Notas de Algebra Abstracta

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, ARQUITECTURA ´ ESCUELA PROFESIONAL CIENCIAS FÍSICO MATEMATICAS

Segunda Pr´ actica-Preprofesional Informe Responsable: Est. Lucio Elias Flores Bustinza

Asesor: Lic. Faustino Murillo Mamani PUNO 2010

´ PERU

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Universidad Nacional del Altiplano Facultad de Ingeniería Civil y Arquitectura Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas

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INFORME N ◦ 001 − 2010−EPFM AL

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DE ASUNTO FECHA

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Lic. Juan Carlos Benavides Huanca Director de Estudios de la Escuela Profesional Cs. F´ısico Matemáticas Lic. Faustino Murillo Mamani Informe de las Prácticas Pre Profesionales 19 de Marzo del 2010

Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las prácticas realizadas por el Estudiante LUCIO ELIAS FLORES BUSTINZA, el cual detallo a continuación: 1. Mediante MEMORANDO N-010-2008-DE-EPCFM-FICA-UNA. Se designa Al estudiante LUCIO ELIAS FLORES BUSTINZA, para que realice prácticas preprofesionales en la escuela profesional de Ciencias F´ısico Matemáticas en la asig´ natura de TOPICOS DE ALGEBRA la misma que realizo bajo mi asesor´ıa. 2. El estudiante realizo la práctica a partir de la fecha 20 de Marzo del 2008 y culminando el 17 de Julio del 2008, acumulando un total de 30 horas académi´ cas, que consiste en desarrollar la parte practica de la asignatura de TOPICOS DE ALGEBRA , correspondiente al X semestre de la E.P. de Ciencias F´ısico Matemáticas. 3. Durante la realización de la práctica pre-profesional del estudiante en mención demostró, responsabilidad y dominio de los temas, tanto en la preparación de sus sesiones, como en su desenvolvimiento ante los estudiantes y demás tareas asignadas. 4. Concluida la practica pre-profesional el estudiante alcanzo los objetivos establecidos, siendo as´ı; solicito a Ud. se˜ nor Director ha realizar los trámites necesarios para la expedición de la respectiva Resolución. Es cuanto informo a Ud. para los fines que el interesado tenga por conveniente.

Atentamente,

LIC. FAUSTINO MURILLO MAMANI Asesor

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Universidad Nacional del Altiplano Facultad de Ingeniería Civil y Arquitectura Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas

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INFORME N ◦ 001 − 2010−EPFM AL

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DE ASUNTO FECHA

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LIC. FAUSTINO MURILLO MAMANI Asesor de Prácticas Est. Lucio Elias Flores Bustinza Informe de las Prácticas Pre Profesionales 19 de Marzo del 2010

Es grato dirigirme a Ud. sobre las prácticas que realice el cual detallo a continuación: 1. Mediante el MEMORANDO N-010-2008-DE-EPCFM–FICA-UNA.de fecha, Puno C.U, Marzo 17 del 2008, se me designa a su persona como asesor, para que realice las prácticas pre-profesionales en la Escuela Profesional de Ciencias F´ısico ´ ´ Matemáticas en la asignatura de TOPICOS DE ALGEBRA. 2. Inicie la práctica el d´ıa 20 de Marzo del 2008, terminando el 17 de Julio del 2008, acumulando satisfactoriamente las 30 horas académicas pedidas. 3. Los detalles de la práctica pre-profesional se encuentran en la documentación adjunta en este informe. En cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.

Atentamente,

Est. LUCIO ELIAS FLORES BUSTINZA UNA-PUNO

´ PRESENTACION Estas notas se originan por las practicas pre-profesionales realizada del 20 de Mar´ zo del 2008, terminando el 17 de Julio del 2008 en la asignatura de TOPICOS DE ´ ALGEBRA en la Escuela Profesional de Ciencias F´ısico Matemáticas de la Universidad Nacional del Altiplano- Puno. En el primera parte contiene todos los datos personales, del lugar donde se realizo las practicas pre-profesionales y los datos de la asignatura. En la segunda parte justifica la realización de las prácticas pre-profesionales. Y en la tercera parte menciona los objetivos de la práctica pre-profesional. En la cuarta parte se presenta el contenido del curso, presentándose este contenido en dos cap´ıtulos, siendo el primer capitulo de El Conjunto de N´ umeros Reales, en el que se presenta todas las propiedades y operaciones fundamentales en las cuales es cerrado este conjunto para finalmente poder definir el campo y anillo de los n´ umero reales. En el Segundo Cap´ıtulo de Grupos, se presenta los conceptos fundamentales e importantes de la teor´ıa de grupos, tales como subgrupos, grupos c´ıclicos, para finalmente poder definir el isomorfismo y homomorfismo de estos. ´ En el presente informe se presenta algunos aspectos de la teor´ıa del Algebra, no se busca la originalidad, de hecho todos los resultados presentados aqu´ı pueden ser hallados en la bibliograf´ıa. Espero que este informe sirva como referencia para futuras prácticas pre-profesionales que se realicen referentes a la Asignatura.

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LUCIO ELIAS FLORES BUSTINZA

Índice general Presentaci´ on

3

I. DATOS INFORMATIVOS

6

´ II. JUSTIFICACION

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III. OBJETIVOS

9

1. Conjunto de Numeros Reales 1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Axiomas para el Sistema de Numeros Reales 1.4. Consecuencias de los Axiomas Algebraicos . 1.5. Consecuencias de los Axiomas de Orden . . 1.6. El Axioma de Completes . . . . . . . . . . . 1.7. Una Aplicación del Axioma de Completes . 1.8. El Conjunto de los Enteros . . . . . . . . . . 1.9. División de Enteros . . . . . . . . . . . . . . 1.10. El Principio de Buen Orden . . . . . . . . . 1.11. El Algoritmo de la División . . . . . . . . . 1.12. Los N´ umeros Racionales . . . . . . . . . . . 1.13. Campos y Anillos de N´ umeros Reales . . . .

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2. Grupos 2.1. Operaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Operaciones Binarias con Tablas . . . . . . . . . . . 2.1.2. Criterios para Definir una Operación Binaria. . . . 2.2. Propiedades de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Propiedades Elementales . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Clasificación de Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . 2.4. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Isomorfismo de Grupos y Propiedades Fundamentales . . . 2.5.1. Como Demostrar que dos Grupos son Isomorfos . . 2.5.2. Como Demostrar que Dos Grupos no son Isomorfos 2.6. Productos Directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Productos Directos Externos . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Productos Directos Internos . . . . . . . . . . . . . 4

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10 10 12 16 17 21 29 30 37 37 38 43 47 48

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51 51 52 53 53 55 55 57 58 61 62 64 65 65 68

2.7. Homomorfismos de Grupos y Propiedades Fundamentales . . . . . . . . 2.8. El Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . .

70 72

V. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

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VII. BIBLIOGRAFÍA

77

5

DATOS INFORMATIVOS Responsable DNI C´ odigo Nivel Semestre Duraci´ on

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Lucio Elias Flores Bustinza 42010485 990717 Quinto Decimo Del 20 de Marzo del 2008 al 17 de Julio del 2008

Asesor Instituci´ on Lugar Facultad Escuela Profesional

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Lic. Faustino Murillo Mamani Universidad Nacional del Altiplano Puno Ingenier´ıa Civil y Arquitectura Ciencias F´ısico Matemáticas

Asignatura Naturaleza de la Asignatura N´ umero de Horas Cr´ editos A˜ no Acad´ emico Semestre ´ Area Condici´ on Grupo

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´ Tópicos de Algebra Obligatorio 3T.(Teor´ıa)+2P.(Prácticas)=5 Hrs. 4 2007 2007-II Orientación Flexible ´ Unico

´ JUSTIFICACION Las practicas pre-profesionales en la escuela profesional de Ciencias F´ısico Matemáticas, son de mucha importancia para poner en práctica los conocimientos y experiencias adquiridas en nuestra etapa como estudiante en la universidad, as´ı mismo construimos una solida base adquiriendo destreza y habilidad para nuestro buen desempe˜ no como profesionales. Por otro lado, las practicas pre-profesionales es para dar cumplimiento a uno de los requisitos exigidos dentro del Programa Académico de la Facultad de Ingenier´ıa Civil y Arquitectura de Nuestra Universidad Nacional del Altiplano para la obtención del grado académico de Bachiller, que tiene el siguiente sustento legal:

1. Ley Universitaria Nº 23733 Dado en la casa de gobierno en Lima, a los nueve d´ıas del mes de diciembre de mil novecientos ochenta y tres. En el gobierno de: FERNANDO BELAUNDE TERRY, y siendo PATRICIO REY DE CASTRO, Ministro de Educación. Art. 23 Los t´ıtulos profesionales de licenciado o su equivalente requieren de estudios de una duración no menor de diez semestres académicos o la aprobación de los a˜ nos o créditos correspondientes, incluidos los de cultura general que los preceden. Además son requisitos la obtención previa del Bachillerato respectivo y, cuando sea aplicable, el haber efectuado práctica profesional calificada. Para obtener el t´ıtulo de licenciado o sus equivalentes, se requiere de una tesis o de un examen profesional.

2. Estatuto de la Universidad Nacional del Altiplano Aprobado en asamblea universitaria del 06 al 19 de enero de 2005. Art. 122 La actividad académica en una escuela profesional comprende: - Formación general. - Formación básica profesional. - Formación profesional. - Investigación. - Orientación profesional. - Proyección y extensión universitaria. Su dise˜ no involucra la programación curricular teórico-práctica de cada asignatura; proyectos de investigación sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan de actividades de proyección y extensión universitaria; y un plan de prácticas pre-profesionales.

3. Curricula de la Escuela Profesional Ciencias F´ısico Matem´ aticas Art. 40 El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla la realización de prácticas pre profesionales en la formación de todos los estudiantes de la universidad. Art. 41 Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. F´ısico Matemáticas están obligados a realizar prácticas pre profesionales pudiendo efectuarse después de haber logrado un m´ınimo de 170 créditos. Art. 42 Las prácticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. F´ısico Matemáticas serán prácticas productivas y prácticas de investigación. Art. 43 Las prácticas productivas comprenderán prácticas pedagógicas en centros de ense˜ nanza de nivel medio superior y universidades; prácticas en centros productivos, convenio, proyectos y otros que requieran la participación de F´ısicos Matemáticos. Art. 44 Las prácticas de investigación se realizan en la U.N.A. bajo la dirección de un profesor designado espec´ıficamente con este fin. Art. 45 Las prácticas productivas de investigación tendrán una duración de un semestre académico. Art. 46 Los estudiantes, después de haber cumplido con sus prácticas productivas y/o de investigación presentarán el informe a la institución donde se realizó y esta a su vez informará de su desarrollo a la Dirección de Carrera quien lo remitirá a la comisión de prácticas pre profesionales para su aprobación o desaprobación. Art. 47 En el caso de que la práctica productiva y/o prácticas de investigación se realice en la Universidad Nacional del Altiplano el practicante presentará el informe al docente a cargo, éste a su vez informará su desarrollo a la Dirección de la Carrera para el visto bueno de la comisión de prácticas Pre profesionales. Art. 48 Los aspectos no contemplados en el presente reglamento serán absueltos por la Comisión de prácticas pre profesionales.

OBJETIVOS Objetivos Generales Al concluir las practicas pre profesionales, se espera que el practicante logre: • Afianzar la formación profesional en la labor docente. • Consolidar habilidades y destrezas en la ense˜ nanza de la matemática a nivel universitario. Además al concluir la práctica pre profesional, los estudiantes de la Escuela Profesional de Ingenier´ıa Geológica y Ciencias F´ısico Matemáticas, serán capaces de: • Consolidar los conocimientos teóricos, llevándolos a la práctica. • Interprete teoremas y definiciones en forma clara para que ayuden a la resolución y entendimiento de problemas.

Objetivos Espec´ıficos Los objetivos espec´ıficos que se tiene para la práctica desarrollada en la respectiva asignatura designada es: • Poner en práctica los conocimientos adquiridos, en la ense˜ naza de la asignatura designada. • Resolver problemas y ejercicios, haciendo uso de métodos apropiados para cada caso. • Haciendo demostraciones y desarrollar ejercicios y problemas, distinguiendo el mejor método para la solución de estos. • Aplicar teoremas y definiciones que ayuden a una mas fácil y rápida solución de problemas.

Cap´ıtulo 1 Conjunto de Numeros Reales 1.1.

Conjuntos

Si una propiedad especifica es considerada y si además, es posible una prueba individual de cada objeto para esta propiedad, entonces la totalidad de objetos que tienen esta propiedad es llamado conjunto. Para tal efecto la propiedad es llamada propiedad de definición de el conjunto. Un conjunto usualmente es representado por una letra may´ uscula y los elementos del conjunto por letras min´ usculas, por ejemplo si decimos que x es un elemento de el conjunto S, se escribe: x∈S En lo posterior, para ciertos casos se asumirá que si S es el conjunto de todos los objetos que tienen la propiedad P , entonces las sentencias “x tiene la propiedad P ”ÿ “x es un elemento de S” son sinónimos. Un conjunto puede ser representado por comprensión y por extensión, por ejemplo el conjunto A con elemento 0 y 1 puede ser presentado por: A = {0, 1}, por extensión A = {x ∈ R : x2 = x}, por compresión Si S es un conjunto y se pudiera decir que P es una propiedad de los elementos de S, se podr´ıa pensar que la sentencia “x tiene la propiedad P ” es cierta o falsa, y se pueda determinar que x es un elemento de S. Entonces el conjunto A = {x ∈ S : x tiene la propiedad P } contiene exactamente estos elementos x de S para la cual la sentencia “x tiene la propiedad P ” es cierta o verdadera. Por esta razón, el conjunto A es llamando conjunto verdad de la propiedad P . Definici´ on 1 Si P es una propiedad de los elementos del conjunto S y A es un conjunto verdad de la propiedad P , entonces A es llamado un subconjunto de S.

10

Definici´ on 2 Si A1 y A2 son subconjuntos del conjunto universal S y si cada elemento de A1 es un elemento de A2 , se dice que A1 esta contenido en A2 o que A1 es un subconjunto de A2 . Esta relaci´ on es expresada simbólicamente por x ∈ A1 ⇒ x ∈ A2 ó A1 ⊂ A2

(1.1) (1.2)

La ecuación (1.1) se lee “x es un elemento de A1 implica que x es un elemento de A2 ”, donde el s´ımbolo ⇒ es llamado signo de implicaci´ on. La ecuación (1.2) se lee “El conjunto A1 es contenido en el conjunto A2 ”. Se pondrá atención en las siguientes relaciones, donde A1 , A2 y A3 son subconjuntos arbitrarios de S. A1 ⊂ A2 A1 ⊂ A2

y y

A2 ⊂ A2 ⇒ A1 ⊂ A2 A2 ⊂ A1 ⇒ A1 = A2 A1 ⊂ A1

(1.3) (1.4) (1.5)

Definici´ on 3 Si P1 y P2 son propiedades de elementos de le conjunto universal S, el s´ımbolo P1 ∧ P2 es usado para indicar la propiedad que tienen ambos P1 y P2 En otras palabras, un elemento x de S tiene P1 ∧ P2 si y solo si x tiene la propiedad P1 y P2 . Definici´ on 4 Si A1 y A2 son los conjuntos verdad de propiedades P1 y P2 entonces el conjunto verdad de P1 ∧ P2 esta indicado por el s´ımbolo A1 ∩ A2 que se lee “A1 intersecci´ on A2 ” En otras palabras, el conjunto A1 ∩ A2 es definido por la totalidad de elementos comunes de A1 y A2 . También se pondrá atención a las siguientes relaciones, donde A1 y A2 son subconjuntos arbitrarios de S. A1 ∩ A2 = A2 ∩ A1 A1 ∩ A2 ⊂ A1 , A1 ∩ A2 ∩ A2 A1 ∩ A1 = A1

(1.6) (1.7) (1.8)

Definici´ on 5 Si P1 y P2 son propiedades de elementos del conjunto universal S, el s´ımbolo P1 ∨ P2 que se lee “P1 ´ o P2 ” es usado para indicar la propiedad que tiene al menos una de las propiedades P1 ´ o P2 . 11

En otras palabras, un elemento x de S tiene la propiedad P1 ∨ P2 si y solo si x tiene la propiedad P1 o x tiene la propiedad P2 . Si x tiene ambas propiedades P y P2 , entonces x tiene P1 ∨ P2 as´ı como P1 ∧ P2 . Definici´ on 6 Si A1 y A2 son conjuntos verdad de propiedades P1 y P2 , entonces el conjunto verdad de P1 ∨ P2 es indicado por el s´ımbolo A1 ∪ A2 que se lee “A1 uni´ on A2 ” En otras palabras, el conjunto A1 ∪ A2 esta definido para la totalidad de elementos pertenecientes a cualquiera de los conjuntos A1 o A2 (o ambos). Se pondrá atención a las siguiente relaciones, donde A1 y A2 son subconjuntos arbitrarios de S. A1 ∪ A1 = A2 ∪ A1 A1 ⊂ A1 ∪ A2 , A2 ⊂ A1 ∪ A2 A1 ∪ A1 = A1

(1.9) (1.10) (1.11)

Puede ocurrir que P1 y P2 son propiedades de elementos de S y no existan elementos de S que tengan esa propiedad P1 ∧ P2 , en este caso, el conjunto verdad de la propiedad P1 ∧ P2 que no contiene elementos es llamado conjunto nulo ó vac´ıo que se indica por el s´ımbolo ∅. Este conjunto es el subconjunto mas peque˜ no del conjunto universal S y esta contenido en todos los subconjuntos de S. Finalmente se ve que el subconjunto mas grande de S es el mismo conjunto, por lo cual se dice que el conjunto nullo y el conjunto S son subconjuntos impropios de S.

1.2.

Operaciones

Las operaciones definidas en la aritmética del sistema de n´ umeros reales son las cuatro operaciones fundamentales: adición, sustracción, multiplicación y división. Estas son operaciones binarias definidas en el conjunto IR de numeros reales. La palabra binaria es usado para indicar que cada operación es un método para combinar dos elementos (no necesariamente diferentes) para producir un solo y u ńico elemento de IR. El s´ımbolo para representar una operación no especificada será “◦” Definici´ on 7 (Cerradura o Clausura) Dada una operaci´ on binaria ◦ en un conjunto S, se dice que S es cerrada bajo “◦” si para cada x y y elementos de S, entonces x ◦ y es un u ńico elemento de S. También se dice que “◦” es una operación binaria definida en S. y pude ser escrita de la siguiente manera: x∈A y y ∈A⇒x◦y ∈A 12

Vale la pena aclarar que en el sistema de los n´ umeros reales la división por cero es imposible, en este caso, cuando se diga que el conjunto A de los n´ umeros reales es cerrado bajo la división, significará que: x ∈ A y y ∈ A con y 6= 0 ⇒

x ∈A y

Ejercicios 1 1. Sean A1 , A2 , A3 y A4 conjuntos de n´ umeros reales dados por: A1 = {1, 2, 3, 4} A2 = {2, 3, 4, 5} A3 = {2, 3} A4 = {1, 2, 3, 5} Describir cada uno de los siguientes conjuntos, listando sus elementos a) A1 ∪ A2 = {1, 2, 3, 4, 5} b) A1 ∪ A3 = {1, 2, 3, 4} c) (A1 ∩ A2 ) ∩ A3 = ({1, 2, 3, 4, } ∩ {2, 3, 4, 5}) ∩ {2, 3} = {2, 3, 4} ∩ {2, 3} = {2, 3} d ) A4 ∩ A2 = {2, 3, 5} e) A1 ∩ A2 = {2, 3, 4} f ) A1 ∩ A3 = {2, 3} g) (A1 ∪ A2 ) ∩ A3 = ({1, 2, 3, 4, 5}) ∩ {2, 3} = {2, 3} 2. Cuales de las relaciones son verdaderas? (los conjuntos A1 , A2 , A3 y A4 son los del ejercicio 1) a) A1 ⊂ A2 es FALSA Soluci´ on: 1 ∈ A1 pero 1 6∈ A2 que no satisface la definición 2 b) A3 ⊂ A1 es VERDADERA Soluci´ on: ¾ 2 ∈ A3 y 2 ∈ A1 ⇒ A3 ⊂ A1 3 ∈ A3 y 3 ∈ A1

13

c) A1 ⊂ (A1 ∪ A2 ) es VERDADERA Soluci´ on: Como A1 ∪ A2 = {1, 2, 3, 4, 5} se cumple que {1, 2, 3, 4} ⊂ (A1 ∪ A2 ) A1 ⊂ (A1 ∪ A2 )

Por (1.10)

d ) A4 ∩ (A1 ∪ A2 ) = (A4 ∩ A1 ) ∪ (A4 ∩ A2 ) es VERDADERA Soluci´ on: Sean A4 ∩ (A1 ∪ A2 ) = = (A4 ∩ A1 ) ∪ (A4 ∩ A2 ) = =

{1, 2, 3, 5} ∩ ({1, 2, 3, 4} ∪ {2, 3, 4, 5}) {1, 2, 3, 5} ({1, 2, 3, 5} ∩ {1, 2, 3, 4}) ∪ ({1, 2, 3, 5} ∩ {2, 3, 4, 5}) {1, 2, 3, 5}

De (1.4) A4 ∩ (A1 ∪ A2 ) ⊂ (A4 ∩ A1 ) ∪ (A4 ∩ A2 ) (A4 ∩ A1 ) ∪ (A4 ∩ A2 ) ⊂ A4 ∩ (A1 ∪ A2 ) ∴ A4 ∩ (A1 ∪ A2 ) = (A4 ∩ A1 ) ∪ (A4 ∩ A2 ) e) A2 ⊂ A1 es FALSA Soluci´ on: Por que 5 ∈ a2 pero 5 6∈ A1 y no cumple la definición (2) f ) A3 ⊂ (A1 ∪ A2 ) es VERDADERA Soluci´ on: Como A1 ∩ A2 = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A3 ⇒ 2 ∈ (A∩ A2 ) 3 ∈ A3 ⇒ 3 ∈ (A∩ A2 )

¾ implica que A3 ⊂ (A∩ A2 )

g) (A1 ∩ A2 ) ⊂ A2 es VERDADERA Soluci´ on: Como A1 ∩ A2 = {2, 3, 4} entonces  2 ∈ (A1 ∩ A2 ) ⇒ 2 ∈ A2  3 ∈ (A1 ∩ A2 ) ⇒ 3 ∈ A2  4 ∈ (A1 ∩ A2 ) → 4 ∈ A2

⇒

(A1 ∩ A2 ) ⊂ A2

3. En el siguiente problema, el conjunto universal es el conjunto de todos los cuadriláteros en el plano, entonces se define los conjuntos: A1 = {x ∈ S : xes un paralelogramo} ( ) A2 = {x ∈ S : xes un rectangulo} (@A) 14

A3 = {x ∈ S : xes un cuadrado} (¤) A4 = {x ∈ S : xes un rombo} (3) ¿Cuál de los siguientes conjuntos es verdadero? Soluci´ on: Asumiendo que a la hora de comparar los elementos de los conjuntos son de dimensiones casi homogeneas se tiene: a) A1 ⊂ A2 es FALSO b) A2 ∩ A1 es FALSO c) (A1 ∩ A4 ) = A2 es FALSO, por que ∩ 3 6=@A d ) (A1 ∩ A4 ) = A3 es FALSO, por que ∩ 3 6= ¤ e) (A1 ∩ A4 ) = A4 es FALSO, por que ∩ 3 6= 3 f ) A3 ⊂ (A1 ∩ A4 ) es FALSO, por que ¤ 6⊂ ( ∩ 3) g) A3 = (A1 ∩ A4 ) es FALSO, por que ¤ 6= ( ∩ 3) h) A3 ⊂ (A2 ∩ A4 ) es VERDADERO, por que ¤ ⊂ (@A ∩¤) i ) A3 = (A2 ∩ A4 ) es VERDADERO, por que ¤ = (@A ∩¤) 4. Describe el siguiente conjunto listando sus elementos A = {x ∈ IR : x2 + x = 0} Soluci´ on: Resolviendo la ecuación de segundo grado se tiene: x2 + x = 0 x(x + 1) = 0 ⇒

½

x=0 x = −1

de donde A = {0, −1} 5. Bajo cual de las cuatro operaciones fundamentales, el conjunto A del ejercicio anterior es cerrado? Soluci´ on: Como el conjunto esta definido como A = {x ∈ IR : x2 + x = 0} de donde sus elementos tiene que cumplir que x2 = x, entonces veamos para cual de las cuatro operaciones fundamentales es cerrado Para la Adición Si 0, −1 ∈ A ⇒ 0 + (−1) = −1 + 0 = −1 ∈ A, por lo tanto si es cerrado bajo la suma Para la Sustracción Si 0, −1 ∈ A ⇒ 0 − (−1) = 1 6∈ A, por lo tanto no es cerrado bajo la sustracción

15

Para la Multiplicación Si 0, −1 ∈ A ⇒ 0(−1) = 1(0) = 0 ∈ A, por lo tanto si es cerrado bajo la multiplicación Para la División Si 0, −1 ∈ A ⇒

1.3.

0 = 0 ∈ A, por lo tanto si es cerrado bajo la división −1

Axiomas para el Sistema de Numeros Reales

Definici´ on 8 El sistema de numeros reales consiste de un conjunto IR cerrado bajo dos operaciones, llamadas adición y multiplicación, cuyos elementos satisfacen los siguientes axiomas algebraicos: A1. a + (b + c) = (a + b) + c. (Ley asociativa para la adición) A2. Existe un u ńico elemento “0” en IR tal que a + 0 = 0 + a = a, para alg´ un a ∈ IR. A3. Para cada elemento a de IR, existe un u ńico elemento −a en IR tal que a+(−a) = (−a) + a = 0. El elemento −a es llamado el negativo (o el opuesto aditivo) de a. A4. a + b = b + a. (Ley conmutativa para la adición) A5. a · (b · c) = (a · b) · c. (Ley asociativa para la multiplicaci´ on) A6. Existe en IR un u ńico elemento 1 diferente de cero, tal que a · 1 = 1 · a = a, para alg´ un a en IR A7. Para cada elemento a ∈ IR, con a 6= 0, existe un u ńico elemento a−1 en IR tal que −1 −1 a · (a ) = 1. El elemento a es llamado el rec´ıproco (o inverso multiplicativo) de a. A8. a · b = b · a. (Ley conmutativa para la multiplicaci´ on) A9. (a + b) · c = a · c + b · c (Ley distributiva izquierda)

Los Axiomas de Orden Existe un subconjunto P de IR (llamado el conjunto positivo de los n´ umeros reales) que satisface lo siguiente: O1. El conjunto P es cerrado bajo la adición. O2. El conjunto P es cerrado bajo la multiplicación. O3. Para alg´ un n´ umero real a, exactamente una de las siguientes ocurre: a = 0 ó a ∈ P ó −a ∈ P . (Ley de la Tricotomia)

16

1.4.

Consecuencias de los Axiomas Algebraicos

Teorema 1 [Ley distributiva derecha.] Si a, b, c ∈ IR, entonces a · (b + c) = a · b + a · c Teorema 2 [Ley de cancelaci´ on para la adición.] Sean a, b, c ∈ IR. Si a + b = a + c, entonces b = c. Teorema 3 El n´ umero 0 tiene la propiedad que a · 0 = 0, para todo a ∈ IR. Teorema 4 [El principio de integridad.] Si a, b ∈ IR, tales que ab = 0, entonces ocurre que a = 0 ´ o b = 0. Teorema 5 (Ley de cancelaci´ on para la multiplicaci´ on.) Si a, b, c ∈ IR tales que ac = bc y c 6= 0, entonces a = b. Teorema 6 Para alg´ un n´ umero real a, es cierto que −(−a) = a Teorema 7 (−a)(−b) = ab Los axiomas del sistema de n´ umeros reales no hace mención a las operaciones de sustracción y división, esto se debe a que estas operaciones pueden ser expresadas en términos de la adición y multiplicación, tal como lo dice la siguiente definición. Definici´ on 9 Si a y b son n´ umeros reales, entonces a−b es definido por el n´ umero a + (−b). Si b 6= 0, entonces a (´ o a/b) b es definido por el n´ umero a(b−1 ). Las operaciones asignadas al par de n´ umeros a,b como a − b y a/b son llamadas sustracci´ on y división.

Ejercicios 2 Pruebe que las siguientes reglas son ciertas en el sistema de n´ umeros reales. 1. (−a) = (−1)a Demostraci´ on: a + (−1)a = 1(a) + (−1)a = (1 + (−1))a = (1 − 1)a = (0)a =0

Por A6 Por A9 Por definición 9 Por A3 Por teorema 3

Como a + (−1)a = 0 significa que (−1)a es el inverso aditivo de a. Por lo tanto −a = (−1)a 17

A

2. (−a)b = a(−b) = −(ab) Demostraci´ on:

Se hará la prueba en tres partes:

a) (−a)b = a(−b) (−a)b = [(−1)(a)]b = [(a)(−1)]b = a[(−1)(b)] = a(−b)

Por Prob. 1 Por A8 Por A5 Por Prob. 1

a(−b) = a[(−1)(b)] = [(a)(−1)]b = [(−1)(a)]b = (−1)[ab] = −(ab)

Por Prob. 1 Por A5 Por A8 Por A5 Por Prob 1

(−a)b = [(−1)(a)]b = (−1)[(a)(b)] = −(ab)

Por Prob. 1 Por A5 Por Prob. 1

b) a(−b) = −(ab)

c) (−a)b = −(ab)

Por lo tanto de a), b) y c) se cumple que (−a)b = a(−b) = −(ab)

A

3. a(b − c) = ab − ac Demostraci´ on: a(b − c) = (b − c)a = [b + (−c)]a = ba + (−c)a = ab + a(−c) = ab + [−(ac)] = ab − ac

Por A8 Por Def. 9 Por A9 Por A8 Por Prob. 2 Por Def. 9

A

4. −(a + b) = (−a) + (−b) Demostraci´ on: −(a + b) = (−1)(a + b) = (a + b)(−1) = a(−1) + b(−1) = (−1)a + (−1)b = (−a) + (−b)

18

Por Prob. 1 Por A8 Por A9 Por A8 Por Prob. 1

A

5. (a − b) + (b − c) = a − c Demostraci´ on: (a − b) + (b − c) = (a + (−b)) + (b + (−c)) = a + {(−b) + [b + (−c)]} = a + {[(−b) + b] + c(−c)} = a + [0 + (−c)] = a + (−c) =a−c

6.

³a´ b

µ +

−a b

A

¶ =0

Demostraci´ on: ³ a ´ µ −a ¶ + = (a · b−1 ) + ((−a) · b−1 ) b b = ab−1 + [−(ab−1 )] = ab−1 − ab−1 =0

7.

³a´ ³ c ´ b

d

Por Def. 9 Por A1 Por A1 Por A3 Por A2 Por Def. 9

Por Def. 9 Por Prob. 2 Por Def. 9 Por A3

A =

ac bd

Demostraci´ on: iente teorema

Para probar esta propiedad, tenemos que hacer uso del sigu-

Teorema 8 ∀a, b ∈ IR con n ∈ Z se cumple que (ab)n = an bn Probaremos este teorema por inducción Para n = 0 se cumple puesto que: a0 b0 = 1 · 1 = 1 = (ab)0 Para n = h se cumple por definición de inducción Para n = h + 1 con h ∈ Z (ab)h+1 = = = = = = 19

(ab)h (ab)1 (ah bh )(ab) ah [bh (ab)] ah (abh b) (ah a)(bh b) ah+1 bh+1

Ahora haremos la demostración del ejercicio. En efecto ³a´ ³ c ´ = (ab−1 )(cd−1 ) Por Def. 9 b d = a[b−1 (cd−1 )] Por A5 −1 −1 = a[b (d )] Por A8 −1 −1 = a[(b d )c] Por A5 −1 1 = a[c(b d )] Por A8 −1 −1 = (ac)(b d ) Por A5 −1 = (ac)(bd) Por Teo. 8 ac = bd

A

8. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Demostraci´ on: (a + b)(c + d) = [a(c + d)] + [b(c + d)] = [(c + d)a] + [(c + d)b] = ca + da + cb + db = ac + ad + bc + bd

Por Por Por Por

A9 A8 A9 A8

A

9. Probar al detalle los siguientes teoremas Teorema 4 (Principio de integridad) Si a y b son n´ umeros reales tales que ab = 0, se cumple que: a = 0 ´ ob=0 Demostraci´ on: a) Sea ab = 0, para a 6= 0 se cumple que b = 0. En efecto ab = 0 , a 6= 0 (ab)a = 0 · a−1 a(b−1 ) = 0 a(a−1 b) = 0 (aa−1 )b = 0 1·b=0 b=0 −1

Por Def. 7 Por Teo. 3, A5 Por A8 Por A5 Por A7 Por A6

b) Si ab = 0, para b 6= 0, se cumple que a = 0. En efecto ab = 0 , b 6= 0 −1 (ab)b = 0 · b a(bb−1 ) = 0 a·1=0 a=0 −1

20

Por Def. 7 Por Teo. 3, A5 Por A7 Por A6

A

De a) y b), el teorema queda probado.

Teorema 5 (Ley de la cancelaci´ on para la multiplicaci´ on) Si a, b, c son n´ umeros reales tales que ac = bc y c 6= 0, entonces a = b. Demostraci´ on: ac = bc (ac)c = (bc)c−1 a(cc−1 ) = b(cc−1 ) a(1) = b(1) a=b −1

Por Def. 7, A7 Por A5 Por A7

A 1.5.

Consecuencias de los Axiomas de Orden

Los axiomas de orden tienen que ver con cierto subconjunto P (conjunto de numeros reales positivos), entonces se definirá el conjunto N de numeros negativos por N = {a ∈ IR : −a ∈ P } Si ahora representamos el conjunto de n´ umeros reales conteniendo al n´ umero 0 solo por el s´ımbolo {0}, se obtendrá la ley de la tricotomia IR = N ∪ {0} ∪ P los tres conjuntos N, {0} y P juntos contienen a todos los n´ umeros reales, además la intersección de alguno de estos conjuntos es siempre el conjunto nulo. Este u ´ltimo hecho dice que los conjuntos N, {0} y P son particiones disjuntas. Muchas de las consecuencias de los axiomas de orden dependen de la relación “mayor que” definida a continuación. Definici´ on 10 Si a y b son n´ umeros reales, entonces a > b (se lee “a es mayor que b”) es definido como el n´ umero a − b es un elemento de P . El s´ımbolo a ≥ b (se lee “a es mayor o igual que b”). El s´ımbolo a < b (se lee “a es menor que b”) pensando que b es mayor que a. Finalmente a ≤ b como a es menor o igual que b. El siguiente teorema da cuatro propiedades básicas de la relación “mayor que”. La propiedad a) es una reflexión de el hecho que la relación es definida en términos de la adición (sustracción), mientras que las propiedades b), c) y d) son los axiomas O1, O2, O3 respectivamente. Teorema 9 La relaci´ on “mayor que” es una relaci´ on que tiene las siguientes propiedades (donde x.y.z son n´ umeros reales): a) x > y ⇒ x + z > y + z 21

b) x > y ∧ y > z ⇒ x > z c) x > y ∧ z ∈ P ⇒ xz > yz d) Si a y b son alg´ un par de n´ umeros reales, entonces exactamente una de los siguientes es cierta: i) a = b

ó

ii) a > b

ó

iii) a < b Teorema 10 Si a es alg´ un n´ umero real diferente de cero, entonces a2 > 0 Teorema 11 1 ∈ P Teorema 12 Si a > 0 y b < 0, entonces ab < 0 Teorema 13 a > 0 ⇒ a−1 > 0

Ejercicios 3 1. Pruebe que si a es alg´ un n´ umero real, entonces a + 1 > a Demostraci´ on: Sea 1 > 0 entonces por el teorema 9 parte a), se puede sumar cualquier n´ umero real a en ambos lados de la inecuación, entonces se tiene: 1 > 0 a+1 > a+0 a+1 > a

A 2. Pruebe que: a > 1 ⇒ a−1 < 1 Demostraci´ on: a>1

Por Hip.

Como a > 1 implica que a ∈ P es decir que a > 0, por el teorema 13 se sabe que si a > 0 ⇒ a−1 > 0, lo que implica que a−1 ∈ P ., entonces a · a−1 > 1 · a−1 1 > a−1

Por Teo. 9 - c) Por A6

A a 3. Probar que si > 0 ⇐⇒ ab > 0 b Probaremos el ejercicio en dos partes 22

a > 0 ⇒ ab > 0 b Demostraci´ on: Sabemos que a > 0 ⇒ ab−1 > 0 b ½ a > 0 ∧ b−1 > 0 −1 como ab > 0 esto se cumple cuando a < 0 ∧ b−1 < 0

a) Si

i) Si a > 0 ∧ b−1 > 0 Primero probemos el rec´ıproco del teorema 13 en el siguiente corolario Corolario 1 Si b−1 > 0 entonces b > 0 Demostraci´ on: Haremos la demostración por el absurdo. Diremos entonces que si b−1 > 0 asumiremos que b < 0, entonces la multiplicación de ambos resultará: b−1 · b < 0 1 < 0 (→←) lo que es una contradicción. Por lo tanto, si b−1 > 0 ⇒ b > 0 Para nuestro caso entonces: a >0 b ab−1 > 0 (ab−1 )b > 0 · b a(bb−1 ) > 0 a(1) > 0 a>0 a·b>0·b ab > 0

¤

Por Def. 9 Por Cor. 1, Teo. 9-c) Por A5, Teo3 Por A7 Por A6 Por Teo. 9-c) Por Teo3

ii) Si a < 0 ∧ b < 0 Primero demostraremos el siguiente teorema: Teorema 14 Para a, b, c n´ umeros reales, se cumple que si a > b y c < 0 entonces ac < bc Demostraci´ on: como c < 0 entonces −c > 0, es decir −c ∈ P , luego a>b ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

23

a(−c) > b(−c) −(ac) > −(bc) −(ac) − (−(bc)) > 0 −(ac) + (bc) > 0 bc − ac > 0 bc > ac ac < bc

A

Como a < 0 ∧ b < 0 entonces por el teorema 12 tenemos −a > 0 ∧ −b > 0 ⇒ −b−1 > 0(por Teo. 13). En efecto −a >0 −b (−a)(−b−1 ) > 0 ab−1 > 0 a[(b−1 )(b)] < 0(b) a(1) < 0 a<0 a·b>0·b ab > 0 Finalmente de i) y ii), b) Si ab > 0 ⇒

Por Hip. Por Def. 9 Por Teo. 7 Por Teo.14 Por A7 Por A6 Por Teo.14 Por Teo3

a > 0 ⇒ ab > 0 queda probado. b

a >0 b

½

de donde esto se cumple cuando

A

a>0 ∧ b>0 a<0 ∧ b<0

Demostraci´ on: i) para a > 0 y b > 0 se cumple que si ab > 0 ⇒

a >0 b

por el teorema 13 se sabe que b > 0 ⇒ b−1 > 0 ab > 0 ⇒ ab−1 > 0 ⇒ (ab)b−1 > 0 · b−1 ⇒ a(bb−1 ) > 0 ⇒ a·1>0 ⇒a>0 ⇒ a · b−1 > 0 · b−1 a >0 ⇒ b

Por Def. 9 Por Teo.9-c) Por A5, Teo.3 Por A7 Por A6 Por Teo.9-c) Por Def.9, Teo.3

a >0 ii) Para a < 0 y b < 0 se cumple que si ab > 0 ⇒ b la hipótesis implica que −a > 0 y −b > 0 y por el teorema 13 se sabe

24

que si −b > 0 ⇒ −b−1 > 0, luego (−a)(−b) > 0 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

ab > 0 Por Teo.7 −1 −1 (ab)(−b ) > 0(−b ) Por Teo.9-c) −1 a(−bb ) > 0 Por A5, Teo.3 a(−1) > 0 Por A7 a<0 Por Teo.14 −1 −1 a(−b ) < 0 · (−b ) Por Teo.13 −1 −(ab ) < 0 Por Prob.2-2, Teo.3 ab−1 > 0 Por Teo.14 a >0 Por Def.9 ⇒ b a Finalmente de i) y ii), ab > 0 ⇒ > 0 queda probado. b 4. Probar los teoremas 11 y 13

A

Teorema 11. 1 ∈ P . Demostraci´ on: es decir

Como P es el conjunto de todos los n´ umeros reales positivos, P = {x ∈ IR : x > 0}

A

como 1 > 0 entonces 1 ∈ P . Teorema 13. Si a > 0 ⇒ a−1 > 0. Demostraci´ on:

Como 1 ∈ P entonces 1>0 a·a >0 −1

Por A7 ½ a > 0 ∧ a−1 > 0 de donde la ultima desigualdad se cumple cuando a < 0 ∧ a−1 < 0 a) Si a > 0 ⇒ a−1 > 0 Haremos la prueba por el absurdo, supongamos que a−1 < 0, entonces se tiene a > 0 ⇒ a(a−1 ) < 0 ⇒ 1 < 0 (→←)

Por Teo.14 Por A7

el u ´ltimo resultado es una contradicción, por lo que a−1 > 0 b) Si a < 0 ⇒ a−1 < 0 Como a < 0 ∧ a−1 < 0 entonces −a > 0 ∧ −a−1 > 0 a<0 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(−a) > 0 (−a)(−a−1 ) > 0(a−1 ) aa−1 > 0 1>0 a−1 < 0(a−1 ) a−1 < 0 25

Por Teo.9-c) Por Teo.7, Teo.3 Por A7 Por Teo.14 Por Teo.3

A

Por lo tanto, de a) y b) 5. Pruebe que, si a ∈ P ∧ b > a ⇒ b ∈ P

Demostraci´ on: Como a ∈ P , entonces a > 0, además tenemos que b > a, de donde se cumple que b>a>0

A

Por lo tanto b > 0, es decir b ∈ P . 6. Pruebe que, si a ∈ IR y x > y ⇒ a − y > a − x Demostraci´ on: x>y ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

x−y >0 x−y+0>0+0 (x − y) + (a − a) > 0 x + (−y + a) − a > 0 (−y + a) + (x − a) > 0 (a − y) + (x − a) > 0 (a − y) + [−(−x) − a] > 0 (a − y) + [(−1)(−x) + (−1)(a)] > 0 (a − y) + [(−x) + a](−1) > 0 (a − y) + (−1)(a − x) > 0 (a − y) − (a − x) > 0 a−y >a−x

Por Def.10 Por A2 Por A3 Por A1 Por A4 Por A4 Por Teo.7 Por Prob. 1-2 Por A8, A9 Por A8, A4 Por Def.9 Por Def.10

A 7. Mostrar que si a, b, c son positivos, entonces Demostraci´ on:

a c > ⇐⇒ ad > bc b d

Como a, b, c, d ∈ P entonces a > 0, b > 0, c > 0, d > 0

a c > ⇒ b d ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

ab−1 > cd−1 (ab−1 )b > (cd−1 )d a(b−1 b) > c(d−1 b) a(1) > c(d−1 b) a > c(bd−1 ) a > (cb)d−1 ad > [(cb)d−1 ]d ad > (cb)(d−1 d) ad > cb(1) ad > cb

Por Def.9 Por Teo.9-c) Por A5 Por A7 Por A6, A8 Por A5 Por Teo.9-c Por A5 Por A7 Por A6

A 26

8. Sean a y b n´ umeros positivos. Pruebe que: a) a > b ⇒ a2 > b2 b) a2 > b2 ⇒ a > b Demostraci´ on: a) Sean a > b ⇒ a2 > b2 , con a, b ∈ P a>b ⇒ a·a>b·a ⇒ a2 > ab

Por Teo.9-c (1.12)

Por otro lado tenemos a>b ⇒ a·b>b·b ⇒ ab > b2

Por Teo.9-c (1.13)

luego de (1.12) y (1.13) y por el teorema 9-b) tenemos a2 > b2 Por lo tanto, si a > b ⇒ a2 > b2 b) Sean a2 > b2 ⇒ a > b, con a, b ∈ P Haremos la prueba por contradicción, es decir asumiremos que a 6> b, es decir que a < b a
Por Teo.9-c

a
Por Teo.9-c

(1.14)

por otro lado

(1.15)

de (1.14) y (1.15) y el teorema 9-b) tenemos que a2 < b2 , y esto contradice a la hipótesis inicial que es a2 > b2 . Por lo tanto, es probado que si a2 > b2 ⇒ a > b

A

9. Use el principio de integridad para mostrar que {x ∈ IR : (x − a)(x − b) = 0} = {x ∈ IR : x − a = 0} ∪ {x ∈ IR : x − b = 0} Demostraci´ on: para x, a, b ∈ IR

Como IR es cerrado bajo “+00 y “·00 entonces x−a, x−b ∈ IR,

{x ∈ IR : (x − a)(x − b) = 0} = {x ∈ IR : (x − a) = 0 ∨ (x − b) = 0} Por Teo.4 27

sea P1 la propiedad x − a = 0 del conjunto verdad A1 = {x ∈ IR : x − a = 0} e igualmente, sea P2 la propiedad x − b = 0 del conjunto verdad A2 = {x ∈ IR : x − b = 0} entonces por la definición 6 {x ∈ IR : (x − a)(x − b) = 0} = {x ∈ IR : (x − a) = 0 ∨ (x − b) = 0} = {x ∈ IR : P1 ∨ P2 } = {x ∈ IR : x − a = 0} ∪ {x ∈ IR : x − b = 0}

A 10. Si x, a, b son n´ umeros reales, pruebe que (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab Demostraci´ on: (x − a)(x − b) = x(x − b) + (−a)(x − b) Por A8, Def.9 = x(x) + x(−b) + (−a)(x) + (−a)(−b) Por Teo.1 = x2 − bx − ax + ab Por Def.9 2 = x − (bx + ax) + ab Por Prob. 1-2, Teo.1 2 = x − (b + a)x + ab Por A9

A 11. Describe el siguiente conjunto listando sus elementos {x ∈ IR : x2 + x − 12 = 0} Soluci´ on: En efecto, factorizando el polinomio de segundo grado se tiene x2 + x − 12 = 0 (x − 3)(x + 4) = 0 de donde por el principio de integridad se tiene que x−3=0 x=3

∨

Entonces el conjunto será: {3, −4} 12. Muestre que {x ∈ IR : x2 + 1 = 0} = ∅ 28

x+4=0 x = −4

Demostraci´ on: Sea el conjunto {x ∈ IR : x2 + 1 = 0}, que es el conjunto formado por todos los n´ umeros reales que satisfagan la propiedad x2 + 1 = 0, entonces veamos el conjunto listando todos sus elementos, para ello resolvamos dicho polinomio cuadrático x2 + 1 = 0 x2 = −1 √ x = ± −1 √ como la operación ± −1 no esta definida bajo IR entonces, nuestro conjunto no tiene elementos, es decir {x ∈ IR : x2 + 1 = 0} = {∅}

A 1.6.

El Axioma de Completes

Muchas de las propiedades del sistema de n´ umeros reales dependen de el axioma de completes que se da en esta sección. Antes de definir el axioma, se dará algunas definiciones preliminares. Definici´ on 11 Si A es un conjunto de n´ umeros reales y x es el n´ umero mayor o igual que todos los elementos de A, entonces x es llamado una cota superior de el conjunto A. Es decir que cada elemento de A es menor o igual que x, (∃x, ∀a ∈ A se cumple que a ≤ x). Hay que aclarar de que si x es una cota superior de A, quiere decir que x puede como no estar en el conjunto A Definici´ on 12 El n´ umero x es llamado la menor cota superior o supremo del conjunto A siempre que: 1. x es una cota superior de A. 2. Si y es una cota superior de A, entonces x ≤ y De ahora en adelante, se usará el s´ımbolo A0 para representar al conjunto de todas las cotas superiores del conjunto A. A0 = {x ∈ IR : x es una cota superior de A} Definici´ on 13 El n´ umero x es supremo o la menor cota superior del conjunto A si: 1. x ∈ A0 2. y ∈ A0 ⇒ x ≤ y Axioma de Completes. superior tiene un supremo.

Todo conjunto no nulo de n´ umeros reales que tiene cota

29

1.7.

Una Aplicaci´ on del Axioma de Completes

Mostraremos que √ existe un n´ umero positivo a tal que a2 = 2. El n´ umero a podr´ıa √ ser representado por 2. Primeramente se mostrará la existencia de 2, esto resulta √ de que (− 2)2 = 2, y por una aplicación del principio de integridad se muestra que el conjunto {x ∈ IR : x2 = 2} √ √ contiene exactamente los elementos 2 y − 2. La prueba de la existencia de que ahora se citan

√

2 podr´ıa depender de dos resultados preliminares

Lema 1 Si x es un n´ umero real tal que x2 < 2, entonces existe un n´ umero real y tal que y > x y y 2 < 2. Demostraci´ on: como x es un n´ umero real tal que x2 < 2, se debe construir un n´ umero y que satisfaga las condiciones del lema: x > y ∧ y 2 < 2. Para esto se considerará dos casos Caso I. (x < 1): En este caso, sea y = 1 y con esto las dos condiciones del lema se cumplen 1 > x ∧ 12 < 2 Caso II. (x ≥ 1): Para probar este caso, se tratara de encontrar un n´ umero positivo 2 δ tal que (x + δ) < 2 con δ ∈ h0, 1i. Entonces y = x + δ deber´ıa satisfacer las dos condiciones de lema. Se deberá ahora mostrar dos cosas: primero que δ es positivo y segundo que (x + δ)2 < 2. Para este propósito (x + δ)2 = x2 + 2xδ + δ 2 = x2 + (2x + δ)δ ≤ x2 + (2x + 1)δ consideremos δ =

2 − x2 2x + 1

Primeramente se probara que δ es positivo, para tal caso, se ve que tanto el numerador como el denominador de la fracción de δ son positivos debido a que x ≥ 1. Probaremos ahora que (x + δ)2 < 2, para esto vemos que 2 − x2 es menor o igual que 1, por que x ≥ 1 y 2x + 1 es mayor que 1, por la misma razón, lo que implica que δ < 1. Luego podemos escribir que 2 − x2 2 − x2 < 2x + 1 2x + δ

(1.16)

ya que el denominador de la primera fracción es mayor que de la segunda fracción, entonces 2 − x2 δ< (1.17) 2x + δ 30

finalmente desarrollando la u ´ltima desigualdad se tiene 2xδ + δ 2 < 2 − x2 x2 + 2xδ + δ 2 < 2 (x + δ)2 < 2

(1.18) (1.19) (1.20)

Por lo tanto, el n´ umero y = (x + δ) > x y que y 2 < 2, con lo que se prueba el lema.

A

Lema 2 Si x es un n´ umero real tal que x2 > 2, entonces existe un n´ umero real y tal 2 que y < x y y > 2. Teorema 15 Existe un n´ umero positivo a tal que a2 = 2

Ejercicios 4 1. Pruebe que si a, b, c ∈ P con b > c, entonces a/b < a/c. Mostrar donde fue usada esta propiedad en la prueba del lema 1. Demostraci´ on: bb−1 < cb−1 1 > cb−1 c−1 > c−1 (cb−1 ) c−1 1 · b−1 ac−1 > ab−1 a a > ⇒ c b a a ⇒ < b c

b>c⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Por Teo.13, Teo.9-c) Por A7 Por Teo.13, Teo.9-c) Por A5, A8, A7 Por Teo.13 Por Def.9

Esta propiedad se uso en la prueba del lema 1, cuando se probo que (x + δ)2 < 2, 2 − x2 2 − x2 y al compararla con la fracción puesto que δ estaba definida como 2x + 1 2x + δ se ve que los denominadores ten´ıan la siguiente relación 2x + 1 > 2x + δ lo que implico que

2 − x2 2 − x2 < 2x + 1 2x + δ

que es lo que dice la propiedad probada en este ejercicio. 2. pruebe que la palabra “´ unico” en A3 es redundante.

31

A

Demostraci´ on: El axioma A3 dice: “Para cada elemento a de IR, existe un u ńico elemento −a en IR tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. El elemento −a es llamado el negativo (o el opuesto aditivo) de a” Para probar que, la palabra u ńico es redundante en este axioma, se asumirá que existen b1 y b2 tales que cumplen b1 + a = a + b1 = 0

b2 + a = a + b2 = 0

donde se deberá probar que b1 y b2 son iguales (b1 = b2 ) b1 = b1 + 0 = b1 + (a + b2 ) = (b1 + a) + b2 = 0 + b2 b1 = b2

Por A2 Por Hip. Por A1 Por A2

Por lo tanto, la palabra u ńico es redundante debido a que siempre que se asuma que existe otro elemento inverso aditivo, este siempre va ha resultar el mismo n´ umero pero con signo opuesto.

A

3. En la prueba del lema 1, justifique los pasos que van de las desigualdades (1.17) a (1.18) y de (1.18) a (1.19). Formule y pruebe una proposición justificando el paso de (1.19) a (1.20) Demostraci´ on: a) De (1.17) a (1.18) De la desigualdad (1.17) tenemos que 2 − x2 2x + δ δ < (2 − x2 )(2x + δ)−1 δ<

Por Def.9

2 − x2 el denominador es siempre positivo Como x ≥ 1 y en la fracción 2x + δ debido a que δ = y − x con y > x, entonces ¤ £ δ(2x + δ) < (2 − x2 )(2x + δ)−1 (2x + δ) £ ¤ 2δx + δ 2 < (2 − x2 ) (2x + δ)−1 (2x + δ) 2δx + δ 2 < (2 − x2 )(1) 2δx + δ 2 < 2 − x2 b) De (1.18) a (1.19)

32

Por Teo.9-c) Por Teo.1, A5 Por A7

De la desigualada (1.19) se tiene: 2δx + δ 2 < 2 − x2 (2δx + δ 2 ) + x2 < (2 − x2 ) + x2 £ ¤ (2δx + δ 2 ) + x2 < 2 + (−x2 ) + x2 x2 + 2δx + δ 2 < 2 + (−x2 + x2 ) x2 + 2δx + δ 2 < 2 + 0 x2 + 2δx + δ 2 < 2

Por Teo.9-A) Por Def.9 Por A4, A1 Por A3 Por A2

c) De (1.19) a (1.20) Propoci´ on 1 Sean a, b ∈ IR se cumple que a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Antes de probar esta propiedad, debemos probar dos propiedades importantes dentro del algebra en los n´ umeros reales. Propiedad 1 Para todo a ∈ IR y n, m ∈ Z se cumple que an · am = an+m Demostraci´ on: Por definición de potencia de un n´ umero sabemos que an = a.a.a.a....a.a.a {z } | n f actores

en nuestro caso ... · a · a}) an · am = (a ... · a · a})(a | · a · {z | · a · {z n f actores

Def. de Potencia

m f actores

= |a · a · {z ... · a · a} · a ... · a · a} | · a · {z

Asoc. Extendida

n f actores

= |a · a · {z ... · a · a}

Unión de conjuntos disjuntos

m+n f actores m+n

an · am = a

Propiedad 2 Para todo a ∈ IR, se cumple que a + a = 2a Demostraci´ on: a+a = 1·a+1·a = (1 + 1)a = 2a Finalmente demostraremos la proposición 1 a2 + 2ab + b2 = a2 + ab + ab + b2 = a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b) = (a + b)2

Propiedad 2 Teo.1 A9 Propiedad 1

Para nuestro caso de la desigualdad (1.18) x2 + 2δx + δ 2 < 2 (x + δ)2 < 2

Por Proposición 1 33

A 4. De una prueba detallada de que el n´ umero 2 es una cota superior de el conjunto 2 {x ∈ IR : x < 2} Demostraci´ on: Una forma de demostrar que un n´ umero real c es una cota superior de A es probar que ning´ un n´ umero real x > c pertenece a A. 3 Veamos si c = es una cota superior de A. En efecto si x > c se tiene: 2 x > c ⇒ x2 > c 2 µ ¶2 3 2 ⇒ x > 2 9 ⇒ x2 > > 2 4 ⇒ x2 > c 2 > 2 Por lo tanto x 6∈ A. Esto quiere decir que no existe ning´ un n´ umero real x > c que pertenezca a A. Siguiendo el mismo concepto de la demostración anterior probemos ahora que 2 es una cota superior de A, para ello c = 2 x > c ⇒ x2 > c 2 ⇒ x2 > 4 > 2 Por lo tanto x 6∈ A, lo que implica que 2 es una cota superior de A. Ahora veamos otro modo de probar que 2 es una cota superior de A, para esto deberemos probar que ∀x ∈ A con x2 < 2, se debe cumplir que x < 2. En efecto, sea x2 < 2 y además se ve que 2 < 22 , luego por el Teorema9-b) se tiene que x2 < 2 Pero por el problema 8-3 parte b) (a2 > b2 ⇒ a > b) se tiene x2 < 22 ⇒ x < 2 que era lo que quer´ıamos probar, por lo tanto 2 es una cota superior de A.

A

5. Pruebe que si A tiene un supremo, entonces este supremo es u ńico. Demostraci´ on: Sabemos por el teorema 15 que existe un n´ umero positivo tal 2 que x = 2 de donde podemos concluir que √ √ x2 = 2 ⇒ x2 = 2 Def. Radical √ ⇒ |x| = 2 √ ½ x= √ 2 Def. Valor Absoluto ⇒ −x = 2 √ ⇒x=± 2 34

√ Tomaremos el + √2 debido a que estamos buscando el supremo del conjunto A. Entonces sea c = 2, veamos si c es el supremo de A, por la definición de supremo (Definición 15) deberá cumplir que c es una cota superior de A y que si es una cota superior entonces ∀x ∈ A, se cumplirá que x ≤ c a) Probaremos que c es una cota superior de A Para esto bastará probar que ning´ un x > c pertenece a el conjunto A x > c ⇒ x2 > c 2 √ ⇒ x2 > ( 2)2 ⇒ x2 > 2

Prob. 8-3 Hip.

Por lo tanto x 6∈ A, lo que quiere decir que c es una cota superior de A b) Probaremos que ∀x ∈ ⇒ x ≤ c En efecto x ∈ A ⇒ x2 < 2 √ √ ⇒ t< 2 ⇒ x
√

2 es el supremo del conjunto A

Veamos ahora que c es u ńico, para ello asumiremos que existen c1 y c2 supremos de A esto quiere decir que ½ ½ √ √ c1 = 2 c2 = 2 ∀x ∈ A, y x ≤ c1 x ≤ c2 bastará probar que c1 = c2 , en efecto c1 ≥ x ⇒ c21 ≥ x2 ⇒ 2 ≥ x2 ⇒ c22 ≥ x2 Hip. ⇒ c2 ≥ x

Prob. 8-3 Hip. Prob. 8-3

A

Por lo tanto c1 = c2

6. Dar una definición de cota inferior y la mayor de las cotas inferiores (Ínfimo) de un conjunto de n´ umeros reales. Soluci´ on: Análogo a la definición 11 diremos que: Definici´ on 14 Si A es un conjunto de n´ umeros reales e y es el n´ umero menor o igual que todos los elementos de A, entonces y es llamado una cota inferior de el conjunto A. Definici´ on 15 El n´ umero y es llamado la mayor cota inferior o Ínfimo del conjunto A siempre que: 35

a) y sea una cota inferior de A. b) Si x es una cota inferior de A, entonces y ≥ x 7. Use el axioma de completes para probar lo siguiente: todo conjunto no nulo de n´ umeros reales que tiene una cota inferior, tiene una mayor cota inferior(´ınfimo). Sugerencia: Sea A0 que representa al conjunto de las cotas inferiores de A. Aplique el axioma de completes a el conjunto A0 Demostraci´ on: Sea A un conjunto de n´ umeros reales no nulo que posee una cota inferior c tal que ∀x ∈ A se cumple que c ≤ x, definiremos ahora el conjunto A0 = {c ∈ IR : c es una cota inferior de A} como el conjunto de todas las cotas inferiores del conjunto A. Como A0 es no nulo por que al menos existe c (por hipótesis del problema), además c ≤ x, esto quiere decir que A0 esta acotado superiormente por cualquier elemento de A y por el axioma de completes el conjunto A0 tiene un supremo C tal que ∀c ∈ A0 se cumple que c ≤ C, luego C ∈ A0 , es decir que C es a mayor de las cotas inferiores, es decir es el ´ınfimo.

A

Observaci´ on: Del resultado anterior se puede concluir que si ´ınf(A) = C entonces se cumple la siguiente ´ınf(A) = − sup(A) 8. Muestre que para alg´ un conjunto A de n´ umeros reales se cumple que A ⊂ (A0 )0 Demostraci´ on: Como A es un conjunto de n´ umeros reales, entonces podemos definir los siguientes conjuntos A0 = {s ∈ IR : s ≥ x} A0 = {c ∈ IR : c ≤ x} luego el conjunto (A0 )0 es el conjunto de todas las cotas inferiores del conjunto de las cotas superiores, es decir (A0 )0 = {c ∈ IR : c ≤ s} pero por el teorema 9-b) sabemos que c≤x ∧ x≤s ⇒ c≤s entonces (A0 )0 = {c, x ∈ IR : c ≤ x ∧ x ≤ s}

A

como x ≤ s entonces los elementos del conjunto A también son cotas inferiores de A0 , de donde se concluye que A ⊂ (A0 )0 36

1.8.

El Conjunto de los Enteros

Primeramente vamos a llamar al conjunto J = {1, 2, 3, . . .} como el conjunto de los enteros positivos. Ahora vamos a asumir que J es un subconjunto del sistema de n´ umeros reales y en consecuencia el conjunto J hereda algunos axiomas del sistema de n´ umeros reales. Veamos ahora ciertos axiomas del mismo conjunto J.

Axiomas para los Enteros Positivos J1. 1 ∈ J J2. J ⊂ P J3. El conjunto J es cerrado bajo la adición y la multiplicación. J4. Si p y q son elementos de J tal que p > q, entonces p − q es un elementos de J. J5. Todo subconjunto no nulo de J contiene por lo menos un elemento. Como una primera consecuencia de estos axiomas, se˜ nalaremos que un n´ umero no negativo es un entero positivo y que el n´ umero 0 es no es un entero positivo. Vamos ahora a definir el conjunto K por: K = {x ∈ IR : −x ∈ J} donde los elementos de K son llamados enteros negativos. Observese que K ∩ J = ∅. Finalmente vamos a definir el conjunto de los n´ umeros enteros por Z = K ∪ {∅} ∪ J Teorema 16 El conjunto Z de enteros es cerrado bajo la adición, sustracci´ on y multiplicaci´ on.

1.9.

Divisi´ on de Enteros

Si a, b y x son enteros tales que a = bx y b 6= 0, entonces x es llamado el cociente producido cuando a es dividido por b. Ya que los enteros no son cerrados bajo la división, no es necesario que exista un x para los enteros a y b, definiremos entonces a b como un divisor de a si existe un x tal que a = bx. y n Si m son enteros y si un entero b es divisor de ambos, entonces b es llamado Com´ un Divisor de m y n. La notación b|a (se lee b divide a a) es usado para indicar que b es un divisor de a. Definici´ on 16 Un entero b es un Máximo Com´ un Divisor de los enteros m y n si las siguientes dos condiciones sean ciertas: b|m

∧

b|n

(1.21)

y|n ⇒ y|b

(1.22)

y y|m

∧

37

El s´ımbolo (m, n) será usado para indicar el m´ aximo com´ un divisor de m y n. Un n´ umero entero primo es un entero que no tiene divisor positivo mas que el mismo y el 1. Si m y n son entero cuyo máximo com´ un divisor es 1, entonces m y n son llamados primos relativos. Teorema 17 Si a y b son enteros positivos y si b divide a a, entonces b = (b, a). Demostraci´ on:

Bastará con verificar las condiciones (1.21) y (1.22), es decir b|b

∧

b|a

y y|b

∧

y|a ⇒ y|b

de la primera condición se ve que b divide a b puesto que existe un numero 1 tal que b = 1 · b, y b divide a a por hipótesis. La segunda condición es claro ya que si y divide a b y y divide a a, entonces ciertamente y divide a b.

A

1.10.

El Principio de Buen Orden

Definici´ on 17 Un conjunto de n´ umeros reales es bien ordenado con tal de que cada subconjunto no vac´ıo contiene un m´ınimo elemento. El axioma J5 es llamado el el principio de buena ordenaci´ on del los enteros positivos. Una ilustración del uso del axioma se ve en el siguiente teorema. Teorema 18 Si a y b son enteros positivos tal que ab = 1, entonces a = 1 y b = 1. Teorema 19 El n´ umero 1 es el m´ınimo entero positivo Teorema 20 Si a y b son enteros positivos tales que a|b y b|a , entonces a = b. Teorema 21 Si d1 y d2 son los máximos comunes divisores de m y n, entonces d1 = d2 . Teorema 22 (La propiedad arquimediana de los n´ umeros reales.) Para algunos n´ umeros reales a y b con a 6= 0, entonces existe un entero n tal que an > b Demostraci´ on: el conjunto

Vamos a considerar el caso donde a y b son ambos positivos. Sea S = {x ∈ IR : x = an para alg´ un n ∈ J}

sea b es una cota superior de S de modo que S tenga un supremo d. Entonces d − a no es una cota superior de S. Esto implica que existe un y ∈ S tal que y > d − a Como y ∈ S entonces y = an para alg´ un n ∈ J, entonces se tiene an > d − a de donde se concluye que a(n + 1) > d, que es una contradicción ya que se dijo que d era el supremo de S. entonces se concluye que d no es una cota superior de S. lo que prueba que b no es una cota superior de S ya an > b con n ∈ J.

A

38

Ejercicios 5 1. Liste todos los enteros primos menores que 100 Soluci´ on: Los n´ umeros enteros primos menores que 100 son: 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53, 59,61,67,71,73,79,83,89,97 2. Liste todos los enteros positivos menores que 40 los cuales son primos relativos a 20. Soluci´ on: Dos n´ umeros enteros a y b se llaman primos relativos si el máximo com´ un divisor de estos es 1, es decir (a, b) = 1. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, entonces los primos relativos menores que 40 de 20 son: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39 3. Lista todos los divisores de 40. Soluci´ on: El divisor de un n´ umero es aquel n´ umero que esta contenido en el primero un n´ umero exacto de veces. Entonces los divisores de 40 son: 2, 4, 5, 8, 10, 20 4. Lista todos los divisores comunes de 40 y 50. Soluci´ on: Son los siguientes 2, 5, 10, donde de 5. Lista todos los divisores comunes de 0 y 12 Soluci´ on: Como todos los n´ umeros son divisores del cero entonces los divisores comunes del 0 y del 12 van ha ser los divisores del 12, los cuales son: 1, 2, 3, 4, 6, 12 6. Cuales de los siguientes conjuntos tiene un m´ınimo elemento? a) El conjunto de los enteros positivos El conjunto J de los enteros positivos si tiene un m´ınimo elemento que es el 1, ya que ning´ un elemento de J es mayor que 1 b) El conjunto de los n´ umeros enteros negativos El conjunto K de los enteros negativos no tiene un m´ınimo elemento puesto que cualquier elemento de K es menor que 0, es decir que mientras mas grande sea el n´ umero negativo, este será mucho menor de el que lo antecede. c) El conjunto de los enteros El conjunto de los n´ umeros enteros no tiene un elemento m´ınimo debido a que ∀x ∈ Z siempre existe un n´ umero −y tal que −y < x, esto debido a que el conjunto de los Z no es acotado inferiormente. 39

d ) El conjunto de los enteros primos Sea el conjunto de los enteros primos denotado de la siguiente manera Pr = {1, 2, 3, 5, 7, 11, .., } donde cada uno de sus elementos sólo tiene 2 divisores que son la unidad y el mismo n´ umero. El conjunto Pr tiene un m´ınimo elemento que es el 1, puesto que ning´ un otro elemento de Pr es menor que 1. e) El conjunto nulo Como este conjunto no posee elementos, es imposible que tenga un m´ınimo elemento. f ) El conjunto de los enteros primos mayores que 1 000 000 Denotemos por S al conjunto de los enteros primos mayores que 1 000 000, donde su primer elemento va ha ser el 1 000 001, y además este es su m´ınimo elemento. 7. Mostrar que 4, 8 y 12 son elementos del conjunto A = {x ∈ J : x = 8m + 12n para cualquier m, n ∈ Z} La notación aqu´ı indica que x es un elemento de A si y sólo si existen enteros m y n tales que x = 8m + 12n. Soluci´ on: Para mostrar que 4, 8 y 12 son elementos de A bastará con encontrar enteros m y n, tales que cumplan que x = 8m + 12n, sean entonces 4 = 8(1) + 12(−1), donde m = 1, n = −1 8 = 8(1) + 12(0), donde m = 1, n = 0 12 = 8(0) + 12(1), donde m = 0, n = 1 8. Liste los cinco enteros m´ınimos del conjunto {x ∈ J : 4m + 6n para algunos m, n ∈ Z} Soluci´ on: Sabemos si d es el máximo com´ un divisor de a y b entonces d es el menor entero (no nulo) que puede ser expresado por la forma d = ax + by donde x, y ∈ Z. En virtud de lo anterior dicho hallemos el mcd de 4 y 6, que es 2, es decir mcd(6, 4) = 2 2 = 4(−1) + 6(1) en donde, para nuestro caso m = −1 y n = 1, y este es el menor entero del conjunto, luego los siguientes cuatro elementos que les sigue en orden son: 4 = 4(1) + 6(0), donde m = 1, n = 0 6 = 4(0) + 6(1), donde m = 0, n = 1 40

10 = 4(1) + 6(1), donde m = 1, n = 1 14 = 4(2) + 6(1), donde m = 2, n = 1 no se considera el elemento 0 puesto x ∈ J (enteros positivos) 9. Liste los cinco menores enteros del conjunto {x ∈ J : x = 12m + 5n para algunos m, n ∈ Z} Soluci´ on: Análogo al ejercicio anterior, el mcd(12, 5) = 1 que es el menor entero del conjunto, puesto que 12 y 5 son primos entre si, entonces los cinco menores enteros de este conjunto son: 1 = 12(−2) + 5(5) con m = −2 y n = 5 2 = 12(1) + 5(−2) con m = 1 y n = −2 3 = 12(−1) + 5(3) con m = −1 y n = 3 4 = 12(2) + 5(−4) con m = 2 y n = −4 5 = 12(0) + 5(1) con m = 0 y n = 1 10. Sea a y b enteros positivos fijos y sea d el menor entero del conjunto {x ∈ J : x = am + bm para alg´ un m, n ∈ Z} Haga una suposición de la relación entre los enteros d y el par a, b. Encuentra algunos ejemplos que proporcionen evidencia para corroborar su suposición. Soluci´ on: Como d es el menor entero del conjunto dado, y como a y b son enteros fijos, quiere decir que la combinación d = am + bn es la m´ınima combinación lineal que se puede hacer para todo m, n ∈ Z. Supondremos entonces que si d puede expresarse como la m´ınima combinación lineal, entonces d es el máximo com´ un divisor de a y b. Para probar dicha suposición, primero tendremos que probar que d|(am + bn), en efecto a) Si d es divisor de a y b entonces d|(a + b) Como d|a y d|b, entonces por definición de división existirán q1 y q2 no nulos tal que a = q1 d

∧

Sumando a y b se tiene a + b = q1 d + q2 d = (q1 + q2 )d a + b = q0d 41

b = q2 d

donde q1 + q2 = q 0 (por cerradura en los Z), y por definición de división en los Z podemos decir que d|(a + b) b) Si d|a y d|b entonces d|ab Coo d|a y d|b, entonces por definición de división en Z existirán q1 y q2 no nulos, tales que a = q1 d

∧

b = q2 d

multiplicando a y b se tiene ab = (q1 d)(q2 d) ab = d[q1 (q2 d)] ab = dq 00 donde q 00 = q1 (q2 d), y por definición de división en Z d|ab c) Dados dos enteros fijos a y b, se cumple que si a|b entonces a|bm, ∀m ∈ Z. En efecto, si a|b, entonces b bm bm bm

= = = =

q1 a (q1 a)m (q1 m)a q0a (cerradura en Z)

entonces a|bm Finalmente, por hipótesis sabemos que d|a y d|b y por la parte c) sabemos que ∀m, n ∈ Z se cumple que d|am y d|bn, además de la parte a) podemos concluir que d|(am + bn). Como d es un divisor com´ un de am y bn entonces existirá un c ∈ Z tal que c|am y c|an por que lo que c|d, y que por definición de máximo com´ un divisor y por lo anterior dicho se concluye que d = mcd(a, b), veamos algunos ejemplos a) Dado el conjunto S = {x ∈ J : x = 520m + 144n, para algunos m, n ∈ Z} donde su menor entero va ha ser, seg´ un nuestra u ´ltima afirmación el máximo com´ un divisor de 520 y 144, y este es 3 1 1 1 1 3 520 144 88 56 32 24 8 88 56 32 24 8 0 de donde el menor entero es 8 = mcd(520, 144) = 520m + 144n 42

11. Use el teorema 19 para completar la prueba del teorema 18 Demostraci´ on: La prueba consist´ıa en que se ten´ıa que excluirse las posibilidades de que a < 1 y a > 1 y por la ley de la tricotom´ıa se pod´ıa concluir de que a = 1, asumiendo por hipótesis de que b = 1, lo que faltaba probar era que a no puede ser menor que 1 como ab = 1 entonces b = a−1 , pero si a < 1 entonces ocurre que a < 1 ⇒ a(a−1 ) < 1(a−1 )

Teo 9-c) ⇒ 1 < a−1

A6

Es decir que b > 1, pero por hipótesis b = 1, y por el teorema 19 b es el menor entero. Por lo tanto a no puede ser menor que 1

A

1.11.

El Algoritmo de la Divisi´ on

La siguiente aplicación del principio de buena ordenación, involucra la idea de valor absoluto de n´ umeros reales. Definici´ on 18 Para todo n´ umero real x, el n´ umero |x| (llamado el valor absoluto de x) esta dado por i) |x| = x si x es positivo ii) |x| = 0 si x = 0 iii) |x| = −x si x es negativo Teorema 23 (El Algoritmo de la Divisi´ on para Enteros.) Si m y n son enteros con n 6= 0, entonces existen enteros q y r tales que m = nq + r

y

0 ≤ r < |n|

Teorema 24 Si a y b son enteros ambos no ceros, entonces el conjunto S = {x ∈ J : x = am + bn para cualquier m, n ∈ Z} contiene al menor entero d. Este entero es el máximo com´ un divisor positivo de a y b. Teorema 25 Si a y b son enteros no ambos nulos, entonces el conjunto S = {x ∈ J/ x = am + bn para algunos m, n ∈ Z} contiene un menor entero d. Este entero positivo es el máximo com´ un divisor de a y b Teorema 26 Si d = (a, b) entonces existen enteros m y n tales que d = am + bn Teorema 27 Si m, n, q y r son enteros tales que m = nq + r y n 6= 0, entonces (m, n) = (n, r) Teorema 28 si a, b y c son enteros tales que a y b son primos relativos y a es un divisor de bc, entonces a es un divisor de c. 43

Ejercicios 6 1. Lista todos los máximos comunes divisores de los siguientes pares de enteros. a) 10 y 12 1 5 12 10 2 2 0 ∴ mcd(12, 10) = 2 b) 20 y 25 1 4 25 20 5 5 0 ∴ mcd(25, 20) = 5 c) 16 y 20 1 4 20 16 4 1 4 ∴ mcd(20, 16) = 4 d ) 0 y -3 Como el 0 y -3 son primos relativos, entonces el mcd(0, −3) = 1 e) 18 y 20 1 9 20 18 2 2 0 ∴ mcd(20, 18) = 2 f ) 11 y -19 Estos dos n´ umeros son primos entre si por lo que su mcd(−19, 11) = −1 2. Encuentre el máximo com´ un divisor de los enteros m y n del teorema 26 para cada par de enteros del problema anterior. Soluci´ on: a) Como el mcd(12, 10) = 2, entonces: 2 = 12 − (1)10 2 = (1)12 + (−1)10 ∴ m = 1, n = −1 b) Como el mcd(25, 20) = 5, entonces: 5 = 25 − 20 5 = 25(1) + 20(−1) ∴ m = 1, n = −1 44

c) Como el mcd(20, 16) = 4, entonces: 4 = 20 − 16(1) 4 = 20(1) + 16(−1) ∴ m = 1, n = −1 d ) Como el mcd(20, 18) = 2, entonces 2 = 20 − 18 = 20(1) + 18(−1) ∴ m = 1, n = −1 e) Como el mcd(11, −19) = −1, entonces −1 = = = = = = =

−3 − (−2)(1) −3 − (−8 − (−3)(2)) −3(3) − (−8) 3(−19 − 2(−8)) − (−8) 3(−19) + (−7)(−8) 3(−19) + (−7)(11 − (−19)(−1)) (−7)11 + (−4)(−19)

∴ m = −7, n = −4 3. Encuentre los enteros m y n tales que 11m + 19n = 1 Soluci´ on: Por el algoritmo de Euclides sabemos que el mcd(19, 11) = 1 1 1 2 2 1 19 11 8 3 2 1 8 3 2 1 0 1 = = = = = = =

3 − 2(1) 3 − (8 − 3(2)) 3(3) − 8 3(11 − 8) − 8 3(11) − 4(8) 3(11) − 4(19 − 11) 7(11) + (−4)19

∴ m = 7, n = −4 4. ¿Si usted tiene un equilibrio ordinario de recipientes y un suministro grande de once pesos de grano y diecinueve pesos de grano, cuántos peso de cada tipo que debe ponerse en las dos recipientes para que la diferencia fuera un grano? Soluci´ on: 45

Como se tiene dos tipos de pesos de grano (uno de once y otro de diecinueve) y seg´ un la hipótesis del problema se tiene un equilibrio ordinario, es decir se tiene una relación de igualdad entre estos dos tipos de pesos de grano. Se tiene dos recipientes A y B para cada tipo de peso de grano, en la cual se debe poner cierta cantidad de tipo de grano para que la diferencia entre estos dos recipientes sea uno, es decir 11A − 19B = 1 lo que nos pide hallar son los valores de A y B, y que por el ejercicio anterior sabemos que A = 7 y B = 4 5. Lista todos los fintegers primos menores que 5. Soluci´ on: Sabemos que los fintegers son los elementos del conjunto F = {a, n ∈ J; n +

a , con a < 2n } 2n

de donde los elementos de este conjunto son 3 9 10 11 25 26 27 28 29 30 31 F = {1, , 2, , , , 3, , , , , , , , 2 4 4 4 8 8 8 8 8 8 8 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 4, , , , , , , , , , , , , , , } 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 de donde los fintegers primos menores que 5 son 3 9 10 11 25 26 27 28 29 30 31 {1, , 2, , , , 3, , , , , , , , 2 4 4 4 8 8 8 8 8 8 8 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 , , , , , , , , , , , , , , , } 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 6. Pruebe que no hay enteros entre n y n + 1

Demostraci´ on: Haremos esta prueba por el absurdo, para esto, sabemos que para cualquier n, n + 1 ∈ Z donde n < n + 1, ahora supongamos que existe un n´ umero a ∈ Z tal que n + a = n + 1 y esta entre n y n + 1, es decir que se cumple además que n+1>a>n de donde n+1−a>0 a−n>0

(1.23) (1.24)

tenemos que n+a = n+1 a = 1 46

Por Teo.2

que reemplazando este ultimo resultado en (1.23) y (1.24) se tiene: n+1>a n+1−a>0 n+1−1>0 n>0

a>n 1>n n<1

que claramente es una contradicción puesto que n y n + 1 son n´ umeros enteros. Por lo tanto no existe un entero entre n y n + 1.

A

7. Pruebe que el conjunto J es sólo un subconjunto de IR satisfaciendo los axiomas J1 hasta J5. Sugerencia: Sea L un conjunto satisfaciendo estos axiomas. Considerar el conjunto {x ∈ J : x 6∈ L}. Pruebe que L = J. Esto significa que ciertos axiomas o parte de estos axiomas en estos conjuntos son redundantes y no son necesarios para describir completamente al conjunto J

1.12.

Los N´ umeros Racionales

El conjunto de n´ umeros racionales forman un conjunto importante que es cerrado bajo las cuatro operaciones fundamentales. Definici´ on 19 Un n´ umero racional es un n´ umero real que es el cociente de dos enteros. si un n´ umero real dado que x está bajo la consideración, que pueden o no existir dos enteros p y q tales que x = pq . Si tales enteros existen entonces por definición x es un n´ umero racional, pero si no existen, el n´ umero x es un n´ umero irracional. Ahora se puede clasificar a los n´ umeros reales dentro de una de las dos categor´ıas, pero no se puede decir que es trivial determinar a que clase pertenece. Teorema 29 Si a y b son n´ umeros reales con a < b, entonces existe un n´ umero racional r tal que a < r < b √ Teorema 30 El n´ umero real 2 es irracional. √ Demostraci´ on: Para probar que 2 es un n´ umero irracional debemos probar que √ √ 2 no puede ser escrito como un racional, es decir, que 2 no puede ser escrito de la √ √ a a forma 2 = . Haremos esta demostración por el absurdo, asumiendo que 2 = , b b donde a y b son enteros tales que 1 = (a, b). Entonces se ve que 2b2 = a2 , que indica que 2 puede ser un divisor de a2 , lo que implica que 2 puede er un divisor de a, en otra palabras a = 2c, para alg´ un entero c. De 2 2 2 2 donde se tiene que 2b = 4c y de aqu´ı b = 2c de donde se concluye que 2 es divisor de b (→←). Esto ´ltimo es una contradicción de la suposición de que el mcd(a, b) = 1, √ u umero irracional. por lo tanto 2 es un n´

A

El s´ımbolo Q será reservado para representar el conjunto de n´ umeros racionales. Teorema 31 El conjunto Q de n´ umeros racionales es cerrado bajo la adición, sustracci´ on, multiplicaci´ on y división. 47

1.13.

Campos y Anillos de N´ umeros Reales

Vamos a definir un sistema de n´ umeros como un subconjunto no nulo S del conjunto de n´ umeros reales cerrado bajo la adición y multiplicación. El conjunto S es llamado el conjunto fundamental del sistema de n´ umeros Definici´ on 20 Si un sistema de n´ umeros satisface los axiomas algebraicos (Axiomas A1 hasta A9) entonces el sistema de n´ umeros es llamado el campo de n´ umeros reales. Teorema 32 Un sistema de n´ umeros S es un campo de n´ umeros reales si y sólo si este es un conjunto fundamental cerrado bajo la adición, sustracci´ on, multiplicaci´ on y divisi´ on. Definici´ on 21 Un sistema de n´ umeros es llamado un anillo de n´ umeros reales con tal que este conjunto fundamental este cerrado bajo la adición, sustracci´ on y multiplicaci´ on. √ Consideremos al conjunto de todos los n´ umeros reales √ de la forma a + b 2, donde a, b ∈ Z, Este conjunto puede ser simbolizado por Z( 2) √ Teorema 33 El conjunto Z( 2) es un anillo de n´ umeros reales. √ En forma análoga con la definición del conjunto Z( 2) podemos√definir el conjunto √ umeros reales de la forma z+b 2 donde a, b ∈ Q. Q( 2) como el conjunto de todos los n´ √ Teorema 34 El conjunto Q( 2) es un campo de n´ umeros reales. √ Demostraci´ on: Se probara solo una parte, que es que Q( √ √ 2) es cerrado √ bajo la división. Sean x, y ∈ Q( 2) con y 6= 0, entones x = a + b 2 e y = c + d 2, donde a, b, c, d ∈ Q además con c, d 6= 0. Entonces √ x a+b 2 √ = y c+d 2 √ √ (a + b 2)(c − d 2) √ √ = (c + d 2)(c − d 2) √ (ac − 2bd) (bc − ac) 2 = + c2 − 2d2 c2 − 2d2 y Como el n´ umero c2 − 2d2 no puede ser cero, entonces los n´ umeros cac−2bd √ 2 −2d2 x son n´ umeros racionales. Por lo tanto y es un elemento de Q( 2). √ √ También es claro que Z( 2) ⊂ Q( 2) √ √ Teorema 35 El n´ umero real 3 no esta en el campo Q( 2)

48

bd−ad c2 −2d2

ambos

A

Ejercicios 7 1. Para cualquier decimal repetido tal como y = 1,24121212 . . . es un n´ umero racional. El dispositivo siguiente puede ser usados en la expresión y como el cociente de dos enteros: 100y = 134,121212 y = 1,341212 99y = 132,78 13278 2213 y = = 9900 1650 Exprese cada uno de los siguientes n´ umeros es cocientes de enteros. a) 3.1416 b) .101010 c) 1.232323 d ) 1.234234234 Soluci´ on: a) y = 3,1416, entonces 10000y = 11416 31416 y = 10000 3927 y = 1250 b) y = 0,101010 . . ., entonces 99y = 9,999 9999 y = 99000 1111 y = 11000 c) 1,232323 . . ., entonces 99y = 121,9977 1219977 y = 990000 12323 y = 10000 d ) y = 234234234 . . ., entonces 999y = 1232,766 1232766 y = 999000 22829 y = 18500 49

2. Completar la prueba del teorema 33 √ Demostraci´ on: Queda por demostrar que Z( 2) es cerrado bajo la adici´ on y √ sustracción. Para ambos casos se tomaran los siguientes elementos x, y ∈ Z( 2), donde √ x = a+b 2 √ y = c+d 2 con a, b, c, d ∈ Z Bajo la Adición

√ √ x+y = a+b 2+c+d 2 √ √ = a+c+b 2+d 2 √ = (a + c) + (b + d) 2

como a, b, c, d ∈ Z y los n´ umeros enteros es cerrado bajo la adición, entonces √ (a + c), (b + d) ∈ Z. Por lo tanto x + y ∈ Z( 2) Bajo la Sustracción √ √ x − y = a + b 2 − (c + d 2) √ √ Por Prob1-2 = a + b 2 + (−1)(c + d 2) √ √ = a + b 2 + (−1)c + (−1)d 2 Por Teo. 1 √ √ = a+b 2−c−d 2 Por Prob1-2 √ √ = a−c+b 2−d 2 √ = (a − c) + (b − d) 2 por A9 como a, b, c, d ∈ Z y los n´ umeros enteros es cerrado√bajo la sustracción, entonces (a + c), (b − d) ∈ Z. Por lo tanto x − y ∈ Z( 2) √ Con lo que se concluye que Z( 2) es un anillo de n´ umeros reales.

A

3. En la demostración del teorema 34 se dijo que c2 − 2d2 no era cero. pruebe por que. Demostraci´ on: Probaremos esto por el absurdo, para esto supondremos que 2 2 c − 2d es igual a cero, entonces c2 − 2d2 c2 c2 2 rd c d c d

= 0 = 2d2 = 2 = 2 √ = 2

√ Pero eso es contradictorio puesto que por el teorema 30 sabemos que 2 es un n´ umero irracional, es decir que no se puede escribir como el cociente de dos n´ umeros. Por lo tanto c2 − 2d2 no es cero.

A

50

Cap´ıtulo 2 Grupos 2.1.

Operaciones Binarias

Definici´ on 22 Una operaci´ on binaria ∗ en un conjunto S, es una regla que asocia a cada par ordenado de elementos de S, alg´ un elemento de S. Comentarios: i) Si ∗ : S × S → S es una operación binaria en S, denotaremos por a ∗ b al elemento asociado al par (a, b) por ∗. ii) La palabra par ordenado es muy importante en la definición anterior pues es posible que a ∗ b = 6 b∗a ½ min{a, b} Si a 6= b + Ejemplo 1 Si S = Z y a ∗ b = a , entonces ∗ es una opSi a = b eraci´ on binaria en S, debido a que a ∗ b ∈ S para todo (a, b) ∈ S × S, siendo a∗b=a a∗b=b a∗b=a

Si a < b Si a > b Si a = b

En particular, 2 ∗ 11 = 2; 15 ∗ 10 = 10; 2 ∗ 2 = 2

Ejemplo 2 Si S = Z+ y a ∗0 b = a, entonces ∗0 es una operación binaria en S porque a ∗0 b ∈ S para todo a, b ∈ S. En particular, tenemos 2 ∗0 3 = 2 y 3 ∗0 2 = 3. Esto significa que la operación binaria ∗0 en Z+ depende del orden del par (a, b) dado. Mientras que la operación binaria ∗ en Z+ dado en el ejemplo 1.2.1 no depende del orden del par dado, pues a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ Z+ .

Ejemplo 3 Sean S = Z+ y a ∗ b = a − b . . . . . . (1), entonces determinar si ∗ es una operaci´ on binaria en S. Soluci´ on: Para concluir que ∗ definido en (1) no es una operación binaria en S tenemos que exhibir alg´ un (a, b) ∈ S × S tal que a ∗ b ∈ /S Claramente existe (1, 2) ∈ S × S tal que 1 ∗ 2 = 1 − 2 = −1 ∈ / S. Por lo tanto, la operación ∗ del ejemplo 1.2.3 no es una operación binaria en S. 51

Ejemplo 4 Si S = Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} y a ∗ b = a − b para todo a, b ∈ S, entonces consideremos el problema de calcular a ∗ b ∗ c. Sabemos que una operación binaria ∗ permite combinar sólo dos elementos y aqui hay tres. As´ı las distintas maneras de combinar tres elementos a, b, c ∈ S son (a ∗ b) ∗ c y a ∗ (b ∗ c). Con ∗ definida en el ejemplo 1.2.1: (2 ∗ 5) ∗ 9 = 2 ∗ 9 = 2; 2 ∗ (5 ∗ 9) = 2 ∗ 5 = 2, luego 2 ∗ 5 ∗ 9 = (2 ∗ 5) ∗ 9 = 2 ∗ (5 ∗ 9). Por consiguiente, en el ejemplo 1 está definido a ∗ b ∗ c.

Ejemplo 5 Si S = Z+ y a∗00 b = a∗b+2, donde ∗ es la operación binaria del ejemplo 1, entonces a ∗00 b ∗00 c no está definida. En otras palabras a ∗00 b ∗00 c es ambigua. En efecto: para a = 2, b = 5, c = 9 tenemos (2 ∗00 5) ∗00 9 = = = = = =

(2 ∗ 5 + 2) ∗00 9 (2 + 2) ∗00 9 4 ∗00 9 4∗9+2 4+2 6

2 ∗00 (5 ∗00 9) = = = = = =

2 ∗00 (5 ∗ 9 + 2) 2 ∗00 (5 + 2) 2 ∗00 7 2∗7+2 2+2 4

Por consiguiente, siendo 6 6= 4 la expresión a ∗00 b ∗00 c no está definida.

2.1.1.

Operaciones Binarias con Tablas

Mediante una tabla para un conjunto finito se puede definir una operación binaria

Ejemplo 6 La siguiente tabla define la operación binaria ∗ en S = {a, b, c} mediante la regla (i-ésimo lugar en la izquierda)∗(j-ésimo lugar arriba)=lugar en el i-ésimo rengl´ on y j-ésima columna del cuerpo de la tabla. ∗ a b c

a b a c

b c c b

c b b a

Se observa que: i) a ∗ b = c y b ∗ a = a. Por consiguiente ∗ no es conmutativa. ii) c ∗ (a ∗ b) = c ∗ c = a y (c ∗ a) ∗ b = c ∗ b = b. Por consiguiente ∗ no es asociativa. En este caso el conjunto S na está formado por n´ umeros, entonces es comprensible que las operaciones binarias pueden definirse en cualquier conjunto. 52

2.1.2.

Criterios para Definir una Operaci´ on Binaria.

Se observa que al definir una operación binaria ∗ en un conjunto S debemos estar seguros de que: 1. Se asigne exactamente un elemento a cada par posible de elementos de S. 2. Para cada par ordenado de elementos de S, el elemento asignado esté en S. Si se infringe la condición 2, entonces se dice que S no es cerrado bajo ∗. Caso contrario se dice que S es cerrado bajo ∗.

Ejemplo 7 Si se define ∗ : Q × Q → Q por a ∗ b = a/b Observamos que existe (2, 0) ∈ Q×Q tal que 2∗0 = 2/0 no está definido. Esto significa que falla la condici´ on (1) para ∗,por lo tanto ∗ no es una operaci´ on binaria en Q.

Ejemplo 8 Si se define ∗ : Z+ × Z+ → Z+ por a ∗ b = a/b Observamos que existe 1 ∗ 3 = 1/3 ∈ / Z+ . Aqui falla la condici´ on (2) para ∗, por lo tanto ∗ no es una operaci´ on binaria en Z+ .

Ejemplo 9 Si se define ∗ : Q+ × Q+ → Q+ por a ∗ b = a/b Entonces las condicines (1) y (2) para ∗ se cumplen, por lo tanto ∗ es una operaci´ on binaria .

2.2.

Propiedades de Grupos

Definici´ on 23 Un grupo (G, ∗) es un conjunto G, junto con una operaci´ on binaria ∗ en G, tal que se satisface los siguientes axiomas: G1 . La operaci´ on binaria ∗ es asociativa G2 . Existe un elemento e ∈ G tal que e∗x = x∗e = x para todo x ∈ G (Este elemento e es un elemento identidad (o neutro )para ∗ en G). G3 . Para cada a en G existe un elemento a0 en G tal que a0 ∗ a = a ∗ a0 = e (el elemento a0 es un inverso de arespecto a ∗). Teorema 36 Si G es un grupo con una operaci´ on binaria ∗, entonces las leyes de cancelaci´ on se cumplen en G. Es decir, a ∗ b = a ∗ c implica b = c y b ∗ a = c ∗ a implica b = c para todo a, b, c ∈ G. Demostraci´ on: Supongamos que b ∗ a = c ∗ a . . . (1) 0 0 Por G3 existe a ∈ G tal que a ∗ a = e Multiplicando por la derecha por a0 a (1): (b ∗ a) ∗ a0 = (c ∗ a) ∗ a0 . . . (2) Aplicando ley asociativa en cada lado de (2) b ∗ (a ∗ a0 ) = c ∗ (a ∗ a0 ) . . . (3) 0 Por la propiedad de a de (3): b∗e=c∗e . . . (4) De (4) por definición de e en G2 obtenemos que b = c. Similarmente, de a ∗ b = a ∗ c se deduce b = c. 53

A

Teorema 37 Si G es un grupo con operaci´ on binaria ∗ y si a y b son elementos cualesquiera de G, entonces las ecuaciones lineales a∗x = b y y∗a = b tienen soluciones u ńicas en G. Demostraci´ on: Sólo demostraremos que y ∗ a = b tiene u ńica solución EXISTENCIA: Como G es un grupo y a ∈ G, entonces por G3 existe a0 ∈ G tal que a ∗ a0 = e. Multiplicando por la derecha a la ecuación por a0 obtenemos (y ∗ a) ∗ a0 = b ∗ a0 . . . (1) Pero (y ∗ a) ∗ a0 = y ∗ (a ∗ a0 ) Por G1 = y∗e Por G3 = y Por G2 Tomando extremos (y ∗ a) ∗ a0 = y . . . (2) 0 De (2) en (1) se deduce y = b ∗ a . Es claro que y ∈ G ya que ∗ es una operación binaria en G. UNICIDAD: Para probar que y ∈ G es la u ńica solución de y ∗ a = b, suponiendo que y1 ∈ G es solución de y ∗ a = b debemos concluir que y1 = y. Como y, y1 son soluciones de la ecuación, entonces satisfacen a la ecuación, es decir y1 ∗a = b = y ∗a, tomando extremos y1 ∗a = y ∗a. De esto por el teorema 36 concluimos que y1 = y. De manera análoga, se demuestra que a ∗ x = b tiene u ńica solución.

A

Definici´ on 24 Un grupo (G, ∗) es abeliano si su operaci´ on binaria ∗ es conmutativa.

Ejemplo 10 El conjunto Z+ con la operación binaria + no es un grupo, pues no existe un elemento identidad para + en Z+ . Esto siginifica que no se cumple G2 .

Ejemplo 11 El conjunto S = Z+ ∪ {0} con la operación binaria + todav´ıa no es un grupo. Existe elemento identidad 0, pero no hay inverso para 3 ∈ G. Esto siginifica que no se cumple G3 .

Ejemplo 12 El conjunto Zcon la operación binaria + es un grupo porque se satisfacen todos los axiomas G1 , G2 y G3 de grupo. Es más que eso, (Z, +) es un grupo abeliano. Teorema 38 En un grupo G con operaci´ on binaria ∗ hay una sola identidad e tal que e ∗ x = x ∗ e = x para todo x ∈ G. De la misma manera, para cada a ∈ G existe un solo elemento a0 ∈ G tal que a0 ∗ a = a0 ∗ a = e Demostraci´ on:

54

1. UNICIDAD DE LA IDENTIDAD e Supongamos que e, e1 son identidades para ∗ en G, entonces debemos concluir que e1 = e. Si e es la identidad para ∗ en G, entonces e ∗ x = x ∗ e = x para todo x ∈ G. En particular para x = e1 : e ∗ e1 = e1 ∗ e = e1 . . . (1) Si e1 es la identidad para ∗ en G, entonces e1 ∗ x = x ∗ e1 = x para todo x ∈ G. En particular para x = e: e1 ∗ e = e ∗ e1 = e . . . (2) De (1) y (2), deducimos que e1 = e. Por lo tanto, la identidad en un grupo es u ńica. 2. UNICIDAD DEL INVERSO DE CADA ELEMENTO Supongamos que a0 , a00 ∈ G son inversos de a respecto a ∗, entonces debemos debemos concluir que a00 = a0 . Si a0 es un inverso de a, entonces a0 ∗ a = a ∗ a0 = e . . . (1) 00 00 00 Si a es un inverso de a, entonces a ∗ a = a ∗ a = e . . . (2) de manera que a00 = = = = =

a00 ∗ e Por G2 00 0 a ∗ (a ∗ a ) Por (1) 00 0 (a ∗ a) ∗ a Por G1 0 e∗a Por (2) 0 a Por G2

Tomando extremos concluimos que a00 = a0 . Por lo tanto, el inverso de a ∈ G en un grupo es u ńico.

2.3.

Grupos C´ıclicos

2.3.1.

Propiedades Elementales

A

Si G es un grupo y a ∈ G, entonces H = {an |n ∈ Z} 6 G. Este grupo es el subgrupo c´ıclico de G generado por a. Ahora bien, si G = {an |n ∈ Z}, entonces a es un generador de G y el grupo G = hai es c´ıclico. Teorema 39 Todo grupo c´ıclico es abeliano. Demostraci´ on: (Para que un grupo G sea abeliano debemos demostrar que ∀g1 , g2 ∈ G : g1 g2 = g2 g1 ). Sea G un grupo c´ıclico y sea a un generador de G, entonces G = hai = {an |n ∈ Z} Si g1 y g2 son elementos cualesquiera de G, entonces existen enteros r y s tales que

55

g1 = ar , g2 = as , de manera que g1 g2 ar as = ar+s = as+r = as ar = g2 g1 Por lo tanto, el grupo G es abeliano

A

Comentario: i) Seguiremos utilizando la notación multiplicativa en nuestro trabajo acerca de grupos, a pesar de saber que son abelianos.

Lema 25 (Algoritmo de división para Z) Si m es un entero positivo y n es cualquier entero, entonces existen enteros u ńicos q y r tales que n = mq + r y 0 6 r < m. Demostraci´ on: Se da una explicación con diagramas mediante la siguiente figura n ²² ² r z}|{¨² n > 0, q > 0 | | | | ... | | | qm (q + 1)m m 2m −m 0 | {z } n = qm + r

n < 0, q < 0

n µµ µ r z}|{ ªµ | | | ... | −m (q + 1)m −m | {z

| 0 }

| m

| 2m

n = qm + r Sobre el eje x real usado en geometr´ıa análitica, se han marcado los m´ ultiplos de m y se puede tomar r igual a cero, o n caerá entre dos m´ ultiplos de m. Si este es el caso, sea qm el primer m´ ultiplo de m a la izquierda de n. Entonces r es como se muestra en la figura 1.8.1 Se observa en dicha figura que 0 6 r < m. Después de pensarlo u poco se vé que la unicidad de qy de r es clara a partir de los diagramas

A

Teorema 40 Un subgrupo de un grupo c´ıclico es c´ıclico. Demostraci´ on: Sea G un grupo c´ıclico y H 6 G, entonces G = hai. Ahora, tenemos que demostrar que H es c´ıclico. Si H = {e}, entonces H = hei es c´ıclico Si H 6= {e}, entonces existe m = m´ın{n ∈ Z+ |an ∈ H} de modo que am ∈ H Afirmamos que c = am genera H Es decir, H = ham i = hci Debemos demostrar que todo elemento b de H es una potencia de c. Sea b ∈ H, como H 6 G, b = an para alg´ un n ∈ Z. As´ı para n y m enteros positivos, existen enteros q y r tales que n = mq + r para 0 6 r < m mediante el lema 25. Entonces an = amq+r = (am )q ar de donde ar = (am )−q an . . . (1) n m Ahora, como a ∈ H y a ∈ H y H es grupo, tanto (am )−1 = (am )q = (am )−q como an están en H. As´ı (am )−q an ∈ H 56

Es decir, ar ∈ H por (1). Debido a que m se ha elegido como el m´ınimo entero talque am ∈ H y 0 6 r < m, debemos tener r = 0. Por lo tanto, n = mq y b = an = (an )q = cq , de modo que b es una potencia de c

A

Corolario 2 Los subgrupos de Z bajo la suma, son precisamente los los grupos nZ bajo la suma para n ∈ Z+ .

2.3.2.

Clasificaci´ on de Grupos C´ıclicos

Sea G un grupo c´ıclico con generador a. Consideremos dos casos

umero infinito de elementos Caso I.- G tiene un n´ En este caso afirmamos que dos exponentes distintos h y k dan elementos distintos ah , ak de G. En efecto, supongamos que ah = ak con h > k. Entonces ah a−k = ah−k = e, la identidad y h − k > 0. Sea m el menor entero positivo tal que am = e. Afirmamos que G tendrá u ńicamente los distintos elementos e, a, a2 , . . . , am−1 . n Sea a ∈ G, luego se encuentran q y r tales que n = mq + r para 0 6 r < m por el lema n mq+r 1.8.1, de ³manera = (am )q ar = ar para 0 6 r < m. Esto significa que G ´ que a = a →←

es finito Hip. ; Hip. G tiene infinitos elementos. Por lo tanto todas las potencias de a son distintas. Ahora bien, si G0 es otro grupo c´ıclico infinito con generador b. Es claro que si se cambian el nombre de bn por an , aparece que G0 es exactamente igual a G; es decir, los grupos G y G0 son isomorfos. As´ı Z bajo la suma puede tomarse como prototipo de cualquier grupo c´ıclico infinito.

Ejemplo 13 Se parece extraño que los grupos Z y 3Z son estructuralmente idénticos a pesar de que 3Z < Z. Los nombres no importan, si el 1 lo nombramos 3, al 2 lo nombramos 6 y en general al n lo nombramos 3n, habremos convertido Z en 3Z como grupo aditivo. Caso II.- G tiene orden finito. En este caso no todas las potencias de un generador a de G son distintas, as´ı que para algunos h y k tenemos ah = ak . Siguiendo la argumentación del CASO I, existe un entero m tal que am = e y ninguna potencia positiva menor de a es e. Entonces, el grupo G consta de los distintos elementos e, a, a2 , . . . , am−1 . Como se acostumbra usar n para el orden del grupo c´ıclico en general, cambiaremos la notación para lo siguiente, estableciendo m = n.

Ejemplo 14 Es agradable imaginar los elementos e = a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 de un grupo c´ıclico de orden n, distribuidos equitativamente sobre una circunferencia. Como se ve en la figura 1.8.2. El elemento e = a0 esta localizado en la parete inferior y el ah está localizado a h de estas unidades iguales, medidas en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, desde e = a0 . Para multiplicar ah y ak mediante este diagrama,se comienza desde ah y se avanza, en 57

el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, k unidades más. Para ver en términos aritméticos donde termina, encuentre q y r tales que h + k = nq + r para 0 6 r < n. El término nq nos lleva q veces alrededor del c´ırculo hasta llegar a ar . Definici´ on 26 Sea n un entero positivo fijo y sean h y k enteros cualesquiera. El n´ umero r tal que h + k = nq + r para 0 6 r < n es la suma de h y k módulo n.

2.4.

Subgrupos

Notaci´ on y Terminolog´ıa.- En resumen, posteriormente usaremos en un grupo (G, ∗) las siguientes notaciones: 1. ab = a ∗ b 2. e = e 3.

 En caso multiplicativo a−1  ∨ = a0  En caso aditivo −a

Definici´ on 27 Si G es un grupo finito, entonces el orden de G denotado por |G| se define como el n´ umero de elementos de G . En general, para cualquier conjunto finito S, |S| es el n´ umero de elementos de S. Por ejemplo, si S = {a, b, c}, entonces |S| = 3. Definici´ on 28 Un conjunto B es un subconjunto de A denotado por B ⊆ A(o A ⊇ B) si cada elemento de B est´ a en A. Las notaciones B ⊂ A o A ⊃ B se usarán para B ⊆ A, pero A 6= B. Observaci´ on.- Para cualquier conjunto A se tiene que φ ⊆ A y A ⊆ A. Definici´ on 29 Si A es cualquier conjunto, entonces A es el subconjunto impropio de A. cualquier otro subconjunto de A es un subconjunto propia de A. Definici´ on 30 Sea G un grupo y sea S un subconjunto de G. Si para cada a, b ∈ S es cierto que el producto ab calculado en G tambien está en S, entonces se dice que S es on de grupo de G. La operaci´ on binaria en S, as´ı definida, se cerrado bajo la operaci´ llama operaci´ on inducida en S desde G. Estamos en condiciones para precisar el concepto de grupo contenido en otro Definici´ on 31 Si H es un subconjunto de un grupo G cerrado bajo la operación de grupo de G y si H mismo es un grupo bajo esta operaci´ on inducida, entonces H es un subgrupo de G . Denotaremos por H 6 G o G > H el hecho de que H es un subgrupo de G. H < G o G > H significará que H 6 G, pero H 6= G 58

Comentarios 1. (Z, +) < (IR, +) 2. (Q+ , ·) 6≤ (IR, +) aunque Q+ ⊆ IR 3. G ⊆ G y {e} ⊆ G, donde e es el elemento identidad de G 4. H 6≤ G esto significará que H no es un subgrupo de G. Definici´ on 32 Si G es un grupo, entonces G se llama subgrupo impropio de G. Todos los otros subgrupos de G son subgrupos propios. Adem´ as {e} es el subgrupo trivial de G. Todos los otros subgrupos son no triviales.

Ejemplo 15 Q+ bajo la multiplicación es un subgrupo propio de IR+ bajo la multiplicai´ on

Ejemplo 16 Hay dos tipos de diferentes estructuras de grupo de orden 4. El grupo V Z4 : + 0 1 2 3

es 0 0 1 2 3

4-grupo de Klein y el grupo Z4 ,como muestran las siguientes tablas: 1 2 3 V : ⊕ e a b c 1 2 3 e e a b c 2 3 0 a a e c b 3 0 1 b b c e a 0 1 2 c c b a e

Comentarios: i) El u ńico subgrupo no trivial de Z4 es {0, 2} ii) {0, 3} 66 Z4 , pues {0, 3} no es cerrado bajo la +, por ejemplo 3+3=2 y 2 ∈ / {0, 3}. iii) El grupo V tiene tres subgrupos propios no triviales,{e, a},{e, b},{e, c} iv) {e, a, b} 66 V , pues {e, a, b} no es cerrado bajo la operación de V , por ejemplo ab = c y c ∈ / {e, a, b} . v) Es conveniente hacer un diagrama reticular de los subgrupos de un grupo. en dicho diagrama una recta que baja de un grupo G a un grupo H significa que H es un subgrupo de G. Por lo tanto el grupo más grande está arriba en el diagrama. La siguiente figura contiene diagramas reticulares para los grupos Z4 y V del ejemplo anterior. Z4 ²

{0, 2} ²

{0} diagrama reticular para Z4 59

V SSSSS kkkk SSSS k k k SSSS kk k k k SSSS kk k k k SS) ² ku k {e, a} SS {e, c} {e, b} SSS kkk k k SSS k SSS kkk SSS kkk k k SSS S) ² ukkkk {e}

diagrama reticular paraV Si H 6 G y a ∈ H entonces, por el teorema de unicidad de ecuaciones lineales, la ecuación ax = a debe tener solución u ńica en H, a saber, el elemento identidad de H. Pero esta ecuación tambien puede verse como una ecuación en G y vemos que esta solución u ńica debe ser tambien la identidad de G. Un argumento análogo aplicado a la ecuación ax = e considerada en H como en G, muestra que el inveso a−1 de a en G tambien es el inverso de a en el subgrupo H. El siguiente teorema proporciona un criterio para determinar si un subconjunto de un grupo eds un subgrupo del grupo. Teorema 41 Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si y sólo si: i) H es cerrado bajo la operaci´ on binaria de G . ii) La identidad e de G está en H. iii) Para todo a ∈ H se cumple que a−1 ∈ H. Demostraci´ on: (⇒) Si H 6 G, entonces H es cerrado bajo la operación binaria de G y se cumplen las condiciones ii) y iii) por lo visto arriba. (⇐) Por la condición i) H tiene como operación binaria la inducida de G. Para que H sea grupo debe satisfacer los tres axiomas de grupo. G1 : La operación binaria en G es asociativa, luego la inducidaes asosiativa en H En efecto a, b, c ∈ H, entonces (ab)c = a(bc) ya que a, b, c ∈ G. G2 : Por la condición ii) la identidad e ∈ H. Y cumple para e las propiedades ea = ae = a por i) para todo a ∈ H. G3 : Por iii) para cada a ∈ H, existe a−1 ∈ H tal que a−1 a = aa−1 = e. Por lo tanto para todo a ∈ H, existe a−1 ∈ H tal que a−1 a = aa−1 = e

A

Teorema 42 Un subconjunto no vac´ıo H de un grupo G es un subgrupo de G si y s´ olo si ab−1 ∈ H para todo a, b ∈ H

60

Demostraci´ on: (⇒) Si H 6 G, entonces por G3 para b ∈ H, existe b−1 ∈ H As´ı para a ∈ H y b−1 ∈ H deducimos que ab−1 ∈ H ya que H es cerrado bajo la operación binaria en G (⇐) Como H 6= φ, existe a ∈ H Por hipótesis para a = a, b = a : ab−1 = aa−1 = e ∈ H luego se cumple la condición ii) del teorema anterior Para a = e, b = b por hipótesis tenemos que b−1 = eb−1 = ab−1 ∈ H, luego se cumple la condición i) del teorema anterior. Por el teorema mencionado se concluye que H es un subgrupo de G

A

2.5.

Isomorfismo de Grupos y Propiedades Fundamentales

Nos ocuparemos ahora de precisar, la idea de que dos grupos G y G0 son isomorfos, si son idénticos salvo el nombre de los elementos y las operaciones. De este modo, podemos obtener G0 a partir de G Cambiando el nombre de un elemento x ∈ G por el nombre de cierto elemento x0 ∈ G0 . En realidad es una aplicación φ con dominio G. Es claro que dos elementos diferentes x, y ∈ G deben tener contrapartes diferentes de x0 = xφ, y 0 = yφ en G0 . Además, cada elemento de G0 debe ser contraparte de alg´ un elemento de G. Si los grupos son estructuralmente el mismo y si denotamos la operación del grupo G por ∗ y la de G0 por ∗0 , entonces la contraparte de x ∗ y deber´ıa ser x0 ∗0 y 0 , ó (x ∗ y)φ deber´ıa ser (xφ) ∗0 (yφ). Comunmente se omiten las notaciones ∗ y ∗0 para las operaciones y se usa la notación multiplicativa (xy)φ = (xφ)(yφ) . . . (1) Se nota que la multiplicación xy en (1) es la multiplicación en G; mientras que la multiplicación (xφ)(yφ) en (1) es la multiplicación en G0 . Definici´ on 33 Un isomorfismo entre un grupo G y un grupo G0 es una aplicaci´ on 0 0 φ : G → G que es inyectiva y sobreyectiva en G tal que para todo x, y ∈ G : (xy)φ = (xφ)(yφ) En este caso G es isomorfo a G0 , lo cual denotaremos por G ∼ = G0 . Teorema 43 Si φ : G → G 0 es un isomorfismo de G en G0 y e es la identidad de G, entonces eφ es la identidad en G0 . Adem´ as −1 −1 a φ = (aφ) para todo a ∈ G. Es decir, un isomorfismo lleva la identidad en la identidad y los inversos a los inversos. Demostraci´ on: Sea x0 ∈ G0 . Como φ es sobre, existe x ∈ G tal que xφ = x0 . Entonces 61

x0 = xφ = (xe)φ = (xφ)(eφ) = x0 (eφ) Similarmente x0 = xφ = (ex)φ = (eφ)(xφ) = (eφ)x0 de modo que eφ es la identidad en G0 Tomemos además para a ∈ G eφ = (a−1 a)φ = (a−1 φ)(aφ) De manera análoga eφ = (aa−1 )φ = (aφ)(a−1 φ) Por consiguiente e0 = eφ, a−1 φ = (aφ)−1

2.5.1.

A

Como Demostrar que dos Grupos son Isomorfos

El procedimiento para demostrar que dos grupos, G y G0 , son isomorfos, sigue los cuatro pasos siguientes: PASO 1. Definir la aplicación φ que da el isomorfismo de G en G0 . Esto significa describir, de alguna manera, cual ser´ıa xφ en G0 para toda x ∈ G. PASO 2. Demostrar que φ es una aplicación 1-1. PASO 3. Demostrar que φ es sobre G0 . PASO 4. Demostrar que (xy)φ = (xφ)(yφ) parar todo x, y ∈ G. Se calculan ambos lados de la ecuación y se ve si son iguales.

Ejemplo 17 Demostrar que el grupo IR bajo la suma es isomorfo al grupo IR+ bajo la multiplicaci´ on Demostraci´ on: PASO 1. Para x ∈ IR se define xφ = ex Esto nos dá una aplicación φ : IR → IR+ . PASO 2. Sean x, y ∈ IR tales que xφ = yφ entonces x = y Como ex = ey , aplicando logaritmo natural se obtiene x = y. Por lo tanto φ es 1-1. PASO 3. Si r ∈ IR+ , entonces existe ln r ∈ IR tal (ln r)φ = eln r = r. Por lo tanto φ es sobre IR+ . PASO 4. Para x, y ∈ IR tenemos (x + y)φ = ex+y = ex ey = (xφ)(yφ)

A

Teorema 44 Cualquier grupo c´ıclico infinito G es isomorfo al grupo Z de los enteros bajo la suma.

62

Demostraci´ on: Supongamos que G es generado por a ∈ G y la operación de G es multiplicativa, entonces G = hai = {an |n ∈ Z}. Sea e la identidad de G, entonces a 6= e. Vamos a demostrar que G es isomorfo a Z con el procedimiento de los siguientes cuatro pasos: PASO 1. Definamos una aplicación φ : G → Z por an φ = n ∀an ∈ G. Afirmación: Si an1 , an2 ∈ G son tales que an1 = an2 , entonces n1 = n2 Por RAA, supongamos que n1 6= n2 , luego n1 < n2 ó n2 < n1 . Si n1 < n2 , n2 − n1 > 0. De an1 = an2 , deducimos que an2 −n1 = e. De estas −n1 = e, lo cual nos dos afirmaciones vemos que existe n2 − n1 ∈ Z+µ tal que an2¶ G es infinito indica que G tiene a lo mas n2 − n1 elementos →← Si suponemos que n2 < n1 , tambien se llega a una contradicción. Por RAA queda demostrada la afirmación. En consecuencia, φ está bien definida como aplicación. PASO 2. Sean an1 , an2 ∈ G tales que an1 φ = an2 φ, entonces an1 = an2 . Como an1 φ = n1 = n2 = an2 φ, inmediatamente se tiene an1 = an2 , as´ı φ es 1-1. PASO 3. Por definición de G, dado n ∈ Z, se tiene an ∈ G, de modo que an φ = n, luego φ es sobre Z. PASO 4. Sean an1 , an2 ∈ G, entonces an1 an2 φ = an1 φ + an2 φ En efecto, (an1 an2 )φ = (an1 +n2 )φ = n1 + n2 = an1 φ + an2 φ

A

De los pasos 1-4, se concluye que G ∼ =Z Comentarios:

i) Si G es un grupo y i : G → G es la aplicación identidad ( ig = g, ∀g ∈ G ), entonces G ∼ =G ii) Si G es isomorfo a G0 , entonces G0 es isomorfo a G Es decir, G ∼ = G0 ⇒ G0 ∼ =G iii) G ∼ = G0 ∧ G0 ∼ = G00 , entonces G ∼ = G00 iv) De i), ii) y iii) la propiedad de isomorfismoentre grupos es una relación de equivalencia en una colección de grupos. Es decir, dada una colección no vac´ıa de grupos se puede partir la colección en celdas (clases de equivalencia) tales que cualesquiera dos grupos en la misma clase son isomorfos y no hay grupos en celdas distintas que sean isomorfos. v) Hemos visto que cualesquiera dos grupos de orden 3 son isomorfos. Lo expresamos diciendoque sólo hay un grupo de orden 3, salvo isomorfismo.

Ejemplo 18 Hay un solo grupo de orden 1, uno de orden 2 y uno de orden 3, salvo isomorfismo. Hemos visto que hay exactamente dos grupos diferentes de orden 4, salvo isomorfismo: el grupo Z4 y el 4-grupo V de Klein. Hay al menos dos grupos diferentes, salvo isomorfismos de orden 6: Z6 y S3 .

63

2.5.2.

Como Demostrar que Dos Grupos no son Isomorfos

Ejemplo 19 Z4 y S6 no son isomorfos, pues no existe una aplicación 1-1 de Z4 sobre S6 . En el caso infinito, no siempre está claro si existen o no aplicaciones y sobre.

Ejemplo 20 Z bajo la suma no es isomorfo a IR bajo la suma, porque no existe una aplicaci´ on 1-1 de Z sobre IR. OTRA FORMA DE JUSTIFICAR la afirmación del ejemplo consiste en: Supongamos que Z ∼ = IR, luego el grupo IR bajo la suma es c´ıclico, luego Q bajo la suma es un grupo c´ıclico . . . (1) m Por otro lado, sea r = ∈ Q (fijo) con mcd{m, n} = 1 n Luego el subgrupo c´ıclico de Q generado por r es DmE n ³m´ o = z :z∈Z n n D E m 2m m m 2m m/n + 2m/n Es claro que , ∈ , de modo que existen , ∈ Q tales que s = = n n n n n 2 D E 3m m ∈ / ys∈Q 2n n DmE m es un subgrupo propio de Qcomo r = Esto significa que es arbitrario, hri < n ³n(1) ´ Q ∀r ∈ Q, por lo que Qcomo grupo bajo la suma no es c´ıclico →← ∴ Z IR Para mostrar que dos grupos no son isomorfos (si tal es el caso) se exhibe alguna propiedad estructural que un grupo posee y el otro no. Las propiedades estructurales de grupo son las que deben compartir grupos isomorfos Podemos citar algunas propiedades estructurales de grupo: i) El grupo es c´ıclico. ii) El grupo es abeliano. iii) El grupo tiene orden 8. iv) El grupo es finito. v) El grupo tiene exactamente dos elementos de orden 6. vi) La ecuación x2 = a tiene una solución para cada elemento a en el grupo.

Ejemplo 21 Z y 3Z son isomorfos, porque existe un isomorfismo φ : Z → 3Z dado por nφ = 3n.

Ejemplo 22 Z y Q no son isomorfos como grupos bajo la suma, pues Z es c´ıclico y Q no es c´ıclico.

Ejemplo 23 El grupo Q∗ = Q − {0} bajo la multiplicación, no es isomorfo al grupo IR∗ = IR − {0} bajo la multiplicaci´ on. 3 Es claro que la ecuaci´ on x = a, ∀a ∈ IR∗ , tiene solución en IR∗ , mientras que existe 3 una ecuaci´ on x = 2, 2 ∈ Q∗ , que no tiene solución en Q∗ , en consecuencia Q∗ IR∗ . 64

Ejemplo 24 El grupo IR∗ = IR − {0} bajo la multiplicación, no es isomorfo al grupo C I ∗ =C I − {0} bajo la multiplicaci´ on. 2 Es claro que la ecuaci´ on x = a tiene solución en C I ∗ para todo a ∈ C I ∗ , pero existe un 2 ∗ a ecuaci´ on x = −1 no tiene solución en IR . I∗∼ I ∗ → IR∗ Justificaci´ on.- Supongamos que C = IR∗ , luego existe un isomorfismo φ : C de C I ∗ sobre IR∗ . −1 ∈ IR∗ , existe b ∈ C I ∗ tal que bφ = −1 La ecuaci´ on x2 = b tiene solución en C I ∗ ,as´ı existe d ∈ C I ∗ tal que d2 = b 2 Aplicando d φ = bφ = −1 . . . (1) 2 2 Pero d φ = dφdφ = (dφ) . . . (2) 2 De (1) ³ y (2), (dφ) = −1, ´donde dφ ∈ IR∗ esto significa que x2 = −1 tiene solución x2 =−1 no

tiene soluci´ on R I∗

en IR∗ →← las operaciones indicadas.

. Por RAA, concluimos que C I ∗ no es isomorfo a IR∗ bajo

Ejemplo 25 El grupo IR∗ = IR − {0} bajo la multiplicación, no es isomorfo al grupo IR de n´ umeros reales bajo la adición, pues x + x = a siempre tiene solución en (IR, +), pero la ecuaci´ on correspondiente x.x = a no siempre tiene solución en (IR∗ , ·), por ejemplo, si a = −1.

2.6.

Productos Directos

2.6.1.

Productos Directos Externos

El producto cartesiano de conjuntos S1 , S2 , . . . , Sn se denota por S1 × S2 × . . . × Sn n Y o por Si . i=1

Tambien se puede definir el producto cartesiano de un n´ umero infinito de conjuntos. Ahora, si consideramos G1 , G2 , . . . , Gn grupos con operaciones multiplicativas, podemos n Y formar un grupo Gi con operación binaria definida por componentes. i=1

Teorema 45 Sean G1 , G2 , . . . , Gn grupos. n n Y Y Para (a1 , a2 , . . . , an ) y (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Gi se define la operaci´ on binaria en Gi i=1

por (a1 , a2 , . . . , an )(b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 b1 , a2 b2 , . . . , an bn ). n Y Entonces Gi es un grupo bajo esta operaci´ on binaria

i=1

i=1

Definici´ on 34 Sean G1 , G2 , . . . , Gn grupos, entonces el grupo obtenido en el teorema n Y anterior, Gi es el producto directo externo de los grupos Gi . i=1

65

Comentario.- Si el conjunto Ai tiene ri elementos para i = 1, . . . , n, entonces

n Y

Ai

i=1

tiene r1 r2 · · · rn elementos, porque en una n−ada hay r1 elecciones posibles para la primera componente A1 y para cada una de estas hay r2 elecciones posibles de A2 para la segunda componente y as´ı sucesivamente.

Ejemplo 26 El grupo Z2 × Z3 tiene 2 × 3 = 6 elementos, pues Z2 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)} Se observa que Z2 × Z3 es un grupo c´ıclico, ya que existe (1, 1) ∈ Z2 × Z3 tal que Z2 × Z3 = h(1, 1)i = {n(1, 1)|n ∈ Z} para n = 1, 1(1, 1) = (1, 1) para n = 2, 2(1, 1) = (1 + 1, 1 + 1) = (0, 2) para n = 3, 3(1, 1) = (1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1) = (1, 0) para n = 4, 4(1, 1) = 3(1, 1) + (1, 1) = (0, 1) para n = 5, 5(1, 1) = 4(1, 1) + (1, 1) = (1, 2) para n = 6, 6(1, 1) = 5(1, 1) + (1, 1) = (0, 0) Como hay u ńico grupo c´ıclico Z6 de orden, concluimos que Z6 ∼ = Z2 × Z3 .

Ejemplo 27 El grupo Z3 × Z3 tiene 9 elementos, pues Z3 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)} Se muestra que Z3 × Z3 no es c´ıclico, por consiguiente Z9 no es isomorfo a Z3 × Z3 Teorema 46 El grupo Zm × Zn es isomorfo a Zmn si y solo si mcd{m, n} = 1 Corolario 3 El grupo

n Y

Zmi es isomorfo a Zm1 m2 ···mn si y solo si mcd{mi , mj } = 1

i=1

para i, j = 1, · · · , n y i 6= j

Ejemplo 28 Si n = (p1 )n1 (p2 )n2 · · · (pr )nr , donde los pi son números primos distintos, por el corolario anterior Zn es isomorfo a Z(p1 )n1 × Z(p2 )n2 × . . . × Z(pr )nr En particular, Z12 es isomorfo a Z8 × Z9 . Definici´ on 35 Sea G un grupo y a ∈ G. Si existe alg´ un entero positivo n tal que an = e, el menor de dichos enteros positivos n, es ell orden de a. Si no existe dicha n, entonces a es de orden finito. De esto se desprende que si a es un elemento de un grupo G, el orden de a es igual al orden del subgrupo c´ıclico generado por a. Teorema 47 Sea (a1 , a2 , . . . , an ) ∈

n Y

Gi .

i=1

Si ai es de orden finito ri en Gi , entonces el orden de (a1 , a2 , . . . , an ) en

n Y i=1

al m´ınimo com´ un m´ ultiplo de todas las ri

Ejemplo 29 Podemos citar el orden de todos los elementos de Z3 × Z El orden de (0,0) es 1 El orden de (1,0) es 3 El orden de (0,1) es 3 El orden de (1,1) es 3 66

Gi es igual

El El El El

Si

orden orden orden orden n Y

de de de de

(0,2) (2,0) (2,1) (2,2)

es es es es

3 El orden de (1,2) es 3 3=mcm{3, 1} 3=mcm{3, 3} 3=mcm{3, 3}

Gi es el producto directo externo de grupos Gi , entonces el subconjunto

i=1

Gi = {(e1 , e2 , . . . , ei−1 , ai , ei+1 , . . . , en )|ai ∈ Gi } es un subgrupo de

n Y

Gi .

i=1

Además Gi es isomorfo a Gi mediante la proyección canónica πi dada por (e1 , e2 , . . . , ei−1 , ai , ei+1 , . . . , en )πi = ai As´ı, el grupo Gi se refleja en la i−ésima componente de los elementos de Gi . n Y Consideremos Gi como el producto directo interno de estos subgrupos Gi . Los térmii=1

nos interno y externo, aplicados a los productos directos de grupos, sólo reflejan si se consideran o no (respectivamente), a los grupos componentes como subgrupos del grupo producto. En adelante se omite la palabra interno o externo y se dirá sólo producto directo. Definici´ on 36 Sea {Si |i ∈ I} una colecci´ on de conjuntos. \ Aqui I puede ser cualquier conjunto de indices. Se define la intersecci´ on Si de los conjuntos como

i∈I

\

Si = {x ∈ Si |i ∈ I}

i∈I

Teorema 48 La intersecci´ on de los subgrupos Hi de un grupo G para i ∈ I es un subgrupo de G Demostraci´ \ on: (Vamos a usar el teorema 1.5.2): Sea Hi = Hi i∈I \ \ como e = Hi para i ∈ I siendo Hi 6 G, deducimos que e ∈ Hi ⇒ H 6= φ. i∈I

As´ı H es un subconjunto no vac´ıo del grupo G. Sean a, b ∈ H, entonces ab−1 ∈ H En efecto\ a∈H= Hi ⇒ a ∈ Hi para todo i ∈ I . . . (1) i∈I \ b∈H= Hi ⇒ b ∈ Hi para todo i ∈ I

i∈I

i∈I

Como Hi 6 G para todo i ∈ I: b−1 ∈ Hi para todo i ∈ I . . . (2) De (1) y (2): ab−1 ∈\Hi para todo i ∈ I, pues Hi 6 G para todo i Luego ab−1 ∈ H = Hi . i∈I \ Por el teorema 1.5.2, concluimos que Hi es un subgrupo de G. i∈I

67

A

2.6.2.

Productos Directos Internos

Definici´ on 37 Sea G un grupo con subgrupos Hi para i = 1, 2, . . . , n, entonces se dice n Y que G es el producto directo interno de los subgrupos Hi si la aplicaci´ on φ : Hi → G dado por (h1 , h2 , . . . , hn )φ = h1 h2 . . . hn es un isomorfismo.

i=1

Teorema 49 S´ı G es el producto directo interno de los subgrupos H1 , H2 , . . . , Hn , entonces cada g ∈ G puede escribirse de manera u ńica como g = h1 h2 . . . hn , donde hi ∈ Hi Tambien vale la rec´ıproca. Demostraci´ on: ⇒) Por hipótesis, G es el producto directo interno de los subgrupos H1 , H2 , . . . , Hn , n Y entonces la aplicación φ : Hi → G tal que i=1

(h01 , h02 , . . . , h0n )φ = h01 h02 . . . h0n es un isomorfismo. . . . (1) Sea g = h1 h2 . . . hn = g1 g2 . . . gn donde hi , gi ∈ Hi . . . (2) Por (1): (h1 , h2 , . . . , hn )φ = (g1 , g2 , . . . , gn )φ Como φ es un isomorfismo, φ es 1-1, luego (h1 , h2 , . . . , hn ) = (g1 , g2 , . . . , gn ) ⇔ hi = gi para i = 1, 2, . . . , n Luego de (2), concluimos que cada g ∈ G tiene u ńica representación como g = h1 h2 . . . hn , donde hi ∈ Hi ⇐) Definamos φ :

n Y

Hi → G por (h1 , h2 , . . . , hn )φ = h1 h2 . . . hn

i=1

a) φ está bien definida Sean (h1 , h2 , . . . , hn ), (g1 , g2 , . . . , gn ) ∈

n Y

Hi tales que

i=1

(h1 , h2 , . . . , hn ) = (g1 , g2 , . . . , gn ), entonces (h1 , h2 , . . . , hn )φ = (g1 , g2 , . . . , gn )φ En efecto, de (h1 , h2 , . . . , hn ) = (g1 , g2 , . . . , gn ) ⇒ hi = gi ; para i = 1, 2, . . . , n Luego h1 h2 . . . hn = g1 g2 . . . gn . Es decir (h1 , h2 , . . . , hn )φ = (g1 , g2 , . . . , gn )φ b) φ es 1-1 n Y Sean (h1 , h2 , . . . , hn ), (g1 , g2 , . . . , gn ) ∈ Hi tales que i=1

(h1 , h2 , . . . , hn )φ = (g1 , g2 , . . . , gn )φ, entonces (h1 , h2 , . . . , hn ) = (g1 , g2 , . . . , gn ) En efecto, (h1 , h2 , . . . , hn )φ = (g1 , g2 , . . . , gn )φ ∈ G Es decir, h1 h2 . . . hn = g1 g2 . . . gn ∈ G donde gi , hi ∈ Hi , tiene u ńica representación implica que hi = gi para i = 1, 2, . . . , n Luego (h1 , h2 , . . . , hn ) = (g1 , g2 , . . . , gn ). c) φ es sobre G Sea g ∈ G, por hipótesis cada elemento se representa como producto de los elementos de sus subgrupos, luego g = h1 h2 . . . hn n Y De donde existe (h1 , h2 , . . . , hn ) ∈ Hi tal que (h1 , h2 , . . . , hn )φ = g i=1

68

d ) Sean (h1 , h2 , . . . , hn ), (g1 , g2 , . . . , gn ) ∈

n Y

Hi , entonces

i=1

[(h1 , h2 , . . . , hn )(g1 , g2 , . . . , gn )]φ = (h1 , h2 , . . . , hn )φ(g1 , g2 , . . . , gn )φ En efecto, [(h1 , h2 , . . . , hn )(g1 , g2 , . . . , gn )]φ = (h1 g1 , h2 g2 , . . . , hn gn )φ = h1 g1 h2 g2 . . . hn gn = h1 h2 . . . hn g1 g2 . . . gn = (h1 , h2 , . . . , hn )φ(g1 , g2 , . . . , gn )φ Por definición se concluye que GH1 , H2 , . . . , Hn

A

Sea H y K subgrupos de un grupo G. nos interesa examinar HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K}. desafortunadamente HK no necesariamente es un subgrupo de G, pues h1 k1 h2 k2 no siempre es de la forma hk. Si G es abeliano o aun si cada elemento h ∈ H conmuta con cada elemento k de K, hk = kh, entonces h1 h2 k1 k2 = h3 k3 donde h3 = h1 h2 y k3 = k1 k = 2 son elementos de H y K respectivamente. Se verifica fácilmente que en este caso HK 6 G, pues ee = e ∈ HK y (hk)−1 = k −1 h−1 = h−1 k −1 ∈ HK. En el caso no conmutativo, existe un subgrupo de G que contiene HK. Definici´ on 38 Sean H y K subgrupos de un grupo de G. El compuesto H ∨ K de H y K es la intersecci´ on de todos los subgrupos de G que contiene HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K}. Comentarios: i) H ∨ K es el más peque˜ no subgrupo de G que contiene HK. ii) Si G es abeliano o conmutan los elementos de H con los de K, entonces HK = H ∨K Teorema 50 Un grupo G es el producto directo interno de los subgrupos H y K si y s´ olo si i) G = H ∨ K ii) hk = kh para todas las h ∈ H y todas las k ∈ K iii) H ∩ K = {e} Demostraci´ on: ⇒) Por hipótesis φ : H × K → G tal que (h, k)φ = hk es un isomorfismo. i) Sabemos que HK ⊆ H ∨ K ⊆ G Como φ es sobre G, si g ∈ G, existe (h, k) ∈ H × K tal que g = (h, k)φ = hk, de aqu´ı G ⊆ HK, ∀ G = H ∨ K = HK

69

ii) (h, k) = (e, k)(h, e) para todo (h, k) ∈ H × K Como φ es un isomorfismo (h, k)φ = (e, k)φ(h, e)φ, de donde hk = (ek)(he) = kh As´ı hk = kh para todo h ∈ H y todo k ∈ K. iii) Sea h ∈ H ∩ K ⇒ h ∈ H y h ∈ K Como he = h = eh obtenemos que (h, e)φ = (e, h)φ φ es un isomorfismo, luego φ es 1-1 De modo que (h, e) = (e, h), luego h = e As´ı H ∩ K = {e}. ⇐) Por hipótesis se cumplen las condiciones i), ii) y iii). Demostremos que φ : H × K → G una aplicación definida por φ(h, k) = hk es un isomorfismo de H × K sobre G. φ es 1-1 Sean (h1 , k1 ), (h2 , k2 ) ∈ H × K tales que (h1 , k1 )φ = (h2 , k2 )φ entonces (h1 , k1 ) = (h2 , k2 ). En efecto, (h1 , k1 )φ = (h2 , k2 )φ significa que h1 k1 = h2 k2 , de donde −1 −1 h2 h1 = k2 k1 ∈ H ∩ K = {e} −1 −1 Luego h2 h1 = e y k2 k1 = e, de modo que h1 = h2 , k2 = k1 Por consiguiente (h1 , k1 ) = (h2 , k2 ). φ es sobre G La condición ii)hk = kh para todo h ∈ H y todo k ∈ K implica, como hemos visto i)

antes de definir H ∨ K, que HK es un subgrupo de G, de modo que HK = H ∨ K = G Si g ∈ G, existe (h, k) ∈ H × K tal que (h, k)φ = hk = g. Afirmamos si (h1 , k1 ), (h2 , k2 ) ∈ H × K, entonces [(h1 , k1 )(h2 , k2 )]φ = (h1 , k1 )φ(h2 , k2 )φ En efecto, [(h1 , k1 )(h2 , k2 )]φ = (h1 h2 , k1 k2 )φ = (h1 h2 )(k1 k2 ), por ii) = (h1 k1 )(h2 k2 ) = (h1 , k1 )φ(h2 , k2 )φ

A

2.7.

Homomorfismos de Grupos y Propiedades Fundamentales

Definici´ on 39 Una Aplicaci´ on φ de un grupo G en un grupo G0 es un homomorfismo si (ab)φ = (aφ)(bφ) para todos los elementos a y b ∈ G. En la condici´ on (ab)φ = (aφ)(bφ), la operaci´ on (ab)φ en el lado izquierdo ocurre en G, mientras que la operaci´ on (aφ)(bφ) del lado derecho, ocurre en G0 . Asi, la condici´ on para ser homomorfismo relaciona la estructura de G con la de G0 .

Ejemplo 30 La aplicación γ de Z en Zn dada por mγ = r donde r es el residuo de m al dividir lo entre n. 70

Entonces γ es un homomorfismo: (s + t)γ = sγ + tγ En efecto, sean s = q1 n + r1 , t = q2 n + r2 . . . (1) donde 0 6 ri < n Luego sγ = r1 , tγ = r2 . As´ı sγ + tγ = (r1 + r2 ) mod n Si r1 + r2 = q3 nr3 para 0 6 r3 < n, entonces sγ + tγ = r3 . . . (2) Por otro lado, de (1): s + t (q1 + q2 )n + (r1 + r2 ) (q1 + q2 + q3 )n + r3 As´ı (s + t)γ = r3 . . . (3) De (2) y (3), se concluye que (s + t)γ = sγ + tγ Observaci´ on.- Si consideramos Zn como el grupo Z/nZ de clases residuales módulo n, vemos que γ asigna a cada elemento de Z la clase residual módulo n. Teorema 51 Si N es un subgrupo normal de un grupo G, entonces la aplicaci´ on can´ onica γ : G → G/N dada por aγ = aN para a ∈ G, es un homomorfismo. Demostraci´ on: Sean a, b ∈ G, entonces (ab)γ = (aγ)(bγ) En efecto, (ab)γ = (ab)N = (aN )(bN ) = (aγ)(bγ)

A

Definici´ on 40 El n´ ucleo de un homomorfismo φ, φ : G → G0 denotado por ker φ, es el conjunto ker φ = {g ∈ G|gφ = e0 }

Ejemplo 31 Para la aplicación γ : Z → Zn , es tal que ker γ = nZ. Se nota que nZ es un subgrupo normal de Z y Z/nZ es isomorfo a Zn . Definici´ on 41 Sea φ una aplicaci´ on de un conjunto X en u conjunto Y . Sea A ⊆ X, B ⊆ Y . La imagen Aφ de A en Y bajo φ es Aφ = {aφ|a ∈ A}. La imagen inversa Bφ−1 de B es Bφ−1 = {x ∈ X|xφ ∈ B} El siguiente teorema proporciona algunas caracter´ısticas estructurales preservadas bajo un homomorfismo Teorema 52 Sea φ un homomorfismo de un grupo G en un grupo G0 . Si e es la identidad en G, entonces eφ es la identidad en G0 y si a ∈ G, entonces a−1 φ = (aφ)−1 . Si H es un subgrupo de G, entonces Hφ es un subgrupo de G0 , y H es normal en G implica que Hφ es normal en Gφ. Ahora, en otra direcci´ on, si K 0 es un subgrupo de 0 0 −1 0 G , entonces K φ es un subgrupo de G y K es normal en Gφ, implica que K 0 φ−1 es normal en G. Dicho brevemente, bajo un homomorfismo, subgrupos corresponden a subgrupos y subgrupos normales a subgrupos normales. Demostraci´ on: Sea φ un homomorfismo de G sobre G0 . Entonces, aφ = (ae)φ = (aφ)(eφ) y aφ = (ea)φ = (eφ)(aφ) de donde eφ es la identidad e0 en G0 Además, eφ = (aa−1 )φ = (aφ)(a−1 φ) y eφ = (a−1 a)φ = (a−1 φ)(aφ) de modo que el inverso de aφ es (aφ)−1 = a−1 φ. 71

1) Si H 6 G, entonces Hφ 6 G0 %

En efecto, eφ ∈ Hφ, luego Hφ 6= φ conjunto vac´ıo. Sean a, b ∈ Hφ, entonces ab−1 ∈ Hφ Es claro que a ∈ H implica que a = h1 φ , h1 ∈ H b ∈ H implica que b−1 = h−1 φ ; h−1 2 2 , h2 ∈ H pues H 6 G −1 −1 Como H 6 G, de modo que ab = (h1 φ)(h2 φ) (h1 h−1 2 )φ ∈ Hφ Seg´ un el teorema 1.5.2 se deduce que Hφ 6 G0 . 2) Si H es un subgrupo normal de G, entonces Hφ es un subgrupo normal de Gφ. Sean gφ ∈ Gφ y hφ ∈ Hφ, entonces (gφ)−1 hφ(gφ) ∈ Hφ. En efecto, (gφ)−1 hφ(gφ) = (g −1 φ)(hφ)(gφ) = (g −1 hg)φ, φ es un homomorfismo = hφ ∈ Hφ, pues H es un subgrupo normal de G 3) Si K 0 6 G0 , entonces K 0 φ−1 6 G En efecto, K 0 φ−1 = {g ∈ G|gφ ∈ K 0 }, luego e ∈ G es tal que eφ ∈ K 0 porque K 0 6 G0 . As´ı K 0 φ−1 es un subconjunto no vac´ıo de G. Sean a, b ∈ K 0 φ−1 , entonces ab−1 ∈ K 0 φ−1 Claramente, a ∈ K 0 φ−1 implica que a ∈ G y aφ ∈ K 0 b ∈ K 0 φ−1 implica que b ∈ G y bφ ∈ K 0 de donde ab−1 ∈ G y (ab−1 )φ = (aφ)(b−1 ) ∈ K 0 pues φ es homomorfismo y K 0 6 G0 . Por el teorema 1.5.2, concluimos que K 0 φ−1 es un subgrupo de G. 4) Si K 0 E Gφ, entonces K 0 φ−1 E G Notación: K 0 E Gφ significa que K 0 es un subgrupo normal de Gφ Sean g ∈ G, h ∈ K 0 φ−1 entonces g −1 hg ∈ K 0 φ−1 . En efecto, h ∈ K 0 φ−1 ⇒ h ∈ G y hφ ∈ K 0 Luego g −1 hg ∈ G y (g −1 hg)φ = (gφ)−1 (hφ)(gφ) ∈ Kφ porque K 0 E Gφ Por consiguiente g −1 hg ∈ K 0 φ−1 . Esto significa que K 0 φ−1 es un subgrupo normal de G

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2.8.

El Teorema Fundamental del Homomorfismo

El teorema anterior, en particular, muestra que para un homomorfismo φ : G → G0 , el n´ ucleo de φ, ker φ = K = {e0 }φ−1 es un subgrupo normal de G puesto que {e0 } es un subgrupo normal de G0 . Teorema 53 (Teorema Fundamental del Homomorfismo) Sea φ un homomorfismo de un grupo G en un grupo G0 , con el n´ ucleo K. Entonces Gφ es ungrupo y existe un isomorfismo can´ onico (natural) de Gφ con G/K. Demostraci´ on: i) Considerando H = G, en el teorema anterior, deducimos que Gφ es un subgrupo de G0 , luego Gφ es un grupo. 72

´ ii) AFIRMACION.G/K ∼ = Gφ En efecto, definamos una aplicación ψ : G/K → Gφ por (ak)ψ = aφ para todo ak ∈ G/K. 1) ψ está bien definida (como aplicación) Sean ak, bk ∈ G/K tales que ak = bk, entonces (ak)ψ = (bk)ψ En efecto, ak = bk implica que b−1 a ∈ K, luego a = bk para alg´ un k ∈ K, ahora aplicando φ aφ = (bk)φ = (bφ)(kφ) = (bφ)e0 porque k ∈ K = ker φ = bφ de donde aφ = bφ As´ı, por definición de ψ : (ak)ψ = aφ = bφ = (bk)ψ. 2) ψ es 1-1 Sean ak, bk ∈ G/K tales que (ak)ψ = (bk)ψ, entonces ak = bk. En efecto, de (ak)ψ = (bk)ψ se tiene aφ = bφ De aqu´ı (b−1 a)φ = eφ, luego b−1 a ∈ K = ker φ, por consiguiente ak = bk. 3) ψ es sobre Gφ. En efecto: Dado gφ ∈ Gφ, existe gK ∈ G/K tal que (gK)ψ = gφ. 4) ψ es un homomorfismo. Sean ak, bk ∈ G/K, entonces (aKbK)ψ = (aK)ψ(bK)ψ En efecto, (aKbK)ψ = (abK)ψ pues K es un subgrupo normal de G = (ab)φ = (aφ)(bφ) porque φ es un homomorfismo = (aK)ψ(bK)ψ De 1), 2), 3) y 4) queda verificado la afirmación ii)

A

Comentario.- La aplicación ψ es una aplicación canónica en el sentido de que si γ es el homomorfismo canónico γ : G → G/K, entonces φ = γψ Esta igualdad se expresa mediante el siguiente diagrama conmutativo. G CC

φ

CC CC γ CC !

y

y yψ

/ Gφ y<

G/K

Cuando se tenga un homomorfismo, hay dos cosas de principal importancia: la imagen y el n´ ucleo. A cada grupo cociente G/N corresponde un homomorfismo φ : G → G0 la imagen es esencialmente G/K donde K = ker φ, salvo un isomorfismo canónico.

Ejemplo 32 La aplicación φ : IR → C I ∗ dada por xφ = cos x + i sen x es un homomorfismo de IR bajo la suma en C I ∗ grupo bajo la multiplicaci´ on. 73

En efecto, sean x, y ∈ IR, entonces (x + y)φ = (xφ)(yφ), desarrollando cada lado o llegando del lado izquierdo al derecho (x + y)φ = = = = =

cos(x + y) + i sen(x + y) (cos x cos y − sen x sen y) + i(sen x cos y − cos x sen y) (cos x cos y + i cos x sen y) + (i sen x cos y − sen x sen y) (cos x + i sen x)(cos y + i sen y) (xφ)(yφ)

Hallemos el n´ ucleo de φ : K = ker φ = {r ∈ IR|rφ = 1} = {r ∈ IR| cos r + i sen r = 1} = {r ∈ IR|r = 2kπ, k ∈ Z} = h2πi ∼ Del teorema anterior IR/ h2πi = C = IRφ, donde C es la circunferencia con centro en (0,0) y radio 1 en el plano complejo. por lo tanto φ es un homomorfismo.

74

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

Capitulo I

Cap´ıtulo II

Definiciones básicas Conjuntos y sus operaciones. Axiomas de n´ umeros reales Axioma de completes y aplicación Los N´ umeros enteros y operaciones Principio de buena ordenación Campos y Anillos de n´ umeros reales Operaciones binarias y grupos Propiedades de Grupos Grupos c´ıclicos subgrupos Isomorfismos de Grupos Productos directos Homomorfismo de de Grupos

Del 24/08/2007 al 30/08/2007

Del 6/09/2007 al 13/09/2007 Del 20/09/2007 al 27/09/2009 Del 22/11/2007 al 29/11/2007 Del 7/12/2007 al 14/12/2007 Del 03/01/2008 al 10/01/2008

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Bibliograf´ıa [1] Colque Taipe Felipe Climaco, (2004). Notas de Algebra Notas de clases no publicadas, Per´ u. [2] Hilton Peter, (2000). Curso de Algebra Moderna Editorial Reverte, Espa˜ na. [3] W. Keesee, (1999). Elementary Abstract Algebra D.C. Heath and Company. Boston.

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Notas de Algebra Abstracta

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