INTERÉS COMPUESTO Introducción: Desde el principio de los tiempos las matemáticas han sido una herramienta primordial para el desarrollo de las diferente generaciones generando así grandes avances al área técnica, social, cientíca y administrativa La Importancia de las matemáticas nancieras es explícitamente para el cálculo de las diferentes hipótesis planteadas en inversiones, en deudas, en temas bancarios, etc !or tal motivo al saber la importancia de saber los diferentes aplicativos de las matemát matemática icass nanci nancieras eras el present presente e traba"o traba"o a rea reali# li#ars arse e se hará la consulta de la denición y las diferentes ecuaciones a utili#arse en el cálculo del interés compuesto$ %demás %demás el conocimiento conocimiento y mane"o del interés interés compuesto compuesto es necesario necesario en las operaciones nancieras a largo pla#o, en operaciones de inversiones de capital, en los cálculos del monto del interés y del tiempo$ &ste tipo de interés se va capitali#ando de acuerdo con el tiempo, medido en periodos de capitali#ación o de conversión$ Igualmente, el concepto y aplicación del valor actual es básico en el interés compuesto para mane"ar en documentos e inversiones nancieras en el largo pla#o$ !ara dicha investigación se toma referencias bibliográcas de varios libros asíí como as omo fuen fuenttes de info inforrma maci ción ón virt virtua uall para para ac acap apa arar rar un am ampl plio io conocimiento y para sus diferentes aplicativos se citara e"emplos de libros muy conocidos en el ámbito de MATEMATICAS FINANCIERAS.
DESARROLLO Defnición (Alberto rto Alvare Alvares s Arang Arango o en su libro, libro, Matemáticas Matemáticas Financieras Financieras,, 'eg( 'eg(n n (Albe Tercera edición) ed ición) $ Dene al interés compuesto como) “A dife difere renc ncia ia del del inte interé rés s simp simple le,, en el inte interé rés s comp compue uest sto o se suma suman n periódicamente periódicamente los intereses intereses más el el capital. Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez ue se liuidan se llam llama a capitali capitalizaci zación, ón, ! el periodo para liuidar los intereses se llama periodo de capitalizaci capitalización.” ón.”
De igual manera *%braham +ernánde# +ernánde# en su libro, Mate!tica" Financiera"# Teor$a % Pr!ctica& cita al interés compuesto como) Es auel ue al "nalizar cada periodo se agrega al capital es decir, se reinvierte (se capitaliza) %l centrar estos dos conceptos se puede concluir .ue) &s a.uella .ue después de cierto periodo, el interés generado se suma al capital, al cual se le denomina monto- para generar mayor interés en el próximo periodo, y así sucesivamente$ % esto se le llama valor futuro o monto acumulado &n otras palabras, los intereses producen más intereses$
Los intereses se capitali#an$ &ste tipo de interés se utili#a en cual.uier tipo de crédito .ue dan los bancos$
U"o" de' inter(" co)ue"to. /na ve# planteado los conceptos del interés compuesto podemos tener explícitamente una idea de cuál será el ámbito .ue más utili#ara este tema$ &ste es el interés más utili#ado por el sector nanciero, los bancos$ &ste interés es utili#ado en depósitos a término "o, tasas combinadas, tasa de0actada o tasa real, e.uivalencias de tasas referenciadas, aceptaciones bancarias y nancieras, la devaluación, y la in0ación$
Foru'a" a uti'i*ar"e en e' inter(" co)ue"to. 1omenclatura)
S+ monto al nali#ar n *a2os3$ C+ 4apital inicial o valor presente$ i+ 5asa de interés$ n+ 1(mero de a2os$ ,- i&+ 'e le conoce como el factor de capitali#ación$ !artiendo desde esta nomenclatura podemos plantearnos las siguientes formulas o ecuaciones a utili#arse en la resolución del interés compuesto en diferentes problemas$ a3
S
=C (1 + i ) n *sirve para obtener el monto .ue se tendrá al nali#ar
los n a2os cuando el interés se reinvierte capitali#a-3
/&
c=
s
( 1 + i )n
*6ormula .ue sirve para obtener el valor presente 4-
cuando la inversión es capitali#able3$
√
s c& i= c −1 *6ormula .ue sirve para calcular la tasa de interés a n
la .ue se invierte un capital$3
d&
log n=
() s
c
log ( 1 + i )
*6ormula .ue sirve para calcular el tiempo .ue dura
una transacción3
0eao" e' "i1uiente e2e)'o &l se2or !ere# deposita 7899 en un banco, el cual le reconoce una tasa de interés del :;< anual con capitali#ación trimestral$ =4uál será el valor ahorrado al nali#ar el primer a2o> 4omo la tasa de interés dad es anual y la capitali#ación es trimestral, a.uella debe expresarse en términos trimestrales$
0,36 =0,009 4
%hora puede elaborarse la siguiente tabla)
)eriod 0a'or o ,n& )re"ente ,P& 899 89? 3 88@,@8 4 8A?,B9 5
Inter(" Trie"tra' ,I& ? ?,@8 89,;?A? 88,;BBA
0a'or Futuro,F& 89? 88@,@8 8A?,B9 8C8,8B
rácamente el problema se representa así) 6AE88@
6CE8C8
6:E8A?
68E8
!E89 %l interpretar este caso en forma particular, se tiene) n E 1umero de periodos de capitali#ación$ it E tasa de interés efectiva trimestral ! E Falor presente 6 E Falor futuro
)eriod 0a'or o ,n& )re"ente ,P& P 3
Inter(" Trie"tra' ,I&
P + pi= P ( 1 + i )
Pi
P (1 + i)
P (1 +i) i
2
P ( 1 + i ) i
4
P (1 +i)
5
P
( 1 + i)3
0a'or Futuro,F&
P
2
P
( 1 + i )3 i
(1 + i ) + P ( 1+ i ) i= P (1 + i)2 2
2
3
P ( 1 + i) P ( 1 + i) i = P ( 1+ i ) P
( 1 + i)3 + P ( 1 + i )3 i = P ( 1 + i )4
4on base en esta tabla, puede observarse la ley de formación y encontrarse las expresiones generales siguientes)
0a'or 6uturo de una "ua )re"ente &l valor futuro en un periodo n está dado por) n
= (1+i)
F P
Los intereses correspondientes a un periodo n están dados por) n−1
I n=iP ( 1 + i )
&l capital inicial para un periodo n está dado por) n− 1
Pn= P ( 1 + n )
0a'or )re"ente de una "ua 6utura % partir de lo anterior, también puede concluirse .ue 1 +i
¿ ¿ ¿
1
¿ P= F ¿
Fóru'a" )ara e' )eriodo de ca)ita'i*ación 6raccionaria a&
/&
( )
i S =C 1 +
nr
r
s
c=
()
1+
c& i=
nr
i
r
[√ ] nr
s
c
−1
log
d&
() s
c
( )
log 1 + n=
r
i
r
r
Co)aración Inter(" Si)'e 7 Inter(" Co)ue"to
COMPARACI8N MONTO Inter(" Si)'e 7 Inter(" Co)ue"to
E2ercicio: &l se2or !ere# necesita disponer de 7:99$999 dentro de ; meses para el pago de la matricula de su hi"o$ 'i una corporación le ofrece el :;< anual con capitali#ación bimestral, =4uánto deberá depositar hoy para lograr su ob"etivo>
F =$ 300.00 0 n =6 meses =3 bimestres n=
0,36 =0,06 bimestral 6
P=?
[
P= F
P
1 n
( 1+ i )
]
=300.000
[
1
( 1.06 )3
]
=300.000 ( 0,839619283 )=251.885,78
Ta"a noina' % e6ecti9a Ta"a noina': es la tasa .ue conviene en la operación nanciera *in3$ Ta"a e6ecti9a: es la tasa .ue realmente act(a sobre el capital en la inversión nanciera *ie3$ La tasa nominal puede ser igual o diferente a la efectiva y ésta depende de las condiciones convenidas en la transacción nanciera$
Ta"a" eui9a'ente" 'on a.uellas .ue en condiciones diferentes producen el mismo interes compuesto al nal de cada a2o$ %sí tenemos .ue en el e"emplo 8B la tasa del ?:,@@< con capitali#ación anual es e.uivalente a otra del GA< con capitali#ación trimestral$
;I;LIO
