INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
-b ± b 2 - 4ac x= 2a
APUNTES DE ALGEBRA ax 2 bx c 0 ax 2 bx c 0 a a a a b c x2 x 0 a a b c c c x2 x 0 a a a a b c 2 x x a a
b 2 2 a b ; b b 2 2a 4a 2 2a b b2 c b2 x2 x 2 a a 4a 2 4a 2
b b 2 4ac x 2a 4a 2 2
b b 2 4ac x 2a 4a 2
x
b b 2 4ac 2a 2a
x
b b 2 4ac 2a 2a
x
b b b 2 4ac b 2a 2a 2a 2a
x
b b 2 4ac 2a
Nombre del alumno:___________________________________ Grupo:__________
Boleta:__________
Turno:___________
Nombre del Profesor:____________________________________ Autores: Prof. Prof. Prof. Prof.
José Calvillo Velázquez. Sabino Keb Queb. José Antonio Ramírez Trejo. Bernardo Alberto Cienfuegos García.
EDICIÓN 2013.
PROGRAMA SINTÉTICO COMPETENCIA GENERAL (DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE) : Resuelve problemas de aritmética y problemas algebraicos lineales y cuadráticos en situaciones teóricas y reales de su entorno académico, personal y social, que a su vez sea parte de su formación propedéutica y tecnológica COMPETENCIA PARTICULAR RAP CONTENIDOS (DE CADA UNIDAD DIDACTICA) - Concepto y propiedades de los 1.1 Relaciona los diferentes conjuntos números reales. de números que dan origen a los - Representación de los números números reales y su implicación con reales en la recta numérica. la evolución humana - Propiedades de las operaciones 1. Emplea las operaciones aritméticas básicas. y sus propiedades, en los diferentes 1.2 Realiza operaciones - Algoritmos de operaciones conjuntos de números, para la fundamentales con números reales aritméticas solución de problemas relacionados que se relacionan con situaciones de - Concepto y propiedades de las con su entorno académico, personal y su entorno. proporciones. social. - Mínimo común múltiplo y máximo 1.3 Emplea los algoritmos de las común divisor. operaciones aritméticas en solución - Notación científica y operaciones. de problemas de su ámbito personal, - Solución de problemas surgidos a social y global. partir de los conceptos señalados. 2.1 Reconoce expresiones algebraicas, - Conceptos y terminología algebraicos. sus elementos y propiedades en - Traducción del lenguaje cotidiano al operaciones con polinomios en su lenguaje algebraico. ámbito académico. - Algoritmos de las operaciones con 2.2 Identifica productos notables y la 2. Utiliza conceptos, propiedades y polinomios. factorización de expresiones relaciones algebraicas en la solución - Operaciones con polinomios. algebraicas en un ambiente de ejercicios de su entorno - Productos notables y métodos de matemático. académico. factorización. 2.3 Utiliza los productos notables y la - Estructuras de fracciones factorización en operaciones con algebraicas. fracciones algebraicas en su ámbito - Operaciones de fracciones académico. algebraicas 3.1 Identifica elementos de las - Concepto de función lineal. funciones lineales a partir de - Representación de funciones representaciones tabulares, gráficas y lineales en forma algebraica y gráfica. algebraicas en su ámbito personal y - Concepto y Propiedades de las social. igualdades. 3. Emplea las funciones y ecuaciones lineales en la solución de problemas que se presentan en su entorno académico, personal y social.
4. Emplea las funciones y ecuaciones cuadráticas en la solución de problemas que se presentan en situaciones de su entorno académico, personal y social.
3.2 Elabora modelos que den lugar a ecuaciones y/o sistemas lineales a partir de situaciones de la vida cotidiana y las ciencias. 3.3 Utiliza modelos en la solución de problemas que dan lugar a ecuaciones y sistemas lineales en situaciones de la vida cotidiana y las ciencias 4.1 Identifica elementos de las funciones cuadráticas a partir de representaciones tabulares, gráficas y algebraicas en su ámbito académico, personal y social. 4.2 Elabora modelos que den lugar a ecuaciones cuadráticas a partir de situaciones de la vida cotidiana y las ciencias. 4.3 Utiliza modelos en la solución de problemas que dan lugar a ecuaciones cuadráticas o sistemas cuadrático-lineal en su ámbito académico, personal y social.
- Ecuaciones lineales. - Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas. - Métodos de solución de ecuaciones y sistemas lineales (suma–resta, sustitución, igualación, determinantes y gráfico entre otros). - Solución de problemas que den lugar a ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales.
- Concepto de función cuadrática. - Representación de funciones cuadráticas en forma algebraica y gráfica. - Solución de ecuaciones cuadráticas. - Solución de problemas que den lugar a ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineal con cuadrática
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CECyT No. 16 “HIDALGO”
ARITMETICA ACTIVIDAD 1 CONJUNTO DE NUMEROS I. Realiza la siguiente lectura y completa el mapa conceptual de la página 7. NÚMEROS PRIMOS.- El conjunto de los números primos está compuesto de números que tiene como únicos factores al 1 y así mismo. Tomando en cuenta que por esta razón el número 1 no es primo. Ejemplos:
2 - solo tiene como factores a 1 y 2 ; porque 1 2 2 . 11 - solo tiene factores a 1 y 11 ; porque 111 11 . NÚMEROS COMPUESTOS.- Es el conjunto de números que está formado por dos o más factores que son números primos iguales o diferentes. 4 - tiene como factor al 1 , 2 y 4 ; porque: 14 4 , 1 2 2 4 . 20 - tiene como factor 1 , 2 , 4 , 5 , 10 y 20 ; porque: 1 20 20 , 1 2 10 20 , 14 5 20 , 1 2 2 5 20 .
NÚMEROS NATURALES.- El conjunto de los números naturales está formado por la unidad y los conjuntos de los números primos y los números compuestos, son los que nos sirven para contar y para determinar la cantidad de elementos que tiene un conjunto (cardinal); también se le emplea para ordenar los elementos de un conjunto (ordinales). Son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. El conjunto de los números naturales esta de notado por la letra y es un conjunto infinito.
Unidad
Números primos Números naturales Números compuestos 1,2,3,4,5,6,7 ,8,9,10,... Este conjunto de números se les pueden sumar, multiplicar y potenciar sin restricción. NÚMEROS ENTEROS.- El conjunto de los números enteros está formado por el cero y los conjuntos de los números naturales (enteros positivos) y los simétricos de los números naturales (enteros negativos). Se denota por la letra , es un conjunto infinito y a cada número entero tiene un antecesor y un sucesor.
Cero Números enteros
..., 20, 19, 18,..., 2, 1,0,1,2,...,23,24,25,... Los números negativos nos permiten obtener nuevas cantidades (como los saldos deudores) u ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (Alturas bajo el nivel del mar o por encima del nivel del mar). También llamados números dirigidos o números con signo, ya que se pueden interpretar geométricamente en términos de dirección, el cero es el punto de simetría de este conjunto al representarlos en una recta numérica, donde cada numero entero tiene un valor relativo de acuerdo en la posición que ocupe esté en la ~ 1 ~
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recta numérica, entre más alejado este a la izquierda de cero tendrá una valor menor por su posición y si está más alejado de cero a la derecha será de una valor mayor por su posición. También tienen un valor absoluto, el cual es la distancia que hay entre cero y el número entero. Ejemplo: -a – Es un número menor a cero por lo tanto se coloca a la izquierda de él, como lo indica su valor relativo lo. a – Es un número mayor a cero por lo tanto se colocara a la derecha de él, como lo indica su valor relativo. Pero observamos que el valor absoluto de ambos valores (-a y a) es a que es la distancia que cada uno tiene con respecto a cero.
El valor absoluto se denota por un número dentro de dos rectas verticales a ; y definimos que el valor absoluto de un número es: a a a
si a 0 si a 0
Ejemplo: 7 7 , como podemos observar como 7 es mayor que cero solo lo reescribimos sin las barras como dice la definición.
11 11 11 , como observamos 11 es menor a cero por lo tanto aplicamos la propiedad del doble negativo para obtener su valor absoluto. A este conjunto de números se les puede sumar, restar, multiplicar y potenciar sin restricción. NÚMEROS RACIONALES.- El conjunto de los números racionales son todos aquellos números que pueden a expresarse en un cociente de dos números enteros, es decir en forma de fracción ; donde b 0 . Los b números enteros son racionales porque se les puede expresar como un cocientes de dos números enteros a a . 1 a , de tal b forma que a y b son enteros b 0 , y se lee a sobre b , El número a es llamado numerador y el número b es llamado denominador.
A los números no enteros se les conoce como fraccionarios, donde una fracción es un símbolo
a numerador ; Donde b 0 b denominador Como fracción las clasificamos en fracciones propias, impropias y mixtas. Las propias que son cuando el numerados es menor al denominador a b , impropias cuando el numerador es mayor al denominador
a b y las mixtas que son fracciones impropias representadas en una parte entera más una parte que es una fracción propia. ~ 2 ~
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Ejemplo:
3 - Fracción propia. 4 5 - Fracción impropia. 3 1 5 - Fracción mixta. 2 Esta última casi no se emplea porque causa confusión con la operación del producto de un número entero por una fracción, por esta razón la fracción mixta se transformara a fracción impropia. Las fracciones también se expresan en forma de decimales, debemos tener en cuenta que hay tres tipo de ellos, los exactos, los periódicos y los aperiódicos; donde los dos primeros los podemos representar en cocientes de dos números enteros, y el tercero es un caso que veremos más a delante.
a dividendo cociente b divisor Decimales exactos que son el resultado de realizar la división de una fracción donde en el denominador tiene factores de 2 y/o 5 exclusivamente. Ejemplo:
7 1.4 5 1 0.02 50 3 1.5 2 Decimales periódicos cuando en el denominador tiene factores diferentes de 2 y/o 5 ; y de los cuales se pueden catalogar en 2 tipos puros o mixtos, es decir, que después del punto decimal exista una secuencia de números que se repitan o que después del punto decimal exista números que no se repitan seguidos de una secuencia que se repita, respectivamente; a la secuencia de números que se repiten se les coloca una raya en la parte superior, que indica que esa cifra se repite consecutivamente. Ejemplos:
15 1 2.142857 ; 0.1 Periodicos puros 7 9 268 1 1.624; 0.16 Periodicos mixtos 165 6 El conjunto de los números racionales se denota por la letra , también es un conjunto infinito, pero a diferencia de los enteros no hay un número siguiente ( 5 , 4 , 3 o 10 , 11 , 12 ); pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.
Decimales exactos Fracciones Decimales periodicos
A este conjunto de números se les puede sumar, restar, multiplicar, dividir y potenciar sin problemas.
NÚMEROS IRRACIONALES.- El conjunto de los números irracionales son todos aquellos números que no son racionales, es decir, que no pueden representarse como cociente de dos números enteros; la expresión ~ 3 ~
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decimal de estos números consta de infinitas cifras aperiódicas (no se repiten); por ejemplo:
3 5 11 , ,
2 , 3 5 ,
3 , e 4 . 3
tendremos que
n
2 ó
3
5 no es una operación aritmética si no la representación de un 3 es un número racional. Por lo tanto número que consta de decimales aperiódicos; así como el número 4
Debemos de tener en cuenta que
a es un número irracional, siempre y cuando n no sea par y si n es par a 0 .
Los números irracionales se clasifican en números algebraicos los cuales llevan ese nombre por satisfacer una ecuación polinomial y trascendentales los cuales no satisfacen una ecuación polinomial.
3 - Número irracional algebraico. - Número irracional trascendental. El conjunto de los números irracionales se denota con la letra c . Números algebraicos C Decimales aperiodicos Números trascendentales
A este conjunto de números se les puede sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar sin restricción.
NÚMEROS REALES.- El conjunto de los números reales es la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales; los cuales pueden expresarse mediante su símbolo numérico o en forma decimal exacto, periódico o aperiódico en el caso que no sea entero. Se pueden representar geométricamente sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se pueden representar sobre una recta de acuerdo con: A cada segmento de unidad consecutiva que coincida con el punto a la izquierda o derecha de cero representará un número entero.
Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real. El conjunto de los números reales se denota por la letra . C
A este conjunto de números se les puede sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar sin problemas.
NÚMEROS IMAGINARIOS.- Es aquel número no real que se asocia con la unidad imaginaria i 1 ; donde cada número imaginario puede escribirse como bi , donde b es un número real e i la unidad imaginaria. Con la propiedad de i 2 1 . ~ 4 ~
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De lo anterior se deduce que las raíz cuadrada de un numero negativo lo transformamos en un número imaginario de la siguiente forma.
12 12 1
9 9 1
12 2 2 3 1
9 3 2 1
12 2 2 3 i
9 3i
12 2 3 i A este conjunto de números se les puede sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar y radicar sin problemas.
NÚMEROS COMPLEJOS.- El conjunto de los números complejos es la unión de los conjuntos de números reales y los números imaginarios, escribiéndose de la forma:
a bi 2 4i
4 3 15 i Donde a y b son números reales y diferente de cero a 0;b 0 e i la unidad imaginaria; siendo a la parte real y bi la parte imaginaria. El conjunto de los números complejos se denota por la letra . Imaginarios
A este conjunto de números se les puede sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar y radicar sin problemas, a tendiendo las propiedades de los números complejos. Escribe en la línea el nombre al cual pertenecen los números que se muestran ó escribe cinco números que pertenezcan al conjunto nombrado. 1) Números primos. 2) _______________________________________ 3) Números complejos.
_______________________________________ 1 7 7 , 4.025 , , 0.03 , 4 . 11 3 9 _______________________________________
4) _______________________________________ 5) Números enteros negativos. 6) _______________________________________ 7) Números irracionales. 8) _______________________________________ 9) Números reales. 10) _______________________________________
2 , 1.316007... ,
4 3 3 , , 3 3 . 2 2
_______________________________________ 4 , 221 , 253 , 155 , 667 .
_______________________________________
e 3 , , ln 3 , -tan 31 , 2
2
.
_______________________________________
300 , 0 , 11 , 37 , 200 . ~ 5 ~
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11) Decimales exactos.
_______________________________________
12) _______________________________________ 13) Números imaginarios. 14) _______________________________________ 15) Números racionales.
1 , 5 , 8 , 26 , 29 .
_______________________________________ 1 1 25 , 0.325 , 0.1 , , 3 7 23
_______________________________________ R: 2) Decimales periódicos, 4) Números algebraicos, 6) Números compuestos, 8) Números trascendentales, 10) Números enteros, 12) Números naturales, 14) números fraccionarios.
Completa los siguientes enunciados. 1) El primer elemento de los números naturales es el _______________. 2) Los números _______________ se puede expresar como razón de dos números enteros. 3) Los números enteros, contienen a los _______________, él _______________ y los _________________________. 4) El _______________ es el único número entero que no tiene signo. 5) Los números _______________ están formados por un número real y un número imaginario. 6) Los números irracionales contienen a los números _______________ y _______________. 7) Los enteros _______________ entre más alejados del cero son más pequeños. 8) i 1 es la unidad _______________. 9) Los números fraccionarios están formados por decimales _______________ y _______________. 10) Los números compuestos están formados por los números _______________. R: 1) Uno, 2) Racionales, 3) Naturales, cero y simétricos de los naturales, 4) Cero, 5) Complejos, 6) Algebraicos y trascendentales, 7) negativos, 8) Imaginaria, 9) Exactos y Periódicos, 10) Primos.
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES PROPIEDADES DE IGUALDAD. a a. Propiedad reflexiva. Propiedad simétrica. Si a b , entonces b a . Propiedad transitiva. Si a b y b c , entonces a c . Si a b , entonces a puede sustituir a b en cualquier expresión algebraica Propiedad de sustitución. para obtener una expresión equivalente. PROPIEDADES ASOCIATIVAS. Si a , b y c son números reales, entonces: a b c a b c Propiedad asociativa de la suma. ab c a bc Propiedad asociativa de la multiplicación. PROPEDADES DISTRIBUTIVA. Si a , b y c son números reales, entonces: a b c ab ac .
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PROPIEDAD DE LA CERRADURA. Si a y b son números reales, entonces: a b Es un número real . a b Es un número real . ab Es un número real . b a Es un número real . a Es un número real , siempre y cuando b 0 . b b Es un número real , si b impar; pero si b - par a 0 . a PROPIEDADES CONMUTATIVAS. Si a y b son números reales, entonces: Propiedad conmutativa de la suma. a b b a Propiedad conmutativa de la multiplicación. ab ba PROPIEDADES DEL 0 Y 1 .
Identidad aditiva Propiedad de la multiplicación por 0 Identidad multiplicativa
La suma de 0 y cualquier número real es igual al número mismo a 0 0 a a . El producto de cualquier número por 0 es igual a 0 . a 0 0 a 0 . El producto de 1 por cualquier número es igual al número mismo 1a a 1 a .
PROPIEDADES DEL INVERSO. Para todo número real a , existe un número real a ; de tal forma que al a a a a 0 sumarlos nos den cero. También conocido como número simétrico. 1 ; de tal Para todo número real a diferente de cero, existe otro número real 1 1 a a a 1 a a forma que al multiplicarlos nos den la unidad. También conocido como numero reciproco. REGLA DEL DOBLE NEGATIVO. Si a representa cualquier número real, entonces: a a Relaciona la columna de la izquierda con la de la derecha, asigna la propiedad correspondiente a cada igual o enunciado: a) 25 25 0 1 1 b) 7 1 7 1 4 4 1 3 5 5 5 5 1 3 5 5 c) y 2 4 4 2 4 4 2 4 2 4 d) 12 5 12 5
(
)
Propiedad de la cerradura de la división.
(
)
Propiedad del inverso multiplicativo.
(
)
Propiedad de la sustitución.
( ( (
) ) )
Propiedad conmutativa de la multiplicación. Propiedad del inverso aditivo. Propiedad asociativa de la suma.
)
Propiedad transitiva.
)
Propiedad de cerradura de la suma.
(
)
Propiedad distributiva respecto a la suma.
j) Si a , b , entonces a b es un número ( real.
)
Propiedad de cerradura de la multiplicación.
e) 27 0 27 f) 3 3 ( g) 2 1 2 h) Si a , b , entonces ab es un número ( real. i) 4 1 5 5 1 4
~ 8 ~
de
la
multiplicación
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1 1 k) 5 5 5 5 1 l) 3 1 3
(
)
Propiedad simétrica.
(
)
Propiedad de la cerradura de la resta.
)
Propiedad asociativa de la multiplicación.
)
Propiedad reflexiva.
)
Propiedad de la cerradura de la potencia.
) ) )
Propiedad del neutro multiplicativo. Propiedad conmutativa de la suma. Propiedad del neutro aditivo.
m) Si a , b , entonces a b es un número ( real. 5 1 5 5 1 n) 4 4 ( 3 2 3 3 2 1 1 1 1 ñ) ( 2 2 2 2 ( ( (
ACTIVIDAD 2 DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS (FACTORIZACIÓN ARITMETICA) Como vimos anteriormente el conjunto de los enteros positivos (naturales) mayores que 1 está dividido en dos conjuntos, el conjunto de los números primos y el conjunto de números compuestos. Los primos son, en cierto sentido la base de la formación de los compuestos, como se indica en la siguiente proposición. Teorema fundamental de la aritmética. Cualquier numero natural, puede escribirse como un producto de números primos y 1 , en forma única excepto por el orden en que se escriben los factores.
Ejemplo: Considere el numero entero 72 .
72 9 8 72 3 3 2 4 72 3 2 2 2 2
72 6 12 72 2 3 2 6 72 2 2 3 2 3
72 3 2 2 3
72 2 3 3 2
Nota: para trabajar con los factores primos no hay que olvidar las leyes de los exponentes. Leyes de los exponentes. Si a y b ; y n , tenemos:
1) a 0 1
2) a ma n a m n
4) a m a mn
5)
n
n
am a m n an 1 6) a n n a
3)
m
am a n n
7) a n bn ab
n
8)
an a bn b
El problema de encontrar los factores primos de un número es laborioso para números muy grandes; pero se puede emplear criterios de divisibilidad que nos permiten por inspección decir si un número dado es divisible entre los primeros números primos. Divisibilidad por 2 .- Un número es divisible por 2 sí y solamente si el digito de las unidades de su numeral es par. Ejemplos: ~ 9 ~
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Dividir 57480 entre 2 . 0 es par, por lo tanto 57480 es divisible entre 2 .
Dividir 53247 entre 2 . 7 no es par por lo tanto 53247 no es divisible entre 2 .
28740 2 57480
26623 2 53247
17
13
14
12
8
4
0
7
0
1
Divisibilidad por 3 .- Un número es divisible por 3 sí y solamente si la suma de los dígitos de su numeral es divisible por 3 . Ejemplos:
Dividir 34257 entre 3 . 3 4 2 5 7 21 ; 21 es divisible entre 3 por lo tanto 34257 es divisible entre 3 .
Dividir 57480 entre 3 . 4 6 7 9 6 32 ; 32 no es divisible entre 3 por lo tanto 46796 no es divisible entre 3 .
11419 3 34257
15598 3 46796 16
4 12
17 29
5 27
26 2
0
Divisibilidad por 5 .- Un número es divisible entre 5 sí y solamente si el digito de las unidades de su numeral es 0 ó 5 . Ejemplos:
Dividir 57480 entre 5 . 57480 es divisible entre 5 porque el numeral de las unidades es 0 .
Dividir 46796 entre 5 . 46796 no es divisible entre 5 porque el numeral de las unidades no es 0 ó 5 .
11496 5 57480
15598 3 46796 16
7 24
17 29
48 30
26 2
0
Divisibilidad por 7 .- Un número es divisible entre 7 sí y solamente si el doble producto de su digito de las unidades restado a los dígitos restante lo es, este proceso se realizara hasta obtener un numeral de dos dígitos y si este es divisible entre 7 , el primer número también lo será. Ejemplos:
Dividir 5236 entre 7 . 5236 es divisible entre 7 sí 523 2 6 511 lo es, 511 es divisible entre 7 sí 51 2 1 49 , como 49 es divisible entre 7 , 5236 es divisible entre 7 .
Dividir 25252 entre 7 . 25252 es divisible entre 7 sí 2525 2 2 2521 lo es, 2521 es divisible entre 7 sí 252 2 1 250 lo es, 250 es divisible entre 7 sí 25 2 0 25 lo es, como 25 no es divisible entre 7 , 25252 no es
~ 10 ~
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divisible entre 7 .
748 7 5236
3607 7 25252
33 56 0
42 52 3
Divisibilidad entre 11 .- Un procedimiento similar al anterior puede usarse para verificar la divisibilidad entre 11 . El único cambio es que el digito de las unidades se resta de forma directa a los demás digitos. Ejemplos:
Dividir 36465 entre 11 . 36465 es divisible entre 11 sí 3646 15 3641 lo es, 3641 Es divisible entre 11 sí 364 11 363 lo es, 363 Es divisible entre 11 sí 36 13 33 lo es, como 33 es divisible entre 11 , también lo es 36465 .
Dividir 25356 entre 11 . 25356 es divisible entre 11 sí 2535 16 2529 lo es, 2529 Es divisible entre 11 sí 252 19 241 lo es, 241 Es divisible entre 11 sí 24 11 23 lo es, como 23 no es divisible entre 11 , también 25356 no es divisible entre 11 .
3315 11 36465
2305 11 25356
34
33
16 55
56 1
0
Para obtener los números primos entre 1 y 100 se utiliza un sencillo procedimiento que recibe el nombre de criba de Eratóstenes, en donde se tachan los múltiplos de los primeros números primos. 1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17
8 9 18 19
10 20
21 31 41 51
28 38 48 58
29 39 49 59
30 40 50 60
61 62 63 64 65 66 67 71 72 73 74 75 76 77 81 82 83 84 85 86 87
68 69 78 79 88 89
70 80 90
91 92 93 94 95
98 99 100
22 32 42 52
23 33 43 53
24 34 44 54
25 35 45 55
26 27 36 37 46 47 56 57
96
97
Números primos: _____________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________. Otro método para determinar si un número es primo o no consiste en ir dividiendo la cantidad entre cada uno de los números primos hasta que el cociente sea menor que el divisor. cociente divisor dividendo cociente divisor; dividendo es primo
Ten en cuenta que con la primera división exacta el número no es primo. ~ 11 ~
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Ejemplo: Determina si 101 y 217 son números primos. 1) 101 . Analizando los criterios de divisibilidad: No es divisible entre 2 , porque su ultimo digito no es par. Si sumamos los dígitos 1 0 1 2 y 2 no es divisible entre 3 . No es divisible entre 5 , porque el ultimo dígito no termina en 0 o 5 . Como 10 1 2 8 y 8 no es divisible entre 7 , 101 no es divisible entre 7 . Como 10 11 9 y 9 no es divisible entre 11 , 101 no es divisible entre 11 . Como el cociente es menor que el divisor 101 es un número primo.
7 13 101 10 2) 391 .
Analizando los criterios de divisibilidad: No es divisible entre 2 , porque su ultimo dígito no es par. Si sumamos los dígitos 3 9 1 13 y 13 no es divisible entre 3 . No es divisible entre 5 , porque su ultimo dígito no es 0 o 5 . Como 39 1 2 37 y 37 no es divisible entre 7 , 391 no es divisible entre 7. Como 39 11 38 y 38 no es divisible entre 11 , 391 no es divisible entre 11 . 30 13 391
23 17 391
0
Como el residuo es cero 391 no es un número primo.
51
1
0
Ejercicios: 1. Determina si los siguientes números son primos o no. a) 193 . f) 143 .
b) 133 . g) 167 .
c) 179 . d) 351 . e) 113 . h) 215 . i) 131 . j) 213 . R: a), c), e), g) y i) son primos y b), d), f), h) y j) no son primos.
2. Factoriza en números primos los siguientes números. a) 64 . f) 2093 .
b) 91 . c) 96 . d) 408 . e) 507 . g) 5753 . h) 12740 . i) 15700 . j) 208537 . R: a) 2 6 , b) 7 13 , c) 2 3 3 , d) 2 3 3 17 , e) 2 13 2 , f) 7 13 23 , g) 11 523 , h) 2 2 5 7 2 13 , i) 2 2 5 2 157 , j) 7 313 . ~ 12 ~
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CECyT No. 16 “HIDALGO”
EL MÁXIMO COMUN DIVISOR. Definición.- Un entero positivo d , es el máximo común divisor de los enteros a y b si d es el mayor número que divide a a y b sin dejar residuo.
m.c.d. 36,60 12 m.c.d. 6,12 6 m.c.d. 5,7 1 , 5 y 7 son primos relativos. El mcd usando factorización de primos. Obtener el mcd de dos o más números naturales cuando estos son pequeños se puede hacer por inspección, pero cuando se tienen enteros más grandes o más de dos números enteros se descomponen los números dados en sus factores primos. El mcd se forma con el producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Ejemplo: Obtener el mcd de 1800 , 420 , 1260 y 108 . 1800 2 900 2 450 2
420 2 210 2 105 3 35 5
225 3 75 3 25 5 3 1
7 7 1
108 2
105 3 35 5
9 3
7
7
420 2 3 5 7
5
1260 2 630 2 315 3
1
2
1260 2 3 5 7 2
1800 2 3 5 3
2
54 2 27 3 3 3 1
108 2 2 33
2
2
Tenemos que él 2 y el 3 son factores comunes en los cuatro números y los tomamos con el menor exponente para cada uno de ellos cuadrático y lineal respectivamente, entonces tenemos que:
m.c.d. 1800,420,1260,108 2 2 3 12 Comprobando:
1800 2 3 3 2 5 2 12 2 2 3 1800 2 3 2 3 2 1 5 2 12 1800 2 3 5 2 12 1800 6 25 12 1800 150 12
1260 2 2 3 2 5 7 12 2 2 3 1260 2 2 2 3 2 1 5 7 12 1260 2 0 3 35 12 1260 1105 12 1260 105 12
420 2 2 3 5 7 12 2 2 3 420 2 2 2 311 5 7 12 420 2 0 3 0 5 7 12 420 1 1 35 12 420 35 12
108 2 2 3 3 2 12 2 3 108 2 2 2 3 3 1 12 108 2 0 3 2 12 108 1 9 12 108 9 12
Ejercicios: Obtén el mcd de los siguientes números. a) m.c.d. 20,80 . c) m.c.d. 10,36,25 . e) m.c.d. 425,800,950 .
R: 20 . R: Primos relativos. R: 25 .
b) m.c.d. 144,520 . d) m.c.d. 33,77 ,121 . f) m.c.d. 54,76,114,234 . ~ 13 ~
R: 8 . R: 11 . R: 2 .
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
EL MÍNIMO COMÚN MULTIPLO.
Definición.- El entero positivo d es el mínimo común múltiplo de los enteros positivos m y n , si m divide a d y n divide a d , dando un cociente entero, y d es el múltiplo más pequeño que comparten m y n . El mcm obtenido por medio de la factorización en primos. El mcm de dos o más números descompuestos en sus factores primos es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes elevados en su mayor exponente. Ejemplo: Obtén el mcm de 50 , 80 , 120 y 300 .
50 2 25 5 5 5 1
50 2 5 2
80 2
120 2
300 2
40 2
60 2
150 2
20 2
30 2
75 3
10 2
15 3
25 5
5 5
5 5
5 5
1
1
1
120 2 3 5
80 2 5 4
3
300 2 2 3 5 2
Observamos que él 2 y 5 se repiten y él 3 no se repite así que tomaremos estos factores elevados al exponente más grande para obtener el mcm, por lo tanto tenemos que:
m.c.m. 50,80,120,300 2 4 3 5 2 1200 Comprobando:
1200 2 4 3 5 2 50 2 5 2 1200 2 4 1 3 5 2 2 50 1200 2 3 3 5 0 50 1200 8 3 1 50 1200 24 50
1200 2 4 3 5 2 80 2 4 5 1200 2 4 4 3 5 2 1 80 1200 2 0 3 5 80 1200 115 80 1200 15 80
1200 2 4 3 5 2 3 120 2 3 5 1200 2 4 3 311 5 2 1 120 1200 2 30 5 120 1200 10 1 120 1200 10 120
1200 2 4 3 5 2 2 300 2 3 5 2 1200 2 4 2 311 5 2 2 300 1200 2 2 30 5 0 300 1200 4 11 300 1200 4 300
Ejercicios: a) m.c.m. 32,80 .
R: 160 .
b) m.c.m. 46,69 .
R: 138 .
c) m.c.m. 18,24,40 .
R: 360 .
d) m.c.m. 32,48,108 .
R: 864 .
f) m.c.m. 14,28,30,120 .
R: 840 .
e) m.c.m. 5,7 ,10,14 .
R: 70 .
En algunas ocasiones se piden calcular ambos números el mcm y mcd, para esto se utiliza un proceso condensado para su obtención. Este proceso consiste en descomponer al mismo tiempo todos los números involucrados, marcando aquellos números primos que dividan a todos los números al mismo tiempo, para obtener el mcd y el mcm se obtiene después de haber obtenido a todos los número primos que factorizan los números que estamos analizando.
~ 14 ~
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Ejemplo: Obtener el mcm y el mcd de los números 1800 , 420 , 1260 y 108 . 108 420 1260 1800 2 54 27
210 105
630 315
9
35
105
3 1
35 7
7
1
1
900 2 450 2 225 3 75 3 25 5 1
3 5 5 7
De esta forma el:
m.c.m. 108,420,1260,1800 2 3 3 3 5 2 7 37800 y m.c.d. 108,420,1260,1800 2 2 3 12 Obtén el mcm y mcd de los siguientes números. a) c) e) h)
m.c.m. 96,102,192,306 m.c.d. 96,102,192,306 m.c.m. 15,16,48,150 m.c.d. 15,16,48,150
.
R:
.
m.c.m. 320,450,560,600 m.c.d. 320,450,560,600
R: .
m.c.m. 1560,2400,5400,6600 m.c.d. 1560,2400,5400,6600
Primos relativos
R:
100800 10 3088800
120
.
b)
.
d)
6
1200
R: .
9792
.
f)
.
h)
m.c.m. 21,39,60,200 m.c.d. 21,39,60,200 m.c.m. 6,12,51,63,75 m.c.d. 6,12,51,63,75
.
R:
.
m.c.m. 98,294,392,1176 m.c.d. 98,294,392,1176
54600
Primos relativos R:
.
m.c.m. 500,560,725,4350,8200 m.c.d. 500,560,725,4350,8200
107100 3
R: . R:
1176 98
16646000 5
. . . .
ACTIVIDAD 3 OPERACIÓN CON NÚMEROS ENTEROS Recordemos que los números enteros son los números con signo, por lo tanto hay que hacer uso de los valores relativo y absoluto que estos números tienen para poder hacer las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potencia y radical, teniendo en cuenta que para división y radical de números enteros nos deben dar como resultados números enteros para que sea válida la operación, sin olvidar las propiedades de los números para realizar dichas operaciones, los signos de agrupación y el orden de las operaciones. Adición. Con signos iguales.- Se suman los valores absolutos de los números y se conserva el signo común.
4 4 4 2 6 4 2 6 2 2 5 5 5 6 11 5 6 11 6 6
Con signos diferentes.- Se restan los valores absolutos (el menor del mayor) y se mantiene el signo del número con el mayor valor absoluto. ~ 15 ~
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
9 9 9 5 4 9 5 4 y 9 5 . 5 5 12 12 12 5 7 12 5 7 y 12 5 . 5 5 Resta. Si a y b son números reales, entonces a b a b y aplicamos lo de adición de números enteros.
12 4 12 4 8 13 5 13 5 18 14 6 14 6 14 6 8 3 7 3 7 3 7 10 Multiplicación. Con signos iguales.- Se multiplican sus valores absolutos. El producto es positivo.
8 8 6 48 6 5 5 6 30 6
8 8 6 48 6 5 5 6 30 6
Con signos distintos.- Se multiplican los valores absolutos. El producto es negativo.
4 4 4 7 28 4 7 28 7 7 7 7 7 3 21 7 3 21 3 3
División. Con signos iguales.- Se dividen sus valores absolutos en caso de el cociente sea entero y positivo. 36 36 36 36 2 2 3 2 4 2 2 3 2 2 4 30 4 1 4 2 9 9 3 9 9 14 14 14 2 7 14 2 2 7 11 2 7 0 2 1 2 7 7 7 7 7
Con signos distintos.- Se dividen sus valores absolutos en caso del que cociente sea entero y negativo. 44 44 44 2 2 11 44 4 2 2 1111 4 110 4 1 4 11 11 11 11 11 27 27 27 3 3 27 3 2 3 3 2 31 3 9 9 3 9 9
Potencia. Con potencia impar.- Se eleva el valor absoluto al exponente indicado y la potencia conservara el signo del número entero que está en la base.
3 3 27 3 3 3 3 3 3 3 27 ~ 16 ~
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
2 32 2 2 2 5 2 2 2 2 2 32 5
Con potencia par.- Se eleva el valor absoluto al exponente indicado y la potencia será positiva sin importar si el número entero de la base es positivo o negativo.
5 4 625 5 5 5 4 5 5 5 5 625 9 2 81 9 9 9 2 9 9 81 Radical. Con radical impar.- Se obtiene la raíz del índice n impar del valor absoluto del radicando, conservando su signo. Donde n es un número entero positivo. 5
3
32 2 32 27 3 27
1
32 32 2 5 5 2 5 2 5 5 2 1 2 1
27 27 3 3 3 3 3 3 3 3 31 3
Con radical par.- Se obtiene la raíz del índice n par del valor absoluto del radicando, si esté es positivo se conservara el signo, si esté es negativo la raíz no está definida. 4
16 2 16
1
16 16 2 4 4 2 4 2 4 4 2 1 2
25 No definido ORDEN DE LAS OPERACIONES. Para garantizar un correcto resultado al realizar cálculos como suma, resta, multiplicación, división y la obtención de una potencia o raíz; se deben de tomar en cuenta el siguiente orden. 1. Las operaciones se realizan de izquierda a derecha respetando el orden jerárquico: - Primero potencias y radicales. - Segundo multiplicación y división. - Tercero sumas y restas. 2. El orden anterior puede verse afectado por los signos de agrupación que de igual forma se analizan de izquierda a derecha, simplificando lo que está dentro de ellos antes de eliminarlos mediantes las operaciones necesarias. 3. Siempre que el ejercicio lo permita hay que simplificar las operaciones. Ejemplo: Simplifica realizando las siguientes operaciones. 3 2 3 2 16 1 3 2 4 16 3 1
2
Solución: Haremos el ejercicio de izquierda a derecha respetando la jerarquía de operaciones realizando las operaciones; simplificando en cada paso para no confundirse y hacer más laborioso el ejercicio. Analizamos le ejercicio de izquierda a derecha realizando las operaciones que la jerarquía y los signos de agrupación nos permitan, una vez terminado el recorrido otra vez empezamos de izquierda a derecha hasta terminan con todas las operaciones y signos de agrupación.
16 1 3 2
2
3 3 2 13 2 4 16 1 8 2 4 9
~ 17 ~
2
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CECyT No. 16 “HIDALGO” 2
8 2 4 9 1 16 4 8 8 9 1 16 2 4 16 8 10 1 8 4 2
2
4 16 10 2
12
100
12 100 88
88
Ejercicios: Simplifica los siguientes ejercicios de números enteros aplicando las propiedades de los números reales, realizándolos paso a paso para justificar tus resultados, simplificándolos en un solo número real. Sin usar calculadora y sin saltarte pasos. 1) 3 2 5 8 10 2 2) 9 6 3 4 8 2 3 5 3 2
R: 8 .
3) 3 2 1 5 2 8 7 5 3 2 7 1
R: 10 .
R: 6 .
4) 2 3 1 4 100 121 15 7 2
R: 73 .
5) 600 20 3 4 5 18 16 113 15 12 4
R: 683 .
2
6) 2 3 1 3 10 5 4 2 3
2
2
3
27 7) 30 10 8 3 2 6 16 3
8)
R: 0 .
R: 194 .
1024 72 91 32 12 2 2 16 12 13
R: 111 .
9) 500 31 18 9 8 4 15 9 6 3 3 16 12 8 4 35
3 2 2 10) 2 3 2 3 5 1 1 2 1 2 3 2 7
R: 439 .
R: 74 .
11) 22 14 13 10 25 17 38 8 6 34 7
R: 168 .
12) 7 8 54 36 43 4 32 51 63 2 1 1 1 3 2 4 13) 3 2 5 5 3 2
R: 427 .
14)
1 2 4 6 1 5 7 1 2 5 2 1 2
15)
6 3 8 1 2 3 12 3 5 12 8
R: 5 . R: 1 . R: 1 .
ACTIVIDAD 4 OPERACIÓN CON NÚMEROS RACIONALES Toda fracción es conocida como número racional y se debe representar en su forma simplificada, de ser posible y para esto hay que descomponer en factores primos. 6 2 3 2 3 2 3 3 3 1 4 2 2 2 2 22 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 1 4 4 12 2 3 3 2 3 11 33 33 35 5 7 35 ~ 18 ~
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Suma y/o resta de fracciones. Para realizar una suma y/o resta de fracciones, se debe obtener el común denominador de todos los denominadores que estén involucrados en el ejercicio; el común denominador se obtiene calculando el mcm de todos los denominadores de los quebrados que van a sumarse o restarse. 1 5 3 4 4 4
5 7 1 3 6 18
3 3 2 4 10 15
Descomponemos en factores primos todos los denominadores. 1 5 3 22 22 22
5 7 1 3 2 3 2 3 2
3 3 2 2 2 2 5 3 5
Obtenemos el mcm de los denominadores escogiendo el valor que se repite con el máximo exponente seguido de los que no se repiten; posteriormente el mcm será dividido entre cada denominador y multiplicado por su numerador correspondiente creando de esta forma fracciones equivalentes. 1 1 5 1 3 1 22 15 3 22 1 22 1 4
5 2 3 7 3 1 1 2 3 30 21 1 2 3 2 10 2 3 2 2 5 2
2 3 2 2 5 2 32 5 1 9 5 9
3 3 5 3 2 3 2 2 2 2 2 3 5 45 18 8 2 2 3 5 35 2 2 3 5 5 7 2 2 3 5 5 7 5 2 2 3 7 1 4 3 7 12
Multiplicación de fracciones. La multiplicación de fracciones se lleva acabo multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador, pero para no hacer números muy grandes lo mejor es primero descomponer tos los números en sus factores primos para poderlos simplificar y después realizar la multiplicación. 4 21 4 21 2 2 3 7 2 2 3 7 7 7 2 2 1 1 4 3 16 3 16 4 4 2 3 2 3 2 5 3 5 3 15 4 2 2 2 2 8
División de fracciones. Realizar la división de fracciones se puede hacer de dos formas las cuales son equivalentes, una es separando las fracciones con el símbolo de división o representar en la forma de fracción . La forma de dividir es la misma sin importar de qué forma esté expresada la división, el numerados del dividendo se multiplica por el numerador del divisor y es el numerador del cociente, después el denominador del dividendo se multiplica por el numerador del divisor y es el denominador del cociente.
~ 19 ~
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
1 3 1 5 5 2 5 2 3 3 9 2 2 10 4 9 2 3 2 3 2 3 6 3 3 10 3 2 5 2 3 5 5 4
Potencia de fracciones. Para realizar una potencia de una fracción se tiene que: 3 3 3 3 3 9 3 3 2 2 2 8 2 2 3
n
an a Es decir: n b b Radical de fracciones. De una forma análoga se concluye que: n
a b
n
a
n
b 1
25 9
25 9
5 2 2 1
3 2 2
51 5 31 3
Ejemplo: Para realizar el ejercicio iremos de izquierda a derecha realizando las operaciones de acuerdo al orden de las jerarquías y tomando en cuenta los signos de agrupación. Realiza las siguientes operaciones y simplifica tu resultado. 2 1 16 5 5 5 15 6 8 5 12 18 24 3 2 1 1 3 5 2 12 4 3 6 18 20 5 5 5 1 1 6 2 3 5 2 3 2 3 5 2 2 3 2 3 2 2 3 3 m.c.m.= 2 3 3 5 m.c.m. 2 3 3 2 3 2 1 1 3 5 2 2 2 3 2 2 3 2 20 2 3 2 3 2 2 2 2 3 m.c.m. m.c.m 2 3 20 16 20 30 15 15 3 2 2 2 1 2 5 1 3 5 6 5 2 3 5 2 2 5 3 2 3 3 5 2 3 3 2 5 8 72 9 2 15 2 5 3 2 2 2 3 2 1 2 3 3 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 3 2 20
~ 20 ~
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16 20 15 6 30 20 15 2 3 3 5 5 2 3 3 2 15 55 9 8 2 15 72 2 3 2 2 3 2 20 2 2 3 25
11
25 11 2 3 3 2 3 3 5 5 2 3 2 15 55 3 2 2 3 2 2 2 5 2 2 3 52 11 2 3 3 2 3 3 5 5 2 2 3 3 5 5 11 3 2 2 2 2 5 2 2 3 2 3 2 3 11 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 3 5 11 2 3 3 3 5 4 2 2 3 5 1 1 1 1 2 3 11 1 2 2 2 2 3 2 5 2 3 5 5 2 1 1 2 3 5 2 3 2 3 5 11 4 3 5 2 3 11 1 1 2 2 2 5 1 11 5 2 11 2 3 1 1 4 2 3 11 2 2 5 2 5 11 2 3 2 4 2 3 2 4 3 11 5 2 2 2 5 11 2 3 2 1 1 2 2 11 2 2 3 5 2 2 11 5 2 2 3 2 2 2 3 5 1 1 2 5 2 32 2 2 3 5 52 2 3 2
2 3 3 3 53 8 27
125 216 125
Ejercicios: Simplifica los siguientes ejercicios de números racionales aplicando las propiedades de los números reales, realizándolos paso a paso para justificar tus resultados, simplificándolos en un solo número real. Sin usar calculadora y sin saltarte pasos. ~ 21 ~
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
5 2 6 15 1) 11 3 30 5 3 1 1 5 6 2) 1 1 1 3 5 2 3 2 1 1 6 5 4 3 3) 2 8 1 7 7 9 5 7 5 5 7 4) 2 8 6 8 6 12 12 8 4 1 2 5 7 9 12 24 12 5) 5 7 13 5 24 18 12 18 7 7 11 8 6) 12 6 24 3 6 11 5 5 5 12 4 9 3 7 7 3 1 2 8 12 2 12 7) 4 2 5 1 2 5 2 3 12 4 9 12 1 1 1 1 2 3 2 8) 3 1 1 2 2 3 5 1 6 6 1 1 1 1 1 1 2 3 4 9) 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 2 6 3 3 10) 1 2 5 3 3 6
2 4 3 2 3 2 11) 2 1 2 3
R:
21 . 29
R:
1 . 2
R:
74 . 15
R:
25 . 24
R:
19 . 85
R:
R:
5 . 4
147 . 244
R:
25 . 24
R:
1 . 10
R:
2 . 3
2
3 3 1 3 3 12) 3 1 3 1 2 2 2 3
R: 4 .
2
R: 81 .
~ 22 ~
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
13)
1 8 3 1 1 4 9 4
14)
16 3 8 36 27 25 3 1 16 8 2
R:
4 . 3
R:
16 . 9
R:
51 . 20
3
1 5 2 3 4 2 15) 1 7 1 8 16
ACTIVIDAD 5 OPERACIÓN CON NÚMEROS IRRACIONALES (RADICALES) Los números irracionales se clasifican en dos:
Los algebraicos. Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos, también llamados radicales. Los trascendentales No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido. En esta actividad trabajaremos con los irracionales algebraicos, los cuales llamaremos radicales y tienen una relación estrecha con las potencias por ser operaciones inversas. Y al igual que las fracciones los radicales pueden simplificarse descomponiendo en números primos y empleando la ley de los exponentes. Esta simplificación se emplea para emplear el valor exacto y no aproximar los resultados con los decimales. Ejemplo: Simplifica los siguientes radicales a la mínima expresión. 3
360
40
Descomponemos el radicando en sus factores primos 360 2 3 3 2 5 y 40 2 3 5 , y los sustituimos.
2 3 3 2 5
2 3 5
3
Aplicamos las leyes de los exponentes para transformar el radical a exponente fraccionario y simplificar a si mínima expresión. n
1
2 3 3 2 5 1 2
1 2
1 2
m an a 1 2
2 3 5 3
n m
1
2 3 5 ab a b 3
2
3 2
2 2
1 2
n
n
1
2 3 3 5 3 ab n a n bn
n
3
1
n
2 3 5 3 a m m a n 2 1 3 5
2 3 5 a a nm 1
m an a m
n m
1
2 1 2 3 1 5 2 a m a n a m n
235 ~ 23 ~
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO” 1 2
1 2
2 1 2 3 5 a n bn ab n n
1
2 3 2 5 2 a m m a n
6 10 NOTA: La propiedad distributiva que se emplea en los radicales solo existe, para un producto de
radicandos
n
ab n a
n
b , la suma y la resta no cumplen esta propiedad. Ejemplo:
9 16 25 5 9 16 9 16 3 4 7 Como ambos procedimientos no son iguales la propiedad distributiva no se cumple.
Suma y/o resta de radicales. Para realizar una suma y/o resta de radicales primero se debe simplificar los radicandos y aplicar la leyes de los exponentes; si no son los mismos se dejara indica la suma una vez terminada la simplificación de radicales. Ejemplos:
45 80 50
45 80 20
3 5 2 4 5 2 5 2
3 5 2 5 2 5 2
4
1
2
1
2
1
1
3 2 5 2 2 4 5 2 2 2 5 2 1
1
1
1
1
1
1
3 2 2 5 2 2 4 2 5 2 2 2 2 5 2 2
1
4
2
1
1
1
3 2 5 2 2 4 5 2 2 5 2 2 1
1
1
1
1
3 2 2 5 2 2 4 2 5 2 2 2 5 2 2
1
2
3 2 5 2 2 2 5 2 2 2 5 2
1
4
1
1
2
31 5 2 2 5 21 5
3 2 5 2 2 2 5 2 2 2 5 2 3 1 5 2 2 5 2 5 1
3 5 4 5 2 5
3 5 4 5 5 2
5 5
7 5 5 2
Multiplicación de radicales. Este procedimiento es solo para radicales son el mismo índice, se multiplicaran los coeficientes y los radicandos correspondientes y su producto de estas quedara dentro de un mismo radical; y se simplificara de ser necesario.
6 10 6 10
3
2 3 2 5 2 2 3 5
2 2 15
13 3 2 3 2 2 13 3 2 3 2
1 2
1
1 3 3 18 2 13 3 18 2
1
2 2 2 15 2 2
1
1 3 3 2 3 2 1 1 1 2 3 3 3 3 2 3 13 2 3 3 2
2 2 15 2 1 15 2 15
~ 24 ~
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
13 1 2 3 2 33 2 2 División de radicales. Este procedimiento es como el de la multiplicación solo para radicales del mismo índice, se dividirán los coeficientes y los radicandos correspondientes y su cociente de estas quedara dentro de un mismo radical; y se simplificara de ser necesario. 1
150 2
2 3 5 2 2
1 2
2 1 1 1 15 2 3 5 2 2 1 3 3 5 52
1
1
1
2 2 3 2 5 2 2
2
1 2 3 1
51 3 5 3
1 2
1 3 1
21 21 3 5 1 52
1 2
6
3
6
Si al realizar una división de un radical y esté queda en el denominador se utilizara la racionalización para transformar el radical a uno equivalente, esto se realiza multiplicando por la unidad representada por radicales que al multiplicar el denominador nos da una raíz exacta. 1 32 4 1 6 2 3 2
4 3
1 4 32 1 1 2 2 2 3
4 1 1 2 2
1 4 1 22
1 21 2 2 4 2 1 1 2 2 2 2 1
2
4 2 2 2 1 2
Potencia de radicales. Para obtener la potencia de un radical solo se elevara a dicha potencia el radicando y se simplificara de ser necesario.
3 4
2
2
4
2 2 3 2 3 2
1
1 3
1
2 23 2 3 2
Radical de radicales. Para obtener el radical de un radical se multiplicaran los índices y de ser necesario se simplificara.
3
128 2 7
1 2
1 3
7
1
2 7 6 2 6 2
1
1 6
1
2 26 2
6
2
Racionalización. Racionalización es un proceso para transformar radicales en otros equivalentes que se estimen de una manera más fácil. El proceso consta en multiplicar por la unidad disfrazada para hacer la transformación, las podemos clasificar en sencillas y compuestas. El proceso se explicará con ejemplos: 1
10 3
2 7
5
Para este ejercicio buscamos un número que
Para este ejercicio buscamos un número que
multiplicado por la 7 pueda obtener una raíz cuadrada exacta; y entonces multiplicamos al numerador y denominador por dicho numero y simplificamos.
multiplicado por la 3 5 pueda obtener una raíz cubica exacta; y entonces multiplicamos al numerador y denominador por dicho numero y simplificamos. ~ 25 ~
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
1 7 2 7 7
10 3 5 2 3 5 3 5 2
7
3
1
1
10 5 2
7
2 7
1 2
5 5
1 2
1 3
2 3
7 2 7 1
2 5 3 25 51
7 14
2 3 25
Para las racionalizaciones compuestas que son prácticamente cuando hay suma y resta de radicales en un denominador o numerados utilizamos los conjugados (cuadrático y cubico) y aplicamos la propiedad distributiva de los números reales para simplificar la expresión. Conjugado de una suma o resta de radicales. Para el conjugado de una suma será una resta de los mismos radicales y para una resta será una suma de los mismos radicales, algo similar como con el binomio conjugado de algebra.
a b a b
a a b b a b
a a 1 2
1 2
1
1
a b a b b2 b2 a 1 b1 a b
Por lo tanto:
a b a b a b
Conjugado cubico de una suma o resta de radicales cúbicos. Para el de suma o resta de radicales cúbicos es el que se muestra a continuación.
3 a 3 b 3 a 2 3 a 3 b 3 b2
3
3 a 3 b 3 a 2 3 a 3 b 3 b2
a 3 a 2 3 a 3 b 3 b2 3 b 3 a 2 3 a 3 b 3 b2
a a 1 3
2 3
3
3
1
a 3 a 2 3 a 3 b 3 b2 3 b 3 a 2 3 a 3 b 3 b2
a a
2
1 3
a 2 3 b 3 a 3 b2 3 a 2 3 b 3 a 3 b2 b 3 b 3
2 3
3
a1 b1 ab
Por lo tanto:
1
a1 b1 a b
Por lo tanto:
3 a 3 b 3 a 2 3 a 3 b 3 b2 a b
3 a 3 b 3 a 2 3 a 3 b 3 b2 a b
Ejemplos: 1
7 5 2
Buscamos el conjugado cuadrático de la suma de radicales para formar una unidad y poder transformar la expresión.
5 33
Buscamos el conjugado cúbico de la resta de radicales para formar la unidad y poder transformar el radical.
~ 26 ~
2
a2 3 b 3 a 3 b2 3 a 2 3 b 3 a 3 b2 b 3 b 3
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
1
5 2 5 3 3 3 32 5 3 3 5 2 5 3 3 3 3 2
2
5 5 3 3 9
5 2 5 2 5 2 7
7
5
1
1
2
5 2 5 2
3
5 3 3 5 2 5 3 3 3 3 2
Realizamos el producto del conjugado cuadrático.
Realizamos el producto del conjugado cúbico.
7 5 2 5 2
25 5 3 3 3 9 125 3
7 5 2 3 7 5 2 3
25 5 3 3 3 9 122
En algunos casos de racionalizaciones compuestas se puede racionalizar tanto denominador como numerador, esto es dependiendo de las necesidades del ejercicio, pero solo se hace una de las 2. Ejemplo:
2 2 3 2 4 3 2 2 3 2 2 3 2 4 3 2 2 3
2 1 2
2 4 3
2 2 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3
1
2
2 1 2
1
2
2 2 3 4 2 3 8 32 2 12 1
1
2
4 2 3 2 2 3 8 32 2 16 3 1
1
2 1 6 2 2 3 2 8 31 2 48
1
2 1 6 2 2 3 2 8 31 10
1
2 6 2 3 2 24 46
1 2
2 6 2 3 24 10 1 26 6 6 2 2 5 2 13 3 6
1
2
26 6 6 46
2 13 3 6 2 23
5 13 3 6
13 3 6 23
Ejercicios: Simplifica los siguientes ejercicios de números racionales aplicando las propiedades de los números reales, realizándolos paso a paso para justificar tus resultados, simplificándolos en un solo número real. Sin usar calculadora y sin saltarte pasos. R: 4 3 5 .
1) 4 3 5 5 3 40 3 320 2 3 135 2) 2 192 3 147 4 432
R: 53 3 .
3) 5 5 2 20 3 45 180
R: 4 5 .
4) 4 162 4 50 9 72 12 288
R: 74 2 .
5) 2 2 6 2 5
R: 4 3 4 10 . ~ 27 ~
EDICIÓN 2013
6)
CECyT No. 16 “HIDALGO”
5 2
3
R: 11 5 17 2 .
2 3 2 3 3 3 500 20 8) 5 2 7)
R: 1 . R: 2 . R:
9) 5 120 6 40 10) 6 3 324 2 3 12
4 3. 5 9 2. R: 8 R:
11) 8 30 10 10 12) 13) 14) 15) 16)
9 32 3
19)
3 5
R: 5 3 2 .
3 2
5 2
R:
3 5
1 15 5 5 3 2 10 16 . 16
15 5 5 3 2 10
2
3
20)
23 9. 3 5 R: 3 4 . 6 1 2. R: 16
128 5
3
3.
R:
33 2 1
17)
18)
R:
3 2 3
5 3. 6 R: 9 .
2 3 4 36 39 . 5 1 3 6 49 6 3 7 13 R: . 1 3 3 3 49 15 7 43 118 R:
2 3 3
7 2
5 37
ACTIVIDAD 6 OPERACIÓN CON NÚMEROS REALES Cuando se realicen operaciones con números reales debemos recordar que emplean las propiedades de los números enteros, racionales e irracionales para la suma, resta, multiplicación, división, potencia y radical combinándolos; así como la simplificación de radicales y fracciones según sea el caso; sin olvidar la racionalización si esta se puede aplicar. Nota: No se debe olvidar la jerarquía de las operaciones y como eliminar los signos de agrupación. Ejercicios:
1 1) 3 2 4 1 5 2) 3 5 3
R: R:
~ 28 ~
7 3. 4
3 3 5 . 15
EDICIÓN 2013
3)
CECyT No. 16 “HIDALGO”
5 4 6 3 6 5
4)
6
7
5) 6)
3
R:
30 7 21 . 35
R:
3
R:
5 4 1 7) 5 e 3 1 1 8) 80 e 2 5 2 9) 3 7 3 2 5 5 10) 4 3 2 2 2 5 11) 4 7 3 2 6 4 5 3 9 12) 2 1 2 4 13) 5 3 5 3 2 1 3 5 3 3 10 14) 2 12 3 4 15)
25 6 66 . 30
7 2 5
3 10 5
R:
5 3 50 . 5
2 15 5 3 . 5
R:
42 5 5e . 10
R:
2 7 7 3 . 7
R:
19 . 28
R:
3 . 10
R:
25 2 . 6 R:
2 6 2 4 3 0 2 4 3
20)
5 4 2 1 1 2 4
18 . 5
R: 0 .
1 50 3 6 1 3 2 17) 1 13 2
4 5 2 0 2 2
22 5 . 25
R:
2 5 3 4 2 2 3 2 5
19)
11 5. 20
R:
R:
16)
18)
60 e . 3e
R:
R:
4 6 . 4
R: 2
R:
~ 29 ~
7 . 3
5 .
5 . 4
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Los siguientes ejercicios aplica las propiedades de los números reales como se muestra en los ejemplos. Sin usar calculadora y realizarlo sin saltarse pasos. Ejemplos:
3 1 4 2 2 3 2 1 4 2 2 4 2 6 4 2 8 4 4 4 1
1 5 3 1 5 1 5 1 5 12 5 1 5 1 5 2 1 5 12 2 1 5 5 2 1 5 13 12 5 2 12 5 2 1 5 2 5 2 1 5 3 13 3 12 5 3 1 5 2 5 3 1 15 1 3 25 125 126 15 75 216 2 1) 2 5 2 2) 4 3
R: 9 . R: 49 . R: 8 . R: 24 . 7 R: . 10
3) 5 7 4) 2 4 5 7 1 1 5) 5 3 5 2 5 1 4 3 6) 3 1 5 7 7) 8 4 5 7 1 22 15 8) 3 1 6 7 4 2 5 3 3
R: 10 .
R:
15 . 2
R:
42 . 5
ACTIVIDAD 7 CONVERSIÓN DE FRACCIONES A DECIMALES Y DE DECIMALES A FRACCIONES Para realizar este proceso definiremos una fracción decimal la cual es una fracción que tiene como denominador una potencia de 10 la cual se representa también con una notación de punto decimal como se observa en el siguiente ejemplo: 53 0.053 1000 521 5.21 100 Para este proceso hay reglas para transformar las fracciones en decimales, nosotros utilizaremos la división calculando los decimales, de tal forma que si tienen un número finito de decimales será un decimal exacto en cambio si nunca terminan los decimales y hay cifras que se repiten tendremos decimales periódicos puros o mixtos.
~ 30 ~
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Ejemplos: 3 25 0.12 25 30 50 0 3 0.12 25 Decimales exactos
Ejercicios: 5 1) 6 89 3) 90 170 5) 33 3 7) 40 7 9) 66 2 11) 3 3 13) 250 4 15) 39
17 99 0.1717 99 170 710 170 710 17 0.17 99 Decimales periódicos puros
R: 0.83 .
R: 0.98 . R: 5.15 . R: 0.075 . R: 0.106 .
R: 0.6 . R: 0.012 .
15 7 219 4) 50 7 6) 30 16 8) 11 9 10) 1000 5 12) 66 33 14) 27 2)
19 18 1.055 18 19 10 100 100 10 19 1.05 18 Decimales periódicos mixtos
R: 2.142857 .
R: 4.38 . R: 0.23 . R: 1.45 .
R: 0.009 . R: 0.075 . R: 1.2 .
R: 0.102564 .
Para convertir un decimal a fracción común irreducible o simplificada, primero debemos determinar si es exacta o periódica. Decimal Exacto. Convierte a fracción común el número 2.84
1. Multiplicamos el número decimal por una potencia de 10 que lo transforme en número entero.
2.84 102 2.84 100 284 2. El resultado de este producto será nuestro numerador y la potencia de 10 el denominador. 284 100 3. De ser necesario se simplificara a su mínima expresión. 284 22 71 71 100 22 52 25
~ 31 ~
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Decimal Periódico. Para las fracciones periódicas las clasificaremos en puras y mixtas, las primeras solo son cuando tiene
decimales que se repiten 0.3 y las segundas cuando tiene combinación de decimales que se repiten y no
se repiten 0.763 ; el proceso es similar pero un paso se trata diferente, como veremos en los siguientes ejemplos. Convierte a fracción el siguiente número 0.13
Convierte a fracción el siguiente número 0.35
1. Multiplicamos por una potencia de 10 de tal forma que transforme las cifras del periodo (pura) y la que no son periódicas (mixta).
0.135 103 135.5 0.135 1000 135.5
0.13 102 13.13 0.13 100 13.13
2. En el caso de ser periódica pura se multiplicara por la unidad y si es periódica mixta multiplicaremos por una potencia de 10 de tal forma que trasforme en entero a la parte no periódica. 0.135 102 13.5 0.135 100 13.5
0.13 1 0.13
3. El producto obtenido en el paso 1 se le restara el producto del paso 2, de la misma forma las potencias de 10 en el caso de ser periódicas mixtas, si es pura se le restara la unidad a la potencia de 10 del paso 1, para eliminar los decimales periódicos.
13.13 0.13 13 100 1 99
135.5 13.5 122 1000 100 900
4. El resultado de restar los productos y las potencias de 10 del paso 1 y 2 serán el numerado y denominador correspondientemente, y en caso necesario simplificar a su mínima expresión. 122 2 61 2 61 61 2 3 2 3 2 900 2 3 5 450 2 3 5 2
13 13 13 99 32 11 99
Ejercicios: 1) 5.68 3) 5.016 5) 2.1 7) 0.652 9) 1.0863 11) 0.153 13) 3.1 15) 0.0325
142 . 25 301 R: . 60 R:
R: 5.15 .
163 . 250 239 R: . 220 17 R: . 111 31 R: . 10 161 R: . 4950 R:
2) 0.15 4) 0.013 6) 0.47 8) 0.114 10) 0.0702 12) 0.2503 14) 0.142857
~ 32 ~
5 . 33 13 R: . 1000 43 R: . 90 38 R: . 333 351 R: . 5000 413 R: . 1650 1 R: . 7 R:
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TANTO POR CIENTO El tanto por ciento de un número es una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir, uno o varios centésimos de un número, y se denota por el símbolo % . La expresión a% de b representa el porcentaje de un numero donde a es un decimal y b una cantidad absoluta llamada cantidad de referencia o total, Un porcentaje indica una cantidad relativa con respecto a la de referencia de forma que es a partes de cien en las que se considera dividida b ; está es la razón por la que el tanto por ciento se considera una fracción. a%
a 100
Para pasar de un porcentaje a fracción basta con construir una fracción de numerador a y denominador 100, Si el numerador queda decimal se agregara un cero al denominador por cada lugar que recorra el punto decimal hasta hacer el numerador entero y posterior mente se simplificara hasta su mínima expresión. 12.5%
12.5 125 53 1 1 3 3 3 100 1000 2 5 2 8
Para pasar de una fracción a tanto por ciento se realizara la división y se multiplicara por 100 y al resultado se le pondrá el símbolo % . 1 100 0.125 100 12.5% 8 0.125 8 1000 10 20 40 0 Para transformar del tanto por ciento a decimal el valor de a se dividirá entre 100. 12.5 0.125 100 0.125 10 12500 125
12.5%
250 500 0 Y para transformar de decimal a tanto por ciento se multiplicara por 100 y se pondrá el símbolo de %.
0.125 100 12.5% Ejercicios: 1. Convierte los siguientes porcentajes a decimales. b) 19% c) 22% d) 125% a) 7% e) 4.83% f) 0.23% g) 0.0005% h) 0.0011% R: a) 0.07, b) 0.19, c) 0.22, d) 1.25, e) 0.0483, f) 0.0023, g) 0.000005, h) 0.000011. ~ 33 ~
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2. Convierte los siguientes decimales a porcentajes. b) 0.05 c) 2.75 d) 1.42 a) 0.234 e) 0.8 f) 0.0005 g) 1.033 e) 0.00101 R: a) 23.4%, b) 5%, c) 275%, d) 142%, e) 80%, f) 0.05%, g) 103.3%, e) 0.101%. 3. Convierte los siguientes porcentajes a fracciones comunes. b) 2% c) 36.5% a) 75% e) 183% f) 102.5% g) 0.0034% R: a)
d) 45.75% h) 0.25%
3 1 73 183 183 41 17 1 , b) , c) , d) , e) , f) , g) , h) . 4 50 200 400 100 40 500000 400
4. Convierte las siguientes fracciones a porcentajes. 21 2 b) c) a) 100 10 7 5 f) e) g) 3 2 R: a) 21%, b) 20%, c) 60%, d)
3 2 d) 5 3 21 2 h) 5 7 66.66%, e) 233.33%, f) 250%, g) 28.75%, h) 420%.
Llena la siguiente tabla transformando los datos que se te dan en cada columna a decimal, fracción decimal, fracción común o a tanto por ciento según sea el caso correspondiente. DECIMAL
FRACCION DECIMAL
FRACCION COMUN
TANTO POR CIENTO
1)
0.04
4 100
1 25
4%
2)
0.24 40%
3)
4 5
4)
92 100
5) 6)
1.85 9 100
7)
1 1000
8) 9) 10)
2 250 100 15 16
11) 12)
314%
13)
0.2%
~ 34 ~
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ACTIVIDAD 8 NOTACION CIENTIFICA Una aplicación importante de los exponentes es su uso para simplificar cálculos que incluyen números demasiado grandes o demasiado pequeños. Para estos cálculos se emplea una herramienta matemática conocía como notación científica. Definición. Un número está escrito en notación científica si se expresa en la forma: A 10 n
Donde n es cualquier entero y A está en el intervalo 1,10 , es decir: 1 A 10 . Convierte las siguientes cantidades a notación científica:
29980000000
0.0000000000001673
Obtenemos el valor de A de acuerdo al intervalo permitido y el numero de posiciones que se recorra el punto decimal será el valor de n , si recorre a la izquierda n positivo y si recorre a la derecha n negativo. A 2 9980000000.
A 0 .0000000000001673
A 2.998 n 10
A 1.673 n -13
10
13
Ahora lo expresamos en notación científica. 1.673 10 13
2.998 1010
Para transformar un número de notación científica a notación común se recorrerá el punto decimal de acuerdo al signo del exponente de la base 10, si es negativo a la izquierda, si es positivo a la derecha, colocando ceros en los espacios vacíos que se encuentren al ir recorriendo el punto decimal. Como veremos en los siguientes ejemplos: 1.1 10 3
3.7 10 5 5
3
3 .70000 370000
0001.1 0.0011
Si un numero esta expresado en notación científica pero no está dentro del intervalo recorreremos el punto decimal hasta que dar en el intervalo de A tomando en cuenta el sentido hacia donde se recorra y las posiciones que tenga que moverse si lo hace a la izquierda se sumara el numero de posiciones que se recorra el punto, si lo hace al a derecha se restara el numero de posiciones al exponente. 43.2 10 3
0.063 10 5
3 4 3.2 10
5 0 .06 3 10
4.32 10 3 1 4.32 10 4
6.3 10 5 2
1
2
6.3 10 3
Emplear la notación simplifica la multiplicación y división, haciendo uso de las leyes de los exponentes. Ejemplo: ~ 35 ~
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0.00024 96000000 640000000 Primero trasformamos todas las cantidades a notación científica.
2.4 10 4 9.6 107 6.4x10 8
Agrupamos las potencias de 10 para simplificarlas mediante las leyes de los exponentes y a los decimales los pasamos a fracciones.
24 96 4 7 10 10 10 10 64 10 8 10 3 2 3 2 5 3 10 3 2 5 2 5 26 10 8 2 5 2 2 3 2 4 3 5 5 10 5 25 5 2 6 3 2 5 2 10 5 25 5 6 2 3 2 5 10 5 5 2 2 5 2 3 2 10 5 5 18 10 5 5 3.6 10 5 Ejercicios:
a)
4000 30000
R: 2 1011 .
0.0006 0.0006 0.00007 b) 21000 640000 2700000 c) 120000 0.0000013 0.00009 d) 0.00039 0.000012 2 49000 2
e) f)
R: 2 10 12 . R: 1.44 107 . R: 3 10 7 . R: 16.464 .
0.021 320000 2 0.0009
R: 7.68 10 4 .
1200
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OPERACIONES CON NUMEROS DECIMALES Sumas. Para realizar las sumas se ordenan las posiciones unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas y así sucesivamente, lo mismo con las posiciones menores a la unidad decimas con decimas centésimas con centésimas y así sucesivamente colocándolos en columnas. Ejemplo: Realiza la siguiente suma: 0.03 14.005 0.56432 8.0345
0. 1 4. 0. 8.
0 0 5 0
3 0 5 6 4 3 2 3 4 5
2 2. 6 3 3 8 2 Resta. Se acomoda como la suma teniendo en cuenta que el sustraendo debajo del minuendo, añadiendo ceros, si fuese necesario, para el minuendo y el sustraendo tenga igual número de cifras decimales. Hecho esto, se resta como si fuera números enteros, colocando en la resta el punto decimal en columna con los puntos decimales del minuendo y del sustraendo. Ejemplo: Realiza la siguiente resta: 23.5 14.069 2 3 4. 5 0 0 1 4. 0 6 9 2 2 0. 4 3 1 Multiplicación. Para multiplicar dos decimales o un entero por un decimal, se multiplican como si fueran enteros, colocando de derecha a izquierda del producto el punto decimal tantas cifras decimales como haya en el multiplicando y el multiplicador. Ejemplo:
1 4. 2 5
1 8 9 4 0. 0 5
3. 0 5 7
4 2 7
1 2 5
9 4. 7 0
5
4 3. 4 6
2 5
División. El procedimiento usual para colocar el punto decimal en el coeficiente de dos números decimales es el siguiente. Se mueve a la derecha el punto decimal en el dividendo y en el divisor los lugares necesarios para convertirlos en números enteros, aumentando ceros donde sea necesario y se efectúa la división como se hace en los números enteros y se escribe el punto decimal directamente arriba del que tiene la nueva posición del dividendo.
Si el dividendo es entero y el divisor decimal se hará el mismo proceso anterior, pero si el dividendo es decimal y el divisor entero solo se escribirá arriba el punto decimal. Ejemplos:
60.69 0.017
42 0.07
0.9 45
0.017 60.690
0.07 42
45 0.9
~ 37 ~
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3570. 17 60690. 9690 1190 00 0
6000. 7 4200. 000 00 0
Ejercicios: Realiza las siguientes operaciones de números decimales. 1. 0.005 0.132 8.5432 14.00001 2. 19.75 301 831.019 0.00015 0.07 3. 0.735 0.5999 4. 11.184 119.327 5. 14.782 13 325.73006 81.574325 53 6. 75 0.003 19.351 14 0.0005 7. 8 5.19 15 0.03 80 14.784 8. 0.187 19 9. 14 0.08 10. 0.17 0.83 11. 16.84 5.005 12. 8.35 6.003 0.01 0.7 13. 0.75 0.3 8.01 14. 0.978 0.0013 1.056 8.03 15. 14.6 3.156 16. 0.243 0.081 17. 12 0.003 18. 17 0.143 19. 0.003 12 20. 19.14 175
0.02 45 0.9 90 0
R: 22.68021 . R: 1151.83915 . R: 0.1351 . R: 108.143 . R: 298.937735 . R: 80.3485 . R: 37.056 . R: 3.553 . R: 1.12 . R: 0.1411 . R: 84.2842 . R: 10.0541 . R: 3.6045 . R: 16.322581 . R: 4.62610899 . R: 3 . R: 4000 . R: 118.88111888 . R: 0.00025 . R: 0.1093714285 .
ACTIVIDAD 9 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL mcm Y mcd En varios problemas se aplican el concepto del mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) para obtener los datos que den solución al problema; el mcm nos sirve para indicar en qué de terminado número o tiempo coinciden los datos del ejercicio; el mcd nos da el mayor número que divide de manera exacta a todos los datos considerados en el problema. Ejemplos: 1. Un hombre tiene tres rollos de billetes. En uno tiene $4540 , en otro $5280 y el tercero $6500 . Si todos los billetes son iguales y de la mayor denominación posible ¿Cuál es la denominación del billete y cuantos billetes hay en cada rollo? Solución: Para plantear el ejercicio realizamos una dista con datos del mismo:
Datos: 1er rollo - $4540 2do rollo - $5280 3er rollo - $6500 Denominación del billete Cuantos hay en cada rollo. ~ 38 ~
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Como nos piden la denominación mayor posible tenemos que buscar un número que pueda dividir a las tres cantidades de manera exacta y sea el más grande esto significa que es el mcd y por lo tanto, descompondremos las cantidades en sus factores primos para obtener dicho número. 4540 2270
5280 2
2 2
6500 2 3250 2
2640 2 1320 2
1135 5 227 227 1
1625 5 325 5
660 2 330 2
4540 2 5 227
65 5 13 13
165 3 55 5
2
1
6500 2 2 5 3 13
11 11 1
5280 2 5 3 5 11 Tomamos los números primos que se repitan con el menor exponente, por lo tanto:
m.c.d. 4540,5280,6500 2 2 5 20 Se tendrían una denominación de billetes de $20 y en cada rollo tendríamos: 4540 2 2 5 227 20 2 2 5 4540 227 20 Se tienen 227 billetes de $20
5280 2 5 3 5 11 20 2 2 5 5280 2 2 5 2 3 3 11 20 2 2 5
6500 2 2 5 3 13 20 2 2 5 6500 2 2 5 5 2 13 20 2 2 5
5280 3 2 3 11 20 5280 264 20 Se tienen 264 billetes de $20
6500 2 5 13 20 6500 325 20 Se tienen 325 billetes de $20
2. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de minutos por lts lts lts , 2 da - 30 , 3 ra - 48 y en cuanto tiempo lo cualquiera de las tres llaves que vierten: 1ra - 12 min min min llena cada uno de ellas? Solución: Planteamos el problema obteniendo una lista de datos.
Datos: lts min lts 2 da llave - 30 min lts 3 ra llave - 48 min Capacidad del tanque. Tiempo de llenado que le toma a cada llave. 1ra llave - 12
Nos piden una cantidad menor que esté relacionada con los tres números en forma exacta, y este sería el mcm, pero consideramos el número total de litros en un minuto que serian 12, 18 y 48 litros respectivamente. ~ 39 ~
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12 2 6 2
18 2 9 3
3 3 1
3 3 1
12 2 2 3
18 2 3 2
48 24 12 6
2 2 2 2
3 3 1
30 2 4 3 Obtenemos el mcm tomando los números primos que se repiten con el mayor exponente multiplicándoles los que no se repiten.
m.c.m. 10,12,30 2 4 3 2 144 Por lo tanto se necesita un estanque de 144 litros. Ahora para saber el tiempo de llenado de cada llave dividimos la capacidad del tanque entre el tiempo de llenado de cada llave. 144 2 4 3 2 2 12 2 3 2 144 2 3 2 2 3 12 2 2 3 144 2 2 3 12 144 12 12 12 minutos
144 2 4 3 2 18 2 3 2
144 2 3 2 2 3 18 2 3 2 144 23 18 144 8 18 8 minutos
144 2 4 3 2 4 48 2 3 144 2 4 3 3 48 2 4 3 144 3 48 3 minutos.
Por lo tanto la 1ra se tardará 12 minutos, la 2 da se tardará 8 minutos y la 3 ra 3 minutos. Ejercicios: 1. Edith, Verónica y Andrea son atletas, Edith recorre la pista de 400 metros en 80 segundos, Verónica la recorre en 90 segundos y Andrea en 105 segundos. Si comienzan a correr al mismo tiempo y en el mismo lugar, ¿después de cuánto tiempo se volverán a encontrar las tres en algún lugar de la pista? R: a los 5040 segundos. 2. Se compran tres rollos de listón, uno rosa de 4 metros otro azul de 7 metros y otro verde de 5.5 metros. Se desea cortarlos para tener listones de la misma medida, ¿de qué medida debe ser cada listón? R: 5 cm. 3. Las luces intermitentes de la marquesina de un teatro funcionan a base de 3 tipos de focos que se encienden alternadamente cada 21 , 28 , y 35 segundos respectivamente. a) ¿Cuántos segundos después de haber encendido la marquesina estarán todos encendidos por primera vez? b) En todo el periodo del tiempo anterior ¿Cuántas veces encendieron los focos que tienen intermitencia cada 28 segundos? R: a) 420 segundos. b) 15 veces. 4. Se tienen 3 rollos de mecate de 160 , 210 y 100 metros respectivamente; se quiere cortar trozos del mismo tamaño en los 3 rollos. a) ¿De qué medida será cada trozo? b) ¿Cuántos trozos se obtienen de cada rolo? R: 10 metros. b) 16 , 21 y 10 trozos respectivamente.
~ 40 ~
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5. Tres satélites artificiales dan una vuelta completa a la tierra en 504 , 576 y 720 minutos, respectivamente. Si hoy se alinean los tres satélites sobre un punto de la superficie terrestre ¿dentro de cuánto tiempo volverán a alinearse? R: en 20160 minutos. 6. Un comerciante adquiere 4 costales de frijol uno de 18 kg, otro de 36 Kg y uno más de 42 Kg ¿en bolsas de que capacidad le conviene más empacarlo para que sea el mínimo número de bolsas utilizadas y todas de la misma capacidad? R: en bolsas de 6 kg y se necesitan 16 bolsas. 7. El biorritmo se basa en ciclos de días, el intelectual dura 33 días, el físico 28 y el anímico 23 ¿Cada cuantos días coinciden los tres ciclos? R: Coinciden cada 21252 días. 8. Para llegar al andén de una estación del metro se deben bajar tres tramos de escaleras, el primer tramo tiene 288 cm, el segundo tiene 336 cm y el tercero 304 cm. Si todos los escalones deben ser de la misma altura ¿Cuántos escalones tienen cada tramo de escalera? R: 18 , 21 y 19 escalones respectivamente. 9. Para comprar un número exacto de docenas de pelotas que cuesta $80 la docena o un número exacto de docenas de lápices que cuesta $60 la docena ¿Cuál es la menor cantidad de dinero necesaria para la R: $20 .
compra?
10. Se quiere envasar 161 kg, 253 Kg y 207 Kg de plomo en tres cajas, de modo que los bloques de plomo de cada caja tengan el mismo peso y el mayor posible ¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo y cuántos caben en cada caja? R: El bloque pesa 23 Kg y hay 7 , 11 y 9 pedazos respectivamente. 11. Hallar la menor capacidad posible de un depósito que se puede llenar en un número exacto de minutos abriendo simultáneamente tres llaves que vierten: la 1ro 10 litros por minuto, la 2 do 12 litros por minuto y la 3 ro 30 litros por minuto y cuantos minutos tardaría en llenarse. R: La capacidad del tanque es de 60 litros y se llena en 6 , 5 y 2 minutos respectivamente. 12. Tres camiones de carga transportan arena a un almacén, el primero contenía 840 Kg, el segundo 1540 Kg y el tercero 3080 Kg. Posteriormente se empaca éste material en costales del mismo tamaño, si se desea que los costales tengan la mayor cantidad posible de arena. a) ¿Cuál es el peso de cada costal? b) ¿Cuántos costales se requieren? R: a) 140 Kg. b) 39 costales. 13. ¿Cuál será la menor longitud de una varilla que se puede dividir en pedazos de 8 cm, 9 cm o 15 cm de longitud sin que sobre ni falte nada y cuantos pedazos de cada longitud se podrán sacar de esa varilla? R: 1 cm. 14. Una persona camina un número exacto de recorriendo las distancias de 6.5 m, 8 m y 10 m, ¿Cuál es la mayor longitud posible de cada paso? R: 0.5 m. 15. Hallar el menor número de bombones necesarios para repartir entre tres clases de 20 , 25 y 30 alumnos respectivamente, de modo que cada alumno reciba un número exacto de bombones y cuántos bombones recibirá cada alumno de la 1ra , 2 da y 3 ra clase respectivamente. R: 5 bombones por alumno. 16. ¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que puede medirse exactamente el largo y el ancho de R: 5 cm. una sala que tiene 8.5 m de largo y 5.95 m de ancho? 17. Tres galgos arrancan juntos en una carrera en una pista circular. Si el primero se tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo en 11 segundos y el tercero en 12 segundos, ¿Cuántos segundos tendrán que pasar para que los galgos atraviesen juntos por la línea de meta y cuantas vueltas habrán dado? R: A los 660 segundos y 66 , 60 y 55 vueltas respectivamente. 18. Compré cierto número de trajes por $2050 . Vendí una parte recolectando $1500 cobrando por cada traje lo mismo que me había costado. Hallar el valor mayor posible de cada traje y en ese supuesto ¿Cuántos trajes me quedan? R: El valor es de $50 y quedan 11 trajes. ~ 41 ~
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19. Tres aviones salen de una misma ciudad, el 1er cada 8 días, el 2 do cada 10 días y el 3 er cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 de Enero, ¿Cuáles serán las dos fechas más próximas en que volverán a salir juntos? (el año no es bisiesto). R: 11 de febrero y 23 de marzo. 20. Si se tienen tres extensiones de 3675 , 1575 y 2275 metros cuadrados de superficie respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales ¿Cuál ha de ser la superficie de cada parcela para que el número de parcelas de cada una sea el menor posible? R: 175 m 2 .
ACTIVIDAD 10 RAZONES Y PROPORCIONES Razón. Es el resultado de comparar dos cantidades.
Estas cantidades se pueden comparar de dos formas por diferencia o por cociente. Diferencia.- En cuanto excede una a la otra, es decir, restándolas y se le conoce como Razón Aritmética. Cociente.- En cuantas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas la cual recibe el nombre de Razón Geométrica.
La razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades, de ahora en adelante a la razón geométrica solo se le nombrara razón ya que es la única con la que trabajaremos en el curso. Las razones pueden escribirse de dos modos: En forma de quebrado a b ; así la razón de 8 a 4 se escribe:
a o separadas por el signo de división b
8 ó 8 4 , y se lee ocho es a cuatro. 4
Los términos de la razón se llaman antecedente a el primero (numerador o dividendo) y consecuente al 8 segundo (denominador o divisor). Así en el ejemplo anterior ó 8 4 ; 8 es antecedente y 4 consecuente. 4 En la aplicación de las razones cuando las comparaciones se realizan con cantidades de la misma especie, se tiene un numero abstracto que lo único que nos indica es cuantas veces cabe un cantidad en otra. Propiedades. Como la razón de dos cantidades es en sí una división indicada, tienes las mismas propiedades que los números racionales.
1. Si el antecedente de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por dicho número. a r b
a c r c b ac cr b
a r c b c a r bc c
2. Si el consecuente de una razón se multiplica o se divide por un número, la razón quedara dividida o multiplicada correspondientemente por ese mismo número. ~ 42 ~
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a r b a r 1 b c c ac cr b
1a 1 r c b c a r bc c
3. Si el antecedente y el consecuente de una razón se multiplica o divide por el mismo número la razón no varía. a r b c a c r c b c ac cr bc c
a r b c c c c ac cr bc c
Ejercicios: 1. Halla la razón de los siguientes números: a) 60 y 12 .
c)
b) 5.6 y 3.5 .
11 5 y . 12 6
d)
3 y 0.355 . 8
Proporciones. Es la igualdad de dos razones y se denota de la siguiente manera. a c ó a : b :: c : d b d
Y se lee a es a b como c es a d . Los términos de una proporción se llaman: extremos al primero y al cuarto término, y medios al segundo y al tercero. También por ser la igualdad de dos razones tenemos que: el primero y el tercero se llaman antecedentes, y el segundo y cuarto consecuentes. La propiedad fundamental de las proporciones es: En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c b d bd a c bd b d abd bcd b d ad bc
Ejemplo:
~ 43 ~
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6 42 4 28 4 28 6 42 4 28 4 28 6 28 4 42 168 168
Ejercicios: Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones obtén el valor faltante que completa la proporción: a)
0.004 0.006 0.005
b)
1 1 : :: 3 5
c) d)
8
1 : 4
:
R:
2 3
R:
16 4 ::
3 . 400 10 . 9
R: 2 . :
9 16
R:
3 . 8
Para resolver problemas de aplicación donde involucre las razones y proporciones, lo importante es poder determinar la forma de armar la razón o proporción como veremos en los siguientes ejemplos. Con respecto a las proporciones es importante determinar si el problema es directamente o inversamente proporcional, para poder armar la proporción. Una razón puede ser la comparación de una cantidad mayor con respecto a la menor o de la menor con respecto a la mayor. De tal forma al armar una proporción como igualdad de dos razones si en la primera razón compara la mayor con respecto a la menor en la segunda será de igual forma; o si empiezo de la menor con respecto a la mayor se tendrá que respetar dicho orden en la segunda proporción. Ejemplos: 1. Se tienen dos engranes: A que tiene 10 dientes y B que tiene 15 dientes cual es la razón de dientes del engrane A con respecto al engrane B y del engrane B con respecto al engrane A. Solución: Realizamos nuestro listado de datos.
Datos. Engrane A tiene 10 dientes. Engrane B tiene 15 dientes. engrane A r1 engrane B r2
engrane B engrane A
Realizamos la comparación geométrica de la cantidad de dientes que tiene cada engrane en cada razón que nos piden: r1
engrane A engrane B
r2
~ 44 ~
engrane B engrane A
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10 15 2 5 r1 3 5 2 r1 3 Por lo tanto por cada 2 dientes del engrane A se tiene 3 dientes del engrane B r1
15 10 3 5 r2 2 5 3 r2 2 Por lo tanto por cada 3 dientes del engrane B se tienen 2 del engrane A. r2
Nota: El procedimiento es correcto para ambas razones la interpretación hace la diferencia ya que como nos indica una razón es la comparación de una cantidad con respecto a otra, es decir cuántas veces una contiene a la otra. Si convertimos a decimales la primera razón diríamos que el 2 contiene a 3 en 0.6 2. En la escuela Justo Sierra hay una población de 2100 alumnos que ingresan este ciclo escolar, y se tiene una razón de 1 maestro por cada 20 alumnos, pero se requiere una razón de 1 maestro por cada 35 alumnos por cuestiones de espacio cuantos maestros tendrán que despedir para lograr el objetivo? Solución: Realizamos nuestro listado de datos para poder plantear el problema
Datos. Población de 2100 alumnos. M 1 - Número de maestros que se tienen M 2 - Número de maestros que se quedaran M - Número de maestros que serán despedidos. A - población de alumnos M r A 1 r1 20 1 r2 35 Para obtener el resultado se necesitaran hacer dos proporciones una para obtener el número de maestros que existen, y otra para obtener el número de maestros deseados, y posteriormente se hará una resta para obtener el número de maestros que se despedirán. Como se desea que la razón se a la misma en ambos casos tendremos las siguientes proporciones r r1
r r2
M1 1 A 20 M1 1 2100 20
M2 1 A 35 M2 1 2100 35
Multiplicamos por 2100 ambos lados de las proporciones. M2 1 2100 2100 35 2100 M2 35 2 2 3 5 2 7 M2 3 7
M1 1 2100 2100 20 2100 M1 20 2 2 3 5 2 7 M1 2 2 5
2100
2100
~ 45 ~
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5 3 5 7 2 2 5 M 1 3 5 7 M 1 105 Se tienen 105 profesores. M1
2
2
M2
5 7 2 3 5 2
5 7 M 2 2 2 3 5 M 2 60 Se necesitan solo 60 profesores.
Por lo tanto: M M1 M 2 M 105 60 M 45
Se necesitan despedir 45 profesores. 3. A 63 C , el contenido de agua en un vaso de precipitados se evapora en 13 minutos. ¿En cuántos C se debe aumentar la temperatura, para que el mismo contenido de agua se evapore en 9 minutos? Solución: Realizamos un listado de los datos del problema.
Datos. En 63 C 1 vaso de agua se evapora en 13 min. En C 1 vaso de agua se evapora en 9 min. Cual es t para realizar este proceso. Relacionamos los datos T1 63 C , T2 no la conocemos, t1 13 min y t2 9 min , analizando los dato tenemos que para evaporar el agua más rápido la temperatura debe ser mayo por lo tanto T2 T1 y en consecuencia t1 t2 , por lo cual estamos en una proporción inversa, porque una cantidad aumenta mientras la otra disminuye. Así que para armar la proporción relacionaremos cantidades mayores con respecto a las menores ya que la T2 en la temperatura más grande y no la conocemos por lo tanto: T2 t1 T1 t2 T2 13 63 9
Multiplicamos ambos lados por 63 para despejar y después simplificamos los quebrados. T2 13 63 63 9 13 63 T2 9
63
13 3 2 7 32 T2 13 7 T2 91
T2
Se necesita tener una temperatura de 91C para evaporar la misma cantidad de agua en 9 minutos, por lo tanto el incremento que hay que realizar se obtiene restando la temperatura mayor de la menor. T T2 T1 T 91 63 T 28 ~ 46 ~
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Entonces aumentaremos 28 C para poder evaporar el agua en 9 minutos en lugar de 13 minutos. 4. Utilizando una podadora de mano, el pasto de un campo de futbol se puede cortar en 19 horas; utilizando un carro podadora, corta el mismo pasto del campo en 3 horas ¿En cuánto tiempo se corta el pasto utilizando las dos podadoras? Solución: Realizamos un listado con los datos del ejercicio.
Datos: r - Rapidez de cortar el campo. r1 - Rapidez de cortado de la podadora 1.
r2 - Rapidez de cortado de la podadora 2. t - Tiempo total de cortar el campo t1 - Tiempo de cortado de la podadora 1. t2 - Tiempo de cortado de la podadora 2. S - Superficie del campo. t1 19 horas. t2 3 horas. Para realizar el ejercicio sabemos que al sumar las rapideces con la que cada podadora hace su trabajo para poder obtener el tiempo total.
r r1 r2 S S S t t1 t2 S 1 1 S t t1 t2 1 1 1 t t1 t2
Sustituimos los datos y obtenemos el tiempo total. 1 1 1 t 19 3 1 3 19 t 3 19 1 22 t 3 19 3 19 t 2 11 t
Con ambas podadoras se tardaría
57 22
57 de hora para cortar el pasto del campo. 22
Ejercicios: 1. La razón de los gastos a las entradas de un restaurante es de 5 a 8. ¿Cuáles fueron las entradas en un R: $5880. mes si los gastos fueron de $3675 ? ~ 47 ~
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2. En una colonia de la ciudad hay 12000 niños que ingresaran a la primaria en el próximo ciclo escolar, y se sabe que la razón maestro–alumno es de 1 es a 30. Los padres de familia consideran que deben contratarse más profesores para que la razón anterior sea 1 es a 25, ¿cuántos maestros más se necesitan? R: Se necesitan contratar 80 maestros. 3. Una empresa dedicada a los servicios de las computadoras, capacita a su personal para que cada uno le pueda dar mantenimiento a 23 computadoras diariamente. a) ¿De cuántos técnicos consta su planta laboral si le da mantenimiento a 1081 computadoras diariamente? b) ¿Cuánto personal debe despedir, si solo le va dar mantenimiento a 391 computadoras? R: a) Se cuenta con 47 trabajadores. b) Se despedirán 30 trabajadores. 4. Juan, Bety y Luis se reparten los problemas que tienen de tarea en el siguiente orden 3 de cada doce los hará Bety, 4 de cada 12 los realizara Luis y 5 de cada 12 los resolverá Juan ¿Cuántos ejercicios hace cada uno de ellos si el total son 420 ejercicios? R: Juan hace 175, Bety hace 105 y Luis hace 140 ejercicios cada uno. 5. Como resultado de un negocio se ha decidido repartir las ganancias de manera que el dueño del negocio le tocan $7 y los trabajadores $11 . ¿Cuánto le toca a cada uno si se reparten $2520 ? R: Dueño: $980 Trabajadores: $1540 . 6. Si el corazón de un hombre adulto en condiciones normales bombea 5 lts de sangre por minuto ¿Cuántos litros bombea en un día? R: 7200 litros. 7. Un automóvil en condiciones normales recorre 12 Km por litro de gasolina ¿Cuántos litros requiere para 250 recorrer 1000 Km? R: litros. 3 8. Un hombre en reposo respira aproximadamente 780 veces en una hora ¿Cuántas veces respirara en 1 125 semana? R: veces. 28 9. Un avión en condiciones normales de vuelo consume 10 toneladas de combustible en un recorrido de 84 R: Toneladas de combustible. 2500 Km ¿Cuántas toneladas consumirá en un viaje de 4200 Km. 5 10. Si por el consumo de 40 m3 de agua se paga $208 ¿Cuánto se pagará por el consumo de 25 m3? R: $130 . 11. En un internado hay 420 niños que con el suministro de víveres que se tiene se pueden alimentar por R: 18 días. 30 días, ¿Cuántos días se alimentarían 680 niños con los mismos suministros? 12. un tanque de agua tarda 90 minutos en llenarse con dos surtidores que tiene el mismo gasto, si deseo que se llene en 15 minuto ¿En cuánto surtidores de más necesito con el mismo gasto para realizar el llenado? R: 10 surtidores. 13. Una cuadrilla formada por ocho hombres ha cavado en veinte días una zanja de cuatrocientos metros cúbicos, ¿Cuánto se incrementa el tiempo si la cuadrilla cava la misma zanja con seis hombres menos? R: Se incrementa a 60 días. 14. La pavimentación de un kilómetro de calle se realiza en 16 horas con 24 trabajadores; ¿cuántos trabajadores se necesitan contratar para que la pavimentación se realice en 6 horas? R: Necesito contratar a 40 trabajadores.
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15. Una tropa de soldados de 1300 hombres tiene víveres para 4 meses para el viaje que realizara, si se desea que los víveres duren 10 días más ¿Cuántos soldados no realizarán el viaje? (considerar 30 días por mes) R: 100 soldados. 16. La entrada de agua a una piscina se hace a través de dos tubos. Con el agua proveniente de un tubo, la piscina se llena en 8 horas; si se emplea el otro tubo, se necesitan 12 horas para llenar la piscina. Estando la piscina vacía, ¿cuánto tiempo se necesitará para llenarla si se permite que el agua entre 24 simultáneamente por los dos tubos? R: horas. 5 17. Una cuadrilla de trabajadores puede hacer un colado de 28 m 2 en 12 horas y otra cuadrillad trabajadores puede hacer el mismo trabajo en 10 horas. Si las dos cuadrillas trabajan juntas, ¿en cuánto 60 tiempo podrán hacer el mismo colado? R: horas. 11 1 3 hrs , Felipe se come lo mismo en hrs y Alfonso en 1 hrs ¿En 2 4 6 cuánto tiempo se comerían 2 Kg entre los tres? R: hrs. 13
18. Ezequiel se come 1 Kg de carnitas en
19. A tres pintores se les encomienda pintar las paredes de una casa con una superficie de muros en 248 m 2 , cada uno pinta 1m 2 en aproximadamente 5 , 7 y 10 minutos ¿Cuántas horas se tardaran los 3 en pintar las paredes de la casa? R: 9 horas con 20 minutos. 20. Juan hace este problemarío en 18 hrs, su novia lo acabaría en 10 hrs ¿En cuánto tiempo lo acabarían 45 entre los dos? R: hrs. 7
ACTIVIDAD 11 APLICACIONES DEL TANTO PORCIENTO Los porcentajes constituyen uno de los lenguajes matemáticos de uso más extendido en la vida real. Es frecuente que los utilicemos para representar una cantidad respecto otra, pues es un método homogéneo que permite comparar fácilmente unas proporciones con otras al contrario de lo que sucede en las fracciones. También los medios de comunicación social están repletos de porcentajes que indican el peso relativo de una cantidad respecto a otra y, en otras ocasiones, las variaciones relativas que han sufrido distintas magnitudes o índices económicos, demográficos, sociales, científicos, etc. Quizás el lenguaje de los porcentajes es el lenguaje matemático más presente en las noticias, por lo que su comprensión y dominio es fundamental para entender la realidad que nos rodea. En un porcentaje intervienen la cantidad de referencia b que está asociada con él 100% , el porcentaje a% y c la cantidad absoluta equivalente al porcentaje, como lo dijimos anteriormente, al ser una comparación de cantidades la podemos expresar en una proporción de la siguiente forma:
c a b 100 ó b 100 c a
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De lo cual la cantidad que nos haga alta o que deseemos obtener será despejada. Ejemplos: 1. Calcula el 30% de 25 . c 30 25 100 25 c 30 25 25 100 2 3 5 c 2 2 5 2 2 5 2 5 2 3 5 c 2 5 2 2 15 c 2 c 7.5
2. ¿15 es el 40% de qué número? 15 40 b 100 b 100 15 40 2 2 15 b 2 3 5 15 15 2 5 2 2 5 5 3 5 b 2 2 5 2 3 5 2
b
2 75 b 2
b 37.5
3. ¿Qué porcentaje es 24 de 6 ? 24 a 6 100 24 a 100 100 6 100 3 100 2 3 a 2 3 2 3 22 a 100 2 3 a 100 4 a 400%
Ejercicios: 1. Obtén lo que se te pide: a) El 38% de 84 . b) El 1.2% de 146 . c) El 37.5% de 1.5 . d) ¿12 es 27% de qué numero? e) ¿ 0.084 es 33% de qué numero? f) ¿ 44 es 120% de qué numero? g) ¿Qué porcentaje es 2 de 7 ? 2 13 h) ¿Qué porcentaje es de ? 7 7 i) ¿Qué porcentaje es 96.54 de 32.09 ?
R: 31.92 . R: 1.752 . R: 0.5625 . R: 44.4444 . R: 0.2545 . R: 36.6667 . R: 28.57% . R: 15.38% . R: 301.78% .
2. ¿Qué porcentaje de ácido habrá en una solución que resulte de la combinación de 100 ml de una solución ácida al 40% con: a) 50 ml de agua pura? b) 200 ml de una solución ácida al 10% ? c) 500 ml de una solución ácida al 20% ? R: a) 26.67% , b) 20% , c) 23.33% . 3. En una tienda de deportes, un balón de Básquetbol cuesta $220 y por estar en oferta, están haciendo un descuento del 25% . En el mercado él mismo balón cuesta $160 , pero se cobra un impuesto del 5% sobre el precio. ¿Dónde conviene más comprar el balón? R: En la tienda.
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4. En una papelería se compra un cuaderno, un lápiz y una goma, con un precio de $14.20 , $0.8 y $2.15 respectivamente, sobre éste precio se cobra un impuesto del 16% , calcula: a) ¿Cuánto se pagará en total? b) Si todos los artículos tienen un descuento del 20% , ¿cuánto se va a pagar? c) Que conviene más, pagar primero el impuesto y luego hacer el descuento, al revés, ¿por qué? R: a) $19.89 , b) $15.92 , c) No hay diferencia. 5. En una tienda de autoservicio se está ofreciendo un 30% de descuento en el departamento de electrónica, se compra un televisor de $6500 de precio de lista (antes de aplicar el 16% de IVA), ¿qué conviene más, primero aplicar el descuento y después agregar el IVA ó al revés, primero el IVA y después el descuento? R: No hay diferencia. 6. Un par de tenis en cierta zapatería cuesta $240 , pero tienen la promoción de que si te llevas un segundo par, a éste se le hace un descuento del 20% . En una tienda de autoservicio, el mismo tenis tiene un precio de $270 , sólo que aquí todo el tenis tiene un descuento del 25% ; si se quieren adquirir 2 pares. ¿Dónde conviene comprarlos? R: En la tienda de autoservicio. 7. Por unos i-pod tu pagaste $990 , debido a que tenían un descuento del 20% , ¿Cuál era su precio originalmente? R: $1237.5 . 8. Una llanta tiene un costo de producción, sobre éste costo la empresa tiene un margen de ganancia del 25%, los intermediarios buscan una ganancia del 10%, y el distribuidor al público se queda con una ganancia del 5% sobre lo que lo obtiene del intermediario. a) ¿A qué precio se da al público si el costo de producción es de $450? b) ¿Cuál es el costo de producción si al público se ofrece a $700? R: a) $649.69, b) $448.88. 9. Para calcular el precio de un artículo, se realiza lo siguiente: al precio de costo de la fábrica por producirlo se le aumenta el 40% , que equivaldría a la ganancia con la que se queda la empresa, a éste precio se le aumenta un 20% que representa la mano de obra, a éste se la agrega un 10% que representa el desgaste del equipo, a éste se le aumenta un 30% de impuesto, finalmente se le incrementa un porcentaje de ganancia del establecimiento donde se venda, determina: a) El precio de venta de un artículo si el costo de producción es de $100 y el establecimiento donde se vende quiere una ganancia del 20% . b) El costo de producción para el caso del inciso (a), si el precio de venta al público fue de $300 . R: a) $288.29 , b) $72.58 . 10. Se deposita cierta cantidad en el banco, el cual ofrece el 10% anual, cuyos intereses se depositan cada mes incrementando así el capital sobre el cual se da el 10% de intereses. ¿Cuánto dinero se tendrá: a) Después de dos meses, si al principio se depositó $1500 ? b) Después de dos meses, si al principio se depositó $3000 ? c) Después de dos meses, si al principio se depositó $6000 ? d) Después de dos meses, si al principio se depositó $12000 ? R: a) $1525 , b) $3050.01 , c) $6100.01 , d) $12200.03 .
ACTIVIDAD 12 PARTE DE TODO Las fracciones comunes anteceden al estudio de expresiones racionales en el álgebra y al desarrollo del razonamiento proporcional. En el manejo de fracciones se contemplan diversas interpretaciones, aparentemente sin relación entre sí, las cuales son: La fracción interpretada como un reparto. Si repartimos tres barras de chocolate, en partes iguales entre ocho personas, ¿Qué cantidad de chocolate le tocará a cada persona?; si cada barra de chocolate la partimos en ocho partes iguales y a cada persona le damos una de esas partes que representa un octavo de la barra, entonces a cada persona le tocarán tres octavos de barra de chocolate.
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La fracción interpretada como partes iguales de un entero. José se comió las tres octavas partes de un 3 representan tres octavas partes iguales de un entero, 3 es el numerador y representa las partes pastel, 8 que se toman del entero dividido, 8 es el denominador e indica las partes iguales en que fue dividido el entero. La fracción interpretada como una razón o comparación de cantidades homogéneas, o comparación de medidas de dos magnitudes. Mi equipo favorito generalmente gana tres partidos de cada ocho que juega, 3 representa la comparación relativa de dos magnitudes de la misma especie medidas con el mismo 8 patrón, 3 es a 8 , y expresa que por cada 8 unidades se toman 3 unidades. La fracción interpretada como un porcentaje.- En particular, las razones cuyo denominador es 100 se 52 representa el 52 por ciento, en cuyo caso se escribe 52% , informa que deben llaman porcentajes: 100 tomarse 52 partes de cada 100 .
3 0.375 ó 375 milésimos. 8 Como casos particulares fracciones cuyo denominador es 10 ó una potencia de 10 , reciben el nombre de fracciones decimales: La fracción interpretada como un cociente y su respectiva expresión decimal:
3 47 5679 1 , , , ,... 10 100 1000 10000 La fracción interpretada como miembro de un sistema matemático. O sea, como número racional. La fracción como un parte de todo se estudia en dos casos diferentes que son: Parte del todo, es decir, cuando la unidad o el total están divididos en partes iguales o diferentes, pero la suma de todas estas nos da el total o la unidad. Parte de la parte, es decir cuando dividimos la unidad o total en partes iguales, y posteriormente volvemos a dividir una de ellas o varias en otras partes iguales.
Algunas interpretaciones ya las hemos analizado y las faltantes las analizaremos en las siguientes secciones. Ejemplo: Un hombre realiza un viaje recorriendo un tercio de la distancia en avión, 25% en tren y 80Km en carro ¿Cuál es la distancia total que recorrió la persona? Solución: Realizando la lista de datos iremos planteando el problema.
Datos. V - Recorrido A - Recorrido T - Recorrido C - Recorrido
total del viaje en avión. en tren. en carro.
V A T C 1 A V 3
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1 T 0.25V V , trasformando todo a fracción. 4 C 80 Km De esta forma generalizamos el problema para poder obtener el resultado de una manera rápida, sustituimos los datos obtenidos.
V A T C 1 1 V V 80 3 4 4 3 V V 80 12 7 V V 80 12
V
Restamos
7 V a ambos lados de la igualdad. 12 7 7 7 V V V 80 12 12 12 12 7 V 80 12 5 V 80 12
V
Multiplicamos por
12 a ambos lados para despejar a 5
V
.
12 5 12 V 80 5 12 5 12 80 V 5
V
2 2 3 24 5 5 6 V 2 3 V 192
Por lo tanto el viaje total consta de 192 Km . Ejercicios: 1. La tercera parte del contenido de una bolsa con canicas se las queda Luis, Humberto se queda con el 30% de la misma bolsa, Alfredo se queda con dos de cada quince canicas de la misma bolsa y Benito se queda con las que sobran. Si la bolsa contenía 300 canicas, ¿quién se quedó con menos canicas? R: Alfredo. 2. En un laboratorio se utilizo la tercera parte del contenido de un frasco de cierta solución, para prácticas con alumnos de quinto semestre; el 25% del contenido inicial del mismo frasco para prácticas con alumnos de tercer semestre y dos séptimas partes del total, para prácticas con alumnos de primer semestre. ¿Cuántos mililitros sobraron en el frasco, sí en el frasco había 168 mililitros de la solución? R: 22 mililitros.
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3. Arturo, Juan y Ulises, se dedican a vender DVD’s, del total vendido, Arturo vendió la tercera parte, Juan el 30% del total y Ulises lo demás ¿Quién vendió más? R: Ulises. 4. Un electricista compró 25 m de cable.
Conservo las tres octavas partes para trabajos posteriores, 5 de empleo el 10% de la cantidad original para hacer una instalación, dividió el resto en trozos de 8 metro, ¿cuántos de estos trozos obtuvo? R: 21 trozos. 5. Eunice utiliza la cuarta parte de su cuaderno para dibujo, el 20% del mismo para civismo y 3 de cada 8 hojas para historia. a) ¿Cuántas hojas le sobran si su cuaderno es de 200 hojas? b) Si para historia hubiera utilizado 39 hojas, ¿de cuántas hojas era el cuaderno? R: a) 35 hojas, b) 104 hojas.
6. Rubén compra un costal de azúcar, la quinta parte se la regala a su mamá, él 15% se lo regala a su suegra y 7 de cada 20 kilos del costal lo guarda en la despensa. a) ¿Cuántos kg de azúcar quedaran en el costal, si el costal era de 50 Kg ? b) ¿A quién le toca más, a su suegra o a su mamá? c) Si a su suegra le hubieran tocado 12 Kg de azúcar, ¿de cuántos kg era el costal? R: a) 15 Kg , b) A la mama, c) 80 Kg . 7. En un juego con palillos chinos, Ricardo se queda con dos palillos, Alberto con 15 , José con 28 y Mario con la cuarta parte del total. a) ¿Quién gana?, y ¿con cuántos palillos? b) ¿Qué porcentaje del total representan los palillos con los que se quedó Ricardo? R: a) José con 28 palillos, b) 3.33% . 8. Un camión que transporta naranjas, lleva su mercancía a vender en dos tianguis diferentes; en el primero vende dos quintas partes de lo que traía y en el segundo vende tres séptimas partes del contenido original, si con lo que resta llena seis costales y medio de 60 naranjas cada costal. a) ¿En qué tianguis se vendió menos? b) ¿Cuántas naranjas había originalmente en el camión? R: a) Segundo tianguis, b) 2275 naranjas. 9. El tiempo que queda entre la hora que se termina de comer y la hora de dormir, se distribuye entre 4 personas que integran una familia, para usar la computadora. A cada uno de los hermanos se les da dos séptimas partes y un 25% del tiempo respectivamente, al papá se le asigna 3 de cada 8 minutos y a la mamá se le asigna el resto. a) ¿A quién se le asigno más tiempo? b) Si al hermano que se le asigno más tiempo le toco 35 minutos, ¿qué tiempo hay entre la hora de la comida y la hora a la que se van a dormir? R: a) Papa, b) 2 hrs 20 min (140 min). 10. Una compañía de mudanzas pone la mitad de las cajas provenientes de un departamento en un camión grande y la tercera parte de las cajas en un camión pequeño para trasladarlas al nuevo domicilio. En la sala del departamento quedaron aún ocho cajas y seis más en una de las recamaras, que se transportaran al día siguiente. a) ¿Cuántas cajas había en el departamento? b) ¿Cuántas cajas se transportaron en los camiones? R: a) 84 cajas, b) 70 cajas. 11. Itzel, acomoda sus crayones en 3 botes iguales y le sobran 12 que representan el 16% del total de sus crayones. a) ¿Cuántos crayones eran en total? b) ¿Cuántos crayones caben en cada bote? R: a) 75 crayones. b) 21 crayones. 12. Se desea pintar una pared con tres tipos de pintura, un litro de pintura Comex cubre la tercera parte 2 de la misma pared y un litro de la marca de la superficie de una pared; un litro de la marca Lux cubre 7 Dupont cubre lo demás, ¿Qué marca cubre más parte de la pared? R: Dupont. 13. Cesar es un excelente repostero y se da cuenta de que para hacer un pastel de 3 leches necesita las
3 partes de una bolsa de harina y que para hacer un pastel envinado necesita el 40% de la misma bolsa, 7 si hace un pastel de cada tipo, ¿Qué porcentaje sobra de la bolsa de harina?
~ 54 ~
R: 17.14% .
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14. Para mudarse, una familia empaca todas sus pertenencias en cajas del mismo tamaño, las cuales las transporta en dos camiones y una camioneta que tiene de capacidad la mitad de la de los camiones. Si los transportes se utilizan a su máxima capacidad y sobran 2 cajas. ¿Cuántas cajas eran en total si: a) Las cajas que faltaron por transportarse representan el 8% del total? b) Las cajas que se quedaron son la dieciseisava parte de lo que le cabe a un camión? R: a) 25 cajas. b) 32 cajas. 15. Un laboratorista desea acomodar frascos de reactivos de igual tamaño en tres anaqueles de igual capacidad y en una repisa en la que cabe la mitad de los frascos que se acomodarán en cada anaquel. Si después de acomodar los frascos en los tres anaqueles y en la repisa sobran veintiuno, ¿cuántos frascos caben en la repisa si los veintiuno que sobran corresponde al cuatro por ciento del total? R: 72 frascos.
ACTIVIDAD 13 PARTE DE LA PARTE Ejemplo: 3 partes de una varilla para hacer un adorno, con lo que sobra vuelve a cortar 62.5% . 7 Si lo que queda de la varilla es 45 centímetros ¿Cuánto media la varilla inicialmente?
1. Un herrero corta
Solución: El planteamiento y extracción de los datos los haremos apoyados de un dibujo donde Datos. V – Totalidad de la varilla S – lo que sobra de la primera división. Q – lo que queda de la segunda división. V Un entero. 3 Primera división V 7 3 V V S , pero: 7 S Un nuevo entero pero también es: S
Segunda división S
4 V 7
5 S 8
5 S Q , pero: 8
Q Lo que sobro pero también es: Q
3 S; y 8
Q 45 cm
De la observación del dibujo obtuvimos el proceso para obtener el dato que nos están pidiendo en donde solo sustituiremos los valores que encontremos. Q 45 cm
S 120 cm
3 S 8 3 45 S 8 3 8 8 45 S 8 3 3 8 45 S 3
4 V 7 4 120 V 7 4 7 7 120 V 7 4 4 7 120 V 4
Q
S
~ 55 ~
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2 3 5 3 3 2 3 5 3 S 3 3 S 2 3 5 S 120 cm S
3
7 2 3 5 22 7 2 3 5 2 2 V 22 V 7 2 3 5 V 210 cm
2
V
3
Por lo tanto la medida de la varilla originalmente era de 210 centímetros Otro procedimiento es manejar un diagrama de árbol. Como veremos a continuación, tomando en cuenta que si desciendo un nivel tendremos que multiplicar los fracciones. De este diagrama de árbol multiplicaremos de forma descendiente siguiendo la flechas que van por la derecha y lo igualaremos con los 45 centímetros.
V
3 7
4 7 5 8
4 3 V 45 7 8 2 2 3 V 45 3 7 2 2 2 3 V 45 2 7 2 2 3 V 45 14 14 3 14 45 V 3 14 3 2 7 3 2 5 V 3 2 7 3 5 3 V 3 V 210 cm
3 45 cm 8
Por lo tanto la varilla mide originalmente 210 centímetros. También se puede resolver por proporciones, ¿cómo se realizaría? Reúnete en equipo y realiza dicho procedimiento. Ejercicios: 1. Las dos terceras partes de tu salón son mujeres, de las cuales las cuatro quintas partes no tienen novio y las tres octavas partes de éstas nunca han besado a alguien. Si cuatro niñas en tu salón tienen novio, ¿cuántas chicas aún no han besado? R: 6 niñas. 1 parte del total de la bolsa, el martes se utiliza 20% 5 de lo que quedó el lunes, el viernes se utiliza una tercera parte de lo que sobro el martes, y lo demás se deja para el fin de semana. ¿Cuánto se usó para el martes y cuanto se dejó para el fin de semana? 4 32 R: de la bolsa. b) de la bolsa. 25 75
2. Se compra una bolsa de arroz, el lunes se utiliza
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3. Un político invirtió las dos novenas partes de su capital en la compra de una mansión, con las tres séptimas partes de lo que quedo compro un yate y el resto, ocho millones de pesos, lo destino a la compra de varios terrenos. ¿A cuánto ascendía el capital inicialmente? R: 18 millones. 2 partes para 5 pagar servicios, de lo que sobra 5 de cada 8 pesos lo utiliza para alimentación y el resto lo ahorra. ¿En cuánto tiempo habrá ahorrado dieciocho mil pesos si su salario mensual es de 5 mil pesos? R: 20 meses.
4. Un padre de familia destina el 20% de su salario para transporte, de lo que sobra utiliza
5. Las cinco octavas partes de los animales de un zoológico son mamíferos y dos de cada veinticinco mamíferos son fieras. ¿Cuántas fieras hay en el zoológico si este cuenta con 3000 animales? R: 150 animales. 6. Se compra un pastel, de ese pastel la tercera parte se la come el papá; de lo que sobra, él 40% se lo come la mamá y el resto se guarda para el siguiente día. a) ¿Cuánto comió cada uno de ellos? b) ¿Quién comió más? c) ¿Si el pastel pesaba 500 gr. cuanto se guardó para el siguiente día? 1 4 del pastel el papá, del pastel la mamá. b) El papá. c) 200 grs. R: a) 3 15 7. Luis compra una gelatina, la tercera parte se la da a su mamá, de lo que sobra él toma la cuarta parte y lo demás lo guarda para el día siguiente. a) ¿Quién se quedó con más? b) Si la gelatina pesaba 400 g, ¿cuánto se guardó para el día siguiente? c) Si hubiera tomado 150 g, ¿cuánto pesaba la gelatina? R: a) La mamá. b) 200 g. c) 900 g. 8. Un jardinero se dedica a cortar el pasto, tiene que cortar lo equivalente a un área de 540 metros cuadrados, si cada día corta la tercera parte de lo que quedó el día anterior, ¿cuánto debe cortar el jueves para terminar el trabajo si empezó el lunes? R: 160 m2. 9. En un consultorio de optometría, durante una semana, la tercera parte de los casos atendidos fue de miopía, y los demás son de astigmatismo; de los casos de miopía, 1 de cada 20 es daltónico y de los astigmáticos, 1 de cada 15 son daltónicos. a) Si los daltónicos con astigmatismo fueron 4 casos, ¿cuántos pacientes se atendieron? b) Si los de miopía no daltónicos fueron 57 , ¿cuántos casos de astigmatismo sin daltonismo se tuvieron? R: a) 90 pacientes. b) 112 pacientes. 10. El aguinaldo que recibe un jefe de familia lo piensa gastar de la siguiente forma: el 15% para la cena de Navidad, de lo que sobra una quinta parte para regalos de Navidad y reyes; 3 de cada 5 pesos que lo que queda en mantenimiento de su casa y lo demás lo piensa ahorrar. a) ¿En que destina mas parte de su aguinaldo? b) ¿En qué destina menos parte de su aguinaldo? c) Si de aguinaldo recibiera $4000 , ¿cuánto gastaría en regalos? d) Si ahorra $1700 , ¿cuánto hubiera destinado para la cena de Navidad? R: a) Mantenimiento. b) Cena. c) $680 . d) $6250 . 11. En un laboratorio se analizará una muestra de cierto alimento, se toman
2 partes de ella para 5
4 partes de lo que resta de la muestra para 7 investigar el contenido de carbohidratos. a) Si lo que sobra de la muestra pesa 45 gramos, ¿cuánto pesaba la muestra inicialmente? b) ¿Cuánto se destino para analizar grasa, si para analizar carbohidratos se R: a) 175 g. b) 28 g. usaron 24 g?
investigar el contenido de grasas; posteriormente se toman
12. El agua de una cisterna se consumió de la siguiente forma: 1 de cada 5 litros el lunes, el 30% de lo que sobraba el lunes se consumió el martes, tres cuartas partes de lo que sobro el martes se usó el miércoles y el resto se consumió el jueves, determina: a) Si el martes se consumió 230 litros, ¿qué contenido tenía la cisterna? b) Si el jueves se consumió 140 litros, ¿cuántos litro se consumieron el lunes. c) Si el miércoles se consumieron 900 litros, ¿cuántos litros se consumió el jueves? R: a) 200 l. b) 300 l. ~ 57 ~
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13. Elizabeth destina el tiempo que tiene entre la hora que llega a su casa de la escuela y la hora en que se va a dormir de la siguiente manera: 10% para comer, una tercera parte de lo que sobra para estudiar y hacer tarea, 10 de cada 30 minutos que sobran para ver tele o descansar y el de más tiempo para preparar las cosas que va a utilizar al día siguiente. a) ¿Qué tiempo es mayor el que utiliza para estudiar o para descansar? b) Si para preparar sus cosas utilizo 1 hrs con 20 minutos, ¿cuánto destina en comer? c) Si llega a las 4 pm, ¿a qué hora se debe dormir si con el mismo esquema de actividades desea estudiar R: a) Para descansar. b) 20 min. c) 2 am. 3 hr? 14. Un tipo especial de reactivo se utiliza en una práctica de laboratorio, el primer grupo utiliza 25% del 2 2 total del reactivo, de lo que sobra, el segundo grupo utiliza partes del reactivo, y el tercer grupo y lo 5 3 que sobró se deja para la siguiente semana. a) ¿Qué grupo utiliza menos reactivos? b) Si el segundo grupo utiliza 600 ml, ¿de qué capacidad era el envase original? c) Si el reactivo estaba en una botella de 3 litros, ¿cuánto utiliza el tercer grupo? R: a) El primero. b) 2000 l. c) 900 ml. 15.- En una biblioteca. La sexta parte son libros de Ciencias Sociales, el 30% de Ciencias MedicoBiológicas y el resto de Físico-Matemáticas; de cada una de estas áreas, 1 de cada 9 , 5 de cada 12 y 7 de cada 20 están escritos en ingles, respectivamente: a) ¿Cuántos libros hay en la biblioteca, si los libros en ingles de Ciencias Medico-Biológicas son 300 ? b) ¿Cuántos libros en ingles son de Ciencias FísicoMatemáticas, si los de Ciencias Sociales que no están en ingles son 560 ? c) ¿Cuántos libros están en ingles de Medico-Biológicas, si los libros de Ciencias Físico-Matemáticas que no están en ingles son 1872 ? d) No importando el número de libros que hubiera en la biblioteca ¿de qué tipo se tienen más libros? R: a) 2880 libros. b) 882 libros. c) 600 libros. d) Se tienen más libros de Físico-Matemáticas.
ACTIVIDAD 14 CONVERSIONES La aplicación de la notación científica se da muy poco en matemáticas pero en las demás materias como son Física, Química y por lo general la carreras de ingeniería es donde más se aplica utilizándolos siguientes prefijos para hacer conversiones de unidades. Prefijo Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca Unidad Deci Centi Mili Micro Nano Pico Fento Atto
Símbolo E P T G M K H D
d c m f
a
Potencia 1018 1015 1012 10 9 10 6 10 3 10 2 101 10 0 10 1 10 2 10 3 10 6 10 9 10 12 10 15 10 18
Equivalencia 1000000000000000000 1000000000000000 1000000000000 1000000000 1000000 1000 100 10 1 0.1 0.01 0.001 0.000001 0.000000001 0.000000000001 0.000000000000001 0.000000000000000001
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Múltiplos de la Unidad
Submúltiplos de la Unidad
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Para convertir un número a notación científica se tendrá que recorrer el punto decimal a la izquierda o derecha según sea el caso, y colocando un signo positivo o negativo respectivamente; tomando en cuenta la restricción del valor de A 1 A 10 . Como veremos en los siguientes, ejemplos: 1. Convierte 0.00000000032
Km m a hr s
Solución: Para realizar el ejercicio transformamos a notación científica y las equivalencias en unidades para formar nuestra unidad equivalente y poder hacer la conversión. Km hrs 1Km 1000 m 10 3 m 3.2 10 10
1hr 60 min 3600 s 3.6 10 3 s Una vez obtenido esto procedemos a transformar las unidades como son dos (Km y hrs) aremos dos fracciones equivalentes a la unidad en la primera pondremos los metros de numerador y Kilómetros de denominador, y en la segunda horas de numerados y segundos de denominador para cancelar las unidades y deja metros y segundos. 3.2 10 10
Km 10 3 m 1hr hr 1Km 3.6 s 10 3 1 1
Agrupamos las unidades en una sola fracción al igual que las potencias de 10 y los valores de A , y los simplificamos. 3.2 10 10 10 3 Km hr m 3.6 10 3 Km hr s 32 10 10 10 m 36 s 10 2 5 2 5 m 10 10 2 2 2 3 2 5 s 23 m 10 10 32 s 8 m 10 10 9 s m 0.8 10 10 s m 8.8 10 11 s
2. Si la masa de la tierra es aproximadamente 5,975 10 24 Kg y cada gramo equivale 2.205 10 3 lb ¿Cuál es el peso de la tierra en libras? Solución: Como ya están en notación científica, obtenemos la equivalencia de Kg a gr para poder empezar la transformación.
1Kg 1000 gr 10 3 gr
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5.975 10 24 Kg
3
10 gr 2.205 10 lb 1Kg 1gr 3
1
1
5975 2205 24 3 3 Kg gr lb 10 10 10 1000 1000 Kg gr 5 2 239 3 2 5 7 2 24 10 lb 2 3 5 3 2 3 5 3 239 3 2 7 2 24 10 lb 2 3 5 2 3 5 2 3 2 7 2 239
10 24 lb 2 3 10 3 105399 10 24 lb 8 10 3 13174.874 10 21lb 1.3174874 10 25 lb
Ejercicios: 1. Utilizando notación científica resuelve el siguiente problema: Una micra equivale a 0.0001cm y una pulgada equivale a 25.4 mm . Determina cuántas micras tiene una pulgada. in.
R: 3.94 10 5
2. Un restaurante de hamburguesas afirma haber vendido alrededor de 14 mil millones de hamburguesas en Estados Unidos el año pasado. Habiendo aproximadamente 215 millones de habitantes en Estados hamburguesa . Unidos. ¿Cuántas hamburguesas representan ésta venta por persona? R: 65.11 persona 3. Utilizando notación científica calcula a cuántos kilómetros equivale 25 10 4 in, sabiendo que 1 mm R: 6.35 10 8 Km. equivale a 0.0394 in. 4. El tiempo promedio que una imagen de película aparece en la pantalla es aproximadamente 6.4 10 2 segundos. ¿Cuántas imágenes se proyectarán durante dos horas de cine? R: 56250 imágenes. 5. Un año luz es igual a 3.1 1016 ft. Si una milla es igual a 5280 ft; ¿cuántas millas tiene un año luz? R: 5.87 1012 ft. 6. Utiliza notación científica para resolver el siguiente problema: Un microbio puede generar 392000000000000 microbios en un día, ¿cuántos microbios generarán 10 microbios en una semana? R: 2.744 1016 microbios. Km . Esta tarda cerca de 500 segundos en llegar a la tierra s ¿Cuál es la distancia aproximada del sol a la tierra, expresa el resultado en metros y R: 1.5 10 8 Km.
7. La luz viaja aproximadamente a 3 10 5 desde el sol. centímetros?
8. El diámetro de la galaxia se estima en 100000 años luz, expresa este diámetro en metros y centímetros. R: 9.46 10 20 m y 9.46 10 22 cm. 9. Los científicos calculan que cada segundo el sol convierte alrededor de 700 millones de toneladas de hidrógeno en helio. Si el sol contiene cerca de 1.49 10 27 toneladas de hidrógeno; ¿cuántos años tardará aproximadamente en agotarse la provisión de hidrógeno del Sol? R: 4.74 1019 años. ~ 60 ~
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10. Un pársec, equivale a 3.26 años luz. La estrella Alfa Centauri está a 1.3 pársec de la Tierra; ¿cuál es esa distancia en metros? R: 4.01 1016 m.
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ALGEBRA INTRODUCCIÓN A LOS POLINOMIOS LENGUAJE ALGEBRAICO INTRODUCCIÓN La palabra “ÁLGEBRA” deriva del título de un libro escrito por un matemático árabe que vivió en la primera mitad del siglo IX, nos referimos a Al-Khowarizmi, que en su libro “Al-jebr w’almuquabala” describe cómo restaurar el equilibrio, en lo que ahora llamamos ecuaciones, mediante la transposición de términos, así como la simplificación de las ecuaciones mediante la cancelación de términos iguales en cada lado de la igualdad. La matemática elemental es el estudio de las relaciones entre números, magnitudes y las reglas que los rigen, así como la descripción de la forma, medida posición relativa y relación de las figuras y cuerpos geométricos; dentro de los diversos lenguajes que utiliza para estudiar y describir esas relaciones y crear modelos de situaciones reales están: el lenguaje aritmético, el de conjuntos, el de la lógica simbólica, el lenguaje algebraico, etc., destacando entre ellos de manera sobresaliente el lenguaje algebraico, que posee reglas de construcción de expresiones apropiadas y reglas de transformación de tales expresiones. El lenguaje del álgebra es eficaz para describir de forma concisa y generalizada a la aritmética, y también lo es para describir simbólicamente modelos matemáticos del mundo que nos rodea; bien puede afirmarse que el lenguaje fundamental de las matemáticas es el algebraico, el cual se desarrolló a partir de las reglas y operaciones de la aritmética. El álgebra ha pasado por un largo proceso de desarrollo desde que no existían símbolos algebraicos hasta que el lenguaje algebraico se vuelve autónomo y emergen sus propias reglas de sintaxis. Ya en el año 2000 A.C. los babilonios utilizaban métodos algebraicos para resolver problemas, pero no empleaban símbolos matemáticos que fueran más allá de sus representaciones primitivas de números. Esta falta de símbolos estuvo presente durante muchos siglos, pero en forma gradual las palabras más usadas se fueron abreviando y el lenguaje algebraico comenzó a surgir cerca del año 1500 D.C. Tan sólo los símbolos para adición y sustracción, & , aparecen por vez primera en 1489 , empleándose con fue utilizado por primera vez en 1557 en regularidad alrededor de 1544 ; el signo de igualdad , Inglaterra; el punto de multiplicación , y la yuxtaposición se usaron inicialmente alrededor del año 1600 y el signo en 1620 ; el signo de división , apareció en 1659 ; el signo para denotar raíz cuadrada , aparece en 1525 . Es Francisco Vieta (francés, 1540 1603 ) quien introduce, como procedimiento general, la práctica del uso de letras para designar números, tanto para los conocidos como para las variables, aunque ya se habían usado antes de él letras para representar números. La contribución de Vieta le llevó a darse cuenta plenamente de que el álgebra está en un nivel superior de abstracción al de la aritmética, este proceso en la generalización fue uno de los pasos más importantes que ha dado la matemática. La separación completa del álgebra y de la aritmética no se consumó hasta el siglo XIX . El álgebra elemental es una forma generalizada de la aritmética, estudia cómo efectuar transformaciones con objetos de carácter abstracto y simbólico, entre los que se encuentra a los polinomios y a las ecuaciones. El álgebra de nivel superior es el estudio de las ecuaciones y de ciertos sistemas matemáticos en lo que respecta a su estructura, tales sistemas conforman precisamente lo que se conoce como estructuras algebraicas. ANTECEDENTES En álgebra usaremos símbolos para representar números reales cualesquiera, entre los tipos de símbolos adecuados para ese fin tenemos las literales o letras de nuestro alfabeto, que algunas se llaman variables: a , b , ... , x , y , z ; el lenguaje algebraico trabaja con expresiones que incluyen tanto literales como números combinados con los símbolos de las operaciones aritméticas, es precisamente el uso de variables o literales lo que nos permite escribir enunciados generales sobre las reglas de la aritmética. Para evaluar las expresiones se sustituyen las literales por los números asignados y se efectúan las operaciones 62
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indicadas, obteniendo con esto el valor numérico de la expresión. Es frecuente que en las expresiones algebraicas aparezcan símbolos de agrupamiento cuando pueda existir ambigüedad en el orden para realizar las operaciones, o siempre que deba interpretarse una de las partes de la expresión como un solo número, o cuando se quiera representar números signados negativamente. Las igualdades como a = b no son igualdades de símbolos, ya que a es literal distinta de b , sólo nos indica que estas literales son dos nombres distintos para el mismo número, así como 9 - 4 = 5 indica dos formas distintas para escribir el número cinco. La yuxtaposición abc indica que los números representados por a , b , c se multiplican, mientras que el número uno usualmente no se escribe en expresiones como: 1abc , 1abc ,
a , 2a 0 & a1 1
Tomando en estos casos: 1abc = abc , 1abc = abc ,
a = a , 2a 0 2 & a1 a 1
Las expresiones algebraicas son tales que si se reemplaza cada literal por un número que no cause alguna indeterminación, las reglas de la aritmética permiten realizar las operaciones indicadas, además, dos expresiones algebraicas serán idénticas cuando incluyan las mismas literales y cuando al ser sustituidas éstas por números iguales, respectivamente, dichas expresiones toman el mismo valor numérico en todos los casos. Es conveniente recordar las propiedades de las operaciones con números reales antes de abordar el estudio de los conceptos básicos del álgebra y de las reglas iniciales para formar expresiones; supongamos que w , x , y son números reales cualesquiera, entonces: I. x+ y & x y son siempre números reales (cerradura) II. x y = y x & x y = y x (conmutatividad) III. x y + w = x y w & x y w = x y w (asociatividad) IV. x+ 0 = x & x 1 = x (existencia de elementos neutros) 1 V. x+ x = 0 & y = 1 , para y 0 (existencia de elementos inversos) y x Es el simétrico; opuesto, o inverso aditivo de x 1 Es el recíproco, o inverso multiplicativo de y y El recíproco también se representa por y 1 , esto es: VI. x y+ w = x y+ x w &
y w x = y x+ wx
1 = y 1 por lo tanto: y y 1 = 1 y
(distributividad de la multiplicación en la suma)
Lo que puede expresarse como: x y x w = x y w Esta propiedad es la base de una transformación que se aplica, con ciertos fines, a expresiones algebraicas, conocida como FACTORIZACIÓN. Además de las propiedades anteriores, tenemos las definiciones de las operaciones conocidas como substracción, división, potencia y radicación o extracción de raíces:
x y = x+ y 63
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1 x÷ y = x ó x ÷ y = x y 1 , siempre que y 0 y n factores x n = xx ...x & y 0 = 1 , para n un entero positivo & y 0 k
x = y siempre que y k x , siendo k un entero positivo.
CONCEPTOS Y NOTACIÓN Como se ha visto el algebra es la generalización de la aritmética empleando literales (variables), y números (constantes), para expresar cantidades; para saber lo que es una expresión algebraica definiremos lo siguiente:
Constante real.- Es un símbolo que se usa para representar un número real fijo. También conocido como coeficiente constante. Variable real.- Es un símbolo (literal) que se usa para representar un número real arbitrario. También recibe el nombre de coeficiente variable. Ejemplos:
Expresión algebraica.- Es todo coeficiente variable o constante, o bien a la combinación de ambos que n están ligadas por alguna de las operaciones , , , , y n en un numero finito. Distinguimos dos tipos de expresiones algebraicas:
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Ejemplos:
a ,3n , b
3 -5 d - Expresión Racional 4 3 5 a 3 b 2 c , hk 2 h 2 2 .5 k 3 , x 4 3 x 3 x 2 x 6 - Expresiones Racionales Enteras 4 2 5 3 2 1 3 x y a 2 b , x -2 + y -1 , 2 , - Expresiones Racionales Fraccionarias y x w 2 3 ab b 3
r 5 tr ,
3 b 2c
4 3
xy
x 3 +1 - Expresión Irracional
En la clasificación anterior destacan las expresiones racionales enteras llamadas POLINOMIOS, consisten de uno o más sumandos, llamados a su vez MONOMIOS. Podemos decir también que: MONOMIO es una expresión que puede ser un número, una literal, o un producto de números y literales con exponentes que son números enteros no negativos; si el monomio es un número aislado, lo llamaremos MONOMIO CONSTANTE. Los monomios son las expresiones algebraicas más simples.
4 ab 1 , 4 x 3 , 7 xy , x , 8 , a 2 bc 5 , son monomios 3 9 4 2 4 t 2u , x 2 + x , 4 a -2 , 7 ab , 3 , x 3 no son monomios. 3x v POLINOMIO es un monomio, o una suma o resta de monomios, a cada monomio se le llama TÉRMINO. En los polinomios los términos son sumandos. En el polinomio x y 2 x 2 y 3
3 4 y5 y w 1 distinguimos seis monomios, cada uno es un término de aquel. 4 9
Término x y
2 x 2y3
Coeficiente numérico 1 1 2
3 4 y w 4 y5 9 1
3 4 1 9 Es un monomio constante
-
En el monomio
3 4 3 y w aparecen los factores , y4 & w . 4 4
Los polinomios de dos términos se le conoce con el nombre de binomio y los de tres de trinomio. En general, gran cantidad de expresiones algebraicas, que no son polinomios, se presentan como sumas de expresiones parciales y en tales casos se dice que cada sumando es un término de la expresión. A las expresiones que contienen uno o más términos que no son monomios suele llamárseles MULTINOMIOS. Por ejemplo:
a ab
3ab 2
a 3 a 2 b 2 es un multinomio de cuatro términos. a b
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Ejercicio: I. Clasifica con M a los monomios y con T a los que no lo son:
3 2 3 xy z 5 4 b) x2 ab 2 c c) 5 d) x y a)
(
)
(
)
(
)
(
)
e)
1 xy
(
)
f)
ab 9
(
)
II. Clasifica cada expresión con P si es un polinomio y con M si se trata de un multinomio: a) 5 a b
1 + x 3 y 2 8 y4 3 1 1 c) 2 xy 3 + xy x
x3 + 5 xyz 4 e) x 2 x y 3 + y 2
5 1 n+ 6 3 2 2 ab 3 + g) a 2 b 5 2 4 a3
b) x 2 y 3
d) 3
f)
5 m
GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO, respecto a una literal, es el exponente con que ésta se presenta en el monomio; en el caso donde la literal no figura, el grado respecto a ella es cero. Si se trata de un monomio constante no nulo, su grado respecto a cualquier literal es cero.
6 x 2 yz 3 - tiene grado 2 relativo a x , grado uno respecto a y , mientras que el grado relativo a z es 3 . 3 a 2 b 2 c 2 - es de grado 2 respecto a las literales a,b,c y grado cero respecto a la literal d . 4 x - tiene grado uno respecto a x . GRADO ABSOLUTO de un monomio que contiene parte literal es el número que resulta de sumar los exponentes de las literales. Si el monomio es una constante no nula, su grado absoluto se define como cero. El monomio 0 no tiene grado asignado.
6 x 2 yz 3 tiene grado absoluto igual a 5. 3 a 2 b 2 c 2 es de grado absoluto igual a 6. 4 x tiene grado absoluto 1. 12 es de grado cero. 66
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GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO, respecto a una literal, es el exponente máximo con que dicha literal aparece en los monomios. El grado relativo respecto a una literal es cero si ésta no figura en el polinomio.
a 3 3a 2b a 4b3 ab5 10 tiene grado 4 relativo a la literal a , 5 es el grado relativo a b . 3r 8s t es de primer grado respecto a cada una de sus literales. x 2 y 2 2xy x 3y 1 es de segundo grado respecto a x,y . GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO, o simplemente GRADO, será el grado absoluto más alto que alcancen sus monomios.
a 3 3a 2b a 4b3 ab5 10 tiene grado igual a 7 . 3x y 4 6y5 x 6 y 2 x 8 tiene grado absoluto igual a 9 . 5
4a 2 b 2 5ab 3 b 4 tiene grado absoluto igual a 4 . x 2 3xy y 2 es de segundo grado. 5 x 3y 4 es de primer grado.
El término de grado más alto en un polinomio es el TÉRMINO PRINCIPAL, su coeficiente recibe el nombre de coeficiente principal. Cuando en el polinomio aparece un monomio constante, a éste se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE. 3x 5 2 x 3 4x 5 x 6 8 tiene a 5 x 6 como término principal, 5 es el coeficiente principal, y el término independiente es 8 .
La propiedad conmutativa de la suma permite ordenar los polinomios respecto a los exponentes de una de sus literales (la LITERAL ORDENATRIZ), si los términos se escriben uno tras otro enlazados por el signo que les corresponde, de tal modo que los exponentes de la literal ordenatriz vayan de menor a mayor, el polinomio estará ORDENADO EN FORMA ASCENDENTE. Si los términos se escriben de tal manera que los exponentes de la literal elegida vayan de mayor a menor, el polinomio presentará un ORDEN EN FORMA DESCENDENTE.
5 x 5 8x 3 y 6 x 2 y 2 5 xy 3 x presenta orden descendente respecto a x . 3 mn 2 5m 2 6m 3 n 4 m 4 muestra orden ascendente respecto a m .
Términos como 3a 2 b 3 & 8a 2 b 3 , cuyos factores literales son exactamente los mismos, es decir tienen el mismo grado absoluto y relativo en sus variables, se les llama TÉRMINOS SEMEJANTES.
3 3 2 w x y son términos semejantes. 4 3 x 2 yw3 & r 3 x 2 y no son términos semejantes. 4 5ab 2 c 3 & 20ab 3 c 2 no son términos semejantes 2 4 , , 1 & 4.9 son términos semejantes. 3
x 2 yw3 &
III. Ejercicios: 3) Indica el número real que aparece como coeficiente y señala el grado absoluto y relativo correspondiente a los coeficientes variables que contenga cada monomio:
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Coeficiente constante
Grado absoluto
Grado relativo
a) 1.4x 2 1 b) xyz 3 c) 3 a r5 5 5y 3 e) 9
d)
f)
3 xy 4
IV. Indica el grado absoluto y relativo con respecto a cada una de sus variables. Grado absoluto a) a rz 8r z 4z 9a r b) 5 t 3 6t 7 t 2 c) 3x 3 y 2 25y 3 6 x 2 7 3
4
2
2
5
Grado relativo
4
d) a 3 3 a 2 b a 4b 3 ab 5 10 1 e) w2 u 3 + u 3 w 2 8w4 3 f) 4 a 2 b 2 5 ab 3 + b 4 V. En cada serie de términos, únicamente dos de ellos son semejantes, subráyalos: a) -2 x 3 , 3 x , 8 y 3 , 5 x 3 . b) 7 xy 2 w , 7 xy 2 w2 , 6 x 2 yw , 14 xy 2 w2 . c) 3 3 xy 2 , 3 2 y 2 x , 6 xy 2 , 3 x 2 y . d) w , x , 3 w , wx . e) ab 2 c , a 2 bc , 3b 2ac , 3 a 2 bc 2 . 1 f) a 2 b , 5 b 2 a , 6 a b 2 , 2 a 2 b . 3 TRADUCCIONES DEL LENGUAJE COMÚN AL ALGEBRAICO Cuando se tienen enunciados del lenguaje natural susceptibles de ser traducidas al lenguaje algebraico, es posible construir expresiones donde las literales representen números no determinados de antemano, dichos números serán los sustitutos permisibles de esas literales. En la resolución de problemas mediante el álgebra, es necesaria la habilidad para obtener expresiones y relaciones entre ellas que sean representativas de las diferentes partes que aparecen en el enunciado del problema, para esto debemos leer con mucha atención dicho enunciado distinguiendo los datos, la vinculación entre ellos y lo que se nos pregunte o se nos pida calcular. Los enunciados mencionarán explícita o implícitamente operaciones aritméticas, como en los ejemplos que siguen: a) La suma de la tercera parte de un número arbitrario, más el mismo número incrementado en uno. 1 Los integrantes de la suma pueden representarse por x & x+ 1 , así que una expresión conveniente para 3 el enunciado es:
1 x+ x+ 1 3
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b) La cuarta parte de un número cualquiera disminuido en tres unidades. El número debe estar disminuido en tres, esto se representa por a- 3 ; posteriormente, la cuarta parte de 1 a 3 a - 3 es: a 3 ó 4 4 c) La cuarta parte de un número cualquiera disminuida en tres. Aquí, es la cuarta parte del número la que debe disminuirse en tres, enunciado diferente al analizado en el a 1 ejemplo anterior; la expresión apropiada es: 3 ó a 3 4 4 d) Un número cualquiera considerado tres veces como factor. Expresión: w w w ; Expresión abreviada: w3 . e) Un número arbitrario tomado tres veces como sumando. Expresión: w+ w+ w ; Expresión abreviada: 3w . f) Un número cualquiera disminuido en sus dos quintas partes. Expresión: y
2 2y y ó también y . 5 5
g) Un número difiere de otro en cinco unidades. En este caso necesitamos relacionar dos expresiones algebraicas donde destaque la relación entre los números mediante una igualdad: x- y = 5 ó x = y+ 5 h) El área de un rectángulo cuya base es el doble de su altura. A bh A 2h h A 2h 2
i) El perímetro de un trapecio isósceles cuya base menor mide las tres cuartas partes de su base mayor. Si con P representamos al perímetro de la figura, con b a la medida de la base menor, con B a la longitud de la base mayor, y con L la longitud de los lados iguales congruentes, entonces: P B b L L P B P
3 B 2L 4
7 B 2L 4
P B b L L 4 b b 2L 3 7 P b 2L 3 P
j) Una cantidad es equivalente al treinta y cinco por ciento de otra. Se necesitan dos literales, digamos r & t , considerando que r es el 35 % de t , obtenemos la expresión
32 que sigue: r = t ó r = 0.35 t 100 Ejercicio: VI. Obtén una expresión algebraica o una igualdad de dos expresiones que corresponda a cada enunciado del lenguaje común: a) El triple del cuadrado de un número cualquiera. 69
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b) El cuadrado del triple de un número cualquiera. c) El producto de la diferencia de dos números cualesquiera, por la tercera parte del minuendo. d) El cociente de la diferencia de dos números arbitrarios, entre el doble del sustraendo. e) La suma del cociente de dos números, más la mitad del divisor. f) El cuadrado de la diferencia del cociente de dos números cualesquiera, menos la mitad del dividendo. g) La diferencia del 12.5 por ciento de un número cualquiera, menos el 0.5 por ciento de otro número no determinado. h) El incremento porcentual D , que tiene una cantidad X cuando ésta aumenta en tres cuartas partes. i) El total de alcohol T que contiene un recipiente, vacío inicialmente, donde se han depositado V litros de una mezcla de alcohol y agua conteniendo 75% de alcohol y W litros de otra mezcla de alcohol y agua conteniendo 45% de alcohol. j) Dar una expresión para calcular el perímetro del rectángulo ABCD & otra para el área considerando la siguiente figura:
k) Al sumar la unidad al producto de dos números pares consecutivos, se obtiene un número impar que es cuadrado perfecto; ¿qué igualdad entre expresiones representa apropiadamente la situación? l) La cantidad de dinero X que Pedro llevaba originalmente, si gastó un tercio de éste y perdió dos tercios del resto apostando en el hipódromo. m) El porcentaje que queda de un pastel, una vez que Ana comió la octava parte y su hermano el quince por ciento, suponiendo que el pastel pesaba M kilogramos. n) Una fábrica produjo Y pantalones diarios durante 5 días & 110 Y pantalones por día en los siguientes seis días. ¿Cuál es el número de pantalones diarios que produjo la fábrica en los once días? o) Una panadería elabora pasteles diariamente, algunos de los cuales no se venden el mismo día y dan lugar a pérdidas. Cada pastel vendido en el día que se elaboró produce A pesos de ganancia, mientras que cada pastel no vendido el día de su elaboración ocasiona pérdidas por B pesos. ¿Cuál es la ganancia neta obtenida en un día que se elaboran treinta pasteles y sólo se venden K de ellos?
POLINOMIOS ADICIÓN Y SUBSTRACCIÓN DE POLINOMIOS OBJETIVO DEL TEMA: Que el alumno pueda construir nuevos polinomios a partir de otros mediante la adición y la substracción, operaciones basadas en la reducción de términos semejantes. Introducción 2 Un polinomio en una variable, como 2x 3x 5 , puede visualizarse con ayuda del esquema siguiente: 70
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2 Si al polinomio anterior se le suma otro polinomio como 3x x 2 , podemos construir la representación de éste:
y reunir en otro esquema a los dos polinomios:
La noción intuitiva de sumar objetos nos puede ayudar a comprender que el polinomio resultante de la suma es:
5 x 2 4x 7 Es decir: (2 x 2 + 3 x + 5 ) + (3 x 2 + x + 2 ) = 5 x 2 + 4 x + 7 Observarás que los exponentes no sufrieron cambios, sólo se han sumado los coeficientes de términos semejantes, los números resultantes son coeficientes respectivos de los monomios que forman el polinomio resultante. La adición puede disponerse en columnas pero, de ser necesario, previamente debe reducirse cada polinomio a la forma típica, la cual se obtiene suprimiendo todos los paréntesis que encierren literales, reduciendo términos semejantes y ordenando todos los términos por las potencias decrecientes de una literal ordenatriz que sea común a los polinomios. Para los dos polinomios que nos ocupan, el arreglo en columnas es:
2x 2 2 3x
3x
5
1x
2
5 x2
4x
7
Observemos que en cada columna se suman los coeficientes de los monomios con la misma parte literal, además de sumar los términos independientes; las acciones anteriores son la base para comprender el proceso de suma de los polinomios. 2 2 Si ahora interesa la resta de 2x 3x 5 , menos 3x x 2 , un arreglo en columnas nos lleva a:
2x 2 2 3x
3x
5
1x
2
1x 2
2x
3
71
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Naturalmente, para polinomios más complejos, como 3y 3
2 xy y 2 1 la representación esquemática 5
ya no es posible, sin embargo, la adición y substracción de polinomios con más de una variable o con coeficientes racionales siguen la pauta antes presentada.
Antecedentes Es fundamental distinguir cuándo dos o más términos son semejantes, además, se requiere del dominio de la operatividad con números enteros y racionales porque la suma algebraica con términos semejantes se lleva a cabo sumando o restando sus coeficientes. Conviene también utilizar los paréntesis en forma eficiente, ya sea para introducir una expresión dentro de un paréntesis o para suprimir paréntesis que agrupen expresiones; para estos fines podemos considerar esencialmente tres casos:
i) Si el paréntesis agrupa a una expresión y está precedido por un factor, el primero se elimina aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:
A B C D AB AC AD A B C D AB AC AD ii) Si el paréntesis tiene inmediatamente antes de él un signo positivo, aquél se suprime sin modificar los signos de los términos que agrupa:
A B C D A B C D A B C D A B C D iii) Si inmediatamente antes del paréntesis se tiene un signo negativo, el paréntesis se elimina cambiando el signo de cada término por su opuesto:
A B C D A B C D A B C D A B C D Cuando se presenten paréntesis colocados en el interior de otros paréntesis, se procede a eliminarlos comenzando por los interiores. Ejemplos. Eliminar los signos de agrupación en cada expresión: a) E 4x 2 3x 2 y 3 2 y 2 xy x 2 y 2 x y Solución:
E 4x 2 3x 2 y 3 2 y 2 xy x 2 y 2 x y E 4x 2 3x 2 y 3 2y 2 2 xy x 2 y 2 x y
E 4x 2 3x 2y 6 2y 2 2xy x 2 y 2 x y
E 4x 2 3x 2y 6 2y 2 2xy x 2 y 2 x y 2 2 b) F 3a 2 b 5a 3 4c 12 d 1 9 b 2 3 2
Solución:
F 3a 2 b 5a 2 12c 36 d 1 9b 2 18 3 2 72
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F 3a 2 b 5a 2 12c 36 d 1 9b 2 18 3 2 F 3a 2 b 5a 2 12c 36 d 1 9b 2 18 3 2 F 3a b 5a 2 12c 56 d 9b 2 I. Ejercicios. Escribir la expresión que falte dentro del paréntesis para que se verifique la igualdad en cada caso: a) 8a 3 4a 2 a 3 8a 3
b) xy y 2 3x 2 y 2 y 3 xy
c) 3a 20a 5a 10 3a 5 3
2
2
d) 2 x 16 x 72 xy 40 2 x 8 2
3
e) 21m 14n 7 n 42m 70 7 2
2
2
Reducción de Términos Semejantes. La reducción o simplificación de términos semejantes se lleva a cabo en expresiones que contienen dos o más de estos términos, para ello se identifican los tipos diferentes de términos semejantes y a continuación se suman algebraicamente los coeficientes de cada tipo, a los números resultantes se les coloca delante la parte literal correspondiente con sus respectivos exponentes. En cada tipo de términos semejantes, la reducción da otro término semejante, a menos que la suma de coeficientes sea cero y resulte el monomio nulo. Ejemplos. Reducir términos semejantes en las expresiones que se dan a continuación: 2 2 2 2 1) H 3x 3xy 2y 5 xy 7 y 7 x x y 8xy
Solución:
H 3x 2 3xy 5 xy 8xy 2y 2 7 y 2 7 x x 2 y - agrupando.
H 3x 2 10xy 5y 2 7 x x 2 y - reducción de dos clases de términos.
H 3x 2 10xy 5y 2 7 x x 2 y 2) G
1 3 1 1 2 3 x y xy 2 x 3 y 2 xy 2 x 3 y xy 2 2 3 4 9 5
Solución: Primero efectuamos agrupamientos de tipos de términos semejantes.
1 2 1 1 3 G x 3 y x 3 y x 3 y xy 2 2xy 2 xy 2 4 9 2 3 5 Ahora podemos extraer las partes literales como factores, según la propiedad distributiva:
1 2 3 1 1 G 1 x 3 y 2 xy 2 4 9 5 2 3 Enseguida efectuamos las operaciones con los coeficientes:
7 23 2 3 G x 3y xy 5 4 9 73
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Finalmente, eliminamos paréntesis:
G
7 3 23 2 3 x y xy 4 9 5
II. Ejercicios: Elimina y reduce los términos semejantes para simplificar las siguientes expresiones. 1. a 2b a 2b a 3b .
2. 3x 2y 2 x 3x 2y 3x 2 x y . 3. 6a 3a a b 4b c . 4. 5t w 3w z w 2t 4t z .
5. 3 pq 2 pq 4 p 3q pq p 2 pq . 6. a 2ab b 3a 5ab 6b a b 5 . 7. 6t 5 4w 4t 2w 2t 6 1 5w 3 . 8.
5 5 2 4 1 1 a 2a a a b a b . 3 5 10 5 3 6
Adición De Polinomios Para sumar polinomios colocamos uno a continuación del otro enlazándolos con el signo de adición, después se reducen términos semejantes. Por ejemplo, para sumar los polinomios dados por:
8a 2b 6ab 2 b 3 ; a 3 5ab 2 b 3 ; 4a 3 4a 2b 3ab 2 ; 7a 2b 4ab 2 6 Agrupamos:
8a 2b 6ab 2 b 3 a 3 5ab 2 b 3 4a 3 4a 2b 3ab 2 7a 2b 4ab 2 6 a 3 4a 3 8a 2b 4a 2b 7a 2b 6ab 2 5ab 2 3ab 2 4ab 2 b 3 b 3 6 a 3 4a 3 8a 2b 4a 2b 7a 2b 6ab 2 5ab 2 3ab 2 4ab 2 b 3 b 3 6 3a 3 3a 2b 6ab 2 0 6 3a 3 3a 2b 6ab 2 6 La suma puede escribirse de tal manera que el polinomio resultante quede ordenado en forma descendente respecto a una de las literales:
3a 3 3a 2b 6ab 2 6 Si la adición se lleva a cabo en columnas, deben colocarse los términos bajo los que les son semejantes, posteriormente se realiza la reducción columna a columna, los resultados parciales quedarán unidos por los signos que correspondan. Para la suma de los cuatro polinomios anteriores tendremos:
8a 2b
a3 4a 3 3a 3
6ab 2 5ab 2 4a 2b 3ab 2 7a 2b 4ab 2 3a 2b 6ab 2 74
b 3 b 3 6 6
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Obsérvese que cada polinomio está ordenado respecto a la literal a en forma descendente, además, en la práctica se acostumbra dejar espacios cuando un polinomio no contiene ciertos términos que el polinomio anterior sí incluye, para el ejemplo, 0ab 2 & 0b 3 se pueden omitir dejando espacios en sus lugares. Sustracción de Polinomios. Consideremos la siguiente pregunta: ¿qué polinomio debe sumarse con 4x 3 x 2 3x 5 para obtener 3 como resultado el polinomio x x 3 ? Para responderla tomemos en cuenta el siguiente arreglo:
4x 3
x 2
3x
5
x
3
x3
2 En la primera columna, de izquierda a derecha, debemos colocar el término 3x , con esto:
4x 3 3x 3 x 3 2 En la segunda, colocaremos x porque:
x 2 x 2 0 En la tercera 4x , pues:
3x 4x x En la última, colocamos el monomio constante 2 , ya que:
5 2 3 Pues bien, hemos calculado la substracción de dos polinomios, siendo el resultado:
-3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 La operación puede escribirse como:
x 3 x 3 4x 3 x 2 3x 5 3x 3 x 2 4x 2 y en arreglo vertical:
1x 3 3 4x
0x 2 1x 2
1x 3x
3 5
3x 3
1x 2
4x
2
En la substracción anterior distinguimos: Minuendo: x 3 x 3
4x 3 x 2 3x 5 3 2 Diferencia: 3x x 4x 2
Sustraendo:
75
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En toda substracción se cumple que:
Diferencia Sustraendo Minuendo El concepto que se explica a continuación es de utilidad para efectuar restas de polinomios: Simétrico de un polinomio es aquel que se obtiene transformando el signo de cada término en su opuesto, como en el siguiente ejemplo: 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 El simétrico de x y x y 4xy 8y es: x y x y 4xy 8y -
De inmediato se puede verificar que al sumar un polinomio con su simétrico el resultado es cero, además, cada vez que la suma de dos polinomios dé cero, éstos serán simétricos uno del otro. La resta o substracción de polinomios se realiza así: Al polinomio que figura como minuendo se le suma el simétrico del polinomio que aparezca como sustraendo. Retornemos a la resta de polinomios ya planteada:
x 3 x 3 4x 3 x 2 3x 5 Al sumar al minuendo el simétrico del sustraendo nos queda:
x 3 x 3 4x 3 x 2 3x 5 x 3 x 3 4x 3 x 2 3x 5 3x 2 x 2 4x 2 3
1x 4x 3
En arreglo vertical:
0x 1x 2
2
1x 3x
1x 3 0x 2 1x 3 3 3 1x 2 3x 5 se transforma en: 4x 5 3x 3 1x 2 4x 2
En la práctica no es necesario escribir dos veces el arreglo anterior, basta cambiar mentalmente los signos de los términos del sustraendo por sus opuestos y realizar la suma columna a columna. Ejemplos: 3 3 2 2 2 2 3 1) De 5m 9n 6m n 8mn , restar 14mn 21m n 5m 8 Solución:
5m 3 3 Ordenamos respecto a m : 5m
6m 2n 21m 2n
8mn 2 14mn 2
9n 3 0n 3
8
27m 2n
22mn 2
9n 3
8
3 2 2 3 4 4 2 2 3 4 3 2) Restar 11x y 14x y 3xy y del polinomio 6 x 7 x y 8xy y 11x y .
Solución: El sustraendo es aquel polinomio que deseamos restar del otro, entonces el minuendo es el polinomio 6 x 4 7 x 2 y 2 8xy 3 y 4 11x 3 y .
76
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y:
Ordenando respecto, a
y 4 y4
2y 4 3)
A
la
suma
de
8xy 3 3xy 3
7 x 2 y 2 14x 2 y 2
11xy 3
11x 3 y 11x 3 y
6 x 4
7 x 2 y 2
3x 3 2x 2 x 1
6 x 4
con
2x 4 3x 2 5 x 8 ,
restarle
el
polinomio
x x x x x . 5
4
3
2
Solución: Si tomamos el simétrico del sustraendo y lo sumamos con los dos polinomios iniciales, tenemos el siguiente arreglo en columnas:
4)
A
la
resta
2 x
4
x 5 x
1 8
2x 4
3x 3
x 2
4x
x 5
x 4
x 3
x 2
x
x5
3x 4
4x 3
a 3 2a 2b 5b 2 2ab 3 ,
de
2 x 2 3x 2
3x 3
3x
menos
9 9
2a 3 3a 2b 2b 2 ,
restarle
el
polinomio
3a 4a b 3ab 4b . 3
2
3
2
Solución. Las operaciones podrían realizarse por separado, pero para abreviar el procedimiento dispondremos en un solo arreglo a los tres polinomios, considerando de antemano los simétricos de los polinomios que juegan el papel de sustraendos para sumarlos con el otro polinomio.
a3 2a 3
2a 2 b 5b 2 3a 2 b 2b 2
2ab 3
a 3
a 2b
3b 2
2ab 3
3a 3
4a 2 b 4b 2
3ab 3
4a 3
5a 2 b 7 b 2
ab 3
3 3 2 3 2 2 5) Dados los polinomios P 7a 3a 7 ; Q 2a 4a 13 ; R 3a 3a 4a & S 5a 2a 5 calcula las siguientes operaciones:
a. P Q 2S b. R Q P S c. S 2R 3P Q
Solución: Para realizar las operaciones, realizando primero lo que está dentro de cada signo de agrupación. Ordenando en forma descendente cada uno de los polinomios. a. P Q 2S P Q
3
7a 2a 3
0 4a 2
3a 4a
7 13
5a 3
4a 2
7a
6
P Q 2S
2S 2 5a 2 2a 5 10a 2 4a 10
77
5a 3 0
4a 2 10a 2
7a 4a
6 10
5a 3
6a 2
11a
16
EDICIÓN 2013
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Por lo tanto: P Q 2S 5a 6a 11a 16 3
b. R Q P S R Q
3a 2a 3
3a 4a 2
4a 0 0 13
5a 3
7a 2
4a
3
2
2
R Q P S
P S 7a 3 0
0 5a 2
3a 2a
7 5
7a 3
5a 2
5a
2
13
7a 2 5a 2
4a 5a
13 2
12a 2
9a
15
S 2R 0 5a 2 3 6a 6a 2
2a 8a
5
6a 3
10a
5
5a 3 7a 3
12a 3
Por lo tanto: R Q P S 12a 3 2a 2 9a 15 c. S 2R 3P Q
2R 2 3a 3 3a 2 4a 6a 3 6a 2 8a
3P 3 7a 3 3a 7 21a 2 9a 21
11a 2
S 2R 3P Q
3P Q
21a 3 2a 3
0 4a 2
9a 21 0 13
23a 3
4a 2
9a
34
6a 3 23a 3
11a 2 4a 2
10a 9a
5 34
29a 3
15a 2
19a
29
Por lo tanto: S 2R 3P Q 29a 3 15a 2 19a 29 III. Ejercicios: 4 3 4 3 2 2 3 1. Dados los polinomios P 2x x y 3y ; Q 9 xy 3x y 6 x y calcula las siguientes operaciones: a. La diferencia de Q menos P .
3 4 2 2 & R xy 3y 2x y
b. 2P R Q .
2 Q. 3 d. P Q 3R . 1 e. R P Q . 2 c. P R
2.
Dados
los
polinomios
A 4x 3 7 x 2 2x ;
B 3x 3 8x 2 7 ;
D 6 x 2 4x 2 , calcula las siguientes operaciones: a. A D C B . b. C B D A 1 c. A B 2 D C 3 1 B A 3C D d. 2 e. 4 A C B 5 D 3 2 2 3 4 3 3 4 3. Restar x y x y 4xy 8 del polinomio x x y 7 xy 3y .
78
C 5 x 3 3x 10
&
EDICIÓN 2013
4.
¿Qué
CECyT No. 16 “HIDALGO”
polinomio
debe
sumarse
a
xy y x 4xy 8y , para obtener como resultado 2
2
3
4
3x 3y 2xy x 6 ? 3
2
5. ¿Cuál es el polinomio que al sumarlo con x y x y 4xy 8y 3
2
2
3
4
nos proporciona como resultado a
3x x y 5 xy 3y ? 4
3
3
4
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS Para calcular la multiplicación y la división de polinomios, en particular de monomios, habrá que utilizar algunas propiedades de los exponentes, o leyes de exponentes, la cual indica cómo efectuar la multiplicación de potencias con la misma base. Considerando que k & n son exponentes enteros positivos, y que x & y representan números reales cualesquiera, de acuerdo con la definición de potencias, resulta:
Producto elevado a una potencia
xy
n
xy xy xy x x x y y y x n y n n Factores de x n Factores de xy
n Factores de y
Lo que suele enunciarse diciendo: La potencia de un producto es igual al producto de las potencias.
xy
n
x n yn
Multiplicación de potencias con la misma base. x m x n x x x x x x x x x x x x x m n m+n Factores m Factores
n Factores
Entonces puede afirmarse que: El producto de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.
x m x n x m n
Potencia elevada a otra potencia.
x m n x m x m x m x x x x x x x x x x x x x x x x m n n Veces n por m Factores m Factores m Factores m Factores n Factores de x m
n Veces
m Factores
Conclusión: La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes
x m n x m n Cociente elevado a una potencia. n Factores n n x x x x x x x x y y y y y y y y n , para y 0 n Factores n Factores
79
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Se concluye que: La potencia de un cociente es el cociente de las potencias. n
xn x y yn
División de potencias de la misma base. m Factores m-n Factores x m x x x x x x x x Cuando m n & x 0 : n x x x m n x x x x x x 1 1 m-n Factores n Factores
Cuando m n & x 0 :
xm xn
n Factores
m Factores n-m Factores x x x x x 1 1 1 1 1 n m x x x x x x x x x x x n Factores
n Factores
n-m Factores
Por lo anterior: El cociente de potencias con la misma base es igual a
x m n para m n xm 1 x n n m para m n x Multiplicación de Monomios Al efectuar una multiplicación de dos o más monomios se multiplican sus coeficientes numéricos y en seguida se escribe el producto de su parte literal, tomando en cuenta la ley de exponentes que corresponde al producto de potencias de la misma base cuando así se requiera. Ejemplos:
1. 2ab 12ab 3c 6b 2 2 12 6 aabb 3b 2c 144a 2b6 c Por supuesto que puede abreviarse el proceso, recordando que la multiplicación tiene las propiedades 1 asociativa y conmutativa, y que a a .
1 2 2 1 x y 10y 4 z x 2 y 6 z . 5 2
2.
Multiplicación de un Monomio por un Polinomio. En este caso, primero se empleará la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:
A B C D AB AC AD Enseguida se llevarán a cabo las multiplicaciones de los monomios resultantes: Ejemplos:
3 3 2 3 3 2 2 4 3 2 3 2 x y 6 xy 2x y 5 x y 2x y 20 20 3 3 3 2 4 5 5 6 2x 3 y 2 6 xy 3 5 x 2 y 4 x y 12x y 10 x y 20 10
1) 2x 3 y 2 6 xy 3 5 x 2 y 4
Con práctica, el proceso puede realizarse directamente.
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2)
CECyT No. 16 “HIDALGO”
3 3 2 2 1 2 4 3 2 3 5 5 5 3 r s t rst r 2 s 3 t 4 2t 3 r s t r s t 2r 3 s 2 t 4 7 8 56 7 9 21
2 3 5u 3v 2 w w 2 3 3 2 2 3 5u 3v 2 w w2 3 3 2 uv v w uv v w 6 12 8 2 3 2 2 3 2 3 3 4 3 22 3 2 2 2 2 3 5u v w w 9 3 2 2 3 3 5 3 3 v w 3 v 3 w 2 5 uv 4 w 2 4 u 3v 5 w 3 5 v 3 w4 uv 6 12 24 2 3 2 2 3 2 3 3 4 2 3 5u 3v 2 w w 2 9 3 2 1 9 5 3 5 3 1 3 4 uv v w v 3w2 uv 4 w 2 u v w v w 6 12 24 4 32 16 32 3 4
3)
Multiplicación de dos Polinomios. Aunque la multiplicación puede realizarse en forma horizontal, es mucho más práctico desarrollar el proceso en forma vertical, por ejemplo: 2 3 Multiplicar x 6y por x 3xy y .
Cada polinomio se ordena en la misma forma, decreciente o creciente, respecto a las potencias de la misma literal. Se coloca uno de los polinomios, regularmente el que tiene más monomios, en el primer renglón, bajo él se coloca el segundo polinomio, luego se multiplica cada término del segundo polinomio por cada término del primero; los productos parciales se colocan de tal manera que los términos semejantes queden en la misma columna; si aparece un término que no sea semejante a los de el renglón precedente, se desplaza respetando el orden respecto a la literal elegida. Para terminar, se reducen términos semejantes en cada columna. La suma de los términos ya reducidos será el resultado o producto de los polinomios.
x2 x
3xy 6y
x3
3x 2 y 6 x 2 y
xy 3
3x 2 y
xy 3
x3
y 3
18 xy 2
6y 4
18 xy 2
6y 4
3 Los dos polinomios se ordenaron en forma descendente respecto a x . Observar que el monomio xy fue 4
desplazado a la derecha, al igual que 6y . La multiplicación empezó con el primer término del polinomio ubicado en el segundo renglón, por cada término del polinomio situado en el primer renglón, pero pudo iniciarse multiplicando el segundo término del segundo polinomio, por cada término del primer polinomio. Otro ejemplo: Multiplicar 2a 2 ab 3b 2 b 2 a 2 3ab Se ordenarán ambos polinomios en forma ascendente con respecto a a , en este caso se multiplicará el tercer término del polinomio en la segunda fila por cada término del polinomio en la primera fila, para continuar multiplicando el segundo término del segundo polinomio por cada uno de los términos del primero, para culminar con los productos del primer término del segundo polinomio por los términos del primero.
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3b 2 b2
ab 2a 2 3ab a 2
3b 4
ab 3 3ab 3
3b 4
4ab 3
2a 2b 2 3a 2b 2
6a 3b
3a 2b 2
a 3b
2a 4
4a 2b 2
5a 3b
2a 4
I. Ejercicios: Efectúa los siguientes productos: a. 4abc 5 3a 2b 3 2b5 c 7
14 3 4 5 15 5 4 1 x y w x w y 25 28 2 2 3 2 2 c. 4m n 2mn 3m n 5m 3n 2 b.
d. 5a 2b 3 2a 3bc 3b 2c 4c 4
2 2 e. y 3y 4 y 2y
f. 2z 2 wz 3w2 z 2 3wz w2
g. 2 x y x 3y y 2
h. a 2 a 1 a 2 3a 2
i. m 4 4m 3n 2 7m 2n 5 9n 3 3m 4 5m 3n 3
j. 3r 2 t 4 5s 3 t 2 6r 6 s 2 9r 3 s8 t 5 t 8 s9 2 1 k. x 2 2 x x 2 4 3 2 1 3 l. y 1 4y 3 4
División de un Monomio entre otro Monomio Al efectuar una división de dos monomios se dividen sus coeficientes numéricos y en seguida se dividen las partes literales, tomando en cuenta la ley de exponentes que corresponde al cociente de potencias de la misma base cuando así se requiera. 3 5 2 Ejemplo: Dividir 64x y entre 16 x y .
64x 3 y 5 64 x 3 y 5 4x 3 2 y 5 1 4xy 4 16 x 2 y 16 x 2 y Finalmente:
64x 3 y 5 4xy 4 16 x 2 y
Ejemplo: Efectuar la división 72r 4 s6 t 2 108r 3 s 2
72r 4 s6 t 2 3 2 2 3 r 4 s6 t 2 1 2 3 2 2 3 2 r 4 3 s6 2 t 2 rs 4 t 2 3 2 3 2 3 2 108r s 3 2 r s 3 3 Ejemplo: Calcular
42x 8 y 5 z 6 144x 8 y 2 z 4 82
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42x y z 2 3 7 x y z 7 7 3 2 4 2 8 2 4 4 1 2 1 y 5 2 z 6 4 y z 8 2 4 144x y z 2 3 x y z 2 3 24 8
5
6
8
5
6
División de un Polinomio entre un Monomio. Al dividir un polinomio entre un monomio nos restringiremos al caso donde el cociente sea un polinomio. Sea por ejemplo la división:
36m 4n 3 12m 2n 4 18m 2n 2 3m 2n 2 El cociente se construye dividiendo cada monomio del polinomio entre el monomio que figura como divisor, los resultados parciales se incorporan como términos integrantes del cociente.
36m 4n 3 12m 2n 4 18m 2n 2 12m 2n 4n 2 6 3m 2n 2 3m 2n 2 3m 2n 2 Otro ejemplo:
14x 4 y 4 z 3 8w 2 x 2 y 3 z 49 x 3 y 3 z 4 14x 4 y 4 z 3 8w 2 x 2 y 3 z 49 x 3 y 3 z 4 8 2x 2 yz 2 w 2 7 xz 3 2 3 2 3 2 3 2 3 7 x y z 7 x y z 7 x y z 7 x y z 7 División de Polinomio entre Polinomio Las divisiones de polinomios que tendrán sentido serán aquellas donde se obtenga otro polinomio en el cociente, aun cuando dichas divisiones no sean exactas y nos produzcan por ese hecho un residuo diferente de cero. Cabe hacer una analogía con el proceso para dividir cantidades enteras sin permitir decimales en el cociente. En principio se requiere que el dividendo sea mayor que el divisor, o igual a él; entre polinomios no tiene significado decir que uno es mayor que otro, la referencia es: el grado del dividendo debe ser mayor o igual que el grado del divisor. A continuación se explica el proceso. Ejemplo: Dividir 4x 4 6 x 2 x 2x 3 3 entre
1 x x2 . i) Ordenar ambos polinomios en forma descendente. 2 2 ii) Dividir 4x entre x para registrar el resultado como primer monomio del cociente, enseguida multiplicar dicho monomio por el divisor, colocándole producto bajo los respectivos términos semejantes del dividendo.
x 2 x 1 4x 4 2 x 3 6 x 2 x 3
4x 2 x 2 x 1 4x 4 2 x 3 6 x 2 x 3 4x 4 4x 3 4x 2 4x 2 x2 x 1
4x 4 2x 3 6 x 2 x 3 4x 4 4x 3 4x 2
iii) Restar dividendo.
6 x 3 2x 2 x 3
83
el
producto
anterior
del
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4x 2 6 x x2 x 1
iv) Dividir 6 x entre x para registrar el segundo monomio del cociente, a continuación multiplicar el resultado de esta división por el divisor y luego restar el producto del residuo obtenido en la etapa anterior 3
4x 4 2 x 3 6 x 2 x 3 4x 4 4x 3 4x 2 6 x3 2x2 x 3 6 x 3 6 x 2 6 x 8x2 7 x 3
2
4x 2 6 x 8 x2 x 1
4x 4 2x 3 6 x 2 x 3 4x 4 4x 3 4x 2
v) Como el residuo obtenido es de grado dos, igual que el grado del divisor, la 2 2 división prosigue. Dividir 8 x x para obtener el tercer monomio del cociente, después se multiplica este monomio por cada término del divisor y se resta este producto del residuo que se obtuvo en la etapa.
6 x3 2x2 x 3 6 x 3 6 x 2 6 x 8x 2 7 x 3 8 x 2 8 x 8 x 5 Dividendo Cociente Divisor Residuo
4 4x 2 x 3 6 x 2 x 3 4x 2 6 x 8 x 2 x 1 x 5 Dividendo Cociente
Divisor
Residuo
iv) La división termina aquí, pues el grado del residuo es uno, menor que el grado del divisor. Finalmente:
Para dividir polinomios que contienen más de una literal (algunas veces se dice que contienen más de una variable), se procede como en el siguiente ejemplo: Efectuar la división
a 4 b 4 a 2b 2 . a 2 b 2 ab
Ordenamos los polinomios respecto a la literal a en forma descendente, observando que el grado del dividendo relativo a la literal ordenatriz es 4 , y el grado del divisor es 2, por lo tanto puede efectuarse la división. Previamente, se asignan dos espacios en el dividendo para colocar en forma adecuada los monomios de tercer y primer grado, relativos a la literal a . Además, en las sustracciones se han cambiado directamente los signos de los términos del sustraendo, para reducir términos semejantes con mayor comodidad.
a 2 ab b 2 a 2 ab b 2
a4
0 a 2b 2
0 b4
a 4 a 3b a 2b 2 a 3b
0
0 b4
a 3b a 2b 2 ab 3 a 2b 2 ab 3 b 4 a 2b 2 ab 3 b 4 0 Al obtener residuo igual a cero, se dice entonces que el polinomio del dividendo es divisible por el polinomio del divisor, o que el polinomio del divisor divide al polinomio del dividendo, o que el cociente y el divisor son factores del dividendo. Esto último indica que:
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a 4 a 2b 2 b4 a 2 ab b 2 a 2 ab b 2 Se ha factorizado al polinomio del dividendo en dos factores, es decir, se ha obtenido la descomposición factorial de a 4 a 2b 2 b 4 .
Nota: Cuando se tiene polinomios con dos o más variables, se puede realizar la división con respecto a alguna de ellas, por lo que es importante definir con que variable se realizara la división. Tomemos el ejemplo anterior y dividamos con respecto a la variable b . Ordenamos en el polinomio respecto a la variable b en grado descendente y realizamos la división.
b 2 ba a 2 b 2 ba a 2
b4
0 b 2a 2 0 a 4
b 4 b 3a b 2a 2 b 3a
0 0 a4
b 3a b 2a 2 ba 3 b 2a 2 ba 3 a 4 b 2a 2 ba 3 a 4 0 Un ejemplo más: Obtener el cociente y el residuo de la división, con respecto a la variable y .
2x 4 2y 4 xy 3 6 x 2 y 2 7 x 3 y y 2 xy 2x 2 2y 2 xy x 2 y 2 xy 2 x 2
2y 4 xy 3 6 x 2 y 2 7 x 3 y 2x 4 2y 4 2xy 3 4x 2 y 2 xy 3 2x 2 y 2 7 x 3 y 2x 4 xy 3 x 2 y 2 2 x 3 y x 2 y 2 9 x 3 y 2x 4 x 2 y 2 x 3 y 2x 4 8x 3 y 4x 4
La división finaliza al aparecer 8x y 4x como residuo, ya que el grado de este polinomio con respecto a y es menor que el grado del divisor respecto a la misma variable. 3
4
2 2 Identificamos al cociente como el trinomio 2y xy x .
2x 4 2y 4 xy 3 6 x 2 y 2 7 x 3 y y 2 xy 2x 2 2y 2 xy x 2 8 x 3 y 4x 4 Veamos qué resultado obtenemos si dividimos con respecto a la otra variable del polinomio.
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11 2 y 2 2x 4 7 x 3 y 6 x 2 y 2 x 2 4xy
2x 2 xy y 2
xy 3 2y 4
2 x 4 x 3y x 2y 2 8x 3 y 7 x 2 y 2
xy 3 2y 4
8 x 3 y 4x 2 y 2 4xy 3 11x 2 y 2 3xy 3 2y 4 11 3 11 4 xy y 2 2 17 7 xy 3 y 4 2 2
11x 2 y 2
11 2 17 7 2x 4 2y 4 xy 3 6 x 2 y 2 7 x 3 y 2x 2 xy y 2 x 2 4xy x xy 3 y 4 2 2 2 II. Ejercicios: Realiza las siguientes divisiones de polinomios. a. 24a 3b7 c 4 18a 2b 3c 4
4 5 3 4 3 2 b. 24a b xy 8a b xy
3 2 3 2 2 2 2 2 c. xy z 4x y z 3x y z xy z
d. 20a 4b6 c 2 5a 5 b4c 3 15a 3b7 c 5 5a 3b4c 2 e. 4x 2 5 x 4 6 x 3 11x 2x 5 1 3x 2x 2 f. a 5 10 27a a 4 7a 2 5 a a 2
g. 6m 3 10m 2 2m 2 m 2 3m 2
h. 8x 3 y 3 2x y
4 3 3 4 2 2 i. y b y by 2b y b
2 2 3 3 j. x y 12 xy 6 x 36y 2 x 3y
División Sintética Existe un método simplificado, que se puede usar para dividir un polinomio entre un binomio de la forma x c , llamado división sintética. Ejemplos: 2 1) Haciendo uso de la división sintética, dividir 5 x 6 x 2 entre x 5 . Primero escribimos el dividendo con sus términos en orden de potencias descendentes, es decir:
6 x2 5 x 2 Como el divisor es x 5 , lo escribimos en la forma x c ; x 5 , es decir el valor de c 5 . Al usar la división sintética comenzamos escribiendo los coeficientes del dividendo ( 6 , 5 y 2 ) y el valor de c 5 del divisor como sigue:
6 5
2 86
5
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A continuación se desarrolla el siguiente procedimiento:
6 5
2 5 - Se comienza bajando el 6 .
6 6
5 30 6
6 2 5 - Multiplicamos 5 por 6 para obtener 30 .
5 30
2 5 - Sumar 5 más 30 para obtener 35 .
6 35 6 5 2 5 - Multiplicar 5 por 35 para obtener 175 . 30 175 6 35 6 5 2 5 - Sumar 2 más 175 para obtener 173 . 30 175 6 35 173 Los números 6 y 35 representan el cociente: 6 x 45 . El número 173 es el residuo; recordando el proceso de división se procede a dar el resultado como:
Dividendo Cociente Divisor Residuo 6 x 2 5 x 2 6 x 35 x 5 173 2 3 2) Haciendo uso de la división sintética, dividir 10x 3 5 x 4x entre x 3 .
Escribiendo los coeficientes del dividendo y el divisor x 3 en la forma x c ; x 3 , es decir el valor de c 3 .
4
10 12
4
2
5 3 3 6 3 1
0
Los números 4 , 10 , 5 & 3 representan el cociente 4x 3 10x 2 5 x 3 . Y observamos que el último número en la tercera fila es cero, por lo tanto, no tenemos residuo y esto se debe a que es una división exacta.
4x 3 10x 2 5 x 3 4x 2 2x 1 x 3 4 3 3) Dividir 2x 5 x 2x 8 entre x 3 , haciendo uso de la división sintética.
Escribiendo los coeficientes del dividendo y agregando un cero, como coeficiente del término cuadrático, es decir, 2x 4 5 x 3 0x 2 2x 8 y el divisor x 3 en la forma x c ; x 3 , se tiene que el valor de c 3 .
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2
5 0 2 8 3 6 3 9 33
2
1 3
11 25
3 2 Los números 2 , 1 , 3 & 11 correspondientes a los coeficientes del cociente: 2x x 3x 11 . El número 25 representa el residuo; así:
2x 4 5 x 3 2x 8 2x 3 x 2 3x 11 x 3 25 III. Ejercicios: Realiza las siguientes divisiones, empleando el proceso de división sintética. a. 2x 3 3x 2 4x 5 x 2
3 2 4 b. 4y 12 4y 3y y y 3
c. 6t 2 15 5t 3 t 4
d. 31w 7 w3 10 5w2 w4 x 5 4 8 e. p 2 p p 1
f. m 5 32 m 2
g. x 3 19 x 30 x 3
h. 3a 3 4a 2 a 8 a 4
i. 3n 3 18 7n 2 n 4 27n n 3
2 3 j. 20 5y 4y 11y y 2
FACTORIZACION Y PRODUCTOS NOTABLES CONCEPTOS En el proceso algebraico que llamaremos factorización se considerarán únicamente polinomios con coeficientes enteros; más tarde al aplicar este proceso en otras áreas de la matemática se podrán utilizar polinomios con coeficientes racionales. El proceso de multiplicar dos polinomios y obtener otro polinomio como producto puede invertirse en muchos casos, si conocemos el resultado de una multiplicación podemos obtener los factores, en esto consiste esencialmente la factorización o descomposición factorial. En aritmética descomponemos un número compuesto en sus factores primos; en álgebra ciertos polinomios se expresan como producto de otros polinomios de modo que estos últimos ya no sea posible descomponerlos en factores más simples. Un polinomio de dos o más términos es irreducible si sus únicos factores son la unidad y él mismo, o la unidad negativa y el simétrico del polinomio. Se describirán técnicas para factorizar y sobre la marcha aprenderás a distinguir qué tipos de polinomios se consideran irreducibles.
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EXTRACCION DE FACTORES COMUNES Observar la siguiente figura que representa a un rectángulo subdividido en otros tres:
La suma de las áreas de las tres divisiones es:
AH BH CH El área del rectángulo con altura H y base A B C es:
A B C H Como la suma de las áreas de las subdivisiones es igual al área del rectángulo que se subdividió, entonces:
AH BH CH A B C H Naturalmente, la propiedad conmutativa de la multiplicación aplicada cuatro ocasiones nos permite afirmar que:
HA HB HC H A B C Si consideramos que el primer miembro de la igualdad es un trinomio, se aprecia que cada término contiene a H como factor, es decir, H es un factor común de los tres términos. En el segundo miembro aparece el producto de otro trinomio por el factor común H, se dice que el trinomio AH BH CH se ha factorizado extrayendo el factor común de sus términos. Debe notarse que el número de sumandos en el primer miembro es el mismo que el número de sumandos del polinomio que aparece en el interior del paréntesis en el segundo miembro. Realmente la igualdad citada es una manera de escribir el reverso de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Al factorizar extrayendo factores comunes se quiere que la suma de términos A B C ya no posea factor común. Veamos algunos ejemplos: a) Factorizar 3a 2b 12a 3b 2 18a 4b 3 . Resolución: En los tres coeficientes 3 es el máximo común divisor, entonces: 3a 2b 12a 3b 2 18a 4b 3
3 a 2b 3 4a 3b 2 3 6a 4b 3
3 a 2b 4a 3b 2 6a 4b 3
Pero el trinomio a 2b 4a 3b 2 6a 4b 3 se puede escribir como: 89
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a b 1 a b 4ab a b 6a b 2
2
2
Factor común
Factor común
Factor común
2
2
Luego: a 2b 1 a 2b 4ab a 2b 6a 2b 2 a 2b 1 4ab 6a 2b 2 Factor común
No contiene factores comunes
Volviendo al polinomio inicial: 3a 2b 12a 3b 2 18a 4b 3
3 a 2b 3 4a 3b 2 3 6a 4b 3
3 a 2b 4a 3b 2 6a 4b 3
3 a 2b 1 4ab 6a 2b 2
3 a 2b 12a 3b 2 18a 4b3 Tres términos
3a 2b 1 4ab 6a 2b 2 Tres términos
Con práctica la extracción de factores comunes puede efectuarse en menos etapas: La igualdad: 3a 2b 12a 3b 2 18a 4b 3 3a 2b 1 4ab 6a 2b 2 se comprueba efectuando la multiplicación del
factor 3a 2b por el factor 1 4ab 6a 2b 2 . b) Descomponer en factores: 52x 3y 3 26x 2y 2 130x 2y 3 39x 3y 2 . Resolución: De los cuatro coeficientes nos interesa el máximo factor común (o máximo divisor común), éste es 13. De la parte literal, utilizando exponentes para factores repetidos, x 2y 2 está contenido como factor en los cuatro términos. El monomio 13x 2y 2 se extrae como factor común de los términos del polinomio. Para obtener el polinomio que acompaña como factor a 13x 2y 2 basta dividir los términos del polinomio inicial por el monomio mencionado:
13x 2y 2 4xy 13x 2y 2 2 13x 2y 2 10y 13x 2y 2 3x
52x 3y 3 26x 2y 2 130x 2y 3 39x 3y 2
13x 2y 2 4xy 2 10y 3x
4xy 2 10y 3x es polinomio irreducible, no contiene factores comunes. Ejercicios: I. En las igualdades que siguen debe elegirse la expresión que tendría que ocupar el espacio para obtener una descripción del reverso de la propiedad distributiva, señala cuál es en el paréntesis de la derecha.
1) 4x 2y 2 8x 3y 3 16x 2y 4 4x 2y 2 1 2xy a) 4
2
b) x y
2) 20a 3b 2 15a 4b 35a 2b 4 a) 5a 3b 3
2
c) 4y
4ab 3a
b) 5a 2b
3) 9m 2 12mn 15m 3n 2 24mn 3
2
2
2
d) 4x y
7b 3
3m 4n 5m n 2
90
d) 5a 2b
c) 5a 2b 2
2
2
8n 3
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b) 3a
a) -3
c) 3m
2
d) 3m
4) 18x 3y 24x 2y 2 12xy 2 xy xy 18x 2 24xy a) 12y
b) 12y
5) 35m 4 21m 3 x 14m 2 x 2 a) 7m
2
b) 7m
1
c) 12y
5m
2
2
d) 12y
2
3mx 2x 2
d) 7
c) 7m x
2
2
2
II. Extraer factor común para factorizar cada expresión: 1. 2. 3. 4.
4x 5 12x 3 20x 2 3a 3b 3 6a 2b 2 12ab 4m 2n 12mn 8mn 2 16m 2n 2 x y x y 2 x y
5. a 1a 2 a 1 2a 3 6. 4x r s 3y s r 7. x 2y x y x 2y 2 x y 8. 8x v w 3y v w v w
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO En ocasiones los sumandos de un polinomio pueden asociarse en dos o más grupos de tal forma que en cada grupo se presentan un factor común, una vez extraídos esos factores comunes en los diferentes grupos se precede a factorizar la expresión resultante. Analizar los siguientes ejemplos: 1) Factorizar: 3xy 3xw 2y 2 2yw Agrupamos en dos términos al polinomio: 3xy 3xw 2y 2 2yw Grupos 3xy 3xw
Factor común 3x
Factorización 3x y w
2y 2 2yw
2y
2y y w
De acuerdo con el arreglo de la tabla, se escribe: 3xy 3xw 2y 2 2yw
3x y w 2y y w 3xy 3xw 2y 2 2yw
Enseguida identificar el factor común binomio y w presente en los dos términos, así: y w 3x 2y
Finalmente. 3xy 3xw 2y 2 2yw y w 3x 2y Aclaremos que en el grupo 2y 2 2yw se extrajo 2y como factor común, y no a 2y , para lograr que
y w
estuviera presente como factor común. Por otra parte, la forma de agrupar no siempre es única. 91
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2) Descomponer en factores 3ax 3ay 4c 2cx 2yc 6a
La factorización es u proceso de ensayo en este caso, ¿Qué agrupamiento funciona? Grupo 3ax 3ay 6a
Factor común 3a
Factorización 3a x y 2
4c 2cx 2yc
2c
2c 2 x y
Observar que de las factorizaciones por grupos no se obtiene un factor común a ambos, el trinomio x y 2 aparece como signos opuestos en el segundo grupo, sin embargo si en el segundo grupo se factoriza extrayendo el factor 2c en ves de 2c , el problema se resuelve: Grupo 3ax 3ay 6a
Factor común 3a
Factorización 3a x y 2
4c 2cx 2yc
2c
2c x y 2
De la tabla: 3ax 3ay 6a 2cx 2yc 4c
3ax 3ay 4c 2cx 2yc 6a
Primer Termino
Segundo termino
3a x y 2 2c x y 2 x y 2 3a 2c ¿Es posible otro agrupamiento? Completa la tabla de factoriza: Grupo 3ax 2cx 3ay 2cy
Factor común x y
4c 6a
-2
Factorización
x 3ax 2cx y 3ay 2cy 2 4c 6a
3ax 3ay 4c 2cx 2yc 6a
x
y 2 Factor común
3ax 3ay 4c 2cx 2yc 6a
Factor común
Factor común
x y 2
Ejercicios: I. Indicar en el paréntesis de la derecha aquella opción que polinomio:
corresponde a la factorización de cada
1) 2ab ac 2b 2 bc a) a 2b c b 2b c
b) a b 2b c
c) a b 2b c
2) x 2 2xy 2x 4y a) x x 2y 2 x 2y
b) x 2y x 2
c) x 2y x 2 92
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3) x 2 xy xw yw a) x y x w
b) x y x w
4) m 3 2m 2 3m 6
2
c) m 3 m 2
2
2
5) 3xy 2y 2 2yw 3xw a) 3x y w 2y
c) x x y w x w
b) m m 3 2 m 3
a) m m 2 3 m 2 2
b) 3x 2y y w
c) 3x y w 2y y w
II. Factorizar los polinomios que siguen por agrupamientos: 1) 2x 2 2xy 7ay 7ax 2) x 3 3x 2 6y 2xy 3) ab 3 3b 2 ab 3 4) 2x 2 xy xw 2x w y 5) 8n 2dm cn dn 16m 2cm 6) 6a 2 4ac 15ab 10bc
BINOMIOS CONJUGADOS Y DIFERENCIAS DE CUADRADOS Multiplicación de binomios conjugados.
Binomios como x 2 3y y x 2 3y reciben el nombre de binomios conjugados. El producto de los binomios conjugados es igual a una diferencia de cuadrados.
A B A B A 2 B 2 Aplicando este resultado, uno de varios productos notables, se obtiene:
x x
2
3y x 2 3y x 2 3y
2
3y x 2 3y x 4 9y 2
2
2
Por la propiedad conmutativa de la multiplicación:
x
2
3y x 2 3y x 4 9y 2
Y por lo tanto: A B A B A 2 B 2 I. Ejercicio. Construir el conjugado de cada binomio y enseguida efectuar el producto:
AB x 2 3x
A B x3 y3
2x 4 2w 2z 1 x y 2
6
93
A2 B 2
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x y z 9 4
3
5
II. Desarrollar los productos notables: 1) 5y 2 3x 5y 2 3x 2) x 4 y 4 x 4 y 4
3) 2b 3a 2 2b 3a 2
4) 7 xy 2x 2y 2 7 xy 2x 2y 2 5) x 2 y 2 x 2 y 2
6) 2y 2 9x 3 9x 3 2y 2 Factorización de diferencias de cuadrados.
Como A B A B A 2 B 2 y A B A B A 2 B 2 , entonces:
A 2 B 2 A B A B ó A 2 B 2 A B A B Toda diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugados.
A B A B porque A B no es el binomio A B A B puede abreviarse como A B 2 , pero no como A 2 B 2 .
Observa con atención, A 2 B 2 no es lo mismo que conjugado de A B ; de hecho
III. Completa la tabla para descomponer en factores las diferencias de cuadrados:
A
A2 B 2
2
B
A B A B
2
2a 2 x 3 6by 2 2a 2 x 3 6by 2
2a 2 x 3 2 6by 2 2
4a 4 x 6 36b 2y 4
x 4 y2 16 9y 2
y 8 49 102 a 4b 4 81
a 1 b 2 2 x 2y 4 w 1 2 2 1 b c d 2 2 x y r s 2
Algunas veces es necesario transformar adecuadamente un binomio para considerarlo como diferencia de cuadrados, o bien aplicar más de una vez el método para factorizar diferencias de cuadrados, porque los factores deben ser irreducibles. Ejemplos. Descomponer en factores irreducibles los binomios que siguen: a) 25 y 4
y 4 25
Propiedad conmutativa de la adición.
y 25
Eliminación del paréntesis.
4
y 5 y 5 2
2
Factorización. 94
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El binomio y 2 5 es irreducible. Como no existe un número entero cuyo cuadrado sea 5 , y 2 5 es irreducible. Recordar, en la factorización de polinomios aceptamos sólo coeficientes enteros por el momento, debido a esto y 2 5 es una diferencia pero no de cuadros. b) 256 w 8 16 w 4 16 w 4 16 w 4 2
2
Diferencia de cuadrados
suma de cuadrados
Las sumas de cuadrados se consideran siempre irreducibles. Para la diferencia de cuadrados repetimos el proceso: 16 w 4 4 w 2 4 w 2 4 w 2 2
2
Factorizable
Irreducible
Nuevamente se aplica el proceso: 4 w 2 2 w 2 w 2 w 2
2
Finalmente: 256 w 8 16 w 4 4 w 2 2 w 2 w
IV. Ejercicio. Factorizar en factores irreducibles: 1) 2) 3) 4)
x 16 1 x 8 81 16a 8 b 4 625 16 p 4
PRODUCTO DE BINOMIOS Y TRINOMIOS CUADRATICOS ax 2 bx c . Multiplicación de binomios con un término común. Si se considera que x es un monomio y m , n son números enteros distintos de cero, resulta que
x m x n x 2 m n x mn Este es otro producto notable: el producto de dos binomios con monomio común es el cuadrado del monomio común, más la suma de los no comunes, multiplicada por el monomio común, más el producto de los no comunes. Ejemplos: a) x 3 x 8 x 2 3 8 x 3 8 x 2 11x 24 b) y 9 y 4 y 9 y 4 y 2 9 4 y 9 4 y 2 5y 36 c) y 5 y 2 y 5 y 2 y 2 5 2 y 5 2 y 2 3y 10 95
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d) w 7 w 4 w 7 w 4 w 2 7 4 w 7 4 w 2 11w 28 Ejercicios: I. Determinar el valor de k sabiendo que las igualdades deben ser verdaderas para todo valor de x : 1) x 4 x 6 x 2 kx 24 , k 2) x 8 x 2 x 2 10x k , k 3) x 9 x 3 x 2 kx 27 , k 4) x 3 x 7 x 2 kx 21 , k 5) x 10 x 1 x 2 9x k , k 6) x 6 x 8 x 2 kx 48 , k 7) x 1 x 5 x 2 6x k , k 8) x 3 x 4 x 2 kx 12 , k 9) x 5 x 9 x 2 kx 45 , k 10) x 12 x 10 x 2 2x k , k II.- Desarrolle los productos notables completando la tabla:
x m x n y 5 y 12 w 8 w 2 t 9t 7 x 5 x 8 a 9a 10
y h
2
1 y 2 6
3
4 h 3 3
n 6 n 4
x2
m n
m n x
mn
x 2 m n x mn
y2
5 12
7y
5 12
y 2 7y 60
y
2 2
n
2
III. Calcular cada producto notable: 1) y 3 5 y y 3 y 5 2) 1 x 9 x
3) 6 a 2 a 2 5
4) xy 2 8 xy 2 9
5) x 2y 3 5 x 2y 3 5
6) a 9 a 9
Multiplicación de binomios sin término común. Si a , b , m y n son todos números enteros, se tiene el esquema que sigue; visto como producto notable. 96
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ax m bx n abx 2 an bm x mn Ejemplos: a) 5x 2 3x 4 5 3 x 2 5 4 3 2 x 2 4 15x 2 26x 8 b) 3x 4 4x 3 3 4 x 2 3 3 4 4 x 4 3 12x 2 7x 12
c) 2x 8 5x 1 2 5 x 2 21 8 5 x 8 1 10x 2 38x 8
d) 9 6x 8 2x 6x 9 2 x 8 6 2 x 2 6 8 2 9 x 9 8 18x 2 66x 72 Ejercicios: I. Atendiendo el siguiente esquema
ax my bx ny abx 2 an bm xy mny 2
w.
1) 2x 3y 5x y wx 2 17xy 3y 2 ; w 2) 2x 7y 3x 4y 6x 2 13xy wy 2 ; w 3) 2x 7y 7x 4y 14x 2 41xy wy 2 ; w 4) 3x 2y x 3y 3x 2 wxy 6y 2 ; w 5) 6x 4y 5x 3y 30x 2 wxy 12y 2 ; w II. Practica desarrollando como productos notables: 1) 3x 1 2x 3 2) 2w 3 w 4 3) 5x 2 3 2x 4) 3x 10 4x 9
5) 7x 2 3 7x 2 3
6) 3 2x 2 3 2x 2 Cuadrado de un binomio Observando las regiones de la figura que sigue:
97
determina el valor de
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Se verifica que el área del cuadrado cuyos lados miden a b es igual a la suma de las aéreas de los regiones a 2 , ab y b 2 . Así, el área del cuadrado con lados a b es a 2 b 2 ab ab o sea:
a b
2
a 2 2ab b 2
Se puede apreciar que a b es distinto de a 2 b 2 , porque no es lo mismo considerar las cuatro regiones 2
que sólo dos de ellas. La igualdad anterior es otro producto notable e indica que el cuadro binomio se construye con la suma del cuadrado del primer término, más el doble producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Al resultado de elevar al cuadrado un binomio se le llama trinomio cuadrado perfecto (TCP). Ejemplos: Desarrollar los cuadrados que siguen: a) x 3y x 2 x 3y 3y x 2 6xy 9y 2 2
2
2
b) 7x 2y 7x 2y 7x 2 7x 2y 2y 49x 2 28xy 4y 2 2
2
2
2
En este casi se identificó a 7x y b 2y para aplicar enseguida la fórmula. c) 3r 2 4s
2
3r 2 4s
2
a 3r 2 y b 4s .
3r 2 2 3r 2 4s 4s 2
9r 24r s 14s 4
d) 9x 3y 2 4x 2y 3
2
2
Aplicando la formula. Efectuando operaciones.
2
2
9x 3y 2 4x 2y 3
2
a 9 x 3 y 2 y b 4 x 2 y 3 .
9x 3y 2 2 9x 3y 2 4x 2y 3 4x 2y 3 2
2
Aplicando la formula.
81x 6y 4 72x 5y 5 16x 4y 6
Efectuando operaciones.
Cuando uno de los términos del binomio es negativo, como en los ejemplos b) y c), el doble producto de los términos es negativo. El producto notable que nos ocupa puede aplicarse para desarrollar el cuadrado de un trinomio. Por ejemplo:
5xy
2
3x 2 y x 3
2
5xy 2 3x 2y x 3
2
Propiedad asociativa.
5xy 2 3x 2y 2 5xy 2 3x 2y x 3 x 3 2
2
a 5 xy 2 3x 2y y b x 3
5xy 2 2 5xy 2 3x 2y 3x 2y 10x 4y 2 6x 5y x 6 2
2
25x 2y 4 30 x 3y 3 9x 4y 2 10x 4y 2 6x 5y x 6 25 x 2y 4 30 x 3y 3 19x 4y 2 6x 5y x 6
Ejercicios: 98
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I. Completa la tabla:
a b
3 x
2
2
a
4y 3
9w 2y
2
7x
2
2
3x
xy 3
x
2
b
a2
2ab
b2
a 2 2ab b 2
2
2
y2
2
2x y 3x y x y 1 x y 2
3
2 2
3
4 2
4
2
2 2
II. Desarrollar los cuadrados que siguen: 1) x 2 x 1
2
2) 3x 3 4x 3
2
3) x 2y 2xy 2 xy 4) a 3 b 3 c 3
2
2
Factorización de trinomios cuadráticos ax 2 bx c . Los trinomios cuadráticos, reciben su nombre porque son polinomios de 2° grado, que contiene tres términos como se muestra a continuación: 2 ax bx
c
Término
Término
Término
Cuadrático
Lineal
Independiente
Para factorizarlos es importante identificar de qué tipo son, para utilizar el procedimiento correspondiente, de acuerdo con lo siguiente: TCP a 2 + 2 ab+ b 2 a 1 x 2 bx c ax 2 bx c No TCP 2 a 1 ax bx c No factorizable
Como observamos primero comprobaremos si el trinomio cuadrático ax 2 bx c , cumple con los requerimientos de ser un trinomio cuadrado perfecto (TCP), si es así, se procede a factorizar de la siguiente forma: Factorización de trinomios cuadrados perfectos (TCP). De la fórmula para el cuadrado de un binomio se obtiene la factorización de un trinomio cuadrado perfecto: a 2 2ab b 2 a b 99
2
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Ejemplos: Factorizar: x 2 12xy 9y 2 2x 2 2x 3y 3y 2x 3y a) 4 2 a2 2ab 2
b
2
a
a
b
b
2
a b
b) 9c 4 42c 3d 2 49d 4 3c 2 2 3c 3 7d 2 7d 2 3c 3 7d 2 2
2
2
Cuando 2ab es negativo, se escribe el binomio de tal forma que el segundo término sea el negativo. c) 36x 2 54xy 2 81y 4 no es T.C.P Identificando a 6x y b 9y 2 ; por lo tanto 2ab 2 6x 9y 2 108xy 2 el cual no aparece. I. Ejercicio, completar la siguiente tabla: a
a 2 2ab b 2
b
a b
2
9 x 2 6x 1 4x 2 12xy 9y 2 16a 2 40ab 25b 2 49w 2 28wr 4r 2 16a 2 72ab 81b 2 100h 2 140hk 49k 2 x 2 4y 2 4xy
w 4 81t 2 18w 2t
Si el trinomio cuadrático no cumple con la condición de ser un trinomio cuadrado perfecto (TCP), entrara en la clasificación de a 1 o a 1 , lo cual nos dice si el coeficiente constante del término cuadrático es igual a la unidad o es diferente de la unidad. Estas factorizaciones tienen diferente procedimiento, por lo tanto es importante identificar qué tipo de trinomio cuadrático se va a factorizar, a continuación se describirán ambos procedimientos. Factorización de trinomios de la forma a 1 x 2 bx c . Dado el trinomio x 2 11x 24 , se trata de investigar si puede descomponerse en factores irreducibles. Partiendo de que 24 8 3 y 11 8 3 , nos queda:
x 2 11x 24 x 2 8 3 x 8 3 Dos números cuya suma sea el coeficiente b de término lineal y cuyo producto es igual al término independiente. Pero x 2 8 3 x 8 3 proviene de multiplicar x 8 por x 3 :
x 8 x 3 x 2 8 3 x 8 3 Luego: x 2 11x 24 x 8 x 3 100
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De modo que para factorizar x 2 bx c deben existir dos números enteros m y n que cumplan dos condiciones: i) La suma de m y n debe ser igual a b , el coeficiente del monomio de primer grado o término lineal m n b . ii) El producto de m y n debe coincidir con c , el término independiente mn c .
x 2 bx c x 2 m n x m n x m x n b
c
Ejemplos.- Descomponer en factores a) x 2 23x 120 Proceso ensayo: con base en los factores primos de 120 se determina la pareja cuya suma es 23: 120 2 60 2 30 2
Pareja Suma
120 y 1 121
60 y 2 62
40 y 3 43
15 3 5 5
30 y 4 34
24 y 5 39
20 y 6 26
15 y 8 23
12 y 10 22
Por lo tanto m 8 y n 15
1
x 2 23x 120 x 2 8 25 x 8 15 x 8 x 15 b) x 2 12x 35 mn 35 como el producto es positivo y la suma negativa deben ser números negativos y m n 12 los únicos que nos dan 35 son el 7 y 5 por lo tanto:
Condiciones:
m 5 y n 7 x 12x 35 x 5 7 x 5 7 x 5 x 7 2
2
c) y 2 3y 108 mn 108 como el producto es negativo y la suma positiva son dos números con signo m n 3 contrario donde el número con mayor valor absoluto es el positivo.
Condiciones:
108 2 54 2 27 3 9 3 3 3
Pareja Suma
108 y -1 107
54 y -2 52
36 y -3 33
27 y -4 23
Por lo tanto m 12 y n 9
1
y 2 3y 108 y 2 12 9 y 12 9 y 12 y 9
101
18 y -6 12
12 y -9 3
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d) k 36 16k 2
mn 36 m y n deberán de ser de signos opuesto, donde el m n 16 mayor valor absoluto sea el del signo negativo para que el producto y la resta sean negativas.
Ordenando k 2 16k 36 ; condiciones:
36 2 18 2 9 3
Pareja Suma
-36 y 2 -34
-18 y 2 -16
-12 y 3 -9
-9 y 4 -5
-6 y 6 0
Por lo tanto: m 18 y n 2 .
3 3 1
k 2 16k 36 k 2 18 2 k 18 2 x 18 x 2 Ejercicios: I. Encuentra el valor de p en cada factorización: 1) x 2 8x 15 x p x 3 ; p 2) y 2 6y 16 y 8 y p ; p 3) y 2 2y 63 y p y 7 ; p
4) w 4 40 13w 2 w 2 5 w 2 p ; p 5) t 2 19t 90 t p t 10 ; p
6) x 6 36 12x 3 x 3 p x 3 p ; p
II. Descomponer en dos factores de binomios: 1) a 2 17a 72 2) y 2 12 8y 3) x 2 10 3x 4) 9 p 36 p 2 5) 75 x 2 20 x 6) x 2 x 132
Factorización de trinomios cuadráticos a 1 ax 2 bx c . El trinomio de la forma ax 2 bx c podrá factorizarse como el producto de dos factores de binomios cuando existan dos números enteros p y q que cumplan las dos condiciones que siguen: pq ac p q b
Una vez obtenido los enteros p y q se descompone el monomio de primer grado como suma de dos monomios cuyos coeficientes sean p y q :
bx px qx A continuación se procede a factorizar el polinomio ax 2 px qx c por agrupamiento. 102
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Ejemplos: a) 9x 2 18x 8 pq 9 8 Condición ensayando con los pares de números que su producto sea 72, como en la p q 18 factorización anterior tenemos:
p 12 y q 6 y 18x 12x 6x x 6x 8 Luego: 9x 2 18x 8 9x 2 12 18 x
Factorizando por agrupación: 9x 2 18x 8
9x 2 12x 6x 8 3x 3x 4 2 3x 4
3x 4 3x 2 Finalmente: 9x 2 18x 8 3x 4 3x 2 b) 14x 2 3 19x Reordenando: 14x 2 19x 3
a 14 ; b 9 y c 3 ; por lo tanto ac 14 3 42 pq 42 p y q de signos contrarios pues el producto es p q 19 negativo, donde el mayor valor absoluto es el positivo para que la suma también lo sea.
Encontrar dos números p y q tales que:
p 21 y q 2 14x 2 19x 3
14x 2 21x 2x 3
14x 21x 2x 3 2
19x 21x 2x Agrupando
7x 2x 3 1 2x 3
Extrayendo factores comunes por grupos.
7x 1 2x 3
Extrayendo factor común binomio.
Por lo tanto: 14x 2 19x 3 7x 1 2x 3 c) 35x 2 57x 44
a 35 ; b 57 y c 44 ; por lo tanto ac 35 44 1540 1540 2 770 2 385 5 77 7 11 11
pq 1570 como la suma es negativa al igual que el producto se p q 57 necesitan dos números de signo contrario donde el valor absoluto mayor será el número negativo. p 20 y q 77
Condiciones
103
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35x 2 57x 44
CECyT No. 16 “HIDALGO”
57x 20x 77x
35x 2 20x 77x 44
35x 20x 77x 44 2
Agrupando
5x 7x 4 11 7x 4
Extrayendo factores comunes por grupos.
5x 11 7x 4
Extrayendo factor común binomio.
Por lo tanto: 14x 2 19x 3 7x 1 2x 3 I. Ejercicio: completa la siguiente tabla como se muestra en el primer ejemplo: ax 2 bx c 6x 2 13x 6 2x 2 5x 2 pq 36 p q 13 p 9 q 4 2 ax 2 px qx c 6x 9x 4x 6 Agrupamiento
6x
2
4x 2 15x 26
9x 4x 6
Factor común por grupos Factorización
3x 2x 3 2 2x 3
ax 2 bx c pq p q p q
9x 2 12x 5
3x 2 2x 4 3x 2 5 x 2
15x 2 19x 6
ax 2 px qx c Agrupamiento Factor común por grupos Factorización
Otro método para este tipo de factorización es reducir el trinomio ax 2 bx c ; a 1 a uno de la forma x 2 bx c , por una estrategia que se llama cambio de variable, la cual consiste en hacer una multiplicar a por la unidad disfrazada a todo el trinomio, para obtener un término común en el coeficiente a 2 cuadrático ax y en el lineal b ax ; para hacer el cambio de variable: ax z
Y después aplicar el método de factorización del trinomio x 2 bx c como veremos en los siguientes ejemplos: a) 6x 2 x 15 Tomamos el valor de a 6 , para tener nuestra unidad y multiplicamos los elementos del trinomio dejando indicada el producto del coeficiente lineal.
104
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36x 2 x 6 90 6 6x 2 x 15 6 6 Descomponemos el coeficiente cuadrático ax
2
y agrupamos el lineal b ax para hacer el cambio de la
variable ax z .
6x z
6x 1 6x 90 2
6
z 2 z 90 6
Ahora el trinomio z 2 z 90 se factorizará como si fuera un trinomio x 2 bx c . Condiciones:
m n 1 m y n son números de signo contrario por que el producto es negativo y el mayor mn 90
valor absoluto será el positivo para que la suma sea positiva.
m 10 y n 9 Por lo tanto: z 2 z 90 z 2 10 9 z 10 9 z 10 z 9 Retomando el ejercicio tenemos: z 2 z 90 z 10 z 9 6 6
Regresando al coeficiente de x tenemos:
6x 10 6x 9 6
Ahora factorizamos el 6 que se multiplico al inicio de uno o sacando factores de 6 de ambos paréntesis. 2 3x 5 3 2x 3
6 3x 5 2x 3 6 3x 5 2x 3
6
Por lo tanto tenemos que: 6x 2 x 15 3x 5 2x 3 b) 2x 2 11x 5
2x 2 11x 5
2 2x 2 11x 5 2 4x 2 11x 2 10
2
2x
2
11 2x 10 2
z 2 11z 10 2 z 1 z 10 2 105
Obteniendo la unidad con el valor de a . Multiplicando por la unidad. Extrayendo factores. Cambiando la variable z 2x . Factorizando el trinomio.
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2x 1 2x 10
Sustituyendo el valor de z 2x
2 2x 1 2 x 5
Extrayendo el factor de 2 .
2 2x 1 x 5
II: Ejercicio. Descomponer en un producto de dos factores de binomios. 1) 6x 2 3 11x 2) 12y 2 17y 5 3) 8w 4 10w 2 3 4) 3x 2 4x 15 5) 3x 2 2xy y 2 6) 2x 2 3xy 9y 2 7) 4a 2 19ab 12b 2 8) 4v 2 9w 2 15vw Existen trinomios cuadráticos irreducibles, es decir que no se pueden factorizar por ninguno de los procesos vistos anteriormente. Ejemplos: Factoriza los siguientes trinomios cuadráticos, 1) 4x 2 10 x 9 Primero verificamos si es TCP: 4x 2 10 x 9 2 x 10 x 3 2 x 10 x 3 2
2
2
2
2 2 x 3
Pero, como 10 x 2 2 x 3 , no es un TCP; por lo tanto aplicamos el proceso de factorizar un trinomio cuadrático de la forma a 1 . Se necesita encontrar una pareja de números que sumados sea el coeficiente constante del término lineal y multiplicados el producto delo coeficiente del término cuadrático y el término independiente.
m n 10 mn 4 9 36 Por lo tanto necesitamos dos números que sumados nos den -10 y multiplicados 36; por lo tanto hacemos un listado de las parejas de números que multiplicados nos dan 36, y como su suma da un numero negativo y el producto positivo ambos números serán negativos. PAREJAS -36 -1 -18 -2 -12 -3 -9 -4 -6 -6
SUMA -37 -20 -15 -13 -12
PRODUCTO 36 36 36 36 36
Observamos que ninguna de las parejas que multiplicadas nos dan 36, dan la suma de -10, por lo que el trinomio cuadrático no se puede factorizar.
106
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2) y 7 y 6 2
Verificamos si es un TCP. y 2 7 y 6 y 7 y 6 2
Como 6 no tiene raíz cuadrada entera no cumple con los requisitos de ser un TCP; observamos que el coeficiente constan del término cuadrático es igual a uno procedemos a utilizar la factorización correspondiente. Así que buscaremos dos numero que sumados nos den siete y multiplicados menos seis.
m n 7 mn 6 Buscamos las parejas que multiplicadas nos dan -6, y realizaremos su suma para ver cual nos da 7, por lo que le pondremos signo negativo a las cantidades mayores para que la suma sea positiva. PAREJAS 6 -1 3 -2
SUMA 5 1
PRODUCTO -6 -6
Observamos que ninguna pareja sumada nos da 7 por lo tanto es un trinomio cuadrático irreducible. III. Ejercicios: Factoriza los siguientes trinomios cuadráticos empleando el método correspondiente, indicando aquellos que no se pueden factorizar. 1) x 2 x 1 2) 6 x 2 5 x 6 3) 4x 2 4x 1 4) a 2 17a 70 5) 15a 2 26a 8 6) 49 56w 16w 2 7) t 2 3t 1 8) x 2 x 42 9) 9w 2 6w 1 10) y 2 3y 40 11) y 2 6y 9 12) 13) 14) 15)
2b 2 3b 14 w 2 7 w 12 25 10t t 2 4y 2 23y 15
16) 4y 2 23y 15
SUMAS Y RESTAS DE DOS CUBOS Al desarrollar se dice que a b a 2 ab b 2 se obtiene a 3 b 3 . 107
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a a 2 ab b 2 b a 2 ab b 2
Propiedad distributiva.
a 3 a 2b ab 2 a 2b ab 2 b 3 a 3 b3
Reduciendo términos semejantes.
Por lo tanto: a b a 2 ab b 2 a 3 b 3 En ningún momento se dice que a 3 b 3 coincide con a b , veamos que ocurre con a 4 y b 1 : 3
4 1 64 1 65 3 3 4 1 5 125 3
3
65 125 a b 3 a b 3
3
La igualdad anterior nos dice que una suma de cubos es factorizable como el producto de un binomio por un trinomio, una característica importante es que el trinomio a 2 ab b 2 es irreducible. El desarrollo de la operación a 3 b 3 a 2 ab b 3 nos señala como factorizar una diferencia de cubos a 3 b3 : a a 2 ab b 2 b a 2 ab b 2
Propiedad distributiva.
a 3 a 2b ab 2 a 2b ab 2 b 3 a 3 b3
Reduciendo términos semejantes.
Por lo tanto: a 3 b 3 a 2 ab b 3 a 3 b 3 Ahora debe insistirse en qué a 3 b 3 y a b son distintos. 3
El trinomio a 2 ab b 3 tiene la característica de ser irreducible. Ejemplos:
x 3 64y 3 1) Desarrolla el siguiente producto: 2x 4y 4x 2 8xy 16y 2 2x 4y 8 3 a3 3
a b
a 2 ab b 2
2) Desarrolla: 3t 3r 5 9t 6r 2 15t 3r 25 3t 3r 5 27 t 9r3 125 a3 b3 2 2 3
a b
3
a ab b
I. Ejercicio. 1) x 1 x 2 x 1 2) y 5 y 2 5y 25 3) 3b 3 2a 2 9b6 6a 2 b 3 4a 4 4) 2 p 3q 4 p 2 6 pq 9q 2
5) x 3 y 2w 2 x 6 y 2 2 x 3 yw 2 4w4 6) t 3 4 t 6 4t 3 16 Ejemplos: 108
3
b
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1) Factoriza: 27x 64y 6
9
Se identifica a 3 y b 3 para obtener a y b . Como 27x 6 2x 2 y 64y 9 4y 3 , entonces. 3
3
27 x 6 64y 9 2x 2 4y 3 2x 2 4y 3 2x 2 2x 2 4y 3 4y 3 2x 2 4y 3 4x 4 8x 2y 3 14y 6 a3 b3 3
3
2
2
a b
irreducible
a 2 ab b 2
2) Descomponer en factores 721x 3y 6 125z 12
9xy 2 5z 4 9xy 2 5z 4 9xy 2 9xy 2 5z 4 5z 4 729x 3y 6 125 z 12 b3 a3 3
3
2
2
a b
9xy 5z 2
4
2
a 2ab b
81x y 45xy z 25z 2
4
2
4
2
8
irreducible
Las fórmulas anteriores deben memorizarse y pueden escribirse así: a 3 b 3 a b a 2 ab b 2
II. Ejercicios: Factorizar, completando la tabla:
a 3
a 3 b3
a b a 2 ab b 2
b 3
8 x3 1 27y 3 125w 3 64r 6 216 p 3 343 729m 9 w 6 1000x 6 y12
CUBOS DE BINOMIO Y POLINOMIOS QUE SON CUBOS PERFECTOS 2 Al efectuar las operaciones en la expresión a b a b se deduce el producto notable o fórmula para desarrollar el cubo de un binomio.
a b 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 3 De inmediato se advierte: a b no es igual a a 3 b 3 .
Al polinomio que resulta del cubo del binomio se le puede llamar cubo perfecto. Ejemplo. Desarrollar los cubos que siguen:
x 6 48x 4y 3 12x 2y 6 y 9 a) 4x 2 y 3 4x 2 3 4x 2 y 3 3 4x 2 y 3 y 3 64 3 2 2 3 a 3
3
2
2
3
a b
b) xy x 2
3a b
3
xy x 2
3
2
x y
3
3 x
3
y x 3 xy x x
2
2
2
b
Identificar a xy y b x 2 .
3 2 xy 3 xy x 2 3 xy x 2 x 2
3
3ab
4
6
109
Por la fórmula. Desarrollando
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x y 3x y 3 x y x 3
3
4
2
5
6
Observar que los signos positivos y negativos se alternan b) xy x 2
xy x 2
3
3
Identificar a xy y b x 2 .
3 2 xy 3 xy x 2 3 xy x 2 x 2 2
3
Por la fórmula.
x 3y 3 3 x 2y 2 x 2 3 xy x 4 x 6 x y 3x y 3 x y x 3
c) 1 2x 2
3
4
2
5
1 2x 2
3
3
Identificar a 1 y b 2x 2 .
3 2 1 3 1 2x 2 3 1 2x 2 2x 2 1 6x 2 12x 4 8x 6 2
c)
x x 4 2
x 2 x 4
3
3
Por la fórmula. Los signos de alternan
3
Identificar a x 2 y b x 4 .
x 2 3 x 2 x 4 3 x 2 x 4 x 4 x 6 3x 8 3x 10 x 12 3
Desarrollando
6
2
2
3
Por la fórmula.
Ejercicios I. Desarrollar 1) x 2 2x 2) xy x 2
3
3
3) y 2 3x 2
3
4) 4ab 2 2a 2b
3
5) 2x 2y 3 3x 3y 2
3
La factorización de un polinomio que sea cubo perfecto empleando la fórmula _________ es compleja, conviene mejor factorizar por agrupamiento asociando una suma o resta de dos cubos en primera instancia. Ejemplos. Factorizar en factores irreducibles: a) 27y 3 54x 2y 2 36x 4y 8 x 6
27y 3 8x 6 54x 2y 2 36x 4y
3y 2x
3
Agrupamos la suma de cubos.
18x 2y 3y 2x 2
2 3
3y 2x 2 3y 3y 2x 2 2x 2
Extraemos factor en el segundo término
18x 2y 3y 2x 2
2 2
Factorizando a 3 b 3
3y 2x 2 9y 2 6x 2y 4x 4 18x 2y 3y 2x 2
Simplificando
3y 2x 2 9y 2 6x 2y 4x 4 18x 2y
Extrayendo factor común binomio.
Termino irreducible
3y 2x
2
9y
2
12x y 4x 2
4
3y 2x 2 9y 2 2 3y 2x 2 2x 2 3y 2x 2 3y 2x 2
Reduciendo términos semejantes. 2
Identificando T.C.P.
2
Factorizando T.C.P. 110
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3y 2x
2 3
Simplificando
b) x 6y 3 48x 2yw 2 12x 4y 2w 64w 3
x 6y 3 64w3 48x 2yw2 12x 4y 2w
Agrupamos la diferencia de cubos.
x 2y 4w 12x 2yw 4w x 2y 3 3 3
3
a b
Factorizamos la diferencia de cubos y extraemos factor común en el segundo término
x 2y 4w x 2y x 2y 4w 4w 12x 2yw x 2y 4w 2
2
a b
a 2 ab b 2
x 2y 4w x 4y 2 4x 2yw 16w2 12x 2yw x 2y 4w
Simplificando
x 2y 4w x 4y 2 4x 2yw 16w2 12x 2yw
Extrayendo factor común binomio.
x y 4w x y 8x yw 16w 2
4
2
2
2
Reduciendo términos semejantes.
x 2y 4w x 2y 2 x 2y 4w 4w 2 2
Identificando T.C.P.
x 2y 4w x 2y 4w
Factorizando T.C.P.
2
2
a 2ab b
x 2y 4w
2
3
Simplificando
Ejercicios II. Factoriza los siguientes polinomios de cubo perfecto. 1) a 3 3a 2 3a 1 2) 125a 3 225a 2 b 135ab 2 27 b 3 3) 8 x 6 84x 4 y 3 294x 2 y 6 343y 9 4) 64 48w 2 12w 4 w6 5) a 3 b 3 18a 2 b 2 108ab 216
COMBINACION DE CASOS Cuando se factoriza un polinomio, se deben obtener factores irreducibles y esto se realiza aplicando más de una vez el mismo proceso si el ejercicio lo permite o aplicar más de un proceso de factorización al mismo ejercicio, por lo tanto es importante, saber identificar cuando se aplica cada uno de ellos I. Elije la opción correcta y escríbela en el paréntesis 1. El producto de x 4 por x 4 está representado por: a) x 4
2
b) x 4
2
c) x 16
c) a 2ab b 2
d) 8x
2
2
d) a 2ab b 2
2
4. El producto de dos binomios es 4y 2 36 , si uno de los binomios es 2y 6 , entonces el otro es: a) 2y 6 b) 2y 6 c) 2y 18 d) 2y 18
111
2
2. El término que falta en x 4 16x 2 para tener un T.C.P. es: a) 8 b) 64 c) 16 2 3. El desarrollo de a b es: a) a 2 b 2 b) a 2 b 2
d) x 8
2
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5. La expresión por la cual debe multiplicarse x 4 para obtener x 3 64 es: b) x 4
a) x 16 2
2
c) x 4x 16
a) m n
b) m n
2
2
c) m n
2
d) m n
2
a) 8y
b) 4
c) 8
a) a 2 b 2 a b
b) a 2 b 2 a 2 b 2
a) a b
b) a b 2a b 2ab
3
3
3
2
c) a 2 b 2 a b
2
c) a b 3a b 3ab 3
3
2
2
d) a b a b 2
2
a) x 3 y
b) x 2 y
c) x y x y 3
3
d) x 2 xy y 2
x 2 xy y 2
II. Descomponer en factores irreducibles los polinomios: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
3ax 2 3a a 3 3a 2 28a x 4 3x 2 4 5a 4 5a n 4 81 x 2 y 2 w 4 2xy
7) a 2 2ab 16 b 2 8) 1 my y 2 my 3 9) a 2 b 2 c 2 2ab 10) x 5 x 3 2x 11) x 3 y 3 x 2 y 2 2xy 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)
2
x y x y 2 3
d) a 2 b
10. Al factorizar x 6 y 6 resulta: 3 2
2 2
2
3 9. El producto notable a b es igual a: 3
d) 16
8. La expresión a 4 b 4 es equivalente a: 2
2
7. Si se quiere que y 8 8y 4 se transforme en T.C.P, el término que debe agregarse es: 6
2
6. La expresión por la cual debe multiplicarse m 4 m 2n 2 n 4 para obtener m 6 n 6 es: 2
d) x 4x 16
2
1 a8 a6 1 a 4 b 4 2a 2b 2 a 4 2a 3 a 2 2a a 4 a 3 9a 2 9a 1 a 2 2ax x 2 1 a 2 9n 2 6an
MINIMO COMUN MULTIPLO DE DOS O MAS POLINOMIOS Para determinar el mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más monomios se procede como sigue: 112
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i) Se obtiene el m. c. m. de todos los coeficientes ii) Se eligen las literales incluidas en uno o más de los monomios, pero sólo una vez con la máxima potencia que presenten. iii) Se construye un monomio con el m. c. m. de los coeficientes y con la parte literal elegida en la etapa ii), este monomio será el m. c. m. deseado. Ejemplos. Dar el m. c. m. de: a) 60xy 2 ; 36x 3 ; 84y 3 z 2 i) 60 22 3 5 ; 36 22 32 y 84 22 3 7 . Factores primos de los coeficientes constantes, por lo tanto m.c.m 60,56,84 2 2 3 2 5 7 1260 . ii) Coeficientes variables seleccionados: x 3y 3 z 2 . iii) m.c.m. 1260x 3y 3 z 2 b) 5r 3s 2t ; 7u 4 ; 2tu 3w i) m.c.m. 2, 5, 7 70 . ii) Coeficientes variables seleccionados: r 3s 2tu 4w iii) m.c.m. 70r 3s 2tu 4w Cuando se quiere obtener el m. c. m. de varios polinomios: i) Se factoriza en factores irreducibles cada polinomio, utilizando exponentes cuando corresponda ii) Se construye un producto usando cada factor de la etapa anterior una sola vez con la mayor potencia que presente; el polinomio que se obtenga será el m. c. m. buscando. Ejemplos. Determinar el m. c. m. de los polinomios: a) 9a 2 1 ; 6a 3 2a 2 ; 9a 3 9a 2 1 3a 1 3a 1 i) 6a 3 2a 2 2a 2 3a 1 Factorizaciones 9a 3 3 3a 1
ii)
m.c.m. 3a 1 3a 1 2a 2 3 m.c.m. 6a 2 3a 1 3a 1
El m. c. m. de polinomios suele expresarse dejando indicadas las multiplicaciones entre los diferentes factores polinomiales. b) x 2 y 2 ; x 2 2xy y 2 ; x 3 y 3
113
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x y x y x y 2
2
i) x 2 2xy y 2 x y
2
factorizando
x 3 y 3 x y x 2 xy y 2 ii) m.c.m. x y x y x 2 xy y 2 2
I. Ejercicio: Obtenga el m. c. m. de cada grupo de expresiones: 1) 4abc ; 6a 2b 2c ; 10a 3c 4 2) 120x 4 ; 30xy 3 ; 25x 2y 2 z 3) 35a 2b 2c ; 56a 2b 2c 3 ; 64abc 3 4) x 3 2x 2y ; x 2 4y 2 ; x 2 4y 2 4xy 5) 6) 7) 8)
x 2 x 2 ; x 2 4x 3 ; x 2 x 6 x3 x ; x3 x ; x2 x4 x 3 8 ; x 2 4 ; x 2 5x 6 2y 2 y 3 ; 4y 2 4y 3 ; 2y 2 3y 1
FRACCIONES ALGEBRAICAS Conceptos. Para manipular o efectuar operaciones con expresiones racionales fraccionarias, o fracciones racionales, se procede en forma similar a como se trabajan las fracciones en aritmética. Una Fracción racional es la expresión que indica división de dos polinomios con al menos una variable en el polinomio del denominador, como:
y 2 2y 4 a 3 9 4 ; 2 ; ó 3 x y 3 a 16 x y3 En toda fracción racional
P se distinguen: Q El numerador P El denominador Q
Se excluye el caso de que al evaluar Q éste polinomio se anule porque
P significa P Q y la división entre Q
cero no está definida. Cuando el grado del numerador de una fracción es menor que el del denominador se tiene una fracción propia, considerando que ambos polinomios tengan las mismas variables. Son fracciones propias:
4 3x 2 xy x xy 1 ; ; 3 x x 3 x 3 y3 Si el grado del numerador de una fracción es mayor que el grado del denominador, o son iguales; se tiene una fracción impropia, considerando que ambos polinomios tengan las mismas variables. Son fracciones propias. Son impropias:
114
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x 3 x x y 3x 2 2x 5 ; ; xy 1 x 3 xy 2 x 1 3
3
2
Si en una fracción impropia los polinomios del numerador y denominador presentan la misma variable, entonces dicha expresión fraccionaria puede transformarse en la suma de un polinomio y una fracción propia; esto se logra efectuando la división y recordando que:
Dividendo Residuo Cociente Divisor Divisor Ejemplo: Expresar la siguiente fracción en la forma
C
R : Q
12x 4 13x 3 4x 2 5 x 2 3x 2 x 1 Se procede a efectuar la división:
4x 2 3x 1 3x x 1 12x 13x 4x 2 5x 2 2
4
3
12x 4 4x 3 4x 2 9x 3
5x 2
9 x 3 x 3x 3
2
3x 2 2x 2 3x 2 x 1 3x 1 Así que:
12x 4 13x 3 4x 2 5x 2 3x 1 4x 2 3x 1 2 3x x 1 3x 2 x 1 Fracción Propia
Una fracción propia es aquella donde el grado del polinomio del numerador es menor al grado del polinomio que es el denominador. Son propias:
x2 5x 5 a 5 5 ; 2 ; x3 8 xy a 5
Una Fracción racional reducida es aquella cuyo numerador y denominador no tiene factores comunes, distintos de 1 y -1 Por ejemplo:
x y a2 4 es una fracción reducida, así como . x 2 y2 a2 9
w 2 10w 21 no es fracción reducida porque: w 2 10w 21 w 7 w 3 w 2 11w 28 w 2 11w 28 w 7 w 4 poseen un factor común.
Sin embargo
115
y
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x 7 es una fracción reducida, porque x 7 1 x 7 y x 2 49 x 7 x 7 x 2 49 contienen a x 7 como factor común. Tampoco
Las fracciones
P R y son equivalentes si y solo si se cumple que P S Q R . En estos casos se escribe S Q
P R . Q S P R P R si P S Q R y P S Q R si Q S Q S Ejemplos:
a) Como t 2 6t 9 t 3 t 3 3t 2 9t 27 y t 3 t 2 9 t 3 3t 2 9t 27 entonces:
t 3 t 2 9 t 2 6t 9 t 3 t 3 t 2 6t 9 t 3 t2 9 b) Las fracciones
x 3 2x 2 x 2 t 3 x 3 2x 2 x 2 t 3 y son equivalentes, es decir , porque: x 3 2x 2 x 2 t 3 x 3 2x 2 x 2 t 3
x 3 2x 2 x 2 x4
2x 3 2x
x4
3
x
2
x2
2x
4x
2x
2
5x 2
x 3 2x 2 x 2 x4 4 4
x
2
2x 3
x2
2x
2x
4x
2x
x4
3
2
5 x 2
4 4
Ejercicios: I. Expresa en la forma C
R P la fracción . Q Q
5x 4 x 2 2x 3 x 1 5 x 5 x 4 3x 3 2x 2 2. x2 x 1 5x 4 x 2 2x 3 3. x 1
1.
II. Indica en el paréntesis cual es la respuesta correcta en cada caso: 1.
La fracción propia es.
116
EDICIÓN 2013
a) 2.
x x 5 x y 5
b)
x2 xy
4x 3x y
d)
x3 1 x4
c)
x 2 2 y 3 3
c)
3x 2 9x 2 4
d)
x y x y
3 x 3
2
2
d)
3x 3y
c)
x2 y2
d)
c) x
3 x 3
b) 1
4 x 4
Dos fracciones equivalentes son
t u u w
b)
t u u w
c)
d) 1
x 8 x 4 2 x 2 x 2x 4 x3 8 x2 2x 4 b) 2 x 4 x 2
t u w u
d)
3
a)
c)
PROPIEDADES Por convención fracciones como
P P P Y pueden sustituirse por , de ahí que: Q Q Q P P P P P P y , Q Q Q Q Q Q
Siendo P y Q polinomios. También: 117
t u u w
x 2 x 8 2 2 x 4 x 2x 4 x2 4 x2 2x 4 d) 3 x 8 x 2
2
4 x 4
Dado que x 3 8 x 2 x 2 4 x 2 2x 4 entonces. 3
d) x 3
c) 4
t u y. u w
xy y
x es. x 4
1 4
a 3 b3 a b
x 2 3x 3 es. x 3
b) x 3
x 2x y y 2
x es. y
b)
La expresión igual a
a) 8.
c)
x 5x x 5y
La expresión equivalente a
a)
7.
3x y 4x
2
3x 6y 3x
a) x
6.
b)
La fracción equivalente a a)
5.
b)
La fracción irreducible es. a)
4.
x3 1 x3 1
La igualdad verdadera es. a)
3.
CECyT No. 16 “HIDALGO”
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
P P P P y Q Q Q Q Propiedad de inserción de factores comunes. Si P y Q son polinomios, entonces es válido multiplicar tanto el numerador como el denominador de la
P por cualquier polinomio R ; al hacerlo se obtienen dos fracciones equivalentes porque Q P Q R Q P R .
fracción racional
P P R Q Q R Ejemplos: a) Convertir
y 1 2 en una fracción equivalente con denominador y 9 . y 3
2 Como y 9 contiene el factor y 3 , entonces es posible multiplicar y 3 por cierto polinomio para 2 obtener y 9 siempre que el numerador se multiplique por el mismo polinomio:
y 1 y 1 y 3 y 2 2y 3 y 3 y 3 y 3 y2 9 b) Transformar
x 2 2 en una fracción equivalente con numerador igual a x 5 x 14 . x 7
Se tiene x 2 5 x 14 x 2 x 7 factorizando.
Factor
Necesario
Luego
x 2 x 2 x 7 x 2 x 2 5 x 14 aplicando la propiedad para insertar factores y . 2 x 7 x 7 x 7 x 7 x 14x 49
C) Encontrar la fracción equivalente a
x 3 y3 3 3 cuyo numerador sea y x . 2 x xy
Solución:
1 x 3 y 3 x 3 y3 Propiedad para insertar factores. x 2 xy 1 x 2 xy x 3 y3 x 3 y 3 Multiplicando. x 2 xy x 2 xy
x 3 y3 y3 x 3 Propiedad conmutativa de la suma en el numerador. x 2 xy x 2 xy Propiedad de cancelación de factores comunes.
118
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Se puede obtener fracciones equivalentes a una dada, suprimiendo factores del numerador y del denominador, siempre y cuando se suprima simultáneamente el mismo factor en el numerador y el denominador de la fracción, esto es:
P R P Q R Q Debe quedar claro, se cancelan factores comunes, de ninguna manera sumandos con factores o sumandos con sumandos o exponentes comunes al numerador y denominador. Ejemplos: a) Convertir
6 x 6y en otra fracción equivalente con denominador igual a 3x 3y . 9 x 2 9y 2
Solución: Como 9 x 2 9y 2 3x 3y 3x 3y y 2 3x 3y , por lo tanto:
2 3x 3y 6 x 6y 2 2 2 9 x 9y 3x 3y 3x 3y 3x 3y b) Obtener una fracción equivalente a
x 4 y4 2 x 2y2 2 2 cuyo numerador sea x 2xy y . 2 2 2 2 x y x y 2 xy Resolución:
x 4 y 4 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x y x y x y 2
2
2
x y
2
Factorizando numerador.
x 2 y 2 2 xy x y factorizando parcialmente el denominador. 2
x y x y x y x 2 2 xy y 2 x 4 y4 2 x 2y 2 x 2 y2 x 2 y2 x 2 y 2 x 2 y 2 2 xy x 2 y 2 x y 2 2
2
2
Cancelando
Desarrollando
Factores
Observa que no se suprimieron todos los factores comunes. c) Dar una fracción equivalente a
t 2 2t 3 , cuyo denominador sea igual a t 2 . t2 t 6
t 2 2t 3 t 3 t 1 - Factores del numerador. t 2 t 6 t 3 t 2 - factores del denominador. A pesar de que t 2 aparece como factor del denominador, es imposible eliminar el otro factor t 3 , porque no aparece en el numerador, Ejercicios: I. Convertir cada fracción a la forma que se pide: 1.
P a 1 1 a 1 a 1 1a , forma ; a 4 a 4 a 4 Q a 4 119
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
x P , forma 3 y Q 3
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
P a 2 b2 , forma 2 c Q 2 P x , forma x 1 Q a b P , forma b c Q x y P 2 , forma x Q P a b , forma a b Q xy P , forma 2 w z Q
II. Convertir las fracciones que siguen en otras equivalentes con el numerador o denominador indicado:
4 , con numerador 32y . 2 x a b 2. , con numerador b a . a b 3ax 3 2 2 , con numerador 27a x y . 3. 2 5by 1.
35a 2b 3c 2 3 3 , con numerador 7a b c . 60a 5 bc 2 24c 2 d 3 4 5 , con denominador 3c d . 5. 36d 4c 3 x 2y 2 2 6. , con denominador 9 x 6 xy y . 3x y 4.
a b , con denominador a 3 b 3 . 2 a ab b a 1 8. , con denominador a 2 a 20 . a 4 x 2 3 2 , con denominador x 4x 4x . 9. x t 3 , con numerador 1 . 10. 2 t 2t 15 7.
2
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. Para obtener la fracción reducida equivalente a una fracción dada, aplicaremos la propiedad de cancelación de factores comunes las veces que sean necesarias hasta cancelar todos los factores comunes, distintos de 1 y 1 , del numerador y denominador. El proceso anterior se conoce como reducción o simplificación de fracciones racionales a su mínima expresión. Ejemplos: Simplificar cada fracción a su mínima expresión. 120
EDICIÓN 2013
a)
CECyT No. 16 “HIDALGO”
3 2x x2 3 5 x 2x2
3 2x x 2 1 x 2 2x 3 1 x 3 x 1 - Numerador factorizado. 3 5 x 2 x 2 2 x 2 2 x 3x 3 2 x x 1 3 x 1 x 1 2 x 3 - Denominador factorizado.
1 x 3 x 1 1 x 3 3 2x x2 x 3 2 x 1 2x 3 3 5 x 2x 2x 3 2x 3 Cancelando Factor común
b)
6 w 6 w 36 w 2 , pero 6 w y w 6 no pueden cancelarse dada que son distintos. 2 w 2w 24 w 6 w 4 Si en 6 w se factoriza por 1 , podremos aplicar la propiedad de cancelación de factores repetidos.
6 w 6 w 1 6 w 6 w 1 w 6 6 w 1 6 w 6 w w 6 w 4 w 6 w 4 w 6 w 4 w 4 w 4 c)
3x 2 11x 6 3x 2 x 2 2 2 3x 11x 6 3x 9 x 2 x 6 3x x 3 2 x 3 x 3 3x 2 2 2 3x x 2 3x 3x 2x 2 3x x 1 2 x 1 x 1 3x 2
Factorizando
Factor común por cancelar: 3x 2 Sustituyendo:
3x 2 11x 6 x 3 3x 2 x 3 - Cancelando factores comunes. x 1 3x 2 x 1 3x 2 x 2 d)
a 3 2a 2 a 2 a 3 2a 2 a 2
a 3 2a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 1 a 2 a 1 a 1 Factorizando 3 2 2 2 a 2a a 2 a a 2 a 2 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1 Se identifican a 1 y a 1 , como factores comunes al numerador y denominador.
a 3 2a 2 a 2 a 2 a 1 a 1 a 2 - Cancelando factores comunes. a 3 2a 2 a 2 a 2 a 1 a 1 a 2 Ejercicios: I. Indicar la opción que corresponde a la respuesta correcta en el paréntesis de la derecha. 121
EDICIÓN 2013
1.
CECyT No. 16 “HIDALGO”
La simplificación correcta es. a)
2.
x xy y x2 x x
Al simplificar
b)
La reducción de
b) r s
2
b) 1
La simplificación a)
La fracción
5.
a)
6.
2y x
c)
b) 2x 2y
1 x y2
1 x y 2 xy
b)
x 3y x 2 y2 3 y
c)
2
a)
x x 2 y y
16 x 2 y 2 24x 3 y
3.
48 p 4 q 5 r 2 72 p6 q 2 x 7
3a ab b2 9 c 2 5c 6 7. 4 c2 3 x y3 9. 2 x y2 5.
2
2
2
c)
2x 2 2 2 2 x y y
36a 3b 4c 64a 5 b 2c 3 xy x 4. 2 y 1 2.
6.
2x 2 y 2xy 2 x 2 2xy y 2
x 2 x 20 2 x 2 10 x a2 a 2 10. 2 a a 6 8.
x y a2 2 x 2 a y 2
ax ay x y ax ay x y
12.
x 2 a 2 2ab b 2 13. 2 x a 2 b 2 2ax
14.
11.
x y
II. Simplificar las fracciones que siguen a su mínima expresión: 1.
1
La igualdad correcta es. 2
c) 2
b)
2
x 2y x
x y es equivalente a. x 3 y3
2
x xy y 1 x2 x x 1
4x 12y es. 2 x 6y
2 x 6y x 3y
2 2 c) r s
4x 8y es. 4x
a) 1 8y
4.
c)
r 3 s3 se obtiene. r s
2 2 a) r s rs
3.
x xy x y x2 x x2
122
x 3 1 x 2 1 x 12 x 13
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CECyT No. 16 “HIDALGO”
9y 6 xy x 9y 2 9 xy 2x 2 2
15.
2
OPERACIONES CON FRACCIONES RACIONALES ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN La suma o resta de fraccione racionales que contienen el mismo denominador se lleva a cabo construyendo otra fracción cuyo numerador será la adición o sustracción de los numeradores y cuyo denominador será el mismo que aparece en los sumandos:
P R S P R S Q Q Q Q Cuando es posible se reduce la fracción resultante cancelando factores comunes al numerador y denominador. Ejemplos: a) x
y x y x y x y sumar numeradores x y x y x y x y denominador común x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y 2 x 2y x y x y x y x y
b)
c)
2r 4r 32 2r 2r 2 r 4 r 4 r 4 2r 4r 32 2r 2r 2 r 4 2r 4r 32 2r 2r 2 2r 2 32 r 4 r 4 2 r 2 16 2 r 4 r 4 2r 8 r 4 r 4 Restar
El tercer numerador se agrupa para restarlo. Eliminando paréntesis y reduciendo términos semejantes. Factorizando y simplificando
r 4 1 r 4
5 x2 2x 8 3x 2 4x 12 de . 3x 2 x 4 3x 2 x 4 3x 2 4x 12 5 x 2 2x 8 3x 2 x 4 3x 2 x 4
Minuendo
Sustraendo
3x 2 4x 12 5 x 2 2x 8
Agrupar numeradores para restarlos
3x 2 x 4 3x 4x 12 5 x 2 2 x 8 3x 2 x 4 2 x 2 6 x 4 3x 2 x 4
Observar cambio de signo
2
Reducción de términos semejantes
123
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2 x 2 3x 2 3x 2 4x 3x 4 2 x 2 x 1 x 3x 4 1 3x 4 2 x 2 x 1 3x 4 x 1 2 x 2 x 1 3x 4 x 1 2 x 2
Factorizando
Simplificando la fracción
3x 4 4 2x 3x 4 d)
5 3t t 1 t 2 2t 5 y , restar . t 2 6t 9 t 2 6t 9 t 2 6t 9 5 3t t 1 t 2 2t 5 t 2 6t 9 t 2 6t 9 t 2 6t 9
A la suma de
Minuendo
Sustraendo
5 3t t 1 t 2 2t 5 t 2 6t 9 4 2t t 2 2t 5 t 2 6t 9 t 2 9 t 2 6t 9 t 2 9 t 3 2 t 3 t 3 t 3 2 t 3 t 3 e)
Agrupación de numeradores Simplificando
Factorizando
Simplificando
3 m 2 m 2 2m 2m 2 5 menos , restarle . m2 m 6 m2 m 6 m2 m 6 2 m 2 2m 3 m 2m 2 5 2 2 2 m m 6 m m 6 m m 6 Agrupar numeradores para restarlos 2 m 2 2m 3 m 2m 2 5 2 m m 6 2 Simplificando 2 m 2m 3 m 2m 2 5 m2 m 6 m2 m 6 m2 m 6 Como no hay factores iguales no se simplifica m 3 m 2 m 3 m 2
A la resta de
I. Ejercicios: Efectúa las operaciones simplificando tus resultados. 124
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
a 2b 3 2a 3b 4 a b 12 15 15 15 2 x 2 x 1 1 2. 2 x2 x2 x 3x 2 4x 2 2 x 2 2 x 11 3. 2 x 9 x2 9 x2 9 1 y2 x2 1 4. 3 x y3 x 3 y3 x 3 y3 1.
Para sumar una expresión racional entera con una expresión racional fraccionaria se aplica el esquema que sigue con el fin de operar dos fracciones con el mismo denominador:
P
Q P Q P R Q P R Q R 1 R R R R
2 Ejemplo: Calcular la suma de 2x 3x 1 y
2 x 2 3x 1
x2 8x 1 x3 1
x2 8x 1 . x3 1
2 x 2 3x 1 x 3 1 x 2 8x 1
2x 2 3x 1 x 3 1 x 2 8 x 1
x 3 1 x3 1 2 x 2 3x 1 x 3 1 x 2 8x 1 x3 1 2 x 5 3x 4 x 3 2 x 2 3x 1 x 2 8 x 1 x3 1 5 4 3 2 x 3x x x 2 5 x x3 1
x 3 1
II. Ejercicios: Completa los procesos.
x 1 x 2 1 2 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 2 y 2 x y x y x 2 y 2 2. x y x y x y x y
1. x 1
3. a 2 2ab b 2
a b 2 a 4 b 4 a 4 b4 a 2 2ab b 2 1 a b 2
Si las fracciones racionales que se sumarán poseen denominadores distintos, entonces es necesario transformar cada fracción en otra equivalente de tal forma que los nuevos sumandos tengan un mismo denominador. Como denominador común se tomará el mínimo común múltiplo de los denominadores iniciales; en el proceso de sumar fracciones al m.cm. de todos los denominadores se le llama mínimo denominador común. Una vez que cada fracción se ha convertido a otra equivalente con la característica señalada, se procede a sumar como se indicó al principio. Ejemplos: Efectuar operaciones y simplificar donde se proceda.
125
EDICIÓN 2013
a)
CECyT No. 16 “HIDALGO”
w 3 w 1 w 2 2 w 3w 2 w 5w 6 w 4w 3 2
Se factorizan los denominadores.
w 2 3w 2 w 1 w 2 w 2 5w 6 w 3 w 2 m.c.m. w 1 w 2 w 3 w 2 4w 3 w 1 w 3 El mínimo denominador común por lo tanto es w 1 w 2 w 3 . La multiplicación queda indicada para identificar inmediatamente que factor debe insertarse en cada fracción obteniendo así una fracción equivalente para cada sumando:
w 3 w 1 w 2 2 w 3w 2 w 5w 6 w 4w 3 w 3 w 1 w w w 1 w 2 w 2 w 3 w 1 w 3 2
w 3 w 3 w 1 w 1 w w 2 w w 1 w 2 w 3 w 2 w 3 w 1 w 1 w 3 w 2 w 3 2 w 12 w w 2 w 1 w 3 w 2 2 w 6w 9 w 2 2w 1 w 2 2w w 1 w 3 w 2 2 w 6w 9 w 2 2w 1 w 2 2w w 1 w 3 w 2 w 2 6w 8 w 1 w 3 w 2 w 2 w 4 w 1 w 3 w 2 w4 w 1 w 3 b)
Denominadores factorizados. Se introducen los factores w 3 , w 1 y w 2 en las fracciones respectivas Sumando fracciones del mismo denominados. Se desarrollan los productos únicamente del numerador. Se eliminan paréntesis en el numerador Se reducen términos semejantes. Se factoriza el numerados
Se simplifica
w 2 1 w 2
x 2 x 3 1 2x 2 2 2x 5x 3 2x 3x 2 x 5x 6 2
2x 2 5x 3 2x 2 6x x 3 2x x 3 x 3 2x 1 x 3 2x 2 3x 2 2x 2 4x x 2 2x x 2 x 2 2x 1 x 2 m.c.m x 3 x 2 2x 1 x 2 5x 6 x 3 x 2 La etapa de insertar factores para convertir cada fracción inicial en otra equivalente puede abreviarse como sigue: i) Sustituir en las fracciones la factorización del denominador respectivo. ii) Construir una fracción cuyo denominador sea igual al mínimo común múltiplo de los denominadores expresado en factores. 126
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
iii) A continuación se divide dicho m.c.m. entre el denominador de la primera fracción y el cociente se multiplica por el numerador de esa fracción, el producto será uno de los integrantes del numerador de la fracción que se está construyendo. Los otros integrantes se obtienen en forma semejante, sumándose o restándose según corresponda. b a c x 2 x 2 x 3 x 3 1 2x 2x 1 x 2 x 3 1 2x x 3 x 2 2x 1 2x 1 x 3 2x 1 x 2 x 3 x 2 x 2 4 x 2 6 x 9 1 4x 2 6x 2 6x 4 2 3x 2 3x 2 x 3 x 2 2x 1 x 3 x 2 2x 1 x 3 x 2 2x 1
Los integrantes " a" , " b" y " c" del numerador se calcularon así:
x 3 x 2 2x 1 x 2 , dividiendo el m.c.m. entre el primer denominador; luego se 2x 1 x 3 multiplica por el primer numerador x 2 x 2 . Para " a" :
x 3 x 2 2x 1 x 3 , dividiendo el m.c.m. entre el segundo denominador; luego se 2x 1 x 2 multiplica por el segundo numerador x 3 x 3 .
Para " b" :
x 3 x 2 2x 1 2x 1 , dividiendo el m.c.m. entre el tercer denominador; luego se x 2 x 3 multiplica por el tercer numerador 1 2x 2x 1 .
Para " c" :
III. Ejercicios: Efectuar operaciones y simplificar la fracción que resulte si es posible. a 2b 3 2a 3b 4 a b 12 a a 1 6 1. 2. 2 15 20 30 a 2 a 1 a a 2 6x 2y 2 3 4x 3x 2 3. 2 4. 2 2 2 2 x y x y x y x 4 x x 2 x 3x 2 1 r r 5 3x 1 2x 1 3 3x 7 5. 6. r 5 r 2 4r 5 r 2 2r 1 x 1 x 2 x 2 3x 2 3 3x 2x 3 3x 1 9x 3 1 u 1 u 6 u 2 8. 2 7. 2 x 2 1 x x x 2 2 2x u 2u 15 u 2 4u 3 u 2 4u 5 2x 2y 3a a 1 10a 1 10. 2 9. x xy x 2 xy 2a 2 2a 4 4a 2 8a 32 8a 2 40a 32 11.
x 2 x 3 2 x 1 x 2 5 x 3 2 x 2 3x 2 x 2 5 x 6
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Para multiplicar fracciones primero se factorizan los numeradores y denominadores, si no son polinomios irreducibles, en seguida se construye una fracción con numerador igual al producto de todos los numeradores y denominador igual al producto de los denominadores, finalmente se aplica lo propiedad de eliminación de factores para reducir el resultado a su mínima expresión.
P R P R Q S Q S Ejemplos: Efectuar operaciones y simplificar cuando sea posible. 127
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
hk k h h 1 k h 1 h hk h 1 h 1 h 1 h 1 h h 1 k hk h 1 1 1 1 h2 h k
a) h 1
b)
x 4 y4 x 6 y6 2x 2 5xy 3y 2 2 2x y x 6xy 9y 2 x 6 y6
Factorizamos:
x 4 y 4 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x y x y 2x y - Irreducible x 6 y 6 x 2 y 2 x 4 x 2y 2 y 4 x 2 6xy 9y 2 x 3y
2
2x 2 5xy 3y 2 2x 2 6xy xy 3y 2 2x x 3y y x 3y x 3y 2x y
x 6 y 6 x y x y x 4 x 2y 2 y 4
Sustituyendo:
x 2 y 2 x y x y x 2 y 2 x 4 x 2y 2 y 4 x 3y
2x y
2
x 3y 2x y x y x y x 4 x 2y 2 y 4
Multiplicando factores:
x y x y 2x y x 3y x 4 x 2y 2 y 4 x 2 y 2 2 x y x y 2x y x 3y x 4 x 2y 2 y 4
2
Simplificando factores comunes del numerador y denominador:
x 4 x 2y 2 y 4 x 2 y 2 x 3y x 4 x 2y 2 y 4
2
Nota: Los componentes de la fracción generalmente permanecen factorizados. I. Ejercicios: Realiza las operaciones indicadas y expresa cada resultado en la forma reducida. 1.
2x 2yw 9ab 4c 2 3a 2b 3c 3xy 5w
4x 2 1 x 2 x 12 2x 2 3x 9 2x 2 5x 3 4x 2 8x 3 x 2 7 x 12 y2 y 1 xy y y3 1 2 3 5. xy y y y 1 y 1 3.
7.
x 4 27 x x4 x 1 x2 x 3 x 2 x x 4 3x 3 9 x 2 x x 3 2 x 3
2a 2 a 2 4a 5 3a 2 75 3a 3 3 2 x 9x 27 x 27 6x 2 35 x 36 4. 2 x 37x 36 6x 2 19x 3 2 2 a a 2 a 2a 1 a 1 6. 2 4 a 1 a a 6 a 1 a 1 2.
8.
x 2 3xy 10y 2 x 2 16y 2 x 2 6 xy 2 x 2y x 2 2xy 8y 2 x 4xy
Como caso especial de multiplicación de fracciones se tiene la potenciación; dado que:
128
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO” n factores
n n x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y n n factores
n factores
Para n entero positivo, entonces resulta la siguiente Ley de exponentes cuando y o : n
xn x y yn n
P
Pn
Por supuesto que sí P y Q son polinomios: n . Q Q 3
x 2 y2 . 2 xy x
Ejemplo: Calcular
x y x y x 2 y2 x y x 3 3x 2y 3xy 2 y 3 x 3 3x 2y 3xy 2 y 3 x y 2 x 3 x3 x 3 x xy x x x y 3
3
3
3
La división de fracciones se lleva acabo factorizando los numeradores y denominadores que no sean irreducibles, a continuación se multiplica la fracción del dividendo por la fracción invertida del divisor, donde invertir una fracción significa entre sí su numerador y su denominador; finalmente el resultado a la mínima expresión.
P R P S P S Q S Q R Q R Otra manera de representar la división de fracciones obedece al siguiente esquema:
P P S Q R Q R S Ejemplos: Efectuar las operaciones y simplificar. a) x 2
x 2 x 1 x 1 x 2 x 6 x 2 x 3 x 2 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 1 1 x 1 1
Inversión del divisor
b)
3t 2 5tu 12u 2 3t 2 9tu 4tu 12u 2 u 3t 4u 2 tu u 3 4 u 3u t 3u 2 tu 1 1 3t 4u t 3u 1 3u t 3t t 3u 4u t 3u 1 1 2 2 2 u 3u t u 3t 4u u 3u t 3t 4u u 3u t u
129
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
y 2 y 2 y 2 y 3 2y 2 y 2 y 2 1 y 2y 3 y 2 3y 9 y 2 3y 9 y 2 3y 9 y 2 3y 2 y 1y 2 y 1y 2 y 2 3y 9 3 2 y 27 y 3 y 3y 9
c)
y 1y 1y 3 y 3 y 1 y 1 3x 2 13xy 10y 2 4x 2 4xy y 2 9x 2 12xy 4y 2 x 2 4y 2 3x 2 4xy 4y 2 2x 2 5xy 2y 2
d) Factorizando:
3x 2 13xy 10y 2 3x 2 15xy 2xy 10y 2 3x x 5y 2y x 5y 3x 2y x 5y x 2 4y 2 x 2y x 2y 4x 2 4xy y 2 2x y
2
3x 2 4xy 4y 2 3x 2 6xy 2xy 4y 2 3x x 2y 2y x 2y 3x 2y x 2y 9x 2 12xy 4y 2 3x 2y
2
2x 2 5xy 2y 2 2x 2 4xy xy 2y 2 2x x 2y y x 2y 2x y x 2y Sustituyendo las factorizaciones en las fracciones y efectuamos las divisiones:
3x 2y x 5y x 2y x 2y 3x 3x 2y x 5y 3x x 2y x 2y
2x y 3x 2y 2y x 2y 2x y x 2y 2y x 2y 2x y x 2y 2 2 2x y 3x 2y 2 x 5y 3x 2y x 2y 2x y x 2y x 5y 2 2 2x y x 2y x 2y 2x y 3x 2y 2
2
II. Ejercicios: realiza las operaciones que siguen y simplifica. 1.
1 2 a 2 a 30 a 2 a 42
x3 8 2 3. x 2 7x 10 x 2x 4 3x 2 6x 8y 2 2y 3 10y 2 y 2 5y 2 8y 4 5. 2 2 2 3y y 10 3y 20y 25 12y 11y 5
2.
24a 3b 4c 18a 2b 3c 2 5xyw 4 25xy 3w
2x 2 3xy y 2 2x y 2 2 2 2 x 2xy y 3x xy 4y
4. x 2 y 2
6x 2 13xy 5y 2 2x 2 7xy 3y 2 3x 2 4xy 15y 2 2xy x 2 2x 2 4xy y 2 4x 2
6.
m 3 4m 2n 4mn 2 m 3 6m 2n 12mn 2 8n 3 9m 2 3mn n 2 m 2 4n 2 27m 3 n 3 3m 2n 5mn 2 2n 3
7.
130
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x y
CECyT No. 16 “HIDALGO”
x y x y
x y
8. x y x y x y x y
7a 9 5a 1 9. a 2 a 4 a 3 a 1
2x 1 2 x 1 10. x 2 x 1 x x 2
11.
16 x 2 24xy 9y 2 64x 3 27 y 3 16 x 12y 32x 2 24xy 18y 2
Las expresiones fraccionarias que contienen fracciones en el numerador, en el denominador, o en ambos, reciben el nombre de fracciones complejas. Con frecuencia se debe transformar una fracción compleja en una fracción simple, el cómo proceder en estos casos se ilustra con ejemplos.
x y 1 x y 1 x y 1 x y x y 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y a) x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y Propiedad de inserción de factores; multiplicando por el m.c.m. de todos los factores.
x y 1 2 2 x y x y 2
Propiedad distributiva y simplificación.
x 2 2xy y 2 1 x 2 2xy y 2 1 Desarrollando y reduciendo términos semejantes. 4xy x 2 2xy y 2 x 2 2xy y 2
Existe otra forma de proceder, reducir el numerador y el denominador a fracciones simples y en seguida dividir dichas fracciones.
a x a x a 2 x 2 a2 x2 a x a x a 2 x 2 a 2 x 2 x 2x 2 a x a x a2 x2 b) 2 2 2 2 2 2 a x a x a x a x a 2ax x a 2ax x 4ax 2a a x a x a x ax a x a x 1
III. Ejercicios:
x 1 x 1 1. x 1 x x 1 x2 1 x 2 y2 3. 2x 2 yx x
1 1 5. a b a b 1 1 2 2 a b a b
x y x y x y x y 2. x y x y x y x y y2 x 2 4. 1 1 1 2 2 x xy y
x y x y 2 2 x y x y 2
6.
x 4 y4 2x 2y 2xy 2
IV. Elige la opción correcta y colócala en el paréntesis de la derecha: 1. La igualdad verdadera es. 131
2
(
)
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y xy z xz
y y z xz
a) x
2.
La expresión que es igual a a) w
3.
x y
rs 1 r s b) t t t
El resultado de
tw u wx
b)
La adición
1 x 1
b)
La fracción compleja
z xy
(
)
(
)
(
)
(
)
tx u w
p r q
c)
p r q
xz y yz
c)
x yz (
c)
x y b) x 1 y
)
1 x x
La igualdad correcta es.
a)
10.
c)
1 1 tiene por resultado a. x 2 b) x
x y a) x y
9.
t u xw
x x es igual a. y z
x z y yz
)
rs s r c) t t
p r es igual a. q q
p r q
La suma
a) 8.
b)
La operación
a)
7.
u w es. x
(
w x y
t
a)
6.
c)
La igualdad correcta es.
a)
5.
c) x
wx es. y w x b) y y
r s r s a) t t t
4.
y xy z z
b) x
(
)
(
)
x y x c) 1 y y
x se reduce a. y z zy b) x
c)
p q La simplificación de es. r
xz y
(
132
)
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a) 11.
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p qr
b)
c)
q pr
La igualdad que se cumple es
m n h k m h a) n k 12.
pr q
m n h k m h b) n k
La igualdad correcta es. a)
xy z y z xw w
b)
xy xz y z xw w
(
)
(
)
m n m k n k c) m x x x c) y z y x
ECUACIONES Se puede pensar que el álgebra comienza cuando se empiezan a utilizar letras para representar números, pero en realidad comienza cuando los matemáticos empiezan a interesarse por las operaciones que se pueden hacer con cualquier número, más que por los mismos números, de esta forma se da el gran paso de la aritmética al álgebra. El empleo de letras dentro del ambiente matemático es muy antiguo, ya que los griegos y romanos las utilizaban para representar números bien determinados. Las ecuaciones y sus soluciones son de mucha importancia en casi todos los campos de la tecnología y de la ciencia. Una ecuación es el enunciado algebraico en donde dos expresiones representan al mismo número. Por ejemplo, la fórmula del Área de un círculo A r 2 es una ecuación. El símbolo A representa el área, lo mismo que la expresión r 2 , pero aquí el área se expresa en términos de otra cantidad, el radio: r . De manera general una ecuación es una comparación entre dos expresiones matemáticas, con al menos una variable en alguna de ellas, de acuerdo a la expresión matemática empleada la ecuación se clasifica en algebraica, trigonométrica, exponencial, logarítmica, trigonométrica directa o inversa, diferencial, etc. En el curso trabajaremos solo con las algebraicas, las cuales se clasifican en: polinomiales, racionales no enteras e irracionales. Por el momento las cuales clasificaremos de acuerdo al grado de la variable teniendo: 1° grado o lineal, 2° grado o cuadrática, 3° grado o cúbica, etc., y en este momento nos enfocaremos por el momento en la lineal. Ecuación. Una ecuación algebraica es un enunciado matemático que relaciona dos expresiones algebraicas que involucran al menos una variable de primer grado.
Donde está contiene expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales e irracionales o una combinación de estas.
ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE Una ecuación lineal con una variable, por ejemplo x , es cualquier ecuación que se pueda escribir en la siguiente forma:
ax c 0 133
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Donde: a y c son números reales y a 0 . El conjunto de números que satisface una ecuación se llama conjunto solución o dominio de la ecuación. Los elementos del conjunto solución se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Si una ecuación tiene como conjunto solución al conjunto de los números reales recibe el nombre de identidad, si el conjunto solución solo contiene algunos elementos del conjunto recibe el nombre de ecuación condicional y si el conjunto solución no contiene elementos o sea es un conjunto vacío recibe el nombre de ecuación imposible o contradicción. 2x 4 2 x 3 2
2 1 x 1 x 2 2 x 2x 3 x 1
identidad ecuación condicional ecuación imposible o contradicción
Al procedimiento de determinar el conjunto solución de una ecuación se le llama resolución de la ecuación la cual hace uso de las propiedades de la igualdad, para ir transformando la ecuación inicial en ecuaciones equivalentes que comparten el mismo conjunto solución, este procedimiento es también conocido como el despeje de la variable. Propiedades de la igualdad. Si a , b y c son números reales, entonces: a a. Propiedad reflexiva Si a b , entonces b a . Propiedad simétrica Si a b y b c , entonces a c . Propiedad transitiva Si a b , entonces a puede sustituir a b en cualquier expresión Propiedad de sustitución algebraica para obtener una expresión equivalente. Si a b , entonces a c b c . Propiedad de la suma Si a b , entonces a c b c . Propiedad de la resta Si a b , entonces ac bc . Propiedad de la multiplicación a b . Si a b , entonces Propiedad de la división c c Estrategia para realizar el despeje de la variable. Las estrategias que se dan a continuación no se deben de seguir en el orden indicado para la resolución de una ecuación ya que esta se presenta en muchas formas y algunos de estos pasos pueden omitirse o realizarse en diferente orden. Si hay fracciones en una ecuación multiplicar ambos lados de la misma por el común denominador. Usar la propiedad distributiva para eliminar paréntesis combinar los términos semejantes. Emplear las propiedades de la igualdad para la suma y la resta (o la propiedad del numero simétrico) para hacer que todas las variables queden de un solo lado de la igualdad (de preferencia en la izquierda) y todas las constantes del otro, de ser necesario simplificar los términos semejantes. Utilizar las propiedades de la igualdad para la multiplicación y la división (o la propiedad del número reciproco) para hacer que el coeficiente de la variable sea 1 (la unidad). Comprobar el resultado sustituyendo la variable por la posible solución y verificar que se satisfaga la ecuación.
134
EDICIÓN 2013
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A esto se le conoce como el proceso para despejar la variable, transformándola en una ecuación equivalente que tiene el mismo conjunto solución que la ecuación que deseamos resolver. Ejemplos: 1. 5 x 2 17 5 x 2 2 17 2 5 x 15 5 x 15 5 5 x 3 5 3 2 17 15 2 17 17 17 Sol. 3
Se restan dos unidades a ambos lados de la igualdad. Se dividen cinco unidades a ambos lado de la igualdad. Este es el posible valor de la variable x Sustituyendo el valor de x 3 en la ecuación para comprobarla. Se realizan las operaciones aritméticas y se comprueba la igualdad por lo tanto el conjunto solución es:
2. 2 x 1 4 4 1 x 2 x 2 2x 2 4 4 4x 2x 2 2x 2 2x 2 2x 2 2x 2x 2 2x 2 2
2 2
sol.
x x 1 2 x 3 2 2 6 x 2 x 1 x 6 2 2 3 6x 6x 6 12 6x 3 2 2 2x 12 3x 3 6 x 5 x 12 3 6 x 5 x 12 6 x 12 3 6 x 6 x 12 11x 15 11x 15 11 11 15 x 11 15 15 11 2 11 1 15 3 2 2 11
Aplicando la propiedad distributiva para eliminar paréntesis Reduciendo términos semejantes. Restamos 2x a ambos lados de la igualdad, para despejar a la variable x y reducimos términos semejantes. Observamos que tos los elementos se eliminan y nos queda una igualdad, porque el lado izquierdo es idéntico al lado derecho, esto nos indica que tenemos una identidad y el conjunto solución es:
3.
15 15 1 15 2 33 22 2 11
Multiplicando por el m.c.m. para convertir la ecuación en entera.
Simplificando. Reduciendo términos semejantes. Sumando 6 x y 12 a cada lado de la igualdad. Dividiendo 11 a ambos lados de la igualdad. Este es el posible valor de x . Se sustituye el valor de x
15 en la ecuación. 11
Se realizan las operaciones correspondientes. Observamos que la igualdad se satisface, por lo tanto: 135
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30 132 45 11 30 66 22 57 19 66 22 3 19 19 3 22 22 19 19 22 22 15 Sol. 11
3.
x 1 3 13x 2 4x 3 2 3
Multiplicamos a ambos lados de la igualdad por el m.c.m de los denominadores, para transformar las fracciones a enteros.
6 x 1 4x 3 13x 2 6 3 3 2
2 x 1 24x 9 2 13x 2 2x 2 24x 9 26 x 4 26 x 2 5 26 x
Realizamos las operaciones y reducimos los términos independientes. Restamos 26 x a ambos lados de la igualdad para despejar ala variable x y reducimos términos semejantes. Observamos que queda una contradicción, porque el lado derecho no es igual al lado izquierdo, a esto se le llama contradicción y el conjunto solución es:
26 x 2 26 x 5 26 x 26 x 2 5
2 5 Sol.
5.
10 x 2 3x 2x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 - irreducible. x 1 - irreducible. m.c.m.= x 1 x 1
Factorizamos los denominadores para obtener el m.c.m.
2 x 1 x 1 102 x 3x 2 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 10 x 2 3x x 1 2 x x 1 10 x 2 3x 2 3x 2 x 2 2 x 2 x 2 3x 10 2x 2 2 x
Multiplicamos ambos lados por el m.c.m. Realizamos las operaciones términos semejantes.
2 x 2 3x 10 2x 2 2 x 10 2 x 2 2 x 2 x 2 2x 10
5 x 10 5x 10 5 5 x 2 2 10 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1
y
reducimos
Despejamos las variables del lado izquierdo, restando 2 x 2 y 10 , y sumamos 2x a ambos lados. Reducimos términos semejantes, y dividimos ambos lados entre 5 Sustituyendo el valor de x 2 en la ecuación original para comprobarla.
136
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10 4 6 4 4 1 3 1 6 2 4 3 2 2 4 4 4 Sol.= 2
Realizamos las operaciones correspondientes. Observamos que la igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:
I. Ejercicios: Obtener el conjunto solución de las siguientes ecuaciones lineales. 1. 8x 4 3x 7 x 14 x 2. 3x 2 x 1 7 x 3 5 x 24 x 4. 10 x 9 9 5 6 x 2 4x 1 5 2x 1 3. x 2 x 1 8 3x 3 5. 3x 4 2 x 1 4 6 x 2 5 x 2x x 7 5 10 4 x 1 x 3 1 9. x 3 2 3 6 2x 6 11. 5 2x 3 4x 6
7. 3x
1 4 2 x 1 8 x 4 3 5 2 15. 2x 4 x 3 x 2 3x 1 1 7 17. 2 x 7 x 12 2 x 6 6 x 24 4 1 5 x 6 19. x 2 x 2 x2 4
13.
x 1 2 x 1 4x 5 40 4 8 x 2 x 3 x 4 8. 3 4 5 3 3 10. 0 5 2 x 1
6. 2
12.
2 3 4x 1 4x 1
x3 8 4 x2 2x x 2 3 2 8 16. x 4 x 3 x 2 7 x 12 3x 6 18. 1 x 2 x 2 3 9x 20. 2 3x 1 3x 1
14.
Problemas de Aplicación. Los problemas de aplicación no viene de la forma “resuelva la ecuación”, sino que son relatos que suministran información suficiente para resolverlos y debemos ser capaces de traducir una descripción verbal a lenguaje matemático. Y es donde el álgebra será nuestra herramienta para el manejar las relaciones numéricas en los que una o más cantidades son desconocidas o que se desean conocer, a las que se representaran por letras, por lo cual el lenguaje simbólico da lugar al lenguaje algebraico. Por lo tanto, al traducir un cierto problema al lenguaje algebraico, se obtienen expresiones algebraicas, que son una secuencia de operaciones entre números y letras. A las letras se les denomina variables; dando origen a una ecuación algebraica la cual se resuelve con el procedimiento anteriormente descrito. Tomando en cuenta que cualquier solución matemática debe ser verificada si es solución del problema en cuestión, porque podría tener solución matemática que carezca de sentido con el contexto del problema. Estrategia para resolver problemas de aplicación. Gran parte de los problemas prácticos se pueden resolver mediante métodos algebraicos, de hecho, no hay un solo método que funcione para todos. Sin embargo, se puede formular una estrategia para organizar el enfoque del problema. Lea el problema cuidadosamente (varias veces, si es necesario) hasta que entienda el problema; es decir, hasta saber que se quiere obtener y con qué datos se cuenta. 137
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Represente una de las cantidades desconocidas con una variable (cualquier letra del alfabeto), y representar todas las cantidades desconocidas en términos de la variable escogida. Éste es un paso importante y se debe realizar con cuidado. Si lo consideras pertinente, dibuje figuras o diagramas, para identificar los datos del problema y lo que se desea obtener. Formule una ecuación que relacione las variables con los datos del problema, en algunas ocasiones se utilizan formulas ya establecidas. Resuelva la ecuación y escriba las respuestas de todas las preguntas planteadas del problema. Compruebe e intérprete todas las soluciones en términos del problema original, ya que podría tener solución matemática que carezca de sentido con el contexto del problema.
Ejemplos: 1. Encuentra 4 enteros pares consecutivos de manera tal que la suma de los 3 primeros exceda al cuarto en 8 unidades. Solución: Si nombramos a x como el primer número entero par, tomando en cuenta que los enteros pares aumentan de 2 en 2 , tenemos lo siguiente:
Primer par P1 x
Segundo par P2 x 2
Tercer par P3 x 4
Cuarto par P4 x 6
Transformamos el enunciado del problema en lenguaje algebraico P1 P2 P3 P4 8 , sustituyendo los valores de P para tener una ecuación algebraica y resolverla: x x 2 x 4 x 6 8 x x 2x 4 x 68 3 x 6 x 14 2x 8 x 4
Comprobación:
4 4 2 4 4 4 6 8 4 6 8 10 8 18 18
Por lo tanto el valor de cada número par es: Primer par P1 4
Segundo par P2 4 2 6
Tercer par P3 4 4 8
Cuarto par P4 4 6 10
2. Si un lado del triángulo mide un tercio del perímetro, el segundo 7m y el tercero un quinto del perímetro, ¿cuánto mide el perímetro del triángulo? Solución: Sea P el perímetro del triángulo; y a , b , y c los lados del triángulo de tal forma que P P a , b y c 7 . Recordemos que el perímetro del triángulo es igual a la suma de todos sus 3 5 lados.
138
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a
P 5
P 3
b c
7
P
P a b c
P P 7 3 5
P P 15P 15 7 3 5 15P 5P 3P 105 7P 105 P 15 Comprobación: 15 15 7 3 5 15 5 3 7 15 15
15
Por lo tanto el perímetro del triángulo es de 15m . 3. La distancia de una ruta de barco entre San Francisco y Honolulú es de 2100 millas náuticas. Si uno de los barcos sale de san francisco al mismo tiempo que otro sale de Honolulú, si el primero viaja a una velocidad de 15 nudos y el otro a 20 nudos, ¿cuánto tiempo les tomara a los barcos encontrarse? ¿A qué distancia se encuentra cada barco del lugar que partieron? Solución: Sea t el tiempo en el que se encontraron los barcos, dT la distancia total ente Honolulú y san Francisco, d1 y d 2 las distancias recorridas por cada barco respectivamente hasta el punto de encuentro, y v1 y v 2 las velocidades de cada barco respectivamente. Recordemos que la
d
velocidad v es igual a la distancia recorrida d entre el tiempo t que se llevo recorrerla v y t nudos
millasnáuticas . hora v1
v2
P.E.
H d1
SF d2
Datos: v1 15 nudos v 2 20 nudos dT 2100 millas náuticas t
dT
d1 v1t 15t d2 v 2t 20t
dT d1 d2
Sustituimos en la relación que obtiene en la figura los datos del problema: 15t 20t 2100 35t 2100 t 60 139
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Comprobación: 15 60 20 60 2100 900 1200 2100 2100 2100
Por lo tanto el tiempo que tardan en reunirse los barcos son 60 horas y la distancia recorrida por los barcos es 900 millas náuticas el primer barco y 1200 millas náuticas el segundo. 4. Un bote está parcialmente lleno con 12 l de leche entera, con 4% de grasa. ¿Cuánta leche, con 1% grasa, se debe de agregar para obtener una mezcla que contenga el 2 % de grasa? Solución: Sea l la cantidad de litros que se va a añadir al bote de 12 l .
Sabemos que: 4%
1 1 1 , 1% y 2% 25 100 50
Tomando en cuenta la cantidad de litros afectada por el porcentaje de grasa para poder tener la mezcla final, por lo tanto: 1 1 1 12 l 12 l 50 25 100 100 12 1 1 l 1 12 l 100 25 100 50 12 4 l 2 12 l 48 l 24 2l l 24 l 24 Comprobando: 1 1 24 1 12 24 12 50 25 100 12 6 1 36 25 25 50 18 18 25 25 Por lo tanto se requiere añadir 24l de leche con 1% de grasa para tener una mezcla de 2 % de grasa. 140
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5. Se disponen de 2 bombas a fin de llenar un tanque para almacenar gasolina. La bomba A lo hace en 3hrs. y la bomba B lo hace en 4hrs. cada una individualmente. Si se usan al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tardaran en llenar el tanque? Solución: Denotamos a t como el tiempo que se tarda en llenar el tanque, Este problema esta basado en razones, la razón r de llenado es igual a la cantidad Q que se desea llenar entre el
Q tiempo t que se tarda en llenar r . t Interpretando el enunciado del problema se establece lo siguiente: rA rB rT rA rB rT Q Q Q t A tB tT
Datos: t A 3 hrs. t B 4 hrs. Q 1tanque tT tiempo de llenado de ambas bombas
1 1 Q Q t A t B tT 1 1 1 3 4 tT 1 1 1 12tT 3 4 tT 4tT 3tT 12 7tT 12 12 tT 7
12tT
Verificando el resultado obtenido: 1 1 1 3 4 12 7 43 7 12 12 7 7 12 12 Por lo tanto el tanque se llena en un tiempo de
12 hrs. aproximadamente en 1hrs. con 43 min . 7
II. Ejercicios. 1. Tres hermanos que nacieron en años consecutivos, tienen 72 años entre los tres, ¿qué edad tiene cada uno? 2. Arturo tiene 9 años más que Raúl y Felipe tiene 4 años más que Raúl, si entre los tres acumulan 61 años, ¿cuál es la edad de cada uno? 3. Juan tiene 25 canicas menos que Luis y Oscar tiene 13 canicas más que Luis, canicas tiene cada uno, si entre los tres tienen 144? 141
¿cuántas
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4. Laura mide 10 cm. más que Martha y 13 cm menos que Fabiola, ¿cuál es la altura de cada una si entre las tres acumulan una estatura de 498 cm? 5. Elizabeth, Olivia y Eunice se van al cine, Eunice gasta $27 más que Olivia y Olivia gasta $5 más que Elizabeth, ¿cuánto dinero gasto cada una si en total gastaron $202? 6. Por una hamburguesa, unas papas y un refresco se pagaron $33, el refresco costó $7 menos que las papas y las papas $4 menos que la hamburguesa, ¿cuánto costó cada alimento? 7. Rubén pagó $94 por una libreta, un estuche de plumas y un juego de geometría. El juego de geometría costó cinco pesos más que la libreta y la libreta costó veinte pesos menos que el estuche de plumas. ¿Cuánto costó cada artículo? 8. En una secundaria particular, en tercero hay 4 alumnos menos que en segundo y 8 menos que en primero, si en la escuela hay 123 alumnos inscritos en los tres grados, ¿cuántos alumnos hay en cada grado? 9. Un par de zapatos y un sweater cuestan $98.00. Si el sweater cuesta $16.00 más que los zapatos. ¿Cuánto nos cobrarán por 2 pares de zapatos y 3 suéteres? 10. Perla tiene el doble de dinero que Fernanda, y Lupita tiene la tercera parte de dinero que Perla. Si entre las tres tienen $220. ¿Cuánto dinero tiene cada una? 11. Hace dos meses Froylán fue con su novia a comer hamburguesas, por dos hamburguesas unas papas a la francesa y dos refrescos les cobraron $42.00 a) Si la hamburguesa es $2.00 más cara que las papas y el refresco costo un $1.00 menos que la mitad del precio de las papas, ¿Cuánto costo cada una? b) Dentro de 3 meses se cree que habrá una inflación del 15% en todos los alimentos. ¿Cuánto pagaría si ahora pide 3 hamburguesas, 2 papas y 3 refrescos? 12. Hace 6 años se plantó un árbol y media 4m. menos que su altura actual, se predice que dentro de 7 años medirá 16 m. y medio de altura, el triple de su altura al plantarlo. ¿Cuál es el tamaño del árbol actualmente? 13. Hace 9 años, cuando nació Remi, media 37 cm menos que su altura actual; se predice que dentro de 8 años medirá 168 cm, el doble de su altura al nacer. ¿Cuándo mide actualmente Remi? 14. Un tren sale de una estación con dirección norte; dos horas más tarde, un segundo tren sale de la misma estación con dirección sur y viaja 15 km/hr más rápido que el primero. Seis horas después de la salida del segundo tren, las dos máquinas están separadas una distancia de 580 km. Calcula la velocidad de cada tren. 15. Un autobús sale de la TAPO con dirección Oriente, 3 horas más tarde sale otro autobús de la mima estación con dirección Oriente, viajando 20 km/hr más rápido que el primero; 4 horas después de la salida del segundo autobús, están separados una distancia de 700 km. Calcula que distancia recorrió cada uno. 16. Una piraña tiene una velocidad aproximada de 35 cm/seg, pero solo es capaz de mantener esa velocidad durante una distancia de 1.5 m.; si una charal que se mueve a la tercera parte de la velocidad de la piraña y que se encuentra a un tercio de metro de la piraña, trata de huir de ella, ¿Será capaz la piraña de alcanzar al charal antes del metro y medio? 142
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17. Tú mejor amigo va a visitar a su novia, cuando llega su suegro sale huyendo a una velocidad de 2 m/seg; después de haber recorrido13 m, lo comienza a perseguir su suegro con una velocidad de 2.9 m/seg. Debido a la edad del señor, esta velocidad solo la puede mantener por una distancia de 42m. ¿Será capaz tu amigo de huir de su suegro? 18. Una persona comienza a caminar a lo largo de una carretera recta, a razón de 4.5 kilómetros por hora hacia el siguiente pueblo que está a 8 kilómetros de distancia. Después de 10 minutos lo levanta un automóvil que lo lleva a la ciudad en 15 minutos ¿Cuál era la velocidad del automóvil? 19. Calcula a qué velocidad debe ir un motociclista para que termine un recorrido de 50 km. en una hora si durante los primeros 10 minutos viajo a una velocidad de 60 km./hr. 20. ¿Cuánta agua se debe agregar a 1.8 litros de una solución ácida al 34% para generar una solución ácida al 23%? 21. Una solución con 20% de alcohol se mezcla con agua para disminuir la concentración, si se tienen 5 litros de la solución. ¿Cuánta agua se debe de agregar para que la concentración se reduzca al 5%? 22. ¿Cuánta agua se debe agregar a 7 litros de una solución con el 85% de alcohol, para producir una nueva solución con el 30% de alcohol? 23. A 12 litros de una solución con el 15% de alcohol, ¿cuánta agua se debe evaporar para que la solución resultante tenga 90% de alcohol? 24. ¿Cuánta agua se debe evaporar de 5 litros de una solución con el 10 por ciento de alcohol para que la solución resultante tenga el 65% de alcohol? 25. ¿Cuántos litros resultarán de una solución con el 0.05% de éter, después de evaporar 0.8 litros de agua, de un solución con el 0.035% de éter? 26. ¿Cuántos litros quedan de una solución ácida al 0.08%, si se evaporan 0.05 litros de agua de una solución ácida al 0.018%? 27. ¿Cuántos litros se obtendrán de una solución salina al 0.07%, al evaporar 0.09 litros de agua de una solución al 0.022%? 28. ¿Cuántos litros de una solución ácida al 20% se deben mezclar con 2 litros de otra solución al 70%, para obtener una solución ácida al 30%? 29. ¿Cuántos litros resultarán de una solución ácida al 25% si se mezclan 3 litros de una solución ácida al 15% con otra solución ácida al 65%? 30. ¿Cuántos litros de ácido se deben agregar a 1.5 litros de una solución ácida al 12% para generar una solución ácida al 57%?
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES INTRODUCCION 143
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Muchas aplicaciones de las matemáticas implican más de una ecuación con varias variables. Al conjunto de ecuaciones resultantes se le llama sistema de ecuaciones. El conjunto de soluciones (o conjunto solución) de un sistema de ecuaciones consiste en todas las soluciones comunes del sistema. Si a la ecuación Ax By C , la graficamos sustituyendo todos los pares ordenados (o diadas) x,y que satisfacen la ecuación, obtendríamos una recta en el plano cartesiano; una manera más fácil para graficarla es obtener los puntos de intersección con los ejes de coordenadas, intersección en el eje de las abscisas I x sustituyendo y 0 e intersección en el eje de las ordenadas I y sustituyendo x 0 en la ecuación.
Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y se expresa de la siguiente forma:
A1x B1y C1 A2 x B 2 y C2 Donde A1 , B1 , C1 , A2 , B 2 y C 2 son números reales. La llave puesta a la izquierda sirve para indicar que las dos ecuaciones forman un sistema. Para que el par ordenado
x,y
satisfaga un sistema de dos ecuaciones lineales, el punto
x,y
correspondiente debe ser parte de las dos rectas que son las gráficas de las ecuaciones, a esto se le conoce como solución del sistema de ecuaciones ó conjunto solución. Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones son:
Grafico Por Igualación METODOS Por Eliminación Por Sustitución Algebraico Por Reducción Por Determinantes GRAFICO. El método grafico es uno de los tantos métodos que existen para resolver un sistema de ecuaciones, y con este método se analiza la interpretación grafica de un sistema de ecuaciones. Ejemplos: Obtén el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones realizando su grafica.
x 2y 4 2 x y 3
1)
144
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Solución: Calculamos los puntos de intersección con los ejes de coordenadas en cada una de las ecuaciones del sistema, identificando cada ecuación.
I x , si y 0 x 2 0 4 x 4 I x A 4,0
x 2y 4 A I y , si x 0
0 2y 4 2y 4 y 2 I yA 0,2
I x , si y 0 2x 0 3 2x 3 3 x 2 3 I x B ,0 2
2x y 3 B I y , si x 0
2x y 3 2 0 y 3 y 3 y 3 I yB 0, 3
Se ubican los puntos correspondientes de cada ecuación en el plano de coordenadas y se traza una regla recta que pase por cada pareja de puntos correspondientes a cada ecuación.
Una vez graficadas ambas rectas se trazan rectas perpendiculares del punto hacia los ejes de las abscisas y las ordenadas para obtener las coordenadas x,y del punto de intersección que satisface la igualdad de ambas ecuaciones.
El punto 2,1 se sustituye en ambas ecuaciones para comprobar que satisface ambas igualdades.
2x y 3 2 2 1 3 4 1 3 3 3
x 2y 4 2 2 1 4 2 2 4 4 4 145
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Por lo tanto, el conjunto solución es
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2,1 .
Cuando un sistema tiene una solución (rectas que interceptan en un punto), recibe el nombre de Sistema consistente o sistema compatible.
2 x 3y 6 4x 6y 24
2)
Solución: Obtenemos los puntos de intercepción de cada ecuación para graficarlas, identificando cada ecuación.
2 x 3y 6 A I y , si x 0 I x , si y 0 2x 3 0 6 2 0 3y 6 2x 6 3y 6 x 3 y 2 I x A 3,0 I yB 0,2
4x 6y 24 B I y , si x 0 I x , si y 0 4x 6 0 24 4 0 6y 24 4x 24 6y 24 x 6 y 4 I x A 6 ,0 I yB 0,4
Se ubican los puntos correspondientes de cada ecuación en el plano de coordenadas y se traza una regla recta que pase por cada pareja de puntos correspondientes a cada ecuación.
Observamos que las rectas no se interceptan y conservan siempre la misma distancia entre ellas, por lo tanto, el sistema no tiene solución porque se tienen dos rectas paralelas. A un sistema que no tiene solución (rectas paralelas) y su conjunto solución se representa de la siguiente forma: Sol.=
A este tipo de sistema se le llama sistema inconsistente o sistema incompatible. Nota: En ambos ejemplos observamos que cada ecuación tiene su propia grafica por lo que se les llama ecuaciones independientes.
2y x 4 2 x 8 4y
3)
Solución: Obtenemos los puntos de intercepción de cada ecuación con los ejes de coordenadas, 146
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identificando cada ecuación.
2y x 4 A I y , si x 0 I x , si y 0 2 0 x 4 2y 0 4 x 4 2y 4 x 4 y 2 I x A 4,0 I yA 0,2
2 x 8 4y B I y , si x 0 I x , si y 0 2 x 8 4 0 2 0 8 4y 2x 8 0 8 4y 2x 8 2 y x 4 y 2 I x A 4,0 I yB 0,2
Se ubican los puntos correspondientes de cada ecuación en el plano de coordenadas y se traza una regla recta que pase por cada pareja de puntos correspondientes a cada ecuación.
Observamos que ambas ecuaciones comparten la misma grafica, porque tienen los mismos puntos de intersección, por lo tanto todos los puntos de una recta satisfacen a la otra y viceversa, y el sistema tiene múltiples soluciones. Para obtener el conjunto solución se despeja la variable y de ambas ecuaciones.
2y x 4 2y 4 x 1 y 2 x 2
2x 8 4y 1 x 2 y 2
Una vez despejadas, obtenemos la misma expresión, y en el par coordenado sustituiremos el valor de y , para dar el conjunto solución, por lo tanto, tenemos: 1 Sol.= x, x 2 2
A este tipo de sistema se le conoce como sistema consistente dependiente, porque ambas ecuaciones comparten la misma gráfica.
De lo anterior podemos concluir que:
147
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Con Ecuciones Independientes (Unica Solución) Consistentes Sistemas de ecuaciones Con Ecuaciones Dependientes (Multiples Solucionjes) Inconsistentes Con Ecuaciones Independientes (Sin Solución) Ejercicios: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método gráfico, utiliza papel milimétrico para realizar tus gráficas. 1.
x y 6 x y 2
2.
4x 2y 8 2x y 2
3.
1 y x 1 4. 3 3x y 3
5.
2 x 8 2y x 4 y
2 x y 5 x y 1
6.
3x y 6 y 3x 9
ALGEBRAICOS Los métodos algebraicos son más precisos en la solución de un sistema de ecuaciones, por lo cual son los más empleados para resolver dichos sistemas. A continuación describiremos el proceso que debe realizarse en cada método. Métodos de eliminación. Son tres el método de eliminación: Sustitución, igualación y de reducción, también llamado este último de suma y resta. En estos métodos se utilizan las propiedades de los números reales para eliminar alguna de las 2 variables con las que cuenta cada ecuación del sistema. Cualquiera de estos métodos resuelve el sistema de ecuaciones Sustitución El método de eliminación por sustitución consiste despejar una de las variables, para después sustituir dicho valor en la otra ecuación y transformarla en una ecuación lineal con una sola variable. A continuación se explicara más ampliamente, cada paso a desarrollar. 1) Nombramos las ecuaciones para poder identificar los pasos a realizar. 2) Tomamos una de las dos ecuaciones para despejar una de las dos variables y obtener el valor de una variable en dependencia de la otra. 3) El valor obtenido del paso 2 se sustituye en la ecuación que no se utilizó del paso 2, esto transforma la ecuación lineal de dos variables a una ecuación lineal con una sola variable.. 4) Aplicamos el procedimiento para resolver ecuaciones lineales con una sola variable. 5) El valor obtenido en el paso anterior, se sustituye en el despeje realizado del paso 2, para obtener el valor de la otra variable. 6) Se comprueban los valores obtenidos de las variables en las ecuaciones originales para comprobar que la igualdad se cumpla en cada una de ellas. 7) Se da el conjunto solución del sistema de ecuaciones.
Ejemplos: Obtén el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas.
x 2y 4 2 x y 3
1.
Solución:
x 2y 4 A 2x y 3 B x 2y 4
Paso 1.
Paso 2. Despejando x de la ecuación A .
x 4 2y 148
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2 4 2y y 3 8 4y y 3
Paso 3. Sustituyendo x 4 2y en la ecuación B . Paso 4. Despejando a y .
5y 5 y 1 x 4 2 1 x 4 2 x 2
2 2 1 4 2 2 4 4 4
2 2 1 3 4 1 3 3 3
Sol.= 2,1
Paso 5. Sustituyendo y 1 en x 4 2y y realizamos las operaciones. Paso 6. Se sustituyen los valores de x 2 y y 1 en las ecuaciones A y B , y realizando las operaciones correspondientes. Paso 7. Conjunto solución.
Observamos que tenemos como resultado un punto donde las rectas se intersectan, por lo tanto tenemos un sistema consistente e independiente.
2 x 3y 6 4x 6y 24
2.
Solución:
2x 3y 6 A 4x 6y 24 B 4x 6y 24
Paso 1.
Paso 2. Despejando y de la ecuación B .
6y 24 4x 2 x 3 2 2 x 3 4 x 24 3 2x 12 2x 24 0 12 y 4
0 12 sol.=
Paso 3. Sustituyendo y 4
2 x en la ecuación A . 3
Paso 3. Despejando a x . Observamos que nos da una contradicción, lo cual nos indica que no hay solución del sistema. Paso 7. Conjunto solución.
Observamos que la solución es un conjunto vacio que nos indica que son rectas paralelas, por lo tanto, tenemos un sistema inconsistente e independiente.
2y x 4 2 x 8 4y
3.
Solución:
2y x 4 A 2x 8 4y B 2y x 4
Paso 1.
Paso 2. Despejando x de la ecuación A .
x 4 2y x 2y 4 2 2y 4 8 4y
Paso 3. Sustituyendo x 2y 4 en la ecuación B . 149
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4y 8 8 4y
Paso 3. Despejando a x .
0 0 0 0
2y x 4
2x 8 4y 1 x 2 y 2 1 y x 2 2
2y 4 x y 2
1 x 2
1 sol.= x, x 2 2
Observamos que nos da una igualdad, lo cual nos indica que hay múltiples soluciones del sistema. Despejamos y de las ecuaciones A y B , porque su valor dependerá del que obtenga x .
Paso 7. Conjunto solución.
Observamos que la solución del sistema es múltiple lo cual nos indica que este sistema es consistente y dependiente. Igualación. El método de igualación consiste en despejar la misma variable de ambas ecuaciones para igualarlas y generar una ecuación de primer grado con una variable y así poder obtener la solución del sistema. A continuación se explicara más ampliamente, cada paso a desarrollar. 1) Nombramos las ecuaciones para identificar los pasos a seguir. 2) Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones, para obtener dos valores diferentes de la misma variable, en dependencia de la otra. 3) Aplicamos la propiedad transitiva para igualar los valores obtenidos en el paso anterior, esto transforma el sistema de ecuaciones en una ecuación lineal de una sola variable. 4) Despejamos la variable para obtener su valor aplicando los procedimientos de las ecuaciones lineales de una sola variable. 5) El valor obtenido en el paso anterior, se sustituirá en al uno de los dos despejes realizados en el paso 2, para obtener el valor de la otra variable. 6) Se comprueban los valores obtenidos de las variables en las ecuaciones originales para comprobar que la igualdad se cumpla en cada una de ellas. 7) Se da el conjunto solución del sistema de ecuaciones.
Ejemplos: Obtén el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas.
x 2y 4 2 x y 3
1.
Solución:
x 2y 4 A 2x y 3 B x 2y 4
2x y 3
x 4 2y
2x 3 y x
Paso 1.
Paso 2. Despejar ambas x de ecuaciones A y B .
3 1 y 2 2
3 1 y 4 2y 2 2 3 y 8 4y
Paso 3. Aplicamos la propiedad transitiva de la igualdad. Paso 4. Despejando y .
5y 5 y 1 150
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x 4 2 1 x 4 2 x 2
2 2 1 4 2 2 4 4 4
2 2 1 3 4 1 3 3 3
sol.= 2,1
Paso 5. Sustituyendo y 1 en x 4 2y .
Paso 6. Sustituyendo x 2 y y 1 en ecuaciones A y B , y realizando las operaciones correspondientes. Paso 7. Conjunto solución.
Observamos que tenemos como resultado un punto donde las rectas se intersectan, por lo tanto tenemos un sistema consistente e independiente.
2 x 3y 6 4x 6y 24
2.
Solución:
2x 3y 6 A 4x 6y 24 B 2x 3y 6 3y 6 2x
4x 6y 24 6y 24 4x
2 2 x y 4 x 3 3 2 2 2 x 4 x 3 3 6 2x 12 2x 0 6
Paso 1.
Paso 2. Despejando y de la ecuación A y B .
y 2
0 6 sol.=
Paso 3. Aplicamos la propiedad transitiva de la igualdad. Paso 3. Despejando a x . Observamos que nos da una contradicción, lo cual nos indica que no hay solución del sistema. Paso 7. Conjunto solución.
Observamos que la solución es un conjunto vacio que nos indica que son rectas paralelas, por lo tanto, tenemos un sistema inconsistente e independiente.
2y x 4 2 x 8 4y
3.
Solución:
2y x 4 A 2x 8 4y B 2y x 4
2x 8 4y
x 4 2y x 2y 4
2x 4y 8 x 2y 4
2y 4 2y 4 2y 2y
Paso 1.
Paso 2. Despejando x de la ecuación A y B .
Paso 3. Aplicamos la propiedad transitiva de la igualdad. Paso 3. Despejando a x .
0 0 0 0
Observamos que nos da una igualdad, lo cual nos indica que hay múltiples soluciones del sistema, por lo tanto: 151
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2y x 4 2y 4 x y 2
1 x 2
2x 8 4y 1 x 2 y 2 1 y x 2 2
1 sol.= x, x 2 2
Despejamos y de las ecuaciones A y B , porque su valor dependerá del que obtenga x .
Paso 7. Conjunto solución.
Observamos que la solución del sistema es múltiple lo cual nos indica que este sistema es consistente y dependiente. Reducción (suma o resta). Este método consiste en eliminar una variable sumando o restando según sea el caso así reducimos la ecuación a una más simple, tomaremos el sistema anterior para explicar el proceso, ya que este es varía dependiendo del sistema que se tenga. 1) Enumeramos las ecuaciones para poder identificar los pasos a realizar. 2) Analizamos las ecuaciones, para emplear algunas de las siguientes condiciones, mediante la suma de polinomios y así eliminar unas de las variables. - Si se tienen términos simétricos se procede a realizar una suma de polinomios de forma directa. - Si tiene términos idénticos, se procede a multiplicar por 1 a una de las dos ecuaciones, para realizar la suma de polinomios después. - Si se tiene términos semejantes con signo opuestos, se procede a calcular el m.c.m. de sus coeficientes, posteriormente se harán las respectivas multiplicaciones a cada ecuación, para que la variable que se va eliminar sean de términos simétricos. - Si se tiene términos semejantes del mismo signo, se realizara lo del paso anterior, solo que multiplicamos por 1 a una de las dos ecuaciones. 3) Procedemos a realizar la suma de polinomios, para eliminar a la variable deseada. 4) De la ecuación lineal de una sola variable que resulta de la suma de polinomios, la despejamos para obtener su valor. 5) Sustituimos el valor obtenido en una de las ecuaciones originales. 6) Despejamos la variable restante para obtener su valor. 7) Comprobamos los valores obtenidos de las variables en las ecuaciones originales para verificar que la igualdad se cumpla. 8) Se da el conjunto solución.
Ejemplos: Obtén el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas.
x 2y 4 2 x y 3
1.
Solución.
x 2y 4 A 2x y 3 B 2x y 3 2 2x y 3 2 4x 2y 6 2y 4 4x 2y 6 x
5x
0
Paso 1.
Paso 2. Se necesita multiplicar por 2 la ecuación B. Paso 3. Realizamos la suma de polinomios.
10
5 x 10
Paso 4. Despejamos a x . 152
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x 2 2 2y 4 2 2y 4
Paso 5. Sustituimos x 2 en la ecuación A . Paso 6. Despejando a y
2y 2 y 1
2 2 1 4 2 2 4 4 4
2 2 1 3 4 1 3 3 3
sol.= 2,1
Paso 7. Sustituyendo x 2 y y 1 en las ecuaciones A y B , y realizamos las operaciones correspondientes. Paso 8. Conjunto solución.
Observamos que tenemos como resultado un punto donde las rectas se intersectan, por lo tanto tenemos un sistema consistente e independiente.
2 x 3y 6 4x 6y 24
2.
Solución.
2x 3y 6 A 4x 6y 24 B 2x 3y 6
2 2x 3y 6 2 4x 6y 12 4x 6y 12 4x 6y 24 0
0
Paso 1.
Paso 2. Se necesita multiplicar por 2 la ecuación A. Paso 3. Realizamos la suma de polinomios.
12
0 12 0 12 sol.=
Observamos que nos da una contradicción, lo cual nos indica que no hay solución del sistema. Paso 8. Conjunto solución.
Observamos que la solución es un conjunto vacio que nos indica que son rectas paralelas, por lo tanto, tenemos un sistema inconsistente e independiente.
2y x 4 2 x 8 4y
3.
Solución.
x 2y 4 A 2x 4y 8 B x 2y 4 2 x 2y 4 2 2x 4y 8 2 x 4y 8 2 x 4y 8 0
0 0 0 0
Paso 1.
Paso 2. Se necesita multiplicar por 2 la ecuación A. Paso 3. Realizamos la suma de polinomios.
Observamos que nos da una igualdad, lo cual nos 153
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2y x 4 2y 4 x y 2
1 x 2
indica que hay múltiples soluciones del sistema, por lo tanto: Despejamos y de las ecuaciones A y B , porque su valor dependerá del que obtenga x .
2x 8 4y 1 x 2 y 2 1 y x 2 2
Paso 8. Conjunto solución.
1 sol.= x, x 2 2
Observamos que la solución del sistema es múltiple lo cual nos indica que este sistema es consistente y dependiente. Determinantes. Es la notación matemática formada por una tabla cuadrada de números u otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas y se denota por la letra griega (delta).
Esta tabla está formada por filas (datos ordenados horizontalmente) y columnas (datos ordenados verticalmente), por lo general se tiene el mismo número de filas que de columnas de ahí que sea cuadrada, aunque en algunas ocasiones no se tiene de esa forma.
El símbolo
a11
a12
a21 a22
a11
a12
representa un determinante de orden dos y el símbolo a21 a22 a31 a32
a13 a23 un determinante a33
de orden 3, así un de terminante de orden n esimo tiene n filas y n columnas, por lo tanto: a1n a2n Filas an1 an 2 ann a11 a12 a21 a22
Columnas
A cada determinante le corresponde un número, el cual se calcula efectuando operaciones entre sus elementos. El determinante de segundo orden se resuelve de la siguiente forma.
a11
a12
a21 a22
i) Multiplicamos los elementos de izquierda a derecha en diagonal descendente. a11
a12
a21
a11 a22
a22
ii) Le restamos el producto de derecha a izquierda en diagonal descendente.
154
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a11
a12
a21
a11 a22 a12 a21
a22
iii) El número obtenido de esta operación será el valor del determinante.
a11 a22 a12 a21 Ejemplo: Obtener el valor del determinante
2
5
4
1
Solución:
2
5
4
1
2 1 5 4 2 20 2 20 22
I. Ejercicios: Calcula el valor de los siguientes determinantes de orden 2. 5 2 2 8 3 7 2. 3. 1. 3 7 7 3 4 0
4.
7
3
0
1
El determinante de orden 3 se puede resolver por dos métodos el Sarrus – Fila y por menores. a11
a12
a13
a21 a22 a31 a32
a23 a33
Sarrus – Fila. 1) Debajo del determinante de orden 3 repitiendo las dos primeras filas después de la tercera. a11
a12
a13
a21 a22
a23
a31 a32
a33
a11
a12
a13
a21 a22
a23
ii) Se multiplican de izquierda a derecha en diagonal descendente de tal forma que se tengan tres factores, de los cuales sus productos se sumaran. a11
a12
a13
a22
a23
a21 a31
a33 a11 a22 a33 a13 a21 a32 a12 a23 a31
a32
a11
a12
a21
a22
a13 a23
iii) Les restamos la suma de los productos de las diagonales descendentes de derecha a izquierda. 155
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
a11
a12
a13
a21
a22
a31
a23
a11
a11 a22 a33 a13 a21 a32 a12 a23 a31 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33
a33
a32 a12
a13
a22
a23
a21
iv) El resultado es el valor del determinante. a11 a22 a33 a13 a21 a32 a12 a23 a31 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 1
Ejemplo: Calcula el valor del determinante 3 4
0
4
1 6 . 2 2
Solución: 1
0
4
3 1 6 4 2 2 1 1 2 3 2 4 4 0 6 4 14 6 2 1 2 0 3 1
0
3 1
4 6 2 24 0 16 12 0 22 28 22 28 50
Por menores. Para resolverlo por menores se siguen los siguientes pasos que van a reducir el determinante de orden 3 en varios de orden 2. i) Tomamos el elemento de la primera columna y de la primera fila, para multiplicarlo por el determinante de orden 2 que resulta de eliminar la primera columna y la primera fila. a11
a12
a21 a22 a31 a32
a13
a a23 a11 22 a32 a33
a23 a33
ii) Tomamos el elemento de la primera fila y la segunda columna, para multiplicarlo por el determinante de orden 2 que resulta de eliminar la primera fila y la segunda columna, y lo restamos del paso anterior. a11
a12
a21 a22 a31 a32
a13
a a23 a11 22 a32 a33
a23 a a23 a12 21 a33 a31 a33
iii) Tomamos el elemento de la primera fila y la tercera columna, para multiplicarlo por el determinante de orden 2 que resulta de eliminar la primera fila y la tercera columna, y lo sumamos a los otros dos
156
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
a11
a12
a21 a22 a31 a32
a13
a a23 a11 22 a32 a33
a23 a a23 a a22 a12 21 a13 21 a33 a31 a33 a31 a32
iv) Calculamos los determinantes de orden 2 para obtener el valor del determinante de orden 3. a11 a22 a33 a23 a32 a12 a21 a33 a23 a31 a13 a21 a31 a22 a31 1 0 4 Ejemplo: Calcula el valor del determinante 3 1 6 . 4 2 2
Solución: 1 3 4
0
4
1 6 3 1 6 1 0 2 2 4 2 2
6 2
4
3
1
4
2
1 1 2 6 2 0 3 2 6 4 4 3 2 14 1 2 12 0 6 24 4 6 4 1 10 0 18 4 10 10 0 40 50
II. Ejercicios: Obtén el valor de cada uno de los determinantes. 1 2 1 2 5 1 5 2 2. 3 4 3 3. 3 7 1. 1 3 4 1 0 2 6 2 4 4 0
8
12
3 1
4. 8 7
5
10
6 4
9 2
Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones. Para resolver un sistema de tres o dos ecuaciones simultaneas con tres o dos variables, por determinantes, se aplica la Regla de Cramer que dice: El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es la determinante formada con los coeficientes de las incógnitas (determinante del sistema) y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de la incógnita que se halla por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas. x
y x , y y z z
Para obtener la solución de un sistema de ecuaciones por medio de la regla de Cramer se siguen los siguientes pasos. A1 x B1y C1 A2 x B2 y C2 1) Se obtiene el determinante del sistema con los coeficientes constantes del sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene tres variables y tres ecuaciones se tendrán un determinante de orden 3.
157
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A1
B1
A2
B2
2) Se calcula el valor del determinante del sistema; si el sistema es de orden 3 se utilizan el método de Sarrus-Fila o por menores.
A1
B1
A2
B2
A1B2 A2 B1
3) Se obtiene el determinante de cada variable sustituyendo los resultados de cada ecuación por los coeficientes de las variables correspondientes. x
C1
B1
C2
B2
y y
A1
C1
A2
C2
4) Se calculan el valor de cada determinante obtenido en el paso anterior. x
C1
B1
C2
B2
C1B2 C2 B1 y x
A1
C1
A2
C2
A1C2 A2C1
5) Se aplica la regla de Cramer para obtener el valor de cada variable. x
y x y y
6) Los valores obtenidos de cada variable se comprobaran en todas las ecuaciones para verificar que la igualdad se cumpla. 7) Si los valores satisfacen la ecuación se da el conjunto solución.
Ejemplos: Obtén el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas.
x 2y 4 2 x y 3
1.
Solución:
1
2
Paso 1.
1 1 1 2 2 1 4 5 x
4
2
3 1
2
Paso 2. y
1 4 2 3
x 4 1 3 2
y 1 3 2 4
x 4 6
y 3 8
x 10
y 5
10 5 x 2
x
2 2 1 4
5 5 y 1
y
2 2 1 3
Paso 3.
Paso 4.
Paso 5. Paso 6. Sustituyendo x 2 y y 1 en el sistema de 158
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2 2 4 4 4
4 1 3 3 3
sol.= 2,1
ecuaciones. Paso 8. Conjunto solución.
Observamos que tenemos como resultado un punto donde las rectas se intersectan, por lo tanto tenemos un sistema consistente e independiente.
2 x 3y 6 4x 6y 24
2.
Solución:
2 3
Paso 1.
4 6 2 6 4 3 12 12 0 x
6
3
Paso 2. y
24 6
2
6
Paso 3.
4 24
x 6 6 24 3
y 2 24 4 6
x 36 72
y 48 24
x 36
y 24
sol.=
Paso 4. No se puede aplicar la regla de Cramer, porque el determinante del sistema se anula 0 , ya que la división entre cero no está definida. Y como los otros determinantes tienen valor, indica que este sistema no tiene solución. Paso 8. Conjunto solución.
Observamos que la solución es un conjunto vacio que nos indica que son rectas paralelas, por lo tanto, tenemos un sistema inconsistente e independiente.
2y x 4 2 x 8 4y
3.
Solución: Ordenamos el sistema de ecuaciones:
x 2y 4 2 x 4y 8
1 2
2 4 1 4 2 2 4 4 0
Paso 1. Paso 2.
159
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x
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4
2
8
4
y
1
4
x 4 4 8 2
8 y 1 8 2 4
x 16 16
y 8 8
x 0
y 0
2y x 4 2y 4 x 1 y 2 x 2
2x 8 4y 1 x 2 y 2 1 y x 2 2
2
1 sol.= x, x 2 2
Paso 3.
Paso 4. No se puede aplicar la regla de Cramer, porque el determinante del sistema se anula 0 , ya que la división entre cero no está definida. Y como los otros determinantes también se anulan el sistema tiene múltiples soluciones. Y tendremos que despejar y de ambas ecuaciones. Paso 8. Conjunto solución.
Observamos que la solución del sistema es múltiple lo cual nos indica que este sistema es consistente y dependiente. Sistemas de ecuaciones 3 3 . Cuando se hablan de sistemas 3 3 nos referimos que tiene tres variables y tres ecuaciones, se emplean los mismos métodos de eliminación descritos, realizando algunos procesos para eliminar la misma variable en todo el sistema y reducirlo a un 2 2 . Pero se puede de forma directa por determinantes como se muestra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo: obtener el conjunto solución del siguiente sistema:
x y z 4 1. 2x 3y 5 z 5 3x 4y 7 z 10 Resolviendo el sistema por determinantes.
Obtenemos los determinantes del sistema y de cada una de las variables.
1 2 3
1 1 1 2 3 5 3 4 7 1 2
4 x 5 10
4 1 1 5 3 5 10 4 7 4 5
1 1 3 5 4 7 21 8 15 9 20 14 2 25 2 25 23 1 1 3 5 1 1 3 5 4 7 84 20 50 30 80 35 54 15 54 15 69 1 1 3 5
160
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1 4 1 1 4 1 2 5 5 y 2 5 5 3 10 7 35 20 60 15 50 56 45 91 45 91 46 3 10 7 1 4 1 5 5
2 1 z 2 3
1 1 4 2 3 5 3 4 10 1 2
1 4 3 5 4 10 30 32 15 36 20 20 13 36 13 36 23 1 3
4 5
Aplicando la regla de Cramer.
69 3 23 46 2 y 23 23 1 z 23 x
Sustituyendo los valores de x 3 , y 2 y z 1 en las ecuaciones.
3 2 1 4 3 2 1 4 4 4 3 3 4 2 7 1 10 9 8 7 10 10 10 Por lo tanto el conjunto solución es
2 3 3 2 5 1 5 6 6 5 5 5 5
3,2, 1 .
Resolviendo el sistema con el método de reducción.
Enumerando las ecuaciones.
x y z 4 A 2 x 3y 5 z 5 B 3x 4y 7 z 10 C Eliminamos a y de las tres ecuaciones, tomamos las ecuaciones A y B , y multiplicamos por 3 a la ecuación A . Tomamos a las ecuaciones A y C , y multiplicamos por 4 a la ecuación A .
3x
3y
3z
12
4x
4y
4z
16
2x
3y
5 z
5
3x
4y
7 z
5x
0
8z
7
x
0
3z
6
161
10
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Con este paso transformamos el sistema de tres variables con tres ecuaciones a un sistema de dos variables con dos ecuaciones. Numeramos las nuevas ecuaciones.
5 x 8z 7 D x 3z 6 E Continuando con el método de reducción, multiplicamos a la ecuación 5 resolvemos la ecuación resultante.
5x
8z
5 x
15 z
30
0
por 5 para eliminar x , y
7
23z 23 23z 23 z 1
Sustituimos el valor de z 1 en la ecuación 4 y despejamos la variable.
5 x 8 1 7 5x 8 7 5 x 15 x 3 Sustituimos el valor de z 1 y x 3 en la ecuación 1 y despejamos la variable.
3 y 1 4 3 y 1 4 2 y 4 y 2 Sustituyendo los valores de x 3 , y 2 y z 1 en las ecuaciones A , B y C .
3 2 1 4 3 2 1 4 4 4 3 3 4 2 7 1 10 9 8 7 10 10 10 Por lo tanto el conjunto solución es
2 3 3 2 5 1 5 6 6 5 5 5 5
3,2, 1 .
Resolviendo el sistema por sustitución.
Enumerando las ecuaciones
162
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x y z 4 A 2 x 3y 5 z 5 B 3x 4y 7 z 10 C Despejamos x de la ecuación A . x y z 4 x 4 y z
Sustituimos x 4 y z , en las ecuaciones B y C .
2 4 y z 3y 5 z 5
3 4 y z 4y 7 z 10
8 2y 2z 3y 5 z 5
12 3y 3z 4y 7 z 10
5y 3z 13
y 4z 2
Con este paso transformamos el sistema de tres variables con tres ecuaciones a un sistema de dos variables con dos ecuaciones. Numeramos las nuevas ecuaciones. 5y 3z 13 D y 4z 2 E
Despejamos a y de la ecuación E .
y 4z 2 y 2 4z Sustituimos y 2 4z en la ecuación D . 5 2 4z 3z 13 10 20z 3z 13 23z 23 z 1
Sustituyendo z 1 en y 2 4z . y 2 4 1
y 2 4 y 2 Sustituyendo y 2 y z 1 en x 4 y z . x 4 2 1 x 4 2 1 x 3
Sustituyendo los valores de x 3 , y 2 y z 1 en las ecuaciones A , B y C .
163
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3 2 1 4 3 2 1 4 4 4 3 3 4 2 7 1 10 9 8 7 10 10 10 Por lo tanto el conjunto solución es
2 3 3 2 5 1 5 6 6 5 5 5 5
3,2, 1 .
Resolviendo el sistema por igualación.
Enumerando las ecuaciones
x y z 4 A 2 x 3y 5 z 5 B 3x 4y 7 z 10 C Despejamos z de las ecuaciones A , B y C x y z 4 z 4 x y
2x 3y 5 z 5
3x 4y 7 z 10
5 z 3y 2x 5
7 z 10 3x 4y
z
Igualamos z 4 x y con z
3 2 y x 1 5 5
z
10 3 4 x y 7 7 7
10 3 4 3 2 x y. y x 1 y z 4 x y con z 5 5 7 7 7
3 2 y x 1 5 5 20 5 x 5y 3y 2x 5
10 3 4 x y 7 7 7 28 7 x 7 y 10 3x 4y
3x 8y 25
4x 3y 18
4 x y
4 x y
Con este paso transformamos el sistema de tres variables con tres ecuaciones a un sistema de dos variables con dos ecuaciones. Numeramos las nuevas ecuaciones. 3x 8y 25 D 4x 3y 18 E
Despejamos x de las ecuaciones D y E .
3x 8y 25 3x 8y 25 x
Igualamos x
4x 3y 18 4x 3y 18
25 8 y 3 3
x
25 8 9 3 y con x y . 3 3 2 4 164
9 3 y 2 4
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25 8 9 3 y y 3 3 2 4 23y 46
y 2 Sustituimos y 2 en x
9 3 y. 2 4 9 3 2 2 4 9 3 x 2 2 6 x 2 x 3
x
Sustituyendo x 3 y y 2 en z 4 x y . z 4 3 2 z 4 3 2 z 1
Sustituyendo los valores de x 3 , y 2 y z 1 en las ecuaciones A , B y C .
3 2 1 4 3 2 1 4 4 4 3 3 4 2 7 1 10 9 8 7 10 10 10 Por lo tanto el conjunto solución es
2 3 3 2 5 1 5 6 6 5 5 5 5
3,2, 1 .
Nota: Se recomienda reducir el sistema 3 3 a un sistema 2 2 , aplicando el método de reducción y después emplear cualquier otro método de eliminación. Misceláneos. I. Ejercicios: Obtén el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones empleando cualquier método.
1.
7 2 x 2 5y 2. 4 x 10 y 7 3 3 3
6x 9 y 5. 5 27 18 x 15y
5.
x 3y 6 5 x 2y 13
x 5y 8
7 x 8y 25
4x 5y 5 10y 4x 7
4.
x 8 5y 5y 4 x
8.
3.
7.
165
2y 5 x 6 5 x 2y 13 9 x 16y 5 4y 3x 0
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12 x 14y 20 14y 12 x 19
9.
7 x 4y 5 9 x 8y 13
11.
3x 2y 9 5 x 8y 60
3x 4y 0 3x 4y 24
6y 27 x 27 x 2y 3 10 x 3y 36 16. 2 x 5y 4
7 x 15y 1 x 6y 8
10.
12.
y 2 x 4 28 7 y 14x
13.
14.
15.
x y z 11 17. x y 3z 13 2x 2y z 7
7 x 10y 4z 2 18. 5 x 2y 6 z 38 3x y z 21
4x y z 4 19. 2y z 2x 2 6 x 3z 2y 12
3x 2y 1 20. 4x z 28 x 2y 3z 46
Resolución de sistemas numéricos de dos ecuaciones enteras con dos incógnitas. En este caso se debe simplificar las ecuaciones para poder hacer la resolución del sistema con cualquier método anteriormente visto. Existen diferentes formas de cómo plantear un sistema de ecuaciones, lo importante es saber identificar como aplicar cada uno de los métodos que hay, a continuación te mostramos un ejemplo. 3x 4y 6 2y x 18 Ejemplo: Obtén el conjunto solución del sistema 2x 3 x y 4
Se eliminan paréntesis y simplificamos términos semejantes despejando las variables del lado izquierdo de la igualdad y los coeficientes constantes del lado derecho, de esta forma tendremos un sistema equivalente con el que podemos trabajar mejor cualquier método de solución. 3x 4y 6 2y x 18 x y 7 4x 6y 12 x y 7
Una vez obtenido el sistema equivalente se emplea cualquier método de eliminación. x
4
6
1
1
12
6
7
1
4
12
1
7
4 6 2 6 10
12 42 12 42 30 28 12 28 12 40
x 30 x 10 x 3 x
y
y
40 y 10 y 4
Sustituyendo x 3 y y 4 en las ecuaciones. 3 3 4 4 6 2 4 3 18 9 16 6 8 21 9 22 8 21
2 3 3 3 4 4 6 3 7 4 3 3 166
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9 22 3 3 3 Por lo tanto, el conjunto solución es 3,4 I. Ejercicios: Resolver por cualquier método comprobando por otro método diferente. 3 x 2 2y x y 6 x 8y 10 x 5y 3 y 5 1. 2. 2 y 5 7 x x y 9y 11x 2y 2x 30 x 8 x 2y 30 3. 5 x 29 x 5 4y Ecuaciones simultáneas con incógnitas en los denominadores. Cuando se tienen las incógnitas en los denominadores lo que se procede a hacer, antes de resolver el sistema, es la realización de un método especial. 10 9 x y 2 Ejemplo: Resolver el siguiente sistema 7 6 11 x y 2
Enumeramos las ecuaciones. 10 9 2 A x y 7 6 11 x y 2 B
Vamos a eliminar las y con el método de suma y resta, multiplicamos la ecuación A por 6 y la ecuación
B por 9; así obtendremos: 60 x 63 x
54 12 y 54 99 y 2
123 x
0
123 2
123 123 x 2 246 123x x 2
Sustituimos x 2 en la ecuación B y despejamos ala variable7 6 11 2 y 2
6 2 y
6 2y 167
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y 3 Sustituimos x 2 y y 3 en las ecuaciones A y B . 10 9 2 2 3 5 3 2 2 2
7 6 11 2 3 2 7 11 2 2 2 7 4 11 2 2 11 11 2 2
Por lo tanto el conjunto solución es 2, 3 I. Ejercicios: Obtén el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones.
1 2 7 x y 6 1. 2 1 4 x y 3
3 2 1 x y 2 2. 2 5 23 x y 12
Problemas de aplicación. Con frecuencia se utilizan dos ecuaciones con dos variables para resolver problemas. Cuando aparecen dos variables, hay que recordar plantear dos ecuaciones para tener una solución. Las ecuaciones en cada problema deben ser obtenidas a partir de las relaciones descritas entre las cantidades que nos dan como dato y las cantidades que nos piden obtener. Hacemos las siguientes sugerencias para darle solución a los problemas.
Lea el problema hasta que capte con claridad lo que se dice ( si es necesario léalo más de una vez), hasta que tenga bien presentes en la mente las cantidades que nos dan como dato y las cantidades que nos piden obtener.
Identifique con una variable (letra), cada una de las cantidades a obtener.
Realice el modelado de las ecuaciones apoyando se dé una tabla, el lenguaje algebraico, diagramas y/o dibujos.
Resuelva la ecuación aplicando cualquier método conocido.
De la conclusión del ejercicio, es decir dar la respuesta de lo que nos pidieron obtener.
Ejemplos: 1. Un equipo de béisbol jugó 162 partidos. Gano 44 juegos más de los que perdió, ¿Cuántos partidos perdió? Solución:
Datos. 162 partidos jugados. Se ganan 44 juegos más que los que se pierden x - Número de juegos ganados. 168
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y - Número de juegos perdidos. ¿Cuántos partidos se pierden?
Analizando la información se jugaron 192 partidos entre ganados y perdidos, por lo tanto tenemos:
x y 192 Por el otro lado tenemos que se ganaron más juegos que los que se perdieron, teniendo una diferencia de 44 juegos entre ganados y perdidos, por lo tanto: x y 44
x y 192 Observamos que tenemos el siguiente sistema , el cual resolveremos empleando el método x y 44 algebraico de eliminación por reducción. x y 192 A x y 44 B x y 192 x
y
44
2x
0
236
2x 236 x 118 Sustituimos x 119 en la ecuación A .
118 y 192 y 74 Comprobamos los resultados obtenidos en ambas ecuaciones.
118 74 192 192 192
118 74 44 44 44
Por lo tanto, el equipo pierde 44 partidos. 2. Ramón vende autos y camiones. Tiene espacio en su lote para 510 vehículos. Por experiencia, Sabe que sus utilidades son mayores si tiene 190 autos más que camiones. ¿Cuántos vehículos de cada tipo debe tener? Solución:
Datos: Espacio para 510 vehículos. Ganancia con 190 autos más que camiones. a - Número de autos. c - Número de camiones. ¿Cuántos vehículos de cada tipo deben tener?
Analizando el ejercicio se tiene espacio entre autos y camiones para 510 vehículos, así en la suma de ambos no debe exceder este número.
a c 510 169
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Entre mas autos se tengan mayor ganancia se tendrá, esta diferencia es de 190 autos más que camiones, por lo tanto tenemos:
a c 190 a c 510 , el cual resolveremos por sustitución, ya que tiene una Por lo tanto, se tiene el sistema a c 190 variable despejada. a c 510 A a c 190 B c 190 c 510 c 190 c 510 2c 320 c 160
Sustituyendo c 160 en la ecuación B .
a 160 190 a 350 Comprobamos en ambas ecuaciones:
350 160 510 510 510
350 160 190 350 350
Por lo tanto, se tienen 350 autos y 160 camiones. 3. Marisa es 21 años más grande que Laura. En seis años, Marisa tendrá el doble de la edad de Laura. ¿Qué edad tienen ahora? Solución:
Datos: Marisa es 21 años mas grade que Laura. Marisa doble de la edad de Laura en seis años. m - Edad de Marisa. l - Edad de Laura. ¿Qué edad tiene en la actualidad?
Realizamos una pequeña tabla para organizar la información. Marisa Laura
Edad actual Edad en 6 años m m 6 l l 6
Interpretando los datos del problema, en la actualidad Marisa tiene 21 años más que Laura.
m 21 l Y dentro de seis años Marisa tendrá el doble de la edad de Laura. m 6 2 l 6 170
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m 21 l Por lo tanto tenemos el sistema , el cual resolveremos por el método de igualación. m 6 2 l 6
m 6 2l 12 m 6 2l 12 m 2l 6 21 l 2l 6 l 15 l 15 m 21 15 m 36 Comprobando en ambas ecuaciones. 36 6 2 15 6 42 2 21 42 42
36 21 15 36 36
Por lo tanto la edad de Marisa es de 36 años y la de Laura 15 años. 4. Un tren sale de Slaton en dirección este, a una velocidad de 80 km/h. Una hora más tarde, otro tren sale de Saltón en una vía paralela a 120 km/h. ¿A qué distancia de Slaton van a coincidir los trenes? Solución:
Datos: v1 - Velocidad del primer tren que sale de Saltón.
v 2 - Velocidad del segundo tren que sale de Saltón. t - Tiempo de salida del primer tren. t 1 - Tempo de salida del segundo tren. Km v1 80 hrs Km v 2 120 hrs d - Distancia recorrida por ambos trenes. Distancia Velocidad Tiempo Km hrs Km hrs t 80 Primer tren d 120 Segundo tren d t 1 Sabemos que d vt por lo tanto tenemos:
d 80t d 120 t 1 d 80t Por lo tanto, tenemos el sistema , la cual resolveremos por el método de determinantes, pero d 120 t 1 primero la ordenaremos y la igualaremos a cero.
171
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d 80t 0 d 120t 120 d
80
1
1 120
120 80 120 80 40
0
80
120
120
t
1
0
1 120
0 9600 0 9600 9600
120 0 120 0 120
d 9600 d 40 d 240
t 120 t 40 t 3
240 80 3 240 240
240 120 3 1 240 120 2 240 240
d
t
Comprobando
Se encuentran a 240 Km de Saltón. 5. ¿Cuántas onzas de una solución salina al 5% y cuántas onzas de una solución salina al 20% deben mezclarse para obtener 50 onzas de una solución salina al 15% ? Solución:
Datos: x - Onzas de la sustancia salina al 5% . y - Onzas de la sustancia salina al 20% .
De acuerdo al esquema tenemos que las onzas de la primera mezcla mas la de la segunda no deben exceder 50 onzas.
x y 50 También la suma de ambas concentraciones nos da la concentración final, transformamos los porcentajes 1 1 3 , 20% y 15% . a fracciones 5% 20 5 20 1 1 3 50 x y 20 5 20
Convertimos la ecuación a entera multiplicando ambos lados por le m.c.m. de los denominadores.
x 4y 150 172
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x y 50 Se tiene el sistema , el cual resolveremos con determinantes. x 4y 150 x
50
1 1 1 4
1
150 4
y
1
50
1 150
4 1 4 1 3
200 150 200 150 50 150 50 150 50 100
x 50 x 3
x
y
y
100 y 3
Comprobando. 50 100 50 3 3 150 50 3 50 50
Por lo tanto se necesitan
1 50 1 100 3 50 20 3 5 3 20 5 20 15 6 3 2 5 40 15 6 2 45 15 6 2 15 15 2 2
50 100 oz de una solución salina al 5% y oz de una solución salina al 20% . 3 3
Ejercicios 1. Marco tiene 150 monedas, tiene 12 monedas de a peso más que monedas de dos pesos. ¿Cuántas monedas de a peso y de a dos pesos tiene? 2. Cuatro naranjas y cinco manzanas cuestan $20. Tres naranjas y 4 manzanas cuestan $15.60. ¿Cuánto cuesta una naranja y una manzana? 3. Ofelia tiene 18 años más que su hijo. Hace un año, ella tenía tres veces la edad de su hijo. ¿Qué edad tienen en el presente? 4. El perímetro del rectángulo es de 160 m. Si ¼ del largo es igual al doble del ancho. Encuentra las dimensiones del rectángulo. 5. Un grupo de estudiantes de la vocacional 6 fueron a un concierto; pero solo había boletos para que algunos se sentaran hasta abajo y otros en medio del auditorio. El costo de los boletos eran de $70 hasta abajo y $90 en medio. Si asistieron 29 alumnos y gastaron $2250 en total ¿Cuántos alumnos se sentaron abajo y cuántos en medio? 6. La docena de rosas cuesta $20 y la de margaritas $18; ¿cuántas docenas se vendió de cada una si el jueves pasado se recolecto $992 con 51 docenas vendidas? 173
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7. Si se quiere obtener 850g de una mezcla con el 5% de levadura y lo demás de harina, y solo se cuenta con una que tiene el 3% de levadura y otra con el 8.5% de levadura ¿Cuánto debiera utilizar de cada una? 8. Dos hermanos viven en dos ciudades diferentes separadas una distancia de 712.5 km., para evitar cansancio por el viaje tan largo deciden reunirse en una ciudad intermedia, en promedio el hermano menor maneja 5 km/hr. más rápido que el mayor ¿A qué velocidad promedio viajo cada uno si el mayor manejo 3 horas y el menor cuatro horas y media? 9. Por 100g. de tornillo y 3/4 Kg. de clavos se paga $ 8.35, y por 500 g. de clavos y 150 g. de tornillos se paga $ 6.90. ¿Cuál era el precio por kilogramo de cada uno? 10. Un sastre tiene 60 m2 de tela de algodón y 80 m2 de tela de lana. Para hacer un saco se necesitan 2m2 de tela de algodón y 4m2 de tela de lana. Para hacer un abrigo se necesitan 3m2 de tela de algodón y 2m2 de tela de lana. ¿Cuántos sacos y cuántos abrigos debe fabricar el sastre para obtener una utilidad máxima, si cada saco lo vende a $20 y cada abrigo a $30? 11. Se mezclan dos soluciones de alcohol, una al 8% y otra al 15%, ¿cuántos litros se deben mezclar de cada una para obtener 100 litros al 12.2%? 12. A partir de una solución salina al 26%, y otra al 73%, se quiere obtener una solución salina al 53%, ¿cuánto se debe utilizar de cada una para obtener un litro y cuarto? 13. ¿Cuántos litros de una solución con el 40% de alcohol, deben agregarse a otra solución con el 80% de alcohol, para obtener 30 litros de una nueva solución que tenga 70% de alcohol? 14. Un automóvil sale de la ciudad de México hacia la ciudad de Veracruz a una velocidad constante de 90 kilómetros por hora; dos horas después otro automóvil sale de la ciudad de Veracruz hacia la ciudad de México a una velocidad constante de 110 kilómetros por hora. ¿Cuánto tiempo pasará para que se encuentren los dos automóviles si ambas ciudades se encuentran a 450 kilómetros d distancia una de la otra? 15. En una cafetería se cuenta con 125 cucharadas de café y 60 de azúcar. Para hacer café cortado se necesitan 3 cucharadas de café y media de azúcar; para hacer café negro se requiere de una cucharada de café y una de azúcar, ¿Cuántos cafés de cada tipo debieran hacer para optimizar sus recursos?
FUNCIONES LINEALES Uno de los aspectos más importantes de cualquier ciencia (administrativa, social, física, biológica, etc.) es el establecimiento de las correspondencias entre varios tipos de fenómenos. Una vez que se conoce la correspondencia, se pueden hacer análisis. Un químico puede usar la ley de los gases para analizar el comportamiento de cierto gas. Un ingeniero puede calcular el comportamiento de una viga que está bajo diferentes cargas. Un ingeniero en sistemas utiliza los algoritmos para ordenar datos de un programa. Un economista estudiara las tasas de interés, dada la tasa de cambio de una oferta de la moneda, estos son algunos ejemplos de las aplicaciones de las funciones. Cuando una ecuación o una gráfica establece una correspondencia donde sólo un valor de y corresponde a cada valor de x , a la correspondencia se le llama función. Como el valor de y depende del número x , y recibe el nombre de variable dependiente y x es la variable independiente. Por lo anterior definimos que: Una función es una regla de correspondencia que asocia a cada valor de la variable independiente con un único valor de la variable dependiente, donde se representa: y f x 174
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La notación y f x denota que la variable dependiente y es una función de x . Una función lineal es una función definida por una ecuación que puede escribirse en la forma: f x mx b
Donde m es la pendiente de la gráfica de recta y b es la ordenada al origen (intersección con el eje de las ordenadas). Considerando la ecuación lineal general con dos variables tenemos:
Ax By C 0 Despejando a la variable y . y
A C x B B
De esta forma una ecuación lineal con dos variables se transforma en una función tomando, de esta forma relacionamos los valores de la pendiente y la ordenada al origen: y f x , m
A C y b . B B
Recordando cómo se grafica una ecuación lineal donde calculamos los puntos de intersección con los ejes I x a,0 y I y 0,b , tomando y 0 y x 0 respectivamente. En una función se emplea una notación diferente, por lo que se tiene: -
El par de coordenadas x,y , por la definición de función pasa hacer x, f x .
-
La intersección con el eje de las abscisas se obtiene igualando con cero a la función f x 0 y obteniendo la solución de la ecuación resultante. La intersección con el eje de las ordenadas se obtiene evaluando la función con cero f 0 y calculando el valor numérico que resulte.
-
Ejemplo: Grafica las siguientes funciones. 1) f x 5 2x Solución:
f 0
f x 0
f 0 5 2 0 f 0 5 0
5 2x 0 2x 5 5 x 2 5 I x ,0 2
f 0 5
I y 0,5
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano y trazamos la recta que pasa por ellos. 175
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2) f x
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3 x 2
Solución:
f 0
f x 0
3 0 2 f 0 0
3 x 0 2 x 0
I y 0,0
I x 0,0
f 0
Observamos que es el mismo punto de intersección, como necesitamos otro para poder hacer el trazado de la recta, evaluamos en otro valor de x . f 2 3 2 2 f 2 3
f 2
A 2, 3
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano y trazamos la recta que pasa por ellos.
I. Ejercicios: Obtén la gráfica de las siguientes funciones, calculando los puntos de intersección con los ejes de coordenadas. 1. f x
1 x 2
2. f x x 4
3. f x
176
1 x 2 3
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4. f x 3x
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6. f x 5
5. f x 2 x
2 x 3
ECUACIONES CUADRÁTICAS Introducción: Hasta ahora hemos trabajado con modelos que dan lugar a ecuaciones de primer grado, pero no todos los problemas caen dentro de este rubro, varias veces nos encontraremos con problemas que generen ecuaciones de segundo o mayor grado, aquí nos enfocaremos a las de segundo grado, dándonos así nociones para resolver ecuaciones de mayor complejidad. Por la facilidad y exactitud, preferimos trabajar con números fraccionarios y resolver las ecuaciones ya sea por factorización o completando el trinomio cuadrado perfecto, con esto no queremos decir que la aplicación de la fórmula general no sirva o de resultados erróneos, simplemente es manejar herramientas conocidas de la secundaria y que además nos va a facilitar mucho nuestro recorrido en los siguientes semestres donde se vuelve prioritario el manejo de estas herramientas. Aspectos teóricos: Daremos un repaso a resolver ecuaciones de segundo grado utilizando los métodos de factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y la fórmula general, cabe mencionar, que a diferencia de la factorización, al trabajar con ecuaciones, se debe tener el cuidado de que todo lo que se haga de un lado de la ecuación, también se debe hacer del otro lado. Además, recuérdese, que toda ecuación en realidad implica la existencia de dos variables, una que es la variable independiente (datos) y otra que es la variable dependiente (resultados), y por lo tanto, la posibilidad de graficarla. En realidad lo que se esta haciendo al resolver una ecuación es encontrar la abscisa a la que le corresponde una ordenada. Quizá el orden de los pasos o manera que lo vamos a presentar no se parezca a los conocimientos que tienes, pero al revisar todo completo, te darás cuenta que es lo mismo. ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación cuadrática en la variable x , es una expresión algebraica que puede escribirse de la forma
ax 2 bx c 0 , donde a, b y c son constantes y a 0 Una ecuación cuadrática también se conoce como ecuación de segundo grado, debido a que la mayor potencia es la segunda. Toda ecuación cuadrática completa debe tener: 2 ax bx
0
c
Término
Término
Término
Cuadratico
Lineal
Independiente
Si no contienen el término lineal o el término independiente, se le conoce incompleta: 2 ax bx 0
Término Cuadratico 2 ax
Término Cuadratico
Término Lineal
c
0
Término Independiente
Por ejemplo: 4x 2 3x 2 0 Ecuación cuadrática completa. 177
como ecuación cuadrática
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3x 6 x 0 Ecuación cuadrática sin término independiente 2x 2 18 0 Ecuación cuadrática sin término lineal. 2
Es importante destacar que una ecuación cuadrática tiene dos posibles soluciones para la variable x , las cuales suelen llamarse raíces de la ecuación y éstas pueden ser dos raíces reales o no reales (complejas), o una sola raíz real. Para encontrar las raíces o soluciones de una ecuación cuadrática, se tienen tres métodos posibles que son: -
Factorización. Completar trinomio cuadrado perfecto (TCP). Formula general.
Se debe tener en cuenta que no todas las ecuaciones se pueden resolver factorizando, o completando el TCP, pero todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver aplicando la formula general. Para esto consideramos lo siguiente:
Para resolver una ecuación cuadrática se sugiere: - Ordenar en grado descendente e igualar con cero, teniendo en cuenta que el termino cuadrático siempre debe ser positivo ax 2 bx c 0 . - Se analiza la ecuación, para determinar si se le puede aplicar algunos de los métodos de factorización (trinomios cuadráticos, factor común o diferencia de cuadrados) y se procede a emplear el método más adecuado para su solución. - Si no se puede factorizar se emplea el método de completar trinomio cuadrado perfecto (TCP), si la ecuación es completa o sin término independiente. - En caso de ser sin termino lineal se despeja de la variable. - Se deben emplear las propiedades de valor absoluto y del factor cero. - En caso de que los valores de los coeficientes constantes ( a , b y c ) sean muy grandes o muy pequeños se aplica el método de formula general. - Se comprueban todos los valores obtenidos en la ecuación original. - Se obtiene el conjunto solución. Propiedades del valor absoluto. x1 k si x 0 x k x 2 k si x 0
x2 x
178
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Propiedad del factor cero. Si a y b son números reales, entonces:
Si ab 0 , entonces a 0 o b 0 . Método de completar TCP El método de completar el TCP se describe a continuación, puede parecer muy laborioso pero ya dominado cada uno de los pasos es más sencillo de aplicar.
Se acomoda en orden descendente, con el término cuadrático positivo e igualado a cero. Si a 1 , se divide entre este valor a ambos lados de la igualdad. Si es a 1 , esté paso se omite.
ax 2 bx c 0
ax 2 bx c 0 a a 2 ax bx c 0 a a a b c x2 x 0 a a b c c c x2 x 0 a a a a b c x2 x a a
b a 2 x2
Se despeja el término independiente al lado derecho de la igualdad.
Se toma el coeficiente constante del término lineal, se divide entre dos y se eleva al cuadrado.
2
2 b2 b 4a 2 2a
El valor obtenido se le suma a ambos lados de la igualdad, con esto se completa el TCP. Factorizamos el TCP del lado izquierdo y realizamos las operaciones aritméticas del lado derecho. Extrayendo raíz cuadrada a ambos la dos de la igualdad.
b b2 c b2 x a 4a 2 a 4a 2 2
b b 2 4ac x 2a 4a 2 2
b b 2 4ac x 2a 4a 2
x x1 x1
Aplicando las propiedades de valor absoluto.
b b 2 4ac 2a 2a
b b 2 4ac 2a 2a
x2
b b b 2 4ac b 2a 2a 2a 2a
x2
b b 2 4ac 2a 2a
b b b 2 4ac b 2a 2a 2a 2a
x1
b 2 4ac b 2a
x2
b 2 4ac b 2a
x1
b b 2 4ac 2a
x2
b b 2 4ac 2a
a x1 b x1 c 0 2
a x2 b x2 c 0 2
Sol. x1 , x 2
179
Despejando a la variable.
Acomodando términos Los valores obtenidos se comprueban en la ecuación original y si la igualdad se cumple se da el conjunto solución.
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Formula general. Observando los valores de x1 y x 2 , obtenidos con el proceso de completar el TCP, tenemos que: x1
b b 2 4ac b b 2 4ac y x2 2a 2a
Lo único que diferencia uno del otro es la operación que antecede al radical, por lo tanto, podemos unir ambos valores en una sola expresión.
x
b b 2 4ac 2a
La cual conoceremos como la formula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Para emplear esta fórmula, es importante recordar la jerarquía de operaciones que se establece en aritmética, para obtener el resultado correcto que satisfáce la ecuación. Ejemplos: Obtén el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas. 1. 2 x 2 11x 12 0
Solución: El trinomio 2 x 2 11x 12 no es TCP porque 2 x 2 y 12 no tienen raíz cuadrada entera. Por lo tanto, empleamos el método del trinomio cuadrático donde a 1. Buscamos una pareja de números que su producto sea 24 y su suma 11
2 x 2 11x 12 0 mn 2 12 14 m n 11 n mn 24 24 12 24 8 24 6 24 2x 2 3x 8x 12 0
m 1 2 3 4
m n 25 14 11 10
Al obtener las parejas que multiplicadas dan 24 , solo una de ellas nos da 11 , por lo tanto, m 3 y n 8 .
Factorizando.
11x
2x 2 3x 8x 12 0 x 2x 3 4 2x 3 0 2 x 3 x 4 0 2x1 3 0 x2 4 0
2x1 3 x1 2
x2 4
Propiedad del factor cero. Despejando las variables.
3 2
3 3 2 11 12 0 2 2 9 33 12 0 2 4 2 9 33 24 0 2 2 9 9 0 2
2 2 4 114 12 0 2 16 44 12 0 32 32 0
Comprobamos los valores obtenidos.
180
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0 0 2 0 0
La igualdad se cumple, por lo tanto el conjunto solución es:
0 0 Sol.
3 ,4 2
2. 4x 2 36 24x
Solución:
Ordenando en forma descendente, igualando con cero y con el termino cuadrático positivo. Comprobamos que es un trinomio cuadrado perfecto Factorizando.
4x 2 24x 36 0 2 4x 2 24x 36 2 0 2 2 x 6
2 x
6
2x 6 0 2
Extraer raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.
2x 6 2 0 2x 6 0 2x 6 0 2x 6 x 3 2 4 3 36 24 3 4 9 36 72 36 36 72
Aplicando la propiedad de valor absoluto. Despejando la variable. Comprobando
La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:
72 72 Sol. 3
3. 3 2 x x x 2
Solución:
Ordenando en forma descendente, igualando a cero y con el termino cuadrático positivo.
6 3x x 2 2 x 6 3x x 2 2x 0 x 2 5 x 6 0 1 x 2 5 x 6 0 1 x2 5x 6 0 2 x 2 5 x 6 0
x
mn 6 m n 5 n mn 6 6 3 6 x 3 x 2 0
m 1 2
m n 7 5
x1 3 0
x2 2 0
x1 3
x 2 2
3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 1 3 1
3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 0 2 0
Como 6 no tiene una raíz cuadrática entera el trinomio x 2 5 x 6 no es un TCP, y procedemos a utilizar el método del trinomio cuadrático donde a 1 . Buscamos una pareja de números donde su producto sea 6 y su suma 5 . Al obtener las parejas que multiplicadas dan 6 , solo una de ellas nos da 5 , por lo tanto m 2 y n 3 . Factorizando. Propiedad del factor cero. Despejando la variable.
181
Comprobando.
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3 3
La igualdad se cumple, por lo tanto el conjunto solución es:
0 0 Sol. 3, 2
4. x 2 7 x
Solución:
Ordenando en forma descendente, igualando a cero y con el termino cuadrático positivo. Factorizando el término común. Propiedad del factor cero.
x 2 7 x 0 x x 7 0
x1 0
x2 7 0 x2 7
0 7 0
7 7 7
0 0
49 49
Despejando la variable. Comprobando.
2
2
La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:
Sol. 0,7
5. 4x 2 49 0
Solución:
Se tiene una diferencia de cuadrados.
2 4x 2 49 2 0
2 x
7
2 x 7 2 x 7 0 2x1 7 0 2x 2 7 0 2x1 7 x1
Despejando las variables.
2x 2 7
7 2
x2
2
7 2
Comprobando.
2
7 4 49 0 2 49 4 49 0 4 49 49 0
7 4 49 0 2 49 4 49 0 4 49 49 0
0 0
0 0
Sol.
6. x
Factorizando Propiedad del factor cero.
7 7 , 2 2
La igualdad se cumple, por lo tanto el conjunto solución es:
4 4 x
Solución:
Ordenando en forma descendente, con el término cuadrático positivo e igualando a cero.
x 2 4 4x x 2 4x 4 0 2 x 4x 4 0
x
2
mn 4 m n 4
m 1 2
n 4 2
mn 4 4
m n 3 0
x 2 4x 4 182
El trinomio x 2 4x 4 no es un TCP porque no hay un número que elevado al cuadrado de 4 Buscamos una pareja de números que su producto sea -4 y su suma 4. Observamos que no existe tal pareja por lo tanto no puede factorizarse y utilizaremos el método de completar un TCP. Despejando el término independiente.
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Tomamos el coeficiente constante termino lineal, lo dividimos entre dos y se eleva al cuadrado. Sumamos el valor obtenido a ambos lados de la igualdad. Factorizamos el lado izquierdo y simplificamos le derecho. Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados
2
2 4 2 4 2
x 2 4x 4 4 4
x 2 2 8
x 2 2 8
Aplicando las propiedades de valor absoluto y simplificando el radical.
x2 2 2 x1 2 2 2
x2 2 2 2
x1 2 2 2
x1 2 2 2
4
2 2 2
4
2 1 2 2 2 2 2 4 1 2
2 2 2 2 2 2
4
Comprobando
2 1 2 2 2 2 2 4 1 2
2 4 1 2
2 2 2
1 2
2 4 4 2
2 2 2
4
2 2 2
Despejando las variables
2 2 2
1 2
2 4 2
2 4 1 2 1 2
2 4 4 2
2 2 2
1 2 6 4 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2
1 2
6 4 2
1 2 6 4 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2
6 6 2 4 2 8 1 2 22 2 2 2 2 1
6 6 2 4 2 8 1 2 22 2 2 2 2 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
Sol. 2 2 2 , 2 2 2
La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:
7. 2 x 2 4 x
Solución:
Ordenando en grado descendente, con el término cuadrático positivo e igualando a cero. Dividiendo ambos lados de la ecuación entre el valor del coeficiente cuadrático.
2x 2 x 4 0
2x2 x 4 0 2 2 2 2x x 4 0 2 2 2 1 x2 x 2 0 2 1 x2 x 2 2
1 2 2
Despejando el término independiente. Dividimos el valor del coeficiente del término lineal entre dos y lo elevamos al cuadrado.
2
2 1 1 4 16 183
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x2
Se suma el valor obtenido en ambos lados de la igualdad.
1 1 1 x 2 2 16 16
Factorizamos el TCP del lado izquierdo y simplificando el lado derecho de la igualdad. Se extrae la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.
2
1 33 x 4 16 2
1 33 x 4 16 x
Aplicando las propiedades de valor absoluto.
1 33 4 4
1 33 4 4 1 33 x1 4 4 1 33 x1 4
1 4 1 x2 4 1 x2
x1
33 4 33 4 33
x2
2
4
2
1 33 1 33 2 4 4 4 1 2 33 33 16 1 33 2 16 4
1 33 1 33 2 4 4 4 1 2 33 33 16 1 33 2 16 4
34 2 33 17 33 8 4
34 2 33 17 33 8 4
2 17 33 17 33 8 4
Despejamos la variable.
Comprobando
2 17 33 17 33 8 4
17 33 17 33 4 4
17 33 17 33 4 4 1 33 1 33 Sol. , 4 4
La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:
8. 3x 2 7 0
Solución:
No se puede factorizar como diferencia de cuadrados, porque 3 y 7 no tienen una raíz entera. Despejando la variable.
3x 2 7 0 3x 2 7 7 x2 3 x2
x x
21 3
Aplicando las propiedades de valor absoluto y simplificando el radical.
7 3
7 3 3 3
x x1
Extrayendo la raíz cuadrada de ambos lados.
7 3
21 3 x2
21 3
184
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO” 2
2
21 3 7 0 3 21 3 7 0 9 7 3 7 0 3 7 7 0
21 3 7 0 3 21 3 7 0 9 7 3 7 0 3 7 7 0
0 0
0 0
Comprobando
La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:
21 21 Sol. , 3 3
9. 4x 2 25 8 x 29
Solución:
m 2900 1450 725 145 29
4x 2 200 x 725 4x 2 200x 725 0 mn 4 725 2900 m n 200 n mn 2900 1 2 2900 2900 4 5 2900 25 2900
Ordenando en grado descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero. Buscamos dos parejas donde su producto sea 2900 y la suma -200
m n 2901 1452 729 150 54
2 4 200 725 x x 0 a
b
c
2 200 200 4 4 725 x 2 4
x
200 40000 11600 8 x
x
4 50 5 71 8 50 5 71 2 50 5 71 2 5 x 2 25 71 2 x2
2
Realizando las operaciones.
200 20 71 8
x 50 5 71 2 5 x1 25 71 2
Aplicamos el método fórmula general, porque al resolver este ejercicio por el método de completar TCP resulta laborioso. Sustituyendo en la fórmula general.
200 28400 8
x
x1
Observamos que ninguna pareja cumple con el requisito, por lo tanto no se puede factorizar y se emplea otro método.
5 5 4 25 71 25 8 25 71 29 2 2 25 4 625 125 71 71 25 200 20 71 29 4
Separando los dos valores
Comprobando: 2 5 5 4 25 71 25 8 25 71 29 2 2 25 4 625 125 71 71 25 200 20 71 29 4 185
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
1775 4 625 125 71 25 171 20 71 4
1775 4 625 125 71 25 171 20 71 4
2500 500 71 1775 4275 500 71
2500 500 71 1775 4275 500 71
4275 500 71 4275 500 71
4275 500 71 4275 500 71 La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:
Sol. 25
5 5 71,25 71 2 2
10. 0.3x 2 1.1x 0.7 0
Solución:
m 21 7
a
x
b
Buscamos dos parejas donde su producto sea -21 y la suma -11
m n 20 4
c
2 11 11 4 3 7 2 3
x
11 205 6
Observamos que ninguna pareja cumple con el requisito por lo tanto no se puede factorizar y analizamos otro método. Aplicamos el método fórmula general, porque para este ejercicio es laborioso el de completar TCP Sustituyendo en la fórmula general. Realizando las operaciones.
11 121 84 6
x x1
Transformando la ecuación a entera, ordenando en forma descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero.
3 2 11 7 x x 0 10 10 10 3x 2 11x 7 0 mn 3 7 21 m n 11 n mn 21 1 3 21 2 3 x 11x 7 0
11 205 6 x2
11 205 6
Separando los dos valores Comprobando:
2
2
11 205 11 205 0.3 1.1 0.7 0 6 6 3 121 22 205 205 11 11 205 7 0 10 36 6 10 10
11 205 11 205 0.3 1.1 0.7 0 6 6 3 121 22 205 205 11 11 205 7 0 10 36 6 10 10
121 11 205 41 121 11 205 7 0 120 60 24 60 60 10 121 205 242 84 0 120 0 0 120 0 0
121 11 205 41 121 11 205 7 0 120 60 24 60 60 10 121 205 242 84 0 120 0 0 120 0 0 La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:
11 205 11 205 Sol. , 6 6
Soluciones no reales de ecuaciones cuadráticas. 186
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
No todas las ecuaciones cuadráticas dan como resultado números reales, también hay soluciones no reales, las cuales pueden ser soluciones imaginarias o complejas. Para entender este tipo de soluciones, es preciso conocer el conjunto de los números imaginarios y los números complejos.
Números Imaginarios.- Es aquel número no real que se asocia con la unidad imaginaria i 1 ; donde cada número imaginario puede escribirse como bi , donde b es un número real e i la unidad imaginaria. Con la propiedad de i 2 1 . De lo anterior, se deduce que las raíz cuadrada de un numero negativo, se transforman en números imaginarios de la siguiente forma. 12 12 1
9 9 1
12 22 3 1
9 32 1
12 22 3 i
9 3i
12 2 3 i
Números Complejos.- El conjunto de los números complejos, es la unión de los conjuntos de números reales y los números imaginarios, escribiéndose de la forma: a bi
2 4i 4 3 15 i 1 i 3
Donde a y b son números reales y diferentes de cero a 0;b 0 e i la unidad imaginaria; siendo a la parte real y bi la parte imaginaria. El conjunto de los números complejos se denota por la letra . Imaginarios
Ejemplos: Obtén el conjunto solución de las siguientes ecuaciones. 1. 25 4x 2 0
Solución: 25 4x 2 0 4x 2 25 0 4x 2 25 25 x2 4 25 x2 4
Ordenando en grado descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero. Despejando a la variable
Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.
187
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Aplicando propiedades del valor absoluto y obteniendo el número imaginaria.
25 1 4
x
25 1 4 5 x i 2
x
x1
5 i 2
x2
2
5 i 2
Comprobando
2
5 25 4 i 0 2 25 2 25 4 i 0 4 25 25 1 0 25 25 0
5 25 4 i 0 2 25 2 25 4 i 0 4 25 25 1 0 25 25 0
0 0
0 0
Sol.
5 5 i, i 2 2
La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es: La ecuación tiene soluciones imaginarias.
2. x 2 4x 8 0
Solución: El trinomio x 2 4x 8 no es un TCP por que 8 no tiene raíz cuadrada entera, pero como a 1 , se verifica si se puede factorizar bajo este proceso. Se busca una pareja de números que su producto sea -4 y su suma 8. No existe tal pareja de números, por lo tanto procederemos a completar el trinomio cuadrado perfecto. Despejando el término independiente Dividiendo el coeficiente del término lineal entre dos y elevándolo al cuadrado.
2 x 2 4x 8 0
x
mn 8 m n 4 n mn 8 1 2 8 2 x 4x 8
m 8 4
m n 9 6
2
2 4 2 4 2
Sumando el valor obtenido a ambos lados de la igualdad. Factorizando del lado izquierdo y realizando las operaciones del lado derecho. Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad. Aplicando las propiedades de valor absoluto y se obtiene el numero imaginario.
x 2 4x 4 8 4
x 2 2 4
x 2 2 4 x 2 4 1 x 2 4 1 x 2 2i x1 2 2i
x 2 2 2i Despejando la variable.
x1 2 2i
x 2 2 2i
2 2i 4 2 2i 8 0 4 8i 4i 2 8 8i 8 0 4 4 1 0 4 4 0 0 0
2 2i 4 2 2i 8 0 4 8i 4i 2 8 8i 8 0 4 4 1 0 4 4 0 0 0
2
2
188
Comprobando
La igualdad se cumple Por lo tanto el conjunto solución es:
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Sol. 2 2i,2 2i
La ecuación tiene soluciones complejas.
3. 0.15 x 2 0.02 x 2
Solución:
Transformando la ecuación a entera, ordenando en forma descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero.
3 2 1 x 2 x 20 50 3 2 1 1 x x 20 50 25 3 2 1 1 x x 0 20 50 25 15 x 2 2 x 4 0 mn 15 4 60 m n 2 n mn 60 1 2 60 3 60 60 4 5 60 6 60
m 60 30 20 15 12 10
Buscamos una pareja de números que su producto sea -90 y su suma -2.
m n 61 32 23 19 17 16
2 15 2x 4 0 x a
x
b
2 2 2 4 15 4 2 15
x
2 236 30
x
2 236 1 30
x
2 2 59 1 30
x
Aplicando el método fórmula general, porque resolver este ejercicio por el método de completar TCP resulta laborioso. Sustituyendo en la fórmula general. Realizando las operaciones.
2 4 240 30
x
Obteniendo el número imaginario y simplificando el radical.
2 1 59 i 30
x x1
c
No existe una pareja que cumpla con los requisitos, por lo tanto, emplearemos otro método para su solución.
1 59 i 15
1 59 i 15 x2
1 59 i 15
Separamos los dos valores Comprobando:
2
2
1 59 i 1 59 i 2 0.15 0.02 15 15 2 3 1 2 59 i 59 i 1 1 59 i 2 20 225 50 15 1 2 59 i 59 1 1 1 59 i 30 1500 50 15
1 59 i 1 59 i 2 0.15 0.02 15 15 2 3 1 2 59 i 59 i 1 1 59 i 2 20 225 50 15 1 2 59 i 59 1 1 1 59 i 30 1500 50 15
189
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
1 2 59 i 59 1 59 i 29 1500 50 15
1 2 59 i 59 1 59 i 29 1500 50 15
2 59 i 58 59 i 29 1500 750
2 59 i 58 59 i 29 1500 750
2 59 i 29 59 i 29 1500 750
2 59 i 29 59 i 29 1500 750
59 i 29 59 i 29 750 750
59 i 29 59 i 29 750 750 La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es: La ecuación tiene soluciones complejas.
1 59 i 1 59 i Sol. , 15 15
Solución de ecuaciones reducibles a cuadráticas. Hay ecuaciones que no son cuadráticas pero pueden reducirse a cuadráticas, mediante manipulaciones algebraicas o aplicando cambios de variables. Ejemplos: Obtén el conjunto solución de las siguientes ecuaciones, realizando las manipulaciones necesarias para reducirlas a cuadráticas. 1. x 10 3x 5 10 0
Solución: Al analizar la ecuación tenemos que x10 x 5 , por lo tanto cambiamos a x 5 y para realizar la transformación. Ordenando en grado descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero. El trinomio y 2 3y 10 no es un TCP, por lo tanto, se verificara si se puede factorizar como un trinomio de la forma a 1 . Se busca una pareja de números que su producto sea -10 y su suma 3. Observamos que 5 y -2 cumplen con las condiciones, así que procedemos a factorizar. 2
x 10 3x 5 10 0
x 5 2 3x 5 10 0 y 2 3y 10 0
y 2 3y 10 0 2 y
mn 10 m n 3 m 10 5
m n 9 3
n mn 10 1 2 10 y 5 y 2 0
Factorizando.
y1 5 0 y1 5
y2 2 0 y2 2
x y1
x y2
5 1
Aplicando la propiedad de factor cero. Despejando la variable. Obtenidos los valores de y , ahora obtenemos los de x.
5 2
x15 5
x 25 2
x1 5 5
x2 5 2
x1 5 5
5 5
10
3 5 5 10 0 5
5 2
10
Comprobando los resultados obtenidos:
3 5 2 10 0 5
5 2 3 5 10 0 25 15 10 0
2 2 3 2 10 0 4 6 10 0
0 0
0 0
La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es: 190
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Sol. 5 5 , 5 2
2.
1 9 8 0 x6 x 3
Solución: 2
1 9 3 8 0 6 x x
Al analizar la ecuación tenemos que
2
1 1 3 9 3 8 0 x x
por lo tanto cambiamos a
1 1 , x6 x 3
1 w para realizar la x3
transformación. Ordenando en grado descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero. Resolvemos la ecuación completando el TCP Despejando el término independiente. Tomamos el coeficiente del término lineal, se divide entre dos y se eleva al cuadrado.
w 2 9w 8 0 w 2 9w 8 2
81 9 4 2 81 81 w 2 9w 8 4 4 2 9 32 81 w 2 4
Sumamos el valor obtenido a ambos lados de la igualdad. Factorizamos el TCP del lado izquierdo y realizamos las operaciones aritméticas del lado derecho.
2
9 49 w 2 4
Se extrae raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.
2
9 49 w 2 4 9 7 w 2 2
Se aplican las propiedades del valor absoluto.
9 7 2 2 16 w1 2 w1 8
9 7 2 2 2 w2 2 w2 1
Despejando la variable.
1 w1 x13
1 w2 x 23
Obteniendo los valores de x , sustituyendo el valor de w y despejando a x .
1 8 x13
1 1 x 23
1 8
x 23 1
w1
x13
1 3 x13 3 8 1 x1 2 1 9 8 0 6 3 1 1 2 2 1 9 8 0 1 1 64 8
w2
3
x 23 3 1
x 2 1
1
1
6
9
1
3
8 0
Comprobando.
1 9 8 0 1 1 1 9 8 0 191
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
64 72 8 0
Sol. 1,
3.
La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto solución es:
0 0
0 0 1 2
2x 5 x 2 5
Solución:
Se simplifica la ecuación y ordenando en grado descendente con el término cuadrático positivo e igualando a cero.
2x 5 x 2 5 2
2
2x 5 2 2x 5 x 2 x 2 5 3x 7 2 2x 5 x 2 5 2 2x 5 x 2 2 3x
2
2 2x 5 x 2 2 3x 4 2 x 5 x 2 4 12 x 9 x 2 8 x 2 36 x 40 4 12 x 9 x 2 x 2 24x 36 0 2 1x 24 x 36 0 2
a
x
b
Se aplica la formula general para la resolución de la ecuación. Sustituyendo en la fórmula
c
2 24 24 4 1 36 2 1
x
Realizando las operaciones.
24 576 144 2
x
24 720 2
x
24 12 5 2
x
2 12 6 5 2
x 12 6 5 x1 12 6 5
x 2 12 6 5
Separando los resultados obtenidos. Comprobación:
2 12 6 5 5 12 6 5 2 5
2 12 6 5 5 12 6 5 2 5
24 12 5 5 14 6 5 5
24 12 5 5 14 6 5 5
29 12 5 14 6 5 5
29 12 5 14 6 5
29 12 5 14 6 5 5
5 2
2
29 12 5 14 6 5
5 2
2
29 12 5 2 29 12 5 14 6 5 14 6 5 5
29 12 5 2 29 12 5 14 6 5 14 6 5 5
43 18 5 2 29 12 5 14 6 5 5
43 18 5 2 29 12 5 14 6 5 5
2 29 12 5 14 6 5 18 5 38
2
29 12 5 14 6 5
18 2
2 29 12 5 14 6 5 18 5 38
2
5 38
2
29 12 5 14 6 5
18 2
5 38
2
4 29 12 5 14 6 5 1620 1368 5 1444
4 29 12 5 14 6 5 1620 1368 5 1444
1624 1368 5 1440 3064 1368 5
1624 1368 5 1440 3064 1368 5
3064 1368 5 3064 1368 5
3064 1368 5 3064 1368 5 La igualdad se cumple, por lo tanto, el conjunto 192
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
solución es:
Sol. 12 6 5 ,12 6 5
I. Ejercicios: Obtén el conjunto solución de las siguientes ecuaciones, utilizando el método más apropiado para cada caso. 6 6 1 4 1. x 5 5 x 2. 9 2 0 3. x 2 4x 5 x 5 x x
2 1 x
4. 2x x 6 0
5. 9 x 2 49 0
6. 3x
7. x 2 4x 7 0 3 10. x 2 7 0 5 13. x 2 77 18x
8. 6x x 2 10 0
9. 121 x 2 0
11. 13 x 2 0
12. 4x 2 25 0
14. 1 3x 2 7
16.7 x 2 3x
17. x 2 x
19. 2x x 6 18 5x 8 7x 4 22. x 1 x 2
20.
2x 1 x 3 3
23.
2x 10 x 19 1
15. 0.5 x 2 0.2 x 0.07 0 1 18. x x 5 2 2 21. 15x 5 30x 15 9x x 3 5x 1 5x 1 24. x 1 x 7 x 7
2
PROBLEMAS DE APLICACIÓN No hay que perder el objetivo principal del curso, que es la problematización, cabe aclarar que el nivel matemático que se requiere para la solución de los problemas es el que ya se reviso, lo único que se va a explicar aquí va a ser el planteamiento, ya que a diferencia de los problemas aritméticos donde ya se conoce la fórmula y solo se debe sustituir; en los algebraicos, es necesario plantear la fórmula o modelo, auxiliándose de figuras.
Ejemplos: 2
1. Se cuenta con 40 m de pasto que se desean colocar alrededor de una estatua de base rectangular de 4 por 6 metros. Calcula el ancho uniforme que debe tener una franja de pasto alrededor de la estatua.
Solución: Se obtienen los datos del ejercicio y se realiza un dibujo. Datos: AP - Superficie de pasto 40 m 2 .
AE - Superficie de la estatua. AT - Superficie total. Dimensiones dela base de la estatua 4 6 m x - Ancho uniforme de la franja de pasto.
Del dibujo realizado, se observa que el área de la estatua, más el área del pasto da un área total cuyas dimensiones son:
193
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
AT AP AE 2 x 6 2x 4 40 4 6
Resolvemos la ecuación resultante aplicando lo aprendido con anterioridad. 4x 2 20 x 24 40 24 4x 2 20 x 40 x 2 5 x 10 25 25 x2 5 x 10 4 4 2 5 65 x 2 4 x x1
5 65 2 2
5 65 2 2
x2
5 65 2 2 x1 6.53
5 65 2 2
5 65 2 2 x 2 1.53
x1
x2
Como el valor calculado es una distancia, los valores negativos quedan descartados, por lo tanto, comprobamos que el valor positivo cumpla la igualdad. 5 5 65 65 2 6 2 4 40 4 6 2 2 2 2
5
65 6 5 65 4 40 24
1
65 1 65 64 1 65 64 64 64
5 65 Por lo tanto, el borde de pasto debe de medir m , que es aproximadamente 1.53 m 2 2
2. Las dimensiones de un cuadro son 25 por 15 cm. Si la pintura ocupa 102 cm ancho del borde del marco?
Solución: Se Obtienen los datos del ejercicio y se realiza un dibujo. Dimensiones del cuadro 25 15 cm . AP - Superficie de la pintura 102 cm 2 .
AM - Superficie del marco. AC - Superficie del marco. x - Ancho del borde del marco. 194
2
de área, ¿cuál es el
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Del dibujo se observa que obteniendo las dimensiones de la pintura, se calcula el margen del marco, por lo tanto:
AP 102 AP 25 2 x 15 2 x 25 2 x 15 2 x 102
Se resuelve la ecuación obtenida. 375 80 x 4x 2 102 4x 2 80 x 273 0 2 80 80 4 4 273 x 2 4
x
80 6400 4368 8 x
80 2032 8
x
80 4 127 8
x
4 20 127 8
x
20 127 2
20 127 2 x1 4.36
20 127 2 x 2 15.63
x1
x2
Descartamos x 2 porque la dimensión obtenida es mayor a la dimensión del cuadro, por lo que queda comprobar que x1 cumpla la igualdad de la ecuación. 20 127 25 2 2
5
20 127 15 2 2
127 5 127 102 25 127 102 102 102
102
Por lo tanto el marco mide aproximadamente 4.36 cm . I. Ejercicios: 1.- El número D de diagonales de un polígono convexo de n lados está dado por D = (1/2) n (n – 3). ¿Cuántos lados tiene un polígono con 35 diagonales?
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2.- Un cable de 10 metros de longitud, se utiliza para sostener a una antena; si la distancia de la base de la antena, al punto donde se fijó a la antena, es la misma distancia de la base de la antena al punto donde se fijó al piso. Calcula la altura de la antena si el cable se fija 2 metros abajo de la parte más alta de ella. 3.- La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es 110, ¿cuáles son esos números? 4.- Encuentra tres enteros consecutivos tales que el cuadrado del tercero menos el cuadrado del primero es igual al doble del cuadrado del segundo. 5.- Dos hombres parten de un punto y caminan formando un ángulo recto; la velocidad de uno es 1 km./hr. mayor que la del otro. Después de una hora, la distancia entre ellos es de 5 km.; calcula la velocidad de cada hombre. 6.- Calcula el lado de un cuadrado, cuya diagonal es 5 cm. mayor que uno de los lados. 7.- Una de las dimensiones de un cuadrado se incrementa en 2 unidades, produciendo una figura que tiene 120 cm2 de área. Calcula las dimensiones de la figura original. 8.- Si la longitud de un lado de un cuadrado se aumenta en 4 m., el área del cuadrado se vuelve 9 veces mayor que el área inicial. ¿Cuál era el perímetro del cuadrado inicial? 9.- Un rectángulo tiene de largo 10 unidades más que el ancho con una superficie de 600 cm2. Calcula el perímetro. 10.- El área de un rectángulo es de 228 cm2; calcula el perímetro si el ancho es 7 unidades menor que el largo. 11.- Calcula el perímetro del rectángulo cuyo lado mayor es cinco unidades menor que el doble del lado menor, y su área es de 375 cm2. 12.- Calcula el perímetro de un rectángulo cuyo ancho es 6 unidades menor que el largo y tiene una superficie de 85 cm2. 13.- Un rectángulo tiene de largo 4 unidades más que el triple de su ancho y una superficie de 480 cm2, calcula el perímetro del mismo. 14.- Calcula el perímetro de un rectángulo que tiene un área de 500 cm2 y: a) Su largo es el cuádruplo de su ancho. b) Su ancho es la tercera parte de su largo. c) Su largo es 7 unidades más grande que el triple del ancho. d) Su ancho es 5 unidades mayor que la cuarta parte de su largo. 15.- Se quiere construir una alberca que tenga una superficie de 500 m2 y que su ancho sea la mitad de lo que mide el largo, alrededor de la alberca se quiere poner un pasillo de ancho uniforme de 2.5 metros. Calcula la superficie del pasillo. 16.- Se cuenta con 31 m2 de pasto que se desean colocar alrededor de una estatua de base rectangular de 3 por 8 metros. Calcula el ancho uniforme que debe tener una franja de pasto alrededor de la estatua. 17.- Una pintura tiene un marco de 20 por 12 cm. Si la pintura ocupa 84 cm2 de área, ¿cuál es el ancho del borde del marco? 18.- En una hoja se quiere hacer un dibujo de tal forma que alrededor de él y entre el borde de la hoja quede un espacio de 3 cm. de ancho uniforme, calcula las dimensiones de la hoja y del dibujo si sabe que el largo de la hoja es 3 veces el ancho y la superficie del dibujo es de 400cm2.
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19.- Una mujer quiere usar la cuarta parte de su patio rectangular que mide 4.8 por 10 m., para sembrar un jardín. Calcula con cuántos metros de malla de alambre lo debe cercar, si pretende que el largo del jardín sea 4m. mayor que su ancho? 20.- En un terreno cuyo ancho es la tercera parte del largo, se planea construir un edificio de tal forma que alrededor de él y entre el borde del terreno, quede un espacio de 12 m de ancho uniforme para áreas verdes, calcula la superficie que ocupara el edificio si la superficie del terreno es de 3,468 m2. 21.- Alrededor de una cancha de fútbol se desea dejar un espacio libre de 15m. de ancho uniforme para colocar gradas. Calcula las dimensiones del terreno así como la superficie destinada para gradas, si la cancha debe tener un ancho que sea la mitad del largo y tanto la cancha como gradas deben estar en un terreno de 11,900 m2. 22.- A una habitación de forma cuadrada se le quiere poner loseta en el piso, de tal forma que al rededor quede de color negro con 50 cm de ancho uniforme y en el parte interna de color blanco. Calcula las dimensiones del cuarto y la superficie que cubrió la loseta blanca, si la loseta negra cubrió una superficie de 25 m2. 23.- Un terreno cuyo largo era 20 unidades mayor al ancho, lo modifican en sus dimensiones para permitir que una calle principal pase por el frente y una secundaria por un costado, de tal forma que el largo se va disminuido en un 10% y el ancho en 4 unidades, quedando con una superficie de 360 m2, ¿Cuantos metros cuadrados le quitaron y que porcentaje representa del terreno original? 24.- Un artista va a pintar un mural de 60m2 en una pared que mide 18m. de largo por 11m. de alto. ¿Cuáles serían las dimensiones del mural, si se pretende dejar alrededor del mural, un borde de ancho uniforme? 25.- Un salón de recepciones tiene forma cuadrada y se quiere colocar en el centro un tapete cuadrado dejando un pasillo alrededor de 2m. de ancho. Se sabe que el área del tapete mide 80m2 menos que el área del salón. ¿Cuánto mide el lado del salón? 26.- Alrededor de un transformador de alta potencia se acostumbra dejar una franja amarilla de ancho uniforme para avisar que no deben de pisar esa zona, de acuerdo a la potencia se sabe que la franja debe de ser de un ancho de un metro. Calcula las dimensiones del transformador si su largo es el triple del ancho, y el área que se pintó de amarillo es de l5 m2. 27.- Se desea construir una alberca que tenga una superficie de 240 m2 y que su ancho excede en 2 metros a la tercera parte de su largo. Alrededor de la alberca se quiere construir un pasillo con un ancho uniforme de 4 m. Calcula la superficie del pasillo. 28.- Alrededor de una alberca que tiene un largo que es el doble de su ancho, se quiere poner un pasillo que tenga una superficie de 220 m2. con un ancho uniforme. Calcula este ancho si el terreno que incluye a la alberca y al pasillo tiene una superficie de 558 m2. 29.- Alrededor de un mesa de 8m2, se deja una franja libre de 1.5 m. de ancho uniforme, para colocar sillas y permitir un movimiento libre para las personas; la mesa y la franja, ocupan un espacio que tiene de ancho la tercera parte del largo. Calcula las dimensiones de la mesa y el área de la franja libre. 30.- Dentro de un terreno de 1,675 m2 se construye una casa con un ancho que equivale a la tercera parte de su largo y con una franja de jardín de 2 m. de ancho uniforma entre ala casa y el borde del terreno. Calcula las dimensiones de la casa.
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FUNCIONES CUADRÀTICAS Introducción: Supón que una empresa de televisión por cable proporciona el servicio actualmente a 500 clientes, cobrando una renta mensual de $200.00. Un estudio de mercado indica que cada disminución de $10.00, en la tarifa mensual dará como resultado 50 clientes nuevos, la siguiente tabla muestra el ingreso mensual que obtendrá la compañía al hacer disminuciones a la tarifa de 10 en 10 pesos cada vez, así como el correspondiente incremento en el número de clientes de 50 en 50 por cada vez que se haya incrementado la tarifa, a partir de la tarifa y número del cliente actual. No. Veces 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Variación ingresos + 4500 + 3500 + 2500 + 1500 + 500 – 500 – 1500 – 2500 – 3500 – 4500 – 5500 – 6500 – 7500 – 8500 – 9500 – 10500 – 11500 – 12500 – 13500 – 14500
en
los
(Tarifa) $ 200 200 – 10 = 190 200 – 2(10) = 180 200 – 3(10) = 170 200 – 4(10) = 160 200 – 5(10) = 150 200 – 6(10) = 140 200 – 7(10) = 130 200 – 8(10) = 120 200 – 9(10) = 110 200 – 10(10) = 100 200 – 11(10) = 90 200 – 12(10) = 80 200 – 13(10) = 70 200 – 14(10) = 60 200 – 15(10) = 50 200 – 16(10) = 40 200 – 17(10) = 30 200 – 18(10) = 20 200 – 19(10) = 10 200 – 20(10) = 0
Ingresos 100,000 104,500 108,000 110,500 112,000 112,500 112,000 110,500 108,000 104,500 100,000 94,500 88,000 80,500 72,000 62,500 52,000 40,500 28,000 14,500 0
(No. Clientes) 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
50 = 550 2(50) = 600 3(50) = 650 4(50) = 700 5(50) = 750 6(50) = 800 7(50) = 850 8(50) = 900 9(50) = 950 10(50) = 1000 11(50) = 1050 12(50) = 1100 13(50) = 1150 14(50) = 1200 15(50) = 1250 16(50) = 1300 17(50) = 1350 18(50) = 1400 19(50) = 1450 20(50) = 1500
De los resultados de la tabla, se observa que mientras la tarifa va disminuyendo cada vez diez pesos, el número de clientes va aumentando de 50 en 50 personas, en tanto que el ingreso se va incrementando ó aumentando de manera no constante. El ingreso se va incrementando de la 1ª a la 5ª vez que se disminuye la tarifa, para posteriormente disminuir hasta anularse. Los incrementos y los decrementos ó disminuciones del ingreso que denominamos diferencias, no son constantes, esto es las diferencias cada vez son menos que el anterior (1ª a 5ª) y en las disminuciones del ingreso, las diferencias son mayores cada vez (5ª a 20ª ) Desechándose la posibilidad de que el ingreso siga un modelo de comportamiento lineal ó en línea recta. Si denotas con n el número de veces como se van dando las disminuciones de la tarifa que son las mismas veces como se va incrementando el número de clientes e I representa el ingreso, es posible identificar el siguiente patrón de comportamiento del ingreso: I = (200 – 10 n ) (500 + 50 n ) Al efectuar el producto tenemos: 2
I = – 500 n + 5000 n + 100000
(1)
En este caso I es una variable dependiente, puesto que el ingreso dependerá de las veces ( n ), como se dan los incrementos o decrementos entonces a n la denominaremos variable independiente. 198
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Es usual que la variable independiente la representemos con la letra x y la dependiente con la letra y ; sí las Constantes en el inciso anterior: – 500, 5000 y 100000 las representaremos como a, b y c respectivamente. La expresión (1) que representa la función en general sería:
f x = a x 2 + b x + c Si representas en un sistema de referencia cartesiano los puntos que tienen por abscisas el número de veces como se van dando los cambios en la tarifa y la cantidad de personas y, como ordenadas el ingreso, al trazar una línea entre los puntos obtendrás la gráfica de la función cuadrática para o n 20 también conocida como parábola (vertical).
f x puede escribirse en su forma general como f x ax bx c Donde a, b y c son constantes y a 0 (1)
Una función f es una función cuadrática si y solo si 2
f x se lee “ f de x ” o “ f en x ”. La " y " se puede denotar como f x , esto es y f x , lo cual significa que f x depende de los valores asignados en la variable x , " " o lo que es lo mismo y depende de los valores asignados en la variable x . 2 La gráfica de una función cuadrática y f x ax bx c se llama parábola y su forma se asemeja a la Recordemos que en la notación de función
de las curvas de las siguientes figuras
Gráfica 1. a 0 , abre hacia arriba. Gráfica 2. a 0 , abre hacia abajo. Si a 0 , la gráfica de la función cuadrática se extiende hacia arriba de manera indefinida, (ver figura 1), se dice que la parábola abre hacia arriba. 199
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Si a 0 , la gráfica de la función cuadrática se extiende hacia abajo de manera indefinida, (ver figura 2), se dice que la parábola abre hacia abajo. Una parábola es simétrica con respecto a una recta vertical, que se llama eje de simetría, el cual corta a la parábola en un punto llamado vértice. Si a 0 , el vértice es el punto más bajo de la gráfica de la función (parábola). Si a 0 , el vértice es el punto más alto de la gráfica de la función (parábola). Para graficar la parábola de una función cuadrática en un plano cartesiano, se realizan manipulaciones algebraicas sobre ax bx c , lo que se conoce como completar el trinomio cuadrado perfecto en factorizamos para expresar la función cuadrática como 2
f x a ( x h) 2 k a 0
x y lo
(2)
Donde h, k corresponde a las coordenadas del vértice de la parábola, denotado por vh, k . Existen otros puntos característicos, expresados en coordenadas, al momentos de graficar una parábola, los cuales son "
"
"
"
las intersecciones o cruces con los ejes de coordenadas x y y . "
"
Para encontrar las raíces de la función o los puntos de intersección en el eje x , asignamos a la ordenada y f x 0 , lo cual produce en la función cuadrática, una ecuación cuadrática dada en su forma general
ax 2 bx c 0 Esta ecuación cuadrática se resuelve por alguno de los métodos ya estudiados, para la variable x , la solución de esta ecuación corresponde a tres situaciones posibles (ver gráfica 3) suponiendo que la parábola abre hacia arriba
Gráfica 3. Posibles soluciones de una parábola que abre hacia arriba.
200
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Si la parábola abre hacia abajo (ver gráfica 4), entonces
Gráfica 4. Posibles soluciones de una parábola que abre hacia abajo.
f 0 .
Considerando x 0 , encontramos los puntos de intersección en el eje y , esto es, encontrar "
"
"
"
Una vez obtenida la coordenada del vértice y de los puntos de intersección con lo ejes x y generar el esbozo de la gráfica de una función cuadrática.
"
"
y , es posible
A diferencia de la gráfica de otras curvas, ésta representa a una función ya que satisface el criterio de la línea vertical. Criterio de la línea vertical: cualquier curva o conjunto de puntos en el plano, corresponde a la gráfica de una función, si cualquier línea vertical que se trace intersecta a la gráfica de la función, en exactamente un punto. Ejemplo1. Gráfica la función cuadrática f x x 6 x 5 2
Al analizar la función propuesta, se observa que el coeficiente del térmico cuadrático es la unidad, esto es a 1 , este valor cumple con el criterio de a 0 , por lo que la parábola abre hacia arriba. Dado que el coeficiente del término cuadrático es la unidad, comenzamos a manipular algebraicamente
ax 2 bx c , para completar el trinomio cuadrado perfecto y llevar la función propuesta al formato de la función (2) de este apartado, esto es 2
2
6 6 f x x 2 6 x 5 2 2 2 f x x 6 x 9 9 5 Una vez completo el trinomio cuadrado perfecto, los tres primeros términos a la derecha de la igualdad pueden ser factorizados y representados como un binomio al cuadrado y los últimos dos números simplemente los sumamos aritméticamente, obteniendo
f x x 3 4 2
(3)
Éste último formato, ya es más parecido al formato de la función (2), de este apartado, ahora entonces obtenemos las coordenadas del vértice del formato de la función (3), el cual corresponde al par ordenado 201
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v3,4 , el cual corresponde al punto más bajo de la gráfica de la función, puesto que como sabemos la parábola del ejemplo 1, abre hacia arriba ( a 0 ). Después de encontrar el vértice de la parábola será " " " " indispensable localizar los puntos de intersección con los ejes x y y . "
"
Primeramente encontraremos las raíces de la función o los puntos de intersección con el eje x , para lo
f x 0 para la función f x x 2 6 x 5
cual se sabe que la ordenada es igual a cero, esto es, propuesta en el ejemplo 1, obteniendo
0 x 2 6 x 5 o bien
x 2 6x 5 0
Justo en este momento nos encontramos con una ecuación cuadrática, la cual tendrá que ser resuelta con alguno de los métodos estudiados anteriormente (factorización, Completar el trinomio cuadrado perfecto), para dar solución a la variable x usaremos el método de factorización obteniendo
x 2 6x 5 0
x 5x 1 0 Haciendo uso del principio de productos cero, tenemos
x 1 0
y
x 5 0
x1 1 Las cuales son soluciones para la variable
x2 5
x de la ecuación, estos valores satisfacen la ecuación cuando la
f x 0 ), por lo tanto tienen que ser escritos como coordenadas, pues corresponden a los puntos de intersección con el eje x , los cuales corresponden a las coordenadas A1,0 y B5,0 . ordenada es igual a cero, (
Para encontrar la intersección con el eje y , se sabe que la abscisa es igual a cero, esto es, x 0 para "
"
la función f x x 6 x 5 propuesta en el ejemplo 1, obteniendo 2
f 0 0 60 5 2
f 0 5
El valor, y f 0 5 corresponde a la ordenada, cuando la abscisa vale cero, es decir x 0 el cual tiene que ser escrito como coordenada, pues corresponden al punto de intersección con el eje y , el cual corresponde al punto
C 0,5 .
Una vez obtenidos el vértice
v3,4 , las intersecciones con el eje " x " A1,0 y B5,0 , la intersección con el
y " C 0,5 , localizamos las coordenadas en el plano cartesiano, para esbozar la gráfica de la función f x x 2 6 x 5 , del ejemplo 1, (ver gráfica 5)
eje
"
202
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Gráfica 5. Gráfica de la función cuadrática f x x 6 x 5 . 2
Ejemplo 2. Gráfica la función cuadrática
f x x2 5x
25 4
Al analizar la función propuesta en el ejemplo 2, se observa que el coeficiente del térmico cuadrático es 1 , esto es a 1 , este valor cumple con el criterio de a 0 , por lo que la parábola abre hacia abajo. Dado que el coeficiente del término cuadrático es distinto a la unidad, se procede a factorizarlo, para posteriormente manipular algebraicamente y completar el trinomio cuadrado perfecto, hasta llevar la función propuesta al formato de la función (2) de este apartado, esto es:
f x x2 5x
25 4
f x x2 5x
Ecuación cuadrática a resolver.
25 4
Factorizando el coeficiente del término cuadrático y el término lineal.
25 25 25 f x x2 5x 4 4 4
5 f x x 2
Sumando
25 para completar el cuadrado dentro del 4
paréntesis y de la misma forma fuera de éste.
2
La transformación está completa
5 , 0 , el cual 2
De éste último formato, obtenemos las coordenadas del vértice, cuyo par ordenado es v
corresponde al punto más alto o valor máximo de la función, además ( a 0 ) y con este análisis se concluye que la parábola del ejemplo 2 abre hacia abajo. Ahora será indispensable localizar los puntos de "
"
"
"
intersección con los ejes x y y para realizar el bosquejo de la gráfica de la función. "
"
Primeramente se obtiene la intersección con el eje x , para lo cual se sabe que la ordenada es igual a cero, esto es
f x 0 para la función f x x 2 5 x
203
25 propuesta en el ejemplo 2, obteniendo: 4
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x2 5x
25 0 4
Justo en este momento nos encontramos con una ecuación cuadrática, la cual tendrá que ser resuelta con alguno de los métodos estudiados anteriormente (factorización, Completar el trinomio cuadrado perfecto o fórmula general), para dar solución a la ecuación cuadrática en la variable x usaremos el método de Completar el trinomio cuadrado perfecto, obteniendo
x2 5x
25 0 4
x2 5x
Ecuación cuadrática a resolver.
25 4
Se elimina el término independiente del primer miembro de la ecuación.
Como el coeficiente del término cuadrático debe ser la unidad, dividimos los dos miembros de la ecuación, entre el coeficiente del término cuadrático.
25 x2 5x 4 1 1
2
25 5 5 x 5x 4 2 2
2
Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando a los dos miembros de la ecuación, el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal.
2
2
5 x 0 2 x
5 0 2 x
5 2
El primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, al que debemos factorizar como el cuadrado de un binomio; el segundo miembro lo sumamos.
Aplicar la propiedad de la raíz cuadrada.
"
Despejando la variable x
"
El valor obtenido satisface la ecuación cuando la ordenada es igual a cero, ( f x 0 ), por lo tanto, debe ser escrito como coordenada, pues corresponde a los puntos de intersección con el eje x , los cuales
5 ,0 2
corresponden a A
204
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Para encontrar la intersección con el eje y , se sabe que la abscisa es igual a cero, esto es, x 0 para "
la función f x x 5 x 2
"
25 propuesta en el ejemplo 2, obteniendo 4
f 0 0 5 0 2
f 0
25 4
25 4
25 corresponde a la ordenada cuando la abscisa es igual a cero, es decir x 0 , la 4 25 " " coordenada B 0, corresponden al punto de intersección con el eje y . 4 El valor y f 0
5 5 , 0 , el punto de intersección con el eje " x " A , 0 , el punto de 2 2 25 " " intersección con el eje y B 0, , se localizan estas coordenadas en el plano cartesiano, para esbozar 4 25 2 (ver gráfica 6). la gráfica de la función del ejemplo 2, f x x 5 x 4
Una vez obtenido el vértice v
Gráfica 6. Gráfica de la función cuadrática f x x 5 x 2
25 4
Ejemplo 3. Gráfica la función cuadrática f x x 4 x 8 2
Al analizar la función propuesta, se observa que el coeficiente del térmico cuadrático es la unidad, esto es a 1 , este valor cumple con el criterio de a 0 , por lo que la parábola abre hacia arriba.
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Dado que el coeficiente del término cuadrático es la unidad, comenzamos a manipular algebraicamente
ax 2 bx c , para completar el trinomio cuadrado perfecto y llevar la función propuesta al formato de la función (2) de este apartado, esto es 2
2
4 4 f x x 4 x 8 2 2 f x x 2 4 x 4 4 8 2
Una vez completo el trinomio cuadrado perfecto, los tres primeros términos a la derecha de la igualdad pueden ser factorizados y representados como un binomio al cuadrado y los últimos dos números simplemente se suman aritméticamente, obteniendo
f x x 2 4 2
(4)
Éste último formato, ya es más parecido al formato de la función (2), de este apartado, entonces se puede obtener las coordenadas del vértice del formato de la función (4), el cual corresponde al par ordenado v 2,4 , que es el punto más bajo de la gráfica de la función, puesto que como sabemos la parábola del ejemplo 3, abre hacia arriba ( a 0 ). Después de encontrar el vértice de la parábola será indispensable "
"
"
"
localizar los puntos de intersección con los ejes x y y . "
"
Primeramente las raíces de la función o los puntos de intersección con el eje x , para lo cual se sabe
f x 0 para la función f x x 2 4 x 8 propuesta en el
que la ordenada es igual a cero, esto es, ejemplo 3, obteniendo
0 x 2 4 x 8 o bien
x2 4x 8 0
Justo en este momento se tiene una ecuación cuadrática, la cual tendrá que ser resuelta con alguno de los métodos estudiados anteriormente (factorización, Completar el trinomio cuadrado perfecto), para dar solución a la variable x usaremos el método de completar el TCP, obteniendo
x2 4x 8 0 x 2 4x 4 8 4 x 2 2 4
x 2 2 4 x 2 4 1 x 2 4 1 x 2 2i Por lo tanto,
x1 2 2i
x 2 2 2i
Las cuales son soluciones complejas para la variable intercepta al eje x .
x de la ecuación, por lo que se concluye que no
Para encontrar la intersección con el eje y , se sabe que la abscisa es igual a cero, esto es, x 0 para "
"
la función f x x 4 x 8 propuesta en el ejemplo 1, obteniendo 2
f 0 0 40 8 2
f 0 8
206
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El valor, y f 0 8 corresponde a la ordenada, cuando la abscisa vale cero, es decir x 0 , el cual tiene que ser escrito como coordenada, pues corresponde al punto de intersección con el eje y , el cual corresponde al punto
C 0,8 .
Una vez obtenido el vértice v 2,4 , la no intersecciones con el eje x , la intersección con el eje y C 0,8 , localizamos las coordenadas en el plano cartesiano, para esbozar la gráfica de la función "
"
"
"
f x x 2 4 x 8 , del ejemplo 3, (ver gráfica 7).
Gráfica 7. Gráfica de la función cuadrática f x x 4 x 8 2
Ejercicios: Grafica las siguientes ecuaciones cuadráticas. 1. f x 5 x 2 . 4. f x 2 x 2 3x .
1 x2 . 4 5. f x 26 x 2 10 x .
2. f x x
3. f x x 2 . 6. f x 5 x x 2 .
FACTORIZACIÓN POR EVALUACIÓN Recordemos que una función f es polinomial cuando f x es un polinomio de grado n es decir, si
f x an x n an 1x n 1 an 2 x n 2 ... a1x a 0 Donde an ,an 1...a 0 son números reales con a 0 0 , y n es un entero no negativo. En esta sección dividiremos los polinomios entre expresiones lineales de la forma x r , donde r es un número real.
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CECyT No. 16 “HIDALGO”
TEOREMA 1 Si P x es un polinomio y
r
es un número real, entonces, cuando P x se divide entre x r , se obtiene
como cociente un polinomio único Q x y como residuo un número real R , de manera que para todos los valores de x ,
P x x r Q x R 3 2 Ejemplo 1. Dividir 3x 2x 3x 8 entre x 2 .
3x 2 8x 13 x 2 3x 3 2x 2 3x 8 3x 3 6 x 2
8 x 2 3x 8x 2 16x
13x 8 13x 26 34 2 En la división anterior se tiene como cociente 3x 8x 13 , y residuo 34. Por lo que se puede representar como:
3x 3 2x 2 3x 8 x 2 3x 2 8x 13 34 Se hará uso de la división sintética ya estudiada, pero antes se menciona el teorema del residuo y el teorema del factor. TEOREMA DEL RESIDUO Si P x es un polinomio y r es un número real, entonces P x dividido entre x r , produce un residuo
P r . Demostración. De acuerdo con el teorema 1, cuando un polinomio P x se divide entre x r , se obtiene un polinomio Q x como cociente y un número real R como residuo, de tal modo que para todos los valores de x ,
P x x r Q x R Puesto que está ecuación es una identidad, se satisface cuando
x r
, de manera que
P r r r Q r R P r 0 R P r R Con lo que se demuestra el teorema. Ejemplo 2. De la división del ejemplo 1, obtener el residuo haciendo uso del teorema del factor.
208
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Dado que P x 3x 2x 3x 8 se divide entre x 2 , el residuo es P 2 , es decir: 3
2
P x 3x 3 2x 2 3x 8
P 2 3 2 2 2 3 2 8 3
2
P 2 24 8 6 8 P 2 34 Por lo que se observa que el residuo obtenido, es el mismo que al efectuar la división del ejemplo 1. Existe un teorema, que se llama teorema del factor, que sirve para determinar el factor de un polinomio si el residuo de cierta división es cero. TEOREMA DEL FACTOR Si P x es un polinomio y r es un número real, entonces P x tiene a x r como factor si y sólo si
P r 0 . Ejemplo 3.Demostrar que x 4 es un factor de 2x 3 6x 2 5x 12 Dado que P x 2x 3 6x 2 5x 12 , entonces
P 4 2 4 6 4 5 4 12 3
2
P 4 2 64 6 16 20 12 P 4 128 96 32 P 4 0 Dado que P 4 0 y de acuerdo al teorema del factor, x 4 es un factor de P x . Ejemplo 4.Determinar si
x 1 es un factor de
5x 4 x 3 4x 2 6x 10
Dado que P x 5x 4 x 3 4x 2 6x 10 , aplicando el teorema del factor, x 1 o bien, x 1 es un factor de P x sólo si P 1 0 .
P 1 5 1 1 4 1 6 1 10 4
3
2
P 1 5 1 1 4 1 6 10 P 1 4 Puesto que P 1 0 , x 1 no es factor de P x . DIVISIÓN SINTÉTICA Para factorizar un polinomio de la forma an x n an 1x n 1 an 2 x n 2 ... a1x a 0 , se hace uso del teorema del residuo y el teorema del factor el cual incluyen la división de un polinomio entre una expresión lineal de la forma x r . Para simplificar el cálculo de este tipo de operación, se usa el procedimiento de división sintética. 3 2 Ejemplo 5. Factorizar el polinomio x 2x 7x 4 .
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CECyT No. 16 “HIDALGO”
Si P x x 2x 7x 4 , se buscan los divisores del término independiente, es decir de 4 , los cales 3
2
son 1, 1, 2, 2, 4 y 4 y se utiliza el teorema del factor, evaluando el polinomio en estos números. P 1 1 2 1 7 1 4 12 3
2
P 1 1 2 1 7 1 4 0 3
2
P 2 2 2 2 7 2 4 18 3
2
P 2 2 2 2 7 2 4 6 3
2
P 4 4 2 4 7 4 4 0 3
2
P 4 4 2 4 7 4 4 72 3
2
Así que 1 y 4 son las únicas raíces enteras de x 3 2x 2 7x 4 , por simplicidad siempre se toma el primer dato que al ser evaluado en el polinomio de cómo resultado cero, es decir, con el P 1 0 . Con este número se desarrolla la división sintética.
2 1
7 3
4 4
1 3
4
0
1
1 ,
ya que
1
Por lo tanto x 1 es factor de P x por consiguiente:
x 3 2x 2 7x 4 x 2 3x 4 x 1 0 x 3 2x 2 7x 4 x 2 3x 4 x 1
2 Como x 3x 4 aún se puede factorizar, se tiene:
x 3 2x 2 7x 4 x 4 x 1 x 1 3 2 Nota: Observe que el número 4 como una de las raíces enteras de x 2x 7x 4 , se encuentra como factor de dicho polinomio. 4 3 2 Ejemplo 6. Factorizar el polinomio x 4x x 16x 12 .
Si P x x 4 4x 3 x 2 16x 12 y los divisores de término independiente son: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6,12 y 12 evaluando el polinomio en estos números, se tiene:
P 1 1 4 1 1 16 1 12 0 4
Así que
1
3
2
4 3 2 es raíz entera de x 4x x 16x 12 es decir, con el
número se desarrolla la división sintética.
4 1
1 3
16 4
12 12
1 3
4
12
0
1
210
1
1
resulta que P 1 0 . Con este
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Por lo tanto x 1 es factor de P x por consiguiente:
x 4 4x 3 x 2 16x 12 x 1 x 3 3x 2 4x 12
Se buscan los divisores para el término independiente del factor
x
3
3x 2 4x 12 , los cuales
son1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6,12 y 12 evaluando estos números se tiene:
P 1 1 3 1 4 1 12 6 3
2
P 1 1 3 1 4 1 12 12 3
2
P 2 2 3 2 4 2 12 0 3
2
3 2 Así que 2 es raíz entera de x 3x 4x 12 puesto que P 2 0 . Con este número se desarrolla la
división sintética para el nuevo polinomio.
1 1
3
4
12
2
2
12
1
6
0
2
Por lo tanto x 2 es también un factor de P x , teniendo ahora:
x 4 4x 3 x 2 16x 12 x 1 x 2 x 2 x 6
2 Debido a que el factor x x 6 sigue siendo factorizable, se tiene que, la factorización total esta dada
por:
x 4 4x 3 x 2 16x 12 x 1 x 2 x 3 x 2 EJERCICIOS. Factorizar los siguientes polinomios. 3 2 1. 5x x 5x 1
x 3 7x 6 3 2 3. x 5x 4x 20 3 2 4. x 6x 6x 5 5 4 3 2 5. x x 6x 13x 13x 6 2.
RESULTADOS INTRODUCCIÓN A LOS POLINOMIOS. Ejercicio I. a) M, b) T, c) M, d) T, e) T y f) M. Ejercicio II. a) P, b) P, c) M, d) P, e) M, f) P y g) M.
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Ejercicio III. a) 1.4x 2 1 b) xyz 3
Coeficiente constante 1.4 1 3
Grado absoluto 2°
Grado relativo x 2
3°
x 1 , y 1 y z 1
c) 3 a
3
1°
a 1
5
1 5
5°
r 5
5 9
3°
y 3
3 4
6°
x 2 , y y 4
r 5 5y 3 e) 9
d)
f)
3 x 2 y4 4
Ejercicio IV. a) a rz 8r z 4z 9a r 3
4
2
2
5 4
Grado absoluto 9°
Grado relativo a 5 , r 4 y z 4
3°
c) 3x y 25y 6 x 7
5°
t 3 x 3 y y 3
d) a 3 3 a 2b a 4b 3 ab5 10
7°
a 4 y b 5
5°
u 3 y w 4
4°
a 2 y b 4
3 2 b) 5 t 6t 7 t 3
2
3
2
1 e) w 2 u 3 + u 3 w 2 8w4 3 2 2 3 4 f) 4 a b 5 ab + b Ejercicio V. 3 a) -2 x 3 , 3 x , 8 y , 5 x 3 . 2 b) 7 xy w ,
c)
7 xy 2 w 2 , 6 x 2 yw , 14 xy 2 w 2 .
3 3 xy 2 , 3 2 y 2 x , 6 y 2 x 2 , 3 x 2 y
d) w , x; 3 w , wx 2 2 2 e) ab c , a 2 bc , 3 b 2 ac , 3 a bc
f)
1 2 a b , 5 b 2 , 6 b 2 , 2 a 2 b 3
Ejercicio VI. a) 3a 2
2 b) 3x
1 c) a b a 3
g) 0.125k 0.05l
h) D x
2
x 1 f) x y 2 P 2 x 4 3y j) A y x 4
n) 5Y 6 Y 110
k) 1 2n 2n 1 2n 1
2
3 x 4 l) X
o) KA 30 K B
212
d)
x y 2y
e)
a b b 2
i) T 0.75V 0.45W 1 4 2 X X X 3 9 9
m) M
1 M 0.15 M 8
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POLINOMIOS Suma y Resta. Ejercicio I. a) 4a 2 a 3
b) y 2 3x 2 y 2 y 3
d) 2 x 3 9 xy 5
e) 3m 2 2n n 2 6m 10
Ejercicios II. 1. a 3b
2. 5 x y
3. 4a 3b c
4. 11t 5w 2z
5. 6 pq 5 p 3q
6. a 6b 7ab 5
7. 4t w 9
8.
Ejercicio III. 1. a) 2x 4 7x 3y 3x 2y 2 9xy 3 3y 4
5 3 a 2b 6 5
b) 4x 4 4x 3y 5x 2y 2 8xy 3 9y 4 e) 2x 4 x 3y
d) 2x 4 5 x 3y 9x 2y 2 12xy 3 12y 4
c) 4a 2 a 2
c) 2x 4 3x 3y 4x 2y 2 5xy 3 6y 4
1 2 2 11 3 x y xy 2 2
2. a) 4x 3 21x 2 9x 5 29 3 3 2 49 x x 6x 2 2 2 3. x 4 x 2y 2 11xy 3 11y 4
d)
b) 4x 3 21x 2 9x 5
c)
23 3 35 2 44 79 x x x 3 3 3 3
e) 24x 3 10x 2 15x 13
4. 4xy 3 3x 3 4y 2 3xy x 6 5. 3x 4 2x 3y x 2y 2 9xy 3 5y 4 Multiplicación y División. Ejercicio I. a. 24a 3b 9c 12 c. 8m 3n 4 12m 4n 5 20m 5n 5 e. y 4 5y 3 2y 2 8y g. 2x 2y 7xy 2 3y 3 4x 2 14xy 6y 2
3 8 5 9 x y w 20 d. 10a 5b 4c 15a 2b 5c 20a 2b 3c 4 f. 2z 4 5wz 3 4w 2 z 2 10w 3 z 3w 4 h. a 4 4a 3 a 2 8a 4
b.
i. 3m 8 12m 7n 2 m 6n 5 27m 4n 3 5m 7n 3 35m 5n 8 45m 3n 6 j. 18r 8s 2t 4 30r 6s 5t 2 27r 5s 8t 9 45r 3s11t 7 3r 2t 12 5s 3t 10 3r 2s 9t 4 5s12t 2 1 8 8 15 1 l. 3y 2 k. x 4 2 x 3 x 2 8x y 2 3 3 4 3 Ejercicio II. 4 a. ab 4 3 c. yz 4x 2 3xz
b. 3b 2y
e. x 3 x 2 x 4 2x 2 3x 1 4
f. a 3 5a 2 a 2 a 5
d. 4ab 2 a 2c 3b 3c 5
g. m 2 3m 2 6m 8 34m 18
h. 4x 2 2xy y 2 2x y
i. y 2 by b 2 2b 3y b 4
j. 2x 3y 3x 2 4xy 12y 2 213
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Ejercicio III. a. x 2 x 2 x 2 1
b. y 3 y 3 y 4
c. t 4 5t 2 14t 56 239
d. w 5 w 3 2w 5w 6 40
e. p 1 p 7 p 6 p 5 p 4 2 p 3 2 p 2 2 p 2
f. m 2 m 4 2m 3 4m 2 8m 16
g. x 3 x 2 3x 10
h. a 4 3a 2 16a 63 244 j. y 2 4y 2 13y 15 10
i. n 3 n 3 6n 2 11n 6
FACTORIZACIÓN Termino Común. Ejercicio I. 1. c); 2. b); 3. c); 4. b); 5. a). Ejercicio II. 1. 4x 2 x 3 3x 5 3. 4mn m 3 2n 4mn 5. a 1 a 2 a 1
2. 3ab a 2 b 2 2ab 4 4. x y x y 2 6. r s 4x 3y
7. x y x 2 y x 2 y 2
8. v w 8x 3y 1
Factorización por agrupamiento. ¿Es posible otro agrupamiento? Completa la tabla de factoriza:
Grupo 3ax 2cx 3ay 2cy
Factor común x y
4c 6a
-2
3ax 3ay 4c 2cx 2yc 6a
Factorización 3a 2c 3a 2c 3a 2c
x 3ax 2cx y 3ay 2cy 2 4c 6a
x 3a 2c y 3a 2c 2 3a 2c Factor común
3ax 3ay 4c 2cx 2yc 6a 3a 2c
Factor común
x y 2
Ejercicio I. 1. a); 2. b); 3. a); 4. c); 5. b). Ejercicio II. 1. 2x 7a x y
2. x 3 x 2 2y 4. 2x y w x 1
3. ab 3 b 2 1 5. n 2m 8 c d
6. 2a 5b 3a 2c
Binomios Conjugados y Diferencias de Cuadrados. Ejercicio I.
AB
A B 214
A2 B 2
Factor común
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x 3x x 3 y3
x 3x x3 y3
x 9x x6 y6
2x 4 2w 2z 1 x 2y 6
2x 4 2w 2z 1 x 2y 6
4x 2 16 4w 2 4z 2 1 x 4y12
x 4y 3 z 5 9
x 4y 3 z 5 9
x 8y 6 z 10 81
2
Ejercicio II. 1) 25y 4 9 x 2
4
2) x 8 y 8
4) 49 x y 4x y 2
2
2
4
5) x y 4
4
2
3) 4b 2 9a 4 6) 4y 4 81y 6
4
Ejercicio III.
A
A2 B 2
2
B
A B A B
2
4a 4 x 6 36b 2y 4
2a 2 x 6by
x 4 y2
x 2 2 y 2
2a 2 x 3 6by 2 2a 2 x 3 6by 2 x 2 y x 2 y
16 9y 2
4 2 3y 2
4 3y 4 3y
y 8 49
y
y 4 7 y 4 7
3 2
4 2
2
2
xy
2 2
2
2
c d
x y
r s
2
2
a 1 b
b2
x 2y 4 w 1
1 b
7
10a 2b 2 910a 2b 2 9
10a 2b 2 2 9 2
102 a 4b 4 81
a 1
2 2
a 1 b a 1 b
2
w 1
1 b c d
2
1 b c d 1 b c d
x y r s
2
x y r s x y r s
2
2
2
2
xy 2 w 1 xy 2 w 1
2
Ejercicio IV. 1) x 8 1 x 4 1 x 2 1 x 1 x 1
2) 9 x 4 3 x 2 3 x 2
4) 4 p 2 25 2 p 5 2 p 5
3) 4a 4 b 2 2a 2 b 2a 2 b
Producto de Binomios y Trinomios de la Forma ax 2 bx c
Multiplicación de binomios con un término común. Ejercicio I. 1) 10 6) 2 Ejercicio II. x m x n
y 5 y 12 w 8 w 2 t 9t 7 x 5 x 8 a 9a 10
2) 16 7) 5
3) 6 8) -7
4) -4 9) -14
5) -10 10) -120
x2
m n
m n x
mn
x 2 m n x mn
y2
5 12
7y
5 12
y 2 7y 60
8 2
6w
8 2
w 2 6w 16
9 7
2t
9 7
t 2 2t 63
5 8
13x
5 8
x 2 13x 40
9 10
19a
9 10
a 2 19a 90
y 2 t 2 x 2 a 2
215
EDICIÓN 2013
y h
CECyT No. 16 “HIDALGO”
2
1 y 2 6
3
4 h 3 3
y h
n 6 n 4
n
2 2
1 6
5y 2
1 6
y 4 5y 2 6
3 2
4 3
h 3
4 3
h 6 h 3 12
6 4
2n
6 4
n 2 2n 24
2
Ejercicio III. 1) y 2 2y 15
2) x 2 10x 9 5) x 4 y 6 10 x 2 y 3 25
4) x 2 y 4 17 xy 2 72
3) a 4 11a 2 30 6) a 2 18a 81
Multiplicación de binomios sin término común. Ejercicio I. 1) 10
2) -28
3) -28
Ejercicio II. 1) 6 x 2 11x 3 4) 12 x 2 67 x 90
4) -7
2) 2w 2 11w 12 5) 49 x 2 42 x 9
5) -2 3) 10 x 2 4x 6 6) 4x 4 12x 2 9
Cuadrado de un binomio. Ejercicio I.
a b
3x
2
2
a
b
a2
b2
2ab
a 2 2ab b 2
3x 2
4y 3
9 x4
16y6
24x 2 y 3
9 x 4 24x 2 y 3 16y 6
9w
2y
81w 2
4y 2
36yw
81w 2 36yw 4y 2
7 x2
3x
49 x 4
9x2
42 x 3
49 x 4 42 x 3 9 x 2
2
xy
3
x 2y2
9
6 xy
x 2 y 2 6 xy 9
y2
x 2
y 2
x4
y4
2x 2 y 2
x 4 2 x 2y 2 y4
2x 2 y 3
3x 3 y 2
4x 4 y 6
9 x6 y4
12 x 5 y 5
4x 4 y 6 12 x 5 y 5 9 x 6 y 4
x 4
y4
x8
y8
2 x 4 y 4
x 8 2 x 4 y 4 y8
1
x 2y2
1
x 4y4
2 x 2 y 2
1 2 x 2 y 2 x 4y4
4y 3
9w 2y
2
7x
2
2
3x
xy 3
x
2
2
2
2x y 3x y x y 1 x y 2
3
3
2 2
4 2
4
2
2 2
Ejercicio II. 1) x 4 2 x 3 3x 2 2 x 1 3) x 4 y 2 4x 2 y 4 x 2 y 2 4x 3 y 3 2 x 3 y 2 4x 2 y 3
2) 9 x 6 24x 4 18 x 3 16 x 2 24x 9 4) a 6 b6 c 6 2a 3 b 3 2a 3 c 3 2b 3c 3
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Ejercicio I. a 2 2ab b 2
a
b
a b
9 x 2 6x 1
3x
1
3x 12
4x 2 12xy 9y 2
2x
3y
2x 3y
16a 2 40ab 25b 2
4a
5b
4a 5b 2
49w 2 28wr 4r 2
7w
2r
16a 2 72ab 81b 2
4a
9b
7 w 2r 2 4a 9b 2
216
2
2
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
100h 2 140hk 49k 2
10h
7k
10h 7 k 2
x 2 4y 2 4xy
x
2y
x 2y
w 4 81t 2 18w 2t
w2
9t
w2 9t 2
2
Factorización de trinomios de la forma a 1 x 2 bx c . Ejercicio I. 1) 5
2) -2
3) -9
4) -8
5) -9
6) 6
Ejercicio II. 1) a 9 a 8
2) y 6 y 2
3) x 5 x 2
4) p 12 p 3
5) x 15 x 5
6) x 12 x 11
Factorización de trinomios cuadráticos a 1 ax 2 bx c . Ejercicio I. ax 2 bx c pq p q p q ax 2 px qx c
Agrupamiento
6x 2 13x 6 36 13 9 4
2x 2 5x 2 4 5 4 1
4x 2 30x 26 104 30 4 26
6x 2 9x 4x 6
2x 2 4x x 2
4x 2 4x 26x 26
6x
2
9x 4x 6
2x
2
4x x 2
4x 2 4x 26x 26
Factor común por grupos Factorización
3x 2x 3 2 2x 3
2x x 2 x 2
4x x 1 26 x 1
3x 2 2x 4
x 2 2x 1
4x 26 x 1
ax 2 bx c pq p q p q
9x 2 12x 5 45 12 15 3
3x 2 5 x 2 6 5 6 1
15x 2 19x 6 90 19 10 9
ax 2 px qx c
9x 2 15x 3x 5
3x 2 6x x 2
15x 2 10x 9x 6
Agrupamiento Factor común por grupos Factorización
9x 2 15x 3x 5
3x 2 6x x 2
15x 2 10x 9x 6
3x 3x 5 1 3x 5
3x x 2 1 x 2
5x 3x 2 3 3x 2
3x 5 3x 1
3x 1 x 2
3x 2 5x 3
Ejercicio II. 1) 3x 1 2x 3
2) 4y 13y 5
3) 4w 2 3 2w 2 1
4) 3x 5 x 2
5) x y 3x y
6) 2x 3y x 3y
7) a 4b 4a 3b
8) 4v 3w v 3w
Ejercicio III. 1) Irreducible. 5) 5a 2 3a 4
2) 2 x 3 3x 2
2 3) 2 x 1 7) Irreducible.
4) a 7 a 10 8) x 7 x 6
11) y 3
12) 2b 7 b 2
15) Irreducible.
16) y 5 4y 3
9) Irreducible.
6) 7 4w 10) y 8 y 5
13) w 4 w 3
2 14) 5 t
2
2
217
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Suma y Resta De Cubos. Ejercicio I. 1) x 3 1
2) y 3 125
3) 27b9 8a 6
4) 8 p 3 27 q 3
5) x 9 y 3 8w6
6) t 9 64
Ejercicio II. a 3 b3
a 3
b 3
8 x3
2 3
x 3
1 27y 3
13
3y
125w 3 64r 6
5w 3
4r 2 3
216 p 3 343
6 p
7 3
6 p 7 36 p 2 42 p 49
729m 9 w 6
9m 3 3
w 2 3
9m 3 w2 81m6 9m 3 w2 w4
1000x 6 y12
10x 2 3
y 4
3
a b a 2 ab b 2 2 x 4 2x x 2
1 3y 1 3y 9y 2
3
5w 4r 2 25w2 20r 2 w 16r 2
10 x 2 y 4 100 x 4 10x 2 y 4 y 8
3
Cubos de Binomio y Polinomios que son Cubos Perfectos. Ejercicio I. 1) x 6 6 x 5 12 x 4 8 x 3 3) y 6 9 x 2 y 4 27 x 4 y 2 27 x 6
2) x 3 y 3 3x 4 y 3x 5 y x 6 4) 64a 3b6 96a 4 b5 48a 5 b 4 8a 6 b 3
5) 8 x y 36 x y 54x y 27 x y 6
9
7
8
8
7
9
6
Ejercicio II. 3 1) a 1
3) 2x 2 7 y 3
3
3 2) 5a 3b
4) 4 w 2
3
3 5) ab 6
Factorización por Evaluación Ejercicio I. 1) x 4 x 2 5 x 1 4) x 1 x 3 x 2 7) x 1 x 2 2 x 3 5 x 2
2) x 2 5 x 2 x 6 5) x 1 x 1 x 3 2x 3 8) x 2 x 3 2 x 5
3) x 3 2 x 13x 1 6) x 5 x 2 x 1
Combinación de Casos Ejercicio I. 1. c; 2. b); 3. d); 4. a); 5. d); 6. a); 7. d); 8. b); 9. c) y 10. d). Ejercicio II. 1) 3a x 1 x 1
2) a x 7 x 4
4) 5a a 1 a 2 a 1
5) n 2 9 n 3 n 3
7) a b 4 a b 4
8) 1 my 1 y 1 y
3) x 2 x 2 x 2 1 6) x y w 2 x y w 2 9) a b c a b c
10) x x 2 1 x 1 x 1
11) x y x 2 xy y 2 x y
12) 1 a 4 1 a 2 1 a 1 a
13) a 1a 1 a 2 a 1a 2 a 1 14) a b a b 17) 1 a x 1 a x 16) a a 1a 3 a 3 2
218
15) a a 2 a 1a 1 18) 1 a 3n 1 a 3n
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
Mínimo Común Múltiplo de dos o más Polinomios Ejercicio I. 1) 60a 3b 2 c 4
2) 600 x 4 y 3 z
5) x 2 x 1 x 3 8) y 1 2y 1 2y 1
6) x 2 x 1 x 1 x 2 1
4) x 2 x 2y x 2y
2
3) 2240a 2 b 2 c 4
7) x 2 x 2 x 3 x 2 2x 4
FRACCIONES ALGEBRAICAS Conceptos. Ejercicio I. 1) 5 x 3 5 x 2 6 x 4
1 x 1
2) x 3 6 x 2 4x 10
x 8 x 2 x 1
3) 5 x 3 5 x 2 6 x 4
Ejercicio II. 1. d), 2. b), 3. a), 4. a), 5. c), 6. d), 7. c), 8. b) Propiedades. Ejercicio I. 1a 1) a 4 5)
a b c b
Ejercicio II. 32y 1) 8 xy 16y
2)
x3 y3
a 2 b 2 c2 a b 7) a b
3)
x2 x 1 xy 8) 2 w z
4)
6)
yx x2
2)
b a a b
3)
27a 2 x 2 y 2 45abxy 4
4)
7 a 2 b 3c 3 12a 2 bc 4
3x 2 4xy 4y 2 9 x 2 6 xy y 2
7)
a 2 b2 a 3 b3
8)
a 2 4a 5 a 2 a 20
2q 3r 2 3 p 2 x7
4)
x y 1
7)
c 3 c 2
8)
x 4 2x
12)
5)
2c 3 d 4 3c 4 d 5
6)
9)
x3 8x2 8x 8 x 3 4x 2 4x
10)
1 t 5
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES Ejercicio I. 1. c), 2. a), 3. b), 4. c), 5. b), 6. c). Ejercicio II. 2y 1) 3x 5) 9)
a b 3
9b 2 16a 2 c 2 2xy 6) x y
2)
3)
x 2 xy y 2 x y
10)
a 1 a 3
11)
x y x y
x a b x a b
14)
x 2 x 1 x 12
15)
3y x 3y 2 x
13)
219
x y a x y a
1 x 1
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OPERACIONES CON FRACCIONES RACIONALES Adición y Sustracción. Ejercicio I. 2a 4b 13 1) 15 Ejercicio II. x 3 x 2 x 1 1) x 2 1 Ejercicio III. b 1. 20 4.
1 x 1
7.
2x 3 2 x 1
10.
2 x 2 y2 x x y x y
2)
x 1 x
3)
2)
5 x 2 2 x 13 x2 9
2x 2 x y
2.
4)
3)
4 a 2
yx x xy y 2 2
2a 2 b 2 a b 2
3.
1 x y
5.
3 r 2 r 8 r 5 r 12
6.
12 x 2 17 x 8 3 x 2 x 1
8.
u 7 u 3 u 1
9.
69a 8 a 1a 4 a 2
3)
x 4 2x 3
6)
1 a 3 a 1
3)
3x x 2 x 5
6)
2 x 2y x 2y x 3y x 2y
11.
2 3x 2 7 x 7 2x 1 x 3 x 2
Multiplicación y División. Ejercicio I. 2bcx 1) ay 4
2)
4)
3x 4 2 x 9 x 3 2 6 x 1 x 1 x 36
5)
7)
x 1 x 3 x 3
8)
Ejercicio II. a 7 1) a 5 4) 3x 4y 7)
m n
10)
x x2 2
Ejercicio III. x 2 2 x 1 1) x 2 1
2) 5)
2 a 1 3 a 5 x 1 y 1
x 1 y 1
x 5y x 6y x 2y
20aby 2 3cw 3 4y 3 y 5 4y 5 3y 1
y 2 y 2 5y 2
2
x y2 xy
a 12 9) a 3 a 5
2
8)
4x 3y
2
11)
2)
2 16 x 2 12xy 9y 2
4xy x y2
3)
2
220
y 2 x y
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CECyT No. 16 “HIDALGO”
4) x y
5)
2a 1a b
6)
1 x y
Ejercicio IV. 1. c), 2. b), 3. c), 4. a), 5. c), 6. a), 7. c), 8. c), 9. a), 10. a), 11. c) y 12. b).
ECUACIONES LINEALES Ejercicio I. 1. sol. = 6 6. sol. = 66 11. sol. = 16. sol. = 9
2. sol. = 2 7 7. sol. = 10 5 12. sol. = 4 39 17. sol. = 8
3. sol. = 3 53 8. sol. = 7
4. sol. = 3 8 9. sol. = 5
1 13. sol. = 2
14. sol. = 2
18. sol. =
19. sol. = 2,2
5. sol. = 10. sol. = 2 15. sol. = 9 20. sol. =
Aplicación de ecuaciones lineales. Ejercicio I. 1. R: 23, 24, 25. 4. R: 165, 155, 178. 7. R: 23, 43 y 28. 10. R: 120, 60, 40. 13. R: 121 cm. 16. R: Si lo alcanza. 19. R: 48 km./hr. 22. R: 7/6 lt. 25. R: 8/3 lt. 28. R 8.
2. R: 25, 16, 20. 5. R: 55, 60, 87. 8. R: 37, 41, 45. 11. R: 12, 10, 4; $78.20. 14. R: 35 y 50 km/hr. 17. R: No escapa. 20. R: 0.86. 23. R: 10 lt. 26. R: 2/31 lt. 29. R: 3.75 lt.
3. R: 27, 52, 65. 6. R: 16, 12, 5. 9. R: $253. 12. R: 19/2 m. 15. R: 392 y 304 km. 18. R: 29 km./hr. 21. R: 15 lt. 24. R: 55/13 lt. 27. R: 21/160 lt. 30. R:1.56 lt.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método gráfico. Ejercicio I. 1. Sol.= 4,2
2. Sol.=
3. Sol.= x, x 4
4. Sol.= x,3x 3
5. Sol.= 4,3
6. Sol.= 221
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CECyT No. 16 “HIDALGO”
Método de determinantes. Ejercicio I. 1. R 29
2. R 50
3. R 28
4. R 7
Ejercicio II. 1. R 7
2. R 44
3. R 171
4. R 847
Misceláneos. Ejercicio I. 1. Sol.= 3,1
2 7 2. Sol.= x, x 10 5
3 2 3. Sol.= , 4 5
6 9 5. Sol.= x, x 5 5
6. Sol.= 7 , 3
7. Sol.=
9. Sol.=
53 89 10. Sol.= , 23 92
11. Sol.= 2,1
24 225 13. Sol.= , 34 17
14. Sol.=
15. Sol.= x,2 x 4
16. Sol.= 3,2
17. Sol.= 2,4,5
18. Sol.= 8, 5 , 2
1 19. Sol.= ,3,5 2
39 125 17 20. Sol.= , , 16 2 8
4. Sol.= 5 5 8. Sol.= , 21 28 9 1 12. Sol.= x, x 2 6
Resolución de sistemas numéricos de dos ecuaciones enteras con dos incógnitas. Ejercicio I. 1. Sol.= 4,9
48 56 2. Sol.= , 181 181
26 148 3. Sol.= , 29 29
Ecuaciones simultáneas con incógnitas en los denominadores Ejercicio I. 33 44 2. Sol.= , 4 19
1. Sol.= 2,3 Problemas de aplicación. Ejercicio I. 1. 69 y 81
2. $2 y $
12 5
3. 28 y 10 222
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640 80 y 9 9 7. R: 5950/11 y 3400/11 gr.
5. 18 y 11
6. R: 37 y 14.
8. R: 97 y 92 km./hr.
10. R: 10 sacos y 20 abrigos
11. R: 40y 60.
9. R: 16 y 9. 53 135 12. y . 188 188
4.
13.
15 45 y . 2 2
14.
67 27 y . 20 20
15. 26 y 47.
ECUACIONES CUADRATICAS. Ejercicio I. 1. sol. 6 ,5
4. sol. 2,
3 2
1 3 7 7 5. sol. , 3 3
2. sol.
3. sol.
5 2
6. sol. 1,
2 3
7. sol. 2 3 i, 2 3 i
8. sol. 3 i,3 i
9. sol. 11,11
105 105 10. sol. , 3 3
11. sol. 13 , 13
12. sol.
13. sol. 7 ,11
2 6 2 6 14. sol. i, i 3 3
2 3 2 2 3 2 15. sol. , 10 10 5 3 3 5 3 3 18. sol. , 2 2 21 1641 21 1641 21. sol. , 30 30 11 2 73 11 2 73 24. sol. , 9 9
16. sol.
3 ,0 7
19. sol. 3 3 2 ,3 3 2
22. sol. 4,
5 2
17. sol. 0,1 20. sol. 1 23. sol. 12 2 30
5 5 i, i 2 2
Problemas de aplicación. Ejercicio I. 1. R: 10. 4. R: 1, 2 y 3. 7. R: 10 por 10 cm. 10. R: 62 cm. 13. R: 104 cm.
2. R: 9.07 m. 5. R: 4 y 3. 8. R: 2 m. 11. R: 80 cm. 14. R: 111.8, 103.2, 108.36, 99.56.
16. R: 1.15 m.
17. R: 3 cm.
19. 22. 25. 28.
20. R: 780m2. 23. R: 181.29 m2, 33.49 %. 26. R: 33/8 por 11/8 m. 29. R: 0.9, 8.7, 37.9.
R: R: R: R:
16m. 13 por 13, 144 m2. 12 m. 2.5 m.
223
3. R: 5, 6 y 7. 6. R: 12.07 cm. 9. R: 100 cm. 12. R: 38.78 cm. 15. R: 262.17 m2. 18. R: 15.71 X 47.15 cm. y 9.71 X 41.15 cm. 21. R:140 por 85 m. y 5,850 m2. 24. R: 8 y 15m. 27. R: 336 m2. 30. R: 63 y 21 m.
EDICIÓN 2013
CECyT No. 16 “HIDALGO”
BIBLIOGRAFIA
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