BAB 3 LOGARITMA Latihan Kompetensi Siswa 1 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1 1. Misal y adalah invers dari fungsi y a. y x 1 2
x 2 y 1
x y 1 Karena terdapat dua nilai x untuk nilai y tertentu, maka y tidak punya invers
b. y 3x
y x 3 x 3 3 y x 1
Maka y 1 c.
x 1 3 y x y 1 3
Maka y 2.
1
x 1 3
x ; 1 x 0 2
a. f x
x 1 ; x 0 2
Jika dibuat garis-garis sejajar sumbu x, maka garis tersebut paling banyak memotong fungsi f x di satu titik Jika, f x memiliki invers b. g x
x 2 ; 1 x 0 x 2 1 ; x 0
Jika dibuat garis-garis sejajar sumbu x, maka terdapat garis y 1 yang memotong g x di x 1 dan x 0
Jika, g x tidak mempunyai invers
2 x 1 3x 4
3. f x
2 x 1 3x 4 3xy 4 y 2 x 1 3xy 2 x 4 y 1 x 3 y 2 4 y 1 4 y 1 x 3 y 2 4 x 1 2 1 Jadi, f x , x 3x 2 3 1 1 3x 4 b. 2 x 1 f x 2 x 1 3 x4 4.0 1 1 1 1 c. f 0 3.0 2 2 2 1 3.0 4 4 d. 4 f 0 2.0 1 1 a. y f x , maka y
4. a. 9 32 2 log 9 3 b. 1.000 103 log1.000 3 c. 73 343 7 log 343 3 1 1 2 2 2 2 log 2 2 1 1 e. 53 5 log 3 125 125 f. e 0 1 ln 1 0 g. 5x 6 5 log 6 x
d.
h. e 3t 8 ln 8 3t 5. a. 2 log 32 5 25 32 b. log 1 0 100 1 1 1 2 1 1 d. 3 log 4 34 81 81 t v e. log u v t u
c. e log e e 2 e
f. ln x t e t x 6. a. x 1 10 10 2 logx 0 1 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
10
3
3
10
4
4
10
1
-1
10
2
-2
10
3
-3
Bab 3 | Page 149
Sehingga 2n 3
b.
x
log x
1 e
log 1 0 log e 0,4343
e2
log e 2 0,8686 log e3 1,3029
e3 e4 e 1 e
2
e 3
3 n 2 3 9 Jadi, log 27 2 1 4 b. log n , maka 32 1 n 4 32
log e 4 1,7372 log e 1 0,4343 log e 2 0,8686 log e 3 1,3029
n
7. a. misalkan log 30 x maka 5 30 5
x
Karena 5 25 5 30 5 125 Maka 2 x 3 ….. (i) 8 y Misalkan log 60 y maka 8 60 2
2 2 25 Sehingga 2n 5 5 n 2 1 5 4 Jadi, log 32 2 5 c. log 5 5 n , maka
x
3
5n 5 5
Karena 8 8 8 60 8 64 Maka 1 y 2 ….. (ii) Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa x y atau 5 log 30 8log 60 yang 1
y
2
1
5n 51.5 2 3 5n 52 3 Sehingga n 2
terbesar 5 log 30 b. misal log 90 x maka 10 x 90
10 10 10 90 10 100 Maka 1 x 2 Misal ln e5 y maka e y e 5 y 5 Karena 1 x 2 dan y 5 maka dapat 1
x
5
d. log 10 n , maka
10 10 n 1 10 10 Sehingga n 1 Jadi, log 10 1 n
disimpulkan x y atau log 90 ln e 5 yang terbesar ln e5 . c. misal 2 log 3 x maka 2 x 3
21 2 2 x 3 22 4 Maka 1 x 2 ….. (i) Misal 3 log 2 y maka 3y 2 30 1 3 y 2 31 3 maka 0 y 1 ….. (ii) dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa 2 3 y x atau log 3 log 2 yang terbesar 3
log 2
8. a. misalkan 9 log 27 n , maka
9n 27
3 27 2 n
32 n 33
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
3 2
Jadi, log 5 5
2
e.
25
log 625 n , maka n 25 625 2n
Sehingga 2n 4 n 2 25 Jadi, log 625 2 1 16 f. log n , maka 64 1 16n 64 5
4
2 4 26 Sehingga 4n 6 3 n 2 1 3 Jadi, 16 log 64 2 n
Bab 3 | Page 150
Bentuk paling sederhana dari ln e 1 2 e. misalkan ln e n , maka
g. log 8 2 n , maka 2
2 n 8 2 2 n 8 2 1 2n 23.2 2 31 2n 2 2 1 Sehingga n 3 2 Jadi, log 8 2 3 2
h.
2 2
e e n
Sehingga n 2 2 Bentuk paling sederhana dari ln e 2
f. ln e ? dari jawaban d. dapat dibentuk paling sederhana dari ln e 1 , maka 2
1 2
1 2 ln e 12 2
1 1 1 1
log 16 n , maka
2 2 16
10. a. y 4 log 5 x Syarat numerus harus lebih besar 0, berarti 5 x 0
n
2 .2 2 n
1 2
1
2
4
x 0
3n
2 2 24 3 Sehingga n 4 2 8 n 3 Jadi,
2 2
Jadi, dominan fungsi tersebut adalah interval 0,
b. y log 3 4 x Syarat numerus harus lebih besar 0, berarti 3 4 x 0
4 x 3 3 x 4
8 log 16 3
9. a. misalkan ln e 4 n , maka
e e n
Jadi, dominan fungsi tersebut adalah
4
Sehingga n 4 Bentuk paling sederhana dari ln e 4 4
1 b. misalkan ln n , maka e 1 en e n e e 1 Sehingga n 1 Bentuk paling sederhana dari ln
1 1 e
c. y ln x 2 syarat numerus harus lebih besar 0, karena x 2 selalu bernilai positif untuk x 0 , maka domain fungsi tersebut adalah x | x 0, x R d. y ln x Syarat numerus harus lebih besar 0, berarti x 0 jadi, domain fungsi tersebut adalah interval 0,
en e e e
2
c. misalkan ln e n , maka n
3 4
interval ,
e. y ln x 2 25 Syarat numerus harus lebih besar 0,
1 2
x 25 0 x 5x 50 2
1 Sehingga n 2 1 2
Bentuk paling sederhana dari ln e d. misalkan ln e 4 n , maka
e n e e n e1
x 5 atau x 5 jadi, domain fungsi tersebut adalah interval ,5atau 5,
Sehingga n 1 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 151
f. y ln 2 x x 2 Syarat numerus harus lebih besar 0,
2 x x 2 0 2 x 1 x 0 2 x 1 jadi, domain fungsi tersebut adalah interval 2,1
2 x 3 x 5
g. y log
Syarat numerus harus lebih besar 0,
2 x 3 0 x 5 2x 3 0 atau x 5 0 3 x x 5 2
b. y 2 log x Domain : ,0
Range : , Intercept y : tidak ada Intercept x : –1 Asimtot : sumbu y
c. y 3 log x 2 1
grafik y didapa dari grafik y 3 log x digeser ke kanan 2 satuan, lalu dicerminkan terhadap sumbu x, kemudian digeser ke atas 1 satuan Domain : 2,
Range : , Intercept y : tidak ada Intercept x : 5 Asimtot : sumbu x 2
d. y log x 1
3 x atau x 5 2 jadi, domain fungsi tersebut adalah
3 interval , atau 5, 2 2x 3 h. y log x 5 Syarat numerus harus lebih besar 0,
2 x 3 0 x 5 2x 3 0 atau x 5 0 3 x x 5 2
Domain : , 1
Range : , Intercept y : 0 Intercept x : 0 Asimtot : sumbu x 1
e. y ln x
Domain : ,0
Range : , Intercept y : tidak ada Intercept x : –1 Asimtot : sumbu y
f. y ln x
3 x 5 atau x 2 jadi, domain fungsi tersebut adalah
3 2
interval ,5atau ,
B. Evaluasi Pemahaman dan Pennguasaan Materi. 2 1. a. y log x Domain : ,0
Range : , Intercept y : tidak ada Intercept x : –1 Asimtot : sumbu y Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Domain : ,0
Range : , Intercept y : tidak ada Intercept x : –1 Asimtot : sumbu y
g. y ln x e
Domain : e ,
Range : , Intercept y : 1 Intercept x : 1– e Asimtot : sumbu – e
Bab 3 | Page 152
h. y ln x 2
Jadi, D 2,4
Domain : ,0
Range : , Intercept y : tidak ada
1 e
Intercept x : 2 Asimtot : sumbu y 2. f x x 3 2x 1
Untuk setiap fungsi f x berlaku
komposisi f x dengan fungsi inversnya adalah fungsi identitas I x x
x f f x
f f
1
1
I x x 1 Sehingga f f x x Jadi, f f 1 5 5
3. titik A adalah titik potong grafik y 2 x dengan sumbu y x 0
x 0 y 20 1 A 0,1 titik B adalah titik potong grafik y 2 log x dengan sumbu x y 0 2 y 0 0 log x 0 2 x x 1 B 1,0 titik C adalah titik potong grafik y 2 log x dengan nilai x 4 x 4 y 2log 4 2 y 4 2 y 22 y 2 C 4,2 titik D berada pada grafik y 2 x fungsi y 2 x saling invers dengan fungsi y 2 log x . Karena titik D terletak pada y 2 x , titik C terletak pada y 2 log x sedangkan jarak C ke y x sama dengan jarak D ke y x , maka titik D adalah invers dari titik C 4,2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
4. titik A adalah titik potong grafik y e x dengan sumbu y x 0
x 0 y e 0 1 A 0,1 titik B adalah titik potong grafik y ln x dengan sumbu x y 0 y 0 0 ln x e0 x x 1 B 1,0 titik C terletak pada grafik y e x dengan nilai x 1 1 x 1 y e 1 e 1 C 1, e titik D berada pada grafik y ln x Fungsi y ln x saling invers dengan fungsi y e x karena titik D terletak pada y ln x , titik C terletak pada y e x , sedangkan jarak C ke y x sama dengan jarak D ke y x , maka titik D adalah invers dari 1 titik C 1, e 1 jadi, D ,1 e 1
5. a. y 2 log x b. y 2log 2 x c. y log 2
1 1 y 2 x x y 1 2 x y 2 x y 2 log x
y 2 log x
Bab 3 | Page 153
d. y log 2
x x y 2 2 2 y 2.2 x y 1 2 x y 1 2 log x
Syarat numerus pada fungsi logaritma harus positif. Bilangan numerus adalah x, maka x 0 , dengan perkataan lain grafik berada di kanan sumbu y
y log x 1 2
1 x. ln10 yang nilainya positif untuk x 0 .
Turunan fungsi log x adalah
6. a. y 2 log x 1
Karena turunanya selalu bernilai positif untuk x 0 , maka fungsi tersebut adalah fungsi naik Jadi, grafiknya sebagai berikut
Domain : 1,
Range : , b. y log 1 x 3
Domain : ,1 Range : , 7. a. f x e x 1
y e x 1 x 1 ln y x ln y 1 Maka f 1 x ln x 1 b. grafik c. Intersep x : e (masukkan y 0
ke fungsi f 1 x ) Intersep y : tidak ada Asimtot : sumbu y
8. a.
9 t ln t 1 t 1 e9 t t e 9 t 1 91 t e t 1
b. c. Intersep x : tidak ada Intersep y : 2 Asimtot : y 1
Latihan Kompetensi Siswa 2 1. D. Grafik fungsi y log x Titk potong sumbu x y 0
0 log x x 10 0 1 Titiknya 1,0 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
2. D. Grafik fungsi y 2 log
1 x
1 1 y 2 log 2 y x x 1 x y 2 x 2y y 2log x
y 2log x 1 y 2 log x x Grafik fungsi y 2 log x adalah Jadi, y 2 log
percerminan fungsi y 2log x terhadap sumbu x. sedangkan grafik fungsi y 2 log x juga mempunyai titik potong
sumbu x pada 1,0 , grafiknya ada disebelah kanan sumbu x, dan merupakan fungsi naik 3. D.
log 3 a, 3 log 5 b 18 log 50 18log 2 52 18log 2 18log 52 1 2 2. 18log 5 log18 1 2 2 5 2 log 2 3 log 18 1 2 2 5 2 2 log 2 log 3 log 2 32 1 2 5 2 1 2. log 3 log 2 5 log 32 1 2 1 1 2 a 2 log 5 2. 5 log 3 2
Bab 3 | Page 154
1 2 1 1 2a 2 log 3.3 log 5 3 log2 5
7. C.
a b c 5 a
1 2 1 2 1 2a a.b b 1 2 12 a 1 2a ab 1 2ab 1 2a 1 2a 1 2ab 1 2a
c
3
27
log 4
2 3
log 2
2
3 b2 b2 3 log log a a 1
log 2
6 2 3
3
1 3
2. 2 . 2 3 b2 b 4 log log a 2 a 1 1
1. 1
1
6 a 2 a2 6 log log b 4 b4
log 2
33. log 2 3 log 2 3 3 3 3 log 2 3 log 2 2 3 2 8 2 10 3
log a
1
3
3 3. 2 .
log a
a 2 b
3
5
log a
5
log 5
Diketahui log 24 4
3
2
b
8. D.
2 6 log 2 6 log 2 3 3 log 4 3 log 2 3 . 3 log 2 2 2
3 3 log 2 2
log c
a.a a
4. C. 9
a
log c
3
1
a 2 6 1 a2 log . log b 4 6 b4 1 . 244 6
5. A.
1 1 b 1 c log . log 2 . log 3 a b c a 1 b 2 c log b . log c . log a 3
9. A. Diketahui : x 2 log 3, y 2 log 5
a
2
1
log 9.3 5 2 log 32.53
1 . a log b 2 . b log c. 3 . c log a 1 2 3 . a log b. b log c. c log a 6. a log c. c log a 6. a log a 6.1 6
1
2 log 32 2 log 5 3 1 2.2 log 3 .2 log 5 3 1 2x y 3 10. E.
6. C.
log 3 log 9log 4 log 2 2
4
3
2
9
3
2 log 3 2 log 32 3 log 22 3 log 2 2 2 1 3 2 3 log 3 . log 3 2. log . log 2 2 2 5 3 2 2 log 3 log 3 . log 2 2 5 3 2 2. log 3 . log 2 2 5 1 2. 2log 3. . 2 5 2 log 3 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
1 16 9 log log 5 8
log 27 125
3 log 23 2 4 log 5 2 5 log 33 1 3 3 3 5 2 2 log 2 log 5 log 3 2 4 3 3 1 3 2 5 1 log 2 log 5 log 3 2 8 3 3 5 log 5 log 3 16 2
1
3
Bab 3 | Page 155
a2 x 2 a log a2 a 2 2. log a 2 x a log 1 2 2.1 a
3 3 . log 3 16 3 3 .1 16 16
a
B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. log 2 log 27 log 6 log 5 log 3 log 18 2 27 5 18 log 6 3 log 270 log 33 10 log 33 log 10 3 log 3 1
log 5 a
log 5 a
a
x2 log a 2 x 2 2 a log 1 2 a
p
a
log 9 p
log 9 ….. (i) log a
Akan dibuktikan bahwa log p log a 1 Bukti : Substitusi g p kepersamaan (i) menjadi a
a. 2 log 5 ? 23
Jadi, terbukti bahwa
4. Diketahui :
2. Diketahui : 8 log 5 a 8
x2 log 1 2 2 a a
p
log p log a 1 a log p p log a a p log p log a 1 a
12 . log 5 a 3 2 log 5 3a 1 2 b. 4 log 2 log 51 5 1 .2 log 5 2 1 3 .3a a 2 2 1 2 2 2 c. log 5 log 5 1 .2 log 5 2 1 3 .3 a a 2 2
log p p
Terbukti 5. Diketahui e log 10 2,3 Akan dibuktikan Bukti : e
2 ,3
1
x2 log a 2 x 2 2 a log 1 2 a
2 2 a 2 log a x log a x a2 2 2 a x alog 2 .a 2 a
2
2
a
1
1
e 10 2 ,3 1 10 log e 2,3
Bukti : a
log e 0,435
e 2 ,3 102 , 3
3. akan dibuktikan
10
log 10 2,3 e2 ,3 10
10
a
p
a 2 x 2 a 2 alog a2 log a Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
log e 0,4347826 0,435
6. a. akan dibuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif N berlaku e
log N 2,3.10 log N
Bukt :
e 2,7183 e
10 log N log N 10 log e
10
10
10 log N log N log 2,7183 0,4343
Bab 3 | Page 156
1 10 . log N 0,443 2,3025.10 log N 2,3 10log N Jadi, e log N 2,3 10log N b. e log 6,31 2,3 10 log 6,31 2,3.0,8 1,84
log r 1 1 2log r 2log r log r 1 2log r log r 1 q
q
log 2 b log 8 a log 2 b log 23 a log 2 3.b log 2 1 a log 2 1 b log 2
2. a log r
1 3
1
a b 3 1 3
3
pangkatkan 3
8. a. 2 log a 2 log
2 log
Terbukti 2 b. Diketahui : p qr akan dibuktikan : q
log p r log p 2. q log p. rlog q
Bukti :
2 p2 qr p qr ….. (i) q r log p log p 1
2 2 q log qr r log qr ; substitusi 1
1
2 qr 1
1 1 q log qr r log qr 2 2 1 q log q q log r 2 1 r log q rlog r 2 1 1 1 q log r r log q 1 2 2 1 1 1 1 .q log r r log q 2 2 2 2
Terbukti
a b a 3 b1 a 3 b 3
2 q log r qlog q 2. a log r 1 q log rq. q ; rq p 2 log r q log p2 . r log q 2. a log p. r log q
1 3
Sehingga
2
q
3
log 2 b log 2
2
q
q
a
a
2
q
Akan dibuktikan : a 3 b Bukti :
log 2 b log 21
2 q 1 log r 1 1 q 2 log r
7. a. Diketahui : a log 2 b log 8
a
1 q r 1 log r log q 2 1 q 1 1 log r q 2 log r
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
4 5 5 2 3
5 2 log 5 2
2 log 8
2 log 2 3. 2 log 2 3.1 3 b. log 27 log14 log 9 log 7 log 6 27 14 log 9 7 6 log 1 0 3 3 1 c. . 2log 8 . 2 log16 . 2 log 32 2 2 2 2 3 1 . 2 log 23 . 2 log 24 . 2 log 25 3 2 2 2 2 3 2 1 .3. log 2 . 4. log 2 .5. 2 log 2 3 2 2 5 2.1 6.1 .1 2 5 3 2 6 2 2
Bab 3 | Page 157
4
d. log
10 4 24 5 4 log 3 log 9 25 6
y 2 .a 3 log 33 3 x .b y 2a 3 3 log 3 log 27 xb y 2a 27 x 3b y 2 a 27bx 3 27 a1bx 3 2 y a 2 y 27a 1bx 3 3
3
10 4 24 4 5 log log log 9 25 6 4
3
10 25 5 log 9 24 6 4
2
4 log 2 2 log 2 1 2 . log 2 2 1 1 .1 2 2 e. log 175 log 91 log 52
log
y 27a 1bx3 1
175. 52 91 175 52 log 91 log 100 log 10 1 4 6 32 6 9 6 8 6 f. log log log log 15 7 4 105 4 32 9 . . 6 log 15 87 4 log
105
4 32 105 . . 15 7 8 6 log 36 6 log 62 log 6
2
1.
log 3 . log12. log 48. log19 16 2
2
2
2 log 12. 2 log 48 10
log 3log 3 log 4 log 3 log1616 log 3 log 4 log 3 log 1610 log 3log 3 2 log 3 4log 3 616 log 3 2 log 3 410
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2. log 6 2.1 2
3
C. Evaluasi Kemampuan Analisis
2
6
1
y 3 3a 2 b 2 x 2 b. 5 log y a 5 log x 2 5 log b 5 log y 5 log x a 5log b2 5 log y 5 log x a b 2 Maka y x a b2
2
2
2
2
2
9. 4 log 3y 2 4 log x 1
log 3y 4log x 2 1 3y 4 log 2 4 log 4 x 3y Sehingga 2 4 x 3 y 4 x 2 4 y x2 3 4
2. 7 log x 2 y p dan 7 log xy 2 q 7
4 3
Jadi, bentuk y dalam x adalah y x 2 10. a. 2. 3 log y 3 3 log x 3 log b 3 log a 3 3
1
log 3 xy 7 log xy 2 1 1 3 . 7 log xy 3 2 1 1 . 7 log x 2. y x.y 2 2 3 1 7 log x 2 y 7 log xy 2 6 1 p q 6
log y 2 3 log x 3 3 log b 3 log a 3. 3 log 3
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 158
4. R x a sin x 1 b 3 x 1 2
3. a. log x h 9
32
a, b R dan R log 5 5 R log 55 maka
1
log x 2 h
1 2 3
log x h 2 13 log x h 4 3 log x 4h
a sin log 5 1 b 3 log 5 1 2 5 a sin log 5 log10 b 3 log 5 log 10 5 2
a sin log 50 b 3 log
log x 3 log 34h 4h x 3 ….. 1 1 3 log k y 3 log y 1 k 3 log y k 3 log y k 3 log y 3 log 3k y 3k ….. 2 3
100 3 1 a sin log b log 2 3 2
a sin log100 log 2 b 3 log 2
1
3
a sin 2 log 2 b 3 log 2 3 a sin 2 log 2 b 3 1 3 log 2 3 ;
sin 2x sin x
3 log 2 3 a sin sin log 2 b 1
a sin log 2 b a sin log 2 b
Dari 1 dan 2 dapat dicari
3
3
log 2 3
log 2 3 ….. 1
R log 20a sin log 20 1 b 3 log 20 1
x. y 34 h .3k 34 hk ….. 3 x 34 h y 3k 34 h k 34 hk b. Jika xy 9 dan
5 3 10
a sin log 2 log10 1 b 3 log 2 log10 1
a sin log 2 1 1 b 3 log 2 1 1 a sin 2 log 2 b 3 log 2 a sin 2 log 2 b 3 log 2 ;
x 27 y
sin 2x sin x
a sin log 2 b 3 log 2 ;
subtitusi nilai-nilai tersebut ke 3 dan 4
xy 3 9 34 hk 32 34 h k 2 4h k ….. 5 x 34 h k y 27 34 hk 33 34 hk 3 4h k ….. 6 4 h k
Eliminasi 5 dan 6
2 4 h k 2 4h k 3 4h k 3 4h k 5 8h 1 2k 5 1 h k 8 2 5 1 Maka h dan k 8 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
persamaan 1
3
log 2log 5
5.
i n
n
2i
i 0
log 2.2 . log 5
i0
i
100
2. i0
100
i 100
i 100
log 2 .
log 5.2. 100
; n 100
i 0
100
log 5
log 2
i
0 1 2 100 log 2 2. 100 log 2 log 5 2 100 2 . log 2 ... 100
Deret geometri konvergen
0
a 2. 100 log 2 2.1 1 Bab 3 | Page 159
r 2. 100 log 2
2 100 log 5 100 1 2. log 2 1 100 log 5 100 100 log 100 log 4 1 100 log 5100 log 25 100
100
log 5 log 25 2
25log 5 5 log 5 1 5 1 . log 5 2 2
Latihan Kompetensi Siswa 3 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. C. x
log 3 x 10 2
Penyelesaian persamaan x
log 3x 102
Bentuk Eksponen :
x 2 3 x 10 x 2 3 x 10 0 x 5x 20 x 5 0 atau x 2 0 x 5 x 2 Syarat bilangan pokok lebih besar 0, maka x 0 Syarat numerus lebih besar 0, maka
3x 10 0 3x 10 10 x 3
Dari penyelesaian persamaan yang memenuhi syarat adalah untuk x 5 2. B.
log x2 5 x 8 1 2 log x2 5 x 8 2 log 2 Sehingga x 2 5 x 8 2 x 2 5x 6 0 x 3 x 2 0 x 3 0 atau x 2 0 x 3 x 2 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Syarat numerus :
x 2 5 x 8 0 Ternyata, diskriman fungsi kuadrat
tersebut D 54.1.8 7 0 Karena D 0 dan a 0 maka fungsi tersebut merupakan definit positif (selalu bernilai positif) Jadi, penyelesaian persamaan 2 log x 2 5x 8 1 adalah x 3 atau x 2 2
3. D.
2. 3log y 3 log x 1 2 3 2 3 log y log x 1 3 log 32 3 log y 2 3 log x 1 .9 2 Sehingga y x 1 9 2 y 9 x 1
4. D.
f x 2log x 3 6 1 Akan dicari f x 2 3 y log x 6 2 log x 3 y 6 3 y 6 x 2 3
y6
x 3 2 3 1 y 6 x 2 3 1 Maka, f 1 x 2 3 x 6 f
1
126 12 2 1 3
1
2 3 5. D.
18
26 64
log x 2 2 x 1 0 2 log x 2 2 x 1 2log 1 2 Sehingga x 2 x 1 1 2 x 2x 0 x x 20 x 0 atau x 2 2
Syarat numerus :
x 2 2x 1 0 x 12 0
Ternyata fungsi kuadrat f x x 1 punya satu akar, berarti menyinggung sumbu x di x 1 , dan arena a 0 maka fungsi tersebut menghadap keatas (artinya fungsi bernilai positif selain di x 1 ). 2
Bab 3 | Page 160
Maka syarat numerus x 1 dari penyelesaian x 0 atau x 2 , keduanya memenuhi syarat Jadi, penyelesaiannya adalah x 0 atau
2 1 2 4 .3 . 3 4 k 3 3k 8 9k
x 2
6. A. log x2 1 log x 11 log x 8
log x 1 log x 1log10 log x 8 2
x2 1 log 10 x 8 x 1 x 1 x 1log log 10x 80 x 1 log x 1 log 10x 80 x 1 10x 80 9 x 81 x 9 log
7. B.
log 36log 4 2
3
2
3
1 3log 4
log 36 log 4log36 log 4 3
3
3
3
1 log 4 3
log49 log 4log49 log 4 3
3
3
3
1 log 4 3
log4 log9 log4log 4 log9 log4
3
3
3
log4 log3 3
3
3
3
3
1 3log 4 2
3log 4
log3 3
2
1 log 4
2 2
log x 3log x y 5
log x 3 log x y 1 2. 2 log x 6
log x 2 2log 26 Sehingga x 2 26 2
6
x 26 2 2 x 23 2 log x 3log x y 5
log 23 3log 23 y 5 3.2 log 2 3 log 8 y 5 3 3 log 8 y 5 3 log 8 y 2 3 log 8 y 3 log 32 Sehingga 8 y 32 8 y 9 y 1 Jadi, x y 23 1 8 1 9 2
3
2. log 4 2 2
10. C. 2 log xy 7 2 log x 2 log y 7 .... (i) x2 2 log 5 2 log x 2 2 log y 5 y 2. 2 log x 2 log y 5 .... (ii)
3
1 3 log 4
2 3 log 4 1 2 4 1 3 log 4
8. D. Diketahui
Eliminasi persamaan (i) dan (ii) 2 3
2 2
log 9 k log 3 k 2 2 . log 3 k 3 22
2
2
4 2 . log 3 k 3 3 2 log 3 k ….. (i) 4 27
9. E.
3
log 4 3 log 2 2 3 3 2 1 . log 2 . 2 2 3 log 3
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
log x 2 log y 7
2. 2 log x 2 log y 5 3. 2 log x 12 2 log x 4 2 log x 2 log 24 Sehingga x 24 16 2 log x 2 log y 7 2 log 16 2 log y 7 2 log 2 4 2 log y 7 4 2 log y 7 2 log y 3 Bab 3 | Page 161
log y 2 log 23 Sehingga y 23 8 Jadi, x y 16 8 24
5x 20 x 4
2
B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. 2 log x 2log x 23 Penyelesaian persamaan :
log x x 2 2log 23 2 log x 2 2 x 2log 8 Sehingga, x 2 2 x 8 x 2 2 x 8 0 x 4 x 20 x 4 0 atau x 2 0 x 4 x 2 2
Syarat numerus 1. x 0 2. x 2 0
x 2
Penyelesaian yang memenuhi syarat adalah x 4 Hp 4
b. log x 2 log x 1log 6 Penyelesaian persamaan
log x 2 x 1log 6 2 log x 3x 2 log 6 2 Sehingga x 3x 2 6 x 2 3x 4 0 x 4 x 10 x 4 0 atau x 10 x 4 x 1 Syarat numerus : 1. x 2 0
x 2 2. x 1 0 x 1
Penyelesaian yang memenuhi syarat adalah x 4 Hp 4
c. log 2x 1log x 3log 7 Penyelesaian persamaan :
log
2 x 1 log 7 x 3
Sehingga
2 x 1 7 x 3 2 x 1 7 x 21
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Syarat numerus : 1. 2 x 1 0
1 x 2 2. x 3 0 x 3 Hp 4
d. 4 log 4 x 2 4log x 2 2 Penyelesaian persamaan :
log 4 x 2 4 log x 2 2 2 2 Sehingga 4 x x 2 2 2 x 6 0 2 x 3 0 x 3 x 3 0 4
x 3 0 atau x 3 0 x 3 x 3 Syarat numerus : 2 1. 4 x 0
2 x 2 x 0
2 x 2 2. x 2 2 0 x 2 x 2 0
x 2 atau x 2 Irisan 1 dan 2 adalah 2 x 2 atau 2 x 2 Penyelesaian persamaan yang memenuhi syarat adalah x 3 atau x 3
Hp 3 , 3
e. log x 4 log x 42 Penyelesaian persamaan : 3
3
log x 4 x 42 log 32 3 log x 2 16 3log 9 Sehingga x 2 16 9 x 2 25 0 x 5 x 50 x 5 atau x 5
3
Syarat numerus : 1. x 4 0
x 4 2. x 4 0 x 4
Penyelesaian persamaan yang memenuhi syarat adalah x 5 Hp 5 Bab 3 | Page 162
f. log x 3 log x 1log 6 Penyelesaian persamaan :
x2 7 3 10 Syarat numerus : 1. 2 x 5 0
x 3 log 6 x 1 x 3 Sehingga 6 x 1 x 3 6 x 6 5 x 9 9 x 5 log
5 x 2 2. x 2 4x 4 0 x 22 0 Fungsi akan bernilai positif kecuali untuk
x 2
Jadi, x 2 Kedua penyelesaian persamaan memenuhi syarat numerus, Hp 7 3 10 ,7 3 10
Syarat numerus : 1. x 3 0
x 3 2. x 1 0 x 1
Penyelesaian persamaan memenuhi syarat numerus
9 Hp 5 g. log x 1log x 3log x 1
2
2. a. log
2
log
log x 1 x 3logx 1 Sehingga x 1 x 3x 1 x 3 1 x 4 Syarat numerus : 1. x 1 0
x 1
3x 1 2 log 2 3 2 x 7 3x 1 8 2 x 7 3x 1 16 x 56 13x 55 55 x 13 3 x 4 13
Syarat numerus :
x 3
Penyelesaian persamaan memenuhi syarat Hp 4
h. log 2 x 5 log x 4 x 4 2 Penyelesaian persamaan : 3
3x 1 3 2x 7
Penyelesaian persamaan :
Penyelesaian persamaan :
2. x 3 0
3
2
2x 5 3 2 log 2 log 3 x 4x x 2 x 5 1 Sehingga, 2 x 4 x 4 9 x 2 4 x 4 18x 45 x 2 14 x 41 0 3
14 14 4.1. 41 x1, 2 2 14 360 14 6 10 2 2 7 3 10 Maka x1 7 3 10 atau 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
3x 1 0 2 x 7
1 7 x atau x 3 2 Penyelesaian memenuhi syarat
3 13
Hp 4
b. 3 log 2 x 1 3 log x 7 2 Penyelesaian persamaan : 3
log
2x 1 3
log 3
2
x 7 2 x 1 9 x 7 2 x 1 9 x 63 7 x 64 64 x 7 Bab 3 | Page 163
x 9
1 7
e.
Syarat numerus : 1. 2 x 1 0
Penyelesaian persamaan : 5
1 x 2 2. x 7 0 x 7
5 Hp 5, 3 d. log x 2 6 log 2 1 log x
Penyelesaian persamaan :
log x 2 6 .2 log10 log x log 2x 2 12 log 10 x 2 Sehingga 2 x 12 10 x 2 x 2 10 x 12 0 x 2 5 x 6 0 x 6 x 10 x 6 atau x 1 Syarat numerus : 2 1. x 6 0
x 6 x 6 0
x 6 atau x 6 2. x 0 Penyelesaian persamaan yang memenuhi syarat adalah x 6 Hp 6 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
5
5 1
1 2 1 2
1 2
2
2
2
2 2
10 x 2 1 25x 4 25 x 4 10 x 2 1 0
5x
2
1 0 2
5x 15x 10 2
5x 1 0 atau 5x 1 0 1 1 x x 5 5 1 1 x 5 x 5 5 5
Syarat numerus :
Maka fungsi definit positif Berarti tidak ada syarat batas x
x
2
2
3x 2 20 x 50 0 Periksa D b2 4ac 2 20 4.3.50 200 Karena D 0 dan a 3 0
1
1 2
10 x 15x 10 x 1 5x
Penyelesaian persamaan :
2
log 5
2
x2
log 3x 2 20 x 50 5 log 52 2 3 20x 50 25 2 3 x 20x 25 0 x 5 3x 50 5 x 5 atau x 3
10x log
10 x Sehingga
1 Hp 9 7 c. 5 log 3x 2 20 x 50 2 5
log 10 x 2 1 2. 5 log x 1 5
Penyelesaian memenuhi syarat
1 5 2 5 . log 10x 1 2. log x 1 2
Syarat numerus : 1. 10x 2 1 0
10x 110 x 10
1 1 x 10 atau x 10 10 10 2. x 0 Penyelesaian yang memenuhi syarat
1 5 5 1 Hp 5 5 2 2 f. log 4 x 2 log 5 3 adalah x
Penyelesaian persamaan :
log 4 x 2 2 log 5 2 log 23 4x 2 2 log log 8 25 4x Maka 8 25 4 x 200 x 50 2
Syarat numerus :
4 x 0 x 0
Bab 3 | Page 164
Penyelesaian memenuhi syarat
g. 2 log 2 x 5 2. 2 log 2 x 2 Penyelesaian persamaan : 2
log 2 x 5 2. 2 log 2x 2 log 2 2 2 x 5 2 2 log log 4 4 x2 2 x 5 4 4 x2 16x 2 2 x 5 16 x 2 2x 5 0 2x 1 8x 50 2 x 1 0 atau 8 x 5 0 1 5 x x 2 8
3 p 18 4 q
3 3p 18 4 2 3 p 18 16 3 p 24 p 8 3 p,q 8, 2
3 Hp 8, 2 2 x : 4 y 8 …. (i) b.
log x 3 log 5 3log y 13log 2 ….. (ii)
3
Syarat numerus : 1. 2 x 5 0
5 x 2 2. 2 x 0 x 0 Penyelesaian yang memenuhi syarat
5 8 5 Hp 8 adalah x
2
3. a.
log 7 1 2 log p 3q …. (i)
3 p 18 4q ….. (ii) Persamaan (i)
log 7 1 2 log p 3q 2 2 2 log 7 log 2 log p 3q 2 2 log 7 log 2 p 3q Maka 7 2 p 3q 7 2 p 6 q p 7 6 q ….. (iii) 2
Eliminasi persamaan (ii) dan (iii)
3 p 18 4q 2 6 p 36 8q 2 p 7 6q 3 6 p 21 18q 0 15 10q 10q 15 3 q 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
3 2
Substitusi q ke persamaan (ii)
Hp 50
Persamaan (ii) 3
log
x 3 log 2 y 1 5 x 2 y 2 5 x 10 y 2 ….. (iii)
Substitusi (iii) ke (i)
2x : 4 y 8 2 10 y 2 : 4 y 8 20 y 4 8 4y 20 y 4 32 y 12 y 4 1 y 3 1 Substitusi y ke persamaan (iii) 3 x 10 y 2 1 x 10. 2 3 16 1 5 3 3 1 1 x , y 5 , 3 3 1 1 Hp 5 , 3 3
Bab 3 | Page 165
5
1 2
Untuk y x 5 y 3
log 3x y 5log 6 5 log 24 …. (i)
c.
1 1 5. 3 2 2
75 x : 73 y 1 ….. (ii) Persamaan (i)
1 1 , 2 2
log 3x y 6 5 log 24 Maka 6 3 x y 24 3 x y 4 y 3x 4 ….. (iii) 5
Syarat numerus : 1. x 1 0
x 1 2. y 0 3. 4 x 5 y 0 x 5 y 4 untuk 7,2 7 5.2 4 , berarti penyelesaian 7,2memenuhi syarat 1 1 1 1 untuk , 5. 4 , 2 2 2 2 1 1 berarti penyelesaian , 2 2
Substitusi (iii) ke (ii)
7 : 7 1 75 x 1 73 y 5x 3y 7 7 Maka 5x 3 y 5x 3 3x 4 5x 9 x 12 4 x 12 x 3 Substitusi x 3 ke (iii) y 3x 4 3.3 4 5 5x
3y
x , y 3,5 Hp 3,5 2 log 4 x 5 y 0 …. (i) d. 2
log x 11 2. 2 log y ….. (ii)
Persmaan (i)
log 4 x 5 y 2 log1 Maka 4 x 5 y 1 x 5 y 3 ….. (iii) 2
Substitusi (iii) ke (ii)
log x 11 2. 2log y 2 log 5 y 312 log 2 2 log y 2 log 5 y 2 2log 2 y 2 Maka 5 y 2 2 y 2 2 y 2 5 y 2 0 y 2 2 y 10 1 y 2 atau y 2 2
Substitusi nilai y ke (iii) Untuk y 2 x 5 y 3
7,2
5.2 3 7
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
memenuhi syarat
1 1 Hp 7,2 , , 2 2 4. log x a log x a 1 2
2
2
log
x a 2 log 2 x a
x a 2 x a x a 2x 2a x 2 x 2a a x 3a x 3a Jadi, x 3a Maka
log x y log 3x 1 y log x log10 log 3x 1 x log y log 3x 1 10 x Maka 3x 1 10 y x 3x 1 10 y x 3.10y x 10 y 3.10 y x x 10 y x 3.10 y 110 y
5. a.
10 y x 3.10 y 1 Bab 3 | Page 166
b. log x y log 3x 1 maka x y 3x 1
xy 3 y 14 x 6 y x 3 14x 6 14 x 6 y , x 3 x 3 Syarat numerus : 1. x 1 0
2 x 1 y 1 y x 2
x 1 2. y 0 3. 2 x 2 y 3 0 2 x 2 y 3 3 x y 2 14x 6 Jadi, y dengan syarat x 3
C. Evaluasi Kemampuan Analisis. b 1. log 1 3x 3 b log x
log 1 3x b log b 3 b log x b log 1 3x b log b 3 x 3 Maka 1 3x b x 3 b x 3x 1 x b3 3 1 1 x 3 b3 b
3 x 3, x 1, y 0, dan x y 2
2. a. log x 1log x y 1log y
x y 1 y x y 1 Maka x 1 y y x 1 x y 1 xy y x y 1 xy y y x 1 xy 2 y x 1 y x 2 x 1 x 1 y ; x 2 x 2
Latihan Kompetensi Siswa 4
log x 1log
Syarat numerus : 1. x 1 0 x 1 ….. (a) 2. y 0 ….. (b) 3. x y 1 0 x y 1 ….. (c) Irisan (a), (b), dan (c) adalah x 1 dan y 0
x 1 dengan syarat x 2 x 2, x 1, dan y 0
Jadi, y
b. 2 log x 1 2 log y 2log 2 x 2 y 3 1 log x 1 y 2 log 2 x 2 y 3 2log 2 Maka x 1 y 2 x 2 y 3 .2 xy y 14 x 4 y 6 xy y 4 y 14x 6 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
A. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. x 1 log 5x 2 4 x x1log x 2 8 Penyelesaian persamaan :
5x 4 x x 8 2 4 x 4x 8 0 2 x x 2 0 x 2 x 10 x 2 atau x 1 Untuk x 2 maka x 1 2 1 1 (tidak memenuhi) Untuk x 1 maka 1 1 2 0 (tidak memenuhi) Jadi, Hp 2
2.
2 x 3
2
log x2 3x 2 2 x 3 log 5 x 10
Penyelesaian persamaan :
x 2 3 x 2 5 x 10 2 x 8 x 12 0 x 6 x 2 0 x 6 atau x 2 Untuk x 6 maka 2x 3 2.6 3 15 0 dan 4 1 Untuk x 2 maka 2x 3 2.2 3 7 0 dan 7 1 Bab 3 | Page 167
Jadi, Hp 2,6
Latihan Kompetensi Siswa 5
3. 3 log 4 x 157 log 4x 15 Penyelesaian persamaan :
A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. D.
4 x 15 1 4 x 16 x 4 Hp 4
2
2
x x 0 c 0 x1 .x2 0 a a 2
2
2
Hasil kaki akar persamaan 0
x 2 2 x 1 2x 2 2 x 2 2 x 3 0 x 3 x 10 x 3 atau x 1 Untuk x 3 2 Fungsi x 2 x 1 atau 2 x 2 2 bernilai 16 0 , maka x 3
2. E. 2
3. C.
2 x 2 3x 1 1 2 x 2 3x 2 0 x 2 2x 10 1 x 2 atau x 2 1 Hp 2, 2 x 3
4 log 3x x 1, ekivalen dengan 9 4 3x 1 3x 9 4 3x.31 3x 9 1 4 3x. 3 x 3 9 1 x 4 .3 3x 3 9 4 x 4 .3 3 9 1 31.3x 2 3 x 1 3 32 Maka x 1 2 x 1 3
5. 4 log 2 x 2 3 x 1 7 log 2 x 2 3 x 1 Penyelesaian persamaan :
6.
2
3 log x 2.3 log x 9 2 2 2.3 log x 3 log x 9 2 3 log x 32 Maka 2 log x 2 2 log x 2 log 22 Maka x 22 x 4
memenuhi syarat numerus Unutk x 1 Fungsi x 2 2 x 1 atau 2 x 2 2 bernilai 0 Maka x 1 tidak memenuhi syarat numerus Hp 3
Penyelesaian persamaan : 2 2 5 x x 1 ; karena log log 1 0
4. log x 2 x 1 log 2 x 2 Penyelesaian persamaan : 2
log x 2 x 1 5 log x 2 x 1
log x 2 x 3 log 3x 2
Penyelesaian persamaan :
x 2 3x 2 2 x 4 x 2
Syarat numerus :
x 2 2 2 4 0
Syarat basis :
x 3 2 3 5 0 dan 5 1 Hp 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 168
4. D.
7. E. x
log 2 1 2 log x 4 3 1 1 2 log x2 log x 4 3 3 3 1 2 log 2 x 4 . 2 log x
log 2 x 4. 2 log x 3 2 log 2 x 4. 2 log x 3 0 2 log x 3 2 log x 1 0 2 log x 3 0 atau 2 log x 1 0 2 2 log x 3 log x 1 2 2 3 2 log x log 2 log x 2 log 2 x 23 x 1 x 8 Hp 1,8 2
6 3 x y 1 9 23 x y 2 9 3 x y 3 x y 1 2.3 2 2 23 x y 1.33 x y 1 32.2 1.23 x y 23 x y 1.33 x y 1 1 32.21.23 x y 23 x y 1.33 x y 1.32 .21.23 x y 1 23 x y 1 1 3 x y .33 x y 1 2 1 2 0.33 x y 3 1 1.33 x y 3 1 33 xy 3 1 33 x y 3 30 Maka 3 x y 3 0 3x y 3 ….. (i) 3 x y
5. B.
1
log 3 3 3 x y log 3.3 2 3
1 a 0,333..... 3
3 x y log 3 2
3
3 x y log 32
b 90 90 90..... , berarti
b 90 b
5 5
log 16
5 3 2
52
log 2 4
5
3 4 5 2. 5.
5
3 . 5 log 2 5
3
4
26
2
8. D.
1 log x x log 3 2 2 1 1 3 log x 3 log x 2 9
. log x 3 log1 x 12
2.3 log x log 2 x 2 3 log x 3 log 2 x 3 log x 2 0 3 log x 2 3 log x 1 0 3 log x 2 0 atau 3 log x 1 0 3 3 log x 2 log x 1 3 log x 3 log 32 3 log x 3log 31 x 32 x 31 Maka x1 32 dan x2 31 x1 .x2 32..31 3 3
8 3 . log 10
23
3
3 log 3 4 3 .3 log 3 4 3 3 .1 4 4
1 3 2
3 log 8
22
log 2
; substitusi (i)
6. B. 25
3
3 x y log log 3 4
kuadratkan
2
b 90 b 2 b 90 b 2 b b 90 0 b 10 b 90 b 10 atau b 9 Pilih b 9 karena b 0 dan b 1 1 a log b 3 log 9 1 2 3 log 32 .3 log 3 1 2.1 2 2
1 2
log 10
6. 13 . 2 log 10 2
5 log 2 2 2.. log 10 2 2 23 2 log10 2 8 10 8 100 92 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 169
1 3. log 2 x 1 log x 2 1 1 3 log2 x log x 0 2 2 6 log 2 x log x 1 0
9. D.
log b z
ax
1 a . log b z x a log b zx 1 by log a . b log a y 1 1 .a y log b 1 1 . y zx 1 xyz
1 log x 6 log x 20 2 1 log x 0 atau 6 log x 2 0 2 1 2 log x log x 2 6 x 10 3 1 x 3 10
x 10
Jadi, Hp 10 , 3
2 2
b.
1 10
log 9 3 log x 1 x log 32 3 log x 1 2.x log 32 3log x 1 2 3log x 1 3 log x x
2 3log 2 x 3log x
3 log x
1
2
3
24
1 log x log 2 log x log 10 2
12 3 4
log x log10 2
4 2 2 . log x log10 3 2
4
log x 3 2 log 10 4
Maka x 3 10
x 10 4 3
3 4
3 4
3
x1 10 4 x 3 1000 B. Eavaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 3
1. a.
1
1
3 2 2
log x log 10
x 10 2
10. E.
1 log x 1 log 5 1 1 2 .2 2 log x log10 log 5 3 1 22 log x 10 log 5
13
1
log x log 10 2
x log x 10 x
kedua ruas di log kan 3 1 2 log x log x log 10 x 1 log x 3. log x log. 10 x 2 1 3. log x. log x log 10 log x 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
log 2 x 3 log x 2 0 3 log x 2 3 log x 1 0 3 log x 2 0 atau 3 log x 1 0 3 3 log x 2 log x 1 3 3 2 3 log x log 3 log x 3 log 31 x 32 x 31 1 x 9 x 3 1 Hp ,9 3 2 2 c. 2 log x 5 2 log x 2 0 2 log x 2 2. 2 log x 1 0 2 log x 2 0 atau 2. 2log x 1 0 2 log x 2 2. 2log x 1 1 2 2 log x 2 log 22 log x 2 1 2 2 2 x 2 log x log 22 1 1 x x 22 4 1 x 2 3
Bab 3 | Page 170
1 1 , 2 4 3 log2 x 2 5 3 log x 9 0
Jadi, Hp d.
log x. 5 log x 4. 5log 5 5 log2 x 4 5 log 2 x 4 0 5 log x 2 5 log x 2 0 5 log x 2 0 atau 5 log x 2 0 5 5 log x 2 log x 2 5 5 2 5 log x log 5 log x 5log 52 2 2 x 5 x 5 1 x x 25 25 1 Hp ,25 25 5
log x 2 .3 log x 2 5. 3log x 9 0 2. 3log x.2. 3 log x 5. 3 log x 9 0 4 3 log 2 x 5 3log x 9 0 4 3log x 9 3 log x 1 0 4 3 log x 9 0 atau 4 3 log x 9 0 9 3 3 log x log x 1 4 9 3 3 log x 3 log 3 4 log x 3log 31 3
1
9
x 3 4
x 3 1 3
94 1 Hp 3 , 3
x 5 log x 5 4 di log kan 5 log x5 log x 5 log 5 4
d.
3. a.
log 2 x log 8 x 15 log 2 log x log 8 log x 15 1 log x log 2 log x 15 2
2
2. dan adalah akar-akar setiap persamaan berikut : a. log 2 x2 log x3 9 0
log x . log x 3 log x 9 0 2 log x.2 log x 3 log 3 9 0 4 log 2 x 3 log x 9 0 A 4, B 3, C 9, a 10 2
2
3
a A 10 4 B
3
10 4 4 1000 b. 5 log 2 x 5 log x6 5 0
log 2 x 6. 5 log x 5 0 A 1, B 6, C 5, a 5
5
6
a A 5 1 56 15.625 c. 3 log x 2 x log 38 3 log x 2 8. xlog 3 1 3 log x 2 8 3 log x 3 3 log x log x 2 8 3 2 3 log x 2. log x 8 0 A 1, B 2, C 8, a 3 B
2
a A 3 1 32 9 B
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
2
2
2
2
2
2
3
2
1 log x 3 log x 15 0 2
2
3 4. 2 log x 2log 2 x 15 0 2 log 2 x 4. 2 log x 12 0 2 log x 6 2 log x 2 0 2 log x 6 0 atau 2 log x 2 0 2 2 log x 6 log x 2 2 log x 2 log 26 2 log x 2 log 2 2 x 26 x 2 2 1 x 6 x 4 2 1 x 64 1 Hp ,4 64 log 5 x 5 x log10.000 b. log kan log 5x log 5 x log10 4 log 5 x.log 5x 4. log10 ; log 10 1 log 2 5 x 4 log 2 5 x 4 0 log 5x 2 log 5x 2 0 log 5x 2 0 atau log 5x 2 0 log 5x 2 log 5x 2
Bab 3 | Page 171
log 5 x log 102 2 5 x 10
log 5 x log 102 2 5x 10 1 5x 100 1 x 500
5 x 100 x 20
1 Hp 20, 500 2 3 c. log x log x
4. a.
2 2 log 2 x 5 2 log x 3 0 2 2 log x 3 2 log x 1 0 2 2 log x 3 0 atau 2 log x 1 0 3 2 2 log x log x 1 2 3 2 2 log x 2 log 2 2 log x 2 log 2
log x 4 log 42
x 4 2 x 16 Hp 2,16
2
log 2 x 2 4 log x10 4 0 4 log x 2 . 4 log x 2 10 4 log x 4 0 2 4log x 2 4 log x 10 4 log x 4 0 4 4log 2 x 10 4 log x 4 0 2 4 log x 4 2 4 log x 1 0 2 4log x 4 0 atau 2 4 log x 1 0 4 1 4 4 log x log x 2 2 1 4 4 log x 2 log x 4 log 42
4 x 25 x 3 2 22 x 25 x3 2 Maka 2x 5 x 3 2 2x 5 x 3 0 2 x 1 x 30 2 x 1 0 atau x 3 0 1 x x 3 2 1 Hp ,3 2 2 log x 14 y 3 ….. (i)
4
4
2
x 2 3 x 2 x 8 Hp 8 ,2 2 x c. log log 25 1 ; ekivalen dengan x log 25 21 x log 25 2 ; ekivalen dengan 2 x 25 2 2 x 5 x 5 Hp 5 4 5 x3 d. log 2 x 2 ; ekivalen dengan
log 2 x 3.log x 3 log 2 x 3 log x 0 log x log x 30 log x 0 atau log x 3 0 log x log 1 log x 3 x 1 log x log103 3 x 10 x 1.000 Hp 1,1.000 5 2 5 2 d. log x log x 5 log 2 x 2. 5 log x 5 log 2 x 2. 5log x 0 5 log x 5 log x 2 0 5 log x 0 atau 5 log x 2 0 5 log x 5 log1 5 log x 5log 52 2 x 1 x 5 x 25 Hp 1,25
b. 2 2 log 2 x 5 2 log x 3
1
x 4 2
x 4 x 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
5. a.
log x log y 11 ….. (ii) Persamaan (i) 2 2
log x 14 y 3 log x 14 y 2log 23 x 14 y 23 x 14 y 8 x 8 14 y …..(iii)
Substitusi (iii) ke (ii)
log x log y 11 log 8 14 y log y 11 8 14 y log log 10 y 1 Bab 3 | Page 172
8 14 y 10 y 1 8 14 y 10 y 10 4 y 2 1 y 2 1 2
11 3 7 p . 2 2 4 26 13 p 4 2 13 3 Hp , 2 2
log x log y 2 3 ….. (i)
Substitusi y ke (iii)
x 8 14 y 1 x 8 14. 2 x 8 7 x 15 1 Hp 15, 2
c.
x2 y 125 ….. (ii) Persamaan (i)
log x log y 2 3 xy 2 1.000 1.000 x 2 ….. (iii) y Substitusi (iii) ke (ii)
3 9. 27….. (i) q
p
b. 2
x 2 y 125 2
1.000 y2 y 125 106 . y 125 y4 106 125 y3 106 y3 125 3 y 8.000
log 7 log 11q 2 p1 ….. (ii) 2
Persamaan (ii)
log 7 2 log 11q 2 p1 7 2 log 2 log 2 11q 2 p 7 Maka 2 11q 2 p 22q 4 p 7 4 p 22q 7 11 7 p q ….. (iii) 2 4 2
y 20 Maka y 20 Substitusi y 20 ke (iii) 1.000 1.000 x 2 y 202 1.000 5 400 2 x y 2 .4 128 ….. (i) 3
Substitusi (iii) ke (i)
3 9.27 p
q
11 q 7
3 2 4 32.33 q 11 q 7 3 2 4 32 3 q 11 7 Maka q 2 3q 2 4 5 15 q 2 4 15 2 3 q 4 5 2 3 q 2 3 Masukkan q ke (iii) 2 11 7 p q 2 4 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
d.
3
log 4 x y log 2 log 15 ….. (ii) Persamaan (ii)
log 4 x y log 2 log15 log 4 x y log 2.15 log 4 x y log 30 4 x y 30 y 4 x 30 …..(iii)
Substitusi (iii) ke (i)
2 .4 128 x
y
Bab 3 | Page 173
4 x 30
2 .4 128 x 2 4 x 30 7 2 .2 2 x 8 x 60 7 2 .2 2 29 x 60 2 7 9x 60 7 9x 67 67 x 9 67 Substitusi x ke (iii) 9 y 4x 30 67 4 30 9 268 270 9 9 2 y 9 67 2 Hp , 9 9 4 2 log x 2 log y 1 ….. (i) x
8 1 64 8 Untuk x 4 8 8 y 3 3 42 3 8 1 8 1 16, dan 4,1 8
1 Hp 16, , 4,1 8 C. Evaluasi Kemampuan Analisis. 2 2 1. a. 3ln x ln x 8 0
3 ln x 2 ln x 8 0 ln x 2 3ln x 40 4 ln x 2 atau ln x 3 2
ln x ln e x e
e.
x y 8 ….. (ii) 3 2
2
4
x e 3
2
3 8 x 2 y 8 y 3 ….. (iii) x2
b.
4 log 2 x 2 log y 1 8 4 log 2 x 2 log 3 1 0 x2 3 4 log x. 4 log x 2 log 8 2 log x 2 1 0 12 14 3 2 log x . log x 3 . log x 1 0 2 2 2 2 1 2 3 2 2 0 4 log x 2 . log x 4 2 2 2 log x 6 log x 8 0
ln
x 4 2 2 ln x
lnx 4 2 ln x ln x 4 2 ln x
Substitusi (iii) ke (ii)
2
x 4 2 x 2 x 4 x 4x 4 2 x 5x 0 x x 50 x 0 atau x 5 (tidak memenuhi)
Hp 5
log x 4 log x 2 2 2
log x 4 0 atau log x 2 0 log x 2 log 2 4 2 log x 2 4 2 x 2 log x 2 log 22 2 x 16 x 2 x 4 Untuk x 16 8 8 y 3 6 16 2 2 2
4
Hp e , e 3
Persamaan (ii)
2
4
ln x ln e 3
2
2
2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
x1 log16 4 x2 x
2. a.
2
log x1 log16 2 log 4 x 2 x
log kan
1 log16log x log 2 x 1 log 2 log x 2. log 2 1 4 . log 2 log x 2log 2 log x 4 1 1 log 2 x log x log x 2 x
2
x
4 2
2
x
4 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
log x 4 2 2 2 log x
Bab 3 | Page 174
2 2 log x 2 log x 4 2 2
log x 2
2
log x 2 log 2 2 x 2 2 x 4
Hp 4 b. 6 log x
1 2 log x
1 3
3 ln 3
x e d. ln x ln 0 ln x ln 1 ln x ln 1
1
1 1 2 log 6 log x 3 log x 1 1 x x log 6 log 2.3 1 1 x x log 6 log 6 Maka persaman tersebut akan berlaku untuk x 0 , x R Hp x | x 0, x R
Maka x 4. Asumsi a b 0
a 2a b b a b a b a b a b a b log a b a b a b log 2x 2 loga b 4
y bye
kx
2
2 2 x2
2x
2x
2
2 x. log a2 b 2 2 log a 2 b 2 2 x log a b log a b
2 x.log a 2 b 2 2 x log a b
2 log a b2 log a b 2
2 2 a 2 b 2 a b log 2 x. log a b a b 2
2 a b a blog a ba b
a b
a b
2x . log a b log
a ba b2 2
a b
x log a b log a b a b 2
a
2
log a b a b x 2 log a b 2
kx
a y a y e kx by Persamaan tersebut ekivalen dengan a y ln kx by bye
2 2
2 x log a b loga b
2 x. log
2x
x 1
2
2
x 10 10 .x0 a b. y 1 be kx y 1 be kx a
1 4 x
2 2
x x0
x log 10 x0 Persamaan tersebut ekivalen dengan x 10 10 x0
1
ln x ln
1 log x
x
3. a. 10 log
x e3 ln 3
1 a y x ln atau k by 1
a y k x ln by
c. 3 ln x 3 ln ln x3 3 ln
x a b log a b a b 2
2
x a b log a ba b log a b 2
2
1 2 x a b log a b 2 2 1 a b x log a b 2
a b
2
log a b
5. log 2 a, log 3 b 6 x
10 6 3 x
6 x
10 log 6 log 3 x
x3 e3 ln Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 175
10 3 x log 2 log 3 6 x log10 log 3 x a b 6 x 1 b x a b 6 6b x b x a b x 7b 6 x a b 1 7b 6 7b 6 x a b 1 x.log 6 6 x log
Latihan Kompetensi Siswa 6 A. Evaluasi Pengetian atau Ingatan 1. C. 1 2
1 log x 2 x log 2 log x 2 2 x 3
Jadi, nilai x yang memenuhi 2 x 3 atau 3 x 4 3. C. 4
Syarat numerus
8 16 0 x 8 16 2 3 x 2 4 3x 4 4 x …. 1 3 x
Syarat pertidaksamaan
8x 16 16 8 x 32 23 x 25 3 x 5 5 x ….. 2 3
1 2
x 4 atau x 2 ….. 1 Syarat numerus
4. B.
x 2 x 0 x x 20 2
D b 2 4ac 0 12 4.a.1 0 4 a 1 1 a ….. 1 4 2 Koefisien x positif jika a 0 ….. 2 1 Irisan 1 dan 2 adalah 0 a 4
log 8 x 2
Syarat basis x 2 0 dan x 2 1 x 2 dan x 3 ….. 1 Syarat numerus
8 x 0 x 8 ….. 2
Syarat pertidaksamaan : x 2
5. D
log 8 x 2
log 8 x log x 2 x 2
2
log 8 x log x 4 x 4 2 8 x x 4x 4 2 x 3x 4 0
x 2
Syarat logaritma adalah numerus harus positif ax 2 x 1 0 fungsi kuadrat akan bernilai positif jika D 0 dan koefisien x 2 0
Jadi, nilai x yang memenuhi x 4 atau x 2
x 2
y log ax 2 x 1
Irisan 1 dan 2
x 2
log 8x 16 4log 4 2
log x 2 2 x log 8 x 2 2 x 8 x 2 2 x 8 0 x 4 x 20
2. A.
log 8x 16 2
1 2
2
1 2
1 x 4 ….. 3 Irisan 1 , 2 , dan 3
4
3
1 2
x 4 x 10
x 2
2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
f x 3 log x 2 3 x 4
Fungsi tersebut memiliki nilai jika numerus 0
x 3 x 4 0 2 x 3 x 4 0 2
Bab 3 | Page 176
x 4x 10
Penyelesaian 10 x 100
1 x 4 Daerah asal 1 x 4 6. A. 1 2
log x 2 2x 2 log x 10 1
Syarat numerus : 1. x 2 2x 0
x x 20
x 0 atau x 2 ….. 1 2. x 10 0 x 10 …..2 Syarat pertidaksamaan
log x 2 2x 2 log x 10 2 x 2x x 10 2 x 3 x 10 0 x 5 x 20 1 2
1
2 x 5 ….. 3 Irisan 1 , 2 , 3
log x 2 3x 2 log x 15
Syarat numerus : 2 1. x 3x 0
x x 30
x 3 atau x 0 ….. 1 2. x 15 0 x 15 ….. 2 Syarat pertidaksamaan
log x 2 3x 2 log x 15 2 x 3x x 15 2 x 2 x 15 0 x 5 x 30
2
x 5 atau x 3 ….. 3 Irisan 1 , 2 , dan 3
10. A. 1 2
log 1 2 log x 2 2 log 1 2 log x 2 log 22 1 2 log x 2 2 2 log x 4 1 2 log x 3 2 log x 3 2 log x 2 log 23 1 2 log x 2 log 8 1 Jadi, x 8 2
2
15 x 5 atau x 3 Hp x | 15 x 5atau x 3
Jika, nilai x yang memenuhi 2 x 0 atau 2 x 5 7. E.
9. A.
8. C.
log 2 x 3 log x 2 0 log x 2 log x 10 log x 2 0 atau log x 1 0 log x 2 log x 1 log x log 102 x 100
log x log 10 x 10
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
4 log x
3 2 0 2. log x 1
log x 2 log x 142 log x 13 log x 2 log x 1 2
2
2
2
2
log x
2
2 2 log 2 x 2 log x 8 2 log x 4 3 2 log x
log x 2 log x 1 2
2
0 0
4 2 log 2 x 6 2 log x 4
log x2 log x 1 0 log x 2log x 10 log x 2 log x 1 2
1 2 2 2
2
2
2
Pembuat nol : log x 2 2
log x 1 log x 0 1 2 log x 2 2 log x 0 2 log x 2 log1 x 1 2 2
1 2 log x 1 2 2 log 2 2 log x 2 log 2
2 x 2 Bab 3 | Page 177
log x 2 2 log x 2 log 4 x 4
Irisan 1 dan 3
2
Syarat numerus :
x 0 Jadi, 0 x 1 atau x 4
2 x 2 atau
2 x 3 untuk 0 a 1 nilai x yang memenuhi 1 x 2 untuk a 1 nilai x yang memenuhi 2 x 3 5 c. log x 2 1 Syarat numerus :
x 2 0 x 2 ….. 1
B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. log x 1 log x 81 Syarat numerus : 1. x 10
x 1 2. x 8 0 x 8 Maka x 8 ….. 1
Syarat pertidaksamaan
log x 1 log x 81 log x 1 x 8 log10 x 1 x 8 10 2 x 7 x 8 10 0 2 x 7 x 18 0 x 9x 20
Syarat pertidaksamaan 5
Irisan 1 dan 2 adalah x 7 Jadi, nilai x yang memenuhi x 7
d. 2 log 2x 14 log x 2 1 0 Syarat numerus : 1. 2 x 1 0
1 x 2 2 2. Nilai x 1 selalu posotif, jadi tidak ada batas nilai x.
1 2
Sehingga syarat numerus x ….. 1 Syarat pertidaksamaan
Irisan 1 dan 2 adalah 8 x 9 Jadi, nilai x yang memenuhi 8 x 9
2
b. log x 1 log 3 x a 1, a 0 Syarat numerus : 1. x 1 0 a
x 1
2. 3 x 0
log 2x 1 log x 1 2x 1x 1 kuadratkan
log 2 x 1 4 log x 2 1 0 2 log 2x 14 log x 2 1
2
2 x 9 ….. 2
a
log x 25 log 5 x 2 5 x 7 ….. 2
1 2
2x 12 x 2 1
4 x 2 4 x 1 x 2 1 3x 2 4 x 0
x 3
4 0 x ….. 2 3
Syarat pertidaksamaan :
log x 1a log 3 x Untuk a 1 x 1 3 x 2x 4 x 2 ….. 2 a
1 4 x 2 3 1 4 Jadi, nilai x yang memenuhi x 2 3 Irisan 1 dan 2 adalah
Irisan 1 dan 2
2. a.
log x 3log x 4 2
2
Syarat numerus : x 0 ….. 1 Syarat pertidaksamaan :
log x 3log x 4 0 2
2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
1 2
2
2
1 x 3 ….. 1
1 x 2 Untuk a 1 x 1 3 x 2x 4 x 2 ….. 3
2
2
log 2 x 3 2log x 4 0 Bab 3 | Page 178
log x 4 log x 10 2
2
log x 4 0 atau 2 log x 1 0 2 2 log x 4 log x 1 2 2 log x 2 log 24 log x 2 log 21 4 1 x 2 x 2 1 x 16 x 2 1 Maka x atau x 16 ….. 2 2 1 Irisan 1 dan 2 adalah 0 x atau 2 x 16 2
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah
1 0 x atau x 16 2 3 b. log x 1 3 log x 21 3
log x 1 x 21 3 log 3 3 log x 2 x 2 3 log 3
x 2
Syarat pertidaksamaan 3
log x x 2 log 3 x 2 x 2 3 x 2 x 5 0 2
3
1 12 4.1. 5 x1, 2 2 1 21 2 1 21 1 21 x atau x ….. 2 2 2 Himpunan x yang memenuhi adalah irisan 1 dan 2 yaitu :
1 21 1 x 2 1 2 2 c. log x 2 2 log x 1
1
log x 2 2 2 log x 1 2 log x 2 2 2 log x 1 1 1 2 2 log x 2 2 log 2 x 2 x 2 2 x x 2 2 2 x x 2 2 x 2 0 2
2 2 2 4.1. 2 x1,2 2 1 3 x1 1 3 atau x 2 1 3
1 3 x 1 3 ….. 2 Irisan 1 dan 2 Nilai x yang memenuhi adalah
x 1 ….. 1
2. x 2 0
dari 1. dan 2. 0 x 2 ….. 1 Syarat pertidaksamaan
Syarat numerus : 1. x 1 0
x 1
2. x 0
Syarat numerus : 1. x 2 2 0
x 2 x 2
0 x 2 d. a log2 x 1 0 a log x 1 a log x 10 Syarat numerus : x 0 ….. 1 Untuk 0 a 1
log x 1 log x 10 a
a
log x 1 atau a log x 1 a log x a log a1 a log x a log a 1 x x a a 1 a x ….. 2 a a
Irisan 1 dan 2 adalah
1 a x a Untuk a 1 a log x 1 a log x 1 0 1 x x a a 1 x a ….. 2 a
x 2 atau x 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 179
Irisan 1 dan 2 adalah
1 x a a
Jadi, untuk 0 a 1 nilai x yang
1 a
untuk a 1 nilai x yang
1 x a a
3. a.
2
2x 3 x 10
2
3 x 1 atau x 2 2. x 0
Persamaan 2
x y 1 x 1 y
3 2
Maka 0 x 1 atau x
Persamaan 1 x y x y
log x y
4
Syarat pertidaksamaan
log x y 4 2 2
2
2
2
x y
log x y 2
x y 4 x y ; karena x y 1 2
2
2
x 2 y 2 4 x 2 2 y y 2 2 y 4 y 2 Syarat numerus :
x 2 y 2 4 0 x 2 y 2 4 Merupakan daerah diluar lingkaran dengan pusat 0,0dan jari-jari 2 Jadi, himpunan penyelesaian adalah daerah yang diarsir, yaitu : y 2, x y 1, dan x 2 y 2 4
b. log x 2 y 2 1 2 log x y Syarat numerus : 1. x 2 y 2 1 0
x 2 y 2 1….. 1 2. x y 0 y x ….. 2
log 2x 2 5x 3 2 log x log 2 x 2 5x 3 2 log x log 2 x 2 5x 3 log x 2 2 x 2 5x 3 x 2 x 2 5x 3 0 5 54.1.3 x1,2 2 5 13 2 5 13 5 13 x1 x1 2 2 2
5 13 5 13 x atau x ….. 2 2 2 Irisan 1 dan 2 Daerah penyelesaian untuk x adalah
5 13 5 13 0 x atau x 2 2 4. a. log x 1 Syarat numerus x 0 ….. 1 Syarat pertidaksamaan : 2
Syarat pertidaksamaan
Syarat numerus : 2 1. 2 x 5x 3 0
log x y 4 2 ….. 1 x y 1 ….. 2
x y
1 x 2 y 2 1 dan y x dan xy 2 2 log 2 x 5 x 3 c. 2 log x
memenuhi a x
memenuhi
Daerah irisan 1 , 2 , dan 3 Himpunan penyelesaian adalah
log x 2 y 2 1 log x y 2
x 2 y 2 1 x 2 y 2 2 xy 1 2 xy 1 xy ….. 3 2
log x 1 2 log x 2 log 2 x 2 ….. 2
2
Irisan 1 dan 2 adalah 0 x 2 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah
0 x 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 180
b. 2 log 2 log x 1 Syarat numerus : 2 log x 0 ….. 1 2
log x 2 log1 x 1
Syarat pertidaksamaan :
log 2 log x 1 2 log x 2 log x 2log 2 2 log x 2 2 log x 2 log 22 2 log x 2 log 4 x 4 ….. 2 Irisan 1 dan 2 adalah 1 x 4 Himpunan x yang memenuhi pertidaksamaan adalah 1 x 4 c. 2 log 2 log 2 log x 1 syarat numerus 0 2 log 2 log x 0 2 log 2 log x 2log 1 2 log x 1 2 log x 2log 2 x 2 ….. 1 2
2. B. a
1 b log c a log c b a log c . c log a logb log b
log 2 log 2 log x 1 2 log 2 log 2 log x 2 log 2 2 log 2 log x 2 2 log 2 log x 2 log 22 2 log 2 log x 2 log 4 2 log x 4 2 log x 2 log 24 2 log x 2 log 16 x 16 ….. 2
b
3. C.
x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan log log x 3 log 2 log log16 x log log x 3 .2log log16 x 2. log x 3log 16 x log x 3log 16x 2
Maka x 316x 2
x 2 6x 9 16 x 0 x 2 10 x 9 0 x 9 x 10 x1 9 atau x2 1 x1 .x2 9 1 9 4. D.
Jadi, daerah penyelesaian adalah adalah
2 x 16
Uji Kompetensi Akhir BAB 3
log 5 5 log 3 log 45 log15 log 5 . 3.45 log 225 15 log 15 log15 1
a
c
a
a
c
c
b
5
log 152.15 2 log 15 2 log 15 log15 5 log 15 5 2 log15 2
A. Pilihan Ganda 1. C.
log b log blog b log ac log b log b log b log b log b. log c.
a log b log a a log a 1
Syarat pertidaksamaan : 2
a log b. b log a b log c c log b b b log b. log c. log a log ac a b log a. log c c log c. b log a log b log ac b b log c log a log b log ac b log ac log b log ac . log b log ac log b
b
log a
log ac
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 181
log p 2 1 2 log p 3 p 2 3 8
5. C. 2
2
log 3 a dan log 7 b 3
2 ab 2 2 log 3. 3 log 7 1 2 a 1 2. 2 log 3 2 2 log 7 2 1 log 32 2
log 22.7 2 log 28 2 log 2.9 2 log 18 18log 28 6. A.
f x 22 x1 y 22 x 1 2 x 1 2log y 2x 2 log y 1 2 log y 1 x 2 2 log x 1 f 1 x 2 3 2 g x log x 2x y 3log x 2 2 x 2 y x 2x 3 x 12 1 3y
g 1 x 1 3y 1
1 f g p 3 1 1 g f p 3 1 1 g f p 3
2 log p 1 g 1 2 3
2
log p 1 2
2
log p 1 2
3
3
2
Syarat numerus 2 1. x 3x 0
x x 30 2. 12 2 x 0 2 x 12 x 6
log x 2 3 x 0 ,1 log 12 2 x 2 x 3x 12 2 x 2 x x 12 0 x 4 x 30 3 x 4 ….. 2 0 ,1
x 1 3y 1
1 3
log x 2 3 x 0 ,1 log 12 2 x
Syarat pertidaksamaan
x 1 3y 1
log p 1 2
0 ,1
x 0 atau x 3 Maka x 0 atau 3 x 6 ….. 1
2 y x 1 3 1
2
7. D.
Irisan dari 1 dan 2 adalah 3 x 0 atau 3 x 4 8. E.
f x 3 log x 2 9 3 f x f 3 log x 2 3log 2 x x 9 3 logx 2 . 2 x 3 log 9 2
9. D. 2
2
log x 12 xlog 2 4 0 2 log x 2 12 4 0 log x
log x 4 log x 12 0 2
2
log x 6log x 2 0 2
2
1 2
log x 6 atau 2 log x 2log 26 x 2 6
1 4
x 64
1 3
log p 1 2
3 31 2 log p 1 Jadi, 1 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
2 log x
2
2 2
log x 2 log x 2 log 22 x 22 1 x 4
1 x 64 ..... 1 4
Bab 3 | Page 182
log x 1 2 log x 2 log 2 x 2 2,0
Syarat numerus dan basis : x 0 dan x 1 maka x 1 ….. 2 Jadi, himpunan penyelesaian
2
1 x 64
Syarat numerus :
x 0
10. D.
4 log 64 log 2x 6
40 x
2
Fungsi y 2 log x 1 adalah fungsi naik (turunnya 0 untuk x 0 ) Jadi, grafik yang sesuai
0
2
log 64 log 2 4
4 x log 64 .2
x 40 x 6 2
40x 6
0
log 1
x 40 x 6 2
644 .2
2 .2 6 4
3
1
x 40x 24
6 2 20 2 x 40 x 24 0 6 x 2 40 x 24 6 x 2 40 x 192 x 2 40 x 192 0 b x1 x2 a 40 40 1
Jumlah semua nilai x yang mungkin adalah 40 11. C.
8
log log 25 log 8 2 x log log 25 3 x
8
3
3
log 2 x 1
3
log 2 x 1
25 52
2 log 2 x 1
52
2x 12 25
2
8
9 32
1
2
x 40 x 6
13. C.
4 x 2 4 x 1 25 0 4 x 2 4 x 24 0 x 2 x 6 0 x 3 x 20 x 3 atau x 2 Syarat numerus :
2 x 1 0 1 x 2
Jadi, yang memenuhi syarat adalah x 3 Hp 3 14. C.
log 2 x 3 2 log x 10 0 Punya akar x1 dan x 2 A 1, B 3, C 10, a 2 2
3
x1 .x2 a A 2 1 23 8 B
2 3
2
log 25 8 3 x log 25 4 4 x 25 x
15. C.
4 x 25 5 2 1
3 8log 2 x 2 8 log x 5 0 A 3, B 2, C 5, a 8
1 4
x1.x 2 8
1
x 5 2 5 12. E. Grafik y 2 log x 1 Titik potong dengan sumbu x y 0
0 2 log x 1 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
23
2 2
23 1 4
23
16. C.
3 2 2 3 log 1 log 1 2 3 3 2 2 3 2 3 log log 2 log log 3 2 3 Bab 3 | Page 183
log 2 1 2
Nilai x yang memenuhi ada 4 buah
17. A.
x
x x 3 x 2 4x 4 0 x x 2 x 2 3 x 2 0 x x 2 x 2x 10 x 0 atau x 2 atau x 2 atau x 1
3 2 2 3 log .2 log .3 2 3 2 3 log 3 log 2
log x log y
x
log xy
5 5
20. A. x1
1 log xy
x 5 y 2 log xy y 2
3 2 x 1 x 3 .3 2 3x 2x 3 3x 3 2x
….. 1
log x log y
y 2
1 log xy
….. 2
dari 1 dan 2
x
x
x. y 5
1 log xy
.2
1 log xy
3 3 2 3
xy 10
1 log xy 1 log xy
log xy log10 1 log xy .log10 log xy
log 2 xy log10 log 2 xy 1 log 2 xy 1 0 log xy 1 log xy 10 log xy 1 0 atau log xy 1 0 log xy 1 log xy 1 1 log xy log 10 log xy log10 1 xy 0,1 xy 10 10 18. D.
c
ab
log b
c
c
log b
ab
ab
ablog a .c
log b
ab
ab
log a
log a
ab ab
log a
ab
log x 4 x3 4 x 2 3x 1 x log x 4 x3 4 x 2 3x xlog x x 4 x 3 4x 2 3x x x 4 x 3 4 x 2 4 x 0 x
3
log x 2 3log 2 x 1
Syarat numerus :
2 x 1 0 1 x ….. 1 2
Syarat pertidaksamaan :
log x 2 3 log 2 x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 x 1 0 2 x 1 0 3
Fungsi tersebut selalu bernilai positif selain di x 1 . Jadi x 1 ….. 2 Irisan 1 dan 2 adalah
ab
c log ba .a c1 .a ca ac 19. D.
21. C.
1 x 1 atau x 1 2
. abc log a
ab
x 2 log 3
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
22. D.
p 16 log x 16 p x ….. 1 4 log 4 log x 4 log 4 log 4log 16 2 4 log 4 log 16 p 4 log 4 log 4 log 16 2 4 log 4 log 42 p 4 log 4 log 4log 4 2 2 4 log 2 p 4 log 4 log 2 2 4
2
log 2 p 4 log 2 log 2 2 1 4 4 log 2 p log 2 2 Bab 3 | Page 184
4
log 2 p 2 log 21 2 1 4 log 2 p 2 2 3 4 log 2 p 2 3 4 4 log 2 p log 4 2 2 p 8 p 4 ….. 1 2
Syarat numerus :
0 p 4
x
2
log x
x 2
2
2 log x
x 1.000 2 log x log x log1.000
2 x 2 4 x 10 0 Ternyata fungsi tersebut definit positif, untuk fungsi definit positif, terdapat nilai minimum Nilai x minimum didapat dengan menurunkan numerus
4x 4 0 4 x 4 x 1 Untuk x 1 ymin 2log 2.12 4.1 10
2 log 8 2 log 23 3
Maka nilai minimum y 3 Jadi, nilai fungsi berada di interval y 3
2 log x log x log103 log 2 x 2 log x 3 0 log x 3 log x 10 log x 3 0 atau log x 1 0 log x 3 log x 1 3 log x log 10 log x log 10 x 103 x 10 1 x 1.000 1 x1.x 2 .10 1.000 1 0,01 100 27. D.
24. B.
log 5 x
log x 4 3 3 2 log x log x 4 3log 2 x 5 3 log x 4 0 3 log 2 x 5 3 log x 4 0 3 log x 4 3 log x 10 3 log x 4 0 atau 3 log x 1 0 3
x1 dan x 2 merupakan akar persaman
26. A.
Syarat numerus :
25. D.
log x log x2 log x 2 2 log x .2 log x 2. 2 log x 2 2 log 2 x 2 2 log x 0 2 2 log x log x 2 0 2 2 log x 0 atau log x 2 0 2 log x 2 log1 2 log x 2 2 x 1 log x 2 log 4 x 4 x1 x2 1 4 5
Irisan 1 dan 2
y 2log 2 x 2 4 x 10
log x 1 3 log x 3 log 3 x 3 3
Nilai x yang memenuhi 3 atau 81
2
log x 0 4 log x 4 log 1 x 1 Karena x 16 p maka 16 p 1 16 p 160 p 0 ….. 2 4
23. B.
log x 4 3 log x 3 log 34 4 x 3 x 81 3
5 3 log x
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
x 25 5.x log x log 5 log x
x 25 log x 5 .x 5 x log .x log x 25 5. xlog x Bab 3 | Page 185
29. C.
5
x log 125 log x log 5 log125 log 5 log x log125 log 125 log x log 5 5 log x log 125 log x 5log 53 log x 3 log x log10 3 x 1.000
log x 10 7
log x ; b 1 log x 7 log x 10 0 b log x 5 b log x 2 0 b log x 5 atau b log x 2 b log x b log b5 b log x b log b2 x b 5 x b 2 b
2
b
b
Maka b2 x b5 30. E.
1 1 log x 2 x 2
28. D. 4 3 2 0 log x log x 1 4 3 1 2 2 0 log x log x 1 1 2
2
log x 4 3 2 2 log x log x 1
log x 4log x 13 log x 2
2
2
b
2
2
log2 x 2 log x 4 2 log x 4 3 2log x 0 2
2
2
log x 2 0 atau log x 2 0
2
log x 2
2 2
2
log x 2
log x log 2 log x 2log 2 2 1 x x 4 4 1 x 4 ….. 1 4 Syarat numerus : x 0 ….. 2 Syarat penyebut tidak boleh nol 1. 2 log x 0 2
2
2 x
1 2 x 1 2 log x 1 2 log x 2 1 2 log x 2 log 4 1 x 4
log 2 x 4 0
log x 2log x 20 2
2x
1 2 log x
2
log x 2 log 1 x 1 ….. 3 2 2. log x 1 0 2 log x 1 2 log x 2 log 2 x 2 ….. 4 2
Daerah irisan 1 , 2 , 3 , dan 4
1 x 1 atau 1 x 2 atau 2 x 4 4
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
B. Bentuk Uraian
x 1 x 1
1. f x 2log
Titik potong sumbu y x 0 jika dimasukkkan x 0 maka numerus bernilai negatif, artinya tidak ada titik potong sumbu y Titik pototng sumbu x y 0
x 1 2 y 0 0 log x 1 x 1 2 2 log 1 log x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 ? Tidak ada titik potong sumbu x Syarat numerus :
x 1 0 x 1 x 1 atau x 1 Jadi, asimtot x 1 dan x 1 x 1 2 f x log x 1
Bab 3 | Page 186
2. y f x 8 log ax 2 ax 3 Agar fungsi terdefinisi, maka numerus harus positif ax 2 ax 3 0 Syarat persamaan kuadrat selalu bernilai positif adalah D 0 dan koefisien x 2 0
D b2 4ac 0 a 2 4.a. 30 a 2 12a 0 a a 120 12 a 0 ….. 1 Koefisien x 2 a 0 ….. 2 Irisan 1 dan 2 adalah himpunan kosong. Jadi tidak ada nilai-nilai a yang memenuhi agar fungsi itu terdefinisi. 3. f x 2 .5 1.600 Titik potong dengan sumbu x y 0 3 log x
log x
y 0 0 2 .5 1.600 3 log x log x 2 5 1.600 log x log x 8 .5 1.600 log x 8.5 1.600 log x 40 1.600 log x 2 40 40 Maka log x 2 log x log10 2 x 100 3 log x
log x
Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah
100,0
4.
log x 2 4 1 5 log x 2 4 5log 5 2 x 4 5 2 x 9 0 x 3 x 30 3 x 3 ….. 1 5
Syarat numerus :
x 2 4 0 x 2 x 20 x 2 atau x 2 ….. 2 Irisan daerah 1 dan 2 adalah 3 x 2 atau 2 x 3 Jadi, himpunan nilai x yang memenuhi adalah 3 x 2 atau 2 x 3
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
5.
log 2 x 2 log x 2 3 0 2 log2 x 2. 2 log x 2 3 0 2 log x 3 2 log x 1 0 2 log x 3 0 atau 2 log x 1 0 2 2 log x 3 log x 1 2 2 log x 2log 23 log x 2 log 21 3 1 x 2 x 2 1 x 8 x 2 1 x 8 ….. 1 2 2
Syarat numerus : x 0 ….. 2 Irisan 1 dan 2 adalah
1 x 8 2
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah
1 x 8 2
Uji Akhir Semester 1. C.
Sn 2n2 6n a S1 2.12 6.1 4
2a b S 2 2.22 6.2 4 2a b 4 2 4 b 4 b 4 8 b 4 Beda 4 2. B.
U1 U 3 A U2 U4 Un adalah suku ke-n barisan aritmetika
U6 18 a 5b 18 U 10 30 a 9b 30 4b 12 b 3 a 5b 18 a 5.3 18 a 18 15 a 3
Bab 3 | Page 187
U1 a 3 U 2 a b 3 3 6 U 3 a 2b 3 2.3 9 U 4 1 3b 3 3.3 12 3 9 A 6 12 Det A 3 12 6 9 36 54 18 3. D.
S 7 dan Sgenap 3 a S 7 1 r ar S genap 3 1 r 2 a 7 1r ar 3 1r 2
a 1 r 2 7 ar 1 r 3 1 r 1 r 7 r 1 r 3 3 3r 7r 4 r 3 3 r 4 a 7 1 r a 7 1 r 3 7 1 4 1 7. 4 7 4 4. C. Bola memantul dari ketinggian 5 m
2 r m 3 2 10 a 5. m 3 3
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
103 2 1 3
Panjang lintasan 5 2
5 2.
10 3 1 3
5 2.10 25 5. D. Kelompok bilangan
2 , 4,6,8 , 10,12,14,16,18 , 20, 22, 24, 26, 28 .....,.....
Suku awal kelompok
2, 4, 10, 20,..... 2 6 10 4 4 Pola barisan tingkat 2 Pendekatan 1 :
4 2 n 2n 2 2!
Langkah 1 Awal :
2 4 10 20 2n : 2 8 18 32 Hasil operasi 1 : 0 4 8 12 4 4 4 4 1 Pendekatan 2 : n 4 n 1! 2
Langkah 2 Hasil Operasi 1 :
2 4 10 20 4n : 4 8 12 16 4 4 4 4 0 0 0 Pendekatan 3 4 2 Un 2n 4n 4 Suku awal kelompok delapan
U8 2.8 4.8 4 128 32 4 100 2
Suku ketiga dari kelompok 8
U 8 3 1 .b 100 2.2 104
6. E. Deret geometri
U6 ar 5 162
162 a 5 ….. (i) r log U 2 logU 3 logU 4 log U5 4 log 2 6 log 3
Bab 3 | Page 188
log ar log ar 2 log ar 3 log ar 4 log 24 log 36 162 2 162 log 5 .r log 5 .r r r 162 4 162 log 5 .r log 5 .r r r 4 6 log 2 .3 162 4 log 4 r 12 3 4 log 24.36 5 r 4 10 log 162 r log 24.36 1624 r 10 24 .36 2 4.36 r 10 4 162 24.36 r 10 4 4 2.3
2 4.36 r 10 4 16 2 .3 10 10 r 3 r 3 7. C.
a , b, c barisan geometri, r 1 a ,b 4, c barisan aritmetika jumlah 30
Karena a, b, c geometri, maka b 2 ac a ,b 4, c barisan aritmetika maka
b 4 a c b 4 b 4 a c b 4 a 2b c 8 ….. (i)
Diketahui :
a b 4c 30 a b c 26 ….. (ii)
Dari (i) dan (ii)
a 2b c 8 a b c 26 3b 18 b 6 Masukkan b 6 ke (ii) a 6 c 26 a c 20 a 20 c Substitusi a 20 c , b 6, ke b 2 ac
62 20 c c 36 20c c 2 2 c 20 36 0
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
c 18 c 20 Maka c 18 atau c 2 Jika c 2 maka a 20 2 18 Jika c 18 maka a 20 18 2 Jadi, bilangan semula a, b, c adalah 18, 6, 2 atau 2, 6,18 Hasil kali 18 6 2 216 8. B.
A 2 2 3 6784 B 1 9 0,19 0,1 9 0,1 ..... 9 0,1
deret geometri dengan a 9 0,1, r 0,1
9 0,1 1 0,16784 S6784 1 0,1
0, 9 1 0,16784 0, 9 1
B 1 S 6784
1 2
Karena B 2 dan A 2 maka B A 9. B.
3
Untuk t , barisan sin 2 t
1 1 1 , , 2 2 2 sin 2
3
sin 4 t
,..... menjadi
sin 4
1 3 1 , , ...... ; sin 3 2 3 2 2 4 1 1 3 2 3 1 12 1 , , ,..... 2 2 2 1 1 , 2 2
Perkalian barisan tersebut
12 3 2 1 12 3 4 . ...... 2 2 4 1 1 1 3 3 ..... 2 2 1 2 1 1 . 2 2
Pangkat merupakan deret geometri dengan 2
1 3 a 1 dan r 3 2 4 a 1 S 3 1 r 1 4 1 4 4 Bab 3 | Page 189
4
1 1 1 4 16 2 2
tan x 1 tan x 1 atau tan x 1 2
4
10. E.
A 1 cos 2 x cos 2 2x cos3 2 x ..... Deret geometri tak hingga konvergen a 1, r cos 2 x
1 A atau ; 1 cos 2 x 2 cos 2 x 1 2 sin x 1 A ….. (i) 2 2sin x 2 4 6 B 1 tan x tan x tan x .....
Dari batas-batas nilai x tersebut bisa disimpulkan bahwa deret berlaku untuk
0 x 4
11. A.
S 1 log cos x log2 cos x ..... S merupakan deret geometri tak hingga yang konvergen, karena r log cos x ; syarat log 0
0 cos x 1
Deret geometri tak hingga konvergen a 1, r tan 2 x
1 B atau ; 1 tan 2 x sec 2 x 2 1 tan x 1 B 2 sec x B cos 2 x ….. (ii) 1 2 AB 2. .cos 2 x 2 sin 2 x cos2 x 2 cot 2 x sin x Batas–batas nilai x
rA rasio deret A 1 atau 1 rA cos 2 x 1 cos 0 cos 2x 1 cos 2 x 0 atau 2 x x 0 x 2 rA cos 2 x 1 cos cos 2x 1 cos 3 2 x atau 2 x 3 3 x x 2 2 rB rasio deret B 1 atau 1 rB tan 2 x + bilangan negatif maka periksa untuk rB 1
rB tan2 x 1 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
4
Jadi, 2 AB cot 2 x untuk 0 x
log pecahan bernilai pecahan negatif
Jadi, 1 r 0
a S ; a 1 1 r 1 S 1 r Tentukan batas S
1 r 0 0 r 1 1 1 r 2 1 1 1 2 1 r 1 S 1 2
12. A. Deret aritmetika U 1 ,U 2 ,U 3 ,U 4 ,U 5
S5 20 Diketauhi : U 1/ ,
U 2/ ,
U 3/ ,
U 4/ ,
U 5/
U 1 U 3 , U 2 U 3 , U 3 U 3 0, U 4 U 3 , U 5 U 5
S5 20
5 2a 5 1 b20 2 5 2a 4b 20 2 5 2a 2b20 2 5U3 20 Bab 3 | Page 190
U3 40 Diketahui : U / , U 2/ , U 4/ , U 5/ 324 1
U1 U 3 U 2 U 3 U 4 U 3 U 5 U 3 324 2bb b 2b324 4b 324
U n 5.000 n 1 2.000 U10 5.000 10 1 2.000 a 5.000 Jadi, besar tabungan bulan ke-10 adalah
Rp 23.000,
4
b 81 4
b 3 b 3 atau b 3 4
Untuk b 3
4
U3 a 2b 4 a 2.3 4 a 2 Untuk b 3 U3 a 2 34 a 10 Untuk a 2 dan b 3 8 S8 2 2 7.3 2 4 17 68 Untuk a 10 dan b 3 8 S8 2.10 7 3 4 2 S8 bernilai 68 atau –4 13. A. Karyawan menabung setiap bulan dengan besar U n mengikuti aturan barisan aritmetika
S12 192.000 S20 480.000 12 S12 2a 11b 192.000 2 6 2a 11b 192.000 2 a 11b 32.000 ….. (i) 20 S20 2a 19b 480.000 2 2 a 19b 48.000 ….. (ii) Eliminasi (i) dan (ii)
2a 11b 32.000 2a 19b 48.000 8b 16.000 b 2.000 2 a 11b 32.000 2a 11 2.000 32.000 2a 32.000 22.000 a 5.000 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
14. E.
k 2 , k 6 , 2k 3membentuk
deret goemetri, maka
k 62 k 2 2k 3
k 2 12 k 36 2 k 2 k 6 k 2 11k 42 0 k 14 k 30 Maka k 14 0 atau k 3 0 k 14 k 3 k 0 Jadi, deret bilangan
3 2, 3 6, 2.3 3,..... 1, 3, 9,..... Maka U1 1 3 r 3 1 U 1 r n Sn 1 1 r n 1 1 3 1 n 1 3 1 3 4
15. B. Persamaan kuadrat
x 2 2x 4 x 4 0 Punya akar-akar x1 dan x2 x 2 2 x 2 4 x 2 4 x 4 0 x 2 4x 4 0 x 2 x 20 x1 2 atau x 2 2 x1 , k , x2 deret geometri, jadi k 2 x1 x 2 k 2 2 24
k 4 2
Deretnya adalah 2, 2, 2
2 a 2, r 1 2
Bab 3 | Page 191
Un ar
n 1
19. A. Diketahui :
2 i
n 1
2 10 1 2 2 10 1 1 1 x x 2 x 1 x 3 x 1 x 1 2 2 2 x
2 1 . 1 1
n
2 1 . 12 1 n
n
16. A.
x 21
x 1
x 21
2 x 1
x 21
3 x 1
2x 1 2 2 x 1 23 x 1 x
Lingkaran I jari-jari 5 Luas I .r 2
x
x1 x
2
.52 25
2
2 x1 x
1
5 2
Lingkaran II jari-jari 2
25 5 Luas II 4 2 Luas lingkaran masing-masing mengikuti deret aritmetika dengan 25 1 a 25 dan r 4 25 4 25 100 Total selururhnya 1 1 4 3
x
2
3 x 1 x
1
1
21 x 22 x 23 x 1 1 1 21.2 x 22.2 x 23.2 x 1 1 1 .10 2 .10 3 .10 2 2 2 10 10 10 2 4 8 40 20 10 8 70 8,75 8 20. A.
17. E. 1
a 3 23 12 b 2 a 3 23 12 a 3 1 a .b : 1 1 .a .b . 1 b 2 a3 b 2 b2 2
1
2
a
1
23 23
b
1
1
.b 2 .a 3
12 12 1
1
a0 .b 2 .a 3 b0 1 1 1 1 1.b 2 a 3 a 3 b 2 1 18. C. Diketahui :
3 3 x
x
3
3 3 3 3 3 2.3 .3 9 x
x 2
x 2
x 2
x
2
x
3x 32 x 32 x 2. x 9 3 2x 2 x 3 3 9 2 2x 2 x 3 3 7
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
5 10 a b a b 2 5 2 a b b a 5 5 2 a b b a 2 5 10 a b a b 5 5 a b b a b a . 10 a b5 a b
5 5 5 a b b a b a . 10 a b5 a b 1 a b 5 5 a b 5 5 1 a b 1 5 a b
21. C.
2 2 5 2 2 0 2 2 5 2 2 0 2 2 2 2 10 2 4 x 5 2 x 2 0
x
2 x
x
x 2
x
x
Bab 3 | Page 192
2 2 1
Maka 2 2 0 atau 2 2x 1 0 x
2x 2
x
1 2 2 2 2 1 x 1 2 x 2 x 1 Jumlah akar-akarnya 1 10 x
Nilai m 2
x
1
25. E. 2 x 1
1 27
2 x 1
1 3 3
22. A.
73 x 2 x 5 1 2 73 x 2 x 5 70 3x 2 2 x 5 0 3x 5 x 10 3 x 5 0 atau x 1 0 5 x x 1 3 5 Akar-akarnya atau 1 3 2
23. B. 2x
3 32x
1 32x 2x 12. 3 x 3 x
12 27 0 3x
27.32 x 0
32 x
1 12.3 27.32 x 0 27 32 x 12.3 x 1 0
33 1 93 10 3 3 1 0 atau 9 3 1 0 3 3 1 9 3 1 x
x
x
x
x
x
1 3x 3 x 3 31 x 1
1 3x 9 x 3 32 x 2 Himpunan penyelesaian : 1. 2 24. B.
2 32 .2 64 2 3.2 .4 64 0 2 122 64 0 2 162 40 m
m 2
m
m 2
m
2
m
m
2 16 0 atau 2 4 0 Tidak mungkin 2m 4 m
1 243 1 5 3
3 3 3 2 x 1
1 2
5
3 3 1 2
6 x 3
5
6 x 3 35 2 6 x 3 Maka 5 2 6 x 3 10 6 x 7 7 x 6 7 x 6 3
26. C.
22 x 2 2x 2 1 0 2 2 x.2 2 2 x.22 1 0
2 .4 2 .4 1 0 4 2 4.2 1 0 22 10 Maka 2 1 0 2 2 1 x 2
x
x 2
x
2
x
x
x
1 2x 2 x 2 21 x 1
f x 4 x 3 2 x2 Jika f m 64 4 m 3 2m 2 64 2 m
2 m 2 2 m 2
27. D. Persamaan berikutnya akar x1 dan x 2
103 3 0 103 3 0 1 3 3 0 1 0 atau 3 3 0 3 9x 3 9x 3 3x 3 3x
x x
x
x
m
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 193
x 3 3x 1 3 3 1 x x 1 3 3 3 3 x 3 31 x2 1 x1 1 x1 x2 1 1 0
30. E.
ln x 6 x p
f x 4 log x 2 6 x p 2
ln 4
1 ln x 2 6 x p ln 4
3 x2
f x akan minimum jika x memenuhi f 1 x 0 1 1 . 2 x 6 2 0 ln 4 x 6 x p 2x 6 0 ln 4 x 2 6 x p 2x 6 0 2 x 6 x 3 Untuk nilai x 3, f x bernilai
3x 3 x 10 2 2 3 x 3 x.32 3x 3 x 10 2 2 3x 3 x.9 3x 3 x 10 2 10 3x 3 x 10 2
Mempunyai nilai maksimum 1
28. D.
3x
f x 4 log x 2 6 x p
2
3x 3 x 1 2 3x 3 x 30 x 2 3x 0 x x 30 x 0 atau x 3 0 x 3 2
1(maksimum)
f 3 1 log 32 6.3 p 1 4 log 9 p 1 9 p 41 9 p 4 p 5
Nilai x adalah 0 atau 3
4
29. C. 2 log x f x 1 2.2 log x 2 f x f x 2 2 log 2x log x 1 2 2 log x 1 2 2 log 2x
p 4 p 54 5 25 20 45 2
2 log x log 2 2 log x 1 2 2log x 1 2 2 log 2 2 log x
2
2
log x 1 log x 2 1 2. log x 1 2 1 2log x 2
2
log x 1 log x 2 1 2. log x 1 2 2 2 log x 2
2
log x 1 2 log x 1 2. 2 log x 1 2 2log x 2
log x 1 2log x 1 2 2log x 2
2. 2log x 1 2 2 log x 1
1 1 1
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
31. D.
log x 123 xlog 4 1 0 x log x 12 xlog 43 1 0 x 12 x log 3 1 4 x 12 x log 1 64 x 12 1 Maka x 64 1 x 12 x 64 2 x 12 x 64 2 x 12 x 64 0 x 16 x 4 0 x 16 atau x 4 x
Bab 3 | Page 194
3. 3x 1 0
Syarat basis : a 0 dan a 1 maka x 0 dan x 1 Syarat numerus : b 0 maka
1 x 3
x 12 0 x 12 Dari nilai x 16 atau x 4 yang memenuhi syarat adalah x 4
Irisan 1, 2, dan 3 adalah x 3 Jadi, dari x 5 atau x 4 yang memenuhi syarat di atas adalah x 4 34. A.
log 2 x 22 log x 3 0 2 log x 3 2 log x 1 0 2 log x 3 0 atau 2 log x 1 0 2 2 log x 3 log x 1 3 1 x 2 x 2 1 x 8 x 2 Jadi, nilai x yang memenuhi x 8 1 atau x 2 2
32. C. Persamaan berikut memiliki akar x1 dan x2
2log x log x 1 2log x log x 1 0 log x 1 2 log x 10 log x 1 0 atau 2log x 1 0 2
2 2 log x 2log x log 10 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
log x 1
2
log x 2log 21 x 2 1 x 2
1
2.2 log x 1 1 2 log x 2 1 2 2 log x log 22 1
x 2 2
x 2 1 Akar-akarnya x1 dan x2 2 2 1 x1 .x2 2 2 23. D. 6 log x 3 6 log x 7 6 log 3 x 1 0 x 3 x 7 6 log 0 3 x 1 x 3 x 7 60 3x 1 2 x 4 x 21 1 3 x 1 x 2 4 x 12 3 x 1 x 2 x 20 0 x 5 x 4 x 5 atau x 4 Syarat numerus : 1. x 3 0
x 3
2. x 7 0
x 7
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
35. D.
f x 2 log x 5 2 log x 3 2 log x 5 x 3 2 2 log x 2x 15
ln x 2 x 15 ln 2 2
ln 2
1 1 f / x 2 2 x 2 0 ln 2 x 2 x 15 2 x 2 0 2 x 2 x 1
f x 2log 1 5 2 log 1 3 2 2 log 4 log 2 2. 2 log 2 1 2.1 1 3
Persiapan Ujian Nasional 1. C. p : Sarjono rajin bertanya dan berlatih q : Sarjono cepat menjawab soal ujian r : Sarjono lulus ujian Nasional Premis 1 : p q p q p q Premis 2 : r q r q q r Premis 3 : r
r
kesimpulan 5ah
r
r Bab 3 | Page 195
p : Sarjono tidak rajin bertanya atau tidak rajin berlatih 2. C.
1 1 1 6 x y z 2 2 1 3 x y z 3 1 2 7 x y z 1 1 1 Misalkan : a , b , c maka x y z a b c 6 ….. (i) 2 a 2b c 3 ….. (ii) 3a b 2c 7 ….. (iii) Eliminasi persamaan (i), (ii) a b c 6 2 2a 2b 2c 12
2a 2b c 3 1
2a 2b c 3 3c 9 c 3
3. E.
x 2 2x 1 0 punya akar-akar dan b a 2 2 1 c a 1 1 1 Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar x1 3 dan x2 3 , maka
x1 x2 3 3 4 4 2 8 x1 .x2 3 3 2 33 32 43 2 2
Masukkan c 3 kepersamaan (i)
a b c 6 a b 3 6 a b 3 ….. (iv) Masukkan c 3 kepersamaan (iii) 3a b 2c 7 3a b 2.3 7 3a b 1 ….. (v) Eliminasi persamaan (iv) dan (v)
a b 3 3 ab 1 4a 4 a 1 a b 3 1 b 3 b 2 Jadi a 1, b 2, c 3
1 1 a 1 x 1 x x 1 1 1 b 2 y y y 2 1 1 1 c 3 z z z 3 1 1 x 2 y 3 z 1 2. 3. 2 3 11 1 3 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
43 2 2
43 6 2
3 2 2
3 22 1 3 4 2 14 2
Persamaan kuadrat
x 2 x1 x 2 x x1 x2 0 2 x 8 x 14 0 2 x 8x 14 0
4. D. Ditanya : sin ACB ? Aturan kosinus
BC 2 AB 2 AC 2 2 AB. AC cos CAB 2 2 62 2 2 6 cos 60
1 4 36 24 2 40 12 28 BC 28 2 7 1 sin CAB sin 60 3 2 Gunakan aturan sinus
BC AB sin BAC sin ACB
Bab 3 | Page 196
7. A.
2 7 2 1 3 sin ACB 2 2 7 sin ACB 3 3 sin ACB 2 7 3 1 . 7 21 2 .7 1 1 sin ACB 21 4 5. A. Suku banyak berderajat tiga
p x x 3 2 x 2 px q 2 Dibagi x 4 x 3 sisanya 3 x 2
2 3 4 6 x 3 4 2 10 A
1
Ax B x A B 1 4 2 1 4 2 A1 2.4 3.2 3 2 3 2 2 2 1 3 2 1 4 6 2 1 x 3 2 1 2 10
6 22 4 19
Bagan Horner–Kino –3 4
1 * *
2 * 4
p –3 24 p+21
Sisa p 21 x q 18
q –18 * q–18
Jadi, p 21 x q 183x 2
p 213 p 18 q 18 2 q 20 Nilai q 20 6. D.
x 2 f x 3 ; substitusi x 3 x x 7 x x 3 x 3 2 f x x 37 x 5 f x x 4 1 f f x x ; substitusi x * 5 f 1 f x x x * x 4 x 5 * * f 1 x x 5 xx 4 x x 4 x* 1 x 4 x 5 4 x 5 x* 1 x
Jadi,
f
1
4x 5 ; x 1 1 x 4 x 5 ; x 1 1 x
x
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
B
8. D. /
/
/
Lihat ∆AC G siki-siku di C / / AG C adalah CG, AFH
G/ C / 6 cm 1 / AC diagonal sisi 2 1 6 2 3 2 cm 2 AC / tan AG /C / / / CG 3 2 1 2 6 2 9. B. Limas tegak T. ABC ∆ABC sama sisi
AB BC AC 4 3 cm ∆TAB kongruen ∆TAC Merupakan segitiga siku-siku
TB AT 2 AB 2
8 4 3 2
2
64 48 112 16.7 4 7 cm TC TB 4 7 cm Misalkan AE panjang titik A kebidang TBC Bab 3 | Page 197
AE berada di segitiga ATD ∆ABC adalah segitiga sama sisi 2
1 AD AB 2 BD 2
2
1 4 3 .4 3 2
48 24 24 2 6 DT AD AT
2
2 2 2 2 11 31 17 53 22 20 34 36
2
400 1. 296 4 4 2 1. 696 8 13.568 2 2 116, 48 58,24 cm 2 2
∆DAT siku-siku di A
2 6 8
Luas bayangan A /C / B / D / 2
2
2
D/ 20,36
2
2
24 64 90 10 3 cm Dari sifat kesebangunan, maka
AD 2 DE .DT
11. A. Persamaan lingkaran dengan diameter AB A 5,4dan B 9,2 Titik pusat lingkaran adalah titik tengah A dan B
5 9 4 2 , 2,3 2 2 Jari-jari adalah jarak antara pusat 2,3 dan A 5,4
2 6 DE.10
Pusat
∆AED siku-siku di E
R 2 5 3 4
2
3 24 4 DE 3 10 3 5
2
AE AD 2 DE 2
2
2
50 5 2
4 2 6 3 5
Persamaan lingkaran :
48 24 25
x 2 4 x 4 y 2 6 y 9 50 x 2 y 2 4 x 6 y 37 0
2
552 4,7 cm 25
2
2
12. D. Persamaan lingkaran :
10. B. Bangunan segiempat ABCD dengan A 3,1 , B 6,2 ,C 7,5 , dan D 4,4 Misalkan A / B / C / D / segiempat bayangan
3 oleh transformasi 4
2 2 x 2 y 3 5
2 5
A B C D
3 2 3 6 7 4 4 5 1 2 5 4 / / / / A B C D 11 22 31 20 17 34 53 36 Matriks
A / B / C / D/ Jadi, bayangan segiempat
A/ 11,17 ,B / 22,34 ,C/ 31,53 , dan
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
x 2 y 2 10 x 12 y 20 0 10 12 Pusat , 5,6; 2 2 2 R 5 62 20
41 Periksa titik 9,1terletak dimana pada lingkaran. 2 9 ,1 9 12 10 9 12 1 20 81 1 90 12 20 0 Karena hasilnya = 0 maka titk tersebut terletak pada linkaran. Persamaan garis singgungnya di 9,1
x 5 9 5 y 6 1 6
41 4 x 20 5 y 30 41
2
Bab 3 | Page 198
4 x 5 y 31 0 atau 4 x 5 y 31 0
15. C. 5 x 2 7 x 3
1 2
13. B.
2
2 1 5 x 7 x 3
x 64 0 lim 3 0 x 64 x 4 0 , gunakan dalil L 0
Hospital, yaitu turunkan masing-masing pembilang dan penyebut. x 64
x 64 1 lim 2 1 x 4 x 64 3 .x 3
3
2
lim 3.x 3 x 642
3 3.64 3 3 26 2
3.26 3 3.24 3.16 48 2
14. D. lim
3
lim
x 2 sin 3x cos 3 x 2 sin 3 x cos x
x 2 sin 3x cos 3 x cos x lim x x2 x 0 lim
x 0
2 3 2
2 sin 3 x 2 cos 1 3x 3
x 1 2 cos2 x
1 2
x 1
2
cos 2 32 x cos 2 sin 3 x lim 2 3x x 0 x2 x 0 cos2 3 x cos2 1 6,1lim 2 2 2 2 2 x x x 0 6 lim
1 2
x
cos2 3 x cos2 1 x 2 2 12 lim 2 4 3 2 1 x 0 42x 9 2 x
12 lim x 0
2 5 x 7 x3 29 6 x 5 x 2 7 x 3 9 6x 5x 2 x 6 0 Jika akar-akarnya adalah x1 dan x2 1 1 maka x1 x 2 5 5 6 x1 .x2 5 6 x1 x 2 x1 x2 1 5 5 7 1,4 5
35
3
x 0
3 2 x
16. D. 3 7 Diketahui log 5 p, log 5 q
sin 6 x 2 sin 3x cos x
x 0
23
2
Karena hasil limit
lim
3 2 x
1 8
23
21
2
2
9 cos 2 x 1 cos 2 x . 4 3x2 4 1x2
cos2 32 x 1 cos2 12 x 9 12 lim lim 2 4 x 0 3 2 4 1 x 0 x x 2 2
9 1 12 . 12 . 12 4 4 9 1 8 12 12 4 4 4
12 2 24
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
log 63 35 log 7 32 35log 7 35 log 32 1 7 2.35 log 32 log 35 1 2 7 3 log 7 5 log 35 1 2 7 3 7 log 7 log 5 log 7 5 1 2 3 1 q log 7 3 log 5 1 2 3 5 1 q log 5 log 7 p 1 2 1 1 q p. 7 log 5 p 1 2 p pq 1 q q 1 2q 1 q p pq p 2 q p 1 q
Bab 3 | Page 199
17. A. Batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan 0 ,5
log 3 x log 5 x 0 , 25
1 2
log 3 x 2 log 5 x 1 1 1 2 log 3 x . 2 log 5 x 2 1 2
1 2
2 log 3 x 2 log 5 x 1
19. D. Jika pojok karton dipotong persegi dengan ukuran x, maka ukuran balok yang dibuat
p 40 2 x l 25 2 x t x VBalok p l t
40 2 x 25 2x x 1.000 80x 50 x 4x 2 x 1.000 x 130 x 2 4 x 2
1
Karena basis atau bilangan pokok
1 a 1 maka 2 1 2 3 x 5 x kuadratkan 2 3 x 5 x 9 6x x 5 x x 2 5 x 4 0 x 4 x 10 2
x 4 atau x 1 ….. (i) Syarat numerus : 1. 3 x 0 x 3 …..(ii) 2. 5 x 0 x 5 …..(iii) Irisan daerah (i), (ii), dan (iii) adalah Jadi, batas-batas nilai x adalah x 1 18. D.
f x 2 x 154 x 10 3
grafik f x akan turun jika f x 0 1
f x 3 2x 1 2 52 2
1
6 4 x 2 4 1 54 2 24 x 24x 48
VBalok akan maksimum untuk nilai x memenuhi V / 0
V / 1.000 260 x 12 x 2 0 250 65x 3x 2 0 x 5 3 x 50 0 x 5 0 atau 3x 50 0 50 x 5 x 3 Untuk x 5 2 3 V 1.000 5 130 5 4 5 5.000 3.250 500 2.250 maksimum 50 Untuk x 3 2
3
50 50 50 V 1.000 130 4 3 3 3 16667,7 36111 18518,5 924 ,78 Maka vlume maksimum akan dipenuhi untuk x 5 cm
20. C. p
2 x 1 dx 6,
p 0
1 p
Agar grafik f x turun, maka
24 x 24 x 48 0 2 x x 2 0 x 2 x 10 2
Jadi, grafik akan turun di interval
1 x 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
x 2 x 6
p
2
1
p 1 1 6 2
p 2 p 6 0 p 3 p 2 0 p 3 0 atau p 2 0 p 3 p 2 Pilih p 3 karena syaratnya p 0 2 p 1 2.3 1 7 Bab 3 | Page 200
21. B. 1 4 1 a 3 , b 1 , c 1 4 3 4 ab c proyeksi orthogonal a pada b c 1 1 2 b c 1 1 2 3 4 1 a . b c a b c 2 b c b c
2
4 2 3 2 4 1 2 1
9 2
2 2 18 2 2 2 9 1 1 4 4 4i 4 j 2k 2
24. B.
2 1 a 1 , b x , a , b 60 3 2 Ditanya : x ? x bilangan bulat a .b a . b .cos a,b 2 1 2 2 2 3. 2 1 . x 1 2 2 1x 2 2 . cos 60 3 2 1 2 1 x 4 70 14 x 2 . 2
2 x 6 14 5 x 2 .
2x 8 70 14 x kuadratkan 2 2x 8 70 14 x 2 2
4 x 32 x 64 70 14 x 2 10 x 32 x 6 0 2 5x 16 x 3 0 x 3 5 x 10 x 3 0 atau 5x 1 0 2
2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
1 x 5
x 3
Karena x bilangan bulat, maka x 3 25. A. Tanah berbentuk segitiga siku-siku Keliling 72 Sisi-sisi membentuk barisan aritmetika Jadi, perbandingan sisi-sisinya adalah
3a : 4 a : 5a Keliling 3a 4a 5a 72 12a 72 a 6 Ukuran segitiga
3a 3.6 18 4 a 4.6 24 5a 5.6 30
Maka 18 dan 24 adalah sisi siku-siku dan 30 adalah sisi miring
18 24 2 216 m 2 Harga tanah Rp 200.000 Luas
Harga tanah seluruhnya
216 Rp 200.000 Rp 43.200.000
26. D. Besar tabungan pertahun Rp 10.000.000 Bunga majemuk 10% pertahun Jumlah tabung selama n tahun mengikuti deret geometri dengan U1 Besar tabungan tahun pertama Besar tabungan awal + besar bunga 1 Tahun
10.000.000 0,1 10.000.000 1,1 .10.000.000 11.000.000 Rasio r 1 0,1 1,1
Besar uang Pak Hasan pada akhir tahun
U1 r5 1 ke-5 S 5 r 1 5 11.000.000 1,1 1 1,1 1 Rp 156.100
27. C. Banyak rangkaian bunga I x Banyak rangkaian bunga II y
10 x 20 y 200 Bab 3 | Page 201
x 2 y 20 15 x 5 y 100 3 x y 20 Fungsi tujuan : 200.000x 100.000 y System pertidaksamaan
x 0, y 0 x 2 y 20
0,10dan 20,0 3x y 20
titik potong sumbu x dan sumbu y
0,20dan
20 ,0 3 Titik potong x 2 y 20 dan 3 x y 20 x 2 y 20 3 3x 6 y 60 3x y 20 1 3x y 20 5 y 40 y 8 x 2 y 20 x 2 8 20 x 4 Titik potong : 4,8
Fungsi tujuan : 200.000x + 100.000y 1.000.000
20 ,0 3
4,8
adalah 3
2 3
29. A. 9 rusak 25 Bohlam
titik potong sumbu x dan sumbu y
x, y 0,10
Jadi, nilai minimum diinterval 2 x 4
4 .000 . 000 3
1.600.000 maksimum
Penghasilan maksimum Rp1.600.000
16 tidak rusak Siambil 2 bohlam secara acak P (bohlam yang terambil keduannya baik) 9 16! 9 ! C16 2 C0 25 14!225! !9!0! C2 23!2 ! 16. 5 . 1 40 2 252.24 300 15 2
30. D. Tiga orang menonton pertandingan di stadion yang punya 4 pintu berlainan dengan menggunakan asumsi bahwa setiap orang tidak boleh masuk dan keluar bersamaan di pintu yang sama. Banyak cara mereka masuk dan keluar = banyak cara masuk banyak cara keluar Banyak cara masuk atau keluar pintu I II III IV √ √ – √ √ – √ √ √ – √ – √ √ √ Ada 4 cara masuk dan 4 cara keluar Jadi, bayak cara masuk dan keluar
4 4 16
28. E.
f 1 x x 2 2x 1 0 2 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 tidak termasuk dalam interval 2 x 4 . Maka periksa nilai f x
diujung-ujung interval
1 f 2 .2 3 22 2 5 3 41 2 3 minimum 3 3 1 f 4 .4 3 42 4 5 3 139 1 46 3 3 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Suplemen BBM UN 1. Bentuk akar dan Pangkat 1. D. 3 3
2 2 2 3 3 1 2 2 3 2 3 1 . 2 3 2 3 3 1 3 1
2 2 3 2 3 1 4 3 3 1 2 4 2 3 3 1 2 4 2 3 3 1 3 3
Bab 3 | Page 202
2. B. 1
2 3x 1 2 x 2 3 6 x 6 3 x 1 9 x 5 5 x 9 5 Nilai 9 x 9. 5 9 2
1 1 a b a b b a b a ab a 2 b 2 ab
b a 2 a b2 b a a b a b 1 1 a b a b
7. B. 32
3. C. 21 3
3 x 1 3
2 x 2
a b 1 1 ab a b 1
20 14 2 3 20 14 2
3 20 14 2 20 14 2
3 400 392 3 8 3 23 2
3x 2 9 x 1 810 3 x2 32 x1 810 0 3 x.32 32 x2 810 0 9.3x 9.32 x 810 0 :9 32 x 3x 90 0
3 9 3 100 x
4. B. 2 2 2 29 2 100 33 800 25 4 2 25.4 25 8 2 200 25 4 2 25.4 25 8 2 25.8
25 4 25 8
2 8 2 2 2
5. C. 4
4 0 2 42 4 0 2 2 2 2 0 2 2 0 atau 2 2 0 2 2 2 2 x
2 x 4 2
x
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 2 21 x 1 2 x 2
2 2 21 x 1 2 x 2 Jumlah akar-akar 2 2 4 6. C. 5 x 1
1 3 3 x 1 2 4
2 2 2 x 1
3 x1 3
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
x
3x 9 0 atau 3 x 10 0 3x 9 3x 32 tidak ada x yang memenuhi x 2 Maka 3 x4 32 4 32 8. D. 2 x 7 Jika 2 x 5 , maka
x 2 4x 4 x 2 10 x 25 2 2 x 2 x 5 x 2 x 5 2 x 7
9. E. 1,2
2 x 5 x3 x 2 x 2
Persamaan tersebut akan terpenuhi jika : 1. x 2 1
x 1
2. 2 x 5 x 3
x 2
3. Jika kita buat x 2 1 maka
x 3
Sehingga pangkat ruas kiri ganjil sedangkan pangkat ruas kanan genap. Maka x 3 bukan penyelesaian 4. Jika dibuat x 2 0 maka
x 2
x 2 disubstitusi ke pangkat ruas kiri menghasilkan pangkat negatif begitu juga Bab 3 | Page 203
x 2 disubstitusi ke pangkat ruas kanan akan menghasilkan pangkat negatif 0 dipangkatkan bilangan negatif tidak terdefinisi. Jadi , x 2 bukan penyelesaian Maka himpunan penyelesaian 1,2 10. B. 21
3x 31 2 3 x 3x 3x 31x 2 3x 31x 32 x 1 3x 32 x 1 3x
2. D. 2 2
x 2
10 2 10 2 y 2 2
log x 2 xy y 2
2 10 2 10 2 2 2 2 log 2 10 2 10 2 2 2
10 20 2 10 2 2 4 2 log 10 20 2 4 16 2 log 2 log 4 4 1 2 2 2 log 22 2 log 2
2
32 x 1 2 32 x 1 2x 2x 3 1 2.3 2 2x 3 3 2x 1 3 3 2x 1 1 x 2 1 x 2
4.1 4 2
1 2 2
1 2 4 2n 2n 1 94 2 n 1 21 1 9 log n 1 log 2 2n 2n 1 22 21
3. C.
2. Logaritma 1 1. B. 2
1
log 4 15 4 15 log 3,75 4 4. 3,75 4 4. 2,5 2 1,5 2,5 1,5 log 2 , 5 1 , 6 2 1 , 5 2 , 5 log 2,5 1,5 2,5 1,5
log 2 2,5 log4 2,5
1
log 10 log 10 2 1 1 log10 .1 2 2 1 1 2 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
2 2 3 2 log 3 log 2 3 1 2 2 1 3 log .1 2 3 2 1 2 4 9
4. D.
3 2
dan merupakan akar persamaan berikut : 5 log x 2 5 log 2 x 12 5 log x 2 2 x 12. 5 log 5 5 log 2 x 2 3 x 2 5 log 52 2x 2 3x 2 25 2x 2 3x 27 0 x 3 2x 90 x 3 0 atau 2x 9 0
Bab 3 | Page 204
9 x 2
x 3
1 . 3 log 2 2 3 n 12 . log 2 1 3 m 2 log a
Maka akar persamaan
9 3 dan 2 9 3 3 2 2
12 a a Jika a 7 log 2
7. D.
5. E. 3 x 5 3
log 5 x 3log 1 x 3log 6 x 10 3 log 5 x 1 x 3log 6 x 10 2 3 x 4x 5 log 6 x 10 x 2 4x 5 6 x 10 x 2 2 x 15 0 x 2 2x 15 0 x 5 x 30
x 5 atau x 3 Syarat numerus : 1. 5 x 0 x 5 ….. (ii) 2. 1 x 0 x 1 …..(iii) 3. 6 x 10 0
log 3 log 2log 2 log 3 .2 1 log 2 log 2 log 3 log 2 1 2. log 2 log 2 log 2 1 log 2 2
3 log 6 3log 2 2 2. 3 log 6 2 1 2 3 log 3 .2 3log 2 2 2. . 3 log 6 2 2
2
3
3
3
2
3
3
2
3
x 3 log 0 x 3
3
2
3
x 3 1 x 3 x 3 1 0 x 3 x 3x 30 x 3 6 0 x 3
Maka x 3 Himpunan penyelesaian x | x 3
3
2
3
3log 2 n 3log 2 2 4
1
Agar nilai log diatas positif maka nilai numeusnya harus lebuh besar dari
1 6. C. 2 3 m log2 6 3log 2 2 2 . 9 log 6
3
1
2 log 22 2 log 7 2 1 2 log 2 2log 7 1 1 1 2.1 1 .7 log 2 1 2 a 2 a 1 a
3
Irisan dari (i), (ii), (iii), dan (iv) diperoleh 3 x 5
3
1
log 28 2 log 22 7
8. A. x | x 3
5 x …..(iv) 3
2
1 2
9. E. 32 x1 dan x2 adalah akar dari persamaan berikut :
6 1 log 8 6 log 9 log 3
3
3 log 2 2 9 log 4 3 log 8 2 3 . 3 log 2 3 log 22 3 log 2 3 2 3 2 . 3 log 2 .3 log 2 3 . 3 log 2 2 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
2
2
4 log2 4 x 4 2 log 4 x 4 2log
1 8
0
log2 4x 4 4. 2 log 4x 42log 23 0 2
log 2 4 x 4 4 . 2 log 4x 4 3 0
log4x 43log4 x 410 2
2
2
log 4x 43 0 atau 2 log 4x 41 0
Bab 3 | Page 205
2 2
log 4 x 4 3
2
log 4 x 4 log 2 4 x 4 8 4 x 12 2
3
2
x 3
log 4x 4 1 log 4 x 4 log 2 4 x 4 2 4x 6 3 x 2 2
3 x1 3, x2 2 3 2 x1 x2 2. 3. 2 9 32
melewati 0,4 fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak
x , y : f x a x x y p
y
2
p
f x a x 28 2
Fungsi kuadrat melewati 0, 4 2 0,4 4 a 0 28
4 4a 8 4a 4 a 1 2 Maka f x a x 2 8
18
1 x 28 2
f 3 3 28 1 8 7 2
2 2 log 7 2 1 log 32
3. B. f x x 2x 3 Fungsi kuadrat bernilai positif untuk 2
log 2 log 7 2 log 2 2 log 9 2
2
p
log 28 2 log 3 x 3 log 7 y 2 xy 2 2log 3. 3 log 7 1 2x 1 2. 2log 3
10. E.
2. A. –7 Fungsi kuadrat x p , y p 2,8dan
2
2
1 x 3
2
log 2 .7 2 log 2.9 2 log 28 18 2 log 28 log18
Jadi, 1 dan 3 adalah pembuat nol fungsi
1 3 1 2
Kuadrat xmaks
Titk pusat : 1,4 Fungsi kuadrat :
f x a x 14 2
Pembuat nol fungsi artinya f x 0 , maka
3. Fungsi Kuadrat 1. C. x y a
f 1f 3 0
x y 2 a
2
Ditanya : Luas persegi panjang maksimum jika x dan y = ? Luas xy ; x y 2a
x 2a x x 2 2 ax 2 x aa 2
f x a x 14
y 2a x
x maksimum akan dipenuhi jika
x a 0 x a Karena x y 2a maka a y 2a y a Maka xmaks a dan ymaks a
f 3 a 3 14 0 4a 4 a 1 2 f x a x 14 2
f x 1 x 14 2
f x x 2 2x 1 4 f x x2 2x 3 4. D. a 3
f x a 2 x 2 2 2a 3 x 5a 6 Agar f x selalu bernilai positif untuk semua x, maka : Koefisien x 2 harus lebih besar dari 0
a 2 0 a 2 ….. (i)
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 206
Diskriminan fungsi harus lebih kecil dari 0
D 0 2 b 4ac 0 2 22a 3 4 a 2 5a 60 2 4a 62 4 5a 16a 12 0
16 a 48a 36 20a 64a 48 0 4a 2 16 a 12 0 : 4 a 2 4a 3 0 2
2
a 3 a 10
a 1 atau a 3 ….. (iii) Irisan daerah (i) dan (ii) adalah a 3 5. C. 900.000 Biaya proyek selama x hari = Biaya perhari . x hari
1.200 3x 60 x x 2 3 x 1.200 60x a
c
1 1 2 2 2 Titik A x , y pada kurva y x , maka
7. B. ,
jarak titik A x, x dam B 1,0 x 1x 0 titik A x, x 2
2
x 2 2 x 1 x x 2 x 1 Jarak akan minimum jika fungsi f x x 2 x 1 bernilai minimum
b
D Biaya proyek minimum 4a b 2 4 ac 4 a 2 604 .3 .1200 4.3 900 Jadi, biaya proyek minimum 900 ribu rupiah
6. E. 250 Panjang kawat = 600 m Ditanya : xmaks y maks agar luas maksimum ? Kerangka kawat 3x 2 y 600
Luas bangun xy
xmaks dipenuhi oleh x 100 0 x 100 3 Jika x 100 maka y 300 x 2 3 300 .100 2 150 x y 100 150 250
2 y 600 3x 3 y 300 x 2
3 x300 x 2 3 2 x 300 x 2 3 3 2 x 100 .100 2 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
b xmin 2a 1 1 2 .1 2
1 2 2 1 2 4 2 1 1 Jadi, titik A , 2 2 2 Maka y x
b2 4m
8. A.
Ditanya : Luas maksimum OABC = ? Luas OABC OA AB
x mx b 2 mx bx D b 2 4ac Lmaks 4a 4c 2 b 4.m.0 4.m 2 b 4m
Bab 3 | Page 207
9. E. –12
A 3 x 2 4x 5 B x 2 4 x 1 A B 3x 2 4 x 5 x 2 4 x 1
2 x 2 8x 4 D b 2 4ac A B min 4a 4a 2 8 4.2. 4 12 4..2 10. B. Garis I : 4x 4 y 4.4
x y 4 x 4 y Garis II : 4 x 2 y 4 2 2 x y 4 1 x y 2 2 Titik C dilewati garis I maka
C x, y C 4 y, y
Titik D dilewati garis II maka
1 D x, y D y 2, y 2 Luas ABCD CD BC 1 4 y y 2 xy 2 3 y 6y 2 3 2 y 6 y 2 b 6 ymaks 3 2 2a 22
xC 4 y maks 4 2 2 1 x D ymaks 2 2 1 .2 2 1 2 Keliling 2 xC xD . y 2 2 1 2 12
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
4. Persamaan Kuadrat 1. B. –2 x 2 2x b 0 memiliki akar x1 dan x2
b x1 x2 a 2 2 1 c x1 .x2 a b b 1 2 x ax 4 0 memiliki akar-akar x1 x 2 2, x1 x2 b a 2 ba a b 2 Jadi, a b 2 2. A. 9
x 2 9 x 2 p 0 akar-akarnya dan dengan 2 9 2p . 1 1 29 2.2 p 39 2 2 2 p 3 2 p 32 p p 9 3. A. 2 p 2 9 a
x 2 px q 0 punya akar dan dengan 2 p q . 1 1 2p 2.q 3p 32 q p ….. (i) subtitusi (i) maka 3 2
p 2 q 3
2 p2 q 9 2 p 2 9 p
Bab 3 | Page 208
m 4m 4 36 0 2 m 4 m 32 0 m 8 m 40 m 4 atau m 8 2
4. A. –10
x 3 x n 0 punya akar x1 dan x 2 2
Jumlah kuadrat akar-akarnya x12 x 22
x12 x22 x1 x 2 2 x1 x 2 2
2
n 3 2. 1 1 9 2n 2 x x n 0 punya akar dan Jumlah pangakta tiga akar-akarnya
3
3
3 3 3 3
n 1 1 3. 1 1 1 13n 2 2 x1 x2 3 3 9 2n 1 3n n 10 2
5. A. 6x 2 79 x 13 0
x x 6 0 punya akar p dan q p q 1 pq 6 2
Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar
1 1 p 2 q 2 dan p q q p 2 p q 2 pq pq 1 2 12 6 6 1 13 6 Persamaan kuadratnya
x 2 x 0 1 1 2 x 13 x 13 0 6 6 2 x 796 x 136 0 6 6 x 2 79x 13 0
6. A. m 4 atau m 8 Persamaan kuadrat x 2 m 2 x 9 0 Punya akar-akar riil jika
D 0 b 4ac 0 2 m 2 4.1.9 0 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
7. C. a 2
1 8
Persamaan kuadrat
x 2 2a 1 x a 2 3a 4 0
Punya akar-akar riil jika
D 0 b 4ac 0 2 2 2a 14.1 a 3a 4 0 2
4a 4a 1 4a 12a 16 0 8a 17 17 a 8 1 a 2 8 2
2
8. C. 8 Persamaan kuadrat 18x 2 3 px p 0 punya akar kembar jika
D 0 b 4ac 0 2 3 p 4.18. p 0 2
9 p 2 27 p 0 9p p 80 p 0 atau p 8 9. E. x 2 16 x 1 0 Persamaan kuadrat 2 x 2 6x 1 0 Punya akar-akar p dan q
6 p q 3 2 1 pq 2
Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar
p q dan q p p q q p 2 p 2 q 2 p q 2 pq pq pq
Bab 3 | Page 209
32 2. 12 8 1 1 16 2
2
p q . . 1 q p x 2 x 0 2 x 16 x 1 0 10. B. 81x 3526 x 1849 0 2 x 5x 9 0 punya akar x1 dan x2 2
5 x1 x2 5 1 9 x1 x2 9 1
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
x12 x 22
1 1 2 2 x1 x 2
dan
x 2 x 2 2 2 21 x1 x2 43 52 2 9 x1 x2 2 43 25 18 43 2 9 43 81 43 3526 43 81 81 43 1849 43. 81 81 2 x x 0 x2 3526 x 1849 0 81 81 81 2 81x 3526x 1849 0 x1 x 2 2 x1 x2 2
3 2 x 3 0 x 2 2 x 2 0 x 1 Jadi daerah penyelesaian
3 1 3 x atau x 1 2 2 2. E. x | x 5 atau x 2
x 2 3x 10 0 x 2 x 6 x 5 x 2 0 2 x x 6 Penyebut x 2 x 6 tidak bias difaktorkan, maka akan diperiksa apakah persamaan kuadrat tersebut memenuhi definit positif atau negatif
D b 2 4ac 2 14.1.6 23 0 Karena D 0 dan a 0 maka persamaan kuadrat memenuhi definit positif (selalu bernilai positf)
x 5 x 2 0 x 2 x 6
Penyelsaian x 5 atau x 2 3. C. x | 3 x 2
x 2 x 6 0 x 2 x 6 x 3 x 20 2 x x 6 Sudah dibuktikan pada nomor 2 bahwa persamaan x 2 x 6 memenuhi definit positif
x 3 x 2 x 2 x 6
5. Pertidaksamaan
3 2
1. C. 3 x atau
1 x 1 2
2 x 2 5 x 3 0 4 x 2 2 x 6 x 3 2 x 10 2 x 3 2 x 2 x 3 0 x 3 1 2 x 1 0 x 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
0
Penyelesaian x| 3 x 2, x R 4. A. x 2 atau 1 x 2
x 2 3 x 2 0 x 12 x 2 x 2 x 10 2 x 1x 2 Penyelsaian x | x 2 atau1 x 2
Bab 3 | Page 210
3 2 2x 3 1
1 x 2
5. C. 1 x
1 2 x 3 1 2 2 x 4 1 x 2 ….. (i) 4 x 6 3 x ….. (ii) 2
3 2
8. C. x 2 atau 1 x 2 atau x 3 Grafik y f x terletak diatas sumbu x berarti f x 0
x 2 4 0 x 2 4x 3 x 2 x 20 x 3 x 1
Penyelesaian 1 x
6. E. x| 8 x 4 atau 4 x 8
1 2 x 10 6 4 1 2 6 x 10 6 4 1 6 x 2 10 4 1 2 x 4 0 4 1 1 x 2 x 2 0 2 2 x 4 atau x 4 1 2 x 10 6 4 1 2 x 16 0 4 1 1 x 4 x 4 0 2 2 x 8 x 8 ….. (ii) Irisan (i) dan (ii) adalah 8 x 4 atau 4 x 8
1 2 x 1 1 ; x 2 x 2
7. D. x|x
x 1 x 2 2 x 12 x 2
x 2 2 x 1 x 2 4 x 4 6 x 3 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Daerah penyelesaian x 2 atau 1 x 2 atau 3 3
6. Logika Matematika 1. C. ada murid yang menggap metematika tidak sukar Ingkar dari pernyataan p : “Semua murid menggap metematika sukar” ~p : ada murid yang menggap matematika tidak sukar 2. B. Ita tidak hemat p : Ita hemat q : Ita kaya r : Ita bahagia
p1 : p q p2 : q r p3 : ~ r .....
p
q
r
B B B B S S S S
B B S S B B S S
B S B S B S B S
p4
p q q r ~ r B B S S B B B B
B S B B B S B B
S B S B S B S B
p q q r ~ r ~
p 4 ~ p
S S S S S S S B
B B B B B B B B
Jadi, kesimpulan adalah ~p karena table kebenaran menunjukkan
p qq r ~ p ~ p
Merupakan tautalogi (bernilai benar semua) ~p : Ita tidak hemat 3. D. Beberapa pemain basket bebadan pendek p : semua pemain basket berbadan tinggi ~p : beberapa pemain basket berbadan pendek Bab 3 | Page 211
4. B. Ada bilangan riil yang kuadratnya negatif p : kuadrat setiap bilangan riil selalu tak negatif ~p : ada bilangan riil yang kuadratnya Negative
III. q ~ p
q r pr q r ~ q r ; q ~ p p ~ q Maka III.
5. A. Modus ponens P : Bilangan x habis dibagi 6 ~p : Bilangan x habis dibagi 3
p1 : p q p2 : p q Jenis penarikan kesimpulan disebut modus ponens 6. A. ~p
p q qr ~r ...... Seperti ditunjukkan di nomor 2. Kesimpulannya adalah ~p
7. D. saya haus p : Hari panas q : saya berkeringat r : saya haus
p1 : p q p2 : q r p3 : p ….. p1 : p q p2 : q r p r (silogisme) p r p3 : p r (modus ponens) kesimpulan : saya haus 8. D. hanya II dan III I. pq
q ~ r ~ r ~ p Kesimpulan salah, sehaursnya p ~ r (dengan silogisme)
II.
p q ~p q
p ~ q ~ q r p r (dengan silogisme) Kesimpulan benar 9. A.
p p~ q
Kontaraposisi :
~ p~ q ~ P ~ p q ~ P
10. E. silogisme
p1 : p ~ q p2 : q r pr Karena q r ~ q r p1 : p ~ q p2 : ~ q r p r Silogisme 11. B.
p : 14 4
q : sin 45sin 60 ~ p q ~ q~ p ~ p q ~ ~ q~ p ~ p ~ q q p p ~ q ~ q p p ~ q p ~ q : 14 4 jika dan hanya jika sin 45sin 60 12. A. (1) dan (3) (1) ~ p q
~q ~p
~ p q p q (1) p q
~q ~p Kesimpulan benar
Kesimpulan benar
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 212
(2) ~ q ~ p
p r ~ r ~ q (3) ~ q ~ p
p
~ q ~ p p q (2) p q
pr Tidak bisa disimpulkan
~ q ~ p p q (3) p q
q
p q
Kesimpulan benar Argumentasi yang sah (1) dan (3) 13. D. p : Upik rajin membaca q : Upik tekun belajar r : Upik naik kelas s : Upik mendapat hadiah
p1 : p q r p q r p2 :~ r s r s p3 :~ s ~s
~ p q(silogisme)
~ p~ q : Upik tidak rajin membaca atau Upik tidak tekun belajar 14. C.
~ p ~ p q ; p q ~ p q ~ ~ p ~ p q p~ ~ p q p p ~ q
15. C.
p q ~ q r ~ ~ p q ~ q r ~ ~ p q ~ ~ q r ~ ~ p~ qq~ r ~ p ~ q ~ q ~ r ~ p ~ r ~ ~ p~ r p r
7. Dimensi Tiga
1 3 cm 2 AT 1cm
1. C.
AB 3 cm Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
BT AT AB 2
2
12 33 2 Misalkan TT1 x BT1 BT TT1 2 x Lihat ∆ATT1 dan ∆ABT1 AT 2 TT12 AB 2 BT12 1 x 3 2 x 2
2
2
2
1 x 2 3 4 4 x x 2 2 2 1 x 1 4 x x 4x 2 1 x 2 AT1 AT TT1 2
2
2
1 1 1 1 2 4 2
3 1 3 4 2
2. D. 9 2 cm
BC 12 cm 1 BK .12 6 cm 2
KC KB 2 BC 2 62 122 180 6 5 CH = diagonal sisi 12 2 cm KH AK 2 AH 2 ; AK 6
62 12 2
2
AH = diagonal sisi
36 288
12 2 cm
324 18 cm Lihat ∆KCL dengan ∆KLH Misalkan CL x
LH CH CL 12 2 x 2 2 2 2 CK CL KH LH
6 5 x 2
2
182 12 2 x
2
180 x 324 288 24 2 x x 2
180 x 324 288 24 2 x x 24 2x 144 2
2
2
Bab 3 | Page 213
144 6 x 3 2 24 2 2
KC KD2 DC 2 2
1 2 a 2 a 2
2
KL 6 5 3 2
2
180 18 162 9 2 cm 3. C. 45 Misalkan sisi a
1 AO AC 2 1 diagonal sisi 2 1 a 2 2 AT a AO cos AT 1 a 2 1 2 2 a 2 1 cos 2 2 1 arc cos 2 45 2 4.
FB a cm 1 OB diagonal sisi 2 1 a 2 cm 2 FB a tan 1 OB 2 2
5. C.
2 2 2
1 6 3
Misal : DC sisi a cm
1 KD diagonal sisi 2 1 a 2 cm 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
1 2 a a2 2 6 1 a2 a 6 4 2 DC a sin 1 KC 2 a 6 2 1 6 6 3
6. B.
5 3 3
AT AB AC , jadi ∆ABT siku-siku ∆TAC siku-siku
BC 5 2 5 BE 2 2 Ditanya : AD ? (jarak A ke TBC) AT 5 cm ∆TAC siku-siku sama sisi AT AC 5 CT 5 2 BT CT 5 2 cm Lihat ∆ABC
AE AB 2 BE 2 2
25 5 5 2 25 2 2 2
25 50 2 4 25 5 .2 2 4 2
Lihat ∆TBC
ET BT BE 2
2
2
2 5 25 5 2 2 50 2 2
100 25 75 2 2
Bab 3 | Page 214
ET EF FP 2
150 25 .6 4 4
2 2
1 2 1 2 a a a a 4 2 2
5 6 2 Lihat ∆ATE, merupakan segitiga siku-siku
AT 2 TD .TE 5 52 TD. 6 2 5 5 25 TD 2 25 2 TD 5 6 10 5 6 6 3
5 2 a a 5 cm 4 2 2 EP R / P 2 R / E 2 cos 2.EP.R / P
a 5 a 2 a 3 2
1 2
1 2
2
1 2
2
2. 12 a 5 . 12 a 2
54 a 2 34 a2 a2 10 2 1 5 3 2 410 4 2
a 2
AD AT 2 TD 2
2 2
150 5 5 6 52 9 3
2
2
150 75 25 9 9 25 5 .3 3 cm 9 3 1 6 2 Sisi a cm
1 10 2
2 10
x r 2 2 x y r 2
cos maka x 2, r 10
y r 2 x 2
10 2 2
2
6
y x 6 1 6 2 2
tan
7. C.
Diagonal sisi a 2 cm Diagonal ruang a 3 cm
EP, QR ?
Caranya geser ruas QR sehingga Q bertemu dengan P, maka Q akan berhimpit dengan P, sebut ruas garis yang digeser PR / . QR sejajar dengan diagonal sisi AC juga PI tetapkan PR a 2 cm diagonal sisi /
1 PI a 2 cm karena P adalah titik 2 1 / tengah FB, sedangkan PR adalah 2 1 / diagonal sisi, maka ER adalah diagonal 2 1 / ruang EJ ER a 3 cm 2
8. A. 2 3 Ditanya : jarak ACF ke DEG = ? Jarak ACF ke DEG dalah garis tinggi MP segitiga NMF NM rusuk 6 cm
1 MF diagonal sisi HF 2 1 .6 2 3 2 cm 2 Lihat ∆NMF siku-siku di M, maka
NF NM 2 MF 2
36 18
62 3 2
2
54 3 6 cm
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 215
Berdasarkan rumus luas segitiga yang dilihat dari dua arah tentang luas dan tinggi, diperoleh :
NM .MF NF .PM 2 2 NM .MF PM NF 6.3 2 6 2 3 6 6 6 12 2 3 cm 6 8. Statistika 1. E. 73 Tabel Distribusi fi Nilai 0 – 44 20 45 – 76 20 10 11 – 100
n 50 Tepi atas kelas i fi X maks n 44 2076 20 100 10 50 880 1.520 1.000 68 50
Tepi bawah kelas i fi X min n 0 20 45 20 77 10 900 770 33,8 50 Jadi, X min X X maks
33,8 X 68 Dari pilihan a, b, c, d , e yang tidak berada di interval tersebut adalah 73 2. D. 50 kg Laki-laki Perempuan
x
n
55 kg 40 kg
200 orang 100 orang
n x nP x P xL L nL nP 200.55 100.40 200 100 11.000 4.00 50 kg 300 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
3. C. 5 Awal terdapat 10 data pengamatan lalu kita urutkan data tersebut sebut datanya
x1 , x2 ,.....x10 J1 jangkauan awal x10 x1 x x6 M1 median awal 5 2 (Karena banyak data genap) Diketahui : M 1 J1 2 atau
M1 J 1 2 ….. (i) Kemudian data diubah menjadi
2 x1 3, 2 x2 3,....., 2x10 3 J 2 jangkauan akhir 2 x10 3 2x1 3 2 x10 x1 2 j1 J 2 2J 1 ….. (ii) M 2 median akhir 2 x 3 2 x6 3 5 2 2 x 2 x6 6 5 2 x5 x6 3 x x 6 3 2 5 2 2 M1 3 M 2 2M 1 3 ….. (iii) Diketahui : M 2 J 2 21 2 M1 3 2J 1 21 2M 1 2 J1 24 M 1 J1 12 …. (iv) Eliminasi (i) dan (iv)
M1 J1 12 M1 J1 12 2 J 1 10 J1 5
Jangkauan mula-mula = 5 4. B. 4 : 7 Pria
65
x
n np
Wanita
54
nw
xtot 58
Bab 3 | Page 216
Ditanya : np : nw ?
14 64,5 .5 35 64,5 3,428 67,928 67,93
x n xw nw xtot p p np nw 65n 54nw 58 p n p nw
7. C. 46,3 Modus terletak pada kelas dengan frekuensi terbesar. Kelas modus adalah kelas 44,5–49,5 f 0 frekuensi kelas modus 12
58n p 58nw 65n p 54nw 7 np 4nw
n p 4 nw 7 np 4 nw 7
L0 batas bawah kelas modus = 44,5 f 1 frekuensi sebelum kelas modus = 8 f 1 frekuensi setelah modus = 5 c panjang kelas = 49,5–44,5 = 5 f 0 f 1 Modus L0 c 2 f f f 0 1 1
Perbadingan jumlah siswa pria dan wanita adalah 4 : 7 5. C. 121 Nilai 134,5-139,5 139,5-144,5 144,5-149,5 149,5-154,5 154,5-159,5 159,5-164,5
xi (nilai tengah) 137 142 147 152 157 162
fi
12 8 44,5 5 2.12 8 5 4 44,5 .5 11 46,32 46,3
xi f i
3 5 8 10 9 5
+
f 40 x f i
411 710 1.176 1.520 1.413 810
i i 6040
x f 6040 x i i 151 f i 40 6. E. 67,93 n total frekwensi
4 8 14 35 27 9 3 100 n 1 Median adalah data ke 2 101 50,5 2 Data ke 50,0 ada kelas 65–69 Lo batas bawah kelas median 65 0,5
64,5
c panjang kelas = 69,5–64,5 = 5 f i total frekuensi sebelum kelas Interval
4 8 14 26 f i frekuensi kelas median = 35
n2 fi Median Lo c f i 100 26 64,5 2 5 35 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
+
8. D. 19 41 orang dengan x 20 : 41 20 820 1 orang dengan nilai 60 : 160 60 Total nilai 40 orang 760
Total nilai 40 orang x 40 orang 760 19 40 9. A.
nA : nB : nC 2 : 3 : 3 Misalkan nA 2x dengan x suatu nB 3x bilangan tertentu nC 3x xi ni xi .ni A B C
6 7,8 8,2
2x 3x 3x
n 8 x
x n
xtotal
+
12x 23,4x 24,6x
x n 60 x
+
i i
i i
n 60 x 7,5 8x Bab 3 | Page 217
10. C. Terdapat 10 data x1 , x 2 ,....., x10
12. D. 40 orang
10
x
x 0 rata-rata i 1 10
i
n
10 x0 xi ….. (i)
Nilai xi
Frekuensi f i
xi f i
3 4 5 6 7 8 9
3 5 12 17 14 6 3
9 20 60 102 98 48 27
i1
Data diubah menjadi
1 1 1 x1 2, x2 4, x3 6,..... 2 2 2 xs rata-rata sekarang
1 x 20 1 x1 2 1 x2 4 1 x3 6 ..... 2 2 2 10
2 1 2
10
x1 x2 ..... x10 2 4 6 ..... 20 deret aritmetika a 2, b 2 10
x 2 20 10
1 2
i
i 1
1
2
; substitusi (i)
10 x0 110
9. B. 9 Data lama Data baru
n
i
364
dari tabel, terlihat bahwa siswa yang nilainya lebih besar dari 5,07 adalah siswa dengan nilai 6 Total siswa yang lulus 17 14 6 3 40 orang
Pendapatan
31
i i
364 x 6,07 60 kriteria lulus x 1 6,07 1 5,07
xi .ni
xi
n
13n
(Ribuan Rupiah)
1
31
20
ni
13
x f
60
Rp 60.000, 60 (dalam ribuan rupiah) Ditanya : x ?
10 5 x0 10 1 x0 11 10 2
xi
i
13. D. Rp 110.000, Diketahui : x rata-rat penghasilan karyawan perminggu
10 2
10
f
+
n 1 ;
x n 13n 31
+
i i
ni
1 8 1 8 1 4 1 12 1 12 1 12 1 4
30 45
Diketahui : xakhir 15
xn xakhir i i ni 13n 31 15 n 1 15n 15 13n 31 2n 16 n 8
Banyak data akhir = banyak data lama + banyak data baru
n 1 8 1 9
xi f i
(bagian lingkaran)
50 60 70 x
n 1 bagian
2,5 3,75 11,25 4,17 5 5,83 0,25x
+
xi f i 0,25 x 32,5
+
xf x i i n 0,25 x 32,5 60 1 0,25 x 60 32,5 0,25 x 27,5 x 110 Pendapatan perminggu bagian x adalah
Rp 110.000,
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 218
14. D. 6 kg Awal
xi
ni
xini
I 30 4 120 II 33 4 132 Selanjutnya, Keluarkan 1 data dari kelompok 1 (sebut x1 ) dan masukkan x1 ke kelompok 2 Keluarkan 1 data dari kelompok 2 (sebut x2 ) dan masukkan x2 ke kelompok 1
xi 120 x1 x2 4 132 x 2 x1 4
Akhir I II
ni 4 4
Diketahui :
x1 akhir x2 akhir , maka
1 9 12 bulan 114 2 81 114 xtiap bulan 24 bulan 195 8,125 24 9. Peluang 1. D. 301 4 pria dan 7 wanita dipilih 4 panitia Banyak cara untuk memilih jika paling Sedikit 2 wanita Banyak cara jika dipilih 2 wanita + Banyak cara jika dipilih 3 wanita + Banyak cara jika dipilih 4 wanita
C24 C27 C14 C37 C04 C47
120 x1 x2 132 x2 x1 4 4 2 x1 2 x2 12 2 x2 x1 12 x2 x1 6
4! 7! 4! 7! 4! 7! . 2!2! 5!2! 3!1! 4!3! 4!0! 3!4!
6 21 4 35 1.35 126 140 35 301
Selisih berat badan kedua anak tersebut adalah 6 kg
2. A.
7 33 7 bola hitam
11 bola 4 bola putih Diambil 3 bola sekaligus
15. C. 8,125 kaleng Kebutuhan susu bayi selama 2 tahun Bulan kebutuhan susu (kaleng)
Tahun 1 1 2 3…..12 4 4 1 5 …. 9 1 2
Tahun 2 1 2 3…..12 9 1 9 1 ……. 9 1
2
2
2
2
Barisan aritmetika a 4, b 4
C37 C04 P (terambil 3 bola hitam) 11 C3 7! . 4! 35.1 4! 3! 4! 0! 11! 165 8 !3! 7 33
1 1 4 2 2
U12 a 11b 1 1 4 11 2 2
3. D. 91 n Diketahui : C 2 3n
Maka untuk tahun ke-2 kebutuhan susu perbulan tetap sebesar 9
1 2
Kebutuhan susu tahun I
12 S12 2a 11b 2 1 62.4 11 81 2 Kebutuhan susu tahun II
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Ditanya : Cn 5 ? 2n
C2n 3n n! 3n n 2 !2! n n 1 n 2 ! 3n n 2 !2
n n 12.3n 2 n n 6n 2 n 7 n 0 Bab 3 | Page 219
n n 70 n 0 atau n 7 0 n 7
9! 9 C2 36 7!2!
Tidak memenuhi Jadi, n 7
7. D. 336 Dari 8 orang akan dipilih 1 direktur, 1 wakil direktur, 1 seketaris
Cn2n 5 C72.75 C1214
14! 14! 91 14 12 !12! 2!12!
4. C. 18 Emapat angka 1, 2, 3, 4 Banyak bilangan 2.000 dan angka berbeda 3 3 2 1 18 Angka yang memenuhi 2, 3, 4 dan 3 buah
5. A.
Satu angka sudah terpakai, sisa ada 4–1 = 3 (karena tidak boleh berulang)
Dua angka terpakai, Sisa = 4–2 = 2 angka
Tiga angka terpakai, sisa = 4–3 = 1 angka
165 364
8! 8 3 ! 8! 8.7.6 5! 336
Banyak cara pemilihan P38
8. E. 420 7 orang matematika diambil 2 orang, 6 orang fisikawan diambil 3 orang. Banyak kemungkinan susunan panitia yang terbentuk
7! 6! C27 .C36 . 5!2! 3!3! 21.20 420 9. A. 0,06 P (Amin hidup 10 tahun lagi) 0,7 , maka P (Amin meninggal 10 tahun lagi)
1 0,7 0,3
5 bohlam rusak 16 bohlam 11 bohlam tidak rusak Diambil 4 bohlam secara acak P (terambil 1 bohlam rusak)
C15 C311 16 C4 5! 11! . 825 4!1!16!8! 3! 1820 12! 4!
P (Amin hidup 10 tahun lagi) 0,8 , maka P (Aman meinggal 10 tahun lagi)
1 0,8 0,2
P (keduanya akan meninggal 10 tahun lagi) P (Amin meninggal 10 tahun lagi) x
0,3 0,2 0,06
10. C.
217 230 10 soal ganjil
165 364
25 kelereng
6. D. 36 9 soal ganjil 17 soal 8 soal genap Ketentuan : Harus menyelesikan 10 dari 17 soal dan 8 soal genap harus dikerjakan semua Banyak soal ganjil yang dipilih
10 8 2
Banyak pilihan yang dapat diambil banyak soal ganjil seluruhnya C banyak soal ganjil yang bisa dipilih
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
8 soal genap Diambil 5 kelerng secara acak P (sekurang-kurang termbil 1 kelereng biru)
P 1biru P 2 biru P 3 biru P 4 biru P 5 biru 1 P 0 biru 1 P 0 biru, 5 kuning C10 .C15 1 0 25 5 C5 3003 1 53.130 Bab 3 | Page 220
50.127 217 53.130 230 10. Trigonometri 1. B. 24 Misalkan BCA Pengaturan kosinus
AC 2 BC 2 AB2 cos 2. AC.BC 2 4 52 7 2 2 4 5 16 25 49 40 8 1 40 5 x cos , maka x i , r 5 r 2 2 r x y 2 y r 2 x 2
52 12 24 tan bernilai negatif cos bernilai negatif ( di kuadran II) y tan x 24 24 1
x r y 2
2
52 32 4 y 3 tan 2 x 4 Karena 2 ( 2 ada dikuadrat II) 2 tan 20tan 2 3 3 4 4 4. C.
tan 2 sin 0
2. D. 45 cm
abc abc R 1 4L 4. 2 .b.c sin A a 30 5 sin A 2. 3
90 9 5 2 5 R 5 9 5 5 45 cm
3. C.
9 2 sin 10 9 90 sin 10 100 3 10 10 2 2 cos 1 sin 9 1 1 10 10 cos 22 sin cos 3 1 2. 10 . 10 10 10 6 3 10 5 y 3 sin 2 , y 3, r 5 r 5
3 4
9 2 10 2 Ditanya : tan 2 ? Diketahui : sin 2 ,
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
2
sin 2 sin0 cos sin2sin cos 0 cos sin 2 sin cos0 sin 1 2 cos 0 sin0 atau 1 2 cos0 1 cos 2 Maka coscos (tidak di 3 1 dalam interval) sincos 1
Bab 3 | Page 221
5. A.
7. E. 1
1 sin 2 2
C , ABC adalah segitiga siku-siku 2
0
di C karena ABC adalah segitiga maka
Misalkan 2
30 6
1 2
Nilai sin
5 150 6
1 2 1 sin 2 2 5 2 6 6 5 12 12
Jadi, sin
Diketahui :
Himpunan penyelesaian :
5 | 12 12 6. E. 7 Diketahui : Luas 3 2 3
1 2 1 3 2 3 6 4 3 7 sin B 2 1 3 2 3 3 2 3 .7 sin B 2 1 7 sin B 1 sin B 7 A B C 180 ; karena A, B , C A C 180 B ; (sudut suatu segitiga) sin A C sin 180 B sin B 1 7 1 cosec A C sin A C 1 1 7 Luas . AB.BC .sin B
A B C A B 2 A B 2 B A atau A B 2 2
7
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
1 cos A cos B 2 1 cos B cos A 2 2 2 1 sin B.sin A 2 cos A B cos A cos B sin A sin B 1 1 1 2 2 1 a 1 a 1 sin 2 a 1 sin 1 sin a 2 a2 sin sina2 sin a 2 1 1 a 2 sin a 2 1
8. E.
a 2 1 sin 1 a 2 y sin , r a 2 1, r 1 a2 r x r2 y 2
1 2 a a a 2a
1 a2 a 2 1
2
2
4
2
4
2
1
4a 2 2a x 2a cos r 1 a 2 cos 21 2 sin 2 2 cos 2 1 1 coscos 2 2 Bab 3 | Page 222
1 2 1 cos 21 Maka sin 2 2 1 2a2 1 a 1a 2 2 1 a2 2 1 a2 2a 1 a 2 1 a2 2 1 a2 1 cos 21 cos 2 2 1 2a2 1 a 1 a 2 2 1 a 2 2 1 a2 2a 1 a 2 1 a 2 2 1 a 2 1 2 sin
2 1 a
sin 2 1 a 2 tan 2 2 1 a 2 cos 2 2 1 a 2 2
1 a 1 a
tan 3 x
7 2
Sehingga sin 3x
cos 3x
7
a adalah 2 2 cos 3x 7 sin 3x 4
Nilai minimum didapat jika a memenuhi
f / x 0
0 2 cos 3x 7 sin 3x 4 a 3 2 sin 3 x 3 7 cos 3 x 0
2
7 2 2
2
2
3 7 cos 3x 3 2 sin 3 x 0 Diubah menjadi k cos 3 x 0
2
dengan k 3 7 3 2
2
81 9 3 2 2 tan 3 7 7 Sehingga
9 cos 3 x 0 cos 3x 0 cos 3x cossin 3x sin0 cos 3x cossin 3x sin Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
7 3
2 3
Nilai minimum dari f x 2 jika
cos 3x
7 dan 2
2 3
f x
a 2 2 cos 3 x 7 sin 3 x 4 a 2 2 cos 3x 7 sin 3x 4
2 7 2 2. 7. 4 3 3 2 7 2 4 3 3 2 7 14
0 a 2 sin 3 x .3 7 cos 3x .3 2
7 2 2
9. D. Nilai minimum dari
f x
1 tan 3 x tan 1 7 tan 3 x 2 7 2
Dimasukkan sin 3x
2 1 a 1 a 2 1 a 1 a
sin 3x cos cos3 x sin
2
10. B.
3 2
Segitiga ABC, siku-siku di C
C 90 A B C 180 A B 90 180 A B 90
3 5
Diketahui : sin A cos B ….. (i)
3 sin A cos B 5 3 sin 90 B cos B 5 3 sin 90 cos B cos 90 sin B cos B 5
Bab 3 | Page 223
3 5
1.cos B 0.sin B cos B 3 cos B 5 2
3 5 15 1 15 25 5 x 15 cos B r 5 x 15 , r 5 cos B
y r x 2
2
25 15 10 y 10 tan B x 15 150 5 1 6 6 15 15 3 3 sin A cos B 5 15 3 sin A. 5 5 3 1 sin A 15 15 5 y 15 sin A , y 15, r 5 r 5 x r 2 y 2
25 15 10 y 15 tan A x 10 1 1 150 6 10 2 1 tan A 2 6 3 tan B 12 6 2 11. Lingkaran 1. C. 8 Persamaan lingkaran
x 2 y 2 4 x 2 y C 0 Melalui 0,1 0,1 0 2 12 4.0 2.1 C Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
C 3 Persamaan lingkaran menjadi
x 2 y 2 4 x 2 y 3 0 A 4, B 2, C 3 2
2
A B 2 2
Jari-jari r C
4 1 3 8 2. E. Persamaan garis singgung lingkaran
4x 3 y 5 0
Rumus persamaan garis singggung lingkaran pusat a, bjari-jari r dan gradient m
y b m x a r 1 m 2 …..(i) Dari garis 4 x 3 y 5 0
4 4 m 3 3
Diketahui pusat a, b 3,1 , maka (i) menjadi 2
4 4 y 1 x 3 r 1 3 3 4 5 y 1 x 4 . 3 3 3 y 3 4 x 12 5r 4 x 3 y 15 5 0 Karena diketahui 4 x 3 y 15 5 0 Maka 15 5r 5 20 r 4 5 Persamaan lingkaran
2 x a 2 y b r 2 2 2 x 3 y 142
x 2 6 x 9 y 2 2 y 1 16 0 x 2 y 2 6x 2 y 6 0 3. D. Agar garis y x a menyinggung lingkaran x 2 y 2 6 x 2 y 2 0 masukkan y x a ke persaman lingkaran sehingga persamaan lingkaran memiliki
D 0
x 2 y 2 6x 2 y 2 0 x 2 x a6x 2 x a2 0 2
Bab 3 | Page 224
x x 2ax a 6 x 2 x 2a 2 0 2 x 2 2 a 8 x a 2 2a 2 0 2
2
2
D b 4ac 0 2 2a 84.2 a 2 2a 2 0 2
4 a 32a 64 8a 16a 16 0 4 a2 16a 48 0 : 4 a 2 4a 12 0 2
2
a 6 a 20
a 6 atau a 2
Pusat lingkaran besar 0,0 Persamaan lingkaran besar
x 2 y 2 R 2
x 2 y 2 2 1
2
x 2 y 2 3 2 2 6. C. Persamaan garis singgung lingkaran
y mx c
Garis singgung melalui 1,8
1,8 8 m1c
4. D.
c 8 m
L2 x 2 y 2 7 x y 1 0 A B 7 1 Pusat L2 , , 2 2 2 2 Karena L1 sepusat dengan L2 maka 7 1 Pusat L1 , 2 2 2
Persamaan garis singgung lingkaran :
y mx m 8
Masukkan persamaan tersebut ke persamaan lingkaran x 2 y 2 2 y 24 0 x 2 mx m 8 2 mx m 824 0 2
x 2 m 2 x 2 m 2 64 2m 2 x 16mx 16m 2mx 2m 16 24 0
2
7 1 Persamaan L1 x y R12 2 2 L1 melalui A 1,2 2
1 m x 2m 2
2
Agar garis menyinggung maka
Persamaan
4m 56m 196m 4
3
2
m 2 14m 24 m 4 0 4 4 3 2 14 m 14 m 24 m
4m 56m 196m m 4
3
2
4
56m 100m 56m 96 0
2
7 1 34 L1 x y 2 2 4 49 1 34 2 2 x 7 x y y 0 4 4 4 2 2 x y 7 x y 4 0
2 m2 14 m 4 1 m m 2 14m 24 0 2
3
2
D b 4ac 0 2
2
7 1 A 2,1 1 2 R12 2 2 25 9 R12 4 4 34 R12 4
14m x m 2 14m 24 0
2
96m 2 56 m 96 0 12m 2 7m 12 0
2
:8
3m 4 4 m 30
3m 4 0 atau 4m 3 0 4 3 m m 3 4
4 3
Untuk m
5. D. Lihat lingkaran I Karena lingkaran I bersinggungan dengan sumbu x dan sumbu y dan memiliki jari-jari 1 maka pusat lingkaran I adalah 1,1
AO OC2 OD 2 1 1 2 AB jari-jari lingkaran I 1 Jari-jari lingkaran besar R AO AB 2 1 1
2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Persamaan garis singgung :
y mx m 8 3 y 4 x 4 24 4 x 3 y 28 0 3 m 4
Persamaan garis singgung :
3 3 y x 8 4 4 Bab 3 | Page 225
4 y 3x 3 32 3x 4 y 29 0
c 2 4 3 2 10
7. A. Garis singgung dengan sudut 120 terhadap x positif
m tan120 3
4 3 8 Jika c 2 4 3 8 maka y 3x 4 3 8 8. C. Persamaan lingkaran :
Persamaan garis singgung : y 3 x c ….. (i)
x 42 y 42 16
Pusat lingkaran = titik tengah 7,6 dan 1,2
7 1 6 2 , 4 ,2 2 2 Jari-jari R = 7,6dan pusat 4, 2
Agar garis y mx tidak memotong lingkaran substitusikan y mx ke persamaan lingkaran dan tetapkan
D 0
Persamaan lingkaran
2 2 x 4 y 416 2 2 x 4 mx 4 16 0
2 2 7 4 6 2
x 8 x 16 m x 8mx 16 16 0 1 m 2 8m 8 x 16 0 D 0 2 2 8m 84 1 m .16 0 2
32 4 2 5
Persamaan lingkaran
x 4 y 252 2
2
2
2
4 3 x c 5 0 2
2
x 2 y 2 14 x 7 y 2 0 14 7 Pusat : Q , 7,3,5 2 2
Agar garis bersinggung dengan lingkaran maka D b 2 4 ac 0
2 3 c 4 3 8
2
49 49 2 4 237 4
2
12c 2 48 64 48c 32 3c 64 3 16c 2 64c 80 0
c 8 3 4 c 16 3 48 0 8 3 4 8 3 4 4 16
4 c 2 32 3 16 c 192 64 3 0 2
2
C1,2
3 48
2
4 3 2
192 64 3 16 64 3 192 2
4 3 2
400 2
2
14 7 R jari jari 2 2 2
4 4 c 4c 5 0 2
2
9. E. Persamaan lingkaran
x 3 x 2 3cx c 8 x 4 3 x 4c 5 0 4 x 2 2 3c 4 3 8 x c 2 4c 5 0 2
64m 128m 64 64 64m 0 128m 0 m 0
x2 3 x c 8x
x2 8x 16 2 4 y 4 25 0 x2 y 8 x 4 y 5 0
2 2
4 3 2 10
Q/ adalah titik singgung sehingga PQ / PQ
237 4 PQ adalah jari P 1,1ke pusat 7 Q7, 2
QQ / R
Maka c1 4 3 2 10
4 3 12 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 226
PQ 1 7 1 3,5 2
2
81 337 64 4 4 / / ∆PQQ siku-siku di Q PQ/ jarak P ketitk singgung Q / QP QQ 2
9 2 3 9 y x …… garisl l 4 2 3 A : titik potong y x 8 dan 4 Untuk c
sumbu y (titik potong dengan sumbu y maka x 0 )
/2
2
2
337 237 4 4
337 237 100 4 4 4 25 5
3 x 0 y .0 8 8 4 0,8 3 9 B : titik potong y x dan 4 2 sumbu y
3 9 9 x 0 y .0 4 2 2 9 0, 2
10. C. Garis singgung g dan l sejajar garis
3 x 4 y 7 0 3 m 4 3 mg ml (karena sejajar) 4
2
AB
Persamaan lingkaran : x2 y2 2 x 2 y 23 0 2
3 3 x 2 x c 2 x 2 x c 23 0 4 4 9 2 3 3 2 2 x x cx c 2 x x 2 c 23 0 16 2 2 1 2 25 2 3 x c x c 2 c 23 0 2 16 2 2
1 25 3 c 4 c 2 2c 23 0 2 16 2 9 3 1 25 25 575 c2 c c2 c 0 4 2 4 4 2 4
9 c2 6 c 1 25c 2 50c 575 0 16c2 56c 576 0 2c 2 7 c 72 0 c 8 2 c 9 0 c 8 0
atau 2 c 9 0
c 8
9 c 2
2
2
25 25 2 2
Jadi persamaan garis singgung lingkaran
3 y x c 4
9 0 02 8
12. Polinom (Suku Banyak) 1. B. x 1faktor dari
f x 24 2x 3 px 2 x 2
Bagan Horner 2
–1 2 2
–2 –2 –4 –4
–P 4 –P+4 1
–1 P–4 P–5 –2
–2 –P+5 –P+3 = 0 P = 3
Hasil bagi : x 3 4 x 2 x 2 0 Faktor yang lain dari f x
Apakah x – 2 faktor dari f x 2 –4 1 –2 2 4 0 2 2 0 1 0 Hasilnya nol, berarti x – 2 adalah faktor dari f x
Untuk c 8
3 y x 8 ….. garis g 4
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 227
2. B. –8
Eliminasi (i) dan (ii)
6 x 3 7 x 2 px 24 habis dibagi 2 x 3 6
7 9
P 24
16
P+24
3 2
6
3 2 3 2
–24 P+36
P+12 = 0
12 P 3 2
P 8 3. A.
P x x 4 x 3 9x 2 x m Salah satu faktor x 1 1
1 1 2
1 1
9 2 11
–1 11 10
2a b 4 3a b 5 a 1 a 1 2a b 4 2.1 b 4 b 4 2 b 2 h x ax b 1.x 2 x 2 Sisa : x 2 6. B.
–m 10 10–m = 0 m = 10
x 4 4x 3 7 x 2 ax b 0 x1 4, x2 1, x3 , x4 4
hasil bagi x 2x 11x 10 0 3
2
x 2x 11x 10 0 x 1x2 x 10 0 3
–1
2
4. C.
g x 2 x 3 ax 2 bx 6 h x x 2 x 6 x 3 x 2 h x adalah faktor dari g x 2 x = –3 2 x =2 2
a –6 a–6 4 a–2
–7 0 –7 1 –6
a –28 a–28 6 a–22 = 0
b 4a–12 4a+b–112 = 0
Hasil bagi x x 6 0 2
Salah satu faktornya adalah x 1atau x 2 x 10
1 –4 4 1 0 –1 1 –1
b 6 – 3a + 18 9a–3b–54 –3a+b+18 9a–3b–48 = 0 2a–4 9a–3b = 16 –a+b+14 = 0 3a–b = 16..(i) –a+b = –14…(ii)
Eliminasi persamaan (i) dan (ii)
3a b 16 a b 14 2a 2 a 1
5. D.
f x : x 2 x 3sisa h x ax b f x : x 2 sisa 4 h 2 4 a.2 b 4 2a b 4 ….. (i) f x : x 3 sisa 5 h 3 5 a.3 b 5 3a b 5 ….. (ii)
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
x 3 x 20
x 3 x 2 Maka x3 3
x 4 2 7. C.
3x 3 px 2 qx 5 2 dibagi x 3 x 4 bersisa x 11 Bagan Horner – Kino 3 p q –5 4 4 4p+36 3 9 3p+27 3 p+q 3p+q+31 4p+31 Sisa : 3 p q 31 x 4 p 31x 11 Sehingga
4 p 31 11 4 p 20 p 5 3 p q 31 1 3 5 q 31 1 q 1 31 13 q 15
p q 5 15 25 225 200 2
2
2
2
Bab 3 | Page 228
8. D.
h x dibagi x 2 7 x 10 bersisa p x ax b dari soal diketahui : h x f 2 x g 2 x berarti kita lihat pembagi h x satu persatu dikaitkan dengan pembagi f x dan g x yang bersesuaian dengan pembagi h x f x : x 2 f 2 6 g x : x 2 g 2 4 h 2 f 2 292 2 2 2 6 4 20 h 2 20 ….. (i) f x : x 5 f 5 2 g x : x 5 g 5 1 2 2 h 5f 59 5 212 3 h 53 ….. (ii) 2
Dari (i) dan (ii) diperoleh
10. C.
x 5 2 x 4 5 x 3 36 32 0 1 2 1
5 8 13
0 26 26
–36 52 16
–32 32 0
Sisa = 0 Maka 2 adalah akar persamaan diatas 1 4 13 26 16 –2 –2 –4 –18 –16 1 2 9 8 0 –1 –1 –1 –8 1 1 8 0 Banyak akar real ada 3
13. Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi 1. A.
f x x 2 3 x 4 g x 2 x 3 f g x f g x f 2 x 3
2 x 33 2x 3 4
2 a b 20 5a b 3 3a 17
2
4 x 2 12 x 9 6 x 9 4 4 x 2 6 x 4
17 a 3 2a b 20 2. 173 b 20 3 34 3b 60 3b 94 94 b 3 17 94 p x x 3 3
2. A.
f x x 2 1 1 2 f g x x 4x 5 x 2 1 2 f g x x 4 x 5 x 2 2 g x 1
x 2 4 x 5 x 22
x 2 4 x 5 2 x 2
2 g x 1
9. C.
4x 2 3 x hasil bagi 3
2
3 x 3 9 x 2 12x 5x 1
x 2 4 x 5 1 x 22
2 g x
4 x 15x 7 x 7 x 1 4 x 4 12x 3 16x 2 3 x 3 9 x 2 7 x 1 4
x 2 3 x 4
2 2 4
Sisa
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
x 2 4x 5 x 2 2 x 2 2
x 2 4x 5 x 2 4 x 4 x 22 1 2 x 2
Bab 3 | Page 229
1 x 2 1 g x 3 x 32 1 , x 5 x 5 g x
3. E.
g 4 x 2 12x 11 2 x 3 f x 3x 1 Ditanya : f g 1 x ? 2 g 4 x 12x 11 2 x 3
g 2 x 32 2x 3
g 2 x 39 11 2 x 3 2 2
Maka
g x 2 2 x 2 1 Berarti x 2 adalah g x Karena ruas kanan adalah fungsi identitas. Sifat fungsi identitas g g 1 x x
f g
1
x f g x f x 2 3 x 2 1 1
2
2
3 x 2 7 4. C.
f x x 2 h x x 2 2 x 3, x 0 f g h x x 2 6 f g h x x 2 6 f g x 2 2 x 3x 2 6 f g x 2 2 x 3 x 2 6 g x 2 2x 3 2 x 2 6 g x 2 2 x 3x 2 8 g 5 ? x 2 2 x 3 5 x 2 2 x 8 0 x 4 x 20 x 4 atau x 2
Tidak memenuhi karena syarat x 0 Jadi, g 5 22 8
4 8 12 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
5. D.
4x 1 f 3x 1 x 1 f 5 ? 3x 1 5 3 x 6 x 2 4.2 1 f 5 7 2 1
6. A.
f x 5 log x 3 g x 53 x 1 1 1 Ditanya : g f a 2 a? 5 f x log x 3 y 5log x 3 5 log x y 3 y 3 x 5 f 1 x 5x 3 g x 53 x 1 y 53 x 1 3x 1 5 log y 3x 5log y 1 15 1 x log y 3 3 1 1 1 5 g x log x 3 3 1 1 g f a 2 g 1 f 1 a 2 1 a 3 g 5 2 15 1 a 3 log 5 2 3 3 a 3 5 1 . log 5 2 3 3 a 3 7 3 3 a 3 7 a 10
7. E.
g x 2 x 2 3x 6 g f x 18 x 2 15 x 8 Ditanya : x ? Bab 3 | Page 230
Untuk f x 4
g f x 18x 15x 8 2 2 3x 23 3x 26 f x 3x 2 4 2
3 x 6 x 2
1 f x 3x 2 5 2 1 3 x 3 2 7 x 6
1 x y 3 maka 3 1 1 f x x 3 3 x 1 1 Jika g x x 7 1 1 f g 3 g f
g
1
maka
4 1 f x 2 1 2 2x 1 1 2 x 1 x 1 2 x 1 f f x x 1 2 x 1 f x 2 x f 1 x ? 1 x 2 1 x 2
1 2* x 2 x * 1 2 x * 2 x xx* * * 2 x xx 2 x 1 x* x 22 x 1 2 x 1 * x x 2 2x 1 f 1 x , x 2 x 2
1
3 3
f 1 1 g .3 3 3 1 g 2 2 1 2 7 1 1 9 9
8. E.
4x 1 1 f 1 2 x x 2x 1 2 f x ? 1 2 x x 2 x x 1 1 x x 2
1
10. B.
2x 3 f x , x 4 x 4 g f x x 2 7x 8 5 8
Ditanya : g ?
g f x x 2 7x 8 g f x x 2 7 x 8 5 8
Jika mencari g artinya tentukan dulu x yang memenuhi sehingga
5 f x 8 2x 3 5 x 4 8 16 x 24 5x 20 11x 44 x 44 5 2 g 4 7.4 8 8 16 28 8 4
9. C.
f x 3x 9 y 3x 9 3x y 9
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 231
x 2 5x 8 2 x 2 x2
14. Limit 1. B.
lim
x 3
lim
x 2 x 3 9 x 2
5 x 8 x2 2 5.2 8 2 18 9 2 lim
x 2x 3 x 2x 3 x3 9 x 2 x 2x 3 2 x 2x 3 lim 2 x 3 9 x x 2 x 3 lim
x 2x 3 x3 3 x 3 x x 2x 3 x 3 x 1 lim x 3 x 3 3 x x 2x 3 3 1 4 6.6 3 3 3 2.3 3 4 1 36 9 2
lim
2. D.
4. B.
x 2 a 1 x a ? 3 3 x a
lim
xa
karena hasilnya
x 2 x 2 x 1 1 x x 2 x 1 x 2 x 1 lim 2 1 x x x 1 x 1 x 2 x 1 lim x 1 x 1x 2 x 1 1 2 2 1 1 1 3 1 3 lim
2 x a 1 2.a a 1 2 2 3x 3a a 1 2 3a
5x 2 3xy 8 y 2 yx 3 y 2 3xy 5x 8 y x y lim 2 3y 3 xy yx 5x 8 y x y lim 3 y x y yx 5 x 8 x 3 x 13x 13 3x 3 lim
lim
2 x 2 8 x 2 2 x lim x 2 x 2 2x 4 2 2 2x 8 x 2 x lim x 2 x 2 2 x 2
2 2 x 8 x 2 x x2 2 x 2 2 5x 2 x 16 lim x2 2 x 2 lim
5. C.
6. D.
3. D.
2
2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
0 ; menurut dalil 0
L “Hospital” turunkan masing-masing pembilang dan penyebut
lim
3 1 lim 3 x 1 1 x 1 x 2 x x 1 3 lim ; x 1 1 x x 2 x 1 1 x 3 1x x 2 x 1
0 , 0
Jika dimasukkan x a maka hasilnya
4 x
2
12 x 1 4 x 2 4 x 2
x
a b c karena a p 4 maka
lim
4 x
2
p
q
r
12 x 1 4 x 2 4 x 2
x
b q 2 a 2 p 12 4 2 4 2 4 Bab 3 | Page 232
3 1 4
7. A. lim
x ax b x x lim x a x b x . x
lim
x
lim
x
x
2
x 2 x
10. B.
lim
x0
2 lim
x a x b2 x ab 2 2 x x
x 0
x
x
2 lim
2. 12 x cos 3 x 1 lim 2 1 tan 2 x x 0 x x 12
2
2
2
xlim 9x 2 3x 9 x 2 15x lim 18x
2
1 2 sin 2 32 x 1 x2 x 12 x0 2 3 2 sin x 4 lim 4 9 2 2 x 12 x 0 9 .4 x
9 x 3x 9x 15 x 9 x 3x 9x 15 x 9x 3x 9 x 15x 2
cos 3x 1 x x 12 tan 12 x
2 2 1 lim
9x 3 9 x 15 lim x 9 x 3 x 9x 15 x 2
2 cos 3x 1 x x 12 tan 12 x
x cos 3 x 1 x x 12 tan 12 x
x0
2
2
2 lim
x0
x
lim
x0
ab x
8. E.
lim
2cos 3x 2 x 12 x tan 12 x
lim
a b 0 1 0 0 0 a b a b 1
x
49 x2 28x 3 x8 x8 x8
0 16.49 0 0 784 0
lim
2
9 x 30x 5 x8 x8 x8 16 x 2 8 x 1 x8 x8 x8
x a x bx x a x bx x a x bx 2 lim x x 2 a b x ab x 2 x a b x ab x 2 lim x x2 a b x ab x a bx ab lim 2 x x a b x ab x a b x
9 x 2 30x 5 x x4 x4 16 x 2 8 x 1 49x 2 28 x 3 4 4 4 4 4 4 x x x x x x
2 sin 32 x 4 lim 2 3 x 0 49 x 12 2 x 2
12 8 48 0 12 9 9 72 3 48 2 4 24
x
9. E. 11. C.
9 x 2 30x 5 lim 2 2 x 16 x 8 x 1 49x 28x 3 2 9x 30 x 5 lim . x 16 x 2 8 x 1 49x 2 28 x 3
9x 2 30 x 5 16 x 2 8 x 1 49 x 2 28x 3 9x 2 30 x 5 16 x 2 8 x 1 49 x 2 28x 3
lim x
9x
2 2
2
2
30 x 5 16 x 8x 1 49x 28x 3 2
2 sin 4 x. tan 2x x0 1 cos 4 x 2.2 sin 2 x cos 2x tan 2 x lim x0 1 1 2 sin 2 2x 4 sin 2 x cos 2 x tan 2x lim 2 2 sin 2 x x0 2 cos 2 x tan 2 lim x0 sin 2 x lim 2 cos 2x.1 x0 2 cos 2.0 2.1 2 lim
2
9x 30 x 5 16 x 8 x 1 49x 28 x 3 4
Pangkat tertinggi adalah x berarti setiap suku dibagi x 4
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 233
12. C.
1 cos 2 x 1 lim x 1 x 1 sin x 1 1 1 2 sin2 x 1 lim x 1 x 1sin x 1 2sin 2 x 1 lim x 1 x 1 sin x 1 2 sin x 1 sin x 1 lim x 1 x 1sin x 1 2.1 2
15. A. tan 2x sin 2 x
3 03x 1 sin tan 12 x x0 2
lim
sin 2 x tan 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2x sin 2 x sin 2x cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1cos 2 x cos 2 x
sin 2 x 1 1 2 sin 2 x cos 2x 2 sin 2 x 2. sin x cos 2 x 2 tan 2 x. sin 2 x
13. E.
x 1tanx 1sin x 1 x 1 x x 2 x 1tan x 1sin x 1 lim 2
3
lim
3
2
2
x 23 x 13 x 1 x 1tanx3 1sinx 1 lim x 1 x 23 x 1x 1 x 1 3 x 1tan x 1 sin x 1 lim . lim 3 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x x 1tan x 3 1 lim x 3 1 x 1 x 23 1 1 12 1 1 2.3 3 x 2 27 6 2 27 9 2 4 lim 2 1 cos x sin x 1 cos x x 0 4 1 cos x 2 sin 2 x lim 1 cos x sin 2 x 1 cos x x 0
4 4cos x 21 cos x 1cos x 1 cos x1cos x x0 2 4cos x 2 cos x 1 cos x lim 2
lim
2
2
1 cos x 1 cos x 1 cos x
2 1 2 cos x cos2 x 1 cos x 1 cos x x 0
lim
tan 2x . sin 2 x 1 cos 3x tan 12 x x 0
lim x 0
lim
x 0
2 tan 2 x. sin 2 x
1 1 2 sin
2 3 2
x tan 12 x
2 tan 2 x sin 2 x 2. tan 12 x. sin 2
3 2
x 2
tan 2 x sin x lim 1 3 sin 2 x x 0 tan 2 x 2
2 2 1 2 . 4. 1 3 3 2 2 4 8 4. 9 9
15. Diferensial (Turunan) 1. E.
14. A.
x 0
lim
3
x 1
;
2 1 cos x 2 2 x 0 1 cos x 2
lim
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
f x 3sin x sin 3 x f x hf x lim f / x h h 0 f / x 3cos x 3sin 2 x.cos x 3 cos x 3 sin x sin x cos x 3 3 cos x sin x.2 sin x cos x 2 3 3cos x sin x sin 2 x 2
2. E.
f x cos2 2 x f t f 6 6 lim f / t t0 6 f / x 2 cos 2 x sin 2 x 2 4 sin 2 x cos 2x Bab 3 | Page 234
4.2 sin 4 x x cos 4 x 1 4 sin 2 4 x 1
2sin 4 x / f 2.sin 4 6 6 2 1 2. sin 2. 3 3 2 3
7. C.
y x 3 px 2 q Titik balok adalah titik dimana y // 0
3. E.
f x x 3 sin 2 x f / x 3x 2 .sin 2x x 3 cos 2x 2 3 x 2 sin 2 x 2 x3 cos 2 x
4. C.
x 2 2 f x 2 x 3 df x 2 x 2 x 3 x 2 2 2 f / x 3 dx 2 x 3
4 x 2 6 x 2x 2 4 2 x 32 2 x 6 x 4 2x 32 x 2 2 x 2 2 2 x 3 2 x 2 x 1 2 2 x 3 2
5. C. 2
1 f x 2 x 2x
y / 3x 2 2 px y // 6 x 2 p 0 6 x 2 p 1 x p 3 Tegak lurus garis x 3 y 8 0 1 1 m1 3 3 1 Karena tegak lurus maka m 2 3 m1 1 y /x p 3 3 2
1 1 3 p 2 p p 3 3 3 1 2 3 p 2 p 2 3 0 9 3 1 2 2 2 p p 3 0 3 3 1 p 2 3 0 3 p 2 9 0 p 3 p 30 p 3 atau p 3
2 1
1 1 f x 22 x 2 2 2x 2x /
1
1 1 f 1 22.1 2 2.1 2.1 5 3 15 2 2 2 2 1 7 2 /
6. D.
y sin 4x 1 dy y / 2 sin 4 x 1 cos 4x 1 4 dx 8sin 4 x 1 cos 4 x 1 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
8. A. Persamaan garis singgung pada kurva
4 y x3 2 di A 1, 3 x 8 y / 3x 2 3 x 8 m y /x 1 3.12 3 1 3 8 11
Persamaan garis singgung dengan m 11 dan A 1,3
y 311 x 1 y 3 11x 11 y 11x 14
Bab 3 | Page 235
9. A. Ukuran kotak Panjang 8 2 x Lebar 5 2 x Tinggi x
11. D. Luas p l
36 3x. y xy 12 12 y x
V p l t 8 2 x 5 2 x x
Panjang pagar yang dibutuhkan :
40 x 26 x 2 4 x3 Volume akan meksimum, jika x memenuhi
V / 0 V / 40 52 x 12 x 2 0 2 3 x 13 x 10 0 x 1 3 x 10 0 10 x 1 atau x 3
Panjang pagar akar minimum jika
Tidak memenuhi, karena lebar akan jadi bernilai negatif.
V 40.1 26.1 4.1 18 1
3
10. C.
f x 4 x3 4 x 2 15x 20 f x maksimum jika x untuk f / x 0 / 2 f x 12x 8x 15 0 2x 3 6x 50 2 x 3 0 5 3 x atau x 2 6 2
3 3 3 3 f 4 4 15 20 2 2 2 2 27 9 45 4 4. 20 8 4 2 13,5 9 22,5 20 38 3
p 6 x 4 y 12 6x 4. x 48 6x x
2
5 5 5 5 f 4 4 15 20 6 6 6 6
500 100 75 20 216 36 6 125 25 25 20 54 9 3 125 150 400 1080 17, 69 54
Jadi, fungsi mencapai nilai minimum
3 2
untuk x 1,5
48 6 2 0 x 48 6 2 x 2 x 8 x 8 2 2 12 y x 12 3 2 2 2 Keliling 2 y 6 x
2.3 2 6.2 2 6 2 12 2 18 2 cm 12. D. Jarak terdekat titik 3,0terhadap kurva
y x 1 Untuk y x 1
y 2 x 1 x y 2 1 Titik dikurva : y 2 1, y Jarak y 2 1, y dengan 3,0
J y 1 3 y 0 y 2y 2
2
2
2
2
2
y 4 4 y 2 4 y 2 y 4 3 y 2 4 Jarak terdekat didapat jika J / 0
1 1 J y 4 3 y 2 4 2 4 y 3 6 y 0 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 236
2 y 3 3y y 4 3 y 2 4
0
Sehingga 2 y 3 3 y 0 jika
y 3 y 4 0 4
2
y 2 y 2 3 0 2 y 0 atau 2 y 3 0 3 2 y 2 Untuk y 0 J 0 3,0 4 2 3 2 Untuk y 2 4
M / 105 2x 0 2x 105 x 52,5 Maka y 105 x 105 52,5 52,5 Kedua bilangan tersebut sama yaitu 52,5 15. A.
1 2
Keliling diarsir p 2q keliling
2
2
3 3 J 3 4 2 2
M akan maksimum jika x memenuhi
7 1 7 4 2
Jarak terdekat adalah
1 7 2
13. A. Bilangan I = x Bilangan II = y
x y 4 p x 4 p y ….. (i) Perkalian : M x. y 4 p y y
y 2 4 py M / 2 y 4 p 0 y 2 p x 4 p y 4 p 2 p 2 p Nilai minimum xy 2 p. 2 p 4 p2 14. E. Bilangan I = x Bilangan II = y
x y 105 y 105 x Perkalian : M x. y x 105 x 105 x x 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
lingkaran dengan
p r 2 1 100 p 2q . p 2 100 1 p 2 q 2 100 1 p 2 q 2 1 q 50 p 1 2 2 1 q 50 p 2 4 Ldiarsir LPersegi panjang L1 Lingkaran 2
2
1 p pq 2 2 1 2 pq p 8 1 1 2 p 50 p 2 p 4 8 1 1 50 p p 2 p 2 p2 4 8 1 3 50 p 2 p 2 4 2 1 50 p 4 3 p2 8 2 L/ 50 4 3 p 0 8 2 4 3 p 50 8 4 3p 400 2
Bab 3 | Page 237
2 sin u c 2 sin x c
200 p 4 3 5. E.
sin x dx sin x sin x dx
16. Integral 1. A.
3
2
x x 2 5dx ? Misalkan u x 2 5
du 2x dx 1 xdx du 2 1 1 x x 2 5dx u 2 du 2 1
1 2 u 2 1 c 1 2 1
1
3
23 u 2 c 2
1 3 u 2 c 3 1 x 2 5 3
x
2
5 c
2. B.
sin
3
xcos x dx ?
Misalkan u sin x
du cos x dx
sin
3
x cos x dx u du 3
1 4 u c 4 1 4 sin x c 4
1 1 sin x dx cos 2x 2 2 1 1 sin x cos 2 x sin x dx 2 2 1 1 sin x dx sin x cos 2x dx 2 2 1 sin x dx 2 1 1 1 sin x 2x sin x 2x dx 2 2 2 1 1 cos x sin 3x sin x dx 2 4 1 1 cos x sin 3 x sin x dx 2 4 1 1 1 cos x cos 3x cos x c 2 4 3 1 1 1 cos x cos 3 x cos x c 2 12 4 3 1 cos x cos 3 x c 4 12 cos 3x cos 2x x
cos 2 x cos x sin 2 x sin x
2 cos 2 x 1 cos x 2 sin x cos x sin x 2 cos x cos x 2 sin 2 x cos x 3
2 cos3 x cos x 2 1 cos 2 x cos x 2 cos x cos x 2 cos x 2 cos 3 x 3
3. C.
4 cos3 x 3 cos x
cos x x dx ? Misalkan u x x
1 2
1 1 du x 2 dx 2 dx du 2 x dx 2du x
cos x 2 cos u du x dx Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
3 1 cos x 4 cos3 x 3cos x c 4 12 3 1 1 cos x cos3 x cos x c 4 3 4 1 cos3 x cos x c 3 6. C. Persamaan kurva y x 2 6 x 5
Persamaan garis melewati 1,0dan 4,3
y 0 x 1 3 0 4 1 Bab 3 | Page 238
3 y 3 x 3 y x 1
x
sin
Larsir x2 6 x 5 x 1 dx 4
1 4
2
1
1 2
2
Garis g dengan m g 1 dan ,0
5 x 4dx 4
1 5 x 3 x 2 4 x 3 2 1 1 3 5 2 1 5 .4 .4 4.4 4 3 2 3 2 64 2 15 24 40 16 3 6 8 11 3 6 8 11 3 6 48 33 18 81 9 18 2
y 0 1x 2 y x …. (i) 2 / mh yx sin 1 2 2
2
Garis h dengan m n 1 dan titik ,0
y 0 1x 2 y x 2
Grafik Karena simetris terhadap sumbu y maka
2 L 2 x cos x 0 2 0
2
7. A.
f / x 2 x 2
2 1 2 2 x x sin x 2 0 2
f x f / x dx
2 x 2dx x 2 2 x c
2 1 2 . sin 0 0 0 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 4 8 1 2 2 1 8 1 2 2 4
Melewati 3,12 12 32 2.3 c 12 9 6 c c 3 2 Jadi, f x x 2 x 3
1
2
L x 2 2 x 3 dx x2 2 x 3dx 0
1
1
2
1 1 x3 x 2 3 x x 3 x 2 3x 3 3 0 1
1 8 1 1 3 4 6 1 3 3 3 3
5 2 5 3 3 3 8 2 2 3 3 8. C.
y cos x
y / sin x
/ mg y x sin 2 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
9. B.
y y 4 x 2 x 2 4
x
y 4
y x 2 x 2 y
x y
y V y 4 0 4
2
2
dy
Bab 3 | Page 239
4 y y dy 0 4 y 2 y 2 4 2 8 0 8 26
1 3 x 8
x 0
1 x 2 1 2
2 x 4 x dx 2 x 4 x dx
Luas
1 2
10. C.
1 2
2
0
f / x 4 x 5
1 2
2 2 32 4 3 x x 3 3 0
f x 4x 5dx 2 x 2 5 x c Melewati 3,7 7 2.32 5.3 c c 7 18 15 c 4 2 f x 2 x 5 x 4
3
2 2 1 1 4 1 . . 3 2 2 3 8 2 1 1 . 2 3 2 6 1 1 3 6 6 3 1 18 6
11. E.
d 2y y // 2 6x dx / y 6x dx 3x 2 c
Garis singgung di 1,3
13. A.
x 2 y 0 y x 2
2
2 2 1 3 L x dx x 1 3 1 1 3 1 3 .2 .1 3 3 8 1 7 3 3 3
m y x 1 1 /
y /x 1 3,12 c 1 c 13 c 2 / 2 y 3x 2 y 3 x 2 2dx
14. C.
x 2 x c Melewati 1,3 3 13 2.1 c c 4 3 y x 2 x 4 3
12. A. Titik potong y 4x 2 dan y 2 2x
y 2 16x 4
3
2 2 2 1 4 1 3 2 3 2
f 12.12 5.1 4 1
y 2x
16 x 2 x 16 x 4 2 x 0 2 x 8x 3 1 0 4
2
0
2 x 0 atau 8 x 1 0 3
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
x 54 3x dx ?
Integral parsial :
u x 5 du dx dv 4 3x 1 1 1 v 1 4 3x 2 1 1 3 2 1 2 1 2 v 4 3x 9 3 2 2 4 3x 9 x 5 4 3 x dx 3 2 2 2 2 3 dx x 5 4 3 x 4 3x 9 9
Bab 3 | Page 240
3 2 2 2 x 5 4 3 x 9 9
Setelah diuji ternyata daerah yang diarsir memenuhi
4 3 xdx 3 2
4 x 5 y 20
3 2 2 2 2 x 5 4 3 x 4 3 x 52 c 9 9 15 3 2 2 5 2 2 2 x 5 4 3 x 4 3 x c 9 15 9 3 2 2 2 4 3 x 4 3 x x 5 c 9 15
y 4 x 2 y 2 x 4 8x 2 16 x 2 y 2 4 y 2 4 x 2
4 x 6 y 24 2 x 3 y 12
Daerah arsiran terletak 2 x 3 y 12 Maka sistem persamaan x 2 , y 1 , 2 x 3 y 12
2
0 2
x 4 8x 2 16 4 x 2 dx 0 2
2. A. Garis I x 2 Daerah arsiran terletak x 2 Garis II y 1 Daerah arsiran terletak y 1 Garis III
15. C.
Vx y12 y22 dx
Jadi, system pertidaksamaan 4 x 5 y 20 , 2 x y 4 , x 2 y 2
x 4 7 x 2 12dx
3. E. Garis I adalah sumbu y
x 0
0
1 7 x5 x 3 12 x 5 3 0 32 56 24 3 5 96 280 360 15 176 11 11 15 15 2
17. Program Linear 1. C. Garis I 2,0dan 0,1
x 2 y 2 Setelah diuji ternyata daerah yang diarsir memenuhi
x 2 y 2 Garis II 2,0dan 0,4 4x 2 y 8 2 x y 4
Setelah diuji ternyata daerah yang diarsir memenuhi
2x y 4 Garis III 5,0dan 0,4 4x 5 y 20
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Derah arsiran terletak pada x 0 Garis II adalah melewati 6,0 dan 0,2
2 x 6 y 12 x 3 y 6 Daerah arsiran : x 3 y 6
Garis III melewati 6,0 dan 8,4
y 0 x 6 4 0 8 6 2 y 4 x 24 4 x 2 y 24 2 x y 12 Daerah arsiran : 2 x y 12 Garis IV melewati 8,4dan 4,8 y 4 x 8 8 4 4 8 4 y 44 x 8 y 4 x 8 x y 12 Daerah arsiran : x y 12 Garis V melewati 0,6 dan 4,8
y 6 x 0 8 6 4 0 4 y 24 2x 2 x 4 y 24 Bab 3 | Page 241
x 2 y 12 Daerah arsiran : x 2 y 12 Jadi, sistem pertidaksamaan
x 0 x 3 y 6 2 x y 12 x y 12 x 2 y 12
4. A. Sistem pertidaksamaan
x 0 I y 0 II 4 x 3 y 4 III 4x 3 y 12 IV karena x 0 maka daerah berada di kanan sumbu y karena y 0 maka daerah berada diatas sumbu x 4 x 3 y 4 Titik potong sumbu x, dan sumbu y
4 1,0 dan 0, 3
Daerah berada dikiri garis 4 x 3y 12 Titik pototng sumbu x dan sumbu y 3,0dan 0,4 Daerah arsidan dikiri garis Daerah berbentuk segitiga siku-siku 5. C. Sistem pertidaksaam
x 0 y 0 I. 2 y x
Melalui 0,0 , 2,1dikiri garis
II. 2 x y 4
Melalui 0, 4 , 2,0kanan garis
III. y 2 x
Melalui 0,0 , 1,2kanan garis
6. C. Sistem pertidaksamaan
x 0 y 0 x 3 y 14 Garis I 2 x y 8 Garis II
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Titik potong I dan II
x 3 y 14 3 y 14 x 2 x y 8 y 8 2 x 14 x 24 6 x 5x 10 x 2 y 8 2x 8 2.2 4 Titik potong 2, 4 x, y Fungsi tujuan 6 x 8 y 0,0 0 4,0 24
0, 143 2, 4
112 3
12 32 44 maksimum
7. A. x : banyak penumpang kelas utama y : banyak penumpang kelas Ekonomi x 0 ….. (i) y 0 ….. (ii) Kapasitas tempat duduk 50 orang, maka x y 50 ….. (iii) Kelas utama boleh membawa 60 kg dan kelas ekonomi boleh membawa 20 kg sedangkan kapasitas maksimum 1.500 kg maka
60 x 20 y 1.500 3 x y 75 ….. (iv)
8. D. Fungsi tujuan :
f x, y 90.000x 60.000 y
Jika diselesaikan dengan garis selidik, maka persamaan garis selidik
90.000x 60.000 y c : 30.000 3x 2 y 30.c000 c Sebut k , 30.000 maka persamaan garis selidik 3x 2 y k , k konstanta real 9. A. Persamaan garis I. 6 x 4 y 24 3x 2 y 12 ….. (i) II. 2 x 6 y 12 x 3 y 6 ….. (ii)
Bab 3 | Page 242
Eliminasi (i) ke (ii) 3x 2 y 12 1 3x 2 y 12 3 3x 9 y 18
x 3 y 6
7 y 6 6 y 7
11. D.
x 3 y 6 x 6 3 y 6 24 6 3. 7 7 24 6 Titik potong , 7 7
x, y 4,0 0, 2
247 , 76
4 x y 16 maksimum 2 102 7
14,57
10. C. Persamaan garis I
6x 6 y 36 x y 6
Persamaan garis II
4 x 4 y 16 x y 4
Titik potong garis I dan II
x y 6 x y 4 2 y 10 y 5 x y 6 x 5 6 x 1 Titik potong 1,5 x, y f x, y 4 x 3 y 0,2 6
6,0 1,5 0,4
24 f 6,0 maksiumum 19 12
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Titik potong 3 x 4 y 12 dan
5 x 2 y 0 3x 4 y 12 5 15x 20 y 60 5 x 2 y 10 3 15 x 6 y 30 14 y 30
3x 4 y 12 15 3x 4. 12 7 60 3x 12 7 24 3x 7 8 x 7 8 30 Titik potong : , 7 7 x, y 12 x 9 y
0,3 2,0
87 , 157
15 y 7
27 24 33 maksimum
12. A.
2 x y 4 0 Titik potong 0,4dan 2,0 2 x 3 y 6 0 Titik potong 0,2dan 3,0
Titik potong 2 x 3 y 6 0 dan
2 x y 4 0 2 x 3 y 6 0 2 x y 4 0 2 y 2 0 y 1 2 x 3 y 6 0 2 x 3.1 6 0 2 x 3 3 x 2
Bab 3 | Page 243
x, y f x, y 4 x 5 y 2,0 8 0,2 10
32 ,1
11 maksimum
13. B. Banyak mobil sedan s Banyak bus b
s 0 b 0 4s 20b 176 s 5b 44 Fungsi tujuan : 1.000 s 2.000b Titik potong s 5b 44 dan s b 20 s 5b 44 s b 20 4b 24 b 6 s b 20 s 20 6 14 Titik potong 14,6 s,b 1.000s 2.000b 0,8.8 17.600 20,0 20.000 14,6 26.000 Banyak pakir maksumum Rp 26.000,
14. A. Banyak sepatu laki-laki : p Banyak sepatu wanita : w
p 100, w 150, p w 400, p 150
Titik potong
x 2 y 20 3 3x 6 y 60 3x y 20 1 3 x y 20 5 y 40 y 8 x 2 y 20 x 20 2.8 x 4
Titik potong sumbu x dan sumbu y :
x 2 y 20 0,10 dan 20,0
Titik potong sumbu x dan sumbu y :
3x y 20
20 0, 20dan ,0
3 Titik potong 4,20 Fungsi tujuan : 400.000 x 200.000 y x, y 400.000x 200.000 y
0,10
,0 20 3
4,20
15. A. Banyak bunga I x Banyak bunga II y
10 x 20 y 200 x 2 y 20 15 x 5 y 100 3 x y 20 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
2.800.000 maksimum
18. Matriks 1. D.
x y x 1 45 9 40 50 3 15 4 y 3 x y 94 60 Untuk mencari x , perhatikan barisan 1 kolom 2 pada masing-masing matriks
2x 19 50
2x 50 10 2x 40 x 20
Fungsi tujuan : 10.000 p 5.000 w
p, w 10.000 p 5.000w 100,150 1.750.000 150,150 2.250.000 150,250 2.750.000 maksimum 100,150 2.500.000
2.000.000 2.666.666,7
2. C.
4 7 3 1 K 3 5 2 1 3 1 1 5 7 K 4.5 3.7 3 4 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 Determinan ad bc 1 11.2 1 2 1 Bab 3 | Page 244
3. B.
3 3 x 1 1 0 A B C 1 y 1 0 1 2 AB C 3 2 1 0 x 1 1 y 1 0 1 2 3x 1 2 x 1 0 y 3 2 1 2 3x 1 1 3 x 0 x 0 y 3 1 y 2 x y 0 2 2 4. C.
5 x x 9 x A B 7 4 5 3x Determinan A Determinan B 5 x 3x 5x 36 7 x 2 15 x 3 x 5 x 36 7 x 2 3 x 3x 36 0 2 x x 12 0 x 4 x 30 x 4 0 atau x 3 0 x 4 x 3
6. E.
2 3 x 2 y 2 A , B , 2 4 2 x y 0 8 4 C 5 2 A1 B C 1 4 3 x 2 y 2 2.42.3 2 2 2 x y 0 8 4 5 2 8 4 1 4 3 x 2 y 2 2 2 2 2 x y 0 5 2 2 x 5 y 8 8 4 1 2 2 x 2 y 4 5 2 5 x y 4 2 8 4 x y 2 5 2 x 52 8 x y 5 32 y 3 y 2 x y 5 x y 5 2 5 3 x y 3 2 5
5. D.
4 2 4 1 B , C 71 72 2 8 7 7 27 17 1 1 A C 4 2 1 4 . 17 17 7 7 7 7 2 1 1 7 7 8 1 1 4 49 7 7 49 27 17 2 1 7 1 4 1 4 7 7 2 1 A / A transpose 1 4
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
7. D.
3 A 2
2 2x 3 , B x 2 x Determinan A Determinan B 2 3x 4 2 x 6 2 x 2 3 x 2 0 x 2 2 x 10 1 x 2 atau x 2 2
1 x x 2 2 1 1 4 4 4 4 2 1
2 2
2
Bab 3 | Page 245
8. D.
19. Vektor 1. B. Titik A, B, C segaris, maka
a b a A a a b Matriks A tidak mempunyai invers apabila determinan A 0
a b a b a.a
a ab ab b2 a 2 b 2 0 b 0 2
Jadi, matriks A tidak mempunyai invers apabila b 0 dan a sembarang. 9. A.
7 6 x y 5 1 K 0 3 4L 3 1 8 10 2 x y 2 1 11 M 3 4 2 4 6 1
2 6 3
K M L x y 1 6 2 7 6 2 3 1 6 3 1 6 2 x 4 y 6 3 8 10 3 Maka nilai y ? y 6 10 y 4 10. E. 6 5 5 1 4a 1 2 3 2 5 8 3 4 2 2 b 2 8 8 20 a 2 b 7 12 2 16a 4 2b
8 b 7 b 1 16 a 4 12 16a 8 1 a 2
AB K AC dengan k konstanta 1 3 7 3 2 2 k p 12 1 1 5 1 2 4 4 k p 3 2 4 2 4 k 1 k 2 4 k p 3 1 4 p 3 2 p 3 8 p 11 2. A.
b 3 , 2, n a 3 , n ,1
a .b b
3 ab 2 3 3 n . 2 1 n 3 2 3 22 n 2 2
3 2n n
3 2 3 4 n 3 3 3n 7 n2 2 2
2
1 2 1 a b2ab 12. 1 2 2 1 3 1 4 4
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
2 2n 7 n 2 kuadratkan 4n 2 8n 4 7 n2 3n 2 8n 3 0 n 3 3n 1 n 3 0 atau 3n 1 0 1 n 3 n 3
Bab 3 | Page 246
a b . a b 0
3. D.
A 1, 2, 3 , B 1, 2, 3 Misal N a, b, c
a .a a.b a.b b .b 0 2
2
6 b
2
a b 0
AN a 1, b 2, c 3
2
Karena A,B, N segaris maka
2
6 b 0
AN k AB
a 1 0 b 2 k 4 c 3 0 a 1 k .0 a 1 0 b 2 4k c 3 k .0 c 3 0 AN OB 2 2 2 a 1 b 2 c 3
1 2 3 2
2
2
0 2 4k 02 14 2
16k 14 2 16k 14 7 2 k 8 7 k 8 14 1 14 16 4 AN a 1, b 2, c 3 0, 4k , 0 1 0, 4. 14 , 0 4 0, 14 , 0 1 0 OA.AN 2 14 3 0 2
2
b 6
2
a.b a 3
6 3 6 3 3 a .b a b cos
3 6. 6. cos 3 cos 1 cos 2 1 arc cos 2 3 5. A.
a b tegak lurus a b , a,b Maka a b . a b 0 a .a a.b a.b b .b 0
a 6
a b . a b 0 a . a b 3 sudut antara a dan b ? Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
2
a b 0 2
a b 2
2
a b ….. (i) a b 3 a b 2
a b 3 a b
2
2
a b 2 a b cos 2
4. C.
b 6
a . a b 3 a .a a .b 3 2 a a .b 3
2 14
0
2 2 3 a b 2 a b cos 2
a b 2 a b cos 2
2
3 a 3 b 6 a b cos 2
Bab 3 | Page 247
Karena a b 2
7. A.
2
a a 2 a a cos 3 a 3 a 6 a a cos 2
2
8 a cos4 a 2
2
2
4a cos 2 8a 1 2 1 x Jika cos , maka 2 r y 2 2 11 tan 3 x 1 6. B.
x 1 a 1 , b 3 a, b 60 3 2
P 1,1 , Q 5,3 , R 2,4 PR 1,3
PQ 4 ,2 Proyeksi titik R pada PQ PS
PS PRPQ
PR.PQ PQ
1 4 . 3 2 4 6 20 4 2 22 10 1 20 .2 5 20 2 5 8. B. ∆ABC dengan A 2, 3, 1 , B 3, 2,1 ,
a .b a b cos
C 10, 3, 5
x 1 1 3 3 2
3 2 1 u AB 2 3 5 1 1 2
2 2 2 x 2 12 3 1 32 2 cos 60
1 2 1 x 9 14 x 2 140 . 2
x 3 6 x 2 10 14
2 x 18 14 x 2 140 2 2 2 x 18 2 14 x 140 4 x 2 72 x 324 14x 2 140 10 x2 72 x 184 0 5 x 2 36 x 92 0 5 x 46 x 2 0 5 x 46 0 atau x 2 0 46 x x 2 5 46 5 x1 x2 5 2 5 36
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
10 2 8 v AC 3 3 0 5 1 6 u .v u v 2 .v v 1 8 5 0 8 2 6 0 2 82 02 6 2 6
8 8 8 0 12 1 0 0 100 5 6 6 85 8 6 0 i k 5 6 5 5
Bab 3 | Page 248
9. C. ∆ABC
10. B.
2 4 BA 1 , BC 3 , BAC 2 1 BA 4 1 4 3
2 u 2i j 3k 1 3 v PQ OQ OP
1 2 1 34 1 9 5 4
BC 16 9 1 26 BA.BC BA BC cos ABC 2 4 1 3 3. 26 cos ABC 2 1 8 3 2 3 26 cos ABC 13 cos ABC 3 26 13 26 3 26 26 6
4 1 5 a 2u v 2 1 3 6 4 2 2 3 1 b u 3v 1 3 2 3 12 15 5 1 a .b 3 .2 2 15 5 6 30 19
Aturan kosinus 2
2
2
AC BC BA 2 BC BA cos ABC
26 AC 26 3 2 26 3 6 26 9 26 9 2
2
2
AC 9 3
a 3, b 5, c 7 a b c 0 Ditanya a, b
a b c 0 a b c
2
2
BA AC BC
cos
11. C.
2
2
a b c
c c
2 BA AC
32 32 26 2.3.3 9 9 26 18 8 4 18 9
2
x cos , x 4, r 9 r
y r 2 x2 tan x x 2 2 9 4 65 4 4 Karena cos bernilai negatif (sudut tumpul) maka tan bernilai negatif Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
2
2
2
a b 2 a b cosc
2
3 5 2.3.5. cos7 9 25 30 cos49 30 cos15 1 cos 2 2
2
2
arc cos 3
1 2
Bab 3 | Page 249
12. B.
u 3, v 4, w 5 u v w 0 u v w
2
u v w u v 2 u v cos u , v w 2
2
2
2
32 42 2.3.4 cos u , v 52 cos u , v 0
u v w 0
u w v 2
u w v u w 2 u w cos u , w v 2
2
2
2
32 5 2 2 .3 .5 cos u .w 4 2 18 3 cos u , w 30 5
u .v v .w w.v u v cos u , v v w cos v ,w
w v cos w,u 4 3 3.4.0 4.5 3. 5 5 0 16 9 25 20. Transformasi Geometri 1. B. Lingkaran R 4 pusat a, b 3, 2
Persamaan : 2 2 2 x 3 y 2 4 x 2 y 2 6 x 4 y 3 0 Diputar dengan rotasi R 0,90 lalu
dicerminkan terhadap sumbu x x M R0 , 90 0 1 x y M x y 1 0 y x 1 0 y y x// y x// 0 1 x // // x y x y Persamaan bayangan :
y x 6 y // 2
// 2
4x 3 0 atau x y 4 x 6 y 3 0 2
//
//
2
2. A. Titik 7,4di y x 3
Misal titik cermin di y x 3 adalah x1 , y1 garis yang dilalui 7,4dan x1 , y1 tegak lurus dengan y x 3 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
y x 3 m1 1 Maka garis yang dilalui 7,4 1 1 Punya m 1 m1 1 y 41x 7 y x 11 Maka x1 , y1 y x 3 y x 11 0 2 x 8 x 4 y x 3 y 4 3 y 7 4,7 Titik bayangan : x2 , y2 Titik 4,7 adalah titik tengah antara 7,4 dan bayangan x2 , y2 7 x2 4 y2 4,7 , x2
2 2 7 x 2 Jadi, 4 x 2 1 , 2 4 y 2 7 y 2 10 2 Bayangan 7,4oleh y x 3 adalah
1,10lalu 1,10dirotasi R 0,45
x3 cos 45 sin 45 1 y 10 sin 45 cos 45 3 1 2 12 2 1 2 1 2 1 2 10 2 2 4 12 2 51 2 2
3. E. 2 6 4 4 8 R 0 , 60 4 M x 6 8 8 8
M
1 12 3 cos 60 sin 60 8 8 2 8 1 1 sin 60 cos 60 3 8 2 2 4 4 3 4 3 4
Bab 3 | Page 250
4. E.
0 1 1 2 M1 y x , M 2 1 0 0 1 x2 1 2 0 1 x y2 0 1 1 0 y 2 1 x 2 x y 1 0y x y 2 x x y2 x2 2 x y x2 2 y 2 y y x2 2y 2 Garis : 2x y 4 0 Bayangan : 2 y 2 x2 2 y 2 4 0 x2 4 0 5. C. Garis y 3x 1
cos 90 sin 90 0 1 M1 sin 90 cos 90 1 0 1 0 M 2 0 1 1 0 0 1 x2 x y 0 1 y 1 0 2
0 1 x y y 1 0 x x2 y y x2 y 2 x x y2 Bayangan : x 2 3 y 2 1 3 y2 x2 1 6. E. Garis x 2 y 3 0
1 0 cos 90 sin 90 M1 , M2 0 1 sin 90 cos 90 0 1 1 0 0 1 1 0 x2 x y y 1 0 0 1 2
0 1 x y y 1 0 x x2 y y x2 y 2 x x y2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bayangan :
x 2 y 3 0 y 2 2x 2 3 0 atau 2 x y 3 0
7. D.
3x 5 y 7 0 2 3 0 1 M 1 ; M 2 1 1 1 0 x2 0 1 2 3 x y 1 0 1 1 2 y
1 1 x x y 2 3 y 2 x 3 y x2 x y x x2 y y 2 2 x 3 y x x2 y2 2x2 y 2 2 x y y x 3x 2 y2 y 2 2x 2 y y y2 2x2 Bayangan :
3 3x2 y 2 5 y2 2 x2 7 0 x2 2 y2 7 0 atau x 2 y 7 0
8. A. Garis 7 x 2 y 13 0
3 2 , M 1 1 1 cos 225 sin 225 M 2 sin 225 cos 225 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 12 2 12 2 x2 3 2 x y 1 1 1 1 y 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x 1 2 y x 2 2 y 3 3 2 2 2 2 2 2 x 2 2 y
1 x2 2 x 2 y 2 2 x2 2 2 x 2 y 3 y 2 2 2 x 2 y 2 Bab 3 | Page 251
1 2 2 x 2 y y 2 1 2 x2 2 y 2
1 1 x2 2 x 2 y 2 2 1 1 y2 x 2 y 2 2 1 1 2 x 2 y 2 x 2 2
1 2 y 2 x2 y 2 2 y 2 2 x 2 2 y 2
x 2 2 x
2 x2 2 2 x 2 y ; substitusi y 2 2x 2 x2 2 y
2 2x 2 x2 2 2 2 x2 2 y2
2 x y2 x2 1 1 x 2 y2 2x 2 2 2 1 1 x2 2 x 2 y 2 2
2 2x 2 x2 4 x2 2 y 2 2 2x 6 x2 2 y 2 3 1 x 2 x2 2 y 2 2 2 Bayangan :
1 1 1 1 x2 2 2 y2 2 x2 2 y 2 2 2 2
3 1 7 2 x2 2 y2 2 2 2 x2 2 y 2 13 0 2 2 21 7 2 x2 2 y 2 4 2 x2 2 2 y2 13 0 2 2 13 2
2 x2 3 2 y 2 13 0
13x2 3 y 2 13 2 0
2
1 2 1 2
atau 13x 3 y 13 2 0
1 1 1 y2 x2 2 y 2 2 2 1 1 2 y x 2 y 2 x 2 2 2 1 1 2 y x2 y 2 2 2 1 1 y 2x 2 2 y 2 2 2
Bayangan : 9. B. Garis 5 x 3 y 4 0
12 2 12 2 1 0 M1 , M 2 1 2 1 2 0 1 2 2 12 2 12 2 x2 1 0 x y 0 1 1 y 2 2 12 2 2 12 2 12 2 x y 1 2 1 2 2 2 12 2 x 12 2 y 1 2 x 1 2 y 2 2
1 1 1 1 5 2 y2 2 x2 3 2 x2 2 y2 4 0 2 2 2 2
4 2 y2 2 x 2 4 0 4 y2 x2 2 2 0
atau x 4 y 2 2 0
5. B.
x 2 y 2 6 x 8 y 11 0 0 1 0 1 M 1 , M 2 1 0 1 0
x2 0 1 0 1 x y y 1 0 1 0 2 1 0 x x 0 1 y y x2 x x x2 y 2 y y y2 Bayangan :
x2 2 y 22 6x 2 8 y2 11 0 x22 y22 6 x2 8 y2 11 0
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 252
21. Barisan dan Deret 1. B.
Sn n 2 3n
S1 a 12 3.1 4 a 4 ….. (i) S2 2a b 2 2 3.2 10 2a b 10 2.4 b 10 b 2 Beda 2 2. D.
u3 10 a 2b 10 u7 22 a 6b 22 4b 12 b 3 a 2b 10 a 2.3 10 a 4 Suku pertama 4 3. B.
Sn 2n 2 n
u12 S12 S11 2.12 2 12 2.112 11 276 231 45 Suku ke-12 45
30 4 a 17 4 38 4a 4 38 19 a 16 8 19 Suku pertama 8 5. B. Perbandingan segitiga siku-siku yang membentuk barisan aritmetika 3 : 4 : 5 Sisi siku-siku terpanjang 16 cm
5 4 20 cm
Sisi miring 16 cm
6. B. Bilangan a b, a, a b Membentuk barisan aritmetika jumlah 36
a ba a b36 3a 36 a 12 Hasil kali 1.536 a b a a b1.536 12 b 12 12 b 1.536
4 2a 4 1 b17 2 2 2a 3b17 4a 6b 17 ..... (i) 8 S8 58 2a 8 1 b58 2 4 2a 7b58 4a 14b 29 ….. (ii) S4 17
Eliminasi (i) dan (ii)
4a 6b 17 4a 14b 27 8b 10 5 b 4 4a 6b 17 5 4 a 6. 17 4
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
12 144 b 2 1.536 144 b 2 128 b2 16 b 4
4. D.
Maka bilangan terbesar
a b 12 4 16
7. E. Deret geometri
k 5, U1 1, U n 64 r k 1 U1 .Un 6 1.64 6 64 2 2 6
6
Banyak suku 5 2 7
U r n 1 Sn 1 r 1
Bab 3 | Page 253
1 27 1 S7 127 2 1 8. C.
p 1 log 5 log 2 5 ..... p adalah deret geometri tak hinga yang konvergen
log 5 a 1, r log 5 1 1 p S 1 log 5 1 1 log10 log 5 log 105 1 2 log 10 log 2 2 p log 10
2 p 2
2
log 10
10
9. D.
a 1 1a a12 ..... 4 a Deret geometri tak hingga konvergen
U1 a 1 r a
10. E. 1 U1 Luas ABC AB AC sin BAC 2 1 .10.10 sin 60sama sisi 2 1 50. 3 2 25 3 r perbandingan luas ? Karena bangun berikutnya mempunyai sisi
1 dari semula, sedangkan perbandingan 2 dari kuadrat sisi-sisinya 2
1 1 2 4 Luas ABC Luas A1 B1C1 Luas A2 B2 C2 ..... U S 1 1 r 25 3 25 3 3 1 12 4 100 3 3
Jadi, r
11. A. Deret geometri tak hingga
a 1, Sganjil 2
a S 1 1a 2
a a a 1 a 1 a Jika S 4a maka a2 4a a 1 a 2 4a a 1 :a a 4 a 1 a 4 a 4 3a 4 4 a 3 4 a 3
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
a Sganjil 2 1 r 1 2 2 1 r 2 2r 2 1 2r 2 1 1 2 r2 0 1 2r 1 2r 0
1 2 r 0 atau 1 2 r 0 1 1 r 2 r 2 2 2 pilih r 0
a S 1 r 1 2 1 1 2 2 2 2
Bab 3 | Page 254
2 256 8
12. C. Diagonal sisi B1 adalah diameter lingkaran
L1 2 5 10 sisi B1 misalkan S1 Jika S1 panjang sisi, maka diagonal sisinya S1 2 S1 2 10 10 S1 5 2 2
2
Luas B1 5 2 50 cm 2
S1 diameter lingkaran 2 diagonal sisi B2 adalah diameter lingkaran 2, maka S1 S 2 2 5 2 S2 2 S2 5 cm
15. A. Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian dan membentuk deret geometri
n 6, a 5, U6 160 Sn ?
U 6 ar5 160 5r 5 160 r 5 32 r 5 32 r 2 5 26 1 S6 2 1 5.63 315
Luas B2 5 25 2
Deret luas B1 , B2 , ..... merupakan deret geometri dengan a luas B1 50
Luas B2 25 1 r Luas B1 50 2 a S 1 r 50 1 100 1 2 13. A.
3,18, 33,..... Diantara dua bilangan disisipkan 4 bilangan baru
k 4, a 3 18 3 15 b 3 4 1 5 7 S7 2.3 7 1 3 2 7 2484 2
14. C.
1 2 2 2 2 ..... Merupakan deret geometri dengan
a 1, r 2
2 2
U17 1. 2
16
17 1
1 2
16
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino
Bab 3 | Page 255
