1. Objetivos: Verificar el comportamiento del voltaje sobre el resistor en un circuito RL serie exitado por un voltaje constante. Comprobar la relacion de la constante de tiempo con la inductancia y con la resistencia. 2. Fundamento Teorico:
Sea el circuito de la figura 1, que ha permanecido como se muestra por mucho tiempo. Si en t=0 el conmutador S se pasa de la posición 1 a la 2, a partir de ese instante se tendrá:
V
v R
vL
V L
2 S
(1)
L
1
donde:
vL
V
L
di dt
v R R
d
L
dt
L dv R R dt
V R i
R
(2) Figura 1.
luego: V
v R
L dv R
R dt
(3)
o bien: dv R
1
L/ R
dt
v R
V
ecuación diferencial cuya solución es: v R
donde
v Rs
(4)
(5)
L/R
V 1 e
t
/
,conocida como constante de tiempo, está dad por: L
R
(6)
Según la ecuación (5), el voltaje sobre la resistencia sube asintótica mente desde cero hasta V, llegando a este último valor en un tiempo teóricamente igual a infinito; aunque esto ocurre prácticamente para t>5 . Si después de esto el conmutador regresa ala posición 1, a partir de entonces (t=0’) se tendrá:
0
v R
0
v R
vL
(7)
L dv R R dt
(8)
0
(9)
o bien: dv R
1
dt
L/ R
v R
ecuación diferencial cuya solución es: t
v R
v Rb
Ve
(10)
según está ecuación, que es similar a la de descarga de un capacitor, el voltaje sobre la resistencia baja exponencialmente desde un valor inicial V hasta cero, llegando a este último valor en un tiempo teóricamente igual a infinito; aunque esto ocurre prácticamente para t>5t. Puede demostrarse que:
t s 90% ln 10
t b10% ln 10
(11)
Donde tS90% (tiempo de subida al 90%) es el tiempo en que V R llega de 0% al 90% del valor final durante la subida; y t b10% (tiempo de bajada al 10%) es el tiempo en que VR llega del 100% al 10% del valor inicial durante la bajada. Para el análisis práctico de un circuito como el de la figura 3, la fuente de tensión continua V y el conmutador S pueden reemplazarse por un generador de funciones que entregue una honda cuadrada oscilando entre 0 y V; de esa manera, el voltaje sobre la resistencia R se hace periódico y puede ser estudiado con un osciloscopio. Sin embargo, la resistencia de salida del generador de funciones, R o, puede ser considerable. Por otra parte, los inductores, que se construyen generalmente de alambre arrollado, presentan una resistencia óhmica. R L, no siempre despreciable. En la Figura 2, se tiene un circuito que emplea un generador de funciones, con una resistencia de salida, R o, mostrada explícitamente. Del mismo modo se muestra la resistencia óhmica del inductor, R L. Si las resistencias presentes se reúnen en una resistencia total, R T = R O+ R L + R, el circuito es similar al de la Figura3; por tanto, el análisis realizado para aquel caso es válido para éste siempre que se sustituya R por R T.
Ro
RL
L R
+ Vg
Figura 2.
En consecuencia, las ecuaciones (5) y (10) dan el voltaje sobre R T, pero: L
L
R T
R O
R L
R
(12)
Conocido el voltaje R T, el voltaje sobre R será: v R
iR
v R
T
R T
R v R
T
R
(13)
1 e R
(14)
R O
R L
R
Luego, para la subida y para la bajada se tendrá: v R
v R
v
RS
v Rb
V
R R O
t
R
L
R
V R O
R L
t
e
R
(15)
Estando , en ambos casos, dada por la ecuación (12)
3. Procedimiento Experimental: 1. Obtener del generador de funciones una onda cuadrada que oscile entre 0 y +6 [V] a una frecuencia de 500 [Hz].
Montar el circuito de la Figura 4, en el osciloscopio usar como señal de disparo la señal del canal 1 con pendiente positiva y ajustar el nivel de disparo al mínimo posible.
VR en función del tiempo.
2. Llenar la tabla 1 de la hoja de datos, midiendo con el osciloscopio el voltaje sobre la resistencia R para diferentes instantes de tiempo en el tramo de subida, tomando como tiempo cero el instante en que comienza este tramo, que coincide con el principio del trazo del canal 2. Anotar el valor máximo de VR . 3. Repetir el punto anterior para el tramo de bajada y llenar la tabla 2. Para este punto se debe cambiar la pendiente de disparo a negativa y ajustar el nivel de disparo al máximo posible.
Relación entre
y L.
4. Medir el tiempo de subida al 90%, ts90%, y anotarlo en la tabla 3. Llenar esta tabla manteniendo R constante y cambiando el inductor por otros de menor valor, hasta un valor nominal de 27[mH]. En la medición del ts90%, puede ser necesario usar el control VARIABLE (además de VOLTS/DIV) para hacer que el despliegue de la señal correspondiente abarque seis divisiones en la pantalla del osciloscopio.
Relación entre
y Rt.
5. Reponer el inductor original. Anotar en la tabla 4 el valor de ts90% (ya medido) para este caso. Llenar esta tabla manteniendo L constante y cambiando la resistencia por otras de mayor valor hasta un valor nominal de 2.2 [KΩ] 4. Análisis y Tratamiento de datos: 1.- En base a las tablas 1 y 2 de la hoja de datos, dibujar el voltaje sobre la resistencia, durante la subida y la bajada, en función del tiempo. Vc [volts]
t [μs]
Vd [volts]
t [μs]
2. Mediante un análisis de regresión de la Tabla 2, determinar la relación experimental vrb = f(t). Comparar las constantes de la regresión con los valores esperados (tomar en cuenta Ro y RL).
Según el gráfico visto decimos que la función de descarga es exponencial y a ebx ln y ln a bx introduciendo a la calculadora el par de datos ( x, ln y ) obtenemos…… Y = 1,726 – 0,011 x
Luego
V d
5,6 e
0, 01 t
comparando con Vd V
a = 5,6 [volts] a = 5,1 [volts]
y y
r = - 0,9962 (coeficiente de correlación) R
R Ro
R L
e
1
t
obtenemos……..
= 100 [μs]..……………………………………valores experimentales. = L / ( R + Ro + RL) = 123,2 [μs]…………...valores teóricos.
Aplicamos el concepto de diferencia porcentual (Dif. %) que nos indica en cuanto por ciento el valor experimental difiere el valor teórico. X X TEO 100 Dif % EXP X TEO
Finalmente……… Exp. 5,6 100
a [volts] [ μ s]
Teo. 5,1 123,2
Dif. % 9,8 % 18,8 %
3. Combinando las tablas 1 y 2, elaborar una tabla Vc, Vd y mediante un análisis de regresión, determinar la relación experimental Vc = f (Vd). Comparar las constantes de la regresión con los valores esperados. Vc [volts]
Entonces la tabla será: Vd [volts] 6,0 4,6 2,3 1,0 0,2 0,1
Vc [volts] 0,0 1,6 3,4 4,8 6,4 5,8
Vd [volts]
Según el gráfico la relación es lineal Vc = 5,788 – 0,95 Vd
r = - 0,9979
Ecuación experimental Vc = V
a [volts] b
y = a + bx , introduciendo el par de datos (Vd,Vc)
R Ro
R L R
Exp. 5,788 0,95
Ecuación Experimental - Vd
luego…… V = 5,109 - Vd Teo. 5,109 1,0
Dif. % 13,3 % 5%
4. En base a la tabla 3, elaborar una tabla L, exp .Mediante un análisis de regresión, determinar y dibujar la relación exp = f (L). Comparar las constantes de la regresión con los valores esperados (tomar como RL el promedio de las resistencias de todos los inductores).
Entonces la tabla será la siguiente [s] L [Hy] 0,068 0,056 0,047 0,039 0,033 0,027
[ s] 0,00012 0,00010 0,00009 0,00007 0,00006 0,00005
L [Hy]
Sabemos que =
1 Ro
R L R
L
y entonces realizamos una relación lineal del tipo y = B x
entonces…..
= 0,00181 L
= [1 / (RL + R + Ro)] L = 0,00184 L
B
r = 0,9958
Exp. 0,00181
Ecuación Experimental Ecuación Teórica Teo. 0,00184
Dif. % 1,6 %
5. En base a la tabla 4, elaborar una tabla 1/Rt, exp. Mediante un análisis de regresión, determinar y dibujar la relación exp = f(1/Rt). Comparar las constantes de la regresión con los valores esperados. 1 / Rt 1/Rt 0,0018 0,0013 0,0010 0,0008 0,0005 0,0004
[ s] 0,00012 0,00008 0,00006 0,00004 0,00003 0,00002
[s]
Sabemos que = L
= 0,062
= 0,068
1 RT
1 RT
y entonces realizamos una relación lineal del tipo y = B x entonces…..
r = 0,9942
Ecuación Experimental
1
Ecuación Teórica
RT
L [H y]
Exp. 0,062
Teo. 0,068
Dif. % 8,8 %
5. Concluciones:
La experiencia realizada nos demuestra los sucesos que ocurren en un circuito RL predicho en el fundamento teórico, exactamente el voltaje sobre la resistencia aumenta en forma asintótica y disminuye en forma exponencial, con diferencias porcentuales relativamente bajas que apoyan nuestras mediciones, además las gráficas mostradas en la parte de cálculos es elocuente. Es importante mencionar la relación del voltaje de carga con el voltaje de descarga, que indica el relacionamiento de la carga y descarga en el resistor. La relación de la constante de tiempo con la resistencia total del circuito y el coeficiente de inducción es también comprobada y apoyada con nuestra diferencia porcentual por debajo del 10%, y muy evidente las gráficas que muestran una relación lineal.
6. Bibliografía:
Física experimental Física III
7ma edición Tomo 1
Ing. Manuel R. Soria R Ing. Salinas P. Mario
7. Cuestionario: 1 ¿Cómo podría determinarse la relación experimental Vc = f(t)? R.- La relación experimental será:
Vc V 1
R Ro R L R
t
(1 e )
t
Vc Ro R L R
V
R
e
τ
Aplicando _ Ln :
ln 1
Vc Ro R L R V R
t τ
SI :
ln 1
1
Vc Ro R L R V R
Vc'
B
τ
Se _ tiene : Vc' Bt 2. ¿Cómo cambiaría el tiempo de subida al 90% si se disminuyera la frecuencia de la onda cuadrada? ¿Cómo lo haría si se aumentara el valor de V? Explicar. R.- En ninguno de los anteriores casos cambiaría al tiempo de subida al 90%, ya que como se aprecia en la ecuación 15 de la guía del laboratorio este tiempo depende solamente del valor de la constante del tiempo, la cual depende del valor de la autoinductancia, y de la resistencia. 3. ¿Cuál será el voltaje sobre el inductor si la corriente que circula por él fuera constante y su resistencia fuera despreciable? Explicar. R. El inductor actuaría como un corto circuito por que por él no existe voltaje ya que pasa una corriente continua y como su resistencia es despreciable nuestra afirmación es elocuente.
4. En determinado instante, la corriente que atraviesa un inductor es cero, ¿puede existir voltaje sobre el inductor en ese instante. Explicar R. Si hubo corriente alterna antes y luego se desconecta la alimentación el flujo no desaparecerá inmediatamente sino que disminuirá y por lo tanto habrá un voltaje un voltaje que irá disminuyendo en ese instante 5.- Para un circuito RL, serie general, excitado por una onda cuadrada oscilando entre 0 y V, dibujar en forma correlativa, indicando valores literales notables, las formas de onda de: - El voltaje de entrada (onda cuadrada). - El voltaje sobre la resistencia total. - El voltaje sobre el inductor (despreciando su resistencia óhmica). - La corriente. El voltaje de entrada VE V
descarga
descarga
carga
carga
t
-V
El voltaje sobre la resistencia total VR
carga
descarga
carga
descarga
t
El voltaje sobre el inductor VL
V
descarga
descarga carga
carga
t
-V
La corriente I
V V R
carga
descarga
carga
descarga
t
-V
