Modul Matematika SMA Kelas 10
BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA Oleh: Asep Yana Komarudin,M.Pd (SMAN 1 Kota Sukabumi)
A. Pendahuluan
Modul ini terbagi atas tiga kegiatan belajar. Kegiatan belajar I, membahas membahas tentang bentuk pangkat bilangan negatif. Pada kegiatan belajar II akan dipelajari tentang bentuk akar dan pangkat pecahan, hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan,hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan beserta sifat-sifatnya, menyederhanakan bentuk akar, operasi aljabar pada bentuk akar dan merasionalkan penyebut. Pada kegiatan belajar III membahas tentang logaritma, logaritma, pengertian pengertian logaritma logaritma dan sifat-sifat sifat-sifat logaritma. logaritma. Dalam mempelajari mempelajari modul ini siapkan buku penunjang: a.
Osdi Osdirw rwan an Osma Osman, n, Drs., Drs.,M. M.Si Si.. 2007 2007.. Mate Matema mati tika ka SMA 1A,ce 1A,ceta taka kann pert pertam ama. a.Pe Pene nerb rbit it Arya Arya Duta.
b.
Tim penyusun. 2005. 2005. Matematika untuk SMA 1A, Penerbit Penerbit IntanPariwara. B. Pokok Bahasan
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma. C. Standar Kompetensi
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma. D. Kompetensi Dasar
1. Menggu Menggunak nakan an aturan aturan pangka pangkat,t, akar akar dan logarit logaritma ma 2. Mela Melaku kuka kann mani manipu pulas lasii alja aljaba barr dalam dalam perh perhit itun unga gann yang yang meli meliba batk tkan an pang pangka kat,t, akar akar,, dan dan logaritma. E. Waktu
Untuk mempelajari modul ini diperlukan waktu 18 x 45”. F. Jumlah Kegiatan
Modul ini berisi tiga pokok kegiatan belajar yaitu kegiatan belajar I, kegiatan belajar II dan kegiatan belajar III . G. Petunjuk Belajar
1. Siapkan buku penunjang seperti disebut di atas. 2. Pelajari dengan seksama modul ini bila perlu siapkan alat tulis untuk membuat catatan tersendiri (bila diperlukan). 3. Bila anda telah menguasai modul ini dengan baik, kerjakan latihan beserta tugasnya. 4. Jika anada menemukan kesulitan dalam mempelajari modul ini, tanyakan pada teman dan diskusikan
atau tanyakan pada Bapak/Ibu guru.
H. Indikator Pencapaian hasil belajar
1. Siswa dapat mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya. sebaliknya. 2. Siswa dapat mengubah bentuk akar ke bentuk bentuk pangkat dan sebaliknya. 3. Siswa dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, dan akar. 4. Siswa dapat merasionalkan bentuk bentuk akar. 5. Siswa dapat mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya. 6. Siswa dapat melakukan melakukan operasi aljabar dalam bentuk logaritma. 7. Siswa dapat menentukan syarat perpangkatan, penarikan akar dan logaritma 8. Siswa dapat membuktik membuktikan an sifat-sifat sederhana sederhana tentang tentang bentuk pangkat, pangkat, akar, dan logaritma.
KEGIATAN BELAJAR I PANGKAT BILANGAN NEGATIF Kalian telah mengenal arti pangkat pangkat bulat positif pada pada suatu bilangan real. Selanjutnya akan diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat, yaitu pangkat positif, pangkat nol, dan pangkat negatif.
Bagaimana arti pangkat bulat positif ? Jika a € R dan n € bilangan bulat positif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis a n yaitu: An = a x a x a x ....x a,
n buah faktor
A disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat eksponen. Untuk n = 1, maka a 1 = a Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
Jika m, n € A dan a € R, maka: a. am x an = a m+n b. am : an = am-n, m>n c. (am)n = amxn d. (a x b)n = an x bn e. (a : b)n = an : bn Pembuktian Sifat-sifat bilangan pangkat positif
No. Sifat-sifat m 1. a x an = a m+n
Bukti Contoh 3 5 a x a = (a x a x a x…x a) x (a x a x a a. 2 x 2 = 23+5=28 m
n
b. a4 x a5 = a4+5 = a9
x…x a)
n c. (2x + 3)2 (2x + 3)3
m faktor
= (2x + 3)2+3
factor = a x a x a x a x a ……x a
= (2x + 3)5
(m + n) faktor = am+n 2.
am : an = am-n, am m>n
an n
am-n+n =
an
am-n . an =
an
an =
a. 36 – 34 = 36-4 = 32
am-n . an = am b. (a-1)5
.1
(a-1)2 = (a-1)3 = am-n 3.
(am)n = amxn
(am)n = am x am x am x …(am) n faktor
a. (23)4 = (2)3x4= 212
= (a x a x …) x (a x a x …x…x(a x a x b. (x2)3 = (x)2x3 = x6 …) m faktor
m
faktor n faktor = a x a x a x a x a = ... ... ... x a (m x n ) faktor = (a)mn 4.
(a x b)n = an x (a x b)n = (a x b) x (a x b) x….x (axb) bn
a. (2 x 3) 4 = 24 x 34
n factor = (a x a x …x a) x (b x b x … x b.(a2 x b3)4 =a8 x b12 b) n faktor
n faktor
= an x bn 5.
( a )n = an b bn
( a )n = a/b x a/b x a/b x …x a/b b n faktor = a x a x a x … x a , n faktor b x b x b x … x b , n factor = an bn
a. ( 2/3)2 = 22/32 b. (a/b)3 = a3/b3 c. (a2/b3)4=a8/b12
Bagaimana Arti Pangkat Nol dan Bulat negatif ?
Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta sifat-sifatnya, sekarang kita akan mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya yaitu bentuk pangkat bulat nol dan negatif . Bentuk pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk pangkat bulat positif. Pengertian Pangkat Nol
Untuk setiap a € R, maka ao = 1 (oo tidak didefinisikan) Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan pendefinisian. ao . an = ao+n = an bagilah kedua ruas dengan an sehingga diperoleh: ao . an = an
ao+n = an an an
an an ao (1) = 1 ao = 1 Pengertian pangkat bulat negatif
Jika a € R , a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka a -n . 1 = 1 dan a -n = 1 a-n an dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat positif dan nol yaitu sebagai berikut: an . a-n = an+(-n) an . a-n = ao
an . a-n = 1 bagilah kedua ruas dengan an , sehingga diperoleh: an . a-n = 1 an an
→
an . a-n = 1 → 1 . a-n = 1 → a-n = 1 an an an an
Contoh 1. Tulislah dalam bentuk pangkat bulat positif ! a.
3-2
b.
(0,2)-3
c.
(x + y)-3
d.
(2a – 5b)-4 Jawab: a. 3-2 = 1 32 d. (2a – 5b)-4 =
1.
c. (x + y)-3 =
1 (0,2)3
1 (x + y)3
1 (2a – 5b)4
Berikan sebuah contoh bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah ! abn
a.
b. (0,2) -3 =
ab-n = 1
b. a + b
Jawab: 2 . 3-2 = 2 32
dan
= 2 9 Jadi
2 . 3-2 ≠
1
1
= a-1 + b-1
1 2.32
=
1 2. 9
= 1 18
b.
1 2+4
= 1 6
Jadi . 1 2+4
2.32 dan
2-1 + 4-1 = ½ + ¼ = ¾
≠ 2-1 + 4-1
RANGKUMAN 1. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat posotif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a
ditulis an yaitu: an = a x a x a x ... x a yang terdiri dari n buah faktor.
a disebut bilangan pokok/basis dan n disebut pangkat/eksponen. 2. Sifat-sifat bilangan pangkat positif; Jika m, n € A dan a € R, maka: am x an = a m+n am : an = am-n, m>n (am)n = amxn (a x b)n = an x bn (a : b)n = an : bn 3. Untuk setiap a € bilangan real, maka a0 = 1 00 tidak didefinisikan 4. Jika a € bilangan real, a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka
a-n
a-n. 1 = 1 dan
a-n = 1 an
TES KEGIATAN BELAJAR 1 Untuk mengetahui pemahaman anda terhadap kegiatan belajar 1, silahkan kerjakan soal-soal di bawah ini ! 1.
Dengan menggunakan sifat am . an = a m+ n, sederhanakanlah bentuk berikut ! a. (0,25)3 (0,25)4
b. 3x y4 x2 y6
c. (2x2) (3x3) (4x4)
Dengan menggunakan sifat (am)n = amn, sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ¡
2.
a. (23)4
b. z3 (z2)3
Dengan menggunakan sifat ( a . b) n = an . bn,
3.
c. 3x2 (x2)2 (x3)3 sederhanakanlah bentuk-bentuk
berikut ! a. (2 . 5)4 4.
b. (4 a2)3
Dengan menggunakan sifat
c. (m3 . n4)5
( a ) n = an b bn
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ! a. ( 3/2)4 5.
b. (x2/y3)2
c. (ab2/c3d3)2
Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut
salah ! a.
am x an = a m+n
b.
(am)n = amxn ( a )n = an b
c. 6.
bn
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ke dalam pangkat bulat positif ! a. (x . y-5)(x . y)-5
7.
b. (2ab2)-3 (3a2 b)-2
Dengan menggunakan sifat am : an = am-n sederhanakanlah bentuk berikut: a.
a-3
b.
4p-2 q-5
a-5
2p-7 q-2
KUNCI JAWABAN 1.
a. (0,25)7
b. 3x3y10
c. 12x9
2.
a. 212
b. z9
c. 3x15
3.
a. 24.54
b. 64a6
4.
a. 81/16
5.
Kebijakan guru
b. x 4 Y6
6.
a.
___1___ X4 . y10
c. m15 n20 c. a2 . b4 c6 d6
b.
6
8
72 a b
1
7.
a.
a2
b. 2p5 Q3
KEGIATAN BELAJAR 2 BENTUK AKAR Pada materi sebelumnya, anda telah mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat beserta operasinya. Selanjutnya, pengertian bilangan berpangkat akan diperluas sampai bilangan berpangkat rasional, yaitu bilangan berpangkat bulat berpangkat pecahan. Pengertian bilangan rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b, perbandingan dua bilangan bulat a dan b dengan b 0 (ditulis a/b) atau sebagai bentuk desimal yang berakhir/berulang secara periodik. Contoh: Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai perbandingan dua bilangan bulat ! a. 6
b. -30
c. 25%
d. 0,4
e. √4
Jawab: a. 6 = 12 2
b. -90 . 3
c. 2 5 = ¼ d. 0,4 = 4 100
10
e. √4 = 2 = 2/1 A. Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Beserta Sifat-sifatnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut ! 22 = 4 maka 2 = √4 23 = 8 maka 2 = 3√8 24 = 16 maka 2 = 4√16 25 = 32 maka 2 = 5√32
Untuk n bilangan bulat dan n ≥ 2 berlaku hubungan a 1/n = n√a Pangkat bilangan pecahan merupakan perluasan dari pangkat bilangan bulat. Mengakibatkan sifat-sifat pangkat bilangan bulat berlaku pada pangkat bilangan pecahan atau bentuk akar. Jika a dan b bilangan real positif serta m dan n bilangan bulat positif lebih dari atau sama dengan 2, maka berlaku sifat-sifat berikut: Bentuk Pangkat Pecahan
Bentuk Akar
1. a1/m x a1/n = a1/m + 1/n = a n+m
m
√a x n√a =
↔
mn
√an + m
mn
2. a1/m : a1/n = a1/m-1/n = an-m
m
√a : n√a =
↔
mn
√an - m
mn
3. (a1/m)1/n = a1/m x 1/n = a1/mn
↔
n
√a . m√a =
mn
4. (ab)1/n = a1/n x b1/n
↔
n
√ab = n√a x n√b
↔
n
√a/b = n√a n √b
√a
5. (a/b)1/n = a1/n b1/n
___________________________________________________________________________ _______ Sifat-sifat yang lain: 6. a-1/n = ( a1/n)-1 = 1 a1/n
= n
1
√a
7. am/n = (a1/n )m = ( n√a)m atau am/n = (am)1/n = n√am 8. ( √x )2 = x 9. √x y
= √x . √y
10. √x/y = √x/√y
Contoh; 1. Diketahui a bilangan positif, sederhankanlah bentuk-bentuk berikut kemudian nyatakan ke dalam
bentuk akar ¡
a. a½ x a⅓
b. ( a ⅔)¾
\Jawab:
Jawab:
a½ x a⅓ = a½+⅓ = a7/12 = 12√a7
( a ⅔)¾ = a⅔ x ¾ = a½ = √a
c a¾ a⅔ Jawab: a¾ a⅔
= a¾ - ⅔ = a1/12 = 12√a
2. Jika diketahui a, b, dan c bilangan positif, maka sederhanakanlah bentuk berikut ¡ ¼
a3 b-2 __________ a-1 b2 Jawab ¼
a3 b-2 __________
= (a3 – (-1) b-2-2)¼ = (a4 b-4)¼ = ab-1 = a/b
a-1 b2 B. Menyederhanakan Bentuk Akar Kuadrat
Menyederhanakan bentuk akar kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar. Sifat-sifat tersebut dapat dibuktikan dengan pengertian dasar bentuk akar kuadrat. Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat
NO. 1.
Sifat-sifat (√x)2 = x
Bukti
Contoh
√x = a ↔ x = a2
a. (√5)2 = 5
Maka (√x)2 = (a)2 = x
b. (√2a)2 = 2a c. (√x + 1)2 = x + 2√x + 1
2.
√xy = √x . √y
√x = a ↔ x = a 2 dan
√48 = √16 x3 = √16 x √3
√y = b ↔ y = b2, maka √xy = √a2 . b2
= 4√3 4√150 = 4√25 x 6
= √(ab)2 = a b = √x . √y
= 4 √25 x √6 = 4 (5) x √6 = 20√6
3.
√x/y = √x √y
√x = a Jika dan hanya jika x = a2 √y = b Jika dan hanya jika y =
√64/49 = √64 = 8 √49 7
b2 Maka, √x/y = √a2/b2 = √(a/b)2 = a = √x b √y Silahkan buktikan
4. n
√an = (an)1/n = a ,
3
√8 = (8)⅓ = (23)⅓
Sebagai latihan!
= 23/3 = 1
a ≥0 5.
Silahkan buktikan n
√an b = n√an x n√b
Sebagai latihan!
√72 = √36 x 2 = √36 x √2
= a n√b, A dan b ≥0
= (6 2)1/2 x √2 = 6 √2
C. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Kuadrat
Dengan menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya maka kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar. Operasi aljabar yang dimaksud adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi aljabar pada bentuk akar digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar. 1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar Jika a , b, dan c anggota bilangan real, maka a√c + b√c = (a+b)√c dan a√c - b√c = (a-b)√c Pembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real. Sifat ini berlaku pada bilangan rasional atau irracional sebab kedua bilangan itu termasuk bilangan real. a√c + b√c = (a+b)√c (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan) a√c - b√c = (a-b)√c (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan) Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut: 1. a√c + b√c = (a+b)√c 2. a√c - b√c = (a-b)√c 3. b n√ a x d n√ c = bd n √ac 4. b n√ a : d n√ c = b/d n √a/c n
√ a dan n√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua.
Contoh Sederhanakanlah bentuk akar berikut ¡ 1. 10 √3 + 2 √3 - 5 √3 2. 4 √72 + 3 √50 - 2√18 3. p √a - q √a + r √a 4. 2 √4 x 6 √3 5. 10 √32 : 2 √2 Jawab 1. 10 √3 + 2 √3 - 5 √3 = (10+2+5)√3 = 17 √3
2. 4 √72 + 3 √50 - 2√18 = 4 √36 x 2 + 3 √25 x 2 – 2 √9 x 2 = 4(6) √2 + 3(5) √2 2(3)√2 = 24√2 + 15√2 - 6 √2 = (24+15-6) √2 = 33 √2 3. p √a - q √a + r √a = (p – q + r) √a 4. 2 √4 x 6 √3 = (2 x 6)√12 = 12 √4 x 3 = (12 x 2) √3 = 24 √3 5. 10 √32 : 2 √2 = (10/2) √32/2 = 5 √16 = 5(4) = 20 2. Perkalian Bentuk Akar
Operasi Perkalian bentuk akar Jika x , y anggota bilangan real positif, maka: √ x . √y = √xy Contoh Sederhanakanlah ! 1. √50 x √2
2. √32 x √12,5
3. √½ x √50
4. √2 x √5 x √10
Jawab 1. √50 x √2 = √(50 x 2) = √100 = 10
2.
√32 x √12,5 = √(32 x 12,5) =
√400 = 20 3. √½ x √50 = √(½ x 50) = √25 = 5
4. √2 x √5 x √10 = √(2 x 5 x 10) =
√100 = 10 3. Pembagian Bentuk Akar Operasi Pembagian Bentuk Akar
Jika x , y anggota bilangan real positif, maka √x/y = √x √y Contoh Sederhanakanlah ! 1. √108 √27
2. √112,5 √12,5
3. √12a 2 √3a2
4. √xy4 √x3y2
2. √112,5
3. √12a 2
4. √xy4
Jawab 1. √108
√27
√12,5
√3a2
√x3y2
= √108/27
= √(112,5/12,5)
= √12/3 a 2
= √y2/x2
= √4 =2
= √9 = 3
= √4 a2 = 2ª
= √y2 = y √x2 x
D. Merasionalkan Penyebut
Jika kita menemukan bentuk pecahan dengan penyebut bentuk akar, maka untuk menyederhanakan bentuk pecahan tersebut kita dapat menghilangkan bentuk akar penyebutnya. Proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut dinamakan merasionalkan penyebut.
Untuk merasionalkan penyebut kita harus mengalikan pembilang dan penyebut dengan pecahan faktor yang sama yang dapat merasionalkan penyebut.
Untuk memudahkan
bagaimana cara merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal berikut: 1. √a x √a
akan menghasilkan bilangan rasional
a
2. ( a + √b) x ( a - √b)
akan menghasilkan bilangan rasional
a2 - b
3. (√a + √b) x (√a - √b)
akan menghasilkan bilangan rasional
a - b
Pembuktian: 1. √a x √a = √a2 = a 2. ( a + √b) x ( a - √b) = a2 – a √b + a √b - (√b)2 = a2 - b 3
(√a + √b) x (√a - √b) = (√a )2 - √a . √b + √a . √b - (√b)2 = a – b
Contoh: Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut! 1. √5 . √5
2. (√8 + √2) (√8 - √2 )
3. (2 + √3) (2 - √3)
4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5) Jawab: 1. √5 . √5 = 5
2. (√8 + √2) (√8 - √2 ) = 8 – 2 = 6
3. (2 + √3) (2 - √3) = 4 – 3 = 1
4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5) = 12 – 45 = -33
Bagaimanakah cara merasionalkan penyebut?
1. Kalikan pecahan yang dimaksud dengan bilangan 1 (satu). 2. Angka satu tersebut kita tulis sebagai pembanding faktor bentuk akar yang sama, yang dapat merasionalkan penyebut. Perhatikan bentuk-bentuk berikut! 1. a = √b =
a . 1 √b a . √b = a √b √b √b b
2. √a . √b = 1 √ab √b √b b
3. ____a___ = ____a___ .1 √b + √c
4.
√b + √c
+ √c
=
+ √c
=
5. √a - √b √a + √b
____a___ . 1 √b - √c =
____a___ . √b - √c √b + √c
+ √c )
____a___ = √b - √c
√b - √c
____a___ . √b √b - √c
=
____a___ ( √b b - c
____a___ (√b - √c ) b - c
= √a - √b . 1 √a + √b =
√a - √b . √a + √b
=
a + b - 2√ab a - b
Contoh 1
√a - √b √a - √b
Rasionalkan penyebut bentuk pecahan berikut ! a. √3 √4 f. 6 √6 - √2
b 5 c √7 g. √8 - √2 √8 + √2
6 d. 5 6 + √6 5 - √5 h. √6 + √2 √6 - √2
Jawab a. √3 . √4 = √4 √4 b 5 . √7
√7 = √7
√12 = 2 √3 = 1 √3 4 4 2 5 √7 7
e.
√b
6 √5 + √2
c.
6 . 6 - √6 6 + √6 6 - √6
=
6 ( 6 - √6 ) = 36 - 6
d.
5 . 5 + √5 = 5 - √5 5 + √5
5 (5 + √5) = 25 - 5
e.
6 . √5 - √2 = √5 + √2 √5 - √2
f.
6 . √6 + √2 = √6 - √2 √6 + √2
6 ( 6 - √6 ) = 1 ( 6 - √6 ) 30 5 5 (5 + √5) = 20
6 ( √5 - √2 ) = 5-2 6 (√6 + √2) = 6 - 2
g. √8 - √2 . √8 - √2 = √8 + √2 √8 - √2
1 (5 + √5) 4
6 ( √5 - √2 ) = 2 ( √5 - √2 ) 3
6 (√6 + √2) = 2 (√6 + √2) 3
8 -4-4+2 = 2 = 1 8 - 2 6 3
h. √6 + √2 . √6 + √2 = 6 + 2 = 10 = 5 √6 - √2 √6 + √2 6 - 2 4 2 Contoh 2 Diketahui kubus ABCD.EFGH seperti gambar di bawah ini H G
E
D A
(√7 - √2) cm
F
C B
Jawab AG adalah panjang diagonal ruang AG = a √3 = (√7 - √2) √3 = √21 - √6 Jadi panjang AG = (√21 - √6) cm
RANGKUMAN
Hitung panjang AG ¡
1. Bentuk akar hádala bentuk bilangan-bilangan di bawah tanda akar bila ditarik akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan rasional. Misal √2, √3, √5 adalah bentuk akar dan √4, √9, √16 adalah bukan bentuk akar. 2. Oprasi Aljabar pada bentuk akar a. a√c + b√c = (a+b)√c b. a√c - b√c = (a-b)√c c. b n√ a x d n√ c = bd n √ac d. b n√ a : d n√ c = b/d n √a/c e. √ a dan n√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua. 3. Merasionalkan Penyebut 1. a = 1 √b =
a . √b = a √b √b √b b
3. ____a___ = ____a___ √b + √c + √c + √c
.1
4.
√b + √c =
=
____a___ = √b - √c =
____a___ . √b - √c √b + √c
+ √c )
5. √a - √b √a + √b
2. √a . √b = 1 √ab √b √b b
√b - √c
____a___ (√b - √c ) b - c
= √a - √b . 1 √a + √b =
√a - √b . √a + √b
=
a + b - 2√ab a - b
√a - √b √a - √b
____a___ . 1 √b - √c ____a___ . √b √b - √c
=
√b
____a___ ( √b b - c
TES KEGIATAN BELAJAR 2 Kerjakan Soal-soal di bawah ini dengan benar ! 1. Sederhanakan bentuk-bentuk akar di bawah ini ! a. √48
b. √1/75
2. Sederhanakan bentuk berikut ! a. 5√3 + √12 - 2√27
b. 4√3 x 3√6
3. Rasionalkan bentuk-bentuk berikut! a.
3 2 - √3
b.
√6 2√3 + 3√2
c
5 √7 + √2
d. √3 + √2 √3 - √2
e. 2√3 + 3 2√3 - 3 4. Diketahui Segitiga ABC siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = (√5 + √3) cm dan luas segitiga tersebut adalah 1,00 cm2 . Tentukan panjang sisi lainnya! 5. Sebuah balok panjang rusuknya masing-masing 3 cm, 6 cm, dan 9 cm. Tentukan panjang diagonal ruang balok tersebut! Kunci 1.
a. 4√3
b. 1 √3 5
2.
a. √3
b. 36√2
3.
a. 9
b. √3 - √2
c. √7 - √2
e. 7 + 4√3 4.
(√5 - √3) cm
5. 3√14 cm.
KEGIATAN BELAJAR 3 LOGARITMA 1. Pengertian Logaritma
d. 7 + 2√6
Pada sub pokok bahasan ini, anda akan mempelajari kebalikan dari perpangkatan. Bentuk a n dikenal sebagai bilangan berpangkat. a disebut basis dan n disebut pangkat atau eksponen. Jika nilai a dan n diketahui, maka nilai b = a n dapat dihitung dan b disebut numerus. Sebaliknya, bagaimana cara menentukan nilai n apabila yang diketahui nilai a dan b ?.silakan anda pahami bentuk kesamaan 24 = 16, didapat bahwa 4 adalah bilangan n yang diperlukan agar bilangan berpangkat 2 n = 16. 4 disebut logaritma dari 16 berbasis 2 dan ditulis 4 = 2log 16. Dengan demikian secara umum Logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut: a
log b = c ↔ ac = b, dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0 a disebut bilangan pokok (basis) logaritma
Apabila dalam penulisan logaritma tidak dicantumkan bilangan pokoknya, maka dianggap bilangan pokoknya adalah 10. Contoh: 10
log 10 = log 10 = 1
dan 10log 100 = log 100 = 2
Untuk memahami, Perhatikan hubungan bentuk logaritma dan bentuk pecahan dari tabel dibawah ini!
NO.
1 2 3 4 5 6 7 8
Bentuk Logaritma 4
log 8 = a 3 log 27 = b 2 log 1 = c 64 3 log 3√3 = d 5 log 3√ 5 = e ⅓ Log 81 = f 1000 log √10 = g 1/49 log 1/ 7 = h
Bentuk Pecahan
Hasil
4a = 8 3 b = 27 2c = 1/64
a = 3/2 a=3 c = -6
3d = 3 3 5e = 3 5 (⅓)f = 81 1000 g = 10 (1/49)h = 1/7
d = 3/2 e = 1/5 f = -4 g = 1/6 H=¼
2. Sifat-sifat Logaritma
Setelah anda memahami definisi logaritma suatu bilangan, selanjutnya akan dipelajari sifatsifat yang berlaku pada logaritma. Berikut ini adalah langkah-langkah menemukan sifat dasar logaritma.
2.1
Logaritma dari perkalian
Logaritma dari perkalian 2 bilangan sama dengan penjumlahan logaritma dari masing-masing bilangan, didefinisikan sebagai berikut: a
log MN = alog m + alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian: Misal M = an ↔ a
a
log M = p dan N = a q
a
↔
log N = q sehingga MN = a r ↔
log MN = r
Karena ar = MN, maka alog MN = r = p + q = alog M + alog N ( terbukti ) 2.2
Logaritma dari pembagian
Logaritma dari pembagian 2 bilangan sama dengan logaritma dari pembilang dikurangi logaritma dari penyebutnya, didefinisikan sebagai berikut: a
log(M : N) = alog m – alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian: Misal M = an ↔ alog M = p dan N = a q ↔
a
log N = q sehingga M:N = a r ↔ alog
M : N = r Karena ar = M : N, maka alog ( M : N ) = r = p - q = alog M - alog N ( terbukti ) 2.3
Logaritma dari perpangkatan
Logaritma dari perpangkatan suatu bilangan adalah perkalian dari bilangan pangkat dengan logaritma bilangan pokok. a
log M p = p. alog M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0
2.4
Mengubah basis logaritma
Logaritma suatu bilangan sama dengan logaritma bilangan tersebut dibagi dengan logaritma dari basisnya, didefinisikan sebagai berikut: M
log N = aLog N a Log M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian: Misal M = a p ↔ N = aq ↔
a
log M = p a
log N = q
M
Maka
LOG N =
2.5.
aP
log aq = q .aP log a = q .aP log (a p)1/p = q/p = alog N a log M (terbukti)
Perpangkatan dengan logaritma
Perpangkatan statu bilangan (a) dengan logaritmo sebuah bilangan (M) dengan basis sama dengan bilangan pokok (a) didefinisikan sebagai berikut: a log M a = M , dengan syarat a ≠ 1 dan a, M > 0 Pembuktian: Misal alog M = p ↔ a p = M Maka =
a
a
log M
= a p = M (terbukti)
Contoh: 1.
Dengan menggunakan sifat logaritma perkalian tentukan nilai dar: a. log 40 + log 25
b. 2log 4 + 2log 8
c. Jika log 4 = a dan log 3
=b tentukan log 48 Jawab. a. log 40 + log 25 = log (40 x 25) = log 100 = 2 b. 2log 4 + 2log 8 = 2log (4 x 8) = 2log 32 = 5 c. log 48 = log (4 x 4 x 3) = log 4 + log 4 + log 3 = a + a + b = 2a + b 2.
a. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, dengan menggunakan sifat logaritma
pembagian Tentukanlah nilai dari log 1,5 Jawab log 1,5 = log 3/2 = log 3 – log 2 = 0,4771 – 0,3010 = 0,1761 b. Dengan menggunakan sifat logaritma pembagian tentukan nilai 2log 14 – 2log 7 Jawab 2
log 14 – 2log 7 = 2log (14/7) = 2log 2 = 1
3.
a. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, tentukan nilai dari log 48
Jawab. a. log 48 = log (24 x 3) = log 2 4 + log 3 = 4 log 2 + log 3 = 4 (0,3010) + 0,4771 = 1,2040 + 0,4771 = 1,6811 4. Jika 2log 3 = a dan 6 log 15! Jawab.
5.
3
log 5 = b, dengan mengubah basis logaritma tentukan nilai
6
log 15 = log 15 = log (3 x 5) = 3log 3 + 3log 5 = 1 + b = a ( 1 + b) log 6 log (3 x 2) 3log 3 + 3log 2 1 + 1/a 1+ a
Dengan menggunakan sifat dan perpangkatan logaritma, tentukan nilai dari 4
log 64
4
log 64
4
Jawab.
4
=
64
RANGKUMAN Definisi logaritma:
a
log b = c ↔ ac = b, dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0
a disebut bilangan pokok (basis) logaritma Sifat-sifat logaritma: 1.
a
log M.N = alog m + alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
2.
a
log(M : N) = alog m – alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
3.
a
log M p = p. alog M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0
4.
M
log N = aLog N a Log M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0
a
5.
log M a =M,
dengan syarat a ≠ 1 dan a, M > 0
6.
a
log b . b log c . c log d = alog d
7.
an Log bm = m alog b n
8.
a
9.
a
10.
a
log 1 = 0 log an = n log b =
b
1 log a
TES KEGIATAN BELAJAR 3 Berilah tanda silang ( x ) pada huruf a , b, c , d , atau e pada jawaban yang paling benar!
1.
4
log 64 + 3log 81 – ½log 8 = ....
a. 10 2.
b. 9
b. 1 + a
5.
2
log 5
4 a. 0,4
e. -1
=....
b. 2a
c. 3a
d. 2a – 1
e. 2 – a
b. 0,2
c. 1
d. 5
e. 25
d. 49
e. 50
d. 1 + abc
e. 1 – abc
b. 47
c. 48
log (1/b) . blog (1/c) . clog(1/a) =.... b. 1
c. 1 abc
Bentuk sederhana dari log 8 + log 1,25 adalah…. a. 100
8.
d. 3a
a
a. -1
7.
c. 1 – a
Jika log (2x + 6) = 2, maka x = .... a. 46
6.
e. 4
Jika log 2 = a , maka log 50 = .... a. -1
4.
d. 6
Jika log 2 = a , maka log 5 = .... a. a
3.
c. 7
b. 10
c. 3
Jika 3log 5 = p, maka nilai 5log √3 adalah….
d. 2
e. 1
a. 4/p
9.
e. 3
b. 2 + a a
c. 2 + a 1 + a
d. 1 + 1 a
e. 2 + 1 a
b. ½p c. 1/p
d. 2/p
e. 4/p
b. -1
c. 2
d. 3
e. 4
b. -3/5
c. 3/5
d. 5/3
e. 5/2
d. 2
e. 1
Nilai dari 5log 150 – 5log 24 + 5log 4 = .... a. 5
15.
d. 2
Nilai x dari 2log 5√8 = x adalah.... a. -5/3
14.
c. 1
Nilai x yang memenuhi dari 5log (0,2) = x adalah.... a. -2
13.
b. -2
Jika 3log 5 = p, maka nilai 5log 3 = .... a. ¼p
12.
d. ½p e. ¼p
Jika 2a = 3 , maka 3log 12 = .... a. 2 + a 2
11.
c. 1/p
Nilai dari 3log 1 . 5log 8 . 2log √3 25 a. -3
10.
b. 2/p
b. 4
c. 3
Jika 7log 2 = a dan 2log 3 = b, maka nilai 6log 98 =…. a.
a + 2 a(1+ b)
b.
a + 2 1 + ab
c. a - 2 a(1+b)
d. a + 1 a(1+b)
KUNCI JAWABAN 1. a
6. a
11. b
2. c
7. e
12. b
3. e
8. d
13. c
4. e
9. b
14. d
5. b
10. b
15. a
e. a + 2 a(1-b)
UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes kegiatan belajar 3 ini. Kemudian gunakan humus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan relajar 3. Rumus:
Tingkat Penguasaan = Jumlah Jawaban Anda yang benar
x 100
15 Arti tingkat penguasaan yang Anda capai: 96 - 100
= Tuntas istimewa
86 - 95
= Tuntas baik sekali
81 - 85
= Tuntas baik
75 - 80
= Tuntas cukup
65 - 74
= Tuntas kurang
0 - 64
= Belum tuntas Sangat kurang
Bila tingkat penguasaan Anda mencapai ≥ 75, maka Anda dikatakan tuntas dan memahami materi pada kegiatan belajar 3. Hebat!. Tetapi bila tingkat penguasaan Anda < 75, maka Anda harus mengikuti Remedial terutama bagian yang belum dikuasai.
