conjunto medible tal que A × B ⊂ G y m∗ (A × B) = m(G) y g(x) = m∗ (G(x)). Probar que A × [0, m∗ (B)] ⊂ Ord (g) y deducir de esto la fórmula m∗ (A × B) = m∗ (A) · m∗ (B).

266


26C

26C Consideremos la función f (x, y) =

y 2 − x2 . (x2 + y 2 )2

Probar las dos integrales iteradas de f sobre el conjunto B = [0, 1] × [0, 1] existen pero son diferentes. 26D Sea f una función medible. Probar que f es integrable si y sólo si alguna de las integrales iteradas de la función |f | es finita. 26E Determinar el recinto B para que Z Z f (x, y)dxdy =

1

¡

0

B

Z

x

¢ f (x, y)dy dx

x2

26F (a) Probar que en las condiciones de aplicabilidad del teorema de FubiniTonelli, se tiene que Z b Z x Z b Z b ¡ ¢ ¡ ¢ f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy a

a

a

y

(b) Deducir que si f (x, y) = f (y, x) en el rectángulo B = [a, b] × [a, b] entonces el valor com´ un de las integrales anteriores es Z 1 f (x, y)dxdy. 2 B (c) En particular, demostrar que si a > 0 entonces Z a Z a Z a ¡ f (y) ¢ dy dx = f (x)dx. y 0 x 0 26G Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 1 f (x) = √ , x 1−x

g(x) =

1 x

y la recta x = 1. 26H Hallar

Z yzdxdydz, D

donde D es el recinto limitado por los planos coordenados y los planos x + y = 1 y z = 4. 26I Calcular

Z sen(x + y)dxdy, B

donde B = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ y; 0 ≤ y ≤ 1; x + y ≤ π/2}.

Cap´ıtulo 27

Cambio de Variables en la Integral M´ ultiple En la demostración del teorema del cambio de variable utilizaremos con frecuencia que el carácter medible de los conjuntos es una propiedad que se mantiene por aplicaciones de clase C 1 . Este resultado es una consecuencia del hecho de que toda aplicación de clase C 1 en un abierto de Rn es lipschitziana sobre cada compacto contenido en él:

Transformaci´ on de conjuntos medibles por funciones de clase C 1 Lema 27.1 Sea T : U ⊂ Rn → Rn una aplicación de clase C 1 . Supongamos en Rn la norma k k∞ y sea Q un cubo cerrado contenido en U , entonces (i) Si kDT (u)k ≤ α , para todo u ∈ Q, entonces m∗ (T (Q)) ≤ αn m(Q). (ii) T transforma conjuntos medibles en conjuntos medibles. Demostraci´ on. i) Sea u0 el centro de Q y l el lado. Como Q es convexo, del teorema del valor medio se deduce que kT (u) − T (u0 )k∞ ≤ αku − u0 k,

∀u ∈ Q

lo que nos indica que T es lipschitziana sobre Q de constante α y por tanto i) se deduce del lema 20.6. El apartado ii) se deduce de la proposición 20.7, sin más que tener en cuenta que toda aplicación de clase C 1 es localmente lipschitziana. 267

268

Cambio de Variables

27.2

Lema 27.2 Si L es una aplicación lineal de Rn en Rn , entonces (27.1)

m∗ (L(E)) = | det L| · m∗ (E).

Demostraci´ on. Si L es singular, L(E) está contenido en un subespacio de dimensión r < n. Este subespacio será por lo tanto isomorfo al subespacio vectorial, Rr × {0} × . . . × {0}, y como él será, seg´ un el resultado anterior, un conjunto de medida nula. Se deduce pues que L(E) es de medida nula y por tanto la fórmula (27.1) es válida en este caso. La demostración en el caso en que L sea no singular, se basa en la existencia de una descomposici´ on de L en término de aplicaciones lineales elementales de uno de estos tres tipos: (Li,j ) Permutación de dos coordenadas. Li,j (u1 , . . . , ui , . . . , uj , . . . , un ) = (u1 , . . . , uj , . . . , ui , . . . , un ).

(Lci ) Multiplicar una coordenada por un n´ umero real. Lci (u1 , . . . , ui , . . . , un ) = (u1 , . . . , cui , . . . , un ).

(Li+cj ) Sumar a una coordenada otra multiplicada por un n´ umero real. Li+cj (u1 , . . . , un ) = (u1 , . . . , ui + cuj , . . . , un ). (Para simplificar, denotaremos de la misma forma a una aplicación lineal y a su matriz asociada). Es fácil ver que la matriz de Li,j se obtiene permutando las filas i y j en la matriz identidad, I. Si T es una aplicación lineal, la multiplicaci´ on Li,j T , produce una matriz en la que se han permutado las filas i y j de T . Análogamente, la matriz Lci se obtiene multiplicando por c la fila i de I. Y la matriz Li+cj sumándole a la fila i de esta matriz la j multiplicada por c. La multiplicaci´ on Lci T o Li+cj T , produce los efectos anteriores, pero sobre la matriz T en lugar de la I. Vamos a ver que mediante sucesivas transformaciones de los tres tipos anteriores se puede reducir la aplicación lineal L a la identidad. El procedimiento es como el utilizado para obtener ceros en un determinante Paso 1. Conseguir un 1 en el lugar (1,1) de L mediante:

27.2

Cambio de Variables

269

• Transposición de dos filas de L, para conseguir un elemento no nulo (por ejemplo, igual a c) en posici´ on (1,1). • Multiplicación de la primera fila de la matriz obtenida por 1/c. Paso 2. Obtener ceros en la primera columna, sin m´ as que restar a cada fila la primera multiplicada por el n´ umero que corresponda. Paso 3. Conseguir de forma análoga un 1 en el lugar (2,2) y un 0 en los demás términos de la segunda columna. Análogamente con las demás columnas. De esta forma, mediante un n´ umero finito de estas transformaciones, denotémoslas por ejemplo L1 , L2 , . . . , Lp , hemos reducido (componiendo a la izquierda con L1 , L2 , . . . , Lp ) la aplicaci´ on L a la identidad I, es decir Lp Lp−1 . . . L1 L = I Como L−1 L−1 L−1 i,j = Lj,i , ci = L1/c i , i+cj = Li−cj , se deduce inmediatamente de lo anterior que L es una composición de aplicaciones elementales de los tipos descritos. Y puesto que el determinante de un producto de maormula (27.1) sólo será preciso trices es el producto de los determinantes, la f´ probarla para estas aplicaciones elementales. Q Supongamos primero que E es un semintervalo, E = ni=1 (ai , bi ], y observemos que | det Li,j | = 1 , det Lci = c , det Li+cj = 1. Entonces, 1. Li,j (E) = (a1 , b1 ] × . . . × (aj , bj ] × . . . × (ai , bi ] × . . . × (an , bn ]. Luego m(Li,j (E)) = m(E) = | det Li,j | · m(E).

2. Lci (E) = (a1 , b1 ] × . . . × (cai , cbi ] × . . . × (an , bn ]. Luego m(Lci (E)) = |c|m(E) = | det Lci | · m(E).

3. Veamos, por u ´ltimo, el caso de aplicaciones del tipo Li+cj . Para calcular m(Li+cj (E)) vamos a utilizar el teorema de Fubini. Podemos suponer para concretar y simplificar que i = 2, j = 1. Entonces: F = L(2)+c(1) (E) = {(u1 , u2 + cu1 , u3 , . . . , un ) : ui ∈ (ai , bi ]},

270

Cambio de Variables

27.2

luego Z µZ

Z m(F ) =

dx1 dx2 . . . dxn =

= Z

b1

µZ

F n Y

(bi − ai )

i=3 b2 +cx2

= a1

a2 +cx1

B

Z B

dx1 dx2 =

¶ Z dx2 dx1 =

F (x1 ,x2 )

Z µZ A

B

¶ dx3 dx4 . . . dx1 dx2

¶ (x1 )dx2 dx1

b1

a1

(b2 − a2 )dx1 = (b2 − a2 )(b1 − a1 ).

Se tiene pues que m(Li+cj (E)) = | det Li+cj | · m(E). Sea ahora E un conjunto cualquiera y L una aplicación lineal de uno de los tipos descritos antes. Entonces, para ε > 0, tomemos {Ik } una colección numerable de semintervalos tal que X E ⊂ ∪Ik , m(Ik ) ≤ m∗ (E) + ε. entonces, utilizando la monoton´ıa y la subaditividad de la medida exterior, se tiene: X X ¡ ¢ m∗ (L(E)) ≤ m(L(Ik )) = | det L| m(Ik ) ≤ | det L| m∗ (E) + ε , lo que, debido al carácter arbitrario de ε, implica que m∗ (L(E)) ≤ | det L|m∗ (E). Puesto que la aplicaci´ on L−1 es del mismo tipo que L, se obtiene la desigualdad contraria: m∗ (E) = m∗ (L−1 L(E)) ≤ | det L−1 |m∗ (L(E)) =

1 m∗ (L(E)), | det L|

por tanto m∗ (L(E)) = | det L|m∗ (E).

El teorema del cambio de variables en la integraci´ on Lebesgue Teorema 27.3 (El teorema del cambio de variables (TCV) Sea T : U → T (U ) un difeomorfismo de clase C 1 entre los abiertos U y T (U ) de

27.3

Cambio de Variables

271

Rn y f una aplicación de T (U ) en R. Entonces para cada conjunto medible E ⊂ U se tiene: Z Z f = (f ◦ T ) | det DT | E

T (E)

(En el sentido de que la existencia de una de las integrales implica la existencia de la otra y la igualdad entre ambas). Obsérvese en primer lugar que por ser T un difeomorfismo, del lema 27.1 ii) se deduce que la función f es medible sobre T (E) si y sólo si f ◦T es medible sobre E, y por ser | det DT | continua y 6= 0, si y sólo si (f ◦ T ) | det DT | es medible. Para la demostración del caso general consideraremos algunas reducciones. En primer lugar, puesto que f es medible si y sólo si f + y f − lo son, bastará demostrar el teorema para funciones no negativas. Por otra parte, será suficiente con probar que Z Z (27.2) f ≤ (f ◦ T ) | det DT | (f ≥ 0), T (E)

E

pues entonces, considerando el difeomorfismo T −1 y la función g = (f ◦ T ) | det DT |, al aplicar (27.2) resulta que Z Z Z −1 −1 g≤ (g ◦ T ) | det DT | = f. E

T (E)

T (E)

Es inmediato comprobar que para la validez de (27.2) sólo es preciso que ésta se satisfaga en el caso en que E = U , es decir que Z Z (27.3) f ≤ (f ◦ T ) | det DT | (f ≥ 0), T (U )

U

y a´ un es posible reducir la demostraci´ on de (27.3) al caso particular en que f = XT (Q) donde Q es un semicubo de adherencia contenida en U , es decir a probar que Z (27.4) m(T (Q)) ≤ | det DT |. Q

En efecto, (27.4) se extiende sin dificultad primero a los conjuntos abiertos. A continuación podemos extenderla a conjuntos medibles E que sean subconjuntos de “cubos abiertos”de adherencia contenida en U : Sea Q un cubo abierto tal que Q ⊂ U y E ⊂ Q. Entonces, por la regularidad de la medida

272

Cambio de Variables

27.3

y la continuidad absoluta de la integral, para cada ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 y un conjunto abierto O ⊂ Q tales que Z (27.5) m(O \ E) < δ; | det DT | < ε. O\E

De esto se deduce que Z m(T (E)) ≤ m(T (O)) ≤ | det DT | O Z Z Z = | det DT | + | det DT | < | det DT | + ε, E

O\E

E

de lo que resulta, debido al car´ acter arbitrario de ε, que Z m(T (E)) ≤ | det DT |. E

Sea ahora E medible contenido en U , y sea {Qi } una partici´ on numerable de U por semicubos de adherencia contenida en U . Bastar´ a probar que para cada uno de estos semicubos se tiene Z m(T (E ∩ Qi )) ≤ | det DT |. E∩Qi

En efecto, o

o

m(T (E ∩ Qi )) = m(T (E∩ Qi )) + m(T (E ∩ F r (Qi )) = m(T (E∩ Qi )) Z Z ≤ | det DT | = | det DT |. o E∩ Qi

E∩Qi

Por la linealidad de la integral la f´ ormula (27.3) quedar´ıa ya establecida para funciones simples. Con ello, y teniendo en cuenta que toda función medible no negativa, f , puede aproximarse por funciones simples, la desigualdad (27.3) se obtiene para f por el teorema de la convergencia mon´ otona. El teorema del cambio de variable queda sólo pendiente de la demostración del lema: Lema 27.4 Supongamos que T : U → T (U ) es un difeomorfismo entre los abiertos U y T (U ) y sea Q es un semicubo tal que Q ⊂ U , entonces: i) Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si C es un semicubo de lado menor igual que δ, contenido en Q, m(T (C)) ≤ (1 + ε)n | det DT (v)| m(C) ,

∀v ∈ C.

27.4

Cambio de Variables

273

Z ii) m(T (Q)) ≤

| det DT |. Q

Demostraci´ on. (En Rn trabajaremos con la norma k k∞ ). i) Puesto que T es un difeomorfismo, es fácil comprobar que la aplicación, u → DT (u)−1 , es continua sobre U . Por tanto sup kDT (v)−1 k < ∞. v∈Q

Teniendo en cuenta ahora que DT es uniformemente continua sobre Q, dado ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 tal que ku1 − u2 k ≤ δ , u1 , u2 ∈ Q ⇒ kDT (u1 ) − DT (u2 )k ≤

ε . supv∈Q kDT (v)−1 k

Sea C ⊂ Q un semicubo de lado menor que δ. Fijemos un punto v ∈ C cualquiera y consideremos el difeomorfismo T1 = DT (v)−1 ◦ T . Utilizando los lemas 27.1 y 27.1, podemos escribir: m(T1 (C)) = | det DT (v)−1 | · m(T (C)) ≤ αn m(C), donde α = supu∈Q kDT1 (u)k. Se deduce pues que m(T (C)) ≤ αn | det DT (v)| · m(C), y como α = sup kDT1 (u)k = sup kDT (v)−1 ◦ DT (u)k u∈Q

u∈Q −1

= sup kI + DT (v)

◦ (DT (u) − DT (v))k

u∈Q

≤ 1 + kDT (v)−1 k · kDT (u) − DT (v)k ≤ 1 + ε, se tiene ya, que m(T (C)) ≤ (1 + ε)n | det DT (v)| · m(C) , ∀v ∈ C ii) Para cada n´ umero natural p tomemos δp , asociado a ε = 1/p en i), tal que la sucesión {δp } tienda a 0, y sea {Cip } una partición finita de Q mediante semicubos de lado menor o igual que δp . Fijemos vip ∈ Cip . Por i) sabemos que (27.6)

m(T (Cip )) ≤ (1 + 1/p)n | det DT (vip )| · m(Cip ).

274

Cambio de Variables

27.4

Consideremos entonces para cada p la función simple X sp = | det DT (vip )| X Cip . De (27.6) se deduce fácilmente que Z 1 m(T (Q)). sp ≥ (1 + 1/p)n Por otra parte, la sucesión {sp } converge uniformemente (en Q) a la función | det DT |. En efecto, sea δ > 0 asociado a ε por la continuidad uniforme de la función | det DT |. Entonces, si u ∈ Q y Cip es el semicubo de la partición en el que está u (luego ku − vip k < δp ), se tiene que ¯ ¯ ¯ ¯ ¯sp (u) − | det DT (u)|¯ = ¯| det DT (vip )| − | det DT (u)|¯ < ε , si δp < δ. El teorema de la convergencia dominada nos permite deducir ya Z Z | det DT | = lim sp ≥ m(T (Q)). Q

p→∞

Ejercicios 27A (a) Utilizar coordenadas polares para deducir la fórmula que da el área del c´ırculo (b) Considerar la elipse de ecuación x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. Utilizar el cambio de coordenadas x = au; y = bv para demostrar que el área limitada por la esta elipse es igual a πab. 27B Sea z = f (y) una función de una variable, A = [a, b] y B = OrdA (f ). (a) Probar que el volumen del sólido obtenido al girar B en torno al eje Y es Z b V =π f 2 (y)dy. a

(b) Probar que el volumen del sólido obtenido a girar B en torno al eje Z es Z b V = 2π yf (y)dy. a

´ n. Utilizar coordenadas cil´ındricas. indicacio (c) Obtener el volumen del toro obtenido al girar el c´ırculo z 2 + (y − a)2 ≤ R2 en torno al eje Z (Sol: 2π 2 R2 a).

27N

Cambio de Variables

275

27C Obtener el volumen del recinto D = {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 9; x2 + z 2 ≤ 9}. 27D Obtener el área encerrada por la curva cuya ecuación en polares es r = 3 + 2 sen θ. 27E Obtener el área de uno de los segmentos circulares en que divide el eje Y al c´ırculo de ecuación (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 2. 27F Calcular el área de uno de los bucles de la lemniscata (x2 + y 2 )2 = x2 − y 2 . 27G (a) Mediante el cambio a polares para calcular R 2 (b) Utilizar (a) para calcular R e−x dx

R R2

e−(x

2

+y 2 )

dxdy.

27H Calcular el área limitada por las curvas: x2 + y 2 = 2x;

27I Calcular

x2 + y 2 = 4x;

Z cos B

y = x;

y = 0.

π¡x − y ¢ dxdy, 2 x+y

donde B es el recinto limitado por los ejes y la recta x + y = 1 (Hacer el cambio x − y = u; x + y = v). 27J Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 25 y el cilindro (x − 1)2 + (y − 1)2 = 2 27K Calcular

Z D

xz 2 dxdydz, y

siendo D = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1; 0 ≤ x ≤ y}. R 27L Calcular D zdxdydz, siendo D = {(x, y, z) : x2 +y 2 +z 2 ≤ 4; z 2 ≥ x2 +y 2 ; 0 ≤ √ z ≤ 3} (Utilizar coordenadas esféricas). 27M Calcular el volumen del sólido que se encuentra fuera del cono de ecuación x2 +y 2 = z 2 y dentro de la esfera de ecuación x2 +y 2 +z 2 = 4z (utilizar coordenadas esféricas). 27N Determinar el volumen de la zona interior al cilindro de altura 4, x2 +y 2 = 2y y al paraboloide z = x2 + y 2 .

Bibliograf´ıa [1] Apostol, T., “Análisis Matemático”, Reverté, Barcelona, 1979. [2] Avez, A., “Calcul Différentiel”, Masson, Paris, 1983. [3] Benedetto, J.J., “Real Variable and Integration ”, B.G. Teubner, Stuttgart, 1976.

[4] Berstein, S., Quelques remarques sur l’interpolation, Math. Ann., 79 (1918), 1 – 12.

[5] Cartan, H., “Cálculo Diferencial”, Ediciones Omega, Barcelona, 1972. [6] Cheney, E.W., “Introduction to Approximation Theory”, McGraw-Hill, New York, 1966.

[7] Choquet, “Topolog´ıa”, Toray-Masson, Barcelona, 1971. [8] Cohen, P.J., A minimal model for set theory, BAMS, 69 (1963), 537 – 540. [9] Cohn, D.L., “Measure Theory”, Birkhäuser, Boston, 1980. ´, J., “Fundamentos de Análisis Moderno”, Reverté, Barcelona, [10] Dieudonne 1966.

[11] Fleming, W.H., “Funciones de Varias Variables”, C.E.C.S.A., 1976. [12] Flett, T.M., “Differential Analysis”, Cambridge University Press, 1980. [13] Gantmacher, F.R., “Théorie des Matrices”, Tome 1 Dunod, Paris, 1966. [14] Garnir, H.G., “Teor´ıa de Funciones I”, Marcombo, Barcelona, 1966. [15] Garnir, H.G., “Functions de Variables Reelles”, tome II, Gauthier-Villars, Par´ıs, 1965.

[16] Hewitt, E., Stromberg, K., “Real and Abbstract Analysis”, SpringerVerlag, New York, 1965.

283

bibliograf´ıa [17] Hewitt, E., Ross, K.A., Extensions of Haar measure and of harmonic analysis for locally compact abelian groups, Math. Annalen , 160 (1965), 171 – 194.

[18] Isaacson, E. and Keller, H.B., “Analysis of Numerical Methods”, Dover, New Yory, 1994.

[19] Kakutani, S., Oxtoby, J.C., , Ann. of Math., (2) 52 (1950), 580 – 590. [20] Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., “Elementos de la Teor´ıa de Funciones u, 1975. y del Análisis Funcional ”, Mir, Mosc´

[21] Moore, G.H., “Zermelo’s Axiom of Choice ”, Springer-Verlag, New York, 1982.

[22] Nachbin, L., “Topology on Spaces of Holomorphic Mappings”, Springer, Berlin, 1969.

[23] Natanson, I.P., “Theory of Functions of a Real Variable ”, Ungar, New York, 1967.

[24] Von Newman, J., “Functional Operators Vol.I: Measures and Integrals”, Princeton Univ. Press, , 1950.

[25] Rudin, W., “Análisis Real y Complejo”, McGraw Hill, Madrid, 1973. [26] Schwartz, L., “Cours d’Analyse”, Hermann, Paris, 1967. [27] Solovay, R.M., A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue medible, Ann. of Math., 92 (1970), 1 – 56.

[28] Williamsom, J.H., “Integración Lebesgue”, Tecnos, Madrid, 1973. [29] Yosida, K., “Funtional Analysis”, Sspringer, Berlin, 1974. [30] Zaanen, A.C., “Integration”, North-Holland, Amsterdam, 1967.

284

Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables. Montalvo F.

Recommend Documents