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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE  –  MATEMÁTICA  MATEMÁTICA I  –  MA  MA  –  INFO  INFO  –  PROF.  PROF. WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.ma

BINÔMIO DE NEWTON  – 2012 - GABARITO 1. Sabendo que a

5

 5   5   5   5    a 4b   a 3 b 2   a 2b 3   ab 4  b 5  1024 , calcule (a + b)².  1   2   3   4 

Solução. A expressão é o desenvolvimento binomial de (a + b) 5. Igualando, temos:

a  b5  1024 5 5 2 2  a  b  2 2   a  b  4  a  b  4 2  a  b  16 .  5 1024  210  2 2  2. Determine o valor de: (99) 5 + 5.(99)4 + 10.(99)3 + 10.(99)2 + 5.(99) + 1.

Solução. A expressão é o desenvolvimento binomial de (99 + 1) 5. Logo, vale (100) 5 = (102)5 = 1

 1 6 x  4 5 . 3. Calcule o valor numérico do polinômio x 4  – 4x3y + 6x 2y2  – 4xy3 + y4, se:   y  6  1  4 5  Solução. Antes de substituir identifica-se que a expressão é o desenvolvimento (x  – y)4. Ca diferença entre parênteses de acordo com os valores indicados, temos: 1 6

i) x  y 

4



4

5

 2. 5    5

ii) x  y    4

6 1

4

3



1 6  4

5 4



  1

6 1

5

6  6 1 4



5

2 4



5

2 4

5

.

4

53

4

53

2.4 5 3  5

    2 .5  2  16  5 5 54   4

 20   20 

3

.

4

 20 

 20 

 20 

4. Calcule: S      .2   .2²  ... ...   .219   .2 20 . 0  1 2              19   20 

Solução. A expressão é o desenvolvimento binomial de (1 + 2) 20 = 320.

1 5   1 5  . 5

5. Calcular:

5

Solução. Os desenvolvimentos binomiais das expressões serão semelhantes a menos dos serão positivos ou negativos de acordo com as potências ímpares do termo negativo.





 1

5

i) 1  5

 5 

 5   5       .  5   .  5  0   1   2 

5



5







2  5   5   5        5      5 



2

 5    .  5  3 





3

Sign up to4 vote 5  5   5on   this title   5 . 5   .     Not  useful  Useful   4   5 



3 4  5   5     5      5 



5  5     5 





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7. Calcule a e b, sabendo que (a + b) 3 = 64 e a 5   a 4 .b   .a 3 .b 2   .a 2 .b 3   .a.b 4  b  1  2 3  4                

Solução. A 2ª expressão é o desenvolvimento binomial de (a  – b)5. Comparando as expressõe

(a  b) 3  4 3 (a  b) 3  64 a  b  4    2a  2  a  1    5 5 5 .    a b 2     ( a b ) 32 ( a b ) 2         b  4  a  4 1 3 8. Calcule S, se: S

 x³  1  4.x ³  1  6.x³  1  4.x ³  1  1. 4

3

2

Solução. Considerando (x3  – 1) como um dos termos de um desenvolvimento binomial, temos

 4   4   4   4   4  4 3 2 S   x ³  1   .x ³  1   .x ³  1   .x ³  1     0   1   2   3   4  . S  x ³  1  1  x ³  1  1  x ³   x 12 4

4

9. Qual o valor de

 n    x 2 3 n

x

4

n x

?

x 0

Solução. O somatório é o desenvolvimento binomial de (2 + 3) n = 5n. 10. Obtenha o coeficiente do termo x-3 no desenvolvimento:

   x  

1 



6

.

x  Solução. Escrevendo o desenvolvimento em potências de x e utilizando o termo geral, temos: 6   21   1    i)  x     x  x 1  x       

 6      ii) TG   . x 2   p      1

6

6 p

.x



1 p

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

 6      . x  p   

6 p 2

  p  6  62p p  6  6 p22p  6  623p .x    .x   .x   .x  p With Free Download Trial . p          p   

6  3p

6  3p  3  6  3p  6  3p  12  p  4 2  6  6! 6.5.4!   15 iv ) Coeficiente x 3      4!2!  4  4!2! iii) x

3

x

2



11. No desenvolvimento de

1  2x  , qual o coeficiente do termo x8? 2 5

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Solução. Escrevendo o desenvolvimento em potências de x e Useful utilizando oNot termo geral, temos: useful

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 5  5 p  5   5  p p p i) TG   .1 . 2x 2    .1. 2x 2    . 2 .x 2p   p   p   p 

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13. Qual a condição para que

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1     x  2    x  

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n

 tenha um termo independente.

Solução. O termo independente apresenta a variável com expoente nulo. Sheet Music

n

 n  np  n   n  n p 1     i)  x  2   x  x 2   TG   .x  .x 2     x np 2p    x n 3p . x      p   p   p  ii) Termo(independente) : n  3p  0  n  3p Este resultado indica que n será um múltiplo de p. 517

1    14. Qual o termo independente de  x   ? x    Solução. Encontrando no termo geral o expoente nulo para x, temos: 1    i)  x   x   

517

 x  x 1 

517

 n  517p 1 p  n  517p p  n  5172p .x    .x .x .   .x  TG   .x  p p .          p 

ii) Termo(independente) : 517  2p  0  p 

517 2

 IN

Logo, não há termo independente. 15. A soma dos coeficientes de (3x + 1) m = 1024. Calcule m.

Solução. A soma dos coeficientes é encontrada substituindo o valor numérico da variável por (3.1 + 1)m = 210 => 4m = (22)5 => 4m = 45 => m = 5. 16. Dado o binômio

  3 q  x   x   

seja dado por 8064x10.

n

 determine os valores de an Preview e q a fim de que o termo central ocupe o You're Reading Unlock full access with a free trial.

Solução. Se o termo central será o 6º, então há 5 termos antes e 5 termos depois. Um t termos. Logo, n = 10. Na 6ª posição, p Download = 5. Escrevendo o termo With Free Trialgeral, vem: n

10 10 5 5  10   10   10  q    i)  x 3    x 3  q.x 1   TG   .x 3  .q.x 1    .x 15 .q 5 .x 5   .q5 .x 10 x      5     5     5   .  10  10.9.8.7.6.5! 5 8064 5 ii)  .q 5  8064  .q  8064  9.4.7.q 5  8064  q  5  32  2 5!5! 252   5  

Logo, n = 10 e q = 2. Sign up to vote on this title

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