Binomio de Newton Ejercicios Resueltos Paso a Paso de Nivel Preuniversitario ~ Matematica Ejercicios Resueltos

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ÁNGULO ÁNG ULO TRIPLE TRIPLE

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INTEGRAL DE LÍNEA INTEGRALES DE SUPERFICIE INTEGRALES DOBLES INTEGRALES IMPROPIA IMPROPIAS S INTEGRALES TRIPLES JUEGOS CON CERILLOS JUEGOS MENTALES LA ELIPSE LA ESFERA LA PARABOLA LA RECTA

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MÁXIMOS Y MÍNIMOS MÓVILES NOTACION CIENTÍFICA NUMEROS COMPLEJOS NUMEROS MIXTOS NUMEROS RACIONALES NUMEROS ROMANOS NÚMEROS DECIMALES NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS IRRACIONALES NÚMEROS NATURALES NÚMEROS PRIMOS NÚMEROS REALES OPERACIONES CONJUNTOS

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03/03/13 BINOMIO DE NEWTON EJERCICIOS RESUELTOS PASO A PASO DE NIVEL PREUNIVERSITARIO ~ MATEMATICA EJERCICIOS RESUELT… PROMEDIOS RACIONALIZACION RADICALES DOBLES RAIZ CUADRADA DE UN NUMERO RAIZ CUADRADA POLINOMIO

DE

UN

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INDUCTIVO

RAZONAMIENTO RECREATIVO

LOGICO

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AL

PRIMER

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EN

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El teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia ( x + y )n en una suma que implica términos de la forma ax b y c , donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende de n y b . Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

El coeficiente a en el término de x b y c es conocido como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor).

Formulación del teorema Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de ocasionalmente como

o

(que también es represent ado

) se obtiene la siguiente representación:


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El co efic ien te de

donde

en e l de sarrol lo de

es

recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos

a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

El coeficiente a en el término de x b y c es conocido como el coeficiente binomial

o

(los dos tienen el mismo valor).

Ejemplo Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de pascal: ( 2 )

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

Teorema generalizado del binomio (Newton) Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita: ( 3 )

Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r , ya que los otros factores ( r − 1), etc., no aparecen en ese caso). Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean s uficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

Coeficiente binomial Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como

de forma sencilla:

Historia Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera ve z por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-


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03/03/13 BINOMIO DE NEWTON EJERCICIOS RESUELTOS PASO A PASO DE NIVEL PREUNIVERSITARIO ~ MATEMATICA EJERCICIOS RESUELT… Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Aplicando los métodos de John Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un gran número de series ya existentes eran casos particulares, ya fuera diferenciación o bien por integración. El descubrimiento de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas finitas. Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento. El teorema binómico para n=2 se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.) , asimismo el término «coeficiente binomial» fue intro ducido por Michel Stifer en el siglo XVI.

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ALGEBRA

BÁSICA,BINOMIO

DE

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