Análisis de Armadura Por El Método Matricial

Escuela Profesional de Ingenierí Ingeniería a Civil Mecánica Racional

UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CURSO: MECÁNICA RACIONAL

ANÁLISIS DE UNA ARMADURA POR EL MÉTODO MATRICIAL APELLIDOS Y NOMBRES

CODIGO N°

CCOPA MAQUE DANITZA VERÓNICA CAMINO MOROCCO TALIA NOELY DELGADO CAMA TRILCE CHOQUE FIGUEROA PAUL

150289 150288 155170 120669

Do!"#!$ I"%& 'o() F!*+,! A-,+*.!#/ C/o"!**

C.(o '.*+o 3!* 2016

1

Escuela Profesional de Ingeniería Civil Mecánica Racional

ANÁLISIS DE ARMADURA POR EL MÉTODO MATRICIAL I.- INTRODUCCIÓN:

Las armaduras de acero o de distintos tipos de material, constituyen un elemento de gran utilidad dentro del campo de la ingeniería estructural. Su diseño permite distribuir las fuerzas producidas por diferentes cargas a lo largo de su estructura interna y así poder llevarlas a sus respectivos apoyos unas ves definidas. Las diferentes clases de armaduras tienen varios tipos de análisis dependiendo de su diseño y de su función a futuro, en este trabajo de investigación se busca analizar las armaduras por medio del método matricial de rigidez y así comparar los resultados con otros métodos utilizados dentro del campo de la ingeniería. II.- OBJETIVO: -

eterminar las fuerzas internas en la armadura, es decir, las fuerzas de acción y reacción entre los elementos o barras !ue la forman. "nalizar el método matricial para solucionar armaduras. esarrollar y e#plicar paso a paso el proceso de solución de armaduras con el método matricial. "nalizar el método de nudos para comprobar. $omparar el método de nudos con el matricial.

III.- FUNDAMENTO TEÓRICO: ARMADURA %na estructura de barras unidas por sus e#tremos de manera !ue constituyan una unidad rígida recibe el nombre de armadura. "lgunos ejemplos son los puentes, los soportes de cubiertas o las gr&as. MÉTODO DE NUDOS 'l e!uilibrio es uno de los re!uisitos !ue debe cumplir una estructura, lo cual implica !ue la resultante de las fuerzas e#ternas es cero y no e#iste un par de fuerzas( al descomponer en un plano cada fuerza y cada par en sus componentes rectangulares, se encuentra las condiciones necesarias y suficientes para el e!uilibrio de un cuerpo rígido se pueden e#presar también por las tres ecuaciones siguientes)

2


IV.- PROCESO DE EXPERIMENTACIÓN: "* $+S-%$$/0 ' L" "1"%") 1. MATERIALES:

1adera balsa

2oma 3pegamento de la madera*

$&ter 3


"lfileres

4.5 PROCEDIMIENTO DE CONSTRUCCIÓN DE LA ARMADURA: •

•

•

•

6rimeramente se 7izo el diseño de la armadura, tomando en cuenta el n&mero de nudos y el n&mero de barras. uestra armadura consta de 8 nudos y de 9: barras. $ortamos la madera balsa seg&n el diseño escogido y seg&n las medidas 7ec7as Seguidamente se 7icieron los pasadores para los nudos, estos se 7icieron con el uso de cartón y alfileres. ;inalmente se colocan los pasadores en la armadura.

3.- CÁLCULO DE LA FUERZA, SOMETIDA A COMPRESIÓN: $on la má!uina compresora sometimos a presión para obtener la fuerza má#ima !ue genera deformación. Se obtuvo los siguientes datos) -iemp ;uerza o 3s* 3* 9s 9<.= > 9:.8 9? 9=.? 9> 9=.8 4? 9>.8 4> 9=.< :? 9=.< :> 9@.? A? 4A.= A> 4>

4


9.5 "ntes de someter la fuerza, donde se aplicó al nodo :.

4.5 urante el proceso de compresión.

:.5 espués del proceso, cuando la armadura soportó un má#imo de 4> , y se !uebró por fractura en el nodo <

5


'ntonces, 6B4>  V.- ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA:

a* $olocamos n&meros a los nodos)

6


b* Ceamos si es determinado o indeterminado por la fórmula) N j =8 ; N M =13 N =3 R

2 N j

= N M + N R

( )=13 + 3

2 8

=16

16

'ntonces se puede usar el método matricial para armaduras determinadas) c* 6or convención suponemos !ue todas las fuerzas internas 3color verde* y las reacciones 3color rojo* se encuentran en -'S/0. D la fuerza aplicada 6 3color azul* en compresión.

"EL/S/S ' "1"%"S 6+ 'L 1F-++ 1"-/$/"L) /* //*

6ara las fuerzas e#ternas) "7ora analizamos las fuerzas internas nodo por nodo) 7


6lanteamos las 9A ecuaciones con las siguientes incógnitas) udo 9) F x =¿ 0 ∑¿ F 12= 0 F y =¿ 0

∑¿

− F 15=0 F 15= 0

udo 4) F x =¿ 0 ∑¿ − F 21 + F 23− F 25 cosα =0 F y =¿ 0

∑¿

− F 26− F 25 senα =0

udo :) F x =¿ 0 ∑¿ − F + F − F cosα =0 32

34

36

F y =¿ 0

∑¿

− F − F senα − P=0 37

36

udo A) F x =¿ 0 ∑¿ − F − F cosα =0 43

47




F y =¿ 0

∑¿

− F − F senα =0 48

47

udo >) F x =¿ 0 ∑¿ F 56 + F 52 cosα − R2 =0 F y =¿ 0

∑¿

F 5 1 + F 52 senα − R 1= 0

udo =) F x =¿ 0 ∑¿ − F + F + F cosα =0 65

67

63

F y =¿ 0

∑¿

F 62 + F 63 senα = 0

udo <) F x =¿ 0 ∑¿ − F + F + F cosα =0 76

78

74

F y =¿ 0

∑¿

F 73 + F 7 4 senα =0

udo 8) !

Escuela Profesional de Ingeniería Civil Mecánica Racional F x =¿ 0

∑¿

− F =0 87

F y =¿ 0

∑¿

F 84 + R3 =0

Gallamos el ángulo) − 15 α = tan ( ) 1

10

α =56,31 °

e* "comodando matricialmente tenemos)

P } + [ A ] F }=0

{ P }=−[ A ] { F } Gacemos cambio de variable) { P }=[ B ] { F } /ngresamos la matriz [ A ] al programa de '#cel)

1"


$omo la matriz [ B ] =−[ A ] , entonces multiplicamos 59 en la 7oja de cálculo '#cel)

$alculamos la inversa de [ B ]

{ F }=[ B ]−1 { P } Gacemos otro cambio de variable) { F }=[ C ] { P }

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'ntonces, resulta como respuesta)

12


VERIFICACIÓN: 6ara verificar los valores, comprobamos por el método de nudos, las tres primeras reacciones) F x =¿ 0 ∑¿ F y =¿ 0

∑¿ ∑ M =0 A

eemplazando los valores) F x =¿ 0

∑¿

R2=0 F y =¿ 0

∑¿

R1 + R3− P =0 R1=8.33 N

∑ M

=0

A

− P ( 20 ) + R ( 30 )= 0 3

− P ( 20 ) + R ( 30 )= 0 3

R3=16.67 N

1F-++ 1"-/$/"L R = 8.33  1

R2=0 R3=16.67 N

1F-++ ' %+S R =8.33 N 1

R 2= 0



R3=16.67 N

C/.5 '$+1'"$/+'S  6ara el método matricial tenemos !ue considerar todas las fuerzas en tensión  -ambién para el método matricial tenemos !ue considerar la numeración de la parte superior de iz!uierda a derec7a. 13

Escuela Profesional de Ingeniería Civil Mecánica Racional  Cerificar

si la armadura es determinada o indeterminada antes de 7acer el análisis por el método matricial.  os basaremos en la 7ipótesis de !ue todos los miembros de una armadura son miembros de dos fuerzas, es decir, !ue cada uno se encuentra en e!uilibrio bajo la acción de dos &nicas fuerzas, aplicadas en sus e#tremos, !ue serán iguales, opuestas y colineales. C//.5 +HS'C"$/+'S  Cemos también !ue por el método matricial 7ay cinco fuerzas !ue nos sale cero.  'l método matricial es solo para armaduras determinadas y no fuese utilizaríamos otros métodos.  'stamos considerando armaduras planas y estáticamente determinadas o isostáticas.  La fuerza aplicada no se distribuyó por igual en ambos lados del punto de aplicación de la armadura debido a !ue este punto no se encuentra ene le eje de simetría de la armadura.  '#perimentalmente se pudo observar !ue las barras 7orizontales y las barras verticales de los e#tremos se encuentran en tracción y las barras verticales del centro en compresión. C///.5 $+$L%S/+'S  La armadura realizada soporto una fuerza de compresión de 4>  aplicada en el nodo :.  La armadura fallo por fractura en el nodo <.  Los

valores negativos obtenidos por el método matricial nos indica !ue los fuerzas esto en comprensión.  Los

valores positivos de nuestra respuesta nos indica tensión.  Si e#iste la inversa de la matriz estática 5I"J, la armadura es estáticamente estable, pero si la matriz estática 5I"J es singular, la armadura es estáticamente inestable.  Los valores obtenidos por el método matricial y el método de nodos son numéricamente iguales pero no necesariamente con el mismo signo.  'l método matricial es más directo para calcular las fuerzas !ue act&an en una armadura determinada.  La numeración realizada a cada nodo es la correcta por!ue en la verificación de los resultados cumple.  Si tómanos otra numeración el resultado puede divergir de la respuesta deseada.  La consideración de la numeración mencionada en las recomendaciones es muy importante para armaduras más complejas para no divergir de la respuesta deseada.  'ste análisis de las fuerzas internas es muy importante para poder diseñar y saber !ué tipo y !ue dimensiones debe tener el material !ue debemos usar.

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La resistencia a la fuerza de compresión !ue brinde la armadura dependerá del tipo de material del !ue este 7ec7o 3en este caso madera balsa* de la forma !ue tenga y de la esbeltez !ue tengan sus barras. 

6ara !ue 7aya una mayor resistencia a la fuerza de compresión se tiene !ue distribuir la fuerza aplicada en forma simétrica en la armadura esto significa !ue en lo posible se realicen armaduras simétricas para !ue todas sus barras trabajen de igual forma. 

IX.- BIBLIOGRAFA: -

Heer, ;. y Ko7nston, '. 39@<@*. 1ecánica vectorial para ingenieros. 'stática. Hogotá, $olombia) 1c2ra5Gill Latinoamericana, S.". ilson, ". G. 9@@@. iseño de estructuras de concreto. 94M edición.

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Análisis de Armadura Por El Método Matricial

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