ÁLGEBRA ABSTRACTA I SOLUCIÓN CUARTO EXAMEN PARCIAL Prof. Javier Díaz 1. De…na lo siguiente: (a) Una categoría es una clase C de objetos (denotados A ; B ; C ; : : :) junto junto con (i) una clase de conjuntos disjuntos, denotados hom(A; hom(A; B ), uno para cada par de objetos en C ; un elemento elemento f 2 hom hom (A; B) es llamado un mor…smo de A a B y es denotado f : A ! A ! B B ; (ii) para cada tripleta (A;B;C ( A;B;C ) de objetos de C una función hom(B; hom(B; C ) hom(A; hom(A; B ) ! hom(A; hom(A; C ); para mor…smos f : A ! B; g : B ! C , esta función es escrita (g; f ) f ) ! g f f y g f : A ! A ! C C es llamado el compuesto de f y g ; todos sujetos a los dos axiomas: (I) Asociatividad: si f : A ! B; g : B ! C; h : C ! D son mor…smos de C , entonces h (g f ) = (h g ) f . (II) Identidad: para cada objeto B de C existe existe un mor…smo 1B : B ! B ! B B tal que para cualquier f : A ! A ! B B;; g : B : B ! ! C C , 1B f = f y g 1B = g: (b) Sean C una una categoría y fAi j i j i 2 2 I I g g una familia de objetos de C . Un producto para la familia fAi j i j i 2 2 I I g g es un objeto P de junto con una familia de mor…smos f C junto f i : P : P ! A i j i j i 2 2 I I g g tal que para cualquier otro objeto B de C y y familia de mor…smos f'i : B : B ! ! A A i j i j i 2 2 I I gg, existe un único mor…smo ' : B ! P tal que i ' = ' = ' i para todo i 2 i 2 I I . (c) Sea F un objeto en una categoría concreta C ; X un un con junto junto no vacío vacío e i : X ! F un mapeo de conjuntos. El objeto F es libre sobre el conjunto X suponiendo que para cualquier objeto A de C y mapeo (de conjuntos) f : X ! A, existe un único mor…smo de C ; f : F ! A, tal que f i = f (como un mapeo de conjuntos X ! A). (d) Sea X un conjunto y Y un conjunto de palabras (reducidas) sobre X . Un grupo G se dice que es el grupo de…nido por los generadores x 2 y las relaciones w = x 2 X X y w = e e ( (w w 2 Y 2 Y )) suponiendo que G = F =N , donde F es el grupo libre sobre X y N es el subgrupo normal de F generado por Y . Se dice que hX h X j Y i Y i es una presentación de G . Si ambos X; Y son …nitos decimos que G es …nitamente presentado. (e) Una base de un grupo abeliano F es un subconjunto X de F tal que 1
2
(i) F = hX i; (ii) Para x 1 ; x2 ; : : : ; xk 2 X distintas y n i 2 Z n1 x1 + n2 x2 + + nk xk = 0 ) ni = 0 para cada i:
2. Si f : A ! B es una equivalencia en una categoría C y g : B ! A un mor…smo tal que g f = 1 A ; f g = 1B , muestre que g es único. Demostración. Supongamos que existe un mor…smo g : B ! A tal que g f = 1A; f g = 1 B . Entonces 0
0
g0 = = = = =
0
1A g 0 (g f ) g0 g (f g 0 ) por asociatividad g 1B g:
3. Sea ff i : Gi ! H i j i 2 I g una familia de homomor…smos de grupos y sea f = f i el mapeo i I Gi ! i I H i dado por fai g 7! ff i (ai )g. Pruebe que f es un homomor…smo de grupos tal que f di I Gi di I H i ; ker(f ) = i I ker(f i) e Im (f ) = i I Im (f i ). Concluya que f es un monomor…smo (epimor…smo) si y solo si cada f i lo es. Demostración. Tenemos que
Q Q Q Q 2
Q
2
2
2
Q Q
2
2
f (fai g fbi g) = f (fai bi g) = ff i (ai bi )g = ff i (ai ) f i (bi )g
ya que cada f i es un homomor…smo. Pero ff i (ai ) f i (bi )g = ff i (ai )g ff i (bi )g = f (fai g) f (fbi g) y de aquí, f (fai g fbi g) = f (fai g) f (fbi g) :
Por lo tanto f es un homomor…smo. Ahora si fai g 2 di I Gi , entonces a i = 1 para casi todo i 2 I , esto es, salvo un conjunto …nito de los i, y por lo tanto, ya que f i es un homomor…smo para cada i 2 I; f i (ai ) = 1 para casi todo i 2 I , esto es, f (fai g) = ff i (ai )g 2 di I H i . Con respecto al ker(f ), note que
Q
Q
2
fai g 2 ker(f ) , f (fai g) = ff i (ai )g = f1g , f i (ai ) = 1 para todo i 2 I , ai 2 ker f i para todo i 2 I , fai g 2 i2I ker (f i ) :
Q
2
3
De modo similar, fhi g 2 Im(f ) , existe fai g 2 i I Gi tal que f (fai g) = ff i (ai )g = fhi g , para todo i 2 I , existe a i 2 G i tal que f i (ai ) = hi , para todo i 2 I ; hi 2 Im f i
Q
, fhi g 2
Q
2
Im (f i ) :
i2I
Luego f es un monomor…smo si y solo si ker f = f1g y por lo demostrado, esto ocurre si y solo si i I ker(f i ) = f1g. Pero esto es equivalente a que para todo i 2 I ; ker f i = f1g, esto es, a que cada f i sea un monomor…smo. Además f es un epimor…smo si y solo si Im f = i I Im (f i) = i I H i , esto es, si y solo si Im (f i ) = H i para todo i 2 I . Esto es equivalente a que cada f i sea un epimor…smo. 4. Muestre que el centro de un producto directo es el producto directo de los centros:
Q
Q
2
Q
2
2
Z (G1 G2 Gn) = Z (G1 ) Z (G2 ) Z (Gn) :
Deduzca que un producto directo de grupos es abeliano si y solo si cada uno de los factores es abeliano. Demostración. Sea g = (g1 ; : : : ; gn ) 2 G1 Gn . Entonces g 2 Z (G1 G2 Gn ) , para todo g = (g1 ; : : : ; gn) 2 G 1 Gn; gg = g g , para todo g i 2 G i ; gi gi = g i gi ; i = 1; : : : ; n 0
0
0
0
0
0
0
, g i 2 Z (Gi ); i = 1; : : : ; n , g 2 Z (G1 ) Z (G2 ) Z (Gn ) :
Por lo tanto, Z (G1 G2 Gn) = Z (G1 ) Z (G2 ) Z (Gn) :
Ahora, G 1 Gn es abeliano si y solo si Z (G1 G2 Gn ) = G 1 G2 Gn:
Por lo demostrado, esto ocurre si y solo si Z (G1 ) Z (G2 ) Z (Gn ) = G 1 G2 Gn:
De aquí, si y solo si Z (Gi ) = G i ; i = 1; : : : ; n, esto es, si y solo si cada G i es abeliano. 5. En cada uno de los incisos siguientes dé un ejemplo de un grupo con las propiedades especi…cadas: (a) Un grupo in…nito en el cual cada elemento tiene orden 1 o 2 . (b) Un grupo in…nito en el cual cada elemento tiene orden …nito pero para cada entero positivo n existe un elemento de orden n .
0
4
(c) Un grupo con un elemento de orden in…nito y un elemento de orden 2 . (d) Un grupo G tal que cada grupo …nito es isomorfo a algún subgrupo de G . Solución. Algunos ejemplos posibles son los siguientes: (a) i=1 Gi , donde G i = Z 2 . (b) n=2 Zn. (c) Z Z2. (d) n=2 S n , donde S n es el grupo simétrico de grado n . 6. Muestre que Z Z no es libre en la categoría de grupos. ¿Es libre en la categoría de grupos abelianos? Demostración. El grupo aditivo Z Z es abeliano pero no un grupo cíclico. De aquí, Z Z no es libre en la categoría de grupos. Pero sí lo es en la categoría de grupos abelianos, ya que es isomorfo a una suma directa de copias del grupo aditivo de enteros Z. 7. Muestre que el grupo de…nido por los generadores a; b y las relaciones a2 = b 5 = a 1b 1ab = e es isomorfo al grupo cíclico Z10 . 2 5 1 1 Demostración. Sea X = fa; bg ; Y = fa ; b ; a b abg y G = hX j Y i = F =N , donde F es el grupo libre sobre X y N el subgrupo normal generado por Y . Sea : X ! Z 10 dado por 1
QP Q
1
1
(a) = 5; (b) = 2:
El resultado de sustituir (a) = 5 por a y (b) = 2 por b en w 2 Y dan la identidad en Z 10 pues 2 5 = 0; 5 2 = 0; 5 2 + 5 + 2 = 0 . Entonces, por el criterio de sustitución, la función se extiende a un homomor…smo ' : F=N ! Z10. Ahora, ya que 5 1 2 2 = 1; n = 5 n 2 2n para cualquier n 2 Z , el conjunto (X ) = f5; 2g genera Z10. De aquí, el homomor…smo ' es sobre y de este modo jGj 10. Por otra parte, usando que a 2 N = N; b5 N = N;abN = baN , vemos que los elementos de F=N son de la forma ai b j N con 0 i 1; 0 j 4 . De aquí, jGj 10. Por lo tanto, jGj = 10 y ' es un isomor…smo. 8. Muestre que el grupo de…nido por los generadores a; b y relaciones a3 = b2 = e;ab = ba 1 es isomorfo al grupo simétrico S 3 . 3 2 1 Demostración. Sea X = fa; bg ; Y = fa ; b ; ab = ba g y G = hX j Y i = F =N , donde F es el grupo libre sobre X y N el
5
subgrupo normal generado por Y . Sea : X ! S 3 dado por (a) = (123); (b) = (12):
El resultado de sustituir (a) = (123) por a y (b) = (12) por b en w 2 Y dan la identidad en S 3 pues (123)3 = (1); (12)2 = (1); (123)(12) = (13). Por otra parte, (12)(123) 1 = (12)(123)2 = (12)(132) = (13). De este modo, (123)(12) = (12)(123) 1 . Entonces, por el criterio de sustitución, la función se extiende a un homomor…smo ' : F=N ! S 3 . Además, como fue visto en clase, (X ) = f(123); (12)g genera S 3 y de aquí ' es sobre. Se sigue que jGj 6. Ahora, usando que a3 N = N; b2N = N; a2 bN = baN , vemos que los elementos de F=N son de la forma ai b j N con 0 i 2; 0 j 1. De aquí, jGj 6 y de este modo jGj = 6. Por lo tanto, ' es un isomor…smo. 9. Muestre que el conjunto f(2; 1); (3; 2)g es una base del grupo abeliano Z Z. Demostración. Sea (m; n) 2 Z Z. Para mostrar que
f(2; 1); (3; 2)g
genera Z Z, debemos encontrar enteros k 1 ; k2 tales que (m; n) = k 1 (2; 1) + k2 (3; 2);
esto es, tales que m = 2k1 + 3k2 n = k1 + 2k2 :
En notación matricial,
m n
=
2 3k 1 2 k k 1 2
= A
1
k2
2 3 El det = 1 así que la inversa de la matriz A; A 1 2 2 3 es una matriz con entradas en . De aquí, 1 2 k m 2m 3n
1
Z
(1)
1
k2
= A 1
n
=
m + 2n
:
=
6
La independencia lineal de f(2; 1); (3; 2)g se sigue fácilmente de (1) ya que si m = n = 0, entonces k 1 = k2 = 0. 10. Muestre que el grupo Q de todos los racionales positivos (bajo multiplicación), es abeliano libre con base f p j p es primo en Zg. m Demostración. Sea q 2 Q , entonces q = con m y n n entero positivos primos relativos. Sean m = pr1 prk y n = q 1s q ts sus factorizaciones en primos. Entonces
1
1
k
t
pr1 prk q = s q 1 q ts = pr1 prk q 1s q ts ; 1
k
1
t
k
1
t
1
que muestra que Q es generado por f p j p es primo en Zg. Supongamos ahora que
pr1 prk q 1s q ts = 1; k
1
t
1
entonces pr1 prk = q 1s q ts que es imposible a menos que r1 = = rk = s1 = = st = 0. Esto muestra la independencia lineal del conjunto f p j p es primo en Zg y con ello, que forma una base de Q . 1
k
1
t
