BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
3.1 Pendahuluan Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4. Untuk menentukan harga f bila x mendekati bilangan ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya dengan bantuan tabel dan Gambar 3.1 berikut. x
f(x)
x
f(x)
1,9
5,9
2,1
6,1
1,99
5,99
2,01
6,01
1,999
5,999
2,001
6,001
1,9999
5,9999
2,0001
6,0001
y
0,0001 6,0001 6 5,9999 0,0001
x
0 0,0001
2 1,9999 0,0001
0,0001
Gambar 3.1
Dari Tabel atau Gambar 3.1 dapat dilihat bahawa untuk x mendekati 2 (baik dari arah kiri mulai dari 1,9 maupun maupun dari arah kanan mulai mulai dari 2,1) 2,1) didapat didapat harga f yang
69
mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6. Selanjutnya coba perhatikan fungsi x lainnya, yaitu f(x) =
x3
+
3x2 + x x +3
+
3
Jika fungsi pembilang kita faktorkan didapat didapat : f(x) =
(x 2
+ 1)( x +
x
+
3
3)
atau
f(x) = x2 + 1 untuk x ¹ -3. Artinya f(x) = x2 + 1 tak terdefinisi untuk x = -3. Untuk mengamati perilaku fungsi disekitar titik x = -3 berikut perhatikan buat Tabel dan Grafik fungsi f(x) = x2 + 1 untuk x ¹ -3 (Gambar 3.2). x
f(x)
x
f(x)
-3,1
10,61
-2,9
9,41
-3,01
10,0601
-2,99
9,9401
-3,001
10,006001
-2,999
9,994001
-3,0001
10,00060001
-2,9999
9,99940001
y
10,00060001
o
9,99940001
0,0001
-3
0,0001
x
0
-3,0001 -2,9999 Gambar 3.2
Jika kita perhatikan Tabel dan Gambar diatas maka kita dapat melihat bahwa untuk harga x mendekati -3 maka harga f(x) mendekati 10. Dari uraian diatas dapat disimpulkan disimpulkan bahwa : 1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan ril c tertentu, tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan 70
2. bila f(x) mendekati bilangan ril L tertentu pada saat x mendekati c, maka dapat ditulis : ( 3.1 ) lim f (x) = L x ®c
dibaca “ limit f(x) adalah L bila x mendekati c ” atau mendekati c”
“f(x)
mendekati L bila x
3.2 Definisi limit Perhatikan Gambar 3.3 berikut ! y
L+ e
e
e
f(x) f(x) - L L f(x) - L f(x) L-
e
c-
0
d
x
c c-x
x
c+
d
x
x-c d
d
Gambar 3.3
Untuk x < c , maka : 0 < c – x < Untuk x > c , maka : 0 < c – x <
d
atau 0 > x
Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < e atau f(x) Untuk f(x) > L, maka f(x) – L < e. f (x) - L
<
c > -d
d
Dari kedua persamaan diatas didapat : 0 < x - c
Sehingga didapat :
–
e
–
< d
( 3.2 )
L > -e
( 3.3 )
Dari Gambar 3.3 dan persamaan 3.1 s/d 3.3 maka didapat definisi sebagai berikut :
71
Pernyataan : lim f (x) = L , berarti untuk setiap x ®c
sedemikian sedemikian rupa sehingga sehingga jika jika 0< x - c
e
> 0 terdapat
maka
d
>0 ( 3.4 )
f(x) - L
3.3 Limit fungsi Untuk menyederhanakan permasalahan, berikut diberikan rumus-rumus penyelesaian limit yang didapat dengan bantuan definisi limit. Pada rumus-rumus ini b, c, k dan L adalah bilangan-bilangan ril, a bilangan ril positif, sedangkan m dan n adalah bilangan ril positif. Teorema-teorema 1. lim x
=
x ®c
( 3.5 )
c
Bukti : Untuk setiap e > 0 maka terdapat terdapat d > 0 sedemikian sedemikian rupa sehingga sehingga : jika 0 < x - c < d maka terdapat terdapat x - c < e. Jadi untuk e = d didapat : x - c < d (terbukti)
Contoh 3.1 a) lim x = 5 x ®5
b)
lim x
x ® -7
2. lim k x ®c
=
= -7
( 3.6 )
k
Bukti : Untuk setiap e > 0 maka terdapat terdapat d > 0 sedemikian sedemikian rupa sehingga sehingga : jika 0 < x - c < d maka terdapat k - k < e. Karena k - k = 0 dan 0 < e, maka definisi terpenuhi. Contoh 3.2 a) lim 4 = 4 x ® -3
b)
lim 9
=
x ®2
9
3. lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) x ®c
x ®c
Bukti : Misal lim f (x) x ®c
=
( 3.7 )
x ®c
L1 dan lim g(x) x ®c
=
L2
Dari definisi, untuk setiap e > 0 terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0< x - c < d maka (f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) < e atau (f(x) - L1) + (g(x) - L2 )) <
e
Dari ketaksamaan segitiga didapat : (f(x) - L1) + (g(x) - L2)) £ f (x) - L1 + g(x) - L2 atau 72
(f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) £ f (x) - L1
Karena lim f (x)
=
x ®c
Untuk setiap
1 2
e
jika 0 < x - c <
g(x) - L2
+
L1 , maka :
> 0 terdapat d1
> 0 sedemikian sedemikian rupa sehingga sehingga :
d1
maka f(x) - L1 <
1 2
(*)
e
Selanjutnya Selanjutnya karena lim g(x) = L2 , maka : x ®c
1 untuk setiap 2
e
jika 0 < x - c <
> 0 terdapat d2
> 0 sedemikian sedemikian rupa sehingga :
d2
maka f(x) - L2 <
1 2
( ** )
e
Dari ketaksamaan segitiga didapat :
£ f (x) - L1
+
g(x) - L2 atau
(f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) £ f (x) - L1
+
g(x) - L2
(f(x) - L1) + (g(x) - L2 )
Dari (*), (**) dan (***) didapat : 1 e 2
(f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) <
+
1 e atau 2
(f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) <
e
( terbutki )
Contoh 3.3 lim (x + 6)
=
x ®5
lim x + lim 6
x ®5
=
x ®5
5 + 6 = 11
4. lim [f (x) - g(x)] = lim f (x) - lim g(x) x ®c
x ®c
( 3.8 )
x ®c
Bukti : ikuti pembuktian teorema 3 Contoh 3.4 lim (7 - x) = lim 7 - lim x
x ®5
x ®5
=
x ®5
7-5=2
5. lim [f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x) x ®c
x ®c
( 3.9 )
x®c
Bukti : Misal lim f (x) = L1 dan lim g(x) = L2 x ®c
x ®c
Dari ketaksamaan segitiga didapat : f (x).g(x) - L1L2 = f (x).g(x) - L2f (x) + L2f (x) - L1L2
£ f (x) g(x) - L2
+
£ f (x) g(x) - L2
+
L2 f (x) - L1
(i)
(1 + L2 ) f (x) - L1
Untuk setiap e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < x - c < d1, maka f (x) - L1 < e1
( ii )
Dari ketaksamaan segitiga didapat : f (x) - L1 ³ f (x)
( iii )
Dari ( ii ) dan ( iii ) didapat
f (x)
-
L1
73
< e1
-
L1
atau f (x)
<
L1
+ e1
( iv )
Dengan mengambil
e1
= 1, maka
f (x)
<
L1
(v)
+1
Untuk setiap e2>0 terdapat d2>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < x - c < d2, maka g(x) - L2 < e2 ( vi ) Dengan mengambil g(x) - L2
e2
=
1 / 2 e , maka dari (vi) didapat : 1 + L1
1 / 2 e 1 + L1
<
( vii )
Untuk setiap e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < x - c < d3, maka didapat didapat didapat f (x) - L1 < e3 Dengan mengambil f (x)
L1
-
e3
=
1 / 2 e , maka dari (viii) ( viii) didapat : 1 + L2
1 / 2 e , maka dari ( viii ) didapat : f (x) 1 + L2
<
( viii )
-
L1
<
1 / 2 e 1 + L2
( ix )
Selanjutnya Selanjutnya dari persam p ersamaan aan (i), (v), (vii) dan (ix) didapat : f(x) - L1L2
1 / 2 e 1 + L1
(1 + L1 )
<
+
(1 + L 2 )
1 / 2 e 1+ L
= e
Dengan memilih d = min (d1, d2, d3 ) akan didapat pernyataan pernyataan : Jika 0 < x - c < d, maka f (x) - L1 < e ( terbukti ) Contoh 3.5 lim {(7 - x)( x
x ®5
+ 1)} =
lim (7 - x) . lim (x
x ®5
x ®5
+ 1) =
(2)(6)=12
lim f (x)
é f (x) ù
6. lim ê ú x ® c ë g(x) û
x ®c
=
( 3.10 )
lim g(x)
x ®c
Bukti : é f (x) ù lim ê ú x ® c ë g(x) û
é 1 ù 1 lim êf (x). ú = lim f (x). lim g(x) û x ® c x®c ë x ® c g(x) 1 1 Misal lim = L1 dan lim = L2 x ®c x ® c g(x) 1 g(x )
1 L2
=
g(x) - L 2
, g(x) ¹0
(i)
Untuk e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < x - c < d1, maka g(x) - L2 < e1
( ii )
-
=
g(x) L 2
Dari ketaksamaan segitiga : g(x) - L2 Jadi L2
-
g(x)
Dengan mengambil Sehingga
1 g(x)
<
e1
=
>
L2
L2 2
e2>0
-
g(x) ³ L2
-
( iii )
g(x)
( iv )
- e1
, maka g(x)
>
L2
-
L2 2
=
L2 2
2 L2
(v)
Selanjutnya Selanjutnya dari (i) dan (v) didapat : Untuk
L2
=
terdapat
d2
1 g(x )
-
1 2 £ g(x) - L 2 ( vi ) 2 L2 L2
sedemikian sedemikian rupa sehingga sehingga : 74
jika 0 < x - c
< d2 ,
maka g(x) - L2
Dengan mengambil g(x) - L2
e L2
<
e L2
=
e2
( vii )
< e2
2
, maka persamaan (vii) menjadi :
2
2
( viii )
2
1 Dari pers. (i), (v) dan (viii) didapat : g(x)
Dengan mengambil jika 0 lim
x ®c
x-c
<
1 g(x)
maka
< d
1 L2
=
= min (
d
1 g(x )
-
d1,d2
1 L2
-
L2 1 2 £ . 2 L2 2 L2
2 =
1 ( ix )
) akan didapat pernyataan pernyataan :
< e
. Hal ini membuktikan membuktikan bahwa :
1 lim g(x)
=
x ®c
é f (x) ù
Jadi : lim ê ú x ® c ë g(x) û
=
é 1 ù lim êf (x). ú g(x) û x®c ë
=
L1 L2
lim f (x)
=
x ®c
lim g(x)
( terbukti )
x ®c
Contoh 3.6 x
lim
x ® -4 3 - x
lim x
x ® -4
=
=
lim 3 - x
4 7
-
x ® -4
= -
4 7
7. lim [a f(x)] = a lim f (x) x ®c
( 3.11 )
x ®c
Bukti : Lihat persamaan (3.6) dan (3.9) Contoh 3.7 a) lim 9x = 9 lim x x ®e
b)
lim 3(4 - x)
x ®p
8. lim [ f(x)]n
=
x ®e
=
x ®c
=
9e
3 lim (4 - x) x®p
é ù ê lim f (x)ú ë x ®c û
=
3(4 - p)
n
( 3.12 )
Bukti : [f(x)]n = [f(x)].[f(x)]. … .[f(x)] dengan jumlah jumlah faktor faktor f(x) adalah adalah n. Jadi lim [ f(x)]n
=
x ®c
lim [f (x).f (x). ... .f(x)]
x ®c
Dari persamaan (3.9) didapat : lim [ f(x)]n
x ®c
=
lim f (x). lim f (x). … . lim f (x) = n lim [ f(x)] ( terbukti )
x ®c
x ®c
x ®c
Contoh 3.8 lim (x - 3)7
x ®2
=
é ê lim (x ë x ®2
-
ù 3)ú û
7 =
( -1)7
= -1
75
x ®c
9. Teorema Sandwich ( teorema apit ) Misal terdapat f(x) £ h(x) £ g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri. Jika lim f(x) = L = lim g(x) , maka : lim h(x) = L ( 3.13 ) x ®c
x ®c
Bukti : Untuk setiap ìï jika : 0 < x - c í îï jika : 0 < x - c
Untuk
e
x ®c
> 0 terdapat
d1>0
< d1
maka f(x) - L
< d2
maka g(x) - L
dan
d2>0
sedemikian rupa sehingga :
< e
(*)
< e
= min(d1,d2) dan 0< x - c
d
-e < f(x)–L < e dan -e < g(x)–L < e Sehingga : 0< x - c
1 x
Penyelesaian Penyelesaian : 1 £ 1, x ¹ 0 x 1 2 2 2 - x £ x cos £ x2 (kalikan semua suku dengan x ) x -1
£ cos
lim - x2
=
x ®0
lim x2
x ®0
=
0
0
Karena : lim - x2
=
x®0
lim x2
x ®0
=
0 , maka lim x2 cos x ®0
1 =0 x
10. Limit sepihak lim [ f(x)] = L Û
x ®c
lim [ f(x)] = x ®c
-
lim [ f(x)] = L x ®c
+
-
x ® c artinya x mendekati c dari arah a rah kiri x ® c+ artinya x mendekati c dari arah a rah kanan Contoh 3.10 ì1 - 2x jika x < -2 îx + 7 jika x > -2
Jika f(x) = í
Tentukan lim f(x), jika ada. x ® -2
Penyelesaian Penyelesaian : lim (1 - 2x) = 5 (limit kiri)
x ® -2-
lim (x + 7) = 5 (limit kanan)
x ® -2+
Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka lim f(x) = 5 x ® -2
76
( 3.14 )
Soal-soal 1. lim 7
6. lim (x - 1)(x2
2.
lim 5
7. lim
lim 3x
8. lim (5x - 9)3
x ®2
3.
x ® -5
x®p
9. lim x2 sin
4. lim (3 - 5x) x ®e x ®5
5x + 6)
x x®4 x - 2
x® 3
5. lim (x2
+
x ®1
-
x ®0
1 x2
ì2x - 5 jika x £ 4 î7 - x jika x > 4
10. Tentukan lim f (x) jika f(x) = í
4x - 12)
x®4
3.4 Limit fungsi trigonometri 1.
sin x x ®0 x lim
=
( 3.15 )
1
Bukti : Perhatikan Perhatikan Gambar Gambar 3.4 berikut berikut !
y T Q r q
0
P
x
0<
q
<
p
2
Gambar 3.4
Luas DOPQ < Sektor OPQ < DOPT 1 2
Luas DOPQ = r. r sin q Luas sektor OPQ =
=
(*)
1 2 r sin q 2
(**)
1 2 qr 2
1 2
Luas DOPT = r. r tan q =
(***) 1 2 r tan q 2
(****)
Substitusi Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat : 1 2 r sin q 2
<
1 2 qr 2
<
1 2 r tan q 2
(#)
77
Jika pers. (#) dibagi
1 2 r sin q didapat : 1 2
<
q
1 cos q
atau 1 >
=
1 atau
sin x x ®0 x
q
sin
<
sin q
>
q
cos q
Gunakan teorema apit ! lim 1
q ®0
2. 3. 4.
=
1 dan
lim cos x
lim sin x
=
lim tan x
q
lim
=
1
0
( 3.17 ) ( 3.18 )
0
=
=
x ®0
lim sin x .
x ®0
tan x x x ®0
sin q
( 3.16 )
x ®0
lim
1 , maka : lim
q ®0
q ®0
Bukti : lim tan x
5.
=
1
=
x ®0
x ®0
lim cos q
=
sin x x ® 0 cos x lim 1 lim
x ®0
=
x ®0
= (0)
lim cos x
1 x ® 0 cos x
lim sin x . lim
x ®0
ì1 ü í ý î1 þ
=
=
0 (terbukti)
( 3.19 )
1
Bukti : tan x x x ®0 lim
6.
=
x x ® 0 tan x lim
sin x 1 . x cos x x ®0 lim
=
sin x 1 . lim x ®0 x x ® 0 cos x lim
=1
. 1 = 1 (terbukti) (terbukti)
( 3.20 )
1
=
Bukti : x tan x x ®0 lim
7.
=
1 1 . x sin cos x x ®0 x lim
cos x - 1 x x ®0 lim
=
=
1 . 1 = 1 (terbukti) (terbukti)
( 3.21 )
0
Bukti : cos x - 1 lim x x ®0 -
lim
x ®0
2 sin2
cos2 lim
=
x ®0
1 x 2
x
=
1 1 x - sin2 x - 1 2 2 x
2 sin
lim
x ®0
1 1 x . sin x 2 2 1 2( x) 2
=
=
1 ù é sin x ú ê 1 2 ú lim ê- sin x 1 2 x ® 0ê x ú êë úû 2
=
0(1)
=
0 (terbukti)
3.5 Limit fungs trigonometri invers 1.
arcsin x x x ®0 lim
=
( 3.22 )
1
Bukti : y = arcsin x Û x
=
sin y untuk -1
78
£ x £ 1 dan -p /2 £ y £ p /2
arcsin x x x ®0
Jadi : lim
=
y y ® 0 sin y
lim
arctan x =1 x x ®0 Bukti : y = arctan x Û x
2.
=
1 y ® 0 sin y y
lim
=
1 ( terbukti )
( 3.23 )
lim
=
tan y untuk setiap nilai x dan - p /2 < y < p /2
arctan x Jadi : lim x x ®0
3.
lim arcsin x
=
x ®0
=
y lim y ® 0 tan y
=
cos y lim y ® 0 sin y y
lim cos y
=
y ®0
sin y lim y ®0 y
=
1
( 3.24 )
0
Bukti : y = arcsin x Û x = sin y untuk -1 £ x £ 1 dan -p /2 £ y £ p /2 Jadi lim arcsin x = lim y = 0 (terbukti) y ®0
x ®0
4.
lim arccos x
=
x ®0
p
( 3.25 )
2
Bukti : y = arccos x Û x
=
Jadi lim arccos x
=
cos y untuk -1 £ x £ 1 dan 0 £ y £ p
x ®0
5.
lim arctan x
=
x ®0
lim y y®
=
p
p
2
(terbukti)
2
( 3.26 )
0
Bukti : y = arctan x Û x = tan y untuk setiap x dan - p /2 £ y £ p /2 Jadi lim arctan x = lim y = 0 (terbukti) x ®0
6.
lim arccot x
x ®0
=
y ®0
( 3.27 )
0
Bukti : y = arc cot x Û x
=
Jadi lim arccot x
=
x ®0
cot y untuk setiap x dan 0 < y < p
lim y y®
=
p
p
2
(terbukti)
2
Soal-soal Hitung limit limit berikut, berikut, jika jika ada ! 1. lim x
sin 2 x
®0
2. lim
5 x 2x
x ® 0 sin 3x
sin 4x x ® 0 sin 3x
3. lim 4. lim
x ®0
5. lim
sin3 x x2 x2 2
x ® 0 sin 7x
1 - cos 2x 5x x ®0
6. lim
tan3x x ® 4 4x 1 - cos2x 8. lim x ® 0 sin(2x - p)
7. lim
arcsin 3x 7x x ®0
9. lim
arctan x x ® 0 1 - 7x
10. lim
79
3.6 Limit tak hingga Jika kita lakukan pengamatan terhadap lim
x ®c-
f (x) dan lim
x ® c+
f(x) mungkin akan
didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 3.5 berikut. y
f(x) =
1
x
-
2
x
0
Gambar 3.5
x
f(x)
x
2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999
f(x) -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000
Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ¥). Sedangkan pada saat x mendekati 2 dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju -¥). Selanjutnya dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah ¥ atau lim f (x) = ¥ , sedangkan limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah x ® 2+
kiri adalah - ¥ atau
lim f (x)
x ® 2-
= -¥ .
Karena limit kiri ¹ limit kanan maka lim
x ®2 x - 2
tidak ada (lihat persam p ersamaan aan 3.14).
Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut ! Misal f(x) =
amxm
+
am-1xm - 1
bnxn
+
bn-1xn -1
+ ... +
+ ... +
1
a1x
b1x
+
Jika m < n, maka : 80
+
a0
b0
lim
x®¥
amxm
+
am-1xm -1
+ ... +
bnxn
+
bn-1xn -1
... + b1x
+
a1x + a0
=
0
( 3.28 )
=
am bn
( 3.29 )
=
¥
( 3.30 )
b0
+
Jika m = n, maka : lim
x®¥
amxm n
bnx
+ +
am-1xm - 1 n -1
bn-1x
+ ... +
+ ... +
a1x
b1x
a0
+
b0
+
Jika m > n, maka : amxm
lim
x®¥
n
bnx
+ +
am-1xm -1 n -1
bn-1x
+ ... +
+ ... +
a1x
b1x
a0
+
+
b0
Bukti : f(x) =
amxm
+
am-1xm -1
+
bnxn
+
bn-1xn -1
... + b1x
+
... + a1x
+
+
a0
b0
Jika semua suku dibagi dengan xm maka : f(x) =
am
+
am-1x -1
bnxn - m
+
bn-1xn -1 - m
+ ... +
b1x1 - m
+
b0x - m
am-1x -1
+ ... +
a1x1 - m
+
a0x -m
am
Jadi lim
+
+ ... +
a1x1 - m
+
a0x -m
x ® ¥ bnxn - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m
Jika m < n, maka : lim
am
+
am-1x-1
+ ... +
a1x1 - m
+
a0x -m
x ® ¥ bnxn - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m
am ¥ x ®¥ lim
=
=
0 (terbukti)
Jika m = n, maka : lim
am
+
am-1x -1
+ ... +
a1x1 - m
+
a0x -m
x ® ¥ bnxn - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m
am + 0 a = m bn x ® ¥ bn + 0
=
(terbukti)
lim
Jika m > n, maka : lim
am
+
am-1x -1
+ ... +
a1x1 - m
+
a0x -m
x ® ¥ bnxn - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m
am + 0 0 x ®¥
lim
=
¥ (terbukti)
Contoh 3.11 Tentukan lim
x ®¥
2x 4
+
3x 3
x4
5
+
+
x
-
7
x-4
Penyelesaian Penyelesaian :
81
=
am = 2
;
bn = 5
;
m=4
Karena m = n , maka lim
x ®¥
2x4
+
;
n=4
3x3
5x4
+
+
x-7
x-4
=
am bn
=
2 5
3.7 Asimtot Dalam menganalisa suatu fungsi kita sering memerlukan nilai atau harga fungsi tersebut pada jarak tak hingga dari titik nol. Jika kurva suatu fungsi mendekati perilaku garis lurus, maka garis lurus tersebut adalah asimtot dari kurva. 3.7.1 Asimtot tegak Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis vertikal mendekati nol, maka garis tegak lurus tersebut adalah asimtot tegak dari kurva. Contoh asimtot tegak dapat dilihat pada Gambar 3.6 berikut. y
0
x
Gambar 3.6
Asimtot tegak suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut : Jika lim f (x) = ¥ atau - ¥ dan jika lim f (x) = ¥ atau - ¥ atau jika x ®a -
lim f (x)
x ®a
=
x ®a +
¥ atau
-
tegak kurva f(x) ¥ maka garis x = a adalah asimtot tegak
3.7.2 Asimtot datar Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis datar mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot datar dari kurva. Contoh dari asimtot datar dapat silihat pada Gambar 3.7 berikut.
82
y
x
0
Gambar 3.7 Asimtot datar suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut : Jika lim f (x) = b atau jika lim f (x) = b maka garis y = b adalah asimtot datar x ®¥
x ® -¥
kurva f(x).
3.7.3 Asimtot miring Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis miring mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot miring dari kurva. Contoh dari asimtot miring dapat silihat pada Gambar 3.8 berikut. y
x
0
Gambar 3.8
Jika
f (x) x ®¥ x lim
=
a dan
lim [f (x) - ax] = b maka garis y = ax + b adalah asimtot
x ®¥
miring kurva f(x). Jika a = 0 maka tidak terdapat terdapat asimtot miring.
83
Contoh 3.12 Tentukan asimtot grafik fungsi f(x) =
3 x
+
4
Penyelesaian Penyelesaian : 3
lim
x ® -4 x + 4
=
¥ , maka garis x = -4 adalah asimtot tegak. tegak.
3
datar. = 0 , maka garis y = 0 adalah asimtot datar. 4 3 f (x) mempunyai lim = lim = 0 . Karena a = 0 maka grafik tidak mempunyai x ®¥ x x ® ¥ x(x + 4) lim
x ®¥ x
+
asimtot miring. y
0
Gambar 3.9
Contoh 3.13 Tentukan asimtot dari grafik fungsi f (x)
=
x2
-
x
-
2
2
+
x
-
6
x
Penyelesaian Penyelesaian : f (x) lim
=
x2
-
x
x2 + x x +1
=
x ® -3 x + 3
x +1 x ®¥ x + 3 lim
f (x) x ®¥ x lim
=
=
-
2
-
6
=
(x - 2)( x + 1) (x - 2)( x + 3)
=
x +1 , x ¹2 x +3
tegak. ¥ , maka garis x = -3 adalah asimtot tegak.
1 , maka garis y = 1 adalah asimtot datar. datar.
x +1 x ® ¥ x(x + 3) lim
=
0 . Karena a = 0 maka grafik tidak mempunyai mempunyai
asimtot miring. 84
x
Contoh 3.14 Tentukan asimtot dari grafik fungsi f (x)
=
x2
+
2x - 1 x
Penyelesaian Penyelesaian : lim
x2
+
2x x
x2
+
2x - 1 x
x ®0
lim
x®¥
-1
= -¥ ,
=
maka garis x = 0 adalah asimtot tegak. tegak.
¥ , maka f(x) tidak mempunyai asimtot datar.
Asimtot miring miring : y = ax + b f (x) x®¥ x
a = lim b=
=
lim
x2
+
=
x ®¥
=
1.
2x x
-1
x2
x®¥
lim f (x ) - ax
2x - 1
lim
x2
x®¥
+
-
x
=
2x - 1 x x ®¥ lim
=
2.
Jadi asimtot asimtot miring f(x) adalah adalah y = x + 2
Soal-soal Tentukan semua asimtot asimtot dari fungsi-fungsi fungsi-fungsi berikut, berikut, jika ada ! 1. f (x) 2. f (x)
1
=
=
x
+1
x x
+1 -1
3. f (x) 4. f (x)
=
=
x2
-
2x
-
3
x2
+
6x
+
5
5. f (x)
64 - x3
=
6. f (x) =
3 x2 - x + 5 x -1 x2e-x x +1
3.8 Kekontinuan Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi. i) lim f (x) ada x ®a
ii) f(a) terdefinisi iii) lim f (x) = f(a) x ®a
Contoh 3.15 Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a 1. f(x) =
3
x
+
a = -2
2
ì x2 - 9 ï 2. f(x) = í x - 3 jika x ¹ 3 ï6 jika x = 3 î
a=3
Penyelesaian Penyelesaian : 1. lim
x ® -2 x
3 +
2
x2 - 9 x ®3 x - 3
2. lim
=
maka f(x) tak kontinu di titik a = -2 ¥ . Karena syarat i) tidak terpenuhi maka
=
6 dan f(3) = 6. Karena lim f (x) x ®3
85
=
f (3) maka f(x) kontinu di titik a=3.
Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a ìx2 - 1 jika x < 3 ïï jika x = 3 1. f(x) = í8 ïx + 5 jika x > 3 ïî
a=3
ìï 2 3. f(x) = íx - 1
a=1
ì 4 jika x < -2 ï 2 x ïï 4. f(x) = í1 jika x = -2 ï ï ïîx + 3 jika x > - 2
îïcos 2x jika x ³ 0
ìx2
jika x < 1 ïï 2. f(x) = í3 jika x = 1 ï2 - x jika x > 1 ïî
jika x < 0
a=0
a = -2
3.9 Kekontinuan yang dapat dihapus dan yang tak dapat dihapus Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak terpenuhi maka fungsi tersebut tak kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi, tetapi lim f (x) ada, maka dikatakan bahwa ketakkontinuan f(x) di titik a x ®a
dapat dihapuskan dengan jalan mendefinisikan f(a) =
lim f (x) maka f(x) menjadi
x ®a
kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi dan lim f (x) tidak ada maka x ®a
ketakkontinuan ketakkontinuan f(x) di titik a tidak dapat dihapuskan.
Contoh 3.16 Diketahui f(x) =
x2 - 4 . Tentukan ketakkontinuan ketakkontinuan fungsi tersebut. x +2
Penyelesaian Penyelesaian : x2 - 4 x ® -2 x + 2 lim
=
lim (x - 2) = -4
x ® -2
f(-2) tak terdefinisi terdefinisi
Jadi f(x) tak kontinu di titik a = -2. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat dihapuskan karena lim f (x) ada. x ® -2
Selanjutnya lakukan definisi ulang
lim (x - 2)
x ® -2
=
f (-2)
= -4
. Sehingga f(x) dapat ditulis
menjadi : ì x2 - 4 ï f(x) = í x + 2 jika x ¹ -2 ï- 4 jika x = - 2 î
Contoh 3.17 Diketahui f(x) =
1 x-9
. Tentukan ketakkontinuan ketakkontinuan fungsi tersebut.
Penyelesaian Penyelesaian :
1
lim x
®9
x
-9
= ¥, maka f(x) tak kontinu di titik a = 9 dan ketakkontinuan tersebut tidak
dapat dihapuskan.
86
Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak. 1. f(x) = 2. f(x) = 3. f(x) =
x -3 ;a=9 x-9
1 x-4 x2 x
4
-
; a = 4 dan a = -4 9
81
;a=3
4. f(x) = 5. f(x) = 6. f(x) =
x2 + x - 6 ; a = 4 dan a = -4 x+4 (x + 1)(x2
x - 12)
x2 - 5 x + 4 x+3 2
x
87
-
-
x - 12
; a = -1
; a = -3
