Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere
y
.
a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. Solución:
b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Solución: Como las rectas de cortan cort an resulta que determinan un plano. Consideremos el punto de intersección que pertenecerá al plano buscado. Necesitamos el vector normal al plano.
Lo podemos hallar con:
2.- Demuestre, usando el producto triple escalar, que los cuatro puntos , son coplanarios. Solución:
3.- Demuestre que la distancia entre planos paralelos
y
viene dada por la fórmula: Solución:
La distancia entre ambos planos
4.- Considere el plano
y
vendrá dada por la distancia de
dado por
. Determine el valor de
y la recta tal que el plano
y la recta
a
, donde:
de ecuación sean paralelas.
Solución:
5.- Determine un punto que equidista (es decir, que se encuentra a la misma distancia) del plano Solución:
y el punto
.
3.- Demuestre que la distancia entre planos paralelos
y
viene dada por la fórmula: Solución:
La distancia entre ambos planos
4.- Considere el plano
y
vendrá dada por la distancia de
dado por
. Determine el valor de
y la recta tal que el plano
y la recta
a
, donde:
de ecuación sean paralelas.
Solución:
5.- Determine un punto que equidista (es decir, que se encuentra a la misma distancia) del plano Solución:
y el punto
.
6.- Calcule el volumen de la región limitada por el cono
y el paraboloide
. Solución:
7.- Determine el valor de
, si
y
.
Solución:
8.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza partícula partícul a desde el punto Solución:
al
a lo largo de la curva
, para mover una .
9.- Calcule la integral de línea
, siendo
región rectangular cerrada, con vértices en los puntos
el contorno de la y
.
Solución:
10.- Demuestre que: Solución:
11.- Encuentre un vector perpendicular perpendicul ar al plano determinado por . Encuentre el área del triangulo Solución:
.
y
12.- Considere los planos
. Encuentre Encuentr e las
ecuaciones paramétricas, si existen, para la intersección. Solución:
13.- Sean
y
, las ecuaciones de una recta y un
plano respectivamente. a) Encontrar Solución:
b) Determinar la ecuación de la recta contenida en π, que pasa por perpendicular perpendicu lar a . Solución:
14.- Encontrar Solución:
sabiendo que:
y
.
, y es
15.- Dados los planos
Encuentre la ecuación
vectorial de la recta determinada por la intersección de los planos
y
Solución:
16.- Dada la curva
y el punto
. Hallar la ecuación de la
recta tangente en dicho punto. Solución:
17.- Dados los vectores paralelepípedo con lados adyacentes Solución:
. Encuentre el volumen del .
18.- Si los vectores modo que
y
forman entre si un ángulo de
grados y
. Calcule
de
sea perpendicular a .
Solución:
19.- Calcular la distancia entre los dos planos: Solución: Los planos son paralelos. Ahora bien, la distancia entre los dos planos paralelos será la distancia de un punto de uno de los planos del plano Del plano
al otro plano
. Elegimos entonces un punto
: sabemos que:
20.- Calcular la distancia entre el punto
y la recta
.
Solución:
21.- Hallar la curvatura de Solución:
en
e
.
Derivando implícitamente respecta a :
Derivando implícitamente respecto a x de nuevo: Cuando
e
:
Así, reemplazando en la fórmula:
22.- La masa de un cuerpo laminar se describe por
, donde
se
muestra en la figura:
a) Usando el cambio de variables:
, graficar el dominio del plano
Solución: Haciendo el cambio de variable, tenemos:
Observe que la transformación
dada es la inversa de
.
b) Aplicando el teorema del cambio de variables, calcular Solución:
23.- Encontrar el volumen del sólido limitado por: Solución:
usando las variables
24.- Sea la trayectoria
. Demuestre que
es independiente de
que pasa por dos puntos dados.
Solución:
25.- Use coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región encima del plano cilindro
y el
.
Solución:
26.- El área de una hoja es de con márgenes de
. Se desea escribir un texto, el cuál debe estar centrado
a ambos lados y
el ancho que maximizan el área del texto. Solución:
arriba y abajo. Determine cuáles son el largo y
27.- Sea
. Calcule
.
Solución:
28.- Determine el volumen del sólido acotado por las curvas . Solución:
,
,
29.- Si
, donde
;y
tiene derivadas parciales continuas de segundo
orden, pruebe que: Solución:
30.- Calcule el máximo de la función del plano Solución:
con el cilindro
sobre la curva de intersección .
Así,
31.- Cambie el orden de integración y calcule la siguiente integral:
Solución:
32.- Escriba en coordenadas rectangulares, cilíndricas, esféricas la integral:
Solución:
33.- Encuentre el valor de la derivada direccional de la función punto
en la dirección que va desde
hasta el punto
en el .
Solución:
34.- Si
, determine el valor de la expresión:
Solución:
35.- Calcule el ángulo entre los gradientes de las funciones en el punto
y
.
Solución:
36.- Determine la ecuación del plano tangente a la superficie punto Solución:
.
en el
37.- Encuentre los valores extremos de la función
si
está en la elipse
. Solución:
38.- Use integrales triples para calcular el volumen del sólido que está dentro del cilindro y en el elipsoide
.
Solución:
39.- Considere la función mínimos si es que existen de la función dada. Solución: Puntos críticos:
. Determine el o los máximos y
Evaluando:
40.- Verifique el Teorema de Green para
, donde
es la
frontera, tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas
y
. Solución:
41.- La ecuación de estado de un Gas Ideal está dada por constantes. Considere el volumen
, donde
como una función de la tempratura
y
y la presión
son .
a) Calcule Solución:
b) Demuestre que Solución:
42.- Sea cambio de variable
. Calcule la integral usando el .
Solución:
Así, el cambio de variable transformará la región dadas en la región del plano
encerrada por
del plano
, encerrada por las rectas .
43.- Hallar el volumen de la región sólida con el cilindro Solución:
formada por la intersección de la esfera .
44.- Demuestre que: Solución:
45.- Calcular el área de la superficie dada por: Solución:
46.- Si
y
entonces:
Solución:
47.- Hallar la máxima distancia al origen de la recta obtenida al interceptar los planos . Solución:
48.- Determine el volumen del sólido limitado por las curvas . Solución:
49.- Encuentre el volumen de la región limitada por el plano . Solución:
50.- Calcular el área comprendida entre las curvas Solución:
y el paraboloide
51.- Sea
, donde
y
. Determinar
el valor de la integral. Solución:
52.- Determinar el área de la superficie de la esfera . Solución:
interior a
53.- Sea
. Encuentre el plano tangente, si existe, a la
superficie
en el punto
.
Solución: Como
y
diferenciable en Luego
es diferenciable en
Así, el plano tangente a
son funciones diferenciables en
y:
en
dirección de la normal exterior a la esfera
Solución:
es
(sus derivadas parciales existen y son continuas).
está dado por:
54.- Encontrar la derivada direccional de la divergencia de .
, entonces
en el punto , donde
en la
55.- Permutar el orden de integración de:
Solución:
56.- Sea
un campo escalar y
un campo vectorial dado por
. Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son continuas. Demuestre que: Solución:
57.- Use coordenadas polares para combinar la suma dentro de una integral doble y resuelva:
Solución:
58.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva orientada de manera positiva:
Donde con
consiste del segmento de recta que va desde .
Solución: Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:
Aquí:
Se tiene:
a
y de la curva
59.- Determine el volumen del sólido que está encima del cono
y debajo de la esfera
. Solución:
60.- Demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la integral.
Donde
es cualquier trayectoria que va desde –
hasta
.
Solución:
Es decir, existe
con
Integrando con respecto a
. Así, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:
se tiene:
Se tiene:
61.- Dadas las funciones y
. Demostrar que las ecuaciones diferenciales
se pueden escribir en coordenadas polares como:
Solución:
62.- Calcular la derivada direccional de
en el
en la máxima dirección.
Solución:
63.- Una caja rectangular descansa sobre el plano
con un vértice en el origen. Determinar
el volumen máximo de la caja si su vértice opuesto al origen pertenece al plano . Solución:
64.- Sea a) Demuestre que
es un campo conservativo
Solución:
b) Encuentran el potencial escalar Solución:
c)
Calcule
Solución:
donde
está dada por:
65.- Calcule gráficas de
, donde y
es la frontera de la región situada entre las
.
Solución:
66.- Un alambre de longitud se divide en dos trozos de modo que con el primer trozo se construye un cuadro y con el segundo una circunferencia. Determine la longitud de cada trozo de modo que la suma de las áreas de las figuras geométricas sea mínima. Solución:
67.- Sea
. Determine el valor de , si existen, de modo que:
Solución:
68.- Utilice el Teorema de Green para calcular la integral
, donde
es la frontera de la región situada en el interior del rectángulo limitado por y en el exterior del cuadrado limitado por Solución:
.
69.- Calcular
para
los planos coordenados y el plano Solución:
,y .
la región sólida acotada por
70.- Calcular
para
primer octante del plano Solución:
y .
la porción del
71.- Dada una curva en el espacio por las ecuaciones paramétricas hállese la ecuación del plano que pasa por el punto
de la curva y que es
perpendicular a la tangente a la misma en dicho punto. Solución:
72.- Una placa circular, cuyo contorno es temperatura
en el punto
es
, se calienta de tal modo que la . Determine los puntos más calientes
y más fríos de la misma y hállese la temperatura en cada uno de ellos. Solución:
73.- Determine el volumen del sólido cuya base es la región del plano parábola Solución:
y la recta
que limitan la
, mientras que su tejado es el plano
.
74.- Al expresar el volumen plano
situado por debajo del plano
en cierta región
del
se obtuvo la siguiente suma de integrales iteradas:
Dibuje la región
y exprese
mediante una integral iterada, en la cual se haya invertido el
orden de integración. Solución:
75.- Calcular del cono Solución:
, siendo encima del plano
y .
la superficie
76.- Calcular la integral . Solución:
, donde
pertenece a
77.- Determinar el exponente constante λ, de modo que:
Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple convexa. Solución: Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:
78.- Calcular región Solución:
, en que
y .
es la frontera de la
Por teorema de la divergencia: Pero: Aplicando coordenadas esféricas:
79.- Sea
en que
Solución: Por teorema de Stokes:
Pero:
Análogamente:
y
, demuestre que:
80.- Dada la función z
tales que
= u ( x, y )e
ax + by
y
∂ 2u = 0 , halle los valores de la constante a y b, ∂ x∂ y
∂ 2 z ∂ z ∂ z − − + z = 0 . ∂ x∂ y ∂ x ∂ y
Solución:
∂ z ∂u = a * u ( x, y )e ax +by + e ax + by ∂ x ∂ x ∂ z ∂u = b * u ( x, y )e ax +by + e ax + by ∂ y ∂ y ∂ 2 z ∂u ax +by ∂ 2 u ax + by ∂u ax + by = abu ( x, y )e +b e + + a e ax +by e ∂ x∂ y ∂ x ∂ x∂ y ∂ y Por lo tanto
∂ 2 z ∂ z ∂ z − − + z ∂ x∂ y ∂ x ∂ y ∂u ∂u ∂u ∂u = abue ax +by + b e ax +by + a e ax + by − aue ax +by − e ax +by − bue ax +by − e ax +by + ue ax + by ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y = e ax + by ( abu + b
∂u ∂u ∂u ∂u + a − au − − bu − + u ) ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y
∂u ∂u = e ax + by ( ab − a − b + 1)u + (b − 1) + (a − 1) ] x y ∂ ∂ Por lo tanto,
a =1 b =1 ab − a − b + 1 = (1)(1) − (1) − (1) + 1 = 0
81.- Determine los valores extremos de la función f ( x, y , z )
x 2 + y 2 + z 2 = 3. Solución: Sea F = xy + yz + xz + λ ( x
2
+ y 2 + z 2 − 3)
(i.)
∂F = y + z + 2λ x = 0 ∂ x
(ii.)
∂F = x + z + 2λ y = 0 ∂ y
(iii.)
∂F = y + x + 2λ z = 0 ∂ z
(iv.)
∂F = x 2 + y 2 + z 2 − 3 = 0 ∂λ
De (i.) –(ii.):
y + 2λ x − x − 2λ y = 0 y (1 − 2λ ) − x(1 − 2λ ) = 0; Si 1 − 2λ ≠ 0 x = y De (i.)-(iii.)
z + 2λ x − x − 2λ z = 0 z (1 − 2λ ) − x (1 − 2λ ) = 0, Si 1 − 2λ ≠ 0 z = x Reemplazando en (iv.): x
2
x = ±1 y = ±1 z = ±1 Max: F (±1, ± 1,
± 1) = 3
Min: F (±1, ± 1, ± 1)
= −2
+ x 2 + x 2 − 3 = 0
= xy + yz + xz sobre la esfera
82.- Halle el valor de la integral
∫∫∫ x y z dx dy dz con R definido por 2
2
R
x 2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 . Solución: 2∏
1
1
∫∫∫ x y zdx dy dz = ∫ ∫ ∫ ( ρ cos θ ) 2
2
( ρ senθ ) 2 ( z ) ( ρ dz d ρ d θ )
θ = 0 ρ =1 z = 0
R
2∏
=
2
1
1
∫ ∫ ∫ ρ
5
cos 2 θ sen 2θ z dz d ρ d θ
θ = 0 ρ =1 z = 0
2∏
1 1 cos 2 θ sen 2θ d θ = * 6 2 θ =0
∫
De senθ cos θ =
sen 2θ
2 2
Tenemos sen θ cos θ = 2
De sen α = 2
2
2 2
=
1 12
2∏
∫ 0
4
1 − cos 2α
Tenemos: sen 2θ =
Por lo tanto,
sen 2θ
1 − cos 4θ
sen 2 2θ
4
2
=
1 − cos 4θ 8
= sen 2θ cos 2 θ
1 − cos 4θ ∏ 1 d θ = [2 ∏] = 8 96 48
83.- Calcule la integral
∫∫
F * n dS con F = ( x, y ,2 z ) y S es la superficie externa del sólido
S
acotado por x
2
+ y 2 = 1 − z y z = 0.
Solución:
∇ ⋅ F = (
∫∫
∂ ∂ ∂ , , ) ⋅ ( x, y,2 z ) = 1 + 1 + 2 = 4 ∂ x ∂ y ∂ z
F ⋅ n ds =
∫∫∫∇ ⋅ F dv = ∫∫∫ 4 dv R
S
2∏
=4∫
R
2 1 1− ρ
∫ ∫ ρ dz d ρ d θ
θ = 0 ρ = 0 z = 0
1
= 4 ⋅ (2 ∏) ∫ ρ (1 − ρ 2 ) d ρ ρ = 0
1 1 = 8 ∏ − = 2 ∏ 2 4
84.- Calcule la integral de línea
∫ ye
xy
dx + xe dy , donde C es la curva formada por los xy
C
siguientes segmentos de rectas: Punto Inicial ( 2,1)
→ (1,2) → (−1,2) → (−2,1) → (−2,−1) → (−1,−2) → (1,−2) → (2,−1)
Punto Final Solución: Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que
∂ ∂ ( xe xy ) = e xy + xye xy = ( ye xy ), se tiene que la integral de línea es independiente de la ∂ x ∂ y trayectoria, y por lo tanto:
∫ ye
xy
∫ ye
dx + xe xy dy =
xy
dx + xe xy dy
C +
C
1
= − ∫ 2e 2t dt = −e 2 + −1
Donde C * : γ (t )
1 e2
= (2, t ), − 1 ≤ t ≤ 1
∫
85.- Qué puede decir de
xy
ye
dx + xe dy , donde C * : r (t ) = 2i + t j , − 1 ≤ t ≤ 1.
xy
C ∪C *
Solución: La integral de línea es nula, ya que
∫
ye dx + xe dy xy
C ∪C *
∫∫
=
xy
(
Teorema deGreen D
∂θ ∂P − ) dA = 0 ∂ x ∂ y Campo Conservador
Donde D es la región plana limitada por la curva cerrada C ∪ C * y
P ( x, y ) = ye xy , Q ( x, y ) = xe xy
∫ F ⋅ n ds donde F = xzi + 2 xy j + 3 xyk y C es la frontera de la parte del
86.- Calcular
C
plano 3 x + y + z
= 3 que está en el primer octante.
Solución: Por Teorema de Stokes, se tiene que:
∫
F ⋅ dr =
∫∫
C
rot F ⋅ n ds =
S
Donde S : z
∂g
∂g
D
= 3 − 3 x − y = g ( x, y )
orientada hacia arriba limitada por la curva C en el primer
octante. D es la proyección de S en el plano xy
rot F = 3 xi + ( x − 3 y ) j + 2 yk
P
∫∫ − P ∂ x − Q ∂ y + R dA
Q
R
∴ ∫ F ⋅ dr = ∫∫ (10 x − y )dA C
D
1 3− 3 x
=∫ 0
1
∫ (10 x − y)dy dx =∫ (10 xy − 0
0
1
= ∫ (10 x(3 − 3 x) −
(3 − 3 x) 2 2
0
=
1
y 2
2
)
1
∫
) dx = (30 x − 30 x −
(60 x − 60 x 2∫
(9 − 18 x + 9 x 2 ) 2
0
1
2
2
− 9 + 18 x − 9 x )dx = 2
0
1
) dx
1
(78 x − 69 x 2∫
− 9)dx
2
0
1 78 x 2 69 x 3 1 = ( − − 9 x) = (39 x 2 − 23 x 3 − 9 x) 2 2 3 2
1
7
2
2
= (39 − 23 − 9) =
87.- Determinar el valor de la integral cilindro
y los planos
, donde
, arriba del plano
Solución:
88.- Evaluar, usando algún tipo de coordenadas, la integral:
Solución:
es la región limitada por el .
89.- Dado el campo vectorial afirmar que
. ¿Es posible
es nula si , definida por
es una curva simple cerrada?
Solución:
90.- Si
calcule el trabajo realizado por
lo largo del segmento de recta que va desde el punto
al desplazar una particula a al punto
. Evalúe sin
utilizar una función de potencial. Solución:
91.- Si
Solución:
y
, donde α es constante, mostrar que:
92.- Dada la elipse
con centro en el origen. Encuentre los puntos más
alejados del origen, determinando así su eje mayor. Solución:
93.- Calcular: Solución:
94.- Determinar el volumen del sólido limitado superiormente por por Solución:
, y debajo por el plano
.
, lateralmente
95.- Calcular la integral
para
y
.
Solución: Usando el teorema de la divergencia, se tiene:
96.- Hallar el plano tangente a la recta normal a la superficie
en el punto
. Solución: Sea
. Entonces, el vector
la superficie , es
97.- Dada Solución:
es normal a
. En particular, el vector normal a la superficie dada en el punto .
, hallar el valor de la expresión
.
98.- Resolver la integral doble
.
Solución:
99.- Determinar el valor de la integral la región encerrada por Solución:
, donde .
es la frontera de
