Apunte UdeC - Calculo Diferencial e Integral en Varias Variables

5/14/2018

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

Apuntes para la asignatura: Cálculo III – 521277

Prof. Jorge Ruiz Castillo Mayo de 2010

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-udec-calculo-diferencial-e-integral-en-varias-variabl

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INDICE Capítulo 1: Cálculo diferencial Sección 1.1 Espacio euclidiano n - dimensional 1.2 Límite y continuidad 1.3 Diferenciación 1.3.1 Derivadas parciales 1.3.2 La diferencial 1.3.3 Propiedades de funciones diferenciables y ejemplos 1.3.4 Funciones diferenciables de Rm en Rn 1.3.5 propiedades de funciones diferenciables 1.3.6 Matriz Jacobiana 1.3.7 Derivadas Regla de ladireccionales cadena 1.3.8 1.4 Aplicaciones

página 3 6 11 11 15 17 19 20 21 21 23 26

Capítulo 2: Extremos de funciones con valores reales Sección 2.1 Máximos y Mínimos 2.2 El teorema de Taylor 2.3 Criterio de la segunda derivada 2.4 Repaso de Formas cuadráticas 2.5 La matriz Hessiana 2.6 Multiplicadores de Lagrange

página 33 35 35 36 37 38

Capítulo 3: Integrales dependientes de un parámetro Sección 3.1 Regla de Leibniz 3.2 Integrales impropias dependientes de un parámetro

página 41 45

Capítulo : Integración Sección 4.1 Introducción 4.2 La integral de Riemann sobre un rectángulo 4.3 Integrales sobre conjuntos acotados de Rn 4.4 Cambio de variables 4.5 Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas 4.6 Integrales múltiples impropias

página 49 52 55 57 58 60

Capítulo 5: Calculo vectorial Sección 5.1 Integrales de línea 5.1.1 Introducción 5.1.2 Longitud de arco 5.1.3 Integrales sobre campos vectoriales

página 64 64 66 66

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5.1.4 Integrales de línea sobre campos escalares 5.1.5 otras aplicaciones de la integral de línea 5.1.6 Independencia de la trayectoria 5.1.7 Teorema de Green 5.2 integrales de super…cie 5.2.1 Super…cies en Rn 5.2.2 Integrales de super…cie 5.2.3 Teorema de Gauss. Teorema de Stokes

68 69 70 74 77 77 81 85

2


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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Prof. Jorge Ruiz Castillo

1 CALCULO DIFERENCIAL 1.1 ESPACIO EUCLIDIANO n-DIMENSIONAL Recordemos que +:

n

R

n

está provisto de dos operaciones

R

n

n

R !R

; (x; y)



x+y

y

n

n

 :RR !R

; (; x)



x,

donde: (x1 ; x2 ; ::::::; xn ) + (y1 ; y2 ; ::::::; yn ) = (x1 + y1 ; x2 + y2 ;::::::;x n + yn ), y  (x1 ; x2 ; ::::::; xn ) = (x1 ; x2 ; ::::::; xn ) (Rn ; +; ) es un espacio vectorial real.



Nociones topológicas en El producto interior en

n

R

n

R

está de…nido por: n

n

n

n



:

y

= (y1 ; y2 ; ::::::; yn )

R

R !R

Este producto interior en

n

R



;x y =

X

xi yi , donde x = (x1 ; x2 ; ::::::; xn )

i=1

satisface las siguientes propiedades

n

8 2 R )x x  0 2. (8x 2 R ) x  x = 0 , x =  3. (8x; y; z 2 R ) (8;  2 R) (x + y)  z =  (x  z) +  (y  z) 4. (8x; y 2 R ) x  y = y  x 5. (8x 2 R ) x   = 0 1. ( x

n

n

n

n

. La norma en

n

R

está de…nida por:

Si x = (x1 ; x2 ;::::::;x n

 

! R; kxk = p x  x ), entonces kxk = x21 + x22 + :::::: + x2 : Rn

p

n

Algunas propiedades de la ”norma” son las siguientes: 3


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n

1. ( x

8 2 R ) kxk  0 2. (8x 2 R ) kxk = 0 , x =  3. (8x 2 R ) (8 2 R) kxk = jjkxk 4. (8x; y 2 R ) kx + y k  kxk + ky k (desigualdad triangular) 5. (8x; y 2 R ) jx  y j  kxkky k (desigualdad de Cauchy-Schwarz) n n

n n

. La distancia en

n

R

está de…nida por: d : Rn

n

 R ! R; d (x; y) = kx  yk

Si x = (x1 ; x2 ;::::::;x n ) ; y = (y1 ; y2 ; ::::::; yn ), entonces d (x; y) =

q  (x1

y1 )2 + (x2

 y2)2 + :::::: + (x  y

n )2

n

Entre sus propiedades podemos mencionar: n

) d (x; y)

n

) d (x; y) = d (y; x)

n

) d (x; y) = 0

n

) d (x; z)

8 2R 2. (8x; y 2 R 3. (8x; y 2 R 4. (8x; y 2 R 1. ( x; y

. De…nición.- Sean x0

n

R

0 ,x=y

 d (x; y) + d (y; z)

(desigualdad triangular)

y r > 0. Llamamos bola abierta con centro en x0 y-

2

f 2

k  k

g

radio 2r al conjunto B (x0 ; r) = x Rn : x x0 < r En R , B (x0 ; r) es una circunferencia con centro en x0 y radio r. En R3 , B (x0 ; r) es una esfera con centro en x0 y radio r. De…nición.- Sean G

n

R

y x0

n

2R

. Diremos que:



a) x0 es un punto interior de G si existe r > 0 tal que B (x0 ; r) G. Notación.- int (G) o Go es el conjunto de los puntos interiores de G (interior de G).

8

\ 6

b) x0 es un punto adherente de G si ( r > 0) B (x0 ; r) G =  Notación.- adh (G) o G es el conjunto de los puntos adherentes a G (adhernecia o clausura de G).

8

c) x0 es un punto de acumulación de G si ( r > 0) B (x0 ; r)

\ G  fx0g 6= 

d) x0 es un punto de frontera de G si es un punto adherente a G y al complemento de G.

4


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. Notación.- F r (G) es el conjunto de los puntos de frontera de G (Frontera de G). Observación.c

2 F r (G) () (8r > 0) [B (x0; r) \ G 6=  ^ B (x0; r) \ G =6 ] 2. F r (G) = G \ G 3. x0 es un punto aislado de G si existe r > 0 tal que B (x0 ; r) \ G = fx0 g. 1. x0

c

. De…nición.- Sea G

n

R

. diremos que:

1. G es un conjunto abierto en

R

n

si G = Go

2. G es un conjunto cerrado en

Rn

si Gc es un conjunto abierto.

. Observación.-

() (8x 2 G) (9r > 0) B (x; r )  G. 2. G es cerrado() G = adh (G). 1. G es abierto

x

x

. Ejemplo.- Decidir si los siguientes conjuntos son abiertos o cerrados, indicar su adherencia, interior y frontera. 1. B ((0; 0) ; 1) y B ((0; 0) ; 1)

  



2 R2 : 0 < x < 1; y = 1 (x; y) 2 R2 : 0 < x < 2 (x; y) 2 R2 : 0  x < 3

2. G = (x; y) 3. J =

4. K =

. De…nición.- Sea G

 

n

R

. diremos que:

1. G es acotado si existe M > 0 tal que ( x

8 2 G) kxk  M .

2. G es compacto si es cerrado y acotado . Observación.- G es acotado si está incluído en alguna bola abierta.

5


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1.2 LIMITE Y CONTINUIDAD





!

R y x0 un punto De…nición.- Sean D Rn un conjunto abierto, f : D Rn de acumulación de D. Diremos que L R es el límite de f cuando x tiende a x0 si, ( " > 0) (  > 0) 0 < x x0 <  = f (x) L < "

8

2

9

k  k

)j

 j

Observación.1. Cuando el límite anterior existe, es único. En este caso lo denotamos por L= lim f (x) o L = lim f (x) si no hay lugar a confusión. x!x x x0 x D

! 2

0



2. Si

lim f (x) = L, D0 D y x0 es un punto de acumulación de D0 , x x0 x D entonces lim f (x) = L. x x0 x D0

!2

! 2 3. Sean D0 ; D1  D tales que x0 es un punto de acumulación de D0 y D1 , tenemos:

6

lim

x x

f (x) =

! x0 2 D0

4. lim f (x) = L

lim

x x

! x0 2 D1

lim [f (x)

)

f (x) =

lim

x x

f (x) no existe

! x0 2D

L] = 0.

() !  j  Lj  g (x), entonces lim ! f (x) = L.

x

!a x!a

x

a

5. Si lim g (x) = 0 y f (x)

x

a

. Ejemplos.1. Calcule

lim

(x;y)

!(0;0)

(a) f : R2

f (x; y) si existe, donde:

 f(0; 0)g ! R; f (x; y) =

  y + x2

x2 y 2 x2 + y 2



2

(b) f :

2 R

 f(0; 0)g !

2. Sean f; g : D

ex+y R; f (x; y) = x4 + y 4

n

 R ! R, D abierto y x0 2 D.

acotada, entonces lim f (x) g (x) = 0. x

!x

Si lim f (x) = 0 y g es x

!x

0

0

Nota.- Se dice que una función es acotada si su recorrido es un conjunto acotado. 6


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sin(x + y) x+y xy 3. Considere f (x; y) = x2 cos e 2 1+x Calcule si existe lim f (x; y)

6 x y = x

; y=

2

><8:

;

!(0;0)

.

(x;y)

4. Evalue usando el algebra de límites,

lim

(x;y )

!(1;0)



x3



sin x2 + y2 1 5. Evalue usando el algebra de límites, lim (x;y )!(1;0) x2 + y 2 1 . Ejercicios.1. Calcule

(x;ylim ) (0;0) f (x; y)

!

(a) f : R2



 3x2y3 + y4  1  



si existe, donde:

2 2  f(0; 0)g ! R; f (x; y) = xx2 + yy2

Indicación.lim f (x; y) = 0, lim f (x; y) = 1 (x; y) (0; 0) (x; y) (0; 0) y=x y = 2x2

!

(b) f :

2 R

!

! R; f (x; y) =

8< :

x

x2 y2 x2 + y2 1



6

; (x; y) = (0; 0) ; (x; y) = (0; 0)

2y 3 R; f (x; y) = x2 + y 2

2 R

 f(0; 0)g ! sin x2  y2 (d) f : R2  f(x; x) : x 2 Rg ! R; f (x; y) = xy Indicación.- jsin tj  jtj (c) f :

 

2. Calcular si existe (a)

lim

(x;y )

!(1;2)

f (x; y) si (y + 2)

 1)2  (y + 2)2 2 2 (x  1) + (y + 2) (x

3

(b)

lim

(x;y )

!(1;0)

f (x; y) si f (x; y) =

ex+y 1

 1)2 + y4 : D  R ! R y x0 un punto de

(x

. n Teorema.- (Algebra de límites) Sean f; g acumulación de D. Si lim f (x) y lim g (x) existen, se tiene:

!x

x

x

0

!x

0

1. lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)

!x

x

0

x

!x

x

0

!x

0

7


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2. lim f (x) =  lim f (x), con 

!x

x

!x

x

0

2R

0

3. lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x)

!x

x

!x

x

0

!x

x

0

!x

0

lim f (x)

f (x) g(x)

4. lim

x

0

=

x!x0

lim g (x) ,

6

si lim g (x) = 0

!x

x

x!x0

0

Demostración.- Análoga al caso de una variable. Queda como ejercicio. . n De…nición.- Sean f : D R R, D abierto y x0 continua en x0 si lim f (x) = f (x0 ).



!

2 D.

Diremos que f es

!x

x

0

Observación.1. f es continua en x0 ssi

8

9

k  x0k <  =) jf (x)  f (x0)j < "

( " > 0) (  > 0) 0 < x n

2. Sean f : D existe o

 R ! R y x0 2 D. f .no es continua en x0 ssi 6 f (x0). lim f (x) = !

x

lim f (x) no

!x

x

0

x0

. n De…nición.- Sea f : D R R, D abierto y x0 continua si lo es en cada punto de D.



!

2 D.

Diremos que f es

Ejemplos.- Estudie la continuidad de: 2

1. f : R

! R de…nida por

(a) f (x; y) =

8<    :( 

x2 y2 x2 + y2

y + x2

6

; (x; y) = (0; 0)

0

(b) f (x; y) =

2. f : R2

y x

x3 sin

y 2 sin

0

 f(0; 0)g ! R; f (x; y) =

. Teorema.- Sean f; g : D acumulación.

; (x; y) = (0; 0)

n

R,

R



x y

6

; xy = 0 ; xy = 0

  y + x2

x2 y 2 x2 + y 2



D abierto de

!

n

R

y x0

D un punto de

2

a) Si f y g son continuas en x0 , entonces f + g es continuas en x0 . b) Si f y g son continuas en D, entonces f + g es continua en D.

8


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Demostración.a) Inmediata del teorema ”álgebra de límites”. b) Inmediata de a). . Teorema.- Sean f : D entonces g f : D Rn

n

 R ! R y g : R ! R continuas. Si D es abierto,   ! R es continua. Demostración.- Sea x0 2 D. Sea " > 0, entonces existe  > 0 tal que (g es continua en f (x0 ))

jy  f (x0)j <  =) jg (y)  g (f (x0))j < "::::: () Dado que f es continua en x0 y  > 0, existe  0 > 0 tal que

kx  x0k <  0 =) jf (x)  f (x0)j < ::::: ()   kx  x0k <  0 =) jg (f (x))  g (f (x0))j = j(g  f ) (x)  (g  f ) (x0)j

De : ( ) y ( );

Se tiene:

8

Por lo tanto,

9  k   0 > 0

x0 <  0 =

) j(g  f ) (x)  (g  f ) (x0)j < " lim (g  f ) (x) = (g  f ) (x0 ), lo que prueba que g  f es continua !

( " > 0) x

x

k

x0

en x0 . En consecuencia g f es continua sobre D.



n m R R ; f = (f 1 ; f 2 ; ::::::; f m ) y x0 De…nición.- Sean f : D D. Se dice que f es continua en x0 si ( i = 1; 2;::::;m) f i es continua en x0 .

! 8

2

Ejemplo.- Estudiar la continuidad de la función de…nida por: y3 x + 1 x4 + x2 + 1 x + xy2 2. f (x; y) = sin x 2



1. f (x; y) =

(



3

; ;

6

2Z x = n; para algún n 2 Z x = n; para todo n

(xy)4 3. f (x; y) =

4. f (x; y) =

(xy)4 + (x 0

<8: 8< :jj

x3 y

x3+ y 1

j j3

 y)2

6

; (x; y) = (0; 0) ; (x; y) = (0; 0)

6

; (x; y) = (0; 0) ; (x; y) = (0; 0) 9


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. Ejercicios.1. Encontrar el límite en cada punto de discontinuidad de las funciones del ejemplo anterior, si este existe. 2. Estudiar la continuidad de las funciones de…nidas por: (a) f (x; y) =

8< :8  < j j 8<:: j j (x

(x

(b) f (x; y) =

(c) f (x; y) =

x

4



4

(x 1) (y + 2) 4 1) (y + 2)4 + (x y 0

  3)2

6

;

3

8) y 3

jj

8 + y 1

x3 y 4 x 3 + y12 0

 (x; y) = (1; 2)

; (x; y) = (1; 2)

6

; (x; y) = (8; 0) ; (x; y) = (8; 0)

6

; (x; y) = (0; 0) ; (x; y) = (0; 0)

3. Calcular los siguientes límites si existen: (a)

(b)

lim

(x; y) (0; 0) (x; y) S

! 2

x2

xy + y2

x2 y 2 2 2 (x; y) (0; 0) x + y (x; y) S



lim

!

2 i. S = f(x; y) : y = axg, a 6 =0 60 ii. S = (x; y) : y 2 = ax , a = iii. S = f(x; y) : x > 0; y > 0; y < xg

cuando S es uno de los siguientes subconjuntos de



R2 .



iv. S = R2

4. En que puntos no son continuas las funciones de…nidas por (a) f (x; y) =

8<   8<::   8<  : x2 y 2 x2 + y 2 1 0 2

(b) f (x; y) =

(c) f (x; y) =

6

; x2 + y2 = 1

2

sinx2x++y 2y 0 2xy (x2 + y2 ) 0

; x2 + y2 = 1

1 2

6

; (x; y) = (0; 0) ; (x; y) = (0; 0)

6

; (x; y) = (0; 0) ; (x; y) = (0; 0) 10


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x3 x

(d) f (x; y) =

8<:

. De…nición.- Sea f : D Diremos que

 y3

; x=y

0

; x=y

6

y

n

 R ! R y sea x0 un punto de acumulación de D.

1 si 8M > 0; 9 > 0 : 0 < kx  x0k <  =) f (x) > M . 2. lim f (x) = 1 si 8M < 0; 9 > 0 : 0 < kx  x0 k <  =) f (x) < M . ! 3. lim f (x) = L si (8 > 0) (9M > 0) kxk > M =) jf (x)  Lj < ". k k!+1 1. lim f (x) = +

!x

x

0

x

x0

x

. Observación.- Valen las reglas dadas para funciones de una variable. Basta conocer el algebra en

R.

Ejemplos.1. 2. 3.

lim

!(1;0) jx 

(x;y)

lim

(x;y)

!(0;0)

1 =+ 1 + y2



1

j

tan x2 + y 2

 2

 



=

1

sin(x y) tan  x e no existe. (x;y)!(1;1) x y lim

2

1.3 DIFERENCIACION 1.3.1 DERIVADAS PARCIALES n De…nición.- Sean f : D R R, D abierto y sea x0 D. i = 1; 2;::::;n, llamamos derivada parcial de f c/r a xi , en el punto x0 , al límite



lim

h

!0

!

2

f (x0 + hei ) h

 f (x0) , si existe n

B = fe1; e2; ::::::; e g es la base canónica de R n

Notación.-

8

.

@f (x0 ) o f xi (x0 ) @x i n

R



R

!

De…nición.Sea c/r f : aDxi en cada punto , Ddeabierto y supongamos que f admite derivada parcial D. Llamamos derivada parcial de f c/r a xi a la función @f :D @x i

n

 R ! R; x



@f f (x1 ;::;xi + h;:::;xn ) (x) = lim h!0 @x i h

 f (x1;::::;x ) n

11


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. Observación.1. Si n = 1, la derivada parcial de f coincide con la derivada total u ordinaria de f 2. De acuerdo con la de…nición de derivadas parciales, dado x Rn , obtener @f (x) consiste en derivar a f como si sólo dependiera de una sola variable @x i xi , considerando al resto de ellas como constantes. Por esto siguen valiendo las reglas de derivación del cálculo de funciones de una variable. En par@f dg ticular, si f : D Rn Ryg :R R, (x) existe y (f (x)) existe, @x i du @ (g f ) @ (g f ) dg @f entonces (x) existe y además, (x) = (f (x)) (x). @x i @x i du @x i

2





!

!



. Ejemplos.3

z R; f (x; y; z) = x3 y 2 + xy 2 e 1. Sea f : R3 + 2x @f @f @f ; y en el punto ( 1; 2; 0). @x @y @z

!

 5y + 1.

Encontrar



2. Sea f : R2 Encontrar 3. Sea f : R2 Encontrar

! R; f (x; y) =

8<  :

x x

x2 y 2 +1 x2 + y 2 0





6

; (x; y) = (0; 0)

.

; (x; y) = (0; 0)

@f @f (x; y) ; (x; y) si existe. @x @y

! R; f (x; y) =

(

y x2 + y 0

6 x2 y = x2

; y= ;

@f @f (x; y) ; (x; y) si existe. @x @y

.

. Ejercicio.- Calcule las derivadas parciales si existen. Estudie además la continuidad de las derivadas parciales. x2

1. f : R3

 

! R; f (x; y; z) = y2e + +2 cos y + z3 2. f : D  R2 ! R; f (x; y) = ln (y + 1), donde D = f(x; y) : y > 0g y

z

x

2

! R; f (x; y) = sin v cos u 5 3 5 ! R; f (x; y; z) = x3 + 3y3+ 4. f : 1 + cos x2 + yz 3 5. f : D  R2 ! R; f (x; y) = log x, donde D = f(x; y) : x > 0; y > 0g 3. f : R

3 R



z3

y

   

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6. f : R4

7. f :



R; f (x; y; z; w) =

! 2 R

x2 y 2 z 2 + w2 0

! R; f (x; y) =

( 8<:

x2 y sin 0

1 x

6

; (z; w) = (0; 0) ; (z; w) = (0; 0)

6

; x=0 ; x=0

. R y x0 De…nición.- Sean f : D Rn D. Supongamos que la derivada par@f n cial :D R R existe. Dado j = 1; :::::;n; llamamos derivada parcial de@x i orden 2 de f c/r xi primero y c/r a xj después, evaluada en el punto x0 a la @f derivada parcial de la función c/r a xj en el punto x0 , si existe. @x i En forma análoga se de…nen las derivadas de f de orden mayor o igual a 3.





!

!

2

Ejemplos.1. Sea f : R3

2

@ 3 f etc. @y 2 @z 2. Sea f :

2

3

@ f @ f ! R; f (x; y; z) = z2  xy. Encontrar @ @xf 2 ; @x@z ; ; @x@y@z

2 R

! R; f (x; y) =

@ 3 f (a; 0) si existe con a @x 3

8< :

x2 y2 x

6

; y =0

. Encontrar

; y =0

@ 2 f (a; 0) y @x 2

2 R.

. n n Teorema(de Schwarz).- Consideremos f : D R R con D abierto de R . 2 2 @f @f @ f @ f Supongamos que ; ; existen y son continuas, entonces @x i @x j @x i @x j @x j @x i @ 2 f @ 2 f existe y = . @x j @x i @x i @x j



!

Demostración.- Ver Cálculo de Funciones Vectoriales de Willianson, Crowell y Trotter, página 221. Observación.- Sin la hipótesis de continuidad para f xy (o f yx ) el teorema anterior no es necesariamente válido.

Ejemplo.- Sea f : R2 Se tiene:



@f (x; y) = @x

8<  :

! R; f (x; y) =

y x4

 y4 + 4x2y2

(x2 + y2 )2 0

<8: 

x2 y 2 xy x2 + y 2 0



6

; (x; y) = (0; 0) . ; (x; y) = (0; 0)

6

; (x; y) = (0; 0) ; (x; y) = (0; 0)

13


5/14/2018


@f

y4

x

 x4 + 4x2y2

6

; (x; y) = (0; 0) 2 (x2 + y2 ) @y 0 ; (x; y) = (0; 0) 2 4 4 2 2 4 4 2 2 x y + 4x y x +y +4x y 2x4 +2y4 +4x2 y 2 = 2 x2 + y2 :::::::: ( ) x4 y 4 + 4x2 y 2 @f 2y (x; y) 0 = y 0, cuando (x; y) (0; 0). 2 @x (x2 + y 2 ) @f Esto muestra la continuidad de en (0; 0). @x @f En forma análoga se muestra la continuidad de en (0; 0). @y @ 2 f x6 y 6 + 9x4 y 2 9x2 y 4 @ 2 f . (x; y) = ; (x; y) = (0; 0), y (0; 0) = 1. 3 @y@x @y@x (x2 + y2 ) @ 2 f lim (x; y) = 0 @y@x (x; y)y = x(0; 0)

 

 

(x; y) =



<:8     j j 

 







j j!



 



!

6





!

@ 2 f no es continua en (0; 0). @y@x @ 2 f En forma análoga se prueba que no es continua en (0; 0). @x@y

Por lo tanto



Ejercicios.1. Sea g : que

2 R

! R; g (x; y) =

(

x3 sin

y x

 y2 sin xy

; xy = 0

0

; xy = 0

6

. demuestre

@ 2 g @ 2 g y no son continuas: @y@x @x@y

2. Sea f : R3

! R; f (x;y;z) = k(x;1y; z)k . Muestre que: f

xx + f yy

+f zz = 0.

. n De…nición.- Sea f : D R R, D abierto. Si f posee derivadas parciales hasta el orden m; m N y estas son continuas sobre D, diremos que f es una m 1 (D) si función de clase m sobre D, se escribe f (D). se dice que f m ( m N) f (D).

8 2

2C

C

2



!

2C

2C

Observación.1. Se dice que f es continuamente diferenciable sobre D si f

2 C 1 (D).

2. Sem dice (D). que f es m veces continuamente diferenciable sobre D si f

C

2

2 C 0 (D) () f es continua sobre D. 4. Para funciones de una variable f : G  R ! R, la existencia de la derivada 3. f

de f en un punto implica la continuidad de f en ese punto. Este no es el 14


5/14/2018


caso pàra funciones f : D Rn R ya que la existencia de las derivadas (parciales primeras) no implica la continuidad de f . Por ejemplo veri…que que xy ; (x; y) = (0; 0) 2 2 x + y2 R; f (x; y) = f : R 0 ; (x; y) = (0; 0)



!

(

!

6

tiene derivadas parciales (primeras) en todo punto, sin embargo f no es continua en el origen. 5. Se prueba que si f tiene derivadas parciales (primeras) continuas sobre un abierto D Rn , entonces f es continua sobre D.

 6. Sea f : D  R2 ! R continua. sea S la super…e de…nida por z = f (x; y) .

@f (a; b) es la pendiente de la curva de ecuación z = f (x; b) en el punto @x (a;b;c), es decir, la ”pendiente” de la super…cie S en la dirección del eje x.

1.3.2 LA DIFERENCIAL @f  R ! R tal que @x (x0 ) existe para i = 1; 2; :::::;n. Consideremos @f @f la aplicación lineal L : R ! R de…nida por L (x) = (x0 ) x1 + (x0 ) x2 + @x 1 @x 2 Sea f : D

n

i

n

:::::::::::: +

@f (x0 ) xn , donde X = (x1 ;::::;xn ). @x n

De…nición.- Sea f : D es diferenciable en x0 si

n

 R ! R, D abierto y sea x0 2 D.

lim

x

!x

0

f (x)

Se dice que f

 f (x0)  L (x  x0) = 0 kx  x0k

Si f es diferenciable en x0 , entonces a la aplicación lineal L se la llama la diferencial de f en x0 y se le denota por L = dx f . 0

Ejemplo.- Sea f : R2 renciable en (2; 1).

! R; f (x; y) = x2 + 2xy. Muestre que f es dife15


5/14/2018


. Observación.1. Consideremos f diferenciable en x0 . se tiene: f (x) f (x0 ) = L (x x0 ) + " (x) ( x x0 ), donde lim " (x) = 0.





k  k

!x

x

Por lo tanto,

0

 f (x0)  L (x  x0), para x cercano a x0. f (x)  f (x0 )  A (x), para x cercano a x con A (x) = L (x)  L (x0 ). f (x)

2. La diferencial L = dx f cuando existe es única. 0

. Teorema.- Si f : D x0 .

n

 R ! R es diferenciable en x0, entonces f es continua en

j  j k  k j j  k  k j k  k!

Demostración.- L (x x0 ) M x x0 (ya que f es lineal). f (x) f (x0 ) =Obs:1: L (x x0 ) + " (x) ( x x0 ) x!x (M + " (x)) x x0 0. Por lo tanto lim f (x) = f (x0 ).

j 



0

x

!x

0

Esto prueba que f es continua en x0 .

(

xy ; (x; y) = (0; 0) + y2 Ejemplo.- f : R; f (x; y) = , no es con0 ; (x; y) = (0; 0) tinua en (0; 0), luego no es ,diferenciable en (0; 0). @f @f Observe que en este caso (0; 0) = (0; 0) = 0. @x @y 2 R

!

Observación.- Sea f : D 1. dx f : Rn 0

! R; d

6

n

 R ! R diferenciable en x0.

x0 f (x)

2. Notación.- dxi (x)

x2

=

@f @f @f (x0 ) x1 + (x0 ) x2 +::::::::::::+ (x0 ) xn . @x 1 @x 2 @x n

x. i

@f @f @f (x0 ) dx1 + (x0 ) dx2 + :::::::::::: + (x0 ) dxn . @x 1 @x 2 @x n Si no hay lugar a confusión escribimos

3. dx f = 0

df =

@f @f @f dx1 + dx2 + :::::::::::: + dxn : @x 1 @x 2 @x n

. Ejemplo.Se puede ver que f : R2 sobre todo punto de R2 . En este caso

! R; f (x; y) = x2 + 2xy es diferenciable

df = (2x + 2y) dx + 2xdy d(1;2)f = 6dx + 2dy 16


5/14/2018


1.3.3 PROPIEDADES DE FUNCIONES DIFERENCIABLES Y EJEMPLOS Teorema.- (Algebra de las funciones diferenciables) n Sean f; g : D R R diferenciables en x0 D, entonces f + g; fg son f diferenciables en x0 , y si g (x0 ) = 0, también lo es . Además: g



!

2

6

dx (f + g) = dx f + dx g dx (f g) = f (x0 ) dx g + g (x0 ) dx f f g (x0 ) dx f f (x0 ) dx g dx = g [g (x0 )]2 0

0

0

0

0

0



0

0



0

Demostración.- Ejercicio Observación.1. Si f : D

n

 R ! R es constante, entonces (8x 2 D) d f  0. x

2. En las condiciones de hipótesis del teorema, y si  es constante, entonces dx (f ) = dx (f ). 0

0

Demostración.- 1. y 2. ejercicio. . Teorema.- Supongamos que f x ; f x ;::::::;f xn existen en una vecindad de x0 = (c1 ; c2 ; ::::::::; cn ) y son continuas en x0 . Entonces f es diferenciable en x0 . 1

2

Demostración.- Ver Trench, página 344. Observación.1. Diremos que f es continuamente diferenciable sobre el abierto D 1 f (D).

2C 2. Si f 2 C 1 (D), entonces f es diferenciable sobre el abierto D.

n

R

si

. Ejemplos.1. Sea f : R3

! R; f (x; y; z) =

8 <:

sin(xyz) x2 + y 2 + z

jj

6

; (x; y; z) = (0; 0; 0)

.

0 ; (x; y; z) = (0; 0; 0) (a) Muestre que f es diferenciable en (0; 0; 0).



(b) Muestre que f es diferenciable en (1; 2; 1). (c) Encuentre la (buena) aproximación de f en alguna vecindad del punto (1; 0; 1).



17


5/14/2018


 y)2 sin x 1 y ; x 6= y . Se tiene: !  ; x=y 0 @f 1  cos x 1 y ; x 6= y. (x; y) = 2 (x  y)sin @x xy @f f (a + h; a)  f (a; a) 1 (a; a) = lim =  lim h sin = 0.

2. Sea f : R2

(a) (b)

(x

R; f (x; y) =

8<:

h!0 @x (c) De la misma manera:

@f (x; y) = @y (d)

8<  :

2 (x

@f

lim

h

!

h

h

!0

 y)sin x 1 y + cos x 1 y 0

lim (x; y) (a; a) y=a

!



= lim 2 (x

!a

x

; x=y

(x; y) =

(x; y) (a; a) @x y=a =

6

; x=y



2 (x

1

1

 y)sin x  y  cos x  y

1

1

 a)sin x  a  cos x  a





=

: No existe

@f es discontinua en (a; a) con a R. @x @f (f) De la misma manera se muestra que es discontinua en (a; a) con @y a R. @f @f (g) En particular y son discontinuas en (0; 0). Sin embargo f es @x @y diferenciable en (0; 0) ya que: f (x; y) f (0; 0) f x (0; 0) x f y (0; 0) y lim = (x;y )!(0;0) x2 + y2 f (x; y) = lim , (x;y)!(0;0) x2 + y2 1 2 (x y) sin 2 f (x; y) (x y) x y = x2 + y2 x2 + y 2 x2 + y2 x2 + y 2 2xy x2 + y 2 + x2 + y 2 (e) Por lo tanto

2

2



p 



p    p   p     p    p p  !  p   x2 + y 2 2 x2 + y2

x2 + y2

(x;y)

!(0;0) 0.

. Observación.- Esto muestra que las hipótesis del teorema anterior son su…cientes pero no necesarias (es decir, el recíproco no es válido). 18


5/14/2018


1.3.4 FUNCIONES DIFERENCIABLES DE

m

R

en

n

R

De…nición.- Dada una función vectorial f : D

m

n

R !R

; f = (f 1 ; f 2 ; :::::::; f n )

y x0 un punto de acumulación de D , se de…ne lim f (x) =

!x

x

0



lim f 1 (x) ; lim f 2 (x) ; :::::::; lim f n (x)

!x

x

!x

x

0

x

0

!x

0

2



Se dice que f es continua en un punto x0 D si cada función componente es continua en x0 . Se dice que f es continua en D si cada función componente es continua en D. Ejemplos.- Sea f : R3 1.

lim

(x;y;z )

!(1;0;2)

2. f 1 : R3

! R2; f (x;y;z) =

f (x; y; z) =

x2 + 1 ; xy y2z2 + 3

 z2

  

. Se tiene:



2 ; 4 3 2

! R; f 1 (x; y; z) = yx2z2++13 y f 2R3 ! R; f 2 (x;y;z) = xy  z2 son

las funciones componentes de f .

3. f es continua ya que sus funciones componentes lo son. . m n R R , D abierto y sea x0 De…nición.- Sea f : D D. Se dice que f es diferenciable en x0 si cada función componente lo es. En tal caso dx f = dx f 1 ; dx f 2 ;::::::;d x f n .



!

2

0

0



0

0

Observación.-



1. f es diferenciable en x0 si existe una aplicación lineal L : que f (x) f (x0 ) L (x x0 ) lim = . x!x x x0



0

2. dx f es única, cuando existe.

m

R

n

!R

tal

  k  k

0

3. Si f es diferenciable en x0 , entonces f es continua en x0 . n m 4. Una aplicación T : Rm R se dice afín si existe L : R n m existe v R …jo tal que( x R ) T (x) = L (x) + v .

!

! 2

n

! ! R

8 2

lineal y

.



!

Rn es diferenciable en x0 , entonces f tiene una Observación.- Si f : D Rm aproximación afín en una vecindad de x0 .

Demostración.- f = (f 1 ; f 2 ; ::::::; f n ) y cada función componente de f puede aproximarse por una función afín en una vecindad de x0 (ya que cada f i es diferenciable en x0 ). 19


5/14/2018


1.3.5 PROPIEDADES DE FUNCIONES DIFERENCIABLES m



n

n

!

2

R R ; f (x) = k; con k R constante, entonces f es 1. Si f : D diferenciable en todo punto x0 de D y además:

  (aplicación lineal nula) ! R ; f (x) = L (x) + !v (aplicación afín) entonces f es dx f 0

m n 2. Si f : D R diferenciable en todo punto x0 de



m

R

, y además:

dx f = L. 0

3. Si f : Rm (x0 ; y0 ) de

m

n

 R ! R es bilineal, entonces f es diferenciable en todo punto R  R , y además

d(x

0

m

m

m ;y0 ) f : R

m

n

R ! R

; d(x

0

;y0 ) f (x; y)

= f (x0 ; y) + f (x; y0 )

. R; f (x;y;u;v) = (2x Ejemplo.- f : R2 R2 y) (u 3v) es bilineal sobre R2 . f es diferenciable sobre todo punto de R2 R2 , en particular f es diferenciable en (1; 0; 0; 1) y además:

 !

d(1;0;0;1) f







: R2 R2 R; d(1;0;0;1) f (x;y;u;v) = = f ((1; 0;u;:v) + f (x;y; 0; 1)) = = 2u 6v 6x + 3y

 !

 

Observación.- Vale también el álgebra de funciones diferenciables dada para n

R

funciones f : D Nota.-

R



!

m

n

.

r

 R ! R 2 C (D) () (8i = 1; 2;::::::;n) f 2 C 2. Para f : ]a; b[ ! R , se tiene: 1. f : D

i

r

(D).

n

f = (f 1 ; f 2 ; ::::::; f n ) f 0 (t) = (f 10 (t) ; f 20 (t) ; ::::::; f n0 (t)) dt f i : R ! R; dt f i (t) = f i0 (t0 ) t dt f : R ! Rn ; dt f (t) = f 0 (t0 ) t = 0

0

0

0

= (dt f 1 (t) ; dt f 2 (t) ; :::::::::::; dt f n (t)) 0

0

0

20


5/14/2018


1.3.6 MATRIZ JACOBIANA



!

Rm Rn es diferenciable en x0 De…nición.- Si f : D Matriz Jacobiana de f en x0 , a la matriz

0B BB BB B@

J (f; x0 ) =

@f 1 (x0 ) @x 1 @f 2 (x0 ) @x 1 : : : @f n (x0 ) @x 1

@f 1 (x0 ) @x 2 @f 2 (x0 ) @x 2 : : : @f n (x0 ) @x 2

: : : : : : : : : : : :

2

D, se llama

@f 1 (x0 ) @x m @f 2 (x0 ) @x m : : : @f n (x0 ) @x m

1C CC CC CA

donde f = (f 1 ; f 2 ; ::::::; f n ). Observación.1. J (f; x0 ) = [dx f ], es decir, la matriz Jacobiana de f en x0 es la matriz de n m la aplicación lineal dx f : Rm R en las bases canónicas de R y Rn . 0

!

0

2. Se obtiene: dx f (x) = J (f; x0 ) xt



0

. Ejemplo.- Si T : R2

! R2; T (r; ) = (r cos ; r sin ), entonces @T 1

J (T; (r; )) =

0B@

(r; )

@r2 @T (r; ) @r

@T 1

(r; ) @ @T 2 (r; ) @

1.3.7 REGLA DE LA CADENA (diferencial de la compuesta)

1CA  =

cos sin 

rrcos sin



n Teorema (Regla de la cadena).- Sea g : Rk R diferenciable en x0 . Sea n m m f : R R diferenciable en g (x0 ). Entonces h = f g : Rk R es diferenciable en x0 y se tiene que:

!

!





!

dx h = dg(x ) f dx g 0

0

0

Observación.- J (h; x0 ) = J (f; g (x0 )) J (g; x0 ).

 Ejemplo.- Sea h :

2 R

! R; h (x; y) =

es diferenciable en (0; 0).

8< :

x2 y 2 sin 0

1 xy

; xy = 0

6

. Decida si h

; xy = 0

21


5/14/2018


t2 sin

Solución.- h = f g, con f (t) =



(

1 t

6

; t=0

y g (x; y) = xy.

0 ; t=0 Note que h es diferenciable en todo punto (a; 0) y (0; b) con a; b n Observación.- Si f : D R E  1 entonces J f ; f (x0 ) = J (f; x0 )1 .





n

! R

2 R.

es biyectiva y diferenciable en x0 ,

Regla de la cadena para derivadas parciales Notación.-

@ (h1 ; h2 ; ::::::::; h p ) denota la matriz Jacobiana @ (s1 ; s2 ; ::::::::; sq ) @h i @s j

@ (h1 ; h2 ; ::::::::; h p ) = @ (s1 ; s2 ; ::::::::; sq )

  0B BB B@ @h 1 @s 1 : : : @h p @s 1

, es decir ji = = 1; 1; 2;::::::;p 2; ::::::; q @h 1 @s 2 : : : @h p @s 2

: : : : : : : : :

@h 1 @s q : : : @h p @s q

1C CC CA

Teorema.- Si u1 = f 1 (x1 ; :::::;x n ) ; ::::::::::::::::; um = f m (x1 ; :::::;x n ) de…nen a m funciones diferenciables; y si x1 = g1 (t1 ;::::;tk ) ; :::::::::::; xn = gn (t1 ;::::;tk ), entonces @ (u1 ; ::::::; um ) @ (u1 ;::::::;u m ) @ (x1 ; :::::::; xn ) = @ (t1 ; :::::::;t k ) @ (x1 ; :::::::; xn ) @ (t1 ; :::::::; tk )





( )

. Observación.- Comparando coe…cientes de las matrices Jacobianas en ( ) tenemos: @u i @u i @x 1 @u i @x 2 @u i @x n = + + :::::::::::: + @t j @x 1 @t j @x 2 @t j @x n @t j



Ejemplos.1. Encontrar

@u

y

@u

si u = h (x; y); x e y en coordenadas polares.

@r @ 2. (derivación implícita) Dada la relación z 2 x3 y + x2 3 = z 3 y + y 4 , suponga @z @z @ 2 z que z = f (x; y); x = uv2 , y = v 3 . Encontrar , y . @u @v @v@u @z @z @x @z @y Indicación.= + . @u @x @u @y @u



22


5/14/2018


.

@ 2 u

@ 2 u

Ejercicio.- Demuestre que en coordenadas polares la ecuación @x 2 + @y 2 = 0 @ 2 u 1 @ 2 u 1 @u se convierte en + 2 2 + = 0. 2 @r r @ r @r

1.3.8 DERIVADAS DIRECCIONALES n n De…nición.- Sean f : D R R y x R . Llamamos derivada de f en x0 según el vector x, a la derivada si existe de la función



g:A

!

2

 R ! R; g (t) = f (x0 + tx) en t = 0.

. Notación.- Dx f (x0 ) = lim

0

t

!

f (x0 + tx) t

 f (x0)

n De…nición.- Sea f : D R R diferenciable en el abierto D. Se de…ne el gradiente de f como el ”campo vectorial”

gradf : D

n

n

R !R

!

; gradf (x) =

. Notación.- gradf (x) =



@f @f @f (x) ; (x) ; ::::::::; (x) @x 1 @x 2 @x n



rf (x). Teorema.- Sea f : D  R ! R, D abierto y sea x0 2 D. Si f es diferenciable en x0 , entonces: (8x 2 R ) D f (x0 ) existe y D f (x0 ) = d f (x) = rf (x0 )  x n

n

x

x

x0

. Observación.- La demostración de la 1a igualdad es análoga al caso @f (x0 ) = dx f (ei ) . @x i 0

. De…nición.- Sea v

n

2R

, diremos que v es una dirección en

n

R

kk

si v = 1.

Observación.1. Para n = 1, las únicas direcciones son v1 = 1 y v2 =

1.

2. Para n = 2, toda dirección se puede de…nir en la forma v = (cos ; sin ), con 0  < 2:( determina la dirección).

 2, las componentes de una dirección satisfacen las relaciones

3. Para n

vi = cos i ; i = 1; 2;::::;n n i

f g =1 es la base canónica de

i es el ángulo formado por v y ei , donde ei n R . 23


5/14/2018


. De…nición.- Dados un punto x0 y v una dirección en Rn , la recta que pasa por x0 + v y x0 se llama recta que pasa por x0 con dirección v. Esta viene dada por: x Rn : x = x0 + tv;t R

f 2

2 g

. n De…nición.- Sea f : D R R, D abierto.Sean x0 Llamamos Derivada de f en x0 en la dirección v a



!

@f f (x0 + tv) (x0 ) = lim t!0 @v t

2 D y v una dirección.

 f (x0) , si existe

. Observación.1. Más simplemente llamamos a

@f (x0 ) derivada direccional de f en x0 . @v

2. @f (x0 ) es un caso particular de derivada direccional @x i @f @f (x0 ) = (x0 ) . @x i @e i 3. La recta que pasa por x0 y dirección v, es la misma que pasa por x0 y dirección v, sin embargo los sentidos son opuestos, luego resulta natural que @f @f (x0 ) = (x0 ) @ ( v) @v . x2 ; y=0 R; f (x; y) = Ejemplo.- Para f : R2 y . Pruebe que: 0 ; y=0







!

8!



8:<

@f v = (a; b) : a + b = 1 ; (0; 0) = @v 2

2

6

8< :

a2 b 0

6

; b =0 . ; b =0

24


5/14/2018


Sin embargo f no es continua en (0; 0). Ejercicio.- Sea f :

2 R

! R; f (x; y) =

que:

! D f (0; 0) = X



a3

 b3 0

<8:



x3 y3 x2 + y2 0

6

; (x; y) = (0; 0)

. Pruebe

; (x; y) = (0; 0)

!

; (a; b) = (0; 0) ; con X = (a; b) . ; (a; b) = (0; 0)

6

Sin embargo f no es diferenciable en (0; 0). Indicación.@f f (h; 0) h (0; 0) = lim = lim = 1 h!0 h!0 h @x h @f f (0; h) h (0; 0) = lim = lim = 1 h!0 h!0 h @y h @f @f x3 y3 f (x; y) @x (0; 0) x @y (0; 0) y = x2 + y2 x + y = lim lim (x;y )!(0;0) (x;y )!(0;0) x2 + y2 x2 + y 2 3 3 2 x y x + y 2 (x + y) = lim (x;y)!(0;0) (x2 + y 2 ) x2 + y2 3 3 2 2 3 x y x + y (x + y) 4x 2 lim = lim = = 2 3 2 2 2 2 x!0 2 2x (x;y )!(0;0) 2 (x + y ) x + y x>





 

y=x x>0

!





p

 



 p 

0

p

 p p 

 p p

Teorema.- Sea v = (cos  1 ; cos 2 ; :::::::;cos n ) una dirección en si f es diferenciable en x0 , @f (x0 ) = @v

n

R

. entonces

rf (x0)  !v ,

es decir, @f @f @f @f (x0 ) = (x0 )cos 1 + (x0 )cos  2 + ::::::::::: + (x0 )cos  n . @v @x 1 @x 2 @x n En particular para n = 2; @f @f @f (x0 ; y0 ) = (x0 ; y0 )cos  + (x0 ; y0 )sin , con v = (cos ; sin ) @v @x @y

!

. 2 2 2 R; f (x; y; z) = x + 2y + 3z . Encontrar la derivada Ejemplo.- Sea f : R3 direccional de f en el punto (x0 ; y0 ; z0 ) = (1; 1; 1), en la dirección de v1 = (1; 1; 1).

!

!

DERIVADA DIRECCIONAL MAXIMA n n Teorema.- Sean D R abierto, f : D R R diferenciable en x0 . La derivada direccional de f en x0 es máxima en la dirección del vector gradiente





b

u=

!

rf (x0) krf (x0)k 25


5/14/2018


Observación.- Según el teorema:

8 2 R : k!v k = 1)

( v

n

Demostración de teorema.-

b

Si u =



  @f (x0 ) @v

@f (x0 ) = @v @f (x0 ) = @v



b

@f (x0 ) , donde u = @u

0) . krrf (x f (x0 )k

rf (x0)  !v jrf (x0)  !v j  k rf (x0)k

rf (x0) krf (x0)k , entonces @f

(x0 ) =

f (x0 )

r

rf (x0) = f (x0) .  krf (x0)k kr k

@u Ejemplo.- En el anterior, ¿cuál es el valor máximo de la derivada direccional en (1; 1; 1) y cuál es su dirección?. Ejercicio.- Hallar los puntos (x; y) y las direcciones para las que la derivada direccional de la función de…nida por f (x; y) = 3x2 + y 2 tiene el valor máximo si (x; y) está en la circunferencia x2 + y2 = 1.

r kr

@f f (x; y) (x; y) es máxima si u (x; y) = @u f (x; y) f (x; y) = (6x; 2y); f (x; y) = 2 9x2 + y2 ; 3x y u= ; 9x2 + y 2 9x2 + y 2 @f (x; y) = f (x; y) = 2 9x2 + y 2 : es el valor de la derivada direccional @u máxima en la dirección de u (x; y). Sea g (x; y) = 2 9x2 + y 2 ; con x = cos , y = sin  queda Indicación.-

r

kr

k

b  p kr p k p ! p b

bp

p

k

g () = 2 1 + 8 cos2 

2

Considere h () = g () y encuentre los extremos de h con 0

   2.

1.4 Aplicaciones Teorema de la función inversa n n R R , S abierto, f = (f 1 ; f 2 ; :::::;f n ) de clase Teorema.- Sea f : S 1 y sea T = f (S ). Supongamos que el Jacobiano J (f; x0 ) = 0, en algún punto x0 de S . Entonces existen una única función g y dos conjuntos abiertos X S e Y T tales que

C



! j

j6





26


5/14/2018


i) x0

2 X y f (x0) 2 Y

ii) Y = f (X ) iii) f es inyectiva sobre X iv) g está de…nida sobre Y , g (Y ) = X y

8 2 X ) g (f (x)) = x

( x v) g

2 C 1 (Y )

. Ejemplo.- Dada la función de…nida por f (x; y) = x y; y x ; x

 p p 

 0; y  0.

a) ¿Admite f una inversa en una vecindad U de (4; 4)?.

b) Si f admite una inversa en una vecindad de (4; 4), determine la aproximación afín de f 1 en el punto (8; 8). Solución.- Consideramos f : S





 R2 ! R2; f (x; y) = xp y; yp x



con

S = (x; y) R2 : x > 0; y > 0 S es abierto, f Por lo tanto,

2 C 1 (S ) y jJ (f; (4; 4))j = 3 6= 0.

a) f admite una inversa local de clase (4; 4).



C 1 de…nida en una vecindad U de

b) f (4; 4) = (8; 8) La aproximación afín de f 1 en el punto (8; 8) tiene ecuación: B (u; v) = f 1 (8; 8) + d(8;8) f 1 (u

                8; v

= (4; 4) + J f 1 ; (8; 8)

u v

8 8

1

u v

8 8

= (4; 4) + J (f; (4; 4)) = (4; 4) + 2u

B (u; v) = . Ejercicio.- Sea f de…nida por

2 1 1 2

v + 4 2v ; 3

1

u v

8)

8 8

u+4 3

f (r; ) = (r cos ; r sin ; z) ; 0 < r; 0 <  < 2; z

2 R:

27


5/14/2018


a) Calcule (si existe) la diferencial de f en 1;

 ;0 . 3

  

b) ¿Existe inversa local de f cerca de 1;  ; 0 ?. 2

c) Calcule la aproximación afín de f 1 en (1; 0; 0). . Notación.- Sea x

2 R ; t 2 R ; (x; t) 2 R + . n

k

n k

Teorema de la función implícita Teorema.- Sea F : S Suponemos que:

 R + ! R 2 C1 (S ), S abierto, tal que (x0; u0) 2 S . n m

m

i) F (x0 ; u0 ) =  ii) F u (x0 ; u0 ) es no singular, es decir,

det F u (x0 ; u0 ) =

  

@f 1 :: :: @u 1 : : @f m :: :: @u 1

@f 1 @u m : : @f m @u m

  6 

= 0.

Entonces, existe una vecindad abierta M de (x0 ; u0 ) contenida en S , y una vecindad abierta N de x0 en Rn sobre la cual está de…nida una única m transformación G : N Rn R tal que:



I) (x; G (x))

!

2 M; x 2 N

II) G (x0 ) = u0 III) F (x; G (x)) = ; x

2 N

Más aún, G es continuamente diferenciable sobre N y J x G = . Corolario.- Sea f : Rn+1 Suponemos que:

 [F (x; u)]1 F (x; G (x)) u

x

! R de clase C 1 sobre el abierto S , tal que (x0; u0) 2 S .

i) f (x0 ; u0 ) = 0

6

ii) f u (x0 ; u0 ) = 0. Entonces, existe una vecindad M de (x0 ; u0 ) contenida en S , y una vecindad N de x0 en Rn sobre la cual está de…nida una única función g : N n R R tal que:



!

28


5/14/2018


I) (x; g (x))

2 M; x 2 N

II) g (x0 ) = u0 III) f (x; g (x)) = 0; x N 1 Además: g (N ) y

2

2C

gxi (x) =

(x; g (x))  f f (x; ; 1  i  n. g (x)) xi u

. Ejemplo.1. Sea f : R3 R; f (x; y; z) = (y + z)cos x. Pruebe que f de…ne una función implícita diferenciable z = h (x; y) en una vecindad de (0; 0; 0). Halle d(0;0) h. Solución.3 f : S R3 R; f (x; y; z) = (y + z)cos x con S = R

!



!

1 S es abierto, (0; 0; 0) S; f (S ) @f f (0; 0; 0) = 0 y (0; 0; 0) = 1 = 0. @z Por lo tanto, f de…ne una función implícita diferenciable z = h (x; y) en una vecindad de (0; 0; 0) y además:

2

2C

6

@h (x; y) = @x



@h (x; y) = @y



@f (x; y; z) @x = (y + z)tan x @f (x; y; z) @z @f (x; y; z) @y = 1 @f (x; y; z) @z



De esta manera





@h @h J (h; (0; 0)) = (0; 0) ; (0; 0) = (0; 1) @x @y x x J (h; (0; 0)) = (0; 1) = ( y) y, y y

 

d(0;0) h

 



   2 R ! R; d(0 0) h (x; y) = y.

:

;

2. Suponga que las variables x;y;u;v están relacionadas por el sistema de ecuaciones: x2 y2 = 2uv 15 x + 2xy = u2 v2 + 10



  



Sea P 0 (1; 2; 2; 3). 29


5/14/2018


(a) Pruebe que este sistema de…ne a u y v como funciones diferenciables de (x; y) en una vecindad del punto (1; 2). @v @ 2 u (1; 2) ; 2 (1; 2) @y @x (c) Sean u = h (x; y) ; v = g (x; y) las funciones implícitas cuya existencia se probó en i). Muestre que f = (h; g) admite función inversa diferenciable en una vecindad del punto (1; 2).

(b) Determine

(d) Determine la transformación afín que aproxima f 1 en una vecindad del punto ( 2; 3).

 Indicación.- F : R4 ! R2 ; F (x;y;u;v) = x2  y2 + 2uv + 15; x + 2xy  u2 + v 2  10 1

F

4

2Por C loRtanto: ; F (1; 2; 2; 3) = (0; 0) y jF



(a) Existe f : N

U (X 0 ; U 0 )



j = 52 6= 0.



 R2 ! R2 diferenciable tal que f (x; y) = (h (x; y) ; g (x; y)) = (u; v)

(b) J (f; (1; 2)) =

 (J

U 0

  0B  1C 0B   @ Aj @ j   

1 (J F ) =  1 X

F )

0

=

52

8 13 11 26

4 13 7 13

6 4 4 6

=

2 5

@u (1; 2) @x @v (1; 2) @x

4 2



=

@u (1; 2) @y @v (1; 2) @y

1C A

6 (c) f es de clase 1 (del T. de la F. Implícita), J (f; (1; 2)) = = 0. Por el 13 T. de la F. Inversa, f es localmente invertible.

C





(d) J f 1 ; ( 2; 3) = J (f; (1; 2))1 =



1 12

14

11

6

8 16

La aproximación afín de f 1 en una vecindad de ( 2; 3) está de…nida por:



B (u; v) = f 1 ( 2; 3) + d(2;3) f 1 (u + 2; v



Nota.-

 3) = (x; y)

@v @ 2 u (1; 2) ; 2 (1; 2) de la parte (b) se pueden obtener derivando @y @x @ 2 u 64

implícitamente en el sisitema dado. Se obtiene @x 2 (1; 2) = . Ejercicios.-

 13 .

1. En el ejemplo 1. anterior determine además la ecuación del espacio (plano) tangente a la super…cie S = (x; y) R2 : h (x; y) = 0 en (0; 0).



2



30


5/14/2018


2. Pruebe que la ecuación 2 2

 





xyz + sin (z 6) 2 x + y + x y = 0 de…ne en una vecindad del punto P 0 (1; 1; 6) a z como función implícita de x e y; es decir, z = ' (x; y). Determine 'x (1; 1) ; 'y (1; 1) ; 'xy (1; 1) ; 'yy (1; 1) ; 'xx (1; 1). . Propiedades del gradiente. Curvas y super…cies de nivel n

 R ! R, D abierto, y  diferenciable, entonces @ @ @ grad : D  R ! R ;grad (x) = r (x) = (x) ; (x) ; ::::::; (x) @x 1 @x 2 @x Si  y  : D  R ! R son diferenciables, entonces: a) r ( + ) = r + r b) r () = r + r 1 6 0. c) r (=) = 2 (r  r), para x 2 D tal que  (x) =  Demostración.- Son consecuencia inmediata de la de…nición de rf y de Si  : D

n



n

n

n



las propiedades de las derivadas.

. Interpretación geométrica.- Consideremos n = 3, c=cte. y sea

f! 2 D :  (!x ) = cg D es una super…cie en R3 si dimD = 2. Si este es el caso entonces, D tiene !a = (a1; a2; a3) de ella y la ecuación del plano un plano tangente en el punto  Dc = x

c

c

c

tangente es:

r (!a )  (!x  !a ) = 0,

es decir @ ( a ) (x @x

!a ) (y  a2) + @ (!a ) (z  a3) = 0.  a1) + @ ( @y @z !a ) es normal al plano tangente, luego es normal a la Esto es el vector r ( !x ) = c en el punto !a . super…cie D de…nida por la ecuación  ( !

c

31


5/14/2018


Observación.-

!

! 6 !

1. Dicho plano tangente existe en todo punto a tal que  ( x ) = 0 . 2. Si  (x; y; z) = f (x; y) z, entonces



r (x; y; z) =



  ?

@f @f (x; y) ; (x; y) ; 1 @x @y

Dc .

. Consideremos ahora n = 2, entonces Dc = x D :  ( x ) = c es una curva en R2 . Si  ( a ) = 0 , a = (a1 ; a2 ), entonces la recta tangente a la curva Gc en el punto a tiene ecuación

! f! 2 !   6 !  r! ! @  @  (! a ) (x  a1 ) + (! a ) (y  a2 ) = 0 @x

g

@y

 r ! !

y  ( a ) es normal a dicha tangente, y luego lo es a la curva Gc en el punto a.

r

De…nición.- El campo escalar  cuyo gradiente es  se llama función potencial del campo vectorial . Las correspondientes super…cies Dc , de…nidas por  ( x ) = c, x D, se llaman super…cies equipotenciales o super…cies de nivel si n > 2. Si n = 2 se habla de curvas equipotenciales o de nivel.

r

!

2

. Cálculo III - 521227 23 de Marzo de 2010 JRC 32


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2 EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALORES REALES 2.1 Máximos y Mínimos De…nición.- Sea f : D

n

 R ! R y sea x0 2 D. Se dice que:

1. x0 es un punto de máximo absoluto para f si

8 2 D) f (x)  f (x0)

( x

2. x0 es un punto de mínimo absoluto para f si

8 2 D) f (x0)  f (x)

( x

3. x0 es un punto de máximo local para f siexiste r > 0 tal que ( x

8 2 B (x0; r) \ D) f (x)  f (x0)

4. x0 es un punto de mínimo local para f si existe r > 0 tal que

8 2 B (x0; r) \ D) f (x0)  f (x)

( x . Observación.-

1. El procedimiento para hallar valores extremos absolutos o relativos es muy semejante al usado para funciones de una variable. Solo que ahora hay más derivadas dado que se trata de funciones de varias variables 2. En analogía al caso de una variable también se obtiene el siguiente resultado: Una función continua x f (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo (absolutos) sobre cualquier región R cerrada y acotado en que este de…nida. Además, estos extremos sólo pueden hallarse en los puntos de frontera de R o en los puntos interiores de R en los que f x = f y = 0 o donde f x o f y no existan ("puntos críticos de f "). 

. o Teorema.- Sea f : D Rn R y sea x0 D. Si f x (x0 ) ; f x (x0 ) ; ::::::::;f xn (x0 ) existen y x0 es un extremo local de f , entonces



!

2

1

2

8

( i = 1; 2; :::::;n) f xi (x0 ) = 0 33


5/14/2018


Demostración.- Basta de…nir: ( i = 1; 2; :::::;n) gi (t) = f (x0 + tei ), donde ei es la base canónica de Rn . Se tiene que gi es derivable en t0 = 0; gi0 (0) = f xi (x0 ). Además t0 = 0 es un extremo local de gi . Por lo tanto

8

n i=1

f g

gi0 (0) = f xi (x0 ) = 0 3. También en analogía al caso de una variable, es válido el siguiente resultado: . Teorema.- De los valores extremos R es continua sobre el conjunto cerrado y acotado K , entonces Si f : K Rn existen P 1 ; P 2 K tales que



! 2

8 2 K ) f (P 1)  f (x)  f (P 2)

( x





R de…nida Ejemplo.- Sean K = (x; y) R2 : 1 x2 + y 2 2 y f : K R2 x +y por f (x; y) = e . Entonces f alcanza su máximo valor sobre K . 2

2

2







!

4. El recíproco del teorema de la observación 2. no es cierto. . Ejemplo.- Sean f : R2

! R; f (x; y) = x3 + y3 y (x0; y0) = (0; 0), entonces: @f @f (0; 0) = (0; 0) = 0 @x @y

y (0; 0) no es un punto de mínimo ni de máximo local de f ya que: f (; 0) =  3 > f (0; 0)



f ( ; 0) =

 3 < f (0; 0)

con  > 0 y pequeño. n De…nición.- Sea f : D R R y sea x0 D. Diremos que x0 es un @f @f punto crítico de f si ( i = 1; 2; :::::;n) @x (x ) = 0 o si ( j = 1; 2;::::;n) @x (x0 ) 0 i j no existe.

8



!

2

9

Observación.1. Como se aprecia en el ejemplo anterior, un punto crítico de f no es necesariamente un extremo local de f . 2. Un punto crítico de una función diferenciable f : D Rn un extremo local recibe el nombre de punto de silla de f .



! R que no es

34


5/14/2018


2.2 El teorema de Taylor m k+1 Teorema.- Sea f : D R R de clase . Sean P; H Rm tales que el segmento de extremos P y P + H en notación [P; P + H ] está incluído en D. Entonces: f (P + H ) = f (P ) + df (P ) [H ] + 12 d2 f (P ) [H ] + ::::::::::::::+ + k1! dk f (P ) [H ] + Rk [H ] donde k [H ] lim RkH kk = 0



!

H

d2 f (P ) [H ] =

!

C

2

m

X

@ 2 f @x i @x j

(P ) hi hj

i;j =1 m @ 3 f @x i @x j @x t

d3 f (P ) [H ] = i;j;t=1 m

ds f (P ) [H ] =

X

i;j;t=1

(P ) hi hj ht

@ s f @x i1 @x i2 ::::::::@xis

(P ) hi hi ::::::his 1

2

Demostración.- Se obtiene del teorema del mismo nombre para funciones de una variable. Observación.- En el caso k = 2 se tiene: f (P + H ) = f (P ) + df (P ) [H ] + 12 d2 f (P ) [H ] + R2 [H ]

2.3 Criterio de la segunda derivada o

Teorema.- Sean f : S R2 R y x0 S . Supongamos que f es de clase sobre una vecindad del punto crítico x0 . Sea



!

2

D = f xx (x0 ) f yy (x0 )

 f 2

xy

2

C

(x0 )

Entonces 1. x0 es un extremo local de f si D > 0. (a) x0 es un máximo local si f xx (x0 ) < 0. (b) x0 es un mínimo local si f xx (x0 ) > 0. 2. x0 es un punto de silla de f si D < 0. 3. El criterio no daSeinformación = 0. Demostración.de…ne F (t)si=Df (a + ht;b + kt), donde (x0 ; y0 ) = (a; b), h y k son …jos. Luego se estudian los máximos y mínimos locales de la función de una variable F con ayuda del teorema de Taylor. Ver Cálculo con Geometría Analítica Thomas/Finney; 6 a edición. Volumen 2; página 885.

35


5/14/2018


. Ejemplo.- estudiar extremos locales de f : R2

R; f (x; y) =

!

2 2 Ejercicio.- Lo mismo para f : R2 R; f (x; y) = 3x + 5y + 6x Respuesta.- ( 1; 2) es un punto de mínimo local para f .

!



Observación.- La expresión D = f xx f yy D=



 f 2

xy

f xx f xy

2

eax

+by 2

; ab = 0.

 20y.

6

se llama discriminante de f .

f yx f yy



2.4 Repaso de Formas cuadráticas 1. Una función q : Rn

! R se llama forma cuadrática si n

q (H ) =

X

aij hi hj

i;j =1

con H = (h1 ; h2 ; ::::::; hn ) y los aij son números reales …jos. A = (aij )i;j =1;2;::::;n se llama la matriz de la forma cuadrática q . De esta forma h1 h2 T q (H ) = H AH , donde H = : , H T = (h1 h2 :::::: hn ) : hn

0B B@

2. Se Se dice dice que que Se dice que Se dice que

1C CA

q simétricapositiva si aij =siajiq (H ; i; j) = 2; ::::::; n. H =  q es es de…nida > 1; 0 para cada q es de…nida negativa si q (H ) < 0 para cada H =  q es no de…nida si existen H 1 ; H 2 Rn tales que:

2

6 6

q (H 1 ) < 0 < q (H 2 ) . Teorema.- Criterio de los valores propios Sea q : Rn R una forma cuadrática.

!

1. q es de…nida positiva ssi todos los valores propios de de la matriz asociada son positivos. 2. q es de…nida negativa ssi todos los valores propios de de la matriz asociada son negativos. 3. q es no de…nida ssi existen valores propios positivos y valores propios negativos. Demostración.- Ver Fleming, página 165. 36


5/14/2018


. Teorema.- Criterio de Ruth Hurwicz Si q (H ) = H T AH es una forma cuadrática sobre Rn tal que det A = 0, entonces q es:

6

1. de…nida positiva ssi

a11 > 0;



a11 a21

a12 a22



  

a11 a21 > 0; ::::::::::::::::; : : a11

a12 a22

a12

:::::: a12 :::::: a22 : : :::::: a11

a11

a12

a13

> 0; a a21 31

a22 a 32

a23 a 33

2. q es de…nida negativa ssi a11

a12

a11 < 0; a21

a22



      k

::::::::; ( 1)

a11 a21 : : an1

a12 a22 an2

  

   

>0

; :::::::::::::

:::::: a12 :::::: a22 : : :::::: an1

>0

3. q es no de…nida ssi ninguna de las condiciones anteriores se cumple. Demostración.- Ver Edwards, página 149

2.5 La matriz Hessiana De…nición.- Sea f : S

 R ! R de clase C 3, y sea q n

f

la forma cuadrática

n

q f (P ) (H ) =

.La matriz simétrica H = de f en P . Teorema.- Sea f : A f .



X

@ 2 f (P ) hi hj @x i @x j i;j =1

@ 2 f (P ) @x i @x j



recibe el nombre de matriz Hessiana

 R ! R de clase C 3, y sea P un punto crítico de n

1. Si la matriz mínimo localHessiana para f . H es de…nida positiva, entonces P es un punto de 2. Si la matriz Hessiana H es de…nida negativa, entonces P es un punto de máximo local para f . 3. Si la matriz Hessiana H es no de…nida , entonces P es un punto de silla. 37


5/14/2018


. Observación.-



6

@ 2 f 1. Para usar este criterio es necesario que det (P ) @x i @x j 2. Para f : A

= 0.

@f  R2 ! R de clase C 3 tal que @f (P ) = (P ) = 0, se obtiene @x @y

el criterio de la segunda derivada visto en la sección 2.3. . Ejemplo.- Estudiar los extremos relativos de la función

 

! R; f (x; y; z) = x + z2 e ( + +1) Ejercicio.- Repetir lo mismo para f : R2 ! R; f (x; y) = e +1  xy f : R3

x y2

z2

xy

2.6 Multiplicadores de Lagrange n

 R ! R, con D abierto. Supongamos que: (1) g1 (x) = g2 (x) = :::::::: = g (x) = 0 () x 2 D1 con D1  D abierto no vacío. Si x0 2 D1 y existe una vecindad N de x0 tal que (2) f (x)  f (x0 ), para todo x 2 N \ D1 decimos que x0 es un punto de

Sean f; g1 ; g2 ; :::::::; gm : D

m

máximo local para f sujeto a las restricciones (1). Si (2) es reemplazado por:

(3) f (x) f (x0 ), para todo x N D1 decimos que x0 es un punto de mínimo local para f sujeto a las restricciones (1). Si (2) y (3) valen para todo x D, omitimos el adjetivo "local".



2 \ 2

. n 1 Teorema.- Sean f; g1 ; g2 ; :::::;g m : D R R de clase sobre el abierto D; n; m 1, y supongamos que x0 = (c1 ; c2 ; :::::;c n ) D es un extremo local de f sujeto a las restricciones gi (x) = 0; 1 i m. Supongamos también que al menos uno de los Jacobianos





@ (g1 ; g2 ; :::::;g m ) =x (1 @ (xi ; xi ; :::::;x im ) 0

1

2

!  

2

C

   ::::::::  i  n i1

i2

m

es no nulo. entonces existen constantes 1 ; 2 ; :::::; m tales que: m

@f (x0 ) + j @g j (x0 ) = 0; 1 @x i @x i j =1

X

 i  n.

Demostración.- Hace uso del Teorema de la Función Implícita. Ver Trench, página 458.

38


5/14/2018


. Observación.1. El teorema dice que si x0 es un punto extremo de f sujeto a las condiciones gi (x) = 0; 1 i m; entonces x0 es un punto crítico de

 

m

F = f +

X

j gj

j =1

para algunas constantes 1 ; 2 ; :::::; m . 2. Los parámetros 1 ; 2 ; :::::; m son llamados multiplicadores de Lagrange y el método sugerido por 1) es llamado de los mutiplicadores de Lagrange. . Ejemplos.1. Encontrar los extremos de f (x; y) = x2

 xy + y2 sobre R = (x; y) 2 R2 : x2 + y2  9





2. Hallar los valores máximos y mínimos que alcanza la función de…nida por: f (x; y) = xy sobre la elipse de ecuación x2 y 2 + = 1. 8 2 Indicación.- f alcanza sus extremos sobre todo conjunto cerrado y acotado. . Ejercicios.1. Determine la máxima y la mínima distancia (si existen) sobre la hipérbola de ecuación xy = 1 al origen. Indicación.0 f (x; y) = x2 + y 2 . f es acotada superiormente. f alcanza un mínimo sobre la hipérbola.



 g (x; y) = x2 + y2   (xy  1) A (1; 1) y B (1; 1) minimizan a f sobre la hipérbola. F (x; y) = f (x; y)

Observación.- f no alcanza un máximo sobre la hipérbola. 2. Acote (si es posible) a 2x + 4y + 8z sobre la esfera x2 + y 2 + z 2 = 21. f es continua sobre la esfera (conjunto cerrado y acotado). Luego f alcanza sus extremos sobre la esfera. F (x; y; z) = f (x; y; z)

 g (x; y; z) = 2x + 4y + 8z  



x2 + y2 + z 2

A (1; 2; 4) es un punto de máximo de f sobre la esfera.

 21



  

B ( 1; 2; 4) es un punto de mínimo de f sobre la esfera. 39


5/14/2018


3. Encontrar la mínima distancia entre la circunferencia : x2 + y 2 = 1 y la recta L : x + y = 4 Indicación.- Sean (x; y) y (u; v) L. Debemos minimizar

C

2C

2 f (x;y;u;v) = (x  u)2 + (y  v)2

sujeta a las condiciones x2 + y 2 = 1; u + v = 4.





F (x;y;u;v) = f (x;y;u;v) 1 g1 (x;y;u;v) 2 g2 (x;y;u;v) Los puntos más cercanos sobre la circunferencia y la recta son:

 

1 p A p ; 12 2

y B (2; 2).

. Cálculo III - 521227 4 de Mayo de 2010 JRC

40


5/14/2018



3 Integrales dependientes de un parámetro 3.1 Regla de Leibniz Consideremos funciones de…nidas mediante la relación

Z

d

 (x) =

f (x; t) dt; a

c

xb

c y d son constantes. Nos interesdamos en encontrar 0 (x). Teorema 1.- (Regla de Leibniz) Supongamos que  está de…nida por

Z

d

 (x) =

f (x; t) dt; a

c

c y d son constantes. @f Si f y son continuas sobre R = (x; t) : a @x

f

0 (x) =

Z

d

c

xb

 x  b; c  t  dg, entonces

@f (x; t) dt @x

para a < x < b. Demostración.-

  (x) = 1

 (x + k) k

Pero

k 1 = k

Z Z Z

x+k

f (x + k; t)

 f (x; t) =

x

d

Z Z c

f (x + k; t) dt

d

[f (x + k; t)

c

 k1

d

Z

f (x; t) dt =

c

 f (x; t)] dt

@f (u; t) du @x

Por lo tanto  (x + k)  (x) 1 d x+k @f = (u; t) dudt..........(1) k k c x @x @f @f Puesto que es continuan sobre R (cerrado y acotado), entonces es uni@x @x formemente continua sobre R; es decir,



8

9

( " > 0) (  > 0)



@f (u; t) @x

 @f (x; t) @x

8t 2 [c; d] y 8u 2 [a; b] tal que jx  uj <  .



<

"

d

 c ::::::::::(2)

Considerando u entre x y x + k como en (1), tenemos 41


5/14/2018


0 k

 u  x  k, con k > 0

x 0, con k > 0 Por lo tanto .......(3) k <  = u x <  Luego para 0 < k <  , tenemos d  (x + k)  (x) @f (x; t) dt = k c @x

 

u

   jj )j  j jj  

>=9;

Z   Z Z   Z Z  Z Z            Z Z Z Z     Z Z   Z Z j j    Z  c

1 k

x

x+k

d

1 k

=

x+k

d

1 = k

c d

c

x x+k

x

@f (u; t) dudt @x @f (u; t) @x

1 k

x+k

d

c

x

 

@f (x; t) dudt = @x

@f (x; t) dudt @x

@f @f (u; t) (x; t) dudt @x @x x+k " 1 " dudt = (d c) k =" d c k d c x

1 d k c (note que si k < 0, entonces d x 1 d x+k 1 [g (u; t)] dudt g (u; t) dudt) k c x k c x+k Dado que " > 0 era …jo pero arbitrario, se tiene que d  (x + k)  (x) @f 0 (x) = lim = (x; t) dt. k !0 k c @x (2) y (3)

Ejemplos. 2

1. Hallar 0 (x) si  (x) =

f (x; t) dt y 0

Z (

f (x; t) =

Z

1

2. Calcular

0

sin xt t x

6

; t =0 ; t =0

du (u2

+ 1)2

Solución.1. Si T es cualquier trayectoria distinta de la recta t = 0, entonces sin xt sin xt t=0 6 lim f (x; t) = lim = lim x =a (x;t)!(a;0) (x;t)!(a;0) (x;t)!(a;0) t xt (x;t)2T (x;t)2T (x;t)2T lim

(x;t)

!(a;0)

t=0

f (x; t) =

Por lo tanto,

lim

(x;t)

!(a;0)

x=a

t=0

42


5/14/2018


lim

(x;t)

!(a;0)

f (x; t) = a = f (a; 0),

lo que muestra f es continua cualquier punto 2 de la recta t = 0. Claramente f esque continua sobre elsobre conjunto abierto R (x; 0) : x R . De esta manera tenemos que f es continua. Por otra parte, los cálculos conducen a que: @f @f : R2 R; (x; t) = cos xt @x @x @f por lo que concluímos que es continua. @x Es aplicable el teorema 1 y además

f

2 g

!

Z Z   

0 (x) =

@f 1  (x; t) dt = sin x @x x 2

2

0

1

2. Para x > 0,

Z

1

du = 1 u2 + x x

0

d dx

Z

tenemos 1 du d = dx 2 0 u +x de (1) y (2)

d dx

1

du

u 1 + p x

0

u

z = p x

2

=

 2x +1 2x2  2x1 arctan p 1x ........(1) 0 1 Aplicando el teorema 1 a la función f : ]0; +1[  R !R; f (x; u) = 2 u +x Por lo tanto

Z

1

du 2

=

du = u2 + x

p 1x arctan p 1x

Z

3 2

1

Z

1

f (x; u) du =

0

0

1 2

1

+

3

@f (x; u) du = @x

arctan

Z

1

0

du

(u2 + x)

2 ....(2)

1

p

2

0 (u2 + x) 2x + 2x x …nalmente evaluamos en x =2x 1 para encontrar el resultado deseado

Z Z

1

0

.

du (u2

+ 1)

2

=

1  + 4 8

Z    p  p   Z  1

Ejercicio.- Muestre que F (x) =

ln 2

x2 t2 dt posee un máximo local en

0

x =0 @f Indicación.- f y son continuas sobre R = @x 1 t2 dt Leibniz F 0 (x) = 2x x2 t2 0 2 1 t2 dt d 1 t2 dt F 00 (x) = 2 2x 2 2 x t dx 0 2 x2 t2 0 2 1 F 00 (0) = 3



 

Z Z   

2

2

[0; 1]

43


5/14/2018


Teorema 2.- Supongamos que f y teorema 1, y que

Z

@f satisfacen la condiciones de hipótesis del @x

z

F (x; y; z) =

f (x; t) dt; c

y

 y  d; c  z  d

Entonces: z @F @f @F @F (x; y; z) = (x; t) dt; (x;y;z) = f (x; y) ; (x;y;z) = f (x; z) @x @x @y @z y Demostración.- i) Teorema 1; ii) T. F. del Cálculo; iii) T. F. del Cálculo

Z



Teorema 3.- (Regla general bajo el signo integral) @f Supongamos que f y son continuas sobre el rectángulo @x R = (x; t) : a

x

b; c

t

d

f     g y que g0 y g1 son de clase C 1 sobre a  x  b. Si  está de…nida por

Z

g1 (x)

 (x) =

f (x; t) dt

g0 (x)

entonces 0 (x) = f (x; g1 (x)) g10 (x)  f (x; g0 (x)) g00 (x) +

Z

g1 (x)

g0 (x)

@f (x; t) dt @x

Demostración.-  (x) = F (x; g0 (x) ; g1 (x)) por lo tanto Teo 2 0 (x) = F x (x; g0 (x) ; g1 (x)) + F y (x; g0 (x) ; g1 (x)) g00 (x) + +F z (x; g0 (x) ; g1 (x)) g10 (x) Ejemplo.- Hallar 0 (x) si  (x) =

Z 

x

2

0

Solución.- f (x; t) = arctan f y

t dt; x > 0. x2 2tx t2 + x4

arctan

t @f ; (x; t) = x2 @x





@f son continuas sobre R = (x; t) R2 : x > 0 @x 1 g0 (x) = 0; g1 (x) = x2 . g0 ; g1 ]0; + [ Teo3

0 (x) =

=

2

2C 1 f (x; g1 (x)) g10 (x)  f (x; g0 (x)) g00 (x) +



x2

x

2tx 2

 

2

4

dt

t=ux

=



1

x

x

2 t +x 2 Teorema.- (Integración bajo el signo integral) R continua. Se tiene: Sea f : [a; b] [c; d] b

d

0

d

b

f (x; t) dt dx =

a

c

c

g1 (x)

g0 (x)

2udu 2

 Z Z !  Z Z ! Z Z 0

Z

a

=x

u +1

@f (x; t) dt = @x 

ln 2

h i 2

!

f (x; t) dx dt

44


5/14/2018


Demostración.- Se aplica la regla de Leibniz a la función de…nida por: b



Z Z

 () =

a



f (x; t) dt dx

c

Ejercicio.- Pruebe que si b > a > 1,

Z  Z p Z Z  ! Z   

0

b a

cos x b+ dx =  ln cos x a+



p b2  1 p a2  1

dx  = para  > 1. 2 cos x  1 0  b x d b cos x dx = ln dx cos x a cos x a  0

Indicación.x

0

b

d



=  ln

2

Z p  a



1



p  + 2

 Z

=ba

1



=  ln



b+

p b2  1

a+

p a  1

2

3.2 Integrales impropias dependientes de un parámetro +

De…nición.- F (x) =

1

f (x; t) dt es uniformenmente convergente si F (x) =

c

b

Z

b

lim F (b; x) uniformemente, donde F (b; x) =

!+1

f (x; t) dt; es decir,

c

( " > 0) ( M > 0) b > M =

8

) jF (x)  F (b; x)j < "; 8x 2 [a; b]

9

Criterio de convergencia normal Si

Z 8 2

1. ( t

1 j

I = [c; + [) f (x; t)

+

2.

1

j  g (t), y g es tal que

g (t) dt converge

c

Entonces

Z

+

1

f (x; t) dt

c

converge uniformemente.

Demostración.- Resulta del criterio de Cauchy de convergencia uniforme que dice: F (x) = lim F (b; x) uniformemente b

()

!+1

( " > 0) ( M > 0) b; b0 > M =

8

9

)j

. Teorema 4.- Consideremos la función de…nida por:

Z

F (b0 ; x) < "; x

F (b; x)



j

[a; b]

8 2

+

F (x) =

1

f (x; t) dt; a

c

Si

 x  b; c = cte:

45


5/14/2018


1. f : [a; b]

 [c; +1[ ! R es continua

2. la integral

+

Z

1 f (x; t) dt es uniformemente convergente.

c

Entonces F es continua. . Teorema 5.- (Regla de Leibniz) Si:

Z

+

1. la integral F (x) =

1

f (x; t) dt converge para un valor x0 de [a; b]

c

@f son continuas sobre [a; b] @x

2. f y

 [c; +1[

+

1 @f

3.

Z Z

@x (x; t) dt converge uniformemente sobre [a; b] c Entonces +

4. F (x) =

1

f (x; t) dt converge uniformemente sobre [a; b]

c

5. F es derivable y d dx

Z

 Z

+

1

+

f (x; t) dt =

c

1 @f

(x; t) dt

@x

c

. Observación.- Vale el mismo resultado, si cambiamos el intervalo I = [c; + [ por cualquier otro intervalo no acotado de R.

1

Z   +

Ejemplo.- Hallar F 0 (x) si F (x) =

1

0

x t + 2

2

sin

1 dt; 0 t + 2

 x  1.

@f son continuas sobre [0; 1] [0; + [ @x F (x) converge para x = 0. +1 @f 2 (x; t) = g (t) y g (t) dt =  converge. 2 @x 0 t + 2 +1 @f (x; t) dt converge uniformemente por criterio de convergencia nor@x 0 mal. Se veri…can las hipótesis del teorema 5.



Indicación.- f y

 Z

   

1

Z

Ejercicios.1. Use el hecho que para  > 1

Z



0

dx =  cos x



46

x

p   2

1


5/14/2018


para probar que

p



I () =

Z

2



ln(1 +  cos x) dx =  ln 1 + 21  0 1 + 1 2 Indicación.- Sea T () =  ln . Pruebe que 2 T 0 () = I 0 () T (0) = I (0) Por lo tanto

p 



T () = I ()

Z  

2. si J () =



ln 1 + 2 cos x + 2 dx, pruebe que:

0

J () = Indicación.- Usar 1). 3. Sea h : R

 ln 2 0



; ;

 <1  >1

jj

! Rf0g de clase C 1. Encuentre si existe 0 (x), donde:

Z

1

:R

! R;  (x) =

f (x; t) dt y

0

f (x; t) =

(

sin th (x) t h (x)

6

; t =0 ; t =0

4. La función Gamma.- Se de…ne por:

Z

+

 (x) =

1

eu ux1 du; x > 0

0

Muestre que  (x) converge para x > 0. (ver pág 273, Cálculo Superior: Murray R. Spiegel (Schaum) . Observación.1. La función Gamma tiene muchas aplicaciones en matemática y física. 2. Una propiedad útil de la función  es la relación de recurrencia  (t + 1) = t (t) Demostración.- Se obtiene de la de…ción. (queda como ejercicio) 3.  (+1) = 1 Demostración.- Se obtiene de la de…nición. (veri…carlo). 47


5/14/2018


4.  (n + 1) = n! Demostración.- Usando 2) con t = n. 5. La función  es una generalización de la función factorial. . También es válido el siguiente resultado:

Z

+

1  [c; d] ! R es continua y si

Teorema.-Si f : [a; + [

uniformemente sobre [c; d], entonces

Z Z

1

f (x; t) dx converge

a

! Z Z   Z Z  Z Z Z j !j  Z Z        Z +

1

d

a

c

Indicación.-

ebx

x

1

+

1 eax

I =

0

a

1

0

b

eax ; teo.

eax dx =

a b

a

exy dx = lim

!+1

R

1 xy e y

1 converge. a

+

1

exy dy dx =

+

x

ex dx; 0 < a < b.

exy dy.

=

b

f (x; t) dx dt

a

0

b

f (x; y) = exy ; f (x; y) +

1

c

Ejercicio.- Calcule la integral I = eax

+

d

f (x; t) dt dx =

exy dx dy

0

a R

=

0

1 lim eRy y R!+1

1 =

1 y

Observación.- Vale la misma observación de la página anterior.

. Cálculo III - 521227 4 de Mayo de 2010 JRC 48


5/14/2018



4 INTEGRACIÓN 4.1 INTRODUCCION Generalizaremos el concepto de integral de funciones de…nidas sobre una parte de R con valores en R, considerando funciones de…nidas sobre una parte de Rn con valores en R. En este caso hablaremos de integrales múltiples. Notaciones y de…niciones previas 1. De…nición.- Sean a; b a a

2 R , de…nimos:  b () a  b ; i = 1; 2; :::::;n. < b () a < b ; i = 1; 2; :::::;n. n

i

i

i

i

donde a = (a1 ; a2 ; ::::::; an ), b = (b1 ; b2 ;::::::;b n ). 2. De…nición.- Sean a; b Rn . Lamamos rectángulo cerrado en tremos a y b) al conjunto:

2

S [a; b] =

f!x 2 R

n

:a

n

R

(de ex-

 !x  bg

Ejemplos.(a) En

2 R

con a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ):



S [a; b] = (x; y) = [a1 ; b1 ] (b) En

3 R

= n

R



con a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ):

S [a; b] =

(c) En

2 R2 : a1  x  b1, a2  y  b2  [a2; b2] .



2 R3 : a1  x  b1, a2  y  b2, a3  z  b3 g [a1 ; b1 ]  [a2 ; b2 ]  [a3 ; b3 ] . (x; y; z)

con a = (a1 ; a2 ; :::::an ), b = (b1 ; b2 ; ::::::bn ):

S [a; b] =

n

f(x1; x2;::::;x ) 2 R : a1  x1  b1, a2  x2  b2 ,........, a  x  b g [a1 ; b1 ]  [a2 ; b2 ]  :::::::::  [a ; b ] . n

n

=

n

n

n

n

49


5/14/2018


n

3. si I = [a; b] con a; b

2R

, de…nimos el volumen de I por:

V (I ) = V (S [a; b]) = (b1 Ejemplo.En En

2 R , 3 R ,

 a1) (b2  a2) :::::::::: (b  a n

n)

V (I ) es el área del rectángulo. V (I ) es el volumen del paralelepípedo.

4. De…nición.- Sea I un rectángulo cerrado en (intervalo en R) en la forma

n

R

. Subdividamos cada arista

ai = xi < x i < :::::::: < xini = bi ; i = 1; 2;::::;n 1

2

y denotemos por I i al conjunto I i

1

;i2 :::::;in

= I i = [x1i ; x1i 1

1

+1 ]

 [x2

i2 ; x2i2 +1 ]

 ::::::::  [x

nin ; xnin +1 ] ,

que son subrectángulos. El conjunto  = I i : i = 1; 2;::::;N con N = n1 n2 :::: nn

f

g

  

se llama una partición rectangular de I . Idea Geométrica en

En

2 R

2 R

se acostumbra a usar la notación: x0 y0

= x11 = a1 ; x1 = x12 ; x2 = x13 ;.........;xm = x1n = b1 = x21 = b1 ; y1 = x22 ; y2 = x23 ;.........;xn = x2n = b2 1

2

50


5/14/2018


5. Sumas de Riemann



!

Rn R acotada en I , Sean I un rectángulo cerrado en Rn , f : I y  = I 1 ; I 2 ;::::;I n una partición rectangular de I . De…nimos:

f

g

n

S (f; ) =

X X

f

2 I g  V (I )

f

2 I g  V (I )

sup f (x) : x

j =1

j

j

n

s (f; ) =

inf f (x) : x

j =1

j

j

S (f; ) se llama suma superior de Riemann c/r a la partición I . s (f; ) se llama suma inferior de Riemann c/r a la partición I . Observación.(a) De la de…nición de S y s se tiene: S (f; )

 s (f; )

cualquiera que sea la partición rectangular  de I .

9

8 2 I ) jf (x)j  M .

(b) Recordemos que f es acotada si ( M > 0) ( x

2 (c) Sea z = f (x; y), f : I R, I es un rectángulo cerrado de R , f es continua y no negativa sobre I , entonces S (f; ) y s (f; ) son aproximaciones del volumen V bajo la super…cie z = f (x; y) acotado por I (para cualquier partición  de I ). se tiene:



2 R

!

s (f; )

V

S (f; ) .

 

6. Sean  y 0 dos particiones rectangulares de I , diremos que 0 es más …na que  si cada subrectángulo de  0 está contenido en algún subrectángulo de . En notación: 0 .



0 , entonces el con7. Consideremos  = I 1 ; I 2 ;::::;I N ,  0 = I 10 ; I 20 ;::::;I M junto:  0 = I i I j : i = 1;:::;N ; j = 1; :::::;M

f

g

f

g

f \

g

es una partición rectangular de de I . Recibe el nombre de partición rectangular producto de  y 0 . Además se tiene:  0

 ;  0  0 .

8. Previo a la de…nición de función integrable - Riemann sobre Rn necesitamos los siguientes : Lema 1.- Si  0

  son dos particiones de I , entonces s (f; )  s (f; 0 ) ; S (f; 0 )  S (f; ) 51


5/14/2018


Demostración.- (para f no negativa) Por 3 y de…nición de s (f; ) ya que en la medida que  0 es más …na, entonces s (f;  0 ) es más cercana a V . Lema 2.- Si  y  0 son dos particiones cualquiera de I , entonces s (f;  0 )

 S (f; ) . Demostración.- s (f; 0 )  1 s (f;0 )  S (f;0 )  S (f; ) Notación.-  (I ) = f :  es una partición rectangular de I g. L

4.2 La integral de Riemann sobre un rectángulo n De…nición.- Una función acotada f : I R R se dice integrable en el sentido de Riemann (o Riemann integrable) sobre I si



inf

  (I )

2

fS (f; )g =

!

sup   (I )

2

fs (f; )g

El número real que expresa este valor común se denota por:

Z  Z Z  Z f

I

o

f dx1 dx2 ::::dxn

I

f (x) dx

I

Ejemplos.1. Sea f : I existe.

Z 

f dV

I

f (x) dx1 dx2 ::::dxn

I

Z 

f (x) dx

I

n

 R ! R, f (x) = c, con c =constante. Encontrar

2. Considere f : [0; 1] Encontrar

Z

 [0; 1] ! R, f (x; y) =



Z

f dV si

I

0 ; si x es racional . 1 ; si x es irracional

f dV si existe.

I

. Observación.- Un criterio de integrabilidad en el sentido de Riemann es dado por el siguiente: n

n

R

R

2 

R

!

Teorema.Sean I un rectángulo cerrado , f : > I 0 existe una partición una función acotada. f es integrable Riemann ssi en para cada  de I tal que S (f; ) s (f; ) < .



2

También es importante el siguiente:

52


5/14/2018


n

Teorema.- Toda función f : I rado I es Riemann - integrable.

 R ! R continua sobre el rectángulo cer-

Demostración.- Hace uso del concepto de continuidad uniforme. PROPIEDADES En lo que sigue denotaremos por integrables sobre I . f

R (I ) al conjunto de las funciones Riemann -

2 R (I ) () f es integrable sobre I .

. Teorema.- Sean I un rectángulo cerrado en 1. f; g

; f; g : I

n

 R ! R.

2 R (I ) =) f + g 2 R (I ) y además

Z

(f + g) dx =

I

2. f

n

R

Z Z f dx +

I

gdx

I

2 R (I ),  2 R =) f 2 R (I ) y además

Z

Z

fdx = 

I

f dx

I

3. Sean I 1 ; I 2 ; :::::;I k subdivisiones rectangulares (partición) de I , entonces f (I ) = f (I i ) para i = 1; 2;:::;k; y además

2R

) 2R

k

Z X Z Z  Z  ) ) Z   Z j j f dx =

I

4. f; g

2 R (I ) y f

j j 2 R (I ) =

5. f

g=

f dx

i=1

f dx

I i

gdx

I

I

f dx

f dx

I

I

Demostración.- Se deducen de la de…nición de integral y de sumas de Riemann. Indicación para 2)

f f 2 ()

 inf  (I )

g g

f

g

Z

S (f; ) = 2sup 2  (I ) s (f; ) = I f dx Por lo tanto inf S (cf;) =c>0 c inf S (f; ) = c sup   I

= sup

  (I )

2

fs (cf;)g.

  (I )

2

f

g

  (I )

2

fs (f; )g =

53


5/14/2018


Finalmente

Z Z

c

f dx =

cfdx

I

INTEGRALES ITERADAS

I

Daremos un método simple para evaluar integrales, consiste en expresar la integral en términos de ”integrales iteradas” para luego aplicar el 2 o teorema fundamental del cálculo. Vocabulario previo.- Sea A = X Y Rn Rm Rn+m . n m R + R una función. Entonces para cada x Sea f : A X Rn …jo de…nimos la función



 

!

f x : Y y para cada y

2 Y  R

m



m



2



 R ! R; f (y) = f (x; y) x

…jo de…nimos

f y : X

n

 R ! R; f (x) = f (x; y) . y

Se de…nen la integral inferior y la integral superior de Riemann de f respectivamente por

Z

f = sup

I

  (I )

2

fs (f; )

Z g ;

f = inf

  (I )

2

I

fS (f; )g .

Con esto enunciamos el siguiente:

TEOREMA DE FUBINI n m Sean I R , J R rectángulos cerrados, f : I J R acotada y Riemann - integrable. Entonces para cada x I …jo, las funciones





x



 !

2

Z

f x

y

x



J

Z

f x

I

son Riemann - integrables sobre I , y

Z Z Z ! Z Z  f =



I J

f x

I

J

=

f x

I

J

si f es continua, las funciones f x , f y son Riemann - integrables para cada (x; y) en el dominio de f , y además se tiene:

Z

f (x; y) dV

=



I J

=

Z Z  Z Z  Z Z  Z Z  f x (y) dy dx =

I

J

I

J

f y (x) dx dy

I

J

f (x; y) dy dx =

f (x; y) dx dy

I

J

54


5/14/2018


Corolario.- Si f : I Rn son intervalos cerrados de

! R es continua, con I = I 1  I 2  :::::  I , y los I



Z

f dV

n

R,

Z Z Z  Z Z Z |{z} Z

=

i

se tiene:

f dx1 dx2 ::::dxn =

I

I

=

:::::

I n

=

I n1

::

I 1

n

::

I n I n1

I 1

  !

f (x1 ; x2 ;::::;xn ) dx1 ::::: dxn1

dxn

f (x1 ; x2 ;::::;xn ) dx1 ::::::dx n1 dxn .

 R2 ! R; f (x; y) = x2 + y, con I = [0; 1]  [0; 2], entonces

Ejemplo.- Sea f : I

1

2

1

x2 + y dy dx =

f (x; y) dxdy =

2x2 + 2 dx =

I

0

Z

0

8 3

0

Z Z    Z  

4.3 Integrales sobre conjuntos acotados de R

n

n Sea A R acotado. entonces existe un rectángulo cerrado I de A I . De…nimos la función:





X

A

X

: I

n



 R ! f0; 1g ; X (x) = A

n

R

tal que

2  2

0 ; x I A 1 ; x A

A se llama la función característica de A. Dada f : A Rn R acotada, consideremos la función



!

X

f

A

: I

 Z Z X

n

2 2

0 ; x I A f (x) ; x A

 R ! R; X (x) = A

Si f es acotada sobre A se de…ne:

f =

A

f

A;

I

es decir, f

2 R (A) () f X 2 R (I ) A

Observación.- Siguen siendo válidas las propiedades señaladas anteriormente para integrales sobre un rectángulo. Ejemplos.1. Hallar

Z

f (x; y) dV si f (x; y) = x + y, donde

A



A = (x; y)

2 R2 : 0  x  1; 0  y  1  x2



55


5/14/2018


x2 ydxdy, donde

2. hallar el valor de

S

Z n Z

S = (x; y) 3. Evaluar la integral

2 R2 : y2  2 px; x  p2

o

,p>0

f (x; y; z) dxdydz si f (x;y;z) = xyz, y

B





2 R3 : x2 + y2 + z2  4; y  0; z  0

B = (x; y; z) Observación.-

3 1. Si I = [a; b] [c; d] [ p;q ], g : I R R es integrable y veri…ca la propiedad g (x; y; z) = g1 (x) g2 (y) g3 (z), entonces







b

Z

gdV

d

q

Z Z Z Z !Z

=

g (x; y; z) dzdydx

I

a

c

p

b

=

d

g1 (x) dx

a

Ejemplo.- Si I = [0; 1]

Z

Z Z 1

I

n

R

! Z  q

g2 (y) dy

c

g3 (z) dz

p

 [1; 2], entonces

2

ex ydxdy =

2. Si A

!

1

Z Z  2

ex ydxdy =

0

1

ex dx =

ydy

1

0

3 (e 2

 1)

es acotado, se de…ne el volumen de A por: V (A) =

Z

dV

A

Ejemplo.- Calcular el volumen de la región W R3 acotada por el cilindro de ecuación x2 + y 2 = 1 y los planos z = 0 y z = 2. 3. Sean A

n

R

acotado y tal que V (A) = 0. Sea f : A

y supongamos que f Demostración.-

2 R (A), entonces

Z   Z j j    Z X

Z Z j Z

A

M

f = 0.

A

jX (x) dV j ( )j

f (x)

I

(x) dV = M

I

n

 R ! R acotada

A

f (x) dV =AI

f (x) dV

A



A

f x

M

dV = MV (A) = 0.

A

n 4. Si D R , entonces F r (D) es un conjunto de medida 0 (o contenido cero). De este modo tienen medida cero, los conjuntos que contienen un número …nito de puntos en R, las curvas en R2 , las super…cies en R3 , etc.



56


5/14/2018


2

x2 + y exyz d (x; y; z), donde

Ejemplo.- Calcular

Z   2 RZ \Z Z S

S : x2 + y 2 + z 2 = 1

2 R (A), f

5. Si f .

(B) y A

f =

X [

Indicación.- f

B = , entonces f

A B

[

A B

X

= f

A

f +

f

A

B

X

+ f

2 R (A [ B) y

B

. Teorema.- Sea D Rn acotado y sea f : D Rn D A, donde A es tal que V (A) = 0, entonces f







Idea de la demostración.-

Z

f (x) dV

=



Z Z Z Z

f (x) dV +



D A

D A

=

f (x)

I

= =

f (x)

I

Falta ver que f

Z

f (x) dV =

A

X  D

(f (x)

I

! R acotada y continua sobre 2 R (D).

X 

D A

X

D

Z X X Z

A (x) dV +

f (x)

(x) + f (x)

(x) dV =

A

(x)) dV =

f (x) dV:

2 R (A).

Z Z Z  f =

D

(x) dV =

D



 R acotado, A  D es 8 2 D  A) f (x) = g (x),

Observación.- Si f y g son continuas sobre D A, D tal que V (A) = 0, entonces si f y g son acotadas y ( x entonces

A

I

n

g.

D

Ejemplo.- Calcular

f , donde f (x; y; z) =

S

S = (x; y; z)



2xz y

6

; z =0 ,y ; z =0

2 R3 : x > 0; y > 0; z > 0; x + y + z < 1

4.4 Cambio de variables



En una variada clase de problemas es más conveniente usar un sistema de coordenadas diferente al sistema de coordenadas rectangulares. Por ejemplo, en R3 hemos de…nido los sistemas de cordenadas cilíndricas (o semipolares) y esféricas (o polares). Por lo tanto es importante conocer las expresiones de las integrales múltiples cuando ”cambiamos variables”; es decir, cuando a partir de un sistema de coordenadas pasamos a otro. Recordemos la situación para el caso de funciones reales de una variable real. 57


5/14/2018


Para una función f : [a; b]

Z

b

R

que satisface condiciones apropiadas se tiene:

!

g (f (x)) f 0 (x) dx =

Z

f (b)

g (u) du.

f (a)

a

Este resultado es generalizado por el siguiente: Teorema.- Sea f : G que u G :

8 2

jJ (f; u)j = Entonces,

n

n

R !R

  Z

de clase

 Z 

@ (f 1 ; f 2 ;::::;f n ) (u) = @ (u1 ; u2 ;::::;un )

g (x) dV =

f (G)

j



 

C 1 (G) e inyectiva, G abierto tal

@f 1 @u 1

@f n @u 1

(u) ::::::: : ::::::: : (u) :::::::

j

@f 1 @u n

@f n @u n

(u) : : (u)

j

(g f ) (u) J (f; u) dV .

G

 6 

= 0.

j

Observación.- J (f; u) se llama también Jacobiano de la trasformación. Ejemplos.1. Calcular

Z

g (x; y) dV , donde g (x; y) = y2 ,

D

D = (x; y)

2 R2 : x > 0; 0 < xy < 3; x < y < 2x

 Z

2. Consideremos la integral



(x + y) dxdy, donde S es el paralelogramo de

S

vértices: (0; 0) ; (1; 1) ; (3; 1) ; (2; 0). 3. Calcular el área encerrada por la elipse:

x2 y 2 + 2 = 1. a;b > 0 a2 b

. Ejercicio.- Calcular el volumen encerrado por el elipsoide: x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1; a;b;c > 0: a2 b c

4.5 Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas Coordenadas polares planas.- En este caso particular consideramos la transformación ' : G R2 G = (r; )



! R2; ' (r; ) = (r cos ; r sin ) = (x; y) 2 R2 : r > 0; 0 <  < 2 .



58


5/14/2018


Se tiene:

cos 

r sin 





 

J ('; (r; )) = sin  r cos  = r. ' es de clase (G) e inyectiva: Sea G1 = (r; ) R2 : 0 < r < r1 ; 0 <  < 2 , entonces 1

C2

r=

p

x2 + y 2 ;  = arctan

Ejemplo.- Calcular

n

' (G1 ) = (x; y)

Z

y x

2 R2 : x2 + y2 < (r1)2

g (x; y) dxdy, donde g (x; y) = e(x

2

o

+y2 )

y

D

n

D = (x; y)

2 R2 : x2 + y2 < (r1)2

Coordenadas semipolares o cilíndricas en la transformación ' : G R3 G = (r;;z) Entonces,



3 R .-

3 R ; ' (r;;z) =

o

Considemos el caso particular de

(r cos ; r sin ; z) = (x; y; z) .

!2 R3 : r > 0; 0 <  < 2; 1 < z < +1

J ('; (r;;z)) =

 

cos  sin  0

r sin  r cos  0

0 0 1

 



= r.

' es de clase 1 (G) e inyectiva:  Sea G1 = (r;;z) R3 : 0 < r < r1 ; 0 <  < ; 0 < z < z 1 , entonces 2 ' (G1 ) = (x; y; z) R3 : x2 + y 2 < (r1 )2 ; 0 < x < r1 ; 0 < y < r1 ; 0 < z < r1

nC n

2 2

o

o

59


5/14/2018


En este caso, si f es Riemann - integrable sobre ' (G), se tiene:

Z

'(G)

f (x;y;z) dV

Z Z

=

G

=

Ejemplo.- Evaluar



j

j

(f ') (r;;z) J ('; (r;;z)) drddz

f (r cos ; r sin ; z) rdrddz

G

Z



x2 dV , si D = (x; y; z)

D

2 R3 : 0  z  1; x2 + y2 < 1

. Coordenadas polares o esféricas.- Consideremos la transformación:



3 R ; ' (;;) = ( sin  cos ;  sin  sin ;  cos ) = (x; y; z) ' : G G = (;;) R3 :  > 0; 0 <  < ; 0 <  < 2 .

!

2

  nC 2

J ('; (;;)) =

sin   sin cos  sin cos 

 cos cos   cos cos    sin 



1



  o

 sin  sin  sin  cos  0

= 2 sin .

' es de clase (G) e inyectiva:   Sea G1 = (;;) R3 : 0 <  < 1; 0 <  < ; 0 <  < 2 2

En este caso, si f es Riemann - integrable sobre ' (G), se tiene:

Z

f (x; y; z) dV

=

'(G)

Z Z



=

j

j

(f ') (r;;) J ('; (r;;)) drdd

G

f (' (r;;)) r2 sin drdd

G

Ejemplo.- Calcular el volumen de una esfera de radio a.

4.6 Integrales múltiples impropias De…nición.- Sea f : S Rn de f respectivamente por: f + (x) = max f (x) ; 0 f  (x) = min f (x) ; 0



f f

g

! R, se de…ne la parte positiva y la parte negativa g

Observación.- Es inmediato que y = f (x)



f (x) f (x)

j

j

= f + (x) f  (x) = f + (x) + f  (x)



60


5/14/2018


y x

j

j

y = f (x)

y

x

y = f + (x) y

x

y = f  (x) y

x

61


5/14/2018


o

n

 R ! R tal que S 6= . Sea J (S ) = fT  S : T es cerrado y acotadog

De…nición.- Sea f : S

Supongamos que

Z

f (x) dx existe para cada T

T

Si A = sup

Z



+

f (x) dx

T J (S )

2

T

2 J (S ).

yB=

inf

T J (S )

2

Z T

donde al menos uno de estos valores es …nito, de…nimos

Z

f (x) dx = A

S



f  (x) dx

 B.

Observación.1. Si esambos cerrado…nitos y acotado, f es integrable Riemann sobre S , entonces A y B S son y se veri…ca que

Z

f (x) dx = A

S

B

2. Si S no es acotado, o f no es acotada sobre S , o ambos casos, decimos que

Z

f (x) dx es una integral impropia la cual converge a A

S

B son …nitos o que diverge en caso contrario. . Teorema 1.- Sea f : S converge ssi

Z j

o

n

 R ! R, S 6= ; n  2. La integral impropia o

n

Teorema 2.- Sea f : S

f (x) dx S

Z Z

j

f (x) dx converge.

S

 B si A y

 R ! R, S 6= . Si la integral impropia f (x) dx converge o diverge a +1 o 1 y fT g 2 es una sucesión de conjuntos en J (S ) S

j j

tal que:

N

8 2 N) T  T +1

(a) ( j o

(b) S =

j

j

  [ o

+

1

T j ,

j =1

entonces

f (x) dx = lim

Z 8 2

j

S

Observación.- Si ( x

S ) f (x)

1

f (x) dx

!+1

Z 

Tj

0, entonces

Z

f (x) dx converge a un número

S

real o bien diverge a + . Luego el teorema anterior es siempre aplicable con f 0.



62


5/14/2018


Ejemplos.- en Ejercicio 7. Nota.- El teorema 2 también puede ser expresado en términos del siguiente: Corolario.- Si

Z

1 o 1 y fT

f (x) dx converge o si diverge a +

S



g

:a<
es una familia de conjuntos en J (S ) tal que: (a) T 

1

 T

2

  [

o

(b) S =

si 1 <  2 y o

T  , entonces

a<
Z Z

f (x) dx = lim 

S

!b

Z Z

f (x) dx........(*)

T 



Ahora si (a) se remplaza por T  T  si 1 <  2 , entonces (*) se remplaza por f (x) dx = lim f (x) dx 

S

!a

1

2

T 

Teorema 3.- (criterio de comparación) o

Sea S Rn ; n > 1; S = . Sean f y g funciones Riemann - integrables sobre cualquier elemneto de J (S ). Si ( x S ) f (x) g (x) , entonces



(a)

Z Z

Z ) Z )

g (x) dx converge=

S

(b)

6

f (x) dx diverge=

S

8 2 j

jj

j

f (x) dx converge

S

g (x) dx diverge

S

. Ejemplos.en Ejercicio 10.


63


5/14/2018



5 Calculo vectorial 5.1 Integrales de línea 5.1.1 INTRODUCCION De…nición.- Se llama curva  a cualquier conjunto de puntos

tales que:

8>> >< >>> :

!

n

(x1 ; x2 ;::::::;x n )

2R

x1 = f 1 (t) x2 = f 2 (t) : : : : xn = f n (t)

;t

2 [a; b]

donde f i : [a; b] R es continua para i = 1; 2;::::::;n. Las relaciones anteriores se llaman ecuaciones paramétricas de la curva. el símbolo t es llamado parámetro y el conjunto [a; b] intervalo parámetrico. Observación.1. una curva  en Rn es un subconjunto de Rn para el cuál existe una función continua f : [a; b]

n

!R

! (x1; x2; ::::::; x

;t ,

n)

= (f 1 (t) ; f 2 (t) ; :::::::; f n (t))

tal que  = recf . La curva es dirigida en el sentido que f establece un orden en el cual los puntos de la curva se obtienen cuando t varía de ”a hasta b”. f se llama representación paramétrica o parametrización de la curva. 2. Un punto x0 Rn está sobre una curva  parametrizada por la función n vectorial f : [a; b] R si existe t0 [a; b] tal que x0 = f (t0 ). La colección de todos los puntos que satisfacen esta condición se llama traza de la curva  .

2

!

2

64


5/14/2018


3. Dos funciones continuas n

n

!

!

R y g : [c; d] R f : [a; b] son paramétricamente equivalentes si exite una función continua, biunivoca  : [a; b] [c; d] tal que  (c) = a,  (d) = b y

!

8 2 [c; d]) f ( (t)) = g (t)

( t

(f y g son paramétricamente equivalentes si representan la misma curva). 4. Diremos que una curva  0 es la negativa (u opuesta) de la curva  si ambas tienen la misma traza y se recorren en sentidos opuestos. En notación  0 =  .



5. El intervalo de parametrización de una curva  también puede ser abierto o no acotado. . Ejemplo.- Parametrizar: 2 3

2 3

1. x + y = 1, en sentido antihorario. 2. La intersección de las super…cies: 2x2 + y 2 + 4z = 4 y x2

 y2 + 8z = 4

Indicación.- Proyección de la curva en el plano xy: x2 + y 2 = 4.

!

3. La recta L que pasa por A (a;b;c) en la dirección del vector v = (v1 ; v2 ; v3 ). . De…nición.n 1. Un punto X = f (t) de una curva  parametrizada por f : [a; b] R es un punto múltiple si existe más de un valor de t [a; b] tal que X = f (t). La curva es simple si no tiene puntos múltiples; es cerrada si f (a) = f (b); es simple cerrada si es cerrada y f (a) = f (b) es el único punto múltiple. Los puntos f (a) y f (b) se llaman extremos de la curva.

!

2

2. Considere las curvas  1 ;  2;::::::::::;  k tal que el punto terminal de  i coincide con el punto inicial de  i+1 para i = 1; 2; :::::;k 1. Escribimos



k

 =

X

 i para representar a la curva obtenida al recorrer  1 ;  2;::::::::::;  k

i=1

en esde orden. n 3. Una función continua f : [a; b] R es suave si es continuamente diferen0 ciable sobre [a; b] y ( t [a; b]) f (t) = 0.

82

!k

k6

Una curva  es suave si admite una parametrización suave. Se dice que k

la curva  es seccionalmente suave si  =

X

 i y todas las curvas  i son

i=1

suaves. 65


5/14/2018


4. Dos curvas son suavemente equivalentes si son suaves y paramétricamente equivalentes.

5.1.2 LONGITUD DE ARCO De…nición.- Sea  una curva parametrizada por  : [a; b] longitud de  está de…nida por

de clase

C 1. La

Z   b

l ( ) =

n

!R

0 (t) dt

a

Ejemplo.- Una partícula se mueve a lo largo de la astroide de ecuación 2 3

2 3

x +y = 1

 

3 2 3 Esta es parametrizada por  : [0; 2] R ;  (t) = cos t; sin t . Encontrar el d d vector velocidad de la partícula, su rapidez s0 (t) = y su longitud. dt dt

!

Observación.- Con las notaciones de la de…nición anterior se introduce la función longitud de arco como

Z   t

s (t) =

0 (u) du

a

de manera que (Teorema Fundamental del Cálculo) s0 (t) = 0 (t)

b

y

s0 (t) dt:

l ( ) = a

En

3 R

se tiene: ds dt

=

ds =

  Z s       s       dx dt

2

dx dt

2

dy dt

2

+

dy dt

2

+

dz dt

2

+

dz dt

2

+

o dt

5.1.3 INTEGRALES SOBRE CAMPOS VECTORIALES El concepto de integral de línea es uno de los diversos caminos mediante los cuales se puede generalizar la integral de funciones de una variable a funciones de varias variables. Las integrales de línea se presentan al tratar problemas de trabajo, energía potencial, ‡ujo de calor, entropía, circulación de un ‡uído y otras cuestiones físicas en las que se estudia el comportamiento de un vector o campo vectorial a lo largo de una curva.

66


5/14/2018


!

n n De…nición.- Sea F : D R R un campo vectorial continuo. Sea una curva cuya traza este contenida en D. está de…nida paramétricamente por



!

C

!r : [a; b] ! RC de clase C 1. ! Se de…ne la integral de línea de F a lo largo de la curva C por: n

Z !  ! Z ! !  ! b

F dr =

r0 (t)dt

F r (t)

C

a

Observación.1.

Z !  !

!

F dr mide el trabajo realizado por el campo de fuerzas F para des-

C

plazar una partícula a lo largo de la curva n

!

Z !! !  Z R

mente por r : [a; b] 2. Otra notación.-

.

F dr

!

P dx + Qdy + Rdz para F = (P;Q;R).

C

Z !  ! C XC C

3. El valor de

C representada paramétrica-

C

F dr es independiente de la parametrización escogida para

C

la curva .

k

4. De…nición.- Si

=

i es

una curva seccionalmente suave, se de…ne

i=1

. Ejemplo.- Calcular

 ! ! F dr C  

Z Z !  !

F dr, donde

C

! F (x; y; z) = y y



y2

k

! ! F dr C  i

i=1

i

X Z

 z2; z2  x2; x2  y2



C es la frontera de la porción de super…cie S : x2 + y2 + z2  1 = 0; x  0,  0; z  0, de modo que al recorrer C se ve a S a la izquierda.

Ejercicios.x+y x y 2 2 1. Calcular la integral de línea de F (x; y) = x + y ; x2 + y2 , a lo largo de la curva cerrada : x2 + y 2 = a2 en sentido horario. 2. Calcular y = x2 ; 0

Z

C

!

x2 dx + xydy + dz, donde

C



 



C es la intersección del cilindro

 x  1 y el plano z = 1. 67


5/14/2018


. n R un campo vectorial continuo. Proposición.- Sea F : D Rn Sea una curva cuya traza esté contenida en D. Entonces

!

C



Z !!  ! Z !  ! F dr =

F dr

C

C

Demostración.- Se deduce de la regla de la cadena y del teorema del cambio de variables.

C es una curva suave contenida en el dominio común de los !  ! campos vectoriales continuos F y G; ,  2 R, entonces ! ! ! ! ! ! !  F +  G  dr =  F  dr +  G  dr Proposición.- Si

Z 

Z

C

Z

C

C



Demostración.- Se deduce de la de…nición y de las propiedades de linealidad de la integral de Riemman.

!

3 3 R ! R , ! F (x; y; z) = x2 ; y 2 ; z 2 sobre una partícula que se mueve a lo largo de una !r (t) = (cos t; sin t; t). curva C representada por r : [0; 2] ! R3 , 

Ejemplo.- Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas F :



 !

Ejercicios.1. Calcule

Z

x2 dx + y 2 dy + z 2 dz, donde

C

C está representada por

3 R

!r : [0; 1] !

2

!

3

  !

; r (t) = t; t ; t : 2. Lo mismo que en el ejemplo anterior con r (t) = (cos t; sin t; 0). 3. Calcule

Z

C está representada por !r :

xdx + ydy, donde

C

!r (t) = (cos t; sin t).

 ! 0; 2

2 R ,

5.1.4 INTEGRALES DE LINEA SOBRE CAMPOS ESCALARES n De…nición.- Sea f : D R R un campo escalar continuo y contenida en D; es parametrizada por

C



!

 : [a; b]

R

n

1

de clase

!

.

C

Se de…ne la integral de línea de f a lo largo de la curva

Z Z

b

f =

C

f ( (t))

a



C una curva

C por:

 

0 (t) dt

68


5/14/2018


. Observación.-

8 2 D) f (x) = 1, entonces

1. Si ( x

Z Z

2. Otra notación.-

f =

C

Z

C

f es la longitud de la curva .

C

f ds, donde s es la función longitud de arco.

C !

C es representada por r : [a; b] ! R , entonces ds = kr0 (t)k dt). ! !r =dt d!r !  !  !  r 0 (t) d 3. Si f = F  T , donde T =  = = es el vector tangente ! ds=dt ds r 0 (t) !r ds ! ! ! ! ! d!r = ! d unitario, entonces fds = F dr ya que F  r 0 = F  F  = (si

n

  Z Z !  ! !  ! !  ! !  ! Z !  !  Z !  ! C Z   C ! b  b   Z   C   ! ! ! C

ds F T dt = F T r0 (t) .

dt

C

ds dt

4. Cuando F representa una velocidad, el producto interior F

T es la

componente tangencial de la velocidad, y la integral de línea

F T ds

C

=

F dr

se llama integral de ‡ujo de F a lo largo de

(Mécanica

C

de Fluídos).


x2 + y2 ds, donde

es representada por

C

r (t) = a (cos t + t sin t) i + a (sin t

t cos t) j; 0

t

 2 (a > 0):

Ejercicios.-

1. Repetir lo mismo con 0

t

2.

p z

2. Calcular

fds, si f (x; y; z) = e

y

es parametrizada por

C

3 R ;

r : [0; 1]

r (t) = 1; 2; t2

5.1.5 OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LINEA

Supongamos que representa un alambre …no de densidad variable y que la densidad está de…nida por un campo escalar f siendo f (x; y; z) la unidad de masa por unidad de longitud en el punto (x; y; z) de . La masa total M del alambre queda representada por:

C

C

M =

Z

f (x; y; z) ds

C

69


5/14/2018


El centro de gravedad del alambre es el punto (x; y; z) cuyas coordenadas están dadas por:

Z

Z

Z

1 1 1 x= xf (x; y; z) ds; y = yf (x;y;z) ds; z = zf (x; y; z) ds; M C M C M C

5.1.6 INTEGRALES DE LINEA SOBRE CURVAS CERRADAS. INTEGRAL DE LINEA DE UN GRADIENTE. INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA. Para f

2 C 1 [a; b], se tiene

Z

b

f 0 (x) dx = f (b)

a

2o T.F. del C.

 f (a)

Extendemos ahora este teorema a integrales de línea. Teorema.-(2o teorema fundamental del cálculo para integrales de línea) 1 Sea f (S ), S Rn abierto. Sea f el gradiente de f . Sean A y X dos puntos en S que pueden unirse por una curva seccionalmente suave . n Si es representada por r : [a; b] R con r (a) = A y r (b) = X , entonces

2C



 ! ! !C

r

! ! ! !  ! ! rf  ! dr = f X  f A C !r (t)). Se tiene: Demostración.- Consideremos F : [a; b] ! R , F (t) = f ( ! F 0 (t) = (f r)0 (t) (t) = f ( r (t)) r0 (t) (R. de la C.)  r !   ! !r (b))  f (!r (a)) = f ! F 0 (t) dt = F (b)  F (a) = f ( X  f A !

C

Z

  n

Z Z r  ! Z r ! Z !  !

  !  !

b

a

Por lo tanto

b

C

a

Ejemplo- Calcular

Z

b

 !

f ( r (t)) r0 (t) dt =

f dr =

F 0 (t) dt = f X

a

!

F dr, donde F (x; y; z) = (yz;xz;xy) y

C

f A

C es cualquier



curva seccionalmente suave que une el punto (1; 1; 2) con ( 1; 3; 1) en ese orden.

!

Ejercicio.-Lo mismo para F (x; y; z) = y 2 ; 2xy; 0 y es la intersección de 2 2 2 2 las super…cies xy + z = y z con x + y = xyz + 1, desde el punto (1; 0; 0) hasta el punto (0; 1; 1).





C

70


5/14/2018


. Observación.-

!

n n 1. Sea F : S R R un campo vectoria continuo. Diremos que la integral de línea de F es independiente del camino en S si dadas dos curvas contenidas en S , 1 y 2 , con puntos extremos comunes, se tiene:



!!

C C ! ! F  ! ! F  dr = dr.

Z

Z

C

C

1

2

2. La integral de línea de un gradiente es cero alrededor de una curva cerrada.

!

3. Supongamos que el campo de fuerzas F es el gradiente de un potencial, es decir, F = f . El trabajo realizado por F al mover una partícula desde A hasta X a lo largo de cualquier curva es f X f A . En mecánica se demuestra que este trabajo es también igual al cambio de energía cinética de la partícula. Si designamos por k X la energía

! r ! !

!

!

C

 ! ! ! X  f A , o A  f ! ! A

!

!   

cinética de la partícula. cuando está situada en X , el teorema nos da:

!  !     !  !       !

k X

k A

= f

k X

f X

= k

El campo escalar

( )



!

f X se llama energía potencial de la partícula. Si A

 ! !



se mantiene …jo y X va cambiando de posición en S , la ecuación ( ) dice que la suma de k X y f X es constante. En otras palabras, si un campo de fuerzas es un gradiente, la suma de las energías cinética y potencial es constante. En mecánica esto se llama principio de conservación de la energía.

!

   

! r 

4. Un campo de fuerzas con función potencial F = f se llama conservativo porque la energía total, cinética más potencial se conserva. 5. En un campo conservativo, no se realiza trabajo alguno al mover una partícula a lo largo de una curva cerrada volviendola al punto de partida. 6. Un campo de fuerzas no será conservativo si existe en el sistema fricción o viscosidad ya que estas tienden a convertir energía mecánica en energía calórica.

!

7. Si F es un campo vectorial independiente del camino (trayectoria) se

Z !  ! ! B

 ! ! ! F  dr).

escribe ! A F dr para la integral de línea de F a lo largo de cualquier curva

! C seccionalmente suave de ! A a B (

Z C

71


5/14/2018


!

C

8. Sea F un campo vectorial continuo sobre S y sea una curva cerrada en S , con punto inicial y terminal A . Si se cambia el punto inicial y terminal por B , la integral de línea de F no cambia.

 ! !

!

. Proposición.- Sea F un campo vectorial continuo sobre D. Entonces

!

Z

!  ! ! F es independiente de la trayectoria en D () F  dr = 0, para C

cualquier curva seccionalmente suave y cerrada en D. Indicación para la demostración.(= )Sea una curca cerrada seccionalmente suave contenida en D. Sean A y B dos puntos de .

C

)

C

C

C1 y punto terminal de C2. C2 y punto terminal de C1. !  ! ! ! ! ! F  dr + F  dr = F  dr 

A: punto inicial de B: punto inicial de

Z !  ! Z F dr =

C

C

1

Z C

2

(

C

1

es independiente de la trayectoria. ( =) Sean …nal B.

Z

Z !  !

!

F dr = 0, ya que F

C

2

C1 y C2 dos curvas con el mismo punto inicial A e igual punto

C = C1 + (C2) es una curva cerrada seccionalmente suave.

Z !  ! Z !  ! Z !  ! Z !  ! Z !  !

C F dr = C F dr + C F dr = 0 1

Por lo tanto,

2

F dr =

C

F dr

C

1

2

72


5/14/2018


!

Esto prueba que F es independiente de la trayectoria.



De…nición.- Sea D Rn , se dice que: D es conexo Dados dos puntos de D, estos pueden unirse por una curva seccionalmente suave contenida en D.

()

Teorema Fundamental para Integrales de Línea.-

!

!

n Sea F : D Rn R , F = (F 1 ; F 2 ; :::::::; F n ) un campo vectorial continuo sobre el abierto conexo D. Son equivalentes:



!

!

a) La integral de línea de F es independiente de la trayectoria sobre D.

! rf .

b) Existe un campo escalar f de…nido sobre D tal que F = c)

Z !  ! C

F dr = 0 para cualquier curva cerrada en D.

1

. Observación.-

1. Para una demostración parcial ver la proposición anterior

!

!

2. La integral de línea de F es independiente de la trayectoria ssi F tiene un potencial. Una forma de encontrar el potencial consiste en hallar un campo escalar f : D Rn R tal que @f @f @f . f = @x ; @x ; ::::::; @x = (F 1 ; F 2 ; :::::::;F n ); n @f @f es decir, se debe encontrar f tal que F 1 = , F 2 = , ..............., @x @x 1 2 @f F n = . @x n



r

!

1



2

! rf , entonces ! F se llama conservativo. ! ! 4. Sea F : D  R3 ! R3 , D abierto y F diferenciable, ! ! ! rotor de F (en notación rot F o r  F ) por: 3. Si F =



r  ! F =

 b b b      i

j

k

@ @x

@ @y

@ @z

f 1

f 2

f 3

se de…ne el

r  ! !0 , entonces ! F =  F se llama irrotacional. !  ! 6. Sea F : D  R ! R , F = (F 1 ; F 2 ; :::::::;F ) de clase C 1 sobre el ! @F  @F  abierto conexo D. Si F es conservativo, entonces (! x) = (! x ); 5. Si

n

n

n

i

j

@x j

@x i

73


5/14/2018


! 2

i = 1; 2; ::::::; n, x D. En particular si n = 3 y F = (P ; Q; R), se tiene:

!

@P @Q @Q @R @R @P = ; = ; = @y @x @z @y @x @z

!

r  ! F = 0

y

C 1 (D) con D abierto conexo, entonces ! ! F conservativo =) F irrotacional

Luego si F es de clase

(el recíproco es falso)

! !

De…nición.- Sea S Rn , si dados A y B en S , el segmento que los une pertenece al conjunto S , entonces S se llama convexo.



!

3 Teorema.- Sea D R abierto convexo y sea F un campo vectorial de clase 1 (D). Entonces

C

 F es un gradiente () r ! ! ! F = 0 Demostración.- (=)) Observación 5. ((=) Ver ”Calculus” de Apostol página 375. Observación.7. Si D

 R3 es abierto convexo y ! F 2 C 1 (D), entonces ! @P @Q @Q @R @R @P F es un gradiente () = ; = ; = @y

@x @z

@y @x

@z

 R2 es abierto convexo y ! F 2 C 1 (D), entonces ! @P @Q F es un gradiente () = @y @x ! ! ! Ejemplo.- Evalue F  dr, donde F (x; y; z) = 2y + z 2 ; 2x; 2xz y C es C la intersección de las super…cies z = x2 + y 2 , x  0 con z = 4 recorrida en

8. Si D

Z





sentido antihorario vista desde la parte superior del eje z. Ejercicio.-Evalue

Z

ydx + (z cos yz + x) dy + y cos yzdz, donde

C

tersección de las super…cies z = x2

C es la in-

 y3 con z = x + y2 medido desde el



punto (0; 0; 0) hasta el punto (1; 1; 2).

5.1.7 TEOREMA DE GREEN De…nición.- Sea D R2 . Se dice que D es simplemente conexo si dada cualquier curva cerrada contenida en D, su interior también pertenece a D.



74


5/14/2018


Observación.-Intuitivamente D es simplemente conexo si no tiene perforaciones. Teorema (de Green).- Sea D R2 simplemente conexo. Sean una curva sim1 ple cerrada y secionalmente suave contenida en D. Consideremos P; Q (D). Entonces @Q @P P dx + Qdy = d (x; y) , @x @y C



C

I

ZZ  I C





R

donde R es la región limitada por

y

2C

indica que la integral sobre la curva

C

C es recorrida en el sentido positivo (o antihorario). ! ! ! y ; Ejemplo.- Calcular F  dr donde F (x; y) = cerrada

x y es el + + y2 rombo de vértices (2; C0), (0; 2), (2; 4), (4; 2) recorrida en sentido antihorario. x2

Z

Ejercicios.-

!

y2

C

x2







1. Lo mismo para F (x; y) = x2 y; x + y y por el grá…co

2. En los ejercicios anteriores calcule



C = C1 + C2 + C3 + C4, es dada

I !  !

F dr sin usar el Teorema de Green.

C

. Proposición.- Sea R una región acotada por una curva seccionalmente suave simple cerrada , entonces el área de R es:

C

a rea (R) =

Z

1 xdy 2 C

 ydx. !

Demostración.- Basta aplicar el Teorema de Green a la función F = (P; Q), con P (x; y) = y y Q (x; y) = x.



2 3

2 3

Ejercicio.- Calcular el área de la astroide x + y = 1.

75


5/14/2018


. Teorema de Green (para dominios multiplemente conexos) Sea una curva simple cerrada seccionalmente suave en R2 . Sean 1 , 2 , ........, k curvas simples cerradas seccionalmente suaves al interior de que no se intersecten y tal que i está al exterior de j para i = j. Sea R la región formada por la reunión de con la porción al interior de que no sea interior a las curvas 1 , 2 , ........, k . Sea F = (P; Q) un campo vectorial de clase 1 (R). Entonces

C

C

C

C

C C

!

C

I !  !  X I !  ! ZZ  k

F dr

F dr =

C

j =1

C

j

6

C

C C

C

C

C

@Q @x



@P @y

R



d (x; y) .

Demostración.- Para k = 2.

Practicamos los cortes AB y CD como se indica en la …gura.

C C

Sea  1 la curvaAB consistente las mitades superiores de y 1 (1 y 3 ) y los dos segmentos y CD (en 2 y 4 ). Llamamos  2 a la curva formada por las mitades inferiores de y 1 (5 y 6 ) y los segmentos BA y DC ( 2 y 4 ). Se tiene: @Q @P @Q @P d (x; y) = d (x; y) + @x @y @x @y

ZZ 



R



C C

ZZ 





R1





ZZ    I I ! ! ! ! ! ! ! ! Z !  ! Z !  ! Z Z !  ! Z Z !  ! Z !  ! Z !  ! Z !  ! Z !  ! @Q @x

+

@P @y

d (x; y) =

R2

=

(P dx + Qdy) +

 1

=

F dr +

1

+

F dr +

5

F dr +



2

(P dx + Qdy), (s.c.)

 2

F dr +

2

F dr +

6

F dr +

3

F dr +



4

F dr +

1

4

+

F dr+

6

F dr +

3

Para k > 2, se prueba por inducción.

F dr+

F dr

5

76


5/14/2018


 ! ! F dr si C  y ; x

Ejemplos.- Calcular

 ! 1. F (x; y) = (2; 0), (0; ! 2. F (x; y) =

 I 

C C

y es el rombo de vértices (2; 0), (0; 2), x2 + y 2 x2 + y2 2) recorrida en sentido antihorario.



x+y x y ; y es la circunferencia de ecuación x2 + y 2 x2 + y2 x2 + y 2 = 4 recorrida en sentido antihorario.

5.2 Integrales de super…cie 5.2.1 Super…cies en Rn De…nición.-Se llama super…cie en

n

R

a cualquier conjunto de puntos

(x1 ; x2 ;::::;xn ) tales que

8>> <> > :

.

x1 = f 1 (u; v) x2 = f 2 (u; v) : : : xn = f n (u; v)

n

2R

con u

2 [a; b] , v 2 [c; d]

llamadas ecuaciones paramétricas de la super…cie. f 1 ; f 2 ; :::::;f n son funciones continuas. Los símbolos u y v se llaman parámetros. En otras palabras una super…cie S en R3 es un subconjunto de R3 para el cual 2 3 existe una función continua f : D R R tal que S = recf . f se llama representación paramétrica o parametrización de la super…cie.



!

Super…cies paramétricas Suaves De…nición.- sea  : D si veri…ca:

 R2 ! R3, se dice que  es una función paramétrica suave

i) D es cerrado y acotado en R2 y F rD está formada por una cantidad …nita de curvas cerradas simples seccionalmente suaves. 1

ii)  es de clase

8

C

(D) y

(u; v)



2D



N (u; v) =

@ (u; v) @u

 @ (u; v) 6 = (0; 0; 0) . @v

N (u; v) se llama producto vectorial fundamental y es un vector normal a la super…cie. 77


5/14/2018


6

iii)  (u; v) =  (u1 ; v1 ) cuando (u; v)

8

iv) ( (u0 ; v0 )

2 F rD) (

u;v )

N (u; v)

lim

!(u



2 D; (u1; v1) 2 D y (u; v) 6= (u1; v1).

0

;v0 )

kN (u; v)k existe:

. De…nición.- Se dice que S R3 es una super…cie suave si existe una función 3 paramétrica suave  : D R2 R tal que S = rec ().





!

Observación.- Sea S una super…cie suave de :D

2

Sea (u0 ; v0 )

3 R

parametrizada por

 R2 ! R3.



D, entonces el plano tangente a la super…cie S en el punto @ @  (u0 ; v0 ) queda determinado por los vectores T u = (u0 ; v0 ) y T v = (u0 ; v0 ). @u @v El vector N (u0 ; v0 ) = T u T v = 0 es normal a S , y la ecuación del plano tangente a la super…cie en (u0 ; v0 ; z0 ) esta dada por

!

 6

! N (u0 ; v0 )  (u  u0 ; v  v0 ; z  z0 ) = 0 De…nición.- Dos funciones paramétricas suaves

 R2 ! R3 y 2 : D2  R2 ! R3 son equivalentes si existe G : D1 ! D2 biyectiva de clase C 1 tal que 6 0 y 1 = 2  G. (8x 2 D) jJ Gj = 1 : D1

x

Observación.- Dos funciones paramétricas suaves equivalentes representan la misma super…cie ya que G es biyectiva. De…nición.- Sea S una super…cie suave. Se llama frontera de S al conjunto @S de todos los puntos x0 S tal que

2

2

8

( " > 0) V " = x

3 R

 S : kx  x0k < "

Ejemplo.- Describa la frontera de: 1. z = x2 + y2 ; 0

z4 2. x2 + y 2 + z 2 = a2 ; z  0 3. 4 + 9 = 1; 0  z  1 4. x2 + y 2  a2 ; 1  z  4 x2

y2

5.x2 + y 2



es conexo

 a2; z = 1

6.x2 + y 2 + z 2 = a2 7. x2 + z 2

 9, con y = 1

8. z 2 = x2 + y 2 ; z < 1

9. la porción de la esfera de ecuación x2 + y 2 + z 2 = 16 al interior del cono de ecuación z = x2 + y2 .

p

78


5/14/2018


10. la super…cie formada por x2 + y2 = 1; 0 y x2 + z 2 1, para z = 4.

 z  4; x2 + z2  1, para z = 0



Se pide también parametrizar y encontrar el producto vectorial fundamen@ @ tal N = @u @v



. De…nición.- Una super…cie se dice cerrada si @S = . De…nición.- Sean S 1 ; S 2 ; ::::::; S k super…cies suaves con frontera @S 1 ; @S 2 ;::::::;@S k respectivamente. Si cada super…cie intersecta al menos una de las otras en una curva seccionalmente suave, diremos que las super…cies S 1 ; S 2 ; ::::::; S k forman una super…cie seccionalmente suave con secciones suaves S 1 ; S 2 ; ::::::; S k y escribimos S = S 1 + S 2 + :::::: + S k . Ejemplos.1. La super…cie cerrada formada por: x2 + y 2 = 1 con 0 z 4; x2 + y 2 para z = 0; x2 + y 2 1 para z = 4 es seccionalmente suave.

 



1

2. La esfera:x2 + y 2 + z 2 = 4 es seccionalmente suave. 3. La super…cie formada por: z = x2 + y 2 ; 0 es seccionalmente suave.

 z  4 y x2 + y2 = 4; 4  z  6

. De…nición.- Una super…cie suave S se dice que es orientable, si tiene una repre-



!

R3 tal que si sentación  : D R2 @ @ . N (u; v) = (u; v) (u; v) @u @v entonces N (u; v) N (u; v) lim = lim donde (u0 ; v0 ) ; (u1 ; v1 ) son pun(u;v)!(u ;v ) N (u; v) (u;v)!(u ;v ) N (u; v) tos de @D tal que  (u0 ; v0 ) =  (u1 ; v1 ). 0

0

k

k



1

1

k

k

Observación.1. La idea intuitiva de una super…cie orientable es: "En cada punto de una super…cie existen dos vectores normales cuyas direcciones son opuestas, una super…cie es orientable si es posible escoger un vector normal en cada punto que no esté en la frontera tal que este vector se mueve o varía continuamente en la super…cie. 2. La cinta de mobius no es orientable. (ver nota aparte). . De…nición.- Sea S orientable y  :

R2

! R3 como en la de…nición anterior. Se 79


5/14/2018


llama orientación de S inducida por  al campo vectorial . n : S R3 tal que si X =  (u0 ; v0 ) S , se tiene 1. (u0 ; v0 )

b2

!

@ 2 D y N (u0; v0) = @ (u0 ; v0 )  (u0 ; v0 ), entonces @u @v o

b

n (X ) =

2. (u0 ; v0 )

b

2 @D : n (X ) = (

u;v)

lim

!(u

N (u0 ; v0 )

kN (u0; v0)k N (u; v) 0 ;v0 )

kN (u; v)k

(este límite existe y es único porque S es orientable). . Observación.1. La orientación de S puede visualizarse dibujando una ‡echa de longitud unitaria n (X ) en cada punto X S .

b

2

2. Aunque una super…cie orientable tiene in…nitas representaciones paramétricas, cada super…cie orientable tiene sólo dos orientaciones posibles. . De…nición.- Sea n una orientación de la super…cie suave S y una curva suave en @S . diremos que está orientada positivamente c/r a n si se veri…ca que: "Una persona que camina sobre con la cabeza en la dirección de n siempre tiene a S inmediatamente a su izquierda". Diremos que @S está orientada positivamente si todas sus curvas suaves están orientadas positivamente.

b

C

bC b

C

80


5/14/2018


Ejemplos.- Sea S la sección del paraboloide z = 4 0 z 3

 x2  y2 acotada por

 

orientación positiva

orientación positiva

no la tiene

De…nición.- Una super…cie seccionalmente suave S = S 1 + S 2 + :::::: + S k se dice que es orientable si sus secciones suaves son orientables y es posible escoger orientaciones n1 ; n2 ; :::::; nk de S 1 ; S 2 ; ::::::; S k tales que si es cualquier curva suave común a @S j y @S j ; i = j, entonces la dirección positiva de c/r a ni es la dirección negativa de c/r a nj .

c c c 6 C

C

C

c

b

Observación.- Una super…cie seccionalmente suave tiene exactamente dos orientaciones, puesto que la orientación escogida para un S i determina las orientaciones para el resto.

5.2.2 Integrales de super…cie En muchos aspectos las integrales de super…cie tienen un tratamiento análogo al de las integrales de línea. La integración se efectua sobre una super…cie en lugar de hacerlo a lo largo de una curva. Integrales de campos escalares 3 De…nición.- Sea S una super…cie parametrizada por  : D R2 R y sea f un campo escalar de…nido sobre S . Se de…ne la integral de super…cie de f sobre S por @ @ f dA = f ( (u; v)) (u; v) (u; v) d (u; v) . @u @v S



Z ZZ D





!



81


5/14/2018


Si S es seccionalmente suave, S = S 1 + S 2 + :::::: + S n , entonces n

Z X Z f dA =

S

Observación.-

f dA

S i

k=1

1. Tal como ocurre con las integrales de línea, se puede demostrar que

Z

f dA

S

es independiente de las parametrizaciones escogidas para S con la condición que sean equivalentes. 2. Una super…cie S dada en forma explícita por z = f (x; y) ; (x; y) puede ser parametrizada por

2 D,

!r : D  R2 ! R3; !r (x; y) = (x; y; f (x; y)) . De…nición.- Se de…ne el área de la super…cie S por: área (S ) = Ejemplo.- Calcule

p

Z

dA

S

Z

f dA donde f (x; y; z) = x2 + y2 y S es la frontera del sólido

S

x2 + y 2

 z  1.

Ejercicios.1. Calcule

x2 + y2 + 1 y S es la helicoide de…nida

f dA donde f (x; y; z) = S

por: .

Z 8< :

p  

x = r cos  0 y = r sin  ; 0 z=



2

r1

2. Calcule el área de la super…cie del ejemplo anterior. . Otras aplicaciones La masa total de una lámina delgada S de un material cuya densidad está dada por  (x;y;z) es



M =

Z

 (x; y; z) dA

S

Su centro de gravedad es el punto (x; y; z) que está determinado por x= 1 xdA y= 1 ydA z= 1 zdA M S M S M S

Z Z Z | {z } | {z } | { z } Z

El valor medio de una función de…nida por g (x; y; z) sobre una super…cie S es: V M =

1 área (S )

gdA

S

82


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Ejercicio.- Si T (x;y;z) = z 2 es una distribución de temperaturas, calcule el valor medio de dichas temperaturas sobre la super…cie S : x2 + y 2 + z 2 = 1;

 12  z.

Algunas propiedades

2

Sea  R y sean g y h campos escalares de…nidos sobre la super…cie seccionalmente suave S . Entonces (a)

Z Z

Z

gdA = 

S

(b)

gdA

S

(g + h) dA =

S

(c) Si h (d) Si h

Z Z Z  Z  Z gdA +

S

hdA

S

 0 sobre S , entonces

S

 g sobre S , entonces

S

hdA

0

hdA

gdA

S

Demostración.- (a), (b) y (c) directamente de la de…nición. (d) se deduce de (c) aplicado a f = h . Integrales de campos vectoriales

 g  0.

!

De…nición.- Sea F un campo vectorial continuo sobre la super…cie suave orientable S y supongamos que n es una orientación de S . Entonces la integral de

!

super…cie de F

Z !  !b Z !  ! Z ! b F d S

se de…ne por:

S

F d S =

S

Observación.-

b

F ndA

S

1. Si n es el vector normal inducido sobre S por la representación paramétrica @ @ (u; v) (u; v) N @u @v 3  : D R2 R , entonces n = = y @ @ N (u; v) (u; v) @u @v



!

!  !  ! ! F   N d (u; v) = ! @ @  = F 

Z ! b Z ! b !b  Z Z    F ndA =

S

F n

N d (u; v) =

D

D

D

@u

@v

d (u; v)

83


5/14/2018


2. Físicamente la integral de super…cie S de un campo vectorial representa la masa total del ‡ujo F que atraviesa la super…cie S por unidad de tiempo

!

!

b

en la dirección del vector normal unitario n. (Integral de ‡ujo de F a través de S en la dirección de n).

b

3. Si S = S 1 +S 2 +::::::+S k es una super…cie seccionalmente suave orientable y S j tiene orientación nj ; j = 1; 2;::::;k se de…ne:

cZ X Z ! c ! b  k

F ndA =

S

4. Si n1 =

F nj dA

j =1

S j

n es el vector normal unitario con dirección opuesta, entonces

c b Z Z ! c Z ! b !  b ! Z !  b ! b S F


n1 dA =

S F

ndA

F ndA si F (x; y; z) = (x;y; 0) y S es la semiesfera

S

de…nida por: x2 + y 2 + z 2 = 1; z Ejercicio.- Calcular

0 y n es el vector normal exterior a S .

F ndA si F (x; y; z) = (x; y; z) y S es el cilindro con

S

fondo en el plano xy sin tapa de…nido por: x2 + y 2 = 1; 0 exterior.

 z  4 con normal

Otras notaciones

Z !  b

Sea S una super…cie seccionalmente suave parametrizada por  =  (u; v) y n la orientación inducida por . Supongamos que F ndA existe. Sea

b!

S

F = (P;Q;R) y  (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v) ; z (u; v)). Se tiene: @ @ @ (y; z) @ (z; x) @ (x; y) . = i+ j + k @u @v @ (u; v) @ (u; v) @ (u; v) Luego, @ @ F ndA = F ( (u; v)) d (u; v) = @u @v S

b b b Z ! b ZZ !     

D

=

P ( (u; v))

@ (y; z) @ (z; x) @ (x; y) + Q ( (u; v)) + R ( (u; v)) d (u; v) @ (u; v) @ (u; v) @ (u; v)

D

ZZ  Z ! b Z

Notación.-

F ndA =

S

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy

S



84


5/14/2018


5.2.3 Teorema de Gauss. Teorema de Stokes Teorema.- (de la divergencia o de Gauss) Sea D una región de R3 y acotada por una super…cie seccionalmente suave S . Sea F un campo vectorial de clase 1 (D). Si n es una normal exterior a S , entonces

!

b

C ! ! ! div F (x; y; z) d (x; y; z), donde div F = r  F .

Z ! b ZZZ F ndA =

S

D

Demostración.- Ver Apostol página 374. Teorema.- (de Stokes) Sea S R3 una super…cie seccionalmente suave orientable cuya frontera es una curva seccionalmente suave cerrada orientada positivamente c/r a S . S es parametrizada por  de clase 1 . F es un campo vectorial de clase 1 sobre un abierto que contiene a S . Entonces



!

.

Z !C b Z !  ! Z r ! b     rot F ndA =

S

C

F d r

@S

Demostración.- Ver Apostol página 384.

F ndA, si S = (x; y; z) : x2 + y 2 + z = 4; 3

Ejemplo.- Evalue

! y F (x; y; z) =

S

2

x +y

4; 3xy; 2xz + z 2 .



z4

1. Usando el teorema de Stokes. 2. Usando el teorema de Gauss.


85


Apunte UdeC - Calculo Diferencial e Integral en Varias Variables

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