Segundo cuatrimestre 2010 Cursos 10 y 11 Au t oi nd uc tan ci a e Induc Ind uc tan ci a Mutua Mut ua
Vamos a estudiar ahora un caso donde el flujo del campo magnético varía porque varía la corriente. Puede ser una corriente alterna o una corriente continua variable en el tiempo. Supongamos que tenemos un generador que genera una corriente alterna y que lo conectamos a un solenoide largo con N vueltas de alambre, largo l... ideal y material lineal El campo generado por la corrient e I está está dada por (recordar la Clase 13)
R
~
VG
l
B z 0, 0, z
0 K
L
2
2 0 K 0
NI l
0 nI
En consecuencia, el flujo concatenado por cada espira será
1 0 nIA
d dt
0 nA
d I dt
y, como consecuencia, se generará una fem llamada autoinducida
0 nNA
dI dt
0 n 2l A
dI
dt
Observemos que si el material no hubiera sido lineal, hubiéramos podido calcular H
que no guarda relación lineal con B , y, en consecuencia no hubiéramos podido calcular su flujo sin considerar la curva de histéresis. Pero si es lineal (o se trabaja en una zona que a los fines prácticos es lineal) el campo
( y con H ). Bajo estas condiciones siempre resulta B siempre sigue una relación lineal con I (
d
L
dt
d dt
donde L se denomina autoinductancia autoinductancia o inductancia. Para Para el solenoide L 0 n l A 2
Por supuesto, esto es un caso ideal. Aunque la longitud del solenoide sea apreciable frente al radio, no todo el flujo contribuye efectivamente a la . Lo que se hace medir la y de allí determinar la L (como al calcular una resistencia). Es decir, lo que ocasiona el voltaje entre los bornes del solenoide es la autoinductancia. Por eso se dice
V L L
dI dt
1
Segundo cuatrimestre 2010 Cursos 10 y 11
Cuál de los bornes es el que está a mayor voltaje dependerá de
A
que la corriente disminuya o aumente con el tiempo. En la figura si dI/dt>0 VA>VB. Es decir VL=VAB=VB-VA=-LdI/dt. Las unidades de L
I
están dadas por
L
2 Vs Tm Wb H L t A I A A I
B
pero podemos pensar en otra cosa: el circuito es una espira y, como consecuencia, no solamente tendrá una autoinducatncia sino que también el campo creado para aplacar el cambio de flujo en el circuito, tendrá influencia sobre el solenoide y viceversa....
Inductancia Mutua Mutua y Auto induc tancia (un (un desarrollo más formal) Bueno, nos vamos a concentrar en las “bobinas”, i.e. no consideraremos la debida a cambios de flujo en el circuito. Pero... ¿y si tenemos más de una bobina? Supongamos primero dos circuitos por los que circula cir cula corriente. c orriente. Veremos qué ocurre cuando hay cambios en un circuito debido a otros Circuito 2
Circuito 1
elementos.
Cada
circuito
concatena un flujo debido a I1(t)
I2(t)
su propia corriente y por la de
S2
S1
su
vecino.
El
circuito
1
produce un campo magnético
B1 en todo el espacio y el
circuito 2, B2 . Por lo tanto los flujos concatenados son:
T 1 B1 B2 dS B1 dS B2 dS 11 12 S1
S1
S 1
T 2 B1 B2 dS B1 dS B2 dS 21 22 S2
S2
S 2
En consecuencia, aparecerán dos inducidas. En el circuito 1 1
d T 1
d 11 12
dt
d 11
dt
d 1 2
dt
d 11 d I1
dt
dI1
d T 2 dt
d 21 22 dt
d 21 dt
d 22 dt
-M21
dI2
dt
-M12
d 21 dI1 dI1
d 12 dI 2
dt
-L1
y en el circuito 2 2
dt
d 22 dI 2 dI2
dt
-L2
2
Segundo cuatrimestre 2010 Cursos 10 y 11
Se define, entonces L1
d 11
M 21
M 12
dI1 d 21
L2
dI1
d 12 dI 2
d 22 dI 2
Se denomina coeficiente de inducción mutua a M ijij. Es decir, la autoinductancia da la “rapidez” de cambio de flujo debido al cambio en la corriente que circula por ella, mientras que la inductancia mutua da la “rapidez” con que cambia el flujo debido al cambio de corriente en el otro circuito. Se puede demostrar que en circuitos donde no hay materiales ferromagnéticos siempre M ijij= M ji (excede el nivel del curso). Veamos un ejemplo relativamente relativamente sencillo. Las líneas de de campo no son sencillas pero podríamos considerar que dentro de la espira chica es uniforme (no constante). Si recordamos que para una
z
espira en el centro, vale I1(t) R 2
0 I1
B 0,0, z
t
2 R1
R 1
e z (es decir tomamos el
sentido indicado en la figura como positivo y, en consecuencia, el diferencial de superficie debe tener el
sentido de e z . Calcularemos ahora la inductancia mutua M 21 21 es decir estamos considerando cómo varía el flujo
en el circuito 2 debido al cambio de la corriente I 1.
Como 1
2
d 11 dI1 dI1
M 21
M 21
dt
d 21 dI1 dI1
dt
d 21 dI1 0
2 R1
d 12 dI 2 dI 2
L1
dt
d 22 dI 2 dI 2
dt
dI1 dt
M 21
M 12
dI1 dt
dI 2
dt
L2
dI 2
dt
d 0 I1 t d 0 I1 t 2 0 2 e z dS 2 R2 R2 B1 dS 2 dI1 S2 dI1 S 2 2 R1 dI1 2 R1 2 R1 d
2
R2
3
Segundo cuatrimestre 2010 Cursos 10 y 11
Si el circuito 1 tiene N1 espiras y el 2 tiene N 2, el campo generado por I 1 será N1 veces el generado por una espira y el flujo concatenado por el circuito 2 será N 2 veces el concatenado por una espira. En consecuencia, en forma más general M 21 N1 N 2
0
2 R1
2
R2
Para calcular la autoinductancia, deberíamos considerar (como hicimos con el solenoide) que el campo es uniforme en la espira 1. En ese caso L1
d 11 dI1
N12
0
2
2 R1
R1
N 12
0
2
R1
Entonces, si originalmente circulaba una corriente por la espira 1 (variable en el tiempo) habrá fems autoinducidas en ambos circuitos dI1
1
L1
2
M 21
M 12
dt dI1 dt
L2
dI 2 dt dI 2 dt
Cómo calcular M 12 12. Sería complicado si no usamos el hecho de que es igual a M 21 21: deberíamos calcular el campo generado por la espira 2 cuando circula una corriente I2, es
decir B2 , calcular el flujo a través de S1 (lo cual resulta complicado)... Pero hay otro ejemplo donde podemos calcular (dentro de ciertas aproximaciones) las autoinductancias y las inductancias mutuas. Consideraremos: 1) toroide angosto 2) No hay campo fuera de los bobinados 3) Materiales lineales Comencemos R 2
Dentro de nuestro modelo, R 1
N1
~
ese
ejemplo:
I1(t)
+
con
la corriente I1(t) genera un campo N2
-
magnético
B1 0
N1 I 1
e 0 n1 I1 t e
2 R donde R es el radio medio, etc...
Si el segundo bobinado está cerrado y circulara una corriente por él I 2(t) produciría un
campo B2 0
N 2 I 2
2 R
e 0 n2 I 2 t e
Podemos calcular todos los flujos:
4
Segundo cuatrimestre 2010 Cursos 10 y 11
11 B1 dS N I t 2 1 1
S 1
0
a
2 R
0 N
2
12 B2 dS N1 N 2 I 2 t S 1
0
a
2
2 R
2 1
a2
L1 M 11 0 N
I 1 t
2R
2 1
a2
0 N1N 2
M 12 0 N1 N 2
I 2 t
2R
a2
2 R a2
2 R
En el segundo bobinado habrá también un cambio de flujo y
22 B2 dS N I t 2 2 2
S 2
0
0 N
2 R
a
2
21 B1 dS N1 N 2 I1 t S 2
0
a
2 R
2
2 2
a2
L2 M 22 0 N
I 2 t
2R
a
0 N1N 2
2 2
2
2R
M 21 0 N1 N 2
I 1 t
a2
2 R a
2
2 R
Vemos que en este caso se cumple M 12 M 21
L1 L2
Observemos que todo el flujo de uno es concatenado por sí mismo y por el vecino. En la experiencia eso no ocurre y M 12 M 21 k L1L2 , donde k se llama factor de acoplamiento. acoplamiento. Dependerá, fundamentalmente, de la geometría del sistema. Si no hay pérdidas de flujo, tendremos
dI 1
L1
2
L2
1
L1L2
dt
2
dI1
1
dt dI 2 dt
M 12
dI 2
M 21
dt dI1 dt
L1
dI1
L2
L1L2
dt dI 2 dt
dI 2
dt dI1
L1L2
dt
L1L2
dI 2
dI 2 dt
L1
L2
dI 2 dt
L1L2
dI1 dt
L2
dI dI 2 dt
1
L1L2
L1
dt L2 N 2 1 1 L1 N1
resultado más que interesante. I1(t)
+
~
-
+
Pero avancemos avancemos un poco
R 2 -
I2(t)
+ R 1
V(t) N1 -
más...
valen
las
corrientes? El circuito 1 tendrá una
N2 -
¿Cuánto
+
resistencia R1 y el 2, R2. En el circuito 1 tendremos: la fuente V(t), la fem inducida y la
5
Segundo cuatrimestre 2010 Cursos 10 y 11
caída de tensión en la resistencia. resistencia. En el 2 no tendremos fuente. En consecuencia, si bien podemos pensarlo de varias formas, tendremos V t I1 t R1 1 V t I1 t R1 L1
I 2 t R2 2 I 2 t R2 L2
dI 2 dt
dI1
M 21
dI 2
M 12
dt dI1
0
dt
0
dt
Tenemos 2 ecuaciones con 2 incógnitas : I1 e I2 pero ambas funciones del tiempo No confundamos el sentido del campo con su crecimiento o decrecimiento. En la
figura B1 tiene sentido horario. Si I1(t) es creciente, en la bobina 2 debe crearse un campo tal
que haga compensar el efecto creciente de B1 . Es decir, tiene que hacer decrecer el campo. entonces el campo 2 debe crecer en el tiempo pero con sentido antihorario. Si, en cambio, I 1(t) va disminuyendo en el tiempo, el campo 1 va disminuyendo y se creará un campo en 2 que impida que decrezca. Entonces el campo 2 debe ir aumentando y debe ser en sentido horario. Algo parecido pasa con el “campo’que debe aparecer en el circuito 1 para que el flujo no aumente (o trate de...)
I1(t)
B1 t
B11 t
B21 t
B1 t
I1(t)
+
+ - -
+
-
Pero el sentido de la corriente que debería aparecer en el circuito 2 (y, por lo tanto de la ) dependerá de cómo esté bobinado. Eso es lo que mostramos en la figura siguiente. 6
Segundo cuatrimestre 2010 Cursos 10 y 11
B21 t
I1(t)
B1 t
B1 t
B11 t
Si el circuito 2 está abierto, no circulará corriente por el circuito y el campo B21 no existe. Si se cierra el circuito, comenzará a circular una corriente I 2 se creará el campo que afectará al circuito 1, ya que al cambiar el flujo de 2 habrá una fem inducida tanto en 1 como en 2.... Todo esto es lo que indican las ecuaciones V t I1 t R1 1 V t I1 t R1 L1
I 2 t R2 2 I 2 t R2 L2
dI 2 dt
dI1
M 21
dI 2
M 12
dt dI1
dt
0
0
dt
7
