PROBLEMAS RESUELTOS DE ANALISIS DE ESTRUCTURAS POR EL METODO DE LOS NUDOS
Problema resuelto Pág. 246 Estática BEDFORD Problema 6.1 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.2 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.4 Estática BEDFORD edic 5 Problema 6.13 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.14 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.1 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.2 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.3 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.4 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10 Problema c-34 estática Hibbeler edic 10 Problema C-35 estática Hibbeler edic 10 Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10 Problema resuelto Pag. 145 Estática Meriam Problema 4.1 Estática Meriam edición tres Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco Problema 4.3 Estática Meriam edición tres Problema 4.3 Estática Meriam edición cinco Problema 4.4 Estática Meriam edición tres Problema 4.4 Estática Meriam edición cinco Problema 4.5 Estática Meriam edición tres Problema 4.7 Estática Meriam edición tres Erving Quintero Gil Tecnólogo electromecánico - UTS Ing. Electromecánico - UAN Especialista en Ingeniería del gas - UIS Bucaramanga – Colombia 2011
Para cualquier inquietud o consulta escribir a:
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1
Método de las juntas o nudos (PROBLEMA RESUELTO PAG. 246 ESTATICA BEDFORD) El método de las juntas implica dibujar diagramas de cuerpo libre de las juntas de una armadura, una por una, y usar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas axiales en las barras. Por lo general, antes debemos dibujar un diagrama de toda la armadura (es decir, tratar la armadura como un solo cuerpo) y calcular las reacciones en sus soportes. Por ejemplo, la armadura WARREN de la figura 6.6(a) tiene barras de 2 metros de longitud y soporta cargas en B y D. En la figura 6.6(b) dibujamos su diagrama de cuerpo libre. De las ecuaciones de equilibrio. 400 N
D
B
C
E
2m
2m
Fig. 6. 6(a) Armadura WARREN soportando dos cargas 400 N
800 N
D
B
3m
C
A AX 1m AY
1m 2m
400 N
E
800 N
1m
1m
B
2m
TBD
TBD
TBC
TDC
D
EY
T AB
TDE
T AB TBC
A
T AC
T AC
TDE
C
TEC
TEC
E
AY
Fig. 6. 6(b) Diagrama de cuerpo libre de la armadura
2
Σ M A = 0
- 400 (1) - 800 (1 +1+1) + EY (1+1+1+1) = 0
+
∑ FX = 0
AX = 0
∑ FY = 0
- 400 - 800 (3) + E Y (4) = 0
AY + EY – 400 - 800 = 0
- 400 - 2400 + 4 E Y = 0 - 2800 + 4 E Y = 0 4 EY = 2800
EY =
2800
4 E Y = 700 N
= 700 N
Σ ME = 0
- AY (1+1+1+1) + 400 (1+1+1) + 800 (1) = 0
+
- AY (4) + 400 (3) + 800 = 0 - 4 AY + 1200 + 800 = 0 4 AY = 2000
AY =
2000
4 A Y = 500 N
= 500 N
NUDO A El siguiente paso es elegir una junta y dibujar su diagrama de cuerpo libre. En la figura 6.7(a) aislamos la junta A cortando las barras AB y AC. Los términos T AB y T AC son las fuerzas axiales en las barras AB y AC respectivamente. Aunque las direcciones de las flechas que representan las fuerzas axiales desconocidas se pueden escoger arbitrariamente, observe que las hemos elegido de manera que una barra estará a tensión, si obtenemos un valor positivo para la fuerza axial. Pensamos que escoger consistentemente las direcciones de esta manera ayudara a evitar errores. 400 N
B
T AB 2
A
T AB
1
3
T AB AY
T AC AY
T AB
T AC
A Figura 6.7(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta A.
C T AC
T AC
AY
3
Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son:
TAB TAC A Y = = 2 1 3
Hallar T AC
Hallar T AB
TAB TAC = 2 1
TAB A Y = 2 3
T TAC = AB 2 TAB = 577,35 Newton 577,35 = 288,67 N TAC = 2 TAC = 288,67 Newton (Tension)
A Y = 500 N TAB 500 = = 288,67 2 3 TAB = 2 (288,67) = 577,35 N
TAB = 577,35 Newton(compresión) NUDO B Luego obtenemos un diagrama de la junta B cortando las barras AB, BC y BD (Fig. 6.8 a). De las ecuaciones de equilibrio para la junta B. 400 N
400 N
800 N
TBD
B
TBD
B T AB
400 N
TBD
TBD
D 60
TBC
T AB
TBC TBC (Y)
T AB (Y)
TBC
T AB T AB
T AC
T AC
TBC (X)
T AB (X)
TBC
A
60
C
AY
Figura 6.8(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta B. sen 60 =
TAB(Y ) TAB
Para abreviar los cálculos
T AB (Y) = T AB sen 60
⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝ ⎠
TAB(Y ) = TAB ⎜ ⎜
sen 60 =
3 2
cos 60 =
1 2
4
⎛ 3 ⎞ ⎟ TAB ⎟ ⎝ 2 ⎠
TAB(Y ) = ⎜⎜
TAB = 577,35 Newton ⎛ 3 ⎞ ⎟ (577,35) = 500 N TAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ TAB (Y) = 500 N TBC(Y ) sen 60 = TBC
TBC(X ) cos 60 = TBC
TBC (Y) = TBC sen 60
⎛ 3 ⎞ ⎟ TBC(Y ) = TBC ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ TBC(Y ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ TBC ⎝ ⎠
TBC (X) = TBC cos 60
⎛ 1 ⎞ TBC(X ) = TBC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
cos 60 =
TAB(X ) TAB
T AB (X) = T AB cos 60
⎛ 1 ⎞ TAB(X ) = TAB ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ TAB(X ) = ⎜ ⎟ TAB ⎝ 2 ⎠ TAB = 577,35 Newton 1 TAB(X ) = (577,35) = 288,67 N 2 TAB (X) = 288,67 N
⎛ 1 ⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ TBC ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ TBC ⎟ 2 ⎝ ⎠
TBC(Y ) = ⎜ ⎜ ∑ FY = 0
100 = TBC (Y)
- 400 + T AB (Y) - TBC (Y) = 0
TAB (Y) = 500 N - 400 + 500 - TBC (Y) = 0
⎛ 3 ⎞ ⎟ TBC ⎟ ⎝ 2 ⎠ 200 ⎛ 2 ⎞ TBC = ⎜ = 115,47 N ⎟ 100 = 3 3 ⎝ ⎠
100 = ⎜⎜
100 - TBC (Y) = 0
TBC = 115,47 N
(compresión)
100 = TBC (Y) Se halla TBC (X)
∑ FX = 0
- TBD + T AB (X) + TBC (X) = 0 T AB (X) = 288,67 N TBC (X) = 57,73 Newton
- TBD + 288,67 + 57,73 = 0 - TBD + 346,4
⎛ 1 ⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ TBC ⎝ 2 ⎠ TBC = 115,47 N ⎛ 1 ⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ (115,47 ) = 57,73 N ⎝ 2 ⎠ TBC (X) = 57,73 Newton
=0
TBD = 346,4 Newton (compresión) 5
NUDO D Luego obtenemos un diagrama de la junta D cortando las barras BD, DC y DE . De las ecuaciones de equilibrio para la junta D. 800 N 800 N
800 N
D
TBD
TBD
TBD
D
60
TDE
TDC
TDE
TDC (Y)
TDE
TDE (Y)
TDC
TDE
C
TEC
E
TEC EY
TDC(Y ) sen 60 = TDC
cos 60 =
TDC (Y) = TDC sen 60
⎛ 3 ⎞ ⎟ TDC(Y ) = TDC ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ TDC TDC (Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
TDE (X)
TDC (X)
TDC
sen 60 =
60
Para abreviar los cálculos
sen 60 =
3 2
cos 60 =
1 2
TDC(X ) TDC
TDC (X) = TDC cos 60
⎛ 1 ⎞ TDC(X ) = TDC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ TDC ⎟ 2 ⎝ ⎠
TDC(Y ) = ⎜⎜
TDE(Y ) TDE
TDE(X ) cos 60 = TDE
TDE (Y) = TDE sen 60
TDE (X) = TDE cos 60
⎛ 3 ⎞ ⎟ TDE (Y ) = TDE ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ TDE TDE (Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
⎛ 1 ⎞ TDE (X ) = TDE ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ TDE (X ) = ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2 ⎠
∑ FX = 0
TBD - TDE (X) + TDC (X) = 0 TBD = 346,4 Newton
(compresión)
6
346,4
- TDE (X) + TDC (X) = 0
TDE (X) - TDC (X) = 346,4 ecuación 1 Pero:
∑ FY = 0
⎛ 1 ⎞ TDE (X ) = ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2 ⎠
- 800 + TDE (Y) + TDC (Y) = 0
TDE (Y) + TDC (Y) = 800 ecuación 2
⎛ 1 ⎞ TDC(X ) = TDC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
Pero:
Reemplazando en la ecuación 1
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ TDE - ⎜ ⎟ TDC = 346,4 ecuación 3 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎟ TDE ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ TDC TDC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ TDE (Y ) = ⎜ ⎜
Reemplazando en la ecuación 2
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ TDE + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ecuación 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
resolver ecuación 3 y ecuación 4
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ TDE - ⎜ ⎟ TDC = 346,4 multiplicar por ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟ TDE + ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
3 ⎞
⎟ TDE 2 ⎠⎟ 3 ⎞ ⎟ TDE 2 ⎠⎟
⎛ 3 ⎞ ⎟ TDC = 346,4 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ TDC = 800 + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
- ⎜⎜
[ 3]
[ 3 ]= 600
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ TDE + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDE = 600 + 800 = 1400 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ 2⎜ ⎜ 2 ⎟ TDE = 1400 ⎝ ⎠ 3 TDE = 1400 TDE =
1400 3
= 808,29 N
7
TDE = 808,29 Newton (compresión)
Reemplazando en la ecuación 4, se halla TDC
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ TDE + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ecuación 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ (808,29 ) + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ TDC = 800 700 + ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 - 700 = 100 ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ 200 TDC = 100 ⎜ = 115,47 N ⎟= 3 3 ⎝ ⎠ TDC = 115,47 Newton (Tensión) Problema 6.1 ESTATICA BEDFORD edic 4 Determine the axial forces in the members of the truss and indicate whether they are in tension (T) or compression (C)
A
A
A
10 KN
10 KN
2m
2m
C
B
BX
2m
B BY
Σ MC = 0
BY (1) – 10 (2) = 0
BY (1) = 10 (2)
B Y = 20 KN
1m
B
BX
C
1m
+
10 KN
C BY
CY
1m
∑ FX = 0
∑ FY = 0
10 – BX = 0
CY – BY = 0
BX = 10 KN
CY = BY
CY
Pero: BY = 20 KN
C Y = 20 KN
8
NUDO B ∑FY = 0
FBA
∑FX = 0
B
BX
FBC
FBC – BX = 0
FBA – BY = 0 FBA = BY
FBC = BX
pero: BY = 20 KN
pero: BX = 10 KN
FBA = 20 KN (tensión)
BY
FBC = 10 KN (tensión) NUDO A A 10 KN FBA FBA
5
2 1
F AC
F AC
FBA 10 FAC = = 2 1 5
10 KN
Hallamos F AC
10 1
F = AC 5
( )
FAC = 10 5 = 22,36 KN
FAC = 22,36 KN (compresión)
9
Problema 6.2 ESTATICA BEDFORD edic 4 La armadura mostrada soporta una carga de 10 kN en C. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determine las reacciones en sus soportes b) Determine las fuerzas axiales en las barras. Indique si se encuentran a tensión (T) o a compresión (C) .
BY BX
B FCB
F AB
=0
F AB
=0
3m
Σ MB = 0
+
AX
AX (3) - 10 (4) = 0
FCB
A FCA
FCA
AX (3) = 10 (4)
4m
C 10 KN
3 AX = 40
AX =
40 3
= 13,33KN
∑ FY = 0
BY - 10 = 0
AX = 13,33 KN
B Y = 10 KN
Σ M A = 0
+
BX (3) - 10 (4) = 0
BX (3) = 10 (4) 3 BX = 40
BX =
40 3
= 13,33KN
BX = 13,33 KN
10
NUDO C FCB
3
5
10 KN FCA
4
C 10 KN
FCB
FCA
FCB FCA 10 = = 5 4 3
Hallar FCA
FCA 10 = 4 3
Hallar FCB
FCB 10 = 5 3 (5)10 = 16,66 KN FCB = 3 FCB = 16,66 kN (Tensión)
FCA =
3
= 13,33 KN
FCA = 13,33 kN (compresión)
NUDO A ∑ FY = 0
(4)10
AX = 13,33 KN FAB = 0
∑ FX = 0
AX - FCA = 0 AX = FCA Pero: FCA = 13,33 kN AX = FCA =13,33 kN
F AB = AX
A FCA
0
B Y = 10 KN BX = 13,33 KN
FCB = 16,66 kN (Tensión) FCA = 13,33 kN (compresión) FAB = 0
11
Problema 6.4 ESTATICA BEDFORD edic 5 The members of the truss are all of lenght L. Determine the axial forces in the members and indicate whether they are in tension (T) or compression (C)
F D
B
F FBD
B
D
FBA
C
FBC
FBA
FBC
A
A AX = 0 L
FBD
FCD
C
FCD
F AC
F AC
CY
AY L
NUDO D
F
F F
D
FBD
FBD
B
FBD
FBD
D FDC
60
FCD
FDC (Y)
Σ MC = 0
+
AX = 0
AY (L) – F (L/2) = 0
C
A
FDC
FDC (X)
L
AY
CY
FDC
L/2
AY (L) = F (L/2)
A Y = ½ F Σ M A = 0
+
CY (L) – F ( L + L/2) = 0
CY (L) - F ( 3/2 L) = 0 CY (L) = F ( 3/2 L) CY = F ( 3/2)
C Y = 3/2 F sen 60 =
cos 60 =
FDC(X ) FDC
FDC (X) = FDC cos 60
⎛ 1 ⎞
Para abreviar los cálculos
sen 60 =
3 2
cos 60 =
1 2
FDC(X ) = FDC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
FDC(Y ) FDC 12
FDC (Y) = FDC sen 60
⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 3 ⎞ ⎟ FDC 2 ⎠⎟
FDC(Y ) = FDC ⎜⎜
⎛
FDC(Y ) = ⎜⎜
⎝
∑ FY = 0
- F + FDC (Y) = 0 F = FDC (Y) Pero: FDC (Y) = FDC sen 60 F = FDC sen 60 DESPEJANDO FDC
FDC =
1 sen 60
(F) = 1,154 F
FDC = 1,154 F (Compresion)
∑ FX = 0
∑ FX = 0
∑ FY = 0
AX = 0
AY + EY – 400 - 800 = 0
- FBD + FDC (X) = 0 FBD = FDC (X) Pero: FDC (X) = FDC cos 60
FBD = FDC cos 60 Pero: FDC = 1,154 F
F
FBD = (1,154 F) cos 60 FBD = 0,577 F (tensión) NUDO B B FBA
FBC
FBC
FBA
FBA
FBD
FBC
A AX = 0 AY
FBD
D
FBA
FBD
FBC
FBD
B
C
L CY
13
sen 60 =
FBA(Y ) TAB
FBA (Y) = TBA sen 60
⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 3 ⎞ ⎟ FBA 2 ⎠⎟
FBA(Y ) = FBA ⎜ ⎜
⎛
FBA(Y ) = ⎜⎜
⎝
sen 60 =
FBC(Y ) FBC
cos 60 =
FBA(X ) FBA
FBD 60
FBA (X) = FBA cos 60
⎛ 1 ⎞ FBA(X ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
60
FBC
FBA (Y) FBA
⎛ 1 ⎞ FBA(X ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 2 ⎠
FBC (Y)
FBC (X)
FBA (X)
FBC (Y) = TBC sen 60
⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 3 ⎞ ⎟ FBC 2 ⎠⎟
FBC(Y ) = FBC ⎜ ⎜
⎛
FBC(Y ) = ⎜⎜
⎝
∑ FX = 0
cos 60 =
FBC(x ) FBC
FBC (X) = FBC cos 60
⎛ 1 ⎞ FBC (X ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
FBD - FBC (X) - FBA (X) = 0 Para abreviar los cálculos
FBD - FBC(X ) - FBA (X ) = 0 FBC(X ) + FBA (X ) = FBD
sen 60 =
3 2
cos 60 =
1 2
PERO:
FBD = 0,577 F FBC(X ) + FBA (X ) = 0,577 F
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBC + ⎜ ⎟FBA = 0,577 F (ECUACIÓN 1) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ∑ FY = 0
FBC (Y) - FBA (Y) = 0
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ FBC − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA = 0 (ECUACIÓN 2) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ resolver ecuación 1 y ecuación 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ FBA = 0,577 F multiplicar por ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
[ 3] 14
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ FBC - ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
3 ⎞
⎛ 3 ⎞ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = ( 3 ) (0,577 F) 2 ⎠⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ 3 ⎞ ⎟ FBC - ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 2 ⎠⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ FBC = F ⎟ ⎝ 2 ⎠
2 ⎜⎜
3 FBC = F
⎛ 1 ⎞ ⎟F ⎝ 3 ⎠ FBC = 0,577 F (compresión) FBC = ⎜
Reemplazando en la ecuación 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
3 ⎞
⎛ 3 ⎞ ⎟ FBC − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA = 0 (ECUACIÓN 2) 2 ⎠⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ 3 ⎞ ⎟ (0,577 F) − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 2 ⎠⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ 3 ⎞ ⎟ (0,577 F) = ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA 2 ⎠⎟ ⎝ ⎠ F
Cancelando terminos semejantes
(0,577 F) = FBA
FBD
B
FBA = 0,577 F (tensión)
L
FBD
D
FBA
FBC
FCD
NUDO A FBA
FBA
A
L
A
FBA
L/2
AY
L/2
C
FCD
F AC
F AC AY
F AC AY
FBC
L
CY
F AC
15
FBA FAC = L L 2 FBA 2 FAC = L L
A Y = ½ F C Y = 3/2 F
Cancelando términos semejantes FBA = 2 F AC
FDC = 1,154 F (Compresion)
Pero: FBA = 0,577 F
FBD = 0,577 F (tensión)
0,577 F = 2 F AC 0,577 FAC = F 2
FBC = 0,577 F (compresión)
FAC = 0,288 F (Compresión)
FBA = 0,577 F (tensión)
Problema 6.13 bedford edic 4 La armadura recibe cargas en C y E. Si F = 3 KN, cuales son las fuerzas axiales BC y BE?
AX=0
A Y
1m
A
F AB FCA
B
F AB
1m
1m
D
FDB FEB
FDB
FGD
FDE
FCB
1m FCA
FCB FEC
C 3 kN
FEB
FGD FDE
G
FEC
E
FGE
FGE
G Y
6 kN
Σ MG = 0
+
6 (1) + 3 (1 +1) - AY (1+1+1) = 0
16
6 (1) + 3 (2) - AY (3) = 0 6 + 6 – 3 AY = 0 6 + 6 = 3 AY
∑ FX = 0
AX = 0
12 = 3 AY
AY =
12 3
= 4 KN
A Y = 4 KN Σ M A = 0
- 3 (1) - 6 (1 +1) + GY (1+1+1) = 0
+
- 3 - 6 (2) + GY (3) = 0 - 3 - 12 + 3 G Y = 0 - 15 + 3 GY = 0 3 GY = 15
GY =
15 3
= 5 KN
AX
A Y
1m
A
B
1m
1m
D
G Y = 5 KN
FGD
NUDO G 1m FGD
FGD
G G FGE
G Y
E
C
FGE
3 kN
1
FGE
FGE
G Y
6 kN
FGD
2
1
GY = 5 KN
Las ecuaciones de equilibrio para la junta G son:
FGD FGE 5 = = 1 1 2 Hallar FGD
Hallar FGE
FGE 5 = 1 1
FGE = 5 KN (Tensión)
FGD =5 2 17
FGD = 2 (5)
FGD = 7,071 KN (compresión)
NUDO D D AX
FDB
A Y
1m
A
1m
B
1m
D FDB
FDB FDE
FGD
FDE
FGD
1m FDB
FGD FDE
G
1
FGD
2
1
E
C
FDE
3 kN
FGE
FGE
G Y
6 kN
Las ecuaciones de equilibrio para la junta D son:
FGD FDE FDB = = 1 1 2
Hallar FDB
5 = FDB
PERO: FGD = 7,071 KN
7,071
FDB = 5 KN (compresion)
F F = DE = DB
1 2 5 = FDE = FDB
1
Hallar FDE
5 = FDE
AX
A Y
1m
A
B
FDE = 5 KN (TENSION)
1m
1m
D
FDB FEB
FDB
FGD
FDE
NUDO E
FDE
1m FEB
FEB
FGD FDE
FEC FEC
C E
G
FEC
E
FGE 3 kN
FGE
FGE
G Y
6 kN
6 kN
18
FEB(Y ) FEB = FEB sen 45
sen 45 = FEB (Y)
⎛ 2 ⎞ ⎟ FEB(Y ) = FEB ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎟ FEB(Y ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ FEB ⎝ ⎠
FEB(X ) FEB = FEB cos 45
cos 45 = FEB (X)
⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2 ⎞ ⎟ FEB 2 ⎠⎟
FEB(X ) = FEB ⎜ ⎜
⎛ FEB(X ) = ⎜ ⎜ ⎝
∑ FY = 0
FEB(X)
FEB(Y)
FDE = 5 KN
FEB 45
FEC
FGE = 5 KN 6 kN
FDE - 6 + FEB(Y) = 0 PERO: FDE = 5 kN 5 - 6 + FEB(Y) = 0 - 1 + FEB(Y) = 0
FEB(Y) = 1 KN FEB =
FEB(Y ) 1 = = 1,414 kN sen45 sen 45
FEB = 1,414 KN (tension) FEB (X) = FEB cos 45 FEB (X) = (1,414) cos 45
FEB (X) = 1 KN ∑ FX = 0
FGE - FEC - FEB (X) = 0 PERO: FGE = 5 kN FEB (X) = 1 KN FGE - FEC - FEB (X) = 0 5 - FEC - 1 = 0 4 - FEC = 0
FEC = 4 KN (tension)
19
NUDO C FCB
A Y
AX=0
FCA
1m
A FCA
FEC
1m
B
D
FDB FEB
FDB
FGD
FDE
FCB
1m
C
FCA
FCB FEC
3 kN
FEB
FGD FDE
G
FEC
E
C
FCA(Y ) sen 45 = FCA FCA (Y) = FCA sen 45
⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2 ⎞ ⎟ FCA 2 ⎠⎟
1m
3 kN
FGE
FGE
G Y
6 kN
FCA (Y ) = FCA ⎜ ⎜
⎛
FCA (Y ) = ⎜ ⎜
⎝
∑ FX = 0
FEC - F AC (X) = 0 FEC = F AC (X) PERO: FEC = 4 kN
FCA(X ) FCA = FCA cos 45
cos 45 = FCA (X)
FCA(X)
⎛ 2 ⎞ ⎟ FCA (X ) = FCA ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎟ FCA (X ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ FCA ⎝ ⎠
FCA(Y)
FCB
FCA 45 FEC = 4 KN 3 kN
FAC (X) = 4 kN FCA (X) = FCA cos 45 FCA (X ) 4 FCA = = = 5,656kN cos 45 0,7071
∑ FY = 0
FCA = 5,656 KN (tension)
PERO:
⎛ 2 ⎞ ⎟ FCA ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎟ FCA (Y ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ 5,656 = 4 KN ⎝ ⎠ FCA (Y) = 4 kN FCA (Y ) = ⎜ ⎜
- FCB - 3 + FCA(Y) = 0
FCA (Y) = 4 kN - FCB - 3 + 4 = 0 - FCB + 1 = 0
FCB = 1 KN (compresión)
20
NUDO A AX=0
A Y
1m
A
A Y = 4 KN AX=0
A
F AB
F AB
1m
1m
D
FDB FEB
FCA F AB
B
FDB
FGD
FDE
FCB
1m FCA
FEB
FCB
G
FEC
FEC
FCA
FGD FDE
E
C Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son: 3 kN
FCA FAB A Y = = 1 1 2
FGE
FGE
G Y
6 kN
F AB 1
FCA
PERO: AY = 4 KN
2
FAB A Y = 1 1
1
A Y = 4 KN
FAB = 4 KN (compresión) Problema 6.14 bedford edic 4 If you don t want the members of the truss to be subjected to an axial load (tension or compression) greater than 20 kn, what is the largest acceptable magnitude of the downward force F? '
A
β
12 m
δ
12 m
F
Ө
B
α 4m
β
C
D
13 m
3m
tg θ =
5 12
= 0,4166
5m 4m
β
Ө = arc tg (0,4166) Ө = 22,610
3m
21
tg β =
4 3
= 1,3333 β + δ = 900
0
δ + Ө + α = 90
β = arc tg (1,3333)
δ = 900 - β
β = 53,120
0
δ = 90 - 53,12 δ
pero: 0 δ = 36,87 Ө = 22,61 0
0
= 36,870
0
δ + Ө + α = 90
NUDO A
36,87 + 22,61 + α = 900
FAB X 0
δ = 36,87
α = 900 - 36,87 - 22,61 F
FAB Y FAB
α
α
= 30,520
FAC Y
FAC FAC X
sen 36,87 = F AB (Y)
FAB(Y )
FAB = F AB sen 36,87
FAB(Y ) = (0,6 ) FAB
sen α =
cos 36,87 = F AB (X)
FAB = F AB cos 36,87
FAB(X ) = (0,8 ) FAB
FAC(X ) FAC FAC(X )
sen 30,52 =
FAC
F AC (X) = F AC sen 30,52
FAB(X )
cos 30,52 = F AC (Y)
FAC(Y )
FAC = F AC cos 30,52
FAC(Y ) = (0,8614 ) FAC
FAC(X ) = (0,507 ) FAC ∑ FX = 0
F AC(X) - F AB (X) = 0
0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 ECUACION 1 ∑ FY = 0
F AC (Y) - F - F AB (Y) = 0
22
0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2 NUDO C FCB
FAC(X)
FCB X
FAC
FAC(Y) FCD
C
FCB
α
FCB
Y
FAC
β
β = 53,120
FCD
FCB(Y ) FCB = FCB sen 53,12
sen 53,12 = FCB (Y)
FCB(X ) FCB = FCB cos 53,12
cos 53,12 = FCB (X)
FCB(Y ) = (0,7998 ) FCB
FAC(X ) = (0,507 ) FAC FAC(Y ) = (0,8614 ) FAC
FCB(X ) = (0,6 ) FCB
∑ FX = 0
FCD - F AC(X) - FCB (X) = 0 FCD – 0,507F AC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 ∑ FY = 0
FCB (Y) - F AC (Y) = 0 0,7998 FCB - 0,8614 F AC = 0 ECUACION 4
NUDO D DX
A FCD 12 m
∑ FX = 0
BY
DX - FCD = 0 ECUACION 5 0,507 F AC - 0,8 F AB = 0 ECUACION 1 0,8614 F AC - F - 0,6 F AB = 0 ECUACION 2 FCD – 0,507F AC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 0,7998 F CB - 0,8614 F AC = 0 ECUACION 4 DX - FCD = 0 ECUACION 5 DESPEJAMOS F en la ecuación 2 0,8614 F AC - F - 0,6 F AB = 0 ECUACION 2
F
FAC
B BX
FCB
FDB
4m FDB DX
D
FAC
FCB
FCD FCD
C
3m
0,8614 F AC - 0,6 F AB = F ECUACION 6
23
Resolver la ecuación 1 0,507 F AC - 0,8 F AB = 0 0,507 F AC = 0,8 F AB Despejando
FAC =
0,8 0,507
F AC
FAB = 1,577 FAB
FAC = 1,577 F AB Reemplazar FAC en la ecuación 6 0,8614 F AC - 0,6 F AB = F ECUACION 6 0,8614 (1,577 F AB ) - 0,6 F AB = F 1,3592 F AB - 0,6 F AB = F 0,7592 F AB = F Despejando
FAB =
F AB
1
F = 1,317 F
0,7592
FAB = 1,317 F Reemplazar FAB en la ecuación 6 0,8614 F AC - 0,6 F AB = F ECUACION 6 0,8614 F AC - 0,6 (1,317 F) = F 0,8614 F AC - 0,79 F = F 0,8614 F AC = F + 0,79 F 0,8614 F AC = 1,79 F
FAC =
1,79
F = 2,078 F
0,8614
FAC = 2,078 F Reemplazar F AC en la ecuación 4 0,7998 FCB - 0,8614 F AC = 0 ECUACION 4 0,7998 F CB - 0,8614 ( 2,078 F) = 0 0,7998 F CB - 1,79 F = 0 0,7998 FCB = 1,79 F
FCB =
1,79 0,7998
F = 2,238 F
FCB = 2,238 F
FAB = 1,317 F FAC = 2,078 F FCB = 2,238 F FCD = 2,395 F FDB = 0
Reemplazar F AC y FCB en la ecuación 3
24
FCD – 0,507F AC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 FCD – 0,507 ( 2,078 F ) - 0,6 ( 2,238 F) = 0 FCD – 1,053 F
- 1,342 F = 0
FCD = 1,053 F
+ 1,342 F
FCD = 2,395 F LA ESTRUCTURA MAS CRITICA ES F CD
2,395 F = 20 F=
20
= 8,35 KN
2,395 F = 8,35 KN
Problema 6.1 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. A
A
4m
1,92 N
1,92 N
B
C
B
BY 3m
A
la reacción en B? Σ FY = 0
1,92 ( 3) - CY (4,5) = 0
5,76 - CY (4,5 ) = 0
4m
BY – 1,92 - CY = 0
1,92 N
CY (4,5 ) = 5,76 5,76 CY = = 1,28 N 4,5
C Y = 1,28 N
CY
4,5 m
Σ MB = 0
+
C
C
B BY 3m
CY
BY – 1,92 – 1,28 = 0
B Y = 3,2 Newton
4,5 m
25
Nudo B F AB F AB B
4
BY = 3,2 N
FBC
BY
4
=
16 4
BY
FBC
B
Hallar FBC FBC 3,2 = 3 4 (3) 3,2 9,6 FBC = = = 2,4 N 4 4
Hallar F AB FAB 3,2 = 5 4
(5) 3,2
B
3
FAB FBC 3,2 = = 5 3 4
FAB =
5
FBc = 2,4 Newton (compresión)
= 4 N
FAB = 4 Newton(compresión) Newton(compresión) FCA
FCA (Y)
Nudo C C 8,5
α
CY
8,5
4
C
FCA (X)
x
FCA
4 7,5
7,5
FBC
C CY
cos α =
sen α =
7,5
4
∑ FX = 0
8,5
FBC – FCA (X) = 0
8,5
FCA (X) = cos α (FCA) FCA (X ) =
7,5 8,5
FCA
FCA (Y) = sen α (FCA) FCA (Y ) =
4 8,5
FBC FCA
7,5
FBC = 2,4 =
FCA = 0
8,5 7,5 8,5
7,5 8,5
FCA =
FCA
FCA
(2,4) 8,5 7,5
=
20,4 7,5
= 2,72 Newton
FCA = 2,72 Newton (tracción)
26
Problema 6.1 Beer edic 8 Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
800 lb B
A
AY AX
F AC
4 pies 4 pies
800 lb
7,5 pies
F AB
F AB tensión
A
B
FCB
tensión compresión
C 7,5 pies
F AC
Σ M A = 0
CX
FCB C
CX ( 4) - 800 (7,5) = 0
+
∑Fx= 0
4 CX - 6000 = 0 CX – AX = 0 4 CX = 6000 6000 CX = = 1500 lb 4
CX = AX AX = 1500 lb.
CX = 1500 lb. Nudo B AY
FBA B
AX
800 lb
FBA B
A
800 lb
FBA FBC
4 pies
FBC
FBA CX
C
FBC 7,5 pies
FBA 800 FBC = = 7,5 4 8,5 FBA F = 200 = BC 7,5 8,5
7,5 4
FBC
8,5
Hallar FBC
Hallar FBA
F 200 = BC 8,5
FBA = 200 7,5
FBC = 8,5 (200)
FBA = 1500 N (tensión)
800 lb
FBC = 1700 N (compresión)
27
NUDO C AY
FCA
FBA B
A FBA
800 lb
AX
FCA
FBC CX
4 pies
CX
C
FCA
7,5 4
CX
FBC
FBC
FCA C
FBC 7,5 pies
8,5
FCA C X FBC = = 4 7,5 8,5
Pero: N (compresión) FBC = 1700 N (compresión)
FBC = 1700 N (compresión) FBA = 1500 N (tensión) FCA = 200 (4) = 800 N (tensión)
FCA CX 1700 = = 4 7,5 8,5 FCA CX = = 200 7,5 4
Hallar FcA FCA = 200 4
FCA = 200 (4) = 800 N (tensión)
28
Problema 6.2 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. 0,75 m A 0,4 m B 1,4 m 2,8 KN
0,75 m
AY AX
F AC
C
F AB tensión
A
F AB
Σ M A = 0
+
tensión
1,4 m
CX ( 1,4) = 2,8 (0,75) 1,4 CX = 2,1 2,1 CX = = 1,5 N 1,4
CX = 1,5 KNewton
B
FCB
CX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0
0,4 m
2,8 KN
compresión F AC CX
∑FY= 0
AY – 2,8 = 0
FCB C
A Y = 2,8 KNewton
Σ MC = 0
+
- AX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0
-1,4 AX = 2,1 2,1 AX = = - 1,5 N 1,4
0,75 m
AY
- AX ( 1,4) = 2,8 (0,75)
AX
A
0,4 m B
AX = - 1,5 KNewton (significa que la fuerza A X esta direccionada hacia la izquierda)
1,4 m 2,8 N
Σ MC = 0
+
AX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0
AX ( 1,4) = 2,8 (0,75) CX
C
1,4 AX = 2,1 2,1 AX = = 1,5 N 1,4
29
AX = 1,5 KNewton Nudo A AY
AY A
AX AX
A
A
F AB
0,85
0,4
cos α =
F AB
F AB α
F AB (X)
F AC
0,75
AY
0,85
sen α =
A
F AB (X) = cos α (F AB) FAB (X ) =
0,85
0,4
0,75
0,75
F AC
F AB (Y)
F AB
AX
F AC
0,75
0,85
F AB (Y) = sen α (F AB)
FAB
0,85
0,4
FAB (Y ) =
∑ FX = 0
- AX + F AB (X) = 0 0,75 - AX + FAB = 0 0,85 0,75 AX = FAB 0,85 FAB =
0,85
FAB =
0,85
0,75 0,75
AX
0,85
FAB
∑FY= 0
F AC
AX
0,4
AY
F AB
(1,5)
AY – F AC – F AB (Y) = 0 0,4 A Y - FAC − FAB = 0 0,85 0,4 (1,7 ) = 0 2,8 - FAC − 0,85 2,8 − 0,8 = FAC
FAC = 2 KNewton (Tracción)
FAB = 1,7 KNewton (tracción) Nudo C F AC
sen α =
FCB
CX CX
C
F AC
FCB
1 1,25
FCB (Y) = sen α (FCB)
cos α =
0,75 1,25
FCB (X) = sen α (FCB)
1,25
FCB
0,75
1
FCB (Y)
α
⎛ 1 ⎞ ⎟ FCB ⎝ 1,25 ⎠
FCB (Y ) = ⎜
F ⎛ 0,75 ⎞ CB(X ) = ⎜⎜ ⎟⎟ FCB ⎝ 1,25 ⎠
FCB (X)
C
30
∑ FX = 0
0,75 m
AY
CX - FCB (X) = 0
AX
A
0,4 m
CX = FCB (X) CX =
0,75 1,25
FCB =
B
FCB
1,25
F AC
CX
0,75
CX
1,25
0,75 2,8 N
1m
FCB
CX = 1,5 KNewton FCB =
1,4 m 1
F AC
C
(1,5) = 2,5 KN
0,75
FCB C
CX
FCB = 2,5 KNewton (compresión) Problema 6.2 beer edic 8
Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión. 4,2 KN 4,2 KN
B
B
FBC FBC
FBA
1,5 m
1,5 m
C
4m
C
4m
FBA
CY
3m
A A
AX
4m
Σ M A = 0
+
CY ( 4 + 2) - 4,2 (4) = 0
6 CY = 16,8
16,8 6
4m
2m
2m
∑ FY = 0
CY ( 6) - 16,8 = 0
CY =
BY
= 2.8 KN
C Y = 2,8 KN
BY + CY – 4,2 = 0 Pero: CY = 2,8 KN BY + 2,8 – 4,2 = 0 BY – 1,4 = 0
B Y = 1,4 kN
31
Nudo B
4,2 KN
B
FBC 1,5 m
FBC
FBA
4,2 KN
FBA
FBC
B
C
4m
4,2 KN
3m
CY
FBC
FBA
A
FBA
AX 4m
BY
cos α =
cos α =
2 2,5
= 0,8
FBC(X )
2m
1,5
sen α =
= 0,6 2,5 FBC(Y )
sen α =
FBC
FBC
FBC (X) = cos α (FBC)
FBC (Y) = sen α (FBC)
FBC (X ) = (0,8) FBC
FBC (Y ) = (0,6 ) FBC
FBC(X)
FBC(Y)
1,5
2,5
α 2
cos θ =
cos θ =
4 5,65
= 0,7079
FBA(X ) FBA
sen θ = sen θ =
FBA FBA(Y)
FBA
FBA (X) = cos Ө (FBA)
FBA (Y) = sen Ө (FBA)
FBA (X ) = (0,7079) FBA
FBA (Y ) = (0,7079) FBA
α Ө
4
= 0,7079 5,65 FBA(Y )
FBC
5,65 Ө 4 Ө
4,2 KN 4
FBA(X)
∑ FY = 0 ∑ FX = 0
FBC(Y) + FBA (Y) – 4,2 = 0 FBA(X) – FBC (X) = 0 FBC(Y) + FBA (Y) = 4,2 0,6 FBC + 0,7079 F BA = 4,2 (Ecuación 2)
0,7079 FBA - (0,8) FBC = 0 (Ecuación 1)
Resolver las ecuaciones
32
0,7079 F BA - 0,8 F BC = 0 (-1) Reemplazando en la ecuación 1
0,6 FBC + 0,7079 F BA = 4,2
0,7079 F BA - 0,8 FBC = 0
- 0,7079 F BA + 0,8 FBC = 0
Pero: FBC = 3 KN
0,6 FBC + 0,7079 F BA = 4,2
0,7079 F BA - 0,8 (3) = 0
0,8 FBC + 0,6 F BC = 4,2
0,7079 F BA – 2,4 = 0
1,4 FBC = 4,2
FBC =
4,2 1,4
0,7079 F BA = 2,4
= 3 KN
FBA =
FBC = 3 KN (compresión)
2,4
= 3,39 KN
0,7079
FBC = 3,39 KN (compresión)
NUDO C FBC
4,2 KN
B
FBC FBC
FBA
FBC(X)
C 1,5 m
FCA
CY
FBC(Y)
1,5
FCA
FBA
A
CY
α
FBC
2
C
4m
2,5
3m
α β
FCA(Y)
FCA
FCA
6,7 β
AX
FCA(X) 4m
BY
cos α =
2 2,5
= 0,8
2m
cos α =
FBC(X ) FBC
sen α = sen α =
1,5
= 0,6
3 6 CY
2,5 FBC(Y ) FBC
FBC (X) = cos α (FBC)
FBC (Y) = sen α (FBC)
FBC (X ) = (0,8) FBC
FBC (Y ) = (0,6 ) FBC
33
6
cos β =
6,7
= 0,8955
cos α =
FCA(X )
sen β =
FCA
FCA (X) = cos β (FCA)
sen β =
FCA (X ) = (0,8955) FCA
3
= 0,4477 6,7 FCA (Y ) FCA
FCA (Y) = sen β (FCA)
FCA (Y ) = (0,4477 ) FCA ∑ FX = 0
FBC(X) – FCA (X) = 0
(0,8) FBC - (0,8955) FCA = 0 (Ecuación 1) PERO:
FBC = 3 KN (compresión)
(0,8) FBC - (0,8955) FCA = 0 (0,8)(3) - (0,8955) FCA = 0 2,4 - (0,8955) FCA = 0
FBC = 3,39 KN (compresión) FBC = 3 KN (compresión)
0,8955 F CA = 2,4
FCA =
2,4 0,8955
FCA = 3 KN (tension)
= 2,68 KN
FCA = 3 KN (tension) Problema 6.3 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. 945 lb
∑ FX = 0 BX = 0 Σ MB = 0
+
A
CY ( 12 + 3,75) - 945 (12) = 0 9 pies
CY (15,75) - 945 (12) = 0 CY (15,75) = 945 (12)
B
C
15,75 C Y = 11340 12 pies
CY =
11340 15,75
= 720 lb
3,75 pies
34
C Y = 720 lb Σ MC = 0
945 lb
945 (3,75) - B Y ( 12+ 3,75) = 0
+
A
FBA
945 (3,75) = B Y ( 15,75)
FCA
945 lb
3543,75 = 15,75 B Y
A BY =
3543,75 15,75
= 225 lb
B
BX
FCA
FBA
B Y = 225 lb.
C
FBC
FBC
9 pies
CY
BY
B
BX BY
C CY
12 pies
3,75 pies
NUDO B sen α =
9 15
FBA (X) = sen α (FBA) F ⎛ 9 ⎞ BA(X ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 15 ⎠
FBA FBC B Y = = 15 12 9 FBA FBC 225 = = 15 12 9
Hallar FBA FBA 225 = 15 9 (15) 225 FBA = = 375 lb. 9
cos α =
12
FBA
15
FBA (Y) = sen α (FBA) F ⎛ 12 ⎞ BA(Y ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 15 ⎠
BY
FBA BX
FBC
B
BX
FBC BY
Hallar FBC FBC 225 = 12 9 FBC =
(12) 225 9
= 300 lb.
FBC = 300 lb. (tracción)
FBA = 375 lb. (compresión)
35
Nudo C FCA (X)
FCA FBC
3,75 9,75
C FCA
FBC
CY
9
FCA (Y)
FCA
FCA
CY
FBC
C CY
FCA FBC C Y = = 9,75 3,75 9 FCA FBC = 9,75 3,75
C Y = 720 lb
Hallar FCA
FBC = 300 lb. (tracción)
FCA =
(9,75)300 3,75
B Y = 225 lb. FBA = 375 lb. (compresión)
= 780 lb
FCA = 780 lb. (compresión)
FCA = 780 lb. (compresión) Problema 6.3 Beer edic 8 Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión. 450 lb
450 lb B
A
AX
AY
FBA
FBA tensión
A 10 pies
FCA
B
FBC
compresión
C
FCA
FBC
10 pies
compresión
C 24 pies
7,5 pie
CY 7,5 pie
24 pies
Σ M A = 0
+
CY ( 7,5) - 450 (7,5 + 24) = 0
7,5 CY - 450 (31,5 ) = 0 7,5 CY - 14175 = 0 7,5 CY = 14175
CY =
14175 7.5
= 1890 lb
C Y = 1890 lb. 36
NUDO B AY AX
A A
450 lb
FBA
FBA
B
FBC 26
FBC
10
10 pies β
FBC
C
450 lb
24
FBA
CY
FBC 450 FBA = = 26 10 24
24 pies
7,5 pie
Hallar FBA
Cancelando términos semejantes
F 90 = BA 12
FBC 450 FBA = = 13 5 12
FBA = 90 (12) = 1080 lb (tensión)
FBC F = 90 = BA 13 12 AY
Hallar FBC
AX
FBC = 90 13
FCA
FBC = 90 (13) = 1170 lb (compresión) NUDO C
450 lb
FBA
FBA
A
B
FBC
FCA FBC
C
FCA
10 pies
CY
FBC
C
24 pies
7,5 pie
CY
cos α = cos α =
7,5
= 0,6 12,5 FCA (X )
sen α =
10 12,5
= 0,8
FCA (Y )
FCA FCA (X) = cos α (FCA)
sen α =
FCA (X ) = (0,6) FCA
FCA (Y) = sen α (FCA)
FCA(X)
FCA
FCA (Y ) = (0,8) FCA
FCA(Y)
FBC(X)
10 12,5
FCA
7,5
α
FBC β
26
10 FBC(Y)
24
CY
37
cos β = cos α =
24
= 0,923 26 FBC(X )
sen β =
10 26
= 0,3846
FBC FBC (X) = cos α (FBC)
sen β =
FBC (X ) = (0,923) FBC
FBC (Y) = sen β (FBC)
FBC(Y ) FBC
FBC (Y ) = (0,3846 ) FBC ∑ FY = 0
CY - FCA(Y) - FBC (Y) = 0 ∑ FX = 0
Pero: CY = 1890 lb. FCA (X) - FBC(X) = 0 1890 - F CA(Y) - FBC (Y) = 0 FCA(Y) + FBC (Y) = 1890
(0,6 ) FCA - (0,923) FBC = 0 (Ecuación 1)
0,8 FCA + 0,3846 F BC = 1890 (Ecuación 2) Resolver las ecuaciones 0,6 FCA - 0,923 F BC = 0 (0,3846) 0,8 FCA + 0,3846 F BC = 1890 (0,923)
FBA = 90 (12) = 1080 lb (tensión)
0,23 FCA - 0,354 F BC = 0
FBC = 90 (13) = 1170 lb (compresión)
0,7384 F CA + 0,354 FBC = 1744,47
FCA = 1801,39 KN (compresión)
0,23 FCA + 0,7384 F CA = 1744,47 0,9684 FCA = 1744,47
FCA =
1744,47 0,9684
= 1801,39 KN
FCA = 1801,39 KN (compresión)
38
Problema 6.4 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. 10,8 Kips
A
10,8 Kips 35 pies
22,5 pies
C
B 12 pies
D ∑ FX = 0 AX = 0 Σ M A = 0
+
D (22,5) - 10,8 (22,5) -10,8 (22,5 + 35) = 0
D (22,5) - 10,8 (22,5) -10,8 (57,5) = 0
A
D=
864 22,5
B
F AB
22,5 D - 243 - 621 = 0 22,5 D = 864
10,8 Kips
10,8 Kips
FBC
FBC
C
F AB
F AD
FBD
AY
= 38,4 Kips
D
D = 38,4 Kips
D
Σ MC = 0
+
AY (22,5 + 35) + 10,8 (35) – D (35) = 0
AY (57,5) + 10,8 (35) – (38,4) (35) = 0 57,5 AY + 378 – 1344 = 0 10,8 Kips
57,5 AY = 966 966 AY = = 16,8 Kips 57,5
A Y = 16,8 Kips
A
10,8 Kips 35 pies
22,5 pies
C
B
AX AY
12 pies
D D
39
Nudo A A F AB AY
F AD F AD(Y)
FAD FAB A Y = = 25,5 22,5 12
12
AY
25,5
A Y = 16,8 Kips
F AD
F AD(X)
F AB
FAD FAB 16,8 = = 25,5 22,5 12
25,5 22,5
F AD
22,5
12
A
F AB F AD
Hallar FAB
AY
FAB 16,8 = 22,5 12 FAB =
(22,5)16,8 12
= 31,5 Kips
Hallar FAD FAD 16,8 = 25,5 12
FAB = 35,7 Kips (tensión)
FAD =
(25,5)16,8 12
= 35,7 Kips
FAD = 35,7 Kips (compresión)
Nudo B 10,8 Kips
F AB
B
F AB
10,8 Kips
FBC
B
FBD
10,8 Kips
F AB
FBC FBD
FBC FBD
∑ FX = 0
∑ FY = 0
FBC – F AB = 0
FBD – 10,8 = 0
FAB = 35,7 Kips
FBD = 10,8 Kips (compresión)
FBC = F AB
FBC = 35,7 Kips (tensión)
40
Nudo C 10,8 Kips
10,8 Kips
C
FBC
FCD
37 35
12
FCD
FBC
FCD
FCD FBC 10,8 = = 37 35 12
C
FBC
10,8 Kips
AX = 0 D = 38,4 Kips A Y = 16,8 Kips
Hallar FCD FCD 10,8 = 37 12 (37 )10,8 FCD = = 33,3 Kips 12
FCD = 33,3 Kips (compresión)
FAB = 35,7 Kips (tensión) FAD = 35,7 Kips (compresión) FBC = 35,7 Kips (tensión) FBD = 10,8 Kips (compresión) FCD = 33,3 Kips (compresión)
Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P 1 = 800 lb. y P 2 = 400 lb. AY
6 pies
8 pies
A
TCA
AX
TCA TBC
TBA
CY
tensión
tensión
TBA P2 = 400 lb
- 400 (8) - 800 (6) + CY (6 + 8) = 0
- 400 (8) - 800 (6) + CY (14) = 0 - 3200 - 4800 + C Y (14) = 0
8 pies
TBC
B
P1 = 800 lb
Σ M A = 0
+
C
∑ FX = 0
AX – 400 = 0
AX = 400 lb.
41
- 8000 + C Y (14) = 0 CY (14) = 8000
CY =
8000
= 571,42 lb
14 C Y = 571,42 lb Σ MC = 0
- AY (6 + 8) - 400 (8) + 800 (8) = 0
+
- AY (14) - 400 (8) + 800 (8) = 0 - 14 AY - 3200 = 0 14 AY = 3200
AY =
3200
= 228,57 lb
14 A Y = 228,57 lb
NUDO B TBC
TBA (X) TBC
TBA
8
TBA
TBA (Y)
8 2
P2 = 400 lb
P2 = 400 lb
8
8
α
B
P2 = 400 lb
10 TBA 6
TBC TBC (Y)
TBC (X)
P1 = 800 lb P1 = 800 lb
sen α =
cos α =
sen α =
8 10 6 10
=
=
4 5 3 5
TBA(Y ) TBA ⎛ 4 ⎞
sen β =
cos β =
8
=
8 2 8 8 2
=
P1 = 800 lb
2 2 2 2
⇒ TBA(Y )= senα (TBA )
TBA(Y )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝ 5 ⎠ 42
cos α =
TBA(X ) TBA ⎛ 3 ⎞
⇒ TBA(X )= cosα (TBA )
TBA(X )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝ 5 ⎠
sen β =
⇒ TBC(Y )= sen β (TBC )
⎛ 2 ⎞ ⎟ (TBC ) ⎟ ⎝ 2 ⎠
- 400 + TBC (X) - TBA (X) = 0
cos β =
TBC (X) - TBA (X) = 400
(TBC ) -
2
TBC
TBC(Y )= ⎜⎜
∑ FX = 0
2
TBC(Y )
3 5
TBC(X ) TBC
⇒ TBC(X )= cosβ (TBC )
⎛ 2 ⎞ ⎟ (TBC ) ⎟ ⎝ 2 ⎠
TBA = 400 (Ecuación 1)
TBC(X )= ⎜⎜
∑ FY = 0
- 800 + TBC (Y) + TBA (Y) = 0 TBC (Y) + TBA (Y) = 800
2
4
(TBC ) +
2
5
TBA = 800 (Ecuación 2)
resolver ecuación 1 y ecuación 2
2
(TBC ) -
2 2
(TBC ) +
2
3
TBA = 400 ( -1)
5 4 5
TBA = 800
Reemplazando en la ecuación 1
2 2 2 2
-
2 2 2 2
(TBC ) + (TBC ) +
3 5 4 5
TBA = - 400 TBA = 800
2 2 2 2
7 5
TBA = 400
TBA =
TBA
(400)5
7 = 285,71 lb. (Tensión)
(TBC ) -
3 5
TBA = 400 (Ecuación 1)
3
(TBC ) - (285,71) = 400 5
(TBC ) - 171,42 = 400 (TBC ) = 571,42 ⎛ 2 ⎞ ⎟571,42 ⎝ 2 ⎠
TBC = ⎜
TBC = 808,12 lb. (Tensión)
43
NUDO C C
TCA
TBC
8 2 TBC
CY
8
8
CY
TCA
Las ecuaciones de equilibrio para el nudo C son:
TCA TBC C Y = = 8 8 8 2 Hallar TCA
TCA TBC = 8 8 2 Pero: TBC = 808,12 lb.
TCA 808,12 = 8 8 2 TCA =
808,12 2
= 571,42 lb
TCA = 571,42 lb (Compresión) Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P 1 = 500 lb. y P 2 = 100 lb. AY
6 pies
8 pies
A
TCA
AX
TCA TBC
TBA
CY
tensión
tensión
TBA P2 = 100 lb
Σ M A = 0
C
8 pies
TBC
B
P1 = 500 lb
44
- 100 (8) - 500 (6) (6) + CY (6 + 8) = 0
+
- 100 (8) - 500 (6) (6) + CY (14) = 0
∑ FX = 0
- 800 - 3000 + C Y (14) = 0
AX – 400 = 0
- 3800 + C Y (14) = 0
AX = 400 lb.
CY (14) = 3800
CY =
3800
= 271,42 lb
14 C Y = 271,42 lb Σ MC = 0
- AY (6 + 8) - 100 (8) + 500 (8) = 0
+
- AY (14) - 100 (8) + 500 (8) = 0 - AY (14) - 800 + 4000 = 0 - 14 AY + 3200 = 0 14 AY = 3200
AY =
3200
= 228,57 lb
14 A Y = 228,57 lb
TBA (X) 8
NUDO B
TBA (Y)
TBC
10 TBA 6
8 2 8
α
TBC TBC
TBA
8
TBC (Y) (Y)
TBC (X)
P2 = 400 100 lb
TBA P1 = 800 500 lb
B
P2 = 100 lb
P2 = 100 lb P1 = 500 lb P1 = 500 lb
sen α =
cos α =
8 10 6 10
=
=
sen β =
4 5 3
cos β =
8
=
8 2 8 8 2
=
2 2 2 2
5
45
sen α =
TBA(Y ) TBA ⎛ 4 ⎞
⇒ TBA(Y )= senα (TBA )
TBA(Y )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝ 5 ⎠ cos α =
TBA(X ) TBA ⎛ 3 ⎞
⇒ TBA(X )= cosα (TBA )
TBA(X )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝ 5 ⎠
sen β =
∑ FX = 0
- 100 + TBC (X) - TBA (X) = 0
(TBC ) -
2
3 5
TBC
⇒ TBC(Y )= sen β (TBC )
⎛ 2 ⎞ ⎟ (TBC ) ⎟ ⎝ 2 ⎠
TBC(Y )= ⎜ ⎜
TBC (X) - TBA (X) = 100
2
TBC(Y )
cos β = TBA = 100 (Ecuación 1)
TBC(X ) TBC
⇒ TBC(X )= cosβ (TBC )
⎛ 2 ⎞ ⎟ (TBC ) ⎟ ⎝ 2 ⎠
TBC(X )= ⎜⎜
∑ FY = 0
- 500 + TBC (Y) + TBA (Y) = 0 TBC (Y) + TBA (Y) = 500
2
4
(TBC ) +
2
5
TBA = 500 (Ecuación 2)
Reemplazando en la ecuación 1
2 2
resolver ecuación 1 y ecuación 2
2
3
TBA = 100 ( -1) 5 4 (TBC ) + TBA = 500 2 5
(TBC ) -
2 2
2 2 2 2 2
-
2 2 2 2
7 5
(TBC ) +
3
(TBC ) +
4
5 5
TBA = 400
(TBC ) -
3 5
TBA = 100 (Ecuación 1)
3
(TBC ) - (285,71) = 100 5
(TBC ) - 171,42 = 100 (TBC ) = 271,42
TBA = - 100
2
TBA = 500
TBC = ⎜
⎛ 2 ⎞ ⎟271,42 2 ⎝ ⎠
TBC = 383,84 lb. (Tensión)
46
(400)5
TBA =
TBA
7 = 285,71 lb. (Tensión)
NUDO C Las ecuaciones de equilibrio para el nudo C son:
TCA TBC C Y = = 8 8 8 2
C
TCA
TBC
8 2 TBC
Hallar TCA
8
8
CY
TCA TBC = 8 8 2
CY
TCA
Pero: TBC = 383,84 lb.
TBA = 285,71 lb. (Tensión)
TCA 383,84 = 8 8 2
TBC = 383,84 lb. (Tensión) TCA = 271,42 lb (Compresión)
TCA =
383,84 2
= 271,42 lb
TCA = 271,42 lb (Compresión) Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10 La armadura, usada para soportar un balcón, esta sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nudo como un pasador y determine la fuerza en cada miembro. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P 1 = 600 lb P 2 = 400 lb. P2 = 400 lb
P1 = 600 lb
A
B
F AB F AD
FBC
FBC
C
CY CX
F AB FDC
FBD
4 pies FBD FDC
F AD
D 4 pies
FED
E FED
EX EY = 0
4 pies
Σ MC = 0
+
P1 (4 + 4) + P 2 (4) – E X (4) = 0
47
600 (4 + 4) + 400 (4) – E X (4) = 0 P2 = 400 lb
P1 = 600 lb
600 (8) + 400 (4) – 4 E X = 0 4800 + 1600 – 4 E X = 0
A
B
F AB
6400 – 4 E X = 0
F AD
FBC
FBC
C
CY CX
F AB FBD
FDC
4 EX = 6400 4 pies
EX =
6400
4 EX = 1600 lb
FBD
= 1600 lb
FDC
F AD
D
FED
4 pies
NUDO A
E FED
EX EY = 0
4 pies
P1 = 600 lb
A
F AB
F AB 4
F AD
4 2
Las ecuaciones de equilibrio para el nudo A son:
4
P1 = 600 lb
F AD
FAB FAD 600 = = 4 4 4 2 Cancelar términos semejantes
F FAB = AD = 600 2 Hallar F AB
FAB = 600 lb
Hallar F AD
FAD = 600 2 FAD =
( 2 ) 600 = 848,52 lb
FAD = 848,52 lb (compresión)
FAB = 600 lb (Tension)
48
NUDO E
FED
P2 = 400 lb
P1 = 600 lb
E
EX
A
EY = 0
Σ FX = 0 FED - EX = 0
B
F AB
FBC
C
CY CX
F AB
F AD
FED = EX
FBC
FBD
FDC
4 pies FBD
PERO: EX = 1600 lb
FED = 1600 lb (compresión)
D
Σ FY = 0
E
FDC
F AD
FED
FED
4 pies
4 pies
P1 = 600 lb
P2 = 400 lb
EX EY = 0
E Y = 0
NUDO B P2 = 400 lb F AB
B
FBC P2 = 400 lb
F AB FBD
Σ FX = 0 FBC - F AB = 0
FBD
A
FBC
B
F AB F AD
FBC
FBC
C
CY CX
F AB FBD
FDC
4 pies FBD
FBC = F AB
FDC
F AD
D
PERO: FAB = 600 lb (Tensión)
4 pies
FED
E FED
EX EY = 0
4 pies
FBC = 600 lb (Tensión) Σ FY = 0
FBD - 400 = 0
FBD = 400 lb (compresión) Σ FY = 0
CY - 600 - 400 = 0
Σ FX = 0 CX - EX = 0 CX = EX
PERO: EX = 1600 lb
CX = 1600 lb
CY - 1000 = 0
C Y = 1000 lb.
49
NUDO C P2 = 400 lb
P1 = 600 lb
Σ FY = 0 FBC
CY – FDC(Y) = 0
C
A
CY CX
CY = FDC(Y)
B
F AB F AD
FBC
CX FBD
FBD
sen α =
1
4 2
2
D
= 0,7071
FDC(Y )
FDC =
FDC(Y ) senα 1000 0,7071
= 1414,22 lb
FDC = 1414,22 lb (tensión)
FED
EX EY = 0
4 pies
FDC 4
FDC (Y)
4
FDC =
FED
4 pies
4 2
FDC
E
FDC
F AD
=
FDC
4 pies
FDC(Y) = 1000 lb
4
CY
C
F AB
FDC
PERO: C Y = 1000 lb.
sen α =
FBC
FDC (X)
FBC FDC
FDC (Y)
CY
CX
FBD = 400 lb (compresión) FBC = 600 lb (Tensión)
EX = 1600 lb
FAB = 600 lb (Tensión)
E Y = 0
FED = 1600 lb (compresión)
CX = 1600 lb
FAD = 848,52 lb (compresión)
C Y = 1000 lb.
FDC = 1414,22 lb (tensión)
50
Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10 La armadura, usada para soportar un balcón, esta sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nudo como un pasador y determine la fuerza en cada miembro. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P 1 = 800 lb P 2 = 0 lb. FUERZA CERO
P1 = 800 lb
A
B
F AB F AD
FBC
FBC
CY
C
CX
F AB FBD = 0
4 pies
FDC
FBD = 0
D
FED
4 pies
Σ MC = 0
E
FDC
F AD
FED
EX EY = 0
4 pies
P1 (4 + 4) – E X (4) = 0
+
800 (4 + 4) – E X (4) = 0 800 (8) – 4 E X = 0 6400 – 4 E X = 0 4 EX = 6400
EX =
6400
4 EX = 1600 lb
= 1600 lb P1 = 800 lb
NUDO A
A
F AB P1 = 800 lb
A
4 F AB
4 2
4
B
F AB F AD
FBC
C
FBD = 0
4 pies
CY CX
F AB
P1 = 800 lb
F AD
FBC
FDC
FBD = 0
F AD
Las ecuaciones de equilibrio para el nudo A son:
FAB FAD 800 = = 4 4 4 2
FDC
F AD
D 4 pies
FED
E FED
EX EY = 0
4 pies
Cancelar términos semejantes
51
F FAB = AD = 800 2
Hallar F AD
FAD = 800 2
Hallar F AB
FAB = 800 lb
FAD =
FAB = 800 lb (Tensión)
FAD = 1131,37 lb (compresión)
NUDO E Σ FX = 0 FED - EX = 0
FED = EX
( 2 )800 = 1131,37 lb P1 = 800 lb
E FED
A
EX
FBC
C
FBC
CY CX
F AB
F AD
EY = 0
PERO: EX = 1600 lb
B
F AB
FBD = 0
4 pies
FDC
FBD = 0
FED = 1600 lb (compresión) Σ FY = 0
D
E Y = 0
E
FDC
F AD
FED
4 pies
FED
EX EY = 0
4 pies
NUDO B FUERZA CERO Si tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte este aplicada al nudo. FUERZA CERO B FBC P1 = 800 lb Σ FX = 0 FBC - F AB = 0 F AB B C
FBC = FAB
FBD
A
FBC
F AB
F AD
FBC
C
Y
CX
F AB FBD = 0
FDC
Pero:
FAB = 800 lb (Tensión)
4 pies
FBD = 0
FBC = 800 lb (Tensión) Σ FY = 0
FBD = 0
FDC
F AD
D 4 pies
FED
E FED
EX EY = 0
4 pies
52
Σ FY = 0
Σ FX = 0
CY - 800 = 0
CX = EX
C Y = 800 lb.
PERO: EX = 1600 lb
CX - EX = 0
FDC
CX = 1600 lb
4 2
4
FBC
NUDO C
FDC
Σ FY = 0
FBC
C
CY – FDC(Y) = 0 FDC
PERO: C Y = 800 lb.
P1 = 800 lb
A
sen α =
FDC = FDC =
B
F AB F AD
1
=
4 2 2 FDC(Y )
= 0,7071
0,7071
CX = 1600 lb
FBD = 0
C
CY
FDC
FBD = 0 FDC
D
FED
4 pies
E FED
EX EY = 0
4 pies
FBD = 0 lb
= 1131,38 lb
FBC = 800 lb (Tensión) FAB = 800 lb (Tensión)
FDC = 1131,38 lb (tensión) EX = 1600 lb
FBC
CX
F AD
FDC(Y )
800
FBC
F AB
4 pies
FDC
senα
FDC (X)
CY
CX
FDC(Y) = 800 lb
4
FDC (Y)
CY CX
CY = FDC(Y)
sen α =
FDC (Y)
4
E Y = 0
FED = 1600 lb (compresión) FAD = 1131,37 lb (compresión) FDC = 1131,38 lb (tensión)
C Y = 800 lb.
53
Problema c-34 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. BY FUERZA CERO
FCB
B
BX
F AB
FCB
C
3 pies
FDC
FCA
FDC
D
FDA
FCA
F AB
FDA
A AX
2 pies
2 pies 300 lb
NUDO D
FDC FDC 5
FDC 300 FDA = = 5 3 4 FDC F = 100 = DA 5 4 Hallar FDA FDA = 100 4
D
FDA
300 lb
3
4
FDA 300 lb
Hallar FCD FDC = 100 5 FDC = (5) 100 = 500 lb (Tensión)
FDA = (4) 100 = 400 lb (compresión) FUERZA CERO
Si tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte este aplicada al nudo. FUERZA CERO
FCA = 0 FCB
FDC = FCB Pero: FDC = 500 lb
C FDC
FCA = 0
FCB = 500 lb (Tensión)
54
NUDO A FCA = 0
FDA
F AB = 0
FCA = 0
F AB = 0
BY
A AX
∑ FX = 0
FDA - AX = 0
FCB
AX
FDA
FCA = 0
B
BX
FCB
C
FAB = 0
∑ FY = 0
FCB = 500 lb (Tensión)
FAB = 0
FDA = (4) 100 = 400 lb
3 pies
FDC FDC
D
(compresión)
FDA
FDA 2 pies
2 pies
FDC = (5) 100 = 500 lb
(Tensión)
A AX
300 lb
Problema C-35 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en los miembros AE y DC. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. E
D
F
F AB =
0
F AE
FCD
3 pies F AF = 0
A AX = 0 AY
F AE
FCB = 0
F AB
F AB
B
FCD
C
FCB = 0
4 pies
4 pies
CY
800 lb
∑ FY = 0
AY – 800 + C Y = 0 Pero: CY = 400 lb AY – 800 + 400 = 0 AY – 400 = 0
A Y = 400 lb
55
Σ M A = 0
- 800 (4 ) + C Y (4 + 4) = 0
+
- 3200 + C Y (8) = 0 CY (8) = 3200
CY =
3200
8 C Y = 400 lb
= 400 lb
∑ FX = 0
AX = 0 NUDO C ∑ FY = 0
FCB = 0
FCD
C
CY – FCD = 0 CY
Pero: CY = 400 lb CY = FCD
FCD = 400 lb (compresión) ∑ FX = 0
E
F F AB =
FCB = 0
0
D
F AE
FCD
3 pies F AF = 0
A AX = 0 AY
F AE
FCB = 0
F AB
F AB
B
4 pies
FCD
C
FCB = 0 4 pies
CY
800 lb
56
NUDO A F AF = 0
A AX = 0
F AE 5
F AE
4
F AB
F AB
AY
FAE 400 FAB = = 5 3 4
E
F
FAE A Y FAB = = 5 3 4
Pero: A Y = 400 lb
AY
3
F AB
=0
D
F AE
FCD
3 pies F AF = 0
A AX = 0
F AE
FCD
FCB = 0
F AB
B
F AB 4 pies
AY
C
FCB = 0 CY
4 pies 800 lb
Hallar FAE FAE 400 = 5 3 400(5) F AE = 3
Hallar FCD FAB 400 = 4 3 FAB = 533,33 lb (Tensión)
FAE = 666,66 lb (compresión) Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están a tensión o en compresión. Considere P 1 = 2 KN y P2 = 1,5 kN. AY
A AX
FBA FBA
B
Y = 3,464
FCB
FBE FDB FBE FDB
E
EX CY
FDE
FDE
Y = 1,732 F1DB
D
3m
FCD
FCB 30
C
FCD 3m
2 KN
1,5 KN
57
Σ ME = 0
- 2 (3) – 1,5 (3 + 3) + AX (3,464) = 0
+
- 6 – 1,5 (6) + 3,464 A X = 0 - 6 – 9 + 3,464 A X = 0 - 15 + 3,464 A X = 0 3,464 AX = 15
15
AX =
3,464 AX = 500 N
tg 30 =
Y 6
Y = 6 tg 30 = 6 (0,5773) = 3,464 m
= 4,33 kN
Y tg 30 = 1 3
NUDO C
Y1 = 3 tg 30 = 3 (0,5773) = 1,732 m AY
FCB 30
C
FCD
A AX
1,5 KN
B FCB
FCB FDB
1,5 KN 3,464
Y 1 = 1,732
3m
EX
E
FCD
CY
FCB
FDB FDE
D
FDE
30
FCD
2 KN
C
FCD 1,5 KN
Las ecuaciones de equilibrio para la junta C son:
FCB F 1,5 = = CD 3,464 1,732 3
1,5 1,732
Hallar FCB
FCB 1,5 = 3,464 1,732
FCB =
Hallar FCD
1,5 (3,464) 1,732
F = CD
FCD =
3
1,5 (3)
= 2,598 kN 1,732 FCD = 2,598 kN (compresión) = 3 kN
FCB = 3 kN (tensión) 58
NUDO D
FDB
FDE
FCD
D
AY
FDE FDB
2 KN
A
∑ FY = 0
2 KN
FCD
AX
∑ FX = 0
FDB - 2 = 0
FDE - FCD = 0
FDB = 2 kN (tensión)
B
FDE = FCD
FCB FDB
Pero: FCD = 2,598 kN (compresión)
FDE = 2,598 kN (compresión)
E
EX
FCB
FDB
CY
FDE
D
FDE
NUDO B
30
FCD
C
FCD
2 KN
FBA
B FBA(X)
FCB
FBE
AY
A
FBA
FBA(Y)
FDB
FBA
AX
1,5 KN
30
FBE(Y)
B
CY
FDE
FDE
D 2 KN
FBA(Y ) sen 30 = FBA
FCB(X)
FCB
FDB
E
FCB(Y)
FDB
FDB
EX
FCB
FBE FBE(X)
FCB
FBE FBE
30
30
FBA
30
FCD
C
FCD 1,5 KN
Para abreviar los cálculos
sen 30 =
3 2
sen 60 =
1 2
FBA (Y) = FBA sen 30
⎛ 1 ⎞ FBA(Y ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 59
sen 30 =
FBE(Y ) FBE
cos 30 =
FBA(X ) FBA
FBE (Y) = FBE sen 30
FBA (X) = FBA cos 30
⎛ 1 ⎞ FBE(Y ) = FBE ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
FBA(X ) = FBA ⎜ ⎜
FCB(Y ) sen 30 = FCB
cos 30 =
FCB (Y) = FCB sen 30
FBE (X) = FBE cos 30
⎛ 1 ⎞ FCB(Y ) = FCB ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠
cos 30 =
FCB(X ) FCB
FCB (X) = FCB cos 30
⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝ ⎠
FCB(X ) = FCB ⎜ ⎜
FBE(X ) FBE
⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝ ⎠
FBE(X ) = FBE ⎜⎜
∑ FY = 0
FBA (Y) + FBE (Y) - FCB (Y) - FDB = 0
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBA + ⎜ ⎟FBE - ⎜ ⎟ FCB - FDB = 0 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Pero: FDB = 2 kN (tensión) FCB = 3 kN (tensión)
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟FBE - ⎜ ⎟ (3) - 2 = 0 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟ FBE = ⎜ ⎟ (3) + 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟FBE = 1,5 + 2 = 3,5 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 0,5 FBA + 0,5 F BE = 3,5 dividiendo por 0,5 (para simplificar)
FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) ∑ FX = 0
- FBA (X) + FBE (X) + FCB (X) = 0
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟FBA + ⎜ ⎟FBE + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FCB = 0 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- ⎜⎜
- FBA + FBE + FCB = 0
60
Pero: FCB = 3 kN (tensión) - FBA + FBE + 3 = 0 - FBA + FBE = - 3 (- 1)
FBA - FBE = 3 (Ecuación 2) Resolver la ecuación 1 y 2 FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) FBA - FBE = 3
(Ecuación 2)
AX = 500 N FCB = 3 kN (tensión)
2 FBA = 10
FBA =
10 2
= 5 kN
FBA = 5 kN (tensión) Reemplazando en la ecuación 1
FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) Pero: FBA = 5 kN (tensión)
FCD = 2,598 kN (compresión) FDE = 2,598 kN (compresión) FDB = 2 kN (tensión) FBA = 5 kN (tensión) FBE = 2 kN (compresión)
5 + FBE = 7 FBE = 7 - 5
FBE = 2 kN (compresión)
61
PROBLEMA RESUELTO ESTATICA MERIAM Edic 3. Calcular, por el método de los nudos, la fuerza en los miembros del entramado en voladizo
B
FBD
FBD
5m
F AB
FBC
F AB
A
D
5m
5m
FCD
FBC
F AC
F AC
C
5m 30 kN
FCE
E
5m 20 kN
B
TX
D
5m 60
60
TY
30
5m
60
EX
A
C 5m
30 kN
T
E 5m
EY
20 kN
Σ ME = 0
+
- T (5) + 30 (5 + 5) + 20 (5) = 0
- 5 T + 30 (10) + 20 (5) = 0 - 5 T + 300 + 100 = 0 - 5 T + 400 = 0 5 T = 400
62
T=
400
= 80 N
5
T = 80 N T sen 30 = Y T
T cos 30 = X T
TX = T cos 30
T Y = T sen 30
Pero: T = 80 N
Pero: T = 80 N
TX = 80 (0,866)
TY = 80 (0,5)
TX = 69,28 N
T = 40 N
∑FY = 0
∑FX = 0
TY + EY - 30 - 20 = 0
TX - EX = 0
TY + EY - 50 = 0
Pero: TX = 69,28 N
Pero: TY = 40 N
TX = EX
40 + EY - 50 = 0
EX = 69,28 N
EY - 10 = 0
E Y = 10 KN A continuación, dibujamos los diagramas de sólido libre que muestren las fuerzas actuantes en cada nudo. La exactitud de los sentidos asignados a las fuerzas se comprueba al considerar cada nudo en el orden asignado. No debe haber dudas acerca de la exactitud del sentido asignado a las fuerzas actuantes en el nudo A. El equilibrio exige
NUDO A
F AB
F FAB 30 = = AC 5 4,33 2,5
A
Hallar F AB
FAB 30 = 5 4,33 FAB =
(30 ) 5 4,33
F AB
F AC
5
4,33 2,5
30 kN
F AC
30 kN
Se halla F AC
30 4,33
F = AC
FAC =
= 34,64 KN
2,5 (30) 2,5 4,33
= 17,32 KN
FAC = 17,32 kN (compresion)
FAB = 34,64 kN (tensión)
63
NUDO B B FBD
FBD FBC
F AB
FBC FBC (Y)
F AB (Y) F AB
FBC(Y ) sen 60 = FBC FBC(Y) = FBC sen 60
⎛ 3 ⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ FBC(Y ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ FBC ⎝ ⎠ sen 60 =
FAB(Y ) FAB
F AB(Y) = F AB sen 60
Para abreviar los cálculos
sen 60 =
3 2
cos 60 =
FAB(X ) FAB F AB(X) = F AB cos 60 ⎛ 1 ⎞ FAB(x ) = FAB ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ cos 60 =
⎛ 1 ⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ FAB ⎝ 2 ⎠
1 2
60 FBC (X)
cos 60 =
60 F AB (X)
FBC(X ) FBC
FBC(X) = FBC cos 60
⎛ 1 ⎞ FBC(x ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ FBC(x ) = ⎜ ⎟ FBC ⎝ 2 ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 3 ⎞ ⎟ FAB 2 ⎠⎟
FAB(Y ) = FAB ⎜ ⎜
⎛
FAB(Y ) = ⎜ ⎜
⎝
∑FY = 0
FBC(Y) - F AB(Y) = 0 FBC(Y) = F AB(Y)
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ FBC = ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FAB ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ FBC = F AB
PERO: F AB = 34,64 kN
FBC = 34,64 kN (compresión) ⎛ 1 ⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ FAB ⎝ 2 ⎠ 64
PERO: F AB = 34,64 kN ⎛ 1 ⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ (34,64) = 17,32 KN ⎝ 2 ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎟ FBC ⎟ ⎝ 2 ⎠ PERO: FBC = 34,64 kN ⎛ 1 ⎞ FBC(x ) = ⎜ ⎟ (34,64 ) = 17,32 KN ⎝ 2 ⎠ FBC(x) = 17,32 KN FBC(x ) = ⎜ ⎜
FAB(x) = 17,32 KN ∑FX = 0
- F AB(x) - FBC(x) + FBD = 0
PERO: F AB(x) = 17,32 KN FBC(x) = 17,32 KN - F AB(x) - FBC(x) + FBD = 0 -17,32 – 17,32 + F BD = 0 - 34,64 + FBD = 0
B
FBD = 34,64 KN (tensión)
5m
5m
FBC
FCD
FED
5m
FCD
FBC
F AC
F AB
T
FBD
FBD
NUDO C
D
F AB
C
FCD
FBC
FED EX
FCE
A
F AC
F AC
FCE
C
5m
E
FCE 5m
EY
20 kN 30 kN
20 kN
FCD (X)
FBC (X)
PERO:
FAC = 17,32 kN (compresion) FBC = 34,64 kN (compresión) FBC(x) = 17,32 KN ⎛ 3 ⎞ ⎟ FBC ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ FBC(Y ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ (34,64) = 30 KN ⎝ ⎠ FBC(Y) = 30 KN FBC(Y ) = ⎜ ⎜
FBC
FCD
FBC (Y)
FCD(Y)
0
60
60
F AC
FCE
20 kN
65
cos 60 = FCD(X)
FCD(X )
FCD = FCD cos 60
⎛ 1 ⎞ FCD(x ) = ⎜ ⎟ FCD ⎝ 2 ⎠ ∑FX = 0
sen 60 = FCD(Y)
FCD(Y )
FCD = FCD sen 60
⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 3 ⎞ ⎟ FCD 2 ⎠⎟
FCD(Y ) = FCD ⎜ ⎜
⎛
FCD(Y ) = ⎜ ⎜
⎝
FCD(x) + FBC(x) + F AC – FCE = 0
PERO: F AC = 17,32 kN (compresión) FBC(x) = 17,32 KN FCD(x) + 17,32 + 17,32 – FCE = 0
FCD(x) + 34,64 – FCE = 0 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FCD - FCE = - 34,64 (Ecuación 1) ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ FCD(Y ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ FCD ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ FCD = ⎜⎜ ⎟⎟ FCD(Y ) 3 ⎝ ⎠ PERO: FCD(Y) = 50 KN ⎛ 2 ⎞ FCD = ⎜⎜ ⎟⎟ 50 = 57,73 KN ⎝ 3 ⎠ FCD = 57,73 kN (Tensión)
∑FY = 0
- FBC(Y) + FCD(Y) – 20 = 0
PERO: FBC(Y) = 30 KN - 30 + FCD(Y) – 20 = 0 - 50 + FCD(Y) = 0
FCD(Y) = 50 KN
Reemplazar en la ecuación 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FCD - FCE = - 34,64 (Ecuación 1) ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 57,73 - FCE = - 34,64 ⎝ 2 ⎠ 28,86 – F CE = - 34,64 – FCE = - 34,64 - 28,86 – FCE = - 63,5 (-1)
FCE = 63,5 KN (compresión) 66
NUDO E B
FED
5m
E
FCE
5m
FBC
F AB
T
FED
5m
FBD
FBD
EX
D
FCD
EY
F AB
FCD
FBC
FED
∑FY = 0
EX
A
EY - FED (Y) = 0
F AC
F AC
C
FCE
5m
FED (Y) = EY
PERO:
E
FCE 5m
EY
20 kN
30 kN
EY = 10 KN
FED (Y) = 10 KN sen 60 =
FED (X)
FED(Y ) FED
FED
FED (Y) = FED sen 60 FED =
FED(Y ) sen 60
=
10 0,866
FED (Y)
= 11,54 kN 60 EX
FCE
FED = 11,54 KN (compresión)
EY
T = 80 N
EX = 69,28 N
E Y = 10 KN
FAB = 34,64 kN (tensión)
FAC = 17,32 kN (compresión)
FBC = 34,64 kN (compresión)
FBD = 34,64 KN (tensión)
FCD = 57,73 kN (Tensión)
FCE = 63,5 KN (compresión)
FED = 11,54 KN (compresión)
67
Problema 4.1 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada
B
B
600N
600N 1,25 m
1,25 m
C
A AX
C
A
AY
B 3m
3m
CY
600N
FBA
FBC
Σ M A = 0
CY (3) – 600 (1,25) = 0
+
3 CY – 750 = 0 3 CY = 750
CY =
750
3 C Y = 250 N
FBA
A
AX
FCA
FBC
C
FCA
CY
AY
= 250 N
Σ MC = 0
AY (3) – 600 (1,25) = 0
+
Σ FX = 0
3 AY – 750 = 0
600 – AX = 0
3 AY = 750
AY =
750
3 A Y = 250 N
600 = AX
= 250 N
B
AX = 600 Newton
600N
FBA
FBC
Nudo B B
B 600N
FBC
FBA
FBC FBA 600 = = 3,25 1,25 3 FBC FBA = = 200 3,25 1,25
FBA
A
AX
FCA
AY
FBC 1,25
FBA
FBC FCA
C CY
3,25
Hallar FBC 3
600N
FBC = 200 3,25 FBC = 200 (3,25)
FBC = 650 Newton (compresión)
68
Hallar F AB
FBA = 200 1,25 F AB = 200 (1,25)
FAB = 250 Newton (tracción) Nudo C FBC
B C
FCA
FBC
CY = 250 N
CY
1,25
600N
FBA
FBC
3,25 3
FBC C Y FCA = = 3,25 1,25 3
FCA
C
FBA
A
AX
FCA
FBC FCA
AY
C CY
FBC = 650 Newton (compresión) 650 3,25
=
CY 1,25
F = CA 3
Hallar FCA
650 3,25 FCA =
F = CA
3 (650) 3
3,25 FCA = 600 Newton (tracción)
C Y = 250 N AX = 600 Newton A Y = 250 N FAB = 250 Newton (tracción) FBC = 650 Newton (compresión) FCA = 600 Newton (tracción)
69
Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco; Problema 4.2 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura simple equilátera
A Y AX A
1,732 m
2m
B
2m
2m
C CX
Σ M A = 0
CX (2) - 735,75 ( 1,732) = 0
+
W=mxg
⎛
CX (2) = 1274,31
CX =
735,75 N
1274,31
w = 75 kg ⎜ 9,81
⎜ ⎝
= 637,15 N
m ⎞⎟ = 735,75 Newton ⎟ 2 seg
⎠
W = 735,75 Newton
2 CX = 637,15 Newton
∑FY = 0
∑FX = 0
CX - AX = 0
AY – 735,75 = 0
CX = AX
A Y = 735,75 Newton
AX = 637,15 Newton Nudo B
FBA 367,87 = 2 1
FBA
B
D
1
30
367,87 N FBC 735,75 N
2
FBA
1,732
FBA = 2 X 367,87
FBA = 735,75 Newton
735,75 N 1,732 367,87 N
1
2
FBC
FBC 367,87 = 2 1 FBC = 2 X 367,87
FBC = 735,75 Newton
70
Nudo C FBC FCA C = = X 2 1 1,732 FBC = 735,75 Newton (compresión) 735,75 2 FCA =
F = CA
CX
FBC
FCA
1 735,75
CX
FCA
30
FBC
1,732
C
2
1
FCA = 367,87 Newton (tensión)
2
Problema 4.3 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada. Explicar por que no hace falta saber las longitudes de los miembros. 2,4 kN
2,4 kN
B
A
B
60
30
A
C
60
30
C
AX CY
AY
Nudo B
2,4 kN
2,4 kN
FBA
B
30 2,4 kN
FBA
FBC
FBA (Y)
60
FBA
FBC
FBC (Y)
FBA (X)
FBA(Y ) sen 30 = FBA
FBC
FBA(Y) = FBA sen 30
FBC (X)
⎛ 1 ⎞ FBA(Y ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ FBA(Y ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 2 ⎠
Para abreviar los cálculos
sen 30 =
1 2
sen 60 =
3 2
cos 60 =
1 2
cos 30 =
3 2
71
sen 60 =
FBC(Y ) FBC
cos 30 =
FBC(Y) = FBC sen 60
cos 60 =
⎛ 3 ⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
FBC(X ) FBC
FBA(X ) FBA
FBA(X) = FBA cos 30
FBC(X) = FBC cos 60
∑ FX = 0
⎛ 1 ⎞ FBc(x ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ FBc(x ) = ⎜ ⎟ FBC ⎝ 2 ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 3 ⎞ ⎟ FBA 2 ⎠⎟
FBA(x ) = FBA ⎜⎜
⎛
FBA(x ) = ⎜⎜
⎝
FBA(X) - FBC(X) = 0
⎛ 3 ⎞ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBA - ⎛ ⎜ ⎟ FBC = 0 (ECUACIÓN 1) ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Resolver las ecuaciones
⎛ 3 ⎞ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBA - ⎛ ⎜ ⎟ FBC = 0 3 ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ FBC = 2,4 + F ⎜ ⎟ BA ⎜⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ FY = 0
FBA(Y) + FBC(Y) - 2,4 = 0
⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ FBC = 2,4 (ECUACIÓN 2) ⎜ ⎟ FBA + ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟ FBC = 0 F ⎜ ⎟ BA ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ FBC = 2,4 + F ⎜ ⎟ BA ⎜⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBA + ⎜ ⎟ FBA = 2,4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 FBA = 2,4
FBA =
2,4 2
= 1,2 kN
FBA = 1,2 kN (compresión)
72
⎛ 3 ⎞ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBA - ⎛ ⎜ ⎟ FBC = 0 (ECUACIÓN 1) ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBA = ⎛ ⎜ ⎟ FBC ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 FBA = FBC FBA = 1,2 kN 3 (1,2) = FBC
FBC = 2,078 kN (compresión) FBC
Nudo C
FBC
cos 60 =
FCA(X ) FCA
60
C
60
FCA (X)
FCA
FCA (X) = (cos 60) F CA
CY
CY FCA
60
FCA
∑ FX = 0
FCA (Y)
FCA (X) - FBC = 0 (cos 60) FCA - FBC = 0 (cos 60) FCA = FBC
FCA =
FBC 2,078 = = 1,039 kN cos 60 0,5
FBA = 1,039 kN (tracción)
73
Problema 4.3 Estática Meriam edición cinco Determine the force in each member of the truss. Note the presence of any zero-force members.
5 kN
A Y Ax
3m
FAB
A FBC
Σ M A = 0
1m
FCA FCA
FCD Dx
DX - 15 = 0
B FBC
FBC
DX (1) - 5 (3) = 0
+
FAB
FCD
D
FBC C
2m
DX = 15 KN Σ FX = 0 DX – AX = 0
5 kN
A Y Ax
b=3m
A
B
0
DX = AX
FBC 1m
δ = 26,56
Ө
β
c= 5
FBC
a = 2 2
D Dx
2m
C ley de cosenos
PERO: DX = 15 KN
a2 = b2 + c2 – 2 b c sen δ
AX = 15 KN
a 2 = (3)2 +
Σ FY = 0 AY – 5 = 0
A Y = 5 KN tg θ =
( 5 )2 - 2 (3) ( 5 )sen 26,56
a2 = 9 + 5- 6
( 5 ) (0,4471)
a 2 = 14 - 2,68
( 5)
2
1 Ө = arc tg (2) Ө = 63,430
a 2 = 14 - 6
a2 = 8
a = 8 =2 2
74
Ө + δ = 900 0
δ = 90 - Ө 0
δ = 90 – 63,43 δ =
26,560 FAB
NUDO B
FBC(X)
5 kN
FBC FAB
B
5 kN
0
β = 45
FBC(Y)
FBC
FBC
ley de cosenos c2 = a2 + b2 – 2 a b sen β
β = arc tg 0,7071 β = 450
( 5 )2 = (2 2 )2 + (3)2 - 2 (2 2 ) (3) sen β 5 = 8 + 9 - 12
( 2 )sen β
cos β = cos 45 = 0,7071 sen β = sen 45 = 0,7071
5 = 8 + 9 - 16,97 sen β 5 = 17 - 16,97 sen β 16,97 sen β = 17 - 5 = 12 sen β =
12 16,97
= 0,7071
FBC(X) = FBC cos 45 Pero:
FBC = 7,071 KN FBC(X) = FBC cos 45
75
FBC(X) = FBC cos 45
FBC(X ) cos 45 = FBC
Pero:
FBC = 7,071 KN
FBC(X) = FBC cos 45
FBC(X) = FBC cos 45
Σ FY = 0 FBC(Y) – 5 = 0
FBC(X) = (7,071) (0,7071)
FBC(Y) = 5 kN FBC =
FBC(X) = 5 kN
FBC(Y ) sen 45
=
5 0,7071
Σ FX = 0 FBC(X) – F AB = 0
= 7,071 kN
FBC = 7,071 KN
F AB = FBC(X) FAB = 5 kN
NUDO C 5 kN
FCA
A Y
FBC
FCD
C
Ax
3m
FAB
A FBC
1m
cos 26,56 =
FCA
β = 45
FCA
FCD Dx
B 0
FBC
FBC
FCA(X )
FCA FCA(X) = FCA cos 26,56
FAB
FCD
D
FBC C
2m
FCA(X) = 0,8944 FCA
FBC(X) Σ FY = 0
FCA(Y) – FBC(Y) = 0 FCA(Y) = FBC(Y)
FBC
FBC(Y) 0
FCD
β = 45
0
Pero: FBC (Y) = 5 kN
δ = 26,56
FCA
FCA(Y) = 5 kN sen 26,56 =
FCA(Y ) FCA
FCA(Y)
FCA(X)
76
FCA =
FCA (Y ) sen 26,56
=
5 0,4471
= 11,18 kN
FCA = 11,18 kN (tensión) Σ FX = 0 - FBC(X) + FCD – FCA(X) = 0
Reemplazando la ecuación 1
FCD – 0,8944 FCA = 5 (Ecuación 1)
Pero: FBC(X) = 5 kN
Pero: FCA = 11,18 kN
- 5 + FCD – FCA(X) = 0
FCD – 0,8944 (11,18) = 5
FCD – FCA(X) = 5
FCD – 10 = 5
FCA(X) = 0,8944 FCA
FCD = 5 + 10 = 15 kN
FCD – 0,8944 FCA = 5 (Ecuación 1)
FCD = 15 Kn (compresión)
5 kN
A Y
NUDO D Ax
FAB
A
Σ FX = 0 DX - FCD = 0
DX = FCD
3m
FBC 1m
FCA
Σ Fy = 0
β = 45
FCA
FCD Dx
B 0
FBC
FBC
Pero:
FCD = 15 Kn
FAB
FCD
D
FBC C
2m
FBC = 0
77
Problema 4.4 Estática Meriam edición tres; Problema 4.6 Estática Meriam edición cinco; Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada
E
3m
2 kN
FED
FED
F AE
D FBD
FEB
FCD FCD
FEB
Σ MC = 0
F AE
- AY (6) + 2 (3) = 0
+
A
6 AY = 2 (3)
B F AB
AY
A Y = 1 kN
F AB
C
FBC
FBC
6m
CX CY
Σ FX = 0
Σ M A = 0
CX – 2 = 0
2 (3) - CY (6) = 0
+
FBD
CX = 2 kN
2 (3) = CY (6)
C Y = 1 kN Nudo A F AE
4,24 F AE
A
3
CY
3
F AB
AY
CY 3
F AB
F F = AB = AE 3
4,24
C Y = 1 kN 1 FAB FAE = = 3 3 4,24
Se halla F AB
Se halla F AE
F = AE
F = AB 3 3
1
FAB = 1 kN (tension)
FAE =
1
3
4,24 4,24 3
= 1,41kN
FAE = 1,413 Kn (compresión)
78
Nudo E E
4,24 FED
F AE
3
FEB
3
F AE
FED
FEB
FEB FED FAE = = 4,24 3 3 FAE = 1,413 kN FEB FED 1,413 = = 3 3 4,24
Se halla FEB
Se halla FED
FEB = 0,3332 3 FEB = 3 (0,3332) = 1 kN (tensión)
FED = 0,3332 3 FED = 3 (0,3332) = 1 kN (compresión)
FEB FED = = 0,3332 3 3
Nudo B FEB
FBC FBD 4,24
B
FBD FBC
F AB
α
FEB = 1 kn
3
FBD
FBD (Y)
3
α
α
F AB = 1 kN FBD (X)
tg α =
3 3
=1
α = arc tg (1) α = 450 FBD(Y ) sen α = FBD FBD(Y ) sen 45 = FBD
∑FY = 0
FBD (sen 45) = F BD(Y)
1 = FBD (sen 45)
FBD(X ) cos α = FBD FBD(X ) cos 45 = FBD
FEB - FBD(Y) = 0 FEB = FBD(Y)
FEB = 3 (0,3332) = 1 kN 1 = FBD(Y)
FBD =
1 sen 45
=
1 0,7071
= 1,414 kN
FBD = 1,414 kN
79
FBD (X) = FBD (cos 45)
∑FX = 0
FBD = 1,414 kN
Pero: FAB = 1 kN
FBC - FBD (X) – F AB = 0
FBD (X) = 1,414 (cos 45)
Pero: FBD (X) = 1 kN
FBC = FBD (X) + F AB FBC = 1 + 1
FBD (X) = 1,414 (0,7071)
FBC = 2 kN
FBD (X) = 1 kN Nudo C FCD CX FCD
C
FCD - CY = 0
CX - FBC = 0
CX
FBC CY
∑FY = 0
∑FX = 0
CY FBC
FCD = CY
CX = FBC
C Y = 1 kN
FBC = 2 kN (tracción)
FCD = C Y = 1 kN (tracción)
CX = FBC = 2 kN
Problema 4.4 Estática Meriam edición cinco Calculate the forces in members BE and BD of the loaded truss. 8 pulg.
B
FBC
2
C Y
8 pulg. FBC
2
C Cx
FBD
F AB FEB
8 pulg.
FEB FBD
F AB
A Σ MC = 0
+
F AE
F AE
E
FED
FED
D
Dx
D Y 1000 lb
1000 (8 + 8) - DX (8) = 0
1000 (16) - 8 D X = 0 16000 - 8 D X = 0
80
8 DX = 16000
DX =
16000 8
∑ FX = 0
= 2000 lb.
DX = 2000 lb.
CX - DX = 0
C
C
2
2
C Y
CX = DX
C Y
PERO: DX = 2000 lb.
2
2
CX = 2000 lb.
Cx
Cx
Las ecuaciones de equilibrio para la fuerza C son:
CY 2
C = X 2
Cancelando términos semejantes CY = CX PERO: CX = 2000 lb. CY = 2000 lb.
NUDO A
8 pulg.
B
2
C Y
8 pulg.
2
C Cx
F AB
F AB F AB
A
F AE
8 2
8
8 pulg. 1000 lb F AB
8 1000 lb
A
F AE
F AE
E
F AE
Las ecuaciones de equilibrio son:
FAB 1000 FAE = = 8 8 8 2 Cancelando términos semejantes
FAB = 1000 = FAE 2
D
Dx
D Y 1000 lb
Hallar F AE
1000 = FAE
FAE = 1000 lb. (Compresión)
81
Hallar F AB
FAB = 1000 2 FAB = 1000
2
FAB = 1414,21libras (tensión) NUDO E
8 pulg.
B
FBC
2
C Y
8 pulg.
2
C
FBC
FEB
Cx FBD
F AB FEB FED F AE
8 pulg.
FEB
E
FBD
F AB
A
Σ FY = 0
FEB = 0
F AE
F AE
FED
FED
E
Dx
D D Y
1000 lb
∑ FX = 0 F AE - FED = 0
F AE = FED
FBD(X)
PERO: F AE = 1000 lb. FBD(Y)
FED = 1000 lb. (Compresión) NUDO B
B
8
F AB(X)
8 2
8 2 FBD
8
F AB
8
8
F AB(Y) FBC
FBC FBC
F AB
FBD FBD FEB =
0
Las ecuaciones de equilibrio para la junta B son:
FAB FAB(Y ) FAB(X ) = = 8 8 8 2
F AB
Hallar F AB(X)
FAB = FAB(X ) 2 1414,2 2
= FAB(X )
F AB(X) = 1000 lb.
Cancelando términos semejantes
FAB = FAB(Y ) = FAB(X ) 2 82
PERO: FAB = 1414,21libras Hallar F AB(Y)
FAB = FAB(Y ) 2 1414,2 2
∑ FX = 0
= FAB(Y )
FAB(Y) = 1000 lb.
FBC - FBD(X) - F AB(X) = 0 PERO: F AB(X) = 1000 lb.
Σ FY = 0
FBC - FBD(X) = F AB(X) FBD (Y) – F AB (Y) = 0
FBC - FBD(X) = 1000 ECUACION 1
FBD (Y) = F AB (Y)
Pero: F AB (Y) = 1000 lb.
FBD (Y) = 1000 lb. Las ecuaciones de equilibrio para la junta B son:
FBD FBD(Y ) FBD(X ) = = 8 8 8 2 Cancelando términos semejantes
FBD = FBD(Y ) = FBD(X ) 2 Pero: FBD (Y) = 1000 lb. FBD(Y ) = FBD(X ) FBD (X) = 1000 lb. FBD = FBD(Y ) 2 Pero: FBD (Y) = 1000 lb. FBD =
( 2 ) FBD(Y )
FBD =
2 1000
Hallar FBC FBC - FBD(X) = 1000 ECUACION 1 PERO: FBD (X) = 1000 lb. FBC - 1000 = 1000 FBC = 1000 + 1000
FBC = 2000 lb. (tracción) DX = 2000 lb. FAB = 1414,21libras (tensión) FAE = 1000 lb. (Compresión) FED = 1000 lb. (Compresión) FEB = 0 FBC = 2000 lb. (tracción)
FBD = 1414,2 libras (compresión)
83
Problema 4.5 Estática Meriam edición tres; Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada. Influye la carga de 6 kN en los resultados. 3 4
A
10 kN
B
4m
BX = 6 kN
6 kN
C
4m
3 5 Ө
4 BY =8 kN Ө
10 kN 4m
D
4m
E
BX = 6 kN
AY
10 kN
A
BX BY =8 kN
B
4m
AX
F AB F AE
4m F AE
FCB
+
FCD
3 CY
5
B = Y 4
=2
BX = 3 (2) = 6 KN
BX = 6 KN
FBE
E
10
Hallar BX
BX
FCB
FBD
FED
Σ M A = 0
C
4m
F AB FBE
3
6 kN
=
FCD
FED
D
4m
Hallar BY
BY
- BY (4) + CY (4 + 4) - 6 (4 + 4) = 0
4
- 8 (4) + CY (8) - 6 (8) = 0
ΣFX = 0
- 4 + CY - 6 = 0
BX - AX = 0 = 6 KN
=2
BY = 4 (2) = 6 KN PERO: BX
B Y = 8 KN
CY - 10 = 0
C Y = 10 KN
BX = AX
AX = 6 KN
84
Σ MC = 0
- AY (4 + 4) + BY (4) = 0
+
PERO: B Y = 8 KN
- AY (8) + 8 (4) = 0 - AY + 4 = 0
A Y = 4 kN
AY
NUDO A sen θ = sen θ =
F AE(X) Ө
FAE(Y )
2
FAE 2 3 4
3
=
4
3
FAE(Y ) =
cos θ =
2
2m
AX
AY
2 3
2
AX
2m
F AB F AE
A F AE(Y)
F AB
B
F AB FBE
4m F AE
F AE
F AE
F AE(Y) = sen Ө F AE
cos θ =
A
E FAE
FAE(X ) FAE 2 1 4
=
2 ΣFX = 0
F AE(X) = cos Ө F AE F AE(X) – AX + F AB = 0
FAE(X ) =
1 2
FAE
ΣFY = 0 AY – F AE (Y) = 0
PERO: AX = 6 KN
F AE(Y) = sen Ө F AE
FAE(Y ) = 2
3 2
FAE
F AE(X) + F AB = AX
FAE =
F AE(X) + F AB = 6
PERO: F AE (Y) = 4 Kn
PERO:
1
A Y = 4 kN
2
FAE + FAB = 6 (ECUACION 1)
F AE (Y) = AY
FAE =
3
2 3
FAE(Y )
(4) = 4,618
kN
FAE = 4,618 KN (tensión)
FAE (Y) = 4 kN 1 2
FAE + FAB = 6 (ECUACION 1)
PERO: F AE = 4,618 KN
85
FAB = 6 FAB = 6 -
1 2 1 2
FAE
(4,618) = 6 - 2,309 = 3,691 kN
FAB = 3,691 KN (tensión) BX = 6 kN
NUDO C AY 6 kN
A
FCB FCD
B
4m
AX
C
BY =8 kN
10 kN
F AB F AE
F AB
FCB FBD
FBE
4m F AE
FCD
FED 4m
E
FCB CY
FBD
FBE FED
PERO: CY = 10 kN
C
4m
CY
ΣFY = 0 CY – 6 - FCD (Y) = 0
6 kN
FCD
D
10 – 6 - F CD (Y) = 0
sen 60 =
4 - FCD (Y) = 0 FCD (Y) = 4 KN
FCB - FCD(X) = 0
FCD (Y) = FCD sen 60
6 kN
FCD =
FCB
ΣFX = 0
FCD(Y ) 4 = = 4,618 kN sen 60 0,866
FCD = 4,618 KN (tensión)
60 FCD
FCD(Y ) FCD
CY = 10 KN
Y
FCD
FCB = FCD(X)
FCB = 2,309 kN (compresión)
FCD
X
cos 60 =
FCD(x ) FCD
FCD (X) = FCD cos 60 PERO: FCD = 4,618 KN (tensión) FCD (X) = 4,618 (0,5) = 2,309 kN
86
NUDO B ΣFX = 0
6 - F AB - FCB + FBE(X) – FBD(X) = 0 PERO: F AB = 3,691 KN FCB = 2,309 kN
BX = 6 kN
10 kN
B
6 - 3,691 - 2,309 + FBE(X) – FBD(X) = 0
BY = 8 kN
F AB
FBE(X) – FBD(X) = 0
BX = 6 kN
BY =8 kN
F AB
FCB
FCB
60
60
FBE cos 60 - FBD cos 60 = 0
FBD
FBE
FBE
Y
FBE
FBD FBD
0,5 FBE – 0,5 FBD = 0 (ECUACION 1) FBE
FBE(Y ) sen 60 = FBE
ΣFY = 0 FBE (Y) + FBD (Y) - 8 = 0
FBE(Y) = FBE sen 60
FBE (Y) + FBD (Y) = 8
sen 60 =
FBE(x ) FBE
FBD
X
Y
X
FBD(Y ) FBD
FBD(Y) = FBD sen 60
FBE sen 60 + FBD sen 60 = 8
cos 60 =
0,866 FBE + 0,866 FBD = 8 (ECUACION 2)
FBE(X) = FBE cos 60
cos 60 =
Resolver las ecuaciones 1 y 2
FBD(x ) FBD
FBD(X) = FBD cos 60
0,5 FBE – 0,5 FBD = 0 (0,866) 0,866 FBE + 0,866 F BD = 8 (0,5)
BX = 6 kN
0,433 FBE – 0,433 FBD = 0 0,433 FBE + 0,433 F BD = 4 0,866 FBE = 4 4 FBE = 4,618 KN 0,866
FBE = 4,618 kN (compresion) NUDO E
AY
10 kN
A AX
F AB F AE
E
F AB
C
4m
FBD
FCB FCD
CY
FBD
FBE FED
E
6 kN
FCB
FBE
4m F AE
FED
B
4m
FBE
F AE
BY =8 kN
FED 4m
FCD
D
87
FED
sen 60 =
F AE
F AE
Y
FBE
FAE F AE(Y) = F AE sen 60 Y
60
60 F AE
FBE
X
FBE
FAE(Y )
cos 60 =
X
ΣFX = 0
FAE(x )
FAE F AE(X) = F AE cos 60
sen 60 =
FBE(Y )
FBE FBE(Y) = FBE sen 60 cos 60 =
FBE(x )
FBE FBE(X) = FBE cos 60
FED - F AE (X) – FBE (X) = 0 FED - F AE cos 60 – F BE cos 60 = 0 PERO: FBE = 4,618 kN F AE = 4,618 KN FED = F AE cos 60 + FBE cos 60 FED = 4,618 (0,5) + 4,618 (0,5) FED = 2,309 + 2,309 = 4,618 KN (Tension)
FED = 4,618 KN (Tension)
C Y = 10 KN A Y = 4 kN AX = 6 KN FAE = 4,618 KN (tensión) FAB = 3,691 KN (tensión) FCD = 4,618 KN (tensión)
FCB = 2,309 kN (compresion) FBE = 4,618 kN (compresion) FED = 4,618 KN (Tension)
Problema 4.7 Estática Meriam edición tres; Problema 4.12 Estática Meriam edición cinco Calcular las fuerzas en los miembros CG y CF de la armadura representada
Σ FX = 0
Σ ME = 0
+
4 (2 + 2 + 2) + 2 (2 + 2) – D X (3) = 0
4 (6) + 2 (4) – D X (3) = 0
DX – EX = 0 EX = DX
EX =10,666 KN
24 + 8 – 3 D X = 0 32 – 3 D X = 0
88
3 DX = 32
DX =
32 3
= 10,666 KN
DX = 10,666 KN NUDO A FAB
A
2 KN 2m
2m
A
FAB
FAG
FAG
6,7
FAB B FBC FBC C FCD FCD D
FAB
FBG
FAG
6 3
FAG
4 KN
4 KN
Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son:
6 FAB =
=
FAG 4 = 6,7 3
Hallar F AG
4
FAB FAG 4 = = 6 6,7 3
3 (4) 6 3
FGC
FGF
Dx
FCF FCF
FGC G F GF
4 KN
FAB = 6 Hallar F AB FAB
D Y
2m
3m
F Ex
E C Y
FAG 4 = 6,7 3 (6,7 ) 4 FAG = = 8,94 KN 3
= 8 KN
FAB = 8 KN (tensión)
FAG = 8,94 KN (compresion)
NUDO B 2 KN
FAB
B
2 KN 2m
2m
FBC A
FAB
FAB B FBC FBC C
FBG
D Y D Dx
FBG
FAG 4 KN
2m
FAG
3m
G F
∑ FX = 0 ∑ FY = 0
E
FBG - 2 = 0
C Y
FBC - F AB = 0 FBC = F AB
Ex
FBG = 2 KN (compresión)
PERO: F AB = 8 KN (tensión)
FBC = 8 KN (tensión)
89
NUDO G FBG FGC
A
FAG
3 6
FGF
Ө = 26,56
F AG(Y)
G F GF
FAG(Y) FGF(Y )
FGC
FAG 26.56 26.56
26.56
FGF FBG
FGF
3m
F E
Ex
C Y
FGC(Y)
FGF(Y)
FGF(X)
FGC(Y )
FGC = FGC sen 26,56
sen 26,56 =
FGC
FGC
FAG(X)
FGF = FGF sen 26,56
sen 26,56 =
D
FGC(X)
0
sen 26,56 =
FGC(Y)
FAG
D Y Dx
FBG
= 0,5
Ө = arc tg (0,5)
FGF(Y)
4 KN
2m
FAB B FBC FBC C
FAB FAG
G
tg θ =
2 KN 2m
2m
FAG(Y )
FAG = F AG sen 26,56
∑ FX = 0
cos 26,56 =
FGF (X)
FGF = FGF cos 26,56
cos 26,56 =
FGC (X)
FGF(X )
FGC(X )
FGC = FGC cos 26,56
FGC (X) + F AG (X) - FGF (X) = 0 PERO: FGC (X) = FGC cos 26,56 FGF (X) = FGF cos 26,56
cos 26,56 =
F AG (X)
FAG(X )
FAG = F AG cos 26,56
F AG (X) = F AG cos 26,56 F AG = 8,94 KN (compresion) F AG (X) = F AG cos 26,56
FAG (X) = (8,94) cos 26,56 FGC (X) + F AG (X) - FGF (X) = 0 FGC cos 26,56 + (8,94) cos 26,56 - F GF cos 26,56 = 0
90
FGC + 8,94 - F GF = 0
FGC - FGF = - 8,94 (Ecuación 1) Resolver las ecuaciones
∑ FY = 0
FGC - FGF = - 8,94 (-0,4471) 0,4471 FGC + 0,4471 F GF = 6
FGC (Y) + FGF (Y) - F AG (Y) - FBG = 0
-0,4471 F GC + 0,4471 F GF = 4 0,4471 FGC + 0,4471 F GF = 6
PERO: FGC(Y) = FGC sen 26,56 FGF(Y) = FGF sen 26,56 FBG = 2 KN (compresión)
0,4471 F GF + 0,4471 F GF = 4 + 6
F AG(Y) = F AG sen 26,56 F AG = 8,94 KN (compresion) F AG (Y) = (8,94) sen 26,56 F AG (Y) = (8,94) (0,4471)
0,8942 F GF = 10
FGF =
10
= 11,18 KN
0,8942
FAG (Y) = 4 KN
FGF = 11,18 KN (compresion)
FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y)
Reemplazar la ecuación 1 FGC - FGF = - 8,94 (Ecuación 1)
0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 6 (Ecuación 2)
Pero: FGF = 11,18 KN FGC – 11,18 = - 8,94 FGC = 11,18 - 8,94
NUDO C FBC
C
FGC FCF
FCD
2 KN 2m
2m
A FCF
PERO: FBC = 8 KN FGC = 2,24 KN
FGC (X) FGC (X) FGC (X)
26.56
FGC Y
FGC X
FGC
cos 26,56 =
FCD
FBC
FGC = 2,24 KN (tensión)
FGC(X )
FGC = FGC cos 26,56 = (2,24) cos 26,56 = (2,24) 0,8944
- F AG (Y) - FBG = 0 -4 -2=0 -6=0 =6
FAB
D Y
FAB B FBC FBC C FCD FCD D FBG
FAG 4 KN
2m
FAG
FGC
FCF
FGC G F GF
FGF
Dx
FCF 3m
F E
Ex
C Y
91
FGC (X) = 2 KN ∑ FX = 0
sen 26,56 =
FCD - FBC - FGC (X) = 0 FGC (Y) FGC (Y) FGC (Y) FGC (Y)
PERO: FBC = 8 KN FGC (X) = 2 KN
FGC(Y )
FGC = FGC sen 26,56 = (2,24) sen 26,56 = (2,24) 0,4471 = 1 KN
∑ FY = 0
FCF - FGC (Y) = 0 FCF = FGC (Y) PERO: FGC (Y) = 1 KN
FCD - FBC - FGC (X) = 0 FCD - 8 - 2 = 0 FCD - 10 = 0
FCF = 1 KN (compresión)
FCD = 10 kN (tensión) Determinar la fuerza que soporta el elemento KN de la armadura. 1m
0,7 m
0,7 m
E
0,7 m
0,7 m
K
N
Q
G
J
M
P
F
I
L
O
H
1200 N
0,5 m
0,5 m
C D
700 N
700 N
700 N
2,5 m
A
B
92
NUDO Q 1200 N
FQN
0,7 m
0,7 m
N
K
Q FQN
FQP
∑ FX = 0
FQN
1200 N
FQP
0,5 m
FQP
1200 - F QN = 0
FQN = 1200 N (tension)
M
P
L
O
0,5 m
∑ FY = 0
I
FQP = 0 700 N
700 N
NUDO O
700 N 0,7 m
0,7 m
N
K
FOP
Q FQN
FQN
0,5 m
∑ FX = 0
FOL =
FQP FQP
0 M
FOL = 0
1200 N
700 N
P FOP
0,5 m
FOP
∑ FY = 0
L
I
FOP - 700 = 0
FOP = 700 N (tensión)
FOL
FOL
700 N
700 N
O
700 N
NUDO P 0,7 m
0,7 m FPN X
FPN Y
FQP =
0
FPN
0,5 m
FPN
0,7
α
sen α =
cos α =
cos α =
0,5 0,86 0,7 0,86
FPL(Y)
= 0,581
FPL α
α 0,7
FPL X
= 0,813
FPN (X ) FPN
0,5
I 700 N
L
FOL
700 N
FOP FOP
FPL FOP = 700 N
FQP
P
FPL
0,5 m
1200 N
FQP
FPN
M
α 0 86
Q FQN
0,86 0,5
N FQN
K
FOL
O
700 N
= 0,813 93
FPN(X) = 0,813 FPN sen α =
FPN(Y ) FPN
= 0,581
FPN(Y) = 0,581 FPN cos α =
∑ FX = 0
FPL(X) - FPN(X) = 0
FPL
= 0,813
FPL(X) = 0,813 FPL
0,813 F PL - 0,813 F PN = 0
sen α =
cancelando términos semejantes
FPL - FPN = 0 (ECUACION 1)
FPL(X )
FPL(Y ) FPL
= 0,581
FPL(Y) = 0,581 FPL
∑ FY = 0
FQP + FPN(Y) + FPL(Y) - FOP = 0 PERO: FQP = 0 KN FOP = 700 KN FPN(Y) - FPL(Y) - 700 = 0 FPN(Y) - FPL(Y) = 700
0,581 FPN + 0,581 FPL = 700 (ECUACION 2) Resolver las ecuaciones
FPL - FPN = 0 (ECUACION 1) 0,581 FPN + 0,581 FPL = 700 (ECUACION 2) FPL - FPN = 0 (0,581)
0,581 FPN + 0,581 FPL = 700 0,581 F PL – 0,581 F PN = 0
0,581 FPN + 0,581 FPL = 700 (2) 0,581 F PL = 700 1,162 F PL = 700 FPL =
700 1,162
= 602,4 N 94
