Elementos del interés compuesto
Componentes del Interés Compuesto: El interés, es la cantidad de dinero cobrado o pagado por el uso del capital durante todo el tiempo. El capital, es el monto de dinero inicial, prestado o depositado más los intereses generados en los períodos anteriores. La tasa, es la cantidad de dinero que se paga o se cobra por cada 100 en concepto de interés; también llamada tanto por ciento. El tiempo, durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y genera intereses. La capitalización, es el elemento que lo diferencia de interés compuesto y representa al número de veces al año que se reinvertirán los intereses al capital. Está representado por la letra m minúscula, y su número se determinará por la siguiente tabla:
Problemas de interés compuesto
PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERES COMPUESTO
1.
¿Cuál es la tasa de interés por periodo de:
a)
30% anual capitalizable mensualmente?
b)
16% anual capitalizable trimestralmente? trimestralmente?
c)
2% trimestral?
d)
15% anual?
SOLUCIONES
SOLUCION Para conocer la tasa de interès por periodo se divide la tasa anual entre la frecuencia de conversión: a) 30% anual capitalizable mensualmente mensualmente Tasa anual = 30%
Frecuencia de conversión = 12
i
tasa de interès anual
frecuencia de conversiòn
0.30
12
0.025
i = 2.50% mensual
b) 16% anual capitalizable trimestralmente Tasa anual = 16% Frecuencia de conversión = 4
i
tasa de interès anual
frecuencia de conversiòn
0.16
4
0.04
0.02
i = 4% trimestral
c) 2% trimestral periodo = trimestre Tasa anual = 2% x 4 = 8% Frecuencia de conversión = 4
i
tasa de interès anual
frecuencia de conversiòn
i = 2% trimestral
0.08
4
d) 15% anual Tasa anual = 15% Frecuencia de conversión = 1
i
tasa de interès anual
frecuencia de conversiòn
0.15
1
0.15
i = 15% anual
2.
¿Cuál es la frecuencia de conversión de los ejemplos del problema anterior?
a)
30% anual capitalizable mensualmente?
SOLUCION Periodo = mes Frecuencia de conversión = 12 b)
16% anual capitalizable trimestralmente?
SOLUCION Periodo = trimestre Frecuencia de conversión = 4
c)
2% trimestral?
SOLUCION Periodo = trimestre Frecuencia de conversión = 4
4. Determine el interés que gana en un año un depósito de $1 000 en: a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual simple. b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple. c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto
semestralmente. d) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible
trimestralmente.
SOLUCION DATOS I ? Plazo = 1 año C = $1,000.00 a) i = 20% anual simple La fórmula que se utiliza es I=Cit porque pide calcular el interés simple: Como el plazo es 1 año, t = 1. I
I
I
Cit
(1,000)(0.20)(1) 200.00
I = $200.00
b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple.
SOLUCION
Se utiliza la fórmula de interés simple, con I = 10% semestral simple y t = 2 semestres: I
I
I
Cit
(1,000)(0.10)(2) 200.00
I = $200.00 c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto
semestralmente. SOLUCION Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el resultado se resta del capital: j = 20% m =2 n = (1) (2) = 2 semestres i
j
20%
m
2
10%
M
1,0001 i
M
1,0001 0.10
M
1,0001.10
M
1,0001.21
M
1,210.00
I
M
I
1,210.00
semestral
n
2
2
C
1,000.00
I = $210.00
0.10
semestral
Problema donde se calcula el tiempo de inversión
Ejercicio donde se calcula el interés ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $1000.00, pactado a 18% de interés anual convertible mensualmente? M = 1000 (1+0.015)12M = 1000(1.195618)M = 1195.62ç I = M - CI = 1195.62 - 1000I = 195.62i = I / Ci = 195.62 / 1000i = 0.1956 La tasa efectiva de interés ganada es de 19.56%La tasa equivalente a una tasa anual de 18% convertible mensualmente es de 19.56% convertible anualmente. La relación entre ambas tasa puede verse como sigue: sea i la tasa efectiva de interés, j la tasa de interés nominal, y m el número de periodos de capitalización al año. Se ha estableció que ambas tasas son equivalentes si producen el mismo interés al cabo de un año. Por lo tanto C (1 + i) = C(1 + j/m)mDividiendo ambos miembros de la ecuación entre C, tenemos: (1 + i) =(1 + j/m)m i =(1 + j/m)m - 1Retomado el ejemplo anterior: i = (1 + 0.18 / 12)12 - 1i = (1 + 0.015)12 - 1i = (1.195618) - 1i = 0.195618i = 19.56 % Calcular el monto de $10,000.00 prestados al 8% de interés anual,Durante 9 años capitalizables semestralmente. Datos: Formula: na*mM = ? M = C(1+j/m)C = $10,000.00j = 8% Sustitución: 9*2m = 12 meses/año M =$10,000(1+ 0.08/2)18 na = 9 años M = $10,000(1.04)M = $10,000(2.025)M = $20,250.00EJERCICIOS DE TASA EQUIVALENTE: ¿Cuál es la Tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250,000.00 que se pacta a 18% de interés anual? Y se convierte: a) Mensual Datos: b)Trimestral C = $250,000.00 c)Semestral j = 18% = 0.18m = a) 12 b) 4 c) 2na = 1 DESARROLLO
Se ha establecido que ambas tasas son Equivalentes si producen un mismo interés al cabo de un añoNota: Los números en rojos son potencias.Determinar la tasa nominal i convertible trimestralmente, que produce un rendimiento anual del 40%. En esta caso la tasa de interés efectiva es ya conocida (puede ser la tasa de inflación esperada en Un año), y se desea conocer la tasa nominal j convertible trimestralmente que producirá dicho rendimiento.
Fórmulas para calcular el monto y valor actual de anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas:
Donde:R = Renta o pago por periodoM = Monto o valor en el momento de su vencimiento, es el valor de todos los pagos al final de las operaciones.
n = número de anualidades, periodos o pagos.C = valor actual o capital de la anualidad. Valor total de los pagos en el momento presente. i = tasa de interés efectivam = número de capitalización j = tasa de interés nominal Na = Número de añosSolución de ProblemasMonto Ejercicio 1. Que cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $ 100,000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente.En un diagrama de tiempo y valor lo anterior nos quedaría de la siguiente manera: Al ser una tasa anual convertible mensualmente tenemos:36/100/12 = .03 i = .03 n = 6 Como lo que se trata es de conocer lo que se acumula en un lapso de tiempo (en este caso 6 meses y en lo que existe una cantidad constante "anualidad " a abonarse a la operación) por lo tanto estamos hablando de conocer un monto y en consecuencia la fórmula que utilizaremos es:
Luego tenemos que 100 000 [6.468409] = 646 840.98 Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio de la fórmula de interés compuesto donde tenemos: M = C (1 + i )n Observando el diagrama de tiempo y valor de la parte superior podemos deducir que los primeros 100, 000 pesos ganan interés por meses, los siguientes por 4,3,2,1 y los últimos no ganan interés sino que solo se suman al monto por lo cual podemos decir : M = 100 000 ( 1 + .03 )5 = 115 927 M = 100 000 ( 1 + .03 )4 = 112 551 M = 100 000 ( 1 + .03 )3 = 109 273 M = 100 000 ( 1 + .03 )2 = 106 090 M = 100 000 ( 1 + .03 )1 = 103 000-----------546 841+ 100 000 los últimos 100 000 que no ganan interés tenemos 646 841 (esto esta redondeado por los cual es diferente al valor obtenido arriba en 2 centavos). Una manera más de realizar lo anterior seria mediante la fórmula del interés compuesto llevando el interés acumulado en cada semestre más el depósito (100 000) que se hacen al final de cada semestre: Tiempo
Cantidad
Monto
Final 1er mes 100 000
100 000
Final 2do mes 100 000(1+ .03)1+100 000
203 000
Final 3er mes 203 000(1 + .03)1 + 100 000
309090
Final 4to mes 309090(1 + .03)1 + 100 000
418 362.7
Final 5to mes 418 362.7(1 + .03)1 + 100 000
530 913.58
Final 6to mes 530 913.58 (1 + .03)1 + 100 000
646 840.98
problema de tasa Calcular la tasa de interés a que está invertido un capital de 40 000 pesos si en un año se han convertido en 43 200 pesos. Resolución: El interés producido ha sido: 43 200 - 40 000 = 3 200 pesos.
Es decir, la tasa es del 8 %.
CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES:
La frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalizacion de intereses pero es posible que no coincida. Puede ser tambien que la renta se haga al inicio de cada periodo o que se haga al final: Que la primera se realice en el primer periodo o algunos despues. SEGUN LAS FECHAS INICIALES Y TERMINAL DEL PLAZO: -ANUALIDAD CIERTA: Cuando se estipula, es decir se conoce las fechas extremas del plazo. -ANUALIDAD EVENTUAL O CONTINGENTE:Cuando no se conoce almenos una fecha extrema del plazo. SEGUN LOS PAGOS: -ANUALIDAD ANTICIPADA:Cuando los pagos o las rentas se realizan al comienso de cada periodo. -ANUALIDAD ORDINARIA O VENCIDA: Cuando los pagos se realizan al fin de cada periodo. DE ACUERDO CON LA PRIMERA RENTA: -ANUALIDAD INMEDIATA: Cuando los pagos sae hacen desde el primer periodo. -ANUALIDAD DIFERIDA:Cuando el primer pago no se realiza en el primer periodO. SEGUN LOS INTERVALOS DE PAGO: -ANUALIDAD SIMPLE:Cuando los pagos se realizan en las mismas fechas en que se capitalizan los intervalos de pago.
ANUALIDAD ANTICIPADA: Se ha dicho que una anualidad es anticipada si los pagos se hacen al comensar cada periodo. Cualquier anualidad se resuelve aplicando apropiadamente esta formula general ya que si se tiene valor unico equivalente a todas las rentas, al termino del plazo este se tranlada
acualquier otra fecha con la formula del interes compuesto. ANUALIDAD ORDINARIA: Esta anualidad se caracterizan porque los pagos se realizan al fin de cada periodo, razon por la que se conocen tambien como anualidades vencidas. Lo mas comun como dijo antes es asociar las rentas con su valor equivalente al comensar el plazo es decir con su valor presente C que se obtiene co la formula. La anualidad mas comunes de estas anualidades se refieren ala amortizacion de deudas como creditos hipotecarios,automotrices o cualquier otro que se liquida con pagos perodocos y cargos de interes compuesto. ANUALIDAD GENERAL: Una anualidad es general si los pagos se realizan en periodos distintos ala frecuencia con que los intereses se capitalizan.
Problemas de anualidades 1.(Valor final de una anualidad vencida) Si una persona deposita al final de cada mes $ 100 al 2% de interés mensual, durante 5 meses. ¿Cuánto retira al final del quinto mes?
Solución Problema 1 Solución:
Para resolver este problema vamos a hallar el valor final de las 5 cuotas mensuales, al final del quinto mes y la suma de los valores finales de las 5 cuotas es el monto o valor final de la anualidad vencida. La primera cuota depositada al final del primer mes ganará interés por 4 meses. La segunda cuota depositada al final del segundo mes ganará intereses por 3 meses. La tercera cuota depositada al final del tercer mes ganará intereses por 2 meses. La cuarta cuota depositada al final del cuarto mes ganará intereses por 1 meses. La quinta cuota no gana interés alguno, porque al final del quinto mes se retiran todos los depósitos y sus intereses acumulados. Notación:
Sn = Monto o valor final de la anualidad vencida. R = Renta o anualidad. n = Tiempo o número de periodos. i = Tasa de interés. R = 100 n = 5 meses i = 0,02 mensual Sn = ?
Formula:
Primera cuota:
Monto o valor final de la anualidad vencida. Gráfica:
Intereses ganados = Monto de la anualidad – Total depositado
Generalizando:
Anualidades contingente
El Sr. Valderrama desea comprar una casa para tal efecto realiza depósitos semestrales de $ 20. 000 durante 10 años en un banco que paga el 15% capitalizable semestralmente. Hallar el importe que tendrá al cabo de 10 años; si en los 2 últimos años la tasa de interés se incrementa al 18% capitalizable semestralmente. (Redondear el resultado final al entero positivo inmediato)
(Primero por 8 años a 15%. Luego proyectamos por lo que le falta a interés compuesto a 18%, porque no es anualidad. Luego se calcula por el tiempo que falta al 18% por el tiempo que falta. Al final se suman los resultados del tiempo completo.)
Respuesta: Los depósitos semestrales del Sr. Valderrama al cabo de los 10 años será se convertirán en un total de S2+S3 = S total = 820.898,0031 + 91.462,58 = 912.360,58 = 912.361 $
Anualidad diferenciada
Una persona arrienda una casa en $50.000 pagaderos por mes anticipado. Sí tan pronto como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año? Solución: X= 50.000¨S 12¬2%(1.02) X= 684.016.58 La diferencia entre las dos anualidades estriba en que la serie de la anualidad ordinaria empieza con 1 y termina con (1+i) n-1, en cambio la serie de la anualidad anticipada comienza con (1+i) y termina con (1+i)n
