O sistema de coordenadas cartesiano Trata-se de um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com dimensões. Cartesiano é é um adjetivo que se refere ao matemático
francês e filósofo Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria euclidiana, que permitiu o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o cálculo e a cartografia.
O sistema de coordenadas cartesiano Trata-se de um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com dimensões. Cartesiano é é um adjetivo que se refere ao matemático
francês e filósofo Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria euclidiana, que permitiu o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o cálculo e a cartografia.
Determine as direções A, B, C e D.
B (6,5) A A (-5,3) D (0,0)
C C (4,5; -3,5)
Determine as posições:
A s p o s ições s ão representadas po r núm eros inteiros o u n ão , sep arad o s p o r v írg u las .
x, y, z 0, 0, 1 1, 0, 1
0, 1, 1
6
1, 1, 1
½, ½, ½
0, 0, 0
0, 1, 0 1, 0, 0
1,1,0
½, ½, 1 0, 1, 1 1, 1, 1
II IV
I
½, 0, ½
III
½, 1, ½
0, 0, 0 V
½, ½,0
0, 1, 0
½, ½,½, ½,½½
Exercício Para a célula unitária mostrada na figura (a), localize os pontos que possuem coordenadas ¼ 1 ½. q a = ¼(0,48 nm) = 0,12 nm Eixo X – ponto N rb = 1(0,46 nm) = 0,46 nm Paralelamente ao eixo Y –
P (¼ 1 ½) ponto O 0,20 nm
N 0,46 nm
O
s c = ½(0,40 nm) = 0,20 nm Paralelamente ao eixo Z –
ponto P.
Direções Cristalográficas Uma direção cristalográfica é definida como uma linha entre dois pontos, ou um vetor , com seu ponto inicial na origem de um sistema cartesiano de referência e seu ponto final em uma posição qualquer, dependendo da direção considerada.
Direções nos Cristais a, b e c definem os eixos de um sistema de coordenadas em 3D. Qualquer linha (ou direção) do sistema de coordenadas pode ser especificada através de dois pontos: um deles sempre é tomado como sendo a origem do sistema de coordenadas, geralmente (0,0,0) por convenção;
Direções Cristalográficas A posição de um ponto do espaço é descrita fornecendo-se sua localização relativa a três eixos coordenados perpendiculares entre si, que se interceptam na origem O.
Direções Cristalográficas Dizemos que um ponto P do espaço tem coordenadas retangulares (ou cartesianas) x, y, z.
Direções Cristalográficas Se P= (x,y,z) é um ponto qualquer do espaço, o vetor posição:
R OP pode ser forma:
escrito
na
R xi yj zk e os números x, y e z chamam-se respectivamente, componentes i, j e k.
Direções Cristalográficas Se P1 = (x1,y1,z1) e P2 = (x2,y2,z2) são dois pontos quaisquer do espaço, a distância entre eles é o comprimento do vetor P1P2 de P1 a P2.
P1P2
P1P2 P1P2
R2
R1
x 2i y 2 j z2k x1i y1 j z1k
x 2 x1 i y 2 y1 j z2 z1 k
Direções Cristalográficas
Direções Cristalográficas Para descrever a estrutura cristalina é necessário escolher uma notação para posições, direções e planos. Posições são definidas dentro de um cubo com lado unitário.
Direções nos Cristais São
representadas entre colchetes;
Determine os pontos da Origem; Determine os pontos da Extremidade; Subtraia a Extremidade da Origem; Reduza a números inteiros; Escreva entre colchetes;
Direções nos Cristais São
representadas entre colchetes;
Se
a subtração der negativa, coloca-se uma barra sobre o número.
Direções nos Cristais São
representadas entre colchetes;
Quando
origem.
passa pela
Direções nos Cristais São
representadas entre colchetes;
Os números devem ser divididos ou multiplicados por um fator comum para dar números inteiros.
Direções para o Sistema Cúbico A simetria da estrutura cúbica permite que as direções equivalentes sejam agrupadas para formar uma família de direções:
<110> <100> para as faces; <110> para as diagonais das faces; <111> para a diagonal do cubo.
<111>
<100> 26
Direções para o Sistema CCC No sistema CCC os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo, que corresponde a família de direções <111>. Então, a direção <111> é a de maior empacotamento atômico para o sistema CCC.
Direções para o Sistema CFC No sistema CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face, que corresponde a família de direções <110> Então, a direção <110> é a de maior empacotamento atômico para o sistema CFC.
Coordenadas Cristalinas A adoção de um sistema de eixos permite a localização de átomos na rede bem como a identificação de direções e planos cristalinos.
Coordenadas de um átomo em uma Rede Cúbica Simples As coordenadas do átomo vermelho são (a,a,0); Podem ser escritas em termos dos parâmetros de rede como (1,1,0);
Direções Cristalinas Devido à regularidade da estrutura cristalina formamse colunas de átomos. Estas colunas atômicas podem ser identificadas por sua direção.
Coluna de átomos na direção [010].
A distância entre os átomos destas colunas depende do tipo de rede e da direção da coluna. Certos processos físicos envolvem a interação entre os átomos dispostos segundo certas direções. Por exemplo, um feixe de luz sendo transmitido através de uma estrutura cristalina. O feixe percorre a estrutura em uma dada direção e interage com os átomos. Uma tração agindo em certa direção em uma estrutura cristalina tende a afastar os átomos naquela direção.
Direções Cristalinas As diferentes distâncias interatômicas das diferentes direções resultam em diferentes respostas do material ao estímulo externo. Certas propriedades dependem das direções cristalinas em que são medidas, como o índice de refração e o módulo de elasticidade. A dependência que as propriedades exibem com a direção cristalina em que são medidas dá-se o nome de anisotropia. Uma direção cristalina é identificada por três índices entre colchetes [u,v,w]. Estes índices representam um vetor.
Direções Cristalinas As
coordenadas são determinadas [a,a,a/2]; Os parâmetros de rede são descartados [1,1,1/2]; Os índices são multiplicados por um fator que os transforme no conjunto de menores inteiros possíveis; As vírgulas são retiradas [221]; Caso algum índice for negativo uma barra é colocada sobre o respectivo índice [201];
Direções Cristalinas Existem direções cristalinas consideradas equivalentes porque as colunas de átomos formadas naquelas direções são semelhantes, ou seja, os tipos de átomos, a densidade de átomos e a distância entre os átomos daquelas direções são iguais. As direções cristalinas formam uma família de direções, que são representadas pelos índices de uma das direções equivalentes entre os sinais < > . Por exemplo, as direções [100], [010] e [001] são equivalentes para o sistema cúbico. Tem-se a família <100>.
Planos Cristalinos A regularidade da estrutura cristalina também forma planos de átomos. Estes planos são representados por índices, denominados índices de Miller .
A distância entre planos cristalinos é conforme o tipo de rede e a direção perpendicular ao plano cristalino. Plano atômico (001) em rede CS.
Planos Cristalinos A clivagem de certos minerais ocorre em determinados planos atômicos. A supercondutividade elétrica de certas fases cristalina existe em certos planos cristalinos. São os planos cristalinos que emitem os sinais na técnica de difração de Raios X, largamente empregada na investigação de materiais. A plasticidade dos metais está relacionada ao movimento de defeitos cristalinos, as discordâncias, em planos cristalinos preferenciais. Isto justifica o estudo dos planos cristalinos.
Índices de Miller Índices de Miller são uma notação utilizada em cristalografia para definir famílias de planos em uma Rede de Bravais. Isto é feito indicando-se as coordenadas de um vetor no espaço recíproco, que é normal à família de planos. Em três dimensões, os índices de Miller são representados pela tripla entre parênteses (hkl), onde h,k e l são inteiros com maior divisor comum igual a 1. Se algum dos inteiros é negativo, a convenção é escrever o número com uma barra em cima.
Índices de Miller
As coordenadas dos pontos em que o plano intercepta cada eixo de coordenadas são determinadas: (a/2, 0,0), (0,a/2,0), (0,0,a/2). Os índices são multiplicados por um fator que os transforme no conjunto de menores inteiros possíveis: (1,1,1,). As vírgulas são retiradas(111); Caso algum índice for negativo o sinal é colocado sobre o respectivo índice;
Índices de Miller Quando o plano é paralelo a um eixo de coordenadas, seu ponto de interseção com o eixo correspondente é o infinito. Logo, o índice de Miller correspondente é zero.
Índices de Miller
As coordenadas dos pontos em que o plano corta cada eixo de coordenadas são determinadas: (a, 0,0), (0,a,0) e é paralelo a Z. Os parâmetros de rede são descartados (11∞);
Os índices são multiplicados por um fator que os transforme no conjunto de menores inteiros possíveis: (1,1,0). As vírgulas são retiradas (110);
Índices de Miller Planos paralelos possuem os mesmos índices de Miller. Estes planos são equivalentes. Um plano é equivalente a outro quando a configuração espacial dos átomos nestes planos é igual, ou seja o arranjo dos átomos e as distâncias entre eles são iguais. Planos equivalentes formam uma família de planos equivalente, que é representada pelos índices de um dos planos da família entre chaves, {120}. No sistema cúbico, os planos (100), (010) e (001) pertencem à família {100}.
Índices de Miller Quando o plano passa pela origem, o procedimento usado anteriormente deve ser modificado, pois a operação de inversão das coordenadas divergiria. A solução para isso é trabalhar com um plano paralelo que não passa pela origem. Como dito, eles são equivalentes e possuem os mesmos índices.
Índices de Miller
O plano A passa pela origem do sistema de coordenadas. Para determinar seus índices de Miller o plano paralelo B deve ser usado. Este plano corta o eixo Z nas coordenadas (0,0,a/2). É paralelo ao eixo Y. Corta o eixo X em (-a,0,0). Usando o procedimento já descrito os índices são determinados (102).
Planos Cristalinos - Por quê são importantes? Para
a determinação da estrutura cristalina
Os métodos de difração medem diretamente a distância entre planos paralelos de pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para determinar os parâmetros do reticulado de um cristal. Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos do reticulado. Estes são usados para determinar os ângulos interaxiais de um cristal.
Planos Cristalinos - Por quê são importantes? Para
a deformação plástica
A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a acontecer preferencialmente ao longo de planos direções específicos do cristal. Regime de deformação em que ocorre mudança dimensional permanente decorrente do deslocamento de átomos ou moléculas para novas posições no reticulado. Os cristais deformados plasticamente possuem mais energia que os não-deformados, pois tiveram suas discordâncias, lacunas e outras imperfeições aumentadas.
Planos Cristalinos - Por quê são importantes? Para
as propriedades de transporte
Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados planos causa o transporte de elétrons e/ou acelera a condução nestes planos, e, relativamente, reduz a velocidade em planos distantes destes.
Planos Cristalinos - Por quê são importantes? Supercondutores a base de YBa2Cu3O7 Alguns planos contêm somente Cu e O. Estes planos conduzem pares de elétrons (chamados pares de cobre) que são os responsáveis pela supercondutividade. Estes supercondutores são eletricamente isolantes em direções perpendiculares as dos planos Cu-O.
Planos Cristalinos
São representados de maneira similar às direções.
São representados pelos índices de Miller = (hkl).
Planos paralelos são equivalentes tendos os mesmos índices.
Planos Cristalinos Planos (010) São paralelos aos eixos
x e z (paralelo à face) Cortam um eixo (neste
exemplo: y em 1 e os eixos x e z em ) 1/
, 1/1, 1/
= (010)
Planos Cristalinos Planos (110) São paralelos ao eixo (z) Cortam dois eixos (x e y) 1/ 1, 1/1, 1/
= (110)
Planos Cristalinos Planos (111) Cortam os 3 eixos
cristalográficos 1/ 1 , 1/1, 1/ 1 = (111)
Planos Cristalinos Quando as intercessões não são óbvias desloca-se o plano até obter as intercessões corretas
Fonte: Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de Ciência dos Materiais e Metalurgia da PUC-Rio.
Família de Planos {110} (paralelo à um eixo)
Família de Planos {111} Intercepta os 3 eixos
Planos no Sistema Cúbico • A simetria do sistema cúbico faz com que a
família de planos tenham arranjamento e densidade.
• A
o
mesmo
deformação em metais envolve o deslizamento de planos atômicos. O deslizamento ocorre mais facilmente nos planos e direções de maior densidade atômica.
Planos de maior densidade atômica no sistema CCC A família de planos {110} no sistema CCC é o de maior densidade atômica.
