Bazele Electrotehnicii

mare

'

 ^ f t  ^ co mpone onenta nta r -  0, r —» oo §i (p (p = — comp

liberS liberS a curentului cure ntului

2 ,

se atenueaza foarte incet. In cazul cand  p  ip , tensiunea aplicata in momentul comutafiei trebuie sa treaca prin zero. Curba curentului pentru 71 pe ntru valori mari ale a le lui r este prez p rezen enta tata ta in fig. 1.14 .14. iff - (p = — §i pentru Dupa Du pa o jumatate jum atate de perioadS perioadS (T/2), de la conectarea circuitului, circuitului, curentul curentul atinge atinge o valoare valoare aproape dubla f a $ de amplitudinea sa. Concluzie: 1. La conecta con ectarea rea circuitulu circ uituluii cu r,  L   la o sursa de tensiune sinusoidala, curentul tranzitoriu poate atinge valori ce nu dep£ dep£§e §esc sc valoarea dubla de la amplitudinea componentei componen tei permanente. perma nente. 2. Valoare Va loareaa initials a componen comp onentei tei libere a curentului curent ului este este egala cu valoarea inifiala a componentei permanente, dar de semn opus. 3. Dac5 in mom entul conectarii conec tarii circuitului i,   (0) este egal cu

zero, atunci §i §i /,(0 /, (0 ) = 0 ; compo c omponenta nenta libera a curentului curentului nu nu

exists §i se stabile§te imediat regimul stafionar. Aceasta va avea loc daca  y/ —( —(p —0   sau daca  y/ - (p - 7 t . 3a. La un circuit ramificat cu o singura inductanfa (fig. 1.15) constanta de timp tim p are expresia expre sia :  L

Curentul tranzitoriu unde :

 (0 =v h (0

=iu +Ae T,

 A —iu( —iu ( Q ) = iL(0) —  i,f  (0).

Deci

(I 40)

h  ( 0 = h i + [ h ( ° ) " V ( 0 ) ] Ae ' , A -^ r

f i

Fig. 115

1.8. 1.8. + O-

t

V 

o

---------

unde: Deci :

C ircuit r,C conectat ia o sursa de cu ren t con tinuu Se considers un circuit r, C   conectat la o ssurs ursS S de tensiune continu con tinuaa (fig. 1.16 1.16). ). Tensiunea tranzitorie este :

Fig. 1.16

i ' .   (•')=<'„ ><'„•

unde : U(J =U  , U a = A e r‘ r‘ \ p  = - rC  Constanta de integrare rezulta din condijii inipale : 0)) - U Cl  (0)   (0) =i 11a  (0),  A - U c ( 0

confo rm legii legii de eoinuta{ie eoinuta{ie §i UC/ ( 0 ) ~ (I  V c ( 0 ) = 0 conform  A = - U

V ,   (/) = V  ( l -

r 

(141)

Curentul tianzitoriu in circuit (in conden con densato satoi) i) aie expresia : U  u  — e (1.42) r \ dt  In fig. 117 sunt reprezentate curbele V c

Concluzii: I. Tensiunea la bomele condensatorului §i curentul in circuit nu se stabilesc momentan. 2. Tensiunea Tensiu nea create curentul descre§te cu atSt mai Incet cu cat este mai mare constanta de timp a circuitului “ r*‘, adicS cu cat mai ince in cett se atenueazS componenta liberS a tensiunii Uci3. Procesul de 1*17 ■ descSrcare a unui condens con densato ator  r   printr-o  prin tr-o rezistenfS are ar e o fnsemn&tate practicS la calculul regimurilor tranzitorii in circuitele utilizate in automatics, telemecanicS, in circuitele electronice ?i de telecomunicafie. 1.9. 1.9.

Circuitul Circuitul r, C conectat la o sursS de curent alternative Se considers un circuit r,C ce se conecteazS la o sursS de tensiune sinusoidalS (fig. 1.18). u = Umsin (art (1.43) (art + y / ) .

Tensiunea tranzitorie are expresia **»*»'*

uc( , ) ~ Uqr  + «a ,

( T 4 4) 4)

Constanta de integrare A se determinS din condipa initials Uc (0_) (0_) = U c (0) = Uc (0 ,) = 0 RezultS: l/c,( 0 ) = £/c ( 0 ) - l / f f ( 0 ) = 0 - ^ s i n ^ - « > - | V .

.

(

a '

V - V - - .

Astfel Astfel tensiunea tranzitorie are expresia: <145)

Curentul tranzitoriu are expresia: .(1.46) i ( t ) = C ^ £ - = —     ccs
i ( 0 ) = ^ JS-5in -5 in\f \f/  / , adicS apar salturi de curent la conectarea r  • unor linii aeriene sau in cablu fSrS sarcinS. t ) are o formS asemSnStoare 3) Curba U c ( t) asemSnS toare cu cea a

curbei curentului i(t)  in circuitur r, L   la tensiune altemativS. T 3T  4) DupS DupS un interval de timp tim p cuprins cup rins intre in tre — §i §i —  4 4 tensiunea la bomele condensatorului atinge valori, ce depa$esc amplitudinea componentei permanente.

5) Tensiunea la bomele condensatorului U c   are valoare maximi daca la conectarea sursei de tensiune aceast£ tensiune trece prin valoarea maxima ( y - ( p = n ) ,   iar constanta de timp a ciruitului r  este toarte toarte mare (tinde spre infinit). infinit). Curba Cu rba uc(t) tn cazul caz ul este analoagS curbei curentului cure ntului din fig fig. 1.1 1.14. 6) Dupa un un interval interval de de timp ^ T  de la conectare con ectare tensiunea uc ,  atinge o valoare egala cu dublul dublul valorii valorii amplitudinii in regim regim stafionar. ; ^ C  max ~ 2 ^ cm '  

7) Daca in mo mome mentul ntul ronectarii ronec tarii este valabila relafi relafiaa U Q (0 ) = 0 , atunci §i Ua  (0) = 0. In circuit se stabile§te imediat regimul stafionar. 1.9.1 C ircuit m ultiplu ram iflcat cu un sing ur condensator  Se considera circuitul din fig. 1.19. Tensiunea tranzitorie are expresia:

 I  uc (t )  = UCf  + Ua — Mcy + A  Aee '  »

unde r - ( r + / ; „ ,) ,) € ;  pentr  pe ntru u

t=0 - + i +I h h r\

de unde

 A ± U f ( 0 ) - V Q ( 0 ) .

4 -^-3

Deci avem: M

O

(

O

)

]

*

’' " •

(U 7 )

1.10 S cu rtcircuitarea ram urii cu r, C Se consider^ circuitul din fig. fig. 1.20., 1.20., un cond co ndesat esator or in serie serie cu un rezistor, care este scurtcircuitat scu rtcircuitat la un m om oment ent dat da t (se Tnchide TntrerupStorul  K 2 ).  ). Se presupune cS initial condensatorul “C” a fost TncSrcat de la o sursS de curent continuu p&nS la tensiunea f/o = E . fnchizand intrerupStorul K 2 , condensatorul se va descarcS pe rezistrorul “r”. Tensiunea la bomele * co n den sa toru lu i §i c u re n tu l “ i” de descarcare au numai componente libere, deoarece if = 0; Ucf -  0. Conform teoremei a doua a lui Kirchhoff pentru conturul con turul in care se descarcS condensatorul avem: U cl   _ r d Uc Fig. 1.20.

sau rC ^ * L + t /a = 0 ’

(1.48)

J .

deunde

rc , Ucl(t)= A -e " = U0e U0e *

Constanta Constan ta de integrare A se determinS determinS din condifia cond ifia Uc (0 ) = U0 =  A , iar curentul tranzitoriu are e xpresia xpre sia : . d U r 

0 = c : dt

tJ 

(14 9) initials

(1.50)

r  Curbele tensiunii curentulu cure ntuluii sun suntt reprezen repre zentate tate Tn Tn fig. 1.21. Din punct de vedere energetic, procesul de scurtcircu scur tcircuitare itare al ramurii ramu rii cu r, C se caracterizeazS prin

.rausfonnarea in caldurS a condensator pan& la comuta|ie:

energiei,

inmagazinata

in

J i2rdt  =  = —£-J e ^ d t - —— . (1.51 1.51)) 0 2 0 2 Dacd condensatorul din ramura r, C este alimentat de la o surs§ de curent altemativ, atunci tensiunea pe condensator la momentul t  = 0 va corespunde corespu nde tensiunii pe condensator in momentul comuta(iei. •

1.11. Procesul tranzitoriu in circuit circuit neram iflcat cu r, L, C Se con siders side rs circuitul din fig. fig. 1.22 1.22.. Un conden con densator sator C  incdrcat la tensiunea Uo  se descarcS pe o ramurS r, L. Conform teoremei a doua a lui Kirchhoff (schema dupS comutafie) se II poate poate seri serie: e: c :|i/u (1.52) (1.52) rii + L — j L + uc, = 0 ,

F* 122

unde

i

in

dt dt   Introdu Intro ducan cand d valoarea i/ in ecua ec ua|ia |ia (1.52) (1.5 2) rezultS o ecuafie diferenfialS de gradul doi:

(153,

1

?

§i derivSnd

d ' u“ u“ , r Ju« | 1 d t2 L dt LC  Ecua|ia sarcinii libere in condehsator are expresia:

, r H  ,

1

Luand derivata de timp de la ecua{ia (1.54) cu condifia (1 3 3 ) primini ecua)ia difcren|ialS difcren |ialS fa(S de »/:

(1 56)

Indentitatea ecuapei diferenpale demonstreaza legea variapei «a, qi, »/• La rezolvarea oricSrei dintre aceste ecuapi diferenpale se serie ecuapa caracteristicS:

Caracterui procesului liber depinde depin de numai de parametrii parame trii circuitului r,  L, C,  adicS de tipul rSdacinilor ecuapei caracteristice. RSdScinile se determinS din expresia:

Caracterui procesului liber depinde de semnul expresiei de sub rSdScina pStratS, adicS de rSdScinile ecuapei caracteristice, care pot fi numere reale sau complexe. 1.11.1. Descircarea aperiodic* a condensatorului

Descarcarea aperiodicS aperiodicS a conden con densatoru satorului, lui, in prealabil incSrcat incSrcat,, se numegte descSrcarea d escSrcarea in rezist rez istor or §i bob bobina ina (fig. 1.22 1.22)) cin d tensiunea la bom ele condensatorului conden satorului descre$te descre$te treptat de la V q  panS la 0, adicS nu are loc reancSrcarea condensatorului. Din punct de vedere energetic aceasta iuscamnS cS la descSrcarea descSrcarea conden co ndensatorului satorului energia energ ia fumizatS de la el se transform^ intr-o’micS m&surS in energia campului magnetic al bobinei, iar cea mai mare parte a encrgici este disipatS (absorbitS) pe rezistor. De la un moment dal, se transforms in cSldurS nu numai energia campului electric a condensatorului, dar $i energia inmagazinatS inmagazinatS in cim p u l magnetic magn etic al bobinei. DescSrcarea DescSrcarea aperiodicS a conden con densatoru satorului lui are loc, loc, dacS rSdSc rSdScini inile le ecuapei ecua pei caracteristice carac teristice sunt num ere reale, ud udic icd d este

t u 't e  

sau

r > 2M

=r-

 

( l5 9 )

rf r - s e nume§te nume§te reziste rezistenfS nfS critics, critic s, valoarea cea mai micS micS a rezistenfei pentru care procesul liber are un caracter aperiodic:

 p \ §i  p i   ale ecuapei caracteristice sunt reale RSdScinile  p\ negative §i diferite diferi te dacS este indeplinitS indeplinitS condipa: r>r„. in acest caz solupa ecuapei diferenpale omogene de gradul doi are expresia: U 0 =*Aiep ie p'1+ Ai e p'-', '-', 

(1.60) unde /\| $i  A i   sunt constante de integrare, care se determinS din condipile inipale;  p\  p \ $i  p 2  sunt mSrimi reale negative $i diferite, deoarece procesul liber trebuie sS fie atenuat (amortizat) in timp. In conformitate cu (1.53), curentul «/ are expresia: i , = C ^ = C ( / V p ,< l v + ^ p !« w ) .

(1 .61 )

La descSrcarea condensatorului uc/ - 0, i f - 0 §i deci dec i mSrimile tranzitorii sunt egale cu mSrimile liber libere: e: M O - W c / M ; * ( ' ) = ' / ( ') ') Folosind condipile inipale se Uc(0)=Uo, i(0)=0 , determinS determinS constantele de integrare  A t   §i A2. Introducan Introd ucand d condip co ndipile ile inipale inip ale in (1.60) §i (1.61), rezult rezultS: S: 1/o = A  + ^2 0 = A ,p , p , + i4 i4 2p J ’

de

unde

 Ai = -£2 ^2 _; P i ~ Pi

 a 2 =

—

- .

P i ~ Pi 

Inlocuind in  ecuapi/e (1.60) ?i (1.61),  rezulta. P.V*'' ) ; uc ( ') = “t / ( 0 = —~ - ( P2e*'   P2e*'  - P.V*  P i ~ P\ ’ 

( | .62)

i ( l ) = i ' ( ') = - - F-?U° ( e P" ~ *w ) ,  P2 ~Pi ~P i

dar

 Pll P 2 = T c '  P

  __  L - - 2 Jj Jj!—  _ P2~ P2 ~ P'   L C  ’ V4L2  LC 

§i atunci:

Tensiunea la bomele bobinei are expresia: M*)= lT = ^ “ A ^ ') UU -6 4 ) <*t P i - P i Curentul, tensiunea pe capacitate §i tensiunea pe bobina au do douS uS componente exponen expo nenpale pale cu coeficienp coefic ienpii de atenuare  pi §i  p 2 determinap din ecuapa (1.58). C urbe ur bele le de varia va riape pe ale mari mi lor k< . «/.. /.. » comp co mpon onen entele tele lor sunt repreze rep rezentat ntatee in fig. fig. 1.23. 1.23. a, b. Ele demonstreaza, cfi tensiunea uc   se mic$oreaza lin de la f/()l iar curentul create de la zero pan3 la maximum, apoi descre$te, de asemenea. Tangenia Tang enia la curba w<~ m origine este orizontal orizontalS; S; curba are maximjul in momentul inipal, ceea ce rezulta din condi condipa pa i(0 ) = 0. •

r ' Deoarece Deoa rece <- C ^ - ,   maximul curbei curentului §i &v! *Zs.: V r- ::' dt  r - i if- f i  punctul  pun ctul de infle in flexiu xiune ne al curbei curb ei tenssunii tenssuni i u c  *e obp ob p n j in acela^i acela^i  punct  pun ct core co resp spun unza zato torr mo mome ment ntulu uluii t\. c* X Valoarea timpului t i poate fi gfoitft din comHtia c*

derivata deriva ta — sS fie fie egala eg ala cu zero. zero. dt  u0, Tensiu Te nsiunea nea pe bob bobina ina variazS variazS de la m Crim Crimea ea u0, deoarece pentru t  = 0 , i §i ur   (tensiunea pe rezistenfS) sunt egale cu zero ?i prin urmare tensiunea pe capacitate §i tensiunea pe bobina sunt egale tntre ele. Tensiunea pe bobina la inceput descre§te, pe urmS trece prin zero momentul mom entul cand curentul are valoarea valo area maximS maximS (ceea ce rezulta rezu lta

din

relafia

u L =  L —  §i cre§te c re§te p ana an a la o dt  oarecare mSrime valoare pozitivS maxima, dup& care descre§te $i tinde la zero.

Fig 1.23 Pdn& cand curentul descre§te algebric (de la 0 pan5 la ti ) f.e.m. indusS, ce menfine curentul in conformitate cu legea lui lui Lentz, are semnul semn ul plus (+), (+), iar tensiunea pe bobina semnul semn ul negativ ne gativ (-). (-). Cand curentul Tnce ncepe sa creasca algebric, f.e.m. indusa se opune lui §i va fi negative, iar tensiunea pe  bobi  bo bina na * po pozit zitiv iva. a. Punctul de maximum al curbei “uL"   §i punctul de inflexiune al curbei “i” coincid §i au loc Tn momentul de timp /2 / 2, care se poate determina din egalitatea-

U  =  L —  U  l  L d t '  

cSnd

L=0 ■ dt  Din expresia (1.58) urmeazS, cS marind valoarea inductanfei “L” se mic$preazS mic$preazS valorile absolu abs olute te ale mari mi lor  pi §i  p 2 §i prin urmare urm are ,se mic§oreazS mic§oreazS cre§terile curentu cure ntului lui $i cSderii de tensiune la borpele condensatorului. ^

1.11.2 1.11.2 DescSrcarea aperiodlco-critlcS aperiod lco-critlcS a condensa cond ensatoru torului lui

DacS este Tndeplinit^ condipa

r - r er = 

rSdScinile

 p\ §i  p 2  sunt mSrimi reale negative §i egale, adicS: P \~ P i ~ P ~

Solupa ecuapei diferenpale omogene doi lea este:  pentru  pen tru tens te nsiu iune neaa la b om ele el e cond co nden ensa sato toru rulu lui: i: u o = u c  = ( A

0 65)

•.

de

+ A l t ) e pl , 

iar curentul are expresia: i, =i' =i ' = C(i42 C( i42 + py41+ pi42 i42/ ) e p' . Din condipile inipale constantele de integrare :

gradul

al

(1.66)

(1 6 7 )

U^(0)=Uo, i(0)=0   se determinS

4 = £ / 0 ; \ = - p U  0 . IntroducSnd At $i A 2 Tn (1.6 (1 .66) 6) §i (1.6 (1 .67) 7),, avem: ave m: uc ( t) t ) = U 0 ( l - p t ) e p l ,  i( t) = -C p 2U0tepl tepl = - ¥ ± t e p‘.  L j 

(1.68) (1 69 69))

Tensiunea Tens iunea la bom ele bobinei are expresia: u L ( t ) = L j t = - U 0( 0(l + p t y ' .  

(1.70)

Curbele de variape varia pe ale mari mi lor j, uc, ul  nu se deosebesc deosebe sc dupa du pa form ula de curbele din fig. 1.23 1.23 a, a, b. b. 1.11.3. DescSrcarea periodico-oscilantS a condensatorului Daca

este

indeplinitS

condipa:

r
descarcare desca rcareaa condensatorului conden satorului va fi periodic^ (oscilan (oscilantS). tS). Rezistenfa conturului este mai mica de cat rezisten{a critics §i radScinile ecuapei caracteristice sunt numei-e complex conjugate: r   Pii = ------ + J  1 1  P ' 2L \L C

r2 AL2 ’

r2 r  1 1  P i -  — —  J  2 2L \ L C   Al} Se noteazU A§a ca

h

(1.71) -

 2 r  2 2 * _  1 1  LC   AL1 T0 V  LC  1 c  yjb2  yj b2 + a)2 = JJU— 4Xy Xy

r • f     

 a  1   l       a 

-

1  

unde; (do -  puisapa proprie, s j 7'o - perioa per ioada da pu pulsa lsapil pilor or proprii, prop rii, s. Cu notapile de mai sus, rSdScinile caracteristice devin:  pl  p l = ~ b + j a )0 ;  p 2 = -b - jaiy .

ecuapei (1.72 (1 .72))

Din matematicS este cunoscut, cS solupa ecuapei diferenp dife renpale ale cu rSdSc rSdScin inii complexe. com plexe. se poate serie sub fonna fo nna UimStoare: tensiunea tensiune a pe condensator are expresia: « ‘fc*in ( a y + v ) , ( 1 .7 3 ) imc (f )» A e ‘fc ajn'iitul din circuit va avea atunci expresia:

ii{t i{t ) ~ C~ ^ ’~ CAe 'X  X(^sin(fly+v)+a^cos(aj|/+v)),  (1.74)

unde v - faza initials,  A -cons -co nstanta tanta de integrar integrare. e. MSrimile  A   §i v se determina din condipile inipale stabilite lit uc (0 ) = U0, i(0 ) = 0. conformitate cu legile comutapei: Din ecuapile (1.73) §i (1.74) rezultS pentru f = 0:

U0 =xA sin v

(175)

0 = CA ( - b sin v + a)0 cos v ) De unde

1

 A = U  " U  l  l

cosv

c  -

sinv =  A,, Introducand expresiile mSrimilor  A ecuapile (1.73) §i (1.74), rezultS:

unde

U Cm

sin v, cos co s v

in

« c (0 = t/c m ^ sin(ft)0f + v ) ,

(176)

i{ t ) = I ne b‘ sin(to sin (to0 0/ + 7r),

(177)

(* ) = u  L  Ln,e'lM sin ul (*)

(1.78)

un Vu* -

(a y -v ), un . u,  I  = a)0L

In fig. 1.24 suntt sun reprezentate curbele uc (t), i(t).  Curentul, tensiunea pe condensator §i tensiunea pe  bobin  bo binS S sunt su nt func fu ncpi pi sinusoidale amortizate cu  pu  p u lsa ls a p a p ropr ro prie ie “(0o “(0o” §> factorul de amortizare ”b", care depind dep ind ca §i faza

inifial inifialS S ‘V ‘ numai de parametrii para metrii r,  L, C. MSrimile Ucm, Ucm, Ulu, Ul u, h„  - depind de parametrii conturului conturulu i §i de tensiunea inipala la la bom ele condensatorului conden satorului «0 =wc =wc (° ) Din ecuapile ecua pile (1.76), (1.77), (1.78) reiese cS intensitatea curentului este defazatS tn avans fa{£ de tensiunea la bomele condensatorului cu ( tt- v ) . Curbele u c , i   nu sunt pur sinusoidale, ci au caracter sinusoidal - amortizat. Pentru fiecare semiperioada, semip erioada, zona de cre§ter cre§teree a curbei ocup oc up i pe ordonatS ordonatS mai mai pu pn de zona de descre§tere - mai mult de

— T  , iar  4

, deoarec deo arecee in relapi

apare factorul - e~bl. 1.11.4. Determinarea mSrimilor instantanee uc, i fi «l AsemSnStor AsemSnStor fun'’pi fun'’pi lor sinusoidale, sinuso idale, la care mSrimile momentane se determinS prin proiecpa vectorului pe axa imaginarS, mSrimile momentane pentru uc, i, ' ul  pot fi detenninate ca proiecpi pe axa verticals ale vectoriior

 • ^Lme ~b‘ »  K e bl * ce se rotesc cu viteza unghiularS unghiularS 0Jb. U Cme~bt  • Lungimea vectoriior descre§te e~bl.  prop  pr opor ortio tiona nall cu m arim ari m ea Extremitaple acestor vectori descriu o spirals spira ls logantmicS. Astfel, Astfe l, poate fi fi constructs diagrama vectoriala din fig. 1.25. Din aceasta diagrama vectoriala reiese cS tensiunea uc este defazatS defazatS tn urma curentului cu (7i-v), iar tensiunea u t   este defazatS tn avans fa(S de curent cu (n-v).

Razele - vectorii Utm, l„,r  $i Uu,„ formeaza forme aza un triunghi isoscel isoscel ru numai In momentul initial:  AB + BO + OA = 0 . Aceasta egalitate defazatS reiese din teorema a doua a lui Kirchhoff: Uu + r i,+ U a = 0 . (1.7 (1.79) 9) Viteza de amortizare a oscilatiilor considerate caracterizeazS raportul tensiunilor la momentul t   $i la momentul t  +   + To: M O «/riB*-f *-fcsin (tty + v) t '. ( ' +

)

IV .o '"" "- ' sin[<« n[<«D D(« + 7 i) + v ]

Acest raport se nume§te nume§te decreme decre mentul ntul oscilatiilo o scilatiilorr §i §i este o marime constants care depinde de parametrii r,  L, C  al circuitului §i nu depinde de timp. Logaritmul natural al decrementului oscilatiilor se nume§te decrementul logaritmic al amortiz&rii: U( (t) A = In ---- 7 ~ ~ = bT0  . VrO+ro) Daca curba amortizeazS incet valoarea raportului mSrimilor la momentele t   §i §i (/+7’o) este aproa ap roape pe de un unitate itate,, iar decrementul logaritmic este aproape de 0. Spirala logaritmica se r&suce§te incet. DacS amortizarea are o valoare insemnatS, atunci spirala logaritmicS se va suci destul de repede. Concluzii:. 1 R ezistenja r   influen(eaz& substantial viteza procesului oscilant la descSrcarea condensatorului. 2. Cu mic§orarea rezistenjei “r” se niic§oreaz& §i «jo $i se marejjte perioada Tu. Tu. 3. DacS r ~ r i f   pulsa(ia  pul sa(ia coo va fi egalS cu zero, zer o, iar 7*0 tinde spre in tin it. Acest proces proce s corespund coresp undee descSrcarii descSrcarii aperiod ice. 45

4. La descSrcarea oscilantS a condensatorului, in cazul unei bobine ideale (r=0) rezultS I it  =• ■\tgy \tgy =<^\y =<^\y ~ — \b = 0,  adicS procesul de amortizare °~ T ic ' nu are loc §i coo are valoarea cea mai mare posibilS. 5. Din egalitSfile (1.76), (1.76 ), (1.77), (1.77 ), (1,78) (1,7 8) rezultS, mSrimile u c , i  $i‘ uL  variazS armonic cu pulsafia Q)o:

“c - ^ o s i n ^ + l j ; t/„

rsin rsin(
(1.80)

I

Deoarece r  = 0, energia ene rgia inmagazinatS la inceput incep ut rfim rfimane ane neschimbatS. Energia trece respectiv din campul electric in cSmpul magn ma gnetic etic $i invers.

2. METODA OPERATIONALA Calculul circuitelor electrice liniare tn regim tranzitoriu In afarS de metoda clasicS de rezolvare a ecuapilor integr integro o - diferenpale diferen pale ale circuitelor electrice, bazatS bazatS pe integrarea directi, in studiul regimuiui tranzitoriu se folosesc §i alte al te met m etod odee de ar. *za. Exists metode de analizS in domeniut timp, din care face parte §i metoda de integrare directs a ecuapilor. Se menponeazS in acest sens metoda raspunsutui tranzitoriu la excitapi treaptS sau delta. De asemenea, o metodS, care se impune tot mai mult in teoria modems a circuitelor electrice {  este metoda variabilelor de stare. O aha metodS este metoda operaponalS, cunoscutS din matematicS ca metoda de integrare a unor clase de ecuapi diferenpale liniare. Ideea de bazS a acestei metode constS in a asocia funcpilor de timp cate o funcpe pe baza unor transformSri integrate; funcpa de timp se nume?te originals, iar funcpa obpnutS pe baza transformSrii considerate se nume§te funcpe transformata sau imagine. Pe aceastS cale, ecuapile diferenpale liniare originate se transforms in ecuapi mai simple, algebrice cu necunoscute imagini. Rezolvand aceste ecuapi se determinS imaginea funcpei necunoscute, iar Tntr-o a doua etapS, folosind anumite metode de inversiune, se gSse^te funcpa necunoscutS. In electrotehnicS o iarg iargS S rdspandire rdspan dire o au metode me todele le operaponale opera ponale bazate pe transt'or transt'ormarea marea Laplace $i transforma transfo rmarea rea '■! V Fourie r. - • • ;;

2.1 2.1 Metoda operational* operationa l* pe baza transformarii Laplace Trecerea de la functie-original la imagine se efectueazS cu ajutorul transformarii Laplace. Fie o functie  fi  f i t )   de variabila independents “f” numitS §i functie original. Se nume§te transformata Laplace sau imaginea  F( p)   de variabila. complexS  p = a + j b   definita Laplace functia  F(p) de integral a ( 2 . 1)

= 

0 Concordanta intre  F(p)  F( p)   §i /(f) se serie in felul urmStor  F(p) = f(t). Pentru ca sS existe transformata Laplace este necesar ca integrala (2.1) sS aibS sens, respectiv sa fie convergent^. !n electroteh electrotehnicS nicS avem de a face de obicei cu functii functii pentru care transformarea Laplace este posibilS. FSrS a analiza problema intr-un cadru mai general, se poate menfiona cS integrala (2.1) este convergent^ dacS sunt indeplinite urmStoarele condifii: a) prima condifie se refers la continuitatea funcfiei /(f), pentru f>0, f>0, funcp fun cpaa /( f) sS fie fie netedS netedS pe portiuni; p ortiuni;  b) a do doua ua cond co ndifi ifiee se referS refe rS la part pa rtea ea rea re a ls “a ” a varia va riabil bilei ei complexe “p”: Se poate observa in acest sens cS valoarea absolutS a factorului e pt   (relafia 2.1) tinde spre zero pentru f—>oo da dacS c o 0. Pe de alts a lts parte, pa rte, dacS dacS functia /(f) /( f) create odatS odatS cu “f’ “ f’V V .ia r in in al doilea caz a   * Re (p),   integrala (2.1) are sens deoarece descre?terea exponentialei (ept)  este mai rapidS decat cre§terea funcjiei  fi preze ntate mai sus rezultS rezultS cS integrala  f i t ) . Din cele prezentate (2.1) are sens pentru orice valoare a variabilei “/?” a carui  parte  pa rte rea re a ls e ste st e mai ma i mare ma re deca de catt an,  respectiv a =Re (p)>ao.

 f i t )   i se Transformarea Laplace este biunivoci. Unei funcpi  fi  F(p )   pe baza integralei (2.1), §i invers, asociazS o funcpe  F(p) fiecSrei transformate Laplace  F(p)   fi corespunde pentru t>0 o funcpe originals unica f(t). Se arata, cS funcpa original este exprimatS, fntr-o formS generals, de integrala: ( 2 .2 )

numitS numi tS §i §i formula form ula lui Melin Me lin - Fourier. Fourie r. Pentr Pe ntru u trecer tre cerea ea de la funcpa imagine la funcpa original, In practicS se aplicS diferite metode de inversiune. 2.2. Imaginea constantei

 fi t)= = A,   unde  A -■este o Se cere sS se afle imaginea funcpei  fit) mSrime constants. Conform integralei (2.1). -  A

(2.3)  P  2.3.

Transformata

Laplace

a

funcpei

exponenpale

 / (

= —   

------ .

 P - a

In cazul funcpei func pei sinusoid sinu soidale ale /tO=s /tO=sin inci ciV, V, pnand pna nd seama sea ma de relap re lapaa sin a)t = ~ ( e Ja* -e' *"* ),   pentru transformarea Laplace se obpne 2 j expresia

-----------L L - l = _ f? -F(p) = le "  sintutdt = M  — ----{

2 j [p - ja >

p + ja )

sin ox -

p 2+ 2+ a i \

(2.5)

io  p 2+(D*

2.4. Transformata Laplace a derivatei unei funcfii de timp ^ = p F ( p ) - f ( 0   ).

[ / ( < ) ] ..

(2 .6 )

0 0 Se integrea integ reaza za prin par^ par^ii cu notajiil no tajiile e e~pl  = u = dv f u d v = u v - j v d u

.

Prin urmare

 j * ‘* 4 / ( 0 ] = * ' " / ( ' ) J - j / ( ' M * ' '* '* 1i unde iar

-]f(t)d[eo

Astfel

l

•»

# (o (2.7) dt  a i Transformata   Laplace determinarea imaginei cSderii de tensiune pe inductan(d, adicS a funcpei '  . d i  sau

 _ 

■ ' 1* vonformitate cu relafia (2.7)

* 

 L — ~ L p l ( p ) - L i ( 0 ) ,  dt 

(2.8)

dacS i(0)=0, atunci (2.9)

= l p  H  p  ) ) -

2.5. Transformata Laplace a derivatei de ordinul doi a unei funcfii de timp ( 2 . 10)

Imaginea Imag inea deriva d erivatei tei de orAinul orAinul doi a curen cu rentulu tuluii are urm&to urm&toare areaa expresie: ^

= P 2'
(2.11)

2.6. Transformata Laplace a integralei unei funcfii de timp ( I  >v //(')<* 0 Se cere sS se determine imaginea funcpei  j f ( t ) d t , dacS este o  fi  f i t )   F(p): cunoscut cfi imaginea fimctiei este M

|

|

-

t 

 j j f { t ) d t e~p,d e~p,dtt =   ---- J  j f ( t ) d t d i e - * ] .    P  0 .0 0 _0 _ 

Se

noteazfi

t 

t ) dt d t - u ; d( e~ pl) = dv $i se integreazfi prin  pt o\i. i. J / ( t) pr in  pto\

 P 0.0

.

PLo

J

 p

Astfel  _ F ( P ) //(<>*=

( 2 . 12)

Imaginea tenstun u la bornele condensatorului condensatorulu i uc = — Jidt   Jid t   sau 1 1

u(  = uc (0 ) + — ji  j i d t  este in conformitate conform itate cu relafia (2.12): (2.12 ): Hi(1)

<2. n >

Cp

p

in tab. 2.1 2.1 sunt date transformalele transform alele Laplace ale unor un or funcfii de de timp mai des aplicate. Jabelul 2.1  N Transformarea Orig Origin inal alul ul / ( / ) d/o Laplace F\p) 1

 A  P 

e Xa‘ 

 p + a  p+  p + a >

1-e'

 p ( p + a )

le ~

!

(! -« /)*

(p+a)

| i  . :-V: ?••• ' m />’(/>+«)

9

nC  r'* r' * J  I1U a-by

10

1 ( 1 ( e-b‘ ab b - a ^ b

hc~k,\1 w ’ 

11

sin o>t 

12

COS0)1

13

 sha  sh a t 

14

chat 

15

 -sin a/ a/ t  -sin

16

t •cosa co sat  t 

17 18 19 20

e " 1} a )

e~0'  •  • sin a t 

 ------ P  ------( p +a ) ( p + b )

'

1  p { p + a ) ( p + b) 6>  p 2 +a>2  P   _1  _1 —Q)2  P a  _J  _J - a_2  p  P   p 1 - a 1 Tap

(p ’ + a ’)’  _J  _J - a„2  p a (p+flf+a1  p + B

e~p' - cos co s at  a t  e ' *  • shat   sha t  -chat 

a ( p +f l f - a 1  p + p - J , (p ^ r- « i |

'

2.7. Teoreme ale transformarii Laplace Transfo Tra nsform rmarea area Laplace Lap lace satisface anum ite teoreme, teorem e, prezentate prez entate Tn Tn continuare. 1) Teorema intarzierii (retardarii) DacS imaginea functiei  f i t )   este F(p),  atunci imaginea funcfiei  f i t - t) este e ' ^ F ^ p ) .  f i t ) cu Teorema se de~ionstreazS prin Tnlocuirea functiei  fi functia  f i t - t) In transformata Laplace §i introducerea variabilei noi t-x = t\: d t m ' d tW tW e *  

• / ( » ,) ,) < * , = e - " F ( p ) . o 2) Teorema deplasarii in zona imaginilor.  f i t ) ,   atunci imaginii DacS imaginea F(p)   corespunde functiei  fi F(p-X)   ii corespunde funcpa e h • f ( t ) .

Teorema se demonstreazS prin introducerea functiei

e x> ■J ' ( t )

Tn formula transformatei Laplace  f e " 0

e Xt • / ( / ) d t  = J e~,{p~"f (t) (t)dt dt = F ( p - A )

0 i

Exemplu

.

.

'

■

SS se afle originalul functiei ----------j-, dacS este cunoscut, cS

( p + A)

originalul functiei

I

I

Rezolvare:

--------- r ~ e x‘t •

(P + A) A) 3) Teorema schimb&rii scdrii (teorema asem&ndrii)  j i t )   ii corespunde imaginea F(p),  atunci functiei DacS functiei  ji  f a t )   !i corespunde ir*-\ginea — - F i —  I. I. a \a)

;

:

Teorema se demonstreazft In felul urmfttor: ^

■ f ( a t ) d t = ~ \ e ' ^ a,)f (
4) Teorema Teorema determintirii v alorii alor ii inifial inifialee a funcfiei de timp f(0 f( 0 )  prin  pr in imagine ima ginea a func fu ncfie fieii F(p):

 f ( ° ) = /}} /} } % 0PF 0P F ( P )

lim

dt

r elatia e ~p,di  p,d i  = 0 | din relatia )

~ 

'(°>]

5) Teorema Teorema determindrii valorii valo rii inifiale inifiale a unei unei funcfii de timp  f(oo)  f(oo) p r in imagin ima ginea ea func fu ncfi fiei ei F(p):

 f ( ™ ) = * % > P F { p )

Aceastfi relate se obtine dacS in reia$ia \^ < - ^ — e~p' d t - p F \ p ) ~ f ( Q )   se tnlocuie^te o dt 

 primim, eft  p —  ►oo.§i e p' = \ . co

Rezultfi:

f j / ( / ) = / ( o ° ) - / ( 0 ) = p F ( p ) - / ( ° ) sau o 0 / ( t ) = iim  p F ( p ) .  P~* a , 4 co  P~*a v

2.8 Legea lui Ohm sub forma operational^ Fie o portiune a circuitulu circ uituluii compus reprezentatS reprezentatS in (fig.2.1). (fig.2.1). intre nodurile “a” §i “ 6” se aflfi latura cu elementele  R, L, C  §i sursa surs a de f.e.m. e(/). Aceasta Ace asta latura este parcursS parcursS de curentul i. Introducerea intrerupStorului “K” conduce la un proces tranzitoriu. Conform legilor comutatiei curentul prin bobinS satisface condifiei iL( 0 _ ) - i L( 0) = iL( 0+) , iar tensiune tens iuneaa pe condensator conditiei uc ( 0„) = uc ( 0) = uc ( 0+), nu se schimbfi  brusc. Se exprimS potenfialul punctuiui “a” cu  potenfialu  poten fialului lui pu punc nctui tuiui ui “b” (schema dupS comutatie). +uc - e { t ) + u L+u R,  sau

uai =b = u R+uL+uc - e ( t ) ,  

unde

U, = L ^~t ’  “r  Jj

a

t

(2.14) (2.15)

-

- i R + L — —- + — J/<*+tt J/<* +ttcc ( 0) - e ( / ) . a t  C ©

Atunci:

ajutorul

(2.16)

Se folosesc folos esc transform trans form Srile Laplace

' h

Fig. Fig . 2.1

U  X

e(t) = E( p).

Se obfine: U ^ ( p ) = I ( p i R + p L + - ^ ~ - Z i( i( 0 )+ )+ ^ 3 - £ ( / ? ) . (2.17)  P  L PCJ Astfel, transformarea Laplace a permis sS se treacS de la ecuatia integro-diferentialS (2.16) la ecuafia algebricS (2.17).

Din ecuafia (2.17) se otyine  p  ) * U ( 0 ) - U  p  ) U  m (  p  - ^ K   e  (  p   )

'<'>

-

-------------

unde  Z ( p ) = R + p L + —

w

r   

----------

■

<218'

exprimS rimS imp mped edaanfa nfa oper perational*.

 pC\  pC \

 Z ip )   este analog* Structura impedarifei operationale  Zip stnicturii impedantei acestei portiuni in curent cure nt altemativ, altem ativ, cu conditia inlocuirii operatorului operational “710“ prin “ p". Ecuatia (2.18) exprimS legea lui Ohm in formS operational*.  L i(0 0 ) - reprezinta Componenta  Li( reprezin ta f.e.m f.e.m.. intern* determ inata de energia inmagazinata in campul magnetic al bobinei cu inductanta “L”, “L” , ca rezultat rezulta t al trecerii curentului curentu lui prin bobina bobin a i(0) inainte de comutatie. Uc( 0) Componenta Uc(  0) - reprezinta reprezin ta f.e.m. f.e.m. intern* determinat* determina t* de energia inmagazinat* in cSmpul electric al condensatorului, ca rezultat al prezentei tensiunii U c ( 0) 0 ) pe condensator inainte de comutatie. Legea lui Ohm, cu conditia ca m*rimile U c   (0), i(0) sunt egale cu zero, are o form* mai simpl*

 K

\

u  A  p  )  p  )  ) + e  (  p   )

(P>~ 

z(p)

'

2.9. Prima teorem* a lui Kirchhoff fn forma operational* Conform primei*teoreme a lui Kirchhoff suma algebric* a valorilor momentane ale curentilor in orice nod al schemei este egal* cu zero (fig. 2 .2).

DupS rezultS

*»♦ aplicarea

ij —0

transformarii

Laplace

 / , (  p   ) + / 2 ( p     )  ) - ^ (  p  )  ) - o .  p  )

Teorema lui Kirchhoff opera{ionala este^deci:

in

forma

£ / , ( p ) = 0-

(219)

i=l

2.10. Teorema a doua a lui Kirchhoff in form* operafionalS Aplicand teorema a doua a lui lui Kirchhoff Kirchh off pentru schema din din fig 2.3, se obtine (2-20)  Li4  Li4jL jL + M 4i . + lti =  dt

dt

Se determina operafionalS:

CJ

dt

imaginile

fiec&rei

dt  

componente

in

forma

 M ^ = M p I , ( p ) - M i 2(  0 ); at  (P). 7 l » -

 PC  P C

' 

*2^2 = ^2 ( P ) ^ 2 »  I

at 

ex ( # ) * . £ , ( p |

tnlocuind originalele componentelor componentekir in ecuapa ( 2.20), se obtine:

. prin

imaginile

unde

< W ? t o + / I M s 4M 4M + / ,t ,t o 3 t o - 3 t o - 5 W + 5 ,.

Z , ( p ) = p ( I , - M ) ; Z2( p ) = p ( M - L , ) - R , - ,

(2 (2 , 2 I )

Fig. 2 3

s

a

( 2- 22)

2.11. Algoritmul de d e aplicare a metodei operation ale Calculul prin metoda operafionala confine doua etape: 1) Trecerea de la originalul funcfiilor la imaginile lor in forma form a operafionala. AlcStuirea AlcStuirea schemei operafionale opera fionale §i determinarea funcpei cSutate sub forma opemfionalS; 2) Trecerea de la funcfia cSutatfi in fortha operafionala la funcfia cSutatS In forma functiei de timp prin aplicarea formulei de descompunere. 2.11 2.11..1. Trec erea de la imagine la func tia de timp Trecerea de la imagine la funcfia de timp poate fi indeplinita prin doua cai: 1) Prima cale consta in folosirea formulelor de corespundere dintre funcfia operatorului “p “p ” §i §i funcfia de timp. tim p. Formul F ormulele ele de corespundere sunt folostte atunci c&nd printre radacinile ecuafiei  M(p)~Q  sunt c&teva radacini egale (radacini multiple). 2) A doua cale consta in folosirea formulei de descompunere. Formula de descompunere se deduce din presupunerea, ca ecuafia M(p)=0 n-are radacini multiple (la existenfa rddacinilof multiple formula descompunerii se serie in altfi forma).

Formula de descompunere este pe larg folositS In practicS ca formula de bazS la trecerea de la imagine la funcfia de timp.

2.11.2. Formula descompunerii. Deducerea Fie cS imaginea curentului prezintS tracfia: <224)

•

Din cursul matematicii este cunoscut, cS fracfia  N ( x ) _  M ( x )

+.>. .>. + a lx + a 0 bmx m+ b m_lx m- ' + . . . + b lx + h0 h0 ' 

cu condifia, cS pentru n
n-are rSdScini multiple, se poate de prezentat fracfia in forma sumei factori lor simpli ■

- 5 ^ =4 —

 M \ x )

x-xx

+^ —

x-x2

+ . . . + * , — !— , x ~ x„, x„,

<2.26)

sau  M ( x )

A   ------- .

■ f 

 x —x,k 

(2.27)

 M (x)=0 )=0,, undee ** - rSdScinile und rSdScini le ecuafiei ecuafi ei  M(x  A\,  A \, A2,  Am - coeficient coef icientii, ii, care c are pot fi determinafi determin afi prin dou douS S cSi: cSi: { ;: a) prima cale - metoda coeficienfUor neidentificafi.  Aceasta metodS este elementarS, dar este legatS de calcule complicate.  b) a do doua ua cale ca le - la prim pr imaa vede ve dere re este est e cofapusS cofa pusS,, iar ia r In real re alita itate te mai simplS. simplS . ; r 

■

■

Exeniplu pentru prima cale -----------  Sntr-o sumS de fracfii se descompunS fracfia  —r ---------- x  - 5 * + 6 simple. Se determinS rSdScinile din relapa Af(x)=0, adici  jr  jr2 - 5* + 6 = 0 . De un unde de x i=2, =2 , x2 x2=3. =3. Astfel I I _1_  I   x 2 - 5 x

sau 1

2A 2 _ (A, + A1) x - 3 A i - 2A

 x 2 - 5x  + 6

 x1  x 1 - 5jc + 6

Prin compararea coeficienfilor pentru unui $i acelagi ordin a lui “jc” se serie sistemul de ecuafii pemru determinarea coeficienfilor  Ai , A 2  . In cazul de fa{S A = -1  Al + A 2 = 0 de unde - 3 A i - 2 A l  =1 =I RezultS

——  ------ -- ----- -— + -

 x2  x 2 - 5 x + 6

x-2

*

x-3

Exeniplu pentru a doua cale Pentru a determina  A\   se inmulfesc ambele pSrfi ale ecuafiei (2.2 (2 .27) 7) cu (jc (jc-jc -jc,) . a -2 ® i - A -r-V v ) 4=2 4= 2  x ~ In ecuapa (2.28) Tn partea dreaptS ftvem coeficientul A r , iar Tn

 partea stSnga

se

obfine obf ine

rapo ra portu rtull

*

 M ( x )

ce

prezintS prez intS

o

nedeter nedeterminar minare, e, deoarece deoarece

facto factorui rui

( j c - x ,)

cond  x - + x}

se

anuleazS, iar  M(x)=Q  M(x)= Q este, de asemenea, egal cu zero. Pentru eliminarea acestei nedeterminSri se folose?te regula lui L’Hopital lim ( * " * ■ ) * ( * ) = - ■lim = - Af Af( * ) 'f ' f ( J ~ x' ) Ar' ( * ) * (* ')  M ( x )  M ' W  JC—  unde un de:: N ( * |) - mSrim mSrimea ea  N ( x )  pent  pe ntru ru  x=  x = x ^

 M ' ( x )  pent mSrimea  M'  pe ntru ru  x=  x = x t ,

-

Prin urmare din (2.28) obfinem "(*,)

Analogic

.

-A

‘ 

Astfel  Hj  H j x , )  M ( x )

I

|  N M 

I

M' ( x , )   * - * ,

/» (« .)

 x - x ,

I

M' ( x „ ) x - x m

(2.29)

sau  N ( x ) _ y i  N ( x k )  ___1  M ( x )

^ M ' ( x k ) x - x k ’ 

Pentru functia curentului, avem

N{ . P . )

 y

& *f '( p.)

1 P-P.' 

Trecerea la originalul funcfiei 1  P - P k 

62

■=ep>>;  I(p) I( p) =i= i(t) i( t)

(2.30)

!

 NumSru  NumSrull

 N ( p k ) —  —   - e Pl‘ este — ■  —  este egal  M ( P t )

com co m po pone nent ntel elor or

cu numSrul

\ r& r&dSc dScinil inilor or e cuap cu apei ei Af(/?)=0 f(/?)=0..

Coeficienpi

^ / f k \  M  ( p k )

se

• pot

compara com para

cu

constantele

de

| integrare a ecuapei diferenpale a circuitului in cadrul metodei I clas clasic icee de calcul calcul al proceselor tranzit tranzitorii orii.. ; DacS printre rSdScinile ecuapei  M( p )~0 este o rSdacinS egalj cu zero (p=Q), atunci in partea drepta a ecuapei (2.32) sc obtine

c p m p o n e n ta

 N ( 0 )

„

W (0)

— ~ - r = — — ^r    M ' ( 0 ) Af'(0)

ce

reprezintS

componenta curentului (tensiunii) ca mSrime de determinat, ce este rezultatul acpunii f.e.m. de curent continuu. Exemplu (metoda operational#) Se dau: £=120 V, L=2  //, // , /?,=40 Cl,  R ^ R ^ \ 6 0 Si.  (Fig. 2.4) Se cere sS se determine: h(t); ui(t).

Re z o 1v a re I, Prima etapS.

1. Determinarea valorilor inifiale conform legilor comutafiei

1*2 ( 0 ) = ------- ^ - 5 ------- —— = 0 ,5 /4  R + r  2  2r 3 r  2  2 +/?, (schema panS la comutafie). 2. Schem a echivalenta echiv alenta se prezintS in fig. fig. 2.5 2.5

3. Determinarea funcfiei imagine hip)

l(p) lK

E lftlM

’ 

p (R (R , + R , + p t )

 I L e  I   M ( p ) ' 

II. Etapa a do doua ua - trecerea trecer ea la funcfia - timp. 1. Se determine r&dacinile ecuafiei caracteristice. Din expresia A/(p A/(p)= )=0; 0; 2 p z + 20 0p = 0 ; Rezult RezultS S p i=0; p2 =-1 00 s'*. '*. 2. Folosirea formulei descompunerii w

m

'( p ,)  

w ( P !)

unde  P i 

=0

 N ( i ?,) = 120

Af (p , ) = 200

A /'(p ) = 4p + 2 0 0

 P 2 2 =    = ~100a~'

/V( p 2)= 20 A f'(p2) f'(p2) = -200

 N ( p ) = 12 1 20 + p

De unde

2W

200 200 200 i2 ( r ) = 0 , 6 - 0 > loo,, A ;

.

u, = L ^ lO O e m>’ V . d t 

Concluzii 1. Formula descompunerii este aplicata in cazul oricarei forme a tensiunii, ce apare in schema.

2. Daca condifiile inifiale difera de zero, in componenta  N{p) se afla f.e.m. interne. 3. DacS  M( p ) are radacini complexe conjugate, atunci componentele, compo nentele, d° asemenea, asemen ea, sunt comp co mplexe, lexe, iar suma sum a lor da da o componenta reaia. 4. Daca tensiunea tensiu nea este sinusoidaia sinuso idaia  Emsin (cot  +  + y F ) imaginea ei fiind  E m— -—

 p - j o )

(£ „, =  Eme i¥t  i¥t  ) . in formula form ula descom d escompunerii. punerii. la

trecerea trecerea la valoarea momentanS se ia coeficientul coeficien tul . ca

componenta f.e.m. interne

pe lauga lauga astfe as tfel, l, sS

fie

 P 

luata in considerate componenta libera, caracterizata de energia inmagazinata in bobina sau in condensator. 5. Daca tensiunea aplicatS are caracter sinusoidal, atunci componentei forfate ii va corespunde radacina p=/(i) E xem xe m plu • * Se dau: e(0=127s e(0= 127sin((i) in((i)f-50 f-50°) °) V;  R \ - R 2- 2 L - 9.5 mH; mH; (oL-3*Q.; co=314 s ' 1. Se cere sa se determine curentul i(t). Rezolvare: 1 etap8 etap8:: i(0)= i(0)= -25,35 -25,35  A /

= 4b. = — Z /?, /?, +  R2 +  ja ) L

5e~m 5e ~m

=25,4 e ^ \ A

°),/4 i ( t ) =  25,4sin(ow-87 °),/4 r=0 i(0)= i(0 )= -25,35/4 -25,35/4 e{t)=E„— - ■  P P - J O )

E m= m e - i * r , V  

- £ * - - + j a ) L i( i( O ) l ( p ) - p - jQ>  y ' Rj+pL

ri o L  —O  —O n  )  <*/)/)

" J *1)1

_ K  m + / w ( o ) ( p - j a >)

(p-yVy)(^+pl)

Fig 26

-CZ3-

(  )   _fa_ 

unde

■vao) ■ © 1k pO

 N ( p ) = E m+ j L i ( 0 ) ( p - j a ) ) ,  M ( p ) ^ ( p - j a ) ) ( R i + p L )

RSdScinile ecuafiei '’aracte/istice

 p p-Jtu

 M(p)=  M(p )=0;  pi=j(o;  pi=j(o ; p 2 =

Fig 27

sau II etapS

yv( p ) A/(p)

^ -

 P\  P \ = j 3 \ 4 s l ; p 2 ~ 2 \ 0 s ' 1  f j j p i)

 N ((P>) p -,..1  M ' ( P . ) J

\21e*~*r)  

47ji e-J*™   2io<

/(/)= lm = lm

 X 6 \ e JS™  + 3 ,61 ,6 1 e '12™ ' *

]■

= 35 2 sin si n ( aft  I06° I0 6°20 20 ')+ 13 13,1 ,18 8 sin sin 40 40°° 16'e unde:  N ( p x) ~ \ Z l e » e yS0\

Pi - >3 H i 1

= 2pL t (2i? - jaj)

•

2,2r >31 >314 = 3,6le J  M { p x) = 2/31 4 9,5 10 1 » 2,2r

 Pi   Pi 

-21Os'

# ( p 2) = 47,le '•3° '•3°24 W '( p ,) = 3 ,61 ,6 1 ^ U3' 40

2.12. Precizfiri privind aplicarea transformarii Laplace la studiul circuitelor circuitelor electrice Aplicarea metodei transformatei Laplace la studiul regimuiui tranz'‘oriu al circuitelor electrice presupune  parcurgerea a douS etape etap e principale princ ipale de calcul. calcu l. in prima etapS se apli aplicS cS trans tr ansfor forma marea rea Laplace Lapla ce pentru ecuat ec uatiile iile differ different entiate iate ale circuitelo circuitelorr liniare. Ecuapil Ec uapilee algebrice obtinute pe baza acestei tran transf sfor ormS mSri ri reprezinta ecuatiile o p era er a tio n a l, respectiv respectiv forma oper op era{ a{io iona nalS lS a ecuaf ec uafiilo iilorr circui cir cuitel telor or respective. respectiv e. Rezolv Rezolv& &nd aceste ecu ecuafii afii se obfin imaginile imagi nile functiilor necunoscute. necunosc ute. Cea de a doua doua etap tapfi de calcul calcu l consta con sta in determinare deter minareaa functiilor funct iilor originate coresp corespunz unzfitu fiturr acest ac estor or imagini. AceastS etapS etapS este in mod obi§nuit obi§nuit cea cea mai dificilft dificilft §i §i presupune pres upune aplicarea un unei eiaa dintre metode Ie de inversi inversiune une (tabelul corespondenfei functiilor imagine $i $i a functiilor orig origin ine, e, formula formul a descompunerii descom punerii). ). Etapele de calcul se po pott urm rmB Bri schematic.

Exemplui I Se considers circuitul prezentat in fig. 2.8, alcStuit dintr-o rezistenfS r   ?i o inductanfS L*

 L,  conectate la o sursa de curent continuu cu tensiunea U. Se cere sS se determine legea variapei curentului i\i)   §i tensiunii Udt).   Date numerice:  IM10  I M100V 0V;; r =25  H. =25 fi; 1=0,02  H.

R e z o l v a r e : C on form teorem ei a d oua a lui K irch ho ff, in orice moment suma f.e.m., compusa din tensiunea V   §i f.e.m. de inducpe

eL - - L ~ dt 

este egala cu caderea de tensiune ir   , di  , , ir + L — = U . dt  Curentul

curentul curentul termenul

din circuit consta din solufiei parpale $i din solupei generale f&ra ,iber iber / = / + / , .

O neomogene (I) are expresia U 

(I )

(2) ecuapei solu te

(/^const), ip=4A.

Solupa generala a ecuapei omogene

are expresia

i,r  i, r  +  + L —   = 0 dt  it = A e p>',

unde  A - este o constanta constan ta arbitrara, ifir ifir  p - radacma ecuapei / 25 caracteristice. r + pL = 0 ,   de unde = --1250 s~  P L  0,02 Constanta A se determinS din condipa inipalS: la Tnceputul  proces  pro cesulu uluii tranz tra nzito itoriu riu curen cu rentu tull este est e egal eg al c zero: i ( 0 ) = —- +  A = G   (i(0)=0, conform primei legi a comutapei), ' de unde

r 

pa

i = iP iP +i, = — ( l - e " ' ) .

(3 )

Tensiunea la bornele bobinei are expresia (4)

U L = L ^ = U e p' . a t 

In fig. fig. 2.9 este reprezentatS  proce  pro cesu sului lui tranz tra nzitor itoriu. iu. Exemplui 2

cu^ba cu^ba I

.

curen cu rentulu tuluii

in

decursul decurs ul

■ '

Se considera schema din fig. 2.10. La un moment dat sursa de energie se deconecteazS. Se cere sS se determine: a) energia acumulatS in campul magnetic al bobinei dupa r=40ms dupa deconectarea sursei; b) f.e.m. cl in momentul comutapei. Date  H. numerice: £=120 V, R i=20 Q,  R i - 3 0 n , 1=1  H. Rezolvare: 1 Se determi determinS nS valoarea curentului curentului in in bobinS’ bobinS’inainte inainte de comutape com utape

2. Se determinS determinS radScina radScina ecuapei ecuape i caracteristice carac teristice La determinarea determ inarea rSdSc rSdScini iniii se aplic aplicS S metoda impedanfei de la intrare pentru circuitul circu itul considerat dupS comutape (fig. 2.11).  p L = 0 , Z ( p ) = /?, + R2 +  pL

de unde  p  = - —‘ - — = -5 0 i -1. -1.  L

3. Expresia curentului in timpul procesului tranzitoriu ;(') = t

 p

unde ip=0. Componenta permanents a curentului este egal& cu zero deoarece dupS comutape sursa de energte lipse§te tn circuit. iL( t ) = i, = Ae"5 Ae"50' . Deci 4. Se determinS constanta de integrare it (0) = A = 6A. Astfel avem

iL( iL( r ) = 6e -50' , A .

5. Energia acumulatS in clmpul magnetic al bobinei w (” >

,

I-O'

 pentr  pe ntru u /=40m /=4 0mss i = 6e"50(40,0 ,) =0,8115  A §i W (m) = - ■ (0,8115) (0,8115)2 = 0 ,329 ,329  J  6. Valoa Va loarea rea f.e.m. f.e.m . e*. pentru pentr u f = 0

Exemplui, Exem plui, 3 SA se determine curentul h(t)   In procesul de tranzipe aplicand metoda meto da clasicS $i metoda meto da operaponalfi operapo nalfi (fig. 2.12).  R2= 25 Date numerice: £=120 V, 1 = 1 0 2 C=10 =10 s £, *,=75 0 ,  R2= n , ^ 3=50 o , « 4= i o o n . ■

" i

 R,

E( p

.... ....

— 

*4

* - a

r Flfl. 2.12 2.12..

;

Rezo Ivare : 1. Se indicS sensurile curenplor in circuitul din fig.2.12. 2. Se determi determinS nS condipile co ndipile inipale conform legilor legilor de comutape com utape '■‘ W

' T T T ' 2' 2' 1 '

lW 0 )- « .

3. Se serie ecua ec uapa pa caracte cara cteristi risticS cS §i se detecminfl detecminfl rftdfici rftdficinile nile ei ( j d + K , y P L + M, ) %(p)-

0,

+^2 +

 pL  p L + R a + — + R.  R.

de unde /?(= -103s'1;  p 2 **-13-1035"‘. 4. Se serie ecuapa diferenpalS fa|S de curentul /2(f)-' Conform teoremelor lui Kirchhoff pentru schema din fig. 2.13 avem (/) R3) + J xRy + — ]i ] i xd t  * /(/?, + R3)+  *  E  * i ( R l + R2) R2) + i2 i2R4 + L L~ ~ ± = E 

(2) P)

n

Sistemul de ecuatii primit se rezolvS determinandu-se h(t). Inlocuind Inlocuind / = i, + /, in ecuap ecu apile ile (2)   §i (J), se obpne: |,

 J'  J'»<* = E 

(i, + i2) Rn + * A + -

w (.5)

 E - i , ( R , + R „ ) - L ^ Din ecuapa ecua pa (5 ( 5 / avem /, = ---------------------- --------------------------  — 

*12 ?i introduced Tn ecuapa (4),  se obpne:  E - i 2 ( R A+ R „ ) - L di

dt  +

12

Rll +

 E - i 2 ( R t + R t J y - L ^ f ---------------------------------------

*.2 d t 

 Rii

 R ) +

(6)

dt - E 

Deriv&nd ecuapa (6) Tn report cu h,   se obpne dupfi Tnlo Tn locu cuire ireaa valori va lorilor lor numerice numer ice ecuap ec uapaa diferenpalS diferen palS neomogenS neomogenS de ordinul doi: | , 5 . 1 0 "’

d t2

21

10 ?

dt 

+ 2 0 0 /, = 2 0 0 ,

5. Rezolvarea ecuapei (7): a) o solupe particular^ a ecuapei neom ogene  perma  per manen nents) ts)::

d i d * i ,

i2 = i2 = const, —— 2 p dt  20 0 t .

rezultS /, = ----= ----- = 1/4. 1/4.

0,

(?)

(componenta (componenta

^ = 0.

d t!

2p 200  b) solup sol upaa gene ge nera rals ls a ecuapei omogene (componenta liberS): h~hi 

1,5 •i< r5^ - Y d t2

+ 2 , -H - H r 2— ^+ 200*,, = o . d t 

1.5-10 1.5-10-5 -5/? /?2+ 2+ 2 J1 0 ~ 2p + 200 = 0 .

(8) (8)

Solupile ecuapei (8) care reprezinta ecuapa caracteristice a circuitului circuitulu i din fig. fig. 4.6 sunt su nt  p, = A§adar

10V

,  p 2 =

- 1 3 10V

.

^ = Al Ale”  +

 A 2  sunt constantele de integrare. Astfel solupa generals unde A, §i  A2 a ecuapei diferenpale neOmOgene are expresia. * h ( 0 = h P + *2/ = *+ V * ' ' +

(9) (9)

6. Se pun condipile inipale pentru a determina constantele de integrare  A\ ?i  A2  A 2. 1ov

Se folocuieste —

d

^ 3 .((= .((=0= -1 0 3A ,-1 3 1 0 3A2. d t.

0 0

La determin dete rminarea area ~j^|/ j^|/= =.o se consi con side ders rs circuitu circ uitull dupS comuta com utape pe la t=0 §i se alcStuie§te sistemul de ecuapi conform teoremelor lui Kirckhhoff: din acest sistem se obpne: obpne : Introducand

valorile

h(0)=2

i2'  i2' (0) ( 0) = - 1 03 03..

§i

~ ( ^ 0 = - 2 TO4 TO4 at 

in

equapile (10) §i (11)   rezultS din rezolvarea sistemului de  A \ =  -0,58. ecua ec uapi pi v<2= l ,58;  A\ Expresia curentului ij(t). i2( / ) = 1- 0, SfcT1 SfcT103' + 1 , 58e 13,o 3,o3‘ .

(13)

Metoda operaponalS. Prima etapS. Determinarea imaginii funcpei cSutate sub forma raportului a douS poiinoame. 1. AlcStuirea schemei echivalente folosind valorile inipale independente determinate determi nate dupS Iegile Iegile comutapei comut apei (fig. 2.14).

£ = - , ( / , = L & = l , ( p ) pL p L -i - i ,( , ( 0 ) L, L,

 pC  p C p C 2. Determinarea expresiei expres iei imaginii curentului hip)Pentru circuitul din #fig. fig. 2.14 se aplicS metoda potenpqlelo poten pqlelorr de noduri (circuitul se considers ca circuit de curent continuu). Conform acestei metode avem ■ * >  E  1 t/ , (0 ) I ,, I

m q+ uM  

jjg V H g jg V tjr o

M p)

/5+pt

/^5-IOy+2I1OV+200)

M p)

....

3. Se determinS ladficin ladficinile ile ecuape ecu apeii caracteris carac teristice tice din A/(p A/(p)= )=0 0  p ( l , 5 10 10_ _5p 2 + 2 1 1 0 ‘2p + 200) 20 0) = 0 (/<5) de unde pr=0,  p i ~ - l o V ,  p 3= - 1 3 1 0 V 1. Etapa a doua. Trecerea de la imaginea-curentului h(p) originalul 12(f) se aplicS aplicS formula formu la descompu desco mpunerii. nerii. a h(p) Lp{ 0)

 R\2 

unde = [p (l,5-1 (l,5 -1 0" V 2+2110“ 2+2110“2 2p + 200)| = 4 ,5 •1O'5p 2 + 4, 4 , 2 •1O'1p O'1p +200, 20 0,,,

= o| iV (p I) = 200

Pi

|

m

'( p ,) = 2 00 ’

la

A r(A )-l,M 0 2 ,3_-l  p 2 as -10  S  A/'(/>2) = -l,75 102 ,3 _ - l

P j *-13 10*5

 N ( p j ) = 23 2 3 ,4 5 - 102 A/'(p3) A/'(p3) = 3 6 ,6 I0 2

• /* \ 2 0 0 o, 1,1-1 1,1-10 0 — jo1# . 3 6 ,6 -1 0  S  ( , | / ) = ----- e   ----- ------- r f H---------- :—r  S  2K 1 200 1*75 1* 75-1 -10 0 23,4523, 45-10 10

_  =

f. ■

i ( 19)

==1-0 , 5 8 e “,0 “,0)' + l , 5 8 e _,ol< Astfel, Astfel, se obpne:

ia (#) = 1 - 0 , 58e ,o1' + 1,5 1,5fcTtc' fcTtc' .

■

(20)

Graficul dependen dependencei cei i?(/) este pre/en pre /entat tat in fig. fig. 2.15 .Calculele sunt piezentate In tabelul I. Tabeiul 1 Timpul #1=0 Funcfia '3“ W '2r N 14= W 1 1 1 1 ip= ip= 1 -0,215 -0,0793 -0,0293 -(W 8T 1* ' -0,58 0,001 1,58 0,0003 0,0007 l,58e'IJ,#Ji * * + *   ....

2

0,786

0,921

0,97 *■ ‘ ’• *... •

 X :

 j .

3. METODA DE CALCUL PE BAZA TRANSFORMARII FOURIER. ANALIZA SPECTRALA O funcpe per periodi iodic& c& de timp / (/), (/), de perioada 1 2n T .=— = — , se poate poate dezvolta m seri seriee Fourier, Fourier, sub forma forma::  f w

/ ( 0 = A ) + 5 ) | A » c o s * ^ / + flt o s in in A : ~ / J .

(3 .1 )

AceastS AceastS dezvoitare d ezvoitare este pos posibil ibilft ft dacfi dacfi funcpa fun cpa / ( t )  este netedS pe porpuni in interioruj unei perioade (condipile lui Dirichlet), condipi satisf&cute obi§nuit de funcpile ce intervin in practice. Primul termen Ao reprezinta componenta continuS a funcpei periodice, iar termenii de puisape ka>  sunt armonicile armo nicile de ordenul orden ul A: in cosin co sinus us §i §i sinus. C oefic oe ficien ienpi pi seriei Fourier au urmfitoarelfc expresii: t   / 

A>=•=■ / / ( ' ) • * •

<3 2>

-T A T / 

A . ® ! - J  f ( t ) - a » k — t d i ,  ‘ -Vi

2

(3.3)

1

% In  B* . m r I f ( * ) * ™ k - - r t d t .

■ - *'  

(3.4)

^ r Com ponenta continue Ao din relapa (3.2) feprezint feprezintS S de fapt valoarea medie a funcpei periodice pe timp de o  perioadS; dacS Ao « 0 func fu ncpa pa  J[t)  J[t ) este este nu m iti funcpe alternative Seria Fourie Fo urierr se poate poa te serie seri e $i sub form for m a restt ansA ansA,, free vent TntSl Tn tSlnit nitaa Tn elec el ect» t»ot oteh ehni nicf cfl/ l/ ? ;

TA

(C’bn s™  (*«#  (*«# + V t  ) )  f   ( ' ) “ A> + 2 (C’

n

in care

c *

. = J  a  a L + b L

este amplitudinea armonicii armonicii de ordinu ordinuii

"k"  (pentru (pen tru fc fc=l se vorbe§te vorbe§te de armonica 1 sau de fundamentals),

A  yrk = a rc tg  —s2- . iar  yrk ^km

Exists diferite metode pentru determinarea coeficienplor seriei Fourier. DacS funcpa este datS prin graficul ei, fund de exem exe m plu ridicatS ridicatS pe cale experimentalS, experimen talS, se aplicS metode aproximative grafo-analitice. Este util sS se releve faptul cS dezvoltarea in serie Fourier se simplifies dacS funcpile periodice considerate prezintS anumite simetrii, respectiv satisfac unele condipi. In cazul unei funcpi periodice la care este indeplinitS  f \ / condipa  f   (r) = - f t  +   + — J , numitS §i funcpe fun cpe altemativS altem ativS simetricS, simetricS, in seria Fourier Fourie r intervin in tervin numai armonice armon ice impare. DacS  f ( t ) = f  r + — I, in seria Fourie Fo urierr intervin inte rvin numai armonice in cosinus cosinu s §i compone com ponenta nta continuS continuS.. armonice armonice in sinus sinus dacS dacS -f).

Exists Ex ists

numai

in practicS se considers un numSr finit de termeni ai seriei Fourier, in funcpe de probtema anaiizatS (in general fc<20).Reprezentarea graficS a amplitudinilor §i fazelor armonice caracteristicS amp am p 1itudine-freevenfS (sau spectrul amplitudin amp litudinilor), ilor), respectiv resp ectiv caracte car acteristic risticaa fazS fazS - frecvenfS frecvenfS (sau spectrul fazelor). Seria Fourie Fo urierr se poate poa te serie §i §i in formS formS complexa com plexa,, respectiv cu termeni complec§i. Jinand seama de identitatea lui Euler = co sa + / s i n a , rezultS: s m k o ) t = — - ( e ikOH- e - Jk0M), ' 2 j  v

co s k ( o t = ~ ( e jka>' + e - lkM,) t 

astfel, astfel, cS cS termen termenul ul general al seriei Fourier Fou rier devine dev ine :  B^  B ^  sin ktot +

a) i = C keJ ke Jkw‘ + C . ke~i e~ikuM  cos ka)i ,

unde s-au introdus notafiile: s'

<3.«>

C* §i C.* sun s untt mSrimi mSr imi com co m plex pl ex conju con juga gate te ( C * = C**)> iar tnodu tnodulu lull |C t j reprezinta jumatate juma tate din amplitudinea annon an nonicii icii 1 respe respecti ctive, ve, (C*| = - £ * , .

1

Seria Fourier cu termeni complec§i se serie, deci sub forma: * / ( ' ) - A . + £ ( £ , e /‘“ + £ .. .. 1< ' ',‘" ) = S e . o""'(3-7) k a-oo **l Valorilor negative ale lui k   in acestft expresie le corespunde formal pulsatile negative. -DacS se cunoa$te funcfi funcfiaa /(f), /(f ), coeficenfii coeficenfii £> se pot calcula pe baza relafiei: relafiei: £,

(3.8) (3.8)

* 0 Jinand seama de aceastS expresie, in care variabila de integrare se noteazft cu  x   in loc de t,  seria Fourier cu termeni complec§i (3.7) se serie §i sub forma: /(« )-= t

f r ( t y « " " d T :. 

0.9)

'A

Se pune problema extinderii analizei armonice (Fourier)  pentru funcfii funcf ii de timp tim p nepe ne peri riod odic ice. e. C on onsi side dera rand nd seri se riaa Four Fo urie ierr cu termenii termen ii complec§i complec§i (3 ^) tn care se notearft cu ”c u r.  pulsafia  pulsaf ia fund fu ndam amen enta tals ls $i se cons co nsid ider er# # pent pe ntru ru e ftc ft c tu a f e a integralei intervalul intervalu l de o perioadS cupri cu prins ns tntre +772 +772 *e abfine expresia:

/(» )* 4 £

J

(

3

.

i

o

)

Considerarea unor fimcpi periodice TnseamnS a  pres  pr esup upun unee p erio er ioaa d a tinza tin zand nd cStre cStr e infin in finit, it, T   —><». Notflnd Notf lnd in acest caz

ka).-*G),

1

co,-» co ,-»A A cu

§i

— = —L -> T

2n

2n

rela re lapa pa

(3.10) (3.10)

devine

Pentru expresia:

T  —» «»,

resp re spec ectiv tiv

 f { t ) = ^

Aft) —» 0 ,

rezultS rez ultS

] d(o ] f ( t ) ■ e M " t ) dr ,  

la

limits lim its (3.12)

reprezent repre zentand and integrala Fourier Four ier in formS formS complexS. SeparSnd pSrple reals §i imaginarS in relapa (3.12) se obpne: / ( T) cos(o(t-T)dT+j'jd
c o sw (r-r)

este este o fun funcp cpee

imparS de "to", astfel cS integrarea in raport cu "u)" se poate limita limi ta la intervalul interv alul (0, +«*), expresia expre sia fiind inmulptS inmu lptS in acest caz cu 2. Relapa (3.14) reprezinta integrala Fourier in forma reals. Este important de relevat faptul cS pentru ca  f i t ) sS  poatS  poa tS fi dezv de zvol olta tatS tS in inte in teg g rals ra ls F ou ouri riee r treb tr ebui uiee sS satisfacS cond co ndipil ipilee lui Dirichlet Diric hlet ?i, ?i, de asemenea, asem enea, funcpa func pa trebuie sS fie fie

(-00  ,+«,),

Cu alte cuvime este

J | / (/)(<* < 00  00,

(3 1 5 )

absohit integrabiia in intervalul nevoie ca integrala o*

sfi fie convergent!!, ceea ce presupune anularea functiei pentro t  — In prac pr acti tice ce,, este est e v o rba rb a de funcfii funcf ii (curen (cu renfi fi §i tens te nsiu iuni ni)) care se anuleazS anuleazS suficient de repede pentru r 

3.1. Transformata Fourier Introducand funcfia complexS: £ ( / " ) = J / ( T) e ^ d r , m

respectiv resp ectiv

(3 16 16))

integrala FourieY (3.12) devine / « - £ /  L { j ( i ) ) e M ' r)d( 0 .   Funcfia

F_(job)  se

(3.17)

nume§te transformata Fourier sau

imaginea Fourier. Se poate considera ci ea corespunde unei reprezentSri a funcfiei^r) in domeniul frecvenfelor.  fi t ) Pe baza integralei Fourier (3.17) o funcfie de timp  fit neperio neperiodic dicfi fi se poate interpreta ca suma a unui $ir $ir infinit .d e funcf funcfii ii (componente) (comp onente) armonice elementare, elementare , reprezentate reprezen tate In complex sub forma apropiate.

Modulul

■ 271

 ja  j a ) ) d ( o e Ji'Mt avan av and  d   frecvenfe infinit •

transformatei

cStu cStull dintre dintr e amplitud am plitudinea inea

spectralS

Fourier

|F(/cu)j

reprezinta

elementarfi ~ F ( j o ) ) d o } ‘ 2n §i interv int ervalu alull de frecvenffl d f  = d(o(?M  la care se se refers, cu

alte cuvinte densitatea spectrala a amplitudinilor. Datorita acestui fapt, transformata Fourier se nume§te §i densitatea specirala complexa com plexa a funcpei f(t), f(t), iar uneori uneo ri funcpe (caracteristica) spectrala. Transformata Fourier prezinta un interes cu caracter mai general in electrotehnicS. Reprezentand grafic modulul transformatei Fourier, (F(ja))) se obpne ob pne spectrul spectrul funcpei  J{t). Un astfel de spectru este continuu continu u spre deosebire deo sebire de spec ti d e discrete corespunzatoare seriei Fourier. O relape relap e importanta in care intervine densita spectrala este teorema te orema lui lui Parseval

J |/ (<) f in care care | £ ( H

^

/ 1£( J‘")f J‘")f da> ■

0 18)

se nu nume me§t §tee §i densi densita tate teaa spect spectra rala la de

energie sau spectrul de energie al funcpei f(t). In anumite probieme este util sa se caracterizeze o funcpe de timp prin funcpa de autocorelape, definita sub forma: w

¥>(r) ¥>(r)= = /  f ( t + r ) f ( t ) d t . Aceasta funcpe se pune in speciiala de energie pe baza relapei

legatuia

cu densitatea

i p ( i ) = ^ ] \ F ( j t o ^ e >,UIdi o

care releva faptul faptul ca densitalea den sitalea spectrala de energie

Jii(7w Jii(7 w )j

reprezinta Uansformata Fourier a funcpei funcp ei de autocorelape. autoco relape. Funcpa Funcp a de autocore auto corelape lape,, care se poate determina determ ina $i $i pe cale e x p e ri m e n ta l prezinta prezinta un un inter interes es deosebit deosebit mai mai ales ales in analiza analiza a ’ ' semnalelor semn alelor aleatoare. '

3.2. Legea lui Ohm. Ohm. Schemele echivalente echivalent e a caracteristicilor fpectrale (spectrele de frecvenffi) Se considera circuitul r,L,C din fig. 3.1, care este e ste conecta co nectatt la sursa su rsa de f.e.m. f.e.m. e \ ,  iar la momentul t =0 =0 reconectat la sursa de f.e.m. e(t). Se detennina spectrul f.e.m. e(t)  pri  p rin n aplic ap licar area ea rela re lape peii ( 3 .1 6 ) :  E(  E ( j a ) ) = je j e ~ JU* e ( t ) d t = E ( p ) .   (3.19)

 f®  fI®L

o Legea lui Ohm pentru spectrele de frecvenfa la condipi irfipale ce diferfi de zero se obpne sub forma:  E ( j a i ) + L i < 0 ) ~ V c  (0.)

/ ( / « . ) = -------------------------1 r + jot) jot)L L+

Fig 3.2.

M 

(3.20)

 j(o  j( o C 

 Num  Nu m itor it orul ul expr ex pres esie ieii (3.2 (3 .20 0 ) reprez rep rezint intS S impedanfa complexfi a circuitului fa|3 de  bom  b om ele el e de alime ali menta ntare re:: 1

 Z ( j( j ( o ) = r +  ja /L + —   j(o  j( o C 

Formul Formulaa (3.20) permite sfi se determine spectrul de frecven frec venpT pTal al curentului l ( j ( o ) ,   iar apoi sS se determine curentul in  procesul  proce sul tran tr anzi zito toriu riu aplicSnd apli cSnd form fo rmula ula:: 1 2n

Expresia (3.20)  perm  pe rmite ite s3 se a!cStpia*sc§ schema  pe ntru ru sp spec ectr trel elee de echivalenta complex^ (schema echivalenta  pent frecven| 2) ce este reprezentata in

fig.

3.2.

La calculul proceselo proc eselorr tranzitorii prin metoda sp spect ectral ralft, ft, se poate mai intai sa se alcfttuiascft schema echivalentS cotnplexa cotnplex a §i apoi ap oi aplicand aplic and aceasta acea sta schemft schemft sf sft se determine determ ine spectrele de frecventd ale curenplor $i tensiunilor. Din (3.20) se poate, de asem as em enea en ea,sa ,sa se obpna obp na legea lui lui Ohm pentru spectrele de frecv frecven enff fftt In cazul cond co ndipil ipilor or inipale egale cu zero, adica r  *

,

 L ( j a > ) = •

(3.22)

 z(  z ( j o j )

3.3. Algoritmul de calculul ai cure curenplo nplorr tensiunilor tensiunil or prin metoda integralei Fourier 1. Pentru circuitul dat se alciltue$te schema echivalenta complexa 2 Cu ajutorul schemei echivalente se deter  spectrele de frecvenpl ale curenplor sau tensiunilor prin aplicarea unei unei metode de calcul a circuitelor circu itelor electrice in regim permanent (metoda curenplor de contururi, metoda  pote  po ten n p alel al elor or no noda dale le etc). etc ). De asemenea, se poate sa se aplice principiul superpozipei aducand condipile cond ipile inipale la zero. zero. 3. La determinare determ inareaa originalului originalulu i poate fi apli apli formula formula descompunerii descompunerii sau sau . tabelu tabelull de co resp re spon on de nt considerand eft ,

Atunci

unde:

(3.23)

i(Ja

J

F2 (ju)) -  este derivata funcpei

 j t u ) in raport cu f 2 ( jt

variabila ;iu; .  juh  ju h   - radacinile ecuapei caracteristice. v

-1$,

Exemplui 3.1. S§ se determine curentul §i tensiunea la  bom  b om ele el e cond co ndes esat ator orul ului ui la cone co nect ctar area ea circ ci rcui uitu tulu luii cu r, C  la tensiunea de form# exponential#: U e - U‘ > 0 «(')= 0<0 unde un de a >0. R e z o l v a r e . Funcfia u(t)   este absolut integrabila in Iimite infinite, deoarece integrala

J H ' i * - J K 4 * + f  

u ^ — 0 0 este determinat# determinat# la orice a *  0.  0. Aplicand tabelul de corespondent# se serie spectrul de frecvenffi, ce corespunde aceste-i funcfii u>

 f  \  Hj ( o ) = \ —^ = ( p + a ), ),,=,* cc+ ji o

ca amplitu am plitudine dine - fazS fazS aplicate U (at)  =

7

in

1/ ~JnrciHa ------ “ = V a 2 +
de

frecvenfa frecven fa

de unde se obtine obtin e caiacteristi a tensiuni tens iuniii

- — - 5 V ( )  = -art-rg   - . a Va +o> De aici rezulta c# o conectare a circuitului la o u( t ) poate fi considerate ca o conectare la tensiune aperiodic# u(t  un numar mare de oscilafit armonice elernentare, ale c#ror t'recvenf t'rec venfee varia va riaza za trept tre ptat at de la -«*> pan# la t ° ° . -I -In fig fi g 3 3 sun suntt repr re prez ezen entat tatee cur c urbe bele le u() in fimcjie fimc jie de d e to atunci atun ci cand ca nd tu varia va riaza za de la “0" pan# p an# la °° °° In fig. fig. 3.4 este prezenta prez entata ta carac c aracteri terisiic siicaa uijw)   ceea ce reprezinta hodograful functiei complexe com plexe la *ariatia  pulsa  pu lsajie jieii “in" in" de la 0 pan# pan # la =«. Impedanta complex# a circuitului este

 jo ) C j(o j( o C  " Deoarece condipile inifiale sunt nule conform legii lui Ohm curentul spectral de frecvenfS este:  [ , jQJ\ jQJ\  _ U U ® ) , Ujo>C _ Fx ( j(D )  Z ( j c o ) ( j ( o + a ) ( j ( D r C + 1) F2(j(o)

Aplicand teorema descompunerii se determinS legea de variafie a curentului i(t): " " ■ S f tS ) * ” unde

'

Fx( ja j) = jwC U , F2(ja)) = (j0) + a)(jc0 rC + 1), F2 ( j(o  j( o ) * - 2  jo  j o i r C  +1 + a r C .

RldScinele ecuafiei caracteristice rezultS din F2( j( o) =  0

(yrC a)(y' ct>rC + l) l ) = 0; 0;

 j w y = - a \

j ( o z  =

rC  •

Atunci  jo ) x = - a

f ; ( M ) = -a C f/; 'ft),) ,) = 1- rCcx; F2 ( y'ft)

.

I 1(0, --------

rC 

U 

i(,)= M i n i s *  +4  +4 < M Fi ( M )

1 ^ £ L e ~ , - m r -j ,

MM)

1 -rCa

-1 + rCa

UC  ate - 1 e ~rC k  arC-1 rC  ------

sau

i(l) =

U C 

ae u‘ -■ arC-l  r C 

rC 

Tensiunea la bomele condesatorului are expresia U  If. uc ( /) = — J i { t ) dt  = uCJ + uci —  +e I a r C - 1 Exemplui 3. 2. Se considers con siders circuitul din fig.3.5. fig.3.5. Se cere cere s& se determine determine curentul curentul i\ la' la' inchider inch iderea ea intrerupSto intreru pStorului, rului, dacS dacS:: ex = 100 sin(314 f+ 60°), V \ e ^ -  200^ 5', V ; r, =* 10 Q ;  L = 300m H\ r 2 =  20 O ;

R e z o l v a r e . comutape (fig. 3.5)

C  =100 nF; r 3=30 O. r 

Se

c a lc u le a z S

r e g im u l

i'll)

panS

la

T 0 h

 L

+

r i

n

Fig 3.5

Fig 3 6

- Q *. Fifl. Fifl. 3.7

*2(/) = #, ( /) = l,01sin (31 4/ -

\ ;

U l2 ( f ) = 1. 1.0,1 sin (.314/ - I 2 ° 2 0 ') V'

Probletn Prob letnaa se rezoIvS rezoIvS prin metoda me toda aportflrii la condifii cond ifii inifia inifiale le nule. Cu acest scop se determinS determinS tens t ensiun iunea ea la b o .nel .n elee Intrerupfitorului.. U 34(f ) = U | j ( / ) - ~  X 

Spectrul de frecven|S al tensiunii M34 are expresiai / • \ m -/'ft> + 1435 2 00 M34 ( 7ft,) t,) = 2,16— — r  . ' 3 I 4 1 +(yfl>) 5+ jw ----------

  -------------

Se calculeazS procesul tranzitoriu din fig. 3.1:  K i m ) -

 __  _____  ___ = f z + i L i a _ ) ( 2 . +Z + Z=)  —>+ — . J

yft)( yft)(0, 0,3 3ya> ya>+ 20) j z 16(-y(0 + 1435 1435)( )(5+ 5+ /w )-2 )- 2 0 o [(/t» [( /t» )2+ 3142]}

(5+ yo yo>) >)(31 (314-a 4-a ))(3 14 14+w +w )l2(^+ )l2( ^+10 105,3 5,3)(J )(J/< /
DupS cum se poate observa din exemplele considerate calculele proceselor tranzitorii prin metoda operafionalS §i prin metoda integralei Fourier sunt destul de asemSnStoare. Metoda integralei Fourier are unele avantaje la calculul proceselor tranzitorii prin aplicarea metodelor aproximative.

3.4. Metoda apoximativS de determinate a originalului prin aplicarea caracteristicii de frecven|S (metoda trapezului) Este §tiut cS spectrul / (r)  se determinS prin aplicarea integralei Fourier:  / ( ' ) * £ ] F ( j w ) e»-c e» -clc lco o . 

unde

(3.24)

F(j a>) a> ) = F,( a))+ a) )+jF2( jF2( at)= at )= F( a) ) eM<0}. Expresia (3.24) poate fi pusS sub urmStoarea formS

1

*

J

-

/ ( f ) = — f (F, (F,co cossa» - FjSin (ot)d(o + j  —  — J ( F ,sin ,s in c t)/t) /- F7 cos cos cot) dm. 2n

2ti  z*   z* 

Considered caracteristica de frecvenfS obJinutS numai  pentru  pentr u parte pa rteaa r e a 'I: 'I : F, sin cat + F2 cos cat  sa u Fx sin sin cat = ~F2 cos cat  cat  = 0 - sau Inlocuind se obpne:

2 / (/) = — f F, c o s (Dtdca = — f F2 sin catdca. it t

(3.25)

it i 

Se data

consider^

cS

caracteriastica

este de

frecven|S F i( to) to) reprezentata reprez entata in fig. 3.8.’ Se calcu'eazS  f[  f [ t ) Fi  (0) = a ;

/ (t) =

dF'

a

dca

2A

f F2 sin (otdo) = ——f ^ - c o s eotdco —  —F2  —F2 (0 ) =

7t i

Tit i dm

n t 

Deci (3.26)

4. Metoda integralei Duhamel La calculul proceselor tranzitorii Tn circuite electrice liniare cu tensiuni de forma diferi diferitS tS (impuls) se poate aplica aplica integrala Duhamel. In cadrui metodei, mSrimea u(t) de excitafie. se aproximeazS printr-o sumS de componente treaptS, ce se succed la anumite intervale de timp (tig. 4.1). Treapta initials de amplitudine u( 0) 0) este u(0)g(t),   iar componenta retardatS corespunzStoare este  Aur g ( t - t  ),  ) ,   de amplitudine

«(*■>

At

Fig 4.1.

 AU  A U r  « | — |

'•-(fi.

Marimea

de

excitatie

se

poate

deci

A T.

aproxima

sub

forma: i(i)*< i(i)*<«( «(0)s 0)s(f) (f)+ + £4« ,$(r--T )*« (0)$ (f)+ Hoi

d t 

-r) j, r 

Aproxiinajia excitapei este cu atat mai bunS cu cat intervalul de suceesiune a trejitelor este mai mic. Trecand la JimitS §i considerand considerand interva intervale le elernenta elernentare re A r 4 d t ,  amplitudinea treptei ) d r .  Se obpne astfel, elementare retardate devine A# = u \ r )d expresia exacts a mSriinii de excitafie u(t),   in care suina se transforms in integrals, respectiv. / ( l ) = M ( 0 ) u ( l ) + J l l ,( ,( T ) ^ ( l - T ) r f T ,

(4.1)

unde: u(O)g(i) - este unde: este tnS tnSrime rimea a curentului curentului la actiunea actiunea tensiunii ii(0), ii(0) , iar iar £ (/) (/ ) - este conductan conductanfa fa de tranzipe, ce coresp corespun unde de curentul cure ntului ui la ac(iunea ac(iunea tensiunii ( t e l V , ",

 j u ' ( r ) g { t - r ) d T  - este

curentul

o rSspunsurilor corespunzStoare

obfinut

prin

compone com ponentelo ntelorr

suprapunerea marimii mari mii

de

,ei ( f )L-

excitafie u(t), u'(x) - este derivata functiei  g(  g ( t- t ) - este

conductanfa conduc tanfa Tnlocuie§te prin (t-x).

de

tranzifie

retardatS

unde

se

4.1. Algoritmul de caicui prin metoda integralei Duhamel Calculul prin integrala Duhamel constS din patru etape:  g( t )   pentru 1. Se determinS conductance de jtranzifie  g(t circuitul circ uitul studiat. Conductanf Cond uctanfei ei de tranzifie tran zifie Ti corespun core spunde de curentul circuitului dat in procesul tranzitoriu la acfiunea tensiunii aplicate de £7=1V, £7=1V, determin dete rminat at prin m etoda etod a clasicS sau operafionalS. * 2. Se de term inS 'g(t-x)  prin tnlocuirea* t   cu (f-T) In expresia  g(t). •  g(t ). 3. Se determinS u'(t)  calculand derivata funcfiei u(t) §i Inlocuind t   prin  x 

4. Se introdu intr oducc expresi exp resiife ife obfinute obfi nute Tn rela re lajia jia (4.1) (4 .1) §i se rezolvS integrala Tn raport cu variabila, iar apoi se determinS intervalele respective. '

A p I i c a ( i a 4. I . Se consid co nsid ers circuitul din fig. fig. 4.2 4.2 la care u(t) = 40e 500' V; r, = r 2 = 10 Q, Q , r3 - 5 O ; C * 10 100 0 |if |if. Se cere sa se calculeze curentul i(t)  m decursul procesului tranzitoriu. R e z o l v a r e . C o n fo rm in integ ralei D u h a m el se poate serie:

 j,  j, (/ ( / ) = m( m( 0 ) g (r ( r ) + Jm  Jm'(r ) •g (f - r  ) ) d r .

(4.2)

 g( t ): I. Se determinS conductanfa de tranzipe  g(t  ):

, , , PJ jV u3


* ( ' ) “ <•(«) |a ( f i g .4 .2 ). C o n fo rm m eto d e i avem

U=\V 

clasice

il (t ) = il f +i xl 

Fig 4 3

I

unde

fj + r2

20

A;

 A e" ; A, = Ae" Z(p)=0;

•\ +■

/>C />C 1  pC  p C

I0j r = 0 ; p  = -10 V * I, (*) = - - + 44 -I0j • 7 20

1 . . 1 *1 (0 ) = — + A A = i, ( 0 ) ------ . ■ 20 u ' 20 Se determina ii(0) din ecuapile alcStuite prin aplicarea teoremelor teorem elor lui lui Kirchho Kirc hhoff ff la tqomentul f=0 (dupS (dupS coniutafie): :

pentr pe ntru u r=0

«, ( o ) = i 2 ( o ) + i , ( 0 )

(4 3 )

( 0 ) ' . + *1 ( °  ) r 2 = U

(4 O

' ) ( 0 ) f ! + «C ( 0 ) ' ' l ( ° ) f i = 0 ( 4 5 ) Luand in considerate cS U d 0 ) = 0   din (4.5) obfinem  j 3(0 ) = 2/ 2( 0 ).

Din relafia (4.3) i*i(0)=3i 2(0), iar din felafia (4.4)

A = i,( 0 ) - — = IW 20 40

— =~ A . 20 40

Deci

 ( / ) = i,i, ( t ) =  — + — e >l)'.  g  (/  K ’  1 ' 20 4 0 2) Se determinS  g( i - t ) 5W 20 40 3) Se determinS { / ( t)  §i £/(0) U  ( T) = ~ ( 4 0 e ' so°'

= - 2 l O V 500' ;

(7(0)= (7(0)=40 40 F

4) introducSnd expresi exp resiiie iie obfinute obf inute in (4 2), lezufta lez ufta /w ( A ^ W( — + — e ,o' 0J+ f ( - 2 1 O ^ 5mr\) f 2i 0- + — e MW = 20 40 40 40 ' . f   = 2 + * >WU l + * 5001 - 2 + e =
(4.6 (4 .6))

5. M etoda variab iletor de stare Aceasta metodS permite calculul proceselor tranzitorii in circuite liniare pe baza unui sistem de ecuatii diferenpale de ordinul int&i. tn aceste ecuatii ca variabile intervin variabilele de stare - mSrimi ale cSror valori inifiale sunt necesare pentru calculul acestuia, respectiv pentru determinarea evolufiei sistemului dupS momentul initial, (t>0). Aceste mSrimi mSrimi sun suntt curenfii in bobine bobin e §i tensiunile condensatoarelor, care satisfac condifia de continuitate pentru t= 0. Aplicarea Aplic area metodei variabilelor varia bilelor de stare parcurge parcu rge tn doufi etape: 1) in prima etapS se alcStuie§te sistemul de ecuatii diferenfiale de ordinul intSi §i se determinS derivatele respective in funcfie de anumite mSrimi. 2) In a doua etapS se rezolvS acest sistem prin aplicarea metodei numerice de integrare a ecuafiilor diferenfiale ce se  bazea  baz eazS zS p e idee id eeaa apro ap roxim ximaf afiei iei rezolvS rezo lvSrii rii la pasu pa sull "k"  prin aplicarea informafiei informafiei de la pasul precedent precede nt (dezvoltarea in in serie Tayle T ayleur, ur, metoda meto da Euler, Euler , metoda Runge - Kutta, metodele metodele Adams etc). ApllcatiaS.l. Se cons co nsid ider erss circuitul circu itul din fig. fig. 5,1 la care: care: e ( t )  = 141 sin (314 (3 14 + 90°) 90 °) V  ; /=5 /= 5  A;   ri=40 Q; >2=100 Q;

 H;'   C=100 \ i  F. SS L2=0,08  H;'   i F. tranzitoriu.

se

calculez c alculezee

i|(r) i|(r )

la

procesul

Rezolvare: Conform teoreme teo remelor lor lui K irchhoff irchh off pentru circuitul din fig. fig. 5.1 (schema se considers dupS comutape), avem

»0

(

i,-tj-i4=0 (5 1) “ Vi “ °

In

rezultatul

U - i r h *   fi

inlocuirii

transformSrilor 

necesare se ob |in trei ecuapi ecua pi faffi de deriva der ivatele tele

dt

dt 

$i

duc du c dt 

(5.2)

Diu sistemul (5.2), obpnem dit  Ai, _ - L j C f a ;  j d t

+ ri* 

+ r,|) ^ ;

A

unde

i

- ^

*' '

( V i - « c + /5/ )

Ai,= ( h r t + w + U c - e )

0

0

-L,

0

0 I, A= ^ 0 d t 

A

0

0

0

0 = -w ? . c (5.4)

^

d uc dt 

unde

ii Ai, m

Aur at

A

(5.5)

C

(i,r,-ii,.Vr1/ (i,r,-ii,.Vr1/ )

0

^('(i,r1+i +iir irii +u, +u,.. -e) (».*S+Vi +“«" “«"*) o n ^('(i,r1 0 c (»,r, ,r, - + r , / ) V o -L, (i,r, + »,r2 + mr “ 0 «, 0 0

Expresiile (5.3), (5.4), (5.5) pot fi scrise fntr-o formS generals

(5.6) d U r 

dt 

~ fi (h^ )' 

La rezotvarea rezotva rea acestui acestui sistem poate fi aplicat aplicatS S m e to d a . Euler, Euler, conform cSrei avem i!**') = i,(k) +  (-40 0i/* ) - lOw/0 + 2 0 0 0 j h ;

(5.7) (5. 7)

+[g5 [g5 a («)_,250 _,250|j( |j(*>_ 22.5i4*)+ l76Z5sin(360-50Jyi)+90°]/j| l76Z5sin(360-50Jyi)+90°]/j| (5.8) 5. 8) « ? +,) = unde *=0+500: /i=I0 4.v

« ;* ;* ’ +

104 i f

(5.9)

Calculele se efectueaza prin aplicarea tehnicii de calcui cu luarea in considerate a valorilor inifiale UdO)\  /»(0); i4(0)

Concluzii privitoare la metodele de calcul a circuitelor in regim tranzitoriu. 1. Analiza circuitelor circuitelo r electrice cu cu un numSr de elemente eleme nte reactive n<2 in regim tranzitoriu poate fi efectuatS prin aplicarea metodei clasice sau sau a metodei me todei operafionale, dac dacft ft sursa de energie este de de forma continue sau sau sinusoidal^. sinusoidal^. 2. in circuitele c ircuitele electrice cu surse in in formS de- impuls impu ls prezentat prez entat in forma analiticfi se aplicS integrala Duhamel, DacS impulsul este  prez  pr ezen enta tatt in formS d e carac ca racter terist isticS icS de frecvenffi frecve nffi a am plitu pl itudi dine neii §i fazei (impedanfei sau admitanfei de la intrare in circuit) obfinute  pe cale ca le expe ex perim rim enta en tal^ l^ atunc atu ncii se aplicS apli cS inte in teg g rala ra la F o urie ur ierr (m (met etod odel elee de aproximafie). 3. Metoda va n ab ile lo r de stare poate fi aplicat aplicatS S la analiza analiza circuitelor in regim tranzitoriu cu un numSr de elemente reactive ce depa§e$te n>3.

CUADRIPOLI §1 FILTRE ELECTRICE 6 . CUADRIPOLI 6.1. Nofiuni generale $i clasificarea cuadripoiilor Generatoarele §i receptoarele de energie sunt legate, de obicei, printr-un circuit intermediar, care, in general, poate fi

 L

\ U'  f  Fig. 6.1.

h 2

A

'4 i 2*

Fig. 6.2.

oricat de complex. Un astfel de circuit, avand doua borne de intrare §i doua borne de ie§ire, va fi nurnit cuadripol. Se deosebesc douS tipuri de cuadripoli: pasivi §i activi.(fig.6.1,6.2). Cuadripo Cua dripolul lul in interiorul earnia nu exists ex ists surse de energie, se nume§te cuadripol pasiv. Exemple de cuadripoli pasivi: o linie de transport de energie, o linie de telecomunicafie, un transformator, o punte etc. Exemplu de cuadripol activ este amplificatorul care este totodatS un cuadripol cuad ripol neiiniar. , Cuad Cu adnp npoli oliii pot fi , de asemenea asem enea , simetrici sime trici §i nesimetrici. nesim etrici. Cuadripolul, Cua dripolul, la care nu importa ce. ce. borne se considers con siders de intrare intrare §i ce borne sc consider con sider?? de ie§ire, este un cuadripo cuad ripoll simetrjp. Se vor folosi notajiile: U i, /j - parametri de la intrare; ' param etri de la ie$ire ie$ire Ui, li - parametri Pentru un cuadripol pasiv se poaie serie urmatorul sistem de doua iela(ii liniare cunoscute sub denumirea de sistem de ecuajii tie tip A: Ui ^ AU > + M 2

  •, i , = C U 2 + D I  •

unde 4- £> C, Q - coe ficient limar limari, i, d epe nde nt de structure schemei, de parametrii elementelor pasive, de frecvenfS. Ace§ Ace§ti ti e f f i c i e n t pot fi determin determinafi afi analitic analitic sau sau experimental. Coeficienfii  A, B, C, D   sunt legafi prin relafia  A D - B £ = i. (6 2) DacS cuadripolul este simetric, atunci A=D. 6.2. Ecuafiile cuadripolului pasiv Se consid co nsiders ers cuadripolul cuadripo lul pasiv din fig. fig. 6.3a la care  Ei=  E i=U U t 'y L h - h Z i - Conform teoreme  Z i  teoremeii de co m pe ns nsate ate inlocuim inlocuim  Zi   prin £2  dirijatS in direcfie opusS curentului h.  (fig- 6.3b).  L 2

i Z. f t r

4 4

1h

0

*

2 ' 

' '

 L 2 3

>

T

Fig 6 3.

b

Aplicand metoda suprapunerii §i luand in considerare semnul plus sau minus in functie de direcfia de parcurgere a conturului fi directa fs.m., curenti 11 §» h.  se considers curen curenfi fi de contururi §i §i conform metodei m etodei de su supe perp rpoz ozifi ifie. e. se exprimS prin ecuafiile de mai jos:  L\  L\  = F.K,, ~ E 2Yl2, Yl2,  (6.3) / 2 = I « I . 2 - F 2y 22. ( 6.4 ) Din relafia (6.4) se obfine V  1 ■E, = E 2^ + I 2 — 

’ £.12 £-12  frilocuind frilocuind expresia expres ia (6.5) in re lapa lap a (6.4), (6.4 ), se obtine ob tine Yu)L22-n

(6.5)

Y Y ~v~ 1 ;  B = —— ; C =  — 22—=^ —=^=- • —ij H,a H,a  ,  rezultS Inlocuind  K\-LLu E 2  -U 2  , t / , = A£/2+ A£/2+ fl /21

Se noteazS  A  =

Y 

d

- * u. t,.

 L = Cf/ j + D / 2J

Conec

Pentru verificarea ecuapilor se serie relapa (6.2) y j I y 4 T? - Y  A£>- flc = .=* I‘3 = i , v 2 K * i-12  —12

tarea

h 2 (6.8)

>

Dm (6.7) rezultS

2s

Km

Fig. 6.4

.C-

 K,

=£ 2 4=u- + / a-

 L

m

H l£n ^ - Yn   > - * Yu / inlocuind £1   prin f/t §i £2  prin U 2  ,  rezultS

 p

;

& = ou.2 t f l l a) a) .

\

: • <6 ,0 ,

: ; f ^ - (6 (6 ; 1 1 ) '

.\ Ecuapile ( 6 J) descriu funcponarea cuadripolului cuadripolului la alimentarea pe partea bomelor 1-1', cu sarcina codectatS la  bo me le 2-2'. Ec ua pil e (6 11) des cri u fun cpo nar ea cua drip olul ui la alimentarea pe partea bomeior 2-2‘, cu sarcina conectatS la  born ele l- iV * i" . lOi

U.2 -

in  paralel

in serie -

—

21- I ■**—22 - 2

H

 Li  Li ~ tLi\L\ + tLnLLi 

G

 L ^ Q u i L + Qn L Ui =G.iib =G.iibL Li +QnLi 

- serie serie in cas cadS

5'

’

2>

U^ l L u L + HnLLi 

 paral el m  parale l

!W

i,=r„{£,+  L t ^ U i + Lu lL

. J_

(6.9) in ~  I n Introducand expresia (6.9) in relapa (6.8), se obpne

;V 'V\

 Hi —Z\ \ L\ + 2  12-2

serie

SchimbSnd locurile sursei  E\  §i .>arcinn  Zi   §i inlocuind Z2 cu  E2,  se obpne o relape ce leagS parametrii primari £/j §i /, cu U 2 2  §i & Conform metodei suprapunerii efectuatS pentru fig, 6.4, 6.4, avem (6.7) i2 +&H. 2.

Schema

Ecuapile

orma

in

4l

1 &

6.3. Interconectarea cuadripoiilor Formele Y $i 2 de interconectare a cuadripoiilor sunt aplicate in sinteza circuitelor electrice. Tabelul 6.1 6.1

.I ~ U  Zi —   AuLL  AuLLii + &22  L1 

-

W

g ) 

Deseori, intre sursa de energ ene rgie ie ?i recepto rece ptorr se conecteazS conecteazS un cuadrip cua dripol ol simetri sime tric c astfel astf el inca incatt impendanfa de la intrare sS fie egalS cu impendanfa de sarcini

Fig. 6.5.

Zs. Se

considers cons iders

jchem jch ema a din fig. fig . 6.5 la care Zmu-2s-- 

7

ZLS1

de unde

a z s + b 

—u  2+  2 + a*/’ 2 c

c z s + d 

r   L 

~ inl sau

- d H2 + b L   _

' 

= A£s+B 

(6 . 12)

C Z S + D 

Z s  =

•

Deci Dec i mSrim mSrimea ea Z im - Z s =  

depind depinde e de coeficien coe ficienfii fii B 

?i C  ai cuadripolului §i poate fi considerate ca unui dintre parametrii cuadripolului. Se

noteazS

( b  —

prin

Z c  

numitS

impendanfa

caracteristicS a cuadripolului pasiv R e g im u l

in

care

Z $ -y ~ = Z c

cS cSnd

Z int  = Z C

nume§te regimul sarcinii adaptate (acordate), la care

se

Pentru Pentru caracterizare car acterizarea a cuadripolului cuadripo lului se mai introduce un al doilea parametru ce caracterizeazS raportul niarimilor ~ ~  L  sau —  L 

La regim adaptat 11

I I 

K l = V tf t f v- = M - r n e  'b, 'b,

(6.13)

unde m = —

(6 . 1 4 a )

b = (pi~(p2 ( pi~(p2.. 

(6.14b)

Aplicand scara logaritmicS, rezultS a =  In m =  In

, sau

U 2 

m = e“ .

Deci = e* ejb ejb = e{° ' Jb).  Mi

Se

noteazS

(6.15)

Vi 

g = a + jb

-  

constanta

de

transfer

a

cuadripolului ! coe ficien ientui tui de atenu atenuare; are; a  - coefic fa zi.. b  - coeficientui de fazi Constanta de transfer poate fi , de ascmenea ascmene a , exprimatS expri matS in funcpe funcp e de de coefficient^ coeffici ent^ cuadripolului: . & = I

n ~ ~ I n =In+/i)=lnj i . g  = ln( A + >[BC  j  j , Z, -- ^ 

t \  - |u(,A 1ViHC iHC ) 1 (6.16a) (6 16b 16by 

E x em p lui lu i 6.1. 6.1. Se consider^ consider^ cuadripolul cuadripolul pasiv simetric din fig. fig . 6.6 constituit constituit din rezistenfe active. Se cere s5 se determine parametrii secundari g  f i Z c   ai cuadripolului dat. Rezolvare: tn conformitate cu teoremele lui Kirchhoff, avem (/, = 280/, 0/, + 280/ 280/2+ 2+ t / 2 C/, = 2 8 0 / ,+ 5 1 0 (4 + /2) N O 

140

140

2

r 

Fig. 0.6.

sau sau

I

£/, =l,5 =l, 5 5 t/ 2+ 7l4/ 7l 4/ 2

[/, [/, = l,97 l,9 7 10'3C 10'3C/2 + l,5 l, 5 5 / 2’  {/1=

a u  2 +

(6.18)

Bl_2 

/, = CU_2 + £>/2 £>/2 Din compararea ecuapilor obfinute cu ecuafiile de baz§ ale cuadripolului, (6.1) se pot serie relafiile A = D = 1,55 1,55;; fl = 714 Q; C = l,97 10‘ 3i Verificare: A D - B C  = 1. Deci Deci Z c =

= 6 0 0 ft; g  =» In ( a + V f l C ) = 1; 1; e* = e a - e i0 i0\ b = 0   ; a * 1.

6.5 Ecuafiile cuadrip cua dripolulu oluluii pasiv cu funcfii hiperbolice Conform relafiilor (6.16), (6.15) * = I " ( a +>/b

c

)

Zc, 8-  ( A + y / B C ) + ( A - y f B C  )

e* +e~* 

A  =  = £  __  ___

v B C  =  =

A 

(/* + V f l C ) - ( / 4 - > / f l C )

■1- * ■■" ■ ■

........

B  =  = ZcsfbC  =

c =

J b

c 

= chg 

.

=

e* - e *    ---- -----

= shg 

= Zcshg  4 b c  "

zc

Zcshg \ C -  Deci, avem A = D = chg ; B = Zcsh

shg  shg 

Zc t/, = ir 2ch g + i2z i2z csh cshg 

Ii

*

shg + LiChg  LiChg  c 

Aces Ac este te ecuafii sunt numite numite ecuapi cu funcfii fun cfii hiperbolice. hiperboli ce. cshg  Hi ~ ILichg + Li Z csh

/,

shg  shg  + chg   + L 2chg  Z-c 

(6.19)

6.6. impedanfa de intrare a cuadripolului La conectarea receptorului la bomele sursei de energie, regimul regi mul sursei sursei este determinat deter minat de impenda impendan^a n^a sarcinii. sarcinii . DacS sursa sursa de energie §i receptorul sunt conectap prin intermediul unui cuadripol, atunci U\  ?i h   depind de impendan^a de intrare a cuadripolului. Impendanfa de intrare, la randul sSu, depinde de structure schemei, de parametrii elementelor ce alcStuiesc

cuadripolul, adicfi de coeficienpi cuadripolului §i impendanfa sarcinii. Se exprimS impendanfa de la intra intrare re la bom bo m ele el e 1-1’ 1-1’ prin prin intermed intermediui iui coefficient coeffic ient lor A, B, C, D   §i §i impendanfa impendanfa Z > Din ecuafiile de bazS a cuadripolului /, unde

C U 2+ 2+ D l 2  

c z s +  d 

£/2 = /2Z S . La alimentarea de la bomele 2-2’  r

= ! L =E L i S L . ^

Li  

Ct/,+A/',

1 . 

1

(6.21)

CZ*+A 

DetenninSm DetenninS m raporturile dintre impendanfe impen danfele le de la intrar intrare e a cuadripolului la regimurile de funcponare tn gol fi scurtcircuit, in cazul alimentar alimentarii ii pe la bome bo mele le 1-1 \ apoi pe la bome bo mele le 2-2’ . Alimentarea cuadripolului la bomele 1-1’  a) regim de funcfionare in gol Z s  =

2 io io =

= ~ 

b) regim de scurtcircuit Zs = °°

 —— . Z ]SC — Z lsc lscdJ¥lM  ——

Alimentarea cuadripolului la bomele 2-2’  a) regim de funcponare in gol z, =“

Z» =

b ) regim reg im de scurtc scurtcircu ircuit it *0

Zasc * 

• •

Impendanfele de intrare la regim de funcfionare in gol  }t  } t regim reg im de scurtcir scurtcircuit cuit depind de parametrii parametrii cuadripolu cuadripolului, lui, adic& de coeficten\ii A,  B, C, D.

DacS coeficienpi sunt legap intre ei prin relapa A D -  atunci ci se poate determin determina a relapa dintre im i m p ed a n ce B C =  1, atun Zio, Zisc. Z 20 20, Zzsc   §• anume  —i  — io

A

D 

2|SC

C B

Zjo

D

Z.2SC

C 

A 

de unde se obpne Z 20 —to  —to  ~ = ^ ~ -    ^.ISt —2SC

(6.22)

Daca cuadripolul pasiv este determinat prin parametrii secundari g,  Zc, atunci impendan^a de intrare se va exprima prin relapa; 7

_ Mi _ Uichg Uichg + l 2Z csh cshg _ Z sch g+ Zcsh Zcshg Z sc h g + Z csh cshg ~ 7 '“ ‘z i “ : • T j j  - l • — shg+ l2chg — shg+chg   —5 8+ZcChg 

 Zc  Zc

^  ^

w

2c

Imp&rpnd componentele numSrStorului fi numitorului cu “chg”,  rezultS Z. M = Z CI

( 6. 24)

Z sthg + Z c 

6.7 Determinarea parametrllor g, Zc  pe cale experimental Se considers douS regimuri §i anume regimul funcponare !n gol fi regimul de scurtcircuit: a) regim de funcponare in gol Z s = ~ Z 10= % b) regim de scurtcircuit Z 5 = 0 Z ISC = Z^thg  .

de

( 6 25 25 )

(6.26 (6. 26))

tmmulpnd expresiile (6.25) fi (6.26) intre ele, se obpne ■ Z e = V Z » 2 u c = Z C« *

(6 .2 7 )

fmp&rtind (5.26) la (5.25), se ob(ine: t h g = J ^ = th (a + j b ) = T e'T  

(6.28)

Pentru determinarea constantei de transfer g=a+jb  se aplicft o relate din matematicfi Te jr  1 .  ji  .. 1 . 1+ Tej g  = a + j b  = —I n ------- — = —In We K ,

5

2

1 -7 * "

2

1+ 7V* 7V * unde “ W "   es este modu modulu lull numi numiru ruiu iuii complex complex -—— ^ , £ - argumentul argumentul numirului complex com plex.. Deci e 2* = e2a e , u = W e * 

de unde

e2a = W

e y2<’ =

Din funcponare poate avea douft valori

a   = —InW' —InW' = \i\y/W  2

; b = —£ + 7T . 2 rezrltatele m&sur&rilor impedanfelor In regim de in gol $i de scurtcircuit, coeficientui de fazfl “ b "  mat mujte valori deoarece relafiile aplicate pot da pentru 0.

6.8. 6.8. Schemele Schemele echivalen echivalente te ale cuad cu adrip ripol olulu uluii pasiv In practice se intalnesc cuadripoli cu diferite scheme de leg leg&tur& ale eleme ele mente ntelor lor constitutive constitutiv e Prezinta interes interes deosebit schemele schemele in in forma de “ T ” §i in forma de de *7T‘ *7T ‘ .

Tabelul 6.2 Schema in forma de ‘T 

Schema Schema in forma de “ f7 '

*i I

2 A= l+

Z 3  B  —Z,  —Z, + Z ? +

c =

£6 fl = Z 4

2i

1

+ & + 2. 2.6

z,

z,2* 0 = l+&i

D = l + —  Z, Daca 2 i 3 Z 2, at atu unci

Z> Dacft Dacft Z , = Z 6 , atu atunc ncii A = D 

A = D 

Aceste expresii sunt obfinute din ecuafiile de baza pentr entru u regi re gim m u rile ri le'd 'de e ftincfionare in gol -fi -f i de scurtcirc scurtcircuit, uit, de unde reiese, cS:  — 

&.JS .JST \fc.io fc.io ~ s .is r / J: 

N

^

c U ; ; few

0 = J L , fenc

Z,0 mZ, + z ,

ZlJC lJC - Z j + M l  2i +Z j  _ z

,

( z 4+ z . )

 — 1 0 - --- -

2.5 + 2 4 + 2 6

7

= .i

_

2 ,2,

—— — ———

pentru pentru schema in form fo rma a de “ 77”

2< +2s 7 _ fe.2S e.2SC -

2 42a

2 4 + 2fi 2fi 6.9. .9. Diagr Dia gram ama a cercului cercului pentru un cuadripol cuad ripol pasiv Se consider considers! s! un un cuadripol cuadri pol pasiv pasi v (fig (f ig . 6.7) 6.7 ) la care care tensiunea aplicatS este constants ca valoare, faz& §i frecven^S. Impendanfa sarcinii de la ie$irea I z, cuadripolului variazS ca modul astfel astf el , incat semnul unghilui de h * --defa de faza zajj
cF

3D'

U\ -Z:\\l\  + 212/2

(6.29)

U.2 —Z u h  + Z 22/2 .

unde t/22 0  - tensiunea la bomele 2-2’ in regim de funcponare in gol, Z int220 = Z 2SC = Z 2SCe JVlsc -   impedanja de intrare fa{5 de bom bo m ele 1-1’ 1-1’ la la scurtc scurtcirc ircuit uitar area ea bom elor elo r 2-2’ .

Imp&rpnd numSr&torul §i nutniturul p&rpi din drepta a  §1  relapei (6.29) luand in considerare faptul ca

(6 30)

Din relapa (6.30) reiese cfi vectorul curentului I-t  hs c   este coardd. alunecS pe arcul de cerc la care hsc  b) Diagrama cercului pentru Curentul  [\   poate fi legat liniar cu h   printr-o ccuape de forma: (6.31) /, = a  +  + b l 2, unde a, b  - sunt coefi co eficie cienp np consta constanp np determinap determinap din regimurile regim urile de funcponare in gol $i de scurtcircuit. 1) regim de funcponare in gol, /2=0 Z i o = a 

2) regim de scurtcircuit, U 2= 0 , iz-hsc 

de unde Deci (6 32) Lise 

Introducand in ecuapa (6.32) relapa (6.30), ac obpne

sau sau

/, - Z 10+ - ■ 1i

- ° ----- •

(6 - 3 3 )

1 7 ^*2sr

Ecuapa (4.33) reprezinta ecuapa arcului de cerc pentru curentul /j. c) Ecuapa arcului de cerc pentru tensiunea (Jnh. La variapa variap a modulului modulului impedanfei Z 2 = Z 2e M

in ram ramura

data, tensiunea Hob  poate fi , de asemenea , exprimata exprima ta prin ecuapa unui arc de cerc: ! U = S U  o +

■■

(6.3 4)

J 4- _ z l 2 _ g j ( 9 i - 9 i s c )

7 2SC 

6.10.

Construcfia diagramet cercului pentru un cuadripol pasiv Ordinea construcpei diagramei cercului. 1. Se efectueaza schemele de montaj pentru studierea regimurilor de funcponare in gol §i de scurtcircuit pentru. determinarea marimilor 7

£ ±2 ±2

= 7

e' e' 2 c  

*

saw

’= 7

* Jl O e

'

7

£ i -\ S C ~

s c e 

*' « - 7 »

±t2SC

- 7

~

Z~ 2 S C t  

2. Se calculeaza marimile / _ —» _ / .Ao . /

 — 10

y S.I0

MO^

*

_ —1 _ /

i- IS C ~

7 

—   

i l5 C e

^.I5C

ce se introduc in ecuapa arcului de cerc I

— I 

.

i.1 ~ £.10 +

—!SC —! SC " Z lO

1+ ^ - V 7 2SC  3; Se alege scara pentru tensiune, curent: ^  =

*'

=U}

V 

cm 

4. Se dispune vectorul tensiunii U\   de-a lungul axei vert ve rtic ical ale e la scara aleasa, apoi se dispun vecto vec tori riii /| /|5( f i /,0 /,0 sub unghiurile
1 2 ^ 1-

a + J 

~  2 ^ ^

La determinarea centrulyi cercului, din punctu punctull “ n” sub unghiu unghiull (p = 6 0 ° , se duce tangen tangenta ta la cerc ce rc f i perpendiculara perpendicular a la aceastS tangents. egale §i prin centrul segment. Punctul de centrul cercului. Se

Se imparte segmentul mn   in doua parp se dupe a doua perpendiculars la acest intersecpe a perpendicularelor determinS traseazS arcul de cerc mpn   din punctul

“
r ft

6. Se alege scara pentru impedance  fiz  = I —  •  ]_c  ]_cn\ 

fi la

scara aleasS se dispune Zzsc   de-a lungul coardei din punctul “ m”

spre spre punc punctu tull “ n”

Z 2sr - > m q . Sub unghiul (-\|/), adicS

60°, din punctul “ q ” se duce linia modulului impendan{ei variabile

Z 2 - > q r   fi

la scara scara aleasS aleasS n z  =

r —f t i

L cm J

pe aceasta

iinie se dispun valorile pentru Z 2  de la “ 0” panS panS la “ <=0".. Arcul totalitatea punctelor extremitSpi mpn   reprezintS vectorului curentului h  la variapa varia pa Z 2 =0+° =0 +°°. °. DacS este este cunos cunoscut cutS S valoarea valoar ea Z2 Z 2 la care se determinS valoa va loarea rea curentului, atunci se dispune di spune impedan imp edanfa fa Z2 Z 2 la scara aleasS dealungul liniei qr.  Se traseazS linia ms.  La intersecpa acestei linii lini i cu arc arcul ul de cerc cerc se obpne obpn e punc punctul tul “p ” care reprezintS extremitatea vectorului curentului 1\  du dus s din punctu punctull “ 0” panS panS in punc punctul tul “p ” , adicS adicS op —>  /, =

.

In continuare se prezintS modul de aplicare a diagramei cercului la determinarea mSrimilor Z2, lh, P\  f i Q\- 

Diagrama cercului cercului (fig (f ig.. 6.8) servefte nu numai pentru determinarea curentului  [\  la variapa varia pa Z 2 =0+«> =0 +«> dar f i pent pentru ru determ determinar inarea ea modulurilor fazorilo faz orilorr MSrimile hr U.2 , P\  fi Q\.  indicate sunt determinate de segmentele respective la scara dat&. Fig. 6.8

m p :

Q x O f . l\   

Segmentul O T   reprezintS proiecpa fazorului curentului U\   mPi  = Ujn, pe fazorul la scara sau

F ( P  ) =

I / 0 > '  0 Proiecpa vectorului direcpa perpendiculars l\   pe fazorului U\   determinS segmentul o f   iar la scara datS determinS puterea reactivS Qy =(/,/, =(/ ,/, sin
Px = / ( Z 2) ;

Q l = f ( Z 2)   ceea

ce permit per mite e sS sS se

efectueze o analizS deplinS a regimurilor de funcponare a cuadripolului pasiv. A p I i c a | i a 6. 1. 1. r 

L 

~P 

Se considers cuadripolul cuadripolul din fig. fi g. 6 9. Se cere cer e sS se determine coeficienpi A, B, C, D, folosind:

1) ecuapile de baza ale cuadripotutui in regimurile de funcponare in gol” §i de scurtcircuit; 2) impendanjele cuadripolului in regimurile de funcponare in gol go l de scurtcirc scurtcircuit, uit, prealabil preal abil calculate. Date numerice: numerice: r= 20 Q ; X L=20  Q ; X c =   - 40£Q. R e z o 1v a r e . I) Se determinS coeficienpi A, B, C, D   din ecuapile de bazS bazS ale cuadripolului ' ' u, =

d u  2 +

f l/ l/ 2

/,=Cf/2+A/2 §i se considers regimurile: a) de funcponare in go l ( Z 2=°°; =° °; /2=0) I U   = AU_m ; /.o = C U X  de un unde A = ^ - ;

C=^ -.

ho, * prin Se exprimS mSrimile JJj o, ho, pri n mSrimea mSri mea aplicSnd aplicSnd schema din fig fi g . 6.8 la regim re gim mers mers in gol g ol . 20

= (0,025+ (0,025 + y0,05)t/,0y0,05)t/,0-

Lo =

Deci = 0,5+^0 ,5; A = 0,5+y 0,5; #“

t/,0 (0.025  (0.025 + yo,OS) (i-y)LL,0 C = -0,0 -0,0125 125 + j0,0375 j0,0375 ,i

b) de scurtcircuit: (Z2=0; t/2=0)

U\o 

Z a  a  -----

y — I----- 1— -J-J------

i h  

Z»[J

h  'i  i  ■P 

Fig 6.10.

Lise  = D L i s <  de de unde

O  =  =

L  L s c 

Um r  exprimS marimile  [\Sc  $i lz^  prin m&rimea Umr  f ig.. 6.8 6.8 in regim reg im de scurtcirc scurtcircuit: uit: aplicand schema din fig Se

------ - = 0,025£/ L^ c -----0,025£/lsr; lsr ; Lise —  - j X c ( r + J X L)  

- j X c  + r +  j X r 

Iisc  = ~ ~ x  = (0,25 (0,2 5 - yO,25 yO,25 ) •10 2U  J

L 

Deci U 

L 

Lise 

Lise 

S-au

obpnut

valorile

A = D  = 0,5 0, 5 + y'O,5 y'O,5 - de

unde unde

rezulta ca cuadripolul este simetric. Verificarea calculelor se efectueaza prin prin** aplicarea relapei A D - B C  =  = 1 (0,5 + >0^X0^ +

jOJS)  jOJS) -

(20 (2 0 + >20X~0,0125 >20X~0,0125 + yQ.0375) yQ.0375) = I •

A, B, C, D,   Se determina coeficienpi tolosind impedanfele cuadripolului in regimurile de funcponare in gol §i de scurtcircuit. Conform Con form relapilor relap ilor ce • exista exista intr intre e coeficie coe ficienp npii cuadripolului fi impedanfele lui rezulta:

 —  I

&&SC 

~ jv £z-isc  z v~io (z o - z=usc v~i =usc / 

d _ 17

'. c = •

~ ~ 2SC’

D = 110

B  sc- 

Intro Introdu duca cand nd

npedan npedantel tele e

^ jo *

Zisc*

expresiile de mai sus, rezultS A  = 0,5 + ,/0 ,/0,5;

£ 2

SC 

*n

fl = 20 + y'20 '20 f t ;

C = -0,0125 + y'O,0375 s\  D = 0 ,5 + /'0,5 /'0,5.. A p I i c a ( 1a 6. 2. SS se detennine coefic co eficien ienpi pi A, P, C, P   ai cuadripolului pasi pasiv, v, impcdanfa caiacte caia cteiis iisticS ticS Z< Z< §i cuefic cu eficien ientu tull de transfer “g ” pentr pentru u schemele echivalente echivalen te in forma de “ 7” §i in forma de ” 77“ ( f i g . 6 10), dacS: dacS: Z\=Z.2=2,5Q, Z * -5 ft De asem asemen enea ea,, sS se determine tensiunea tA la sarcina acordatS pentru 1/i=I0V.

Rezolvare. 1) Se consider^ consider^ schema schema in forma de “ 7 " wig wi g 6.10a). !n acest caz coeficienpi cuadripolului au valorile 4 = £) = l + ^ - = l + — = 1,5; 0 = Z, + Z , + 5 £.3

-6,26,2-5 5 ft ;

C = — = —= 0,25 S . Z>  5 Impedanfa caracteristica

z  ) l + -4i_  Z a .= J Z , Z 2 = 2Z2

J f »

5. 6 8 «

Constanta de transfer :

^ = ln (A + v 'B C )= ^ (1,5 + 76, 76,25 0 ,2 ) = 0,96 0,961.

 Tensiu  Tensiunea nea la sarci sarcina na cu Z<7*=5,68 ft. ft .

 fi  fi ~  In U&-  U&- . de unde U 2 = U ,e , e '   = ^ - = 3 ,8 3 V . LLz

e 

2) Se considers schema In In formS de de “ /7‘ /7‘ (fi ( fig g . 6.10b) 24=5ft; £,=26=100. /4 = D = 1+ — = 1 + — = 1,5; f l = Z 4 = 5 f t ; 10 26 c  _= £4 + i£.S —6 _  0,25 5. Impedanta caracteristicS Zi.cn  =

JB 

~ 4,46 £2.

Constanta de transfer g = In (y4 + V 5 c ) = 0,96 0,961. 1. Se determinS pentru =10 =1 0 V.

tensiunea

U 2   de

la

sarcina

ZrZs i.

Zj'Zn. ----

L

acordatS

C D - *   -----

i 

L  Lrb 

U> 

 r  r

zm 

. 1

* -----------

Fig. 6.12.

2s=Zc«4,46,ft.

e* ~ ~ r >    de unde U 2  U-i 

= 3,8, 3,8,V .

A p 1i c a f 1 a 6. 3. SS se determine coeficienpi ai A, B, C, D  transformatorului transform atorului liniar li niar din fig fi g . 6.11, dacS dacS L|=0 L|=0,1/ ,1//; /; M=0,4 M= 0,4f/; f/; r,=80 r,= 80 ft; r2=2 0ft; co c o = 4 0 0 .v £ 2=0,25//. Rezolvare.

1) Se aic&tuie$te in prealabil schema echivalenta  f&  f&id  cuplaj cuplaj inductiv (fig (f ig.. 6.12), unde =coL, = 400-0.1 Z, = r l + j X ^   = 80 80 + > 4 0 ft; 0.1 = 4 0 « ; >100 i l - , X Li -toL^  =400 0,25 = 10 10012; 1.2 = r 2+ j X Lt = 2 0 + >1 Z M =  jt  j t o M   = >400 0,4 = 7I 6O f t ; X M = (t)M  .

Determinam eficienpi A , B, t\ D , folosind expresiile acestor coeficienpi prin impedan(ele cuadripolului in regimurile de funcponare in gol §i de scurtcircuit. Deci

°  = A Z 2S( ; C  = ~  ; D * C Z V , ; B  = V —20 — 2iC  —1  —10

A=,L 

unde Z 10 = Z . - £ m + Z m = Z, =2 = 2 0 i 740 ft Z * = Z 2 - Z M + Z M = Z , = 20 4 /100 f t ;

 _  7 7 - 2SC- - - 2

 _ 

, —W( —W( —1  —A  —A# )  _  7 _M ' Z M , Z r - Z M  “

Z2 = Z 2 - ^ - = 4 2 , 0 7 - >4 >44,83 ft ft £.1 Introducand valorile 2io. &o> corespunzatoare pentr pentru u A A,, fl, C, 0 se obpne 4 = 2 ,5 -> 2 ,5 = 2,55 e-'HJO ;

&sc

B = A Z u c =\2ZeiW =\2ZeiW2arU ,

C = J^~ = 6,25 10  V ' * ’ .. ..S' ; Z.K) D = C Z jo = 0,637<‘ 0,637<‘ /n 20 .

Pentru verificarea calculelor se aplicft relapa A D B C -   I.

in

relapile

7. Filtrele electrice 7.1. Considerafil generale in tehnica telecomunicapilor este adesea necesar s§ se . permits trecerea spre receptor recep tor numa numaii a curenplo cure nplorr ale cSro cSrorr valori ale frecvenfei sunt cuprinse intr-un anumit interval, in acest acest scop, Intre Intre receptor rece ptor §i disp di spoz oziti itivu vull de alimentare se eonecteazS eonectea zS un filtru electr ele ctric. ic. Filtrul electric elec tric este , de obice ob iceii , un cuadrip cuad ripol ol sau sau un lanf de cuadrip cua dripoli oli ai cSru cSruii constants de atenuare este este mtcS (sau nulS, ulS, dacS filt filtru rull se cons co nsid ider ers s fSrS fSrS pierderi) Tn anumite intervale de frecvenjS, numite intervale de trecere trecere sau benzi benz i de trecere; in celela cel elalte lte intervale de frecvenfS, numite numite intervale inte rvale de elimina elim inare re sau benzi de oprire, oprir e, constant constanta a de atenu atenuare are fiin fi ind d foarte foa rte mare. mare. Frec Fr ecve venf nfel ele e care se transmit prin filtra fil trare re fSrS fSrS atenua atenuare re formeazS benzile de trecere, iar frecvenfele care se atenueazS formeazS benzile de oprire. Frecvenjele limits ale benzilor de oprire se numesc frecven(e de tSiere sau frecvenfe limits. DupS pozipa ocupatS de benzile de trecere sau de oprire in spectrul de frecvenje se deosebesc: - filtre filt re trece - jos, jo s, care au banda banda de trecere (0, (0 , / i) §i band banda a de oprire (/i, «>); - filtre filt re trece - sus, sus, care au bands de d e oprire opri re (0, (0 ,  f\)   f \)  $i bands de trecere { fu   °°)f  - filtre fil tre trece - bands, bands, care au banda de trecere (f\, fi)  §i  f \ )  §i (f 2   f\ < f a  benzile de oprire (0,  f\ , ° ° )  cu  f\< - filtre opre§te bands, care au banda de oprire (f\, fi)   f \)  §i  [fa , <») cu  f\  f \ < f a  §i benzile de Uecere (0,  f\)  -   filtre in pieptene, care au mai multe benzi de oprire §i trecere altemante. Din punct de vedere al elementelor componente, existS: filtre cu elemente reactive (LC); filtre RC\   filtre cu rezonatoare piezoelectrice. Principalele filtre cu elemente reactive reacti ve folos fo losite ite in sistemele de telecomunic telec omunicapi api sunt a$ a$a -

zisele filtre tip “ k ” , filtre tip “ m” , filtre in pun punte te,, filtre diferenpale etc. Filtrul de tip “it “ it”” este filtrul la care produsul produsul dintre impedanta longitu lon gitudina dinals ls §i impedanja impeda nja transversals este un num numSr “m "  constant constant “ it” it” , ce nu nu depinde depi nde de frecven| frecven|S. S. Filtrul Filt rul de tip “m"  este filtrul la care produsul acestor impedance depinde de frecvenfS. Calitatea Calit atea filtrul fil trului ui este est e cu atSt tSt mai inaltS, cu cat proprietSple de filtrare Sunt mai evidente. ProprietSple de filtrare sunt bazate, din punct de vedere fizic, pe fenomenul de rezonanfS - rezonanpi rezon anpi de tensiuni sau sau rezonan| rezonan|5 5 de d e curenp. Felul cum se transmit semnalele (curenpi §i tensiunile) printr-un cuadripol, §i deci atenuarea acestora la un filtru, depinde de impedanfa elementului conectat la ie§irea filtrului. 1 Ui 

F

Zi/2

Z A  1 t—* * r —   — 

fjfc

a

16

2’

& s —d - c ui }-  1 *  —r  — r - { = > - r — -0 ' *   —d 1

Z,

Ui  Qzz.  Qzz. 222 M J6

1’ Fig 7.1.

b

2’

III 

r

i r 

2&H j ,

e

2*

in teoria filtrelor electrice, se considers de obicei filtre simetrice(cu parametrii A - D )    §i se admite, pentru simplificare, cS la ie§irea fiecSrui filtru este conectatS impedan(a sa. imagine (Z 2 = Zc). Zc) . Filtrele electrice se caracterizeazS caracterizeazS prin curbele corespun corespunzSto zStoare are de variap var iape e a at aten enuS uSrii rii “ a ” §i defazajului defaza jului “ b ” cu frecventS, frecventS, care se numesc numesc caracteristici de frecvenfS frecve nfS ale filtrului. in dependents de structure filtrului, se deosebesc filtrele electrice in fbrm fbrmS S de * T ” , in formS de “ 77 ” , in formS de “ P * (fig. 7.1 a, b, c).

7.2. Determinarea benzilor de trecere 9! de oprire Cons Consta tanta nta de trans transfe ferr a filtr filtrulu uluii in fonna fonn a de “ f \ notata cu g/2,  se determine din expresia 2

(7.1)

\4Z3 

Cuadripolii simetrici simetrici in forma de “ 7 ” $i in forma de ‘T ’ V pot fi considera(i considera(i formafi prin prin conectarea conectarea cor cores espu punz nz&t &toa oare re in lan| a doi cuadripoli in forma de ' T  ". Constanta de transfer a acestor cuadripoli simetrici este de doua ori mai mare decat a stru struct ctur urii ii componente deci este “ g ” . Se poate serie c A * = l+ ^ - .

(7 2 )

in ceea ce prive§te impe impeda danc nce e le caracteristice ale cuadrip cuadripoii oiilor lor sime simetri trici ci in in forma forma de ‘ T " §i in in forma forma de de “77” “ 77” , notate pentru simplitate cu Z t   §* 2n, expresiile acestora sunt:

-

>

'

I

4Z,

(73)

Daca impedanfele Zj §i Z2 care intervin In structurile din Fig. Fig . 7.1 sunt sunt mSrimi invers in verse, e, tar puterea de inversiune inversiun e este o constanta reaia, independentd de frecvenja, adica Z t£ t£ 2 = K \  

(7.4)

Filtrele respectiv respective e se num numes esc c filtre de tip tip ‘V ’ . Pentru ca o structure cuadripolaril cu elemente reactive se compoite ca un filtru este necesar ca impedanfele Zt  Zz si aiba reactan(e de semne opuse, adica: Z\ ~  . iar iar & =  fj  f j X j -  • ' ■ ».) Imervalul de trecere. trecere. Coeti Co eticie ciem m ul de faza. faza. y Din teoria cuadripoiilor este cunoscut ca coeficientui de Uouaicr are expresia:

DacS a = 0, 0, atunci: atunci: Z 

 = cosfr cosfr = 1+ -= * - ; chg  chg  = ch(a +  j b )  = chjb  = 2Z2

de unde 2Z2 sau

—1< - = i—< 0 ; 4Z2

DacS Z t - j X i ,   iar l

a 

atunci

(7.5) (7.5 ) -1 < — =^~£ 0 . 4£ 2

Deci Deci 2i < Z 2, ceea ce ne permite sS determinSm mSrimile impedanfelor. Intervalul frecvenjelor de trecere se ■determinS din Z ••••• T  relapil relapile e — = L- = 0, adic adica a Z 1--O   sau Z 2 -  00 §» “ 1= — = L ~,  adicg 4Zj 4Z2 Zi*4Zi. In zona de trecere, coeficientui de fazS este teconst $i 2 poate fi dcterm dctermina inatt din relapa relapa cosi cosi> > = l + - = i- . . ?Z2 ■ 2 b  Deoarece Deoarece cosf cosfc c = l- 2 s i n —, at atunci 2 ■

*

Semnul coeficientului "b” se determinS din structure schemei filtrului. b) Intervalul de oprire. Coeficientui de atenuare pentru zona de oprire are expresia («w*0):

■

sau cha  cha  cos  j shas asii nb  = 11 -= *-.  cos b +  jsh 2 Z 2 

(7.7) 7.7)

Deoarece Z\  ?> l a   sunt impedanfele pur reactive de semne inverse, inver se, partea dreapt dreaptS S a relap ei (7.6 (7 .6)) este totdeauna totdeauna un num&r real $i deci i7iasinfc = 0. fn zona de oprire a* 0   $i sh a #0, deci sinb = 0 Deci avem ( b = Q )   cos b —\ (7.8) sau cosfc = -l ( b = ± n )   (7.9) £a  au Condipa (7.8) se obpne dacS impedan|ele acela§i caracter, ceea ce contrazice condipile structuni filtrelor. Coeficientui de atenuare se determinS din relapa cha  cha  =  = I + -= * -;

-v: sau

■■

:

2 z2

shr M 

iai coeficientui de fazA din relapa cos b  =  = -1 ( b  = ±n). b = n,  dacS filtrul este de tip trece-jos $i b s - n    pentru filtrul trece - sus , ■

7.3. Filtrul electric trece*jos U 2 

U2

P ' 

a

b Fig. 7.2.

In fig. fig . 7.2 7.2 sunt reprezentate filtrele filtre le electrice elec trice trece * jos jo s In fomi6 de “ 7*” 7*” §i in formS de “ 77“ la care impedunfa 2 i are are carucier carucier inductiv, iar impedanfa Z 2 - are are caracter capacitiv capa citiv.. Frecve Fre cvenja nja de tSiere tSiere se determinS determinS din rela(ia rela (ia 2 i -   este 2 egal egalS S ft), = • Coefic Co eficien ienlii lii de transf transfer er pen pentru tru zonele zone le respective au expresiile: a) zona de trecere a  =  = 0;

b) zona de oprire b  =  = n 

• nr *

!/ ,£ = S I

2

Caracteris Caract eristicil ticile e sun sunt reprezentate In fig f ig 7.3 7.3 Dependence a(a>) §i b { to) to) sunt constiuite sarcinS adoptatS filtrului, adicS Zi =

pentru

o

tn acest caz se $tie cd pulsapa de tSiere are expresia O)0 

2

iar

parametrul parametrul

K  este

dat dat

de

 [ L  relapa relap a K  = ^j— ,

atunci pot fi determinate inductivitatea §i capacitatea filtrului aplicand relapile L  =

; C = — — , unde / „ = — . n fo

n f 0K

2n 

Filtr Fi ltrele ele e'^ctr e'^ ctrice ice trece - jos jo s permit trecerea cure curent ntul ului ui continuu (frecvenfa zero) $i a frecven^elor joase, sub o limits superioarS §i atenueazS putemic frecventele inalte. 7.4. .4. Filtrul Filtr ul electric electric trece trece - jo jos s In regim adaptat. Diagrama de fazorl a filtrului Filtrul electric elec tric se considers consi ders in regim reg im adap adaptat tat dac dacS impedanfa sarcinii §i impedanfa caracteristicS a filtrului sunt egale intre ele, adicS 2a = Zc-   La determinarea sarcinii adaptate este necesar s& se analizeze caracteristiciie de fVecven{S ale impedanfei caracteristice filtrului in formfi de " T  ” §i in formS formS de ‘ 77 In acest scop se scriu expres exp resiil iile e impedanfe impedanfeii caracteristice caracterist ice in funcpe fun cpe de frecve frecvenp npS S , reie§ind din expres exp resiil iile e impedanfei caracteristice ale cuadripolului pasiv respectiv: (7.10)

Zc„ -

T ~

•

( 7 .1 ) )

 T 7 3 T ' V unde Z\  = ywL, iar

“Za

Z 2 = - j - ^ —   pentru filtrul electric

trece - jo s §i , deci dec i expre ex presii siile le filtrului electric sunt respectiv:

(t)C 

impedan impedan|elor |elor caracteristice ale

(7 12) (7 13)

Pentru uxtuo (zona de trecere) Z C/  $i £r, £r , au caracter activ. Pentru uxxiio uxxiio (zon (z ona a de opri op rire re))

£ C) $i

au caracter

reacti v. Fftcand abstracfie de faptul c&    expresiile (7.12) $i (7.13) au pentru coxno doua valori pentru reactanfa inductiva §t capacitiva, caracterui impedanfei caracteristice trebuie sd fie ales ales respectiv pen pentru tru scheme in forma de ‘ T ” - caracter caracter inductiv, iar pentr pentru u schema in i n forma for ma de “ /7 “ - caracter capacitiv. !n caz contrar coeficientui "a” va avea caracter b  &unt negativ, adica in zona de oprire (a»Wo) H i unt mai mai mari dec&t U\  ?i h   de la intrare. Pentru impedanfa caracteristicd activa coeficientui " a ”  nu poate fi negativ. Aceasta reiese din expresia: a = —In 2 A

—In - In U l  t  2 s2 U2  

f a = — + — = In — + —In ^ = -In -& 1. V 2 2 2 U 2  2 ij 2  p %   J Daca a<  0, atunci  p\< pi,   ceea ce contrazice fizica proceselor din circuitul electric. Pentru unpedan|a caracteristicS reactiva in regim adaptat cu sarcina pur reactiva,  p f *0 $i $i p jH ), iar puierea puierea ap aparen arentf tfll $ poate fi mai mare decftt 5| (cazul rezonanfei).  f f [  In fig- 7.4 7.4 sun sunt prezentate graf g rafice icele le jkpen jkp ende denfe nfelo lorr Z Cj ( “ )

Din f ig. 7.4 se se vede cfi pen pentru tru filtrul filtrul in forma de “ 7” ’ se poate obpne obpn e a=0 in zona de trecere numai atunci atunci cand cand impedanfa sarcinii este pur activa §i variaza cu cre?terea frecvenjei analog impedanfei caracteristice, de la valoarea K 

^

pentru (0=0 pana la zero z ero pentru u) u) = coo. O concluz con cluzie ie

analogs este vaMbiia §i pentru filtrul in forma de Zr

«■—». it

‘IT\ unde

I T 

variaza de la K  = y — pana pana la infinit. Zc 

/ (  too sarcina activa

— /sarcina / reactiva

to

in zona de opr ire, ceea ce nu se se poate f ace in realitate. In practica, sarcina activa se ia egala cu o valoare apropiata de
/

lrjX 

Ui 

/

. 7.4. M  L

U2 

h

U2 

IJX 

iM1

Deci pentru un regim adaptat, la variapa impedanjei in funcpe de frecvenfS trebuie ca impedanfa sarcinii cu caracter caracter activ sS varieze in zona de trecere iar cea de caracter reactiv

7.5.

Filtrele electrice electrice opre prefte - ban di

trece - sus, sus,

trece - bandi,

a) Filtrul electric elec tric trece - sus (fig (f ig.. 7.8) 7.8 ) are band banda a de tre deasupraunei anumite frecven|e, iar banda de atenuare sub ea este destinat destinat s i opreascS opreascS semnalele semnalel e de 50 H z sau sau 100 100 H z create de redresoare $i sfi permits trecerea trecerea semnalelor semnale lor de frecven frec venje je inalte. Zona de oprire

10=0 + 0)0, unde a>0 =

' fre fr ecven cv ent* t*

de t&iere. Zona Zo na de trecere uixuo. uixuo. 2C

. .

|

r - I I — *

y .

2C 

Y \ 

^ 

 p,  p,----------L --------- P

---

a

b F*a 7 8

•

Caraciens Carac iensticiT ticiTe e Z t|| ( w )

se

de

construies construiesc c

frec fr ecve ven{ n{3 3 prin

• u(io u( io), ),

aplicarea

/>(to (to),

Z Cj (to), (t o),

expr ex pres esiilo iilorr

obpnute

pentru filtrul electric trece-jos $i sunt prezentate in fig. 7.9.

b)

Filtrul electric elec tric trece - band ba ndii este destinat destinat transmiter transmiterii ii semnalelor a unor generatoare atunci c&nd fiecare semnai trebuie s5 fie recepfionat de un receptor dat (legfitura multiplucanal) §i este constituit din impedanfa longitudinals 2,

cu L\  §i C i legate in serie §i impedanfa transversals Z i  cu Lj  §i C 2 legate in paralel (fig (f ig.. 7.10). 7.10). Caracteristicile de frecvenfS frecvenfS a(u)> §i b(oi)   sunt sunt prezentate prezent ate in i n fig. fi g. 7.11. 7.11. Filtrul Filtr ul trece bands bands are banda de trecere a semnalelor in liniita frecvenfelor de la uji*0 panS la (O2*00 pentru care care w 0 =

.V

,

c) Filtrut electri elec tric c opre§te - bands bands este destinat destinat opreascS semnalete unei benzi de frecven{e §i este constituit dintr-o impedan{a longitudinals Z\  cu L\  §i C\   legate in paralel $i $i iinped iinpedanf anfS S trans transvers versals als Z 2 cu Li  §i C 2  legate in serie (fig. 7.12). Caracteristicile de frecven(S a(d))  $i b((D)   sunt prezentate in fig. fig . 7.13 7.13..

Fig .7 M 

Fig 7.13

A p I i c a | 1 a 1. In fig. 7.14 este reprezemat repr ezemat filtrul filt rul trece - sus in formS de “ 7’ Se cere sS se se detenn det ennine ine frecve fr ecvenfa nfa la o sarcina adaptata, dacS r(  =   = 300 Q , C  = 2 •103 p F , L=0,34 mH. in prealab'il st detenninS impedanfele filtrului

rela

l\

2 C 

2 C 

. 1 11 LTi

- r

■

L ■

<

 Z2  Z 2

-- 6; t

-------------

Z

h

1

- 2 { + -= i= 2 — = I,+Z2

Fig 7.14 8,41 8,4 1104/ + 8,47 104/ 04/ 2 - 1 6 104 / (-3 .9 7 1 0 7+ 2,13 2,1310 10 3/ 2)

tniroduclnd Z 10  §i §i Z i sc In expres expresia ia

de mai mai

sus, sus, se

obfine 2,13 10-3/ - 8 , 4 7 1 0 4

,

/(2, /(2,1313-10“ 10“1 1/ , “ 3,97-10T) “ de unde J-\39kHz  A p l c a f i a 2. tn fig. ig. 7.15 este reprezental lilii liliiul ul tr e c e - jo s in formS formS de “ 77“ conectat conectat la o sarcin sarcina a ada adapia piaift ift la frecventa frecven ta

Date numerice £/, = lOOe lO Oe'2 '20* , ^ , L ~ 2 \U \U \ l i ,

' ii 

■1!

vl

C = 0,6 10"<, F , /0 = 8 1 0 J//z, ft)0 =50265, 5 j ' ' . S i se determ determine ine:: I ) frecvenjele de frontiers frontiers ale zonei zonei de trecere; tr ecere; 2) impedanfa caracteristicS; caracteristicS; 3) consta constanta nta de transfe transfer; r; 4) curentii ?i tensiunile; 5) diagrama fazorialS. I ) Se determ determinS inS frecvenfele frecven fele de frontiers ate zonei zone i de trece trecere re

2

= 40824,85"' .

2 1 0 J 0 , 6 1 0^

Deci filtrul acponeazft ?n zona de atenuare, de oarece «*)><0|. Deci frecventele de frontiers sunt ft), =0+40824 s'*. 2) Impedanfa caracteristicS se determinS din relapa

unde

L

—

—

 J W 0 l *  —

X W

,

J C

M

 j(  j ( o 0C  +  j(  j ( o 0C 

3) Se determinS constanta de transfer g  = In

unde

+ yjBC j = a +  j b  = 1,33 1,33 +  j n  ,  j o ) 0L  = 100, A = l + i l = - 2 ; Z A   *  jo 100,5eiW°  f t ;

Z , = —i - = 33,25=3,14 ,14. 4) Se determinS curentii §i tensiunile.

fn regim regi m adap adaptat tat

= e * , de und unde e U-2 

 _ U i _ lOOeJ» ' 

 —2

<,#

,w .

e 1.33e ylSO»

V 

/, = != L = l j 6 e Jlur A  ; /2 = /,< /,
/j = *=L *=L = 3,01 ‘ll0° ll0°  A ; /4= /4 =/ .,—/3= 1,26e y7 y70°  A ; 2s /j = 2« Diagrama sc&rile

= o , 8 l e ' y70° A j U 4 = i 4Z 4 =  126,3* ■*' V. fazorial fazo riald d

este

p „ = 2 o [ — 1; [cm j

reprezentatd reprezentatd

in

^ = 0 , I 2 5 [ — ]. Lc L cm J

tig. 7 It)

cu

CIRCUITE ELECTRICE CU PARAMETRII DISTRIBUIJI 8. LINII ELECTRICE LUNGI PERMANENT SINUSOIDAL 

fN

REGIM

8.1. .1. Ec Ecua uapi pile le unei unei linii linii omogene omogene tn stud studiu iull procese pro ceselor lor electroma electr omagnet gnetice ice produse produse in linii le de transport ale energiei electrice (in electroenergeticS), cum ?i tn liniile telefonice §i telegrafice (in telecomunicatii), trebuie sS se ia in vedere cS campurile magnetice §i electrice legate de aceste linii lini i sun sunt repartizate de-a lungul mtregii mtr egii linii lini i §i cS transformarea energiei electromagnetice in cSldurS se produce , de asemenea , de-a lungul mtregii linii. Circuitele electrice de acest gen, spre deosebire de circuitele cu parametri concentrap, se numesc circuite cu parametri distribuip. La studiul iiniiior trebuie sS se pnS seama at§t de rezistent rezi stenta a condu con ducto ctoar arel elor or lin l inie ieii , cSt cSt $i $i de faptul cS de aceas aceastS tS linie este legat campul magnetic §i cS, prin urmare, linia are o indueanpi. pi . P e ISng ISngS S aceasta, trebuie trebui e sS se ia m vede ve dere re c 5 intre conductoarele liniei exists un camp electric ?i cS, prin urmare, linia reprezintS un condensator, ale cSrui armSturi sunt formate de conductoarele liniei. Trebuie sS se ia tn considerape faptul cS, datoritS imperfecpei izolapei, conductanta intre conductoarele liniei nu este nulS. !n fig. fig . 8.1 se considers consider s o linie lini e bififarS de d e lungimea /, constituitS din douS conductoare paralele, distanta de la inceputul liniei pSnS la o secpune oarecare a acesteia se noteazS cu X. Lini Li nia a bifilarS bifila rS se caracterizeazS prin urmS urmStor torii ii parametri primari: Ra   - rezistenta electricS totals a acestor douS conductoare, raportatS la unitatea de lungime a liniei i«W [ f i ] ;

Lo -   inductivitatea sistemului de douS conductoare pe

unita unitate tea a de lungime a liniei Co - capacitatea

—

Lm J

;

sistemului

unita unitatea tea de lungime lungi me a liniei

de

douS conduc con ductoar toare e pe

— ;

L"»J

 - conductanfa conductanfa de> de>pier pierderi deri a izolantului izolantu lui dintre conductoare cond uctoare Go  * Ts 1 pe unitat unitatea ea de lungime lung ime a liniei lin iei — . t

.3/.

i + — dx  d x 

DacS parametrii primari se pot considera constant de-a lung lungul ul liniei , se spun spune e cS linia esle esl e o linie lin ie omogenS. in cele ce le ce urm urmeazS eazS se vor vo r face referiri ia circuite cir cuite (lin (l in ii) ii ) omoge om ogene ne §i liniare. ' fig . 8.1 se considers consider s o porpune de linie lin ie elementarS In fig. (un (un tronson) de lungime infinitezimalS infinitez imalS pentru care dx, dx,  Go dx)  dx )  se parametrii ( R 0 dx, L dx, Co dx, pot considera concentrap. DacS se noteazS cu u  $i i   tensiunea §i curentul la distanpj x  de la inceputu inceputuii liniei (b o m ele d e intrare /-/'),  Tn  Tn

secpunea secpune a

de

(«♦ £ # -)

la

distanfa

(jc +

Idx)   aceste

mSrimi sunt:

5' 5'

Exarninand o porpune de linie cu lungimea d   x, vedem cS, pe aceasta porpune, cSderea de tensiune trebuie sS aibfi douS componente: rdxi,  care mvinge rezistenta acestei porpuni §i L  di  d x — ,  care echilibreazS f.e.m. de inducpe proprie, ce apare dx 

pe aceasta porpune, adicd: n . . . . di du ,  = K^dxi  +  + l^dx — + u + — dx   u  = dx dx 

 Teore  Te orem m a a doua doua a lui lui Kirch Kir chho hoff, ff, sau du

.

di 

~~r=R°,+L»irdx dx  Difere Dif erenfa nfa dint dintre valor va lorile ile curenplor curenp lor sfar§itul porpunii dx   este egalft (prima Kirchhoff):

la inceputul inceputul §i teoremfi a lui

i-| i + — dx   = di  , 3x 

unde di   este suma curentului de conducpe prin conductance Godx   §i curentului de deplasare prin capacitatea Co dx  Neglijind componentele mici de ordinul doi: ( d u  , V dC0d x ( 0u A   „ ■ u + — dx   dt  = m 4 dx  O 0 <4c + — - — dx ) ° dt \ 0x J  I -----

G0 ~

( t i t ) 3, 3,

C0

Deci, eci, avem: avem: . ~

( d x f ,  obpnem: di = uG^dx + Ctid x ^ d x 

; v.;; v.;;

' 0 %  i f ,-

& a  r* ' a  a  i f * ' j  t o * “ 0 0 ~St % •*u ~dx 

t % : 

: t o t  *5 * • ~ uGof  C# *5*

Am obpnut dou& ecuapi diferenpale Tn derivate parpale: ^ ox = “f

+

dt 

= G " " +C» f

(8 »>

<8 l )

<8 2 )

<8-2>

Aceste ecuapi permit ca Tn condipile inipale §i de limits date, s3 se determine tensiunea §i curentul Tn linie ca funcpi de x  §i t,  adica u(x, t)  §i i(x,t). 8.2. Rezolvarea ecuapilor liniei omogene In cazul regimuiui sinusoidal permanent SS presupunem cS la borne este aplicatS o tensiune sinusoidalS, a cSrei frecvenpi unghiularS este egala cu (o. (o.  in acest caz top curenpi $i toate toate tensiunile din linie lin ie vor vo r fi , deasemenea asemenea , funcpi sinusoidale sinusoidale de timp de aceia§i aceia§i frecvenja. frecve nja. Aplican Apl icand d metoda metoda simboli simbolicS, cS, vom avea: avea: imagin ima ginea ea curentulu curentuluii i = L  sin

+

)

, unde I  = h  H

' 

imaginea tensiunii u = U m sin (cot + V u) —> lJ_ lJ_e  undeU^ ^=  J0* , undeU

e 

.

Valorile eficace complexe ale curentului §i tensiunii sunt funcpi dependente numai de X , iar este fin fi n cpe cp e nurtia rtiaii de timp. Reprezentarea imaginilor curentului §i tensiunii Tn forma produsului produsului din doi factori, unui dintre care este funcpe fun cpe de timp, iar al doilea funcpe de „ x ”   ne d2 posibilitatea de a trece de la ecuapile diferenpale Tn derivate parpale Tn ecuapi de diferenpale cu derivate obi§nuite.

Intr-adev&r du  dx 

 JUM

—>e 

di 

dx

dt 

- d t 

JUM dl_ ' 

dx  * * C ^

d x '  = C „ U j ' ( e i - ) = j ( o C „ e ’“ .

,.ln ,.l n tio d u ca n d expresiile expresiile obpnu obpnute te in ecuapile ecuapile (8. 1) 1) §i (8 .2 ), avem:

^ , = £i0 Z /

(8.3)

dx 

(8.4)

dx 

unde unde

2„ =

+

= G0 + jtoC0. jt oC0.

l a obfinerea ecuapei diferenpal dife renpale e derivata derivata faj fajS S de ’V ’ de la (8.3). d * U 

„

fa| fa|a

de de

i/,

lud ludm

d l 

(8.5)

~ i L =  y   y dx 

I ntro ntroduc duced ed I

^

—

dx 

(8.6)

fn (8 .5 ), avem: avem: d xu  T = Z o L > U -   dx 

(8.7)

Ecuapa Ecuapa (8.7 (8 .7)) prezintf prezintfii ecuapa ecuapa diferenpal difere npala a liniar liniara a ordinul doi doi cu solufia: ; i ^ • ? V v l *

•v. -y-^; '£ ,“4 ,“4 ■■

+ &i « r \

‘

-c '

< ''11

de

(8 . 8 ) •.

unde A), Az  - constantele constantele de integrare, integrare, numere numere complexe com plexe.. Aceste constante se determini prin aplicarea condipilor de la intrare in linie (prin Hi, h )   sau de la ie§ire ((/?. h ) . constanta ta Y=yJZ.olCo  - constan

de propagare,

numS numSrr com c omple plex; x;

constanta y   se prezintS in forma: Y=cc

unde:

a  - este

coetic coe ticien ientul tul

+ jP ,

de

atenu atenuare are , ce

aienuarea undei incidente pe o unitate de lungime

caracteri carac terizeaz zeaza a 1 m 

coefic ientui tui de fazS, fazS, ce caracterizeazg caracter izeazg schnn schnnbar barea ea  fi -  este coeficien fazei undei incidente pe o unitate de lungime

rad \ 

m 

Ecuapa diferen dife renpalS palS pentr pentru u / se obpne ob pne din (8.3 (8 .3): ): /=

l_ 

D U 

Zo 

dx 

A^e' 

A xe " 

2u

NotSm :

■„ = m  - = Z = z e m  - impedanfa Y 4ZLo H 0  1 caracteristicS complexS. Deci, avem:  /

-

>4

z.

A 

e r* - g L er*  er* 

z.

(8.9)

8.3. Constanta de propagare }l impedanfa caracteristicS Y = « + j P  =

= yfcRv + j a i L t ) ^   f / r o c ; ) :

\ G 0 + jM Ca 

a) Linia de curent continuu, w ~ 0 :  

(8.10) (8I|)

r - t t Z

' - f ; 

I

b) Linia fSrS pierderi, adicS Ro=0\ Go-0;  r  =

=  j p , a  = 0; Z, = 5 T . D

c ) Linia Lin ia

pierderi pierderi mici, adic adicS S

—~

Q 

«1

§i

— 2_ 2_ «

j

i 1~ j 

i ~ j ~ ~  

( 8. 12)

sail (8.13) unde (8.14) P=(Oy[L^ 

1+ 7

2
2ft>C0

(8.15)

Expresia (8.13) este obfinutS prin aplicarea descompunerii

 j .

bino binomu mulu luii (8.12) (8.1 2) in ser serie ie | V T + x = 1+ ^

8.4. .4. Formulele pentru determinarea y , | In orice punct al lini liniei ei prin J i , |i |i de la intrare In linie linie (fig. 8.2)

Ui 

U l 

£ 

»»

Rg. 8J2  Aplic&m ecuapile: (8.16)

U = A te r' + A 2er(  er( 

/ = 4 e - r ^ A l ey ey   ~

Z<

(8.17)

Z,

Consider& Consider&m m c i pentr pentru u x - 0: U. = IL\: I  = Zi

adicfi:

I

=A,-t-42.

L\Zu ——2~  idl-

de unde

-i

2

-i 

JW ,

A

=A*M, . unde : Ai   este mbdulul fi %   argumentul A/ este modulul modulul §i yr, argumentul Ai Ai Introdudnd Introdud nd expres expresiile iile pentr tru u A I fi A2 in ecuapile (8.16) (8.1 6) yi (8.17) oblinem: i.

4/ = ! L i L

L . er er‘ + S L ± L L . ,, - r ‘  * 4/ £ ? t l >v -/£,&

2.

2

-

2

2""; 2""; '

22,

2Zr 

2

Z,

2

Introducand funcfiile hiperbolice:  _JC

.

- X

, e +e chx =   ------ —

- X  

, e - e  shx  =  =   ------ — 

§i

avem: U_ = Hychy Hy chyx x - / , Z cs h y x ,

(8.18)

L = Lic h y x - ~ s h Y x  .

(8.19)

Formulele (8.18) §i (8.19) ne permit sS determin&m valorile eficace ale tensiunii §i curentului in orice punct at l\. liniei prin H\  §i l\. 8.5. 8.5. Formu For mulel lele e pentru pen tru determi dete rminar narea ea U $1 1 in orice punct al liniei liniei p r i n t s ?i |i de ia ie?i ie?ire re din linie (fig. 8.3) 8.3) / L i 

Fig. 8.3 Not5 No t5m m distant distanta de la un punct punct oarecar o arecare e ai linie lin ieii pSnS la capit ca pital al liniei prin “ F* §i lungimea lungimea liniei pri prin n Deci Y  ss  ss / * x 

AplicSm ecuapile (8.16) $i (8.17). U = A te rx + A 2e~r\  e~r\ 

/ = ^ L e' yx ~ ^ L erx erx. ~ Z, Z, Consider&m c3 pentru x - I: I: U - U i ; [ = h -   Deci: \Li = A ^ ' + A 2e~rt,

 ,r‘  / = 4 i e - w _ A ( ,r

z,

z.

sau {Li {Li = A 2e -rl -rl + A ^ ' , L i l u = A 2e~r‘ ~ A xeYl eYl.

De unde: A, = — 2

e " .= \ e » ',

A 2 = £ l ± k ^ gW = V M , 2 ^ Intr In trod od u ced ce d expresiile ex presiile pe pentru ntru A t $i A 2 tn (8.1 (8 .16) 6) §i (8.1 (8 .17) 7) §i inlocuind inlocui nd (/ - jc) jc) prin Y   opfinem: U = U 2c h Y Y + l 2Z 2Z cs h Y Y . 

ecuapile (8.20)

(8.21) Formulele (8.20) §i (8.21) ne permit s8 determin&m £/ ?i I   >n orice punct al liniei prin lb. §i h   de la capStul liniei.

8.6. Unda incidents §i unda reflectatft in linie Fie cS avem expresiile pentru U $i / in orice punct al  f a  §i  fa,  fa ,  adicS liniei prin constantele  fa  U_ = A ye YS + A 2e~tx e~t x,  (8.22) l = ^ ey Zc  ~

unde

dx  = W  ' ; d i  =

- ^ L e vx, 

(8.23)

Z(

; eyx eyx =

- e l(,x; l(,x; e~r e~rx = e ~ * e * x\  

z  = z ( e m

introducand expresiile acestea in (8.22) §i (fe.23), avem: U  = V * '

eajr V * + A ,e ,e M e ax- e ' n u, u , 

A £ ---- e _ _ e  -------V -------V

  -----

Z etnmulpnd tnmul pnd partea partea stangS tangS §i

1

« ...

(8.24) (g25| (g25|

z. < » partea partea dreaptS dreaptS a ecua ec uajii jiilor lor

(8 24) §i (8 25) cu > [ l e IUM  §i aplicand aplica nd formula form ula lui Euler obpne obp nem m expresia expre sia valo va lorii rii momentane a tensiunii tensiunii ?i curent curentulu ului: i: u - j 2 \ d *  sii<«-H/£+/k)-h/2^ i a - ^/~A eut si n((D n( (Dtt +vr +v r + fix-
+

J l A    -----

Mr

(8.27)

L e ' Ui ■sin(wf + y , ~ P x ~ (P , )

2, u - u ,  + a ( ; sau

(8.26) (8.2 6)

^ 

u  =  = «. +«r + «r ;

i = #,+*,• #,+*,• Z Z Unda electrom elec tromagne agnetics tics * prczmtS prczmtS v sums sums unde undeii electromagnetice incidente fi undei electromagnetice reflectatiL  Unda Unda electromagnetic electrom agnetic** incident! incid ent! * prezi pre zint ntll proc proces esul ul deplasiiii sUUii electromagnetice (undei electromagnetice) de la i*orsa de energie la consumator, in cazul de tajS in direcfia ere$terii eoordon?tei “x*.  Starea electromagnetics se determinS •

prin ansam ansamblul blul campurilor campuril or electr ele ctrice ice §i magnetice magn etice.Und .Unda a incidenta incidenta deplasandu-se de la sursa spre consumator confine energie determinata de energia energ ia campului campului electr ele ctric ic ?i magnetic: magneti c:

Unda electromagnetics incidenta este compusS din unda incidenta incidenta a tensiunii §i unda unda incidenta inci denta a curentului. in fig. fi g. 8.8. 8.8. este prezentat graficul 'repartizarii tensiunii undei incidente pentru momentele de timp: t\  §i t2 < t\. La construcfia construcfia graficului se considera (ot 0. (otl +y/i = 0.

Fig. 8.4.

Fig. 8.5.

Unda electromagnetics reflectatS prezintS procesul deplasSrii stSrii electromagnetice (undei electromagnetice) de la consumator la sursa, in cazul de fa{S fn direcfia mic§orSrii coordonatei “ jc” . Unda electromagnetic^ reflectatS este compusS din unda reflectatS a tensiunii §i curentului. Semnul minus la unda reflectata a curentului caracterizeazS cazul mi§cSrii fluxului de energie in directia opusa mi?cSrii fluxului de energie pentru unda unda incidents. incidents. In fig. fi g. 8.5. 8.5. este prezentat grafic gra ficul ul reprezentarii reprezentar ii tensiunii tensiunii undei undei reflect refl ectate ate pentru pentru mome m omente ntele le de timp: fi $i /2>^iComponentele Componen tele undelor incidents §i reflectatS reprezintS reprezintS funcfii sinusoidale amplitudinile cSrora se mic§oreazS cu cre§terea lui (factorul e~°x),   sau cu descre§terea lui *‘jc” (factorul e ax). ax). Argumentul este funcfie de timp §i de coordonatS. - h 

8.7 8.7 Coeficientui de reflexie. reflexie. Viteza de fa faz z i. Lungimea undei a) Coeficientui de reflex re flexie ie K   se definite prin rapo dintre expresiile tn complex ale componentei tensiunii inverse Ul t   §• componentei tensiunii directe (incidente) V i \  (reflectate) Ult  pentru sfar§itul liniei (X=0).   Jinand seama de relapile: e r«. U   = £ l ± l c Z i er

U = U + z M L e r*.

_ H f+ £ cL i J   = g i z A L  L e-y*  e-y*  2 * 2 ’  §i introducand X ~ 0   se ob|ine expresia: U Z - Z  (8.28) 28)  ft = ± L i L = k i  -4   Z 2+ Z _   u 2r  ,

, si , de asetnenea asetnenea :

Hv Li  ^ -= * - = —— — —. K , = -=* U I  ±Llr Lit 

In general coeficientui de reflexie este o mSrime complexS, modulul sSu flind egal cu raportul valorilor absolute ale amplitudinilor undei reflectate §i incidente, la sfar$itul liniei. Se consider^ cateva catev a cazuri particula particulare. re. Presupunem linia in scurtcircuit la sfar§itul ei (22-0), coeficientui de reflexie rezultS egal cu &  = Aceasta Aceasta inseamnS cS in acest caz la sfar§itul liniei ( Y = 0 )   tensiunea reflectatS este egalS §i opusS tensiunii incidente ( U n   = -(/?,), iar curentul reflectat este egal cu cel incident (J 2i = hi)-   DacS linia linia la la slar slar§i §itu tull ei est este e in in gol go l ( Z 2 = «> « > ) coeficientui de reflexie reflex ie es este £gal cu &  * /, ceea ce insesmnS cS U j t - U u   ?i h i ^ - h i -   b ) Vite Vi teza za de fazS - reprezintS reprezintS vitez v iteza a cu care trebuie t rebuie sS sS |ie depl^ depl^& &Sm de-a de- a lungul lini li niei ei pentru pentru a obser obs erva va una fi f i aceia$i aceia$i  fa**   fa* *   a oscilafiei. f  I  w , * Pentru V t 

sin(ftj sin(ftj»» + ¥>, -  fi x ) , avem avem :

aw + y/j  —   p x  = co/wf. Luand derivata de timp de la ultima expresie, ob^inem: to  =  f} — , dt

unde — = V . dt 

Deci (8.29) c)

Lungim Lun gimea ea undei undei A - prezintS distant distanta la care se

deplaseazS unda intr-o perioadS de timp T =  —:  — : V —    f

2n 

(8.30)

P 

8.8 Linia W r i dist distors orsiun iunii Faptul cS a  §i V   sunt funcfii de freeven|a, produce distorsiunea vorbirii in liniile telefonice lungi §i distorsiunea semnalelor Tn liniile telegrafice lungi, deoarece, in aceste cazuri, curentul confine intotdeauna armonice supcnoare. La propagarea propagar ea undei undei de curent curent de-a lungul liniei lin iei,, raportul dintre amplitudinile armonicilor armon icilor variazd, variazd, deoarece deoarec e pent pentru ru ele constantele constantele de amortizar a mortizare e sun sunt diferite. difer ite. Pe langS aceasta aceasta,, forma for ma undei de curent suferS o schimbare §i datoritS faptului ca armomcile au D 0 v itez it eze e de fazS diferit dif erite. e. in cazul particular c&nd —~ *= —avem: avem: ^11 c 0 a ~ s  JR q  C o  q C  o ',

P = 0 } yj L nC l>\

V  g ~

' 

adicS a  §i V   nu depind de firecvent&. ,tn acest caz dis>orsiunile menponate dispar §i, de aceea, astfel de linii se numesc linii fSrfl fSrfl

distorsiuni. distorsiuni.

Pentr Pentru u

se obtine obt ine valoarea valo area m inim in im i

pentru a, ceea ce imbun&tltefte , de asemenM > transmiffiuneft telefonicS §i telegraficfi.

D g impedan impedantei tei caracterist caracteristice ice Zc Zc uen uentru tru — = —

sau R()C0 =

,

adica Tn Tn linia lini a f3 1 distorsiuni distors iuni Z este un un num numSr Sr real. 8.9 Linia adaptivS. Randamentul liniei tn regim adaptat Un caz important se refers la situafia in care impedanfa receptorului este egalS tocmai cu impedanfa caracteristicS a liniei. Din relafia (8.28) rezultS cS, pentru Za-Zc   se obfine K , = 0, ceea ce ea ce Tnse Tnseam amnS nS cS nu exis ex ists ts unde unde reflectate, ca §i Tn cazul unei linii de lungime infmitS. O linie la a cSrei extremitate este conectat un receptor avand itnpedanfa egalS cu impedanfa caracteristicS se nume§te linie adaptatS. O caracteristicS pentru acest caz o constituie faptul ca in orice ori ce secfiune secfi une a liniei lin iei raportul raportul dintre tensiunea tensiunea complexS §i curen curentul tul com c omple plex x este egal e gal cu impedanfa caracter caracteristicS isticS I 

in C 2

 —

Fig. 8.6

realitate,

dacS

integrare integrare 4 i este este egalS cu zero, atunci unda reflectatS va lipsi.

Pentru obfinerea formulelor ia determinarea tensiunii §i curentului in orice punct al liniei, la distanfa Y   de la capatul liniei, in formulele (8.31) U_ = U_2c h y Y  + i 2Z tshyY, ts hyY, (8.31)

(*.3 1)

/ = £ ! shyY  +  + LlchyY , (8.32) Zc

(8.32)

se inlocue$te Zc prin Za,  iar h Z i   prin H i  §i

Z.

prin h.

2 

Astfel obfinem:  + s h y Y) U  = £/, (chyY  + Y ) = U , e r'  

(8 33)

 + chyY)  =  = i 2eyr. L - L i ( sh sh y Y  +

(8.34)

Penru Y = I,  avem: U { = U 2erl erl = U 2e lv"' e° “e ' l,‘ 

(8.35)

= ! * * • ' e « e J»  

unde

U i  - este

complexului Hz', h  - este

modulul modulul

tensiunii

iar


argumentul

curentului,

iar


argumentul

complexului h -  E §tiut, eft eft randamen randamentul tul se det d eter erm m ini in i prin raportul puterii active de la capfttul liniei P i   la puterea activa de la tnceputul liniei P\, adicfi:: P\, adicfi

(8.36'

= -^-, -^- , 1

unde:

’ Pt = U 2I 2 co»( co»(*><,, - # , , ) = U 2f2 cos c os

cos f>, « Pt - U J l  cos

Deci fn regim adaptat, avem:

cos p  .

4MMI. impedftnfa de intrare Expresia Expr esia

impedantei

de

intrare intrare

a

liniei lin iei

Z linlr = —  L\ 

pentru o anumitfi impedanfS de sarcina conectatS la sfar§itul liniei

, se poate stabiii §i direct pe baza teoriei L 

“

cuadripolului. Se obtine expresia:

z  —

L

« z, ^ . ( 8. 38) c hY+f shr ~ Z + Z i * r 

Particularizand aceasta relate pentru Z 2 = ° °   §i Z 2 -  0 se obfin imped impedanfel anfele e in gol go l ( Z , 0) §i n

scurtc scurtcirc ircuit uit

( Z ll(. )

ale

liniei.

Expresiile Expres iile

acestor acestor

impedance sunt: Z . o = y Li = - = 7 . Lo

(8 . 3 9 )

thY thYi 

Zuc  = = la- = Z * ‘W Llsr 

(8.40)

■

 JinSnd seama seama de aceste relafii relaf ii se otyin §i relafiiie rela fiiie::

Z io Z i« = Z , J:

?>

| ^ = i h 2r l .   (8.41)

^•10 PresupunSnd cunoscute, respectiv determinate pe cale experimental!!, experimental!!, impedanfele in g ol §i scurtc scurtcirc ircuit uit,, relafiile rela fiile (8.41) (8.4 1) permit determinarea simplS a parametri parametri tor caracteristici caracter istici ai liniei respective ( & M Y  

2,0 2,0

imedantei de intrare devine: 2

= 7 —2c o s s i n ^ - z - - +    p i  ~ ‘ Z f +  j ^ t g P l  I'mr —' Z , cos p i * y‘Z 2si 2sin pi 

2n   _ . 2* / Z 2cos — /+ jZ,. jZ,. sm sm — / A A (8.42) = Z,  _ 2n . 2n  - 1+ i Z , sin —r—/ r—/ Z r cos A A DacS lungimea liniei fSrS pierderi este egala cu jumState de

lungime de und& I = — (sau un multiplu de jumStSfi jumStSfi de d e lungimi lungim i 2 t • A de unda), unda), se obfine obf ine Z imr = Z z Daca / = •— , impedanfa de 4 • mtrare este:

—

in tr.

(8.43)

~

Z.2 

 Jin  J inin ind d seam seama a de faptul faptul c& la o linie fSra fSra pierderi impedanfa impedanfa .

.

caracteristic ticS ar are caract acter rezis rezisti tiv v

I

Z =

/I

rezultS

ca

in-

acest caz particular (relapa 8.43) linia are proprietatea de inversare a impedanfelor. Daca, de exemplu, impedan|a receptorului (Zi)   are caracter capacitiv, impedanja de intrare va avea caracter inductiv §i invers. Deci, impedanfa de intrare a unei linii f&rS pierderi, considerata in regimuri extreme (gol §i scurtci scurtcircui rcuit) t) prezinta prezinta p r o p r iety ie ty inte intere resa sante nte.. A stfel, stf el, din punc pu nctt de vedere aplicativ aplica tiv in domeniul frec fr ecven venfel felor or inalte, inalte, este interesant de relevat faptul ca astfel de linii, in lungimea

de ordinul de marimi p an i la — se comports com ports ca elemente reactive reactive de circuit, cu caracter inductiv sau capacitiv $i parametri echivalenfi vanabili de limite foarte largi in funcpe de lungimea lor. Pentru linii de lungime mai mare proprietSple se repeta periodic la fiecare —.

8.11 8.11.. Linii Linii f i r i pier pierde deri ri In anuinite cazuri, in special in cazul frecvenfelor iuLu >Ri) >Ri) §i u)C0 » G 0 ,  pierderi le in linie se  pot inalte. cand iuLu neglij neglijaa

§i §i

putem putem

 z t 

presu presupune pune (XT (XT

§i

in

acest acest

multe

c a/ ,

dintre

a = 0  ,y  , y = j P ,

rela|iile

obfinute

inainte se vor siinplifica: U  * £/2 cos p Y  + / / 2Z ( sin  P  PY  Y  ,

(8 44)

/ =  j ^ sin  PY  +  + 12 cos P Y .  (8.45) . OLt  La mersul in gol al li n ie i, cand  Z , —oo $i / , =*0, =*0, avem: avem :

 IL  IL - u 2ucos 2ucos p y (846) // = / - — sin p y  Ju . In regim scurtcircuit scurtcircuit al al lin l in ie i, cand  Z , = 0 ji U_i =*0 ,avem.

U  =

 Z,  Z ,  sin p y

 I  = Liu  cos/JK 

(8.47J

8.12. Undele electromagnetice stafionare In linia fSrS pierderi la mers in gol sau in scurtcircuit, dea de a semenea , la o sarci sarcinS nS pur reactiva apar unde electromagnetice stafionare. Unda electromagnetic^ stafionara prezintS unda obfinutS ca rezultat al suprapunerii undei incidente §i undei electromagnetice reflectate de aceea§i mSrime, ce se depIaseazS in direcfii opuse. Unda electromagnetics stafionarS este determinatS de unda tensiunii §i unda curentului. Din  punc  pu nctt de vede ve dere re m atem ate m atic at ic un unda da stafionarS stafio narS a tens te nsiu iuni niii §i und undaa stafionarS a curentului se descriu prin produsul a douS funcfii  perio  pe riodi dice ce (trigo (tr igono nome metric trice) e).. U na dintre din tre funcfii func fii este es te funcfi fun cfiee de coordonata ” f i x ”, iar a doua este funcfie funcfie de timp “ a w ”. Unda Un da stafionarS stafionarS a tensiunii tensiu nii §i unda u nda stafionarS a curentulu cure ntuluii totodat toto datS S sun s untt def d efaz azat atee in spa Mu §i in timp. timp . Defazajul in timp dintre unda stafionarS a tensiunii fi unda stafionarS a curentului este egal cu 90°. Defazajui in ,

.

.

.

spafiu spaf iu alcStuie§te alcStuie§te —A din lungim lu ngimea ea undei un dei.. .. Punc Pu nctel telee liniei prin 4 _  care funcfia funcfia periodicS periodicS de coordonatS coordonatS trece prin zero, se numesc noduri, iar punctele in care funcfia periodicS de coordonatS are valoare maximalS, re numesc ventre. Deosebim noduri de tensiune §i noduri de curent, ventre de tensiune §i ventre de curent. La aparifia undei electromagnetice stafionare n-are loc transmiterea energiei electromagnetice de la sursS la receptor, dar pe segmentul liniei, egal cu un sfert din -lungimea undei . electromagnetice, se acumuleazS energia electromagnetics

W  = W {,) + W(m W(m) determ dete rmina inatS tS de para pa ram m etrii etr ii  Lo  §i Co *§i de mSrimile mSrim ile tensiunii tens iunii • §i curen cu rentului tului in (lin (linie ie.. AceastS Acea stS energ en ergie ie ' A inmagazinatS pe porfiunea ou // - — ■ trece dintr-o formS in alta, adicS din energia campului electric in energia campului magnetic §i invers. Astfel, pe aceastS' porfiune au loc oscilafii

cu

o

frecvenfa

(on = . ■

determin dete rminate ate

de

parametrii para metrii

$i C0,

adic adicS S

. tn momentu momentull de timp timp , cand cand curent curentul ul in lini liniee este este

egal cu zero, iar tensiunea atinge valoarea maximali, energia undei electromagnetice trece complet in energia campului electric. in momentul de timp, cand tensiunea in linie este egala cu zero, iar curentul atinge valoarea maximal^, energia undei electromagnetice trece complet in energia campului magnetic. a) La mers in go goll al al linie liniei, i, cand Z 2 =«> §i / 2 = 0 , avem:

cospY  / =  j yMi.  sin (iY 

(8.48)

>

Trecand la valori momentane, avem:

u = ^ 2 U2 cos fiY fi Y sin (D (Dt, t,

’  

(8.49)

V2tA (f iY + 90u). 90u).   i=■ sinjSK sin (fiY

(8.50)

Expresiile Exp resiile (8 49) $i $i (8.50) determina unda electromagnetic^ electroma gnetic^ statio nary deoarece tensiunea ?i curentul curentul sunt defazate in spapu cu — $i in timp cu 90°. . ....■:*:! ,n . -r iV : l'.~ VH ; ' v • v'v \*z\ :  fl Y  = kit"; unde k  = 0, 1, 2,... vor fi nodun tn punctele  flY  nod unle le curentului curentulu i fi veutrele tensiunii tensiunii Graficul undelor electromagnetice electromagn etice ate ate I vUuit vUuitiii iii si curentulu cure ntuluii este es te prezentat prez entat tn fig 8.7 pentru ■ ■-

>,^3 ,^35 t :

j

momentele momentele de de tim p : m . =0;

i.

oJt2

2 

;

 y

w t. = ~ n . 2

 b) La regim reg imul ul scur sc urtc tcir ircu cuit it al liniei linie i ,cand ,ca nd Z 2  = 0 §i U_, -  0 , avem:

 IL  IL =  j  —  —2u

sin  fiY   fi Y 

(8.51)

 L = Liu  cos  pY   p Y  Trecand la valon momentane, avem: m=n/2 / 2 I— sin /Jys /Jysin in(< (
(8.52)

= V27 2cos 2c os /ifr'sin o>r, o>r,A A

Aplicand formulele form ulele (8.52) se poate de construit con struit graficul graficul u(PY) §i i(pY )ce )ce in total reprezintS calitativ graficele din fig. 8.7. c)!n cazul unei sarcini reactive a liniei, cand Z 2 =  jX   j X   ,avem:

 z 

UyI  - 1 / , bill p cos pY    + -=l-- sin  p Y  +  X .

sin (P Y  + 0 ) sin 0

cos ( p y + 0 )  z  ; = urnietg 0  L - L cos 0 3 T% = 0 ; cot2 = —; o>/3 = —n  —n . 2 2 ir 3'  b) - grafic gra ficul ul cure cu rent ntul ului ui pent pe ntru ru (x)ti = 0 ; . 2 2 Prin urmare, in toate trei trei cazuri exanim ate de funcpo fun cponar naree a liniei fSr fSrS pierderi! in linie se produ pro ducc unde stafionare. stafiona re. Ventre Ve ntrele le de tensiune $i de curent, cum $i nodurile de tensiune $i de curent sunt, in acest caz, decalate intre ele cu un sfert de lungime de unda. Tensiunea 9! curentul fn fiecare punct ul liniei sunt defazate cu un sfert de perioadA fi tensiunea atinge valoarea maxima cSnd cSnd curentul curentul !n !n tntraga i l n i e e f t e mil, mil, ia iai* curentul atinge atinge valoarea valoa rea maxima cSnd cSnd tensiunea tn tntrag* tntrag* linie este eaala cu ?ero. a) - graficul tensiunii pentru

'"1; ,'K  .t

b)

F ig . 4 . 7 .

Deoarece, Tn acest moment Tn noduriie de tensiune Tn no nodu durle rle de d e curen c urentt i = 0 , Tn aceste aces te pun p uncte cte ale ale u —0 §i Tn liniei puterea este totdeauna nulS §i energia nu se transmite  prin  pr in aces ac este te pu punc ncte te.. Pe fieca fie care re po porfi rfiun unee de linie lin ie,, limitatS limi tatS de nodu no duriie riie de d e tensiu ten siune ne §i de curen cu rentt se transm tran smite ite TrisS de-a lungul liniei energia legatS de oscilafiile energiei Tntre campurile magnetice §i electrice din aceastS porfiune. Toate trei cazuri examinate de formare a undelor stafionare Tn linie, sunt caracterizate prin lipsa consumului de energie atat Tn linie, clt §i Tn receptor. Cand exists TnsS consum de energie Tn linie sau Tn receptor, in linie trebuie sS existe, inevitabil, inev itabil, unde progresive progres ive de tensiune tensiun e §i de curent ( are loc sup suprapu rapunere nereaa undei unde i incidente $i undei u ndei reflectate),  proc  pr oces esul ul de tran tr ansm smite itere re a ener en ergi giei ei de-a de -a lungu lun gull Tntreg Tntregii ii linii  puta  pu tan n d fi legat leg at nu numa maii de aces ac este te unde. unde . Concluzii: 1) In cazul caz ul cand ca nd Z 2 =  jX iar   j X r  se obfin unde stafionare, iar  la sfar§itul liniei nu vor mai fi nici ventre, nici noduri. Pentru impedanfa de intrare a liniei Tnchise pe o reactants, avem:  Z r = j z t g ( 0 l + d ) = j X r , adicS, dependenfa impedanfei de intrare a liniei de lungimea sa are acela§i caracter ca §i Tn cazurile mers in gol §i

scurtcircuit, scu rtcircuit,

iar

pentru

/ =— 4

§i

/ =— 2

g isim is im ,

respectiv, resp ectiv,

 Z Y = ----- — $i  Z Y - j x r , Penru X, = rctgfli cand 0 = ± — - f i l ,  j X r  4 Zr = ± «

§i

atunci

linia

este

echivalenta echiv alenta

cu

o

linie linie

scurtcircuitatS, a cirei lungime este egala cu o linie deschisd, a cdrei lungime este egala cu un sfert de lungime de unda. 2) In funcfie de frecven^a tesiunii aplicate, de lungimea liniei §i de impedanfa terminal^ lima f3ra pierderi, fnchisa pe o rcacta rca ctanti, nti, reprezinta reprezin ta o reacian(a indue tivS tivS sau capa ca pacitiv citivi, i, inductan{a sau capacitatea echivalenta putand avea toate valorile cuprinse intre zero tnitoit Posibilitatea de a reatiza cu ajutorul unei linii corespunzitoare alese o reactanfa induct ivS sau capa ca pa citivi citi vi de o valoare sau alta, are la frecvenfele inalte - o impedan(& practice mare.

8.13. Determinarea paramelrilor primari ai liniei din regimurile mers fn gol $1 scurtcircuit Impedanfa complex^ a liniei cu pierderi se determina  prin expr ex presi esia: a: = 2 l i J  Jk (8 53)  J k J h x L  L Z . + Z 2t h Yl  Aplicand regimurile mers in gol $i scurtcircuit fa^a de(8.53): a) din regimul mers fn gol, c§nd  Z 2 ~ ,  avem: £

2 .o = Z
(8 54)

 b) din regim reg imul ul scur sc urtci tcircu rcuit, it, cfind ^ = 0 , avem: ave m:

2Lt» - Z., th thyI •

(8.5 (8 .55 5) (mpedan)ele Z(0 $i.  Z lu m iritni com plexe pot ft determinate din rezultatele experimentale efectuale pun aplicarea voltmelrului, ampemietrului fi fa/ometrului, de u are ce Z lu = Z 10l?'v l?'v'‘• '‘•' §i  Z , u = Z ‘, , , e jV,' jV,'‘  ‘  .

tnmulfind (8.54) §i (8.55) intre ele parole din stanga $1  paro  pa role le din di n drea dr eapt pta, a, ob ob|in |inem em . Z ,= V Z ,o 2 1Jr = Z ^ yV ( 8 .5 6 ) !p&ifind (8.55) la (8.54) respectiv pSrple din stanga dintre ele $i p&r|ile din dreapta dintre ele, obfinem:

t h y l = J j ^ = r e jT jT,  sau

(8.57)

al + jp l  = - in = - In WeiC , 2 \ - T e ir 2

(8.58)

de unde a l  *   * i In W  ;  Pl  =  = —(£ + 2 k i t ) , unde k  = 0 ,1, 2,3 ,... ,.. . 2 2 La determinarea defazajului dintre  H\ §i U 2 se obfin

douS valori pentru  P I, I,  ce se deosebe§te cu it. it. La calculul coeficientului  P   pe cale experimentalS e necesar de $tiutcare-i coeficientui “ft”. Prin parame para metrii trii secund sec undari ari ai liniei Z, §i Y -& + jP  se determinS determ inS param pa rametrii etrii G0, G0, toC0 toC0 din expresiile exp resiile:: =  Zf  Z f ( a cos
(o l * *  Zr(  Z r(p p c o s
 Z ~

’

8.14. Analogla dintre ecuafiile liniei cu parametrii distribuifi fi ecuafiile cuadripolului pasiv Tensiunea $i curentul (U\ (U\  §i /i) de la intrare in linie sunt legate cu (£S  fa  fa)  de la ie§ire din linie prin ecuafiile:

U.X = \LichYl+W \LichYl+WLcS LcShY  hY   _ U , ____ , \. . +L2chYl   j j/-,i = = i-shY +L2chYl 

(8 59)

Pentru un cuadripol, avem:

(/, = A U 1 + f l/ 2 l

(8.60)

l . = C U ,+ ,+ D l , J Din analogia ecuafiilor liniei (8.59), avem:

 A = D = c h y l\

B  =  Z ^ s h y l ;

 _ shyl   = C  =

Deci cuadripolul este echivalent liniei cu parametrii distribuifi, ce reiese din legitura dintre tensiunile §i curenfii de la intrare intrare §i de la ie§ire. *

8.15. Substituirea cuadripolului prin linia echivalenta lui fi invers

Fie, c& c& ne este e ste data o l in ie ' cu parame para metri tri distribuifi  prez  pr ezen enta tata ta in tig. tig . 8.8.

Curentii §i tensiunile nu se schimbS pentru linie independent de modul unde este conectatS conectatS sursa de energie sau sarcina, adic adicS S se admite inlocuirea sursei de energie cu sarcina, deoarece linia cu parametrii param etrii distribuifi distribuifi pos posedS edS proprietatea prop rietatea de simetrie. E §tiut §tiut ca cuadripo cuad ripolul lul simetrie sim etrie pos poseda eda acelea§i acelea§i proprietSf proprietSfi. i. Deci linia omogenS cu parametrii distribuifi poate fi inlocuita inloc uita printr-un printr-u n cuadrip cua dripol ol simetrie sim etrie §i invers. AceastS inlocuire consta in determinarea coeficienfilor  A, B, C, D   ai cuadripolului  prin  pri n param pa rametr etrii secu se cund ndar arii Z , §i  y   ai liniei §i invers. Plecand de la ecuafiile cuadripolumi avem douS scheme echivalente: echivalente: schema in ” T ” §i schema schema in "fi"  pentru care avem respectiv expresiile expre siile prezentate in tab 8 .1. .1.

Tabeiul8.1 Schema in ”T ' 

i

&

2s

Schema in "IT' 

2

o----Rga9

f ig 8.10

Z

a) Substituirea echivalenta a cuadripolului prin linia lungi. In acest acest caz caz se se considers cunoscute impedanfele impedanfele Z, ,Z 2,Z ,  pent  pe ntru ru schem sch emaa ” T ’ §i impedanfele Z 4, Z , , Z 6 pentru schema 77” §i se determinS parametrii secundari ai liniei. Prealabil se determina coeficienpi  A, B, C, D ai cuadripolului prin formulele respective pentru schema ”7” §i schema ”77”. Apoi se determinS parametrii secundari ai liniei  Zu 5i X din expresi exp resiile: ile:

[B

. ,

B

.

.

.

e2r e2rl- l 

Z' = V c ; " ” " = 7 i : '

!h*L l-rhy

sau

Mej( 

e™ = M -,al -,al = -ln M -,2 p t = C \pl= — . 2 2 La substjtuirea inversa a liniei liniei prin cuadripolul cuadr ipolul echivalent echivale nt ei trebuie trebu ie de determiriat determiria t impedanfele imped anfele Z , , Z 2„Z*3pentru 3pen tru schema schem a

de unde

“r*

§i

impedanfele

Z 4,Z 3,Z 6 . pentni pen tni

schema sch ema ”77” ”77” prin

 param  pa rametr etrii ii secun sec unda dari ri Z, §i y ai liniei. lini ei. In aces ac estt caz ca z prea pr eala labi bill se determini coeficienfii  A, B, C,  D,  apoi se calculeazi impedanfele respective aplicand expresiile ce existi dintre impedanfele imped anfele §i coeficienfii cuadripolu cuad ripolului lui “ 7” sau "77’' "77’'. ■

8.16. Circuit fn scari Se intalne§te cate odati fn practici montaj constituit din cateva cuadripoluri cuadripo luri simetrice identice co nectate nec tate fn cascad casca d ' (fig. (fig. 8.11). 8.11). O astfel astfel de schem sch em i se nume§te nume§te sc he m i fn scari. sc ari. La studiul distribiifiei curentului §i tensiunii de-a'lungul schemei fn scar sc arii este este comod de aplicat teoria liniilor cu  para  pa ram m etrii etr ii distrib dis tribuif uifi. i. In pu punc nctu tull prec pr eced eden entt s-a s- a desc de scri riss cazu ca zull substituirii cuadripolului pasiv printr-un trpnson de linie echivalentS echivalentS lui $i invers. D ac i nu num m irul iru l de cuadripo cuad ripoluri, luri, ce fac  part  pa rte’ e’ din m on ontaj tajul ul circ ci rcuit uitul ului ui in s c a ri, ri , este es te egal eg al cu atunci atun ci

fig 811. lungimea tronsonului liniei cu parametrii distribuifi este de “#T ori mai mare, adicS este egal cu n I.  NotSm  No tSm tens te nsiu iune neaa $i cure cu rent ntul ul de la i<*sire din cuad cu adri ripo polu lull ‘V  H i §t h respectiv. Atunci  prin  pri n  Hi A tunci tensiune tens iuneaa §i §i curent cur entul ul de 1a 1a

U.i ={Lichynl  +  + hZ^ shynl ;

cuadripol sunt:

(8.61)

l t —   shy nl + l 2c h y n l .  —  shynl (8.62)  Z. ExaminSm cateva exemple numerice ce se raportft la capito cap itolu lull 8.1 8.1 - 8.13. Exemplui 1 O linie electricS trifazatS folositS folositS pentru pe ntru transpo energiei electromag electro magnetice netice are urm urm&tori toriii parametri param etri lineici lineici calculati la proiectare:

 R0 = 0,085 Co

u

l

•

.

 ,  , \ J L \

 Lq = 1,415 1,415 10 . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

L * m J ’

G0 = 3,9 3, 97 10

Linia electricS lungd cu t = 850 km   transmite o putere nominala 52 - 300 MVA cu cos
U   jx * i   400 kY   §i frecvenfa. noihinali  f - 50 Hz.

SS se caiculeze: 1. parametrii lineici secundari ai iiniei: impedanfa  Zc,  constanta de propagare y, complexS caracteristicS  Zc coeficientui de atenuare a §i coeficie coe ficientu ntuii de fazS fazS  ft, 2. tensiunile §i curentii de la bomele de la Tnceput ale liniei pentru funcponarea Tn gol §i apoi Tn scurtcircuit la  bom  b om ele el e de sfar§it ale liniei lini ei cu tens te nsiu iune neaa no nom m inalS ina lS,, resp re spec ectiv tiv curentul nominal la bomele secundare; 3. regimul de funcpon func ponare are la bom ele primare prima re ale liniei, dacS dacS regimul de la bomele secundare, dfe sfar§it este cel nominal. Rezolvare: 1. Pentru calculul paraihetrilo para ihetrilorr lineici secundari sunt cunoscufi parametrii jineici primari este convenabilS determinarea prealabilS a modulului §i argumentului impedantei complexe com plexe 2o “longitudina “lo ngitudinale”, le”, respectiv admitanfei com c omplex plexee Ko “transversale”:

 Zo=  Zo=R Ro+j(t o+j(t)) U=0,085+ U=0,0 85+J0.4 J0.446= 46=0r4 0r453 53 e,v* e ,v*‘w —  km &=Go+j(i)Co=0.0397 Iff* If f* +j2,86+j2,86- 1 0 b= =2,8 =2,866- I 0 6e jwnr  jwnr  — km Cu acestea rezultS: impedanfa caracteristicS  I 0 . 4 5 3 . - '“ ' “" ’'

V *®

 _

3 9 8

,

V2,86-10"*

constanta de propagare

 y * a + j p = y [ z ^ = 1 J 1 3 10 3 eJ"*r eJ"*r *0, *0,115 115 1 0 3 , *0, 115-10 1 USSL'i de unde coeficientui de atenuare a *0,115-10 km coeficientui de fazS  ft =1,113 1 0 3

unde

2. Pentru calculul tensiunii §i curentului de la bomele  I2=0),,  prim  pr imar aree cu bo bom m ele el e secu se cund ndar aree tn gol (Z2= (Z2= ° ° ;  I2=0)

 LL  LLjo= jo=Lb ch ch yi ,

ho= ^r -sh yl ; A respectiv cu bomele secundare Tn scurtcircuit (Z:=0; U2=0),  Hi  H i sc = Z t h s h y l , §i  Jsr   I   = hy i ;  = k c hy trebuie calculate mai Tntai funcfiile hiperbolice ch yl  §i  sh yl  de argument complex :  yi  yi =(0,115- I f f 3 + jl,1 jl ,133- I f f 3) •850=0,09785+j0,96, e Yl  _

 g i * + J f i 0 _ e «<

§i

_ ^ 0. 0.0 97 97 73 73

^ >0 >0 .9 .9 6 _ ^ 0. 0.0 97 97 75 75 . ^ >3 >3 3° 3°

= — 

5/1

= i (e» (e»” >.« '* - « -« » . ««-'»■ ) = 0,823*' 0,823*'““ ".

le 1* * . cA )< = | ( e »* »*-«■•*/= 0 , 5 8 le1 Cu valorile nominale ale tensiunii §i curentului de la  bom  bo m ele el e secu se cund ndar aree

U2=

~  232 kV  , ^ 3U 2 

= 3 0 0 ^ = 4 32

;

3-232

Se obfin:

Uw = U 2 ch yl =232 =232 0,581 0,581 - e j8° j8°5 = 1 3 5 ^ 8°5' kV ;  Iw  I w = - 2- jfc jfc “  Zr  Z r

2 3 2 - --L- 0 ,82 ,8 2 3 g y86° s 4 8 0 e y91 A ; 39S-e~ 39S -e~J  J 

 Lb sc=Zr Z2 j* s 142*'8' yl= 2 5 le J*° A . 142*'8'0 kV \ l , sc= h ch yl= 3. Tensiu T ensiunea nea §i curentul de la bom bo m ele primare prim are ale lini liniei ei rezultS prin Tnsumarea componentelor de la funcponarea Tn gol $i scurtcircuit calculate anterior..

 LL,-L  LL,-LLi Lioo-^l ^llis lisc— c—232e  y4S°27 l l^ l^ J i o + h u = 5 6 8 e y64 y64 5° /V .

Puterea activS primitS de linie este:

 Pi=  P i= 3 U ,I, ,I , cos ,=

;

= 45 °27 '- 64 64°5 °50' 0' = - 19°23/ . / ;

§i deci randamentul liniei este: 300 = 0,84 h . rj = p2 - L = ----1357 Linia genereazS puterea reactivS la bomele primare Q ,= 3 V , I, I , sin si n

Exemplui 2 O linie electricS trifazatS lunga cu  I  =900   =900 km  la tensiunea nominalS de linie t /21 = 400 kV  §i   §i frecv frecven{ en{aa nominalS / = 50 Hz  cu  pier  pi erde deril rilee de pu puter teree prin pri n scur sc urge gere re §i prin p rin efect efe ct coro co ron n a la o un unita itate te de * w Q. lungime  P parametrii ii primar primarii  R0 = 0,08 — cu  Po o = 4,64 — §i parametr km km (y £2 i’  Lq si 0,42 — , lo -toCo = 2,7 10 — este este conect conectat ataa la o sarc sarcin inaa km km activS Z2  = r = i9 7 £2 £2 egal egalS S cu impedanf impedanfaa caracterist caracteristicS icS Z = Z; = r. SS se determine: £/,, / , , / >2,/^ , ri,A, y, • Rezolvare: Constanta de propagare: y ~ yjZ yjZjoL joLo = « + j f i , .9.

unde:  L o - G o +

2* =

+ j o t * = 0 , 0 8 + > 0 ,4 2 « 0 , 4 2 7 « — ,

= 0 ,87 ,8 7 10 7+7 2 , 7 - 1 0 * = 2,72, 7-IO IO_ _V w,“'0' — , km

Impedanfa caracteristjca:  Z (  -

\z 

 — - 3 9 7 e ~ JS Q ;  Lo  Lo

Lungimea undei electromagnetice: , 2i t  2-3,14

,

A = —— =  ---------- — — - = 5880 k m ;

 P 

1,068 1,068 10 '3

Viteza propagSri undei: = - J - = A / = 588 5 880 0 •50 = 2,9 2, 9 4 • 10 10ss m  P P s Tensiunea de la intrare in linie: # =

chYl +~ -s h y l  | = Ui =!L*<*ri+LiZcShYi=Ui chYl = 2 3 l ( o , 6 6 < ? iS030 + e'i f 23 - 0 , 7 6 e ' 86,>) = 248
V .= . = 2 4 S e jM>, k V .

 = 578e/52°  A ;  L = yU- s h, Y l + L2ch L2chYl  Yl  =

 I,  A.. i.i i.i = 578e;S2"  A Puterile: ^ = t/ ,/ , cos
 P  134 13 4 n = — = --------- = 0,94. ^ 142,56 142,5 6 ‘

Randamentul: Randamentul:

•

Exemplui 3 O linie electricS trifazacS lungS cu  I = 400 km $i cu  param  pa rametr etrii ii secun se cundar dari: i:  f = 500 Hz, 10'3+ '3+ yl 1/ 1/3• 10~3 — ; Z ,   = 75 2- y 2 0 2 £2. 'Y = 3, 76* 10 km

De asemenea, sunt cunoscute constantele de integrare: A, = 2 9 6 e y,21\ l M 2 = 1 5 8 e "y, "y,2,° V  SS se calculeze:  Ro, Lo, Go, Cq. 1. Parametrii primari ai liniei:  Ro Aplicfind ind rezultatele obp obpnut nutee tn punctul punc tul 1 sS se calculeze 2. Aplicf valoarea  Ro  pe ntru ru care ca re linia lin ia devi de vine ne linie lin ie fSrS fSrS dist di stor orsi siun uni. i.  Ro  pent 3. Linia este conectatS la sarcina  Z 2 .  SS se determine impendanfa sarcinii Z2, dacS: dacS: A, = 2 9 6 e >l2,u l2,u,, V A t  = 15 1 5 8 * " '121’, V . De asemanea, asemanea , sS se determine expresia tensiunii tensiun ii U»(t)  valoarea momentanS in punctul “a” situat la mijlocul liniei (1/2). * Rezol vare: • • 1. Parametrii’ primari ai liniei: /jLo

[Rp + j

Lo

V c .o +  J 

Y

= V L ro = V (^ + y ^ ) ( G 0 + 7ft>C0) = M*"M*" -

y ■Z, = /<) /<) + >ft>I<)= (3,7 (3 ,76 6 10 10’3 ’3+ + yl 1,3-10‘ 1,3 -10‘3 3) ( 7 5 2 - >202) >2 02) = = 5 + / 7 , 7 9 = 9 , 2 7 e ;57022 —  tti de unde: ^ = 5 , - ; ^

m

= 7 , 7 9 , - ; ^ = ^ | = 2 , 4 8 10 10 - J — ;

m

m

3140

l5 ,25 5 10 V ' 7#H = 0,75 0, 755 5 1 0 * + >15.2 >15.2 1010-6  S  - = G0 G 0 + yt«>C0 = l5,2 km

u)C0  =15,2 10

de und unde: Gu =0,75 5 1 0~ \— ; km C

0

- a i^ a - 15»2 15»2 •10 6 _ 1 84 10 9

' 3140 3 14U “ ’ a) = 2 n f  =3140  s~ '. Valoarea  Rq pentru pen tru care

2. distorsiuni. Peniru linia tara distorsiuni relapa dintre parametrii primari:

F km

linia linia

trebuie

km

sd

devine devin e se

U  ~ C 0 ’ de unde

linie

respecte

. km

3 Determinant Z2 $i UM (t). . • La determinarea impedan(ei coiuplexe aplicam expresiile:

U.2 = i l ^ + 4 2 ^ * *  L i % & L e « - A L ef t 

Z2  a

sarcinii

 Li 

“ r A 2e - Y, - A y l  

Tensiunea t/ a( / ) la mijlocul linie liniei: i:

u .= u ,c h r ~ i,z ,s h r j. unde:

c h y -  = — +e.. +e.. '  _ 0,993e j,3  j,3^ w ;  s h y - = g"~ g"~ ~-g 2

2

2

2

= l,l3e j'  j '

;

C/, = A , + A 2 = 1 5 5 e y239° V; V; , D e c i: *

*

4 i r i L = 160 160e/ e/> >3»" A z, • * •

U a = 1 55e;239° 0 , 9 9 3 e ;,39O2° -1 - 1 6 0 e y2a9° . M 3 * ' " * 30 = = 146 + >4 > 4 9 ,9 - 1 8 1 + >4,71 = - 3 5 + >54, >5 4,06 06 = 64< 64
 H „ = ( A e j n r ,V

Un =V 2-64sin(
Exemplui 4 O linie electricS trifazatS lungS lungS cu / = 90 900 0 km,. construitS pentru transmiterea puterii nominale S2  = 300 A/VA, la tensiunea nominalS de linie £/2i = 400 k V   §i frecvenfa nomi no mina nalS lS / = 50  Hz,  este incercatS la punerea in funcpune, in gol §i apoi in scurtcircuit. scurtcir cuit. La funcpo fun cpona narea rea in gol pentru tensiune nominalS la bomele secundare s-a mSsurat tensiunea de linie primarS C/\o\  = 234 kV,  cur curentu entull primar primar /|o ~ 4 8 0 A §i  pute  pu teri rile le prim pr imar are, e, cif m etod et odaa 6elor 6el or douS w atm at m etre et re,, o b pn pnS S nd nduu-st st indicative  P ’l0 = -55 W, P " ,a = 84,6 W .'  La funcponarea in scurtcircuit:

UU c, c, = 246 kV\ l\sc = 251 A; /»’,* =*19, =*19,7 7 W\ /»’ /» ’*,«= *,« = -64 -6 4 W. W.

sa se calculeze: 1. Impedanfele de intrare la bomele primare ale liniei  pent  pe ntru ru ince in cerca rcare reaa in gol §i in scurtc scu rtcirc ircuit uit.. 2. Parametrii lineici secundari ai liniei. 3. Parametrii lineici primari ai liniei. Rezolvare: 1. lmpedan|a de intrare in gol §i in scurtcircuit. Modulul inpendanjelor pentru ftinqionarea in gol: Z'1in 0=

V3/,

- 281 a ,

in scurtcircuit: z,“ = =5 56 66 i i Argumentul impedan(elor complexe se ob|ine ajutorul raportului indicafiilor celor doua watrnetre: /

cu

m  p: P, ~ P,

t

rg >/3

----

4-

(pia = arctg  (-8,14  (-8,14 4) = -83° -83°

Rezulta:

 pent  pe ntru ru ince in cerc rcar area ea de m ers in gol, gol , iar pent pe ntru ru ince in cerc rcar area ea
 Z t0 = 2 8 1 e /83“ Q ; Z x't  t  = 5 6 6 e ,73° Q t 2. Parametrii Param etrii secundari secund ari ai ai liniei. liniei.  Zc ~ yjZ .io .io

 sc  sc ~ 398 £ '  Q

= “ thyl =

= l , 4 2 e /1g' ,

V2 m

_ 1+ th y l _ ^  1- ih yl 

la

*2a' = M ej2fil  _ e JV„

de unde:

a  = —In M 2

2 /

Deci avem: a =0,107 =0,107 10"3,— km 0=1,06 10

km 1

Z, = 38 3 89e">5° , £2; y = ce ce + j f i  = 0,10 71 0“3+ 0“3+ y l,06 1 0 '3, '3,

3. Parametrii Param etrii primari ai liniei:

z, = J p

1 J-0 Zo = ■*"

unde:

Z ,r = z 0 = de unde:

 = V Z A :  ,

0, y o —G() + j(oC 0,

+ jttfZ* = 0,08 + yo, 042, — , km

 R^^ ~  0 ,0  R ,0 8 , — ; 0)1^   = 0 ,0 ,0 4 2, 2, — ; km km

 y_   y_  = lo = G0 + 7
G0 = 0,013 0,0 13 lO^ lO^6,— ; o>C0 = 2 ,7 •10 ^ , —  km km Luand in considerate cS d) = 2 f f / =314 * 1, avem avem::

 Rq = 0 , 0 8 , -i pi ; Z t, = l , 3 4 10-3> W km km 0"6; - i - ; c 0 = 8 ,6 10"9, —  G0  = 0,013 10"6 km km

km

Exemplui 5 Se dau:  Z lsc = 9 0 0 e J63f> £2; Z 10 = 36 360< 0
Rezolvare: Parametrii secundari ai liniei:

 Z c = J Z lsclsc- Z l0 = 5 7 0 e - >7#3° f i ; r/iy r/ iy// = J = ! ^ = i, i , 5 8 e y70<>30 , Zi

e

W,

_ i - n . 5 8 g' ’"‘ ’"‘,!" _

l-thyl 

„ ,6.

1-1,58^

e 2* sau

^

V 2* = = l ,4 , 4 3 e ',',,6°.

de un und de:

e 2a/ = 1,43; 1,43; e 72^ = eyl16 ; In e2at -  In  In 1,43; 1,43; 2 a / = 0,35;

D eci: ec i:

a = 2 ,9 7 10~3, ^ ; 2/3/ = 2,01(116°); 0 = l , 7 1 1 (r ( r 2, — km Am v • Z, = 570 c"; 7U3° ,£2y =0 = 0 ,0 0 2 9 7 + ; 0 ,0 1 7 ,— 

km

Parametrii primari: Z,.y = unde:

+ 701 701^ = 2,84 + y‘3 ,8,

^ = 2 , 8 4 , - g - ; =9,8, =9,8,-^ -^-; -;^ ^ =^ = «1,94-KT', i  jf  jfcm 6,286, 28-800 800 A /n km 0)  —

= G0 +  jo)C0 -10^ + A 25 25-1 -1 O'6 .  jo)C 0 = 0,7 -10^

unde: un de: Gow-0 ,7• ,7 • 10 *,— : wC0 - 3,25 ,25*10^,— ;C0 ;C0 = — = 6,25 w*. w* . i'm I’m /#»

= 2,84 2, 84 ,—  ,1^   = 1,94 ,94 10 3, — ; km km

Deci Deci avem: avem:

G0  = 0 , 7 1 0 - 3, 3, — ; C 0 = 6 ,2 ,2 51 5 1 0~ 0 ~ 9, 9, — . km 1cm Exemplui 6 Linia bifilarS bifilarS fara pierderi pierde ri are parame para metrii trii primari:

 Lo  Lo  = 3,2 10 ~\— ,C0 = 2 1 0 - 8, — ,a> = l,57 104,5 '. Valoa Valoare reaa km km momentanS mome ntanS a curentulu cure ntuluii in punctul punctu l Ka = 4,17 km  de la capatul liniei are expresia: ia = 0,2 0, 2 5 sin sin(o> (o>/ - 20°), A . SS se determi dete rmine ne expresia exp resia 1valorii mo mome mentan ntanee a tensiunii Tn pu punc nctul tul Ka pent pe ntru ru caz c azur uril ile: e:.. a) linia Tn regim de mers Tn gol;  b) linia Tn regim reg im de scurtc scu rtcirc ircuit uit Rezolvare: Ecuapile liniei fSrS pierderi: U_  =»U_2cos P y + ; 7 2Z, sin sin  P  Py\ y\

 L = i 2 cos p y  + j  =2- sin  P  Py. y.  Zc unde: und e:

Zc =  —   = 400, £2;

 y = a + j P  = j p \ a = 0;

 P^u  P ^uiy iyjL jLvC vC o = 1,57 104 104V3 V3.2 .2 10“3 10“3 20 lO* lO*9 = = 12,56 10"2, — . km a) regim regim mers Tn go goll (Z 2 =® °,/2 = 0 ): ■

. Z72

t-

u >sin/3K. >sin/ 3K.

/iI.

u

’

i | 0 ,25 ,2 5 _ 120** * e  l = ~ t t „ V2 y'O,5 y'O,5

.

•» r

 pY a = sin sin  pYa sin 12,56 12,56 10"2 -4 ,1 7 = sin 0,524 0,5 24 = sin sin 30 30°° = 0,5 , i  cos PY. = cos 30° =  b) reg re g im scur sc urtc tcir ircu cuit it ( Z 2 =0,U2 = 0 )

 H„  H„ = j i 2 z rsin  PY  PYa, undei2 =

~a— = 0,24 e - jW° jW° A

cos PK 

Deci:

U„ *  jO, 24e~Jv 24e~JvS>40 0 sin sin 30° = 4 8 e 'W0; w„ = 48 4 8 >/2 sin(ft)f sin(ft)f + 7 0 °) V. Exemplui 7

Pentru adoptarea unui receptor cu impedan{a Z 2 = 40 0 + y'225 y'225 £2 £2 la linia lin ia de alim ali m entar en taree a c5rei impe impenda ndan{ n{& & este Z - 300 £2 £2 se folose folose§t §tee o linie linie sfert de unda ca transform ator de de adaptare si o porfiune de linie cu lungimea X, conectata in serie.  X 

Sa se calculeze fracpunea — minima minim a necesara necesara pentru porfiunea porfiunea de linie 91  impendanfa caracteristica Z c t a transformatoiUlui de adaptare. R e z o I v a re : Porfiunea de linie f5r§ pierderi cu lungimea  x   trebuie sa aiba impendanfa de intrare Z3  rezistiva §i deci se impune conditia: Z,

=  R2  + j ( X 2 + Z j g p x)  j Z 2t g p x + Z,  j R 2t g p x Zc -  X t t g Px +  jR

Idendificarea sistemul: ^

part 1lor

reale

§i

_  X j + Z j g P x

 Zc  Z c - ':2tgfix

R2tgfix

imaginare

conduce

Zi Zc ’

sau

 Z 3~ R 2 _  ___  X ,

 R2  R 2 z >- z  se obpn ecuapile:  - t g p a - 1 = 0; tg2fia  +  Zl ~.yJ  .yJ  2 i-

„

7 2 Z 2+ Z 2 % _ ± c _ 1 £ 3 _ z +1 = 0. A * 2z 2z c2 ~ 3 Cu valorile numerice date rezulta solupile:

0, 5; tgp tgpXy =tg2=tg 2- n — = -2,23 —» ~ = 0,5; ^ ?r * = fS 2 ■»i

X

= 0 ,4 ,4 47 4 7 - > § 1 = 2. 2.

zr

La ^ - = 0,5 0,5 cor corespu espund nd:: ^ • = 0,317; Z, = 150, QZ CT = iar la

Z

= 212 Q ,

= 2 corespund: corespund : ^ = 0,0865; Z3 = 600, £2ZCT = A

•

;•

^ 424 £2

la

<

>2

5

2

r 

*

' u

3 '   X/4  X /4

x

Pentru adoptarea unui receptor cu impedanfa alimenu.re cu Z( = 300 £2 se  Z 2 = 4 0 0 + ^ 2 2 5 Q la linia de alimenu.re folose§te o linie sfert de undS ca transformator de adaptare §i o porfiune de linie cu lungimea  X,  conectatS in paralel. Rezolvare: Admitanfa porfiunii de linie t3r& pierderi cu lungimea  X   trebuie sa fie pur conductive, rezolvand ecuafia: cu solufia: solufia:  x  = ar cctg (-B 2Zi ) = 1G7"50 G2 -  jBj  j Bj - j Y( ctgfH ctgfHxx = din care se obfine: obfine: — = 0 ,3 . A

Linia sfert de undd realizeaza deci adoptarea rezistenfei de sarcina  — la valo va loril rilee imped im pedanf anfei ei cara ca ract cter eris isti tice ce a liniei lin iei

de all men tare.

De aceea ace ea , avem: Exemplui 9 * * O linie electr ele ctric! ic! de inaltf inaltftt frecven frecvenfS, fS, cu pierd tieglijabile, tieglijabile, are impedanja impe danja caracteristicS caracteristicS Zt =400£2 =40 0£2 S i se calculez calc ulezee unpedanfa complex* com plex* a sarcinii, dacu . valoarea efectivd maximS a tensiunii, indsurat& la distanfa de 0,1 m de 0, 4 V, iar  bo  b o m e le rece re cept ptor orul ului ui este es te d e 0,4 ia r valoarea^ valoare a^ efecttvft minimS este de 0,3 V   §i este mSsuratS la distanfa de 0,6 m de  bo  b o m ele el e recep rec epto toru rulu lui. i. ; f . O'

,4 V U -   - 0 ,4 yj -0 ,1 m

Umin = 0 , 3 V Umax Y2 = 0,6m

Impedanfa complexfi complexfi a receptorului, raportatS raportatS la impedanfa caracteristicS a liniei: I l =I± £ I - K '   Z, unde  K   este coieficientul de reflexie; modulul c&ruia se calculeazS cu ajutorul raportului valorilor extremale ale tensiunii de-a lungul liniei: U ja  j, asL —1 0,33

U, .U.m

2,33

= 1,1416,

iar argumentul sau se calcujeaza cu ajutorul distanfelor valorilor  Y Y   d  < d „ = 4 n —  = 4 n  — !— = 0 , 2n . extreme:  x  Y2-Y  x  A Cu aceasta rezulta: Z2

\ + K 

l + l , 1 4 1 6 g y36

Z , ~ l - K ~ l- l, l4 \6 e iy6° ' 

 Z 2 = 503e'7'°u Q Exemplui 10 Pentru Pen tru linia fSra fSra pierderi cu / = 200, m,

 H  = 2  10 10~6, —  m ' 

m cu  Lq = 0 ,0 1 10~J  H  sa se determine:  Z ( , f i . 1. Parame Par ametrii trii secundari secund ari  Z( 2.  Sa se demonstreze faptul aparifiei undelor electro magnetice stafionare in linie. 3 SS se determine determ ine distanfa cea mai apropiata aprop iata de la capa liniei unde vor fi cele mai apropiate ventre ale curentului ?i a tensiunii 4. SS se determine determ ine raportul amplitudin am plitudinilor ilor tensiunilor tensiun ilor curenfilor cure nfilor in ventru ven tru §i de la capatul capatu l liniei. liniei. Rezolvare: > ; V' I - Param Pa rametr etrii ii secu se cund ndari ari ai liniei:

Z' = J ' r '  = 60° ’

V

a = 0; 0= 0,10 5,

Y = j P =   j (°

= 7° ’ ,05;

rat/ m

2. Demonstra{ia Demonstra{ia aparifiei aparifiei undelor und elor stafionare. Ecuafiile liniei fSr3 pierderi in forma complex^: 1/ = U_2 cos P y + j i 2Z c sin  P y;

electro ele ctrom m agnetice agn etice

.U - ,

 L =  j ~ sin p y + l 2 co  c o bpy;  JLd   _ unde:

[Li =Li  Z 2;  Z 2 j u ) L= j l n JL = y'6,28 y'6,28 0 ,5 - 107 ■10 '5 = >314 >314 Q, / = ^ = l i £ - = 0 ,5 , 5 1 0 7, 7, / / z . A 60 sau

U_  = U_2(cqs (cqs p y + j ^ -   sin  P v) = — ■ c o s ( P \ ~ 6 ) \ Z2 cos co s 0  L = L i c o s P y + unde un de::

sin p y ) = — si n ( p y - 6 ) .  Z 2 cos o  Z  600 60 0 <5 = arctg  = arctg --------- --  63°25 = 1,09, r a d .  Z 2 314

TrecSnd la valori momentane, avem:  J  2 jj  u= ■ r cos ( P y - 6 )  sin (at x UI ~ ----UIm mcos (/ ? v -£ ) sin sin un \ cos o « i = / 2msin sin ( P y - S  ) cos cur; ^

;

/ , = J k i  H ± e-J«r   = _ y 2 i :,:, - y / .

yz2 z 2

7 z,

71

Analizand expresiile obfinute pentru u(t), i(t)  se poate demons dem onstra tra cS cS Tn linie apar apa r unde electro ele ctroma magne gnetice tice stafionare deoareca deo arecare re tensiunea tens iunea §i §i curentul curen tul sunt s unt defazafi In spafiu cu — , iar Tn 4 n limp cu —. 2 • 3. Punctele cele mai apropiate pentru ventru tensiunii §i a curentului Punctul de ventru pentru tensiune se determine din expres expresia ia c o s (/ 3 y -5 ) = 1, adi adicS  p y - S = 0 de unde:

 P  

0,1057

A 60 Pentru curent: Yz - Yx+ — = 10,5 + — = 2 5 ,5 m . 4 4 4. Raportul Rap ortul dintre d intre tensiu t ensiuni ni ?i dintre curenfi in punctul punc tul de ventru §i la capStul liniei. Pentru Pentr u tensiuni: tens iuni:

cos o

: U 2 = 2, 2,15 156; 6; cos 63° 63°20 20 = 0 ,4 6 4 ,.

Pentru curenfi: 7J _ : / 2 = _JL = 1,12; sin S  = sin sin 63°20 63°20 = 0,8 93 5. sin S   sin $

9. PROCESE DE TRANZI'JTE IN CIRCUITE ELECTRICE CU PARAMETRII DISTRIBUITI 9.1. Nofluni generale In electroenergetica, electroe nergetica, telefonie, telegrafie, telegra fie, tehnica de calcul, radiotehnica radiote hnica §i tehnica tehnic a de impulse de o importan imp ortant5 t5 inse insemn mnatate atate au, de asemenea, aseme nea, procesele proce sele de tranzifie tn gircuitele electrice, electrice , ce confin linii cu parametrii distribuifi. in linii linii lungi lungi asemanator asema nator circuuelor circu uelor electrice cu parametrii concentrafi la la comutafie, adica la la conectarea, conec tarea, decone dec onectare ctareaa surselor surs elor de alimentare §i receptoarelor nu se stabile§te imediat regim stafionar. stafionar. Regimul stafionar poate, de asemenea, aseme nea, s5 s5 fie perturb pe rturbat at la ruperea rupere a liniei liniei sau la scurtcircuitare scurtc ircuitareaa ei - regimuri accidentale. accide ntale. Procesele de tranzifie in circuits cu parametri distribuiti ca §i tn circuite cu parametrii concentrati conce ntrati teoretic parcurg parcu rg intrintrun timp infinit de lung. Practic durata procesului de tranzifie depinde depin de de marimea marim ea parame para metrdor trdor linie linieii (Rq, Lq, G o, C o )  pe o unitate unita te de lungirqe §i de impedanfele impedan fele su surse rselor lor §i receptoare rece ptoarelor. lor. Indiferent de durata procesului de tranzifie aces acest. t. regim regim trebuie s3 fie analizatj analiz atj de asemenea^ §i in utilajele, utilaje le, ce confin linii lungi, in linia de transport transport de energie cu tensiune tnaha tna ha in in decursul  proc  pr oces esul ului ui de tranzif tran zifie ie po pott sa apara ap ara su supr prat aten ensi siun uni, i, su supr prac acur uren enfi, fi, iar tn liniile de receptie - perturbafia la propagarea normala a sunetelor. Selectarea incorecta a instalafiilor la supratensfune suprate nsfune poate sa provoace provoa ce strapungerea strapun gerea izolatorulu izolatoruluii la des& des&arc arcare are thtre unele  parfi  par fi ale instala inst alafie fiei; i; su supr prac acur uren entul tul - la decla de clan$ n$ar area ea gre^ita gre ^ita a aparatelor apara telor de protecfie, la deteriorarea deterio rarea aparatelo apa ratelorr ’de mdsurari electrice, la arderea contactelor. Procesele Procese le de tranzifie sunt observate obse rvate $i la acftunile surs su rsel elor or de f.e.m f.e .m neperiodi neperiodicfe. cfe. Astfel Astfe l de f.e f.e.m; .m;* su sunt nt crea cr eate te in aparatele liniilor de receptie, tn telemecanica. F.e.m, neperiodice neperiod ice a par in linii aeriene la descSrcari atqiosferice atqio sferice,, la  prop  pr opag agar are^ e^ infor inf orma matie tieii in linii lini i ce se afla tn apropierta liniilor de transport de energie energ ie tn care au loc procese proc ese de tranzifie. tranzifie. Analiza proceselor procese lor dc tranzifie tn circuite lu parametri param etri dislribuift

se efectueazS reie§ind reie§ind din ecuapile ecu apile diferenp difer enpale ale §i rnetodelor cunoscute. du di

aplicarea

~ a x ~ ^ , + K dt   (9.1) , ^ du d i _  • * ~dx~ 0 Ecuap Ec uapile ile (9.1) sunt aplicate la analiza regimuiui stapo sta pona narr §i procese! >r de tranzipe tran zipe.. Din pu punct nct de vedere ved ere matematic integrarea ecuapilor diferenpale cu derivate parpale reprezinta o problem a complicatS. complicatS. De aceea, aceea , fn cursul c ursul BTE  proc  pr oces esel elee de tra tr a n z ipe ip e se studiaz stud iazS S Tn Tntrtr-o o formS form S mai ma i redusS, adica se studiazS procesele proce sele de tranzip tra nzipee in linii omo omogen genee farS farS  pierde  pie rderi ri ( Ro=G  Ro =Go-0 o-0 ). Studierea proceselor de tranzipe in liniile farS pierderi (Ro-Go=0)  permite de a studia calitativ trSsSturile de baza a proceselor. Cu atat mai mult ca fn realitate liniile cu parametri distribuip posedS relativ pierderi mici. 9.2. 9.2. Rezo lvarea gen erala a ecu apilor liniil liniilor or omog Pentru a calcula regimurile staponare in linii lungi trebuie de §tiut: a) curen cu renpi pi la intrare ?i la ie§ire ie§ireaa din linie;  b) tens te nsiu iune neaa $i impe im peda danf nfaa rece re cept ptor orul ului ui;; c) curentul cure ntul $i $i tensiun ten siunea ea la fnceputul fncep utul sau la capStul liniei. liniei. !n decursui procesului de tranzipe caracterui variapei V  ?i  I   depinde nu numai de mSrimile de la frontiers, dar §i de condipile inipale, adicS de mSrimile tensiunilor §i curenplor in momentul comutapei sau de aparipa f.e.m. neperiodice. .... Astfel, problem a calculului procesului de tranzipe tran zipe se aportS la rezolvarea generals a ecuapilor, du

{+ j d i

(9-2) _ _ du di • -G0 u + C0 ox ot  care satisfac mSrimilor inipale (t=0)   §i mSrimilor de frontiers (v =0; x=l), de asem ase m en enea; ea; mari marirr rrii iiio iorr tensiunilo tens iunilorr 5 1   curenplor in

acele puncte ale liniei liniei unde ele sunt date (sursa de tensiune sau sursa de curent). Consider&m procisul de tranzipe m linia fSra pierderi (R0=G0=0). Pentru linia f5rS pierderi ecuapile (9.2) au urmatoarea Tnf5p§are: dx

dt 

dx

dt 

(94>

DerivSm ecuapa (9.3) in raport cu  x, iar ecuap ec uapaa (9 4) in raport cu r:

dx

* d 2i inlo nlo c u im ■■ dtdx

^

dtdx

( i d i d x * 0 d t ! ' '  * * d 2u din e c u a pa (9 .5 ) prifl ~C0— y $ i not&m t&m: m dt  

v’ - l k

d^u_ = ± _ d y d x 2 V 2  ' d t  DacS ecuapa (9.3) o derivSm prin f, iar (9.4) prin  x, d 2i = 1 d 2i oblinem oblinem respectiv resp ectiv:: . (9 8 ) d x 2 V2 dt   Ecuapile Ecu apile (9.7) §i (9.8) sunt ecuapi ecu api cu derivate deriva te parpale pa rpale de ordinul ordin ul doi. Aceste Ac este ecuatii din pun punct ct de vedere ved ere matf matfem emati aticc  prez  pr ezin inta ta ecua ec uapi pi un undu dula lare re (t?leg (t? legra rafic fice) e).. S o lup lu p a e cuap cu apei ei (9.7) (9.7 )  prez  pr ezin inta ta su suraa raa a doua funcpi  f\  f \ §i / 2. Argumentul funcpei /S ( X  ' x '  este t  —   —  , iar la funcpa  f 2 - t+ —  adicS : v  / 

(9.9) Cu scopul urinatoare:

reducerii (

inscrierilor, X  '

1 —:  — :

“ /« = / l

introducem

“rej = h

>

notapile

 X 

t+ -

 , v  ) k v,  f \ §i  fo  este determinatS de condipile  Natu  N atura ra tun tu n c p ilo il o r  f\  j \ §i  fa  in caz inipale la inceputul §i capatul liniei. Funcpile  j\ general gen eral trebuie trebu ie sS perm p erm its sS se ia derivata d erivata de ordinul ordin ul 2 pe “jc “jc”  f \  fapi de jc : §i pe adicS pentru pen tru f\ du ' x '  t  --- ---\ dx v v v  ) dx  pentru  pen tru  f i de t : d \i I du 1 r,

d t 

iV 

^

d t2

V

H)

Deci

1

~r  ./i v* Rezolvarea ecuapei (9.8) corespunde expresiei (9.10)

i = q>A t  Nolan  No land d V

Obpueui :■ i =

+ irtJ ;

si

unde ■-

"

....

. ^ §*

v '  .

= _ “aL

\

■i x i ' ' r - r V * 1- . *.... ■■ x ■f : - * ■ v ' reprezintS repre zintS

incidents a tensiunii §i curentului

 zc  zc

(Q i i )

" fe io respectiv resp ectiv unda

 ---- si f+~ ‘ reprezinta t  ---vj 1 vj reflectata a tensiunii §i curentului Exemplificape la argumentul

respectiv

unda

 x t  —  — v

Fie ca Tntr-un punct oarecare al liniei t=t\  mirimea funcpei ' x '  este egala cu  F\.  Aceasta marime "f\"  v a fi aceea§i ace ea§i Tn  ---  ---t   f\  f \ toate punctele liniei unde  x>x\  cu c u Tntarziere Tn Tn tim ti m p ——^ §i • v deci determinata de viteza limitata a deplasarii undei Tn linie. A§a, Tn punctul  x=x2  x= x2,,  marimea  f\  f \   va fi egala ou  F\

=t\ + ^ — —  pent  pe ntru ru t=t 2 =t\ v In reaiitate:

Astfel, legea variapei undei incidente a tensiunei  f\  f \ de la inceputul liniei se repeta Tn orice punct al liniei, dar cu Tntarziere Tn timp. *•

9.3. Reiapile dintre funcpile / j , / 2 $i
. . / 1 * 0 . 1 V

- ' •• .'7 •:

JC -

-

r

+ < /> 2 * + — I v J v ,

-

d(P\ t t

X 

=
d
Atunci ecuapa (9 12) ne da;

 f\  f \  —  V

V

A -

’

(9.16)

$i ecuajia (9.13) ne daj (9.17) V

V

Din (9.16) $i (9 17) obfinem : / / - / 2 =* ' A» K + (9.18) vC unde

* v>zt>

vC0 Zc sau

T v ; C0

imped imp edanta anta earac ear acter teristi istica ca a liniei om omog ogen enee tHr tHra pierderi pierd eri ,

;

urmare, avem:

/.'

f / = J . b , ' '« > n

(9.19) O r  . ,-r


£

(9.21)

 Zr   Zr  Daca derivatele functiilor (cp[  §i / / ) sunt sunt egale egale pentru pentru orice  x $i t ,  atunci reiese cS functiile ( (p\ §i  j\  j \ )   sunt egale cu o exactitate panS la o constants. $i deci avem :  X 

= -/>  z.  z..

V

1 r A = —   f 2\ t + -

§1

(9.22) (9.23)

 Z,  Z,

In integrare reflectatS depind de

ecuatiile (9.22) §i (9.23) lipsesc constantele de deoarece se presupune ca undele incidenta a curentului §i tensiunii nu contin componentele ce  x §i t. Ecuajiile (9.22) §i (9.23) pot fi sense Tn formS

respectiva:

iin iinc = ~ss:L ~ss:L’  ’  uref  ref 

.

(9.24) (9.25)

9.4. Procesele electromagnetice la deplasurea undei dre ptu ng hiu lare de-a lungul linie linieii  ZiMer er-- 0 Fie Fie cS sursa de tensiune tens iune de curent cure nt continu con tinuu u la care  ZiM se conecteazS la linia omogenS ne-TncSrcatS cu parametrii distribuiti  Rq=Gq- 0 .   De-a lungul liniei se deplaseaza unda electromagnetics electromagne tics incidents. t Transportul initial al undei - frontul undei (frontul dreptunghiular) dreptungh iular) deplasSndu-se de-a lungul lungul liniei creeazS fntre firele liniei camp electric §i c&mp magnetic. Cre?terea campului magnetic la frontul undei fn timp de “{*" este es te:: . d y = i l ^ d x , 1. cre§terea campului cam pului magnetic mag netic la frontul undei dS na?tere f e.m ;

La frontul undei apare f.e.m. de autoinduc{ie numeric egala cu tensiunea generatorului. La frontul undei are loc incSlzirea firelor liniei: firul de sus este e ste unit cu ; olul pozitiv po zitiv al sursei, iar al doilea do ilea fir de jos - cu polul negativ. La frontul undei apare ap are curentul de deplasare :

V

dx-vdt 

Fig.9.1

■

Astfel, curentul de deplasare, deplasa re, ce trece trece prin dielectricul la frontul undei este egal cu curentul undei incidente, ce trece prin prin firele liniei. Unda electromagnetica, deplasandu-se prin linie aportS  pe fiec fi ecar aree un unita itate te de lung lu ngim imee a liniei ener en ergi giee a cam ca m pu pului lui 2

electric

T 

§i energie energ ie a cfimpului cfimpului magnetic ma gnetic

2  poat  po atee de dem de m on onst stra ratt cS ener en ergi giile ile sun suntt egale eg ale intre in tre ele. Intr-adevar  Prin urmare

2

2C0

2

Z

. Se .

Atunci cand unda incident atinge capatul liniei la care este conectatS o sarcina sau o altS linie, o parte din unda incidents trece in sarcinS, o alta parte se reflects §i apare unda reflectatS. Care va fi forma undei ce trece in sarcinS, care va fi forma undei reflectate §i cum ele se vor deforma tn timp? Pentru a raspunde la aceste intrebSa se tntrebumfeaza schema echivalenta de substituire peritru studierea proceselor undulare, undula re, ce au loc fn linia cu para metrii me trii distribuifi. I 9.5. Schema echivalentS aplicatS la studiul fenomenelor fenomenel or undulatoare u ndulatoare In linia cu parametrii distribuifi distribuif i Pentru a justific jus tificaa metodica de alcStuire alcStuire a schemei echivalente aplicSm fig.9.2 ce prezintS o linie cu parametrii distribuifi cu o sarcinS la bornele de la capStul ei. Din momentul unde unda incidenta atinge extremitafile liniei, curentul is  circulS tn sarcinS §i la bomele sarcinii este creatS te n s iu n e a ws. , * t Aplicand Aplic and expre ex presiile siile loc de tj §i

 I

i 2 o *«« <■ 2

Mi §i introducfind introducfind —- fn

u — - tn loc de ir, ir, obfinem obf inem : Z, u,+ur u,+ ur =us u, -ur = is • zc

(9.26) (9.2 6) 2u(  2u( » u s + 1 ■  z,  z, , Astfel, tensiunea us de la extremitate extre mitateaa liniei §i curentul cure ntul i* fn sarcinS, independent de caracterui sarcmei , sunt legate de unda incidents u\  prin ecuapa (9.26). "-f  de unde:

Circuitul cu parametrii distribuifi reprezentat in fig. 9.3 satisface aceastS ecuajie.

ir wi,

u

© Fig. 9.2

Fig. 9.3

Calculul fenomenelor tranzitorii Tn circuitele cu parametrii distribuifi distribuifi din fig.9. fig.9.3 3 poate fi efectuat efectua t prin una dintre metodele aplicate la la calculul circuitelor circuite lor electrice cu parametrii param etrii concentrap concen trap Tn regim tranzitoriu. Calculul cu aplicarea schemei din fig. 9.3 permite de a determina h=f(t) §i us=f(t).'   Dupa determinarea acestor funcpi se poate poa te de determ dete rmina inatt caracter cara cterui ui variafiei variafiei Tn timp a tensiunii =f (t)), sau ?i curentului undei reflectate: ur=f(t) §i iT=f(t (9.27) ExaminSm cateva exemple exem ple de aplicape a schemei echivalente. 9.6. Reflexia undelor la sfar$itul liniei SS presupunem cS undele progresive de tensiune §i de curent au ajuns la sfar§itul unei linii omogene, cu impedanfa caracteristicS  Zc  Zc,  lnehisS pe un circuit oricat de complex cu  para  pa ram m etrii et rii conc co ncen entra trafi. fi. Dato Da torit ritaa refie re fiexi xiei ei un unde delo lorr incid inc iden ente te la sfSr§itul liniei vor aparea undele reflectate §i la bomele circuitului final, obfinem :

a) Conectarea unei lini liniii deconectatS la extremitate extre mitateaa sa la o sursa de curent continuu (fig.9.4). in condifiile unei linii fSrS pierderi, asemSnator unui circuit oscilant farS pierderi i-au na§tere oscilafii. Perioada Perio ada os osci cila latiil tiilor or poate poa te fi repartiza repa rtizatS tS Tn patru pat ru pSrji pSrji sau stadii stad ii cu durata durat a egala eg ala de —, unde  I -  lungimea liniei, v - viteza • v  prop  pr opag agar arii ii undei. La exam ex amin inar area ea a cest ce stor or patru pa tru stadii sta dii treb tr ebui uiee sS folosim doua scheme echivalente diferite. Prima din acestea (fig. (fig. 9.5) corespunde extremitSjii extremitSjii deschise desch ise la linie ( zc =°° =° ° )  pentr  pe ntru u cazul caz ul cand ca nd un unda da inci in cide dent ntss ajung aju ngee la extr ex trem em itat it atea ea liniei. lini ei. A doua dou a schemS (fig. 9.6 9.6)-, corespun core spunde de cazului caz ului sos sosirii irii undei unde i reflectate la bomele de intrare a liniei, la care este conectat generatorul de tensiune continuu, rezistenta interna a cSruia este considerate zero (zs=0). ExaminSm separat fiecare stadie a fenomenului: 1) Primul stadiu. O unda de tensiune u\t~u   §i o undS de

curent

in = — =i se propag propagS S

de

la

generato gen erato r

spre

extremitatea liniei. Primul stadiu este ilustrat Tn fig. 9.4a, 2) Al doilea stadiu corespunde deplas&rii undei ur\  §i iri de la extremitatea liniei spre Tnceputul reflectate ur\ liniei liniei.. Se apli a plici ci schema din fig fig. 9.6 pentru determinarea determ inarea ut\. AceastS schemS este alcatuitS conform con form metodei met odei expu ex puse se Tn 9.5. In aceastS schemS se conecteazS la sursa de tensiune 2ut\=2u impedanfa caracteristicS a liniei  Zc  Zc §i impedanfa imped anfa sarcinii  zs= 00 (linia este deconectatS la capSt). Din schema din fig. 9.5 rezultS cS tensiunea la bomele sarcinii este egal egalS S cu tensiunea dublS a undei incidente. Deci,  pentr  pe ntru u  zs —> , avem : u

~ 2 u,. u,.  — —— = 2m 2 m ,. = 2 u .

z,+zc Conform expresiilor (9.27) unda reflectatS a tensiunii url  url   = w , = 2 uit uit - u n = «„ =«.

Astfel, in decursul decursu l primelor prim elor douS douS stadii a fenomenului fenom enului tranzitoriu unda reflectatS m „ = u, in = - / se propag propagS S de la extremitatea liniei spre inceputul sSu. Starea rezultantS a liniei este determinatS prin suprapunerea undei incidente pritnarS Epu ra distribu distr ibufiei fiei (Mil, /, i ) cu unda reflectatS pnmarS ( m m ,
3) Stadiul al trei trei lea al acestui fenomen fenom en este ace a cela la unde unda ur\, ith  atingand inceputul liniei este reflectatS de acest Tnceput de linie ca de o extremitate scurcircuitatS a liniei (rezistenfa interna a generatorului este considerate zero); ceea ce da  posib  po sibilit ilitate ate la prop pr opag agar area ea undei de-a de- a lungul lung ul liniei Tn sensu sen sull de la generator spre extremitatea liniei, a undei incidente secunde (wi2, 1*2) care ca re este Tn Tn realjtate o und undaa reflectatS reflectatS fafSde fafS de unda und a wri, ri, irt. La determinarea caracteruiui de reflexie a undelor de la Tnceputul liniei se folose^te schema din fig. 9.6. In aceastS schemS  Z s - O , tensiunea 2uT\=2u \= 2u..  Deoarece  zs=0,  zs=0, tensiunea la bomele sarcinii, Tn conformitate cu relafiile din (9.27), este egalS cu suma undei incidente (Tn cazul prezent Wri = « ) §i a tensiu te nsiunii nii undei unde i reflec ref lectate tate de la gene ge nera rator tor spre extremitatea liniei; ceea ce reprezinta a doua undS incidents. Prin urmare : 0=u+u,zDe un unde de :

u\z--u\

in = — = - i .  Z r 

Starea Sta rea rezultantS rezu ltantS a liniei Tn decursu dec ursull stadiu s tadiului lui at treilea trei lea al fenomenului este reprezenta Tn fig.9.4c. AceastS stare decurge din suprapunerea a trei unde: a primei unde incidente un, it\,  a undei reflectate de la extremitatea undei u t u h i , 5i undei a doua incidente ua, in. 4) In decursul stadiului al patrulea unda a patra, determinatS  prin  pr in refle re flexi xiaa a do doua ua a und undei ei inci in cide dent ntee de ia e x tre tr e m itate ita teaa deconectatS a liniei, se suprapune la cele trei unde precedente. Reflexia secundS a undei incidente de la extremitatea deconectatS a liniei decurge prin aplicarea schemei echivalente din fig. 9.5 cu singura diferenfS cS Tn loc de 2ux\=-2u. Pentru unda reflexiei secunde uX  2 --u, iti=i,  starea rezultantS a liniei la al patruiea stadiu (fig. 9.4d) este caracterizatS caracterizatS prin suprapunerea suprapu nerea urmStoarelor patm pa tm unde: r2 = u + u - u - u ^ - 0 , M., + M ri + u n + u r2 */i +  Ki + *i2 +  K i = i + i - i - i = 0 .

,

Astfel, la sfar§itul sfar§itul stadiului patru, tensiun ten siunea ea de-a lungul liniei, §i curentul sunt zero. Linia prime§te starea ce a avut-o la inceputul primului stadiu. Fenomenul se repeta panS la infinit, deoarece  R  Ro o §i Go  sunt considerate zero. In realitate  R  Ru u §i Go difera de zero §i fenomenul oscilatoriu amortizeazS  prog  pr ogres resiv iv §i un regim, regi m, core co resp spun unza zato torr regim reg imuiu uiuii perm pe rman anent ent In linia de curent continuu, se stabile§te in linia considerata. Din expresiile obfinute se poate stabiii relajia dintre undele incidente §i reflectate cand reflexia undelor se produce la sfar§itul unei linii deschise sau scurtcircuitate. In cazul unei =° ° ,   la sfar$itul liniei avem: ur=u„ linii deschise, punand  zs =°° irs irs - ii,

iar in cazul

liniei liniei

scurtcircuitate, scurtcircu itate,

punSnd punSnd

= 0,

la

sfar§itul liniei avem: wr=-Mi, *r=*i» adicS, in aceste cazuri, undele reflectate au aceea§i valoare ca cele incidente cu deosebirea Tn cazul liniei deschise cu schimbarea semr.ului este reflectata unda de curent, iar in cazul liniei scurtcircuitate, unda de tensiune. A§adar, 111  urma suprapunerii undelor reflectate peste cele incidente, tn linia deschisa cie?te de douS ori tensiunea de la star§itul liniei, iar tn linif scurtcircuitatS scurtc ircuitatS,, create de douS ori curentul curen tul de la sfac^itul sfac^itul liniei. Aceste rezultate pot fi explicate tn modul urmator. $i la mers in gol la scurtcirc scu rtcircuit uit undele incidente inciden te cu energia lor specifica specific a sunt reflectate reflectat e complet comp let de la sfar$itul sfar$itul liniei, liniei, deoarece la slai§itul liniei energia nu este consumata. De aceea, in por|iunea de linie pana la care au ajuns undele reflectate, energia este de douS ori mai mare decat energia undelor incidente, prin urmare de patru ori mai mare decSt energia campului magnetic al undei de curent §i de patru ori mai mare decat energia campului electric al undei de tensiune incidente, deoarece aceste energii sunt egale intre ele. l-a tnersul in gol al liniei, curentul la sfar§itul liniei trebuie sa fie nul. De aceea, cSnd unda de curent incidents ajunge la sfargitul liniei apare o undS de curent cur ent reflectatS reflectatS egalS ca valoare $i opusS ca semn, §1 curentul curen tul la sfar§itul liniei liniei scade pana la zero, iar energia campurilor cam purilor m agnetice agne tice legate cu undele de curent incide inc idents nts $i reflectata se transfo tran sform rmaa in energia

campului camp ului electric. Cre§terea Cre§terea de patr patru u ori la sfar§itul lin iei, iei , a energiei energ iei campului electric, electric, aduce dup dupS S sin e cre§terea cre§terea de douS o n a tensiunii tensiu nii de la sfar§i sfar§itul tul liniei liniei.. AceastS Acea stS cre§tere cre§tere a ten tensiu siu nii, nii , legatS de transformarea energiei campului magnetic tn energia cSmpului electric, electr ic, se va va propaga de la sfar§itul sfar§itul liniei linie i spre inceputul incep utul acesteia ace steia.. In cazul scur^ircuitSrii liniei, tensiunea la sfar^itul liniei trebu trebuie ie sa fie .u .ulS lS.. D e acee a, cand unda de tensiune tens iune incidents ajunge la sf3r§itul liniei, apare unda de tensiune reflectatS, egalS cu ea ca valoare §i opusS ca semn, $i tensiunea de la sfar§itul liniei scade panS la zero, iar energia carnpurilor electrice, legate de undele de tensiune incidents $ 1 reflectata se transforma in energie a campului magnetic. Marirea de patru ori - la sfar§itul liniei - a energiei campului m agn etic atrage dupS dupS sin e cre§terea de doufl ori a curentu cu rentului lui la sfar§it sfar§itul ul liniei. O asem ase m en enea ea cre§tere cre§tere a cur curentu entului, lui, legata de trans transfo formur rmurea ea energiei campului electric tn energia campulu cam puluii magnet ma gnetic, ic, se va propaga de la sfar§i sfar§itul tul liniei lin iei cS cStr tree incepu ince putul tul ei

La o iinie lungS de 1=6 km,  cu impedanfa caracteristicS £c-50 £2, alimentatS de la o sursS sursS de tensiune consta co nstants nts de  E = 6 kV  ?i rezistenta intemS r 0=50 0 =50 £2,  se conecteazS o sarcinS activS cu

r=100 Q.

Vitez Vi tezaa propagS pro pagSrii rii un undei dei

v = 1.5 1.5 10 108 8 — . SS se  s determine repartijia repartijia tensiunii tensiunii §i §i curentului curentului dupS dupS / = 2 0 1 0 6  s. Se dS: 0 =50 £2  E=6  E= 6 kV; r 0=50 1=6 km;

 s Zc=50 Q; r = 10 100X 0X2 2 f= 2 0 1 O'6 s. u(t)-? i(t)- ? Rezolvare: 1. Se alcStuie§te alcStuie§te schem sch emaa echivalentS echivalen tS (fig. 9.7 ,a). ,a ). Pentru Pentru unda incidents, avem :

de unde

 E 

Pentru unda reflectatS de la sarcina activS, avem:  z ~~z  u r = N u j ,  unde  N  = — ----   - coeficientui de reflexie  z , + z c -

 Z,  Z, + z,

r + z (.

100 10 0 + 50

3

Oeci:

ur 

103

-2 0 A.

"z, 50 Epurile distribute) rcnsiunii si curentului repreze repr ezenta ntale le resp re spec ecti’ ti’ 'n fig. fig. 9.7b 9.7 b §i tig. 9 7c. 7c.

sum

Exemplui 2 O sursS cu tensiunea constants m=10 kV  este conectatS ia ia un un cabtu electric lung de /|=60 km  §i rcl=50 £2, iar cablul este unit la o linie km,, §i r c2=400 aerianS cu /2=100 /2=10 0 km c2=400 £2.  In punctul de legaturS dintre cablu §i linia aerianS aerianS se afla afla un conde co ndensat nsator or cu C=5.62  fxF  fxF.  SS se determine legile mSrimilor i\(t), irft), i^lf, ujr) in regim ttaniitoriu (fig. 9.8). ujblu ujb lu

lima aerianf aerianfii

Fig. 9.8 Fig. 9. Rezolvare: 1. Se alcStuie$t alcStuie$tee schema sche ma echivaieutS echiva ieutS (tig (t ig 9 9 ), ce ce corespunde momentului cand unda electromagnetics ajunge la sfar§itul liniei aeriene. 2. Pentru schema din fig 9 9 .se aplicS aplicS metoda clasica la determinarea marimilor tn regim tranzitoriu. a) Valoarea initials a tensiunii tensiunii la bo m ele condensatorului conde nsatorului  pent  pe ntru ru sche sc hem m a pana pa na la com co m utat ut atie ie $i pent pe ntru ru #=0; ttc(0)=© ttc(0)=© (leg (l egea ea a doua a comutapei)  b) Se determ det ermin inS S rada ra dacin cinaa ecua ec uafie fieii cara ca ract cter eris isti tice ce prin pr in aplicarea expresiei  z(p (fig 9 10 10)) (schema dupa comtitajiel comtitajiel  z( p)~0 (fig

\Zci

2U,

Fig. 9.11

Fig. 9.10

1

 z(jco)  z( jco)  =  zci  zci +

 JO JC 

Lr2

1  J O J C 

 jco  jco

z(p) = zrl +

1  pc =

 pc  p c sau

0

+ Z,c2

Z,!-Z,2-PC+Zr. +Z,:2=0.

+ Zc2- = -4005"'

 pc  p c

de unde

Z,rZr2'C c) Expresiile Exp resiile funcfii funcfii lor  *i

= hf  + hi »

i j ( 0   = * 3/ 3 / + * 3 /;

*2 ( 0 = *2 / + hi  i c ( 0   = *r/ + *d

unde componentele forfate i'if, *2f, *3f, «cf, se determina  pentr  pe ntru u regi re gim m ul sta st a bili bi litt dupS comu co muta tafie fie (sch (s chem emaa se cons co nsid ider eraa dupS comutafie) §i corespund respectiv expresiilor . 2u 2u 2u -c 2 » V = *t|+*c2 *c-l *c-l + Z c2 *3 / = 0 -

Deoarece curentul continuu nu trece prin condensator, iar com pon entele libere libere ale ale marimiior marimiior i n *21, *31 , wci, au e x p r e siil si ilee , ce corespund caractemlui rSdScinii ecuafiei caracteristice p=-400 5 * :

iu =  A  Aee p'\ Deci, Deci,

iv =  B  Bee * ;

iv = C e 1" :

»,(/) ,(/) = — —— + A e /M;

avem: avem:

ut1 =  De  D e pl.

i2(t i2( t ) = — ~ — + B e m ;

Z cl cl +  Z c2

c2 Z c\ + Z c2

i ,« ,« ) = C e " ;

M O ------ ------- z(! + De'". *pll + *e *p *e2 unde A, B, C, D - sunt constantele con stantele de integrare integ rare determinS prin aplicarea condifiilor *ni|iale pentru f=0 d) Determinarea constantelor constan telor de integrare integrare Pentru t - 0, avem : 2m

 j,(0  j, (0)) = ---------- + A; Zfi <,(0 <,(0)) = C;

§i

se

2u

^(0) = ..... + 5; Zr| + 2rj

«,(0 «, (0 ) = —    ---- zcl+D. 2.1 + *,2

---- z 2. c o n sid si d e ra te cS Uc( Uc(0 0)=0 )=0, avem ave m : D =   ----- — ---*,-. + Z,2 La determinarea constantelor A, Bl C alcStuim sistemul de ecuafii prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff pentru schema din fig. 9.11. la t=0 : *i(0) *i(0) = *2(0) (0 ) + i}(0 i}(0); );

Luand Lua nd Tn Tn

*i( 0 ) z CI + M c ( 0 ) = 2 a ;

h(°)-Zc2 ~ u r(0) = 0. de unde

*2(0 )=0 ; *, (0) (0 ) = i3( i3( 0 ) = —  Zr.

Deci avem : M= (,(0 ) -

2“

2“z2“ z-> >

Zrl + ZrJ

*r|(* rl + *eJ> '

2u

 B -------C = 1,(0) = — .

2u

-

^rl

Zf 2

zr(

., v

2u 2uzc2 i,(0 i,( 0 = ---------- + — ;----- - —  - e P \ Zf , + Z r2

Zf ,U r , + Zr2)

2u 2u i2(0 e P‘ \ •2v0 = = -----------------------— Z, | + Zr2 Zr2 z( l + Z, 2 2(4 ,3(, ,3(,)) = —  Zr.

 , .

2u

ur  (/  (/ ) = — - —

zr, zr , + zr2

2u

z, j  -------  —

-

z,, + Z(.j

sau i,(f i, (f)) = 44 44.4 .45 5 + 355.5* .5*?

, A;

i2^(,) (, ) = 44.45 4 4.45(1(1- e * 400' ), A; i j ( l ) = 400 40 0tr“ tr “4O° ' , /4; /4; u( r ) = 17. 17.78 78((1- e ^ ' ) , k V .

••

z,

Bibliografie 1. L. R. Neiman Nei man §i P. L. Kalan Ka lantar tarov ov.. Bazele Baz ele teoreti teo retice ce ale electrot ele ctrotehni ehnicii. cii. B» ire§ti ire§ti.. Ed Editu itura ra ener en erge getic ticss de Stat, 1955. 1955. 2. L. R. Neiman, K. Demircean. Teoreticeskie Teore ticeskie osnovi osnov i electrotehnik electro tehniki. i. M - L. Energia, Energia , 1966. 196 6. 3. L. A. Bessonov. Teoreticeskie Teoretice skie osn osnov ovtt electrotehniki. electroteh niki. M. Vis§aia §cola, 1973. 4. G. V. Zeveke Zev eke i drughie. Osnovt Osn ovt teorii teor ii fepei. M-L. Energia, 1981. 5. C. §ora. Bazele electrotehnicii. Ed Editura itura didactics dida ctics §i  pedagogic  peda gogics. s. Bucure§ti, Bucure§ti, 19 1980. 80. 6. M. M. Preda, P. Cristea. Bazeie electro ele ctroteh tehnici nicii, i, vol. II. Editura didacti did actics cs §i pedago ped agogics gics.. Bucure§ti, 19 1980 80.. 7. C. §imoni. §imon i. Electrote Elec trotehnic hnicaa teoreticS. Ed Editur ituraa didacticS §i  pedagogics  pedag ogics.. Bucure§ti, Bucure§ti, 19 1980 80.. 8. A. Simion. Electrotehnica Electro tehnica.. Editura Edit ura didacticS didac ticS §i pedagogi peda gogics. cs. Bucure§ti, 1981. 9. H. Rosman Ros man.. Cir C ircu cuit itee elect ele ctric ricee linia lin iare, re, vo vol. l. 11. 1. 1. P. la$i, 1974. 10. A. Crefu §i alfii. alfii. Elect Ele ctro rote tehn hnica ica.. la§i, 1980. 11. A . Timotin. Timo tin. Lecfii Lecfii la bazele baz ele electrote elect rotehn hnicii. icii. Editura didacticS pedagog ped agogics. ics. Bucure§ti,' 198 1980. 0.

/OH /OH