Algebra Abstracta U andes

´ Notas para un curso de Algebra Abstracta I

Camilo Sanabria y Mario Valencia-Pabon Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas aticas Bogotá - Colombia.

II

´ Indice general 1. Grupos 1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Tabla de operaci´ operaci´ on . . . . . . . . . . . . 1.4. Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . 1.5. 1.5. Grupo ruposs gene genera rado doss y produ roduccto dire direct ctoo . . 1.6. Grupos pos de permutaciones . . . . . . . . 1.7. 1.7. Coco Coconj njun unto toss y el Teore eorema ma de La Lagr gran ange ge .

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2. Homomorfismos 2.1. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. 2.2. Prop Propie ieda dade dess de Hom omom omor orfi fismos smos . . . . . . 2.3. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . 2.4. 2.4. Isom somorfi orfismos smos y el el Teo Teore rem ma de Ca Cayley yley . . . 2.5. Grupo Factor . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. 2.6. Teore eorema ma Funda undame men ntal tal del del Homo Homomo morfi rfism smoo 2.7. 2.7. C´ alculo de Grupo Factor . . . . . . . . . . 2.8. Grupos simples . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. El centro y el conmutador . . . . . . . . . 2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 . . . . . . . . 1 . . . . . . . . 3 . . . . . . . . 4 . . . . . . . . 5 . . . . . . . . 8 . . . . . . . . 11 . . . . . . . . 14

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17 17 18 20 21 23 23 25 27 28 30

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3. Conjugaci´ Conjugaci´ on 33 3.1. 3.1. Ele Element entos y sub subgru grupos pos conju onjuga gado doss . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. An para n ≥ 5 es simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4. Acci Acci´ o ń de grupo sobre un conjunto 4.1. G-conjuntos . . . . . . . . . . . . . 4.2. Subgrupo Subgrupo estabiliza estabilizador dor y órbitas . 4.3. 4.3. La f´ ormula de Burnside . . . . . . 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

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37 37 39 40 42

IV

ÍNDICE GENERAL

5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos 5.1. Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . 5.2. Series de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Cadena Central Ascendente . . . . . . . . . . . 5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres 6.1. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Aplicaciones de la teor´ıa de Sylow . . . . . . 6.3. Grupos abelianos libres . . . . . . . . . . . . 6.4. Teorema fundamental de los grupos abelianos 6.5. Grupos libres y representaciones . . . . . . . 6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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43 43 45 51 52

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53 53 56 57 59 63 66

´ Indice de figuras 1.1. Subgrupos de Z8 y de Z12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. transformaciones del cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. ret´ıculo de subgrupos de D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Fibras y Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . . . . . . .

19 24

4.1. Rotaciones del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

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43 45 46 47

6.1. Grupo abeliano libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Grupo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 63

Primer Teorema de Isomorfismo . Tercer Teorema de Isomorfismo . Lema de la Mariposa . . . . . . . Teorema de Schreier . . . . . . .

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VI

´ INDICE DE FIGURAS

Cap´ıtulo 1

Grupos 1.1.

Grupos

1.1 Definici´ on (Grupo): Una estructura < G, ·, e >, que consta de un conjunto G, una operación binaria ·, y un elemento distintivo e, es un grupo, si satisface los siguientes axiomas: G1: · es asociativa

∀x,y,z ∈ G(x · (y · z) = (x · y) · z) G2: e es neutro en ·

∀x ∈ G(x · e = x ∧ e · x = x) G3: existencia de inversa

∀x ∈ G ∃y ∈ G(x · y = e ∧ y · x = e) Teorema 1.2 (Unicidad del neutro y de las inversas) Sea < G, ·, e > un grupo, entonces: i) Si e es tal que para todo x ∈ G, x · e = e · x = x, entonces e = e. ii) Dado un x ∈ G, si y, y  ∈ G son tales que x · y = y · x = e = x · y  = y  · x, entonces y  = y. Demostraci´ on: Por hipótesis e · e = e y por G2, e · e = e , luego e = e . Por hipótesis x · y  = e y por G2, y = y · e, luego y = y · (x · y  ), as´ı por G1, y = (y · x) · y  , pero y · x = e por hipótesis, entonces por G2 y = y  .  1.3 Notaci´ on y observaci´ on. En general, a < G, ·, e >, la denotaremos simplemente G, excepto cuando se deba especificar para evitar confusiones. Si no especificamos un nombre diferente para el elemento distintivo, lo denotaremos

2

Cap´ıtulo 1. Grupos

e. A x · y, lo denotaremos xy, cuando sea claro el contexto, además dado que la operación binaria es asociativa, x(yz) ó (xy)z lo denotaremos xyz. Por otro lado el teorema anterior, justifica la siguiente definición. 1.4 Definici´ on (el neutro, la inversa) y notaci´ on: Sea < G, ·, e > un grupo, i) a e lo llamamos el elemento neutro o la identidad. ii) Dado g ∈ G, al elemento g  ∈ G tal que gg  = g  g = e, lo llamamos la inversa, o el inverso, de g,y lo notamos g −1 . 1.5 Ejemplos: Las siguientes estructuras son grupos, cuya demostració n se deja al lector. i) < Z, +, 0 >, < Q, +, 0 >, < R, +, 0 >, < C, +, 0 >. ii) < Q∗ , ·, 1 >, < R∗ , ·, 1 >, < C∗ , ·, 1 >. iii) < Zn , +n , [0]=n >, donde a =n b si n|a − b y Zn = Z/ =n . iu) < GLn (R), ·, I n >, donde GLn (R) es el conjunto de matrices invertibles de dimensión n × n. u) < S 1 , ·, 1 >, donde S 1 = {z ∈ C : |z | = 1}. ui) Si V es un espacio vectorial, el conjunto de las transformaciones lineales uno a uno, con la composición como la operación y la identidad como el neutro. Teorema 1.6 (ley cancelativa) Sea G un grupo. Si x,y,z ∈ G son tales que xz = yz, entonces x = y. Demostraci´ on: Si xz = yz, entonces x = xe = (xz)z −1 = (yz)z −1 = ye = y.  1.7 Notaci´ on y observaci´ on. Si x ∈ G y n ∈ N, notamos: n

x =



e x · xn−1

si n = 0 de lo contrario

Dado que xn (x−1 )n = xn (xn )−1 = e, entonces extendemos la notación a todo Z con x−n = (x−1 )n . Cuando la operación se denote aditiva (ver ejemplo 1.5 i)), notaremos xn por nx, y x−1 por −x. Observe que xn xm = xn+m , para todo n, m ∈ Z, pero (xy)n no es necesariamente igual a xn y n , por ejemplo: Teorema 1.8 (xy)−1 = y −1 x−1 Demostraci´ on: (xy)(y −1 x−1 ) = e.



Subgrupos

3

1.9 Posiblemente ya se habrá dado cuenta de cual es la condición para que (xy)n = xn y n para todo x, y ∈ G. En honor al noruego Niels Henrik Abel (1802-1829): 1.10 Definici´ on (Grupo abeliano): Un grupo G, en el cual la operación sea conmutativa (i.e. ∀a, b ∈ G(ab = ba)), se dice abeliano. 1.11 En el ejemplo 1.5, los grupo de i), ii), iii) y u) son abelianos, los de iu) y u) no lo son. Si V = Rn estos dos u ´ ltimos grupos son bastante parecidos (ya formalizaremos eso). 1.12 Ejercicios: 1. Pruebe que si G es un grupo finito con identidad e y con un numero par de elementos, entonces existe un elemento a ∈ G, con a  = e, tal que a2 = e. 2. Pruebe que todo grupo G con identidad e y tal que a2 = e para todo a ∈ G, es abeliano. 3. Sea G un grupo finito y sea x un elemento de G cuyo orden es n, donde n es impar. Pruebe que existe k ∈ N tal que x = (x2 )k .

1.2.

Subgrupos

1.13 Definici´ on (Subgrupo): Si < G, ·, e > es un grupo, diremos que < H, •, e > es un subgrupo de G, y lo notaremos H ≤ G, si: i) H ⊆ G ii) < H, •, e > es grupo iii) • = · H ×H 1.14 Observaci´ on a la definici´ on 1.13. Sea H ≤ G y h ∈ H , como h =   h • e = h · e , y h = h · e entonces por la ley cancelativa, e = e . As´ı un subgrupo esta un´ıvocamente determinado por el conjunto H , pues la identidad es la misma que en G y la operación es la restricción. Esto justifica nuestra notación H ≤ G. Por otro lado < {e}, · {e}×{e} , e > es subgrupo de G. 1.15 Definici´ on (Grupo trivial, subgrupo propio) i) Al grupo < {e}, ·, e >, lo llamamos grupo trivial. ii) Si H ≤ G y H  = G, decimos que H es subgrupo propio de G, y lo notamos H < G. 1.16 Cada grupo de 1.5 i) es subgrupo del siguiente. Lo mismo sucede en 1.5 ii). Demostrar que un grupo es subgrupo de otro puede ser bastante engorroso bajo nuestra definición, afortunadamente existen caracterizaciones más adecuadas para esto:

4


Teorema 1.17 Sea < G, ·, e > un grupo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) H ≤ G ii) H no es vac´ıo, es cerrado mediante la operaci´ on de G, y mediante inversi´ on. Esto es: H  = ∅, ∀x, y ∈ H (xy ∈ H ), ∀x ∈ H (x−1 ∈ H ) iii) H  = ∅, ∀x, y ∈ H (xy −1 ∈ H ) Demostraci´ on: i) ⇒ ii): Como H ≤ G, e ∈ H luego H no es vac´ıo. Las otras dos condiciones se siguen inmediatamente del hecho que H sea grupo y que la operación en H es la restricción de la G. ii) ⇒ iii): Si x, y ∈ H , y −1 ∈ H luego xy −1 ∈ H . iii) ⇒ i): Tomemos • = · H ×H , veamos que • es una operación binaria en H . Sea x ∈ H , el cual existe pues H no es vac´ıo. Entonces e = x · x−1 ∈ H , y as´ı x−1 = e·x−1 ∈ H . Luego si x, y ∈ H , y −1 ∈ H y x•y = x·y = x·(y −1 )−1 ∈ H , entonces • es una operación binaria en H , as´ı se cumple G1. Además, e ∈ H y también se cumple G2 pues • = · H ×H . Por esto último vemos también que se cumple G3 pues dado x ∈ H , x−1 ∈ H . 

1.3.

Tabla de operaci´ on

1.18 Dado un grupo G finito podemos representar completamente la operación gracias a una tabla, al igual que sol´ıamos hacer tablas de multiplicaci´ o n en los n´ umeros naturales. Esto es, en la primera entrada (la superior izquierda), ponemos el signo de la operación, en el resto de la primera columna de la tabla ponemos los elementos de G y hacemos lo mismo, y en el mismo orden, en la primera fila. Luego llenamos el resto de la tabla como indica la operación. Por el axioma G3 sabemos que en cada fila debe aparecer e una vez, y por la unicidad de la inversa, una única vez. Seg´ un la ley cancelativa, lo mismo sucede con cada elemento. Este mismo fenómeno se repite con las columnas. Si el grupo es abeliano la tabla será simétrica. Estas pautas nos permiten generar grupos nuevos (ver el cuadro 1.3).

Z4

+4 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

· e 4-grupo de Klein V a b c

e e a b c

Cuadro 1.1: Los dos únicos grupos de cuatro elementos

a a e c b

b b c e a

c c b a e

Grupos C´ıclicos

1.4.

5

Grupos C´ıclicos

1.19 Definici´ on (Orden de un grupo, orden de un elemento): i) el orden de un grupo G, que notamos ord(G) (o simplemente |G|), es el número de elementos de G, si G es infinito notamos ord(G) = +∞, ii) el orden de un elemento g ∈ G, que notamos ord(g), es el m´ınimo n ∈ N∗ tal que g n = e. Si dicho n no existe notamos ord(g) = +∞. Lema 1.20 Si am = e, ord(a) | m. Demostraci´ on: Sea n = ord(a). Por definición, n es el menor entero positivo tal que an = e y por lo tanto m ≥ n. Usando el algoritmo de la división, podemos escribir a m como m = qn + r, donde q ≥ 1 y 0 ≤ r < n. Ahora, e = am = aqn+r = (an )q ar = eq ar = ar . Si r  = 0, entonces se tiene una contradicci´ on a la minimalidad de n. Luego r = 0 y as´ı n | m.  Teorema 1.21 Sea a ∈ G, y H = {an }n∈Z . Entonces H ≤ G y ord(H ) = ord(a). Demostraci´ on: Como e = a0 ∈ H , an am = an+m ∈ H y (an )−1 = a−n , por el teorema 1.17, H ≤ G. Suponga que ord(a) = +∞. Si i, j ∈ Z con i ≤ j son tales que ai = aj , aj −i = e luego j − i = 0. Entonces si i  = j, ai  = aj , luego ord(H ) = + ∞. Ahora sea n = ord(a). Si i, j ∈ { 0, 1, . . . , n − 1} con i ≤ j, son tales que ai = aj , por el lema anterior n| j − i, luego j − i = 0, esto es i = j. Entonces n ≤ |H |. Y si m ≥ n, y m = qn + r, con 0 ≤ r < n, am = ar , luego |H | = n.  1.22 Definici´ on (Grupo generado por un elemento, grupo c´ıclico): Sea G un grupo. i) Dado a ∈ G, llamamos a {an }n∈Z, el grupo generado por a, y lo notamos < a >. ii) Decimos que G es c´ıclico si es un grupo generado por un elemento. 1.23 Ejemplos. i) Z =< 1 >, es un grupo c´ıclico de orden infinito. ii) Zn =< 1 >, es un grupo c´ıclico de orden n. Ya veremos que todo grupo c´ıclico tiene esta forma. 1.24 Ahora nos interesaremos en la estructura de los grupos c´ıclicos, esto es, estudiaremos como son sus subgrupos. Estos grupos, fuera de tener una estructura bastante visualisable e intuitiva, son supremamente importantes. Teorema 1.25 Todo grupo c´ıclico es abeliano.

6


Demostraci´ on: Sea G =< a >. As´ı dos elementos elementos arbitrarios en G, son de la forma am , y an , con m, n ∈ Z. Pero como vimos en 1.7, am an = am+n = an am . Luego G es abeliano.  Teorema 1.26 Un subgrupo de un grupo c´ıclico es c´ıclico. Demostraci´ on: Sea G =< a > y H ≤ G. Si H es el grupo trivial, H =< e >, es c´ıclico. Suponga que H no es trivial, es decir, H contiene al menos un elemento diferente de e. Como H ≤ G y G =< a >, entonces todos los elementos de H son potencias de a. Sea m el menor entero positivo tal que am ∈ H . Se probara entonces que b = am genera H , es decir, H =. Para ello, tomemos un elemento arbitrario c ∈ H y probemos que c es una potencia de b. Como c ∈ H , H ≤ G y G =< a >, entonces c = an para alg´ un n entero positivo. Por la minimalidad de m, podemos usar el algoritmo de la división, y escribir n como n = qm + r, donde q > 0 y 0 ≤ r < m. Entonces, an = aqm+r = (am )q ar . Por lo tanto, como an ∈ H y (am )−q ∈ H puesto que am ∈ H , entonces, ar = (am )−q an ∈ H , puesto que H es grupo. Si r  = 0, entonces se tiene una contradicci´ on a la minimalidad de m. Por lo tanto, r = 0, y n = qm, obteniendo si que c = an = aqm = (am )q = bq , es decir, c es una potencia de b, lo cual implica que H = y por lo tanto H es c´ıclico.  Corolario 1.27 Si G =< a > es de orden infinito todo subgrupo de G es de orden infinito. 1.28 Observaci´ on. Todo subgrupo de Z es de la forma < n >= nZ = {nk : k ∈ Z}, para alg´ un n. Aqu´ı usamos la notación aditiva. Teorema 1.29 Sea G =< a > de orden n. Entonces: i) Si s | n, entonces < a s >= {e, as, a2s , . . . , a

n−1 s s

} tiene tama˜ no n/s.

ii) Todo subgrupo de G es de la forma < ar >, con r ∈ Z, | < ar > | = y < a r >=< a (n,r) >.

n (n,r)

iii) Todo subgrupo de G es de la forma < a s > donde s | n. iu) El orden de todo subgrupo de G divide el orden de G. u) Por cada divisor s de n, existe exactamente un subgrupo de G de tama˜ no n s s, que es < a >. ui) si H, K ≤ G entonces, H ≤ K si y s´ olo si |H | | |K |. Demostraci´ on: Note que una vez probado ii); i), iii) y iu) son consecuencias inmediatas, tomando s = (n, r) y recordando el teorema 1.21. Probemos entonces ii). Ya vimos en el teorema 1.26 que todo subgrupo, de G es de la forma < ar >. Ahora sea s = (n, r), entonces existe q tal que r = qs. As´ı ar = (as )q , luego < ar >≤< a s >. Por otro lado existen u, v ∈ Z tales que un + vr = s luego as = (an )u (ar )v = (ar )v , y as´ı < a s >≤< a r >. Es claro que

Grupos C´ıclicos

7

n enunciado de i) que | < a (n,r) > | = (n,r) Probemos ahora la unicidad que se afirma en u). Por lo que acabamos de ver n n si s | n, (n,n/s) = n/s y as´ı | < a s > | = n/s = s. Ahora, si < ar > es un subgrupo de G de orden s, entonces por ii) s = n/(n, r), luego (n, r) = n/s y n as´ı, < a r >=< a s >. Finalmente veamos ui). Suponga que K =< ak > y H =< ah > con k, h divisores de n, suponsici´ on valida en vista de u). As´ı si H ≤ K por iu), poniendo K como G, |H | | |K |. Ahora, si |H | | |K |. existe q tal que ord(ah )q = ord(ak ), pero por u), ord(ah ) = n/h y ord(ak ) = n/k, luego kq = h, as´ı (ak )q = ah , entonces < a h >≤< a k >. 

1.30 Observaci´ ones. i) Dado un grupo G, como todo grupo tiene por subgrupo el trivial, podemos representar sus cadenas de subgrupos por un ret´ıculo (i.e. lattice, en inglés). ii) El resultado 1.29 iu) se pueden generalizar a todos los grupos de orden finito como se vera en el Teorema de Lagrange. Con el teorema anterior quedan completamente caracterizados los grupos c´ıclicos (ver figura 1.1), en este momento el lector ya se puede hacer la idea de porque todo grupo c´ıclico es de la forma de Z, o de Zn . Z8

Z12

<2>

<3>

<2>

<4>

<6>

<4>

{0}

{0}

Figura 1.1: Subgrupos de Z8 y de Z12 1.31 Ejercicios: 1. Pruebe que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces HK = {hk : n ∈ H y k ∈ K } es un subgrupo de G. 2. Pruebe que un grupo c´ıclico con únicamente un generador puede tener a los sumo dos elementos. 3. Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos los elementos x ∈ G tales que x2 = e forman un subgrupo de G. Generalice al caso donde n ≥ 1 es un entero fijo y H = {x ∈ G : xn = e}.

8

Cap´ıtulo 1. Grupos 4. Sea G un grupo y sea a un elemento de fijo de G. Pruebe que H a = {x ∈ G : xa = ax} es un subgrupo de G. Sea S ⊆ G, y sea H S = {x ∈ G : xs = sx para todo s ∈ S }. Pruebe que H S ≤ G. Si S = G, entonces H G es llamado el centro de G. Pruebe que H G es un grupo abeliano. 5. Pruebe que un grupo sin subgrupos propios no triviales es c´ıclico. 6. Pruebe que un grupo que tiene un numero finito de subgrupos es finito. 7. Pruebe que Z p no tiene subgrupos propios no triviales si p es primo. 8. Sea G un grupo abeliano y sean H y K subgrupos c´ıclicos finitos con |H | = r y |K | = s. (a) Pruebe que si (r, s) = 1, entonces G contiene un subgrupo c´ıclico de orden rs. (b) Pruebe que G contiene un subgrupo c´ıclico de orden [r, s] (recuerde que [r, s] denota al máximo com´ un m´ ultiplo de r y s).

1.5.

Grupos generados y producto directo

1.32 Dado que los subgrupos de un grupo forman un ret´ıculo, podemos buscar los m´ınimos subgrupos, en la relación ser subgrupo, que contienen un subcon junto de los elementos del grupo. Teorema 1.33 Sea {H i }i∈J una colecci´ on indexada de subgrupos de G, entonces: H i ≤ G



i∈J



Demostraci´ on: Como cada H i contiene e, i∈J H i  = ∅. Ahora sean x, y ∈ −1 ∈ ∈ ∈ H , como y H , y H , para cada i J . As´ı xy −1 ∈ H i , para i i i∈J i todo i ∈ J , esto es xy −1 ∈ i∈J H i , luego por el teorema 1.17 i∈J H i ≤ G. 

 





Corolario 1.34 Sea A ⊆ G, con A  = ∅ y H = {H ≤ G : A ⊆ H }. Entonces H ∈H H ≤ G. Teorema 1.35 Sea A ⊆ G, con A  = ∅ y H = {H ≤ G : A ⊆ H }. Si H A ∈ H es tal que, si H ∈ H, H A ≤ H entonces H A = H ∈H H ≤ G.



 

Demostraci´ on: Esto es trivial, pues H A ∈ H, luego H ∈H H ⊆ H A . Por otro lado como A ⊆ H ∈H H , entonces H ∈H H ∈ H as´ı H A ≤ H ∈H H , y H A =  H ∈H H ≤ G.







1.36 Observaci´ on. Los dos teoremas anteriores justifican nuestra próxima definici´ on, el teorema que le sigue la explica. Note como se extiende el concepto de 1.22 1.37 Definici´ on (grupo generado, grupo finitamente generado):

Grupos generados y producto directo

9

i) Dado A ⊆ G, con A  = ∅. Al m´ınimo subgrupo que contiene A lo llamamos el grupo generado por A, y lo notamos < A >. ii) Decimos que un grupo G es finitamente generado si G =< A > para alg´ un A ⊂ G finito. mn 1 m2 Teorema 1.38 Dado A ⊆ G, < A >= {am 1 a2 . . . an : ai ∈ A, mi ∈ Z}. mn 1 m2 Demostraci´ on: Sea H A = {am : ai ∈ A, mi ∈ Z}. Como A  = 1 a2 . . . an pq p1 p2 m1 m2 m n ∅, H A  = ∅. Si x, y ∈ H A , x = a1 a2 . . . an e y = b1 b2 . . . bq , para − p algunos ai , bj ∈ A y mi , pi ∈ Z. As´ı, y −1 = bq q . . . bq22 bq11 , luego xy−1 = q2 −q1 mn − pq 1 m2 ∈ H A . Entonces H A ≤ G. Ahora como A ⊆ H A , am . . . b− 1 a2 . . . an bq 2 b1 < A >≤ H A . Por otro lado un elemento arbitrario de H A es de la forma de x, pero cada ai ∈ A, luego como un subgrupo es cerrado por multiplicación, x ∈< A >. As´ı H A ⊆< A > y H A =< A >. 

Teorema 1.39 Sea {Gi }i∈{1,2,...,n} una colecci´ on de grupos. G1 × G2 × . . . × Gn bajo la operaci´ on ((x1 , x2 , . . . , x n ), (y1 , y2 , . . . , yn )) → (x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn ) es un grupo. Demostraci´ on: La operación es asociativa, pues la operación de cada Gi lo es. Si ei es el neutro de Gi , (e1 , e2 , . . . , en ) es el neutro para nuestra operación. Fi−1 1 −1 nalmente (x1 , x2 , . . . , x n )(x− 1 , x2 , . . . , xn ) = (e1 , e2 , . . . , en ), luego cada elemento tiene inversa. Esto completa la demostración.  1.40 Definici´ on (Producto directo): Dada {Gi}i∈{1,2,...,n } una colección de grupos. Al grupo G1 × G2 × . . . × Gn bajo la operación: ((x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn )) → (x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn ) lo llamamos el producto directo (externo) de G1 , G2 , . . . , Gn . 1.41 Cuando dec´ıamos que dos grupos tienen la misma forma, formalmente nos refer´ıamos a lo siguiente (a esto volveremos luego con más detalle): 1.42 Definici´ on (Isomorfismo, isomorfo): Sean < G, ·, e >, < G , •, e > dos grupos dados. Una biyección φ : G → G es un isomorfismo si φ(x · y) = φ(x) • φ(y), para todo x, y ∈ G. Dos grupos se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos. 1.43 Ejemplo: φ : R → R∗+ definida por φ(x) = ex , es un isomorfismo entre < R, +, 0 > y < R∗+ , ·, 1 > pues ex+y = ex ey . Teorema 1.44 Sea G =< a >. Si ord(G) = +∞, G es isomorfo a Z, si ord(G) = n, G es isomorfo a Zn . Demostraci´ on: Si ord(G) = +∞, defina φ : Z → G, por φ(k) = ak y si ord(G) = n, defina φ : Zn → G, por φ(k) = ak . Es claro que φ es sobreyectiva, ahora si φ(m1 ) = φ(m2 ), entonces am1 −m2 = e. As´ı si +∞ = ord(G) = ord(a), m1 − m2 = 0 ó m1 = m2 . Si n = ord(a), por el lema 1.20, n | m1 − m2 luego m1 = m2 . De esto concluimos que φ es biyectiva. Finalmente como ak1 ak2 = ak1 +k2 , φ es isomorfismo. 

10


Teorema 1.45 Sean m, n ∈ Z. Existe un isomorfismo entre Zm × Zn y Zmn si y solo si (m, n) = 1. Demostraci´ on: Por el teorema 1.44, basta ver que Zm × Zn es c´ıclico de orden mn si y só lo si (m, n) = 1. Suponga primero (m, n) = 1 y sea k = ord((1, 1)). As´ı (1, 1)k = (0, 0) luego m | k y n | k pero si k  ∈ Z es tal que m | k  y n | k  , (1, 1)k = (0, 0) luego k es el m´ınimo comú n m´ ultiplo de m y n, este es mn. Entonces Zm × Zn =< (1, 1) > Ahora suponga que Zm × Zn es c´ıclico de orden mn con Zm × Zn =< (a, b) >. Entonces en particular Zm =< a > y Zn =. As´ı, si k es el m´ınimo com´ un k m´ ultiplo de m y n, (a, b) = (0, 0) luego por el lema 1.20, mn | k. As´ı k = mn y (m, n) = 1.  

Corolario 1.46 Zm1 × Zm2 × . . . × Zmn es isomorfo a Zm1 m2 ...mn si y s´ olo si (m1 , m2 , . . . , mn ) = 1 1.47 Los grupos abelianos finitamente generados tienen una estructura particular. El siguiente teorema los caracteriza y nos dice que los Z pn , con p primo, son como los ladrillos para construirlos. Su demostración la pospondremos para cuando tengamos un poco más de experiencia, y esta nos parezca más natural. Dicho teorema se conoce como el Teorema Fundamental de los grupos abelianos finitamente generados, y al cual nos referiremos como al teorema TFGAFG por comodidad. Teorema 1.48 (TFGAFG) Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un ´ unico grupo de la forma Z pr11 × Z pr22 × . . . × Z prnn × Z × . . . × Z, con los pi , para i ∈ { 1, . . . , n}, primos tales que pi ≤ pi+1 , y los ri naturales no nulos tales que ri ≤ ri+1 si pi = pi+1 . 1.49 Ejemplos: i) Si



n ri i=1 pi

es la expresión de m en potencias de primos con pi < pi+1 , n r i=1 Z p i .

Zm es isomorfo a



i

ii) El 4-grupo de Klein V es isomorfo a Z2 × Z2 . 1.50 Ejercicios: 1. Encuentre el orden del elemento (3, 10, 9) en el grupo Z4 × Z12 × Z15 . 2. Pruebe que un grupo abeliano finito no es c´ıclico si y solo si este contiene un subgrupo isomorfo a Z p × Z p para alg´ un primo p. 3. Pruebe que si un grupo abeliano finito tiene orden una potencia de un primo p, entonces el orden de cada elemento en el grupo es una potencia de p. 4. Sean G, H , y K grupos abelianos finitamente generados. Pruebe que si G × K es isomorfo a H × K , entonces G es isomorfo a H .

Grupos de permutaciones

1.6.

11


1.51 Definici´ on (Permutaci´ on): Sea A un conjunto. Una permutaci´ on de A es una función biyectiva de A en A. Al conjunto de las permutaciones de A lo notamos S A . Si A = {1, 2, . . . , n }, S A lo notamos S n . 1.52 Observaci´ ones. i) |S n | = n! ii) La composición de dos permutaciones es una permutación. La identidad es una permutación y la inversa de un permutación es una permutación. En resumen, se tiene lo siguiente: 1.53 Definici´ on (Grupo de Permutaci´ on). Sea A un conjunto. Al grupo < S A , ◦, id >, donde ◦ es la composición, lo llamamos el grupo de permutaciones de A. Teorema 1.54 Si A = {ai }i∈{1,...,n} , S A y S n son isomorfos. Demostraci´ on: Defina φ : S n → S A por φ(τ ) : τ (i) → aτ (i) . Sea α ∈ S A y defina σ : {1, . . . , n } → {1, . . . , n } por σ(i) = j si α(ai ) = aj . Como α es una permutación σ también y φ(σ) = α, luego φ es sobreyectiva. Verificar que tambi´ en es inyectiva es pura rutina, as´ı que se lo dejamos al lector. Ahora: φ(σ ◦ σ )(ai ) = aσ◦σ (i) = φ(σ)(aσ (i) ) = φ(σ) ◦ φ(σ )(ai ) as´ı φ(σ ◦ σ  ) = φ(σ) ◦ φ(σ). Luego φ es un isomorfismo.  



1.55 Notaci´ on. A la permutación σ ∈ S n , la notamos 2

2

1.56 Ejemplo: S 3 = {id,ρ,ρ ,σ,ρσ,ρ σ} con id =



 

123 ,σ= 312 que σρ = ρ2 σ. ρ2 =

123 213



, ρσ =



123 321







     

1 2 ... n σ(1) σ(2) . . . σ(n)

123 123

, y ρ2 σ =

,ρ=

123 132

.

123 231

. Note

1.57 Definici´ on (Orbita): Sea σ ∈ S A y sea a ∈ A. Al conjunto {σ k (a) : k ∈ Z} lo llamamos la ´ orbita de a seg´ un σ. Teorema 1.58 Sea σ ∈ S A . Las ´ orbitas de σ forman una partici´ on de A. Demostraci´ on: Defina en A la relaci´ on ∼ por: a ∼ b si existe k ∈ Z tal que k σ (a) = b. As´ı a ∼ b si y sólo si b esta en la órbita de a según σ. Ahora σ 0 = id luego ∼ es reflexiva. Si b = σ k (a), entonces a = σ −k (b), luego ∼ es simétrica. Ahora bien si b = σk1 (a) y c = σk2 (b), c = σk2 +k1 (a), luego ∼ es transitiva. Ahora como ∼ es relación de equivalencia, sus clases, que son las órbitas de σ forman un partición de A.  1.59 Definici´ on (Ciclo, transposici´ on):

,

12

Cap´ıtulo 1. Grupos i) Una permutaci´ o n con a lo más una órbita de más de un elemento es un ciclo. Si σ ∈ S A es un ciclo tal que la órbita con más de un elemento es {σi (a)}i∈{0,1,...,n −1} , notamos σ por (a σ(a) σ2 (a) . . . σ n−1 (a)), y decimos que σ es un n-ciclo.

ii) Una transposici´ on es un 2-ciclo. iii) Dos ciclos se dicen disyuntos si sus órbitas de más de un elemento son disyuntas. 1.60 Ejemplo. Continuando con 1.56, en S 3 , ρ = (1 2 3), ρ2 = (1 3 2), σ = (1 2), ρσ = (1 3) y ρ2 σ = (2 3). Lema 1.61 Todo n-ciclo se puede expresar como producto de n − 1 transposiciones. Demostraci´ on: Sea σ ∈ S A un n-ciclo, con σ = (a1 a2 . . . an ). Tenemos entonces σ = (a1 an )(a1 an−1 ) . . . (a1 a2 ).  Teorema 1.62 Toda permutaci´ on en S n se puede escribir como producto ciclos disyuntos. Demostraci´ on: Sea σ ∈ S n , y {Oi }i∈{1,...,m } la colecció n de sus órbitas. Sea σi ∈ S n tal que σi (a) = σ(a) si a ∈ Oi y σi (a) = a de lo contrario. As´ı los σi son ciclos disyuntos y σ = i∈{1,...,m} σi (observe que como los ciclos son disyuntos no importa el orden en que los multipliquemos, por eso tenemos el derecho de usar la productoria aunque el grupo no sea abeliano). 



Corolario 1.63 Toda permutaci´ on en S n , con n > 1, se puede expresar como producto de transposiciones. 1.64 Veamos ahora que S n se divide en dos clases disyuntas, las permutaciones que son el producto de un número par de transposiciones, y las que son el producto de un número impar. 1.65 Definici´ on (Signo) Sea σ ∈ S n , el signo de σ que notamos sg(σ), esta definido por: σ(i) − σ( j) sg(σ) = i − j



1≤i
Lema 1.66 sg(σ) es 1 o´ −1. Demostraci´ on: si i − j aparece en el denominador, en el numerador aparece o bien σ(σ−1 (i)) − σ(σ −1 ( j)), o bien σ(σ−1 ( j)) − σ(σ−1 (i)).  Lema 1.67 sg(σρ) = sg(σ)sg(ρ).


13

Demostraci´ on: sg(σρ) =

 

1≤i
=

i≤i
σρ(i) − σρ( j) ρ(i) − ρ( j) · i − j ρ(i) − ρ( j) σρ(i) − σρ( j) ρ(i) − ρ( j)



i≤i
ρ(i) − ρ( j) i − j

= sg(σ)sg(ρ)

sg(σ) =



i≤i
σρ(i)−σρ(j) ρ(i)−ρ(j) ,

pues

σρ(i)−σρ(j) ρ(i)−ρ(j)

=

σρ(j)−σρ(i) ρ(j)−ρ(i) .



1.68 Observaci´ ones. i) Si σ ∈ S n es una transposición, sg(σ) = −1. ii) Si sg(σ) = sg(ρ) = 1, sg(σρ) = 1. iii) sg(id) = 1, as´ı sg(σ −1 ) = sg(σ). Teorema 1.69 Una permutaci´ on en S n es el producto de un n´ umero par de transposiciones, o el producto de un n´ umero impar, pero no ambos. Demostraci´ on: Sea σ ∈ S n , si σ es un producto par de transposiciones sg(σ) = 1, si σ es un producto impar de transposiciones sg(σ) = −1. Luego las dos posibilidades son excluyentes.  1.70 Definici´ on (permutaci´ on par, permutaci´ on impar, subgrupo Alternador): i) Una permutaci´ on σ ∈ S n es par si sg(σ) = 1, impar si sg(σ) = −1. ii) El conjunto de las permutaciones pares de S n es el grupo alternador (o alternante), y lo notamos An . 1.71 Considere un pol´ıgono regular de n vértices. Las rotaciones y las simetr´ıas del pol´ıgono que caen sobre él mismo, al etiquetar cada vértice con un número del 1 al n, se pueden identificar naturalmente con un subgrupo de S n de 2n elementos (ver figura 1.2). 1.72 Definici´ on (Subgrupo diedral): Al subgrupo de S n que se puede identificar naturalmente con las rotaciones y simetr´ıas de un pol´ıgono regular de n vértices en si mismo, se le llama el grupo diedral y se nota Dn . 1.73 Ejemplo: D4 = {ρ0 , ρ1 , ρ2 , ρ3 , µ1 , µ2 , δ1 , δ2 }, donde ρ1 = (1 2 3 4), µ1 = (1 2)(4 3), µ2 = (1 4)(2 3), δ1 = (1 3), δ2 = (2 4) y, para i ∈ {0, 2, 3} ρi = ρi1 (ver cuadro 1.6 y figura 1.3).

Coconjuntos y el Teorema de Lagrange

15

D4

{ρ0 , ρ2 , µ1 , µ2 } {ρ0 , ρ1 , ρ2 , ρ3 } {ρ0 , ρ2 , δ1 , δ2 }

{ρ0 , µ1 } {ρ0 , µ2 }

{ρ0 , ρ2 }

{ρ0 , δ1 } {ρ0 , δ2 }

{ρ0 }

Figura 1.3: ret´ıculo de subgrupos de D4 ii) Todos los coconjuntos izquierdos de H son equipotentes. Un resultado similar se tiene para los coconjuntos derechos. Demostraci´ on: Defina en G la relaci´ on ∼ por a ∼ b si a−1 b ∈ H . Como e ∈ H , ∼ es reflexiva. Si a−1 b ∈ H , (a−1 b)−1 = b−1 a ∈ H , luego ∼ es simétrica. Si a−1 b, b−1 c ∈ H , a−1 bb−1 c = a−1 c ∈ H , luego ∼ es transitiva. Entonces ∼ es relación de equivalencia. Suponga a ∈ [b]∼ esto equivale a b−1 a = h para alg´ un h ∈ H , o´ a = bh que es lo mismo que a ∈ bH , luego [b]∼ = bH . Con esto concluimos i). Ahora defina f : H → bH por f (h) = bh. Es claro que f es sobreyectiva, la inyectividad es consecuencia inmediata de 1.6. Luego f es un biyección y as´ı H y bH son equipotentes. Para los coconjuntos derechos considere: a ∼ b : ⇐⇒ ab−1 ∈ H .  1.77 Definici´ on (Indice): Sea H ≤ G. Definimos el indice de H como número de coconjuntos izquierdos de H . 1.78 Observaci´ ones y notaci´ on. i) {bH }b∈G lo notamos G/H , {Hb}b∈G lo notamos H \G ii) Al ´ındice de H lo notamos (G : H ) . Si (G : H ) es finito, entonces (G : H ) := |G/H |. iii) Observe que |G/H | = |H \G|. iu) Si a ∈ bH , entonces aH = bH . De igual forma, si a ∈ Hb, Ha = Hb. Teorema 1.79 (Teorema de Lagrange) Sea G un grupo de orden finito. Si H ≤ G, entonces |H | | | G|, m´ as a´ un |G| = |H |(G : H ).

16


Demostraci´ on: Por el teorema 1.76: |G| = bH ∈G/H |bH | = bH ∈G/H |H | = (G : H )|H |







1.80 Los coconjuntos son parte fundamental de la teor´ıa del álgebra, toca entonces entenderlos y sentirlos. De esto se dará cuenta el lector a lo largo de su estudio 1.81 Ejercicios: 1. Sean K ≤ H ≤ G grupos tales que (H : K ) y (G : H ) son finitos. Probar que (G : K ) = (H : K )(G : H ). 2. Sean H y K dos subgrupos finitos de un grupo G. Sea HK un subconjunto H ||K | de G definido por HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K }. Probar que |HK | = ||H ∩K | .

Cap´ıtulo 2

Homomorfismos 2.1.

Homomorfismos

2.1 Definici´ on (homomorfismo): Sean G y G dos grupos. Una función φ : G → G es un homomorfismo si para todo a, b ∈ G se tiene que: φ(ab) = φ(a)φ(b)

(2.1)

2.2 Observaciones sobre definici´ on 2.1. i) Note que en el lado izquierdo de (2.1) la operación es la de G, mientras que en el lado derecho la operación es la de G . ii) Para todo par de grupos G, G , existe al menos un homomorfismo φ : G → G , denominado el homomorfismo trivial definido por φ(g) = e , para todo g ∈ G, donde e es el elemento identidad en G . Sin embargo, este homomorfismo trivial no nos proporciona mucha información estructural sobre G y G . 2.3 Ejemplos: i) Sea r ∈ Z y sea φr : Z → Z definido por φr (k) = rk, para todo k ∈ Z. Entonces para todo m, n ∈ Z se tiene que φr (m + n) = r(m + n) = rm + rn = φr (m) + φr (n). As´ı, φr es homomorfismo. Note que φ0 es el homomorfismo trivial, φ1 es le función identidad, y φ−1 es una función sobreyectiva de Z en Z. Para r  = ±1, φr no es sobreyectiva. ii) Sea G = G1 × G2 × . . . × Gi × . . . × Gn un producto directo de n grupos. La funci´ on proyecci´ on πi : G → Gi , definida por πi : (g1 , . . . , g i , . . . , gn ) = gi es un homomorfismo para cada i ∈ { 1, . . . , n }. iii) Sea φ : Z → Zn dado por φ(m) = r, donde r es el residuo de la división de m entre n.

18

Cap´ıtulo 2. Homomorfismos

2.2.

Propiedades de Homomorfismos

2.4 Definici´ on (Imagen, rango, imagen inversa): Sea φ : X → Y una funci´ on del conjunto X al conjunto Y . Sean A ⊆ X y B ⊆ Y . i) La imagen φ[A] de A en Y bajo φ es el conjunto {φ(a) : a ∈ A}. ii) El conjunto φ[X ] es el rango de φ. iii) La imagen inversa φ−1 [B] de B en X es el conjunto {x ∈ X : φ(x) ∈ B }. Teorema 2.5 Sea φ : G → G un homomorfismo de grupos. Entonces: i) Si e es la identidad en G entonces φ(e) es la identidad e de G . ii) Si a ∈ G, entonces φ(a−1 ) = φ(a)−1 . iii) Si H es un subgrupo de G, entonces φ[H ] es un subgrupo de G . iv) Si K  es un subgrupo de G , entonces φ−1 [K  ] es un subgrupo de G. Demostraci´ on: Como a = ae, para todo a ∈ G, entonces φ(a) = φ(ae) = φ(a)φ(e). Ahora multiplicando a ambos lados por φ(a)−1 a derecha, se tiene que e = φ(e), que es lo que dice i). Para ver ii), e = φ(e) = φ(aa−1 ) = φ(a)φ(a−1 ), y multiplicando a ambos lados por φ(a)−1 a derecha se tiene φ(a)−1 = φ(a−1 ). Sea H ≤ G y sean φ(a) y φ(b) dos elementos en φ[H ]. Entonces φ(a)φ(b) = φ(ab), luego φ(a)φ(b) ∈ φ[H ] pues ab ∈ H , esto es φ[H ] es cerrado bajo operación de G . Ahora, como e = φ(e) y φ(a)−1 = φ(a−1 ) entonces φ[H ] ≤ G , verificando iii). Sea K  ≤ G y sean a, b ∈ φ−1 [K  ]. Entonces φ(a)φ(b) ∈ K  , puesto que K  es grupo. Ahora, la ecuación (2.1) prueba que ab ∈ φ−1 [K  ]. As´ı, φ−1 [K ] es cerrado bajo la operación de G. Además, e ∈ K  luego como e = φ(e), entonces e ∈ φ−1 [{e }] ⊆ φ−1 [K  ]. Y finalmente si a ∈ φ−1 [K  ], entonces φ(a) ∈ K  y φ(a)−1 ∈ K  . Pero φ(a)−1 = φ(a−1 ) y as´ı a−1 ∈ φ−1 [K  ]. Lo que completa la demostraci´ on de iv).  2.6 Definici´ on (Fibra): Sea φ : G → G un homomorfismo y sea a ∈ G . La imagen inversa φ−1 [{a}] es la fibra sobre a bajo φ. De ahora en adelante notaremos φ−1 [{a }] por φ−1 (a ). 2.7 Nota. Como {e } es un subgrupo de G , el teorema 2.5 muestra que la fibra φ−1 (e ) bajo un homomorfismo φ : G → G es un subgrupo de G. Demostraremos a continuación que las fibras de G bajo φ son los coconjuntos del grupo φ−1 (e ). As´ı las fibras de G bajo φ forman una partición de G (ver figura 2.1).

Propiedades de Homomorfismos G

1

−

φ

Ker(φ) e



(x )

b a

φ

G

19

 

e

φ(a)

φ(b)

x



Figura 2.1: Fibras y Kernel 2.8 Definici´ on (Kernel): Sea φ : G → G un homomorfismo, y e el neutro en G. El kernel de φ es la fibra sobre e bajo φ, y lo notamos Ker(φ). Formalmente:

Ker(φ) := {g ∈ G : φ(g) = e } Teorema 2.9 Sean φ : G → G un homomorfismo, H = Ker(φ) y a ∈ G. Entonces la fibra sobre φ(a) bajo φ es el coconjunto izquierdo aH de H, y es el coconjunto derecho Ha de H . Como consecuencia, las dos particiones de G en coconjuntos izquierdos y derechos de H son la misma. Demostraci´ on: Se desea probar que {g ∈ G : φ(g) = φ(a)} = aH . Suponga que a, g ∈ G son tales que φ(g) = φ(a). Entonces φ(a)−1 φ(g) = e , donde e es la identidad en G . Por el teorema 2.5, sabemos que φ(a)−1 = φ(a−1 ), y entonces se tiene φ(a−1 )φ(g) = e . Además, como φ es homomorfismo, φ(a−1 )φ(g) = φ(a−1 g), luego φ(a−1 g) = e . Esto es a−1 g ∈ H , o a−1 g = h, para alg´ un h ∈ H , luego g = ah ∈ aH . As´ı {g ∈ G : φ(g) = φ(a)} ⊆ aH . Para comprobar la inclusión opuesta, considere g ∈ aH , entonces g = ah para alg´ un h ∈ H . Esto implica φ(g) = φ(ah) = φ(a)φ(h) = φ(a)e = φ(a). As´ı g ∈ { g ∈ G : φ(g) = φ(a)}, luego aH ⊆ {g ∈ G : φ(g) = φ(a)}. Una demostración similar demuestra el mismo resultado para coconjuntos derechos.  Corolario 2.10 Un homomorfismo φ : G → G es inyectivo si y s´ olo si Ker(φ) = {e}. Demostraci´ on: Suponga que Ker(φ) = {e}, entonces si a, g ∈ G son tales que φ(a) = φ(g), g ∈ aKer(φ). Pero aKer(φ) = a{e} = {a}. Luego g = a. Para demostrar la implicación inversa, suponga que φ es inyectiva. Por el teorema 2.5 φ(e) = e , la identidad de G . Pero φ es inyectiva, luego el único elemento enviado a e por φ es e, luego Ker(φ) = {e}. 

20

2.3.


Subgrupos normales

2.11 Definici´ on (Subgrupo normal): Un subgrupo H de G es normal si sus coconjuntos derechos e izquierdos coinciden, lo que notaremos por H  G. Es decir: H  G : ⇐⇒ ∀g ∈ G, gH = Hg 2.12 Observaci´ on. Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal. Corolario 2.13 (al Teorema 2.9) Ker(φ)  G para cualquier homomorfismo φ con dominio G. Teorema 2.14 H  G ⇐⇒ ∀(h, g) ∈ H × G, ghg −1 ∈ H Demostraci´ on: Suponga que H  G. Sea h ∈ H y g ∈ G. Como gh ∈ gH y por definici´ on gH = Hg, entonces gh = h g, para alg´ un h ∈ H . Luego ghg −1 = h , esto implica ghg −1 ∈ H . Ahora suponga que para todo h ∈ H y para todo g ∈ G, ghg −1 ∈ H . Considere alg´ un g ∈ G. Sea gh ∈ gH , con h ∈ H , as´ı ghg −1 ∈ H , o´ ghg −1 = h , para alg´ un   h ∈ H , luego gh = h g ∈ Hg. As´ı gH ⊆ Hg. De forma similar establecemos Hg ⊆ gH . Luego gH = Hg.  Corolario 2.15 H  G ⇐⇒ ∀g ∈ G, gHg −1 = H 2.16 Nota. Frecuentemente consideraremos la caracterización del teorema 2.14 y de su corolario 2.15 para hacer demostraciones. 2.17 Ejemplo: Sea S 3 el grupo simétrico sobre {1, 2, 3} y sea H el subgrupo que consiste de la permutación identidad y de la transposición (1 2). Entonces H no es normal pues (2 3) −1 (1 2)(2 3) = (2 3)(1 2)(2 3) = (1 3) y (1 3) ∈ / H . Lema 2.18 Sea H  G y sean g1 , g2 ∈ G. Entonces g1 Hg2 H = (g1 g2 )H . Demostraci´ on: g2H = Hg2 as´ı: g1 Hg2 H = g1 (Hg2 )H = g1 (g2 H )H = (g1 g2 )H .



Teorema 2.19 Sea H  G. Entonces el conjunto de todos los coconjuntos de H en G es un grupo bajo la operaci´ on que a (g1 H, g2 H ) le asocia (g1 g2 )H . El elemento identidad de este grupo es H , y el inverso de gH es g −1 H , para cualquier g ∈ G. Demostraci´ on: Por el lema anterior el conjunto de los coconjuntos es cerrado bajo la operación. Sea g ∈ G. El subgrupo H es un coconjunto de H pues H = eH . Además, gH H = gHeH = (ge)H = gH , HgH = eHgH = (eg)H = H , gH g−1 H = (gg −1 )H = eH = H y finalmente g −1 HgH = (g −1 g)H = eH = H . As´ı, el conjunto de todos los coconjuntos de H es un grupo. 

Isomorfismos y el Teorema de Cayley

21

2.20 Observaci´ on. Es interesante en este momento observar que el resultado anterior es otra forma de caracterizar los grupos normales, es decir un subgrupo es normal si y sólo la operación del teorema anterior resulta bien definida. Formalmente: Sea B = {Bi }i∈I una partición de G tal que (Bi , Bj ) → Bi Bj es una operación bien definida de B × B en B. Entonces B0 , la clase de e es un subgrupo normal de G, B = G/B0 y la operació n es (g1 B0 , g2 B0 ) → (g1 g2 )B0 (ver ejercicio ??). Teorema 2.21 Sean K, N ≤ G, con N  G. Entonces: i) N ∩ K  K ii) N < N ∪ K > iii) N K =< N ∪ K >= KN iv) si K  G y N ∩ K = {e}. Entonces: nk = kn, ∀(n, k) ∈ K × N Demostraci´ on: Como N  G entonces por la caracterización 2.14, gng −1 ∈ N , para todo n ∈ N y g ∈ G. Luego si n ∈ N ∩ K ⊆ N y k ∈ K , knk −1 ∈ N . As´ı knk −1 ∈ N ∩ K , pues knk −1 ∈ K , de donde i) es verificado. Como N ≤< N ∪ K >, ii) es trivialmente concluido según el teorema 2.14. Para demostrar iii), observe primero que N K ⊆< N ∪ K >, con lo cual u ´ nicamente debemos ver que < N ∪ K >⊆ N K . Ahora, un elemento h ∈< N ∪ K > es un producto de la forma n1 k1 n2 k2 . . . nr kr , con ni ∈ N y ki ∈ K , para i ∈ {1, . . . , r }. Como N  G, entonces, como se vió en la demostración de 2.14, si k ∈ K y n ∈ N , kn = n k para alg´ un n ∈ N . En términos prácticos esto es, podemos correr los ki s hacia la izquierda y as´ı h = n(k1 k2 . . . kr ), para alg´ un n ∈ N , luego h ∈ N K , de forma similar h ∈ KN . Y as´ı la inclusi´ on que faltaba es verificada. Suponga las hipótesis adicionales para iv), y sean k ∈ K y n ∈ N . Entonces nkn −1 ∈ K y kn−1 k −1 ∈ N , luego (nkn −1 )k −1 ∈ K y n(kn−1 k−1 ) ∈ N , pero N ∩ K = {e} luego nkn−1 k −1 = e ó nk = kn.  Teorema 2.22 Sean H, K ≤ G, entonces |HK | · |H ∩ K | = |H | · |K |, y as´ı (H : H ∩ K ) = |HK |/|K | si H y K son finitos. Demostraci´ on: Defina la relación de equivalencia ∼ en H ×K por (h, k) ∼ (h  , k ) si hk = h k  , esto es si (h )−1 h = k  k −1 , o mas aú n si (h , k  ) = (gh,gk −1 ) para alg´ un g ∈ H ∩ K . Entonces cada una de las |HK | clases de equivalencia es de tamaño |H ∩ K |. Ahora considere f : H × K/∼ → HK definida por f ([(h, k)]∼ ) = hk. As´ı, f es biyectiva y |HK | · |H ∩ K | = |H | · |K |. 

2.4.

Isomorfismos y el Teorema de Cayley

2.23 Definici´ on (Isomorfismo): Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.

22


Teorema 2.24 Sea C una colecci´ on de grupos, y defina la relaci´ on  en C por   G  G si existe un isomorfismo φ : G → G . Tenemos que  es una relaci´ on de equivalencia sobre C . Demostraci´ on: La identidad es un isomorfismo, luego  es reflexiva. Si φ : G → G es un isomorfismo, su inversa también, luego  es simétrica. La composición de dos isomorfismos es un isomorfismo, luego  es transitiva. 2.25 Observaci´ ones. i) Toda colecci´ on de grupos se puede particionar mediante la relación . ii) La estructura de dos grupos isomorfos es la misma, luego podemos identificarlos como uno solo, pues su única diferencia es el nombre de los elementos. 2.26 Para probar que dos grupos G y G son isomorfos debemos: i. Definir una funci´ on φ : G → G ii. Probar que φ es un homomorfismo. iii. Probar que φ es biyectiva. Note lo u ´ til que puede resultar el corolario 2.10 al teorema 2.9 para probar iii.. Teorema 2.27 Todo grupo c´ıclico infinito es isomorfo a < Z, + >. Demostraci´ on: Sea a un generador de G, as´ı G = {an : n ∈ Z}. Defina φ : G → Z por φ(an ) = n. Ahora φ(an am ) = φ(an+m ) = n + m = φ(an ) + φ(am ). Finalmente observe que φ(an ) = 0 si y sólo si n = 0, luego φ es inyectiva, y adem´ as dado n ∈ Z, φ(an ) = n, luego φ es sobreyectiva.  Teorema 2.28 (Teorema de Cayley) Todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones. Demostraci´ on: Sea G un grupo y S G es grupo simétrico sobre G. Si a ∈ G defina λa : G → G por λa (g) = ag. Ahora si λa (g) = λa (g  ) entonces ag = ag  luego g = g  , y λa (a−1 g) = g, as´ı vemos que λa es una permutación, pues es una biyecci´ on.  1 Sea G = {λa : a ∈ G}, como λ− = λa 1 y λe = Id entonces G ≤ S G. Y a as´ı mismo vemos que g → λg es un isomorfismo.  −

2.29 Observaci´ on. El teorema de Cayley parece decir algo bastante general. Pero en la teor´ıa que estamos estudiando acá no es de mucha utilidad.

Grupo Factor

2.5.

23

Grupo Factor

2.30 En el teorema 2.19 vimos que si H  G entonces el conjunto de los coconjuntos de H bajo la operación (aH,bH ) → abH es un grupo. Esto motiva la siguiente: 2.31 Definici´ on (Grupo factor): Sea G un grupo. Dado H  G el grupo de los coconjuntos de H bajo la operación (aH,bH ) → abH es el grupos factor de G m´ odulo H . Lo notaremos G/H . 2.32 Observaci´ on. Seg´ un el corolario 2.13 dado un homomorfismo con kernel H , podemos definir el grupo factor de G m´ odulo H . Este grupo factor jugará un rol supremamente importante en el resto de la teor´ıa, como empezaremos viéndolo en el teorema fundamental del homomorfismo (ver teorema 2.36). 2.33 Ejemplo: Z4 × Z2 es abeliano, luego todos sus subgrupos son normales, en particular {0} × Z2 . Entonces (Z4 × Z2 )/({0} × Z2 ), es un grupo y además es tambi´ en abeliano, y as´ı lo podemos clasificar de acuerdo al teorema de los grupos abelianos finitamente generados (teorema 1.48). Ahora, Z4 × Z2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)}

y

{0} × Z2 = {(0, 0), (0, 1)} si podemos G = Z4 × Z2 y H = {0} × Z2 H 1 = H + (1, 0) = {(1, 0), (1, 1)} H 2 = H + (2, 0) = {(2, 0), (2, 1)} H 3 = H + (3, 0) = {(3, 0), (3, 1)} tenemos G/H = {H, H 1 , H 2 , H 3 }, as´ı como G/H tiene cuatro elementos, solo hay dos alternativas: G/H  Z2 × Z2 ó G/H  Z4 . Pero G/H =< H 1 > luego es c´ıclico, y as´ı es isomorfo Z4 .

2.6.

Teorema Fundamental del Homomorfismo

Lema 2.34 Si H  G, ρ : G → G/H definida por ρ(g) = gH es un homomor fismo con kernel H . Demostraci´ on: Es consecuencia directa del teorema 2.19.



2.35 Definici´ on (proyecci´ on can´ onica): Si H  G, a ρH : G → G/H definida por ρ(g) = gH la llamamos proyecci´ on can´ onica, o´ homomorfismo canónico, de kernel H .

24


Teorema 2.36 (Teorema Fundamental del Homomorfismo) Sea φ : G → G un homomorfismo con kernel H . Entonces la funci´ on µ : G/H → φ[G] tal que φ = µ ◦ ρH , es un isomorfismo. Demostraci´ on Sean g, g  ∈ G tales que gH = g  H , as´ı g −1 g  ∈ H esto equivale a φ(g)−1 φ(g  ) = φ(g −1 g  ) = e . Esto es φ(g) = φ(g  ), entonces podemos definir µ por µ(gH ) := φ(g). Pero ρH (g) = gH , luego φ = µ ◦ ρH . Ahora por el teorema 2.19 µ es un homomorfismo. Es evidente que µ es sobreyectivo, y la inyectividad la podemos deducir de la equivalencia entre gH = g H y φ(g) = φ(g  ). As´ı µ es isomorfismo. Su unicidad es evidente, pues si µ : G/H → φ[G] es tal que φ = µ ◦ ρH , µ(gH ) = φ(g).  Corolario 2.37 Si φ : G → G es un homomorfismo sobreyectivo con kernel H , G/H  G . 2.38 Observaci´ on. El teorema fundamental del homomorfismo nos habla de la din´ amica del grupo G: si tenemos un homomorfismo sobreyectivo de G en G con kernel H , podemos descomponer la operación de G en dos partes una primera que tiene la dinámica de H con consecuencias en otra después que tiene la de G . Por ejemplo sea a, c ∈ G, b ∈ aH con b = ah y d ∈ cH con d = ch, entonces bd ∈ acH y si h ∈ H es tal que ch = h c, bd = ac(h h) (ver figura 2.2). Una visualización de esto es la operació n de suma en los reales que se puede descomponer en una parte decimal y en otra entera (1 , 75 ∈ 0, 75 + Z, 2, 43 ∈ 0, 43 + Z, 4, 18 = 1, 75 + 2, 43 ∈ 1, 18 + Z = 0, 18 + Z). 

bd = ac(h h) acH

uv

. . . 

b = ah

aH

u

v

cH

d = ch . . .



e



h h H



h h

φ G



G

Figura 2.2: Teorema Fundamental del Homomorfismo

C´ alculo de Grupo Factor

2.7.

25

C´ alculo de Grupo Factor

2.39 Ejemplos: i) El subgrupo trivial {0} de Z es un subgrupo normal. Calculemos Z/{0}. Como N = {0} tiene u ´ nicamente un elemento, todo coconjunto de N tiene un solo elemento. Es decir, los coconjuntos son de la forma {m} para alg´ un m entero. As´ı Z/{0}  Z ii) Sea n ∈ N∗ . El conjunto nR = {nr : r ∈ R} es un subgrupo de R con la adici´ on. nR es normal puesto que R es abeliano. Calculemos R/nR. Note que cada x ∈ R es de la forma n( nx ) con nx ∈ R. De ah´ı que para cualquier x ∈ R tenemos que x ∈ nR. Entonces nR = R y en consecuencia R/nR consta de un ´ unico elemento, a saber, nR. A nR/R no le queda mas alternativa que ser el grupo trivial. 2.40 Observaci´ on. Por el teorema fundamental del homomorfismo, podemos pensar en el grupo factor G/H como un grupo en el cual cada coconjunto de H colapsa a un sólo elemento. En particular H colapsa a un neutro. Como acabamos de ver el colapso puede variar de inexistente (cuando H = {e}), a “catastrófico” (cuando H = G). Es claro que estos dos tipos de colapsos no nos proporcionan mayor información sobre la dinámica en G. 2.41 Ejemplos: i) Comencemos observando lo siguiente: Si G es un grupo finito y G/N tiene solo dos elementos, entonces |G| = 2|N |. Note además que cualquier subgrupo conteniendo la mitad de los elementos de G es forzosamente normal, puesto que dado a ∈ G, a esta en H o no esta en H . En el primer caso se tendr´ıa a ∈ H,aH = H = Ha, y en el segundo a ∈ / H,aH = Ha forzosamente. Ahora bien, como sabemos que |S n | = 2|An |, entonces el grupo alternante An es un subgrupo normal de S n y el grupo cociente tiene dos elementos. Sabiendo que cualquier grupo de orden dos es isomorfo a Z2 conocemos completamente la operación en S n /An . Tomando σ ∈ / An una permutaci´ on impar y si renombramos σA n por “impar” y An por “par” verificamos la siguiente propiedad de la dinamámica de S n : ( par)( par) = par (impar)( par) = impar ( par)(impar) = impar (impar)(impar) = par Vemos como conocimiento acerca de la operación en el grupo factor S n /An refleja una propiedad de la operación en S n . ii) El rec´ıproco del teorema de Lagrange no es cierto. Veamos que no es cierto que k | |G| implique que exista alg´ un H ≤ G tal que |H | = k. Mostraremos que A4 no tiene subgrupos de orden seis. Suponga por contradicci´ on que H es un subgrupo de A4 de orden seis. Como |A4 | = 12, H es normal. As´ı A4 /H tiene solo dos elementos H y σH para alg´ un

26

Cap´ıtulo 2. Homomorfismos σ ∈ / H . Como en un grupo de orden dos el cuadrado de todo elemento es la identidad, entonces HH = H y σHσH = H . Ahora, el producto en el grupo factor se puede lograr mediante el producto de elementos representativos de los los coconjuntos, luego tenemos que para cualquier α ∈ A4 , α2 ∈ H . Pero en A4 se tiene (123) = (132) 2 y (132) = (123)2 luego (123) y (132) están en H . De la misma forma se verifica que (124), (142), (134), (143), (234) están todos en H . Esto muestra que H tiene al menos ocho elementos, contradiciendo la hipótesis de que H tenia seis elementos.

iii) Calculemos el grupo factor Z4 × Z6 / < (0, 1) >. Sea H =< (0, 1) >, as´ı H = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5)} Como H tiene 6 elementos, todos los coconjuntos de H también deben tener 6 elementos y |(Z4 × Z6 )/H | = 4. Como Z4 × Z6 es abeliano, entonces Z4 × Z6 /H también. Los coconjuntos de H en Z4 × Z6 son: H = (0, 0) + H H 1 = (1, 0) + H H 2 = (2, 0) + H H 3 = (3, 0) + H As´ı Z4 × Z6 / < (0, 1) > es c´ıclico, luego es isomorfo a Z4 . Teorema 2.42 Sea G = H × K el producto de dos grupos H y K . Entonces ¯ = {(h, e) : h ∈ H } es un subgrupo normal de G. Adem´ ¯ es isomorfo H as, G/H ¯ a K . Similarmente, G/K  H Demostraci´ on: Considere el homomorfismo π2 : H × K → K , donde π2 (h, k) = ¯ y π2 es sobreyectiva, el teorema 2.36 nos dice que k. Como Ker(π2 ) = H ¯ H × K/H  K .  Teorema 2.43 Un grupo factor de un grupo c´ıclico es c´ıclico. Demostraci´ on: Sea G =< a >, y N ≤ G. As´ı N  G, y cómo a genera todo G, aN genera todo G/N . Luego G/N =< aN > es c´ıclico.  2.44 Observaci´ on. Ya vimos que un grupo factor de un grupo no c´ıclico bien podra ser c´ıclico (por ejemplo, S n /An , para n ≥ 3). El teorema 2.42 nos muestra como algunos grupos factor colapsan separadamente, este no siempre es el caso como lo veremos ahora mismo. 2.45 Ejemplos: i) Calculemos Z4 × Z6 / < (0, 2) >. Sea H =< (0, 2) >= {(0, 0), (0, 2), (0, 4)}. En primera instancia note que Z4 × Z6 es abeliano, luego el grupo factor también es abeliano, y como |H | = 3, es de orden 8. Usando el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados, sabemos que

Grupos simples

27

el grupo factor debe ser isomorfo a uno de los siguientes grupos: Z8 , Z4 × Z2 ó Z2 × Z2 × Z2 . Con un poco de paciencia calculamos los coconjuntos: H = (0, 0) + H = {(0, 0), (0, 2), (0, 4)} H 1 = (0, 1) + H = {(0, 1), (0, 3), (0, 5)} H 2 = (1, 0) + H = {(1, 0), (1, 2), (1, 4)} H 3 = (1, 1) + H = {(1, 1), (1, 3), (1, 5)}

H 4 H 5 H 6 H 7

= (2, 0) + H = {(2, 0), (2, 2), (2, 4)} = (2, 1) + H = {(2, 1), (2, 3), (2, 5)} = (3, 0) + H = {(3, 0), (3, 2), (3, 4)} = (3, 1) + H = {(3, 1), (3, 3), (3, 5)}

y los subgrupos generados son: < H 1 < H 2 < H 3 < H 4 < H 5 < H 6 < H 7

>= {H, H 1 } >= {H, H 2 , H 4 , H 6 } >= {H, H 3 , H 4 , H 7 } >= {H, H 4 } >= {H, H 5 } >=< H 2 > >=< H 3 >

Como no hay ning´ un elemento de orden 8, entonces no puede ser isomorfo a Z8 . Como no todo elemento tiene orden 2, entonces tampoco lo puede ser a Z2 × Z2 × Z2 . Entonces no quedendo más alternativa, es isomorfo a Z4 × Z2 . Este es un ejemplo de como los coconjuntos colapsan separadamente. ii) Calculemos el grupo factor ( Z4 × Z6 )/ < (2, 3) >. Sea H =< (2, 3) >, entonces H = {(0, 0), (2, 3)}. Como H es de orden 2, entonces ( Z4 × Z6 )/H es de orden 12. Se podr´ıa cometer el error de pensar que Z4 y Z6 separadamente colapsan en grupos isomorfos a Z2 y que y entonces el grupo factor ser´ıa isomorfo a Z2 × Z2 . De esta manera el grupo factor tendr´ıa orden 4 y no 12 como de hecho es. Tenga cuidado en no pensar que los factores siempre colapsan separadamente!! Ahora bien, los grupos abelianos de orden 12 son: Z4 × Z3 (que es isomorfo a Z12 ), Z6 × Z2 y Z2 × Z2 × Z3 . Adem´ as Z4 × Z3 es el u ´ nico que tiene un elemento de orden 4. Probaremos que el coconjunto (1, 0) + H es un elemento de orden 4. Para encontrar la potencia mas pequeña de un coconjunto que de la identidad, basta escoger la potencia mas pequeña del representante que este en H . Ahora, 4(1, 0) = (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) = (0, 0). Por lo tanto ( Z4 × Z6 )/H tiene un elemento de orden 4 y as´ı es isomorfo a Z4 × Z3 .

2.8.

Grupos simples

Teorema 2.46 Sea φ : G → G un homomorfismo. Si N  G, φ[N ]  φ[G]. Si N   φ[G], φ−1 [N  ]  G. Demostraci´ on: Sean N  G y N   φ[G]. φ[N ] ≤ φ[G] y φ−1 [N  ] ≤ G por el teorema 2.5. Ahora si (φ(g), φ(n)) ∈ φ[G] × φ[N ], gng −1 ∈ N y φ(gng −1 ) = φ(g)φ(n)φ(g)−1 ∈ φ[N ], luego φ[N ]  φ[G]. Por otro lado si g, n ∈ G × φ−1 [N  ], φ(gng −1 ) = φ(g)φ(n)φ(g)−1 ∈ N  y gng −1 ∈ φ−1 [N  ], luego φ−1 [N  ]  G. 

28


2.47 Ejempl Ejemplo: o: En S 3 considere µ = (2 3). Defina el homomorfismo φ : Z2 → S 3 por φ(0) = 0 y φ(1) = µ. Ahora bien Z2  Z2 , pero {id,µ} = φ[Z2 ] no es subgrupo subgrupo normal normal de S 3 , como ya se vio previamente. 2.48 Observacione Observaciones. s. i) Como lo muestra el ejemplo anterior, aún un si N  G, φ[N ] N ] puede no ser  subgrupo subgrupo normal normal de G . ii) Sabiendo que construir grupos factor nos ilustra sobre la dinámica del grupo, podemos preguntarnos en que condiciones un grupo no admite sino colapsos triviales. 2.49 Definiciones Definiciones (Grupo (Grupo simple, subgrupo subgrupo normal maximal): maximal): i) Un grupo G es llamado simple si su unico u ´ nico subgrupo propio normal es {e}. maximal, si: ii) Un subgrupo propio propio normal normal M de G es llamado maximal, N  G ∧ M < N ⇒ N = G 2.50 Observacione Observacioness a la definici´ definici´ on on 2.49. i) Semejante a los números umeros primos, el grupo trivial no es simple. ii) Un subgrupo es normal normal maximal maximal si y sólo olo si el unico u ´ nico subgrupo normal que lo contiene propiamente es todo el grupo. Teorema 2.51 M es un subgrupo normal maximal de G si y s´ olo si G/M es simple. Demostraci´ on: Sea M un subgrupo subgrupo normal maximal de G. Considere la proyecci´ on on canónica onica ρM , y tome N   G/M . Ahora, por el teorema teorema 2.46, ρ−1 [N  ]  G. Entonces si N  = {M }, ρ−1 [N  ] = Ker( Ker (ρM ) = M , de lo contrario M < ρ −1 (N  ) −1  lo cual implica ρ (N ) = G, y as´ı N  = G/M . As´ı el unico u ńico subgrupo propio normal de G/M es {M }. Para verificar el converso, suponga que G/M es simple, y tome N  G tal que M < N . N . As´ı ρM [N ] N ]  G/M y N  = {M }, luego ρM [N ] N ] = G/M . Entonces N es un subgrupo de G que contiene a M y a un representante de cada coconjunto de M , luego N = G. As´ı M es normal máximal. aximal. 

2.9. 2.9.

El cen centro tro y el conm conmut utad ador or

2.52 Todo grupo tiene dos subgrupos normales importantes, el centro y el conmutador, que nos indican de cierto modo “que tan abeliano” es G. Por un lado nos podemos preguntar preguntar qu´ e elemento elementoss conmutan conmutan en G, y por otro, c´ omo podriamos “abelianizar” omo “abelianizar” G (i.e encontrar un grupo factor de G abeliano y parecido a G).

El centro y el conmutador

29

2.53 2.53 Notac Notaci´ i´ on. on. Dados a, b ∈ G notaremos aba−1 b−1 por [a [a : b] y lo llamaremos conmutador de a y b. Teorema 2.54 K = {z ∈ G : zg = gz, gz , ∀g ∈ G} y H =< {[a : b] : a, b ∈ G} > son subgrupos normales de G. Demostraci´ on: Comencemos con K , si g ∈ G, eg = ge, ge , luego e ∈ K . Ahora si k1 , k2 ∈ K y g ∈ G, k1 g = gk 1 , as´ as´ı multiplicando a izquierda y derecha −1 −1 −1 por k1 obtenemos, gk 1 = k1 g , luego k1−1 ∈ K , y k1 k2 g = k1 gk 2 = gk 1 k2 , as´ı k1 k2 ∈ K . Entonces K ≤ G. Ahora sea (g, (g, k ) ∈ G × K . Entonces si g  ∈ G, (gkg −1 )g  = kg  = g  k = g  (gkg gk g−1 ), luego gkg −1 ∈ K . As´ı K  G. Ahora preocupemonos por H . H ≤ G por definición. on. Si a, b ∈ G, e = [a [ a : a] ∈ H , −1 [a : b] = [b : a] ∈ H . Luego por el teorema 1.38, H consiste de todos los productos finitos de conmutadores. Si x,y,g ∈ G, gxyg−1 = (gxg −1 )(gy )(gygg −1 ), entonces concluiremos que H es normal si g [x : y ]g −1 es un producto de conmutadores. Pero, g [x : y ]g −1

= = = =

gxyx−1 y −1 g −1 gxyx−1 (g −1 y −1 yg) yg )y −1 g −1 ((gx ((gx))y (gx) gx)−1 y −1 )(yg )(ygyy−1 g −1 ) [gx : y ][y ][y : g ]

luego H  G.



2.55 Definiciones Definiciones (Centro (Centro y conmutado conmutador): r): i) El centro de G es el subgrupo Z (G) definido por: Z (G) := {z ∈ G : zg = gz, gz , ∀g ∈ G} ii) El conmutador de G es el subgrupo C (G ) definido por: [G : G] :=< :=< {[a : b] : a, b ∈ G} > 2.56 Observ Observaci´ on: on: En el caso en que G es abeliano, su centro es todo G y su conmutador es {e}. Ba jos estas condiciones estos subgrupos, como se pod p od´´ıa esperar, no son de mucha utilidad. 2.57 2.57 Ejem Ejempl plo: o: Por verificación on (continuando el ejemplo 1.56), vemos que Z (S 3 ) = {id} Teorema 2.58 Sea G un grupo: i) G/[ G/[G : G] es abeliano. ii) G/N es abeliano si y s´ olo si [G : G] ≤ N

30


Demostraci´ on: Sean a, b ∈ G, como [a [a : b] ∈ [G : G], ab( ab(ba) ba)−1 [G : G] = [G : G], luego ab[ ab[G : G] = ba[ ba[G : G]. As´ı G/[ G/[G : G] es abeliano. Ahora suponga que G/N es abeliano, esto equivale a: para todo a, b ∈ G, abN = baN ; que sucede si y sólo o lo si [a [a : b] = ab( ab(ba) ba)−1 ∈ N para todo a, b ∈ G, que es [G : G] ≤ N . N .  2.59 Ejempl Ejemplo: o: S 3 /A3 es abeliano luego [G [G : G] ≤ A3 . Con la notación on de 1.56, [ρ [ρ : σ] = ρσρ2 σ = ρσσρ = ρ2 y [ρ2 : σ] = ρ2 σρσ = σρ2 σ = σσρ = ρ. Luego A3 ≤ [G : G]. Concluimos que [G [G : G] = A3 .

2.10 2.10..

Ejer Ejerci cici cios os

1. Sea φ : G → G un homomorfismo de grupos. Pruebe que: (a) Si |G| es finito, entonces |φ[G]| es finito y es un divisor de |G|. (b) Si |G | es finito, entonces |φ[G]| es finito y es un divisor de |G |. 2. Pruebe Pruebe que que todo todo homom homomorfi orfismo smo φ : G → G donde |G| es un primo debe ser o bien el homomorfismo trivial o bien un homomorfismo inyectivo. 3. Sea G un grupo y sea g un elemento fijo de G. Pruebe que la aplicación on ig : G → G definida por ig (x) = gxg −1 es un isomorfismo de grupos. (Un isomorfismo isomorfismo de un grupo G en si mismo es llamado un automorfismo de G. El automorfismo ig es llamado el automorfismo interno de G por g ). 4. Sea H un subgrupo de un grupo G. Pruebe que H  G si y solo si ig [H ] = H , para todo g ∈ G. (Es decir, H es normal en G si y solo si H es invariante bajo todos los automorfismos internos de G). 5. Un subg subgru rupo po H es dicho conjugado con un subgrupo K de un grupo G si existe un automorfismo interno ig de G tal que ig [H ] = K . Pruebe que la conjugación on es una relación on de equivalencia sobre la colección on de subgrupos de G. 6. Sea H un subgrupo normal de un grupo G, y sea m = (G : H ). ). Pruebe m que a ∈ H para todo a ∈ G. 7. Pruebe Pruebe que que la la inter intersec secci´ ci´ on de subgrupos normales de un grupo G es un on subgrupo subgrupo normal normal de G. 8. Prue Pruebe be que que si un un grupo grupo G tiene exactamente un solo subgrupo H de un orden dado, entonces H  G. 9. Prue Pruebe be que que si H y N son subgrupos de un grupo G, donde N es normal en G, entonces H ∩ N es normal en H . Pruebe con un ejemplo que H ∩ N no es necesariam necesariament entee normal normal en todo G.

Ejercicios

31

10. Pruebe que el conjunto de todos los automorfismos de un grupo G forman un grupo bajo la operación de composición.( Dicho grupo se denota por AUT(G)). 11. Pruebe que los automorfismos internos de un grupo G forman un subgrupo normal de AUT(G). (Pruebe primero que el conjunto de los automorfismos internos de G es un subgrupo de AUT(G)). 12. Sean G y G dos grupos y sean H y H  subgrupos normales de G y G respectivamente. Sea φ un homomorfismo de G en G tal que φ[H ] ⊆ H  . Pruebe que φ induce un homomorfismo natural φ∗ : G/H → G /H  . 13. Pruebe que si un grupo finito G contiene un subgrupo propio de ´ındice 2 en G, entonces G no es simple. 14. Pruebe que si un grupo G no es abeliano, entonces el grupo factor G/Z (G) no es c´ıclico. 15. Use el ejercicio anterior para probar que un grupo G no abeliano de orden pq, donde p y q son primos, tiene un centro trivial.

32


Cap´ıtulo 3

Conjugaci´ on 3.1.

Elementos y subgrupos conjugados

3.1 Definici´ on (Elementos conjugados): Dos elementos k, h de un mismo grupo G son conjugados si k = ghg −1 para alg´ un g ∈ G. 3.2 Observaciones a la definicici´ on 3.1. i) La relación ser conjugados es una relación de equivalencia en el grupo, la verificaci´ on de esta trivialidad se le deja al lector. Las clases de equivalencia de esta relación las denominaremos clases de conjugaci´ on y la ¯ notaremos [h]. ii) La clase de conjugaci´ on de la identidad contiene solamente a la identidad. Adem´ as es la u ´ nica clase de conjugación que es un grupo, ya que las otras no contienen a la identidad. iii) Un grupo es abeliano si y sólo si todas sus clases de conjugación son conjuntos unipuntuales (ejercicio). 3.3 Definici´ on (Centralizador): Sea G un grupo y h ∈ G. El Centralizador de h, que notaremos C (h), esta definido por:

C (h) := {g ∈ G : hg = gh} 3.4 Ejemplo: Considere S 3 , el grupo de permutaciones sobre el conjunto {1, 2, 3}. Sea h = (1 2). Entonces, el centralizador de h es C (h) = {id, (1 2)}. Claramente C (h) ≤ S 3 , pero C (h) no es subgrupo normal en S 3 pues (1 3)(1 2)(1 3) −1 = (2 3). 3.5 Observaci´ on. El Centralizador de h son justamente los elementos de G que conmutan con h. Evidentemente e ∈ C (h), ahora si g, g  ∈ C (h) entonces hgg  = ghg  = gg h, esto es gg  ∈ C (h). Lo anterior muestra que C (h) ≤ G. El

34

Cap´ıtulo 3. Conjugaci´ on

centralizador “tiene apariencia” de ser un subgrupo normal, aunque el ejemplo anterior muestra que no siempre es el caso. Pero, aunque C (h) no es subgrupo normal, si podemos definir las siguientes aplicaciones que serán de gran utilidad en el futuro: 3.6 κh : G −→ G g −→ hgh −1 Note que si hgh −1 = hg h−1 entonces g = g  y si g  = h−1 gh entonces hg  h−1 = g, luego κh es una biyección. Ademas para g, g  ∈ G arbitrarios hgg  h−1 = (hgh −1 )(hg  h−1 ), luego κh es isomorfismo de G en G (es decir, κh es un automorfismo de G). Ahora bien, si b ∈ g C (h) entonces b = gk para alg´ un k ∈ C (h) as´ı bhb−1 = gkh(gk)−1 = gkhk−1 g −1 = ghg −1 . Luego: f h : G/C (h) −→ G g C (h) −→ κg (h) esto es f h (g C (h)) = ghg −1 , esta bien definida. Note que f h no es necesariamente un homomorfismo pues G/C (h) no tiene porque tener estructura de grupo, puesto que C (h) no es necesariamente normal en G. ¯ | = (G : C (h)). Teorema 3.7 Sea G un grupo finito, y h ∈ G. Entonces: |[h] Demostraci´ on: Es claro que para demostrar esto basta ver que la aplicación ¯ f h definida en 3.6 es biyectiva, ya que cuando g recorre G, f h (g) recorre [ h]. − − − − 1 1 1 1 Suponga que f h (aC (h)) = f h (bC (h)), esto es aha = bhb ó b ah = hb a, ¯ as´ı a = luego b−1 a ∈ C (h) lo que equivale a aC (h) = bC (h). Ahora sea a ∈ [h] ghg −1 para alg´ un g ∈ G, luego κg (h) = a ó f h (g C (h)) = a.  3.8 El hecho que κg sea un isomorfismo, implica que si H ≤ G entonces gH g−1 ≤ G, lo que nos sugiere expandir nuestra relación de ser conjugados a la siguiente, que también es de equivalencia: 3.9 Definici´ on (Subgrupos conjugados): Dos subgrupos H, K de un mismo grupo G son conjugados si K = gH g −1 para alg´ un g ∈ G.

3.2.

An

para n ≥ 5 es simple

3.10 Recordemos los siguientes resultados ya obtenidos: i) Toda permutación de un conjunto finito es la permutación identidad, un ciclo, o un producto de dos o más ciclos disyuntos.

An para n ≥ 5 es simple

35

ii) Toda permutaci´ on de un conjunto finito con más de un elemento puede expresarse como un producto finito de transposiciones. iii) Una permutación de un conjunto finito es un producto o bien de un número par de transposiciones o bien de un número impar de transposiciones, pero no las dos. iu) Un n-ciclo es, par si n − 1 es par; impar si n − 1 es impar. u) Toda permutación par de un conjunto finito con al menos tres elementos puede expresarse como un producto de 3-ciclos. ((a b)(a c) = (a b c), (a b)(c d) = (a c b)(a c d)) Lema 3.11 Si k ≤ n − 2 es impar, todos los k-ciclos en An pertenecen a una misma clase de conjugaci´ on. Demostraci´ on: Sea k como en las hipótesis. Demostraremos que todo k-ciclo es conjugado de h = (1 2 . . . k). Considere un ciclo k = (m1 m2 . . . m k ) en An . Sea g ∈ An tal que g(i) = mi (¿Por qué existe un tal elemento en An ?). As´ı g −1 (mi ) = i. Ahora si i ≤ k − 1, ghg −1 (mi ) = gh(i) = g(i + 1) = mi+1 y ghg −1 (mk ) = gh(k) = g(1) = m1 . Pero si d ∈ {1, . . . , n} es tal que d  = mi , −1 −1 −1 para todo i ∈ {1, . . . , k }, g (d) ≥ k + 1, y as´ı hg (d) = g (d) entonces ghg −1 (d) = d. Luego ghg −1 = k, esto es k y h son conjugados.  3.12 Observaci´ on: A4 no es simple. Considere V 4 := {id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} Sea g ∈ A4 , entonces g(1 2)(3 4)g −1 = (g(1) g(2))(g(3) g(4)) es un elemento de V 4 y algo similar sucede con las otras dos permutaciones de V 4 diferentes a la identidad. Luego V 4  A4 . (Ejercicio: pruebe que V 4 es el u ´ nico subgrupo normal propio no trivial de A4 ). Lema 3.13 Sea n ≥ 5 y N  An no trivial. Entonces, existen g ∈ N \{id} y a ∈ { 1, 2, . . . , n }, tales que g(a) = a. Demostraci´ on: Dividimos la prueba en dos casos: uno, todo elemento h ∈ N es 2 tal que h = id; dos, el caso en que no. Suponga que primero que no, y sean h ∈ N y a ∈ { 1, 2, . . . , n } tales que h2 (a)  = a. Sea b = h(a), c = h(b), as´ı a, b y c son distintos. Ahora como n ≥ 5, existen otros dos elementos d, e distintos a los tres anteriores. Sea h = (c d e)h(c d e)−1 as´ı h ∈ N y h (a) = b, h (b) = d. Luego h  = h y si g = h−1 h , entonces g ∈ N , donde g no es la identidad y g(a) = a. Ahora suponga el otro caso, y sea h ∈ N \{id} y a ∈ {1, 2, . . . , n } tal que h(a)  = a. Sea b = h(a). Ahora como h es par h  = (a b) y as´ı existen dos elementos más c y d, distintos, tales que h(c) = d. Sea e un quinto elemento distinto de a, b, c, y d, y sea h = (c d e)h(c d e)−1 . Entonces h ∈ N es tal que h (a) = b y h (d) = e luego h  = h y si g = h−1 h , entonces g ∈ N , donde g no es la identidad y g(a) = a. 

36

Cap´ıtulo 3. Conjugaci´ on

Lema 3.14 Sea n ≥ 5 y N  An . Si N contiene un 3-ciclo, N = An . Demostraci´ on: Por el lema 3.11 si N contiene un 3-ciclo, al ser normal también contiene los dem’as 3-ciclos. Ahora por 3.10 u), estos generan An .  Teorema 3.15 Si n ≥ 5, An es simple. Demostraci´ on: Procederemos por inducción sobre n. Sea N  A5 no trivial. Por el lema 3.13, existen g ∈ N \ {id} y a ∈ {1, . . . , 5} tales que g(a) = a. Sea h ∈ A5 tal que h(a) = 5, y g  = hgh −1 , luego g  (5) = 5 y g  ∈ N \ {id}. Defina H = {g ∈ A5 : g(5) = 5}, as´ı H ≤ G y H  A4 . Luego N ∩ H  H , y g  ∈ N ∩ H , y como el único subgrupo propio no trivial normal de A4 es V 4 , {(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} ⊂ N ∩ H . Ahora (1 2)(4 5) = (3 4 5)(1 2)(3 4)(3 4 5) −1 , luego (1 2)(4 5) ∈ N . Además (3 4 5) = (1 2)(3 4)(1 2)(4 5), as´ı (3 4 5) ∈ N . Entonces por el lema 3.14, N = A5 . Sea n > 5. Suponga que An−1 es simple. Sea N  An no trivial y H = {g ∈ An : g(n) = n}. Por el lema 3.13, existen g ∈ N \ {id} y a ∈ {1, . . . , n } tales que g(a) = a. Sea h ∈ An tal que h(a) = n, y g  = hgh −1 , luego g  (n) = n y g  ∈ N \ {id}. Luego N ∩ H  H , y g  ∈ N ∩ H , entonces N ∩ H = H , pues H  An−1 y An−1 es simple, as´ı N contiene un 3-ciclo y entonces por el lema 3.14, N = An .  3.16 Observaciones. i) Actualmente debe ser claro para el lector lo elegante de la conjugación en los grupos de permutaciones. Si h = ni=1 (ai bi ), entonces ghg −1 = n i=1 (g(ai ) g(bi )). Es impreciso hablar de una productoria en un grupo no abeliano, para que la identidad sea cierta se requiere que se considere el mismo orden en el producto que expresa ghg −1 que el que se usó para h. Lo anterior, evidentemente, no es lo único impresionante en todo esto.





´ ii) Uno de los objetivos de los primeros cursos en Algebra Abstracta es demostrar la insolubilidad de los polinomios de grado mayor o igual a cinco (“la insolubilidad de la quintica”). Por extraño que nos parezca actualmente, el hecho que An sea simple para n ≥ 5 es una de las razones para ello. Elegante, ¿no?. Sigamos entonces con nuestro estudio.

3.3.

Ejercicios

1. Pruebe que un grupo G es abeliano si y solo si todas sus clases de conjugación contienen exactamente un elemento de G. 2. Sea H un subgrupo de un grupo G. Para cada g ∈ G, el subconjunto gH g−1 es un conjugado de H . Probar que cada conjugado de H es un subgrupo de G y que la intersección de los conjugados de H es un subgrupo normal de G.

Cap´ıtulo 4

Acci´ on de grupo sobre un conjunto 4.1.

G-conjuntos

4.1 Definici´ on (Acci´ on de Grupo y G-conjunto): Sea X un conjunto y on de G sobre X es una aplicación ∗ : G × X → X tal G un grupo. Una acci´ que: i) e ∗ x = x, ∀x ∈ X ii) (g1 g2 ) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x), ∀x ∈ X, ∀g1 , g2 ∈ G Bajo estas condiciones, X es un G-conjunto. Cuando no halla lugar a confución notaremos g ∗ x por gx. 4.2 Nota. Aqu´ı definimos la acción “actuando por la izquierda”, algunos libros la prefieren “actuando por la derecha”. Por lo general esto último se hace cuando también se prefiere la composición por derecha (i.e. f ◦ g(x) = g(f (x))). 4.3 Ejemplo: Sea X un conjunto, y H un subgrupo de S X . Entonces X es un H -conjunto, donde la acción de H sobre X es la definida por gx = g(x). La condici´ on ii) de la definición 4.1, es una consecuencia inmediata de la definici´ on de multiplicación de permutaciones vista como composición, y la condición i), de la definición de la permutación identidad como la función identidad. Note que en particular, {1, . . . , n} es un S n -conjunto. 4.4 El siguiente teorema muestra que para cada G-conjunto X, dado un g ∈ G la aplicaci´ on σg : X → X definida por σg (x) = gx es una permutación de X , y que existe un homomorfismo Φ : G → S X tal que la acc´ıon de G sobre X es básicamente la descrita en el ejemplo 4.3 con H = Φ[G]. Por lo tanto, las acciones de los subgrupos de S X sobre X describen todas las posibles acciones de un grupo G sobre X . As´ı al momento de estudiar el conjunto X , acciones usando

38

Cap´ıtulo 4. Acci´ on de grupo sobre un conjunto

subgrupos de S X serán suficientes. Sin embargo, algunas veces, un conjunto X es usado para estudiar G v´ıa una acción de grupo G sobre X . Teorema 4.5 Sea X un G-conjunto. Para cada g ∈ G, la funci´ on σg : X → X definida por σg (x) = gx es una permutaci´ on de X . Adem´ as, la aplicaci´ on Φ : G → S X definida por Φ(g) = σg es un homomorfismo. As´ı Φ(g)(x) = gx, esto es: Φ : G −→ S X g −→ σg : X → X x → gx

Demostraci´ on: Dado g ∈ G, demostremos que x → gx es una biyección. Sean x, y ∈ X , tales que gx = gy. As´ı por 4.1 ii), ex = g −1 gx = g −1 gy = ey, luego por 4.1 i), x=y. Ahora, sea x ∈ X , tome x = g −1 x, as´ı gx  = gg −1 x = ex = x. Visto entonces que x → gx es una biyección, tiene sentido nuestra función Φ, pues x → gx es una permutación. Ahora, de la condición ii) de la definición 4.1 se sigue inmediatamente que Φ es un homomorfismo.  4.6 Definiciones (Acci´ on fiel, acci´ on transitiva): Sea X un G-conjunto. i) Decimos que G act´ ua fielmente sobre X si: dado un g ∈ G tal que gx = x para todo x, implica g = e. ii) Decimos que G act´ ua transitivamente sobre X si: para cada x1 , x2 ∈ X , existe un g ∈ G tal que gx 1 = x2 . 4.7 Observaci´ on. Sea X un G-conjunto. Seg´ un el teorema 4.5 y el corolario 2.13, el subconjunto N de G que deja todo elemento de X fijo es un subgrupo normal. Ahora, por el teorema fundamental del homomorfismo, a X lo podemos ver como un G/N -conjunto, donde gN x = gx. As´ı G/N act´ ua fielmente sobre X . 4.8 Ejemplos: i) Considere λg : G → G definida por λg (g  ) = gg  . Ahora λe = id y λg1 ◦ λg2 = λg1 g2 , luego si definimos g ∗ x = λg (x), G es un G-conjunto. Si H ≤ G, de misma forma podemos ver a G como un H -conjunto. Note que con las ρg : G → G, definidas por ρg (g  ) = g  g podemos definir un acción a derecha pero no a izquierda. ii) Recuerde κg : G → G definida por κg (g  ) = gg g −1 . Entonces, κe = id y κg1 ◦ κg2 = κg1 g2 , luego si definimos g ∗ x = λg (x), G es un G-conjunto. iii) Sea V un espacio vectorial sobre R, los axiomas 1v y (rs)v = r(sv), muestran que V se puede ver como un R∗ -conjunto, con el grupo < R∗ , ., 1 >.

Subgrupo estabilizador y ´ orbitas

39

iu) Sea S n = {x ∈ Rn+1 : x = 1} la esfera n-dimensional. Considere SO n+1 (R) = {U ∈ Mn+1×n+1 : det(U ) = 1 ∧ U U t = I } el conjunto de matrices ortonormales de dimensión n + 1 × n + 1. As´ı bajo la acci´ on n U ∗ x = U x, S es un SO n+1 (R)-conjunto. u) Sea H ≤ G y LH el conjunto de los coconjuntos izquierdos de H en G. Bajo la acci´ on g ∗ xH = (gx)H , LH es un G-conjunto. Esta acción será de gran utilidad (cf. Cap´ıtulo 6).

4.2.

Subgrupo estabilizador y o ´rbitas

4.9 Notaci´ on. Sea X un G-conjunto, notaremos: X g := {x ∈ X : gx = x}, y Gx := {g ∈ G : gx = x} Teorema 4.10 Sea X un G-conjunto. Entonces, Gx ≤ G, para todo x ∈ X . Demostraci´ on Sea x ∈ X . ex = x luego e ∈ Gx , si g ∈ Gx , g −1 x = g −1 gx = x, luego g −1 ∈ Gx , y finalmente si g1 , g2 ∈ Gx , g1 g2x = g1 x = x, entonces g1 g2 ∈ Gx .  4.11 Definici´ on (Subgrupo estabilizador): Dado X un G-conjunto. A Gx lo llamamos el subgrupo estabilizador de x. Teorema 4.12 Sea X un G-conjunto. La relaci´ on ∼ definida por x1 ∼ x2 si existe un g ∈ X tal que gx 1 = x2 , es de equivalencia. Demostraci´ on: ex = x, para todo x ∈ X , luego la relación es reflexiva.Sea x1 , x2 , x3 ∈ X . Si gx 1 = x2 , x1 = g −1 x2 , entonces la relación es simetrica. Ahora si g1 x1 = x2 y g2 x2 = x3 , tenemos que g2 g1 x1 = x3 , luego la relación es también transitiva.  ´ 4.13 Definici´ on (Orbitas): A la clase de equivalencia de x de la relación definida en 4.12, la llamamos ´ orbita de x, y la notaremos Gx. As´ı: Gx := {a ∈ X | ∃g ∈ G : gx = a} 4.14 Aunque la notación de la órbita y del estabilizador se parecen, no hay que confundirlos. Existen otras notaciones para estos conjuntos pero esta nos parece bastante descriptiva. Ahora bien, un lector prudente que ya se desenvuelva en esta teor´ıa, le parecerá el siguiente resultado muy natural. Teorema 4.15 |Gx| = (G : Gx ) Demostraci´ on: Si x ∈ Gx, con x = g1 x = g2 x entonces g1−1 g2 ∈ Gx , luego g1 Gx = g2 Gx . As´ı podemos definir ψ : Gx → {gG x }g∈G por ψ(gx) = gG x . Veamos que ψ es una biyección. Sea x1 , x2 ∈ Gx, tales que ψ(x1 ) = ψ(x2 ). Ahora, suponga que x1 = g1 x y x2 = g2 x, as´ı g1 Gx = g2 Gx luego existe un g ∈ Gx tal que g2 = g1 g, entonces x2 = g1 gx = g1 x = x1 . La sobreyectividad es evidente, dado g ∈ G, ψ(gx) = gG x . 

40

4.3.


Aplicaciones de G-conjuntos en combinatoria: La f´ ormula de Burnside

4.16 Suponga que queremos saber de cuantas maneras se puede marcar un dado c´ ubico de forma que cada marcada sea distinguible de las otras, sin importarnos que lados opuestos sumen siete. Para marcar la primera cara disponemos de 6 números, para la segunda de 5, y as´ı sucesivamente vemos que tenemos 6! = 720 formas de marcarlos, pero varias de estas marcadas no son distinguibles pues algunas se pueden obtener de otras mediante rotación. As´ı si consideramos las diferentes rotaciones del cubo como un grupo, y las 720 marcadas como un conjunto, dos de estas no son distinguibles si están en la misma órbita de la acci´ on “rotar el cubo”. Aqu´ı es donde el problema se une con nuestra teor´ıa, y para resolverlo usamos la fórmula de Burnside. Teorema 4.17 (La f´ ormula de Burnside) Sea G un grupo finito y X un Gconjunto. Si r es el n´ umero de ´ orbitas en X, entonces: r|G| = g∈G |X g |.



Demostraci´ on: Considere todos los pares (g, x) tales que gx = x, y sea N el n´ umero de dichos pares. Para cada g ∈ G, hay |X g | pares teniendo a g como primer elemento. Entonces: N = |X g | (4.1)



x∈X

Por otro lado, para cada x ∈ X , hay |Gx | pares teniendo a x como segundo elemento. Entonces: |Gx | N = (4.2)



x∈X

Ahora, por el teorema 4.15, |Gx| = (G : Gx ), y por el teorema de Lagrange (G : Gx ) = |G|/|Gx |, as´ı |Gx | = |G|/|Gx|, y remplazando en (4.2): N =



x∈X

|G| = |G| |Gx|



x∈X

1 |Gx|



(4.3)

Ahora |Gx| es el mismo para todo x ∈ Gx, luego x ∈Gx 1/|Gx| = 1, as´ı de (4.3), N = |G|r, y combinando esto con (4.1) obtenemos el resultado buscado. 



Corolario 4.18 Si G es un grupo finito y X un G-conjunto, entonces: (n´ umero de ´ orbitas en X bajo G) =

1 |G|



|X g |

g ∈G

4.19 Ejemplo: Continuemos con el problema del dado. Estábamos en que dos marcadas son distinguibles si y sólo si pertenecen a órbitas distintas, luego nuestro problema se reduce a contar el número de estas. Formalicemos la idea de actuar por “rotación del cubo”. Primero note que hay 24 posibles posiciones para el cubo mediante rotaciónes: cada cara se puede poner abajo (6 posibilidades),

La f´ ormula de Burnside

41

y después, la posición del cubo queda completamente determinada por la cara que se ponga al frente (4 posibilidades). Estas rotaciones, si etiquetamos cada vértice del cubo, se pueden identificar naturalmente con un subgrupo G de S 8 de 24 elementos (ver figura 4.1). As´ı |G| = 24, y además, dado g ∈ G con g  = e, se tiene |X g | = 0, pues toda rotación diferente a la identidad cambia de posición el dado. Sin embargo |X e | = 720. Entonces por el corolario 4.18, el número de 1 órbitas es 24 720 = 30. Luego el número de marcadas distinguibles es 30. 5

8

6

7

4

8 5

3

1

2

id

7 6

6

8

3 4

7

2

5

2

1

23416785

7

1

3

„ 12345678 «

6

4

„ 12345678 « 34127856

8

1 2

3

41238567

Teorema 4.20 Sea G un grupo. Sea A un G-conjunto y B un conjunto, ambos finitos. B A es un G-conjunto bajo g ∗ f definida por gf (x) = f (g −1 x). Adem´ as, si dado un k ∈ N∗ , denotamos C k (G) el conjunto de permutaciones en Φ[G], donde Φ es el homomorfismo del teorema 4.5, teniendo exactamente k ciclos en su descomposici´ on c´ıclica. Entonces: (n´ umero de ´ orbitas en B

1 bajo G) = |G|

+∞



4

„ 12345678 «

Figura 4.1: Rotaciones del cubo

A

5

|C k (G)||B |k

k=1

Demostraci´ on: Como ef (x) = f (e−1 x) = f (x) y (g1 g2 )f (x) = f ((g1 g2 )−1 x) = −1 −1 f (g2 g1 x) = g2 f (g1−1 x) entonces vemos que lo que se definió en el enunciado del teorema es una acción. Ahora bien, por la fórmula de Burnside, es suficiente demostrar que para un k ∈ N∗ dado: |C k (G)||B |k = |X g |



g∈C k (G)

Note que si σ es una permutación en A, como en la descomposición los c´ıclos son disyuntos, f (σ(a)) = f (a) para todo a ∈ A si y sólo si f es constante sobre cada c´ıclo de σ. Suponga que g ∈ C k (g), entonces BgA = {f ∈ B A : gf = f }, y BgA esta compuesta por todas las aplicaciones que son constantes en cada uno de los k c´ıclos de Φ(g −1 ), y estas son |B |k .  4.21 Ejemplo: Sean n c´ırculos iguales dispuestos en c´ırculo. Queremos ver cual es el n´ umero de coloraciones distinguibles que se logran con c colores. Note

42


que si consideramos los n c´ırculos como los vértices de un pol´ıgono convexo regular con n lados, entonces podemos usar el grupo diedral Dn para representar las distintas configuraciones de los c´ırculos. Sean entonces A el conjunto de los n c´ırculos, G = Dn (|G| = 2n) y B el conjunto de los c colores. Ahora cada coloración se puede ver como un elemento de B A , luego si el n´ umero de coloraciones distinguibles es N , tenemos N = n 1 k k=1 |C k (G)|c . 2n El n´ umero de rotaciones que son k nk -ciclos es el número de elementos en Zn que generan un subgrupo de orden nk , esto es |N k | donde N k = {a ∈ { 1, . . . , n} : (a, n) = k }. Ahora si n es impar, cada una de las n simetr´ıas pasa por un vértice, 1 luego es n− ıas 2 2-ciclos y un 1-ciclo. Y si n es par, cada una de las n/2 simetr´ 2 que pasan por un vértice es n− 2-ciclos y dos 1-ciclos, y cada una de las n/2 2 simetr´ıas que no pasan por algún vértice es n2 2-ciclos. Esto abarca todos los elementos de Dn . Entonces:



N =

4.4.

   

n+1

1 2n (

k|n

|N k |ck + c

1 2n (

k|n

|N k |ck + n2 (c 2 + c 2 +1 )) si n es par.

2

)

n

si n es impar n

Ejercicios

1. Sea X un G-conjunto, y sean x1 , x2 ∈ X tales que x1 y x2 se encuentran en la misma órbita. Probar que los estabilizadores Gx1 y Gx2 de x1 y x2 respectivamente, son subgrupos conjugados en G. Deducir que Gx1 y Gx2 tienen el mismo orden. 2. Sea X un G-conjunto, donde G es un grupo de permutaciones. Sea O una órbita de X bajo la acció n de G. Si x, y ∈ O, entonces pruebe que el conjunto de permutaciones en G que env´ıan x a y (es decir, el conjunto {σ ∈ G : σ(x) = y}) es un coset derecho de Gx . Contrariamente, pruebe que todos los elementos de un coset derecho de Gx env´ıan x al mismo punto en O. 3. Sea G un grupo de permutaciones actuando transitivamente sobre un con junto X . Entonces, G act´ ua sobre X × X , y una órbita de X × X bajo la acci´ on de G es llamada un ´ orbital (para diferenciarla de una órbita de X bajo G). Sea x ∈ X . Pruebe que existe una biyección entre los órbitales de X × X bajo G y las órbitas de X bajo la acción del subgrupo estabilizador Gx .

Cap´ıtulo 5

Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos 5.1.

Teoremas de Isomorfismos

Teorema 5.1 (Primer Teorema de Isomorfismo) Sea φ : G → G un homomorfismo con kernel K , y sea ρK : G → G/K la proyecci´ on can´ onica (i.e. ρK (g) = gK ). Entonces, hay un ´ unico isomorfismo ψ : G/K → φ[G] tal que φ = ψ ◦ ρK (ver figura 5.1).

G

φ

φ[G] ≤ G



ρK ψ

G/K

Figura 5.1: Primer Teorema de Isomorfismo 5.2 Definici´ on (join): Sean H, N ≤ G. Se define el join H ∨ N de H y de N por: H ∨ N :=< HN > 5.3 Observaci´ on. H ∨ N es el subgrupo más peque˜ no de G que contiene HN . Adem´ as H ∨ N es el subgrupo más pequeño de G conteniendo tanto a H como a N , puesto que cada uno de tales subgrupos debe contener HN . En general, HN no es un subgrupo de G. Lema 5.4 Si N  G, y H ≤ G, entonces H ∨ N = HN = N H . Adem´ as, si H  G, entonces HN  G.

44

Cap´ıtulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos

Demostraci´ on: La primera parte del lema no es sino una reformulación del teorema 2.21 iii). Ahora, supongamos además que H  G, y sea h ∈ H, n ∈ N y g ∈ G, luego ghng−1 = (ghg −1 )(gng −1 ) ∈ HN , y as´ı HN  G.  Teorema 5.5 (Segundo Teorema de Isomorfismo) Si H ≤ G y N  G, entonces HN/N  H/(H ∩ N ). Demostraci´ on: Como N  G entonces H ∩ N  H . Sean h, h 1 ∈ H y n, n1 ∈ N , 1 y suponga que h1 n1 = hn. Eso es equivalente a h−1 h1 = nn− ı h−1 h1 esta en 1 , as´ H y en N , es decir, h−1 h1 ∈ H ∩ N que es lo mismo que h(H ∩ N ) = h1 (H ∩ N ) elemento de H/(H ∩ N ). Luego podemos definir φ : HN → H/(H ∩ N ) por φ(hn) = h(H ∩ N ). Veamos que φ es un homomorfismo. Sean n1 , n2 ∈ N y h1 , h2 ∈ H . Como en el lema 5.4, se puede escribir n1 h2 = h2 n3 para alg´ un n3 ∈ N , puesto que N  G. Entonces: φ((h1 n1 )(h2 n2 )) = φ((h1 h2 )(n3 n2 )) = h1 h2 (H ∩ N ) = h1 (H ∩ N )h2 (H ∩ N ) = φ(h1 n1 )φ(h2 n2 ). Luego φ es homomorfismo, y es evidente que es sobreyectivo. Ahora, si hn ∈ HN es tal φ(hn) = N , esto es hnN = N ó hN = N luego h ∈ H ∩ N . As´ı Ker(φ) = (H ∩ N )N = N , y además φ[HN ] = H/(H ∩ N ), luego por el teorema 5.1 HN/N  H (H ∩ N ).  5.6 Ejemplos: i) Sea G = Z × Z × Z, H = Z × Z × {0}, y N = {0} × Z × Z. As´ı HN = G y H ∩ N = {0} × Z × {0}. Se tiene entonces que (HN )/N  Z y también que H/(H ∩ N )  Z. ii) Si H, K  G y K ≤ H , entonces H/K  G/K (compruebelo). Teorema 5.7 (Tercer Teorema de Isomorfismo) Sean H, K  G, con K ≤ H , entonces G/H  (G/K )(H/K ). Demostraci´ on: Sea φ : G → (G/K )(H/K ) dada por φ(a) = (aK )(H/K ), para a ∈ G. Claramente, φ es sobreyectiva, y para a, b ∈ G, se tiene que: φ(ab) = [(ab)K ](H/K ) = [(aK )(bK )](H/K ) = [(aK )(H/K )][(bK )(H/K )] = φ(a)φ(b) Entonces φ es homomorfismo. Ahora, si x ∈ G es tal que φ(x) = H/K , x ∈ H , luego por el teorema 5.1 se tiene que G/H  (G/K )(H/K ).  5.8 Nota. Una buena manera de ver el teorema 5.7 es mirando la aplicación can´ onica ρH : G → G/H siendo factorizada por un subgrupo normal K de G, obteniéndose ρH = ρH/K ◦ ρK , como se ilustra en 5.2

Series de Grupos

45 G

ρH

G/H

Homomorfismo natural

ρK

G/K

ρH/K

(G/K )(H/K )

Figura 5.2: Tercer Teorema de Isomorfismo

5.2.

Series de Grupos

5.9 Definiciones (Series normales y subnormales): i) Una serie subnormal de un grupo G es una secuencia finita H 0 , H 1 , . . . , Hn de subgrupos de G tal que H i < H i+1 , para todo i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, y tal que {e} = H 0  H 1  H 2  · · ·  H n−1  H n = G ii) Una serie normal es una serie subnormal donde además: H i  G, ∀i ∈ { 0, 1, . . . , n }. 5.10 Observaciones. i) Para un grupo abeliano, las nociones de series subnormales y normales coincide, puesto que todo subgrupo es normal. ii) Una serie normal es siempre subnormal. Pero lo contrario no es cierto (ver 5.11). 5.11 Ejemplos: i) {0}  8Z  4Z  Z, y {0}  9Z  Z, son series subnormales (y normales a la vez). ii) Considere D4 , el grupo de isometr´ıas del cuadrado (el grupo diedral). La serie {ρ0 }  {ρ0 , µ1 }  {ρ0 , ρ2 , µ1 , µ2 }  D4 es subnormal, pero no es normal, puesto que {ρ0 , µ1 } no es normal en D4 . 5.12 Definici´ on (Refinamiento): Una serie subnormal (normal) {K j }j ∈{0,1,...,m } es un refinamiento de una serie subnormal (normal) {H i }i∈{0,1,...,n } de un grupo G si {H i }i∈{0,1,...,n } ⊂ { K j }j∈{0,1,...,m} (i.e. cada H i es uno de los K j ) 5.13 Ejemplo: La serie {0}  72Z  24Z  8Z  4Z  Z es un refinamiento de la serie {0}  72Z  8Z  Z (note que los subgrupos 4 Z y 24Z han sido insertados). 5.14 Para estudiar le estructura de un grupo G, los grupos factor H i+1 /H i son de mucha utilidad.

46


5.15 Definici´ on (Series isomorfas): Dos series subnormales (normales) {H i }i∈{0,1,...,n } y {K j }j ∈{0,1,...,n } de un mismo grupo G son isomorfas si existe una correspondencia biun´ıvoca entre las colecciones de grupos factores, esto es entre {H i+1 /H i }i∈{0,1,...,n −1} y {K j+1 /K j }j ∈{0,1,...,n −1} tal que los grupos correspondientes son isomorfos 5.16 Observaci´ on. Claramente dos series subnormales (normales) isomorfas deben contener el mismo número de grupos. 5.17 Ejemplo: Las dos series de Z15 : {0} < 5 > Z15 y {0} < 3 > Z15 , son isomorfas. Tanto Z15 / < 5 > como < 3 > /{0} son isomorfos a Z5 , y Z15 / < 3 > es isomorfo a < 5 > / {0}, o a Z3 . Teorema 5.18 (Lema de Zassenhaus (mariposa)) Sean H y K dos subgrupos de un grupo G y sean H ∗ y K ∗ subgrupos normales de H y K respectivamente. Entonces (ver figura 5.3): i) H ∗ (H ∩ K ∗ )  H ∗ (H ∩ K ) ii) K ∗ (H ∗ ∩ K )  K ∗ (H ∩ K ) iii)

H ∗ (H ∩ K )H ∗ (H ∩ K ∗ )  K ∗ (H ∩ K )/K ∗(H ∗ ∩ K )  (H ∩ K )/[(H ∩ K ∗ )(H ∗ ∩ K )]

H

K ∗

∗

H (H ∩ K)

K (H ∩ K)

H ∩ K ∗

∗

∗

H (H ∩ K )

∗

K (H ∩ K)

∗

H

K

∗

H ∩ K

H ∩ K ∗

∗

∗

∗

(H ∩ K )(H ∩ K)

Figura 5.3: Lema de la Mariposa Demostraci´ on: H ∗  H y H ∩ K es un subgrupo tanto de H como de K , luego por el lema 5.4 H ∗ (H ∩ K ) es grupo. De manera análoga vemos que H ∗ (H ∩ K ∗ ), K ∗ (H ∩ K ), y K ∗(H ∗ ∩ K ) también lo son. Ahora si r∗ ∈ H ∗ ∩ K y s ∈ H ∩ K , entonces sr∗ s−1 esta en H ∗ y en K , pero esto es sr∗ s−1 ∈ H ∗ ∩ K . Luego H ∗ ∩ K  H ∩ K . Con un mismo argumento

Series de Grupos

47

vemos que H ∩ K ∗  H ∩ K . Y as´ı por el lema 5.4 (H ∗ ∩ K )(H ∩ K ∗ ) = (H ∩ K ∗ )(H ∗ ∩ K ) =: L  H ∩ K . Veamos ahora que las tres inclusiones marcadas con negrita en la figura 5.18 son normales y sus grupos factores isomorfos, con eso habremos probado el lema. Para eso nos valdremos de un homomorfismo adecuadamente definido y del primer teorema de isomorfismo. 1 Sean h1 , h2 ∈ H ∗ y x1 , x2 ∈ H ∩ K tales que h1 x1 = h2 x2 , esto es h− 2 h1 = −1 x2 x1 ∈ H ∗ ∩ (H ∩ K ) = H ∗ ∩ L ⊂ L. Luego x1 L = x2 L. Luego podemos definir φ : H ∗ (H ∩ K ) → (H ∩ K )/L por φ(h∗ x) = xL donde h∗ ∈ H ∗ y x ∈ H ∩ K . Sean h1 , h2 ∈ H ∗ y x1 , x2 ∈ H ∩ K , como H ∗  H , entonces existe h ∈ H ∗ tal que x1 h2 = hx1 . As´ı φ((h1 x1 )(h2 x2 ) = φ((h1 h)(x1 x2 )) = (x1 x2 )L = x1 Lx2 L = φ(h1 x1 )φ(h2 x2 ). Entonces φ es homomorfismo. Claramente φ es sobreyectivo. Ahora si h ∈ H ∗ , y x ∈ H ∩ K , son tales que φ(hx) = L, la condici´ o n es ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ equivalente a x ∈ L ó a hx ∈ H L = H (H ∩ K )(H ∩ K ) = H (H ∩ K ). Luego Ker(φ) = H ∗ (H ∩ K ). Entonces como φ es sobreyectivo con kernel H ∗ (H ∩ K ), por el teorema 5.1 H ∗ (H ∩ K )/H ∗ (H ∩ K )  (H ∩ K )/L y además Ker(φ)  Dom(φ). Y con un homomorfismo similar de K ∗ (H ∩K ) en (H ∩K )/L demostramos lo que falta de la prueba.  5.19 Suponga que tiene dos cadenas de subgrupos de un mismo grupo G: H i−1  H i  H i+1 y K j  K j +1 . Teniendo en mente el lema 5.18, note H m,n := H m (H m+1 ∩K n ) y K m,n := K m (K m+1 ∩H n ). As´ı, tendremos unas cadenas como las que se muestran en la figura 5.4 donde los grupos factor formados por los grupos unidos por lineas de mismo espesor son isomorfos. Vale la pena notar que en caso de tener series y no simples cadenas, las lineas en negrita de cada lado de la figura estar´ıan conectadas, ya que las series empiezan en {e} y terminan en G. Esto es lo que se explica formalmente en el Teorema 5.20. Teorema 5.20 (Teorema de Schreier) Dos series subnormales (normales) de un mismo grupo tienen refinamientos isomorfos. H i+1  ¡

$

$

$

$

$

&

&

&

&

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&

$

$

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&

&

&

$ &

$ &

H i,j+1

Kj,i+1

$



&

Kj+1

§¦

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

3 4

#"

Kj,i

!

5 6

5 6

H i

£¢

' (

' (

' (

' (

' (

)

)

)

)

)

0

0

0

0

0

' (

H i,j

5 6

5 6

©¨

5 6

)

)

)

)

)

0

0

0

0

0

5 6



)

)

)

)

)

0

0

0

0

0





H i

1

−

)

)

)

)

)

0

0

0

0

0

1

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1

1 2

1

1 2

¥¤



1

1 2

H i

1,j +1

−

Kj,i

1

−

1 2

1 2

H i 1 2

1,j

−

Figura 5.4: Teorema de Schreier

Kj

48


Demostraci´ on: Sea G un grupo y sean:

{e} = H 0  H 1  . . .  H n = G

(5.1)

{e} = K 0  K 1  . . .  K m = G

(5.2)

dos series subnormales para G. Para i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} forme la cadena de grupos: H i = H i (H i+1 ∩ K 0 )  H i (H i+1 ∩ K 1 )  H i (H i+1 ∩ K 2 )  . . .  H i (H i+1 ∩ K m ) = H i+1 . Despu´ es de hacer todas estas cadenas para cada i ∈ { 0, 1, . . . , n − 1} y notando H i,j := H i (H i+1 ∩ K j ), se obtendrá la siguiente cadena de grupos:

{e} = H 0,0  H 0,1  H 0,2  . . .  H 0,m−1  H 1,0  H 1,1  H 1,2  . . .  H 1,m−1  H 2,0  H 2,1  H 2,2  . . .  H 2,m−1  H 3,0 .. .  H n−1,1  H n−1,2  . . .  H n−1,m−1  H n−1,m = G (5.3) Esta cadena 5.3 contiene nm + 1 grupos, no necesariamente distintos, donde H i,0 = H i , para cada i ∈ { 0, 1, . . . , n − 1}. Por el lema de Zassenhaus, la cadena 5.3 es una subnormal, es decir, cada grupo es normal en el siguiente grupo (lo que justifica el uso del signo  en lo que sabemos ahora que es una serie). Entonces la cadena 5.3 es un refinamiento de la cadena 5.1. En forma simétrica, si K j,i = K j (K j +1 ∩ K i ), para j ∈ {0, 1, . . . , , m − 1} e i ∈ { 0, 1, . . . , , n}, tenemos la siguiente serie subnormal:

{e} = K 0,0  K 0,1  K 0,2  . . .  K 0,n−1  K 1,0  K 1,1  K 1,2  . . .  K 1,n−1  K 2,0  K 2,1  K 2,2  . . .  K 2,n−1  K 3,0 .. .  K m−1,1  K m−1,2  . . .  K m−1,n−1  K m−1,n = G (5.4) La cadena 5.4 contiene también mn + 1 grupos, no necesariamente distintos, donde K j,0 = K j , para cada j ∈ {0, 1, . . . , m − 1}. Entonces por un argumento similar, la cadena 5.4 es un refinamiento de la cadena 5.2. Por el lema de Zassenhaus, se tiene que: H i (H i+1 ∩ K j +1 )/H i (H i+1 ∩ K j )  K j (K j+1 ∩ H i+1 )/K j (K j+1 ∩ H i ) o lo que es equivalente: H i,j+1 /H i,j  K j,i+1 /K j,i , ∀(i; j) ∈ {0, . . . , n − 1} × {0, . . . , m − 1}

(5.5)

La relaci´ on 5.5 de isomorfismo, proporciona una correspondencia biun´ıvoca de grupos factor isomorfos entre las series subnormales 5.3 y 5.4. Para verificar esta

Series de Grupos

49

correspondencia note que H i,0 = H i y H i,m = H i+1 , mientras que K j,0 = K j y K j,n = K j +1 . Cada cadena en 5.3 y 5.4 contiene un arreglo rectangular de mn s´ımbolos . Cada  produce un factor. Los grupos factor inducidos por  en la i-´ esima fila en 5.3 corresponden a los grupos factor inducidos por  en la misma columna en 5.4. Eliminando subgrupos repetidos de las cadenas 5.3 y 5.4, se obtiene series subnormales de grupos distintos que son refinamientos isomorfos de las cadenas 5.1 y 5.2, con lo que se pruebe el teorema para series subnormales. Para series normales, donde los H i ’s y los K j ’s son normales en G, se tiene que todos los grupos H i,j y K j,i formados anteriormente son normales en G, por lo tanto, el teorema también se cumple para estas series. La normalidad de H i,j y K j,i se obtiene por el lema 5.4 y por el hecho que la intersección de subgrupos normales de un grupo, es tambi´ en subgrupo normal.  5.21 Definici´ on (Serie compuesta y serie principal) i) Una serie subnormal {H i }i∈{0,1,...,n} de un grupo G es una serie compuesta si todos los grupos factor H i+1 /H i son simples. ii) Una series normal {H i}i∈{0,1,...,n } de G es una serie principal si todos los grupos factor H i+1 /H i son simples 5.22 Observaciones. i) H i+1 /H i es simple si y solo si H i es normal máximal en H i+1 . ii) En los grupos abelianos, los conceptos de serie compuesta y serie principal coinciden. iii) Como cada serie normal es subnormal, cada serie principal es una serie compuesta para todo grupo, abeliano o no. 5.23 Ejemplos: i) Z no tiene serie compuesta ni serie principal: Sea {0} = H 0  H 1  . . .  H n−1  H n = Z una serie subnormal. H 1 debe ser de la forma rZ para alg´ un r ∈ Z+ . Pero H 1 /H 0  Z, es un grupo c´ıclico infinito con muchos subgrupos normales no triviales, por ejemplo 2rZ. Entonces Z no contiene series compuestas, ni tampoco principales. ii) {id}  An  S n , con n ≥ 5, es una serie compuesta y tambi´ en principal de S n , puesto que An /{id}  An , es simple para n ≥ 5, y S n /An  Z2 también. 5.24 Observaciones. i) Como se observó anteriormente, en una serie compuesta, cada H i debe ser normal máximal en H i+1 . Entonces, para formar una serie compuesta de un grupo G, se debe tratar de encontrar un subgrupo normal máximal

50

Cap´ıtulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos H n−1 de G, después H n−2 subgrupo normal máximal de H n−1 y as´ı sucesivamente. Si el proceso anterior termina en un número finito de pasos, se tiene una serie compuesta. De la misma forma, se puede construir una serie principal de G con la restricci´ on que cada i, H i  G.

ii) Además, como “H i es normal máximal en H i+1 si y solo si H i+1 /H i es simple” (ver teorema 2.51), una serie compuesta, no puede tener ningún refinamiento. Teorema 5.25 (Teorema de Jordan-H¨ older) Cualquier par de series compuestas (principales) de un grupo G son isomorfas. Demostraci´ on Sean {H i }i∈{0,...,n} y {K i}i∈{0,...,m} dos series compuestas (principales) de G. Por el Teorema de Schreier (5.20), estas series tienen refinamientos isomorfos. Pero como todos los grupos factor son simples, entonces por el teorema 2.51, estas series no pueden ser refinadas, lo cual implica que {H i }i∈{0,...,n } y {K i }i∈{0,...,m } son isomorfas (y por lo tanto n = m).  5.26 En el caso de grupos finitos, se puede ver una serie compuesta como una factorizaci´ on de un grupos en grupos factor simples, análoga a la factorización de un entero positivo en primos. En ambos casos, la factorización es u ´ nica módulo el orden de los factores. No hace entonces falta enfatizar más en la importancia del teorema de Jordan-Hölder. Teorema 5.27 Si G tiene una serie compuesta (principal), y si N es un subgrupo normal propio de G, entonces existe una serie compuesta (principal) conteniendo a N . Demostraci´ on: La serie {e}  N  G es una serie tanto subnormal como normal de G. Como G tiene una serie compuesta {H i}i∈{0,...,n } , entonces por el teorema de Schreier (5.20), existe un refinamiento de {e}  N  G en una serie subnormal isomorfa al refinamiento de {H i }i∈{0,...,n } . Pero como {H i }i∈{0,...,n} es una serie compuesta esta no se puede refinar más. Por lo tanto, la serie {e}  N  G puede refinarse a una serie subnormal donde todos sus grupos factores son simples, esto es a una serie compuesta. Un argumento similar se tiene en el caso en que {H i }i∈{0,...,n } sea principal.  5.28 Ejemplo: Una serie compuesta (también principal) de Z4 × Z9 conteniendo al subgrupo < (0, 1) > es: (0, 0) < (0, 3) >< (0, 1) >< 2 > × < 1 >< 1 > × < 1 >= Z4 × Z9 A continuación se define la solubilidad de un grupo. Se darán dos definiciones de solubilidad: “solubilidad fuerte” usada por Fraleigh, y la “solubilidad cl´ asica” la cual llamaremos simplemente “solubilidad”. 5.29 Definici´ on (Grupo soluble fuerte): Un grupo se dice soluble fuerte si tiene una serie compuesta {H i }i∈{0,...,n } tal que todos los grupos factor

Cadena Central Ascendente

51

H i+1 /H i son abelianos. Definici´ on (Grupo soluble): Un grupo se dice soluble si tiene una serie subnormal {H i }i∈{0,...,n} tal que todos los grupos factor H i+1 /H i son abelianos. 5.30 Observaci´ on. Por el teorema de Jordan-Hölder (5.25), se tiene que para un grupo soluble fuerte, toda serie compuesta {H i }i∈{0,...,n} debe tener grupos factor H i+1 /H i abelianos. 5.31 Ejemplos: i) S 3 es soluble fuerte, puesto que la serie compuesta {e}  A3  S 3 tiene grupos factor A3 /{e}  Z3 y S 3 /A3  Z2 , los cuales son abelianos. ii) S 5 no es soluble fuerte, puesto que A5 es simple y la serie {e}  A5  S 5 es compuesta, pero A5 /{e}  A5 no es abeliano.

5.3.

Cadena Central Ascendente

5.32 Recordemos que el centro de un grupo G es: Z (G) := {z ∈ G : zg = gz, ∀g ∈ G}. Sabemos que Z (G)  G, entonces G/Z (G) es un grupo factor. Ahora, se podr´ıa encontrar el centro del grupo factor G/Z (G), es decir, Z (G/Z (G)). Como Z (G/Z (G))  G/Z (G), entonces si ρG/Z(G) : G → G/Z (G) 1 es el homomorfismo canónico, ρ− G/Z(G) [Z (G/Z (G))] =: Z 1 (G) es un subgrupo normal G. Se puede entonces formar el grupo factor G/Z 1 (G) y encontrar su centro, y si ρG/Z1 (G) : G → G/Z 1 (G) es el homomorfismo canónico, tomando 1 ρ− ı sucesivamente. G/Z1 (G) de dicho centro obtener Z 2 (G), y as´ 5.33 Definici´ on (Cadena central ascendente): Sean: Z 0 := {e} 1 Z n+1 := ρ− n [Z (G/(Z n (G)))], donde ρn : G → G/Z n (G) es el homomorfismo canónico

La cadena {e} ≤ Z 1 (G) ≤ Z 2 (G) ≤ . . . es la cadena central ascendente.(Note que Z 1 (G) = Z (G)) 5.34 Ejemplos: i) Z (S 3 ) = {id}, entonces la cadena central ascendente de S 3 es: {id} ≤ {id} ≤ . . . ii) Z (D4 ) = {id, (1 3)(2 4)}, entonces la cadena central ascendente de D4 es: {id} ≤ {id, (1 3)(2 4) } ≤ D4

52

5.4.


Ejercicios

1. Sea H  G y sea K = {a ∈ G : ax = xa, para todo x ∈ H }. Sea A el grupo de automorfismos de H y sea I el grupo de automorfismos internos de H . Para cada a ∈ G, sea ϕa el automorfismo de H tal que para todo x ∈ H , ϕa (x) = axa−1 . Denote por ϕ : G → A la aplicaci´ on definida por: a → ϕa . a ) Determinar Ker(ϕ). b) Probar que HK es un subgrupo normal de G. c) Probar que existe un homomorfismo inyectivo de G/HK en A/ I . d ) Probar que HK/K ∼ = I . 2. Sean G1 y G2 dos grupos no isomorfos de centros Z (G1 ) y Z (G2 ) respectivamente. Pruebe que Z (G1 × G2 ) es isomorfo a Z (G1 ) × Z (G2 ). 3. Sea H un subgrupo de un grupo G. Sea Ω = {aH : a ∈ G} el conjunto de cosets izquierdos de H en G. Defina la acción de G sobre Ω por traslaci´ on, es decir, para cada g ∈ G y para cada aH ∈ Ω, g(aH ) = (ga)H . a ) Determine el subgrupo estabilizador GaH para el elemento fijo aH ∈ Ω. b) Sea ϕ la aplicaci´ on de G en el conjunto de permutaciones de Ω definida por: ∀g ∈ G, ∀a ∈ G, ϕ(g)(aH ) = (ga)H . Entonces, (i) pruebe que ϕ es un homomorfismo de grupos; (ii) Pruebe que Ker(ϕ) = aHa−1 .



a∈G

c) Sea N un subgrupo normal de G tal que N es un subgrupo propio de H . Pruebe que N ⊂ aHa−1 . Deduzca que el grupo aHa−1



a∈G

es el subgrupo normal más grande de G contenido en H .



a∈G

Cap´ıtulo 6

Teoremas de Sylow y Grupos libres 6.1.

Teoremas de Sylow

6.1 Teniendo ya completamente caracterizados los grupos abelianos, podemos buscar un estudio más general de los no-abelianos. Sabiendo que el rec´ıproco del teorema de Lagrange no es cierto, es natural preguntarnos de que orden tiene subgrupos (normales o no) un grupo dado , y que relación hay entre ellos. Nuestro objetivo inmediato es ver que por cada potencia de un primo que divida el orden de un grupo dado, ese grupo tiene un subgrupo de orden esa potencia. En toda esta sección p es primo. 6.2 Observaci´ on. Sea X un G-conjunto finito. Sea r es el n´ umero de órbitas en X y X G := ∩g∈G X g el conjunto de los elementos de órbitas unipuntuales. Si {xi }i∈{1,...,r} es un conjunto de representantes de las órbitas de X con {xi }i∈{1,...,|XG |} = X G entonces: r

|X | = |X G | +



|Gxi |

(6.1)

i=|XG |+1

Teorema 6.3 Si G es un grupo de orden pn y X un G-conjunto finito, |X | ≡ |X G|(mod p). Demostraci´ on: Por el teorema 4.15, |Gx| | |G| = pn , luego |Gx| = pm , para r alg´ un m ∈ {0, 1, . . . , n }. As´ı en (6.1), p | i=|XG |+1 |Gxi |, de donde |X | ≡ |X G|(mod p). 



6.4 Definici´ on ( p-grupo, p-subgrupo): Sea p primo. Un grupo en el cual todos los elementos tienen orden una potencia de p, es un p-grupo. Un subgrupo que es un p-grupo, lo llamamos p-subgrupo.

54

Cap´ıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

Teorema 6.5 (Teorema de Cauchy) Si G es un grupo finito y p | |G|, entonces G tiene un elemento de orden p y por lo tanto, un subgrupo de orden p. Demostraci´ on: Sea X = {(g1 , g2 , . . . , g p) ∈ G p | g1 g2 . . . g p = e}. Sean g1 , . . . , g p−1 , p − 1 elementos en G, as´ı (g1 , g2 , . . . , g p ) ∈ X si y sólo si g p = (g1 . . . g p−1 )−1 , vemos entonces que |X | = |G| p−1 , luego p también divide |X |. Sea σ el ciclo (1 2 . . . p) en S p . Si (g1 , g2 , . . . , g p) ∈ X , gσ(1) gσ(2) . . . gσ( p) = g2 . . . g pg1 = e, luego bajo la acción σ k ∗ (g1 , g2 , . . . , g p ) = gσk (1) gσk (2) . . . gσk ( p) , X es un < σ >conjunto. Ahora, | < σ > | = p y as´ı por el teorema 6.3, 0 ≡ |X | ≡ |X <σ> |(mod p), esto es p | |X <σ> |. Pero como los elementos de X <σ> son de la forma (g , g , . . . , g ), y (e , e , . . . , e) ∈ X <σ> entonces |X <σ> | > 1 y as´ı existe a  = e tal que a p = e. | < a > | = ord(a) = p.  Corolario 6.6 Sea G un grupo finito. G es p-grupo si y s´ olo si |G| = pn para alg´ un n ∈ N. Demostraci´ on: Suponga G p-grupo y pn q1r1 . . . qsrs una descomposició n de |G| en potencias de primos distintos. Suponga por contradicción que ri > 0 para alg´ un i ∈ {1, . . . , s }, por el teorema de Cauchy, existe b ∈ G tal que ord(b) = qi , lo cual contradice la hipótesis de G p-grupo. El converso es una consecuencia inmediata del teorema de Lagrange.  6.7 Definici´ on (Normalizador): Sea H ≤ G, el normalizador de H es el subgrupo N [H ] definido por: N [H ] := {g ∈ G| gH g−1 = H } 6.8 Observaci´ on: Es f´ acil ver que N [H ] es el subgrupo de G m´ as grande en el cual H es normal. Lema 6.9 Si H un p-subgrupo de un grupo finito G, entonces (N [H ] : H ) ≡ (G : H )(mod p). Demostraci´ on: Considere (G/H ) el conjunto de los coconjuntos izquierdos de H en G. Bajo h ∗ gH = (hg)H , G/H es un H -conjunto. Sea gH ∈ (G/H )H , esto es (hg)H = gH para todo h ∈ H , o´ g −1 hg ∈ H . Entonces gH ∈ (G/H )H si y sólo si g ∈ N [H ]. Luego |(G/H )H | = (N [H ] : H ). Ahora el orden de H , por ser p-subgrupo, es una potencia de p, luego por el teorema 6.3 |(G/H )H | ≡ |(G/H )|(mod p), que es lo que quer´ıamos establecer.  Corolario 6.10 Si H es un p-subgrupo de un grupo finito G tal que p | (G : H ), entonces N [H ]  = H . Demostraci´ on: 0 ≡ (G : H ) ≡ (N [H ] : H )(mod p), luego (N [H ] : H )  = 1, de donde N [H ]  = H . 

Teoremas de Sylow

55

Teorema 6.11 (Primer teorema de Sylow) Sea G un grupo tal que |G| = pn m, donde n ≥ 1, p primo y p | m. Tenemos que: i) G contiene un subgrupo de orden pi , para cada i ∈ { 1, . . . , n}. ii) Todo subgrupo de G de orden pi es normal en un subgrupo de orden pi+1 , para i ∈ {1, . . . , n − 1}. Demostraci´ on: Haremos inducción en i. Por el teorema de Cauchy, G contiene un subgrupo de orden p. Ahora suponga que H es un subgrupo de orden pi−1 , con i ≤ n, as´ı como |G| = pn m, p | (G : H ), entonces por el lema 6.9, p | (N [H ] : H ) = |N [H ]/H |. Luego N [H ]/H contiene un subgrupo K de orden p. Considere 1 ρH la proyecci´ on canónica con dominio N [H ], as´ı ρ− H [K ] es subgrupo de G de i orden p.ord(H ) = p en el cual H es normal.  6.12 Definici´ on ( p-subgrupo de Sylow): Un p-subgrupo es de Sylow si es m´ aximal (i.e. Ning´ un otro p-subgrupo lo contiene). 6.13 Observaci´ o n y nota. Por el teorema 6.11, todos los p-subgrupos de Sylow de un grupo dado, tienen el mismo cardinal. Esta teor´ıa fue desarrollada por el noruego Ludvig Mejdell Sylow (1832-1918). Teorema 6.14 (Segundo teorema de Sylow) Si P 1 y P 2 son dos p-subgrupos de Sylow de un grupo finito G, entonces P 1 y P 2 son conjugados. Demostraci´ on: Considere la acción de P 2 sobre (G/P 1 ) definida por y ∗ xP 1 = (yx)P 1 . As´ı por el teorema 6.3, |(G/P 1 )P 2 | ≡ |(G/P 1 )|(mod p). Ahora por el teorema 6.11, |G/P 1 | = (G : P 1 ) no es divisible por p, pues de lo contrario P 1 no  0. Si xP 1 ∈ (G/P 1 )P 2 entonces yx ∈ P 1 = seria máximal. Luego |(G/P 1 )P 2 | = −1 x P 1 , o´ x yx ∈ P 1 , para todo y ∈ P 2 , luego x−1 P 2 x ⊆ P 1 . Pero |P 2 | = |P 1 |, entonces x−1 P 2 x = P 1 .  Teorema 6.15 (Tercer teorema de Sylow) Si G es un grupo finito y p | |G|, entonces el n´ umero de p-subgrupos de Sylow es congruente con 1 m´ odulo p y divide |G|. Demostraci´ on: Sea P un p-subgrupo de Sylow y L el conjunto de p-subgrupos de Sylow en G. Considere P actuando por conjugación sobre L. As´ı |LP | ≡ |L|(mod p). Ahora si T ∈ LP , entonces xT x−1 = T , para todo x ∈ P , as´ı P ≤ N [T ] (ver observaci´ on 6.8). T ≤ N [T ], entonces T y P son p-subgrupos de Sylow, luego, por el segundo teorema de Sylow, son conjugados en N [T ]. Pero T  N [T ], entonces T = P . De donde, LP ={P }. Entonces 1 ≡ | LP | ≡ | L|(mod p). Si ponemos a G actuar por conjugaci´ on, como todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados, bajo esta acción hay una u ´ nica órbita en L. Para P ∈ L, su estabilizador es N [P ], luego por el teorema 4.15 |L| = (G : N [P ]), (G : N [P ]) | |G|, luego |L| | |G|. 

56

6.2.


Aplicaciones de la teor´ıa de Sylow

6.16 Ejemplo: Veamos que ning´ un grupo G de orden 15 = 3 · 5 es simple. Por el primer teorema de Sylow, G tiene un 5-subgrupo, ¿cuantos más?, seg´ un el tercer teorema de Sylow estos son, 1, 6 ó 11, pero de estas opciones la única que divide 15 es 1. Luego G tiene un único 5-subgrupo, que es de Sylow. Su conjugado también es otro 5-subgrupo de Sylow, pero como hay uno solo, este es normal. Luego G no es simple. Teorema 6.17 Todo grupo G con orden potencia de un primo p, es fuertemente soluble. Demostraci´ on: Si |G| = pn , G es un p-grupo y entonces por el primer teorema de Sylow, tiene una serie normal con factores de orden p. As´ı los factores son abelianos y simples (¿por qué?). Luego la serie es compuesta y sus factores abelianos, esto es G es fuertemente soluble.  6.18 Definici´ on (Ecuaci´ on de clase): Sea X el G-conjunto donde G esta actuando por conjugación sobre X = G. Si tomamos c = |Z (G)| = |X G | y ni = |Gxi | como en (6.1), tenemos:

|G| = c + nc+1 + nc+2 + . . . + nr que es lo que llamamos la ecuaci´ on de clase de G. 6.19 Observaci´ on a la definici´ on 6.18. Como ni = (G : Gxi ) entonces por el teorema de Lagrange ni | |G|. La ecuación de clase nos dice algo muy natural: el cardinal de G es la suma de los cardinales de sus clases de conjugación. 6.20 Ejemplo: Las clases de conjugación de S 3 son {ρ0 }, {ρ1 , ρ2 } y {µ1 , µ2 , µ3 }. Su ecuación de clase es entonces |S 3 | = 1 + 2 + 3. Teorema 6.21 El centro de un p-grupo no trivial es no trivial.



Demostraci´ on: Sea G un p-grupo no trivial y |G| = c + i ni su ecuación de clase. Como cada ni | | G| y |G| = pn para alg´ un n ∈ N∗ entonces c ≡ 0(mod p). Ahora, e ∈ Z (G) luego c ≥ p pues |Z (G)| ≥ 1 y p | c. Como p ≥ 2, Z (G) es no trivial.  Lema 6.22 Sea G un grupo. Si G tiene dos subgrupos normales H y K tales que H ∩ K = {e} y H ∨ K = G entonces G  H × K . Demostraci´ on: Defina φ : H × K → G por φ(h, k) = hk. Por el teorema 2.21 iu), φ((h, k)(h , k  )) = φ(hh , kk  ) = hh kk  = hkh k = φ(h, k)φ(h , k  ). Ahora suponga que hk = e, luego h = k −1 ∈ H ∩ K , as´ı h = k = e, luego φ es inyectivo. Y como HK = H ∨ K , φ es también sobreyectivo.  6.23 Observaci´ on. Dadas las hipótesis del lema anterior, decimos que G es el producto interno de H y K . Aunque este concepto no lo usaremos mucho acá, es válido observar que algo semejante se tiene en el álgebra lineal.

Grupos abelianos libres

57

Teorema 6.24 Sea p un primo. Todo grupo de orden p2 es abeliano. Demostraci´ on: Sea G un grupo de orden p2 . Suponga que G no es c´ıclico, as´ıtodo elemento de G excepto la identidad tiene orden p. Luego, si a ∈ G es distinto de la identidad, < a > no es todo G, y si b ∈ / < a >, ∩ < a >= {e}. Por otro lado por el primer teorema de Sylow, < a > y son subgrupos normales de G, además | < a > ∨ | = p2 (¿Por qué?), entonces por el lema 6.22, G < a > × . Luego G es abeliano.  Teorema 6.25 Si p y q son primos con p < q, entonces todo grupo de orden pq tiene un ´ unico subgrupo de orden q. Mas a´ un el subgrupo de orden q es normal, luego G no es simple y si q  ≡ 1(mod p), G es c´ıclico. Demostraci´ on: Por los teoremas de Sylow, G contiene un n´ umero n de qsubgrupos de Sylow que es congruente a 1 módulo q y que divide a pq. De esto u ´ ltimo n| p, pero p < q luego n = 1. As´ı por el segundo teorema de Sylow, si Q es el q-subgrupo de Sylow de G, Q  G. De la misma forma, el número m de p-subgrupos de Sylow divide a q y es con≡ 1(mod p), m = 1. As´ı si gruente a 1 módulo p. As´ı m ∈ { 1, q }. Entonces si q  P es el p-subgrupo de Sylow de G, P  G, y Q ∩ P = {e}. As´ı G  P × Q   Z p × Zq  Z pq .

6.3.

Grupos abelianos libres

6.26 Imagin´ emonos que quisieramos sumar entidades sin ninguna relación entre ellas, diga usted cuadrados y triángulos. Probablemente no querr´ıamos que la suma de un cuadrado, un triángulo, y otro cuadrado diera algo diferente a dos cuadrados y un triángulo. Estamos sumando triángulos y cuadrados formalmente, y algo as´ı es lo que ahora consideraremos. 6.27 Definici´ on (Grupo abeliano libre, base): Una terna (G,A,i) que consta de un grupo abeliano G, un conjunto A y un función i : A → G, se llama un grupo abeliano libre si para todo grupo abeliano H y toda funció n de f : A → H , existe un único homomorfismo f : G → H tal que (ver figura 6.1): f ◦ i = f El conjunto A es la base de G.





G

e

f

H

i f

A

Figura 6.1: Grupo abeliano libre

58


Teorema 6.28 Si (G,A,i) es un grupo abeliano libre, entonces: i) i es inyectiva. ii) G =< i[A] > iii) si (G , A , j) es grupo abeliano libre, G  G iu) (G, i[A], j) es grupo abeliano libre, donde j es la inclusi´ on. Demostraci´ on: Suponga que i no es inyectiva, y sean a, b ∈ A tales que i(a) = i(b) pero a  = b. Defina f : A → Z2 por f (a) = 0 y f (b) = 1, y sea f : G → Z2 homomorfismo tal que f ◦ i = f . Entonces f (a) = f ◦ i(a) = f ◦ i(b) = f (b). Contradicci´ on, i es inyectiva. Suponga que G  =< i[A] >, luego G/ < i[A] > es un grupo abeliano no trivial. Ahora si define f : A → G/ < i[A] >, por f (a) = 0 para todo a ∈ A, el homomorfismo trivial, ¯0, y la proyección canónica con kernel < i[A] >, ρ son homomorfismos diferentes tales que ¯0 ◦ i = ρ ◦ i = f . Contradicción, G =< i[A] >. Ahora, considere i : G → G y j : G → G tales que i ◦ i = j y j ◦ j = i. Entonces i ◦ j ◦ j = j, por un lado, y por otro, idG , la identidad en G , es el u ´ nico homomorfismo tal que idG ◦ j = j, luego i ◦ j = idG . De la misma forma j ◦ i = idG, luego G  G . Sean j : i[A] → G, la inclución, H un grupo abeliano y f : i[A] → H una funci´ on. Considere g : A → H definida por g = f ◦ i, y f : G → H homomorfismo tal −1 1 que f ◦ i = g. As´ı, como i es inyectiva, f ◦ j = f ◦ (i ◦ i − i[A] ) = g ◦ i i[A] = f . f es el homomorfismo buscado. 



 



 











  









6.29 Nota. En vista del teorema anterior, si (G,A,i) es grupo abeliano libre, podemos considerar A ⊆ G e i como la inclusión. En este caso decimos que G es un grupo abeliano libre sobre A. Teorema 6.30 Sea G un grupo abeliano y A = {ai }i∈{1,...,n} subconjunto de G. Las siguientes aserciones son equivalentes: i) G es libre sobre A, con |A| < ∞. ii) Todo elemento g en G se puede expresar de forma ´ unica como g = con cada ni ∈ Z iii) G =< A > y



n i=1



n i=1 ni ai ,

ni ai = 0 si y s´ olo si cada ni = 0.

Demostraci´ on: ii) ⇒ i) : Sean j : A → G la inclusi´ on y H grupo abeliano. Dada f : H → A n n defina f : G → H por f ( i=1 ni ai ) = i=1 ni f (ai ), as´ı f ◦ j = f . De donde G es abeliano libre sobre A. i) ⇒ iii) : en el teorema 6.28 ya vimos G =< A >. Ahora suponga que 0 = n = ak y i=1 ni ai , defina para k ∈ {1, . . . , n}, f k : A → Z por f k (x) = 0 si x 











Teorema fundamental de los grupos abelianos

     

59

f k (ak ) = 1 y considere f k : G → Z tal que fk ◦ j = f , donde j : A → G es la n inclusión. Entonces 0 = fk (0) = i=1 ni fk (ai ) = nk . iii) ⇒ ii) : Como G =< A >, lo u ´ nico que hace falta demostrar es la unicidad n n n de la expresión. Si g = i=1 ni ai = i=1 mi ai entonces i=1 (ni − mi )ai = 0 y as´ı ni = mi para cada i ∈ {1, . . . , n }. 



6.31 Ejemplo (existencia de grupos abelianos libres): Sea A un con junto y defina G = ZA e i : A → G por i(a)(x) = 0 si x  = a e i(a)(a) = 1. ¯ ¯ < G, +, 0 > donde la suma es la usual entre funciones y 0 es la función que env´ıa todo al 0, es un grupo abeliano. Ahora si H es un grupo abeliano, dada f : A → H , defina f : G → H por f ( a∈A na i(a)) = a∈A na f (a), as´ı f ◦ i = f . (G,A,i) es entonces grupo abeliano libre. Observe que si |A| < ∞, y A = {ai }i∈{1,...,n } , bajo el isomorfismo que env´ıa g ∈ G al elemento cuya k-ésima entrada es g(ak ), G  Z × Z × . . . × Z.









   |A|

Teorema 6.32 Sea (G,A,i) grupo abeliano libre. Si (G,B,j) es grupo abeliano libre entonces |A| = |B |. Demostraci´ on: ZB y ZA son equipotentes si y sólo si |A| = |B |. Teniendo en mente lo que se acaba de decir en el ejemplo 6.31, el teorema se sigue entonces del teorema 6.28 iii).  6.33 Definici´ on (Rango): Sea (G,A,i) un grupo abeliano libre. Definimos el rango de G como la cardinalidad de A. 6.34 Nota. En vista de lo último que se probó, de ahora en adelante cuando hablamos de un grupo abeliano libre omitiremos la referencia a la base A y a la funci´ on i, que por lo general la tomaremos como la inclusión. Para cualquier lector en este momento ya debe ser claro lo similar que es un grupo abeliano libre a un espacio vectorial. Teorema 6.35 Dos grupos abelianos libres son isomorfos si y s´ olo si tienen mismo rango. Demostraci´ on: Los mismos argumentos que se usaron para demostrar el teorema 6.32, sirven para este. 

6.4.

Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados

6.36 Ya tenemos las herramientas necesarias para demostrar el teorema 1.48, lo que haremos en general es dado un grupo abeliano G finitamente generado, factorizaremos un grupo abeliano libre hasta obtener G. Comencemos.

60


6.37 Definici´ on (Subgrupo de torsi´ on, grupo libre de torsi´ on): Sea G un grupo abeliano. El subgrupo de torsi´ on de G, T , esta definido por: T := {g ∈ G : ord(g) < +∞} Decimos que G es libre de torsi´ on si T es trivial. 6.38 Nota. Para un grupo cualquiera, se acostumbra decir que es de torsión (o periódico) si todos sus elementos tienen orden finito, y libre de torsión (o aperiódico) si todos sus elementos, menos la identidad, tienen orden infinito. Lema 6.39 Si G es un grupo abeliano, T su subgrupo de torsi´ on y T ⊥ =< ⊥ ⊥ c T ∪ {0} >, G  T × T y as´ı G/T  T es libre de torsi´ on. Demostraci´ on: Como T  G, T ⊥  G, T ∩ T ⊥ = {0} y T ∨ T ⊥ = G, por el lema 6.22, G  T × T ⊥. Ahora si g ∈ / T , ng ∈ / T para todo n ∈ Z∗ , luego G/T es libre de torsión. 



n

Lema 6.40 Sea G un grupo abeliano de torsi´ on. Entonces si |G| = i=1 pri i es una descomposici´ on en potencias de primos con pi < p i+1 para i ∈ { 1, . . . , n −1}, G  T p1 × T p2 × . . . × T pn donde T pi = {g ∈ G : ord(g) = pni , n ∈ N}. Demostraci´ on: Es claro que los T pi son subgrupos de G, y que T pi ∩ T pj = {0}, si i  = j. Ahora bien, si g ∈ G con ord(g) = ni=1 psi i , tomando mi = ord(g)/psi i , n como (m1 , m2 , . . . , mn ) = 1, existen ki ∈ Z tales que 1 = i=1 ki mi , de esta forma g = ni=1 ki (mi g) = ni=1 ki gi donde gi = mi g. De esta forma como ord(gi ) = psi i , gi ∈ T pi y G = T p1 + T p2 + . . . + T pn . Luego, por el lema 6.22, G  T p1 × T p2 × . . . × T pn . 









Lema 6.41 Si G es un grupo abeliano libre sobre A = {ai }i∈{1,...,n } , i  = j y t ∈ Z, B = {a1 , . . . , ai−1 , ai + taj , ai+1 , . . . , an }, también es base para G. Demostraci´ on: ai = (ai + taj ) − taj , luego = G. Ahora si (n1 )a1 + . . . + ni−1 ai−1 + ni (ai + taj ) + ni+1 ai+1 + . . . + nn an = 0, entonces como A es base, nk = 0 si k  = j y tni + nj = 0. De donde nj = 0 y por el teorema 6.30, B es base para G.  Teorema 6.42 Sea G un grupo abeliano libre de rango finito n. Si K ≤ G, K es también abeliano libre. Mas a´ un si K es de rango m, existen A = {ai }i∈{1,...,n } { } ⊆ base para G y di i∈{1,...,m} N∗ , tales que di | di+1 y {di ai}i∈{1,...,m } es una base para K . Demostraci´ on: Dada una base A = {ai }i∈{1,...,n} de G, y g ∈ G con g = n ın{|ni | : i ∈ {1, . . . , n}, ni  = 0}. Ahora si i=1 ni ai , definimos |g |A := m´ ≤ | | {| | ∈ \ { }} K G, definimos K A := m´ın k A : k K 0 . Tome B1 = {bi,1 }i∈{1,...,n } base de G tal que |K |B1 sea minimal, con k1 ∈ K n tal que |k1 |B1 = |K |B1 y k1 = i=1 ni,1 bi,1 donde |n1,1 | = |K |B1 . Ahora





Teorema fundamental de los grupos abelianos

61

si ni,1 = qi,1 n1,1 + ri,1 , con 0 ≤ ri,1 < |n1,1 |, aplicando n − 1 veces el lema 6.41, A1 = {b1,1 + ni=2 qi,1 bi,1 , b2,1 , . . . , bn,1 } es también base para G. n Entonces si a1 = b1,1 + i=2 qi,1 bi,1 , ai,1 = bi,1 para i ≥ 2, y d1 = n11 , n k1 = d1 a1 + i=2 ri,1 ai,1 donde ri,1 < |d1 |. As´ı como d1 = |k1 |A1 , ri,1 = 0 n y k1 = d1 a1 ∈ K . Observe además que si k ∈ K con k = m1 a1 i=2 mi ai,1 , entonces d1 | m1 (¿Por qué?) Si < d1 a1 >= K terminamos, de lo contrario escoja B2 = {bi,2 }i∈{1,...,n} base para G tal que |K |B2 sea minimal entre las bases que contengan a1 . Puede suponer que k2 = ni=2 ni,2 bi,2 es un elemento en el cual este m´ınimo se alcanza y que lo alcanza en el coeficiente d2 del segundo elemento de la base (el primero es a1 ), pues podemos restar (o sumar) cuantas veces sea necesario d1 a1 a fin de volver nulo el coeficiente en a1 . As´ı se define, semejante a lo anterior, a2 = b2,2 + ni=3 qi,2 bi,2 , donde qi,2 es el cociente de la divisió n de ni,2 por d2 , y as´ı k2 = d2 a2 . Entonces A2 = {a1 , a2 , b3,2 , . . . , bn,2 } es base para G. Pero adem´ as si d2 = qd 1 + r, donde 0 ≤ r < |d1 |, Y = {a1 + qa2 , a2 , b3,2, . . . , bn,2 }, es también base para G en la cual k = d1 a1 + d2 a2 = d1 (a1 + qa2 ) + ra2 ∈ K . Entonces si r  = 0, |k |Y = r < |d1 | lo que llevar´ıa a una contradicci´ on con la elección de B1 . As´ı d1 | d2 . Si < d1 a1 , d2 a2 >= K terminamos, de lo contrario continuamos as´ı sucesivamente. Mostrando una base para K queda de paso demostrado que es abeliano libre por el teorema 6.30. 



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



Lema 6.43 Si G es un grupo abeliano finitamente generado entonces: G  Zm1 × Zm2 × . . . × Zmn × Z × . . . × Z con mi | mi+1 , para i ∈ { 1, . . . , n − 1}. Demostraci´ on: Suponga que G =< A > donde A = {ai }i∈{1,...,n } . Considere un grupo abeliano libre (C,A,i) y tome φ : C → G el homomorfismo tal que φ ◦ i = idA , donde idA es la inclusión de A en G. φ es sobreyectiva, luego por el teorema fundamental del homomorfismo C/Ker(φ)  G. Entonces por el teorema 6.42, existe X = {xi }i∈{1,...,n } base para G con {mi }i∈{1,...,m } , tales que mi | mi+1 y {mi xi }i∈{1,...,m } es una base de Ker(φ). Ahora como C < x1 > × . . . × < xn >, K < d1 x1 > × . . . × < dm xm > y < d i xi >< x i >, entonces C/Ker(φ)  Zm1 × Zm2 × . . . × Zmm × Z × . . . × Z. Si mi = 1 podemos obviar el factor Zmi , m´ odulo isomorfismo.  6.44 Ahora s´ı probaremos el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados. La existencia de la descomposición es consecuencia inmediata de lo que ya hemos probado. Es frecuente en matemáticas que la unicidad se deba a una trivialidad una vez probada la existencia, pero en este teorema no es el caso, por intuitiva que sea. Teoremas que concluyan una clasificación tan exhaustiva son una rareza en matemáticas en general y en la teor´ıa de grupos en particular.

62


Teorema 6.45 (Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados) Si G es un grupo abeliano finitamente generado: G  Z pr11 × Z pr22 × . . . × Z prnn × Z × . . . × Z

   r

donde los pi , para i ∈ {1, . . . , n}, son primos tales que pi ≤ pi+1 , y los ri son naturales no nulos tales que ri ≤ ri+1 si pi = pi+1 . Mas a´ un los pi, los ri y r est´ an un´ıvocamente determinados. A r se le llama n´ umero de Betti de G. Demostraci´ on: Sea G un grupo abeliano finitamente generado. El subgrupo de torsi´ on T de G es finito pues si T =< {x1 , x2 , . . . , xm } >, y T i =< xi >, cada T i es finito y T = T 1 + T 2 + . . . + T m . Ahora, por los lemas 6.39 y 6.40, G  T p1 × T p2 × . . . × T pn × T ⊥

(6.2)



n donde |T | = i=1 psi i , con cada pi primo tal que pi < pi+1 , T pi = {g ∈ G : ord(g) = pni , n ∈ N}, y T ⊥ es libre de torsión. Cada T pi es de torsión, luego, como |T pi | < +∞, por el lema 6.43,

T pi  Z pri 1 × Z pri 2 × . . . × Z prki

(6.3)

i

con ri ≤ ri+1 . Ahora como T ⊥ es libre de torsión, por el lema 6.43, si T ⊥ no es trivial, T ⊥  Z × . . . × Z (6.4) Luego T ⊥ es abeliano libre y por el teorema 6.35 el número de Zs en la productoria (6.4), es decir el número de Betti de G, esta un´ıvocamente determinado (si T ⊥ es trivial, r = 0). Cuando probemos la unicidad de la descomposición en (6.3), habremos terminado la demostración. Defina para p primo, el pn -z´ ocalo T pi [ pn ] de T pi , por n n n T pi [ p ] := {g ∈ T pi : p g = 0}. As´ı T pi [ p ] ≤ T pi y cada elemento del pi -z´ ocalo tiene orden pi ó 1. Entonces por el lema 6.43, T pi [ pi ]  Z pi × . . . × Z pi donde el n´ umero de elementos en la productoria esta un´ıvocamente determinado por el orden del pi -z´ ocalo. Entonces como ( Z pri 1 × Z pri 2 × . . . × Z prk )[ pi ] es isomorfo i al producto directo de ki Z pi s, el n´ umero de elementos de la productoria (6.3) esta un´ıvocamente determinado. Ahora bien dado n ∈ N∗ , T pi [ pni ]  Z pd1 , × . . . × Z pdk , con 0 ≤ di < ri y i i n = qi ri + di . De donde, T pi /(T pi [ pni ])  Z pr1 i

d1

−

× . . . × Z prk i

dk

−

(6.5)

As´ı el n´ umero de Z prj s en (6.3) para los cuales n ≡ 0(mod rj ) esta determinado i por el n´ umero de elementos en la productoria (6.5) que colapsaron en triviales, dado por el número de elementos no triviales, que ya vimos que es propio de todo grupo abeliano finitamente generado. De esta forma cada rj queda un´ıvocamente determinado cuando se recorre n por {1, . . . , log pi (ord(T pi ))}. 

Grupos libres y representaciones

63

6.46 Con un estudio más profundo de los grupos abelianos de torsión, de los libres de torsión y de los abelianos libres, se puede exponer una demostración mucho m´ as corta del teorema fundamental de los grupos abelianos. Pero el enfoque que se le da acá ilustra bien, en un primer (y se espera que no único) acercamiento, el funcionamiento de los grupos abelianos finitamente generados.

6.5.


6.47 Definici´ on (Grupo libre): Una terna (F,X,i), que consta de un grupo F , un conjunto X y una función i : X → F , es un grupo libre si para todo grupo G y toda función f : X → G, existe un único homomorfismo f : F → G tal que (ver figura 6.2): f ◦ i = f





F

e

f

G

i f

X

Figura 6.2: Grupo libre Teorema 6.48 Si (F,X,i) es un grupo libre, entonces: i) i es inyectiva. ii) si (F  , X , j) es grupo libre entonces F   F . iii) (F, i[X ], j) es grupo libre, donde j es la inclusi´ on. Demostraci´ on: Una demostración similar a la del teorema 6.28 verifica este.  6.49 Observaci´ on. A diferencia del teorema 6.28, en el 6.48 no esta F =< i[X ] >, en el caso de los grupos libres esto no es tan evidente “à priori”. Por otro lado, nada en la definición de grupo libre nos indica que existen. Con el siguiente teorema se visualizan los grupos libres, y estos problemas quedan resueltos. Teorema 6.50 Sea X un conjunto. Existe F grupo e i : X → F funci´ on, tales que (F,X,i) sea grupo libre con F =< i[X ] >. Demostraci´ on: Considere otro conjunto equipotente a X , por ejemplo X −1 = {x−1 : x ∈ X }. El s´ımbolo −1 no tiene ningún significado, es sólo para distinguirlo de los elementos de X . Por letra enteremos un elemento de X ∪ X −1 y por palabra entenderemos una sucesión finita de letras ó la palabra vac´ıa que notaremos e (si en X est´ a ese s´ımbolo se le puede poner otro a la palabra vac´ıa). As´ı si

64


w es una palabra tenemos w = xe11 xe22 . . . xenn , donde ei es o bien ningún s´ımbolo, o bien el s´ımbolo −1. Sea W el conjunto de todas las palabras. Si w, v ∈ W , definimos wv como la palabra que se obtiene al concatenar w y v, esto es si em em w = xe11 xe22 . . . x enn y v = y1e1 y2e2 . . . ym , wv = xe11 xe22 . . . x enn y1e1 y2e2 . . . ym . Tam− − e e −1 −1 −en 2 1 bién definimos w por w = xn . . . x2 x1 , donde −ei es −1 si ei no es s´ımbolo y ningún s´ımbolo si ei es −1. Ahora, en W defina la relación ∼, donde w ∼ v si de w puedo obtener v mediante las operaciones: (a) agregar entre dos letras xx−1 ó x−1 x donde x es una letra. (b) eliminar una ocurrencia de xx−1 o´ x−1 x que suceda en la palabra. Es claro que ∼ es una relación de equivalencia. Definimos F = W/ ∼ y [w] = [w]∼ . F será nuestro grupo. Definimos la operación por [w][v] = [wv], y as´ı [e] es la identidad y [w−1 ] = [w]−1 . Tambi´ en se puede verificar fácilmente que [wv][u] = [w][uv], con lo cual se comprueba que F es un grupo. Y mas aún si i : X → F es tal que i(x) = [x], vemos que F =< i[X ] >. Ahora bien si < G, ·, eG > es un grupo y f : X → G es una función, defina φ : W → G por φ(xe11 xe22 . . . xenn ) = g1e1 · g2e2 · . . . · gnen donde gi = f (xi ) y φ(e) = eG. As´ı pues φ(xx− 1) = eG , luego podemos definir f : F → G por f ([xe11 xe22 . . . x enn ]) = g1e1 · g2e2 · . . . · gnen y f ([e]) = eG . Por construcción f es homomorfismo y f ◦ i = f . Por otro lado si g es otro homomorfismo tal que g ◦ i = f , como g coincide con f en i[X ], y F =< i[X ] >, f = g. Luego (F,X,i) es grupo libre. 















Teorema 6.51 Sea (F,X,i) un grupo libre. Si (F, X  , j) es grupo libre, |X | = |X  | Demostraci´ on: Considere el conjunto V compuesto por los homomorfismo de F en Z2 . V se puede ver canónicamente como un espacio vectorial sobre Z2 . Dado ξ ∈ X , defina f ξ : X → Z por f ξ (x) = 0 si x  = ξ y f ξ (ξ) = 1 y sea BX = {fξ }ξ∈X donde fξ ◦ i = f ξ . Dado f ∈ V , f = ξ∈X f (ξ)fξ , y además si φ = ξ∈X aξ f ξ es tal que para todo x ∈ F , φ(x) = 0, entonces φ(ξ) = aξ = 0, luego BX es una base de V . Una base similar BX , se puede definir con X  . As´ı |BX | = |BX |, pero |BX | = |X | y |BX | = |X |. 

 













6.52 Definici´ on (rango): Si (F,X,i) es un grupo libre a |X | lo llamamos rango de F . Teorema 6.53 Dos grupos libres son isomorfos si y s´ olo si tienen mismo rango. Demostraci´ on: Es f´ acil ver que si dos grupos libres son isomorfos tienen mismo rango (¿Por qué?). Ahora bien considere (F 1 , X 1 , i1 ) y (F 2 , X 2, i2 ) dos grupos libres tales que exista f : X 1 → X 2 biyecci´ on. As´ı existen dos u ńicas f 1 : → → ◦ ◦ ◦ F 1 F 2 , y f 2 : F 2 F 1 tales que f 1 i1 = i2 f y f 2 i2 = i1 ◦ f −1 . As´ı (f 2 ◦ f 1 ) ◦ i1 = f 2 ◦ i2 ◦ f = i1 ◦ f −1 ◦ f = i1 , pero idF 1 ◦ i1 = i1 luego idF 1 = f 2 ◦ f 1 . De forma similar idF 2 = f 1 ◦ f 2 . As´ı F 1  F 2 . 


65

6.54 El gran inter´ es que despierta los grupos libres esta resumido en el siguiente teorema. Teorema 6.55 Sea G un grupo tal que G =< X > y (F,Y,i) un grupo libre. Si f : Y → X es sobreyectiva, entonces existe un homomorfismo φ : F → G sobreyectivo tal que φ ◦ i = f . En particular todo grupo es imagen de un grupo libre. Demostraci´ on: Viendo f con codominio G, existe un único homomorfismo φ : F → G tal que φ ◦ i = f . Ahora bien G =< X >, luego φ es sobreyectiva, pues (F,Y,i) es libre.  6.56 Observaci´ on. Dadas las condiciones del teorema anterior, G  F/Ker(φ). As´ı todo grupo es de la forma F/K donde K  F . Para generar un grupo entonces consideremos un grupo libre (F,X,i), S ⊂ F , y R el m´ınimo subgrupo normal de F que contiene < i[S ] > (la clausura normal de S ), nuestro grupo es F/R que esta un´ıvocamente determinado únicamente por X y S . En esto nos concentramos ahora. 6.57 Definici´ on (representaci´ on, relacionador): Sea < G, ·, 1 > un grupo. Un homomorfismo sobreyectivo π : F → G, donde (F,X,i) es grupo libre, es una representaci´ on de G. A los elementos de Ker(π) los llamamos relacionadores. Si S ⊆ F es tal que su clausura normal es Ker(π) decimos que (π,X,S ) determina un conjunto generador y define los relacionadores para G, que notamos: G =< X |S > 6.58 Observaci´ ones a la definici´ on 6.57. i) Si X = {xg : e  = g ∈ G}, (F,X,i) grupo libre, y π : F → G definida por π(xg ) = g, π es la representación estándar de G. ii) Ahora bajo el contexto de la definición 6.57, A = i[X ] es un conjunto generador de G, y π(s) = 1 para todo s ∈ S . Luego (6.57) tambi´ en lo notamos: G =< A |s = 1, s ∈ S > 6.59 Ejemplos: i) Una representaci´ on de Zn es < a |an = 1 >. ii) Considere el D∞ =< x,y |x2 = 1, y 2 = 1 >, llamado diedral infinito. Si a = xy, D∞ =< a, x >, y x−1 ax = yx = a−1 , luego otra representación es < x, a|x2 = 1, x−1 ax = a−1 >, pues de x−1 ax = a−1 deducimos y 2 = (x−1 a)2 = 1. Por otro lado x−1 = x, ax = xa−1 y a−1 x = xa−1 luego un elemento t´ıpico de G es de la forma xr as . donde r ∈ {0, 1} y s ∈ Z.

66


iii) Dos representaciones de Dn son < x , y |x2 = y 2 = (xy)n = 1 > y < x,a|x2 = an = 1, x−1 ax = a−1 >. Se debe sentir porque esto es una representaci´ on del grupo diedral, x representa una reflexión y a la primera rotación. Los otras rotaciones son am y las otras reflexiones xam . La prueba formal requiere un poco más de trabajo. 6.60 El tema de grupos libres y representaciones es bastante más extenso. Por ejemplo en 6.59 mostramos que un grupo puede tener varias representaciones, eso lo llamamos representaciones isomorfas. Tambi´ en podemos preguntarnos si dado S podemos determinar si un elemento de F es o no es un relacionador, en un n´ umero finito de pasos.

6.6.

Ejercicios

1. Sea S un Sylow p-subgrupo de un grupo finito G. Pruebe que todo subgrupo de N G(S ) de orden una potencia de p es un subgrupo de S . (Recuerde que N G (S ) es el normalizador de S en G, es decir, N G (S ) = {g ∈ G : gSg−1 = S }) 2. Sea G un grupo de orden 12. Cuales son los valores posibles para los n´ umeros de 2-subgrupos y de 3-subgrupos de Sylow en G? Pruebe que existen exactamente 5 estructuras de grupos diferentes de orden 12. 3. Sea G un grupo finito y p un primo que divide |G|. Pruebe que si H es un p-subgrupo normal de G, entonces H esta contenido en todo p-subgrupo de Sylow de G. 4. Sea G un grupo finito y sea p un primo que divide |G|. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G. Pruebe que N [N [P ]] = N [P ]. 5. Sea G un grupo finito y sea p un primo que divide |G|. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G y sea H un p-subgrupo de G. Pruebe que existe g ∈ G tal que gH g−1 ≤ P . 6. Pruebe que todo grupo de orden (35) 3 tiene un subgrupo normal de orden 125. 7. Pruebe que no hay grupos simples de orden 255 = (3)(5)(17). 8. Pruebe que un grupo finito de orden pn contiene subgrupos normales H i , para 0 ≤ i ≤ n, tales que |H i | = pi y H i < H i+1 para 0 ≤ i < n. (Ayuda: recuerde (o pruebe) que el centro de un p-grupo finito no trivial es no trivial, y use este hecho). 9. Pruebe que todo elemento diferente a la identidad de un grupo libre es de orden infinito. 10. Pruebe que si G y G son grupos abelianos libres, entonces G × G es abeliano libre.

Ejercicios

67

11. Pruebe que Q bajo la adición no es un grupo abeliano libre. (Ayuda: pruebe que ningún par de n´ umeros racionales distintos n/m y r/s pueden estar en un conjunto que cumpla con las condiciones de ser base.)

Algebra Abstracta U andes

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