Inductancia de un Solenoide

Inductancia de un Solenoide Universidad del Valle, Departamento de F´ısica Gustavo Gus tavo A. Mar´ ın ∗

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B. Andres Andres Moreno Moreno

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([email protected] (gustavo.adolfo.marin@corre ounivalle.edu.co) o) 1332110-3146  (andresbesch ([email protected] [email protected]) m) 1325075-3146  ∗∗

Abstract:  Con

el objetivo de determinar la dependencia de la inductancia de un solenoide se realizaron varios experimentos en un primer caso se vario el radio de los solenoides para diferentes condiciones iniciales del sistema como capacitancia, para un segundo experimento se vario la longitud del solenoide y el numero de espiras del mismo. Para el primer caso el error medio fue de un 33% mientras para el segunda parte fue de 38%. ´ 1. INTRODUC INTRODUCCI CION

Con Con el objeti objetivo vo de me medi dirr la indu induct ctan anci ciaa se midi midi´ o´ la depende dependenci nciaa que tiene tiene esta esta cuando cuando se varia aria la longit longitud ud del radio r , el numero de vueltas (N) y la longitud de un conjunto de solenoides.

se dese deseee y se intr introdu oduce ce el sole soleno noid idee Li   en la bobi bobina na exitadora L exitadora  L  como se muestra en la Fig(2), para diferentes capacitancias C   C   se mide el per´ per´ıodo T 0   en la pantal pantalla la del osciloscopio. Este proceso se repite con 5 solenoides de diferentes dimensiones, los datos se consignan en las tablas(1) y (2).

Si el capaci capacitor tor es inicia inicialme lment ntee cargad cargadoo y el circui circuito to se cierra, se tiene que la corriente en el circuito y la carga en el capacitor oscila entre m´aximos aximos positivos y negativos.Por lo tanto t anto la l a energ en erg´´ıa es e s transferi t ransferida da del d el campo c ampo el´ectrico ectrico del capacitor para el campo camp o magn´ etico etico del inductor y vice versa, es decir cuando el capacitor es totalmente descargado no almacena energ´ energ´ıa claro esta , en este momento la corriente alcanza su m´aximo aximo valor y toda la energ´ energ´ıa es almacenada en el inductor. La oscilaci´on on de LC circuito es la versi´on on electro elec tromagn´ magn´etica eti ca de la versi´on on cl´asica asica de la masa y el resorte. La inductancia del solenoide se puede calcular por: µπN 2 r2 L = l

(1)

nos nos da la depe depend nden enci ciaa de la auto autoin indu duct ctan anci ciaa de un sole soleno noid idee con con su long longit itud ud,, radi radioo y n´ umero umero de espira espiras, s, v´ alida alida si l si  l >> r. r.

√    se puede Teniendo presente que la frecuencia   =    = 1/ LC  se

Fig. 1. Montaje experimental

calcular L por: T 2 L  = 4π 2 C 

(2)

donde C es e s la capacitanci capa citancia a y T el per p er´´ıodo calculado calculad o a partir part ir nd  divs T  = (3)  picos

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de donde donde nd   es el n´umero umero de cuadro cuadross del oscilo oscilosco scopio pio alcanzado por los picos,  divs   divs   segundos que hab´ hab´ıa en una de las divisiones del osciloscopio y picos y  picos es  es el n´ umeros umeros de picos registrados en el osciloscopio . 2. MONTAJE MONTAJE EXPERIMENTAL EXPERIMENTAL El montaje experimental se hace siguiendo el diagrama de la Fig(1) Fig(1),, se ajusta ajusta la capaci capacitan tancia cia C   C   al valo alorr que

Fig. 2. Solenoide y bobina exploradora ´ 3. ANALISIS DE DATOS 3.1 Dependen Dependencia cia de la Inductancia Inductancia con el Radio Radio Con los datos recogidos experimentalmente para la capacitacia C   C   y el per pe r´ıodo ıo do T 0 , presentados en la Tabla(1), se calucul´ o la inductancia L inductancia  L seg´  seg´ un un la ecuaci´on(2), on(2), vemos que la inductancia no depende de las condiciones iniciales del

sistema, comparamos nuestros resultados de la inductancia L   con los valores nominales a partir ecuacion (1) calculando los errores relativos que se muestran en la tabla(3). Haciendo un ajuste de lineal de T 02   contra C , con la pendiente m   hallada para cada r   y teniendo en cuenta que m L pro  = (4) 4π 2 calculamos un promedio experimental de L, los ajuste lineales y sus pendientes se presentan en las fig(3),fig(4) y fig(5), los promedios experimentales de L  se presentan en la tabla(1). Con los promedios experimentales de L   obtenidos para cada r, se hizo un ajuste lineal de L   contra r2 . Comparamos el valor de la pendiente obtenido por medio del ajuste lineal (Figura 6 ) con una estimaci´on teorica de la pendiente, usando la ecuaci´on(1),y se hall´ o un error relativo del 33%.

Fig. 5. Ajuste lineal para r  = 13mm, N  = 300 y l  = 16cm

Fig. 6. Dependencia de la inductancia L con r  para N  = 300 y l  = 16cm Se hizo un ajuste lineal con los promedios experimentales L obtenidos contra N l  , la pendiente se muestra en la fig(9), comparamos nuestra pendiente con una estimaci´on teoric´a, hecha apartir de la ecuaci´o(1), caluclando el error relativo, para el cual obtenemos un error del 38%. 2

Fig. 3. Ajuste lineal para r = 20.5mm, N   = 300 y l = 16cm

Fig. 4. Ajuste lineal para r = 16.5mm, N   = 300 y l = 16cm 3.2 Inductacia con radio constante  Con los datos recogidos experimentalmente de C  y T 0 , y teniendo en cuenta la ecuaci´on(2), se calcul´o la inductancia para cada configuraci´on de la tabla(2). Se hizo un ajuste lineal de T 02   contra C , las pendientes halladas se muestran en las fig(3), fig(7) y fig(8). Con las pendientes m1 , m5 , m6  se calcul´o un valor experimental promedio de L  seg´ un la ecuaci´on(4).

{

}

Fig. 7. Ajuste lineal para r = 20.5mm, N   = 200 y l = 10.9cm

6. TABLAS Table 1. Primera parte del experimento Variando Radio Valores Fijos { l, N }  =  { 16cm, 300} C (nF ) T (s) T 22 (s2 ) L(µH ) − 6 − 11 2.5 8.2 ∗ 10 6.72 ∗  10 681 10.1 1.6 ∗ 10−5 2.56 ∗  10−10 642 90.1 4.7 ∗ 10−5 2.28 ∗  10−9 641 L1 Promedio Experimental 641 r1  = 16.5 2.5 6.4 ∗ 10−6 4.09 ∗  10−11 415 10.1 1.3 ∗ 10−5 1.69 ∗  10−10 423 5 9 − − . . 90.1 3 9 ∗ 10 1 52 ∗  10 427 L2 Promedio Experimental 428 r1 = 13 2.5 5.2 ∗ 10−6 2.72 ∗  10−11 276 10.1 1.0 ∗ 10−6 1.00 ∗  10−11 262 5 − 90.1 3.1 ∗ 10 9.61 ∗  10−10 262 L3 Promedio Experimental 270 − 2 − 1 m4  = (1.47 ± 0.02)N A m f 0  = 1000Hz r (mm) r1  = 20.5

Fig. 8. Ajuste lineal para r = 20.5mm N    = 100 y l = 5.3cm

Table 2. Segunda parte del experimento Variando  l  y N  Radio fijo r  = 20.5mm C (nF ) T (s) T 22 (s2 ) L(µH ) − 6 2.5 8.2 ∗  10 6.72 ∗ 10−11 681 10.1 1.6 ∗  10−5 2.56 ∗ 10−10 642 N 1 = 300 90.1 4.7 ∗  10−5 2.28 ∗ 10−9 641 L1 Promedio Experimental 641 l2  = 10.9 5.1 10 ∗  10−6 1.00 ∗ 10−10 496 10.1 14 ∗  10−6 1.96 ∗ 10−10 491 − 6 N 2 = 200 80.1 40 ∗  10 1.60 ∗ 10−9 505 L4 Promedio Experimental 507 6 11 − − l3  = 5.3 5.1 7.0 ∗  10 4.90 ∗ 10 243 10.1 9.0 ∗  10−6 8.10 ∗ 10−11 203 N 3 = 200 80.1 27 ∗  10−6 7.29 ∗ 10−10 230 L5 Promedio Experimental 230 m7  = (1.0 ± 0.2)10−9 N m2 A−2 f 0  = 1000Hz

l(cm) ∧ N l1 = 16

Fig. 9. Dependencia de la inductancia al variar numero de espiras N  y l 4. CONCLUSION Se comprob´o experimentalmente que un circuito LC oscila como un oscilador arm´onico claro nuestro experimento es una aproximaci´ o n al modelo ideal el cual considera que no hay intercambio de energ´ıa con los alrededores y probablemente esa sea el error encontrado para los dos sistemas a la hora de comprobar las pendientes de L vs r 2 para un primer caso y L vs N 2 /l para un segundo caso. 5. BIBLIOGRAF´IA –Physics Serway, pag. 907. Septima edicion. –Electricidad y Magnetismo, pag.265.

Table 3. Inductancias calculadas Li (µH ) L1 L2 L3 L4 L5

nom. 800 530 300 500 200

exp. 640.8 428.0 270 507 230

∆   Er.Rel.(%) 0.7 19.8 0.1 19.2 1 9.9 1 1.4 2 15.2