Cálculo del interés compuesto Sea C un capital invertido durante n años a una tasa i de interés compuesto por cada año. Durante el primer año el capital C produce un interés I1 = C · i . El capital final será: C1 = C + Ci = C(1 + i) Después del segundo año, el capital C1 produce un interés I2 = C(1+i )·i = C(i + i 2). El capital final C2 será: C2 = C1 + I2 = C (1 + i ) + C (i + i 2) = C (i 2 + 2i + 1) = = C · (1 + i )2 Al cabo de n años el capital inicial C, invertido en la modalidad de interés compuesto se convertirá convertirá en un capital final Cn, Cn = C (1 + i )n Puesto que el interés es la diferencia entre el capital final y el inicial: I = Cn - C = C (1 + i )n - C, y sacando factor común común C:
La tasa de interés se obtiene despejando en la fórmula de Cn: Cn = C (1 + i )n
Aunque la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante n años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc., sin más que convertir éstos a años: Si los periodos de conversión son semestrales, Si los periodos de conversión son trimestrales, Ejercicios: 1. Averiguar en qué se convierte un capital de 1 200 000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %. Resolución: Aplicando la fórmula Cn = C (1 + i )n ? = C( 1 + i )n
C5 = 1 200 000 (1 + 0,08)5 = 1 200 000 · 1,4693280 = 1 763 193,6 El capital final es de 1 763 194 pesos. 2. Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1 583 945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente. semestralmente. Resolución:
Como los intereses se han pagado semestralmente, semestralmente, la fórmula que se ha de aplicar es:
1 583 945 = C (1 + 0,05)14 1 583 945 = C · 1,97993160, y despejando C:
El capital inicial fue de 800 000 pesos. 3. Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1 500 000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2 360 279 pesos. Resolución: · Cn = 2 360 279; C = 1 500 000; n = 4 2 360 279 = 1 500 000 (1 + i )4
1 + i = 1,1199999 i = 1,1199999 - 1 = +0,1199999 0,12 La tasa de interés ha sido del 12 %. Interés compuesto
A lo mejor quieres leer primero la Introducción al interés
Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer periodo, lo sumamos al total, y después calculamos el interés del siguiente periodo, y sigue... así:
Aquí tienes los cálculos para un préstamo de 5 años al 10%: Año
Préstamo inicial
Interés
Préstamo final
0 (Ahora)
$1,000.00
($1,000.00 × 10% = ) $100.00
$1,100.00
1
$1,100.00
($1,100.00 × 10% = ) $110.00
$1,210.00
2
$1,210.00
($1,210.00 × 10% = ) $121.00
$1,331.00
3
$1,331.00
($1,331.00 × 10% = ) $133.10
$1,464.10
4
$1,464.10
($1,464.10 × 10% = ) $146.41
$1,610.51
5
$1,610.51
Como ves, es fácil calcular si vas paso a paso. Calcula el interés (= "préstamo inicial" × tasa de interés) Suma el interés al "préstamo inicial" para calcular el "préstamo final" del año El "préstamo final" del año es el "préstamo inicial" del año siguiente Una tarea simple, con muchos cálculos. Pero hay maneras más rápidas, siendo listos con las matemáticas. Hagamos una fórmula Vamos a hacer una fórmula para lo de arriba... empezamos mirando el primer año: $1,000.00 + ($1,000.00 × 10%) = $1,100.00 • • •
Lo podemos reescribir así:
Así que sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10
Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal dividiendo entre 100: 10% = 10/100 = 0.10 , lee Porcentajes para saber más. Así que ahora es todo en un paso: •
Multiplica el "préstamo inicial" por (1 + tasa de interés) para calcular el "préstamo final"
(¡Pero recuerda que primero hay que poner la tasa de interés en decimal! 0.10, no 10%)
Con un simple cálculo vemos que el resultado es el mismo: $1,000 + ($1,000 x 10%) = $1,000 + $100 = $1,100 es lo mismo que:
Ahora viene la magia... ... ¡la misma fórmula vale todos los años!
$1,000 × 1.10 = $1,100
· Podemos calcular el año siguiente así: $1,100 × 1.10 = $1,210 · Y seguimos otro año más: $1,210 × 1.10 = $1,331 · etc... Así es como funciona:
De hecho podemos ir directamente desde el principio hasta el año 5, multiplicando 5 veces:
$1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = $1,610.51 Pero es más fácil escribir las multiplicaciones usando exponentes (o potencias) así:
La fórmula Hemos usado un ejemplo real, pero podemos hacerlo en general con letras en vez de números, así:
(¿Ves que es lo mismo? Antes teníamos PV = $1,000, r = 0.10, n = 5, y FV = $1,610.51) Esta es la fórmula bá sica para el interés compuesto. Apréndetela, es muy útil. Ejemplos
¿Qué tal unos ejemplos...? ¿Y si el préstamo fuera de 15 años? ... sólo tienes que cambiar el valor de "n":
... ¿y si el préstamo fuera de 5 años, pero la tasa de interés fuera sólo del 6%? Queda así:
¿Has visto cómo hemos puesto el 6% en su sitio? ... ¿ y si fuera de 20 años al 8%? ... ¡esa la calculas tú! Calcular "al revés" para encontrar el valor presente Digamos que tu objetivo es tener $2,000 dentro de 5 años. Te dan un 10% en el banco, así que ¿cuánto tienes que poner al principio?
Es decir, conoces el valor futuro, y quieres conocer el valor presente . Sabemos que si multiplicamos un valor presente (PV) por (1+r)n nos da el valor futuro (FV), así que podemos volver atrás dividiendo:
Así que la fórmula es: PV = FV / (1+r)n
Y podemos calcular la respuesta del problema: PV = $2,000 / (1+0.10) 5 = $2,000 / 1.61051 = $1,241.84 O sea, $1,241.84 crecerán hasta $2,000 si los invertimos al 10% durante 5 años. Otro ejemplo: ¿Cuánto tienes que invertir ahora para tener $10,000 dentro de 10 años al 8% de interés?
PV = $10,000 / (1+0.08)10 = $10,000 / 2.1589 = $4,631.93 Así que $4,631.93 invertidos al 8% durante 10 años dan $10,000 Periodos de interés compuesto El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual deberían decirlo!
Ejemplo: tomas prestados $1,000 durante 12 meses y dicen " 1% al mes", ¿cuánto tienes que devolver? Sólo tienes que usar la fórmula del valor futuro con "n" el número de meses: FV = PV × (1+r) n = $1,000 × (1.01)12 = $1,000 × 1.12683 = $1,126.83 a devolver También se puede tener interés anual pero varias veces en el mismo año, lo que se llama Composición periódica. Por ejemplo, 6% de interés "compuesto mensualmente" no quiere decir 6% cada mes, sino 0.5% al mes (6% entre 12 meses), y se calcularía así: FV = PV × (1+r/n) n = $1,000 × (1 + 6%/12) 12 = $1,000 × (1.005)12 = $1,000 × 1.06168... = $1,061.68 a devolver Esto es lo mismo que un 6.168% durante un año ($1,000 se han convertido en $1,061.68). ¡Así que ten cuidado con los significados! TAE Como es fácil confundirse cuando lees un anuncio (¡a veces lo hacen a propósito!), se suele usar el "TAE". TAE quiere decir "Tasa Anual Equivalente" ... te dice lo que vas a sacar en realidad cada año (incluyendo el compuesto, costes, etc.) En este anuncio parece que es 6.25%, pero en realidad es 6.335% Aquí hay más ejemplos: Ejemplo 1: "1% al mes" en realidad es TAE 12.683% (si no hay costes). Y: Ejemplo 2: "6% de interés compuesto mensualmente" en realidad es TAE 6.168% (si no hay costes). Si estás buscando hacer negocios, pregunta por el TAE. ¡Un respiro! Hasta ahora hemos usado (1+r)n para ir de un valor presente (PV) a un valor futuro (FV) y al revés, además hemos visto algunos de los trucos que te puedes encontrar en un préstamo. Ahora tómate un descanso antes de seguir con los dos temas siguientes: Cómo calcular la tasa de interés si conoces el PV, el FV y el número de periodos Cómo calcular el número de periodos si conocemos el PV, el FV y la tasa de interés • •
Calcular la tasa de interés Puedes calcular la tasa de interés si sabes el valor presente, el valor futuro y cuántos periodos son. Ejemplo: tienes $1,000, y quieres tener $2,000 en 5 años, ¿qué tasa de interés te hace falta? La fórmula es: r = ( FV / PV )1/n - 1
Nota: el pequeño "1/n" es un exponente fraccionario , primero calcula 1/n y luego úsalo como exponente en la calculadora. Por ejemplo 2 0.2 lo calcularíamos así: 2, "x^y", 0, ., 2, =
Ahora "metemos" los valores para tener el resultado: r = ( $2,000 / $1,000 ) 1/5 - 1 = ( 2 )0.2 - 1 = 1.1487 - 1 = 0.1487 Y 0.1487 en porcentaje es 14.87% , Así que te haría falta una tasa de interés del 14.87% para que $1,000 se convirtieran en $2,000 en 5 años. Otro ejemplo: ¿Qué tasa de interés te hace falta para que tus $1,000 se conviertan en $5,000 en 20 años? r = ( $5,000 / $1,000 )1/20 - 1 = ( 5 )0.05 - 1 = 1.0838 - 1 = 0.0838 Y 0.0838 en porcentaje es 8.38%. Así que un 8.38% convertirá tus $1,000 en $5,000 en 20 años. Calcular el número de periodos Puedes calcular cuántos periodos son si sabes el valor presente, el valor futuro y la tasa de interés.
Ejemplo: quieres saber cuántos periodos necesitas para que tus $1,000 se conviertan en $2,000 al 10% de interés. Esta es la fórmula (nota: usa el logaritmo natural ln): n = ln(FV / PV) / ln(1 + r)
La función " ln" debería de estar en tu calculadora si es de las buenas. También hay log , no las confundas.
En fin, vamos a "meter" los valores: n = ln( $2,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.10 ) = ln(2)/ln(1.10) = 0.69315/0.09531 = 7.27 ¡Magia! Dentro de 7.27 años tus $1,000 serán $2,000 al 10% de interés. Otro ejemplo: ¿Cuántos años hacen falta para que $1,000 se hagan $10,000 al 5% de interés?
n = ln( $10,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19 ¡47 años! Pero es que estamos hablando de multiplicar el dinero por 10, sólo al 5% de interés. Calculadora He hecho una Calculadora de interés compuesto que usa estas fórmulas, por si te interesa. Resumen La fórmula básica para el interés compuesto es: Para calcular el valor futuro, donde: FV = PV (1+r)n FV = valor futuro, PV = valor presente, r = tasa de interés (en decimal), y n = número de periodos Y manipulando la fórmula (lee Derivación de la fórmula del interés compuesto ) podemos calcular cualquier valor si sabemos los otros tres: • • • •
Calcular el valor presente si sabemos el valor futuro, la tasa de interés y el número de periodos. Calcular la tasa de interés si sabemos el valor presente, el valor futuro y el número de periodos. Calcular el número de periodos si sabemos el valor presente, el valor futuro y la tasa de interés.
PV = FV / (1+r)n r = ( FV / PV )1/n - 1 n = ln(FV / PV) / ln(1 + r)
Interés (introducción)
Interés: cuánto se paga por usar dinero (en porcentaje, o una cantidad)
El dinero no lo prestan gratis El dinero siempre se puede usar para una cosa u otra, así que hay que pagar cuando se toma dinero prestado. ¿Cuánto cuesta tomar dinero prestado? ¡Se paga distinto en distintos sitios y en momentos diferentes! Pero normalmente funciona así: Un porcentaje (cada año) de la cantidad prestada
Se llama interés Ejemplo: préstamo de $1,000 en el banco
Alex quiere que le presten $1,000. El banco local dice " 10% de interés". Así que tomar prestados esos $1,000 durante 1 año cuesta: $1,000 × 10% = $100
En este caso el "interés" es $100, y la "tasa de interés" es 10% (pero se suele decir "10% de interés" sin decir "tasa")
Alex tendrá que devolver también los $1,000 originales, claro, así que esto es lo que pasa:
Alex toma $1,000 prestado, pero tiene que devolver $1,100 Esta es la idea del interés... pagar por usar dinero.
Nota: aquí el ejemplo es de un préstamo de un año completo, pero normalmente los bancos quieren que devuelvas un poco todos los meses, ¡y además te cobran otros gastos!
Nombres Hay nombres especiales que se usan cuando se toma dinero prestado:
Alex es el prestatario, el banco es el prestamista El principal del préstamo es $1,000 El interés es $100 Nota: la parte importante de la palabra "interés" es inter- que quiere decir entre (el inter- aparece en palabras como interior e intervalo), porque el interés ocurre entre el principio y el final del préstamo. Más de un año... ¿Qué pasa si Alex quiere que le presten dinero durante 2 años? Interés simple
Si el banco cobra "interés simple" entonces Alex sólo paga otro 10% el año siguiente.
Alex paga un interés de ($1,000 × 10%) x 2 años = $200 Así funciona el interés simple... se paga la misma cantidad de interés todos los años. Ejemplo: si a Alex le prestaran el dinero durante 5 años, el cálculo sería así: • Interés = $1,000 × 10% x 5 años = $500 • Más el principal de $1,000, Alex tiene que pagar $1,500 después de 5 años Interés compuesto
Pero un banco podría decir "si me pagaras todo al año, y luego te lo prestara... ¡te estaría prestando $1,100 para el segundo año!"
Y Alex pagaría $110 de interés el segundo año, no sólo $100. Esto es porque Alex está pagando 10% de $1,100 no sólo de $1,000
Te puede parecer injusto... pero imagina que TÚ eres el que le presta dinero a Alex. Después de un año pensarías: "Ahora Alex me debe $1,100, y todavía está usando mi dinero, ¡yo tendría que recibir más interés!"
Y esta es la manera normal de calcular intereses. Se llama compuesto. En el interés compuesto primero calculas el interés del primer periodo, lo sumas al total, y después calcula el interés del siguiente periodo, y sigue... así:
Si lo piensas... es como pagar interés por el interés. Porque si después de un año Alex debe $100 de interés, el banco lo considera otro préstamo y cobra interés por él. Después de unos años puede aumentar muchísimo. Esto es lo que pasa con un préstamo de 5 años: Año
Préstamo inicial
Interé
Préstamo final
0 (Ahora)
$1,000.00
($1,000.00 × 10% = ) $100.00
$1,100.00
1
$1,100.00
($1,100.00 × 10% = ) $110.00
$1,210.00
2
$1,210.00
($1,210.00 × 10% = ) $121.00
$1,331.00
3
$1,331.00
($1,331.00 × 10% = ) $133.10
$1,464.10
4
$1,464.10
($1,464.10 × 10% = ) $146.41
$1,610.51
5
$1,610.51 Así que después de 5 años Alex tendría que devolver $1,610.51 Y el interés del último año es $146.41 ... ¡mira qué rápido crece!
(Compáralo con el interés simple de $100 al año) ¿Qué es el año 0?
El año 0 es el año que empieza cuando "nace" el préstamo, y termina justo antes del primer cumpleaños. Así que el principio del año 1 es el "primer cumpleaños". Así vemos que el principio del año 5 es exactamente cuando el préstamo cumple 5 años. En resumen:
Para calcular el interés compuesto, calcula el interés del primer periodo, súmalo, calcula el interés del siguiente periodo, etc. (Hay maneras más rápidas, te las explicamos en Interés compuesto) ¿Porqué tomar prestado? Bueno... a veces uno quiere comprar alguna cosa. Pero ya has visto que te puede salir muy caro pagar el préstamo. Pero si tienes un negocio puedes usar el dinero para ganar todavía más dinero. Ejemplo: negocio de pollos
Te prestan $1,000 para abrir un negocio de pollos (comprar polluelos, comida para pollos y cosas así). Un año después vendes las gallinas por $1,200. Devuelves $1,100 al banco (los $1,000 originales más 10% de interés) y te quedan $100 de beneficios. ¡Y has usado el dinero de otro para eso!
Pero... recuerda. ¿Qué pasaría si sólo los vendieras por $800? ... Todavía tendrías que devolver al banco $1,100 así que tendrías una pérdida de $300.
Inversión ¡El interés compuesto puede funcionar a tu favor! Una inversión es cuando pones dinero en un sitio donde puede crecer, como un banco o un negocio. Si inviertes dinero con una buena tasa de interés, puede crecer muy bien. Esto es lo que hace un 15% de interés sobre $1,000: Año
Préstamo inicial
Interés
Préstamo final
0 (Ahora)
$1,000.00
($1,000.00 × 15% = ) $150.00
$1,150.00
1
$1,150.00
($1,150.00 × 15% = ) $172.50
$1,322.50
2
$1,322.50
($1,322.50 × 15% = ) $198.38
$1,520.88
3
$1,520.88
($1,520.88 × 15% = ) $228.13
$1,749.01
4
$1,749.01
($1,749.01 × 15% = ) $262.35
$2,011.36
5
$2,011.36 ¡Se dobla y más todavía en sólo 5 años!
Claro que tendrías suerte si encuentras una inversión segura al 15% ... pero ya ves el poder del interés compuesto. El gráfico de tu inversión sería así:
A lo mejor no tienes $1,000, pero si pudieras ahorrar $200 cada año durante 10 años al 10% de interés, tu dinero crecería así:
¡$3,506.23 después de 10 años! Por 10 años de $200 cada uno.
