Apuntes Algebra Abstracta

´ Apuntes de Algebra Abstracta I Ana Laura Gonz´ alez alez Estrada Universidad Aut´ onoma onoma de Nuevo Le´ on, on , Méxic ex ico o

[email protected] San Nicol´ as de los Garza, Nuevo Le´ as on, on, 2015

Prefacio ´ Este documento ha sido elaborado para el curso de Algebra Abstracta I de la licenciatura en Matem´ aticas aticas de la Facultad de Ciencias Cien cias F´ısico Matem´ aticas de la Universidad Autónoma aticas onoma de Nuevo León, on, en San Nicolás as de los Garza, Nuevo Le´ on, on , Méxic ex ico. o. El material est´ a basado en los libros siguientes: ´ 1. Algebra Moderna de I.N. Herstein [1] ´ 2. Algebra de Serge Lang [2]

1. 1.1.

Pre-requisitos ´ Algebra de Conjuntos

Definici´ on 1 La uni´ on de los dos conjuntos A y B, escrita A ∪ B, es el conjunto {x|x ∈ A ∨ x ∈ B }.

Definici´ on 2 La intersecci´ on de los dos conjuntos A y B, escrita A ∩ B, es el conjunto

{x|x ∈ A ∧ x ∈ B }

Definici´ on 3 Dados dos conjuntos A, B, el conjunto diferencia A − B es el conjunto { x|x ∈ A∧x∈ / B }

2

Definici´ on 4 Si A es subconjunto de S , el conjunto diferencia S − A es el complemento de A en S , S − A = {x|x ∈ S ∧ x ∈ / A }. Ejemplo Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...} N = {1, 2, 3,...} Z − N = {0, −1, −2, −3,...}

Definici´ on 5 Dos conjuntos se dice que son ajenos si su intersecci´ on es vac´ıa. C

D

3 20 18

1 6

11

2 9

5 4

25

8

7

0

Proposici´ on 1 Para tres conjuntos cualesquiera A,B,C tenemos A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).

´ n: Sea x ∈ A Demostraci o

∩ (B ∪ C )

⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C ) ⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C ) ⇒ (x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ A ∩ C ) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ⇒ A ∩ (B ∪ C ) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Sea x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

⇒ (x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ A ∩ C ) ⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C ) 3

⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C ) ⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C ) ⇒ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ⊂ A ∩ (B ∪ C ) Definici´ on 6 Dado un conjunto T decimos que T sirve como un conjunto de ´ındices para la familia F = { Aα } de conjuntos si para cada α ∈ T existe un conjunto Aα en la familia

F . Definici´ on 7 La uni´ on de los conjuntos Aα , donde α ∈ T es el conjunto

{x|x ∈ Aα para al menos un α ∈ T } y se denota

A . α

α∈T

Definici´ on 8 La intersecci´ on de los conjuntos Aα , donde α ∈ T es el conjunto {x|x ∈ Aα para todo α ∈ T } y se denota

A . α

α∈T

Definici´ on 9 Los conjuntos Aα son mutuamente ajenos si para α, β ∈ T tal que α  = β , el conjunto Aα ∪ Aβ es vac´ıo. Definici´ o n 10 Dados dos conjuntos A, B, el producto cartesiano de los conjuntos se denota A × B, es el conjunto {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ / B }. En el cual el par ordenado (a, b) es igual al par ordenado (a1 , b1 ) si y s´ olo si a = a 1 y b = b1 . Definici´ o n 11 Si X 1 , X 2 ,...X n es una colecci´ on de conjuntos entonces el producto cartesiano X 1 × X 2 × ... × X n , que también se denota por



X i se define como el conjunto

i=1,...,n

de n-tuplas

{(x1 , x2 ,...,xn )|xi ∈ X i para cada i = 1, 2,...,n} 1.2.

Ejercicios

1. Si A es el conjunto de los residentes en los Estados Unidos, B el conjunto de los ciudadanos canadienses y C el conjunto de todas las mujeres del mundo, descr´ıbanse verbamente los conjuntos A

 B  C , A − B, A − C , C − A.

2. Si A − B y B − C , pruébese que A − C . 3. Demu´ estrese que (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B). 4. Pruébese que A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).

4

5. Escr´ıbanse todos los subconjuntos de S = { a,b,c,d}. 6. Si C es un subconjunto de S , den´ otese por C ′ el complemento de C en S . Pruébese la siguiente ley de De Morgan para subconjuntos A,B de S : (A ∩ B)′ = A′ ∩ B ′ 7. Sea S un conjunto. Para dos subconjuntos cualesquiera de S se define A + B = (A − B) ∪ (B − A) y A · B = A ∩ B Demostrar que: A + ∅ = A A · A = A A + (B + C ) = (A + B) + C Si A + B = A + C , entonces B = C 8. Sean A, B conjuntos, demostrar que A ∪ B = (A − B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B). 9. Si C es un conjunto fnito, denótese por m(C ) el n´ umero de elementos de C . Si A, B son conjuntos finitos pruébes que m(A ∪ B) = m(A) + m(B) − m(A ∩ B). 10. Si el 70 % de los mexicanos ha cursado licenciatura y el 30 % leen un peri´ odico diario. Determ´ınese por lo menos qu´ e porcentaje ha cursado licenciatur y lee un peri´ odico diario. 1.3.

Aplicaciones

Definici´ o n 12 Sean S ,T conjuntos no vac´ıos; una funci´ on o aplicaci´ on σ de S en T es una regla que asigna a cada elementeo s ∈ S un elemento unico ´ t ∈ T . Mediante σ : S → T se denota que σ es un aplicaci´ on de S en T y se escribe t = σ(s) para t ∈ T , se le llama imagen de s bajo σ. Definici´ o n 13 Sean S ,T conjuntos no vac´ıos; entonces una aplicaci´ on σ de S en T es un subconjunto M de S × T , tal que para toda s ∈ S hay un solo t ∈ T tal que el par ordenado (s, t) est´ a en M . σ

Otras notaciones σ : S → T también se denota como S −→ T . Si t es la imagen de s bajo σ, también se denota de la siguiente manera t = sσ ó σ : s −→ t. Sσ = { x ∈ T | x = sσ para alg´ un s ∈ S } la imagen de S bajo σ, también se denota σ(S ). Ejemplos:

5

1. Sean S = {todos los hombres que han existido} y T = {todas las mujeres que han existido}. Def´ınase f : S → T por f (s) =madre de s. 2. Sean S el conjunto de enteros y T = S . Def´ınase f : S → T por f (m) = 2m para cualquier entero m. Si s1 , s2 ∈ S est´ an en S y f (s1 ) = f (s2 ), ¿que se puede decir de s1 y s2 ? 3. Sean S el conjunto de los enteros positivos y T el de los n´ umeros racionales positivos. Def´ınase f : S × S → T mediante f ((m, n)) = m/n. Esta aplicaci´ on de S × S en T . Descr´ıbase el subconjunto de S × S tal que f (a, b) = 1/2. 4. Sean S , T conjuntos no vac´ıos y t0 un elemento fijo de T . Def´ınase f : S → T mediante f (s) = t 0 para cada s ∈ S ; f se llama funci´ on constant de S en T . 5. Sea S cualquier conjunto no vac´ıo y def´ınase i : S → S mediante f (s) = s para todo s ∈ S . A esta función se le llama funci´ on identidad (o aplicaci´ on identidad) en S . A veces se puede denotarla por i. Definici´ o n 14 Una aplicaci´ on σ : S → T es suprayectiva o sobre si todo t ∈ T es imagen bajo σ de alg´ un s ∈ S ; esto es, si y s´ olo si, dado t ∈ T , existe un s ∈ S tal que t = sσ, ( Sσ = T ). Definici´ o n 15 Se dice que una aplicaci´ on σ : S → T es inyectiva o uno a uno (1-1) si para s1  = s 2 en S , s1 σ  = s 2 σ en T . En forma equivalente , σ es 1-1 si s1 σ = s 2 σ implica s1 = s 2 . Definici´ o n 16 Se dice que una aplicaci´ on σ : S → T es una correspondencia biyectiva o biyecci´ on si σ es inyectiva y suprayectiva. Definici´ o n 17 Sea σ aplicaci´ on biyectiva entre S y T . Definimos la aplicaci´ on inversa de σ, σ−1 : T −→ S , por s = tσ −1 si y s´ olo si t = sσ. Definici´ o n 18 Si σ : S → T y τ : T → U entonces la composici´ on (también llamada producto) denotado por σ ◦τ , es la aplicaci´ on σ ◦τ : S → U definida mediante s(σ ◦τ ) = (sσ)τ para todo s ∈ S . Nota usando la notaci´ on de función σ(s) se tiene (τ ◦ σ)(s) = τ (σ(s)). Definici´ o n 19 Dos aplicaciones σ y τ de S en T se dice que son iguales si sσ = sτ para todo s ∈ S . Ley Asociativa

6

Lema 1 Si σ : S → T , τ : T → U y µ : U → V , entonces (σ ◦ τ ) ◦ µ = σ ◦ (τ ◦ µ). Lema 2 Si σ : S → T y τ : T → U son ambas inyectivas, entonces σ ◦ τ : S → U también es inyectiva. Observac´ on: Si g : S → T y f : T → U son ambas suprayectivas, entonces g ◦f : S → U también es suprayectiva. Lema 3 Si g : S → T y f : T → U son ambas biyectivas, entonces g ◦ f : S → U también es biyectiva. Lema 4 La aplicaci´ on σ : S → T es una correspondencia biyectiva entre S y T si y s´ olo si existe una aplicaci´ on µ : T −→ S tal que σ ◦ µ = i S y µ ◦ σ = i T , donde iS e iT son las aplicaciones identidad de S y T , respectivamente. Lema 5 Si σ : S → T e i T es la aplicaci´ on identidad de T en s´ı mismo e i S es la aplicaci´ on identidad de S sobre s´ı mismo, entonces σ ◦ iT = σ y iS ◦ σ = σ. Definici´ o n 20 Si S es un conjunto no vac´ıo entonces A(S ) es el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de S sobre s´ı mismo. Teorema 1 Si σ, τ , µ son elementos de A(S ), entonces: 1. σ ◦ τ ∈ A(S ); 2. (σ ◦ τ ) ◦ µ = σ ◦ (τ ◦ µ); 3. ∃ 1 ∈ A(S ) tal que σ ◦ 1 = 1 ◦ σ = σ; 4. ∃ σ −1 ∈ A(S ) tal que σ ◦ σ −1 = σ ◦ σ−1 = 1. Lema 6 Si S tiene m´ as de dos elementos, podemos encontrar dos elementos σ, τ en A(S ) tales que σ ◦ τ  = τ ◦ σ. Ejercicios 1 Determ´ınese en cada uno de los siguientes casos si σ : S −→ T es suprayectiva, inyectiva y determ´ınese la imagen inversa de t ∈ T cualquiera bajo σ. umeros reales, T = conjunto de los números reales no • S = conjunto de los n´ negativos, sσ = s 2 .

• S = conjunto de los números enteros, T = conjunto de los números enteros, sσ = 2s. 7

2 Si S y T son conjuntos no vac´ıos, pruébese que existe una correspondencia biyectiva entre S × T y T × S . 3 Si el conjunto S tiene un n´ umero finito de elementos, pru´ ebese que: Si σ transforma S sobre S entonces σ es inyectiva. 4 Pruébese que si σ ◦ τ es suprayectiva, no es necesario que ambas σ y τ lo sean. 5 Pru´ ebese que hay una correspondencia biyectiva entre el conjunto de los enteros y el conjunto de los n´ umeros racionales 6 Si σ : S −→ T y si A ⊂ S , la restricción de σ a A, σA , est´ a definida por aσA = aσ para cualquier a ∈ A. Pruébese que σ A es inyectiva si lo es σ. 7 Definir una biyecci´ on del conjunto de los enteros a un subconjunto propio del mismo conjunto. 8 Dados dos conjuntos S y T decimos que S ≤ T si hay una aplicaci´ o n de T sobre S , pero ninguna de S sobre T . Pruébese que si S ≤ T y T ≤ U entonces S ≤ U . 1.4.

Relaciones y particiones

Definici´ o n 21 Sean A y B conjuntos. Una relaci´ on R sobre A y B al subconjunto del producto cartesiano A × B. Si (a, b) esta en R se escribe aRb. Ejemplos 1. Sean A = { 1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}. Se define R = { (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 6), (3, 6)}. 2. Sea A = { 1, 2, 3, 4}. Se define la relación R sobre A escribiendo (x, y) ∈ R si x < y. Entonces R = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}. 3. Definimos una relaci´ on R sobre Z escribiendo (a, b) ∈ R si el entero a − b es m´ ultiplo de 3. Definici´ o n 22 Sea R una realaci´ on sobre el conjunto A, es decir, un subconjunto del producto cartesiano A × A. Si para todo a ∈ A, (a, a) ∈ R. Entonces nosotros decimos que R es reflexiva. Si para todo a, b ∈ A, (a, b) ∈ R implica (b, a) ∈ R . Entonces nosotros decimos que

R es simétrica. Si para todo a, b, c ∈ A, tal que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R entonces (a, c) ∈ R . Entonces nosotros decimos que R es transitiva. 8

Definici´ o n 23 Una relaci´ on de equivalencia en un conjunto A, es una relaci´ on R sobre A que es reflexiva, simétrica y transitiva. Definici´ o n 24 Sea A un conjunto y R relaci´ on de equivalencia sobre A. El subconjunto [a] = {b ∈ A | (a, b) ∈ R} es llamado clase de equivalencia de A que contiene a a. Lema 7 Sea A un conjunto no vac´ıo, R relaci´ on de equivalencia sobre A y a, b ∈ A. Entonces b ∈ [a] si y s´ olo si [a] = [b]. Lema 8 Sea A un conjunto no vac´ıo, R relaci´ on de equivalencia sobre A y a, b ∈ A. Entonces [a] ∩ [b] = ∅ o ´ [a] = [b]. Proposici´ on 2 Sea A un conjunto no vac´ıo y R relaci´ on de equivalencia sobre A. Entonces A es la uni´ on disjunta de sus distintas clases de equivalencia. 1.5.

Enteros

Dados dos n´ umeros enteros, a y b, con b  = 0, podemos dividir a por b para obtener im m´ umero no negativo r que es menor que | b |; es decir, podemos encontrar m, r tales que a = mb + r donde 0 ≤ r <| b | Decimos que b  = 0 divide a a si a = mb para alg´ un m. b divide a a se escribe b | a y para indicar que b no divide a a, b ∤ a. Si a | b y b | a entonces a = ± 1. Cualquier b  = 0 divide a 0. Si b | a, llamamos a b un divisor de a. Si b es un divisor de g y h, entonces es un divisor de mg + nh para enteros arbitrarios m y n. Definici´ o n 25 El entero positivo c se dice que es el m´ aximo com´ un divisor de a y b si: 1. c es un divisor de a y de b; 2. cualquier divisor de a y b es un divisor de c. Se usa la notaci´ on (a, b) para representar al m´ aximo com´ un divisor de a y b. Si el m´ aximo com´ un divisor existe, entonces es u ńico. Lema 9 Si a y b son enteros, no ambos cero, entonces (a, b) existe; podemos, adem´ as encontrar enteros m0 y n0 tales que (a, b) = m 0 a + n0 b. 9

Definici´ o n 26 Los enteros a y b son primos relativos si (a, b) = 1. Corolario 1 Si a y b son primos relativos, podemos encontrar enteros m y n tales que ma + nb = 1. Definici´ o n 27 El entero p > 1 es un n´ umero primo si sus unicos ´ divisores son ±1 y ± p. Lema 10 Si a es un primo relativo a b, pero a | bc, entonces a | c. Corolario 2 Si un n´ umero primo divide al producto de ciertos enteros, debe dividir al menos a uno de estos enteros. Teorema 2 Cualquier entero positivo a > 1 puede factorizarse en forma unica ´ como a = α α pα umeros primos y donde cada αi > 0. 1 p2 ...pt , donde p1 > p2 > ... > pt son n´ 1

2

t

Definici´ o n 28 (Congruencia m´ odulo n) Sea n > 0 un entero fijo. Definimos a ≡ b mód n si n | (a − b). n se llama m´ odulo de la relaci´ on y se le ”a es congruente con b m´ odulo n”. Lema 11

1. La relaci´ on çongruencia m´ odulo n”define una relaci´ on de equivalencia en

el conjunto de los enteros. 2. Esta relaci´ on de equivalencia tiene n distintas clases de equivalencia. 3. Si a ≡ b m´ od n y c ≡ m´ od n entonces a + c ≡ b + d m´ od n y ac ≡ bd mód n. 4. Si ab ≡ ac m´ od n y a es primo relativo con n, entonces b ≡ c mód n. Sea J n el conjunto de las clases de congruencia mod n; es decir, J n = { [0], [1],..., [n − 1]}. Dados dos elementos [i] y [ j] en J n , definamos: 1. [i] + [ j] = [i + j]; 2. [i][ j] = [ij]. Por el lema anterior, estas afirmaciones están bien definidas, es decir, que si [i] = [i′ ] y [ j] = [ j ′ ], entonces [i] + [ j] = [i′ ] + [ j ′ ] y [i][ j] = [i′ ][ j ′ ]. Tienen las siguientes propiedades: 1) [i] + [ j] = [ j] + [i] 2) [i][ j] = [ j][i] 3) ([i] + [ j]) + [k] = [i] + ([ j] + [k]) 4) ([i][ j])[k] = [i]([ j][k]) 5) [i]([ j] + [k]) = [i][ j] + [i][k]

 leyes conmutativas;  leyes asociativas;

ley distributiva

6) [0] + [i] = [i]; 7) [1][i] = [i]. 10

Si n = p es un número primo y si [a]  = [0] est´ a en J p , entonces hay un elemento [b] en J p tal que [a][b] = [1]. Ejercicios 1 Si b es un divisor de g y de h, pru´ ebese que es un divisor de mg + nh. 2 Si a | x, b | x y (a, b) = d pruébese que (a, b) | x β β α 3 Si a = pα umeros primos distintos y donde 1 ...pk y b = p1 ...pk donde los pi son n´ 1

k

1

k

todo αi ≥ 0, y todo β i ≥ 0, pruébse que (a, b) = p δ1 ...pδk donde δ i = m´ınimo de αi y 1

k

β i para cada i. 4 Dados a, b, al aplicar el algoritmo euclidiano sucesivamente tenemos: a = q 0 b + r1 , 0 ≤ r 1 < | b | b = q 1 r1 + r2 , 0 ≤ r 2 < r1 r1 = q 2 r2 + r3 , 0 ≤ r 3 < r2 .. . rk = q k+1rk+1 + rk+2 , 0 ≤ r k+2 < rk+1 Como los enteros rk son decrecientes y todos son no negativos, hay un primer entero n tal que rn+1 = 0. Pruébese que rn = (a, b) (r0 = b). 5 Usando el m´ etodo anterior calcular (1128, 33). 6 Pruébese que n > 1 es un primo si y sólo si par cualquier entero a sucede que (a, n) = 1 ó n | a. 7 Probar que la adici´ on en J n est´ a bien definida. 8 Probar las propiedades 1,4 y 6 para la adici´ on y multiplicaci´ on en J n . 9 Pruébese que n es un n´ umero primo si y s´ olo si en J n , dados a, b tal que [a][b] = [0] entonces [a] = [0] o´ [b] = [0].

2.

Grupos

2.1.

Grupos, monoides y semigrupos

(Z , +) Considerando el conjunto de los n´ umeros enteros y la operació n de la suma analicemos los siguientes aspectos:

11

1. Si a y b son dos n´ umeros enteros, ¿qué tipo de n´ umero es a + b?. 2. Si a, b y c son n´ umeros enteros, ¿qué relación existe entre los siguientes resultados (a + b) + c y a + (b + c)? 3. ¿Existe alg´ u n n´ umero entero i tal que a + i = i + a = a para todo n´ umero entero a? 4. Dado un n´ umero entero a, ¿existe un n´ umero entero a−1 tal que a+a−1 = a−1 +a = i? (M 2x2 , +) Ahora consideremos el conjunto de las matrices de 2x2 y la operación suma definida en ellas y analicemos lo siguiente: 1. Si A y B son matrices de 2x2, ¿qu´ e tipo de matriz es A + B?. 2. Si A, B y C son matrices de 2x2, ¿qu´ e relaci´ on existe entre los siguientes resultados (A + B) + C y A + (B + C )? 3. ¿Existe alguna matriz N tal que A + N = N + A = A para toda matriz A de 2x2? 4. Dado una matriz A de 2x2, ¿existe otra matriz A −1 tal que A + A−1 = A−1 + A = N ? (R \ {0} , x) Considerando el conjunto de los n´ umeros reales y la operaci´ on de la multiplicaci´ on analicemos los siguiente: 1. Si a y b son dos n´ umeros reales, ¿qu´ e tipo de n´ umero es axb?. 2. Si a, b y c son n´ umeros reales, ¿qué relación existe entre los siguientes resultados (ab)c y a(bc)? 3. ¿Existe alg´ u n n´ umero real i tal que ai = ia = a para todo n´ umero real a? 4. Dado un n´ umero real a, ¿existe un n´ umero real a−1 tal que aa−1 = a −1 a = i? Generalizando Sea G un conjunto y · una operaci´ on 1. Cerradura El resultado de la operaci´ on de dos elementos de G es un elemento de G. 2. Asociatividad No importa como se agrupen los elementos al realizar la operaci´ on. 3. Existencia de un elemento unidad Si existe un elemento llamado unidad, tal que al operar la unidad por la izquierda o derecha a cualquier elemento el resultado es el mismo elemento.

12

4. Existencia de inversos dado a ∈ G existe un elemento en G, denotado por a −1 tal que a · a−1 = a −1 · a = i Propiedad

(Z , +) a + b ∈

Cerradura

(M 2x2 , +) A + B ∈ M 2x2

Z

(R \ {0} , x) ab ∈

R

Asociatividad

(a + b) + c = a + (b + c)

(A + B ) + C = A + ( B + C )

(ab)c = a (bc)

Elemento unidad

0

02x2

1

Inverso de a

−a

−A

1

a

Definici´ o n 29 Se dice que un conjunto no vac´ıo G es un grupo si en él hay definida una operaci´ on · tal que: 1 a, b ∈ G implica a · b ∈ G. (Se dice que G es cerrado respecto a · ). 2 Dados a,b,c ∈ G se tiene que (a · b) · c = a · (b · c). (Ley asociativa en G). 3 Existe un elemento especial e ∈ G tal que a · e = e · a = a, para todo a ∈ G. ( e se llama elemento identidad). 4 Para todo a ∈ G exite un elemento b ∈ G tal que a · b = b · a = e. (b se denota como a−1 y se llama inverso de a en G). Definici´ o n 30 Se dice que un conjunto no vac´ıo G es un semigrupo si en él hay definida una operaci´ on · tal que 1 G es cerrado respecto a · 2 Se cumple la Ley asociativa Definici´ o n 31 Se dice que un conjunto no vac´ıo G es un monoide si en él hay definida una operaci´ on · tal que 1 G es cerrado respecto a · 2 Se cumple la Ley asociativa 3 Existe el elemento identidad e Ejemplo Dado un conjunto arbitrario no vac´ıo S definimos anteriormente el conjunto A(S ) como el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas del conjunto S sobre s´ı mismo. Para cualquier dos elementos σ , τ ∈ A(S ) se definió el producto por la composici´ on representada por σ ◦ τ . Adem´ as se demostraron las siguientes propiedades: 1. Si σ, τ ∈ A(S ), entonces σ ◦ τ ∈ A(S ). Entonces A(S ) es cerrado respecto al producto. 2. Para cualesquier tres elementos σ, τ,µ ∈ A(S ), se cumple que σ ◦ (τ ◦ µ) = (σ ◦ τ ) ◦ µ. Entonces se cumple la ley asociativa. 13

3. Existe la biyecci´ on identidad i ∈ A(S ) tal que i ◦ σ = σ ◦ i = σ para todo σ ∈ A(S ). Entonces existe el elemento identidad. 4. Para todo σ ∈ A(S ) hay una biyección que se representa σ −1 tal que σ ◦ σ −1 = σ −1 ◦ σ = i. Entonces todo elemeto de A(S ) tiene un inverso en A(S ). Por lo tanto A(S ) es un grupo con la operación composici´ on como producto. Ejercicios Verificar si los siguientes conjuntos bajo la operación indicada son grupos, semigrupos o monoides: 1 Sea G el conjunto de los enteros positivos respecto a · , donde a · b = a + b, es la suma ordinaria entre ellos. 2 Sea Q el conjunto de los n´ umeros racionales y la operaci´ on · en Q la suma ordinaria de ellos. 3 Sea Q′ el conjunto de los n´ umeros racionales diferentes de cero y la operación · en Q′ la multiplicaci´ on ordinaria de ellos. 4 Sea G el conjunto de los enteros y · el producto ordinario de ellos. 5 Sea G el conjunto de los n´ umeros reales distintos de cero y def´ınace, para a, b ∈ G, a · b = a 2 b. 6 Sea G = {− 1, 1} con la multiplicaci´ on entre n´ umeros reales como operación. Definici´ o n 32 Se dice que un grupo G es un grupo finito si consta de un n´ umero finito de elementos. El n´ umero de elementos de G se llama orden de G y se denota por |G|, también se usa la notaci´ on o(G). Definici´ o n 33 Se dice que un monoide, semigrupo o grupo G es abeliano si a · b = b · a para todo a, b ∈ G. Ejercicios Verificar cuáles son abelianos: 1 Sea G el conjunto de los enteros positivos respecto a · , donde a · b = a + b, es la suma ordinaria entre ellos. 2 Sea Q el conjunto de los n´ umeros racionales y la operaci´ on · en Q la suma ordinaria de ellos.

14

3 Sea Q′ el conjunto de los n´ umeros racionales diferentes de cero y la operación · en Q′ la multiplicaci´ on ordinaria de ellos. 4 Sea G el conjunto de los enteros y · el producto ordinario de ellos. 5 Sea G el conjunto de los n´ umeros reales distintos de cero y def´ınace, para a, b ∈ G, a · b = a 2 b. 6 Sea G = {− 1, 1} con la multiplicaci´ on entre n´ umeros reales como operación. Sea G = S 3 , el grupo de todas las aplicacaciones biyectivas del conjunto {x1 , x2 , x3 } sobre s´ı mismo, con el pro ducto de la composici´ on. Si tomamos las siguientes biyecciones: x1 −→ x 2 φ : x2 −→ x 1

(1)

x3 −→ x 3 x1 −→ x 2 ψ : x2 −→ x 3

(2)

x3 −→ x 1 ¿Qué sucede con φ · ψ y ψ · φ ? 2.2.

Lemas preliminares

Lema 12 Si G es un grupo, entonces a) el elemento identidad de G es unico; ´ b) todo a ∈ G tiene un inverso ´ unico en G; c) para todo a ∈ G, (a−1 )−1 = a; d) para a, b ∈ G, (a · b)−1 = b−1 · a−1 . Lema 13 Dados a, b en el grupo G, entonces las ecuaciones a · x = b y y · a = b tienen soluciones unicas ´ para x y y en G. En particular, las dos leyes de cancelaci´ on, a · u = a · w implica

u = w

y u · a = w · a implica se verifican en G. 15

u = w

Ejercicios 1 Pruébese que si G es un grupo abeliano, entonces, para todo a, b ∈ G y todos los enteros n, (a · b)n = a · b. 2 Si G es un grupo tal que (a · b)2 = a 2 · b2 para todo a, b ∈ G demuéstrese que G ha de ser abeliano. 3 Si G es un grupo finito, pru´ ebese que existe un entero positivo N tal que a N = e para todo a ∈ G. 4 Sea G un conjunto no vac´ıo cerrado respecto a un producto asociativo que adem´ as satisface:

• Existe un e ∈ G tal que a · e = a para toda a ∈ G. • Dado a ∈ G, existe un elemento y(a) ∈ G tal que a · y(a) = e. Pruébese que G debe ser un grupo bajo este producto. 5 Supongamos que un conjunto finito G es cerrado respecto a un producto asociativo y que las dos leyes de cancelación se verifican en G. Pruébese que G debe ser un grupo. 2.3.

Subgrupos

Definici´ o n 34 Un subconjunto H de un grupo G se dice que es subgrupo de G si respecto al producto en G, H mismo forma un grupo. Es claro que si H es subgrupo de G y K es un subgrupo de H entonces K es un subgrupo de G. Lema 14 Un subconjunto no vac´ıo H del grupo G es un subgrupo de G si y s´ olo si 1. a, b ∈ H implica que ab ∈ H ; 2. a ∈ H implica que a− 1 ∈ H . Lema 15 Si H es un subconjunto finito no vac´ıo de un grupo G, y H es cerrado respecto a la multiplicaci´ on, entonces H es un subgrupo de G. Ejemplos Sea G el grupo de los enteros bajo la adici´ on, H el subconjunto consistente en todos los m´ ultiplos de 5. H es subgrupo de G.

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Si H n son los m´ ultiplos de n entonces H n es subgrupo de los enteros G bajo la adici´ on. ¿Qué sucede con H n ∩ H m ? Sea S un conjunto cualquiera. Si x0 ∈ S , sea H (x0 ) = { φ ∈ A(S ) | x 0 φ = x 0 }, H (x0 ) es un subgrupo de A(S ). Si para x1  = x 0 ∈ S , ¿qué es H (x0 ∩ H (x1 )? Sea G un grupo cualquier ay a ∈ G. Sea (a) = {ai | i = 0, ±1, ±2,...}. Sea G un grupo, y W un subconjunto de G. Sea (W ) el conjunto de todos los elementos de G representables como un producto de elementos de W elevados a potencias de exponente positivo, negativo o cero. (W ) es el subgrupo de G generado por W y es el m´ınimo subgrupo de G que contiene a W . (W ) es la intersecci´ on de todos los subgrupos de G que contienen a W . Definici´ o n 35 Un grupo G se llama grupo c´ıclico si existe a ∈ G tal que G = (a), es decir, G = { ai | i = 0, ±1, ±2,...}. Definici´ o n 36 Sea G un grupo, H un subgrupo de G; para a, b ∈ G decimos que a es congruente con b mod H , lo que escribimos: a ≡ b m´ od H , si ab−1 ∈ H . Lema 16 La relaci´ on a ≡ b m´ od H es una relaci´ on de equivalencia. Definici´ o n 37 Si H es un subgrupo de G, y a ∈ G, entonces Ha = { ha | h ∈ H }. A Ha se le llama clase lateral derecha de H en G. Lema 17 Para todo a ∈ G, Ha = {x ∈ G | a ≡ x

m´ od H }

Ha es la clase de equivalencia de a ∈ G. De acuerdo al Teorema ??, G es la unión disjunta de las clases laterales, por lo tanto dos clases laterales derechas de H en G o son idénticas o son disjuntas. Lema 18 Hay una correspondencia biyectiva entre dos clases laterales derechas cualesquiera de H en G. Teorema 3 (Lagrange) Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces o(H ) es un divisor de o(G). Definici´ o n 38 Si H es un subgrupo de G, el ´ındice de H en G es el n´ umero de distintas clases laterales derechas de H en G, se representa por iG (H ).

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Si G es un grupo finito i G (H ) =

o(G) o(H )

Definici´ o n 39 Si G es un grupo y a ∈ G, el orden (o periodo) de a es el entero positivo m´ınimo m tal que am = e. Corolario 3 Si G es un grupo finito y a ∈ G, entonces o(a) | o(G). Corolario 4 Si G es un grupo finito y a ∈ G, entonces ao(G) = e. Corolario 5 (De Euler). Si n es un entero positivo y a es primo con n entonces aφ(n) ≡ 1 m´ od n. Corolario 6 (De Fermat). Si p es un n´ umero primo y a es un entero cualquiera, entonces a p ≡ a mód p. Corolario 7 Si G es un grupo finito cuyo orden es un n´ umero primo p, entonces G es un grupo c´ıclico. 2.4.

Relaci´ on entre los n´ umeros de elementos

Lema 19 Sea G un grupo y H y K dos subgrupos de G. Sea HK = { x ∈ G | x = hk, h ∈ H, k ∈ K }. HK es un subgrupo de G si y s´ olo si HK = K H . Corolario 8 Si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces H K es un subgrupo de G. Teorema 4 Si H y K son subgrupos finitos de G de ordenes ´ o(H ) y o(K ) respectivamente, entonces o(HK ) =

o(H )o(K ) o(H ∩ K )

Corolario 9 Si H y K son subgrupos de G y o(H ) > H ∩ K  = e. 2.5.

 o(G) y o(K ) >  o(G), entonces

Homomorfismos

Definici´ o n 40 Una aplicaci´ on φ de un grupo G en un grupo G se dice que es un homomorfismo si para a, b ∈ G cualesquiera siempre se tiene φ(ab) = φ(a)φ(b).

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Referencias ´ [1] I. N. Herstein. Algebra moderna . Editorial Trillas, México, 1983. (Trad. F. Velasco C., Ed. Emilio Lluis R.). [2] S. Langa. Algebra . Springer, USA, 1983.

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Apuntes Algebra Abstracta

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