PROBLEMAS RESUELTOS 1. (Ser (Serwa way y 8.)U 8.)Un n toro toroiide tien tiene e un radi radio o mayo mayor r R
y un radio radio menor menor r , y est
estre!"amente enro##ado !on $ %ue#tas de a#am&re, !omo se muestra en #a 'iura. Si
R ≫ r
, e# !amo man*ti!o en #a rei+n en!errada or e# a#am&re de# toroide, de rea
de se!!i+n trans%ersa#
A π r
2
, es esen!ia#mente e# mismo ue e# !amo man*ti!o de
un so#enoide ue "a sido do&#ado en un ran !-r!u#o de radio R. Mode#e !on un !amo uni'orme de un so#enoide #aro y demuestre ue #a autoindu!tan!ia de di!"o toroide es aroimadamente iua# a 2
μ 0 N A L ≅ 2 πR (Una eresi+n ea!ta de #a indu!tan!ia de un toroide de se!!i+n trans%ersa# re!tanu#ar se dedu!e en en ro&#ema /0)
SOLU2O$3 4atos3
R ≫ r A π r
2
En un toroide
B.dl
Ley de Ampere
B ∥ dl
μ0 I 2 πR
2 πRμ 0
B ∥ dl μ0 B ∥ 2 πRμ πR μ 0
μ0
2 πR
B
toroidal
En un solenoide
NΦ L I
Inductancia
N BdA L I N BA L I μ0
2 πR
N A L I 2
μ 0 N A
L ≅
2 πR
Cuando R ≫ r
5. (Serway 51.)Un indu!tor de 167 m y un resistor de 6.97 estn !one!tados !on un interrutor a una &ater-a de :.77 ;, !omo se muestra en #a 'iura. a) Si e# interrutor se !o#o!a en a (!one!tando #a &ater-a),
L140 mH R4,90 Ω ε 6 V
a)
I 220 mA
t? 1e
Rt L ε I R
En un RL
1e 4,9 140
3
x 10 t
220 x 10
6
3
4,9 4,9
3
1
220 x 10 x 4,9 6
e
3
x 10 t
140
3
220 x 10 x 4,9 4,9 3 1 x 10 xtxe 6 140 3
4,9 220 x 10 x 4,9 3 x 10 xt ln 1 140 6 3
t 5,66 x 10 s
Tiemo ue trans!urre
I?
&)
t 10 s 1e
Rt L ε I R
En un RL
1e 4,9 140
3
x 10 x 10 I
6 4,9
I 1,22 A !) En este !aso se asa ridamente e# interrutor de a a &. <unto tiemo trans!urre antes de ue #a !orriente disminuya "asta 1:7 mA=
I f 160 mA I 01,22 A ε L 'em indu!ida t? ε L IR 0
ε L IR
L
I f I 0
dI IR dt dI R t dt I L t 0
R L
ln I f I 0 t t 0
3
160 x 1 0 4,9 3 ln x 10 t 0 1,22 140
t 58 x 10
3
t 58 ms >. (Serway >>.)4os so#enoides A y B, !o#o!ados uno !er!a de# otro y !omartiendo e# mismo e?e !i#-ndri!o, tienen 677 y 077 %ue#tas, rese!ti%amente. En #a &o&ina A una !orriente de >./7 A rodu!e un '#u?o romedio de 300 μWb or !ada %ue#ta de A y un '#u?o de 97.7
μ @& or !ada %ue#ta de B. a) a#!u#e #a indu!tan!ia mutua de #os
dos so#enoides. &) <u# es #a indu!tan!ia de A= !) <u# es #a 'em indu!ida en B !uando #a !orriente en A aumenta !on una raide de 7./77 As= SOLU2O$3 4atos3
N A 400 N B700 I A 3,5 A Φ B300 μWb atra%e de A Φ B90 μWb Atra%e de B a)
N B Φ B M AB I A 700 x 90 x 10 M AB 3,5
6
3
M AB18 x 10 H M AB18 mH N A Φ B L A M A I A
&) En so#enoide A.
400 x 300 x 10 M A 3,5
6
3
M A34,3 x 10 A M A34,3 m A !)
d I A
Si
dt
ε B M AB
0.5 A s
d I A dt 3
ε B18 x 10 0,5 3
ε B9 x 10 V ε B9 mV 6. (Serway 6/.) onsidere un !ir!uito L en e# ue <u# es #a 're!uen!ia de resonan!ia resisten!ia
de
1.00 Ω
L500 mH y
ω0 = &) Si en e# !ir!uito se introdu!e una ser
#a
're!uen!ia
(amortiuadas)= SOLU2O$3 4atos3
L500 mH
C 0.100 μF a)
ω0?
C 0.100 μF . a)
de
#as
os!i#a!iones
1
ω LC ω
1 3
6
500 x 10 x 0,1 x 10 3
ω 4,47 x 10 r!ds ω 4,47 r!ds &) R1.00 Ω
ω d C=
12
12
12
3
ω d4,36 x 10 r!ds ω d4,36 r!ds /. E# toroide de #a 'iura est !onstituido or $ %ue#tas y tiene una se!!i+n trans%ersa# re!tanu#ar. Sus radios interno y eterno son a y &, rese!ti%amente. a) 4emuestre ue #a indu!tan!ia de# toroide es 2
μ 0 N " b L ln 2 π ! &) on este resu#tado, !a#!u#e #a indu!tan!ia de un toroide de /77 %ue#tas ara e# !ua# !10.0 #m , b12.0 #m y "1.00 #m . !)
R ≫ r . Para
tener una idea de #a re!isi+n de ese resu#tado, uti#i!e #a eresi+n de# ro&#ema 8 ara !a#!u#ar #a indu!tan!ia aroimada de# toroide des!rito en e# in!iso &). omare este resu#tado !on e# de# in!iso &). SOLU2O$3 4atos3
L500 mH
C 0.100 μF
B.dl
Ley de Amere
B ∥ dlμ0 B ∥ 2 πRμ 0 μ0
2 πR
B
Φ BBdA μ0
2 πR
"dR
Φ Bb !
En un so#enoide toroida#
#u?o maneti!o
μ0
μ0
1
" b dR 2 π ! R ΦB b " . 2 π ! ΦB
N ΦB L I
Por indu!tan!ia
μ0
2
μ 0 N " b L ln 2 π ! &)
N 500 %ue#tas
!10 #m b12 #m "1 #m 2
μ 0 N " b L ln 2 π !
b " . 2 π ! N L I
2
7
2
4 πx 10 500 1 x 1 0 12 L ln 2 π 10 6
L91,2 x 10 H L91,2 μ H # N 500 %ue#tas
!10 #m b12 #m "1 #m
2
μ 0 N A L 2 πR AREA3
Ab! " 2
2
A 1 x 1 0 2 x 1 0 4
A 2 x 1 0 m RA42O
2
R!
b! 2
R10
1210 2 2
R11 x 1 0
m
En3 2
μ 0 N A L 2 πR 2
7
L
4 πx 10 500 2 x 1 0 2 πx 11 x 1 0
4
2
6
L90,9 x 10 H L90,9 μH d) Se %e3
L91,2 μ H (de #a arte a) L90,9 μH (de #a arte &) En B #ieramente menos a A
