BAB III FUNGSI TRANSFER
3.1.
Pendahuluan
Beberapa sistem dinamik seperti mekanik, listrik, termal, hidraulik, ekonomi, biologi dan sebagainya, dapat dikarakterisasikan dengan persamaan diferensial. Respon suatu sistem dinamik terhadap suatu masukan (fungsi penggerak) dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial tersebut. Persamaan tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan beberapa hukum Fisika yang berlaku pada sistem yang dimaksud seperti hukum Newton untuk sistem mekanik, hukum Kirchoff untuk sistem listrik dan sebagainya. Model matematik adalah deskripsi matematik dari karakteristik dinamik suatu sistem. Langkah pertama yang harus dilakukan dalam menganalisa suatu sistem dinamik adalah dengan menurunkan modelnya. Dalam menurunkan model matematik yang masuk akal adalah bagian yang paling penting dari keseluruhan analisis. Setelah model matematik dari suatu sistem diperoleh maka berbagai perangkat analitik dan komputer dapat digunakan dalam analisis dan sintesis. Model matematik dapat disajikan dalam beberapa bentuk yang berbeda. Berdasarkan sistem dan sekeliling yang ditinjau, suatu penyajian matematik barangkali lebih cocok daripada bentuk penyajian yang lain. Sebagai contoh dalam persoalan kontrol optimal, seringkali lebih mudah untuk menggunakan seperangkat persamaan diferensial orde pertama. Sebaliknya dalam analisis respon transient atau atau respon frekuensi dari suatu sistem satu masukan dan satu keluaran, penyajian fungsi alih yang akan dibicarakan mungkin lebih mudah daripada p enyajian yang lain.
3.1.1. Penyederhanaan Penyederhanaan Versus Ketelitian
Dalam mencari suatu model, harus dikompromikan antara penyederhanaan model dan ketelitian hasil analisis. Hasil yang diperoleh dari analisis hanya berlaku sampai suatu derajat tertentu dari pendekatan model pada si stem fisik yang ditinjau. Kecepatan
komputer
digital
dalam
melakukan
operasi
aritmmetika
memungkinkan untuk menggunakan pendekatan baru dalam merumuskan model matematikanya. Dengan alat bantu tersebut, tidak hanya terbatas pada model yang
44
sederhana karena jika diperlukan maka dapat dilibatkan beberapa ratus persamaan untuk menggambarkan suatu sistem secara lengkap. Tetapi jika tidak diperlukan ketelitian yang sangat tinggi, akan lebih disukai hanya untuk mencari model yang disederhanakan secara layak. Dalam menurunkan model yang disederhanakan tersebut, seringkali dirasa perlu untuk mengabaikan suatu sifat fisis dari sistem. sis tem. Terutama jika diinginkan dii nginkan model matematik linier parameter terkumpul (yaitu suatu model yang menggunakan persamaan diferensial biasa) maka selalu diperlukan untuk mengabaikan suatu ketidaklinieran dan parameter terdistribusi (parameter yang menimbulkan persamaan diferensial parsial), yang mungkin terdapat pada sistem fisik yang ditinjau. Jika pengaruh sifat-sifat yang diabaikan pada respon adalah kecil maka akan diperoleh kesesuaian yang baik antara hasil analisis model matematik dan hasil studi eksperimental pada sistem fisik. Umumnya dalam menyelesaikan suatu persoalan baru, pertamakali dibuat model yang disederhanakan sedemikian rupa sehingga diperoleh gambaran umum dari jawab persoalan. per soalan. Kemudian dapat dibuat model matematik yang lebih lengkap untuk analisis yang lebih lengkap. Harus benar-benar disadari bahwa suatu model linier parameter terkumpul yang berlaku pada operasi frekuensi rendah, barangkali tidak berlaku pada frekuensi yang cukup tinggi karena sifat parameter terdistribusi yang diabaikan menjadi suatu bagian yang penting dari perilaku dinamik sistem. Contoh, massa suatu pegas dapat diabaikan pada operasi frekuensi rendah tetapi akan menjadi suatu sifat yang penting dari sistem pada frekuensi tinggi.
3.1.2. Sistem Linier
Sistem linier adalah suatu sistem yang mempunyai persamaan model yang linier. Suatu persamaan diferensail adalah linier jika koefisiennya adalah konstan atau hanya merupakan fungsi dari variabel bebasnya. Sifat yang paling penting dari sistem linier adalah berlakunya prinsip superposisi. Prinsip superposisi menyatakan bahwa respon yang dihasilkan oleh penggunaan secara serentak dari dua buah fungsi penggerak yang berbeda adalah sama dengan jumlah dari dua buah respon individualnya. Jadi pada sistem linier, respon terhadap beberapa masukan dapat dihitung dengan mencari respon terhadap tiap-tiap masukan dan menjumlahkan
45
hasilnya. Prinsip ini memungkinkan untuk menyusun jawaban yang kompleks pada persamaan diferensial linier dari beberapa jawaban yang sederhana.
3.2.
Fungsi Alih (Tr ansfer
Fungsi
alih
) Fun ction
sistem
linier
parameter
konstan
didefinisikan
sebagai
perbandingan dari Transformasi Laplace keluaran (fungsi respon) dan fungsi Transformasi Laplace masukan (fungsi penggerak), dengan menganggap bahwa semua syarat awal adalah nol. Tinjau sistem linier parameter konstan yang didefinisikan oleh persamaan diferensial berikut : ( n 1)
( n)
( m 1)
( m)
a0 y (t ) a1 y (t ) an 1 y (t ) an y (t ) b0 x(t ) b1 x(t ) bm 1 x(t ) bm x(t )
……………………………………………… Persamaan 3.1. Dimana : -
n>m
- y adalah keluaran sistem - x adalah masukan
Transformasi Laplace dari persamaan 3.1. adalah : n 1
n
a0 s Y ( s) a1 s Y ( s) an1 sY ( s) an Y ( s)
Persamaan 3.2.
m 1
m
b0 s X ( s) b1 s X ( s) bm1 sX ( s) bm X ( s) Persamaan 3.2. dapat disederhanakan menjadi :
a s a s a s a Y ( s) b s b s b s b X (s) n
0
n 1
m
1
n 1
n
0
m 1
1
m 1
m
Fungsi alih dari sistem ini, diperoleh dengan mencari Transformasi Laplace dari kedua ruas persamaan di atas. Dengan menganggap bahwa semua syarat awal adalah nol maka : Fungsi Alih = G( s )
Y ( s) X ( s)
b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm a0 s a1 s n
n 1
an 1 s an
Persamaan 3.3.
46
Atau dapat dikatakan bahwa Fungsi alih adalah suatu ekspresi yang merelasikan keluaran [Y(s)] dan masukan [X(s)] dari suatu sistem linier parameter konstan dalam bentuk parameter sistem dan merupakan sifat dari sistem itu sendiri, tidak tergantung pada fungsi masukan atau penggerak. Fungsi alih mencakup satuansatuan yang diperlukan untuk merelasikan masukan dengan keluaran. Fungsi alih tidak memberikan informasi mengenai struktur fisik dari sistem. Fungsi alih dari beberapa sistem fisik yang berbeda, mungkin identik. Dalam hal ini dapat dinyatakan dinamika sistem dengan beberapa persamaan aljabar dalam s. Pangkat tertinggi dari s pada penyebut fungsi alih sama dengan orde suku turunan tertinggi dari keluaran. Jika pangkat tertinggi dari s adalah n, maka sistem tersebut disebut sistem orde ke-n.
3.2.1. Sistem Translasi Mekanik
Sistem pegas-massa-daspot ditunjukkan oleh gambar 3.1.
k x m
f
y
Gambar 3.1. Sistem pegas-massa-daspot
Daspot adalah suatu perangkat yang menimbulkan gaya viskos (redaman). Perangkat ini terdiri dari sebuah torak dan silinder isi minyak. Setiap gerakan relatif antara batang torak dan silinder dilawan oleh minyak karena minyak tersebut harus mengalir di sekitar torak (melalui orifis yang terdapat pada torak) dari satu sisi torak ke sisi yang lain. Pada dasarnya daspot menyerap energi. Energi yang diserap ini didisipasikan sebagai panas, sehingga daspot tidak menyimpan energi kinetik atau potensial.
47
Untuk mencari fungsi alih dari sistem ini, dengan menganggap bahwa gaya x(t) sebagai masukan dan perpindahan y(t) dari massa sebagai keluaran, sebagai berikut : 1. Menulis persamaan diferensial dari sistem. 2. Mencari Transformasi Laplace dari persamaan diferensial, dengan menganggap semua syarat awal adalah nol. 3. Mencari perbandingan dari keluaran Y(s) dan masukan X(s). Perbandingan dari keluaran dan masukan ini merupakan fungsi alih dari sistem yang ingin dicari.
Untuk menurunkan persamaan diferensial linier parameter konstan, dianggap
bahwa gaya gesekan daspot berbanding lurus dengan y dan pegas yang digunakan adalah linier yakni gaya pegas berbanding lurus dengan y. Pada sistem ini, m menyatakan massa, f menyatakan koefisien gesekan viskos dan k menyatakan konstanta pegas. Hukum dasar yang berlaku pada sistem mekanik adalah Hukum Newton. Untuk sistem translasi, sistem tersebut menyatakan bahwa : ma dimana :
F …..……………………. Persamaan 3.4.
- m = massa ( Kg ) - a = percepatan (m/dt 2 ) - F = gaya( N)
Kg adalah satuan massa dimana Kg N dt 2 / m . Jika dikenai gaya 1 Newton, massa 1 Kg maka akan mengalami percepatan 1 m/dt 2. Dengan menerapkan Hukum Newton pada sistem di atas maka diperoleh : 2
m
d y (t ) 2
dt
f
2
m
d y (t ) 2
dt
f
dy(t ) dt
dy(t ) dt
k y(t ) x(t )
k y(t ) x(t )
Persamaan 3.5.
Dengan mencari Transformasi Laplace dari tiap s uku persamaan 3.5 diperoleh :
- [k y(t )] k Y (s) - [ x(t )] X (s)
48
d 2 y (t )
- [m
dt 2
- [ f
dy(t ) dt
] m [ s 2 Y ( s ) s y (0) y (0)]
] f [ s Y ( s ) y(0)]
Jika ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga
y (0) 0, y (0) 0, maka Transformasi Laplace untuk turunan kedua dan turunan pertama dari persamaan di atas menjadi : [m [ f
d 2 y (t ) 2
dt
dy(t ) dt
] m [ s 2 Y ( s ) s 0 0] m s 2 Y ( s ) 0 0 ms 2 Y ( s)
] f [ s Y ( s) 0] fs Y (s)
Jadi persamaan 3.5. dapat ditulis menjadi: (ms2 fs k ) Y ( s) X ( s ) Dengan mencari perbandingan fungsi keluaran [Y(s)] dan masukan [ X(s)], diperoleh fungsi alih dari sistem adalah : Fungsi Alih = G( s)
Y ( s) X ( s)
1 ms fs k 2
3.2.2. Sistem Rotasi Mekanik
Tinjau sistem yang ditunjukkan gambar 3.2. Sistem ini terdiri dari inersia beban dan peredam gesekan viskos. J T
Gambar 3.2. Sistem rotasi mekanik
Dimana :
- J = momen inersia beban (kg m2) - f = koefisien gesekan viskos ( N m/rad/det ) - = kecepatan sudut (rad/det ) - T = torsi yang dikenakan pada sistem ( N m)
Untuk sistem rotasi mekanik, hukum Newton menyatakan bahwa :
49
J = T …………………………… Persamaan 3.6.
- J = momen inersia beban (kg m2)
Dimana :
- = percepatan sudut (rad/det 2) - T = torsi sistem ( N m)
Dengan menerapkan Hukum Newton pada sistem yang sedang ditinjau, diperoleh :
J (t ) f (t ) T (t )
………………… Persamaan 3.7.
Dengan mencari Transformasi Laplace dari tiap suku persamaan 3.7, diperoleh :
(t ) (s) d (t ) (t ) [ ] s ( s) (0) s ( s) 0 s (s) dt
T (t ) T (s) Jadi persamaan 3.7. dapat ditulis menjadi:
Js ( s) f ( s) T (s)
Js f ( s) T (s) Dengan menganggap bahwa torsi T(t) yang dikenakan adalah masukan dan kecepatan sudut (t) adalah keluaran maka fungsi alih dari sistem adalah : Fungsi Alih =
( s) T ( s)
1 Js f
3.2.3. Rangkaian R – L – C
Tinjau rangkaian listrik yang ditunjukkan oleh gambar 3.3. Rangkaian ini terdiri dari suatu induktansi L ( Henry), suatu tahanan R (Ohm) dan suatu kapasitansi C ( Farad ).
50
L
R
ei(t)
i(t)
C
eo(t)
Gambar 3.3. Rangkaian Listrik RLC
Dengan menerapkan Hukum Kirchoff pada sistem yang sedang ditinjau, diperoleh persamaan berikut : L
di(t )
1 C
dt
R i(t )
1 C
i(t ) dt e (t ) i
i(t ) dt e (t )
Persamaan 3.8. Persamaan 3.9.
0
Dengan mencari Transformasi Laplace dari persamaan 3.8 dan persamaan 3.9 dan menganggap syarat awal adalah nol maka diperoleh :
di(t ) L L s I ( s) i(0) L s I ( s) 0 Ls I ( s) dt R i (t ) R I ( s) 1 1 i (0) I ( s) 1 0 I ( s) 1 I ( s) I ( s) i(t ) dt 0 s C s s C s Cs C C s e (t ) E (s) 1
i
i
e (t ) E ( s) 0
0
Jadi persamaan 3.8. dan persamaan 3.9. menjadi ; Ls I ( s) R I ( s) 1 Cs
1 Cs
I ( s) E i ( s)
I ( s ) E 0 (s)
Jika ei(t) dianggap sebagai masukan dan e0(t) dianggap sebagai keluaran maka fungsi alih dari sistem ini adalah :
51
Fungsi Alih =
Fungsi Alih =
Fungsi Alih =
E o ( s) E i ( s ) E o ( s) E i ( s ) E o ( s ) E i ( s )
I ( s) / Cs ( Ls R 1/ Cs) I ( s)
1/ Cs ( Ls R 1/ Cs)
1 Cs ( Ls R 1/ Cs) 1 LCs RCs 1 2
3.2.4. Impedansi Kompleks
Dalam menurunkan fungsi alih dari rangkaian listrik, seringkali dirasakan lebih mudah untuk menuliskan persamaan dalam bentuk Transformasi Laplace secara langsung,
tanpa
menuliskan
persamaan
diferensialnya.
Tinjau
sistem
yang
ditunjukkan gambar 3.4.
i(t)
i(t)
i(t) Z1
Z2
ei(t)
e0(t) e(t)
Gambar 3.4. Impedansi yang dihubungkan secara seri
Pada sistem ini, Z 1 dan Z 2 menyatakan impedansi kompleks. Impedansi kompleks dari suatu rangkaian dua terminal adalah perbandingan antara E(s) dan I(s), dengan menganggap bahwa semua syarat awal adalah nol sehingga Z(s) = E(s)/I(s). Dimana : - E(s) merupakan Transformasi Laplace dari tegangan listrik pada terminal tersebut. - I(s) merupakan Transformasi Laplace dari arus listrik yang melalui elemen tersebut Jika elemen dari kedua terminal tersebut adalah suatu tahanan R, kapasitansi C atau induktansi L maka impedansi kompleks dari elemen tersebut masing-masing diberikan oleh R, 1/Cs atau Ls. Jika impedansi kompleks dihubungkan secara seri maka impedansi totalnya sama dengan jumlah masing-masing impedansi kompleks tersebut. Dimana : Fungsi Waktu
Fungsi Laplace
ei (t ) ( Z 1 Z 2 ) i(t )
E i ( s) ( Z 1 Z 2 ) I (s)
e0 (t ) Z 2 i (t )
E 0 ( s) Z 2 I ( s)
52
Fungsi alih dari rangkaian ini adalah : E 0 ( s) Z 2 I ( s) Z 2 E i ( s) [ Z 1 Z 2 ] I ( s) Z 1 Z 2
Dimana :
Z 1 = Ls + R
dan
Z 2 = 1/Cs
Jadi, persamaan di atas menjadi : 1 E 0 ( s) E i ( s)
E 0 ( s) E i ( s)
Cs Ls R
1 Cs
1
Cs ( Ls R
1 Cs
)
1
Persamaan 3.10.
LCs2 RCs 1
Tinjau rangkaian yang ditunjukkan oleh gambar 3.5. Pada sis tem ini, Z 1 dan Z 2 menyatakan impedansi kompleks. Impedansi kompleks dari suatu rangkaian dua terminal adalah perbandingan antara E(s) dan I(s), dengan menganggap bahwa semua syarat awal adalah nol sehingga Z(s) = E(s)/I(s). Dimana : - E(s) merupakan Transformasi Laplace dari tegangan listrik pada terminal tersebut. - I(s) merupakan Transformasi Laplace dari arus listrik yang melalui elemen tersebut
i(t)
i(t) Z1
ei(t)
i(t)
Z2
e0(t)
Gambar 3.5. Impedansi yang dihubungkan secara paralel
Jika elemen dari kedua terminal tersebut adalah suatu tahanan R, kapasitansi C atau induktansi L maka impedansi kompleks dari elemen tersebut masing-masing diberikan oleh R, 1/Cs atau Ls. Jika impedansi kompleks Z 1 dan Z 2 dihubungkan secara paralel maka impedansi totalnya sama dengan perbandingan dari fungsi keluaran terhadap fungsi masukan. Dengan menganggap bahwa tegangan ei(t) dan
53
e0(t), masing-masing adalah masukan dan keluaran dari rangkaian. Maka fungsi alih dari rangkaian ini adalah : E 0 ( s) Z 2 I ( s) Z 2 E i ( s) [ Z 1 Z 2 ] I ( s) Z 1 Z 2
Dimana :
Z 1 = Ls + R
dan
Z 2 = 1/Cs
Maka persamaan di atas menjadi : 1 E 0 ( s) E i ( s)
E 0 ( s) E i ( s)
Cs Ls R
1 Cs
1
Cs ( Ls R
1 Cs
)
1 LCs2 RCs 1
Persamaan 3.11.
Persamaan 3.10 identik dengan persamaan 3.11.
3.2.5. Elemen Pasif dan Elemen Aktif
Beberapa elemen dalam suatu sistem menyimpan energi seperti kapasitansi dan induktansi dalam sistem listrik. Energi ini kemudian diberikan ke dalam sistem. Jumlah energi yang diberikan tidak dapat melebihi jumlah energi yang tersimpan dalam elemen. Jika elemen ini sebelumnya tidak menyimpan energi maka elemen ini sama sekali tidak memberikan energi kepada sistem. Jadi, elemen semacam ini disebut elemen pasif. Sistem yang hanya mempunyai elemen pasif disebut sistem pasif. Contoh sistem pasif adalah kapasitansi, tahanan dan induktansi, massa, inersia, peredam, dan pegas. Untuk elemen pasif, setiap suku dalam persamaan diferensial sistem homogen, mempunyai tanda yang sama.
3.2.6. Analogi Gaya Tegangan
Tinjau sistem mekanik yang ditunjukkan gambar 3.6.a dan sistem listrik yang ditunjukkan 3.6.b. Untuk gambar 3.6.a, p(t) merupakan masukan sistem dan x(t)
54
merupakan keluaran sistem.Ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa
sehingga x(0) 0, x(0) 0 . Tentukan besar fungsi alih dari gambar 3.6.a. Untuk gambar 3.6.b, e(t) merupakan masukan sistem dan i(t) merupakan keluaran sistem.Ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga
i(0) 0, i (0) 0 . Jika i(t ) dq(t ) / dt , tentukan besar fungsi alih dari gambar 3.6.b.dalam bentuk muatan listrik.
L
R
k p(t) m x(t) f
Gambar 3.6.a. Sistem mekanik
e(t)
i(t)
C
Gambar 3.6.b. Rangkaian Listrik RLC
Penyelesaian : a.
Persamaan diferensial untuk sistem mekanik dari gambar 3.6.a adalah : 2
m
d x(t ) 2
dt
f
dx(t ) dt
k x(t ) p(t )
Persamaan 3.12.
Jika ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga
x(0) 0, x(0) 0, maka Transformasi Laplace untuk setiap suku dari persamaan di atas menjadi :
- k x(t ) k X (s) - p(t ) P (s) - [m [m
- [ f
d 2 x(t ) dt 2
d 2 x(t ) 2
dt dx(t ) dt
] m [ s 2 X ( s) s x(0) x(0)] ] m [ s 2 X ( s ) s 0 0] m s 2 X ( s) 0 0 ms 2 X ( s)
] f [ s X ( s) x(0)]
55
[ f
dx(t ) dt
] f [ s X ( s) 0] fs X (s )
Jadi persamaan 3.11 dapat ditulis menjadi: (ms 2 fs k ) X ( s) P ( s )
Dengan mencari perbandingan X(s) dan P(s), diperoleh fungsi alih dari sistem: Fungsi Alih = G( s)
b.
X ( s) P ( s )
1 ms fs k 2
Persamaan diferensial untuk sistem listrik dari gambar 3.6.b adalah : L
di(t ) dt
R i(t )
1 C
i(t ) dt e(t )
Persamaan 3.13.a.
Dalam bentuk muatan listrik q(t) ( dimana i(t ) dq(t ) / dt ), persamaan di atas menjadi : L
d 2 q(t ) 2
dt
R
dq(t ) dt
1 C
q(t ) e(t )
Persamaan 3.13.b.
Jika ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga
i(0) 0, i(0) 0, maka Transformasi Laplace untuk setiap suku dari persamaan 3.13.a menjadi :
di(t ) - L L s I ( s) i(0) L s I ( s) 0 Ls I ( s) dt - R i(t ) R I (s) 1 1 i 1 (0) I ( s) 1 0 I ( s) 1 I ( s) I ( s) - i(t ) dt C s s C 0 s Cs C C s s
- e(t ) E (s)
Transformasi Laplace dari i(t ) dq(t ) / dt adalah : i (t ) I ( s ) [
dq(t ) dt
)] s Q( s) q(0) s Q( s) 0 s Q(s)
56
Jadi Transformasi Laplace untuk setiap suku persamaan 3.13.b. menjadi :
di(t ) - L Ls I ( s) Ls s Q( s) Ls 2 Q( s) dt - R i(t ) R I ( s) R s Q( s) Rs Q(s)
1 I ( s) s Q( s) Q( s) - i(t ) dt Cs C C Cs
Jadi persamaan 3.13.b. dapat ditulis menjadi: ( Ls 2 Rs
1
) Q( s ) E ( s) C
Dengan mencari perbandingan Q(s) dan E(s), diperoleh fungsi alih dari sistem: Fungsi Alih = G ( s)
Fungsi Alih = G ( s)
Fungsi Alih = G( s)
Q( s) E ( s) Q( s) E ( s)
Q( s) E ( s)
1
Ls 2 Rs 1
Ls 2 Rs
1 C
C
1 C C
C LCs RCs 1 2
Dengan membandingkan persamaan 3.12 dan persamaan 3.13.b, dapat dilihat bahwa persamaan diferensial kedua sistem tersebut mempunyai bentuk yang identik. Sistem semacam ini disebut sistem sekias (analog). Suku-suku yang menempati posisi-posisi yang sama disebut besaran sekias. Analogi yang dimaksud adalah analogi gaya-tegangan. Daftar besaran sekias dalam analogi gaya-tegangan, ditunjukkan tabel 3.1. Tabel 3.1. Daftar besaran sekias dalam analogi gaya-t egangan Sistem Mekanik
Sistem Listrik
Gaya p (Torsi T )
Tegangan (e)
Massa m (Momen Inersia J )
Induktansi ( L)
Koefisien gesekan viskos ( f)
Tahanan ( R)
Konstanta pegas (k)
Kebalikan kapasitansi (1/C)
Perpindahan x (Perpindahan sudut )
Muatan (q)
Kecepatan x (Kecepatan sudut )
Arus (i)
57
Beberapa contoh sistem sekias ditunjukkan gambar 3.7. Tiap sistem listrik dan sistem mekanik, analoginya mempunyai fungsi alih yang identik. Dalam menurunkan fungsi alih, dianggap bahwa sistem yang ditinjau adalah sistem dengan parameter terkumpul dan tidak ada pengaruh pembebanan pada keluaran.
R xi(t)
ei(t)
i(t)
C
k
eo(t)
xo(t) f
E 0 ( s )
E i ( s)
1 X 0 ( s)
RCs 1
X i ( s)
1 f s 1 k
C xi(t)
f
ei(t)
R
i(t)
E 0 ( s) E i ( s)
eo(t) xo(t)
k
RCs
f s X 0 ( s) k f X i ( s) s 1 k
RCs 1
Gambar 3.7. Sistem dan analoginya
Latihan : Cari Fungsi Alih dari sistem berikut, jika diketahui R =1 Ohm, L = 50mH, C = 200 mF. 1.
3.
L
ei(t) i(t)
C
eo(t)
L
ei(t)
R
eo(t)
i(t)
58
2.
4.
R
ei(t)
eo(t)
L
C
ei(t)
i(t)
eo(t)
L
i(t)
3.2.7. Analogi Gaya Arus
Bentuk analogi lain yang sangat berguna antara sistem listrik dan sistem mekanik adalah analogi gaya-arus. Tinjau sistem mekanik yang ditunjukkan pada gambar 3.8.a.
k p(t)
I(s)
m
IL
IR
IC
L
R
C
e(t)
x(t) f
Gambar 3.8.a. Sistem Mekanik
Gambar 3.8.b. Sistem Listrik
Gambar 3.8. Sistem Mekanik dan Analoginya
Persamaan diferensial yang melukiskan sistem ini adalah : 2
m
d x(t ) 2
dt
f
dx(t ) dt
k x(t ) p(t )
Persamaan 3.14.
Tinjau sistem listrik yang ditunjukkan gambar 3.8.b. Dengan menggunakan Hukum Arus dari Kirchoff, diperoleh :
i L (t ) i R (t ) iC (t ) i s (t ) dimana :
- i L (t ) - i R (t )
1 L
Persamaan 3.15.
e(t ) dt
e(t ) R
- iC (t ) C
de(t ) dt
59
Persamaan 3.9. dapat ditulis : 1
L
e(t )
e(t ) dt
R
C
de(t ) dt
Fluks magnetik gandeng d (t ) dt
is (t )
direlasikan
Persamaan 3.16.
dengan e berdasarkan persamaan:
e(t )
Persamaan 3.17.
Dalam bentuk , persamaan 3.10. dapat ditulis sebagai berikut : C
d 2(t ) dt 2
1 d (t ) R
dt
1 L
(t ) i s (t )
Persamaan 3.18.
Dengan membandingkan persamaan 3.14 dan persamaan 3.18, diperoleh bahwa kedua sistem tersebut adalah sistem sekias. Beberapa besaran sekias diberikan Tabel 3.2. Dalam hal ini, analogi yang dimaksud disebut analogi gaya-arus Tabel 3.2. Beberapa besaran sekias dalam analogi gaya-arus Sistem Mekanik
Sistem Listrik
Gaya p (Torsi T )
Arus (i)
Massa m (Momen Inersia J )
Kapasitansi (C)
Koefisien gesekan viskos ( f)
Kebalikan dari tahanan (1/R)
Konstanta pegas (k)
Kebalikan induktansi (1/L)
Perpindahan x (Perpindahan sudut )
Fluks magnetik gandeng ()
Kecepatan x (Kecepatan sudut )
Tegangan (e)
3.2.8. Sistem Sekias
Konsep sistem sekias sangat berguna dalam praktek karena satu jenis sistem dapat ditangani secara eksperimental dengan lebih mudah daripada jenis yang lain. Sebagai contoh, untuk mengkaji sistem mekanik maka dapat dibuat dan dikaji sistem listrik analoginya karena pada umumnya sistem listrik atau elektronik secara eksperimental jauh lebih mudah ditangani. Secara khusus dalam komputer analog elektronik, yang cukup memadai untuk mensimulasikan baik sistem mekanik maupun sistem fisik lainnya.
60
Analogi antara dua sistem menjadi tidak berlaku jika daerah kerjanya diperluas sehingga terlalu lebar. Karena persamaan diferensial yang mendasari analogi hanya merupakan pendekatan dari karaktristik dinamik suatu sistem fisik maka analogi bisa menjadi tidak berlaku jika daerah kerja salah satu sistem sangat lebar. Meskipun demikian, jika daerah kerja suatu sistem mekanik sangat lebar, kemungkinan dapat dibagi menjadi dua atau lebih dengan daerah yang lebih kecil sehingga untuk setiap daerah yang lebih kecil tersebut dapat dibuat analogi listriknya. Sebenarnya analogi tidak terbatas pada sistem listrik dan sistem mekanik. Analogi dapat diterapkan pada setiap sistem yang mempunyai bentuk persamaan diferensial atau fungsi alih yang identik.
3.3. Fungsi Alih Dari Elemen-elemen Yang Dihubung Seri
Beberapa sistem berumpanbalik mempunyai komponen-komponen yang saling membebani. Tinjau sistem yang ditunjukkan gambar 3.9. Anggap ei(t) adalah masukan sistem dan eo(t) adalah keluaran sistem. R 1
ei(t)
R 2
C1
i1(t)
eo(t)
C2
i2(t)
I
II
III
Gambar 3.9. Rangkaian listrik yang dihubung seri
Pada sistem ini, rangkaian tingkat kedua ( R2 C ) menimbulkan pengaruh pembebanan pada rangkaian tingkat pertama (R1 C 1). Persamaan listrik untuk sistem dalam gambar 3.9. adalah :
R1 i1 t
Persamaan Rangkaian I :
1 C 1
(i1 (t ) i 2 (t )) dt ei (t )
1
(i (t ) i (t )) dt R C
Persamaan Rangkaian II :
2
1
2
1
i2 (t )
1 C 2
i (t ) dt 0 2
Persamaan Rangkaian II, disederhanakan menjadi : 1 C 1
i2 (t ) dt R2 i2 (t )
1 C 2
i2 (t ) dt
1 C 1
i (t ) dt i
61
Persamaan Rangkaian III disederhanakan menjadi :
1 C 2
i (t ) dt e (t ) 2
0
Persamaan Laplace dari ketiga persamaan listrik di atas adalah : Persamaan Rangkaian I : 1 C 1 s (
{ I 1 ( s) I 2 ( s)} R1 I 1 ( s) E i ( s)
1 C 1 s
R1 ) I 1 ( s)
1 C 1 s
I 2 ( s ) E i ( s)
Persamaan 3.19.
Persamaan Rangkaian II : 1 C 1 s (
I 2 ( s ) R2 I 2 ( s)
1 C 1 s
C 1 s (
R2 1 C 1 s
1 C 2 s
R2
(1 R2 C 1 s
C 1 C 2
1 C 2 s
) I 2 ( s) 1 C 2 s
I 2 ( s ) 1 C 1 s
1 C 1 s
I 1 ( s)
I 1 ( s )
) I 2 ( s ) I 1 (s)
) I 2 ( s ) I 1 (s)
Persamaan 3.20.
Persamaan Rangkaian III : 1 C 2 s
I 2 ( s) E 0 ( s)
Persamaan 3.21.
Persamaan 3.20. disubstitusi ke persamaan 3.19. Maka persamaan 3.19. menjadi : (
(
(
1 C 1 s 1 C 1 s 1 C 1 s
R1 ) I 1 ( s)
C 1 s
I 2 ( s ) E i ( s)
R1 ) (1 R2C 1 s R1 R2
I 2 ( s ) C 1 s
1
C 1 s C 1 s
C 1 C 2
) I 2 ( s )
R1 R2C 1 s
1 C 1 s
C 1 C 1C 2 s
I 2 ( s) E i ( s )
R1
C 1 C 2
) I 2 ( s)
R1 I 2 ( s) R2 I 2 ( s) R1 R2 C 1 s I 2 ( s)
I 2 ( s) C 2 s
1 C 1 s
I 2 ( s) E i ( s)
R1C 1 I 2 ( s ) C 2
I 2 ( s ) C 1 s
E i ( s)
62
( R1 R2 R1 R2 C 1 s
1 C 2 s
R1C 1 C 2
) I 2 ( s) E i (s)
Persamaan 3.22.
Fungsi Alih dari rangkaian listrik yang dihubung seri dengan menganggap syarat awal adalah nol diperoleh : 1 E 0 ( s) E i ( s) E 0 ( s) E i ( s) E 0 ( s) E i ( s)
E 0 ( s) E i ( s )
C 2 s
I 2 ( s)
( R1 R2 R1 R2 C 1 s
1 C 2 s
R1C 1
1
R1
C 2
) I 2 ( s)
C 2 s C 2 s
1 C 2 s ( R1 R2 R1 R2C 1 s
C 2 s
C 1 C 2
)
1
R1C 2 s R2 C 2 s R1 R2 C 1C 2 s 2
C 2 s C 2 s
R1C 1C 2 s C 2
1 1 R1C 2 s R2C 2 s R1 R2C 1C 2 s 2 R1C 1 s
Persamaan 3.23.
Bentuk R1C 2 s pada penyebut dari fungsi alih menyatakan interaksi dua rangkaian RC sederhana. Karena
( R1 C 1 R2 C 2 R1 C 2 )2 4 R1 C 1 R2 C 2 , maka
kedua akar dari penyebut pada persamaan 3.23. adalah nyata. Analisa ini menunjukkan bahwa jika dua rangkaian RC dihubung seri sedemikian rupa sehingga keluaran dari rangkaian pertama menjadi masukan bagi rangkaian kedua maka fungsi alih keseluruhan sistem tidak sama dengan hasilkali antara 1/( R1C 1 s 1) dengan 1/( R2C 2 s 1) . Hal ini disebabkan pada waktu diturunkan fungsi alih untuk suatu rangkaian terisolasi, secara tersirat dianggap bahwa keluaran tidak dibebani. Dengan kata lain, impedansi beban dianggap tidak terhingga, yang berarti tidak menyerap daya pada keluaran. Walaupun demikian, jika rangkaian kedua dihubungkan pada keluaran dari rangkaian pertama maka sejumlah tertentu daya akan diserap sehingga anggapan bahwa tidak ada pembebanan, tidak dipenuhi. Jadi, jika fungsi alih sistem diperoleh dengan menganggap bahwa tidak ada pembebanan maka fungsi alih tersebut tidak berlaku. Derajat pengaruh pembebanan menentukan besarnya modifikasi dari fungsi alih.
63
Latihan : Cari Fungsi Alih dari sistem berikut jika diketahui R = 1 Ohm, R 1 = R 2 = 0,5 Ohm, L = 50mH, C = 400 mF, C 1 = C2 = 500mF.
C1
R .
ei(t)
L
i1(t)
C2
eo(t)
i2(t)
C1
R 2
.
ei(t)
R 1
i1(t)
C2
i2(t)
R 1
eo(t)
L
. ei(t) i1(t)
R 2
C
eo(t)
i2(t)
3.4. Fungsi Alih Elemen-elemen Seri Tanpa Pembebanan
Fungsi alih suatu sistem yang terdiri dari dua buah elemen yang dihubungkan seri tanpa pembebanan dapat diperoleh dengan mengeliminasi masukan dan keluaran madya. Contoh tinjau sistem yang ditujukan gambar 3.10. Sistem terdiri dari dua buah elemen yang dihubung seri tanpa pembebanan. Fungsi alih masing-masing elemen adalah : X1(s)
G1(s)
X2(s)
G2(s)
X3(s)
Gambar 3.10. Elemen yang dihubung seri tanpa pembebanan
64
Fungsi alih dari setiap blok diagram pada gambar 3.10 adalah :
G1 ( s)
X 2 ( s) X 1 ( s)
dan G2 ( s)
X 3 ( s) X 2 ( s)
Gambar rangkaian pengganti dari elemen-elemen yang dihubung seri tanpa pembebanan dapat dilihat pada gambar 3.11. X1(s)
X3(s)
G1(s) G2(s)
Gambar 3.11. Rangkaian pengganti elemen yang dihubung seri t anpa pembebanan
Jika impedansi masukan dari elemen kedua adalah tak terhingga, maka keluaran elemen pertama tidak dipengaruhi oleh penggandengan elemen pertama dengan elemen kedua. Maka fungsi alih dari sistem keseluruhan adalah: G( s )
X 3 ( s) X 1 ( s)
X 2 ( s) X 3 s
X 1 ( s) X 2 s
G1 ( s) G2 ( s)
Persamaan 3.24.
Jadi fungsi alih dari sistem keseluruhan merupakan hasil kali dari fungsi alih masing-masing elemen. Hal ini ditunjukkan gambar 3.11. Penyisipan sebuah penguat pengisolasi diantara rangkaian-rangkaian untuk mendapatkan
karakteristik
tanpa
pembebanan,
seringkali
digunakan
dalam
menghubungkan beberapa rangkaian listrik karena baik penguat semi konduktor maupun penguat tabung hampa mempunyai impedansi masukan yang sangat tinggi. Maka penguat pengisolasi yang disisipkan diantara dua buah rangkaian akan menguatkan sistem tanpa pembebanan. Dua buah rangkain RC sederhana, yang diisolasikan dengan penguat, ditunjukkan pada gambar 3.12.
R 1 ei(t)
Penguat
C1 I
R 2
Isolasi (Penguat K)
C2
e0(t)
II
Gambar 3.12. Sistem Listrik Dengan Penguat Pengisolasi 65
Dua buah rangkaian RC sederhana yang diisolasikan dengan suatu penguat yang mempunyai pengaruh pembebanan yang dapat diabaikan. Persamaan listrik dari rangkaian I di atas adalah : R1 i (t ) 1 C 1
1 C 1
i(t ) dt e (t ) i
i(t ) dt e (t ) 0
Persamaan Laplace dari rangkaian I di atas adalah : 1
R1 I ( s) 1 C 1 s
C 1 s
I ( s) E i (s)
I ( s) E 0 ( s)
Fungsi alih sistem dari rangkaian I di atas adalah : 1 E 0 ( s) E i ( s) E 0 ( s) E i ( s)
I ( s)
C 1 s
( R1
1 C 1 s
) I ( s)
1
R1C 1 s
C 1 s
C 1 s C 1 s
1 C 1 s ( R1
1 C 1 s
)
1 R1C 1 s 1
C 1 s
Sedangkan persamaan listrik dari rangkaian II di atas adalah : R2 i(t ) 1 C 2
1 C 2
i(t ) dt e (t ) i
i(t ) dt e (t ) 0
Fungsi alih sistem dari rangkaian II di atas adalah : R2 I ( s) 1 C 2 s
1 C 2 s
I ( s ) E i (s)
I ( s) E 0 ( s)
66
Fungsi alih sistem dari rangkaian II di atas adalah : 1 E 0 ( s) E i ( s) E 0 ( s) E i ( s)
I ( s)
C 2 s
1
( R2
C 2 s
) I ( s)
C 2 s
1
1
R2C 2 s
C 2 s
C 2 s
1
C 2 s ( R2
1 C 2 s
)
R2C 2 s 1
C 2 s
Fungsi alih rangkaian keseluruhan sama dengan hasil kali dari masing-masing fungsi alih. Jadi, dalam hal ini fungsi alih keseluruhan sistem adalah : E 0 ( s) E i ( s)
1
1 ) k ( ) R1C 1 s 1 R2 C 2 s 1
(
Latihan : Carilah Fungsi Alih Total (Xn/X1) dari keseluruhan blok diagram berikut!
1.
X 1
10
1
X 2
s 1 2.
X 1
1
X n
s 1
2
X 2
s 1
X n
s 3
3.
3
X 1
X 2
s 2 4.
X 1
2
X 1
1
s 2
4
X 3
s 1
X 2
s 5
5.
4
X 3
2
s 3
X n
s 3
s 3 X 2
2
X 3
3 s 6
X n
7
s 4
X n
67
