APROXIMACIÓN DE BINOMIAL A POISSON Ejemplos: 1. Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libro libross encuad encuadern ernad ados os en ese taller taller,, tengan tengan encua encuader dernac nacion iones es defectuosas, usando, a la f!rmula de la distribuci!n "inomial, b la apro#imaci!n de $oisson a la distribuci!n "inomial.
Soluci!n: a n 100 p 0.05 p&encuadernaci!n defectuosa p&'#ito q 0.(5 p&encuadernaci!n no defectuosa p&fracaso # )ariable que nos define el n*mero de encuadernaciones defectuosas en la muestra 0, 1, 2, +,....,100 encuadernaciones defectuosas
bn 100 encuadernaciones p 0.05 np &100&0.05 5 # )ariable que nos define el n*mero de encuadernaciones defectuosas en la muestra 0, 1, 2, +,....,100 encuadernaciones defectuosas
l comparar los resultados de las probabilidades con una - otra distribuci!n, nos damos cuenta de que la diferencia entre un clculo - otro es de tan solo 0.00+1, por lo que la apro#imaci!n de $oisson es una buena opci!n para calcular probabilidades "inomiales. 2. 2./n fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo +0
generadores de gran tamao con garant3a. S3 la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el ao dado es de 141200 determine la probabilidad de que a generadores fallen durante el ao en cuesti!n, b que ms 1 de un generador falle durante el ao en cuesti!n. Soluci!n: a n +0 generadores p 141200 probabilidad de que un generador falle durante el ao de garant3a np &+0&141200 +.2 motores en promedio pueden fallar en el ao de garant3a # )ariable que nos define el n*mero de motores que pueden fallar en el ao de garant3a 0, 1, 2, +,....,+0 motores que pueden fallar en el ao de garant3a
b p,+,,....,+0 +.216p�,1 +.2
16 &0.007 8 0.1+0 0.27 +. En un proceso de manufactura, en el cual se producen pie9as de )idrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pie9a sea indeseable para la )enta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 pie9as tiene una o ms burbujas. ;ul es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 000 pie9as, menos de + de ellas tengan burbujas<
Soluci!n: n 000 pie9as p 141000 0.001 probabilidad de que una pie9a tenga 1 o ms burbujas np &000&141000 pie9as en promedio con 1 o ms burbujas # )ariable que nos define el n*mero de pie9as que tienen 1 o ms burbujas 0,1, 2, +,....,000 pie9as con una o ms burbujas
0.000++= 8 0.002== 8 0.0107 0.01+7==
Ejemplos: 1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuaro cheques sin fondo en un día dado, b) 1! cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecui"os# Soluci$n: a) % & "ariable que nos de'ne el n(mero de cheques sin fondo que llean al banco en un día cualquiera & !, 1, 2, *,+.., ec., ec. l & 6 cheques sin fondo por día e & 2.1b) %& "ariable que nos de'ne el n(mero de cheques sin fondo que llean al banco en dos días consecui"os & !, 1, 2, *, ++, ec., ec. l & 6 % 2 & 12 cheques sin fondo en promedio que llean al banco en dos días consecui"os
oa: l siempre debe de esar en funci$n de % siempre o dicho de ora forma, debe /hablar0 de lo mismo que %. 2. En la inspecci$n de hojalaa producida por un proceso elecrolíico coninuo, se ideni'can !.2 imperfecciones en promedio por minuo. eermine las probabilidades de ideni'car a) una imperfecci$n en * minuos, b) al menos dos imperfecciones en minuos, c) cuando más una imperfecci$n en 1 minuos. Soluci$n: a) % & "ariable que nos de'ne el n(mero de imperfecciones en la hojalaa por cada * minuos & !, 1, 2, *,+., ec., ec. l & !.2 % * &!.6 imperfecciones en promedio por cada * minuos en la hojalaa b) % & "ariable que nos de'ne el n(mero de imperfecciones en la hojalaa por cada minuos & !, 1, 2, *,+., ec., ec. l & !.2 % &1 imperfecci$n en promedio por cada minuos en la hojalaa &134!.*651-!.*651-) & !.26716 c) % & "ariable que nos de'ne el n(mero de imperfecciones en la hojalaa por cada 1 minuos & !, 1, 2, *,+.., ec., ec. l & !.2 % 1 & * imperfecciones en promedio por cada 1 minuos en la hojalaa
APROXIMACIÓN DE BINOMIAL A NORMAL Ejercicios resueltos del tema
1. Un examen tipo test consta de 40 preguntas a contestar verdadero o falso.El examen se aprueba si se contesta correctamente al menos 25 preguntas. Un alumno responde al examen al azar. Halla la probabilidad de aprobar el examen
2. El 5% de los libros prestados en una biblioteca de un centro escolar son técnicos. i se toman los !ltimos 500 préstamos" calcula la probabilidad de #ue se $aan prestado entre 25 &0 libros técnicos.
3. El porcenta'e de vacas #ue enferman después de suministrarles una determinada vacuna es del 2% .En una gran'a se vacuna a (00 vacas a) Halla el n!mero esperado de vacas vacunadas #ue no enfermar)n b) $alla la probabilidad de #ue como m)ximo" enfermen 20 vacas vacunadas 4. Un control de calidad es superado por cuatro de cada cinco art*culos de pesca . e someten a dic$o control un total de 225 art*culos . a) +,uantos art*culos de pesca se espera #ue superen el control de calidadb ,ual es la probabilidad de #ue superen el control de calidad entre /0 /1 incluidos art*culos 5. 8n e%amen ipo es consa de *- preunas a conesar "erdadero o
falso. El e%amen se aprueba si se conesa correcamene al menos 2! preunas. 8n alumno responde al e%amen lan9ando al aire una moneda conesando "erdadero si sale cara falso si sale cru9. ;alla: a)
6. 8n ciero equipo elecr$nico esá formado por 1!! componenes conecados. Si cada componene iene una probabilidad de !.!2 de
romperse cunado el equipo es lan9ado en un cohee, h allar la probabilidad de que al hacerlo se rompan 1! o más componenes. . Suponamos que un irador iene probabilidad de !.7 de acerar en la diana. ;allar la probabilidad de que despu>s de reali9ar 2! disparos halla acerado al menos 7 lan9amienos. ;acerlo mediane la disribuci$n binomial la apro%imaci$n normal comparar los resulados. -. 8na máquina produce componenes que son defecuosos en un 1!?. Se elie al a9ar una muesra de esos ! componenes. @alcular las probabilidades de que a) como mucho 6 componenes es>n defecuosos, b) ena * o más componenes defecuosos. 3.
En una estadistica #ue realizo una Empresa de ,elulares" encontro #ue 0% de los celulares robados no fueron recuperados. e reportaron en un mes 200 robos" +,!al es la probabilidad de #ue no se recuperen" a a lo mas /45 de estos celulares-" b entre /&0 /55 de estos celulares inclusive-" c m)s de /50 de estos celulares" d exactamente /21 de estos celularesolucin a p 0. # 0.& n 200
Ejemplos: 1. >a probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es de 0.. Si se sabe que 100 personas ?an contra3do esta enfermedad, ;ul es la probabilidad de que: a al menos +0 sobre)i)an<, b ms de = sobre)i)an<, c menos de 50 no sobre)i)an< Soluci!n:
a n 100 p p&paciente se recupere 0.0 q p&paciente no se recupere 1 @ p 1 @ 0.0 0.=0 np &100&0.0 0 pacientes se recuperen pacientes que se recuperan # )ariable que nos define el n*mero de pacientes que se recuperan # 0, 1, 2,....,100 pacientes que se recuperan
6 23.5
µ
40
p& 9 62.1 0.+ p&# +0 p&9 62.1 80.5 0.+ 8 0.5 0.(+
a
p&9 1.++ 0.02 p&#
= 0.5 @ p&9 1.++ 0.5 @ 0.02 0.0(1
b) n 100 p p&paciente no sobre)i)a 0.=0 q p&paciente sobre)i)a 1 @ p 0.0 pacientes que no se recuperan pacientes que no se recuperan
# )ariable que nos define el n*mero de pacientes que no sobre)i)en # 0, 1, 2, ....,100
p& 9 62.1 0.+ p&#
50 0.5 @ p&9 62.1 0.5 @ 0.+ 0.01=2
2. /na prueba de opci!n m*ltiple tiene 200 preguntas, cada una con posibles respuestas, de las cules solo una es la correcta cul es la probabilidad de que al a9ar se den de 25 a +0 respuestas correctas para 0 de las 200 preguntas acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos< Soluci!n: n 0
p p&dar una contestaci!n correcta 0.25 q p&dar una contestaci!n incorrecta 1 @ p 0.75 preguntas contestadas correctamente preguntas contestadas correctamente # n*mero de preguntas que son contestadas correctamente 0, 1, 2,...,0
,
p&91 1.1= 0.+77
, p&92 2.71 0.(== p&25 # +0 p&92 @ p&91 0.(== @ 0.+77 0.11(=
3. Si +5% de los productos manufacturados en cierta l3nea de producci!n es defectuoso, cul es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos manufacturados en esa l3nea a menos de +5 productos sean defectuosos<, b entre +2 - += productos sean defectuosos<, ce#actamente +5 productos sean defectuosos< Soluci!n: an 1000 p p&un producto sea defectuoso 0.+5 q p&un producto no sea defectuoso 16 p 0.=5 productos defectuosos 15.0+1 productos defectuosos # n*mero de productos defectuosos que se manufacturan en la l3nea 0, 1, 2,..., 1000
, p&9 0.2+ 0.0(1 p&# +5 0.5 8 p&9 0.2+ 0.5 8 0.0(1 0.50(1
b
,
p&91
6
0.5=
0.212+
0.(=, p&92 0.++15 p&+2 # += p&91 8 p&92 0.212+ 8 0.++15 0.5+
0.(=
c
0.2+,
p&91
0.2+
0.0(1
, p&92 0.117( p&# +5 p&9 2 6 p&91 0.117( @ 0.0(1 0.02=(
0.+0
APROXIMACIÓN DE POISSON A NORMAL APROXIMACIÓN DE CHI CUADRADO A LA NORMAL
