AREAS BAJO LA CURVA NORMAL Conceptos preliminares: La Distribución Normal: Es una distribución cuyas variables aleatorias pueden tomar un número infinito de posibles valores, o cuyas diferencias entre si pueden ser infinitesimales; por lo tanto es una distribución continua, ya que sus variables pueden medirse con el grado de precisión que se desee. Algunos ejemplos de variables continuas son las medidas de: . Tiempo (años, meses, días, horas, minutos, segundos, etc.) . Distancia (Km, metros, centímetros, milímetros, etc.) . Estatura . Peso . Coeficiente intelectual CI (IQ) Importancia de la Distribución Normal: •
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•
Existen numerosas variables que parecen seguir una forma similar a la distribución normal (pesos, alturas, coeficientes intelectuales, calificaciones en exámenes, etc.) La distribución muestral de muchos estadígrafos muestrales como la media tienen una distribución aproximadamente normal e independiente de la configuración de la población, si los datos son suficientemente numerosos. Es una excelente aproximación a otras distribuciones muestrales como la de Poisson y Binomial, por ejemplo.
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La Función Normal: Es una curva lisa, de forma acampanada y unimodal como se presenta en la figura 1.1
Se dice que una variable x numérica de experimentación con media aritmética probabilística
µ
x
y desviación estándar probabilística positiva
σ x
sigue una
distribución normal o es una variable normal si tiene definida una función densidad de probabilidad dada por (1.2). En este caso su probabilidad rayo del tipo ≤ k está dada por (1.3).
F
u
fn( x) =
n 1
σ x
c 1i ó x − n 2π
e
− 2
µ x
σ x
2
F ∫
d
FN ( x ) =
k
u
n
fn ( x ) dx
c i ó
n
− ∞
En las fórmulas anteriores intervienen las siguientes
constantes: π
e
1 .2
Aproximadamente 3.141592
1.3
Aproximadamente 2.718281
σ x
Parámetro desviación estándar probabilística de x (variables normales
diferentes pueden tener distintas desviaciones estándar probabilísticas, pero para cada variable normal, su desviación estándar probabilística es constante). µ
x
Parámetro media aritmética de probabilística de x (variables normales diferentes
pueden tener distinta medias aritméticas probabilísticas, pero para cada variable normal su media aritmética probabilística es constante). Distribución Normal Estandar o Tipificada Una variable de experimentación es estándar o tipificada si su media aritmética probabilística es cero (0) y su desviación estándar probabilística es uno (1). Si una variable de experimentación x es normal y tipificada, su función de densidad de probabilidad se denomina normal estándar o normal tipificada y se ajusta a la fórmula (1.4).
fnt ( x ) =
1 2π
e
x 2 2
−
(1.4)
*Curva Normal Normal Tipificada Tipificada (lo que interesa) interesa) Con el fín de suprimir la individualidad de cada una de las distribuciones señaladas gráficamente, se convierte a la curva normal, en un modelo matemático con características fijas y definidas y así se hace posible el cálculo de probabilidades. Este proceso se conoce con el nombre de tipificación de la curva normal. Para lo cual se supone. a) La media o promedio de la población es cero µ =0 b) La desviación estándar igual a uno
c) La variable independiente x, se transforma en un valor z.
-3
-2
-1
0
1
2
3
Desviación normal estándar (Formulas (Formulas de utilización) utilización) Fórmulas de cálculo se reproducen a continuación como las fórmulas (1.5) y (1.6).
z ≡
x − µ x σ x
(1.5)
z a
= a−
µ x
σ x
(1.6)
Característica de la curva normal tipificada a) Es simétric simétrica a respecto respecto a su media (50% (50% a la derecha derecha y 50% a la izquierda izquierda de la media) b) El área área encerr encerrada ada es 1 o 100% 100% c) La medi media, a, media mediana na y moda moda son son igua iguales les
Ejemplos de los casos más frecuentes del cálculo de probabilidades de intervalos.
= P ( z < −a ) + P ( z > b )
Ejemplo:
1) En la Universidad del Oeste, la calificación promedio sobre una escala vigesimal obtenida por un estudiante elegido al azar es una variable de experimentación con media aritmética probabilística 14 y desviación estándar probabilística 2, cuya distribución de probabilidad se aproxima a la normal. Estime las probabilidades de que una calificación x escogida al azar sea: a) ≤13 : b)>13
; c) ≤ 17 ; d)>17 ; e)>13 pero ≤ 17 ; f) ≤13 ó >17 ; g)>15 pero <=17 ; . - a b h)>10 pero <=14 Solución: A partir de los datos: a=13; b=17; respuestas: a. P(x<=13)
z a
=
x − µ x σ x
=
caso3
13 − 14 2
= −0.5
P(x<=13)=P(z<=-0.5) ≈ 0.3085
b. P(x>13)
µ
x
=14 y
σ x
=2 se obtiene las siguientes
P(x>13)=1-P(x<=13)=1.0-0.3085 P(x>13)=0.6915
c. P(x<=17)
z c
=
x − µ x σ x
=
caso1
17 − 14 2
= 1 .5
P(x<=17)=P(z<=1.5) ≈ 0.9332
d. P(x>17)
caso2
P(x>17)=1-P(x<=17)=1-0.9332 P(x>17)=0.0668
e. P(13
caso4
z b =1.5
P(13< x<=17)=P(-0.5
f. P(x<=13 ó x>17)
caso7
P(x<=13 ó x>17)= P(x<=13)+ P(x>17) P(x<=13 ó x>17)= P(z<=-0.5)+P(x>=1.5) P(z<=-0.5)+P(x>=1.5) P(x<=13 ó x>17)= P(z<=-0.5)+1- P(x<=1.5) P(x<=1.5) P(x<=13 ó x>17)=0.3085+1-0. x>17)=0.3085+1-0.9332 9332 P(x<=13 ó x>17)=0.3753 g. P(15
caso5
=P(z<=17)-P(z<15)
=0.9332-0.6914 =0.2417
Ejemplo La capacidad de gasto anual en actividades educativas de una familia elegida aleatoriamente de una población universitaria del departamento de Lima es una variable de experimentación con media aritmética probabilística 400 um y desviación estándar probabilística 100 um, cuya distribución de probabilidades es muy aproximada a la normal. Se requiere estimar el importe tal que exista 88.1% de probabilidades de que la familia elegida aleatoriamente gaste como máximo tal cantidad. µ
x
=400
σ x
=100
z ≡
x − µ x σ x
P(z)=88.1%=0.881
0.881=(x-400)/100 X=488.1
Respuesta el importe debe ser <=488.1
PROBLEMAS PROPUESTOS
1) El consumo consumo mensual mensual en um de una una persona persona elegida aleator aleatoriament iamente e a partir de la la población población de un país es una variable normal con media aritmética probabilística 500 um y desviación estándar probabilística 100 um. ¿Cuál es el nivel tal que exista 76.73% de probabilidad de que dicha variable supere tal nivel? µ x
=
500
σ x
0.73=(x-500)/100
= 100 100
z=0.7673
x=573
Respuesta: Para la variable que sea >= que 573 um.
2) La posición sanguínea sistólica media de hombres de 20 – 24 años de edad es 123 con
una desviación típica de 137 se sabe que la presión sanguínea se distribuye normalmente. Si se selecciona al azar uno de estos hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que su presión sanguínea sea mayores que 139.44 P(x>139.44)=P(z>
139 .44
−123
137
)
=P(z>0.12) =P(1-P(z<=0.12) =1-0.5478 =0.4522 3) Del problema problema anterior anterior ¿Cuál ¿Cuál es la probabilida probabilidad d de que su presión presión sanguinea sanguinea sea sea menores menores que 110 P ( x
<
110 )
= P
( z <
110
−
123
137
)
=P(z<-0.098) =0.4920 4) Los coeficientes de inteligencia CI de las personas tienen una distribución aproximada a la
normal con media 100 y desviación estándar 10. ¿Cuál es la probabilidad que el CI de cualquier individuo quede en el intervalo 100 a 110? µ x
=
100
σ x
=
10
Piden: P(100
100 100 − 100 100 110 110 − 100 100 < z < ) 10 10
=P(0
0.5398-0.5=0.0398
P(100
=
500
σ x
=
100
z=0.75
⇒
z c = 0.25
P( z c <
x
−
500
)=-0.25
100
=
-0.68 por tabla
x-500=-0.25*100
x=432
6) La vida útil útil de un componente componente eléctr eléctrico ico tiene una una distribución distribución normal normal con con una media de de 2000 horas que una desviación estándar de 200 horas. ¿Cuál será la probabilidad de que un componente elegido al azar dure entre 1800 y 2200? 2200 − u 1800 − u ≤ z ≤ (1800<=x<=2200)= P 200 200
=P(-1<=z<=1)=P(z<=1)-P(z<=-1) =2(0.84134)-1=0.68268
7) Del problema problema anteri anterior or ¿Cuál ¿Cuál es la vida útil del 90% de los los componentes componentes eléctic elécticos? os? X: Vida útil del complemento electronico A − 200
P(x<=A)=P( z ≤ Z 0 ≤
200
)=0.9
A − 200 200 = 1.28 200 200
A=2256 8) Los pesos pesos de los paquetes paquetes recibido recibidoss en un almacén almacén tiene una una media de 300 300 libras, libras, con una desviación Standard de 50. ¿Cuál es la probabilidad de que 25 paquetes puestos al azar excedan el límite de seguridad de éste que es de 8200 libras? Resolucion
Limite superior 8200 u=300
n=25
σ
= 50
25-300=7500 Los que se van a poner en el ascensor σ
=
z =
σ
n
=
50 25
= 10
8200 − 7500 250
=
σ n
700 250
= 10 * 25 = 250
= 2 .8
La probabilidad que se rompa es 0.0026
P(z>70)=0.5-0.4974=0.0026
9) Ciertos focos fabricados por una compañía, tiene una d uración media de 800 horas y una
desviación típica de 60 horas. Hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 16 tubos tomada de entre ellos tenga una duración de entre 790 y 810 horas?. u=800
z 1
=
z 2 =
σ
792
−
800
15
810 − 800 15
= 60
σ x
=
60 16
=15
0.67
=−
= 0.67
P(-0.67<=z<=0.67)=2(0.2486)=0.4972 Del problema anterior hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 16 tubos tomada menor de 785 horas.
10)
z =
785 785 − 800 800 = −1 15
P(z<=-1)=0.5-0..3413 =0.1587
BIBLIOGRAFIA
1. Estadística y Probabilidades (LAFONTE)
2. DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN NORMAL(Lic. NORMAL(Lic. Adm. Carlos Aliaga Valdez) Valdez)
3. ESTADI ESTADISTI STICA CA (Murri (Murria a R. Spiege Spiegel) l) Gauss(http://www.scribd.com/doc/6784181/Distribucion4. Distribución Normal o de Gauss(http://www.scribd.com/doc/6784181/DistribucionNormal-o-de-Gauss)) Normal-o-de-Gauss
