Para S F 2( x, y, z) cos g: R x z R2R3
d
parametrizamos la superficie S así y para Para S F 1( x, y, z) cos d , g : R y z R2R3
( x, z) ( x, y( x, z) , z)
( y, z) ( x( y, z), y, z)
Ejemplo: Sea F ( x, y, z ) un campo vectorial y S la cara exterior de la superficie de la 2
semiesfera de ecuación : x + y normal apunta hacia afuera ) Calcular F . n d .
2
+ z2 = 1
con
z
0. ( Si S es la cara exterior, la
S
Si parametrizamos la superficie así n = g v gu
00 ≤ u ≤ 2 ; 0 ≤ v ≤ π
x = sen v cos u y = sen v sen u z = cos v
2
gv(u, v) = (cos v cos u , cos v sen u , senv) . gu(u, v) = ( sen v sen u, sen v cos u, 0). gv
gu
= ||( sen
2
2
v cos u , sen v sen u, senv cos v)|| = sen v
n = g v gu
S
la normal apunta hacia fuera de la superficie
gu gv
- n =
F . n d =
=
¿por qué? sen v .
∫∫ D(sen v cos u )( sen v cos u)+( sen v sen u)(sen2 v sen u)+ cos v sen v cos v )du dv. D =∫∫ sen3 v ( cos2u + sen2u ) + sen v cos2v ] du dv. D 2
=∫∫ sen v ( cos v + sen v ) du dv = ∫∫ 2
2
sen v du dv
=
D
D
2
0 du 0 2 sen v du dv = 2 .
Otra forma de resolver el problema es calcular cada una de las integrales cos d
,
Veamos que
S
F 2( x, y, z) cos d
S
,
F 2( x, y, z) cos d
=
S
F 1( x, y, z) cos d ,
1 F 2 cos S
d
S
F 3( x, y, z)
y sumarlas.
+ S 2
F 2 cos d
2
3
R x z
S 1 : y =
S 2 : y = 1 x 2 z 2
1 F 2 cos S
S 2
d
F 2 cos d
=
1 x 2 z 2 (+1) dx dz
R x z
= R 1 x 2 z 2 (-1) dx dz x z
resolviendo en polares
R
2 1 x 2 z 2
dx dz =
x z
Análogamente MartaLagarrigue
1 x 2 z 2
S
F 1( x, y, z) cos d = 2
3
y
96
S
2
3
F 3( x, y, z) cos d 2
3
. S F . n d = 2 Cálculo III
TEOREMA DE GAUSS-OSTROGRADSKI. El teorema de Gauss-Ostrogradski, también llamado teorema de la divergencia, relaciona integrales de superficie con integrales triples. Teorema de Gauss-Ostrogradski: Sea T una región cerrada y acotada en R3 ( T es un sólido ), cuya frontera es una superficie S regular a trozos tal que en cada punto el vector normal a S apunta hacia afuera de T ( orientación positiva de S ). 3 3 Sea F : AR R un campo vectorial continuamente diferenciable P (F1(P) , F2(P), F3(P)) tal que A es abierto y T A. Entonces
F n d =
. S
T
divF dV .
Demostración:
Por las hipótesis hechas, la superficie S se compone de un casquete superior S s , uno inferior S i , y la porción lateral de superficie S que en algunos casos se reduce a una curva. S = S s S i S . S s
z
T
C. y1
y
.D
B
b
S .
R xy
S
T
y2
(
F 1 F 2 F 3 ) dx dy dz x y z
(F1( x, y, z) cos F2( x, y, z) cos F3( x, y, z) cos )d .
T
Vamos a probar
A.
a
F n d =
S i
x
S
divF dV =
F 3 dx dy dz = F3( x, y, z) cos d . S z
y con un razonamiento análogo se demuestran las otras dos igualdades: F 1 T dx dy dz = S F1( x, y, z) cos d . x
T
F 2 y
dx dy dz =
S
F2( x, y, z) cos d .
El sólido T y la región R xy están definidos por : T = { ( x, y, z) | a x b ; y1( x) y y2( x) ; z1( x, y) z z2( x, y) } . R xy = { ( x, y) | a x b ; y1( x) y y2( x) }
S
F3( x, y, z) cos d =
MartaLagarrigue
S s
F3( x, y, z) cos d + S F3( x, y, z) cos d + S F3( x, y, z) cos d . i
97
Cálculo III
Para calcular
S
F3( x, y, z) cos d , parametricemos S s y S i . 2
3
g: R xy R R la ecuación de S s ( x, y) ( x, y, z2( x, y)) g x g y n (cos , cos , cos ) ; n g x g y
S s :
g x g y = ( 1, 0,
cos
es z = z2( x, y
z 2 z 2 z z ) ( 0, 1, ) = ( 2 , 2 ,1) x y y x
1 g x g y
pues
cos 0
porque 0
2
1 ( , , ) cos = x y z d F F z ( , ) ( , , ) x y x y g x g y dx dy 3 3 2 S s R xy g x g y
S s
F3( x, y, z) cos d = R
xy
g: R xy R2 R3 ( x, y) ( x, y, z1( x, y))
n (cos , cos , cos )
T
;
n
S i
es z = z1( x, y)
g y g x g y g x
1 pues cos 0 porque 2 g x g y F3( x, y, z) cos d = R F 3 ( x, y , z1 ( x, y )) dx dy xy
cos
S i S
la ecuación de
:
S i
F 3 ( x, y, z 2 ( x, y )) dx dy
porque
F3( x, y, z) cos d = 0 pues
cos
F 3 ( x, y, z 2 ( x, y )) dx dy
S
F 3(x , y ,z) cos d = R
xy
F 3 dx dy dz = z
b
a
y2 ( x ) z 2 ( x , y )
F 3 d x d y d z = z y1 ( x ) z1 ( x , y )
b
2
Por lo tanto
R xy
F 3 ( x, y , z1 ( x , y )) dx dy
(1)
y 2 ( x )
d x [ F 3 ( x, y, z2 ( x, y)) F 3(x,y,z (x,y))] dy . 1
a
y1 ( x )
= R F 3 ( x, y, z 2 ( x, y )) dx dy R F 3 ( x, y , z1 ( x, y )) dx dy . xy xy
T
F 3 dx dy dz = R F 3 ( x, y , z 2 ( x , y )) dx dy R F 3 ( x , y , z1 ( x, y )) dx dy xy xy z
De (1) y (2) se sigue MartaLagarrigue
T
(2)
F 3 dx dy dz = F3( x, y, z) cos d como queríamos probar. S z 98
Cálculo III
Ejemplo. Sea F ( x, y, z ) y S el ecuación : x2 + y2 + z2 = 1
sólido limitado superiormente por la semiesfera de
con z 0. e inferiormente por el plano z= Calcular la integral de superficie F . n d .
0.
S
2
S 1 : x
+ y2 + z2 = 1 ; z 0.
S 2 : z = 0 z
S1 y x
S 2
D
Como se cumplen las hipótesis del teorema de Gauss-Ostrogradski, F n d =
. S
T
T
divF dV =
T
1 4 (1 1 1) dV = 3V(T) = 3. . = = 2 . 2 3
F n d =2
S .
Observar que
S 1 S 2
divF dV
F . n d . = S
F . n d = 2
F . n d =
S 2
S 1
F . n d +
S 2
F . n d .
como se ha obtenido en el ejercicio de pág. 96 . Ahí , S era S 1 )
x cos d
y cos d z cos d = 0
porque
2
;
y z
=0
Con respecto a la orientación de las caras de una superficie bilátera que no es la frontera de un sólido, observemos lo siguiente. Al elegir una cara de la superficie bilátera, en cada cada punto la normal n apunta en un sentido y en el mismo punto, en la cara opuesta, la normal es - n
MartaLagarrigue
99
Cálculo III
Sea S es una superficie regular, parametrizada por g: D R2 R3 (u,v) ( x(u,v), y(u,v), z(u,v)),
Al dividir S en un número finito de celdas (superficies parciales que provienen de una partición en D) se asigna, a los puntos de cada celda, un sentido positivo de la normal n determinando un sentido de rotación en los lados ( el de un tornillo de mano derecha). Cuando la superficie es bilátera, en cada cara de la superficie, las celdas contiguas tienen en la parte común, sentidos opuestos, por lo que el borde de S es una curvaC cerrada recorrida en sentido positivo (el sentido en el que un observador caminando a lo largo de C deja a la superficie S a su izquierda)
C
El teorema de Stokes o teorema del rotor relaciona integrales de superficie con integrales curvilíneas. TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie bilátera y por lo tanto orientada, acotada cuyo borde es una curva C . Supongamos una de las 2 caras de S como positiva y orientemos C en el sentido positivo. 3 3 Sea F : U R R un campo continuamente diferenciable en U abierto tal que S U . Entonces
:
( x, y. z) (F 1( x, y. z), F 2( x, y. z), F 3( x, y. z)) rot F . n dw = S
CF 1 dx + F 2 dy + F 3 dz .
F F F F F F rot F = ( 3 2 ) i ( 1 3 ) j ( 2 1 ) k .
y
z
z
x
x
y
z
Demostración :
Para la demostración vamos a suponer a S parametrizada por g, así: g: R xyR3 n = (cos , cos cos ) ( x, y) ( x, y, z( x, y))
x Suponemos
MartaLagarrigue
0
2
100
C
y
R xy C
Cálculo III
