PROYECTO DE MEJORAMIENTO ACADÉMICO CAMPUS FRATERNIDAD
GUIA No. 7: BINOMIO DE NEWTON Y TRIÁNGULO DE PASCAL MATEMÁTICAS BÁSICAS 2009-I
ESTIMADO ESTUDIANTE: El Proyecto de Mejoramiento Académico busca que usted comparta un espacio con compañeros y profesores profesores en donde se vivencien experiencias y métodos métodos de estudio efectivos que que orienten la utilización de su su trabajo independiente para que éste éste se convierta en una disciplina y una una actitud interior. En ese sentido, estas guías se constituyen en un APOYO a dicho trabajo. Competencia expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver resolver situaciones problema en distintos Utilizar adecuadamente las expresiones contextos. Indicadores de logro: logro: Resuelve expresiones algebraicas utilizando las propiedades y operaciones algebraicas. En una situación específica: Realiza operaciones con polinomios.
TRIÁNGULO DE PASCAL
Triángulo de Pascal o de Tartaglia El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico cuyos ocho primeros renglones están representados en la tabla adjunta. La idea y el interés interés del Triángulo de Pascal radican en su aplicación en álgebra.
Composición del Triángulo de Pascal El Triángulo se construye de la siguiente manera: sobre un papel, ojalá cuadriculado, escribimos el número «1», centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente y separadas por una casilla en blanco (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dicha casilla; continuamos el proceso escribiendo, en las casillas inferiores, la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...
Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» indican los coeficientes de los términos de los binomios:
pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio: .
Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton La expresión que proporciona las potencias de una suma
se denomina Binomio de Newton.
(1) En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios. El uno de la primera línea o renglón corresponde al único coeficiente de (a+b)0 = 1 (o término independiente), el segundo renglón corresponde a los coeficientes de (a+b)1 y asi sucesivamente. Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b) n se encuentran en la línea «n + 1» del Triángulo de Pascal. Hemos visto que era cierto para n = 2 y n = 3; también lo es para n = 0: (a + b) o = 1 = 1·a ob0 y con n = 1: (a + b)¹ = a + b = 1·a + 1·b.
Para obtener el resultado de cualquier valor de n ∈ N, se procede por inducción matemática. Suponiendo que es cierto para un valor de n, deducimos que lo es también para n+1. n+1. En general el n binomio de Newton se expresa como: a ± b Con respecto a los exponentes vemos como el primer término del resultado es el primer término del binomio elevado a la misma potencia del binomio, multiplicado por el segundo término del binomio pero elevado a la cero que es 1. El segundo término de la respuesta es el primer término del binomio con una potencia una unidad menor que el anterior (n), multiplicado por el segundo término del binomio a una potencia una unidad mayor que la que tiene en el anterior (1). El exponente de la a disminuye una unidad en cada término, mientras el exponente de la b aumenta una unidad término a término, empezando con potencia cero. Cuando el signo que separa los dos términos del binomio es menos, los signos del resultado van alternados empezando con el más.
Observemos lo que sucede con n = 4.
El desarrollo de (a + b) 4 consiste en el desarrollo de (a + b) (a + b)³. Si sólo se escriben los coeficientes, obtenemos la siguiente suma:
Obviamente, aparecen las mismas cifras desplazadas en una posición: la suma consiste en
añadir a un coeficiente el coeficiente situado a su derecha, y esto es justamente lo que se obtiene en el triángulo de Pascal.
Coeficientes del binomio de Newton
Ejemplo: Desarrollemos el binomio:
( a + b )7= Como vemos, n = 7 entonces desarrollamos el polinomio con los coeficientes de la fila 8 correspondiente al grado 8 del triángulo de Pascal, los cuales son:
1 , 7 , 21 , 35 , 35 , 21 , 7 , 1
Sustituyendo en la serie de Newton:
Ejemplo: Desarrollemos el binomio: ( 2x+ 3 ) 5= Los coeficientes correspondientes a n=5 según el triángulo de Pascal son: 1, 5, 10, 10, 5, 1 ( 2x+ 3 ) 5 = 1(2x)5(3)0 + 5(2x)4(3)1 + 10(2x)3(3)2 + 10(2x)2(3)3 + 5(2x)1(3)4 + 1(2x)0(3)55 = (1)32x5(1) + (5)16x 4(3) + (10)8x3(9) + (10)4x2(27) + (5)2x(81) ( 5)2x(81) + (1)(1)(243) = 32x5 + 240x4 + 720x3 + 1080x2 + 810x + 243
Adaptado de Wikipedia por Carlos E. Villa
