´ Apuntes de Algebra Lineal Carolina B. Becerra O. Agosto 2010
Cap´ıtulo 1 Vectores en Rn Definici´ on o n 1.1. 1.1. El conjunto de n tuplas ordenadas de n´ umeros umeros reales se n denota por R y a sus elementos se les llama vectores. Rn =
x1 .. .
v=
tal que x1 , . . . , xn
xn
∈ R
A x1 , . . . , xn se les llama componentes o coordenadas del vector v. Al vector cuyas componentes son todas 0 se le llama vector nulo y se denota por 0 .
−→
Definici´ on on 1.2. Vectores can´ onicos: onicos:
ei =
0 .. . 0 1 0 .. . 0
Definici´ on on 1.3. Dados u, v
←
i , para i = 1, . . . , n
n
la suma de u y v, denotada por u + v es el vector cuyas componentes son la suma de las respectivas componentes de u y v . Dado α R, la ponderaci´on on de u por el escalar α R es el vector cuyas componentes son el producto de α por las respectivas componentes de u. Es decir:
∈R
∈
Si u =
∈
x1 .. .
xn
,v =
y1 .. .
, entonces u + v =
yn
x1 + y1 .. .
xn + yn
3
, αu =
αx1 .. .
αxn
.
Proposici´ on 1.4. Sean u,v,w
anteriores satisfacen: u+v
n
∈R
y α, β
∈ R. Entonces las operaciones
n
∈R .
(u + v) + w = u + (v + w). u + v = v + u.
−→
u + 0 = u.
−→
u + ( u) = 0 .
−
αu
n
∈R .
α(u + v) = αu + αv. (α + β )u = αu + βu. α(βu) = (αβ )u. 1 u = u.
∈ R, u ∈ R y αu = 0, entonces α = 0 o u = 0. Definici´ on 1.6. Sean u, v ∈ R , el producto punto de u y v, denotado por u · v, es la suma de los respectivos productos entre coordenadas. Es decir x y .. .. Si u = , entonces u · v = x y + . . . + x y = ,v = xy. . . n
Observaci´ on 1.5. Si α
n
1
xn
1 1
yn
Proposici´ on 1.7. Sea u,v,w
satisface:
n
1
i i
i=1
∈R
· ∈ R. 0 = 0. u · u · v = v · u. u · (v + w) = u · v + u · w. α(u · v) = (αu) · v. u v
n n
n
yα
∈ R. Entonces el producto punto
· ≥ 0 y u · u = 0 ↔ u = 0.
u u
Ejemplo 1.8. ei e j =
·
1 0
si si
i=j para todo i, j = 1, . . . , n. i = j.
Definici´ on 1.9. Norma de un vector: Dado u =
x1 .. .
Rn ,
xn
n
u =
∈
xi 2 =
i=1
√ u · u.
Definici´ on 1.10. Vector unitario: vector que tiene norma 1. Definici´ on 1.11. Distancia entre vectores: d(u, v) = u
− v.
d(ei , e j ) =
ei = 1 para todo i = 1 . . . n. 0 si i = j para todo i, j = 1, . . . , n. 2 si i = j.
√
Ejemplo 1.12.
Proposici´ on 1.13. Sean α ∈ R y u, v ∈ R . Entonces αu = |α|u. u + v = u + v + 2u · v. |u · v| ≤ uv. u + v ≤ u + v. Definici´ on 1.14. Sean u, v ∈ R −{ 0}. El ´angulo θ entre dos vectores es tal u·v que: cos(θ) = uv . n
2
2
2
n
Ejemplo 1.15. θ(ei , e j ) =
0 π/2
si si
i=j para todo i, j = 1, . . . , n. i = j.
Definici´ on 1.16. Sean u Rn y b R. El hiperplano definido por u y b es H = x Rn : x u = b . Si b = 0, se dice que pasa por el origen.
{ ∈
·
}
∈
∈
Definici´ on 1.17. Sea
n
{v , . . . , v } ⊆ R . Una combinaci´on lineal de los m
1
vectores v1 , . . . , vm es el vector
α1 v1 + . . . + αm vm , donde αi
∈ R, para algunos α , . . . , α ∈ R. Definici´ on 1.18. Sea {v , . . . , v } ⊆ R . Una combinaci´ on lineal convexa m
1
n
m
1
de los vectores v1 , . . . , vm es α1 v1 + . . . + αmvm , tal que αi son reales no m
negativos y
αi = 1.
i=1
Definici´ on 1.19. Sea S
n
⊆ R . El conjunto generado por S , denotado por
< S > es el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S . Ejemplo 1.20. < e1 , . . . en >= Rn . Ejemplo 1.21. Recta en R2 . Ejemplo 1.22. Recta en R3 . Ejemplo 1.23. Recta en Rn . Ejemplo 1.24. Plano en R3 . Ejemplo 1.25. En R4 sea H = x R .
}
x
x
∈ H ↔ x =
∈ H ↔ x = x
1
{ ∈R
4
x1 x2 x3 x1 + x2
Por lo tanto H =<
1 0 0 1
− −
para x1 , x2 , x3
− 2x
∈ R.
3
0 1 0 1
+ x2
1 0 0 1
: x1 +x2 2x3 x4 = 0 tal que x1 , x2 , x3 , x4
,
0 1 0 1
+ x3
,
0 0 1 2
para x1 , x2 , x3
−
0 0 1 2
−
>.
Ejemplo 1.26. Combinaciones convexas en R2 y R3 .
∈ R.
∈
Proposici´ on 1.27. Sean S, S 1 , S 2
−→
< φ >=< 0 >=
−→0 ∈< S >.
{−→0 }.
n
⊆ R . Entonces
< S > es cerrado bajo la suma y multiplicaci´on por escalar. S < S >.
⊂ S ⊂ S →< S >⊂< S >. S ⊂< S >→< S >⊂< S >. 1
2
1
1
2
2
1
2
< S >=<< S >>. Teorema 1.28. Sea S = v1 , v2 , . . . , vm
{
n
} ⊆R .
Si v1 es combinaci´on lineal de v2 , . . . , vm , entonces < v 1 , v2 , . . . , vm >=< v 2 , . . . , vm > Definici´ on 1.29. Sea S = v1 , v2 , . . . , vm
{
n
} ⊆R .
S es linealmente dependiente (LD) si existen escalares α1 , . . . , αm no todos nulos tal que α1 v1 + . . . + αm vm = 0 . (se puede construir al vector cero de manera no trivial).
−→
S es linealmente independiente (LI) si no es LD, es decir si para cualquier combinaci´on lineal α1 v1 + . . . + αm vm = 0 , se tiene necesariamente que α1 = . . . = αm = 0. (la u ´ nica manera de construir al vector cero es la trivial).
−→
Observaci´ on 1.30. Si 0
n
∈ S ⊆ R , entonces S es LD. Proposici´ on 1.31. Sea S ⊆ R . Entonces n
S es LD si y s´olo si existe un vector de S que es combinaci´on lineal del resto de los vectores de S . S es LI si y s´olo si todo subconjunto de S es LI. Observaci´ on 1.32. Problema importante: Dado un conjunto S y un vector n b en R . ¿b < S >?.
∈
1.1.
Problemas
1. Sea v1 =
−→
1 3 2
3 1 1
, v2 =
1 2 0
, v3 =
. Determine si existen a,b,c tal
que 0 = av1 + bv2 + cv3 . 2. Sean v1 = u1 + 3u2 y v2 = u1 + u2 vectores en R3 . Demuestre que existen escalares a,b,c,d tal que u1 = av1 + bv2 y u2 = cv1 + dv2 .
−
3. Determine el vector u tal que la ecuaci´on de los siguientes hiperplanos sea x u = 0. Escr´ıbalos como conjuntos generados.
·
a ) x1 + 4x2
4
− 7x + x = 0 en R . b ) x + x − x = 0 en R . c ) 2x + 2x − 2x = 0 en R . d ) x + x − x − x = 0 en R . 4. Explique la diferencia entre {v , v } y < v , v 1
3
3
1
4
4
4
2
1
5
5
2
3
5
4
1
2
1
2
>.
5. Sean u1 , u2 , u3 , u4 vectores no nulos de Rn tal que u3 = 2u1 5u2 +u4 . Demuestre que
{
a ) u1
}
−
∈< u , u , u
>. b ) < u 1 , u2 , u3 , u4 >=< u 1 , u2 , u3 >=< u1 , u2 , u4 >=< u 1 , u3 , u4 >=< u2 , u3 , u4 > 2
3
4
Rn un conjunto L.I. Demuestre que el conjunto 6. Sea S = u1 , u2 , u3 u1 2u2 , u2 + 2u3 es un conjunto L.I.
{
}⊂ { − } 7. Sea S = {u , u , u } ⊂ R
n
un conjunto L.D. Demuestre que al menos uno de los vectores de S es combinaci´on lineal de los otros dos. 1
2
3
8. Demuestre que << v 1 , v2 >>=< v 1 , v2 >. 9. Demuestre que si S 1
⊂ S , entonces < S >⊂< S >. 10. Demuestre que si S ⊂< S >, entonces < S >⊂< S 1
2
1
2
2
1
2
>.
Cap´ıtulo 2 Sistema de ecuaciones Definici´ on 2.1. Una matriz es un arreglo ordenado de m vectores de Rn .
Notaci´on: A = [v1 v2 . . . vm ]. Se dice que A es una matriz de n m es el n´umero de columnas y n es el n´umero de filas. Si v j =
a1,j .. .
× m, donde
para j = 1, . . . , m, entonces A = (ai,j ), donde ai,j son los
an,j
coeficientes o entradas de la matriz. Definici´ on 2.2. Matriz nula es tal que todos sus coeficientes son 0. Definici´ on 2.3. Matriz cuadrada es tal que n = m. Definici´ on 2.4. Matriz identidad es una matriz cuadrada denotada por I
tal que I = [e1 . . . en ].
∈ x1 .. .
Definici´ on 2.5. Dada A = [v1 v2 . . . vm ] de n
×m y x= x producto de A por x es Ax = x v + x v + . . . + x v ∈ R . Proposici´ on 2.6. Sea A de n × m, x, y ∈ R y α ∈ R. Entonces 1 1
m m
2 2
m
A(x + y) = Ax + Ay. A(αx) = αAx. 0 = 0. A 9
n
m
Rm , el
Definici´ on 2.7. Un sistema de ecuaciones Ax = b es tal que A es una matriz de n m asociada al sistema, b Rn y x Rm . [A b] es la matriz ampliada
×
∈ ∈ del sistema. −→ −→ El sistema es homog´eneo si b = 0 y no homog´eneo si b = 0 . El sistema es consistente si tiene soluci´on e inconsistente si no tiene soluci´on.
Definici´ on 2.8. Una matriz se dice que est´a en la forma escalonada (F.E.)
si: 1. a1,1 = 0.
2. Si el pivote de la fila i est´a en la columna j, entonces el pivote de la fila i + 1 est´ a en la columna k, tal que j < k. (Pivote: primer elemento distinto de 0 de la fila). 3. Las filas nulas est´an al final de la matriz. Definici´ on 2.9. Una matriz se dice que est´a en la forma escalonada reducida
(F.E.R.) si: 1. Est´a es la F.E. 2. Todos los pivotes son iguales a 1. 3. Los vectores columna que contienen pivotes son can´onicos. Definici´ on 2.10. Dada una matriz, las operaciones fila son:
1. Tipo I : Intercambiar dos filas: F i
↔ F . j
2. Tipo II : Multiplicar una fila por un escalar no nulo: F i
→ λF . i
3. Tipo III : (pivotear) Sumar a una fila, un m´ultiplo escalar de otra: F i F i + λF j .
→
Observaci´ on 2.11. Para solucionar un sistema de ecuaciones se lleva la
matriz ampliada a su F.E. o a su F.E.R., usando operaciones fila, luego se reinterpreta el sistema y se resuelve recursivamente hacia arriba. Si el sistema es consistente, a las variables que quedan en posiciones no pivotes se les llama variables libres.
Teorema 2.12. Sea el sistema de ecuaciones Ax = b con A de n
la F.E.R. de la matriz M = [A b].
× m, y M
Para b = 0, el sistema
es inconsistente si y s´olo si M tiene una fila de la forma [0 . . . 0 c] con c = 0,
es consistente y tiene soluci´on u ´ nica si y s´olo si M tiene m pivotes, es consistente y tiene infinitas soluciones si y s´olo si M tiene menos de m pivotes (hay variables libres).
−→
−→
Para b = 0 el sistema es consistente ( 0 es soluci´on) y tiene soluci´on u ´ nica si y s´olo si F.E. de A tiene m pivotes, tiene infinitas soluciones si y s´olo si F.E. de A tiene menos de m pivotes (hay variables libres). Teorema 2.13. Sea el sistema Ax = b, u tal que Au = b y los conjuntos
0 . Entonces x C 1 = x : Ax = b y C 2 = y : Ay = x u C 2 .
{ − ∈
}
{
∈ C
}
Proposici´ on 2.14. Sea S = v1 , . . . , vm
1
si y s´o lo si
n
y A = [v1 . . . vm ]. S es L.I. si y s´olo si el sistema Ax = 0 tiene soluci´on u ´nica.
{
}⊂R
Observaci´ on 2.15. Sea S = v1 , . . . , vm
n
y A una matriz cuyas filas son los vectores del conjunto S . S es L.I. si y s´olo si la F.E. de la matriz A no tiene filas nulas.
{
}⊂R
Teorema 2.16. Sea v1 , . . . , vm un conjunto de vectores de Rn . Si m > n,
entonces v1 , . . . , vm es L.D. . . . vm ] y b Rn . Entonces b < v1 , . . . , vm > si y s´olo si el sistema Ax = b es consistente. Observaci´ on 2.17. Sea S = v1 , . . . , vm
∈
{
Observaci´ on 2.18. Sea A de n
n
} ⊂ R , A = [v
1
∈
n
× m y b , . . . b ∈ R , para resolver Ax = 1
r
b1 , Ax = b2 , . . . , A x = br se escalona una ´unica matriz [A b1 b2 . . . br ] y se interpreta la soluci´on para cada sistema por separado. Observaci´ on 2.19. Para buscar la intersecci´on de n hiperplanos, se resuelve
el sistema asociado a las n ecuaciones.
2.1.
Problemas
1. Sea A = [v1 v2 v3 v4 ] una matriz de 3
× 4. Determine A
suponiendo que v1 + v3 = v2 y v1 + v4 = v3
· 2 2 0 1
−
2. Encuentre la forma escalonada reducida de las matrices:
A=
C =
− 1 3 4 1
0 0 4 2 2 1 1
− − − 1 0 0 0
−2
2 0 0
1 1 3
1 2 3
B=
D=
− − − − − 2 2 0 1
1 0 2
2 0 2 1 1 1 3
0 4 1 1
0 2 1 0 1 2 4 0 3 0
−
−1 −1 −3 −1
− − 1 1 4
3. Determine la soluci´on general del sistema x1 + 3x3 = 2 2x1 + x2 + 3x3 = 1 x2 + 2x3 + 5x4 = 2. 4. Determine condiciones sobre a para que el siguiente sistema no tenga soluci´ on x1 + 2x3 = 3 2x1 + x2 + x3 = 4 x1 + ax3 = 1.
−
R7 y M = [v1 v2 v3 v4 ]. Si M (2e1 e3 + e4 ) = 5. Sea v1 , v2 , v3 , v4 0, ¿cu´al es el m´ınimo de filas nulas que tiene la F.E.R. de M ? Justifique.
{
}⊂
−
6. Determine la soluci´on general de los siguientes sistemas: a )
x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 0 x2 + x3 + x4 = 1 2x1 x2 3x3 x4 = 1.
− −
−
b)
x1 + x2 + x3 = 2x1 5x3 = 2x1 + x2 + 3x3 =
0 2 1.
− −
−
7. Resuelva los siguientes sistemas: (a)
x1 + 2x2 + x4 x2 x3 2x1 + 2x2 + x3 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4
= = = =
−
(c)
x1 + 2x2 2x1 x2 3x3 x1 + x2 + 2x3 x2 + x3
− (e)
− −
= = = =
8 2 11 11
1 0 0 0
(b)
−
(d)
(f )
x1 + x4 + x5 x2 x3 + x5 x1 + x3 + x5 2x1 + x2 + x4
(h)
−
1 0 2 0
x1 + x2 + x3 2x1 + x2 3x3 4x1 5x2 + 6x3 x1 7x2 + 3x3
− −
x1 + x3 + x4 = 2 x2 + x3 = 1 2x1 + x2 x3 + 2x4 = 1 = = = =
= = = =
− −
−
(g)
x1 + x3 x4 x1 3x3 + 3x4 2x1 + x2 + x4 x2 + 2x3 x4
−
0 0 0 0
= = = =
0 0 0 0
x1 + 2x2 = 5 x1 + x2 = 3 x1 + 2x2 + x3 = 4 x1 + x3 x2 x1 x2 x1
− −
= = = =
2 1 1 0
8. Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde a es una constante. x1 + x2 + x3 x1 + x2 + ax3 ax1 + ax2 + x3 x1 ax2 + ax3
−
= = = =
1 1 a 0
a ) Determine valores de a para los cuales el sistema es inconsistente. b ) Determine valores de a para los cuales el sistema es consistente, y
encuentre la soluci´on.
9. Determine condiciones sobre los n´umeros primos p y q tal que el sistema px1 + qx 3 px2 + qx 4 qx1 + px3 qx2 + px4
= = = =
q + 1/q q + 1/q p + 1/p p + 1/p
No tenga soluciones. Tenga infinitas soluciones, y encuentre el conjunto soluci´on. Tenga una u ´nica soluci´on, y encuentre la soluci´on.
• • •
−→
10. Determine un sistema de ecuaciones Ax = 0 tal que su conjunto solu-
ci´on sea: <
2 2 0 1
−
1 1 1 1
,
>
11. Determine un sistema de ecuaciones Ax = b tal que su conjunto soluci´on 3 1 1 0
sea:
−
+<
2 2 0 1
−
1 1 1 1
,
>
12. Sea a R. Estudie la consistencia del siguiente sistema. En los casos en que exista soluci´on, encu´entrelas.
∈
x1 + 2x2 x1 + 3x2 + x3 x1 + x2 + ax3 x1 + x2
= = = =
−
1 0 2 a
Soluci´ on:
1 1 1 1
−
∼
1 0 0 0
2 0 1 3 1 0 1 a 2 1 0 a 0 1 0 0
∼
−2 1 a−3 1
3 1 6 2
− a−
1 0 0 0
2 1 3 1
−
∼
0 1 a 0 a 1 0 0 0
1 1 3 1
− −
0 1 0 0 a
−
0 2a 0 1 1 a 3
−1 −a −2 6
Por lo tanto si a = 3, el sitema no tiene soluci´on. Si a = 3, entonces
∼
1 0 0 0
0 1 0 0
0 2a 1 0 1 a 1 a 2 0 a(5 a)
− − − −
Luego, si a = 0 y a = 5 el sistema no tiene soluci´on.
Si a = 0 la soluci´on es u´nica: x1 =
−1, x
2
Si a = 5 la soluci´on es u´nica: x1 = 9, x2 =
= 1 y x3 =
−4 y x
3
−2.
= 3.
13. Demuestre que si un sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas, entonces tiene una cantidad infinita de soluciones. Soluci´ on:
Sea u y v vectores distintos tales que solucionan el sistema Ax = b. Entonces basta tomar cualquier vector de la forma: x = u + α(u para cualquier α R y se tiene que:
∈
Ax = A(u + α(u
− v)
− v)) = Au + α(Au − Av) = b + α(b − b) = b.
14. Sean p, q R y Ax = b un sistema de ecuaciones tal que la forma escalonada reducida de [A b] es la matriz,
∈
|
1 0 0 1 0 0
−1
1 1 1 0 1 0 p q
Determine si existen valores de p y de q para que:
a ) el sistema no tenga soluci´ on, b ) el sistema tenga soluci´ on u ´nica y en tal caso encu´entrela, c ) el sistema tenga infinitas soluciones y en tal caso encu´entrelas, d ) b
∈ C (A),
e ) columnas de A sean L.I., f ) filas de A sean L.I.
Cap´ıtulo 3 Matrices Definici´ on 3.1. Sea A una matriz de n m n R R , dada por
→
Ejemplo 3.2. A =
× m, se define una funci´on T
:
A
T A (x) = Ax
1 0
−2
1 1 3
, entonces T A
1 2 3
0 11
=
.
Observaci´ on 3.3. El dominio de esta funci´on es Rm . La imagen de 0 n es 0 R .
∈
Proposici´ on 3.4. Sea A una matriz de n lineal pues para x, y Rm y α R
∈
∈
× m, la funci´on T
A
m
∈R
se dice que es
T A (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = T A (x) + T A (y), T A (αx) = A(αx) = αAx = αT A (x). Observaci´ on 3.5. En adelante la funci´ on T A se denotar´a por A. Definici´ on 3.6. M n,m (R) es el conjunto de todas las matrices de n
coeficientes reales. Definici´ on 3.7. Sean A = [v1 . . . vm ] , B = [u1 . . . um ]
× m con
α R. La operaciones suma y multiplicaci´ on por escalar de matrices se definen por A + B = [v1 + u1 . . . vm + um ] , αA = [αv1 . . . αvm ]. Observaci´ on 3.8.
−1 · A = −A. 17
n,m (R) y
∈ M
∈
Proposici´ on 3.9. Sean A,B,C
A+B
n,m (R)
∈ M
y α, β
∈ R. Entonces
n,m (R).
∈ M
(A + B) + C = A + (B + C ). A + B = B + A. A + 0 = A. A + ( A) = 0.
−
αA
n,m (R).
∈ M
α(A + B) = αA + αB. (α + β )A = αA + βA. α(βA) = (αβ )A. 1 A = A. Definici´ on 3.10. Sea A de n
× m y B de m × p, tal que B = [u . . . u ], el producto de A por B es la matriz A · B = [A · u . . . A · u ] de n × p. 1
p
p
1
Proposici´ on 3.11. Sean A,B,C matrices tal que las siguientes operaciones est´an bien definidas y α R. Entonces
∈
A(BC ) = (AB)C . α(AB) = (αA)B = A(αB). A(B + C ) = AB + AC . (A + B)C = AC + BC . IA = AI = A. 0A = A0 = 0. Observaci´ on 3.12. En general el producto de matrices no es conmutativo.
A=
0 1 0 0
,B=
1 0 0 0
y AB =
0 0 0 0
=
0 1 0 0
= BA.
Definici´ on 3.13. Sea A de n
t
es de m n y es la matriz que resulta de intercambiar las filas de A por las columnas de la A.
×
Ejemplo 3.14. Si A =
× m, la trasnpuesta de A denotada por A
0 2 4
1 3 1
, entonces At =
−
0 2 1 3
4 1
−
.
Proposici´ on 3.15. Sean A, B matrices tal que las siguientes operaciones est´an bien definidas y α R. Entonces
∈
(At )t = A. α(At ) = (αA)t . (A + B)t = At + B t . (AB)t = B t At . Definici´ on 3.16. Sea A = (ai,j ) de n
× n.
A es triangular superior si ai,j = 0 para todo i > j. A es triangular inferior si ai,j = 0 para todo i < j. A es diagonal si ai,j = 0 para todo i = j.
A es sim´etrica si A = At . A es antisim´etrica si A =
t
−A . Definici´ on 3.17. Sea A de n × m. −→ Ker(A) = {x ∈ R : Ax = 0 }. Es el conjunto de pre-im´agenes del m
vector cero. Es el conjunto soluci´on del sistema homog´eneo asociado a la matriz A. Es un subconjunto de Rm . Im(A) = b Rn : x Rm : Ax = b . Es el recorrido de la funci´on dada por la matriz A. Es el conjunto de todos los vectores b tal que el sistema Ax = b es consitente. Es el conjunto generado por las columnas de la matriz A. Es un subconjunto de Rn .
{ ∈
∃ ∈
}
C (A) es el conjunto generado por las columnas de la matriz A. Es el recorrido de la funci´on dada por la matriz A. Es el conjunto de todos los vectores b tal que el sistema Ax = b es consitente. Es un subconjunto de Rn . F (A) es el conjunto generado por las filas de la matriz A. Es un subconjunto de Rm . Observaci´ on 3.18. Im(A) = C (A) = F (At ). Teorema 3.19. Sea A de n
× m. Entonces
A es 1-1 (inyectiva) si y s´olo si Ker(A) =
{−→0 }.
A es sobreyectiva si y s´olo si Im(A) = Rn . Definici´ on 3.20. El rango de una matriz es el n´ umero de pivotes que tiene
la F.E.R. de la matriz. Teorema 3.21. Sea A de n
↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔
× m. Entonces
Filas de A son L.D. Existe una fila que es combinaci´on lineal del resto. f n = α1 f 1 + . . . + αn−1 f n−1 (sin perder generalidad) La FER de A tiene por lo menos una fila nula (haciendo las operaciones del tipo III necesarias). Filas de A son L.I. La F.E.R. de A tiene no tiene filas nulas. Todas las filas de la F.E.R. de A contienen pivotes. Rango de A es n. Columnas de A son L.I. En la F.E.R. de A todas las columnas son pivotes. Rango de A es m. A es 1-1 Ker(A) = 0 . ´nica. Ax = 0 tiene soluci´on u Columnas de A son L.I. Rango de A es m.
−→} { −→
↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔
A es sobre Im(A) = Rn . Ax = b es consistente para todo b Rn . Ax = ei es consistente para todo vector can´onico. La FER de [A e1 . . . en ] no tiene filas de la forma [0 . . . 0 u] con u un vector no nulo. Filas de A son L.I. Rango de A es n.
∈
Definici´ on 3.22. A de n m tiene inversa por la derecha si existe una matriz
B de m
×
× n tal que AB = I .
Teorema 3.23. Sea A una matriz de n
↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔
× m. Entonces
A tiene inversa por la derecha. Existe B tal que AB = I . Existen u1 , . . . , un tal que A[u1 . . . un ] = [e1 . . . en ]. Ax = ei es consistente para todo vector can´onico. A es sobre. Filas de A son L.I. Rango de A es n.
Observaci´ on 3.24. Para encontrar la inversa por la derecha de una matriz,
hay que escalonar la matriz [AI ] y resolviendo cada sistema se obtienen las columnas de la matriz B. Observaci´ on 3.25. Una matriz no cuadrada no puede tener inversa por la
izquierda y derecha al mismo tiempo. Lo que no significa que siempre tenga al menos una inversa, por ejemplo la siguiente matriz no tiene inversa por la derecha ni por la izquierda.
Definici´ on 3.26. A de n
B de n
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
× n es invertible o no singular si existe una matriz
× n tal que AB = I .
Observaci´ on 3.27. Sea A de n
× n. Si A tiene inversa por la derecha,
entonces su rango es n, luego tiene inversa por la izquierda y es la misma que por la derecha. Adem´a s es u ´ nica. La notaci´on para la inversa de A es A−1 .
Proposici´ on 3.28. Sean A y B de n
× n. Entonces n
´nica para todo b A es invertible si y s´olo si Ax = b tiene soluci´on u
∈R .
Si A es invertible, entonces (A−1 )−1 = A. A es invertible si y s´olo si At es invertible. En este caso (At )−1 = (A−1 )t . Si A es invertible y α = 0, entonces αA es invertible y (αA)−1 =
Si A es invertible, entonces para todo r (Ar )−1 = (A−1 )r = A−r .
r
∈ N, A
1 −1 A . α
es invertible y se tiene
Si A y B son invertibles, entonces AB es invertible y (AB)−1 = B −1 A−1 . Observaci´ on 3.29. Sean A1 , . . . , Ak matrices cuadradas e invertibles. En-
tonces (A1 . . . Ak )−1 = (Ak )−1 . . . (A1 )−1 .
· ·
· ·
Proposici´ on 3.30. Sean A,B,C,D matrices tal que las siguientes opera-
ciones est´an bien definidas. Entonces Si A es invertible y AB = AC , entonces B = C . Si A es invertible y BA = CA, entonces B = C . Si A es invertible y AB = BA, entonces BA −1 = A−1 B. Si A es invertible, puede ocurrir que A−1 BA = B.
Si A y B son invertibles, y ACB = D, entonces C = A−1 DB −1 . Observaci´ on 3.31. Una matriz diagonal es invertible si y s´olo si todos los
elementos de su diagonal son no nulos. Observaci´ on 3.32. Una matriz triangular superior (o inferior) es invertible
si y s´olo si todos los elementos de su diagonal son no nulos. Definici´ on 3.33. E I (E II , E II I ) es una matriz elemental del tipo I (II, III),
si es la matriz que resulta de hacer una operaci´on elemental del tipo I (II, III) a la matriz identidad. Se dice que la matriz E representa dicha operaci´on elemental.
Observaci´ on 3.34.
tipo matriz
operaci´on
I
E I
F i
↔ F
II
E II
F i
→ λF
III
EII I
F i
transpuesta
j
i
→ F + αF i
E I
F i
↔ F
E II
F i
→ λF
EI I I
j
Observaci´ on 3.35. Si A es de n
operaci´on
F j
inversa E I
j
F i
EI I
i
→ F + αF j
operaci´on
i
F i
EI I I
F i
Teorema 3.37. A de n
× m y B es la matriz de n × m que resulta
× m y B = F.E. de A, entonces E · . . . · k
× n es no singular si y s´olo si A se puede escribir
como producto de matrices elementales. Teorema 3.38. A de n
identidad
× n es no singular si y s´olo si F.E.R de A es la matriz
Teorema 3.39. Si A es de n
× m y U es una forma escalonada de A, tal que
U se obtiene sin necesidad de hacer operaciones del tipo I, entonces existe L triangular inferior invertible, tal que A = LU Definici´ on 3.40. Una matriz P es de permutaci´ on si es producto de matrices
elementales del tipo I. Teorema 3.41. Si A es de n
× m y U es una forma escalonada de A, tal
que U se obtiene con la necesidad de hacer operaciones del tipo I, entonces existe L triangular inferior invertible y P una matriz de permutaci´on tal que P A = LU Observaci´ on 3.42. Si A = LU , para resolver Ax = b se hace el cambio de
variable U x = y.
i
→ F − αF
E 2 E 1 A = B, donde E i son las matrices elementales que representan las operaciones elementales que llevan la matriz A en la matriz B.
·
j
→ 1/λF
de hacerle a A una operaci´on elemental, entonces EA = B, donde E es la matriz que representa dicha operaci´on elemental. Proposici´ on 3.36. Si A es de n
↔ F i
j
Observaci´ on 3.43. Si P A = LU , para resolver Ax = b se multiplica el
sistema por P y luego se hace el cambio de variable Ux = y. Definici´ on 3.44. Si A es de n n R, definida por q A : R
→
× n la forma cuadr´atica asociada a A es
q A (v) = v t Av
Observaci´ on 3.45. Si A es de n
× n, se tiene que
q A = q A = q t
La matriz sim´etrica B =
A+At
2
A + At , es la u ´ nica tal que 2 q A = q B
En adelante las matrices que definen a formas cuadr´aticas ser´an cuadradas y sim´etricas. Definici´ on 3.46. Dada A de n
× n, la submatriz principal A para k = 1, . . . , n es la matriz que resulta de eliminar la ´ultimas n − k filas y las u ´ltimas n − k columnas de A. Notar que A = A. Proposici´ on 3.47. Si A es de n×n y sus submatrices principales A , ··· , A k
n
1
n−1
son invertibles, entonces A admite la descomposici´on LU . Si L tiene s´olo unos en su diagonal, entonces L y U son u ´nicas. Teorema 3.48. Sea A = At . Si A = LU , entonces existe D diagonal tal que
A = LDLt . Definici´ on 3.49. Una matriz (o su forma cuadr´ atica asociada) se dice:
∀ −→ −→ negativa definida si ∀v = 0 , q (v) < 0. −→ semidefinida positiva si ∀v = 0 , q (v) ≥ 0. −→0 , q (v) ≤ 0. semidefinida negativa si ∀v = positiva definida si v = 0 , q A (v) > 0. A
A
A
Observaci´ on 3.50. Si D es diagonal, con elementos d1 , . . . , dn en su diago-
nal, entonces D (o q D ) es
positiva definida si di > 0, para todo i = 1, . . . , n. negativa definida si di < 0, para todo i = 1, . . . , n. semidefinida positiva si di
≥ 0, para todo i = 1, . . . , n.
semidefinida negativa si di
≤ 0, para todo i = 1, . . . , n.
Proposici´ on 3.51. Sea A = At . Si A es positiva definida, entonces
A es invertible. Ak es positiva definida, para todo k = 1, . . . , n. Ak es invertible, para todo k = 1, . . . , n. Teorema 3.52. Sea A = At . A es positiva definida si y s´ olo si existe L
triangular inferior invertible con unos en su diagonal, y D diagonal, con elementos en la diagonal positivos, tal que A = LDLt . Observaci´ on 3.53. En el teorema anterior se define a
√ D como la matriz
diagonal, que en su diagonal tiene las ra´ıces positivas de los elementos de la diagonal de D. Entonces
√ √
A = L D DLt = Rt R que es llamada la descomposici´on con ra´ız cuadrada de una matriz positiva definida.
Ejemplo 3.54. Sea A =
3 3 3 3 5 5 3 5 11
. Entonces
A =
=
=
=
3.1.
1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1
3 3 3 0 2 2 0 0 6
= LU
3 0 0 0 2 0 0 0 6
√ 3
√ 3
√ 3 √ 3 √ 3 √ 2 √ 2 0 √ 6 0 0
√
√ 3 0 0 √ 3 √ 2 0 √ 3 √ 2 √ 6
0 2 0
0 0
1 1 1 0 1 1 0 0 1
0 0 6
√
0 0
= LDLt 0 2 0
√
0 0 6
√
1 1 1 0 1 1 0 0 1
√ √
= L D DLt
= Rt R
Problemas
1. Determine A = (aij ) de tama˜no a ) (5
× 6) tal que a b ) (3 × 4) tal que a c ) (4 × 4) tal que a d ) (4 × 3) tal que a e ) (2 × 3) tal que a f ) (3 × 3) tal que a 2. Sean v1 , v2 , v3 que A
ij ij ij
= min i, j
{ } = max{i, j } = 2i − j
ij
= 2i + j
ij
= i2
ij
i2 = j
2
∈ R , A = [v
1
· − − − · − 1 0 1
Calcule A
1 0 1
= B. 1 1 1
1 2 1
.
− j
2
si i = j si i = j
v2 v3 ] de 2
× 3 y B = [v
2
2v2 ] de 2
× 2 tal
3. Sea A = (aij ) una matriz cuadrada de tama˜no 3 aij =
1 si i + 1 = j 0 si i + 1 = j
Pruebe que A3 = 0 y A2 = 0.
4. Considere las siguientes matrices:
A=
C =
1 0 1 3 0 0 4 4 0 2 1 1
−2 0 0
−
−2 1 2
1 1 3
−
B=
D=
−2
2 4 2 0 2 1 0
− 1 0 2
Determine: a ) AB b ) 5A + 3D c ) B t + D d ) C 2 e ) 2A
−D
f ) BC D
5. Sea A =
− − 2 1 1
0 1 1
yB=
a ) Calcule A(At A)−1 At . b ) Calcule B(B t B)−1 B t .
1 1 1
− − −
1 1 4 0 3 0
− −
.
0 1 3 1
1 1 4
− −
× 3 donde
c ) Demuestre que A(At A)−1 At + B(B t B)−1 B t = I .
6. Sea A una matriz de n m con columnas L.I. Demuestre que si P = A(At A)−1 At , entonces P 2 = P y P = P t .
×
7. Sea A una matriz de 3
A
× 3 tal que
1 0 1
=
1 1 1
, A
− −
1 2 4
=
1 0 1
, A
−1 1 1
=
2 1 1
Calcule A−1 . 8. Sea B una matriz cuadrada tal que B 3 B −1 en funci´on de B. 9. Calcule An para todo n a ) A =
b) A =
c ) A =
∈ N si
1 1 . 0 1
1 1 0 0 1 1 0 0 1
.
1 1 1 0 1 1 0 0 1
.
10. Encuentre todas las matrices (2 a ) b)
2
− B − 5B + 5I = 0. Escriba
1 0 . 0 3 1 1 . 1 0
× 2) que conmutan con
11. Sea A = (aij ) una matriz cuadrada de tama˜no 5 aij =
× 5 donde
1 si i + 1 = j 0 si i + 1 = j
Pruebe que A5 = I y A4 = 0.
12. Si A es una matriz antisim´etrica, demuestre que A2 es sim´etrica. 13. Demuestre que para toda A y la matriz
(A
t
∈
(A + At ) es sim´etrica M n (R), la matriz 2
− A ) es antisim´etrica. 2
14. Demuestre que el producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior). 15. Calcule las inversas por la izquierda y derecha (cuando sea posible), Ker, Im, espacio de columnas y espacio fila de: A=
C =
16. Sea A = 0.
1 0 1 3 0 0 4 4 0 2 1 1
−
−2 0 0
−2 1 2
1 1 3
−
B=
D=
−2
2 4 2 0 2 1 0
− 1 0 2
− − −
1 1 4 0 3 0
− −
0 1 3 1
1 1 4
− −
a b . Demuestre que A es no singular si y s´olo si ad bc = c d
−
17. Demuestre que si una matriz cuadrada tiene una fila de ceros entonces no es invertible. 18. Demuestre que si una matriz cuadrada tiene una columna de ceros entonces no es invertible. 19. Demuestre que si A es una matriz cuadrada tal que A2 = 0, entonces I A es invertible.
−
20. Demuestre que si A es una matriz cuadrada tal que A3 = 0, entonces I A es invertible.
−
21. Demuestre que el producto de matrices triangulares inferiores (superiores) con 1 s en su diagonal es triangular inferior (superior) con 1 s en su diagonal. 22. Sea A
∈ M (R). Se dice que n
A es involutiva si A2 = I n , A es idempotente si A2 = A y A es ortogonal si AAt = I n . Demuestre o de un contraejemplo:
• • •
a ) Si A es involutiva y ortogonal, entonces A es sim´etrica. b ) Si A es sim´etrica e involutiva, entonces A es ortogonal. c ) Si A es sim´etrica y ortogonal, entonces A es involutiva. d ) Si A es idempotente, entonces A es involutiva.
23. Escriba las siguientes matrices como producto de matrices elementales A=
C =
1 3 4 2
0 0 1 1 2
−1 1
1 1 0 0
−2 0 0
−2 1 2 2
1
−1 3
B=
D=
−2
2 4 2 0 2
1 0 2 2
− − −
1 4 3 3
0 1 3
− − 1 0 0 0
1 1 1 1
− −
24. Escriba una matriz que no tenga inversa por la derecha ni por la izquierda. 25. Demuestre que si A tiene inversa por la derecha, entonces At tiene inversa por la izquierda. 26. Caracterice a las transpuesta e inversa de una matriz elemental del tipo I (II, III). 27. Sea A una matriz 1-1 de n m. Demuestre que si v1 , . . . , vr es L.I., entonces Av1 , . . . , A vr es L.I.
{
}
×
{
}
28. Sea A = [v1 v2 v3 ] una matriz de n
× 3. Demuestre que:
Si la forma escalonada reducida de At A es
1 0 0 0 1 0 0 0 0
entonces v1 , v2 , v3 es L.D.
{
}
29. Sea A = [v1 v2 v3 v4 v5 v6 ] una matriz de 4 escalonada reducida es
1 a 0 0 0 0 0 0
−1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0
−1 −1 −1 0
× 6, tal que su forma
con a
∈R
a ) Determine un conjunto generador de vectores L.I. para C (A). b ) Determine el Ker(A). c ) Determine si v1 , v2 , v4 es L.I. o L.D.
{
30. Sea A de 3
}
× 4 tal que existen v , v , v ∈ R 1
Av1 =
1 1 0
2
, Av2 =
3
0 1 2
4
tales que
, Av3 =
1 1 1
−
a ) Demuestre que el sistema Ax = b es consistente para todo b b ) Determine un vector x
∈R
4
tal que Ax =
1 2 3
31. Determine la descomposici´ on palu de las siguientes matrices: A=
C =
− −
1 3 1 1
0 0 2 2
1 0 1 0
1 1 1
−2
0 0
− − −2
1 2 3
1 1 3
B=
D=
− − − − − 1 2 0 1
1 0 2
2 0 2 1 1 1 3
0 0 3 2 1 1 0
−
1 2 4 0 3 0
−1 −1 3 −1
− − 1 1 4
3
∈R
32. Use PA=LU para resolver el siguiente sistema de ecuaciones x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 2x1 + 3x2 + 4x3 + 3x4 3x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4
= 10 = 2 = 2 = 10
33. Use palu para determinar la primera fila de A−1 . A =
1 2 0 1 3 2
−
1 1 1
34. Sea A de n m tal que admite la factorizaci´on A = LU . Demuestre que si U tiene inversa por la izquierda, entonces A tiene inversa por la izquierda.
×
35. Suponga que U se obtiene de hacer en A el intercambio de la fila 1 con la 2 y luego restar la fila 2 a la fila 3. Use P A = LU para resolver el sistema Ax = b donde: U =
1 0 0 1 0 0
2 1 1 1 1 0
−
b=
1 0 0
36. Use Cholesky para clasificar las siguientes formas cuadr´ aticas y expr´eselas como una suma ponderada de cuadrados. x2
− 2xy + 2xz + 4yz + 2y
2
+ 15z 2 .
x2 + 4xy + 2xz + 4yz + y 2 + z 2 . 37. Sea A =
1 1 1 0 1 a
,a
t
∈ R. Demuestre que AA
es positiva definida.
38. Encuentre la factorizaci´on de Cholesky de la matriz A=
39. Sea A de 2
× 3 tal que A
1 1 0 1 2 0 0 0 5
1 0 1
=
1 1
−
yA
1 1 0
=
1 2
a ) Demuestre que el sistema Ax =
a
∈ R.
1 a
es consistente para todo
Soluci´ on:
Primero se observa que:
A y2
− 1 0 1
y1
1 1 0
+ y2
1 0 1
= y1 A
+y2 A
1 1 0
= y1
1 + 1
1 2
Por lo tanto se resuelve:
− ∼ ∼ 1 1
y1
+ y2
1 1 1 1 2 a
−
1 2
1 a
=
2
Entonces basta tomar y1 = y se tiene que: 1 2 a 0 A 3 1
−
1 1
1 1 1 0 3 a+1
a+1 + 3
0 1
− a, y 3
2
=
1 a+1 3
a+1 . 3
∼
1 0 0 1
1 1 0
=
1 a
b ) Demuestre que A tiene inversa por la derecha. Soluci´ on:
Usando la primera parte de la pregunta se tiene que: existe u tal que Au =
1 0
y existe v tal que Av =
0 1
2
−a
3 a+1 3
por lo tanto: Ax = e j tiene soluci´on para j = 1, 2 entonces A es sobre, luego A tiene inversa por la derecha.
40. Sea A =
1 2 3
1 1 1
−
−1
1 0 1 1 3
.
a ) Calcule el Ker(A) y la Im(A). Soluci´ on:
A
∼
1 0 0
1 1 4
− −
−1 2 4
1 1 0
−
∼
∼ 1 0 0 1 0 0
1 0 2 1 4 4
− −
−1 1 1 1
Entonces se tiene que Ker(A) =<
y se tiene que Im(A) =<
1 2 3
,
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 1
1 1 1
− −
>
,
−
−1 0 1
>
b ) Decida (justificadamente) si A es inyectiva y/o sobre. Soluci´ on:
Dado que el rango de A es 3 que es el mismo que el n´umero de filas de la matriz, se tiene que A es sobre. Dado que el rango de A es 3 que es el mayor que el n´umero de columnas de la matriz, se tiene que A no es inyectiva. c ) [2 p] Decida (justificadamente) si A tiene inversa por la izquierda
y/o derecha. Si existe alguna, encu´entrela.
Soluci´ on:
Dado que A no es inyectiva, entonces A no puede tener inversa por la izquierda. Dado que A es sobre, entonces A tiene inversa por la derecha:
1 2 3
1 1 1
−1
−
1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 3 0 0 1
∼
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 1
1/4 1/2 5/4
− − − −
−1 3 2
1/4 1/2 1/4
− −
Por lo tanto las inversas por la derecha de A son de la forma:
1/4 α 1/2 + α 5/4 + α α
− −
41. Sea A de 3
−
−1 − β
1/4 γ 1/2 + γ 1/4 + γ γ
3 + β 2 + β β
− −
−
para α , β , γ R
∈
× 4 tal que la F.E.R. de [A | I ] es 1 0 −1 0 1 2 3 0 1 2 0 0 1 −1
Sin calcular A ni At :
0 0
0 1 2 1
1
a ) Determine el Ker(A). b ) Determine el Ker(At ). c ) Determine si A tiene inversas por la derecha y/o izquierda. Si
existen encu´entrelas. d ) Determine la soluci´ on general de At x =
42.
a ) Sea A una matriz 1
0 0 0 1
.
− 1 de n × 3. Demuestre que la imagen por A
del hiperplano x2 = 0 es un conjunto generado por dos vectores L.I.
b ) ¿Existe una matriz de 2
× 3 tal que la suma de cada fila y ca-
da columna sea 1? (Construya un sistema de ecuaciones y luego decida si es consistente). 43. Sea A una matriz de 3 2. Demuestre que si At A es invertible, entonces A es inyectiva.
×
Soluci´ on:
Dado que At A es invertible, se tiene que existe B de 2 BA t A = I .
× 2 tal que
Asociando, se tiene que BA t es una inversa por la izquierda de A. Por lo tanto las columnas de A son LI y se tiene que A es inyectiva.
44. Sean A y B matrices de 2 3 y E una matriz elemental tal que AE = B. Demuestre que Im(A) = Im(B).
×
Soluci´ on:
Sea b
∈ Im(B), entonces Bx = b tiene soluci´on, reemplazando:
AEx = b tiene soluci´on, entonces Ay = b tiene soluci´on, luego b Im(A).
∈
Dado que E es invertible, se tiene que A = BE −1 . Sea b
∈ Im(A), entonces Ax = b tiene soluci´on, reemplazando:
BE −1 x = b tiene soluci´on, entonces By = b tiene soluci´on, luego b Im(B).
∈
45. Escriba la matriz
0 0 1 0 1 2 1 2 0
como producto de matrices elementales.
Soluci´ on:
0 0 1 0 1 2 1 2 0
∼
∼
1 2 0 0 1 2 0 0 1
1 2 0 0 1 0 0 0 1
∼
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Entonces existen tres matrices elementales tales que E 3 E 2 E 1 A = I , entonces A = E 1 −1 E 2 −1 E 3 −1 .
·
A=
46. Sea A =
1 1 1 1
2 3 4 5
0 4 5 6
· · ·
·
0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 6 7
·
1 0 0 0 1 2 0 0 1
·
1 2 0 0 1 0 0 0 1
.
on A = LU de la matriz A. a ) Calcule la descomposici´ Soluci´ on:
A = LU =
1 1 1 1
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
·
1 0 0 0
2 1 0 0
0 4 3 0
−
0 0 6 5
−
b ) Use la descomposici´ on anterior para determinar la suma de la
primera y cuarta columna de la inversa de A. Soluci´ on:
Primera forma: Se resuelve Ax = e1 es decir LUx = e1 , con el cambio U x = y.
Al resolver Ly = e1 queda y = (1, 1, 1, 0)t .
−
Al resolver U x = y queda x = (1/3, 1/3, 1/3, 0)t .
−
Se resuelve Ax = e4 , es decir LU x = e4 , con el cambio U x = y. Al resolver Ly = e4 queda y = (0, 0, 0, 1)t . Al resolver U x = y queda x = ( 16/5, 8/5, 2/5, 1/5)t .
−
−
−
Sumando ambos vectores queda que la suma de la primera y cuarta columna de la inversa de A es ( 43/15, 29/15, 11/15, 1/5)t .
−
−
−
Segunda forma: Se resuelve Ax = e1 + e4 , es decir LUx = e1 + e4 , con el cambio Ux = y. Al resolver Ly = e1 + e4 queda y = (1, 1, 1, 1)t .
−
Al resolver U x = y queda x = ( 43/15, 29/15, 11/15, 1/5)t .
−
−
−
47. Sea A una matriz de 4 3 tal que admite la descomposici´on P A = LU . Demuestre que A tiene inversa por la izquierda si y s´olo si U tiene inversa por la izquierda.
×
Soluci´ on:
( )
→
Si A tiene inversa por la izquierda, entonces existe X tal que XA = I . Dado que se tiene P A = LU , como P es invertible, pues es matriz de permutaci´ on, se tiene A = P −1 LU , entonces XA = XP −1 LU .
Luego I = XP −1 LU , por lo tanto XP −1 L es una inversa por la izquierda de U . ( )
←
Si U tiene inversa por la izquierda, entonces existe Y tal que Y U = I . Dado que se tiene P A = LU , como L es invertible, se tiene L−1 P A = U , entonces Y L−1 P A = Y U . Luego Y L−1 P A = I , por lo tanto Y L−1 P es una inversa por la izquierda de A. 48. Sea A sim´etrica positiva definida. Demuestre que A + I es sim´etrica positiva definida. Soluci´ on:
A + I es sim´etrica pues (A + I )t = At + I t = A + I . A + I es positiva definida pues:
−→
dado x = 0 , xt (A + I )x = xt Ax + xt x El primer sumando es positivo pues A es positiva definida. El segundo sumando es positivo pues es la norma al cuadrado del vector x. Por lo tanto xt (A + I )x = xt Ax + xt x > 0 49. Clasifique la forma cuadr´ atica q (x,y,z ) = 2x2 + 5y2 + 3z 2
− 2xy − 4xz − 2yz
Mediante un cambio de variables adecuado, expr´esela como una suma ponderada de cuadrados. Soluci´ on:
La matriz asociada a la forma cuadr´atica q es A = Entonces A = LU =
1 1/2 1
−
0 0 1 0 4/9 1
− −
2 1 2 0 9/2 2 0 0 1/9
− − −
2 1 2
−1 −2 − 5 −1 − −1 3
.
.
Usando Cholesky LDLt =
1 1/2 1
−
0 0 1 0 4/9 1
− −
2 0 0 0 9/2 0 0 0 1/9
1 0 0
−1/2 1 0
−1
−4/9 1
.
Dado que 2, 9/2, 1/9 son positivos, entonces q es positiva definida. (Otra manera equivalente de clasificar q es calcular los determinantes de las submatrices principales: A1 = 2, A2 = 9, A3 = 1. Como todos son positivos, entonces la forma cuadr´atica es positiva definida.)
| |
| |
| |
Entonces q (x,y,z ) = 2(x
− y/2 − z )
2
+ 9/2(y
− 4/9z )
2
+ 1/9(z )2 .
Cap´ıtulo 4 Determinantes Definici´ on 4.1. Determinante es una funci´ on: Det : M n (R)
→ R tal que:
|I | = 1 Si E I A = B
→ −|A| = |B| Si E A = B → λ|A| = |B | Si E A = B → |A| = |B | Observaci´ on 4.2. |E | = −1, |E | = λ, |E | = 1 II
II I
I
Observaci´ on 4.3. Si A =
II
II I
a b , entonces A = ad c d
| |
− bc
Definici´ on 4.4. Menor i, j de una matriz A es el determinante de la matriz
que resulta de eliminar de A la fila i y la columna j. Notaci´on: M i,j = Definici´ on 4.5. Cofactor i, j de una matriz A es C i,j = ( 1)i+ j M i,j
−
Teorema 4.6. A = ai,1 C i,1 + . . . + ai,n C i,n para todo i = 1, . . . , n
| |
Proposici´ on 4.7. Sea A una matriz de cuadrada. Entonces
Si A tiene dos filas iguales, entonces A = 0.
| |
Si A tiene una fila nula, entonces A = 0.
| |
41
Si A es triangular o diagonal, entonces A = Πai,i .
| |
Teorema 4.8. Sea A una matriz de cuadrada. Entonces A es invertible si y
s´olo si A = 0.
| |
Teorema 4.9. Sean A y B matrices cuadradas. Entonces AB = A B .
| | | || |
Proposici´ on 4.10. Sea A una matriz de cuadrada. Entonces t
|A | = |A| Si A es invertible, entonces A−1 = 1/ A
| |
| |
Proposici´ on 4.11. La funci´ on determinante es lineal en las filas y en las
columnas. Proposici´ on 4.12. Sea A una matriz de cuadrada. Entonces
Si P A = LU , entonces ( 1)k A = Πui,i
− | | Si A = LDL , entonces |A| = Πd t
i,i
Definici´ on 4.13. Sea A una matriz de cuadrada. La adjunta de A: Adj(A) =
(ci,j )t . Teorema 4.14. Sea A una matriz de cuadrada. Entonces A
Adj(A) A = A I
·
| |
· Adj(A)
=
Proposici´ on 4.15. Sea A una matriz de cuadrada. Si A es invertible, en-
tonces A−1 = 1/ A Adj(A)
| |
4.1.
Problemas
1. Sea A M 4 (R) tal que A = 5, encuentre 2A , 4A , 2k A , A5 , A−1 , A A−1 , A−3 , A A
∈ | | | | | | | | | | |− A|, | | || | | | | || | | 2. Sean v , v , v , v ∈ R , encuentre el |A| si − v − v v − v v + v + 2v ] ∈ M (R) A = [v − v + v 3. Sea A de 5 × 5 tal que Det(A − I ) = 0. Demuestre que existe v ∈ R tal que Av = v. 1
1
2
3
3
4
4
4
2
3
5
3
1
1
2
4
4
4. Sea A de 4 4 tal que existen v1 , v2 , v3 , v4 dientes tales que
×
Av1 Av2 Av3 Av4
∈R
4
linealmente indepen-
= v1 + 2v2 + 3v3 + 4v4 = v1 + 2v2 + 3v3 = v1 + 2v2 = v1
Demuestre que Det(A) es un n´umero natural m´ultiplo de 4. 5. D´e un ejemplo de matrices tal que A + B = A + B .
|
|| | | |
6. Sea A = [v1 v2 . . . vn−1 vn ] y B = [vn vn−1 . . . v2 v1 ]t . Encuentre una relaci´on entre A y B
| | | |
7. Sea A
∈ M (R) tal que Ae 3
2
= 8e2 . Demuestre que A
| − 8I | = 0
8. Usando determinantes, determine matrices sean invertibles 2 1 0 k k 1 2 k 0 (a) (b) 0 2 k 1 0 1 k 1 2 0
el valor de k tal que las siguientes 1 k k 1 k 0
9. Resuelva la ecuaci´on Det(A) = 0, con
A=
1 1 x 2 2 2 3 x 3
10. Calcule la inversa de las siguientes matrices mediante la matriz adjunta
(a)
1 1 1 2 3 4 5 6 7
11. Sea Aα =
−
(b)
1 0 3 1 2 0 0 2 3
cos α sin α . Demuestre que sin α cos α
a ) A2α = A2α . b ) Aα Aβ = Aαβ .
12. Demuestre que Det
x+1 0 x+2 0 x+3 0 x+5 0 x+6 0 x+7 0
0 x+4 0 x+8
no depende de x.
13. Sea p un n´ umero primo. Determine condiciones sobre n Det(A) = 0, con
A=
14. Sea a
0 p+1 0 p p+2 0 p+3 0 p+4 0 0 p+6 0 p + 5 p+7 0 p+8 0 p+9 0 0 p + 11 0 5n + 12 p + 10
∈ N tal que
∈ R, calcule el determinante de la siguiente matriz de n × n
a 1 1 1 a 1 1 1 a .. .
· ·· · ·· · ··
1 1
· ·· · ··
1 1
..
1 1
1 1 1
.
1 1 1 .. .
a 1 1 a
Soluci´ on:
Si a = 1, quedan todas las filas iguales y entonces el determinante es 0. Haciendo las operaciones: F i
=
a
−1 1−a 0 ·· · 0 a − 1 1 − a ·· · 0 0 a − 1 ·· · .. . 0 1
..
0 1
0 1
i+1 ,
→ F − F i
0 0 0
0 0 0 .. .
.
·· · ·· ·
a
−1 1
1
−a a
.
para i = 1, . . . , n
− 1 queda:
Haciendo las operaciones: F i queda:
= (a
n−1
− 1)
1 0 0 .. .
−1
0 1
0 1
1 0
0 1 1
· ·· − · ·· · ·· ..
0 1
= (a
n−1
− 1)
−1
0 0
0 0
1 0
· ·· · ··
0 1 1
· ·· − · ·· · ·· ..
0 0
i
0 0 0
0 0 0 .. .
1 1
−1
.
Haciendo las operaciones: F n 1 0 0 .. .
→ (1/(a − 1))F , para i = 1, . . . , n − 1
a
.
→ F − F , . . ., F → F − F n
0 0 0
0 0 0 .. .
.
· ·· · ··
n
1
1 0 a+n
−1 −1
n
n−1
queda:
.
Queda una matriz diagonal, entonces el determinante pedido es: (a
− 1)
n−1
(a + n
− 1).
15. Sean v1 , v2 , v3 vectores linealmente independientes de R3 y A matriz de 3 3, tal que: Av1 = v2 , Av2 = v3 y Av3 = v1 . Demuestre que Adj(A) = A−1 .
×
Soluci´ on:
Matricialmente se tiene: A [v1 v2 v3 ] = [v2 v3 v1 ].
·
Tomando determinantes queda A [v1 v2 v3 ] = A [v2 v3 v1 ] .
|
|
| ·
|
| | · |[v
1
v2 v3 ] =
|
Dado que [v2 v3 v1 ] =
| −|[v
|
se tiene que A
| | · |[v
1
3
v2 v1 ] = [v1 v2 v3 ] ,
| |
|
v2 v3 ] = [v1 v2 v3 ] .
| |
|
Pero v1 , v2 , v3 es LI, entonces la matriz [v [ v1 v2 v3 ] es invertible, por lo tanto su determinantes es distinto de 0. Luego A = 1.
| |
Dado que A Adj(A Adj(A) = 1 I , entonces Adj(A Adj(A) = A−1 .
·
·
16. Use el m´etodo etodo de Cramer Cramer para encontrar encontrar la intersec intersecci´ ci´on o n de los siguientes hiperplanos: 2x 2x1 + x2 = 4, x2 + 2x 2x3 = 0 y x1 + 2x 2x2 = 5 Soluci´ on on:
El sistema queda: Ax = b, con A =
|A| = −6. Entonces: x1 =
x2 =
x3 =
4 1 0 0 1 2 5 2 0 2 4 0 0 0 2 1 5 0 2 1 4 0 1 0 1 2 5
− − − /
6=
−6/ − 6 = 1
/
6=
−12/ 12/ − 6 = 2
/
6 = 6/
− 6 = −1
2 1 0 0 1 2 1 2 0
yb=
4 0 5
.
Cap´ıtulo 5 Espacios vectoriales Definici´ on on 5.1. Cuerpo o campo K, +, conjunto tal que con las operaciones
·
suma y multiplicaci´on on cumple: cumple: + es cerrada: α, β
∈ K α + β ∈ K + es asociativa: ∀α , β , γ ∈ K (α + β ) + γ = α + (β (β + + γ ) + es conmutativa: ∀α, β ∈ K α + β = β + β + α Existe un neutro para la +: ∃0∀α : 0 + α = α + 0 = α Existe un inverso para la +: ∀α∃β : α + β = β + β + α = 0 · es cerrada: ∀α, β ∈ K α · β ∈ K · es asociativa: ∀α , β , γ ∈ K (α · β ) · γ = α · (β · γ ) · es conmutativa: ∀α, β ∈ K α · β = β · α Existe un neutro para la ·: ∃1∀α : 1 · α = α · 1 = α Existe un inverso para la ·: ∀α = 0∃β : α · β = β · α = 1 ∀α , β , γ ∈ K α · (β + β + γ ) = α · β + β + α · γ ∀
Ejemplo 5.2. Q, R, C, Z p Definici´ on on 5.3. 5.3. Un conjunto no vac´ vac´ıo V es un espacio vectorial sobre el
cuerpo K si existen dos operaciones: suma y multiplicaci´on on por escalar tal que: 47
+ es cerrada: u, v
∈ V u + v ∈ V + es asociativa: ∀u,v,w ∈ V (u + v ) + w = u + (v (v + w) + es conmutativa: ∀u, v ∈ V u + v = v + u −→ −→ −→ Existe un neutro para la +: ∃ 0 ∀u : 0 + u = u + 0 = u −→ Existe un inverso para la +: ∀u∃(−u) : u + (−u) = (−u) + u = 0 · es cerrada: ∀u ∈ V, α ∈ K α · u ∈ V ∀u, v ∈ V, α ∈ K α · (u + v) = α · u + α · v ∀u ∈ V,α,β ∈ K (α + β ) · u = α · u + β · u ∀u ∈ V,α,β ∈ K (αβ ) · u = α · (βu) βu ) ∀u ∈ V 1 · u = u ∀
A los elementos de V se les llama vectores. Ejemplo 5.4. Algunos espacios vectoriales: Rn sobre R.
P n (R) sobre R. M n,m n,m (R) sobre R. C [a, b] sobre R. M n,m n,m (Z p ) sobre Z p . Proposici´ on on 5.5. Si V es un espacio vectorial sobre K , entonces
−→0 es unico. u ´ nico. −(u + v) = (−u) + (−v). u ´nico. −u es unico. 0 = 0. α · 0 · u = 0.
Definici´ on 5.6. Una combinaci´ on lineal de vectores v1 , . . . , vm es un vector
de la forma α1 v1 + . . . + αmvm . Ejemplo 5.7. En C [0, π], 1 sen2 +1 cos2 = 1.
·
Definici´ on 5.8. Sea S = v1 , . . . , vm
{
· }.
S es linealmente independiente si la ´unica manera de construir al vector cero es la trivial:
−→ → α
α1 v1 + . . . + αmvm = 0
1
= . . . = αm = 0
S es linealmente dependinete si es posible construir al vector cero de manera no trivial:
∃α , . . . α
m
1
−→
no todos nulos, tal que α1 v1 + . . . + αm vm = 0
Observaci´ on 5.9. Sea S = v1 , . . . , vm . Entonces
{
}
S es LI si y s´olo si todo subconjunto de S es LI. S es LD si y s´olo si todo conjunto que contiene a S es LD. Teorema 5.10. Sea S = v1 , . . . , vm . S es LD si y s´ olo si existe v
{
}
es combinaci´on lineal del resto de los vectores de S . Definici´ on 5.11. Sea S =
∈ S que
{v , . . . , v }. El conjunto generado por S es < S >=< v , . . . , v >= {α v + . . . + α v , tal que α , . . . , α ∈ R} Observaci´ on 5.12. { 0}es L.D. m
1
m
1
m m
1 1
1
m
Observaci´ on 5.13. Sean S 1 y S 2 conjuntos de vectores de un espacio vec-
torial V . Si S 1
⊂ S , entonces < S >⊂< S > Si S ⊂< S >, entonces < S >⊂< S > Proposici´ on 5.14. Sea S = {v , . . . , v }. v es combinaci´ on lineal de vectores de S ↔ < S >=< S − {v } > Proposici´ on 5.15. Sea S = {v , . . . , v }. Si S es LI y v ∈< S >, entonces 1
2
1
2
2
1
1
2
m
j
j
1
m
v se escribe de manera ´unica como combinaci´on lineal de los vectores de S .
Definici´ on 5.16. Sea V un espacio vectorial sobre K y U
⊆ V . U es un
subespacio de V si es distinto del vac´ıo y con las operaciones heredadas de V es un espacio vectorial. Notaci´on: U V
Proposici´ on 5.17. U V si U es no vac´ıo, es cerrado bajo la suma y es
cerrado bajo la multiplicaci´ on por escalar. Observaci´ on 5.18. < S > es el subespacio mas peque˜ no que contiene a S . Teorema 5.19. Sean U 1 , U 2 subespacios de V . Entonces
U 1
∩ U
2
es subespacio de V .
U 1 + U 2 = u1 + u2 : u1 U 1 , u2 U 2 es subespacio de V . Si en este caso, U 1 U 2 = 0 , entonces se dice que la suma es directa y se denota: U 1 U 2 .
{ ∩ ⊕
∈ − → { }
∈ }
Teorema 5.20. Si V =< v1 , . . . , vn > tal que v1 , . . . , vn es L.I., entonces
{
todo conjunto L.I. de V contiene a lo m´as n elementos. Definici´ on 5.21. B
}
⊂ V es una base de V si B es LI y < B >= V .
Teorema 5.22. Si B es una base de V y la cardinalidad de B es n, entonces
todas las bases de V tienen n elementos. Se dice que la dimensi´on de V es n. Notaci´on: Dim(V ) = n. Proposici´ on 5.23. Si Dim(V ) = n, entonces
S es LI
→ #S n. < S >= V → #S n. Proposici´ on 5.24. Si Dim(V ) = n y S = v1 , . . . , vn , entonces
{
}
S es LI
→< S >= V . < S >= V → S es L.I. Observaci´ o n 5.25. Si U es subespacio de V y Dim(V ) = n, entonces
Dim(U ) Dim(V )
Teorema 5.26. Sean U 1 , U 2 subespacios de V . Entonces
Dim(U 1 + U 2 ) = Dim(U 1 ) + Dim(U 2 ) Proposici´ on 5.27. Sea A de n
− Dim(U ∩ U ) 1
2
× m. Entonces
C (A) es un subespacio de Rn de dimensi´on igual al rango de A. F (A) es un subespacio de Rm de dimensi´on igual al rango de A. At es de m
t
t
× n, F (A ) = C (A) y C (A ) = F (A). Definici´ on 5.28. Sea B = {v , . . . , v } una base de V y v ∈ V tal que n
1
v = x1 v1 + . . . xn vn . El vector coordenado de x en la base B es: [v]B =
x1 .. .
xn
Proposici´ on 5.29. Sean u, v
∈ V y B una base de V . Entonces
[u + v] = [u] + [v]. [αu] = α[u].
{u , . . . , u } es L.I. si y s´olo si {[u ], . . . , [u ]} es L.I. u ∈< u , . . . , u > si y s´olo si [u] ∈< [u ], . . . , [u ] >. m
1
1
m
1
m
m
1
Definici´ on 5.30. Sean B1 = v1 , . . . , vn
{
1 2
}yB
2
Se define la matriz P = [ [v1 ]2 . . . [vn ]2 ].
= u1 , . . . , un bases de V .
{
}
Proposici´ on 5.31. Sean B1 = v1 , . . . , vn y B2 = u1 , . . . , un bases de V .
{
Para todo x
P 21 es invertible. (P 21 )−1 = P 12
1 2
∈ V : P · [x]
1
= [x]2 .
}
{
}
5.1.
Problemas
1. Sean A y B matrices de n
× m. Demuestre o d´e un contraejemplo
a ) Ker(A + B) = Ker(A) + Ker(B) b ) Ker(A + B) = Ker(A)
∩ Ker(B)
c ) C (A + B) = C (A) + C (B) d ) F (A + B) = F (A) + F (B)
2. Sea A =
4 3 2 1 3 2 1 4 2 1 4 3
, con coeficientes en Z 5 . Encuentre el Ker(A)
3. Determine si los siguientes conjuntos forman un espacio vectorial sobre R
a ) V = f : [a, b]
{
→ R continua, tal que f (
b ) V = p(x)
∈ P (R) tal que p(0) = 0}
c ) V = p(x)
∈ P (R) tal que p (0) = 0}
{ {
a+b 2
)=0
}
n
n
d ) V = C e ) V = R+ f ) V = g ) V = h ) V =
∪ {0}
∈ ∈ ∈
a b c d
M 2 (R) tal que a + b + c + d = 1
a 0 c d
M 2 (R)
a b c 0
M 2 (R) tal que a2 + b2 + c2 = 1
4. Sea V = R2 . Determine si V es un espacio vectorial sobre R con las operaciones a ) b) c ) d ) e ) f ) g )
a b a b a b a b a b a b a b
R
h )
R
a b
− −− − √ √ √ √
· ∀ ∈ · ∀ ∈ · ∀ ∈ · ∀ ∈ · ∀ ∈ · ∀ ∈ · √ √ ∀ ∈ · √ √ ∀ ∈
=
a+c 0
y
α
a b
=
αa αb
α
R
c d
=
a+c b+d
y
α
a b
=
αa 0
α
R
+
c d
=
a b
c d
y
α
a b
=
αa αb
α
R
+
c d
=
a b
c d
a b
α
R
+
c d
=
ac bd
+
c d
+
+
c d
+
c d
=
+
c d
=
y
a+c b+c
=
y
y
a b
α
y
a3 + c3 3 b3 + d3
y
=
=
a b
α
a2 + c2 b2 + d2
3
a b
α
αa αb
α
αa αb
=
α
a b
=
α
a b
=
α
3
3
R
R
αa αb
α
αa αb
α
5. Sea V = R+ , se define
⊕ y = xy αx=x x
α
, ,
+
∀x, y ∈ R ∀x ∈ R ∀α ∈ R +
Demuestre que V es un espacio vectorial sobre R con estas operaciones. 6. Determine si los siguientes conjuntos son subespacios de R3 a )
x y z
tal que x + y
− 2z = 0 , 2x + y + z = 0
b)
c )
d )
x y z x y z x y z
tal que xyz
≥ 0
≥
tal que x = y2 , x + y + z
0
tal que x2 + y2 + z 2 = 1
7. Determine si los siguientes conjuntos son subespacios del espacio vectorial indicado a )
b)
c )
∈ − ∈ ∈ ∈ ∈ x 0
R2
α + β α + 2β α + 3β 4β α x1 x2 .. .
de R2
R4
de R4
Rn
tal que
Rn
tal que
xn
d )
x1 x2 .. .
xn
e )
x1 x2 .. .
Rn
{v ∈ R
n
xi = 0
n i=1 (2xi )
tal que x1 = x2
xn
f )
n i=1
tal que v = 1
|| ||
}
de Rn
de Rn
=0
de Rn
de Rn
g )
{v ∈ R
n
tal que v a = 0 con a
·
n
fijo
∈R
de Rn
}
h ) p(x)
{
∈ P (R)
tal que p(0) + p (0) = 1
i ) p(x)
{
∈ P (R)
tal que p(0) es un n´ umero par
j ) p(x)
∈ P (R) n
tal que p(x) = p (x)
∈ P (R)
{
n
n
}
de P n (R)
}
de P n (R)
}
de P n (R)
k )
l )
{A ∈ M (R)
tal que tr(A) = 0
m )
{A ∈ M (R)
tal que A = At
n )
{A ∈ M (R)
tal que A =
n ˜ )
{A ∈ M (R)
tal que A2 = I n
o)
{A ∈ M (R)
tal que AB = BA con B
p)
{f (x) ∈ C [0, 1]
tal que f (x) es una funci´on par
q )
{f (x) ∈ C [0, 1]
tal que f (x) es una funci´on impar
p(x)
n
n
n
n
n
n
tal que
1
0
xp(x) dx = 0
de P n (R)
de M n (R)
}
de M n (R)
} t
de M n (R)
−A } }
de M n (R)
∈ M (R) fija } n
de M n (R)
de C [0, 1]
}
}
de C [0, 1]
8. Determine si el vector v en el espacio vectorial correspondiente, es combinaci´on lineal de los vectores que se indican a ) v = b) v =
∈ ∈ 1 2 4 1 1 3
M 2 (R) de
2 3
−
c ) v = tan2 (x)
− − − − −
M 2 (R) de
∈ C [0, π]
1 0
1 2
1 1
1 0 1 2
,
1 1
−
de 1 , sec2 (x)
,
1 1
1 0 1 2
,
1 1
,
,
1 1 1 0
1 3 4 1 ,
,
1 1 0 1
3 4 1 0
d ) v = tan2 (x)
∈ C [0, π]
de sin2 (x) , cos2 (x)
9. Sea V un espacio vectorial sobre R, u S
∈ V y S ⊆ V L.I. Demuestre que
∪ {u} es L.I. ←→ u no es C.L. de elementos de S
10. Sea V un espacio vectorial sobre R, y los conjuntos de vectores S 1 = u1 ,
{ ··· , u } n
y S 2 = v1 ,
{ ··· , v } m
Demuestre que < S 1 >=< S 2 > si y s´olo si cada ui es combinaci´on lineal de los v j y cada v j es combinaci´on lineal de los ui . 11. Demuestre que todo subconjunto de un conjunto de vectores L.I. es tambi´en L.I. 12. Demuestre que todo conjunto que contiene un conjunto de vectores L.D. es tambi´en L.D.
∈
a R2 un vector b no nulo. Demuestre que el siguiente conjunto U es un subespacio de V .
13. Considere el espacio vectorial V = M 2 (R) y v =
−→}
U = A
: adj(A) v = 0
{ ∈ V
14. Considere el espacio vectorial P 3 (R). Determine si el siguiente conjunto es L.I. o L.D. i
{ p (x) = i
j =0
x j
∈ P (R) 3
para i = 0, 1, 2, 3
}
15. Sea u1 , u2 , u3 un conjunto L.I. en R4 . Considere las matrices
{
}
A1 = [u1 u2 u3 ] , A2 = [u2 u1 u3 ] , A3 = [u2 u3 u1 ] Demuestre que S = A1 , A2 , A3 es un conjunto L.I. en M 4,3 (R).
{
}
16. Sea A de 5 de R5 .
× 4. Demuestre que el siguiente conjunto U es un subespacio U = {b ∈ R : Ax = b es consistente} 5
17. Encuentre una base de los siguientes espacios vectoriales a ) V = p(x)
{
∈ P (R) tal que p(0) = 0} n
b ) V = C c ) V = d ) V =
∈ ∈
a b c d
M 2 (R) tal que a + b + c + d = 0
a 0 c d
M 2 (R)
18. Determine si los siguientes conjuntos son una base del espacio vectorial indicado a )
b)
2
2
{1, 1 + x , 1 − x − 2x } de P (R). 2
− 1 2 0
,
3 4 2
1 1 1
,
de R3 .
19. Determine valores de k R tal que los vectores columna de la matriz A sean una base de R3 , donde
∈
− −
1 k 3
−1 − 0 A= −1 20. Sea U = { p(x) ∈ P (R) : p(−1) = 0 } k 3 5
3
a ) Demuestre que U es subespacio de P 3 (R) b ) Encuentre una base de U c ) Determine Dim U
21. Sean U 1 , , U m subespacios de un espacio vectorial V sobre R. Dem muestre que i=1 U i es un subespacio vectorial de V .
· ··
22. Sean U 1 y U 2 subespacios de un espacio vectorial V sobre R. Determine si U 1 U 2 es un subespacio vectorial de V . (Demuestre o encuentre un contraejemplo).
∪
23. Sean U 1 y U 2 subespacios de un espacio vectorial V sobre R. Demuestre que el conjunto U 1 + U 2 definido por U 1 + U 2 = u1 + u2 tal que u1
{
∈ U
1
y u2
∈ U } 2
es tambi´en un subespacio vectorial de V . 24. Sea S =
2
{ 1, x+x
, 1 + x + x2 , x3 , x + x2 + x3
a ) Encuentre una base B de < S > tal que B b ) Si U =< x
−x
2
} en P (R) 3
⊆ S
> , demuestre que U < S >= P 3 (R)
⊕
25. Considere el espacio vectorial V = C [0, 2π] y el conjunto U = f (x)
{
∈ V
: f (0) = f (π) = f (2π) = 0
}
Demuestre que U es subespacio de V . 26. Considere los siguientes subespacios de P 3 (R): U 1 =< 3 U 2 =< 2
2
+ x3 , 2 + x3 ,
− 2x + x − x + 2x
2
3
3
−1 + x − x , 2 − x + x > −x − x , 3 − 2x + 3x + x > 3
2
3
Encuentre una base y la dimensi´on de U 1 , U 2 , U 1 + U 2 , U 1
∩ U . Encuentre una base y la dimensi´on de U tal que (U ∩ U ) ⊕ U = 3
1
2
2
3
P 3 (R).
27. Determine la dimensi´on de los siguientes espacios vectoriales sobre R.
a )
b)
c )
d )
∈ − ∈ ∈ x y z
tal que x + y
x 0
α + β α + 2β α + 3β 4β α x1 x2 .. .
{v ∈ R
f ) p(x)
{
− 2z = 0
R2
Rn
R4
tal que
xn
e )
n
n i=1
xi = 0
tal que v a = 0 con a
∈ P (n, R)
·
fijo
}
}
{A ∈ M (R)
tal que tr(A) = 0
h )
{A ∈ M (R)
tal que A = At
n
n
∈R
tal que p(x) = p (x)
g )
n
}
}
28. Sea V espacio vectorial sobre R de dimensi´on 2n, con n que existen U 1 y U 2 subespacios de V tal que Dim U 1 = n = Dim U 2 29. En Z7 , determine el Ker de
2 1 0 2 3 1 2 3 4 0 1 1
Soluci´ on:
2 1 0 2 3 1 2 3 4 0 1 1
∼
1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 0 1
y
U 1
∈ N. Demuestre
∩ U = {−→0 } 2
. ¿Cu´antos elementos tiene?
Luego Ker = (5α, 4α,α, 0)t : α
{
∈ Z }. 7
Por lo tanto el Ker tiene 7 elementos.
30. Sea A de 4
× 3, B =
0 1 0 0 0 1 1 0 0
y C =
0 0 1 0 1 0 1 0 0
.
Demuestre que si Ax = 0 tiene soluci´on u ´nica, entonces A,AB,AC es un conjunto L.I. en M 4,3 (R).
{
}
Soluci´ on:
Sea αA + βAB + γAC = 0 (matriz nula). p.d.: α = β = γ = 0. Sea A = [v1 v2 v3 ] tal que v1 , v2 , v3
4
∈R .
Y entonces AB = [v3 v1 v2 ] y AC = [v3 v2 v1 ]. Entonces [αv1 + (β + γ )v3 βv 1 + (α + γ )v2 γv 1 + βv 2 + αv3 ] = 0 Dado que Ax = 0 tiene soluci´on u ´nica, entonces se tiene que v1 , v2 , v3 es L.I.
{
De la segunda columna se tiene que α = β = γ = 0.
31. Sean u1 = U 1 = A
1
−1
, u2 =
{ ∈ M (R) : 2
2 1
y los subespacios
u1 t Au1 = 0 y U 2 = A
}
{ ∈ M (R) : 2
a ) Demuestre que U 1 es un subespacio de M 2 (R). Soluci´ on:
u2 t Au2 = 0 .
}
}
U 1 es no vac´ıo pues tomando A = 0 la matriz nula se tiene que u1 t 0u1 = 0. Dadas A, B 0 + 0 = 0. Dada A α0 = 0.
∈ U , se tiene que u 1
∈ U
1
y α
1
t
(A + B)u1 = u1 t Au1 + u1 t Bu 1 =
∈ R, se tiene que u
1
t
(αA)u1 = α(u1 t Au1 ) =
Por lo tanto U 1 es un subespacio de M 2 (R). b ) Calcule bases y dimensi´on de U 1 , U 2 y U 1
∩ U . 2
Soluci´ on:
A=
∈ a b c d
U 1 si a
− c − b + d = 0.
{ ∼ ∈ { Por lo tanto U 1 =<
1 0
−
0 1
,
La dimensi´on de U 1 es 3 pues
0 1 0 1 1 0
L.I.
1 0 0 1
−
A=
0 1 0 1
0 0 1 1
a b c d
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 1
,
0 1
−
,
>.
0 1 0 1
0 0 1 1
,
es
.
U 2 si 4a + 2b + 2c + d = 0.
Por lo tanto U 2 =<
1 0
0
−4
La dimensi´on de U 2 es 3 pues es L.I.
}
,
0 0 1 0
1
−2 0
−4
} ,
0 1
,
0 0
0
−2
1
−2
>. ,
0 1
0
−2
1 0 0 4
0 1 0 2
∼
0 0 1 2
− − −
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
.
Para buscar una base de U 1 U 2 se considera la siguiente matriz de vectores coordenados con respecto a la base can´onica:
1 0 0 1
−
∼
1 0 0 0
0 1 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 0 4
∩
0 1 0 2
0 0 1 2
1 0 1
0 1 1
− − − 0 −1 −1
0 0 0 1 0 0 1
− − − − { }
Por lo tanto el Ker =< (1, 0, 1, 1, 0, 1)t , (1, 1, 0, 1, 1, 0)t >
∩ U =< −11 −02 , 10 −−12 1 0 La dimensi´on de U ∩ U es 2 pues −1 −2 Finalmente U 1
2
1
1 0 1 2
1 1 0 2
− − − −
2
∼ 1 0 0 0
0 1 0 0
>
,
1 0
−1 −2
es L.I.
.
c ) Determine una base de un subespacio U 3 tal que (U 1 M 2 (R).
∩ U ) ⊕ U = 2
3
Soluci´ on:
Para buscar una base de U 3 se considera la siguiente matriz de vectores coordenados con respecto a la base can´onica:
1 0 1 2
1 1 0 2
− − − −
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
∼
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 1 2
−
−1 0 0 2
0 0 0 1
−
Dado que las primeras cuatro columnas tienen pivotes, una base de U 3 es:
{ } 1 0 0 0
,
0 1 0 0
.
Cap´ıtulo 6 Transformaciones lineales Definici´ o n 6.1. Sean V y W espacios vectoriales. T : V
W es una transformaci´ on lineal si T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) y T (αv) = αT (v).
→
Proposici´ o n 6.2. Sean V y W espacios vectoriales y T : V
transformaci´ on lineal. Entonces
→ W una
T (0 V ) = 0 W . T ( v) =
−
−T (v).
Observaci´ on 6.3. Si B es una base de V , entonces T queda determinada
por c´omo act´ ua sobre la base. Definici´ on 6.4. Sean V y W espacios vectoriales y T : V
formaci´ on lineal.
→ W una trans-
{ ∈ V : T (v) = −0→} . Im(T ) = {w ∈ W : ∃v ∈ V : T (v) = w} . Ker(T ) = v
W
Proposici´ o n 6.5. Sean V y W espacios vectoriales y T : V
transformaci´ on lineal.
→ W una
Ker(T ) es un subespacio de V y su dimensi´on es la nulidad de T . Im(T es un subespacio de W y su dimensi´on es el rango de T . Observaci´ on 6.6. Si B es una base de V , entonces < T (B) >= Im(T ).
65
Definici´ on 6.7. Sean V y W espacios vectoriales y T : V
formaci´on lineal.
→ W una trans-
Si T es inyectiva se dice que es un monomorfismo. Si T es sobre se dice que es un epimorfismo. Si T es inyectiva y sobre se dice que es un isomorfismo y se denota por V = W .
∼
Teorema 6.8. Sean V y W espacios vectoriales y T : V
maci´on lineal.
→ W una transfor-
T es inyectiva si y s´olo si Ker(T ) = 0 V .
{ }
T es sobre si y s´olo si Im(T ) = W . Proposici´ o n 6.9. Sean V y W espacios vectoriales y T : V
transformaci´ on lineal. Si T es inyectiva y S L.I.
→ W una
⊂ V es L.I., entonces T (S ) es
Teorema 6.10. Sean V y W espacios vectoriales y T : V
formaci´on lineal. Entonces
→ W una trans-
Dim Ker(T ) + Dim Im(T ) = Dim(V ). Definici´ on 6.11. Sean V y W espacios vectoriales, T : V
→ W una transformaci´on lineal, B = {v , . . . , v } una base de V y B = {w , . . . , w } una base de W . La matriz de T con respecto a B y B es una matriz de n × m 1
m
1
2
1
n
1
2
dada por
[T ]12 = [ [T (v1 )]2 . . . [T (vm )]2 ] Proposici´ on 6.12. Sean V y W espacios vectoriales, T : V
transformaci´ on lineal, B1 = v1 , . . . , vm una base de W . Entonces
{
[T ]12 [v]1 = [T (v)]2 , para todo v
·
}
W una una base de V y B2 = w1 , . . . , wn
{
∈ V . 1 2
∈ Ker(T ) si y s´olo si [v] ∈ Ker[T ] . w ∈ Im(T ) si y s´olo si [w] ∈ Im[T ] . v
1
2
1 2
→
}
∼
T es un isomorfismo (V = W ) si y s´olo si [T ]12 es cuadrada e invertible. En este caso T −1 es una transformaci´on lineal y ([T ]12 )−1 = [T ]21 . Proposici´ on 6.13. Sea V espacio vectorial de dimensi´ on m y B1 y B3 bases
de V . Sea W espacio vectorial de dimensi´on n y B2 y B4 bases de W . Hay dos matrices cambio de bases: P 31 y P 42 . Sea T : V W y las dos matrices asociadas a T : [T ]12 y [T ]34 . Sean x V, y W . Entonces
∈
→
∈
[x]3 = P 31 [x]1 . [y]4 = P 42
· · [y] . 2
[T ]12 [x]1 = [T (x)]2 . [T ]34
· · [x]
3
= [T (x)]4 .
Reemplazndo: [T ]34 [x]3 = [T (x)]4 .
· [T ] · P · [x] = P · [T (x)] . [T ] · P · [x] = P · [T ] · [x] . Entonces [T ] · P = P · [T ] 3 4
1 3
1
2 4
3 4
1 3
1
2 4
3 4
1 3
2 4
2
1 2
1
1 2
Esquema: [T ]12 P 31
V B1
→
W B2
↓
↓
V B3
→
P 42
W B4
[T ]34 Ejemplo 6.14. Un ejemplo de la relaci´ on entre matriz cambio de base y
matriz de una transformaci´on lineal es:
Sea V = M 2 (R) con las siguientes bases: B1 = B3 =
1 0 0 0
,
1 1 0 0
,
0 0 1 0
,
0 0 1 1
1 0 0 0
,
0 1 0 0
,
0 0 1 0
,
0 0 0 1
1 0 0 0
La matriz cambio de base P 31 es P 31 =
1 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0 0 1
Sea W = P 2 (R) con las siguientes bases: B2 = 1, 1 + x, 1 + x2
B4 = 1, x , x2
}
La matriz cambio de base P 42 es P 42 =
{
Sea T : M 2 (R)
}
{
→ P (R), dada por 2
− − ∈ T
a b c d
= (a + b) + (b + c)x + (c + d)x2
La matriz de T con respecto a las bases B1 en V y B2 en W es: 1 2
[T ] =
1 1 0 1 0 0
2 1 1
3 1 2
La matriz de T con respecto a las bases B3 en V y B4 en W es: 3 4
[T ] =
Sea A =
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 2 3 4
V y entonces:
[A]1 =
− − ∈ −
Luego T (A) = 3 + 5x + 7x2
[T (A)]2 =
1 2 1 4
, [A]3 =
W y entonces
9 5 7
1 2 3 4
, [T (A)]4 =
3 5 7
Y se cumple [T ]12 [A]1 = [T (A)]2 y [T ]34 [A]3 = [T (A)]4
·
·
Proposici´ on 6.15. Sean T y L transformaciones lineales de V en W . En-
tonces (T + L) : V W dada por (T + L)(v) = T (v) + L(v) es una transformaci´ on lineal, y (αT ) : V W dada por (αT )(v) = αT (v) es una transformaci´ on lineal. Adem´as [T + L] = [T ] + [L] y [αT ] = α[T ].
→
→
Proposici´ on 6.16. Sean T : V
W y L : U V transformaciones lineales. Entonces (T L) : U W dada por (T L)(u) = T (L(u)) es una transformaci´ on lineal, y [T L] = [T ] [L].
◦
6.1.
◦
→
→
◦
·
→
Problemas
1. Decida cu´ales de las siguientes funciones son transformaciones lineales y en tal caso determine Ker(T ), Im(T ), Rango(T ), Nulidad(T ), una base de Ker(T ) y una base de Im(T ) a ) T : R3
→ P (R), dada por
T
2
b ) T : M 2 (R)
a b c
= (a + b + c) + (a
2
− b + 2c)x + (3b − c)x
→ M (R), dada por 2
t
T (A) = AM + M A con M =
− 1 1
1 2
c ) T : M 3 (R)
→ M (R), dada por 3
T (A) = AM + M At con M =
d ) T : R3
→ M (R), dada por −→x · a −→x · b − → T ( x ) = − →x · b −→x · a 2
e ) T : R3
con a =
1 2 3 1 1 1 0 3 1
1 1 1
, b=
3
→ R , dada por →x ) = ||−→x ||a T (−
f ) T : R3
−
con a =
1 1 2
→ R, dada por −→ ||−→x ||
T ( x ) = g ) T : R4
4
→ R , dada por T
h ) T : R4
4
a ) Si
3a
=
− b + 7c + d 4a + b − c c + 3b − d a+b+c−d
=
a b + 3c d+a b+c 2c + d a a b + c 2d
→ R , dada por T
2. Sea T : V
a b c d
a b c d
− −
−
− −
→ W una transformaci´on lineal. Demuestre T es inyectiva, entonces Dim V ≤ Dim W
1 1 0
b ) Si T es sobreyectiva, entonces Dim W
≤ Dim V
∼
3. Demuestre que M 3 (R) = R9
∼
4. Demuestre que M 2 (R) = R4
∼
5. Demuestre que M 2 (R) = P 3 (R)
∼
6. Demuestre que P 5 (R) = R6 7. Sea T : M 2 (R)
→ M (R) 2
la transformaci´on lineal dada por
T (A) = A + At
para toda A
∈ M (R) 2
Encuentre la dimensi´o n de Ker(T ) y la dimensi´ o n de Im(T ) 8. Sea T : V W una transformaci´on lineal. Sea B1 = v1 , v2 , v3 , v4 una base de V y B2 = w1 , w2 , w3 una base de W tal que 1 0 0 1 1 [T ]2 = 0 1 0 1 0 0 1 1
→ {
}
Encuentre una base B3 de W tal que [T ]13 =
{
1 0 0
}
−1 1 0
−
0 0 1 0 1 1
9. Sea T : V W una transformaci´on lineal. Sea v1 , . . . , vk un conjunto L.I. en V . Demuestre o d´e un contraejemplo.
{
→
}
a ) Si T es inyectiva, entonces T (v1 ), . . . , T ( vk ) es un conjunto L.I.
en W .
{
}
b ) Si T es sobreyectiva, entonces Dim(W )
10. Sea T : M n,3 (R)
n
→R
≤ k.
lineal dada por T (A) = Au , u =
1 1 1
Encuentre el Ker(T ) y su dimensi´on. R2 lineal tal que su matriz con respecto a las bases 11. Sea T : R2 can´onicas tiene determinante p primo. Demuestre que existen bases tal que el determinante de la matriz de T en esas bases es 1.
→
12. Sean V de dimensi´on 3 y W de dimensi´on 4 espacios vectoriales tal que V =< v1 , v2 , v3 > y W =< w1 , w2 , w3 , w4 >. Sea T : V W lineal tal que = w1 + w2 T (v1 v3 ) T (v1 v2 v3 ) = w1 + w3 T (v1 v2 2v3 ) = w1 + w4
→
− − − − −
¿Es T es 1-1 ? ¿Es T sobre? Justifique. Encuentre bases en V y W tal que la matriz de la transformaci´on lineal sea
13. Sea T : P 3 (R)
1 1 1 1
−
0 1 1 0
−
0 0 1 1
−
→ P (R) una transformaci´on lineal dada por 2
T ( p(x)) = p (1) + p (1)x + p(1)x2
a ) Calcule bases para Ker(T ) e Im(T ). Soluci´ on:
Del enunciado, T (a + bx + cx2 + dx3 ) = (2c + 6d) + (b + 2c + 3d)x + (a + b + c + d)x2 . Luego la matriz de T con respecto a las bases can´onicas es:
0 0 2 6 0 1 2 3 1 1 1 1
∼
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 3 3
−
Luego Ker(T ) =< 1
2
3
− 3x + 3x − x
>. 2
Dado que es un polinomio, se tiene que 1 y por lo tanto una base de Ker(T ).
3
{ − 3x + 3x − x } es L.I.
Im(T ) =< x, x + x2 , 2 + 2x + x2 >. De las columnas pivote de la F.E. de la matriz anterior, se tiene que x, x+x2 , 2+2x+x2 es L.I. y por lo tanto una base de Im(T ).
{
}
(Otra manera es decir que como el Ker tiene dimensi´on 1 y P 3 (R) tiene dimensi´on 4, entonces por teorema, Im(T ) tiene dimensi´on 3, y como es subespacio de P 2 (R) de dimensi´on 3, entonces P 2 (R) = Im(T ) y por lo tanto una base es 1, x , x2 ).
{
}
b ) Determine una base de P 3 (R) tal que con la base can´onica de P 2 (R), la matriz de T tenga una columna nula. Soluci´ on:
Dado que en P 2 (R) se considera a la base can´onica, entonces hay un cambio de base en P 3 (R). Como es necesario que la matriz de T tenga una columna nula, entonces un elemento de la base debe estar en el Ker( T ), por ejemplo 1 3x + 3x2 x3 .
−
−
Completando base se obtiene:
1 3 3 1
− −
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
∼
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−1 1 −3 3
Dado que las primeras 4 columnas tienen pivotes entonces una base para P 3 (R) es: 2
2
3
{1, x , x , 1 − 3x + 3x − x }. Y entonces la matriz de T con respecto a la base anterior y la can´onica en P 2 (R) es:
0 0 2 0 0 1 2 0 1 1 1 0
c ) Demuestre que existe L : P 2 (R)
formaci´ on identidad.
→ P (R) tal que T ◦ L es la tran3
Soluci´ on:
La matriz de T con respecto a las bases can´onicas es A = Como su F.E.R. es
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 3 3
−
0 0 2 6 0 1 2 3 1 1 1 1
, entonces las filas son L.I.
Entonces la matriz tiene inversa por la derecha. Sea C una inversa por la derecha de A, entonces AC = I . Luego basta tomar a L : P 2 (R) P 3 (R) como la transformaci´on lineal tal que su matriz con respecto a las bases can´onicas es C , pues
→
[T L] = [T ] [L] = A C = I .
◦
14. Sea D : P n (R)
·
·
→ P (R) tal que D( p(x)) = p (x). Calcule la matriz de n
.
D con respecto a las bases can´onicas y demuestre que D no es invertible. Soluci´ on:
Con respecto a la base can´onicas en dominio y recorrido la matriz de D es:
0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 .. .
... 0 0 0 .. .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 n 0 ... 0
0 0 0
0 0 0 .. .
−1
0 n 0
0 0
Dado que el determinante de la matriz es 0, entonces la matriz no es invertible, luego la transformaci´on no es invertible. 15. Sean V y W espacios vectoriales , T : V W una transformaci´on lineal y v1 , . . . , vn una base de V . Demuestre que Im(T ) =< T (v1 ), . . . , T ( vn ) >.
{
→
}
Soluci´ on:
w
∈ Im(T )
↔ ∃v ∈ V :
T (v) = w
↔ ∃v = x v
+ . . . + xn vn
1 1
∈ V :
T (v) = w
↔ ∃x , . . . , x ∈ R :
v = x1 v1 + . . . + xn vn : T (v) = w
↔ ∃x , . . . , x ∈ R :
T (x1 v1 + . . . + xn vn ) = w
1
1
n
n
↔ ∃x , . . . , x ∈ R : 1
n
x1 T (v1 ) + . . . + xn T (vn ) = w
↔ w ∈< T (v ), . . . , T ( v ) > 1
n
Cap´ıtulo 7 Ortogonalidad Definici´ on 7.1. Sea V un espacio vectorial sobre R. V se dice que es un espacio vectorial con producto interno si existe una funci´on de V V en R tal que para todo u, v V , y α R
∈
·
∈
×
u v=v u
· · u · (v + w) = u · v + u · w (αu) · v = α(u · v) 0. u · u 0 y u · u = 0 si y s´olo si u = Definici´ on 7.2. Sea V un espacio vectorial sobre R con producto interno.
Dados u, v
∈ V , u es ortogonal a v si u · v = 0. Notaci´on: u ⊥ v. {u , . . . , u } ⊂ V es ortogonal si el conjunto no contiene a 0 y u · u = 0 para todo i = j {u , . . . , u } ⊂ V es ortonormal si el conjunto es ortogonal y u · u = 1, ∀i. 1
m
1
m
i
j
i
i
Observaci´ on 7.3. En adelante se considera al espacio vectorial Rn sobre R,
con el producto punto usual. Observaci´ on 7.4. u
⊥ 0, para todo u ∈ R . n
77
Observaci´ on 7.5. Sea
entonces
{u , . . . , u } ortogonal y u = α u u·u α = u ·u m
1
1
1
+ . . . + αm um ,
i
i
i
i
Observaci´ on 7.6. Todo conjunto ortogonal es L.I., y por lo tanto una base
de su conjunto generado. Definici´ on 7.7. Dado U
0 .
}
n
⊥
≤ R , el ortogonal a U es U
= w
{ ∈R
n
:u w=
·
Proposici´ on 7.8. Sea Rn con el producto punto usual.
Si u1 , . . . , um es una base de U , entonces U ⊥ = w 0 para i = 1, . . . , m .
{
0
}
n
{ ∈R
}
: ui w =
·
⊥
∈ U
U ⊥ es un subespacio de Rn .
{ 0}
⊥
= Rn .
Rn ⊥ = 0 .
{}
⊥
U ⊥ = U
∩ U = { 0}. Sea {u , . . . , u } una base de U y A de n × m la matriz A = [u ⊥
U
m
1
1
. . . um ].
t
⊥
Entonces U = Ker(A ). U U ⊥ = Rn . Dado v v = u + w.
⊕
n
⊥
∈ R , existen ´unicos u ∈ U y w ∈ U
tal que
Proposici´ on 7.9. Sea S = u1 , . . . , um un conjunto de vectores en Rn y A
de n
× m la matriz A = [u
1
{
}
. . . um ]. Entonces
S es LI si y s´olo si At A es invertible. S es ortogonal si y s´olo si At A es diagonal e invertible. S es ortonormal si y s´olo si At A = I .
Definici´ on 7.10. Sea U subespacio de Rn y v
donde v = u + w.
∈R
n
La proyecci´on ortogonal sobre U es P : Rn
tal que u
⊥
∈ U y w ∈ U
n
→ R , tal que P (v) = u. La proyecci´on ortogonal sobre U es Q : R → R , tal que Q(v) = w. Proposici´ on 7.11. Sea U subespacio de R y v ∈ R tal que u ∈ U y w ∈ U donde v = u + w. Si {u , . . . , u } es una base de U y A de n × m es la matriz A = n
⊥
n
n
n
⊥
1
m
[u1 . . . um ], entonces u = Ax, donde x es tal que At Ax = At v.
Si w1 , . . . , wr es una base de U ⊥ y B de n r es la matriz B = [w1 . . . wr ], entonces w = By, donde y es tal que B t By = B t v.
{
}
×
Proposici´ on 7.12. Sea U subespacio de Rn , P la proyecci´ on ortogonal sobre
U y Q la proyecci´on ortogonal sobre U ⊥ . Entonces P y Q son transformaciones lineales. P + Q = I (como t.l.). Ker(P ) = U ⊥ , Im(P ) = U . Ker(Q) = U , Im(Q) = U ⊥ . P 2 = P y Q2 = Q (como t.l.). Si u1 , . . . , um es una base de U y A de n m es la matriz A = [u1 . . . um ], entonces la matriz de P con respecto a la base can´onica es P = A(At A)−1 At .
{
}
×
Si w1 , . . . , wr es una base de U ⊥ y B de n r es la matriz B = [w1 . . . wr ], entonces la matriz de Q con respecto a la base can´onica es Q = B(B t B)−1 B t .
{
}
×
P y Q son sim´etricas. P 2 = P y Q2 = Q (como matrices). P + Q = I (como matrices). 2P
2
− I = R es matriz de reflexi´on, es sim´etrica y R
= I .
Proposici´ on 7.13. Gram Schmidt: Dado S = v1 , . . . , vm
{
ortogonal de < S > es u1 , . . . , um , donde:
{
}
} L.I., una base
u1 = v1 u2 = v2 u3 = v3
− uv ·· uu u − uv ·· uu u − uv ·· uu u 2
1
1
1
3
1
1
3
2
2
2
1
1
2
1
. . .. Observaci´ on 7.14. Descomposici´ on QR.
Sea A = [v1 vm ] una matriz con columnas L.I. El problema es encontrar una matriz cuyas columnas formen un conjunto ortonormal que genere lo mismo que las columnas de A, es decir se busca una matriz Q tal que:
···
Q = [u1
Im(Q) = Im(A) y Qt Q = I.
m ],
··· u
Sea R la matriz cambio de base de m
× m, es decir A = QR. Entonces
At A = (QR)t QR = Rt Qt QR = Rt IR = Rt R. Dado que A es inyectiva, luego At A es positiva definida y basta tomar su descomposici´on con ra´ız cuadrada R. Obteniendo R se calcula Q = AR−1 .
Ejemplo 7.15. Sea U =<
ortonormal de U .
1 0 1 1
,
Soluci´ on :
Sea A =
1 0 1 1
1 0 2 0
−1 0 3 1
. Entonces
1 0 2 0
,
−1 0 3 1
>. Determine una base
At A =
=
Luego R−1 =
3 3 3 3 5 5 3 5 11
√ 3 0 0 √ 3 √ 2 0 √ 3 √ 2 √ 6
Entonces U =<
= Rt R
√ −1/√ 2 0 √ √ 1/ 2 −1/√ 6 0 1/ 6
1/ 3 0 0
Entonces Q =
√ 3 √ 3 √ 3 √ 2 √ 2 0 √ 6 0 0 .
√ √ 0 −2 6 √ 1√ 02 1√ 06 √ −1√ 2 1√ 6 √ 0 1 3 0 0 √ √ , 1√ 2 1√ 3 −1 2 1 3
1 3 0 1 3 1 3
.
−2√ 6 0 √ 1√ 6 1 6
,
>
Proposici´ on 7.16. Sea el sistema Ax = b inconsistente y x∗ tal que Ax∗ b
−
es m´ınima. Entonces x∗ es tal que Ax∗ es la proyecci´on de b sobre Im(A).
7.1.
Problemas
1. Sea A de 4
⊥
× 5. Demuestre que F (A)
2. Determine la proyecci´o n de v = e1 hiperplano x1 x2 + 3x4 x5 = 0.
−
−
= Ker(A).
−e
3
+ e4 + e5
∈R
3. Determine la matriz de proyecci´on sobre el hiperplano x1
5
−x +x 2
4. Sea U subespacio de R3 de dimensi´on 2 tal que 1 P U (e1 ) = (2e1 + e2 3
−e ) 3
1 P U (e2 ) = (e1 + 2e2 + e3 ) 3
Determine la matriz de proyecci´on sobre U .
sobre el
4
= 0.
5. Encuentre
min
x−y −2z =2
(x
2
− 3)
+ (2y
− 1)
2
+ (z + 5)2 usando proyecciones
6. Sea U el hiperplano en R4 , dado por la ecuaci´on 2x1 x2 +x3 2x4 = 0. Calcule bases de U y de U ⊥ . Calcule la proyecci´on de v = (2, 1, 3, 0)t sobre U y sobre U ⊥ . Calcule la matriz de proyecci´on sobre U y sobre U ⊥ .
−
− −
Soluci´ on:
Base de U : (1, 0, 2, 0)t , (0, 1, 1, 0)t , (0, 0, 2, 1)t .
{
−
}
Base de U ⊥ : (2, 1, 1, 2)t .
{ −
− }
Matriz de proyecci´on sobre U ⊥ : Q =
1 10
Usando P + Q = I . 1 Matriz de proyecci´on sobre U : P = 10
4 2 2 4
−2 2 −4 − 1 −1 2 −1 1 −2 − 2 −2 4 6 2 2 4
−
2 9 1 2
−
−2 1 9 2
4
−2 2 6
.
.
Proyecci´on de v sobre U : P v, proyecci´on de v sobre U ⊥ : Qv. Pv =
1 (4, 2, 22, 16)t . 10
Qv =
1 (16, 8, 8, 16)t . 10
−
−
−
7. Sea U subespacio de Rn , P matriz de proyecci´on sobre U y Q matriz de proyecci´on sobre U ⊥ . Demuestre que P Q es la matriz nula. Soluci´ on:
Manera 1:
Sea A tal que sus columnas forman una base de U . Entonces P = A(At A)−1 At . Sea B tal que sus columnas forman una base de U ⊥ . Entonces Q = B(B t B)−1 B t . Entonces P Q = A(At A)−1 At B(B t B)−1 B t . Pero At B es la matriz nula, pues las filas de At son ortogonales a las columnas de B. Entonces P Q = 0. Manera 2: Sea u1 , . . . , um una base de U .
{
}
Sea w1 , . . . , wr una base de U ⊥ .
{
}
Entonces si x
n
∈R ,x=α u 1
1
+ . . . + αn um + β 1 w1 + . . . + β r wr .
0 + β 1 w1 + P Qx = P Q(α1 u1 + . . . + αn um + β 1 w1 + . . . + β r wr ) = P ( 0. . . . + β r wr ) = Luego P Qx = 0 para todo x
8. Sea P =
−
6/7 2/7 1/7 1/7
−2/7 3/7 2/7 2/7
1/7 2/7 6/7 1/7
−
n
∈ R , entonces P Q es la matriz nula. 1/7 2/7 1/7 6/7
−
matriz de proyecci´on sobre U
R . Determine una base de U y de U ⊥ . 4
Soluci´ on:
≤
P
∼
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 2 1 0
−
.
Im(P ) = C (P ) = U .
Entonces U =< (1, 0, 0, 1)t , (0, 1, 0, 2)t , (0, 0, 1, 1)t >.
−
O bien U =< (6/7, 2/7, 1/7, 1/7)t , ( 2/7, 3/7, 2/7, 2/7)t , (1/7, 2/7, 6/7, 1/7)t >.
−
−
−
Ker(P ) = U ⊥ . Entonces U ⊥ =< ( 1, 2, 1, 1)t >.
− −
9. Usando proyecciones, calcule min (x + y)2 + (2x
2
− y − 2)
+ (y
2
− 6)
+ (y
2
− x − 2)
Soluci´ on:
El problema se traduce en encontrar la proyecci´on de b = (0, 2, 6, 2)t sobre C (A).
A=
1 2 0 1
−
1 1 1 1
−
.
El sistema es: At A
6 2
−
−2 4
x y
=
x y
= At b.
2 6
.
La soluci´on es x = 1, y = 2.
Entonces el m´ınimo es 30.
Cap´ıtulo 8 Valores y vectores propios Definici´ on 8.1. Sea A de n n, v = 0 es un vector propio de A si existe λ R tal que Av = λv. Se dice que λ es el valor propio de A asociado a v.
×
∈
Proposici´ on 8.2. Sea A de n n. Si v1 y v2 son vectores propios asociados al valor propio λ, y α R, entonces αv1 y v1 +v2 son vectores propios asociados
×
∈
a λ. Proposici´ on 8.3.
Proposici´ on 8.4. Sea A de n n. λ es valor propio de A si y s´ olo si A λI =
×
0. Definici´ on 8.5. Sea A de n
|A − xI |.
| − |
× n. El polinomio caracter´ıstico de A es p
Proposici´ on 8.6. Sea A de n
A (x)
=
× n. λ es valor propio de A si y s´olo si λ es
ra´ız de pA (x). La multiplicidad algebraica de λ es la multiplicidad como ra´ız de pA (x). (m.a.) Proposici´ on 8.7. Sea A de n n y λ un valor propio de A. E λ = v Rn : Av = λv es el espacio propio asociado a λ. La dimensi´ on de E λ es la
×
}
{ ∈
multiplicidad geom´etrica de λ.(m.g.). E λ = Ker(A Teorema 8.8. Sea A de n
− λI ).
× n y λ un valor propio de A. Entonces la m.g.
de λ es menor o igual a la m.a. de λ. Proposici´ on 8.9. Sea A de n
× n. Entonces 87
A tiene a lo m´as n valores propios. Si A es diagonal, entonces los valores propios de A son los elementos de su diagonal. Si A es triangular superior o inferior, entonces los valores propios de A son los elementos de su diagonal. A es no invertible si y s´olo si 0 es valor propio de A. Si λ es valor propio de A, entonces λm es valor propio de Am , para m N.
∈
Si λ es valor propio de A y A es invertible, entonces λ−1 es valor propio de A−1 . Si λ1 y λ2 son dos valores propios distintos de A, entonces E λ1 0 .
{}
∩ E
λ2
=
La traza de A es la suma de sus valores propios. El determinante de A es el producto de sus valores propios. Definici´ on 8.10. Dado un polinomio q (x) = a0 + a1 x + . . . + am xm y A
matriz cuadrada, se define a q (A) como la matriz a0 I + a1 A + . . . + am Am . Teorema 8.11. Sea A matriz cuadrada. Entonces pA (A) es la matriz nula.
→ V una transformaci´on lineal. v = 0 es un vector propio de T si existe λ ∈ R tal que T (v) = λv. Se dice que λ es el Definici´ on 8.12. Sea T : V
valor propio de T asociado a v.
Definici´ on 8.13. Dos matrices cuadradas A y B se dicen similares si existe
una matriz P invertible tal que P −1 AP = B. Proposici´ on 8.14. Si A y B son similares, entonces tienen los mismos val-
ores propios. Si P es tal que P −1 AP = B y v es vector propio de B asociado a λ, entonces P v es vector propio de A asociado a λ. Definici´ on 8.15. Una matriz cuadrada A (o transformaci´ on lineal T ) es
diagonalizable si y s´olo si es similar a una matriz diagonal.
Proposici´ on 8.16. Si A y B son similares, entonces A es diagonalizable si
y s´olo si B es diagonalizable. Teorema 8.17. A es diagonalizable si y s´ olo si existen n vectores propios
L.I. de A. Corolario 8.18. Si A tiene n valores propios distintos, entonces A es diag-
onalizable. Observaci´ on 8.19. Si A es diagonalizable, entonces Am es diagonalizable, para todo m N.
∈
t
Definici´ on 8.20. P de n
× n es ortogonal si P P = I . Teorema 8.21. Sea P de n × n. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:
P es ortogonal. n
P x = x, para todo x ∈ R . P x · P y = x · y, para todo x, y ∈ R . Si {v , . . . , v } es ortonormal, entonces {P v , . . . , P v } es ortonormal. n
1
m
1
m
Observaci´ on 8.22. Si P y Q son ortogonales, entonces P Q es ortogonal. Proposici´ on 8.23. Sea A sim´etrica. Entonces
A tiene s´olo valores propios reales. Si λ1 y λ2 son dos valores propios distintos de A tal que v1 v2 E λ2 , entonces v1 v2 = 0.
∈
·
∈ E
λ1
y
Definici´ on 8.24. Una matriz A se dice ortogonalmente diagonalizable si
existe P ortogonal y D digonal, tal que P t AP = D. Teorema 8.25. A es sim´etrica si y s´ olo si A es ortogonalmente diagonaliz-
able. Corolario 8.26. A sim´etrica es positiva definida si y s´ olo si todos sus valores
propios son positivos.
Definici´ on 8.27. Si A es sim´etrica y v1 , . . . , vn son vectores propios (ortonor-
males) asociados a los valores propios λ1 , . . . , λn , entonces la descomposici´on espectral de A es: A = λ1 v1 v1t + . . . + λn vn vnt . Observaci´ on 8.28. Si Av = λv, entonces l´ım Ak v = k→∞
0 si λ < 1,
||
v si λ = 1, no existe si λ > 1.
||
Observaci´ on 8.29. Sea A es diagonalizable y q (x) un polinomio. Entonces
A = P
A = P
d1 0
0 d2
...
0 0
..
0
0
d1 0
0 d2
. . . . dn
...
0 0
..
0
0
. . . . dn
P −1
−1
P
Observaci´ on 8.30. Si A es de n
→ q (A) = P
A
→e
= P
q (d1 ) 0 ... 0 0 q (d2 ) 0 .. . 0 0 . .. q(d n)
ed 0
1
0 ed
...
2
0 0
..
0
0
. . .. ed
n
P −1
× m, se tiene que
1. Ker(At A) = Ker(A). 2. Im(At A) = Im(At ). Teorema 8.31. Sea A de n
× m. Entonces existen U de m × m y V de n × n
matrices ortogonales tal que
V t AU =
s1
0 ..
0
. sr 0
n×m
P −1
Observaci´ on 8.32. ¿C´ omo obtener U ?
La matriz At A es sim´etrica y semi definida positiva. Entonces existe U de m m matriz ortogonal tal que
×
U t At AU =
d1 ..
. dr 0 ..
. 0
con d1
≥ d ≥ ··· ≥ d 2
r
> 0.
n×m
Sea U 1 matriz de m r que contiene vectores propios de valores propios no nulos y U 2 matriz de m (m r) que contiene los vectores propios del valor propio 0. Entonces se tiene que:
×
× −
U = [U 1 U 2 ]. Los vectores columna de U 1 forman una base de Im(At A) = Im(At ). Los vectores columna de U 2 forman una base de Ker(At A) = Ker(A). (AU 1 )t (AU 1 ) = D =
d1 ..
. dr
n×m
Observaci´ on 8.33. ¿C´ omo obtener V ?
× r la matriz V = AU √ D . Sea V de n × (n − r) la matriz cuyas columnas completan una base ortogonal −1
Sea V 1 de n
1
1
2
con las columnas de V 1 .
Entonces se considera V = [V 1 V 2 ]. Ejemplo 8.34. Sea A =
ores singulares de A.
1 0 1 0
0 1 0 1
−1 0 −1 0
. Obterner la descomposici´on en val-
Soluci´ on:
t
{ } √ 2 0 0 2 2 0
AA=
−2
−
1 0 1
E 4 =<
U =
D=
− √ 1/ 2 0 √ −1/ 2 4 0 0 2
con valores propios 4, 2, 0 .
0 2
0 1 0
>, E 2 =<
√ √
0 1/ 2 1 0 0 1/ 2
y
D
−1
> y E 0 =<
>.
√ − √
1/ 2 0 0 1 1/ 2 0
con U 1 =
=
1 0 1
1/2 0 0 1/ 2
√
√ √
1/ 2 0 1/ 2
y U 2 =
.
.
{ √ }
Entonces los valores singulares de A son: 2, 2 .
√ V = AU D 1
1
V =
8.1.
√ √
−1
=
√ √
1/ 2 0 0 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2
√ √
y V 2 =
√ 0 √ √ 1/ 2 √ 0 √ − −1/√ 2
1/ 2 0 0 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2
1/ 2 0 1/ 2 0
√ − √
1/ 2 0 1/ 2 0
0 1/ 2 0 1/ 2
√ − √
t
y entonces V AU =
2 0 0 0
.
0 2 0 0
√
0 0 0 0
.
Problemas
1. Determine los valores y vectores propios de las siguientes matrices
−
(a)
6 4 4
−2 −7 0 1
6 5
− − −
(b)
5/2 1 2 2 1/2 1
3/2 0 1/2
−
2. Demuestre que si A M n (R) es no singular, entonces los rec´ıprocos de sus valores propios son valores propios de A−1 .
∈
3. Sea A de n n tal que A8 = 7A7 . Pruebe que si 7 no es valor propio de A, entonces A es singular.
×
4. Sea U subespacio no trivial de Rn de dimensi´on m, P la matriz de proyecci´on sobre U y a N mayor que uno. Determine los valores propios y la dimensi´on de los espacios propios de la matriz I aP .
∈
−
a b . Encuentre condiciones sobre los coeficientes de la c d matriz para que
5. Sea A =
a ) 0 sea un valor propio de A.
´ nico valor propio. b ) A tenga un u c ) A sea diagonalizable.
6. Demuestre que la matriz
|a| > 1
a a a+1 a
−1
es diagonalizable si y s´olo si
7. Si A es una matriz cuadrada tal que A2 = A, demuestre que la matriz s´olo admite los valores propios 0 y 1. 8. Sea A de 2 2, tal que no es diagonal, tr(A) = 0 y A = d, con d Determine condiciones para que A sea diagonalizable.
×
| |
9. Sea T : P 4 (R)
→ P (R) lineal tal que 4
k
k
T (x ) =
(i + 1)xi
para k = 0, 1, 2, 3, 4
i=0
Decida justificadamente si T es diagonalizable. 10. Sea A de 3
×3 y e ,e ,e 1
2
3
vectores can´onicos de R3 tal que A(e1 + e2 ) = e3 A(e1 + e3 ) = e2 A(e1 ) = 3e1
∈ R.
Encuentre y diagonalice A. 11. Sea A de 3 3 sim´etrica etrica con valores propios propio s λ, λ + 1, λ + 2, con con λ R. Muestre que existe a R tal que la matriz A + aI es positiva definida.
×
∈ 12. Sea A sim´ si m´etrica etr ica de 5 × 5 y B = [v
∈
1
AB = B
v2 v3 ] de 5 2 0 0 0 3 0 0 0 4
× 3 tal que
Muestre que B t B es diagonal. diagonal. 13. Sea V espacio vectorial de dimensi´on o n 3 tal que V =< v1 , v2 , v3 >, y T : V lineal tal que Ker(T Ker(T )) =< v1 + v2 , v1 + v3 > y V lineal Im(T Im(T )) =< v1 >.
→
Decida justificadamente si T es diagonalizable. 14. Sea E = dada por
0 1 1 0
y T : M 2 (R)
T ( T (A) = AE + AE + EA
→ M (R) 2
la tran transfo sforma rmaci´ ci´ on on lineal
para toda matriz A
∈ M (R) 2
¿Es T diagonalizable? Justifique. 15. Sea A M n (R) y a R. Demuestre que A es diagonalizable si y s´olo olo si A + aI es diagonalizable.
∈
∈
16. Sea A M n (R) tal que A2 = A + 2I . Pruebe que si 2 no es valor propio de A, entonces A + I es singular. singular.
∈
17. Sea A =
2 0 1 0 1 0 1 0 2
Encuentre la descomposici´on on espectral de A.
18. Calcule l´ım An , con A = n→∞
2/3 1/3 . 1/3 2/3
19. Sea A una matriz cuadrada tal que A2 = 2A + 3I 3I . Demuestre que si 3 no es valor propio de A, entonces A + I es no invertible. Soluci´ on on:
Se tiene que A2
(A − 3I )(A )(A + I ) = 0. − 2A − 3I = 0, entonces (A
Tomando determinantes:
|A − 3I | · |A + I | = 0. Dado que 3 no es valor propio de A, entonces A
| − 3I | = 0.
Por lo tanto A + I = 0 y entonces A + I es no invertible.
|
|
20. Sea xn una sucesi´on o n de n´ umeros umeros reales tal que 5x 5 xn+1 = 6xn Calcule Calc ule el l´ım xn .
{ }
n→∞
Soluci´ on on:
Matricialmente queda
xn+1 xn
=
6/5 1
=
6/5 1
−1/5
n
0
−1/5
xn xn−1
0
x1 x0
.
.
Polinomio caracter´ıstico ıstico de la l a matriz: m atriz: (x Valores propios: 1/ 1/5, 1. (1, 1)t >. E 1 =< (1,
5)(x − 1). − 1/5)(x
n−1 .
−x
(1, 5)t . E 1/5 = (1, P −1 AP = D P =
P −1 = D=
1 1 1 5
n
−1
→ A = P DP → A
= P Dn P −1 .
.
5/4 1/4
−
1 0 0 1/5
−1/4 1/4
.
.
Enton Ent onces ces l´ım An = P n→∞
Enton Ent onces ces l´ım xn =
5x1
1 0 0 0
P −1 =
.
−x . 0
21. Sea A una matriz de 3 3 tal que A reducida de A es
−1/4 −1/4
4
n→∞
5/4 5/4
×
1 0 0 0 0 0
−1 0 0
1 2 3
=
2 4 6
y la forma escalonada
.
Calcule eA . Soluci´ on on:
De la escalonada reducida Ker(A Ker( A) =< (0, (0, 1, 0)t , (1, (1, 0, 1)t >. Por lo tanto 0 es un valor propio de A con m.g. = 2. Adem´as as A(1, (1, 2, 3)t = 2(1, 2(1, 2, 3)t . Por lo tanto 2 es un valor propio de A con m.g. = 1. (no puede ser mayor pues la matriz es de 3 3).
×
La diagonalizaci´on queda: P =
D=
−1
P
0 1 1 1 0 2 0 1 3
.
0 0 0 0 0 0 0 0 2
.
1 1 3/2 0 1/2 0
=
−
−1
A = P DP
22. Sea A =
−1
−1/2
.
1/2
A
D
−1
entonces e = P e P
4 1 1 1 4 1 1 1 4
=
2
3
−e 2 1−e 3 − 3e
0 2
1
2
2
0
2
2
.
. Determine la descomposici´on espectral de A.
Valores propios: 3, 6. E 3 =< (1, 0, 1)t , (0, 1, 1)t >.
−
E 6 =< (1, 1, 1)t >. Bases ortonormales:
√ − √ √ − √ √ √ √ √ E =< (1/ 3, 1/ 3, 1/ 3) >.
E 3 =< (1/ 2, 0, 1/ 2)t , (1/ 6, 2/ 6, 1/ 6)t >. 6
−1 2 e −1 3e − 1 2
Soluci´ on:
−
e2
t
Entonces la descomposici´on queda:
