Algebra Abstracta Herstein

K

definida por $(Ka)

=

p(a).

DEMOSTRACION. La mejor manera de demostrar que G/K y G ' son isornorfos es exhibir explícitamente un isomorfismo de G/K sobre G '. El enunciado del teorema sugiere cuál podría ser tal isomorfismo. G ' por $(Ku) = p ( a ) para a E 6 . Como De manera que definase $: G/K de ordinario, lo primero que se tiene que hacer es demostrar que $ esta bien definida, es decir, que si Ka = Kb, entonces $(Ka) = $(Kb). Esto se reduce a demostrar que si Ka = Kb, entonces p(a) = p(ú). Pero si Ka = Kb, entonces a = k b para algún k F K, por consiguiente p ( a ) = p(kb) = p(k)v(b); puesto que k E K, el núcieo de p, entonces p(k) = e ' , el elemento identidad de G ', así que se obtiene p(a) = p(b). Esto demuestra que ia aplicación S, está bien definida. Debido a que p es suprayectíva sobre G ' dado .x E G ', entonces x = p[u) para algún a E G, así que x = p(u) = $(Ka). Esto demuestra que $ apIica G/K sobre G '. ;Es inyectiva $ ? Supóngase que iS.(Ku) = Li/(Kb); entonces $ ( a ) = $(Ka) = S,(Kb) = ( ~ ( 6 ) ;por lo tanto, e' = p ( a ) p ( b ) - ' = q ( u ) p ( / ? ' )= p(ub-'). Como así resulta que ub-' está en el niicleo de s -que es K- se tiene que ab-' E- M. Esto implica que Ka = Kb. De esta manera se obserba que $ es inyectiva. +

86

CAP~TULO2

e

GRUPOS

Finalmente, ¿es iC/ un homomorfismo de G/K sobre G '? Se comprueba: +((Ka)(Kb))= +(Kab) = cp(ab) = cp(a)p(b) = $(Ka)+(Kb),haciendo uso de que 9 es un homomorfismo y que (Ka)(Kb) = Kab. En consecuencia, S. es un homomorfismo de C / K sobre G ' y se prueba el teorema. El haber hablado del primer teorema de homomorfismos sugiere que hay otros. Al siguiente se le llama naturalmente segundo teorema de homczmorS'tsmos

TEOREMA 2.7.2 (SECUNDOTEOREMA DE HOMOMORFISMOS). Supóngase que la aplicación p: G G ' es un homomorfismo -+

de G sobre G ' con núcleo K. Si H ' es un subgrupo de G ' y si H

=

( a E C l p ( a )E H ' } ,

entonces H es un subgrupo de G, H 3 K, y H/K si H' a G ' , entonces H a G.

-

H ' . Finalmente,

DEMOSTRACI~N. Se verifica prímero que el H dado es un subgrupo de G. No es vacío, puesto que e E H. Si a, b E H, entonces @ ( a ) ,p(b) E H ', por consiguiente cp(ab) = cp(a)p(b)E H ' , ya que H ' es un subgrupo de G '; esto hace que ab esté en H , de modo que H e s cerrado. Además, si a E N , entonces p(a) E H ' , por consiguiente cp(a-') = p(a)-' esta en H ' , nuevamente porque H ' es un subgrupo de G ' , de donde a-' E H. Por lo tanto, N e s un subgrupo de G. Debido a que p(K) = ( e ' ) c H ' , donde e' es el elemento unidad de G ' , se tiene que K C H. Puesto que K a G y K C N, se sigue algo más aún, que K a H. La aplicación cp restringida a N define un homomorfismo de H sobre N ' con núcleo K. Por el primer teorema de homomorfismos se obtiene H/K .H'. Finalmente, si M " G ' y si a E C , entonces cp(a)-'H'cp(a) C H ' , así que cp(a-')Hfco(a)C H ' . Esto dice que cp(a-'Ha) E M', cuando a--'Ha c H . La cual prueba la narmalídad de H en G. Lo que dice el teorema es que existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de todos los subgrupos de G que contienen a K y el coMunto de todos los subgrupos de G '. Ademds, esta correspondenciapreserva la normalidad. (Pruébese.) Por último, pasamos al tercer teorema de homomorfismos, que dice algo más acerca de la relación entre N y N' cuando N ' a G '.

TEOREMA 2.7.3 (TERCER TEOREMA DE HOMOMORFISMOS), Si la aplicación p: G 6 ' es un homomorfismo de G sobre G ' con núcleo K entonces, si N ' a G ' y N = ( a E C 1 p(a) E N ' ) , se concluye que G / N = G ' / N f . En forma equivalente, G / N = ( G / K ) / ( N / K ) . -+

DEMOSTRACI~N. Defínase la aplicación $: C

G ' / N ' por + ( a ) = N i p ( a ) para todo a E 6 , Puesto que p es suprayectiva sobre G ' y cada elemento de +

27

Teoremas de homomorf~smos

87

G 1 / N ' es una clase lateral de la forma N ' x ' , y x ' = p(x) para algún x E G , se tiene que aplica G sobre G 1 / N ' . Además, $ es un homomorfismo de G sobre G 1 / N ' ,ya que $(al?) = N r p ( a b ) = N'p(a)rp(b)= ( N f p ( a ) ) ( ~ ' p ( b=) )$(a)+(b),puesto que N ' o G ', ¿Cual es el núcieo M de $? Si a E M , entonces + ( a )es el elemento unidad de G ' / N ' ,es decir $ ( a ) = N'. Por otra parte, por la definición de $, $ ( a ) = N f p ( a ) .Debido a que N i P ( a )= N' se debe tener p ( a ) E N ' ; pero esto hace que a esté en N , por la misma definición de N. Por consiguiente M C N. Es fácil probar que N C M y se deja al lector. Por lo tanto, M = N , de modo que $ es un homomorfismo de G sobre G ' / N ' con núcleo N , de donde, por el primer teorema de homomorfismos, G/N = G ' / N ' . Finalmente, de nuevo por los Teoremas 2.7.1 y 2.7.2, G ' = G/K, A'' = N / K , lo cual conduce a G / N = G ' / N r = ( G / K ) / ( N / K ) . [7

+

Esta última igualdad es muy sugestiva; se esta como 'kancelando" K en el numerador y en el denominador. Desde luego, hay otros teoremas de homomorfismos. En el Problema 5 se presenta uno de ellos que es clásico e importante.

PROBLEMAS 2.7 1. Pruébese que M 31 N en la demostración del Teorema 2.7.3.

2. Sea G e1 grupo de todas las funciones con valores reales definidas en el intervalo unitario [O, 11, en donde, para f,g E G, se define la adición f + g por ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) para todo x E [O, 11. Si N = { f E G l f ( : ) = O } , pruébese que G / N = números reales respecto a + . 3. Sean G el grupo de los números reales distintos de cero respecto a la multiplicación y N = { 1, -1 ). Demostrar que G / N = números reales positivos respecto a la multiplicaci6n. 4. Si G,, 6, son grupos y G = G, x

6 2 = { ( a ,b)la E G,, b E G 2 ) ,en donde se define ( a , ó)(c, d) = (ac, bd), demuéstrese que: (a) N = { ( a ,e,) la E G , ) , donde e, es el elemento de unidad de G2,es un subgrupo normal de C . (b) N = G I . (e) G / N = G2.

5. Sea G un grupo, N un subgrupu de G y N a C . Sea el conjunto liN { h a 1 h E N,n E N), Pruébese que: (a) H n N a H. (b) HN es un subgrupo de G. (e) N c H N y N a HN. (d) ( H N ) / N = H / ( H n N).

=

6. Si G es un grupo y N Q G, demuéstrese que si a E G tiene orden finito ~ ( a ) , entonces Na en G/N tiene orden finito m, donde m io(a). (Pruébese utilizando el homomorfismo de G sobre G / N ) .

7. Si rp es un homomorfismo de G sobre G ' y N U G, demuéstrese que p ( N ) a G '.

En el Teorema 2.6.4 (de Cauchy) se probó que si un primo p divide al orden de un grupo abeliano finito G, entonces G contiene un elemento de orden p. Se hizo notar que el teorema de Cauchy es válido aun si el grupo no es abeliano. Aquí se dará una demostración muy ingeniosa, la cual se debe a McKay. Regresemos por un momento a la teoría de conjuntos, para hacer algo que se mencionó en los problemas de la Sección 2.4. Sea S un conjunto, f E A ( S )y defínase una relación en S como sigue: s t si r = f '(S) para algún entero í (i puede ser positivo, negativo o cero). Se deja a! lector como problema verificar que esto define efectivamente una relacion de equivalencia en S. La clase de equivalencia de S, [S], se ilama órbita de s respecto a,f. Re modo que S es la unión disjunta de las órbitas de sus elementos. Cuando f es de orden primo p, se puede decir algo acerca del tamaño de las órbitas respecto a f ; aquellos lectores que resolvieron el Problema 34 de la Seccion 2.4 ya saben el resultado. Lo probamos aquí para ponerlo oficialmente en registro, [Si f k(s) = S, desde luego que f 'k(s) s para todo entero t. (Pruébese.)]

-

-

LEMA 2.8.3. Si f E A(S) es de orden primo p, entonces la órbita de cualquier elemento de S respecto a f tiene 1 o p elementos. DEMQSTRAGI~N. Sea s E S; si f (S)

= S, entonces la &bita de s respecto a f consi~tesimplemente del mismo S , así que tiene un elemento. Supóngase entonces que f (S) f s Considérense los elementos S , f (S), f '(S), . . . , fp-!(S); afirmamos que estos p elementos son distintos y constituyen la órbita de s respecto a f. Si no, entonces f '(S) = fJ(s) para algún O S i < j S p - 1, lo cual da lugar a ff-'(S) = s. Sea t?? = j - i ; entonces O < m S p - 1 y ftn(s)i = s. Pero fP(s) = S y puesto que p m, ap -t- bm = 1 para ciertos enteros a y b. De esta manera, f ' ( 5 ) = f "P+b'"(.s) = f up(f htrl(s)) = f u p ( ~= ) S, ya que f "(S) = fP(s) = s. Esto contradice que f (S) # s. Por consiguiente la órbita de S respecto a f consiste en S , f ( S ) , f 2(s), . . . ,f '(S), por lo tanto tiene p eleMftlltOS.

e

En seguida presentamos la demostración de McKay del teorema de Cauchy.

2 8 * Teorema de Cauchy

89

TEOREMA 2.8.2 (DE CAUCHY). Sip es primo y divide a1 orden de G, entonces G contiene un elemento de orden p. DEMOSTRACION. Si p = 2, el resultado es trivial. Supóngase que p # 2. Sea S e1 conjunto de todas las listas p ordenadas (a,, a2, . . . , ap-,, a p ) ,donde a , , . . . ,a, están en G y aja2 . . a,-,ap = e. Afirmamos que S tiene np-"lernentos donde n = 1 G ( . ¿Por que? Se pueden elegir a,, . . . , a,-, arbitrariamente en G y haciendo a, = ( a ,a2 - . a,-,)-' la lista p ordenada (a,, u,, . . . , a,-, , a,) entonces satisface

por lo tanto está en S . De esta manera S tiene np-' elementos. Observese que si ala, - . ap-,a, = e, entonces a,a,az . a,-, = e (ya que si xy = e en un grupo, entonces yx = e). Por consiguiente la aplicaciónf: S S definida por f ( a , , . . , ,a,) = (a,, a,, a* . . . , a,-, ) está en A ( S ) .Nótese que f f i, la aplicación identidad en S , y que f P = i, así que f es de orden p. Si la &bita d e s respecto a f tiene un elemento, entonces f (S) = s. Por otra parte, si f( S ) f S, afirmamos que la órbita de s respecto a f consiste precisamente en p elementos distintos; esto se tiene por el Lema 2.8.1. Ahora bien, ¿,cuándo es f (S) f S? Afirmamos que f(s) f s si y sólo si cuando s = ( a ! ,a,, . . . , a,), entonces para algún i # j , a, # a,. (Esto se deja a1 lector.) Por lo tanto f ( s ) = s si y sólo si s = (la, a, . . . , a ) para algún u E 6 , Sea m el número de S E S tales que f ( s ) = S ; puesto que para s = (e, e, . . . , e ) ,f ( S ) = S , se sabe que m 2 1. Por otra parte, si f ( S ) # S , la órbita d e s consiste d e p elementos y dichas árbitas son disjuntas, ya que son clases de equivalencia. Si existen k de tales Orbitas en las que f ( S ) f S, se obtiene que yli7-1 = m + kp, pues de esta manera se han tomado en cuenta todos los elementos de S. Pero p 1 n por hipótesis y p 1 ( k p ) , así que se debe tener p 1 m , ya que m = nP-' - k p . Como m # O y p 1 m , se obtiene que m > 1. Pero esto dice que hay un s = ( a , a , . . . , a ) J; ( e , e , . . . , e ) en S ; de la definición de S esto implica que a" = e. Puesto que a f: e, a es el elemento de orden p requerido. l?

-

S

Obsérvese que la demostración dice que el número de soluciones en C de e es un múltiplo positivo de p. Se hace una especial recomendación al lector que sienta alguna inquietud con la demostración recién dada, que lleve a cabo los detalles para los casos p = 2 y p = 3. En dichos casos la acción de f en S se hace clara y Ias afirmaciones hechas respecto a esta acción se pueden comprobar explícitamente. El teorema de Cauchy tiene muchas consecuencias. Presentaremos en seguida una de ellas, en la cual se determina completamente la naturaleza de ciertos grupos de orden pq, donde p y q son primos. Otras consecuencias se encontrarán en el conjunto de problemas que sigue y en temas de grupos posteriores.

xp

=

CAP~TULO 2 * GRUPOS

LEMA 2.8.3. Sea G un grupo de orden pq, donde p, g son primos y p > g . Si a E G es de orden p y A es el subgrupo de G generado por a, entonces A a C . DEMOSTRACION. Afirmamos que A es el dnico subgrupo de G de orden p. Supóngase que B es otro subgrupo de orden p. Considérese el conjunto A 3 = { x yjx E A , y E B); afirmamos que AB tiene pZ elementos distintos. Supóngase que xy = uv donde x, u E A , y , v E B; entonces u-lx = v y - ' . Pero u-'x E A , vy-' E B, y puesto que u-'x vy-', se tiene u-'x E A n B. Dado que B # A y A Ti B es un subgrupo de A y A es de orden primo, se concluye necesariamente que A í7 B = ( e ) y por lo tanto u-'x = e , es decir, u = x. De manera semejante, v = y. De esta manera el número de elementos distintos en AB es p2. Pero todos estos elementos están en G, el cual tiene solamente pq < p2elementos (puesto que p > q ) . Con esta contradicción se ve que 3 = A y A es el único subgrupo de orden p en G. Pero si x E 6 ,B = x-'Ax es un subgrupo de G de orden p, como consecuencia de lo cual se concluye que r l A x = A ; por consiguiente A a G.

-

COROLARIO. Si G, a son como en el Lema 2.8.3 y si x E G, entonces x-'ax = a', donde O < i < p, para algún i (dependiente de x ) , DEMOSTRACI~N. Puesto que e # a E A y x-'Ax = A , x-'ax E A . Pero todo elemento de A es de la forma a', O O i ip, y x-'ax # e. En consecuencia, x-'ax = a', donde O < i < p. O Demostramos ahora un resultado diferente.

LEMA 2.8.4. Si a E G es de orden m y b E G es de orden n, donde m y n son primos entre sí, se tiene que, si ab = ba, entonces c = ab es de orden mn.

DEMOSTRACION. Supóngase que A es el subgrupo generado por a y B el generado por b . Como ] Al = m y IR) = n y ( m , n ) = l , se obtiene A n B = ( e ) ,lo cual se deriva del teorema de Lagrange, ya que 1 A n B 1 1 n y ] A ílB 1 1 m.

Supóngase que c' = e, donde i > O; asi que (ab)' = e . Puesto que ab = bu, e = (ab)" = a%'; esto dice que a' = b-' E A n B = ( e ) . Por lo tanto a' = e, de donde mli,y bt = e, de donde n ) i . Como ( m , n ) = 1 y m y n dividen a i, mn divide a i. Así que i 2 mn. Puesto que (ab)"" = a""hm" = e , se ve que mn es el menor entero positivo i tal que ( a b ) ' = e . Esto dice que ab es de orden mn, como se afirma en el lema. r]

Antes de considerar el caso más general de los grupas de orden pq, consideremos un caso especial, a saber, un grupo G de orden 15. Por el teorema de

28

91

Teorema de Cauchy

Cauchy, G tiene elementos b de orden 3 y a de orden 5. Por e1 corolario del Lema 2.8.2, b-'ab = a', donde O < i < 5. Así que

b-"b2

=

b-'(b-lab)b

=

b-Ia"

((b-lab)'

=

(a')'

=

al2,

y de manera semejante, bP3ab3= a'' . Pero b3 = e, por lo tanto se obtiene a" = a, de donde a'"' = e. Puesto que a es de orden 5, 5 debe dividir a i3 - 1, esto es, i3 = l(5). Sin embargo, por el teorema de Fermat (corolario del Teorema 2.4.81, i4 = 1(5), Estas dos ecuaciones para i dicen que i 1(5), por lo tanto i = 1, ya que O < i < 5. En forma breve, b-lab = a' = a, lo cual significa que ab = ba. Puesto que a es de orden 5 y b de orden 3, por el Lema 2.8.3, c = ab es de orden 15. Esto quiere decir que las 15 potencias e = co, c, c2, . . . , el4 son distintas, así que deben generar todo C. En una palabra, G debe ser cíclico. El razonamiento dado para 15 se podria haber abreviado, pero la forma en que se hizo es el prototipo exacto de la demostración del caso más general que se da a continuación.

TEOREMA 2.8.5. Sea G un grupo de orden pq, donde p , q son primos y p > q. Entonces, si q i p - 1, G debe ser cíclico. DEMOSTRACION.Por el teorema de Cauchy, G tiene un elemento a de orden p y un elemento b de orden q. Por el corolario del Lema 2.8.2, b-'ab = a' para algun i tal que O < i < p. Así que b-'abr = a" para todo r r O (Pruébese.) y entonces b-qabq = alq. Pero b4 = e; por lo tanto, a" = a y por consiguiente alL1 = e. Debido a que a es de orden p, se concluye que p 1 iq 1, lo cual significa que P s l ( p ) . Sin embargo, por el teorema de Fermat iP-l 5 l ( p ) ; puesto que q 4 p - 1, se concluye que i 5 l(p), y puesto que O <: i < p , se sigue que i = 1. Por lo tanto, b-'ab = a' = a, por consiguiente ab = ba. Por el Lema 2.8.3, c = ab tiene orden pq, así que las potencias de c generan todo C. De esta manera G es cíclico y se prueba el teorema.

PROBLEMAS 2.8

PROBLEMASINTERMEDIOS 1. Respecto a la demostración del Teorema 2.8.2, pruebese que si algun par de elementos de s = (a,, az, . . . , a,) son diferentes, entonces f ( S ) # s, y la órbita de s respecto a f tiene p elementos,

2. Pruebese que un grupo de orden 35 es cíclico. 3. Aplicando el resultado del Problema 40 de la Sección 2.5, formular otra demostracibn del Lema 2.8.3, (Sugerencia: Utilícese como N un subgrupo de orden p.)

92

CAPiTUO 2

GRUPOS

4, Elaborar un grupo no abeliano de orden 21. (Sugerencia: SupÓngase que a 3 = e, b7 = e y encuéntrese algún i tal que a-'ba = al # a, que sea consistente con las relaciones a 3 = b7 = e.) 5. Sea G un grupo de orden pnm, donde p es primo y p 4 m. Supóngase que G tiene un subgrupo normal P de orden p". Pruébese que P a G.

6. Sea G un grupo finito y supóngase que A, B son subgrupos de G tales Pruébese que A i7 B # ( e ) . que ]Al =. d l c l y 1131 9 7. Si G es un grupo y A, B subgrupos de Órdenes m, n, respectivamente, donde m y n son relativamente primos, pruébese que el subconjunto de G A B = {ab1 a E A, b E B ) tiene mn elementos distintos.

m!.

8. Demostrar que un grupo de orden 99 tiene un subgrupo normal no trivial. 9. Demostrar que un grupo de orden 42 tiene un subgrupo normal no trivial.

10. A partir del resultado del Problema 9 , pruébese que un grupo de orden 42 tiene un subgrupo normal de orden 21. PROBLEMAS DIF~CILES

11. Si G es un grupo y A , B subgrupos finitos de G, pruébese que el conjunto A B = {abla E A , b E B } tiene (IAl I B ( ) / I A í7 BI elementos distintos.

12. Pruébese que cualesquiera dos grupos no abelianos de orden 21 son isomorf o ~ (Véase . el Problema 4.) PROBLEMAS MUY DIF~CILES

13, Aplicando el hecho de que cualquier grupo de orden 9 es abeliano, pruébese que cualquier grupo de orden 99 es abeliano. 14, Sean p 9 q dos primos tales que q lp - l . Pruébese que existe un grupo no abeliano de orden pq. (Sugerencia: Aplíquese el resultado del Problema 40 de la Sección 2.4, a saber que U, es cíclico si p es primo, y la idea necesaria para resolver el Problema 4 anterior.)

15. Pruébese que si p r q son dos primos tales que q ( p - 1 , entonces cualesquiera dos grupos no abelianos de orden pq son isomorfos.

2.9 PRODUCTOSDIRECTOS En varios problemas y ejemplos presentados anteriormente, pasamos por la siguiente construcción: si G,, G2 son dos grupos, entonces G = G, x 6, es el conjunto de todos los pares ordenados ( a , b ) , donde a E G,, y b f G,

29

93

Productos directos

y donde el producto se define componente por componente por medio de ( a , , b,)(a2,b2) = (ala2,bib2),los productos en cada componente se realizan en los grupos respectivos Gl y G2. Sería deseable formalizar ahora este procedimiento.

BEFINICION.Si G 1 ,G,, . . . , 6 ,son n grupos, entonces su producto directo (externo) G, x Gz x G3 x . . x 6, es el conjunto de todas las n-tuplas (a,, a2, . . ., a,) donde a, E G,, para i = 1, 2, . . . , n, y el producto en G, x G2 x . . - x G, se define por componentes, es decir, Resulta inmediato que G = G, x G2 x . . - x G, es un grupo, con ( e , ,e2, . . . , e,) como su elemento unidad, donde e, es el elemento unidad de G, y donde ( a , , az, . . . , a,)-' = ( a r l ,a y 1 , . . ., a;'). G es simplemente el producto cartesiano de los grupos G,, G,, . . ., G, con un producto definido en G mediante multiplicación de componentes. Se le llama externo, ya que los grupos G , , G2, . . . , G, son grupos cualesquiera sin que necesariamente exista una relación válida entre ellos. Considérense los subconjuntos

¿?, c GI x G2 x

. x G,

-

6 , donde

-

Gt = { ( e , , . . ., e+~,a,, e,+,, . . ., en)/a,E G,}; es decir, ¿?,consiste en todas las n-tuplas en las que en la componente i-ésima cualquier elemento de G, puede aparecer y cada una de las demás componentes es el elemento identidad, Evidentemente, ¿?, es un grupo y es isomorfo a G, mediante el isomorfismo a,: G, definido por a,(el,e2, . y , a,, . . ., e,) = a,. Además, no solamente ¿?,es un subgrupo de G sino que G, a 6. (Pruébese.) Dado cualquier elemento a = (a,, a2, . . ., a,) E G, entonces +

a

=

(a,, e2, - . ., e,)(e,, a2, e3, . . ., e,)

( e , ,e2, . . ., e,,-,,a , ) ;

esto es, todo a E G se puede escribir como a = Ü,á2 . * á, donde cada ¿ E i, 6,.Además, a se - -puede escribir en esta forma de manera única, es decir, - si a = - . . Ü n = blb2 . . b,, donde los 2; E G, y b, E G,, entonces a, = b,, . . . , ci$ = b,. Así que G se construye a partir de ciertos subgrupos normales, los G,, como G = G , G ~ . . G, de una manera tal que cada elemento a E G tiene una representación única de la forma a = C1Ü2 - Gn con 2, E Gr. Esto motiva la siguiente

ala2

DEFINICION.Se dice que un grupo G es el producto directo (interno) de sus subgrupos normales N,, NI, . . ., N,si todo a f G tiene representación u'nica de la forma a = a,a2 . a,, donde cada a, E N, para i = 1 , 2, . . . , n.

De lo considerado anteriormente se tiene el

LEMA 2.9.1. Si G = 6 ,x G2 x . . x G, es el producto directo externo de G,, G2,. . . , G,, entonces G es el producto directo interno de los subgrupos normales G2,. . . , 6, definidos anteriormente.

e,,

Necesitamos ir en la otra dirección, es decir, probar que si G es el producto directo interno de sus subgrupos normales N,, N,, . . ., N,,, entonces G es isomorfo a N, x N2 x . . . x N,.Para tal fin, se obtienen primero algunos resultados preliminares. El resultado que se va a probar ya se present6 como problema anteriormente. Para tener codo completo Io probamos ahora.

LEMA 2.9.2. que M í7 N

=

Sea G un grupo y M, N subgrupos normales de G tales ( e ) . Entonces, dados m E M y n E N , mn = nm.

DEMOSTRACI~N. Considérese el elemento a = mnm-'n--'. Insertando paréntesis en a se puede escribir a = (mnm-')n-'; entonces, dado que IV a G y n E N,mnm-' E E,de manera que a = (mnm-')nA1;también esta en N. Insertando paréntesis en a ahora de otra manera, a = m(nm-'n-'1; puesto que M ú N y m--' E M, se tiene nm-' n-' E M y entonces a = m(nmi'n-l) E M. Por consiguiente a E M í7 N = ( e ) ,que equivale a decir, mnm-'n-' = e. Esto da por resultado mn = nm, como se requería. [7 Si G es el producto directo interno de los subgrupos normales N,, . . . , N,,afirmamos que N,í7 N, ( e )para i # j. Para tal fin supóngase que a E N,n N'; entonces a = e . e . eae . . e, donde a ocurre en el i-ésimo lugar, Esto da una representación de a en G = N,N2. . . N,.Por otra parte, a = e .

-

e . . e . a . e - . . e, donde a ocurre en el j-ésimo lugar, de manera que a tiene una segunda representación como elemento de N,N2. - . N,. Por la unicidad de la representación, se obtiene a = e, y así N,í7 N, = ( e ) . Tal vez sea más claro lo anterior si lo hacemos para n = 2. Así que supóngase que N, d G,N, a G y que todo elemento a E G tiene una representación única como a = ala2, donde alE N,, a, E N2.Supóngase que a E N In 1%; entonces a = a . e es una representación de a = ala2con a, = a E N,,a2 = e E N2.Sin embargo, a = ea,así que a = blb2,donde 6, = e E N,, b2 = a E N2.Por la unicidad de la representación se debe tener al = b,, es decir, a = e. Por lo tanto N, í7 N2 = ( e ) . E1 razonamiento dado anteriormente para N,,. . ., N, es el mismo que el que se da para n = 2, pero tal vez sea menos transparente. De cualquier manera hemos probado el

LEMA 2.9.3. Si G es el producto directo interno de sus subgrupos normales N,,E,,. . ., N,, entonces para i # j, N,n N, = (e).

COROLARIO.

Si G es como en el Lema 2.9.3, entonces si i # j y a,E N,y a, E N,,se tiene a,a,= @,a,.

29

95

Productos directos

DEMOSTRACION. Por el Lema 2.9.3, N,n N, = (e)para i # j . Puesto que los N son normales en C , por el Lema 2.9.2 se tiene que cualquier elemento de N, conmuta con cualquier elemento de N,, es decir, ala, a , E N,, a, E N,.

O

-

a,a, para

Luego de considerar estos preliminares podemos ahora probar el

TEOREMA 2.9.4. Si G es el producto directo interno de sus subgrupos normales N,, N2, . . . , N,, entonces G es isomorfo a N, x N 2 x . . x N,, el producto directo externo de N,, N,,. . . , N,. DEMOSTRACION. Defínase la aplicación $ de N,x N:,x . . . x N, a C por $((a,, a2, . . . , a,)) = alaz . . . a,. Puesto que todo elemento a de G tiene una representación a = ala, , . . a,, con los a, E N,, se tiene que la aplicación $ es suprayectiva. Afirmamos que también es inyectiva, Porque si $ ( ( a , , a,, . . . , a,)) = + ( l b l , b2, . . ., b,)), entonces por la definición de ala2 . . . a, = b,b2 . . b,. Por la unicidad de la representación de un elemento en esta forma se deduce que al = b , , al = b2, . . . , a , = b,. Por consiguiente $ es inyectiva. Lo único que resta es demostrar que $ es un homomorfismo. De manera que considerese

+,

entonces conmuta con a,, b, para i > 1 por el corolaPuesto que b , E N,, rio del Lema 2.9.3. Así que se puede pasar b , a través de todos los elementos que están a su derecha y se obtiene a,b,a,b2 . . a,b, = a,a2b2a3b3- . . a,,b,b,. Repítase luego este procedimiento con b2, y así sucesivamente para obtener que alb,a,b, . . a,b, = ( a , , a2 . . a,)(b,b, - . b,). De esta manera

=

(a,@,

-

a,)(b,b2 . . b,)

En otras palabras, $ es un homomorfismo. Con esto se completa la demostración del Teorema 2.9.4. En vista del resultado del Teorema 2.9.4 dejamos los adjetivos "interno" y "externo" y simplemente hablamos de "producto directo".

96

CAP~TULO 2

e

GRUPOS

El objetivo a menudo es demostrar que un grupo dado es el producto directo de ciertos subgrupos normales. Si esto se puede realizar, es posible determinar completamente la estructura del grupo si es que se conocen las de los subgrupos normales.

PROBLEMAS 2.9 1. Si G, y G2 son grupos, pruébese que G, x G2

-

G2 x G 1 -

2, Si G , y G2son grupos cíclicos de órdenes m y n, respectivamente, pruébese que G, x G2 es cíclico si y sólo si m y n son relativamente primos.

-

3. Sea G un grupo, A = G x C. En A sea T = { ( g , g)lg E G ) , (a) Pruébese que T G. (b) Pruébese que T a A si y sólo si G es abeliano, 4. Sea G un grupo abeliano de orden p y p p . . pkm,, donde p,, p2, . . ., pk son primos distintos y m, > O, rn2 > 0 , . . ,, m, > O. Por el Problema 10 de la Sección 2.6, para cada i, G tiene un subgrupo P, de orden p:".

Demuéstrese que G

-

P, x P2 x

-

x Pk.

5. Sea G un grupo finito, N,, N,, . . . , N, subgrupos normales de G tales que lNkI. Pruébese que G es el G = NiN2 - - . N , y IGI = ]N,I IN21 producto directo de N , , N2, . . . , N,. -

a

-

6. Sea G un grupo, N,, N,, . . ., N, subgrupos normales de G tales que: 1. G = N,N2 . N,. 2. Para cada i, N, n (N1N2 . . N,-lN,+l . N,) = ( e ) . Pruébese que G es el producto directo de N,, N,, . . . , N,.

2.1 0 GRUPOS ABELlANOS FINITOS (OPCIONAL) Hemos terminado justamente de estudiar el concepto de producto directo de grupos. Si se dejara este tema en el punto en que terminó, podría dar Ia impresión de una pequeña y agradable construcción, pero ¿luego qué? Para darle un poco mas de sustancia, se debe probar por lo menos un teorema que diga que un grupo que satisfaga cierta condiciun es el producto dírecto de algunos grupos particularmente sencillos. Afortunadamente existe tal clase de grupos, los abelianos finitos. Lo que se probara es que cualquier grupo abeliano finito es el producto directo de grupos cíclicos. Esto reduce la mayoria de las interrogantes relativas a grupos abelianos finitos a cuestiones referentes a grupos cíclicos, lo cual a menudo permite obtener respuesta completas a dichas interrogantes.

2 10

Grupos abelianos finifos jo~cional)

97

La situación de la estructura de los grupos abelianos finitos realmente es un caso especial de algunos teoremas más amplios y rigurosos. El estudio de ellos sería ir muy lejos, especialmente debido a que el tema de los grupos abeIianos finitos es muy importante por sí mismo. El teorema que se probará se llama con muy justa razón teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. Antes de abordar los detalles propios de la demostraciór sería bueno presentar un esquema rápido de como se procederá para probar el teorema. El primer paso será reducir el problema de un grupo abeliano finito cualquiera a uno cuyo orden sea p n , donde p es primo. Este paso será muy fácil de realizar, y puesto que el grupo tendrá un orden en el que interviene exactamente un primo, los detalles de la demostración no se llenarán de elementos cuyos órdenes sean un tanto complicados. De manera que nos concentraremos en los grupos de orden pn. Sea G un grupo abeliano de orden pn. Deseamos demostrar que existen subgrupos cíclicos de G, A , , A2, . . . ,A,, tales que todo elemento x € G se puede expresar como x = blb2 . . bk, donde cada 6, E A,, de una manera única. Dicho de otro modo, puesto que cada A, es cíclico y generado, digamos, por a,, se quiere demostrar que x = afta22 . - a?, donde los elementos a l son únicos. Se presenta de ínmediato una dificultad, ya que no hay solamente una eleccíón para dichos elementos a l , . . . , ak. Por ejemplo, si G es el grupo abeiiano de orden 4 con elementos e, a , 6, a6, donde 2 = b2 = e y a b = ba, entonces se puede ver que si A , B, C son los subgrupos cíclicos generados por a, b y ab, respectivamente, entonces G = A x B = A x C = B x C. Por consiguiente no hay unicidad en la elección de los a,. ¿Cómo evitar esto? Lo que se requiere es un artificio para escoger al, que luego se pueda aplicar para escoger a2 y as1 sucesivamente. ¿Cómo debe ser tal artificio? Nuestro control sobre 10s elementos de G radica solamente en sus órdenes específicos. El orden de los elementos será el que proporcione los medios para probar el teorema, cuando se utilice apropiadamente. Supóngase que G = A, x A2 x Ak donde 1 G ( = p" y los A se han 2 nk, y cada numerado, de tal manera que ] A , / = pnl y n , L n2 2 A, es cíclico generado por a,. Si así fuera y x = afi . . @A, entonces

como n , L n,, p n ~ I p "así ~ , que dado que cada = e, entonces x""' = e. En otras palnbras, a, debe ser un elemento de G cuyo orden sea tan grande como sea posible. Muy bien, ya podemos elegir a,. ¿Qué hacemos con a,? Si G = G / A , , entonces para obtener el primer elemento requerido para representar 6 como un producto directo de grupos cíclicas, se debe escoger un elemento de cuyo orden sea máximo. ¿Cómo se traduce esto en el mismo G ? Se necesita un elemento a, tal que requiera una potencia lo mas alta posible para quedar en A , . Así que ése será el camino a la selección del segundo elemen-

98

CAP~TULO 2

GRUPOS

to; sin embargo, si se elige un elemento b2con esta propiedad, puede ser que no resuelva el problema; es posible que se tenga que adaptar para tal fin. La realización de todo esto es la parte técnica del razonamiento y lo ejecuta. Luego se repite apropiadamente para encontrar un elemento a3, y así sucesivamente. Este es el procedimiento que se llevará a cabo para probar el teorema. Pero para facilitar las elecciones sucesivas de a l , a,, . . . , aplicaremos un razonamiento de inducción y algunos resultados preliminares auxiliares. Con este esquema como guía esperamos que la demostración del teorema tenga sentido para el lector. No se debe confundir la idea básica de la demostración -la cual es bastante razonable- con los detalles técnicos, que puede ser que ensombrezcan el asunto, De esta manera empezamos ahora a llevar los pormenores del esquema de la demostración esbozada anteriormente.

LEMA 2.1 0.1. Sea G un grupo abeliano finito de orden mrl, donde m y n son reIatívamente primos. Si M = { x E G / x m = e ) y N = jx E Glxn = e), entonces G = M x N. Además, si m y n son distintos de 1, entonces M S: (e) y N # (e).

DEMOSTRACI~N. Se observa

rápidamente que los conjuntos M y N antes definidos son subgrupos de C. Por otra parte, si m f 1, entonces por el teorema de Cauchy (Teorema 2.6.4) se obtiene fácilmente que M # (e) y de manera semejante, si n # 1, que N # (e). Además, puesto que N n N es un subgrupo tanto de M como de N, por el teorema de Lagrange, J MR NI divide a IMI = m y ]NI = n. Como m y n son relativamente primos, se obtiene IM n NI = 1, por consiguiente M fl N = (e). MN. Para finalizar la demostración, se debe probar solamente que G Puesto que m y n son relativamente primos, existen enteros r y s tales que rnz -t sn = 1. Si a E 6, entonces a = a ' = a'"'" = asna'"' , dado que (aSfl,P = asnm= e se tiene que as" E M. De manera semejante, a'" E N. Así que a = está en MN. De esta manera G = MN. Se deja al lector el último toque, a saber, que G = M x N,

-

Un corolario inmediato es

COROLARIO. Sean G un grupo abeliano finito y p un primo tal que p 1 1 G l. Entonces G = P x T para algunos subgrupos P y T, donde lPl = p'", nz > 0, y 1 TI no es divisible por p.

DEMOSTRACION. Sea P

= { x E Glxp = e para algún S ) y el subconjunto ( x E G lx' = e para f relativamente primo a p). Por el Lema 2.10.1, G = P x T y P # (e). Puesto que todo elemento de P tiene orden igual a una potencia de p, recurriendo al teorema de Cauchy se obtiene que 1 PI = p"'.

T

=

n

Es fácil ver que p 4 1 Tf haciendo uso del teorema de Lagrange. Así que en realidad se tiene que P no es solamente un subgrupo de G, sino que es el psubgriipo de Sylow de C.

99

2 10 * Grupos abelianoc finitas (opcional]

Ahora llegamos al paso clave de la demostración del teorema que se busca. Tal demostración es un poco difícil, pero una vez que se tenga este resultado el resto será fácil.

TEOREMA 2.10.2. Sea G un grupo abeliano de orden p n , p primo, y supóngase que a E G tiene el máximo orden de todos los elementos de G. Entonces G = A x Q, donde A es el subgrupo cíclico generado por a. 1, entonces 1 C / = p y G es ya un grupo cíclico generado por cualquier a # e de G. Supóngase que el teorema es cierto para todo m < n. Si existe un elemento b E G tal que b fZ A = ( a ) y bP = e, se demuestra que el teorema es válido. Sea B = ( b ) , el subgrupo de G generado por 6; así que A í7 B = (e). Sea 5 = G / B ; por hipótesis B S (e), por tanto 151 < IG1. ¿Cuál es el orden de á = Ba en Afirmamos que o ( 2 ) = o (a). Para empezar, se sabe que o(G)lo(a)ya que a"'") = e, por lo tanto a"'"' = ( ~ a ) " ' " = ) Bao'") = B. Por otra parte 6"""' é, así que üotZ'E B, y puesto que a"(" E A, se ve que a"'" E A A B = ((e, de donde a"'"' = e. Esto dice que o(a)l o(U). Por consiguiente o ( a ) = o(Ü). Puesto que 6 es un elemento de orden máximo en ¿?, se sabe por la inducción que G = (a) x Tpara algún subgrupo T d e G. Por el segundo teorema de homomorfismo~se sabe tambien que T = Q/B para algún subgrupo Q de 6. Afirmamos que G = A x Q. Si no fuera así, entonces A í7 Q # (e); sea u E A í7 Q. Entonces u = a' E Q, así que a'E Q / B = T, y puesto que (a)n T = (e), se tiene que 5' = e, por consiguiente a' E B. Pero a' E A y A í7 B = (e); por lo tanto, a' = e, es decir, u = a' = e. Por consiguiente, A n Q = ( e ) y se obtiene que G = A x Q. Supóngase, entonces, que no existe ningz(n elemento b de 6, que no esté en A , tal que bP = e. Afirmamos que esto obliga a que G = A = (u), en cuyo caso G es un grupo cíclico. Supóngase que G # A ; sea x E G, x g. A el elemento que tiene el menor orden posible. Como o ( x P )< o ( x ) , se tiene, por la elección de x, que xP E A , por consiguiente xP = al. Afirmamos que p 1 i. Supóngase que no. Sea m = o(a) = p" como a es de orden máximo en G, entonces, para cualquier c E G, o ( c ) = pr 5 o(a) = pS, por consiguiente r S S , y así o ( c ) l o ( a ) = m. Por lo tanto, cm = e. Ahora bien, xP = a' y se supuso que p S i; por consiguiente m irn/p, y así a l m / P # e. Pero xrn = ( X ~ ) m /-:p (al)ml'p= a'"'* # e, 10 cual contradice el hecho observado anteriormente de que xm = e. Así que pl i, por lo tanto i = jp y xp = a' = aJP.Sea y = alJx; entonces y E A , ya que x E A y a-] E A ; por otra parte, yP = ( a - j ~ )=~a-Jpxp= e. Pero esto hace que se regrese a la situación tratada anteriormente, donde existe un x E G, x 4. A tal que xP = e; en tal caso se vio que el teorema era válido. Así que se debe tener G = ( a )y G es un grupo cíclico. Con esto concluye la inducci0n y se prueba el teorema.

DEMOSTRAG~~N. Se procede por inducción en n. Si n

e?

U

=

100

CAPíTULO 2

GRUPOS

Se puede probar ahora el muy importante y básico

TEOREMA 2.10.3 (TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS GRUPOS ABELIANOS FINITOS). Todo grupo abeliano finíto es el producto directo de grupos cíclicos. DEMoSTRACI~N. Sea G un grupo abeliano finito y p un primo que divide a (GI. Por el corolario de1 Lema 2.10.1, G = P x T, donde IPI = pn, Por el Teorema 2.10.2, P = Al x A, x - . x Ak, donde 10s A, son subgrupos ciclicos de P. Razonando por inducción en 1 G 1 , se puede de este modo suponer que T = T, x T2 x . . x T,, donde los T, son subgrupos cíclicos de T. Así que

= A , x A2 x . -

- x

A, x T, x T, x

. . x Tk.

(Pruébese.)

Queda así probado este teorema tan importante. Volvemos a los grupos abelianos G de orden pn. Se tiene ahora a la mano que G = A , x A2 x - . x Ak, donde ¡os A, son grupos cíclicos de orden pn*.Se puede arreglar la numeración de manera que n, 2 n2 2 z nk. Además, IGI = IA, x A2 x x Akl = IAiI IAz ] A k [l,o c u a l d a q u e - * .

por consiguiente n = n, + n2 + . . + nk. De esta manera los enteros n, 2 O proporcionan una partici~nde n. Se puede demostrar que estos enteros n , , n2, . . ., nk -10s cuales se llaman invariantes de G- son únicos. En otras palabras, dos grupos abelianos de orden pfl son isomorfos si y solo si tienen los mismos invariantes. Dado esto, se sigue que el número de grupos abelianos no ísomorfos de orden pn es igual al número de particiones de n. Por ejemplo, si n = 3 , tiene Ias tres particiones siguientes: 3 = 3,3 = 2 + 1, 3 1 + 1 t- 1, de manera que hay tres grupos abelianos no isomorfos de orden p" (independientemente de p). Los grupos correspondientes a dichas particiones son un grupo cíclico de orden p3, el producto directo de un grupo cíclico de orden p2 por uno de orden p y el producto directo de tres grupos cíclicos de orden p , respectivamente. Para n = 4 se ve que las particiones son 4 = 4, 4 = 3 + 1, 4 = 2 + 2, 4 = 2 + 1 + 1 , 4 = 1 + 1 + 1 + 1 , que son cinco en total. Así que exísten cinco grupos no isomorfos de orden p4. ¿Puede el lector describirlos por medio de las particiones de 4? Dado un grupo abeliano de orden n = p f ~ p p - p?, donde los p, son primos distintos y los a, son todos positivos, entonces G es el producto directo de sus p, -subgrupos de Sylow (véase, v.gr., el corolario del Lema 2.10.1).

-

102

CA~TULO 2 *

GRUPOS

~EFINICIÓN.Si a E G, entonces C ( a ) , el centralizador de a en 6 , se define por C ( a ) = { x E G(xa = ax). Cuando C ( a ) se presentó en la Sección 2.3 se demostró que era un subgrupo de 6. Se registra ahora esto de manera más formal como

LEMA 2.1 1.l. Para

a

E G, C ( a ) es un subgrupo de G.

Como se vio anteriormente, dos conjugados x-'ax y y-'ay de a son iguales sólo si xy-' E C ( a ) , esto es, sólo si x y y están en la misma clase lateral izquierda de C ( a ) en 6. Por otra parte, si x y y están en la misma clase lateral izquierda de C ( a ) en C, entonces xy--' E C ( a ) , por consiguiente xy-'a = a y - ' . Esto implica que x-'ax = y-'ay. Así que x y y dan lugar al mismo conjugado de a si y sólo si x y y están en la misma clase lateral izquierda de C ( a ) en G. De esta manera hay tantos conjugados de a en G cuantas clases laterales izquierdas hay de C ( a )en CI. Esto es más interesante cuando G es un grupo finito, ya que en ese caso el número de clases laterales izquierdas de C ( a ) en G es lo que se ilaina Índice, i G ( C ( a ) )de , C ( a ) en G, y es igual a 1 Gl / 1 C ( a )l . Hemos probado el

TEOREMA 2.11.2. Sea 6 un grupo finito y a E G; entonces el número de conjugados distintos de a en G es igual al índíce de C ( a ) en G. En otras palabras, el número de elementos en cl ( a ) es igual a iG(C(cz))= IGl/lC(a)l. Este teorema, aunque fue relativamente fácil de probar, es muy importante y tiene muchas consecuencias. Veremos unas cuantas de ellas aquí. Una de tales consecuencias es una especie de resultado de contabilidad. Puesto que la conjugación es una relación de equivalencia en 6, G es la unión de las clases de conjugación disjuntas. Además, por el Teorema 2.1 1.S, se sabe cuántos elementos hay en cada clase. Reuniendo toda esta información, se obtiene,

TEOREMA 2.11.3 (ECUACION DE CLASE).

Si G es un grupo finito,

entonces

donde la suma se efectúa tomando un a de cada clase de conjugación. Es casi una tradíciíin sagrada entre los matemáticos presentar, como primera aplicación de la ecuación de clase, un teorema particular relativo a los grupos de orden y", dondep es primo, No queriendo ser acusados de herejía, seguimos esta tradición y se prueba el bonito e importante:

2 C 1 * Conjugación y teorema de Sylow (opcional]

103

TEOREMA 2.11.4. Si G es un grupo de orden p", donde p es primo, entonces Z ( G ) ,el centro de G, no es trivial (es decir, existe un elemento a # e en G tal que ax = xa para todo x f G).

DEMOSTRACION. Se hará uso de la ecuación de clase para llevar a cabo la demostración. Sea z = l Z ( G ) l ;como se señalé, previamente, z es el número de elementos de C cuya clase de conjugación tiene solamente un elemento. Puesto que e E Z ( C ) , z 1. l . Para cualquier elemento b fuera de Z ( C ) , su clase de conjugación contiene más de un elemento y C ( b )1 < 1 G 1. Por otra parte, dado que / C ( b ) l divide a jC 1 por el teorema de Lagrange, [ C ( b )1 = P ' ' ~ ) ,donde 1 S n ( b ) < n. Se dividen las partes de la ecuación de clase en dos: las que provienen del centro y las restantes. De esta manera se obtiene,

Evidentemente, p divide el lado izquierdo, p", y divide a c,,,~,,J?"-"~~'. El resultado neto de esto es que p l z , y dado que z r 1, se tiene que z es por lo menos p. Así que, puesto que z = debe haber un elemento a # e en Z ( G ) , lo cual prueba el teorema.

El teorema anterior tiene una interesante aplicación, la que algunos lectores pueden haber visto al resolver el ProbIema 45 de la Sección 2.5. Esta es

TEOREMA 2.1 1.5. Si C es un grupo de orden p 2 , donde p es primo, entonces G es abeliano.

DENOSTRACION. Por el Teorema 2.1 1.4, Z ( G ) # ( e ) , de tal manera que hay un elemento, a, de orden p en S ( G ) . Si A = ( a ) , el subgrupo generado por a , entonces A c Z ( G ) , por consiguiente A C C ( x ) para todo x E C. Dado x E C , x A, entonces C ( x ) > A y x E C ( x ) ;así que 1 C(x)I > p , no obstante 1 C ( x )1 debe dividir a p2. E1 resultado neto de esto es que 1 C ( x )1 = p2, por lo tanto C ( x ) = G, de donde x E Z ( G ) . Puesto que todo elemento de G está en el centro de 6 , éste debe ser abeliano. En los problemas que vienen se darán muchas aplicaciones de la naturaleza de los grupos de orden p", donde p es primo. El ataque natural sobre virtualmente todos estos problemas sigue los lineamientos del razonamiento que estamos a punto de dar. Elegimos una opción, de un amplio conjunto posible, para ilustrar dicha técnica.

TEOREMA 2.11.h. Si G es un grupo de orden p", p primo, entonces C contiene un subgrupo normal de orden pn-l.

104

CAP~TULO2

GRUPOS

DEMOCTRACI~N. Se procede por inducción en n. Si n

1, entonces G es de orden p y ( e ) es eI subgrupo normal requerido de orden pl-' = p0 = 1. Supóngase que se sabe que para algún k todo grupo de orden p k tiene un subgrupo normal de orden p k p l . Sea G de orden pk '; por el Teorema 2.11.4 existe un elemento a de orden p en Z(G), el centro de G. De esta manera el subgrupo A = ( a ) generado por u es de orden p y normal en C . Considérese r' = C / A ; P es un grupo de orden I G l / ] A l = p k + l / p = pk por el Teorema 2.6'3. Puesto que r tiene orden p< se sabe que l7 tiene un subgrupo normal M de orden pk-'. Dado que I' es una imagen homomorfa de G, por el segundo teorema de homomorfismos (Teorema 2.7.2) existe un subgrupo normal N en G, N > A , tal que N / A = M. Pero entonces se tiene =

+

es decir, p "-' = 1 NI / p , lo cual conduce a 1 NI = p k . N es el subgrupo normal requerido en G de orden pk. Esto completa la inducción y así se prueba el teorema. La más importante aplicación que se hace de la ecuación de clase es con mucho la demostración de un teorema de gran alcance debido a Sylow, un matemático noruego, quien 10 probó en 1871. Ya se demostró que este teorema es valido para grupos abelianos. Ahora se probará para cualquier grupo finito. Es imposible exagerar la importmcia de1 teorema de Sylow en el estudio de grupos finitos. Sin 6I no se podría desarroIlar el tema.

TEOREMA 2.4 1.7 (DE SYLOW). Supóngase que G es un grupo de orden pnm, donde p es un primo y p po de orden pn.

m. Entonces G tiene un subgru-

DEMOSTRACI~N. Si n = O, entonces p { f G l y no hay nada que probar. Se supone por lo tanto que n 2: 1. De nuevo se procede por inducción en ( G 1, suponiendo que el resultado es verdadero para todos los grupos H tales que IHI < IGl. Supóngase que el resultado es falso para C . Entonces, por la hipótesis de inducción, pn no puede dividir a IH[ para cualquier subgrupo N de C si H # G. En parricular, si a $5 Z ( G ) , entonces C ( a ) # 6, por consiguiente p" S J C ( a l.) De esta manera pl 1 Gj / ( C ( a ) J = i G ( C ( a ) )para a @ Z(G). Escríbase la ecuación de clase para G siguiendo los lineamientos del razonamiento del Teorema 2.11.4, Si z = 1 Z ( G ) 1, entonces z r 1 y

105

2 11 * Conjugación y teorema de Sylow [opcional)

Pero p 1 iG(C(a)) si a @ Z(G), así que p 1 ~,,,(,,i,(C(a)); puesto que p (pnm, se obtienep 1 z. Por el teorema de Cauchy hay un elemento a de ordenp en Z(G), ya q u e p l z = jZ(G)J. Si A es el subgrupo generado por a, entonces (Al = p y A a C, puesto que a f Z(G). Considérese I? = G/A; Ir 1 = IGl/ tA = pnrn/p = pn-'m. Dado que 1 < ( G ( ,por la hipótesis de inducción I' tiene un subgrupo M de orden pn-l. Sin embargo, por el segundo teorema de homomorfismo~existe un subgrupo P de G tal que P 3 A y P/A = M. Por lo tanto, 1 PI = 1 M1 1 A 1 = pn-'p = pn;de esta manera se encuentra que P es un subgrupo de C de orden p n , contradiciendo la suposición de que G no tenía ninguno de tales subgrupos. Esto completa la inducción y se establece el teorema de Sylow.

En realidad el teorema de Sylow consiste de tres partes, de las cuales solamente probamos la primera. Las otras dos son (suponiendo p R m = 1 G], donde p

4 m): 1. Cualquier par de subgrupos de orden p nen G son conjugados; es decir, si 1 Pl = 1 QI = pn,P, Q subgrupos de G, entonces para algún x € G, Q = x-"x.

2. El número de subgrupos de orden pRen G es de la forma 1 a

+ kp y divide

la.

Puesto que dichos subgrupos de orden p " surgen por todas partes, se les llama p-subgrupos de SyIow de 6. Un grupo abeliano tiene un p-subgrupo de Sylow para todo primo p que divida a su orden. Esto dista mucho de ser cierto en el caso general. Por ejemplo, si 6 = S,, el grupo simétrico de grado 3, que tiene orden 6 = 2 3, hay tres Zsubgrupos de Sylow (de orden 2) y un 3-subgrupo de Sylow (de orden 3). Quienes deseen analizar varias demostraciones de la parte del teorema de Sylow que se probó anteriormente y de las otras dos, pueden examinar la sección correspondiente del libro del mismo autor, Áigebra Moderna.

1, En S,, el grupo simétrico de grado 3, encuéntrense todas las clases de con-

jugación y verifíquese la validez de la ecuación de clase determinando los órdenes de los centralizadores de los elementos de S3.

2. Resuélvase el Problema 1 cuando 6 es el grupo diédrico de orden 8. 3. Si a E G, demuéstrese que C(xM'ax) = x-'C(a)x.

106

CAP~TULO 2

* GRUPOS

4. Si p es un automorfismo de G, demuéstrese que C ( p ( a ) ) = p ( C ( a ) ) para a E 6. 5. Si 1 G 1 = p3y 1 Z ( G )1 2 p 2 , demostrar que G es abeliano.

6 . Si P es un p-subgrupo de Sylow de G y P a G, pruébese que P es el único p-subgrupo de Sylow de 6 . 7. Si P a G , P un p-subgrupo de Sylow de 6 , pruébese que p ( P ) = P para todo automorfismo p de C. 8. Utilícese la ecuación de clase para dar una demostración del teorema de Cauchy .

Si H es un subgrupo de G, sea N ( H ) = ( x E G lx-'Hx = H ) . Esto no significa que si x E ??(N), a E N, entonces xa = ax, Por ejemplo, si H U 6 , entonces N ( H ) = G, no obstante N no esta necesariamente en el centro de G. 9. Probar que N ( H j es un subgrupo de G, H 10. Probar que N(x-'Hx)

=

c

N(&) y N a N ( H j .

xA'N(H)x.

11. Si P es un p-subgrupo de Sylow de G, pruébese que P es un p-subgrupo de Sylow de N ( P ) y que es el único.

12. Si P es un p-subgrupo de Sylow y a E G es de orden pmpara algún m, demuéstrese que si aP1Pa= P entonces a € P.

13, Pruébese que si G es un grupo finito y H es un subgrupo de C, entonces el número de subgrupos distintos x-%x de G es igual a I,(N(H)). 14. Si P es un p-subgrupo de Sylow de G, demuéstrese que el número de distintos x-'Px no puede ser múltiplo de p. 15. Si N a G, sea B ( N ) = { x E Glxa = ax para todo a E N ) . Pruébese que B(Nj a 6.

PROBLEMASINTERMEDIOS 16. Demuéstrese que un grupo de orden 36 tiene un subgrupo normal de orden 3 o 9. (Sugerencia: Véase el Problema 40 de la Sección 2.5.) 17. Demuéstrese que un grupo de orden 108 tiene un subgrupo norma1 de orden 9 o 27. 18. Si P es un p-subgrupo de Sylow de G , demuestrese que N ( N ( P ) )

=

N(P),

19. Si 1 G1 = p n , probar que G tiene un subgrupo de orden pmpara todo 1 m S n. 20. Si pm1 1 G i , probar que G tiene un subgrupo de orden p m .

5

2 12 * Conjugación y teorema de Sylow (opcional)

107

21. Si 1 G 1 = pn y H ic- G es un subgrupo de H, demuéstrese que N(H) 3 H. 23. Sean G un grupo y H un subgrupo de 6. Definase para a, b E G, a si b = h-'ah para algún h E H. Pruébese que

-b

23. Sean G un grupo y H un subgrupo de G. Defínase para a, b E G, a b si b = h-lah para algún h E H. Pruébese que (a) esto define una relación de equivalencia en G. (b) Si { a )es la clase de equivalencia de a, demuéstrese que si G es un grupo finito, entonces {a)tiene m elementos, donde rn es el índice de H n C(a) en H.

-

24. Si G es un grupo y H un subgrupo de 6 , defínase para los subgrupos A, B que B A si B = h-'AAh para algún k E H. (a) Pruébese que esto define una relación de equivalencia en el conjunto de subgrupos de G. (b) Si G es finito, demuéstrese que el número de subgrupos distintos equivalentes a A es igual al índice de N(A) fi H en N.

-

25. Si P es un p-subgrupo de Sylow de G, sea S el conjunto de todos los p-subgrupos de Sylow de G. Para Q,, Q2 E S definase Q, - Q, si Q2 = a-' Q,a con a E P. Utilízando esta relación, pruébese que si Q f P, entonces el número de distintos a-'Qa, con a E P, es un múltiplo de p.

26. Aplicando el resultado del Problema 25, demuéstrese que el número de psubgrupos de Sylow de G es de la forma 1 + kp. (Esta es la tercera parte del teorema de Sylow.) 27. Sean P un p-subgrupo de Sylow de G y Q otro de ellos. Sup6ngase que Q # xU1Px para cualquier x E G. Sea S el conjunto de todos los y-'&, cuando y recorre todo C. Para Q,, Q2 E S definase Q, - Q2 si Q2 = a-'Q,a, donde a E P. (a) Demuéstrese que esto implica que el número de distintos y-'& es un multiplo de p. (b) Aplicando el resultado del Problema 14, demostrar que no puede ser válida la conclusión de la parte (a). (c) A partir de esto pruébese que dado cualquier par dep-subgrupos de Sylow P y Q de G, entonces Q = x-'Px para algún x E G. (Esta es la segunda parte del teorema de Sylow.)

28. Si H es un subgrupo de G de orden pm,demostrar que H está contenido en algún p-subgrupo de Sylow de G.

29, Si P es un p-subgrupo de Sylow de G y a, b E Z(P) son conjugados en G, pruébese que ya son conjugados en N(P).

L GRUPO

Recordemos un teorema de grupos abstractos demostrado en el Capítulo 2. Dicho resultado, conocido como teorema de Cayley (Teorema 2.5. l), afirma que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de A (S), el conjunto de las aplicaciones inyectivas del conjunto S sobre si mismo, para algUn S apropiado. En realidad, en fa demostración que dimos se utilizó como S el mismo grupo G considerado simplemente como un conjunto, Históricamente, los grupos se originaron primero de esta manera, mucho antes de que fuera definido el concepto de grupo abstracto. En los trabajos de Lagrange, Abel, Galois y otros, encontramos resultados sobre grupos de permutaciones que fueron demostrados a finales del siglo xvxrl y a principios del XIX. Sin embargo, no fue sino hasta mediados del siglo X I X que Cayley introdujo más o menos el concepto abstracto de grupo. Puesto que la estructura de grupos isomorfos es la misma, el teorema de Cayley seííaIa un cierto carácter universal de los grupos A ( S ) . Si conocieramos la estructura de todos los subgrupas de A ( S ) para cualquier conjunto S, conoceríamos la estructura de todos los grupos. Esto sería demasiado pedir. No obstante, se podría intentar explotar este empotramiento de tipo isomorfo de un grupo arbitrario G dentro de algún A ( S ) . Lo anterior tiene la ventaja de transformar G como un sistema abstracto en algo más concreto, a saber, un conjunto de aplicaciones precisas de algún conjunto sobre sí mismo. No nos ocuparemos de los subgrupos de A(S) para un conjunto arbitrario

110

CAP~TULO 3 * EL GRUPO SIMETRICO

S. Si S es infinito, A ( S ) resulta ser un objeto muy "arisco" y complicado. Aun en el caso de que S sea finito, la naturaleza completa de A ( S ) es virtualmente imposible de determinar. En este capítulo se considera solamente A ( S )para un conjunto S finito. Recuérdese que si S tiene n elementos, entonces A ( S ) se llama grupo simétrico de grado n, y se denota con S,, Los elementos de S, se llaman permutaciones; se denotaran con letras griegas minúsculas. Dado que dos elementos a, T E A ( S ) se multiplican por medio de la regla ( c ~ T ) ( s= ) Ú(T(s)); esta tendrá el efecto de que cuando se introduzcan símbolos apropiados para representar los elementos de S,, dichos símbolos, o permutaciones, se multiplicarán de derecha a izquierda. Sí los lectores consultan algun otro libro de álgebra, deben asegurarse de la manera en que se estén multiplicando las permutaciones: de derecha a izquierda o de izquierda a derecha. Con mucha frecuencia, los algebristas multiplican permutaciones de izquierda a derecha. Para ser consistentes con nuestra definición de composición de elementos de S,, lo haremos de derecha a izquierda. Por el teorema de Gayley se sabe que si G es un grupo finito de orden n, entonces G es isomorfo a un subgrupo de S, y S, tiene n! elementos. Vagamente hablando, se dice normalmente que G es un subgrupo de S,. Puesto que n es mucho más pequeño que n! aun cuando n sea modestamente grande, el grupo ocupa tan sólo un pequeño rinconcito de S,. Sería deseable meter a G en un S,, con el menor n posible. Esto es factible para ciertas clases de grupos finitos. Sea S un conjunto finito de n elementos; se puede suponer que S = { x , ,x2, . . ., x,). Bada la permutación o E S, = A ( S ) , entonces ú(x,) E S para k = 1, 2, . . ., n, de manera que u ( x k )= x , ~para algún ik, 1 S ik S n. Como o es inyectiva, si j f k, entonces x, = a(x,) # cr(xk) = x , ~ por ; lo tanto, los números i,, i,, . . ., i, son simplemente los números 1, 2, . . . , n acomodados en algun orden. Evidentemente, la acción de CT en S se determina por lo que U hace al subíndice j de xj,así que el símbolo ""x" sale sobrando y se puede descartar, En forma breve, se puede suponer que S = (1, 2 , . . ., n). Recordemos lo que se entiende par producto de dos elementos de A ( S ) . Si a, T E A ( S), se definió u7 por ( c T ~ ) (=s )L T ( T ( S)) para todo s E S. En la Sección 1.4 del Capítulo 1 se demostró que A ( S ) satisface cuatro propiedades que se utilizaron posteriormente como modelo para definir el concepto de grupo abstracto. Así que S,, en particular, es un grupo relativo al producto de aplicaciones. Lo primero que se necesita es una manera práctica para denotar una permutación, es decir, un elemento u de S,. Una manera clara es hacer una tabla que muestre lo que cr hace a cada uno de los elementos de S. Ésta podría llamarse gráfica de u. Ya se hizo esto anteriormente, al expresar u, digamos u E S3, en la forma: a: x, -, XZ,x2 + x3,x3 xl; pero resulta incómodo y consume espacio. Desde luego se puede hacer más compacta eliminando las +

4 14

3.1 * Preliminares

3,

x y escribiendo

. En este simbolo el número

que se encuentra

en el segundo renglón es la imagen con respecto a a del número que se encuentra en el primer renglón directamente sobre él. En todo esto no hay nada en especial acerca del 3; funciona igual de bien para cualquier n. Si o E S, y ~ ( 1 )= i,, 4 2 ) = i2, . . ., u(n) = i,, se emplea el símbolo 1 2 ...-para representar o y se escribe o = 1 2 (i,

r,

1,

)

...

Obsérvese que no es necesario escribir el primer renglón en el orden usual 1 2 -n; de cualquier manera que se escriba el primer renglón, mientras los i, se lleven consigo como corresponde, se tiene todavía o. Por ejemplo, en el caso citado de S,,

...

2

Si se sabe que a

] , ja qué es igual o-'?

=

l,, ,

simplemente inviértase el símbolo de u y se obtiene a-' (Pruébese.) En el ejemplo

2

. a -

fl

...

será expresado como e- es simplemente e

El elemento identidad -que 2 ...

i:

=

Es fácil, n

=

1.

¿Cómo se traduce el producto de S, en términos de estos símbolos? Dado que o7 significa: '"apliquese primero 7 y al resultado aplíquese u", al formar el producto de los símbolos de u y 7 se examina el número k del primer renglOn de T y se ve qué número ik está directamente abajo de k en la segunda fila de T. Luego se observa el lugar de ík en el primer renglón de a y se ve qué se encuentra directamente abajo de él en el segundo renglón de a. Esta es la imagen de k respecto a 07. Luego se pasa por k = 1, 2, . . . , n y se obtiene el símbolo para ar. Esto se realiza a simple vista. Se ilustra lo anterior con dos permutaciones

es ,S5. Entonces u7

2

=

3

4

La economía lograda de esta manera no es suficiente aún. Después de todo, el primer renglón es siempre 1 2 . . - n, así que se podría omitir y escribir 1 2 ... como ( i , , iZ, . . ., i,). En la siguiente sección se u = . ..

(.

11

12

"i

1 t,

encontrará una forma mejor y más breve de representar permutaciones.

412

CAP~TULO J

EL GRUPOSIMÉSRICO

PROBLEMAS 3.1 1. Determinar los productos.

2. Galcúlense todas las potencias de cada permutación (es decir, evaluar ak para todo k f .

3. Pruébese que

1

2

-1 e . .

...

... n

4. Encuéntrese el orden de cada uno de los elementos del Problema 2. 5, Encuéntrese el orden de los productos obtenidos en el Problema 1.

3.2 DESCOMPOSIG~~N EN CICLOS Continuamos el proceso de simplificación de la notación empleada para representar una permutación dada. AI hacerlo, se obtiene algo más que un mero símbolo nuevo; se obtiene un mecanismo para descomponer cualquier permutación como un producto de permutaciones particularmente cómodas.

DEFINIGION.Sean i , , iZ, . . ., ik, k enteros distintos en S = { 1, 2, . . . , n J. El símbolo (i, i, - - . ik)representará la permutación a E S,, donde u ( i , ) = i2, a ( i 2 ) = i3, . . ., o-(iJ)= i J + , para j < k, u ( i k ) = i l , y a(s) = S para cualquier s E S si s # i,, i,, . . ., ik. Por consiguiente, en S, la permutación (1

3 5 4) es la permutación

32

2 (

113

Descomposiciónen ciclos

3

3 2

4 5

5 4

1

6 6

').

7

Una permutación de la forma ( i , i2

...

ik)

se llama ciclo de orden k o k-ciclo. Para el caso especial k = 2, la permutación (i, i2) se llama iransposición. Obsérvese que si u = (il i2 . . ik), entonces . . rr es igualmente (ik z, l2 ) ( i ik i, i2 . - . ik-& y así sucesivamente. (Pruébese.) Por ejemplo,

-

Dados dos ciclos, digamos un k-ciclo y un m-ciclo, se dice que son ciclos disjuntos o ajenos si no tienen ningún entero en común. De donde (1 3 5) y (4 2 6 7) son ciclos ajenos en S,. Dados dos ciclos ajenos en S,, afirmamos que conmutan. La demostración de ello se deja al lector, con la sugerencia de que si u, T son ciclos ajenos, se ) todo i E S = ( 1,2, , . . , n). Expresadebe verificar que ( a ~ ) ( i )= ( ~ o ) ( ipara mos este resultado como

LEMA 3.2.1. Si u,

T

E S, son ciclos ajenos, entonces UT

= TU.

Consideremos un k-ciclo particular o = (1 2 . - k) en S,. Evidentemente, a(1) = 2 por la definicibn dada anteriormente; jcbmo se relaciona 3 con 1? Puesto que 4 2 ) = 3, se tiene 02(1) = u(2) = 3. Continuando, se ve que oJ{(2 = j + 1 para j r k - 1, mientras que a k(l) = 1. En realidad, se ve que ok = e, donde e es el elemento identidad de S,. Hay dos cosas que se concluyen del párrafo anterior. 1. El orden de un k-ciclo, como elemento de S,, es k. (Pruébese.) ik) es un k-ciclo, entonces la órbita de i,, respecto a u 2. Si a = (i, i2 (véase el Problema 27 de la Sección 1.4 del Capitulo 1) es {i,, i2, . . ., ik). De modo que es posible advertir que el k-ciclo a = (i, i, . - ik) es

Dada cualquier permutacion T en S, para i E (1, 2, . . ., n ) , considérese la órbita de i respecto a T ; entonces tenemos que dicha órbita es {i, T (i), ~ ~ ( i.). , r $-'(i)}, donde T S(i) = i y s es el menor entero positivo con esta propiedad. Considérese el S-ciclo (i r (i) r 2 ( i ) . - . 7s-1(i)); se le llama ciclo de 7 determinado por i. Se considera un ejemplo específico y se encuentran todas sus ciclos, Sea

.

¿cuál es el ciclo de T determinado por l ? Afirmamos que es (1 3 4). ¿Por qué? r lleva al 1 hacia 3, al 3 hacia 4 y al 4 hacia 1, y puesto que ~ ( 1 = ) 3,

CAPITULO 3 *

EL GRUPO SIMÉTRICO

r2(1) = ~ ( 3 = ) 4, ~ ~ ( =1 7(4) ) = 1. Esto se puede obtener visualmente zigza-

gueando entre líneas

por medio del trazo punteado. ~ C u des l el ciclo de T determinado por S? Zigzagueando

segun la línea punteada, se ve que el ciclo de T determínado por 2 es (2 9 8 7). Los ciclos de 7 determinados por 5 y 6 son ( 5 ) y (6), respectivamente, ya que 7 deja fijos a 5 y 6 . Así que los ciclos de 7 son ( 1 3 41, (2 9 8 7), (5) y (6). Por lo tanto se tiene que T = (1 3 4)(2 9 8 7)(5)(6), donde se consideraron estos ciclos -definidos anteriormente- como permutaciones en S, porque todo entero en S = 11, 2 , . . . , 9) aparece en uno, y solamente en un ciclo y la imagen de cualquier i respecto a T se lee en el ciclo en que aparece. La permutación T anterior, con la cual se llevó a cabo el razonamiento que se dio, no reviste nada en especial. El mismo razonamiento sería válido para cualquier permutación en S, y para cualquier n. Se deja al lector la redacción formal de la demostración.

TEOREMA 3.2.2.Toda permutación en S, es

el producto de ciclos

ajenos. Al expresar una permutación a como un producto de ciclos ajenos, se omiten todos los ciclos de orden 1; es decir, se ignoran los i tales que a ( i ) = i . De esta manera a = (1 2 3)(4 5 ) en S7es la forma en la que se escribiria a = (1 2 3)(4 5)(6)(7). En otras palabras, al escribir u como un producto de k-ciclos, con k > 1, se supone que a deja fijo a cualquier entero que no esté presente en ninguno de los ciclos. Así que en el grupo S , , la permutación T = (1 5 6)(2 3 9 8 7 ) deja fijos al 4, 10 y 11. ¿Cuál es el orden de un k-ciclo como elemento de S,? Afirmamos que es k. También aquí se deja la demostración al lector.

LEMA 3.2.3. Si 7 es un k-ciclo en S,, entonces el orden de 7 es k ; esto es, 7 k = e y 7 ) # e para O < j < k. Considérese la permutación T = (1 2)(3 4 5 6)(7 8 9) en S9. ¿Cual es su orden? Puesto que los ciclos ajenos (1 2), ( 3 4 5 6 ) , (7 8 9 ) conmutan, r m = (1 2)"(3 4 5 6)"(7 8 9)"; para que 7"' = e se requiere (12)" = e, (3 4 5 6)" = e, (7 8 9)" = e. (Pruébese.) Para que ya que (7 8 9) es de orden 3; para (7 8 9)" = e, se debe tener que 3 ! m , que ( 3 4 5 6Irn = e, se debe tener que 4 1 m, porque (3 4 5 6 ) es de or-

32

115

Descomposición en ciclos

den 4, y para que (I 2)" = e, se debe tener que 21m, porque (1 2) es de orden 2. Esto dice que m debe ser divisible entre 12. Por otra parte,

De manera que r es de orden 12. De nueva cuenta aquí no entran en escena las propiedades especiales de Lo que se hizo para T funciona para cualquier permutación. Se prueba

T.

TEOREMA 3.2.4. Supóngase que o E S, tiene descomposición cíclica en ciclos ajenos de longitud m,, m,, . . ., mk.Entonces el orden de a es el mínimo común múltipla de m,,m,, . . . , mk.

- rk, donde los T, son ciclos ajenos de longitud m,.Puesto que los T, son ciclos ajenos, 7," = ~ ~ 7por , ;10 tanto si M es el mínimo coniún rntíltiplo de m,,m,, . . ., mk,entonces rrM = (r1r2 . rk)M = . - - r p = e (ya que T? = e debido a que r, es de orden m, y m,} M). Por consiguiente, el orden de a es a lo sumo M. Por otra parte, si aN = e, entonces . . . T? = e; esto obliga a que cada T? = e (pruébese) porque las T, son permutaciones ajenas, por lo tanto m,lN, ya que T, es de orden m,.De manera que N es divisible por el mínimo común múltiplo de ml,rnz9 . . . mk, así que MjN. Por consiguiente, se ve que a es de orden M como se afirma en el teorema. O DEMOSTRAC~~N. Sea a

T~TY

= r,r2

+

Nótese que es imperativo que en el teorema los cicIos sean ajenos. Por ejemplo, (1 2) y (1 31, que no son ajenos, son cada uno de orden 2, pero su producto (1 2)(1 3) = (1 3 2) es de orden 3. Consideremos el Teorema 3.2.4 en el contexto de un acomodo de naipes. Supóngase que un conjunto de 13 cartas se acomoda de tal manera que la carta de arriba se coloca en la posición de la tercera, la segunda en la de la cuarta, . . . , la i-ésima en la posición i + 2, trabajando en mOd 13. Considerado como una permutación, a, de 1, 2, . . . , 13, el acomodo se convierte en

y a es simplemente el 13-ciclo (1 3 5 7 9 11 13 2 4 6 8 10 121, así que (T es de orden 13. &Cuántasveces se debe realizar el acomodo para volver las cartas a su orden original? La respuesta es sencillamente el orden de a, es decir, 13. De manera que se requiere realizar 13 veces el acomodo para volver las cartas a su posición inicial. Modifiquemos el acomodo anterior. Supóngase que las cartas se acomodan como sigue. Se toma primera la carta superior y se coloca en el penúltimo lugar y luego se aplica el acomodo descrito anteriormente. ¿Cuántas veces se requiere

116

CAPiTUL0 3

EL GRUPO CIMÉTRICQ

ahora realizar el nuevo acomodo para volver las cartas a su posición original? La primera operación es el acomodo expresado por la permutación 7 = (1 12 1 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 ) seguida por la o de antes. Así que se debe calcular a7 y encontrar su orden. Pero

por lo tanto es de orden 12. De manera que se requiere realizar 12 veces el acomodo para que las cartas vuelvan a su orden inicial. ¿Se puede encontrar un acomodo de las 13 cartas que requiera de 42 realizaciones, o de 20? ¿Qué acomodo requeriría eI mayor número de realizaciones y cuál sería dicho número? Regresamos a la discusión general. Considérese la permutación (1 2 3); se ve que (1 2 3) = ( 1 3)(1 2 ) . También se puede ver que (1 2 3 ) = ( 2 3)(1 3 ) . Así que dos cosas son evidentes. Primero, se puede escribir (1 2 3 ) como el producto de dos transposiciones, y en al menos dos ma. . ik) = neras distintas. Dado el k-ciclo (i,i, . . - ik)t entonces ( i , i2 (il ik)(iI ) - ( i b), así que todo k-ciclo es el producto de k transposicíones (si k > 1) y se puede realizar de varias maneras, no de manera única. Como toda permutación es el producto de ciclos ajenos y todo ciclo es un producto de transposiciones, se tiene +

TEOREMA 3.2.5.

Toda permutacíón en S, es el producto de transpo-

síciones. Rek'aente este teorema no es de sorprender ya que, después de todo, dice precisamel te que cualquier permutaciQn se puede efectuar realizando una serie de intercamvios de dos objetos en cada ocasión. Vimos que no hay unicidad en la representación de una permutación dada como producto de transposiciones. Sin embargo, como se verá en la Sección 3.3, algunos aspectos de dicha descomposición son en efecto únicos.

PROBLEMAS 3.2

1. Demuéstrese que si a,

7

son dos ciclos ajenos, entonces u7 =

2. Hallar la descomposición en ciclos y el orden.

TU.

32

Descompasición en ciclos

3. Exprésese como (a) (1 2 3 5 (b) (12)(13)(14)* (e) (1 2 3 4 (d) (1 2 3)(1 (e) (1 2 3)(3 (f) (1 2 3 4

producto de ciclos ajenos y encuéntrese el orden. 7)(2 4 7 6). 5)(1 2 3 4 6)(1 2 3 4 7). 3 2). 5 7 9)(1 2 3)-'. 5)3.

4. Formular una demostración completa del Teorema 3.2.2, 5. Demuéstrese que un k-ciclo tiene orden k. 6, Encuéntrese un acomodo de un juego de 13 naipes que requiera 42 realizaciones para regresar las cartas a su orden original.

7. Resuélvase el problema anterior para un acomodo que requiera 20 realizaciones. 8. Exprésense las permutaciones del Problema 3 como producto de transposi-

ciones. 9. Dadas las dos transposiciones (1 2) y (1 31, encuéntrese una permutacion a tal que o(1 210-l = (1 3). 10, Pruébese que no existe ninguna permutación a tal que u(l (1 2 3).

2)a-l =

11. Demostrar que existe una permutación a tal que a(l 2 3 ) ~ =' (4 5 6). 12. Pruébese que no existe ninguna permutación o tal que a(1 2 3)u-' = (1 2 4)(5 6 7).

PROBLEMASINTERMEDIOS

13. Prukbese que (1

2) no se puede expresar como producto de 3-ciclos ajenos.

14. Pruébese que para cualquier permutación u, T

lo es.

070-'

es una transposición si

1118

CAPITULO3

e

EL GRUPOSIMÉTRICO

15. Demuéstrese que si r es un k-ciclo, entonces ara-' es también un k-ciclo, para cualquier permutación u. 16. Sea un automorfismo de S3.Demuéstrese que existe un elemento a E S3 tal que @(T) = ad'ru para toda r E S3.

17, Considérense (1 2) y (1 2 3 la) en S,. Demuéstrese que cualquier subgrupo de S, que contenga a estas dos permutaciones debe ser igual a todo S , (así que dichas permutaciones generan S,).

18. Si 7, y 7, son dos transposiciones, demuéstrese que 7 1 7 2 se puede expresar como producto de 3-ciclos (no necesariamente ajenos). 19. Pruébese que si r,, 7 2 y r 3 son transposiciones, entonces 7 1 7 ~ 7# ~e, el elemento identidad de S,. 20. Si r,, o 3.

72

son transposiciones distintas, demuéstrese que

7172

es de orden 2

21. Si a, 7 son dos permutaciones que no tienen símbolos en común y crr pruébese que a = 7 = e.

=

e,

22. Determinar un algoritmo para obtener ara-' para permutaciones cualesquiera a, r de S,.

23. Sean a, r dos permutaciones tales que ambas tienen descomposiciones en ciclos ajenos de longitudes m l ,m,, . . . , m,, /En tal caso se dice que tienen descomposiciones semejantes en ciclos ajenas.) Pruébese que para alguna permutación p , T pap-'. 24. Encuéntrese la clase de conjugación en S, de (1 2 . - . n ) . ¿Cuál es el orden del centralizador de (1 2 * . - n ) en S,?

-

25. Resuélvase el problema anterior para a = (1 2)(3 4).

3.3 PERMUTACIONESIMPARES Y

PARES

En la Sección 3.2 se observó que aunque toda permutación es el producto de transposiciones, esta descomposición no es única. Sin embargo, se comentó que ciertos aspectos de esta clase de descomposición son únicos. Ahora se examina esto a fondo. Consideremos el caso especial de S3, ya que aquí se puede ver todo explícitamente. Sea f (x) = (x, - x2)(x, - x3)(x2- x3) una expresión en las tres variables x,, x,, x3. Hacemos que S3 actúe sobre f ( x ) como sigue. Si n E S,, entonces o*(f (x>) = (xu,l)- ~,(2~)(xofl) - ~a(3))(~@(21 - -'a(3)).

Se examina lo que u* hace a f (x) para unas cuantas de las o en S,,

449

3 3 * Permutaciones impares y pares

Considérese a manera que

-

(1 2); entonces ~ ( 1 )= 2, 4 2 )

Asíque a*, que proviene de a la acción de otro elemento, r

= (1 = (1

=

1 , y 4 3 ) = 3 , de tal

2), cambia el signo de f ( x ) .Examinemos 2 3), de Si en f ( x ) . De modo que

y entonces T*, queproviene de r = ( 1 2 J), no altera el sigtzo de f ( x ) .¿Qué hay respecto a las otras permutaciones en S,?, ¿como afectan a f (x)?Desde luego, el elemento identidad e induce una aplicación e* en f ( x )que no altera a f (x) en absoluto. ¿Cómo afecta T ~ dada , r como antes, a f (x)?Puesto que r *f( x ) = f ( x ) ,se ve de inmediato que

=

f(x).

(Pruébese .)

Considerese ahora ur = (1 2)(1 2 3 ) = ( 2 3 ) ; dado que 7 no altera a f (x) y a cambia el signo de f ( x ) ,a7 debe cambiar el signo de f ( x ) .De manera semejante, (1 3) cambia el signo de f ( x . Se ha explicado así la acción de cada elemento de S3 sobre f ( x ) . Supóngase que p E S3es un PI jducto p = 7112 . rk de transposiciones T,, . . . , T ~ entonces ; al actuar p sotre f ( x )el signo de f ( x )cambiará k veces, ya que cada T, cambia dicho signo. Por lo tanto, p*( f ( x ) ) = (- l)kf ( x ) , Si p = 51U2 . a,, donde a,, . . . , a, son transposiciones, razonando de1 mismo modo entonces ?r * (f( x ) ) = (-l)'f ( x ) . Por consiguiente, (-1 )k f ( x ) = (-1)'f ( x ) ,de donde (-1)' = ( - l ) k . Esto dice que t y k tienen la misma paridad; es decir, si t es impar, entonces k debe ser impar, y si t es par, entonces k debe ser par. Lo anterior sugiere que aunque la descomposición de una permutación dada U como un producto de transposiciones no es única, la paridad del nu'mero de transposiciones en una de tales descomposiciones de a podría ser única. e

3 20

CAPITULO 3 EL GRUPOSIM~TRICO 0

Procuraremos ahora este resultado, sugiriendo a los lectores que lleven a cabo el razonamiento que se hace para n arbitrario, para el caso especial n = 4. Como se hizo anteriormente, sea

x .

* .

(x2 - x,,)

. - -{ x n - l - x,,)

donde en este producto i asume todos los valores desde X hasta n -- I inclusive, y j todos aquéllos desde 2 hasta n inclusive. Si
'
Si a ,

T

E S , , entonces

( o ? i * c / < x >=

n
l
X,aT,,,>

-

~a<,,>.

.,., x,,,

a*jn
'
-

Asi que ( m ) * = u*?* cuando se aplica a f ( x ) . ¿Qué hace una transposi~iónr a f ( x ) ? Afirmamos que T *( f ( x ) ) = -f ( x ) . Para probarlo, suponiendo que r = ( i j ) donde i < j , contamos el número de ( x , - x,), con u < v, que son transformados en un ( x , - x b ) con a > b. Esto sucede para ( x , - x,) si i < u < j, para ( x , - x,) si i < v < j, y finalmente, para ( x , - x,). Cada uno de ellos conduce a un cambio de signo en f ( x ) y puesto que hay 2 ( j - i - 1 ) + 1 de tales, es decir, un número impar de ellos, se obtiene un número impar de cambios de signo en f ( x ) cuando sobre este valor actúa 7 *. De manera que T *(f ( x ) ) = -f ( x ) . Por 10 tanto nuestra afirmación de que T *( f ( x ) ) = -f ( x ) para toda transposición T , queda justificada. Si a es cualquier permutacion en S, y a = 7 1 7 2 ~ k donde , 71, TZ . . . , tk son transposiciones, entonces o * = ( T 1 T 2 - . . T k ) * = T,*T? . - . T: cuando actúa sobre f ( x ) , y puesto que cada T,*(f ( x ) ) = -f ( x ) , se ve que a *(f ( x ) ) = (- i ) k f ( ~ De ) . manera semejante, si a = S , S, - . . S,, donde f , , S2, - . . , f r son transposicíones, entonces a *( f ( x ) ) = ( - l ) ' f ( x ) . Comparando estas dos evaluaciones de u * ( f ( x ) ) , se concluye que ( - l ) k = (-1)'. De manera que estas dos descomposiciones de a como producto de transposiciones son de la misma paridad. Por consiguiente, cualquier permutación es e/ producto de un número impar de transposiciones o bien el producto de un número par de transposiciones, y ningún producto de un número par de franspclsicionespuede ser igual a un pmducto de un número impar de fransposiciones.

3 3 * Perrnufaciones impares y pares

121

Lo anterior sugiere la siguiente

DEFINICIQN,Una permutación a E S, es una permutación impar si a es el producto de un número impar de transposiciones, y es una permutación par si a es el producto de un número par de transposicíones. Lo que hemos probado anteriormente es

TEOREMA 3.3.1. Una permutacibn en S, es bien sea una permutación impar o bien par, pero no puede ser ambas. Con el apoyo del Teorema 3.3.1 se pueden deducir varias de sus consecuencias. Sea A, el conjunto de todas las permutaciones pares; si a, T E A,, entonces se tiene de inmediato que a~ E A,. Puesto que de esta manera A, es un subconjunto cerrado finito del grupo (finito) S,, A, es un subgrupo de S,, par el Lema 2.3.2. A, se llama grupo alternante de grado n. Se puede demostrar que A, es un subgrupo de S, de otra manera. Ya vimos que A, es cerrado respecto al producto de S,, así que para saber que A, es un subgrupo de S, se requiere simplemente demostrar que a E S, implica que LT-* E S,. Afirmamos que para cualquier permutación a, o y a-' son de la misma paridad. ¿Por qué? Bien, si cr = T,TZ . . yk, donde las r, son transposiciones, entonces

ya que 7,-' = T ~ por ; lo tanto, se observa que la paridad de a y a-' es ( - l ) k , así que son de igual paridad. Esto demuestra desde luego que o E A, implica que a-' E A,, de donde A, es un subgrupo de S,, Pero ello prueba un poco más, a saber, que A, es un subgrupo normal de S,. Porque supóngase que a E A, y p E S,. ¿Cuál es la paridad de , ~ - ' a p ? Por lo anterior, p y p son de la misma paridad y a es una permutación par así que p - ' a p es una permutación par, por consiguiente está en A,. De manera que A, es un subgrupo normal de S,, Resumimos lo efectuado en el

-'

TEOREMA 3.3.2. El grupo alternante de grado n, A,,

es un subgru-

po normal de S,. Examinamos esto de otra manera todavía. De las propias definiciones involucradas se tienen las siguientes reglas sencillas para el producto de permutaciones: 1. El producto de dos permutaciones pares es par. 2. El producto de dos permutaciones impares es par. 3. El producto de una permutación par por una impar (o el de una impar por una par) es impar.

CAHTUL0 3

EL GRUPO SIMÉTRICO

Si a es una permutación par, sea O(a) = 1, y si a es una permutación impar, sea $ ( a ) = -1. Las regias precedentes relativas a productos se traducen en O(a7) = O ( ( T ) ~ (de T ) manera , que B es un homomorfi~~mo de S, sobre el grupo E = ( 1, -1 } de orden 2 respecto a la multiplicación. ¿Cuál es el núcleo, N, de O? En virtud de la propia definición de A,, se ve que N = A,. Así que por el primer teorema de homomorfismos, E S,/A,. De esta manera 2 = IEl = IS,/A,I = IS,l/JA,I, si n > 1. Esto da por resultado que IA,I = % ] S , [ = %n!. Por lo tanto,

-

TEOREMA 3.3.3. Para n

3

1, A, es un subgrupo normal de S,

de orden Mn!.

68ROLARIO. Si n > 1, en S, hay 5/2 n! permutaciones pares y M n ! permutaciones impares. Antes de concluir la presente sección, se hace un breve comentario final respecto a la demostración del Teorema 3.3.1. Se conocen muchas demostraciones diferentes de este teorema. Sinceramente, no nos gusta particularmente ninguna de ellas. Algunas involucran lo que se podría llamar un "proceso de colección'', donde se trata de demostrar que e no se puede expresar como el producto de un número impar de transposiciones, haciendo la suposición de que sí es posible, y mediante una manipulación apropiada de dicho producto se le reduce hasta que se obtiene una contradicción. Otras demostraciones utilizan diferentes artificios. La demostración que se dio saca provecho del artefacto que constituye la función f (x), la cual, en cierto sentido, es ajena a la cuestión tratada. Sin embargo, la demostración dada es probablemente la más clara de todas ellas, y por tal motivo se utilizó. Finalmente, el grupo A,, para n r 5, es un grupo sumamente interesante. En el Capítulo 6 se demostrara que los Únicos subgrupos normales de A,, para n > 5 , son ( e ) y el mismo A,. Un grupo no abeliano que tenga esta propiedad se llama grupo simple (no debe confundirse con grupo fácil). De manera que los A, para n i5 proporcionan una familia infinita de grupos simples. Existen otras familias infinitas de grupos simples finitos. En los últimos 20 años aproximadamente los esfuerzos heroicos de un grupo de algebristas han determinado todos los grupos simples finitos. La determinación de dichos grupos simples comprende cerca de 10 000 páginas impresas. Resulta muy interesante saber que cualquier grupo simple finito debe tener orden par.

1. Determinar Ia paridad de cada permutación,

Perrnutaciones impares y pares

33

2 3 4 5 6 4 5 1 3 7 (b) (1 2 3 4 5 6){7 8 9).

7 8

(

8 9

i).

(e) (1 2 3 4 5 6)(1 2 3 4 5 7). (d) (1 2)(l

2 3)(4 5)(5 6 8)(1 7 9).

2. Sí a es un k-ciclo, demuéstrese que u es una permutación impar si k es par, y es una permutación par si k es impar.

3. Pruébese que u y ~ - ' o r , para o, paridad. 4. Si m 1 , 2,

T

E S,, cualesquiera, son de la misma

< n, se puede decir que S, c S, considerando que j

E S, actúa sobre

. . . , m, . . ., n como lo hizo sobre 1 , 2, . , . , m y que a deja a j

>

m fijo. Pruébese que la paridad de una permutación en S,, cuando se considera de esta manera como elemento de S,, no cambia. 5. Supóngase que se sabe que la permutación

en Sg,donde las imágenes de 5 y de 4 se han perdido, es una permutacibn par. ¿Cuales deben ser dichas imágenes?

PROBLEMASINTERMEDIOS 6. Si n r 3, demuéstrese que todo elemento de A, es un producto de ciclos de orden 3. 7. Demuéstrese que todo elemento de A, es un producto de ciclos de orden n.

8. Hallar un subgrupo normal en A4 de orden 4. PROBLEMASDIF~CILES[EN REALIDAD, MUY DIF¡CILES)

c A, es un subgrupo normal de A,, demuéstrese que N debe contener un ciclo de orden 3.

9, Si n 2 5 y ( e ) # N

10. Aplicando el resultado de1 Problema 9, demuéstrese que si n 2 5 , los únicos subgrupos normales de A, son ( e )y el mismo A,. (Así que los grupos A, para n 2 S dan una familia infinita de grupos simples.)

ORIA D

4.1 DEFINICIONES Y EJEMPLOS En el estudio del álgebra abstracta llevado a cabo hasta ahora, se ha presentado una clase de sistema abstracto, el cual desempeña un papel central en el álgebra de hoy en día: e! concepto de grupo. Debido a que un grupo es un sistema algebraico que consta solamente de una operación y que no es necesario que satisfaga la regla ab = ba, en cierto modo va en contra de nuestra experiencia anterior con el álgebra. Trabajamos con sistemas en donde se podía tanto sumar como multiplicar elementos y se satisfacía la ley conmutativa de la multiplicación ab = bu. Además, dichos sistemas conocidos procedieron normalmente de conjuntos de números -enteros, racionales, reales y en algunos casos, complejos. El siguiente objeto algebraico que consideraremos es un anillo. En muchos aspectos este sistema hará recordar más lo conocido anteriormente que los grupos. Por una parte los anillos serán dotados con adición y multiplicación, y éstas estarán sujetas a muchas de las reglas conocidas de la aritmética. Por otra parte, no es necesario que los anillos provengan de los sistemas numéricos usuales, En efecto, normalmente tendrán poco qué ver con ellos. Aunque muchas de las reglas formales de la aritmética son válidas, ocurrirán muchos fenómenos extraños -o que pudieran parecer así. A medida que se vaya avanzando y se consideren ejemplos de anillos, se verá que se presentan algunas de estas cosas, Luego de este preámbulo estamos preparados para empezar. Naturalmente lo primero que se debe hacer es definir aquello de lo que se va a tratar:

DEFINICION.Se dice que un conjunto no vacío R es un anillo si tiene dos operaciones t y - tales que: (a) a, b E R implica que a + b E R .

41

e

Definiciones y ejemplos

127

para muchos de los primeros resultados no se supondrá la conmutatividad del anillo estudiado. Como se mencionó anteriormente, algunos aspectos hacen a ciertos anillos más agradables que otros, y por lo tanto merecen tener un nombre especial. De inmediato se da una lista de definiciones para algunos de ellos.

DEFINICION.Un anillo conmutativo R es un dominio integral si a b = O en R implica que a = O o bien b = O.

-

Se debe señalar que algunos libros de álgebra exigen que un dominio integral contenga un elemento unidad. Al leer otro libro, el lector debe verificar si tal es el caso. Los enteros, S, proporcionan un ejemplo obvio de un dominio integral. Se considerarán otros un poco menos obvios.

DEFINICION. Se dice que un anillo con unidad, R,

es un anillo con división si para a # O en R existe un elemento b E R (que normalmente se expresa como a--') tal que a . a-' - a-' a = l. La razcín de llamar a un anillo de esta clase un anillo con división es bastante evidente: porque se puede dividir (al menos teniendo presentes los lados izquierdos y derechos). Aunque los anillos con división no conmutativos existen con mucha frecuencia y desempeñan un papel importante en el álgebra no conmutatíva, son bastante complicados y sólo se dará un ejemplo de ellos. Dicho anillo con división es el gran clásico presentado por Hamilton en 1843 que se conoce como el anillo de Ios cuafernios. (Véase el Ejemplo 12 que sigue.) Finalmente, pasamos al ejemplo tal vez más interesante de una clase de anillos: el campo.

DEFINICION.Se dice que un anillo R es un campo si R es un aniilo con división conmutativo. En otras palabras, un campo es un anillo conmutativo en el cual se puede dividir libremente entre elementos distintos de cero. Dicho de otra manera, R es un campo si sus elementos distintos de cero forman un grupo abeliano respecto al producto . en R. Se tienen a la mano muchos ejemplos de campos: los números racionales, los números reales, los números complejos. Pero se verán muchos más ejemplos, tal vez menos conocidos. El Capítulo 5 se dedicará al estudio de los campos. El resto de la presente sección se empleará en considerar algunos ejemplos de anillos. Se omitirá el - para eE producto y a - b se expresará simplemente como ab.

EJEMPLOS 1. Es obvio que el anillo que se debe escoger como primer ejemplo es S,

el anillo de los enteros respecto a la adición y multiplicación usuales entre ellos. Naturalmente, Z es un ejemplo de dominio integral. 2, El segundo ejemplo es una elección igualmente obvia. Sea Q el conjunto de los números racionales. Como ya se sabe, Q satisface todas las reglas necesarias para un campo, así que Q es un campo.

3. Los números reales, W, también proporcionan un ejemplo de campo. 4. Los números complejos, C, forman un campo. Obsérvese que Q c R C e; lo anterior se describe diciendo que Q es un subcampo de R ( y de 4: ) y BP es un subcampo de C.

-

5. Sea R = Z6, los enteros mód 6 , con la adición y la multíplicación definidas por [ a ] + [ b ] = [ a + b ] y [ a ][ b ] [ a b ] . Nótese que [ O ] es el O requerido por los axiomas de anillo y [ l ] es el elemento unidad de R. Obsérvese, no obstante, que Z, no es un dominio integral, ya que 121 [ 3 ] = [6] = [O], aunque [2] # [O] y [ 3 ] # [OI.R es un anillo conmutativo con unidad.

El ejemplo anterior sugiere la

DEFINICION.Un elemento a f

O de un aniIlo R es un divisor de cero en R si ab = O para algún b # O de R.

En realidad lo que se acaba de definir se debería llamar divisor de cero por la izquierda; sin embargo, dado que se tratara principalmente de anillos conmutativos, no se necesitará ninguna distinción izquierda-derecha para los divisores de cero. Obsérvese que tanto [2] como [ 3 ] son divisores de cero en Z6. Un dominio integral es, desde luego, un anillo conmutativo sin divisores de cero. 6 . Sea R = Z,, el anillo de los enteros mód5. Por supuesto, R es un anillo conmutativo con unidad; pero es algo más; en realidad, es un campo. Sus elementos distintos de cero son 111, [2], 131, [ 4 ]y se observa que [2] [3] = [6] = [ 11, y [ 1 ] y [4] son sus propios inversos. Así que todo elemento distinto de cero de ZS tiene inverso en Z5.

Generalizamos el Ejemplo 6 para cualquier primo p .

f . Sea Zp el anillo de los enteros modp, donde p es primo. Es evidente de nuevo que Zp es un anillo conmutativo con unidad. Afirmamos que 2, es un campo. Para tal fin, obsérvese que si [al # [O], entonces p t a. Por lo tanto, por el teorema de Fermat (corolario del Teorema 2.4.8),aP--' 1( p ) . Para las clases lo anterior dice que [aP-'] = [ l 1. Pero [aP-'] = [alP-', así que [alp-' = [ l ] ; por consiguiente, [a]p-' es e1 inverso requerido para [ a ] en Z,, por lo tanto Z, es un campo. [a],

4 1 * Definicionesy ejemplos

129

En virtud de que Zp tiene solamente un número finito de elementos, se le llama campo finito. Posteriormente construiremos campos finitos diferentes a los 2,.

8. Sea Q el conjunto de los números racionales; si a E Q, se puede escribir a = m/n, donde m y n no tienen factores comunes (son relativamente primos). Llamese a ésta la forma reducida de a. Sea R el conjunto de todos los a E Q en cuya forma reducida el denominador sea impar. Respecto a la adici6n y muItiplicación usuales en Q el conjunto R forma un anillo, que es un dominio integral con unidad pero no es un campo, ya que i, el inverso necesario de 2, no esta en R. ¿Exactamente cuáles elementos de R tienen sus inversos en R? 9. Sea R el conjunto de todos los a E Q en cuya forma reducida el denominador no sea divisibIe por un primo fijo p. Como en el Ejemplo 7, R es un anillo respecto a la adición y la multiplicación usuales en Q, es un dominio integral pero no es un campo. ¿Cuáles elementos de R tienen sus inversos en R? Los Ejemplos 8 y 9 son, desde luego, subanillos de &. Damos otro ejemplo conmutativo más. Éste proviene del Calculo.

10. Sea R el conjunto de todas las funciones continuas reales definidas en el intervalo unitario cerrado [O, 11, Para f , g E R y x E [O, 11 defínase (f + g)(x) = f ( x ) + g(x) y (f g)(x) = f (x)g(x).De los resultados del calculo, se tiene que f + g y f g son también funciones continuas en [O, 11. Con estas operaciones R es un anillo conmutativo. R no es un dominio integral. Por ejemplo, si f ( x ) = -x + S para O c x I S y f ( x ) = O para $ < x S 1 , y s i g ( x ) = OparaO c x i $ y g ( x ) = 2x- 1 para 5 < x i 1, entonces f, g E R y, como es fácil verificar, f g = O. R tiene un elemento unidad, a saber la funcián e definida por e ( x ) = 1 para todo x E [O, 11. ¿Cuáles elementos de R tienen sus inversos en R? Sería deseable considerar algunos ejemplos de anillos no conmutativos. Éstos no son tan fáciles de conseguir, a pesar de que los anillos no conmutativos existen en abundancia, debido a que estamos suponiendo que el lector no tiene conocimientos de álgebra lineal. La primera fuente, la mas fácil y natural, de tales ejemplos es el conjunto de matrices sobre un campo. De manera que en nuestro primer ejemplo no conmutativo crearemos en realidad las matrices 2 x 2 con componentes reales. 11. Sean F el campo de los números reales y R el conjunto de todas las formaciones cuadradas

donde a, 6,c, d soii números reales cualesquiera. Para tales formaciones cuadradas se define la adición de una manera natural por medio de

130

CAPITULO 4 ANILLOS

Es fácil ver que R forma un grupo abeliano respecto a esta suma, donde

( i 0) actúa como elemento cero y ( 1:

d) es el negativo de (c 3.

Para que R sea un anillo, se necesita una multiplicación. Definimos una de una manera que puede parecer muy poco natural mediante

Aunque puede ser algo laborioso, se puede verificar que con estas operaciones

R es un anillo no conmutativo donde multiplícativo. Obsérvese que

(

1)actúa como su elemento unidad

mientras que

así que

Obsérvese que

(!,

:) (! 0) y

son divisores de cero; en efecto,

es un elemento distinto de cero cuya cuadrado es el elemento cero de R. Se conoce a R como el anillo de todas las matrices de 2 x 2 sobre F, el campo de los reales. Para quienes no estén familiarizados con estas matrices y no capten ningún sentido en el producto definido para ellas, examinemos cómo se calcula el producto. Para obtener la componente de arriba a la izquierda del producto AB, se "multiplica" el primer renglón de A por la primera columna de B, donde A , B E R. Para la componente de arriba a la derecha, se hace con el primer renglón de A y la segunda columna de B. La componente de abajo a la izquierda resulta del segundo renglón de A con la primera columna de B. Finalmente, la componente de abajo a la derecha se obtiene del segundo renglón de A con la segunda columna de B.

41

@

Definiciones y ejemplos

Se ilustra con un ejemplo: sean

Entonces el primer renglón de A es I , $ y la primera columna de B es f, T ; se "multiplican9' por medio de 1 + , n = x / 2 + :, y así sucesivamente. De manera que se observa que

+

En los problemas aparecerán muchas multiplicaciones matriciales, de tal manera que e1 lector pueda adquirir algo de familiaridad con este extraño pero importante ejemplo. 12. Sean R cualquier anillo y

con + y como se definieron en el Ejemplo 10. Se puede verificar que S es un anillo también respecto a dichas operaciones. Se le llama anillo de ias matrices 2 x 2 sobre R. Nuestro ejemplo final es uno de los grandes ejemplos clásicos, los cuuternios reales, presentados por Hamilton (como un paralelo no conmutativo a los números complejos).

13. Los cuate~nios.Sea F el campo de los números reales y considérese eí conjunto de todos 10s símbolos formales a, + a,i + a2j + a3k,donde a,, a , , a,, e3E F. La igualdad y la adición de dichos símbolos es fácil, vía el camina obvio a. i- a,i + a2J + tu,k = Po + Pii + P2J + P3k si y sólo si a.

=

Po, a ,

=

P,, a2 = Pz y

ai =

P3, y

Pasamos ahora a la parte complicada, la multiplicaciDn. Cuando IIamilton la descubrió el 6 de octubre de 1843, grabó con su navaja, sobre el puente Brougham en Dublin, las reglas básicas de dicho producto. El producto se basa eni2 = j2 = k 2 = - 1 , i J = k , j k = i 9 k i = j y j i = - k , k j = -i,ik = -J. Si se recorre el círculo en el sentido de las manecillas del reloj

132

CANTULO4

0

ANILLOS

el producto de cualquier par de elementos sucesivos es el que sigue, y al recorrerse en sentido opuesto al del reloj se obtienen los negativos. Se puede luego expresar el producto de cualquier par de cuaternios, según las reglas anteriores, estableciendo por definicidn que

en donde YO =

aoPo - alP1- a2B2 - a3P3

Se ve tremendo ¿verdad? Pero no es tanto como parece. Se esta multiplicando formalmente empleando las leyes distributivas y Ias reglas del producto para i, j , k, anteriores. Si algún a, es O en x = a. + a l i + a 2 j + a3k,se omitirá al expresar x; así que O + O i + O j + Ok se expresará simplemente como O , 1 + Oi + O j + O k como 1, O + 3i + 4 j + O k como 3i + 4 j , y así sucesivamente. Haciendo el cálculo se obtiene que

Esto tiene una consecuencia muy importante. Supongase que x = a. + a i i + a2j + a3k Z O (así que algún a, f O), En consecuencia, puesto que los a son reales, /3 = a; + a: + a: + a! # O. Entonces de (11) se obtiene fácilmente (a,

+ a,i + a, j + a 3 k )

De manera que, si x =#= O, entonces x tiene ínverso en los cuaternios. Por consiguiente los cuaternios forman un anillo con división no conmutativo. Aunque, como se mencionó anteriormente, no hay carencia de anillos con división no conmutativos, los cuaternios (o alguna parte de ellos) a menudo son los únicos anillos de este tipo que inclusive muchos matemáticos profesionales han visto, Se tendrán numerosos problemas -algunos fáciles y otros un poco más difíciles- relativos a los ejemplos de las matrices 2 x 2 y los cuaternios. De

41

e

133

Definiciones y ejemplos

esta manera el lector podrá adquirir cierta habilidad para trabajar con anillos no conmutativos. Un comentario final en esta sección: si y,, y,, y,, y, son como en (11, entonces

Esta se conoce como identidad de Lagrange; expresa el producto de dos sumas de cuatro cuadrados de nuevo como una suma de cuatro cuadrados. Su verificación será uno de Ios ejercicios.

1. Hallar todos los elementos de Z,, que sean invertibles (es decir, que tengan inverso multiplicativo) en ZZ4.

2. Demuéstrese que cualquier campo es un dominio integral. 3, Demuéstrese que Z,, es un campo si y sólo si n es primo. 4. Verifiquese que el Ejemplo 8 es un anillo. Encukntrense todos sus elementos invertibles. 5. Resolver el Problema 4 según el Ejemplo 9. 6. En el Ejemplo 11 de las matrices 2 x 2 sobre los reales, compruébese la ley asociatíva de la multipticación. 7. Obténganse 10s siguientes productos.

(a)

(4

(b)(;

a

(d)

-7

j

O

1).

;j2.

'i3-

O

i: d)iU 01 -iU

8. Determinar todas las matrices

Oji;

Jj.

i: di

talesque(:

b '1

U\=

9. Hallar todas las matrices

(C d)

de 2 x 2 que conmuten con todas las

matrices de 2 x 2. 10. Sea R cualquier anillo con unidad y S el anillo de las matrices 2 x 2 sobre R. (Véase el Ejemplo 1 1.) (a) Compruébese la ley asociativa de la multiplicación en S. (Recuérdese: No es necesario que R sea conmutativo.)

b , c . R es un subanillo de S. {(O C) tiene inversa en S si sólo si a y c tienen in(c) Demostrar que (O p)lexpiicitamente. versos en R. En tal caso exprésese (O :)la,

(b) Demostrar que

E

y

11. Sea F: C + d= definida por F ( a + bi) = a - bi. Demuéstrese que: (a) F(xy) = F ( x ) F ( y )para x, y E C. (b) F(xX) = 1xI2. (c) Aplicando las partes (a) y (b), demuéstrese que

(a2

+

b2)(c2 + d 2 )

=

(ac - bd)2

+

(ad

+

[Nota: F ( x ) es simplemente 2.1 12. Verifíquese la identidad de la parte (b) del Problema 11 directamente.

13. Obtener los siguientes productos de cuaterníos: (a) (i + j ) ( i - j ) . (b) (1 - i 2 j - 2k)(l + Si - 4j + 6k). (c) (2i - 3 j + 4k)2. (d) i(ao + a,i + a 2 j+ a3k) - ( a o + a , i + a 2 j + agk)i.

+

14. Demuéstrese que los únicos cuaternios que conmutan con i son de la forma (Y

+ pi.

15. Obtener los cuaternios que canmutan tanto con i como con j. 16. Verifíquese que (a,

+

a,i

+ a2j + a3k)(ao- a l i - a2j - a3k) = + a: + a: + (Y.;

(Y;

17. Verifíquese la identidad de Lagrange mediante un cálculo directo.

PROBLEMASINTERMEDIOS 18. En los cuaternjos, defínase

+ a,i + a , ] + a,kl

+

da; a: + a: + a : . Demuéstrese que JxyJ = 1x1 Jyfpara cualquier par de cuaternios x y y. la,

=

19. Demostrar que hay infinidad de soluciones de x2 = -1 en los cuaternios.

4 35

4 1 * Definiciones y ejemplos

20. Considérese en los cuaternios el siguiente conjunto G con ocho elementos: G = f-1, -+i, - + j ,k k } . (a) Pruebese que G es un grupo (respecto de la multiplicaci6n). (b) Enumérense todos los subgrupos de G. (c) ¿Cuál es el centro de C? (d) Demuéstrese que G es un grupo no abeliano cuyos subgrupos son todos normales. 21. Demostrar que un anillo con división es un dominio. 22, En los cuaternios, proporciónese un ejemplo de un dominio no conmutativo que no sea un anillo con división,

23. En los cuaternios definase la aplicación

* por

Demuéstrese que: (a) x** = (x* ) * = X, (b) (x + y)* = x* + y*. (e) xx* = x*x es real y no negativo. (d) (xy)* = y*x*. [Nótese la inversibn del orden en la parte (d).] 24. Utilizando *, defínase 1x1 = Demuéstrese que Ixy 1 = 1x1 Iyl para cualesquiera dos cuaternios x y y, aplicando las partes (c) y (d) del Problema 23. 25. Aplicar el resultado del Problema 24 para probar la identidad de Lagrange.

En los Problemas del 26 al 30, sea R el anillo de las matrices 2 x 2 sobre los reales. 26. Si

(E

G

R , demuéstrese que

(

ad - bc # O. En tal caso encuéntrese 27. Defínase det

i)

(

2)

es invertible en R si y sólo si

ir dip1

= ad - bbc. Para x,y E R demuéstrese que det (xy) =

(det x)(det y).

28. Demuéstrese que (x E RIdetx f O ) forma un grupo, 6, respecto de la multiplicacíon matrícial y que N = { x E R 1 det x = 1 } es un subgrupo normal de C. 29. Si x E R es un divisor de cero, demuéstrese que det x = O, y, a la inversa, si x # O es tal que det x = O, entonces x es un divisor de cero en R . 30. Demostrar que

((

a).1

b real) es un campo en R.

19 36

CAP~TULO 4

e

ANILLOS

31. Sea R el anillo de las matrices 2 x 2 sobre Z,, siendo p primo. Demués= ad - bc f O, entonces ('f es invertible trese que si det ('f en R.

i)

i)

32. Sea R como en el Problema 3 1. Demuéstrese que para x,y E R,det (xy)= det (x) det (y).

33. Sea G el conjunto de eIementos de R, del Problema 3 1, tales que det (x)# 0. (a) Pruébese que G es un grupo. (b) Hallar el orden de G. (Muy dificil.) (c) Encuéntrese el centro de G. (d) Encuéntrese un p-subgrupo de Sylow de G. 34. Sea T el grupo de las matrices A con componentes en el campo 2, tales que det A no sea igual a O. Pruébese que T es isomorfo a S,, el grupo simétrico de grado 3. 35. Demuéstrese que el anillo R del Ejemplo 9 (las funciones continuas en [O, 11 no es un dominio integral.

Si F es un campo, sea N(F)el anillo de cuaternios sobre F, es decir, el conjunto de todos los (Y, + uli + a s j + a3k,donde ao,a,, a2,a3 E F y la igualdad, adición y multiplicación se definen como en los cuaternios reales.

36. Si F

=

C ,los números complejos, demuéstrese que N ( C )no es un anillo

con división. 37. Encuéntrese en H ( C )un elemento x f O tal que x2 = 0.

38. Demuéstrese que H ( F ) es un anillo con división si y sólo si a; + a: + a$ -t- a: = O para (Y,, a2, a3, a4 en F implica a, = a , = a, = a3 = 0. 39. Si Q es el campo de los números racionales, demuéstrese que H ( Q ) es un anillo con división. 40. Pruébese que un dominio finito es un anillo con división, 41. Aplíquese el Problema 40 para demostrar que S, es un campo sí p es primo.

4.2 ALGUNOS RESULTADOS SENCILLOS -

--

Ahora que ya se han considerado algunos ejemplos de anillos y se ha tenido cierta experiencia trabajando con ellos, parecería aconsejable desarrollar algunas reglas para evaluación. Éstas permitirán evitar trivialidades molestas que podrían obstruir algún calculo que se estuviera realizando.

42

137

Algunos resultados cencillos

Los resultados que probaremos en esta sección no son muy sorprendentes, ni de mucho interés y de ninguna manera son emocionantes. Tampoco lo fue aprender el alfabeto, pero era algo que se tenia que hacer antes de avanzar a cosas mayores y mejores. Esto mismo es válido para los resultados que estamos a punto de probar. Dado que un anillo R es al menos un grupo abeliano respecto a la adición, existen ciertas cosas que sabemos por nuestros conocimientos de teoría de grupos, por ejemplo; -(-a) = a, -(a + b ) = (-a) + (-b); si a t- b = a + c, entonces b = c, etcétera. Empezamos con

LEMA 4.2.1. Sea R cualquier anillo y a, b E R. Entonces (a) a0 = Da = 0. (b) a(-b) = (-a)b = -(ab). (e) (-a)(-b) = ab. (d) Si 1 E R , entonces (-1)a = -a.

-

DEMOSTRAGI~N. Se prueba cada parte a su vez.

(a) Dado que0 = O + O , a0 = a(D + 0) = a0 + aO, por consiguiente a0 O. En esta demostración se ha utilizado la ley distributiva por la izquierda. La Iey distributiva por la derecha da lugar a Oa = 0. (b) ab + a(-b) = a(b + (-b)) = a0 = O por la parte (a). Por lo tanto, a(-b) = -(ab). De manera semejante, (-a)b = -(ab). (e) Por la parte (b), (-a)(-b) = -((-a)b) = -(-(ab)) = ab puesto que se trata de un grupo abeliano. = (-1 + l)a = Oa = (d) Si 1 E R, entonces (-l)a -t. a = (-l)a + O. Así que (-l)a = -a por la definicibn de -a. Otro resultado calculatorio.

LEMA 4.2.2. En cualquier anillo R, ( a + b ) 2 = a2 + b"

ab

+ ba

para a, b E R. = a2 + DEMOSTRACION. Evidentemente éste es el análogo de ( a + 2 4 + B2 que se tiene, digamos, en los enteros, pero teniendo presente que R puede ser no conmutativo. De esta manera, vayamos a él, Por la ley distríbutiva b)b = por la derecha ( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ) = ( a + b)a + ( a a 2 + ba + ab + b2, que es exactamente lo afirmado.

+

¿Puede el lector imaginarse la versión no conmutativa del teorema del bino-

mío? ínténtese con (a

+

b)3.

De las dos leyes distributivas se deriva una curiosidad cuando R tiene elemento unidad. La ley conmutativa de la adición resulta del resto.

138

CAP~TULO 4

e

ANILLOS

LEMA 4.2'3. Si R es un sistema con unidad que satisface todos los axiomas de un anillo, excepto posiblemente a + b = b + a para a, b E R, entonces R es un anillo.

DEMOSTRACI~N. Se debe demostrar que a + b = b + a para a, b E R. Por la ley distributiva por la derecha ( a + b)(l + 1 ) = ( a + b ) l + ( a + b ) l = a + h + a + b. Por otra parte, por la ley distributiva por la izquierda ( a + b)(l + 1 ) = a(l + 1 ) + b(l + 1 ) = a + a + b + b. Pero entonces a + b + a + b = a + a + b + b; puesto que se trata de un grupo respecto a + , se puede cancelar a del lado izquierdo y b de1 derecho y se obtiene b + n = a + b, como se requería. Por lo tanto R es un anillo. Finalizamos esta breve seccibn con un resultado que es un poco más agradable. Se dice que un anillo R es un anillo boolearío [en honor del matemático inglés George Boole (1815-1864)]si x2 = x para todo x E R. Se demostrará el atractivo

LEMA 4.2'4. Un anillo booleano es conmutativo. DEMOSTRAGI~N. Sean x, y E R , donde R es un anillo booleano. De manera que x2 = x , y2 = y, ( x + y J Z= x + y. Pero ( x + y)* = x2 + xy + yx + y2 = x + xy + yx + y, por el Lema 4.2.2, así que se tiene ( x + y) = ( x + y)2 = y + xy + yx + y, de donde resulta xy + yx = 0. Por consiguiente O = x(xy + yx) = x2y + xyx = xy + xyx, mientras que O

=

(xy

De esto se obtiene xy conmutativo.

+ yx)x = xyx + yx2 = xyx + yx.

+ xyx

=

xyx

+ yx, y así xy

=

yx. Por lo tanto, R es

PROBLEMAS 4.2 1. Sea R un anillo; dado que R es un grupo abeliano respecto a + , Iza tiene sentido para n E Z, a, b E R. Demuéstrese que (na)(mb)= ( n m ) ( a b )si n , m son enteros y a, b E R.

2. Si R es un dominio integral y ab que b = c.

=

ac para a # O, b, c E R , demuéstrese

3. Si R es un dominio integral finito, demuéstrese que R es un campo. 4. Si R es un anillo y e E R es tal que 2 = e, demuéstrese que (xe - exe)' = (ex - exeJ2= O para todo x E R.

43

e

139

Ideales, homornorfismos y anillos cociente

5 , Sea R un anillo en el cual x 3 = x para todo x E R. Pruébese que R es conmutativo.

6 . Si a2 = O en R , demuéstrese que ax

+ xa conmuta con a.

7. Sea R un anillo en el cual x4 = x para todo x E R. Prukbese que R es conmutativo.

8. Si F es un campo finito, demuéstrese que: (a) Existe un primo p tal que pa = O para todo a E F. (b) Si F tiene q elementos, entonces q = p" para algún entero n. (Sugerencia: Teorema de Gauchy.) 9. Sea p un primo impar y 1 + $ + * . -tl / ( p - 1 ) = a / b , donde a, b son enteros. Demuéstrese que pla. (Sugerencia: Cuando a recorre Z,, a-' también.) 10. Si p es primo y p > 3, demuéstrese que si 1 + $ + ' . + l / ( p - 1 ) = a / b , donde a, b son enteros, entonces p21 a. (Sugerencia:Considérese l / a 2 cuando a recorre Z,.)

4.3 IDEALES, HOMOMORFISMOS Y ANILLOS COCIENTE En el estudio de los grupos, resultó que los homomorfismos y sus núcleos -10s subgrupos normales- desempeñaban un papel central. No hay razón para esperar que no ocurra lo mismo con los anillos. En realidad, los análogos de homomorfismo y subgrupo normal, en el marco de los anillos, desempeñan un papel esencial. Con los conocimientos adquiridos respecto a tales conceptos de teoría de grupos, el desarrollo paralelo para anillos debe ser fácil y rápido. Y así será. Sin más ceremonias se formula la

DEFINIGI~N. Una aplicación (o: R -,R ' de un anillo R en un anillo R ' es un homomorfismo si (a) d a + b ) = $ 4 ~ + )yr(b) Y ( b ) ~ ( a b =) cp(a)p(b)para todo a, b E R . Puesto que un anillo tiene dos operaciones, resulta natural y justo que se exija que ambas operaciones se preserven respecto a lo que se llamaría un homomorfismo de anillos. Ademas, la propiedad (a) de la definicicín dice que p es un homomorfismo de R, considerada simplemente como un grupo abeliano respecto a la adicidn +, dentro de R ' (considerado tambikn como un grupo respecto de su adición). De manera que podemos invocar, y esperar, ciertos resultados por este solo hecho.

140

CAP~TULO 4

a

ANILLOS

Sea p: R R ' un homomorfismo de anillos y K ( p ) = { x E R 1 p(x) = O ) , donde el O es de R '. ¿Qué propiedades tiene K ( p ) ? Evidentemente, de la teoría de grupos K ( p ) es un subgrupo aditivo de R. Pero hay mucho más. Si k E K ( p ) y r f E?, entonces p ( k ) = O, así que (p(kr) = p(k)rp(r) = Op(r) = O , y de manera semejante, cp(rk) = O . De manera que K ( p ) "consume" la multiplicación por la izquierda y por la derecha por elementos arbitrarios del anillo. Se usa esta propiedad del kernel K ( p ) para definir el importante análogo en la teoria de anillos del concepto de subgrupo normal de la teoría de grupos. -+

DEFINICI~N. Sea R un anillo. Un subconjunto no vacío I d e R se llama ideal de R si: (a) I es un subgrupo aditivo de R. (b) Dados r E R, a E 1, entonces ra E I y ar E I. Pronto se verán algunos ejemplos de homomorfismos e ideales. Pero primero se observa que el inciso (b) de la definición de ideal en realidad tiene una parte izquierda y una derecha. Se podría hacer una división y definir que un conjunto L de R es un ideal izquierdo de R si L es un subgrupo aditivo de R y si dados r E R, a E L , entonces ra E L , De modo que para un ideal izquierdo sólo se requiere que opere por la izquierda. De manera semejante se pueden definir ideales derechos. Un ideal tal como se definió es simultáneamente ideal izquierdo y derecho de R. Con toda propiedad se debe llamar entonces ideal bilateral de R a 10 que se llama ideal. En efecto, cuando se trabaja en la teoría de anillos no conmutativos se emplea este nombre; en este libro, por "ideal" siempre se entenderá un ideal bilateral. Salvo algunos de los problemas, en este capítulo no se utilizará el concepto de ideales unilaterales. Antes de continuar, se toma nota de lo que se realizó anteriormente respecto a K ( p ) en el

LEMA 4.3.1. Si (p: R

+

R' es un homomorfismo, entonces K ( p ) es

un ideal de R. Pronto se verá que todo ideal se puede convertír en el kernel de un homomorfismo. Indicios de lo que sucedió con los subgrupos normales de grupos. Finalmente, sea K un ideal de R. Puesto que K es un subgrupo aditivo de R , el grupa cociente R/K existe; es simplemente el conjunto de todas las clases laterales a + K cuando a recorre R. Pero R no es sólo un grupo; es, después de todo, un anillo, Tampoco K es simplemente un subgrupo aditivo de R; es más que eso, a saber un ideal de R. Se tiene que poder ensamblar todo esto para hacer de R/K un anillo, ¿Cómo se definiría un producto en R/K de una manera natural? ¿Cómo necesita definirse ( a + K)(b + K)? Lo razonable es definir ( a + K ) ( b + K ) = ab + K, lo cual se hace. Como siempre, lo primero que surge es demostrar que

4.3

141

Ideales, homomorfrsmos y anillos cociente

este producto está bien definido. ¿Lo está? Se debe demostrar que si a + K = a ' + K y b + K = b' + K, entonces ( a + K)(b + K) = a b + K = a'b' + K = (a' + K)(b' + K). Sin embargo, si a + K = a ' + K, entonces a - a ' E K, de modo que ( a - a')b E K, ya que K es un ideal de R (en realidad, hasta ahora basta con que K sea un ideal derecho de R). Como b + K = b' + K, se tiene b - b' f K, así que a'(b - b') E K, puesto que K es un ideal de R (en realidad, ya que K es un ideal izquierdo de R).De manera que tanto ( a - a')b

=

ab

-

a'b

como

a'(b

- b')

= a'b - a ' b '

están en K. Por consiguiente (ab - a ' b )

+

(a'b

- a'b')

= ab

- a'b'

E K.

Pero esto indica (precisamente de la teoría de grupos) que a b + K = a'b' -t K, exactamente lo que se requería para que el producto dado estuviera bien definido. De manera que R/K está dotado ahora de una suma y un producto. Ademas, la aplicación p: R R/K definida por @(a) = a + K para a E R es un homomorfismo de R sobre R / K con núcleo o kerneI K , (Pruébese.) Esto indica inmediatamente que R/K es un aniIlo, por ser la imagen homomorfa del anillo R. Todo esto se resume en el -+

TEOREMA 4.3.2.

Sea K un ideal de R. Entonces el grupo cociente R/K como grupo aditivo es un anillo con respecto a la multiplicación (u + K)(b + K) = a b + K. Ademas, la aplicación p: R -+ R/K definida por q ( a ) = a + K para a E R es un homomorfismo de R sobre R/K que tiene a K como su núcleo. De manera que RIK es una imagen homomorfa de R.

Precisamente de la consideración de R como un grupo aditivo se tiene, por la teoría de grupos, que si y es un homomorfismo de R en R ', entonces es inyectivo si y sólo si K ( p ) = O. Como se hizo para los grupos, se define que un homomorfísmo es un monomorfismo si es inyectivo. Se define que R y R ' son isorírorfos si existe un monomorfsmo de R sobre R ', Se tendría que ser tremendamente pesimista para no esperar que los teoremas de homomorfismos probados en las Secciones 2.5 y 2.6 del Capítulo 2 sean válidos ahora. En realidad lo son, con las pequeñas adaptaciones obvias necesarias para llevar a cabo las demostraciones. Sin más ni más, se formulan los teoremas de homomorfismos, dejando al lector los pocos detalles necesarios para completar . las demostraciones.

TEOREMA 4.3.3 (PRIMER TEOREMA DE HOMOMORFISMOS). Sea la aplicación y: R

+

R ' un homomorfismo de R sobre R ' con núcleo

K . Entonces R ' = R / K ; en realidad, la aplicación i1/: R / K R ' definida por J / ( a+ K ) = cp(a) es un isomorfismo de R / K sobre R '. +

Pasamos al siguiente teorema de homomorfismos.

TEOREMA 4.3.4 (SEGUNDOTEOREMA DE HOMOMORFISMOS). Sea la aplicación cp: R R ' un homomorfismo de R sobre R ' con núcleo K . Si 1' es un ideal de R ' , sea I = { a E Rlcp(u) E I ' } . Entonces I es un ideal de R , I 2 K e I / K = I '. Esto establece una corres+

pondencia biyectiva entre todos los ideales de R ' y aquellos ideales de R que contienen a K . Finalmente, llegamos al último de los teoremas de homomorfismos que queremos formular. Existen otros, desde luego; &os se dejan para los problemas.

TEOREMA 4.3.5 (TERCER TEOREMA DE HOMOMORFISMOS).

-

Sea la aplicación cp: R R ' un homomorfismo de R sobre R ' con núcleo K. Si I' es un ideal de R ' e I = { a E R 1 p ( a ) E P ' ) , entonces R / I R ' / I ' . De manera equivalente, si K es un ideal de R e I > K es un ídeal de R, entonces R / I (R/K)/(I/K). +

-

Concluye esta sección con una inspección a algunos de los aspectos tratados en ciertos ejemplos.

EJEMPLOS 1. Como de costumbre, se utiliza el anillo Z de los enteros como primer ejemplo. Sea n > 1 un entero fijo e In el conjunto de los multiplos de n; entonces I, es un ideal de R. Si Zn es el anillo de los enteros módn, defínase cp: Z Zn por p ( a ) = [ a ] , Como puede verse fácilmente, cp es un homomorfismo de Z sobre Z, con núcleo Pn. Así que por el Teorema 4.3.3, Z, = Z/Iti.(Esto no debe sorprender, porque es como originalmente se introdujo Z,.) -+

2. Sea F u n campo; ¿cuales pueden ser los ideales de F? Supongase que I f (O) es un ideal de F; sea a # O f l. Entonces, dado que I es un ideal de F, 1 = a-'a E í; pero entonces, puesto que 1 E 1, r f = r E I, para todo r E F. En forma breve, I = F. De manera que F tiene solamente los ideales triviales ( O ) y el propio F.

3. Sea R el anillo de los números racionales que tienen denominadores impares en su forma reducida. Sea I el conjunto de aquellos elementos de R que en su forma reducida tienen numerador par; es fácil ver que I es un ideal de R. Defínase cp: R Z2, los enteros mÓd2, por p ( a / b ) = O si a es par (a y b no tienen factor común) y cp(a/b) = 1 si a es impar. Se deja al lector verificar que p es un homomorfismo de R sobre Z2 con núcleo I. De modo que Zz = R / I , Proporciónese el isomorfismo explícito de R / I sobre Z2. . +

43

@

143

Ideales, homomorffsmos y anillos cociente

4. Sea R el anillo de los números racionales cuyos denominadores (en su forma reducida) no son divisibles entre p; p es un primo fijo. Sea I el conjunto de aquellos elementos de R cuyo numerador es divisible entre p; I es un ideal de R y R/I Z,, los enteros módp. (Pruébese.)

-

5. Sea R el anillo de todas las funciones continuas reales definidas en el intervalo unitario cerrado donde (f + g)(x) = f (x) + g(x) y (fg)(x) = f(x)g(x) para f,g E R , x E [ O , 11. Sea I = (f E R i f ( f ) = O). Afirmamos que I es un ideal de R. Evidentemente, es un subgrupo aditivo. Además, si f E i y g E R , entoncesf (2) = O, así que (fg)(i) = f (f)g($) = O&) = O. De manera que fg E I; dado que I es conmutativo, g f también esta en I. Por lo tanto I es un ideal de R. ¿A qué es igual R I I ? Dada calquier f E R , entonces

= O, g está en I. donde g ( x ) = f (x) - f (i). Debido a que g($) = f (i) - f Así que g í = I. De manera que f + I = (f(t) + g ) + I = f (9 + l. Corno f (i) es precisamente un número real, R/I consta de las clases laterales a + I para a real. Afirmamos que surgen todos los reales a. Ya que si f (i) = ,& # O, entonces

(t)

+

Así que R/I consiste en todas las a t- 1,a real. De manera que se puede demostrar que R/I es isomorfo al campo de los reales. Ahora se aplica el Teorema 4.3.3 para demostrar que R / I = R (el campo de los reales). Sea (P: R R definida por p ( f ) = f ($). Entonces p (como anteriormente) es suprayectiva y K(p) = { f € Rl f (:) = O}; en otras palabras, K ( p ) = I. Así que R / I = imagen de p = campo de los reales. +

6. Sea R el anillo de los cuaternios enteros, es decir, R = {ao + ali

+

atj

+ a3kla0,a , , a2, a3 E

Z}

y sea

I,

=

{ao + a,i

+ a a + a,k

€ R ( p l a ,para i = O, 1 ) 2, 3 , p un primo fijo).

El lector debe verificar que 1, es un ideal de R y que R/I, = H ( Z , ) (véase el Problema 38 de la Sección 4.1 y el párrafo anterior a 61). 7. Sea R

=

((:

U) lo.

2 sobre los reales. Sea I

=

1 O)

b reales ; R es un subanillo de las matrices 2 x

((

real) ; se ve fácilmente que I es un

144

CAPITULO4

e

ANILLOS

subgrupo aditivo de R . ¿Es I un ideal de R ? Considérese

así que está en 1. De manera semejante,

de modo que también está en 1. Por lo tanto I es un ideal de R . ¿A qué es igual R / I ? Se enfoca desde dos puntos de vista. Dada

0)-

(

entonces

(

=

:)+(O

(

0)

así que

ya que (

U 0)

la forma (

O

está en I. De modo que todas las clases laterales de ¡en R tienen

O/ a

+ I. Si ésta se aplica sobre a, es decir, J.

a, se puede comprobar que S. es un isomorfismo sobre el campo de los reales. Así que R / I = campo de los reales. Se verá que R / I campo de los reales de otra manera. Defínase p: R reales por p dadas

(E

/

u

f: /. / O

-)

=

-+

a. Afirmamos que

es un homomorfismo. Porque,

) , entonces VI;

por consiguiente,

p

:)=a.

%(O

d

J=c.

43

ideales, homomorfismos y anillos ciente te

Así que

)

K ( q ) , entonces

/

O

)

O

u i

=

a, por una

1

a = O, ya que ( u t K ( a ) . De manera que a = O. De esto se obtiene que 1 = K(ip). Así que R / I = imagen de = campo de los reales por el Teorema 4.3.3.

parte, por la definición de v, y
O

8. Sea R = 1' a i(

-h

plejos. Definase il. : R

+

u

b reales \ y C el campo de los números comi

Y,

por J.

/

!b

a

] = a + bi. Se deja al lector verificar

que J. es un isomorfismo de R sobre C . De manera que R es isomorfo al campo de los números complejos.

9. Sea R cualquier anillo conmutativo con unidad. Si a E R , sea ( a ) = {xalx E R ) . Afirmamos que ( a ) es un ideal de R. Para ver esto, supóngase que u, v E ( a ) ;de esta manera u = xa, v = ya para ciertos x, y E R , de donde u t v = xa+- ya = ( x i y)a E ( a ) .

Además, si u E ( a ) y r E R, entonces u = xa, par consiguiente ru = r(xa) = (rx)a, así que está en ( a ) . De esta manera ( a ) es un ideal de R. Obsérvese que si R no es conmutativo, entonces ( a ) no es necesariamente un ideal; pero desde luego es un ideal izquierdo, de R .

PROBLEMAS 4.3

1. Si R es un aniUo conmutativo y a E R, sea L ( a ) = ( a E R Ixa = O ) . Pruébese que L ( a ) es un ideal de R.

2. Si R es un anillo conmutativo con unidad y no tiene otros ideales aparte de (O) y él mismo, pruébese que R es un campo. (Sugerencia: Examínese el Ejemplo 9.)

3. Si rp: R R ' es un homomorfismo de R sobre R ' y R tiene elemento unidad, 1, demuestrese que ~ ( 1 )es el elemento unidad de R '. +

+ JporI + J =

4 . Si 1, JsonidealesdeR, definase1

Pruébese que I

+ J es un ideal de R.

(i

+jliEI, j €

J).

5. Si I es un ideal de R y A es un subanillo de R, demuéstrese que I í?A es

un ideal de A. 6. Si 1, J son ideales de R, demuéstrese que 1 n J es un ideal de R. 7, Proporcionar una demostración completa del Teorema 4.3.2, 8. Proporcionar una demostración completa del Teorema 4.3.4.

R ' un homomorfi~mode R sobre R ' con núcleo K. Si A ' es 9. Sea p: R un subanillo de R ', sea A = fa E R 1 cp(a) E A'). Demuéstrese que: (a) A es un subanillo de R, A > K . (b) A / X A'. (c) Si A ' es un ideal izquierdo de R ', entonces A es un ideal izquierdo de R.

-

10. Pruébese el Teorema 4.3. f . 11. Con referencia al Ejemplo 3, proporcionar el isomorfismo explícito de R / I sobre Z2. 12. En relación con el Ejemplo 4, demostrar que R / I = S,. 13. En relación con el Ejemplo 6, demostrar que R/I, = W ( Z , ) . 14. Relativo al Ejemplo 8, verifíquese que la aplicación S. dada es un isomorfismo de R sobre C . 15. Si 1, J son ideales de R, sea IJ el conjunto de todas las sumas de elementos de la forma ij, donde i E 1,j E J. Pruébese que 1J es un ideal de R.

16. Demuéstrese que el anillo de las matrices 2 x 2 sobre los reales tiene ideales izquierdos no triviales (y también ideales derechos no triviales),

17. Si A es un subanillo de R e I es un ideal de R, sea

Pruébese que: (a) A + 1 es un subanillo de R , A (b) ( A + 1111 A / ( A n r).

-

+ 1 > 1.

Si R, S son anillos, definase la suma directa de R y S, R s S, mediante

donde (r, S ) = ( r , , S , ) si y sólo si r

(r,S )

+ (t, U )

(r

+

t, S

+

=

r,, s =

S,,

y donde

-

(r,s)(t, U ) (rs, tu). 18. Demuéstrese que R @ S es un anillo y que los subanillos ((r, O ) ]r E R ) y { ( O , S) 1s E S ) son ideales de R s S isomorfos a R y S, respectivamente. =

U),

147

4 3 * laeales, homomorf~smosy anillos cociente

i ;f 19. Si R = \[

c

11 a, b , c reales1J e 1 = { / O

/ / b real il, demuéstrese que:

(a) R es un anillo. (b) I es un ideal de R. (c) R/I = F e F, donde F es el campo de los números reales.

20. Si 1, J son ideales de R, sean R, = R/I y R2 = R / J . Demuéstrese que p: R R1 e R2 definida por p(r) = ( r + 1, r + f) es un hamomorfísmo de R en R , e RZ tal que K ( p ) = I n J. +

21. Sea Z , , el anillo de los enteros mod 15. Demuéstrese que ZI5 2

z3e Zf.

22. Sea Z el anillo de los enteros y m, n dos enteros primos entre sí, I,, el conjunto de los multiplos de m en Z e 1, el conjunto de los multiplos de n en Z. (a) LA qué es igual I , n I,? (b) Aplíquese el resultado del Problema 20 para demostrar que hay un isomorfismo de Z/I,, en Z/I,,, Z/I,,. (c) Contando las elementos de ambos lados, demuéstrese que Z/l,,,, = zme za. 23. Si m, n son primos entre si, pruébese que Zrn, = 2, e 2,. (Sugerencia: Pro-

blema 22.) 24. Aplíquese el resultado de los Probleinas 22 o 23 para probar el teorema chino del residuo,el cual afirma que si m y n son enteros relativamente primos y a, b enteros cualesquiera, se puede enconttar un entero x tal que x a mód m y x b mód n , simultáneamente. 25. Sea $2 el anillo de las matrices 2 x 2 sobre 10s números reales; supongase que 1es un ideal de R. Demuéstrese que 1 = (O) o bien I = R. (Contrástese esto con el resultado del Problema 16.)

26. Sean R un anillo con unidad y S e; anillo de las matrices 2 x 2 sobre R. Si I es un ideal de S demuéstrese que existe un ideal J de R tal que I consiste de todas las matrices 2 x 2 sobre J.

27. Si p , , p,, . . . , p, son primos distintos, demuéstrese que hay exactamente 2" soluciones de x 2 x mdd ( p , . - p,), donde O 5 x < p, . . p,. 28, Supongase que R es un anillo cuyos únicos ideales izquierdos son (O) y el mismo R . Pruébese que ya sea que R es un anillo o bien R tiene p elementos, p primo, y ab = 0 para todo a, b E R.

148

CAP~TULO 4

ANILLOS

29. Sea R un anillo con unidad 1. Se dice que un elemento a E R tiene un inverso izquierdo si ba = 1 para algún b E R. Demuéstrese que si el inverso izquierdo b de a es único, entonces ah = 1 (de manera que b también es un inverso derecho de a).

Esta sección tendrá un teorema importante. Su importancia será fácil de entender solamente cuando se estudien los campos en e1 Capítulo 5. Sin embargo, es un resultado que se sostiene sobre sus propios pies. No es difícil de probar, pero en matemáticas la correlación entre difícil e importante no siempre es alta. Existen muchos resultados difíciles que son de muy poco interés y de importancia aún menor, y algunos resultados sencillos que son cruciales. Desde luego, existen otros resultados -muchísimosque son de increíble dificultad e importancia.

LEMA 4.4.d. Sea R un aniIlo conmutativo con unidad cuyos únicos ideales son (0) y él mismo. Entonces R es un campo. BEMOSTRACI~N. Sea a .f: O un elemento de R. Entonces (a) = {xalx E R ) es un ideal de R, como se verificó en el Ejemplo 9 de la sección precedente. Puesto que a = l a E (a), (a) # O. Por consiguiente, por la hip6tesis relativa a R, (a) = R. Pero entonces, por la definición de (a), todo elemento i E R es un múitiplo xa de a para algún x F R. En particular, como 1 E R, 1 = ba para algún b E R. Esto demuestra que a tiene el inverso b en R. Por lo tanto, R es un campo. En el Teorema 4.3.4 (segundo teorema de homomorfismos) se vio que si R ' es un homomorfismo de R sobre R ' con núcleo K , entonces existe p: R una correspondencia biyectiva entre ideales de R ' e ideales de R que contienen a K. Supóngase que no existen otros ideales aparte de K mismo y R que contengan a K. ¿Qué implica esto respecto a R '? Puesto que (0) en R ' corresponde a K en R, y R corresponde a R ' en esta correspondencia dada por el segundo teorema de homomorfismos, se debe concluir que en este caso R ' no tiene otros ideales aparte de (O) y él mismo. De manera que si R ' es conmutativo y tiene elemento unidad, entonces por el Lema 4.4.1, R ' debe ser un campo, Esto sugiere la siguiente definición,

DEFINIGI~N. Un idea1 propio M de R es un ideal máximo de R si los Únicos ideales de R que contienen a M son el mismo M y R. En la discusión anterior a esta definición ya casi se probó el

TEOREMA 4.4.2. Sean R un anillo conmutativo con unidad 1 y M un ideal máximo de R. Entonces R/M es un campo.

4.4

Ideales maximos

(146

~EMOSTRAGI~ Existe N . un homomorfismo de R sobre R ' = R / M , y puesto que 1 E R se tiene que R ' tiene a 1 + M como su elemento unidad. Como M es un ideal máximo de R , se vio en la discusión anterior que R ' no tiene ideales no triviales, Por consiguiente, por el Lema 4.4.1, R ' = R / M es un campo. O

Este teorema será la entrada al estudio de los campos, ya que permitirá construir campos particularmente deseables siempre que se les necesite. El Teorema 4.4.2 tiene recíproco, que es:

TEOREMA 4.4.3. Si R es un anillo conmutativo con unidad 1 y M un ideal de R tal que R / M es un campo, entonces M es un ideal máximo de R . DEMOSTRAGION.En el Ejemplo 2 de la Sección 4.3 se vio que los únicos ideales de un campo F son (0) y el mismo F. Puesto que R / M es un campo, tiene solamente a (O) y él mismo como ideales. Pero entonces, por la correspondencia dada por el Teorema 4.3.4, no puede existir ningún ideal de R propiamente entre M y R . Por consiguiente, N es un ideal máximo de R . Se dan algunos ejemplos de ideales máximos en anillos conmutativos.

EJEMPLOS 1. Sea 2 el anilIo de los enteros y M un ideal de Z . Como un ideal de Z se tiene, naturalmente, que M es un subgrupo aditivo de Z, así que debe consistir de todos los múltiplos de cierto entero fijo n. De esta manera, puesto que R/M 2, y Z, es un campo si y sólo si n es primo, se tiene que N es un ideal máximo de Z si y sólo si M consiste de todos los múltiplos de cierto primo p. Por consiguiente, el conjunto de ideales máximos de 2 corresponde al conjunto de los números primos. 2. Sean Z el anillo de los enteros y R = { a + bila, b E Z } , un subaniIlo de C ( i 2 = -1). En R sea M el conjunto de todos los a + bi de R , en los que 3 f a y 3 16. Se deja al lector verificar que M es un ideal de R . Afirmamos que M es un ideal máximo de R. Supóngase que N > M y N # M es un ideal de R . Así que hay un elemento r + si E N, donde 3 no divide ni a r ni a s. Por lo tanto, 3.i(r2 i s2). (Pruébese.) Pero t = r 2 + s 2 = ( r + s)(r - si), así que está en N, ya que r + si E N y N es un ideal de R. De esta manera, N tiene un entero t = r 2 + s 2 no divisible por 3 . Así que ut + 3v = 1 para ciertos enteros u, v ; pero t E N, por consiguiente ut E N y 3 E M c N, de modo que 3v E N. Por lo tanto, 1 = ut i 3v E N.Por consiguiente, ( a + bi)l E N, puesto que N es un ideal de R , para todo a + bi E R . Esto indica que N = R . De manera que el Único ideal de R arriba de M es el mismo R. Consecuentemente, M es un ideal máximo de R . Por el Teorema 4.4.2 se sabe que R / M es un campo. Se puede demostrar (véase el Problema 2) que R i M es un campo que tiene nueve elementos.

150

CAP~TULO 4

ANILLOS

3. Sean R como en el Ejemplo 2 e I = { a + bif5la y 516). Afirmamos que I no es un ideal máximo de R. En R se puede factorizar 5 = (2 + i)(2 - i ) . Sea M = (x(2 + i ) Ix E R ) . M es un ideal de R, y puesto que 5 = (2 + i)(2 - i) está en M, se ve que I C M. Evidentemente, I # M ya que 2 + i E M y no está en I porque 5 1 2. Así que I # M. ¿Puede ser M = R ? Si así fuera, entonces (2 + i ) ( a + bi) = 1 para ciertos a, b. Esto dice que 2a - b = 1 y 2b + a = O ; estas ecuaciones implican que 5a = 2, asi que a = i, b = -t. Pera 9 E 2, - 51 E Z; el elemento a bi = - i i no estii en R. Por Io tanto M # R. Se puede demostrar, sin embargo, que M es un ideal máximo de R (véase el Problema 3).

+

4. Sea R = fa + b a l a , b enteros), el cual es un subanillo del campo de los reales respecto a la suma y al producto de números reales. Se deduce que R es un anillo a partir de que

+ bJ2) + ( c + dJZ) = ( a -t- c ) + ( b + d)dZ ( a + bd2)(c + d&) = (uc + 2bd) + (ad + b c ) a . { a + b d E R 1 5 1 a y 5 1 b } . Se ve fácilmente que M es un ideal de (a

Y

Sea M = R. Se deja al lector demostrar que M es un ideal maximo de R y que R / M es un campo que consta de 25 elementos. 5. Sea R el anillo de todas las funciones continuas reales definidas en el intervalo unitario cerrado [O, 11. En el Ejemplo 5 de la Seccion 4 . 3 se demostró que si M = { f E R 1 f (%) = O}, entonces M es un ideal de R y R / M es isomorfo al campo de los reales. De esta manera, por el Teorema 4 . 4 . 3 , M es un ideal máximo de R. Desde luego, si se define M, = { f E R 1 f ( y ) = O ) , donde y E [O, 11, entonces M, también es un ideal maximo. Se puede demostrar que todo ideal máximo de R es de la forma M, para algún y E [O, 11, pero para probarlo se requerirían algunos resultados de la teoría de variable real. Lo que este ejemplo demuestra es que los ideales máximos de R corresponden a los puntos de [O, 11.

1. Si a, b son enteros y 3 ia, 3

1 b, demuéstrese que 3 4 ( a 2 -+ b").

2. Demostrar que en el Ejemplo 2 , RIMes un campo que consta de nueve elementos.

3, En el Ejemplo 3, demuéstrese que M = {x(2 -+ i) f x E R ) es un ideal máximo de R.

4. En eI Ejemplo 3, probar que R / M = Z5.

5. En el Ejempjo 3, probar que R / I = Z5 @ S,. 6, En el Ejemplo 4, demuéstrese que M es un ideal máximo de R. 7. En el Ejemplo 4, probar que R / M es un campo que consta de 25 elementos.

8. Utilizando el Ejemplo 2 como modelo, constrúyase un campo que conste de 49 elementos. Hacemos una breve excursión de vuelta a Ias congruencias módp, donde p es un primo impar. Si a es un entero tal que p t a y x Z u módp tiene una solución para x en 2, se dice que a es un residuo cuadrático módp. De

lo contrario, se dice que a es un no residuo cuadrrr"tico módp, 9, Demuéstrese que ( p - 1)/2 de los números 1, 2, . . ., p - 1 son residuos cuadraticos y (p - 1)/2 son no residuos cuadráticos módp. [Sugerencia: Demuéstrese que { x 21.x # O E Zp} forma un grupo de orden ( p - 1) /2.]

10. Sea m > O un elemento de Z y supóngase que m no es un cuadrado en Z. Sea r = { a + f i b l a , b E S } . Pruébese que R es un anillo respecto a las operaciones de suma y producto de números reales. 11. Si p es un primo impar, sea el conjunto 1, = {a + t&blpja y pl b ) , donde a + &b E R , el anillo del Problema 10. Demuéstrese que 1, es un ideal de R.

12. Si m es un no residuo cuadraticu módp, demuéstrese que el ideal 1, del Problema I l es un ideal máximo de R. 13. En el Problema 12 demuéstrese que R/I, es un campo que consta de p2 elementos.

4.5 ANILLOS DE POLINOMIOS En la materia que se considera en esta sección interviene el concepto de polinomio y el conjunto de todos los polinomios sobre un campo dado. Se espera que la mayoría de los lectores tenga cierta familiaridad con el concepto de polinomio de sus estudios de preparatoria y que hayan visto algunas de Ias cosas que se realizan con ellos como son: factorización, búsqueda de sus raíces, división de uno entre otro para obtener un residuo, etcétera, El énfasis que se dará al concepto y objeto algebraico conocido como aniilo de polinomios ser6 en un sentido

bastante diferente al dado en cursos elementales. Como quiera que sea, lo que se procurará hacer aquí es introducir el anillo de polinomios sobre un campo y demostrar que dicho anillo es susceptible de

152

CAP~TULO 4

ANILLOS

una cuidadosa disección que revela su estructura más íntima. Como se verá, este anillo se comporta muy bien. El desarrollo debe recordar lo que se hizo con el anillo de los enteros en la Sección 1.5 del Capítulo 1, De manera que nos encontraremos con los análogos del algoritmo de EucIides, máximo común divisor, divisibilidad, y posiblemente más importante, el análogo apropiado de número primo. Esto conducirá a la factorización única de un polinomio general en dichos "polinomios primos'" a la naturaleza de los ideales y los ideales maximos en este nuevo escenario. Mas el anillo de polinomios goza de una característica que el anillo de los enteros no: el concepto de raíz de un polinornio. El estudio de la naturaleza de tales raíces -que en su mayor parte se hará en el capítulo siguiente- constituye una vasta e importante parte $e h historia algebraica del pasado. Se le conoce con el título de teoría de las ecuaciorzes y en su honroso pasado se ha obtenido una gran variedad de resultados magníficos en esta área. Con fundadas esperanzas, veremos algunos de ellos a medida que el desarrollo del tema avance. Después de este bosquejo superficial de lo que se pretende hacer, pasamos a realizarlo. SeaFun campo; el anillo depolinomios en xsobre F, que siempre se expresará como F [ x ] , es el conjunto de todas Ias expresiones formales p ( x ) = a. + a,x + + a , - l ~ n - l+ a s n , donde los a,, llamados coeficientes del polinomicl p ( x ) , están en F. En F [ x ] se definen igualdad, suma y producto de dos polinomios para hacer de FEx] un anillo conmutativo como sigue:

1. IGUALDAD. Se define que p ( x ) = a, + a,x + - + a,xn y q ( x ) = b, + b l x + - - + b d m son iguales si y sólo si sus coeficientes correspondientes son iguales, es decir, si y sólo si ai = b, para todo i r O. = a. + a l x + + a,xn y q ( x ) = bo + b , x + - . - + bmxm,se define p ( x ) + q ( x ) = co + c,x + - - + c, x donde para cada

2. ADICI~N.Si p ( x )

S,

i, c, = ai = b,. Así que los polinomios se suman sumando sus coeficientes correspondientes. La definición de multiplicación es un poco más complicada. Primero se define aproximadamente y luego en forma más precisa. 3. MULT~PLICACI~N.Si p ( x ) = a. + a,x + . - + anxny q ( x ) = bo + b,x + . , . + b d m , se define p ( x ) q ( x ) = co + c,x + . - + c,xf,donde los c , se determinan muItiplicando la expresión formaimente (es decir, en cuanto a la forma), utilizando las leyes distributivas y las reglas de los exponentes y X v = X ~ , y+ reuniendo ~ términos. De manera más formal,

e, = aibo + a,-,b,

+ -. +

a,b,-,

+

aob,,

para todo i.

Estas operaciones se ilustran con un ejemplo sencillo, pero primero un dispositivo notacional: si algún coeficiente es O, simplemente se omite ese término. De manera que 9 + Ox + 7x2 + Ox3 - 14x4 se escribe como 9 + 7x2- 14x4.

45

153

Anillos de polinomios

Sean p(x) = 1 + 3x2, q(x) = 4 - Sx q(x) = 5 - 5x + 10x2 - x3 mientras que

+

7x2 - x3. Entonces p(x)

+

Pruébese este producto utilizando los e, dados anteriormente. En cierto sentido esta definición de F [x] no es una definición en modo alguno. Nos hemos permitido el lujo de meter la mano en ella. Pero servirá. Se podrían emplear sucesiones para definir formalmente F [x] de una manera más precisa, pero ello simplemente oscurecería lo que para la mayoría de los lectores es bien conocido. La primera observación que se hace (la cual no se verifica) es que F [ x ] es un anillo conmutativo. El examinar al fondo los detalles de comprobación de los axiomas de un anillo conmutatívo, es una tarea sencilla pero laboriosa. No obstante, es importante tomar nota del

LEMA 4.5.1.

F [ x ) es un anillo conmutativo con unidad.

DEFINICION. Si p(x) = a. + a l x + . . + a,xn y a, # O, entonces el grado de p(x), denotado por grdp(x), es n." De modo que el grado de un polinomio p(x) es la potencia más alta de x presente en Ia expresión de p(x) con coeficiente no nulo. De esta manera grd (x - x 2 + x4) = 4, grd (7x) = 1, grd 7 = O, A O no se le asigna grado. Los polinomios de grado O se llaman constantes; así que el conjunto de constantes se puede identificar con F. La función que asigna grados en F[x] desempeñara un papel semejante al del tamaño de los enteros en 2, en el sentido de que proporcionará un algoritmo euclídeo para F [x]. Una propiedad inmediata e importante de la función grado es que se comporta bien para productos.

LEMA 4.5.2. Si p(x), q ( x ) son elementos de F [ x ] distintos de cero, entonces grd (p(x)q(x)) = grdp(x) + grd q(x).

-

-

DEMOS~ACIÓN. Sean m grdp(x) y n grdq(x); de esta manera el polinomio p(x) = a, + a,x + . - + a&rn, donde a, f; O, y el polinomio q(x) = bo + b,x + . - + b s " , donde b, P O. La potencia más alta de x que puede ocurrir en p(x)q(x) es xrn'", por la definición del producto. ¿Cuál es el *

(N. del R.) En esta versión, para mayar claridad se utiliza la notación grd en vez de deg (del inglés degree) que se usa en el texto original.

454

CAP~TULO 4

ANILLOS

coeficiente de xm+"?El único camino por el que xm+"puede ocurrir es por ( u g m ) ( b p * ) = a,b,rYm+". Por lo tanto el coeficiente de x m + "en p(x)q(x) es a&, que no es cero, ya que a, # O, b, # O. De esta manera (p(x)4(x)) = m + n = grdp(x) + grd q(x), como se afirmó en el lema, También se tiene cierta información respecto a grd ( p ( x )

+ q(x)). Ésta es

LEMA 4.5.3. Si p(x), q(x) E F [ x ] y p ( x ) + q(x) # O, entonces grd (P(x) + q(x)) 5 máx (grdp(x), grd qilx)). La demostración del Lema 4.5.3 se deja al lector. Este lema no sera importante en lo que sigue, en tanto que el Lema 4.5.2 sí lo será. Se le presenta de tal manera que la suma " + " no parezca menospreciada respecto al producto. Una consecuencia inmediata del Lema 4,5.2 es

LEMA 4.5.4. F [ x ] es un dominio integral.

DEMQSTRACL~N. Si p ( x ) # O y q(x) # 0, entonces grdp(x) r 0, grd q ( x ) 2 O, de manera que grd (p(x)q(x)) = grdp(x) + grd q(x) z O. Por lo tanto, pfx)q(x) tiene grado, así que no puede ser O (el cual no tiene grado asignado). Por consiguiente, F [ x ] es un dominio integral, Una de las cosas que tuvimos que aprender fue dividir un polinomio entre otro. ¿Cómo lo hacíamos? El procedimiento se llama divisián larga. Con un ejemplo se ilustra cómo se realiza, ya que lo que se hace en el ejemplo es el modelo de lo que se hará en el caso general. Se desea dividir x4 - 7x + 1 entre 2x2 + 1. Esquemáticamente se realiza como sigue: $ x 2- -',x

-?X

+l

y esto se interpreta como:

x 4 - 7x

+ 1 = ( 2 x 2+ l ) ( t x 2- i x ) + ( - y x

f

1)'

A - 4 x + 1 se le llama residuo de esta división. ¿Que se hizo exactamente? Primero, ¿de dónde provino %x2?Éste resultó del hecho de que cuando se multiplica 2x2 + 1 por Y2x2 se obtiene x4, la potencia más alta presente en x4 - 7x 1 . De manera que al restar Mx2(2x2 + 1) de x4 - 7x + 1 desaparece el término x4 y se continúa con lo que queda, repitiendo el procedimiento.

+

45

155

* Anillos de polinom~os

Este "repitiendo el procedimiento" sugiere inducción y así es como se llevará a cabo la demostración. Pero téngase presente que todo lo que se hará es lo que se hizo en eI ejemplo anterior. Lo que resulta es algo semejante al algoritmo de Euclides de los enteros. Sin embargo, aquí se le llama algoritmo de la división.

TEOREMA 4.5.5 (ALGORITMO DE LA DIVISIÓN].Dados tos polinomios f ( x ) ,g(x) E F [ x ] ,donde g ( x ) # O, se cumple entonces que

donde q ( x ) ,r ( x ) E F [xjy r ( x ) = O o bien grd r ( x ) < grd g(x).

DEMBSTRACION.f e procede por inducción en grd f ( x ) .Si f ( x ) = O o bien grd f ( x ) < grdg(x),entonces f ( x ) = Og(x) + f ( x ) , lo cual satisface la conclusión del teorema. Supóngase entonces que grd f ( x ) 2 grd g(x);de esta manera el polinornio ~ , a, O y el polinomio g ( x ) = bo + + i z ~ donde f ( x ) = a. + alx + b,x + + b p " , donde b, # O y m r n. Considérese

+

-

.

a

-

así que (a,/b, )xm-"g( x )tiene e/ mismo grado e igual coeficiente de la potencia mayor que f ( x ) ,de modo que f ( x )- (a,n/b,)xm-ng(x) h ( x ) es tal que la relación grd h ( x ) < grd f ( x ) es válida. Por consiguiente, por inducción, h ( x ) = q,(x)g(x)+ r ( x ) ,

en donde

qt(x), rrx) E F[xj

y r ( x ) = O , o bien grdr(lx) < grdg(x). Recordando a qué es igual h ( x ) , se obtiene n, h ( x ) = f ( x ) - -xm-"g(x) = q , { ~ ) g ( -t x )r ( x )

'

bn

por lo tanto / ( x )=

Si q ( x ) = (a,/b,)xm-" teorema.

+

(2." + q l ( . x ) j g ( x+) r ( x ) .

bn qq,(x), se ha logrado la forma asegurada por el

El algoritmo de la división tiene una aplicación inmediata: permite determinar la naturaleza de todos los ideales de F [ x ] .Como se ve en el siguiente teorema,

156

CAP~TULO 4 * ANILLOS

un ideal de F l x ] debe consistir simplemente de todos los múltiplos, por elementos de F [ x ], de cierto polinomio fijo.

TEOREMA 4,5.6. Si I # (O) es un ideal de F [ x ] , entonces I = { f ( x ) g ( x )1f ( x ) E F[xE);es decir, I consiste de todos los múltiplos del polinomio fijo g ( x ) por los elementos de F [ x ] .

DEMOSTRAGI~N, Para probar el teorema, se necesita producir dicho polinomio fijo g ( x ) . ¿De dónde se va a extraer? El Único control numkrico que se tiene sobre un poIínomio dado es su grado. Así que se va a utilizar la función de grado como mecanismo para encontrar g ( x ) . Puesto que I # (O),existen elementos en I con grado no negativo. De manera que hay un polinomio g ( x ) f O en i de grado mínimo; es decir, g ( x ) # O está en 1 y si O f t ( x ) E 1, entonces grd t ( x ) 2 grdg(x). Por consiguiente, por el algoritmo de la división, t ( x ) = q ( x ) g ( x ) r ( x ) , donde r ( x ) = O, o bien grd r ( x ) < grd g ( x ) . Pero dado que g ( x ) E I e 1 es un ideal de F [ x ] ,se tiene que q ( x ) g ( x )E I. Por hipótesis, t ( x ) E I, así que t ( x ) - q ( x ) g ( x )está en 1, por lo tanto r ( x ) = t ( x ) - q ( x ) g ( x )está en 1. Puesto que g ( x ) tiene el grado mínimo de los elementos de I y r ( x ) E I , grd r ( x ) no puede ser menor que grdg(x). De esta manera resulta que r ( x ) = O . Pero esto indica que t ( x ) = q ( x ) g ( x ) .Por lo tanto todo elemento de I es un múltiplo de g ( x ) . Por otra parte, puesto que g ( x ) E 1 e I es un ideal de F [ x ] ,f ( x ) g ( x )E I para todo f ( x ) E F [ x ] .El resultado neto de todo esto es que I = f f (x)g(x)lf ( x ) E F [ x ] ) .

+

DEFINICIÓN.Un dominio integral R se llama dominio de idealesprincípales si todo ideal I en R es de la forma I = {xalx E R ) para algún a E I. El Teorema 4.5.6 se puede expresar como: F [ x ] es un dominio de ideales principales. Si se considera el ideal generado por un polinomio dado, g ( x ) , a saber { f ( x ) g ( x )1f ( x ) E F [ x ]), se expresará como ( g ( x ) ) . En la demostración se probó que si I e s un ideal de R, entonces I = ( g ( x ) ) , donde g ( x ) es un polinomío de grado mínimo contenido en I. Pero g ( x ) no es único, ya que si a f O E F, entonces ng(x) está en I y tiene igual grado que g ( x ) , por lo tanto I = ( a g ( x ) ) . Con el fin de obtener cierta clase de unicidad en esto, se destaca una cIase de poiinomios.

E)EFINICI~PI. f ( x ) E F [ x ] es un polinomia rnónico si el coeficiente de su potencia más alta es 1. Así que si f ( x ) es mónico significa que

45

Anillos de polinomios

157

Se deja al lector demostrar que si Z es un ideal de F [ x ] ,entonces existe solamente un polinomio mónico de grado mínimo en 1. Si se sefiala éste como generador de 1 se obtiene una unicidad "mónica" para la generación de 1, El paso siguiente en este desarrollo paralelo a lo que sucede en los enteros, es introducir el concepto de que un polinomio divide a otro,

DEFINICION. Si f ( x ) y g ( x ) # O E F l x ] , entonces se dice que g(x) divide a f( x ) ,expresado como g ( x )1 f( x ) ,sif ( x ) = a(x)g( x )para algún a ( x )E F [ x ] . Obskese que si g(x)1 f ( x ) ,entonces grd g(x) S grdf ( x )por el Lema 43.2. Obsérvese también que si g ( x )1 f ( x ) ,entonces los ideales ( f ( x ) )y ( g ( x ) )de F [ x ] generados , por f ( x )y g(x),respectivamente, satisfacen la relación de contenido (f( x ) ) C ( g ( x ) ) .(Pruébese.) Nuevamente se pone de relieve el paralelismo entre el anillo Z de los enteros y F [ x ]pasando al concepto de máximo común divisor. Para obtener cierta clase de unicidad, se exigirá que el máximo común divisor siempre sea un polinomio mónico.

DEFINICION. Se dice que el polinomio

d ( x )E F [ x ] es el máximo común divisor de f ( x ) ,g ( x ) E F [ x ][donde no son a la vez f ( x ) = O y g ( x ) = O] si d ( x ) es un polinomio mónico tal que: (a) d ( x )I f ( x ) Y d ( x )lg(x). ( b ) Si h(x)lf ( x ) y h(x)Ig(x),entonces h(x)ld(x). Aunque definimos el máximo común divisor de dos polinomios, no sabemos, hasta ahora, que existe, ni cuál puede ser su forma. Se podría haber definido de otra manera, equivalente, como elpolinomio mdnico de grado más alto que divide tanto af ( x )como a g(x). Si así se hiciera, su existencia sería automática, pero no se conocería su forma.

TEOREMA 4,5.7. Dados f ( x ) y g ( x ) # O en F [ x ] ,entonces su máximo común divisor d ( x )E F [ x ]existe; además, d ( x ) = a ( x )f ( x ) + b(x)g(x)para ciertos a(x), b ( x ) E F [ x ] .

DEMoSTRACI~N.Sea Z el conjunto de todos los r ( x )f ( x ) + s(x)g(x)cuando r ( x ) ,S ( X ) varían libremente en F [ x ] .Afirmamos que Z es un ideal de R. Se tiene que

así que de nuevo está en 1, y para t { x ) E F [x],

158

CAP~TULO 4

a

ANILLOS

por lo tanto este también está en I. De esta manera I e s un ideal de F [ x ] .Dado que g(x) f O, se sabe que I f O, ya que ambos f ( x )y g ( x ) están en I. Puesto que I # O es un ideal de F [ x ] es , generado por un polinomio rno'nico único d ( x )(Teorema 4.5.6). Dado que f ( x ) ,g(x) están en 1, entonces deben ser múltiples de d ( x ) por elementos de F [ x ] .Esto asegura que d ( x )1 f ( x )y d ( x )lglx). Como d ( x ) E l e I e s el conjunto de todos los r ( x )f ( x ) + s(x)g(x),se tiene que d ( x ) = a(x)f ( x ) + b(x)g(x)para ciertos a ( x ) ,b ( x )E F [ x ]apropiados. De esta manera si h ( x )1f ( x ) y h ( x )lg(x), entonces h ( x )1 ( a ( x f) ( x ) + b(x)g(x))= d(x),Por lo tanto d(x)es el máximo común divisor def ( x )y g(x). Lo anterior prueba el teorema; la unicidad de d ( x )se garantiza por la condición impuesta de que el máximo común divisor sea mónico. Otra manera de ver la unicidad de d ( x ) es por medio del

LEMA 4.5.8. Si f ( x ) # O, g(x) # O están en F [ X ] y f ( x ) l g ( x ) y g(x)1 f ( x ) ,entonces f ( x ) = ag(x),donde a E F. DEMOSTRAGION.Por la condición de divisibilidad mutua de f ( x )y g(x) se tiene, por el Lema 4.5.2, grd f ( x ) c grdg(x) S grd f ( x ) , de manera que grd f ( x ) = grd g ( x ) . Pero f ( x ) = a(x)g(x),por lo tanto grd f ( x ) = grdafx) por consiguiente grd a(x)

-

+

grdg(x) = grdatx)

+

grdf(x),

O, de modo que a(x) = a, un elemento de F.

Se deja al lector la demostración de la unicidad del máximo común divisor por medio del Lema 4.5.8.

DEFINICION.Se dice

que dos polinomios f ( x ) , g(x) en F [ x ] son primos enfre sí si su máximo común divisor es 1. Aunque el siguiente es simplemente un caso muy especial del Teorema 4.5.7, para ponerlo en relieve y tenerlo de referencia, formulamos:

TEOREMA 4.5.9. Si f ( x ) , g(x) E F [ x ] son relativamente primos, entonces a ( x )f ( x ) + b(x)g(x)= 1 para ciertos a(x),b ( x )E F[xj.A la inversa, si a ( x )f ( x ) i- h(x)g(x)= 1 para ciertos a(x),b ( x )E F fx], entonces f ( x )y g(x) son primos entre si. DEMOSTRAC~~N. Esta última parte se deja al lector como ejercicio. Como con los enteras, se tiene

TEOREMA 4.5.1 Q. Tenemos que, si q ( x )y f ( x )son primos entre sí Y si 9 ( x )l f ( x ) g ( x ) entonces , q ( x )lg(x).

159

4 5 * Anillos de polinomios

DEMOSTRAGION. Por el Teorema 4.5.9~ ( xf)(x) a(x), b(x) E F [x]. Por lo tanto,

+ b(x)q(x)

=

1 para ciertos

Puesto que q(x) 1 b(x)g(x)q(x) y q(x) 1 f (x)g(x) por hipótesis, q(x) divide al primer miembro de la relaci0n (1). Por consiguiente, q(x) divide al segundo miembro de (l), es decir, q(x)lg(x), que es la conclusi0n deseada. Estamos ahora preparados para destacar la importante clase de polinomios que desempeñarán el mismo papel como objetos primos en F [ x ] que desempeñaron los números primos en Z.

DEFINIGION. Un polinomio p ( x ) E F [ x ] de grado positivo es irreducible en F I x ] si, dado cualquier polinomio f (x) en F [ x ] ,entonces ya sea que p ( x ) Jf (x) o bien p(x) es primo respecto a f (x). Resulta inmediato que si p ( x ) es irreducible en F 1x1, entoncesp(x) no puede ser factorizado de una manera no trivial en FIx]. Dicho en otras palabras, si p ( x ) = a(x)b(x), donde a t x ) y b(x) están en F l x ] , entonces una de dos, a(x) es una constante o bien b(x) es una constante (constante = elemento de F). Obsérvese que la irreducibilidad de un polinomio depende del campo F. Por ejemplo, el polinomio xZ- 2 es irreducible en Q [ x ] , donde Q es el campo de los números racionales; pero x 2 - 2 no es irreducible en R [x], donde W es el campo de los números reales, ya que en W 1x1

COROLARIO DEL TEOREMA 4.5.10. Si p(x) es irreducible en F [ x ] y p ( x ) 1 a,(x)az(x) - aA(x),donde a,(x), . . . , aA(x)están en F [x], entonces p(x)la,(x) para algún i,

DEMOSTRACI~N. Se deja al lector. (Véase el Teorema 1.5.6.)

a

Además de sus otras propiedades, un polinomio irreducible p ( x ) en F [x] goza de la propiedad de que ( p ( x ) ) ,el ideal generado por p ( x ) en F [x], es un ideal máximo de F [ x ] . Se prueba esto en seguida.

f EOREMA 4.5.11. Si p ( x ) E F [ x ] ,entonces el ideal ( p ( x ) ) generado por p(x) en F [ x ] es un ideal máximo de F [ x ] si y sólo si p ( x ) es irreducible en F[x]. DEMOSTRAGI~N. Se prueba primero que si p(x) es irreducible en F [x], entonces el ideal M = ( p ( x ) ) es un ideal máximo de F[x]. Para tal fin, supdngase que N es un ideal de F [ x ] y N > M. Por el Teorema 4.5.6, N

=

(f (x))

para algun

f (x) E F [x],

4 60

CAP~ULO 4

ANILLOS

Comop(x) E M c N, p ( x ) = a ( x )f ( x ) ,ya que todo elemento de Nes de esta forma. Pero p ( x ) es irreducible en F [ x ] ,por consiguiente a ( x ) es constante o f ( x ) es constante. Si a ( x ) = a E F, entonces p ( x ) = a f ( x ) , así que f ( x ) = a-'p(x), por lo tanto f ( x ) E M , lo cual indica que N C M, por consiguiente N = M. Por otra parte, si f ( x ) = b E F, entonces 1 = b-'b E N es un ideal de F [ x ] ,así que g (x)l E N para todo g(x) E F [ x ] .Esto señala que N = F [ x ] . Por lo tanto, se ha demostrado que M es un ideal máximo de F l x ] . Por otra parte, supóngase que M = ( p ( x ) )es un ideal máximo de F [ x j . Si p ( x ) no es irreducible, entonces p ( x ) = a ( x ) b ( x ) ,donde grda(x) 2 1 , grd b ( x ) 2 1 . Sea N = ( a ( - ) ) ; entonces, dado que p ( x ) = a ( x ) b ( x ) ,p ( x ) E N. Por lo tanto, M c N. Puesto que grda(x) 1 1 , N = ( a ( x ) )# F t x ] , ya que todo elemento de ( a ( x ) )tiene grado al menos igual al de a ( x ) . Por ser M un ideal máximo, se concluye que M = N. Pero entonces a ( x ) E N = M, lo cual indica que a ( x ) = f ( x ) p ( x ) ; combinado con p ( x ) = a ( x ) b ( x ) = b ( x )f ( x ) p ( x ) , se obtiene que b ( x )f ( x ) = 1 . Puesto que grd 1 = 0 < grd b ( x ) S grd ( b ( x )f ( x ) ) = grd 1 = O, se ha arribado a una contradicción. Por consiguiente, p ( x ) es irreducible.

Este teorema es importante porque indica exactamente cuáles son los ideales máximos de F 1x1, a saber, 10s ideales generados por los polinomios irreducibles. Si M es un ideal máximo de F f x ] ,F [ x ] / Mes un campo y éste contiene a F (o en forma más precisa, el campo { a + Mla E F ) , que es isomorfo a F). Esto permite construir campos '~ecentes"K fi: F, cuya decencia radica en que p ( x ) tiene una raíz en K.La formulación exacta y la explicación de esto se posponen hasta el Capítulo 5 . El último tema que deseamos estudiar en esta direccidn es la factorización de un polinomio dado como un producto de polinomios irreducibles. Obsérvese que si p ( x ) = a$" + a,xn-' + - + a,-,x + a,, a. # O , es irreducible en F [ x ] ,entonces también a r t p ( x )es irreducible en F [xj; sin embargo, a c l p ( x ) tiene la ventaja de ser msnico. De manera que este polínomio irreducible mónico es obtenible trivialmente del mismo p ( x ) , lo cual permitirá hacer más precisa la parte de unicidad del siguiente teorema.

TEOREMA 4.5.4 2, Seaf ( x ) E F [ x ]de grado positivo. Entonces f ( x ) es irreducible en F [ x ] o bien f ( x )es el producto de polinomios irreducibles en F [ x j . En efecto, se tiene entonces que

donde a es el coeficiente de la potencia más alta de f ( x ) ,p,(x), . . . , p,(x) son mónicos e irreducibles en F [x], m, > O, . . .,mk > O y dicha factorización en tal forma es única excepto por el orden de los pi(x).

DEMOSTRACI~N. Se demuestra primero que f ( x ) es irreducible o eI producto

4 64

4 5 * Anillos de polinom~os

de irreducibles. El razonamiento es exactamente el mismo del Teorema 1.5.7, con un ligero ajuste obvio. Se procede por inducción en grd f ( x ) . Si grdf ( x ) = 1 , entonces f ( x ) = ax + b con a # 0, que es evidentemente irreducible en F [ x ] .De manera que el resultado es cierto en este caso. Supóngase ahora que el teorema es válido para todo a ( x ) E F [ x ] tal que grd a ( x ) < grd f ( x ) . Si f ( x ) es irreducible, entonces no se tiene que probar nada. De lo contrario, f ( x ) = a ( x ) b ( x ) ,a ( x ) y b ( x ) E F [xj y grd a ( x ) < grd f ( x ) y grd b ( x ) < grd f (x). Por la hipótesis de inducción, a ( x ) [y b ( x ) ] es irreducible o es el producto de irreducibles. Pero entonces f ( x )es el producto de polinomios irreducibles en F [ x ] .Esto completa la inducción y por lo tanto prueba la primera parte del teorema. Ahora la unicidad. Nuevamente se procede por inducción en grd f (x). Si grd f ( x ) = 1 , entonces f ( x ) es irreducible y la unicidad es evidente. SupOngase que el resultado es cierto para polinomios de grado menor que g r d f ( x ) Y que

donde los p,(x) y q , ( x ) son polinomios irreducibles mónicos y los m,, n, son todos positivos y a es el coeficiente de la potencia más alta de f ( x ) .Puesto que p , ( x )1 f ( x ) , se tiene que p l ( x )1 q,(x)"l . q,(x)"., de manera que por el corolario del Teorema 4.5.1 1, p, ( x )) q,( x ) para algun i. Dado que q,( x ) es mónico e irreducible, al igual que p l ( x ) , se obtiene p l ( x ) = g , ( x ) . Se puede suponer (renumerando) que p , ( x ) = q , ( x ) . Por consiguiente

Par la hipótesis de inducción se tiene factorización única en la forma requerida para f ( x ) / p , ( x ) ,cuyo grado es menor que grd f ( x ) , Por lo tanto se obtiene que m , - 1 = n,- 1 (de modo que m, = n , ) , m l = n2, ..., mk = nki r = k y p2(x) = q 2 ( ~ ) -, . ., pk(x) = q k ( x ) , renumerando los q apropiadamente. Esto completa la inducción y prueba el teorema.

m

Se ha hecho notar cuan semejante es la situación de los enteros Z y el anillo de polinomios FIx]. Esto sugiere que debe haber una clase mas amplía de anillos, de la cual los dos ejemplos Z y F [ x ] son casos especiales, para los que gran parte de la argumentación es válida. Fue válida para Z y F [ x ]porque en estos anillos se tenia una medida de magnitud, ya sea por el tamaño de un entero o el grado de un polinomio. Dicha medida de magnitud fue tal que permitid la validez de un algoritmo de tipo euclidiano. Lo anterior conduce a definir una clase de anillos, los anillos euclidianos.

DEFINICION.Un dominio integral R es un anillo euclidiano si existe una función d de los elementos distintos de cero de R a los enteros no negativos que satisface: (a) Para a # O, b # O E R, d(a) r d(ab). (b) Dados a # O, b # O, existen q y r E R tales que b = qa + r, donde r = O o d(r) e d(a). El lector interesado debe tratar de ver cuáles de los resultados probados para anillos de polínomios (y los enteros) son válidos en un anillo euclidiano general. Aparte de unos cuantos problemas en los que intervienen anillos euelidianos, no estudiaremos más a fondo esta clase interesante de anillos. El comentario final que se hace aquí es que lo que se realizó con los polinomios sobre un campo se podría intentar llevarlo a cabo con polinomios sobre un anillo arbitrario. Es decir, dado cualquier anillo R (conmutativo o no), se podría definir el anillo de polinomios R [x] en x sobre R definiendo igualdad, adición y multiplicación exactamente como se hizo en F [x], para un campo F. El anillo así construido, R [x], es un anillo muy interesante, cuya estructura esta estrechamente enlazada con la del mismo R. Sería demasiado esperar que todos, o siquiera algunos, de los teoremas demostrados en esta sección se mantuvieran válidos en R [x] para un anillo general R .

PROBLEMAS 4.5 En los siguientes problemas, F siempre denotará un campo.

1. Si F es un campo, demuéstrese que los únicos elementos invertibles en F [x] son los elementos distintos de cero de F. 2. Si R es un anillo y R [ x ] es el anillo de polinomios en x sobre R, definiendo grd f (x) para f (x) E R [x] como se hizo en F[x], demuéstrese que: (al grd (f(xlg(x)) 5 grdf (x) + grdg(x) si f (x)g(xl f 0. (b) Existe un anillo conmutativo R de tal modo que se pueden encontrar f (x), g(x) en R 1x1 con ( f (x)g(x)) < grdf (x) + grd g o l .

3. Encuéntrese el máximo común divisor de los siguientes polinomios sobre Q, el campo de los números racionales. (a) x3 - 6x 7 y x + 4. (b) x2 - 1 y 2x7 - 4x5 + 2. (e) 3x2 + l y x 6 + x4 + X 1. (d)x3-1yx7-x4 + x3-1.

+

+

4. Pruébese el Lema 4.5.3. S. Relativo al Problema 3, sea I = f (x)a(x)

+

g(x)b(x), donde f (x), g(x)

45

e

Anillos d e polinomios

163

recorren Q [xj y a ( x )es el primer polinomio y b ( x )el segundo de cada inciso del problema. Encuéntrese d(x),de tal manera que I = ( d ( x ) )para las partes (a), (b), (c) y ( 4 .

6. Si g ( x ) ,f ( x )E F[xI Y g ( x )If( x ) , demuéstrese que

( f ( x ) )C ( g ( x ) ) .

7. Pruébese la unicidad del máximo común divisor de dos polinomios en F [ x ] aplicando el Lema 4.5.8.

8. Si f ( x ) ,g(x) E F [ x ]son primos entre sí y f ( x )1 h ( x ) y g(x)1 h ( x ) ,demuéstrese que f (x)g( x )1 h (x). 9. Pruébese el corolario del Teorema 4.5.10. 10. Demuéstrese que los polinomios siguientes son irreducibles sobre el campo F indicado. (a) x2 + 7 sobre F = campo de los reales = R . (b)x3 - 3x + 3 sobre F = campo de los racionales = Q. (c) x2 + x + 1 sobre F = Z2. ( d ) x2 + 1 sobre F = Z,,. (e) x3 - 9 sobre F = Z,,. ( f ) x% 2x2 + 2 sobre F = Q. 11. Si p ( x ) E F [ x ] es de grado 3 y p ( x ) = a g 3 + alx2 i-a2x + a,, demuestrese que p ( x ) es irreducible sobre F si no hay ningún elemento r E F tal que p ( r ) = aor3+ a,r2 + a2r + a3 = 0.

12. Si F C K son dos campos y f ( x ) ,g(x) E F [ x ]son relativamente primos en F [ x ] ,demuéstrese que son primos entre sí en K [ x ] . PROBLEMAS INTERMEDIOS

13. Sea R el campo de los números reales y e el de los números complejos. Demuéstrese que B B [ x ] / (+x ~1) = C . [Sugerencia: Si A = R [ x ] / ( x 2+ l), sea u la imagen de x en A ; demuéstrese que todo elemento de A es de la forma a + bu, donde a, b E R y u2 = -1.1

-

14. Sea F Z,,, el campo de los enteros mód 11. (a) Sea p ( x ) = x2 + 1 ; demuéstrese quep(x)es irreducible en Fix] y que F [ x ] / ( p ( x )es ) un campo que consta de 121 elementos. (b) Sea p ( x ) = x3 + x + 4 E F [ x ] ;demuéstrese que p ( x ) es irreducible en F [ x ]y que F [ x ] / ( p ( x )es) un campo que consta de 11' elementos.

15. Sea F = Z, el campo de los enteros módp, donde p es primo, y sea g ( x ) E F [ x ]irreducible de grado n. Demuéstrese que ~ [ x ] / ( q ( xes) )un campo que consta a lo sumo de p" elementos. (Véase el Problema 16 para una formulación más precisa.) 16. Sean F, q ( x )como en el Problema 15; demuéstrese que F [ x ] / ( q ( x )tiene ) exactamente p" elementos.

164

GAP~TULO 4

e

ANILLOS

17. Sean p,(x), p2(x), . . . , pk(x) f F [ x ] polinomios irreducibles distintos y q ( x ) p,(x)p;?(x) p,(x), Demuéstrese que

-

18. Sea F un campo finito. Demuéstrese que F [ x ]contiene polinomios irreducibles de grado arbitrariamente alto. (Sugerencia:Trátese de imitar la demostración de Euclides de que existe una infinidad de números primos,) 19. Constrúyase un campo que conste de p 2 elementos, siendo p un primo impar.

20. Si R es un anillo euclidiano, demuéstrese que todo ideal de R es principal. 21. Si R es un anillo euclidiano, demuéstrese que R tiene elemento unidad. 22. Sí R es e1 anillo de los enteros pares, demuéstrese que el algoritmo de Euclides es falso en R exhibiendo dos enteros pares para los cuales no sea válido el algoritmo.

23. Sean F = Z, y p ( x ) = x3 - 2 y q ( x ) = x3 + 2 en F [ x ]. Demostrar que p ( x ) y q ( x ) son irreducibles en F [ x ] y que los campos F [ x ] / ( p ( x ) )y F [ x ] / ( q( x ) ) son isomorfos. 24. Sean Q el campo de los números racionales, y q ( x ) = x2 + x + 1 en Q [ x ] . Si a es un número complejo tal que a 2 + u! + l = 0, demuéstrese que el conjunto { a + ba 1 a, b E Q )es un campo de dos formas: primero demostrando que es isomorfo a algo que el lector conozca que es un campo y en segundo lugar demostrando que si a + bcu Z O, entonces su inverso es de la misma forma.

25. Si p es prima, demuéstrese que q ( x ) = 1 ducible en Q [ x ] .

+ x + x2 + - . . xP-'

es irre-

26. Sea R un anillo conmutativo en el cual a 2 = O sólo si a = O . Demuéstrese que si q ( x ) E R [ x ] es un divisor de cero en R [ x ] , entonces, si q ( x ) = a&"

+

alxn-'

+

+ a,,,

existe un elemento b # O en R tal que bao = bal

=

-

bu, = O .

27. Sea R un anillo e I un ideal de R. Si R [ x ] e I [ x ] son los anillos de polinomios en x sobre R e I, respectivamente, demuestrese que: (a) I [ x ] es un ideal de R [ x ] . (b) R [ x ] / l [ x ]= ( R / l ) [ x ] .

4 65

4 6 * Pol~nomiossobre los racionales

PROBLEMASMUY DIF~CILES 28. Resuélvase el Problema 26 aun si la condición ' k 2= O sólo si a = O" no

es válida en R. 29, Sea R = { a + bifa, b enteros) c C . Sea d ( a + bi) = a2 + b'. Demuestrese que R es un anillo euclidiano con esta d como su funciun euclidiana requerida. ( R se conoce como el anillo de los enteros gaussinnos y desempeña un papel importante en la teoría de los números.)

4.6 POLINOMIOSSOBRE LOS RACIONALES --

En la consideración que se hizo del anillo de polinomios F [ x ]sobre un campo F, nunca apareció. en escena la naturaleza particular de F. Todos los resultados son válidos para campos arbitrarios. Sin embargo, existen otros resultados que hacen uso de1 carácter explícito de ciertos campos. Uno de tales campos es el de los números racionales. Se presentarán dos teoremas importantes para Q [ x ] ,el anillo de polinomios sobre el campo racional Q. Estos resultados dependen profundamente del hecho de que se está tratando con números racionales. El primero de ellos, llamado lema de Gauss, relaciona la factorización sobre los racionales con la factorizaciOn sobre los enteros. El segundo, conocido como el criterio de Eisenstein, proporciona un método para construir polinomios irreducibles de grado arbitrario, a voluntad, en Q [ x ] .En este caso e1 campo I)es sumamente especial. Por ejemplo, no existe ningún algoritmo sencillo para obtener polinomios irreducibles de grado arbitrario n sobre el campo 2, de los enteros módp, p primo. Aun sobre Z2 no existe tal algoritmo; sería sumamente útil tenerlo, especialmente para la teoría de códigos. Pero, hasta ahora, no existe. Se inicia la consideración con dos resultados sencillos.

LEMA 4.6.4. Sea f ( x ) E Q 1x1; entonces

f(x)

+

U (aoxn = -

rn

arxn-'

+

-- +

a,)

donde u, m, ao, . . . , a, son enteros y los a,, a,, . . . , a, no tienen factor común mayor que 1 (es decir, son relativamente primos) y (u, m ) = l .

DEMOSTRACI~N. Puesto que f ( x ) E I)1x1, f ( x ) = qoxn + q,xfl-' + . . . + q,,>donde los q, son números racionales. Así que para i = O, 1, 2, . . . , n , q, = b,/c,, donde b,, c, son enteros. Por consiguiente

166

GAP~TULO 4

e

ANILLOS

eliminando denominadores se obtiene

donde los u, son enteros. Si w es el máximo común divisor de u,, u,, . . ., u,, entonces cada u, = wa,, donde ao, a,, . . ., a, son enteros primos entre sí. Entonces

f(x)

W

=

c,c,c2

.

c,

(a@

+ Q~X"-'+

cancelando el máximo factor común de w y c,c, u (a& f (x) = m

+ -- +

+ a,);

- . c,

se obtiene

a,),

donde u, m son enteros primos entre si, como se afirma en el lema.

El siguiente resultado se refiere a una imagen homomorfa particular de R [ x ] para cualquier anillo R.

LEMA 4.6.2. Si R es cualquier anillo e I un ideal de R, entonces I [ x ] , el anillo de polinomios en x sobre 1, es un ideal de R [ x ] .Además, R [ x ] / I[xf 2: ( R / i ) [ x ] ,el anillo de polinomios en x sobre R / I . DEMOSTRACI~N. Sea R = R/I; entonces existe un homomorfismo p : R R, yt ( a ) = a + I , cuyo núcleo es 1. Defínase á, ; R [ x ] R [ x ]por: Si +

definido por

+ alx4-' +

f ( x ) = a&" entonces

-

@(f(x))

p(a,)xn

+

p(al)xn-]

- - a,,

+

. e .

-t.

cp(a,).

.:,

Se deja al lector probar que @ es un homomorfismo de R [ x ] sobre 2 [ x ] . ¿Cuál es el núcleo, K ( @ ) , de @? Si f ( x ) = a$" + . - + a, está en K ( + ) , entonces @( f ( x ) ) = O, el elemento O de R [ x ] .Puesto que e

@(f ( x ) )

=

p(ao)xn + ~ ( U ~ ) X+" -. ~ + @ ( a n )= 0,

cada coeficiente cp(ao) = O, p(a,) = 0, . . . , p(a,) = 0, por la propia definición de lo que significa el polinornio cero en un anillo de polinomios. De manera que cada a, está en el núcleo de rp, el cual sucede que es I. Como a,, a,, . . ., - + a, está en I [ x ] .Por lo tanto a, están en I , f ( x ) a&xn + alxn-' -t K ( + ) C I [ x ] .E1 hecho de que I [xl C K ( @ )es inmediato a partir de la definición de la aplicación cP. Por consiguiente I [ x ]= K ( @ ) .Por el primer teorema de homomorfismos (Teorema 4.3.3), el anillo 11x1 es entonces un ideal de R [ x ]

-

167

Polinomios sobre los racionales

46

y R [ x ] = R [x]/K(CP)= R [ x ] / I [ x ]Esto . prueba el lema, teníendo presente que R = R / I . U Como un caso muy especial del lema se tiene el

COROLARIO. Sea Z el anillo de los enteros, p un número primo en Z e I = (p), el ideal de Z generado por p. Entonces Z [ x ] / I [ x= ] Z,fx]. DEMOSTRAGI~N. Puesto que Z, = Z / I , el corolario resulta aplicando el lema ~ R = z .U

Todo está listo para probar el primero de los dos resultados importantes procurados en esta sección. TEOREMA 4.6.3 (LEMA DE GAUSS). Si f ( x )E Z [ x ]es un polinomio monico y f ( x ) = a(x)b(x),donde a ( x )y b ( x )están en Q [ x], entonces f ( x ) = a,(x)b,(x),donde a,(x), b,(x) son polinomios mónicos en Z [ x ]y grd a l ( x )= grd a(x),grd b,(x) = grd b(x). DEMOSTRAC~~N. Supóngase que f ( x ) = xn + u1xn-' + . i- U,, donde los u, E Z son enteros. Como a(x)y b ( x )están en Q [ x ] a(x) , = a&s + aixV-' - . . i- a, y b ( x ) = b ~ +' b,xr-' + . - - + b,, donde los a, y b, son números racionales. Por el Lema 4.6.1,

+

donde a;, a;, . . ., a; son enteros primos entre sí y

donde 66, b;, . . . , b; son primos entre sí. Por consiguiente

u1 u2 a,(x)b,( x ) = v Q f ( x ) = a ( x )b (x) = ---

m1 m2

I X ~( Ix ) ,

W

donde v y w son primos entre sí, cancelando el factor común de u,u7 y rn,m2.Por lo tanto, w f ( x ) = va,(x)b,(x),y f ( x ) ,a,(x),b,(x)están todos en

[xl Si w = 1, entonces, dado que f ( x )es mónico, se obtiene que vaób; = 1 y esto conduce fácilmente a v = 1, a; = bó = 1* y de esta manera f ( x ) =

a,(x)b,(x),donde ambos a,(x)y b,(x)son polinomios mónicos con coeficientes

+

U& =

f (x) =

bó = -1 también es posible en cuyo caso -a, ( x ) ,- b , ( . ~ }son polinomios nionicos 5 ( - a , (x))(-b, lx)).

168

CAP¡TULO4

e

ANILLOS

enteros. Esto es precisamente lo que afirma el teorema, puesto que grd a , ( x ) = grd a ( x ) y grd b l ( x ) = grd b ( x ) . Supóngase Iuego que w # 1;entonces existe un primo p tal que p 1 w y, dado que ( v , w) = 1 , p $ v . Además, puesto que los coeficientes a;, a;, . . ., a; de n , ( x ) son primos entre si, existe un i tal que p 4 a:; de manera semejante, existe un j tal que p 4 b;. Sea I = ( p ) el ideal generado por p en 2; entonces Z/I Z, y, por el corolario del Lema 4.6.2, Z [ x ] / I[ x ] 2, [ x ], así que es un dominio integral. Sin embargo, puesto que pl w , W,la imagen de w en Z [ x ) / I[ x ] ,es O , y puesto que p 4 v , Y , la imagen de v en Z [ x ] / I[ x ], no es O. De esta manera Of ( x ) = % , ( x ) b l ( x ) ,donde -r, # O y a , ( x ) # O, b , ( x ) # O ya que p 4 a; y p ) 6; para los i, j dados anteriormente. Esto contradice que Z [ x ] / I[ x ]es un dominio integral. Por lo tanto, w f 1 no es posible y se prueba el teorema. Podría ser instructivo para el lector tratar de demostrar directamente que si x3 + 6x - 7 es el producto de dos polinomios con coeficientes racionales, entonces es ya el producto de dos polinomios mónicos con coeficientes enteros.

-

-

Se debe decir algo respecto a C. F. Gauss (1777-1855), considerado por muchos ei más grande matemático de todos los tiempos. Suf contribuciones en fa teoría de los numeras, ufgebra,geometrrá, y otras, san de proporciones gigantescus. Las corrtíspondientes en fisica y astronomía son también de tal proporción que es consíderudo por los físicos como uno de ¿os grandes y por los astróntlmos como uno de los más importantes del pasado.

Como se indicó al principio de esta sección, los polinomios irreducibles de grado n sobre un campo dado Fpueden ser muy difíciles de obtener. Sin embargo, sobre los racionales, debido al siguiente teorema, dichos polinomíos existen en abundancia y son muy faciles de construir. Sea f ( x ) = xn + + . . - + a, un polinomio con coeficientes enteros. Supóngase que existe algún primo p tal que pla,, p J a 2 ,. . .,pl a,, pero p 2 $ , a , . Entonces f ( x ) es irreducible en Q [xj ,

TEOREMA 4.6.4 [CRITERIO DE EISENSTEIN).

DEMOSTRACI~N. Supóngase que f ( x ) = u ( x ) v ( x ) ,donde u ( x ) , v ( x ) son de grado positivo y son polinomios en Q 1x1. Por el lema de Causs se puede suponer que tanto u ( x ) como v ( x ) son polinomios mónicos con coeficiente entero. Sea I = ( p )el ideal generado por p en Z y considerese S [ x ] / l [ x ]que , es un dominio integral, ya que por el corolario del Lema 4.6.2 se sabe que Z [ x ] /I [ x ] = ( Z / d ) [ x ] = Z , [ x ] . La imagen de f ( x ) = xn + alxn-' + + a, en 2 [ x ] / l [ x ]es x', puesto que p J a , , . . . , plan. De manera que si Ü ( x ) es la imagen de u ( x ) y $ ( x )la de v ( x ) en Z [ x ] / I[ x ] ,entonces xn = u(x)G(x).Dado que Ü ( x )1xn, V(x)1 xn en Z [ x ] / I[ x ] ,se debe tener que ii ( x ) = x', G ( x ) = xn-" para algún 1 < r < n. Pero entonces u ( x ) = xr + p g ( x ) y v ( x ) = xn-' + ph ( x ) , donde g ( x ) y h (x) son polinomios con coeficientes enteros. Puesto que u ( x ) v ( x ) = xn -t pxrIZ(x) ipxn-'g(x) + p 2 g ( x ) h ( x ) , y 1 < r < n, el

46

Polinomios sobre ¡os rac~onales

469

término constante de u ( x ) v ( x )es p2st, donde s es el término constante de g ( x ) y t el término constante de h ( x ) . Como f ( x ) = u ( x ) v ( x ) ,sus términos constantes son iguales, por consiguiente a, = p2st. Dado que s y t son enteros, se obtiene que p2 a,, que es una contradicción. De esta manera se ve que f ( x ) es irreducible.

d

Se dan algunos ejemplos de la aplicación que se le puede dar al criterio de Eisenstein. 1. Sea f ( x ) = x" - p, p cualquier primo. A simple vista se ve que f ( x ) es irreducible en Q [ x ] ,ya que es aplicable el criterio de Eisenstein. 2. Sea f ( x ) = x5 - 4x + 22. Puesto que 2 1 22, 22 k 22 y 2 divide a los otros coeficientes pertinentes de f ( x ) , el criterio de Eisenstein indica que f ( x ) es irreducible en Q [ x ] .

3. Sea f ( x ) = x'l - 6x4 + 12x3 + 36 - 6. Se ve que f ( x ) es irreducible en Q [ x ] utilizando bien sea 2 o 3 para verificar las condiciones del criterio de Eisenstein.

4. Sea f ( x ) = 5x4 - 7 x + 7 ;f ( x ) no es mónico, pero se puede modificar levemente para quedar en posición de poder aplicar el criterio de Eisenstein. Sea

si se hace y = 5x, entonces g ( x ) = h ( y ) = y 4 - 175y + 875. El polinomio & ( y ) es irreducible en Z [y] utilizando el primo 7 y aplicando el criterio de Eisenstein. La irreducibilidad de h ( y ) implica la de g ( x ) , y por lo tanto la de f ( x ) , en Q Ixl. Lo anterior sugiere una ligera generalización del criterio de Eisenstein a polinomios no mónicos. (Véase el Problema 4.)

-

5. Sea f ( x ) x4 + x3 + x 2 + x + 1 ; tal como está, no se puede, desde luego, aplicar el criterio de Eisenstein a f ( x ) .Se pasa a un polinomio g ( x ) estrechamente relacionado a f ( x ) ,cuya irreducibilidad en Q [ x ] asegurara la de f ( x ) . Sea g ( x ) = f ( x + 1 ) = ( x + 1 ) 4 + ( X -+ 1 ) 3 + ( X + 1 ) 2 + ( x + 1 ) + 1 = x4 + 5x3 + 10x2 + 10x + 5. El criterio de Eisenstein se aplica a g ( x ) , empleando el primo 5; de esta manera g ( x ) es irreducíble en Q [ x ] .Esto implica que f ( x ) es irreducible en Q 1x1. (Véase el Problema 1 .) Gotthold Eisenstein 11823-1852)en su breve vida realizd contribuciones fundamentales en áigebru y análisis.

1. Relativo al Ejemplo 5, demuestrese que debido a que g ( x ) es irreducible en Q [ x ] , entonces f ( x ) también lo es.

2. Pruébese que f ( x ) = x3

+

3x

+ 2 es irreducible en & [ x ] .

3. Demuéstrese que existe una infinidad de enteros a tales que f ( x ) = x7 + 15x2 - 3Ox + a es irreducible en Q 1x1, ¿Cuáles valores de a sugiere el lector?

4. Pruébese la siguiente generalización del criterio de Eisenstein. Sea f ( x ) = + a, con coeficientes enteros y supóngase que existe a&" + a,xB-' + un primo p tal que P t ao, la,, pla2, . . ., la,-,, plan, pero p2 4 a,; entonces f ( x ) es irreducible en Q [ x ] . 5, Si p es primo, demuéstrese que f ( x ) =

xP-l

+ XP-~ + -

.

+

x

+

1 es

irreducible en Q 1x1.

6. Sea F un campo y p un automorfismo de F [x] tal qiie p ( a ) = a para todo a E F. Si f ( x ) E: F [ x ] ,pruébese que f ( x ) es irreducible en F [ x ] si y sólo si g ( x ) = u,( f ( x ) ) es irreducible. 7. Sea F un campo. Defínase la aplicación

para todo f ( x ) E F l x ] , Pruébese que p es un automorfismo de F [ x ] tal que p(a) = a para todo a E F.

8. Sea F un campo y b # O un elemento de F. Defínase la aplicación p :F [ x ] -, F l x ] por medio de v,( f ( x ) ) = f ( b x )para todo f ( x ) E F [ x ] .Pruébese que p es un automorfismo de F [ x ] tal que u,(a) = a para todo a E F. 9, Sea F un campo, b # O , c elementos de F. Defínase la aplicación p : F [ x ] -, F [ x ]por medio de u, ( f ( x ) ) E f (bx + c ) para todo f ( x ) E F [ x ] .Pruébese que p es un automorfismo de F f x ] tal que @ ( a )= a para todo a E F.

10. Sea v, un automorfismo de F [ x ] ,donde F es un campo, tal que p ( a ) = a para todo a E F. Pruébese que si f ( x ) E R [ x ] , entonces grd p( f ( x ) ) = grdf ( x ) . 11. Sea u, un automorfismo de F [ x ] ,donde F es un campo, tal que p(a) = a para todo a E F, Pruébese que existe b # O , c en F tal que p C f ( x ) ) = f ( b x + c ) para todo f ( x ) f F [ x ] .

12. Encuéntrese iin automorfismo, que no sea el identidad, p2 sea el automorfismo identidad de Q [ x ] .


de Q [ x ] tal que

13. Demuéstrese que en relación al Problema 12 no se necesita la suposición p ( a ) = a para todo a E Q, ya que cualquier automorfismo de Q [ x ] automáticamente satisface y>(a) = a para todo a E Q. 14. Sea C el campo de los números complejos. Dado un entero n un automorfismo u, de C [ x ] de orden n.

r O, muéstrese

47

171

Campo de cocientes de un dominio integral

4.7 CAMPO DE COCIENTES DE UN DOMINIO INTEGRAL Dado el dominio integral Z , el anillo de los enteros, entonces está íntimamente relacionado a Z el campo Q de los números racionales que consiste de todas las fracciones formadas con enteros; es decír, todos los cocientes m / n , donde m, n f O están en Z. Observese que no hay una manera única de representar, digamos i, en Q ya que f = 4 = (-7)/(-14) = . . - . En otras palabras, se está identificando con 9 , (-7)/(-14), etcétera. Esto sugiere que lo que en realidad se presenta al construir los racionales a partir de los enteros es cierta relación de equivalencia en algún conjunto basado en los enteros. La relación de Q a Z se transporta a cualquier dominio integral D. Dado un dominio integral D,se construirá un campo F 3 D cuyos elementos serán cocientes a/b donde a , b # O E D. Se lleva a cabo su construcción formalmente. Sea D un dominio integral y S = ((a, b )1 a, b E D,b # O); de manera que S es el subconjunto de D x D -el producto cartesiano de D consigo mismoen el que no se permite que la segunda componente sea cero. Imagínese (a, b) como a/b por un momento; de ser así, ¿cuándo sería deseable establecer que (a, b) = (c, d)? Evidentemente esto se requeriría si a/b c/d, lo cual en el mismo D se convertiría en ad = bc. Siguiendo esta guía como orientación, se define una relación en S declarando:

-

-

(a, b )

- (c, d ) para (a, b), (e, d ) en S si y sólo si a d = bc.

Primero se afirma que esto define una relación de equivalencia en S . Se examinan los tres requisitos de una relación de equivalencia de uno por uno.

-

1. (a, b ) (a, b ) , ya que evidentemente ab = ba (puesto que D es conmutativo). Por lo tanto es reflexiva.

-

-

-

-

2. (a, b) (c, d ) implica que (e, d ) (a, b), ya que (a, b) (c, d) significa que ad = bc; para que (e, d ) (a, b) se requiere que cb = da, pero esto es cierto, puesto que cb = bc = ad = da. Por lo tanto es simétrica.

-

-

-

3. (a, b) (c, d ) y ( c , ci) (e, f)implica que ad = bc y cf = de, así que adf = bcf = bde; pero d it: O y se está trabajando en un dominio integral, por consiguiente resulta que af = be, Esto indica que (a, b) (e, f). Por lo tanto, la relación es transitiva.

-

Se ha demostrado que - define una reIaciÓn de equivalencia en S . Sea F el conjunto de todas Ias clases de equivalencia [a, b] de los elementos (a, b) E S . F es el campo requerido, Para demostrar que F es un campo, se le debe dotar con adición y multiplicación. Primero ¿cómo debe ser la adición? Olvidando toda la fantasía de la que se ha hablado respecto a relaciones de equivalencia y similares, lo que realmente se quiere es que [a, b] sea a/b. De ser así, qué más podría ser [a, b ] + [c, d ] sino la expresión formalmente calculada

Esto motiva definir [a, b]

+

[c, d ]

=

[ad

+ bc, bdj .

(1)

Observese que dado que b P O, d # O y D es un dominio, entonces bd # 0, por consiguiente [ad + bc, bd] es un elemento legítimo de F. Como de costumbre, se presenta el "tormento" de demostrar que la adición establecida en F está bien definida, En otras palabras, se debe probar que si [ a , b ] = [a', b'] y [c,d ] = [c', d ' ] , entonces [a, b ] + [c, d ] = [a', b ' ] + [ e " ,d ' ] . En virtud de ( 1 ) se debe demostrar entonces que [ad + be, bd] = [a'd' + b'c', b ' d ' ] , es decir, (ad + bc)b'di = bd(ald' c b'c'). Puesto que [a, b ] = [a', b ' ] y [c, d ] = [c', d ' ] , ab' = bu' y cd' = de< Por lo tanto, (ad + bc)bfd' = ab'dd' + bb'cd' = ba'dd' + bb'dc' = (a'd' + brc')bd, como se requería. De esta manera "+ " está bien definida en F. La clase [O, b ] , b # 0, actúa como el cero respecto a " + " y se le denota simplemente como O. La clase [-a, b ] es la negativa de [a, b ] . Es fácil ver que esto hace que F resulte ser un grupo abeliano, ya que todo lo que en realidad se necesita verificar es la ley asociativa, pero es laborioso. Se considera ahora la multiplicación en F. Una vez mas motivado por la consideración de [a, b ] como a/b, se define [a, b ] [c, d ] = [ac, b d ] .

(2)

Nuevamente como b # O, d # O, se tiene que bd P O, de manera que el elemento [ac, bd] es también un elemento legítimo de F. Al igual que para la adición "+ '?, se debe demostrar que el producto así introducido está bien definido; es decir, si [ a , b ] = [a', b ' ] ,[c, d ] = [c', d ' ] , entonces [ac, bd] = [a, b ] [c, d ]

=

[a'c', b ' d ' ] = [a', b'][e', d ' ] .

Se sabe que ab' = bary cd' = dc', de manera que acb'd' = ab'cd' = ba'dc' = bda'c', que es exactamente lo que se necesita para que [ac, bd] = [a'c', b'd' 1. Por consiguiente el producto está bien definido en F. ¿Cuál elemento actúa como unidad en F? Se dice que para cualesquier a # O, b # O en D, [a, a ] = [ b , b ] (puesto que ab = ba) y [c, d ] [a, a ] = [ca, da] = [e, d ] , ya que (ca)d = (da)c. Por lo tanto [a, a] actúa como la unidad 1 , y se expresa simplemente como 1 = [a, a ] (para todo a # O en D). Dado [u, bl # O, entonces a # O, así que [ b , a ] está en F; por consiguiente, como [ a , b ] [ b , a ] = [ab, ba] = [ab, ab] = 1 , [a, b ] tiene inverso en F. Todo lo que resta para demostrar que los elementos distintos de cero de F forman un grupo abeliano respecto a este producto, es la ley asociativa y la conmutativa. Esto se deja a1 lector.

4.7

*

173

Campo de cocientes de un dominio intearal

Para confirmar que F es un campo, ahora sOIo se requiere demostrar Ia ley distributiva. Pero [ad + bc, bd] [e,f ] = [ (ad + bc)e, b d f ] , así que

mientras que

=

[ae, b f ]

=

[(ade

= [ade

+

+

+

Ice, d f ] = [aedf

bce)f, b d f 2 ] = jade

+ bfce, b d f 2 ] + bce, b d f l f f , f l

bce, bdf J ,

lo cual se ha visto que es ( [ a , b ] + [c, d ] )[e,f 1. Queda ahora establecida la ley distributiva, por lo tanto F es un campo. Sea a # O un elemento fijo en D y considérese [da, a] para cualquier d f D. La aplicación p: d [da, a] = 0 , es un monomorfismo de D en F. Desde luego es inyectivo, ya que si p ( d ) =; [da, a ] = 0 , entonces da = 0, por lo tanto d = O, puesto que D es un dominio integral. Del mismo modo p(d,d2) = [d,d2a,a ] mientras que p(d1)
( i d l a , al

+ [d,a, al)

=

(Idla* + a2d2, a21)

así que @ ( d i+ d 2 ) = [ ( d , + d,)a, a ] = [d,a, a ] + [d2a, a ] = p ( d , ) + p(d2). Por consiguiente

TEOREMA 4.7.1. Dado un dominio integra1 D. Entonces existe un campo F 3 D que consiste de todas las fracciones alb, como se definió anteriormente, de elementos de D. El campo F se llama campo de cocientes de D. Si D = 2, entonces F es isomorfo al campo Q de los números racionales. Además, si D es el dominio de los enteros pares, entonces F también es todo el campo Q. Lo que se hizo anteriormente al construir el campo de cocientes de D fue una manera extensa, formal, prolija y probablemente monótona de realizar alga

174

CAP~TULO 4

ANILLOS

que por su naturaleza es muy sencillo. Realmente no se está haciendo nada mas que formar todas las fracciones formales a / b , a, b # O en D, donde se suman y multiplican fracciones como es usual. Sin embargo, a veces es necesario ver algo realizado hasta el último detalle, aunque pueda resultar penoso. La mayoría de nosotros nunca ha visto una construcción realmente formal y precisa de los números racionales a partir de los enteros. Ahora que se ha construido F a partir de D de esta manera foral, olvídense los datalles y considérese a Fcomo el conjunto de todas las fracciones de elementos de D.

PROBLEMAS 4.7 1. Demostrar la ley asociativa de la adicibn en F. 2. Demostrar la ley conmutativa de la adición en F.

3. Pruébese que el producto en F es conmutativo y asociativo. 4. Si K es cualquier campo que contiene a D, demuéstrese que K 3 F. (De manera que F es el campo más pequeño que contiene a D.)

e

Para la mayoria de nosotros el concepto de anillo constituía un terreno desconocido; en cambio, el concepto de campo está más relacionado con nuestra experiencia. Mientras que el único anillo, aparte de un campo, que podría haberse considerado en la enseñanza elemental era el anillo de 10s enteros, se tenia un poco mas de experiencia trabajando con los números racionales, los reales y, en algunos casos, los números complejos, al resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. La capacidad de dividir entre elementos distintos de cero proporcionó cíerta Iíbertad de acción para resolver una amplia variedad de problemas, la cual podría no haberse tenido con los enteros. De modo que a primera vista, cuando se empieza a trabajar con campos se siente uno como en su casa. A medida que se penetra más a fondo en la materia, se empiezan a encontrar nuevas ideas y nuevas áreas de resultados, Se encuentra uno otra vez en terreno deswnocido, pero siendo optimista, después de cierta exposicion del tema tratado, los conceptos se volverán naturales. Los campos desempeñan un papel importante en la geometría, la teoría de las ecuaciones y en ciertas áreas muy importantes de Ia teoria de los números. Se hará referencia a cada uno de estos aspectos a medida que se avance. Desafortunadamente, debido a la maquinaria técnica que se necesitaría desarrollar, no se considera la teoria de Galois, que es una parte muy bella de la materia. Se espera que muchos de los lectores entren en contacto con la teoría de Galois, y más allá de ésta, en su instrucción matemática posterior.

176

CAPíTULO 5 * CAMPOS

5.1 EJEMPLOS DE CAMPOS Recuérdese que un campo F es un anillo conmutativo con elemento unidad 1 tal que para todo a E Fdistinto de cero existe un elemento a-' E F de tal modo que aa-' = 1. En otras palabras, los campos son "algo parecido" a los racionales Q. Pero ¿es así en realidad? Los enteros módp, Zp, donde p es primo, forman un campo; en 2, se tiene la relación p l = .1 + 1 +

-

+

1 =O. /

( p veces)

Nada semejante a esto sucede en Q. Existen diferencias aún más notables entre los campos: cómo se factorizan los polinomios en ellos, propiedades especiales de las que se verán algunos ejemplos, etcétera. Se empieza con varios ejemplos conocidos.

1. Q, el campo de los números racionales.

2. W, el campo de los números reales.

3.

(6,

el campo de los números complejos.

4. Sea F = { a + hila, b E (3) C C. Es relativamente sencillo ver que F es un campo. Se verifica solamente que si a + bi f O está en F, entonces ( a + bi)-' también está en F. Pero ja qué es igual ( a + bi)-'? Simplemente es a ib (Verifíquese) (a2 + b 2 ) (a2 + b2)

y puesto que a2 + b2 # O y es racional, entonces a / ( a 2 + b 2 )y b / ( a 2 + b 2 ) son tambien racionales, por consiguiente ( a + bi)-' está efectivamente en F. 5. Sea F = (a + a j a , b E Q ) C R. Nuevamente la verificación de que F es un campo no es muy difíciI. Tambikn en este caso solamente se demuestra la existencia en F de los elementos distintos de cero de F. Supongase que a -t # O está en F; entonces, dado que d2es irracional, a* - 2b2 # O. Como

se obtiene que (a + bd%(a/c - Ab/rr) = 1 , donde c = a2 - 2b2. El inverso requerido para a + b a es a / c - -\i2b/c, el cual desde luego es un elemento de F, ya que a / c y b / c son racionales.

51

Ejemplos de campos

177

6. Sean f cualquier campo y F [x] el anillo de polinomios en x sobre F. Como F [ x ] es un dominio integral o entero, tiene un campo de cocientes por el Teorema 4.7.1, el cual consta de todos los cocientesf ( x ) / g ( x ) ,dondef ( x )y g ( x ) están en F [ x ] y g ( x ) f O . Este campo de cocientes de F [ x ] se denota por F ( x ) y se llama campo de las funciones racionales en x sobre F. 7. Z,, los enteros módulo el primo p, es un campo (finito).

8. En el Ejemplo 2 de la Sección 4.4 del Capítulo 4 se vio cómo construir un campo que tenga nueve elementos. Estos ocho ejemplos son e-ecificos. Utilízando los teoremas que se han demostrado anteriormente, se tienen algunas construcciones generales de campos. 9. Si D e s cualquier dominio entero, entonces tiene campo de cocientes, por el Teorema 4.7.1, el cual consiste de todas las fracciones a/b, donde a y b están en.D y b # 0.

10. Si R es un anillo conmutativo con elemento unidad 1 y M es un ideal máximo de R, entonces el Teorema 4.4.2 indica que R/M es un campo, Este último ejemplo, para R9sparticulares, desempeñará un papel importante en lo que sigue en este capítulo. Se podría continuar viendo más ejemplos, particularmente con casos especiales de los Ejemplos 9 y 10, pero los diez considerados anteriormente muestran una cierta variedad de campos y se observa que no es muy difícil encontrarse con ellos. En los Ejemplos 7 y 8 los campos son finitos, Si F es un campo finito con q elementos, considerando a E simpIemente como un grupo abeliano respecto a su adicián " + ", se tiene, por el Teorema 2.4.5, que qx = O para todo x E F. Este es un comportamiento muy distinto al que ocurre en los campos usuales, como el de los racionales y el de los reales. Esta clase de comportamiento se señala en la

DEFINICION.Se dice que un campo F tiene (o es de) característica p # O si para cierto entero positivo p , p x = 0 para todo x E F, y ningún entero positivo menor que p goza de esta propiedad. Si un campo F no es de caracteristica p f O para ningún entero positivo p , se le llama campo de curucterhtica O. De esta manera Q , R , é: son campos de caracteristica O, mientras que Z3 es de caracteristica 3. En la definicián anterior el uso de la letra p para denotar la caracteristica es aItamente sugestivo, ya que siempre se ha utilizado p para representar un número primo. En realidad, como se observa en el teorema siguiente, este empleo de p resulta consistente.

178

CAP¡TU LO 5

e

CAMPOS

TEOREMA 5.1.l . La característica de un campo es cero o bien un número primo.

DEMOSTRACI~N. Si un campo F tiene característica 0, no hay nada más que decir. Supóngase entonces que mx = O para todo x E F, donde m es un entero positivo. Sca p el menor entero positivo tal que px = O para todo x E F. Afirmamos que p es primo. Si p = uv, dónde u > 1 y v > 1 son enteros, entonces se tiene que en F, (ul)(vl) = (uv)l = O, donde 1 es el elemento unidad de F. Pero por ser F u n campo, es un dominio integral (Problema 1); por lo tanto, u1 = O o bien v l = O. En cualquier caso se obtiene que O = (ul)(x) = ux [o, (vl )x = vxj para cualquier x en F. Pero esto de manera semejante, O contradice la elección de p como el menor entero con esta propiedad, Por consiguiente, p es primo.

-

Obsérvese que no se empleó toda la fuerza de la hipotesis de que F era un campo. Solamente se ocupó que F era un dominio integral (con unidad 1). De manera que si se define la característica de un dominio integral como cero o el menor entero positivo p tal que px = O para toda x E F, se obtiene el mismo resultado. Por consiguiente, se tiene el

COROLARIO. Si D

es un dominio integral (o entero), entonces su característica es cero o bien un número primo.

PROBLEMAS 5.1 1. Demuéstrese que un campo es un dominio integral. 2. Pruébese el corolario aun en el caso en que L, no tenga elemento unidad.

3. Dado un anillo R, sean S = R [x] el anillo de polinomios en x sobre R y T = S [y] el anillo de polinomios en y sobre S . Demuéstrese que: (a) Cualquier elemento f ( x , y) de 7' tiene la forma GCa,lxíyJ, donde 10s a,J están en R. (b) En términos de la forma dc f (x, y) en Tdada en la parte (a), proporeiónese la condición para la igualdad de dos elementos f (x, y) y g(x, y ) de T. (e) En términos de la forma de f ( x , y) dada en (a), proporciónese la fórmula de f ( x , Y ) + g(x, Y), para f (x, Y ) , g(x, Y 1 en T. (d) Proporciónese la forma del producto de f (x, y) y g(x, y) si ambos están en T. (T se llama anillo de polinomios en dos variables sobre R y se denota por R [x, y J.)

4. Si D es un dominio integral o entero, demuéstrese que D Ix, y] es también un dominio integral o entero.

179

5 2 * Breve exciirsio~hacia los espacios vector~ales

5. Si F es un campo y L) = F I x , y ] , el carnpo de cocientes de D se llama earrzpo de funciones racionales en dos variables sobre F y se denota usualmente por F(x, y). Proporciónese la forma del elemento típico de F ( x , y).

6. Pruébese que F ( x , y ) es isomorfo a F ( y , x).

+

3. Si F es un campo de característica p 0, demuéstrese que ( a + b)P = a" + bP para todo u, b E F. (Sugerencia: Utilice el teorema del binomío y el hecho de que p es primo.) 8. Si F es un campo de característica p # 0, demuéstrese que ( a + b)"' = a" + bm, donde m = p n , para todo a, b en F y cualquier entero positivo n. 9. Sea F un campo de característicap # O y sea p: F F definida por cp(a) = a p para todo a E F. (a) Demuéstrese que rp define un monomorfismo de F en él mismo. (b) Proporcionese un ejemplo de un campo F donde p no sea suprayectiva. (Muy difcil.) +

10. Si F es un campo finito de característica p, demuéstrese que la aplicación rp definida anteriormente es suprayectiva, por consiguiente es un automorfismo de F.

5.2 BREVEEXCURSION HACIA LOS ESPACIOS VECf QRIALES Para abordar las cosas deseables de realizar en la teoría de los campos, se requieren ciertos instrumentos técnicos que todavía no se tienen. Esto implica la relación de dos campos K > F y lo que sería bueno considerar como cierta medida de Ia magnitud de K comparada con la de F. Dicha magnitud es lo que se llamara dimensión o grado de K sobre F. Sin embargo, para tales consideraciones, se requiere de K mucho menos que ser un campo. Sería una negligencia si se probaran estos resultados solamente para el contexto especial de dos campos K > F, en virtud de que las mismas ideas, demostraciones y espíritu son válidos en una situación mucho mas amplia. Se necesita el concepto de espacio vecroriaf sobre un campo F. Adernas del hecho de que lo que se realice en los espacios vectoríales será importante en relación a los campos, las ideas desarrolladas aparecen en todas las partes de las matemáticas. Los estudiantes de álgebra deben ver estos temas en alguna etapa de su instrucción. Un lugar apropiado es aquí precisamente.

DEFINICI~N. Un espacio verrorial V sobre un campo F es un grupo abeliano respecto a la adición " + " tal que para todo cr E F y todo u E V existe un elemento crv E V de tal modo que:

(a) (b) (e) (d)

+

v2) = a u l + au2, para a E F, u , , v2 E V. V. @)u = a u + Bu, para a, b' E F, a(/3v) = (a@)v,para a , @ E F, v E V . 1U = v para todo v E V, donde 1 es el elemento unidad de F.

a(u, (a

+

Cuando se trate de espacios vectoriales (lo cual se hará muy brevemente) se emplearán letras latinas minúsculas para los elementos de V y letras minúsculas griegas para los elementos de F. El asunto básico que se tratará aquí radica solamente en un aspecto de la teoría de los espacios vectoriales: el concepto de la dimensión de V sobre F. Se desarroIlara este concepto de la manera más expedita posible, no necesariamente la mejor o la más elegante. Se aconseja firmemente a los lectores que estudien los demás aspectos de lo que se realiza en los espacios vectoriales en otros libros de álgebra o de álgebra lineal (por ejemplo, Álgebra Moderna del autor de este libro). Antes de abordar algunos resultados, se examinan varios ejemplos. En cada caso, se dejan al lector los detalles de verificación de que el ejemplo realmente es de un espacio vectorial.

1. Sean Fcualquier campo y V = {(at,a2, . . .,a,) (los a, E F ) el conjunto de n-adas sobre F, con igualdad y adición definidas por componentes. Para u = ( a I , a2, . . ., a,) y @ E F, defínase pu = (@al,par2, . . .,pan). V es un espacio vectorial sobre F. 2, Sean F cualquier campo y V = F [xl el anillo de polinomios en x sobre F. Haciendo a un lado el producto de elementos arbitrarios de FIx] y utilizan-

do solamente el producto de un polinomio por una constante, por ejemplo,

se encuentra que V se convierte en un espacio vectorial sobre F.

3, Sean V como en el Ejemplo 2 y W = { f (x) E VI grd( f (x)) S n). Entonces W es un espacio vectarial sobre F y W C Ves un subespacio de V. 4. Sea V el conjunto de todas las funciones reales diferenciables en [O, 11, el intervalo unitario cerrado, con la adición y multiplicación de una función por un número real usuales. Entonces Ves un espacio vectorial sobre R. S. Sea W e1 conjunto de todas las funciones reaIes continuas en [O, 11, de nuevo con la adición y multiplicación de una función por un número real usuales. También W es un espacio vectorial sobre R y el V del Ejemplo 4 es un subespacio de W.

181

5 2 * Breve excursión hacia los espacios vectoriales

6. Sea F cualquier campo y F [ x ] el anillo de polinomios en x sobre F. Sea f ( x ) un elemento de F [ x ] y J = ( f ( x ) ) el ideal de F [ x ] generado por f ( x ) . Sea V = F [ x ] / J , donde se define a ( g ( x ) + J ) = a g ( x ) + J . Entonces V es un espacio vectorial sobre F. 7. Sean R el campo real y V el conjunto de todas las soluciones de la ecuación diferencial d 2 y / d x 2 + y = O. V es un espacio vectorial sobre R.

8. Sea V cualquier espacio vectoríal sobre un campo F y sean también u,, u2, . . ., U , eltementos del espacio vectorial V. Sea ( u , , u,, . . . , u, ) = ianunlaI, a2, ..., a , € F ) . Entonces ( u , , u2, ..., U , ) ( ( Y , u , + a2u2+ es un espacio vectorial sobre F y es un subespacio de V. Este subespacio (u,, u2, . . . , u,) se llama subespacio de V generado o abarcado por u , , . . , , u, sobre F ; sus elementos se llaman combinaciones lineales de u , , . . . , u,. Pronto se tendrá mucho que decir con respecto a ( u , , u2, . . , u,). 9. Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F y V @ W = { ( U ,w ) l u E V , w E W ) , con igualdad y adición definidas por componentes y donde a( u , w ) = ( a u , a w ) , Entonces se ve fácilmente que V @ W es un espacio vectorial sobre F; se le llama suma directa de V y W. 10, Sea K 2 F dos campos, con la adición " "+ " de K y donde cyu, para E F y u E K, es el producto como elementos del campo K. Entonces las condiciones 1 y 2 que definen un espacio vectorial son simplemente casos especiales de las leyes distributivas que son válidas en K, y la condición 3 es simplemente una consecuencia de la asociatividad del producto en K. Finalmente, la condición 4 es exactamente la reformulación del hecho de que 1 es el elemento unidad de K. Por lo tanto, K es un espacio vectorial sobre F. a!

Entre estos ejemplos existe una marcada diferencia en un aspecto, la cual se específica analizándolos cada uno a su vez. 1

1. En el Ejemplo 1, si u,

=

( 1 , 0 , . - . ,O),

u2

=

(O, l , O , ..., O ) , ..., u,

=

( O , O , * . . , 11,

entonces todo elemento v de V tiene una representación única de la forma v = a ! , ~ ,+ + a ! , ~ , , donde t u , , . . ,, a, están en F. 2. En el Ejemplo 3, si u , = 1, uz = x, . . ., u, = x'-', . . ., u,,, = x n , entonces donde u E V tiene una representación única como u = a , ~+, . . . + unun,con los a, en F. 3. En el Ejemplo 7, toda solución de d2y/dx" y = a cosx + @ sen x, con a y @ reales.

y

=

O es de la forma única

4. En el Ejemplo 8, todo u E { u , , . . ., u,) tiene una representación -aunque no necesariamente única- como v = a , v , + . . . + a , u , en virtud de la

4 82

CAPíTULO 5

0

CAMPOS

misma definición de ( u l , . . ., u,). La unicidad de esta representación depende mucho de los elementos u , , . . . , u,.

5. En el caso especial del Ejemplo 10, donde K = 42, el campo de los números complejos, y F = [Fg el de los números reales, se tiene que todo v E 6:es de la forma única u = a + pi, a, E R. 6. Considérese K = F(x) > F, e1 campo de las funciones racionales en x sobre F.Se afirma -y se deja al lector- que no se puede encontrar ningún conjunto finito de elementos de K que genere K sobre F. Este fenómeno también fue cierto en algunos de los otros ejemplos de espacios vectoriales que se dieron. El único centro de atención aquí radicará en este concepto de espacio vectorial que contenga algún subconjunto finito que lo genere sobre el campo de base. Antes de iniciar la discusión del tema, se debe disponer primero de una lista de propiedades formales que sean válidas en un espacio vectoriaI. El lector ya está tan perfeccionado en el trato con estas cosas abstractas formales, que se le deja la demostración del siguiente lema.

LEMA 5.2.4. Si Ves un espacio vectorial sobre un campo F,entonces, para todo a E F y todo u E I/: (a) a0 = O, donde O es el elemento cero de V. (b) Ov = O, donde O es e1 cero de F. ( e ) cuu = O implica que cu = O o bien v = 0, (d) (-&)u = -(luv). En vista de este lema, no se incurrirá en ninguna confusión si se utiliza el símbolo O tanto para el cero de F como para el de V. Nos olvidamos de los espacios vectoriales por un momento y analizamos las soluciones de ciertos sistemas de ecuaciones lineales en campos. Considérense, por ejemplo, las dos ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes reales, x, + x2 + x3 = O y 3xi - x2 +- x3 = O. Se ve fácilmente que para cualesquier x,, x3 tales que 4x1 + Sx3 = O y xz -(xl + x3),se obtiene una solución del sistema. En realidad, existe una infinidad de soluciones de este sistema aparte de la trivíal x, = O, x, = 0, x3 = 0.Si examinamos este ejemplo y nos preguntamos: ¿Por qué hay infinidad de soluciones de este sistema de ecuaciones lineales?, llegamos rápidamente a la conclusión de que, debido a que hay más variables que ecuaciones, se tiene espacio para maniobrar y producir soluciones. Esta es exactamente la situación que prevalece en el caso más general, como se ve en seguida.

-

DEFINICION. Sea

F un campo; entonces la n-ada (P,, . . . , p,), donde los P, están en F y no dodas son 0,se dice que es una solucidn no trivial en F del sistema de ecuaciones lineales homogéneas

52

Breve excursión hacia los espacios vectoriales

donde todos los a,, están en F, si al sustituir x, satisfacen todas las ecuaciones de (*).

=

@,,. . . , x,

= @,

se

Para el sistema (*) se tiene el siguiente

TEOREMA 5.2.2. Si n r r, es decir, sí el número de variables (incbgnitas) excede el níimero de ecuaciones en (*), entonces (*) tiene una solución no trivial en F.

DEMOSTRAGI~N. El método, que de ordinario se estudia en bachirlerato, es el de la solución de ecuaciones simultáneas que consiste en eliminar una de las incógnitas y a la vez reducir en uno e1 número de ecuaciones. Se procede por inducción en r, el número de ecuaciones. Si r = 1, el sistema (*) se reduce a a,,x, + . * i- c u l , ~ , = O , y n > 1. Si todos los a,, = O, entonces x, = xz = . . - = X, = 1 es una solución n o trivial de (*). De manera que, renumerando, se puede suponer que a,, # O; entonces se tiene la solución no trívial de (*): x2 = . * ' = X, = 1 y x1 = - ( l / a i l l ) ( a l z + . ' i- a,,). Supóngase que el resultado es correcto para r = k, para cierto k, y que (*) es un sistema de k + 1 ecuaciones homogéneas lineales en n > k + 1 variables. Se puede suponer como antes que algún a , # O, y que a , , # O, sin que se pierda generalidad. Se construye un sistema relacionado (**) de k ecuaciones homogéneas lineales en n - 1 variables; puesto que n > k t 1, se tiene que n - 1 > k, por lo tanto se puede aplicar inducción a este nuevo sistema (**). ¿Cómo obtenerlo? Se desea eliminar x, de las ecuaciones, Para tal fin se resta la primera ecuacibn multiplicada por cu,,/a,, de la i-ésima ecuación para cada i = 2, 3, . . . , k + 1. Luego de realizar lo anterior, se llega al nuevo sistema de k ecuaciories homogéneas lineales en n - 1 variables: *

184

CAP~TULO 5

0

CAMPOS

donde 0, = a, - a,,/a,, para i = 2, 3, . . ., k + 1 y j = 2, 3, . . ., n. Puesto que (**) es un sistema de k ecuaciones homogéneas Iineales en n 1 variables y n - 1 > k, por la hipótesis de inducción (**) tiene una solución no trivial ( y z , . . . , y n ) en F. Sea y i = - ( a i z y 2 + . - + a l , y n ) / a l l ; se deja al lector verificar que la n-ada (-yl, -y2, . . . , y n ) así obtenida es una solución no trivial requerida de (*). Esto completa la inducción y de esta manera se prueba el teorema. C] a

Una vez establecido este resultado, se puede utilizar Iibremente en e1 estudio de espacios vectoriales. Para hacer hincapié, se repite algo que se definió anteriormente en el Ejemplo 8. V un espacio vectoríal sobre F y u,, u2, . . ., un elementos de V. Se dice que un elemento u E Ves una combinacidn lineal de u , , u2, . . ., U , si U = a ~ u + , . . + a n u n para algunos u,, . CY, en F.

DEFINICION.Sean

s

e ,

Como se señaló en el Ejemplo 8, el conjunto ( u , , u2, . . ., u,) de todas las combinaciones Iineales de u,, u,, . . . , u, es un espacio vectorial sobre F y como está contenido en V, es un subespacio de V. ¿Por qué es un espacio vectorial? Si a l v l + + a n v , y @ , u l + - - + P,v, son dos combinaciones lineales de u,, . . . , u,, entonces

por los axiomas que definen un espacio vectorial, y por lo tanto esta en ( u l p . . . , u n ) . Si y E F y a l v i + - - + a n u n E ( u , , . . ., u,), entonces

así que también esta en ( u , , . . ., u,). Por consiguiente, ( u , , . . ., u,) es un espacio vectorial. Como se le llamó anteriormente, es el subespacio de Vgenerudo sobre F por u ] , . . ., u,.

5.2

@

185

Breve excursión hacia los ospacios vectoriales

Esto conduce a la muy importante

DEFINICION.Un espacio vectorial V sobre F es finito-dimensional sobre F si V = ( u , , . . ., u,) para ciertos U , , . . . , u, en V, es decir, si Ves generado sobre F por un conjunto finito de elementos. En caso contrario, se dice que V es infiniio-dimensional sobre F si no es finito-dimensional sobre F. Obsérvese que aunque se ha definido lo que significa espacio vectorial finito-dimensional, aún no se ha definido lo que significa su dimensión. Esto vendrá a su debido tiempo. Supóngase que V es un espacio vectorial sobre F y que u , , . . . , v, en V son tales que todo elemento u de ( u l , . . . , U , ) tiene una representación única de la forma u = a , v , + - . . + a n o n , donde a l , . . ., a, E F. Puesto que

Y 0 = Oul + + Ou,, por la unicidad supuesta se obtiene que si a , u , + - . - + a,u, = O, entonces = a, = O. Esto sugiere una segunda definición muy imporal = a, = . tante, la cual se da a continuación. O E (u,,

un)

DEFINIGI~N. Sea V un espacio vectorial sobre F; entonces se dice que los elementos u , , . . . , u, en V son linealmente independientes sobre F si alu , + . - . + a,u, = O , donde a,, . . ., a, están en F, implica que a l = a2 = - = a , = 0. Si los elementos u,, . . ., u, en V no son linealmente independientes sobre F, entonces se dice que son Iinealmente dependientes sobre F. Por ejemplo, si R es el campo de los números reales y V es el conjunto de las tríadas sobre aB como se definió en el Ejemplo 1, entonces (O, 0, l), (0, 1, O) y (1, O, 0) son linealmente independientes sobre R {pruébese), mientras que (1, -2, 7), (0, 1, O) y (1, -3, 7) son linealmente dependientes sobre R , ya que i(1, -2, 7) + (-1)(0, 1, 0) + (-1)(1, -3, 7) = (0, 0, O) es una combinación lineal no trivial de dichos elementos sobre R , que es igual al vector cero. Obsérvese que la independencia lineal depende del campo F. Si C 1 R son los campos complejo y real, respectivamente, entonces C es un espacio vectorial sobre R, pero también es un espacio vectorial sobre d= mismo. t o s elementos 1, i en C son linealmente independientes sobre R pero no lo son sobre C, ya que il + (-1)i = O es una combinación lineal no trivial de 1, i sobre C . Se prueba el siguiente

LEMA 5.2.3. Si Ves un espacio vectorial sobre F y u , , . . . , u, en V son linealmente independientes sobre F, entonces todo elemento v E ( u l , . . . , u,) tiene una representación única como u = a,vj

con a l , . . . , rx, en F.

+

""

fnU,

4 84

CAPíTUtO 5 * CAMPOS

DEMQSTRAGI~N. Supóngase que u E ( u l , . . . , u,) tiene las dos representaciones U = a , v , + . * . + a,u, = B I u , + . . - + @,u, con los a y los 6 en F. Esto implica que ( a l - @,)ui + , + ( a , - @,)u, = O ; puesto que u,, . . ., u, son linealmente independientes sobre F, se concluye que a, - @, = 0, . , a , - 6, = O, lo cual da por resultado la unicidad de la representación. 5

¿Qué tan finito es un espacio vectorial finito-dimensional? Para medir esto, llámese a un subconjunto u,, . . ., u, de V un conjunto generador mínimo de V sobre F si V = ( u l , . . . , u,) y ningún conjunto con menos de n elementos genera a V sobre F. Se llega ahora a la tercera definición muy importante.

DEFINICI~N. Si Ves un espacio vectorial finito-dimensional sobre F, entonces la dimensión de V sobre F, que se expresa como dim,( V), es n, el numero de elementos de un conjunto generador mínimo de V sobre F. En las ejemplos dados, dim,( g : ) = 2, puesto que 1 , i es un conjunto generador mínimo de e sobre R . En cambio, dim, {e) = l . En el Ejemplo 1, dim, (V) = n y en el Ejemplo 3, dim, ( t.") = n + 1 . En el Ejemplo 7 la dimensión de V sobre F es 2. Finalmente, si ( u,, . . . , u,) c V, entonces dimF ( u , , . . . , v, ) es a lo sumo n. Se prueba ahora el

LEMA 5.2.4. Si Ves finito-dimensional sobre F de dimensión n y si los elementos u , , . . ., u, de V generan a V sobre F, entonces u,, . . . , u, son linealmente independientes sobre F. DEMOSTRACI~N. Sup6ngase que u,, . . . , u, son linealmente dependientes sobre F; por consiguiente existe una combinación Lineal a l u , + . . * + anu, = O , donde no todos los a, son cero. Se puede suponer que a , # 0; sin que se pierda generalidad; entonces u , = ( - I / ~ , ) ( ( Y ~ + V ~. - + a , ~ , ) . Dado u E V , en virtud de que u,, . . . , u, es un conjunto generador de V sobre F,

. . . , U , generan V sobre F, lo cual contradice que el subconjunto . . ., u , sea un conjunto generador mínimo de V sobre F. m

así que u2, u,, u?,

Se llega ahora a otra definición importante.

52

a

187

Breve excursi0n hacia los espacios vectoriules

D E F I N I C I ~Sea N . V un espacio vectorial finito-dimensional sobre F; entonces u,, . . . , u, es una base de V sobre F, si los elementos V I , . . . , u, generan V sobre F y son linealmente independientes sobre F. Por el Lema 5.2.4 cualquier conjunto generador mínimo de V sobre F es una base de V sobre F. Por consiguiente los espacios vectoriales finitodímensionales poseen bases. Se continúa con el

TEOREMA 5.2.5. Supóngase que Ves finito-dimensional sobre F; entonces dos bases cualesquiera de V sobre F deben tener el mismo número de elementos, y este número es exactamente dim,( V ) . DEMOSTRACION. Sean vl, . . ., u,

y w,, . . . , w, dos bases de V sobre F. Se requiere demostrar que m = a. Supóngase que m > n. En virtud de que U,, . . . , u, es una base de V sobre F, se sabe que todo elemento de Ves una combinacibn lineal de los u, sobre F. En particular, w,,. . ., w, son cada uno una combinación lineal de u,, . . ., u, sobre F. De esta manera se tiene

donde los a,, están en F. Considérese

El sistema de ecuaciones homogéneas lineales

tiene una solución no trivial en F en virtud de1 Teorema 5.2.2, ya que el número de variables m supera al numero de ecuaciones n. Si P,, . . . , 0, es una tal solución en F, entonces, por lo anterior, @, w ,

+ - . . + P,w,

= O , no obstante

188

CAP~TULO5 * CAMPOS

que no todos los fl, son cero. Esto contradice la independencia lineal de w,, . . ., w, sobre F.Por lo tanto, m S n. De manera semejante, n S m; por consiguiente m = n. El teorema resulta luego probado, puesto que un conjunto generador mínimo de V sobre F es una base de V sobre F y el número de elementos en tal conjunto es por definicion dim, ( Y ) , Por lo tanto, en vista de lo obtenido anteriormente, n = dim,( V ) y se completa la demostración. Otro resultado, que se utilizará en la teoría de campos, de naturaleza semejante a los que se han obtenido, es

TEOREMA

5.2.6. Sea V un espacio vectorial sobre F tal que n. Si m > n, entonces m elementos cualesquiera de V son

dimf ( V ) = Iinealmente dependientes sobre F.

DEMOSTRACI~N. Sean w,,. . . , w,,,E V y U , , . . ., u, una base de V sobre F; o sea que n = dimF( Ir) por e1 Teorema 5.2.5. Por consiguiente,

La demostración dada en el Teorema 5.2.5, de que si m > n se pueden encontrar

Pi, . . ., flm en F, donde no todos son cero, de tal modo que B,w,+ - . - + P,w, = O,se aplica al pie de la letra. Pero esto establece que w,, . . ., w, son linealmente dependientes sobre F. Se concluye esta sección con un teorema fina1 del mismo tipo de los anteriores.

TEOREMA 5.2.7. Sea V un espacio vectorial sobre Fcon dirn,( V )

-

n. Entonces n elementos cualesquiera de V linealmente independientes forman una base de V sobre F. DEMOSTRAGI~N. Se requiere demostrar que si u , , . . . , u, E V son linealmente independientes sobre F, entonces generan t" sobre F. Sea v E entonces u, V I , . . . , u, son n + 1 elementos, por lo tanto, por el Teorema 5.2.6, son linealmente dependientes sobre F. De esta manera existen elementos a , a l , . . . , m, en F, no todos cero, tales que a v + a,vl + m,v, = O. EI elemento CY no puede ser cero, de lo contrario alvl + . + anvn = O, y no todos los a, son cero, por lo cual se contradida la independencia lineal de los elementos u,, . . , u, sobre F. Así que a f O, y entonees v = + Pnu,, donde P, = -a,/crl. Por lo ( - I / o L ) ( c Y , v ~ . + CY,V,) = P l u I + . tanto, U,,. . ., u, generan V sobre F y por consiguiente deben formar una base de V sobre F.

+

+

.

a

5.2

*

Breve excurslon hacia los espoclos vectoriales

PROBLEMAS 5.2

1. Determínese si los siguientes elementos de V , el espacio vectorial de las ternas sobre R, son Iinealmente independientes sobre R . (a) (1, 2, 31, (4, 5, 61, (7, 8, 9). (b) (1, 0, 119 (0, 1, 21, (0, 0, 1)' (e) (1, 2, 31, (O, 4, 5 ) . (:, 3 , 9 2. Encuéntrese una solución no trivial en Z, del sistema de ecuaciones homogéneas lineales:

3. Si Ves un espacio vectorial de dimensión n sobre Z,, p primo, demuéstrese que V tiene p" eIementos, 4. Pruébese todo el Lema 5.2.1.

5. Sea F un campo y V = F [x], el anillo de polinomios en x sobre F. Considerando a V como un espacio vectorial sobre F, pruébese que V no es finitodimensional sobre F. 6. Si Ves un espacio vectorial finito-dimensional sobre F y si W es un subespacio de V, pruébese que: (a) W es finíto-dimensional sobre F y dim, ( W) c dim,( Y). (b) si dimF ( W) = dim, ( V ) , entonces Y = W .

7. Defina el lector lo que crea que debe ser un homomorfismo $ de espacios vectoriales de Ven W, donde V y W son espacios vectoriales sobre t;: ¿Qué se puede decir respecto al núcleo K, de $, donde K = { v E VI $ ( u ) = O)?

8. Si Ves un espacio vectorial sobre F y W es un subespacio de V, defínanse las operaciones requeridas en V/ W para que se convierta en un espacio vectorial sobre F. 9. Demuéstrese que si dimF ( V) = n y W es un subespacio de V con dimF(W) = m, entonces dimF(V/W) = n - m.

-

10. Si $: V V' es un homomorfismo de Vsobre V ' con núcleo K , demuéstrese que V' V/K (como espacios vectoriales sobre F). +

11. Si V es un espacio vectorial finito-dimensional sobre F y u,, . . ., v, en V son linealmente independientes sobre F, demuéstrese que se pueden encon-

(190

CAP~TULO 5

CAMPOS

trar w,,. . ,, w, en V, donde m + r = dímF(V), tales que u,, w , , . . . , w, forman una base de V sobre F.

. . . , u,,

12. Si Ves un espacio vectorial sobre F de dimensión n, pruébese que Ves ísomorfo a1 espacio vectoriai de n-adas sobre F (Ejemplo 1).

PROBLEMASINTERMEDIOS 13. Sean K 2 F dos campos; supbngase que K, como espacio vectorial sobre F, tiene dimensión finita n. Demuéstrese que sí a E K, entonces existen ao, a , , . . . , a, en F, no todos cero, tales que

14. Sea F un campo, F [ x Jel anillo de polinomios en x sobre F y f (x) # O en F 1x1. Considérese V = F {x]/ J como un espacio vectoriaI sobre F, donde J es el ideal de F [x] generado por f ( x ) . Pruébese que dimF(V)

-

deg f(x).

15. Si V y W son dos espacios vectoriales finito-dimensionales sobre F, pruébese que Ve, W es finito-dimensional sobre F y que dim,( V CB W ) = dim, ( V) + dim, ( W ) . 16. Sea V un espacio vectorial sobre F y supóngase que U y W son subespacios de V. Definase U + W = { u -t w l u E U, w E W } , Pruébese que: (a) U + W es un subespacio de V. (b) U + W es finito-dimensional sobre F si tanto U como W lo son. (c) U íi W es un subespacio de V. (d) U + W es una imagen homomorfa de U e, W. (e) Si U y W son finito-dimensionales sobre F, entonces dim,( U

+

W)

=

dim, (U)

+

dim,( W)

-

dimF( U í i W ) .

17. Sean K > F dos campos tales que dim, ( K ) = m. Supóngase que Ves un espacio vectorial sobre K . Pruébese que: (a) V es un espacio vectorial sobre F. (b) Si Ves finito dimensional sobre K , entonces es finito dimensional sobre F. (e) Si dimK(V) = n, entonces dim, (V) = nzn [es decir, dím,( V) = dimK( V )dimF(K)] .

> F campos y supóngase que Ves un espacio vectorial sobre K tal que dim,( V ) es finito. Si dimF(K) es finito, demuéstrese que dim, ( V ) es finita y determínese su valor en terminos de dim,( V) y dim,(K-).

18. Sean K

53

491

Extenvanes de campos

19. Sea D un dominio integral con unidad 1 , que es un espacio vectorial finitodimensional sobre un campo F. Pruébese que D es un campo. (Nofa: Dado que F 1, que se puede identificar con F, esta en D, la estructura de anillo de D y la estructura de espacio vectorial de D sobre F están en armonía entre sí.)

20. Sea V un espacio vectorial. sobre un campo Infinito F. Demuéstrese que V no puede ser la unión (como en la teoría de conjuntos) de un número finito de subespacios propios de V. (hluy difkil.)

5.3 EXTENSIONES

DE CAMPOS

Nuestra atención se vuelve ahora hacia una relación entre dos campos K y F, donde K > F. Se le llama a K una extensión (o campo extensión) de F, y a F un subcan?po de K. En tobo lo que sigue en esta sección se sobreentenderá que K 3 F. Se dice que K es una extensionfinita de F si, considerado como espacio vectorial sobre F, dim,(K) es finita. Se expresará dim, ( K ) como [K : FJ y se le llamará grado de K sobre F. Se inicia la discusión con el resultado que normalmente es e1 primero que se prueba al habiar de extensiones finitas.

TEOREMA 5.3.1. Sean L

3

K II F tres campos tales que ambas

[L : K ] y [ K : F ] son finitas. Entonces L es una extensión finita de F y [ L : F ] = [L:K]I[K:F].

DEMOSTRACION. Se probara que L es una extensión finita de F mostrando explícitamente una base finita de L sobre F. Al hacerlo se obtendrá el resultado mas fuerte afirmado en el teorema, a saber que [L : F ] = [ L : K ] [ K : F ] . Supóngase que [ L : KI = m y [ K : Fl = n; entonces L tiene una base u,, U,, . . . , u, sobre K y K tiene una base w,,w2,. . . , W, sobre F. Se probará que los mn elementos v,w,, donde i = 1, 2 , . . ., m y j = 1, 2 , . . ., n , constituyen una base de L sobre F. Se empieza por demostrar que, por lo menos, estos eIenentos generan L sobre F; esto demostrará, por supuesto, que L es una extensidn finita de F. Sea a E L; dado que los elementos u , , . . . , u, forman una base de L sobre K , se tiene a = k , v , + . . * + k,u,,, donde k , , kt, . . . , km están en K. Puesto que w,, . . . , w n es una base de K sobre F, se puede expresar cada k, como

donde los J;, están en F. Sustituyendo estas expresiones de los k, en la expresión anterior de a, se obtiene

Por lo tanto, descifrando explícitamente esta suma, se obtiene que

De esta manera los mn elementos u,w, de L generan L sobre F; por lo tanto, [ L : F ] es finita y, en efecto, [L : F ] S mn. Para demostrar que [ L : F ] = mn, se necesita solmente probar que los mn elementos v,wj anteriores son linealmente independientes sobre F, ya que entonces -junto con el hecho de que generan L sobre E'- se tendría que forman una base de L sobre F. Por el Teorema 5.2.5 se llegaría al resultado desead o [ L : F ] = mn = [ L : K ] [ K : F ] . Supóngase entonces que para algún b, en F se tiene la relacien

Reuniendo términos en esta suma, se obtiene que c, v, i- c2v2+ + C,U, = O, donde c1 = b l l w l + * . . i- bInwn5..., cm = b m I w ,+ + b,,wn. Puesto que los c, son elementos de K y los elementos u,, . . ., u, de L son linealmente independientes sobre K, se tiene que c, = c2 = . . = c, = O. Recordando que ci = b,,w, + - , + b,,wn, donde los b, están en F y w , , . . . , w, de K son linealmente independientes sobre F, se deduce que todos Ios 6, = O a partir del hecho de que c, = c2 = - . . - cm = O . Por consiguiente, se10 la combinación lineal trivial, con todos los ecoeficientes cero, de los elementos v,w, sobre F puede ser cero. Por lo tanto, los uiwj son linealmente independientes sobre F. Anteriormente se vio que esto era suficiente para probar el teorema. 13 .

-

e

El lector debe comparar el Teorema 5.3.1 con el resultado un poco más general del Problema 17 de fa Sección 5.2, el cual ya debe poder resolver. Como consecuencia del teorema se tiene el

COROLARIO. Si L

3 K 3 F son tres campos tales que [ L : F ] es

finito, entonces [K : F ] es finito y divide a [ L : F ] . DEMOSTRACI~N. Puesto que L 3, K, K no puede tener más elementos linealmente independientes sobre F que L. En virtud de que, por el Teorema 5.2.6, [ L : F ] es el tamaño del mayor conjunto de elementos linealrnente independientes en L sobre F, se obtiene en consecuencia que [ K : F J S [L : F ] , así que debe ser finito. Dado que L es finito dimensional sobre F y puesto que K

53

* Extensiones de campos

contiene a F, L debe ser finito dimensional sobre K. De esta manera se satisfacen todas las condicíones del Teorema 5.3.1, de lo cual [ L : F ] = [ L : K ] [ K : F ] . Por consiguiente, [K : F] divide a [ L : F], como se afirma en el corolario.

m

Si K es una extensión finita de F, se puede decir bastante con respecto al comportamiento de 10s elementos de K con relación a F. Esto es

TEOREMA 5.3.2. Supóngase que K es una extensión finita de F de grado n, Entonces, dado cualquier elemento u en X existen elementos ao, a,, . . . , a, en F, no todos cero, tales que

DEMOSTRAGI~N. Dado que [ K : F]

= dimF(K)= n y los elementos 1, u, u2, 1 , por el Teorema 5.2.6 deben ser linealmente dependientes sobre FmDe esta manera se pueden encontrar a,, a l , . . . , a, en F, no - + a,un = O , con lo cual se todos cero, tales que a. + a,u + a2u2+ prueba el teorema.

. . . , unson en total n +

La conclusión de este teorema sugiere señalar aquellos elementos de una extensiún de campo que satisfagan un polinomio no trivial.

DEFINICI~N. Si K 3 F son campos, entonces se dice que a E K es algebraico sobre F si existe un polinomio p ( x ) f O en F [ x ] tal que p(a) = 0. - - + ac de K, donde P o r p ( a ) se entiende el elzmento @,an + alan-% p ( x ) = a$" + alxn-' + . . . + a,. Si K es una extensión de F tal que todo elemento de K es algebraico sobre F, se dice que K es una extensión algebraicu de F. En estos términos el Teorema 5.3.2 se puede reformular como sigue: Si K es una extensión finita de F, entonces K es una extensidn algebraica de F. El recíproco de esto no es cierto; una extensión algebraica de F no necesariamente es de grado finito sobre F. ¿Puede el lector proporcionar un ejemplo de tal situación? Un elemento de K que no es algebraico sobre F se dice que es trascendente sobre F. Veamos algunos ejemplos de elementos algebraicos en un contexto concreto. Considérese Q: > Q,el campo complejo como una extensión del campo de los racionales. El numero complejo a = 1 + i es algebraico sobre Q, ya que satisface a 2 - 2a + 2 = O sobre Q. De manera semejante, el número real 3

3

b = 1 + es algebraico sobre Q, puesto que h2 = 1 + y1 + fi,de modo que ( b 2 1)3 = 1 + fi,y por lo tanto ( ( b 2- 1 ) 3 - 1 ) 2 = 2, Desarro-

-

194

CAP~TULO5

CAMPOS

llando esto último, se obtiene una expresión polinómica no trivial en b con coeficientes racionales, que es cero. Por consiguiente, b es algebraico sobre Q. Es posible obtener números reales que sean trascendentes sobre Q muy fácilmente (véase la Sección 6.6 del Capítulo 6). Sin embargo, el establecer la trascendencia de ciertos números conocidos requiere un esfuerzo real. Se puede demostrar que los números familiares e y n son trascendentes sobre Q. El caso de e fue probado por Hermite en 1873; la demostración de que r es trascendente sobre (2 es mucho más difícil y fue llevada a cabo primero por Lindemann en 1882. Aquí no se examinará a fondo la demostración de que cualquier numero particular sea trascendente sobre Q. No obstante, en la Sección 6.7 del Capítulo 6 se demostrara por lo menos que n es irracional. Esto lo hace ser un candidato posibIe a número trascendente sobre Q, ya que evidentemente cualquier número racional b es algebraico sobre & dado que satisface el polinomio p(x) = x - b, que tiene coeficientes racionales.

DEFINICI~N. Se dice que un número complejo es un ndrnero algebraico si es algebraico sobre Q. Como se verá pronto, los números algebraicos forman un campo, el cual es un subcampo de C . Regresamos al desarrollo general de la teoría de los campos. En el Teorema 5.3.2 se ha visto que si K es una extensión finita de F, entonces todo elemento de K es algebraico sobre F. Damos la vuelta a esta cuestión preguntando: Si K es una extensión de F y a E K es algebraico sobre F, jse puede producir de algún modo una extensión finita de F usando a? La respuesta es si, Esto resultará como consecuencia del siguiente teorema, el cual se demuestra en un contexto un poco mas general de lo que en realidad se requiere.

TEOREMA 6.3.3. Sea D un dominio integral con unidad 1 que es un espacio vectorial finito-dimensional sobre un campo F. Entonces D es un campo. DEMOSTRAGI~N. Para demostrar el teorema, para a # O en D se debe producir un inverso a-' en D taI que aa-' = 1 . Como en la demostración del Teorema 5.3.2, si dim,(D) = n, entonces 1, a, a2, . . ., a" en D son linealmente dependientes sobre F. De manera que para ciertos ao, a , , . . ., a, en F apropiados, no todos ellos cero,

Sea p ( x ) = &xr + Pixr-' + . . + Pr f O un polinomio en F [ x ] de grado mínimo tal que p ( a ) = O. Afirmamos que /.3, # O. Si 0, = O, entonces

53

a

195

Extensiones de campos

como D es un dominio integral o entero y a # O, se concluye que @,a1--'+ t . . + @,-, = 0, por corisiguiente q ( u ) = O, donde q ( x ) = S,xr-l + @,xr-' + . . . + en F [ x ]es de grado menor que p ( x ) , lo cual es una contradiccián. De esta manera 8, # O, por lo tanto 3/'; está en F y

e,-,

lo cual da lugar a que -(P~(X'-' + . . . + $,_-,)/o,, que esta en D , es el u-' requerido en D. Esto prueba el teorema. Teniendo a la mano el Teorema 5 . 3 . 3 , es deseable hacer uso de él. Así que ¿cómo producir subanillos de un campo K que contenga a F y sean finito-dimensionales sobre F? Tales subanillos, por ser subanillos de un campo, son automáticamente dominios integrales y cumplirían la hipótesis del Teorema 5.3.3. Los medios para este fin serán los elementos de K que sean algebraicos sobre F. Pero primero una definición.

DEFINICION.Se dice que un elemento a en la extensión K de F es ulgebrazco de grado n si existe un polinomio p ( x ) en F [ x ] de grado n tal q u e p ( a ) = O y ningún polinomio no cero de grado menor en F [ x j tiene esra propiedad. Se puede suponer que el polinomio p ( x ) eri esta definicion es mánico, ya que se podría dividir dicho polinomio entre su coeficiente de la potencia mayor para obtener un polinomio mónico q ( x ) en F [ x ] ,de igual grado que p ( x ) , y tal que q ( a ) = O. De ahora en adelante se supone que el polinon~iop(x)es niónico; se le llama polinomio rnhimo de a sobre F.

LEMA 5.3.4. Sea a E K algebraico sobre F con polinornio mínimo p ( x ) en F [ x ] ,Entonces p ( x ) es irreducible en F [ x ] .

DEMOSTRACI~N. Supóngase que p ( x ) no es irreducible en F [ x ] ;entonces p ( x ) = f ( x ) g ( x ) ,donde f ( x )y g ( x ) están en F [ x ]y cada uno tiene grado positivo. Puesto que O p(a) f (a)g(a) y dado que f ( a ) y g f a ) están en el campo K , se concluye que f ( a ) = O o bien g ( a ) = O, lo cual es imposible, ya que ambos .f ( x ) y g ( x ) son de grado menor que f ( x ) . Por la tanto, p ( x ) cs irreducible en F [ x ] .

-

-

m

Sean a E K algebraico de grado n sobre F y p ( x ) E F 1x1 su polinomio mínimo sobre F. Dado f ( x ) E F [ x ] ,entonces f ( x j = q ( . ~ ) p ( x-k) r ( x ) , donde q ( x ) y r ( x ) están en F [ x ]y r ( x ) = O o bien grd r ( x ) < grd p ( x ) , en virtud del algoritmo de la division. Por lo tanto, f ( a ) = q ( u ) p ( a ) + r ( a ) = r ( a ) ,

196

CAP~TULO5

CAMPOS

ya que p ( a ) = O. En forma breve, cualquier expresión polinomica en a sobre F se puede expresar como un polinomio en a de grado n - 1 a lo sumo. Sea F [ a ] = (f( u )[ f ( x ) E F [ x ] } Afirmamos . que F [ a ]es un subcampo de Kque contiene a ambos F y a, y que [FIaj : F ] = n. Por la observación hecha anteriormente, F [ a ] es generado sobre F por 1, a, a2, . . . , an-l , por lo tanto es finito-dimensional sobre F. Además, como es posible verificar fácilmente, F [ a ]es un subanillo de K y como tal, F [a] es un dominio integral, Por consiguiente, por el Teorema 5.3.3, F [ a ]es un campo. Puesto que es generado sobre F p o r 1, a, a2, . . . , a"-' , se tiene que [ F [ a ] : F ] S n. Para demostrar que [ F [ a ] : P ] = n se debe probar simplemente que 1, a, a2, . . . , a"-' son linealmente independientes sobre F. Si c w ~+ @,a + - . + cwn-,an-' = 0, con los a , en F, entonces @ ( a ) = O, donde q ( x ) = a. + cvlx + . + a,-lxn-' está en F [ x ] .Puesto que q ( x )es de grado menor que p ( x ) , el cual es el polinomio mínimo de a en F t x ] , se concluye necesariamente que q ( x ) = O. Esto implica que a, = al = . - - anPl = O. Por lo tanto, 1, a, a', . . ., son linealmente independientes sobre F y forman una base de F [ a ] sobre F. De esta manera [ F [ a ]: F ] = n. Dado que F [ a ] es un campo, y no simplemente un conjunto de expresiones polinómicas en a, F [ a ]se denofurd por F ( a ) . Obsérvese además que si M es cualquier campo que contiene a ambos F y a, entonces M contiene todas las expresiones polinómicas en a sobre F, por consiguiente M > F ( a ) . Por lo tanto, F ( a ) es el menor subcampo de K que contiene a ambos F y a.

DEFINICI~N. F ( a ) se llama campo o extensión obtenida al agregar u al campo F. Ahora se resumen.

TEOREMA 5.3.5, Supóngase que K 3 F y que a en K es algebraico sobre F de grado a. Entonces F ( a ) , el campo obtenido agregando a a F, es una extensión finita de F y Antes de dejar el Teorema 5.3.5, considerémoslo de una manera un poco diferente. Sean F [ x ] el anillo de poliriomios en x sobre F, y M = ( p ( x ) ) el ideal de F [ x ] generado por p ( x ) , el polinomio mínimo de a en K sobre F. Por el Lema 5.3.4, p ( x ) es irreducible en F [ x ] ;por consiguiente, por el Tearema 4.5.11, A4 es un ideal máximo de F [ x ] .Por lo tanto, F [ x ] / ( p ( x ) es ) un campo por el Teorema 4.4.2. Defínase la aplicación $ : F [ x J K mediante $(f ( x ) ) = f ( a ) . Esta aplicación $ es un homomorfismo de F [ x ]en K y la imagen de F [ x ]en K es simplemente F ( a ) por la definición de F ( a ) . ¿Cuál es el núcleo de $? Por definición es J = { f ( x )E F [ x ]1 $( f ( x ) ) = O ) , y puesto que se sabe que $ ( f ( x ) ) = f ( a ) , J = { f ( x ) E K [ x j 1 f ( a ) = O ) , Dado quep(x) está en J y es +

197

5 3 * Extensiones de campos

el polinomio mínimo de a sobre F, p ( x ) es del grado mínimo posible entre los elementos de d. De esta manera S = (p(x)) por la demostración del Teorema 4.5.6, y así J = M, Por el primer teorema de homomorfismos para anillos F [ x ] / M = imagen de F [ x ] respecto a $ = F ( a ) , y puesto que F [x]/M es un campo, se tiene que F ( a ) es un campo. Se deja al lector la demostración, desde este punto de vista, de que [ F ( a ) : F] = degp(x),

e: son algebraicos. (a) Y/2 + ~ 5 . (b) Ji + (c) 2 + id%. (d) cos (2x/k) + isen (2n/k), k entero positivo.

1. Demuéstrese que los siguientes números en

4%.

2. Determínense los grados sobre Q de los números dados en las partes (a) y (c) del Problema 1.

+ isen (27(-/3)sobre Q? 4. ¿Cual es el grado de cos ( 2 ~ ~ + 8 )isen (2a/8) sobre &?

3. ¿Cuál es el grado de cos (2s/3)

5. S i p es un número primo, pruébese que el grado de cos (27r/p) sobre Q es p - 1 y que

+ i sen (2n/p)

es su polinomio mínimo sobre Q. 6 . (Para los lectores que hayan cursado Cálculo.) Demuéstrese que e = 1 + - +1 - + 1

1!

. s .

+ -1. t . . .

2!

n!

es irracional.

7. Si a en K es tal que a2 es algebraico sobre el subcampo F de K , demostrar que a es algebraico sobre F. 8. Si F c K y f (a) es algebraico sobre F, donde f (x) es de grado positivo en F[x] y a E K, pruébese que a es algebraico sobre F. 9. En relación con la discusión que sigue al Teorema 5.3.5, demostrar que FIx]/Mes de grado n = grdp(x) sobre F y por consiguiente [ F ( a ): F] = n = grdp(x).

10. Pruébese que cos l o es algebraico sobre Q, (1 = un grado, medida angular .) 11. Si a E K es trascendente sobre F, sea F ( a )

-

{ f (a)/g(a) 1 f(x), g(x) =#

O E F [ x ]}. Demuéstrese que F ( a ) es un campo y que es el menor subcampo de K que contiene a ambos F y a.

12. Si a es como en el Problema 11, demuéstrese que F ( a ) = F ( x ) , donde F ( x ) es el campo de las funciones racionales en x sobre F. 13, Sea K un campo finito y F un subcampo de K. Si [K : F3 = n y F consta de q elementos, demuéstrese que K consta de q" elementos. 14. Aplicando el resultado del Problema 13, demuestrese que un campo finito consta de p" elementos para cierto primo p y cierto entero positivo n.

15. Constrúyanse dos campos K y F de tal modo que K sea una extensión aigebraica de F pero que no sea una extensión finita de F.

5.4 EXTENSIONES

FINITAS

Continuamos en el estilo de la seccián precedente. Nuevamente K > Fsiempre denotará dos campos y se emplearán letras latinas para los elemeritos de K y letras griegas para los de F. Sea E ( K ) el conjunto de los elementos de K que son algebraicos sobre F. Desde luego, F c E ( K ) . Nuestro objetivo es probar que E ( K ) es un campo. Una vez probado, se vera un poco acerca de cómo está situado E ( K ) en K . Sin más consideraciones procedemos al

TEOREMA 5.4.1. E ( K ) es un

subcampo de K.

DEMOSTRACION. Lo que se debe probar es que si a, b E K son algebraicos sobre F, entonces a +. b, ab y a / h (si h # 0)son algebraicos sobre F. Esto garantizara que E ( K ) es un subcampo de K. Se hará todo para a + b , ab y a/b "de un solo golpe". Sea K, = F ( a ) el subcampo de K que se obtiene agregando a a F. Puesto que a es algebraico sobre F, digamos de grado rn, entonces, por el Teorema 5.3.5, [ K , : F ] = m. Dado que b es algebraico sobre F y como K, contiene a F, se tiene desde luego que t> es algebraico sobre &. Si b es algebraico sobre F de grado n , entonces es algebraico sobre Ko de grado n a lo sumo. De esta manera K , = &(b), cl subcampo de K obtenido agregando b a K,, es una extensión finita de K, y [ K , : K,] S n. Por consiguiente, por el Teorema 5.3 . 1 , [ K , : F ] [ K , : K,] [ K , : F ) r mn; es decir, K , es una extensión finita de F . Como tal, por el Teorema 5.3.2, K, es una extensión algebraica de F, así que todos sus elementos son algebraicos sobre F. Puesto que a E f ( , C K, y b E K , , entonces todos los elementos uI b , ab, aíb están en K , , por consiguiente son algebraicos sobre F. Esto es exactamente lo que se requería y el teorema queda demostrado.

-

u

5 4 * Extensiones finitas

Si examinamos la demostración un poco más cuidadosamente, vemos que en realidad se ha probado algo más, a saber el

COROLARIO. Si a y b en K

son algebraicos sobre F de grados m y n, respectivamente, entonces a rt b , ab y a / h (si h f 0) son algebraicos sobre F de grado mn a lo sumo, Un caso especial, que merece señalarse y registrarse, es K = é: 1 F = Q. En dicho caso los elemento< algebraicos de C sobre Q frieron denominados números algebraicos; por Io tanto el Teorema 5.4.1 se convierte para este caso en el

TEOREMA 5.4.1. Los números algebraicos forman un subcarnpo de C . Por lo visto hasta ahora, el conjunto de los números algebraicos podría ser muy bien todo C . Pero no es así, ya que sí existen números trascendentes; se demostrará que esto es cierto en la Sección 6.6 del Capítulo 6. Volvemos a un campo general K. El subcampo E ( K ) tiene una cualidad muy particular, la cual se probara en seguida. Dicha propiedad consiste en que cualquier elemento de K que sea algebraico sobre E ( K ) debe estar también en E(K). Para no hacer una digresión en el curso de Ia demostración que se va a dar, se introduce la siguiente notación. Si a,, a2, . . ., a, están en K , entonces F ( a , , . . . , a,) será el campo que se obtiene como sigue: K , = F ( a , ) , & = K l ( a 2 ) = F ( a , , a2), K j = KZ(a3) = F ( a l , a2, a l ) , . . ., K, = K,-,(a,) = F ( a l , az, . . . , a,,). Ahora se prueba el

TEOREMA 5.4.3. Si LI en k' es algebraico sobre E ( K ) , entonces u está en E ( K ) .

DEMOSTRACI~N. Para probar el teorema, todo lo que se debe hacer es demostrar que u es algebraico sobre F; esto colocará a u en E ( K ) y se habrá concluido la demostraciiin. Puesto que u es algebraico sobre E ( K ) , existe un polinomio no trivial f ( x ) = X" + a&'-' 4 a$"-" + . . + aa,,donde a l , a2, . . . , a,, están en E ( K ) , tal que f ( u ) = O. Dado que a , , a,, . . . , a, están en E ( K ) , son algebraicos sobre F de grados, digamos, m,,f ? ~ ~. ., . , m,, respectivamente. Afirmamos que [ F ( a , , . . . , a,) : F ] es a lo sumo rnirn2. . . m,,. Para tal fin, simplemente se llevan a cabo n aplicaciones sucesivas del Teorema 5.3.1 a la sucesión K , , K - , . . . , K , de los campos definidos anteriormente. Su demcstración se deja al lector. De esta manera, dado que tr es algebraico sobre el campo K, = F ( a l ,a2, . . ., a,) [después de todo, el polinomio que u satisface es p ( x ) = X" + aix"-' -t . . , t a,,, el cual tiene todos sus coeficientes en F ( a , , a,, . . . , a,,)],el campo & ( u ) es una extensión finita de K , y puesto que

200

CAP~TULO 5 * CAMPOS

K, es una extensión finita de F, se tiene, de nuevo por el Teorema 5.3.1, que &(u) es una extensión finita de F. Como u E K,(u), del Teorema 5.3.2 se obtiene que u es algebraico sobre F. Esto sitiía a u en E ( K ) por la misma definición de E ( K ) , y con ello se prueba el teorema.

Existe un teorema famoso debido a Gauss, a menudo calificado como el teorema fundamental del álgebra, que afirma (en términos de extensiones) que la única extensión finita de 63, el campo de los números complejos, es g: mismo. En realidad este resultado no es puramente algebraico, su validez depende profundamente de las propiedades topológicas del campo de los números reales. Sea como fuere, es un teorema sumamente importante en el álgebra y en muchas otras partes de la matemática. La formulación del Teorema fundamental del álgebra en tkrminos de la inexistencia de extensiones finitas de C es un poco diferente de la que usualmente se da. La forma más frecuente en la que se formula este famoso resultado involucra el concepto de raíz de un polinomio, el cual se tratará con cierta extensión posteriormente. En tales términos el Teorema fundamental del álgebra se transforma en: todo polinomio de grado positivo que tenga sus coeficientes en e tiene por lo menos una raíz en C . El significado preciso de esta proposición y su equivalencia con la otra forma del teorema expuesta anteriormente, se aclararán más adelante, luego del desarrollo de los temas relativos a raíces. Un campo L. con la propiedad de d= descrita en los párrafos anteriores se dice que es algebraicamente cerrado. Si se da por sentado que Q) es algebraicamente cerrado (teorema de Gauss), entonces, por el Teorema 5.4.3, se tiene tambien que

El campo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado.

1. Demuéstrese que a = f i - 6 es algebraico sobre Q de grado a lo sumo 4 mostrando un polinomio f (x) de grado 4 sobre Q taI que f (a) = O.

2. Si a y b en K son algebraicos sobre F de grados m y n, respectivamente, y si m y n son relativamente primos demuéstrese que [ F ( a , 6) : Fj = mn. 3. Si a E C es tal que p ( a ) = O, donde

demuéstrese que a es algebraico sobre Q de grado a Io sumo 80. 4. Si K 9 F es tal que [ K : F] = p, siendo p primo, probar que K = F ( a ) para todo a en K que no esté en F.

5. Si [ K : F ]

y T es un subcampo de K , demuéstrese que [ T : F] para algún m r n. = 2"

=

2"

6. Proporciónese un ejemplo de dos números algebraicos a y b de grados 2 y 3, respectivamente, tales que ab sea de grado menor que 6 sobre Q.

7. Si K > F son campos y a,, . . . , a, están en K , demuéstrese que F ( a , , . . ., a,) es igual a F(a,(,,, . . . , a,,,,,) para cualquier permutacion cr d e 1 , 2 , . . . , n.

En la antigua Grecia, a diferencia de las otras culturas de la época, 10s matemáticos griegos se interesaron en la matemática como una disciplina abstracta más bien que como un caudal de habilidades pragmáticas para hacer cuentas o realizar mediciones. Desarrollaron notables intereses y resultados en la teoría de los números y, de manera muy especial, en geometria. En dichas áreas formularon cuestiones pcrspicaces. Los problemas que plantearon en geometría -dos de los cuales constituirán el tema aquí tratado- son aún de interés y sustanciosos. El matemático ingles G. H. Hardy, en su triste pero encantador librito A Mafhematician 'S Apology (Apología de un matemático), describe a los antiguos matemáticos griegos como "colegas de otro colegio". En esta sección nos referiremos a dos de tales problemas gríegos. Pero en realidad la respuesta a ambos surgirá como una consecuencia del criterio de constructibilidad, el cual se obtendrá. Ahora se plantean dichos problemas y un poco después se explicará lo que traen consigo.

PROBLEMA1. ¿Se puede duplicar un cubo usando solamente regla y compás? PROBLEMA2. ¿Se puede trisecar un ángulo arbitrario usando solamente regla y compas?

A pesar de la aparente infinidad de "trisectores de ángulos" que afloran cada año, la respuesta a ambos problemas es "no'" Como se verá, es imposible trisecar el ángulo de 60" usando sólo regla y compas. Algunos ángulos, desde luego, son trisecables, por ejemplo, 0°, 90°, 145O, 180°, . . . , pero la mayoría de los ángulos (con un sentido muy preciso de "mayoría") no Io son. Antes de llegar al significado exacto de los mismos problemas, se requiere explicar en terminos explícitos cuales son exactamente las leyes del juego. Por regla no se entendera una regla graduada -es decir, un instrumento para medii longitudes arbitrarias. No. Una regla será simplemente una línea recta, sin nir guna propiedad cuantitativa o métrica atribuida a ella. Se tiene dado un seg-

mento de recta -al cual se le asigna longitud 1- y todas las demás longitudes que se deriven de tal segmento deben obtenerse sencillamente empleando una regla (un simple borde recto) y un compás. Llamemos a un número real no negativo b longitud constructible si, mediante un número finito de aplicaciones de la regla y el compás y los puntos de intersección obtenidas entre rectas y círculos así construidos, se puede construir un segmento de recta de longitud b, a partir del segmento de recta al que se le asignó longitud 1. De la geometría cursada en el bachillerato recordamos algunas cosas que se pueden realizar dentro de este marco. 1. Cualquier longitud que se construya sobre una recta se puede construir sobre cualquier otra recta mediante el uso del compás como instrumento de transferencia o transporte.

2. Se puede trazar una recta paralela a una recta dada que pase por un punto dado.

J. Se puede construir una longitud n para cualquier entero no negativo n. A partir de estos hechos y utilizando resultados referentes a la semejanza de triángiilos, es posibIe construir cualquier longitud racional no negativa. Por el momento esto no se realiza, ya que resultara como un caso especial de Io que se hará en seguida. Afirmamos las siguientes propiedades: 1. Si a y b son longitudes constructibles, entonces a + b también lo es. Si AB es un segmento de recta de longitud a y CD es uno de longitud b, se puede transferir dicho segmento CD, por medio de un compás, para obtener el d i a g r ~ m aABE, donde A B es de longitud a y BE es de longitud b. De esta manera el segmento de recta A E es de longitud a + 6. Si b > a, jcómo se construiría b - a? 2. Si a y b son longitudes constructibles, entonces ab también lo es. Se puede wpor-icr que n # O y b P O, de lo contrario, la proposición es trivial. Consider-se el diagrama

donde L , y L2 son dos rectas distintas que se intersecan en P, y es tal que P A tiene longitud a, PB tiene longitud b y PJ tiene longitud 1. Sea L, la recta que pasa por J y A y L, la recta paralela a L, que pasa por B. Si C es el punto de intersección de L , y L,, se tiene el diagrama

Todas estas construcciones se pueden llevar a cabo con regla y compás. Por geometría elemental, la longitud de PC es ab. Por tanto, ab es constructíble. 3. Si a y b son constructibles y b 'f O , entonces u / b es constructibIe. Considérese el diagrama

donde P, A , B, J , L , y L, son como en la propiedad 2 anterior. Sean L, la recta que pasa por A y B, y L, la que pasa por J paralela a L,. Si D es el punto de intersección de L , y L,, entonces, nuevamente por geometría elemental, la longitud de PD es a/b. Se destaca de nuevo que todas las construcciones realizadas pueden llevarse a cabo con regla y compás. Desde luego, esto demuestra que los números racionales no negativos son longitudes constructibles, ya que son cocientes de enteros no negativos, los cuales se sabe que son longitudes constructibles. Sin embargo hay otras longitudes constructibles, por ejemplo, el número irracional 4. Dado que se puede construir con regla y compás el triángulo rectángulo

con los lados A B y BC de longitud 1, por el teorema de Pitágoras se sabe que AC es de longitud %T.Por lo tanto, fi es una longitud constructible. En las propiedades 1 a 3 se demostró que las longitudes constructibles ~ a s i forman un campo. Lo que falta son los negativos. Para evitar esto se formula la

DEFINICI~N. Se dice que un número real a es un número constructible si ( a ( ,el valor absoluto de u, es una longitud constructible.

204

CAP~TULO5

e

CAMPOS

En lo que se puede decir hasta el momento, cualquier número real podría ser constructible. Pronto se dispondrá de un criterio que dice que ciertos números reales no son constructibles. Por ejemplo, se podrá deducír a partir de este criterio que tanto como coc SO0 no son constructibles. Esto a su vez permitirá demostrar que la respuesta para ambos Problemas 1 y 2 es "no". Pero primero se formula e1

TEOREMA 5.5.1. Los números cunstructibles forman un subcampo de1 campo de los números reales.

DEMBSTRACI~N. Las propiedades 1 a 3 casi resuelven el problema; la propiedad 1 se debe adaptar ligeramente para permitir valores negativos. Se dejan al lector los pocos detalles. La meta siguiente es demostrar que todo número constructible debe ser un número algebraico -no cualquier número algebraico conocido, sino uno que satisfaga una condición bastante severa. Primero obsérvese que si a r O es un número constructible, entonces & también lo es. Considérese el diagrama

Corresponde a una semicircunferencia de radio ( a + 1)/2, centro en C ; AD es de longitud a, DB es de longitud 1 y DE es perpendicular a AB en D y corta a la circunferencia en E. Todo esto es constructible con regla y compás. Por geometría elemental se tiene que DE es de longitud &.Por consiguiente, da es constructible. Ahora nos dirigimos hacia la condición necesaria para que un número reaI sea constructible. Sean K el campo de números constructibles y Ko un subcampo de K. Se entiende por el plano de K, el conjunto de todos los puntos (a, b ) en el plano euclidiano real cuyas coordenadas a y b están en &. Si (a, b ) y ( c , d ) están en el plano de K,, entonces la recta que los une tiene la ecuación ( y - b)/(x - a ) = ( O - d)/(a - c), de manera que es de la forma ux + uy + w = O, donde u, u y w estin en K,. Dadas dos de tales rectas u , x + u , y + W , = O y u2x + u2y 4 W , = O, donde u , , u , , tu, y u,, uz, tu, están todos en K,, entonces son paralelas o bien su punto de intersección es un punto de K,. (Pruébese.) Dada una circunferencia cuyo radio r esta en Ko y cuyo centro (a, b ) esta en el plano de K,, su ecuación es ( x - a)" ( y - bI2 = r< la cual al desarrollarse se ve que es de la forma x2 + y' + dx + ey + f = O, donde d, e y f están en K,. Para ver dónde interseca dicha curva a una recta ux + uy + w = O, contenida en el plano de K,, se resuelven simultáneamente las ecuaciones de

la recta y la circunferencia. Por ejemplo, si v f. O, entonces y = -(ux + w)/u; sustituyendo y por esta expresión en la ecuación x2 + y" dx + ey + f = O se obtiene una ecuación cuadrática en la abscisa c de dicho punto de intersección, de la forma c2 + sic + s2 = O, con S , y s2 en Ko. Por la fórmula cuadrática, c = (-S, I 4 s ; - 4~2212,y si la recta y la circunferencia se cortan en el plano real, entonces sf - 432 2 O. Si s = si - 4s,Z 2 O y si K, = A',(&), entonces se ve que la abscisa c se encuentra en K,. Si 4: E Ko, resulta K, = K,; de lo contrario, [ K , : Ko] = 2. Puesto que la ordenada d = (-uc t w ) / u , se tiene que también d está en K , . Por consiguiente el punto de intersección ( c , d ) se encuentra en el piano de Kl donde [ K 1: &] = 1 o bien 2. Si v = O y u # O el razonamiento es semejante. Finalmente, para obtener la intersección de las circunferencias x2 + y2 + dx + ey + f = O y x 2 + y 2 + gx -t hy + k = O en el plano de K,,, restando una de estas ecuaciones de la otra resulta la ecuación de la recta en el plano de Ko, ( d - g)x + ( e - h)y + (f- k ) = O. Por tanto, encontrar los puntos de intersección de las dos curvas en el plano de Ko es lo mismo que hallar los puntos de intersección de una recta en el plano de Ko con una circunferencia en ese plano. Ésta es precisamente la situación de que se dispuso anteriormente. Por tanto, si las dos circunferencias se cortan en el plano real, sus puntos de intersección se encuentran en el plano de una extensión de & de grado 1 o 2. Para producir una longitud constructible a se empieza en el plano de Q, el conjunto de los racionales; la regla proporciona rectas en el plano de Q y el compas circunferencias en el plano de Q. Por tanto, éstas se intersecan en un punto del plano de una extensión de grado 1 o 2 de Q. Para llegar a a, se va por este procedimiento del plano de Q al de L , , digamos, donde [ L , : Q ] = 1 o 2, luego al de L2, donde [ L , : L , ] = 1 o 2, y se continua un número finito de veces. En esta forma se obtiene una sucesión finita Q = Lo c t,c . . C L, de campos, donde cada [ L , : L,-,] = 1 a 2 y donde a está en L,. Por el Teorema 5.3.1, [ L , : Q ] = [ L , : L,-,] [L,-, : L,-,] [L,:Q] y dado que cada [ L , : L,-l 1 = 1 o 2, se ve que [ L , : Q ] es una potencia de 2. Puesto que a E L,, se tiene que Q ( a ) es un subcampo de L,, por consiguiente, por el corolario del Teorema 5.3.1, [ Q( a ) : Q ] debe dividir a una potencia de 2, por lo tanto [ Q( a ) : Q ] = 2" para algún entero no negativo m. En forma equivalente, por el Teorema 5.3.5, el polinomio mínimo de a sobre Q debe tener grado igual a una potencia de 2. Ésta es una condición necesaria para que a sea constructible. Se ha probado el importante criterio de constructibilidad, a saber 7 -

TEOREMA 5.5.2. Para que un número real a sea constructible, es necesario que [ Q ( a ) : Q ] sea una potencia de 2. En forma equivalente, el polinomio mínimo de a sobre Q debe tener grado igual a una poten-

cia de 2. Duplicar un cubo de lado 1 , por lo tanto de volumen 1, mediante regla y compas, requeriría construir un cubo de lados de longitud b cuyo volumen

fuera 2. Pero el volumen de tal cubo sería b3, así que se tendría que poder encontrar un nuevo número constructible b tal que b3 = 2. Dado un número real b tal que b3 = 2, entonces su polinomio mínimo sobre Q es p ( x ) = x 3 - 2, ya que este polinomio es mánico e irreducible sobre Q (si el lector lo desea, por el criterio de Eisenstein) y p ( b ) = O. Además, como resulta obvio a la vista, p ( x ) es de grado 3 . Puesto que 3 no es una potencia de 2, por el Teorema 5.5.2, no existe tal b constructible, Por lo tanto, el problema de la duplicación del cubo medíante regla y compás tiene respuesta negativa. Esto se resume en el

TEOREMA 5.5.3. Es imposible duplicar un cubo de volumen 1 usando solamente regla y compas. Hemos resuelto ya el clásico Problema 1, así que volvemos al Problema 2, el de la trisección de un ángulo arbitrario mediante regla y compas. Si se pudiera trisecar el angulo particular 60°, se podría construir el triángulo ABC del diagrama

donde e = 20" y A C es de longitud 1, usando solo regla y compás. Puesto que A B es de longitud cos 20°, se tendría que b = cos 20' es un número constructible. Se desea probar que b = cos 20° no es un número constructible produciendo su polinomio mínimo sobre Q, y demostrando que este polinomio es de grado 3. Para tal fin se recuerda la formula trigonométrica del ángulo triple, 4cos3K$ - 3 cos 4. Si b = cos 20°, entonces, dado que a saber, cos 34 cos (3 . 20°) = cos 60° i, dicha fórmula se convierte en 4b3 - 3b = i, y de esta manera 8b3 - 6b - 1 = O. Si c = 2b, esta se transforma en c3 - 3c 1 = O. Si b es constructible, entonces c también lo es. Pero p ( c ) = O, donde p ( x ) = x3 - 3x - 1, y este polinomío es irreducible sobre Q. (Pruébese.) Por lo tanto, p ( x ) es el polinomio mínimo de c sobre Q. Debido a que p ( x ) es de grado 3, y 3 no es una potencia de 2, por el Teorema 5.5.1 se tiene que c no es constructible. Por consiguiente no sepuede trisecar el angulo de 60" usando sólo regla y compas. Esto responde al Problema 2 en forma negativa.

- -

TEOREMA 5.5.4. regla y compás.

Es imposible trisecar un ángulo de 60° usando sólo

56

a

Raíces de polinomias

207

Se espera que este teorema disuada al lector de la idea de unirse a las multitudes de trisectores de ángulos. Hay formas más productivas y placenteras de emplear el tiempo. Existe todavía otro problema clásico de este tipo cuya respuesta es "no". Es el que se refiere a la cuadratura del circulo. La pregunta es: ¿Se puede construir un cuadrado cuya área sea la de un círculo de radio 1 usando solamente regla y compás? Esto es equivalente a preguntar si d a es un número constructible. Si este fuera el caso, entonces dado que a = (d;l2, el número n sería constructiblc. Pero Lindemann probo en 1882 que n es en realidad trascendente, así que desde luego no es algebraico, y entonces no puede ser constructible. Por lo tanto, no se puede realizar la cuadratura del círculo de radio 1 mediante regla y compás. Lo que se hizo anteriormente no constituye, por supuesto, una demostración de la imposibilidad de la cuadratura del circulo, ya que se ha presupuesto el resultado de Lindemann sin probarlo, La demostración de que x es trascendente nos llevaría bastante lejos. Se podría esperar que fuera más fácil probar que a no es constructible que probar que no es algebraico. Éste no parece ser el caso. Hasta ahora todas las demostraciones de que a no es constructible se van por el camino de la consideración de la trascendencia de a .

PROBLEMAS 5.5 1. Complétese la demostración del Teorema 5.5.1. 2. Pruébese que x 3 - 3x - 1 es irreducible sobre Q.

3. Demuéstrese que la construcción dada para tra, siendo a 1 O, da efectivamente Ja. 4. Pruébese que el heptágono regular (polígono de siete lados de la misma longitud) no es constructible, usando solamente regla y compás.

Sean F 1x1, como de ordinario, el anillo de polinomios en x sobre el campo F y M una extensión de campo de F. Si cr E K y

entonces se entiende por f (a) el elemento

de K . Este es el uso que se ha hecho de tal notación a lo largo de este capitulo. Ahora nos interesaremos en aquellos a en K tales que f (a) = 0.

"08

CAP~TULO e ~CAMPOS

DEFINIGI~N. Un elemento a f Kes una raíz de un polinomio f ( x ) E F 1x1 si f ( a ) = O. En lo que se ha hecho hasta ahora siempre se ha dado un campo K extensión de un campo F y se consideraron los elementos de K dgebraicos sobre F, es decir, aquellos elementos de K que son raíces de polinomios distintos de cero en F [ x ] ,Se vio que si a E K es algebraico sobre F de grado n -es decir, si el polinomio mínimo de a sobre Fes de grado n- entonces [ F ( a ) : F ] = n, donde F ( a ) es el subcampo de K que se obtiene agregando a a F. Lo que se hace ahora es invertir el problema. Ya no se dispondra de la extensión K de F. En efecto, la tarea principal sera producirla casi desde el principio. Se empieza con cierto polinomio f ( x ) de grado positivo en F [ x ] como único dato; la meta es construir una extensión de campo K de F en la cual f ( x ) tenga una raíz. Una vez que se tiene bajo control esta construcción de K, se desarrolla el tema general, obteniéndose por ello una serie de consecuencias interesantes. Antes de salir en búsqueda del K apropiado, se debe obtener cierta información con respecto a la relación de las raíces de un polinomio dado y su factorización.

LEMA 5.6.1. Si a E L es una raíz de un polinomio f ( x ) E F[xf de grado n, donde L es una extensión de campo de F, entonces f ( x )se factoriza en L 1x1 como f ( x ) = ( x - a ) q ( x ) ,donde q ( x ) es de grado n 1 en L [ x ]. A la inversa, si f ( x ) = ( x - a ) q ( x ) ,con f ( x ) , q ( x ) y a como antes, entonces a es una raíz de f ( x ) en L. DEMOSTRACI~N. Dado que F c L, F [ x Jesta contenido en L [ x ] .Como a E L, x - a está en L 1x1; por el algoritmo de la división, Teorema 4.5.5, para polinomios en L [ x ] se tiene que f ( x ) = ( x - a ) q ( x ) + r ( x ) , donde q ( x ) y r ( x ) están en L [ x ]y r ( x ) = O o bien grd r ( x ) < grd ( x - a ) = 1 . Esto implica que r ( x ) = b, algún elemento de L, Sustituyendo a por x en la relación anterior y utilizando f ( a ) = O, se obtiene O = ( a - a ) q ( a ) + b = O + b = b; asi que b = O. Puesto que r ( x ) = b = O , se tiene lo que se requería, es decir f ( x ) = ( x - a)q(x)+ En cuanto a la afirmación de que deg q ( x ) = n - 1 se observa que dado que f ( x ) = ( x - a ) q ( x ) ,entonces, mediante el Lema 4.5.2, n = grd f ( x ) = grd ( x - a ) + grd q ( x ) = 1 + grd q ( x ) .Esto da lugar al resultado requerido, grdq(x) = n - l . El recíproco es completamente trívial.

Una consecuencia inmediata del Lema 5.6.1 es

TEOREMA 5.6.2. Supóngase que f ( x ) en F [ x ]tiene grado n; entonces f ( x ) puede tener a lo sumo n raíces en cualquier extensión K de F.

56

Raíces de polinomios

209

DEMOSTRACI~N. Se procede por inducción en n. Si n = 1 , entonces f ( x ) = ax + b, donde a y b están en F y a # O. Así que la única raíz de f ( x ) es -b/a, un elemento de F. Supóngase que el teorema es válido para todos los polinomios de grado k 1 sobre cualquier campo y que f ( x ) en F [ x ] es de grado k. Si f ( x ) no tiene raíces en K, entonces el teorema es desde luego correcto. Supóngase, entonces, que a E K es una raíz de f ( x ) . Por el Lema 5.6.1, f ( x ) = ( x - a ) q ( x ) ,donde q ( x ) es de grado k - 1 en K [ x ] .Cualquier raíz b en K de q ( x ) es bien sea a o una raíz de q ( x ) , ya que O = f ( b ) = ( b - a ) q ( b ) .Por la hipótesis de inducción, q ( x ) tiene a lo sumo k - 1 raíces en K, por consiguiente f ( x ) tiene a lo sumo k raíces en K. Esto completa la inducción y prueba e1 teorema. C] En realidad, la demostración da lugar a un poco más. Para explicar este "poco mas9', se necesita el concepto de multiplicidad de una raíz.

DEFINICI~N. Si K es una extensión de F, entonces un elemento a de K es una ruiz de multiplicidad k > O de f ( x ) ,donde f ( x ) esta en F [ x ], si f( x ) = ( x - u l k q ( x )para algún q ( x ) en K [ x ] y x - a no divide a q ( x ) (o, de manera equivalente, donde q ( a ) 4= O). El mismo argumento dado para la demostración del Teorema 5.6.2 proporciona la siguiente versión más aguda:

Sea f ( x )un polinomío de grado n en F [ x ] ;entonces f ( x )puede tener a lo sumo n raíces en cualquier extensión de campo K de F, contando una raíz de multiplicidad k como k rukes.

TEOREMA 5.6.3. Sea f ( x ) en F [ x ]mónico de grado n y supóngase que K es una extensión de F en la cual f ( x )tiene n raíces, contando una raíz de multiplicidad k como k raíces. Si tales raíces en K son a,, a,, . . . , a,, cada una de ellas con multiplicidad k,, k,, . . , , km,,respectivamente, entonces f ( x ) se factoriza en K [ x ] como f ( x ) = ... ( X ( X - a , ) k l (~

DEMOSTRACION. La demostración es fácil haciendo uso del Lema 5 '6.1 e inducción en n. Se deja al lector llevarla a cabo.

DEFINICION.Se dice que f ( x )en F [ x ]se descompone en factores lineales sobre (o bien, e n ) K, si f f x ) tiene en K ( x ]la factorizacion dada en el Teorema 5.6.3. Existe una aplicación agradable del Teorema 5.6.3 a campos finitas, Sea F un campo finito que consta de q elementos y sean a,, a,, . . . , a,_, los elementos no cero de F. Puesto que ellos forman un grupo de orden q - 1 respecto

210

CAPiTULO 5 * CAMPOS

a la multiplicacián en F, por el Teorema 2.4.5 (demostrado ya hace mucho tiempo), a4-' = 1 para cualquier a # O en F. De esta manera el polinomio xq-' 1 en F [ x ] tiene q - 1 raíces distintas en F. Por el Teofema 5.6.3, el polinomio xY-' - 1 = (X - al)(x - a2) . . - ( x - a,-,). Si también se considera O, entonces todo elemento a de F satisface aq = a, de manera que ei polinomio x 4 x tiene los g elementos de Fcomo sus raíces distintas, Por el Teorema 5.6.3 se tiene

TEOREMA 5.6.4. Sea F u n campo finito que consta de q elementos. Entonces xq - x se factoriza en F [ x ] como

donde a,,

U*,

. . ., ay-,

son los elementos no cero de F y

Un caso muy especial de este teorema es aquel en el que F = Z,, los enteros módulo el primo p. Aquí q = p y a,, a,, . . ., a, son precisamente 1, 2, . . . , p - 1 en algún orden. Por consiguiente se tiene el

COROLARIO. En Z,[x],

xP-'

- 1 se factoriza como

Póngase a prueba esto para p = 5, 7 y 11. Como un corolario del corolario, se tiene un resultado de teoría de 10s números, conocido como Teorema de Wilson, el cual fue asígnado como Problema 18 de la Sección 2.4 del Capítulo 2.

COROLARIO. Si p es primo, entonces ( p

-

I)!

E

-1 módp.

DEMOSTRACI~N. Por el corolario anterior,

sustituyendo x

=

O en esta expresión resulta

= (-1)p-'(p

- l)!

en S,. En los enteros esto se traduce en "congruente módp". De esta manera (-1)P-'(p

- l)!

-1 módp,

y por lo tanto ( p - l)! = (-1)P módp. Pero (-1)P te, se ha probado el teorema de Wilson.

= -1

mód p; por consiguien-

Ahora cambiarnos de dirección para considerar el problema mencionado al principio de esta sección: dado f (x) E F [ x ] , construir una extensión finíta K de F e n la cual f (x) tenga una raíz. Como se verá en un momento, tal construcción de K será bastante sencilla cuando se pongan en juego los resultados probados en el Capítulo 4 respecto a anillos de polinomios. Sin embargo, se lleva un poco de trabajo verificar que dicha construcción funciona.

TEOREMA 5.6.5. Sea F un campo y f (x) un polinomio de grado positivo n en F [ x ] . Entonces existe una extensión finita K de F, con [K : F ] 5 n, en la cual f (x) tiene una raíz.

DEMOSTRACI~N. Por el Teorema 4.5.12, f (x) es divisible en F [ x ] por algún polinomio irreduciblep(x) en F[x]. Dado que p ( x ) divide a f (x), grdp(x) -c grd f (x) = n y f (x) = p ( x ) q ( x ) para algún polinomio q ( x ) en F [ x ] . Si b es una raíz de p ( x ) en alguna extensión de campo de F, entonces b es automáticamente una raíz de f (x), ya que f ( b ) = p ( b ) q ( b ) = Oq(b) = O. Así que para probar el teorema es suficiente encontrar una extensión de E en la cual p ( x ) tenga una raíz. Dado que p (x) es irreducible en F [ x ] , el ideal M = (p(x)) de F [x] generado por p ( x ) es un ídeal máximo de F [ x ] por el Teorema 45.11. Por consiguiente, por el Teorema 4.4.2, K = F [ x ] / M e s un campo. Afirmamos que éste es el campo buscado. Estrictamente hablando, K no contiene a F; sin embargo, corno se demuestra en seguida, K sí contiene un cainpo isomorfo a F. Puesto que todo elemento de M es un múltiplo de p ( x ) en F [x], todo elemento de M que no sea cera debe tener grado al menos igual al dep(x). Por lo tanto, M n F = (O). De esta manera ei homomorfismo j, : F [x] K definido por $(g(x)) = g ( x ) + M para todo g(x) en F [ x ] ,cuando se restringe a F, es inyectivo en F. Por consiguiente, la imagen de F e K, F, es un campo isomorfo a F. Se puede identificar F, par medio de $, con F y por lo tanto se puede considerar, en esta forma, que K es una extensión de F. Denótese x + M E K por a , de manera que $(x) = a, a E K. Se deja al lector demostrar, a partir del hecho de que $ es un homomorfismo de F [x] sobre K c o n núcleo M, que $(g(x)) = g ( a ) para todo g ( x ) en F [ x ] . ¿A qué es igual $ ( p ( x ) ) ? Por una parte, puesto q u e p ( x ) esta en F [ x ] , $ ( p ( x ) ) = p ( a ) . Por otra parte, dado q u e p ( x ) esta en M, el núcleo de S., $ ( p ( x ) ) = O. Igualando estas dos evaluaciones de $ ( p ( x ) ) , se obtiene que p ( a ) = O. E n orras palabras, el elemento a = j,(x) de K es una raíz de p(x). Para terminar la demostración, todo lo que se necesita es probar que [ K : F ] = grdp(x) 5 n. Esto surgió anteriormente, en la demosrracion alternativa que se dio del Teorema 5.3.5. En esa ocasión se dejó dicho punto para -+

que fuera probado por el lector. Seremos ahora un poco más generosos y Ilevaremos a cabo la demostración en detalle. Dado h(x) en F[x], entonces, por el algoritmo de la división, h(x) = p(x)q(x) + r(x) donde q(x) y r(x) están en F I x ] y r(x) = O o bien grdr(x) < grdp(x). Procediendo en módulo M, se obtiene que

[puesto que $(p(x)) = p ( a ) = O], Por lo tanto, puesto que todo elemento de K = F [ x ] / Mes $(h(x)) para algún h(x) en F [ x ] y $(h(x)) = r(a), se tiene que todo elemento de K es de la forma r(a), donde r(x) está en F [x] y grdr(x) < grdp(x), Si grdp(x) = m , la discusión que se acaba de realizar dice que 1, a , a 2 , . . . , generan K sobre F. Además, estos elementos son linealmente independientes sobre F , ya que una relación del tipo a, + a,a + . - - + cum-la"-" O implicaría que g(a) = O donde g(x) = a. + a , x + . + a m - l ~ m - ' e s t áen F [x]. Esto sitúa a g(x) en M, lo cual es imposible puesto que g(x) es de grado menor que p(x), a menos que g(x) = O. En otras palabras, se obtiene una contradicción - a,-, = O. Por lo tanto los elementos 1, a, a2, a no ser que a, = a, = . . ., son linealmente independientes sobre F. Dado que tambíén generan K sobre F, forman una base de K sobre F. Consecuentemente, dim,K

=

[ K :F ]

=

m = grdp(x)

S n =

grd f (x),

El teorema está probado. Realizamos ahora una iteración del argumento usado en la demostracion anterior para probar el importante

TEOREMA 5.6.6, Sea f (x) E F [ x ] de grado n.

Entonces existe una extensión K de F de grado a lo sumo n! sobre F de tal manera que f (x) tiene n raíces, contando multi~licidades,en E;. De manera equivalente, f ( x ) se descompone en factores lineales sobre K . DEMOSTRACI~N. Se procede por inducción en n. Si M = 1, entonces f (x) = cu -t Px, donde a , 0 E F y P P O, La única raíz de f ( x ) es -a/P, la cual está en F. De esta manera K = F y [ K : F] = 1.

Supóngase que el resultado es cierto para todos los polinomios de grado k sobre un campo y que f (x) E F [x] es de grado k + 1. Por el Teorema 5.6.5 existe una extensión K, de F con [ K , : F : S k + 1 en la cual f (x) tiene una raíz a,. Por consiguiente en K,[x], f ( x ) se factoriza como f ( x ) =

( x - a , ) q ( x ) ,donde q ( x ) E K , [ x ] es de grado k . Por Ia hipótesis de inducción existe una extensibn K de K1 de grado a lo sumo k ! sobre K,, sobre la cual q ( x ) se descompone en factores lineales. Pero entonces f ( x ) se descompone en factores lineales sobre K . En virtud de que [K : F] = [ K : K l ] [ K , : K1 5 ( k + l)k! = ( k 4- l)!, se completa la inducción y se prueba el teorema. Dejamos el tema de las extensiones de campo hasta este punto. Estamos exactamente en lo que se podría describir como e1 principio de la teoría de Calois. Dada una extensicin K de F de grado finito sobre la cual un polinomio dado f ( x ) se descompone en factores lineales, existe una extensión de grado mínimo que goza de esta propiedad. Tal extensión se denomina campo de descomposición de f ( x ) sobre F. Luego se procede a demostrar que tal campo de descomposición es único salvo isomorfismos. Una vez que se cuenta con esto la teoria de Galois avanza sobre ruedas, estudiando la relación entre el grupo de automorfismos de dicho campo de descomposición y su estructura de subcampo. Con el tiempo, conduce a la demostración, entre muchas otras cosas, de que existen polinomios sobre los racionales de cualquier grado mayor que o igual a 5 cuyas raíces no se pueden expresar cómodamente en términos de los coeficientes de tales polinomios. Esto constituye una breve y muy superficial descripción de a dónde se puede ir a partir de aquí en la teoria de campos. Pero no hay prisa. Los lectores deben asimilar el material que se ha presentado; esto los colocara en una buena posición para estudiar teoría de Galois si así lo desean.

PROBLEMAS 5.6 1. Pruébese el Teorema 5.6.3. 2, Si F es un campo finito que tiene los q - 1 elementos distintos de cero a , , a,, . . . , a ,-,, pruébese que alaz . a,-! = (-l),.

3. Sean Q el campo de los racionales y p ( x ) = "x x 3 + x2 + x + 1. Demuéstrese que existe una extensión K de Q con [ K : Q ] = 4 sobre la cual p ( x ) se descompone en factores lineales. [Sugerencia: Encuéntrense las raíces de p ( x ) .]

+ a,xfl-i + . . . t a,, a,, # O, es un polinomio con coeficientes enteros y si un número racional r es una raíz de q ( x ) ,pruébese que r es entero y r/a,.

4 . Si q ( x ) = x"

5. Probar que q ( x ) = x' - 7x

+

1 1 es irreducible sobre Q.

6. Si F es un campo de característica p # 0, demuéstrese que (a up + bP para todc a y b en F.

-t

b)"

7. Extiéndase el resultado del Problema 6 demostrando que ( a am -t b m , donde m = p".

+

b)"' =

=

244

CAP~TC~LO 5 e CAMPOS

8. Sea F = Z,, siendo p primo, y considérese el polinomio x" - x en Z , [ x ] , donde m = pn. Sea k una extensión finita de Z, sobre la cual x" - x se descompone en factores lineales. En K sea K, el conjunto de todas las raíces de x" - x, Demuéstrese que K, es un campo que consta a lo sumo de p n elementos. 9. En el Problema 8 demuéstrese que K, tiene exactamente p n elementos. (Sugerencia: Véase el Problema 14.)

10. Constrúyase una extensión de campo Kn de I) tal que [ K n : I)] = n, para cualquier n r 1. 11. Definir la aplicación 6 : F 1x1 * F [ x ] mediante

Demostrar que: (a) 6 ( f ( x ) + g ( x ) ) = d ( f ( x ) ) + 6 ( g ( x ) ) . (b) 6 ( f ( x ) g ( x ) ) = f ( ~ 1 (6g ( x ) )f G ( f ( x ) ) g ( x ) para todo f ( x ) y g ( x ) en F [ x ] .

12. Si F es de característica p # 0, descríbase todo f { x ) en F [xj tal que N f ( x ) ) = 013. Demuéstrese que si f ( x ) en F [ x ]tiene una raíz de multiplicidad mayor que 1 en alguna extensión de campo de F, entonces f { x ) y 6( f ( x ) )no son primos entre sí en F [ x ] . 14. Si F es de característica p # 0, demuéstrese que todas las raíces de xm - x, donde m = p", son distintas.

15. Si f ( x ) en F [ x ] es irreducible y tiene una raíz de multiplicidad mayor que 1 en alguna extensión de F, demuéstrese que: (a) F debe ser de característica p para algún primo p. (b) f ( x ) = g ( x P )para algún polinornio g ( x ) en F [ x j .

.S

En este capitulo final consideramos varios temas no relacionados. Uno de ellos viene de la teoría de grupos y los restantes de la teoría de campos. En el estudio de estos temas, nos tropeLaremos con muchos de los resultados y conceptos desarrollados anteriormente en el libro. Aunque dichos temas son un tanto especiales, cada uno tiene consecuencias que son verdaderamente importantes en sus respectivas áreas. Los lectores que hayan logrado sobrevivir hasta ahora habrán adquirido un cierto conjunto de técnicas, experiencia y habilidad algebraicas para poder seguir el material con relativa facilidad. Nos sentimos ahora en libertad para tratar diversos temas de manera algo más superficial que antes, dejando al lector completar un poco más los detalles. E1 material que se tratará no se presta fácilmente a problemas, al menos no a problemas de un grado razonable de dificultad. Por consiguiente, se asignaran relativamente pocos ejercicios. Esto debe ser como una ayuda para aquellos que deseen asimilar los temas de este capítulo.

En el Capítulo 3, donde se habló de S,,, el grupo simétrico de grado n , se demostró que si n 2 2, entonces S , tiene un subgrupo normal A,, el cual se denominó grzipo alternanle de grado n , que es un grupo de orden n !/2. En realidad, A,, fue simplemente el conjunto de todas las permutaciones pares en S,,.

216

CAP~TULO6 * TEMAS ESPECIAiES

Cuando se trató de A,, se dijo que, para n 2 5, era un grupo simple, es decir, que A,, no tiene otros subgrupos normales aparte de (e) y 61 mismo. En aquella ocasión se prometió que se demostraría este hecho en el Capítulo 6. Ahora se cumple tal promesa. Para explicar con claridad qué es Lo que se va a demostrar, quizá debamos repetir lo que se dijo anteriormente y definir formalmente qué significa grupo simple.

DEFINIGION.Se dice que un grupo no abeliano es sirnple si sus únicos subgrupos normales son (e) y él mismo. Se impone la condición de que G sea no abeliano, para excluir de la designación de "simple" a los ejempIos triviales de grupos cíclicos de orden primo. Dichos grupos cíclicos de orden primo no tienen subgrupos no triviales en absoluto, así que, forzosamente, carecen de subgrupos normaIes propios. Se ve fácilmente que un grupo abeliano sin subgrupos propios es cíclico de orden primo. Empezamos con el muy sencillo

LEMA 6.4 .d.

Si n > 3 y r , , r2 son dos transposiciones en S,, entonces es un 3-ciclo o bien el producto de dos 3-ciclos.

entonces T , T , = 7: = e y desde luego e es el producto de dos 3-ciclos, por ejemplo e = (123)(132). Si T, f r2, entonces tienen ya sea un símbolo en común o ninguno. Si tienen un símbolo en común, se puede suponer, luego de una renumeración apropiada, que 7 , = (12) y r2 = (13). Pero entonces 7172 = (12)(13) = (1321, el cual ya es un 3-ciclo. Finalmente, si r , y r2 no tienen símbolo en común, se puede suponer, sin perder generalidad, que T , = (12) y r2 = (341, en cuyo caso r,r2 = (12)(34) = (142)(143), que es efectivamente el producto de dos 3-ciclos. El lema queda entonces probado.

DEMOSTRACI~N. Si r ,

= T,,

Una consecuencia inmediata del Lema 6.1.1 es que para n r 3 los 3-ciclos generan A,, el grupo alternante de grado n .

TEOREMA 6.4.2.

Si rr es una permutación par en S,l, donde n 1 3, entonces ú es un producto de 3-ciclos. En otras palabras, los 3-ciclos en S, generan A,.

DEMOSTRACI~N. Sea ú E S,, una permutación par. Por la definición de paridad de una permutación, a es el producto de un número par de transposiciones. Así que o = 7 % ~ 72,-1T2, ~ ' r2,,,-,~2m es el producto de 2m transposiciones T I ,T ~ ., . . , TI,,. Por el Lema 6.1.1, cada r2,-172,es un 3-ciclo o bien el producto de dos 3-ciclos. Por tanto, se tiene que a es un 3-ciclo o bien el producto de a lo sumo 4m 3-ciclos. Esto demuestra el teorema. 5 "

2418

CAP~TULO 6 * TEMAS ESPECIALES

A,. Se podría preguntar si cualquier par de 3-ciclos son conjugados incluso en el grupo más pequeño A,. Para n 1 5 la respuesta es "sí'' y es bastante fácil

de probar.

LEMA 6.4.6. Si n s 5, entonces cualquier par de 3-ciclos en S , son también conjugados en A ,. DEMOSTRACI~N. Sean a, y a, dos 3-ciclos en S,; por el Lema 6.1.4 son conjugados en S,. Renumerando, se puede suponer que a l = (123) y o, = 7(123)rF1 para algún r E S,. Si T es par, entonces se llega a la conclusión deseada. Si T es impar, entonces p = ~ ( 4 5 )es par y p(123)p-1 = r(45)(123)(45)-'7-' = 7(123)r7' = at. Por lo tanto, a, y a, son conjugados en A,. De esta manera se ve que el lema es correcto.

u

En S, los dos 3-ciclos (123) y (132) son conjugados en S3 pero no lo son en A,, que es un grupo cíclico de orden 3. Ahora se prueba un resultado que no es solamente importante en teoría de grupos, sino que desempefia también un papel clave en teoría de campos y en la teoría de ecuaciones.

TEOREMA6.1.7. Si n m 5, entonces el único subgrupo normal propio no trivial de S , es A,.

DEMOSTRACI~N. Supóngase que N es un subgrupo normal de S, y que N no es (e) ni tampoco S,. Sea n # e un elemento de N. Puesto que el centro de S , es precisamente (e) y Ias transposiciones generan S , , existe una transposición 7 tal que a l + 7 ~ Por . el Lema 6.1.4, 71 = ara-' es una transposición, por lo tanto 77, = r a r ~ - ' # e está en N, ya que a E N y TUT = TUT-! E N porque N es normal en S,q.De esta manera N contiene un elemento que es el producto de dos transposiciones, a saber 5-71. Si r y 7! tienen un símbolo en común, entonces, como se vio en la demostración del Lema 6.1 . l , 7-71 es un 3-ciclo, por consiguiente N contiene un 3ciclo. Por el Lema 6.1.4 todos los 3-ciclos en S, son conjugados a TT, así que deben estar en N, por la normalidad de N en S , . Por lo tanto el subgrupo de S, generado por 10s 3-ciclos, el cual, según el Teorema 6.1.2 es todo A,, se encuentra en N. Nótese que hasta este punto no se ha empleado el hecho de que n 2 5. En estas condiciones se puede suponer que r y 71 no tienen símbolos en común. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que T = (12) y 7, = (34); por lo tanto, (12)(34) esta en N. Puesto que n s 5, (15) está en S,,,por consiguiente (15)(12)(34)(15)-' = (25)(34) esta también en N; de esta manera (12)(34)(25)(34) = (125) está en N. Así que también en este caso, N debe contener un 3-ciclo. El argumento anterior demuestra entonces que N > A,.

6 1 * Simplicidad de A,

Se ha demos.trado que en ambos casos N debe contener a A,. Puesto que no hay subgrupos estrictamente entre A , y S, y N f S,, se obtiene el resultado A ,. deseado que N

-

El resultado es falso para n N

=

=

4; el subgrupo

{e,(12)(34), (13)(24), (14)C23?)

es un subgrupo normal propio de S, y no es A,. Ahora ya conocemos todos los subgrupos normales de S, cuando n 2 5. ¿Se pueden determinar a partir de esto todos los subgrupos normales de A , para n L 5? La respuesta es "si"; como pronto se verá, A,, es un grupo simple si n z 5. La demostración que se da puede parecer inesperada a muchos, ya que gira en torno del hecho de que 60, que es el orden de A,, no es un cuadrado perfecto.

TEOREMA 6.1.8. El grupo A , es un grupo simple de orden 60. DEMOSTRACI~N. Supóngase que A , no es simple; entonces tiene un subgrupo normal propio N cuyo orden es tun pequeño como sea posible. Sea el subconjunto T = {a E Sr 1 oNa-' C N ) o sea el normalizador de N en S,. Puesto que N es normal en A s , se tiene que T > A g . T es un subgrupo de S,, así que si T # A,, se tendría que T = S,. Pero esto diría que N es normal en S,, lo cual, por el Teorema 6.1.7, implicaria que N 3 A5, dando por resultado que N = A,, lo que es contrario a la suposición que N es un subgrupo propio de A s .De manera que se debe tener T = A,. Dado que (12) es impar, no esta en Aj, por consiguiente no está en T. Por lo tanto, M = (12)N(12)-' # N. Puesto que N a A,, también se tiene que M a As (pruébese), así que ambos M f? N y M N = {mlz1 m E M, n f N ) son normales en A , . Dado que M # N se tiene que M fi N # N y puesto que N es un subgrupo normal propio minimo de A j , se deduce que M f? N = ( e ) . Por otra parte, (12)MN(12)-' = (12)M(12)-1(12)N(12)-1 = N M [ya que (12)N(12)-' = M y (12)M(12)-' = N] pero NM = ILíN por la normalidad de M y N en A,. Por lo tanto, el elemento (12) está en el normalizador de IMN en SSy dado que M N es normal en A,, se obtiene, como se hizo anteriormente, que MN es normal en S5y por lo tanto M N = As por el Teorema 6.1.7. Consid6rese lo que se tiene ahora. Ambos M y N so11 subgrupos normales de A S ,cada uno de orden lNl, y MN = As y M 1'7N = (e). Afirmamos, y lo dejamos al lector, que MN debe tener entonces arden (NI2.Puesto que MN = AS, se obtiene que 60 = 1 A, 1 = jMNI = ]NI2.Pero esto carece totalmente de sentido, ya que 60 no es cuadrado de ningún entero. Esto establece e1 Teorema 6.1.8. No es muy difícil pasar de la simplicidad de A, a la de A, para n 2 5. Nótese que el razonamiento que se hizo para A s no dependí6 de S hasta llegar

220

CAP~TULO 6 * TEMAS ESPECIALES

a "60 no es cuadrado de ningún entero". En efecto, el razonamiento es válido mientras se sepa que n ! / 2 no es un cuadrado perfecto. Así por ejemplo, si n = 6, entonces 6 ! / 2 = 360 no es cuadrado, por consiguiente A , es un grupo simple. Dado que este hecho será necesario en la discusión posterior, se registra antes de continuar.

COROLARIO DE LA DEMOSTRAGI~N DEL TEOREMA 6.4.8. A, es un grupo simple,

Regresamos a la cuestión de si n ! / 2es o no es cuadrado. En realidad, no lo es si n > 2. Esto se puede demostrar como consecuencia del magnífico teorema de la teoría de los números (llamado Postulado de Bertrand), que afirma que para m > 1 siempre existe un primo entre m y 2m. Puesto que no se dispone de este resultado, seguimos otro camino para demostrar la simplicidad de A, para todo n r 5. Probamos ahora este importante teorema.

TEOREMA 6.4.9. Para todo n

2

5 el grupo A, es simple.

DEMOSTRACI~N. Por el Teorema 6.1 -8se puede suponer que n r 6. El centro de A,, para n > 3 es simpIemente (e). (Pruébese.) Puesto que A. es generado por los 3-ciclos, si a # e está en A,, entonces, para algún 3-ciclo T , úr # 7ú. Supóngase que N # (e) es un subgrupo normal de A. y que a P e esta en N. Por consiguiente, para algún 3-ciclo 7, a7 # rú, lo cual quiere decir que o ~ a - ' ~ - #' e. Dado que N es normal en A,, el elemento ra-Ir-' está en N , por 10 tanto aro-'r-' está también en N. Puesto que r es un 3-ciclo, entonces a ~ a - ' debe ser tambien un 3-ciclo, De esta manera N contiene el producto de dos 3-ciclos, y dicho producto no es e. Estos dos 3-ciclos contienen a lo sumo seis símbolos, así que se pueden considerar situados en A, el cual, dado que n r 6, se puede considerar empotrado isomorfatnente en A , . (Pruébese.) Pero entonces N í7 A, f (e) es un subgrupo normal de A,, por consiguiente, por el corolario anterior, N í7 A, = A,. Por lo tanto, N debe contener un 3ciclo y puesto que todos los 3-ciclos son conjugados en A , (Lema 6.1.6), N debe contener todos los 3-ciclos en S , . Dado que estos 3-ciclos generan A ,, se obtiene que N es todo A , y con ello se prueba ef teorema. 0 Existen muchas demostraciones diferentes del Teorema 6.1.9 -las que normalmente comprenden la prueba de que un subgrupo normal de A,, debe contener un 3-ciclo- que son más breves y posiblemente mas sencillas que la que c;e dio. Sin embargo, preferimos el rasgo curioso contenido en la demostración dada en el sentido de que todo el asunto se reduce al hecho de que 60 no es un cuadrado. Kecamendamos al lector examinar algunas otras demostraciones de este teorema tan importante, especiaImente en libros de teoría de grupos. Los A , proporcionan una familia infinita de grupos simples finitos. Hay algunas otras familias infinitas de grupos simples finitos y 26 grupos simples

6 2 * Campos finitos l

221

finitos particulares que no pertenecen a ninguna familia infinita. Esta determinación de todos los grupos simples finitos, que fue llevada a cabo en las décadas de 1960 y 1970 por un gran número de investigadores de la teoría de grupos, es uno de los más grandes logros de la matemática del siglo xx.

PROBLEMAS 6.1 1. Pruébese que si n > 2, el centro de S , es ( e ) .

2. Pruébese que si n > 3, el centro de A, es ( e ) . 3. ¿Qué se puede decir respecto a las estructuras de ciclo del producto de dos 3-ciclos? 4. Si

rn < n, demuéstrese que hay un subgrupo de S , isomorfo a S,,,.

5. Demostrar que un grupo abeliano que no tenga subgrupos propios es ciclico de orden primo. 6. ¿Cuántas clases de conjugación hay en S,?

7. Si los elementos a,, a,, . . ., a , generan el grupo G y b es un elemento no central de G, pruébese que ba, f a,b para algún i. 8. Si M a N y N a 6, demuéstrese que u M ~ -es~ normal en N para todo a E 6. 9. Si M a G y N a G, demuéstrese que MN es un subgrupo normal de G.

10. Si n =. 5 es impar, demuéstrese que los n-ciclos generan A , , 11. Demuéstrese que e1 centralizador de (12 , . - k ) en S , tiene orden k ( n - k)! y que (12 . . . k ) tiene n!/(k(n - k)!) conjugados en S , . 12. En la demostración del Teorema 6.1.8, pruébese que IMNJ = / N I Z .

6.2 CAMPOS FINITOS I Nuestra meta en esta sección y en las dos siguientes es obtener una descripción completa de todos fos campos finitos. Lo que se demostrará es que el grupo rnultiplicatívo de los elementos distintos de cero de un campo finito es un grupo cíclico. Esto se realiza en la presente sección. En las dos siguientes los objetivos serán establecer 1 i existencia y unicidad de los campos finitos que constan de p" elementos para cualquier primo p y cualquier entero positivo n. Algunas de las cosas que se van a hacer ya aparecieron en los conjuntos de problemas de teoría de grupos y teoria de campos como problemas difíciles. Las técnicas que se emplean provienen de las teorías de grupos y campos, agregando un poco de teoria de los números.

CAP~TU 6 L ~ TEMAS ESPECIALES

Se recuerda lo que es la función cp de E'uier. Dicha función se define por: p(1) = 1 y , para n > 1, p ( n ) es el número de enteros positivos menores que n y primos con respecto a n. Empezamos con un resultado de teoría de los números cuya demostracián, sin embargo, utilizará teoría de grupos. Antes del caso general, presentamos un ejemplo. Sea n = 12; entonces ~ ( 1 2 = ) 4 ya que solamente 1, 5 , 7 y 11 son menores que 12 y relativamente primos con 12. Se calcilla p ( d ) para todos los divisores de 12. Se tiene: ip(1) = 1, p(2) = 1 , cp(3) = 2, p(4) = 2, p(6) = 2 y p(12) = 4. Obsérvese que la suma de todos los valores p ( d ) sobre todos los divisores de 12 es 12. Esto no es casualidad sino un caso especial del

TEOREMA

6.2.4. Si n z 1 , entonces C p ( d ) = n, donde esta suma

recorre todos los divisores d de n.

DEMOSTRACI~N. Sea G un grupo cíclico de orden n generado por el elemento a. Si dl n, ¿cuántos elementos de G tienen orden d? Si b = P", entonces todas las soluciones en G de xd = e son las potencias e, b, b2, . . ., bd-' de b. ¿Cuántas de ellas tienen orden d? Afirmamos, y lo dejamos al lector, que br tiene orden d si y sólo sí r es primo con respecto a d. Así que el número de elementos de orden d en G, para todo divisor d de n, es p(d). Cada elemento de G tiene como orden algún divisor de n, de modo que si se suma el número de elementos de orden d -a saber vid)- sobre todos los d que dividan a n, por cada elemento de G se cuenta una y sólo una vez. Por consiguiente Cp(d) = n si se recorren todos los divisores d de n. El teorema ahora esta probado. O En un grupo cíclico finito de orden n el numero de soluciones de xd = e, el elemento unidad de G, es exactamente d para cada d que divida a u . Este hecho se utiliza en la demostración del Teorema 6.2.1. Ahora se prueba el reciproco de este, obteniéndose por ello un criterio para la ciclicidad de un grupo finito.

TEOREMA 6.2.2. Sea G un grupo finito de orden n con la propiedad de que para todo d que divida a n existen a lo sumo d soIuciones de xd = e en G. Entonces G es un grupo cíclico.

DEMOSTRAGI~N. Sea $ i d ) el número de elementos de G de orden d. Por hipótesis, si a E G es de orden d, entonces todas las soluciones de xd = e son las potencias distintas e, a, a2, . . . , a"-'; de las cuales p ( d ) son de orden d. De manera que si hay un elemento de arden d en G, entonces $ ( d ) = p(d). Por otra parte, si no hay ningún elemento en G de orden d, entonces $ i d ) = O. Así que para todo d l n se tiene que S ( d ) S p(d). Sin embargo, puesto que todo elemento de G tiene cierto orden d que divide a n se tiene que C $ ( d ) = n , donde esta suma recorre todos los divisores d de n. Pero

62

223

Campos finitos l

ya que cada $ ( d ) S p ( d ) . Esto da por resultado que T;$(d) = C p ( d ) ,lo cual, junto con $ ( d ) c 1 debe haber un elemento a en G de orden n. Por lo tanto, los elementos e, a, a', . . . , son todos distintos y son n en cantidad, de modo que deben dar lugar a todo C. Por consiguiente, G es cíclico con a como generador y se demuestra el teorema. O ¿,Existealguna situaciQn donde se pueda estar seguro que la ecuación x" = e tiene a lo sumo d soluciones en un grupo dado? Por supuesto. Si K * es el grupo de elementos distintos de cero de un campo respecto a la multiplícací0n, entonces el polinomio xfl - 1 tiene a lo sumo n raíces en K * por el Teorema 5.6.2. Por lo tanto, si G C K * es un subgrupo multipIicativo finito de K *, entonces el número de soluciones de xd = 1 en G es a lo sumo d para cualquier entero positivo d , y en pariicular para todo d que divida al orden de G. Por el Teorema 6.2.2 G debe ser un grupo cíclico. Se ha probado el

TEOREMA 6.2.3. Si

es un campo y K * es el grupo de elementos distintos de cero de K respecto a la multiplicaci0ri, enlonces cualquier subgrupo finito de K * es cíclico.

Este es un caso muy especial del Teorema 6.2.3, pero por el momento el más importante es el

TEOREMA 6.2.4. Si K es un campo finito, entonces K * es un grupo cíclico,

DEMOSTRACI~N. K * es un subgrupo finito de sí mismo, por consiguiente, por el Teorema 6.2.3,

E;"

es cíclico.

O

Un caso particular del Teorema 6.2.4 es de gran iniportancia en teoría de los números, donde se conoce como la existencia de raíces primitivas m o d p para p primo.

TEOREMA 6.2.5. Si p es primo, entonces ZP es un grupo cíclico PROBLEMAS 6.2 1. Si a E C tiene orden d , pruébese que a' también tiene orden d si y solo si r y d son primos entre sí.

224

CA~~TULO 6 * TEMAS ESPECIALES

2. Encuéntrese un generador cíclico (raíz primitíva) para S?,.

3. Resolver el Problema 2 para S?,. 4. constrúyase un campo K que conste de nueve elementos y encuéntrese un generador ciclico para el grupo K * .

5. Si p es primo y m = p2, entonces S , no es un campo pero 10s elementos {[a]](a, p ) = 1 } forman un grupo respecto a la multiplicación de Z,,,. Pruébese que este grupo es cíclico de orden p(p - 1). 6. Determínense todos los subgrupos finitos de los numeras complejos.

En los problemas restantes p es la función

\r

p

*. donde C es el campo de

de Euler.

7. Si p es primo, demostrar que p ( p n ) = pn-'(p - 1 ) .

8. Si m y n son enteros positivos primos entre sí, pruébese que

d m n ) = cp(m)cp(n). 9. Aplicando los resultados de los Problemas 7 y 8, encuéntrese p ( n ) en términos de la factorización de n en potencias de primos. 10. Pruebese que lím p ( n ) =

m.

n-'xI

6.3 CAMPOS FINITOS H:

EXISTENCIA

Sea K un campo finito; entonces K debe ser de característica p, p primo, y K contiene a O, 1, 2, . . . ,p - 1 , los p múltiplos del elemento unidad 1 de K . De modo que K 3, Z,, o bien, de manera más precisa, K contiene un campo isomorfo a 2,. Puesto que K es un campo vectorial sobre 2, y evidentemente es de dimensión finita sobre Z,, si [K : Z,] = n, entonces K tiene pn elementos. Esto es cierto porque, si u , , u2, . . . U , es una base de K sobre Z,, entonces, para toda elección distinta de ( a , ,a2, . . . , a,),donde los a , están en Z,, los elementos

a2, . . . , U!,,) son diferentes. Por consiguiente, dado que se puede escoger (a,, en pn formas, K tiene pn elementos. Puesto que K*, el grupo muItipIicativo de elementos distintos de cero de K, es un grupo de orden pn - 1 se tiene que a"-' = 1, donde m = p", para todo a en K , por consiguiente a" = Q. Dado que esto obviamente también es cierto para a = O, se tiene que a'" = a para toda a en K. Por lo tanto, el poli-

63

225

Campos finitos ll existencia

nomio x m - x en Z,[X] tiene m = p " raíces distintas en K, a saber todos los elementos de K. Por consiguiente x" - x se factoriza en K [?t.] como x m- x

=

(X - a,)(x - a z ) -

'

(x - a,,,),

donde a , , a,, . . ., a, son los elementos de K. Todo lo que se acaba de decir ya se dijo, más o menos de la misma manera, en la Sección 5.6 del Capítulo 5. Puesto que se requería tener frescos estos resultados en la mente del lector, se presentó de nuevo lo expuesto. Lo que se acaba de hacer se resume en el

f EQREMA6.3.1. Sea K u n campo finito de característica p , p primo, Entonces K contiene m = pnelementos donde n = [ K : Z , ] , y el polinomio x" - x en Z,[x] se descompone en factores lineales en K[x] COMO

xm- x

= (X - aI)(x - a2)

. . . (X - a,,,),

donde a , , a2, . . . , a,, son los elementos de K. Se presentan por si mismas dos preguntas naturales: 1. ¿Para cuáles primos p y enteros n existe un campo que conste de p" elementos? 2. ¿Cuántos campos no isomorfos que consten de p n elementos hay?

Contestaremos ambas preguntas en esta sección y en la siguiente. Las respuestas serán 1. Para cualquier primo p y cualquier entero positivo n existe un campo finito que consta de p" elementos. 2. Dos campos finitos que tengan igual número de elementos son isomorfos. A estos dos resultados nos dirigimos ahora. En primer lugar, se plantea la pregunta de la existencia de campos finitos. Se empieza con una observación general acerca de polinomios irreducibles.

.

LEMA 6.3.1 Sea F cualquier campo y supóngase que p (x) es un polinomio irreducible en F[x]. Supóngase que q(x) en F [ x ] es tal que en alguna extensión de campo de F, p ( x ) y q ( x ) tienen una raíz común. Entonces p ( x ) divide a q ( x ) en F [x]. DEMQSTRACI~N. Supóngase quep(x) no divide a q(x), dado quep(x) es irreducible en F [ x ] ,p ( x ) y q(x) deben ser por lo tanto primos entre si en F [ x ] . Por consiguiente, existen polinomios u(x) y v(x) en F [x] de tal manera que

S26

TEMAS ESPECIALES

CAPITULO 6

Supóngase que e1 elemento a de alguna extensión K de F es una raíz de ambos p ( x ) y q ( x ) ;de manera q u e p ( a ) = q ( a ) = O . Pero entonces 1 u ( a ) p ( a ) + v ( a ) q ( a ) = O, lo cual es una contradicción. Por lo tanto se obtiene que p ( x ) divide a q ( x ) en F [ x ] .

-

Obsérvese que en realidad se ha demostrado un poco más, a saber

COROLARIO. Si f ( x )y g (x) en F [ x ]no son primos entre sí en K [ x ] , donde K es una extensión de F, entonces no son recíprocamente primos en F [ x ]. Sea F u n campo de característicap # O. Afirmamos que el polinomio f ( x ) = xm - X , donde m = p", no puede tener una raíz múltiple en ninguna extensión de campo E; de F. ¿Recuerda el lector lo que es una raíz múltiple de un polinomio? A continuación lo repasamos. Si g ( x ) está en F [ x ]y si K es una extensidn de campo de F, entonces a en K es una raíz múltiple de g(x) si g ( x ) = ( x - ~ ) ~ q (para x ) algún q ( x ) en K [ x ] . Regresamos al polinomio f ( x ) = xm - x. Dado que f ( x ) = x(xm-' - 1 ) y O no es una raíz de xm-' - 1 , resulta evidente que O es una raíz simple (es decir, no múltiple) de f ( x ) . Supóngase que a E K, K 3 F, es una raíz de f ( x ) ; de esta manera a m = a . Si y = x - a , entonces f ( y ) = y" - y =

x"'

= (X

-

- a)In- ( X - a ) xm - a"' - ( x - a ) (puesto que la característica p f O y m = p n )

x (dado que a"

- f (N-

= a)

Por consiguiente, f(x)

=

f(y)

= y"

- y

=

( x - a)"-

( x - a)

y claramente éste es divisible entre x - a solamente a la primera potencia, y a que x - a no divide a ( ( x - 1 ) . Asi que o no es una raíz múltiple de f ( x ) . Se ha demostrado el

TEOREMA 6.3.3. Si n > O, entonces f ( x ) = xm - x, donde m

= pn,

no tiene raíces múltiples en ningún campo de característica p . Debemos añadir unas palabras a la demostración anterior para afianzar el enunciado del Teorema 6.3.3 tal como se dio. Cualquier campo de característica p # U es una extensión de S, y el polinomio f ( x )está en Z , [ X ] .De esta manera el razonamiento anterior, siendo K cualquier campo de característica p y F = Z,, demuestra el teorema en su forma dada.

63

@

Campos finitos ll existencia

Se tiene exactamente lo que se requiere para probar el importante

TEOREMA 6.3.4. Para cualquier primo p y cualquier entero positivo n , existe un campo finito que consta de pn elementos.

DEMOSTRACI~N. considérese el polinomio xm - x en Z,[x], donde m

= pn. Por el Teorema 5.6.6 existe una extensión finita K de Z , tal que en K [ x ]el polinomio xm - x se factoriza como

X"' - x

= (X

- a , ) ( x - a*) . . .

(X -

a,),

donde a l , aZ, . . . , a , están en K. Por el Teorema 6.3.3, xm - x no tiene raíces múltiples en K , por consiguiente los elementos a,, a2, . . . , u, son m = pn elementos distintos. También se sabe que a,, a*, . . . ,a , son todas las raíces x" x en K, ya que x" - x es de grado m . Sea A = ( a E K [ a n 2= a ) ; como se acaba de ver, A tiene m elementos distintos. Afirmamos que A es un campo. Si u, b E A , entonces a" = a y bm = b, por consiguiente (ab)" = a"bm = ab, así que a5 E A. Dado que la característica p # O y m = p", ( a + b)" = a" + b m = a + b, por lo tanto a + b está en A. Puesto que A es un subconjunto finito de un campo y es cerrado con respecto a la suma y al producto, A debe ser un subcampo de K . Dado que A tiene m = pn elementos, A resulta ser eI campo cuya existencia se afirmó en el enunciado del teorema. Con esto queda probado el teorema.

1, Dense los detalles de la demostración del corolario al Lema 6.3.2. Los dos siguientes problemas son repeticiones de unos que se presentaron anteriormente en el libro.

2, Si f ( x ) = aoxn + a,xn-' + . . + a , está en F [ x ] ,sea f ' ( x ) la derivada formal de f ( x ) definida por Ia siguiente ecuación: f ' ( x ) = na0xn-' + ( n - l ) a , ~ " -+~ . - + ( n - í)a,xn-'-' + + a,-t. Pruébese que: (a) (f( x > + g ( x ) ) * = f '(x) + g i ( x ) . (b) (f( x ) g ( x ) ) ' =f f ' ( x ) g ( x )+ f ( x ) g f ( x )para t o d o f ( x )Y g(x) en F 1x1. 3. Pruébese que f ( x ) en F [ x ]tiene una raíz múltiple en alguna extensión de F si y sólo si f ( x ) y f ' ( x )no son relativamente primos. *

4. Si f ( x ) = xL

x está en F l x ] , pruébese que f ( x ) no tiene una raíz múltiple en ninguna extensión de F s i F es de característica O o bíen de caracteristica p # O, donde p no divide a n - 1.

228

CAPITULO 6

0

TEMAS ESPECIALES

5. Úsese el resultado del Problema 4 para dar otra demostración del Teorema 6.3.3. 6. Si F es un campo de característica p # O, constrúyase un polinomio con raíces múltiples de la forma x" - x, donde p ( ( n - l). 7. Si K es un campo que consta de p" elementos, demuestrese que para todo

m que divida a n existe un subcampo de K que consta de p m elementos.

Ahora que ya sabemos que existen campos finitos que constan de p n elernentos, para cualquier primo p y cualquier entero positivo n , se podría preguntar: ¿cuántos campos finitos hay con p n elementos? Para que esto tenga sentido, lo que en realidad se pregunta es: ¿cuántos campos no isomorfos distintos hay con p" elementos? La respuesta es breve y agradable: uno. Se demostrara aquí que cualquier par de campos finitos que consten del mismo número de elementos son isomorfos. Sean K y L dos campos finitos que constan de p" elementos. Por consiguiente, K y L son ambos espacios vectoriales de dimensihn n sobre Z,. Como tales, K y L son espacios vecforíaJes isomorfos. Por otra parte, K * y L* son ambos grupos cíclicos de orden p" - 1 por el Teorema 6.2.4; por lo tanto K * y L* son isomorfos como grupos osmultiplicativos. Es especial imaginar que se podrían juntar estos dos isomorfismos para probar que K y L son isomorfos como campos. Pero no es así. La demostración no sigue tal dirección en absoluto. Pero la finitud de K y L junto con estos dos isomorfismos (de dos estructuras que llevan consigo K y L ) sí sugierm que, tal vez, K y L son isomorfos como campos. Efectivamente éste es el caso, como se demuestra en seguida. Empezamos con el

LEMA 6.4.1. Si q ( x ) en Z p [ x ] es irreducible de grado n, entonces q ( x )1 ( x m- x), donde m = p".

DEMOSTRAGI~N, Por el Teorema 4.5.11 el ideal ( q ( x ) ) de Z p [ x ]generado por q ( x ) es un ideal máximo de Z,[x], ya que q ( x ) es irreducible en Z,[x]. Sea A = ~ , [ x ] / ( q ( x ) ) por ; el Teorema 4.4.3; A es un campo de grado n sobre Z,; por consiguiente, consta de p" elementos. De modo que, u" = u para todo elemento u de A . Sea a = x ( q ( x ) ) la cIase lateral de x en A = Z , [ x ] / ( q ( x ) ) ; de esta manera q ( a ) = O y q ( x ) es el polinomio mínimo de a sobre Z,. Puesto que a está en A , a" = a , así que a es una raíz del polinomio x"' - x, donde m p". Por consiguiente x m - x y q ( x ) tienen una raíz común en A . Por el Lema 6.3.2 se tiene que q ( x ) ](x"" x),

+

-

Ahora estamos en posibilidad de probar el resultado principal de esta sección.

TEOREMA 6.4.2. Si K y L son campos finitos que constan del mismo número de elementos, entonces K y L son campos isomorfos.

DEMQSTRACI~N. Supóngase que K y L constan de pn elementos, Por el Teorema 6.2.4, L * es un grupo cíclico generado, digamos, por el elemento b de L , Entonces, desde luego, Z,(b) -el campo que se obtiene agregando LJ a Zpes todo L. Puesto que [ L : Z,] = n , por el Teorema 5.3.2 b es algebraico sobre 2, de grado n, con n = grd ( q ( x ) ) , donde q ( x ) es el polinomio mínimo de b en Z,[x], y es irreducible en Z,[xj. L = Z p ( b )definida por $( f ( x j ) = f( b ) es un La aplicación 4: Z,[x] homomorfismo de Z , [ x ] sobre L con núcieo ( q ( x ) ) , el ideal de S,[x] generado por q ( x ) . Por consiguiente, L = ~ , [ x ] / ( q ( x ) ) . Como q ( x ) es irreducible en Z,[x] de grado n, por el Lema 6.4.1 q ( x ) debe dividir a x" - x, donde m = pn. Sin embargo, por el Lema 6.3.1, el polinomio x" - x se factoriza en K [ x ] como x*" - x =

(X

- ai>(x - az) ' * . ( x - a,,),

donde a,, a2, . . ., a, son todos los elementos de K . Así que q ( x ) divide a ( X - a, )(x - u,) . - ( x - a,). Por el corolario al Teorema 4.5.10, q ( x ) no puede ser primo con respecto a todos los x - a, en K [ x ] ,por consiguiente para algún j , y ( x ) y x - u, tienen un factor común de grado al menos 1. En forma breve, x - a, debe dividir a q ( x ) en K [ x ] , de manera que q(x) = ( x - a,)h(x) para algún 17(x) en K [ x ] . Por lo tanto, q(a,j 0, Puesto que q ( x ) es irreducible en Z,[x] y a, es una raíz de q ( x j , q ( x ) debe ser el polinomio mínimo de a, en Z,[x], Por consiguiente Z , ( a , ) = Z , [ x ] / ( q ( x ) ) = L. Esto indica, entre olras cosas, que se tiene [Z,(a,) : S,,] n, y dado que Z,(a,) C K y [ K : Z,] = n se concluye que Z,(a,) = K. Por lo tanto, K = Z,(a,) = L. De esta manera se obtiene que K y L son campos isomorfos. Esto demuestra el teorema. [T1

-

-

Combinando los Teoremas 6.3.4 y 6.4.2, se tiene el

TEOREMA 6.4.3.

Para todo primop y cualquier entero positivo n existe, salvo jsomorfismos, uno y sólo un campo que consta de p" elementos.

-

-

-

--

--

-

Sea 42 el campo de los números con~plejos.Como consecuencia del teorema de De Moivre el número complejo 8 , = cos 2a/n -i-r sen 2 r / n satisface O:,! = 1

230

CAP~TULO 6 e TEMAS ESPECIALES

y 07 # 1 si O < m < n. Se llama a 8, una raíz n-ésimaprimitiva de la unidad. Las otras son

dk

=

cos 2%-k

n

+

i sen 2 7 k

7

donde (k, n ) = 1 y 1 5 k < n. Evidentemente, 8, satisface el polinomio xn - 1 en Q 1x1, donde Q es el campo de Los números racionales. Se requiere encontrar el polinomio (mónico) mínimo de 8, sobre Q. Para tal fin, definimos una sucesión de polinomios inductivamente. A primera vista podrían no parecer relevantes para obtener el polinomio mínimo de 8, sobre Q. Resultará que tales polinomios están muy relacionados con dicho aspecto, ya que, como se probará posteriormente, el polinomio +,(x) que se va a introducir es un polinomio mónico con coeficientes enteros, es irreducible sobre Q y además, +,(O,) = O. Esto indicará que +,(x) es ei polinomio mínimo mónico deseado para 0, sobre Q. Pasamos ahora a la definición de estos polinomios.

DEFIN~GION. Los polinomios +,(x)

se definen inductivamente me-

diante: (a) @,(x) =

x - 1.

(b) Si n > 1, entonces +,(x) = (x" - 1) / n + d ( ~ )donde , en el producto que aparece en el denominador, d recorre todos los divisores de n excepto el mismo n. Estos polinomios se denominan polinomios ciclotómicos y $,$(x) se llama n-esimo polinomio ciclotónico. Por lo pronto no es obvio que los #,(x) así definidos sean polinomios pares, ni tampoco se tiene una idea de la naturaleza de sus coeficientes. Todo esto vendrá a su debido tiempo. Primero conviene considerar algunos ejemplos iniciales.

65 * Polinomios eiclotomicos

Algunas observaciones respecto a estos polinomios: 3. Todos son mbnicos con coeficientes enteros, 2. El grado de +,(x) es p(n), donde (p es la función

5

Estos casos proporcionan una sugerencia respecto a la situación general para todos los $,(x), Pero sólo una sugerencia. Establecer las propiedades deseadas de los +,(x) se ilevará algo de trabajo. Para adquirir una mejor idea de estos polinomios, consideramos el caso particular en el que n = p m , donde p es primo. Para evitar subíndices incómodos, se denotará +,(x) por $(")(x), donde n = pm.El primop se mantendrán fijo durante la discusión. Se obtendrán fórmulas explícitas para los S/(")(x) y se determinarán sus propiedades básicas. Sin embargo, el mktodo empleado no sera aplicable al caso general de +,(x). Para analizar la situación general se requiere un conjunto de técnicas más amplias y profundas que las que se necesitan para S/(")(x). Observamos un ejemplo sencillo. Si p es un primo, el único divisor de p que no es igual al mismo p es l. De la definición de $,{x) = $(')(X) se tiene que

Nótese que al estudiar el criterio de Eisenstein se demostró que este polinomio es irreducible en Q(.tr). ¿Qué se puede decir de los $'")(x) mayores?

LEMA 6.5.1. Para todo m r 1,

232

CAPÍTULO 6 * TEMAS ESPECIALES

DEMOSTRAGI~N. Se procede por inducción en m. 1, se demostró anteriormente que $")(x) = (xp - I)/(x - 1) = x2 -t . . . + xP-', por consiguiente el lema es cierto en este caso. Supóngase que $ t r ) = (xp' - I ) / ( ~ P ' - ' - 1) para todo r < m. Considérese $'")(x). Puesto que los únicos divisores propios de p"' son 1, p, p 2 , . . ., Si m

1

+x+

=

pm-', de la definición de $'""(x) se tiene que

Por inducción, $""(x) = (xp' - l)/(xp' '

-

1) para r < m, por consiguiente

Pero entonces

con lo cual se completa la induccidn y se prueba el lema, Nótese aquí que

es un polinomio mónico con coeficientes enteros. Su grado es evidentemente pm-' ( p - l), el cual es efectivamente
y se sabe que $ ( ' ) ( x )es irreducible en Q [x]. Se aplicara el criterio de Eisenstein para probar que $"'")(x) es irreducible en Q 1x1. Hacemos una digresión por un momento. Si f (x) y g!x) son dos polino-

rnios con coeficientes enteros, se definef(x) g ( x ) m ó d p si f (x) = g(x) t pr(x), donde r(x) es un polinomio con coeficientes enteros. Esto equivale a decir que los coeficientes correspondientes de f (x) y g ( x ) son congruentes módp.

233

65 * Polinomios ciclot0rnicos

DesarroHando (f ( x ) + g ( x ) ) " por el teorema del binomio y haciendo uso de que todos los coeficientes binomiales son divisibles por p, dado que p es primo, se llega a que (f ( x ) i- g ( x ) ) o f (x)P + g(x)" módp. Dado f ( x ) = a&* + alxn-1 + . * -k a,, donde los a , son enteros, entonces, por lo anterior,

E L I o X~~~ 4 U , X ( t f 1

)

+~

. . , +u,,

módp,

siendo esta última congruencia una consecuencia del teorema de Fermat (el corolario del Teorema 2.4.8). Puesto que f ( x p ) = a ~ " "+ a/"-'lp + . . + a,, se obtiene que a

f(-u'')

= f i x ) " módp.

-

Iterando lo que se acaba de hacer se llega a /(.Y"~)

/(x)"

módp

para todo k no negativo. Regresamos a $("'(x). Dado que 14(~"(x) = $("(xp"-')se tiene, de la discusión anterior, que $"""(x) $"'(xj3"'' ) módp. Por lo tanto,

Esto indica que

donde r ( x ) es un polinomio con coeficientes enteros. De esta manera todos los coeficientes de $("'"x 4 11, con excepción del primer coeficiente 1, son divisib l e ~por p. Si por alguna razón se supiera que el término constante de h ( x ) = $("'"x + 1) no es divisible por p2,se podría aplicar el criterio de Eisenstein para demostrar que h ( x ) es irreducible. Pero jcuál es el término constante de h ( x ) $""'(x + l ) ? Este es simplemente h(O) = $(""(l),el cual por la forma explícita de $("''(x t. 1) que se obtuvo cuatro párrafos antes es exactamente p. De esta manera h ( x ) es irreducible en Q [ x ] es decir $('"'(x -I- 1 ) es irreducible en Q [x]. Pero esto implica de inmediato que $('"'(x)es irreducible en Q [ x ].

-

~H?IS

234

CAP~TULO 6

TEMASESPECIALES

Resumiendo, hemos demostrado el

TEOREMA 6.5.2, Para n

= pm,dondep es cualquier primo y m cualquier entero no negativo, el polinomio + , ( x ) es irreducible en Q 1x1.

Como se señaló antes, este es un caso muy especial de1 teorema que se demostrará pronto; a saber, que + , ( x ) es irreducible para todos los enteros positivos n. Por otra parte, el resultado y la demostración del Teorema 6.5.2 no desempefian ningún papel en la demostración de la proposición general que + , ( x ) es irreducible en Q [ x ] . Pero gracias al resultado del Teorema 6.5.2 y a la forma explícita de 4 , ( x ) cuando n = p'", se obtiene una idea muy buena de lo que debe ser cierto en general, Procedemos ahora a la discusión de la irreducibilidad de + , ( x ) para n general,

TEOREMA

6.5.3. Para todo entero n

donde O ( ' ) , Ot2), . . . , tintas de la unidad.

2 1,

son las p ( n ) raíces n-ésimas primitivas dis-

DEMOSTRAGI~N. Se procede por inducción en n. Si n = 1 , entonces + , ( x ) = x - 1 y puesto que 1 es la única raíz primera de la unidad, el resultado es ciertamente correcto en este caso. Supóngase que el resultado es cierto para todo m < n. Por consiguiente, si dln y d f n, entonces, por la hipótesis de inducción, (Sd(x) = ( X - 0 2 ) ) . . ( x - O$((*))),donde los By son las raíces d-ésirnas primitivas de la unidad. Ahora bien

donde los f, recorren todas las raíces enésimas de la unidad. Separando las raices n-ésimas primitivas de la unidad en este producto, se obtiene

donde U ( X ) es el producto de todos los demás x - f,; así que por la hipótesis de inducción v ( x ) es el producto de los p d x ) sobre todos los divisores d de n con excepción de d = n . Por consiguiente, dado que

se ha demostrado el resultado afirmado en el teorema.

A partir de la forma de 4,(x) dada en el Teorema 6.5.3 se ve inmediatamente que 4,(x) es un polinomio mónico en Q: [ x ] de grado p(n). Sabiendo esto, se prueba que, en efecto, los coeficientes de +,(x) son enteros. ¿Por qué es cierto lo anterior? Procediendo por inducción en n, se puede suponer que este es el caso si dl n y d # n. Por lo tanto, si u ( x ) denota el polinomio usado en la demostración del Teorema 6.5.3, entonces ( x n - l ) / u ( x ) = IC# ,(x) E é: [ x ] , por consiguiente u ( x )lxn - 1 en 9: [ x ] . Pero, mediante e1 procedimiento de división larga, la división de x" - 1 entre el polinomio mónico v(x) con coeficientes enteros conduce a un polinomio mónico con coeficientes enteros (y residuo cero, ya que v ( x )1 ( x n- 1 ) en C [ x ] ) . Así que ( x n- l ) / u ( x ) = 4,(x) es un polinomio mónico con coeficientes enteros. Como se vio, su grado es tp(n). De esta manera se tiene

T EOREMA 6.5.4. Para todo entero positivo n el polinomio +,(x) es un polinomio mónico con coeficientes enteros de grado cp(n), donde p es la función rp de Euler. Sabiendo que +,(x) es un polinomio, se puede ver también que su grado es ~ ( nde) otra manera. A partir de #,(x) = ( x n - l ) / v ( x ) ,usando inducción en n, grd (tp,(x)) = n - grd ( u ( x ) ) = n - Cq(d), la suma se realiza sobre todos los divisores d de n aparte de d = n, en virtud de Ia forma de v ( x ) , Recurriendo al resultado del Teorema 6.2.1, n - C p ( d ) = p(n), donde nuevamente la suma es sobre todo dl n, siendo d # n. De esta manera se obtiene que grd(+n(x)) = P(@)El resultado que se va a demostrar es sin lugar a dudas uno de los más básicos respecto de polinomios ciclotónicos.

TEOREMA 6.5.5. Para todo entero positivo n el polinomío +,(x) es irreducible en Q [ x ]. DEMOSTRACI~N. Sea f ( x ) en Q [ x ] un polinomio irreducible tal que f ( x )J#,(x), Así que 4,(x) = f (x)g(x) para algún g ( x ) en Q [ x ] . Por el lema de Gauss se puede suponer que ambos f ( x ) y g ( x ) son polinomios mónicos con coeficíentes enteros, por consiguiente están en Z 1x1. El objetivo es demostrar que (D,(x) = f ( x ) ; si este fuera el caso, entonces, puesto que f ( x ) es irreducible en Q [ x ] , se tendría que 4,(x) es irreducible en Q [ x ] . Dado que $,(x) no tiene raíces múltiples, f ( x ) y g ( x ) deben ser recíprocamente primos. Sea p un número primo tal que no divide a n. Si 0 es una raíz de f ( x ) , entonces es una raíz de +,(x), por consiguiente por el Teorema 6.5.3 8 es una raíz n-ésima primitiva de la unidad. Dado que p es primo con respecto a n, 8" es también una raíz n-ésima primitiva de la unidad, así que, por el Teorema 6.5.3, OP es una raíz de +,(x). Por lo tanto se tiene que O = #,(tlP) = f (BP)g(BP),de 10 cual se deduce que f (eP) = O o bien g(8P) = O. Nuestro objetivo es demostrar que f ( 8 P ) = O. Supóngase que no; entonces g(OP) = O, por consiguiente 8 es una raíz de g(xP).Dado que 8 es también

CAPíTUL0 6 * TEMAS ESPECIALES

una raíz del polinomio irreducible f ( x ) , por el Lema 6.3.2 se obtiene que f (x)lg(xP). Como se vio en el transcurso de la demostración del Teorema 6.5.2, g(xp)r g ( ~modp. ) ~ Sea J el ideal de Z generado por p; por el corolario del Teorema 4.6.2, Z [ x ] / J[ x ] 2: Z I ) [ x ] ,lo cual significa que la reducción de los coeficientes de cualquier polinomio m ó d p es un homomorfismo de Z [ x ] sobre Z,[x]. Puesto que todos los poliaomios qin(x),u(-), f ( x ) y g(x) están en 2 1x1, si $,(x), Ü ( x )f, ( x ) y g(x) son sus imágenes en Z,[x], todas las relaciones entre ellos se preservan procediendo en módp. De esta manera se tienen las relaciones x" - 1 = $,(x)ü(x), $,(x) = f ( x ) g ( x ) yS(x)Ig(xp)= g(x)P. Por lo tanto, f ( x ) y g(x) tienen una raiz común, a, en alguna extensión K de Z,. Ahora x n - 1 = $,(x)ü(x) = f(x)g(x), por consiguiente a, como raiz de ambos f ( x ) y g(x) es una raíz múltiple de xn - 1. Pero la derivada formal ( x n- 1)' de xn - i es nxn-' # O, ya que p no divide a n; por lo tanto, (xn - 1)' es primo con respecto a x n - 1. Por el resultado del Problema 3 de la Seccibn 6.3 el polinomio x" - 1 no puede tener una raiz múltiplie. Debido a esta contradicción, que se obtuvo a partir de la suposición de que 8" no era una raíz de f ( x ) , se concluye que siempre que I9 sea una raíz de f ( x ) , también 8 P debe serlo, para cualquier primo p que no divida a n. Repitiendo este razonamiento, se llega a que 8' es una raíz de f ( x ) para todo entero r que sea primo con respecto a n. Pero por ser 19 una raíz de f ( x ) , es una raíz de rt>,(x),así que es una raiz n-ésima primitiva de la unidad. De esta manera 8' es también una raíz n-ésíma primitiva de la unidad para todo r primo con respecto a n. Recorriendo todos los r que sean relativamente primos con n, se obtiene cada una de las raíces n-ésirnas primitivas de la unidad como una de tales 8'. De esta manera todas las rnr'ces n-ésiPnas primitivas de la unidad son raíces de f (x). Por el Teorema 6.5.3 se ve que qi ,(x) = f (x), por consiguiente +,(x) es irreducible en Q [ x ] . Puede parecerle al lector como artificial y poco natural el haber recurrido al paso m ó d p para llevar a cabo la demostración de la irreducibilidad de un polinomio con coeficientes racionales. En realidad, puede ser muy bien así. Hasta donde sabemos, nunca se ha dado una demostración de la irreducibilidad de. rt>,(x)permaneciendo completamente en Q I x ] y sin pasar a módp. Seria estéticamente satisfactorio contar con una de tales demostraciones, Por otra parte, este no es el iínico caso donde se demuestra un resultado pasando a un sistema subsidiario relacíonado. Muchos teoremas de la teoria de los números -respecto a los enteros ordinarios- tienen demostraciones que utilizan a los enteros módp. Dado que +,(x) es un polinomío mónico con coeficientes enteros que es irreducible en Q [ x ] y puesto que O,, la raíz n-bima primitiva de la unidad, es una raiz de $,(x), se tiene

TEOREMA

6.5.6. +,(x) es el polinomio minimo en Q [ x ] de las raices n-ésimas primitivas de la unidad.

1. Verifíquese que los seis primeros polinomios ciclotómicos son irreducibles en Q [x] en forma directa.

2. Expresar las formas explícitas de: (a) 4 ,o(x). (bl i d x ) .

+

(e) +zo(x). 3. Si (x" - l ) l ( x n - 1 ) , pruébese que mln. 4. Si a > 1 es un entero y (a"

-

l)J ( a n - l), pruébese que m J n .

5 . Si K es una extensión finita de Q , el campo de los numeros racionales, pruébese que existe solamente un numero finito de raíces de la unidad en K. (Sugerencia: Aplíquese el resultado del Problema 10 de la Sección 6.2, junto con el Teorema 6.5.6.)

Recuérdese que un numero complejo es ajgebraico de grado n si es raíz de un polinomio de grado n sobre Q, el campo de los números racionales, y no es raíz de ninguno de tales polinomios de grado menor que n . En los términos empleados en el Capitulo 5, un numero algebraico es un número complejo algebraico sobre Q. Un número complejo que no es algebraico se llama trascendente. Algunos números conocidos, tales como e, a , e" y muchos otros, se sabe que son tras' , se presume cendentes. De otros, igualmente conocidos, como e + n, ea y a que son trascendentes pero, hasta la fecha, este aspecto de su naturaleza esta aun indeterminado. El matemático francés Joseph Liouville (1 809-1882) proporcionó un criterio que todo número algebraico de grado n debe satisfacer. Este criterio establece una condición que limita la magnitud a la cual se puede aproximar un número algebraico real mediante números racionales. El criterio es de tal naturaleza que se pueden construir fácilmente numeros reales que no lo cumplen para todo n > l . Cualquiera de dichos números tendrá que ser entonces trascendente. De esta manera se podrán producir números trascendentes a voluntad. Sin embargo, ninguno de los numeros conocidos es de tal modo que se pueda probar su trascendencia aplicando el criterio de Liouville. En esta seccibn del libro se presenta dicho resultado de Liouville, el cual es, de manera sorprendente, simple y elemental de probar. Lo anterior no le resta nada al resultado; en nuestra opinión, lo realza enormemente.

238

CAPíTUk.0 6 * TEMAS ESPECIALES

TEOREMA 6.6.1 (DE LIOUVILLE). Sea a un número algebraico de grado n z 2 (es decir, a es algebraico pero no racional). Entonces existe una constante positiva c (la cual depende solamente de a) tal que para todos los enteros u, u con v

> O,

la

- u/ul >

c/un.

DEMOSTRACI~N. Sea a una raiz del polinomio f (x) de grado n en Q (x), donde Q es el campo de los números racionaIes. EIiminando los denominadores en los coeficientes de f (x), se puede suponer que f( x ) = r & V rr,xn-' + - . . + r,, donde todos los r, son enteros y r, > 0.

-

Puesto que el polinomio f (x) es irreducible de grado n tiene n raíces distintas a a , , a*, . . ., a, en 43, el campo de los números complejos. Por lo tanto, f ( x ) se factoriza sobre Q: como f (x) = rO(x- a)(x - a 2 ) - - - (x - a,). Sean u, v enteros con v > O; entonces

Por consiguiente,

es un entero. Por otra parte, dado que f (x) es irreducible en Q [x] de grado 2 2, f (x) no tiene raíces racionales, así que unf (u/ u ) es un entero distinto de cero, de lo cual 1 vnf (u/u) ( 2 l . Usando la forma factorizada de f {x), se tiene que

n

por lo tanto

Sea s el mayor de 1 a 1, 1 a,l, . . ., ( a ,1. Dividimos el razonamiento según sea ( u/v 1 > 2s o bien 1 uiv 1 c 2s. Si 1 u/u 1 > 2s, entonces, por la desiguddad triangular, l a - (u/u)l 2 I u / u ~ - l a ] > 2 s - s = s,ydadoquev o 1,la - ( u / u ) I > s/uff.

Por otra parte, si 1 u/u 1 gular, la, - (u/u)l I la,l

2s, entonces nuevamente por la desigualdad trian+ lu/ul c s + 2s = 3s. Por lo tanto,

S

de tal manera que l / t 2 1/(3s)"-" 1/(3"-'s "-'). Regresando a la desigualdad que dice la - (u/v)l > i/[rounla2 - ( u / u ) l . .. la, - ( u / v ) l ] ,se tiene que la - (u/u)l 2 l / ( r 0 3 n - ' ~ n - L ~Estos n ) . números r,, 3n-', S"-' se determinan todos de una vez por a y su polinomio mínimo f (x) y no d e w d e n de u o u. Si se hace b = 1/(ro3"-'S"-", entonces b > O y 1 a - ( u / v ){ > b/vn. Esto cubre el segundo casa, donde lu/v 1 4 2s. Si c es un número positivo menor que ambos b y S , de la discusion se tiene que / a - u/vl > c/un para todos los enteros u , u, donde u > 0, con lo cual se prueba el teorema,

a.

Veamos los detalles de la demostracidn para el caso particular a = El polinomio mínimo de a en Q [ x ]es f (x) = ( x - a)(x + a ) , de modo que a = a , y -a = a,. Así que si u y u son enteros y u > O, entonces

que es un entero. Por lo tanto 1 ~ 2 f ( u / v ) I2 1 2 1/u2.El número s es el mayor de y (-Al;es decir, s = Además, b es 1/(32-'(a)2-') = 1/(3&), así que si c es cualquier número positivo menor que 1 / ( 3 f i ) ,entonces u/vl > c/u2. Lo que dice e1 teorema es lo siguiente: cualquier número real algebraico tiene números racionales tan cercanos a él como se quiera (esto es cierto para todos los números reales), pero si dicho número real algebraico a es de grado n r 2, hay restricciones sobre la forma en que se puede aproximar a por números racionales. Tales restricciones son las impuestas por el teorema de Liouville. ¿Cómo utilizar este resultado para producir números trascendentes? Todo lo que se requiere es producir un número real 7, digamos, tal que para cualquier entero positivo n y cualquier c positivo que se elija, se pueda encontrar un par de enteros u, u , con u > O de tal modr, que J T - u/u < c/un. Se puede encontrar fácilmente uno de tales T escribiendo un decimal infinito que contenga 0 y 1, donde se haga que los O se dispersen entre los 1 muy rápidamente. Por ejemplo, T = 0.10100100000010 . . . 010. . . , donde los O entre 1 sucesivos crecen como m!, es un niimero que no cumple el criterio de Liouville para todo n > O. (Pruébese.) Por consiguiente, este número T es trascendente. Se podrían, desde luego, usar otras propagaciones extensas de O entre los 1 -mm, ( m ! ) ' , y así sucesivamente- para producir multitudes de números

la[

la-

a.

CAPíTULO 6

TEMAS ESPECIALES

trascendentes. Además, en vez de utilizar nada más 1 se podría emplear cualquiera de los nueve digitos distintos de cero para obtener más números trascendentes. Se deja la verificacián de que los números del tipo descríte no satisfacen el criterio de Liouville, para cualquier entero positivo n y cualquier c positivo. Se puede usar el número trascendente 7 y sus variantes descritas para demostrar un famoso resultado debido a Cantor, el cual dice que existe una correspondencia biyectiva entre todos los números reales y su subconjunto de los números reales trascendentes. En otras palabras, en cierto sentido, hay tantos reales trascendentes como números reales. Se da una breve descripción de cómo se lleva a cabo y se dejan los detalles al lector. Primeramente, es fácil construir una aplicación inyectiva de los reales sobre los reales que se encuentran estrictamente entre O y 1 (trátese de encontrar tal aplicación). Esto también es cierto para los números reales trascendentes y los que de ellos se encuentran estrictamente entre O y 1 . Denótese el primer conjunto por A y el segundo por B. Se construirá una aplicación inyectiva de A hacia B. Esto sera suficiente para concluir la tarea. Dado cualquier número de A , se le puede representar como un decimal ínfínito a,a2 - . a, . . ., donde los a,están entre O y 3. (Ahora se procederá con un poco de inexactitud. El lector debe intentar hacer estricto el razonamiento.) Definamos ahora la aplicación f de A a B por f ( a , a z . * . a, . . . ) = 0.a,0a200a3000000a4 . . .; por el criterio de Liouville, salvo un pequeño conjunto de al,a ~ . ,. ,, a,, . . ., los números 0.1a,0a200a,000000a,. . . son trascendentes. La f considerada proporciona entonces la aplicación requerida. Un comentario final acerca del tipo de aproximación de números algebraicos mediante racionales, expresada en el Teorema 6.6.1. Ahi se tiene que si a es real algebraico de grado rl 2 S, entonces la -tc/ul 3 c/un para algún positivo c apropiado. Si se pudiera disminuir n para que ] a - u/" 1 > c/umpara m < n y algún c adecuado (dependiente de a y m),se obtendría un resultado aún más profundo. En 1955 el entonces joven matemático inglés K. F. Rath demostró el poderoso resultado de que efectivamente se puede reducir n a 2. Su resultado exacto es: Si a es algebraico de grado n 2 2, entonces para todo número real r > 2 existe una constante positiva c, que depende de a y r, de tal manera que la - u / u ) > c/ur para todas excepto un número finito de fracciones u/u.

-

-

Como se indicó anteriormente, Lindemann demostró en 1882 que n es un número trascendente. A partir de dicho resultado de Lindemann se deduce, en particular, que n es irracional. No se demostrará aquí la trascendencia de n -ello requeriría una digresión bastante extensa- pero, por lo menos, se demostrará que T es irracional. La excelente demostración que se da de este hecho se debe a 1. Niven; apareció en su artículo "Una demostración sencilla de que ir es irra-

cional", que fue publicado en el Bufferin of the American Marhematical Society, vol, 53 (1947), pág. 509. Para seguir la demostración de Niven sólo se requieren algunos temas de un curso elemental de cálculo. Se empieza con

LEMA 6.7.4. Si u es un número real, entonces Iím u n / n ! = 0. #:

* m

DEMOSTRACI~N. Si u es cualquier número real, entonces e" es un número real bien definido y e" = 1 + u + u2/2! t u 3 / 3 ! + . . . + u n / n ! + - ... La serie 1 + u + u 2 / 2 ! + . . . + un/n! + . . . converge a e"; dado que la serie conIím u n / n ! = O. verge, su término general debe tender a 0. De esta manera n-m Ahora presentamos la demostración de Niven de la irracionalidad de n

TEOREMA 6.7.2.

n es un número irracional.

DEMOSTRACI(SN. Supóngase que n es racional; entonces x = a / b , donde a y b son enteros positivos. Con base en el supuesto de que n = a f b , se introduce un polinomio para todo entero n > 0 , cuyas propiedades conducirán a la conclusión deseada. Las propiedades básicas de este polinomio serán válidas para todo n positivo. La estrategia de la demostración es realizar una elección sensata de n en el momento apropiado, Sea f ( x ) = xn(a - bx)"/n!, donde n = a/b. Éste es un polinomio de grado 2n con coeficientes racionales. Desarrollándofo, se obtiene que

f(x)

=

a,xn

+

a l x n + '+ n!

... +

anx2"

donde

a.

=

a", a l = -80"-'6,

..

son enteros, Se denota la i-ésima derivada de f ( x )con respecto a x mediante la notación usual f '"(x), sobreentendiéndose que f ("(x) significa f ( x ) . Primero se hace notar una propiedad de simetría de f ( x ) , a saber que f (x) = f ( x - x ) . Para tal fin, obsérvese que f ( x ) = ( b n / n !)xn(x - x)n, de cuya forma es evidente que f (x) = f ( n - x). Puesto que esto es válido para f ( x ) , es fácil ver, a partir la regla de la cadena para la diferenciación, que f (')(x)= (-1)'f('I(7r

- x).

67

* Irracionalidad de T

243

jtf (x) senx dx es válida para cualquier entero n > O, Ahora se requiere elegir n de manera inteligente para asegurar que la aseveración " 'lo"f(x) sen x dx es entero" no pueda ser cierta. Se lleva a cabo ahora una apreciación del valor de 1,"f (x) senx dx. Para O < x < a la función f (x) = xn(a - bx)"/n! r ana"/n! (ya que a > O), y ademh O < sen x S 1. De manera que O < 1,"f (x) sen x dx < JO a "an/n ! dx = a n n/n!. un/n! = O, así que sr se Sea u = m ; entonces, por el Lema 6.7.1, escoge n suficientemente grande, se puede asegurur que ufl/n! < 1/a, por consiguiente n n +'an/n! = aufl/n! < 1. Pero entonces ;/ f (x) senx dx queda confinado estrictamente entre O y l. Sin embargo, por lo que se ha demostrado, f: f (x) senx dx es entero. Puesto que no existe ningún entero estrictamente entre O y 1, se ha llegado a una contradicción. Por consiguiente la premisa de que n es racional es falsa. Por lo tanto, a es irracional. Esto completa la demostracion del teorema.

A ( % ) . 16. I R . 39 Ahe/. 41

4heliano(s), gi~ipojs),41 finito(+), 96-101 teorema furidamerital, 91-1 00 ilternante, 121 simplicidad de. 215, 222 Anillo(,), 122-174 booleanos, 138 conniutativos, 128 cori unidad, 127 de divisihn, 127 definicion de, 127 euclidiano\, 161, 162 homomortismo de, 139 no conmutativos, 127 polinomialei, 151-162 \plicacion(es) (o mapeosj, 8 biqectiva, correspondencia. 1 1 ¿omposicion de, 1 1 conmutación, 21 identidad. 9 iiiyectiva, 10 \uprnyecti\ a (\obre), 10 uno a uno (1-l), 10 4zociatibs, Ir), 12, 40 Aritoinorfismo de grupo, 69, 75 intcr no (o iiiterior), 69 t\\ionia\, 2 B3\e (de U ~ Ie\pdcii) ~ectorial),187 Btveccion, 11

Biyectiva, correspondencia, 1 1

Roofe, 138 Booleano, anillo, 138 Buena ordenaiión, priricipio de, 22 Campo, 33, 127, 175-214 caracterírtica de un, 178 cerrado algebraicamente, 200 cociente, 171 de cocientes, 171-178 de descomposicion, 2 13 de funciones racionales, 176 de numero5 algebraicos, 199 definicion de, 175-176 extensión d e un, 191 finita, 198-201 finlto, 129. 185-191 Cantor, 240 Característica de un camp«. 178 (brroll, 7 Cartesiano, producto, 5 , 6 Cuuchy, 80 Cauchy, teorema de, 89, 91 para ,o¡-upos abelianos, 80 Cayley. 68 Cabley, teorema de, 42, 68 Centro, 52 Ceritralixador, 52, 101 Cero, divisor de, 128 Ciclico, grupo, 52 generador de, S2 Ciclo de una permutacián, 112

Ciclotómico, polinomio, 229-230 definición de, 237 irreducibilidad de, 235 Clase, ecuación de, 102 Clase lateral (coset), 57 derecha, 63 ~zquierda,57 Cociente, grupo, 78 Complejo(s), número(s), 31-36 argumento de, 35 definición de, 31 forma polar de, 35 imaginario (puro), número, 32 parte imaginaria de, 32 parte real de, 32 valor absoluto de, 33 Complemento, 5 Composición de aplicaciones, 11 Congruencia módulo n, 56 Conjugación, 57, 101 clase de, 67 Conjugado complejo, 32 Conjugados, elementos, 57 Conjuntos, 3 diferencia de, 5 igualdad de, 10 intersección de, 4 producto cartesiano de, 5 unión de, 4 Conmutación (de aplicaciones), 21 Constructibilidad, 201, 207 Constructible, longitud, 202 número, 203 Correspondencia biyectiva o uno a uno, 11 Cuadratico, no residuo, 151 residuo, 151 Cuadratura del círculo, 207 Cuaternios (o cuaterniones), 71, 127, 131 Chino, teorema, del residuo, 147 De Moivre, teorema de, 35 Derivada formal, 227 Descomposición (splrtting), campo de, 213 Desigualdad del triángulo, 34 Dimensión de un espacio vectorial, 186 Directa, suma de anillos, 146 de espacios vectoriales, 181

Directo, producto, de grupos, 92-93, 95 externo (o exterior), 93 interno (o interior), 93 Disrributiva, ley, 126 División algoritmo de la, 155 anillo de, 127, 132 divide a . . , 23, 159 Divisor, 23 de cero, 128 máximo común. 23, 158 Dominio, 126 ideal principal, 156 ~ntegral(o entero), 127 campo de cocientes, 171 Duplicación del cubo, 205

Eisenstern, 169 Eisenstein, criterio de, 168 Elemento(s), 3 algebraico, 193 de grado n , 195 conjugados, 57 identidad, 40 órbita de un, 21, 65 trascendente, 193 Equivalencia clase de, 57 relacion de, 56 Espacios vectoriales, 179-188 base de, 187 conjunto generador mínimo de, 186 de dimensión finita, 185 de dimensión infinita, 185 definición de, 179 dimensión de, 186 Euclides, 26 Euclides, algoritmo de, 22 E u k r , 59, 65 Euler, función # de, 61 Euler, teorema de, 62 Exponentes, 18 Extensión de campo, 191-201 algebraica, 193 definición de, 191 finita, 191, 198-201 grado de, 191 Factor, 23 Factor, grupo, 77-82 definicion de, 78 Factorial, 17

Fermat, 59, 62 Fermat, teorema de, 62 Finito-dimensional, espacio vectorial, 185 Finitos, campos, 221-229 ciclicidad de, 222-224 existencia de, 224-228 unicidad de, 228-229 Función, 8 constante, 9 racional, 177 p de Euler, 61 Fundamental, teorema del álgebra, 200 de los grupos abelianos finitos, 96, 1M) Gauss, 168 Gauss, lenia de, 200 Gaussianos, enteros, 38, 165 Grado (grd) de una extensión de campo, 191 de un polinomio, 153 Grupo(s1, 39-123 abeliano, 41 finito, 96-101 alternante, 121, 215-222 automorfismo de, 69, 75 axiomas, 40 cíclico, 52 cociente, 78 definición de, 40 diedrico, 43 factor, 77 finito, 41 hamiltoniano, 7 1 isomórficos, 68 no abeliano, 42 simple, 123, 216

Homilton, 71, 131 Hamiltoniano, grupo, 71 Hardy, 201 Hermite, 194 Homomorfismo primer teorema de para anillos, 142 para grupos, 85 segundo teorema de para anillos, 141 para grupos, 86 tercer teorema de para anillos, 141 para grupos, 86

Homomorfismo de anillos, 139 núcleo (o kernel) de, 140 Homomorfismo de grupos, 66-77 definición de, 66 imagen bajo, 69 núcleo (o kernel) de, 69 trivial, 66 Ideal. 140 bilateral, 140 derecho, 140 izquierdo, 140 mhximo, 148-150 trivial, 142 Ideal principal, dominio, 156 Identidad aplicación, 9 elemento, 4Q Igualdad de aplicaciones (o mapeosj, 8 de conjuntos, 5 Imagen, 8 inversa, 12 índice de un subgrupo, 59 Inducción, 28-3 1 paso de, 30 Inducción matemática, 28-3 1 principio de, 28 Inductiva, hipótesis, 29 Infinito-dimensional, espacio vectorial, 185 Invariantes de grupos abelianos, 100 Inversa de una aplicación (o mapeo), 12 en un grupo, 40 Inyectiva, aplicaci~jn,10 Isomórficos, grupos, 68 Isomorfismo de anillos, 142 de grupos, 68 Kernei (véase Núcleo) Lagrange, 58-59 Lagrange, identidad de, 133 Lagrange, teorema de, 55-62 Lindemann, 194, 207, 240 Lineal combinación, 184-185 dependencia, 185 independencia, 185 Liouvílle, 237 Liouville, criterio de, 237-240

Mapeos (véase Aplicaciones) Matrices de 2 x 2 sobre un anillo, 130 reales de 2 x 2, 129 Máximo común divisor de enteros. 23, 24 de polinomios, 157 McECay, 88 Mínimo conjunto generador, 186 polinomio, 195 hlínimo c o n ~ ú nmúltiple, 27 Mónico, polinomio, 157 Multiplicidad de una raíz, 209 Múltiple, 23 mínimo común, 27

Nlven, 240 Normal, subgrupo, 66-72 definición de, 70 Núcleo ( o kernel) de un homomorfismo para anillos, 140 para grupos, 69 Nulo, conjunto, 4 Órbita de un elemento, 21, 65 Orden de un elemento, 59 de un grupo, 41 Partición de n , 236 Permutación, 110 ciclo de una, 113 impar, 118 y sgtes. par, 118 y sgtes. Polinomio(s), 151 Polinomiales, anillos, 151- 162 ciclotómico, 229-230 coeficiente de, 152 grado de un, 153, 156 irreducible, 195 mínimo, 195 mónico, 156 primos entre sí, 158 Primo, número, 21, 25 Primos entre sí enteros, 24 polinomios, 158 Primitiva, raíz, módulo p, 65 Primitiva, raiz n-ksima, de la unidad, 36

Producto cartesiano, 5 de aplicaciones, 11 directo, de grupos, 92-96 Proyección, 9 Racional, función, 177 Reflexividad, 56 Residuo, teorema chino del, 147 Roth, 240 Simetria, 56 Simétrico, grupo, 16, 109-123 Simple, grupo, 122, 216 Shplicidad de A,, 215-219 Subcampo, 128 Subconjunto, 3-4 Subespacio, 180 generado por elementos, 181 Subgrupo, 50-53 característico, 75 cíclico, 52 de Sylow, 104 definición de, 50 índice de, 59 normal, 70 propio, 50 trivial, 50 Suma directa de anillos, 146 de espacios vectoriales, 181 Sylow, 104 Sylow, subgrupo de, 104 Sylow, teorema de, 104-105 para grupos abelianos, 83 Trascendente, elemento, 193 Transitividad, 56 'rransposición, 21-1 13 Triángulo, desigualdad de, 34 Triseccíón de un ángulo, 206-207 Unión de conjuntos, 4 Unitario (o unidad), eIemento, 39 Uno a uno, aplicación, 10 correspondencia, 11 Vacío (o nulo), conjunto, 4 Wilson, teorema de, 65, 210