Guia Ejercicios Resueltos Sumatoria y Binomio de Newton

Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva

Universidad de Chile

Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton

Solución: a)

Como k no de j , 2k es k no depende de j 2k es constante a la sumatoria.

b)

c)

d)


e)

f)

g)

h)

Las demás se resuelven de la misma forma.



e)

f)

g)

h)

Las demás se resuelven de la misma forma.




Solución: a)

b)

Como es una sumatoria telescópica se salva el primero y el último.

c)

La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.



Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la v ez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria.

Solución: De esta sección solo realizare el primero, dada la simplicidad de los ejercicios.

Dado los valores del enunciado para

Solución: a)

.


b)

c)

d)




e)



f)

g)





h)

i)



j)

k)

J

Para la sumatoria que esta más a la derecha el 2 elevado a la i, es independiente de j.



Solución:

Solución: 6) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:

(s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + nk ) s + 2k = 20 s + 5k = 56

⇒ k = 12 ∧ s = −4 (s + 10s) = (−4 + 10 * 12) = 116 10

(s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + 10k ) = ∑ ( s + ik ) = 10(−4) + 12 i =1

10

∑ (s + ik ) = −40 + 12 i =1

10(10 + 1) 2

= 620

10(10 + 1) 2


7) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:

(s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + nk ) s + k = 4 s + nk = 34 n

∑ (s + ik ) = 247 i =1

Calculemos la sumatoria: n

∑ (s + ik ) = sn + k

n(n + 1)

2

i =1

= 247

2

sn + k

n +n

2

= 247

2

2 sn + kn + kn = 494 n(2s + kn + k ) = 494 Ahora, sumemos las dos ecuaciones del enunciado.

s + k = 4 s + nk = 34

2 s + nk + k = 38 Reemplazando, n(38 ) = 494 ⇒ n = 13 8) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:

(s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + nk ) 50

∑ (s + ik ) = 200 i =1

100

∑ (s + ik ) = 2700 i = 51

Calculemos la sumatoria: 50

∑ (s + ik ) = 50s + k i =1

50s + 1275k = 200

50(50 + 1) 2

= 200



100

100

i = 51

i =1

50

∑ (s + ik ) = ∑ (s + ik ) − ∑ (s + ik ) = 2700 i =1

1 4 24 3

=200

100

∑ (s + ik ) = 2900 i =1

100(100 + 1) 100s + k = 2900 2 100s + 5050k = 2900 Tomado las dos ecuaciones;

50 s + 1275k = 200

(1)

100 s + 5050k = 2900

(2)

2*(1) - (2)

(5050 − 2 * 1275)k = 2900 − 400

(2500)k = 2500 k = 1 ⇒ s = 21,5 9) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:

(s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + nk ) 40

∑ (s + ik ) = 360000 i =1

40

∑ (s + ik ) =

360000 3

i =31

Calculemos la sumatoria: 40

∑ (s + ik ) = 40s + k

40(40 + 1)

i =1

2

= 360000

40s + 820k = 360000 40

40

30

i =1

i =1

∑ (s + ik ) = ∑ (s + ik ) − ∑ (s + ik ) = 120000 i =31

1 4 24 3

360000

30(30 + 1)   360000 − 30 s + k   = 120000 2 − 30s − 465k = −240000 Tomado las dos ecuaciones;

40s + 820k = 360000 30 s + 465k = 240000

(3) (4)




(820 * 3 − 4 * 465)k = 3 * 360000 − 4 * 240000

3*(3) –4* (4)

(600)k = 120000 k = 200 ⇒ s = 4900 10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma:

 1 − r n+1  (a) + (ar ) + (ar ) + K + (ar ) = a∑ r = a  i =0  1 − r  n

2

3

ar = 54 6

ar =

729 4

Resolviendo: −3

a = 54r

(54r )r −3

3

54r = r =

3 2

6

=

729 4

729 4

⇒ a = 16

 3  a∑ r = 16∑   i =0 i =0  2  n

n

i

Solución: Considere que,

Para r<1.

i

n

i



Ahora, debemos calcular:

Solución: 10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma:

 1 − r n+1  (a) + (ar ) + (ar ) + K + (ar ) = a∑ r = a  − r 1 i =0   n

2

n

i

3

ar = −40 6

ar = 320 Resolviendo: −3

a = −40r

(− 40r )r −3

6

= 320

3

− 40r = 320 3

r = −8 r = −2 ⇒ a = 5

9

El décimo termino es igual a ar = 5 * (− 2) = −2560 9



 1 − (− 2)n+1  5 n +1 a∑ r = 5∑ (− 2) = 5  = (1 − (− 2) ) i = 0 i = 0  1 − −2  3 n

n

i

i

Solución: Usando que,

Simplificar y calcular. Resolveremos los más difíciles, pues en los demás se puede utilizar la calculadora facilmente.

Pero sabemos que,

Ahora, restemos a la ultima ecuación los terminos que no estan en la primera sumatoria.



Resover (ultimo),

Si consideramos, a=2 y b=1

La unica diferecia con nuestra primera ecuación, es que una parte desde 1 y la otra desde cero. Consideremos la ultima ecuación y separemos el p rimer termino.

Solución: a)


b)

c)

d)

Solución: a)

b)



c)

Solución:

Usando que,



a)

b)

c)

d)




Solución: a) k 7 7  7  2  2     3 x + 2 x  = ∑   2 x  (3 x )7 − k     k = 0  k  7 7  7  k 2k 7 − k 7 − k 2   x x 3 + 2 = 3   ∑  2 x x   k k = 0  

7 7  7    3 x + 2 x 2  = ∑  2 k 37 − k x 7 + k   k = 0  k  Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al x 11 , basta igualar el exponente del x 7+ a 11. k

7 + k = 11 k = 4

Entonces, para k = 4 encontraremos el coeficiente que acompaña a x 11 .

 7  4 7 − 4 7 + 4  7  4 3 11  2 3 x =  2 3 x 4    4   7  4 3 Coef =  2 3  4 



b)

 3 2   x +   2 x  

27

k 1  27  27   3   −2 27 − k = ∑   x   2 x    k = 0  k  

k 27  27  27 − k 3 − 54 + 2k x x = ∑  2 k k = 0   27 − 54 + 2k + k 27  27   3 2  k 27 − 3  x +  = ∑  2 x   2 x   k = 0  k 

 3 2   x +    x 2  

27

 3 2   x +   2 x  

27

− 54 + 7k 27  27  k 27 − 3 x = ∑  2 k = 0  k 

Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al x 2 , basta igualar el − 54 + 7k 3 a 2. exponente de x − 54 +

7k 3

=2

k = 24

Entonces, para k = 24 encontraremos el coeficiente que acompaña a x 2 . 7*24

 27  27 −24 − 54 + 3  2 x 24    27  3 Coef =  2  24  c)

Es análogo a los dos anteriores.

d)

4r

k 4r  4r  2     x (1)4r − k −   ∑     k = 0  k  4r 4r  4r  2    1− x  = ∑  (−1)k x 2k   k = 0  k 

  1− x 2   

=

r

Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al x 2 , basta igualar el k exponente de x 2 a 2r.



2k = 2r k = r r Entonces, para k = r encontraremos el coeficiente que acompaña a x 2 .

 4r   (−1)r x 2r  r   4r  Coef =  (−1)r  r 

19. Encuentre los términos centrales en el desarrollo de 10

6   a)  3a −  a   6    3a −  a  

10

 3a − 6    a  

10

6    3a −  a  

10

=

=

=

10  10  − 6  k

∑    (3a )10 − k k = 0  k  a  10  10 

∑  (− 6)k a − k a10 − k 310 − k k k = 0   10  10 

10 − k 10 − 2k a ∑  (− 6)k 3 k k = 0   10

6   Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio  3a −  a  

,

basta tomar el k = 5 , pues la sumatoria va desde 0 a 10 siendo el termino central el

k = 5 . Entonces, el término central es igual a:

 10   10   10   10   (− 6 )5 310 − 5 a10 −2*10 =  (− 6 )5 35 =  (−18)5 = − (18 )5  5   5   5   5  b)

 4 x 5   −   5 2 x 

5



5 5  5   − 5  k  4 x  5 − k  4 x 5  −   = ∑       k 5 2 2 5 x x         k = 0 5

5 − k 5 − k x

k

5   − 5   4 x − 5  = 5  − k  4  ∑       x    5 2 x   5  k = 0  k   2 

5 5  5   − 5  k  4  5 − k  4 x 5  5 − 2 k − x   = ∑        5 2 x  k = 0  k   2   5  5

 4 x 5  , Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio  −  5 2 x   basta tomar el k = 2 y el k = 3 , pues la sumatoria va desde 0 a 5 existiendo dos términos centrales, debido a que son 6 términos los del desarrollo. Entonces, el término central

 5  − 5 2  4  5−2 5 −2*2  5  − 5 3  4  5−3 5−2*3 es igual a: Ter min o =   x x +         2 3 2 5 2 5              5  5 2  4 3  5  5  3  4 2 −1 =      x −      x  2  2   5   3  2   5  2  5   5  4  −1  x −  10 x =    2  5   3 

c)

( (

(

)24 , con 0 < a < b

a − x + b − x

24

)

a − x + b − x

24

)

a − x + b − x

=

=

24  24 

k

24  24 

k

∑  ( a − x ) k k = 0   ∑  ( a − x ) k = 0  k 

( (

)24 − k

b − x

)24 − k

b − x

Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio

(

)24 , basta tomar el k = 12 , pues la sumatoria va desde 0 a 24 siendo

a − x + b − x

el termino central el k = 12 . Entonces, el término central es igual a:



 24  12 24 −12 ( a − x ) ( b − x )  12 

Ter min o = 

 24  (a − x )6 (b − x )6  12 

= 

20. Encontrar el término independiente de x en el desarrollo.

 3 x 2 1   a)  −  2 3 x   

9

9

 3 x 2 1  9  9  −1  k  3 x 2      − = ∑     2 3 x    k = 0  k  3 x   2   

9 − k

9

9 − k  3 x 2 1  9  9  −1  k − k  3  18 − 2k   x − = ∑    x    2 3 x   2  k = 0  k  3    9

 3 x 2 1  9  9  −1  k  3  9 − k 18 − 3k   x − = ∑       2 3 x  k = 0  k  3   2    9

 3 x 2 1   , Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio  −  2 3 x    18−3k , basta igualar a cero el exponente de x pues el termino independiente de x esta elevado a la cero. 18 − 3k = 0 k = 6

Entonces, el término independiente es:

 9  − 1   3  18 − 3*6 Termino(indepen) =      x  6  3   2  6

6

 9  1   3  =       6  3   2  3  9  1  =     6  6 

3

9−6


 1   a)  x −  2  x 


3n

 1   x −     x 2 

3n

 1   x −     x 2 

3n

 1   x −     x 2 

3n

3n  3n  −1  k  ( x )3n − k = ∑    2 k k = 0   x  =

=

3n  3n 

− 2k 3n − k ∑  (−1)k x x k = 0  k 

3n  3n 

∑  (−1)k x 3n − 3k k = 0  k 

 1   Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio  x −  2  x 

3n ,

3n −3k , basta igualar a cero el exponente de x pues el termino independiente de x esta elevado a la cero. 3n − 3k = 0 k = n


 3n  (− 1)n x 3n−3n  n 

Termino(indepen) = 

 3n  (− 1)n  n 

= 

21. Calcular el valor numérico del término independiente de x.

 1    3 x 65 + 2  x −    x 2 

3n

Solución:

 1    3 x 65 + 2  x −    x 2 

3n

3n  3n  −1  k 65 =   3 x + 2  ∑    ( x )3n − k  k = 0  k  x 2 

 1    3 x 65 + 2  x −    x 2 

3n

3n  3n  =   3 x 65 + 2  ∑  (−1)k x −2k x 3n − k  k = 0  k 

 1    3 x 65 + 2  x −    x 2 

3n =

3n  3n  3n  3n  k x 3n − 3k + 65 +   ( ) 3 1 − ∑   ∑  2(−1)k x 3n − 3k k = 0  k  k = 0  k 



Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio

 1    3 x 65 + 2  x −    x 2 

3n

3n −3k +65 y el de , basta igualar a cero el exponente de x

3n −3k , x pues por cada sumatoria podría existir un termino independiente de x. Para la primera sumatoria: 3n − 3k + 65 = 0 k = n +

65 3

Como el k no es un número entero positivo, implica que ese término no existe. Para la segunda sumatoria:

3n − 3k = 0 k = n


 3n  2(− 1)n x 3n−3n  n 

Termino(indepen) = 

 3n  2(− 1)n  n 

= 

Es decir, la primera sumatoria no aporta nada.

2  2 1  22. Calcular el coeficiente de x en el desarrollo de x: x  x −  2 x   −2

1  2  2  x  x −  2  x  

28

28  28   − 1  k 28 − k 2 2       = x ∑    x  2 k k = 0    x 

1  2  2  x  x −  2  x  

28

28  28  2  (− 1 )k x − 2 k x 56 − 2 k = x ∑  k = 0  k 

1  2  2  x  x −  2   x 

28

28  28  2  (− 1 )k x 56 − 4 k = x ∑  k = 0  k 

1  2  2  x  x −  2   x 

28 =

28  28 

58 − 4 k ∑   (− 1 )k x k k = 0  

28



 Como nos piden encontrar el coeficiente de x −2 del binomio x 2   x 2 − 1   

28

2 x 

, basta

58− 4k , lo que permitirá conocer el k necesario para igualar a -2 el exponente de x encontrar el coeficiente

58 − 4k = −2 k = 15

Entonces, el coeficiente de x −2

 28  (− 1)15 x 58−4*15  15 

Ter min o = 

 28  −2  x  15   28  Coef = −   15  = −

23. Determinar el valor de a para los coeficientes de x 7 y x 6 en el desarrollo de:

( x + a )5 ( x −2a )3

sean iguales.

Solución: 5  5  ( x + a )5 ( x −2a )3 = ( x −2a )3 ∑   x k a 5 − k k k = 0   5  5  3 2 2 3 5 3  ( x + a ) ( x −2a ) =  x −6ax +12a x − 8a  ∑   x k a 5 − k   k = 0  k  5  5  5  5  5  5  5  5  k 5 − k k 5 − k k 5 − k k 5 − k 3 2 2 3 = x ∑   x a − 6ax ∑   x a + 12a x ∑   x a − 8a ∑   x a k = 0  k  k = 0  k  k = 0  k  k = 0  k  5  5  5  5  5  5  5  5  k k k k k k k 8 − k + 3 5 − + 2 6 − + 1 7 − a a a = ∑   x − 6 ∑   x + 12 ∑   x − 8 ∑   x a k = 0  k  k = 0  k  k = 0  k  k = 0  k 

- Tenemos cuatro sumatoria que nos aportaran coeficientes para x 7 y x 6 . - Como nos piden encontrar el coeficiente de x 6 del binomio ( x + a )5 ( x − 2a )3 , basta k + 3 k + 2 k +1 k , x , x y x , lo que permitirá conocer el k igualar a 6 el exponente de x necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria: Primera sumatoria:



k + 3 = 6 k = 3

 5  5− 3  5  2 Coef =  a =  a 1 3    3  Segunda sumaria

k + 2 = 6 k = 4

 5  6 − 4  5  2 Coef = −6 a = −6 a 2 4 4  

 

Tercera sumaria

k + 1 = 6 k = 5

 5  7 − 5  5  2 Coef = 12 a = 12 a 3 5 5  

 

Cuarta sumaria

k = 6 No aporta nada, debido a que el mayor valor que puede tomar k es 5.

Coef 6 = Coef + Coef + Coef 1 2 3

 5  2  5  2  5  2 Coef 6 =  a − 6 a + 12 a  3   4   5  2 2 2 Coef 6 = 10a − 30a + 12a Coef 6 = −8a

2

- Como nos piden encontrar el coeficiente de x 7 del binomio ( x + a )5 ( x − 2a )3 , basta k + 3 k + 2 k +1 k , x , x y x , lo que permitirá conocer el k igualar a 7 el exponente de x necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria: Primera sumatoria:

k + 3 = 7 k = 4

 5  5 − 4  5  Coef =  a =  a 1  4   4 



Segunda sumaria

k + 2 = 7 k = 5

 5  6 − 5  5  Coef = −6 a = −6 a 2 5 5  

 

Tercera sumaria

k + 1 = 7 k = 6 No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5. Cuarta sumaria

k = 7 No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5.

Coef 7 = Coef + Coef + 1 2

 5   5  Coef 7 =  a − 6 a  4   5  Coef 7 = 5a − 6a Coef 7 = −a Ahora, igualando el Coef 7 a Coef 6 .

Coef 6 = Coef 7 2

− 8a = −a

a(8a − 1) = 0 Es decir, para a1 = 0 ∧ a2 =

1 8

7

6

los coeficientes de x y x son iguales.



24. Hallar el coeficiente de x 7 en el desarrollo de: (1 − x − x 2

)

3 n

Desarrollo:

(1 − x (1 + x )) = ∑   (− x (1 + x )) 1 k 2

n

n

n

k

2

n −k

  n n n 2 (1 − x (1 + x )) = ∑   (− 1)k x 2k (1 + x )k k =0  k  n k k  n  n k 2 k 2 (1 − x (1 + x )) = ∑  (− 1) x ∑    x i k =0  k i =0  i   n k k  n  n k 2 k 2 (1 − x (1 + x )) = ∑  (− 1) x ∑    x i k =0  k i =0  i   k =0

Para la sumatoria que depende de i, los términos que dependen de k son constantes.

(1 − x (1 + x )) 2

n

 n  k    (− 1) k x 2 k + i ∑∑ k = 0 i = 0  k  i  n

=

k

2 3 Como nos piden encontrar el coeficiente de x 7 del polinomio (1 − x − x ) , basta n

igualar a 7 el exponente de x 2

k + i

, de esa manera conoceremos los posibles valores que

pueden tomar k e i. 2k + i = 7 Con las siguientes restricciones,

0 ≤ i ≤ k ≤ n Ahora,

k = 0 ⇒ i = 7 ⇒⇐ Debido a que i ≤ k k = 1 ⇒ i = 5 ⇒⇐ Debido a que i ≤ k k = 2 ⇒ i = 3 ⇒⇐ Debido a que i ≤ k k = 3 ⇒ i = 1 Este caso cumple con 0 ≤ i ≤ k ≤ n k = 4 ⇒ i = −1 ⇒⇐ Debido a que 0 ≤ i ≤ k ≤ n Luego, la única solución es con k = 3 ⇒ i = 1


 n  3  3 coef =   (− 1)  3  1   n  3  coef = −    3  1 

25. 144

i)

 144   k  

∑ k ⋅  k =0

Desarrollo:

 423  423  423  k 423−k   = ∑  1 1 ∑ k =0  k  k =0  k  423 423     = (1 + 1)423 ∑ k =0  k  423 423   423   = 2 ∑ k =0  k  423

1012  k   ( ) − 1 ∑  k  k = 0  

1012

ii)

Desarrollo:

 1012  1012  1012   = ∑  (− 1)k 11012−k (− 1)  ∑ k = 0  k  k =0  k  1012 1012  k  1012  ( ) − 1 ∑  k  = (1 − 1) k = 0   1012 1012  k   ( ) − 1 ∑  k  = 0 k = 0   1012

k

144

iii)

∑ k =0

 144   k  

k ⋅ 

Desarrollo:



 144  144 144!  = ∑ k ⋅ k ⋅  ∑ k =1  k  k =1 k !⋅(144 − k ) 144

144

=

144!

∑ (k − 1)!⋅(144 − k ) k =1

144

=

144!

∑ (k − 1)!⋅(144 − k + 1 − 1) k =1

144

=

144!

∑ (k − 1)!⋅(143 − k + 1) k =1

144

=

144!

∑ (k − 1)!⋅(143 − (k − 1)) k =1

144

=

143!⋅144

∑ (k − 1)!⋅(143 − (k − 1)) k =1

144

= 144

143!

∑ (k − 1)!⋅(143 − (k − 1)) k =1

 143    ∑ k =1  k − 1  144

= 144

  143   143   143   143   143        K+  + + +  142  +  143   0   1   2             

= 144 ⋅  

 143    ∑ k k =0   143 143   k 143−k  ⋅ 1 ⋅ 1 = 144∑  k k =0   143 = 144 ⋅ (1 + 1) 143

= 144

143

= 144 ⋅ 2

 1998   ∑ k k k 1 2 ( + )( + ) k =0  

1998

iv)

1

⋅ 

Desarrollo: Multiplicaremos por 1, para reordenar la combinatoria.




 1998  1998  1998  1999 ⋅ 2000 1   ⋅ = ⋅ ∑  k  ∑ (k + 1)(k + 2)  k  1999 ⋅ 2000 ( )( ) k k + 1 + 2 k =0   k =0  

1998

1

1998

=

1

1998!

1999 ⋅ 2000

∑ (k + 1)(k + 2 ) ⋅ k !⋅(1998 − k )! 1999 ⋅ 2000 k =0

1998

=

2000!

1

∑ (k + 2)!⋅(1998 − k )! 1999 ⋅ 2000 k =0

= =

=

=

1 1999 ⋅ 2000 1 1999 ⋅ 2000 1

1998

2000!

∑ (k + 2)!⋅(1998 − k − 2 + 2)! k =0

1998

2000!

∑ (k + 2)!⋅(2000 − (k + 2))! k =0

1998

 2000 

k =0



∑  k + 2  1999 ⋅ 2000 

 2000   2000   2000   2000   2000   2000           + + + + K+    1999  +  2000   1999 ⋅ 2000  2   3   4   5       1

Ahora, sumemos cero dentro del paréntesis. =0 644 744 8    2000   2000   2000   2000   2000   2000   2000   1       +   −   +   −    K = + + +  2000 0 0 1 1 1999 ⋅ 2000  2   3             144 244 3   =0  2000   2000   2000   2000   2000   2000   2000   1  +   +   + K +   +   −   −    =  1999 2000 0 1 1999 ⋅ 2000  0   1   2           2000 2000   2000   2000  1 − −  = ∑  1999 ⋅ 2000  k =0  k   0   1 

2000 2000  k 2000−k  2000   2000   1 ⋅ 1  −    = −  ∑ 0 1 1999 ⋅ 2000  k =0  k       1

  2000   2000   2000   −    ( ) 1 + 1 −  0 1 1999 ⋅ 2000        2000  2000   2000  1 = 2 −  0  −  1  1999 ⋅ 2000      =

=

1

1 1999 ⋅ 2000

[2

2000

]

− 2001


26. Determine: n

i) a7 en

∑a

2

k

= n + 6n

k =1

Desarrollo:

Partamos con algo conocido,

n

∑

k =

n(n + 1)

2

k =1 n

∑ 2k = n

2

+n

k =1

Sumemos a toda la ecuación 5n.

n

∑ 2k + 5n = n

2

+ n + 5n

k =1 n

n

∑ 2k + 5∑ 1 = n k =1

2

+ 6n

k =1

n

n

∑ 2k + ∑ 5 = n k =1

2

+ 6n

k =1

n

∑ 2k + 5 = n

2

+ 6n

k =1

Por enunciado, n

∑

n

2k + 5 = n 2 + 6n =

k =1

ak = 2k + 5 a7 = 19

∑a k =1

k



ii)

2 x   t 7 en  3 x +  y  

 3 2 x   x +  y  

7

1  7  7   3 = ∑   x  k k = 0   

7

 1   7  3  t k =   x   k    

k

 1   7  3  t 7 =   x   7  

7





 2 x     y 

 2 x     y 

 4 x 3 2   iii) t 5 en  +  5 3 x 2   

 4 x 3 2    +  5 3 x 2   

20


k

 2 x     y 

7 − k

7

=

∑ t k

k = 0

7 − k

7−7

7

⇒ t 7 = x 3

20

k 20  20  4 x 3   2 20 − k 20    = ∑   = ∑ t k     2 k 5   k = 0 k = 0    3 x 

k 20 − k 3   20   4 x   2    t k =    2   k 5     3 x 

5 20 − 5 3   20   4 x   2    t 5 =    2   5 5     3 x 

 20  4  5  2 15 1 t 5 =       5  5   3  x 15

Guia Ejercicios Resueltos Sumatoria y Binomio de Newton

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