Studiul experimental al regimurilor tranzitorii în circuite simple
STUDIUL EXPERIMENTAL AL REGIMURILOR TRANZITORII ÎN CIRCUITE SIMPLE 1. Breviar teoretic Regimurile tranzitorii realizează
trecerea între dou ă regimuri de func ţionare permanente (regimuri de c.c., regimuri periodice sinusoidale sau nesinusoidale) ca urmare a unor perturba ţii accidentale sau ac ţiuni voite din exterior (comut ări ale unor întreruptoare electromecanice sau statice, scurtcircuite etc.). În multe situa ţii regimurile tranzitorii caracterizează funcţionarea normal ă a circuitelor (funcţionarea unor circuite de protec ţie, funcţionarea convertoarelor statice etc.). Funcţionarea unui circuit în regim tranzitoriu poate avea ca urmare cre şteri ale unor tensiuni sau curen ţi ce provoac ă solicitări dielectrice, termice sau mecanice ce dep ăşesc cu mult solicitările corespunz ătoare unui regim permanent. Aceste solicit ări pot provoca distrugerea total ă sau par ţială a unor aparate electrice, fapt ce arat ă importanţa studierii circuitelor în regim tranzitoriu. Studierea regimurilor tranzitorii presupune determinarea curen ţ ilor ilor şi tensiunilor laturilor circuitului ca func ţ ii ii de timp . În cadrul lucr ării se vor studia câteva cazuri particulare, dup ă cum urmeaz ă:
1.1. Conectarea unui circuit RC serie la o surs ă de tensiune continu ă (încărcarea condensatorului) Prin trecerea întreruptorului K de pe pozi ţia 2 pe pozi ţia 1, la momentul t = 0 (fig. 1), are loc un transport de sarcin ă electrică dinspre sursă spre condensator, deci un proces de încărcare a condensatorului (ini ţial neîncărcat). Procesul dureaz ă până la încărcarea condensatorului la o tensiune egal ă cu tensiunea sursei. Condensatorul va r ămâne în aceast ă stare atât timp cât circuitul nu este supus nici unei alte ac ţiuni din exterior. Ecuaţia care descrie procesul tranzitoriu al înc ărcării condensatorului rezult ă din aplicarea teoremei a II-a a lui Kirchhoff circuitului din fig. 1 cu întreruptorul pe pozi ţia 1: (1) Ri (t ) + uC (t ) = E . 1 K E
i (t )
R
2
C
uC (t )
Fig. 1 Relaţia între curentul şi tensiunea condensatorului în regim variabil are forma: d u (t ) (2) i (t ) = C C . d t Înlocuind relaţia (2) în (1) rezult ă ecuaţia diferenţială liniar ă neomogen ă de ordinul întâi: d u (t ) (3) RC C + uC ( t ) = E , d t 1
Studiul experimental al regimurilor tranzitorii în circuite simple
a cărei soluţie, determinat ă pentru condi ţia iniţială nulă uC (0) = 0 , este t − uC (t ) = E 1 − e τ ,
unde
(4)
τ = RC
(5)
se numeşte constanta de timp a circuitului . Curentul se ob ţine înlocuind relaţia (4) în (2): t
E − (6) i(t ) = e τ . R Ecuaţia diferenţială de ordinul întâi (3) confer ă circuitului calitatea de circuit de ordinul întâi; el conţine un singur element acumulator de energie, respectiv condensatorul. Funcţiile de timp (4) şi (6) sunt reprezentate calitativ în fig. 2, unde se indic ă şi semnificaţia constantei de timp. i
uC
E/R E
0
τ
0
timp
τ
timp
Fig. 2
1.2. Deconectarea unui circuit RC serie de la o surs ă de tensiune continu ă (descărcarea condensatorului) Prin trecerea întreruptorului K de pe pozi ţia 1 pe pozi ţia 2, la momentul t = 0 (fig. 1), are loc un proces de desc ărcare a condensatorului (înc ărcat iniţial la tensiunea sursei, în urma etapei precedente). Procesul dureaz ă până la anularea sarcinii de pe arm ăturile condensatorului, corespunz ător unei tensiuni nule la bornele sale. Condensatorul va r ămâne în aceast ă stare atât timp cât circuitul nu este supus nici unei alte ac ţiuni din exterior. Ecuaţia care descrie procesul tranzitoriu al desc ărcării condensatorului rezult ă din aplicarea teoremei a II-a a lui Kirchhoff circuitului din fig. 1 cu întreruptorul pe pozi ţia 2: (7) Ri (t ) + uC (t ) = 0 . Înlocuind relaţia (2) în (7) rezult ă ecuaţia diferenţială liniar ă omogen ă d u (t ) (8) RC C + uC ( t ) = 0 , d t a cărei soluţie, determinat ă pentru condi ţia iniţială uC (0) = E = U C 0 , este uC (t ) = U C 0 e
−
t
τ
, Curentul se ob ţine înlocuind relaţia (9) în (2): i(t ) = −
U C 0 R
−
e
(9)
t
τ
.
(10) 2
Studiul experimental al regimurilor tranzitorii în circuite simple
Semnul minus arată că sensul real al curentului este diferit fa ţă de sensul indicat în figura 1. Funcţiile de timp (9) şi (10) sunt reprezentate calitativ în fig. 3. uC
i τ
U C 0
0
0
τ
timp
timp
–U C 0 /R
Fig. 3
1.3. Conectarea unui circuit RLC serie la o surs ă de tensiune continu ă Prin închiderea întreruptorului K , la momentul t = 0 (fig. 4), are loc un proces tranzitoriu care dureaz ă până la încărcarea condensatorului la o tensiune egal ă cu tensiunea sursei. K
R
i (t )
L
u L (t )
E
C
uC (t )
Fig. 4 Ecuaţia care descrie procesul tranzitoriu al înc ărcării condensatorului rezult ă din aplicarea teoremei a II-a a lui Kirchhoff circuitului din fig. 4 cu întreruptorul închis: (11) Ri ( t ) + u L (t ) + uC ( t ) = E . Tensiunea la bornele bobinei este dat ă de relaţia d i(t ) . (12) u L (t ) = L d t Înlocuind relaţiile (2) şi (12) în (11) rezult ă ecuaţia diferenţială liniar ă neomogen ă de ordinul al doilea d 2 uC (t ) d uC (t ) (13) + + uC (t ) = E , RC LC d t d t 2 a cărei soluţie, uC (t ) , determinată pentru condi ţii iniţiale nule uC (0) = 0 , i L (0) = 0 este exprimată sub formă grafică în fig. 5a. Forma solu ţiei depinde de factorul de amortizare al circuitului
λ=
R
C
2 L
,
(14)
astfel: 3
Studiul experimental al regimurilor tranzitorii în circuite simple
a) Dacă λ > 1 , sau R > 2
L C
soluţia este aperiodic ă şi descrie un regim tranzitoriu
aperiodic; b) Dacă λ < 1 , sau R < 2
L C
soluţia este oscilant ă amortizată şi descrie un regim
tranzitoriu oscilant amortizat; c) Dacă λ = 1 , sau R = 2
L C
soluţia este aperiodic critic ă şi descrie un regim
tranzitoriu aperiodic critic. Durata acestui regim este cea mai mic ă posibil pentru aceast ă structur ă de circuit. Ecuaţia (13) confer ă circuitului calitatea de circuit de ordinul al II-lea (circuitul conţine două elemente cu memorie, respectiv condensatorul şi bobina). În fig. 5b sunt trasate curbele curentului, calculat cu rela ţia (2), pentru cele trei regimuri de funcţionare.
uC
oscilant amortizat
critic
aperiodic
i
oscilant amortizat
critic
aperiodic
E 0
0
a)
t
t
b)
Fig. 5
2. Chestiuni de studiat 2.1. Studiul experimental al unui circuit RC serie în regim tranzitoriu 2.1.1. Conectarea circuitului RC la o sursă de tensiune continu ă (încărcarea condensatorului) 2.1.2. Deconectarea circuitului RC de la sursă (descărcarea condensatorului) 2.2. Studiul experimental calitativ al unui circuit RLC serie în regim tranzitoriu
3. Scheme de lucru şi aparate utilizate 3.1. Pentru studiul experimental al unui circuit RC serie în regim tranzitoriu se utilizează montajul din fig. 6. Elementele montajului sunt: SA – sursă de alimentare 220V ca/350V cc ; 0,4A V1 – voltmetru magnetoelectric; domeniu de m ăsurare 750V; 4
Studiul experimental al regimurilor tranzitorii în circuite simple
V2 – voltmetru magnetoelectric; domeniu de m ăsurare 400V ; rezistenţa internă RV = 100 k Ω V ; K 1 – comutator monopolar cu dou ă poziţii; K 2 – comutator bipolar cu dou ă pozi ţii; C – condensator 4 µ F 400V ; T – cronometru; drept cronometru se poate utiliza un ceas cu secundar. V2
SA Alimentare 220V, 50Hz
K 1 1
+
= V1
≈
K 2
C
2
–
T
Fig. 6 Observa ţ ie: Rezistenţa internă a voltmetrului V2 are rolul rezistenţei R din schema electrică de principiu fig. 1. Valoarea ei exact ă este indicat ă pe cadranul acestuia. Voltmetrul V2 măsoar ă practic tensiunea la bornele propriei rezisten ţe interne ( u R = Ri ).
3.2. Pentru studiul experimental calitativ al unui circuit RLC serie în regim tranzitoriu se utilizează montajul din fig. 7. OSC Alimentare 220V, 50Hz
In Y
R
L
GEN Alimentare 220V, 50Hz
C
≈ Fig. 7
50Hz ;
Elementele montajului sunt: GEN – generator de impulsuri dreptunghiulare alternative, amplitudine 2V, frecvenţă
OSC – osciloscop catodic; R – reostat bobinat 1450 Ω ; 0,4A; L – bobină liniar ă 36 ,5 mH ; 0,5A; C – condensator 4 µ F 400V ; 5
Studiul experimental al regimurilor tranzitorii în circuite simple Observa ţ ie: Utilizarea generatorului de impulsuri dreptunghiulare are ca efect apari ţia
unei succesiuni de regimuri tranzitorii identice, care pot fi vizualizate cu un osciloscop obişnuit. Durata unui regim tranzitoriu este de ordinul milisecundelor astfel încât pentru vizualizarea unui regim izolat ar fi necesar un osciloscop cu memorie.
4. Modul de lucru 4.1. Pentru studiul experimental al regimului tranzitoriu de încă rcare a unui condensator prin conectarea unui circuit RC serie la o surs ă de tensiune continu ă se parcurg următoarele etape: 4.1.1. Procedeul experimental : • Se realizeaz ă montajul din fig. 6 punând comutatorul K 1 pe pozi ţia 2; • Se înscriu în tabelul 1 capacitatea condensatorului C , rezistenţa internă R a voltmetrului V2 şi constanta de timp a circuitului calculat ă cu relaţia (5); • Se cupleaz ă sursa de alimentare la tensiunea re ţelei 220V , 50 Hz ; • Se măsoar ă tensiunea la ieşirea sursei de alimentare SA (indicată de voltmetrul V1) şi valoarea se înscrie în tabelul 1 ( E ); • Se trece comutatorul K 1 pe poziţia 1 şi se revine imediat pe pozi ţia 2; se observă sensul indica ţiei voltmetrului în timpul acestei manevre. Dac ă deviaţia este în sens negativ (spre stânga reperului zero), atunci se inverseaz ă polaritatea de conectare în circuit a acestui voltmetru prin trecerea comutatorului K 2 (cu rol de inversor) pe pozi ţia cealaltă. Astfel curentul va parcurge voltmetrul în sens direct; • Se iniţializează procesul de înc ărcare a condensatorului prin trecerea comutatorului K 1 pe poziţia 1 concomitent cu pornirea cronometrului T (sau trecerea secundarului prin zero, dacă se utilizează un ceas cu secundar); • Se urmăreşte evoluţia indicaţiei voltmetrului V2 în raport cu timpul; citirile se fac la momentele de timp indicate în tabelul 2 şi valorile se înscriu în acela şi tabel (aşa cum s-a ar ătat la punctul 3.1, voltmetrul V2 indică tensiunea u R). Întrucât variaţia tensiunii este relativ rapidă, se recomand ă înscrierea în tabel a valorilor în diviziuni, urmând ca ulterior s ă se calculeze tensiunile în vol ţi. Observa ţ ii:
• Valoarea tensiunii u R corespunzătoare momentului t = 0 nu se poate m ăsura cu precizie datorită iner ţiei mecanice a echipamentului mobil al voltmetrului. Tensiunea u R în originea de timp poate fi considerat ă egal ă cu tensiunea sursei. • După scurgerea timpului indicat în tabel nu se deconecteaz ă tensiunea de alimentare întrucât montajul este acum preg ătit pentru trecerea la etapa 4.2.
4.1.2. Prelucrarea datelor : • Se calculeaz ă curentul prin circuit la fiecare moment de timp cu rela ţia u (15) i = R R unde R este rezisten ţa internă a voltmetrului V2 şi u R sunt valorile măsurate în etapa 4.1.1. Valorile calculate se înscriu în tabelul 2; • Se calculeaz ă tensiunea la bornele condensatorului la fiecare moment de timp cu relaţia (16) uC = E − u R 6
Studiul experimental al regimurilor tranzitorii în circuite simple şi valorile calculate se înscriu în tabelul 2; • Se calculeaz ă valorile teoretice
ale curentului i şi tensiunii uC cu relaţiile (6), respectiv (4); valorile se înscriu în tabelul 2 şi se compar ă cu cele experimentale. • Se reprezint ă grafic curbele de varia ţie în raport cu timpul ale curentului prin circuit i şi tensiunii la bornele condensatorului uC atât pentru valorile teoretice, cât şi pentru cele experimentale.
4.2. Pentru studiul experimental al regimului tranzitoriu de descăr care a condensatorului se parcurg următoarele etape: 4.2.1. Procedeul experimental utilizează acelaşi montaj (fig. 6) şi urmează după etapa 4.1.1. (condensatorul fiind ini ţial încărcat). • Se trece comutatorul K 2 pe poziţia cealaltă; acest lucru este necesar pentru inversarea polarităţii de conectare în circuit a voltmetrului V2 întrucât în procesul de desc ărcare a condensatorului sensul curentului prin circuit va fi diferit fa ţă de sensul curentului la încărcare; • Se ini ţializează procesul de desc ărcare a condensatorului prin trecerea comutatorului K 1 pe poziţia 2 concomitent cu pornirea cronometrului T (sau trecerea secundarului prin zero, dacă se utilizează un ceas cu secundar); • Se urmăreşte evoluţia indicaţiei voltmetrului V2 în raport cu timpul; citirile se fac la momentele de timp indicate în tabelul 3 şi valorile se înscriu în acela şi tabel (aşa cum s-a ar ătat la punctul 3.1, voltmetrul V2 indică tensiunea u R). Întrucât citirea aparatului trebuie f ăcută în timp scurt se recomand ă înscrierea în tabel a valorilor în diviziuni, urmând ca ulterior să se calculeze tensiunile în vol ţi. 4.2.2. Prelucrarea datelor : • Se calculeaz ă curentul prin circuit la fiecare moment de timp cu rela ţia (15); valorile calculate se înscriu în tabelul 3; • Tensiunea la bornele condensatorului la fiecare moment de timp, dat ă de relaţia (17) uC = u R , se înscrie în tabelul 3; • Se calculeaz ă valorile teoretice ale curentului i şi tensiunii uC cu relaţiile (10), respectiv (9); valorile se înscriu în tabelul 3 şi se compar ă cu cele experimentale. • Se reprezint ă grafic curbele de varia ţie în raport cu timpul ale curentului prin circuit i şi tensiunii la bornele condensatorului uC atât pentru valorile teoretice, cât şi pentru cele experimentale. 4.3. Pentru studiul experimental calitativ al unui circuit RLC serie în regim tranzitoriu se parcurg următoarele etape: • Se realizeaz ă montajul din fig. 7 conectându-se intrarea osciloscopului la bornele condensatorului pentru vizualizarea tensiunii uC ; • Se alimenteaz ă osciloscopul, se focalizeaz ă şi centrează imaginea, apoi se selecteaz ă o bază de timp care permite vizualizarea unui semnal alternativ cu frecven ţa de 50Hz ; • Se alimenteaz ă generatorul de impulsuri dreptunghiulare şi se reglează amplificarea şi sincronizarea osciloscopului pentru o imagine clar ă şi stabilă; • Se modifică valoarea rezistorului R pentru obţinerea celor trei tipuri de regimuri tranzitorii indicate în fig. 5a; • Se schi ţează formele de und ă vizualizate.
7
Studiul experimental al regimurilor tranzitorii în circuite simple
5. Tabele de date Tabelul 1 C
R [Ω]
[µF]
E [V]
τ
[s]
[div]
[V]
Tabelul 2
Nr. crt. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
u R
Timp
i [div]
[V]
10
x
–6
uC [V]
Valori teoretice i uC –6 x 10 [V] [A]
uC [V]
Valori teoretice i uC –6 x 10 [V] [A]
[A]
Observa ţ ii
0 5” 15” 30” 45” 1’ 1’15” 1’30” 2’ 2’30” 3’ 4’ 5’ 7’ 10’
Tabelul 3
Nr. crt. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
u R
Timp
i [div]
[V]
10 –6
x
[A]
0 5” 15” 30” 45” 1’ 1’15” 1’30” 2’ 2’30” 3’ 4’ 5’ 7’ 10’ 8
Observa ţ ii
Studiul experimental al regimurilor tranzitorii în circuite simple
6. Întrebări de control
6.1. Explicaţi semnificaţia constantei de timp a circuitului de tip RC. 6.2. Care este rolul voltmetrului V2 din schema fig. 6 ? 6.3. Care este durata teoretic ă a regimurilor tranzitorii ? 6.4. Care este rolul generatorului de impulsuri dreptunghiulare din schema fig. 7 ?
9
