MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN DEFINICION DEL n-FACTORIAL - COEFICIENTE Y TEOREMA DEL BINOMIO De…nición Si n es cualquier número natural, el número n (n 1) 3 2 1 se llama el factorial de n; y se denota n! n! = n (n 1) 3 2 1: Se de…ne 0! = 1: Esta expresión expresión puede usarse usarse para expresar expresar el número total de formas formas de ordenar o acomodar un número de objetos distintos. Así, el número total de formas de diferentes de acomodar n objetos distintos es n!:
Combinaciones. Si queremos formar todos los posibles subconjuntos de tamaño r de un conjunto de n elementos, r n, sin importar el orden, diremos que estamos haciendo combinaciones de los elementos. Como el orden de los elementos en un conjunto carece de importancia, las combinaciones fA ; B ; C g y fA; C; B g son iguales. El número de combinaciones de n objetos tomados en grupos de r a la vez (esto es, el número de subconjuntos de tamaño r, dado un conjunto de tamaño n) se denota
n : r
Ejemplo es; B ernardo; ernardo; C atalina atalina;; David; David; Estelag = fA ; B ; C ; D ; E g :se En un club cuyos miembros son fAndres; quiere formar comités de 3 miembros. Se pueden formar los siguientes:
fA ; B ; C g ; fA ; B ; Dg ; fA ; B ; E g ; fA; C; D g ; fA; C; E g fA ; D ; E g ; fB ; C ; D g ; fB ; C ; E g ; fB ; D ; E g ; fC ; D ; E g : Es decir, hay 10 posibles posibles comités. comités. Como en las permutaci permutaciones, ones, no se permiten permiten repeticiones, repeticiones, en este caso fB ; B ; E g no es un subconjunto o comité válido.
Teorema El número de combinaciones o subconjuntos, de n objetos distintos distintos tomados en grupos de r a la vez, donde r n; está dado por
n r
La expresión
n r
=
n! : r! (n r )!
se lee n tomados en grupos de r:
¿Cuándo Aplicar Combinaciones? Las combinaciones se aplican cuando (1) no se permiten las repeticiones, y (2) el orden no es importante.
Ejemplo Esteban quiere comprar 10 libros diferentes pero sólo tiene dinero para comprar 4. ¿De cuánta cuántass maneras maneras puede hacer su selección?
Solución 1
Los cuatro libros elegidos deben ser distintos (no se permiten las repeticiones), y además el orden no es importante en este caso, entonces usamos combinaciones:
10 4
=
10! = 210 maneras. 4!(10 4)!
Luego, Esteban puede seleccionar los 4 libros de 210 maneras distintas.
Ejemplo Todos los miembros de una comunidad desean ir a un evento, pero sólo hay cupo para 12 de ellos ellos.. ¿De ¿De cuántas maneras podría elegirse los 12 participantes si hay un total de 44 miembros?
Solución En este caso, se requieren 12 personas distintas (no se permiten las repeticiones) y el orden de la selección no importa, entonces usamos combinaciones. Así,
44 12
=
44! = 14 :919 maneras. 12!(48 12)!
Luego, la selección de las 12 personas que participarán en el evento puede hacerse de 14:919 maneras diferentes.
2
El Teorema del Binomio Realizando multiplicaciones se pueden encontrar desarrollos de la primera, segunda, tercera, cuarta y quinta potencia de un binomio. Veamos
(x + y )
1
= x+y
(x + y )
2
= x2 + 2xy + y 2
(x + y )3
= x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
(x + y )4
= x4 + 4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy 3 + y 4
(x + y )
5
= x5 + 5x4 y + 10x3 y2 + 10x2 y 3 + 5xy 4 + y5 :
Los resultados anteriores se pueden generalizar de la siguiente forma:
Teorema: Si n 2 Z+ ; entonces
n
n
(x + y ) =
0
n
x + n
1
1
n
x
y+
n
2
2
n
x
2
y +
n
3
x
3
x
3
n
3
y +::: +
n
n1
xy
1
n
+
n y ; n n
o lo que es equivalente n
(x + y ) = x +nx n
1
n
y+
n (n 1)
2!
x
2
n
y2+
n (n 1) (n 2)
3!
n
y3+
n (n 1) (n 2) (n 3)
4!
x
4
n
y 4 + +nxy
Ejemplo Desarrollar la expresión (2a + b)6
Solución Aquí x = 2 a; y = b y n = 6 ; entonces (2a + b)
6
6
6
6
5
6
4
6
3
0
(2a) +
1
(2a) b +
2
(2a) b +
3
6
2
4
6
5
6
(2a) b + (2a) b + (2a) b + b6 3 4 5 6 65 654 6543 = (2a)6 + 6(2a)5 b + (2a)4 b2 + (2a)3 b3 + (2a)2 b4 + 2! 3! 4! 65432 654321 6 b + (2a) b5 + 5! 6! = 64a6 + 192a5 b + 240a4 b2 + 160a3 b3 + 60a2 b4 + 12ab5 + b6 =
2
Ejemplo Desarrollar la expresión (2x 5y )
4
Solución Observemos que 2x es el primer término y (5y ) el segundo, luego 4
(2x 5y )
43 432 2 2 3 4 (2x) (5y ) + (2x) (5y) + ( (5y ) 2! 3! 4 3 2 2 3 4 = 16x 160x y + 600x y 1000xy + 625y : 4
3
= (2x) + 4(2x) (5y ) +
3
1
n
+y : n
