Bab II : Fungsi Linear | |
13
Dalil : Grafik dari dari fungsi-fungsi linear linear (linear artinya artinya pangkat satu satu atau straight) adalah adalah suatu garis garis lurus.
2.1. GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (0,0) Tarik Garis dari titik O ke titik P dimana OP terletak
Sb. Y
pada garis g. Titik Q juga terletak pada garis g.
g
Buktikan bahwa persamaan garis lurus melalui titik Q(x,y)
O (0,0)
y = mx
y P(a,b)
b
Bukti : Perhatikan segitiga OPP’ dan segitiga OQQ’
Sb. X a
Q’
P’
QQ’ : PP’ = Q’O : P’O
x
y : b = x : a ay = bx
y =
b a
x ; jika
y = mx
b a
m
( terbukti) terbukti)
2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS Sb. Y
Garis 1 memotong sumbu X di di titik A (-a,0) dan titik B(0,b) l
Titik P terletak pada garis 1, sehingga PP’//BO Buktikan bahwa persamaan umum garis lurus adalah
P(x,y)
y =
y B(0,b) A(-a,0)
b a
x +b
Sb. X
x
Bukti BO : PP’ = AO : AP’ b : y = -a : (-a + x)
-ay = b (-a + x) -ay = -ab : bx y =
b
x +b a
(terbukti)
atau y = mx + b, persamaan garis lurus yang memotong sumbu y (0,b) By : Turmudi
E-mail :
[email protected]
blog: www.toermoedy.wordp ress.com
14 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
2.3. SYARAT 3 BUAH TITIK TERLETAK PADA SEBUAH GARIS LURUS Sesuai dengan dalil bahwa grafik dari setiap fungsi linear adalah sebuah garis lurus. Misalkan fungsi linear itu y = ax + b Sb. Y
Titik A, B dan C terletak pada grafik y =ax+b
B(x2,y2)
A (x1 , y1) terletak pada grafik
y1 = ax1 + b
B (x2 , y2) terletak pada grafik
y2 = ax2 + b
C(x3,y3) x1
y3
y1 - y2 = a(x1 –x2) .... (i)
y2
A(x1,y1) y1
Sb. X
0
x2
A (x1 , y1) terletak pada grafik
y1 = ax1 + b
B (x2 , y2) terletak pada grafik
y3 = ax3 + b
x3
y1 y3 BB' AB' tg
-
y1 – y3 = a(x1 –x3) ..... (ii)
i y1 y2 a x1 x2 ii y1 y3 a x1 x3 y1 y 2
-
Syarat Bahwa (x1 ,y1 ), (x 2 ,y 2) dan (x 3 ,y 3 ) terletak pada sebuah garis lurus
x1 x 2 x1 x3
CC ' AC '
= tg = titik A, B, C terletak pada satu garis lurus.
Sehingga pengertian dari (2.1.) sampai dengan (2.3.) dapatlah disimpulkan sebagai berikut ; 1.
Persamaan garis lurus melalui pusat y = mx dimana m = tg dengan m merupakan koefisien arah / gradien / bilangan arah / kemiringan / kecendrungan garis.
2.
Persamaan umum garis dalam bentuk eksplisit y = mx + b dengan m = tg dan garis ini melalui titik (0,b). tg adalah sudut perpotongan garis lurus dengan sumbu X positif.
3.
Persamaan umum garis lurus dapat juga dinyatakan dalam bentuk implisit ax + by + c = 0
y
ax c b
a a a y x c , Sehingga m = tg = b b b
Bab II : Fungsi Linear |
15
Persamaan garis lurus dapat juga dinyatakan oleh : Jarak antara titik O dengan salah satu titik pada garis itu dan sudut yang dibentuk oleh jarak itu dengan sumbu X positif Perhatikan segitiga OBP
r
sin 90 o
Sb. Y
r
cos
b
sin b
sin
P(x,y)
r
sin
y
( + 90o)
Sb. X
A
b cos
0
B x
persamaan garis kutub atau persamaan garis polar
2.4. PERSAMAAN GARIS MELAUI TITIK P( x1, y1), DENGAN GRADIEN m Kita sudah tahu bahwa persamaan garis umum y = mx + n Titik P(x1 ,y1) dilalui oleh garis y = mx + n ........ (i)
y1 = mx1 + n .......(ii)
y = mx + n y1 = mx1 + n y – y1 = m(x – x1)
Persamaan garis lurus melalui titik P(x1 ,y1 ) dengan gradien m
2.5. PERSAMAAN GARIS MELALUI DUA TITIK Persamaan melalui titik A(x1 ,y1) dan B(x2 ,y2) Persamaan garis lurus y = mx + n Persamaan garis melalui A( x1, y1) y – y1 = m(x – x 1) ...........................(i) Titik B( x2, y2) terletak pada garis y – y1 = m(x – x1)
y2 – y1 = m(x2 – x1) ...............................(ii) By : Turmudi
E-mail :
[email protected]
blog: www.toermoedy.wordp ress.com
16 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
i y y1 m x x1 ii y2 y1 m x2 x1 y y1 y 2 y1
x x1
persamaan garis melalui dua titik
x2 x1
(y – y1) (x2 – x1) = (y2 – y1) (x – x1)
y y1
y 2 y1 x 2 x1
x x1
y y1 m x x1 m
y y1 x x1
2.6. PERSAMAAN GARIS MELALUI P( a,0) DAN Q(0, b) Persamaan garis melalui titik P(a,0) dan Q(0,b)
y y1
Sb. Y
y 2 y1 y 0
Q(0,b)
b0 y b P(a,0)
Sb. X
y
0
b x a
y b
x x1 x2 x1 x a
0a x a
a x
1 a
1
bx + ay = ab
persamaan garis melalui P( a,0) dan
Q(0, b) 2.7. Persamaan Garis Hesse (Persamaan Garis Normal)
Tarik garis melalui titik O garis g OP B(0,b)
Karena OP g, disebut persamaan garis normal, Kita misalkan n dan sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif
b
P
n
= A(a,0)
0 a
Perhatikan segitiga OPB, siku-siku di P
Bab II : Fungsi Linear |
Maka sin
n b
b
n
sin
...................................(i)
Perhatikan OPA, siku-siku di P
cos
n a
a
n
cos
...........................................(ii)
Karena garis g memotong ABX di titik A(a,0) dan B(o,b), maka persamaan garis g adalah
x a
y b
1 ...................(iii)
(i) dan (ii) substitusikan ke (iii)
x n
cos
y n
1
sin
x cos y sin
n x cos x cos
n
1 xn
+ y sin = n ( n positif)
+ y sin - n = 0
Catatan :
1.
Karena n positif (jarak titik O (0,0) ke garis g) maka suku ke-3 selalu negatif
2.
Koefisien x = cos
cos2 + sin2 = 1
Koefisien y = sin
mengingat kedua syarat di atas, maka setiap persamaan Ax + By + C = 0 dapat dirubah ke persamaan normal Hesse
Contoh 5: Rubahlah persamaan -3 x – 4 y + 10 = 0 ke dalam persamaan normal Hesse Penyelesaian :
-3 x – 4 y + 10 = 0 3 x + 4 y - 10 = 0
x (-1)
: 32 4 2 = 5
3 4 x y 2 0 5 5
By : Turmudi
E-mail :
[email protected]
blog: www.toermoedy.wordp ress.com
17
18 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Sin =
3 Cos 5
4 5
Sin = 0,8
Cos 0,6
Sin = Sin 49,4o
Cos = Cos 36,87o
= 49,4o
= 36,87o
x cos 36,87o + y sin 49,4o
2.8. HUBUNGAN ANTAR GARIS (SIKAP 2 GARIS LURUS) 1.
Garis yang Berpotongan
Garis l1 a1 x + b1 y + c1 = 0
( dikalikan dengan b2)
Garis l2 a2 x + b2 y + c2 = 0
( dikalikan dengan b1)
a1b2 x + b1b2 y + b2c1 = 0 a2 b1 x + b1b2 y + b1c2 = 0
-
(a1b2 - a2 b1)x + (b2c1 - b1c2) = 0 x =
b1c2 b2c1 a1b2 a2b1
Garis l1 a1 x + b1 y + c1 = 0
(dikalikan dengan a 2 )
Garis l2 a2 x + b2 y + c2 = 0
(dikalikan dengan a1 )
a1a2 x + a2b1 y + a2c1 = 0 a1a2 x + a1b2 y + a1c2 = 0
-
(a2b1 - a1b2)y + (a2c1 - a1c2) = 0
y
a2 c1 a1c2 a2b1 a1b2
Kemungkinan-kemungkinan :
a.
Jika a1b2 - a2 b1 0, berarti harga x, setiap ada harga x pasti ada harga y. ( x,y) disebut titik perpotongan l1 dan l2.
Syarat : a1b2 - a2 b1 0 a1b2
a1 a2
a2 b1
b1 b2
Syarat 2 garis bepotongan
Bab II : Fungsi Linear |
b.
Jika a1b2 - a2 b1 = 0, berarti a1 b1 a2
b2
Tapi b2c1 - b1c2 0 b1 c1 sehingga a1 b1 c1 b2
c2
a2
b2
c2
Maka 0 x 0 , ini berarti tidak ada harga ( x,y) yang memenuhi 2.
Garis yang Sejajar
Jika l1 dan l2 tidak berpotongan atau sejajar, berarti tidak ada titik potongnya Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0 b2c1 - b1c2
b1 b2 3.
0 c1
c2
a1 a2
b1 b2
c1 c2
Syarat garis sejajar
Garis Berhimpit
Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0 a1
a2
b1 b2
b2c1 - b1c2 = 0
b1 b2
a1 a2
b1 b2
c1
c1 c2
Syarat garis berhimpit
c2
2.9. SUDUT ANTARA DUA GARIS Jika l1 y = m1 x + b1 Sb. Y
l2
y = m2 x + b2 y = m1 x + b1
y = m2 x + b2
Sudut perpotongan = tg 1 = m1 tg 2 = m2
1
2 Sb. X
1 = 2 + = 1 2
By : Turmudi
E-mail :
[email protected]
blog: www.toermoedy.wordp ress.com
19
20 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
= tg 1 2
tg
=
tg 1 tg 2
1 tg 1 tg 2
= arc. tg
atau tg =
m1 m 2
1 m1 m2
m1 m2
1 m1m2
Kemungkinan-kemungkinannya ;
Untuk = 90o tg 90o =
a.
1 m1m2
m1 m2
1 m1m2
=
m1 m2
1 m1m2 = 0 m1m 2 = -1 Untuk = 0o tg 0o = 0
b.
m1 m2
1 m1 m2
=0
m1 m2 = 0 m1 m 2
Syarat garis sejajar
2.10. JARAK DARI TITIK O (0,0) KE GARIS Ax + By + C = 0 Diketahui : l
ax + by + c = 0
Ditanya : Jarak titik O ke garis l
ax + by + c = 0
Penyelesaian: ax + by + c = 0
Sb. Y
l
a
ax + by + c =
a b 2
d
0
2
x
: a 2 b2 b a b 2
a Karena a 2 b 2 Sb. X
2
2
y
c a b 2
b 2 a b 2
2
2
0
1
Bab II : Fungsi Linear |
c
Maka d
a b 2
d
2
c a b 2
jarak titik ke garis
2
2.11. Jarak Antara Dua Garis Sejajar
a1 x + b1 y + c1 = 0
l2
Diketahui : l1 Sb. Y
a2 x + b2 y + c2 = 0
Ditanya : jarak l1 dan l2 Penyelesaian: c1
d 1 d 2
a b 2
d
d 1
Sb. X
2
c2
d 2
a2 b2
0 l1
d = d 2 – d 1
l2
c 2 c1
d
a b 2
Jarak antara dua garis sejajar 2
2.12. JARAK DARI TITIK P(x1 ,y1 ) KE GARIS Ax + By + C = 0 Ambil garis l1
y = mx + b melalui titik P(x1 ,y1)
Ditanya : jarak titik P(x1 ,y1) ke garis
Sb. Y
l2
ax + by + c = 0
Penyelesaian: l1 d
Q(x,y)
m l1 = m Koefisien garis l2
P(x1 ,y1) y1
Sb. X x1 l1
By : Turmudi
y = mx + b
l2
l2
ax + by + c = 0
m l2 =
E-mail :
[email protected]
a b
blog: www.toermoedy.wordp ress.com
21
22 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Persamaan garis l1 // l2 dengan koefisien m
y – y1 = m2 (x – x1) y – y1 =
a b
(x – x1)
b (y – y1) = - a (x – x 1) by – by1 = - ax + ax1 ax + by – (ax 1 – by1) = 0, ini berarti c1 = - (ax1+ by1)
karena l1 // l2 d
d
c1 c2 a b 2
2
ax1 by1 c 2 a b 2
2
Jarak dari titik ke garis
2.13. SYARAT 3 GARIS MELALUI SEBUAH TITIK YANG SAMA l1
a1 x + b1 y + c1 = 0
l2
a2 x + b2 y + c2 = 0
l3
a3 x + b3 y + c3 = 0
Jika l1 memotong l2 di titik P, maka akan diperoleh koordinat titik
b1c 2 b2 c1 a1 c2 a 2 c1 , a b a b a1b2 a 2 b1 2 1 1 2
P
l3 melalui titik P
b c b2 c1 a c a2 c1 + c = 0 a3 1 2 + b3 1 2 3
a1b2 a2 b1 a3
ab a b 1 2 2 1
x ( a1b2 a2 b1 )
b1c2 b2 c1 + b a1c2 a 2c1 + c a1b2 a2b1 = 0 3
a3 b1c2 - a3 b2 c1 + a2 b3c1 - a1b3c2 +
3
a1b2 c3 - a2b1 c3 = 0
a1b2 c3 + a2 b3c1 + a3 b1c2 - a1b3c 2- a2b1 c3 - a3 b2 c1 = 0 Catatan : Untuk mudah diingat
(+)
(-)
Bab II : Fungsi Linear |
23
2.14. BERKAS GARIS Berkas suatu garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan arahnya berlainan. Jika g1 (P) = 0 dan g2 (P) = 0 Maka diperoleh persamaan
1 g1 + 2 g2 = 0
: 1
p g1 +
g1
Titik tetap
2
1
Misalkan
g2
Maka diperoleh : g1 + g2 = 0
g2 = 0
2 1
=
(sebarang konstanta)
persamaan berkas garis-garis
Contoh 6: 1.
Tentukan persamaan garis yang melalui titik asal dan melalui titik potong garis-garis x + y – 4 = 0 dan 2 x – 3 y + 6 = 0
Penyelesaian:
Berkas garis : g1 + g2 = 0 (2 x – 3 y + 6) + ( x + y – 4) = 0 .................(i) Karena garis yang diminta itu melalui O (0,0) maka ;
2 0 3 0 6 0 0 0 4 0 4 6 1
1 ................(ii) 2
Subs. (ii) (i)
Persamaan garis yang dimaksud adalah (2 x – 3 y + 6) + 1 1 ( x + y – 4) = 0 2
1 1 1 3 x 1 y 0 , atau y 2 x 2 2 2
By : Turmudi
E-mail :
[email protected]
blog: www.toermoedy.wordp ress.com
24 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
2.
Tentukan persamaan garis yaqng melalui titik potong garis-garis 3 x – 4 y + 5 = 0 dan 5 x + y = 7 serta sejajar dengan garis y = x + 5 ! Penyelesaian : g1 +
g2 = 0 (5x + y – 7) = 0
(3x – 4y + 5) + (3 + 5 )x + (4 -
)y + (5 - 7 ) = 0 y
m1 =
3 5 5 7 ..........................(i) x 4 4
3 5 4
Gradien graris y = x + 5, yaitu m2 = 1 Syarat dua garis sejajar, m1 = m2
3 5 1 = 1 = ..............................(ii) 4 6 Subs. (ii)
(i)
persamaan garis yang dimaksud adalah (3 x – 4 y + 5) + 1 (5x + y – 7 ) = 0 6
x – y + 1 = 0
3.
Diketahui l1 x – y + 2 = 0, l2
2x - y – 1 = 0 dan l3 x – 3y + 2 = 0
Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik potong l1 dan l2 serta tegak lurus l3 ! Penyelesaian : l4 (x – y + 2) +
l1 + l2 = 0
(x - y – 1) = 0
(1+2 )x – (1+ )y + (2 -
) = 0 y =
ml4 =
1 2 1 , ml3 = 1 3
Syarat : l3 l4 m3 m4 = - 1
1 2 2 x 1 1
1 2 1 1 1 3
= 4 5
Persamaan garis yang dimaksud y = - 3x + 14
Bab II : Fungsi Linear |
25
2.15. LATIHAN II : 1.
2.
Diketahui ABC dengan A(1,1), B(5,4) dan C (3,6) a.
Hitunglah luas ABC !
b.
Hitunglah garis-garis tinggi dari titik A, B, dan C !
Tentukan persamaan : a.
Garis melalui titik (-4,0) dan (0,-3) !
b.
Garis yang memotong sumbu x negatif 5 cm (titik A) dan memotong sumbu Y positif di titik B hingga OB = 5 cm!
c. 3.
Garis melalui titik (-4,0) dan memotong sumbu Y positif 5 cm!
Tentukan persamaan garis lurus melalui titik (3,2), garis tersebut memotong kedua sumbu koordinat sedemikian hingga membentuk sustu segitiga denagn luas 12 satuan luas!
4.
Suatu garis memotong sumbu X dan sumbu Y , titik P(2,3) terletak di tengah dari segmen garis yang menghubungkan kedua titik potong di atas. Tentukanlah persamaan garis lurus tersebut !
5.
6.
7.
Tentukan persamaan garis yang melalui A(1,3) dan a.
Bersudut 135o dengan garis 2 x + 3 y + 1 = 0 !
b.
Tegak lurus pada garis 2 x + 3 y + 1 = 0 !
c.
Sejajar dengan garis 2 x + 3 y + 1 = 0 !
Tentukan Jarak ; a.
Titik A(2,1) ke garis 2 y = x – 4 !
b.
Titik asal ke garis x + 2 y 2 = 5 !
Sebuah garis melalui titik A(4,0) dan memotong sumbu Y positif di titik B, sedemikian hingga AB = 5cm; a.
Tentukanlah persamaan garis itu dengan rumus segmen garis !
b.
Dari persamaan yang didapat itu, tentukanlah persamaan normalnya !
8.
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,4) dan titik positif garis-garis y = x dan 3 x + 5 y = 15 !
9.
Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis : 2 x – 3 y + 6 = 0 dan 3 x – 2 y = 0 serta tegak lurus pada garis 4 x – 3 y = 12 !
10. Dari segitiga ABC dengan titik sudutnya A(3,0), B(6,2), dan C (2,4). Tentukanlah : a.
Panjang garis-garis tingginya !
b.
Tentukanlah persamaan garis-garis bagi sudut-sudut segitiga itu!
By : Turmudi
E-mail :
[email protected]
blog: www.toermoedy.wordp ress.com
