Introducción al Álgebra Abstracta

´ AL ALGEBRA ´ INTRODUCCION ABSTRACTA Juan Francisco Escamilla Castillo D  M´, C  I  M´  C N A, CIMACIEN, G E-mail address: [email protected] URL: www.cimacien.org.gt A mis hijos Juanito y Fabiola y a mi esposa la Seño Amparo

Mis agradecimientos a mis profesores Artibano Micali y Philippe Revoy, de la universidad de Montpellier, Francia y a los profesores Mario Fiorentini y Antonio Tognoli de la universidad de Ferrara, Italia, quienes me motivaron a profundizar el estudio del a´ lgebra. Van mis agradecimientos también a mi esposa Amparo González y a mis Hijos Fabiola y Juan por su paciencia mostrada durante la elaboración de este libro.

´ Indice general Índice de figuras



´ PROLOGO



´ INTRODUCCION NOMENCLATURA

1 6

´ DE GRUPOS Parte 1. GENERALIDADES Y TEORIA

7

Cap´ıtulo 1. NOCIONES ELEMENTALES DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS 1.1. Conjuntos y Subconjuntos 1.2. Relaciones y Aplicaciones 1.3. Familias Indizadas 1.4. Ejercicios y Complementos

9 9 10 11 17

Cap´ıtulo 2. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 2.1. Operaciones binarias 2.2. Homomorfismos de Estructuras Algebraicas Simples 2.3. Estructuras Algebraicas Con Dos Operaciones Binarias 2.4. Ωµσ -Estructuras Algebraicas

21 21 23 25 30

´ Cap´ıtulo 3. NUMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES 3.1. Los Números Naturales 3.2. Los Números Enteros 3.3. Los Números Racionales

33 33 40 49

´ A LA TEORÍA DE GRUPOS Cap´ıtulo 4. INTRODUCCION 4.1. Reseña Histórica 4.2. Definición y Popiedades Generales 4.3. Homomorfismos de Grupos

55 55 57 71

Cap´ıtulo 5. GRUPOS DE PERMUTACIONES Y SIMETRÍA 5.1. Aplicaciones a la Geometr´ıa y Teor´ıa Musical

83 99

Cap´ıtulo 6. TEOREMAS DE SYLOW, p-GRUPOS y GRUPOS SOLUBLES 6.1. Teoremas de Sylow 6.2. Grupos Solubles 6.3. Sucesiones Normales y Series de Composición

´ DE LOS GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTE CLASIFICACION GENERADOS 123 Producto Directo de Subgrupos 123

Cap´ıtulo 7. 7.1.

107 107 118 121



ÍNDICE GENERAL



7.2.

Grupos Abelianos Finitamente Generados

Cap´ıtulo 8. 8.1. 8.2.

PRODUCTO Y SUMA DIRECTA DE FAMILIA DE GRUPOS. GRUPOS LIBRES Producto Directo y Suma Directa Sobre Una Familia de Grupos Grupos Libres

125 133 133 138

´ DE ANILLOS, POLINOMIOS, EXTENSION ´ DE CAMPOS Parte 2. TEORIA ´ Y TEORIA DE GALOIS 151 ´ A LA TEORÍA DE ANILLOS E IDEALES Cap´ıtulo 9. ITRODUCCION 9.1. Anillos 9.2. Ideales, Homomorfismos, Anillos Cociente y Teorema de Isomorf´ıa 9.3. Ideales Primos e Ideales Maximales ´ 9.4. Anillos Principales, Noetherianos, de Factorización Unica y Euclideanos

153 153 157 165 176

´ ´ Cap´ıtulo 10. MODULOS Y ALGEBRAS 10.1. Módulos ´ 10.2. Algebras

187 187 199

´ Cap´ıtulo 11. ANILLO Y ALGEBRA DE POLINOMIOS 11.1. Conceptos y Propiedades Generales 11.2. Anillo de Polinomios sobre un Campo 11.3. Ra´ıces de Polinomios 11.4. Conjuntos Algebraicos y Topolog´ıa de Zariski

205 205 210 224 242

´ DE CAMPOS Y TEORÍA DE GALOIS Cap´ıtulo 12. EXTENSION 12.1. Extensión de Campos 12.2. Teor´ıa de Galois 12.3. Construcción con Regla y Compás

249 249 280 313

´ ´ Parte 3. CATEGORIAS Y FUNTORES, ALGEBRAS UNIVERSALES Y ´ ´ FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA HOMOLOGICA

327

´ A LA TEORÍA DE CATEGORÍAS Y FUNTORES 329 Cap´ıtulo 13. INTRODUCCION 13.1. Categor´ıas y Funtores 329 13.2. Categor´ıas Preaditivas, Aditivas, Pre-abelianas y Abelianas 345 ´ Cap´ıtulo 14. ALGEBRAS UNIVERSALES ´ 14.1. Producto Tensorial y Algebra Tensorial ´ 14.2. Algebra Simétrica de un A-Módulo ´ 14.3. Producto Alterno o Exterior y Algebra Alterna o Exterior de un A-Módulo ´ 14.4. Formas Cuadráticas y Algebras de Clifford ´ 14.5. Formas Bilineales Alternas y Algebras de Weyl

361 361 380 386 393 400

´ AL ALGEBRA ´ ´ Cap´ıtulo 15. INTRODUCCION HOMOLOGICA 15.1. Complejos Diferenciales o de Cadenas y Homolog´ıa 15.2. Complejos Especiales 15.3. Funtores Derivados 15.4. Los Funtores Ext y Tor

405 406 427 446 453

ÍNDICE GENERAL



´ Apéndice A. TRASCENDENCIA DE ALGUNOS NUMEROS A.1. Números de Liouville y Trascendencia del número e

479 479

Bibliograf´ıa

485

Índice alfabético

487

´ Indice de figuras 0.1. Al Jwarizmi

1

0.2. Omar Khayyam

3

0.3. Alejandro de Pisa (Fibonacci)

4

0.4. Nicolo Fontana (Tartaglia)

4

0.5. Girolamo Cardano

5

0.6. François Viète

5

1.1. Georg Cantor

9

1.2. Relación de orden

16

1.3. Red

17

3.1. Leopold Kronecker

33

3.2. Giuseppe Peano

34

4.1. Joseph Lagrange

55

4.2. Paolo Ruffini

56

4.3. Camille Jordan

56

4.4. Felix Klein

57

4.5. Niels Abel

57

5.1. Plano xy

100

5.2. Sistema 3-dimensional

101

5.3. Triángulo equilátero

101

5.4. Cuadrado

102

5.5. Tetraedro Regular

104

5.6. Pentágono Regular

104

5.7. Hexágono Regular

105

5.8. Octaedro Regular

105

6.1. Peter Ludwig Mejdell Sylow

107

9.1. Emie Noether

153

11.1.Circunferencia

225

11.2.Cilindro Circular

225 

ÍNDICE DE FIGURAS



11.3. V ⊆ R2

226

11.4. ΦP

229

11.5. X 3 − Y 2 = 0

246

11.6. Y 2 − X 3 + X = 0

246

2

11.7. X − Y

2−

−Z =0

246

11.8. X + (Y − X Z ) = 0

247

´ 12.1. Evariste Galois

280

12.2.Paralela a recta (AB)

315

12.3.Perpendicular por punto C sobre g

315

12.4.Perpendicular por punto C < g

316

12.5.Conjugado

317

4

12.6.z := re

2

2 2

iψ

317

12.7.A := z − w z 12.8.Cociente w 12.9.C := ei(φ−ψ)

318

12.10. Ra´ız cuadrada

320

i φ2

319 319

12.11. C := e

320

13.1.Samuel Eilenberg

329

13.2.Saunders Mac Lane

329

14.1.Herman Grassmann

387

14.2.William Kingdom Clifford

393

14.3. Hermann Weyl

402

A.1.Leonhard Paul Euler

479

A.2.Joseph Liouville

480

A.3.Charles Hermite

482

´ PROLOGO En 1980 se inició en la Universidad de San Carlos la carrera de licenciatura en matemática aplicada. Considerando la dificultad que existe en Guatemala de conseguir textos de literatura especializados en temas avanzados de matemáticas y de la escasa existencia de e´ stos en castellano, me propuse la tarea de escribir un texto introductorio de a´ lgebra abstracta. Mi propósito es iniciar al estudiante al estudio de esta interesante y bella rama de las matemáticas, empezando con ejemplos muy sencillos y acrescentando de forma progresiva el grado de dificultad. Una gran variedadd de ejercicios y ejemplos geométricos se han incluido, los cuales contribuirán a una mejor comprensión de la teor´ıa. También se incluyen algunos complementos a la teor´ıa en forma de ejercicios para que el estudiante se habitúe a investigar por su cuenta algunos temas. El primer cap´ıtulo es un resumen de los elementos de la teor´ıa de conjuntos, necesarios para entender este texto y puede ser obviado si el lector considera tener dichos conocimientos. En el segundo cap´ıtulo trataremos, de forma general, lo que son las estructuras algebraicas. Se introduce la noción de operación binaria y de estructura algebraica simple, la cual consta de un conjunto sobre el cual se ha definido una operación binaria interna cerrada, entre las que se encuentran los semigrupos, monoides y grupos. Se definen también estructuras algebraicas con más de una operación binaria interna y cerrada, de las cuales las más importantes son los anillos y campos, que son estructuras algebraicas con dos operaciones binarias internas y cerradas que satisfacen ciertas propiedades de distributividad entre ellas. Trataremos muy brevemente algunos ejemplos de estructuras algebraicas con más de dos operaciones e incluso con operaciones n-arias. En los cap´ıtulos siguientes desarrollaremos los elementos básicos de la teor´ıa de grupos, anillos y extensión de campos. La primera parte estará dedicada al desarrollo de la teor´ıa de grupos y su clasificación y, particularmente, daremos una clasificación exaustiva de los grupos abelianos finitamente generados. Terminaremos esta primera parte con una introducción a lo que son los productos directos y amalgamados y las sumas directas y amalgamadas de grupos, as´ı como la construcción de los llamados grupos libres, tanto en el caso abeliano como no abeliano. En la segunda parte se estudia la teor´ıa de anillos, en particular de anillos conmutativos, campos, extensiones de campos y sus aplicaciones al proceso de radicación para encontrar las raices de polinomios con coeficientes en un campo dado, culminando con la teor´ıa de Galois, la cual hace uso de la teor´ıa de grupos y relaciona la posibilidad de encontrar las raices de un polinomio, usando un proceso de radicación, con la solubilidad de un cierto grupo asociado al polinomio, llamado el grupo de Galois. En la tercera parte daremos una breve introducción a lo que es la teor´ıa de categor´ıas y funtores, as´ı como de las llamadas a´ lgebras universales: a´ lgebra tensorial, a´ lgebra de Grassmann, a´ lgebra simétrica, de Rees, de Clifford y de Weyl, as´ı como sus propiedades fundamentales. Finalizamos esta tercera parte con una introducción al a´ lgebra homológica, donde tratamos los complejos y co-complejos de cadenas y co-cadenas, su homolog´ıa y 



´ PROLOGO

cohomolog´ıa respectivamente. As´ı mismo damos una breve descripción de los complejos de Koszul y de de Rham y de su homolog´ıa y cohomolog´ıa respectivamente. Se tratan también las resoluciones proyectivas e inyectivas de módulos y sus funtores derivados, en particular los funtores derivados TorA y ExtA , correspondientes a los bifuntores ⊗A y HomA ( , ). Para el caso en que A es un dominio principal, se tratan los teoremas del coeficiente universal y fórmulas de Künneth, de gran aplicación en la topolog´ıa y geometr´ıa algebráicas. Los apuntes están diseñados para un curso de dos semestres (las dos primeras partes) para estudiantes de licenciatura en matemática que ya hayan cursado o tengan conocimientos básicos del a´ lgebra superior y de a´ lgebra lineal. La tercera parte está pensada como complemento y materia de estudio para aquellos estudiantes que deseen profundizar más en el estudio del a´ lgebra y de la topolog´ıa o geometr´ıa algebraicas. Puede servir de base para un tercer curso de a´ lgebra o para algún seminario sobre dichos temas. Si este texto logra despertar en el estudiante el interés por el estudio del a´ lgebra, en cualquiera de sus especializaciones, habré alcanzado mi objetivo. Dr. Juan Francisco Escamilla Castillo Guatemala, 2008

´ INTRODUCCION

F 0.1. Al Jwarizmi El a´ lgebra constituye una de las principales ramas de las matemáticas. En su forma elemental nos enseña el formalismo y las reglas de las operaciones elementales con números y su enseñanza forma parte del curriculum básico de la educación secundaria en todos los pa´ıses. Su campo de aplicación se extiende a todas las ciencias, as´ı como a la vida diaria. La palabra a´ lgebra deriva de la palabra a´ rabe al-yebr, que quiere decir la reducción y que aparece en el tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa alJwarizmi, por el año 820 de nuestra era, titulado Al-Kitab al-yebr wa-l-Muqabala, que significa Compendio de cálculo por el método de reducción y balanceo, el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas. El nombre de al-Jwarizmi ha dado origen a la palabra algor´ıtmo, empleado en matemáticas para indicar un método de cálculo espec´ıfico, como por ejemplo el famoso algor´ıtmo euclideano de la división elemental. Sin embargo los or´ıgenes del a´ lgebra se remontan, según los historiadores de la matemática, hasta los antiguos babilonios, quienes ya logran desarrollar un avanzado sistema aritmético, con el cual eran capaces de realizar cálculos, de tipo algebraico, para encontrar soluciones a ecuaciones lineales y cuadráticas. Mientras que los egipcios, indios, chinos y griegos del primer milenio antes de Cristo, usaban más métodos geométricos, tal y como se describen en algunos papiros egipcios, en el Sulba Sutras de la India, en Los Elementos de Euclides y Los Nueve cap´ıtulos sobre el Arte Matemático de los chinos. Sin embargo, más tarde, los matemáticos indios llegaron a desarrollar metodos algebraicos bastante sofisticados, entre los que destaca Brahmagupta, (628 DC.), quien fuera el primero en resolver ecuaciones, usando métodos generales, en contraste con los matemáticos griegos como Diophanto, (200 DC.), quien en su famosa Arithmetica utilizaba 1

´ INTRODUCCION

2

métodos espec´ıficos para cada caso, para solucionar ecuaciones con números enteros, conocidas como ecuaciones diofantinas. Una de las más famosas de estas ecuaciones es la ecuación xn + yn = zn , la cual dió origen a la famosa conjetura de Fermat, cuya corroboración llevó a los matemáticos más de tres siglos y la implementación de métodos algebraicos y geométricos sofisticad´ısimos. ´ C 1 (Conjetura de Fermat o Ultimo Teorema de Fermat). Para un enetro n > 2 no existen tres números enteros, estrictamente positivos, que sean solución de la ecuación xn + yn = zn . No es sino hasta 1995 que el matemático inglés Andrew Wiles, con ayuda de Richard Taylor, logra dar una demostración de la conjetura de Fermat1. En su tiempo Fermat escribió que ten´ıa una demostración de esta aserción, pero que desgraciadamente era un poco larga como para que le cupiera en el margen del libro. Hoy d´ıa se sabe que con los métodos matemáticos, conocidos en el siglo XVII, de los que pudo haber dispuesto Fermat, es imposible que e´ l haya tenido una demostración correcta de e´ ste teorema Tanto Diophanto como Al-Jwarizmi son considerados los padres del a´ lgebra. A continuación damos un resumen sobre el desarrollo del a´ lgebra desde la antigüedad hasta Galois (1832). [55] Alrededor de 1800 AC: Las Viejas Tablas Babilonias de Strassburg buscan soluciones de ecuaciones cuadráticas el´ıpticas. Alrededor de 1600 AC: Las tablas Plimpton 322 dan una tabla de tripletas pitagóricas en escritura cuneiforme babilónica Alrededor de 800 AC: El matemático indio Baudhayana, en su Baudhayana Sulba Sjutra, descubre tripletas pitagóricas algebraicamente, encuentra soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas de las formas ax2 = c y ax2 + bx = c y encuentra dos conjuntos de posibles soluciones enteras a un conjunto de ecuaciones diofantinas simultáneas. Alrededor de 600 AC: El matemático indio Apastamba, en su Apastamba Sulba Sutra, resuelve la ecuación lineal general y usa sistemas simultáneos de ecuaciones diofantinas hasta de 5 incógnitas. Alrededor de 300 AC: en su segundo libro de Elementos, Euclides da una construcción, usando herramientas euclideanas, (es decir construcciones con regla y compás), de la solución de la ecuación cuadrática con raices positivas reales. La construcción es debida a la Escuela Pitagórica de Geometr´ıa. En este per´ıodo se buscan también construir soluciones para el problema de la duplicación del cubo y ya es conocido el hecho que, en general, dicho problema no puede ser resuelto por métodos euclideanos. Alrededor de 100 AC: Ecuaciones algebraicas son tratadas en el libro chino de Jiuzhang Suanshu (Los Nueve Cap´ıtulos del Arte Matemático), se dan soluciones geométricas a la ecuación de segundo grado y soluciones matriciales de sistemas simultáneos de ecuaciones. En este per´ıodo, también en la antigua India, en el manuscrito conocido por Bakhshall Manuscript, ya se usa una notación algebraica que utiliza letras del alfabeto y otros s´ımbolos. También se incluyen soluciones a ecuaciones cúbicas y cuárticas, soluciones algebraicas a sistemas de ecuaciones lineales hasta de cinco incógnitas y la solución general de la ecuación cuadrática. 1Publicada en Annals of Mathematics

´ INTRODUCCION

3

Alrededor de 150 DC: Herón de Alejandr´ıa trata las ecuaciones algebraicas en sus tres volúmenes matemáticos. Alrededor de 200 DC: Diophanto, considerado uno de los padres del a´ lgebra y que vivió en Egipto, escribe su famosa Arithmetica, en el cual da soluciones de ecuaciones algebraicas y trata problemas de la teor´ıa de números. Alrededor de 499 DC: El matemático indio Aryabhata en su tratado Aryabhatiya, obtiene soluciones enteras a ecuaciones lineales, utilizando métodos similares a los actuales. Alrededor de 625 DC: El matemático chino Wang Xiatong, encuentra soluciones numéricas de la ecuación cúbica. Alrededor de 628 DC: El matemático Indio Brahmagupta, en su tratado Brahma Sputa Siddhanta, inventa el método de la Chakravala para resolver ecuaciones cuadráticas indeterminadas y da algunas reglas para la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas. Al rededor de 820 DC: El matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, escribe su famoso tratado Al-Kitab al-yebr wa-l-Muqabala, en el cual trata soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas. Alrededor de 850 DC: El maemático persa Al-Mahani concive la idea de reducir problemas de tipo geométrico, como la duplicación del cubo, a problemas de tipo algebraico. En este per´ıodo también el matemático indio Mahavira resuelve varias ecuaciones cuadráticas, cúbicas, cuárticas, y de grados superiores. Alrededor de 990 DC: El matemático persa Abu Bakr Al-Karaji en su tratado Al Fajri, continúa desarrollando el a´ lgebra, extendiendo los métodos de AlJwarizmi a ecuaciones con potencias y raices enteras de las incógnitas. Reemplaza operaciones de tipo geométrico, utilizadas hasta entonces en el a´ lgebra, por operaciones aritméticas modernas y define las expresiones monomiales 1 1 x, x2 , · · · , y , 2 , · · · y da reglas para el producto de e´ stos. x x Alrededor de 1050 DC: El matemático chino Jia Xian encuentra soluciones numéricas de ecuaciones polinomiales. Alrededor de 1072 DC: El matemático persa Omar Khayyam desarrolla la geo´ metr´ıa algebraica y, en el Tratado sobre demostración de Problemas de Algebra, da una completa clasificación de la ecuación cúbica con solución general geométrica, encontrada por medio de intersección de cónicas.

F 0.2. Omar Khayyam

4

´ INTRODUCCION

´ Alrededor de 1114 DC: El matemático indio Bhaskara, en su Bijaganita (Algebra), reconoce que todo número positivo posee tanto una raiz cuadrada positiva como una negativa y resuelva varios tipos de ecuaciones cúbicas, cuárticas y de grado superior. Alrededor de 1202 DC: Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, introduce en Europa el a´ lgebra, en su trabajo Liber Abaci.

F 0.3. Alejandro de Pisa (Fibonacci) Alrededor de 1300 DC: El matemático chino Zhu Shijie trata con a´ lgebra polinomial, resuelve ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones simultáneas haste de cuatro incógnitas y da soluciones numéricas a algunas ecuaciones de grado cuarto, quinto y de grado superior. Alrededor de 1400 DC: El matemático indio Madhava de Sangamagramma encuentra métodos iterativos para la aproximación de soluciones de ecuaciones no lineales. Alrededor de 1450 DC: El matemático a´ rabe Abu Al-Hasan ibn Ali Al-Qalasadi toma los primeros pasos hacia la introducción del simbolismo algebraico, representando s´ımbolos matemáticos usando caracteres del alfabeto a´ rabe. Alrededor de 1535 DC: Nicolo Fontana (Tartaglia) y otros matemáticos italianos, de forma independiente resuelven la ecuación general cúbica.

F 0.4. Nicolo Fontana (Tartaglia) Alrededor de 1545 DC: Girolamo Cardano publica en su Ars Magna (El Gran Arte) la solución de Tartaglia para la ecuación general de cuarto grado.

´ INTRODUCCION

5

F 0.5. Girolamo Cardano Alrededor de 1572 DC: Rafael Bombelli reconoce las raices complejas de la ecuación cúbica e introduce la actual notación. Alrededor de 1591 DC: Fran¸cois Viète desarrolla, en su In Artem Analyticiam Isagoge, una notación simbólica utilizando vocales para las incógnitas y consonantes para las constantes.

F 0.6. François Viète Alrededor de 1631 DC: Thomas Harriot, en una obra póstuma, usa ya la notación exponencial e introduce los s´ımbolos para menor que y mayor que Alrededor de 1682 DC: Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolla su noción de manipulación simbólica con reglas formales que e´ l llama characteristica generalis. Alrededor de 1680 DC: El matemático japonés Kowa Seki, en su Método para Resolver el Problema Disimulado, descubre el determinante y los números de Bernoulli. Alrededor de 1750 DC: Gabriel Cramer, en su tratado Introducción al Análisis de Curvas Algebraicas, formula la famosa fórmula de Cramer y estudia curvas algebraicas, matrices y determinantes. Alrededor de 1824 DC: Niels Henrik Abel muestra la insolubilidad, por radicación, de la ecuación general de quinto grado. ´ ´ Alrededor de 1832 DC: Evariste Galois en su trabajo sobre Algebra Abstracta, desarrolla la famosa Teor´ıa de Galois Hasta mediados del siglo XIX los matemáticos se ocupaban de estructuras algebraicas particulares, que involucraban entes concretos, como números, figuras geométricas,

6

´ INTRODUCCION

permutaciones y funciones y fueron descubriendo, que algunas de las operaciones que se realizaban con estos entes satisfac´ıan ciertas condiciones, como la cerradura, asociatividad, existencia de elementos neutros e inversos. Con el surgimiento de la teor´ıa de conjuntos de Cantor y la posibilidad de trabajar con conjuntos cuyos elementos pod´ıan ser de cualquier ´ındole bien definida, surge la idea de considerar conjuntos sobre los cuales están definidas una serie de operaciones que se suponen satisfacen ciertas condiciones, las cuales son dadas de forma axiomática y deducir, a partir de los axiomas dados, sus propiedades generales. As´ı surge la idea de estructura algebraica y su estudio es el núcleo de lo que hoy conocemos como a´ lgebra abstracta. Particular interés despertó el estudio de las estructuras algebraicas como los grupos, anillos, campos, módulos y espacios vectoriales y la estructura de a´ lgebra sobre un campo o anillo. Durante el siglo XX el a´ lgebra abstracta alcanza un gran desarrollo y una gran gama de aplicaciones a diferentes campos de la matemática y de la f´ısica teórica, surgiendo nuevas ramas, entre las cuales podemos citar: El algebra conmutativa, que estudia las propiedades de los anillos conmutativos y constituye la base de la geometr´ıa algebraica moderna. El a´ lgebra homológica que constituye la herramienta principal de la topolog´ıa y geometr´ıa algebraicas. El a´ lgebra de Lie, que estudia estructuras algebraicas definidas sobre variedades diferenciables y exige que todas las operaciones sean diferenciables, de gran aplicación en la geometr´ıa y topolog´ıa diferencial, as´ı como en la f´ısica teórica. La mayor abstracción en el estudio de estructuras algebraicas y no algebraicas es alcanzada en la llamada teor´ıa de categor´ıas, en la cual se definen los llamados objetos, morfismos entre objetos y ciertas reglas de composición de morfismos y se estudian las propiedades generales. As´ı, por ejemplo, la teor´ıa de grupos estudia la categor´ıa cuyos objetos son los grupos y sus morfismos los homomorfismos de grupos. Para más información sobre historia de las matemáticas referimos al lector a las siguientes obras [50], [46], [40], [55] NOMENCLATURA Los conjuntos los denotaremos por letras mayúsculas A, B, ...X, Y, Z. Si X es un conjunto, denotaremos por P(X) a su conjunto potencia o boreliano. Una familia de conjuntos la denotaremos por A , B, ..., X , Y , Z . Por R, Q, Z, N, C denotaremos los conjuntos de los números reales, racionales, enteros, naturales y complejos respectivamente. La contención (propia o impropia) la denotaremos por ⊆ y la contención propia por ⊂. A := · · · indica que A está siendo definido por · · · . ∧, ∨, indican la conjunción lógica ‘y’ y la disyunción lógica ‘o’, respectivamente. Por el s´ımbolo A ≈ B o bien A ' B, indicaremos una biyección entre dos conjuntos o bien un isomorfismo entre dos estructuras algebraicas. En cuanto a las referencias de ejercicios o ejemplos, los primeros números indican la serie de ejercicios o ejemplos correspondiente y el u´ ltimo número el número del ejercicio o ejemplo en esa serie. As´ı, por ejemplo, 7.2.2,3) o bien 7.2.2,3, se refiere al ejercicio 3 de la serie de ejercicios 7.2.2.

Parte 1

´ DE GENERALIDADES Y TEORIA GRUPOS

CAP´ıTULO 1

´ DE NOCIONES ELEMENTALES DE LA TEORIA CONJUNTOS

F 1.1. Georg Cantor

1.1.

Conjuntos y Subconjuntos

O´. En este cap´ıtulo emplearemos el concepto naive de conjunto, ya que en este tratado todos los conjuntos son tales, que sus objetos están bien definidos y que siempre es posible decir, sin ambigüedad, si un elemento está o no en dicho conjunto. D´ 1.1. Llamaremos conjunto a una colección S de objetos bien definidos, llamados puntos. Si x es un elemento de S , escribiremos x ∈ S , y x < S si x no está en S . Por U designaremos al conjunto universo, al cual pertenecen los puntos en cuestión. Si P es una proposición, S := {x ∈ U | P(x)} es el conjunto de todos los elementos de U para los cuales la proposición P es verdadera. D´ 1.2. Por ∅ denotaremos al conjunto vac´ıo que no posee ningún elemento, lógicamente se puede poner ∅ := {x ∈ U | x , x}. D´ 1.3. Dados dos conjuntos A y B, decimos que: 1. A es un subconjunto de B, (A ⊆ B) Ssi: x ∈ A ⇒ x ∈ B, ∀x ∈ A 2. A = B Ssi: A ⊆ B, y B ⊆ A 3. A es subconjunto propio de B, (A ⊂ B) Ssi A es subconjunto de B y A , B D´ 1.4. Dados dos conjuntos A y B 9

10

1. NOCIONES ELEMENTALES DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

1. Al conjunto A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} lo llamamos la unión del conjunto A con el conjunto B. 2. Al conjunto A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} lo llamamos la intersección del conjunto A con el conjunto B. 3. Al conjunto de pares ordenados A × B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B} lo llamamos el producto cartersiano del conjunto A con el conjunto B. 4. Al conjunto A \ B := {x | x ∈ A ∧ x < B} lo llamamos la diferencia del conjunto A con el conjunto B o complemento relativo de B respecto de A. 5. Al conjunto A 4 B := (A \ B) ∪ (B \ A) lo llamamos la diferencia simétrica del conjunto A con el conjunto B. D´ 1.5. Sea A subconjunto de un conjunto universo U 1. Al conjunto Ac := {x ∈ U | x < A} lo llamamos el complemento del conjunto A. 2. El conjunto P(U) := {A | A ⊆ U} se llama el conjunto potencia o boreleano de U. 3. A un subconjunto A ⊆ P(U) lo llamamos una familia de conjuntos. Leyes de de Morgan. T 1.1. Dados dos conjuntos A y B entonces vale: 1. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc 2. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc 1.2.

Relaciones y Aplicaciones

Por lo que sigue supondremos que todo conjunto es subconjunto de un universo U. D´ 1.6. Sean A y B dos conjuntos 1. Un subconjunto R ⊆ A × B se llama una relación de A en B. Si ∀a ∈ A ∃ b ∈ B tal que (a, b) ∈ R entonces se dice que A es el dominio de la relación R y el conjunto {b ∈ B | (a, b) ∈ R} el contradominio o rango de R y lo denotamos por Rang(R). 2. R es una relación sobre B si Rang(R) = B. 3. Si R es una relación de A en B, entonces mathcalR−1 := {(b, a) ∈ B × A | (a, b) ∈ R} es una relación de B en A, llamada la inversa de R. D´ 1.7. Dados dos conjuntos A y B 1. Decimos que una relación f de A en B es una aplicación de A en B, f : A → B, si ∀ a ∈ A ∃! b ∈ B tal que (a, b) ∈ f (∃! denota existe un u´ nico). Entonces decimos que b es la imagen de a y escribimos f (a) := b al rango de f lo denotaremos por f [A] y lo llamaremos la imagen de A. 2. Se dice que la aplicación f : A → B es sobreyectiva si f [A] = B. Si f (a) = f (b) ⇒ a = b entonces se dice que f es inyectiva o una inyección. Si f es inyectiva y sobreyectiva entonces se dice que f es biyectiva o una biyección. 3. Si f : A → B es una aplicación y C ⊆ A entonces la restricción de f a C, f |C : C → B está definida por f |C (x) := f (x), ∀x ∈ C. 4. Si f : A → B es una aplicación y C ⊆ A , entonces al conjunto f −1 [C] := {x ∈ A | f (x) ∈ C} lo llamamos la contraimagen o imagen inversa de C bajo f .

1.3. FAMILIAS INDIZADAS

11

D´ 1.8. Sean A, B, C conjuntos y f : A → B, g : B → C aplicaciones, entonces la composición g ◦ f : A → B es la aplicación definida por g ◦ f (x) := g( f (x)), ∀x ∈ A. El siguiente teorema, cuya demostración se deja al lector como ejercicio nos resume las principales propiedades de las aplicaciones: T 1.2. Dadas las aplicaciones f : X → Y, g : Y → Z, entonces: a) b) c) d) e) f) g) h)

f [A ∩ B] ⊆ f [A] ∩ f [B]. ∀A, B ⊆ X f [A ∪ B] = f [A] ∪ f [B] f −1 [U ∩ V] = f −1 [U] ∩ f −1 [V], ∀ U, V ⊆ Y f −1 [U ∪ V] = f −1 [U] ∪ f −1 [V], ∀ U, V ⊆ Y f −1 [U \ V] = f −1 [U] \ f −1 [V], ∀ U, V ⊆ Y A ⊆ f −1 [ f [A]], ∀A ⊆ X. Si f inyectiva, entonces f −1 [ f [A]] = A f [ f −1 [U]] ⊆ U, ∀U ⊆ Y. Si f sobreyectiva, entonces f [ f −1 [U]] = U (g ◦ f )−1 [W] = f −1 [g−1 [W]], ∀W ⊆ Z 1.3.

Familias Indizadas

D´ 1.9. Sean I un conjunto no vac´ıo, A ⊆ P(U) una familia. A una aplicación ϕ : I → A la llamamos una indización de A por I. El conjunto I se denomina el conjunto de ´ındices. Para i ∈ I escribiremos ϕ(i) = Ai ∈ A . Entonces a la familia {Ai }i∈I la llamaremos una familia indizada por I. E 1.1. Sean I := {1, 2, 3, 4, 5}, A := {{a, b}, {c, d}, {1, 2}, {3, 4}, {5, 6}}, ϕ : I → A , dada por ϕ(1) = A1 := {a, b} ϕ(2) = A2 := {c, d} ϕ(3) = A3 := {1, 2} ϕ(4) = A4 := {3, 4} ϕ(5) = A5 := {5, 6} {Ai }i∈I = {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 } La familia A puede también ser indizada por ella misma en una forma natural: ϕ(A) := A, ∀A ∈ A , llamada la indización natural. 1.3.1. Unión e Intersección de Familias Indizadas. Dada una familia indizada {Ai }i∈I , entonces definimos: S Ai := {x | ∃ i ∈ I, x ∈ Ai } i∈I T Ai := {x | x ∈ Ai , ∀i ∈ I}. i∈I

El siguiente teorema nos generaliza las leyes de de Morgan enunciadas en teorema 1.1: T 1.3. Dada una familia indizada {Ai }i∈I , entonces se tiene: S T 1. ( Ai )c = Aci i∈I i∈I T S 2. ( Ai )c = Aci i∈I

i∈I

D´. Demostraremos 1. y dejaremos al lector la demostración de 2. como ejercicio.


12

1. x ∈ (

S i∈I

A i )c ⇔ x <

S

Ai

i∈I

T ⇔ x < Ai , ∀i ∈ I ⇔ x ∈ Aci i∈I S T por consiguiente ( Ai )c = Aci i∈I

i∈I

1.3.2.

Conjuntos Finitos e Infinitos.

D´ 1.10. Dado un conjunto S , entonces se tiene: 1. S es un conjunto finito si existe n ∈ N y una biyección f : {1, · · · , n} → S 2. S es un conjunto infinito si existe una biyección entre S y un subconjunto propio de S 3. S es un conjunto denumerable si existe una biyección entre N y S . 4. Se dice que dos conjuntos son equipotentes o que poseen la misma cardinalidad si existe una biyección entre ellos. 5. Un conjunto es contable si es finito o denumerable. E 1.2. 1. El conjunto N de los números naturales es infinito, ya que f (n) := 2n es una biyección entre N y el subconjunto propio de los números pares. N es obviamente denumerable. La cardinalidad de cualquier conjunto denumerable se denota por ℵ0 , (alef sub 0, primera letra del alfabeto hebreo). 2. f : N → Z definida por  n   si n par      2 f (n) :=     −(n + 1)    si n es impar 2 es una biyección entre N y Z. Por lo que Z es contable. 3. El conjunto R de los números reales es “no contable”. Para demostrar esto basta con mostrar que el intervalo I := [0, 1] no es contable. En efecto, supongamos que I fuera contable, entonces I = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }, donde cada uno de los xn posee una expansión decimal u´ nica no finita: xn = 0.an1 . . . ann . . . . Consideremos el número y := 0.a11 . . . ann . . . y formemos z := 0.b1 . . . bn . . . , bn , 0, bn , ann , ∀n ∈ N, entonces z , xn , ∀ n ∈ N, z ∈ I, pero z no aparece en el conteo. Por lo tanto I no es contable y por consiguiente tampoco R. Se puede demostrar que la cardinalidad de R es la misma que la del intervalo I. La cardinalidad de R se suele denotar por c o por ℵ1 y se llama la cardinalidad del continuo. As´ı mismo se puede demostrar que R y P(N) poseen la misma cardinalidad. Uno de los resultados de la teor´ıa de conjuntos es que la cardinalidad de un conjunto S es siempre estrictamente menor que la cardinalidad de su conjunto potencia. Para un conjunto finito de n elementos se ve facilmente que la cardinalidad de su conjunto potencia es 2n , as´ı se define entonces ℵn := 2ℵn−1 , n = 1, 2, · · · . Durante mucho tiempo se planteó el problema de demostrar que no existe ninguna cardinalidad entre ℵ0 y ℵ1 , la llamada hipótesis del continuo. No fue sino hasta hace algunos años que P.J. Cohen [11] demostró que la validez o invalidez de dicha hipótesis no es demostrable con los axiomas de la teor´ıa de conjuntos..


1.3.3.

13

Producto Cartesiano Sobre una Familia Indizada.

D´ 1.11. Sea {Ai } una familia indizada. Llamamos producto cartesiano sobre I al conjunto: Y [ Ai := {x | x : I → Ai , con x(i) ∈ Ai , ∀ i ∈ I}. i∈I i∈I Q En lugar de escribir x(i) ∈ Ai se suele escribir xi ∈ Ai . Si x ∈ Ai , entonces escribiremos i∈I Q x := (xi ). A la aplicación pk : Ai → Ak , k ∈ I definida por pk (x) := xk ∈ Ak , la llamamos i∈I

la k-proyección sobre Ak , k ∈ I. En el caso en que I es un conjunto finito de ´ındices esta definición coincide con la definición dada en 1.4. E 1.3. Sea I = {1, 2} y consideremos la familia indizada {A1 , A2 }, entonces A1 × A2 = {x | x : {1, 2} → A1 ∪ A2 , x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 }, por lo que podemos identificar x con el par ordenado (x1 , x2 ). La existencia del producto cartesiano está garantizada por el llamado axioma de selección de Zermelo. A (Axioma de Selección). Sea {Ai } una familia de conjuntos no vac´ıos. Entonces S existe una aplicación ϕ : I → Ai , tal que ϕ(i) ∈ Ai , ∀ i ∈ I. La aplicación ϕ se i∈I

llama una aplicación de selección. Esto quiere decir que podemos formar un conjunto que esté formado por un elemento de cada uno de los Ai . Cohen demostró que este axioma es independiente de los demás axiomas de la teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y, además, que dicho axioma, el teorema del buen ordenamiento y el lema de Zorn (ver teoremas 1.6 y 1.7 ) son equivalentes. 1.3.4.

Relaciones de Equivalencia y de Orden.

D´ 1.12. Sea A un conjunto no vac´ıo, A×A el producto cartesiano de A consigo mismo y sea R ⊆ A × A una relación de A en A. 1. Al subconjunto 4 := {(x, x) | x ∈ A} lo llamamos la diagonal de A × A. 2. Decimos que R es reflexiva si 4 ⊆ R 3. R es transitiva si (x, y) ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R 4. R es simétrica si (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R. 5. R es antisimétrica si (x, y) ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y. D´ 1.13. Sea R ⊆ A × A una relación de A en A. 1. Decimos que R es una relación de equivalencia sobre A si R es reflexiva, simétrica y transitiva. 2. Si x ∈ A, al conjunto [x] := {y ∈ A | (x, y) ∈ R} lo llamamos la R-clase de equivalencia de x. También se suele denotar por x¯ la clase de equivalencia de x. D´ 1.14. Decimos que una familia P ⊆ P(A) es una partición del conjunto A si:


14

a)

S

P=A

P∈P

b) Si P, Q ∈ P, entonces P ∩ Q = ∅, o P = Q. T 1.4. Si R es una relación de equivalencia sobre el conjunto A y P x := [x], entonces la familia P := {P x } x∈A es una partición de A S D´. Como 4 ⊆ R, ∀x ∈ A x ∈ P x , por consiguiente P x = A. Por otra x∈A

parte si z ∈ P x ∩ Py , entonces (x, z) ∧ (y, z) ∈ R, como R simétrica (z, y) ∈ R y por la transitividad de R resulta que (x, y) ∈ R, por lo tanto P x = Py .

D´ 1.15. Sea R una relación de equivalencia sobre el conjunto A 1. Al conjunto A/R := {[x] | x ∈ A} lo llamamos el conjunto cociente de A sobre R. 2. La aplicación π : A → A/R, definida por π(x) := [x] se llama la proyección canónica o aplicación de identificación, la cual identifica a todos los elementos, que son equivalentes entre s´ı, a un u´ nico elemento en A/R y es obviamente sobreyectiva. E 1.4. Sea Z el conjunto de los números enteros, para p ∈ Z, pZ := {px | x ∈ Z}, dados n, m ∈ Z decimos que n es congruente con m, (n − m) ∈ pZ. Entonces la relación definida por R := {(m, n) | m ≡ n,

(mód p) (m ≡ n,

(mód p)), si

(mód p)},

es una relación de equivalencia sobre Z. Sólo existen p clases distintas:[0], [1], . . . [p − 1], llamadas clases de congruencia, (mód p). Entonces Z/R := {[0], [1], . . . [p − 1]} es el conjunto cociente. D´ 1.16. Sean X, Y, Z tres conjuntos y f : X → Z, g : Z → Y, h : X → Y aplicaciones, decimos que el diagrama /Y ? f g Z X

h

es conmutativo si h = g ◦ f . En forma análoga se dice que el diagrama de aplicaciones entre conjuntos X

f

g

Z es conmutativo si h ◦ f = j ◦ g

/Y h

j

/W


15

O´ 1.1. El estudio de los diagramas conmutativos es de suma importancia en el a´ lgebra moderna y la topolog´ıa y geometr´ıa algebraicas. En particular son el tema de estudio en la llamada teor´ıa de categor´ıas1 El teorema que daremos ahora es muy importante en el a´ lgebra y recibe el nombre de teorema de factorización. T 1.5 (Teorema de factorización). Sea f : X → Y una apllicación y sea R f := {(x, y) ∈ X × X | f (x) = f (y)}, entonces a) R f es una relación de equivalencia sobre X. b) Existe una u´ nica aplicación f¯ : X/R f → Y, tal que el diagrama /Y {= { {{ π {{ f¯ { { X/R f X

f

es conmutativo. Además f¯ es inyectiva y si f es sobreyectiva, entonces f¯ es una biyección. D´. Demostraremos u´ nicamente el inciso b), dejando al lector la demostración de a). En efecto, la aplicación f¯ : X/R f → Y, definida por f¯([x]) := f (x) hace conmutar al diagrama. Para mostrar que f¯ está bien definida, debemos mostrar que f¯ no depende del representante escogido. En efecto, para y ∈ [x], [y] = [x], f¯([y]) = f (y) = f (x) = f¯([x]), por lo que f¯ está bien definida y es la u´ nica que hace conmutar al diagrama. f¯ es inyectiva, ya que [x] , [y] ⇒ f¯([x]) = f (x) , f (y) = f¯([y]). Si f es sobreyectiva también lo es f¯ , ya que ∀z ∈ Y ∃x ∈ X, tal que f (x) = z, por lo tanto f¯([x]) = z . 1.3.5.

Relaciones de Orden y Conjuntos Ordenados.

D´ 1.17. Sea A un conjunto no vac´ıo y ⊆ A×A una relación sobre A. Decimos que es una relación de orden parcial sobre A si es reflexiva, transitiva y antisimétrica. Al par (A, ), donde es una relación de orden parcial, lo llamamos un conjunto parcialmente ordenado. Si (x, y) ∈ escribiremos x y. Si ∀x, y ∈ A, x y o y x entonces se dice que es una relación de orden total y que (A, ) es un conjunto totalmente ordenado. Si la relación es sólo reflexiva y transitiva, entonces se dice que es una relación de quasiorden o preorden y que (A, ) es un conjunto quasiordenado o preordenado. D´ 1.18. Sea (A, ) un conjunto parcialmente ordenado y B ⊆ A 1. 2. 3. 4.

t ∈ A es una cota superior de B, si x t, ∀x ∈ B m ∈ B es un elemento maximal o máximo de B, si ∀x ∈ B, m x ⇒ m = x g ∈ B es el elemento más grande de B, si x g, ∀x ∈ B. Decimos que una cota superior s de B es el supremo de B, si para cualquier otra cota superior r de B, s r. Entonces escribiremos sup B := s

1Ver cap´ıtulo 13

16


En forma análoga, invirtiendo la relación, se definen los conceptos de cota inferior elemento minimal o m´ınimo, elemento más pequeño e ´ınfimo (´ınf B de un conjunto B). Es de notar que elementos maximales (minimales), si existen, pueden haber varios, mientras que un elemento más grande (más pequeño), si existe, es u´ nico. El elemento más grande (más pequeño) es a su vez un elemento maximal (minimal), pero no al revés. E 1.5. A := {a, b, c, d}, := {(a, b), (b, c), (a, c)} ∪ 4. El lector verificará fácilmente que e´ sta es una relación de orden parcial sobre A. Sean B := {a, b, d}, D := {a, b, c}, entonces b, d son elementos maximales de B, pero B no posee elemento más grande ni elemento más pequeño. En cambio D si posee elemento más grande que es c y elemento más pequeño que es a. D´ 1.19. 1. Decimos que (A, ) está bien ordenado si cada subconjunto no vac´ıo de A posee un elemento más pequeño. 2. Decimos que (A, ) está inductivamente ordenado, si cada subconjunto no vac´ıo de A totalmente ordenado posee una cota superior. O´ 1.2. En un conjunto totalmente ordenado coincide el elemento maximal (minimal), en caso de que exista, con el elemento más grande (más pequeño). A continuación enunciaremos, sin demostración, dos teoremas de suma importancia en la teor´ıa de conjuntos y en la matemática moderna: el lema de Zorn y el teorema del buen ordenamiento. Ver, por ejemplo, [19], [52]. T 1.6 (Lema de Zorn). Todo conjunto no vac´ıo inductivamente ordenado posee un elemento maximal (minimal). T 1.7 (Teorema del buen ordenamiento). Todo conjunto puede ser bien ordenado. Si (A, ) es un conjunto finito parcialmente ordenado, se suele representar por medio de un “grafo” , donde los puntos que están relacionados aparecen unidos por una flecha. E 1.6. Sea A := {a, b, c, d, e}, entonces la relación := {(d, c), (c, a), (d, a), (e, c), (c, b), (e, b), (e, a)} ∪ 4 se puede representar por el grafo:

F 1.2. Relación de orden

1.4. EJERCICIOS Y COMPLEMENTOS

17

D´ 1.20. Un conjunto parcialmente ordenado (L, ) es una red, si ∀a, b ∈ L, {a, b} posee un ´ınfimo a · b ∈ L y un supremo (a + b) ∈ L. E 1.7. Sea L := {a, b, c, d, e}, sea la relación dada por el grafo:

F 1.3. Red Entonces (L, ) es una red, mientras que (A, ) en el ejemplo precedente no es una red. D´ 1.21. Sea (S , ) un conjunto parcialmente ordenado, A ⊆ S un subconjunto no vac´ıo 1. |A := ∩A × A es el orden inducido por sobre A. 2. (A, |A ) es una cadena en S , si (A, |A ) es totalmente ordenado. D´ 1.22. Sea (L, ) una red con elemento más pequeño que denotaremos por 0 y elemento más grande que denotaremos por 1. 1. Se dice que (L, ) es complementada si ∀a ∈ L, ∃x ∈ L, tal que a + x = 1 ∧ a.x = 0, x se llama el complemento de a. 2. Se dice que la red (L, ) es distributiva si (a + b).c = a.c + b.c, ∀a, b, c ∈ L. 3. Una red (L, ) distributiva y complementada se denomina un a´ lgebra de Boole o booleana. 1.4.

Ejercicios y Complementos

1. Demostrar las leyes de de Morgan enunciadas en los teoremas 1.1, y 1.3. 2. Probar que la relación definida sobre Z en el ejemplo 1.4 es una relación de equivalencia. 3. Definir sobre A := {a, b, c, d, e} una relación de equivalencia R y dar las clases de equivalencia para cada x ∈ A , as´ı como el conjunto cociente A/R. 4. Sea A un conjunto no vac´ıo y P una partición de A. Mostrar que la relación ∼, definida por x ∼ y ⇔: ∃ P ∈ P, tal que x, y ∈ P, es una relación de equivalencia sobre A y su conjunto cociente es precisamente P.


18

5. Sean n, m ∈ Z+ , donde Z+ es el conjunto de los enteros positivos mayores que 0, decimos que n|m (n divide a m) si existe q ∈ Z+ , tal que m = qn. Mostrar que := {(n, m) ∈ Z+ × Z+ | n|m} es una relación de orden sobre Z+ . Investigar además si (Z+ , ) es totalmente ordenado, bien ordenado o inductivamente ordenado. 6. Se dice que un conjunto U es universal, si: a) Si X ∈ U ⇒ X ⊆ U . b) Si X ∈ U ⇒ P(X) ∈ U c) Si X, Y ∈ U ⇒ {X, Y} ∈ U S d) Si F := {Fi }i∈I , Fi ∈ U , I ∈ U , entonces Fi ∈ U . i∈I

7.

8.

9. 10. 11. 12.

13.

14.

Sea U un conjunto universal, con ∅ ∈ U . Decimos que N ⊆ U es un numeral, si ∅ ∈ N y si X ∈ N ⇒ X ∪ {X} ∈ N , mostrar que U es un numeral. Sea U un conjunto universal con ∅ ∈ U . Si N es la intersección de todos los subconjuntos numerales de U , entonces N es también un subconjunto numeral y se llama el conjunto de los números naturales. Si x ∈ N, x0 := x ∪ {x} se llama el sucesor de x . Demostrar que N posee las siguientes propiedades: a) ∅ ∈ N b) Si x ∈ N ⇒ x0 ∈ N c) Cualquier subconjunto de N que satisface a) y b), coincide con N (principio de inducción). d) Si x ∈ N, x0 , ∅, además x ∈ y ⇒ x ⊆ y e) x0 ⊆ y0 ⇒ x ⊆ y f) x0 = y0 ⇒ x = y Las propiedades a)-f) caracterizan totalmente a N y reciben el nombre de axiomas de Peano. Algunos textos introducen al conjunto de los naturales utilizando estos axiomas. Un número natural es entonces un elemento de N y lo designamos de la siguiente forma: 0 := ∅, 1 := 00 = {∅}, 2 := 10 = {∅, {∅}}, 3 := 20 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, · · · . Dados dos conjuntos A, B, y una aplicación f : A → B, demostrar que la relación R f , definida en el teorema 1.5, es una relación de equivalencia. Definir los conceptos de m´ınimo, elemento más pequeño, cota inferior e ´ınfimo en un conjunto parcialmente ordenado (ver definición 1.18). Mostrar que |A , definida en definición 1.21-1) es una relación de orden sobre A. Sea S , ∅ y (P(S ), ), donde:= {(A, B) ∈ P(S ) × P(S ) | A ⊆ B} a) Desmostrar que es una relación de orden sobre P(S ) b) Si A, B ∈ P(S ), A · B := A ∩ B, A + B := A ∪ B, mostrar que (P(S ), ) es un a´ lgebra de Boole. Sea P el conjuno de todas las proposiciones decidibles, es decir que son verdaderas o falsas en sentido exclusivo. Definimos: p q Ssi p ⇒ q, p · q := p ∧ q, p + q := p ∨ q, ∀p, q ∈ P. Mostrar que (P, ) es una red distributiva. (P, ) es, además, isomorfa a un a´ lgebra de Boole de dos elementos {0, 1}, por eso recibe el nombre de lógica bivalente. Sea (A, ) un conjunto parcialmente ordenado. Se dice que (A, ) satisface la condición del m´ınimo, si todo subconjunto no vac´ıo de A posee un elemento minimal. Mostrar que si (A, ) posee la propiedad del m´ınimo y si B es un subconjunto de A, que tiene la propiedad de que cualquier elemento a ∈ A está en B, siempre que B contenga a todos los elementos x ∈ A, x ≺ a, entonces B = A.

1.4. EJERCICIOS Y COMPLEMENTOS

19

(Ayuda: hacer ver que Bc no posee ningún elemento minimal y por consiguiente debe ser ∅) Este resultado es conocido como el principio de inducción Noetheriana. Si (A, ) está además bien ordenado, este principio se conoce con el nombre de inducción transfinita.

CAP´ıTULO 2

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS En este cap´ıtulo estudiaremos el concepto general de estructura algebraica. Empezaremos definiendo el concepto de operación binaria y de estructuras algebraicas con dicho tipo de operaciones y luego extenderemos el concepto de operación binaria a operaciones n-arias y daremos algunos ejemplos de dichas estructuras. En los cap´ıtulos siguientes profundizaremos y desarrollaremos la teor´ıa de grupos, de anillos y de campos. 2.1.

Operaciones binarias

D´ 2.1. Dados tres conjuntos A, B, y C, a una aplicación ∗ : A× B → C, tal que ∗(a, b) := a ∗ b ∈ C, ∀ (a, b) ∈ A × B, la llamaremos una operación binaria de elementos de A con elementos de B en C. E 2.1. Consideremos los conjuntos Z. R y C de los números enteros, reales y complejos respectivamente y la operación ∗ : Z×R → C, definida por n∗r := nr+inr ∈ C, ∀ (n, r) ∈ Z × R. En el caso particular en que A = B diremos que ∗ : A × A → C es una operación binaria interna y si A = B = C, entonces diremos que ∗ : A × A → A es una operación binaria interna cerrada. E 2.2. 1. El producto interno sobre el R2 , definido por · : R2 × R2 → R, (a, b) · (c, d) := ac + bd ∈ R, ∀ (a, b), (c, d) ∈ R2 , es una operación binaria interna 2. La suma usual de enteros: + : Z × Z → Z, es una operación binaria interna y cerrada. D´ 2.2. Llamamos estructura algebraica binaria simple a un par ordenado (A, ∗), donde A es un conjunto no vac´ıo y ∗ es una operación binaria interna y cerrada. Consideremos una estructura algebraica binaria simple (A, ∗): a) Decimos que la operación ∗ es asociativa si a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀ a, b, c ∈ A. b) Decimos que A posee un elemento neutro respecto de ∗, si ∃ e ∈ A, tal que e ∗ a = a ∗ e = a, ∀ a ∈ A. c) Decimos que a ∈ A posee un elemento simétrico o inverso a−1 respecto de ∗, si a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e, donde e es elemento neutro. d) Decimos que la operación ∗ es conmutativa, si a ∗ b = b ∗ a, ∀ a, b ∈ A. Una estructura algebraica binaria (A, ∗) que no cumple con ninguna de las condiciones a)-d) se llama un magma o grupoide y constituye la estructura algebraica más sencilla y, por lo general, carente de interés en el a´ lgebra. Si ∗ es conmutativa, diremos que (A, ∗) es un magma conmutativo o abeliano1. 1En honor del matemático Noruego Niels Henrik Abel 21

22

2. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Una estructura algebraica binaria (A, ∗), donde ∗ es asociativa se llama un semigrupo. Si ∗ es conmutativa diremos que es un semigrupo conmutativo o abeliano. Una estructura algebraica binaria (A, ∗), donde ∗ es asociativa y posee elemento neutro respecto de ∗, se llama un monoide. Si ∗ es conmutativa diremos que es un monoide conmutativo o abeliano. Una estructura algebraica binaria (A, ∗), donde ∗ es asociativa, posee elemento neutro respecto de ∗ y todo elemento de A posee un simétrico respecto de ∗ se llama un grupo. Si ∗ es conmutativa entonces diremos que es un grupo conmutativo o abeliano. E 2.3. 1. Sea P el subconjunto de los números enteros pares · el producto usual de enteros, entonces (P, ·) es un semigrupo abeliano 2. (N, +), donde + es la suma usual de números naturales es un monoide abeliano. Ningún n ∈ N, salvo el 0, posee un simétrico respecto de +.(Ver 3.3) 3. (Z, +), donde + es la suma usual de números enteros es un grupo abeliano. Dado n ∈ Z, −n ∈ Z es su simétrico. 4. Si Mn es el conjunto de matrices cuadradas con términos reales n × n y · el producto usual de matrices, entonces (Mn , ·) es un monoide no conmutativo. 5. (R3 , ×), donde × es el producto vectorial sobre R3 , es un magma. 6. Sea GL(n) el conjunto de matrices n × n, invertibles, con términos reales. Entonces (GL(n), ·), donde · es el producto usual de matrices, es un grupo (no conmutativo), llamado el grupo lineal. En el caso en que A es un conjunto finito, la operación ∗ se suele definir por medio de una tabla, como en los siguientes ejemplos: E 2.4. 1. Sea A := {a, b, c} y ∗ definida por la siguiente tabla: ∗ a b c

(2.1)

a a b c

b c b c c a a b

De la tabla se deduce facilmente que a es el elemento neutro de ∗. Si el lector traza una diagonal principal sobre la tabla, notará que existe simetr´ıa, respecto de la diagonal, en la distribución, en la tabla, de los elementos de A, lo cual indica que ∗ es conmutativa. Dejamos al lector la inquietud de determinar si existe un simétrico para cada elemento de A y si la operación es asociativa. 2. Sea Ω3 := {ω1 , ω2 , ω3 } las tres raices cúbicas complejas de 1, donde ω1 := 1, 1 1√ 1 1√ ω2 := − + 3i, ω3 := − − 3i. Si · es el producto usual de números 2 2 2 2 complejos, se obtiene la siguiente tabla:

(2.2)

· ω1 ω2 ω3

ω1 ω1 ω2 ω3

ω2 ω2 ω3 ω1

ω3 ω3 ω1 ω2

2.2. HOMOMORFISMOS DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS SIMPLES

23

De la tabla se deduce que el conjunto Ω3 es cerrado respecto del producto de números complejos. El lector verificará facilmente que (Ω3 , ·) es un grupo abeliano. Nótese la similitud formal entre la tabla (2.1) y la tabla (2.2). 2.1.1.

Ejercicios y Complementos.

1. Consideremos la estructura algebraica (Z, ∗), donde a∗b := a+b−a·b, ∀ a, b ∈ Z. + y · designan la suma y producto usuales de números enteros. a) Comprobar si existe un elemento neutro en Z respecto de ∗. b) ¿Qué elementos poseen un simétrico respecto de ∗? c) ¿Es ∗ asociativa? d) ¿Qué tipo de estructura posee (Z, ∗)? 2. Analizar qué tipo de estructura poseen las siguientes estructuras algebraicas: a) (S , +), donde S := {x | x ∈ Z, x < 0} y + la suma de números enteros. b) (S , +), donde S := {5x | x ∈ Z} y + la suma de números enteros. c) (S , ·), donde S := {x | x ∈ Z, x es impar} y · el producto de números enteros. d) El conjunto Ωn , de las n-raices complejas de 1, con · el producto usual de complejos. e) (S , ·), donde S := {−2, −1, 1, 2} y · el producto usual de números enteros. f) (S , ·), donde S := {1, −1, i, −i} y · el producto usual de números complejos. g) (S , ·), donde S := {z | z ∈ C, |z| = 1} 3. Dadas las matrices complejas ! ! ! ! 1 0 0 1 i 0 0 i 1= ,i= ,j= ,k= , agregando sus respectivos 0 1 −1 0 0 −i i 0 elementos negativos, construir una tabla de sus productos, usando el producto usual de matrices. Determinar si (Q, ·), donde Q es el conjunto de dichas matrices con sus negativos, forma un grupo y si e´ ste es conmutativo. Estas matrices constituyen la base estandard del a´ lgebra de cuaterniones o Hamiltonianos. 4. Mostrar que en una estructura algebraica (A, ∗) el elemento neutro, si existe, es u´ nico. Si además ∗ es asociativa, entonces el simétrico de un elemento, si existe, es u´ nico. 5. Sea P el conjunto de matrices de la forma ! ! ! ! 1 0 0 −i 1 0 0 1 1= ,l= ,h= ,s= 0 1 i 0 0 −1 1 0 llamadas las matrices de Pauli y sus negativos correspondientes. ¿Es P cerrado respecto del producto de matrices? Las matrices de Pauli son utilizadas en la mecánica cuántica 2.2.

Homomorfismos de Estructuras Algebraicas Simples

D´ 2.3. Sean (A, ∗), (B, ⊕) dos estructuras algebraicas. Decimos que la aplicación ϕ : A → B es un homomorfismo de estructuras algebraicas, entre (A, ∗) y (B, ⊕), si ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ⊕ ϕ(y), ∀x, y ∈ A. Si ϕ es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva, diremos que ϕ es un monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo respectivamente. Si ϕ es un homomorfismo, cuyo dominio y contradominio es la misma estructura, entonces se dice que ϕ es un endomorfismo. Un endomorfismo biyectivo se llama un automorfismo. Si las estructuras son semigrupos, monoides o grupos, diremos que ϕ es un homomorfismo de semigrupos, monoides o grupos.

24


E 2.5. 1. Sea (Z, +) el grupo de los números enteros con la suma usual, ϕ : Z → Z la aplicación definida por ϕ(n) := 2n, ∀ n ∈ Z. ϕ es un homomorfismo entre (Z, +) y (Z, +), ya que ϕ(m+n) = 2(m+n) = 2m+2n, ∀ m, n ∈ Z. ϕ es un endomorfismo inyectivo, sin embargo no es automorfismo, ya que no es sobreyectivo. 2. ψ : Z → Z, definida por ψ(m) := m + 5, ∀ m ∈ Z no es un homomorfismo, ya que ψ(m + n) = (m + n) + 5, mientras que ψ(m) + ψ(n) = m + 5 + n + 5 = m + n + 10 3. Consideremos las estructuras algebraicas (A, ∗), y (Ω3 , ·), donde A := {a, b, c}, Ω3 el conjunto de las raices cúbicas complejas de 1, ∗ la operación binaria definida por la tabla (2.1), página 22 y · la operación binaria definida por la tabla (2.2), página 22 y ϕ la aplicación ϕ : A → Ω3 , definida por ϕ(a) := ω1 , ϕ(b) := ω2 , ϕ(c) := ω3 , entonces ϕ(a ∗ a) = ϕ(a) = 1 = ϕ(a) · ϕ(a), ϕ(a ∗ b) = ϕ(b) = ω2 = 1 · ω2 = ϕ(a) · ϕ(b), ϕ(a ∗ c) = ϕ(c) = ω3 = 1 · ω3 = ϕ(a) · ϕ(c), ϕ(b ∗ b) = ϕ(c) = ω3 = ω2 · ω2 = ϕ(b) · ϕ(b), ϕ(c ∗ c) = ϕ(b) = ω2 = ω3 · ω3 = ϕ(c) · ϕ(c), ϕ(c ∗ b) = ϕ(a) = ω1 = ω3 · ω2 = ϕ(c) · ϕ(b), por lo que ϕ es un homomorfismo. Por tratarse de estructuras abelianas ya no es necesario examinar b ∗ c y c ∗ a. D´ 2.4. Sean (A, ∗), (B, ⊕) dos estructuras algebraicas con elementos neutros e ∈ A y f ∈ B, ϕ : A → B un homomorfismo. Al conjunto ker ϕ := {x ∈ A | ϕ(x) = f } lo llamamos el núcleo o kernel de ϕ. E 2.6. 1. As´ı en los ejemplos 2.5 números 1) y 3) el ker ϕ es {0} y {a} respectivamente. 2. Sean (Z, +), (A, ⊕), donde A := {0, 1} y ⊕ la operación binaria definida por la tabla (2.3)

⊕ 0 1

0 0 1

1 1 0

y ϕ : Z → A la aplicación definida por   0 si n par    ϕ(n) :=     1 si n es impar El lector verificará facilmente que ϕ es un homomorfismo y que ker ϕ = 2Z := {x ∈ Z | x par}. 3. Consideremos las estructuras algebraicas (R, +) y (S1 , ·), donde S1 := {z ∈ C | |z| = 1}, (geométricamente S1 es el c´ırculo de radio 1 con centro en el origen), ϕ : R → S1 la aplicación definida por ϕ(x) := e2πxi , ∀ x ∈ R. ϕ es un homomorfismo, ya que ϕ(x + y) = e2π(x+y)i = e2πxi · e2πyi = ϕ(x) · ϕ(y). El elemento neutro en (R, +) es el 0 y en (S1 , ·) es el 1 que es igual a e2πni , ∀ n ∈ Z, Por lo que ker ϕ = Z.

2.3. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS OPERACIONES BINARIAS

2.2.1.

25

Ejercicios y complementos.

1. Sean (Z, +), (A, ⊕), donde A := {0, 1, 2}, +, ⊕ son la suma usual de enteros, ⊕, la operación definida por la tabla: ⊕ 0 1 2

(2.4)

(2.5)

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

y sea ϕ : Z → A la aplicación definida por:   0 si n = 3m, m ∈ Z    1 si n = 3m + 1, m ∈ Z ϕ(n) :=     2 si n = 3m + 2, m ∈ Z Mostrar que ϕ es un homomorfismo y dar ker ϕ. 2. Sean (R3 , +), (R2 , +), donde + es la suma usual en R3 y R2 , respectivamente. Si ϕ : R3 → R2 definida por ϕ(x, y, z) := (x, y), ∀ (x, y, z) ∈ R3 . Mostrar que ϕ es un homomorfismo y dar ker ϕ. 3. Sean (A, ∗), (Ω3 , ·), donde A := {a, b, c}, Ω3 := {ω1 , ω2 , ω3 } el conjunto de las raices cúbicas complejas de 1, ver ejemplos 2.4 1) y 2), y ∗, · definidas en las tablas (2.1), (2.2) respectivamente. Si ϕ : A → Ω3 es la aplicación definida por ϕ(a) := 1, ϕ(b) := ω2 , ϕ(c) := ω3 , mostrar que ϕ es un isomorfismo y ker ϕ = a. 4. Sean (B, ⊕), (Ω3 , ·), donde B := {0, 1, 2}, ⊕ definida en la tabla (2.4), (Ω3 , ·), como en el ejercicio precedente y ψ : Ω3 → B la aplicación definida por ψ(ω1 ) := 0, ψ(ω2 ) = 1, ψ(ω3 ) := 2. Mostrar que ψ es un isomorfismo, cuyo núcleo es ker ψ = {ω1 } y que la composición ψ ◦ ϕ, donde ϕ es la aplicación definida en el ejercicio precedente, es también un isomorfismo. 5. Si ψ es un isomorfismo entre dos estructuras algebraicas cualesquiera (A, ∗), (B, ), mostrar que entonces las dos poseen el mismo tipo de estructura. (Es decir que si (A, ∗) es grupo, también lo será (B, ), etc.). 2.3.

Estructuras Algebraicas Con Dos Operaciones Binarias

Del a´ lgebra elemental es conocido que en los conjuntos de números enteros, racionales, reales y complejos se tienen definidas dos operaciones binarias cerradas, la suma y el producto usuales, las cuales son asociativas y que entre estas dos operaciones subsiste la siguiente ley de distributividad: (2.6)

a · (b + c) = a · b + a · c, y (a + b) · c = a · c + b · c, ∀ a, b, c

en cualquiera de los conjuntos arriba mencionados. D´ 2.5. Una tr´ıada ordenada (A, ∗, ), donde A es un conjunto no vac´ıo, ∗, operaciones binarias cerradas e internas sobre A, se llama una estructura algebraica con dos operaciones binarias. Naturalmente en el a´ lgebra se está interesado en que dichas operaciones cumplan ciertas condiciones interesantes y ciertas relaciones entre ellas. Inspirados en las propiedades que subsisten en los conjuntos de los números enteros, racionales, reales y complejos definimos la siguiente estructura:

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D´ 2.6. Decimos que la estructura algebraica con dos operaciones binarias (A, ∗, ) es un anillo, si (A, ∗) es un grupo abeliano, (A, ) un semigrupo y se cumplen las relaciones de distributividad siguientes: (2.7)

a (b ∗ c) = a b ∗ a c, y (a ∗ b) c = a c ∗ b c, ∀ a, b, c ∈ A

Si además (A, ) es un monoide, entonces se dice que (A, ∗, ) es un anillo con unidad, y si es conmutativa, entonces se dice que es un anillo conmutativo. E 2.7. 1. (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) son anillos conmutativos con unidad. 2. (Mn , +, ·), donde Mn es el conjunto de matrices reales o complejas, y +, · la suma y producto usual de matrices, es un anillo no conmutativo con unidad. 3. (A, ∗, ), donde A := {0, 1, 2}, ∗ la operación definida en la tabla (2.1), y la operación definida por la tabla: 0 1 2

(2.8)

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

es un anillo conmutativo con unidad. (¡verificarlo!) Si en un anillo (A, ∗, ) se cumple además que (A∗ , ) es un grupo, donde A∗ := A\{e}, e el elemento neutro de ∗, entonces se dice que (A, ∗, ) es un cuerpo. Si (A∗ , ) es grupo abeliano, entonces se dice que (A, ∗, ) es un campo. O´. En la literatura alemana, francesa y alguna española, se utiliza cuerpo y cuerpo conmutativo, para lo que nosotros llamamos campo. La palabra cuerpo es la traducción de la palabra alemana Körper, utilizada, por primera vez, por el matemático alemán Richard Dedekind. E 2.8. 1. (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) son campos, mientras que (Z, +, ·) no es ni campo ni cuerpo, ya que (Z \ {0}, ·) no es grupo, pues sus elementos, salvo {1, −1}, no son invertibles respecto de ·. 2. (Mn , +, ·) tampoco es un cuerpo, pues no toda matriz cuadrada es invertible respecto del producto. 3. (A, ∗, ) del ejemplo 2.7, 3), es un campo, como el lector comprobará facilmente. D´ 2.7. Sean (A, ∗, ), (B, ⊕, ◦), dos anillos (cuerpos o campos). Decimos que la aplicación ψ : A → B es un homomorfismo de anillos (cuerpos o campos), si ψ es homomorfismo de grupos abelianos entre (A, ∗) y (B, ⊕) y homomorfismo de semigrupos (monoides) entre (A, ) y (B, ◦). El núcleo o ker de un homomorfismo de anillos ψ, entre (A, ∗, ) y (B, ⊕, ◦) es el núcleo de ψ en tanto que homomorfismo de grupos abelianos entre (A, ∗) y (B, ⊕). O´. En un anillo es de suma importancia el orden en el cual se dan las operaciones. As´ı por ejemplo, (Z, +, ·) es un anillo, mientras que (Z, ·, +) no lo es, ya que (Z, ·) no es grupo.


27

2.3.1. Estructuras mixtas relacionadas con anillos y campos. Existen estructuras algebraicas, que además de poseer una operación binaria interna y cerrada, poseen una operación externa cerrada, de un anillo o campo fijo, que opera sobre ella. Tal es el caso de los llamados módulos y espacios vectoriales. D´ 2.8. Sea (A, ∗, ) un anillo con unidad. Un A-módulo por la izquierda es una estructura algebraica (M, †, ◦), donde (M, †) es un grupo abeliano, ◦ es una operación binaria externa ◦ : A × M → M y se satisfacen las condiciones siguientes: 1. λ ◦ (x † y) = λ ◦ x † λ ◦ y, ∀ x, y ∈ M, ∀ λ ∈ A. 2. (λ ∗ α) ◦ x = λ ◦ x † α ◦ x, ∀ x ∈ M, ∀ λ, α ∈ A. 3. (λ α) ◦ x = λ ◦ (α ◦ x), ∀ x ∈ M, ∀ λ, α ∈ A. 4. Si u es la unidad en (A, ∗, ), entonces u ◦ x = x, ∀, x ∈ M. Si ◦ es una operación binaria externa ◦ : M × A → M y se cumplen las condiciones: 1. (x † y) ◦ λ = x ◦ λ † y ◦ λ, ∀ x, y ∈ M, ∀ λ ∈ A. 2. x ◦ (λ ∗ α) = x ◦ λ † x ◦ α, ∀ x ∈ M, ∀ λ, α ∈ A. 3. x ◦ (λ α) = (x ◦ λ) ◦ α, ∀ x ∈ M, ∀ λ, α ∈ A. 4. Si u es la unidad en (A, ∗, ), entonces x ◦ u = x, ∀, x ∈ M. Entonces se dice que (M, †, ◦) es un A-módulo por la derecha. Si (M, †, ◦) es un A-módulo por la derecha y por la izquierda, entonces se dice que es un A-bimódulo. Si (A, ∗, ) es un anillo conmutativo, entonces la estructura de módulo por la derecha es isomorfa a la de módulo por la izquierda y diremos que (M, †, ◦) es un A-módulo. Un A-módulo (M, †, ◦) sobre un campo (A, ∗, ) se llama un A-espacio vectorial. Los elementos de M se denominan vectores y los del campo A escalares y se dice que A es el campo de escalares del espacio vectorial (M, †, ◦). A la operación ◦ la llamamos el producto con escalares. E 2.9. 1. Sea (Z, +, ·) el anillo de los números enteros con la suma y producto usuales. Entonces (Z2 , †, ◦) donde † está definida por (x, y) † (u, v) := (x + u, y + v), ∀ (x, y), (u, v) ∈ Z2 y ◦ definida por λ ◦ (x, y) := (λ · x, λ · y), ∀ (x, y) ∈ Z2 , ∀ λ ∈ Z, es un Z-módulo. 2. Del a´ lgebra lineal son bien conocidos los R-espacios vectoriales (Rn , +, ·), donde + y · son la suma en el Rn y el producto con escalares respectivamente. 3. (Mn , +, ·), donde Mn es el conjunto de las matrices reales n × n, + la suma usual de matrices y · el producto definido por λ · A := (λ · ai j ), donde A := (ai j ), es un R-espacio vectorial. Los homomorfismos entre A-módulos o A-espacios vectoriales se llaman aplicaciones lineales. Dados dos A-módulos (M, †, ◦), (N, ‡, •), decimos que la aplicación ψ : M → N es lineal si satisface las condiciones siguientes: 1. ψ(x † y) = ψ(x) ‡ ψ(y), ∀ x, y ∈ M 2. ψ(λ ◦ x) = λ • ψ(x), , ∀ x ∈ M, ∀ λ ∈ A Algunos módulos poseen una operación interna y cerrada adicional, que satisface ciertas relaciones de distributividad respecto de las operaciones del módulo,

28


D´ 2.9. Sea (A, ∗, ) un anillo con unidad. Un A-álgebra por la izquierda(por la derecha) es una estructura algebraica (M, †, ◦), ? , donde (M, †, ◦) es un A-módulo por la izquierda (por la derecha) y ? es una operación binaria cerrada ? : M × M → M que satisface las siguientes condiciones de distributividad: 1. (x † y) ? z = (x ? z) † (y ? z), ∀ x, y, z ∈ M. 2. x ? (y † z) = (x ? y) † (x ? z), ∀ x, y, z ∈ M. 3. (λ ◦ x) ? y = x ? (λ ◦ y) = λ ◦ (x ? y), ∀ x, y ∈ M, ∀ λ ∈ A. (3a. (x ◦ λ) ? y = x ? (y ◦ λ) = (x ? y) ◦ λ, ∀ x, y ∈ M, ∀ λ ∈ A). Si ? es conmutativa (M, †, ◦), ? es un A-álgebra conmutativa. Si ? es asociativa, entonces se dice que (M, †, ◦), ? es un A-álgebra asociativa. Dadas dos A-álgebras (M, †, ◦), ? , (N, ‡, •), . Decimos que la aplicación ψ : M → N es un homomorfismo de A-álgebras, si ψ es lineal y satisface además ψ(x ? y) = ψ(x) ψ(y), ∀ x, y ∈ M. E 2.10. 1. Todo anillo o campo (A, ∗, ) es un A-álgebra. 2. El espacio vectorial (R2 , +, ·) puede ser dotado de una estructura de R-álgebra asociativa y conmutativa, por medio de la operación ? : R2 × R2 → R2 , definida de la siguiente manera: ∀ x := (x1 , x2 ), y := (y1 , y2 ) ∈ R2 , (x) ? (y) := (x1 · y1 − x2 · y2 , x1 · y2 + x2 · y1 ). 3. El espacio vectorial de las matrices reales n × n (Mn , +, ·) con el producto usual de matrices, es una R-álgebra no conmutativa. O´ 2.1. Por abuso de lenguaje y de simbolog´ıa y para no perdernos en formalismos, en el futuro designaremos las operaciones de un anillo (campo) por + y ·, salvo casos particulares, y las llamaremos la suma y el producto respectivamente. Denotaremos por 0 y 1 a los elementos neutros de + y ·. Por el anillo (campo) A nos referiremos al anillo (A, +, ·). De forma análoga procederemos con los módulos (espacios vectoriales), representaremos por + y por · la operación interna y el producto con escalares y por M al módulo (M, +, ·). Al elemento neutro de + en M lo representaremos por 0. Los elementos de un módulo o espacio vectorial, en general, los escribiremos en letras negrillas, para diferenciarlos de los elementos del anillo o campo correspondiente. También, por facilidad, obviaremos escribir la operación · y escribiremos λα por λ · α, ∀ λ, α ∈ A y λx por λ · x, ∀ x ∈ M. Igualmente, en el caso de las A-álgebras, representaremos por · la operación binaria interna y cerrada y escribiremos también xy por x · y. En general no hay confusión ya que cada operación se aplica en elementos de ´ındole diferente. En algunos espacios vectoriales reales se puede definir también una operación binaria interna, cuyo resultado es un elemento del campo R y que cumple con determinadas condiciones, como es el llamado producto escalar o interno. D´ 2.10. Sea V un R-espacio vectorial. Una operación binaria interna h , i : V ×V → R se llama un producto escalar o producto interno, si satisface las siguientes condiciones: 1. 2. 3. 4.

hu, vi = hv, ui, ∀ u, v ∈ V (Axioma de simetr´ıa) hu, ui ≥ 0, ∀ u ∈ V hu, ui = 0 Ssi u = 0 (Axioma de positividad) hu + w, vi = hu, vi + hw, vi, ∀ u, v, w ∈ V (Axioma de aditividad) hλu, vi = λhu, vi, ∀ u, v ∈ V, ∀ λ ∈ R. (Axioma de homogeneidad)


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Una estructura (V, h , i), donde V es un espacio vectorial y h , i es un produto interno, se llama un espacio vectorial euclideano. Del a´ lgebra lineal es bien conocido el producto escalar en el Rn , definido de la sin P guiente forma: Dados x := (x1 , . . . , xn ), y := (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , hx, yi := xi yi . Llamado i=1

el producto escalar estandard. 2.3.2.


1. Determinar si (Q, ·, +) y (R, ·, +) son anillos 2. Sea S un conjunto cualquiera no vac´ıo, P(S ) su conjunto potencia. Determinar si (P(S ), ∩, ∪) y (P(S ), ∪, ∩) son anillos. ¿Existen elementos neutros de ∪ y ∩? 3. Sea S como en el ejercicio anterior, mostrar que (P(S ), ⊕, ∩), donde A ⊕ B := A ∪ B \ A ∩ B, ∀ A, B ∈ P(S ), es un anillo conmutativo con unidad. 4. Sea (Q4 , +, ·), donde + es la suma usual en Q4 y · el producto definido de la siguiente forma: dados x := (x1 , x2 , x3 , x4 ), y := (y1 , y2 , y3 , y4 ) ∈ Q4 , x · y := (x1 y1 + x2 y3 , x1 y2 + x2 y4 , x3 y1 + x4 y3 , x3 y2 + x4 y4 ). Mostrar que (Q4 , +, ·) es un anillo. ¿Es un anillo conmutativo? 5. Mostrar que el anillo del ejemplo 2.7, 3) es un campo. 6. Mostrar que el a´ lgebra definida en el ejemplo 2.10, 2), es isomorfa al a´ lgebra de los números complejos. 7. Sean e1 := (1, 0, 0, 0), e2 := (0, 1, 0, 0), e3 := (0, 0, 1, 0), e4 := (0, 0, 0, 1) ∈ R4 , la base usual del espacio vectorial R4 y un producto definido por la siguiente tabla:

(2.9)

· e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 e4

e2 e2 −e1 e4 −e3

e3 e3 −e4 −e1 e2

e4 e4 e3 −e2 −e1

Considerando que todo elemento del R4 se escribe de la forma x :=

4 P

xi ei y

i=1

que el producto debe ser distributivo respecto de la suma, generalizar, a cualquier elemento del R4 , el producto definido en la tabla (2.9), para los elementos de la base. Mostrar que con e´ ste producto el espacio vectorial R4 es una R-álgebra anticonmutativa, es decir x · y = −y · x, llamada el a´ lgebra de cuaterniones o Hamiltonianos (en honor a su descubridor Hamilton). 8. Utilizar las matrices 1, i, j, k definidas en la sección de ejercicios 2.1.1, 3) como base de un R-espacio vectorial. Mostrar que este espacio vectorial, con el producto de matrices, forma una R-álgebra anticonmutativa, isomorfa al a´ lgebra de cuaterniones del ejercicio precedente. 9. Si (V, h , i) es un espacio vectorial con producto escalar, mostrar que también valen las siguientes propiedades: i) hu, 0i = h0, ui = 0, ∀ u ∈ V. ii) hu, v + wi = hu, vi + hu, wi ∀ u, v, w ∈ V. iii) hu, λvi = λhu, vi, ∀ u, v ∈ V, ∀ λ ∈ R. 10. Mostrar que los siguientes productos son productos escalares en R2 : a) hu, vi := 6u1 v1 + 2u2 v2

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b) hu, vi := 2u1 v1 + u2 v1 + u1 v2 + 2u2 v2 . 11. Sea M2 el espacio vectorial de las matrices reales 2×2. Dadas las matrices ! ! u1 u2 v v2 U := y V := . u3 u4 v3 v4 Mostrar que hU, Vi := u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 + u4 v4 es un producto escalar en M2 . 2.4. Ωµσ -Estructuras Algebraicas En esta sección generalizaremos el concepto de estructura algebraica, considerando estructuras con varias operaciones de diferentes tipos de ariedad. D´ 2.11. Sea A un conjunto no vac´ıo. Una aplicación ∗ : | A × {z ··· × } A → A se n

llama una operación n-aria, interna y cerrada sobre A. ∗((a1 , . . . an )) se denota por a1 ∗ · · · ∗ an , ∀ a1 , . . . an ∈ A. Un ejemplo clásico de una operación (n − 1)-aria, para n > 2 es el producto vectorial o producto cruz sobre el espacio vectorial Rn . Dados n − 1 vectores fijos v1 , . . . , vn−1 ∈ Rn , definimos una aplicación lineal ψ : Rn → R, de la forma siguiente:    v1   ..  ψ(u) := det  .  vn−1    u Por el teorema de representación existe un u´ nico vector w ∈ Rn , tal que hu, wi = ψ(u). Al vector w lo llamamos el producto cruz o vectorial de los vectores v1 , . . . , vn−1 ∈ Rn y lo representaremos por v1 × · · · × vn−1 . n ×:R · · · × R}n → Rn | × {z n−1

es una operación (n − 1)-aria. En R3 el producto vectorial es una operación binaria, tal y como la conocemos del a´ lgebra elemental de vectores. Denotemos por Ω := {ω1 , . . . , ωm } un conjunto finito de operaciones internas y cerradas, de diferente ariedad, definidas sobre un conjunto A. La aplicación ν : Ω → N, definida por ν(ω j ) := n j Ssi ω j es una operación n j -aria, se llama la aplicación de ariedad de Ω. Sea σ una permutación sobre Ω. Al par (A, Ωµσ ), 1 6 µ 6 m, donde Ωµσ := (ωσ(1) , . . . , ωσ(µ) ) lo llamamos una Ωµσ -estructura algebraica., al número µ lo llamaremos el tipo de la estructura. Los elementos de Ω pueden cumplir con ciertas propiedades de asociatividad, distributividad, existencia de elementos neutros o simétricos. En particular, un grupo es una Ω1σ -estructura algebraica de tipo 1 en la cual Ω1σ := {ωσ(1) } y ν(ωσ(1) ) = 2, ωσ(1) es asociativa, posee elemento neutro y cada elemento de A posee un simétrico respecto de ωσ(1) . Un anillo es una estructura Ω2σ , de tipo 2, donde Ω2σ := (ωσ(1) , ωσ(2) ), ν(ωσ(1) ) = ν(ωσ(2) ) = 2, ωσ(1) es asociativa, posee elemento neutro y cada elemento posee un simétrico respecto de ωσ(1) , ωσ(2) es asociativa y distributiva respecto de ωσ(1) . En este libro nos limitaremos al estudio de los grupos, anillos y campos, es decir de estructuras Ω1σ y Ω2σ . Para el estudio de estructuras de o´ rdenes mayores referimos al lector a [10].

2.4. Ωµσ -ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

2.4.1.

31


1. Mostrar que v1 × · · · × vn−1 es ortogonal a cada vi , 1 6 i 6 n − 1, es decir hv1 × · · · × vn−1 , vi i = 0, ∀ i, 1 6 i 6 n − 1. 2. Calcular v1 × v2 × v3 en R4 .

CAP´ıTULO 3

´ NUMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES

F 3.1. Leopold Kronecker Dios creó los números naturales, lo demás es obra del hombre. L. Kronecker. En este cap´ıtulo daremos una pequeña introducción a la construcción formal de los números naturales, enteros y racionales y demostraremos algunas de sus propiedades más importantes y que nos servirán en el desarrollo de algunos temas. Omitiremos la construcción de los números reales por considerar que su construcción corresponde más a un curso de análisis real que al a´ lgebra. 3.1.

´ Los Numeros Naturales

3.1.1. Propiedades Generales y Operaciones Algebraicas. En la serie de ejercicios 1.4, 7) se introdujeron los números naturales como el conjunto N, intersección de todos los conjuntos numerales, el cual ten´ıa las siguientes propiedades fundamentales: a) ∅ ∈ N b) Si x ∈ N ⇒ x0 ∈ N c) Cualquier subconjunto de N que satisface a) y b), coincide con N (principio de inducción). d) Si x ∈ N, n0 , ∅, además x ∈ y ⇒ x ⊆ y e) x0 ⊆ y0 ⇒ x ⊆ y f) x0 = y0 ⇒ x = y Las propiedades a)-f) caracterizan totalmente a N y reciben el nombre de axiomas de Peano. Algunos textos introducen al conjunto de los naturales utilizando estos axiomas. Un número natural es entonces un elemento de N y lo designamos de la siguiente forma: 0 := ∅, 1 := 00 = {∅}, 2 := 10 = {∅, {∅}}, 3 := 20 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, · · · . 33

´ 3. NUMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES

34

F 3.2. Giuseppe Peano

O´. En nuestra definición de N se incluye el 0 como número natural y por la definición de 0 y de sucesor, es el u´ nico número natural que no es sucesor de otro, como se deduce del inciso d). Algunos autores no lo incluyen y comienzan con el número 1. Desde un punto de vista teórico es irrelevante dónde comiencen los números naturales. T 3.1. Para todo n ∈ N, n0 , n. D´. Consideremos el conjunto N := {x ∈ N | x0 , x}, entonces 0 ∈ N, ya que 0 no es sucesor de ningún número entero. Sea n ∈ N, entonces vale n0 , n, si (n0 )0 = n0 , entonces, por el inciso f), tendr´ıamos que n0 = n en contradicción a que n ∈ N. Por consiguiente n0 ∈ N y por el principio de inducción N = N. Consideremos sobre N la siguiente operación, definida por: (3.1)

n + 0 := n, ∀ n ∈ N

(3.2)

n + m0 := (n + m)0 , ∀ n, m ∈ N

Entonces + : N × N → N, ya que ∀ n ∈ N, ∀ m ∈ N \ {0}, n + m = n + m01 = (n + m1 )0 ∈ N, donde m01 := m. Si m = 0 es obvio que n + 0 = n ∈ N. Es decir que + es una operación binaria cerrada sobre N que llamaremos suma de naturales. Como una consecuencia inmediata de (3.1) y (3.2) se tiene: (3.3)

n + 1 = n + 00 = (n + 0)0 = n0 , ∀ n ∈ N

T 3.2. + : N × N → N posee las siguientes propiedades: 1. + es asociativa, es decir: (3.4)

n + (m + k) = (n + m) + k, ∀ n, m, k ∈ N 2. + es conmutativa, es decir:

(3.5)

n + m = m + n, ∀ n, m ∈ N

D´. Para mostrar tanto la asociatividad como la conmutatividad haremos uso del principio de inducción.

´ 3.1. LOS NUMEROS NATURALES

35

1. Consideremos el conjunto N := {x ∈ N | n + (m + x) = (n + m) + x, ∀ m, n ∈ N}. Vamos a mostrar que N = N. En efecto, por (3.1), (n+m)+0 = (n+m) = n+m = n + (m + 0), por lo que 0 ∈ N. Por (3.2) y (3.3) n + (m + 1) = n + m0 = (n + m)0 = (n + m) + 1, por lo que 1 ∈ N. Vamos a mostrar ahora que k ∈ N ⇒ k0 ∈ N. En efecto, para k ∈ N vale la ecuación: n + (m + k) = (n + m) + k, entonces n + (m + k0 ) = n + (m + k)0 = n + (m + k) + 1 = (n + m) + k + 1 = (n + m) + k0 , por consiguiente k0 ∈ N y por el principio de inducción N = N. 2. Para mostrar la conmutatividad consideremos primeramente el conjunto M := {x ∈ N | x + 0 = 0 + x}, del cual mostraremos, usando el principio de inducción, que es igual a N. En efecto 0 + 0 = 0 + 0, por lo que 0 ∈ M, también 0 + 1 = 0 + 00 = (0 + 0)0 = 00 = 1 = 1 + 0, por consiguiente 1 ∈ M. Mostremos ahora que m ∈ M ⇒ m0 ∈ M. Sea entonces m ∈ M, entonces 0 + m0 = (0 + m)0 = m0 = m0 + 0 y por el principio de inducción M = N. Consideremos ahora el conjunto U := {x ∈ N | 1 + x = x + 1}, obviamente 0, 1 ∈ U. Si n ∈ U, entonces 1+n0 = (1+n)0 = (n+1)0 = (n+1)+1 = n0 + 1 y nuevamente por el principio de inducción U = N. Finalmente consideremos el conjunto N := {x ∈ N | x + n = n + x, ∀ n ∈ N}, entonces, por lo anteriormente expuesto 0, 1 ∈ N . Sea ahora m ∈ N , entonces n + m0 = (n + m)0 = (m + n)0 = (m + n) + 1 = m + (n + 1) = m + (1 + n) = (m + 1) + n = m0 + n. Por el principio de inducción vale entonces que N = N. De lo anteriormente expuesto se obtiene el siguiente C 3.3. (N, +) es un monoide conmutativo con e = 0 como elemento neutro y 0 es el u´ nico elemento neutro respecto de +. D´. Sólo nos falta mostrar la unicidad del elemento neutro. En efecto, consideremos el conjunto M := {x ∈ N | x + p , x, ∀ p ∈ N, p , 0}. Por definición de + tenemos que 0+ p = p , 0, por lo que 0 ∈ M. Por otra parte, sea n ∈ M, entonces n+ p , n. Supongamos que n0 + p = (n + p)0 = n0 , entonces por inciso f) de las propiedades de N, tendr´ıamos n + p = n, en contradicción a que n ∈ M, por consiguiente n0 + p , n0 y n0 ∈ M. Entonces por el principio de inducción M = N. Sobre N también podemos definir otra operación binaria, que llamaremos producto de naturales, de la siguiente forma: (3.6)

n · 0 := 0, ∀ n ∈ N

(3.7)

n · m0 := n · m + n

Como una consecuencia inmediata de (3.6) y (3.7) se obtiene: (3.8)

n · 1 = n · 00 = n · 0 + n = n, ∀ n ∈ N

De la definición resulta que · : N × N → N, es decir · es una operación binaria cerrada sobre N.


36

T 3.4. · : N × N → N posee las siguientes propiedades: 1. · es distributiva respecto de +, es decir: n · (m + k) = n · m + n · k, ∀ n, m, k ∈ N

(3.9) y

(n + m) · k = n · k + m · k, ∀ n, m, k ∈ N

(3.10)

2. · es asociativa, es decir: n · (m · k) = (n · m) · k, ∀ n, m, k ∈ N

(3.11)

3. · es conmutativa, es decir: n · m = m · n, ∀ n, m ∈ N

(3.12)

D´. Al igual que en el teorema precedente usaremos el principio de inducción para mostrar estas propiedades. 1. Consideremos los conjuntos A := {x ∈ N | n · (m + x) = n · m + n · x, ∀ n, m ∈ N} y B := {x ∈ N | (n + m) · x = n · x + m · x, ∀ n, m ∈ N}. El lector comprobará facilmente que 0, 1 ∈ A y 0, 1 ∈ B. Sea k ∈ A, entonces n · (m + k) = n · m + n · k. n · (n + k0 ) = n · (n + k)0 = n · (m + k) + n = (n · m + n · k) + n = n · m + (n · k + n) = n · m + n · k0 , esto muestra que k ∈ A ⇒ k0 ∈ A y por el principio de inducción A = N. Por otra parte si k ∈ B, entonces (n + m) · k = n · k + m · k y tendremos (n + m) · k0 = (n + m) · k + (n + m) = (n · k + m · k) + (n + m) = n · k + (m · k + (n + m)) = n · k + (m · k + (m + n)) = n · k + ((m · k + m) + n) = n · k + (m · k0 + n) = n · k + (n + m · k0 ) = (n · k + n) + m · k0 = n · k0 + m · k0 , lo que muestra que k ∈ B ⇒ k0 ∈ B y por el principio de inducción B = N. 2. Consideremos N := {x ∈ N | n · (m · x) = (n · m) · x, ∀ n, m ∈ N}, obviamente 0, 1 ∈ N. Sea k ∈ N, entonces n · (m · k) = (n · m) · k y tendremos n · (m · k0 ) = n · (m · k + m) = n · (m · k) + n · m = (n · m) · k + n · m = (n · m) · k0 , lo que muestra que k ∈ N ⇒ k0 ∈ N y por el principio de inducción N = N. 3. Consideremos los siguientes conjuntos O := {x ∈ N | 0 · x = x · 0},

U := {x ∈ N | 1 · x = x · 1}

y C := {x ∈ N | n · x = x · n, ∀ n ∈ N}, vamos a mostrar, por el principio de inducción, que cada uno de ellos es igual a N. En efecto 0 ∈ O, por otra parte también 1 ∈ O, ya que 0 · 1 = 0 · 00 = 0 · 0 + 0 = 0 = 1 · 0. Si n ∈ O, entonces n · 0 = 0 · n. Entonces obtenemos 0 · n0 = 0 · n + 0 = 0 = n0 · 0, lo que muestra que n ∈ O ⇒ n0 ∈ O y por el principio de inducción 0 = N. De forma análoga se tiene que 0, 1 ∈ U y si n ∈ U, entonces n = n · 1 = 1 · n y se tiene 1 · n0 = 1 · n + 1 = n + 1 = n0 = n0 · 1 = n0 y de nuevo, por el principio de inducción U = N.


37

Finalmente mostremos que C = N. En efecto, es obvio que 0, 1 ∈ C. Si m ∈ C, entonces n · m = m · n y se tiene n · m0 = n · m + n = m · n + n = m · n + 1 · n = (m + 1) · n = m0 · n. Por consiguiente C = N. Del teorema precedente se infiere, de forma inmediata, el siguiente C 3.5. (N, ·) es un monoide conmutativo, cuyo u´ nico elemento neutro es e = 1. D´. Sólo nos queda mostrar la unicidad de e. Vamos a mostrar primero que m · n = 0 ⇒ m = 0 o n = 0. En efecto, supongamos que para n, m, m , 0 , n, m · n = 0, entonces ambos son sucesores de un n1 ∈ N y un m1 ∈ N respectivamente. 0 = n · m = n · m01 = n · m1 + n = n · m1 + n1 = (n · m1 + n1 )0 , en contradicción a que 0 no es sucesor de ningún elemento de N. Por consiguiente n = 0 o m = 0. Por otra parte, supongamos que existe m ∈ N, m , 1, m , 0, tal que m · n = n, ∀ n ∈ N, n , 0, y sea m1 ∈ N, m01 = m, entonces n = m · n = m01 · n = n · m1 + n, entonces, por corolario 3.3, n · m1 = 0 y, por lo anteriormente expuesto, dado que n , 0, m1 = 0 y, por consiguiente m = 1. 3.1.2.

Relación de Orden.

D´ 3.1. Sobre N vamos a definir una relación 6 de la siguiente forma: n 6 m :⇔ ∃p ∈ N tal que m = n + p

(3.13)

Si n 6 m diremos que n es menor o igual que m. Diremos que n es mayor o igual que m, denotado: n > m, Ssi m 6 n. T 3.6. 6 es una relación de orden sobre N D´. 1. 6 es reflexiva. En efecto n 6 n, ∀ n ∈ N, ya que n = n + 0, 0 ∈ N 2. 6 es antisimétrica. En efecto, si n 6 m y m 6 n, entonces existen p, q ∈ N, tales que (3.14)

m=n+ p

(3.15)

n=m+q de (3.14) y (3.15) resulta, substituyendo: m = m + p + q = m + r, donde r := (p + q) ∈ N

(3.16)

entonces, por corolario 3.3, r = 0. Si p o q fueran distintos de 0, supongamos p , 0, entonces existe p1 ∈ N, tal que p = p01 y 0 = p + q = p01 + q = (p1 + q)0 , en contradicción a que 0 no es sucesor de ningún número natural. Lo mismo se deduce si asumimos que q , 0, por consiguiente p = q = 0 y n = m 3. 6 es transitiva. Si n 6 m y m 6 s, entonces existen p, q ∈ N, tales que m=n+ p

(3.17) y

s=m+q

(3.18) de (3.17) y (3.18) se obtiene (3.19)

s = n + (p + q) = n + r, r := (p + q) ∈ N


38

por consiguiente n 6 s. D´ 3.2. Decimos que n < m Ssi existe p ∈ N \ {0}, tal que m = n + p. El lector comprobará que < es una relación que solamente es transitiva. No es simétrica ni reflexiva, ver ejercicios 3.1.4, 10) y 3.1.4, 11). ∀ n, m ∈ N, si m < n no puede valer n < m ni n < n. < es lo que se llama enconces una relación de orden estricto. Si m < n entonces diremos que m es estrictamente menor que n. Diremos que m es estrictamente mayor que n, denotado: m > n, Ssi n < m. T 3.7 (Ley de Tricotom´ıa). Para cada n, m ∈ N una y sólamente una de las siguientes relaciones es verdadera (3.20)

m=n

(3.21)

m
(3.22)

m>n

D´. Dado m ∈ N, construimos los siguientes conjuntos: M1 := {m}, M2 := {x ∈ N | x < m}, M3 := {x ∈ N | x > m} Vamos a probar que M := {M1 , M2 , M3 } es una partición de N, ∀ m ∈ N. En efecto, si m = 0, 0 ∈ M1 , M2 = ∅, M3 = N \ {0}, entonces n [ Mi = N i=1

y M1 ∩ M2 = M1 ∩ M3 = M2 ∩ M3 = ∅. Sea ahora m , 0 y consideremos el conjunto M :=

n [

Mi

i=1

0 ∈ M1 , por consiguiente 0 ∈ M. Sea ahora n ∈ N \ {0} y n ∈ M. Entonces tenemos tres casos posibles: a) n ∈ M1 , entonces n = m y n0 < m, por lo que n0 ∈ M3 y por consiguiente n0 ∈ M b) n ∈ M2 , entonces n0 6 m, si n0 = m, resulta que n0 = m ∈ M1 y n0 ∈ M. Si n0 < m, entonces n0 ∈ M2 y n0 ∈ M. c) n ∈ M3 , entonces m < n < n0 y n0 ∈ M En cualquiera de los casos resulta, por el principio de inducción que M = N. Los M j , j = 1, 2, 3, son disjuntos entre s´ı por la antisimetr´ıa y no reflexividad de <, ver 3.1.4, 10) y 3.1.4, 11). Por consiguiente M es una partición de N y cada número natural n ∈ N está en uno y sólo uno de los conjuntos M j , j = 1, 2, 3. 3.1.3. Algoritmo Euclideano de la División. Una herramienta muy u´ til en el a´ lgebra de números naturales y enteros y en el a´ lgebra en general, es el algoritmo euclideano. T 3.8. Dados dos números naturales m ∈ N, n ∈ N\{0}, ∃ q, r ∈ N, 0 6 r < n, tales que (3.23)

m=q·n+r


39

D´. Sea n ∈ N \ {0} un número natural cualquiera distino de 0 y consideremos el conjunto Nn := {x ∈ N | ∃ q, r ∈ N, 0 6 r < n, x = q · n + r}. Vamos a mostrar que Nn = N, ∀ n ∈ N \ {0}. En efecto 0 ∈ Nn , pues q = 0 = r satisfacen lo deseado. 1 ∈ Nn , pues si n = 1, entonces q = 1, r = 0 satisfacen lo deseado. Si 1 , n, entonces 1 < n y q = 0, r = 1 satisfacen lo deseado. Supongamos ahora que m ∈ Nn y que m = q · n + r, 0 6 r < n, entonces m0 = m + 1 = q · n + r + 1 = q · n + r0 . Como r < n, entonces r0 6 n. Si r = n, entonces m0 = q · n + n = (q + 1) · n y q0 , r = 0 satisfacen lo deseado. Si r0 < n, entonces q, r0 satisfacen lo deseado y m0 ∈ Nn . Entonces, por el principio de inducción Nn = N. Al número q en 3.23 lo llamamos el cociente de m respecto de n, y a r el resto. Decimos que n divide a m, denotado n | m si en (3.23) r = 0. En tal caso decimos que n es un divisor de m. Si n es un divisor de m y n , m, entonces diremos que n es un divisor propio de m. Si en (3.23) r , 0, diremos que n no divide a m, denotado n - m. Decimos que un número natural p ∈ N es primo, si p , 1 y sus u´ nicos divisores son p y 1, es decir, si su u´ nico divisor propio es 1. Decimos que un número natural n ∈ N es producto de números primos, si n es primo o si existen números primos, no necesariamente distintos, p1 , . . . , pr , tales que n = p1 · p2 · . . . · pr . T 3.9. Todo número natural mayor que 1 posee una representación como producto de números primos. D´. Consideremos el conjunto N := {x ∈ N | ∀ y 6 x, y es producto de números primos, y = 1 ∨ y = 0} Vamos a mostrar que N = N. En efecto, es obvio que 0, 1 ∈ N. Sea ahora n ∈ N, n > 1, entonces ∀ y 6 n, y = 0 ∨ y = 1 ∨ y es producto de números primos. Consideremos entonces n0 , si n0 es primo, n0 ∈ N. Supongamos que n0 no es primo. Entonces existen q, m ∈ N, q , 1 , m, tales que n0 = m · q, como m | n0 y q | n0 , por ejercicio 3.1.4,18), q < n0 , m < n0 , entonces q 6 n y m 6 n y como n ∈ N, resulta que ambos son productos de números primos, q = p1 · p2 · . . . · pr , m = q1 · q2 · . . . · q s . Por consiguiente n0 = p1 · p2 · . . . · pr · q1 · q2 · . . . · q s es también producto de números primos por lo que n0 ∈ N, entonces por el principio de inducción N = N. 3.1.4. Ejercicios y Complementos. 1. Si x, y ∈ N, mostrar que x + y = 0 ⇒ x = 0 ∧ y = 0. 2. Dado x ∈ N definimos 2x := x + x, para n > 2 definimos recursivamente n0 x := nx + x. Mostrar que nx = n · x, ∀ x, n ∈ N. 0 3. Dado x ∈ N definimos x0 := 1, para n > 0 definimos recursivamente xn := x · xn . n m n+m n m n·m Mostrar que ∀ x, m, n ∈ N, x · x = x y que (x ) = x . 4. Si x, y ∈ N, mostrar que x · y = 1 ⇒ x = 1 ∧ y = 1. 5. Mostrar que para cada m, n ∈ N vale lo siguiente: a) (m + n0 )0 = m0 + n0 b) (m · n0 )0 = m · n + m0 c) (m0 · n0 )0 = m0 + m · n + n0 . d) m0 + n0 = (m + n)0 + 1 e) m0 · n0 = (m · n)0 + (m + n). 6. Mostrar que para m, n, p, q ∈ N vale lo siguiente:


40

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

15. 16. 17. 18. 19. 20.

a) (m + n) · (p + q) = (m · p + m · q) + (n · p + n · q) b) m · (m + p) · q = (m · n) · q + m · (p · q) c) m · (n + p + q) = m · n + m · p + m · q. Mostrar que x + r = y + r ⇒ x = y, ∀ x, y, r ∈ N. (Ley de cancelación de la suma) Mostrar que n · x = n · y ⇒ x = y, ∀ x ∈ N, n , 0 (Ley de cancelación del producto) Mostrar que ∀ x, y ∈ N, x 6 y ∧ y 6 x ⇒ x = y. Mostrar que ∀ x ∈ N, x ≮ x, es decir que < no es reflexiva. Mostrar que ∀ x, y ∈ N no pueden valer al mismo tiempo x < y ∧ y < x. Es decir que < no es simétrica. Mostrar, además, que < es transitiva. Si m, n ∈ N y m 6 n, mostrar que entonces ∀ p ∈ N, m + p 6 n + p. Mostrar que si S := {x ∈ N | n < x < n0 , ∀ n ∈ N}, entonces S = ∅. Sean m, n ∈ N. Mostrar que vale lo siguiente: a) Si m = n, entonces k0 · m > n, ∀ k ∈ N. b) Si k0 · m = n, para algún k ∈ N, entonces m < n. Mostrar que p | (n + m) ∧ p | n ⇒ p | m. Mostrar que ∀ m, n ∈ N, m 6 m · n ∧ n 6 m · n. Mostrar que p | 0, ∀ p ∈ N. Mostrar que si p | n, n , 0, entonces p 6 n. Si p es divisor propio, entonces p
´ Los Numeros Enteros

En esta sección daremos una construcción formal de los números enteros a partir de los números naturales y demostraremos algunas de sus propiedades más importantes, de las cuales haremos uso más adelante. 3.2.1. Construcción, Propiedades Generales y Operaciones Algebraicas. Consideremos sobre N × N la relación ∼ definida por: (n, m) ∼ (r, s) ⇔: n + s = m + r

(3.24)

T 3.10. La relación ∼ es una relación de equivalncia sobre N × N. D´. 1. ∼ es reflexiva: En efecto, (n, m) ∼ (n, m), ya que n + m = m + n, por la conmutatividad de la suma de números naturales. 2. ∼ es reflexiva: En efecto, si (n, m) ∼ (r, s), entonces n + s = m + r y por la conmutatividad de la suma de números naturales s + n = r + m, por consiguiente (r, s) ∼ (n, m). 3. ∼ es transitiva: En efecto, si (n, m) ∼ (r, s) ∼ (p, q), entonces se tiene: (3.25)

n+s=m+r

(3.26)

r+q= s+ p De (3.25) y (3.26) se obtiene(!):

(3.27)

(n + s) + q = (m + s) + p

´ 3.2. LOS NUMEROS ENTEROS

41

entonces por ejercicio 3.1.4,7), resulta m+q=n+ p

(3.28)

Por consiguiente (n, m) ∼ (p, q). Por [n, m] denotaremos la clase de equivalencia del elemento (n, m) y definimos Z := (N × N)/ ∼:= {[n, m] | (n, m) ∈ N × N} como el conjunto de los números enteros. Un número entero es entonces una clase de equivalencia [n, m]. De la definición de ∼ resulta entonces [0, 0] = [n, n], ∀ n ∈ N, la clase [n, 0] = [n + k, k], ∀ n, k ∈ N y la clase [0, n] = [k, n + k], ∀ n, k ∈ N. As´ı, por ejemplo: [5, 2] es de la forma [n + k, k], donde k = 2, n = 3 y es, entonces, igual a la clase [3, 0] y la clase [6, 8] es de la forma [k, n + k], donde k = 6, n = 2 y es, entonces, igual a la clase [0, 2]. En general toda clase [n, m] puede ser identificada con una clase de la forma [l, 0] o de la forma [0, k]. Si n < m, entonces, de la definición de <, m = n + k y [n, m] = [n, n + k] = [0, k]. Si m < n, entonces [n, m] = [m + l, m] = [l, 0]. 3.2.1.1. Suma de Enteros. Por medio de: [n, m] + [k, l] := [n + k, m + l] :

(3.29)

se define una operación binaria + : Z × Z → Z, que llamaremos la suma de enteros o adición. Es de observar que la operación + dentro de los corchetes es la suma de números naturales, anteriormente definida. T 3.11. + : Z×Z → Z está bien definida, es decir no depende de la escogencia del representante de la clase de equivalencia. D´. En efecto, sean [¯n, m] ¯ y [ p, ¯ q] ¯ otros representantes de [n, m] y [p, q] respectivamente. Entonces valen las igualdades: n+m ¯ = m + n¯

(3.30) y

p + q¯ = q + p¯

(3.31)

vamos a mostrar que entonces [n, m]+[p, q] = [n+ p, m+q] = [¯n, m]+[ ¯ p, ¯ q] ¯ = [¯n + p, ¯ m+ ¯ q]. ¯ Es decir tenemos que mostrar que (n + p) + (m ¯ + q) ¯ = (m + q) + (¯n + p) ¯

(3.32) En efecto, (3.33)

(n + p) + (m ¯ + q) ¯ =

(3.34) (3.35)

= =

(n + m) ¯ + (p + q) ¯ (m + n¯ ) + (q + p), ¯ por (3.30) y (3.31) (m + q) + (¯n + p) ¯

lo que prueba la aserción. El lector comprobará facilmente las siguientes propiedades de la suma de enteros. T 3.12. + : Z × Z → Z posee las siguientes propiedades: 1. + es cerrada en Z. 2. + es asociativa.


42

3. + es conmutativa 4. [n, n] = [0, 0] es elemento neutro de + en Z. Además, si [x, y] + [n, m] = [n, m], ∀ [n, m] ∈ Z, entonces [x, y] = [0, 0]. Es decir que el elemento neutro es u´ nico. 5. [n, m] es simétrico o inverso respecto de + de [m, n]. La demostración se deduce de forma inmediata de las propiedades de la suma de números naturales y la dejamos al lector como un ejercicio. (ver 3.2.2,1)) C 3.13. (Z, +) es un grupo abeliano. Dado un número entero α := [n, m], al número [m, n], su inverso adivito, lo denotaremos por −α. Vamos a definir la substracción o resta de dos enteros α, β como α − β := α + (−β)

(3.36)

3.2.1.2. Producto de Enteros. Al igual que en N podemos definir sobre Z otra operación binaria · : Z × Z → Z, que llamaremos producto o multiplicación de enteros, por medio de: (3.37)

[n, m] · [p, q] := [n · p + m · q, n · q + m · p]

De nuevo las operaciones en los corchetes son la suma y producto de números naturales. T 3.14. · : Z × Z → Z está bien definida. D´. Utilizando la notación del teorema 3.11, tenemos que mostrar que (3.38)

(n · p + m · q) + (¯n · q¯ + m ¯ · p) ¯ = (n · q + m · p) + (¯n · p¯ + m ¯ · q) ¯

En efecto, consideremos la siguiente igualdad: (3.39) (n + m) ¯ ˙(p + p) ¯ + (¯n + m) · (q + q) ¯ + (p + q) ¯ · (n + n¯ ) + (q + p) ¯ · (m + m) ¯ = 2(n · p + m ¯ · p¯ + m · q + n¯ · q) ¯ + n¯ · p + m · p¯ + n · q¯ + m ¯ · q + p¯ · n + q · n¯ + q¯ · m + p · m ¯ Por (3.30) y (3.31) se tiene (3.40) (n + m) ¯ ˙(p + p) ¯ + (¯n + m) · (q + q) ¯ + (p + q) ¯ · (n + n¯ ) + (q + p) ¯ · (m + m) ¯ = ˙ + p) (m + n¯ )(p ¯ + (m ¯ + n) · (q + q) ¯ + (q + p) ¯ · (n + n¯ ) + (p + q) ¯ · (m + m) ¯ = 2(n · q + n¯ · p¯ + m · p + m ¯ · q) ¯ + n¯ · p + m · p¯ + n · q¯ + m ¯ · q + p¯ · n + q · n¯ + q¯ · m + p · m ¯ De (3.39) y (3.40) y utilizando las leyes de cancelación de los ejercicios 3.1.4,7) y 3.1.4,8) se obtiene (3.41)

n· p+m ¯ · p¯ + m · q + n¯ · q¯ = n · q + n¯ · p¯ + m · p + m ¯ · q¯

reordenando los términos en la ecuación (3.41), se obtiene la ecuación (3.38).

T 3.15. · : Z × Z → Z posee las siguientes propiedades: 1. · es cerrada en Z 2. · es asociativa 3. · es conmutativa 4. [1, 0] es elemento neutro en Z de ·. Además si [n, m] · [x, y] = [n, m], m, ∀ [n, m] ∈ Z, entonces [x, y] = [1, 0]. Es decir que el elemento neutro respecto de · es u´ nico. 5. · es distributiva respecto de +


43

´ D´. Unicamente demostraremos la asociatividad, dejando como ejercicio la demostración de las demás propiedades. En efecto [n, m] · ([p, q] · [r, s])

=

[n, m] · [p · r + q · s, p · s + q · r]

=

[n · (p · ·r + q · s) + m · (p · s + q · r), n · (p · s + q · r) + m · (p · r · q · s)]

=

[(n · p + m · q) · r + (n · q + m · p) · s, (n · p + m · q) · s + (n · q + m · p)r]

=

([n · p + m · q, n · q + m · p]) · [r, s]

=

([n, m] · [p, q]) · [r, s]

Del corolario 3.13 y del teorema3.15 se obtiene el siguiente corolario: C 3.16. (Z, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad. Dado un número entero α := [n, m], por la ley de tricotom´ıa de N, vale una y sólo una de las siguientes aserciones: n < m, m < n, m = n. Por consiguiente todo número entero está, exclusivamente, en una u´ nica clase [l, 0], [0, k] o [0, 0]. A los elementos del subconjunto de Z, Z+ := {[n, 0] | n , 0} los llamaremos los enteros positivos y a Z+ el subconjunto de los enteros positivos. A los elemenos del subconjunto de Z, Z− := {[0, n] | n , 0} los llamaremos los enteros negativos y Z− el subconjunto de los enteros ¯ Z+ , Z− } es una partición de Z. Por negativos. Entonces, si 0¯ := {[0, 0]}, la familia Z := {0, consiguiente, dado un número entero α, vale que, e´ ste es positivo, negativo o 0, de forma exclusiva. Por medio de la aplicación inyectiva i : N → Z, definida por i(n) := [n, 0], ∀ n ∈ N, podemos identificar al conjunto N con el subconjunto {[n, 0] | n ∈ N} de Z. De este modo identificaremos al número natural n, con el entero [n, 0]. Por otra parte si α ∈ Z, por lo anteriormente expuesto, α está en uno y sólo uno de los tres conjuntos que integran Z , si α ∈ Z+ , α = [l, 0] para un u´ nico l ∈ N e identificaremos a α con el natural l. Si α ∈ Z− , ¯ entonces α = [0, k] para un u´ nico k ∈ N e identificaremos a α con −k := [0, k]. Si α ∈ 0, identificaremos a α con el 0 ∈ N. 3.2.2. Ejercicios y Complementos. 1. Completar la demostración del teorema 3.12. 2. Completar la demostración del teorema 3.15. 3. Mostrar que Z+ y Z− son cerrados respecto de +. 4. Mostrar que Z+ es cerrado respecto del producto ·. 5. Mostrar que −(α + β) = −α + (−β) 6. Mostrar que [n, 0] · [0, m] = [0, n · m], es decir el producto de un número positivo con uno negativo es siempre negativo. 7. Mostrar que −(−α) = α, ∀ α ∈ Z. 8. Mostrar que (−α) · (−β) = α · β, (−α) · β = −(α · β), ∀ α, β ∈ Z. 9. Mostrar que [0, n] · [0, m] = [n · m, 0], es decir que el producto de dos números negativos es positivo. 10. Mostrar que [n, m] ∈ Z+ Ssi n > m. 11. Mostrar que α := [n, m] ∈ Z− Ssi n < m 12. Mostrar que α := [n, m] ∈ Z+ ⇔ −α = [m, n] ∈ Z− , ∀ α ∈ Z. 13. La Relación 6 sobre Z. Dados [n, m], [p, q] ∈ Z, diremos que [n, m] 6 [p, q] Ssi: existe un entero [a, b] ∈ Z ∪ {0}, tal que [p, q] = [n, m] + [a, b]. Mostrar que 6 es una relación de orden sobre Z y que ∀ [n, m] ∈ Z− , [n, m] 6 [0, 0].


44

14. Probar que la relación <, definida por [n, m] < [p, q] ⇔: ∃ [a.b] ∈ Z+ , tal que [p, q] = [n, m] + [a, b] es una relación de orden estricto sobre Z. 15. Dado α ∈ Z, α := [n, m], definimos al sucesor de α, como α0 := [n0 , m]. Mostrar que si n = m + k, k > 0, entonces α0 = [k0 , 0] y si m = n + l, l > 0, entonces α0 = [0, l1 ], donde l1 es tal que l = l10 . 16. Mostrar que α < α0 , ∀ α ∈ Z. 17. Mostrar que α 6 β ⇒ −β 6 −α ∀ α, β ∈ Z. 18. Mostrar que α < β, ∀ α ∈ Z− , ∀ β ∈ Z+ ∪ {0}. 19. Mostrar que si α 6 β y γ ∈ Z, entonces α + γ 6 β + γ. Mostrar también que si γ ∈ Z+ , entonces α · γ 6 β · γ. Mientras que si γ ∈ Z− , entonces β · γ 6 α · γ. 20. Decimos que β es predecesor de α, donde α, β ∈ Z, si α = β0 . A diferencia de los naturales, mostrar que todo número entero es predecesor de otro y que todo número entero es sucesor de otro. 3.2.3.

Valor absoluto y Algoritmo Euclideano.

O´. Por abuso de notación y con la finalidad de simplificarla, en lo sucesivo escribiremos αβ en lugar de α · β. De forma análoga para el producto en N. 3.2.3.1.

Valor Absoluto.

D´ 3.3. Dado α ∈ Z, definimos ( α si α ∈ Z+ ∪ {0} (3.42) |α| := −α si α ∈ Z− |α| lo llamamos el valor absoluto de α. Entonces | | es una aplicación | | : Z → N. Si α = [n, 0], |α| = n. Para α = [0, n], −α = [n, 0] y |α| = n. T 3.17. | | : Z → N posee las siguientes propiedades 1. ∀ α ∈ Z α 6 |α|

(3.43) 2. ∀ α, β ∈ Z

|αβ| = |α||β|

(3.44) 3. ∀ α, β ∈ Z

|α + β| 6 |α| + |β|

(3.45) +

4. Si β ∈ Z , entonces |α| 6 β ⇔ −β 6 α 6 β

(3.46) D´.

1. La desigualdad (3.43) resulta inmediata del ejercicio 3.2.2,18. 2. Para mostrar la igualdad (3.44) consideremos tres casos: a) α, β ∈ Z+ ∪ {0}. Entonces |α| = α, |β| = β y αβ ∈ Z+ ∪ {0}, por consiguiente αβ = |αβ| de donde resulta la igualdad (3.44). b) α, β ∈ Z− . Entonces, por ejercicio 3.2.2,9), αβ ∈ Z+ y |αβ| = αβ. Por otra parte |α| = −α, |β| = −β y |αβ| = (−α)(−β) = αβ, por ejercicio 3.2.2,8). Por consiguiente vale la igualdad (3.44). c) α ∈ Z− , β ∈ Z+ . Entonces αβ ∈ Z− y |αβ| = −(αβ) = (−α)(β) = |α||β|.


45

3. Para mostrar la desigualdad (3.45) consideremos los casos siguientes: a) α, β ∈ Z+ ∪ {0}. Entonces, por ejercicio 3.2.2,3), (α + β) ∈ Z+ ∪ {0} y |α + β| = α + β = |α| + |β|. b) α, β ∈ Z− . Entonces, por ejercicio 3.2.2,3), (α+β) ∈ Z− y |α+β| = −(α+β) = −α + (−β) = |α| + |β|. c) α ∈ Z+ ∪ {0}, β ∈ Z− . Entonces se dan dos casos: i) (α + β) ∈ Z− . entonces |α + β| = −(α + β) = −α + |β| < |α| + |β|. ii) (α + β) ∈ Z+ . Entonces |α + β| = (α + β) = |α| + β < |α| + |β|. 4. Sea β ∈ Z+ , y supongamos que vale −β 6 α 6 β. Si α ∈ Z+ ∪ {0}, entonces |α| = α 6 β. Si α ∈ Z− , entonces |α| = −α y −β 6 α ⇒ −α 6 β, por consiguiente |α| 6 β. Supongamos ahora que |α| 6 β. Si α ∈ Z+ ∪ {0}, entonces, como β ∈ Z+ , −β ∈ Z− y, por ejercicio 3.2.2,18, −β 6 α = |α| 6 β. Si α ∈ Z− , entonces |α| = −α 6 β y, por ejercicio 3.2.2,17), −β 6 α 6 −α 6 β. 3.2.3.2. Algor´ıtmo Euclideano para Enteros. En analog´ıa a los números naturales, también existe un algoritmo euclideano de la división para los enteros. T 3.18. Dados dos números enteros α, β distintos de 0, existen un u´ nico q ∈ Z y un u´ nico r ∈ Z, 0 6 r < |β|, tales que α = qβ + r

(3.47)

q se llama el cociente de α por β y r el resto. D´. Sean α, β dos enteros cualesquiera distintos de 0 y consideremos los siguientes conjuntos: Z := {x ∈ Z | α − βx > 0},

R := {y | y := α − βx, x ∈ Z}

Vamos a mostrar, primeramente, que Z , ∅. En efecto, supongamos β ∈ Z− , entonces β 6 −1 y por 3.2.2,19), |α|β 6 −|α| 6 α, entonces α − |α|β > 0, y |α| ∈ Z. Si β > 0, entonces β > 1 y por 3.2.2,19), α > −|α| > β(−|α|), entonces 0 6 α − β(−|α|) y −|α| ∈ Z. Por consiguiente, Z , ∅ en cualquier caso. Entonces R , ∅ y es un subconjunto de N, ya que sus elementos son enteros positivos. Entonces, como N está bien ordenado, (ver ejercicio 3.1.4,20), R posee un elemento más pequeño r. Sea q ∈ Z, tal que r = α − qβ. Obviamente 0 6 r. Vamos a mostrar que r < |β|. Supongamos que r > |β|, entonces, si β ∈ Z− tendr´ıamos α − qβ > |β| = −β y r1 := α − β(q − 1) > 0, por lo que r1 ∈ R, pero r − r1 = −β = |β| > 0, lo que implicar´ıa que r1 < r, en contradicción a que r es el elemento más pequeño de R. En el caso en que β > 0, por un razonamiento análogo, se obtiene r − r1 = β > 0 y nuevamente tendr´ıamos r1 < r. Por consiguiente, en cualquier caso, r < |β|. Unicidad de q y r: Supongamos que existen q1 , q y r1 , r que satisface también la igualdad (3.47), y 0 6 r1 < |β|. De las desigualdades (3.48)

r

<

|β|

(3.49)

r1

<

|β|

Se obtienen las desigualdades (3.50)

r − r1

<

|β|

(3.51)

r1 − r

<

|β|

46


Las cuales implican (3.52)

−|β| < r − r1 < |β|

y por teorema 3.17, inecuación (3.46) |r − r1 | < |β|

(3.53) Por otra parte se tienen las igualdades (3.54)

α = qβ + r = q1 β + r1

De donde se obtiene (3.55)

(q1 − q)β = (r − r1 )

de la igualdad (3.55) resulta que |β| | |r − r1 |, en contradicción a la desigualdad (3.53). Por consiguiente r − r1 = 0 y por la igualdad (3.55), también q − q1 = 0. En forma análoga que en N, si r = 0 en la igualdad (3.47), entonces se dice que β divide a α, denotado β | α. Decimos que d ∈ Z es un divisor común de α y β, si d | α y d | β. En tal caso , existen enteros α1 , β1 , tales que α = dα1 ,

β = dβ1

Dados dos enteros α, β y d un divisor común, entonces, por el algor´ıtmo euclideano, se tiene α = qβ + r, 0 6 r < |β| como d | α y d | β, por ejercicio 15, d | r. O´. El lector podrá verificar facilmente que pasando a valores absolutos las propiedades de los divisores en Z son las mismas que en N. Supongamos que d > 0 es un divisor común de α, β y supongamos que α > β. Consideremos las siguientes igualdades (3.56)

α = qβ + r

(3.57)

β = q1 r + r1

(3.58)

r = q2 r1 + r2

Si asumimos, por ejemplo, que r2 = 0, nótese que entonces r1 es un divisor común de α y β, y que d | r1 , por lo que r1 > d. Bajo nuestra suposición de que r2 = 0, entonces, de las igualdades (3.57) y (3.56), resulta (3.59)

r1 = β − q1 r = β − q1 (α − qβ) = γα + δβ

donde γ := −q1 ∈ Z y δ := (1 + qq1 ) ∈ Z. Decimos que d¯ es máximo común divisor , (MCD), de α, β, denotado d¯ = (α, β), si d¯ ¯ es divisor común de α, β y dado otro divisor común d, entonces d | d. Nótese que, r1 , obtenido en la igualdad (3.57), es, en este caso, el MCD de α, β. Si r2 , no fuera 0 en la igualdad (3.58), continuamos aplicando el algoritmo euclideano a r1 , r2 , si el resto r3 obtenido no fuera 0, continuamos aplicando el algoritmo a r2 , r3 y as´ı sucesivamente. Como los restos van decreciendo y son mayores o iguales a 0, al cabo de un número finito de pasos se obtiene, digamos rn = 0, entonces rn−1 es el MCD de α, β. El lector comprobará, facilmente, que si d es un divisor común de α, β, d divide a todos los


47

restos ri , i = 1, . . . , n − 1, por lo que d | rn−1 , por otra parte, rn−1 | rn−2 , rn−1 | rn−3 , . . . , rn−1 | r, rn−1 | β, rn−1 | α. El siguiente teorema resume estos resultados. T 3.19. Dados dos números enteros distintos de 0, α, β, α > β, entonces el máximo común divisor de e´ stos es igual a rn−1 , donde rn−1 es el resto de aplicar el algoritmo euclideano a los restos rn−3 , rn−2 y el resto rn de aplicar el algoritmo euclideano a rn−2 , rn−1 es igual a 0. Por otra parte, si d¯ = (α, β), entonces existen γ, δ ∈ Z, tales que (3.60) d¯ = γα + δβ D´. Ya vimos que si n = 2, r1 es, en efecto, el MCD de α, β y que existen enteros γ, δ, tales que la igualdad (3.60) se satisface. Supongamos, por hipótesis de inducción, que el teorema sea verdadero para n − 1 > 2 y mostremos que vale para n. Supongamos, pues, que en el proceo de aplicar sucesivamente el algoritmo euclideano a α, β y sus restos respectivos, rn = 0. Si r es el resto de aplicar el algoritmo euclideano a α, β, partamos entonces aplicando el algoritmo euclideano a β, r. Por hipótesis de inducción rn−1 es entonces el MCD de β y r. Entonces, como α = qβ + r resulta que rn−1 | α y si d es divisor común de α, β, d | rn−1 . Por lo que rn−1 es MCD de α, β. En forma análoga, por hipótesis de inducción, para β, r, existen enteros γ, δ1 , tales que rn−1 = δ1 β + γr

(3.61) entonces, como

r = α − qβ

(3.62) de (3.61) y (3.62), se obtiene (3.63)

rn−1 = δ1 β + γ(α − qβ) = γα + δβ

donde δ := (δ1 − γq).

Decimos que dos números enteros α, β son primos relativos si 1 = (α, β), es decir que su u´ nico divisor comun es 1. Con la ayuda de la igualdad (3.60), estamos ahora en condiciones de demostrar ciertas propiedades de la divisibilidad de números enteros. T 3.20. Sean α, β, η, tres números enteros. Si 1 = (α, η) y η | αβ, entonces η | β D´. En efecto, si 1 = (α, η), entonces por teorema 3.19, existen enteros γ, δ, tales que (3.64)

1 = γα + δη

multiplicando la igualdad (3.64) por β, obtenemos (3.65)

β = γαβ + δηβ

entonces η | β, ya que ambos sumandos de la igualdad (3.65) son divisibles por η.

En el caso en que p es un número primo y p | αβ entonces se obtiene el siguiente T 3.21. Si p es un número primo que divide al producto de dos números enteros αβ, entonces p | α o p | β. D´. En efecto, como p es un número primo y p - α, entonces 1 = (α, p) y por el teorema precedente p | β. De forma análoga si p - β, resulta que p | α.


48

C 3.22. Sean p1 , p2 , p tres números primos. Entonces, p | p1 p2 ⇒ p = p1 ∨ p = p2

(3.66)

D´. Inmediato del teoema 3.21.

El siguiente teorema es de suma importancia en la teor´ıa de números enteros: T 3.23. Todo número entero α posee una representación u´ nica, salvo orden de sus factores, en factores primos no necesariamente distintos. D´. En el teorema 3.9, mostramos que todo número natural posee una descomposición en factores primos. Entonces si α > 0 α se descompone como producto de números primos. Si α < 0, entonces −α > 0 y si −α = p1 p2 · · · pn , donde p1 , p2 . . . pn son números primos, entonces α = −p1 p2 · · · pn . Mostremos entonces la unicidad. Supongamos que α = p1 p2 · · · pn y α = q1 q2 · · · qm . Entonces, cada qi , i = 1, . . . , m y cada p j , j = 1, . . . , n, dividen a α. As´ı pues, p j | (q1 q2 · · · qm ). Por corolario precedente, si p j - q1 , entonces p j | (q2 q3 · · · qm ). Si p j - q2 , entonces p j | (q3 q4 · · · qm ) y as´ı sucesivamente, hasta llegar a un qi , tal que p j | qi . Entonces, por corolario 3.22, p j = qi . Entonces si p j se repite r veces, qi sólo puede repetirse r veces. Una forma más práctica de encontrar el MCD es la descomposición en factores primos, conocida en la escuela secundaria, en particular cuando se trata de varios números. Sin embargo, desde el punto de vista teórico, el algoritmo euclideano nos permite deducir propiedades del MCD que no son deducibles de la descomposición en factores primos, como la igualdad (3.60), de la cual nos serviremos más adelante en la teor´ıa de grupos. E 3.1. 1. Dados los números enteros α := 120, β := 7, vamos a dar q y 0 6 r < β, tales que α = qβ + r. 120 = 17 × 7 + 1, q = 17, r = 1. 2. α := −15, β := 7, entonces −15 = t × (−3) + 6, q = −3, r = 6 3. Consideremos los números 430 y 120. Usaremos el algoritmo euclideano para encontrar su MCD. 430

=

120 × 3 + 70

120

=

70 + 50

70 =

50 + 20

50 =

20 × 2 + 10

20 =

10 × 2

Entonces (430,120)=10 4. En el ejemplo precedente, encontrar γ, δ ∈ Z, tales que 430γ + 120δ = 10. Como podemos observar r3 = 10, entonces r3

=

r1 − r2 q3

r2

=

r − r1 q2

r1

=

β − rq1

r

=

α = βq

Por substituciones sucesivas se obtiene r3

=

α(−q1 − q3 − q3 q2 ) + β(1 + qq1 + qq3 + q2 q3 + qq1 q2 q3 )

´ 3.3. LOS NUMEROS RACIONALES

49

Lo que nos da entonces γ = −5 y δ = 18 D´ 3.4 (La Función φ de Euler). La función φ : Z+ → N, definida por φ(1) := 1

(3.67) (3.68) ∀n > 1

φ(n) := número de enteros positivos menores que n relativamente primos con n

Si p es un número primo, φ(p) = p − 1. Si n = 10, φ(10) = 3, ya que los enteros positivos menores que 10 y relativamente primos con 10, son {1, 3, 7}. φ no es creciente ni decreciente, pues, por ejemplo, φ(8) = 4, pues los números enteros positivos, menores que 8 y relativamente primos con 8, son {1, 3, 5, 7}. 3.2.4.


1. Mostrar que ∀ α, β ∈ Z, vale la desigualdad ||α| − |β|| 6 |α − β|

(3.69)

2. Encontrar el MCD de los siguientes números enteros y dar γ, δ, para expresarlo como combinación de e´ stos. a) α := 237, β := 81 b) α := 470, β := 15 c) α := 616, β := 427 3. Expresar los siguientes números enteros como producto de números primos: a) α := 19500 b) α := 35680 4. Mostrar que si α | β, entonces −α | β, α | −β, −α | −β, |α| | |β|. 5. Si γ , 0, Mostrar que (γα, γβ) = |γ|(α, β) 6. Mostrar que si α | γ, β | γ y 1 = (α, β), entonces αβ | γ. 7. Mostrar que si α = dα1 y si α | βα1 , entonces d | β. 8. Decimos que η es el m´ınimo común múltiplo, (mcm), de α, β, denotado [α, β], si α | η, β | η y si γ es tal que α | γ y β | γ, entonces η | γ. Encontrar, por medio de descomposición en números primos: a) [25, 30] b) [23, 715] c) [7, 23] 9. Sea n ∈ Z+ y Z∗n := {x ∈ Z+ | x < n y (x, n) = 1}. Mostrar que ∀ m, s ∈ Z∗n , (ms, n) = 1. 10. Dar Z∗n , para n ∈ {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 16, 20, 24}. 11. Mostrar que sobre el conjunto de los números primos la función de Euler φ es estrictamente creciente.

3.3.

´ Los Numeros Racionales

En esta sección daremos una construcción de los números racionales a partir de los números enteros. 3.3.1.

Construcción, Propiedades Generales, Operaciones Algebraicas.


50

3.3.1.1. Construcción de los Números Racionales. Consideremos sobre Z×(Z\{0}) la relación ∼, definida de la siguiente forma: (α, β) ∼ (γ, δ) ⇔: αδ = γβ

(3.70)

T 3.24. ∼ es una relación de equivalencia sobre Z × Z \ {0} D´. 1. ∼ es reflexiva. En efecto (α, β) ∼ (α, β), ya que αβ = αβ 2. ∼ es simétrica. Si (α, β) ∼ (γ, δ), entonces αδ = γβ, lo que implica también que (γ, δ) ∼ (α, β). 3. ∼ es transitiva. Si (α, β) ∼ (γ, δ) ∼ (η, λ), entonces se tienen las igualdades αδ = γβ γλ = ηδ Multiplicando ambas igualdades, obtenemos αδγλ = γβηδ (αλ)(δγ) = (ηβ)(δγ) Entonces por la ley de cancelación, 3.1.4,8), se obtiene αλ = ηβ Por consiguiente (α, β) ∼ (η, λ) D´ 3.5. Al conjunto de las clases de equivalencia Q := Z × (Z \ {0})/ ∼, lo llamamos el conjunto de los números racionales. La clase de (α, β) se suele representar por α y la llamamos el número racional de numerador α y denumerador β. β O´ 3.1. Nótese que si α = dα1 , β = dβ1 , entonces (α, β) ∼ (α1 , β1 ), ya que αβ1 = α1 dβ1 = α1 β α −α En particular, para d := −1, se obtiene que = . Entonces todo número racional posee β −β α una u´ nica representación por , donde 1 = (α, β) y β ∈ Z+ , llamada la representación β canónica.(ver ejercicio 3.3.2,5)). (3.71)

25 5 = . 30 6 α Consideremos la aplicación i : Z → Q, definida por i(α) := . i es inyectiva, pues 1 α β = ⇒ α = β. Entonces i mapea, de forma natural, Z con el subconjunto de todas las 1 1 α clases de la forma , por lo que podemos considerar a Z como un subconjunto de Q. 1 α γ 3.3.1.2. Suma de Números Racionales. Dados dos números racionales , se deβ δ fine: α γ αδ + γβ (3.72) + := β δ βδ Por ejemplo


51

T 3.25. La operación + es una operación binaria cerrada + : Q × Q → Q y está bien definida. Es decir no depende de los representantes escogidos. + se denomina la suma o adición de números racionales. α γ αδ + γβ D´. En efecto, + := ∈ Q, por consiguiente + : Q × Q → Q. β δ βδ α1 γ 1 α γ Supongamos que , , son otros representantes de , , entonces tenemos las igualβ1 δ1 β δ dades αβ1 = α1 β γδ1 = γ1 δ Debemos mostrar que αδ + γβ α1 δ1 + γ1 β1 = βδ β1 δ1

(3.73) En efecto

(αδ + γβ)β1 δ1 = αδβ1 δ1 + γββ1 δ1 = α1 βδδ1 + γ1 δββ1 = (α1 δ1 + γ1 β1 )δβ Lo que muestra la igualdad (3.73). Por consiguiente + está bien definida.

En el siguiente teorema enumeraremos algunas de las propiedades principales de la suma de racionales. T 3.26. + : Q × Q → Q posee las siguientes propiedades: 1. + es asociativa, es decir ∀ x, y, z ∈ Q vale x + (y + z) = (x + y) + z

(3.74)

2. + es conmutativa, es decir ∀ x, y ∈ Q vale x+y=y+x

(3.75)

0 es elemento neutro de +, y lo identificaremos con 0. 1 −α α α α 4. − := = es simétrico o inverso aditivo de β β −β β 3.

La demostración del teorema 3.26 la dejamos al lector como ejercicio. α γ α γ α γ Dados dos racionales , , definimos − := + (− ) β δ β δ β δ Como una consecuencia inmediata del teorema 3.26, se obtiene el siguiente C 3.27. (Q, +) forma un grupo abeliano. 3.3.1.3. define: (3.76)

Producto de Números Racionales. Dados dos números racionales

α γ , se β δ

α γ αγ · := β δ βδ

T 3.28. La operación · es una operación binaria cerrada · : Q × Q → Q y está bien definida. Es decir que no depende del representante escogido.


52

α γ αγ D´. En efecto · := ∈ Q. β δ βδ α1 γ 1 α γ Supongamos que , , son otros representantes de , , entonces tenemos las β1 δ1 β δ igualdades αβ1 = α1 β γδ1 = γ1 δ Debemos mostrar que αγδ1 β1 = α1 γ1 δβ

(3.77) En efecto

αγδ1 β1 = αβ1 γδ1 = α1 βγ1 δ = α1 γ1 δβ αγ α1 γ1 = Por consiguiente δβ δ1 β1

(3.78)

T 3.29. · : Q × Q → Q posee las siguientes propiedades: 1. · es asociativa, es decir x · (y · z) = (x · y) · z, ∀ x, y, z ∈ Q

(3.79)

2. · es conmutativa, es decir x · y = y · x, ∀ x, y ∈ Q

(3.80)

1 3. La clase es elemento neutro de · en Q y lo identificaremos con 1. 1 α β α 4. Si , 0, entonces la clase es inverso o simétrico de . β α β 5. · es distributiva respecto de +, es decir (3.81)

(x + y) · z = x · z + y · z,

y

x · (y + z) = x · y + x · z, ∀ x, y, z ∈ Q

La demostración de este teorema le queda al lector como ejercicio. De forma inmediata se obtiene el siguiente C 3.30. 1. (Q \ {0}, ·) es un grupo abeliano. 2. (Q, +, ·) es un campo, llamado el campo de los números racionales. 3.3.2. Ejercicios y Complementos. 1. Mostrar los teoremas 3.26 y 3.29. α 0 2. Mostrar que está en la clase de Ssi α = 0. β 1 3. Dar representación canónica de las siguientes fracciones: 25 a) . 40 34 b) . −50 −125 c) . −340 α γ α γ 4. Mostrar que si · = 0, entonces = 0 o = 0. β δ β δ 5. Mostrar que la representación canónica de un número racional es u´ nica.


53

6. La siguiente definición asume que la fracción está expresada con denominador α γ positivo. Diremos que 6 Ssi αδ 6 γβ. Mostrar que 6 es una relación de β δ α γ α γ orden sobre Q. Si, 6 , entonces diremos que es menor o igual que . β δ β δ γ α α γ Diremos que > Ssi 6 β δ δ β α γ 7. En forma análoga al ejercicio precedente, definimos < Ssi αδ < γβ. Mostrar β δ α γ γ α que < es una relación de orden estricto sobre Q. Diremos que > Ssi < . β δ δ β 25 75 3 5 8. Ordenar las siguientes fracciones en forma ascendente: , , , . 30 125 4 8 α γ x+y 9. Dados x := , y := , tales que x < y, mostrar que x < < y. β δ 2 10. Deducir del ejercicio precedente que en Q ningún elemento es sucesor o predecesor de otro. α α 11. Mostrar que 6 0 Ssi α 6 0. Mostrar también que > 0 Ssi α > 0. (No olvidar β β que β ∈ Z+ ). 12. Mostrar que en Q se satisface la ley de tricotom´ıa y que todo racional se encuentra en uno y sólo uno de los siguientes conjuntos: ) ( ) ( α α α α ∈Q| >0 Q− := ∈Q| <0 0¯ := {0} Q+ := β β β β α 13. dado ∈ Q, definimos β α α   si >0     β β  α  :=  β    α α   − si < 0.  β β Mostrar que | | es una función | | : Q → Q+ ∪ {0} 14. Mostrar que | | cumple con (3.43), (3.44),(3.45),(3.46), del teorema 3.17, as´ı como la desigualdad (3.69) de la serie de ejercicios 3.2.4.

CAP´ıTULO 4

´ A LA TEORIA ´ DE GRUPOS INTRODUCCION 4.1.

˜ Histórica Resena

La teor´ıa de grupos ha alcanzado un gran desarrollo y aplicación en diferentes ramas de las matemáticas, como en la topolog´ıa, topolog´ıa algebraica. geometr´ıa, geometr´ıa diferencial y algebraica, as´ı como en la f´ısica moderna, la qu´ımica y la cristalograf´ıa. También en la teor´ıa musical se han encontrado aplicaciones de la teor´ıa de grupos. Ya en su art´ıculo Réflexions sur la résolution algébrique des e´ quations , publicado en 1770, Joseph Lagrange, (figura 4.1), estudia las propiedades de las permutaciones, en particular de las permutaciones entre las raices de un polinomio, introduciendo, por primera vez, s´ımbolos para dichas raices y estudiándolas en abstracto. Sin embargo no es hasta 1899 que el matemático italiano Paolo Ruffini, (figura 4.2) desarrolla la teor´ıa de grupos ´ de permutaciones. Sin embargo es el matemático francés Evariste Galois1, quien en 1832 descubre la propiedad de cerradura en los grupos de permutaciones.

F 4.1. Joseph Lagrange Los matemáticos franceses Augustin Cauchy y Camille Jordan, (figura 4.3), continuaron con el desarrollo de los grupos de permutaciones. Entre otras cosas, Jordan da una definición de la noción de isomorfismo, siempre en el marco de las permutaciones y a e´ l se debe la amplia difusión del término grupo. Sin embargo, la noción abstracta de grupo aparece, por primera vez, en los trabajos de Arthur Cayley, en 1854. Cayley descubre que no solamente existen grupos de permutaciones, sino que también las matrices invertibles, con el producto usual de matrices, constituyen un grupo y muestra, sin embargo, que todo grupo es isomorfo a un subgrupo de 1Galois murió a los 21 años a consecuencia de un duelo, sus trabajos no fueron publicados hasta 1846, despues de su muerte. 55

56

´ A LA TEORÍA DE GRUPOS 4. INTRODUCCION

F 4.2. Paolo Ruffini permutaciones. Sin embargo la definición de grupo, como se conoce actualmente, es debida al matemático Walther von Dyck (1882). Si bien el matemático noruego Niels Henrik Abel, logró demostrar que la ecuación general polinómica de grado 5 no es soluble por ´ medio de un proceso de radicación, es Evariste Galois, quien aplicando la teor´ıa de grupos, asocia un grupo a la ecuación, llamado actualmente el grupo de Galois y logra demostrar que la ecuación general de grado n > 5 no es soluble por radicación y relaciona la solubilidad, por radicación, de una determinada ecuación, con la solubilidad de su grupo de Galois correspondiente.

F 4.3. Camille Jordan Posteriormente el matemático alemán Felix Klein, en su Erlangen Programm (1872), da una serie de aplicaciones de la teor´ıa de grupos a la geometr´ıa, introduciendo los grupos de simetr´ıa de figuras geométricas. En el a´ mbito de la geometr´ıa diferencial Sophus Lie introduce grupos en los cuales la operación binaria es diferenciable, as´ı como la aplicación que a cada elemento le asigna su inversa, llamados grupos de Lie. En la teor´ıa de números existen ya, con Friedrich Gauss, los primeros pasos que conllevarán más adelante la aplicación de la teor´ıa de grupos. Gauss descubre la propiedad de asociatividad en el estudio de la estructura multiplicativa de los grupos residuales módulo n, en parte ya estudiados por Leonhard Euler. En particular, en esta a´ rea son importantes los trabajos de los matemáticos alemanes Leopold Kronecker y Ernst Kummer.

´ Y POPIEDADES GENERALES 4.2. DEFINICION

57

F 4.4. Felix Klein En lo que concierne la clasificación de grupos finitos juega un papel muy importante el matemático noruego Ludwig Mejdell Sylow. El objetivo principal de la teor´ıa de grupos, es lograr una clasificación de los mismos en clases de isomorf´ıa, en particular de grupos bien conocidos, que servirán de modelo. Desde el punto de vista de la teor´ıa de grupos, dos grupos isomorfos poseen exactamente las mismas propiedades algebraicas, sin importar cuáles son sus elementos espec´ıficos. 4.2.

Definición y Popiedades Generales

Como vimos en el cap´ıtulo precedente un grupo es una estructura algebraica (G, ·), que satisface las condiciones siguientes: 1. · es una operación binaria interna, cerrada y asociativa. 2. G posee un elemento neutro e respecto de ·. 3. ∀ x ∈ G, ∃ x−1 ∈ G, tal que x · x−1 = e = x−1 · x. x−1 se llama el inverso o simétrico de x respecto de ·. Si además la operación es conmutaiva, entonces se dice que (G, ·) es un grupo abeliano.

F 4.5. Niels Abel


58

O´. Por abuso de lenguaje y de notación y con el fin de facilitar la escritura, denotaremos, en adelante, por G al grupo (G, ·). Por · denotaremos, salvo casos particulares, la operación binaria de cualquier grupo. Igualmente escribiremos xy en lugar de x · y. En el caso de los grupos abelianos denotaremos la operación por +, salvo casos particulares, su elemento neutro por 0, y el simétrico de un elemento x por −x E 4.1. 1. Sea S := {1, 2, . . . , n}, G := {ψ : S → S | ψ es una biyección}. (G, ◦), donde ◦ es la composición de aplicaciones, es un grupo. En efecto ◦ es cerrada sobre G, ya que si φ y ψ son biyecciones, también φ ◦ ψ es una biyección. Si 1S es la biyección identidad, definida por 1S (x) := x, ∀ x ∈ S , entonces ψ ◦ 1S = 1S ◦ ψ = ψ, ∀ ψ ∈ G, por lo que 1S es el elemento neutro de G. Si ψ ∈ G , entonces la aplicación inversa ψ−1 es también biyección sobre S , por lo que ψ−1 ∈ G y ψ ◦ ψ−1 = ψ−1 ◦ ψ = 1S , por consiguiente cada elemento de G posee un inverso en G respecto de ◦. ◦ es asociativa: en efecto dadas cualesquiera ψ, φ, β ∈ G, (ψ ◦ (φ ◦ β))(x) = ψ((φ ◦ β)(x)) = ψ(φ(β(x))) = (ψ ◦ φ)(β(x)) = ((ψ ◦ φ) ◦ β)(x), ∀ x ∈ S , por consiguiente ψ ◦ (φ ◦ β) = (ψ ◦ φ) ◦ β, ∀ ψ, φ, β ∈ G. Como el lector comprobará facilmente, en general ψ ◦ φ , φ ◦ ψ, por lo que ◦ no es conmutativa. ! a 0 2. Sea G el conjunto de las matrices 2 × 2 de la forma A := , donde 0 a−1 a ∈ R. a , 0. Entonces con el producto usual de matrices ·, (G, ·) es un grupo abeliano. En efecto, del a´ lgebra lineal sabemos que el producto de matrices ! 1 0 es asociativo, la matriz identidad I := ∈ G es el elemento neutro y dada 0 1 ! ! −1 a 0 a 0 A := ∈ G, A−1 := ∈ G es su inversa. El lector comprobará fa0 a−1 0 a cilmente que (G, ·) es abeliano. 3. En general, si G es el conjunto de todas las matrices diagonales n × n reales (complejas), de la forma    a1 0 . . . 0   0 a2 0 0   D :=  . . . .. . . ...   ..   0 0 . . . an tales que a1 · a2 · . . . · an , 0, entonces (G, ·), donde · es el producto usual de matrices, es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro es la matriz identidad    1 0 . . . 0   0 1 0 0    I :=  . . . . . ...   .. ..   0 0 ... 1 y para cada matriz D de la forma arriba indicada  −1 0 ... 0  a1  0 a−1 0 0  2 D−1 :=  . . .. . .. ..  .. .  0 0 . . . a−1 n

      


59

es la matriz inversa. T 4.1. En todo grupo G el elemento neutro es u´ nico y cada elemento x ∈ G posee un u´ nico inverso. Por otra parte la ecuación: ax = b

(4.1) posee una solución u´ nica en G.

D´. En efecto, supongamos que e, e0 ∈ G sean elementos neutros, entonces e = ee0 = e0 . Por otra parte si x−1 , x¯−1 ∈ G son elementos inversos de x, entonces x−1 = ex−1 = ( x¯−1 x)x−1 = x¯−1 (xx−1 ) = x¯−1 e = x¯−1 . Si x ∈ G, satisface la ecuación (4.1) para dos elementos fijos a, b ∈ G, entonces, multiplicando, por la izquierda, ambos miembros de la ecuación por a−1 obtenemos a−1 (ax) = (a−1 a)x = ex = x = a−1 b, y por la unicidad de a−1 , x es u´ nico. 4.2.1. Ejercicios y Complementos. 1. Mostrar que la ecuación: (4.2)

xa = b también posee solución u´ nica en un grupo G. 2. Mostrar que si G es un grupo, ∀ g ∈ G, (g−1 )−1 = g y ∀ g, h ∈ G, (gh)−1 = h−1 g−1 . 3. Mostrar que en un grupo G, si gh = gk o hg = kg, entonces h = k (ley de cancelación). 4. Dado un grupo G, y g ∈ G, definimos la siguiente notación: a0 := e, a1 := a, a2 := aa, a3 = aa2 , . . . , ak := aak−1 y a−2 := (a−1 )2 , . . . , a−k := (a−1 )k . En el caso, de un grupo abeliano, donde, por conveniencia, hemos decidido denotar por la adición + la operación binaria, se interpretará ak := ka := a| + a {z + . . . +} a, k

a0 := 0a := 0 y a−k := −ka := (−a) + (−a) + . . . + (−a). Mostrar que, para | {z } k

cualesquier m, n ∈ Z valen las igualdades: (4.3)

am an = am+n

(4.4)

(am )n = amn 5. Sea S un conjunto no vac´ıo y A (S ) := {σ | σ : S → S , es una aplicación biyectiva}. Mostrar que (A (S ), ◦), donde ◦ es la composición de aplicaciones, es un grupo. En particular, si S es un conjunto finito de n > 1 elementos, los elementos de A (S ) se llaman permutaciones. Denotaremos, en este caso, por Sn al grupo de permutaciones de un conjunto de n elementos. 6. Sea G un grupo y g ∈ G un elemento, tal que ag = a, es decir un inverso por la derecha de a, mostrar que entonces g = a−1 . Igualmente mostrar que si ha = a, inverso por la izquierda, entonces h = a−1 . 7. Mostrar que si en un grupo G, existe un elemento g ∈ G, tal que ∀ a ∈ G, ag = a o ga = a, entonces g = e. 8. Sea (G, ·) un grupo. Decimos que H ⊆ G es un subgrupo de G si (H, ·) es un grupo. Si la contención es propia, diremos que H es un subgrupo propio de G. Mostrar que H := {−1, 1} es un subgrupo propio del grupo multiplicativo, (con el producto usual de números complejos), G := {1, −1, i, −i}.


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9. Si H es un subgrupo del grupo G, mostrar que si y ∈ H, entonces xy ∈ H ⇒ x ∈ H. 10. Mostrar que H ⊆ G es un subgrupo Ssi H es cerrado respecto de · y x−1 ∈ H, ∀ x ∈ H. 11. Mostrar que si H, K son subgrupos de G, entonces K ∩ H es un subgrupo de G. 12. Sea O(n) := {A ∈ GL(n) | A−1 = At }, donde GL(n) es el grupo lineal de las matrices invertibles reales n × n introducido en el ejemplo 2.3, 6). Mostrar que (O(n), ·), donde · es el producto usual de matrices, es un subgrupo de GL(n), llamado el grupo de matrices ortogonales reales. Mostrar, además, que S O(n) := {A ∈ O(n) | det A = 1} es un subgrupo de O(n), llamado el grupo especial de matrices ortogonales. 13. Sea S L(n) := {A ∈ Gl(n) | det A = 1}. Mostrar que S L(n) es un subgrupo de GL(n), llamado el subgrupo lineal especial. 14. Sea BL(n) := {A ∈ GL(n) | ai j = 0, si i > j}. Mostrar que BL(n) es un subgrupo de GL(n), llamado el subgrupo de Borel de GL(n). 15. Sea S B(n) := {A ∈ BL(n) | det A = 1}. Mostrar que S B(n) es un subgrupo de BL(n) llamado el subgrupo de Borel especial. 16. Sean G, K subgrupos de G. Mostrar que H ∩ K es un subgrupo de G. Dar un ejemplo en el que se muestre que, en general, H ∪ K no es un subgrupo. 17. Sea H una familia de subgrupos de G. Mostrar que entonces \ H H∈H

es un subgrupo de G. 4.2.2. Conjunto de Generadores y Grupos C´ıclicos. Dados un grupo G y un subconjunto S ⊆ G, decimos que S es un conjunto de generadores de G, o que S genera al grupo G, si todo elemento de G es producto de elementos de S y sus inversos. En tal caso escribiremos G = hS i. Si G es generado por un u´ nico elemento g ∈ G, entonces diremos que G es un grupo c´ıclico, en tal caso escribiremos G = hgi. Si S es un conjunto finito y G = hS i, entonces diremos que G es un grupo finitamente generado. E 4.2. 1. El grupo (Z, +) es un grupo c´ıclico, generado por 1 ∈ Z. 2. El grupo (Z2 , +) es un grupo generado por dos elementos {(1, 0), (0, 1)} 3. Los grupos (Q, +) y (R, +) no poseen un número finito de generadores. Llamaremos orden de un grupo G, denotado ◦(G), al número de elementos del conjunto G. Si G es un conjunto infinito, entonces diremos que su orden es infinito. T 4.2. Si G es un grupo finito de orden n y g ∈ G, entonces existe un entero positivo m 6 n, tal que gm = e D´. En efecto, consideremos la sucesión de elementos g, g2 , . . . , gn , si todos los elementos son diferentes, entonces G = {g, g2 , . . . , gn } y debe de existir un entero positivo m 6 n, tal que gm = e. Si no todos los elementos de la sucesión son distintos, entonces existen enteros r < s 6 n, tales que gr = g s , entonces, si m := s − r se obtiene gm = e. Llamaremos orden de un elemento g ∈ G, denotado ◦(g), al menor entero positivo, m, tal que gm = e.


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E 4.3. 1. Los grupos (Z, +), (Q, +), (R, +) son grupos de orden infinito. 2. El grupo multiplicativo G := {1, −1, i, −i} es un grupo de orden 4. los elementos i, −i son respectivamente de orden 4, mientras que 1, −1 son de orden 1 y 2 respectivamente. G es c´ıclico, ya que G = hii. T 4.3. Sea G un grupo de orden finito. Entonces H ⊆ G es un subgrupo Ssi H es cerrado respecto de la operación. D´. Debemos mostrar que si g ∈ H, también g−1 ∈ H. En efecto, sea g ∈ H, g , e. Como H es cerrado gn ∈ H, ∀ n ∈ Z+ . Como G es de orden finito, existe m ∈ Z+ , tal que ◦(g) = m. Entonces gm = e y g−1 = gm−1 ∈ H. Por consiguiente H es subgrupo de G. T 4.4. Sea G un grupo, g ∈G y m ∈ Z+ , tal que gm = e, entonces ◦(g) | m. Por otra parte si ◦(g) | m, entonces gm = e. D´. En efecto, por el algoritmo euclideano, existen q, r ∈ Z, tales que m = ◦(g)q + r, r 6 0 < ◦(g). Entonces, si r , 0, e = gm = g◦(g)q+r = gr , donde r < ◦(g), lo cual es una contradicción a la definición de ◦(g). Por consiguiente r = 0 y ◦(g) | m. Si ◦(g) | m, es claro que gm = e. 4.2.3.

Relación de Congruencia y Clases Laterales.

D´ 4.1. Sea G un grupo, H un subgrupo de G. Dados a, b ∈ G, decimos que a es congruente con b, módulo H, denotado a ≡ b, (mód H), si ab−1 ∈ H. T 4.5. La relación a ≡ b

(mód H) es una relación de equivalencia sobre G.

D´. 1. ≡ es reflexiva. En efecto, a ≡ a, (mód H), pues aa−1 = e ∈ H. 2. ≡ es simétrica. Si a ≡ b, (mód H), entonces ab−1 ∈ H, como H es subgrupo, ba−1 = (ab−1 )−1 ∈ H, por consiguiente b ≡ a, (mód H). 3. ≡ es transitiva. En efecto, a ≡ b, (mód H) y b ≡ c, (mód H) implican ab−1 ∈ H y bc−1 ∈ H, entonces ac−1 = (ab−1 )(bc−1 ) ∈ H, por consiguiente a ≡ c, (mód H). Dado un subgrupo H de un grupo G, y un elemento g ∈ G, definimos los conjuntos gH := {gh | h ∈ G}

Hg := {hg | h ∈ G}

Llamados respectivamente clase lateral izquierda de H respecto de g y clase lateral derecha de H respecto de g Nótese que si ab−1 ∈ H, entonces existe h ∈ H, tal que ab−1 = h y a = hb ∈ Hb. Por otra parte, si a ∈ Hb, entonces existe h ∈ H, tal que a = hb y ab−1 = h ∈ H, por lo que a ≡ b, (mód H). Entonces tenemos el siguiente resultado: T 4.6. 1. a ≡ b,

(mód H) Ssi a ∈ Hb .


62

2. El conjunto a¯ := {x | x ≡ a} = {x | xa−1 ∈ H} = Ha. Es decir la clase de equivalencia de a es precisamente Ha, la clase lateral derecha de H respecto de a. 3. Ha ∩ Hb = ∅ o bien , Hb = Ha. S 4. G = Hg g∈G

D´. Sólo nos queda por mostrar 3 y 4. En efecto, como los conjuntos Ha y Hb son las clases de equivalencia respecto de la relación ≡, las aserciones resultan del teorema 1.4. Dado un elemento g ∈ G, consideremos la aplicación φ : H → Hg, definida por φ(h) := hg, ∀ h ∈ H, entonces φ es una biyección entre H y Hg. φ es obviamente sobreyectiva. φ es inyectiva, pues si φ(h) = φ(h1 ), entonces hg = h1 g y por la ley de cancelación 4.2.1,3), h = h1 . Por consiguiente φ es una biyección. Esto quiere decir, entonces, que todas las clases laterales derechas poseen la misma cardinalidad, la del subgrupo H. Al conjunto cociente de las clases de equivalencia ≡ (mód H) lo denotaremos por G/H. Llamaremos ´ındice de H en G, iG (H) a la cardinalidad de G/H. E 4.4. 1. Sea G := {1, −1, i, −i} con el producto usual de números complejos. H el subgru¯ ¯i}. ◦(H) = 2, iG (H) = 2. po H := {1, −1}. Entonces Hi = {i, −i}. G/H = {1, 2. Sea G := {0, 1, 2, 3, 4, 5}, donde 0, 1, 2, 3, 4, 5 son s´ımbolos formales, dotado del producto , definido por la siguiente tabla:

(4.5)

0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 0 4 5 2 3

2 2 5 0 4 3 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 3 1 2 5 0

5 5 2 3 1 0 4

Sea H := {0, 4, 5}, como H es cerrado respecto de , H es un subgrupo y ◦(H) = ¯ 1}, ¯ y iG (H) = 2. 3. H 1 = {1, 2, 3}. Entonces G/H = {0, 3. Consideremos el grupo (Z, +) y H := 2Z := {2x | x ∈ Z}, el subgrupo de los enteros pares. En este caso tanto el orden de Z, como el de H no son finitos. ¯ 1}. ¯ iZ (H) = 2. 1¯ = H + 1 = {1, 3, 5, . . .}, 0¯ = H + 0 = 2Z = H, y Z/2Z = {0, Notemos que en los dos primeros ejemplos ◦(G) = ◦(H)iG (H). Esto no es una casualidad y es un resultado que es válido para cualquier grupo de orden finito y cualquier subgrupo de e´ ste, como lo demostraremos en el siguiente teorema, debido a Lagrange. Si G no es de orden finito, el teorema continúa siendo válido, ya que en dicho caso uno de los dos factores será infinito. T 4.7 (Teorema de Lagrange). Si G es un grupo de orden finito y H un subgrupo de G, entonces ◦(G) = ◦(H)iG (H). Por lo que ◦(H) | ◦(G). D´. En efecto, como ≡ (mód H) es una relación de equivalencia, los elementos de G/H forman una partición de G y [ G= g¯ g¯ ∈G/H


63

como cada elemento de G está en una u´ nica clase g¯ y cada clase contiene exactamente ◦(H) elemenos y existen exactamente iG (H) clases distintas, se obtiene que ◦(G) = ◦(H)iG (H). Del teorema 4.7 obtenemos de forma inmediata el siguiente C 4.8. Si G es un grupo finito de orden ◦(G) = n, entonces gn = e, ∀ g ∈ G. D´. Tomemos H := hgi, el grupo c´ıclico generado por g. Entonces ◦(H) = ◦(g) y, por el teorema de Lagrange, ◦(g) | ◦(G) = n. Por lo tanto gn = e. C 4.9. Si G es un grupo finito de orden p, donde p es un número primo, entonces G es un grupo c´ıclico y cualquiera de sus elementos distintos de e generan G. D´. En efecto, sea g ∈ G, g , e, entonces ◦(g) , 1. Por corolario 4.8, ◦(g) | ◦(G), como p es primo y ◦(g) , 1, resulta que ◦(g) = p = ◦(G), por consiguiente G = hgi. Como una aplicación del corolario 4.8, vamos a mostrar un famoso teorema de Euler, de gran interés en la teor´ıa algebraica de números. T 4.10 (Euler). Si n ∈ Z+ y x ∈ Z es primo relativo con n, entonces xφ(n) ≡ 1,

(4.6)

(mód n),

donde φ es la función de Euler, definida en 3.4 D´. Como (x, n) = 1, por ejercicio 4.2.4,8), el conjunto de clases de equivalencia m,ódulo n, de todos los enteros relativamente primos con n, es Z∗φ(n) , y, con el producto definido por x¯ · y¯ := (xy), forma un grupo de orden φ(n), entonces, por corolario 4.8 ¯ (4.7) x¯φ(n) = 1,

lo que implica que (4.6), vale.

En el caso particular, en que p es un número primo se obtiene el siguiente resultado debido a Fermat: C 4.11 (Fermat). Para todo número entero x, vale (4.8)

xp ≡ x

(mód p)

El resultado de Fermat, nos dice que p | (x p − x), ∀ x ∈ Z. Sea G un grupo y H, K dos subgrupos de G, consideremos el conjunto HK := {x ∈ G | x = hk, h ∈ H, k ∈ K} Entonces, cabe preguntarse si HK es o no un subgrupo de G y en caso en que no, bajo qué circunstancias lo es. Al respecto tenemos, entonces, el siguiente T 4.12. HK es un subgrupo de G, Ssi HK = KH. D´. Supongamos que HK es un subgrupo. Vamos a mostrar entonces que (4.9)

HK = KH

Mostremos primero que (4.10)

HK ⊆ KH


64

En efecto, sea x ∈ HK, entonces existen h ∈ H, k ∈ K, tales que x = hk. Como HK es un subgrupo, se tiene que x−1 ∈ HK, por lo que existen h1 ∈ H, k1 ∈ K, tales que x−1 = h1 k1 , entonces x = (x−1 )−1 = k1−1 h−1 1 ∈ KH, de donde resulta (4.10). Mostremos ahora que KH ⊆ HK

(4.11)

En efecto, si x ∈ KH, entonces existen k ∈ K, h ∈ H, tales que x = kh, entonces x−1 = h−1 k−1 ∈ HK, como HK es subgrupo, entonces x = (x−1 )−1 ∈ HK, de donde resulta (4.11). De (4.10) y (4.11), resulta (4.9). Si (4.9), vamos a mostrar que HK es cerrado y que x ∈ HK ⇒ x−1 ∈ HK. En efecto, sean x, y ∈ HK, entonces existen h, h1 ∈ H, k, k1 ∈ K, tales que x = hk, y = h1 k1 , entonces, por (4.9), existen k2 ∈ K, h2 ∈ H, tales que kh1 = h2 k2 y se tiene xy =

(hk)(h1 k1 )

=

(h(kh1 ))k1

=

h(h2 k2 )k1

=

(hh2 )(k2 k1 ) ∈ HK

Por lo que HK es cerrado. Sea ahora x ∈ HK y mostremos que x−1 ∈ HK. En efecto, como x ∈ HK, existen h ∈ H, k ∈ K, tales que x = hk, entonces x−1 = k−1 h−1 ∈ KH = HK. Lo que muestra que HK es un subgrupo. C 4.13. Si G es un grupo abeliano, entonces HK, es un subgrupo, para cualesquier subgrupos H, K de G. L 4.14. Un elemento x ∈ HK posee representaciones diferentes, como producto de elementos de H y K Ssi H ∩ K , {e}. D´. En efecto, supongamos que x = hk = h1 k1 , donde h1 , h y k1 , k, −1 entonces e , h−1 ∈ H ∩ K. 1 h = k1 k Por otra parte si H ∩ K , {e}, sea h ∈ H ∩ K, h , e. Sea ahora h1 ∈ H, h1 , h. −1 −1 Entonces h = h1 (h−1 1 h) y h1 = (h h1 )h. Entonces h1 k = (h h1 )(hk) = h2 k1 , donde −1 h2 := h h1 , h1 y k1 = hk , k. Por consiguiente, el elemento x = h1 k posee dos representaciones distintas. L 4.15. Si G es un grupo de orden finito y ◦(HK) denota el número de elementos del conjunto HK, entonces x ∈ HK, posee ◦(H ∩ K) representaciones diferentes. D´. En efecto, sea x ∈ HK, x := hk. Entonces por cada h1 ∈ H ∩ K, −1 tenemos una representación diferente, pues x = hk = h(h1 h−1 1 )k = (hh1 )(h1 k) = h2 k1 , −1 donde h , h2 := hh1 y k , k1 := h1 k. T 4.16. Si G es un grupo finito, entonces (4.12)

◦(HK) =

◦(H) ◦ (K) ◦(H ∩ K)

D´. En efecto, en HK comparecen ◦(H) ◦ (K) productos de elementos de H con elementos de K. Por lema 4.15 cada elemento posee ◦(H ∩ K) representaciones diferentes. Por consiguiente vale (4.12) Como un corolario al teorema 4.12 se tiene


√

C 4.17. Si H, K son subgrupos del grupo finito G y ◦(H) > ◦(G), entonces H ∩ K , {e}

65

√

◦(G), ◦(K) >

D´. En efecto, como HK ⊆ G, ◦(HK) 6 ◦(G). Entonces √ √ ◦(G) ◦(G) ◦(H) ◦ (K) ◦(G) ◦(G) > ◦(HK) = > = ◦(H ∩ K) ◦(H ∩ K) ◦(H ∩ K) Como la desigualdad es estricta se debe tener que ◦(H ∩ K) > 1. Por consiguiente H ∩ K , {e}. Como una aplicación del corolario 4.17 se obtiene el siguiente resultado, que es un preámbulo a los teoremas de Sylow que estudiaremos más adelante. C 4.18. Si G es un grupo finito de orden ◦(G) = pq, donde p, q son números primos y p > q, entonces G posee, a lo sumo, un subgrupo de orden p. D´. En efecto, supongamos que H, K son subgrupos de orden p. Entonces, por corolario 4.17, H ∩ K , {e}. Como H ∩ K es subgrupo de H, cuyo orden es un número primo y ◦(H ∩ K) , {e}, resulta entonces que H ∩ K = H. El mismo argumento aplicado a K nos da que H ∩ K = K. Por consiguiente H = K. Como consecuencia de los teoremas de Sylow veremos que, en efecto, bajo las condiciones del corolario 4.18, G posee al menos un subgrupo de orden p, lo que nos dará como resultado que G posee exactamente un u´ nico grupo de orden p. L 4.19. Todo subgrupo G del grupo de los enteros (Z, +), es de la forma (mZ, +), mZ := {mx | x ∈ Z}, donde m es el menor entero positivo contenido en G. G es entonces un grupo c´ıclico generado por m. D´. En efecto, sea m ∈ Z+ el menor entero positivo contenido en G, entonces ∀ x ∈ Z, mx ∈ G y mZ ⊆ G. Por otra parte, si n ∈ G, n > m y por el algor´ıtmo euclideano, n = mq + r, q, r ∈ Z, 0 6 r < m. Si r , 0, entonces r ∈ G, donde r < m, en contradicción a la escogencia de m. Por lo tanto G = mZ. 4.2.4. Ejercicios y Complementos. 1. Mostrar que todo grupo c´ıclico es abeliano. 2. Mostrar que todo grupo finito de orden primo es c´ıclico. 3. Mostrar que si G := hgi es un grupo c´ıclico infinito, entonces Hm := hgm i es subgrupo propio de G, ∀ m ∈ Z. 4. Mostrar que todo subgrupo de un grupo c´ıclico es también c´ıclico. 5. Mostrar que, dados dos enteros positivos m, n ∈ Z, nZ ∩ mZ = µZ, donde µ := mcm(m, n). 6. Sea G := (Z, +) el grupo de los números enteros con la adición usual, n ∈ Z+ y H := nZ el subgrupo de los múltiplos de n. Definimos x ≡ y (mód n) Ssi: x ≡ y (mód nZ) y denotaremos Zn := Z/nZ, al conjunto de las respectivas ¯ 1, ¯ . . . , (n − 1)}. clases de equivalencia. Mostrar que iZ (Zn ) = n y que Zn = {0, Mostrar además que la operación x¯ + y¯ := (x + y), está bien definida y es una operación binaria + : Zn × Zn → Zn y que (Zn , +) es un grupo abeliano. 7. Bajo las mismas condiciones que en el ejercicio precedente, mostrar que m ∈ l¯ Ssi m = nq + l.


66

8. Utilizar ejercicio 3.2.4,9), para mostrar que si n ∈ Z+ , entonces Z∗n , coincide con el conjunto de clases de equivalencia, módulo n de todos los enteros relativamente primos con n y que con el producto definido por x¯ · y¯ := (xy) forma un grupo abeliano, de orden φ(n). En el caso particular en que p es un número primo, entonces Z∗p = Z p \ {0}, es un grupo de orden (p − 1). 9. Sea g ∈ G un elemento de orden ◦(g) = n, mostrar que si m ∈ Z∗n , entonces hgi = hgm i y deducir de este resultado que si G es un grupo c´ıclico de orden n, entonces G puede ser generado de φ(n) formas distintas. 10. Dar Z∗n , para cada n del conjunto {4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 20, 24} e indicar en cada caso ◦(Z∗n ). Indicar, además, en cuáles casos Z∗n es un grupo c´ıclico y cuáles son sus diferentes generadores. En el caso en que Z∗n no es c´ıclico dar el conjunto de generadores correspondiente. 11. En el ejercicio precedente verificar que Z∗n no es c´ıclico para n ∈ {8, 12, 16, 20, 24}. ¿Qué propiedades en común tienen los enteros que están en este conjunto? ¿Podr´ıamos conjeturar que si n = 4m, m > 2, entonces Z∗n no es c´ıclico? 12. Mostrar que nZ ∩ mZ = µZ, donde µ := [n, m] := mcm(n, m) 13. Sean G un grupo y H un subgrupo de G. Mostrar que la relación definida por a ≡0 b (mód H) Ssi: a−1 b ∈ H, es una relación de equivalencia, cuyas clases de equivalencia son las clases laterales izquierdas de H, cuya cardinalidad es también la cardinalidad de H. Mostrar, además, que si G es un grupo abeliano, entonces las clases laterales izquierdas y derechas son iguales y la relación ≡0 coincide con la relación ≡. 14. Sea H un subgrupo de G y g ∈ G. Mostrar que gHg−1 es un subgrupo de G. 15. Si H es un subgrupo de G, sea \ gHg−1 N := g∈G

Mostrar que N es un subgrupo de G y que aNa−1 = N, ∀ a ∈ G. 16. Mostrar que si todo elemento de un grupo G es es de orden ◦(g) = 2, entonces G es abeliano. 17. Mostrar que si ◦(G) es primo, los u´ nicos subgrupos posibles de G son G y el subgrupo trivial {e}. 18. Mostrar que si en un grupo G existen elementos de orden n y m respectivamente, entonces G posee un elemento cuyo orden es el mcm. de n y m. 4.2.5.

Subgrupos Normales y Grupos Cociente.

D´ 4.2. Sea G un grupo. Decimos que un subgrupo H de G es un subgrupo normal o un divisor normal si (4.13)

gHg−1 = H,

∀g ∈ G

Decimos que un grupo G es simple, si no contiene subgrupos normales propios no triviales. De (4.13) resulta inmediato que si H es un subgrupo normal, entonces (4.14)

gH = Hg

∀g ∈ G

y que entonces las relaciones ≡ y ≡0 coinciden. Del teorema 4.12 obtenemos el siguiente corolario, cuya demostración la dejamos al lector. C 4.20. Si H, N son subgrupos de G, y N normal en G, entonces HK es un subgrupo de G.


67

T 4.21. Si H es un subgrupo normal del grupo G, entonces la operación ·, definida por x¯ · y¯ := (xy), ∀ x¯, y¯ ∈ G/H está bien definida y es una operación binaria · : G/H × G/H → G/H y (G/H, ·) es un grupo llamado el grupo cociente de G por H. D´. Tenemos que mostrar que si w, z ∈ G son otros representantes de x¯, y¯ respectivamente, entonces x¯ · y¯ = xy = H(xy) = H(wz) = wz = w¯ · z¯

(4.15) Como x ≡ w, entonces

(mód H), y ≡ z,

(mód H), ∃ h1 , h2 ∈ H, tales que x = h1 w y y = h2 z,

x¯ · y¯ = H(xy) = H((h1 w)(h2 z) = H(h1 (wh2 )(z))

(4.16)

Como H es normal, vale la igualdad (4.14), ∀ g ∈ G y existe h3 ∈ H, tal que wh2 = h3 w, entonces (4.17) H(h1 (wh2 )(z)) = H(h1 (h3 w)(z)) = H(h1 h3 )(wz) = H(wz) = w¯ · ¯(z) Entonces de (4.16) y (4.17), resulta que x¯ · y¯ = w¯ · z¯. Por consiguiente · está bien definida sobre G/H y obviamente es una operación binaria cerrada · : G/H × G/H → G/H. Vamos a mostrar ahora que (G/H, ·) es un grupo. 1. · es asociativa. En efecto x¯ · (¯y · z¯) = x(yz) = (xy)z = (xy) · z¯ = ( x¯ · y¯ ) · z¯, ∀ x¯, y¯ , z¯ ∈ G/H. 2. e¯ := He = H es elemento neutro de ·. En efecto e¯ · x¯ = ex = x¯ = xe = x¯ · e. 3. x−1 es elemento simétrico de x¯. En efecto, x¯ · x−1 = xx−1 = e¯ = x−1 x = x−1 · x¯. Por consiguiente (G/H, ·) es un grupo. Del teorema de Lagrange 4.7 se obtiene el siguiente corolario C 4.22. Si G es un grupo finito y H un subgrupo normal de G, entonces ◦(G) ◦(G/H) = iG (H) = ◦(H) 4.2.6. tadores.

Centro de un Grupo, Centralizador, Normalizador, Subgrupo de Conmu-

D´ 4.3. Sea G un grupo. Al conjunto (4.18)

Z(G) := {x ∈ G | xg = gx, ∀ g ∈ G} = {x ∈ G | x = gxg−1 , ∀ g ∈ G}

lo llamamos el centro de G. T 4.23. El centro de un grupo Z(G) es un subgrupo de G. D´. Z(G) es cerrado. En efecto, sean x, y ∈ Z(G), vamos a mostrar que xy ∈ Z(G). Como xy ∈ Z(G), entonces ∀ g ∈ G, vale xg = gx y yg = gy. Entonces (xy)g

por consiguiente xy ∈ Z(G).

=

x(yg)

=

x(gy)

=

(xg)y

=

(gx)y

=

g(xy)


68

Si x ∈ Z(G), vamos a motrar que x−1 ∈ G. En efecto gx−1

=

(xg−1 )−1

=

(g−1 x)−1

=

x−1 g

Por consiguiente x−1 ∈ Z(G). Por lo tanto Z(G) es un subgrupo de G.

En particular, si g ∈ G, el centro del subgrupo c´ıclico hgi está dado por (4.19)

N(g) := {x ∈ G | xg = gx} = {x ∈ G | g = x−1 gx}

y lo llamamos el centralizador o normalizador del elemento g. Por teorema 4.23, N(g) es un subgrupo de G. D´ 4.4. Sea G un grupo. Decimos que x, y son elementos conjugados si existe g ∈ G, tal que y = g−1 xg. Se tiene el siguiente lema, cuya demostración la dejamos al lector: L 4.24. La relación ser elementos conjugados es una relación de equivalencia sobre G. L 4.25. Sea G un grupo, x, g, h ∈ G, entonces g−1 xg = h−1 xh Ssi g ≡ h

(mód N(x))

D´. En efecto, g−1 xg = h−1 xh Ssi hg−1 xgh−1 = x Ssi (gh−1 )−1 x(gh−1 ) = x Ssi gh−1 ∈ N(x) Ssi g ≡ h (mód N(x)). Si denotamos por (4.20)

C(x) := {y ∈ G | y = g−1 xg, g ∈ G}

la clase de equivalencia de x respecto de la relación “ser elemento conjugado” y por c x la cardinalidad de C(x), entonces para el caso en que G es un grupo finito se tiene el T 4.26. Si G es un grupo finito de orden ◦(G), entonces c x = iG (N(x)) = ◦(G) y se tiene además la ecuación ◦(N(x)) X ◦(G) X iG (N(x)) = (4.21) ◦(G) = ◦(N(x)) C(x) C(x) D´. En efecto, por lema 4.25, C(x) tiene tantos elementos distintos como clases laterales distintas de N(x) existan, por consiguiente c x = iG (N(x)). Por otra parte, como [ G= C(x) x∈G

vale entonces que ◦(G) =

X C(x)

cx =

X C(x)

iG (N(x)) =

X ◦(G) ◦(N(x)) C(x)

Como consecuencia inmediata del teorema 4.26, se obtiene el siguiente corolario, cuya demostración se deja al lector: C 4.27. Sea G un grupo. Entonces x ∈ Z(G) Ssi N(x) = G. En el caso en que G es un grupo finito, entonces x ∈ Z(G) Ssi ◦(N(x)) = ◦(G).


69

El corolario 4.27, nos permite escribir la ecuación (4.21), de la siguiente forma: X cx (4.22) ◦(G) = ◦(Z(G)) + c x >1

La ecuación (4.22), recibe el nombre de ecuación de clase de G. Los resultados mostrados en el siguiente teorema y su corolario, son consecuencia inmediata del teorema 4.26 y del corolario 4.27. T 4.28. Si ◦(G) = pn , donde p es un número primo, entonces Z(G) , {e}. D´. Dado x ∈ G, como ◦(N(x)) | ◦(G), resulta, entonces, que ◦(N(x)) = pnx . Por corolario 4.27, x ∈ Z(G) Ssi n x = n. Aplicando la ecuación (4.22) y poniendo m := ◦(Z(G)) obtenemos X pn X pn (4.23) pn = ◦(G) = = m + pnx pn x n 6n C(x) x

pn como n x 6 x, resulta que p divide a cada n y por consiguiente a toda la sumatoria. De px aqu´ı resulta entonces que    n X pn   = m p  p − pnx  n x 6n por consiguiente ◦(Z(G)) > 1 y Z(G) , {e}.

Como corolario del teorema 4.28 se obtiene el siguiente resultado: C 4.29. Si ◦(G) = p2 , donde p es un número primo, entonces G es un grupo abeliano. D´. Vamos a mostrar que Z(G) = G. En efecto, como, por teorema 4.28, Z(G) , {e}, entonces     p o bien ◦(Z(G)) =    p2 . Si ◦(Z(G)) = p2 , entonces Z(G) = G y estamos listos. Vamos a mostrar, entonces, que no puede valer que ◦(Z(G)) = p. Supongamos que ◦(Z(G)) = p. Entonces existe g ∈ G \ Z(G) y Z(G) ⊆ N(g), como g ∈ N(G), resulta que ◦(Z(G)) < ◦(N(g)). Por el teorema de Lagrange, resulta que ◦(N(g)) = p2 = ◦(G), lo que implica, por corolario 4.27, g ∈ Z(G), en contradicción a la escogencia de g. Por lo tanto Z(G) = G. D´ 4.5. Si H es un subgrupo de G, al conjunto (4.24)

N(H) := {x ∈ G | xHx−1 = H}

lo llamamos el normalizador de H. T 4.30. N(H) es un subgrupo de G y H ⊆ N(H). D´. En efecto, N(H) es cerrado, pues dados x, y ∈ N(H), entonces (xy)N(H)(xy)−1

=

(xy)H(y−1 x−1 )

=

x(yHy−1 )x

=

xHx−1

=

H


70

Por otra parte xHx−1 = H ⇒ H = x−1 Hx, por lo que x ∈ N(H) ⇒ x−1 ∈ N(H). Por lo tanto N(H) es un subgrupo de G. Obviamente ∀ h ∈ H, hHh−1 = H, por lo que H ⊆ N(H). Dado un grupo G y elementos x, y ∈ G, al elemento [x, y] := xyx−1 y−1 lo llamamos el conmutador de x, y. D´ 4.6. Consideremos el conjunto U := {[x, y] | x, y ∈ G}

(4.25)

Al grupo K(G) := hUi lo llamamos el subgrupo de conmutadores de G, Es claro que si G es un grupo abeliano, entonces el grupo de conmutadores es el grupo trivial {e}. T 4.31. K(G) es un subgrupo normal de G. D´. Vamos a mostrar que dado g ∈ G cualquiera y cualquier conmutador [x, y] ∈ U, entonces g[x, y]g−1 ∈ K(G). En efecto g[x, y]g−1

=

gxyx−1 y−1 g−1

=

(gx)g−1 x−1 x(gy)x−1 y−1 g−1

=

(gxg−1 x−1 )(x(gy)x−1 (gy)−1 )

=

[g, x][x, gy] ∈ K(G)

Por consiguiente K(G) es un subgrupo normal de G. 4.2.7. Ejercicios y Complementos. 1. Mostrar el corolario 4.20. 2. Mostrar que si el producto de dos clases laterales derechas (izquierdas) de un subgrupo H de G es otra clase lateral derecha (izquierda), entonces H es normal. 3. Mostrar que todo subgrupo H tal que iG (H) = 2, es normal. 4. Mostrar que si H es un subgrupo normal de ´ındice primo, entonces G/H es c´ıclico. 5. Mostrar que se H es el u´ nico subgrupo de orden ◦(H) del grupo finito G, entonces H es normal. 6. Mostrar que si N(H) es el normalizador del subgrupo H de G, entonces H es un subgrupo normal de N(H). 7. Mostrar que si H es un subgrupo normal de un subgrupo N de G, entonces N ⊆ N(H). Es decir N(H) es el subgrupo mayor en el cual H es normal. Deducir de este resultado que H es normal en G Ssi N(H) = G. 8. Sea H un subgrupo del grupo G. Mostrar que C(H) := {x ∈ G | xhx−1 = x, ∀ h ∈ H} es un subgrupo de G, llamado el centralizador de H. Mostrar también, que C(H) ⊆ N(H). 9. Mostrar que si N, M son subgrupos normales de G, entonces también N M es un subgrupo normal de G. 10. Mostrar que si N ∩ M = {e}, donde N, M son subgrupos normales de G, entonces nm = mn, ∀ m ∈ M, n ∈ N.

4.3. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS

71

11. Si K(G) es el subgrupo de conmutadores de G, mostrar que G/K(G) es un grupo abeliano. Mostrar también que G/H es abeliano Ssi H es un subgrupo normal que contiene a K(G). 12. Si un subgrupo c´ıclico H es normal en G, mostrar que todo subgrupo de H es también normal en G. 13. Mostrar que si H es normal en G, y g ∈ G es un elemento de orden ◦(g), entonces, el orden ◦(¯g), donde g¯ es la clase de g en G/H, divide a ◦(g). 14. Si N es un subgrupo normal del grupo finito G, tal que iG (N) es relativamente primo con ◦(H), mostrar que entonces todo elemento x ∈ G, tal que x◦(N) = e, debe de estar en N. 15. Mostrar lema 4.24. 16. Sean N, H subgrupos de G y N normal en G. Mostrar que N ∩ H es normal en H. 4.3.

Homomorfismos de Grupos

ˆ ), recordamos que un homomorfismo de grupos es una Dados dos grupos (G, ∗), (G, ˆ tal que ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ϕ(y), ∀ x, y ∈ G. aplicación ϕ : G → G, Por lo que sigue, salvo casos particulares, usaremos la notación especificada en la observación precedente. E 4.5. 1. Sea (R, +) el grupo de los números reales con la adición y (R+ , ·) el grupo de los reales positivos con el producto usual ·. Entonces la función log : R+ → R es un homomorfismo de grupos. En efecto log(x · y) = log(x) + log(y), ∀ x, y ∈ R+ . ˆ ), la aplicación trivial e : G → G, ˆ definida por 2. Dados dos grupos (G, ∗), (G, e(x) := eˆ , ∀ x ∈ G, es un homomorfismo de grupos, llamado el homomorfismo trivial. 3. Dado un grupo G y un elemento fijo g ∈ G la aplicación ϕg : G → G, definida por ϕg (x) := gxg−1 es un homomorfismo, llamado un homomorfismo interno. En efecto ϕg (xy) = g(xy)g−1 = gx(g−1 g)yg−1 = (gxg−1 )(gyg−1 ) = ϕg (x)ϕg (y). En el caso en que G es un grupo abeliano, se obtiene la aplicación identidad, la cual también es un homomorfismo, llamado el homomorfismo identidad. T 4.32. Si ϕ : G → Gˆ es un homomorfismo de grupos, entonces: 1. Si e, eˆ son los elementos neutros de G y Gˆ respectivamente, ϕ(e) = eˆ 2. Si x−1 es el elemento inverso de x ∈ G, ϕ(x−1 ) = (ϕ(x))−1 , elemento inverso de ˆ ϕ(x) ∈ G. D´. 1. eˆ

=

ϕ(e)(ϕ(e))−1

=

ϕ(ee)(ϕ(e))−1

=

(ϕ(e)ϕ(e))(ϕ(e))−1

=

ϕ(e)(ϕ(e)(ϕ(e))−1 )

=

ϕ(e)ê

=

ϕ(e)


72

2. ∀ x ∈ G ϕ(x)ϕ(x−1 ) = ϕ(xx−1 ) = ϕ(e) = eˆ y ϕ(x−1 )ϕ(x) = ϕ(x−1 x) = ϕ(e) = eˆ . Por consiguiente ϕ(x−1 ) = (ϕ(x))−1 , ∀ x ∈ G. D´ 4.7. Decimos que un subgrupo H de G es un subgrupo caracter´ıstico de G, si H permanece invariante bajo cualquier automorfismo de G, es decir ϕ[H] = H, ∀ ϕ ∈ Aut(G). En particular un subgrupo normal es aquel que permanece invariante bajo todos los automorfismos internos. 4.3.1.

Ejercicios y complementos. 1. Si ψ : G → Gˆ es un homomorfismo de grupos, mostrar que ψ[G] ⊆ Gˆ es un ˆ subgrupo de G. 2. Si ϕ : G → G¯ y ψ : G¯ → Gˆ son homomorfismos de grupos, mostrar que la composición (ψ ◦ ϕ) : G → Gˆ es un homomorfismo de grupos. 3. Si Aut(G) es el conjunto de automorfismos sobre el grupo G, mostrar que (Aut(G), ◦) es un grupo, llamado el grupo de automorfismos de G. cuyo elemento neutro es el isomorfismo identidad 1G : G → G, tal que 1G (x) := x, ∀ x ∈ G. 4. Sea I (G) := {ϕ : G → G | ϕ homomorfismo interno}. Mostrar que I es un subgrupo de Aut(G), llamado el subgrupo de automorfismos internos de Aut(G). 5. Sea ψ : G → G¯ un homomorfismo de grupos. g ∈ G un elemento tal que ◦(g) < ∞. Mostrar que ◦(ψ(g)) | ◦(g) y que entonces ◦(ψ(g)) es un divisor común de ¯ ◦(G) y de ◦(G). 6. Mostrar que si ψ : G → Gˆ es un isomorfismo de grupos y g ∈ G un elemento de orden ◦(g), entonces ◦(ψ(g)) = ◦(g). En particular, si ψ : G → G es un automorfismo, entonces ◦(g) = ◦(ψ(g)), ∀ g ∈ G. 7. Sea G un grupo c´ıclico de orden n, y g ∈ G un generador. Mostrar que todo homomorfismo ψ : G → Gˆ queda totalmente determinado por la imagen de g, y que ψ[G] es un subgrupo c´ıclico de Gˆ de orden ◦(ψ(g)) 6 n. 8. Sea G un grupo c´ıclico de orden n, Aut(G) el grupo de automorfismos sobre G. Mostrar que existe un isomorfismo Ψ : Z∗n → Aut(G). (Ayuda: si g ∈ G un generador, hacer ver que cualquier homomorfismo ϕ : G → G es de la forma ϕ(g) := gl y que ϕ ∈ Aut(G) Ssi (n, l) = 1, 0 < l < n). ¯ Mostrar que el u´ nico 9. Sean G, G¯ dos grupos finitos, tales que 1 = (◦(G), ◦(G)). homomorfismo posible entre ellos es el homomorfismo trivial e. ˆ mostrar 10. Si ψ : G → Gˆ es un homomorfismo de grupos y Hˆ un subgrupo de G, que ˆ := {g ∈ G | ψ(g) ∈ H} ˆ H := ψ−1 [H]

es un subgrupo de G. 11. Mostrar que si G es un grupo abeliano, entonces la aplicación ( )−1 : G → G, definida por ( )−1 (x) := x−1 , ∀ x ∈ G es un isomorfismo. ¿Qué pasa si G no es abeliano? 12. Sea ϕ : G → Gˆ un homomorfismo de grupos abelianos. Mostrar que el siguiente diagrama es conmutativo G ( )−1

G

ϕ

ϕ

/ Gˆ ( )−1

/ Gˆ


73

Mostrar también que basta con que uno de los dos grupos G o Gˆ sea abeliano para que la aplicación ϕ−1 := ( )−1 ◦ ϕ = ϕ ◦ ( )−1 sea un homomorfismo. (Atención: no confundir ϕ−1 con la inversa de ϕ respecto de la composición de homomorfismos). 13. Sean G, Gˆ grupos. Definimos ˆ := {ϕ : G → Gˆ | ϕ es un homomorfismo} hom(G, G)

14. 15. 16. 17.

18.

ˆ de la siMostrar que si Gˆ es abeliano, entonces podemos dotar a hom(G, G) ˆ × hom(G, G) ˆ → hom(G, G), ˆ definida por guiente operación binaria · : hom(G, G) ˆ y que (ϕ · ψ)(x) := ϕ(x)ψ(x), ∀ x ∈ G. Mostrar que, en efecto ϕ · ψ ∈ hom(G, G) ˆ ·) es un grupo. ¿Cuál ser´ıa el elemento neutro? Dado ϕ ¿Cuál ser´ıa (hom(G, G), ˆ es abeliano ¿Qué pasa si Gˆ no su inversa respecto de ·? Mostrar que hom(G, G) es abeliano? Mostrar que si H es un subgrupo caracter´ıstico de G, entonces ∀ ϕ ∈ Aut(G), ϕ|H ∈ Aut(H). Mostrar que si N es un subgrupo normal de G, entonces todo subgrupo caracter´ıstico de N es subgrupo normal en G. Mostrar que el centro Z(G) del grupo G es un subgrupo caracter´ıstico de G y que cada subgrupo de Z(G) es normal en G. Mostrar que K(G), el subgrupo de conmutadores de G, es un subgrupo caracter´ıstico de G. En particular K(G) es invariante respecto de todos los isomorfismos internos. Usar esta propiedad para dar otra demostración de que K(G) es normal en G. Sea G el conjunto de todos los grupos. Diremos que G ' H Ssi: existe un isomorfismo ψ : G → H. Mostrar que ' es una relación de equivalencia sobre G . Si G ' H, entonces diremos que G y H están en la misma clase de isomorf´ıa.. Desde el punto de vista de la teor´ıa de grupos, dos grupos en la misma clase de isomorf´ıa se consideran como iguales, ya que sus propiedades, como grupo, son idénticas.

´ 4.3.2. Nucleo de Homomorfismos de Grupos, Propiedades, Teoremas de Factorización e Isomorf´ıa. Recordamos que el núcleo o kernel de un homomorfismo de grupos ψ : G → G¯ es el conjunto (4.26)

ker ψ := {g ∈ G | ψ(g) = e¯ }

T 4.33. Si ψ : G → G¯ es un homomorfismo de grupos, entonces ker ψ es un subgrupo normal de G. D´. Debemos mostrar que ker ψ es un subgrupo y que (4.27)

g(ker ψ)g−1 = ker ψ ∀ g ∈ G

En efecto, ker ψ es cerrado, ya que si g, h ∈ ker ψ, entonces ψ(gh) = ψ(g)ψ(h) = e¯ e¯ = e¯ Por consiguiente gh ∈ ker ψ. Por otra parte si g ∈ ker ψ, entonces ψ(g−1 ) = (ψ(g))−1 = e¯ −1 = e¯ Por consiguiente g−1 ∈ ker ψ y ker ψ es un subgrupo de G. Mostremos ahora (4.27). Vamos a mostrar primero que (4.28)

g(ker ψ)g−1 ⊆ ker ψ


74

En efecto, sea gxg−1 ∈ g(ker ψ)g−1 , donde x ∈ ker ψ. Entonces ψ(gxg−1 ) =

ψ(g)ψ(x)ψ(g−1 )

=

ψ(g)¯eψ(g−1 )

=

ψ(g)ψ(g−1 )

=

e¯

Entonces gxg−1 ∈ ker ψ, ∀ x ∈ ker ψ y por lo tanto g(ker ψ)g−1 ⊆ ker ψ. Ahora bien, de (4.28) se obtiene ker ψ ⊆ g−1 (ker ψ)g,

(4.29)

−1

entonces si tomamos g1 := g (4.30)

ker ψ ⊆

∀g ∈ G

en (4.29), obtenemos

g−1 1 (ker ψ)g1

= (g−1 )−1 (ker ψ)g−1 = g(ker ψ)g−1

Entonces de (4.28) y (4.30) resulta (4.27). Por consiguiente ker ψ es normal. T 4.34. Un homomorfismo de grupos ϕ : G → Gˆ es inyectivo Ssi ker ϕ = {e} D´. En efecto, si ϕ es inyectiva, entonces, por teorema 4.32, ϕ(e) = eˆ y ker ϕ = {e}. Por otra parte si ker ϕ = {e} y ϕ(g) = ϕ(h), entonces ϕ(gh−1 ) = ϕ(g)(ϕ(h))−1 = ϕ(g)(ϕ(g))−1 = eˆ , lo que implica que gh−1 ∈ ker ϕ, es decir que gh−1 = e. Por consiguiente g = h y ϕ es inyectiva. D´ 4.8. Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G. Entonces sabemos que G/H es un grupo y se tiene un homomorfismo de grupos π : G → G/H, definido por π(g) := g¯ , llamado el homomorfismo canónico o proyección canónica. De la definición del producto en G/H y de la aplicación π es obvio que π es un homomorfismo sobreyectivo. Como π(g) = g¯ = e¯ ⇔ g ∈ H, resulta, entonces, que ker π = H. T 4.35 (Teorema de Factorización para Grupos). Sea ϕ : G → Gˆ un homomorfismo de grupos de núcleo ker ϕ, entonces existe un u´ nico homomorfismo (4.31)

ϕ¯ : G/ ker ϕ → Gˆ

tal que el siguiente diagrama es conmutativo

(4.32)

ϕ

/ ˆ x; G x x xx π xx ϕ¯ x x G/ ker ϕ G

Además ϕ¯ es inyectiva y si ϕ es sobreyectiva, entonces ϕ¯ es un isomorfismo. D´. En efecto, si definimos (4.33)

ϕ(¯ ¯ g) := ϕ(g)

vemos que ϕ¯ hace conmutativo al diagrama (4.32) y cualquier otra aplicación que haga conmutar a (4.32) debe coincidir con ϕ. ¯ Debemos mostrar que ϕ¯ está bien definida, es decir, que no depende del representante escogido, y que es un homomorfismo de grupos. ¯ = ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h) = ϕ(¯ ¯ por lo que ϕ, De (4.31) se obtiene ϕ(¯ ¯ gh) ¯ g)ϕ( ¯ h), ¯ en caso de estar bien definida, ser´ıa un homomorfismo.


75

ϕ¯ está bien definida. En efecto, sea h otro representante de g¯ , entonces gh−1 ∈ ker ϕ, entonces ϕ(¯ ¯ gh¯ −1 ) = ϕ(gh−1 ), como gh−1 ∈ ker ϕ, entonces eˆ = ϕ(gh−1 ) = ϕ(g)(ϕ(h))−1 = ¯ ¯ Lo que muestra que ϕ¯ está bien definida. ϕ(¯ ¯ g)(ϕ( ¯ h))−1 , de donde resulta que ϕ(¯ ¯ g) = ϕ( ¯ h). ϕ¯ es inyectiva. En efecto, ϕ(¯ ¯ g) = ϕ(g) = eˆ Ssi g ∈ ker ϕ = e¯ , Ssi g¯ = e¯ , entonces ker ϕ¯ = {¯e} y por teorema 4.34, ϕ¯ es inyectiva. Si ϕ es sobreyectiva, entonces, por definición, ϕ¯ es también sobreyectiva. Por consiguiente ϕ¯ es un isomorfismo de grupos. L 4.36. Sean N, H subgrupos normales de G, tales que N ⊆ H. Entonces existe un homomorfismo sobreyectivo ϕ : G/N → G/H y ker ϕ = H/N. D´. Denotemos, para g ∈ G, g˜ , la clase de equivalencia de g, (mód N) y g¯ , su clase de equivalencia, (mód H). Vamos a demostrar que la aplicación ϕ : G/N → G/H definida por ϕ(˜g) := g¯ , está bien definida y es un homomorfismo de grupos. En efecto, sea k ∈ G otro representante de g¯ , entonces kg−1 ∈ N y existe n ∈ N, tal que kg−1 = n, de donde k = ng, entonces ˜ ϕ(k)

= k¯ =

Hk

=

H(ng)

=

Hg, ya que n ∈ H

=

g¯

=

ϕ(˜g)

lo que muestra que ϕ está bien definida. Por otra parte ϕ(˜gg˜1 ) = = = =

ϕ(g gg1 ) gg1 g¯ g¯1 ϕ(˜g)ϕ(g˜1 )

Lo que muestra que ϕ es un homomorfismo. Obviamente ϕ es sobreyectiva. Ahora bien ϕ(˜g) = e¯ ⇔ g ∈ H ⇔ g˜ ∈ H/N por consiguiente ker ϕ = H/N

T 4.37 (Segundo Teorema de Isomorf´ıa, Ley de Cancelación). Bajo las mismas condiciones del lema 4.36 se tiene un isomorfismo ϕˆ := (G/N)/(H/N) → G/H. D´. En efecto, por el teorema de factorización 4.35 y lema 4.36, la aplicación ϕ := G/N → G/H, induce un homomorfismo inyectivo ϕˆ : (G/N)/(H/N) → G/H, cuyo núcleo es H/N, tal que el diagrama

(4.34)

ϕ

/ G/H 8 q q qq q π q q qqq ϕˆ (G/N)/(H/N) G/N

es conmutativo. Como, por lema 4.36, ϕ es sobreyectiva, resulta, también, por teorema 4.35, que ϕˆ es un isomorfismo.


76

Como una aplicación del teorema 4.35, vamos a mostrar que el grupo del c´ırculo, (S1 , ·), donde S1 := {z ∈ C | |z| = 1} y · el producto usual de complejos, es isomorfo al grupo (R/Z, +). En efecto, consideremos el homomorfismo ϕ : R → S1 , definido por ϕ(t) := e2πit . El lector se cerciorará que, en efecto, ϕ es un homomorfismo de grupos, cuyo núcleo es Z, y que ϕ es sobreyectiva, entonces, por el teorema de factorización 4.35, ϕ induce un isomorfismo ϕˆ : R/Z → S1 . Otro resultado interesante, consecuencia del teorema de factorización es el siguiente C 4.38. Sea Φ : G → I (G) la aplicación definida por Φ(g) := ϕg , donde ϕg es el automorfismo interno ϕg (x) := gxg−1 . Entonces Φ es un homomorfismo sobreyectivo de grupos, cuyo núcleo es el centro Z(G) de G y Φ induce un isomorfismo ˆ : G/Z(G) → I (G) Φ D´. Basta mostrar que Φ es un homomorfismo sobreyectivo de núcleo ˆ Z(G), entonces, por el teorema de factorización 4.35, se obtiene el isomorfismo Φ. −1 En efecto, sean g, h ∈ G, entonces Φ(gh)(x) = ϕgh (x) = (gh)x(gh) = (gh)x(h−1 g−1 ) = g(hxh−1 )g−1 = (ϕg ◦ ϕh )(x), ∀ x ∈ G. Entonces Φ(gh) = ϕg ◦ ϕ(h) por lo que Φ es homomorfismo. Φ es obviamente sobreyectivo. Por otra parte Φ(g) = 1G Ssi ∀ x ∈ G, ϕg (x) = gxg−1 = x Ssi gx = xg, ∀ x ∈ G, Ssi g ∈ Z(G). Por consiguiente ker Φ = Z(G). T 4.39 (Primer teorema de Isomorf´ıa). Sean H, N subgrupos de G, N normal en G. Entonces existe un isomorfismo natural ψˆ : H/H ∩ N → HN/N D´. Por 4.20, es HN un subgrupo de G y por ejercicio 4.2.7,16), H ∩ N y N son normales en H y HN respectivamente, por lo que los grupos H/H ∩ N y HN/N están bien definidos. Consideremos el diagrama conmutativo / HN HC CC CC π C ψ CC ! HN i

donde i es la inclusión H en HN y π la proyección canónica. Entonces ψ es sobreyectiva y ker ψ = H ∩ N, entonces, por el teorema de factorización, ψ induce un isomorfismo ψˆ : H/H ∩ N → HN/N que hace conmutar al cuadrado i

H π¯

H/H ∩ N

ψ ψˆ

/ HN π

$ / HN

4.3.3.

Ejercicios y Complementos. ˆ 1. Sea ψ : G → Gˆ un homomorfismo de grupos. Si Hˆ es un subgrupo normal de G, −1 ˆ mostrar que H := ψ [H] es un subgrupo normal de G y ker ψ ⊆ H.


77

2. Sea ψ : G → Gˆ un homomorfismo de grupos. Si H es un subgrupo normal de G, mostrar que Hˆ := ψ[H] es entonces un subgrupo normal en ψ[G]. Si ψ es ˆ sobreyectiva, entonces Hˆ es subgrupo normal de G. ˆ 3. Sea ψ : G → G un homomorfismo sobreyectivo de grupos. a) Consideremos las familias de conjuntos SG (ker ψ) := {H ⊆ G | H subgrupo y ker ψ ⊆ H} SGˆ := {Hˆ ⊆ Gˆ | Hˆ subgrupo} Mostrar que ψ induce una biyección Ψ : SGˆ → SG (ker ψ), por medio de ˆ := ψ−1 [H]. ˆ Por lo que existe una correspondencia biun´ıvoca entre Ψ(H) todos los subgrupos de Gˆ y los subgrupos de G que contienen al ker ψ. b) Si definimos NG (ker ψ) := {H ⊆ G | H normal y ker ψ ⊆ H} NGˆ := {Hˆ ⊆ Gˆ | Hˆ normal}

4.

5. 6.

7. 8.

Mostrar que la restricción de Ψ a NGˆ es también una biyección Ψ|NG : NGˆ → NG (ker ψ). Es decir que existe una correspondencia biun´ıvoca entre los subgrupos normales de Gˆ y los subgrupos normales de G que contienen al ker ψ. Mostrar que los subgrupos de G/H están en correspondencia biun´ıvoca con los subgrupos de G que contienen a H. Igualmente mostrar que los subgrupos normales de G/H están en correpondencia biun´ıvoca con los subgrupos normales de G que contienen a H. Si ϕ : G → Gˆ es un homomorfismo de grupos, donde Gˆ es abeliano, mostrar que K(G) ⊆ ker ϕ ¿Qué pasa si K(G) = G? Sea G un grupo c´ıclico infinito y Z el grupo aditivo de los enteros. Mostrar que ψ : Z → G, definido por ψ(n) := gn , ∀ n ∈ Z, donde g es un generador de G, es un isomorfismo. Por lo que todo grupo c´ıclico infinito es isomorfo al grupo aditivo de los enteros. Mostrar además, que si G es un grupo c´ıclico finito, entonces existe n ∈ Z, tal que G es isomorfo a Z/nZ. Mostrar que ϕ : R → S1 , definida por ϕ(t) := e2πit es un homomorfismo sobreyectivo de grupos, cuyo núcleo es Z. Sea (GL(n), ·) el grupo de las matrices invertibles reales n × n. det : GL(n) → R \ {0}, la función que a cada matriz le asocia su determinante. Mostrar que det es un homomorfismo sobreyectivo entre (GL(n), ·) y el grupo multiplicativo (R \ {0}, ·), cuyo núcleo es el subgrupo S L(n) de GL(n), donde S L(n) := {A ∈ GL(n) | det A = 1}

Deducir de e´ sto que det induce un isomorfismo entre GL(n)/S L(n) y R \ {0}. 9. Si O(n) es el subgrupo de matrices ortogonales de GL(n) y S O(n) el subgrupo especial de matrices ortogonales cuyo determinante es 1. Mostrar que det induce un isomorfismo de grupos entre O(n)/S O(n) y el grupo multiplicativo (G, ·), donde G := {1, −1}. 4.3.4.

Sucesiones Exactas de Homomorfismos de Grupos.

2

D´ 4.9. Decimos que una sucesión de grupos y grupos homomorfismos (4.35)

ϕn

ϕn−1

ϕn−2

ϕ1

es exacta, si (4.36)

ϕ0

· · · −→ Gn −→ Gn−1 −→ · · · −→ G1 −→ G0 ∀ n ∈ N, Im ϕn = ker ϕn−1

2El concepto de sucesión exacta es debido a Eilenberg-Steenrod


78

En particular, decir que la sucesión (4.37)

ϕ

{e} → H → G

es exacta, es equivalente a decir que ϕ es un homomorfismo inyectivo. En forma análoga, decir que la sucesión (4.38)

ϕ

G → H → {e}

es exacta, es equivalente a decir que ϕ es un homomorfismo sobreyectivo. Particularmente interesantes son las sucesiones exactas cortas de la forma (4.39)

ϕ

ψ

{e} → H → G → Gˆ → {e}

Lo que es equivalente a decir que ϕ es una inyección, ψ es un homomorfismo sobreyectivo ϕ ϕ y que H ' Im ϕ = ker ψ, donde ' indica que H es isomorfo, por medio de ϕ, a Im ϕ. Por abuso de lenguaje se suele identificar H con Im ϕ. Dado un homomorfismo ϕ : G → Gˆ y un grupo abeliano M, e´ ste induce un homoˆ M) → hom(G, M). En efecto, sea α ∈ hom(G, ˆ M) y consideremos morfismo ϕ∗ : hom(G, el siguiente diagrama G

ϕ

/ Gˆ

(4.40)

α

M el cual puede ser completado a un diagrama conmutativo ϕ

(4.41)

/ Gˆ G? ?? ?? α α◦ϕ ??? M

entonces definimos ϕ∗ (α) := α ◦ ϕ ∈ hom(G, M). En forma análoga, si ϕ : G → Gˆ es un homomorfismo de grupos abelianos y M un ˆ En efecto, sea grupo, entonces ϕ induce un homomorfismo ϕ∗ : hom(M, G) → hom(M, G). α ∈ hom(M, G) y consideremos el diagrama GO (4.42)

ϕ

/ Gˆ

α

M el cual puede ser completado a un diagrama conmutativo GO (4.43)

α

M

ϕ

/ Gˆ ? ϕ◦α

ˆ entonces definimos ϕ∗ (α) := ϕ ◦ α ∈ hom(M, G). T 4.40. Si M es un grupo abeliano, entonces la sucesión exacta (4.44)

ϕ

ψ

H → G → Gˆ → {e}


79

induce la sucesión exacta (4.45)

ψ∗

ϕ∗

ˆ M) → hom(G, M) → hom(H, M) {e} → hom(G,

donde e designa el homomorfismo trivial. D´. Tenemos que mostrar las siguientes acerciones: a) ψ∗ es inyectiva b) Im ψ∗ ⊆ ker ϕ∗ c) ker ϕ∗ ⊆ Im ψ∗ a) Vamos a mostrar que ker ψ∗ = {e}. En efecto, sea α ∈ ker ψ∗ , entonces ψ∗ (α) = α ◦ ψ = e y ∀ x ∈ G, α(ψ(x)) = e, lo que implica que Im ψ ⊆ ker α, como ψ es sobreyectiva, Im ψ = Gˆ ⊆ ker α, por consiguiente Gˆ = ker α y α = e. ˆ M), tal que ψ∗ (α) = α ◦ ϕ = β, y b) Sea β ∈ Im ψ∗ , entonces existe α ∈ hom(G, ∗ ϕ (β) = β ◦ ϕ = (α ◦ ψ) ◦ ϕ, como la sucesión (4.44) es exacta, Im ϕ = ker ψ, de donde ϕ∗ (β)(x) = (α ◦ (ψ ◦ ϕ))(x) = α(e) = e, ∀ x ∈ G. Por consiguiente Im ψ∗ ⊆ ker ϕ∗ . ˆ M), tal que ψ∗ (α) = β. c) Sea β ∈ ker ϕ∗ . Debemos mostrar que existe α ∈ hom(G, ∗ En efecto, si β ∈ ker ϕ, entonces ϕ (β) = e y ∀ x ∈ G, ϕ∗ (β)(x) = β(ϕ(x)) = e, lo que implica que ϕ(x) ∈ ker β, ∀ x ∈ G. Por consiguiente Im ϕ ⊆ ker β. Como, por hipótesis, la sucesión (4.44) es exacta se tiene, entonces, que ker ψ = Im ϕ ⊆ ker β y que ψ es sobreyectiva. Entonces, por el teorema 4.35, ψ induce un isomorfismo ψˆ : G/ ker ψ → Gˆ el cual posee una inversa ψˆ −1 . Por otra parte, como ker ψ ⊆ ker β, por lema 4.36, se tiene un homomorfismo πˆ : G/ ker ψ → G/ ker β y se obtiene el siguiente diagrama conmutativo, en sus dos partes: β

MO o (4.46)

βˆ

G/ ker β o

πˆ

ψ

/ ˆ xG x xx π xxˆ −1 x {xx ψ G/ ker ψ G

ˆ M), por la conmutatividad del Entonces, si definimos α := βˆ ◦ πˆ ◦ ψˆ −1 ∈ hom(G, diagrama (4.46), se obtiene β = ψ∗ (α). T 4.41. Sea M un grupo, entonces la sucesión exacta de grupos abelianos ϕ

ψ

{e} → H → G → Gˆ

(4.47) induce una sucesión exacta (4.48)

ϕ

ψ

∗ ∗ ˆ {e} → hom(M, H) → hom(M, G) → hom(M, G)

D´. Como en el teorema precedente, desarrollaremos la demostración mostrando las siguientes acerciones: a) ker ϕ∗ = {e}, o sea ϕ∗ es inyectiva. b) Im ϕ∗ ⊆ ker ψ∗ c) ker ψ∗ ⊆ Im ϕ∗


80

a) En efecto, sea α ∈ ker ϕ∗ , entonces ϕ∗ (α) = e y ∀ x ∈ M, ϕ∗ (α)(x) = ϕ(α(x)) = e, esto implica que α(x) ∈ ker ϕ, ∀ x ∈ M. Como la sucesión (4.47) es exacta, resulta que ϕ es inyectiva y ker ϕ = {e}, por consiguiente α(x) = e, ∀ x ∈ M, lo que implica que α = e. b) Sea β ∈ Im ϕ∗ , entonces existe α ∈ hom(M, H), tal que β = ϕ∗ (α) y ψ∗ (β) = ψ∗ (ϕ∗ (α)) = (ψ◦ϕ)(α). Dado x ∈ M, tenemos entonces ψ∗ (β)(x) = (ψ◦ϕ)(α)(x) = ψ(ϕ(α(x))) = e, ya que, por la exactitud de (4.47), Im ϕ = ker ψ. Por consiguiente β ∈ ker ψ∗ . c) Sea β ∈ ker ψ∗ , entonces ψ∗ (β) = e = ψ ◦ β y ∀ x ∈ M, ψ(β(x)) = e, esto implica que β(x) ∈ ker ψ = Im ϕ. Como ϕ es inyectiva, existe un u´ nico h x ∈ H, tal que ϕ(h x ) = β(x). Si definimos α : M → H, por α(x) := h x , entonces α ∈ hom(M, H) (ver ejercicio 4.3.5,6) y ϕ∗ (α) = β. Por consiguiente β ∈ Im ϕ∗ . O´ 4.1. Advertimos al lector que una sucesión exacta corta de grupos, (4.49)

ϕ

ψ

{e} → H → G → Gˆ → {e},

en general, no induce, en el caso en que M es un grupo abeliano, una sucesión exacta (4.50)

ψ∗

ϕ∗

ˆ M) → hom(G, M) → hom(H, M) → {e} {e} → hom(G,

ni tampoco, en el caso en que la sucesión (4.49) sea de grupos abelianos, una sucesión exacta (4.51)

ϕ∗

ψ∗

ˆ → {e} {e} → hom(M, H) → hom(M, G) → hom(M, G)

ya que no podemos garantizarnos, que dado un homomorfismo β : H → M e´ ste sea imagen, bajo ϕ∗ de un homomorfismo α : G → M, ni tampoco que dado un homomorfismo β : M → Gˆ e´ ste sea imagen, bajo ψ∗ de un homomorfismo α : M → G. (Ver ejercicios 4.3.5,7) y 4.3.5,8)) 4.3.5. Ejercicios y Complementos. 1. Mostrar que la sucesión (4.52)

ϕ

{e} → G → H → {e} es exacta Ssi ϕ es un isomorfismo. 2. Mostrar que si la sucesión (4.39) es exacta, entonces se tiene un isomorfismo ˆ ψˆ : G/H → G. 3. Mostrar que si ψ : G → Gˆ es un homomorfismo de grupos sobreyectivo, entonces se tiene una sucesión exacta

(4.53)

ψ

ı {e} → ker ψ → G → Gˆ → {e}

donde ı es la inclusión de ker ψ en G ˆ se define el co-núcleo 4. Dado un homomorfismo de grupos abelianos ψ : G → G, ˆ de ψ, como coker ψ := G/ Im ψ. Mostrar que ψ es sobreyectiva, Ssi coker ψ := {e}. ˆ mostrar que las si5. Dado un homomorfismo de grupos abelianos ψ : G → G, guientes sucesiones son exactas: ψ

{e} → ker ψ → G − → Im ψ → {e}, π

{e} → Im ψ → Gˆ → − coker ψ → {0}.


81

6. Mostrar que la aplicación α definida en la demostración del teorema 4.41 es, en efecto, un homomorfismo en hom(M, H) 7. Mostrar que si M es un grupo abeliano que posee la propiedad de que dado un homomorfismo β : H → M existe un homomorfismo α : G → M tal que el diagrama ϕ

/G ~ ~ ~~ β ~~ α ~ ~ M

/H

{e} (4.54)

es conmutativo, entonces, la sucesión (4.50), inducida por la sucesión exacta (4.49), es exacta. 8. Mostrar que si M es un grupo que posee la propiedad de que dado un homomorˆ existe un homomorfismo α : M → G, tal que el diagrama fismo β : M → G, M β G ψ / Gˆ α

(4.55)

/ {e}

es conmutativo, entonces, la sucesión (4.51), inducida por la sucesión exacta de grupos abelianos (4.49), es exacta.

CAP´ıTULO 5

´ GRUPOS DE PERMUTACIONES Y SIMETRIA 5.0.6. Grupos de Permutaciones. Como vimos en la serie de ejercicios y complementos 4.2.1,5), una permutación es una biyección sobre un conjunto finito y al grupo de todas las permutaciones sobre un conjunto de n elementos lo designaremos por Sn y se llama el n-grupo de simetr´ıa. Por facilidad usaremos, como modelo, para el conjunto de n elementos, al conjunto: S n := {1, 2, . . . , n}, en el entendido de que los resultados no var´ıan al tomar como muestra cualquier otro conjunto de n elementos, ya que siempre existirá una biyección entre ellos. A raiz de los intentos de demostrar porqué, para las ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 5, no era posible encontrar una fórmula por radicación, en donde era claro el papel que jugaban las permutaciones entre las posibles raices de dichos polinomios, surgió el interés por el estudio, como entes propios, de las permutaciones y sus leyes de composición, llegando a ser el prototipo de los primeros grupos estudiados y, como veremos más adelante, en el teorema de Cayley, todo grupo finito es isomorfo a un determinado grupo de permutaciones. Usualmente denotaremos una permutación σ ∈ Sn , por medio de una matriz de la forma: ! 1 2 ... n (5.1) σ := σ(1) σ(2) . . . σ(n) As´ı, por ejemplo, para n = 4, S 4 := {1, 2, 3, 4}, si σ : S → S es la biyección definida por: σ(1) := 2, σ(2) := 3, σ(3) := 4, σ(4) := 1, tenemos la matriz: ! 1 2 3 4 σ= 2 3 4 1 Dadas dos permutaciones σ, τ ∈ Sn , definiremos τσ := τ ◦ σ. Si ! ! 1 2 3 4 1 2 3 4 σ := τ := 2 3 4 1 2 4 1 3 entonces τσ =

1 4

2 1

3 3

4 2

! στ =

1 3

2 1

3 2

4 4

!

Del ejemplo precedente se ve que, en general, el producto de permutaciones no es conmutativo, por lo que Sn , salvo para n = 2 no es un grupo abeliano. En el estudio de las permutaciones juegan un papel muy importante dos tipos particulares, los ciclos y las transposiciones. Una transposición es una permutación que u´ nicamente permuta dos elementos, dejando fijos el resto. Por ejemplo ! 1 2 3 4 5 σ := 2 1 3 4 5 83

5. GRUPOS DE PERMUTACIONES Y SIMETRÍA

84

Si σ es la transposición que sólo permuta i con j, i, j ∈ S n , dejando fijos el resto de elementos de S n , entonces escribiremos σ := i j . En este caso σ2 = e y σ = σ−1 . Entonces, con esta nomenclatura, la transposición del ejemplo precedente se escribe σ= 1 2 . (i) = i i , denotará la permutación identidad, para cualquier i ∈ S n . Dada una permutación de un conjunto de n elementos ! 1 2 ... n σ := σ(1) σ(2) . . . σ(n) tal que σ(n) , n, siempre podemos representar a σ como el producto de una permutación σn que deja fijo n con una transposición adecuada. En efecto, si suponemos que para j , n, σ( j) = n, entonces ! 1 2 ... j ... i ... n σn := σ(n) σ( j) σ(1) σ(2) . . . n . . . σ(i) . . . σ(n) es una permutación que deja fijo n y σ(n) σ( j) σn = σ T 5.1. El grupo de permutaciones Sn es un grupo de orden n! y no conmutativo para n > 2. D´. Haremos la prueba por inducción sobre n. En efecto si n = 2, entonces las u´ nicas permutaciones posibles son la identidad y la transposición 1 2 , por lo que ◦(S2 ) = 2 = 2!. Como grupo de orden primo S2 es c´ıclico, por ejercicio 4.2.4,2), y, por consiguiente, abeliano. El lector comprobará fácilmente que a partir de n = 3, S3 ya no es abeliano y que su orden es 6 = 3!. Supongamos, entonces, por hipótesis de inducción, que, dado n > 3 el teorema sea válido para n − 1 y ◦(Sn−1 ) = (n − 1)!. Entonces, existen (n − 1)! permutaciones que dejan fijo a n. Ahora bien, por cada permutación σn que deja fijo n, podemos obtener n permutaciones distintas j n σn , 1 6 j 6 n. Como, por hipótesis de inducción, existen (n − 1)! permutaciones que dejan fijo n, se obtienen en total n(n − 1)! = n! permutaciones distintas. Por otra parte, vimos que toda permutación σ ∈ Sn se puede expresar de esta forma. Por consiguiente ◦(Sn ) = n!. De la demostración del teorema precedente se obtiene el siguiente C 5.2. El ´ındice de Sn−1 en Sn es igual a n. D´. En efecto Sn es la unión de las clases n laterales consiguiente iSn (Sn−1 ) = n.

j

n

6 6

7 2

Sn−1 . Por

5.0.7. Ejercicios y Complementos. 1. Dadas las permutaciones σ :=

1 3

2 4

3 5

4 6

5 7

6 8

7 1

8 2

! τ :=

1 8

2 7

3 5

4 3

5 1

8 4

!

dar: a) στ, b) τσ, c) σ2 , d) τ3 2. Mostrar que si σ es una permutación que deja fijos i, j, entonces σ conmuta con la transposición i j . 3. Escribir el siguiente producto de transposiciones como una matriz de la forma (5.1) 2 4 3 2 . σ= 1 3


85

Como veremos más adelante, toda permutación σ puede ser expresada como un producto de transposiciones. 5.0.8. Acción de Grupo. Ciclos de una Permutación. 5.0.8.1. Acción de Grupo. D´ 5.1. Una acción del grupo G sobre un conjunto S , por la izquierda, es una operación binaria ◦ : G × S → S , tal que: a) e ◦ s = s, ∀ s ∈ S b) (gh) ◦ s = g ◦ (h ◦ s), ∀g, h ∈ G, ∀ s ∈ S En forma análoga, una acción del grupo G sobre un conjunto S por la derecha, es una operación binaria ◦ : S × G → S , tal que: a) s ◦ e = s, ∀ s ∈ /S b) s ◦ (gh) = (s ◦ g) ◦ h, ∀ g, h ∈ G, ∀ s ∈ S . Dada una acción de grupo ◦ por la izquierda y s ∈ S , llamamos o´ rbita de s al conjunto orb(s) := {g ◦ s | g ∈ G} Si ◦ es una acción de grupo por la derecha, entonces la o´ rbita de un elemento s es el conjunto orb(s) := {s ◦ g | g ∈ G} Denotaremos S /G := {orb(s) | s ∈ S } T 5.3. Si ◦ es una acción del grupo G sobre el conjunto S , entonces la relación s1 ≡G s Ssi s1 ∈ orb(s) es una relación de equivalencia sobre S , cuyas clases de equivalencia, de cada elemento, son precisamente las o´ rbitas. O´. Aunque en la demostración nosotros asumiremos que la acción es por la izquierda, el lector podrá cerciorarse de que el teorema también vale para una acción por la derecha. D´. a) ≡G es reflexiva. En efecto, s ≡G s, pues s = e ◦ s ∈ orb(s) b) ≡G es simétrica. En efecto, si s1 ≡G s entonces s1 ∈ orb(s), esto implica que existe g ∈ G, tal que s1 = g ◦ s. Por otra parte s = e ◦ s = (g−1 g)s = g−1 (g ◦ s) = g−1 s1 , lo que implica que s ∈ orb(s1 ), por consiguiente s ≡G s1 . c) ≡G es transitiva. Si s1 ≡G s y s ≡G s2 , entonces existen g, h ∈ G, tales que s1 = g ◦ s y s = h ◦ s2 . Entonces s1 = g ◦ s = g ◦ (h ◦ s2 ) = (g ◦ h) ◦ s2 , lo que implica que s1 ∈ orb(s2 ). Por consiguiente s1 ≡G s2 . Del teorema 5.3 se obtiene el siguiente C 5.4. a) Dos o´ rbitas son disjuntas o son iguales. S b) S = orb(s) s∈S

Por lo que cada elemento de S está en una u´ nica o´ rbita.


86

E 5.1. 1. Sea S un conjunto cualquiera no vac´ıo, S el grupo de todas las biyecciones sobre S . Consideremos la siguiente operación binaria ∗ : S × S → S , definida por ϕ ∗ s := ϕ(s). ∀ (ϕ, s) ∈ S × S . ∗ es una acción del grupo S sobre S . En efecto e ∗ s = e(s) = s y (ϕ ◦ ψ) ∗ s = (ϕ ◦ ψ)(s) = ϕ(ψ(s)) = ϕ ∗ (ψ ∗ s). 2. Sea S1 := {x ∈ R2 | kxk = 1}, el c´ırculo de radio 1 con centro en el origen. G := {1, −1} con el producto usual. Entonces la operación binaria · : G×S1 → S1 , definida por λ · x := λx es una acción del grupo G sobre S1 por la izquierda (comprobarlo!). S1 /G = P1 , el espacio proyectivo de dimensión 1. 3. En forma análoga al ejemplo precedente, G actúa, por la izquierda, sobre la nesfera Sn := {x ∈ Rn+1 | kxk = 1} y Sn /G = Pn el espacio proyectivo ndimensional. En la geometr´ıa y topolog´ıa diferencial y algebraica juegan un papel muy importan´ te las llamadas G-variedades. Estas son variedades que se obtienen como o´ rbitas de una acción de un grupo G sobre otra variedad. 5.0.8.2. Ciclos de una Permutación. Sea σ ∈ Sn y G := hσi el grupo c´ıclico generado por σ, entonces por medio de la operación binaria · : G × S n → S n , definida por σ · s := σ(s), G actúa por la izquierda sobre S n . La o´ rbita de s es entonces orb(s) = {σ(s), σ2 (s), · · · , σr (s)}, donde, σr (s) = s y r 6 ◦(σ). D´ 5.2. A la r-eada ordenada σ s := s σ(s) · · ·

σr−1 (s)

la llamamos un ciclo, de longitud l(σ s ) := r − 1, o un r-ciclo, de la permutación σ, correspondiente al elemento s. Como los ciclos nos representan o´ rbitas ordenadas, cada elemento s ∈ S n se encuentra en un u´ nico ciclo. E 5.2. Consideremos la permutación sobre S 8 σ :=

1 3

2 4

3 5

4 6

5 7

6 8

7 1

8 2

!

Para encontrar sus ciclos partimos de un elemento cualquiera s y aplicamos sucesivamente σ hasta llegar de nuevo a s, luego tomamos un s1 que no aparezca en la o´ rbita de s, hasta que hayamos obtenido todos los elementos de S n al hacer la unión de todos los ciclos. Empecemos, pues, con s = 1. Su ciclo correspondiente es σ1 := 1 3 5 7 Como el 2 no aparece en este ciclo, procedemos entonces, de forma análoga con s = 2 σ2 := 2 4 6 8 Como ya todos los elementos del conjunto S 4 := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} están en uno de los dos ciclos, e´ stos son los u´ nicos ciclos de σ. En este ejemplo los dos ciclos son 4-ciclos o ciclos de longitud 3. E 5.3. Consideremos la permutación σ :=

1 3

2 4

3 7

4 6

5 5

6 2

7 1

8 8

!


87

Sus ciclos son: σ1 :=

1

3

7

σ2 :=

2

4

6

σ5 := (5), σ8 := (8). En este caso obtenemos que σ posee dos 3-ciclos y dos 1-ciclo, o ciclos de longitud 0. D´ 5.3. Decimos que una permutación es c´ıclica o circular si sólamente posee un u´ nico ciclo. E 5.4. 1 2

σ=

2 3

3 4

4 1

!

Su u´ nico ciclo es

1

2

3

4

Nótese que una permutación c´ıclica o circular, por ejemplo, que su u´ nico ciclo es x1 x2 x3 x4 sigue el siguiente esquema circular, el cual da origen al nombre 6 x1 x2

x4W x3 v

Mientras sigamos la dirección de las flechas es irrelevante con qué elemento del ciclo arranquemos. Nótese, también, que todo r-ciclo, r < n, puede ser considerado como una permutación que sólo mueve los elementos que están en e´ l, de forma circular y deja fijo el resto de los n − r elementos de S n . En particular toda transposición es un 2-ciclo o ciclo de longitud 1. T 5.5. Todo ciclo σ de longitud l(σ) = r − 1 genera un grupo c´ıclico de orden r = l(σ) + 1. Si σ := x1 x2 · · · xr entonces τ :=

xr

xr−1

···

x1

es la inversa σ−1 de σ. D´. Sea X := {x1 , · · · , xr }. Si s < X, σ(s) = s, entonces basta mostrar que σr , es la identidad sobre X y que si j < r, entonces σ j no es la identidad sobre X. En efecto, como σ es un ciclo de longitud l(σ) = r − 1, para 1 6 i < r se tiene σ(xi ) = xi+1 . Si j es tal que i + j 6 r, entonces σ j (x1 ) = xi+ j . Para i = r, σ(xr ) = x1 y σi (xr ) = xi , ∀ i 6 r. Entonces σr (xi ) = σi (σr−i (xi )) = σi (xr ) = xi . Lo que muestra que σr restringido a X es la identidad. Si j < r, sea i tal que i + j 6 r, entonces σ j (xi ) = xi+ j , xi , por lo que σ j no es la identidad sobre X. Por otra parte, para 1 6 i < r, τσ(xi ) = τ(xi+1 ) = xi y para i = r, τ(σ(xr )) = τ(x1 ) = xr , por lo que τσ es la identidad sobre X. Además para 1 < i 6 r, se tiene que σ(τ(xi )) = σ(xi−1 ) = xi y para i = 1, σ(τ(x1 )) = σ(xr ) = x1 , lo que muestra que también


88

στ es la identidad sobre X. Por consiguiente τ = σ−1 , ya que los elementos que no están en X no son afectados por σ y τ. As´ı pues xr xr−1 · · · x1 e = x1 x2 · · · xr De la demostración del teorema 5.5 resulta el siguiente C 5.6. Si σ := x1 x2 · · · xr , entonces σ j es el ciclo o producto de ciclos que mapea xi → xi+ j , donde i + j se toma (mód r) E 5.5. 1.

2

4

6

2.

x1

x2

x3

x4

3.

x1

x2

x3

x4

2 2

=

=

3

=

2

6

4

x1

x3

x2

x1

x4

x3

x4 x2

Analicemos de cerca el ejemplo 5.2. Consideremos el ciclo σ1 como una permutación circular de sus elementos. El resto de los elementos F1 := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}\{1, 3, 5, 7} = {2, 4, 6, 8} permanecen entonces fijos. Si escribimos σ1 en la forma usual obtenemos ! 1 2 3 4 5 6 7 8 σ1 := 3 2 5 4 7 6 1 8 Los elementos que permanecen fijos dan lugar a ciclos de longitud 0, los cuales son de la forma (i), i ∈ F1 , que no mueven nada y pueden ser identificados con e. Si restringimos σ1 al conjunto de elementos que no permanecen fijos F2 := {1, 3, 5, 7} se obtiene ! 1 3 5 7 σ1 | F 2 = 3 5 7 1 61 7U

3

v 5 que es una permutación circular, cuyo u´ nico ciclo es precisamente σ1 . En forma análoga podemos proceder con σ2 , que será una permutación que deja fijos los elementos del conjunto F2 . Un simple cálculo muestra que σ = σ1 σ2 = σ2 σ1 . En general se tiene el siguiente resultado L 5.7. El producto de dos ciclos disjuntos σ, τ es conmutativo. D´. Debemos mostrar que ∀ s ∈ S n , σ(τ(s)) = τ(σ(s)). En efecto, si s no pertenece a ninguno de los dos ciclos, entonces s permanece fijo, tanto bajo σ como bajo τ y σ(τ(s)) = s = τ(σ(s)). Por otra parte si s pertenece al ciclo σ, s no pertenece al ciclo τ y permanece fija bajo τ, entonces τ(σ(s)) = σ(s) = σ(τ(s)). Un razonamiento análogo nos muestra que si s está en el ciclo τ, entonces σ(τ(s)) = τ(s) = τ(σ(s)).


89

D´ 5.4. Dada una permutación σ ∈ Sn sobre un conjunto S n , al conjunto D(σ) := {s ∈ S n | σ(s) , s} lo llamamos el dominio de acción de la permutación σ. Es obvio que si s1 = σ(s) , s, entonces σ(s1 ) , s1 , pues de lo contrario σ no ser´ıa una biyección. De esto se deduce que σ[D(σ)] = D(σ), ∀ σ ∈ Sn . En el caso en que σ es un ciclo, nótese que si s ∈ D(σ), entonces D(σ) = orb(s). Una generalización del lema 5.7 es el siguiente L 5.8. Si σ, τ ∈ Sn son dos permutaciones, tales que D(σ) ∩ D(τ) = ∅, entonces στ = τσ. D´. La demostración es similar a la del lema 5.7. En efecto, si s < (D(σ)∪D(τ)), entonces σ(τ(s)) = σ(s) = s y τ(σ(s)) = τ(s) = s. Si s ∈ D(σ), entonces s, σ(s) < D(τ) y σ(τ(s)) = σ(s) = τ(σ(s)). En forma análoga, si s ∈ D(τ), entonces τ(σ(s)) = τ(s) = σ(τ(s)). Por consiguiente, en cualquier caso στ(s) = τσ(s), ∀ s ∈ S n , lo que implica que στ = τσ. L 5.9. Si σ1 , . . . , σm son ciclos disjuntos de longitud l(σi ) > 0 y σ := σ1 · · · σm , entonces los ciclos de σ, de longitud l(σi ) > 0, son exactamente σ1 , . . . , σm . D´. En efecto, sea s ∈ D(σ), y s σ(s) · · · σr−1 (s) el ciclo correspondiente. Comoσ es el producto de ciclosdisjuntos, s está en un u´ nico D(σ i ), y σ(s) = σi (s), por lo que s σ(s) · · · σr−1 (s) = s σi (s) · · · σir−1 (s) = σi . T 5.10 (Descomposición Canónica en Producto de Ciclos Disjuntos). Toda permutación σ ∈ Sn distinta de la identidad, posee una representación u´ nica, salvo orden de sus factores, como producto de todos sus ciclos disjuntos de longitud l(σ s ) > 0. D´. Sean σ1 , . . . , σm todos los ciclos disjuntos, de longitud l(σi ) > 0, correspondientes a σ, entonces, para i , j, 1 6 i, j 6 m, D(σi ) ∩ D(σ j ) = ∅. Si s ∈ S n permanece fijo bajo σ, entonces s está en un ciclo de longitud 0 y no está en ningún D(σi ), 1 6 i 6 m, por lo que no es afectada por ningún σi , 1 6 i 6 m y (σ1 · · · σm )(s) = s = σ(s). Si s no queda fijo bajo σ, entonces s está en exactamente un u´ nico D(σi ), lo que significa que σ(s) = σi (s) y s no es afectado por σ j , j , i. entonces (σ1 · · · σm )(s) = σi (s) = σ(s). Por consiguiente ∀ s ∈ S n , σ(s) = (σ1 · · · σm )(s) lo que muestra que σ = σ1 · · · σm . Por otra parte, si σ es producto de ciclos τ1 , . . . , τk , disjuntos, de longitud l(τi ) > 0, estos son, por lema 5.9, sus ciclos correspondientes, por lo que {σ1 , . . . , σm } = {τ1 , . . . , τk }, por consiguiente k = m y, despues de un reordenamiento adecuado, σi = τi . La descomposición canónica en producto de ciclos disjuntos tiene sus ventajas, ya que con ello se facilita el cálculo de potencias e inversas de una permutación, ya que, al ser disjuntos los ciclos, el producto entre ellos es conmutativo y para el cálculo de las inversas aplicamos el resultado del teorema 5.5 a cada ciclo individual. E 5.6. 1. Consideremos la permutación sobre S 8 , del ejemplo 5.2 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 σ := 3 4 5 6 7 8 1 2

90


sus ciclos correspondientes son: σ1 := 1 3 5 7

σ2 :=

2

4

6

8

Por consiguiente σ = σ1 σ2 =

1

3

5

7

2

4

6

8

−1 7 5 3 1 8 6 4 2 σ−1 = σ−1 1 σ2 = 2 2 2 4 6 8 3 7 2 σ2 = σ21 σ22 = 1 3 5 7 = 1 5 2. σ := σ1 σ2 σ3 producto de ciclos no disjuntos 2 4 σ = σ1 σ2 σ3 = 1 3 5 2

6

7

5

8

6

4

8

y deseamos una representación de σ como producto de ciclos disjuntos. Procedemos de la siguiente forma: Empezamos por los elementos de D(σ3 ), por ejemplo el 7 y aplicamos sucesivamente σ3 , σ2 , σ1 , vemos que 7 → 5 → 2, ahora 2 no es afectado por σ3 , sólo por σ2 y obtenemos 2 → 4, 4 es afectado sólo por σ2 y 4 → 6 y 6 → 2 → 1, 1 → 3, 3 → 5 y 5 → 8, por lo que nos queda el ciclo σ := 7 2 4 6 1 3 5 8 σ−1 := 8 5 3 1 6 4 2 7 σ3 := 7 6 5 2 1 8 4 3 σ−3 := 7 2 4 6 1 3 5 8 3. Dar la representación como producto de ciclos disjuntos de 3 1 4 3 5 σ := 1 2 3 Empecemos con 3, 3 → 5 y ah´ı se queda. 5 → 3 → 1 → 2, 2 → 3 se cierra el primer ciclo. 4 → 3 → 1, 1 → 4, se cierra el segundo y u´ ltimo ciclo. Entonces 4 1 σ := 3 5 2 También el cálculo de elementos conjugados de la forma τστ−1 se facilita con la representación canónica en producto de ciclos disjuntos, como lo muestra el siguiente T 5.11. Dado el ciclo σ :=

x1

x2

···

y una permutación cualquiera τ, entonces (5.2) τστ−1 = τ(x1 ) τ(x2 )

xr

···

τ(xr )

D´. En efecto, τστ−1 (x) = τσ(τ−1 (x)), si τ−1 (x) < D(σ), entonces σ(τ−1 (x)) = τ (x) y τ(σ(τ−1 (x))) = x. Si τ−1 (x) ∈ D(σ), entonces existe xi ∈ D(σ), tal que τ−1 (x) = xi y x = τ(xi ). Entonces τστ−1 (τ(xi )) = τ(σ(τ−1 (x))) = τ(σ(xi )) = τ(xi+1 ), i + 1 (mód r), de donde resulta (5.2). −1

Si σ := σ1 σ2 · · · σm es la descomposición canónica de σ como producto de ciclos disjuntos, entonces τστ−1 = τσ1 σ2 · · · σm τ−1 = τσ1 τ−1 τσ2 τ−1 · · · τσm τ−1 . Entonces reescribimos cada ciclo σi , 1 6 i 6 m de la forma (5.2) Como ya hemos visto, para n > 3, el grupo Sn no es conmutativo. Pero, además, fuera de la identidad, ninguna permutación conmuta con todos los elementos de Sn , como se muestra en el siguiente T 5.12. Para n > 3 el centro Z(Sn ) = {e}.


91

D´. Sea σ ∈ Sn , σ , e, entonces existe a ∈ S n , tal que σ(a) , a, como n > 3, existe c ∈ S n , tal que a , c , σ(a), entonces la transposición a c está bien definida y σ

a

c

σ−1 =

σ(a)

σ(c)

,

a

c

por consiguiente σ < Z(Sn ).

Dada una permutación σ ∈ Sn , denotaremos por C(σ) el conjunto de sus ciclos disjuntos. D´ 5.5. Decimos que dos permutaciones σ, τ ∈ Sn son semejantes, si existe una biyección Ψ : C(σ) → C(τ), tal que l(Ψ(σ s )) = l(σ s ), ∀ σ s ∈ C(σ). Por ejemplo las permutaciones 3 4 σ= 1 5

2

τ=

1

2

4

3

5

son semejantes. T 5.13. Dos permutaciones σ, τ ∈ Sn son semejantes Ssi son conjugadas. Es decir que existe φ ∈ Sn , tal que σ = φτφ−1 . D´. Si σ, τ son conjugadas, entonces, por teorema 5.11, σ, τ son semejantes. Supongamos, entonces, que σ, τ son semejantes y distintas a la identidad, para la cual el teorema es obvio. Entonces C(σ) = {σ1 , . . . , σm } y C(τ) = {τ1 , . . . , τm }, con l(σi ) = l(τi ), 1 6 i 6 m. Entonces podemos escribir σi := x1i x2i · · · xri i τi := yi1 yi2 · · · yiri Entonces, para cada 1 6 i 6 m, se tiene una bijección φi : D(σi ) → D(τi ), definida por φi (xij ) := yij , 1 6 j 6 ri , la cual puede ser extendida a una biyección φ : S n → S n y φ ∈ Sn . Entonces τi := φ(x1i ) φ(x2i ) · · · φ(xri i ) = φσi φ−1 , ∀ i, 1 6 i 6 m De aqu´ı resulta, entonces, que τ = φσφ−1 .

Dejamos al lector la demostración del siguiente C 5.14. La relación de semejanza es una relación de equivalencia sobre Sn Otro resultado interesante es el siguiente T 5.15. Toda permutación σ ∈ Sn , n > 3 puede ser representada como un producto de transposiciones. D´. Basta mostrar el teorema para el caso de un ciclo. La demostración resulta del proceso de recurrencia siguiente

x1

x2

···

xr

=

x1

x2

x2

=

x1

x2

x2

· · · xr x3 x3 x4 · · · x3

xr

= ···

92


E 5.7. El ciclo σ := x1 x2 x3 x4 , siguiendo el proceso descrito en la demostración del teorema 5.15, se descompone en las transposiciones x1 x2 x2 x3 x3 x4 O´ 5.1. Como se podrá observar, del proceso de recurrencia, para la descomposición de un ciclo σ, en transposiciones, si el ciclo es de longitud l(σ), se obtienen l(σ) transposiciones. l(σ) es el menor número de transposiciones que se necesitan para representar σ como producto de e´ stas. A diferencia de la representación canónica como producto de ciclos disjuntos, la representación como producto de transposiciones no es u´ nica, ni todas las transposiciones x1 x2 . son disjuntas. Siempre es posible agregar factores de la forma e = x1 x2 A continuación extenderemos el concepto de longitud de un ciclo a una permutación cualquiera σ ∈ Sn D´ 5.6. Sea σ ∈ Sn , σ , e y σ = σ1 · · · σm su representación canónica como producto de ciclos disjuntos. Entonces, definimos la longitud de σ, como m X (5.3) l(σ) := l(σ j ) j=1

Obviamente 1 6 l(σ) 6 n − 1. Si nosotros tenemos una permutación, dada como producto de ciclos, no necesariamente disjuntos o producto de transposiciones, la suma de sus longitudes puede variar. Lo que no va a variar, como veremos más adelante, es el hecho de que la longitud sea un número par o impar, lo que define la paridad de la permutación. El concepto de paridad juega un papel muy importante en la teor´ıa de determinantes y en el estudio de las a´ lgebras externas. Dado que las transposiciones son ciclos de longitud 1, si la longitud de una permutación es par, e´ sta se descompondrá siempre en un número par de transposiciones y si la longitud es impar, entonces se descompondrá siempre en un número impar de transposiciones. T 5.16. Sea σ ∈ Sn una permuación, x y ∈ Sn una transposición. En tonces, si τ := x y σ    o, 1 l(τ) − l(σ) =   −1 D´. Si x, y no son afectados por σ, entonces l(τ) = l(σ) + 1. Si x, y son afectados por σ, entonces sólo vale la pena considerar aquellos ciclos que afectan a x, y. A tal efecto es suficiente considerar los siguientes dos casos: a) x, y están en el mismo ciclo. σ := x · · · xr y · · · y s . Entonces l(σ) = y y2 · · · y s , r+s−1. Un simple cálculo nos muestra que τ = x x2 · · · xr y l(τ) = r − 1 + s − 1 = r + s − 2 = l(σ) − 1 y y2 · · · y s . b) x, y están en diferentes ciclos disjuntos. σ := x x2 · · · xr Entonces en este caso τ = x · · · xr y · · · y s y l(σ) = l(τ) − 1. El caso en que sólo uno de los elementos x, y es afectado está incluido en el razonamiento anterior, haciendo r = 1 o s = 1. Una de las consecuencias del teorema 5.16 es que si la longitud de σ es un número par (impar), entonces la longitud de τ es un número impar (par). También, en la demostración


93

queda claro que τ , σ y para recuperar σ partiendo de τ debemos multiplicar τ de nuevo por la misma transposición. D´ 5.7. Decimos que una permutación σ ∈ Sn es par (impar), si l(σ) es par (impar). Entonces toda transposición es impar, mientras que todo 3-ciclo es par. En general todo m-ciclo es par, si m impar y viceversa. T 5.17. Sea σ := σ1 · · · σm ∈ Sn un producto de transposiciones. Entonces el número m de los factores es par Ssi l(σ) es par. D´. Por inducción sobre m. En efecto, si m = 1, entonces l(σ) = 1 y ambos son impares. Sea ahora m > 2 y supongamos que el teorema sea válido para m − 1. Sea entonces σ ˆ := σ2 · · · σm . Por teorema 5.16 σ ˆ es par Ssi σ es impar. Por hipótesis de inducción tenemos entonces que σ ˆ es par, o sea σ impar, Ssi m − 1 es par y esto Ssi m es impar. D´ 5.8. La aplicación π : Sn → {−1, 1}, definida por    si σ par , 1 (5.4) π(σ) :=   −1 si σ impar. se llama la función de paridad. T 5.18. La función de paridad π : Sn → {−1, 1} es un homomorfismo entre el grupo de simetr´ıa Sn y el grupo multiplicativo {−1, 1}. D´. En efecto, si σ, τ son pares, entonces στ es par y π(στ) = 1 = π(σ)π(τ). Si σ, τ son impares, entonces στ par y π(στ) = 1 = (−1)(−1) = π(σ)π(τ). Si una es par y la otra impar, supongamos, sin limitación de la generalidad, que σ impar y τ par, entonces στ es impar y π(στ) = −1 = (−1)(1) = π(σ)π(τ). Consideremos An := {σ ∈ Sn | σ es par} el conjunto de las permutaciones pares. Entonces se tiene el siguiente 1 T 5.19. An es un subgrupo normal de Sn , de orden n! e ´ındice 2, para n > 2 2 y no abeliano para n > 4. D´. En efecto An es cerrado bajo el producto, ya que el producto de permutaciones pares es otra permutación par, por lo tanto, es un subgrupo de Sn , por ser An finito. Por otra parte An es el núcleo del homomorfismo de paridad π, por consiguiente normal y por el teorema de factorización e isomorf´ıa Sn /An es isomorfo al grupo {−1, 1}, 1 de donde resulta que iSn (An ) = 2 y ◦(An ) = n!. 2 Para n > 4, la siguiente ecuación nos muestra que An no puede ser abeliano. En efecto −1 x1 x2 x4 x1 x2 x3 x1 x2 x4 = x2 x4 x3 D´ 5.9. El subgrupo An ⊆ Sn se llama el subgrupo alternante de Sn . A continuación daremos algunas propiedades importantes del grupo alternante, las cuales jugarán un papel muy importante en la teor´ıa de Galois, que estudiaremos más adelante.


94

L 5.20. Todo elemento de An , n > 3 se puede escribir como producto de 3-ciclos. D´. Como todo elemento de An es producto de un número par de transposiciones, basta que mostremos el teorema para productos de dos transposiciones. Pueden darse tres casos: a)

x1

x2

x1

x2

=e=

x1

x2

x3

3

b)

x1

x2

=

x1

x2

=

x1

x2

x3

x2

=

x1

x2

x3

c)

x1

x2

x3

x4

x3 x2 x3 x2

x3

x3

x4

x2

x3

x4

L 5.21. Todo 3-ciclo es un conmutador en Sn , n > 3.

D´. En efecto 2 x1 x2 x3 = x1 x3 x2 = x1

x3

x2

x3

x1

x3

−1

x2

x3

−1

De los lemas 5.20 y 5.21 se obtiene el siguiente T 5.22. El grupo alternante An es el subgrupo de conmutadores de Sn . D´. Para n 6 2 el teorema es trivial, ya que An = {e} y Sn abeliano. En efecto, de los lemas 5.20 y 5.21 resulta que An ⊆ K(Sn ), por otra parte como ◦(Sn /An ) = 2, entonces Sn /An es abeliano, lo que implica que K(Sn ) ⊆ An . T 5.23. Para n > 5 son todos los 3-ciclos elementos conjugados de An . D´. Dados dos 3-ciclos σ := x1 x2 x3

σ ˆ :=

y1

y2

y3

e´ stos son semejantes ˆ = τστ−1 , como n > 5, existe una transpo y existe τ ∈ Sn , tal que σ −1 sición ψ := u v , que conmuta con σ. Sea τ1 := τψ. Entonces τ1 στ−1 = 1 = τψσψτ −1 τστ , donde, ya sea τ ∈ An , o τ1 ∈ An . El siguiente teorema constituye el pilar funadamental para entender porqué, para n > 5, la ecuación general de grado n no posee solución por medio de un proceso de radicación. T 5.24. Para n > 5 el grupo alternante An es simple. D´. Sea n > 5 y N un subgrupo normal de An no trivial. Vamos a mostrar que N contiene un 3-ciclo, entonces por el teorema 5.23, N contiene a todos los 3-ciclos, los cuales generan An . Por consiguiente N = An .


95

En efecto, sea σ ∈ N ⊆ An , entonces σ no es una transposición y mueve a, por lo menos, tres elementos de S n . Si σ es un 3-ciclo, ya estamos. Entonces supongamos que σ mueve, al menos, cuatro elementos de S n . Entonces se dan tres casos: (5.5) σ = x1 x2 x3 x4 · · · x4 x5 · · · (5.6) σ = x1 x2 x3 x3 x4 (5.7) σ = x1 x2 Supongamos primero el caso (5.5) y sea τ := x1 x2 x3 ∈ An , entonces στσ−1 = x2 x3 x4 ∈ An . Como N normal en An , τσ−1 τ−1 ∈ N, por lo que σ(τσ−1 τ−1 ) ∈ N. Entonces x3 x2 x1 = x1 x4 x2 ∈ N σ(τσ−1 τ−1 ) = (στσ−1 )τ−1 = x2 x3 x4 Supongamos ahora el caso (5.6) y sea τ := x1 x2 x4 , entonces στσ−1 = x2 x3 x5 y (στσ−1 )τ−1 =

x2

x3

x5

x4

x2

x1

=

x1

x4

x3

x5

x2

∈N

obteniendo el caso (5.5). Finalemente tratemos el caso (5.7). Como n > 5 existe x5 ∈ S n , distinto de x1 , x2 , x3 , x4 y sea τ := x1 x3 x5 . Entonces tenemos dos casos posibles: σ(x5 ) = x5 o σ(x5 ) , x5 . Si σ(x5 ) = x5 , entonces στσ−1 =

x2

x4

x5

y (στσ−1 )τ−1 =

x2

x4

x5

x5

x3

x1

x2

x4

σ(x5 )

=

x1

x2

x4

∈N

x5

x3

xr

σ(x5 ) · · ·

obteniendo nuevamente el caso (5.5). Si σ(x5 ) , x5 , entonces: στσ−1 =

y (στσ−1 )τ−1 =

x2

x4

σ(x5 )

x5

x3

x1

=

x1

x5

x3

obteniendo el caso (5.6).

D´ 5.10. Decimos que un subgrupo G de Sn es transitivo, si para cada par de elementos x, y ∈ S n , existe σ ∈ G, tal que σ(x) = y.

x

Dados x, y ∈ S n , decimos que x es equivalente respecto de G a y, x ∼G y Ssi: x = y o y ∈ G. L 5.25. La relación ∼G es una relación de equivalencia sobre S n . La demostración la dejamos al lector como un ejercicio.

T 5.26. Si un subgrupo transitivo G ⊆ Sn contiene transposiciones y n es un número primo, entonces G = Sn .

∈N


96

x y , la clase de equivalencia x¯ de x contiene más de un elemento. Si σ ∈ G, entonces σ(x) σ(y) = σ x y σ−1 ∈ G, lo que implica que σ[ x¯] ⊆ σ(x). Por otra parte, si aplicamos el D´. Como G contiene transposiciones, por ejemplo

mismo argumento a σ−1 y a la clase σ(x) obtenemos que las clases x¯ y σ(x) poseen el mismo número de elementos. Si z ∈ S n es otro elemento cualquiera, por la transitividad de G, existe σ ∈ G, tal que σ(x) = z, por consiguiente, todas las clases de equivalencia, respecto de ∼G , poseen el mismo número de elementos, digamos m y m | n. Como m > 2 y n primo, resulta que m = n, lo que implica que todos los elementos de S n son equivalentes respecto de G y G contiene a todas las transposiciones de Sn . Por lo tanto G = Sn . En los teoremas precedentes mostramos, entre otros resultados, que toda permutación de Sn , se descompone, de forma u´ nica, salvo orden de sus factores, en un producto de m nµ -ciclos, µ = 1, . . . , m, disjuntos, donde consideraremos también los ciclos de longitud 0. Como cada elemento de S n está en uno y sólamente un ciclo, vale que n=

(5.8)

m X

nµ .

µ=1

Este resultado está relacionado con la llamada partición de un número entero n, de gran importancia en la teor´ıa de números y otras a´ reas de las matemáticas. Decimos que una sucesión finita de enteros n1 , . . . , nm , tales que 1 6 n1 6 n2 6 . . . , 6 nm 6 n, es una partición del número entero n, si n=

(5.9)

m X

nµ .

µ=1

Un problema clásico de la teor´ıa de números es la determinación del número de particiones posibles, p(n), para un entero n dado. El lector comprobará, sin mucha dificultad, que p(1) = 1, p(2) = 2, p(5) = 7, p(6) = 11. Para números grandes el problema se dificulta grandemente. De la ecuación (5.8) se deduce que los o´ rdenes de todos los ciclos, obtenidos en la descomposición de un elemento de Sn , es una partición de n y por el teorema 5.11, todas las permutaciones semejantes o conjugadas dan lugar a la misma partición de n. Por consiguiente se tiene el siguiente resultado que expresamos en el T 5.27. El número de clases conjugadas en Sn es igual a p(n), el número de particiones de n. En los siguientes ejemplos daremos una aplicación de los resultados arriba obtenidos en combinación con el teorema 4.26. E 5.8. 1. ¿Cuántas permutaciones conmutan con una transposición σ := i j dada? y ¿cuáles son e´ stas? El número de permutaciones que conmutan con σ viene dado por el orden ◦(Sn ) , del normalizador de σ, N(σ). Por teorema 4.26 sabemos que ◦(N(σ)) = cσ donde cσ es el número de elementos que posee la clase de conjugación C(σ).


97

Como todas las transposiciones son elementos conjugados de cualquier otra, tenemos que c x es igual al número total de transposiciones en Sn que en total son n(n − 1) ◦(Sn ) , entonces ◦(N(σ)) = = 2(n − 2)!. 2 cσ Para determinar cuáles son las permutaciones que conmutan con σ procedemos de la siguiente manera: Primeramente todas aquellas permutaciones que no afectan a i, j conmutan con σ. De e´ stas existen (n − 2)!. Por otra parte, si τ es una permutación que no afecta a i, j, entonces στ conmuta con σ, ya que στσ = τ, por teorema 5.11. En total tenemos ya 2(n − 2)! permutaciones que conmutan con σ. As´ı pues, las permutaciones que conmutan con σ son aquellas de la forma σµ τ, µ = 1, 2 y τ cualquier permutación que deja fijos i, j. 2. Por un razonamiento análogo se muestra que el orden del normalizador del n ciclo σ := 1 2 · · · n es n y por consiguiente σ conmuta u´ nicamente con sus potencias. 3. En general para calcular el número de m-ciclos diferentes, m 6 n consideramos el número total de combinaciones de n elementos tomados de m en m, importando n! , donde m van a representar la misma permutael orden, lo cual nos da (n − m)! n! ción, por consiguiente tendremos m-ciclos distintos, los cuales son tom(n − m)! n! dos conjugados, por teorema 5.11. Entonces dado un m-ciclo σ, cσ = m(n − m)! y obtenemos ◦(N(σ)) = m(n − m)!. Si τ es una permutación que deja fijos todos los elementos que mueve σ, τ conmuta con σ y tenemos (n − m)! posibilidades para τ. Por otra parte σ conmuta con todas sus potencias y con cada elemento de la forma σµ τ, 1 6 µ 6 m, donde τ deja fijos todos los elementos que mueve σ. En total obtenemos entonces m(n − m)! permutaciones de la forma σµ τ, 1 6 µ 6 m. T 5.28 (Teorema de Cayley). Todo grupo G es isomorfo, para un conjunto S apropiado, a un subgrupo de A (S ), donde A (S ) es el grupo de todas las biyecciones sobre S . D´. En efecto, sea G un grupo y definamos S := G, el conjunto de los elementos de G. Dado g ∈ G, definimos φg : S → S , por φg (x) := gx, ∀ x ∈ S , entonces, por la ley de cancelación, φg es inyectiva. Por otra parte, dado y ∈ S , y = g(g−1 y) = φg (g−1 y), por lo que φg es una biyección sobre S y φg ∈ A (S ). Vamos a mostrar que Ψ : G → A (S ) definida por Ψ(g) := φg es un homomorfismo inyectivo y que entonces G es isomorfo al subgrupo Ψ[G] ⊆ A (S ). Por definición Ψ(gh) = φgh , φgh (x) = (gh)x = g(hx) = φg ◦ φh (x), ∀ x ∈ S y por consiguiente φgh = φg ◦ φh , lo que muestra que Ψ es un homomorfismo de grupos. Por otra parte si Ψ(g) es la identidad en A (S ), entonces gx = x, ∀ x ∈ S , de donde g = e. Por lo tanto Ψ es inyectiva. Si G es finito de orden n, entonces G es isomorfo a un subgrupo de permutaciones sobre el conjunto S := G. Sin embargo uno de los inconvenientes es que para n no tan pequeño, el grupo Sn posee n! elementos, lo que hace que G no se visualice bien dentro de un grupo gigantesco. Lo ideal ser´ıa encontrar un conjunto S no tan grande, con el cual podamos visualizar mejor a G denttro de A (S ). El siguiente teorema nos acerca un poco más a lo deseado.


98

T 5.29. Si G es un grupo, H un subgrupo de G y S el conjunto de toda las clases laterales izquierdas de H en G, entonces existe un homomorfismo Φ : G → A (S ) y ker Φ es el subgrupo normal más grande de G que está contenido en H. D´. Dado g ∈ G, sea φg : S → S , definida por φg (xH) := gxH. Un argumento similar al empleado en la demostración del teorema 5.28, nos muestra que φg ∈ A (S ) y que φgh = φg ◦ φh . Entonces la aplicación Φ : G → A (S ), definida por Φ(g) := φg es un homomorfismo de grupos. Si g ∈ ker Φ, entonces Φ(g) = φg es la identidad y ∀ x ∈ G, φg (xH) = gxH = xH, en particular si x := e, debe valer que gH = H, lo que implica que g ∈ H. Entonces ker Φ ⊆ H y ker Φ es un subgrupo, normal en G, de G contenido en H. Por otra parte, si N es otro subgrupo, normal en G, de G contenido en H, entonces ∀ x ∈ G, xN = N x y dado g ∈ N, φg (xH) = gxH y por la normalidad de N en G, existe gˆ ∈ N, tal que gx = xˆg. Entonces gxH = xˆgH = xH, ∀ x ∈ G, por consiguiente g ∈ ker Φ. Lo que muestra que N ⊆ ker Φ. Si en el teorema 5.29, H := {e}, entonces S = G y obtenemos el teorema de Cayley. Si por otra parte H es un subgrupo que no posee ningún subgrupo normal en G distinto de {e}, entonces ker Φ = {e} y Φ : G → A (S ) induce un isomorfismo de G sobre un subgrupo de A (S ) y S , en el caso finito, es un conjunto más pequeño que S . Como una consecuencia el teorema 5.29 se obtiene el siguiente C 5.30. Si G es un grupo finito y H un subgrupo propio de G, tal que ◦(G) iG (H)! Entonces H debe contener un subgrupo normal en G no trivial. En particular G no es simple. D´. En efecto si ◦(G) - iG (H)! = ◦(A (S )), por el teorema de Lagrange, A (S ) no puede contener ningún subgrupo de orden ◦(G), por consiguiente ningún subgrupo isomorfo a G. Como Φ[G] ⊆ A (S ) es subgrupo, e´ ste no puede, entonces, ser isomorfo a G, por lo que Φ no puede ser inyectiva. Entonces ker Φ , {e} es un subgrupo normal no trivial contenido en H que es normal en G. 5.0.9. Ejercicios y Complementos. 1. Dadas las permutaciones σ :=

1 3

2 1

3 2

4 5

5 6

6 7

7 8

8 4

! τ :=

1 4

2 5

3 6

4 7

5 3

6 2

7 8

8 1

!

a) Descomponer σ y τ en producto de ciclos disjuntos y dar longitud de cada uno de sus ciclos. b) Dar longitud de σ y τ c) Dar descomposición de σ y τ en producto de transposiciones d) Dar σ−1 y τ−1 e) Calcular στσ−1 y τστ−1 . 2. Mostrar que todo grupo c´ıclico de orden n es isomorfo al grupo c´ıclico generado por un n-ciclo. 3. Dar expl´ıcitamente A3 y A4 . 4. Mostrar el corolario 5.14 5. Mostrar que A4 es generado por los 3-ciclos σ := 1 2 3 y τ := 2 3 4 . 6. Mostrar que el grupo de conmutadores de A4 es el grupo obtenido a partir del conmutador [σ, τ], donde σ, τ como en el ejercicio precedente y que n o 3 4 , 1 3 2 4 , 1 4 2 3 K(A4 ) = e, 1 2

5.1. APLICACIONES A LA GEOMETRÍA Y TEORÍA MUSICAL

99

Este grupo se conoce con el nombre de “Grupo de los Cuatro de Klein” (Kleinsche Vierer Gruppe), que se suele denotar por V4 y cuyo significado geométrico veremos más adelante. 7. Deducir del ejercicio precedente que A4 no es simple y que posee un subgrupo normal de orden 4. 8. Mostrar que K(A4 ) es normal en S4 y que S4 /K(A4 ) es un grupo de orden 6 isomorfo a S3 . 9. Mostrar lema 5.25. Tomar en cuenta que x z = y z x y y z 10. Mostrar que si un grupo G, de orden 36, posee un subgrupo de orden 9, entonces H posee un subgrupo N, normal en G, no trivial, de orden 3 o 9, por lo que G no es simple. 11. Mostrar que todo subgrupo H, de orden 11, de un grupo G, de orden 99, es normal en G. 12. Mostrar que todo grupo no abeliano G, de orden 6, es isomorfo a S3 . 13. Mostrar que todo grupo de orden p2 , donde p es un número primo, posee un subgrupo normal de orden p. 14. Mostrar que en un grupo G, de orden p2 , donde p es un número primo, todo subgrupo normal de orden p está contenido en Z(G) y deducir de esto que todo grupo de orden p2 es abeliano. 15. Dar las clases conjugadas en S3 y encontrar, para cada σ, cσ . 16. Dar las clases conjugadas en S4 y encontrar, para cada σ, cσ . 17. Dar p(7), p(8) y p(9). 18. Sea ◦ : G × S → S una acción del grupo G sobre el conjunto S y s ∈ S . Mostrar que G s := {g ∈ G | g ◦ s = s} es un subgrupo de G, llamado el grupo de isotrop´ıa de s. 5.1.

Aplicaciones a la Geometr´ıa y Teor´ıa Musical

Los grupos de permutaciones sirven de modelo para representar grupos de operaciones geométricas, como rotaciones, reflexiones, etc., que actúan sobre elementos geométricos, como ejes cartesianos, pol´ıgonos y poliedros. En particular consideraremos movimientos geométricos que, después de actuar sobre un determinado ente geométrico, la posición de e´ ste coincida con la posición original, que llamaremos movimientos de recobertura, ya que la imagen final recubre a la imagen inicial. E 5.9. 1. Consideremos el sistema coordenado cartesiano en el plano: Los movimientos de recubrimiento, en este caso, son las rotaciones, alreπ dedor del origen, en sentido de las agujas del reloj, en , que llamaremos α, la 2 reflexión β sobre el eje x y la reflexión γ sobre el eje y. Como podemos observar la rotación α es de orden 4 y las dos reflexiones de orden 2. α puede ser identificada con el 4-ciclo α := x −y −x y , la reflexión β la podemos identificar con la transposición β := y −y y la reflexión γ, con la transposición γ := x −x . Cada una de estas operaciones


100

F 5.1. Plano xy

generan subgrupos c´ıclicos del grupo total generado por las tres. Analicemos la tabla de operaciones correspondiente

(5.10)

◦ e α α2 α3 β γ αβ αγ

e e α α2 α3 β γ αβ αγ

α α α2 α3 e αγ αβ γ γ

α2 α2 α3 e α γ β αγ αβ

α3 α3 e α α2 αβ αγ β β

β β αβ γ αγ e α2 α α3

γ γ αγ β αβ α2 e α3 α

αβ αβ γ αγ β α3 β e α2

αγ αγ β αβ γ αβ α3 α2 e

ˆ 4 al grupo generado por hα, β, γi. Entonces D ˆ 4 es un subgruNotemos por D po de S4 de orden 8, que como veremos es isomorfo al grupo diédrico o diedral, ˆ 4 posee dos subD4 de todas las operaciones de recubrimiento del cuadrado. D grupos de orden 4. Uno es el subgrupo c´ıclico hαi de las rotaciones y el sugrupo ˆ 4 := {e, αγ, αβ, α2 }, que es isomorfo al grupo de los 4 de Klein. (ver ejercicio V ˆ 4 posee además 3 subgrupos de orden 2, generados respectivamente 5.0.9,6)). D por β, γ y α2 = βγ. 2. Consideremos el sistma cartesiano 3-dimensional y las operaciones de recubrimiento consistentes en α, β, γ rotaciones, en sentido contrario a las agujas del reloj, al rededor de los ejes z, y, x, respectivamente, en π. En este caso podemos identificar estas rotaciones con las siguientes permutaciones y −y z −z y −y α := x −x β := x −x γ := z −z y obtenemos la siguiente tabla de operaciones:

(5.11)

◦ e α β γ

e α β e α β α e γ β γ e γ β α

γ γ β α e


101

F 5.2. Sistema 3-dimensional El subgrupo formado por {e, α, β, γ} es un subgrupo de S6 isomorfo al grupo de los cuatro de Klein V4 . Geométricamente, entonces, el grupo de Klein es el grupo de las rotaciones, en π, del sistema coordenado en tres dimensiones, alrededor de los ejes z, y, x, respectivamente. 3. El grupo de recubrimiento del triángulo equilátero. Consideremos el triángulo equilátero:

F 5.3. Triángulo equilátero

102


En el caso del triángulo equilátero tenemos las siguientes operaciones de 2π recubrimiento: Las rotaciones alrededor de ‘O’ en , las reflexiones alrededor 3 de los segmentos [CD],[BG] y [AF]. 2π La rotación en la podemos identificar con el 3-ciclo α := A B C 3 y las reflexiones alrededor de los segmentos [CD],[BG],[AF] respectivamente con las transposiciones β := A B , γ = A C , τ := B C y obtenemos la siguiente tabla de operaciones:

(5.12)

◦ e α α2 β γ τ

e e α α2 β γ τ

α α α2 e τ β γ

α2 α2 e α γ τ β

β β γ τ e α α2

γ γ τ β α2 e α

τ τ β γ α α2 e

Este es un subgrupo de S3 de orden 6 y por consiguiente es todo S3 . 4. El grupo de recubrimiento del cuadrado. Consideremos el cuadrado:

F 5.4. Cuadrado En el caso del cuadrado tenemos las siguientes operaciones de recubrimienπ to: Las rotaciones alrededor de ‘O’ en , la cual denotaremos por α, las refle2 xiones alrededor de las diagonales [AC] y [DB], las cuales denotaremos por β y γ respectivamente y las reflexiones alrededor de los segmentos [GH] y EF, las cuales denotaremos por σ y τ respectivamente. Observemos que la rotación, en sentido contrario a las agujas del reloj, alre π dedor de ‘O’, en puede ser identificada con el 4-ciclo α := A B C D , 2 las reflexiones alrededor de las diagonales [AC],DB, respectivamente por las transposiciones: β := D B , γ := A C


103

y las reflexiones alrededor de los segmentos [GH],[EF], con los productos de transposiciones: B C , τ := A B C D σ := A D y obtenemos la siguiente tabla de operaciones:

(5.13)

◦ e α α2 α3 β γ σ τ

e e α α2 α3 β γ σ τ

α α α2 α3 e σ τ γ β

α2 α2 α3 e α γ β τ σ

α3 α3 e α α2 τ σ β γ

β β τ γ σ e α2 α3 α2

γ γ σ β τ α2 e α α3

σ σ β τ γ α α3 e α

τ τ γ σ β α3 α α2 e

Comparando esta tabla con la tabla (5.10), veremos que el grupo de todas las operaciones de recubrimento del cuadrado no es más que el grupo diédrico o diedral D4 ⊆ S4 , si en dicho cuadro identificamos σ con αβ y τ con αγ. El grupo de Klein V4 ⊆ D4 está dado por {e, α2 , σ, τ}. Es decir que el grupo de los cuatro de Klein está formado por las reflexiones en π, alrededor del punto ‘O’ y las reflexiones alrededor de los segmentos [GH] y [EF] 5. El siguiente ejemplo es de interés musical. La operación de asignarle a cada nota musical del conjunto de notas {Do,Re,Mi,Fa,Sol,La,Si,Do],Re],Fa],Sol],La]} su quinta correspondiente, genera un grupo c´ıclico de orden 12 y puede ser representado por el 12-ciclo σ := Do Sol Re La Mi Si Fa] Do] Sol] Re] La] Fa] perteneciente al grupo de simetr´ıa S12 , cuyo orden ◦(S12 ) = 12! = 479001600. Por lo que las posibilidades de producir sonidos diferentes son, practicamente, inagotables. 5 Do 4 Fa

Sol

6 La]

Re

Sol] W

Mi

Re] W Do] W

La u

Si s Fa] v

5.1.1. Ejercicios y Complementos. ˆ 4 son isomorfos. 1. Mostrar que los grupos K(A4 ), V4 y V ˆ 2. Mostrar que D4 es isomorfo a D4 . 3. Mostrar que en D4 , K(D4 ) = Z(D4 ). 4. Mostrar que D4 es un grupo transitivo de S4 que contiene transposiciones.

104


5. Usar el ejercicio 5.0.9,5), para mostrar que A4 no posee ningún subgrupo de orden 6, por lo que An puede también ser generado por un 3-ciclo de orden 3 y un elemento de orden 2, que en este caso es un producto de dos transposiciones.. 6. Usar ejercicio precedente para mostrar que Aut(A4 ) posee como máximo ◦(S)4 = 24 elementos. 7. Dar la tabla de las operaciones de recubrimiento del tetraedro regular:

F 5.5. Tetraedro Regular y describir el grupo correspondiente, generado por las rotacionesα, β, γ, σ, 2π en , alrededor de los ejes perpendiculares a las caras y pasando por los vértices 3 A, B, C, D. 8. Mostrar que para n > 3, Sn es isomorfo al grupo I (Sn ) de automorfismos internos. 9. Mostrar que para cualquier automorfismo interno, ψσ : Sn → Sn , ψσ [An ] ⊆ An . Mostrar que Φ : I (Sn ) → Aut(An ) definida por Φ(ψσ ) := ψσ |A4 , es un homomorfismo inyectivo. Usar el resultado del ejercicio precedente para mostrar que Φ : I (S4 ) → Aut(A4 ) es un isomorfismo y por consiguiente Aut(A4 ) posee exactamente 24 elementos. 10. Dar tabla de las operaciones de recubrimiento del pentágono regular:

F 5.6. Pentágono Regular


105

11. Dar tabla de las operaciones de recubrimiento del hexágono regular:

F 5.7. Hexágono Regular 12. Dar la tabla de las operaciones de recubrimiento del octaedro regular:

F 5.8. Octaedro Regular Considerar que se tienen reflexiones que invierten la figura y que se ejecutan alrededor de las diagonales del cuadrado central y alrededor de rectas paralelas a los lados del cuadrado central que lo dividen por la mitad y rotaciones alrededor π del eje perpendicular al centro del cuadrado central en . 2

CAP´ıTULO 6

TEOREMAS DE SYLOW, p-GRUPOS y GRUPOS SOLUBLES

F 6.1. Peter Ludwig Mejdell Sylow En este cap´ıtulo estudiaremos grupos finitos, G y daremos algunos resultados concernientes a la existencia de subgrupos, cuyo orden sea un determinado divisor del orden de G. Por el teorema de Lagrange sabemos que el orden de cada subgrupo divide al orden de G. La pregunta, ahora, es, si dado un divisor m del orden de G, existe un subgrupo H de orden m. Veremos que en el caso abeliano la respuesta es positiva, mientras que en el caso general, deben cumplirse ciertas condiciones, las cuales son tratadas por los llamados teoremas de Sylow, en honor del matemático Noruego Peter Ludwig Mejdell Sylow. Primero trataremos el caso abeliano, donde las demostraciones son bastante más sencillas que en el caso no abeliano. 6.1. 6.1.1.

Teoremas de Sylow

Caso Abeliano.

T 6.1. Sea G un grupo abeliano finito, de orden n. Si p es un número primo, tal que p | n, entonces G posee un subgrupo H de orden p. D´. Sea n = pm. Si G es c´ıclico, generado por un elemento g, entonces, como p es primo, H := hgm i es un subgrupo de orden p y estamos listos. Sea, entonces, G un grupo abeliano no c´ıclico. Procederemos por inducción sobre m. Para m = 1, n = p y no hay nada que mostrar, pues H := G cumple con lo deseado. Supongamos, por hipótesis de inducción, que el teorema sea válido para todo grupo, cuyo orden sea menor que el orden de G y un múltiplo de p. Sea g ∈ G, g , e y N := hgi, entonces N , G y ◦(N) < ◦(G). Si p | ◦(N), por hipótesis de inducción, estamos listos. Si p - ◦(N), entonces p | iG (N) = ◦(G/N) < ◦(G) y, por hipótesis de inducción, G/N posee un subgrupo de orden p el cual ¯ Si h ∈ G es un representante de h¯ y ◦(h) = r, debe ser c´ıclico generado por una clase h. r ¯ entonces (h) = e¯ , por lo que p | r, entonces el grupo c´ıclico H := hhi posee un subgrupo de orden p. 107

108

6. TEOREMAS DE SYLOW, p-GRUPOS Y GRUPOS SOLUBLES

Como corolario del teorema 6.1 se obtiene la siguiente generalización: C 6.2. Si m es un divisor del orden del grupo abeliano finito G, entonces G posee un subgrupo de orden m. D´. Sea n = mn1 . Para m = 1, el subgrupo trivial cumple con lo deseado. Supongamos, por hipótesis de inducción, que el teorema sea válido para todo grupo de orden menor que n. Sea, entonces, m > 1 y p un primo, tal que p | m, entonces, por ◦(G) teorema 6.1, existe un subgrupo N de orden p y ◦(G/N) = < ◦(G) y, por hipótesis de p m ¯ donde inducción, G/N posee un subgrupo H¯ de orden , entonces H := π−1 [H], p π : G → G/N es la proyección canónica, es un subgrupo de orden m de G. También, como corolario del teorema 6.1, se obtiene, de forma inmediata, el llamado teorema de Cauchy para grupos abelianos: C 6.3 (Cauchy). El grupo abeliano finito G posee un elemento de orden un número primo p, Ssi p | ◦(G). Como un caso particular del corolario 6.2, se obtiene el siguiente teorema de Sylow para grupos abelianos: T 6.4 (Teorema de Sylow para grupos abelianos). Si G es un grupo abeliano de orden ◦(G) y p un número primo, tal que pα | ◦(G), pero pα+1 - ◦(G), entonces G posee un subgrupo de orden pα . El lector verificará facilmente que si ponemos en el corolario 6.2, m = pα , se obtiene el teorema 6.4. Es más, obtenemos que G posee subgrupos de o´ rdenes p, p2 , . . . , pα . Sin embargo, más intreresante es la siguiente versión más estricta del teorema de Sylow 6.4: T 6.5 (Sylow). Si G es un grupo abeliano de orden ◦(G) y p un número primo, tal que pα | ◦(G), pero pα+1 - ◦(G), entonces G posee un u´ nico subgrupo de orden pα . D´. Supongamos que S , T son dos subgrupos de G de orden pα . Como G abeliano, entonces S T es también, por teorema 4.12, subgrupo de G y aplicando ecuación (4.12) obtenemos: pα pα ◦(S ) ◦ (T ) (6.1) ◦(S T ) = = ◦(S ∩ T ) ◦(S ∩ T ) como S , T , ◦(S ∩ T ) < pα , se obtiene de (6.1) que ◦(S T ) = pβ , β > α. Como ◦(S T ) | ◦(G), se tiene pβ | ◦(G), en contradicción a la hipótesis de que pα+1 - ◦(G). El teorema 6.5, como veremos más adelante, no es válido en el caso no abeliano, como el lector comprobará facilmente con el grupo S3 . En efecto ◦(S3 ) = 6 = 2 · 3, pero S3 posee tres subgrupos distintos de orden 2. En el caso de grupos c´ıclicos finitos, se tiene la siguiente versión del corolario 6.2: T 6.6. Sea G un grupo c´ıclico de orden n := mq. Entonces existe exactamente un u´ nico subgrupo H de G, de orden m e ´ındice q. Si g es un generador de G, entonces H = hgq i. Viceversa, si G es un grupo finito de orden n y para cada divisor entero positivo m de n, existe, a lo sumo, un u´ nico subgrupo de orden m, en G, entonces G es c´ıclico. D´. En efecto, gq genera un subgrupo H de G. Vamos a mostrar que ◦(H) = m. (gq )m = gn = e, entonces m | ◦(H). Por otra parte (gq )◦(H) = gq◦(H) = e, entonces n = mq | q ◦ (H), de donde m | ◦(H), por lo tanto m = ◦(H).

6.1. TEOREMAS DE SYLOW

109

Si H 0 es otro subgrupo de orden m, vamos a mostrar que H 0 ⊆ H, lo cual mostrar´ıa 0 la igualdad. En efecto, como subgrupo de un grupo c´ıclico, H 0 es c´ıclico y sea gq un 0 0 generador de H 0 . Entonces (gq )m = gq m = e y qm = n | q0 m, lo que implica que q | q0 . 0 De aqu´ı se deduce, entonces, que q0 = rq, r ∈ Z+ , por lo que aq = arq = (aq )r ∈ H. Por consiguiente H 0 ⊆ H. Sea ahora G un grupo de orden n, y para cada divisor de n exista un u´ nico subgrupo de ese orden. Sean m1 , . . . , mk los divisores de ◦(G), ordenados ascendentemente, entonces m1 = 1 y mk = n. Para cada κ, 1 6 κ 6 k, sea Nκ el número de elementos de G que poseen exactamente el orden mκ . Si G˜ es un grupo c´ıclico de orden n, consideremos N˜ κ el número de elementos de G˜ de orden mκ . Vamos a mostrar que Nκ = N˜ κ , ∀ κ. En efecto: (6.2)

n=

k X κ=1

Nκ =

k X

N˜ κ

κ=1

Si g es un elemento de orden mκ , sea H := hgi, entonces, por hipótesis, todo elemento de orden mκ está ya en H y generan a e´ ste. Esto quiere decir, que Nκ es el número de ˜ y G˜ es c´ıclico, existe elementos de orden mκ en el grupo c´ıclico H. Como mκ | n = ◦(G) un u´ nico subgrupo c´ıclico H˜ ⊆ G˜ de orden mκ , el cual es isomorfo a H. Entonces G˜ posee, al menos, tantos elementos de orden mκ como G, por lo que Nκ ⊆ N˜ κ . ∀ κ. Por otra parte de la ecuación (6.2), resulta que ∀ κ, Nκ = N˜ κ . Como, en particular, Nk = N˜ k = n , 0, resulta que G posee elementos de orden n. Por lo tanto G es c´ıclico. Como consecuencia del teorema 6.6, se obtiene el siguiente C 6.7. Si G es un grupo distinto del trivial y no posee ningún subgrupo propio distinto del trivial, entonces G es c´ıclico de orden primo. D´. Como G , e, existe g ∈ G, g , e y, por hipótesis, G = hgi, por lo que G es c´ıclico. G no puede ser infinito, ya que entonces ser´ıa isomorfo a Z, el cual posee subgrupos propios. Entonces ◦(G) debe ser finito. Si ◦(G) no fuera primo, entonces, por el teorema 6.6, G tendr´ıa subgrupos propios no triviales, en contradicción a la hipótesis. 6.1.2. Caso General. Demostraremos ahora algunos resultados debidos a Sylow, para grupos en general, no necesariamente abelianos. T 6.8 (Sylow). Sea G un grupo finito y p un número primo, tal que pm | ◦(G), entonces G posee un subgrupo H de orden pm . D´. Para m = 0 no hay nada que demostrar. Sea entonces m > 1 y procedamos por inducción sobre el orden de G. Si ◦(G) = p, H = G satisfafce lo deseado. Supongamos, por hipótesis de inducción, que el teorema vale para todo grupo de orden menor a ◦(G). Si G es abeliano, entonces estamos listos. Sea, entonces, G no abeliano y Z(G) su centro. Como G no es abeliano, G , Z(G). Si p | ◦(Z(G)), entonces, como Z(G) es abeliano, por teorema 6.1, Z(G) posee un subgrupo N de orden p, el cual, como subgrupo ¯ < ◦(G), G¯ satisface de Z(G) es normal en G y podemos formar G¯ := G/N. Como ◦(G) m p n ◦(G) 1 ¯ = = = pm−1 n1 . Por consiguiente la hipótesis de inducción. Ahora bien, ◦(G) p p ¯ donde π : G → G¯ es la G¯ posee un subgrupo H¯ de orden pm−1 , entonces H := π−1 [H], proyección canónica, es un subgrupo de G de orden pm . En el caso en que p - ◦(Z(G)), aplicando la ecuación de clase (4.22) a G: X ◦(G) = ◦(Z(G)) + cx c x >1

110


resulta que debe existir al menos un x ∈ G, tal que p - c x . Si N(x) es el normalizador de x, entonces c x = iG (N(x)), Como pm | ◦(G) = ◦(N(x))iG (N(x)) y p - iG (N(x)) resulta, entonces, que pm | ◦(N(x)), como G , N(x) y ◦(N(x)) < ◦(G), N(x) satisface la hipótesis de inducción y, por lo tanto, posee un subgrupo de orden pm . Al igual que en el caso abeliano, resulta, como corolario al teorema 6.8, el siguiente teorema de Cauchy: T 6.9 (Cauchy). Un grupo finito G posee un elemento de orden un número primo p Ssi p | ◦(G). D´ 6.1. Decimos que G es un p-grupo, donde p es un número primo, si el orden de cualquier elemento de G es una potencia de p. Del teorema de Cauchy 6.9, se obtiene el siguiente C 6.10. G es un p-grupo Ssi el orden de G es una potencia del número primo p. D´. En efecto, si q , p fuese otro número primo, que divide al orden de G, entonces, por el teorema de Cauchy 6.9, G tendr´ıa un elemento de orden q, en contradicción a la hipótesis de que G es un p-grupo. D´ 6.2. Sea p un número primo. Un subgrupo H ⊆ G se llama un p-subgrupo de Sylow de G, si H es un p-grupo y cualquier otro p-grupo que contiene a H, coincide con H. Si no hay confusión respecto de cual primo H es un p-subgrupo de Sylow, diremos simplemente que H es un subgrupo de Sylow. El teorema 6.8, también lo podemos escribir de la siguiente forma T 6.11 (Sylow). Si p es un número primo, tal que pm | ◦(G), pero pm+1 - ◦(G), entonces G contiene un p-subgrupo H de orden pm , el cual es un p-subgrupo de Sylow. Obviamente H contiene subgrupos de o´ rdenes pµ , ∀ µ 6 m. En forma análoga a como definimos la relación de conjugación para elementos de un grupo G, se puede definir la siguiente relación para subgrupos de G: D´ 6.3. Decimos que dos subgrupos H, K, de un grupo G son conjugados, si existe g ∈ G, tal que H = gKg−1 . El lector comprobará facilmente que la relación de ser subgrupos conjugados es una relación de equivalencia sobre el conjunto de todos los subgrupos de G. Por C(H), denotaremos la clase de conjugación del subgrupo H: (6.3)

C(H) := {gHg−1 | g ∈ G}

y, en el caso en que C(H) sea un conjunto finito, denotaremos por cH el número de elementos de C(H). Dado un subgrupo H de G, gHg−1 = H Ssi g ∈ N(H), donde N(H) es el normalizador de H. El siguiente teorema nos da información sobre el número de elementos conjugados de un subgrupo H dado: T 6.12. Sea H un subgrupo del grupo finito G. Entonces cH = iG (N(H)), donde N(H) es el normalizador de H en G.


111

D´. En efecto, gHg−1 = xHx−1 Ssi (x−1 g)H(g−1 x) = H Ssi x−1 g ∈ N(H) Ssi x ≡ g (mód N(H)). Por consiguiente existirán tantos elementos distintos en C(H), como clases distintas (mód N(H)). Por lo tanto cH = iG (N(H)). El siguiente lema nos será u´ til para la demostración del teorema de Sylow enunciado más abajo. L 6.13. Sean G un grupo y H, S subgrupos de G. Dados x, y ∈ G, entonces vale HxS = HyS

o

HxS ∩ HyS = ∅

D´. En efecto, supongamos que existen h ∈ H, g ∈ S , tales que hxg ∈ HxS ∩ HyS , entonces se tiene HxS = (Hh)x(gS ) = H(hxg)S ⊆ H(HyS )S = (HH)y(S S ) = HyS , en forma similar se obtiene HyS ⊆ HxS , de donde HxS = HyS . En el caso de los grupos abelianos, el teorema 6.5, nos dice que para un número primo dado p, que divide al orden del grupo G, existe un u´ nico p-subgrupo de Sylow. Sin embargo en el caso general se tiene el siguiente T 6.14 (Sylow). Sea G un grupo finito de orden n := pm q, donde p es un número primo que no divide a q. Sea S un subgrupo de G de orden pm . Entonces, si H es un p-subgrupo de G, H está contenido en un subgrupo conjugado de S . Es decir que existe g ∈ G, tal que H ⊆ gS g−1 . D´. En efecto, por el lema 6.13 existe un número minimal de elementos x1 , . . . , xn ∈ G, tales que n [ Hxν S , y Hxν S ∩ Hxµ S = ∅, para ν , µ, 1 6 ν, µ 6 n G= ν=1

Sea qν el número de clases laterales izquierdas, respecto de S , de los elementos de Hxν , entonces se tiene la ecuación n X (6.4) q = iG (S ) = qν ν=1

Como p - q, debe existir, al menos, un ν, tal que p - qν . Esto quiere decir, que existe, al menos, un elemento x, tal que el número q x de clases laterales de Hx en S no es divisible por p. Consideremos el homomorfismo φ x−1 : HxS → G, definido por φ x−1 (hxs) := hxsx−1 ∈ h(xS x−1 ), φ x−1 es inyectivo y mapea HxS sobre H(xS x−1 ), y la clase (hx)S en la clase h(xS x−1 ). Entonces H posee r clases distintas en xS x−1 . Por el teorema 4.16 tenemos la ecuación ◦(H) ◦ (xS x−1 ) (6.5) ◦(H(xS x−1 )) = ◦(H ∩ (xS x−1 )) y para el número de clases de H en xS x−1 , q x = iH (xS x−1 ), tenemos ◦(H) (6.6) qx = ◦(H ∩ (xS x−1 )) Entonces, como divisor del orden del p-subgrupo H, q x debe de ser 1, ya que p - q x . Esto significa, entonces, que ◦(H) = ◦(H ∩ (xS x−1 )), lo que implica que H ⊆ xS x−1 . Del teorema 6.14, se obtienen las siguientes consecuencias: 1. Todo p-subgrupo está contenido en un subgrupo de orden pm . 2. Todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados. 3. Si G es abeliano, el teorema 6.14 coincide con el teorema 6.5

112


A continuación daremos un criterio de cómo determinar el número de posibles subgrupos de Sylow de un grupo finito G. Veremos que e´ ste número debe ser un divisor de ◦(G) y que va a depender del número primo p. Mostremos primero el siguiente L 6.15. Sea S un p-subgrupo de G y S 1 , . . . , S r los p-subgrupos distintos obtenidos de S por conjugación, tales que S ρ , S , ∀ ρ = 1, . . . , r. Entonces la relación ∼, definida por S ν ∼ S µ Ssi existe g ∈ S , tal que S ν = gS g−1 es una relación de equivalencia sobre el conjunto ˜ ) := {S 1 , . . . , S r } C(S Por otra parte, dados g, h ∈ S , gS ρ g−1 = hS ρ h−1 Ssi g ≡ h, (mód N(S ρ ) ∩ S ), donde N(S ρ ) es el normalizador de S ρ . Entonces, el número c˜ ρ de elementos en cada clase [S ρ ], respecto de la relación ∼, es el ´ındice en S de N(S ρ ) ∩ S . D´. El lector comprobará facilmente que ∼ es una relación de equivalencia en el conjunto de todos los subgrupos de G. Falta mostrar que ∼ es una rela˜ ). En efecto si S ρ es un p-subgrupo de Sylow, también ción de equivalencia sobre C(S −1 lo será gS ρ g , ∀ g ∈ S . Debemos entonces mostrar que S , gS ρ g−1 , ∀ g ∈ S . En efecto ˜ ). Por consiguiente si para algún ρ, S = gS g−1 , g ∈ S , tendr´ıamos S ρ = g−1 S g = S < C(S ˜ ∼ es una relación de equivalencia sobre C(S ). Del teorema 6.12, sabemos que si gS ρ g−1 = hS ρ h−1 , g ≡ h, (mód N(S ρ )). Como g, h ∈ S , se tiene, entonces, que g ≡ h, (mód N(S ρ ) ∩ S ). Entonces existirán tantos elementos distintos en la clase [S ρ ], como elementos tenga S /(N(S ρ ) ∩ S ), es decir c˜ ρ = iS (N(S ρ ) ∩ S ). T 6.16 (Sylow). El número de subgrupos de Sylow de un grupo finito G es un divisor de ◦(G) y de la forma particular 1 + mp, donde m es un entero mayor o igual a 0. D´. Si G posee un u´ nico subgrupo de Sylow, no hay nada que mostrar, pues m = 0 cumple la condición. Supongamos, entonces, que S , S 1 , . . . , S r sean los subgrupos de Sylow de G. Como, por teorema 6.14, e´ stos son conjugados, resulta del teorema 6.12, que el número de e´ stos es el ´ındice, en G, del normalizador de S , es decir 1 + r = iG (N(S ). Entonces (1 + r) | ◦(G). Vamos a mostrar que p | r. Por el lema 6.15 [ X ˜ )= c˜ ρ ya que C(S [S ρ ] r= [S ρ ]

ρ

Si mostramos que ∀ ρ , p | c˜ ρ , entonces habremos mostrado que p | r. En efecto, nuevamente por lema 6.15, c˜ ρ = iS (N(S ρ ) ∩ S ), el cual es un divisor de ◦(S ). Si mostramos que c˜ ρ , 1, ∀ ρ, entonces debe valer que p | c˜ ρ y estamos listos. En efecto, ∀ ρ, S ρ es normal en N(S ρ ), por lo que S ρ es el u´ nico p-subgrupo de Sylow de N(S ρ ). Si iS (N(S ρ ) ∩ S ) = 1, entonces tendr´ıamos que S = N(S ρ ) ∩ S y S ser´ıa también un p-subgrupo de Sylow de N(S ρ ), distinto de S ρ . Lo cual no puede ser. Por consiguiente p | r y existe un entero positivo m, tal que r = mp. Como una consecuencia de los teoremas de Sylow y del teorema 6.6 se obtiene el siguiente C 6.17. Sean p, q dos números primos q < p. Si G es un grupo de orden n := p · q, entonces G posee un u´ nico p-subgrupo de Sylow de orden p, el cual es normal en G. Por otra parte, si q no divide a (p−1), entonces G posee también un u´ nico q-subgrupo de Sylow de orden q, el cual es también normal y en este caso G es un grupo c´ıclico y por consiguiente abeliano.


113

D´. En efecto, por teorema 6.16, el número de p-subgrupos de Sylow es de la forma 1+mp y 1+mp | p·q, lo que implica que 1+mp | q. Como, por hipótesis, q < p, resulta que la u´ nica posibilidad es m = 0, por lo que u´ nicamente existe un p-subgrupo de Sylow de orden p, el cual, por teorema 6.14, debe ser normal en G. Si q - (p − 1), entonces, el número de q-subgrupos de Sylow es, por 6.16, de la forma 1 + mq y debe dividir a p, lo cual sólo es posible si q | (p − 1) o m = 0. Como, por hipótesis, q - (p − 1), debe valer m = 0 y G posee entonces un u´ nico q-subgrupo de Sylow de orden q, el cual, nuevamente por teorema 6.14, es normal. Del teorema 6.6, resulta ahora, que G es un grupo c´ıclico. Vamos a dar un procedimiento para encontrar, primeramente, un subgrupo de Sylow del grupo S pk , para un número primo p. Para e´ sto determinaremos primero cuál es la potencia n(k) más grande de p que divide a (pk )!. L 6.18. Dado un número primo p, entonces la potencia más grande de p que divide a (pk )! viene dada por k−1 X (6.7) n(k) = pκ κ=0

D´. Si k = 1, es claro que p | p!, pero p2 - p!, por lo que k(1) = 1 y satisface la ecuación (6.7). En (pk )! los términos que contribuyen a que una potencia de p lo dividan son u´ nicamente los múltiplos de p. Entonces n(k) debe ser la potencia de p que divida a (6.8)

k−1

p(2p)(3p) · · · pk−1 p = p p (pk−1 )! k−1

Entonces de (6.8), resulta que pn(k) | p p (pk−1 )!. Pero la potencia máxima de p que divide a (p(k−1) )! es n(k − 1). Por consiguiente tenemos la siguiente fórmula recursiva para n(k): (6.9)

n(k) = pk−1 + n(k − 1)

la cual nos lleva a n(k) − n(k − 1) = pk−1 n(k − 1) − n(k − 2) = pk−2 .. . n(2) − n(1) = p n(1) = 1

Sumando se obtiene entonces (6.7).

E 6.1. Sea p = 3, entonces la potencia máxima de p = 3 que divide al orden de S9 , considerando que 9 = 32 , k = 2 es n(2) = 1 + 3 = 4 o sea que el orden de los 3-subgrupos de Sylow de S9 es 34 = 81. A continuación describiremos un proceso inductivo para construir un p-subgrupo de Sylow de S pk a partir de un p-subgrupo de Sylow de S pk−1 . Por los teoremas de Sylow sabemos que S pk debe poseer un p-subgrupo de Sylow de orden pn(k) y S pk−1 un subgrupo de Sylow de orden pn(k−1) . Notemos que (6.10)

pn(k − 1) + 1 = p

k−2 X κ=0

pκ + 1 =

k−1 X κ=0

pκ = n(k)

114


entonces a partir de un subgrupo de orden pn(k−1) vamos a construir un grupo de orden pn(k) . Primeramente dividamos los elementos del conjunto S pk := {1, 2, . . . , pk } en p conjuntos disjuntos: {1, 2, . . . , pk−1 }, {pk−1 + 1, . . . , 2pk−1 }, . . . {(p − 1)pk−1 , . . . , pk } y definamos la permutación σ := 1 pk−1 + 1 2pk−1 + 1 · · · (p − 1)pk−1 + 1 · · · j pk−1 + j 2pk−1 + j · · · (p − 1)pk−1 + j · · · pk−1 2pk−1 · · · (p − 1)pk−1 pk Como σ es producto de ciclos disjuntos de orden p, es también de orden p y σ p = e. Dada una permutación τ que deja fijos todos los elementos i > pk−1 , es decir que sólo afecta a los elementos del conjunto {1, 2, . . . , pk−1 } entonces στσ−1 sólo mueve a los elementos de {pk−1 + 1, . . . , 2pk−1 } y σ j τσ− j sólo mueve a los elementos de { jpk−1 + 1, . . . , ( j + 1)pk−1 } Si A := {τ ∈ S pk | τ(i) = i, ∀ i > pk−1 } Entonces A es un subgrupo de S pk y es isomorfo a S pk=1 . Sea S˜ 1 un subgrupo de Sylow de A de orden pn(k−1) y formemos el grupo T := S˜ 1 σS˜ 1 σ−1 σ2 S˜ 1 σ−2 · · · σ(p−1) S˜ 1 σ−(p−1) =: S˜ 1 · · · S˜ p Como cada S˜ j , 1 6 j 6 p actúa sobre conjuntos disjuntos, el producto de todos ellos conmuta y T es un subgrupo de S pk . Por otra parte S˜ i ∩ S˜ j = {e} si i , j y ◦(T ) = ◦(S˜ 1 ) p = p pn(k−1) . Como σ < T y σT σ−1 = T , el grupo c´ıclico hσi conmuta con T y S := hσiT es un subgrupo de S pk de orden p ◦ (T ) = pp pn(k−1) = p pn(k−1)+1 = pn(k) . Por lo tanto S es un subgrupo de Sylow de S pk . ([22]). E 6.2. 1. Tomemos como ejemplo un grupo G de orden n := 6 = 2 · 3. ¿Cuáles son las posibilidades para los 2-Subgrupos de Sylow y los 3-subgrupos de Sylow? Por el teorema 6.16, sabemos que el número de los p-subgrupos de Sylow posible es un divisor del orden de G y de la forma 1 + mp, m ∈ N. Entonces para el caso de p = 2, el número posible es de la forma 1 + 2m, donde 1 + 2m | 3 y en el caso de p = 3, de la forma 1 + 3m, donde 1 + 3m | 2. Para el caso p = 3, la u´ nica posibilidad es m = 0, por lo que sólo existe un u´ nico 3-subgrupo de Sylow S 3 , de orden 3, el cual debe ser normal por ser u´ nico. Para p = 2, se tienen dos posibilidades m = 0 y m = 1, lo que nos da que podr´ıan haber 3 2-subgrupos de Sylow o un u´ nico 2-subgrupo de Sylow. El lector comprobará que la unicidad del 2-subgrupo de Sylow se da Ssi G es abeliano. Como vimos en el ejercicio 5.0.9,12), Si G no es abeliano es isomorfo a S3 y posee 3 2-subgrupos de Sylow, cada uno generado por las u´ nicas tres transposiciones existentes en este grupo.


115

2. Sea G un grupo de orden 112 · 132 . Vamos a analizar cuáles podr´ıan ser sus 11-subgrupos de Sylow y sus 13-subgrupos de Sylow. El número de los 11subgrupos de Sylow es de la forma 1 + 11m y debe dividir a ◦(G) = 112 · 132 , como 1 + 11m - 112 debe valer entonces que 1 + 11m | 132 , lo cual es posible sólo si m = 0, por lo que sólo existe un u´ nico 11-subgrupo de Sylow que lo designaremos por S˜ 11 y e´ ste debe ser normal, por ser u´ nico. De forma análoga, el número de los 13- subgrupos de Sylow es de la forma 1 + 13m, el cual debe dividir a 112 , lo cual sólo es posible si m = 0, por lo que también sólo existe un u´ nico 13-subgrupo de Sylow, S˜ 13 , el cual también es normal. Como el orden de S˜ 11 y de S˜ 13 es el cuadrado de un número primo, e´ stos son subgrupos abelianos de G. S˜ 11 ∩ S˜ 13 = {e} y por la normalidad S˜ 11 S˜ 13 = S˜ 13 S˜ 11 = G, ya que ◦(S˜ 11 S˜ 13 ) = ◦(S˜ 11 ) · ◦(S˜ 13 ) = 112 · 132 = ◦(G). Entonces G es el producto de dos subgrupos normales abelianos y disjuntos. G es abeliano: En efecto consideremos el conmutador ghg−1 h−1 , g ∈ S˜ 11 , h ∈ S˜ 13 . ghg−1 h−1 = g(hg−1 h−1 ) ∈ S˜ 11 , ya que S˜ 11 es normal. Por otra parte, considerando la normalidad de S˜ 13 , ghg−1 h−1 = (ghg−1 )h−1 ∈ S˜ 13 y como S˜ 11 ∩ S˜ 13 = {e}, debe valer que ghg−1 h−1 = e, lo que implica que G es abeliano. Entonces todo grupo de orden 112 · 132 es abeliano. 3. Sea G un grupo de orden 72 = 23 · 32 . El número de 3-subgrupos de Sylow es de la forma 1 + 3m y debe dividir a 23 = 8, lo cual sólo vale si m = 0 o si m = 1, por lo que G puede poseer uno o cuatro 3-subgrupos de Sylow. En el primer caso el 3-subgrupo de Sylow debe ser normal y G no es simple. En el segundo caso, vimos que el número de 3-subgrupos de Sylow es el ´ındice del normalizador N(S˜ 3 ), donde S˜ 3 es un 3-subgrupo de Sylow. Como iG (N(S˜ 3 )) = 4 y 72 = ◦(G) - 4!, por corolario 5.30, N(S˜ 3 ) debe poseer un subgrupo, normal en G, no trivial. Por consiguiente todo grupo de orden 72 no es simple. 4. Vamos a construir un 2-subgrupo de Sylow de S4 = S22 , usando el procedimiento arriba indicado. Nuestro conjunto S 4 := {1, 2, 3, 4} lo dividimos en {1, 2}

{3, 4}

entonces σ :=

1

3

2

4

Sean S˜ 1 :=

D

1

2

E

S˜ 2 := σS˜ 1 σ−1 =

D

3

4

E

entonces n T := S˜ 1 S˜ 2 = e, 1

2

, 3

4

, 1

2

3

4

o

Entonces nuestro 2-subgrupo de Sylow, es el subgrupo de orden 8 dado por hσiT Dado un número x ∈ R+ , definimos [x] como el mayor entero positivo m, tal que m 6 [x] < m + 1. As´ı, por ejemplo, si x = 3.457 . . . , [x] = 3, si x = 0.324, [x] = 0. Dado un entero n y un número primo p 6 n queremos determinar cuál ser´ıa la máxima potencia α(n) de p, tal que pα(n) | n!. La respuesta nos la da el siguiente

116


T 6.19. Dado un número entero n y un número primo p 6 n, entonces la máxima potencia α(n) de p que divide a n!, viene dada por # k " X n (6.11) α(n) = pκ κ=1 donde k es tal que pk 6 n < pk+1 D´. La demostración es similar a la del lema 6.18. El lector comprobará fácilmente que (6.11) se satisface para n = 2 y n = 3. Sea n > 3 y supongamos, por hipótesis de inducción, que (6.11) vale para todo entero positivo m < n. Si p es un número " # primo, tal que p 6 n, entonces el número de factores de p que comparecen en n! n . es p " # n n! = 1 · 2 · · · p · · · 2p · · · ···n p entonces pα(n) debe dividir a " # h i" # n n n p · · · 2p · · · =pp ! p p " # n como < n, por hipótesis de inducción p # " #! X k−1 " n n α = p pκ+1 κ=1 entonces " # X # k−1 " n n α(n) = + p pκ+1 κ=1 que no es otra cosa que (6.11). 6.1.3. Ejercicios y Complementos. 1. Si S p , S˜ p son dos p-subgrupos de Sylow de un grupo G, Mostrar que sus normalizadores correspondientes son conjugados. 2. Mostrar que todo grupo de orden 15 posee un u´ nico 3-subgrupo de Sylow de orden 3 y un u´ nico 5-subgrupo de Sylow de orden 5. Deducir de e´ sto que todo grupo de orden 15 es c´ıclico y por consiguiente abeliano. 3. Mostrar que todo grupo de orden 77 es c´ıclico. 4. Sean p, q dos números primos y G un grupo de orden p · q2 . Mostrar a) Si p > q2 , entonces el p-subgrupo de Sylow de G es normal en G. b) Si q > p , entonces el q-subgrupo de Sylow de G es normal en G. c) Si p > q, pero p < q2 , entonces uno de sus subgrupos de Sylow debe ser normal en G 5. Sea G un grupo de orden 18, 20, 28, 42, 44, 50, 52 o 54. Mostrar que si p es el mayor primo que divide al orden de G, entonces el p-subgrupo de Sylow es normal en G. 6. Mostrar que en todo grupo de orden 40 o 45 el 5-subgrupo de Sylow es normal. 7. Analizar qué posibilidades existen para un grupo de orden 32 · 52 .


117

8. Mostrar que si G es un grupo de orden 56, entonces uno de sus subgrupos de Sylow debe ser normal en G. 9. Sea G un grupo de orden 36. Mostrar que G posee un 3-subgrupo (no necesariamente de Sylow) normal, no trivial. (Ver corolario 5.30). 10. Sea G un grupo de orden 2m · 3, m > 2. Mostrar que G posee un 2-subgrupo normal, no trivial (no necesariamente de Sylow). (Ver corolario 5.30). 11. Sea G un grupo de orden n = 30. a) Mostrar que todos los subgrupos de Sylow son c´ıclicos y por consiguiente abelianos b) Describir las diferentes posibilidades que podr´ıan darse para los 2-subgrupos, 3-subgrupos y 5-subgrupos de Sylow. c) Mostrar que en el caso de que exista un u´ nico 2-subgrupo de Sylow, entonces existen subgrupos H10 y H6 de orden 10 y de orden 6, respectivamente. d) Bajo las mismas condiciones que en el inciso precedente, mostrar que H10 contiene un 5-subgrupo de Sylow, S 5 , de G y que e´ ste es normal en H10 . Deducir de esto, que el normalizador de S 5 debe contener a H10 y que, por consiguiente, S 5 es normal en G. e) Mostrar que si S 5 es normal, entonces existe un subgrupo H15 de orden 15, el cual es c´ıclico y normal en G. f) Mostrar que si G posee un subgrupo de orden 15, entonces existe un u´ nico 3subgrupo de Sylow S 3 y por consiguiente S 3 es normal en G. (Usar fórmula (4.12)). g) En el caso en que G posee tres 2-subgrupos de Sylow, mostrar que el normalizador de e´ stos es un subgrupo de orden 10 y contiene un u´ nico 5-subgrupo de Sylow el cual debe ser normal en G y por consiguiente G posee un subgrupo normal de orden 15. Deducir que también G posee un u´ nico 3subgrupo de Sylow, el cual es normal en G. h) Mostrar que en el caso en que G posee cinco 2-subgrupos de Sylow, entonces existe un u´ nico 3-subgrupo de Sylow, el cual debe ser normal y deducir que también en este caso existe un subgrupo normal de orden 15 y que, por consiguiente, debe existir un u´ nico 5-subgrupo de Sylow normal en G. i) Mostrar que en el caso en que G posee quince 2-subgrupos de Sylow, si S 3 o S 5 no fueran normales, existir´ıan más de treinta elementos distintos en G. Concluir que tanto S 3 , como S 5 deben ser normales en G. j) De lo anteriormente expuesto deducir que en todo grupo de orden 30, los 5-subgrupos y los 3-subgrupos de Sylow son siempre normales y u´ nicos. 12. Usar los resultados obtenidos en los ejercicios precedentes para mostrar que todo grupo simple de orden 6 59 es c´ıclico de orden primo. (Listar los números del 1 al 59, dar su descomposición primaria y aplicar los resultados de los ejercicios precedentes y el corolario 5.30. Tener en cuenta también que todo grupo de orden p2 , donde p es un número primo es abeliano y que todo subgrupo de ´ındice 2 es normal). Esto quiere decir, en particular, que todo grupo no abeliano de orden 6 59 no es simple y que posee, al menos un subgrupo normal, no trivial, tal que ◦(N) < ◦(G) y ◦(G/N) < ◦(G). 13. Sea G un grupo no abeliano, de orden p3 , donde p es un número primo.(Usar como ilustración el ejercicio 5.1.1,3). a) Mostrar que el centro Z(G) es un subgrupo propio de G, no trivial. b) Mostrar que el grupo K(G) de conmutadores de G no es trivial.

118


c) Mostrar que el grupo G/Z(G) debe ser un grupo abeliano. d) Deducir de c) que K(G) ⊆ Z(G), por lo que K(G) , G y K(G) es abeliano. e) Si g, h ∈ G son dos elementos, tales que gh , hg, mostrar que sus normalizadores N(g), N(h) son distintos. f) Deducir del hecho que Z(G) ⊆ N(g), ∀ g ∈ G, que ◦(Z(G)) < ◦(N(g)) < ◦(G). g) Concluir de lo mostrado en los incisos precedentes que ◦(Z(G)) = p y por consiguiente K(G) = Z(G). 14. Si G es un grupo abeliano que posee elementos de o´ rdenes m y n respectivamente, mostrar que G posee un elemento, cuyo orden es el m´ınimo común múltiplo de m y n. 15. Si G es un grupo abeliano que posee subgrupos de o´ rdenes m y n respectivamente, mostrar que G posee un subgrupo, cuyo orden es el m´ınimo común múltiplo de m y n. 6.2.

Grupos Solubles

Sea G un grupo. Por K(G) denotaremos el subgrupo de conmutadores de G. Dado n ∈ Z+ , definimos, de forma inductiva, Kn (G) := K(Kn−1 (G)), donde K1 (G) := K(G). D´ 6.4. Decimos que el grupo G es soluble, si existe un entero m > 1, tal que Km (G) = {e}. E 6.3. 1. Todo grupo abeliano es soluble, ya que K(G) = {e}. 2. Para n 6 3, el grupo Sn es soluble, ya que K(Sn ) = An , el cual es abeliano si n 6 3. Por consiguiente, si n 6 3, K2 (Sn ) = K(An ) = {e}. 3. El grupo S4 es soluble, ya que K(A4 ) = V4 , el grupo de los cuatro de Klein, el cual es abeliano por ser de orden 4. 4. Para n > 5, An no es abeliano y por teorema 5.24, es simple, por lo que no contiene ningún subgrupo normal propio no trivial. Entonces Km (An ) = An , {e}, ∀ m ∈ Z+ . A continuación mostraremos una serie de propiedades de los grupos solubles. L 6.20. Si ψ : H → G es un homomorfismo de grupos, entonces ψ[K(H)] ⊆ K(G) y ψ|K(H) es un homomorfismo ψ|K(H) : K(H) → K(G). D´. En efecto, si ghg−1 h−1 es un conmutador en H, ψ(ghg−1 h−1 ) = ψ(g)ψ(h)ψ(g−1 )ψ(h−1 ) = ψ(g)ψ(h)ψ(g)−1 ψ(h)−1 ∈ K(G). Por consiguiente ψ[K(H)] ⊆ K(G). Por aplicaciones sucesivas del lema 6.20, se obtiene el siguiente C 6.21. Todo homomorfismo de grupos ψ : H → G, induce ∀ m ∈ Z+ un homomorfismo ψ|K m (H) : Km (H) → Km (G). T 6.22. Todo subgrupo de un grupo soluble es soluble. D´. En efecto, sea H un subgrupo del grupo soluble G. Consideremos la inclusión ı : H → G, donde ı(h) := h ∈ G, ∀ h ∈ H. ı es un homomorfismo de grupos y, por corolario 6.21, Km (H) = ı[Km (H] ⊆ Km (G). Por consiguiente, si G es soluble también lo será H.

6.2. GRUPOS SOLUBLES

119

Como consecuencia del teorema 6.22 se obtiene el siguiente C 6.23. Si G es un grupo soluble, entonces existe un homomorfismo de todo subgrupo no trivial de G en un grupo abeliano. D´. En efecto, si G es soluble y H ⊆ G es un subgrupo no trivial de G, entonces, por teorema 6.22, H es soluble y K(H) , H, entonces π : H → H/K(H) es un homomorfismo de H en el grupo abeliano H/K(H).

T 6.24. Si ϕ : G → H es un homomorfismo sobreyectivo del grupo soluble G sobre H, entonces H es soluble. D´. En efecto, por lema 6.20, ϕ[K m (G)] ⊆ K m (H). Vamos a mostrar que si ϕ es sobreyectiva, entonces K m (H) ⊆ ϕ[K m (G)]. Como ϕ es sobreyectiva, dados h1 , h2 ∈ H, existen g1 , g2 ∈ G, tales que ϕ(g1 ) = h1 y ϕ(g2 ) = h2 , entonces [h1 , h2 ] = [ϕ(g1 ), ϕ(g2 )] = ϕ([g1 , g2 ] y ϕ[K(G)] = K(H). Entonces, siguiendo un proceso inductivo, resulta que ϕ[K m (G)] = K m (H). Por consiguiente si G es soluble H es soluble. Del teorema 6.24 se obtiene el siguiente C 6.25. Si N es un subgrupo normal del grupo soluble G, entonces G/N es soluble. El siguiente teorema es una especie de inverso del corolario 6.25: T 6.26. Si N es un subgrupo normal y soluble de G y G/N soluble, entonces G es soluble. D´. Sea m ∈ Z+ , tal que K m (G/N) = {¯e} y K m (N) = {e}. Como la proyección canónica π : G → G/N es sobreyectiva, resulta que π[K m (G)] = K m (G/N) = {¯e}, lo que implica que K m (G) ⊆ N. Entonces K 2m (G) ⊆ K m (N) = {e}. Por lo tanto G soluble. T 6.27. Sea p un número primo, entonces todo p-grupo es soluble. D´. Si G es abeliano, entonces G es soluble. Sea G no abeliano y procedamos por inducción sobre el orden de G. Si ◦(G) = p, entonces G es abeliano y por consiguiente soluble. Supongamos, por hipótesis de inducción, que el teorema sea válido para todo p-grupo, cuyo orden sea menor a ◦(G). Consideremos el centro Z(G). Entonces, por teorema 4.28, Z(G) , {e} y como Z(G) es abeliano, Z(G) es soluble. Entonces ◦(G/Z(G)) < ◦(G) y, por hipótesis de inducción, G/Z(G) es soluble. Entonces, por teorema 6.26, G es soluble. 6.2.1.


1. Sea G un grupo. Mostrar, por inducción sobre m, que Km (G) es normal en G. 2. Mostrar, por inducción sobre el orden, que todo grupo no abeliano de orden n < 60 es soluble.(Ver ejercicio 6.1.3,12)). 3. Sea G un grupo, N un subgrupo normal y soluble y H un subgrupo soluble cualquiera. Mostrar que HN es un subgrupo soluble. 4. Mostrar que todo grupo abeliano de orden p3 , donde p es un número primo es soluble. (Ver ejercicio 6.1.3,13). 5. Si G es un grupo simple y H un grupo cualquiera, mostrar que un homomorfismo ψ : G → H o es inyectivo o el homomorfismo trivial que aplica G sobre {e} ⊆ H.

120


6. Sea G un grupo cualquiera. X un conjunto no vac´ıo de subconjuntos no vac´ıos de G, tal que M ∈ X ⇒ gMg−1 ∈ X, ∀ g ∈ G. Mostrar que todo homomorfismo interno ϕg de G induce una biyección σg ∈ A (X), donde σg (M) := gMg−1 , ∀ M ∈ X y que se tiene, entonces, un homomorfismo Φ : G → A (X), definido por Φ(g) := σg , ∀ g ∈ G. 7. Sea G un grupo simple, H un subgrupo cualquiera no trivial y M := {gHg−1 | g ∈ G}, entonces el homomorfismo Φ : G → A (X) es inyectivo y G es isomorfo a un subgrupo de A (X). En particular si G es un grupo finito y M posee n elementos, G es isomorfo a un subgrupo de Sn . 8. Mostrar que el homomorfismo Φ, definido en el ejercicio 6), induce un homoˆ : I (G) → A (X) que hace conmutar al diagrama: morfismo Φ G

Φ

π

G/Z(G)

/ A (X) O ˆ Φ

∼

/ I (G)

9. Mostrar que An es el subgrupo más grande contenido en Sn . 10. Mostrar que para n > 3, ningún 2-subgrupo, de orden 2, de Sn es normal. 11. Mostrar que para n > 5 el u´ nico subgrupo normal, no trivial de Sn es An . (Asumir que existe un subgrupo normal N, ◦(N) > 3, aplicar la ecuación (4.12), para ◦(N · An ) y el teorema 5.24). 12. Mostrar, usando el resultado en el ejercicio precedente, que no existe ningún homomorfismo de Sn sobre Sn−1 . 13. Mostrar que A5 es el u´ nico subgrupo de orden 60 en S5 . 14. Sea G un grupo simple de orden 60. a) Mostrar, usando el resultado del corolario 5.30 y del hecho que todo subgrupo de ´ındice 2 es normal, que G no puede contener ningún subgrupo de ´ındice 2, 3 o 4. b) Hacer ver que los 3-subgrupos de Sylow y los 5-subgrupos de Sylow no pueden ser u´ nicos. c) Mostrar que si H es un subgrupo de G de ´ındice iG (H) < 15, entonces ıG (H) = 1 y H = G. d) Mostrar que si el normalizador del 2-subgrupo de Sylow de G fuera de ´ındice 15, entonces el grupo H generado por dos 2-subgrupos de Sylow U, V es de ´ındice iG (H) < 15 y por consiguiente H = G. e) Si W := U ∩ V, U, V como en c), entonces W normal en U y en V y por consiguiente normal en H. f) Deducir de e) y d) que W = {e}. g) Deducir de f) y b) que, dado que existiesen 15 2-subgrupos de Sylow cuyos elementos son todos distintos, se tendr´ıan más de 60 elementos en G, por lo que esta situación no puede darse. h) Deducir entonces que el ´ındice del normalizador de un 2-subgrupo de Sylow debe ser 5. i) Si S 2 es un 2-subgrupo de Sylow y X := {gS 2 g−1 | g ∈ G}, hacer ver que X posee cinco elementos distintos y que el homomorfismo Φ : G → A (X),

´ 6.3. SUCESIONES NORMALES Y SERIES DE COMPOSICION

121

es inyectivo y puede ser visto como un homomorfismo Φ : G → S5 . Por consiguiente G es isomorfo a un subgrupo simple, de orden 60, de S. j) Concluir que G es, entonces, isomorfo a A5 . 15. Mostrar que A5 es el u´ nico grupo simple, no abeliano, de orden 6 60. 16. Mostrar que todo grupo no soluble, de orden 60, debe ser simple y por consiguiente isomorfo a A5 . 6.3. 6.3.1.

Sucesiones Normales y Series de Composición

Sucesiones Normales.

D´ 6.5. Una sucesión finita, {G0 , . . . , Gm },

(6.12)

de subgrupos de un grupo G, se llama una sucesión normal de G, si: 1. La sucesión (6.12), satisface una cadena descendente de inclusiones: (6.13)

G = G0 ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ Gm = {e}

2. Gµ normal en Gµ−1 . Los cocientes Gµ−1 /Gµ reciben el nombre de cocientes de la sucesión. Si Gµ , Gµ−1 , ∀ µ = 1, 2, . . . , m, entonces se dice que la sucesión es sin repeticiones. T 6.28. Un Grupo G es soluble Ssi posee una sucesión normal con cocientes abelianos. D´. Si G es soluble, entonces la sucesión (6.14)

{G, K(G), . . . , K m (G)}

es una sucesión normal con cocientes abelianos. Supongamos ahora que G posea una sucesión normal, con cocientes abelianos. Vamos a mostrar, por inducción sobre la longitud de la sucesión, que G es soluble. En efecto, si m = 1, G0 ⊇ G1 = {e} y G/G1 abeliano implica que G es abeliano y por consiguiente soluble. Supongamos, por hipótesis de inducción que el teorema vale para todo grupo que posea una sucesión normal de longitud < m y sea m > 2. Entonces si G = G0 ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ Gm = {e} es una sucesión normal de G de longitud m con coeficientes abelianos, G1 ⊇ · · · ⊇ Gm = {e} es una sucesión normal de G1 de longitud m − 1, con cocientes abelianos y por hipótesis de inducción G1 es soluble. Como G/G1 es abeliano y G1 soluble, resulta, por teorema 6.26, que G es soluble. 6.3.2.

Series de Composición.

D´ 6.6. Decimos que la sucesión normal (6.15)

{H0 , . . . , Hn },

es un refinamiento de la sucesión normal (6.16)

{G0 , . . . , Gm },

si cada elemento de la sucesión (6.16) está en la sucesión (6.15). Decimos que una sucesión normal es una serie de composición del grupo G, si es sin repeticiones y cualquier refinamiento de ella posee repeticiones..

122


T 6.29. Una sucesión normal es una serie de composición del grupo G Ssi sus cocientes son grupos simples no triviales. D´. La sucesión normal (6.17)

{G0 , . . . , Gm },

es sin repeticiones Ssi Gµ−1 /Gµ es no trivial, ∀ µ = 1, . . . , m − 1 y la sucesión (6.17) no posee refinamiento Ssi Gµ−1 /Gµ es simple, ∀ µ = 1, . . . , m − 1. T 6.30. Sea (6.18)

{G0 , . . . , Gm },

una serie de composición del grupo no trivial G. Entonces G es soluble Ssi todos los cocientes de la serie (6.18) son grupos c´ıclicos de orden primo. D´. Si los cocientes de la serie (6.18), son c´ıclicos, entonces son abelianos y, por teorema 6.28, G es soluble. Supongamos ahora que G es soluble. Sea Qµ := Gµ−1 /Gµ , entonces, por teorema 6.29, Qµ es simple y no trivial, Qµ es soluble, ya que es cociente de dos grupos solubles. Por consiguiente K(Qµ ) , Qµ . Como Qµ simple, resulta que K(Qµ ) = {¯e} y Qµ es entonces un grupo abeliano, no trivial, que no posee ningún subgrupo propio no trivial. Entonces, por corolario 6.7, G es c´ıclico de orden primo. Analicemos el resultado del teorema 6.30 para el caso de un grupo finito G, soluble, de orden ◦(G) = n = p1 · · · pk , donde los pκ , κ = 1, . . . , k son números primos, no necesariamente distintos. Entonces si (6.19)

{G0 , . . . , Gm },

es una serie de composición de G, por teorema 6.30, sus cocientes Qµ son c´ıclicos de orden primo p˜ µ , ∀ µ = 1, . . . , m. Como Gm = {e}, ◦(Qm ) = ◦(Gm−1 ) = p˜ m , ◦(Gm−2 ) = ◦(Qm−1 ) · ◦(Gm−1 ) = p˜ m−1 · p˜ m , . . . , ◦(G0 ) = p˜ 1 · · · p˜ m = ◦(G) = p · · · pk . Como la descomposición en números primos es u´ nica, salvo orden de los factores, resulta que m = k y, luego de un posible reordenamiento, p˜ κ = pκ . Esto quiere decir que la longitud de la serie de composición (6.19), está determinada por la descomposición en factores primos del orden de G. Lo anteriormente expuesto lo podemos resumir en el siguiente T 6.31 (Teorema de Hölder para grupos finitos). Todas las series de composición de un grupo finito G poseen la misma longitud y sus cocientes respecto del mismo primo son isomorfos. El teorema general de Hölder, del cual 6.31, es un caso particular es el siguiente T 6.32. Los cocientes de dos series de composición cualesquiera de un grupo G son isomorfos, previo un reordenamiento adecuado.

CAP´ıTULO 7

´ DE LOS GRUPOS ABELIANOS CLASIFICACION FINITAMENTE GENERADOS En este cap´ıtulo estudiaremos los grupos abelianos finitamente generados. Es decir grupos abelianos que pueden ser generados por un número finito de elementos. Nuestra meta es mostrar que todo grupo abeliano, finitamente generado, puede ser representado como un producto directo de r copias del grupo de los enteros Z, el cual determina el rango del grupo y de m copias de grupos finitos isomorfos a Zqµ , donde qµ es potencia de un número primo pµ , ∀ µ = 1, . . . , m, el cual determina la parte de torsión del grupo. m o r pueden ser, según el caso, iguales a 0, pero no ambos 0 al mismo tiempo. Si G es un grupo abeliano finito, entonces r = 0 y m será igual al número m´ınimo de generadores de G. En el caso en que el grupo G sea libre de torsión entonces tendremos m = 0 y r igual al número m´ınimo de generadores de G. En general m + r será el número m´ınimo de generadores de G. 7.1.

Producto Directo de Subgrupos

Dado un grupo G y subgrupos G1 , . . . , Gn de G, al conjunto n Y (7.1) Gν = G1 · · · Gn := {g ∈ G | g = g1 · · · gn , gν ∈ Gν } ν=1

lo llamamos el producto de los subgrupos G1 , . . . , Gn . Decimos que el producto es consistente, si g1 · · · gn = g˜ 1 · · · g˜ n ⇒ gν = g˜ ν , ν = 1, . . . , n. n Q Es decir, que la representación de cada elemento g ∈ Gν es u´ nica. ν=1

T 7.1. El producto de dos subgrupos G1 , G2 de un grupo G es consistente Ssi G1 ∩ G2 = {e}. D´. Sea G1 ·G2 consistente. Si g ∈ G1 ∩G2 , g−1 ∈ G1 ∩G2 y e = g·g−1 = e·e, por consiguiente g = e y G1 ∩ G2 = {e}. Por otra parte si G1 ∩ G2 = {e} y g1 , g˜ 1 ∈ G1 , g2 , g˜ 2 ∈ G2 , tales que g1 · g2 = g˜ 1 · g˜ 2 , entonces g˜ −1 ˜ 2 · g−1 ˜ 1 y g2 = g˜ 2 . 1 g1 = g 2 ∈ G 1 ∩ G 2 = {e}. Por consiguiente g1 = g Recordamos al lector que, en general, el producto de subgrupos no es un grupo. Sin embargo si G es un grupo abeliano, entonces el producto de cualesquiera dos subgrupos, o más, s´ı es un subgrupo. D´ 7.1. Decimos que el grupo abeliano G es producto directo de los subgrupos G1 , . . . , Gn , si n Y G= Gν ν=1 123

´ DE LOS GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTE GENERADOS 7. CLASIFICACION

124

y el producto es consistente. T 7.2. Sea G un grupo abeliano y G1 , . . . , Gn subgrupos de G, tales que G=

(7.2)

n Y

Gν .

ν=1

(7.2) es un producto directo Ssi e posee una representación u´ nica, como producto de elementos de los Gν , ν = 1, . . . , n. D´. En efecto, la condición es necesaria, por definición de producto directo. Mostraremos que la condición es también suficiente. En efecto, sea g1 · · · gn = g˜ 1 · · · g˜ n , entonces, como G es abeliano se tiene e = (˜g1 · g−1 gn · g−1 n ). 1 ) · · · (˜

(7.3)

Como, por hipótesis, e posee representación u´ nica, de (7.3), resulta que gν = g˜ ν , ∀ ν = 1, . . . , n. Por lo tanto (7.2) es producto directo. O´. Si G = G1 · · · Gn , n > 2, definimos G˜ ν := G1 · · · Gˆ ν · · · Gn , donde ˆ significa eliminación de este factor. Como consecuencia del teorema 7.2, se obtiene el siguiente T 7.3. El producto

(7.4)

G=

n Y

Gν

ν=1

es directo, Ssi (7.5)

Gν ∩ G˜ ν = {e},

ν = 1, . . . , n.

D´. Si (7.4) es un producto directo, entonces g ∈ G posee representación u´ nica como producto de elementos de los Gν , ν = 1, . . . , n. Supongamos g ∈ Gν ∩ G˜ ν , entonces g = gν y g = g1 · · · gˆ ν · · · gn , ser´ıan dos representaciones distintas de g, salvo que g = gν = e. Por consiguiente vale la ecuación (7.5). Por otra parte, si (7.5) vale, sea g = g1 · · · gn = gν g˜ ν · = g01 · · · g0n = g0ν · g˜ 0ν . Entonces 0 ˜ g˜ ν · g˜ 0ν = g0ν · g−1 ν ∈ G ν ∩ G ν = {e}. Por consiguiente gν = gν , ∀ ν = 1, . . . , n y (7.4) es producto directo. T 7.4. Sea (7.6)

G=

n Y

Gν ,

ν=1

donde G es un grupo abeliano y para cada ν = 1, . . . , n, Gν producto de subgrupos Gνµ , µ = 1, . . . , mν , (7.7)

Gν =

mν Y µ=1

Gνµ

7.2. GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTE GENERADOS

125

Entonces G=

(7.8)

n Y

Gν =

ν=1

mν n Y Y

G νm u

ν=1 µ=1

es producto directo de los Gνµ , ν = 1, . . . , n, µ = 1, . . . , mν , Ssi los productos (7.6) y (7.7) son directos. D´. En efecto, si (7.8) es un producto directo, pero para algún ν (7.7) no fuera un producto directo, entonces, para dicho ν, e poseer´ıa dos representaciones distintas como producto de los subgrupos Gνµ , lo cual nos dar´ıa, al menos, dos representaciones distintas, para G como producto de todos los subgrupos Gνµ . Por consiguiente (7.7) debe ser un producto directo. Por otra parte, si e = g1 · · · gn , gν ∈ Gν y como cada gν = gν1 · · · gνmν , entonces e = g11 · · · g1m1 · · · gn1 · · · gnmn , donde todos los gnµ son iguales a e. Por consiguiente gν = e, ∀ ν = 1, . . . , n y (7.6) es producto directo. Si (7.7) y (7.6) son productos directos y e = g11 · · · g1m1 · · · gn1 · · · gnmn = g01 · · · g0n , donde g0ν = gν1 · · · gνmν , entonces, por hipótesis g0ν = e, ∀ ν = 1, . . . , n y cada gνµ = e, ∀ ν = 1, . . . , n, ∀ µ = 1, . . . mν . Por lo tanto (7.8) es producto directo. 7.2.

Grupos Abelianos Finitamente Generados

En esta sección desarrollaremos, paso a paso, la teor´ıa necesaria que nos conducirá a la clasificación de los grupos abelianos finitamente generados. 7.2.1.

Grupos Abelianos Finitos.

T 7.5. Todo grupo abeliano finito es producto directo de sus subgrupos de Sylow. D´. Sea ◦(G) = pα1 1 · · · pαmm , donde los pµ son números primos distintos, µ = 1, . . . , m. Por el teorema de Sylow para grupos abelianos 6.5, para cada pµ existe un α u´ nico pµ -subgrupo de Sylow de orden pµ µ , que lo designaremos por S µ . Vamos a mostrar que S µ ∩ S˜ µ = {e}. En efecto, si G1 , G2 son dos grupos de o´ rdenes r, s, respectivamente, entonces ◦(G1 ∩ G2 ) divide a ◦(G1 ) y a ◦(G2 ). Entonces si MCD(◦(G1 ), ◦(G2 )) = 1, G1 ∩ G2 = {e}. Como para el grupo de Sylow S µ vale que MCD(◦(S µ ), ◦(S˜ µ )) = 1, resulta que S µ ∩ S˜ µ = {e}. Por consiguiente el producto m Y Sµ µ=1

es directo. De la ecuación ◦(S µ · S˜ µ ) =

◦(S µ ) · ◦(S˜ µ ) , ◦(S µ ∩ S˜ µ )

y del hecho que S µ ∩ S˜ µ = {e}, resulta que ◦(S 1 · · · S m ) = ◦(S µ · S˜ µ ) = pα1 1 · · · pαmm = ◦(G) por consiguiente (7.9)

G=

m Y

S µ,

µ=1

donde (7.9) es un producto directo.

126


En particular si G := Zn y n = pr11 · · · prmm la descomposición de n en factores primos y r qµ := pµµ , 1 6 µ 6 m, se tiene el siguiente C 7.6. Zn ' Zq1 × · · · × Zqm . Para el grupo multiplicativo Z∗n de todos los elementos con n se tiene también:

(mód n) primos relativos

C 7.7. Z∗n ' Z∗q1 × · · · × Zq∗m . Este corolario es particularmente interesante para calcular la función de Euler φ(n). Como vimos anteriormente ◦(Z∗n ) = φ(n) = φ(q1 ) · · · φ(qm ). Entonces, si conocemos el r valor de φ(qµ ) = φ(pµµ ), podemos calcular φ(n). Dado un número primo p y un entero positivo r ¿Cuántos números primos relativos con pr , menores que pr existen? Entre todos los números 0 6 m < pr debemos eliminar todos los múltiplos de p, es decir todos los números de la forma 0, p, 2p, . . . , (pr−1 − 1)p = pr − p, que en total son pr elementos. Entonces φ(pr ) = pr − pr−1 . Con esto hemos demostrado el siguiente L 7.8. Si p es un número primo y r un entero positivo, entonces 1 φ(pr ) = pr (1 − ) = pr − pr−1 . p Por otra parte si pr11 · · · prmm es la descomposición en factores primos de un entero positivo n, entonces m m Y 1 Y r −1 prµ 1 − φ(n) = φ(q1 ) · · · φ(qm ) = (pµ − 1)pµµ . = p µ µ=1 µ=1 D´ 7.2. Decimos que el grupo abeliano G es directamente reducible, si puede ser expresado como un producto directo de subgrupos n Y Gν , n > 2. G= ν=1

En caso que G , {e} no pueda ser expresado de esta forma, entonces se dice que es directamente irreducible. Del teorema 7.5 se deduce el siguiente C 7.9. Todo subgrupo directamente irreducible de un grupo abeliano, finito G es un p-grupo. D´. En efecto, si G no fuera un p-grupo, por teorema 7.5, G ser´ıa producto directo de sus subgrupos de Sylow, con n > 2. Por lo tanto G debe ser un p-grupo. Sin embargo, si G es un p-grupo, G puede ser directamente reducible, como lo muestra el siguiente E 7.1. Si G es el grupo generado por las transposiciones n o 1 2 , 3 4 , entonces ◦(G) = 4 y es un 2-grupo. Pero G = G1 · G2 , donde n o G1 := e, 1 2 n o G2 := e, 3 4


127

Sin embargo, para grupos c´ıclicos se tiene el siguiente T 7.10. a) Todo grupo c´ıclico infinito es directamente irreducible. b) Un grupo c´ıclico finito de orden n > 2 es directamente irreducible Ssi es un p-grupo. D´. a) G es directamente irreducible, si para cada par de subgrupos G1 , G2 de G, G1 ∩ G2 , {e}. Si G es un grupo c´ıclico infinito, entonces, por ejercicio 4.3.3, 6), G es isomorfo al grupo aditivo de los enteros Z. Vamos a mostrar que Z es directamente irreducible. En efecto, por lema 4.19, los subgrupos de Z son de la forma mZ, donde m ∈ Z. Dados m, n ∈ Z distintos de 1, entonces, por ejercicio 4.2.4,5), mZ ∩ nZ = mcm(m, n)Z , {0}. Por lo tanto Z es directamente irreducible. b) Si G es un grupo c´ıclico finito, directamente irreducible, entonces, por corolario 7.9, G es un p-grupo. Por otra parte, sea G un grupo c´ıclico de orden pm , m > 1. Vamos a mostrar que si H1 , H2 son dos subgrupos cualesquiera de G, entonces H1 ⊆ H2 , o H2 ⊆ H1 , por lo que H1 ∩ H2 , {e}. En efecto, sin limitación de la generalidad, sea ◦(H1 ) = pr , ◦(H2 ) = pr+s , r > 1, s > 1, entonces, por teorema 6.6, H2 posee un u´ nico subgrupo de orden pr , el cual debe coincidir con H1 . T 7.11. Todo grupo c´ıclico es producto directo de subgrupos directamente irreducibles. D´. Si G es infinito, entonces G es isomorfo a Z y no hay nada que demostrar. Si G es finito, entonces G es producto directo de sus subgrupos de Sylow, los cuales, por teorema 7.10, son directamente irreducibles. T 7.12. La representación de un grupo c´ıclico G, como producto de subgrupos directamente irreducibles, es, salvo orden de los factores, u´ nica. D´. Si G es infinito, entonces G es isomorfo a Z y no hay nada que demostrar. Mostremos, entonces, que la aserción vale para el caso en que G es un grupo finito. En efecto, sea n Y G= Gν ν=1

una representación de G como producto de subgrupos directamente irreducibles. Entonces los subgrupos G1 , . . . , Gn son pν -grupos, donde pν es un número primo que divide a ◦(G). Para pν dado, denotemos por G1 := Gν , y por G2 , . . . , Gr los otros posibles pν -grupos que aparecen en la descomposición. Por S ν denotaremos al pν -grupo de Sylow correspondiente. Como S ν contiene a todos los pν -subgrupos, entonces (7.10)

r Y ρ=1

Gρ ⊆ S ν .


128

Por otra parte, si g ∈ S ν , como elemento de G, posee una u´ nica representación g = g1 · · · gn , gν ∈ Gν , ν = 1, . . . , n. Como ◦(g) | ◦(S ν ), ◦(g) debe ser una potencia de pν . Entonces, para un 1 6 k 6 n, tal que pν , pk , gk = e, por lo que r Y (7.11) Sν ⊆ Gρ . ρ=1

Entonces de (7.10) y de (7.11), resulta (7.12)

r Y

Gρ = S ν .

ρ=1

Como S ν es irreducible, vale, entonces, que r = 1 y Gν = S ν .

El siguiente paso es mostrar que si G es un grupo abeliano, generado por un número finito de elementos, entonces lo podemos representar como un producto directo de subgrupos c´ıclicos. T 7.13. Si G es un grupo abeliano que posee un conjunto de n generadores, entonces G posee una representación como producto de, a lo sumo, n subgrupos c´ıclicos. D´. Por inducción sobre n. Si G posee un u´ nico generador, G es ya c´ıclico y el teorema vale. Sea, entonces, n > 1 y asumamos, por hipótesis de inducción, que el teorema sea válido para n y mostremos que es válido para n + 1. Sea, entonces, G un grupo abeliano generado por exactamente n + 1 elementos. Sean e´ stos g, g1 , . . . , gn . Entonces G = hg, g1 , . . . , gn i. g < hg1 , . . . , gn i. Si ∀ m > 1, gm < hg1 , . . . , gn i, salvo, gm = e, entonces hgi ∩ hg1 , . . . , gn i = {e} y G es producto directo de hgi y hg1 , . . . , gn i, donde por hipótesis de inducción hg1 , . . . , gn i es producto directo de, a lo sumo, n subgrupos c´ıclicos. Supongamos que en toda representación de G como hg, g1 , . . . , gn i, exista siempre un entero m > 1, tal que e , gm ∈ hg1 , . . . , gn i. Entonces escojamos aquella en que m es minimal entre todas las posibles representaciones y denotemos, luego de un reordenamiento adecuado, por g, al elemento para el cual m es minimal. mn 1 Estudiemos la relación gm · gm 1 · · · gn . Entonces, por el algor´ıtmo de Euclides, para cada ν, 1 6 ν 6 n, existen enteros qν , rν , 0 6 rν < m, tales que mν = qν m + rν . Sea −qn 1 g¯ := g · gq11 · · · gqnn . Entonces G = h¯g, g1 , . . . , gn i, ya que g = g¯ · g−q 1 · · · gn . mq mq r m r 1 n n Como g¯ m = gm · g1 · · · gn , entonces g¯ m · g11 · · · gnn = gm · g1 1 · · · gm n = e. Supongamos que para algún ν, 1 6 ν 6 n, rν > 0, entonces tendr´ıamos que grνν es generado por los elementos restantes, con 0 6 rν < m, en contradicción a la escogencia de m y g. Por consiguiente rν = 0, ∀ ν y g¯ m = e. Por lo tanto h¯gi ∩ hg1 , . . . , gn i = e, lo que nos lleva al caso precedente. Como una cosecuencia inmediata de los teoremas 7.12 y 7.13, se obtiene el siguiente C 7.14. Todo grupo abeliano, no trivial, finitamente generado, es producto directo de grupos c´ıclicos directamente irreducibles. T 7.15. Sea G un grupo abeliano. El conjunto T := {g ∈ G | ◦(g) < ∞} es un subgrupo de G, llamado subgrupo de torsión. Si T = {e}, entonces se dice que G es libre de torsión. Si G = T , entonces se dice que G es un grupo de torsión. Los elementos de T reciben el nombre de elementos de torsión de G.


129

D´. Es claro que e ∈ T , por lo que T , ∅. Si g ∈ T , entonces existe m > 0, tal que gm = e y (g−1 )m = e, por consiguiente g−1 ∈ T . Dados g, h ∈ T , m, n > 0, tales que gm = e y hn = e, entonces (g · h)mn = e, y g · h ∈ T . Por lo tanto T es un subgrupo de G. E 7.2. Todo grupo abeliano finito es de torsión, mientras que todo grupo c´ıclico infinito es libre de torsión. L 7.16. Si el grupo abeliano G es producto de subgrupos G1 , . . . Gn libres de torsión, entonces G es libre de torsión. gm 1

D´. Supongamos que para g ∈ G, g = g1 · · · gn , gm = e, entonces e = m · · · gm n y gν = e, ∀ ν = 1, . . . , n. Por consiguiente gν = e, ∀ ν = 1, . . . , n.

T 7.17. Todo grupo abeliano, finitamente generado, es producto directo de su subgrupo de torsión, T , con un grupo libre de torsión F. D´. Por corolario 7.14, G es producto directo de grupos c´ıclicos directamente irreducibles G = G 1 · · · G r · H1 · · · H s , ordenados,tales que G1 , . . . , Gr son c´ıclicos infinitos y H1 , . . . , H s c´ıclicos finitos. El grupo s Y Hσ H := σ=1

es finito, y por consiguiente H ⊆ T . El grupo F :=

r Y

Gρ

ρ=1

es, por lema 7.16, libre de torsión. Entonces G es producto directo de F y H. Vamos a mostrar que H = T . En efecto, ya vimos que H ⊆ T , mostremos que también T ⊆ H. Sea g ∈ G, g = f ·h, donde f ∈ F y h ∈ H y g un elemento de torsión. Entonces existe un entero m > 0, tal que gm = e y gm = f m · hm = e, como f ∈ F, f m = e ⇒ f = e y g = h ∈ H. Por lo tanto H = T . 7.2.2.


1. Sea G un grupo abeliano, G = F · H, la descomposición de G como producto directo de un grupo libre de torsión F con su subgrupo de torsión T . a) Mostrar que ϕ : G → F, definido por ϕ(g) := f , donde g = f · h, f ∈ F, h ∈ T , es un homomorfismo de grupos. b) ker ϕ = T c) F es isomorfo a G/T , por lo que F es u´ nico, salvo isomorfismo. 2. Sea H un subgrupo del grupo abeliano G, para un entero m > 1, sea H m := {hm | h ∈ H}. Mostrar que H m es un subgrupo de G. 3. Sea ψ : G → G˜ un homomorfismo de grupos, H ⊆ G un subgrupo. Si ψ|H : H → G˜ es la restricción de ψ sobre H, entonces: a) ker ψ|H = ker ψ ∩ H. b) ψ[H] es isomorfo a H/(ker ψ ∩ H).


130

4. Sean G, H grupos abelianos y G × H := {(g, h) | g ∈ G, h ∈ H}, ˜ := (g · g˜ , h · h). ˜ provisto de una operación binaria, ·, definida por (g, h) · (˜g, h) a) Mostrar que (G × H, ·) es un grupo abeliano. b) Mostrar que G × H es producto directo de G y H, donde G lo identificamos con el subgrupo G × {e} y H con el subgrupo {e} × H. c) Generalizar los resultados en a), b) si G := G1 × G2 × · · · × Gn := {(g1 , . . . , gn ) | gν ∈ Gν , ν = 1, . . . , n}, donde los Gν , ν = 1, . . . , n son grupos abelianos. 7.2.3.

Teoremas de Clasificación.

L 7.18. Sea G un grupo abeliano, m > 1 un entero. Si

(7.13)

G=

n Y

Gν ,

ν=1

donde (7.13) es producto directo, entonces

(7.14)

G = m

n Y

Gm ν

ν=1

y

(7.15)

G/Gm =

n Y

G˜ ν ,

ν=1

donde (7.14), (7.15) son productos directos y G˜ ν es isomorfo a Gν /Gm ν. m D´. Si g ∈ G, g = g1 · · · gn , gν ∈ Gν , entonces gm = gm 1 · · · gn , donde ´ gm ∈ G . Como la representaci´ o n es u nica, resulta que (7.14), es producto directo. ν ν m m m m m ˜ Si gm = gm 1 · · · gn ∈ G ν , entonces g j = e, si j , ν y G ν ∩ G = G ν . Si G := G/G , m y π : G → G/G es la proyección canónica, entonces, por ejercicio 7.2.2,3), π[Gν ] es isomorfo a Gν /Gm nu . De (7.13), se sigue que

(7.16)

G˜ = π[G] =

n Y

G˜ ν .

ν=1

Vamos a mostrar que el producto (7.16), es directo. En efecto, si π(g1 · · · gn ) = g˜ 1 · · · g˜ n = e˜ , g˜ ν ∈ G˜ ν , entonces g1 · · · gn ∈ Gm y, como (7.14), es producto directo, g1 · · · gn = on es u´ nica, resulta, entonces, que gν = g0ν ∈ Gm g01 · · · g0n , g0ν ∈ Gm ν , como la representaci´ ν, por consiguiente g˜ ν = e˜ , ∀ ν = 1, . . . , n. Por lo que el producto (7.16) es directo. T 7.19. Sea F , {e} un grupo abeliano, libre de torsión. Entonces F es producto directo de grupos c´ıclicos infinitos, cuyo número está un´ıvocamente determinado. D´. Del teorema 7.17, sabemos que F es producto directo de grupos c´ıclicos infinitos F1 , . . . , Fr , cada uno isomorfo a Z. Por el lema 7.18 es F/F 2 producto de r


131

subgrupos isomorfos a Z/2Z, por lo que F/F2 posee exactamente 2r elementos. Número que sólo depende de F. Entonces F≈Z ··· × Z | × {z } r

D´ 7.3. El número r, determinado en el teorema 7.19, se llama el rango de F. Para un grupo abeliano cualquiera, finitamente generado, se define el rango como el rango de G/T . T 7.20. Si G=G=

n Y

Gν ,

ν=1

es una descomposición del grupo abeliano, finito G, como producto directo de grupos c´ıclicos directamente irreducibles, entonces los números qν := ◦(Gν ) están un´ıvocamente determinados. D´. Como cada Gν es un p-grupo, qν es una potencia de un número primo pν . Uniendo los factores que corresponden al mismo primo, se obtiene la descomposición u´ nica en subgrupos de Sylow de G. Basta mostrar, entonces, el teorema para G, tal que ◦(G) = pm , m > 1. Entonces qν = pmν , con m1 + · · · + mn = m. Procedamos por inducción sobre m. Para m = 1 el teorema es trivialmente válido. Sea m > 1 y supongamos, por hipótesis de inducción, que el teorema vale para todo p-grupo de orden < pm . Como la potenciación por p disminuye el orden, G p , G y ◦(G p ) < ◦(G). Consideremos dos casos: 1. G p = {e}. Entonces ∀ ν = 1, . . . , n, Gνp = {e} y q1 = q2 = · · · = qn = p, n = m y estamos listos. 2. G p , {e}. Como ◦(G p ) < ◦(G) = pm , entonces, por hipótesis de inducción, G p posee una descomposición en el sentido del teorema. Consideremos los grupos Gνp , 1 6 ν 6 n. El grupo c´ıclico Gνp es un p-grupo y por teorema 7.10, G p es irreducible o Gνp = {e}. Sean I := {ν | Gνp = {e}}, J := {ν | Gνp , {e}}. p Como G es producto directo de los grupos c´ıclicos irreducibles Gνp , ν = 1, . . . , n, por hipótesis de inducción los números ◦(Gνp ) están un´ıvocamente determinados para ν ∈ J. Como para ν ∈ J qν = ◦(Gν ) = iGν (Gνp ) · ◦(Gνp ) = p · ◦(Gνp ) > p2 , resulta que qν está también un´ıvocamente determinado. O sea que {qν | ν ∈ J} = {qν | qν > p2 } y {qν | ν ∈ I} = {qν | qν = p}. Entonces ◦(G) = ◦(G1 ) · ◦(Gn ) = iG (G p ) · ◦(G p ) = ◦(G1 /G1p · · · Gn /Gnp ) · ◦(G p ) = pl+s · ◦(G p ), donde s es el número de elementos en J y l el número de elementos en I. Como s y ◦(G p ) están un´ıvocamente determinados, entonces l está un´ıvocamente determinado. Lo que muestra el teorema.


132

Del teorema 7.20 se deduce que cada factor irreducible Gν es isomorfo a Z/qν Z. Analicemos, brevemente, los resultados hasta ahora obtenidos: Si G es un grupo abeliano finitamente generado, entonces por el teorema 7.17, (7.17)

G = F · T,

donde F es un grupo libre de torsión y T es el subgrupo de torsión de G. Por el teorema 7.19 (7.18)

F≈| Z × {z ··· × Z }, r

donde r es el rango de G/T . Resumiendo, de (7.17), (7.18) y teorema 7.20 obtenemos el T 7.21 (Teorema Fundamental para Grupos Abelianos Finitamente Generados). Un grupo abeliano G , {e} es finitamente generado Ssi existen potencias de números primos q1 , . . . qm , y un número r > 0, tales que m + r > 0 y (7.19)

G ≈ (Z/q1 Z × · · · × Z/qm Z) × Z ··· × Z | × {z }, r

donde r, el rango de G, y los números qµ , µ = 1, . . . , m, están un´ıvocamente determinados.

CAP´ıTULO 8

PRODUCTO Y SUMA DIRECTA DE FAMILIA DE GRUPOS. GRUPOS LIBRES En este cap´ıtulo estudiaremos el producto sobre una familia cualquiera de grupos, el cual puede ser dotado de una estructura de grupo, llamado el grupo producto directo, as´ı como la suma directa sobre dicha familia. Relacionados con estos dos grupos se tienen los llamados grupos libres sobre un conjunto no vac´ıo S de cualquier cardinalidad, as´ı como los llamados productos fibrados y sumas fibradas. En el cap´ıtulo precedente vimos que todo grupo abeliano finitamente generado G es producto directo de un subgrupo libre de torsión F y un subgrupo de torsión T . Nuestra meta es mostrar que dado un conjunto cualquiera, S , no vac´ıo, siempre es posible construirnos un grupo G generado por S y libre de torsión, al cual llamaremos el grupo libre generado por S , ya que dicho grupo será u´ nico, salvo isomorfismo. Cuando hablamos de propiedad universal de una estructura algebraica nos referimos, ya sea, a que dicha estructura acepta un u´ nico homomorfismo que hace conmutar un cierto diagrama, o bien, al hecho que de dicha estructura parte un u´ nico homomorfismo que hace conmutar un cierto diagrama. En el cap´ıtulo 13, sobre categor´ıas y funtores, daremos una generalización del termino “propiedad y elemento universal”.

8.1. 8.1.1.

Producto Directo y Suma Directa Sobre Una Familia de Grupos Grupo Producto. Sea (Gi )i∈I una familia de grupos. Si Y Gi G := i∈I

es el producto cartesiano de la familia de conjuntos (Gi )i∈I . Dados (gi )i∈I , (hi )i∈I ∈ G, por medio de (gi )i∈I · (hi )i∈I := (gi hi )i∈I , se define un producto · : G × G → G, tal que (G, ·) es un grupo y las proyecciones pi : G → G i son homomorfismos de grupos, para todo i ∈ I. (G, ·, pi )i∈I lo llamamos el grupo producto directo sobre la familia (Gi )i∈I . El lector comprobará facilmente que, en efecto, (G, ·) cumple con los axiomas de grupo y que las proyecciones pi son homomorfismos de grupos. El grupo producto (G, ·, pi )i∈I posee la siguiente propiedad universal: Dado un grupo cualquiera H y una familia de homomorfrismos (ψi : H → Gi )i∈I , existe un u´ nico homomorfismo ψ : H → G, 133

134

8. PRODUCTO Y SUMA DIRECTA DE FAMILIA DE GRUPOS. GRUPOS LIBRES

tal que para todo i ∈ I, el diagrama (8.1)

ψ

/G H@ @@ @@ pi ψi @@ Gi

es conmutativo. En efecto ψ : H → G, definido por ψ(h) := (ψi (h))i∈I es un homomorfismo de grupos y es el u´ nico que hace conmutar al diagrama (8.1), como el lector comprobará facilmente. De la propiedad universal que satisface el grupo producto (G, ·, pi )i∈I , se deduce que si ˜ ·, p˜ i )i∈I , es otro grupo que satisface dicha propiedad, entonces G es isomorfo a G. ˜ Esto (G, quiere decir que el grupo producto, sobre la familia de grupos (G, ·, pi )i∈I , es u´ nico, salvo isomorfismo. En efecto, por la propiedad universal, existe un u´ nico homomorfismo ψ : G˜ → G y un ˜ tales que los diagramas u´ nico homomorfismo ψ˜ : G → G, (8.2)

ψ

/G G˜ ? ?? ?? pi ? p˜ i ?? Gi

y (8.3)

ψ˜

/ G˜ G? ?? ?? p˜ i ? pi ?? Gi

son conmutativos. Entonces el homomorfismo (ψ˜ ◦ ψ) : G˜ → G˜ hace conmutar al diagrama (8.4)

˜ ψ◦ψ

/ G˜ G˜ ? ?? ?? p˜ i ? p˜ i ?? Gi

y por la propiedad universal (ψ˜ ◦ ψ) = 1G˜ . Un argumento análogo nos muestra que también ˜ = 1G . Por consiguiente ψ es un isomorfismo de grupos. (ψ ◦ ψ) E 8.1. Consideremos los grupos (Z, +), (R, +), (GL(n), ·), entonces el grupo producto consta del conjunto Z × R × GL(n), dotado de la operación binaria · : (Z×R×GL(n))×(Z×R×GL(n)) → (Z×R×GL(n)), definida por ·((n, α, A), (m, β, B) = (n, α, A) · (m, β, B) := (n + m, α + β, A · B). 8.1.2. Producto Fibrado. Relacionada con el producto directo está el llamado pro´ ducto fibrado de grupos . Este resulta como un subgrupo del producto directo de dos grupos. Sean G, G1 , G2 grupos y ϕ1 : G1 → G,

ϕ2 : G2 → G

8.1. PRODUCTO DIRECTO Y SUMA DIRECTA SOBRE UNA FAMILIA DE GRUPOS

135

homomorfismos. Definimos el producto fibrado sobre G, de los grupos G1 , G2 , como el grupo (G1 ×G G2 , ·, p1 , p2 ), donde G1 ×G G2 es el subgrupo de G1 × G2 : G1 ×G G2 := {(g1 , g2 ) ∈ G1 × G2 | ϕ1 (g1 ) = ϕ2 (g2 )} y p1 , p2 son las restricciones de las proyecciones sobre G1 y G2 respectivamente. Se tiene entonces el siguiente diagrama conmutativo: (8.5)

G1 _? ?? p ??1 ?? G1 ×G G2 G _? ?? ?? ? p2 ϕ2 ?? G2 ϕ1

El producto fibrado posee la siguiente propiedad universal: Dado un grupo H y homomorfismos ψ1 , ψ2 , tales que el diagrama (8.6)

} }} } } }~ } G1 A AA AA ϕ1 AAA ψ1

HA AA ψ AA 2 AA

G

}} }}ϕ } 2 ~}}

G2

sea conmutativo, entonces existe un u´ nico homomorfismo ψ : H → G1 ×G G2 que hace conmutar al diagrama (8.7)

G1 l ψ1 ~ dIIII p ~ II1 ~~ ~ I II ~ ~ ~ G1 ×G G2 o G _@ @@ u uu @@ uup @ u ϕ2 @@ u 2 ψ2 zuu G2 r ϕ1

Se suele decir que (8.8)

G1 dI II IIp1 II II G1 ×G G2 uu uu u uu p2 zuu G2

ψ

H

136


es el “Pull-Back” (Ver cap´ıtulo 13) de (8.9)

G1 A AA AA ϕ1 AA G

~ ~~ ~~ϕ2 ~ ~~ ~

G2

El lector comprobará que, por la propiedad universal, dado un diagrama de la forma (8.9), el pull-back correspondiente es u´ nico, salvo isomorfismo. Por consiguiente el producto fibrado es u´ nico, salvo isomorfismo. 8.1.3. Suma Directa de Grupos Abelianos. Sea (Ai )i∈I una familia de grupos abelianos. Por simplicidad denotaremos por + la operación en cada grupo Ai y por 0 el elemento neutro respectivo. Si Y Ai A= i∈I

es el producto directo de la familia (Ai )i∈I , consideremos el subgrupo M Ai i∈I

formado por los elementos g = (gi )i∈I ∈ A, tal que gi = 0, salvo para un número finito de ´ındices i ∈ I. Para cada ´ındice j ∈ I, sea M λj : Aj → Ai i∈I

la aplicación tal que la j-componente de λ j (g) = g y el resto de las componentes es 0, entonces λ j es un homomorfismo de grupos, ∀ j ∈ I. M Ai , +, λi ∈ I i

i∈I

Se llama la suma directa de la familia de grupos abelianos (Ai )i∈I . En forma análoga al producto directo, la suma directa posee la siguiente propiedad universal: Dada una familia de homomorfismos de grupos abelianos (ψi : Ai → H)i∈I , existe un u´ nico homomorfismo ψ:

M

Ai → H,

i∈I

tal que, ∀ i ∈ I, el diagrama (8.10)

Ai

λi

/

}} }}ψ } } ~}} H

L

Ai

i∈I

ψi

es conmutativo. En efecto, el lector comprobará facilmente que la aplicación M ψ: Ai → H i∈I

8.1. PRODUCTO DIRECTO Y SUMA DIRECTA SOBRE UNA FAMILIA DE GRUPOS

137

definida por ψ(g) :=

X

ψi (gi )

i∈I

es un homomorfismo y que es el u´ nico que hace conmutativo al diagrama (8.10). Dada una familia de homomorfismos de grupos abelianos (ϕi : Ai → G)i∈I tal que (G, +, ϕi )i∈I posee la propiedad universal arriba indicada, entonces (G, +, ϕi )i∈I es isomorfo a M

Ai , +, λi

i∈I

i∈I

Esto quiere decir que la suma directa es u´ nica, salvo isomorfismo. Dejamos al lector la demostración de esta propiedad, ya que es similar a la demostración de la unicidad del producto directo. Si I es un conjunto finito de ´ındices, entonces la suma directa y el producto directo coinciden, como el lector comprobará facilmente. 8.1.4. Suma Fibrada. Dual al producto fibrado se tiene para grupos abelianos la llamada suma fibrada , obtenida como cociente de la suma directa con un subgrupo determinado. Sean A, A1 , A2 grupos abelianos y ϕ1 : A → A1 ,

ϕ2 : A → A2

homomorfismos. Al grupo (A1 ⊕A A2 , +, i1 , i2 ), donde A1 ⊕A A2 es el grupo cociente A1 ⊕A A2 := (A1 ⊕ A2 )/W, donde W es el subgrupo de A1 ⊕A2 generado por los elementos de la forma (ϕ1 (g1 ), ϕ2 (g2 )), i1 , i2 son los homomorfismos inducidos por los homomorfismos λ1 , λ2 respectivamente, lo llamamos la suma fibrada sobre A, de lo grupos A1 , A2 . Se tiene, entonces, el siguiente diagrama conmutativo: (8.11)

? A1 ?? ??i1 ?? ? A1 ? ⊕A A2 A? ?? ?? ϕ2 ?? i2 A2 ϕ1

138


La suma fibrada posee la siguiente propiedad universal: Dado un grupo abeliano H y homomorfismos ψ1 , ψ2 , tales que el diagrama (8.12)

H }> ÀAA ψ } } AA 2 }} AA } } A1 À > A2 AA }} AA } } ϕ1 AAA }} ϕ2 }} A ψ1

sea conmutativo, entonces existe un u´ nico homomorfismo ψ : A1 ⊕A A2 → H, que hace conmutar al diagrama (8.13)

? A1 HHH ψ1 HHi1 HH HH $ A A? 1: ⊕A A2 ?? vv ?? vv v ? ϕ2 ?? vv i ψ2 vv 2 A2 ϕ1

ψ

& 8/ H

También se dice que el diagrama (8.14)

A1 H HH HHi1 HH HH $ A1: ⊕A A2 v vv vv v v i vv 2 A2

es un “Push-Out” (Ver cap´ıtulo 13) del diagrama (8.15)

A1 _@ @@ @@ ϕ1 @@ A

A2 ~? ~ ~ ~~ϕ2 ~ ~

En forma análoga al pull-back, por la propiedad universal, el push-out del diagrama (8.15) es u´ nico salvo isomorfismo, por lo que, en consecuencia, la suma fibrada es u´ nica salvo isomorfismo. 8.2.

Grupos Libres

En esta sección estudiaremos la construcción de los llamados grupos libres. Estos son grupos que tienen como “base” los elementos de un conjunto dado S . Los grupos libres juegan un papel muy importante en la lingü´ıstica matemática, as´ı como en la topolog´ıa y geometr´ıa algebraicas. Empezaremos esta sección con la construcción del grupo libre abeliano sobre un conjunto cualquiera, no vac´ıo S , por ser más sencilla que la construcción del grupo libre en

8.2. GRUPOS LIBRES

139

el caso no abeliano. A partir del grupo libre abeliano construiremos también el llamado K-grupo de Grothendieck. 8.2.1.

Grupo Libre Abeliano. Sea S un conjunto no vac´ıo y ϕ:S →Z

una aplicación, tal que ϕ(s) = 0, salvo un número finito de elementos de S . Entonces, si sj : S → Z es la aplicación, tal que s j (s) = 0, si s , s j y s j (s j ) = 1, entonces ϕ se puede escribir de la forma ϕ = k1 s1 + · · · + kn sn , donde los kν ∈ Z, ∀ ν = 1, . . . , n. De forma más general podemos escribir X k s s, ϕ= s∈S

donde k s = 0, salvo para un número finito de elementos s ∈ S , y s:S →Z la aplicación tal que    1 si x = s, s(x) =   0 de lo contrario. ϕ admite una u´ nica representación de esta forma. En efecto, supongamos que X X ϕ= ks s = k0s s s∈S

s∈S

entonces 0=

X

(k s − k0s )s

s∈S

y por consiguiente k s = k0s , ∀ s ∈ S . Sea ZhS i := {ϕ : S → Z | ϕ(s) = 0, salvo un número finito de elementos s ∈ S } entonces (ZhS i, +), donde + es la adición usual de aplicaciones sobre Z, es un grupo abeliano. Por medio de la aplicación inyectiva f : S → ZhS i definida por f (s) := s, podemos identificar a S como un subconjunto de ZhS i y el grupo ZhS i está generado por f [S ]. (ZhS i, +, f ) se llama el grupo libre abeliano generado por el conjunto S , Usualmente se suele identificar S con f [S ] en ZhS i y representar los elementos de ZhS i, como las “sumas formales” X k s s. s∈S

El grupo libre abeliano (ZhS i, +, f ) posee la siguiente propiedad universal: Dada una aplicación g : S → A,

140


donde A es un grupo abeliano, entonces existe un u´ nico homomorfismo g∗ : ZhS i → A, tal que el diagrama (8.16)

/ ZhS i z z z g zzg∗ z z} z A f

S

es conmutativo. En efecto g∗ : ZhS i → A definida por   X  X k s g(s) g∗  k s s := s∈S

s∈S

es el u´ nico homomorfismo que hace conmutar al diagrama. De la propiedad universal resulta, como el lector podrá comprobar, la unicidad, salvo isomorfismo, del grupo abeliano libre. T 8.1. Si g : S → S 0 es una a aplicación entre dos conjuntos y (ZhS i, +, f ), (ZhS 0 i, +, f 0 ) los respectivos grupos libres abelianos, entonces existe un u´ nico homomorfismo de grupos g∗ : ZhS i → ZhS 0 i, tal que el diagrama (8.17)

f

S

/ ZhS i g∗

g

S0

f0

/ ZhS 0 i

es conmutativo y si g es sobreyectiva también lo será g∗ . D´. En efecto, tenemos una aplicación ( f 0 ◦ λ) : S → ZhS 0 i y por la propiedad universal existe un u´ nico homomorfismo λ∗ := ( f 0 ◦ λ)∗ que hace conmutar al diagrama (8.16), con A := ZhS 0 i y el cual hace conmutar también al diagrama (8.17). En el caso en que S es un conjunto finito de n elementos, el lector comprobará facilmente que ZhS i ≈ Z ··· × Z ··· ⊕ Z | × {z }≈Z | ⊕ {z } n

n

que es la parte libre de torsión de un grupo abeliano finitamente generado, como vimos en el cap´ıtulo precedente. En la topolog´ıa y geometr´ıa algebraicas juegan un papel muy importante los grupos de ciclos, que son grupos libres abelianos generados por el conjunto de caminos cerrados sobre un espacio topológico o sobre una variedad topológica o algebraica. También son de mucha importancia los grupos libres abelianos sobre el conjunto de los llamados simplicios singulares sobre un espaico topológico, los cuales dan origen a los llamados grupos de homolog´ıa y cohomolog´ıa en la topolog´ıa y geometr´ıa algebraicas.

8.2. GRUPOS LIBRES

141

8.2.2. Grupo de Grothendieck. Otro grupo importante, construido a partir de un grupo libre abeliano, es el K-grupo de Grothendieck, el cual da origen a la llamada Kteor´ıa. Este grupo se construye a partir de un semigrupo abeliano (A, ·) y el grupo libre abeliano (ZhAi, +, f ). Si EhAi es el subgrupo de ZhAi, generado por los elementos de la forma a+b−a·b, a, b ∈ A, donde a, b son los elementos a, b ∈ A, vistos como elementos de ZhAi. Entonces se define el K-grupo de Grothendieck, como el grupo (KhAi, +, fˆ), donde KhAi es el grupo cociente KhAi := ZhAi/EhAi. y fˆ := (π ◦ f ). (KhAi, +, fˆ) posee la siguiente propiedad universal: Dado un homomorfismo de semigrupos abelianos ϕ : A → G, donde G es un grupo abeliano, existe un u´ nico homomorfismo de grupos abelianos ϕ∗ : KhAi → G tal que el diagrama (8.18)

ϕ

/G = zz z z fˆ zzϕ zz ∗ KhAi A

es conmutativo. Además, en analog´ıa al grupo libre abeliano, si (B, ·) es otro semigrupo y ψ:A→B un homomorfismo de semigrupos, entonces existe un u´ nico homomorfismo de grupos ψ∗ : KhAi → KhBi tal que el diagrama (8.19)

A

fˆ

ψ

/ KhAi ψ∗

B

gˆ

/ KhBi

es conmutativo y si ψ es sobreyectiva también lo será ψ∗ . En la K-teor´ıa topológica, el semigrupo (A, ⊕) consiste de todas las clases de equivalencia de los fibrados vectoriales sobre un espacio topológico X, donde ⊕ es la operación inducida por la suma de Whitney de dos fibrados vectoriales. Ver, por ejemplo, [5]. 8.2.3. Grupo Libre (caso general). Haremos la construcción del grupo libre, en el caso general, no necesariamente conmutativo, siguiendo la construcción de Jaques Tits y transcrita por Serge Lang en [28]. Esta construcción es bastante abstracta, pero es aplicable para cualquier conjunto S de cualquier cardinalidad. Nuestro objetivo es, dado un conjunto cualquiera S , construirnos un grupo FhS i y una aplicación fS : S → FhS i inyectiva, que satisfaga la siguiente propiedad universal: Dada una aplicación g:S →G

142


donde G es un grupo cualquiera, exista un u´ nico homomorfismo de grupos g∗ : FhS i → G que haga conmutar al diagrama (8.20)

/ FhS i z z z g zzg∗ z z} z G fS

S

(FhS i, ·, fS ) lo llamaremos el grupo libre sobre el conjunto S , el cual será u´ nico salvo isomorfismo, por satisfacer la propiedad universal arriba indicada. Dejamos al lector la confirmación de esta afirmación. Empecemos con un lema: L 8.2. Existe un conjunto I y una familia de grupos (Gi )i∈I , tales que si g : S → G es una aplicación de un conjunto S en un grupo G y G es generado por g[S ], entonces G es isomorfo a algún Gi . D´. Sea T un conjunto infinitamente contable si S es finito y de la misma cardinalidad de S si S es infinito. Para cada subconjunto H ⊆ T , H , ∅, sea ΓH el conjunto de todas las estructuras de grupo sobre H. Para cada γ ∈ ΓH , Hγ representará al conjunto H dotado de la estructura de grupo γ. (Dos estructuras γ, γ0 serán consideradas iguales, si Hγ es isomorfo a Hγ0 ). Entonces la familia (Hγ )γ∈ΓH , donde H recorre todos los elementos de P(T ) \ {∅} es la familia buscada. Construcción de FhS i: Sea (G)i∈I una familia de grupos, satisfaciendo las condiciones del lema 8.2 y, para cada i ∈ I, sea Mi el conjunto de todas las aplicaciones de S en Gi . Para cada φ ∈ Mi , sea Gi,φ := Gi × {φ}, de modo tal que Gi,φ no es otra cosa que el grupo Gi indizado por φ. Sea YY Gi,φ F0 := i∈I φ∈Mi

El grupo producto de los Gi,φ . Definimos una aplicación f0 : S → F0 como la aplicación, tal que la componente (i, φ) es ( f0 (s))i,φ := φ(s), φ ∈ Mi . f0 es inyectiva, ya que si s , s0 , para un Gi con más de dos elementos, siempre existirá un φ ∈ Mi , tal que φ(s) , φ(s0 ). Vamos a mostrar que, dada una aplicación g : S → G, donde G es un grupo, existe un homomorfismo de grupos ψ∗ : F 0 → G tal que el diagrama (8.21)

/ F0 ~ ~~ g ~~ψ∗ ~ ~~ G S

f0

8.2. GRUPOS LIBRES

143

es conmutativo. Sin limitación de la generalidad podemos asumir que G está generado por g[S ], restringiendo nuestra atención, en caso contrario al subgrupo de G generado por g[S ]. Entonces por el lema 8.2, para algún i ∈ I existe un isomorfismo λ : G → Gi y ψ := (λ ◦ g) ∈ Mi . Si πi,φ es la proyección sobre la componente (i, φ) y ψ∗ := (λ−1 ◦ πi,φ ), se obtiene el siguiente diagrama conmutativo: (8.22)

/ F0 } } ψ∗ } πi,φ } g }} } ~} / Gi,φ G λ S

f0

Si definimos FhS i como el subgrupo de F0 generado por f0 [S ], fS := f0 y g∗ como la restricción de ψ∗ a FhS i, entonces (FhS i, ·, fS ) cumple con la propiedad universal deseada y g∗ es el u´ nico homomorfismo que hace conmutar al diagrama (8.20). El lector comprobará facilmente que, en forma análoga al grupo libre abeliano, si λ : S → S0 es una aplicación entre dos conjuntos S y S 0 , entonces existe un u´ nico homomorfismo de grupos λ∗ : FhS i → FhS 0 i tal que el diagrama (8.23)

S

fS

λ∗

λ

S0

/ FhS i

fS 0

/ FhS 0 i

es conmutativo y si λ es sobreyectiva, también lo será λ∗ . Si G es un grupo y S el mismo conjunto que G desprovisto de la estructura de grupo, se tiene la aplicación identidad 1G : S → G la cual es una biyección e induce un homomorfrismo de grupos sobreyectivo 1∗ : FhS i → G. Por consiguiente todo grupo G es cociente de un grupo libre. 8.2.4. Coproducto de Grupos. Dada una familia de grupos no abelianos, (Gi )i∈I , buscamos un grupo a Gi i∈I

y una familia de homomorfismos (λi : Gi →

a

Gi )i∈I

i∈I

que posea la siguiente propiedad universal: dada una familia de homomorfismos de grupos (ψi : Gi → H)i∈I

144


exista un u´ nico homomorfismo ψ:

a

Gi → H

i∈I

tal que, ∀ i ∈ I, haga conmutar al diagrama (8.24)

λi

` / Gi i∈I | | ψi || || ψ |~ | H Gi

Vamos a mostrar que dicho grupo existe y a a ( Gi , ·, λi )i∈I i∈I

lo llamaremos el coproducto de la familia (Gi )i∈I . Como el lector habrá notado, la propiedad universal que cumple el coproducto de una familia de grupos no abelianos es la misma que la que satisface la suma directa de una familia de grupos abelianos. La construcción, en el caso general, es similar a la construcción del grupo libre y es bastante abstracta. Sin embargo, en el caso finito, veremos una construcción más intuitiva, tanto del coproducto como del grupo libre. Dada una familia de grupos (Gi )i∈I , para cada ´ındice i, sea S i un conjunto igual a Gi , si Gi es infinito y S i un conjunto contable si Gi es finito. Sea S un conjunto de cardinalidad igual a la unión disjunta de todos los S i . Sea Γ el conjunto de todas las estructuras de grupo sobre S y para cada γ ∈ Γ, sea Φγ el conjunto de todas las familias de homomorfismos ϕ := {ϕi : Gi → S γ }. Dado γ ∈ Γ, ϕ ∈ Φγ , definimos S γ,ϕ := (S γ , ϕ), es decir el grupo S γ indizado por ϕ. Sea YY F0 := S γ,ϕ γ∈Γ ϕ∈Φγ

y para cada i, definimos un homomorfismo fi : G i → F 0 por medio de fi (gi )γ,ϕ := ϕi (gi ), ∀ gi ∈ I. Sea ahora ψ := {ψi : Gi → H} una familia de homomorfismos de grupos. Sin limitación de la generalidad supondremos que H es generado por las imágenes de ψi , (en caso contrario nos restringimos al subgrupo de H generado por estas imágenes), entonces card(H) 6 card(S ), ya que todo elemento de G es producto finito de imágenes de elementos de S . Nuevamente, sin limitación de la generalidad, podemos asumir que card(H) = card(S ), pues en caso contrario consideramos el grupo H˜ := H × Z, donde Z es el producto de suficientes copias de Z, hasta obtener la cardinalidad deseada. Vamos a mostrar que existe un homomorfismo ψ∗ : F 0 → H

8.2. GRUPOS LIBRES

145

tal que, ∀ i, el diagrama (8.25)

/ F0 } } ψi }} }ψ ~}} ∗ H

H

fi

sea conmutativo. Como card H = card S , existe γ ∈ Γ, y un isomorfismo φ0 : H → S γ , Entonces φ := {φ0 ◦ ψi : Gi → S γ } ∈ Φγ y definimos ψ∗ como la proyección de F0 sobre S γ,φ . ` S Si definimos Gi como el subgrupo de F0 generado por fi [Gi ], y λi := fi , ∀ i ∈ I, i∈I i∈I ` entonces la restricción ψ de ψ∗ sobre Gi , es el u´ nico homomorfismo que hace conmutar i∈I

al diagrama (8.24). 8.2.5. Producto Libre y Producto Amalgamado. Dada una familia finita de grupos {G1 , . . . , Gn }, vamos a construir el llamado producto libre de e´ stos y el producto amalgamado de dos grupos, como un grupo cociente del producto libre. Vamos a hacer ver que n ` el producto libre de los grupos de la familia {G1 , . . . , Gn }, es isomorfo al coproducto Gi i=1

y que el grupo libre sobre un conjunto finito S es isomorfo al producto libre de un número finito de grupos adecuados. Sean G, H dos grupos, tales que G ∩ H = {e}, vamos a construir un grupo G ∗ H, que contenga a G y a H como subgrupos y tal que cada elemento distinto de e posea una u´ nica representación como un producto a1 · a2 · · · an

(n > 1, aν , e, ∀ ν),

donde aν ∈ G o aν ∈ H, y tal que si aν ∈ G, entonces aν+1 ∈ H y si aν ∈ H, entonces aν+1 ∈ G. Sea G ∗ H el conjunto de todas las sucesiones finitas a := (a1 , . . . , an )

(n > 0)

tal que, ya sea que n = 0 y en tal caso la sucesión es vac´ıa, o n > 1 y los elementos de la sucesión pertenecen, de forma alterna, a G o a H y son distintos de e.. Dadas dos sucesiones a := (a1 , . . . , an ), b := (b1 , . . . , bm ) ∈ G ∗ H, definimos    (a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ) si an ∈ G, b1 ∈ H, o an ∈ H, b1 ∈ G     a · b :=  (a , . . . , a b , . . . b ) si an , b1 ∈ G, o an , b1 ∈ H, an b1 , e 1 n 1 m     (a1 . . . , an−1 )(b2 , . . . , bm ) si an , b1 ∈ G, o an , b1 ∈ H, an b1 = e La sucesión vac´ıa será el elemento neutro en G ∗ H y obviamente −1 (a1 , . . . , an )(a−1 n , . . . , a1 ) = e

Falta probar que el producto, as´ı definido, es asociativo. Sea c := (c1 , . . . , cr ). El lector comprobará facilmente que si n = 0 o m = 0 o r = 0, la asociatividad vale. Consideremos,

146


entonces, el caso m = 1, es decir b = (x), x ∈ G y verifiquemos que en cada caso posible (a · b) · c = a · (b · c). Los casos son los siguientes: (a1 , . . . , an , x, c1 , . . . , cr ) si an ∈ H, c1 ∈ H (a1 , . . . , an x, c1 , . . . , cr ) si an ∈ G, an x , e, c1 ∈ H (a1 , . . . , an , xc1 , . . . , cr ) si an ∈ H, c1 ∈ G, xc1 , e (a1 , . . . , an−1 )(c1 , . . . , cr ) si an = x−1 , c1 ∈ H (a1 , . . . , an )(c2 , . . . , cr ) si an ∈ H, c1 = x−1 (a1 , . . . , an xc1 , . . . , cr ) si an , c1 ∈ G, an xc1 , e (a1 , . . . , an−2 )(c2 , . . . , cr ) si an , c1 ∈ G, an xc1 = e En forma análoga si x ∈ H. Procedamos ahora, para m > 2, por inducción. Sea b una sucesión de longitud m, entonces podemos escribir b = b1 · b2 , donde b1 y b2 poseen longitudes menores que m. Entonces (a · b) · c = (a · (b1 · b2 )) · c = ((a · b1 ) · b2 ) · c = (a · b1 ) · (b2 · c) a · (b · c) = a · ((b1 · b2 ) · c) = a · (b1 · (b2 · c)) = (a · b1 ) · (b2 · c) lo que muestra la asociatividad. Por otra parte se tienen inyecciones i:G→G∗H

y

j:H →G∗H

definidas por i(g) := (g) y j(h) := (h) Al grupo (G ∗ H, ·, i, j) lo llamamos el producto libre de G y H El lector comprobará facilmente la siguiente propiedad universal del producto libre: Si se tienen homomorfismos de grupos ψ1 : G → B ψ2 : H → B entonces existe un u´ nico homomorfismo ψ:G∗H →B que hace conmutar al diagrama (8.26)

G E ∗ Y3H 333 ψ 333 3j i < B bFF 33 y y FF 33 FF 3 yyyy 3 y ψ2 FFF3 ψ 1 y y G H

donde ψ es el homomorfismo que a una sucesión a le aplica, de forma alterna, ψ1 , ψ2 . Dejamos al lector la tarea de comprobar que, en efecto, ψ es un homomorfismo y que ` ` G ∗ H satisface la misma propiedad universal que G H, por lo que G ∗ H y G H son isomorfos. El producto libre se puede generalizar facilmente a una familia finita de grupos {G1 , . . . , Gn }, con Gi ∩ G j = e, si i , j, tomando como G1 ∗ · · · ∗ Gn el conjunto de todas las sucesiones finitas cuyos elementos son, de forma alterna, elementos de los Gi y el producto definido siguiendo el mismo esquema que describimos arriba. Tarea que también dejaremos al lector como ejercicio, as´ı como la de demostrar que n a G1 ∗ · · · ∗ Gn ≈ Gi i=1

8.2. GRUPOS LIBRES

147

mostrando que con las inclusiones respectivas λi : Gi → G1 ∗ · · · ∗ Gn , donde λi (gi ) := (gi ) ∈ G1 ∗ · · · ∗ Gn , el grupo (G1 ∗ · · · ∗ Gn , ·, λi )i=1,...,n satisface la misma propiedad universal que el coproducto. En analog´ıa a la suma fibrada que definimos para grupos abelianos, definiremos ahora el llamado producto amalgamado o suma amalgamada de grupos. Dados tres grupos G, G1 , G2 y homomorfismos ϕ1 : G → G 1

ϕ2 : G → G 2

buscamos construir un grupo G1 ∗G G2 y homomorfismos i1 : G1 → G ∗G G2

i2 : G2 → G ∗G G2

que haga conmutativo al siguiente diagrama (8.27)

G1 ? ??? i ??1 ?? G1 ? ∗G G2 G? ?? ?? ? ϕ2 ? i2 G2 ϕ1

Si W es el subgrupo normal más pequeño de G1 ∗G2 , que contiene al grupo generado por los todos los elementos de la forma (ϕ1 (g), ϕ2 (g)−1 ), entonces el grupo G1 ∗G G2 := (G1 ∗G2 )/W y los homomorfismos i1 , i2 inducidos por las inclusiones respectivas de G1 y G2 en G1 ∗G2 , hacen conmutar al diagrama (8.27). Al grupo (G1 ∗G G2 , ·, i1 , i2 ) lo llamamos el producto amalgamado o suma amalgamada sobre G de G1 , G2 . El producto amalgamado posee la siguiente propiedad universal: Dado un grupo H y homomorfismos ψ1 , ψ2 , tales que el diagrama (8.28)

> H ÀA }} AAψ2 } } AA } A }} G1 À G2 AA }> } AA } }}ϕ2 ϕ1 AAA }} G ψ1

sea conmutativo, entonces existe un u´ nico homomorfismo ψ : G1 ∗G G2 → H, que hace conmutar al diagrama (8.29)

? G1 III ψ1 ~~ IIi1 ~ ~ I II ~~ I$ ~~ G G@ 1 ∗G G 2 @@ v: v @@ v vv @ ϕ2 @@ vv i2 v v ψ2 G2 ϕ1

ψ

/ 8& H

148


Entonces el diagrama (8.30)

G1 I II IIi1 II II $ G1: ∗G G2 v vv vv v v i vv 2 G2

es un “Push-Out” del diagrama (8.31)

G1 À AA AA ϕ1 AA G

G2 ~> ~ ~~ ~~ ϕ2 ~~

y por consiguiente el producto amalgamado es u´ nico salvo isomorfismo. En el caso en que los grupos sean todos abelianos, entonces el producto amalgamado es isomorfo a la suma fibrada, pues ser´ıan push-outs del mismo diagrama. El producto amalgamado juega un papel muy importante en la topolog´ıa algebraica, en particular en la teor´ıa de la homotop´ıa, pues por el teorema de Van Kampen, el grupo fundamental π1 (Z) de un espacio topológico Z que es unión de dos subconjuntos abiertos X1 , X2 , tales que A := X1 ∩ X2 sea no vac´ıo y conexo por caminos, es el producto amalgamado de los grupos fundamentales de los Xi , i = 1, 2, π1 (X1 ), π1 (X2 ) sobre el grupo fundamental de A, π1 (A). Ver por ejemplo [53], [18],[14]. Vamos a hacer ver ahora, que si S es un conjunto finito de elementos S := {x1 , . . . , xn }, entonces el grupo libre FhS i es isomorfo al producto libre G1 ∗ · · · ∗ Gn , donde Gi es el grupo c´ıclico infinito generado por xi , i = 1, . . . , n. Por construcción del grupo libre se tiene una inyección fS : S → FhS i por lo que podemos identificar S con su imagen fS [S ] ⊆ FhS i. Mostremos primeramente el siguiete L 8.3. Sea FhS i el grupo libre generado por el conjunto S y sean x1 , . . . , xn elementos distintos de S . Sean ν1 , . . . , νr enteros , 0 y i1 , . . . , ir enteros. 1 6 i1 , . . . , ir 6 n tales que i j , i j+1 , para j = 1, . . . , r − 1. Entonces, en FhS i xiν11 · · · xiνrr , e D´. Sean G1 , . . . , Gn los grupos c´ıclicos infinitos generados, respectivamente, por los elementos x1 , . . . , xn y G := G1 ∗ · · · ∗ Gn y sea g:S →G la aplicación definida por g(xi ) := (xi ) ∈ G y g(x) := e, para x < {x1 , . . . , xn }. Entonces por la propiedad universal del producto libre, g induce un u´ nico homomorfismo g∗ : FhS i → G,

8.2. GRUPOS LIBRES

149

tal que el diagrama (8.20) sea conmutativo. Entonces g∗ (xiν11 · · · xiνrr ) = xiν11 · · · xiνrr , e ∈ G. Lo que muestra el lema, ya que g∗ es un homomorfismo.. Si S := {x1 , . . . , xn }, y f :S →H una aplicación de S en un grupo H, el lector comprobará, facilmente, que el homomorfismo f∗ : G → H definido por f∗ ((xi )) := f (xi ) es el u´ nico que hace conmutar al diagrama /G ~ ~ ~ f ~~ ~~ f∗ H

(8.32)

S

g

Esto quiere decir, que G satisface la misma propiedad universal que FhS i, en el caso en que S es un conjunto finito y por consiguiente g∗ : FhS i → G1 ∗ · · · ∗ Gn es un isomorfismo. Por lo tanto, en el caso en que S es un conjunto finito el grupo libre sobre S lo obtenemos como el producto libre de los grupos c´ıclicos infinitos generado por cada elemento de S , lo que nos da una representación más intuitiva del grupo libre. 8.2.6.


1. Comprobar que la definición de grupo producto satisface todos los axiomas de un grupo y que las proyecciones son, en efecto, homomorfismos de grupos. 2. Mostrar que el homomorfismo ψ, que hace conmutar al diagrama (8.1), es u´ nica. 3. Comprobar que la definición de suma directa satisface todos los axiomas de un grupo y que las inclusiones λi son, en efecto, homomorfismos de grupos. 4. Mostrar que el homomorfismo ψ que hace conmutar al diagrama (8.10) es u´ nica. 5. Mostrar que el producto sobre una familia finita de grupos es isomorfo a la suma directa respectiva. 6. Mostrar que las definiciones de grupo de Groethendieck, producto fibrado, producto directo, suma fibrada, coproducto, producto amalgamado satisfacen los axiomas de un grupo y las propiedades universales respectivas. 7. Mostrar que, en efecto, si S es un conjunto finito, el grupo libre FhS i satisface la misma condición universal que el producto libre sobre todos los subgrupos c´ıclicos infinitos generados por cada elemento s ∈ S . 8. Sea S un conjunto. Siguiendo la terminolog´ıa y la filosof´ıa de la construcción del grupo abeliano libre, consideremos el conjunto NhS i := {ϕ : S → N | ϕ(s) = 0, salvo un número finito de elementos s ∈ S } Mostrar que a) (NhS i, +, f ) es un monoide abeliano, llamado el monoide libre abeliano.

150


b) El monoide libre abeliano (NhS i, +, f ) posee la siguiente propiedad universal: Dada una aplicación g : S → A, donde A es un monoide abeliano, entonces existe un u´ nico homomorfismo de monoides g∗ : NhS i → A, tal que el diagrama (8.33)

/ NhS i zz g zz z z g∗ z} z A S

f

es conmutativo. c) Si λ : S → S 0 es una a aplicación entre dos conjuntos y (NhS i, +, f ), (NhS 0 i, +, f 0 ) los respectivos monoides libres abelianos, entonces existe un u´ nico homomorfismo de monoides λ∗ : NhS i → NhS 0 i, tal que el diagrama (8.34)

S

f

λ∗

λ

S0

/ NhS i

f0

/ NhS 0 i

es conmutativo y si λ es sobreyectiva también lo será λ∗ .

Parte 2

´ DE ANILLOS, TEORIA ´ DE POLINOMIOS, EXTENSION ´ DE GALOIS CAMPOS Y TEORIA

CAP´ıTULO 9

´ A LA TEORIA ´ DE ANILLOS E ITRODUCCION IDEALES

F 9.1. Emie Noether En este cap´ıtulo estudiaremos las estructuras algebraicas con dos operaciones binarias llamadas anillos. En particular trataremos más ampliamente la teor´ıa de los anillos conmutativos con unidad, es decir, anillos cuya segunda operación binaria es conmutativa y posee un elemento neutro. Por simplicidad en la notación denotaremos la primera operación por ‘+0 y la segunda operación por ‘·0 , salvo casos particulares y donde no haya lugar a confusión. Al elemento neutro de la primera operación lo denotaremos por 0 y al elemento unidad o elemento neutro de la segunda operación por 1. 9.1.

Anillos

Recordamos al lector la definición de anillo dada en el primer cap´ıtulo, sección de estructuras algebraicas, definición 2.6, con dos operaciones binarias. D´ 9.1. Decimos que la estructura algebraica con dos operaciones binarias (A, +, ·) es un anillo, si (A, +) es un grupo abeliano, (A, ·) un semigrupo y se cumplen las relaciones de distributividad siguientes: (9.1)

a · (b + c) = a · b + a · c, y (a + b) · c = a · c + b · c, ∀ a, b, c ∈ A

Si además (A, ·) es un monoide, entonces se dice que (A, +, ·) es un anillo con unidad, y si · es conmutativa, entonces se dice que es un anillo conmutativo. Un elemento a de un anillo A se dice que es un divisor de cero, si existe b ∈ A, b , 0, tal que a · b = 0. Si a , 0, entonces se dice que es un divisor de cero propio. Un anillo conmutativo A, con unidad y sin divisores de cero propios se llama un dominio entero o de integridad. Decimos que un elemento a ∈ A \ {0} de un anillo con unidad A, es invertible, si existe un elemento a−1 ∈ A, tal que a · a−1 = a−1 · a = 1. 153

´ A LA TEORÍA DE ANILLOS E IDEALES 9. ITRODUCCION

154

Decimos que un elemento a de un anillo A posee un inverso por la derecha, (inverso por la izquierda), si existe b ∈ A, tal que a · b = 1, (b · a = 1). Entonces un elemento invertible es aquel que posee, tanto inverso por la izquierda, como por la derecha. Un anillo conmutativo, con unidad, en el cual todo elemento distinto de 0 es invertible, se llama un campo o cuerpo En un campo (A, +, ·), son (A, +) y (A \ {0}, ·) grupos abelianos. O´. En la literatura francesa y alemana se usa más el término de cuerpo (corps, en frances, Körper, en alemán), mientras que en la literatura anglosajona predomina el de campo (field). En la literatura española hay autores que utilizan indistintamente cualesquiera de los dos términos y otros que reservan el término de cuerpo al caso en que (A \ {0}, ·) no es un grupo abeliano. Nosotros utilizaremos el de campo, por ser el más común en América Latina y el de cuerpo para el caso en que (A \ {0}, ·) no es un grupo conmutativo . E 9.1. 1. El lector comprobará facilmente que los conjuntos Z, Q, R, C con las operaciones de suma y producto usuales, son anillos conmutativos con unidad. Además Q, R, C son campos. 2. El lector también comprobará facilmente que el subconjunto de C Z[i] := {α ∈ C | α := x + iy, x, y ∈ Z} dotado de la suma y producto usuales de complejos, es un anillo conmutativo con unidad, llamado el anillo de los enteros gaussianos. 3. (Zn , +, ·) el conjunto de las clases (mód n), dotado de las operaciones binarias definidas por x¯ + y¯ := x + y,

x¯ · y¯ := xy, ∀ x¯, y¯ ∈ Zn

es un anillo conmutativo con unidad, llamado el anillo de las clases residuales (mód n). Si n no es un número primo, entonces Zn posee divisores de cero ¯ propios, pues si n = qp, entonces q¯ · p¯ = pq = n¯ = 0. 4. Sea √3 √3 S := {α ∈ R | α := x + y 3 + z 9, x, y, z ∈ Q} dotado de las operaciones de suma y producto usuales de R. Entonces (S , +, ·) es un anillo conmutativo. En efecto las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad son heredadas de la suma y producto usuales de R. 0 y 1 están en S y son los elementos neutros respectivos. Obviamente si α ∈ S , también −α ∈ S . Nos falta mostrar que dados √dos elementos α, β ∈ S √ , la suma √3 √3 y 3 3 producto están en S . En efecto, si α := a + b 3 + c 9 y β := d + e 3 + f 9, entonces: √3 √3 α + β = (a + d) + (b + e) 3 + (c + f ) 9 ∈ S , √3 √3 α · β = (ad + 3b f + 3ce) + (ae + bd + 3c f ) 3 + (a f + be + cd) 9 ∈ S 5. El orden en el cual aparecen las operaciones es importante, pues el lector comprobará facilmente que (Q, +, ·) es un anillo, pero (Q, ·, +) no lo es, ya que (Q, ·) no es un grupo.

9.1. ANILLOS

155

6. Sea A := {a, b, c, d} y +, · las operaciones definidas por las tablas: + a b c d

(9.2)

a a b c d

b b a d c

c c d a b

d d c b a

y

· a b c d

a a a a a

b a b c d

c a a a a

d a b c d

Entonces (A, +, ·) es un anillo no conmutativo, como el lector lo comprobará como un ejercicio. 7. Sea (G, +) un grupo Abeliano y End(G) el conjunto de endomorfismos sobre G, dotado de la operación binaria + : End(G) × End(G) → End(G) definida por (ψ + ϕ)(g) := ψ(g) + ϕ(g), ∀ ψ, ϕ ∈ End(G), ∀g ∈ G. Entonces (End(G), +) es un grupo abeliano.(Ver ejercicio 4.3.1,13). Por otra parte la composición ◦ de endomorfismos sobre G es una operación binaria sobre End(G) y (End(G), ◦) es un semigrupo, incluso un monoide. Dados tres endomorfismos ψ, ϕ, σ ∈ End(G), ψ ◦ (ϕ + σ)(g) = ψ(ϕ(g) + σ(g)) = ψ(ϕ(g)) + ψ(σ(g)) = ψ ◦ ϕ(g) + ψ ◦ σ(g), ∀g ∈ G por consiguiente vale ψ ◦ (ϕ + σ) = ψ ◦ ϕ + ψ ◦ σ. En forma análoga resulta (ϕ + σ) ◦ ψ = ϕ ◦ ψ + σ ◦ ψ y las relaciones de distributividad (9.1) se satisfacen, por lo tanto (End(G), +, ◦) es un anillo con unidad, no conmutativo, ya que la composición de endomorfismos no es conmutativa. 9.1.1.


1. En un anillo (A, +, ·) valen las siguientes propiedades: a) a · 0 = 0 · a = 0, ∀ a ∈ A. b) a · (−b) = (−a) · b = −(a · b), ∀ a, b ∈ A. c) (−a) · (−b) = a · b, ∀ a, b ∈ A. d) −(−a) = a, ∀ a ∈ A. e) (a + b)2 = a2 + b2 + a · b + b · a Si además A es un anillo con unidad, entonces: f) Existe un u´ nico elemento unidad. g) (−1) · a = −a, ∀ a ∈ A. 2. Mostrar que si a ∈ A es un elemento invertible del anillo A, entonces a no puede ser un divisor de 0. 3. Mostrar que si b, c ∈ A son inversos por la derecha, respectivamente por la izquierda de un elemento a ∈ A, entonces b = c y a es, por consiguiente, invertible. 4. En general en un anillo A cualquiera no vale la implicación: a · b = a · c ⇒ b = c, ∀a, b, c ∈ A. Mostrar que si A es un dominio de integridad, entonces dicha implicación s´ı es válida ∀ a, b, c ∈ A. Dar ejemplo de un anillo en el cual dicha implicación no vale.

156


5. Sea M2 el conjunto de las matrices 2×2, con términos enteros, dotado de la suma y producto habituales de matrices. a) ¿Es (M2 , +, ·) un anillo? b) ¿Existen en M2 elementos divisores de 0? c) ¿Existen en M2 elementos invertibles? d) Dar condición para que un elemento sea invertible en M2 . 6. Se dice que un anillo (A, +, ·) es un anillo Booleano si x2 = x, ∀ x ∈ A. Mostrar que todo anillo booleano es conmutativo y que 2x = 0, ∀ x ∈ A. 7. Sea (A, +, ·) un anillo y A∗ := {a ∈ A | a invertible} Mostrar que (A, ·) es un grupo, llamado el grupo de unidades o elementos invertibles de A. 8. Sea E el conjunto de todas las sucesiones de números enteros a := (a1 , a2 , . . . ), dotado de la adición definida por componentes. Sea A := { f : E → E | f (a + b) = f (a) + f (b)}. Si ◦ es la composición de aplicaciones y + la aplicación binaria sobre A definida por ( f + g)(a) := f (a) + g(a), ∀ a ∈ A, mostrar que a) (A, +, ◦) es un anillo con unidad. b) El operador deslizamiento T (a1 , a2 , . . . , ) := (0, a1 , a2 , . . . ) es un elemento de A. c) T posee una inversa T 0 por la izquierda, pero no por la derecha. Describir T 0. 9. Sea (A, +, ·) un anillo. Decimos que un subconjunto B ⊆ A es un subanillo de A, si (B, +) es un subgrupo de (A, +) y B es cerrado respecto del producto ·. Si A es anillo con unidad, entonces exigiremos que B contenga a la unidad. Mostrar que el centro del anillo A, definido como el subconjunto Z(A) := {a ∈ A | a · x = x · a, ∀ x ∈ A}, es un subanillo de A. 10. Sea (A, +, ·) un anillo, x, y1 , . . . , yn ∈ A. Mostrar, por inducción sobre n, que x · (y1 + y2 + · · · + yn ) = xy1 + · · · + xyn . Si además se tienen elementos x1 , . . . , xm ∈ A, mostrar que  m  n  m X n X  X  X xi   y j  = xi y j  i=1

j=1

i=1 j=1

11. Sea S un conjunto no vac´ıo y (A, +, ·) un anillo. Mostrar que si M(S , A) es el conjunto de todas las aplicaciones de S en A, dotado de las operaciones binarias + y ·, definidas por ( f + g)(s) := f (s) + g(s),

( f · g)(s) := f (s) · g(s), ∀ s ∈ S

entonces (M(S , A), +, ·) es un anillo. Si A es un anillo con unidad, entonces M(S , A) es un anillo con unidad. Además si A es un anillo conmutativo, entonces también lo será M(S , A).

9.2. IDEALES, HOMOMORFISMOS, ANILLOS COCIENTE Y TEOREMA DE ISOMORFÍA

9.2.

157

Ideales, Homomorfismos, Anillos Cociente y Teorema de Isomorf´ıa

9.2.1. Ideales. Sea A un anillo. Un subconjunto no vac´ıo, a ⊆ A, es un ideal derecho (izquierdo) de A si se cumplen las condiciones siguientes: a) (a, +) es un subgrupo de (A, +). b) Dados x ∈ A, a ∈ a, a · x ∈ a (x · a ∈ a). Si a es un ideal izquierdo y derecho, entonces se dice que es un ideal bilátero o simplemente, por abuso de lenguaje, un ideal. O´. Si A es un anillo conmutativo la distinción entre ideal izquierdo y derecho es irrelevante. E 9.2. 1. El anillo A y 0 := {0} = (0) son ideales. 0 se llama el ideal cero 2. Sea Z el anillo de los números enteros con las operaciones usuales y n un entero. Entonces nZ := {nx | x ∈ Z} es un ideal de Z. 3. Si Z[i] := {α ∈ C | α := x + iy, x, y ∈ Z} es el anillo de los enteros gaussianos, entonces el conjunto a := {iα | α ∈ Z[i]} es un ideal de Z[i]. 4. Sea M2 el conjunto de las matrices 2 × 2 con términos reales y A ∈ M2 , entonces a := {AB | B ∈ M2 } es un ideal derecho de M2 , mientras que b := {BA | B ∈ M2 } es un ideal izquierdo de M2 . Sin embargo a, b no son ideales de M2 . 5. Sea A un anillo, a ∈ A un elemento fijo. Entonces los conjuntos a · A := {a · x | x ∈ A}

A · a := {x · a | x ∈ A}

son, respectivamente, ideal derecho e ideal izquierdo de A, mientras que a · A · a := {x · a · x | x ∈ A} es un ideal de A. En el caso en que A es un anillo conmutativo, entonces a · A = A · a = A · a · A es un ideal de A. Decimos que un ideal izquierdo (derecho) a es un ideal principal izquierdo (derecho) generado por a ∈ A, si a = A · a (a = a · A). En forma análoga a es un ideal principal de A generado por a ∈ A si a = A · a · A, en tal caso escribiremos a = (a). Si A es un anillo con unidad, entonces a ∈ a. Si S es un subconjunto de elementos de un anillo A, sean       X  (S )(i) :=  x · s | x ∈ A, x = 0, salvo para un n´ u mero finito de elementos s ∈ S  s s s     s∈S


158

(S )(d)

       X s · x | x ∈ A, x = 0, salvo para un n´ u mero finito de elementos s ∈ S :=   s s s     s∈S

y       X  x · s · y | x , y ∈ A, x = 0 = y , salvo para un n´ u mero finito de elementos s ∈ S (S ) :=   s s s s s s     s∈S

Entonces (S )(i) , (S )(d) , (S ) son ideales por la izquierda, por la derecha y bilátero, respectivamente, llamados los ideales por la izquierda, por la derecha y bilátero generados por el conjunto S . En el caso en que S es un conjunto finito, formado por los elementos s1 , . . . , sn ∈ A, entonces denotaremos por (s1 , . . . , sn )(i) , (s1 , . . . , sn )(d) , (s1 , . . . , sn ) los ideales correspondientes generados por s1 , . . . , sn . 9.2.1.1. Operaciones entre Ideales. Sea (a)i∈I una familia de ideales de un anillo (A, +, ·), entonces \ a := ai i∈I

es un ideal (demostración!) de A, llamado el ideal intersección sobre la familia (a)i∈I . a , ∅, ya que 0 ∈ a. Como el lector podrá comprobar con facilidad, con algunos ejemplos, la unión de ideales no es, en general, un ideal. Sin embargo definimos la suma de ideales sobre una familia (a)i∈I de ideales como (9.3)

X

ai :=

i∈I

[ ai , i∈I

es decir como el ideal generado por la unión sobre la familia de ideales (a)i∈I . Al ideal (9.3) lo llamamos el ideal suma sobre la familia de ideales (a)i∈I . Si A es un anillo conmutativo y a1 , . . . , an ideales de A, entonces al ideal n Y ai := (S ), i=1

donde S es el conjunto S := {x1 · · · xn | xi ∈ ai , i = 1, . . . , n}, lo llamamos el ideal producto de los ideales a1 , . . . , an . Decimos que el ideal a es un ideal propio del anillo A, si a , A, es decir a está propiamente contenido en A. 9.2.2. Ejercicios y Complementos. 1. Sea (Z, +, ·) el anillo de los números enteros. Mostrar que dados m, n ∈ Z, el ideal (m, n) = (D), donde D es el máximo común divisor de m y n. 2. Si (A, +, ·) es un anillo con unidad, y a := (a), entonces a ∈ a. Si a es un ideal, tal que 1 ∈ a, mostrar que a = A y que a ∈ A un elemento invertible Ssi el ideal (a) = A. Mostrar también que si un ideal a contiene un elemento invertible, entonces a = A. 3. Sean a un ideal izquierdo y b un ideal derecho de un anillo A. Mostrar que a · b es un ideal de A.


159

4. Sean (A, +, ·) un anillo conmutativo con unidad, a, b ideales de A. Mostrar que (a : b) := {x ∈ A | x · b ⊆ a} es un ideal de A, llamado el ideal cociente. Mostrar, además que el ideal cociente posee las siguientes propiedades: a) a ⊆ (a : b). b) (a : b) · b ⊆ a. c) ((a : b) : c) = (a : (b · c)) = ((a : c) : b). T T d) ai : b = (ai : b). i∈I P i∈I T e) a : bi = (a : bi ). i∈I

i∈I

5. Sea a un ideal del anillo conmutativo con unidad A. Si Ann(a) := {x ∈ A | x · a = 0} mostrar que Ann(a) = (0 : a), por lo que Ann(a) es un ideal de A, llamado el anulador de a. 6. Mostrar que un anillo conmutativo con unidad (K, +, ·) es un campo Ssi sus u´ nicos ideales son 0 y todo K. 9.2.3.

Homomorfismos de Anillos. Sean A, B dos anillos. Decimos que la aplica-

ción ϕ:A→B es un homomorfismo de anillos ,si se cumplen las condiciones siguientes: ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ A,

(9.4)

(es decir ϕ es un homomorfismo del grupo (A, +) en el grupo (B, +)) ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y), ∀x, y ∈ A.

(9.5)

Si A y B son anillos con unidad, entonces debe valer además ϕ(1A ) = 1B

(9.6)

En forma análoga a los homomorfismos de grupos, al conjunto ker ϕ := {x ∈ A | ϕ(x) = 0} lo llamamos el núcleo o kernel del homomorfismo ϕ. En forma análoga a los homomorfismos de grupos, si ϕ es un homomorfismo de anillos inyectivo, sobreyectivo o biiyectivo, respectivamente, diremos, entonces que ϕ es un monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo de anillos, respectivamente. E 9.3. 1. Sea A un anillo. La aplicación identidad 1A : A → A definida por 1A (x) := x, ∀ x ∈ A, es un homomorfismo de anillos, cuyo núcleo es 0. 2. Sea C el conjunto de todas las matrices de la forma ! a b donde a, b ∈ Z −b a


160

dotado de las operaciones usuales de suma y producto de matrices. Entonces (C, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad. Si Z es el anillo de los enteros, entonces ϕ:Z→C definido por ! a 0 ϕ(a) := 0 a es un homomorfismo inyectivo de anillos. ker ϕ = 0 3. Sea (Zn , +, ·) el anillo de las clases residuales (mód n) y π : Z → Zn la proyección canónica, definida por π(x) := x¯, entonces π es un homomorfismo de anillos, cuyo núcleo ker π = nZ. 4. Sea Z[i] el anillo de los enteros gaussianos y C el anillo definido en el ejemplo 9.3,2, entonces la aplicación ϕ : Z[i] → C definida por ϕ(a + bi) :=

a −b

b a

! , ∀ a + bi ∈ Z[i]

es un isomorfismo de anillos. T 9.1. El núcleo ker ϕ de un homomorfismo de anillos ϕ : A → B es un ideal de A. Además ker ϕ = 0, Ssi ϕ es un monomorfismo. D´. Siendo ker ϕ el núcleo de un homomorfismo de anillos, es también el núcleo del homomorfismo ϕ en tanto que homomorfismo de grupos, entre el grupo (A, +) y el grupo (B, +). Del teorema 4.33 sabemos que ker ϕ es un subgrupo normal del grupo (A, +). Por otra parte ∀ x ∈ A y ∀ a ∈ ker ϕ se tiene ϕ(x · a) = ϕ(x) · ϕ(a) = ϕ(x) · 0 = 0

y

ϕ(a · x) = ϕ(a) · ϕ(x) = 0 · ϕ(x) = 0

por lo tanto ker ϕ es un ideal de A. Supongamos ahora que ker ϕ = 0, y ϕ no inyectiva. Entonces existen x, y ∈ A, x , y tales que ϕ(x) = ϕ(y). Como ϕ es un homomorfismo, vale entonces 0 = ϕ(x) − ϕ(y) = ϕ(x − y), entonces x − y ∈ ker ϕ y x − y , 0, en contradicción a que ker ϕ = 0. Por lo tanto ϕ debe ser inyectiva. Por otra parte, si ϕ es inyectiva, entonces ϕ(x) = 0 = ϕ(0) implica que x = 0, por lo que ker ϕ = 0. 9.2.4. Anillos Cociente. Dado un anillo (A, +, ·) y un ideal a de A, entonces a es un subgrupo normal del grupo (A, +), la relación a ∼ b Ssi (a − b) ∈ a es una relación de equivalencia sobre A y la operación binaria + induce una operación binaria sobre A/a tal que (A/a, +) es un grupo abeliano (Ver teorema 4.21). T 9.2. La operación · sobre A induce una operación binaria · : A/a × A/a → A/a definida de la siguiente forma: x¯ · y¯ := x · y la cual está bien definida y tal que (A/a, +, ·) es un anillo. Si (A, +, ·) es conmutativo, también lo será (A/a, +, ·) y si A es un anillo con elemento unidad 1, entonces la clase 1¯ es elemento unidad del anillo A/a.


161

D´. Debemos mostrar que · está bien definida, es decir, que no depende de los representantes escogidos. En efecto, sean x, u ∈ A dos representantes distintos de x¯ ∈ A/a y y, v ∈ A dos representantes distintos de y¯ ∈ A/a. Entonces u − x ∈ a y v − y ∈ a y existen a, b ∈ a, tales que u = x + a y v = y + b. Entonces u · v = (x + a) · (y + v) = x · y + x · b + a · y + a · b, de donde u · v − x · y = (x · b + a · y + a · b) ∈ a. Por consiguiente u¯ · v¯ = u · v = x · y = x¯ · y¯ , por lo que · está bien definida sobre A/a. Por teorema 4.21 (A/a, +) es un grupo abeliano. Nos queda por mostrar que · es asociativa y que satisface las propiedades de distributividad (9.1) · es asociativa. En efecto, para todo x, y, z ∈ A x¯ · (¯y · z¯) = x¯ · (y · z) = x · (y · z) = (x · y) · z = ( x¯ · y¯ ) · z¯. De forma análoga resultan las propiedades distributivas: x¯ · (¯y + z¯) = x¯ · (x + y) = x · (y + z) = x · y + x · z = x · y + x · z = x¯ · y¯ + x¯ · z¯ y ( x¯ + y¯ ) · z¯ = (x + y) · z¯ = (x + y) · z = x · z + y · z = x · z + y · z = x¯ · z¯ + y¯ · z¯. Por lo tanto hemos mostrado que (A/a, +, ·) es un anillo. Si A es conmutativo, entonces un simple cálculo (ejercicio) nos muestra que A/a es conmutativo. Si A es un anillo con unidad 1 ∈ A, entonces 1¯ · x¯ = 1 · x = x¯ = x · 1 = x¯ · 1¯ por lo que 1¯ es el elemento unidad de A/a.

El anillo (A/a, +, ·) se llama el anillo cociente de A por a. Dejamos al lector, como un ejercicio, la sencilla demostración del siguiente T 9.3. La aplicación canónica π : A → A/a definida por π(x) := x¯ es un homomorfismo de anillos, llamado el homomorfismo canónico. 9.2.5. Teoremas de Isomorf´ıa. En forma análoga a la teor´ıa de grupos, en la teor´ıa de anillos también se tienen los llamados teoremas de isomorf´ıa. T 9.4 (Primer Teorema de Isomorf´ıa o Teorema de Factorización). Sea ϕ:A→B un homomorfismo de anillos. Entonces ϕ induce un u´ nico homomorfismo de anillos ϕˆ : A/ ker ϕ → B,


162

que hace conmutar al diagrama (9.7)

ϕ

/ w; B w w ww π ww ϕˆ w w A/ ker ϕ A

ϕˆ es inyectiva y si ϕ es sobreyectiva, entonces ϕˆ es un isomorfismo. D´. Consideremos, inicialmente, ϕ como el homomorfismo entre los grupos (A, +) y (B, +). Vimos en la demostración del teorema de factorización para grupos 4.35, que la aplicación ϕ, ˆ definida por ϕ( ˆ x¯) := ϕ(x) está bien definida, es un homomorfismo de grupos y es el u´ nico homomorfismo que hace conmutar al diagrama (9.7). Además ϕˆ es inyectivo y si ϕ es sobreyectivo, entonces ϕˆ es un isomorfismo de grupos. Vamos a mostrar que ϕˆ es también un homomorfismo de anillos. En efecto, ∀ x¯, y¯ ∈ A/ ker ϕ ϕ( ˆ x¯ · y¯ ) = ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y) = ϕ( ˆ x¯) · ϕ(¯ ˆ y) Sea a un ideal del anillo A y b un ideal del anillo B, decimos que una aplicación ϕ:a→b es un homomorfismo de ideales, si ϕ es un homomorfismo de grupos entre el grupo (a, +) y el grupo (b, +) y ∀ x, y ∈ a, ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y). Si ϕ:A→B es un homomorfismo de anillos, que mapea un ideal a de A en un ideal b de B, entonces la restricción ϕ|a : a → b es un homomorfismo de ideales, como el lector comprobará facilmente. Dado un anillo A y un ideal a de A, denotaremos por I(A) al conjunto de todos los ideales de A, y por Ia (A) al conjunto de todos los ideales de A que contienen al ideal a. T 9.5 (Segundo Teorema de Isomorf´ıa). Sea ϕ:A→B un homomorfismo sobreyectivo de anillos, b un ideal de B. Entonces a := ϕ−1 [b] es un ideal de A que contiene al núcleo ker ϕ y la restricción ϕ| ˆ a/ ker ϕ : a/ ker ϕ → b es un isomorfismo de ideales. Por otra parte ϕ induce una biyección Φ : I(B) → Iker ϕ (A) por lo que los ideales de B están en correspondencia biun´ıvoca con los ideales de A que contienen a ker ϕ. D´. a es un ideal de A. En efecto dados x, y ∈ a, ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ∈ b, lo que implica que (x + y) ∈ a. Por otra parte, dados x ∈ A, a ∈ a, ϕ(x · a) = ϕ(x) · ϕ(a) ∈ b lo que implica que x · a ∈ a, en forma análoga se muestra que a · x ∈ a. Por consiguiente a es un ideal de A. Por otra parte, como 0 ∈ b, resulta que ker ϕ = ϕ−1 [0] ⊆ a. Por el primer teorema de isomorf´ıa 9.4, ϕ induce un isomorfismo ϕˆ : A/ ker ϕ → B


163

cuya restricción ϕ| ˆ a/ ker ϕ : a/ ker ϕ → b es un isomorfismo de ideales. Vamos a mostrar ahora, que la aplicación Φ : I(B) → Iker ϕ (A) definida por Φ(y) := ϕ [y], ∀ y ∈ I(B) es una biyección. Φ es inyectiva: En efecto, como ϕ es sobreyectiva, se tiene que ϕ[ϕ−1 [y]] = y, ∀ y ∈ I(B).(Ver teorema 1.2), por consiguiente Φ es inyectiva. Φ es sobreyectiva: En efecto, sea x ∈ Iker ϕ (A), como ϕ es sobreyectiva, ϕ[x] es un ideal de B (ejercicio). Vamos a mostrar que x = ϕ−1 [ϕ[x]]. Por teorema 1.2, sabemos que x ⊆ ϕ−1 [ϕ[x]], vamos a mostrar que, en este caso, también ϕ−1 [ϕ[x]] ⊆ x. Sea x ∈ ϕ−1 [ϕ[x]], entonces ϕ(x) ∈ ϕ[x], por lo que existe a ∈ x, tal que ϕ(x) = ϕ(a), entonces (x − a) ∈ ker ϕ ⊆ x y x = (a + (x − a)) ∈ x, ∀ x ∈ ϕ−1 [ϕ[x]]. Por consiguiente x = ϕ−1 [ϕ[x]] −1

L 9.6. Si a es un ideal de un anillo A, contenido en el núcleo ker ϕ del homomorfismo de anillos ϕ:A→B entonces ϕ induce un homomorfismo de anillos ϕˆ : A/a → B que hace conmutar al diagrama ϕ

/B |> | || π ||ϕˆ | | A/a

(9.8)

A

D´. Como vimos en la demostración del teorema 9.4, para que el diagrama (9.8) sea conmutativo, debe valer ϕ( ˆ x¯) := ϕ(x). ϕˆ está bien definida si, dados dos representantes x, y de la clase x¯, x − y ∈ ker ϕ, lo cual se cumple, ya que a ⊆ ker ϕ. (Ver ejercicio 9.2.6,3). ϕˆ es un homorfismo de anillos, como se demostró en el teorema 9.4. T 9.7 (Tercer Teorema de Isomorf´ıa). Sean ϕ:A→B un homomorfismo de anillos, b un ideal de B y a un ideal de A, tal que ϕ[a] ⊆ b. Entonces ϕ induce un u´ nico homomorfismo ϕˆ : A/a → B/b que hace conmutar al diagrama (9.9)

A

ϕ

πA

A/a

/B πB

ϕˆ

/ B/b

Si a := ϕ−1 [b], entonces ϕˆ es inyectiva y si, además, ϕ es sobreyectiva, entonces ϕˆ es un isomorfismo.


164

D´. Consideremos el diagrama conmutativo, por definición de ϕ˜ ϕ

/B AB BB BB πB B ϕ˜ BB B/b

(9.10)

como ϕ[a] ⊆ b, vale a ⊆ ker ϕ y, por lema 9.6, ϕ˜ induce un homomorfismo ϕˆ : A/a → B/b que completa al diagrama (9.10) en el diagrama conmutativo (9.11)

A

ϕ

/B ϕ˜

πA

A/a

ϕˆ

πB

" / B/b

Si a := ϕ−1 [b], entonces a = ker ϕ˜ y, por teorema 9.4, ϕˆ es inyectiva y si ϕ es sobreyectiva, también lo será ϕ˜ y por consiguiente ϕˆ es un isomorfismo. Como consecuencia de los teoremas de isomorf´ıa, se obtiene el siguiente C 9.8 (Teorema de Cancelación). Sean A un anillo, a, b ideales de A, tales que a ⊆ b. Entonces existe un isomorfismo πˆ : (A/a)/(b/a) → A/b D´. En efecto, la proyección canónica π : A → A/b induce, por lema 9.6, un homomorfismo sobreyectivo π˜ : A/a → A/b cuyo núcleo es b/a y, por teorema 9.7, el homomorfismo πˆ : (A/a)/(b/a) → A/b

es un isomorfismo.

9.2.6. Ejercicios y Complementos. 1. Mostrar que si ϕ : A → B es un homomorfismo de anillos, entonces ϕ[A] es un subanillo de B. 2. Sean A un anillo con unidad y Z el anillo de los números enteros. Mostrar que la aplicación ψ : Z → A, definida por ψ(m) := m · 1 := 1| + {z · · · +} 1, ∀ m ∈ Z m

es un homomorfismo de anillos. Mostrar, además, que A contiene un subanillo isomorfo a Z o A contiene un subanillo isomorfo a un Zn , para algún n ∈ Z. 3. Dados un homomorfismo de anillos ϕ : A → B, y un ideal a de A, mostrar que la aplicación ϕˆ : A/a → B, definida por ϕ( ˆ x¯) := ϕ(x), está bien definida Ssi a ⊆ ker ϕ. 4. Dados un anillo A y un ideal a de A, mostrar, usando el segundo teorema de isomorf´ıa, que los ideales de A/a están en correspondencia biun´ıvoca con los ideales de A que contienen al ideal a y que e´ stos son de la forma x/a, donde x es un ideal de A que contiene al ideal a.

9.3. IDEALES PRIMOS E IDEALES MAXIMALES

165

5. Sea A := End(Zn ) el anillo de todos los endomorfismos sobre el grupo abeliano (Zn , +). Si 1 es el endomorfismo identidad sobre Zn , entonces por ejercicio 9.2.6,2, la aplicación ψ : Z → End(Zn ), definida por ψ(m) := m · 1 es un homomorfismo de anillos. Mostrar que ψ induce un isomorfismo ψˆ : Zn → End(Zn ). 6. Mostrar que si ϕ : K → E es un homomorfismo entre dos campos K, E, entonces ϕ es inyectivo. En particular, si K es un campo finito, entonces todo endomorfismo sobre K es un automorfismo. 7. Mostrar que el conjunto de los automorfismos sobre un campo K, Aut(K), con la composición ◦ forma un grupo. LLamado el grupo de automorfismos sobre el campo K. 9.3.

Ideales Primos e Ideales Maximales

Sea A un anillo conmutativo con unidad. Decimos que el ideal p es un ideal primo del anillo A, si p es un ideal propio y x · y ∈ p ⇒ x ∈ p ∨ y ∈ p.

(9.12)

T 9.9. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Entonces el ideal p es un ideal primo Ssi el anillo A/p es un dominio entero. D´. A/p es dominio entero Ssi x · y = x¯ · y¯ = 0¯ ⇒ x¯ = 0¯ ∨ y¯ = 0¯ Ssi x · y ∈ p ⇒ x ∈ p ∨ y ∈ p Ssi p es ideal primo. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Al conjunto Spec A := {p ⊆ A | p es un ideal primo} lo llamamos el espectro primo de A o espectro de A. Dado un ideal a de A, definimos Speca A := {p ∈ Spec A | a ⊆ p}. El conjunto Spec A juega un papel muy importante en la geometr´ıa algebraica, donde se le dota de una topolog´ıa, la llamada topolog´ıa de Zariski. (Ver teorema 9.18). Como consecuencia del segundo teorema de isomorf´ıa, teorema 9.5, se obtiene, para el caso de los ideales primos el siguiente C 9.10. Sean ϕ:A→B un homomorfismo sobreyectivo de anillos y q ∈ Spec B . Entonces p := ϕ−1 [q] ∈ Specker ϕ A y la restricción ϕ| ˆ p/ ker ϕ : p/ ker ϕ → q es un isomorfismo de ideales. Por otra parte ϕ induce una biyección ϕ∗ : Spec B → Specker ϕ A definida por ϕ∗ (q) := ϕ−1 [q], ∀ q ∈ Spec B, por lo que los ideales primos de B están en correspondencia biun´ıvoca con los ideales primos de A que contienen a ker ϕ. ´ D´. Unicamente falta mostrar que, en efecto, la imágen inversa de un ideal primo es también primo. Demostración que dejaremos, como ejercicio, al lector. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Decimos que el ideal m es un ideal maximal del anillo A, si m es un ideal propio y si a es un ideal que contiene a m, entonces a = A o a = m. Es decir m no está contenido propiamente en ningún ideal propio.


166

T 9.11. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Entonces el ideal m es un ideal maximal Ssi A/m es un campo. D´. Vamos a mostrar que los u´ nicos ideales de A/m son 0¯ y A/m y por ejercicio 9.2.2,6, A/m es un campo. En efecto, si a¯ es un ideal de A/m, entonces, por ejercicio 9.2.6,4, a¯ = a/m, donde a es un ideal que contiene a m. Como m es ideal maximal sólo puede valer a = m o a = A, es decir a¯ = 0¯ o a¯ = A/m. Dado que todo campo es un dominio de integridad, se tiene, de forma inmediata, el siguiente C 9.12. Todo ideal maximal de un anillo conmutativo con unidad, es un ideal primo. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Al conjunto Ω(A) := {m ⊆ A | m es ideal maximal} lo llamamos el espectro maximal de A. Dado un ideal a de A, definimos Ωa (A) := {m ∈ Ω(A) | a ⊆ m}. Por corolario 9.12, se tiene (9.13)

Ω(A) ⊆ Spec A.

Como consecuencia del segundo teorema de isomorf´ıa, teorema 9.5, se obtiene, para el caso de los ideales maximales el siguiente C 9.13. Sean ϕ:A→B un homomorfismo sobreyectivo de anillos y n ∈ Ω(B) . Entonces m := ϕ−1 [n] ∈ Ωker ϕ (A) y la restricción ϕ| ˆ m/ ker ϕ : m/ ker ϕ → n es un isomorfismo de ideales. Por otra parte ϕ induce una biyección ϕ∗ : Ω(B) → Ωker ϕ (A) definida por ϕ∗ (n) := ϕ−1 [n], ∀ n ∈ Ω(B), por lo que los ideales maximales de B están en correspondencia biun´ıvoca con los ideales maximales de A que contienen a ker ϕ. ´ D´. Unicamente falta mostrar que, en efecto, la imágen inversa de un ideal maximal es también maximal. Demostración que dejaremos, como ejercicio, al lector. Uno de los resultados más importantes en la teor´ıa de anillos conmutativos con unidad, es la existencia de ideales maximales, cuya demostración utiliza el llamado lema de Zorn, 1.6. T 9.14. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Entonces A posee, al menos, un ideal maximal. D´. Sea M el conjunto de todos los ideales propios de A. Vamos a mostrar que M satisface las condiciones del lema de Zorn, 1.6, lo que mostrar´ıa que M posee, al menos, un elemento maximal. M , ∅, ya que 0 ∈ M. Vamos a mostrar ahora que M está inductivamente ordenado (ver definición 1.19). En efecto, la inclusión ⊆, induce una


167

relación de orden parcial sobre M. Sea A un subconjunto totalmente ordenado de M. Vamos a mostrar que A posee una cota superior en M. Sea [ s := a a∈A

y mostremos que s ∈ M y que es una cota superior de A. En efecto, por definición de s, a ⊆ s, ∀ a ∈ A. Vamos a mostrar que s es un ideal propio de A. s , A, ya que 1 < s, pues s es unión de ideales propios. Dados a, b ∈ s, existen a, b ∈ A, tales que a ∈ a, b ∈ b, como A está totalmente ordenado, vale entonces que a ⊆ b o b ⊆ a. Sin limitación de la generalidad, supongamos que a ⊆ b, entonces a, b ∈ b por lo que (a + b) ∈ b ⊆ s. Por otra parte, si x ∈ A y a ∈ s, existe un ideal a ∈ A, tal que a ∈ a, entonces x · a = a · x ∈ a ⊆ s. Por consiguiente s es un ideal propio de A y es una cota superior de A. Uno de los problemas ancestrales de la teor´ıa de números enteros es el siguiente: Dados p1 , . . . , pn números enteros primos relativos entre s´ı y x1 , . . . , xn números enteros cualesquiera ¿Existe un número entero x, tal que x = qi pi + xi ?

(9.14) Es decir

x ≡ xi

(9.15)

(mód pi )

Dicho problema es conocido como el problema del resto chino y en la teor´ıa de anillos e ideales el siguiente teorema nos da una respuesta generalizada. T 9.15 (Teorema del Resto Chino). Sea A un anillo conmutativo con unidad, a1 , . . . , an ideales, tales que ai + a j = A, para todo i , j. Dados x1 , . . . , xn ∈ A, existe, entonces, un x ∈ A, tal que x ≡ xi (mód ai ), para todo i = 1, . . . , n. D´. Por inducción sobre n. Para n = 2, se tiene a1 + a2 = 1 para a1 ∈ a1 y a2 ∈ a2 adecuados. Entonces x := x1 · a2 + x2 · a1 , satisface lo deseado. Supongamos que el teorema valga para n − 1 ideales. Entonces para i > 2, existen elementos ai ∈ a1 , bi ∈ ai , tales que ai + bi = 1, Entonces 1=

n Y

i > 2.

(ai + bi ) ∈ a1 +

i=2

n Y

ai .

i=2

Entonces a1 +

n Y

ai = A.

i=2

Dados x1 = 1, x2 = 0, como el teorema vale para n = 2, existe y1 ∈ A, tal que y1 ≡ 1 y1 ≡

(mód a1 ) n Y (mód ai ) i=2

Por hipótesis de inducción, para cada j > 2, x j = 1, xi = 0, i , j, existe y j ∈ A, tal que yj ≡ 1

(mód a j )

y yj ≡ 0

(mód ai )

Entonces x = x1 y1 + · · · + xn yn satisface lo deseado.

para i , j.


168

C 9.16. Sean A un anillo conmutativo con unidad, a1 , . . . , an ideales de A, tales que ai + a j = A, para i , j. Sea n Y f :A→ A/ai i=1

el homomorfismo definido por f (x) := (π1 (x), . . . , πn (x)), donde πi : A → A/ai es la aplicación canónica. Entonces

n T

ai es el núcleo de f y

i=1

f˜ : A/

n \

ai →

i=1

n Y

A/ai

i=1

es un isomorfismo. D´. Obviamente ker f = do ( x¯1 , . . . , x¯n ) ∈

n Q

n T

. Vamos a mostrar que f es sobreyectiva. Da-

i=1

A/ai , por el teorema del resto chino 9.15, para los representantes

i=1

x1 , . . . , xn ∈ A, existe x ∈ A, tal que x ≡ xi (mód ai ). entonces f (x) = ( x¯1 , . . . , x¯n ). Por lo tanto f es sobreyectiva y f˜ es un isomorfismo. Un resultado interesante es el obtenido en el siguiente L 9.17. Dados a1 , . . . , an , ideales de un anillo conmutativo con unidad A, tales que A = a1 +· · ·+an , entonces, si ν1 , . . . , νn , son enteros positivos, también vale A = aν1 +· · ·+aνn . D´. Procedamos por inducción sobre n. Para n = 2, existen a1 ∈ a1 , a2 ∈ a2 , tales que a1 + a2 = 1 entonces para cualquier entero positivo ν1 , (a1 + a2 )ν1 = 1 = (aν11 + a˜ 2 ) ∈ aν11 + a2 y para cualquier entero positivo ν2 1 = (aν11 + a˜ 2 )ν2 = a˜ 1 + a˜ ν22 ∈ aν11 + aν22 . Por consiguiente aν11 + aν22 = A. Supongamos que el lema sea válido para n − 1, n > 3, ideales, que cumplan con la hipótesis del lema. Dados a1 , . . . , an , tales que a1 +· · ·+an = A, si b := a1 +a2 , por hipótesis de inducción, el lema vale para los n − 1 ideales b, a3 , . . . , bn , y dados µ, ν3 , . . . , νn , enteros positivos, bµ + aν33 + · · · + aνnn = A. Entonces existen b ∈ bµ , c ∈ (aν33 + · · · + aνnn ), tales que b + c = 1. Como b ∈ b = (a1 + a2 ) , existen a1 ∈ aµ1 y a2 ∈ a2 , tales que µ

µ

b = a1 + a2 . Entonces 1 = a2 + (a1 + c) = a2 + d, a2 ∈ a2 , d := (a1 + c) ∈ (aµ1 + aν33 + · · · + aνnn ). Entonces

˜ aν2 ∈ aν2 , d˜ ∈ (aµ + aν3 + · · · + aνnn ). 1 = (a2 + d)ν2 = aν22 + d, 2 2 1 3 Poniendo ν1 := µ, se obtiene, entonces que aν11 + · · · + aνnn = A.


9.3.1.

169


1. Sea (Z, +, ·) el anillo de los números enteros. Mostrar que el ideal p := (p), p ∈ Z es primo Ssi p es un número primo o p = 0. Mostrar, además que en Z todo ideal primo es también maximal. 2. Mostrar que el ideal 0 es primo Ssi el anillo A es un dominio entero. 3. Sea ϕ : A → B un homomorfismo de anillos conmutativos con unidad y B un dominio entero. Mostrar que ker ϕ es entonces un ideal primo de A. En particular, si A = Z, entonces ker ϕ = (p), donde p es un número primo, llamado la caracter´ıstica del dominio entero B. Los dominios enteros de caracter´ıstica 0 poseen un subanillo isomorfo a Z, mientras que los de caracter´ıstica p , 0 poseen un subanillo isomorfo a Z p . 4. Sea ϕ : A → B un homomorfismo de anillos conmutativos con unidad. Mostrar que si q ∈ Spec B, entonces ϕ−1 [q] ∈ Specker ϕ A. 5. Dados un anillo A y un ideal a de A, mostrar, usando el segundo teorema de isomorf´ıa, que los ideales primos (maximales) de A/a están en correspondencia biun´ıvoca con los ideales primos (maximales) de A que contienen al ideal a y que e´ stos son de la forma p/a, donde p es un ideal primo (maximal) de A que contiene al ideal a. 6. Mostrar que todo ideal a de un anillo conmutativo con unidad A está contenido en un ideal maximal. (Ayuda: aplicar teorema 9.14 al anillo A/a). 7. Sea ϕ : A → B un homomorfismo de anillos. Mostrar que si n ∈ Ω(B), entonces ϕ−1 [n] ∈ Ωker ϕ (A). 8. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Decimos que x ∈ A es un elemento nilpotente, si existe n ∈ Z+ , tal que xn = 0. Mostrar que el conjunto r(A) := {x ∈ A | x es nilpotente} es un ideal de A, llamado el nil radical o radical de A. (Ayuda: para mostrar la cerradura respecto de la suma, si xn = 0 = ym , definir N := n + m y aplicar binomio de Newton). T 9. Mostrar que r(A) ⊆ p. (En realidad, como veremos más adelante, subsiste p∈Spec A

la igualdad. Ver teorema 9.24). 10. Si a es un ideal del anillo conmutativo con unidad A, mostrar que el conjunto r(a) := {x ∈ A | xn ∈ a para algún n ∈ Z+ } es un ideal de A que contiene al ideal a, llamado el radical del ideal a. Mostrar también que r(A/a) = r(a) y que r(A) = r(0). 11. Decimos que un ideal a de un anillo conmutativo con unidad A es un ideal radical, si r(a) = a. Mostrar que todo ideal primo es un ideal radical. (La conversa no es, en general, válida). 12. Decimos que un ideal propio q de un anillo conmutativo con unidad A es un ideal primario, si x·y ∈ q y x < q, entonces y ∈ r(q). Mostrar que si p es un ideal primo, entonces para cualquier n ∈ Z+ , pn es un ideal primario y que si q es un ideal primario, entonces r(q) es un ideal primo. En particular r(pn ) = p. (En la teor´ıa de ideales los ideales primarios juegan un poco el papel de los números primos en los enteros, pues se demuestra que todo ideal de un anillo conmutativo con unidad, es producto de ideales primarios). (Ver por ejemplo [4], [32] o [28]).


170

13. Sean p un ideal primo de un anillo conmutativo con unidad A y S un subconjunto de A, tal que S ⊆ p. Mostrar que entonces p contiene al ideal (S ) generado por el subconjunto S . 14. Sea p1 , . . . , pn números primos distintos, y para cada i = 1, . . . , n, qi := pri i , donde ri ∈ Z+ . Utilizar el resultado del ejercicio 4.2.4,12, para mostrar que si n n T Q m := qi , entonces mZ = qi Z. Mostrar, además que se tiene un isomorfismo i=1

i=1

n Q f˜ : Zm → Zqi . i=1

15. Dados los números p1 := 3, p2 = 5, p3 = 7 y x1 := 4, x2 := 10, x3 = 15, encontrar un número x ∈ Z, tal que x ≡ xi (mód pi ), i = 1, 2, 3. 9.3.2. Conjuntos Algebraicos y Topolog´ıa de Zariski. De aqu´ı en adelante, salvo indicación de lo contrario, todo anillo será conmutativo con unidad. Por lo mostrado en el ejercicio 9.3.1,13, nos limitaremos a definir los conjuntos algebraicos sobre ideales. Sean X := Spec A, donde A es un anillo, a un ideal de A. Al conjunto V(a) := {p ∈ X | a ⊆ p} lo llamamos el conjunto algebraico abstracto1 o variedad algebraica abstracta generado por el ideal a. En general decimos que un subconjunto V ⊆ X es un conjunto algebraico abstracto, si existe un ideal a del anillo A, tal que V = V(a). Dado un subconjunto V ⊆ X, definimos I(V) := {x ∈ A | x ∈ p, ∀ p ∈ V} I(V) , ∅, ya que 0 ∈ I(V), ∀ V ⊆ X y es un ideal de A. T 9.18 (Propiedades de V). V es una aplicación V : I(A) → P(X) y tiene las siguientes propiedades: a) Si a ⊆ b, entonces V(b) ⊆ V(a), es decir V invierte inclusiones. b) V(0) = X y V(A) = ∅, es decir X y ∅ son conjuntos algebraicos. c) V(a · b) = V(a ∩ b) = V(a) ∪ V(b). Es decir la unión de dos conjuntos algebraicos es un conjunto alebraico. P T d) Dada una familia de ideales (ai )ı∈I , V( ai )= V(ai ), es decir la intersección i∈I

i∈I

sobre una familia cualquiera de conjuntos algebraicos es un conjunto algebraico. D´. a) Supongamos que a ⊆ b, entonces si p ∈ V(b), b ⊆ p y como a ⊆ b, resulta a ⊆ p. Por lo tanto p ∈ V(a). b) Queda al lector como ejercicio. c) Considerando que a·b⊆a∩b⊆a

y que a · b ⊆ a ∩ b ⊆ b

obtenemos, por inciso a), (9.16)

V(a) ⊆ V(a ∩ b) ⊆ V(a · b)

y V(b) ⊆ V(a ∩ b) ⊆ V(a · b)

1A diferencia de los conjuntos algebraicos obtenidos como raices de conjuntos de polinomios en el espacio af´ın An , Rn o Cn . (Ver página 242)


171

Entonces, de (9.16), resulta V(a) ∪ V(b) ⊆ V(a ∩ b) ⊆ V(a · b)

(9.17)

Vamos a mostrar que V(a · b) ⊆ V(a) ∪ V(b)

(9.18)

Sea p ∈ V(a · b), entonces a · b ⊆ p. Dados x ∈ a, y ∈ b, xy ∈ a · b ⊆ p. Como p es un ideal primo, si x < p debe valer que b ⊆ p y si y < p entonces a ⊆ p, por consiguiente p ∈ V(b) ∨ p ∈ V(a) y (9.18) vale. De (9.17) y (9.18) se obtiene la igualdad deseada. d) Queda al lector como ejercicio Los lectores que ya han llevado un curso de topolog´ıa observarán que los incisos a)-d) del teorema 9.18, son los axiomas de los conjuntos cerrados de una topolog´ıa sobre X (ver, por ejemplo [14]), llamada la topolog´ıa de Zariski. Este espacio es de suma importancia en la teor´ıa de los esquemas2 de la geometr´ıa algebraica moderna y es llamado el esquema af´ın. Un esquema es una generalización abstracta de lo que es una variedad algebraica y es localmente isomorfo a un esquema af´ın, para algún anillo adecuado. Para mayores referencias sobre la teor´ıa de los esquemas ver, por ejemplo [35]. T 9.19 (Propiedades de I). I es una aplicación I : P(X) → I(A) y tiene las siguientes propiedades: a) Si V ⊆ W, entonces I(W) ⊆ I(V), es decir I invierte contenciones. S T b) I( Vi ) = I(Vi ). i∈I i∈I P T c) Dada una familia (Vi )i∈I de subconjuntos de X, I(Vi ) ⊆ I( Vi ). i∈I

i∈I

d) V ⊆ V(I(V)) y a ⊆ I(V(a)) T e) I(X) = p = r(A). (Ver teorema 9.24) p∈Spec A

f) I(∅) = A

D´. a) Queda al lector como ejercicio. b) Por inciso a) vale [ [ \ (9.19) I( Vi ) ⊆ I(Vi ), ∀ i ∈ I ⇒ I( Vi ) ⊆ I(Vi ) i∈I

(9.20)

i∈I

i∈I

Vamos a mostrar que también vale \ [ I(Vi ) ⊆ I( Vi ) i∈I

En efecto, sea x ∈

i∈I

T

I(Vi ), entonces x ∈ I(Vi ) ∀ i ∈ I, entonces x ∈ p, i∈I S ∀ p ∈ Vi , ∀ i ∈ I, lo que implica que x ∈ I( Vi ). Lo que muestra (9.20). De i∈I

(9.19) y (9.20) se obtiene la igualdad deseada. c) Queda al lector como ejercicio. 2Dicha teor´ıa fue desarrollada por el matemático franco-alemán Alexander Grothendieck

172


d) Queda al lector como ejercicio. e) Queda al lector como ejercicio. f) Queda al lector como ejercicio. 9.3.3. Anillo de Fracciones y Localización. Dado un anillo A, nuestra meta es construirnos, inspirados en la construcción de los números racionales Q, a partir de los números enteros Z, un anillo en el cual los elementos de un cierto subconjunto S ⊆ A sean invertibles. Para entender la idea empezaremos construyendonos el campo de fracciones de un dominio entero A. Sea, entonces, A un dominio entero y S := A \ {0}, el conjunto S es entonces cerrado bajo el producto del anillo. Consideremos Q(A) := A × S / ∼, el conjunto de las clases de equivalencia respecto de la relación ∼, sobre A×S , definida por (a, s) ∼ (b, t) :⇔ a·t = b· s, a o de forma equivalente a · t − b · s = 0. Si denotamos por la clase de equivalencia de (a, s) s y definimos a b a·t+b·s (9.21) + := s t s·t y a·b a b · := , (9.22) s t s·t entonces, tal y como mostramos las propiedades de los números racionales Q, el lector podrá comprobar que dichas operaciones están bien definidas y la validez del siguiente T 9.20. Si A es un dominio entero, entonces (Q(A), +, ·) es un campo, llamado el campo de fracciones del dominio entero A. La aplicación i : A → Q(A) a definida por i(a) := es un homomorfismo inyectivo de anillos, por lo que Q(A) posee un 1 subanillo isomorfo a A. Siempre en un dominio entero, en lugar de considerar S como el conjunto de todos los elementos distintos de 0, podemos limitarnos a considerar un subconjunto S de A que tenga las siguientes propiedades: 1 ∈ S y S cerrado bajo el producto de A, es decir un submonoide de (A, ·). Un conjunto S con estas propiedades se denomina un conjunto multiplicativo. Sobre A × S definimos la relación de equivalencia ∼ del mismo modo que lo hicimos en el caso precedente y denotaremos por S −1 A := A × S / ∼. Las operaciones binarias respectivas se definen exactamente igual que en (9.21) y (9.22) y se comprueba facilmente que e´ stas están bien definidas y que vale el siguiente T 9.21. Sea A un dominio entero y S un subconjunto multiplicativo de A, tal que 0 < S . Entonces (S −1 A, +, ·) es un anillo, en el cual todos los elementos de S son invertibles. La aplicación i : A → S −1 A a definida por i(a) := es un homomorfismo inyectivo de anillos, por lo que S −1 A posee un 1 subanillo isomorfo a A. Nuestro siguiente paso es generalizar esta construcción al caso de un anillo conmutativo con unidad cualquiera. Como A ya no es necesariamente un dominio entero, debemos considerar que pueden existir divisores de 0, por lo que es necesario modificar un poco


173

nuestra relación de equivalencia. En particular en un subconjunto multiplicativo S de A pueden existir divisores de cero y S contener al 0. Consideremos entonces S un subconjunto multiplicativo del anillo A y definamos sobre A × S la siguiente relación (a, s) ∼ (b, t) :⇔ ∃r ∈ S tal que r · (a · t − b · s) = 0 Entonces ∼ es una relación de equivalencia sobre A × S . Siendo la reflexividad y simetr´ıa obvias, mostremos la transitividad. En efecto, sean (a, s), (b, t), (c, r) ∈ A × S , tales que (a, s) ∼ (b, t)

y

(b, t) ∼ (c, r),

entonces existen,u, v ∈ S , tales que (9.23)

u · (a · t − b · s) = 0

y v · (b · r − c · t) = 0

Multiplicando en (9.23) las ecuaciones por u·v y r· s respectivamente y sumando se obtiene (9.24)

u · r · t(a · v − c · s) = 0, u · r · t ∈ S

lo que muestra que∼ es transitiva. Por lo tanto ∼ es relación de equivalencia. Por S −1 A denotaremos al conjunto cociente de las clases de equivalencia respecto dela relación ∼. Si definimos en S −1 A la suma y producto como en (9.21) y (9.22) respectivamente, entonces e´ stas están bien definidas. Mostraremos que la suma está bien definida, dejando al lector la sencilla demostración para el producto. Sean (a, s), (ã, s˜) dos represena ˜ s˜) dos representantes de la fracción b , entonces existen tantes de la fracción y (b, t), (b, s t u, v ∈ S , tales que (9.25) u · (a · s˜ − a˜ · s) = 0 y v · (b · t˜ − b˜ · t) = 0, debemos mostrar

a · t + b · s a˜ · t˜ + b˜ · s˜ = . s·t s˜ · t˜ En efecto, considerando las ecuaciones (9.25) u · v (a · t + b · s) · s˜ · t˜− (ã · t˜+ b˜ · s˜) · s · t = t · t˜· v u · (a · s˜ − a˜ · s) + s · s˜ · u · v · (b · t˜− b˜ · t) = 0

donde u · v ∈ S . Lo que muestra que la suma está bien definida. Se tiene entonces el siguiente teorema, cuya sencilla demostración dejamos al lector como ejercicio. 0 T 9.22. (S −1 A, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad, siendo el elemento 1 1 neutro de la suma y el elemento neutro del producto. Se tiene, además, que la aplicación 1 ϕS : A → S −1 A a definida por ϕS (a) := , ∀ a ∈ A es un homomorfismo de anillos y, en general, no es 1 inyectiva. Se tiene, también, que todos los elementos de ϕS [S ] son invertibles en S −1 A, 1 s siendo el inverso de . s 1 El anillo S −1 A recibe el nombre de anillo de fracciones de A respecto del subconjunto multiplicativo S . ( ) 0 −1 Si 0 ∈ S , entonces, como el lector comprobará con facilidad, S A = 1 A continuación daremos algunos ejemplos de subconjuntos multiplicativos utilizados frecuentemente.


174

E 9.4. 1. Si A∗ es el subconjunto de elementos invertibles del anillo A, entonces S := A∗ es un subconjunto multiplicativo de A. En este caso S −1 A = A. 2. Si x es un elemento no nilpotente del anillo A, entonces S := {1, x, x2 , x3 , . . . } es un subconjunto multiplicativo de A que no contiene a 0. S −1 A consta de las fracciones cuyo denominador son potencias de x. 3. Si p es un ideal primo de un anillo A, entonces S := A \ {p} es un subconjunto multiplicativo de A. S 4. S := p es un subconjunto multiplicativo del anillo A. p∈Spec A

Surge la pregunta ¿Cómo son los ideales del anillo S −1 A? Si a es un ideal del anillo A y S un subconjunto multiplicativo, entonces a | a ∈ a, s ∈ S S −1 a := s a b a b a·t+b·s es un ideal de S −1 A, en efecto, dados , ∈ S −1 a, entonces + = ∈ S −1 a, s t s t s·t ya que (a · t + b · s) ∈ a y s · t ∈ S . x x a x·a a ∈ S −1 a, ya que x · a ∈ a y s · t ∈ S . Dado ∈ S −1 a y ∈ S −1 A, entonces · = s u u s u·s Si a es un ideal del anillo A y S un subconjunto multiplicativo, tal que a ∩ S , ∅, entonces S −1 a = S −1 A s ya que , s ∈ a ∩ S es un elemento invertible en S −1 a. Entonces S −1 a sólo puede ser un 1 ideal propio si a ∩ S = ∅. Vamos a ver que todos los ideales de S −1 A son de la forma S −1 a, donde a es un ideal de A. En efecto, sea a˜ un ideal de S −1 A, entonces x a := ϕ−1 a] = {x ∈ A | ∈ a˜ } S [˜ 1 x x x s x es un ideal de A. Dado ∈ a˜ , entonces ∈ a˜ , ya que = · , por lo que x ∈ a y s 1 1 1 s x x x x 1 x ∈ S −1 a. Por otra parte, si ∈ S −1 a, entonces, por definición de a, ∈ a˜ y = · ∈ a˜ . s s 1 s s 1 Por lo tanto a˜ = S −1 a. Para los ideales primos se tiene el siguiente T 9.23. Los ideales primos de S −1 A están en correspondencia biun´ıvica con los ideales primos de A que no intersectan al subconjunto S . Si p˜ es un ideal de S −1 A, entonces existe un u´ nico ideal primo p de A, p ∩ S = ∅, tal que p˜ = S −1 p. D´. En efecto, como ya vimos, si p := ϕ−1 p], entonces p˜ = S −1 p, y, como S [˜ se demostró en el corolario 9.10, p es un ideal primo, por ser imagen inversa de un ideal primo y p no intersecta a S , pues de lo contrario p˜ = S −1 p no ser´ıa un ideal primo. Por otra parte, si q es otro ideal primo, tal que q ∩ S = ∅ y S −1 p = S −1 q, vamos a mostrar que p = q. a b a Sea a ∈ p, entonces ∈ S −1 p = S −1 q, entonces existe b ∈ q, s ∈ S , tales que = , por 1 s 1 lo que existe u ∈ S , tal que u · (a · s − b) = 0, es decir u · s · a = u · b ∈ q, como q ideal primo y s · u < q, resulta a ∈ q, ∀ a ∈ p, por lo que p ⊆ q, de forma análoga se muestra que b ∈ p, ∀ b ∈ q, por lo tanto p = q.


175

Del ejercicio 9.3.1,9, sabemos que si A es un anillo conmutativo con unidad, entonces T el nilradical de A, r(A) ⊆ p, vamos ahora a mostrar, en el siguiente teorema, que la p∈Spec A

igualdad subsiste. T 9.24. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Entonces el nilradical \ p. r(A) = p∈Spec A

D´. Sólo nos falta motrar que \ (9.26) p ⊆ r(A). p∈Spec A

En efecto, supongamos que x ∈ 0, ∀ n ∈ Z+ y el conjunto

T p∈Spec A

p, y que x no sea nilpotente. Entonces xn ,

S := {1, x, x2 , . . . } es un conjunto multiplicativo, 0 < S . Como x ∈ p, ∀ p ∈ Spec A, tendr´ıamos, entonces, que para cualquier ideal primo p, p ∩ S , ∅, y S −1 p = S −1 A. Entonces, por teorema 9.23, S −1 A no tendr´ıa ideales primos, en contradicción a que todo anillo conmutativo con unidad posee, al menos, un ideal maximal, el cual es primo. Por lo tanto vale (9.26). Aplicando el teorema 9.24 al anillo A/a, donde a es un ideal de A, se obtiene el C 9.25. Si a es un ideal del anillo conmutativo con unidad A, entonces su radical \ p r(a) = p∈Speca A

También como un corolario, se obtiene el famoso teorema de los ceros de Hilbert, versión abstracta. C 9.26 (Teorema de los Ceros de Hilbert). Si a es un ideal del anillo conmutativo con unidad A, entonces I(V(a)) = r(a). T D´. x ∈ I(V(a)), Ssi x ∈ p, ∀ p ∈ Speca A, Ssi x ∈ p = r(a). p∈Speca

En sus or´ıgenes la geometr´ıa algebraica estudiaba las propiedades de conjuntos de puntos en el espacio af´ın, Rn o Cn que satisfac´ıan sistemas de ecuaciones algebraicas (polinomios), como curvas y superficies, llamados conjuntos algebraicos. En su desarrollo posterior se pasa a considerar las llamadas variedades algebraicas, como variedades topológicas, con la propiedad de que cada punto posee una vecindad homeomorfa a algún conjunto algebraico, cuyas propiedades geométricas están intimamente ligadas al comportamiento de un cierto anillo asociado a dicho conjunto y en particular al espectro primo de dicho anillo, lo cual da origen al desarrollo de la teor´ıa de esquemas, que constituye una generalización y abstracción de la teor´ıa de variedades algebraicas, en la cual cada vecindad es homeomorfa a un esquema af´ın, dado por el espectro de un anillo, dotado de la topolog´ıa de Zariski. En el estudio de las variedades algebraicas o de los esquemas se distingue entre las llamadas propiedades globales y las propiedades locales, siendo estas u´ ltimas las propiedades que son válidas en una vecindad de un cierto punto. En el estudio de las propiedades locales juega un papel muy importante el llamado anillo de las funciones racionales definidas en una vecindad adecuada de un punto, el cual tiene la propiedad


176

de poseer un u´ nico ideal maximal. Esto nos lleva a definir el concepto de anillo local y de localización. Decimos que un anillo A conmutativo con unidad, es un anillo local,, si A posee un u´ nico ideal maximal m. Un anillo local se suele representar por el par (A, m). Sea A un anillo conmutativo con unidad y p ∈ Spec A, entonces S := A \ p es un subconjunto multiplicativo de A, que no contiene al 0. Entonces se tiene el siguiente T 9.27. Si S := A \ p, donde p ∈ Spec A y A es un anillo conmutativo con unidad, entonces el anillo Ap := S −1 A, es un anillo local, siendo S −1 p su u´ nico ideal maximal. D´. En efecto, si a˜ es un ideal propio de Ap , entonces a˜ = S −1 a, donde a es un ideal de A que no intersecta a S , es decir a ⊆ p. Por consiguiente todo ideal propio de Ap está contenido en S −1 p. Lo que muestra que S −1 p es el u´ nico ideal maximal de Ap . Al anillo Ap lo llamamos la localización del anillo A en el ideal primo p. Desde el punto de vista geométrico estamos dándonos la localización del anillo A en el punto p ∈ X, donde X := Spec A es el esquema af´ın. 9.3.4.


1. Completar la demostración de los teoremas 9.18 y 9.19. 2. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo con unidad A. Mostrar que las siguientes propiedades de las fracciones usuales de números racionales, también valen en S −1 A. x x s a) · = , ∀ x ∈ A, s ∈ S s 1 1 x s x b) · = , ∀ x ∈ A, s, t ∈ S s t t 3. Completar la demostración de los teoremas 9.20 y 9.21. 4. Completar la demostración del teorema 9.22. 5. Dado un p ∈ Spec A, donde A es un anillo conmutativo con unidad, mostrar que los ideales primos de Ap , están en correspondencia biun´ıvoca con los ideales primos de A contenidos en el ideal p 6. Mostrar que Ap , 0, ∀ p ∈ Spec A, donde A es un anillo conmutativo con unidad, no trivial. 7. Si Ω(A) es el espectro maximal de un anillo conmutativo con unidad A, mostrar T que J(A) := m es un ideal de A, llamado el radical de Jacobson del anillo m∈Ω(A)

A. Mostrar también que r(A) ⊆ J(A). 8. Si A es un anillo conmutativo con unidad que solo posee un número finito de ideales maximales m1 , . . . , mn , mostrar que se tiene un isomorfismo n Q f˜ : A/J(A) → A/mi . Un anillo que sólo posee un número finito de ideales i=1

maximales se llama un anillo semilocal. 9. Mostrar que en el anillo de los enteros Z, r(Z) = J(Z) = 0. 9.4.

´ Anillos Principales, Noetherianos, de Factorización Unica y Euclideanos

En esta sección introduciremos la noción de anillo principal, que son anillos cuyos ideales son generados por un u´ nico elemento. Daremos la definición de anillo noetheriano, que son anillos cuyos ideales son generados por un número finito de elementos. Introduciremos también la noción de anillo de factorización u´ nica, en el cual todo elemento posee

´ UNICA ´ 9.4. ANILLOS PRINCIPALES, NOETHERIANOS, DE FACTORIZACION Y EUCLIDEANOS

177

una u´ nica representación, salvo producto por un elemento invertible en el anillo, como producto de elementos irreducibles, que nos recordará la propiedad de todo número entero de descomponerse, en forma u´ nica, como producto de potencias de números primos. (Ver teorema 3.23). Terminaremos esta sección con la noción de anillo euclideano, que son anillos sobre los cuales está definida una función similar a la función valor absoluto, definida sobre el anillo de los enteros Z, que nos va a permitir dar una generalización del algoritmo euclideano y demostraremos que todo anillo euclideano es un anillo principal. 9.4.1. Anillos Principales. Decimos que un anillo conmutativo con unidad, sin divisores de 0, A, es un anillo principal, si todo ideal de A es un ideal principal. T 9.28. El anillo (Z, +, ·) es un anillo principal y todos sus ideales son de la forma nZ, n, ∈ Z. D´. En efecto, (Z, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad y por lema 4.19, todos los subgrupos de (Z, +) son de la forma nZ, n ∈ Z y por consiguiente también los ideales de (Z, +, ·). Como veremos más adelante no todo anillo es principal, pues hay anillos cuyos ideales no son todos principales, como será el caso de ciertos anillos de polinomios. Decimos que un elemento a , 0 de un dominio entero A es irreducible, si a no es invertible y (9.27)

a = bc ⇒ b ∨ c invertibles.

Un elemento distinto de 0 no invertible que no es irreducible diremos que es reducible. Se dice que dos elementos a, b de un dominio entero A son asociados entre s´ı, si existe un elemento invertible e ∈ A, tal que a = eb. El lector verificará, como un simple ejercicio, el siguiente L 9.29. Sobre un dominio entero A, la relación a ∼ b Ssi a y b son asociados es una relación de equivalencia. L 9.30. Dos elementos a, b de un dominio entero A son asociados Ssi (a) = (b). D´. Como a, b son asociados existe un elemento invertible e ∈ A, tal que a = eb, entonces a ∈ (b) y (a) ⊆ (b), por otra parte, como e es invertible b = e−1 a, de donde (b) ⊆ (a). Por lo tanto (a) = (b). Por otra parte, si (a) = (b), se tiene entonces que existen c, d ∈ A, tales que a = cb y b = da, por lo que a = c(da) = (cd)a. Como A es dominio entero, se tiene que cd = 1 y c es invertible. Por consiguiente a, b son asociados. L 9.31. Un elemento a de un dominio entero A es irreducible Ssi 0 , (a) , A y si todo ideal principal b, tal que (a) ⊆ b es igual a (a) o igual a A. Es decir que (a) es un ideal maximal. D´. Si a es irreducible, entonces a , 0 y (a) , 0. Como a tampoco es invertible también vale (a) , A. Sea b = (b) tal que (a) ⊆ (b), entonces, en particular a ∈ (b), por lo que existe r ∈ A, tal que a = rb. Como a irreducible se tiene que r invertible o bien b invertible, de donde resulta (b) = (a) o (b) = A. Del lema 9.31, se obtiene, de forma inmediata, para el caso de un anillo principal el siguiente T 9.32. Un ideal propio a, no trivial, de un anillo principal A, es maximal Ssi a es generado por un elemento irreducible a ∈ A.

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Sea A un dominio entero. Decimos que a ∈ A divide a b ∈ A, expresado a | b, si b ∈ (a). Entonces se dice que a es un divisor de b en el anillo A. Si a | b, entonces existe r ∈ A, tal que b = ra y diremos que b es producto de los factores a y r. Decimos que c ∈ A es un divisor común de a, b ∈ A, si c | a y c | b. Decimos que d ∈ A es un máximo común divisor de a, b ∈ A, si d es un divisor común de a, b y si c es otro divisor común de a, b, entonces c | d. Si d ∈ A es un máximo común divisor de a, b y e ∈ A es un elemento invertible, entonces también d¯ := ed es un máximo común divisor de a, b. Si d es máximo común ¯ por lo que d¯ es divisor común de a, b. De divisor de a, b, entonces a, b ∈ (d) = (ed) = (d), ¯ ¯ ¯ (d) = (ed) = (d) resulta que d | d y d | d. Por consiguiente cualquier otro divisor común c ¯ Entonces en un dominio entero A existirán tantos máximo común divisores de divide a d. a, b ∈, como elementos tenga el grupo de elementos invertibles A∗ de A. El siguiente teorema nos garantiza la existencia de un máximo común divisor, para dos elementos distintos de 0 en un anillo principal. T 9.33. Sea A un anillo principal, a, b ∈ A, elementos distintos de 0. Si (a, b) = (c), entonces c es un máximo común divisor de a, b. D´. Si (a, b) = (c), entonces a ∈ (c) y b ∈ (c), por lo que c es un divisor común de a, b. Si d es otro divisor común de a, b, entonces existen a1 , b1 ∈ A, tales que a = da1 , b = db1 . Como c ∈ (a, b), existen s, r ∈ A, tales que c = ra + sb = rda + sdb. Por lo tanto d | c y c es un máximo común divisor de a, b. Decimos que un elemento p de un dominio entero A es un elemento primo, si a) p , 0. b) (p) es un ideal primo. Del inciso c) resulta que p no puede ser invertible y que p | ab ⇒ p | a ∨ p | b. L 9.34. Todo elemento primo en un dominio entero A es irreducible. D´. En efecto, sea p ∈ A un elemento primo, y a, b ∈ A, tales que p = ab, entonces ab ∈ (p) y, por definición de elemento primo p | a ∨ p | b. Supongamos, sin limitación de la generalidad, que p | a, entonces existe a1 ∈ A, tal que a = a1 p y p = (pa1 )b = p(a1 b), de donde resulta que a1 b = 1, por consiguiente b es invertible y p es irreducible. L 9.35. Un elemento p de un dominio entero es primo Ssi el ideal (p) es un ideal primo distinto de 0. D´. En efecto, por definición de elemento primo, (p) es un ideal primo. Por otra parte si (p) es un ideal primo, (p) , A y p no es invertible y por hipótesis p , 0. Dados a, b ∈ A, tales que ab ∈ (p), entonces, como (p) es un ideal primo a ∈ (p) o b ∈ (p). Por lo tanto p es un elemento primo de A. T 9.36. En un anillo principal A es todo elemento irreducible un elemento primo. D´. En efecto, si a es un elemento irreducible de A, entonces, por definición de elemento irreducible, (a) es un ideal maximal y por consiguiente primo. Entonces, por lema 9.35, a es un elemento primo de A. Como consecuencia del teorema 9.36 y del lema 9.35 se obtiene el siguiente


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C 9.37. En un anillo principal A, en analog´ıa al anillo de los enteros Z, es todo ideal primo, distinto de 0 un ideal maximal. T 9.38. Si A es un anillo principal y ϕ : A → B un homomorfismo sobreyectivo de anillos, entonces B es un anillo principal. D´. Sea b un ideal cualquiera de B, entonces a := ϕ−1 [b] es un ideal de A y, por la sobreyectividad de ϕ, b = ϕ[ϕ−1 [b]]. Como A es anillo principal, entonces existe a0 ∈ A, tal que a = (a0 ). Dado b ∈ b, existe, nuevamente por la sobreyectividad de ϕ, a ∈ A, tal que b = ϕ(a). Entonces a ∈ ϕ−1 [b] y existe r ∈ A, tal que a = ra0 , entonces b = ϕ(a) = ϕ(r)ϕ(a0 ) ∈ (ϕ(a0 )), por lo que b ⊆ (ϕ(a0 )). Por otra parte si b ∈ (ϕ(a0 )), entonces, existe c¯ ∈ B, tal que b = c¯ ϕ(a0 ). Como ϕ es sobreyectiva, existe c ∈ A, tal que c¯ = ϕ(c) y b = ϕ(c)ϕ(a0 ) = ϕ(ca0 ) ∈ ϕ[(a0 )] = b. Entonces también (ϕ(a0 )) ⊆ b y b = (ϕ(a0 )). Por consiguiente b es ideal principal. Como b es un ideal cualquiera, resulta que B es anillo principal. Como una consecuiencia inmediata del teorema 9.38, se obtiene el C 9.39. La imagen homomorfa de un anillo principal es un anillo principal. 9.4.2. Anillos Noetherianos. Decimos que un anillo A conmutativo con unidad es un anillo noetheriano, si todo ideal de A está finitamente generado. Obviamente todo anillo principal es un anillo noetheriano. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Decimos que una cadena ascendente de ideales a0 ⊆ a1 ⊆ . . . ⊆ ak ⊆ · · ·

(9.28)

es estacionaria, si existe n ∈ N, tal que am = an , ∀ m > n. T 9.40. Un anillo conmutativo con unidad A es noetheriano Ssi toda cadena ascendente de ideales de A es estacionaria. D´. Si a es un ideal de A que no está finitamente generado, sea S := {a0 , a1 , . . . } un subconjunto infinito contable de generadores de a, tales que an < (a0 , . . . , an−1 ). Para k ∈ N, sea ak := (a0 , . . . , ak ). Entonces la cadena ascendente de ideales a0 ⊆ a1 ⊆ . . . ⊆ ak ⊆ · · ·

(9.29)

no es estacionaria. Por otra parte si A es un anillo noetheriano, consideremos la cadena ascendente de ideales a0 ⊆ a1 ⊆ . . . ⊆ ak ⊆ · · · ,

(9.30) entonces a :=

S

an es un ideal de A y, por hipótesis, está finitamente generado, digamos

n∈N

por los elementos a1 , . . . , am , entonces para cada m existe nm ∈ N, tal que am ∈ anm , Como la cadena es ascendente, si N es el mayor de todos los nm , entonces a1 , . . . , am ∈ aN y a ⊆ aN ⊆ a. Por consiguiente an = aN , ∀ n > N. T 9.41. Si A es un anillo noetheriano y ϕ : A → B un homomorfismo sobreyectivo de anillos, entonces B es un anillo noetheriano.


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D´. Dada una cadena ascendente de ideales de B (9.31)

b0 ⊆ b1 ⊆ . . . ⊆ bk ⊆ · · ·

vamos a mostrar que e´ sta debe ser estacionaria. En efecto, la cadena (9.31) induce la cadena de ideales ascendentes en A (9.32)

a0 ⊆ a1 ⊆ . . . ⊆ ak ⊆ · · · ,

donde aν := ϕ−1 [bν ], ν = 0, 1, . . . , la cual, por hipótesis, es estacionaria, digamos a partir de un n ∈ N. Entonces, por la sobreyectividad de ϕ, bm = ϕ[am ] = ϕ[an ] = bn , ∀ m > n. Por lo tanto B es un anillo noetheriano. Como una consecuiencia inmediata del teorema 9.41, se obtiene el C 9.42. La imagen homomorfa de un anillo noetheriano es un anillo noetheriano. Decimos que un dominio entero A posee la propiedad F0 , si todo elemento no invertible, distinto de 0 posee una representación como producto finito de factores irreducibles. El siguiente teorema nos da una condición suficiente para la propiedad F0 . T 9.43. Si en un dominio entero A toda cadena ascendente de ideales principales es estacionaria, entonces A posee la propiedad F0 . D´. Sea a ∈ A un elemento no invertible distinto de 0 y supongamos que a no sea producto de factores irreducibles. Entonces a es reducible y existen a, c ∈ A no invertibles, tales que a = bc. Entonces a ∈ (b) y a ∈ (c), si b y c fueran productos de factores irreducibles, también lo ser´ıa a, por lo que al menos uno de ellos no es producto de factores irreducibles. Supongamos, sin limitación de la generalidad, que b no sea producto de factores irreducibles y por consiguiente b reducible. Si a0 := (a) y a1 := (b), entonces a0 ⊂ a1 propiamente. Aplicando el razonamiento para b, obtenemos que b es producto de dos elementos no invertibles y uno de ellos no puede ser producto de factores irreducibles, por lo que se obtiene un ideal a2 , tal que a0 ⊂ a1 ⊂ a2 . Continuando el proceso obtenemos entonces una cadena ascendente de ideales principales (9.33)

a0 ⊂ a1 ⊂ · · · ⊂ ak ⊂ · · ·

que no podr´ıa ser estacionaria. En contradicción a la hipótesis. Por lo tanto a debe ser producto de factores irreducibles. C 9.44. Todo anillo noetheriano posee la propiedad F0 . Entonces en un anillo noetheriano y en particular en un anillo principal, todo elemento no invertible, distinto de 0, es producto de factores irreducibles. En un anillo principal todo factor irreducible es también primo, por consiguiente todo elemento no invertible, distinto de 0, de un anillo principal, es producto de factores primos. En general, si un elemento de un dominio entero es producto de factores primos, no necesariamente dicha representación es u´ nica. Esto nos lleva a introducir una nueva clase de anillos, los anillos factoriales o de factorización u´ nica. ´ 9.4.3. Anillos Factoriales o de Factorización Unica. Decimos que un anillo A es un anillo factorial o de factorización u´ nica, si todo elemento no invertible, distinto de 0, posee una u´ nica representación, salvo producto con un elemento invertible y orden de los factores, como producto de factores irreducibles en A.


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L 9.45. Sea A un dominio entero, con la propiedad F0 . Si p ∈ A es un elemento primo, entonces vale ∞ \ (pm ) = 0. m=0

D´. Vamos a mostrar que ningún elemento distinto de 0 puede estar en la intersección de todos los ideales (pm ), m = 0, 1, . . . . Si a ∈ A es invertible, entonces a < (p). Sea entonces a ∈ A un elemento no invertible, distinto de 0. Como A posee la propiedad F0 , a es producto de elementos irreducibles, digamos a = v1 v2 · · · vk . Si alguno de los elementos vκ es asociado con p, entonces vκ = eκ p, donde eκ es un elemento invertible en A. Por consiguiente podemos escribir a = ew1 · · · wl pm , donde e es un elemento invertible, m > 0, wλ irreducible ∀ λ = 1, . . . , l y ningún wλ es asociado con p. Bajo estas condiciones wλ < (p), pues de lo contrario, por ser wλ irreducible, resultar´ıa wλ asociado con p, lo cual, por construcción de los wλ , no es cierto. Como (p) es un ideal primo, tampoco el producto de los wλ está en (p). Si b := ew1 · · · wl , entonces a = bpm ∈ (pm ). Vamos a mostrar que a < (pm+1 ). En efecto si a ∈ (pm+1 ), entonces existe c ∈ A, tal que a = cpm+1 = bpm y pm (cp − b) = 0, lo que implicar´ıa que b ∈ (p), lo cual no es posible. Por lo tanto a < (pm+1 ). El lema 9.45 nos dice que dado un elemento primo p de un dominio entero A, para cada elemento a ∈ A distinto de 0, existe un número natural m, tal que a ∈ (pm ), pero a < (pm+1 ). Entonces podemos definir, para cada elemento primo p ∈ A, una aplicación B p : A \ {0} → N por medio de B p (a) := m, donde m es tal que a ∈ (pm ), pero a < (pm+1 ). Si a es invertible, m = 0, ∀ p ∈ A primo. B p (a) nos indica, entonces, el número de veces que aparece p en una descomposición de a en factores irreducibles. De la demostración del lema 9.45, queda claro que B p (a) nos da el número de factores asociados con p en cualquier descomposición del elemento a como producto de elementos irreducibles. Bajo las mismas condiciones del lema 9.45 vale L 9.46. Dados a1 , . . . , an ∈ A \ {0} y p ∈ A un elemento primo, entonces (9.34)

B p (a1 · a2 · · · an ) =

n X

B p (aν ).

ν=1

D´. Para cada ν = 1, . . . , n, sea B p (aν ) = mν , entonces existen bν ∈ A, bν < (p), tales que aν = bν pmν y a1 · · · an = b1 · · · bm pm1 +···+mn , donde b1 · · · bm < (p). De forma análoga a la demostración del lema 9.45, resulta que a1 · · · am < (pm1 +···+mn +1 ). Por consiguiente vale (9.34). Diremos que un dominio entero A posee la propiedad F1 , si todo elemento irreducible en A es un elemento primo en A. T 9.47. En un dominio entero A las siguientes condiciones son equivalentes: f1) A es un anillo factorial. f2) Todo elemento no invertible, distinto de 0, de A posee una representación como producto de factores primos. f3) A posee las propiedades F0 y F1 .

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D´. f2)⇒ f3): Como todo elemento primo es irreducible, de f2) resulta que A posee la propiedad F0 . Por otra parte si v es irreducible, por f2), v es producto de factores primos, digamos v = p1 · · · pn y por la irreducibilidad n = 1. Por lo tanto v es elemento primo. f3⇒f2: Obvio. f1⇒f3: Si A es factorial, entonces A posee la propiedad F0 . Falta mostrar que todo elemento irreducible es primo, si A es factorial. Sea v irreducible. Supongamos que el producto ab ∈ (v), entonces existe c ∈ A, tal que ab = cv. Como A es factorial, a, b, c se descomponen, en forma u´ nica, salvo producto con un elemento invertible y orden de los factores, en producto de factores irreducibles. Entonces uno de los factores irreducibles de ab debe ser v que corresponde, ya sea a un factor irreducible de a, entonces a ∈ (v) o a un factor irreducible de b y b ∈ (p). Por lo tanto p es un elemento primo de A. f3)⇒f1): Dado un elemento no invertible, distinto de cero, a ∈ A, entonces, por la propiedad F1 , a se descompone en un producto de factores primos. Supongamos que a = p1 · · · pr = q1 · · · qn sean descomposiciones en factores primos de a y que exista un ν, 1 6 ν 6 n, tal que q := qν , pρ , ∀ ρ = 1, . . . , r. Entonces Bq (a) = Bq (p1 · · · pr ) = 0 , Bq (q1 · · · qn ) = Bq (a), lo cual es una contradicción. Por consiguiente, en las dos descomposiciones deben de comparecer los mismos elementos primos o ser asociados y el número de veces que comparece cada uno debe de ser el mismo. Del teorema 9.47, se obtiene, para el caso de un anillo principal, el siguiente T 9.48. Todo anillo principal es factorial. D´. Por teorema 9.36 todo anillo principal posee la propiedad F1 y, por corolario 9.44, también la propiedad F0 . Entonces, por teorema 9.47, todo anillo principal es factorial. Como consecuencia del teorema 9.48, el anillo de los enteros Z es un anillo factorial y todo campo es un anillo factorial. Sea A un anillo factorial que no sea un campo. Entonces, dado un elemento a ∈ A no invertible, distinto de 0, e´ ste se descompone en un producto de factores primos, digamos mn 1 a = pm 1 · · · pn , donde los pν son primos no asociados entre s´ı, mν > 0 y B pν (a) = mν . Si p¯ es la clase de equivalencia de todos los elementos primos asociados al elemento primo p, de cada clase tomemos un u´ nico representante y formemos, con estos representantes, el conjunto P de primos seleccionados. Entonces dados p, q ∈ P, p , q, p, q no son asociados. Entonces, bajo estas condiciones, obtenemos, para anillos factoriales, el siguiente ´ T 9.49 (Teorema de Factorización Unica). Sea A un anillo factorial. Entonces mn 1 todo elemento a ∈ A, no invertible, se puede escribir como a = epm 1 · · · pn , donde e es un elemento invertible de A y p1 , . . . , pn ∈ P. Esta representación es u´ nica, salvo orden de los factores. Por consiguiente, salvo producto por un elemento invertible, el elemento a ∈ A está un´ıvocamente determinado por los números B p , p ∈ P. Por otra parte si tenemos un conjunto de números naturales N := {m p | m p = 0, salvo para un número finito de elementos p ∈ P}, entonces existe un u´ nico elemento a ∈ A, salvo producto por un elemento invertible, tal que B p (a) = m p , ∀ p ∈ P. La relación de divisibilidad puede ser expresada con la ayuda de la función B p , como nos lo muestra el siguiente


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T 9.50. Sean a, b elementos distintos de 0 de un anillo factorial A. Entonces b es un divisor de a, Ssi para cada elemento primo p ∈ A vale (9.35)

B p (a) > B p (b).

D´. Si b es un divisor de a, entonces existe r ∈ A, tal que a = rb y a ∈ (pm ), si b ∈ (pm ), por consiguiente vale (9.35). Supongamos ahora que (9.35) vale para cada elemento primo p ∈ A. Entonces, en particular, (9.35) vale para todo elemento primo mν mn 1 p ∈ P. Si b = epm 1 · · · pn , pν ∈ P, entonces, por (9.35) cada pν es un factor de a y por consiguiente b | a. En el caso de un anillo principal A, vimos en el teorema 9.33, que dados dos elementos a, b ∈ A, existe su máximo común divisor. Para el caso de los anillos factoriales, el siguiente teorema nos garantiza la existencia de un máximo común divisor, para cada subconjunto finito de elementos del anillo. T 9.51. En un anillo factorial A, existe, para cada subconjunto finito de elementos distintos de 0 de A un máximo común divisor. D´. Sean a1 , . . . , an ∈ A, elementos distintos de 0 y P el conjunto de los elementos primos definido arriba. Sea µ p := m´ın B p (aν ) 16ν6n

para

p ∈ P.

y µ p , 0 sólo para un número finito de elementos p ∈ P, por consiguiente existe un d ∈ A, tal que B p (d) = µ p , ∀ p ∈ P. Como ∀ p ∈ P, B p (d) 6 B p (aν ), ∀ ν = 1, . . . , n, resulta, por el teorema 9.50, que d | aν , ∀ ν = 1, . . . , n. Por otra parte si c ∈ A es un divisor común de a1 , . . . , an , entonces ∀ p ∈ P, B p (c) 6 B p (aν ), ∀ ν = 1, . . . , n y por consiguiente B p (c) 6 B p (d), ∀ p ∈ P, lo que implica que c | d. Por lo tanto d es un máximo común divisor de a1 , . . . , an . Decimos que los elementos a1 , . . . , an de un anillo factorial A son primos relativos, si son todos distintos de 0 y sus máximo común divisores son los elementos invertibles de A. Si d es el máximo común divisor de los elementos a1 , . . . , an , entonces, para cada ν = 1, . . . , n, existen elementos a01 , . . . , a0n , tales que aν = da0ν y los elementos a01 , . . . , a0n son primos relativos. Referente a los ideales, si d es un máximo común divisor de a1 , . . . , an , (aν ) ⊆ (d), ∀ ν = 1, . . . , n y si c ∈ A es tal que (aν ) ⊆ (c), entonces (d) ⊆ (c). Es decir que el ideal (d) es minimal entre todos los ideales principales que contengan a todos los aν . Dejamos al lector la tarea de constatar que el teorema 9.33 se puede generalizar de la siguiente forma: T 9.52. Sean a1 , . . . , an elementos distintos de 0 de un anillo principal A. Entonces los generadores del ideal (a1 , . . . , an ) son los máximo común divisores de a1 , . . . , an . Por otra parte, a1 , . . . , an son primos relativos entre s´ı, Ssi (a1 , . . . , an ) = A, es decir que existen elementos r1 , . . . , rn ∈ A, tales que 1 = r1 a1 + · · · + rn an . 9.4.4. Anillos Euclideanos. Decimos que un anillo A es un anillo euclideano, si: 1. A es un anillo conmutativo sin divisores de 0. 2. Existe una función g : A \ {0} → N, tal que a) g(a) > 0, ∀ a ∈ A \ {0} b) g(ab) > g(a), ∀ a, b ∈ A \ {0}. c) Dados a, b ∈ A\{0}, ∃ t, r ∈ A, tales que a = tb+r, donde r = 0 o g(r) < g(b).

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Como el lector notará, la función g, llamada la función grado, es una generalización de la función valor absoluto en Z y c) es una generalización del algoritmo euclideano. Entonces Z es un anillo euclideano. T 9.53. El anillo de los enteros gaussianos Z[i], con la función g(z) := |z|2 = x2 + y2 , donde z := x + iy, es un anillo euclideano. D´. g cumple, obviamente, con las propiedades a) y b) de una función grado. Falta mostrar que también cumple con la propiedad c). En efecto sean α := a + bi, β := c + di∈ Z[i] \ {0}. g(α) = a2 + b2 , g(β) = c2 + d2 . Consideremos α a + bi ac + bd bc − ad = = 2 + 2 i. β c + di c + d2 c + d2 1 1 Entonces existen m, n ∈ Z y v, w ∈ R, |v| 6 , |w| 6 tales que 2 2 bc − ad ac + bd = m + v, = n + w. c2 + d2 c2 + d 2 Haciendo q := m + ni y r := β(v + wi) se obtiene α = qβ + r 1 1 donde r ∈ Z[i], ya que r = α−qβ ∈ Z[i]. Además g(r) = |β|2 (v2 +w2 ) 6 g(β)( + ) < g(β). 4 4 Por lo tanto g cumple con la propiedad de una función grado sobre Z[i]. T 9.54. Todo anillo euclideano A es un anillo principal y por consiguiente un anillo factorial. D´. Si a = 0 la conclusión es obvia. Sea entonces a , 0. Entonces a posee elementos distintos de 0. Sea entonces a0 ∈ a, a0 , 0, tal que g(a0 ) sea minimal y sea a ∈ a, a , 0, entonces existen t, r ∈ A, tales que a = ta0 + r, con r = 0 o g(r) < g(a0 ). Supongamos que r , 0, entonces, como a, a0 ∈ a, resulta que r ∈ a y g(r) < g(a0 ), en contradicción a la escogencia de a0 . Por consiguiente, r = 0 y a = ta0 . Por lo tanto a = (a0 ). T 9.55. Si A es un anillo euclideano, entonces A es un anillo con unidad y por consiguiente un dominio entero. D´. En particular A es un ideal de A, entonces, como, por teorema 9.54, A es anillo principal, existe u ∈ A, tal que A = (u). Como, en particular u ∈ (u), existe c ∈ A, tal que u = cu. Vamos a mostrar que c es el elemento unidad en A. En efecto, dado a ∈ A, entonces a = bu y ac = (bu)c = b(uc) = b(cu) = bu = a. Por consiguiente c = 1. 9.4.5. Ejercicios y Complementos. 1. Mostrar el lema 9.29. 2. Seaa un ideal de un anillo principal A. Mostrar que A/a es también principal. 3. Sea S un subconjunto multiplicativo del anillo principal A. Mostrar que el anillo S −1 A es también principal. En particular si p ∈ Spec A, entonces el anillo localizado Ap , de un anillo principales, es principal. 4. Sea a un ideal de un anillo noetheriano A. Mostrar que A/a es también noetheriano. 5. Sea S un subconjunto multiplicativo del anillo noetheriano A. Mostrar que el anillo S −1 A es también noetheriano. En particular si p ∈ Spec A, entonces el anillo localizado Ap , de un anillo noetheriano, es noetheriano.


185

6. Sean p un elemento primo de un dominio entero A, Q(A) su campo de fracciones y S := {r ∈ Q(A) | r = apm , a ∈ A, m ∈ Z}. Mostrar que S es un subdominio entero de Q(A) y que el subgrupo de elementos invertibles S ∗ es el producto directo del subgrupo de elementos invertibles A∗ con un grupo c´ıclico infinito. 7. Sea √ √ Z[i 2] := {z ∈ C | z = a + b 2i, a, b ∈ Z}. √ Mostrar que Z[i 2] es un dominio entero, cuyos u´ nicos elementos invertibles √ son 1 y −1√y que la funci´ıon g(z) := |z|2 es una función grado sobre Z[i 2], por lo que Z[i 2] es un anillo euclideano y por consiguiente principal. (Ayuda: usar un procedimiento análogo! al utilizado en la demostración del teorema 9.53, pero 1 bc − ad = n + w). representar √ 2 c2 + d2 8. Sea √ √ Z[ 2] := {x ∈ R | x = a + b 2, a, b ∈ Z}. √ Mostrar que Z[ 2] es un dominio entero, cuyos u´ nicos elementos invertibles √ 2 2 son 1 y −1 y que √ la función g(x) := |a − 2b | es una función grado sobre Z[ 2], por lo que Z[ 2] es un anillo euclideano y por consiguiente principal. 9. a) Mostrar que √ D := {z ∈ C | z = a + b 5i, a, b ∈ Z} es un anillo, llamado el anillo de Dedekind. b) Mostrar que la función g(z) := |z|2 no satisface, en general la propiedad c) de una función grado sobre D. c) Mostrar que si z | w en D, entonces g(z) | g(w) y g(z) 6 g(w) d) Mostrar que si z es invertible en D, entonces g(z) = 1, por lo que sólo 1 y −1 son invertibles en D. e) Si (9.36)

(x0 ) ⊆ (x1 ) ⊆ . . . ⊆ (xk ) ⊆ · · · Entonces se tiene

(9.37)

g(x0 ) > g(x1 ) > . . . g(xk ) > . . . f) Como g(xκ ) ∈ N, mostrar que la cadena de desigualdades (9.37), debe ser estacionaria. g) Utilizar lo mostrado en f) para mostrar que la cadena de ideales (9.36) es estacionaria. Por lo que el anillo D posee la propiedad F0 . h) Mostrar que ningú√n elemento z ∈ D, satisface g(z) = 2 o g(z) = 3. i) Sea p := (2, 1 + 5). Mostrar que si existiera un α ∈ D, √ tal que p = (α), entonces g(α) ser´ıa un divisor común de g(2) y de g(1 + 5). j) Deducir de h) e i) que p no es un ideal principal. Entonces D no es un anillo principal y por consiguiente no es euclideano. √ k) Usar h) para mostrar que 2, 3, 1 + 5i son √ √ irreducibles en √ D. √ los elementos Sin embargo 2 | (1 + 5i)(1 − 5i) = 6, pero 2 - (1 + 5i) y 2 - (1 − 5i). Entonces 2 es un elemento irreducible en D, pero no es un elemento primo en D. Por consiguiente D no es un anillo factorial.

186


Más adelante veremos que, aunque D no es un anillo principal, s´ı es un anillo noetheriano. (Ver ejercicio 11.2.3,8

CAP´ıTULO 10

´ ´ MODULOS Y ALGEBRAS En este cap´ıtulo estudiaremos las propiedades principales de las estructuras algebraicas llamadas módulos y a´ lgebras. Dado un conjunto S construiremos el llamado módulo libre sobre S y en el caso en que S posee la estructura de un monoide conmutativo, construiremos el a´ lgebra libre sobre S . Por razones pedagógicas y simplicidad limitaremos nuestro estudio a módulos y a´ lgebras sobre un anillo conmutativo con unidad A, para evitarnos diferenciar entre módulos (álgebras) por la izquierda y módulos (álgebras) por la derecha. Igualmente, por abuso de notación y en aras de una mejor visualización, denotaremos, salvo casos particulares, las operaciones por + y ·. También adoptaremos la expresión xy en lugar de x · y. 10.1.

Módulos

Sea (A, +, ·) un anillo conmutativo con unidad. Recordamos al lector, tomando en consideración la notación adoptada, que un A-módulo es una estructura algebraica (M, +, ·), donde (M, +) es un grupo abeliano y ·: A×M → M una operación binaria que cumple con las siguientes propiedades: 1. 2. 3. 4.

λ(x + y) = λx + λy, ∀ x, y ∈ M, ∀ λ ∈ A. (λ + α)x = λx + αx, ∀ x ∈ M, ∀ λ, α ∈ A. (λα)x = λ(αx), ∀ x ∈ M, ∀ λ, α ∈ A. Si 1 es la unidad en (A, +, ·), entonces 1x = x, ∀, x ∈ M.

Dados dos A-módulos M, N, decimos que la aplicación ϕ:M→N es un homomorfismo de A-módulos o una aplicación A-lineal, si a) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀ x, y ∈ M b) ϕ(λx) = λϕ(x), ∀ λ ∈ A, x ∈ M. El núcleo del homomorfismo ϕ de A-módulos es el conjunto: ker ϕ := {x ∈ M | ϕ(x) = 0} E 10.1. 1. 0 := {0} es un A-módulo, llamado el módulo trivial o módulo cero. 2. El anillo A es obviamente un A-módulo. En este caso coincide la operación binaria externa con el producto en A. 3. Si a es un ideal del anillo A,entonces a es un A-módulo. 187

´ ´ 10. MODULOS Y ALGEBRAS

188

N ⊆ M es un submódulo del A-módulo M, si (N, +) es un subgrupo de (M, +) y λN ⊆ N, ∀ λ ∈ A. Se comprueba facilmente que si ϕ:M→N es un homomorfismo de A-módulos, entonces ker ϕ es un submódulo de M. Dados un A-módulo M y un submódulo N ⊆ M, el lector comprobará facilmente que la relación x ≡ y (mód N) :⇔ x − y ∈ N es una relación de equivalencia sobre M y que el conjunto cociente de las clases de equivalencia M/N posee también la estructura de un A-módulo, por medio de las operaciones: + : M/N × M/N → M/N definida por x¯ + y¯ := x + y, ∀ x¯, y¯ ∈ M/N y · : A × M/N → M/N definida por λ · x¯ := λx, ∀ λ ∈ A, x¯ ∈ M/N. También comprobará facilmente que la proyección canónica π : M → M/N es un homomorfismo de A-módulos y que se tiene el siguiente teorema de factorización: T 10.1 (Teorema de Factorización para Módulos). Sea ϕ : M → N un homomorfismo de A-módulos de núcleo ker ϕ, entonces existe un u´ nico homomorfismo de A-módulos ϕ¯ : M/ ker ϕ → N

(10.1)

tal que el siguiente diagrama es conmutativo ϕ

;/ N ww w ww π ww ww ϕ¯ M/ ker ϕ M

(10.2)

Además ϕ¯ es inyectiva y si ϕ es sobreyectiva, entonces ϕ¯ es un isomorfismo. 10.1.1. Ejercicios y Complementos. 1. Sean ϕ : A → B un homomorfismo de anillos conmutativos con unidad y M un B-módulo. Si definimos ·: A×M → M

2. 3. 4.

5.

por medio de λ · x := ϕ(λ)x, ∀ λ ∈ A, x ∈ M, mostrar que M es, entonces, un A-módulo. Es decir que el homomorfismo ϕ induce una estructura de A-módulo sobre el B-módulo M. En particular el anillo B es también un A-módulo. Mostrar que todo A-módulo es también un Z-módulo. Mostrar que todo grupo abeliano es un Z-módulo. Sea A un anillo y M un A-módulo. Si a es un ideal de A, mostrar que M/aM es un A/a-módulo. (Mostrar que el producto · : A/a × M/aM → M/aM, definido por a¯ m ¯ := am (mód M/aM), está bien definido). Dados un A-módulo M y submódulos K, N, mostrar que se tiene un isomorfismo de A-módulos, entre (N + K)/K y N/(N ∩ K) y entre (N + K)/N y K/(N ∩ K).

´ 10.1. MODULOS

189

6. Dado un A-módulo M y submódulos K, N, tales que K es submódulo de N, mostrar que (M/K)/(N/K) es isomorfo a M/N. (Ley de cancelación). 7. Si ϕ : M → N es un homomorfismo de A-módulos, mostrar a) Si K es un submódulo de M, entonces ϕ[K] es submódulo de N b) Si V es un submódulo de N, entonces ϕ−1 [V] es un submódulo de M que contiene al ker ϕ. 8. Sean M, N A-módulos y HomA (M, N) := {ϕ : M → N | ϕ A-lineal} Si, dados ϕ, ψ ∈ HomA (M, N), definimos (ϕ + ψ)(x) := ϕ(x) + ψ(x), ∀ x ∈ M y dados λ ∈ A, ϕ ∈ HomA (M, N), definimos (λϕ)(x) := λϕ(x), ∀ x ∈ M, Mostrar que entonces HomA (M, N) es un A-módulo. En particular M ∗ := HomA (M, A) es un A-módulo, llamado el módulo dual de M. 9. Mostrar que todo homomorfismo de A-módulos ϕ : M → N, induce un homomorfismo de A-módulos ϕ∗ : N ∗ → M ∗ , definido por ϕ∗ ( f ) := f ◦ ϕ, ∀ f ∈ N ∗ . 10. Sea K un A-módulo fijo. Mostrar que todo homomorfismo de A-módulos ϕ : M → N, induce un homomorfismo de A-módulos ϕ∗ : HomA (K, M) → HomA (K, N) definido por ϕ∗ (ψ) := ϕ ◦ ψ, ∀ ψ ∈ HomA (K, M) y un homomorfismo de Amódulos ϕ∗ : HomA (N, K) → HomA (M, K). definido por ϕ∗ (ψ) := ψ ◦ ϕ, ∀ψ ∈ HomA (N, K). 11. Mostrar que todo elemento ϕ ∈ M ∗ está totalmente determinado por ϕ(1). 12. Mostrar que los resultados obtenidos para sucesiones exactas de grupos y grupos homomorfismos, en la sección 4.3.4 y en la serie de ejercicios y complementos 4.3.5, son válidos para el caso de A-módulos sobre un anillo conmutativo A. Substituir hom por HomA . 13. Dado un A-módulo M, definimos M ∗∗ := (M ∗ )∗ . Mostrar que la aplicación ϕ : M → M ∗∗ definida como la aplicación, tal que ϕ(m)( f ) := f (m), ∀ f ∈ M ∗ , m ∈ M, es un homomorfismo de A-módulos, llamado el homomorfismo canónico de M → M ∗∗ . ϕm := ϕ(m) : M ∗ → A se llama el homomorfismo de valuación en m. Mostrar, además que \ ker ϕ = ker f. f ∈M ∗

Si ϕ es un isomorfismo, entonces se dice que M es un A-módulo reflexivo.. 14. Decimos que un A-módulo es finitamente generado si existe un conjunto finito {m1 , . . . mn } ⊆ M, tal que, si m ∈ M, entonces n X m= aν mν , aν ∈ A. ν=1

En general esta representación para m no es u´ nica, a menos que M sea un Amódulo libre. Si M es un A-módulo finitamente generado y N un submódulo de A, en general


190

tampoco es cierto que N esté finitamente generado. Decimos que M es un A-módulo noetheriano si toda cadena ascendente de submódulos de A es estacionaria. Mostrar que M es noetheriano, Ssi todo A-submódulo de M está finitamente generado. Mostrar además que si ϕ:M→N es un homomorfismo sobreyectivo de A-módulos, entonces N es noetheriano, si M es noetheriano. 10.1.2. Módulo Libre. Formalmente la construcción del A-módulo libre es similar a la construcción del grupo libre abeliano. Sea S un conjunto no vac´ıo, A un anillo conmutativo con unidad y ϕ:S →A una aplicación, tal que ϕ(s) = 0, salvo un número finito de elementos de S . Entonces, si sj : S → A es la aplicación, tal que s j (s) = 0, si s , s j y s j (s j ) = 1, entonces ϕ se puede escribir de la forma ϕ = k1 s1 + · · · + kn sn , donde los kν ∈ A, ∀ ν = 1, . . . , n. De forma más general podemos escribir X k s s, ϕ= s∈S

donde k s = 0, salvo para un número finito de elementos s ∈ S , y s:S →A la aplicación tal que    1 si x = s, s(x) =   0 de lo contrario. ϕ admite una u´ nica representación de esta forma. En efecto, supongamos que X X ϕ= ks s = k0s s s∈S

entonces 0=

X

s∈S

(k s − k0s )s

s∈S

y por consiguiente k s = k0s , ∀ s ∈ S . Sea AhS i := {ϕ : S → A | ϕ(s) = 0, salvo un número finito de elementos s ∈ S } entonces (AhS i, +, ·), donde + es la adición usual de aplicaciones sobre A, y · : A × AhS i → AhS i la operación binaria definida por (λ · ϕ)(x) := λϕ(x), ∀, ϕ ∈ AhS i, x ∈ S , es un A-módulo. Por medio de la aplicación inyectiva f : S → AhS i definida por f (s) := s, podemos identificar a S como un subconjunto de AhS i y el módulo AhS i está generado por f [S ]. (AhS i, +, ·, f ) se llama el módulo libre generado por el conjunto S ,

´ 10.1. MODULOS

191

Usualmente se suele identificar S con f [S ] en AhS i y representar los elementos de AhS i, como las “sumas formales” X k s s. s∈S

El módulo libre (AhS i, +, f ) posee la siguiente propiedad universal: Dada una aplicación g : S → M, donde M es un A-módulo, entonces existe un u´ nico homomorfismo de A-módulos g∗ : AhS i → M, tal que el diagrama (10.3)

/ AhS i z z z g zzg∗ z z| z M S

f

es conmutativo. En efecto g∗ : AhS i → M definida por   X  X k s g(s) g∗  k s s := s∈S

s∈S

es el u´ nico homomorfismo que hace conmutar al diagrama (10.3). De la propiedad universal resulta, como el lector podrá comprobar, la unicidad, salvo isomorfismo, del módulo libre. T 10.2. Si g : S → S 0 es una a aplicación entre dos conjuntos y (AhS i, +, f ), (AhS 0 i, +, f 0 ) los respectivos módulos libres, entonces existe un u´ nico homomorfismo de A-módulos g∗ : AhS i → AhS 0 i, tal que el diagrama (10.4)

S

f

g

S0

/ AhS i g∗

f0

/ AhS 0 i

es conmutativo y si g es sobreyectiva también lo será g∗ . D´. En efecto, tenemos una aplicación ( f 0 ◦ g) : S → AhS 0 i y por la propiedad universal existe un u´ nico homomorfismo g∗ := ( f 0 ◦ g)∗ que hace conmutar al diagrama (10.3), con M := AhS 0 i y el cual hace conmutar también al diagrama (10.4). Del teorema 10.2 se obtiene, aplicando la propiedad universal, el siguiente C 10.3. Si g : S → S 0 es una biyección, entonces g∗ es un isomorfismo.


192

Entonces, por corolario 10.3, dos conjuntos con la misma cardinalidad, inducen módulos libres isomorfos. En analog´ıa a los espacios vectoriales, llamaremos dimensión, sobre A, del módulo libre AhS i, a la cardinalidad del conjunto S , denotada por dimA (AhS i), y diremos que S es una base de AhS i. En el caso particular, en que S es un conjunto finito S := {s1 , . . . , sn }. Entonces cada elemento de ϕ ∈ AhS i, se escribe de forma u´ nica como n X ϕ= kν sν , kν ∈ A. ν=1

Entonces se dice que los elementos s1 , . . . sn forman una base de AhS i. Si A es un anillo y An := {x := (x1 , . . . , xn ) | xν ∈ A, 1 6 ν 6 n}, provisto de la suma definida por la suma de cada componente y el producto ax := (ax1 , . . . , axn ), entonces, An es un A-módulo libre, como el lector comprobará facilmente, cuya base son los elementos eν := (0, . . . , |{z} 1 , 0 . . . 0), 1 6 ν 6 n. ν

T 10.4. Si A es un anillo noetheriano, entonces An es un A-módulo noetheriano. D´. Vamos a mostrar que todo submódulo M ⊆ An está finitamente generado. Procederemos por inducción sobre n. Si n = 1 entonces N es un ideal de A y, por hipótesis, M está finitamente generado. Supongamos, por hipótesis de inducción, que para 1 6 k 6 n − 1 valga la aserción y sea M un submódulo de An . Si An−1 := {x := (x1 , . . . , xn−1 , 0) | xν ∈ A, 1 6 ν 6 n − 1} ⊂ An , entonces M 0 := M ∩ An−1 , por hipótesis se inducción, está finitamente generado, digamos por el conjunto {u1 , . . . , ur }, uρ ∈ M 0 , 1 6 ρ 6 r. Si Mn denota el conjunto de todas las n-componentes de los elementos de M, entonces el ideal a := hMn i está finitamente generado, digamos por el conjunto {α1 , . . . , αl } ⊂ A. Dado m := (m1 , . . . , mn−1 , m) ∈ M, entonces m := (m1 , . . . , mn−1 , m) = (m1 , . . . , mn−1 , 0)+(0, . . . , 0, m) =

r X

l X aρ uρ + bm λ vλ ,

ρ=1

λ=1

aρ , bm λ ∈ A,

donde vλ := (0, . . . , 0, αλ ), 1 6 λ 6 l. Entonces {u1 , . . . , ur , v1 , . . . , vl } generan M.

Para el caso de un dominio entero principal se obtiene el siguiente C 10.5. Si A es un dominio entero principal, entonces todo A-submódulo M de An es libre y posee una base de cardinalidad 6 n.

´ 10.1. MODULOS

193

D´. Por inducción sobre n: Si n = 1, M es un ideal principal y posee un u´ nico generador α ∈ A. Dado m ∈ M, entonces existe a ∈ A, tal que m = aα. Si existiera b ∈ A, tal que m = bα = aα, resultar´ıa, ya que A es dominio entero, que a = b. Por lo que todo elemento de M posee una representación u´ nica y M es libre. Supongamos, por hipótesis de inducción que el teorema sea válido para 1 6 k 6 n − 1 y sea M un submódulo de An . Utilizando la nomenclatura de la demostración del teorema 10.4, Si M 0 := M ∩ An−1 , por hipótesis de inducción, M 0 es libre y posee una base {u1 , . . . , ur } de cardinalidad r 6 n − 1 y el ideal a, generado por Mn , es un ideal principal, a = (α). Dado m := (m1 , . . . , mn−1 , m) ∈ M, r X aρ uρ + am v, aρ , am ∈ A, m := (m1 , . . . , mn−1 , m) = ρ=1

donde v := (0, . . . , 0, α). Por lo tanto M es generado por el conjunto B := {u1 , . . . , ur , v}, de cardinalidad r + 1 6 n. El lector comprobará facilmente que cualquier elemento m ∈ M posee una representación u´ nica como combinación lineal de elementos de B, por lo que M es libre de base B. 10.1.3. Producto Directo de Módulos. También, de forma análoga a la teor´ıa de grupos abelianos, es posible definir el producto directo y la suma directa sobre una familia (Mi )i∈I de A-módulos. Si Y Mi M := i∈I

es el producto cartesiano de la familia de conjuntos (Mi )i∈I . Dados (mi )i∈I , (ni )i∈I ∈ M, por medio de (mi )i∈I + (ni )i∈I := (mi + ni )i∈I , se define una suma + : M × M → M, y por medio de λ·m := (λmi )i∈I se define un producto · : A× M → M, tales que (M, +, ·) es un A-módulo y las proyecciones pi : M → Mi son homomorfismos de A-módulos, para todo i ∈ I. (M, +, ·, pi )i∈I lo llamamos el módulo producto directo sobre la familia (Mi )i∈I . El lector comprobará facilmente que, en efecto, (M, +, ·) cumple con los axiomas de A-módulo y que las proyecciones pi son homomorfismos de A-módulos. El módulo (M, +, ·, pi )i∈I posee la siguiente propiedad universal: Dado un A-módulo cualquiera N y una familia de homomorfrismos (ψi : N → Mi )i∈I , existe un u´ nico homomorfismo ψ : N → M, tal que para todo i ∈ I, el diagrama (10.5)

es conmutativo.

ψ

/M NA AA AA pi ψi AA Mi


194

En efecto ψ : N → M, definido por ψ(n) := (ψi (n))i∈I es un homomorfismo de Amódulos y es el u´ nico que hace conmutar al diagrama (10.5), como el lector comprobará facilmente. De la propiedad universal que satisface el módulo producto (M, +, ·, pi )i∈I , se deduce ˜ +, ·, p˜ i )i∈I , es otro módulo que satisface dicha propiedad, entonces M es isomorfo que si ( M, ˜ a M. ˜ → My En efecto, por la propiedad universal, existe un u´ nico homomorfismo ψ : M ˜ ˜ un u´ nico homomorfismo ψ : M → M, tales que los diagramas (10.6)

ψ

/M ˜ M AA AA pi A p˜ i AA Mi

y (10.7)

ψ˜

/M ˜ MA AA AA p˜ i A pi AA Mi

son conmutativos. ˜ →M ˜ hace conmutar al diagrama Entonces el homomorfismo (ψ˜ ◦ ψ) : M (10.8)

˜ ψ◦ψ

/M ˜ ˜ M AA AA p˜ i A p˜ i AA Mi

y por la propiedad universal (ψ˜ ◦ ψ) = 1 M˜ . Un argumento análogo nos muestra que también ˜ = 1 M . Por consiguiente ψ es un isomorfismo de A-módulos. (ψ ◦ ψ) 10.1.4. Si

Suma Directas de Módulos. Sea (Mi )i∈I una familia de A-módulos. M=

Y

Mi

i∈I

es el producto directo de la familia (Mi )i∈I , consideremos el submódulo M Mi i∈I

formado por los elementos m = (mi )i∈I ∈ M, tal que mi = 0, salvo para un número finito de ´ındices i ∈ I. Para cada ´ındice j ∈ I, sea M λj : Mj → Mi i∈I

la aplicación tal que la j-componente de λ j (m) = m y el resto de las componentes es 0, entonces λ j es un homomorfismo de A-módulos, ∀ j ∈ I. M Mi , +, ·, λi ∈ I i∈I

i

Se llama la suma directa de la familia de módulos (Mi )i∈I .

´ 10.1. MODULOS

195

En forma análoga al producto directo de módulos, la suma directa de módulos posee la siguiente propiedad universal: Dada una familia de homomorfismos de A-módulos (ψi : Mi → N)i∈I , existe un u´ nico homomorfismo ψ:

M

Mi → N,

i∈I

tal que, ∀ i ∈ I, el diagrama (10.9)

λi

Mi

/

L

{{ {{ψ { { }{{ N

Mi

i∈I

ψi

es conmutativo. En efecto, el lector comprobará facilmente que la aplicación M Mi → N ψ: i∈I

definida por ψ(g) :=

X

ψi (gi )

i∈I

es un homomorfismo de A-módulos y que es el u´ nico que hace conmutativo al diagrama (10.9). Dada una familia de homomorfismos de A-módulos (ϕi : Mi → N)i∈I tal que (N, +, ·, ϕi )i∈I posee la propiedad universal arriba indicada, entonces (N, +, ·, ϕi )i∈I es isomorfo a M i∈I

Mi , +, λi

i∈I

Esto quiere decir que la suma directa es u´ nica, salvo isomorfismo. Dejamos al lector la demostración de esta propiedad, ya que es similar a la demostración de la unicidad del producto directo. Si I es un conjunto finito de ´ındices, entonces la suma directa y el producto directo coinciden, como el lector comprobará facilmente. Si S es un conjunto finito de n elementos, entonces se tiene el siguiente resultado, cuya demostración dejamos al lector: (10.10)

AhS i ≈ | A ⊕ {z ··· ⊕ } A≈| A × {z ··· × } A. n

n

196


10.1.5. Ejercicios y Complementos. 1. Sean S un conjunto no necesariamente finito y A un anillo L conmutativo con uniAs . dad. Para cada s ∈ S , sea A s = A. Mostrar que AhS i ≈ s∈S

2. Sea M un A-módulo. Decimos que un elemento x ∈ M es un elemento de torsión de M, si existe λ ∈ A, λ , 0, tal que λx = 0. Mostrar que el conjunto T (M) := {x ∈ M | x es elemento de torsión} es un submódulo de M, llamado el submódulo de torsión. 3. Mostrar que si A es un dominio entero y m un elemento de torsión del A-módulo M, entonces m ∈ ker ϕ, donde ϕ : M → M ∗∗ es la aplicación canónica. Mostrar además que si M es libre, entonces ϕ es una inyección. 4. Sea M un A-módulo. Dado x ∈ M, definimos AnnA (x) := {λ ∈ A | λx = 0}. Mostrar que AnnA (x) es un ideal de A, llamado el anulador de x. Mostrar también que el conjunto AnnA M := {λ ∈ A | λM = 0} es un ideal de A, llamado el anulador del módulo M. y que \ AnnA M = AnnA (x). x∈M

5. Sean S un conjunto y A un dominio entero. Si M := AhS i, mostrar que T (M) = 0. Es decir un módulo libre sobre un dominio entero es libre de torsión. 6. Sean A un anillo conmutativo con unidad y M un A-módulo. Dado m ∈ M, sea ϕ:A→M el homomorfismo definido por ϕ(1) := m. Mostrar que M posee un submódulo isomorfo a A/ AnnA (x). 7. Sean A un anillo conmutativo con unidad, S un subconjunto multiplicativo de A y M un A-módulo. a) Mostrar que la relación (m, s) ∼ (n, t) :⇔ ∃r ∈ S , tal que r(tm − sn) = 0, es una relación de equivalencia sobre M × S . Por S −1 M denotaremos al m conjunto cociente de la clases s m n tm + sn b) Mostrar que la suma definida por + := está bien definida, s t ts λ m λm as´ı como el producto · := . t s st −1 −1 c) Mostrar que (S M, +, ·) es un S A-módulo y un A-módulo, llamado el módulo de fracciones respecto del conjunto multiplicativo S . d) Si S := A \ p, donde p ∈ Spec A, el módulo Mp se llama el localizado del módulo M en el ideal primo p. Al conjunto Supp M := {p ∈ Spec A | Mp , 0} lo llamamos el soporte del módulo M. Mostrar que p ∈ Supp M Ssi AnnA M ⊆ p y que existe una correspondencia biun´ıvoca entre Supp M y Spec(A/ AnnA M).

´ 10.1. MODULOS

197

8. Sean A un dominio entero, S un conjunto y M := AhS i el módulo libre sobre S . Mostrar que Supp M = Spec A. 9. Mostrar que M es un módulo finitamente generado, Ssi existe un A-módulo libre, F, de dimensión finita y un homomorfismo sobreyectivo ϕ : F → M. 10.1.6. Módulos sobre Anillos Principales. En esta subsección A será un dominio entero principal. Uno de los resultados importantes de módulos sobre dominios enteros principales es que todo A-submódulo de un A-módulo finitamente generado es también finitamente generado y que todo submódulo de un A-módulo libre es también libre, generalizando los resultados obtenidos en el teorema 10.4 y corolario 10.5. Empezaremos mostrando que todo submódulo de un módulo libre de dimensión finita es libre y luego generalizaremos dicho resultado al caso general en que S es un conjunto de cualquier cardinalidad. T 10.6. Sea F un A-módulo libre de dimensión n. Entonces todo submódulo M de F es libre, de dimensión dimA (M) 6 n. D´. Sea {x1 , . . . , xn } una base finita de F. Mr sea la intersección de M con el submódulo hx1 , . . . , xr i, r 6 n. Entonces M1 := M ∩ hx1 i es un sumbódulo de hx1 i y, en consecuencia, todo elemento de M1 es de la forma ax1 , donde a ∈ A. El conjunto de todos los elementos α ∈ A, tales que αx1 ∈ M1 forman un ideal a de A, el cual es principal, generado, digamos por un λ ∈ A, por lo que M1 es entonces generado por un elemento de la forma λx1 . Entonces M1 es, ya sea 0 o un módulo libre de dimensión 1. Asumamos, por hipótesis de inducción que Mr sea libre de dimensión 6 r, para todo r 6 n − 1 y sea a el subconjunto de elementos a ∈ A, tales que existe un elemento x ∈ M de la forma x = b1 x1 + · · · + br xr + axr+1 ,

bi ∈ A.

Entonces a es un ideal principal, generado por un u´ nico elemento ar+1 . Si ar+1 = 0, entonces Mr+1 = Mr y estamos listos. Si ar+1 , 0, sea w ∈ Mr+1 , tal que su coeficiente en xr+1 sea ar+1 . Dado un elemento cualquiera x ∈ Mr+1 , su coeficiente en xr+1 es un múltiplo de ar+1 y existe un elemento c ∈ A, tal que x − cw ∈ Mr . Entonces M = Mr + hwi. Como Mr ∩ hwi = 0,

M = Mr ⊕ hwi. Por lo tanto M libre de dimensión 6 r + 1 6 n.

Para el caso general, la filosof´ıa de la demostración es similar al caso finito, pero hay que hacer uso del lema de Zorn. T 10.7. Todo submódulo M de un módulo libre cualquiera F, sobre un dominio entero principal A, es libre. Si (vi )i∈I es una base de F y M , 0, entonces M posee una base (v j ) j∈J , donde J ⊆ I. D´. Para cada subconjunto J ⊆ I, sea F J el módulo libre generado por (v j ) j∈J y sea M J := F J ∩ M. Sea S el conjunto formado por todos los pares (M J , w), donde J ⊆ I y w : J 0 → M J es una base de M J indizada por J 0 ⊆ J. Dados (M J , w), (MK , v) ∈ S , definimos (M J , w) 6 (MK , v), Ssi J ⊆ K, si J 0 ⊆ K 0 y si la restricción u| J 0 = w. Entonces (S , 6) es un conjunto inductivamente ordenado. S , ∅, por teorema 10.6. Entonces por el lema de Zorn S posee un elemento maximal (M J , w). Si probamos que J = I estamos listos. En efecto, supongamos que J , I, entonces existe k ∈ I \ J. Sea K := J ∪ {k}. Si FK ∩ M = MJ ,

198


entonces (M J , w) 6 (MK , w) y J , K, en contradicción a la maximalidad de (M J , w). Por otra parte, si (M J , w) , (MK , v), entonces existen elementos en MK de la forma cvk + y,

y ∈ FJ ,

c ∈ A \ {0}.

El conjunto a de todos los elementos c ∈ A, tales que existe y ∈ F J , para el cual cvk +y ∈ M, es un ideal de A, generado por un elemento a ∈ A. Sea wk := avk + y,

y ∈ FJ .

Dado x ∈ MK , existe b ∈ A, tal que x − bwk ∈ M J . Entonces (MK , w0 ), donde w0 | J = w y w0 (k) := wk está en S y es mayor que (M J , w), en contradicción a la maximalidad de (M J , w). Como corolario al teorema 10.6 se obtiene el siguiente resultado: C 10.8. Todo submódulo M de un módulo finitamente generado E es finitamente generado. D´. Si E es finitamente generado, entonces existe un A-módulo libre F de dimensión finita, y un homomorfismo sobreyectivo ϕ : F → E, por lo que ϕ induce un isomorfismo ϕˆ : F/ ker ϕ ' E, entonces M 0 := π−1 [ϕˆ −1 [M], donde π : F → F/ ker ϕ es la proyección canónica, es un submódulo libre de F, de dimA (M) 6 dimA (E) y ϕ| M0 : M 0 → M es un homomorfismo sobreyectivo. Por lo tanto M está finitamente generado. Llamamos módulo c´ıclico a un A-módulo libre de dimensión 1. Todo módulo c´ıclico es isomorfo a A. T 10.9. Todo A-módulo finitamente generado y libre de torsión es libre. D´. Sea M un A-módulo finitamente generado, digamos por el conjunto S := {y1 , . . . , ym } y sea R := {v1 , . . . , vn }, un conjunto maximal entre todos los subconjuntos de S que son linealmnete independientes. Entonces si y ∈ S , existen elementos a, b1 , . . . , bn ∈ A, no todos iguales a 0, tales que ay + b1 v1 + · · · + bn vn = 0. Entonces a , 0, de lo contrario tendr´ıamos una contradicción a la independencia lineal de R, y ay ∈ hv1 , . . . , vn i. Esto quiere decir, que para cada j = 1, . . . , m, existe un a j ∈ A \ {0}, tal que a j y j ∈ hv1 , . . . , vn i. Sea a := a1 · · · am . Entonces aM ⊆ hv1 , . . . , vn i y se tiene un homomorfismo inyectivo ϕ : M → hv1 , . . . , vn i, definido por ϕ(x) := ax, por lo que M es imágen isomorfa de un submódulo del módulo libre hv1 , . . . , vn i. Entonces por teorema 10.6, M es libre. T 10.10. Sean E, M A-módulos, y asumamos que M es libre. Sea ϕ:E→M un homomorfismo sobreyectivo. Entonces existe un submódulo libre F ⊆ E, tal que la restricción ϕ|F induce un isomorfismo de F sobre M y, tal que E = F ⊕ ker ϕ. D´. Sea (yi )i∈I una base de M. Para cada i ∈ I, sea xi ∈ E, tal que ϕ(xi ) = yi , entonces (xi )i∈I es un conjunto linealmente independiente y genera un A-módulo libre F ⊆ E. Dado x ∈ E, existen elementos ai ∈ A, tales que X ϕ(x) = ai yi , i∈I

´ 10.2. ALGEBRAS

entonces x \

P i∈I

199

ai xi ∈ ker ϕ y E = F + ker ϕ. Como ker ϕ ∩ F = 0, esta suma es directa.

T 10.11. Sean E un A-módulo, finitamente generado y T (E) su submódulo de torsión. Entonces E/T (E) es libre y existe un submódulo libre F ⊆ E, tal que E = F ⊕ T (E). D´. Vamos a mostrar primero que E/T (E) es libre de torsión. Si x ∈ E, ¯ Entonces ax ∈ T (E) y existe sea x¯ su clase en E/T (E). Sea a ∈ A \ {0}, tal que a x¯ = 0. ¯ lo que muestra que E/T (E) es b ∈ A \ {0}, tal que bax = 0, entonces x ∈ T (E) y x¯ = 0, libre de torsión. Como E es finitamente generado, entonces también el cociente E/T (E) es finitamente generado y por teorema 10.9, E/T (E) es libre. Si π : E → E/T (M) es la proyección canónica, entonces π es un homomorfismo sobreyectivo y por teorema 10.10, existe un submódulo libre F ⊆ E, tal que E = F ⊕ ker π = F ⊕ T (E). La dimensión del submódulo libre F se llama el rango de E, denotado RankA (E). 10.2.

´ Algebras

Recordamos al lector que un A-álgebra, donde A es un anillo conmutativo con unidad, es una estructura algebraica ((B, +, ·), ·), donde (B, +, ·) es un A-módulo y · : B×B→ B una operación binaria que satisface las siguientes condiciones: a) (x + y) · z = x · z + y · z, ∀ x, y, z ∈ B. b) x · (y + z) = x · y + x · z, ∀ x, y, z ∈ B. c) (λx) · y = x · (λy) = λ(x · y), ∀ x, y ∈ B, λ ∈ A. Siguiendo nuestro convenio de notación escribiremos también xy en lugar de x · y, para x, y ∈ B. Si · es conmutativa (asociativa), entonces diremos que B es un a´ lgebra conmutativa (asociativa). Si · posee elemento unidad, entonces diremos que B es un a´ lgebra con elemento unidad. Una aplicación ϕ : B → C, entre dos A-álgebras es un homomorfismo de A-álgebras, si ϕ es A-lineal y si, además, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀ x, y ∈ B. Si ϕ es un homomorfismo de A-álgebras, entonces definimos el núcleo de ϕ, como el conjunto ker ϕ := {x ∈ B | ϕ(x) = 0}. Nosotros nos limitaremos a considerar A-álgebras conmutativas con unidad, sobre anillos conmutativos con unidad. Un subconjunto a ⊆ B, donde B es un A-álgebra conmutativa con unidad, es un ideal de A-álgebras, si a es un submódulo de B y para todo x ∈ B, xa ⊆ a. El lector comprobará facilmente que si ϕ:B→C es un homomorfismo de A-álgebras, entonces ker ϕ es un ideal de A-álgebras.


200

Dados un A-álgebra B y un ideal de A-álgebras a ⊆ B, el lector comprobará facilmente que la relación x ≡ y (mód a) :⇔ x − y ∈ a es una relación de equivalencia sobre B y que el conjunto cociente de las clases de equivalencia B/a posee también la estructura de un A-álgebra, por medio de las operaciones: + : B/a × B/a → B/a definida por x¯ + y¯ := x + y, ∀ x¯, y¯ ∈ B/a, · : A × B/a → B/a definida por λ · x¯ := λx, ∀ λ ∈ A, x¯ ∈ B/a y y · : B/a × B/a → B/a definida por x¯ · y¯ := x · y, ∀ x¯, y¯ ∈ B/a También comprobará facilmente que la proyección canónica π : B → B/a es un homomorfismo de A-álgebras y que se tiene el siguiente teorema de factorización: T 10.12 (Teorema de Factorización para a´ lgebras). Sea ϕ : B → C un homomorfismo de A-álgebras de núcleo ker ϕ, entonces existe un u´ nico homomorfismo de A-álgebras (10.11)

ϕ¯ : B/ ker ϕ → C

tal que el siguiente diagrama es conmutativo

(10.12)

ϕ

/ w; C w w ww π ww ϕ¯ w w B/ ker ϕ B

Además ϕ¯ es inyectiva y si ϕ es sobreyectiva, entonces ϕ¯ es un isomorfismo. 10.2.1. Ejercicios y Complementos. 1. Si ϕ : A → B es un homomorfismo de anillos, mostrar que B es un A-álgebra. 2. Sean B un A-álgebra y a, b ideales de B. Mostrar que se tiene un isomorfismo de A-módulos entre (a + b)/b y a/(a ∩ b) y entre (a + b)/a y b/(a ∩ b). 3. Sean B un A-álgebra, y a, b ideales de B, tales que b ⊆ a. Mostrar que se tiene un isomorfismo de A-álgebras entre B/a y (B/b)/(a/b). (Ley de cancelación). 4. Si B es un A-álgebra, en forma análoga a la definición de un A-módulo se puede definir la estructura de un B-módulo M, definiendo una operación binaria externa sobre B × M. Dar dicha definición y mostrar que todo ideal del A-álgebra B es un B-módulo. ´ 10.2.2. Algebras Graduadas. Sean A un anillo conmutativo con unidad, (N, +) un monoide conmutativo y (Mi )i∈N una familia de A-módulos, indizados por el monoide N. Para cada par de sub´ındices i, j y un sub´ındice fijo r exista una operación binaria externa ·i j : Mi × M j → Mi+ j+r , tal que a) ·i j = · ji , ∀ i, j ∈ N. b) (mi ·i j m j ) ·(i+ j+r)k mk = mi ·i( j+k+r) (m j · jk mk ), ∀ i, j, k ∈ N.

´ 10.2. ALGEBRAS

201

c) (mi + ni ) ·i j m j = mi ·i j m j + ni ·i j m j , ∀ i, j ∈ N. d) (ami ) ·i j (bm j ) = (ab)(mi ·i j m j ), ∀i, j ∈ N, a, b ∈ A. Entonces, la familia de operaciones binarias (·i j )i, j∈N , induce una operación binaria interna X X X ·: Mi × Mi → Mi , i∈N

i∈N

i∈N

definida por X

(10.13)

! X ! X mi · m0j := nk+r ,

i∈N

j∈N

X

nk+r :=

k∈N

mi ·i j m0j ,

i+ j=k

obteniendo el siguiente diagrama conmutativo: Mi × M j

(10.14)

·i j

/ Mi+ j+r

λi ×λ j

L i∈N

Entonces

P i∈N

L Mi × Mj j∈N

·

/

L

λi+ j+r

Mk

k∈N

Mi , +, · , · es un A-álgebra, llamada el A-álgebra graduada de la fami-

lia de A-módulos (Mi )i∈N , de grado r, sobre el monoide (N, +). En particular r puede ser igual a 0 y se tiene, entonces, un A-álgebra graduada de grado 0. En muchos casos N = N o N = Z y r puede ser un número positivo o negativo. 10.2.3.

Ejercicios y Complementos. P 1. Mostrar que, en efecto, Mi , +, · , · es una A-álgebra y que el diagrama i∈N

(10.14) es conmutativo. 2. Sean A un anillo conmutativo con unidad, a un ideal propio de A, no trivial, entonces se tiene una familia de ideales (aν )ν∈N , donde a0 := A y el producto · del anillo induce, para cada par ν, µ ∈ N, un producto ·νµ : aν × aµ → aν+µ . L Mostrar que aν , +, · , · es un A-álgebra graduada de grado 0, con unidad, ν∈N

llamada el a´ lgebra de Rees del ideal a. 3. Bajo las mismas condiciones del ejercicio precedente, se tiene una familia de ideales (aν /aν+1 )ν∈N . Mostrar que el producto · sobre A induce un producto ·νµ : aν /aν+1 × aµ /aµ+1 → aν+µ /aν+µ+1 . L y que aν /aν+1 , +, · , · es un A/a-álgebra graduada, de grado 0, con unidad, ν∈N

llamada el a´ lgebra graduada asociada al ideal a. (En la geometr´ıa algebraica juega un papel muy importante el a´ lgebra graduada asociada a un ideal primo y a un ideal maximal). ´ 10.2.4. Algebra Libre sobre un Monoide. Sean A un anillo conmutativo con unidad, (G, ·) un monoide conmutativo. Si AhGi es el A-módulo libre sobre el conjunto G, vamos a ver que, gracias a la operación binaria, definida sobre G, podemos dotar a AhGi


202

de una estructura de A-álgebra. En efecto, dados dos elementos de AhGi, x := P y := bg0 g0 , definimos

P

ag g,

g∈G

g0 ∈G

(10.15)

x · y :=

X

ch :=

ch h,

X

ag bg0 .

g·g0 =h

h∈G

Entonces, como el lector comprobará facilmente, ((AhGi, +, ·, f ), ·) es un A-álgebra, conmutativa, asociativa y con unidad, llamada el A-álgebra libre sobre el monoide G. Si ((B, +, ·), ·) es un A-álgebra, conmutativa y asociativa con unidad, entonces, en particular, (B, ·) es un monoide conmutativo. El A-álgebra libre sobre un monoide posee la siguiente propiedad universal: Dado un homomorfismo de monoides ϕ : G → B, donde B es un A-álgebra, entonces existe un u´ nico homomorfismo de A-álgebras ϕ∗ : AhGi → B, tal que el diagrama (10.16)

/ AhGi zz ϕ zz z z ϕ∗ z} z B G

f

es conmutativo. En efecto ϕ∗ : AhGi → B definida por    X X  kg ϕ(g) ϕ∗  kg g := g∈G

g∈G

es el u´ nico homomorfismo de A-álgebras que hace conmutar al diagrama (10.16). De la propiedad universal resulta, como el lector podrá comprobar, la unicidad, salvo isomorfismo, del a´ lgebra libre. T 10.13. Si ϕ : G → G0 es un homomorfismo de monoides y ((AhGi, +, f ), ·), ((AhG0 i, +, f 0 ), ·) las respectivas A-álgebras libres, entonces existe un u´ nico homomorfismo de A-álgebras ϕ∗ : AhGi → AhG0 i, tal que el diagrama (10.17)

G

f

ϕ

G0

/ AhGi ϕ∗

f0

/ AhG0 i

es conmutativo y si ϕ es sobreyectivo también lo será ϕ∗ . D´. En efecto, tenemos un homomorfismo de monoides ( f 0 ◦ ϕ) : G → AhG0 i

´ 10.2. ALGEBRAS

203

y por la propiedad universal existe un u´ nico homomorfismo de A-álgebras ϕ∗ := ( f 0 ◦ ϕ)∗ que hace conmutar al diagrama (10.16), con B := AhG0 i y el cual hace conmutar también al diagrama (10.17). 10.2.5. Ejercicios y Complementos. 1. Mostrar que, en efecto, ((AhGi, +, ·, f ), ·) es un A-álgebra conmutativa, asociativa con unidad. 2. Verificar la propiedad universal del A-álgebra libre sobre un monoide y que ϕ∗ es, en efecto, un homomorfismo de A-álgebras.

CAP´ıTULO 11

´ ANILLO Y ALGEBRA DE POLINOMIOS En este cap´ıtulo desarrollaremos las propiedades principales del anillo de polinomios, el cual resultará como un caso particular de un A-álgebra libre sobre el monoide libre abeliano NhS i, sobre un conjunto S . En particular estudiaremos las propiedades fundamentales del anillo de polinomios sobre un campo K y sobre un conjunto finito S . 11.1.

Conceptos y Propiedades Generales

Sea, entonces, (NhS i, ·) el monoide libre abeliano sobre un conjunto S , ∅, expresado en forma multiplicativa. (Ver ejercicio 8.2.6,8). Es decir que mn 1 sm 1 · · · sn := m1 s1 + · · · + mn sn , sν ∈ S , mν ∈ N, ν = 1, . . . , n.

En general, un elemento de NhS i, lo podemos escribir como la expresión X Y n s s, sns := (11.1) M(S ) := s∈S

s∈S

la cual tiene sentido, por tratarse siempre de una suma finita. La expresión (11.1) se llama P un monomio simple de elementos de S , de grado grad M(S ) := ns . s∈S

Dados dos monomios simples M(S ) :=

Y

sms ,

N(S ) :=

Y

sn s ,

s∈S

s∈S

entonces, su producto es el monomio M(S )N(S ) =

(11.2)

Y

sms +ns

s∈S

Obviamente de (11.2), (11.3)

grad(M(S )N(S )) = grad M(S ) + grad N(S ).

Dado un anillo A conmutativo con unidad, llamamos anillo de polinomios con coeficientes en A y S como conjunto de indeterminadas, al A-álgebra libre, AhNhS ii, sobre el monoide NhS i. Los elementos de AhNhS ii los llamamos polinomios con coeficientes en el anillo A sobre el conjunto de indeterminadas S . Un polinomio P ∈ AhNhS ii, es entonces una combinación lineal de monomios simples de NhS i. Dado un polinomio P ∈ AhNhS ii \ {0}, entonces el grado del polinomio P, grad P es el grado del monomio simple de mayor grado que comparece en P. Los polinomios de grado 0 son los elementos de A \ {0}. Al polinomio P = 0 no se le asigna ningún grado. Si Q es otro polinomio de grado grad Q, entonces por (11.3) se obtiene (11.4)

grad(PQ) 6 grad P + grad Q.

La igualdad subsiste siempre si A no posee divisores de 0.(Ver ejercicios 11.1.1). Decimos que un polinomio P es homogéneo de grado grad P = m, si todos sus monomios son de grado m. 205

´ 11. ANILLO Y ALGEBRA DE POLINOMIOS

206

Todo polinomio posee una representación u´ nica de la forma X ag g P= g∈NhS i

Dos polinomios X

P :=

Q :=

ag g,

g∈NhS i

X

bg g

g∈NhS i

son iguales Ssi ag = bg , ∀ g ∈ NhS i. En particular P = 0 Ssi ag = 0, ∀ g ∈ NhS i. E 11.1. 1. Sea S := {X}, en este caso denotaremos por A[X] al anillo de polinomios correspondiente y lo llamaremos el anillo de polinomios con coeficientes en A en la indeterminada X. Un monomio simple de grado n es de la forma X n . El monomio X 0 lo identificamos con el elemento unidad 1 ∈ A[X]. Un elemento P ∈ A[X] es de la forma general X (11.5) P := aν X ν . ν∈N

(11.6)

donde aν = 0, salvo un número finito de sub´ındices ν ∈ N. Dado otro polinomio X Q := bν X ν . ν∈N

(11.7)

aplicando las definiciones de suma y producto para el A-álgebra libre sobre un monoide, obtenemos X P + Q := (aν + bν )X ν . ν∈N

y (11.8)

PQ :=

X

cρ X ρ ,

cρ :=

X

aν bµ .

ν+µ=ρ

ρ∈N

Más concretamente, sean P := a3 X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 ,

Q := b2 X 2 + b1 X + b0 ,

entonces P + Q = a3 X 3 + (a2 + b2 )X 2 + (a1 + b1 )X + (a0 + b0 ) y PQ = (a3 b2 )X 5 + (a3 b1 + a2 b2 )X 4 + (a3 b0 + a2 b1 + a1 b2 )X 3 + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )X 2 + (a1 b0 + a0 b1 )X 1 + a0 b0 . grad P = 3, grad Q = 2, grad PQ = 5 = grad P + grad Q, si a3 b2 , 0. 2. Sea S := {X1 , X2 , . . . , Xn }, en este caso denotaremos por A[X1 , . . . , Xn ] al anillo de polinomios correspondiente y lo llamaremos el anillo de polinomios con coeficientes en A, en las indeterminadas X1 , . . . , Xn . Un monomio simple de grado n P m es de la forma X1m1 · · · Xnmn , m := mν . ν=1

11.1. CONCEPTOS Y PROPIEDADES GENERALES

207

3. Sea S := {X, Y} y consideremos el anillo de polinomios A[X, Y]. Para ilustrar la suma y producto de polinomios en A[X, Y], consideremos los polinomios P := aX 2 Y 2 X 2 Y 2 + aXY XY + aX X + aY Y + a1 ,

Q := bX 2 X 2 + bY Y + b1 ,

entonces P + Q = aX 2 Y 2 X 2 Y 2 + aXY XY + bX 2 X 2 + aX X + (aY + bY )Y + (a1 + b1 ) y PQ = aX 2 Y 2 bX 2 X 4 Y 2 + aX 2 Y 2 bY X 2 Y 3 + aX 2 Y 2 b1 X 2 Y 2 + aXY bX 2 X 3 Y + aXY bY XY 2 + (aXY b1 + aX bY )XY + aX bX 2 X 3 + aY bX 2 X 2 Y + aY bY Y 2 + a1 bX 2 X 2 + (a1 bY + aY b1 )Y + a1 b1 . 2 1 4. P := X 3 + X 2 + es un polinomio en Q[X], de grado grad P = 3. 3 2 √ √ 3 5. P := X 4 + πX + 3X + 2 es un polinomio en R[X], de grado grad P = 4. √ 5 3 6. P := (2 + 2i)X + πiX + iX 2 + (2 + i) es un polinomio en C[X], de grado grad P = 5. 7. Sea D2×2 el anillo de las matrices cuadradas, diagonales, con términos reales. Entonces ! ! ! π √0 3 0 e 0 3 2 P := X + X + 0 4 0 π 0 2 es un polinomio √ en D2×2 [X], de√grado grad P = 3.. 8. P := X 5 YZ + 2XY 2 Z + (1 + 3i)XYZ 2 es un polinomio en C[X, Y, Z] de grado grad P = 7. √ 9. P := XYZ + X 2 Y + Y 2 Z + Z 3 + 5X 3 es un polinomio homogéneo de grado grad P = 3, en R[X, Y, Z]. Siendo el anillo de polinomios un caso particular de un A-álgebra libre sobre un monoide, e´ ste posee entonces las siguientes propiedades, inherentes a un A-álgebra libre sobre el monoide libre abeliano: El anillo de polinomios AhNhS ii posee la siguiente propiedad universal: Dado un homomorfismo de monoides ϕ : NhS i → B, donde B es un A-álgebra conmutativa, asociativa con unidad, entonces existe un u´ nico homomorfismo de A-álgebras ϕ∗ : AhNhS ii → B, tal que el diagrama (11.9)

/ AhNhS ii ss ss ϕ ssϕ∗ s sy ss B

NhS i

f

es conmutativo. De la propiedad universal resulta, como el lector podrá comprobar, la unicidad, salvo isomorfismo, del anillo de polinomios.


208

T 11.1. Si ϕ : NhS i → NhS 0 i es un homomorfismo de monoides y ((AhNhS ii, +, f ), ·), ((AhNhS 0 ii, +, f 0 ), ·), los respectivos anillos de polinomios, entonces existe un u´ nico homomorfismo de A-álgebras ϕ∗ : AhNhS ii → AhNhS 0 ii, tal que el diagrama (11.10)

/ AhNhS ii

f

NhS i ϕ

NhS 0 i

ϕ∗

f0

/ AhNhS 0 ii

es conmutativo y si ϕ es sobreyectivo también lo será ϕ∗ . Si S y S 0 son dos conjuntos de la misma cardinalidad, se tiene entonces que ϕ : NhS i → NhS 0 i es un isomorfismo de monoides y del teorema 11.1, resulta que los anillos de polinomios AhNhS ii y AhNhS 0 ii son isomorfos. En particular los anillos de polinomios A[X1 , . . . , Xn ] y A[Y1 , . . . , Yn ] son isomorfos. El anillo de polinomios A[X, Y] en dos indeterminadas, también puede ser obtenido como el anillo (A[X])[Y], es decir como el A[X]-álgebra libre sobre el monoide libre abeliano NhYi. Un elemento P ∈ (A[X])[Y], es de la forma n X aν (X)Y ν , aν (X) ∈ A[X]. P= ν=0

Se tiene una inyección canónica de monoides ϕ : NhX, Yi → (A[X])[Y] definida por ϕ(X) := X ∈ (A[X])[Y] y ϕ(Y) := Y ∈ (A[X])[Y] En efecto, vamos a probar, que ((A[X])[Y], +·), ·, ϕ) cumple con la propiedad universal de A[X, Y]. Dada una A-álgebra B y un homomorfismo de monoides ψ : NhX, Yi → B se tiene, que ψ∗ : (A[X])[Y] → B, definida por ψ∗ (P) :=

n X

aν (ψ(X))ψ(Y),

ν=0

es un homomorfismo de A-álgebras y es el u´ nico que hace conmutar al diagrama: (11.11)

ϕ

/ (A[X])[Y] qq qqq ψ q q ψ xqqqq ∗ B

NhX, Yi

Por consiguiente tenemos que el A-álgebra (A[X])[Y] es isomorfa al A-álgebra A[X, Y]. El lector podrá comprobar, que por medio de inducción, dado un conjunto finito S := {X1 , X2 , . . . , Xn } se puede mostrar que el A-álgebra de polinomios A[X1 , . . . , Xn ] es isomorfa al A-álgebra (A[X1 , . . . , Xn−1 ])[Xn ].

11.1. CONCEPTOS Y PROPIEDADES GENERALES

11.1.1.

209


1. Dar, en los incisos siguientes√P + Q y PQ e indicar los grados de cada polinomio. a) P := 3X 3 + 2X 2 + X + 2, Q := X 4 + 3X 2 + 1, P, Q ∈ R[X]. b) P := 2X 5 + 3X2 + 2, Q := 2X 3 + 2X 2 + 2, P, Q ∈ Z4 [X]. c) P := 3XY 2 + 2X 2 Y + XY + 3, Q := 2XY2 + 3XY + 2, P Q ∈ Z6 [X]. d) Mostrar que en Z4 [X], el polinomio P := 2X + 3 es invertible con P2 = 1. e) Si A es un dominio entero, mostrar que los u´ nicos elementos invertibles en A[X], son los elementos invertibles de A. En particular si K es un campo, mostrar que los u´ nicos elementos invertibles en K[X1 , . . . , Xn ] son los elementos de K \ {0}. 2. Mostrar que ∀ P, Q ∈ A[X1 , . . . , Xn ], donde A es un anillo conmutativo con unidad, grad(P + Q) 6 máx(grad P, grad Q). 3. Dado un conjunto de indeterminadas S , mostrar que ss0 , 0, ∀s, s0 ∈ S . Deducir de este resultado que un monomio simple no puede ser 0. En particular si se tiene el anillo de polinomios A[X1 , . . . , Xn ], entonces X1m1 · X2m2 · · · Xnmn , 0, ∀ m1 , . . . , mn ∈ N. 4. Mostrar que si A es un dominio entero, entonces el anillo de polinomios A[X1 , . . . , Xn ] es un dominio entero. En particular si A es un campo, A[X1 , . . . , Xn ] es un dominio entero. 5. Dados dos polinomios P, Q ∈ A[X1 , . . . , Xn ] \ {0}, donde A es un dominio entero, mostrar que grad P 6 grad(PQ) y que ∀ P ∈ A[X1 , . . . , Xn ] \ {0}, grad P > 0. 6. Mostrar que un homomorfismo de anillos ϕ : A → B induce un homomorfismo de anillos ϕ∗ : A[X] → B[X]. Si ϕ es inyectiva entonces también lo es ϕ∗ y si ϕ es un isomorfismo, entonces ϕ∗ es un isomorfismo. 7. Sean A un anillo conmutativo con unidad, A[X] el anillo de polinomios en la indeterminada X. Mostrar que el conjunto An [X] de todos los polinomios homogéneos de grado n es un submódulo de A[X]. 8. Sean A un anillo conmutativo con unidad, S el conjunto S := {X1 , X2 , . . . } un conjunto infinito contable y A[X1 , X2 , . . . ] el anillo de polinomios correspondiente. Mostrar que la cadena de ideales a0 ⊆ a1 ⊆ . . . ⊆ ak ⊆ · · · ,

9. 10. 11.

12.

donde a0 = 0, a1 := (X1 ), . . . , ak := (X1 , . . . , Xk ), . . . no es estacionaria, por lo que A[X1 , X2 , . . . ] es un anillo no noetheriano y posee ideales que no son generados por un número finito de elementos. Mostrar que si ϕ : A[X1 , . . . , Xn ] → B es un homomorfismo de A-álgebras y P(X1 , . . . , Xn ) ∈ A[X1 , . . . , Xn ], entonces ϕ(P) = P(ϕ(X1 ), . . . , ϕ(Xn )). Mostrar, por inducción que A[X1 , . . . , Xn ] es isomorfo a (A[X1 , . . . , Xn−1 ])[Xn ]. Si A es un anillo conmutativo con unidad, sea An [X] el submódulo de A[X] de todos los polinomios homogéneos de grado n. Mostrar que A[X] es el a´ lgebra graduada de grado 0 de la familia de A-módulos (An [X])n∈N . Sea A un anillo conmutativo con unidad. Para cada n ∈ N, sea An = A. Mostrar ∞ L que el anillo de polinomios en una indeterminada A[X] es isomorfo a An , en n=0

tanto que A-módulo.


210

13. Bajo las mismas condiciones del ejercicio precedente, mostrar que sobre

∞ L

An ,

n=0

se puede definir un producto ·:

∞ L

An ×

n=0

∞ L n=0

de la siguiente forma: Dados a :=

∞ P

an , b :=

n=0

a · b :=

∞ P

∞ L

An →

bm , definimos

m=0

ck , donde ck :=

∞ P

an bm .

n+m=k

k=0

Mostrar, además, que con este producto

An ,

n=0 ∞ P

∞ L

An , adquiere la estructura de un A-

n=0

a´ lgebra graduada, de grado 0, con unidad, la cual es isomorfa a A[X]. 11.2.

Anillo de Polinomios sobre un Campo

Particularmente interesantes resultan los anillos de polinomios sobre un campo K, ya que poseen propiedades especiales que no son válidas en el caso de un anillo conmutativo con unidad, donde no todos sus elementos son invertibles. En particular demostraremos que si K es un campo, entonces el anillo K[X] es un anillo euclideano y por ende principal y factorial. Hecho que será de gran ayuda en el estudio de las raices de polinomios en una indeterminada. Como veremos más adelante, algunas propiedades del anillo A se transmiten al anillo de polinomios A[X1 , . . . , Xn ], entonces si e´ stas valen para el anillo K[X], como K[X1 , . . . , Xn ] = K[X1 ][X2 , . . . , Xn ], también valdrán para el anillo K[X1 , . . . , Xn ]. Por esta razón en esta sección desarrollaremos las propiedades principales del anillo K[X], donde K es un campo cualquiera. Si P es un polinomio en A[X], donde A es un anillo conmutativo con unidad, sabemos que si grad P = n, entonces P = an X n + · · · + a0 , donde an , 0. Al coeficiente an lo llamaremos el coeficiente principal del polinomio P de grado n. 11.2.1.

El Anillo K[X]. Sea K un campo entonces

T 11.2. El anillo K[X] con la función g : K[X] \ {0} → N, definida por g(P) := grad P, ∀ P ∈ K[X] \ {0}, es un anillo euclideano. D´. Por ejercicio 11.1.1,5, g(P) := grad P, cumple con las propiedades a) y b) de una función grado sobre K[X]. Falta sólo mostrar que cumple con la propiedad c). En efecto, vamos a mostrar que dados P, G ∈ K[X] \ {0}, existen polinomios Q, R ∈ K[X], tales que (11.12)

P = QG + R,

donde R = 0

o grad R < grad G.

Si grad P < grad G, entonces no hay nada que mostrar ya que Q := 0 y R := P, satisfacen (11.12). Sea, entonces grad P > grad G y P := a0 + a1 X + · · · + am X m ,

G := b0 + a1 X + · · · + bn X n , n 6 m, am , 0 , bn .

Como K es un campo, podemos formar el polinomio am m−n P1 := P − X G. bn

11.2. ANILLO DE POLINOMIOS SOBRE UN CAMPO

211

Procedamos por inducción sobre el grado de P. Si m = 0, entonces P, G ∈ K \ {0} y P P= G+0 G P y Q := y R := 0 satisfacen (11.12). Si m = 1, entonces n = 0 o n = 1. En el caso en que G n = 0 se tiene que G ∈ K \ {0} y de nuevo P P = G + 0. G Si n = 1, entonces P := aX + b, G := cX + d, a , 0 , c. y ad a P = (cX + d) + b − c c a ad y Q := , R := b − , satisfacen (11.12). Supongamos, por hipótesis de inducción, que c c el teorema sea válido para todo polinomio de grado 6 m − 1 y mostremos que es válido para cualquier polinomio de grado m. Sea, pues, P un polinomio de grado n > 2, entonces el polinomio am m−n P1 := P − X G. bn está bien definido y grad P1 < grad P y am m−n P = P1 + X G. bn Si grad P1 < grad G o P1 = 0, estamos listos. De lo contrario, por hipótesis de inducción, el teorema es válido para P1 y G, por lo que existen polinomios Q1 , R, con R = 0 o grad R < grad G, tales que P1 = Q1G + R. Entonces am m−n P = G Q1 + + R. X bn Con lo que queda demostrado el teorema. Del teorema 11.2, se obtiene, de forma inmediata, el siguiente C 11.3. Si K es un campo, entonces el anillo de polinomios K[X] es un anillo principal y por consiguiente factorial. Un resultado inverso al corolario 11.3 es el siguiente T 11.4. Si el anillo de polinomios A[X] es un anillo principal, entonces A es un campo. D´. Consideremos la aplicación ϕˆ : A[X] → A, inducida por ϕ(a) ˆ := a y ϕ(X) ˆ := 0. Es decir si P := an X n + · · · + a0 , entonces ϕ(P) ˆ = a0 . Entonces ϕˆ es un homomorfismo sobreyectivo de anillos, cuyo núcleo es un ideal principal distinto de 0, ya que ker ϕˆ = (X). Como A[X] es principal, es un dominio entero y por consiguiente también A es un dominio entero. Por el teorema de isomorf´ıa resulta que A[X]/ ker ϕˆ es isomorfo a A, por lo que ker ϕˆ es un ideal primo de A[X] y, por corolario 9.37, ker ϕˆ es un ideal maximal. Por consiguiente A es un campo.

212


De la demostración del teorema 11.4, se infiere que el ideal (X) es un ideal primo y, por consiguiente, el elemento X es un elemento irreducible en A[X]. En general se tiene para el caso donde A es un dominio entero el siguiente T 11.5. Si A es un dominio entero, entonces los elementos de la forma X − a, a ∈ A, son elementos primos en A[X] y por consiguiente irreducibles. En particular si A es un campo, entonces los elementos de la forma bX − a, b ∈ A \ {0}, son primos y los ideales de la forma (bX − a) maximales. D´. Dado a ∈ A, consideremos el homomorfismo de anillos ϕa : A[X] → A, tal que ϕa (b) := b, ∀ b ∈ A y ϕa (X) = a. Entonces ker ϕa = (X − a) y, por el teorema de isomorf´ıa, A[X]/(X − a) es isomorfo a A que es un dominio entero. Por lo tanto (X − a) es un ideal primo de A[X] distinto de 0 y, por lema 9.35, X − a es un elemento primo de A[X]. Si A es un campo, entonces, como todo elemento b ∈ A \ {0} es invertible, bX − a = a a a b(X − ) y el ideal (bX − a) = (X − ). Haciendo a˜ := , entonces (X − a˜ ) = ker ϕa˜ , de b b b donde resulta que A[X]/(bX − a) = A[X]/(X − a˜ ) es isomorfo al campo A. Por lo tanto (bX − a) es un ideal maximal de A[X] y por consiguiente ideal primo. Nuevamente, por lema 9.35, (bX − a) es un elemento primo y por consiguiente irreducible en A[X]. Para el caso del anillo de polinomios K[X1 , . . . , Xn ], en varias indeterminadas, donde K es un campo, el teorema 11.5 tiene la siguiente generalización, cuya demostración dejaremos al lector, como un ejercicio: T 11.6. Sea K un campo y K[X1 , . . . , Xn ] el anillo de polinomios sobre K con n indeterminadas. Entonces todo ideal de la forma (X1 − a1 , . . . , Xn − an ), donde aν ∈ K, 1 6 ν 6 n, es un ideal maximal. Del corolario 11.3 y del teorema 9.51 se obtiene el siguiente resultado, de gran importancia en la teor´ıa de polinomios de una variable, con coeficientes en un campo: T 11.7. Dado un conjunto finito de polinomios {P1 , . . . Pn } ⊆ K[X] \ {0}, existe el máximo común divisor D de dichos polinomios y (D) = (P1 , . . . , Pn ). D = 1 Ssi los polinomios P1 , . . . , Pn son primos relativos y en tal caso (P1 , . . . , Pn ) = K[X]. Como, por corolario 11.3, K[X] es un anillo factorial, entonces todo polinomio P ∈ K[X] se descompone de forma u´ nica, salvo producto con un elemento invertible y orden de los factores, en un producto de factores irreducibles (primos) P = aP1 · · · Pm , donde a ∈ K \ {0}. Incluso es posible escoger los polinomios Pµ de modo tal que dicho producto sea u´ nico. Como los u´ nicos elementos invertibles en K[X] son los elementos de K \ {0}, dado un polinomio P := an X n + · · · + a0 , 1 existe un u´ nico polinomio asociado a P, de la forma P1 := P. El coeficiente principal P1 an es 1. Un polinomio cuyo coeficiente principal es 1 se llama un polinomio mónico. Entonces todo polinomio P ∈ K[X], posee un u´ nico asociado mónico. Formemos, entonces, nuestro conjunto de primos seleccionados P, (ver página 182), como el conjunto P := {P ∈ K[X] | P es un elemento primo mónico}. Entonces para el caso particular del anillo de polinomios K[X], que es, pues, un anillo factorial, podemos escribir el teorema de factorización u´ nica 9.49 de la siguiente forma:


213

´ T 11.8 (Teorema de Factorización Unica). Todo polinomio P ∈ K[X] posee una u´ nica representación, salvo orden de los factores, como producto de factores primos, mn 1 mónicos P = aPm 1 · · · Pn , donde a ∈ K es el coeficiente principal de P y Pν ∈ P, ∀ ν = 1, . . . , n.

E 11.2. 1. Sea P := 2X 2 − 8 ∈ Q[X]. Como producto de factores primos mónicos, P posee una u´ nica representación, salvo orden de sus factores, como P = 2(X + 2)(X − 2), donde X + 2, X − 2, por teorema 11.5, son factores primos. Si no nos limitamos a factores mónicos podemos representar a P de varias formas, donde lo u´ nico que var´ıa es el producto por un elemento invertible en Q. As´ı tenemos las siguientes representaciones: 1 1 P = (2X + 4)(X − 2) = (X + 2)(2X − 4) = (2X + 4)(2X − 4) = (4X + 8)(2X − 4) 2 4 2. Un elemento de un anillo de polinomios puede ser irreducible en un cierto campo y reducilbe en otro. Por ejemplo el polinomio√P := X 2 − √2 es irreducible en Q[X] pero es reducible en R[X], ya que P = (X − 2)(X + 2) 3. Si P = X 2 + 1, P es irreducible en R[X] pero reducible en C[X], ya que P = (X + i)(X − i). Como lo muestran estos ejemplos, los factores irreducibles dependen del campo en el cual se esté estudiando el polinomio. Sin embargo, como nos lo muestra el siguiente teorema, el máximo común divisor de dos polinomios se mantiene invariante bajo una extensión del campo. T 11.9. Sean κ un subcampo del campo K, P, Q ∈ κ[X]\{0}. Entonces D ∈ κ[X] es un máximo común divisor de P, Q en κ[X] Ssi D es un máximo común divisor de P, Q en K[X]. D´. Sean a, a˜ los ideales generados por P, Q en κ[X] y en K[X] respectivamente. Denotaremos por (D)κ , respectivamente por (D)K , los ideales generados por D en κ[X], respectivamente en K[X]. Por el teorema 9.33, D es un máximo común divisor de P, Q en κ[X], Ssi (D)κ = a. Vamos a mostrar que (D)K = a˜ . Obviamente D ∈ a˜ , por lo que (D)K ⊆ a˜ . Si G ∈ a˜ , entonces existen polinomios R, S ∈ K[X], tales que G = RP + S Q. Como, por hipótesis, D es un máximo común divisor de P, Q en κ[X], existen polinomios P1 , Q1 ∈ κ[X], tales que P = DP1 , Q = DQ1 . Entonces G = RDP1 + S DQ1 = DG˜ ∈ (D)K , donde G˜ := RP1 + S Q1 ∈ K[X]. Por lo tanto (D)K = a˜ y D es un máximo común divisor de P, Q en K[X]. Por otra parte, sea D ∈ κ[X] un máximo común divisor de P, Q en K[X]. Si D˜ es un máximo común divisor de P, Q en κ[X], entonces, por la primera parte del teorema, D˜ es un máximo ˜ Si común divisor de P, Q en K[X] y existe un elemento invertible e ∈ K, tal que D = eD. ˜ ˜ ˜ b, b ∈ κ, son los coeficientes principales de D y D respectivamente, entonces b = eb, como b b, b ∈ κ \ {0}, resulta entonces que e = ∈ κ. Esto quiere decir que D y D˜ son asociados b˜ en κ, por lo que con D˜ también D es un máximo común divisor de P, Q en κ[X]. Como consecuencia inmediata del teorema 11.9, resulta el


214

C 11.10. Si D ∈ κ[X] es un máximo común divisor en K[X] de P, Q ∈ κ[X], entonces existe un elemento invertible e ∈ K, tal que eD es un máximo común divisor de P, Q en κ[X]. Por otra parte P, Q son primos relativos en κ[X], Ssi son primos relativos en K[X]. A continuación daremos una serie de lemas que nos ayudarán a entender mejor los criterios de irreducibilidad en el anillo de polinomios K[X]. L 11.11. Sea A un anillo, a un ideal de A y a[X], el ideal generado por a en A[X]. Entonces vale: a) a[X] ∩ A = a. b) Existe un isomorfismo natural A[X]/a[X] (A/a)[X]. c) a[X] es un ideal primo, Ssi a es un ideal primo. D´. a) Por definición a[X] consta de todos los polinomios cuyos coeficientes están en a, en particular a ⊆ a[X], por consiguiente a[X] ∩ A = a. b) La proyección canónica π : A → A/a induce un homomorfismo sobreyectivo de anillos π∗ : A[X] → (A/a)[X] definido por π∗ (an X n + · · · + a0 ) := a¯ n X n + · · · + a¯ 0 , donde a¯ ν := π(aν ), ∀ ν = 1, . . . , n, cuyo núcleo es precisamente el ideal a[X]. Entonces, por el teorema de isomorf´ıa, π∗ induce un isomorfismo natural πˆ ∗ : A[X]/a[X] → (A/a)[X]. c) Por inciso b), A[X]/a[X] es dominio entero Ssi (A/a)[X] es dominio entero. Por consiguiente a[X] es ideal primo Ssi a es ideal primo. Como aplicación del lema 11.11 obtenemos el C 11.12. Un elemento a ∈ A \ {0}, donde A es un dominio entero, es un elemento primo en A, Ssi es un elemento primo en A[X]. L 11.13. Sea A un dominio entero, a ∈ A. a = P1 · · · Pn , Pν ∈ A[X], es una descomposición en factores primos de a ∈ A[X], Ssi es una descomposición en factores primos de a en A. En particular si A[X] es factorial también lo es A. D´. De 0 = grad a = grad P1 + · · · + grad Pn resulta grad Pν = 0, ∀ ν = 1, . . . n, por consiguiente P1 , . . . , Pn ∈ A y, por corolario 11.12, P1 , . . . , Pn elementos primos en A. Por lo que a = P1 · · · Pn , es una descomposición en factores primos en A. Por otra parte si a = P1 · · · Pn , es una descomposición en factores primos en A, por corolario 11.12, es también una descomposición en factores primos en A[X]. Por otra parte, si A[X] es un anillo factorial, en particular todo elemento a ∈ A no invertible, distinto de 0 posee una u´ nica descomposición en factores primos en A[X], la cual es también una descomposición en factores primos en A. Si en A existiera otra descomposición en factores primos de a, e´ sta ser´ıa también otra descomposición en factores primos en A[X], en contradicción a que A[X] es factorial. Por lo tanto A debe ser tambén factorial.


215

Más adelante, en el llamado teorema de Gauss, mostraremos que si A es un anillo factorial, entonces también el anillo de polinomios A[X] es factorial. Gauss mostró dicha propiedad para el caso del anillo de los enteros Z. Sin embargo la demostración se puede ampliar al caso más general de un anillo factorial cualquiera. Decimos que un polinomio P ∈ A[X], de grado grad P > 1, donde A es un anillo factorial, es un polinomio primitivo, si cualquier máximo común divisor de todos sus coeficientes distintos de 0, es un elemento invertible en A. E 11.3. El polinomio P := X 4 + 2X + 3, es un polinomio primitivo en Z[X], mientras que el polinomio Q := 2X 4 + 4X 3 + 6X + 12 no es un polinomio primitivo en Z[X]. En general todo polinomio mónico en Z[X] es primitivo. Si K es un campo sólo los polinomios cuyos coeficientes distintos de cero sean iguales a 1 son primitivos en K[X]. Si P es un polinomio en A[X], donde A es un anillo factorial, y d ∈ A es un máximo común divisor de los coeficientes de P, entonces P = dP1 , donde P1 es un polinomio primitivo en A[X]. Si d es un elemento invertible en A, entonces, por definición, P es ya un polinomio primitivo. L 11.14. Todo polinomio primitivo de A[X], donde A es un anillo factorial, se descompone, en A[X], en producto finito de polinomios primitivos irreducibles. D´. En efecto, sea P es un polinomio primitivo en A[X]. Si P es irreducible, no hay nada que mostrar, al igual si grad P = 1, pues en este caso P es irreducible. Sea, entonces, P un polinomio reducible en A[X] y por consiguiente grad P > 2. Entonces existen polinomios no invertibles G, H ∈ A[X], tales que P = GH, con grad G , 0 , grad H, pues de lo contrario P no ser´ıa primitivo, ya que si suponemos, por ejemplo, grad G = 0, entonces G = a ∈ A y a ser´ıa un divisor, no invertible, de todos los coeficientes de P. Por consiguiete G, H son polinomios de grad > 1, grad G < grad P, grad H < grad P y deben ser primitivos, pues cualquier divisor común de todos los coeficientes de cualquiera de los factores de P ser´ıa divisor común de todos los coeficientes de P. Si suponemos, por hipótesis de inducción, que el lema valga para todo polinomio de grado menor que grad P, entonces como P = GH, con grad G < grad P y grad H < grad P, Gy H se descomponen, cada uno, en un producto finito de factores primitivos irreducibles, por lo tanto también P. El lema que demostraremos a continuación es una generalización de un lema de Gauss, quien lo demostró para el caso en que A = Z. Nosotros obtendremos el lema original de Gauss, como un corolario de este lema más general. L 11.15 (Gauss). Sean A un anillo factorial y Q(A) su campo de fracciones. Entonces, para un polinomio primitivo P ∈ A[X], son las siguientes condiciones equivalentes: a) P es irreducible en A[X]. b) P es irreducible en Q(A)[X]. c) P es un factor primo en Q(A)[X]. d) P es un factor primo en A[X]. D´. a)⇒b): Supongamos que P sea reducible en Q(A)[X], entonces existen polinomios G, H ∈ Q(A)[X], grad G > 1 y grad H > 1, tales que P = GH. Si a, b son los productos de todos los denominadores de los coeficientes de G y H respectivamente, entonces G1 := aG, H1 := bH ∈ A[X]. y abP = G1 H1 , si ab invertible en A, entonces P = (ab)−1 (G1 )(H1 ), donde (ab)−1 (G1 ), (H1 ) ∈ A[X], en contradicción a la hipótesis. Si ab no

216


es invertible en A, entonces cualquier factor primo p de ab divide a G1 H1 , por lo que p | G1 o p | H1 en A[X], como A[X] es dominio entero, todos los factores primos de ab se cancelan con los de G1 y H1 , por lo que finalmente se obtiene P = G0 H0 , con G0 , H0 ∈ A[X], en contradicción a la hipónesis. Por lo tanto P irreducible en A[X]. b)⇒c): Inmediato del teorema 9.47, puesto que, por corolario 11.3, Q(A)[X] es un anillo factorial. c)⇒d): Supongamos que P | GH en A[X], entonces P | GH en Q(A)[X], como P elemento primo en Q(A)[X], resulta que P | G o P | H, en Q(A)[X]. Supongamos, sin limitación de la generalidad, que P | G en Q(A)[X]. Vamos a mostrar que entonces P | G en A[X]. Como P | G en Q(A)[X], existe un polinomio G1 ∈ Q(A)[X], tal que G = PG1 . Para G1 existe un elemento a ∈ A \ {0}, tal que G2 := aG1 ∈ A[X]. Entonces aG = PG2 . Si a invertible en A, estamos listos, pues entonces P | G en A[X]. Si a no es invertible en A, entonces todo factor primo p de a en A, divide a PG2 en A[X], por lo que p | P o p | G2 en A[X] y e´ stos se cancelan mutuamente. Como P es primitivo, ningún factor primo de a divide a P, por consiguiente, todo factor primo de a divide u´ nicamente a G2 , obteniendo, finalmente un polinomio G0 ∈ A[X], tal que G = PG0 , lo que nos muestra que P | G. d)⇒a): Obvio, ya que todo factor primo de un anillo es irreducible en el anillo. Como una consecuencia de los pasos utilizados en la demostración de la parte c)⇒ d) se tiene el siguiente C 11.16. Si el polinomio primitivo P ∈ A[X] es un divisor de G ∈ A[X] en Q(A)[X], entonces es también un divisor de G en A[X]. El lema de Gauss 11.15 nos permite reformular el lema 11.14 de la siguiente forma: C 11.17. Todo polinomio primitivo de A[X], donde A es un anillo factorial, se descompone, en A[X], en producto finito de polinomios primitivos primos. Si P es un polinomio cualquiera, no invertible en A[X], donde A es un anillo factorial, entonces, por lo anteriormente visto, si d ∈ A es un máximo común divisor de todos los coeficientes de P, P = dP1 , donde P1 es un polinomio primitivo, el cual, por corolario 11.17, se descompone, en A[X], en un producto finito de factores primos primitivos y si d no es invertible en A, entonces también d se descompone en factores primos en A y por consiguiente el polinomio P se descompone, en A[X], en un producto finito de factores primos. Esto nos lleva, en virtud del teorema 9.47, de los lemas 11.13 y 11.15 y del corolario 11.17, a enunciar el siguiente T 11.18 (Teorema de Gauss). El anillo de polinomios A[X] es un anillo factorial, Ssi el anillo A es factorial. En los dos siguientes corolarios enunciamos el lema y el teorema originales de Gauss: C 11.19 (Gauss, lema original). Un polinomio mónico P ∈ Z[X] es irreducible en Z[X] Ssi es irreducible en Q[X]. C 11.20 (Teorema Original de Gauss). El anillo de polinomios Z[X] es un anillo factorial. Aplicando, inductivamente, el teorema de Gauss al anillo de polinomios A[X], donde A es un anillo factorial, se obtiene para el caso de un número contable de indeterminadas el siguieinte


217

C 11.21. Si A es un anillo factorial, entonces el anillo de polinomios A[X1 , X2 , . . . ] es un anillo factorial. En particular, si K es un campo, entonces el anillo K[X1 , X2 , . . . ] es factorial. En general si A es un anillo principal, el anillo de polinomios A[X] no necesariamente es principal, salvo que A sea un campo, como se demostró en el corolario 11.3. (Ver ejercicio 11.2.3,6). Sin embargo el teorema de la base de Hilbert nos dice que si A es un anillo noetheriano, entonces el anillo de polinomios A[X1 , . . . , Xn ] es también noetheriano. Este teorema es de suma importancia en la geometr´ıa algebraica. T 11.22 (Teorema de la Base de Hilbert). Si A es un anillo noetheriano, entonces también lo es el anillo de polinomios A[X]. D´. Supongamos que A[X] no sea un anillo noetheriano y sea a un ideal de A[X] que no es finitamente generado. Sea P1 ∈ a un polinomio de menor grado. Escogido Pk , sea Pk+1 un polinomio de menor grado en a \ (P1 , . . . , Pk ). nk sea el grado de Pk y ak su coeficiente principal. Entonces, por la forma en que se escogieron los Pκ , se tiene n1 6 n2 6 · · · 6 nk 6 · · · . Vamos a mostrar que entonces la cadena de ideales en A (11.13)

a1 ⊆ a2 ⊆ . . . ⊆ ak ⊆ · · · ,

donde aκ := (a1 , . . . , aκ ), κ = 1, 2, . . . , no puede ser estacionaria. En contradicción a que A es un anillo noetheriano. En efecto, supongamos que ak = (a1 , . . . , ak ) = (a1 , . . . , ak+1 ) = ak+1 . Entonces tendr´ıamos una ecuación (11.14)

ak+1 =

k X

bκ aκ ,

bκ ∈ A.

κ=1

y G := Pk+1 −

k X

bκ X nk+1 −nκ Pκ ∈ a \ (P1 , . . . , Pk )

κ=1

ser´ıa un polinomio de grado menor que el grado de fk+1 , en contradicción a la escogencia de Pk+1 . Esta corta demostración, sin duda la más corta que existe del teorema de la base de Hilbert, se la debemos a Heidrun Sarges, [45]. Ver también [26]. Como corolarios al teorema 11.22 obtenemos entonces C 11.23. Si A es un anillo noetheriano, entonces el anillo de polinomios A[X1 , . . . , Xn ] es también noetheriano. En particular el anillo K[X1 , . . . , Xn ], donde K es un campo, es noetheriano. C 11.24. Sean A ⊂ B anillos y C := A[x1 , . . . , xn ], xν ∈ B, 1 6 ν 6 n. Entonces si A es un anillo noetheriano, también lo es C. D´. La demostración se obtiene de forma inmediata del teorema 9.41, considerando que el homomorfismo ϕ : A[X1 , . . . , Xn ] → A[x1 , . . . , xn ], definido por ϕ(P(X1 , . . . , Xn ) := P(x1 , . . . , xn ) es sobreyectivo.


218

El teorema de la base de Hilbert también es aplicable al caso de módulos finitamente generados. Si M es un A-módulo finitamente generado y A es un anillo noetheriano, resulta del teorema 10.4, el siguiente corolario, conocido como el teorema de la base de Hilbert para módulos. C 11.25 (Teorema de la Base de Hilbert para Módulos). Se A es un anillo noetheriano y M un A-módulo finitamente generado, entonces M es un A-módulo noetheriano. D´. En efecto, si M es generado por el conjunto {m1 , . . . , mn } ⊂ M, entonces ϕ : An → M, definido por ϕ(eν ) := mν es un homomorfismo sobreyectivo. Por lo tanto M como imagen homomorfa de un A-módulo noetheriano es notheriano. C 11.26. Sean A ⊂ B ⊂ C anillos. Si A es un anillo noetheriano y C es un A-módulo finitamente generado, entonces B es un anillo finitamente generado sobre A. D´. En efecto, por corolario 11.25, C es un A-módulo noetheriano y por consiguiente el A-submódulo B de C está finitamente generado. El siguiente teorema nos será de gran utilidad para mostrar el teorema de los ceros de Hilbert y lo incluimos aqu´ı por su relación con los teoremas de la base de Hilbert: T 11.27 (Lema de Artin-Tate-Zariski). Sean A ⊂ B ⊂ C anillos. Si A es un anillo noetheriano y C := A[x1 . . . , xn ] es un B-módulo finitamente generado, entonces B es un A-módulo finitamente generado. D´. Consideremos el sistema de generadores {w1 , . . . , wm }, del B-módulo C, el cual obviamente abarca todos los xν , 1 6 ν 6 n y los productos wi w j =

m X

aiµj ,

i, j = 1, . . . , m; aiµj ∈ B.

µ=1

A[{aiµj }i, j,µ=1,...,m ],

˜ 1 + · · · + Aw ˜ m. Sea A˜ := entonces T = Aw Como A es noetheriano, entonces, por el teorema de la base de Hilbert 11.22, A˜ es un ˜ anillo noetheriano y por el teorema de la base de Hilbert para módulos 11.25, C es un A˜ ˜ módulo noetheriano. Como A ⊂ B ⊂ C, resulta del corolario 11.26 que B es un A-módulo finitamente generado. Vamos a mostrar que el anillo B es finitamente generado sobre A. A tal efecto basta mostrar que B es finitamente generado como A-módulo. En efecto, si {β1 , . . . , βl },

y

{α˜ 1 , . . . , α˜ r }

˜ odulo y de A˜ como A-módulo, entonces son los sistemas de generadores de B como A-m´ {α˜ ρ βλ }16ρ6r 16λ6l

es un sistema de generadores de B como A-módulo.


219

11.2.2. Criterios de Irreducibilidad. En general, determinar si un determinado polinomio es o no irreducible en A[X], es una tarea bastante dificil. Sin embargo, existen algunos criterios que nos permitirán, en algunos casos, determinar la irreducibilidad o reducibilidad de un determinado polinomio en el anillo factorial A[X]. Si P es un polinomio mónico reducible del anillo de polinomios factorial A[X] y P = GH, G, H ∈ A[X], entonces los coeficientes de G, H pueden ser escogidos de forma tal que G, H sean mónicos. En efecto, supongamos que a, b sean los coeficientes principales de G, H respectivamente. Entonces, como P es mónico, ab = 1, por lo que a, b invertibles en A y P = (bG)(aH) es una descomposición de P en factores mónicos. Si el grado de un polinomio es pequeño, en algunos casos, el método de comparación de coeficientes puede dar un buen resultado. Consideremos el polinomio P := X 3 + 4X 2 + 5X + 1 en Z[X]. De ser reducible, tendr´ıa que existir un factor lineal de la forma X + c y un factor de grado 2, de la forma X 2 + aX + b, ya que P es mónico. Entonces (11.15) X 3 + 4X 2 + 5X + 1 = (X 2 + aX + b)(X + c) = X 3 + (a + c)X 2 + (ac + b)X + bc Comparando los coeficientes (11.16)

a+c

=

4

(11.17)

ac + b

=

5

cb =

1

(11.18)

De la ecuación 11.18 se obtiene que c = b = 1 o c = b = −1. Resultado que, como el lector comprobará, no es compatible con las ecuaciones 11.16 y 11.17. Supongamos que m sea un ideal maximal del anillo factorial A, tal que A/m sea finito. Entonces la proyección canónica π : A → A/m induce un homomorfismo sobreyectivo π∗ : A[X] → (A/m)[X] Si P es un polinomio reducible en A[X], que no posee coeficientes en m, entonces existen G, H ∈ A[X], tales que P = GH y π∗ (P) = π∗ (GH) = π∗ (G)π∗ (H). Es decir, P¯ = π∗ (P) es reducible en (A/m)[X]. Por consiguiente si P¯ es un polinomio irreducible en (A/m)[X], entonces cualquier representante P ∈ A[X] de P¯ es irreducible en A[X]. Veamos un ejemplo concreto. Consideremos el polinomio P := X 5 − X 2 + 1 en Z[X] y m := (2), entonces Z/m = Z2 y P¯ = X 5 + X 2 +1. En Z2 existen u´ nicamente dos polinomios de grado 1, que son X y X + 1, el lector comprobará facilmente que P¯ no es divisible por ninguno de los dos polinomios. Por consiguiente P¯ no es reducible en factores lineales. Analicemos ahora la posibilidad de que P¯ se descomponga en algún factor de grado 2. Los polinomios de grado 2 en Z2 [X], son X 2 , X 2 + X = X(X + 1), X 2 + 1 = (X + 1)2 , que por ser múltiplos de X o de X + 1, no vienen al caso y el polinomio X 2 + X + 1, del cual se verifica ¯ Por consiguiente P¯ es irreducible en Z2 [X] y, por lo facilmente que no es un factor de P. tanto, irreducible en Z[X]. Otro criterio muy importante para determinar la irreducibilidad de un polinomio en un anillo factorial es el llamado criterio de Eisenstein: T 11.28 (Criterio de Eisenstein). Sean A un anillo factorial, n X P := aν X ν ν=0


220

un polinomio en A[X] y p ∈ A un elemento primo, tales que se cumplan las siguientes condiciones: a) Los coeficinetes de P son, a excepción del coeficiente principal, divisibles por p b) a0 no es divisible por p2 . Entonces P es irreducible en A[X]. D´. Supongamos que existan polinomios G, H ∈ A[X], grad G > 1, grad H > 1, tales que P = GH, donde G

= br X r + · · · + b0

H

= c s X s + · · · + c0 .

Por hipótesis, a0 = b0 c0 es divisible por p, pero no por p2 . Como p es un elemento primo, debe valer que p | b0 o p | c0 , pero no ambos al mismo tiempo. Supongamos, sin limitación de la generalidad, que p | b0 y sea bm , 0 6 m 6 r el primer coeficiente de G que no pertenece al ideal (p), el cual existe, ya que, por hipótesis, an = br c s < (p) y, al menos, br < (p). Efectuando el producto se obtiene para el coeficiente am de P am =

m X

bµ cm−µ = bm c0 +

m−1 X

bµ cm−µ .

µ=0

µ=0

Por definición de m se tiene que m−1 X

bµ cm−µ ∈ (p).

µ=0

Como, por a), también am ∈ (p), ya que m 6 r < n = r + s, se obtiene, por substracción, que m−1 X bm c0 = am − bµ cm−µ ∈ (p). µ=0

Como bm < (p) y p elemento primo, debe valer c0 ∈ (p), lo que implicar´ıa p2 | a0 , en contradicción a la condición b). Por lo tanto P es irreducible. Para el caso en que A = Z, el criterio de Eisenstein se puede reformular como el siguiente C 11.29 (Criterio de Eisenstein para Polinomios sobre Z). Sean n X P := aν X ν ν=0

un polinomio en Z[X] y p ∈ Z un número primo, tales que se cumplan las siguientes condiciones: a) Los coeficinetes de P son, a excepción del coeficiente principal, divisibles por p b) a0 no es divisible por p2 . Entonces P es irreducible en Z[X]. E 11.4. 1. Los polinomios de la forma X n − p, donde p ∈ Z es un número primo, son, por el criterio de Eisenstein, irreducibles en Z[X] y por consiguiente, por el lema de Gauss, irreducible en Q[X].


221

2. Consideremos el polinomio P := X 4 + 5X + 10X + 15. El número primo p := 5 divide a todos los coeficientes de P, salvo al principal, pero p2 = 25 - 15. Por consiguiente, por el criterio de Eisenstein, P es irreducible en Z[X] y, por el lema de Gauss, irreducible en Q[X]. 5 7 14 21 3. Consideremos, en Q[X], el polinomio P := X 4 + X 3 + X 2 + , entonces 2 6 3 2 6P = P1 := 15X 4 + 7X 3 + 28X 2 + 63 es un polinomio en Z[X] y satisface las condiciones para aplicar el criterio de Eisenstein. Entonces P1 es irreducible en Z[X] y por consiguiente también P. En algunos casos, aunque el polinomio P no satisfaga las condiciones para aplicar el criterio de Eisenstein, es posible, por medio de un automorfismo sobre el anillo A[X], transformar P en un polinomio que cumpla con las condiciones deseadas. El siguiente lema, cuya demostración dejamos al lector, nos da la justificación para hacerlo. L 11.30. Sean A un anillo factorial y ϕ : A[X] → A[X] un automorfismo. Entonces el polinomio P es irreducible en A[X] Ssi ϕ(P) es irreducible en A[X]. Es decir que la irreducibilidad de un polinomio es invariante bajo automorfismos. En particular es invariante bajo automorfismos de la forma X 7→ X − a, a ∈ A. Como una aplicación de esta propiedad vamos a mostrar el siguiente resultado: T 11.31. Sea p ∈ N un número primo, entonces el polinomio P := X p−1 + X p−2 + · · · + X + 1 es irreducible en Z[X] D´. Consideremos el automorfismo ϕ : Z[X] → Z[X] tal que ϕ(X) := X + 1, ϕ(a) := a, ∀ a ∈ A y apliquémolo a la igualdad X p − 1 = (X − 1)P. Esto nos da la igualdad (X + 1) p − 1 = ((X + 1) − 1)ϕ(P) = Xϕ(P). Usando el binomio de Newton Xϕ(P) = de donde resulta

! ! p p X X p ν p ν X −1= X , ν ν ν=0 ν=1

! p X p ν−1 ϕ(P) = X . ν ν=1

! p Entonces el coeficiente principal de ϕ(P) es 1. Para ν , p se tiene que p | y para ν ! p ν = 1, = p, que no es divisible por p2 . Entonces, por el criterio de Eisenstein, ϕ(P) es 1 irreducible en Z[X] y, por lema 11.30, P irreducible en Z[X].


222

Como resultado del teorema 11.31, podemos inferir que los siguientes polinomios son irreducibles en Z[X]: a) X 2 + X + 1. b) X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. c) X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. La siguiente reflexión nos da un método u´ til para saber, de manera sencilla, si un determinado polinomio mónico Q divide al polinomio P en el anillo A[X], donde A es un anillo factorial. (Si A es un campo, no importará si Q es polinomio mónico o no). Supongamos que Q | P, entonces P está en el ideal a := (Q) y la clase P¯ = 0¯ en A[X]/a. Viceversa, si la clase P¯ = 0¯ en A[X]/a, entonces P ∈ a y Q | P. Como la aplicación canónica π : A[X] → A[X]/a es un homomorfismo de anillos, si P := an X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 , entonces P¯ = a¯ n ξn + a¯ n−1 ξn−1 + · · · + a¯ 0 , donde ξ es la clase de X

(mód a). Si Q := X m + bm−1 X m−1 + · · · + b0 ,

m < n,

entonces Q¯ = ξm + b¯ m−1 ξm−1 + · · · b¯ 0 = 0¯ Por lo que se obtiene ξm = −(b¯ m−1 ξm−1 + · · · b¯ 0 ).

(11.19)

¯ substituimos, en P, ¯ ξm por (11.19). Si la expresión se anula, Entonces para calcular P, entonces P ∈ a y Q | P. Veamos algunos ejemplos concretos: E 11.5. ¯ 1. Sean P := X 3 + X 2 + 1 y Q := X − 1 polinomios en Z[X]. Entonces Q¯ = ξ − 1¯ = 0, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ por lo que ξ = 1. Substituyendo, en P, X por 1, se obtiene P = 1 + 1 + 1 = 3 , 0, por consiguiente Q - P. ¯ 2. Sean P := X 2 + 2X + 1, Q := X + 1 polinomios en Z[X]. Entonces Q¯ = ξ + 1¯ = 0, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ por lo que ξ = −1. Haciendo la substitución en P, obtenemos P = 1 − 2 + 1 = 0. Por lo tanto (X + 1) | P. 3. Sea A := Z2 y consideremos los polinomios en A[X], P := X 4 + X 3 + X 2 + 1 y Q := X + 1. Entonces, como 1 = −1 en Z2 , obtenemos ξ = 1, substituyendo en ¯ obtenemos P¯ = 1¯ + 1¯ + 1¯ + 1¯ = 0¯ en Z2 [X]. Entonces Q | P en Z2 [X]. Si conP, sideramos a P y a Q como polinomios en Z[X], entonces ξ = −1 y obtendr´ıamos ¯ Es decir que Q - P en Z[X]. P¯ = 1¯ − 1¯ + 1¯ + 1¯ = 2¯ , 0. 4 3 2 4. Sean P := X + X + X + 1 y Q := X 2 − X − 1 polinomios en Z[X]. Entonces ¯ por lo que ξ2 = ξ + 1. ¯ Entonces ξ2 − ξ − 1¯ = 0, ¯ 2 + ξ(ξ + 1) ¯ + (ξ + 1) ¯ + 1¯ = 2ξ ¯ 2 + 4ξ ¯ + 3¯ , 0. ¯ P¯ = (ξ + 1) Por lo tanto Q - P en Z[X].


223

11.2.3. Ejercicios y Complementos. 1. Sea A[X] el anillo de polinomios sobre el anillo conmutativo con unidad A. Sean F, G ∈ A[X], G , 0 y b ∈ A el coeficiente principal de G. Mostrar que existen polinomios Q, R ∈ A[X], tales que b s F = QG + R,

(11.20)

R = 0, o grad R < grad G.

Además s ∈ N, tal que s = 0 si F = 0 y si F , 0, entonces s = máx{0, grad F − grad G + 1}. Por otra parte, si b no es divisor de 0, entonces Q y R están un´ıvocamente determinados. (Ayuda: ver procedimiento de la demostración del teorema 11.2 y tener en cuenta que no podemos dividir por el coeficiente principal de G). Como el lector observará, si bien en un anillo conmutativo cualquiera, con unidad, no vale el algor´ıtmo euclideano, vale la ecuación (11.20), que es una versión débil del algoritmo euclideano. 2. Mostrar que en un anillo euclideano A, d ∈ A es un máximo común divisor de a, b ∈ A, Ssi existen c, d ∈ A, tales que d = ca + db. En general, d es el máximo común divisor de a1 , . . . , an , Ssi existen c1 , . . . , cn ∈ A, tales que d = c1 a1 + · · · + cn an . 3. Sea Q(A) el campo de fracciones del anillo factorial A. Dados dos polinomios P, G ∈ A[X], de grado > 1, mostrar que: a) Existen a, b ∈ A, tales que P = aP1 , G = bG1 , donde P1 , G1 son polinomios primitivos en A[X]. b) Si D ∈ Q(A)[X] es un máximo común divisor de P1 , G1 , por una adecuada multiplicación de D con elementos de Q(A), se obtiene un polinomio primitivo, D˜ ∈ A[X] y D˜ sigue siendo un máximo común divisor de P1 , G1 en Q(A)[X]. c) Si D1 es un máximo común divisor de P1 , G1 en A[X], entonces D1 | D˜ en Q(A)[X] y D1 es un polinomio primitivo. d) D1 | D˜ en A[X]. (Ver corolario 11.16). e) D˜ | D1 en A[X]. f) D1 , D˜ son asociados en A[X] y por consiguiente D˜ es un máximo común divisor de P1 , G1 en Z[X]. g) Multiplicando D˜ por un máximo común divisor de a, b en A, se obtiene un máximo común divisor de P, G en A[X]. 4. Utilizar el algoritmo euclideano, aplicable en Q[X] y usar un procedimiento similar al empleado en la página 46, para encontrar, en el anillo Q[X], un máximo común divisor de los polinomios P := X 8 + 3X 7 + 3X 6 + 3X 5 + X 4 + 2X 3 + 2X 2 + 2X + 1 y G := X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1. Usar ejercicio precedente, si necesario, para obtener el máximo común divisor de dichos polinomios en Z[X]. (Nótese que P, G son polinomios primitivos en Z[X]). 5. Mostrar que el polinomio P := X 4 +3X 3 +3X 2 −5 es irreducible en Z[X]. (Ayuda: Mostrar que P¯ es irreducible en Z3 [X] usando los procedimientos expuestos en las páginas 219 y 222). 6. Sea p un ideal primo del anillo de polinomios A[X], donde A es un anillo principal. Mostrar que: a) p ∩ A es un ideal primo de A.

224


b) Si p ∩ A = (0), entonces p es un ideal principal generado por un polinomio irreducible P ∈ A[X]. (Ayuda: Considerar un polinomio P de grado minimal en p y aplicar ecuación (11.20)). c) Si P, p son elementos primos de A[X] y A respectivamente, tales que p - P, entonces p := (p, P) es un ideal primo de A[X]. d) Si p es un ideal primo de A[X], entonces p es un ideal principal o p = (p, P), donde p, P son elementos primos de A y A[X] respectivamente. (Ayuda:Si p∩ A , (0), entonces p∩ A es un ideal primo de A generado por un elemento primo p ∈ A, como A es principal (p) es también un ideal maximal y A/(p) es un campo, por lo que el anillo (A/(p))[X] ≈ A[X]/(pA[X]) es principal. Usar entonces los resultados del corolario 9.10 y lema 11.11). 7. En los incisos siguientes, dar la imágen del polinomio P ∈ A[X], en el anillo A[X]/(Q): a) P := X 3 + 2X 2 + 3X − 1, Q := X 2 − 2, A := Q. Mostrar que todo elemento de Q[X]/(Q) es de la forma a + bξ, donde ξ es la clase de X (mód (Q)) y a, b ∈ Q. b) P := X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1, Q := X 2 + 1, A := R. Mostrar que todo elemento de R[X]/(Q) es de la forma a + bξ, donde ξ es la clase de X (mód (Q)) y a, b ∈ R. c) P := X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1, Q := X 3 − 3, A := Q. Mostrar que todo elemento de Q[X]/(Q) es de la forma a + bξ + cξ2 , donde ξ es la clase de X (mód (Q)) y a, b, c ∈ Q. 8. Sea P := X 2 + 1 ∈ Z[X]. Mostrar que el anillo Z[X]/(P) es isomorfo al anillo D de Dedekind, definido en el ejercicio 9.4.5,9. Con ayuda del teorema de la base de Hilbert mostrar que D es un anillo noeheriano. 11.3.

Ra´ıces de Polinomios

Las raices de polinomios en una o en varias indeterminadas han jugado un papel important´ısimo tanto en el a´ lgebra como en la geometr´ıa. Muchos problemas de la vida real nos llevan a considerar ecuaciones polinómicas o sistemas de ecuaciones polinómicas. El problema de encontrar las raices de un polinomio o las raices comunes de un conjunto de polinomios en un anillo A, está ´ıntimamente relacionado con la reducibilidad o irreducibilidad de dichos polinomios en el anillo A[X]. Si consideramos el anillo de polinomios R[X, Y], de la geometr´ıa anal´ıtica clásica sabemos que el conjunto de raices del polinomio X 2 + Y 2 − 1 es una curva en el plano af´ın R2 llamada una circunferencia, con centro en el origen (0, 0) y radio r = 1, ver figura 11.1. Si el mismo polinomio lo consideramos como un polinomio en R[X, Y, Z], entonces el conjunto de sus raices forman una superficie en R3 , llamada cilindro circular, ver figura 11.2. En esta sección nos limitaremos a considerar anillos de polinomios en un número finito de indeterminadas S := {X1 , . . . Xn }. En particular dedicaremos nuestra atención al anillo K[X], donde K es un campo. 11.3.1. Funciones Polinómicas o Polinomiales. Consideremos el anillo de polinomios A[X1 , . . . , Xn ], donde A es un anillo conmutativo con unidad. Todo monomio simple M(X1 , . . . , Xn ) ∈ N(S ) M(X1 , . . . , Xn ) := X1m1 X2m2 · · · Xnmn , induce una función monomial Φ M : An → A

11.3. RAÍCES DE POLINOMIOS

225

F 11.1. Circunferencia

F 11.2. Cilindro Circular definida por mn 1 m2 Φ M (a1 , . . . , an ) := am 1 a2 · · · an .

Si P :=

X

α M M,

M∈N(S )

entonces ΦP :=

X

αM ΦM

M∈N(S )

es una función ΦP : An → A, la función polinomial o polinómica inducida por el polinomio P. Una función polinomial también se suele llamar una función algebraica. E 11.6. 1. Si P := a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ A[X], entonces para λ ∈ A, ΦP (λ) = a0 + a1 λ + · · · + an λn .


226

2. Si P := X 2 Y 3 Z + 3X 3 Y + 5Y ∈ Q[X], entonces para λ := (λ1 , λ2 , λ3 ) ∈ Q3 ΦP (λ) = λ21 λ32 λ3 + 3λ31 λ2 + 5λ2 . Decimos que a := (a1 . . . . , an ) ∈ An es una ra´ız del polinomio P ∈ A[X1 , . . . , Xn ], si ΦP (a) = 0 ∈ A. Un polinomio P ∈ A[X1 , . . . , Xn ], no necesariamente posee alguna ra´ız en An . As´ı por ejemplo, el polinomio X 2 + 1 no posee ninguna raiz en el campo R, como tampoco el polinomio X 2 + Y 2 + 1 posee ra´ıces en R2 . En cambio el polinomio X 2 − 1 posee dos ra´ıces en Z, que son r1 := 1 y r2 := −1 y el polinomio X 2 − Y 2 = (X + Y)(X − Y) posee en R2 el siguiente conjunto de ra´ıces : V := {λ ∈ R2 | λ = (λ, −λ)} ∪ {λ ∈ R2 | λ = (λ, λ)}. (Ver figura 11.3).

F 11.3.

V ⊆ R2

Por comodidad en la escritura, escribiremos P(λ) en lugar de ΦP (λ), para λ ∈ An . Analicemos, como ejemplos sui generis, algunos polinomios sobre un anillo con divisores de 0, como, por ejemplo, el anillo de polinomios sobre Z4 . Sea P := 2X 5 + 2X 4 + 2X 3 + 2X en Z4 [X] y determinemos sus ra´ıces en Z4 . Obviamente 0 ∈ Z4 es una ra´ız de P. Como 2 es un divisor de 0 en Z4 , se tiene P(2) = 2(25 ) + 2(24 ) + 2(23 ) + 22 = 0, por consiguiente 2 ∈ Z4 es una ra´ız de P. El lector comprobará facilmente, que también 1, 3 ∈ Z4 son ra´ıces de P. En particular obsérvese que 2X posee dos ra´ıces en Z4 , que son 0 y 2 y que 2X = 2(X + 2). P es también un divisor de 0 en Z4 [X], ya que 2P = 0. El polinomio Q := 2X 4 + 2X 3 + X posee una u´ nica ra´ız en Z4 , que es el 0 ∈ Z4 , mientras que el polinomio 2Q = 2X posee dos ra´ıces en Z4 , 0 y 2 y grad 2Q < grad Q. Estos ejemplos nos enseñan que en un anillo con divisores de 0, el anillo de polinomios correspondiente, se comporta de una manera extraña en cuanto a sus ra´ıces, en el caso que existan. 11.3.2. Ra´ıces en el anillo A[X]. En esta subsección nos limitaremos al estudio de las raices de polinomios en una indeterminada. En particular veremos que la existencia de una ra´ız, en el anillo A, de un polinomio P ∈ A[X] está ´ıntimamente relacionada con la reducibilidad de P en A[X]. T 11.32. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Un elemento a ∈ A es ra´ız de un polinomio P ∈ A[X], Ssi el polinomio X − a divide a P en A[X].


227

D´. Si P = (X − a)G, G ∈ A[X], entonces P(a) = (a − a)G(a) = 0G(a) = 0 y a es una ra´ız de P. Por otra parte, supongamos que a ∈ A es una ra´ız de P. Como X − a es un polinomio mónico, se obtiene, para P, aplicando la ecuación (11.20), una representación de la forma P = (X − a)Q + R,

Q, R ∈ A[X],

grad R < grad G = 1.

Entonces R ∈ A y de 0 = P(a) = R(a) = R, resulta que R = 0. Por lo tanto P = (X−a)G. Si P := bX + c y a ∈ A es una ra´ız de P, entonces bX + c = (X − a)G. Como (X − a) es mónico, grad G = 0, es decir un elemento de A, digamos d := G. Entonces bX+c = dX−ad, de donde d = b, el coeficiente principal de P y c = ad = ab, es decir b | c o b invertible en A. Viceversa, si b | c en A o b invertible en A, entonces P posee una ra´ız en A. Si P es un polinomio de grado 2, digamos P := b0 + b1 X + b2 X 2 y a1 una ra´ız de P en A, entonces tenemos que P = (X −a1 )G, grad G = 1, ya que (X −a1 ) es mónico. Si G = bX +c, b, c ∈ A, entonces obtenemos que P = (X − a)(bX + c). G puede o no poseer una ra´ız en A. Si a2 , es una ra´ız de G, entonces P = (X − a1 )(X − a2 )d, donde d = b2 el coeficiente principal de P. En el caso en que a1 = a2 = a, se obtiene (X − a)2 d, El lector notará, por lo anteriormente expuesto, que G posee una ra´ız en A, Ssi b | c en A o b invertible en A. En general, para cualquier polinomio P ∈ A[X], que posea, al menos una ra´ız en A, se tiene el siguiente T 11.33. Sea A un anillo y el polinomio P ∈ A[X] \ {0} posea, en A, al menos una ra´ız. Entonces existen un polinomio G ∈ A[X], que no posee ra´ıces en A, elementos distintos a1 , . . . , am ∈ A y números n1 , . . . , nm ∈ N, tales que m X nµ 6 grad P. (11.21) P = (X − a1 )n1 · · · (X − am )nm G, y µ=1

Si A es un dominio entero, entonces {a1 , . . . am } es el conjunto de todas las ra´ıces de P en A, nµ es el número más grande, tal que (X − aµ )nµ | P en A[X] y la representación (11.21), de P, es u´ nica. D´. Procedamos por inducción sobre grad P. Ya vimos que para grad P = 1(2) vale (11.21). Supongamos, por hipótesis de inducción, que (11.21) valga para todo polinomio G con 2 6 grad G < grad P y mostremos que (11.21) vale para P. En efecto, como, por hipótesis del teorema, P posee al menos una ra´ız a1 ∈ A, entonces, por teorema 11.32, existe un polinomio G ∈ A[X], grad G < grad P, tal que P = (X − a1 )G. Si G no posee raices en A, estamos listos. De lo contrario, G satisface la hipótesis del teorema y, por hipótesis de inducción, G satisface (11.21) y se tiene m X G = (X − a1 )n1 · · · (X − am )nm H, nµ 6 grad G. µ=1

y H es un polinomio de A[X], que no posee ra´ıces en A. Entonces m X P = (X − a1 )G = (X − a1 )(X − a1 )n1 · · · (X − am )nm H, nµ + 1 6 grad P. µ=1

Si A es un dominio entero, sea Q(A) su campo de fracciones. Denotemos por M al conjunto de todas las ra´ıces de P en A. Entonces {a1 , · · · , am } ⊆ M. Si a ∈ M, entonces P(a) = (a − a1 )n1 · · · (a − am )nm G(a) = 0.


228

Como G(a) , 0 y A es dominio entero, entonces uno de los factores (a − aµ ) debe de ser igual a 0. Por lo tanto M = {a1 , . . . , am }. Por otra parte, como G no posee ninguna ra´ız en A, ningúno de los factores (X − aµ ) divide a G en Q(A)[X], y por la factorialidad de Q(A)[X], nµ es el mayor número, tal que (X −aµ )nµ divide a P en Q(A)[X] y por consiguiente en A[X]. En cuanto a la unicidad de la representación, supongamos que se tiene otra representación de P como m X nµ 6 grad P. P = (X − a1 )n1 · · · (X − am )nm G1 , µ=1

Entonces 0 = (X − a1 )n1 · · · (X − am )nm (G − G1 ), y por la integridad de A[X] resulta que G = G1 .

Si A es un dominio entero, entonces a los números nµ en (11.21) los llamamos la multiplicidad u orden de la ra´ız aµ en A. Si nµ = 1, entonces aµ es una ra´ız simple del polinomio P. Si nµ > 1, entonces se dice que aµ es una ra´ız múltiple de multiplicidad u orden nµ . Entonces, si A es un dominio entero, por teorema 11.21 se tiene grad P =

(11.22)

m X

nµ + grad G.

µ=1

Decimos que un polinomio P ∈ A[X], donde A es un anillo conmutativo con unidad, se descompone en factores lineales , si, en (11.21), G = d ∈ A. En tal caso P tiene todas sus ra´ıces posibles en A y d es el coeficiente principal de P. La igualdad (11.22) nos dice que el número máximo de ra´ıces del polinomio P, incluyendo sus multiplicidades nµ , en A, en el caso en que A es un dominio entero, no puede superar al grado del polinomio P y que la igualdad se da, u´ nicamente en el caso en que P se descompone en factores lineales en A. E 11.7. 1. Sea P := 2X 3 + 3X 2 − 2X − 3 un polinomio en Z[X]. Entonces en Z[X] podemos escribir P como P = X 2 (2X + 3) − (2X + 3) = (X 2 − 1)(2X + 3) = (X + 1)(X − 1)(2X + 3), donde G := 2X + 3 no posee ra´ıces en Z. Sin embargo en Q[X], (2X + 3) = 3 2(X + ) y 2 3 P = (X 2 − 1)(2X + 3) = (X + 1)(X − 1)(X + )2, 2 donde G := 2 no posee ninguna ra´ız en Q[X]. 2. Sea P := X 3 − X 2 − 2X + 2 en Q[X], entonces P = X(X 2 − 2) − (X 2 − 2) = (X − 1)(X 2 − 2). Vamos a mostrar que G := X 2 − 2 no posee ninguna ra´ız en Q[X]. En efecto, p supongamos que ∈ Q sea una ra´ız de G, donde p, q ∈ Z no poseen ningún q p2 divisor común fuera de 1. Entonces se tiene que 2 = 2 y 2q2 = p2 . Es decir que q


229

el cuadrado de p es un número par, lo que implica que p es también par. Entonces p = 2p1 y 2q2 = 4p21 . Por consiguiente q2 = 2p21 , lo que implicar´ıa que tanto p como q son números pares, en contradicción a que no poseen √ ningún divisor común, salvo 1. Sin embargo sabemos que existe un número real 2, que es ra´ız de X 2 − 2 y en R[X] √ √ P = (X − 1)(X − 2)(X + 2)1, donde G := 1 no posee ninguna ra´ız en R[X]. Si trazamos la gráfica de la función ΦP : R → R, obtenemos las ra´ıces de P en los puntos donde la curva intersecta al eje x. (Ver figura 11.4).

F 11.4.

ΦP

T 11.34. Sea A un dominio entero y P, G ∈ A[X] \ {0}. Si G | P en A[X] y G < A y P posee una descomposición en factores lineales en A[X], entonces también G posee una descomposición en factores lineales en A[X]. D´. Por hipótesis, P posee, en A[X], una descomposición en factores lineales m X nµ = grad P. (11.23) P = (X − a1 )n1 · · · (X − am )nm d, d ∈ A, µ=1

Si Q(A) es el campo de fracciones de A, entonces (11.23), es también una descomposición en factores lineales de P en Q(A)[X] y por la factorialidad de Q(A)[X] e´ sta es u´ nica. Como G | P, G no puede tener ra´ıces en Q(A) que no estén ya en A. Si G no tuviera ninguna ra´ız en A, entonces, por teorema 11.33, P = (X − b1 )r1 · · · (X − b s )rs G, y por la unicidad de dicha representación, ya que A es un dominio entero, e´ sta representación debe ser igual a (11.23) y G = d ∈ A, en contradicción a que G < A. Entonces G satisface las condiciones del teorema 11.33 y posee una descomposición (11.24)

G = (X − c1 )k1 · · · (X − cl )kl G1 ,

cλ ∈ A,

G1 ∈ A[X],

y G1 no posee ra´ıces en Q(A), entonces (11.25)

P = P1 (X − c1 )k1 · · · (X − cl )kl G1 ,

P1 ∈ A[X].

Si P1 no tiene ra´ıces en A, entonces , por la unicidad de la representación tenemos que (11.23) debe ser igual a (11.25), por consiguiente P1G1 ∈ A y (11.25) es una descomposición de G en factores lineales. Si P1 posee ra´ıces en A, entonces P1 posee una representación (11.26)

P1 = P2 (X − d1 )t1 · · · (X − t j )t j ,

P2 ∈ A[X],

230


y P2 no posee ra´ıces en A. Entonces se obtiene que P = P1G = (X − d1 )t1 · · · (X − t j )t j (X − c1 )k1 · · · (X − cl )kl P2G1 , donde P2G1 no posee ra´ıces en A. Entonces, de la unicidad de la representación, resulta que d = P2G1 ∈ A, lo que implica que G1 ∈ A y por lo tanto (11.24) es una descomposición en factores lineales de G. El hecho de que un polinomio P, sobre un dominio entero, posea, a lo sumo, grad P ra´ıces nos lleva al siguiente T 11.35. Un polinomio de grado 6 m sobre un dominio entero A, con un número infinito de elementos, está un´ıvocamente determinado por sus valores sobre m + 1 elementos distintos de A. En particular, dos polinomios distintos P, Q ∈ A[X] inducen funciones ΦP , ΦQ distintas sobre A. D´. Supongamos que los valores de los polinomios de grado m, P, Q ∈ A[X] \ {0} coincidan en m + 1 elementos distintos de A. Entonces el polinomio H := P − Q, grad H 6 m, poseer´ıa más de grad H ra´ıces en A, lo cual sólo es posible si H = 0. Como una consecuencia del teorema 11.21, se obtiene, para la estructura del grupo de elementos invertibles A∗ de un dominio entero A, el siguiente resultado: T 11.36. Todo subgrupo finito H, del grupo de elementos invertibles A∗ de un dominio entero A, es c´ıclico. En particular, los subgrupos multiplicativos de campos finitos son c´ıclicos. D´. En efecto, para cada entero positivo m, el polinomio X m − 1 posee en A, a lo sumo, m ra´ıces en A, lo que trae, como consecuentcia, que existan, a lo sumo, m elementos en H, tales que am = 1. Es decir que H contendrá, a lo sumo, un u´ nico subgrupo de orden m. Entonces, por teorema 6.6, H es c´ıclico. Recordamos al lector que, dado un dominio entero A, el núcleo del homomorfismo ϕ : Z → A, definido por ϕ(n) := m · 1A := 1| + {z · · · +} 1 es un ideal primo de Z, ker ϕ = (p) , donde n

p = 0, o p es un número primo, llamado la caracter´ıstica del dominio entero A. (Ver ejercicio 9.3.1,3). Si ker ϕ = (0), la caracter´ıstica de A es 0, entonces A posee un subanillo isomorfo a Z y si la caracter´ıstica de A es un número primo p, entonces A posee un subanillo isomorfo a Z p . En el caso particular en que A es un campo, entonces tendremos campos de caracter´ıstica 0 o bien de caracter´ıstica p , 0. Si K es un campo, denotaremos por car K la caracter´ıstica de K. Obviamente todo campo de caracter´ıstica car K = 0 es infinito, por lo que si K es un campo finito, entonces car K = p , 0. Los campos finitos son también llamados campos de Galois y juegan un papel muy importante en la teor´ıa algebraica de números, en la teor´ıa de códigos y criptograf´ıa. Si K es un campo finito, entonces el grupo aditivo (K, +), es c´ıclico y px = 0, ∀ x ∈ K, entonces tenemos que ◦(x) | p. Como p es un número primo ◦(x) = p, ∀x ∈ K. Esto implica que p | ◦(K). Si q fuera otro primo, distinto de p, tal que q | ◦(K), entonces, por teorema 6.6, K tendr´ıa un subgrupo H de orden ◦(H) = q y para x ∈ H, 0 = px implicar´ıa p | ◦(H) = q, lo cual no es posible. Esto quiere decir, que ◦(K) = pm , m ∈ N, m > 1. Con esto hemos mostrado el siguiente resultado:


231

T 11.37. Si K es un campo finito, de caracter´ıstica p , 0, entonces ◦(K) = pm , donde m es un número entero mayor o igual a 1. Es decir que el número de elementos del campo K es una potencia de la caracter´ıstica p. Para los subcampos de un campo finito P, el teorema 11.21 nos lleva al siguiente resultado: T 11.38. Sea K un campo de caracter´ıstica p , 0 y pm elementos. Entonces todo subcampo κ de K posee pn elementos, donde n | m. Por otra parte, si n es un divisor de m, entonces K contiene un subcampo κ de pn elementos. Los elementos de κ son n exactamente las ra´ıces, en K, del polinomio X p − X. D´. Sea κ un subcampo de K que posee pn elementos y κ∗ , K ∗ los subgrupos multiplicativos correspondientes de elementos invertible. Entonces pn = 1 = ◦ (κ) | ◦(K) = pm − 1 y vale la siguiente relación de congruencia: (11.27)

pm − 1 ≡ 0,

(mód (pn − 1)).

Por el algoritmo euclideano podemos escribir m = qn + r, q, r ∈ Z, r < n, o r = 0. Considerando que pn ≡ 1, (mód (pn − 1)) se tiene (11.28)

0 ≡ pm − 1 = pqn pr − 1 = pr − 1,

(mód (pn − 1)).

Como 0 6 pr − 1 < pn − 1, debe valer, por fuerza, pr = 1 y por consiguiente r = 0. Por lo tanto n | m. Vamos a mostrar, ahora, que K contiene, a lo sumo, un u´ nico subcampo κ con pn elementos. En efecto, como ◦(κ∗ ) = pn − 1, todo elemento x ∈ κ∗ satisface la ecuación n n x p − x = 0, es decir que x es ra´ız en K del polinomio X p − X, el cual posee en K, a lo sumo, pn ra´ıces, incluyendo al 0. Finalmente, sea n ∈ Z, n > 0, tal que n | m, vamos a mostrar que el polinomio P := n X p − X posee todas sus ra´ıces en K y que el conjunto de e´ stas forman un subcampo κ de n n n K. Obviamente 0, 1 son ra´ıces de P en K. Dadas x, y ∈ K ra´ıces de P, (xy) p = x p y p = xy, por lo que xy es también una ra´ız de P. Como car K = p, tenemos que ! pn X pn pn −ν ν n n n (11.29) (x + y) p = x y = x p + y p (Ver ejercicio 11.3.3,2). ν ν=0 Entonces por (11.29) resulta que con x, y también x+y es ra´ız de P. Es decir que el conjunto de las ra´ıces de P son cerradas bajo la suma y el producto de K y que 0, 1 son ra´ıces de P. Nos falta sólo mostrar que todas las ra´ıces de P están en K. A tal efecto basta mostrar que K ∗ posee un subgrupo de orden pn − 1. Como, por teorema 11.36, K ∗ es c´ıclico, basta entonces mostrar que (pn − 1) | (pm − 1) y, por teorema 6.6, K ∗ posee un subgrupo de orden pn − 1. En efecto, pm − 1 = (pn − 1)q, donde q := (pm−n + pm−2n + · · · + pn + 1). En particular, del teorema 11.38, resulta, para n = 1, que todo campo K de caracter´ıstica p , 0 posee un u´ nico subcampo κ p , con, exactamente, p elementos, llamado el campo primo de K, cuyos elementos son las ra´ıces, en K, del polinomio X p − X. El campo primo κ p es entonces isomorfo al campo Z p . T 11.39. Sea K un grupo finito de caracter´ıstica p , 0 y pm elementos, entonces el grupo de automorfismos (Aut(K), ◦) es un grupo c´ıclico de orden m, generado por el automorfismo ϕ : K → K, definido por ϕ(x) := x p , ∀ x ∈ K.


232

D´. Vamos a mostrar que, en efecto, ϕ es un automorfismo de campos. Como car K = p, se tiene ϕ(x + y) = (x + y) p = x p + y p = ϕ(x) + ϕ(y), y ϕ(xy) = (xy) p = x p y p = ϕ(x)ϕ(y), ∀ x, y ∈ K. Lo que muestra que ϕ es un homomorfismo de campos. Como K finito y todo homomorfismo de campos es inyectivo, (ver ejercicio 9.2.6,7), resulta que ϕ es un automorfismo de campos. Si a ∈ K es un generaor del grupo K ∗ , consideremos al conjunto 0

M := {a p , a p , . . . , a p

m−1

}.

Como los automorfismos de K están totalmente definidos por sus valores sobre a, resulta, n entonces, que ϕn (a) = a p , por lo que ◦(ϕ) = m. Vamos a mostrar ahora que todo automorfismo ψ ∈ Aut(K) es de la forma ϕn , para algún n ∈ N. Supongamos que ψ(a) ∈ M, µ por ejemplo ψ(a) = a p , entonces ψ = ϕµ . Vamos a mostrar que, en efecto, para cualquier automorfismo ψ ∈ Aut(K), ψ(a) ∈ M. Consideremos el polinomio m−1 Y µ P := (X − a p ), µ=0

cuyas ra´ıces son exactamente los elementos de M. Si mostramos que ψ(a) es una ra´ız de P, estamos listos. Desarrollando el producto, obtenemos para P la representación P=

m X

aµ X µ ,

µ=0

donde aµ ∈ K. Vamos a mostrar que incluso aµ ∈ κ p , el campo primo de K. A tal efecto, consideremos el homomorfismo ϕ∗ : K[X] → K[X], inducido por ϕ. entonces ϕ∗ (P) =

(11.30)

m−1 Y

µ

ϕ(X − a p ) =

µ=0

ya que a

pm

m−1 Y µ+1 (X − a p ) = P, µ=0

p0

= a = a . Por otra parte tenemos también ϕ(P) =

(11.31)

m X

ϕ(aµ )X µ .

µ=0

Entonces de (11.30) y de (11.31), se obtiene que aµp = aµ , por lo que los coeficientes aµ son ra´ıces del polinomio X p − X y, por consiguiente, están en el campo primo κ p . Entonces, tomando en cuenta que los elementos del campo primo permanecen invariantes bajo cualquier automorfismo, (ver ejercicio 11.3.3, 5), obtenemos P(ψ(a)) =

m X

aµ ψ(a)µ = ψ

µ=0

ya que P(a) = 0. Lo que muestra el teorema.

m X

aµ aµ = ψ(P(a)) = 0,

µ=0

Si P ∈ A[X], donde A es un dominio entero, es un polinomio irreducible en A[X], de grado mayor o igual a 1, surge la pregunta si existe un campo K que contenga al anillo A, tal que P posea una ra´ız en K. La respuesta nos la da el siguiente


233

T 11.40. Sea A un dominio entero y P ∈ A[X] un polinomio irreducible . Entonces existe un campo K, que contiene al anillo A, tal que P posee una ra´ız en K. D´. Sea Q(A) el campo de fracciones de A y consideremos a P como un polinomio en Q(A)[X]. Si P posee una ra´ız en Q(A) estamos listos. Si P no posee ra´ıces en Q(A), podemos suponer que P es irreducible en Q(A)[X],(caso contrario tomamos un factor irreducible de P en Q(A)[X]). Como Q(A) es un campo, el anillo Q(A)[X] es principal y (P) es un ideal maximal, por lo que K := Q(A)[X]/(P) es un campo que contiene a Q(A) y por consiguiente a A . Si ξ es la clase de equivalencia de X en K, y π : Q(A)[X] → K la proyección canónica, entonces 0 = π(P) = P(ξ) ∈ K. Por lo tanto ξ ∈ K es una ra´ız de P. El teorema 11.40 constituye la base para la teor´ıa de extensión de campos y nos asegura que siempre podremos encontrar un campo K en el cual un polinomio dado posea, al menos, una ra´ız. La filosof´ıa es, dado un polinomio cualquiera, encontrar un campo L en el cual P se descomponga en factores lineales. Como veremos en el teorema 11.41, dicho campo existe. Los siguientes ejemplos nos aclaran la idea. E 11.8. 1. Sea κ := Q y consideremos el polinomio P := X 2 − 2 ∈ Q[X]. P es irreducible en Q[X]. En efecto si P fuera reducible en Q[X], existir´ıan a1 , a2 ∈ Q, tales que P = (X − a1 )(X − a2 ),

a21 = a22 = 2.

Supongamos que a1 ∈ Q, entonces existir´ıan números enteros p, q, primos entre p p2 s´ı, tales que a1 = y de 2 = 2 resultar´ıa p2 = 2q2 , es decir p2 y por consiq q guiente p ser´ıan números pares. Sea p := 2p1 , entonces p2 = 4p21 = 2q2 , lo que implicar´ıa q2 = 2p21 y q ser´ıa igualmente un número par, en contradicción a que p, q no poseen divisores en común. Por teorema 11.40, P posee entonces√una ra´ız ξ en el campo Q[X]/(P), donde ξ2 = 2. La ra´ız ξ la denotaremos por 2. Con ξ también −ξ ∈ Q[X]/(P) es una ra´ız de P. Es decir que P se descompone en Q[X]/(P) en factores lineales. 2. Sea P := aX 2 + bX + c, a, b, c ∈ Q, a , 0. Si ξ es una ra´ız de P en algún campo K que contiene a Q, también será ra´ız del polinomio P1 := X 2 + b1 X + c1 , b c donde b1 := y c1 := , por lo que podemos fijar nuestra atención al polinomio a a mónico P1 . Vamos a analizar, entonces, la reducibilidad del polinomio mónico P := X 2 + bX + c. Si ξ es una ra´ız de P en un campo K, entonces ξ2 + bξ + c = 0

en K.

y podemos escribir (ξ2 + bξ +

b2 b2 )= − c, 4 4

de donde (11.32)

b b2 − 4c ∆ (ξ + )2 = = , 2 4 4

donde ∆ := b2 − 4c.


234

(11.33)

b ∆ se llama el discriminante del polinomio P. Si η := ξ + , entonces de (11.32) 2 obtenemos ∆ η2 = 4 b Si ∆ = 0, entonces − ∈ Q es una ra´ız de orden 2 de P y P es reducible en Q[X]. 2 Si ∆ > 0 y ∆ = ∆21 , ∆1 ∈ Q, entonces P es reducible en Q[X]. Si no existe un racional ∆1 , tal que ∆ = ∆21 , entonces P posee sus ra´ıces en K := Q[X]/(P)) , Q, donde K ⊆ R. De (11.33) obtenemos para η √ ∆ η= 2 y con η, también −η satisface (11.33). Entonces, en K, P posee las ra´ıces √ √ b ∆ b ∆ ξ1 := − + , ξ2 := − − 2 2 2 2 y P se descompone en K en los factores √ √ b ∆ ∆ b P = (X − ξ1 )(X − ξ2 ) = X + − X+ − . 2 2 2 2

Si ∆ < 0, entonces η2 = ∆ = −∆1 , donde ∆1 > 0, entonces P es irreducible en R 3. Sea P := X 3 − 3. P es irreducible en Q[X]. Si P tuviera una ra´ız en Q, entonces p3 existir´ıan enteros p, q primos relativos, tales que 3 = 3 , de donde p3 = 3q3 . q Como p, q son primos relativos, existen enteros a, b, tales que 1 = ap + bq,

de donde

p2 = ap3 + bp2 q = 3aq3 + bp2 q.

Entonces tendr´ıamos que q | p2 y p2 = qp1 , p1 ∈ Z, por lo que p = ap2 + bqp = aqp1 + bqp lo que implicar´ıa que q | p, en contradicción a que p, q son primos relativos. Entonces P posee una ra´ız ξ en K√ := Q[X]/(P) ⊆ R, donde ξ es la clase de X 3 (mód (P)), ξ3 = 3. Denotaremos 3 := ξ. Entonces, en K, P se descompone en √3 √3 √3 P = (X − 3)(X 2 + 3X + ( 3)2 ), donde el polinomio √3 3X + ( 3)2 √3 √3 √3 es irreducible en R, ya que ∆ = ( 3)2 − 4( 3)2 = −3( 3)2 < 0. G := X 2 +

√3

Por aplicaciones sucesivas del teorema 11.40 se obtiene el siguiente T 11.41. Sea P ∈ A[X], donde A es un dominio entero, un polinomio irreducible en A[X], entonces existe un campo K que contiene al anillo A, tal que el polinomio P se descompone en K[X] en factores lineales. (Ver teorema 12.14) El campo más pequeño KP , tal que P se descompone en factores lineales, se llama el campo de descomposición del polinomio P.


235

11.3.3. Ejercicios y Complementos. 1. Mostrar que los polinomios P := X 2 + 6X + 9,

Q := X 3 + X 2 − 9X − 9,

poseen una descomposición en factores lineales en Z[X], mientras que el polinomio H := 2X 2 − 3X 2 − 2X + 3, no posee una descomposición en factores lineales en Z[X], sin embargo, s´ı se descompone en factores lineales en Q[X]. Dar dicha descomposición 2. Si p es un número primo, mostrar que los coeficientes binomiales ! ! pm p , 0 6 ν 6 p, , 0 6 ν 6 pm , m ∈ Z+ , ν ν son múltiplos de p, salvo para ν = 0 y ν = p. Deducir de e´ sto que en un campo de caracter´ıstica p (x + y) p = x p + y p , ∀m ∈ Z+ . m

m

m

3. Mostrar que si p es un número primo, entonces el u´ nico endomorfismo de campos ϕ : Zp → Zp es la identidad. 4. Mostrar que si ϕ : K → K0 es un homomorfismo de campos de caracter´ıstica p , 0, entonces ϕ mapea al campo primo κ p sobre el campo primo κ0p y que la restricción ϕ|κ p : κ p → κ0p es un isomorfismo de campos. 5. Sea K un campo de caracter´ıstica p , 0. Mostrar que la restricción de todo endomorfismo ϕ:K→K sobre el campo primo κ p es la identidad. Es decir que los elementos de κ p permanecen invariantes bajo cualquier endomorfismo del campo K. (Ayuda:utilizar el hecho que κ p es isomorfo a Z p y aplicar ejercicio 3). 6. Dar detalles de la demostración del teorema 11.41. 7. Dar el campo de descomposición del polinomio P := X 3 − 3 8. Dar el campo de descomposición del polinomio P := X 2 + 1 ∈ Q[X]. Si ξ es la clase de X (mód (P)), en K := Q[X]/(P), mostrar que ξ2 = −1 y que ξ genera un subgrupo multiplicativo, c´ıclico de K, de orden 4. Si Q[i] := {z ∈ C | z = a + bi, a, b ∈ Q}, mostrar que K es isomorfo a Q[i] 9. Si K := R[X]/(X 2 + 1), mostrar que todo elemento de K es de la forma a + bξ, a, b ∈ R y que el homomorfismo ψ : R[X] → C, definido por ϕ(P) := P(i), induce un isomorfismo entre K y C.


236

11.3.4. Multiplicidad, Derivación y Polinomio Derivada. En esta subsección definiremos el llamado polinomio derivada, en analog´ıa a la derivada de una función polinómica sobre el campo de los números reales. Sin embargo, advertimos al lector, que la definición de polinomio derivada introducida aqu´ı, no tiene nada que ver con un proceso de l´ımite ni con la continuidad de funciones, y que es compatible para polinomios sobre cualquier campo K. Empezaremos mostrando que la multiplicidad de una ra´ız u orden de un polinomio dado P ∈ A[X], donde A es un anillo conmutativo con unidad, es independiente del anillo en el cual se encuentre dicha ra´ız. T 11.42. Sea A un anillo y a ∈ A una ra´ız, de multiplicidad n, del polinomio P ∈ A[X] \ {0}. Si A˜ es un anillo que contiene a A y posee el mismo elemento unidad, entonces a, como elemento de A˜ es también ra´ız de multiplicidad n, del polinomio ˜ P ∈ A[X]. D´. Por hipótesis P = (X − a)nG, donde G ∈ A[X], ˜ ˜ tal que y a no es ra´ız de G. Supongamos que en A[X] exista un polinomio G, ˜ P = (X − a)n+1G, entonces substrayendo ambas representaciones obtenemos ˜ 0 = (X − a)n (G − (X − a)G), ˜ en donde el polinomio mónico (X − a)n no es un divisor de 0, por lo que G = (X − a)G, contradicción a que a no es ra´ız de G. Sea M una A-álgebra, decimos que una aplicación D:M→M es una derivada o derivación sobre M, si a) D es una aplicación lineal. b) ∀ x, y ∈ M, D(xy) = D(x)y + xD(y). En el caso particular en que M := A, D es una derivación sobre el anillo A. T 11.43. Sea A un anillo conmutativo con unidad, A[X] el anillo de polinomios correspondiente. Dado un polinomio P ∈ A[X] n X P := aν X ν , ν=0

y D la aplicación D : A[X] → A[X], definida por medio de D(P) := P , donde n X P0 := aν νX ν−1 . 0

ν=1

Entonces D posee las siguientes propiedades: 1. D : A[X] → A[X] es una aplicación lineal de A-módulos. 2. D(PG) = D(P)G + PD(G) = P0G + PG0 . 3. D(Pn ) = nPn−1 D(P) = nPn−1 P0 . Es decir D es una derivación sobre A[X].


237

D´. 1. Debemos mostrar que D(P + G) = D(P) + D(G) y que D(aP) = aD(P), ∀ P, G ∈ A[X], a ∈ A. Si n es el mayor grado entre los polinomios P y G, entonces, haciendo 0 los coeficientes que no comparecen en alguno de los dos polinomios, podemos escribir: n n n X X X P := aν X ν , G := bν X ν , P + G = (aν + bν )X ν . ν=o

ν=o

ν=0

Entonces D(P + G) =

n X

ν(aν + bν )X ν−1 =

ν=1

n X

νaν X ν +

ν=1

n X

νbν X ν = D(P) + D(G).

ν=1

Y n n n n X X X X νaν X ν−1 = aD(P). D(aP) = D a aν X ν = D νaaν X ν−1 = a aaν X ν = ν=o

ν=o

ν=1

ν=1

2. Mostremos primero que la propiedad vale para n X m P := X , G := bν X ν . ν=0

Entonces n n n X X X D(PG) = D X m bν X ν = D bν X ν+m = (ν + m)bν X ν+m−1

= mX

ν=0 n X m−1

ν=0

bν X ν + X m

n X

ν=0

νbν X ν−1 = D(P)G + PD(G).

ν=0

ν=0

Procedamos ahora por inducción sobre el grado de P. Para grad P = 0, la propiedad resulta de la linealidad de D. Supongamos que la propiedad se cumple para todo polinomio de grado menor a m = grad P. Entonces podemos escribir P = am X m + P1 ,

grad P1 < m.

Entonces PG = am X mG + P1G y D(PG) = D(am X mG) + D(P1G) = am D(X m−1 )G + am X m D(G) + D(P1G). Por hipótesis de inducción se tiene que D(P1G) = D(P1 )G + P1 D(G), entonces D(PG) = am D(X m−1 )G + am X m D(G) + D(P1 )G + P1 D(G) = D(am X m−1 )G + am X m D(G) + D(P1 )G + P1 D(G) = (am X m−1 + D(P1 ))G + (am X m + P1 )D(G) = D(P)G + PD(G). 3. Resulta, por inducción sobre n, de aplicar 2 a P y G := Pn−1 .


238

El polinomio derivada nos da una herramienta muy u´ til para determinar la multiplicidad de una ra´ız de un polinomio, como se muestra en el siguiente T 11.44. Sea A un anillo y P ∈ A[X] \ {0}. Si a ∈ A es una ra´ız de P de orden n > 2, entonces P0 = 0 o a es una ra´ız de P0 de orden j > n − 1; si n · 1 ∈ A no es un divisor de 0 en A, entonces, con toda certeza j = n − 1. Un elemento a ∈ A es una ra´ız simple del polinomio P, Ssi P(a) = 0 y P0 (a) , 0. D´. Si a es una ra´ız de orden n > 2 de P, entonces podemos escribir P = (X − a)nG,

G ∈ A[X],

G(a) , 0,

y

P0 = n(X − a)n−1G + (X − a)nG0 ,

de donde ˜ P0 = (X − a)n−1 (nG + (X − a)G0 ) = (X − a)n−1G,

G˜ := nG + (X − a)G0 . ˜ ˜ Entonces, P0 = 0, o a es una ra´ız de P0 , de orden j > n − 1. j = n − 1 Ssi G(a) , 0. G(a) ,0 Ssi (n · 1)G(a) , 0, lo cual sucede con toda certeza si n · 1 no es divisor de 0 en A. Por otra parte, si a es una ra´ız simple de P, entonces P = (X − a)G,

G ∈ A[X],

G(a) , 0,

P0 = G + (X − a)G0 ,

de modo que P0 (a) = G(a) , 0, Por otra parte si P(a) = 0 y P0 (a) , 0, entonces, por la primera parte del teorema, a no puede ser una ra´ız de orden > 2 de P, por lo que a debe ser una ra´ız simple de P. Si K es un campo de caracter´ıstica p , 0 y κ p el campo primo correspondiente y m P = X p − X ∈ κ p [X], entonces P0 = pm X P

m

−1

− 1 = −1.

Entonces P (x) = 1 , 0, ∀ x ∈ K. Con esto hemos demostrado el siguiente resultado 0

T 11.45. Sea K un campo de caracter´ıstica p , 0, κ p el campo primo corresm pondiente. Entonces todas las ra´ıces en K, del polinomio P := X p − X son simples. Como consecuencia inmediata del teorema 11.45 se obtiene el siguiente resultado de gran importancia en la teor´ıa de los campos finitos: T 11.46. Para cada número primo p y para cada entero positivo m, existe un campo κ con, exactamente, pm elementos, Otra consecuencia del teorema 11.44 es el siguiente T 11.47. Si P es un polinomio irreducible en κ[X], donde κ es un campo cualquiera, si P0 , 0, entonces en cualquier otro campo K, que contenga al campo κ, P sólamenete podrá tener ra´ıces simples. D´. Supongamos que K sea un campo que contiene al campo κ, tal que a ∈ K es una ra´ız múltiple de P. Como P0 , 0, entonces existe el máximo común divisor D ∈ κ[X] de p, P0 . Como κ[X] es un anillo principal, entonces existen polinomios G, H ∈ κ[X], tales que D = GP + HP0 . Siendo a una ra´ız múltiple de P, entonces, por teorema 11.44, a es también ra´ız de P0 y por consiguiente ra´ız de D = GP + HP0 . Como D , 0, se debe tener grad D > 0. Por otra parte se tiene 0 < grad D 6 grad P0 < grad P, ya que D | P0 . Pero si 0 < grad D < grad P, entonces D ser´ıa un divisor propio de P en κ[X], en contradicción a que P es irreducible en κ[X]. Por lo tanto a ∈ K, debe ser una ra´ız simple de P.


239

Ilustremos estos resultados con el siguiente ejemplo concreto: E 11.9. Sea p := 2, m := 2, entonces el campo finito de caracter´ıstica p = 2, que contiene a κ p := Z2 , y posee 22 = 4 elementos consta de las ra´ıces del polinomio P := X 4 − X ∈ κ p [X], que son todas simples, ya que P0 = −1 = 1. P = X(X 3 − 1) = X(X − 1)(X 2 + X + 1) Las ra´ıces 0, 1 están en Z2 , sin embargo, el polinomio G := X 2 + X + 1, no posee ra´ıces en Z2 , por lo que G es irreducible en Z[X], pero s´ı en el campo K := Z2 [X]/(G). Si ξ es la clase de X en K, entonces, teniendo en cuenta que en κ p , 1 = −1, tenemos que ξ es un elemento que debe satisfacer: ξ2 = ξ + 1

(11.34)

y por teorema 11.36, ξ genera el subgrupo multiplicativo K ∗ de K y debe ser un elemento de orden 3, entonces, el campo buscado es, en este caso K := {0, 1, ξ, ξ + 1}. En un campo κ de caracter´ıstica 0, como grad P0 = grad P − 1, entonces P0 = 0, Ssi P ∈ κ. Entonces un polinomio P, con grad P > 1, irreducible en κ[X], sólo puede poseer ra´ıces simples en cualquier campo K que contenga a κ. Para campos de caracter´ıstica p , 0, la situación es diferente, como lo muestra el siguiente T 11.48. En un campo κ de caracter´ıstica p , 0, P0 = 0, Ssi P es un polinomio en X p , es decir P posee una representación de la forma m X µ (11.35) P= a pµ X p , a pµ ∈ κ. µ=0

D´. Si P es de la forma (11.35), entonces todos los coeficientes de P0 son múltiplos de p y por consiguiente iguales a 0 en κ, por lo que P0 = 0. Supongamos ahora que P0 = 0. Si l l X X λbλ X λ−1 = 0, bλ X λ y P0 = P := λ=0

λ=0

entonces λbλ = 0, ∀ λ > 0, lo que implica que, para p - λ, bλ = 0. Por consiguiente P debe ser un polinomio en X p . Ahora surge la pregunta ¿Qué pasa con las ra´ıces de un polinomio P, en un campo de caracter´ıstica p , 0, cuando P0 = 0? La respuesta nos la da el siguiente T 11.49. Sea P un polinomio irreducible en κ[X], donde κ es un campo de r caracter´ıstica p , 0. Sea P0 = 0 y r ∈ Z+ , tal que P es un polinomio en X p , pero no en r+1 X p . Entonces toda ra´ız de P, en cualquier campo K que contenga a κ, es de multiplicidad pr . D´. Como P es un polinomio irreducible, grad P > 0. Entonces, como P0 = 0, por teorema 11.48, P es un polinomio en X p . Sea r ∈ Z+ , tal que P es polinomio r r+1 r en X p , pero no en X p , entonces existe un polinomio G ∈ κ[Y], tal que P = G(X p ), en donde la aplicación ΦX pr : κ[Y] → κ[X], pr r definida por ΦX p (G) := G(X ), es un homomorfismo de anillos. Entonces G es también irreducible en κ[Y]. G no es un polinomio en Y p , pues de lo contrario P ser´ıa un polinomo r+1 en X p .


240

Supongamos ahora que a ∈ K, donde K es un campo que contiene a κ, es una ra´ız de P. Por teorema 11.41, existe un campo L1 que contiene al campo K, tal que el polinomio G ∈ κ[Y], se descompone en factores lineales G = b(Y − b1 )(Y − b2 ) · · · (Y − bm ),

b, b1 , . . . , bm ∈ L1 .

Como G no es un polinomio en Y p , G0 , 0 y por teorema 11.45, todas las ra´ıces de G son r simples. Substituyendo Y por X p , obtenemos r

r

P = b(X p − b1 ) · · · (X p − bm ) en L1 . Nuevamente, por teorema 11.45, podemos encontrar un campo L que contiene al r campo L1 , en el cual cada uno de los polinomios X p − bµ posee una ra´ız aµ , µ = 1, . . . , m. Como r aµp = bµ se obtiene r

r

r

X p − bµ = X p − aµp = (X − aµ ) p

r

y por consiguiente r

P = b(X − a1 ) p · · · (X − am ) p

r

en L[X]. Como los bµ son todos diferentes, también los aµ son todos diferentes, por lo que cada aµ es una ra´ız de orden pr . Como a ∈ K ⊆ L, a debe coincidir con una de las ra´ıces aµ y por consiguiente es de orden pr . r

Al grado m del polinomio G ∈ κ[Y], tal que P = G(X p ), se le llama el grado reducido de P. E 11.10. 1. Sea p un número primo, κ un campo de caracter´ıstica p y r := 2, P := a0 + 2 2 2 a1 X p + a2 X 2p + a3 X 3p , aν ∈ κ, entonces G = a0 + a1 Y + a2 Y 2 + a3 Y 3 es el 2 polinomio en κ[Y], tal que P = G(X p ). m = 3 es el grado reducido de P 3 2. Sea p := 3, κ := Z3 y P := 1 + X + X 6 + 2X 9 + X 12 , entonces P es un polinomio en X 3 , G := 1 + Y + Y 2 + 2Y 3 + Y 4 , es el polinomio en κ[Y], tal que G(X 3 ) = P. m = 4 es el grado reducido de P. 3. Sea p := 2, κ := Z2 y P := 1 + X 4 + X 8 + X 12 + X 16 . Entonces P es un polinomio 2 en X 4 = X 2 , con r := 2 y G := 1 + Y + Y 2 + Y 3 + Y 4 . m := 4 es el grado reducido de P. Sea κ un campo. Decimos que un polinomio irreducible P ∈ κ[X] es separable sobre κ, si P0 , 0. Decimos que un polinomio cualquiera G ∈ κ[X] es separable sobre κ, si G , 0, grad G > 0 y cada factor irreducible de G es separable sobre κ.Un polinomio que no es separable sobre κ se dice que es inseparable sobre κ. En particular en un campo κ de caracter´ıstica 0 todo polinomio en κ[X] es separable sobre κ. El concepto de separabilidad está inspirado en el hecho de que todas las ra´ıces de un polinomio irreducible, cuyo polinomio derivada no es el polinomio cero, son simples, tal como se vió en el teorema 11.47. Decimos que un campo κ es perfecto, si todo polinomio de grado positivo es separable sobre κ. Por lo anteriormente demostrado, todo campo de caracter´ıstica 0 es perfecto.


241

Sin embargo, también los campos de caracter´ıstica p , 0 pueden ser perfectos. Un criterio necesario y suficiente para la perfección de un campo de caracter´ıstica p , 0, nos lo da el siguiente T 11.50. Un campo κ de caracter´ıstica p , 0 es perfecto, Ssi el homomorfismo ϕ : κ → κ, donde ϕ(x) := x p es un automorfismo. D´. Supongamos que ϕ es un automorfismo y sea P :=

n X

a pν X pν ,

a pν ∈ κ,

ν=0

un polinomio en X p , de grado positivo. Por hipótesis, para cada ν, 0 6 ν 6 n, existe bν ∈ κ, tal que bνp = a pν , por lo que podemos escribir P=

n X

n X bνp X pν = ( bν X ν ) p .

ν=0

ν=0

Esto quiere decir, que los polinomios en X p sobre κ no son irreducibles y la derivada de cada factor de la forma n X bν X ν ν=0

es distinta de 0. Por consiguiente P es separable y κ es un campo perfecto. Supongamos ahora que κ sea un campo perfecto. Vamos a mostrar que ϕ debe ser un automorfismo. Como ϕ es un homomorfismo de campos ϕ es siempre inyectivo. Si ϕ no fuera un automorfismo, entonces ϕ no ser´ıa sobreyectiva y existir´ıa a ∈ κ, tal que el polinomio P := X p − a no posee raices en κ. Sea K un campo que contiene a κ, tal que P posee una ra´ız b ∈ K, entonces P = X p − b p = (X − b) p . Sea G un factor irreducible y mónico de P en κ[X]. Como G es también factor de P en K[X], G posee una representación en K[X] como G = (X − b)m ,

m > 2,

pues, si m = 1, implicar´ıa b ∈ κ, lo cual no podr´ıa ser. Entonces b ser´ıa una ra´ız múltiple, de orden m, del polinomio G, irreducible en κ[X], en contradicción a que κ es perfecto. Por consiguiente ϕ debe ser sobreyectiva y por consiguiente un automorfismo. De los teoremas 11.39 y 11.50, se obtiene de forma inmediata el siguiente resultado: C 11.51. Todo campo finito es perfecto. En particular el campo primo κ p de un campo K de caracter´ıstica p es perfecto.


242

11.3.5.


1. En los siguientes incisos determinar si el polinomio dado es un poloinomio en r X p , para algún primo p. Dado el caso determinar r, el polinomio G ∈ κ[Y], tal r que P = G(X p y el grado reducido de P. a) P := 1 + X 4 + X 8 + X 12 + X 16 . b) P := 2 + X 3 + 2X 6 + 2X 9 + X 12 + 2X 15 . c) P := 1 + X 9 + 2X 18 + X 27 . 2. Sea P := X 4 − 7X 3 + 18X 2 − 20X + 8. a) Mostrar que 1, 2 son ra´ıces de P en Z[X]. b) Usando el criterio del polinomio derivada, determinar los ordenes de las ra´ıces 1, 2. c) Dar la descomposición de P en factores lineales. ¿Existen otras ra´ıces de P en algún campo que contenga a Z? 3. Sea A un dominio entero, a ∈ A y P ∈ A[X]. Mostrar que el ideal a := (P, a) es igual a A[X], Ssi P(a) es un elemento invertible en A. 4. Sean κ un campo y P, G ∈ κ[X] , donde P es un polinomio irreducible en κ[X]. Si existe un campo K conteniendo κ, tal que P, G poseen en K, una ra´ız en común, entonces P | G en κ[X]. 5. Encontrar el campo K de caracter´ıstica p := 3, con p2 = 9 elementos, que consta de todas las ra´ıces del polinomio P := X 9 − X ∈ κ p [X]. (Ayuda: Descomponer P en factores irreducibles, teniendo en cuenta que en κ p = Z3 , −1 = 2 y usar el hecho que el grupo K ∗ de √ todos los elementos invertibles de K es c´ıclico de 4 orden 8, mostrando que ξ := 2 genera todas las ra´ıces, salvo 0, de P). 6. Sean κ un campo de caracter´ıstica p , 0 y a ∈ κ un elemento que no puede ser representado en κ como p-potencia de algún elemento. Mostrar que P := X p − a es irreducible en κ[X]. (Ayuda: si el exponente m > 2 de la demostración de la segunda parte del teorema 11.50, fuese menor que p, entonces el coeficiente b utilizado, se representar´ıa como producto de ciertas potencias de bm y b p y b ∈ κ, lo que ser´ıa una contradicción). 7. Sea κ el campo de fracciones del dominio entero A := Z p [Y], donde p es un número primo. Mostrar que P := X p − Y es irreducible en κ[X]. κ es un ejemplo de un campo que no es perfecto.

11.4.

Conjuntos Algebraicos y Topolog´ıa de Zariski

Dado un polinomio cualquiera P ∈ A[X1 , . . . , Xn ], definimos VA (P) := {λ ∈ An | P(λ) = 0}. Es decir que VA (P) es el conjunto de todas las ra´ıces de P en An . Como vimos en los ejemplos anteriores VA (P) puede ser vac´ıo. Al conjunto V(P) lo llamamos el conjunto algebraico definido por el polinomio P. Si a ∈ A \ {0}, entonces V(a) = ∅, ya que Φa (x) = a, ∀ x ∈ A. Si P ∈ A[X1 , . . . , Xn ] es el polinomio 0, entonces VA (0) = An . Si P es un polinomio reducible, P = GH, entonces P(λ) = 0, Ssi G(λ) = 0 o H(λ) = 0. Entonces si P no es irreducible y P = GH se obtiene VA (P) = V(G) ∪ V(H).

11.4. CONJUNTOS ALGEBRAICOS Y TOPOLOGÍA DE ZARISKI

243

En general, si A[X] es un anillo factorial y P = P1 · · · Pm es una descomposición de P en factores irreducibles, entonces n [ VA (Pν ). VA (P) = ν=1

Si a es un ideal del anillo de polinomios A[X1 , . . . , Xn ], entonces definimos VA (a) := {λ ∈ An | P(λ) = 0, ∀ P ∈ a}. En particular, si a := (P), entonces, como el lector comprobará, VA (P) = VA (a). También se comprueba facilmente, que si a := (P1 , . . . , Pm ), entonces (11.36)

VA (a) =

m \

VA (Pµ ).

µ=1

De hecho, por el teorema de la base de Hilbert 11.22 y el corolario 11.23, todo ideal de A[X1 , . . . , Xn ] es de esta forma, si A es un anillo noetheriano y en particular si A es un campo. En la geometr´ıa algebraica a todo conjunto algebraico correspondiente a un ideal principal, se le llama una hipersuperficie de An . Entonces (11.36) nos dice que un conjunto algebraico correspondiente a un ideal cualquiera de A[X1 , . . . , Xn ] es intersección de, a lo sumo, un número finito de hipersuperficies de An . VA es una aplicación VA : I(A[X1 , . . . , Xn ]) → P(An ), donde I(A[X1 , . . . , Xn ]) es el conjunto de todos los ideales de A[X1 , . . . , Xn ]. De forma análoga se define una aplicación I : P(An ) → I(A[X1 , . . . , Xn ]), por I(V) := {P ∈ A[X1 , . . . , Xn ] | P(x) = 0 ∀ x ∈ V} I(V) se llama el ideal de anulación del subconjunto V ⊆ An . Para las aplicaciones I, VA se tienen las siguientes propiedades, que resumimos en el siguiente teorema cuando A es un campo K: T 11.52. Sea K un campo, entonces las aplicaciones I, VK poseen las siguientes propiedades: 1. I(K n ) = (0), si K es de caracter´ıstica 0, y I(∅) = (1) = K[X1 , . . . , Xn ]. 2. a ⊆ b ⇒ V(b) ⊆ VK (a). 3. Dados dos subconjuntos V, U ∈ K n , V ⊆ U ⇒ I(U) ⊆ I(V). 4. Para todo V ⊆ K n , I(V) = r(I(V)). Es decir I(V) es un ideal radical. 5. Dado un conjunto algebraico V := VK (a), VK (I(V)) = V. 6. Dados dos conjuntos algebraicos U, V, se tiene I(U ∪ V) = I(U) ∩ I(V) y U ∪ V = VK (I(U) · I(V)) 7. Dada una familia de conjuntos algebraicos (Vi )i∈I \ X Vi = V K I(Vi ) . i∈I

D´.

i∈I


244

1. Si K es finito de orden pm , donde p es un número primo y m ∈ Z+ , entonces m I(K) = (X p − X). Si car K = 0, entonces K es un campo infinito. Si existiera un polinomio P, tal que para todo elemento x := (x1 , . . . , xn ) ∈ K n , P(x) = 0, entonces xn ser´ıa una ra´ız del polinomio P(x1 , . . . , xn , Xn ) ∈ K[Xn ], para todo xn ∈ K, lo cual no es posible, ya que K es infinito. Por otra parte es obvio que I(∅) = K[X1 , . . . , Xn ] = (1). 2. Si a ⊆ b, entonces es obvio que si x es ra´ız de todo polinomio de b, también será ra´ız de todo polinomio de a, por consiguiente VK (b) ⊆ V(a). 3. Si P ∈ I(U), entonces P es un polinomio que se anula sobre U, como V ⊆ U, P se anula sobre V, por lo que P ∈ I(V). 4. Sabemos que I(V) ⊆ r(I(V)). Sea P ∈ r(I(V)), entonces, existe un entero positivo n, tal que Pn ∈ I(V) y Pn (x) = 0, ∀x ∈ V. Ahora bien Pn (x) = P(x) · · · P(x) = 0 ⇒ P(x) = 0, | {z } n

ya que K no posee divisores de 0. Por lo tanto P ∈ I(V) y la igualdad subsiste. 5. Por definición VK (I(V)) = {x ∈ K n | P(x) = 0, ∀ P ∈ I(V)}. Si x ∈ V = VK (a) y P ∈ I(V), entonces P(x = 0 y x ∈ VK (I(V)), por lo que V ⊆ VK (I(V)). Por otra parte si Pa, entonces por definición de V, P se anula sobre todo V, por lo que P ∈ I(V) y a ⊆ I(V), de donde, por inciso 2, VK (I(V)) ⊆ VK (a) = V. Por lo tanto V = VK (I(V)). 6. V ⊆ V ∪ U y U ⊆ V ∪ U implica que I(V ∪ U) ⊆ I(V) y I(V ∪ U) ⊆ I(U), de donde resulta que I(V ∪ U) ⊆ I(V) ∩ I(U). Por otra parte, si P ∈ I(V) ∩ I(U), entonces P se anula sobre U y sobre V, por consiguienete sobre U ∪ V. Por lo tanto I(V) ∩ I(U) ⊆ I(C ∪ U). Lo que muestra la primera igualdad. Para la segunda igualdad: de V ⊆ V ∪U y U ⊆ V ∪U, se obtiene que I(V)·I(U) ⊆ I(V) y I(V) · I(U) ⊆ I(U), resulta que V ∪ U ⊆ VK (I(V) · I(U)). Por otra parte si x ∈ V(I(V) · I(U)), entonces P(x) = 0, ∀ P ∈ I(V) · I(U). Por definición de producto de dos ideales, existen polinomios G ∈ I(V) y H ∈ I(U), tales que P = GH, entonces P(x) = 0, Ssi G(x) = 0 o H(x) = 0, lo que implica que también VK (I(V) · I(U)) ⊆ V ∪ U. Lo que muestra la segunda igualdad. 7. De X I(Vi ) ⊆ I(Vi ) , ∀ i ∈ I, i∈I

se obtiene VK

X

I(Vi ) ⊆ Vi ,

∀ i ∈ I.

i∈I

lo que implica que VK

X

\ I(Vi ) ⊆ Vi .

i∈I

por otra parte para x ∈

T i∈I

Vi y P ∈

i∈I

P

I(Vi ) , por definición de ideal suma, P es

i∈I

combinaci´ oPn lineal de polinomios Pi que anulan a Vi , por consiguiente P(x) = 0 y x ∈ VK I(Vi ) . Lo que muestra la igualdad. i∈I


245

Si E, K son campos, tales que K ⊆ E, y a un ideal de A[X1 , . . . , Xn ], es usual, en la geometr´ıa algebraica, estudiar el subconjunto VE (a) := {(x1 , . . . , xn ) ∈ E n | P((x1 , . . . , xn ) = 0, ∀ P ∈ a}. El lector habrá notado la similitud que existe entre VK y I definidos aqu´ı y los definidos, en el caso abstracto, en la subsección 9.3.2. En el caso abstracto I es una biyección, entre los subconjuntos de Spec A y los ideales radicales del anillo A, mientras que en el caso concreto, para un campo en general K, es, por los incisos 2 y 5, del teorema 11.52 una inyección entre los subconjuntos algebraicos de K n y los ideales radicales de K[X1 , . . . , Xn ], pero no necesariamente sobreyectiva. En efecto, tomemos como ejemplo K := R y consideremos el polinomio primo P := X 2 + 1 ∈ R[X]. VK (P) = ∅, pero I(∅) = R[X]. Entonces el ideal radical (P) no es imagen de I. Los conjuntos algebraicos, cuyos elementos son ra´ıces de polinomios en K[X1 , . . . , Xn ] en alguna extensión E de K también se suelen llamar K-variedades algebraicas. Si p es un ideal primo en K[X1 , . . . , Xn ], entonces se dice también que VK (P) es una K-variedad algebraica irreducible. Dada una K-variedad V := VK (p), donde p es un ideal primo de K[X1 , . . . , Xn ], en la geometr´ıa algebraica se la asigna a V la K-álgebra AK [V] := K[X1 , . . . , Xn ]/p, llamada la K-álgebra af´ın, de la variedad V y se estudia el espectro Spec AK [V]. (Ver, por ejemplo, [12]). 11.4.1. Topolog´ıa de Zariski. En la subsección 9.3.2, vimos como, con ayuda de los conjuntos algebraicos abstractos, pod´ıamos definir una topolog´ıa, la topolog´ıa abstracta de Zariski, sobre el conjunto Spec A, para un anillo conmutativo con unidad A. De igual forma el teorema 11.52, nos da la base para definir, por medio de los conjuntos algebraicos de K n , una topolog´ıa sobre K n , llamada también la topolog´ıa de Zariski. Del teorema 11.52 se deducen, de forma inmediata, las siguientes propiedades para los conjuntos algebraicos, que resumiremos en el siguiente: T 11.53. Dado un campo K, entonces a) K y ∅ son conjuntos algebraicos b) Si U, V son conjuntos algebraicos, entonces U ∪ V es un conjunto algebraico c) Dada una familia (Vi )i∈I de conjuntos algebraicos, entonces \ V := Vi i∈I

es un conjunto algebraico. El teorema 11.53 nos dice que los conjuntos algebraicos satisfacen las condiciones de los subconjuntos cerrados de una topolog´ıa sobre K n , ver, por ejemplo [14], llamada la topolog´ıa de Zariski de K n . Para el caso en que K es el campo de los números reales R o de los números complejos C, los conjuntos algebraicos son todos los subconjuntos finitos de K, ya que son ra´ıces de polinomios. Entonces la topolog´ıa de Zariski sobre K coincide con la llamada topolog´ıa cofinita, cuyos conjuntos abiertos son aquellos cuyos complementos son finitos. (Ver [14]). A continuación ilustramos algunos ejemplos de hipersuperficies en R2 y en R3 . La inconexidad de la curva ilustrada en la figura 11.6, es porque ningún punto x = (x, y) ∈ R2 , con x en el intervalo (0, 1) puede ser ra´ız del polinomio P := Y 2 − X 3 + X. Las figuras 11.5 y 11.6 representan hipersuperficies, o sea curvas planas, en el plano real R2 , mientras que las figuras 11.7 y 11.8 representan hipersuperficies en el espacio real R3 .

246


F 11.5.

X3 − Y 2 = 0

F 11.6.

Y 2 − X3 + X = 0

F 11.7.

X 2 − Y 2− − Z = 0


F 11.8.

X 4 + (Y 2 − X 2 Z 2 ) = 0

247

CAP´ıTULO 12

´ DE CAMPOS Y TEORIA ´ DE GALOIS EXTENSION En este cap´ıtulo estudiaremos exaustivamente las extensiones de campos y sus propiedades fundamentales. Introduciremos los conceptos de extensión algebraica, extensión normal y extensión trascendental, as´ı como el concepto de grado de una extensión. Para el caso de campos de caracter´ıstica p , 0 introduciremos el concepto de extensión separable y grado de separabilidad. Introduciremos también los conceptos de campo algebraicamente cerrado, elementos algebraicos y elementos trascendentes de un campo. 12.1.

Extensión de Campos

Decimos que el campo K es una extensión del campo κ, si existe un homomorfismo de campos ϕ : κ → K. Como homomorfismo de campos ϕ es inyectiva y K posee un subcampo κ0 isomorfo a κ. Por abuso de lenguaje y facilidad en la notación, identificaremos κ con κ0 . Si κ ( K, entonces se dice que K es una extensión propia de κ. En particular estudiaremos extensiones en las cuales el campo κ permanece invariante bajo el homomorfismo ϕ. Si K es una extensión de κ, se suele escribir K κ y también como K : κ, lo que interpretaremos como κ ⊆ K. As´ı el diagrama ~ ~~ ~~

E@ @@ @@

K@ F @@ ~ @@ ~~~ ~ κ lo interpretaremos como que el campo E es una extensión de los campos κ, K y F y K, F extensiones de κ. En este caso no hay ninguna relación entre K y F. Las siguientes extensiones son ampliamente conocidas: R

C

Q

R

resultando

C R Q

249

´ DE CAMPOS Y TEORÍA DE GALOIS 12. EXTENSION

250

Vimos también, en la demostración del teorema 11.40, que si P es un polinomio primo en κ[X], entonces, K := κ[X]/(P) es un campo que contiene al campo κ, por consiguiente κ[X]/(P) κ es una extensión de campos, en la cual existe, al menos, una ra´ız de P. En particular, si κ := Q, y P := X 2 − 2 ∈ Q[X], entonces P posee todas sus ra´ıces en la extensión de Q, Q[X]/(X 2 − 2). Si ξ es la clase de X (mód (P)), entonces ξ es un √ 2 2. En efecto, elemento, tal que ξ2 = 2 en el√campo Q[X]/(X − 2) y lo designaremos por √ P = (X + ξ)(X − ξ) = (X + 2)(X − 2) ∈ Q[X]/(X 2 − 2). Si G ∈ κ[X], entonces, por el algoritmo euclideano, G = PQ + R, donde grad R < grad √ P, o R = 0, por lo que todo elemento de Q[X]/(X 2 − 2) es de la forma a + bξ = a + b 2, a, b ∈ Q.(Ver caso general en la demostración del teorema 12.9). Entonces tendremos que √ √ Q[X]/(X 2 − 2) = Q[ 2] := {a + b 2 | a, b ∈ Q}. Una forma de obtener siempre una extensión propia de cualquier campo K es formando el campo de fracciones del anillo de polinomios K[X1 , . . . , Xn ]. Dejamos al lector la sencilla demostración del siguiente T 12.1. Si K es una extensión de campos, entonces K es un κ-espacio vectoκ rial. [K : κ] := dimκ K recibe el nombre de grado de la extensión K . [K, κ] puede ser finito κ o infinito, entonces diremos que K es una extensión finita, respectivamente una extensión κ infinita. En el ejemplo precedente tenemos [Q[X]/(X 2 − 2) : Q] 6 2, ya que los elementos 1, ξ, ξ2 son linealmente dependientes, pues ξ2 + 0ξ − 2 · 1 = ξ2 − 2 = 0. Como todo elemento de Q[X]/(X 2 − 2) es de la forma a + bξ, a, b, ∈ Q, [Q[X]/(X 2 − 2) : Q] = dimQ Q[X]/(X 2 − 2) = 2. Es decir que la extensión Q[X]/(X 2 − 2) Q es finita de grado 2. 12.1.1. Extensiones Finitas y Algebraicas. Consideremos, para el teorema y corolario siguientes, las extensiones de campos E K κ

´ DE CAMPOS 12.1. EXTENSION

251

y mostremos el siguiente T 12.2. Si [K : κ] y [E : K] son finitos, entonces E es una extensión finita de κ y [E : κ] = [E : K][K : κ]

(12.1)

D´. Supongamos que [E : K] := m y [K : κ] = n, entonces E posee una base {e1 , . . . , em } sobre K y K posee una base {k1 , . . . , km } sobre κ. Dado v ∈ E, entonces (12.2)

v=

m X

αµ eµ ,

αµ ∈ K, µ = 1, 2 . . . , m.

µ=1

Como {k1 , . . . , km } es base de K sobre κ, cada elemento αµ ∈ K, se escribe como (12.3)

αµ =

n X

aµν kν ,

aµν ∈ κ, ν = 1, 2 . . . , n.

ν=1

De (12.2) y (12.3), se obtiene m X m X (12.4) v := aµν kν eµ , µ

aµν ∈ κ,

kν eµ ∈ E.

ν

Esto quiere decir que los m · n elementos del conjunto {kν · eµ }16µ6m generan todo el campo 16ν6n

E. Vamos a mostrar que estos m · n elementos son linealmente independientes. En efecto, supongamos que se tiene m X m m X m m X X X bµ eµ , (12.5) 0= aµν kν eµ = aµν kν eµ = µ

ν

µ

donde bµ :=

n X

aµν kν ,

ν

µ=1

bµ ∈ K.

ν=1

Como los eµ son linealmente independientes sobre K resulta que bµ = 0, ∀ µ = 1, . . . , m, y como también los kν son linealmente independientes sobre κ, resulta, entonces, que para todo µ = 1, . . . , m y ν = 1, . . . , n, aµν = 0. Por consiguiente los m · n vectores kν eµ son linealmente independientes sobre κ y [E : κ] = m · n = [E : K][K : κ]. C 12.3. Si [E : κ] es finito, entonces [K : κ] es finito y divide a [E : κ]. D´. Como K ⊆ E, K es un κ-subespacio vectorial de E y [K : κ] := dimκ K 6 dimκ E = [E : κ], por lo que [K : κ] es finito. De forma análoga, ya que [E : κ] es finito y κ ⊆ K, resulta también que [E : K] es finito, por lo que las condiciones del teorema 12.2 se cumplen y [E : κ] = [E : K][K : κ]. Por lo tanto [K : κ] divide a [E : κ].


252

T 12.4. Sea K una extensión finita del campo κ, de grado [K : κ] = n. Entonces, dado cualquier elemento u ∈ K, existen elementos a0 , . . . , an ∈ κ, tales que (12.6)

a0 + a1 u + a2 u2 + · · · + an un = 0.

D´. En efecto, como dimκ K = n, los n + 1 elementos 1, u, . . . , un son linealmente dependientes sobre κ. Por lo tanto existen elementos a0 , . . . , an ∈ κ, tales que (12.6), vale. Como un corolario inmediato del teorema 12.4 se obtiene el siguiente resultado: C 12.5. Si K es una extensión finita del campo κ, de grado [K : κ] = n, entonces para cada u ∈ K, existe un polinomio de grado n P := a0 + a1 X + · · · + an X n , tal que u es ra´ız de P. Decimos que K es una extensión algebraica del campo κ, si todo elemento de K es ra´ız de algún polinomio de κ[X]. Entonces el corolario 12.5 se puede formular de la siguiente forma: Toda extensión finita K de un campo κ es una extensión algebraica. Decimos que un elemento u ∈ K es algebraico sobre κ, si u es ra´ız de algún polinomio P ∈ κ[X] En particular un número real o complejo α es algebraico, si es algebraico sobre Q. Los elementos de K que no son algebraicos sobre κ se llaman elementos trascendentes sobre κ. Una extensión que no es algebraica sobre κ la llamaremos una extensión trascendente sobre κ. En particular un número real o complejo α es trascendente, si es trascendente sobre Q. (Ver Apéndice A). De la teor´ıa de números y del análisis real sabemos que la gran mayor´ıa de números reales son trascendentes sobre Q. De hecho se tiene el siguiente T 12.6. El conjunto de todos los números algebraicos es un conjunto contable. D´. Los números algebraicos, por definición son todas las ra´ıces complejas de polinomios en Q[X]. Como Q es un conjunto contable, es el conjunto de todos los polinomios de grado 6 m, para cada entero positivo m, contable. Entonces Q[X] es también un conjunto contable. Como cada polinomio en Q[X], posee u´ nicamente un número finito de ra´ıces en C, es el conjunto de todas ellas contable. Las extensiones R

C

Q

Q

son extensiónes trascendentes, por consiguiente infinitas, mientras que la extensión C R


253

es una extensión algebraica. El siguiente resultado, cuya demostración la dejamos al lector como ejercicio, nos será u´ til, para el concepto de adjunción de un elemento de un campo K a un subcampo κ ⊆ K. L 12.7. Sea K un campo y (κi )i∈I una famila de subcampos de K. Entonces \ κ := κi i∈I

es un subcampo de K. T 12.8. Sean κ un campo, K una extensión de κ y a ∈ K \ κ. Entonces existe un campo minimal que contiene tanto a κ como a a, el cual será denotado por κ(a) y diremos que κ(a) es el campo obtenido de κ por adjunción del elemento a. D´. En efecto, sea M := {E ⊆ K | E subcampo, a ∈ E, κ ⊆ E}, entonces M , ∅, ya que K ∈ M y κ(a) :=

\

E.

E∈M

Nótese que F(a) está formado por el conjunto de los elementos de la forma b0 + b1 a + · · · + bn an ,

bν ∈ κ, ν = 1, . . . , n,

n∈N

y sus elementos inversos respectivos, que no necesariamente son de esta forma. T 12.9. El elemento a ∈ K es algebraico sobre κ, Ssi κ(a) es una extensión finita de κ. D´. Si [κ(a) : κ] es finito, entonces, por corolario 12.5, κ(a) es una extensión algebraica de κ y por consiguiente a es algebraico sobre κ. Por otra parte, si a es algebraico sobre κ, entonces a es ra´ız de algún polinomio en κ[X]. Consideremos el homomorfismo ψ : κ[X] → κ(a), definido por ψ(P) := P(a), ∀P ∈ κ[X] y ker ψ , (0), ya que a es algebraico. Como κ[X] es un anillo principal, existe un polinomio P ∈ κ[X], tal que ker ψ = (P). P es el polinomio de grado m´ınimo que está en ker ψ y es irreducible en κ[X], por lo que ker ψ = (P) es un ideal maximal en κ[X]. Entonces κ[X]/(P) es un campo que contiene a A y a κ y es isomorfo a un subcampo de κ(a). Como κ(a) es minimal entre todos los campos que contienen a κ y a a, resulta que κ(a) es isomorfo a κ[X]/(P). Si P := an X n + · · · + a0 , entonces 0 = an ξn + · · · + a0 , aν ∈ κ, ν = 1, 2, . . . , n, y los elementos 1, ξ, . . . , ξn son linealmente dependientes sobre κ. Vamos a mostrar que el conjunto B := {1, ξ, . . . , ξn−1 } es una base de κ[X]/(P) sobre κ. En efecto, los vectores de B son linealmente independientes, ya que, en caso contrario, existir´ıa un polinomio P0 ∈ ker ψ cuyo grado ser´ıa menor

254


que el grado de P, lo cual, por definición de P, no ser´ıa posible. Dado G ∈ κ[X], entonces, por el algoritmo euclideano, G = PQ + R, donde grad R < grad P o R = 0 y G¯ = R(ξ). Si R := b0 + b1 X + · · · + bn−1 X n−1 ,

entonces

R(ξ) = b0 + b1 ξ + · · · + bn−1 ξn−1 ,

y todo elemento de κ[X]/(P) es de esta forma. Por consiguiente dimκ κ(a) = n = grad P. Si a es un elemento algebraico sobre κ, al polinomio mónico P que genera al núcleo del homomorfismo ψ : κ[X] → κ(a) lo llamamos el polinomio minimal de a. Si grad P = n, entonces se dice que a es un elemento algebraico de grado n sobre κ. T 12.10. Si a, b ∈ K son elementos algebraicos sobre κ, entonces a ± b, ab son también algebraicos sobre κ, de grado, a lo sumo, m · n. Si a , 0, entonces también a−1 es algebraico sobre κ. Es decir que el conjunto de todos los elementos algebraicos sobre κ es un subcampo de K. D´. Supongamos que [κ(a) : κ] = m y [κ(b) : κ] = n. Entonces, si E := κ(a)(b), [E : κ(a)] es finito, ya que b algebraico sobre κ, implica b algebraico sobre κ(a). Si P, P˜ son los polinomios minimales de b en κ[X] y κ(a)[X] respectivamente, entonces grad P˜ 6 grad P, ya que P podr´ıa ser reducible en κ(a). Entonces [E : κ] = [E : κ(a)][κ(a) : κ] 6 m · n. Por lo tanto E es una extensión algebraica de κ que contiene a a, b, a±b y a a−1 , si a , 0.

La extenión κ(a)(b) se suele denotar por κ(a, b) y de forma inductiva definiremos κ(a1 , . . . , an ) := κ(a1 , . . . , an−1 )(an ). T 12.11. Si K es un a extensión algebraica de κ y E una extensión algebraica de K, entonces E es una extensión algebraica de κ. D´. Hay que mostrar que si u ∈ E, entonces u es algebraico sobre κ. En efecto, como u es algebraico sobre K, u es ra´ız de un polinomio P ∈ K[X]. Supongamos P := an X n + · · · + a0 ,

aν ∈ K, ν = 0, . . . , n.

Ahora bien, como los aν son algebraicos sobre κ, entonces F := κ(a0 , . . . , an ) es una extensión algebraica sobre κ. Como u es ra´ız de P ∈ F[X], E es algebraico sobre F y F(u) es una extensión finita de F. Entonces [F(u) : κ] = [F(u) : F][F : κ] < ∞. Por lo tanto, por teorema 12.9 u es algebraico sobre κ. T 12.12. Sea P ∈ κ[X] un polinomio irreducible en κ[X], de grado n > 1. entonces existe una extensión K de κ, de grado [K : κ] = n, tal que P posee una ra´ız en K. D´. En efecto, del teorema 11.40, sabemos que K := κ[X]/(P) es una extensión del campo κ que contiene una ra´ız de P y, por teorema 12.9, [K : κ] = grad P = n. Para el caso en que el polinomio P no es irreducible en κ[X], obtenemos el siguiente C 12.13. Si P es un polinomio en κ[X], de grado n, entonces existe una extensión finita K de κ, en la cual P posee una ra´ız y [K : κ] 6 n = grad P. D´. Si P es irreducible en κ[X], se tiene el teorema 12.12. Si P es reducible en κ[X], se aplica el teorema 12.12, a una componente irreducible P0 de P, de grad P0 < grad P.


255

El siguiente teorema, que es una versión más completa del teorema 11.41, nos garantiza, que dado un polinomio P ∈ κ[X], siempre será posible, por medio de extensiones finitas, encontrar una extensión en la cual P tiene todas sus ra´ıces. En particular, nos dice que dado un polinomio P ∈ κ[X], podemos obtener su campo de descomposición KP , como una extensión finita del campo κ. T 12.14. Sea P ∈ κ[X] un polinomio de grado n > 1, entonces existe una extensión E, de grado, a lo sumo n!, tal que P se descompone en E[X] en todos sus factores lineales. D´. Por el corolario 12.13, existe una extensión E1 de κ, tal que [E1 : κ] 6 n y P posee una ra´ız α1 ∈ E1 . Entonces P = (X − α1 )P1 ,

grad P1 = n − 1.

P1 ∈ E1 [X],

Aplicando nuevamente el corolario 12.13, existe una extensión E2 de E1 , tal que [E2 : E1 ] 6 n − 1 y P1 posee una ra´ız α2 en E2 y [E2 : κ] 6 n(n − 1). Continuando el proceso n − 1 veces, obtenemos la cadena de extensiones E0 := κ ⊆ E1 ⊆ · · · ⊆ En−1 , donde [Eν+1 : Eν ] = n − ν, ν = 0, 1, . . . , n − 2 y P = (X − α1 ) · · · (X − αn−1 )Pn−1 ,

Pn−1 ∈ En−1 [X],

y grad Pn−1 = 1. Entonces P1 := aX − b, donde a, b ∈ En−1 , posee su ra´ız en En−1 y P se descompone en E[X] como P = a(X − α1 ) · · · (X − αn−1 )(X − b). Entonces [En−1 : κ] = [En−1 : En−2 ] · · · [E1 : κ] 6 n!. L 12.15. Sean τ : κ → κ˜ un isomorfismo de campos, κ[X], κ˜ [Y] los anillos de polinomios en las indeterminadas X, Y, sobre κ y κ˜ respectivamente. Entonces existe un isomorfismo τ∗ : κ[X] → κ˜ [Y] que hace conmutar al diagrama κ

(12.7)

τ

i2

i1

κ[X]

/ κ˜

τ∗

/ κ˜ [Y]

donde i1 , i2 son las inclusiones respectivas. D´. En efecto, el homomorfismo definido por τ∗ (aX) := τ(a)T, ∀ a ∈ κ, satiface las condiciones deseadas. Del lema 12.15 y del tercer teorema de isomorf´ıa para anillos 9.7, se obtiene el siguiente


256

C 12.16. Sean P ∈ κ[X] un polinomio irreducible y P˜ ∈ κ˜ [Y] su imágen bajo el isomorfismo τ∗ . Entonces τ induce un isomorfismo de campos ˜ τ˜ ∗ : κ[X]/(P) → κ˜ [Y]/(P), que hace conmutar al diagrama κ

(12.8)

τ

/ κ˜

i1

κ[X]

i2

/ κ˜ [Y]

τ∗

π1

κ[X]/(P)

π2

/ κ˜ [Y]/(P) ˜

τ˜ ∗

en todas sus componentes. En particular nos interesa el caso en que τ es la identidad sobre κ, pues nos interesa determinar la relación que existe entre dos campos de descomposición KP y K˜ P de un polinomio P, obtenidos por procedimientos distintos. Nuestro objetivo es mostrar que existe un isomorfismo de campos σ : KP → K˜ P , y que e´ ste puede ser escogido de modo que σ|κ = 1κ . T 12.17. Sean τ : κ → κ˜ un isomorfismo de campos, P ∈ κ[X] un polinomio irreducible en κ[X], P˜ := τ∗ (P) y v una ra´ız de P en una extensión K de κ. Entonces κ(v) es isomorfo a κ˜ (w), donde w es una ra´ız de P˜ en una extensión K˜ de κ˜ . Además el isomorfismo σ : κ(v) → κ˜ (w) puede ser escogido de modo que: 1. σ(v) = w. 2. σ(α) = τ(α). En particular, si κ = κ˜ y si v, w poseen el mismo polinomio minimal sobre κ, entonces σ|κ = 1κ . D´. Sea v una ra´ız de P en una extensión K de κ, entonces, como se vió en la demostración del teorema 12.9, se tiene un isomorfismo ϕˆ : κ[X]/(P) → κ(v) donde v se identifica con la clase ξ de X (12.9)

(mód (P)) y se tiene el diagrama conmutativo ϕ

/ κ(v) : u u ϕˆ uu u π uu uu κ[X]/(P) κ[X]

Como τ∗ es un isomorfismo, también P˜ es irreducible en κ˜ [Y] y se tiene también un isomorfismo de campos ˜ → κ˜ (w) ϕ˜ˆ : κ˜ [Y]/(P)


257

y el diagrama conmutativo ϕ˜

/ κ˜ (w) u: u u uu π uu u u ˜ κ[Y]/(P) κ˜ [Y]

(12.10)

ϕ˜ˆ

Juntando los diagramas (12.9) y (12.10) obtenemos el diagrama conmutativo en todas sus componentes τ

κ

(12.11) i1

/ κ˜ i2

κ[X]

τ∗

/ κ˜ [Y]

τ˜ ∗

/ κ˜ [Y]/(P) ˜

π1

κ[X]/(P)

π2

ϕˆ

ϕ˜ˆ

κ(v)

σ

/ κ˜ (w)

donde σ := ϕˆ˜ ◦ τ˜ ∗ ◦ ϕˆ es un isomorfismo entre κ(v) y κ˜ (w) que cumple con lo deseado. En particular, si κ = κ˜ , τ = 1κ y X = T , σ es un isomorfismo que deja fijos a los elementos de κ, es decir σ|κ = 1κ . −1

El siguiente teorema constituye la piedra angular que nos llevará a la teor´ıa de Galois. T 12.18. Cualesquiera campos de descomposición KP , K˜ P˜ de los polinomios P ∈ κ[X] y P˜ := τ∗ (P) ∈ κ˜ [Y] respectivamente, son isomorfos, con un isomorfismo σ : KP → K˜ P˜ , tal que el diagrama κ

(12.12)

τ

i1

KP

/ κ˜ i2

σ

/ K˜ ˜ P

es conmutativo. En particular si κ = κ˜ y τ = 1κ , entonces σ es un isomorfismo entre dos campos de descomposición de P, que deja fijos todos los elementos de κ. D´. Por inducción sobre el grado [K : κ] de la extensión. Si [K : κ] = 1, entonces K = κ y P se descompone en factores lineales en κ[X] y P˜ se descompone en factores lineales en κ˜ [Y]. Entonces σ := τ satisface lo deseado. Supongamos, por hipótesis de inducción, que el resultado sea cierto para cualquier campo κ0 y cualquier polinomio P0 , cuyo campo de descomposición K0 sea tal, que [K0 : κ0 ] < n, n > 1. Sea K, [K : κ] = n > 1 el campo de descomposición del polinomio P ∈ κ[X]. Como n > 1, ˜ P posee en κ[X] un factor G irreducible, de grado grad G = r > 1 y su correspondiente P, ˜ posee en κ˜ [Y] un factor irreducible G. Como P se descompone en K en factores lineales, también lo hará G y existe, entonces,

258


˜ existe v ∈ K, tal que G(v) = 0. Entonces [κ(v) : κ] = r > 1. En forma análoga, para G, ˜ ˜ w ∈ K, tal que G(w) = 0 y [˜κ(w) : κ˜ ] = r > 1. Por el teorema 12.17, existe un isomorfismo σ ˜ : κ(v) → κ˜ (w), tal que el diagrama κ

(12.13)

τ

/ κ˜

i1

κ(v)

i2

/ κ˜ (w)

σ ˜

es conmutativo. Como [κ(v) : κ] = r > 1, resulta de [K : κ] = [K : κ(v)][κ(v) : κ] = n = [K : κ(v)]r que n < n. r Como K es campo de descomposición de P ∈ κ[X], también lo será de P ∈ κ(v)[X], por lo que podemos aplicar la hipótesis de inducción a la extensión [E : κ(v)] =

K
κ(v) En forma análoga procederemos para la extensión K˜
κ˜ (w) Entonces existe un isomorfismo σ : K → K˜ que hace conmutar al diagrama (12.14)

κ(v) i1

K

τ

/ κ˜ (w) i2

σ

/ K˜

De la conmutatividad de los diagramas (12.13) y (12.14), resulta la conmutaividad del diagrama (12.12). Si κ = κ˜ , tomamos τ := 1κ y entonces, si K y K˜ son campos de descomposición de P, existe un isomorfismo σ : K → K˜ que deja fijos los elementos de κ.


12.1.2.

259


1. Mostrar el teorema 12.1. 2. Mostrar el lema 12.7 √3 3. Sea Q el campo de los números racionales y √ sea 2 := ξ, la clase de 3 X √(mód (X 3 − 2)). Si definimos Q[ξ] = Q[ 2] := Q[X]/(X 3 − 2), mostrar que 3 Q[ 2] es un campo, extensión algebraica de Q y que √3 √3 √3 Q[ 2] = {a + b 2] + c( 2)2 | a, b, c ∈ Q}. √3 √3 √3 Es decir que√Q[ 2] = Q( √ 2) y que [Q[ 2] : Q] = 3. 4. Sea σ : Q[ 2] → Q[ 2] un isomorfismo que deja fijos los elementos de Q. Mostrar que √ √ a) σ(a +√b 2) = a + σ( √ 2) b) Si σ( 2) = α + β 2, entonces, para que σ sea un homomorfismo, √ √ debe valer α = 0 y β = ±1. (Ayuda: Considerar que σ(2) = 2 = σ( 2)σ( 2)). 5. Si α ∈ K, donde K es una extensión de κ es un elemento trascendente sobre el campo κ y κ[α] es el anillo formado por todas las combinaciones lineales de las potencias de α con los elementos de κ, mostrar que κ[α] es isomorfo a κ[X] y que κ(α) es isomorfo a Q(κ[X]). Por lo que si α no es algebraico sobre κ, κ[α] , κ(α). Mostrar además que [κ(α) : κ] = ∞ y por consiguiente también [K : κ] = ∞. 6. Sea G(K : κ) := {σ : K → K | σ es un isomorfismo que deja fijo al subcampo κ ⊆ K}. Mostrar que (G(K : κ), ◦), donde ◦ es la composición de homomorfismos, es un grupo, llamado el grupo de Galois de la extensión K κ 7. Consideremos la extensión √ Q[ 2] Q

8. 9. 10. 11.

√ Usar el resultado en el ejercicio 4, para mostrar que G(Q[ 2] : Q) es isomorfo al grupo (Z2 , +). Sea σ : κ → κ un isomorfismo de campos. Si α ∈ κ es una ra´ız de P ∈ κ[X], mostrar que σ(α) es una ra´ız de σ∗ (P). Sea σ ∈ Gκ . Probar que si α es ra´ız de un polinomio P ∈ κ[X], entonces también σ(α) es ra´ız de P. Si κ es un campo de caracter´ıstica p , 0, mostrar que toda extensión K de κ debe ser también de la misma caracter´ıstica p. Sea E un campo intermedio de la extensión K κ


260

Entonces, si α ∈ K es un elemento algebraico sobre κ también lo será sobre E. Mostrar que el polinomio minimal de α sobre E es un divisor del polinomio minimal de α sobre κ. (Ayuda:considerar el polinomio minimal P˜ de α sobre E y aplicar algoritmo euclideano al polinomio minimal P de α sobre κ y a P˜ en E[X]). 12. Mostrar que una extensión de campos K κ es finita, Ssi existen elementos algebraicos sobre κ, α1 , . . . , αn ∈ K, tales que K := κ(α1 , . . . , αn ). 12.1.3.

Extensiones Trascendentes. Una extensión K κ

que no es algebraica sobre κ se dice que es una extensión trascendente. Dada una extenión K de un campo κ, decimos que los elementos α1 , . . . , αn ∈ K son algebraicamente dependientes sobre κ, si existe un polinomio P ∈ κ[X1 , . . . , Xn ], tal que P(α1 , . . . , αn ) = 0. En una extensión algebraica todo subconjunto finito de elementos es algebraicamente dependiente. Basta tomar un polinomio en κ[X1 , . . . , Xn ] que sea múltiplo del polinomio minimal de cualquiera de los αi . En general, si S es un subconjunto cualquiera de K, no necesariamente finito, diremos que S es un conjunto algebraicamente dependiente sobre κ, si los elementos de S son ra´ıces de algún polinomio P ∈ κhN(S˜ )i, donde S˜ es un conjunto de indeterminadas de la misma cardinaliidad de S . Dada una extenión K de un campo κ, decimos que los elementos α1 , . . . , αn ∈ K son algebraicamente independientes sobre κ, si P(α1 , . . . αn ) = 0 ⇔ P = 0, en κ[X1 , . . . , Xn ]. En general, si S es un subconjunto cualquiera de K, no necesariamente finito, diremos que S es un conjunto algebraicamente independiente sobre κ, si P(S ) = 0 ⇔ P = 0, en κhN(S˜ )i. Si α es un elemento trascendente sobre κ y K := κ(α) entonces α es algebraicamente independiente sobre κ, ya que n X aν αν ⇔ aν = 0, ∀ ν = 0, . . . , n, aν ∈ κ. 0= ν=0

Sin embargo el conjunto α, α2 , . . . , αn es algebraicamente dependiente sobre κ, pues si consideramos el polinomio P := Xij − X ij ∈ κ[X1 , . . . , Xn ], i, j fijos, 1 6 i, j 6 n, entonces P(α, . . . αn ) = (αi ) j − (α j )i = 0. A la mayor cardinalidad entre todos los subconjuntos de K algebraicamente independientes sobre κ, la llamamos el grado de trascendencia de la extensión K κ


261

y lo denotaremos por trgrad K. A un subconjunto S de K que es algebraicamente independiente sobre κ y es maximal respecto de la relación de inclusión, entre todos los subconjuntos algebraicamente independientes sobre κ lo llamamos una base de trascendencia de K sobre κ. Si α es trascendente sobre κ, y K := κ(α), entonces trgrad K = 1 y {α} es una base de trascendencia de K sobre κ. 12.1.4.

Envolvente Algebraica y Clausura Algebraica. Sea K κ

una extensión de campos. Al conjunto Ha (K : κ) := {x ∈ K | x algebraico sobre κ} lo llamamos la envolvente algebraica cerrada de κ. Por teoema 12.10, Ha (K : κ) es un campo y es el campo más pequeño que contiene al campo κ y todos los elementos algebraicos sobre κ. Decimos que κ es algebraicamente cerrado en K, si Ha (K : κ) = κ. Decimos que un campo K es algebraicamente cerrado, si todo polinomio en K[X] posee una ra´ız en K. De forma equivalente podemos decir que un campo K es algebraicamente cerrado, Ssi todo polinomio P ∈ K[X] se descompone en factores lineales en K[X]. De la definición de algebraicamente cerrado se deduce el siguiente T 12.19. κ es un campo algebraicamente cerrado, Ssi para cualquier extensión K de κ, Ha (K : κ) = κ. D´. En efecto, si κ es algebraicamente cerrado, entonces todo polinomio en κ[X] se descompone en factores lineales en κ[X], es decir que todas sus ra´ıces están en κ, entonces si α es un elemento algebraico sobre κ, α es ra´ız de un polinomio en κ[X] y por consiguiente α ∈ κ. Por lo tanto Ha (K : κ) = κ, para cualquier extensión K de κ. Por otra parte si Ha (K : κ) = κ, para cualquier extensión K de κ y α ∈ K una ra´ız de un polinomio cualquiera P ∈ κ[X], entonces α es algebraico sobre κ y, por hipótesis, α ∈ κ, por consiguiente P se descompone en factores lineales en κ[X], por lo que κ es algebraicamente cerrado. T 12.20. Para cualquier extensión K del campo κ Ha (K : Ha (K : κ)) = Ha (K : κ). Es decir que todo elemento algebraico sobre Ha (K : κ) es ya algebraico sobre κ. D´. Sea α ∈ K un elemento algebraico sobre Ha (K : κ), entonces α es ra´ız de un polinomio P ∈ Ha (K : κ) X P := aν X ν , aν ∈ Ha (K : κ), ν = 0, . . . , n. ν=0

Si K1 := κ(a0 , . . . , an ), entonces, K1 es una extensión algebraica sobre κ y K2 := Ha (K : κ) es una extensión algebraica de K1 , ya que es extensión algebraica de κ ⊆ K1 . Entonces [K2 (α) : κ] = [K2 (α) : K2 ][K2 : K1 ][K1 : κ] < ∞.

262


Por consiguiente α es algebraico sobre κ y Ha (K : Ha (K : κ)) ⊆ Ha (K : κ). La otra inclusión es obvia, ya que κ ⊆ Ha (K : κ), por lo que todo elemento algebraico sobre κ lo es también sobre Ha (K : κ). O´. El teorema 12.20 nos dice que la envolvente algebraica es un campo algebraicamente cerrado que contiene al campo κ. Por esta razón se suele llamar también la cerradura algebraica del campo κ. Algunos autores lo designan también por κ¯ o bien κa . Lo expresado en la observación precedente, lo podemos resumir de la siguiente forma: C 12.21. Todo campo κ está contenido en una extensión algebraica que es algebraicamente cerrada. T 12.22. κ es algebraicamente cerrado en la extensión K, Ssi ningún polinomio irreducible P ∈ κ[X], de grado grad P > 2, posee raices en K. D´. κ es algebraicamente cerrado en K, Ssi para cualquier elemento α ∈ K algebraico sobre κ el polinomio minimal es de grado 1. Si α ∈ K fuera ra´ız de un polinomio irreducible P ∈ κ[X] con grad P > 2, entonces P ser´ıa el polinomio minimal de α y [κ(α) : κ] > 2 y α < κ. Por otra parte, si ningún polinomio irreducible de grado > 2 posee ra´ıces en K y κ no fuera algebraicamente cerrado en K, entonces existir´ıa un elemento algebraico α ∈ K, tal que α < κ, con lo que el polinomio minimal de α ser´ıa un polinomio irreducible de grado > 2, con ra´ıces en K, lo cual es contradictorio. 12.1.5. Teorema de los Ceros de Hilbert. Si K es una extensión de κ algebraicamente cerrada, entonces todo polinomio en κ[X] posee todas sus ra´ıces en K. Surge la pregunta siguiente ¿Qué se puede decir de un polinomio en κ[X1 , . . . , Xn ], n > 1? En particular si a es un ideal de κ[X1 , . . . , Xn ] qué pasa con VK (a)? La respuesta a esta pregunta nos la va a dar el teorema de los ceros de Hilbert o Nullstellensatz, por su nombre en alemán, por el cual es más conocido en la literatura. Para su demostración necesitamos el siguiente lema preliminar: L 12.23. Sea E := K(X1 , . . . , Xn ), n > 0 el campo de fracciones del anillo de polinomios K[X1 , . . . , Xn ] sobre un campo K. Entonces E no está finitamente generado como anillo sobre K. D´. Supongamos que existan elementos ξ1 , . . . ξm ∈ E, tales que E = Pµ , donde Pµ , Qµ ∈ K[X1 , . . . , Xn ] y Qµ , 0. K[ξ1 , . . . , ξm ], entonces los ξµ son cocientes Qµ Si P es un polinomio primo que no comparece como factor de ninguno de los Qµ , entonces 1 < E, por lo que E no puede estar finitamente generado. P T 12.24 (Teorema de los Ceros de Hilbert, versión campoteorética). Si K κ es una extensión de campos, tal que K resulta de κ por adjunción de un número finito de elementos, entonces K es algebraico sobre κ. D´. Supongamos que K sea una extensión trascendente y {ξ1 , . . . , ξm } una base trascendente de K, entonces por el teorema 11.27, de Artin-Tate-Zariski, E := κ(ξ1 , . . . ξn ) '


263

κ(X1 , . . . , Xn ), ser´ıa finitamente generado como anillo, sobre κ, lo cual, por el lema 12.23, no es posible. Vamos a redactar ahora la versión clásica o geométrica del teorema de los ceros de Hilbert y vamos a mostrar que es equivalente a la versión campoteorética: T 12.25 (Teorema de los Ceros de Hilbert, versión geométrica). Si E es un campo algebraicamente cerrado sobre el campo K, y a es un ideal propio de K[X1 , . . . , Xn ], entonces VE (a) , ∅. D´. 12.24 ⇒ 12.25:Como el ideal a es propio, existe un ideal maximal m, tal que a ⊆ m. Entonces F := K[X1 , . . . , Xn ]/m es un campo que resulta de K por adjunción de las clases ξν de las indeterminadas Xν , 1 6 ν 6 n, la cual, por 12.24, es algebraica y, como E es una extensión algebraicamente cerrada, se tiene un K-homomorfismo ϕ:F→E y (ϕ(ξ1 ), . . . , ϕ(ξn )) ∈ VE (m) ⊆ VE (a). Por lo tanto V(a) , ∅. 12.25 ⇒ 12.24:Si el campo F resulta de K por adjunción de un número finito de elementos, digamos ξ1 , . . . , ξn , entonces existe un homomorfismo sobreyectivo ψ : K[X1 , . . . , Xn ] → K(ξ1 , . . . , ξn ), cuyo núcleo es un ideal maximal m, entonces F ' K[X1 , . . . , Xn ]/m. Entonces por 12.25, VE˜ (m) , ∅, donde E˜ := Ha (E : K), ya que E˜ es algebraicamente cerrado. Sea entonces (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ VE˜ (m) y consideremos el homomorfismo ˜ ϕ : K[X1 , . . . , Xn ] → E, definido por ϕ(Xν ) := ξν , cuyo núcleo es precisamente m. Entonces F es isomorfo a un subcampo de E˜ y como E˜ es, por definición de Ha (E : K) algebraico sobre K, resulta que F es algebraico sobre K. El teorema de los ceros de Hilbert nos asegura entonces que en un campo algebraicamente cerrado, para cualquier ideal propio del anillo de polinomios, su conjunto algebraico correspondiente no será vac´ıo. Este resultado es muy importante en la geometr´ıa algebraica, pues nos está garantizando la existencia de las variedades algebraicas en Cn , pues, como se demostrará más adelante, en el teorema fundamental del a´ lgebra de Gauss, 12.68, C es un campo algebraicamente cerrado. Entonces, si, por ejemplo, se tiene un sistema de ecuaciones polinómicas en Q[X1 , . . . , Xn ] P1 (x1 , . . . , xn ) = .. .

0 .. .

Pm (x1 , . . . , xn ) =

0

entonces, si a := (P1 , . . . , Pm ), el conjunto de todas las ra´ıces comunes del sistema en Cn es igual a VC (a) , ∅, Ssi a , Q[X1 , . . . , Xn ]. En geometr´ıa algebraica se muestra, que si r es el número menor de generadores del ideal a, entonces la dimensión de VC (a) es n − r. El siguiente teorema se considera la versión moderna del teorema de los ceros de Hilbert: T 12.26 (Teorema de las Ceros de Hilbert, versión moderna). Sea E K


264

una extensión de campos, donde E es algebraicamente cerrado. Entonces la aplicación (ver teorema 11.52) I : P(E n ) → I(K[X1 , . . . , Xn ]), induce una biyección entre el conjunto de todos lo conjuntos K-algebraicos V de E n y el conjunto de todos los ideales radicales de K[X1 , . . . , Xn ]. Además si a es un ideal de K[X1 , . . . , Xn ], entonces

r(a) = I(VE (a)).

(12.15)

D´. Como vimos en el teorema 11.52, I induce una inyección entre todos los conjuntos alebraicos de E n y los ideales radicales de K[X1 , . . . , Xn ]. Debemos mostrar que también es sobreyectiva, lo cual va a resultar del teorema 11.52, si mostramos la ecuación (12.15). Para un ideal cualquiera a de K[X1 , . . . , Xn ], se tiene a ⊆ I(VE (a)), tomando radicales se tiene entonces que r(a) ⊆ I(VE (a)), ya que I(VE (a)) es un ideal radical. Vamos a mostrar que si G , 0 ∈ I(VE (a)), entonces G ∈ r(a). A tal efecto utilizaremos el argumento de Rabinowitsch: En el anillo de polinomios K[X1 , . . . , Xn , Y] consideremos el ideal b := (a, GY − 1). Entonces a ⊆ b y VE (b) ⊆ VE (a), por lo que si (x1 , . . . , y) ∈ VE (b), entonces (x1 , . . . , xn ) ∈ VE (a), y G(x1 , . . . , xn )y − 1 = −1 y por otra parte (x1 , . . . , y) deber´ıa ser una ra´ız del polinomio GY − 1, lo cual es una contradicción. Por consiguiente VE (b) = ∅ y b = K[X1 , . . . , Xn , Y]. Entonces se tiene una ecuación r X QiGi + Hi (GY − 1), Qi ∈ K[X1 , . . . , Xn , Y], Gi ∈ a, 1 6 i 6 r. 1= i=1

Sea ϕ : K[X1 , . . . Xn , Y] → K[X1 , . . . , Xn ], el K-homomorfismo, definido por ϕ(Xν ) = Xν y ϕ(Y) := 1=

r X

1 . Entonces G

ϕ(Qi )Gi .

i=1

Como Qi ∈ K[X1 , . . . , Xn , Y], podemos escribir Qi =

mi X

αiµ T µi ,

αiµi ∈ K[X1 , . . . , Xn ].

µi =0

obteniendo, entonces ϕ(Qi ) =

mi X µi =0

αiµG−µi =

mi 1 X Ri αiµGmi −µi = m , m i G µ =0 G i

Ri ∈ K[X1 , . . . , Xn ], 1 6 i 6 r.

i

Si m := máx{mi }, entonces Gm ∈ (G1 , . . . G4 ) ⊆ a. Por lo tanto G ∈ r(a). 16i6r

El lector observará la similitud que existe entre la versión abstracta del teorema de Hilbert 9.26 y el teorema 12.26


265

12.1.6. Ejercicios y Complementos. 1. Sea E una extensión de K. Mostrar que dados dos ideales a, b de A[X1 , . . . , Xn ], entonces VE (a) = VE (b) ⇔ r(a) = r(b). 2. Sea E una extensión de K. Mostrar que dos sistemas de ecuaciones algebraicas Pµ (x1 , . . . , xn ) = 0,

1 6 µ 6 m,

Gλ (x1 , . . . , xn ) = 0

1 6 λ 6 l,

donde Pµ , Gλ ∈ K[X1 , . . . , Xn ], poseen el mismo conjunto de soluciones en E n , ρµ

Ssi para cada µ, existe un ρµ ∈ N, tal que Pµ ∈ (G1 , . . . , Gl ) y para cada λ existe un σλ ∈ N, tal que Gσλ λ ∈ (P1 , . . . , Pm ). 3. Consideremos los campos K ⊆ F ⊆ E y sea a := I(V) el ideal de la K-variedad V ⊆ E n , en K[X1 , . . . , Xn ]. Mostrar que r(a)F[X1 , . . . , Xn ]) es el ideal de V en F[X1 , . . . , Xn ]. 4. Sean V ⊆ E n y W ⊆ E m dos K-variedades, cuyos ideales respectivos son a ⊆ A[X1 , . . . , Xn ] y b ⊆ K[Y1 , . . . , Ym ]. Mostrar que entonces a la variedad V ×W le corresponde el ideal I(V × W) = r(a, b) ⊆ K[X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym ]. 5. Si K es un campo y m es un ideal maximal del anillo de polinomios K[X1 , . . . , Xn ], mostrar que E := K[X1 , . . . , Xn ]/m es una extensión finita de K. (Usar 12.24). 6. Si K es un campo algebraicamente cerrado y m un ideal maximal del anillo K[X1 , . . . , Xn ], mostrar que si (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ VK (m) y P < m es un polinomio, tal que P(ξ, . . . , ξn ) = 0, entonces (ξ1 , . . . , ξn ) es ra´ız de todo polinomio de K[X1 , . . . , Xn ], lo cual no es posible. Usar este resultado, el teorema de Hilbert 12.25 y el teorema 11.6, para mostrar que existen elementos ξ1 , . . . , ξn ∈ K, tales que m = (X1 − ξ1 , . . . , Xn − ξn ). 7. Sea E una extensión de K algebraicamente cerrada y V ⊆ E n una K-variedad de ideal a ⊆ K[X1 , . . . , Xn ]. Entonces al anillo AK [V] := K[X1 , . . . , Xn ]/a, lo llamamos el anillo de coordenadas de V o K-álgebra af´ın de V. Mostrar a) Si b¯ es un ideal de AK [V], entonces existe un ideal b ⊆ K[X1 , . . . , Xn ], tal que a ⊆ b y b¯ = b/a b) VE (b) ⊆ V, donde b es un ideal de K[X1 , . . . , Xn ] que contiene a a, tal que b¯ = b/a. Definimos VV : I(AK [V]) → E n , como la aplicación VV (b¯ ) := VE (b). c) Si W es una K-subvariedad de V, mostrar que existe un ideal radical b¯ de AK [V], tal que W = VV (b¯ ) y lo denotaremos por IV (W). d) Mostrar que IV (W) = I(W)/I(V). ¯ por lo que el anillo de coordenadas e) Mostrar que el nilradical r(AK [V]) = (0), de una K-variedad algebraica es un anillo reducido o un a´ lgebra reducida. 8. Mostrar la versión para subvariedades algebraicas del teorema de los ceros de Hilbert:


266

T 12.27 (Teorema de los Ceros de Hilbert para Subvariedades). Sean E una extensión algebraicamente cerrada del campo K y V una K-variedad algebraica contenida en E n , entonces la aplicación IV : P(E n ) → I(AK [V]) induce una biyección entre el conjunto de todas las K-subvariedades algebraicas de V y los ideales radicales de AK [V], cuya inversa es VV . Por otra parte, para cada ideal b¯ ⊆ AK [V] se tiene r(b¯ ) = IV (VV (b¯ )). Además una K-subvariedad algebraica de V es irreducible, Ssi IV (W) ∈ Spec AK[V] . 12.1.7.

Extensiones Simples. Decimos que K κ

es una extensión simple, si K = κ(α), para algún α ∈ K. Entonces diremos que α es un elemento primitivo de la extensión K. As´ı, por ejemplo, si K es el campo de descomposi√ 2 ción del polinomio P := X − 2 ∈ Q[X], K = Q[ 2] es una extensión simple de Q, con √ elemento primitivo 2. También la extensión C R es una extensión simple, ya que C = R[i], donde i, tal que i2 = −1, es un elemento primitivo. El siguiente teorema nos da la clave para encontrar un campo intermedio de una extensión algebraica simple. T 12.28. Sea (12.16)

K κ

una extensión finita simple, con elemento primitivo α ∈ K y E un campo intermedio, κ ⊆ E ⊆ K. Si n X G := bnν X ν , bν ∈ E, ν = 0, . . . , n, ν=0

el polinomio minimal de α sobre E, entonces E = κ(b0 , . . . , bn ). D´. Sea E0 := κ(b0 , . . . , bn ). Entonces κ ⊆ E0 ⊆ E ⊆ K. Como G ∈ E0 [X] es el polinomio minimal de α sobre E, G es irreducible en E[X] y por consiguiente también irreducible en E0 [X], por lo que también es el polinomio minimal de α sobre E0 . Como α es elemento primitivo de la extensión (12.16), también lo es de la extensión (12.17)

K E

Como K = κ(α), tenemos

[K : E0 ] = [K : E] = grad G


267

y [K : E0 ] = [K : E][E : E0 ] = [K : E0 ][E : E0 ]. Por lo tanto [E : E0 ] = 1 y E = E0 .

T 12.29 (Teorema de Steinitz). Una extensión K κ finita es simple, Ssi posee sólo un número finito de campos intermedios. D´. Del teorema 12.28, si K es una extensión simple, entonces cualquier campo intermedio E es de la forma κ(b0 , . . . , bn ), donde los bν , ν = 0, . . . , n son los coeficientes del polinomio minimal del elemento primitivo α sobre E. Sea P ∈ κ[X] el polinomio minimal de α sobre κ. Para cada factor mónico G de P en K[X], consideremos el campo intermedio KG := κ(a0 , . . . , am ), donde los aµ ∈ K, µ = 0, . . . , m son los coeficientes de G ∈ K[X]. Dado un campo intermedio cualquiera E, por ejercicio 12.1.2, 11, el polinomio minimal P˜ de α sobre E es un divisor P en K[X] y KP˜ = E, por lo que la aplicación G 7→ KG es sobreyectiva, por lo que no pueden haber más campos intermedios que los factores mónicos de P en K[X]. Por lo tanto sólo pueden existir un número finito de campos intermedios. Por otra parte, supongamos que sólo existan un número finito de campos intermedios en la extensión K κ Si κ es un campo finito, entonces K también es finito, ya que [K : κ] < ∞. Si α es un generador del grupo c´ıclico K ∗ , de los elementos invertibles de K, entonces K = κ(α), por lo que K es una extensión simple con elemento primitivo α. Sea, entonces, κ un campo infinito. Como K es una extensión finita de κ, por ejercicio 12.1.2,12, existen α1 , . . . , αn ∈ K, tales que K = κ(α1 , . . . , αn ). Vamos a mostrar que si ξ, η son cualesquier elementos en K, entonces κ(ξ, η) es una extensión simple. Dado a ∈ κ, sea κa := κ(ξ + aη), como κ contiene infinitos elementos y, por hipóstesis, sólo existe un número finito de campos intermedios, debe existir un b ∈ κ, b , a, tal que κb = κa . Entonces ξ + aη, ξ + bη ∈ κa y por consiguiente (b − a)η = (ξ + aη) − (ξ + bη) ∈ κa , como a , b, a − b , 0 y η = (a − b)−1 (a − b)η ∈ κa . Con η, también bη ∈ κa , por lo que ξ = ξ + bη − bη ∈ Ka . Entonces κ(ξ, η) ⊆ κa y κa ⊆ κ(ξ, η). Por lo tanto κ(ξ, η) es simple. Siguiendo un proceso inductivo, se concluye que K = κ(α1 , . . . , αn ) es simple. Como una consecuencia inmediata del teorema 12.29, se tiene el C 12.30. Si K κ es una extensión finita y simple, entonces K E es una extensión simple, para cualquier campo intermedio E.


268

12.1.8.

Extensiones Normales. Decimos que la extensión K κ

es una extensión normal sobre κ, si K es una extensión algebraica y si todo polinomio que posee, al menos, una ra´ız en K, se descompone en factores lineales en K[X]. Decimos que dos elementos α, β ∈ K son conjugados sobre κ, si poseen el mismo polinomio minimal. Por ejemplo en la extensión √ Q[ 2] Q √

√ 2 y − 2 son conjugados. T 12.31. Sea K

κ una extensión, entonces, dos elementos α, β ∈ K son conjugados sobre κ, Ssi existe un κ-isomomorfismo ϕ : κ(α) → κ(η) tal que ϕ(α) = β. D´. Vamos a mostrar que los ideales (Pα ) y (Pβ ) generados por los polinomios minimales correspondientes son iguales, si ϕ es un κ-isomorfismo. En efecto, sea G ∈ (Pα ), entonces 0 = ϕ(G(α)) = G(β), lo que implica que G ∈ (Pβ ). Por otra parte, aplicando ϕ−1 a H ∈ (Pβ ), se obtiene que H ∈ (Pα ). Por consiguiente (Pα ) = (Pβ ), de donde Pα = Pβ . La conversa resulta del teorema 12.18. T 12.32 (Teorema de Normalidad Finita). Sea (12.18)

K κ

una extensión finita. Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. K es campo de descomposición de un polinomio en κ[X]. 2. si E K es una extensión de K y ϕ:K→E un κ-homomorfismo, entonces ϕ[K] ⊆ K.


269

3. Lo mismo que en 2, si ϕ:E→E es un κ-homomorfismo. 4. La extensión (12.18) es normal. D´. 1⇒ 2: Sea K el campo de descomposición del polinomio P ∈ κ[X], entonces P = a(X − a1 ) · · · (X − an ),

a, a1 , . . . , an ∈ K = κ(a1 , . . . , an ).

Si E K es una extensión y ϕ:K→E un κ-homomorfismo, entonces ϕ(P(aν )) = P(ϕ(aν )) = 0, por lo que ϕ[{a1 , . . . , an }] ⊆ {a1 , . . . , an } ⊆ K. Por lo tanto ϕ[K] ⊆ K. 2⇒3:Resulta de 2, al considerar ϕ|K . 3⇒4: Sea G ∈ κ[X] un polinomio irreducible en κ[X], y sin limitación de la generalidad podemos asumir que sea mónico, y α ∈ K una ra´ız de G. Como K es una extensión finita sobre κ, existen elementos α1 , . . . , αm , tales que K = κ(α1 , . . . , αm ). Podemos suponer que α = α1 . Si Pµ , 1 6 µ 6 m, es el polinomio minimal de αµ , entonces P1 = G. Sea P := P1 P2 · · · Pm y E el campo de descomposición de P sobre K. Si M es el conjunto de todas las ra´ıces de P, entonces {α1 , . . . , αn } ⊆ M y E = K(M) = κ(α1 , . . . , αm )(M) = κ(α)(M). entonces E es también el campo de descomposición de P sobre κ(α). Si β ∈ K es una ra´ız cualquiera de G, entonces, por teorema 12.18, existe un κ-isomorfismo τ : κ(α) → κ(β) tal que τ(α) = β. Igualmente se muestra que E es campo de descomposición de P sobre κ(β) y τ se extiende a un κ-isomorfismo ϕ : E → E, tal que ϕ|κ(α) = τ. Entonces, por hipótesis β = ϕ(α) ∈ K = κ(α1 , . . . , αm ), α1 = α. Lo que muestra que K es el campo de descomposición de G. Por consiguiente la extensión (12.18) es normal. 4⇒1:Sea K = κ(α1 , . . . , αm ) y P el polinomio definido arriba. Entonces, como la extensión (12.18) es normal, P se descompone en factores lineales en K = κ(α1 , . . . , αm ) = κ(M). Por lo tanto K es campo de descomposición de P. T 12.33. Toda extensión de grado 2 es normal D´. En efecto, si [K : κ] = 2 y P un polinomio irreducible, con una ra´ız α ∈ K, entonces grad P = [κ(α) : κ] 6 [K : κ] = 2. Por lo tanto P se descompone en factores lineales en K[X].


270

T 12.34. Si K es normal sobre κ, entonces K es normal sobre cualquier campo intermedio E de la extensión (12.19)

K κ

D´. Como la extensión (12.19) es algebraica, entonces, para cualquier campo intermedio E, la extensión (12.20)

K E

es también algebraica. Sea P un polinomio en E[X] con una ra´ız α ∈ K y sea G el polinomio minimal de α sobre κ, entonces P | G en E[X] y existe H ∈ E[X], tal que G = PH, como, por hipótesis, G se descompone en factores lineales en K[X], también P debe descomponerse en factores lineales en K[X]. Por lo tanto la extensión (12.20) es normal. T 12.35. Toda extensión finita K κ está contenida en una extensión normal (12.21)

E κ

D´. Sea K = κ(α1 , . . . , αn ), donde α1 , . . . , αn ∈ K, elementos algebraicos sobre κ y P := P1 · · · Pn , donde Pν , ν = 1, . . . , n es el polinomio minimal de αν . Entonces si E es el campo de descomposición de P sobre K, también lo será de P sobre κ, (ver demostración del teorema 12.32), y [E : K] < ∞, de donde resulta que la extensión (12.21), es normal. T 12.36. Si K es un campo intermedio de la extensión normal y finita E κ entonces todo κ-homomorfismo ϕ:K→E posee una extensión a un κ-automorfismo ϕˆ : E → E. D´. Como E es normal y finita sobre κ, entonces E es el campo de descomposición de un polinomio P ∈ κ[X] y E = κ(α1 , . . . , αn ), donde para cada ν = 1, . . . , n, αν es ra´ız de P en E. Sea ϕ:K→E un κ-homomorfismo y ϕ∗ : K[X] → E[X]


271

el homomorfismo inducido por ϕ. Como ϕ es un κ-homomorfismo, se tiene que ϕ∗ (P) = P y E es también el campo de descomposición de ϕ∗ (P) y sus ra´ıces son las mismas. Si P no posee ninguna ra´ız en K, entonces E = K(α1 , . . . , αn ) = κ(α1 , . . . , αn ) y ϕ no actúa sobre el conjunto M de ra´ıces de P. Si σ:M→M es una permutación sobre M, entonces, considerando que cada elemento de E es una combinación lineal de los elementos de M y de κ, σ induce un κ-automorfismo ϕˆ : E → E. por medio de ϕˆ

n X

n X aν σ(αν ). aν αν := ν=1

ν=1

Si P posee m ra´ıces en K, entonces m < n, pues de lo contrario E = K. Sin limitación de la generalidad podemos asumir que N := {α1 , . . . , αm } es el conjunto de ra´ıces de P en K y ϕ[N] ⊆ M. Si σ : M \ N → M ∗ := M \ ϕ[N] es una biyección, entonces, por medio de ϕˆ

n X

n m X X aν σ(αν ) aν ϕ(αν ) + aν αν :=

ν=1

ν=m+1

ν=1

se obtiene un κ-automorfismo ϕˆ : E → E. que es una extensión de ϕ sobre E.

De los teoremas 12.31 y 12.36 se obtiene el siguiente corolario, cuya demostración dejamos al lector, como un ejercicio. C 12.37. Sea E κ una extensión normal y finita. Dos elementos α, β ∈ E son conjugados sobre κ, Ssi existe un κ-automorfismo ϕˆ : E → E, tal que ϕ(α) ˆ = β. Para el caso en que K κ es una extensión algebraica no finita, se tiene el siguiente resultado, cuya demostración dejamos al lector, como un sencillo ejercicio:

272


T 12.38. Una extensión no finita E κ es normal, Ssi E es unión de campos de descomposición de polinomios en κ[X]. 12.1.9. Ejercicios y Complementos. 1. Sea K κ una extensión de campos y P ∈ κ[X1 , . . . , Xn ]. Mostrar que si ϕ:K→K es un κ-automorfismo, y (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ VK (P), entonces (ϕ(ξ1 ), . . . , ϕ(ξn )) ∈ VK (P). Deducir de e´ sto, que si a es un ideal de κ[X1 , . . . , Xn ] y (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ VK (a), entonces (ϕ(ξ1 ), . . . , ϕ(ξn )) ∈ VK (a). 2. Si K := κ(ξ1 , . . . , ξn ), donde ξ1 , . . . , ξn son elementos en alguna extensión E de κ, es una extensión algebraica finita y ϕ:K→E es un κ-homomorfismo, entonces ξν y ϕ(ξν ) deben ser elementos conjugados sobre κ y existe sólo un número finito de κ homomorfismos entre K y E. 3. Sea E K una extensión del campo K, m un ideal maximal de A[X1 , . . . , Xn ] y V := VE (m). Entonces el anillo de coordenadas de V AK [V] = K[X1 , . . . , Xn ]/m, es un campo y es una extensión finita de κ. Mostrar que si ξν es la clase de Xν , (mód m), ν = 1, . . . , n, entonces (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ V y que AK [V] ' K(ξ1 , . . . , ξn ). 4. Bajo las mismas condiciones del ejercicio precedente, si (η1 , . . . , ηn ) ∈ V, mostrar que la asignación ξν 7→ ην induce un K-homomorfismo ψ : AK [V] → E, y que ξν debe ser conjugado con ην , 1 6 ν 6 n. 5. Deducir de todo lo anterior que el número de K-homomorfismos de AK [V] en E es finito y que en consecuencia, en cualquier extensión E, V posee, a lo sumo, un número finito de elementos. 12.1.10. Extensiones Separables e Inseparables. Decimos que un elemento α ∈ K es separable sobre κ, si α es ra´ız de un polinomio separable en κ[X]. Decimos que K es una extensión separable de κ, si todo elemento de K es separable sobre κ. Un elemento algebraico de K que no es separable sobre κ se llama un elemento inseparable. Si todos los elementos de la extensión K son inseparables sobre κ, entonces se dice que K es una extensión inseparable pura.


273

Obviamente si el campo κ es de caracter´ıstica 0, toda extensión algebraica sobre κ es separable. T 12.39. Sea K := κ(β, α1 , . . . , αn ), donde β, α1 , . . . , αn son separables sobre el campo κ. Entonces E es una extensión simple de κ. D´. Si κ es un campo finito, entonces el teorema vale siempre, aún sin la condición de separabilidad, ya que entonces E es finito y es una extensión simple de su campo primo κ p , cuyo elemento primitivo es un generador del grupo c´ıclico E ∗ . Sea, entonces, κ un campo infinito. Como κ(β, α1 , . . . , αn ) = κ(β, α1 , . . . , αn−1 )(αn ), basta mostrar el teorema para el caso n = 1. Sea entonces n = 1, α := α1 y P ∈ κ[X] su polinomio minimal sobre κ. De forma análoga, sea m X G := aµ X µ µ=0

el polinomio minimal de β sobre κ. Trataremos de encontrar un elemento a ∈ κ, tal que nuestro elemento primitivo sea de la forma ξ := aα + β, lo cual se logra si podemos escoger a de forma tal, que aα ∈ κ(ξ), pues entonces también α ∈ κ(ξ) y β = ξ − aα ∈ κ(ξ) y por consiguiente κ(β, α) = κ(ξ). Vamos a ver que para lograr esto, es suficiente escoger a ∈ κ, tal que (X −α) sea un máximo común divisor de P y del polinomio H := G(ξ − aX), en E[X], donde E es una extensión de κ. En efecto, si (X−α) es un máximo común divisor de P y H en E[X], entonces, por corolario 11.10, existe un elemento e ∈ E ∗ , tal que e(X − α) es un máximo común divisor de P, H en κ(ξ)[X], por lo que (eX − eα) ∈ κ(ξ)[X] y por consiguiente e, eα, α ∈ κ(ξ). Sea, entonces, E el campo de descomposición de PG sobre K y b1 , . . . , bl , c1 , . . . , cm las ra´ıces en E de P y G respectivamente y escogidas de forma tal,que b1 = α y c1 = β. Vamos a mostrar que si excogemos a ∈ κ de forma tal, que ξ = abλ , cµ , ∀ λ = 2, . . . , l, µ = 1, . . . , m, entonces a satisface lo deseado. Esta escogencia es posible, ya que el conjunto de cµ − β es finito, mientras que κ posee elementos aλµ , tales que ξ − aλµ = cµ , es decir aλµ = α − bλ infinitos elementos. En efecto, bajo estas condiciones Hα = G(ξ − aα) = G(β) = 0, por lo que α es una ra´ız común de P y de H en K, y es la u´ nica, ya que, para λ > 2, H(bλ ) = G(ξ − abλ ) , 0, pues por la escogencia de a, ξ − abλ , cµ , ∀ µ = 1, . . . , m. Entonces un máximo común divisor de P, H en E[X], es de la forma (X − α)q , q > 1. Como P es irreducible y separable sobre κ, por teorema 11.47, α es una ra´ız simple de P y por consiguiente q = 1. De la definición de campo perfecto y del teorema 12.39, se obtiene de forma inmediata el siguiente C 12.40. Si κ es un campo perfecto, entonces toda extensión finita sobre κ es simple. En particular, toda extensión finita sobre un campo de caracter´ıstica 0 es simple. 12.1.11.


1. Si K κ


274

es una extensión y α ∈ K es un elemento algebraico sobre κ, mostrar que las siguientes condiciones son equivalentes: a) α es separable sobre κ. b) α es ra´ız simple de su polinomio minimal P. c) P0 (α) , 0. En particular si κ es un campo perfecto, entonces α es separable Ssi α es algebraico. Entonces en un campo de caracter´ıstica 0 el concepto de separabilidad coincide con el de algebraico. 2. Completar la demostración del corolario 12.40. 3. Si E es un campo intermedio de la extensión K κ y α ∈ K separable sobre κ, mostrar que entonces α es separable sobre E. (Ayuda: usar el hecho que el polinomio minimal de α sobre E divide al polinomio minimal de α sobre κ). 12.1.12. Separabilidad en Campos de Caracter´ıstica p , 0. Como en todo campo de caracter´ıstica 0 el concepto de separabilidad coincide con el de algebraico, procede analizar aqu´ı el caso en que κ es un campo de caracter´ıstica p , 0. T 12.41. Si (12.22)

K κ

es una extensión sobre un campo κ de caracter´ıstica p , 0, entonces para todo elemento e algebraico α ∈ K, existe e ∈ N, tal que α p es separable sobre κ. D´. Si α ∈ K es separable sobre κ, entonces e = 0. Supongamos que α no e sea separable sobre κ, entonces su polinomio minimal P ∈ κ[X] es un polinomio en X p , e para algún e ∈ N y existe un polinomio G ∈ κ[Y], separable sobre κ, tal que P = G(X p ). e Por consiguiente α p es separable sobre κ. Decimos que un elemento α ∈ K, donde K es una extensión del campo κ es inseparable e ´ puro, sobre κ, si existe e ∈ N, tal que α p ∈ κ. Este es el caso cuando α es inseparable y el e grado reducido del polinomio minimal P de α sobre κ es 1. Es decir que P = X p − a, a ∈ κ. El siguiente teorema nos dice que esta propiedad caracteriza a los elementos inseparables puros. T 12.42. Sea κ un campo de caracter´ıstica p , 0. Si a ∈ κ es tal, que no es e p-potencia de ningún elemento de κ, entonces P := X p − a es irreducible en κ[X], para cualquier e ∈ N. e

D´. Sea α una ra´ız de P en alguna extensión K de κ, entonces α p = a e y, por teorema 11.49, P = (X − α) p . Si G es un divisor irreducible y mónico de P en m κ[X], vamos a mostrar que G = P. En efecto supongamos que G = (X − α) p , donde m m m m e−m e m ∈ N, 0 6 m 6 e, entonces G = X p −α p ∈ κ[X], entonces α p ∈ κ y (α p ) p = α p = a, entonces m = e, pues de lo contrario a ser´ıa una pe−m -potencia de un elemento de κ, lo cual no puede ser, por la hipótesis sobre a. Por lo tanto grad G = grad P y P = G. Por consiguiente P es irreducible en κ[X].


275

Como consecuencia del teorema 12.42, se tiene el siguiente C 12.43. Si el elemento α ∈ K, donde K κ es una extensión del campo κ, de caracter´ıstica p , 0, es inseparable puro sobre κ, entone e ces el polinomo minimal de α sobre κ es X p − α p , donde e es el menor número natural, pe tal que α ∈ κ. D´. El caso e = 0 es trivial, ya que si α ∈ κ, entonces X −α es el polinomio e e minimal. Sea entonces e > 0 y a := α p y consideremos el polinomio P := X p −a. Entonces por el teorema 12.42, P es irreducible en κ[X] si a no es p-potencia de algún elemento en e e−1 κ. Supongamos que existe b ∈ κ, tal que b p = a, entonces b p = a = α p = (α p ) p , lo que e−1 implicar´ıa que b = α p , ya que la aplicación x 7→ x p es inyectiva en E. De aqu´ı resultar´ıa pe−1 que α ∈ κ, en contradicción a la minimalidad de e. Por lo tanto P es irreducible y es el polinomio minimal de α en κ. El concepto de separable no es contradictorio con el de inseparable puro, como nos lo dice el siguiente ejercicio: E 1. Mostrar que α ∈ K, donde K κ es una extensión sobre el campo κ de caracter´ıstica p , 0 es separable e inseparable puro, Ssi α ∈ κ. Cabe preguntarse ¿Qué relación existe entre una extensión inseparable pura y elemento inseparable puro? La respuesta nos la da el siguiente T 12.44. Una extensión (12.23)

K κ

es inseparable pura, Ssi cada elemento de K es inseparable puro sobre κ. D´. Supongamos que la extensión (12.23), es inseparable pura sobre κ y e α ∈ K. Entonces existe, por teorema 12.41, e ∈ N, tal que α p es separable, y, por hipótesis e de inseparabilidad pura α p ∈ κ. Por lo tanto α es inseparable puro. Por otra parte, si cada elemento de K es inseparable puro, entonces los elementos de K \ κ son todos inseparables y por consiguiente la extensión (12.23), es inseparable pura. C 12.45. Si K κ es una extensión finita, inseparable pura, sobre el campo κ de caracter´ıstica p , 0, entonces [K : κ] es una potencia de p.


276

D´. Si α ∈ K es inseparable puro, y K = κ(α), entonces su polinomio minie mal es de la forma P = X p −a y [κ(α) : κ] = pe . Supongamos ahora que K = κ(α1 , . . . , αn ). Entonces para cada ν, 1 6 ν 6 n, el elemento αν es inseparable puro sobre κ(α1 , . . . , αν−1 ) y por consiguiente la extensión κ(α1 , . . . , αν ) es inseparable pura sobre κ(α1 , . . . , αν−1 ). Entonces las extensiones κ(α1 )

κ(α1 , α2 )

κ

κ(α1 )

κ(α1 , . . . , αn )

...

κ(α1 , . . . , αn−1 )

son todas extensiones inseparables puras y su grado es respectivamente una potencia de p, en cada caso. Por lo tanto [K : κ] = [κ(α1 , . . . , αn ) : κ] es una potencia de p. Dado un campo cualquiera K de caracter´ıstica p , 0, denotamos por K p al conjunto K p := {x p | x ∈ K}. Es decir que K p es la imagen de K bajo el homomorfismo de campos ϕ : K → K, tal que ϕ(x) := x , ∀ x ∈ K. p

T 12.46. Si K κ es una extensión separable sobre el campo κ de caracter´ıstica p , 0, entonces κ(K p ) = K. Por otra parte, si κ(K p ) = K y [K : κ] < ∞, entonces K es separable sobre κ. D´. Si K es separable sobre κ, y α ∈ K, entonces, como α p ∈ K p , α es inseparable puro sobre κ(E p ). Por otra parte, si α es separable sobre κ, lo es también, por ejercicio 12.1.11, 3, sobre el campo intermedio κ(K p ) y, por el ejercicio 1, α ∈ κ(K p ). Por consiguiente κ(K p ) = K. Para mostrar la segunda parte utilizaremos el hecho que, si α1 , . . . , αn son κ-linealmente independientes, también lo son α1p , . . . , αnp . (Ver ejercicio 2 abajo). Supongamos que α ∈ K no sea separable sobre κ. Entonces su polinomio minimal P sobre κ no es separable y es un polinomio en X p , de la forma m X P := aµ X µp , m > 1, grad P = mp. µ=0

Como 0 = P(α) =

m X

aµ αµp ,

µ=0

resulta, entonces, que los elementos 1, α, α p , . . . , αmp son κ-linealmente dependientes, lo cual es una contradicción al hecho que los elementos 1, α, . . . , αm , son κ-linealmente independientes, ya que m < grad P = [κ(α) : κ]. Por lo tanto α es separable sobre κ. E 2. Probar que si κ es un campo de caracter´ıstica p , 0 y K una extensión finita de κ, tal que κ(K p ) = K, entonces α1 , . . . , αn ∈ K κ-linealmente independientes ⇒ α1p , . . . , αmp κ-linealmente independiente, donde 1 6 m 6 n := [K : κ].


277

(Ayuda: Si m < n completar α1 , . . . , αm a una base α1 , . . . , αn . Notar que α1p , . . . , αnp generan κ[K p ] = κ(K p ) = K y que todo elemento de K es combinación lineal de los elementos α1p , . . . , αnp ). T 12.47. Sea K κ una extensión del campo κ de caracter´ıstica p , 0. Las siguientes condiciones son equivalentes: a) α ∈ K es separable sobre κ. b) κ(α) = κ(α p ). c) κ(α) es separable sobre κ. D´. a) ⇒ b) Si α es separable sobre κ, entonces también sobre κ(α p ). Por otra parte α es inseparable puro sobre κ(α p ), por consiguiente α ∈ κ(α p ) y κ(α p ) = κ(α). b) ⇒ c) Sea E := κ(α). Por b) E = κ(α p ) = κ(E p ), además [E : κ] = grad Pα , donde Pα < ∞ es el polinomio minimal de α sobre κ. Entonces, por teorema 12.46, E es separable sobre κ. c) ⇒ a) Obvio de la definición. T 12.48. Sea E un campo intermedio de la extensión K κ sobre el campo κ de caracter´ıstica p , 0. E separable sobre κ. Si α ∈ K es separable sobre E, entonces α es separable sobre κ. D´. Sea P :=

n X

aν X ν

ν=0

el polinomio minimal de α sobre E y E0 := κ(a0 , . . . , an ). Entonces, como E0 ⊆ E, E0 es separable sobre κ. Sea E1 := E0 (α). Como α separable sobre E0 , entonces E1 = E0 (E1p ). Como E0 separable sobre κ, se tiene E0 = κ(E0p ). Entonces E1 = E0 (E1p ) = κ(E0p )(E1p ) = κ(E0p ∪ E1p ) = κ(E1p ). Como [E1 : κ] < ∞, resulta, entonces, que α es separable sobre κ. Como consecuencia inmediata del teorema 12.48 se obtiene el siguiente C 12.49. Si K

E

E

κ

son extensiones separables, entonces K κ es separable.


278

12.1.13.

Envolvente Separable y Grado de Separabilidad. Dada una extensión K κ

al conjunto H s (K : κ) := {x ∈ K | x separable sobre κ} lo llamamos la envolvente separable de κ en K. Las propiedades esenciales de la envolvente separable las resumimos en el siguiente teorema, cuya sencilla demostración dejamos al lector, como un ejercicio. T 12.50. Sea (12.24)

K κ

una extensión del campo κ. Entonces a) H s (K : κ) es un campo intermedio de la extensión (12.24). b) H s (K : H s (K : κ)) = H s (K : κ) c) H s (K : κ) ⊆ Ha (K : κ) y Ha (K : κ) es una extensión inseparable pura sobre κ. Como consecuencia del teorema 12.50, se tiene la siguiente cadena de inclusiones (12.25)

κ ⊆ H s (K : κ) ⊆ Ha (K : κ) ⊆ K.

A [H s (K : κ) : κ] lo llamamos el grado de separabilidad de K sobre κ, al cual denotaremos por [K : κ] s . De forma análoga a [K : H s (K : κ)] lo llamamos el grado de inseparabilidad de K sobre κ y lo denotaremos por [K : κ]i . Si la extensión K κ es finita, obviamente vale que [K : κ] = [K : κ] s [K : κ]i . Si κ es de caracter´ıstica 0, entonces H s (K : κ) = Ha (K : κ). T 12.51. Si (12.26)

K κ

es una extensión algebraica simple, con elemento primitivo α, del campo κ de caracter´ıstica p , 0, entonces: a) [K : κ] s = m, donde m es el grado reducido del polinomio minimal P de α sobre κ b) [K : κ]i = pe , si grad P = mpe . D´. Como α es elemento primitivo de la extensión (12.26), su polinomio e minimal es de la forma P = G(X p ), donde G ∈ κ[Y] es un polinomio mónico, separable e e irreducible en κ[Y]. Si β := α p , entonces G es el polinomio minimal de β sobre κ y gradred P = grad G = [κ(β) : κ]. Basta mostrar que H s (K : κ) = κ(β). Como G es separable sobre κ, entonces κ(β) ⊆ H s (K : κ). Para mostrar la otra inclusión, basta mostrar que K es


279

inseparable puro sobre κ(β). Sea γ ∈ K = κ(α), entonces existen elementos a0 , . . . , an ∈ κ, tales que γ :=

n X

a ν αν ,

n := grad P − 1,

ν=0

y e

γ p :=

n X

e

aνp ανp = e

n X

e

aνp βν ∈ κ(β).

ν=0

ν=0

Entonces de [E : κ] = grad P = grad G · pe = [E : κ] s [E : κ]i , resulta lo deseado.

T 12.52. Una extensión finita (12.27)

K κ

sobre un campo κ de caracter´ıstica p , 0 es campo de descomposición de un polinomio separable en κ[X], Ssi K es normal y separable sobre κ. D´. Si K es campo de descomposición de un polinomio separable P sobre κ, entonces la extensión (12.27) es normal sobre κ. Si α1 , . . . , αn son las ra´ıces de P , K = κ(α1 , . . . , αn ) y el polinomio minimal Pν de cada αν , ν = 1, . . . , n, como factor irreducible de P es separable sobre κ. Por lo tanto la extensión (12.27), es también separable sobre κ. Por otra parte, si la extensión (12.27) es normal y separable sobre κ, entonces K es campo de descomposición de un polinomio P ∈ κ[X]. Si G es un factor irreducible de P en κ[X], entonces también G se descompone en factores lineales en K[X] y G es el polinomio minimal de un elemento separable sobre κ. Por lo tanto G es separable. Como en caracter´ıstica 0, H s (K : κ) = Ha (K : κ), el grado de separabilidad [K : κ] s , coincide con el grado algebraico [K : κ]a de la extensión, el resultado que demostraremos a continuación y que constituye un pilar fundamental para la teor´ıa de Galois, es válido para cualquier caracter´ıstica. T 12.53. Si E es un campo intermedio de la extensión normal y finita K κ entonces existen tantos κ-homomorfismos distintos de E en K, como [E : κ] s . D´. Sean E s := H s (E : κ], M := Homκ (E, K) y M s := Homκ (E s , E). Sea τ : M → Ms la aplicación definida por τ(ϕ) := ϕ|E s . τ es inyectiva: Si car κ = 0, entonces E s = E y no hay nada que mostrar. Sea entonces e car κ = p , 0, ϕ ∈ M y α ∈ E. Entonces existe e ∈ N, tal que β := α p es separable sobre κ, e e es decir β ∈ E s . De ϕ(β) = ϕ(α p ) = (ϕ(α)) p , resulta que ϕ(α) es ra´ız del polinomio P := e e e e X p −ϕ(β) = X p −(ϕ(α)) p = (X−ϕ(α)) p ∈ K[X]. Si τ no fuera inyectiva, entonces existir´ıa ψ ∈ M, ψ , ϕ, tal que ϕ|E s = ψ|E s . Tomando α ∈ E, tal que ψ(α) , ϕ(α), tendr´ıamos e que ψ(α) ser´ıa también ra´ız de (X − ϕ(α)) p , lo cual no es posible. Por consiguiente τ es

280


inyectiva. τ es sobreyectiva: Sea ϕ ∈ M s , entonces, por teorema 12.36, ϕ posee una extensión ϕˆ : E → K y τ(ϕ) ˆ = ϕ. Entonces, por la biyectividad de τ, basta mostrar el teorema para E = E s . Entonces E es una extensión finita y separable, y, por teorema 12.39, E es una extensión simple y existe un elemento primitivo γ ∈ E, tal que E = κ(γ) y tal que su polinomio minimal P es separable sobre κ. Como K es normal sobre κ y P posee una ra´ız en K, entonces P posee todas sus ra´ıces en K. Sean e´ stas γ = γ1 , . . . , γm . Para cada 1 6 µ 6 m := grad P, existe un κ-homomorfismo ϕµ : κ(γ) → κ(γµ ), tal que ϕ(γ) := γµ . Por lo que M contiene, como m´ınimo, a estos m homomorfismos. Si ψ ∈ M es otro κ-homomorfismo, entonces ψ(γ) es ra´ız de P, es decir ψ(γ) = γµ , para algún µ, 1 6 µ 6 m, por lo que ψ = ϕµ . Por lo tanto M posee exactamente m = grad P = [κ(γ) : κ] = [E : κ] = [E : κ] s

elementos. 12.2.

Teor´ıa de Galois

La teor´ıa de Galois estudia la solubilidad de una ecuación polinómica, por medio de radicaciones sucesivas, a partir del estudio de un cierto grupo de permutaciones de sus ra´ıces, llamado el grupo de Galois. La solubilidad de la ecuación polinómica, como se demuestra en dicha teor´ıa, está ´ıntimamente relacionada con la solubilidad de su grupo de Galois correspondiente. El trabajo de Galois no fue reconocido sino hasta después de su muerte prematura, a ra´ız de un duelo. En su lecho de muerte encarga a su hermano Alfredo y a su amigo matemático Auguste Chevallier solicitar, públicamente, la opinión de Gauss y de Jacobi sobre su trabajo, ya que durante su vida nunca logró que Augustin Cauchy se interesara por su trabajo. Chevallier se encarga de recopilar su obra y la presenta al matemático francés Joseph Liouville, quien reconoce la importancia de su trabajo y presenta sus principales resultados ante la Academia de Ciencias de Francia y los publica en la revista Journal de Mathématiques pures et Appliquées, que e´ l dirig´ıa.

´ F 12.1. Evariste Galois Abel hab´ıa demostrado la imposibilidad de solucionar, por medio de radicación, la ecuación polinómica general de quinto grado. Sin embargo con la teor´ıa de Galois fue posible demostrar que la ecuación polinómica general de grado n > 4 no es soluble por dicho método e incluso determinar en qué casos particulares s´ı lo es.

12.2. TEORÍA DE GALOIS

281

12.2.1. Grupo de Galois de una Extensión. Nuestro objetivo es asociar a una extensión de campos K κ un grupo y estudiar las propiedades de la extensión en función de las propiedades del grupo asociado. Dada una extensión K κ se construirá una biyección entre un subconjunto del conjunto de subcampos de K y el conjunto de subgrupos finitos de Autκ K. Si E es un subcampo de K, a la extensión K E se le asocia el grupo G(K : E) := AutE K, llamado el grupo de Galois de la extensión K κ Si K es un campo y H un subgrupo de Aut K, definimos Fix H := {x ∈ K | ϕ(x) = x, ∀ ϕ ∈ H} Fix H es un subcampo de K (ejercicio), llamado el campo fijo del subgrupo H. Sean T (K) := {E ⊆ K | E subcampo de K},

U (K) := {H ⊆ Aut K | H subgrupo de Aut K}

y las aplicaciones Φ : T (K) → U (K),

Ψ : U (K) → T (K)

definidas por Φ(E) := G(K : E) y Ψ(H) := Fix H, cuyas propiedades esenciales se resumen en el siguiente teorema, cuya demostración dejamos al lector, como un ejercicio: T 12.54. Dados E, E1 , E2 ∈ T (K) y H, H1 , H2 ∈ U (K). Entonces vale: 1. E1 ⊆ E2 ⇒ Φ(E2 ) ⊆ Φ(E1 ). 2. H1 ⊆ H2 ⇒ Ψ(H2 ) ⊆ Ψ(H1 ). 3. (Ψ ◦ Φ)(E) = Fix G(K : E) ⊇ E y (Φ ◦ Ψ)(H) = G(K : Fix H) ⊇ H. T 12.55. Sea K κ una extensión finita, entonces ◦(G(K : κ)) 6 [K : κ] s 6 [K : κ]. Si K es normal sobre κ, entonces ◦(G(K : κ)) = [K : κ].


282

D´. Como K es una extensión finita sobre κ, entonces, por teorema 12.35, existe una extensión K˜ de K, tal que la extensión K˜ κ es normal y finita y, por teorema 12.53, el número de κ-homomorfismos distintos de K en K˜ es igual a [K : κ] s . Entonces como todo elemento de G(K : κ) puede ser visto como un ˜ resulta la primera afirmación. κ-homomorfismo de K en K, Respecto de la segunda: Si K es normal sobre κ, podemos tomar K˜ = K y todo κ-homomorfismo de K en Kes un κ-automorfismo. Por lo tanto ◦(G(K : κ)) = [K : κ] s . Consideremos ahora los siguientes subconjuntos: T0 (K) := {E ∈ T (K) | [K : E] < ∞},

U0 (K) := {H ∈ U (K) | ◦(H) < ∞}.

T 12.56 (Teorema de Artin). Sean K un campo y H ∈ U0 (K). Entonces la extensión K Fix H es normal y separable. Además [K : Fix H] = ◦(H). Es decir que Ψ[U0 (K)] ⊆ T0 (K). D´. Desarrollaremos, para su mejor comprensión, la demostración en las siguientes dos partes: a) x ∈ K separable sobre Fix H, ∀ x ∈ K. [(Fix H)(x) : Fix H] 6 ◦(H) y la extensión (12.28)

K Fix H

es normal. b) [K : Fix H] 6 ◦(H) y [K : Fix H] > ◦(H). Procedamos, pues a la demostración: a) Dado x ∈ K, definimos el conjunto M := {ϕ(x) | ϕ ∈ H}. Como H es finito, M lo es también y denotemos sus elementos por x1 , . . . , xn , donde n 6 ◦(H). x ∈ M, ya que 1K ∈ H. Para cualquier ψ ∈ H, ψ| M es una permutación sobre M. En efecto, ψ es inyectiva, ya que ψ es un automorfismo sobre K. Dado xν ∈ M, ν = 1, . . . , n, existe un ϕν ∈ H, tal que xν = ϕν (x). Entonces ψ(xν ) = ψ(ϕν (x)) = (ψ ◦ ϕν )(x) ∈ M, ya que (ψ ◦ ϕ) ∈ H. Es decir que ψ| M es una aplicación inyectiva ψ| M : M → M. ψ| M es sobreyectiva: Dado xν ∈ M, como ψ ∈ H ⇒ ψ−1 ∈ H y ψ−1 (xν ) = (ψ−1 ◦ ϕν )(x) ∈ M, entonces xν = ψ(ψ−1 (xν )). Por lo tanto ψ| M es sobreyectiva. Consideremos ahora el polinomio n n Y X P := (X − xν ) = aν X ν ∈ K[X]. ν=1

ν=0


283

Entonces P es separable en K[X], pues todas sus ra´ıces son simples. x es ra´ız de P y P se transforma por ϕ∗ inducido por un ϕ ∈ H en el polinomio n n n Y X Y X aν X ν . (X − ϕ(xν )) = (X − y) = ϕ(aν )X ν = ϕ∗ (P) = ν=0

ν=1

y∈M

ν=0

Entonces ϕ(aν ) = aν , aν ∈ Fix H, ∀ ν = 1, . . . , n y P ∈ (Fix H)[X]. Como P ∈ (Fix H)[X] separable, entonces x separable sobre Fix H, ya que es ra´ız de un polinomio en (Fix H)[X] separable. Entonces K resulta ser la unión de campos de descomposición de polinomios sobre Fix H, por lo que, por teorema 12.38, la extensión (12.28) es normal. Si P x es el polinomio minimal de x en (Fix H)[X], entonces P x | P y [(Fix H)(x) : Fix H] = grad P x 6 grad P = n 6 ◦(H). b) Supongamos que [K : Fix H] > ◦(H), entonces, por adjunción de elementos, podemos formar un campo intermedio E ⊆ K, tal que E separable y finito sobre Fix H y [E : Fix H] > ◦(H). Entonces por teorema 12.39, E es una extensión simple y existe y ∈ E, tal que E = (Fix H)(y), entonces [(Fix H)(y) : Fix H] > ◦(H), en contradicción a lo obtenido en a). Por lo tanto debe valer [K : Fix H] 6 ◦(H). Por otra parte H ⊆ G(K : Fix H) y ◦(H) 6 ◦(G(K : Fix H)) 6 [K : Fix H]. Por lo tanto [K : Fix H] = ◦(H). Decimos que una extensión K E es una extensión de Galois, si E ∈ Im Ψ. Es decir, si existe un subgrupo H ⊆ Aut K, tal que E = Fix H. T 12.57. Las siguientes condiciones son equivalentes para una extensión (12.29)

K E

a) La extensión (12.29) es una extensión de Galois b) (Ψ ◦ Φ)(E) = Fix G(K : E) = E. c) ∀ x ∈ K \ E, ∃ ϕ ∈ G(K : E), tal que ϕ(x) , x. D´. a) ⇒ b) Como, por hipótesis, la extensión (12.29) es de Galois, existe H ∈ U (K), tal que E = Ψ(H). Del teorema 12.54 tenemos Φ(E) = Φ(Ψ(H)) ⊇ H y Ψ(Φ(E)) ⊆ Ψ(H) = E. Por otra parte vale E ⊆ Ψ(Φ(E)). b) ⇒ a) Por definición b) ⇒ c) Obvio. c) ⇒ b) Si c) vale, entonces Fix G(K : E) ⊆ E, pero E ⊆ Fix G(K : E), por consiguiente Ψ(Φ(E)) = E.


284

Para el caso de extensiones finitas, las extensiones de Galois se pueden caracterizar de la siguiente forma: T 12.58. Las siguinetes condiciones son equivalentes en una extensión finita (12.30)

K E

a) La extensión (12.30) es de Galois. b) La extensión (12.30) es normal y separable c) ◦(G(K : E)) = [K : E]. D´. a) ⇒ b) Como la extensión (12.30) es finita, ◦(G(K : E)) = [K : E] s 6 [K : E] < ∞, por lo que G(K : E) ∈ U0 (K). Como, por hipótesis, la extensión (12.30) es de Galois, E = Fix G(K : E) y por el teorema de Artin (12.30) es normal y separable. b) ⇒ c) Como la extensión (12.30) es normal y finita, vale que ◦(G(K : E)) = [K : E] s = [K : E], ya que (12.30) es separable. c) ⇒ a) E ⊆ Fix G(K : E) ⊆ K, entonces [K : E] = [K : Fix G(K : E][Fix G(K : E] : E] = ◦(G(K : E) = [K : Fix G(K : E)] (por Artin). Entonces [Fix G(K : E) : E] = 1, lo que implica que Fix G(K : E) = E. Del teorema de Artin y del teorema 12.58 podemos deducir los siguientes resultados: Si H ∈ U0 , entonces, por Artin, la extensión K Fix H es normal, separable y finita, ya que [K : Fix H] = ◦(H) < ∞, y por consiguiente de Galois. Si T∗ (K) := {E ∈ T0 (K) | K es de Galois sobre E}, entonces Ψ[U0 (K)] ⊆ T∗ (K). Por otra parte si E ∈ T∗ (K), entonces E ∈ Ψ[U0 (K)], por lo que T∗ (K) = Ψ[U0 (K)]. Además se tiene que Φ(E) = G(K : E) ∈ U0 (K). Esto nos lleva al siguiente teorema, que es considerado el teorema principal de Galois: T 12.59 (Teorema Principal de Galois). Sea K un campo. Entonces las aplicaciones Φ|T∗ (K) : T∗ (K) → U0 (K) y Ψ|U0 (K) : U0 (K) → T∗ (K) son biyectivas e inversas la una de la otra. D´. Debemos mostar que : a) Sobre T∗ (K), Ψ ◦ Φ = 1T∗ (K) . b) Sobre U0 (K), Φ ◦ Ψ = 1U0 (K) .


285

a) Ya fue mostrado, pues si la extensión K E es de Galois, Ψ(Φ(E)) = E, por consiguiente, para todo E ∈ T∗ (K), Ψ es la inversa de Φ|T∗ (K) . b) Sea H ∈ U0 (K), entonces H ⊆ Φ(Ψ(H) = G(K : Fix H). Si mostramos que ◦(G(K : Fix H)) 6 ◦(H), estamos listos. Por el teorema de Artin, ◦(H) = [K : Fix H] > [E : Fix H] s = ◦(G(K : Fix H)). Lo que muestra el teorema. Del teorema principal de Galois resulta, de forma inmediata, el siguiente C 12.60. Sean E1 , E2 ∈ T∗ (K). Entonces E1 ⊆ E2 ,

Ssi

G(K : E2 ) ⊆ G(K : E1 ).

Si un campo F es obtenido de un campo E ∈ T∗ (K), como imagen de un automorfismo ϕ ∈ Aut K, la relación que existe entre sus grupos de Galois correspondientes, nos lo da el siguiente T 12.61. Sean E ∈ T∗ (K) y ϕ ∈ Aut K. Entonces ϕ[E] ∈ T∗ (K) y G(K : ϕ[E]) = ϕ G(K : E)ϕ−1 . Es decir los grupos de Galois de E y ϕ[E] son conjugados respecto de ϕ. D´. ϕ[E] = ϕ[Fix G(K : E)] = {ϕ(x) | x ∈ K y ψ(x) = x, ∀ ψ ∈ G(K : E)} = {y | y ∈ K y (ϕ ◦ ψ ◦ ϕ−1 )(y) = y, ∀ ψ ∈ G(K : E)} = Fix ϕ G(K : E)ϕ−1 . Entonces ϕ[E] ∈ T∗ (K). Como ϕ G((K : E)ϕ−1 ∈ U0 (K), entonces ϕ[E] = Fix ϕ G(K : E)ϕ−1 = Ψ(ϕ G(K : E)ϕ−1 ) ∈ T∗ (K) y G(K : ϕ[E]) = Φ(ϕ[E]) = ϕ G(K : E)ϕ−1 . T 12.62. Sean E1 , E2 ∈ T∗ (K) y ϕ ∈ Aut K. Entonces vale: a) ϕ[E1 ] = E2 , Ssi ϕ G(K : E1 )ϕ−1 = G(K : E2 ). b) ϕ[E1 ] ⊆ E2 , Ssi G(K : ϕ[E2 ]) ⊆ G(K : E1 ). D´. a) E1 ∈ T∗ (K) implica que ϕ[E1 ] ∈ T∗ (K). Como Φ biyectiva: Φ(E1 ) = E2 , Ssi G(K : ϕ[E1 ]) = G(K : E2 ) = ϕ G(K : E1 )ϕ−1 . b) ϕ[E1 ] ⊆ E2 , Ssi Φ(E2 ) ⊆ Φ(ϕ[E1 ]), Ssi G(K : E2 ) ⊆ G(K : ϕ[E1 ]) = ϕ G(K : E1 )ϕ−1 .


286

Los resultados del teorema principal de Galois se pueden relativizar a campos intermedios. Si E es un campo intermedio de la extensión K κ entonces G(K : E) ⊆ G(K : κ). Por otra parte, si H ⊆ G(K : κ) es un subgrupo, Fix H es un campo intermedio de la extensión K κ Entonces para los subconjuntos T (K : κ) := {E ⊆ K | E es un campo intermedio de la extensión K : κ} ⊆ T (K) y U (K : κ) := {H ⊆ G(K : κ) | H subgrupo } ⊆ U (K) Φ[T (K : κ)] ⊆ U (K : κ) y Ψ[U (K : κ)] ⊆ T (K : κ) y restringidas a T∗ (K) y a U0 (K), se obtiene el siguiente T 12.63. Dada la extensión K κ entonces las aplicaciones Φ|T∗ (K)∩T (K:κ) : T∗ (K) ∩ T (K : κ) → U0 (K) ∩ U (K : κ) y Ψ|U0 (K)∩U (K:κ) : U0 (K) ∩ U (K : κ) → T (K : κ) ∩ T∗ (K) son biyectivas e inversas la una de la otra. En el caso de una extensión finita de Galois se obtiene e siguiente T 12.64. Si E es un campo intermedio de la extensión finita de Galois (12.31)

K κ

entonces la extensión (12.32)

K E

es también una extensión de Galois. D´. La extensión (12.31) es, por ser de Galois y finita, normal y separable, entonces también la extensión (12.32) es finita, normal y separable y por lo tanto de Galois. Como consecuencia inmediata a los teorema 12.63 y 12.64, se obtiene el siguiente


287

C 12.65. Si K κ es una extensión finita de Galois, entonces las restricciones Φ|T (K:κ) : T (K : κ) → U (K : κ) y

Ψ|U (K:κ) : U (K : κ) → T (K : κ)

son biyectivas e inversas la una de la otra. Esto quiere decir que en una extensión finita de Galois, existe una correspondencia biun´ıvoca entre el conjunto de todos los campos intermedios y el conjunto de todos los subgrupos de G(K : κ). Entonces si se tiene una cadena de campos intermedios E0 := κ ⊆ E1 ⊆ · · · ⊆ En := K se tiene también una cadena de subgrupos Gn := e ⊆ G1 ⊆ · · · ⊆ G0 , donde Gν := G(K : Eν ), ν = 0, . . . , n y e representa al subgrupo trivial de Aut K. T 12.66. Sea E un campo intermedio de la extensión finita de Galois K κ Entonces vale: a) La extensión E : κ es de Galois, Ssi G(K : E) es subgrupo normal de G(K : κ) b) Si la extensión E : κ es de Galois, entonces existe un isomorfismo natural ψ : G(E : κ) → G(K : κ)/ G(K : E) D´. a) Por el teorema 12.32, de normalidad finita, la extensión E : κ es normal, Ssi para todo κ-automorfismo ϕ ∈ Autκ K, ϕ[E] ⊆ E. Como [K : E] < ∞, ϕ[E] ⊆ E es equivalente a ϕ[E] = E, ya que ϕ es, entonces, κ-lineal e inyectiva. O sea que E : κ es normal, Ssi para todo ϕ ∈ G(K : κ) vale: G(K : E) = G(K : ϕ[E]) = ϕ G(K : E)ϕ−1 , Ssi G(K : E) es normal en G(E : κ). b) Si la extensión E κ es de Galois, entonces es normal y ϕ[E] = E, por lo que ϕ|E ∈ G(E : κ). Dados ϕ, ψ ∈ G(K : κ), (ϕ ◦ ψ)|E = ϕ|E ◦ ψ|E , por lo que la restricción induce un homomorfismo η : G(K : κ) → G(E : κ), definido por η(ϕ) := ϕ|E , el cual por teorema 12.36, es sobreyectivo de núcleo G(K : E), y, por el teorema de isomorf´ıa 4.35, η induce un isomorfismo ηˆ : G(K : κ)/ G(K : E) → G(E : κ)


288

que hace conmutar al diagrama η

/ G(E : κ) 6 m m ηˆ mmm m π mmm mmm G(K : κ)/ G(K : E) G(K : κ)

Entonces ψ := ηˆ −1 . O´. Si conocemos G(K : E) y G(E : κ), entonces se puede calcular G(K : κ) de la siguiente forma: se extienden los elementos ϕ ∈ G(E : κ) a elementos ϕ˜ ∈ G(K : κ), entonces [ G(K : κ) = {ϕ˜ ◦ ψ | ϕ ∈ G(E : κ), ψ ∈ G(K : E)} = ϕ˜ G(K : E). ϕ∈G(E:κ)

(Si α ∈ G(K : κ), α está en la clase de α, ˜ donde α˜ es una extensión de α|E a todo K). T 12.67. Si K κ es una extensión finita y separable, entonces, existe una extensión K˜ de K, tal que K˜ κ es una extensión finita de Galois. D´. Sean α1 , . . . , αn ∈ K separables sobre κ, tales que E = κ(α1 , . . . , αn ). Para cada ν, ν = 1, . . . , n, sea Pν ∈ κ[X] el polinomio minimal de αν sobre κ y P := P1 · · · Pn . P es separable sobre κ, por ser producto de polinomios separables irreducibles. Si K˜ es el campo de descomposición de P sobre K, entonces K˜ es el campo de descomposición de P sobre κ. Entonces K˜ es finito, normal y separable y, por consiguiente, de Galois. O´. Si nos interesa encontrar los campos intermedios de una extensión finita y separable K κ entonces nos damos una extensión K˜ de K, tal que K˜ κ sea de Galois y los campos intermedios serán, entonces, aquellos campos E que corresponden a los subgrupos de G(K˜ : κ), que contienen a G(K˜ : K).


289

´ 12.2.2. Teorema Fundamental del Algebra. Como una aplicación de los resultados obtenidos en este cap´ıtulo, vamos a demostrar el famoso teorema de Gauss, conocido como el teorema fundamental del a´ lgebra. ´ T 12.68 (Teorema Fundamental del Algebra de Gauss). El campo de los números complejos C es algebraicamente cerrado y, por consiguiente, todo polinomio con coeficientes en C posee una ra´ız en C. La demostración del teorema fundamental la obtendremos como resultado de tres lemas, de los cuales el primero, el lema de Weierstrass, es una consecuencia inmediata del teorema del valor intermedio del cálculo diferencial e integral. L 12.69 (Weirstrass). Todo polinomio P ∈ R[X] de grado impar, posee, al menos, una ra´ız real D´. Ver teorema del valor intermedio del cálculo diferencial e integral. L 12.70. Si [E : R] es impar, para una extensión E de R, entonces E = R. D´. Como R es perfecto y E es algebraica sobre R, entonces E es separable sobre R y, por corolario 12.40, E es una extensión simple, por lo que existe un elemento primitivo α ∈ E, tal que E = R(α). Entonces el polinomio minimal P ∈ R[X] de α sobre R es de grado impar y, por el lema de Weierstrass, posee, al menos, una ra´ız en R. Entonces, por la irreducibilidad de P en R[X], P debe ser de grado 1. Por lo tanto E = R. L 12.71. Si [E : C] 6 2 para una extensión E de C, enonces E = C. O sea que [E : C] = 2 no puede ocurrir. D´. Si [E : C] 6 2, y α ∈ E es algebraico sobre C, entonces grad P 6 2, donde P es el polinomio minimal de α. Para mostrar que E = C basta mostrar que todo polinomio de la forma Q := X 2 + pX + q, donde p, q ∈ C, posee ra´ıces en C. Sin limitación de la generalidad podemos asumir que p = 0, ya que por medio de la transformación p p p X 7→ (X − ), se obtiene un polinomio Q0 = X 02 − q0 , donde X 0 := X + y q0 := q − . 2 2 4 En efecto, si p = 0, entonces Q = X 2 + q. Buscamos z ∈ C, tal que z2 + q = 0.

(12.33)

Dado q := a + bi ∈ C, y poniendo: z := x + iy, la ecuación (12.33) se transforma en la ecuación : (12.34)

(x2 − y2 ) + 2xyi + a + bi = 0,

la cual nos lleva al sistema de ecuaciones reales: (12.35)

x2 − y2 + a

=

0

(12.36)

2xy + b

=

0

de la ecuación (12.36) se obtiene −b , x,0 2x substituyendo en la ecuación (12.35) nos da la ecuación y=

(12.37)

4x4 − 4ax2 − b2 = 0,

la cual, por medio de la substitución u := x2 , se transforma en (12.38)

4u2 − 4au − b2 = 0,


290

cuyas soluciones vienen dadas por √ (12.39)

u1,2 =

a±

a2 + b2 2

Tanto u1 , como −u2 son reales positivos, por lo que existen números reales, c, d, tales que √ √ a + a2 + b2 −a + a2 + b2 2 2 c = , d = 2 2 de donde c2 − d2 = a,

4c2 d2 = b2 .

Escogiendo los signos de c, d, de forma tal, para que b = 2cd, entonces z := c + id es ra´ız de Q, ya que z2 = (c + id)2 = (c2 − d2 ) + 2cdi = a + ib = q. Entonces, como grad Q 6 2, Q se descompone en factores lineales en C[X].

Procedamos ahora a la demostración del teorema fundamental del a´ lgebra: D´. Vamos a mostrar que si E C es una extensión algebraica y finita de C, entonces E = C. Sin limitación de la generalidad, podemos asumir que E R es una extensión de Galois y que C es un campo intermedio. Entonces [E : R] = [E : C][C : R] = 2n+1 q, donde n ∈ N y q un número impar. Entonces ◦(G(E : R)) = [E : R] = 2n+1 q y por los teoremas de Sylow, existe un subgrupo H0 de G(E : R), tal que ◦(H2 ) = 2n+1 . Por el teorema de Artin, se tiene [E : Fix H0 ] = ◦(H0 ), por lo que [Fix H0 : R] = q, como q es impar, resulta, del lema 12.70, que Fix H0 = R y q = 1. Entonces, como [C : R] = 2 [E : R] = 2n+1 = 2[E : C]

y

[E : C] = 2n .

Supongamos que n > 1. Entonces G(E : C) posee un subgrupo H, tal que ◦(H) = 2n−1 = [E : Fix H] y resultar´ıa que [Fix H : C] = 2, lo cual, por lema 12.71, no es posible. Por lo tanto n = 0 y E = C.


291

12.2.3. Cálculo del Grupo de Galois. En general, calcular el grupo de Galois que corresponde a una determinada ecuación polinómica no es tarea sencilla. En esta subsección daremos algunas técnicas que nos permitirán, en casos sencillos, determinar el grupo de Galois. Si P es un polinomio separable sobre un campo κ, entonces por definición P := n 1 Gm · · · Gm n , donde, para cada ν, 1 6 ν 6 n, G ν es separable e irreducible en κ[X]. Si 1 lν := grad Gν y E P el campo de descomposición de P, entonces cada Gν se descompone en E p en lν ra´ıces distintas. Si Mν es el conjunto de ra´ıces de Gν y ϕ ∈ Autκ E P , entonces ϕ| Mν es una permutación sobre Mν . Si µ , ν, entonces Mν ∩ Mµ = ∅, ya que los Gν son primos relativos entre s´ı. Si M :=

m [

Mν ,

ν=1

entonces M es un conjunto de cardinalidad l :=

n X

lν

ν=1

y ϕ| M sigue siendo una permutación sobre M. Entonces, para cada ϕ ∈ Autκ E P , existe una permutación σϕ ∈ Sl , tal que ϕ(αλ ) = ασφ (λ ), (1 6 λ 6 l, y se tiene, entonces una aplicación Φ : G(E P : κ) → Sl tal que Φ(ϕ) := σϕ . Dados ϕ, ψ ∈ G(E P : κ), si Φ(ϕ) := σ y Φ(ψ) := τ, entonces (ϕ ◦ ψ)(αλ ) = ϕ(ατ(λ ) = ασ(τ(λ)) = α(σ◦τ)(λ) , es decir que Φ(ϕ ◦ ψ) = Φ(ϕ) ◦ Φ(τ). Entonces Φ es un homomorfismo de grupos. Φ es inyectiva, pues si Φ(ϕ)σ = τ = Φ(ψ), entonces ϕ, ψ coinciden sobre M y por consiguiente sobre E P = κ(M). Si m = grad P, entonces l 6 m y Sl ⊆ Sm y podemos considerar a Φ, como un homomorfismo Φ : G(E P : κ) → Sm . Lo arriba expuesto lo podemos resumir en el siguiente T 12.72. Si P ∈ κ[X] es un polinomio separable de grado m y E P su campo de descomposición sobre κ, entonces vale: a) Existe una inyección natural Φ : G(E P : κ) → Sm . b) [E P : κ] = ◦(G(E P : κ)) | m! = ◦(Sm ). En general G(E P : κ) no es isomorfo a todo el grupo de simetr´ıa Sm , ya que no todas las ra´ıces de P deben de ser distintas y si lo son, no necesariamente serán conjugadas. Como vimos anteriormente en el teorema 12.31, los κ-homomorfismos mapean ra´ıces conjugadas en ra´ıces conjugadas. El siguiente teorema nos será de gran utilidad para encontrar expl´ıcitamente un campo intermedio de una extensión finita y de Galois. T 12.73. Dada una extensión finita y de Galolis K κ


292

Si H := {ϕ1 , . . . , ϕn } es un subgrupo de G(K : κ) y α un elemento primitivo de la extensión, entonces n n Y X G := (X − ϕν (α)) = aν X ν ν=1

ν=0

es el polinomio minimal de α sobre el campo intermedio E := Fix H. Por lo que Fix H = κ(a0 , . . . , an ) D´. En efecto G(α) = 0, ya que para algún ν0 , ϕν0 es la identidad. Como [κ(α) : E] = [κ(α) : Fix H] = ◦(H) = n = grad G, basta mostrar que G ∈ E[X] = (Fix H)[X]. Sea ϕ ∈ H, entonces n n n n X Y Y X ϕ∗ (G) = ϕ(aν )X ν = (X ν − (ϕ ◦ ϕν )(α)) = (X − ϕν (α)) = aν X ν ν=0

ν=1

ν=1

ν=0

ya que ϕ[H] = H, para cualquier ϕ ∈ H. Entonces aν ∈ Fix H, ∀ ν = 0, . . . , n y G es el polinomio minimal de α sobre Fix H. E 12.1. Sean κ := Q(i), P := X 4 − 2. Sea K := E P el campo de descomposici´ on √4 2, α de P y queremos calcular G(K : Q(i)) y T (K). Las ra´ ı ces de P, son α := 2 := 1 √4 √4 P √4 √4 i 2, α3 := − 2, α4 := −i 2. Como i ∈ κ, entonces 2 es un elemento primitivo de la extensión K κ √4 y K√= E P = κ( 2) = κ(i, 2).√Como P es irreducible en Q[X], es el√polinomio minimal √4 4 4 4 de 2 sobre Q, por lo que [Q( 2) : Q] = grad P = 4 y [Q( 2, i) : Q( 2)] = 2. Entonces √4 √4 [E p : Q] = [E p : Q( 2)][Q( 2) : Q] = 8 = [E p : Q(i)][Q(i) : Q] = 2[E P : Q(i)]. √4

Esto √4 implica, entonces, que [E P : κ] = 4, por lo que P es también el polinomio minimal de 2 sobre κ. En este caso M := {α1 , α2 , α3 , α4 } es el conjunto de toda las ra´ıces de P y todas son conjugadas, pues P es el polinomio minimal de cada αν , 1 6 ν 6 4. Sabemos que ◦(G(E P : κ) = [E P : κ] = 4 y que es isomorfo a un subgrupo de S4 . También sabemos que para cada ν, 1 6 ν 6 4, existe un u´ nico ϕν ∈ G(E P : κ), tal que ϕν (α1 := αν , entonces G(E P : κ) = {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , ϕ4 }, ϕ1 es la identidad, pues cada αν se obtiene multiplicando α1 por un elemento de κ. Analicemos como actúa ϕ2 : ϕ2 (α1 ) ϕ2 (α2 ) ϕ2 (α3 ) ϕ2 (α4 )

= = = =

α2 = ϕ2 (iα1 ) = ϕ2 (−α1 ) = α1

iα1 iα2 −α2

= =

Entonces ϕ2 corresponde al ciclo

1

2

3

4

∈ S4 ,

α3 α4

=

−α1


293

el cual genera un grupo c´ıclico de orden 4. O sea que D E 1 2 3 4 G(E P : κ) ' ⊂ S4 . Por los teoremas de Sylow para grupos abelianos, como ◦(G(E P : κ)) = 4 = 22 , G(E P : κ) posee un u´ nico subgrupo de orden 2, que es el subgrupo H := {ϕ1 , ϕ22 }. Entonces F := Fix H es el u´ nico campo intermedio de la extensión EP Q(i) Para encontrar F vamos a utilizar el teorema 12.73, para H := {ϕ1 , ϕ22 }. Entonces G = (X − ϕ1 (α1 ))(X − ϕ22 (α1 )) = (X − √ √ Entonces F := Fix H = κ( 2) = Q(i, 2).

√4

2)(X +

√4

2) = X 2 −

√ 2.

12.2.4. Ra´ıces de la Unidad. Recordamos al lector que un elemento de un grupo g ∈ G es de orden finito Ssi existe un entero positivo n, tal que gn = e, donde e es el elemento neutro de G. Al entero positivo más pequeño, tal que gn = e lo llamamos el orden del elemento g. En el caso particular de un campo K, un elemento x de su grupo multiplicativo K ∗ es de orden finito, si existe un entero n, tal que xn = 1, es decir, si x es una n-ra´ız del polinomio X n − 1. A las ra´ıces del polinomio X n − 1 en un campo K las llamamos las n-ra´ıces de la unidad. T 12.74. Las n-ra´ıces de la unidad en un campo K, n > 1, forman un subgrupo c´ıclico de K ∗ , de orden 6 n. D´. El conjunto N de las n-ra´ıces de la unidad poee, a lo sumo, n elementos, por consiguiente ◦(N) 6 n. Por otra parte, si α, β ∈ N , entonces (αβ)n = αn βn = 1, lo que implica que αβ ∈ N. Por teorema 11.36, N es subgrupo c´ıclico de K ∗ . En cualquier campo K las 2-ra´ıces del polinomio X 2 − 1 son 1 y −1. Si car K = 2, entonces 1 = −1 y X 2 − 1 = (X − 1)2 y 1 es entonces una ra´ız doble. Por En (K) denotaremos al campo de descomposición del polinomio X n − 1 sobre K. Por lo anteriormente visto, siempre vale que E1 (K) = K = E2 (K). Dados dos enteros positivos n, r, entonces una n-ra´ız de la unidad es también una nrra´ız de la unidad, ya que (α)nr = (αn )r = (1)r = 1. Entonces la aplicación identidad nos induce un K-homomorfismo j : En (K) → Enr (K) y podemos considerar a Enr (K) como una extensión de En (K). En el caso particular de un campo de caracter´ıstica p , 0 se obtiene el siguiente T 12.75. Sea K un campo de caracter´ıstica p , 0 y n = pm q un entero positivo, tal que p - q. Entonces el conjunto de las n-ra´ıces de la unidad en K es igual al conjunto de las q-ra´ıces de la unidad en K.


294

D´. En efecto (X n − 1) = (X p

m

q

m

− 1) = (X q − 1) p ,

por lo que X q − 1 y X n − 1 poseen las mismas ra´ıces en K y el mismo campo de descomposición sobre K. En el caso particular en que K := Z p , p , 0, se puede calcular expl´ıcitamente el campo m m E pm −1 (Z p ), ya que las ra´ıces de X p −1 −1 son las ra´ıces , 0 del polinomio X p − X, que son, precisamente, los elementos del campo con pm elementos K pm . O sea que E pm −1 (Z p ) = K pm . Si K es un campo finito cualquiera de caracter´ıstica p , 0, entonces K es isomorfo a un K pm , para algún entero positivo m y por consiguiente igual a E pm −1 (Z p ). Si car K = 0, sabemos que todas las ra´ıces de X n − 1 están en C y que vienen dadas por 2πk ωk := ei n , k = 0, . . . , n − 1. T 12.76. Sea κ un campo y n un entero positivo. Entonces la extensión (12.40)

En (κ) κ

es de Galois. D´. Por ser En (κ) campo de descomposición del polinomio X n − 1 sobre κ, la extensión (12.40) es normal. Por el teorema 12.75, podemos asumir que n no sea múltiplo de p, en el caso en que car κ = p , 0. Entonces la derivada nX n−1 , 0 sólo posee al 0 como ra´ız, que no es ra´ız de X n − 1, por lo que En (κ) es separable sobre κ. Por lo tanto la extensión (12.40) es de Galois, por ser finita, normal y separable. O´ 12.1. [En (κ) : κ] y la estructura de G(En (κ) : κ) dependen de la descomposición de X n − 1 en elementos irreducibles en κ[X]. Como las n-ra´ıces de la unidad forman un subgrupo c´ıclico de En∗ (κ), las potencias de los elementos que son generadores, recorren todas las ra´ıces y constituyen elementos primitivos de la extensión En (κ) κ recibiendo el nombre de n-ra´ıces primitivas de la unidad. Una n-ra´ız de la unidad α es una ra´ız primitiva, Ssi ◦(α) = n. T 12.77. Sea κ un campo y n un entero positivo, que no es múltiplo de la caracter´ıstica de κ. Entonces existen exactamente φ(n) n-ra´ıces primitivas de la unidad en En (κ), donde φ es la función de Euler. (Ver definición 3.4). D´. Sea P := X n − 1. Entonces, como p - n, P0 = nX n−1 , 0 y posee sólo 0 como ra´ız, el cual no es ra´ız de P. Entonces P posee u´ nicamente ra´ıces simples en En (κ), por lo que el conjunto de las n-ra´ıces de la unidad es un subgrupo c´ıclico de orden n y por ejercicio 4.2.4,9, posee exactamente φ(n) generadores. Dados un campo κ de caracter´ıstica p > 0, un entero positivo n, tal que p - n y el conjunto Pn := {x ∈ En (κ) | x es n-ra´ız primitiva de la unidad},


295

definimos el n-polinomio de división del c´ıcrculo o n-polinomio ciclotómico, como el polinomio Y Fn,p := (X − x) x∈Pn

de grado grad Fn,p = φ(n). Si car κ = 0 escribiremos sólo Fn . T 12.78. Sean κ un campo de caracter´ıstica car κ = p > 0 y n un entero positivo, tal que p - n, entonces el n-polinomio de división del c´ırculo F p,n es un polinomio en κ p [X] de grado grad Fnp = φ(n), cuyo campo de descomposición sobre κ p es En (κ p ) y X Y φ(d). Fd,p y n = Xn − 1 = d|n

d|n

D´. Sea ϕ ∈ Autκ p En (κ p ), entonces ϕ|Pn es una permutación sobre Pn y Y Y (X − ϕ(x)) = (X − y) = Fn,p , ϕ∗ (Fn,p ) = x∈Pn

y∈Pn

por lo que los coeficientes de Fnp están en Fix G(En (κ p : κ p )) = κ p , ya que la extensión En (κ p ) κp es de Galois. Obviamente En (κ p ) es el campo de descomposición sobre κ p de Fn,p . Por otra parte, si x ∈ En (κ p ) es una ra´ız de algún Fd,p , donde d | n, entonces, como n = dn1 , x es también una ra´ız de X n − 1 y Fd,p | (X n − 1), ∀ d | n, entonces Y Fd,p | (X n − 1). d|n

Dada x una ra´ız de X n − 1, si x es primitiva, entonces x es también una ra´ız de Fnp . Si x no es primitiva, entonces existe una ra´ız primitiva y ∈ Pn , tal que x = ym , para algún entero positivo m. Si d es el máximo común divisor de m, n, entonces n = dn1 y m = dm1 y xn1 = ymn1 = yn m1 = 1 por lo que x es de orden n1 y por consiguiente ra´ız de Fn1 p , donde n1 | n. Por consiguiente Y X Xn − 1 = Fd,p y n = φ(d). d|n

d|n

T 12.79. Sea n un entero positivo. Entonces Fn es un polinomio mónico con coeficientes en Z. Si p es un número primo, tal que p - n, entonces Fnp puede ser obtenido de Fn tomando las clases de los coeficientes de Fn , (mód p). D´. Por inducción sobre n: Si n = 1, F1,p = (X − 1) y no hay nada que mostrar. Sea n > 1: Por teorema 12.78, X n − 1 = Fn,pGnp , donde Gnp :=

Y

Fd p ,

d|n d,n

Como d < n, por hipótesis de inducción, para car κ = 0, Fd es un polinomio mónico en Z[X] y por consiguiente Gn , como producto de polinomios mónicos con coeficientes en Z


296

es también un polinomio mónico en Z[X]. Por el algoritmo euclideano en Z[X], existen polinomios Q, R ∈ Z[X], tales que X n − 1 = QGn + R,

R = 0 o grad R < grad Gn .

Esta representación también vale en En (Q), donde ya sabemos que X n − 1 = FnGn . Como esta representación es u´ nica, resulta entonces que Q = Fn y R = 0. Por lo tanto Fn ∈ Z[X]. Obviamente Fn es también un polinomio mónico. Sea ahora p un número primo, tal que p - n. Si P es un polinomio con coeficientes en Z, por P¯ denotaremos al polinomio en Z p [X], cuyos coeficientes son las clases en Z p de los coeficientes de P. Entonces, por hipótesis de inducción. Fd,p = F¯ d , para cada d, tal que d | n, d < n y Gn,p = G¯ n . Entonces X n − 1¯ = FnGn = F¯ nG¯ n = Fn,pGn,p Por lo tanto Fn,p = F¯ n , ya que Z p [X] es un dominio entero.

El siguiente lema nos será u´ til en la demostración del teorema 12.81: L 12.80. La aplicación ϕ p : Z p [X] → Z p [X], definida por ϕ p (P) := P , deja fijos los elementos de Z p . p

D´. En efecto, si a = 0, no hay nada que mostrar. Si a , 0, entonces a ∈ Z∗p y es de orden p − 1, por lo que a p = a, ∀ a ∈ Z p . E 12.2. 1. Si n = 2, P := X 2 − 1, entonces F1 = X − 1, F2 = X − (−1) = X + 1. 2. Sea q un número primo, P := X q − 1 = (X − 1)(X q−1 + X q−2 + · · · + 1). Entonces F1 = X − 1, Fq = (X q−1 + X q−2 + · · · + 1). Fq es irreducible en Z[X] y por consiguiente también en Q[X]. Sin embargo, dependiendo de q y de la caracter´ıstica p de un determinado campo κ, Fq puede o no ser reducible en algún Z p . En efecto Fq ser´ıa reducible en algún Z p [X], si P poseyera una ra´ız α , 1 en Z p , es decir si existiera un α ∈ Z∗p , de orden q, lo cual suceder´ıa si q | ◦(Z∗p ) = p − 1. Asi, por ejemplo, si q := 3, entonces F1 = (X − 1), y F3 = X 2 + X + 1 es reducible en Z7 [X] e irreducible en Z2 [X] y Z5 [X]. En efecto, el lector comprobará que en ¯ ¯ y P = (X − 1)(X ¯ ¯ ¯ Z7 [X], F3,7 = (X − 2)(X − 4) − 2)(X − 4). Sin embargo en caracter´ıstica 0 se tiene el siguiente T 12.81. Los polinomios ciclotómicos Fn son irreducibles en Q[X] D´. Fn como polinomio mónico es irreducible en Q[X], Ssi es irreducible en Z[X]. Supongamos que P sea un factor irreducible y mónico de Fn en Z[X]. Vamos a mostrar que grad P = grad Fn . Si α ∈ En (Q) es una ra´ız de P, entonces α es una n-ra´ız primitiva de la unidad. Si mostramos que toda n-ra´ız primitiva de la unidad es ra´ız de P, entonces grad Fn > grad P > φ(n) = grad Fn y grad P = grad Fn . Como el conjunto de las potencias αm , donde m es primo relativo con n y α una n-ra´ız primitiva de la unidad, coincide con el conjunto de todas las n-ra´ıces primitivas de la unidad, basta mostrar que si α es ra´ız de P, entonces, también α p , donde p es un primo, tal que


297

p - n, ya que entonces, si m = p1 · · · pl , αm = α p1 ···pl y con α, también α pλ , λ = 1, . . . , l es una ra´ız de P, entonces, resulta, de forma inductiva: P(α) = 0 = P(α p1 ) = P(α p1 p2 ) = · · · = p(α p1 ···pl ) = P(αm ) Como divisor de Fn , P divide a X n − 1 en Z[X], por lo que existe un polinomio G ∈ Z[X], tal que X n = 1 = PG. Supongamos que α sea una ra´ız de P, pero para un primo p - n, α p no sea ra´ız de P. Entonces β := α p , es ra´ız de G, ya que β es ra´ız de X n − 1 y el polinomio G(X p ) posee a α como ra´ız. Como P es el polinomio minimal de α sobre Q, G(X p ) debe ser un múltiplo de P en Q[X], es decir que existe un polinomio H ∈ Q[X], tal que G(X p ) = PH. Afirmamos que H ∈ Z[X]: En efecto, como P es mónico, podemos efectuar una división de G(X p ) por P en Z[X], con resto en Z[X], la cual debe coincidir con la representación de G(X p ) en Q[X], por lo que H ∈ Z[X]. Pasando a Z p , tomando las clases de equivalencia (mód p) de los coeficientes de los polinomios y teniendo en cuenta que, por lema 12.80, la aplicación ϕ p : Z p [X] → Z p [X], deja fijos los elementos de Z p , se obtiene P¯ H¯ = G(X p ) = G p . ¯ Entonces, si P¯ 0 es un factor irreducible de P¯ en Z p [X], P¯ 0 es un factor irreducible de G. n 2 n n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Como X − 1 = PG, se tendr´ıa que P0 | (X − 1) en Z p [X], lo que implicar´ıa que X − 1¯ ¯ 0 = n¯ X n−1 , 0, cuya u´ nica ra´ız es tendr´ıa, al menos, una ra´ız doble. Como p - n, (X n − 1) 0, que no es n-ra´ız de la unidad, en contradicción a que X n − 1¯ tendr´ıa al menos una ra´ız múltiple. Por lo tanto α p debe ser una ra´ız de P. T 12.82. Sea p un número primo, que no divide a n y cuya clase de equivaφ(n) lenciaq p, ¯ en Z∗n es de orden e. Entonces Fn se descompone en Z p [X] en factores e irreducibles de grado e. Fn es irreducible en Z p [X], Ssi p¯ genera Z∗n . D´. Sea α una ra´ız de Fn en En (Z p ). Vamos a mostrar que [Z p (α) : Z p ] = e. Lo cual es suficiente, ya que Fn no posee factores repetidos. En efecto, como α es una n- ra´ız primitiva de la unidad, En (Z p ) = Z p (α) es una extensión finita de grado [Z p (α) : Z p ] = m, por lo que Z p (α) posee pm elementos. Vamos a mostrar que m = e. ¯ Como ◦(α) = n, n | ◦(En∗ (Z p )) = pm − 1 y p¯ m = 1, (mód n). Entonces e | m. Como e m > 1, resulta que e 6 m. Por otra parte como p ≡ 1, (mód n), resulta que n | (pe − 1). e e Como α es una n-ra´ız de la unidad, vale también que α p −1 = 1, lo que implica α p = α. Como α es un elemento primitivo de la extensión En (Z p ) Zp e

e

y la aplicación y 7→ y p es un Z p -automorfismo de En (Z p ), resulta que y p = y y por e consiguiente y p −1 = 1, ∀ y ∈ En∗ (Z p ). Como En∗ (Z p ) es c´ıclico de orden pm − 1, debe valer (pm − 1) | (pe − 1), de donde e > m y e = m. Entonces cada factor irreducible de Fn es de grado e. Si N es el número de factores irreducibles de Fn en Z p [X], entonces φ(n) φ(n) = grad Fn = Ne, de donde N = . e

298


Por otra parte, como ◦(Z∗n ) = φ(n), se tiene entonces, que Fn es irreducible en Z p [X], Ssi φ(n) = e = p. ¯ De lo anterior se deduce que el polinomio minimal de una n-ra´ız primitiva de la unidad es un divisor irreducible de Fn en Z p [X]. T 12.83. El grupo de Galois de la extensión En (κ) κ donde n es un entero positivo que no es múltiplo de la caracter´ıstica p de κ, es isomorfo a un subgrupo de Z∗n . D´. Sea α ∈ En (κ) una n-ra´ız primitiva de la unidad fija. Si β es otra n-ra´ız primitiva de la unidad, entonces existe un entero positivo r, primo relativo con n, tal que β = αr . La clase r¯, (mód n) está definida de forma u´ nica y es un elemento de Z∗n . Si ϕ ∈ G(En (κ) : κ), entonces ϕ(α) es también una n-ra´ız primitiva de la unidad y existe un u´ nico r¯ ∈ Z∗n , tal que ϕ(α) = αr , para cualquier representante r ∈ r¯. Entonces podemos definir una aplicación Φ : G(En (κ) : κ) → Z∗n dada por Φ(ϕ) := r¯. Φ es un homomorfismo inyectivo de grupos: En efecto, dados ϕ, ψ ∈ G(En (κ) : κ), ϕ(α) := αr , ψ(α) = α s , entonces (ϕ ◦ ψ)(α) = αrs y ¯ entonces r = mn + 1, para Φ(ϕ ◦ ψ) = rs = r¯ s¯ = Φ(ϕ)Φ(ψ). Por otra parte, si Φ(ϕ) = 1, r mn+1 n m algún m ∈ Z y α = α = (α ) α = α, por lo que ϕ = 1G(En (κ):κ) . Entonces Φ es un isomorfismo de G(En (κ) : κ) sobre un subgrupo de Z∗n . C 12.84. Si n es un número primo, entonces G(En (κ) : κ) es un grupo c´ıclico, cuyo orden divide a n − 1. En particular, para el caso en que κ ' Q es un campo de caracter´ıstica 0 se obtiene el siguiente resultado: T 12.85. G(En (Q) : Q) es isomorfo a Z∗n . D´. Por teorema precedente 12.83, basta mostrar que ◦(G(En (Q) : Q) = [En (Q) : Q] = φ(n). En efecto, por teorema 12.81, Fn es irreducible en Q, por lo que Fn es el polinomio minimal sobre Q de cualquier elemento primitivo de la extensión En (Q) Q Entonces [En (Q) : Q] = grad Fn = φ(n).

Para el caso de caracter´ıstica p , 0, se tiene también el siguiente resultado: T 12.86. Si n es un entero positivo que no es múltiplo de la caracter´ıstica p del campo κ, entonces G(En (κ) : κ) es un grupo c´ıclico, cuyo orden divide a e = ◦( p). ¯ En particular ◦(G(En (Z p )) : Z p ) = e.


299

D´. Como En (Z p ) es un campo finito, Aut En (Z p ) es un grupo c´ıclico y por consiguiente G(En (Z p ) : Z p ) es c´ıclico. Si α ∈ En (Z p ) es una n-ra´ız primitiva de la unidad, entonces su polinomio minimal P ∈ κ[X] sobre κ es un divisor de Fn de grado e y ◦(G(En (Z p : Z p )) = [En (Z p ) : Z p ] = grad P = e. Para el caso general vamos a mostrar que G(En (κ) : κ) es isomorfo a un subgrupo de G(En (Z p ) : Z p ). Sean E := En (κ) y E p := En (Z p ). Vamos a construirnos un homomorfismo inyectivo η : G(E : κ) → G(E p : Z p ). Sabemos que el campo primo de κ, κ p lo podemos identificar con Z p . Construcción de η: Si α1 , . . . , αn son las ra´ıces de X n − 1, entonces E = κ(α1 , . . . , αn ) y E p = Z p (α1 , . . . , αn ). Dado ϕ ∈ G(E : κ), como ϕ[{α1 , . . . , αn }] = {α1 , . . . , αn }, resulta que ϕ[E p ] ⊆ E p y como [E p : Z p ] < ∞, se tiene que ϕ[E p ] = E p , por lo que ϕ|E p ∈ AutZ p E p y podemos definir entonces η(ϕ) := ϕ|E p , ∀ ϕ ∈ G(E : κ). η es un homomorfismo inyectivo: En efecto, si ϕ|E p = 1E p , entonces, en particular, ϕ(αν ) = αν , ν = 1, . . . , n. Como ϕ es un κ-homomorfismo, resulta que ϕ = 1E . 12.2.5. Extensiones Radicales Simples y su Caracterización. Sean κ un campo, a ∈ κ y n un entero positivo. A cada una de las n-ra´ıces del polinomio X n − a, en alguna extensi´ √ on K de κ, la llamamos un n-radical sobre κ del elemento a y lo representaremos por n a. Entonces diremos que la extensión √ κ( n a) κ es una extensión radical simple. √ Si X n − a es irreducible en κ[X], entonces se dice que n a es un n-radical irreducible de a. Dado a ∈ κ y α, β, ra´ıces de X n − a en alguna extensión K de κ, entonces (αβ−1 )n = αn (βn )−1 = aa−1 = 1, por lo que dos n-radicales de a se diferencian en una n-ra´ız de la unidad. Es decir, dados dos n-radicales de a, α, β, entonces existe una n-ra´ız de de la unidad ω, tal que α = ωβ. En general, dos extensiones radicales simples no son isomorfas, a menos que sean irreducibles. Un criterio de irreducibilidad nos lo da el siguiente T 12.87 (Teorema de Abel). Sean κ un campo, a ∈ κ \ {0} y q un número primo. P := X q − 1 es irreducible en κ[X], Ssi a no es q-potencia de ningún elemento de κ. D´. Vamos a mostrar que P es reducible en κ[X], Ssi existe b ∈ κ, tal que bq = a. En efecto, si bq = a, para algún b ∈ κ, entonces P(b) = 0 y, como grad P = q > 2, P es reducible en κ[X]. Si P es reducible en κ[X], sea G ∈ κ[X] un divisor propio mónico de P, de grado grad G = m, 1 6 m 6 q. Sea E una extensión del campo Eq (κ), sobre el cual P se descomponga en factores lineales.


300

√q √ Por lo anteriormente visto, existen q-radicales ω := 1 y α := q a, tales que las ra´ıces de P se escriben de la forma ων α, por lo que P se descompone en E[X] en factores de la forma (X − ων α) y G es un producto de m de estos factores, por lo que lo podemos escribir como G = (−1) c + m

m X

aµ X µ ,

µ=1

donde c := ωk αm , para algún k ∈ N y cq = ωqk αqm = (αq )m = αm . Como q es primo y m < q, existen enteros r, s, tales que 1 = rq + sm y a = a(rq+sm ) = arq ams = arq (am ) s = arq (cq ) s = (ar )q (c s )q = (ar c s )q , donde ar c s ∈ κ.

El siguiente teorema nos caracteriza una extensión radical simple por medio de su grupo de Galois: T 12.88. Sean n un entero positivo, κ un campo, cuya caracter´ıstica √ p no divida a n y tal que contenga a todas las n-ra´ıces de la unidad y a ∈ κ. Entonces κ( n a) es una extensión de Galois sobre κ y su grupo de Galois es un grupo c´ıclico cuyo orden divide a n. D´. El caso a = √ 0 es trivial. Sean entonces a , 0 y K una extensión de κ que contenga al n-radical α := n a. Si ω es una n-ra´ız primitiva de la unidad en κ, entonces M := {ων α | 1 6 ν 6 n} es el conjunto de todas las ra´ıces de P := X n −a y E := κ(α) es el campo de descomposición de P sobre κ y por consiguiente la extensión (12.41)

E κ

es normal sobre κ. Por otra parte, como P posee n ra´ıces diferentes, E es también separable sobre κ y por consiguiente la extensión (12.41) es de Galois. Vamos a mostrar ahora, que existe un homomorfismo inyectivo Φ : G(E : κ) → (Zn , +). En efecto, si ϕ ∈ G(E : κ), entonces ϕ(α) ∈ M y existe una u´ nica clase r¯ ∈ Zn , tal que ϕ(α) = ωr α, para cualquier r ∈ r¯. Entonces definimos Φ(ϕ) := r¯. Vamos a mostrar que Φ es un homomorfismo inyectivo: Si ψ es otro elemento de G(E : κ), y ψ(α) = ω s α, entonces (ϕ ◦ ψ)(α) = ϕ(ω s α) = ω s ωr α = ω s+r α y Φ(ϕ ◦ ψ) = r + s = r¯ + s¯ = Φ(ϕ) + Φ(ψ). Por otra parte, si Φ(ϕ) = 0, entonces ϕ = 1E . Por lo tanto Φ es inyectivo. El siguiente teorema es una inversa del precedente:


301

T 12.89. Bajo las mismas condiciones del teorema precedente, si E κ es una extensión de Galois de grado n con grupo de Galois, G(E : κ), c´ıclico, entonces E es una extensión radical simple sobre κ. D´. Sean ω una n-ra´ız primitiva de la unidad y ϕ un generador del grupo c´ıclico G(E : κ). Para cada x ∈ E, formamos la llamada resolvente de Lagrange: R(ω, x) :=

n−1 X

ων ϕν (x).

ν=0

Supongamos que existe x ∈ E, tal que R(ω, x) , 0. Como ϕ(ω) = ω y ϕn = 1E se tiene ϕ(R(ω, x)) =

n−1 X ν=0

ων ϕν+1 (x) = ω−1

n X

ων ϕν (x) = ω−1 R(ω, x),

ν=1

de donde resulta entonces para un entero positivo 1 6 µ 6 n: ϕµ (R(ω, x)) = x−µ R(ω, x). Como ϕ es un generador de G(E : κ) y ω es una n-ra´ız primitiva de la unidad, el u´ nico κ-automorfismo que deja fijo R(ω, x) es 1E . Entonces G(E : κ(R(ω, x))) = {1E }. Por teorema 12.64, la extensión E κ(R(ω, x)) es de Galois y se tiene κ(R(ω, x)) = Fix{1E } = E. Finalmente ϕ(R(ω, x)n ) = (ϕ(R(ω, x))n = ω−n (R(ω, x))n = (R(ω, x))n , lo que implica que (R(ω, x))n ∈ Fix G(E : κ) = κ, ya que ϕ genera G(E : κ). Entonces pn R(ω, x) = (R(ω, x))n es un radical sobre κ. Vamos a mostrar ahora, que, en efecto, existe un x ∈ E, tal que R(ω, x) , 0. Basta mostrar que si la expresión (12.42)

a0 x + a1 ϕ(x) + · · · + an−1 ϕn−1 (x) = 0,

∀ x ∈ E,

aν ∈ E, ν = 0, . . . , n,

entonces a0 = a1 = · · · = an−1 = 0. Supongamos que (12.42) valga y sea m el menor entero positivo, entre todas las combinaciones lineales que satisfagan (12.42), para el cual a0 x + a1 ϕ(x) + · · · + am ϕm (x) = 0,

am , 0.

Entonces 0 < m < n y no todos los aµ , 0 6 µ 6 m son 0. Sea l el mayor número, para el cual al , 0, 0 6 l < m y y ∈ E, tal que ϕl (y) , ϕm (y). Entonces (12.43) a0 xy + a1 ϕ(xy) + · · · + am ϕm (xy) = a0 xy + a1 ϕ(x)ϕ(y) + · · · + am ϕm (x)ϕm (y) = 0.


302

donde aµ = 0, para l < µ < m También a0 xϕm (y) + a1 ϕ(x)ϕm (y) + · · · + am ϕm (x)ϕm (y) = 0.

(12.44)

Restando las ecuaciones (12.43) y (12.44) obtenemos a0 (y − ϕm (y))x + · · · + al (ϕl (y) − ϕm (y))ϕl (x) = 0,

(12.45)

l < m.

Donde (12.45) es de la forma bλ := aλ (ϕλ (y) − ϕm (y))

b0 x + b1 ϕ(x) + · · · + bl ϕl (x) = 0,

y bl := al (ϕl (y) − ϕm (y)) , 0 en contradicción a la minimalidad de m.

E 12.3. 1. Encontrar F4 : X 4 − 1 = (X 2 + 1)(X − 1)(X + 1). grad F4 = φ(4) = 2, F4 irreducible en Q y F4 | (X 4 − 1). Entonces F4 = X 2 + 1. 2. F8 : X 8 − 1 = (X 4 + 1)(X 2 + 1)(X + 1)(X − 1), grad F4 = φ(8) = 4. Entonces F8 = X 4 + 1. 3. F12 : X 12 − 1

=

(X 6 + 1)(X + 1)(X − 1)(X 2 + X + 1)(X 2 − X + 1)

=

(X 2 + 1)(X 4 − X 2 + 1)(X + 1)(X − 1)(X 2 + X + 1)(X 2 − X + 1).

grad F12 = φ(12) = 4. Entonces F12 = X 4 − X 2 + 1 4. Dar los factores irreducibles de F12 en Z11 . El teorema 12.82, nos dice que si φ(n) p , n, entonces Fn se descompone en Z p en factores irreducibles, donde e e = ◦( p), ¯ (mód n). En nuestro caso n = 12, p = 11 y e = ◦(11) = 2. Entonces F12 se descompone en Z11 en dos factores de grado 2, es decir F12 = X 4 −X 2 +1 = (X 2 + aX + b)(X 2 + a0 X + b0 ), a, b, a0 , b0 ∈ Z p . Esto nos lleva al sistema de ecuaciones (mód 11) (12.46)

a + a0

=

0

(12.47)

0

aa + b + b

=

−1

(12.48)

0

bb

=

1

(12.49)

ab0 + a0 b

=

0

0

De la ecuación (12.47), resulta a = −a0 . Substituyendo en (12.49):    o, a = 0 0 a(b − b) = 0 ⇒  b = b0  Si a = 0, de las ecuaciones (12.48) y (12.49), resultar´ıa 1 b0 + b = −1 y b0 = b que nos lleva a la ecuación (12.50)

b2 + b + 1 = 0,

(mód 11).

Dejamos al lector, como ejercicio, comprobar que ningún elemento de Z11 satisface la ecuación (12.50). Entonces b = b0 y de la ecuación (12.49) se obtiene b2 = 1, es decir    o, 1 b=  −1


303

El caso b = −1 se descarta, ya que substituyendo en (12.48) obtendr´ıamos a2 + 1 = 0,

(12.51)

(mód 11),

y el lector comprobará que la ecuación (12.51), tampoco tiene solución en Z11 , por lo que b = b0 = 1. Substituyendo nuevamente en (12.48) se obtiene la ecuación a2 − 3 = 0 (mód 11) la que nos da como resultado a = 5 y a0 = −5. Entonces F12 = (X 2 + 5X + 1)(X 2 − 5X + 1) = (X 2 + 5X + 1)(X 2 + 6X + 1) ∈ Z11 . 5. Descomponer X 16 − 1 en sus factores irreducibles en Z3 [X]. X 16 − 1 = (X 8 + 1) (X 4 + 1) (X 2 + 1) (X + 1) (X − 1) . | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } F16

F8

F4

F2

F1

(mód 4) = 2 = φ(4) ⇒ F4 ya es irreducible en Z3 [X]. ¯ ◦(3) (mód 8) = 2, φ(8) = 4 ⇒ F8 se descompone en dos factores de grado 2 en Z3 [X]. ¯ (mód 16) = 4, φ(16) = 8 ⇒ F16 se descompone en dos factores de grado 4 en Z3 [X]. ◦(3) ¯ ◦(3)

Procediendo como en el ejemplo precedente se deben resolver, para cada caso, un sistema de ecuaciones en Z3 , tarea que dejamos al lector como ejercicio. El lector comprobará entonces que en Z3 [X] X 4 + 1 = (X 2 + X + 2)(X 2 + 2X + 2) y X 8 + 1 = (X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1)(X 4 + 2X 3 + 2X 2 + 2X + 1). Entonces en Z3 [X]: X −1 = (X 4 +X 3 +2X 2 +X+1)(X 4 +2X 3 +2X 2 +2X+1)(X 2 +X+2)(X 2 +2X+2)(X 2 +1)(X+1)(X−1). 16

12.2.6. Ejercicios y Complementos. En cada uno de los ejercicios siguientes, determinar el grupo de Galois del polinomio dado, sobre el campo correspondiente. 1. X 3 − X − 1 sobre Q 2. X 3 − 10 sobre Q √ 3. X 3 − 10 sobre Q( √2) √ 4. X 3 − 10 sobre Q( −3) = Q(i 3) 12.2.7. Resolución de Ecuaciones Polinómicas por Radicación. Dado un polinomio P ∈ κ[X] buscamos elementos x en una extensión E κ tal que P(x) = 0 en E. Por resolución de una ecuación de la forma P(x) = 0, donde P ∈ κ[X] se entenderá el proceso de llegar a obtener las ra´ıces de P por un proceso finito de extensiones radicales simples sucesivas del campo κ. En esta subsección, por facilidad, nos limitaremos al caso car κ = 0.

304


Decimos que la extensión E κ es una extensión radical, si existe una cadena de campos intermedios E0 := κ ⊆ E1 ⊆ · · · ⊆ Em := E, tal que cada subextensión Eµ Eµ−1 es una extensión radical simple, ∀ µ = 1, . . . , m. Decimos que la ecuación P(x) = 0, es soluble por radicación, si el campo de descomposición E P , está contenido en una extensión radical de κ. Por ejemplo si P := aX 2 + bX + c ∈ R[X], a , 0, sus ra´ıces vienen dadas por x1,2 := −

√ 1 (b ± b2 − 4ac). 2a

Entonces podemos escribir b 2 4ac − b2 P=a X+ + 2a 4a2 √ y su campo de descomposición está contenido en R( b2 − 4ac), que es una extensión radical simple de R. T 12.90. Toda extensión radical E de κ está contenida en una extensión radical normal K κ D´√ . Por inducción sobre n := [E : κ]. Si [E : κ] = 1, entonces E = κ. Dado a ∈ κ, E = κ ⊆ κ( n a), donde la extensión √ κ( n a) κ es de Galois y por consiguiente normal. Supongamos, por hipótesis de inducción, que el teorema valga para 1 6 m 6 n − 1 y sea n > 2. Por definición de extensión radical, existe un campo intermedio E 0 tal que a) E = E 0 (α), con αl ∈ κ, para algún entero 2 6 l. b) [E : E 0 ] > 2.


305

De b) resulta que [E 0 : κ] 6 n − 1 y, por hipótesis de inducción, existe una extensión radical normal K 0 , tal que E 0 ⊆ K 0 . Vamos a probar que si K := E P , donde E P es el campo de descomposición del polinomio Y P := (X l − ϕ(αl )) ϕ∈G(K 0 :κ)

sobre K 0 , entonces la extensión K κ posee las propiedades deseadas. Como α es ra´ız del factor X l − αl de P, α ∈ E P = K, por lo que K es también una extensión de E = E 0 (α). Vamos a mostrar que K es una extensión radical normal de κ. En efecto, P ∈ κ[X], ya que dado ψ ∈ G(E 0 : κ) Y ψ∗ (P) = (X l − (ψ ◦ ϕ)(αl )) = P, ϕ∈G(K 0 :κ)

por lo que P ∈ (Fix G(K : κ))[X] = κ[X], ya que la extensión K 0 sobre κ es de Galois. Entonces K es normal sobre κ por ser campo de descomposición de un polinomio en κ[X]. Por otra parte, por definición de K, K 0

K0 es una extensión radical, pues se obtiene adjuntando sucesivamente las l-ra´ıces de X l −ϕ(αl ) y como, por hipótesis de inducción, K0 κ también es radical, resulta que K κ

es normal y radical.

El siguiente teorema es considerado el teorema principal respecto de la solubilidad, por radicación, de una ecuación polinómica. T 12.91 (Teorema Principal de Solubilidad). Sean κ un campo y P ∈ κ[X]. Entonces la ecuación P(x) = 0 es soluble por radicación, Ssi el grupo de Galois G(E P : κ), donde E P es el campo de descomposición de P sobre κ, es un grupo soluble. D´. La demostración la desarrollaremos en una serie de lemas. Supongamos que la ecuación P(x) = 0 es soluble por radicación. De la definición y por el teorema 12.90, el campo de descomposición E P de P está contenido en una extensión radical normal K κ


306

que además es de Galois y finita y la extensión EP κ también es una extensión normal. Entonces, por teorema 12.66, existe un isomorfismo ηˆ : G(K : κ)/ G(K : E P ) → G(E P : κ). Entonces basta mostrar que G(K : κ) es un grupo soluble. L 12.92. Si K κ es una extensión normal y radical de κ, entonces el grupo G(K : κ) es un grupo soluble. D´. consideremos la cadena de campos K0 := κ ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Km := K, donde para cada µ, 1 6 µ 6 m, la extensión Kµ Kµ−1 n

es una extensión radical simple. Kµ = Kµ−1 (xµ ), xµµ = aµ ∈ Kµ−1 , para algún entero positivo nµ . Sea n := n1 · · · nm , κ0 := En (κ), Kµ0 := En (Kµ ) y K 0 := En (K). Entonces Kµ0 es 0 una extensión de Kµ−1 y se tiene la cadena (12.52)

En (κ) := κ0 = K00 ⊆ K10 ⊆ · · · ⊆ Km0 := K 0 ,

K es campo de descomposición de un polinomio G ∈ κ[X], sobre κ. Entonces K 0 es el campo de descomposición del polinomio P := (X n − 1)G sobre κ y la extensión K0 κ es de Galois. 0 0 Para µ = 1, . . . m, Kµ−1 contiene las nµ ra´ıces de la unidad y Kµ0 = Kµ−1 (xµ ), donde nµ 0 0 0 xµ ∈ Kµ−1 y, por teorema 12.88, G(Kµ : Kµ−1 ) es un grupo c´ıclico, en particular abeliano, y también el grupo G(κ0 : κ), como subgrupo de Z∗n , es abeliano. Además las extensiones Kµ0 0 Kµ−1

son normales. Tenemos, entonces, la siguiente configuración de extensiones: K0 { CCC { CC { {{ 0 K κ C CC { CC {{{ { κ


307

K es entonces un campo intermedio de la extensión de Galois K0 κ y por teorema 12.66, la aplicación η : G(K 0 : κ) → G(K : κ), tal que η(ϕ) := ϕ|K , es sobreyectiva, por lo que G(K : κ) es imagen homomorfa de G(K 0 , κ). Si mostramos que G(K 0 : κ) es soluble, entonces habremos mostrado también que G(K : κ) es soluble. La solubilidad de G(K 0 : κ) resulta del siguiente lema: L 12.93. Sea K0 := κ ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Kn := K, una cadena de campos, donde la extensión K κ es de Galois y para todo ν, 1 6 ν 6 n, las extensiones Kν Kν−1 son normales. Entonces, si G(Kν : Kν−1 ) es abeliano , para cada ν, G(K : κ) es un grupo soluble. Aplicando lema 12.93 a la cadena 12.52, se obtiene la solubilidad del grupo G(K 0 : κ). Con lo que queda demostrado el lema 12.92. Mostremos ahora la validez del lema 12.93: D´. Por inducción sobre n: Si n = 0 el lema es trivial. Sea entonces n > 1 y supongamos, por hipótesis de inducción, que para todo m 6 n el lema vale. El campo intermedio K1 de la extensión de Galois K κ es normal sobre κ. En consecuencia G(K : K1 ) es un subgrupo normal de G(K : κ) y, por teorema 12.66, se tiene un isomorfismo ψ : G(K1 : κ) → G(K : κ)/ G(K : K1 ), Como G(K1 : κ) es abeliano, entonces es soluble (ver ejemplo 6.3,1) y, por hipótesis de inducción, también G(K : K1 ) es soluble. Entonces, por teorema 6.26, G(K : κ) es soluble. Con lo que queda demostrado el lema 12.93.

308


La solubilidad del grupo G(E p : κ) resulta entonces del teorema 6.24, aplicado al isomorfismo ηˆ : G(K : κ)/ G(K : E P ) → G(E P : κ). Con lo que queda demostrada la primera parte del teorema principal. Sea E P el campo de descomposición del polinomio P tal que el grupo G(E P : κ) es soluble. Si q1 , . . . qr son los divisores primos de [E p : κ], sean n := q1 · · · qr , κ0 := En (κ), E 0 := En (E p ), entonces se tiene el siguiente diagrama de extensiones E0 { CCC { CC { {{ EP κ0 C CC { { CC C {{{ κ Por lo que E 0 es una extensión de κ0 . Como campo de descomposición del polinomio G := (X n − 1)P ∈ κ[X], la extensión E0 κ es normal sobre κ. Vamos a mostrar que E 0 es una exensión radical sobre κ, lo que mostrar´ıa que P(x) es soluble por radicación. Como κ0 = κ(ω), donde ω es una n-ra´ız primitiva de la unidad, la extensión κ0 κ es una extensión radical simple, por lo que es suficiente mostrar que la extensión E0 κ0 es radical. A tal efecto, recopilemos algunas propiedades de G(E 0 : κ0 ): 1. Dado ϕ ∈ G(E 0 : κ0 ), la restricción ϕ|E p induce un homomorfismo inyectivo: η : G(E 0 : κ0 ) → G(E p : κ), ya que G(E 0 : κ0 ) ⊆ G(E 0 : κ) y, por el teorema de normalidad finita 12.32, ϕ[E P ] ⊆ E P , por lo que ϕ|E P ∈ G(E P : κ) η es inyectivo: Si ϕ ∈ ker η, entonces ϕ(x) = x, ∀ x ∈ E P y también ϕ(x) = x, ∀ x ∈ κ0 . Como E 0 = E P (κ0 ), resulta entonces que ϕ = 1E 0 . 2. G(E 0 : κ0 ) es soluble, por ser isomorfo a un subgrupo de G(E p : κ), el cual, por hipótesis es soluble. 3. Dado ϕ ∈ G(E 0 : E P ), la restricción ϕ|κ induce un homomorfismo inyectivo: θ : G(E 0 : E P ) → G(κ0 : κ), ya que E 0 = E P (ω) y κ0 = κ(ω). θ es inyectivo: Si ϕ ∈ ker θ, entonces ϕ|κ0 = 1κ0 y como E 0 = E P (κ0 ), resulta ϕ = 1E 0 .


309

4. Si q es un factor primo de [E 0 : κ0 ], entonces κ0 contiene todas las q-ra´ıces de la unidad. En efecto, como E0 EP es de Galois, [E 0 : E P ] = ◦(G(E 0 : E P )) | ◦(G(κ0 : κ)) = [κ0 : κ] y existe un entero positivo m, tal que [κ0 : κ] = m[E 0 : E P ]. Del diagrama de extensiones E0 { CCC { CC { {{ EP κ0 C CC { { CC C {{{ κ se tiene [E 0 : κ] = [E 0 : κ0 ][κ0 : κ] = [E 0 : E P ][E P : κ], o sea que [E 0 : κ0 ][E 0 : E P ]m = [E 0 : E P ][E P : κ], de donde [E 0 : κ0 ]m = [E P : κ], entonces q es un factor primo de [E P : κ] y por consiguiente de n. Entonces toda q-ra´ız de la unidad es también una n-ra´ız de la unidad y está en κ0 . El teorema principal queda demostrado, si mostramos el siguiente L 12.94. Si la extensión normal y finita (12.53)

K κ

es tal, que G(K : κ) es soluble y para cada factor primo q de K : κ], vale que kappa contiene a todas las q-ra´ıces de la unidad, entonces la extensión (12.53) es radical. Entonces aplicando el lema 12.94 a la extensión E0 κ0 queda demostrado el teorema principal.

Mostremos ahora la validez del lema 12.94: D´. Por inducción sobre n := [K : κ]: para n = 1 no hay nada que demostrar. Sea entonces n > 2 y supongamos, por hipótesis de inducción, que el lema sea válido para todo entero positivo m 6 n − 1. Como G(K : κ) es soluble, por teorema 6.30, posee una serie de composición, cuyos cocientes son grupos c´ıclicos de orden primo. En particular existe un subgrupo normal H tal

310


que ◦(G(K : κ)/H) = q, donde q es un número primo. Sea E := Fix H. Por el teorema principal de Galois,12.59, vale G(K : E) = H y G(E : κ) ' G(K : κ)/ G(K : E) = G(K : κ)/H, por lo que [E : κ] = q y la extensión E κ es, por teorema 12.66, de Galois, ya que G(K : E) = H es normal. Como, por hipótesis K contiene a todas las ra´ıces de la unidad, por teorema 12.89, la extensión E κ es una extensión radical simple. Por otra parte la extensión K E es normal, ya que E es un campo intermedio de la extensión normal K κ y G(K : E) = H es también soluble, como subgrupo del grupo soluble G(K : κ). Finalmente, todo factor primo q˜ de [K : E] es factor primo de [E : κ] y E, como extensión de κ, contiene a todas las q-ra´ ˜ ıces de la unidad. Como n = [K : κ] = [K : E][E : κ] y [K : E] =

n n = 6 n − 1, [E : κ] q˜

por hipótesis de inducción, K E es una extensión radical. Por lo tanto K κ es una extensión radical.

Como corolario del teorema principal de solubilidad 12.91, se obtiene el siguiente resultado: C 12.95. Toda ecuación P(x) = 0, donde P es un polinomio con coeficientes en un campo κ, de grado 6 4, es soluble por radicación.


311

D´. Por teorema 12.72, G(E P : κ), donde E P es el campo de descomposición del polinomio P es isomorfo a un subgrupo del grupo de simetr´ıa Sm , donde m := grad P. Sabemos que para m 6 4 el grupo Sm es soluble (ver ejemplo 6.3,3). Por consiguiente G(E p : κ), como subgrupo de un grupo soluble, es soluble. Por lo tanto la ecuación P(x) = 0 es soluble. Para mostrar que, en general, una ecuación polinómica, P(x) = 0, donde P es un polinomio de grado n > 5, no es soluble por radicación, vamos a mostrar que el grupo de Galois G(E P : κ) es isomorfo a Sn , el cual, como se vió en el ejemplo 6.3,4, no es soluble. Antes de demostrar el teorema general de Abel, vamos a analizar el siguiente ejemplo de una ecuación de grado n := 5. E 12.4. Sea P := X 5 − 2X 4 + 2 ∈ Q[X]. Vamos a mostrar que la ecuación P(x) = 0 no es soluble por radicación, mostrando que G(E P : Q) es isomorfo a S5 que no es soluble. Por el criterio de Eisenstein se tiene que P es irreducible en Q[X] y, como el lector comprobará facilmente, no posee ra´ıces en común con P0 . Entonces P posee 5 ra´ıces distintas en una extensión E P ⊆ C. Sean α1 , α2 , α3 , α4 , α5 ∈ E P las ra´ıces de P. Evaluando P en el conjunto 3 {−1, 0, , 2} 2 obtenemos lo siguiente: P(−1)

=

P(0) = 3 P( ) = 2 P(2) =

−1 < 0 2>0 81 2− <0 32 2>0

Esto quiere decir, por el teorema del valor intermedio del cálculo diferencial, que P posee, al menos, 3 ra´ıces reales. Supongamos que P posea más de 3 ra´ıces reales, entonces, por el teorema de Rolle, del cálculo diferencial, P0 poseer´ıa, al menos, 3 ra´ıces reales distintas, lo cual, como el lector comprobará facilmente, no es cierto. Por consiguiente P posee exactamente 3 ra´ıces reales y 2 ra´ıces complejas conjugadas, no reales. Sean α1 , α2 , α3 las tres ra´ıces reales y α4 , α5 las dos ra´ıces complejas conjugadas. Si ϕ:C→C es el Q-automorfismo de la conjugación, entonces, como EP Q es normal, se tiene que ψ := ϕ|E P ∈ G(E P : Q) y como Fix{1E P , ψ} = R, tenemos que ψ(αν ) = αν , para 1 6 ν 6 3 y ψ(α4 ) = α5 . Entonces, si Φ : G(E P : Q) → S5 es el homomorfismo inyectivo, definido en la demostración del teorema 12.72, se obtiene que Φ(ψ) = 4 5 .


312

Por otra parte, como P es irreducible sobre Q, los elementos α1 , α2 , α3 , α4 , α5 ∈ E P , son conjugados sobre Q y para cada par de ra´ıces αi , α j , existe un ϕi, j ∈ G(E P : Q), tal que ϕi, j (αi ) = α j . Entonces el grupo G := Φ[G(E P : Q)] posee las siguientes propiedades: a) G es transitivo, pues para cada par de elementos i, j ∈ S 5 , existe una permutación τi, j := Φ(ϕi, j ), tal que τi, j (i) = j. b) G contiene transposiciones. Por lo tanto, por teorema 5.26, G = S5 . Finalmente conclu´ımos esta sección, con el famoso teorema de Abel: T 12.96 (Teorema de Abel). Para n > 5, la ecuación polinómica general de grado n no es soluble por radicación. Previo a la demostración hacemos la siguiente observación sobre la notación utilizada: Si K[X1 , . . . , Xn ] es el anillo de polinomios en n indeterminadas, sobre el campo K, denotaremos por Kn := K(X1 , . . . , Xn ) su campo de fracciones correspondiente. D´. Consideremos el polinomio n X Pn := X n + (−1)ν Uν X n−ν , Uν ∈ Kn = K(U1 , . . . , Un ). ν=1

Entonces la ecuación Pn (x) = 0 se llama la ecuación general de grado n. Sean E Pn el campo de descomposición de Pn sobre Kn y α1 , . . . , αn sus ra´ıces en E Pn . Entonces en E Pn n Y X Pn = (X − αν ) y Uν = αλ1 · · · αλν 1 6 ν 6 n. ν=1

16λ1 <λ2 <···<λν 6n

Vamos a calcular el grupo G(E Pn : Kn ). Consideremos otras n indeterminadas X1 , . . . , Xn y los elementos X Xλ1 · · · Xλν 1 6 ν 6 n, uν ∈ K[X1 , . . . , Xn ], uν = 16λ1 <λ2 <···<λν 6n

Entonces X1 , . . . , Xn son las ra´ıces del polinomio n n X Y Gn := X n + (−1)ν uν X n−ν = (X − Xν ) ν=1

ν=1

en la indeterminada X, sobre el campo Kn0 := K(u1 , . . . , un ) y EG0 n := K(X1 , . . . , Xn ) su campo de descomposición sobre Kν0 . Sea ρ : K[U1 , . . . , Un ] → K[u1 , . . . , un ] el homomorfismo inducido por Un 7→ un , o sea ρ(P(U1 , . . . Un )) := P(u1 , . . . , un ). De forma análoga sea σ : K[X1 , . . . , Xn ] → K[α1 , . . . , αn ] el homomorfismo σ(P(X1 , . . . , Xn )) := P(α1 , . . . , αn ). ρ es inyectiva: Sea P ∈ ker ρ, entonces P(u1 , . . . , un ) = 0 ∈ K[X1 , . . . , Xn ], ya que K[u1 , . . . , un ] ⊆ K[X1 , . . . , Xn ]. Aplicando σ, obtenemos 0 = σ(P(u1 , . . . , un )) = P(U1 , . . . , Un ) = P. Como ρ es sobreyectiva, es ρ un isomorfismo y posee una extensión natural a un K-isomorfismo ρˆ : Kn → Kn0 .

´ CON REGLA Y COMPAS ´ 12.3. CONSTRUCCION

313

La extensión canónica ρˆ ∗ : Kn [X] → Ln0 [X] mapea Pn en Gn . Por teorema 12.18, existe un isomorfismo ψ : E Pn → EG0 n , tal que ψ|Kn = ρˆ y ψ[{α1 , . . . , αn }] = {X1 , . . . , Xn }. Entonces vale que G(E Pn : Kn ) ' G(EG0 n : Kn0 ) y basta calcular G(EG0 n : Kn0 ). Vamos a mostrar que el homomorfismo inyectivo Φ : G(EG0 n : Kn0 ) → Sn es sobreyectivo. En efecto, sea τ ∈ Sn , entonces τ induce un elemento ϕτ ∈ G(EG0 n : Kn0 ), por medio de ϕτ (Xν ) := Xτ(ν) , ya que Gn es irreducible en KG0 n = K[U1 , . . . , Un ] y todas sus ra´ıces X1 , . . . , Xn son conjugadas y X Xτ(λ1 ) · · · Xτ(λν ) = uν , ϕτ (uν ) = 16λ1 <λ2 <···<λν 6n

ya que la sumatoria abarca a todas las combinaciones posibles de ν elementos del conjunto de n elementos S n y entonces Φ(ϕτ ) = τ. Por lo tanto G(EG0 n : Kn0 ) ' Sn . Como n > 5, Sn no es soluble, en virtud del teorema 5.24. Por lo tanto Pn (x) = 0 no es soluble por radicación. 12.3.

Construcción con Regla y Compás

Finalmente terminamos este cap´ıtulo con una aplicación de la teor´ıa de extensión de campos y teor´ıa de Galois al problema de construcción con regla y compás en la geometr´ıa elemental. Ya desde la antigüedad son conocidos los siguientes problemas clásicos: 1. Problema de la cuadratura del c´ırculo: Dado un c´ırculo de radio r, ¿Es posible construir un cuadrado, con la ayuda de regla y compás, que tenga la misma a´ rea del c´ırculo? 2. Problema de Deli: Dado un cubo de arista de longitud l, ¿Es posible, con regla y compás, construir un cubo de arista l0 cuyo volumen sea el cuadrado del volumen del cubo de arista l? 3. Construcción del pol´ıgono regular de n lados. ¿Para cuáles valores de n es posible, con regla y compás, construir un pol´ıgono de n lados? 4. Problema de la trisección de un a´ ngulo α. ¿Para cuáles valores de α es posible, con regla y compás dividir el a´ ngulo en tres partes iguales? Empezaremos definiendo lo que entenderemos por el concepto de constructibilidad. Sea R2 el plano euclideano real y M un subconjunto del R2 que contenga, por lo menos, dos puntos. Decimos que una recta g es construible a partir del conjunto M, si g contiene dos puntos de M. Diremos que un c´ırculo C es construible a partir del conjunto M, si su centro está en M y si su radio coincide con la distancia entre dos puntos de M. Por G(M) denotaremos al conjunto de todas las rectas y c´ırculos construibles a partir de M. Diremos que un punto P ∈ R2 es construible a partir de M, si existen elementos A, B ∈ G(M), A ,


314

B, tales que P ∈ A ∩ B. Denotaremos por M (1) al conjunto de todos los puntos del R2 construibles a partir de M. Definimos el conjunto M (n) := (M (n−1) )(1) , para n > 2 y Ω(M) :=

∞ [

M (n) .

n=1

Ω(M) es entonces el conjunto de todos los puntos de R2 que pueden ser construidos a partir de M en un número finito de pasos, consistentes en intersecciones sucesivas de rectas y c´ırculos en G(M). Decimos entonces que un punto P ∈ R2 es construible con regla y compás, a partir de M, Ssi P ∈ Ω(M). El siguiente teorema nos resume las propiedades básicas de Ω(M): T 12.97. Sean M, N dos subconjuntos del R2 , conteniendo cada uno, al menos, dos puntos. Entonces vale: a) b) c) d) e)

M ⊆ M (1) . M (m) ⊆ M (n) , si m 6 n. Ω(Ω(M)) = Ω(M). M ⊆ N ⇒ M (n) ⊆ N (n) , ∀n y Ω(M) ⊆ Ω(N). Si M ⊆ N ⊆ Ω(M), entonces Ω(M) = Ω(N).

D´. a) Sea P ∈ M, como M contiene, al menos, dos puntos, existe un punto Q ∈ M, P , Q y podemos construir la recta g := (P, Q) y el c´ırculo C con centro en Q y radio r := d(P, Q), entonces P ∈ g ∩ C. Por lo tanto P ∈ M (1) . b) Inmediato de a). c) Basta mostrar que (Ω(M))(1) ⊆ Ω(M), ya que entonces, por a), (Ω(M))(1) = Ω(M), de donde resulta que (Ω(M))(n) = Ω(M), ∀ n y Ω(Ω(M)) = Ω(M). Sea, pues, P ∈ (Ω(M))(1) , entonces existen elementos A, B ∈ G(Ω(M)), tales que P ∈ A∩B. Los objetos A, B que son rectas o c´ırculos en G(Ω(M)), son construidos a partir de un número finito de puntos P1 , . . . , Pm ∈ Ω(M), por lo que existe un entero positivo n, tal que Pµ ∈ M (n) , ∀ µ = 1, . . . , m, Entonces P ∈ (M (n) )(1) = M (n+1) ⊆ Ω(M). d) M (1) ⊆ N (1) es obvio. El caso general se obtiene de forma sencilla procediendo por inducción sobre n. De M (n) ⊆ N (n) , ∀ n resulta Ω(M) ⊆ Ω(N). e) De c) y d) se obtiene Ω(M) ⊆ Ω(N) ⊆ Ω(Ω(M)) = Ω(M). Por lo tanto Ω(M) = Ω(N). Otra propiedad sencilla de Ω(M) nos la da el siguiente T 12.98. Sea M un subconjunto del R2 , que contiene, al menos, dos puntos. Dada la recta g := (AB) ∈ G(Ω(M)). Entonces vale: a) Si C ∈ Ω(M), C < g, entonces la paralela g0 a g por C es construible a partir de Ω(M). b) Dado C ∈ Ω(M), entonces la perpendicular a g por el punto C es construible a partir de Ω(M). D´.


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a)) La recta g se obtiene a partir de dos puntos A, B ∈ Ω(M). La configuración de los puntos A, B, C la completamos con un punto E, de forma tal que A, B, C, E formen un paralelogramo. El punto E se obtiene como intersección de los c´ırculos C1, con centro en C y radio r1 = d(A, B), y el c´ırculo C2, con centro en B y radio r2 := d(A, C). (Ver figura 12.2).

F 12.2. Paralela a recta (AB) b) Existen dos casos: 1. C ∈ g El objetivo es construir un rombo cuyas diagonales pasen por C. A tal efecto, seleccionamos un punto A ∈ g y trazamos un c´ırculo C1 con centro en C que pase por A, e intersecte a g en el punto D, luego trazamos un c´ırculo C2 con centro en D que pase por A y un c´ırculo C3 con centro en A que pase por D. C2 ∩ C3 = {E, F}, los puntos A, D.E.F forman un rombo. Entonces la recta (EF) es perpendicular a la reca (AB). (Ver figura 12.3)

F 12.3. Perpendicular por punto C sobre g 2. C < g: El objetivo nuevamente es construir un rombo que tenga como esquinas al punto C y dos puntos sobre la recta g. A tal efecto escogemos un


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punto D sobre la recta g que no quede al pie de C y trazamos el c´ırculo C1 con centro en C y que pase por D, el cual intersecta a g en el punto E. Seguidamente trazamos un c´ırculo C2 con centro en E que pase por C y un c´ırculo C3 con centro en D y radio r3 := d(C, D), entonces C2∩C3 = {C, F} entonces la recta (CF) es la perpendicular buscada. (Ver figura 12.4)

F 12.4. Perpendicular por punto C < g Para aplicar la teor´ıa de Galois a los problemas de constructibilidad tenemos que aclararnos de qué manera interviene el a´ lgebra en dicho problema. Empecemos identificando R2 con el plano complejo C. Como el conjunto M posee, al menos, dos elementos, entonces podemos escoger dos puntos A, B ∈ M, A , B, y darnos un sistema de referencia, tales que la recta g := (AB) coincida con el eje x que identificaremos con R, A posea la coordenada (0, 0) y B la coordenada (1, 0) y d(A, B) = 1. Entonces la recta g := (AB) y el c´ırculo de radio r := 1 y centro en A están en G(M) y también la perpendicular g0 a la recta g por el punto A está en G(M), la cual la podemos identificar con el eje imaginario iy. Se tiene el sigueinte teorema que involucra a números complejos: T 12.99. 1. i ∈ Ω(M). 2. z ∈ Ω(M) ⇒ z¯ ∈ Ω(M). 3. Un número complejo z := reiψ ∈ Ω(M), Ssi r, eiψ ∈ Ω(M). D´. 1. Ya vimos que el eje imaginario iy y el c´ırculo C1 de radio r1 := 1 con centro en el origen están en G(Ω(M)). Por consiguiente i ∈ iy ∩ C1, lo que implica que i ∈ Ω(M). 2. Si z ∈ R no hay nada que demostrar. Supongamos, pues, que z < R. Entonces por el teorema 12.98, la perpendicular al eje real, por el punto z, g, está en G(Ω(M)), al igual que el c´ırculo C1 de radio r1 := |z| y w := z¯ ∈ g ∩ C1. Por lo tanto z¯ ∈ Ω(M).(Ver figura 12.5) 3. Como el eje real y el c´ırculo C1 de radio r1 := 1 están en G(Ω(M)), tenemos que con z := reiψ también r y w := eiψ están en Ω(M). r se obtiene como uno de los puntos de la intersección del c´ırculo C2 de radio r, que también está en G(Ω(M)), con el eje real y w como uno de los puntos de la intersección de la


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F 12.5. Conjugado recta g := λz, que también está en G(Ω(M)), con el c´ırculo C1. (Ver figura 12.6). Por otra parte, si r y w := eiψ están en Ω(M), entonces la recta g := λw y el c´ırculo C2 de radio r están en G(Ω(M)) y z := reiψ se obtiene como uno de los puntos de g ∩ C2.

F 12.6. z := reiψ T 12.100. Ω(M) es un campo. D´. Basta mostrar lo siguiente: a) z, w ∈ Ω(M) ⇒ z − w ∈ Ω(M). z b) z, w ∈ Ω(M), w , 0 ⇒ ∈ Ω(M). w

318


a) Con z, w ∈ Ω(M), la recta g := λw, su paralela g0 por z, el c´ırculo C1 con centro en en z y radio r1 := |w|, as´ı como el c´ırculo C2 de radio r := |w| con centro en el origen, están en G(Ω(M)). Entonces v := −w está en Ω(M) pues resulta de la intersección de g con C2. El punto A := z + v = z − w resulta de la intersección de g0 con el c´ırculo C1. (Ver figura 12.7)

F 12.7. A := z − w r z = ei(φ−ψ) . Debemos mostrar que b) Sean z := reiφ , w := seiψ ∈ Ω(M), w , 0, w s r y ei(φ−ψ) están en Ω(M). En efecto, como 1, i ∈ Ω(M), también v := 1 + i = s 1 − (−i) ∈ Ω(M) y la recta g := λv ∈ G(Ω(M)). También los c´ırculos C1 y C2 de radios r1 := s y r2 := r respectivamente, están en G(Ω(M)). Sea a el punto de intersección de la recta g con el c´ırculo C1 y b el punto de intersección de la recta g con el c´ırculo C2, entonces a, b ∈ Ω(M). Sean g1 la recta (1a) ∈ G(Ω(M)), g2 la recta paralela a g1 por b y c el punto de intersección de g2 con el eje x. Entonces c ∈ Ω(M) y utilizando el teorema de las proporciones c=

c |b| r = = ∈ Ω(M). 1 |a| s

Falta mostrar que ω := ei(φ−ψ) ∈ Ω(M). Como A := eiφ y B := eiψ están en Ω(M), y el punto D que es intersección del eje x con el c´ırculo C1 de radio r1 := 1 y centro en el origen O, también está en Ω(M), entonces el c´ırculo C2 con centro en D y radio r2 := d(A, B) está en G(Ω(M)). Entonces obtenemos C := ei(φ−ψ) como punto de intersección de C1 y C2.(Ver figura 12.9) Como un corolario del teorema 12.100, cuya demostración dejamos al lector, se tiene el siguiente resultado: C 12.101. El campo Q de los números racionales está contenido en Ω(M). √ T 12.102. Si z ∈ Ω(M), entonces también z ∈ Ω(M). √ D´. Basta mostrar que r ∈ Ω(M), para cualquier número positivo φ r ∈ Ω(M) y ei 2 ∈ Ω(M). En efecto, sea r ∈ Ω(M), r > 0 y supongamos de primero que r > 1. Sea la recta g una


F 12.8. Cociente

319

z w

F 12.9. C := ei(φ−ψ) r+1 están 2 r+1 en Ω(M) y por consiguiente el c´ırculo C1 con centro en en B y radio r1 := está en 2 G(Ω(M)). Entonces el punto de intersección a de la recta g con C1 está en Ω(M). Consideremos el triángulo rectángulo formado por los puntos a, 1, B, entonces por pitágoras tenemos: 1 + r 2 1+r (d(1, a))2 = (d(B, a))2 − (d(1, B))2 = − − 1 2 = r. 2 2 √ 1 Entonces d(1, a) = r.(Ver figura 12.10). Si 0 < r < 1, aplicamos el procedimiento a . r El caso r = 1 es trivial. Si A := eiφ ∈ Ω(M), entonces la recta g := λeiφ y su paralela g0 por el punto 1 están en G(Ω(M)), as´ı como también el c´ırculo C2 con centro en 1 y radio r2 := 1. Si B es el punto de intersección del c´ırculo C2 con la recta g0 , entonces los puntos φ O, 1, A, B forman un rombo y obtenemos el punto C := ei 2 como intersección de C1 y el segmento [OB]. (Ver figura 12.11) paralela al eje imaginario, que pasa por 1. Con r también A := r + 1, B :=

Ahora que hemos visto las principales propiedades de Ω(M), estamos en condiciones de estudiar sus propiedades algebraicas, que nos permitirán relacionar el problema de

320


F 12.10.

F 12.11.

Ra´ız cuadrada

φ

C := ei 2

construcción con la teor´ıa de Galois y estensión de campos. Bajo las condiciones que planteamos arriba sobre M y los teoremas demostrados, el lector comprobará que Q ⊆ Ω(M). ¯ donde Si κ := Q(M, M), ¯ := {¯z | z ∈ M}. M Obviamente κ¯ = κ y Ω(M) es una extensión de κ. El siguiente teorema nos caracteriza a los puntos de Ω(M): T 12.103. Sea z ∈ C. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: a) z ∈ Ω(M). b) Existe una cadena de campos K0 := κ ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Km := K ⊆ C. tal que z ∈ K y [Kµ : Kµ−1 ] 6 2, para 1 6 µ 6 m. c) El grado del polinomio de descomposición del polinomio minimal de z sobre κ es una potencia de 2. d) z está en una extensión finita de Galois de κ cuyo grado sobre κ es una potencia de 2.


321

D´. b) ⇒ c) Supongamos que para un determinado µ, 1 6 µ 6 m, [Kµ : Kµ−1 ] = 2. entonces existe un bµ ∈ Kµ , cuyo polinomio minimal Pµ es de grado 2 sobre Kµ−1 y Kµ = Kµ−1 (bµ ). Sea, entonces Pµ := X 2 + cX + d = X + Entonces βµ :=

c2 c 2 +d− . 2 4

√ c2 − 4d

es un elemento primitivo de la extensión Kµ Kµ−1 Entonces, para cada µ, 1 6 µ 6 m podemos encontrar un elemento aµ−1 ∈ Kµ−1 , √ tal que Kµ = Kµ−1 ( aµ−1 ). Vamos a mostrar la siguiente proposición: (A) Si K0 := κ ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Km := K ⊆ C √ es una cadena de campos, tal que Kµ := Kµ−1 ( aµ−1 ), para 1 6 µ 6 m, entonces existe una extensión de Galois E ⊆ C sobre K0 que contiene a K y para la cual existe una cadena de campos K0 := κ ⊆ E1 ⊆ · · · ⊆ El := E ⊆ C, tal que [Eλ : Eλ−1 ] 6 2, para 1 6 λ 6 l. De (A) resulta c): La extensión E es normal sobre κ, por ser de Galois y E contiene al campo de descomposición del polinomio minimal P de z sobre κ. Por consiguiente grad P | [E : κ]. Como [E : κ] es una potencia de 2, resulta que grad P debe ser también una potencia de 2. Mostremos ahora que (A) vale: Por inducción sobre m. Para m = 1 no hay nada que mostrar. Sea entonces m > 1 y supongamos, por hipótesis de inducción que (A) es cierto para todo entero n 6 m − 1. Entonces para la cadena K0 := κ ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Km−1 , existe un campo E 0 que cumple con las propiedades especificadas en (A). Sea Y G := (X 2 − ϕ(am−1 )) ϕ∈G(E 0 :K0

Entonces G ∈ K0 [X], ya que ψ(G) = G, ∀ ψ ∈ G(E 0 : K0 ). Sea E el campo de descomposición de G sobre E 0 . Como E 0 es de Galois sobre K0 , E 0 es normal y es campo de descomposición de un polinomio Q ∈ K0 [X]. Entonces E es campo de descomposición del polinomio GQ ∈ K0 [X] y, como tal, es de Galois sobre K0 . Obviamente E es una extensión de Lm = K, ya que el (X 2 − am−1 ) | G. La u´ ltima aserción de (A) resulta del siguiente diagrama de extensiones sucesivas:

322


Km

{{ {{ { {{ { {{ { { {{

Km−1

E E0 C CC CC CC El−1

.. .

.. .

K1 C CC CC CC K0

{{ {{ { {{

E1

c) ⇒ d) Resulta de la demostración de (A). d) ⇒ a) Vamos a mostrar que si K es una extensión de Galois sobre κ, tal que [K : κ] = 2m , para algún n ∈ N, entonces K ⊆ Ω(M). Por inducción sobre m. Si m = 0, no hay nada que demostrar. Sea entonces m > 0 y supongamos, por hipótesis de inducción, que la aserción es válida para todo entero n 6 m y mostremos que vale para m. En efecto, si [K : κ] = 2m , entonces ◦(G(K : κ)) = 2m . Entonces, por teorema 4.28, el centro Z(G(K : κ)) , {e}, por lo que existe un subgrupo normal H ⊆ Z(G(K : κ)) de orden 2. Para E := Fix H, vale entonces [K : E] = 2, [E : κ] = 2m−1 y, por el teorema 12.66, E es de Galois sobre κ. Por la hipótesis de inducción E ⊆ Ω(M). √ Como [K : E] = 2, vimos arriba que entonces existe a). Como a ∈ E, tal que K := E( √ √ a ∈ Ω(M), por teorema 12.102, también a ∈ Ω(M). Por lo tanto K := E( a) ⊆ Ω(M). a) ⇒ b) Vamos a mostrar primero lo siguiente: (B) Si N ⊆ C es un subconjunto que posee, al menos, dos puntos, entonces todo elemento z ∈ N (1) , al igual que z¯ ∈ N (1) son de grado 6 2, sobre ¯ K := Q(N, N). z ∈ N (1) implica que existen dos elementos A, B ∈ G(N), A , B, tales que z ∈ A ∩ B. Aqu´ı vamos a diferenciar tres casos posibles: i) A, B son dos rectas en C, Es decir que los puntos de cada una satisfacen una ecuación paramétrica de la forma w(t); = a + ct,

a, c ∈ C, c , 0,

t ∈ R.

Como t ∈ R, t = t¯ y se obtiene la ecuación c¯ (w − a) = c(w¯ − a¯ ) Esto quiere decir que si z está sobre una determinada recta en C, su conjugado z¯ está en la recta conjugada. Entonces si z ∈ A ∩ B debe existir un t0 ∈ R, tal que z = a + ct0 = b + dt0 ,

a, b, d, c ∈ N.


323

Es decir que z y z¯ deben ser solución del sistema de ecuaciones (12.54) (12.55)

c¯ (w − a) − c(w¯ − a¯ ) = ¯ − b) − d(w¯ − b) ¯ = d(w

0 0

Como los coeficientes del sistema de ecuaciones están todos en K, resulta que también z, z¯ ∈ K, y son de grado 1 < 2. ii) A es una recta y B es un c´ırculo. Entonces los puntos sobre la recta A satisfacen una ecuación de la forma: c¯ (w − a) = c(w¯ − a¯ ),

a, c ∈ K, c , 0,

y los puntos sobre el c´ırculo B una ecuación de la forma ¯ = s, d ∈ N (w − d)(w¯ − d) y s es el cuadrado de la distancia entre dos puntos de N. Nuevamente, si z satisface el sistema de estas dos ecuaciones, también lo hace z¯, de la primera ecuación se obtiene c¯ (z − a) + a¯ . c Substituyendo en la segunda ecuación se obtiene una ecuación polinómica de segundo grado en z con coeficientes en K y lo mismo para z¯. Por lo tanto grad z = grad z¯ 6 2. iii) A, B son c´ırculos. Entonces si z ∈ A ∩ B, z debe satisfacer el sistema de ecuaciones z¯ =

(12.56) (12.57)

(z − a)(¯z − a¯ ) = ¯ = (z − b)(¯z − b)

r, s,

donde a, b, r, s ∈ K y a , b. Substrayendo la segunda ecuación de la primera, se obtiene, poniendo c := r − s + bb¯ − a¯a, el sistema de ecuaciones (12.58) (12.59)

(b¯ − a¯ )w + (b − a)w¯ ¯ (w − b)(w¯ − b)

= c =

s.

Como a−b , 0, el problema se reduce al caso ii). La primera ecuación corresponde a la ecuación del llamado eje radical, que es una recta que pasa por los puntos de intersección de los dos c´ırculos. Sea entonces z ∈ Ω(M), entonces existe un número natural n, tal que z ∈ M (n) . Por consiguiente existe un número finito de puntos en M (n−1) a partir de los cuales fue construido z y lo mismo podemos decir de los puntos de M (n−1) . Por consiguiente existe una sucesión finita de puntos z1 , . . . , zm tales que: 1. zm := z 2. para µ = 2, . . . , m, zµ es construible a partir de M ∪ {z1 , . . . , zµ−1 } 3. z1 es construible a partir de M. Sea N1 := M y Nµ := M ∪ {z1 , . . . , zµ−1 }, para 2 6 µ 6 m. Por (B) son, entonces ¯ = κ(z1 , . . . , zm , z¯1 , . . . , z¯m ). Por zµ , z¯µ elementos de grado 6 2 sobre K := Q(N, N) lo tanto vale b).

324


Finalmente con base a la teor´ıa desarrollada hasta aqu´ı, entremos a analizar algunos de los problemas de construcción que fueron quebraderos de cabeza para los matemáticos griegos de la antigüedad y que mensionáramos al inicio de esta sección. 1. Problema de la cuadratura del c´ırculo: Construir con regla y compás un cuadrado de lado l, tal que su a´ rea coincida con √ el a´ rea de un c´ırculo de radio r := 1. Es decir que l2 = π, de donde l = π. Dándonos √ un c´ırculo de radio r := 1, tenemos entonces que M := {0, 1}. Si α := π ∈ Ω(M), entonces también ¯ = Q, es decir π ser´ıa un α2 = π ∈ Ω(M) y π ser´ıa algebraico sobre κ := Q(M, M) número algebraico, lo cual no es cierto. Los matemáticos griegos y de la antigüedad nunca pudieron dar respuesta a este problema, pues la trascendencia del número π no fue demostrada hasta en el año 1882, por el matemático alemán Karl Ferdinand Lindemann, en su art´ıculo ¨ “Uber die Zahl π”, ver [30]. 2. El problema de Deli: Dado un cubo K de arista l = 1, construir con regla y compás la arista l0 de un cubo K 0 ,√cuyo volumen sea el doble del volumen de K. 3 M = {0, 1} Es decir que l03 = 2, o sea l0 = 2. Nuevamente nuestro conjunto √ ¯ = Q. La pregunta es entonces si α := 3 2 ∈ Ω(M). Como y κ := Q(M, M) √3 grad α = grad 2 = 3 sobre Q y 3 no es potencia de 2, entonces α < Ω(M), por lo que dicho cubo no puede ser construido con regla y compás. 3. Costrucción del pol´ıgono regular de n lados: La respuesta nos la da el siguiente teorema de Gauss: T 12.104 (Teorema de Gauss). El n-pol´ıgono regular es construible con regla y compás, Ssi φ(n) es una potencia de 2. Donde φ es la función de Euler. D´. Sabemos que las n-ra´ıces de la unidad forman sobre el c´ırculo de radio r := 1 un n-pol´ıgono regular, por lo que nuestro problema se traduce en términos algebraicos de la siguiente forma: Dado M = {0, 1}, ¿Para qué valores de n está una n-ra´ız primitiva de la unidad en Ω(M)? Como sabemos las n-ra´ıces primitivas de la unidad son las ra´ıces del polinomio ciclotómico Fn , el cual, por teorema 12.81, es irreducible en Q[X], por consiguiente Fn es su polinomio minimal y grad Fn = φ(n). Por lo tanto un n-pol´ıgono regular es construible con regla y compás, Ssi φ(n) es una potencia de 2. Cabe ahora preguntarnos ¿Cuándo es φ(n) una potencia de 2? Si n = pr11 · · · prmm , donde, para cada µ, 1 6 µ 6 m, pµ primo, entonces, por lema 7.8, se tiene m m Y 1 Y r −1 φ(n) = φ(q1 ) · · · φ(qm ) = prµ 1− = (pµ −1)pµµ = pr11−1 · · · prmm (P1 −1) · · · (pm −1). p µ µ=1 µ=1 Entonces φ(n) es una potencia de 2, Ssi para todos los primos pµ , 2, rµ = 1 y pµ − 1 es una potencia de 2. Decimos que un número primo impar p es un número primo de Fermat, si p − 1 es una potencia de 2. Entonces podemos concluir lo siguiente: T 12.105. El n-pol´ıgono regular es construible con regla y compás, Ssi n posee la representación n = 2r p1 · · · pm , donde los pµ son primos de Fermat.


325

El siguiente teorema nos caracteriza a los primos de Fermat: T 12.106. Si p es un primo de Fermat, entonces p posee la representación t p = 22 + 1, donde t es un número natural. D´. Si s es un número impar, entonces −1 es una ra´ız del polinomio X s + 1 y X s + 1 = (X + 1)G, donde G ∈ Z[X]. Si r es cualquier entero positivo, Substituyendo X por 2r obtenemos (12.60)

2rs + 1 = (2r ) s + 1 = (2r + 1)G(2r ). Si m no fuera una potencia de 2, entonces existir´ıa un s impar y un entero positivo r, tal que m = sr y por la ecuación (12.60), 2m + 1 no podr´ıa ser primo. Por consiguiente m = 2t , para algún número natural t. t

No todos los números de la forma n = 22 + 1 resultan ser primos. Un caso 5 conocido, pero dificil de probar, por su gran magnitud, es el número n = 22 +1 = 4294967297. Sin embargo podemos afirmar que para los siguientes valores de n, el n-pol´ıgono es construible con regla y compás: n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20. Mientras que para los siguientes valores de n no es posible construir el n-pol´ıgono: n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19. 4. La trisección de un a´ ngulo: Dado un a´ ngulo cualquiera ¿Es posible, con regla y compás, dividir dicho a´ ngulo en tres partes iguales? La respuesta es que no, pues si fuera posible, entonces del triángulo equilatero podr´ıamos construir el pol´ıgono de 9 lados, el cual no es construible, por no tener la descomposición en números primos requerida.

Parte 3

´ CATEGORIAS Y FUNTORES, ´ ALGEBRAS UNIVERSALES Y ´ FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA ´ HOMOLOGICA

CAP´ıTULO 13

´ A LA TEORIA ´ DE CATEGORIAS ´ INTRODUCCION Y FUNTORES

F 13.1. Samuel Eilenberg

13.1.

Categor´ıas y Funtores

˜ Histórica. Los conceptos de categor´ıa, funtores y transformacio13.1.1. Resena nes naturales fueron introducidos, por primera vez, por los matemáticos Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane, entre 1942 y 1945, en sus trabajos sobre topolog´ıa algebraica. Su preocupación por entender la naturaleza de las transformaciones naturales en la topolog´ıa algebraica los llevó a definir el concepto de funtor y de categor´ıa. El subsiguiente desarrollo de la teor´ıa de categor´ıas y funtores fue motivado por las necesidades del a´ lgebra homológica y de la geometr´ıa algebraica moderna, las cuales hacen un copioso uso de dicha teor´ıa.

F 13.2. Saunders Mac Lane Según Stanislaw Ulam, al parecer, ya en los años 30, exist´ıan en Polonia ideas relacionadas con los métodos de la teor´ıa de categor´ıas y funtores, la cual surge como una 329

330

´ A LA TEORÍA DE CATEGORÍAS Y FUNTORES 13. INTRODUCCION

continuación natural a los trabajos de Emy Noether, profesora de Eilenberg en Goetingen. Según Emy Noether, para entender y comprender una estructura matemática es necesario también comprender los procesos que preservan dicha estructura. Inspirados en esta filosof´ıa Eilenberg y Mac Lane propusieron una formalización axiomática de la relación entre estructuras y los procesos que la conservan. Introducen, de forma axiomática, la noción abstracta de objetos y de morfismos, o flechas entre objetos, que son relaciones que conservan la estructura de los objetos y se deducen, a partir de los axiomas dados, propiedades generales que serán válidas en cualquier categor´ıa. As´ı, por ejemplo, los teoremas de isomorf´ıa estudiados en la teor´ıa de grupos y anillos, pueden ser deducidos, en forma general y abstracta, en la teor´ıa de categor´ıas. Los funtores resultan siendo una especie de “aplicaciones” entre dos catgor´ıas y existen dos tipos de funtores: los funtores covariantes que mantienen el sentido de las flechas y los funtores contravariantes que cambian el sentido de las flechas. La teor´ıa de catgor´ıas y funtores, fue también bautizada, en sus inicios, como la general theory of nonsense, por su alto grado de abstracción. 13.1.2. Categor´ıas. Una categor´ıa A consiste de una colección de objetos Ob(A); para cada par de objetos A, B ∈ Ob(A) un conjunto MorA (A, B), llamado el conjunto de morfismos o flechas de A a B; y para cada tres objetos A, B, C ∈ Ob(A) una ley de composición ◦ : MorA (B, C) × MorA (A, B) → MorA (A, C) que cumple con los siguientes axiomas: Cat 1. Dos conjuntos MorA (A, B) y MorA (C, D) son disjuntos, a menos que A = C y B = D, en cuyo caso son iguales. Cat 2. Para cada objeto A ∈ Ob(A) existe un morfismo 1A ∈ MorA (A, A), llamado el morfismo identidad sobre A, tal que para cualquier objeto B ∈ Ob(A), f = f ◦ 1A , ∀ f ∈ MorA (A, B) y g = 1 ◦ g, ∀ g ∈ MorA (B, A). Cat 3. La ley de composición es asociativa. Es decir, dados f ∈ MorA (A, B),

g ∈ MorA (B, C),

h ∈ MorA (C, D)

entonces (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ), para todos los objetos A, B, C ∈ Ob(A). En el caso en que no haya confusión eliminaremos el sub´ındice A y escribiremos Mor(A, B). Dada una categor´ıa A, denotareos por Ar(A), (por “Arrow”), a la familia de todos los morfismos de dicha categor´ıa. En muchas categor´ıas los morfismos son aplicaciones entre dos objetos, pero, en general, no necesariamente es e´ ste el caso. Sin embargo, si f ∈ Mor(A, B) se escribe f : A → B o bien

A

f

/ B.

A recibe el nombre de dominio de f y B el de rango o contradominio de f . Dado un morfismo f ∈ Mor(A, B), donde A, B son objetos de una categor´ıa A, entonces f es un monomorfismo, si para todos los morfismos g1 , g2 ∈ Mor(X, A), donde X es un objeto cualquiera de A, g1 ◦ f = g2 ◦ f ⇒ g1 = g2 . f es un epimorfismo, si para todos los morfismos g1 , g2 ∈ Mor(B, X), donde X es un objeto cualquiera de A, f ◦ g1 = f ◦ g2 ⇒ g1 = g2 .

13.1. CATEGORÍAS Y FUNTORES

331

f es un bimorfismo, si es un monomorfismo y un epimorfismo. f es una retracción, si posee una inversa derecha, es decir, si existe un morfismo g ∈ Mor(B, A), tal que f ◦ g = 1B . f es una sección, si posee una inversa izquierda, es decir, si existe un morfismo g ∈ Mor(B, A), tal que g ◦ f = 1A . f es un isomorfismo, si posee una inversa, es decir si existe un morfismo g ∈ Mor(B, A), tal que g ◦ f = 1A y f ◦ g = 1B . En tal caso diremos que A y B son objetos isomorfos o equivalentes en la categor´ıa A. f es un endomorfismo, si A = B. En tal caso escribiremos End(A) en lugar de Mor(A, A). f es un automorfismo, si A = B y f es un isomorfismo. En tal caso escribiremos Aut(A) para designar al conjunto de todos los automorfismos sobre A. f es un morfismo constante, si f ◦ g = f ◦ h, para todo par de morfismos g, h ∈ Mor(X, A), donde X es un objeto cualquiera de A. T 13.1. Sea A una categor´ıa. Si f ∈ Mor(A, B), A, B ∈ Ob(A), posee una inversa g ∈ Mor(B, A), entonces g es u´ nica y la designaremos por f −1 . D´. Supongamos que g, g˜ sean dos inversas de f , entonces se tiene 1A = g ◦ f

(13.1)

y

1B = f ◦ g.

Aplicando g˜ a cualquiera de las ecuaciones (13.1) se obtiene g˜ = g˜ ◦ 1B = g˜ ◦ ( f ◦ g) = (˜g ◦ f ) ◦ g = 1A ◦ g = g. O´. En general, el hecho de ser monomorfismo y epimorfismo no implica el de ser isomorfismo. Como lo muestra el siguiente ejemplo: A sea una categor´ıa con dos objetos A, B y Ar(A) consta u´ nicamente de 1A ∈ End(A), 1B ∈ End(B) y un u´ nico morfismo f ∈ Mor(A, B). Entonces f es un monomorfismo y un epimorfismo, pero no necesariamente un isomorfismo. E 13.1. 1. La categor´ıa Set , cuyos objetos son los conjuntos y sus morfismos las aplicaciones entre dos conjuntos. 2. La categor´ıa Grp, cuyos objetos son los grupos y sus morfismos son los homomorfismos de grupos. 3. La categor´ıa Ring , cuyos objetos son los anillos y sus morfismos son los homomorfismos de anillos. 4. La categor´ıa Ab, cuyos objetos son los grupos abelianos y sus morfismos son los homomorfismos de grupos. 5. Dado un campo K,Vect K es la categor´ıa cuyos objetos son los K-espacios vectoriales y sus morfismos son las aplicaciones K-lineales. En estos cinco ejemplos se verifica, de forma trivial, que la composición usual de aplicaciones y homomorfismos satisface los axiomas Cat 1.-Cat3. Además en estos cinco casos si f es un monomorfismo y un epimorfismo es también un isomorfismo, ya que monomorfismo implica inyectividad y epimorfismo implica sobreyectividad. Decimos que una categor´ıa A es discreta, si sus u´ nicos morfismos son los morfismos identidad.

332


Un caso t´ıpico de una categor´ıa discreta es el siguiente: Dado un conjunto M, consideremos la categor´ıa D(M), cuyos objetos son los elementos de M y sus morfismos son u´ nicamente los morfismos identidad. D(M) recibe el nombre de la categor´ıa discreta sobre el conjunto M. O´. En general, desde el punto de vista de la teor´ıa axiomática de conjuntos, dada una categor´ıa A, Ob(A) no necesariamente es un conjunto, por lo que se habla de una colección de objetos o una clase (ver, por ejemplo, [52]). Cuando e´ ste es el caso, entonces se dice que A es una categor´ıa pequeña. Si consideramos la categor´ıa Set , no podemos decir que Ob(Set ) es el conjunto de todos los conjuntos, pues esto lleva a contradicciones y paradojas en la teor´ıa de conjuntos. Un ejemplo t´ıpico de una categor´ıa pequeña es el siguiente: Sea (M, ) un conjunto quasiordenado y consideremos A(M), cuyos objetos son los elementos de M, entonces Ob(A(M)) = M y dados x, y ∈ M, diremos que existe un morfismo de x en y, si x y. Entonces A(M) es una categor´ıa pequeña. Si x, y no están relacionados, entonces Mor(x, y) = ∅, de lo contrario Mor(x, y) posee un u´ nico elemento. Los axiomas Cat1-Cat3 se cumplen trivialmente, considerando la reflexividad y transitividad de . Otro ejemplo t´ıpico es el siguiente: Consdieremos el grafo dirigido ' (13.2) = •A CC CC || | CC || CC | ! ' || •F C •B B 7 BB BB BB B! 7 •D y consideremos C, cuyos objetos son los vértices del grafo (13.2), es decir el conjunto M := {•A , •B , •C , •D } = Ob(C). y un morfismo de Mor(•X , •Y ), donde •X , •Y cualesquiera dos objetos de M, es una arista dirigida de •X ,a •Y . Entonces C es una categor´ıa pequeña. El lector observará que en estos dos ejemplos los morfismos no son aplicaciones. Si A y B son categor´ıas, diremos que A es una subcategor´ıa de B, si i) Ob(A) ⊆ Ob(B) ii )]MorA (X, Y) ⊆ MorB (X, Y), para todo X, Y ∈ Ob(A). iii) Dados f ∈ MorA (X, Y) y g ∈ MorA (Y, Z), entonces g ◦ f en MorA (X, Z) coincide con g ◦ f en MorB (X, Z), para todo X, Y, Z ∈ Ob(A). iv) El morfismo identidad de X ∈ Ob(A) coincide con el morfismo identidad de X ∈ Ob(B), para todo X ∈ Ob(A). Si además vale que MorA (X, Y) = MorB (X, Y), para todo X, Y ∈ Ob(A), entonces se dice que A es una subcategor´ıa completa de B. A partir de una categor´ıa dada, es posible construir otras categor´ıas, como la categor´ıa dual u opuesta: Dada una categor´ıa A, la categor´ıa dual u opuesta es la categor´ıa A∗ , cuyos objetos son los mismos de A y MorA∗ (X, Y) := MorA (Y, X), para todo X, Y ∈ Ob(A∗ ). Si denotamos por ∗ la composición en A∗ , entonces f ∗ g := g ◦ f . Dadas dos categor´ıas A, B, la categor´ıa producto C := A × B es la categor´ıa, tal que Ob(C) := Ob(A) × Ob(B) y, para cada par (X, Y), (V, W) ∈ Ob(C), MorC ((X, Y), (V, W)) :=


333

MorA (X, V) × MorB (Y, W). La ley de composición viene dada por ( f1 , f2 ) ◦ (g1 , g2 ) := ( f1 ◦ g1 , f2 ◦ g2 ). Sean A una categor´ıa y A ∈ Ob(A) un objeto fijo. Consideremos AA , cuyos objetos son todos los morfismos f : A → X, X ∈ Ob(A). Dados dos objetos f, g ∈ Ob(AA ), f : A → X,

g : A → Y,

un morfismo en MorAA ( f, g) es un morfismo h ∈ MorA (Y, X), que hace conmutar al diagrama (13.3)

g

Y

A? ?? f ?? ?? /X h

Entonces podemos pensar que un morfismo Φ ∈ MorAA ( f, g) es un diagrama conmutativo (13.3). Si Ψ ∈ MorAA (g, u), le corresponde un diagrama conmutativo (13.4)

u

Z

A? ?? g ?? ?? /Y w

Entonces Ψ ◦ Φ se obtiene por yuxtaposición de los diagramas (13.3) y (13.4), obteniendo el diagrama conmutativo: (13.5)

A/ u/// /// g /f Z ??? /// ? w h◦w ??/// ? /X Y h

O sea que Ψ ◦ Φ es el morfismo h ◦ w ∈ MorA (Z, X) que hace conmutar al diagrama (13.5). El morfismo identidad 1 f para f ∈ MorA (A, X) corresponde al morfismo 1X ∈ MorA (X, X). Si tenemos otro morfismo Γ ∈ MorAA (g, p) al que le corresponde el diagrama (13.6)

~ ~~ ~ ~ ~ ~ p

W

A? ?? ??u ?? /Z v

Entonces a Γ ◦ (Ψ ◦ Φ) le corresponde el morfismo v ◦ (w ◦ h) = (v ◦ w) ◦ h que corresponde a (Γ ◦ Ψ) ◦ Φ. AA es entonces una categor´ıa. En forma análoga podemos construir la categor´ıa AA , cuyos objetos son todos los morfismos f : X → A, X ∈ Ob(A).


334

Dados dos objetos f, g ∈ Ob(AA f : X → A,

g : Y → A,

un morfismo en MorAA ( f, g) es un morfismo h ∈ MorA (X, Y) que hace conmutar al diagrama (13.7)

/Y X? h ?? ?? g f ?? A

Dejamos al lector los pormenores de mostrar que AA cumple con los axiomas de una categor´ıa. En general, dada una categor´ıa A podemos formar la categor´ıa A0 , tal que Ob(A0 ) := Ar(A). Dados dos objetos f, g ∈ Ob(A0 ) f : X → Y,

g : Z → W,

un morfismo en MorA0 ( f, g) es un par de morfismos (ϕ f g , ψ f g ) ∈ MorA (X, Z) × MorA (Z, W), tales que hacen conmutar al diagrama (13.8)

X ϕfg

Z

f

/Y ψfg

g

/W

Como en los ejemplos precedentes, podemos pensar que un morfismo Φ f g ∈ MorA0 ( f, g), es un diagrama conmutativo (13.8). Si tenemos un morfismo Φgu ∈ MorA0 (g, u), le corresponde el diagrama (13.9)

Z

g

ϕgu

U

u

/W /V

ψgu

Entonces obtenemos Φgu ◦ Φ f g sobreponiendo ambos diagramas (13.10)

X ϕfg

Z

f

ψfg

g

/W

u

/V

ϕgu

U

/Y

ψgu

y a Φgu ◦ Φ f le corresponde el par de morfismos (ϕgu ◦ ϕ f g , ψgu ◦ ψ f g ) ∈ MorA (X, U) × MorA (Y, V). El morfismo identidad 1 f ∈ MorA0 ( f, f ), está dado por el par (1X , 1Y ) ∈ MorA (X, X) × MorA (Y, Y). Dejamos al lector los pormenores de mostrar que A0 es una categor´ıa.


335

Otra categor´ıa muy común y que se obtiene a partir de la categor´ıa Set , es la categor´ıa Set 2 , cuyos objetos son pares ordenados de conjuntos (A, X), donde A ⊆ X. Dados dos objetos en Set 2 un morfismo en MorSet 2 ((A, X), (B, Y)) es un par ( f, g) ∈ MorSet (A, B) × MorSet (X, Y), tales que hacen conmutar al diagrama (13.11)

A f

i

/X g

B

j

/Y

donde i, j son, respectivamente, las inclusiones de A en X y de B en Y. Dejamos al lector la tarea de mostrar que Set 2 es una catregor´ıa. Es más, Set 2 es una subcategor´ıa de Set 0 . Un caso particular de la categor´ıa Set 2 , es la categor´ıa Set 0 ,donde los objetos son pares (X, x0 ), donde x0 ∈ X, se llama el punto base, X ∈ Ob(Set ). Dados dos objetos (X, x0 ), (Y, y0 ) ∈ Ob(Set 0 ) un morfismo f ∈ MorSet 0 ((X, x0 )(Y, y0 )), es un morfismo f ∈ MorSet (X, Y), tal que f (x0 ) = y0 . Set 0 es la categor´ıa de conjuntos con punto base. Un ejemplo de una categor´ıa que impl´ıcitamente es una categor´ıa con punto base, es la categor´ıa Grp, de los grupos, pues el elemento neutro cumple con las condiciones de un punto base, ya que todo homomorfismo de grupos aplica elemento neutro en elemento neutro.

13.1.3.


1. Sean A, B dos objetos de Set y f : A → B un morfismo. Mostrar que, si f no es un monomorfismo, entonces existen a1 , a2 ∈ A, tales f (a1 ) = f (a2 ), es decir que f no es una aplicación inyectiva. Por otra parte si f no es una aplicación inyectiva, entonces f no puede ser un monomorfismo. Mostrar también que f es un epimorfismo, Ssi es sobreyectiva. 2. Mostrar que Top, cuyos objetos son todos los espacios topológicos y sus morfismos son las aplicaciones continuas, cumple con los axiomas de una categor´ıa, la categor´ıa de los espacios topológicos. En la topolog´ıa algebraica juegan un papel muy importante la categor´ıas Top 0 de los espacios topológicos con punto base y la categor´ıa Top 2 , de los pares (A, X), donde X es un espacio topológico y A ⊆ X un subespacio. 3. Mostrar que Ab es una subcategor´ıa de Grp. 4. Sea A una categor´ıa, y A, B ∈ Ob(A) dos objetos fijos. Mostrar que A(A,B) , cuyos objetos son los diagramas ∆X de la forma (13.12)

fA

A

X? ?? f ??B ??

B


336

donde fA ∈ MorA (X, A) y fB ∈ MorA (X, B) Dado otro diagrama ∆Y (13.13)

gA

A

Y? ?? g ??B ??

B

Un morfismo de ∆X en ∆Y viene dado por un morfismo h ∈ MorA (X, Y) que hace conmutar al diagrama (13.14)

X/ /// h /// fA B ? //fB ??? /// ? g gB ??// A A B

satisface los axiomas de una categor´ıa. 5. De forma análoga al ejercicio precedente, si A(A,B) , cuyos objetos son diagramas de la forma (13.15)

? X ?_ ??? f B ?? ? fA

A

B

definir sus morfismos, dar el diagrama correspondiente y mostrar que satisface los axiomas de una categor´ıa. 13.1.4. Funtores. Los funtores juegan en la teor´ıa de categor´ıas un papel similar al de las aplicaciones. Por medio de un funtor pasamos de una categor´ıa a otra, transformándonos tanto objetos como morfismos. Sean A, B dos categor´ıas. Un funtor covariante de A en B F:A→B consiste de: i) Una aplicación F : Ob(A) → Ob(B) ii) Aplicaciones F = F XY : MorA (X, Y) → MorB (F(X), F(Y)), para todo X, Y ∈ Ob(A)). iii) F( f ◦ g) = F( f ) ◦ F(g), para toda composición de morfismos en A. iv) F(1X ) = 1F(X) , para todo X ∈ Ob(A) Si en lugar de ii) F = F XY : MorA (X, Y) → MorB (F(Y), F(X)), para todo X, Y ∈ Ob(A) y en lugar de iii) F( f ◦ g) = F(g) ◦ F( f ), para toda composición de morfismos en A, entonces se dice que F es un funtor contravariante. E 13.2. 1. El funtor identidad 1A : A → A, tal que 1A (X) := X, para todo X ∈ Ob(A) y 1A ( f ) := f , para todo f ∈ Ar(A). 2. El funtor constante. Dado un elemento fijo B ∈ Ob(B), T : A → B, tal que T (X) := B, para todo X ∈ Ob(A) y T ( f ) := 1B , para todo f ∈ Ar(A).


337

3. Dado A ∈ Ob(A) fijo definimos F A : A → Set , tal que F A (X) := MorA (A, X) y dado un morfismo f : X → Y, F A ( f ) := f∗ : MorA (A, X) → MorA (A, Y), donde f∗ (g) := f ◦ g, para todo g ∈ MorA (A, X). 4. Dado A ∈ Ob(A) fijo definimos F A : A → Set , tal que F A (X) := MorA (X, A) y dado un morfismo f : X → Y, F A ( f ) := f ∗: MorA (Y, A) → MorA (X, A), donde f ∗( g) := g ◦ f , para todo g ∈ MorA (Y, A). Este es un ejemplo de un funtor contravariante. 5. Caso particular de los dos ejemplos precedentes, lo constituyen los funtores hom(A, ) y hom( , A) de la categor´ıa de grupos abelianos en la categor´ıa de grupos abelianos. 6. Si F : A → B y G : B → C son funtores, entonces también la composición G ◦ F : A → C es un funtor. T 13.2. Sea F : A → B un funtor covariante (contravariante). Si f : X → Y es un isomorfismo en A, entonces F( f ) : F(X) → F(Y) (F(Y) → F(X)) es un isomorfismo en B y (F( f ))−1 = F( f −1 ). D´. Haremos la demostración en el caso covariante, dejando al lector el caso contravariante. En efecto 1X = f −1 ◦ f ⇒ 1F(X) = F( f −1 ◦ f ) = F( f −1 ) ◦ F( f ) y 1Y = f ◦ f −1 ⇒ 1F(Y) = F( f ◦ f −1 ) = F( f ) ◦ F( f −1 ). por lo que F( f −1 ) es la inversa de F( f ).

El sencillo teorema 13.2 constituye un arma muy poderosa, sobre todo si se desea mostrar que dos objetos en la categor´ıa A no son isomorfos, mostrando que no sin isomorfos en la categor´ıa B. En la topolog´ıa algebraica se construyen los funtores Hn y πn , n ∈ N, ambos funtores de Top en Grp, llamados el n-funtor de homolog´ıa y el n-funtor de homotop´ıa, respectivamente. Con su ayuda se muestra que Rn y y la n-esfera Sn no pueden ser homeomorfos, ya que Hn (Rn ) = 0, mientras que Hn (Sn ) ' Z. También se muestra el llamado teorema del punto fijo de Brouwer que nos dice que toda aplicación continua f : Rn → Rn , posee un punto fijo. Los funtores Hn , aunque su definición es más complicada, son de naturaleza más sencilla, ya que para cada n ∈ N, Hn : Top → Ab, mientras que πn : Top → Grp y sólo en algunos casos πn (X) es un grupo abeliano. (Ver por ejemplo [49],[13]). Sean F, G : A → B funtores. Una transformación natural o funtorial Φ : F → G, consiste de un sistema de morfismos ΦX ∈ MorB (F(X), G(X)), uno para cada X ∈ Ob(A), tal que todos los diagramas (13.16)

F(X)

F( f )

ΦY

ΦX

G(X)

/ F(Y)

G( f )

sean conmutativos, para todo f ∈ MorB (X, Y).

/ G(Y)


338

Si, para cada X ∈ Ob(A), ΦX es un isomorfismo, entonces se dice que Φ es una equivalencia natural. Entonces ΦX posee, para cada X ∈ Ob(A) una inversa Φ−1 X , que nos induce una transformación natural inversa Φ−1 : B → A. E 13.3. 1. Para cada funtor F : A → B, ΦX := 1F(X) , para todo X ∈ Ob(A) induce una transformación natural Φ : F → F, la cual es una equivalencia natural. 2. Dados tres funtores F, G, H : A → B y transformaciones naturales Φ : F → G, Ψ : G → H, entonces la composición (Ψ ◦ Φ) : F → H, donde (Ψ ◦ Φ)X := ΨX ◦ ΦX es una transformación natural. 3. Sea A una categor´ıa, A ∈ Ob(A) un objeto fijo y consideremos el funtor F A : A → Set . Dado un funtor cualquiera G : A → Set sea a ∈ G(A) un elemento fijo del conjunto G(A). Definimos Φa : F A → G, de la siguiente forma: ΦaX : F A (X) = MorA (A, X) → G(X), por ΦaX (g) := (G(g))(a), para cada g ∈ MorA (A, X). Vamos a verificar que el diagrama MorA (A, X)

(13.17)

f∗

/ MorA (A, Y) ΦaY

ΦaX

G(X)

/ G(Y)

G( f )

conmuta. En efecto, para g ∈ MorA (A, X) (G( f ) ◦ ΦaX )(g) = G( f )(G(g)(a)) = (G( f ◦ g))(a) = ΦaY ( f ◦ g) = ΦaY ( f∗ (g)) = (ΦaY ◦ f∗ )(g). 4. De igual forma se puede proceder con el funtor F A . Dejamos al lector la inquietud de definir la transformación Φa . (No olvidar que F A es un funtor contravariante). En la topolog´ıa algebraica se muestra que, bajo determinadas condiciones, existe una transformación natural Ψ : πn → Hn , para n > 2, donde ΨX : πn (X) → Hn (X) es el nhomomorfismo de Hurewicz. Para ciertos tipos de espacios Ψ es también una equivalencia natural. (Ver, por ejemplo, [49]). T 13.3 (Lema de Yoneda). Si G : A → Set es un funtor cualquiera y Φ : F A → Set una transformación natural, donde A es un objeto fijo en Ob(A), entonces existe un u´ nico a ∈ G(A), tal que Φ = Φa y a = ΦA (1A ). D´. Como Φ es una transformación natural, en particular el diagrama MorA (A, A)

(13.18)

f∗

ΦA

G(A)

/ MorA (A, X) ΦX

G( f )

/ G(X)

es conmutativo para todo f ∈ MorA (A, X). Entonces para 1A ∈ MorA (A, A) se tiene ΦX ( f∗ (1A )) = ΦX ( f ◦ 1A ) = ΦX ( f ) = G( f )(ΦA (1A )) = G( f )(a), donde a := ΦA (1A ).


339

Dejamos al lector la tarea de enunciar y demostrar el lema de Yoneda para el funtor FA. El lema de Yoneda nos dice que toda transformación natural de los funtores F A y F A es de la forma Φa y está completamente determinada por su valor en 1A , el cual puede ser escogido arbitrariamente. Por lo que sigue, salvo indicación de lo contrario, por funtor entenderemos un funtor covariante o contravariante indistintamente. Si G : A → Set es un funtor y A ∈ Ob(A) un objeto fijo, decimos que u ∈ G(A) es un elemento universal respecto de G, si Φu : F A → G es una equivalencia natural. (Φu : F A → G en el caso contravariante). No todo funtor G admite un elemento universal. Un funtor G que admite un elemento universal u se llama un funtor representable y se dice que el par (A, u) representa al funtor G. T 13.4. Sea G : A → Set un funtor representable, con elemento universal u ∈ G(A). Si C ∈ Ob(A) y c ∈ G(C), entonces existe un u´ nico morfismo γ : A → C, tal que G(γ)(u) = c. Si c es también universal, entonces γ es un isomorfismo. D´. En efecto, como Φu es una equivalencia, existe un u´ nico elemento γ ∈ MorA (A, C), tal que c = ΦCu (γ) = G(γ)(u). Si c ∈ G(C) es universal, entonces Φc es una equivalencia y existe un u´ nico elemento β ∈ MorA (C, A), tal que u = ΦcA (β) = G(β)(c), entonces ΦuA (1A ) = u = G(β)(c) = G(β)(G(γ)(u) = G(β ◦ γ)(u) = ΦuA (β ◦ γ), y como ΦuA es un isomorfismo resulta 1A = β ◦ γ. En forma análoga se muestra que γ ◦ β = 1C . Por lo tanto γ es un isomorfismo si c es universal. El teorema 13.4, nos dice que un elemento universal es u´ nico, salvo isomorfismo, en cualquier categor´ıa donde exista. Si G es representable, y (U, u) es un objeto universal, entonces existen dos opciones. G representable en AU o G representable en AU . En el primer caso, existe un u´ nico morfismo de U en cualquier otro objeto de A y se dice que (U, u) es un objeto universal repelente . En el segundo caso existe un u´ nico morfismo de cualquier objeto de A en U y se dice que (U, u) es un objeto universal atrayente. Se dice que un objeto U es un objeto inicial en la categor´ıa A, si para todo objeto X de A existe un u´ nico morfismo de U en X. Es decir que el conjunto MorA (U, X) es singular. Se dice que un objeto U es un objeto final en la categor´ıa A, si para todo objeto X de A existe un u´ nico morfismo de X en U. Es decir que el conjunto MorA (X, U) es singular. En realidad todo objeto final o inicial resultan como objetos universales repelentes, respectivamente atrayentes y viceversa, todo objeto universal repelente, respectivamente atrayente, resulta ser objeto final, respectivamente inicial, en una cierta categor´ıa. Si G : A → Set es un funtor tal que G(X) es un conjunto singular, para todo objeto X de A, entonces, si (U, u), donde u ∈ G(U), es un objeto universal repelente o atrayente debe valer que MorA (U, X), respectivamente MorA (X, U) sean conjuntos singulares para cualquier objeto X de A, por lo que U es un objeto inicial, respectivamente final en A y viceversa. En el caso general, si G : A → Set es un funtor y (U, u), donde u ∈ G(U) es un objeto universal repelente, respectivamente atrayente, entonces (U, u) resulta ser un objeto final, respectivamente inicial, en la categor´ıa cuyos objetos son pares (X, x), donde X es un objeto de A y x ∈ G(X) y dado otro objeto (Y, y), un morfismo de (X, x) en (Y, y) es un morfismo g ∈ MorA (X, Y), tal que G(g)(x) = y.


340

En los cap´ıtulos 8 y 10, donde se estudian las sumas y productos directos, los grupos libres y los módulos y a´ lgebras libres, indicamos que satisfac´ıan una cierta condición universal. En efecto vamos a ver que e´ stos resultan como objetos universales de una determinada categor´ıa. Un objeto que es al mismo tiempo inicial y final en una categor´ıa A se llama un objeto cero de A. E 13.4. 1. En Set ∅ es el u´ nico elemento inicial y cualquier conjunto singular es un objeto final. Set no posee elemento cero, pues no existen aplicaciones de un conjunto no vac´ıo en ∅. 2. En Grp el grupo trivial es un elemento inicial y final y por consiguiente un elemento cero. 3. En Vect K el espacio trivial 0 es un elemento cero. Lo mismo en la categor´ıa de A-módulos Mod A . 4. La categor´ıa Top es similar a la categor´ıa Set , pues el u´ nico elemento inicial es el espacio ∅ y los espacios singulares son objetos finales. Tampoco posee elementos cero. 5. Sin embargo en las categor´ıas Set 0 y x0 con punto base, el subconjunto o subespacio singular formado por cualquier punto base es un objeto cero. 6. Si Ring 1 es la categor´ıa cuyos objetos son los anillos con unidad y sus morfismos homomorfismos de anillos que preservan la unidad, entonces Z es el u´ nico objeto inicial en Ring 1 y el anillo trivial, A := {0} el u´ nico objeto final. 7. En la categor´ıa Fld cuyos objetos son campos y sus morfismos homomorfismos de campos, no hay objetos finales ni iniciales. Sin embargo en la subcategor´ıa Fld p cuyos objetos son los campos de caracter´ıstica p, el campo primo κ p es un objeto inicial. A continuación daremos algunos ejemplos importantes de objetos universales en algunas categor´ıas particulares. Coproductos y Productos. Sea A una categor´ıa. Dados dos objetos A, B ∈ Ob(A) fijos, formemos la categor´ıa AAB cuyos objetos son pares de morfismos ( fXA, , fXB ) ∈ MorA (A, X) × MorA (B, X), o sea un diagrama ∆X , de la forma (13.19)

A? ?? ?? ?? fXA

X

B fX

B

Dado otro objeto ∆Y un morfismo de ∆X en ∆Y viene dado por un morfismo g ∈ MorA (X, Y), tal que el diagrama (13.20)

A/ ? B //?? fXA fXB ? // ?? // ? / fYB fYA // X // // g Y


341

es conmutativo. Sea G : A → AAB , el funtor que a cada objeto X de A, le asigna ∆X en AAB . Supongamos que G es representable y que existe un objeto U ∈ A y un elemento u = ∆U ∈ G(U), tales que Φu : F U → G es una equivalencia natural, entonces, para cada diagrama ∆X , existe un u´ nico morfismo g ∈ MorA (U, X), tal que G(g)(u) = G(g)(∆U ) = ∆X , es decir que existe un u´ nico morfismo g ∈ MorA (U, X), tal que el diagrama (13.21)

A/ ? B //?? fUA fUB ? // ?? // ? / fXB fXA // U // // g X

es conmutativo. Si en la categor´ıa A, U y u ∈ G(U) existen, entonces se dice que (U, u) es ` un coproducto de A con B en la categor´ıa A y se denota (A B, ( f A , f B )). Como el lector ` podrá comprobar (A B, ( f A , f B )), es un objeto inicial en la categor´ıa cuyos objetos son pares (X, ∆X ) y sus morfismos son morfismos de MorA (X, Y), tales que el diagrama (13.20) conmuta. El lector comprobará que en la categor´ıa de grupos abelianos Ab, la suma directa (A ⊕ B, iA , iB ), como fué definido en el cap´ıtulo 8, es un coproducto en Ab. La noción de coproducto puede ser generalizada a toda una familia de objetos fijos (A)i∈I de la categor´ıa A. En lugar de la categor´ıa AAB , trabajamos con la categor´ıa AI , cuyos objetos son familias de morfismos ( fXi : Ai → X)i∈I . Dada otra familia de morfismos ( fYi : Ai → Y)i∈I un morfismo de ( fXi : Ai → X)i∈I en ( fYi : Ai → Y)i∈I , es un morfismo g ∈ MorA (X, Y), tal que g ◦ fXi = fYi , ∀ i ∈ I. Si el elemento universal (U, u) existe, entonces u es una familia de morfismos ( f i : Ai → U)i∈I , y (U, u) se llama el coproducto sobre la familia (Ai )i∈I , denotado por a Ai , ( fi )i∈I . i∈I

El lector comprobará que en la categor´ıa Ab, la suma directa sobre una familia (Ai )i∈I de grupos abelianos, es un coproducto en Ab. En forma dual se define, si existe, el objeto producto en la categor´ıa A. Dada una familia (Ai )i∈I de objetos de A, consideramos la categor´ıa AI , cuyos objetos son familias de morfismos ( fiX : X → Ai )i∈I . Dado otro objeto ( fiY : Y → AI )i∈I , un morfismo de ( fXi : Ai → X)i∈I , en ( fYi : Ai → Y)i∈I es un morfismo g ∈ MorA (X, Y), tal que fIY ◦ g = fiX , ∀ i ∈ I. Consideremos entonces el funtor contravariante G : A → AI y supongamos que existe un objeto U ∈ Ob(A) y u := (ui : U → Ai )i∈I ∈ G(U), tal que Φu : F I → G es una equivalencia natural, entonces dada una familia de elementos ( fi : X → Ai )i∈I , existe un u´ nico morfismo g ∈ MorA (X, U), tal que G(g)(u) = ( fiX : Ai → X)i∈I , es decir que ui ◦ g = fiX , ∀ i ∈ I. Entonces (U, u) recibe el nombre de producto sobre la familia (Ai )i∈I y se denota por Y Ai , (pi )i∈I , i∈I

donde pi :

Y i∈I

recibe el nombre de i-proyección sobre Ai .

Ai → Ai ,

342


El lector comprobará que en la categor´ıa de grupos Grp el producto directo de grupos es un producto y por consiguiente un objeto universal atrayente en Grp. Pull-Backs y Push-Outs. Los diagramas llamados de pull-back y push-out son de mucha importancia en la topolog´ıa y geometr´ıa algebraicas y resultan también como objetos universales en una determinada categor´ıa. En realidad son productos y coproductos en una categor´ıa particular. El nombre de pull-back es porque jala la flecha hacia el objeto, es decir que es un objeto universal atrayente, mientras que el de push-out es porque empuja la flecha hacia otro objeto, es decir es un objeto universal repelente. Sea A una categor´ıa y Z un objeto fijo de A. Sea C := AZ la categor´ıa cuyos objetos son morfismos f : X → Z. Dado otro morfismo g : Y → Z, un morfismo de f en g es un morfismo h ∈ MorA (X, Y), tal que el diagrama /Z ? h g Y

(13.22)

f

X

es conmutativo. Sean f A : A → Z y f B : B → Z dos objetos fijos de C. CAB la categor´ıa cuyos objetos son pares de morfismos (gXA , hXB ) ∈ MorC ( fZX , f A ) × MorC ( fZX , f B ), tales que hacen conmutar al diagrama (13.23)

gXA

X hXB

/A fZX

B

/Z

fB

fA

Podemos considerar que nuestros objetos son diagramas ∆X de la forma (13.23). Si ∆Y es otro objeto, entonces un morfismo de ∆X en ∆Y , es un morfismo ϕ ∈ MorA (X, Y), tal que el diagrama (13.24)

X? ?? ϕ ?? ?? hXB

gXA gYA

Y

hYB

B

fB

" /A /Z

fA

es conmutativo en todas sus componentes. Consideremos entonces el funtor G : C → CAB y supongamos que es representable por ( f U , u), donde f U ∈ MorA (U, Z) y u ∈ G( f U ), u = (gA , hB ) ∈ MorC ( f U , f A )×MorC ( f U , f B ), tal que el diagrama (13.25)

U

/A

gA fU

hB

B

fB

/Z

fA


343

conmuta. Entonces, dados (gXA , hXB ) ∈ MorC ( fZX , f A ) × MorC ( fZX , f B ), tales que el diagrama (13.23) conmuta, existe un u´ nico morfismo ϕ : ∆X → ∆U , tal que G(ϕ)(u) = (gA ◦ϕ, gB◦ϕ ) = (gXA , hXB ). El elemento (U, (gA , gB )) se llama un producto fibrado de A con B sobre Z, denotado por (A ×Z B, (gA , gB )). También se dice que (A ×Z B, (gA , gB )) es un pull-back del diagrama (13.26)

A? ?? ?? ?? fA

Z

B f

B

Entonces un pull-back en la categor´ıa A es un producto en la categor´ıa C := AZ , donde Z es un objeto fijo de A. Como vimos en el cap´ıtulo 8, el producto fibrado existe en la categor´ıa de los grupos Grp. La misma filosof´ıa utilizada para construir el producto fibrado de dos grupos se puede utilizar para construir el producto fibrado de dos conjuntos en catS et o de dos espacios topológicos en Top, substituyendo homomorfismo de grupos por aplicaciones y aplicaciones continuas respectivamente. Dual al concepto de pull-back, es el concepto de push-out, el cual resulta como coproducto en la categor´ıa B := AZ , cuyos objetos son morfismos f : Z → X, donde Z es un objeto fijo de A. Dado otro objeto g : Z → Y un morfismo de f en g es un morfismo h ∈ MorA (X, Y) que hace conmutar al diagrama /X g h Y

(13.27)

Z

f

Sean fA : Z → A, fB : Z → B dos objetos fijos de B y BAB , cuyos objetos son pares de morfismos (gAX , hXB ) ∈ MorC ( fA , fXZ ) × MorC ( fB , fXZ ), tales que hacen conmutar al diagrama (13.28)

Z fB

/A

fA fXZ

B

/X

hXB

gAX

Entonces, al igual que en el caso del pull-back, podemos considerar que los objetos son diagramas ∆X de la forma (13.28). Dado otro objeto ∆Y , un morfismo de ∆X en ∆Y es un morfismo g ∈ MorA (X, Y), que hace conmutar al diagrama (13.29)

Z fB

B

fA

/A gAX

hXB

gYA /X ?? ??g ?? ? B hY +Y

Consideremos entonces el funtor G : B → BAB y supongamos que es representable por ( fU , u), donde fU ∈ MorA (Z, U) y u ∈ G( fU ).


344

u = (gA , hB ) ∈ MorC ( fA , fU ) × MorC ( fB , fU ), tal que el diagrama (13.30)

Z fB

/A

fA fU

B

hB

gA

/U

conmuta. Entonces, dados (gAX , hXB ) ∈ MorC ( f A , fXZ )×MorC ( f B , fXZ ), tales que el diagrama (13.28) conmuta, existe un u´ nico morfismo ϕ : ∆U → ∆X , tal que G(ϕ)(u) = (ϕ ◦ gA , ϕ ◦ gB ) = (gAX , hXB ). El elemento (U, (gA , gB )) se llama un coproducto fibrado de A con B sobre Z, ` ` denotado por (A Z B, (gA , gB )). También se dice que (A Z B, (gA , gB )) es un push-out del diagrama (13.31)

Z fB

/A

fA

B

Como vimos en el cap´ıtulo 8, el coproducto fibrado existe en la categor´ıa de los grupos abelianos Ab. La filosof´ıa utilizada para construir el coproducto fibrado de dos grupos abelianos no se puede utilizar, tal cual, para construir el producto fibrado de dos conjuntos en Set o de dos espacios topológicos en Top, ya que en estos casos no tenemos operaciones sobre los elementos del conjunto o del espacio topológico, por lo que tenemos que recurrir a ◦

una pequeña variante. Sobre la unión disjunta A ∪ B definimos una relación de equivalencia de la siguiente forma x ∼ y, Ssi x = y, ∨ (x = fA (z) ∧ y = fB (z)). El lector comprobará que, ◦ ` si A Z B := A ∪ B/ ∼, y gA , gB las aplicaciones inducidas por las inclusiones ◦

◦

iA : A → A ∪ B y iB : B → A ∪ B y substituyendo homomorfismos por aplicaciones en ` Set y aplicaciones continuas en Top, entonces (A Z B, (gA , gB )) es un coproducto en Set , ` respectivamente en Top. El espacio (A Z B, (gA , gB )) en Top recibe el nombre de suma conexa de los espacios topológicos A, B mediante fA , fB sobre Z. En particular, si Z ⊆ A es un subespacio y fA es la inclusión i : Z → A, entonces la suma conexa se suele denotar por (A ∪ fB B, (i, gB )). (Ver, por ejemplo, [14]). Topológicamente estamos pegando el espacio A con el espacio B identificando los puntos de Z con los de su imagen en B. 13.1.5. Ejercicios y Complementos. 1. Sea Ani la categor´ıa cuyos objetos son los anillos conmutativos con unidad y sus morfismos homomorfismos de anillos que preservan la unidad. Mostrar que Spec, donde Spec A es el espectro primo del anillo A, es un funtor contravariante Spec : Ani → Top, siendo la topolog´ıa de Spec A la topolog´ıa de Zariski. 2. Sean A, B, C categor´ıas. Un funtor F : A × B → C se llama un bifuntor. Mostrar que Mor : A × A → Set es un bifuntor, covariante en la segunda variable y contravariante en la primera. En particular si A = Ab, hom : Ab × Ab → Ab es un bifuntor, covariante en la segunda variable y contravariante en la primera. 3. Determinar en qué categor´ıa el objeto coproducto (producto) sobre una familia de objetos (A)i∈I de una categor´ıa A es un objeto inicial (final).

13.2. CATEGORÍAS PREADITIVAS, ADITIVAS, PRE-ABELIANAS Y ABELIANAS

345

4. Lo mismo del ejercicio precedente para el caso de coproductos (productos) fibrados. 5. Mostrar que los grupos libres, módulos libres, a´ lgebras libres introducidos en los cap´ıtulos 8 y 10 son objetos universales y dar la categor´ıa en los cuales son iniciales o finales. 6. Sea (M, ) un conjunto quasiordenado y consideremos la categor´ıa A(M), cuyos objetos son los elementos de M, entonces Ob(A(M)) = M y dados x, y ∈ M, diremos que existe un morfismo de x en y, si x y. Mostrar que A(M) posee un elemento inicial, Ssi M posee un elemento más pequeño y que A(M) posee un elemento final, Ssi M posee un elemento más grande. 13.2.

Categor´ıas Preaditivas, Aditivas, Pre-abelianas y Abelianas

En algunas ramas de la matemática, como el a´ lgebra homológica, la topolog´ıa algebraica y la geometr´ıa algebraica, se trabaja con categor´ıas cuyos conjuntos de morfismos Mor(X, Y) poseen una estructura algebraica, por ejemplo de grupo abeliano y se exige que además existan elementos como morfismos cero, objeto cero, núcleos y co-núcleos de morfismos, lo que ha llevado a definir categor´ıas con estas propiedades. 13.2.1. Categor´ıas Preaditivas y Aditivas. Decimos que una categor´ıa A es preaditiva, denotada una Ab-categor´ıa, si para cada par de objetos A, B de A, Mor(A, B) posee la estructura de un grupo abeliano, que denotaremos por el par (Mor(A, B), +) y la composición ◦ : Mor(B, C) × Mor(A, B) → Mor(A, C) es una aplicación Z-bilineal. Es decir que ◦( f1 + f2 , g1 +g2 ) = f1 ◦g1 + f1 ◦g2 + f2 ◦g1 + f2 ◦g2 ,

∀ ( f1 , g1 ), ( f2 , g2 ) ∈ Mor(B, C)×Mor(A, B)

y ◦(λ f, µg) = λµ( f ◦ g),

∀( f, g) ∈ Mor(B, C) × Mor(A, B),

∀ λ, µ ∈ Z.

La categor´ıa Ab es una Ab-categor´ıa, pues para cada par de grupos abelianos (G, +), (H, +), (hom(G, H), +) es un grupo abeliano. Decimos que un funtor (covariante) F entre dos categor´ıas preaditivas es aditivo, si la aplicación Mor(A, B) → Mor(F(A), F(B)) es un homomorfismo de grupos, para cada par de objetos A, B. Si F es contravariante, entonces Mor(A, B) → Mor(F(B), F(A)) es un homomorfismo de grupos. Decimos que un objeto de una categor´ıa A es un biproducto, si es al mismo tiempo un producto y un coproducto. En el cap´ıtulo 8 vimos que, en el caso finito, la suma directa de grupos abelianos y el producto de grupos abelianos son isomorfos, por lo que G1 ⊕ · · · ⊕ Gn y G1 , × · · · × Gn son biproductos en Ab. Si en una Ab-categor´ıa A, todo número finito de objetos A1 , . . . , An posee un biproducto en A, entonces se dice que A es una categor´ıa adivtiva. Ab es entonces también una categor´ıa aditiva.


346

Decimos que una categor´ıa A posee morfismos cero, si para cada par de objetos X, Y de A, existe un morfismo 0YX ∈ MorA (X, Y), tal que el diagrama (13.32)

X 0YX

Y

f

g

/U /V

0U V

es conmutativo, para todo f ∈ MorA (X, U) y para todo g ∈ MorA (Y, V). Por otra parte, si en el diagrama (13.32), X = U y f := 1X , entonces g ◦ 0YX = 0VX , por lo que la composición de un morfismo cualquiera g con un morfismo cero es un morfismo cero. Dejamos al lector mostrar que también la composición de un morfismo cero con un morfismo cualquiera f es un morfismo cero y que para cada par X, Y de objetos de A dos morfismos cero son iguales. De aqu´ı resulta que el morfismo cero es un morfismo constante, ya que = 0YX ◦g = 0ZY = 0YX ◦h, para cualquier par de morfismos g, h ∈ Mor(Z, X), donde Z es un objeto cualquiera de A. En la categor´ıa Grp el homomorfismo f : G → H, tal que f (g) := e, donde e es el elemento neutro de H es un morfismo cero. Por otra parte cualquier morfismo cero 0GH : G → H mapea a G sobre {e}. Como {e}, el grupo trivial, es un elemento cero de la categor´ıa Grp, por consiguiente objeto final e inicial al mismo tiempo, el morfismo 0GH , puede ser factorizado a través de {e}, es decir que el diagrama 0YX

/Y ~? ~ ~ ~~ ~ ~ {e}

(13.33)

X

es conmutativo, donde los homomorfismos de X en {e} y de {e} en Y son los u´ nicos homomorfismos que existen como elemento cero. Este resultado se puede generalizar para el caso en que la categor´ıa A posee un elemento cero. Esto se obtiene, si en el diagrama (13.32) U = 0, V = Y y g := 1Y . Por lo que todo morfismo cero puede ser factorizado a través del elemento cero. En muchas ramas de la matemática pura se trabaja con categor´ıas que tienen objetos cuyas propiedades son similares a las del núcleo (kernel) y co-núcleo (co-kernel) de los homomorfismos de grupos o A-módulos. Sea A una categor´ıa con morfismos cero. Un núcleo (kernel) de un morfismo f ∈ Mor(X, Y) en A es un par (K, κ), donde K es un objeto de A y κ ∈ Mor(K, X) es un morfismo, tal que: 1. El diagrama (13.34)

XO ? ?? f ?? κ ?? /Y K 0YK

es conmutativo y dado otro par (K 0 , κ0 ), donde κ0 ∈ Mor(K 0 , X), tal que el diagrama (13.34) es conmutativo, existe un u´ nico morfismo ϕ ∈ Mor(K 0 , K), tal que


347

2. el diagrama (13.35)

K0

A XO ?? ?? f κ ?? ? 0 κ / K 0YK } }} }}ϕ } 0 } 0K Y

es conmutativo en todas sus componentes. Nótese que si B es la categor´ıa cuyos objetos son los diagramas conmutativos ∆Z , (13.36)

XO ? ?? f ?? κ ?? /Y Z Z 0Y

donde f ∈ Mor(X, Y) es fijo y dado otro objeto ∆V un morfismo de ∆Z en ∆V es un morfismo ϕ ∈ MorA (Z, V), tal que el diagrama (13.37)

Z

B XO ?? ?? f κ ?? ? 0 κ /Y V 0VY < ? ϕ 0ZY

es conmutativo en todas sus componentes, entonces un núcleo de f es un objeto final en B y por consiguiente es u´ nico salvo isomorfismo. Si (K, κ) es un núcleo del morfismo f ∈ Mor(X, Y), entonces κ : K → X es un monomorfismo. Si g1 , g2 : Z → K, son dos morfismos de un objeto cualquiera Z en K, tales que κ ◦ g1 = κ ◦ g2 , entonces obtenemos un diagrama (13.38) κ◦gi

B XO ?? ?? f κ ?? ? /Y K 0K < Y

Z

0ZY

donde i = 1, 2 y κ ◦ g1 = κ ◦ g2 y por ser (K, κ) un objeto final, g1 = g2 . Por consiguiente κ es un monomorfismo. En muchos casos, como, por ejemplo, en las categor´ıas Grp, Vect K y Mod A , dado un homomorfismo ϕ : X → Y, el núcleo es ker ϕ ⊆ X y κ es entonces la inclusión. Dadas dos aplicaciones g, f : X → Y, donde X, Y son objetos de Set . Al subconjunto de X, Eql( f, g) := {x ∈ X | g(x) = f (x)},

348


lo llamamos el ecualizador de f y g. El concepto puede ser generalizado a una familia F de aplicaciones de X en Y: Eql F := {x ∈ X | f (x) = g(x), ∀ g, f ∈ F }. Si i : Eql F → X, es la inclusión, para cada par de aplicaciones f, g : X → Y consideremos el diagrama (13.39)

/

f

/X

i

Eql F

g

/Y

Si h : Z → X es una aplicación, tal que f ◦ h = g ◦ h, para cada par de aplicaciones f, g ∈ F , entonces existe una u´ nica aplicación ϕ : Z → Eql F , tal que el diagrama (13.40)

/ /Y

f

/X Eql F O bEE EE E h ϕ EE E Z i

g

es conmutativo, para cada par de aplicaciones f, g ∈ F . La existencia y unicidad de ϕ resulta del hecho que h aplica a Z dentro de Eql F , por lo que ϕ = h es la u´ nica aplicación que satisface lo deseado. En particular para cada par de aplicaciones f, g : X → Y, se tiene una aplicación ϕ f g : Eql( f, g) → Eql F . Si para una familia F de aplicaciones entre dos conjuntos X y Y fijos, A es la categor´ıa cuyos objetos son las aplicaciones h : Z → X, tales que f ◦ h = g ◦ h, para todo f, g ∈ F , y dado otro objeto h¯ : Z¯ → X, un morfismo entre h : Z → X y h¯ : Z¯ → X es una aplicación ¯ tal que el diagrama ϕ : Z → Z, (13.41)

/X Z¯ _> O >> >> h ϕ >> h¯

f g

/ /Y

Z es conmutativo, entonces (Eql F , i) es un objeto final en A. Esta propiedad universal, nos da la pauta para definir, en una categor´ıa cualquiera, el concepto de ecualizador para una familia de morfismos F . Entonces, dada una categor´ıa cualquiera A y una familia de morfismos F entre dos objetos fijos X,Y, si B es la categor´ıa cuyos objetos son los morfismos h : Z → X, tales que f ◦ h = g ◦ h, para todo f, g ∈ F , y dado otro objeto h¯ : Z¯ → X, un morfismo entre ¯ tal que el diagrama h : Z → X y h¯ : Z¯ → X es un morfismo ϕ : Z → Z, (13.42)

/X Z¯ _> O >> >> h ϕ >> h¯

f g

/ /Y

Z es conmutativo. Entonces a un objeto final en B lo llamamos el ecualizador de la familia F y lo representamos por (Eql F , i). Dejamos al lector la tarea de mostrar que i : Eql F → X es un monomorfismo. Nótese que dado un morfismo f entre dos objetos X y Y de una categor´ıa A que posee morfismos cero, el núcleo de f es isomorfo al ecualizador Eql( f, 0YX ).


349

Dual al concepto de núcleo se tiene el concepto de co-núcleo o co-kernel. Por ejemplo, en el a´ lgebra lineal, dada una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales ψ : V → W, se define el co-núcleo como el espacio vectorial coker ψ := W/ Im ψ y se tiene un homomorfismo sobreyectivo π : W → coker ψ, que hace conmutar al diagrama (13.43)

V ww w ww 0VW ww {ww / coker ψ W π ψ

Si se tiene otro diagrama conmutativo (13.44)

V ~~ V ~ 0W ~~ ~~ ~ /Z W ψ

θ

entonces existe un u´ nico homomorfismo ϕ : coker ψ → Z‘, tal que el diagrama (13.45)

V ww w ww 0VW ww 0VZ {ww / coker ψ W π FF FF ϕ FF FF F" θ ,Z ψ

es conmutativo en todas sus componentes. La existencia y unicidad de ϕ resulta de considerar lo siguiente: Im ψ ⊆ ker θ, por lo que existe un homomorfismo π¯ : coker ψ → W/ ker θ, que hace conmutar al diagrama (13.46)

π0

/ W/ ker θ w O ww w π¯ θ ww ¯ {www θ coker ψ Zo ϕ W

donde ϕ := θ¯ ◦ π¯ . Esta propiedad nos da la pauta para definir el concepto de co-núcleo en una categor´ıa cualquiera A que posea morfismos cero. Sea A una categor´ıa con morfismos cero y f ∈ MorA (X, Y) un morfismo fijo. Consideremos B la categor´ıa cuyos objetos son morfismos de gYZ : Y → Z, tales que el diagrama (13.47)

X 0X Y / Y Z Y f

gZ


350

es conmutativo. Dado otro objeto gYV : Y → V un morfismo de gYZ en gYV es un morfismo h ∈ MorA (Z, V), tal que el diagrama (13.48)

X X 0Y 0VX /Z Y ? Y gZ ?? ??h ?? Y gV +V f

es conmutativo en todas sus partes. Entonces a un objeto inicial de B lo llamamos el co-núcleo o co-kernel de f y lo designaremos por el par (coker f, π). Dejamos al lector la inquietud de mostrar que π : Y → coker f es un epimorfismo. 13.2.2. Ejercicios y Complementos. Dual al concepto de ecualizador se tiene el de co-ecualizador. Invirtiendo el sentido de las flechas en la definición de ecualizador, redactar la definición de co-ecualizador. Mostrar que el co-núcleo es un caso particular de un co-ecualizador. 13.2.3. Categor´ıas Pre-abelianas y Abelianas. Decimos que una categor´ıa A es una categor´ıa pre-abeliana, si es aditiva y si todo morfismo f ∈ Ar(A) posee núcleo y co-núcleo. Ejemplos clásicos de categor´ıas pre-abelianas son Ab, Vect K , Mod A . Como toda categor´ıa pre-abeliana es aditiva, dados dos morfismos f, g ∈ MorA (X, Y), existe el morfismo f + g, ya que MorA (X, Y) es un grupo abeliano y el morfismo cero 0YX es el 0 ∈ MorA (X, Y), lo cual resulta de la conmutatividad del diagrama

(13.49)

X 0XX

( f +0YX )

X

f

/Y /Y

0YY

y de la bilinealidad de ◦ respecto de +. De aqu´ı resulta que ker( f − g) = Eql( f, g), por lo que toda categor´ıa pre-abeliana contiene los ecualizadores de cada par de morfismos. También en una categor´ıa pre-abeliana podemos definir los conceptos de imagen y coimagen de un morfismo, en base a la existencia de núcleos y co-núcleos. Dado un morfismo f ∈ Ar(A) y (ker f, i), (coker f, π), definimos Im f := ker π y

Coim f := coker i.

En una categor´ıa aditiva A también está garantizada la existencia del objeto cero, el cual resulta como biproducto sobre una familia vac´ıa de objetos de A. En la categor´ıa Grp de los grupos, se dice que un subgrupo H ⊆ G es normal en G, si para todo g ∈ G, gHg−1 = H, lo cual es también equivalente a decir que H es núcleo de algún homomorfismo. Inspirados en este concepto, podemos definir, en una categor´ıa pre-abeliana, el concepto de normalidad de la siguiente forma:


351

Decimos que un monomorfismo κ : K → X es normal, si (K, κ) es núcleo de algún morfismo f ∈ Mor(X, Y), donde Y es algún objeto en A. De forma análoga, decimos que un epimorfismo p : Y → Z es normal, si (Z, p) es co-núcleo de algún morfismo f : X → Y, donde X es algún objeto en A. Decimos que una categor´ıa A es una categor´ıa abeliana, si es una categor´ıa preabeliana y todo monomorfismo y todo epimorfismo son normales. Nuevamente los ejemplos clásicos de categor´ıas abelianas son Ab, Vect K , Mod A . En cualquiera de estas tres categor´ıas, si i : H → G es un monomorfrismo, es decir una inyección, H = ker π, donde π : G → G/H, es la proyección canónica y, si p : G → H es un epimorfismo, es decir un homomorfismo sobreyectivo, entonces, si i : ker p → G, coker i = G/ Im i = G/ ker p ' H, por lo que H es co-núcleo de i. 13.2.4.


1. Mostrar que si A es una categor´ıa que posee un objeto 0, entonces la composición X → 0 → Y es el morfismo 0YX . 2. Mostrar que en una categor´ıa A con elemento 0, la u´ nica aplicación 0 → X y la u´ nica aplicación X → 0, donde X es un objeto cualquiera de A, es el morfismo cero. 3. Mostrar que si A es una categor´ıa que contiene núcleos y co-núcleos y ecualizadores y todo monomorfismo y epimorfismo son normales, entonces se puede definir una estructura de grupo abeliano sobre el conjunto Mor(X, Y), para cualquier par de objetos X, Y de A. 13.2.5. Sucesiones Exactas de Morfismos. Sea A una categor´ıa abeliana. Decimos que la sucesión f

g

X −→ Y −→ Z de morfismos de A es una sucesión exacta, si Im f = ker g. En particular las sucesiones f

f

0−→X −→ Y,

X −→ Y−→0

son exactas, Ssi f es un monomorfismo, respectivamente un epimorfismo. Vamos a mostrar que la sucesión (13.50)

f

0−→X −→ Y

es exacta, Ssi f es un monomorfismo. La demostración la haremos en varias etapas: 1. Sea (K, κ) el núcleo de f . Haremos ver que f es un monomorfismo, Ssi K := ker f ' 0. 2. Si i es la u´ nica aplicación de 0 en X, entonces Im i := ker π˜ ' K := ker f . 1. Del diagrama (13.51)

XO ? ?? f ?? κ ?? /Y K K 0Y


352

obtenemos f ◦ κ = 0YK = 0KX ◦ f y como f es un monomorfismo 0KX = κ. Entonces de la propiedad universal de (K, 0KX ), para cualquier objeto Z, tal que el diagrama (13.52)

XO ? ?? f ?? g ?? /Y Z K 0Y

es conmutativo, se obtiene que g = 0ZX , de donde resulta que (0, i), donde i es el u´ nico morfismo de 0 en X, es también un objeto final. Por consiguiente K := ker f ' 0. Supongamos ahora que ker f ' 0 y consideremos morfismos g1 , g2 ∈ Mor(Z, X), tales que f ◦ g1 = f ◦ g2 . Como A es una categor´ıa abeliana y por consiguiente preaditiva, tenemos que f ◦g1 − f ◦g2 = (g1 −g2 )◦ f = 0ZY , por lo que el diagrama (13.53)

XO ? ?? f ?? g1 −g2 ?? /Y Z 0ZY

es conmutativo y por la propiedad universal del núcleo, que en este caso es 0, resulta g1 − g2 = 0ZX y por consiguiente g1 = g2 . Lo que muestra que f es un monomorfismo. 2. Si (C, π˜ ) es el co-núcleo de i : 0 → X, por definición Im i := ker π˜ y Coim i := coker π˜ . Vamos a mostrar primero que existe una u´ nica factorización de f a través de coker i. En efecto, por la propiedad universal de coker i se tiene un u´ nico homomorfismo h : coker i → Y, tal que el diagrama (13.54)

0 0C 0Y X π˜ / C ? ?? ??h ?? f + Y i

es conmutativo, por consiguiente f = h ◦ π˜ , lo que nos da un diagrama conmutativo (13.55)

XO D DD DDf κ˜ DD D! ker π˜ ker π˜ / Y 0Y


353

y por la propiedad universal de ker f , el cual es isomorfo a 0, se obtiene un u´ nico morfismo ϕ ∈ Mor(ker π˜ , 0), que hace conmutar al diagrama (13.56)

@ XO ?? ?? f κ ?? ? κ˜ = 0 0Y / ; Y zz z z zzϕ π˜ zz 0ker Y ker π˜

De la conmutatividad del diagrama (13.56), se deduce que κ˜ es el morfismo cero y la u´ nica aplicación ψ : 0 → ker π˜ , hace conmutar también al diagrama (13.57)

0

@ XO DD DD f DD κ˜ DD ! κ /; Y ker π˜ ={ π˜ 0ker Y { {{ { { ψ 0Y {{

por lo que Im i := ker π˜ ' 0 ' ker f . Lo que muestra que la sucesión (13.50), es exacta si f es un monomorfismo. Por otra parte, si la sucesión (13.50) es exacta, entonces Im i ' 0 ' ker f y, por consiguiente f es un monomorfismo. 13.2.6. Ejercicios y Complementos. 1. Mostrar que, en una categor´ıa abeliana, la sucesión f

X −→ Y −→ 0 es exacta, Ssi f es un epimorfismo. 2. Mostrar que en una categor´ıa abeliana la sucesión π

f

k

0 −→ ker f −→ X −→ Y −→ coker f −→ 0 es exacta. 3. Mostrar que, en una categor´ıa abeliana, la sucesión f

0 −→ X −→ Y −→ 0 es exacta, Ssi f es un bimorfismo. En el caso en que A := Mod A , la sucesión es exacta, Ssi f es un isomorfismo. 4. Una sucesión de la forma f

k

0 −→ A −→ X −→ Y −→ 0 en una categor´ıa abeliana, se llama una sucesión corta. Mostrar que una sucesión corta es exacta, Ssi k es un monomorfismo, (A, k) es el núcleo de f y f es un epimorfismo. 5. Mostrar que en una categor´ıa abeliana, la sucesión corta k

π

0 −→ A −→ X −→ coker k −→ 0 es exacta.

354


6. Decimos que un funtor covariante, F : A → B, entre dos categor´ıas abelianas, es exacto, si dada cualquier sucesión corta exacta f

k

0 −→ A −→ X −→ Y −→ 0 la sucesión f∗

k∗

0 −→ F(A) −→ F(X) −→ F(Y) −→ 0 es exacta. En forma similar si F es un funtor contravariante, F es exacto si f∗

k∗

0 −→ F(Y) −→ F(X) −→ F(A) −→ 0 es exacta. Si F es un funtor covariante y sólo la sucesión f

k

0 −→ A −→ X −→ Y es exacta, entonces se dice que F es un funtor exacto por la izquierda. De igual modo, si F es contravariante y sólo sucesión f∗

k∗

0 −→ F(Y) −→ F(X) −→ F(A) es exacta. Si F es un funtor covariante y sólo la sucesión f

k

A −→ X −→ Y −→ 0 es exacta, entonces se dice que F es un funtor exacto por la derecha. Igualmente si F es contravariante y sólo la sucesión f∗

k∗

F(Y) −→ F(X) −→ F(A) −→ 0 es exacta. Si Ab es la categor´ıa de grupos abelianos y κ

ϕ

0 −→ K −→ G −→ H −→ 0 una sucesión exacta de grupos abelianos, mostrar que, en general, sólo la sucesión ϕ∗ κ∗ 0 −→ hom(A, K) −→ hom(A, G) −→ hom(A, H) es exacta, por lo que hom(A, ), donde A es un grupo abeliano fijo, es un funtor exacto por la izquierda. Lo mismo con el funtor hom( , A). (Ver teoremas 4.40, 4.41 y serie de ejercicios y complementos 4.3.5). 7. Sea Mod A la categor´ıa de los A-módulos, donde A es un anillo conmutativo con unidad. Dados dos objetos M, N de Mod A , denotaremos por HomA (M, N al conjunto de morfismos de M en N. Mostrar que HomA es un bifuntor de Mod A × Mod A → Mod A , covariante en la segunda variable y contravariante en la primera. Mostrar también que tanto HomA (M, ), como HomA ( , M) son funtores exactos sólo por la izquierda. 8. Mostrar que si F : A → B, donde A, B son categor´ıas abelianas, es un funtor exacto y E0 → E1 → E2 → E3 → · · · es una sucesión exacta en la categir´ıa A, entonces la sucesión F(E0 ) → F(E1 ) → F(E2 ) → F(E3 ) → · · ·


9.

10.

11.

12.

355

es exacta en la categor´ıa B. Lo mismo, si F es contravariante y exacto, invirtiendo las flechas en la sucesión de los F(Ei ). Mostrar que un funtor covariante F es exacto por la izquierda, Ssi dada la sucesión exacta 0 → E 0 → E → E 00 , la sucesión 0 → F(E 0 ) → F(E) → F(E 00 ) es exacta. Si F es un funtor contravariante, entonces F es exacto por la izquierda, Ssi dada la sucesión exacta E 0 → E → E 00 → 0, la sucesión 0 → E 00 → E → E 0 es exacta. Si F es un funtor covariante, entonces F es exacto por la derecha, Ssi dada la sucesión exacta E 0 → E → E 00 → 0, la sucesión E 0 → E → E 00 → 0 es exacta. Si F es un funtor contravariante, entonces F es exacto por la derecha, Ssi dada la sucesión exacta 0 → E 0 → E → E 00 , la sucesión E 00 → E → E 0 → 0 es exacta.

13.2.7. L´ımites y Co-l´ımites. Muchos de los objetos universales en una categor´ıa se obtienen por medio de un proceso de l´ımite o de co-l´ımite de una familia de diagramas de morfismos. El concepto abstracto de l´ımite o co-l´ımite en la teor´ıa de categor´ıas, es una generalización a los conceptos de productos, coproductos, push-outs y pull-backs. Particular relevancia han adquirido, sobre todo en la geometr´ıa y topolog´ıa algebraicas, los conceptos de l´ımite inductivo o directo y el de l´ımite proyectivo o inverso. Si F es una familia de conjuntos y I un conjunto, a una aplicación ϕ : I → F, tal que ϕ(i) := Ai ∈ F , la llamamos una indización de la familia F por el conjunto I y a (Ai )i∈I la familia indizada por I. En teor´ıa de categor´ıas este concepto se generaliza por el de J-diagrama. Dada una categor´ıa A un J-diagrama o diagrama de tipo J, es un funtor F : J → A, donde J es una categor´ıa. F actúa como una “indización” de los objetos y morfismos de A, por medio de los objetos de J. La categor´ıa J es llamada la categor´ıa ´ındice del J-diagrama F. Si, en particular, A := Set y J la categor´ıa discreta D(I), donde I es un conjunto, entonces un J-diagrama, es una familia de conjuntos indizada por I.


356

Dado un J-diagrama F : J → A, un cono de F es un par (N, Ψ), donde N es un objeto de A y Ψ es una familia de morfismos ψX : N → F(X), tales que para cada morfismo f : X → Y, F( f ) ◦ ψX = ψY . Sea CF (A) la categor´ıa cuyos objetos son los conos de F. Un morfismo entre dos conos (M, Φ) y (N, Ψ) es un morfismo h ∈ MorA (M, N), tal que el diagrama (13.58)

N h

ψY MD D z DD φY φX zz DD zz DD z "

|zz / F(Y) F(X) ψX

F( f )

sea conmutativo, para cada par de objetos X, Y en J y para cada morfismo f ∈ MorJ (X, Y). A un objeto final en CF (A) lo llamamos el l´ımite del J-diagrama F : J → A. Como objeto final de una categor´ıa el l´ımite de un J-diagrama es u´ nico, salvo isomorfismo. E 13.5. 1. Si J es la categor´ıa vac´ıa, entonces un cono en CF ((A) es, simplemente, un objeto en A y un l´ımite es un objeto final de A. 2. Si J es una categor´ıa discreta, por ejemplo, D(I), donde I es un conjunto, entonces, como se indicó arriba, un J-diagrama es una familia indizada por I y un l´ımite es el producto sobre dicha familia. En particular si F es el funtor constante sobre un u´ nico objeto X de A, entonces el l´ımite es la J-potencia de X, denotada por X J . 3. Si J es una categor´ıa con u´ nicamente dos objetos y MorJ (X, Y) := { f, g}, entonces el l´ımite de un J-diagrama es el equalizador Eql(F( f ), F(g)). Es decir que el ecualizador y por consiguiente el núcleo de un morfismo, se pueden obtener como l´ımite de un determinado J-diagrama. 4. Sea (I, 6) un conjunto inductivamente ordenado y J := A(I)∗ , la categor´ıa, cuyos objetos son los elementos de I y existe un u´ nico morfismo i → j ⇔ j 6 i. Un J-diagrama, en este caso, se llama un sistema inverso o proyectivo y consta de una familia (Xi , ( f ji ))i∈I , donde, para j 6 i, f ji ∈ MorA (Xi , X j ). Un cono (N, Ψ) de F : J → A viene dado por una familia de diagramas conmutativos (13.59)

ψi

Xi

N@ @@ ψ @@ j @@ / Xj f ji

para j 6 i. El l´ımite del diagrama F : J → A, se llama el l´ımite inverso o proyectivo de la familia (Xi , ( f ji ))i∈I y se representa por (lim Xi , Φ) o bien por (proj lim Xi , Φ). ←−− 5. L´ımites inversos existen en la categor´ıa Grp de grupos y en la de Mod A de Amódulos. En efecto, dado un sistema inverso (Gi , ( f ji ))i∈I de grupos (A-módulos) y (G, (pi )i∈I ) el producto sobre I, entonces si H ⊆ G, es el subgrupo (submódulo)


357

consistente de los elementos (x j ) j∈I ∈ G, tales que f ji (xi ) = x j , (H, Φ), donde Φ es la familia de homomorfismos inducida por las proyecciones pi : G → Gi , es l´ımite proyectivo del sistema inverso (Gi , ( f ji ))i∈I . Dejamos al lector verificar que (H, Φ), satisface la propiedad universal correspondiente. Dual al concepto de l´ımite es el concepto de co-l´ımite. Dado un J-diagrama F : J → A, un co-cono es un par (N, Ψ), donde N es un objeto de A y Ψ es una familia de morfismos ψX : F(X) → N, tales que para cada morfismo f ∈ MorJ (X, Y), ψY ◦ F( f ) = ψX . Sea CF (A) la categor´ıa cuyos objetos son co-conos de F. Un morfismo entre dos coconos (M, Φ) y (N, Ψ) es un morfismo h ∈ MorA (M, N), tal que el diagrama (13.60)

F( f ) / F(Y) F(X) 22DD X z Y φ zz 22 DDDφ z z 22 DDD z 22 " |zz Y X 2 M ψ 22 ψ 22 22 h N

sea conmutativo, para cada par de objetos X, Y en J y para cada morfismo f ∈ MorJ (X, Y). A un objeto inicial en CF (A) lo llamamos el co-l´ımite del J-diagrama F : J → A. Como objeto inicial de una categor´ıa el co-l´ımite de un J-diagrama es u´ nico, salvo isomorfismo. E 13.6. 1. Si J es la categor´ıa vac´ıa, entonces un co-cono de F es simplemente un objeto de A y el co-l´ımite un objeto inicial de A. 2. Si J es una categor´ıa discreta, por ejemplo, D(I), donde I es un conjunto, entonces, como se indicó arriba, un J-diagrama es una familia indizada por I y un co-l´ımite es el coproducto sobre dicha familia. En particular si F es el funtor constante sobre un u´ nico objeto X de A, entonces el co-l´ımite es la J-co-potencia de X, denotada por XJ . 3. Si J es una categor´ıa con u´ nicamente dos objetos y MorJ (X, Y) := { f, g}, entonces el co-l´ımite de un J-diagrama es el co-equalizador Coeql(F( f ), F(g)). Es decir que el co-ecualizador y por consiguiente el co-núcleo de un morfismo, se pueden obtener como co-l´ımite de un determinado J-diagrama. 4. Sea (I, 6) un conjunto inductivamente ordenado y J := A(I), la categor´ıa, cuyos objetos son los elementos de I y existe un u´ nico morfismo i → j ⇔ i 6 j. Un J-diagrama, en este caso, se llama un sistema directo o inductivo y consta de una familia (Xi , ( f ji ))i∈I , donde, para i 6 j, f ji ∈ MorA (Xi , X j ). Un co-cono (N, Ψ) de F : J → A viene dado por una familia de diagramas conmutativos (13.61)

Xi ? ?? ?? ? ψi ??

f ji

N

/ Xj ψ j


358

para i 6 j. El co-l´ımite del diagrama F : J → A, se llama el l´ımite directo o inyectivo de la familia (Xi , ( f ji ))i∈I y se representa por (lim Xi , Φ) o bien por −−→ (inj lim Xi , Φ). Algunos autores lo llaman también l´ımite inductivo.. 5. L´ımites directos existen en la categor´ıa Ab de grupos abelianos y en la de Mod A de A-módulos. En efecto, dado un sistema directo (Gi , ( f ji ))i∈I de grupos abelianos (A-módulos), si H es el cociente de la suma directa (G, (gi )i∈I ), con el subgrupo (submódulo) N, generado por los elementos de la forma xi j ,donde para i 6 j, la componente i es x ∈ Gi , la componente j es − f ji (x) y para i , k , j, la componente k es cero. Entonces (H, (hi )i∈I ), donde hi := π ◦ gi y π:G→H es la proyección canónica, es un l´ımite directo de la familia (Gi , ( f ji ))i∈I . 13.2.8.


1. Sea Grp I , donde I es un conjunto inductivamente ordenado, cuyos objetos son todos los sistemas inversos de grupos (Gi , ( f ji ))i∈I . Dado otro sistema inverso (Hi , (gij ))i∈I , un morfismo h : (Gi , ( f ji ))i∈I :→ (Hi , (gij ))i∈I es una familia de morfismos (hi ∈ hom(Gi , Hi ))i∈I , tal que, para cada par de ´ındices i, j ∈ I, con j 6 i el diagrama (13.62)

Gi

hi

f ji

Gj

/ Hi gij

hj

/ Hj

sea conmutativo. Mostrar que Grp I cumple con los axiomas de una categor´ıa. 2. Sea Ab I , donde I es un conjunto inductivamente ordenado, cuyos objetos son todos los sistemas directos de grupos abelianos (Gi , ( f ji ))i∈I . Dado otro sistema directo (Hi , (gij ))i∈I , un morfismo h : (Gi , ( f ji ))i∈I :→ (Hi , (gij ))i∈I es una familia de morfismos (hi ∈ hom(Gi , Hi ))i∈I , tal que, para cada par de ´ındices i, j ∈ I, con i 6 j el diagrama (13.63)

Gi

hi

f ji

Gj

/ Hi gij

hj

/ Hj

sea conmutativo. Mostrar que Ab I cumple con los axiomas de una categor´ıa. 3. Mostrar que lim y lim son funtores de Grp I en Grp, respectivamente de Ab I en ←−− −−→ Ab. 4. Decimos que una sucesión corta de sistemas inversos de grupos 0 → (Ai ) → (Bi ) → (Ci ) → 0


359

es exacta, si para cada i ∈ I, la sucesión de grupos 0 → Ai → Bi → Ci → 0 es exacta. Mostrar que el funtor lim es sólo exacto por la derecha, es decir que la ←−− sucesión 0 → lim Ai → lim Bi → lim Ci ←−− ←−− ←−− es exacta. Mientras que el funtor lim es exacto. −−→ 5. Dada una familia de A-módulos (Mi )i∈I y un módulo fijo N, mostrar que M Y HomA Mi , N ' HomA (Mi , N) i∈I

i∈I

y que

HomA N,

Y

Mi '

i∈I

Y (N, Mi ). i∈I

¿Vale también HomA

Y i∈I

6.

7.

M Mi , N ' HomA (Mi , N)? i∈I

Mostrar que si (Mi , ( f ji ))i∈I es un sistema inverso (directo) de A-módulos, entonces (HomA (N, Mi ), ( f ji )∗ )i∈I es un sistema inverso (directo) de A-módulos y que (HomA (Mi , N), ( fi j )∗ )i∈I es un sistema directo (inverso) de A-módulos. Sea (Mi , ( f ji ))i∈I un sistema inverso de A-módulos. Mostrar que para cualquier A-módulo N lim HomA (N, Mi ) ' Hom(N, lim Mi ). ←−− ←−− Es decir que los funtores Hom(N, ) y lim son intercambiables. Sin embargo e´ ste ←−− no es el caso, con lim, si (Mi , ( f ji ))i∈I es un sistema directo. Se puede mostrar que −−→ existe un homomorfismo natural h : lim HomA (N, Mi ) → HomA (N, lim Mi ), −−→ −−→ pero en general no se puede decir más. En el caso en que N es finitamente generado, se puede mostrar que este homomorfismo es inyectivo. En el caso en que N es finitamente presentable, es decir, existe una sucesión exacta de A-módulos F1 → F0 → M → 0,

donde F0 , F1 son A-módulos libres finitamente generados, entonces se puede mostrar que h es un isomorfismo de A-módulos. 8. Sea M un A-módulo. Mostrar que la familia de todos los submódulos finitamente generados de M puede ser, por inclusión, inductivamente ordenado y que M es el l´ımite inductivo sobre dicha familia.

CAP´ıTULO 14

´ ALGEBRAS UNIVERSALES Entenderemos por a´ lgebra universal un a´ lgebra que resulta como elemento universal de una determinada categor´ıa, como son las a´ lgebras tensoriales, simétricas, exteriores y de Clifford, entre otras. Las a´ lgebras simétricas y exteriores resultan como un cociente del a´ lgebra tensorial. A lo largo de este cap´ıtulo A denotará un anillo conmutativo con unidad, salvo indicación de lo contrario. 14.1.

´ Producto Tensorial y Algebra Tensorial

El producto tensorial de módulos o espacios vectoriales ha adquirido una gran relevancia y encontrado aplicación en muchas de las a´ reas de las matemáticas modernas, en particular en la geometr´ıa y topolog´ıa algebraica. Una de sus aplicaciones más usuales es la linearización de aplicaciones multilineales, pues como veremos toda aplicación multilineal se factoriza, a través del producto tensorial en una aplicación lineal. Por medio del producto tensorial podemos también ampliar nuestro anillo de coeficientes en un A-álgebra o en un A-módulo, incluso ampliar el anillo de coeficientes a un determinado módulo. Dándonos la suma directa sobre N de los n-productos tensoriales de un A-módulo E con sigo mismo, se obtiene un A-álgebra graduada, llamada el a´ lgebra tensorial sobre E, la cual es, en cierto modo una generalización del a´ lgebra de polinomios, con la diferencia que no es conmutativa. Veremos que, a partir del a´ lgebra tensorial podemos obtener, como cociente, el a´ lgebra de polinomios, el a´ lgebra simétrica y el a´ lgebra exterior. Igualmente se obtienen, a partir del a´ lgebra tensorial, las a´ lgebras de Clifford y de Weyl. Como veremos el a´ lgebra tensoria, por su aspecto general es la base para consruir muchas otras. 14.1.1. Producto Tensorial de A-Módulos. Si bien el producto tensorial se puede definir sobre A-módulos, donde A no es un anillo conmutativo, por simplicidad, nosotros asumiremos que el anillo A es conmutativo con unidad, para evitar diferenciar módulos por la izquierda, por la derecha y el concepto de bimódulo. Si E1 , . . . , En , F son A-módulos, denotaremos por Ln (E1 , . . . , En ; F) el módulo de las aplicaciones n-multilineales f : E1 × · · · × En → F. Si E1 = E2 = · · · = En , entonces escribiremos Ln (E, F). Recordamos al lector que una aplicación multilineal es una aplicación que es lineal en cada variable, es decir f (x1 , . . . , xi +yi , xi+1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xi , . . . , xn )+ f (x1 , . . . , yi , . . . , xn ),

∀ i = 1, . . . , n.

y f (x1 , . . . , λxi , xi+1 , . . . , xn ) = λ f (x1 , . . . , xi , . . . xn ), 361

∀ λ ∈ A, i = 1, . . . , n.

´ 14. ALGEBRAS UNIVERSALES

362

1 ,...,E n ) Dados los A-módulos E1 , . . . , En fijos, vamos a considerar la categor´ıa Mod (E A cuyos objetos son las aplicaciones n-multilineales de E1 , . . . , En en cualquier objeto de Mod A . Dados dos objetos

f : E1 × · · · × En → F

y

g : E1 × · · · × En → G,

un morfismo de f → g es un homomorfismo de A-módulos h : F → G, que hace conmutar al diagrama 5 lll F lll l l l lll f h E1 × · · · × ERn RRR RRR g RRRR R) G

(14.1)

1 ,...,E n ) Un objeto inicial en Mod (E es llamado un producto tensorial de E1 , . . . , En y lo A denotaremos por (E1 ⊗ · · · ⊗ En , ϕ), donde

ϕ : E1 × · · · × En → E1 ⊗ · · · ⊗ En es una aplicación n-multilineal. Como objeto inicial de una categor´ıa, el producto tensorial es u´ nico, salvo isomorfismo. Entonces, si g : E1 × · · · × En → G es una aplicación multilineal , existe una u´ nica aplicación lineal h : E1 ⊗ · · · ⊗ En → G, tal que el diagrama (14.2)

E15 ⊗ · · · ⊗ En lll l l l lll ϕ h E1 × · · · × ERn RRR RRR g RRRR R) G

conmuta. h es entonces la aplicación que “lineariza” a la aplicación n-multilineal g. 14.1.2. Construcción Expl´ıcita de un Producto Tensorial. Probaremos ahora, que el producto tensorial de A-módulos existe, dándonos una construcción expl´ıcita del mismo. Sea M el módulo libre generado por el conjunto E1 × · · · × En , entonces, existe una inyección canónica E1 × · · · × En → M. Con el fin de obtener una aplicación n-multilineal, sea N el submódulo de M generado por todos los elementos de la forma (x1 , . . . , xi + yi , . . . , xn ) − (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) − (x1 , . . . , yi , . . . , xn ) (x1 , . . . , λxi , . . . , xn ) − λ(x1 , . . . , xi , . . . , xn )

´ 14.1. PRODUCTO TENSORIAL Y ALGEBRA TENSORIAL

363

para todo xi , yi ∈ Ei , λ ∈ A y formemos M/N. Entonces por la definición de N la composición ϕ que hace conmutar al diagrama /M E1 × · · · ×MEn (14.3) MMM MMM π ϕ MMM & M/N es una aplicación n-multilineal. Vamos a mostrar que (M/N, ϕ) es un objeto inicial en A(E1 ,...,En ) . En efecto, dado g : E1 × · · · × En → G, por la propiedad de módulo libre generado por E1 × · · · × En , g induce una aplicación lineal gˆ : M → G, que hace conmutar al diagrama (14.4)

5M lll lll l l lll gˆ E1 × · · · × ERn RRR RRR g RRRR R) G

Como g es multilineal, gˆ se anula sobre N, por lo que puede ser factorizada a través de M/N, obteniendo un homomorfismo g∗ , que hace conmutar al diagrama (14.5)

l5 M/N lll l l l lll g∗ E1 × · · · × E RRnR RRR R g RRRR R) G ϕ

como la imagen de ϕ genera todo M/N, g∗ está un´ıvocamente determinada por g, por lo que es u´ nica. Esto muestra que M/N ' E1 ⊗ · · · ⊗ En . Cuando existe posibilidad de confusión respecto de qué anillo estamos tomando la linearidad de un homomorfismo de módulos (éste es el caso cuando E es también módulo respecto de otro anillo B), entonces se suele escribir el producto tensorial como E 1 ⊗A · · · ⊗A E n . Para (x1 , . . . , xn ) ∈ E1 × · · · × En , se suele escribir ϕ(x1 , . . . , xn ) = x1 ⊗ · · · ⊗ xn = x1 ⊗A · · · ⊗A xn y para todo i = 1, . . . , n se tiene x1 ⊗ · · · ⊗ λxi ⊗ · · · ⊗ xn = λ(x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) y x1 ⊗ · · · ⊗ (xi + yi ) ⊗ · · · ⊗ xn = (x1 ⊗ · · · ⊗ xi ⊗ · · · ⊗ xn ) + (x1 ⊗ · · · ⊗ yi ⊗ · · · ⊗ xn ), para todo xi , yi ∈ Ei . En particular resulta que, si para algún i = 1, . . . , n, xi = 0, entonces x1 ⊗ · · · ⊗ 0 ⊗ · · · ⊗ xn = 0


364

. O´. Como el lector podrá darse cuenta, el submódulo N está construido, de forma tal, para que la composición E1 × · · · × En → M → M/N sea bilineal. Puede suceder que el producto tensorial de dos módulos sea 0, como ocurre con los Z-módulos Z/nZ y Z/mZ, donde n, m son enteros mayores que uno y primos relativos entre s´ı. En efecto, en Z/nZ ⊗Z Z/mZ x ⊗ y = (rn + sm)(x ⊗ y) = r(nx ⊗ y) + s(x ⊗ my) = 0, donde r, s ∈ Z, tales que rn + sm = 1, y como los elementos de la forma x ⊗ y generan Z/nZ ⊗Z Z/mZ, se tiene que Z/nZ ⊗Z Z/mZ = 0. T 14.1. Para todo A-módulo E, se tiene un u´ nico isomorfismo A ⊗A E ' E D´. En efecto, la aplicación · : A × E → E, tal que ·(λ, x) := λx es bilineal, por lo que se tiene un u´ nico homomorfismo g : A ⊗ E → E, tal que λ ⊗ x 7→ λx, para todo λ ∈ A, x ∈ E. g es sobreyectiva, ya que, dado x ∈ E, x = g(1 ⊗ x), por otra parte si g(λ ⊗ x) = λx = 0, entonces λ ⊗ x = 1 ⊗ λx = 1 ⊗ 0 = 0, por lo que g es inyectiva. Por lo tanto g es un isomorfismo. T 14.2. Sean E, F, dos A-módulos. Entonces se tiene un u´ nico isomorfismo E ⊗ F ' F ⊗ E, tal que x ⊗ y 7→ y ⊗ x, ∀ (x, y) ∈ E × F. D´. En efecto, la aplicación E × F → F ⊗ E, tal que (x, y) 7→ y ⊗ x es bilineal, por lo que existe un u´ nico homomorfismo h : E ⊗ F → F ⊗ E, tal que x⊗y 7→ y⊗ x. De forma similar, invirtiendo el orden de los factores obtenemos un u´ nico homomorfismo g : F ⊗ E → E ⊗ F, el cual es una inversa de h, por la propiedad universal. T 14.3. Sean E1 , E2 , E3 A-módulos. Entones existe un u´ nico isomorfismo (E1 ⊗ E2 ) ⊗ E3 ' E1 ⊗ (E2 ⊗ E3 ), tal que (x ⊗ y) ⊗ z 7→ x ⊗ (y ⊗ z) para todo x ∈ E1 , y ∈ E2 , z ∈ E3 .


365

D´. La unicidad, en caso de mostrar su existencia, está garantizada, ya que los elementos (x ⊗ y) ⊗ z generan (E1 ⊗ E2 ) ⊗ E3 . Para probar la existencia, sea x ∈ E1 y consideremos la aplicación f x : E2 × E3 → (E1 ⊗ E2 ) ⊗ E3 , definida por f x (y, z) := (x ⊗ y) ⊗ z, la cual es bilineal. Por consiguiente f x se factoriza a través de E2 ⊗ E3 e induce una aplicación lineal f¯x : E2 ⊗ E3 → (E1 ⊗ E2 ) ⊗ E3 , con ayuda de la cual nos construimos una aplicación bilineal g : E1 × (E2 ⊗ E3 ) → (E1 ⊗ E2 ) ⊗ E3 , tal que g(x, α) := f¯x (α), para cada x ∈ E1 , α ∈ E2 ⊗ E3 , la cual nuevamente se factoriza a través de E1 ⊗ (E2 ⊗ E3 ), obteniendo un u´ nico homomorfismo gˆ : E1 ⊗ (E2 ⊗ E3 ) → (E1 ⊗ E2 ) ⊗ E3 .

Empleando un proceso similar se obtiene una inversa de gˆ .

Propiedades Funtoriales del Producto Tensorial. Si se tiene una familia de homomorfismos de A-módulos fi : Ei → Fi , i = 1, . . . , n, e´ sta induce un homomorfismo n n Y Y Fi , Ei → f :

f := f1 × · · · × fn .

donde

i=1

i=1

La composición de f con la aplicación canónica ϕF : F 1 × · · · × F n → F 1 ⊗ · · · ⊗ F n es n-multilineal e induce una u´ nica aplicación lineal T ( f ) : E1 ⊗ · · · ⊗ En → F1 ⊗ · · · ⊗ Fn que hace conmutar al diagrama E1 × · · · × En

ϕE

f

F1 × · · · × Fn

/ E1 ⊗ · · · ⊗ En

ϕF

T(f)

/ F1 ⊗ · · · ⊗ Fn (

T ( f ) es la u´ nica aplicación, tal que T ( f )(x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) = ( f (x1 ) ⊗ · · · ⊗ f (xn )). Por otra parte si gi : Mi → Ei , i = 1, . . . , n es otra familia de homomorfismos de A-módulos, entonces T ( f ◦ g) = T ( f ) ◦ T (g)

y T (1E1 ×···×En ) = 1E1 ⊗···⊗En .

T puede ser considerada entonces, como una aplicación T:

n Y i=1

HomA (Ei , Fi ) → HomA

n O i=1

Ei ,

n O i=1

Fi ,


366

que es bilineal e induce un homomorfismo Tˆ :

(14.6)

n O

HomA (Ei , Fi ) → HomA

n O

Ei ,

i=1

i=1

n O

Fi .

i=1

Por esta razón, por abuso de lenguaje, se suele escribir f1 ⊗ · · · ⊗ fn , en lugar de T ( f ), lo n N cual no debe ser confundido con f1 ⊗ · · · ⊗ fn ∈ HomA (Ei , Fi ) . i=1

Por lo anteriormente descrito resulta entonces, que el n-producto tensorial, es un nfuntor: n O

: Mod A × · · · × Mod A → Mod A

i=1

En particular, cuando n = 2 y F es un A-módulo fijo, se tiene un funtor τF : Mod A → Mod A , tal que τF (X) := F ⊗ X, para cada objeto X de Mod A . Dado un homomorfismo f ∈ HomA (X, Y), se tiene un homomorfismo τF ( f ) := 1 ⊗ f : F ⊗ X → F ⊗ Y. El siguiente teorema nos da las relaciones que existen entre aplicaciones lineales, bilineales y producto tensorial. T 14.4. Dados tres A-módulos, E, F, G, se tienen los siguientes isomorfismos naturales HomA (E, HomA (F, G)) ' L2 (E, F; G) ' HomA (E ⊗ F, G).

D´. i) Se tiene un homomorfismo natural h : L2 (E, F; G) → HomA (E, HomA (F, G)). En efecto, dada una aplicación bilineal f : E × F → G y x ∈ E, la aplicación f x : F → G, definida por f x (y) := f (x, y) es lineal. Por otra parte, también la aplicación ϕ f : E → HomA (F, G), definida por ϕ f (x) := f x , también es lineal. Entonces definimos h, como la aplicación lineal h( f ) := ϕ f . ii) Se tiene un homomorfismo natural g : HomA (E, HomA (F, G)) → L2 (E, F; G). En efecto, dado ϕ ∈ HomA (E, HomA (F, G)), Sea fϕ : E × F → G, la aplicación bilineal, tal que fϕ (x, y) := ϕ(x)(y). Entonces definimos g(ϕ) := fϕ y g es una inversa de h.


367

iii) Se tiene un homomorfismo natural ψ : L2 (E, F; G) → HomA (E ⊗ F, G). En efecto, por la propiedad universal del producto tensorial, dada una aplicación bilineal f , e´ sta induce un u´ nico homomorfismo fˆ ∈ HomA (E ⊗ F, G), tal que fˆ(x ⊗ y) = f (x, y) y definimos ψ( f ) := fˆ. ψ es inyectiva, pues si ψ( f ) = 0, entonces f (x, y) = ψ( f )(x ⊗ y) = 0, ∀ (x, y) ∈ E × F y f = 0. ψ es sobreyectiva, pues dado un homomorfismo θ : E ⊗ F → G, la composición de θ, con la aplicación bilineal canónica ϕ : E × F → E ⊗ F es una aplicación bilineal f : E × F → G, tal que ψ( f ) = θ. El siguiente teorema nos muestra que el producto tensorial es distributivo respecto de la suma directa de A-módulos. T 14.5. Sea F un A-módulo fijo, (Ei )i∈I una familia indizada de A-módulos y M Ei . E := i∈I

Entonces se tiene un isomorfismo E⊗F '

M

(Ei ⊗ F).

i∈I

D´. Sean, para cada i ∈ I, ψi : Ei → E, las inyecciones canónicas. Aplicando el funtor τF , obtenemos, para cada i ∈ I, homomorfismos ψi ⊗ 1F : Ei ⊗ F → E ⊗ F. Por la propiedad universal de la suma directa, existe un u´ nico homomorfismo M (Ei ⊗ F) → E ⊗ F, ψ: i∈I

tal que, para cada i ∈ I, el diagrama ψi ⊗1F

/ E⊗F t: t tt t θi tt tt ψ L (Ei ⊗ F) Ei ⊗ F

i∈I

donde θi son las inyecciones canónicas, es conmutativo. Por otra parte, la aplicación M f :E×F → (Ei ⊗ F), i∈I


368

definida por f

X

X X xi , y := ψi (xi ) ⊗ y = (ψ(xi ) ⊗ y),

i∈I

i∈I

i∈I

es bilineal e induce un u´ nico homomorfismo M fˆ : E ⊗ F → (Ei ⊗ F), i∈I

el cual, por la propiedad universal del producto tensorial, es el inverso de ψ (¡ejercicio!). Los resultados que demostraremos a continuación nos muestran que, en general, el funtor τF no es un funtor exacto. En contraposición al funtor HomA (F, ), τF es sólo exacto por la derecha. T 14.6. Sea

ϕ

ψ

0 → E 0 → E → E 00 → 0 una sucesión exacta de A-módulos y F un A-módulo, entonces la sucesión 1F ⊗ϕ

1F ⊗ψ

F ⊗ E 0 −−−−→ F ⊗ E −−−−→ F ⊗ E 00 → 0 es exacta. D´. Vamos a empezar mostrando que el homomorfismo 1F ⊗ ψ es sobreyectivo. En efecto, dado x00 ∈ E 00 , existe x ∈ E, tal que ψ(x) = x00 , por lo que y ⊗ x00 = (1F ⊗ ψ)(y ⊗ x), como F ⊗ E 00 es generado por todos los elementos de la forma y ⊗ x00 , con x00 ∈ E 00 , resulta la sobreyectividad de 1F ⊗ ψ. Vamos a mostrar ahora que Im(1F ⊗ ϕ) = ker(1F ⊗ ψ): Como Im ϕ = ker ψ se obtiene de inmediato, que Im(1F × ϕ) ⊆ ker(1F ⊗ ψ). Sea M := Im(1F ⊗ ϕ) y consideremos el homomorfismo canónico f : F ⊗ E/M → F ⊗ E 00 el cual es inyectivo, Ssi M = ker(1F ⊗ ψ). Vamos a definir un homomorfismo g : F ⊗ E 00 → (F ⊗ E)/M, tal que g◦ f = 1(F⊗E)/M , lo que mostrar´ıa que f es inyectiva y que ker(1F ⊗ψ) = Im(1F ⊗ϕ). Dados x00 ∈ E 00 , y ∈ F, sea x ∈ E, tal que ψ(x) = x00 . Definimos una aplicación h : F × E 00 → (F ⊗ E)/M, tal que h(y, x00 ) := y ⊗ x (mód M). Vamos a mostrar que h está bien definida y que es independiente de la escogencia de x. En efecto, sean x1 , x2 ∈ E, tales que ψ(x1 ) = ψ(x2 ) = x00 , entonces ψ(x1 − x2 ) = 0 y (x1 − x2 ) ∈ ker ψ = Im ϕ, por lo que existe x0 ∈ E 0 , tal que ϕ(x0 ) = x1 − x2 . Entonces y ⊗ x1 − y ⊗ x2 = y ⊗ (x1 − x2 ) = y ⊗ ϕ(x0 ) ∈ M Por consiguiente y ⊗ x1 ≡ y ⊗ x2 (mód M), por lo que h está bien definida. Por otra parte h es bilineal, por lo que induce un homomorfismo g : F ⊗ E 00 → (F ⊗ E)/M, Entonces (g ◦ f )(y ⊗ x) = y ⊗ x (mód M), como los elementos de la forma y ⊗ x00 generan F ⊗ E 00 , se obtiene que g ◦ f = 1(F⊗E)/M , lo que muestra la inyectividad de f . O´ 14.1. En el caso general, de (1F ⊗ ϕ)(y ⊗ x0 ) = y ⊗ ϕ(x0 ) = 0 ∈ F ⊗ E no podemos deducir que y ⊗ x0 = 0 ∈ F ⊗ E 0 , por lo que τF no es exacto por la izquierda.


369

T 14.7. Sea a un ideal del anillo A. E un A-módulo. Entonces la aplicación · : (A/a) × E → E/aE inducida por el producto, es bilineal e induce un isomorfismo (A/a) ⊗ E ' E/aE. D´. Como el producto es una aplicación bilineal · : (A/a) × E → E/aE, entonces induce un homomorfismo h : (A/a) ⊗ E → E/aE. Vamos a mostrar que h posee una inversa. En efecto, consideremos la aplicación j : E → (A/a) ⊗ E, definida por j(x) := 1¯ ⊗ x. j es lineal y aE ⊆ ker j, entonces j induce un homomorfismo ˆj : E/aE → (A/a) ⊗ E,

que es una inversa de h.

El teorema 14.7 es conocido como teorema de reducción de coeficientes. Como contrapartida, si φ:A→B es un homomorfismo inyectivo, entonces B es un A-módulo (ver sección de ejercicios 10.1.1) y dado un A-módulo E, podemos formar B ⊗A E, el cual adquiere la extructura de un B-módulo, es decir hemos ampliado el anillo de coeficientes de E. Consideremos la sucesión exacta de A-módulos ϕ

ψ

0 → E 0 → E → E 00 → 0 y a := AnnA (E 0 ) := {a ∈ A | aE = 0}, es el anulador de E 0 en A, pero no el de E, entonces si hacemos el producto tensorial con A/a, como aE 0 = 0, (A/a) ⊗ E 0 ' E 0 y obtenemos la sucesión 1A/a ⊗ϕ

1A/a ⊗ψ

E 0 = E 0 /aE 0 −−−−−→ E/aE −−−−−→ E 00 /aE 00 → 0 Si x0 es tal, que (1A/a ⊗ ϕ)(x0 ) ∈ aE, entonces 1A/a ⊗ ϕ no es inyectiva. Decimos que una sucesión exacta de A-módulos (14.7)

ϕ

ψ

0 → E 0 → E → E 00 → 0

escinde, si existe un homomorfismo r : E 00 → E, tal que ψ ◦ r = 1E 00 . El homomorfismo r se dice, entonces, que es una escisión de la sucesión (14.7). T 14.8. Dada una sucesión exacta (14.8)

ϕ

ψ

0 → E 0 → E → E 00 → 0

Las siguientes condiciones son equivalentes: a) la sucesión (14.8) escinde


370

b) Existe un homomorfismo g : E → E0 tal que g ◦ ϕ = 1E 0 . c) E ' E 0 ⊕ E 00 . D´. a)⇒ b) Si la sucesión (14.8) escinde, dado x ∈ E, consideremos el elemento x−r(x00 ), tal que x00 = ψ(x), entonces x−r(x00 ) ∈ ker ψ = Im ϕ y existe x0 ∈ E 0 , tal que ϕ(x0 ) = x − r(x00 ) y x = ϕ(x0 ) + r(x00 ), entonces, como el lector comprobará facilmente, g(x) := x0 es un homomorfismo y cumple con lo deseado. a) ⇒ c) Como ψ ◦ r = 1E 00 , r debe ser inyectiva y Im ϕ ∩ Im r = 0, por otra parte vimos que todo elemento x ∈ E se escribe como suma de un elemento de Im ϕ con un elemento de Im r, por lo que E = ϕ[E 0 ] ⊕ r[E 00 ] ' E 0 ⊕ E 00 . c) ⇒ a) Resulta del hecho de que E es un biproducto. b)⇒ a) Dado x00 ∈ E 00 , existe x ∈ E, tal que ψ(x) = x00 . Vamos a mostrar que si definimos r(x00 ) := x − ϕ(g(x)), entonces se tiene un homomorfismo r : E 00 → E el cual es una escisión de la sucesión (14.8). En efecto, si y ∈ E, tal que ψ(y) = x00 , entonces (x − y) ∈ ker ψ = Im ϕ, por lo que existe x0 ∈ E 0 , tal que ϕ(x0 ) = (x − y), entonces, por hipótesis, x0 = g(ϕ(x0 )) = g(x) − g(y), de donde x − y = ϕ(x0 ) = ϕ(g(x)) − ϕ(g(y)), por consiguiente x − ϕ(g(x)) = y − ϕ(g(y)), lo que muestra que la aplicación r está bien definida y, como el lector comprobará facilmente, r es un homomorfismo y cumple con lo deseado. T 14.9. Si la sucesión de A-módulos ϕ

ψ

0 → E 0 → E → E 00 → 0

(14.9) escinde, entonces la sucesión (14.10)

1F ⊗ϕ

1F ⊗ψ

0 → F ⊗ E 0 −−−−→ F ⊗ E −−−−→ F ⊗ E 00 → 0

es exacta, para cualquier A-módulo F. D´. Como (14.9) escinde, existe un homomorfismo g : E → E0, tal que g ◦ ϕ = 1E 0 . Como τF es un funtor, se tiene τF (g ◦ ϕ) = τF (g) ◦ τF (ϕ) = (1F ⊗ g) ◦ (1F ⊗ ϕ) = 1τF (E 0 ) . Por consiguiente 1F ⊗ ϕ es inyectiva y la sucesión (14.10) es exacta. Cabe preguntarse, dada una sucesión exacta de A-módulos (14.11)

ϕ

ψ

0 → E 0 → E → E 00 → 0

¿Qué condiciones debe satisfacer un A-módulo F, para que la sucesión (14.12)

1F ⊗ϕ

1F ⊗ψ

0 → F ⊗ E 0 −−−−→ F ⊗ E −−−−→ F ⊗ E 00 → 0

sea exacta? La respuesta nos la da el siguiente


371

T 14.10. Dado un A-módulo F, las siguientes condiciones son equivalentes: P1. Para cualquier sucesión exacta de A-módulos ϕ

ψ

E 0 → E → E 00 la sucesión 1F ⊗ϕ

1F ⊗ψ

F ⊗ E 0 −−−−→ F ⊗ E −−−−→ F ⊗ E 00

(14.13)

es exacta. P2. Para cualquier sucesión exacta de A-módulos ϕ

ψ

0 → E 0 → E → E 00 → 0 la sucesión 1F ⊗ϕ

1F ⊗ψ

0 → F ⊗ E 0 −−−−→ F ⊗ E −−−−→ F ⊗ E 00 → 0 es exacta. P3. Para cualquier inyección ϕ

0 → E0 → E la sucesión 1F ⊗ϕ

0 → F ⊗ E 0 −−−−→ F ⊗ E es exacta. D´. La cadena de implicaciones P1. ⇒ P2. ⇒ P3., resulta de aplicar P1. a la sucesión exacta ψ

0→E 0 → E P3. ⇒ P1. Dada una sucesión exacta de A-módulos ϕ

ψ

E 0 → E → E 00 consideremos las sucesiones exactas i

ϕ

0 → ker ϕ → E 0 → Im ϕ → 0 y j

ψ

0 → Im ϕ → E → Im ψ → 0 las cuales por P3. y teorema 14.6 inducen sucesiones exactas 1F ⊗i

1F ⊗ϕ

1F ⊗ j

1F ⊗ψ

0 → F ⊗ ker ϕ −−−→ F ⊗ E 0 −−−−→ F ⊗ Im ϕ → 0 y 0 → F ⊗ Im ϕ −−−→ F ⊗ E −−−−→ F ⊗ Im ψ → 0


372

Entonces P1. resulta del siguiente diagrama de sucesiones exactas 0 / F ⊗ Im ϕ

0

/ F ⊗ Im ϕ

/ F ⊗ E0

/0

F⊗E F ⊗ Im ψ 0 del cual se deduce Im(1F ⊗ ϕ) = ker(1F ⊗ ψ), lo que implica la exactitud de la sucesión (14.13) Si un A-módulo satisface cualquiera de las propiedades P1-P3, se dice que es un módulo plano o llano, siguiendo la terminolog´ıa de J.P. Serre (module plat). El anillo A en tanto que A-módulo sobre s´ı mismo es plano, ya que para cualquier A-módulo E, E ' A ⊗ E. L T 14.11. Sea F := Fi la suma directa de la familia de A-módulos (Fi )i∈I . i∈I

Entonces F es plano, Ssi para cada i ∈ I, Fi es plano. D´. Supongamos que para cada i ∈ I, Fi sea un módulo plano. Entonces la sucesión exacta ϕ

ψ

0 → E 0 → E → E 00 → 0 induce la sucesión exacta 1Fi ⊗ϕ

1Fi ⊗ψ

0 → Fi ⊗ E 0 −−−−→ Fi ⊗ E −−−−→ Fi ⊗ E 00 → 0 L Tensorisando por F y teniendo en cuenta el isomorfismo F ⊗ M ' (Fi ⊗ M), se obtiene i∈I

el siguiente diagrama conmutativo de sucesiones exactas

0

0

0

0

/ Fi ⊗ E 0

/ Fi ⊗ E

/ Fi ⊗ E 00

/0

L (Fi ⊗ E 00 )

/0

L (Fi ⊗ E 0 ) i∈I

/

L (Fi ⊗ E) i∈I

/

i∈I

L (Fi ⊗ E), entonces xi ⊗ ϕ(y0 ) = 0, para cada i ∈ I y por la i i∈I L P inyectividad de 1Fi ⊗ ϕ resulta que xi ⊗ y0 = 0 ∈ Fi ⊗ E 0 y xi ⊗ y0 = 0 ∈ (Fi ⊗ E 0 ), lo

Si

P

xi ⊗ ϕ(y0 ) = 0 ∈

i

i∈I


373

que nos muestra que la sucesión 0→

M

(Fi ⊗ E 0 )→

M

i∈I

(Fi ⊗ E)

i∈I

L

Fi es un módulo plano. L Fi es un módulo plano. Entonces tenemos el diagrama Supongamos ahora que

es exacta. Por lo tanto

i∈I

i∈I

conmutativo de sucesiones exactas

0

/

0

0

0

Fi ⊗ E 0

/ Fi ⊗ E

/ Fi ⊗ E 00

/0

L (Fi ⊗ E 00 )

/0

L (Fi ⊗ E 0 ) i∈I

/

L (Fi ⊗ E) /

i∈I

i∈I

Supongamos queLpara algún i ∈ I, xi ⊗ y L , 0, pero xi ⊗ ϕ(y0 ) = 0 ∈ Fi ⊗ E, entonces 0 0 xi ⊗ ϕ(y ) = 0 ∈ (Fi ⊗ E), y xi ⊗ y , 0 ∈ (Fi ⊗ E 0 ), en contradicción a la inyectividad i∈I

i∈I

de M

(Fi ⊗ E 0 ) →

i∈I

M

(Fi ⊗ E).

i∈I

Como corolario al teorema 14.11 se obtiene el siguiente resultado C 14.12. Todo A-módulo libre es plano. D´. En efecto todo A-módulo libre es suma directa de copias de A, el cual es plano. 14.1.3.


1. El teorema 14.1 tiene la siguiente generalización: Si E es un A-módulo libre de dimensión 1, entonces existe un u´ nico isomorfismo E ⊗ F ' F, para cualquier A-módulo F. (Ayuda: si {v} es base de E, mostrar que la asignación (av, y) 7→ ay es una aplicación bilineal de E × F en F y proceder como en teorema 14.1). 2. Mostrar que si S es un conjunto multiplicativo de A, entonces S −1 A⊗A E ' S −1 E, para cualquier A-módulo E. (Ver demostración del teorema 14.7). En particular si p es un ideal primo de A, entonces Ap ⊗A E = Ep . 3. Mostrar que para cualquier conjunto multiplicativo S de A, S −1 A es plano. 4. Mostrar que Mp ⊗ E ' M ⊗ Ep ' (M ⊗ E)p , para cualquier par de A-módulos M, E y para todo p ∈ Spec A. 5. Mostrar que un A-módulo M es plano, Ssi Mp es plano, para todo p ∈ Spec A.(Hacer ver que si p es un ideal que contiene al anulador de un elemento x ⊗ y0 y M no es plano, entonces tampoco Mp ). 6. Mostrar que para un A-módulo P las siguientes condiciones son equivalentes.

374


Pr1. Dado un homomorfismo f : P → E 00 y un homomorfismo sobreyectivo g : E → E 00 , existe un homomorfismo h : P → E, que hace conmutar al diagrama P } h }}} f }} ~}} / E 00 /0 E g Pr2. Toda sucesión exacta ϕ

ψ

0 → E 0 → E 00 → P → 0 escinde. Pr3. Existe un A-módulo E, tal que P ⊕ E es libre. Dicho de otro modo, P es sumando directo de un A-módulo libre. Pr4. El funtor HomA (P, ) es exacto. Un módulo P que satisface cualquiera de las condiciones Pr1-Pr4 se llama un módulo proyectivo. 7. Mostrar que todo A-módulo proyectivo es plano y que todo A-módulo libre es proyectivo. 8. Mostrar que un A-módulo finitamente generado, sobre un dominio entero principal A, es plano, Ssi es libre de torsión. (Tensorizar la sucesión exacta 0 → A → Ap , para un ideal primo p que no contenga al anulador de algún elemento del submódulo de torsión T M, asumiendo que T M , 0). 9. Sea (Mi , f ji ) un sistema inductivo de A-módulos y M := lim Mi . Mostrar que, −−→ para cualquier A-módulo N, (Mi ⊗ N, f ji ⊗ 1N ) es un sistema inductivo y se tiene un isomorfismo natural lim(Mi ⊗ N) ' M ⊗ N. −−→ Es decir que el producto tensorial conmuta con l´ımites inductivos de A-módulos. (Ayuda: Por definición de l´ımite inductivo se tendrá un morfismo de lim(Mi ⊗ N) −−→ a M⊗N. Con ayuda de la aplicación bilineal canónica Mi ×N → Mi ⊗N, construir un homomorfismo de M × N a lim(Mi ⊗ N)). −−→ 10. Sea A un dominio entero principal y E un A-módulo. Mostrar que RankA E = dimA/p (E ⊗ A/p), donde p ∈ Spec A = Ω(A). 11. Si E es un A-módulo libre de base (vi )i∈I y F un A-módulo cualquiera, mostrar que todo elemento de E ⊗ F, posee una u´ nica expresión de la forma X vi ⊗ yi , yi ∈ F ı∈I

y yi = 0, salvo un número finito de elementos de I. 12. Si E y F son dos A-módulos libres, de bases (vi )i∈I , (w j ) j∈J respectivamente, entonces E ⊗ F es un A-módulo libre de base (vi ⊗ w j )(i, j)∈I×J . En particular, si E y F son de dimensión finita, entonces dimA (E ⊗ F) = (dimA E)(dimA F). 13. Sean E, F A-módulos libres de dimensión finita, de bases {v1 , . . . , vn },

{w1 , . . . , wm }

respectivamente. Mostrar que para cada par de ´ındices (i0 , j0 ), 1 6 i0 6 n, 1 6 j0 6 m, existen endomorfismos u´ nicos fi,i0 ∈ EndA (E), g j, j0 ∈ EndA (F), tales que fi,i0 (vi ) := vi0 y fi,i0 (vν ) := 0, si ν , i


375

g j, j0 (w j ) := w j0 y g j, j0 (wν ) := 0, si ν , j, y que ( fi,i0 ), (g j, j0 ) forman bases de EndA (E), EndA (F) respectivamente y por consiguiente ( fi,i0 ⊗ g j,i0 ) es una base de EndA (E) ⊗ EndA (F). 14. Bajo las mismas condiciones que el ejercicio precedente, mostrar que    vi0 ⊗ w j0 si (ν, µ) = (i, j), T ( fi,i0 , g j, j0 )(vν ⊗ wµ ) =  0  si (ν, µ) , (i, j). Deducir que la familia (T ( fi,i0 , g j, j0 )) es una base de EndA (E ⊗ F). 15. Bajo las mismas condiciones que en el ejercicio precedente, mostrar, usando los resultados de los dos ejercicios precedentes, que para E1 = F1 = E, E2 = F2 = F, el homomorfismo Tˆ : EndA (E) ⊗ EndA (F) → EndA (E ⊗ F), definido en (14.6), es un isomorfismo. 16. Si K es un campo y V un K-espacio vectorial, mostrar que Ln (V, K) ' HomK (T n V, K) = (T n V)∗ ' T r V. Por esta razón a una forma n-multilineal se le llama también un n-tensor covariante, o tensor covariante de grado n.. Mientras que a un elemento de T n V ∗ se le llama un n-tensor contravariante o tensor contravariante de grado n. (Advertimos al lector que los f´ısicos llaman covariante a lo que nosotros llamamos contravariante y viceversa). ´ 14.1.4. Algebra Tensorial. Sea Alg A la categor´ıa cuyos objetos son A-álgebras asociativas con unidad y sus morfismos homomorfismos de A-álgebras. Dado un A-módulo fijo E, sea Alg EA , la categor´ıa cuyos objetos son pares (X, ϕ), donde X es un A-álgebra y ϕ un homomorfismo de A-módulos de E en X. Dado otro objeto (Y, ψ) un morfismo (X, ϕ) 7→ (Y, ψ) es un homomorfismo de A-álgebras θ : X → Y, que hace conmutar al diagrama (14.14)

ϕ

/X ψ θ Y E

Un objeto inicial (T E, ψ) en la categor´ıa Alg EA se llama un a´ lgebra tensorial sobre el módulo E. Como objeto inicial de una categor´ıa un a´ lgebra tensorial sobre un módulo E es u´ nica salvo isomorfismo. Mostraremos ahora que el a´ lgebra tensorial existe, dándonos una construcción expl´ıcita de la misma. Debemos construirnos un a´ lgebra T E, tal que tengamos, de forma natural, un homomorfismo de A-módulos de E en TE y dado un homomorfismo ϕ : E → X, obtener, de forma natural, un homomorfismo de A-álgebras de T E en X. Definamos T 0 E := A, T 1 E := E, Dado n ∈ N, T n E := | E ⊗ {z ··· ⊗ E }. Dados r, s ∈ N, por la n

asociatividad del producto tensorial se tiene una aplicación bilineal T r E × T s E → T r+s E, la cual define un producto graduado, que induce sobre M T E := T νE ν∈N


376

una estructura de un A-álgebra graduada. Entonces (T E, ψ), donde ψ es la inclusión de E sobre T 1 E, es un a´ lgebra tensorial sobre E. En efecto, si ϕ : E → X es un homomorfismo de A-módulos, sobre el A-álgebra asociativa con unidad X, entonces para n ∈ N, ϕ induce una aplicación n-multilineal ϕn : E × · · · × E → X, por medio de ϕn (x1 , . . . , xn ) := ϕ(x)1 · · · ϕ(xn ), la cual induce un u´ nico homomorfismo de A-módulos ϕˆ n : T n E → X, para cada grado n ∈ N, induciendo un u´ nico homomorfismo de A-álgebras ϕˆ : T E → X, que hace conmutar al diagrama: ψ

/ TE | | || ϕ || ϕˆ | |~ X

(14.15)

E

Con esto hemos mostrado que (

L

T ν E, ψ) es un a´ lgebra tensorial sobre el módulo E.

ν∈N

Si F es otro A-módulo y ϕ : E → F es un homomorfismo de A-módulos, entonces, para cada grado n ∈ N, ϕ induce un homomorfismo T n (ϕ) : T n E → T n F, donde T n (ϕ)(x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) := ϕ(x1 ) ⊗ · · · ⊗ ϕ(xn ), el cual induce un homomorfismo de a´ lgebras graduadas T (ϕ) : T E → T F. Por otra parte, el lector comprobará que dados los homomorfismos de A-módulos ϕ : E → F,

ψ : F → G,

entonces T (ψ ◦ ϕ) = T (ψ) ◦ T (ϕ) y si 1E es la identidad sobre E, entonces T (1E ) = 1T (E) , por lo que T : Mod A → Alg A es un funtor covariante de la categor´ıa de A-módulos en la categor´ıa de A-álgebras asociativas graduadas con unidad y se tiene el siguiente diagrama conmutativo (14.16)

E ψE

ϕ

TE

/F

T (ϕ)

ψF

/ TF

Sea S := {X1 , . . . , Xn } un conjunto de n elementos. Por MhS i denotaremos el conjunto de todas las expresiones de la forma M(Xi1 , . . . , Xik ) := Xi1 · · · Xik , 1 6 iκ 6 n, k ∈ N, llamadas monomios de grado k. Para k = 0, la expresión representará al producto vac´ıo. Dados dos monomios M(Xi1 , . . . , Xik ) y M(Xi1 , . . . , Xil ), definimos el producto M(Xi1 , . . . , Xik ) · M(X j1 , . . . , X jl ) := Xi1 · · · Xik · X j1 · · · X jl . De esta forma (MhS i, ·) adquiere la estructura de un monoide, llamado el monoide libre, no conmutativo, generado por el conjunto S , donde el producto vac´ıo actúa como elemento neutro. Al A-álgebra libre sobre el monoide libre MhS i la llamamos el a´ lgebra de polinomios con coeficientes en A en las indeterminadas X1 , . . . , Xn y lo denotaremos


377

por A[X1 , . . . , Xn ]∗ . El lector comprobará, sin gran dificultad, que al igual que el a´ lgebra de polinomios usual, A[X1 , . . . , Xn ]∗ es un A-álgebra graduada. Si E es un A-módulo libre, de base {v1 , . . . , vn }, entonces, como se vió en la serie de ejercicios 14.1.3, T r E es un A-módulo libre, cuya base son los productos vi1 ⊗ · · · ⊗ vir . Si A(r) [X1 , . . . , Xn ]∗ es el submódulo de grado r de A[X1 , . . . , Xn ]∗ , e´ ste está generado por todos los monomios Xi1 · · · Xir y la asignación vi1 ⊗ · · · ⊗ vir 7→ Xi1 · · · Xir , induce un isomorfismo de A-módulos, ϕ : T r E → A(r) [X1 , . . . , Xn ]∗ , el cual se extiende a un isomorfismo de a´ lgebras graduadas ϕˆ : T E → A[X1 , . . . , Xn ]∗ Con lo que hemos mostrado el siguiente T 14.13. Si E es un A-módulo libre de base {v1 , . . . , vn }, entonces el a´ lgebra tensorial sobre E es isomorfa al a´ lgebra de polinomios no conmutativos A[X1 , . . . , Xn ]∗ . Para el caso del módulo EndA (E) tenemos lo siguiente: El homomorfismo Tˆ en (14.6), nos da un homomorfismo de A-módulos Tˆ n : T n (EndA (E)) → EndA (T n E). Vamos a hacer ver que sobre M

EndA (T ν E)

ν∈N

se tiene una estructura de A-álgebra graduada y que Tˆ ν mapea los elementos de grado ν en los elementos de grado ν. Dados f ∈ EndA (T n E), g ∈ EndA (T m E), x ∈ T n E, y ∈ T m E, consideremos el diagrama conmutativo T nE × T mE

ϕE

f ×g

T nE × T mE

/ T n+m E T ( f,g)

ϕE

& / T n+m E

donde T ( f, g)(x, y) := f (x) ⊗ g(y) ∈ T n+m E y T ( f, g) ∈ EndA (T n+m E). El lector comprobará con facilidad que la asignación ( f, g) 7→ f · g := T ( f, g) es una aplicación bilineal · : EndA (T n E) × EndA (T m E) → EndA (T n+m E), que es un producto graduado sobre M

EndA (T ν E).

ν∈N

Obviamente Tˆ ν mapea elementos de grado ν en elementos de grado ν, por lo que se puede extender a un homomorfismo de a´ lgebras graduadas: M Tˆ : T (EndA (E)) → EndA (T ν E). ν∈N

Dejamos al lector, como un ejercicio, mostrar el siguiente teorema:


378

T 14.14. Si E es un A-módulo libre de dimensión finita, entonces M Tˆ : T (EndA (E)) → EndA (T ν E) ν∈N

es un isomorfismo de A-álgebras graduadas. 14.1.5. Ejercicios y Complementos. L Bν es un A-álgebra graduada. Decimos que un ideal b de B es un 1. Sea B := ν∈N L bν , donde bν es un A-submódulo de Bν . Mostrar ideal homogéneo de B, si b = ν∈N

que si b es un ideal homogéneo de B, entonces, para cada grado n, m ∈ N, el producto · : Bn × Bm → Bn+m induce un producto · : Bn /bn × Bm /bm → Bn+m /bn+m . Mostrar que entonces se tiene un producto · : B/b × B/b → B/b, que dota a B/b de la estructura de un A-álgebra graduada. 2. Sean B, C dos A-álgebras graduadas. Decimos que un homomorfismo f :B→C de A-álgebras es un homomorfismo homogéneo de grado r ∈ N, si para cada n ∈ N, f [Bn ] ⊆ Cn+r . Mostrar que si f es un homomorfismo homogéneo de grado r, entonces ker f es un ideal homogéneo de B. 3. Si ϕ : E → F es un homomorfismo de A-módulos, mostrar que el homomorfismo inducido T (ϕ) : T E → T F es un homomorfismo homogéneo de grado 0. 4. Mostrar que si E→F→0 es una sucesión exacta, entonces la sucesión TE → TF → 0 es exacta. 5. Sea ϕ : B → C un homomorfismo homogéneo de grado r, de a´ lgebras graduadas, b, c ideales homogéneos de B, C respectivamente, tales que ϕ[b] ⊆ c. Mostrar que ϕ induce un homomorfismo de grado r ϕ¯ : B/b → C/c y si la sucesión ϕ

B→C→0 es exacta, entonces la sucesión ϕ¯

B/b → C/c → 0 es exacta.


379

6. Dados dos anillos A, B, e´ stos pueden ser vistos como Z-módulos y podemos efectuar A ⊗Z B. Mostrar que la aplicación · : (A ⊗Z B) × (A ⊗Z B) → A ⊗Z B, definida por (x ⊗ y) · (u ⊗ v) := xu ⊗ yv, es bilineal y que (A ⊗Z B, +, ·) es un anillo. 7. Dados dos homomorfismos de anillos ϕ : A → C,

ψ : B → C,

Mostrar que f : A × B → C, definida por f (x, y) := ϕ(x)ψ(y), ∀ (x, y) ∈ A × B es una aplicación Z-bilineal y por consiguiente induce una u´ nica aplicación Zlineal fˆ : A ⊗Z B → C, que hace conmutar al diagrama /; C xx x xx xx fˆ x x A ⊗Z B f

A×B

Mostrar también que fˆ es un homomorfismo de anillos. 8. Dados los homomorfismos de anillos ϕ : A → C,

ψ : B → C,

mostrar que fˆ : A ⊗Z B → C es el u´ nico homomorfismo que hace conmutar al diagrama: B A 4FF 44 FF f A xx

f B xx

F 44 FF xx

44 FF# xx

{ x 4

ϕ 44 A ⊗Z B

ψ 44

44 fˆ

4

C donde f A (a) := a ⊗ 1 y f B (b) := 1 ⊗ b. Con esto se ha mostrado el siguiente resultado: (A ⊗Z B, f A , f B ) es el coproducto del diagrama A? ?? ϕ ?? ??

B

ψ

C

9. Mostrar que si B, C son A-álgebra, el producto tensorial B ⊗A C puede ser dotado de la estructura de una A-álgebra y que (B ⊗A C, f B , f X ) es un coproducto de B? ?? ϕ ?? ??

C

ψ

D

(Usar mismo procedimiento que en los tres ejercicios precedentes).


380

´ Algebra Simétrica de un A-Módulo

14.2.

El a´ lgebra simétrica de un A-módulo E es, para el caso de a´ lgebras conmutativas, el análogo del a´ lgebra tensorial y es de mucha utilidad en problemas del a´ lgebra conmutativa y de la geometr´ıa algebraica. Al igual que el a´ lgebra tensorial, también se obtiene como objeto inicial de una determinada categor´ıa y resulta como cociente del a´ lgebra tensorial. En el caso en que E es un A-módulo libre de dimensión finita n, el a´ lgebra simétrica resulta siendo isomorfa al anillo de polinomios A[X1 , . . . , Xn ]. En el caso en que E es finitamente generado, pero no libre, se puede mostrar que el a´ lgebra simétrica es cociente del anillo de polinomios A[X1 , . . . , Xn ], módulo un determinado ideal q. En el caso en que E es el a´ lgebra af´ın de una hipersuperficie algebraica , definida por un polinomio irreducible P ∈ K[X1 , . . . , Xn ], es decir E := K[X1 , . . . , Xn ]/(P), la estructura del ideal q nos da información acerca de las singularidades de la curva ([15]). Sea Abalg A la categor´ıa cuyos objetos son las A-álgebras asociativas y conmutativas con unidad y sus morfismos los homomorfismos de A-álgebras. Dado un A-módulo fijo E, sea Abalg EA la categor´ıa cuyos objetos son pares (X, ϕ), donde X es un A-álgebra conmutativa y ϕ : E → X es un homomorfismo de A-módulos. Dado otro objeto (Y, ψ) un morfismo de (X, ϕ) en (Y, ψ) es un A-homomorfismo de A-álgebras θ : X → Y, que hace conmutar al diagrama ϕ

/X ψ θ Y

(14.17)

E

Un objeto inicial (S A (E), ϕ) en la categor´ıa Abalg EA se llama un a´ lgebra simétrica sobre el A-módulo E. El lector notará la analog´ıa formal entre un a´ lgebra simétrica y un a´ lgebra tensorial. Como objeto inicial de una categor´ıa, el a´ lgebra simétrica es u´ nica salvo isomorfismo. ´ 14.2.1. Construcción Expl´ıcita de un Algebra Simétrica. Observemos que lo que marca la diferencia entre un a´ lgebra simétrica y el a´ lgebra tensorial es que el a´ lgebra simétrica debe ser conmutativa, mientras que el a´ lgebra tensorial, en general, no es conmutativa, ya que x ⊗ y , y ⊗ x, para elementos x, y de un módulo en general. La idea natural es conmutarizar el a´ lgebra tensorial, formando el cociente de T E con un ideal apropiado. El problema de la conmutatividad se empieza a dar al nivel de T 2 E. Si a2 ⊆ T 2 E es el submódulo generado por todos los elementos de la forma x ⊗ y − y ⊗ x y S 2A (E) := T 2 E/a2 , entonces, para todo x, y ∈ E, x ⊗ y ≡ y ⊗ x, (mód a2 ). Para n > 2 y cualquier permutación σ ∈ Sn , sea an el submódulo de T n E generado por todos los elementos de la forma x1 ⊗ · · · ⊗ xn − xσ(1) ⊗ · · · ⊗ xσ(n) y S nA (E) := T n E/an . Como toda permutación es composición de transposiciones, el lector podrá comprobar facilmente, que an está generado por los productos del módulo a2 con el submódulo T n−2 E. La aplicación bilineal T m E × T n E → T m+n E, induce una aplicación bilineal · : S mA (E) × S nA (E) → S m+n A (E),

´ ´ ´ 14.2. ALGEBRA SIMETRICA DE UN A-MODULO

381

ya que am ⊗ an ⊆ am+n . Entonces S A (E) :=

M

S νA (E)

ν∈N

dotado de la aplicación bilineal ·, es un A-álgebra graduada conmutativa. Si denotamos pos ψ la inclusión natural de E en S A (E), identificándolo con S 1 (E), entonces se tiene el L ν S A (E) es un a´ lgebra simétrica del T 14.15. (S A (E), ψ), donde S A (E) := ν∈N

módulo E. D´. Dado un homomorfismo de A-módulos ϕ : E → X, donde X es un A-álgebra conmutativa con unidad, entonces, dado n ∈ N, ϕ induce una aplicación nmultilineal ϕn : E × · · · × E → X, por medio de ϕn (x1 , . . . , xn ) := ϕ(x)1 · · · ϕ(xn ), la cual induce un u´ nico homomorfismo de A-módulos ϕˆ n : T n E → X, para cada grado n ∈ N, cuyo núcleo es precisamente an , por lo que ϕˆ se factoriza a través de S nA (E) y se obtiene un u´ nico homomorfismo de A-módulos ϕ¯ n : S nA (E) → X, que hace conmutar al diagrama (14.18)

/ S nA (E) rr ϕ rrnr r r ϕ¯ rx rrr X

E × ··· × E

El cual se extiende a un u´ nico homomorfismo de A-álgebras ϕ¯ : S A (E) → X, que hace conmutar al diagrama (14.19)

ψ

/ S A (E) y y y ϕ yyϕ¯ y y| y X E

El producto inducido por ⊗ en S A (E) se llama el producto simétrico. Si F es otro A-módulo y ϕ : E → F es un homomorfismo de A-módulos, entonces, para cada grado n ∈ N, ϕ induce un homomorfismo S nA (ϕ) : S nA (E) → S nA (F), donde S nA (ϕ)(x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) := ϕ(x1 ) ⊗ · · · ⊗ ϕ(xn ), el cual induce un homomorfismo de a´ lgebras graduadas S (ϕ) : S A (E) → S A (F). Por otra parte, el lector comprobará que dados los homomorfismos de A-módulos ϕ : E → F,

ψ : F → G,


382

entonces S A (ψ ◦ ϕ) = S A (ψ) ◦ S A (ϕ) y si 1E es la identidad sobre E, entonces S A (1E ) = 1S A (E) , por lo que S A : Mod A → Abalg A es un funtor covariante de la categor´ıa de Amódulos en la categor´ıa de A-álgebras asociativas conmutativas graduadas, con unidad y se tiene el siguiente diagrama conmutativo (14.20)

E

ϕ

ψE

S A (E)

/F ψF

S A (ϕ)

/ S A (F)

Por lo que sigue, cuando no haya duda sobre qué anillo estamos trabajando, eliminaremos, por facilidad, el sub´ındice en S A . En analog´ıa al a´ lgebra tensorial, si E es un A-módulo libre de dimensión finita n, se tiene el siguiente teorema, cuya demostración dejamos al lector, como un ejercicio, ya que es similar al caso del a´ lgebra tensorial. T 14.16. Si E es un A-módulo libre de dimensión finita n, entonces el a´ lgebra simétrica S (E) es isomorfa al anillo de polinomios A[X1 , . . . , Xn ]. Si E no es un A-módulo libre, pero es finitamente generado, entonces vale el siguiente T 14.17. Si E es un A-módulo finitamente generado, por n generadores, entonces S (E) es isomorfa a A[X1 , . . . , Xn ]/q, donde q es un ideal homogéneo de A[X1 , . . . , Xn ]. D´. Como E es finitamente generado, se tiene una sucesión exacta de Amódulos ϕ An → E → 0, donde An es el A-módulo libre generado por A, la cual induce, por ejercicios 14.1.5,3 y 14.1.5,5 la sucesión exacta S (ϕ)

A[X1 , . . . , Xn ] ' S (An ) → S (E) → 0, y S (ϕ) es un homomorfismo de grado 0. Entonces, si q := ker S (ϕ) ⊆ A[X1 , . . . , Xn ], q es un ideal homogéneo y, por el teorema de isomorf´ıa, S (ϕ) induce un isomorfismo ∼

A[X1 , . . . , Xn ]/q → S (E). T 14.18. Si E 0 , E 00 son dos A-módulos libres de dimenión finita n, m respectivamente y E := E 0 ⊕ E 00 , entonces se tiene un isomorfismo de A-álgebras ϕ : S (E 0 ) ⊗ S (E 00 ) → S (E). El cual induce en cada grado n un isomorfismo M ϕn : S ν (E 0 ) ⊗ S (E µ ) → S n (E). ν+µ=n

D´. Las inclusiones E 0 HH E 00 v HH i v j vv HH v HH vv H# v zv E 0 ⊕ E 00


383

inducen los homomorfismos de A-álgebras graduadas S (E 0 ) L S (E 00 ) LLL r S ( j) rrr LSLL(i) LLL rrr r % xrr S (E 0 ⊕ E 00 ) 0

00

Como, por ejercicio 14.1.5,9 (S (E 0 ) ⊗ S (E 00 ), f S (E ) , f S (E ) ) es un coproducto, se tiene un u´ nico homomorfismo de A-álgebras ϕ : S (E 0 ) ⊗ S (E 00 ) → S (E), que hace conmutar al diagrama S (E 0<) N S (E 00 ) p <
{v001 , . . . , v00m }

{v0! , . . . , v0n , v001 , . . . , v00m } es una base de E y x ∈ E, posee una u´ nica representación como n m X X x := aν v0ν + bµ v00µ , aν , bµ ∈ A. ν=1

µ=1

y se tiene un homomorfismo de A-módulos g : E → S (E 0 ) ⊗ S (E 00 ), m n P P bµ v00µ ∈ S 1 (E 0 ) ⊗ S 0 (E 00 ) ⊕ S 0 (E 0 ) ⊗ S 1 (E 00 ) ⊆ definido por g(x) := aν v0ν ⊗ 1 + 1 ⊗ µ=1

ν=1

S (E 0 ) ⊗ S (E 00 ) y por la universalidad del a´ lgebra simétrica, existe un u´ nico homomorfismo de A-álgebras ψ : S (E) → S (E 0 ) ⊗ S (E 00 ) que hace conmutar al diagrama φ

/ S (E) q q qq g qqqψ q q xq S (E 0 ) ⊗ S (E 00 ) E

y, nuevamente por la universalidad de S (E), ψ es la inversa de ϕ, lo que muestra que ϕ es un isomorfismo de A-álgebras. La restricción de ϕ al submódulo de grado n, nos da un isomorfismo M ϕn : S ν (E 0 ) ⊗ S (E µ ) → S n (E). ν+µ=n


384

Particularmente interesante es el siguiente caso: T 14.19. Sean f : A → B un homomorfismo de anillos conmutativos con unidad y E un A-módulo, entonces E ⊗A B es un B-módulo y se tiene un isomorfismo de B-álgebras ϕ : S (E) ⊗A B → S B (E ⊗A B). D´. Por medio del producto · : B × (E ⊗A B) → E ⊗A B, definido por b · (x ⊗ c) := x ⊗ bc, se induce una estructura de B-módulo sobre E ⊗A B. y de forma similar, se tiene una estructura de B-álgebra conmutativa sobre S A (E) ⊗A B. Dado un elemento x ⊗ b ∈ E ⊗A B, la asignación x ⊗ b 7→ x ⊗ b ∈ S 1A ⊗A B induce un homomorfismo de B-módulos g : E ⊗A B → S A (E) ⊗A B, por lo que se tiene un u´ nico homomorfismo de B-álgebras ψ : S B (E ⊗A B) → S A (E) ⊗A B, que hace conmutar al diagrama φ

/ S B (E ⊗A B) pp p pp g p p p pw pp ψ S A (E) ⊗ B P Por otra parte, dado un elemento xn ⊗ b ∈ S A (E) ⊗ B, la asignación E ⊗A B

ν

X

xn ⊗ b 7→

X

ν

(xn ⊗ b) ∈ S B (E ⊗A B),

ν

induce un homomorfismo de B-álgebras ϕ : S A (E) ⊗A B → S B (E ⊗A B), el cual es una inversa de ψ. Por lo tanto ϕ es un isomorfismo de B-álgebras.

Particularmente interesante en la geometr´ıa algebraica es el caso en que B := A/a, donde a es un ideal de A y E := a, obteniendo de los teoremas 14.19 y 14.7, el siguiente C 14.20. Sean a un ideal del anillo A y B := A/a, entonces se tiene un isomorfismo ϕ : S A (a) ⊗A A/a → S A/a (a/a2 ). ´ ´ 14.2.2. Algebra Simétrica de un Ideal y Algebra de Rees de un Ideal. Sea a un ideal del anillo A. Llamamos a´ lgebra de Rees del ideal a, al a´ lgebra graduada M RA (a) := aν , a0 := A, ν∈N

inducida por el producto del anillo A, sobre el ideal a. En el caso en que A es un anillo conmutativo con unidad, RA (a) es un A-álgebra conmutativa con unidad y, por la propiedad universal del a´ lgebra simétrica S A (a), se tiene un homomorfismo ψ : S A (a) → RA (a),


385

que hace conmutar al diagrama / S A (a) v v vv v i vv v{ v ψ RA (a) j

a

El lector comprobará, sin dificultad, que ψ es sobreyectiva. En el caso en que A es un anillo Noetheriano , a está finitamente generado, digamos por n elementos, vimos que la sucesión exacta ϕ

An → a → 0, induce la sucesión exacta S A (ϕ)

A[X1 , . . . , Xn ] ' S A (An ) → S A (a) → 0, por lo que S A (a) ' A[X1 , . . . , Xn ]/q, donde q := ker S A (ϕ). Entonces se tiene el siguiente diagrama conmutativo / S A (a) mm m m m mmm mmm ψ m m mv

S A (An ) ' A[X1 , . . . , Xn ] Φ

RA (a)

S A (ϕ)

Si q∞ := ker Φ, entonces q ⊆ q∞ y ker ψ = q∞ /q. En [37], Micali muestra el siguiente resultado: T 14.21. Si A es un dominio entero conmutativo y a un ideal finitamente generado, entonces las condiciones siguientes son equivalentes: a) S A (a) es un a´ lgebra ´ıntegra, es decir sin divisores de 0. b) S A (a) es libre de torsión. c) S A (a) y RA (a) son isomorfas en tanto que A-álgebras. d) q = q∞ . 14.2.3. Algunas Aplicaciones a la Geometr´ıa Algebraica. En [37], Micali asocia a un ideal a finitamente generado una cadena de ideales de A[X1 , . . . , Xn ] q0 ⊆ q1 ⊆ · · · ⊆ q∞ , donde q0 := q = ker S A (ϕ) y q∞ := ker Φ, llamada cadena de ideales de Micali. Si m es el ideal maximal, al origen, del a´ lgebra af´ın A := K[X1 , . . . , Xn ]/I(V), donde V ⊆ K n es una hipersuperficie, que contiene al origen y K es un campo de caracter´ıstica 0, entonces A[X1 , . . . , Xn ] es un anillo Noetheriano , por lo que la cadena de ideales de Micali, asociada al ideal m, es estacionaria, a partir de un número natural m. En [15] y [16], J. Escamilla muestra que, si el origen es un punto singular de V de orden m, entonces la cadena de ideales de Micali, asociada a m es estacionaria a partir de ν = m − 1. Si el origen es un punto regular de la hipersuperficie irreducible V, entonces para m se cumplen las condiciones del teorema 14.21, ya que I(V) es un ideal primo y A es un dominio entero. Dado un anillo conmutativo con unidad A y un ideal a de A, al A/a-módulo a/a2 = a ⊗ A/a lo llamamos el módulo conormal del ideal a. Sea K es un campo y V una hipersuperficie de K n que contiene al origen. Si m es el ideal maximal, al origen, de la K-álgebra af´ın A := K[X1 , . . . , Xn ]/I(V), entonces el espacio tangente, en el origen, T (V) es isomorfo al A/m-espacio vectorial (m/m2 )∗ , que

386


es el espacio vectorial dual al módulo conormal m/m2 ,([47]). Como K es campo, por el teorema de la base de Hilbert, K[X1 , . . . , Xn ] es un anillo Noetheriano y por consiguiente también A, por lo que dimA/m (m/m2 ) < ∞ y T (V) es isomorfo a m/m2 . Si el origen es un punto simple de V, entonces dimA/m (m/m2 ) = n − 1 y, si el origen es un punto singular, dimA/m (m/m2 ) = n, ([47]). Si A es un anillo conmutativo con unidad y V := Spec A, dotado de la topolog´ıa de Zariski, en la teor´ıa de esquemas, se dice que V es un esquema af´ın. Si x ∈ V, entonces x es un ideal primo de A. Al anillo localizado en x, A x , lo llamamos el anillo local en el punto x, el cual posee un u´ nico ideal maximal m x y al campo κ(x) := A x /m x lo llamamos el campo residual de x. Inspirados en lo visto para el caso de una hipersuperficie en K n , se define el espacio tangente a V en x, como T x (V) := Homκ(x) (m x /m2x , κ(x)). Ver, por ejemplo [35]. Dado un ideal a del anillo A, al A/a-álgebra graduada M Ga (A) := aν /aν+1 , ν∈N

la llamamos el a´ lgebra graduada asociada al ideal a. El lector comprobará que Ga (A) = RA (a) ⊗A A/a. Si V := Spec A y W := Spec(A/a), donde a es un ideal de A, geométricamente W es V un subespacio cerrado de V. El espacio CW := Spec(Ga (A)) se llama el cono normal a W V 2 en V y al espacio NW := Spec(S A/a (a/a )) se le llama el espacio normal a W en V. Respecto del a´ lgebra simétrica, Ga (A) juega para S A/a (a/a2 ) un papel similar al de RA (a) para S A (a). En efecto se tiene un diagrama conmutativo: / S A/a (a/a2 ) s ss ss i s s sy s ψˆ Ga (A) a/a2

j

De la funtorialidad del producto tensorial, si S A (a) ' RA (a), entonces S A/a (a/a2 ) ' S A (a) ⊗A A/a ' RA (a) ⊗A A/a ' Ga (A). Sin embargo, en [54], G. Valla demuestra el siguiente resultado: T 14.22 (Teorema de Valla). Si a es un ideal de un anillo Noetheriano conmutativo con unidad, entonces las condiciones siguientes son equivalentes: a) ψ : S A (a) → RA (a) es un isomorfismo de A-álgebras. b) ψˆ : S A/a (a/a2 ) → Ga (A) es un isomorfismo de A/a-álgebras. El teorema de Valla, nos da entonces una condición suficiente para que los espacios V V CW y NW sean homeomorfos. 14.3.

´ Producto Alterno o Exterior y Algebra Alterna o Exterior de un A-Módulo

As´ı como el producto tensorial está asociado con formas n-multilineales, el producto alterno o exterior está asociado con formas n-multilineales alternas, es decir con formas n-multilineales que cambián su signo al permutar dos elementos. En el análisis moderno de varias variables se utiliza el producto exterior para definir las llamadas n-formas diferenciales. En su origen, el producto exterior se definió sobre espacios vectoriales, sin embargo su definición puede ser ampliada al concepto más general de A-módulo. En analog´ıa al

´ ´ 14.3. PRODUCTO ALTERNO O EXTERIOR Y ALGEBRA ALTERNA O EXTERIOR DE UN A-MODULO

387

a´ lgebra tensorial sobre un A-módulo, también surge el a´ lgebra exterior sobre un A-módulo, como un elemento inicial de una cierta categor´ıa. Las a´ lgebras exteriores juegan un papel muy importante en la geometr´ıa diferencial, donde, con su ayuda, se construye el famoso complejo de de Rham, que da origen a la cohomolog´ıa de de Rham (ver subsección15.2.5), y en la geometr´ıa algebraica y a´ lgebra conmutativa, se construye el complejo de Koszul, que da origen a la homolog´ıa de Koszul (ver subsección 15.2.4). En el a´ lgebra lineal moderna se utiliza el producto exterior para definir el concepto de determinante y de sus menores, pues como el lector recordará el determinante es una forma multilineal alterna. El a´ lgebra exterior de un A-módulo también se conoce con el nombre de a´ lgebra de Grassmann, en honor al matemático alemán Herman Grassmann.

F 14.1. Herman Grassmann

14.3.1. Producto Exterior o Alterno. Decimos que una aplicación n-multilineal f : E n → F, donde E, F son A-módulos, es alterna, si (14.21)

f (x1 , . . . , xn ) = 0,

si

xi = x j ,

para algún i , j, 1 6 i, j 6 n. Esto es equivalente a decir que (14.22)

f (x1 , . . . , xi , . . . , x j , . . . , xn ) = − f (x1 , . . . , x j , . . . , xi , . . . , xn ).

Si (14.22) vale y xi = x j , i , j, entonces f (x1 , . . . , xn ) = − f (x1 , . . . , xn ) lo que implica que f (x1 , . . . , xn ) = 0. Por otra parte si (14.21) vale, entonces f (x1 , . . . , xi , . . . , x j , . . . , xn )+ f (x1 , . . . , x j , . . . , xi , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xi +x j , . . . , xi +x j , . . . , xn ) = 0, lo que implica que (14.22) vale. Si σ ∈ Sn es una permutación, entonces f (xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = π(σ) f (x1 , . . . , xn ), donde π es la función de paridad de la permutación σ. Por AltA (E n , F) denotaremos al conjunto de todas las formas n-multilineales alternas de E n en el A-módulo F. Consideremos la categor´ıa Alt (E n ), cuyos objetos son pares (X, f ), donde X es un A-módulo y f ∈ AltA (E n , X). Dado otro objeto (Y, g), un morfismo de (X, f ) en (Y, g) es un homomorfismo de A-módulos ϕ : X → Y,


388

que hace conmutar al diagrama (14.23)

X }> }} } }} }} f

ϕ En A AA AA g AAA Y

A un objeto inicial de Alt (E n ) lo llamamos el n-producto exterior del módulo E y lo denoVn taremos por (E), f∗ . V 14.3.2. Construcción Expl´ıcita de n E. Si no nos iteresara la alternatividad T n E Vn ser´ıa nuestro objeto inicial. Para que ( (E), f∗ ) sea un objeto de la categor´ıa Alt (E n ), f∗ V debe estar en AltA (E n , n (E)), e´ sto se logra formando el cociente de T n E con el submódulo an de T n E, generado por todos los elementos x1 , ⊗ · · · ⊗ xn , tales que xi = x j , para algún i , j, 1 6 i, j 6 n. V Entonces, si n (E) := T n /an y f∗ es la composición ^n E n → T n E → T n /an = (E), V V n n f∗ ∈ AltA (E n , (E)) y ( (E), f∗ ) es un n-producto exterior de E. Por x1 ∧ · · · ∧ xn denotaremos la clase de equivalencia de x1 , ⊗ · · · ⊗ xn , (mód an ). Dado x1 ⊗ · · · ⊗ xn ∈ T n (E) y y1 ⊗ · · · ⊗ yr ∈ ar , entonces x1 ⊗ · · · ⊗ xn ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yr ∈ ar ∈ an+r ⊆ T n+r E. Entonces podemos definir una aplicación ^n ^r ^n+r ∧: (E) × (E) → (E), por medio de (x1 ∧ · · · ∧ xn ) ∧ (y1 ∧ · · · ∧ yr ), la cual es bilineal alterna. Entonces si ^ M ^ν (E) := (E) ν∈N

^ (E), +, ∧ tiene la estructura de un A-álgebra graduada, llamada el a´ lgebra exterior o alterna del módulo E, con el producto ∧, llamado el producto alterno o producto exterior de los V V elementos de (E). Nótese que para cualquier x ∈ (E), x ∧ x = 0 y es anticonmutativo, es decir que x ∧ y = −y ∧ x, como resulta de 0 = (x + y) ∧ (x + y) = x ∧ y + y ∧ x. Si ϕ : E → F es un homomorfismo de A-módulos, entonces ϕ induce un homomorfismo de A-álgebras graduada ^ ^ ^ (f) : (E) → (F),


389

V por medio de ( f )(x1 , ∧ · · · ∧ xn ) := f (x1 ) ∧ · · · ∧ f (xn ) en cada grado n ∈ N y se tiene el diagrama conmutativo (14.24)

ϕ

E

/F

f∗E

V (E)

f∗F

V

/ V(F)

(ϕ)

Por otra parte, si se tienen los homomorfismos de A-módulos ϕ : E → F, ψ : F → G, V V V V V entonces (ψ◦ϕ) = (ψ)◦ (ϕ) y (1E ) = 1V(E) , por lo que es un funtor de la categor´ıa de los A-módulos en la categor´ıa de las A-álgebras graduadas, asociativas con unidad. Si E es un A-módulo libre de dimensión n y {v1 . . . , vn } una base de E, entonces, dados x1 , . . . , xr ∈ E, cada xi posee una u´ nica representación como n X ai j v j , ai j ∈ A, i = 1, . . . , r. xi = j=1

Entonces X x1 ∧ · · · ∧ xr = a(i) (vi1 ∧ · · · ∧ vir ), i1 < · · · < ir . Vr Para r > n, se tiene (E) = 0, pues en vi1 ∧ · · · ∧ vir , al menos un iρ aparece repetido. Entonces (14.25)

T 14.23. Si E es un A-módulo libre de dimensión finita n, n ^ ^ M ν (14.26) (E) = (E). ν=0

Si {v1 , . . . , vn } es una base de E, para 1 6 r 6 n, vi1 ∧ · · · ∧ vir ,

(14.27) forman una base de

Vr

Vr

(E) es libre y los elementos de la forma

i1 < · · · < ir

(E) y se tiene

! n (14.28) dimA (E) = . r V D´. (14.26) resulta del hecho de que r (E) = 0, para r > n. Para mostrar que los elementos en (14.27) forman una base, mostremos primero el V caso r = n. Por (14.25), para r = n, todo elemento en n (E) se escribe como a(v1 ∧· · ·∧vn ), donde a ∈ A. Vamos a mostrar que si a(v1 ∧ · · · ∧ vn ) = 0, entonces a = 0 ∈ A. En efecto, como toda aplicación n-multilineal alterna de E n → A, está determinada por sus valores sobre (v1 , . . . , vn ), dado 1 ∈ A, existe una u´ nica aplicación n-multilineal alterna f : An → A, V tal que f (v1 , . . . , vn ) = 1, la cual induce un homomorfismo de A-álgebras ϕ f : n (E) → A, tal que ϕ f (v1 ∧ · · · ∧ vn ) = 1 y ϕ f (a(v1 ∧ · · · ∧ vn )) = a, de donde resulta que si a , 0, V V a(v1 ∧ · · · ∧ vn ) , 0. Por lo tanto v1 ∧ · · · ∧ vn es una base de n (E) y n (E) es libre de dimensión 1. V Sea ahora r < n, entonces, nuevament por (14.25), los elementos de r (E) se escriben como X a(i) (vi1 ∧ · · · ∧ vir ), i1 < · · · < ir . Supongamos que X 0= a(i) (vi1 ∧ · · · ∧ vir ), i1 < · · · < ir , ^r


390

y fijemos una r-ada (i) = (i1 , . . . , ir ), formando el producto externo de (vi1 ∧ · · · ∧ vir ), con los elementos faltantes, digamos con (v j1 ∧ · · · ∧ v jn−r ), entonces, salvo un signo X 0= a(i) (vi1 ∧ · · · ∧ vir ) ∧ (v j1 ∧ · · · ∧ v jn−r ) = a(i) (v1 ∧ · · · ∧ vn ) ya que en los otros sumandos aparece, al menos un, jν , 1 6 ν 6 n − r. Entonces por lo anteriormente visto a(i) = 0, para cualquier r-ada (i) que fijemos en la representación. V Por lo tanto los elementos en (14.27), forman una base de r (E). Como el número de elementos distintos de la forma vi1 ∧ · · · ∧ vir ,

i1 < · · · < ir

es igual al de combinaciones de r elementos, sin repeticiones, sin importar el orden, tomados de un conjunto de n elementos, resulta (14.28). Dados n elementos x1 , . . . , xn ∈ E donde E es un A-módulo libre de dimensión n y    a11 . . . a1n   . ..  .. A :=  .. . .    an1 . . . ann la matriz de coeficientes de los xν , 1 6 ν 6 n, respecto de la base {v1 , . . . , vn } de E, entonces X x1 ∧ · · · ∧ xn = π(σ)a1σ(1) · · · anσ(n) (v1 ∧ · · · ∧ vn ), σ∈Sn

donde π(σ) es la paridad de la permutación σ y como el lector observará X π(σ)a1σ(1) · · · anσ(n) = det A ∈ A. σ∈Sn

Para el caso r < n, el lector podrá comprobar que dada la r-ada (i) := (i1 , . . . , ir ), i1 < · · · < ir , 1 6 ıρ 6 n, el coeficiente a(i) en (14.25), viene dado por X π(σ)ai1 σ(i1 ) · · · air σ(ir ) , a(i) = σ∈Sr

que no es otra cosa que el determinante del r × r menor de la matriz r × n, A, de los coeficientes de x1 , . . . , xr , respecto de la base {v1 , . . . , vn }, formado de las columnas i1 , . . . , ir . T 14.24. Sea 0 → E 0 → E → E 00 → 0 una sucesión exacta de A-módulos libres de dimensiones n0 , n, n00 respectivamente. Entonces existe un isomorfismo natural ^n00 ^n0 ^n (14.29) (E 00 ) ⊗ (E 0 ) → (E). D´. Como los tres módulos en la sucesión exacta (14.29) son libres, e´ sta escinde y se tiene un isomorfismo E ' E 00 ⊕ E 0 . Si {v001 , . . . , v00n00 },

{v01 , . . . , v0n0 }

son bases de E 00 , E 0 respectivamente, entonces {v001 , . . . , v00n00 , v01 , . . . , v0n0 }


es base de E y por ejercicio 14.1.3,12 y teorema 14.23 los módulos Vn (E) son ambos de dimensión 1 y generados, respectivamente, por (v001 ∧ · · · ∧ v00n00 ) ⊗ (v01 ∧ · · · ∧ v0n0 )

Vn00

(E 0 ) ⊗

Vn0

391

(E 0 ) y

y v001 ∧ · · · ∧ v00n00 ∧ v01 ∧ · · · ∧ v0n0

y la asignación (v001 ∧ · · · ∧ v00n00 ) ⊗ (v01 ∧ · · · ∧ v0n0 ) 7→ v001 ∧ · · · ∧ v00n00 ∧ v01 ∧ · · · ∧ v0n0 , V 00 V0 V induce un isomorfismo entre n (E 0 ) ⊗ n (E 0 ) y n (E). Este isomorfismo es independiente de la escogencia de la base para E 0 y E 00 . En efecto si {w01 , . . . , w0n0 },

{w001 , . . . , w00n00 }

son otras bases de E 0 , E 00 respectivamente y A0 , A00 son las matrices de transformación correspondientes, entonces ! A00 0 A= 0 A0 es la matriz correspondiente al cambio de base en E = E 00 ⊕ E 0 y (w001 ∧ · · · ∧ w00n00 ) ⊗ (w01 ∧ · · · ∧ w0n0 ) = det A00 · det A0 (v001 ∧ · · · ∧ v00n00 ) ⊗ (v01 ∧ · · · ∧ v0n0 ) y w001 ∧ · · · ∧ w00n00 ∧ w01 ∧ · · · ∧ w0n0 = det A(v001 ∧ · · · ∧ v00n00 ∧ v01 ∧ · · · ∧ v0n0 ). Como det A = det A00 · det A0 , resulta la independencia de la escogencia de la base.

T 14.25. Sea E := E 0 ⊕ E 00 suma directa de A-módulos libres de dimensión finita. Entonces se tiene un isomorfismo natural ^ ^ ^ (E) ' (E 0 ) ⊗ (E 00 ) y para cada entero positivo r ^r

(E) '

M ^ν

(E 0 ) ⊗

^µ

(E 00 ).

ν+µ=r

D´. La demostración es similar a la del teorema 14.18 y dejamos al lector los pormenores de la misma. 14.3.3.


1. Si K es un campo y V un K-espacio vectorial de dimensión finita, mostrar que V V V V AltK (V r , K) ' HomK ( r V, K) = ( r (V))∗ ' r (V) ' r (V ∗ ). 2. Sea A un anillo conmutativo con unidad y E un A-módulo. Si f ∈ Ln (E, A), mostrar que 1 X π(σ) f (xσ(1) , . . . , xσ(n) ) Alt( f )(x1 , . . . , xn ) := n! σ∈S n

es un elemento de AltA (E , A). 3. Mostrar que si g ∈ AltA (E n , A), entonces Alt(g) = g. 4. Mostrar que para todo f ∈ Ln (E, A), Alt(Alt( f )) = Alt( f ). 5. Sea E el R-espacio vectorial Rn y E ∗ su espacio dual. Si n

λi : E → R


392

es la i-proyección de E sobre R, entonces λ1 , . . . , λn ∈ E ∗ forman una base de E ∗ . Sea U ⊆ Rn un subconjunto abierto. Por una r-forma diferencial, o forma diferencial de grado r, entenderemos una aplicación de clase C ∞ ω:U→

r ^ (E ∗ ).

Mostrar que toda r-forma diferencial se escribe como X ω(x) = fi1 ...ir (x)(λi1 ∧ · · · ∧ λir ). (i)

6. Mostrar que el conjunto de todas las r-formas diferenciales sobre un conjunto abierto U ⊆ Rn forma un espacio vectorial, denotado por Ωr (U). 7. Si f : U → R, entonces f es una forma de grado 0. Mostrar que para cada x ∈ U, D f (x) ∈ E ∗ es decir una forma de grado 1, de la forma D f (x) = D1 f (x)λ1 + · · · + Dn f (x)λn . En notación clásica D f (x) =

∂f ∂f dx1 + · · · + dxn , ∂x1 ∂xn

en donde (incorrectamente) se substituye el elemento de la base dual λi por dxi . Si v := (v1 , . . . , vn ) ∈ E, entonces D f (x)(v) =

∂f ∂f v1 + · · · + vn , ∂x1 ∂xn

que es la que, talvez, el lector conoce como la derivada direccional en dirección del vector v. 8. Dadas dos formas ω, ψ de grados r y s respectivamente, entonces se define ω ∧ ψ := ω(x) ∧ ψ)x). Si f es una función, es decir una forma de grado 0, entonces se define f ∧ ω := f ω. Mostrar que ω ∧ f ψ = f ω ∧ ψ. 9. Dada una r-forma diferencial X ω(x) = fi1 ...ir (x)(λi1 ∧ · · · ∧ λir ). (i)

se define la derivada exterior de ω como la (r + 1)-forma X dω := D fi1 ...ir (x) ∧ (λi1 ∧ · · · ∧ λir ). (i)

a) Para n = 2, dada la 1-forma ω(x, y) := f (x, y)dx1 + g(x, y)dx2 , calcular dω b) Usar el resultado en el inciso a), para encontrar dω de ω := ydx + (x2 y)dy. c) Para n = 3, dada la 1-forma ω(x, y, z) := f (x, y, z)dx+g(x, y, z)dy+h(x, y, z)dz, calcular dω. V V 10. Mostrar que d : r (E ∗ ) → r+1 (E ∗ ) es lineal. 11. Mostrar que d(ω ∧ ψ) = dω ∧ ψ + (−1)r ω ∧ dψ, donde r es el grado de ω. 12. Mostrar que d2 ω = 0, ∀ ω ∈ Ωr (U),∀ r. (Usar el hecho que para funciones de clase C ∞ , Di1 ...ir = D1σ(1) ...iσ(r) , para toda permutación σ ∈ Sr ).

´ ´ 14.4. FORMAS CUADRATICAS Y ALGEBRAS DE CLIFFORD

393

O´ 14.2. En geometr´ıa diferencial a cada punto x de una variedad diferenciable M se le asocia un espacio vectorial tangente T M x y se construye su fibrado vectorial correspondiente T M, llamado el fibrado vectorial sobre la variedad M. Su dual correspondiente es el cofibrado tangente T ∗ M. Sobre cada T ∗ M x podemos formar el a´ lgebra exterior V V correspondiente (T ∗ M x ) y construir el fibrado (T ∗ M), llamado el fibrado exterior de la V ∗ variedad M. Una aplicación ω : M → (T M) es entonces una forma diferencial sobre M. 14.4.

´ Formas Cuadráticas y Algebras de Clifford

Las a´ lgebras de Clifford están intimamente relacionadas con el estudio de las formas cuadráticas y son de gran aplicación en la geometr´ıa y topolog´ıa diferencial y también en muchos campos de la f´ısica teórica. Debe su nombre al matemático y filósofo inglés William Kingdom Clifford.

F 14.2. William Kingdom Clifford

14.4.1. Aplicaciones Cuadráticas. Existen varias formas de definir una aplicación cuadrática entre dos A-módulos. La más común es introducir una aplicación cuadrática por medio de una aplicación bilineal simétrica. Recordamos que una aplicación bilineal entre dos A-módulos E, F g:E×E →F es simétrica, si g(x, y) = g(y, x), ∀ x, y ∈ E. Decimos que una aplicación f : E → F es una aplicación cuadrática, si existen una aplicación bilineal simétrica g : E × E → F y una aplicación lineal h : E → F, tales que f (x) = g(x, x) + h(x). Dado λ ∈ A, f (λx) = g(λx, λx) + h(λx) = λ2 g(x, x) + λh(x). Si h es cero, entonces se dice que f es una aplicación cuadrática homogénea. En este caso f (λx) = λ2 f (x). Muchos autores consideran, en su definición de aplicación cuadrática, sólo el caso homogéneo. Por una forma bilineal entenderemos una aplicación bilineal simétrica g : E × E → A. Siguiendo la tradición denotaremos por hx, yi una forma bilineal simétrica, en analog´ıa al producto escalar, que es una forma bilineal simétrica positivamente definida, es decir hx, xi > 0, ∀ x ∈ E y hx, xi = 0, Ssi x = 0.


394

Una aplicación cuadrática f : E → A se llama una forma cuadrática sobre el módulo E. Si f es homogénea, entonces se dice que es una forma cuadrática homogénea sobre el módulo E. Decimos que un A-módulo F es sin 2-torsión, si para todo y ∈ F, 2y = 0 ⇒ y = 0. Una condición suficiente para que todo A-módulo sea sin 2-torsión, es que 2 sea invertible en A y si A es un campo, es que car A , 2. Si f (x) = g(x, x) + h(x) es una forma cuadrática, f (x + y) =

g(x + y, x + y) + h(x + y)

=

g(x, x) + 2g(x, y) + g(y, y) + h(x) + h(y)

=

f (x) + f (y) + 2g(x, y)

entonces 2g(x, y) = f (x + y) − f (x) − f (y). Si g1 es otra aplicación bilineal simétrica y h una aplicación lineal, tal que f (x) = g1 (x, x) + h1 (x), entonces 2g1 (x, y) = f (x + y) − f (x) − f (y) y 2(g(x, y) − g1 (x, y)) = 0. Si F es sin 2-torsión, resulta, entonces que g(x, y) = g1 (x, y), de donde resulta la unicidad de la aplicación bilineal g y por consiguiete la de h, ya que h(x) = f (x) − g(x, x). Si 2 es invertible en A, entonces se puede recuperar, a partir de f la forma bilineal simétrica correspondiente, por medio de 1 g(x, y) = ( f (x + y) − f (x) − f (y)). 2 En muchos textos se define una aplicación cuadrática (homogénea) f : E → F, como una aplicación tal que f (λx) = λ2 f (x) y 4 f (x, y) := f (x + y) − f (x) − f (y) es una aplicación bilineal, llamada la aplicación bilineal asociada a la aplicación cuadrática f . Asumamos que 2 es invertible en A y sea f : E → F una aplicación tal que 4 f es 1 bilineal, entonces se tiene 4 f (x, x) = f (2x)−2 f (x) y la aplicación ϕ(x) := f (x)− 4 f (x, x) 2 es Z-lineal, es decir aditiva. En efecto 1 ϕ(x + y) = f (x + y) − 4 f (x + y, x + y) 2 1 1 = f (x + y) − 4 f (x, x) − 4 f (x, y) − 4 f (y, y) 2 2 1 = f (x) − 4 f (x, x) + f (y) − 4 f (y, y) 2 ϕ(x) + ϕ(y) Si f (2x) = 4 f (x), entonces 4 f (x, x) = f (2x) − 2 f (x) = 2 f (x) y f (x) = es una aplicación cuadrática homogénea.

1 4 f (x, x) 2


395

Por lo que sigue A = K será un campo de caracter´ıstica distinta de 2 y E un K-espacio vectorial de dimensión finita n. Si Q es una forma cuadrática sobre E y Φ(x, y) := Q(x + y) − Q(x) − Q(y) su forma bilineal asociada, entonces definimos los siguientes subespacios de E: ker Φ := {x ∈ E | Φ(x, y) = 0, ∀ y ∈ E},

y

ker Q := {x ∈ ker Φ | Q(x) = 0}.

Decimos que una forma bilineal Φ es no singular o no degenerada, si ker Φ = 0. De igual modo, una forma cuadrática Q es no singular o anisotrópica, si ker Q = 0. Si ker Φ , 0, entonces se dice que es una forma bilineal singular. Si ker Q , 0, entonces se dice que Q es una forma cuadrática degenerada o isotrópica. Se dice que Q es defectuosa, si ker Q , ker Φ. dimK (ker Φ/ ker Q) se llama el defecto de Q. Cabe preguntarnos ¿Cuándo es una forma cuadrática sobre un campo K defectuosa? Supongamos que existe x ∈ ker Φ, tal que Q(x) , 0, entonces Φ(x, y) = Q(x + y) − Q(x) − Q(y) = 0,

∀ y ∈ E.

Esto implica que Q(x + y) = Q(x) + Q(y),

∀ x ∈ ker Φ.

Entonces, para y = x

Q(2x) = 4Q(x) = 2Q(x), de donde resulta 2Q(x) = 0, esto implica entonces que car K = 2. Entonces si K es un campo de caracter´ıstica distinta de 2, ninguna forma cuadrática es defecuosa. Si hx, yi es una forma bilineal simétrica, sus valores están totalmente determinados por sus valores sobre una base {e1 , . . . , en } de E. Dados x, y ∈ E n n X X b je j, ai ei , y = x= j=1

i=1

entonces hx, yi =

n X n X

ai b j hei , e j i.

i=1 j=1

La matriz

   he1 , e1 i . . . he1 , en i    .. .. ..  A :=  . . .   hen , e1 i . . . hen , en i se llama la matriz asociada a la forma bilineal h , i. Decimos que dos vectores x, y ∈ E son ortogonales, respecto de la forma bilineal h , i, si hx, yi = 0. Como la matriz A es simétrica, e´ sta es diagonalizable, por lo que podemos encontrar una base de elementos ortogonales, tal que hei , e j i = 0, para i , j, 1 6 i, j 6 n. Si la forma bilineal es no singular, entonces hei , ei i , 0, ∀ i = 1, . . . , n y det A , 0. Si {e1 , . . . , en } es una base ortogonal de E, entonces hx, xi =

n X

a2i hei , ei i.

i=1

Del a´ lgebra lineal sabemos que incluso la base puede ser escogida de modo tal, que E = E0 ⊕ E+ ⊕ E− ,


396

donde E0 es el espacio sobre el cual hei , ei i = 0, llamado el subespacio cero, E+ es el subespacio sobre el cual hei , ei i > 0 y E− es el subespacio sobre el cual hei , ei i < 0. (Ver, por ejemplo, [23]). Si p := dim E + y q := dim E− , al par (p, q) lo llamamos la signatura o tipo de la forma bilineal h , i. Decimos que E es un plano hiperbólico respecto de la forma bilineal simétrica h , i, si dimK E = 2, h , i es no degenerada y existe w ∈ E \ {0}, tal que hw, wi = 0. Decimos que E es un espacio hiperbólico respecto de h , i, si E es suma directa de planos hiperbólicos. Obviamente la dimensión de un espacio hiperbólico es siempre par. Diremos que una forma bilineal es hiperbólica, si existe w ∈ E \ {0}, tal que hw, wi = 0. Decimos que una forma bilineal sobre un espacio vectorial E, h , i, es definida, si, hv, vi , 0, ∀ v ∈ E. En el caso en que hv, vi > 0, ∀ v , 0, se dice que h , i es positivamente definida o positiva definida. Si h , i¡0, ∀ v , 0, entonces diremos que h , i es negativamente definida o negativa definida. Del a´ lgebra lineal sabemos también que es posible darnos una base ortogonal de E, {e1 , . . . , el , u1 , . . . uk , v1 , . . . vm },

l + k + m = n,

k par,

tal que h , i es definida sobre el espacio he1 , . . . , el i, hiperbólica sobre el espacio hu1 , . . . , uk i y 0 sobre el espacio hv1 , . . . , vm i, por lo que podemos descomponer al espacio E en una suma directa Ed ⊕ Eh ⊕ E0 , E0 , que es el núcleo, en ambos casos es llamado el subespacio ortogonal de E, Eh el subespacio hiperbólico y Ed el subespacio definido de E. ´ 14.4.2. Algebras de Clifford. Sea hx, yi una forma bilineal simétrica, definida sobre el K-espacio vectorial de dimensión finita E y consideremos la categor´ıa Alg hE, i cuyos objetos son pares (X, ψ) donde X es una K−álgebra asociativa, con unidad y ψ:E→X es una aplicación K-lineal, tal que ψ(x)2 = hx, xi · 1, ∀ x ∈ E. Dado otro objeto (Y, ϕ), un morfismo de (X, ψ) en (Y, ϕ), es un homomorfismo de K-álgebras θ : X → Y, que hace conmutar al diagrama: (14.30)

E? ?? ?? ϕ ??

ψ

Y

/X θ

A un objeto inicial (Cl(E, h , i), ρ) de la cateor´ıa Alg hE, i , la llamamos un a´ lgebra de Clifford sobre E, asociada a la forma bilineal h , i, la cual, como elemento universal, es u´ nica, salvo isomorfismo. Dado que K es un campo de caracter´ıstica distinta de 2, existe una correspondencia biun´ıvoca, entre las formas cuadráticas sobre E y las aplicaciones bilineales simétricas. Por e´ sta razón también se suele decir que (Cl(E, h , i), ρ) es el a´ lgebra de Clifford asociada a la forma cuadrática Q(x) := hx, xi, la cual se suele escribir como (Cl(E, Q), ρ). Como car K , 2, la condición ψ(x)2 = hx, xi · 1 ∀ x ∈ E, es equivalente a ψ(x)ψ(y) + ψ(y)ψ(x) = 2hx, yi · 1, ∀ x, y ∈ E. En efecto (ψ(x + y))2 = hx + y, x + yi · 1 = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi,


397

es decir ψ(x)2 + ψ(x)ψ(y) + ψ(y)ψ(x) + ψ(y)2 = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi, de donde resulta la equivalencia ψ(x)ψ(y) + ψ(y)ψ(x) = 2hx, yi · 1, ∀ x, y ∈ E, con ψ(x)2 = hx, xi · 1, ∀x ∈ E. ´ 14.4.3. Construcción Expl´ıcita de un Algebra de Clifford sobre el K-Espacio Vectorial E. Como siempre, nuestro caballito de batalla será el a´ lgebra tensorial T E. Sabemos que dado cualquier aplicación lineal ψ : E → F, donde F es una K-álgebra, entonces existe un u´ nico homomorfismo de K-álgebras ψˆ : T E → F que hace conmutar al diagrama E? ?? ?? ψ ??

i

F

/ TE . | | || || ψˆ | ~|

El problema que se tiene es que todav´ıa no tenemos garantizado que (T E, i) sea un objeto de la categor´ıa Alg hE, i , ni tampoco que ψˆ sea un morfismo de e´ sta. A tal efecto debemos tener que en T E se satisfaga la relación x ⊗ y + y ⊗ x − 2hx, yi · 1 = 0, ∀ x, y ∈ E, lo cual se logra al cocientar T E por el ideal bilátero a, generado por todos los elementos de la forma x ⊗ y + y ⊗ x − 2hx, yi · 1, entonces (T E/a, ı), donde ı := π ◦ i, es un objeto de Alg hE, i . Por ˆ ⊗ y + y ⊗ x − 2hx, yi · 1) = ψ(x)ψ(y) + ψ(y)ψ(x) − 2hx, yi · 1 = 0 ∈ F, por lo otra parte ψ(x que a ⊆ ker ψˆ y ψˆ induce un u´ nico homomorfismo de K-álgebras ψ¯ : T E/a → F que hace conmutar al diagrama E? ?? ?? ? ψ ??

ı

F

/ T E/a . z z zz z z ¯ z| z ψ

Entonces (T E/a, ı) es un a´ lgebra de Clifford, sobre el K-espacio vectorial E asociada a la forma bilineal h , i. Los elementos, formados por las clases (mód a) pertenecientes a T n E son llamados los elementos pseudoescalares de CL(E, h , i). Las a´ lgebras de Clifford también pueden ser construidas, de forma más complicada, sin pasar por el a´ lgebra tensorial, que es el procedimiento empleado por Artin en [3]. (Ver por ejemplo [28]). El lector observará que si h , i es 0 sobre el espacio vectorial E, entonces el a´ lgebra de Clifford coincide con el a´ lgebra exterior de E. Se suele decir que el a´ lgebra de Clifford es una cuantización del a´ lgebra exterior, por medio de una forma bilineal simétrica. Al igual que con las a´ lgebras simétricas y exteriores, Cl es un funtor covariante de la categor´ıa Vect h , i , cuyos objetos son K-espacios vectoriales con formas bilineales y sus morfismos son aplicaciones lineales, ϕ, que preservan la forma bilineal, es decir hx, yi = hϕ(x), ϕ(y)i, en la categor´ıa de las K-álgebras asociativas con unidad. (Por abuso de notación denotamos, por facilidad, la forma bilineal en todos los espacios, por h , i, sobre entendiéndose que en cada caso es la forma bilineal correspondiente la que se aplica).


398

14.4.4. Estructura de Cl(E, h , i). Consideremos {e1 , . . . , en } una base ortogonal del K-espacio vectorial E, entonces la condición ei ⊗ e j + e j ⊗ ei ≡ 2hei , e j i · 1, (mód a) se reduce a ei ⊗ e j + e j ⊗ ei ≡ 0, (mód a), por lo que los elementos de una base ortogonal satisfacen las mismas condiciones que en el a´ lgebra exterior. Entonces el conjunto {ei1 · · · eir | i1 < · · · < ir , 0 6 r 6 n}, donde para r = 0 el producto corresponde al elemento unidad de K, forma una base de Cl(E, h , i) y ! n X n dimK Cl(E, h , i) = = 2n . k k=0 V Entonces, como K-espacios vectoriales Cl(E, h , i) y (E) son isomorfos, pero no V en tanto que K-álgebras, ya que (E) es un a´ lgebra graduada sobre N, mientras que Cl(E, h , i) no posee la estructura de un a´ lgebra graduada sobre N, pues a no es un ideal homogéneo de T E. E 14.1. 1. Sean K := R, E := Rn y h , i una forma bilineal sobre E no degenerada, de signatura (p, q), donde p + q = n y E = E+ ⊕ E− . La base de E puede ser escogida como una base de elementos ortogonales entre s´ı y tal que hei , ei i = 1, para p elementos y hei , ei i = −1, para q elementos. El a´ lgebra de Clifford correspondiente se suele denotar por Cl p,q (R). Para p = q = 0, E = 0 y Cl0,0 (R) ' R. 2. Si la signatura de h , i es (1, 0), entonces E = E+ generado por un u´ nico vector e y Cl1,0 (R) es una R-álgebra de dimensión 2, con he, ei = 1. Como espacio vectorial Cl1,0 (R) ' R ⊕ R. Para visualizar mejor su estructura como R-álgebra identificaremos Cl1,0 (R) con un a´ lgebra de matrices. Consideremos M la Ra´ lgebra generada por las matrices ! ! 1 0 0 1 1 := , s := 0 1 1 0 El homomorfismo ϕ : E → M, tal que ϕ(e) := s, cumple con ϕ(e)2 = s2 = he, ei.1 = 1, e induce un isomorfismo ϕ∗ : Cl1,0 (R) → M. 3. Si la signatura de h , i es (2, 0), entonces E = E+ generado por {e1 , e2 }, base ortogonal, tales que hei , e j i = 1, 1 6 i, j 6 2. dimR (Cl2,0 (R)) = 4. Como en el ejemplo precedente, consideremos M el R- a´ lgebra engendrada por las matrices con coeficientes reales ! ! ! ! 1 0 0 1 0 −1 1 0 1 := , s := , i := , j := 0 1 1 0 1 0 0 −1 El lector verificará facilmente que e´ stas son linealmente independientes y que se cumplen las relaciones s2 = j2 = 1, i2 = −1, s · j = i, j · s = −i, s · i = j, i · s = −j, i · j = s y j · i = −s. Si ϕ : E → M es la aplicación lineal definida por ϕ(e1 ) := s y ϕ(e2 ) := j, entonces ϕ(e1 )2 = s2 = 1 = he1 , e1 i · 1 y ϕ(e2 )2 = j2 = he2 , e2 i · 1. Entonces ϕ induce un homomorfismo de R-álgebras ϕ∗ : Cl2,0 (R) → M, ϕ∗ (ei ⊗ e2 ) = ϕ(e1 )ϕ(e2 ) = s · j = i y ϕ∗ (e1 ⊗ e2 )2 = −1 = ϕ∗ ((e1 ⊗ e2 )2 ). Dejamos al lector comprobar que ϕ∗ es un isomorfismo de R-álgebras. 4. Si la signatura de h , i es (0, 1), entonces E = E− generado por u´ nico vector e y Cl0,1 es de dimensión 2, con un elemento e, tal que e2 = he, ei·1 = −1. Por lo que Cl0,1 (R) ' C. También en este caso es posible dar una representación matricial


399

de Cl0,1 (R), utilizando las matrices 1 y i, obteniendo la representación matricial de C. Dejamos al lector los pormenores de esta representación. 5. Si la signatura de h , i es (0, 2), entonces E = E+ generado por {e1 , e2 }, base ortogonal de E y Cl0,2 es de dimensión 4, con he1 , e1 i = he2 , e2 i = −1. Para la representación matricial necesitamos, en este caso dos matrices cuyo cuadrado sea −1. A tal efecto usaremos las matrices ! ! ! 1 0 0 1 0 i 1 := , i := , j := , 0 1 −1 0 i 0 i y j generan una cuarta matriz ! i 0 i · j = k := 0 −i

6.

7.

8.

9.

Dejamos al lector la inquietud de mostrar que se puede dar un isomorfismo entre la R-álgebra generada por dichas matrices y Cl0,2 (R), que es el a´ lgebra de los cuaterniones o Hamiltonianos H.. Si la signatura de h , i es (1, 1), entonces E = E+ ⊕ E− generado por {e1 , e2 }, base ortogonal de E, tal que he1 , e1 i = 1 y he2 , e2 i = −1 y Cl1,1 es de dimensión 4. Para la representación matricial necesitamos, en este caso una matriz, cuyo cuadrado sea igual a 1 y otra cuyo cuadrado sea = −1. El lector comprobará que s y i satisfacen lo deseado y, al igual que en el caso (2, 0), la R-álgebra generada por las matrices 1, i, j, s, es isomorfa a Cl1,1 (R). Consideremos ahora K := C, como con {e1 , . . . , e p , v1 , . . . vq } base de un Cespacio vectorial E, también {{e1 , . . . , e p , iv1 , . . . ivq } es una base de E, resulta irrelevante la signatura (p, q) de una forma bilineal simétrica y si p + q = n, entonces Cl p,q (C) = Clq,p (C) = Cln,0 (C) = Cl0,n (C) = Cln (C). Obviamente Cl0 (C) ' C. Si dimC E = 1, entonces E es generado por un vector e, en tanto que C-módulo y Cl1 (C) es de dimensión compleja 2 e isomorfa a C⊕C. Dejamos al lector mostrar que, en este caso, Cl1 es isomorfa a la C-álgebra generada por las matrices 1 y cualquiera de las matrices i, j, k o s, de los ejemplos precedentes. El caso Cl2 (C) es similar al caso Cl2,0 (R). Dejamos al lector mostrar que la Ca´ lgebra generada por las matrices 1, j, s y j, es isomorfa a Cl2 (C). O´. En general las a´ lgebras de Clifford sobre los complejos son más sencillas de clasificar que sobre los reales. Por un teorema de Artin-Wedderburn, toda a´ lgebra de Clifford sobre los complejos, sobre un C-espacio vectorial de dimensión compleja n par, es isomorfa a un a´ lgebra de matrices y en caso en que n es impar a una suma directa de a´ lgebras de matrices. El caso real es mucho más complicado y es necesario hacer varias distinciones, según las clases de equivalencia de p − q (mód 8). Para mayor información al respecto, remitimos al lector, por ejemplo a [29].

14.4.5. Estructura de a´ lgebra graduada sobre Z/2Z. Como indicamos arriba, por no ser a un ideal homogéneo de T E, el a´ lgebra de Clifford no es un a´ lgebra graduada sobre N. Sin embargo es posible dar una graduación del a´ lgebra de Clifford sobre Z/2Z. Decimos que un automorfismo α : X → X donde X es un objeto de una categor´ıa A, es una involución sobre X, si α ◦ α = 1X . Dado un K-espacio vectorial E de dimensión n, consideremos la involución α:E→E


400

definida por α(v) := −v, ∀ v ∈ E. Obviamente α preserva cualquier forma bilineal definida sobre E, por lo que induce un isomorfismo de K-álgebras: α∗ : Cl(E, h , i) → Cl(E, h , i), el cual genera una descomposición de Cl(E, h , i) en Cl(E, h , i) = Cl0 (E, h , i) ⊕ Cl1 (E, h , i). donde Cl j (E, h , i) := {x ∈ Cl(E, h , i) | α∗ (x) = (−1) j x}, j (mód 2), entonces, dado x ∈ Cli (E, h , i), y ∈ Cl j (E, h , i), xy ∈ Cli+ j (E, h , i), i + j (mód 2). Terminamos esta sección sobre las a´ lgebras de Clifford, con algunas observaciones sobre su aplicación en la geometr´ıa diferencial y f´ısica teórica. En la geometr´ıa diferencial, si M es una variedad de Riemann, entonces para cada x ∈ M, se tiene una forma bilineal, no degenerada, la métrica, sobre el espacio tangente T M x , a la cual se le asocia su a´ lgebra de Clifford correspondiente, obteniéndose el llamado fibrado de Clifford sobre M. Igualmente es importante en la clasificación de las llamadas variedades espinoriales, ver, por ejemplo, [29]. En la f´ısica teórica se tiene el a´ lgebra de Clifford Cl3,1 (E, h , i), donde E es el espacio 4-dimensional de Minkowski, llamado también el espacio-tiempo, y h , i es la forma bilineal de signatura (3, 1) que induce la métrica de Minkowski,. Dicha a´ lgebra aparece como el a´ lgebra de matrices generada por las matrices de Dirac       0 0 1  0   1 0 0  0 0 0 −i   0       0 1 0  0 0 i 0   0 0 1 0  0   , γ1 :=  ,  , γ2 :=  γ0 :=   0 i 0 0   0 −1 0 0   0 0 −1 0  −i 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 −1    0 0 1 0   0 0 0 −1  , γ3 :=   −1 0 0 0  0 1 0 0 que satisfacen la relación {γi , γ j } := γi γ j + γ j γi = 2hei , e j i1, donde 1 es la matriz identidad    1 0 0 0   0 1 0 0   . 1 :=   0 0 1 0  0 0 0 1 h , i la métrica de Minkowski. (Ver, por ejemplo, [56], [20], [43], [42] y [39]). 14.5.

´ Formas Bilineales Alternas y Algebras de Weyl

Terminamos este cap´ıtulo con una breve introducción a las llamadas formas bilineales alternas y a´ lgebras de Weyl Las a´ lgebras de Weyl constituyen un caso similar a las a´ lgebras de Clifford, para las a´ lgebras asociativas, con unidad y una forma bilineal alterna Φ sobre un espacio vectorial de dimensión finita E. Debe su nombre al f´ısico y matemático alemán Hermann Weyl. As´ı como las a´ lgebras de Clifford constituyen una cuantización de las a´ lgebras exteriores, las a´ lgebras de Weyl son una cuantización de las a´ lgebras simétricas. En su origen fueron introducidas en la f´ısica, por Hermann Weyl, como un a´ lgebra de operadores diferenciales con coeficientes polinomiales, con el fin de estudiar el principio de incertidumbre de Heisenberg en la mecánica cuántica.

´ 14.5. FORMAS BILINEALES ALTERNAS Y ALGEBRAS DE WEYL

14.5.1.

401

Formas Bilineales Alternas o Simplécticas. Decimos que una forma bili-

neal Φ:E×E →K es alterna o simpléctica, si Φ(x, y) = −Φ(y, x), ∀ x, y ∈ E, o equivalente Φ(x, x) = 0, ∀ x ∈ E. Como en el caso de las formas bilineales simétricas, diremos que la forma bilineal alterna Φ es degenerada o singular, si ker Φ , 0 y no degenerada si ker Φ = 0. Diremos que E es un plano hiperbólico respecto de una forma bilineal alterna Φ, si dimK E = 2 y Φ es no degenerada. Si E es un plano hiperbólico de Φ, entonces podemos encontrar una base de E, tal que Φ posee una matriz de la forma ! 0 1 . −1 0 Decimos que E es un espacio hiperbólico, respecto de la forma bilineal alterna Φ, si E es suma directa de planos hiperbólicos, respecto de Φ. Obviamente todo espacio hiperbólico es de dimensión par. Si E es un espacio hiperbólico, entonces podemos encontrar una base de E, tal que Φ posee una matriz de la forma

(14.31)

  0  −1         

1 0 0 −1

1 0

..

. 0 −1

       ,    1   0

donde 1 y −1 aparecen “reflejados” sobre la diagonal principal. Si Φ es no degenerada sobre E, entonces E es hiperbólico y su dimensión debe ser par. En general siempre es posible encontrar una base de E, tal que Φ posee una matriz de la forma    0 1   −1 0    0 1     −1 0     ..   .  , A :=   0 1    −1 0     0    ..   .   0 llamada la matriz alternante estandard. Entonces E se descompone como E := Eh ⊕ E0 .


402

´ 14.5.2. Algebras de Weyl. Sea E un K-espacio vectorial de dimensión finita n y Φ : E × E → K una forma bilineal alterna. Consideremos la categor´ıa Alg ΦE , cuyos objetos son pares (X, ψ), donde X es una K-álgebra asociativa, con unidad y ψ es una aplicación lineal ψ : E → X, tal que ψ(x) · ψ(y) − ψ(y) · ψ(x) = Φ(x, y) · 1. Dado otro objeto (Y, ϕ) de Alg ΦE , un morfismo de (X, ψ) en (Y, ϕ) es un homomorfismo de K-álgebras θ : X → Y, que hace conmutar al diagrama (14.32)

E? ?? ?? ϕ ??

ψ

Y

/X θ

Llamamos a´ lgebra de Weyl, (W(E, Φ), ψ) sobre E asociada a la forma bilineal alterna Φ a un objeto inicial en la categor´ıa Alg ΦE . Como objeto inicial de una categor´ıa el a´ lgebra de Weyl es u´ nica, salvo isomorfismo.

F 14.3.

Hermann Weyl

´ 14.5.3. Construcción Expl´ıcita de un Algebra de Weyl. Como el lector ya lo supondrá, construiremos el modelo de un a´ lgebra de Weyl a partir del a´ lgebra tensorial de E. Para convertir T E en algo que sea un objeto de la categor´ıa Alg ΦE , debemos cocientar T E por el ideal bilátero a, generado por todos los elementos de la forma x⊗y−y⊗ x−Φ(x, y)·1. Dejamos al lector los pormenores de mostrar que el a´ lgebra T E/a, junto con la inclusión canónica j : E → T E/a es un elemento inicial de Alg ΦE y por consiguiente un a´ lgebra de Weyl sobre E, asociada a la forma alterna Φ. El lector verificará sin dificultad, que toda aplicación lineal ϕ : E → F, entre espacios vectoriales, tal que Φ(x, y) = Ψ(ϕ(x), ϕ(y)), donde Ψ es una forma simpléctica sobre F, induce un homomorfismo de K-álgebras ϕ∗ : W(E, Φ) → W(F, Ψ) y que ϕ∗ es un isomorfismo de K-álgebras, si ϕ es un isomorfismo de K-espacios vectoriales. Por lo que W es un funtor de la categor´ıa de K-espacios vectoriales con formas bilineales alternas en la categor´ıa de las K-álgebras asociativas con unidad.

´ 14.5. FORMAS BILINEALES ALTERNAS Y ALGEBRAS DE WEYL

403

Como a no es un ideal homogéneo, el a´ lgebra de Weyl no posee la estructura de un a´ lgebra graduada sobre N, sin embargo dejamos al lector mostrar que, como el a´ lgebra de Clifford, el a´ lgebra de Weyl posee la estructura de un a´ lgebra graduada sobre Z/2Z. El lector habrá ya observado, que si Φ = 0, entonces obtenemos el a´ lgebra simétrica sobre E, la cual es isomorfa a K[X1 , . . . , Xn ], considerando que E, en tanto que K-espacio vectorial, es un K-módulo libre de dimensión n. Esto nos indica que el a´ lgebra de Weyl sobre un espacio vectorial de dimensión finita, asociada a una forma bilineal alterna, está relacionada, de alguna forma, con el anillo de polinomios K[X1 , . . . , Xn ]. E 14.2. 1. Si dimK E = 1, entonces toda forma bilineal alterna es 0 y W(E, Φ) = S (E) ' K[X]. 2. Sea E un espacio vectorial de dimensión 2 y Φ la forma simpléctica dada por la matriz ! 0 −1 , 1 0 respecto de la base {e1 , e2 }. Entonces a es el ideal bilátero engendrado por e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1 + 1. Tomando las clases respectivas y abusando de la notación se tiene e2 e1 = 1 + e1 e2 . Vamos a hacer ver, que W(E, Φ) es isomorfa al a´ lgebra de operadores diferenciales con coeficientes polinomiales. Sean x : R → R la función identidad sobre R, D : C ∞ (R) → C ∞ (R) el operador “derivada respecto de la variable x” y S := {x, D}. Al a´ lgebra libre KhS i la llamamos el a´ lgebra de operadores diferenciales con coeficientes polinomiales. Si aplicamos el operador diferencial xD − Dx a una función f ∈ C ∞ (R), obtenemos (xD − Dx)( f ) = xD f − f − xD f = − f = −1 f es decir que xD − Dx = −1 y Dx = 1 + xD. Entonces (KhS i, ϕ), donde ϕ : E → KhS i es la aplicación lineal dada por ϕ(e1 ) := x y ϕ(e2 ) := D es un objeto de Alg ΦE y existe un u´ nico homomorfismo ϕ∗ : W(E, Φ) → KhS i, que hace conmutar al diagrama / W(E, Φ) EC CC tt CC tt t C ϕ CC tt ϕ ! ztt ∗ KhS i i

El lector verificará que ϕ∗ es un isomorfismo de K-álgebras. 3. Si en el ejemplo precedente K := C, entonces W(E, Φ) es isomorfa al a´ lgebra de ~ ∂ operadores diferenciales con coeficientes polinomiales complejos. Si p := , i ∂x h donde ~ := , h la constante de Planck,1 es el operador impulso de la mecánica 2π 1h := 6,624 · 10−27 erg.s, es el cuanto de acción. ~ es el cuanto del impulso angular


404

cuántica, p ∈ W(E, Φ) y satisface la relación de Born-Jordan de la mecánica cuántica ([51]) xp − px = i~. 4. Sea dimK E = 2n y Φ una forma bilineal, no singular, dada por el negativo de la matriz (14.31), respecto de la base {e1 , u1 , . . . , en , un }. Si S := {x1 , . . . , xn , D1 , . . . , Dn }, donde (x1 , . . . , xn ) : Rn → Rn es la aplicación identidad y Di : C ∞ (Rn ) → C ∞ (Rn ), el operador derivada parcial respecto de xi , entonces, si KhS i es el a´ lgebra libre generada por S , llamado el a´ lgebra de los operadores diferenciales parciales, con coeficientes polinomiales, la aplicación lineal ϕ : E → KhS i, definida por ϕ(ei ) := xi y ϕ(ui ) := Di , induce un isomorfismo de K-álgebras (¡ejercicio!) ϕ∗ : W(E, Φ) → KhS i.

CAP´ıTULO 15

´ AL ALGEBRA ´ ´ INTRODUCCION HOMOLOGICA El a´ lgebra homológica tiene su origen en el estudio de ciertas invariantes topológicas, como los números de Betti y la invariante de Euler, estudiadas en la llamada topolog´ıa combinatoria, la cual se convertir´ıa luego en lo que hoy se conoce como la topolog´ıa algebraica. La idea original consist´ıa en asociarle a un espacio topológico (X, X ) un grupo, el grupo libre abeliano sobre Z, de los q-simplicios singulares sobre X. Un q-simplicio o q-simplex, (algunos autores hispanos lo llaman simplejo), es un subespacio del Rq+1 que posee una estuctura relativamente simple. Por ejemplo un 0-simplicio es un punto de R, un 1-simplicio es un subespacio del R2 homeomorfo a un intervalo cerrado. Un 2-simplicio es un subespacio del R3 homeomorfo a un triángulo, etc. (Ver, por ejemplo, [48]). Si denotamos por ∆q un q-simplicio, un simplicio singular sobre el espacio topológico X es una aplicación continua σq : ∆q → X. Si denotamos por Xq al conjunto de todos los q-simplicios singulares sobre X y por Gq := ZhXq i al grupo libre abeliano sobre Z, generado por Xq , se construye una sucesión de grupos y homomorfismos de grupos: dq+1

dq

dq−1

dq−2

dq−3

· · · −−−→ Gq+1 −→ Gq −−−→ Gq−1 −−−→ Gq−2 −−−→ · · · , donde dq ◦ dq+1 = 0, llamada el complejo de cadenas singulares asociado al espacio X. Los homomorfismos dq reciben el nombre de diferenciales, en analog´ıa a la propiedad de la derivada exterior (ver cap´ıtulo precedente). Como dq+1 ◦ dq = 0, Im dq+1 ⊆ ker dq y se puede formar el grupo cociente Hq (X) := ker dq / Im dq+1 , al que se le llamó el grupo de homolog´ıa del espacio X. Con ayuda de los grupos de homolog´ıa se le puede asociar a todo espacio topológico los números de Betti y la invariante de Euler. Un resultado importante es que Hq es un funtor covariante de la categor´ıa de espacios topológicos en la categor´ıa de los grupos abelianos, lo cual permitió mostrar que ciertos espacios no pod´ıan ser homeomorfos, ya que sus respectivos grupos de homolog´ıa no eran isomorfos. La construcción de complejos y sus grupos de homolog´ıa correspondiente resultó ser una herramienta poderosa y pronto se extendió a otras a´ reas de las matemáticas, como la geometr´ıa diferencial, la geometr´ıa algebraica, algebra conmutativa e incluso f´ısica teórica. Con el desarrollo de la teor´ıa de categor´ıas se pudo generalizar este procedimiento a todas aquellas categor´ıas que tuvieran núcleos y co-núcleos, es decir a cualquier categor´ıa abeliana, cuyos objetos no son necesariamente grupos. Actualmente el a´ lgebra homológica es una rama independiente, del a´ lgebra abstracta, que estudia las propiedades del funtor “homolog´ıa” de un complejo en una categor´ıa abeliana cualquiera. Inspirados en la definición de complejo singular, se da la definición abstracta de un complejo, los cuales pueden ser descendentes, como en el caso del complejo singular asociado a un espacio topológico o ascendente, como en el caso del complejo de de Rham definido sobre una variedad diferenciable. Cuando el complejo es ascendente, se habla de co-homolog´ıa, como un concepto dual al de homolog´ıa. 405

´ AL ALGEBRA ´ ´ 15. INTRODUCCION HOMOLOGICA

406

Por razones pedagógicas y de simplicidad, en este cap´ıtulo trabajaremos en la categor´ıa de los A-módulos, donde A es un anillo conmutativo con unidad. Todas aquellas construcciones y demostraciones que se hagan, en las cuales no intervenga expl´ıcitamente las propiedades particulares de los módulos, son válidas para cualquier categor´ıa abeliana. Nuestro objetivo, en este cap´ıtulo, es dar al estudiante los elementos básicos del a´ lgebra homológica que le permitan abordar un estudio en topolog´ıa y geometr´ıa algebraicas. Para una mayor profundización en esta interesante rama del a´ lgebra, remitimos al estudiante a alguno de los textos siguientes: [9], [34] y [31]. 15.1.

Complejos Diferenciales o de Cadenas y Homolog´ıa

En todo este cap´ıtulo todo anillo será un anillo conmutativo con unidad y todo módulo M un módulo unitario, es decir, 1 · m = m, para todo elemento m ∈ M. 15.1.1. Complejos de Cadenas o Complejos Diferenciales. Sea A un anillo . Un complejo de cadenas o complejo diferencial abierto descendente es una sucesión de Amódulos y homomorfismos de A-módulos dq+1

dq

dq−1

dq−2

dq−3

· · · −−−→ Eq+1 −→ Eq −−−→ Eq−1 −−−→ Eq−2 −−−→ · · · , donde q ∈ Z y tal que

dq ◦ dq+1 = 0,

∀ q ∈ Z,

o de forma equivalente Im dq+1 ⊆ ker dq . Los homomorfismos dq reciben el nombre de diferenciales, ya que los primeros complejos estudiados, como el de de Rham, los homomorfismos dq son la derivada exterior. Si Eq = 0, salvo para un número finito de elementos q ∈ Z, entonces diremos que el complejo es un complejo finito o acotado. Naturalmente toda sucesión finita dq−1

dq−2

dq−3

d1

Eq −−−→ Eq−1 −−−→ Eq−2 −−−→ · · · −→ E1 , donde dq ◦ dq+1 = 0, puede ser extendida, adicionando 00 s a un complejo abierto. Un complejo diferencial abierto ascendente o complejo de co-cadenas es una sucesión de A-módulos y homomorfismos de A-módulos dq−1

dq

dq+1

dq+2

dq+3

· · · −−−→ E q −→ E q+1 −−−→ E q+2 −−−→ E q+3 −−−→ · · · , donde q ∈ Z y tal que

dq ◦ dq−1 = 0,

∀ q ∈ Z,

o de forma equivalente Im dq−1 ⊆ ker dq . Las construcciones y demostraciones son las mismas para complejos ascendentes o descendentes, por lo que será irrelevante, desde el punto de vista formal, con cual de los dos tipos de complejo trabajemos. Por tradición, en un complejo descendente los ´ındices se escriben como sub´ındices y en un complejo ascendente como super´ındices. Un complejo descendente se suele denotar por (E• , d) y un ascendente por (E • , d). El lector habrá observado que una sucesión exacta de módulos y homomorfismos de módulos es un caso particular de complejo, en el cual el núcleo del homomorfismo siguiente es exactamente igual a la imágen del homomorfismo precedente. Si (Eq )q∈Z es una familia indizada por Z de A-módulos, podemos definir, de forma trivial, un complejo diferencial sobre e´ sta, definiendo dq := 0, para todo q ∈ Z, llamado

15.1. COMPLEJOS DIFERENCIALES O DE CADENAS Y HOMOLOGÍA

407

el complejo trivial sobre la familia (Eq )q∈Z . El complejo trivial es indiferentemente ascendente o descendente. Dada una familia de A-módulos (Eq )q∈Z , entonces a la suma directa M E := Eq q∈Z

la llamamos el módulo Z-graduado, asociado a la familia (Eq )q∈Z . Dados dos módulos Z-graduados E, F y r ∈ Z, por un morfismo Z-graduado de grado r f :E→F entenderemos un homomorfismo de A-módulos, tal que f (Eq ) ⊆ Fq+r , es decir que la restricción fq de f a Eq es un homomorfismo de A-módulos fq : Eq → Fq+r . Los A-módulos Z-graduados con sus morfismos Z-graduados de grado r, forman una categor´ıa, que es una subcategor´ıa de Mod A . Todo complejo diferencial de A-módulos, (E • , d) o (E• , d), puede ser visto como un módulo Z-graduado, definiendo M M E := E q o bien E := Eq . q∈Z

q∈Z

Entonces el diferencial d : E → E es un morfismo Z-graduado de grado 1 en el caso ascendente y grado −1 en el caso descendente. Por lo anteriormente explicado, salvo casos particulares, trabajaremos con complejos ascendentes. Si el complejo es exacto y denotamos por Mq := ker dq = Im di−1 , en ocasiones es u´ til insertarlos en un diagrama de la forma: (15.1) / E q+1 / Eq / / E q−1 / E q−2 > DD ; DD FF | x x; D | FF x x DD DD FF xx xx || DD DD FF xx xx || DD D x x | x x " # " | q q+1 q−1 M M M < B < ; GG GG BB yy GG GG ww yy BB yy GG GG yy ww y y w B y y GG G w B y GG yy w B y G# w ! y w # y 0 0 0 0 Entonces se obtiene una familia de sucesiones exactas: 0 → M q → E q → M q+1 → 0. Si el complejo no es exacto debemos insertar ambos, el ker dq e Im dq−1 y se tiene la sucesión exacta 0 → Im dq−1 → ker dq → ker dq / Im dq−1 → 0. El módulo H q (E) := ker dq / Im dq−1 se llama el q-módulo de co-homolog´ıa del complejo (E • , d). En el caso de un complejo descendente Hq (E) := ker dq / Im dq+1 es el q-módulo de homolog´ıa del complejo (E• , d). Podemos decir que el módulo de (co)-homolog´ıa mide la desviación del complejo respecto de la exactitud de la sucesión. Si (E • , d) es el complejo trivial, entonces H q (E) = Hq (E) = Eq .

408


Un morfismo de grado r, donde r ∈ Z ˜ f : (E • , d) → (F • , d) entre dos complejos diferenciales, consta de una familia de homomorfismos de A-módulos f q : E q → F q+r tal que para todo q ∈ Z, el diagrama Eq dq

fq

E q+1

/ F q+r

f q+1

d˜q+r

/ F q+1+r

˜ es conmutativo. Esto implica que dq |ker f q [ker f q ] ⊆ ker f q+1 y d[Im f q ] ⊆ Im f q+1 • ˆ q Definimos ((ker f ) , d), como el complejo, tal que (ker f ) := ker f q , dˆ := dq |ker f q ¯ como el complejo, tal que (coker f )q := coker f q = F q+r / Im f q , d¯ el y ((coker f )• , d) homomorfismo inducido por d˜ en el módulo cociente, que hace conmutar al diagrama F q+r π

π

F q+r / Im f q

/ F q+1+r

d˜q+r

d¯q+r

/ F q+1+r / Im f q

. Entonces tenemos una categor´ıa abeliana, cuyos objetos son los complejos diferenciales y sus morfismos los morfismos definidos arriba. Si en el complejo (E • , d), q ∈ Z/nZ, para algún n > 2, entonces se dice que es un complejo diferencial cerrado. Un complejo diferencial cerrado es de la forma / E2 / ··· / En E1 f Siguiendo la tradición topológica, a los elementos de un complejo diferencial los llamaremos cadenas, si el complejo es descendente y co-cadenas, si el complejo es ascendente. Espec´ıficamente un elemento de Eq es una q-cadena y un elemento de E q es una q-cocadena. ker dq es llamado el submódulo de los q-ciclos, de Eq en el caso descendente y suele denotarse por Zq y ker dq el submódulo de los q-co-ciclos, en el caso ascendente, el cual suele denotarse por Z q . Im dq+1 es el submódulo de los q-bordes, denotado por Bq , en el caso descendente e Im dq−1 el submódulo de los q-cobordes, denotado por Bq , en el caso ascendente. Por lo arriba explicado un complejo diferencial descendente se suele llamar también un complejo de cadenas y un complejo diferencial ascendente un complejo de co-cadenas. 15.1.2. Homolog´ıa. En esta subsección demostraremos algunas propiedades de los módulos H q (E). Por abuso de lenguaje adoptaremos el término de módulo de homolog´ıa, independientemente si el complejo es ascendente o descendente. Al módulo graduado M H(E) := H q (E), q∈Z

asociado a la familia indizada (H q (E))q∈Z , lo llamamos la homolog´ıa del complejo (E • , d). Algunos autores denotan la homolog´ıa también por H • (E) o bien por H ∗ (E).


409

Un complejo (E • , d) cuya homolog´ıa H(E) = 0, se dice que es un complejo ac´ıclico. Tal es el caso si el complejo es exacto. Empecemos mostrando las propiedades funtoriales de H. T 15.1. La homolog´ıa H es un funtor covariante de la categor´ıa de los complejos diferenciales en la categor´ıa de los módulos graduados. D´. Vamos a mostrar que dado un morfismo de complejos ˜ f : (E • , d) → (F • , d), e´ ste induce un homomorfismo de módulos graduados f∗ : H(E) → H(F). Por facilidad, haremos la demostración para grado r = 0. De la conmutatividad del diagrama dq−1 / q dq / E E q−1 E q+1 f q−1

fq

F q−1

d˜q−1

/ Fq

d˜q

f q+1

/ F q+1

en cada una de sus partes, resulta que, dado x ∈ ker dq , entonces d˜q ( f q (x)) = 0, y f q( x) ∈ ker d˜q , por lo que la restricción de f q al ker dq , induce un homomorfismo f |ker dq : ker dq → ker d˜q . para cada q ∈ Z, además se deduce que f q [Im dq−1 ] ⊆ Im d˜q−1 . Entonces, la restricción f q |ker dq , induce, para cada q ∈ Z, un homomorfismo f∗q : H q (E) → H q (F), que hace conmutar al diagrama ker dq

f q |ker dq

π

H q (E)

/ ker d˜q π

q

f∗

/ H q (F)

y se extiende a un homomorfismo de módulos graduados f∗ : H(E) → H(F). Obviamente si ˜ → (G, d) ˆ g : (F, d) es otro morfismo de complejos, entonces (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ . Además, si f es un isomorfismo de complejos, es decir que fq isomorfismo, para cada q ∈ Z, entonces f∗ es un isomorfismo de módulos graduados y si 1E es la identidad sobre el complejo (E, d), entonces (1E )∗ = 1H(E) . Es usual denotar f∗ también por H( f ) y su restricción al grado q por H( f q ) o H q ( f ). Diremos que la sucesión corta de complejos diferenciales f

g

0 → (E 0• , d0 ) → − (E • , d) → − (E 00• , d00 ) → 0


410

es exacta, si el siguiente diagrama de filas exactas (15.2)

0

/ E 0(q−1)

/ E q−1

/ E 00(q−1)

/0

0

/ E 0(q)

/ Eq

/ E 00(q)

/0

0

/ E 0(q+1)

/ E q+1

/ E 00(q+1)

/0

0

/ E 0(q+2)

/ E q+2

/ E 00(q+2)

/0

es conmutativo en cada una de sus componentes. (Las flechas horizontales indican los grados respectivos de f, g y las verticales los diferenciales respectivos). Uno de nuestros principales objetivos será mostrar que dada una sucesión corta exacta de complejos diferenciales, e´ sta induce una larga sucesión exacta de módulos de homolog´ıa. El problema principal es la construcción del homomorfismo de conexión δq : H q (E 00 ) → H q−1 (E 0 ). Previo a dicha construcción vamos a mostrar un par de lemas, que nos serán de utilidad en este cap´ıtulo. L 15.2 (Cinco-Lema). Dado el diagrama (15.3)

E

α

β

g

f

E0

/F

α0

/ F0

/G

γ

β0

δ

j

h

/ G0

/M

γ0

/M

/N k

δ0

/ N0

conmutativo en cada componente, de homomorfismos de módulos, cuyas filas son exactas. Entonces, si f, g, j, k son isomorfismos, h es un isomorfismo. D´. Vamos a mostrar: a) h es inyectiva. b) h es sobreyectiva a) Sea c ∈ ker h, entonces h(c) = 0 y por la conmutatividad de (15.3) γ0 (h(c)) = j(γ(c)) = 0, lo que implica que γ(c) ∈ ker j = 0. Entonces c ∈ ker γ = Im β, por la exactitud de las filas de (15.3), y existe b ∈ B, tal que c = β(b). Nuevamente, por la conmutatividad de (15.3), β0 (g(b)) = h(c) = 0, lo que implica que g(b) ∈ ker β0 = Im α0 . Entonces existe a0 ∈ A0 , tal que g(b) = α0 (a0 ). Por la sobreyectividad de f , existe a ∈ A, tal que a0 = f (a) y g(α(a)) = α0 (a0 ) = g(b). Como g es inyectiva, α(a) = b y, por la exactitud de las filas de (15.3), β(b) = 0 = c. Por lo tanto h es inyectiva.


411

b) Dado c0 ∈ C 0 , vamos a mostrar que existe c˜ ∈ C, tal que h(c) = c0 . En efecto, sea c0 ∈ C 0 , entonces γ0 (c0 ) ∈ D0 , como j es sobreyectiva, existe d ∈ D, tal que j(d) = γ0 (c0 ). Entonces, por la conmutatividad y exactitud de las filas de (15.3), k(δ(d)) = δ0 ( j(d)) = δ0 (γ0 (c0 )) = 0. Como k es inyectiva, resulta δ(d) = 0, por lo que d ∈ ker δ = Im γ. Entonces existe c ∈ C, tal que γ(c) = d y γ0 (h(c)) = j(γ(c)) = j(d) = γ0 (c0 ). Esto implica que h(c) − c0 ∈ ker γ0 = Im β0 y existe b0 ∈ B0 , tal que β0 (b0 ) = c0 − h(c). Como g sobreyectiva, existe b ∈ B, tal que g(b) = b0 . Entonces h(β(b)) = β0 (g(b)) = c0 − h(c)). Esto implica que h(β(b) + c) = c0 , por lo que c˜ := β(b) + c ∈ C es el elemento buscado. O´. Como el lector habrá observado, en la demostración sólamente se utiliza la sobreyectividad de f y la inyectividad de k, mientras que de g y j se utiliza la biyectividad. Por lo que las condiciones del lema 15.2 pueden ser debilitadas a las condiciones de f sobreyectiva, g, j biyectivas y k inyectiva. T 15.3. Toda sucesión corta exacta de complejos diferenciales (15.4)

f

g

0 → (E 0• , d0 ) → − (E • , d) → − (E 00• , d00 ) → 0

induce, para cada q ∈ Z, una sucesión exacta de módulos de homolog´ıa f∗

g∗

H q (E 0 ) −→ H q (E) −→ H q (E 00 ) D´. Por la funtorialidad de H, para cada q ∈ Z, la sucesión (15.4) induce una sucesión de homomorfismos de módulos f∗

g∗

H q (E 0 ) −→ H q (E) −→ H q (E 00 )

(15.5) tal que el diagrama (15.6)

ker d0q

f

g

π

π

H q (E 0 )

/ ker dq

f∗

/ H q (E)

/ ker d00q π

g∗

/ H q (E 00 )

es conmutativo y 0 = (g◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ , lo que implica que Im f∗ ⊆ ker g∗ . Nos falta mostrar, entonces, que ker g∗ ⊆ Im f∗ . Sea x¯ ∈ ker g∗ , entonces g∗ ( x¯) = 0 ∈ H q (E 00 ) y, por (15.6), para cualquier representante x ∈ ker dq , π(g(x)) = g∗ (π(x)) = g∗ ( x¯) = 0, lo que implica que g(x) ∈ Im d00(q−1) y existe y00 ∈ E q−1 , tal que g(x) = d00(q−1) (y00 ). Como g es sobreyectiva, existe y ∈ E q−1 , tal que g(y) = y00 y por la conmutatividad del diagrama (15.2), g(dq−1 (y)) = d00 (q − 1)(g(y)) = d00 (q − 1)(y00 ) = g(x). Entonces x − dq−1 (y) ∈ ker g = Im f y existe x0 ∈ E 0q , tal que f (x0 ) = x − dq−1 (y). Nuevamente, por la conmutatividad del diagrama (15.2), d( f (x0 )) = dq (x − dq−1 (y)) = 0 = f (d0(q) (x)). Como f es inyectiva, esto implica que d0q (x) = 0 y x ∈ ker d0q . Entonces, por la conmutatividad del diagrama (15.6), f∗ ( x¯0 ) = f∗ (π(x)) = π( f (x0 )) = π(x − dq−1 (y)) = x¯. Por lo tanto x¯ ∈ Im f∗ . El homomorfismo de conexión entre H q (E 00 ) y H q+1 (E 0 ) se obtiene del lema que mostraremos a continuación, conocido tradicionalmente como el lema de serpiente o de la culebra, (snake-lemma), por la forma como se suele dibujar el homomorfismo resultante.


412

L 15.4 (Lema de la serpiente). Dado el diagrama conmutativo /M

j

M0

(15.7)

d0

/N

i

q

π

π0

coker d0

i∗

/0

/ M 00 d00

d

/ N0

0

p

/ N 00

π00

/ coker d

q∗

/ coker d00

de módulos y homomorfismos de módulos, cuyas filas son exactas, entonces existe un homomorfismo δ : ker d00 → coker d0 , tal que el diagrama / ker _ d

ker _ d0

(15.8)

M0

j

/M

i

/N

d0

/ N0

0 GF @A

/ coker d0

p

/ M 00

q

/ N 00

π

i∗

/ coker d

/0

d00

d

π0

ED

/ ker d00 _

BC

π00

q∗

/ coker d00

es conmutativo y la sucesión δ

i∗

q∗

ker d0 → ker d → ker d00 → − coker d0 − → coker d −→ coker d00 es exacta. D´. Sea m00 ∈ ker d00 ⊆ M 00 , como p es sobreyectiva, existe m ∈ M, tal que m00 = p(m). Por la conmutatividad de (15.7), q(d(m)) = d00 (p(m)) = d00 (m00 ) = 0. Esto implica que d(m) ∈ ker q = Im i. Como i es inyectiva, existe un u´ nico n0 ∈ N 0 , tal que i(n0 ) = d(m). Entonces definimos δ(m00 ) := π0 (n0 ) δ está bien definida y no depende de la escogencia de m. En efecto, supongamos que existe m ˜ ∈ M, tal que g(m) ˜ = m00 , entonces (m ˜ − m) ∈ ker p = Im j y existe m0 ∈ M 0 , tal que 0 j(m ) = m ˜ − m. Por la conmutatividad de (15.7), i(d0 (m0 )) = d( j(m0 )) = d(m ˜ − m) = d(m) ˜ − d(m) = d(m) ˜ − i(n0 ). Entonces i(d0 (m0 ) + n0 ) = d( x˜), de donde resulta que π0 (d0 (m0 ) + n0 ) = π0 (n0 ), lo que implica que δ(m00 ) no depende de la escogencia de m. Nos falta ahora mostrar que: a) ker δ = Im p|ker d y b) ker i∗ = Im δ.


413

a) Im p|ker d ⊆ ker δ: En efecto, si m00 = p(m), donde m ∈ ker d, entonces d(m) = 0 y el elemento n0 = 0, por lo que δ(m00 ) = π0 (0) = 0. Por otra parte, si m00 ∈ ker δ, de δ(m00 ) = π0 (n0 ) = 0, resulta que n0 ∈ Im d0 y existe m0 ∈ M 0 , tal que n0 = d0 (m0 ). Entonces, por la conmutatividad de (15.7) i(n0 ) = d( j(m0 )) = d(m), lo que implica que (m − j(m0 )) ∈ ker d y p|ker d (m − j(m0 )) = m00 , lo que implica que m00 ∈ Im p|ker d . b) Im δ ⊆ ker i∗ . En efecto, δ(m00 ) = π0 (n0 ) implica i(n0 ) = d(m), entonces i∗ (π0 (n0 )) = π(d(m)) = 0. Por otra parte, si x¯0 ∈ ker i∗ y n0 ∈ N 0 es un representante de x¯0 , entonces i(n0 ) ∈ Im d y existe m ∈ M, tal que i(n0 ) = d(m). Entonces n¯ 0 = δ(p(m)) ∈ Im δ. Como una consecuencia del lema de serpiente se tiene el siguiente T 15.5. Toda sucesión corta exacta de complejos diferenciales f

g

0 → (E 0• , d0 ) → − (E • , d) → − (E 00• , d00 ) → 0

(15.9)

induce una sucesión exacta larga de módulos de homolog´ıa δ

f∗

δ

g∗

f∗

g∗

(15.10) · · · → − H q (E 0 ) −→ H q (E) −→ H q (E 00 ) → − H q+1 (E 0 ) −→ H q+1 (E) −→ H q+1 (E 00 ) · · · D´. En efecto, el diagrama / ker dq _

ker _ d0q

(15.11)

E 0q

f

/ Eq

f

/ ker dq+1

d0q

0 GF

@A

/ E 00q

g

dq

/ ker d0(q+1)

g

/ H q+1 (E 0 )

f∗

/ H q+1 (E)

/0

d00q

/ ker d00(q+1)

π

π0

ED

/ ker d00q _

BC

π00

g∗

/ H q+1 (E 00 )

satisface, para cada q ∈ Z, las condiciones del lema de serpiente, por lo que existe un homomorfismo δ˜ : ker d00q → H q+1 (E 0 ), tal que la sucesión (15.12)

f

g

δ˜

f∗

g∗

ker d0q → − ker dq → − ker d00q → − H q+1 (E 0 ) −→ H q+1 (E) −→ H q+1 (E 00 )

es exacta, para cada q ∈ Z. ˜ por lo que δ˜ induce un homomorfismo Vamos a mostrar que Im d00(q−1) ⊆ ker δ, δ : H q (E 00 ) → H q+1 (E 0 ). En efecto, sea m00 = dq−1 (m ˜ 00 ), entonces, por la sobreyectividad de g, existe m ˜ ∈ E q , tal 00 00 q−1 q−1 q que g(m) ˜ =m ˜ , entonces m = g(d (m)), ˜ donde d (m) ˜ ∈ ker d y por la exactitud de la ˜ sucesión (15.12), m00 ∈ ker δ.


414

˜ se tiene ker f∗ = Im δ y del diagrama conmutativo con filas exactas Como Im δ = Im δ, f

ker d0q

/ ker dq

/ H q+1 (E 0 ) s9 sss s π s s sss δ / H q (E 00 )

π

π

H q (E 0 )

f∗

/ H q (E)

δ˜

/ ker d00q

g

g∗

como ker δ˜ = Im g, resulta ker δ = Im g∗ y por consiguiente se tiene la exactitud de la sucesión larga (15.10). Decimos que el diagrama (15.13)

/ (E 0• , d0 )

0

ϕ

/ (F 0• , d˜0 )

0

/ (E • , d)

f

f˜

g

/ (E 00• , d00 )

ϕ0

/ (F • , d) ˜

g˜

/0

ϕ00

/ (F 00• , d˜00 )

/0

de sucesiones exactas de complejos diferenciales y homomorfismos (de grado 0) de complejos diferenciales es conmutativo, si para cada q ∈ Z, el diagrama g f / E 0(q+1) / E 00(q+1) / E q+1 /0 : < : d0q vv dq yy d00q uu uu vv yy uu vv yy f g /0 / E 0q / Eq / E 00q ϕ ϕ0 ϕ00 ϕ ϕ0 ϕ00 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _/ 0 0(q+1) q+1 00(q+1) 0 F F E g˜ f˜ u: v: y< u v y uu vv yy vv d˜0q uu d˜q yy d˜q /0 / F 0q / Fq / F 00q ˜ g˜

0 0

0

f

de filas exactas, es conmutativo en todas sus componentes. Dejamos al lector la demostración del siguiente C 15.6. El diagrama conmutativo de complejos (15.13), genera un diagrama conmutativo de filas exactas (15.14)

···

δ

/ H q (E 0 )

f∗

···

δ˜

g∗

/ H q (E)

g˜ ∗

/ H q (F 00 )

ϕ∗

ϕ0∗

/ H q (F 0 )

/ H q (E)

f˜∗

/ H q (F)

δ

ϕ00∗

δ˜

/ H q+1 (E 0 )

f∗

/ ···

f˜∗

/ ···

ϕ0∗

/ H q+1 (F 0 )

Corolario 15.6 nos dice que la sucesión larga y exacta de homolog´ıa es funtorial 15.1.3. Caracter´ıstica de Euler-Poincaré. Originalmente la caracter´ıstica de EulerPoincaré, o caracter´ıstica de Euler, es una de las principales invariantes topológicas asignadas a un espacio topológico. Euler la obtuvo para el caso de poliedros regulares, es decir variedades topológicas de dimensión 2, homeomorfas a la esfera S2 , mostrando el siguiente resultado V − A + C = 2,


415

donde V indica el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras del poliedro. Desde el punto de vista de la topolog´ıa algebraica esto es equivalente a Rank H0 (X) − Rank H1 (X) + Rank H2 (X) = 2, siendo, para un espacio homeomorfo a la esfera S2 , Hq (X) = 0, para q < 0 y q > 2. Esto llevó a la generalización de la caracter´ıstica de Euler, como X χ(X) := (−1)q Rank Hq (X). q∈Z

para espacios topológicos en los cuales Hq (X) = 0, salvo un número finito de q’s. En el a´ lgebra homológica dicha caracter´ıstica puede ser generalizada para el caso de complejos diferenciales para los cuales casi todos los H q sean cero, siempre y cuando le asignemos a cada H q un elemento de un grupo abeliano (G, +), por medio de una aplicación llamada aplicación de Euler-Poincaré. Decimos que una asignación ϕ que a ciertos módulos le asigna un elemento de G es una aplicación de Euler-Poincaré en la categor´ıa de los A-módulos, si satisface la siguiente condición: Si 0 → E 0 → E → E 00 → 0 es una sucesión exacta, entonces ϕ(E) está definido, Ssi ϕ(E 0 ) y ϕ(E 00 ) están definidos y en tal caso vale ϕ(E) = ϕ(E 0 ) + ϕ(E 00 ). Además se define ϕ(0) = 0. Como consecuencia inmediata de la definición se tienen los siguientes resultados: 1. Si E y F son dos módulos isomorfos, entonces ϕ(E) = ϕ(F). En efecto, basta aplicar la condición a la sucesión exacta 0 → E → F → 0 → 0. 2. Si ϕ está definida para un módulo E, entonces ϕ está definida para cualquier submódulo y cualquier módulo cociente de E. 3. Dada la sucesión exacta f

g

E0 → − E→ − E 00 , si ϕ(E 0 ) y ϕ(E 00 ) están definidas, entonces también ϕ(E) está definida. En efecto, consideremos las siguientes sucesiones exactas (15.15)

0 → ker f → E 0 → Im f → 0,

(15.16)

0 → Im f → E → Im g → 0

(15.17)

0 → Im g → E 00 → coker g → 0

De (15.15) y (15.17) resulta que ϕ(Im f ) y ϕ(Im g) están definidas. Entonces, de (15.16), resulta que ϕ(E) está definida. Sea (E • , d) un complejo abierto, tal que casi todos los H q (E) = 0, salvo para un número finito de q’s, Entonces definimos la caracter´ıstica de Euler-Poincaré, asociada a ϕ, como X χϕ (E) := (−1)q ϕ(H q (E)), q∈Z

siempre y cuando ϕ(H q (E)) esté definida para todo q ∈ Z.


416

Si (E • , d) es un complejo cerrado y n impar, entonces debemos definir un o´ rden para los elementos E 1 , . . . , E n y definimos n X (−1)q ϕ(H q (E)). χϕ (E) := q=0

Si n es par no hay necesidad de fijar un orden. Si A := K es un campo y E un espacio vectorial de dimensión finita, ϕ(E) := dimK E, define una aplicación de Euler-Poincaré, con G := Z, el grupo aditivo de los enteros. Si A := Z, entonces todo Z-módulo es un grupo abeliano. Si E es un grupo abeliano de orden finito, entonces ϕ(E) := ◦(E) define una aplicación de Euler-Poincaré, con G := Q \ {0}, el grupo multiplicativo de los racionales. T 15.7. Sea E un complejo, de longitud par, si es cerrado. Asumamos que ϕ(E q ) está definido para todo q ∈ Z, E q = 0 , para casi todos los q’s. Entonces χϕ (E) está definido y X (15.18) χϕ (E) = (−1)q ϕ(E q ). q∈Z

D´. Consideremos las sucesiones exactas dq

0 → Z q → E q −→ Bq+1 → 0

(15.19) y

0 → Bq → Z q → H q (E) → 0,

(15.20)

de (15.19), se deduce que ϕ(Z q ) y ϕ(Bq ) están definidos, ∀, q ∈ Z y de (15.20), resulta que ϕ(H q (E)), esá definida, ∀ q ∈ Z y que ϕ(E q ) = ϕ(Z q ) + ϕ(Bq+1 )

y ϕ(H q (E)) = ϕ(Z q ) − ϕ(Bq ).

Sin limitación de la generalidad podemos asumir que E 0 es el primer elemento del complejo distinto de 0 y E n , n > 0, el u´ ltimo elemento del complejo , 0, ya que lo u´ nico que cambia para el cálculo de χϕ es el signo. Entonces H 0 (E) = Z 0 y H n (E) = Z n /Bn = E n /Bn . Entonces n n X X χϕ (E) = (−1)q ϕ(H q (E)) = (−1)q (ϕ(Z q ) − ϕ(Bq )). q=0

q=0

Reordenando los términos de la sumatoria obtenemos: χϕ (E) = (ϕ(Z 0 ) + ϕ(B1 )) − (ϕ(Z 1 ) + ϕ(B2 )) ± · · · + (−1)n−1 (ϕ(Z q−1 ) + ϕ(Bq )) + (−1)q ϕ(E n ).

Por lo tanto vale (15.18). T 15.8. Sea f

g

0 → E0 → − E→ − E 00 → 0 una sucesión exacta de complejos, donde cada complejo satisface las condiciones del teorema 15.7. Sea ϕ una aplicación de Euler-Poincaré en la categor´ıa de los A-módulos. Si χϕ está definida para dos de los complejos arriba indicados, entonces χϕ está definida para el tercero y χϕ (E) = χϕ (E 0 ) + χϕ (E 00 ).


417

D´. Por el teorema 15.5, se tiene una sucesión larga exacta de módulos de homolog´ıa δ

f∗

δ

g∗

f∗

g∗

···→ − H q (E 0 ) −→ H q (E) −→ H q (E 00 ) → − H q+1 (E 0 ) −→ H q+1 (E) −→ H q+1 (E 00 ) · · · Por las condiciones de finitud, χϕ está definida para uno de los complejos, Ssi ϕ está definida para cada H q del complejo respectivo. De la sucesión exacta larga y de las propiedades de ϕ resulta que, si ϕ está definida para cualesquiera dos de los complejos de la sucesión corta, ϕ está definida para el tercero. Por otra parte, por el teorema 15.7, se tiene χϕ (E) =

n X q=0

(−1)q ϕ(E q ) =

n X (−1)q (ϕ(E 0q ) + ϕ(E 00q )) = χϕ (E 0 ) + χϕ (E 00 ). q=0

15.1.4. Resoluciones. Un caso particular de complejos, asociados a un A-módulo ´ fijo M, son las resoluciones del mismo. Estas pueden ser por la derecha o por la izquierda y son de gran aplicación en el a´ lgebra conmutativa y la geometr´ıa y topolog´ıa algebraica. Sea M un A-módulo. Por una resolución por la izquierda de M entenderemos una sucesión exacta · · · → En → En−1 → · · · → E0 → M → 0. Es decir, es un complejo descendente exacto, cuyo u´ ltimo término , 0 es M y se suele denotar por E M → E → 0, donde E M , denota la sucesión exacta · · · → En → En−1 → · · · → E0 . Por E se suele denotar al complejo · · · → En → En−1 → · · · → E0 → 0. Si E es un complejo cuyos elementos son todos módulos libres o módulos proyectivos, entonces diremos que la resolución · · · → En → En−1 → · · · → E0 → M → 0. es una resolución libre o una resolución proyectiva. Si Eq = 0, salvo para un número finito de q’s, entonces se dice que la resolución es finita. Si Em = 0, ∀ m > n, entonces se dice que la resolución es de longitud 6 n. T 15.9. Todo A-módulo M posee una resolución libre. D´. Sea S 0 el conjunto formado por un sistema minimal de generadores de M y E0 el A-módulo libre sobre S 0 . Entonces se tiene un u´ nico epimorfismo E0 → M → 0. Si M1 es el núcleo de dicho epimorfismo, sea S 1 el conjunto de generadores minimales de M1 y formamos E1 como el A-módulo libre sobre S 1 , obteniendo una sucesión exacta E 1 → E0 → M → 0. Aplicando este procedimiento, de forma sucesiva, en cada grado E q , obtenemos la resolución libre deseada.

418


Según sea la estructura de M su resolución libre puede ser finita o no. Decimos que un A-módulo M posee una resolución libre y finita, si posee una resolución de la forma 0 → En → · · · → E0 → M → 0, donde cada Eν es libre de rango finito. Aqu´ı surge la pregunta ¿Bajo qué condiciones posee un A-módulo M una resolución libre finita? Decimos que un A-módulo E es establemente libre si existe un A-módulo libre de rango finito F, tal que E ⊕ F es libre y de rango finito. De la definición se deduce que todo A-módulo establemente libre es proyectivo y finitamente generado. T 15.10. Sea M un A-módulo proyectivo. M es establemente libre, Ssi posee una resolución libre y finita. D´. Si M es establemente libre, entonces existe un A-módulo libre F de rango finito, tal que M ⊕ F es libre de rango finito. Entonces se tiene la sucesión exacta 0 → F → M ⊕ F → M → 0, que es una resolución libre y finita de M. Por otra parte, supongamos que M posee una resolución libre y finita. Vamos a mostrar, por inducción sobre n, que entonces M es establemente libre. En efecto, si n = 0, M ' E0 y M es libre de dimensión finita, por consiguiente establemente libre. Supongamos, por hipótesis de inducción, que todo A-módulo que posee una resolución libre y finita de longitud n − 1 es establemente libre y supongamos que M posee entonces una resolución libre y finita de longitud n > 1. Si M1 := ker(E0 → M), se tiene entonces la sucesión exacta 0 → M1 → E0 → M → 0. Como, por hipótesis, M es proyectivo, dicha sucesión escinde, por lo que E 0 ' M ⊕ M1 y M1 es también proyectivo. Como M1 posee una resolución libre y finita 0 → En → · · · → E1 → M1 → 0, de longitud n−1, por hipótesis de inducción, M1 es establemente libre y existe un A-módulo libre de rango finito F1 , tal que F := M1 ⊕ F1 es libre de rango finito. Entonces E0 ⊕ F1 = M ⊕ M1 ⊕ F1 = M ⊕ F. Por lo tanto M es establemente libre.

Decimos que una resolución 0 → En → · · · → E1 → M → 0, es establemente libre, si todos los A-módulos En son establemente libres. T 15.11. Sea M un A-módulo. Entonces M posee una resolución libre y finita de longitud n > 1, Ssi M posee una resolución establemente libre de longitud n.


419

D´. toda resolución libre y finita de longitud n, de un A-módulo M, es también una resolución establemente libre de longitud n, ya que todo módulo libre de rango finito es establemente libre. Supongamos ahora que M posea una resolución establemente libre de longitud n y sea 0 6 i < i + 1 6 n. Entonces existen Fi , Fi+1 módulos libres de rango finito, tales que Ei ⊕ Fi , Ei+1 ⊕ Fi+1 son libres de rango finito. Si F := Fi ⊕ Fi+1 , entonces F sigue siendo libre y de rango finito y lo mismo los módulos Ei ⊕F y Ei+1 ⊕F y obtenemos una resolución de la forma 0 → En → · · · → Ei ⊕ F → Ei+1 ⊕ F → · · · → M → 0, donde Ei ⊕ F y Ei+1 ⊕ F son libres. Procediendo por inducción retroactiva, obtenemos una resolución libre y finita de M de longitud n. Por una resolución por la derecha de M entenderemos una sucesión exacta 0 → M → E0 → · · · → En → · · · . Es decir, es un complejo ascendente exacto, cuyo primer término , 0 es M. Siguiendo la misma nomenclatura que para las resoluciones por la izquierda, una resolución por la derecha se suele escribir como 0 → M → EM, donde E M es la sucesión exacta E0 → E1 → · · · → En → · · · . Las resoluciones por la derecha más comunes son las llamadas resoluciones inyectivas, en la cual todos los elementos del complejo E son A-módulos inyectivos. Decimos que un A-módulo E es inyectivo, si se satisface una de las siguientes condiciones equivalentes: I1) Dado un submódulo M 0 de un A-módulo cualquiera M y un homomorfismo f : M1 → E, existe una extensión de f a un homomorfismo h : M → E, tal que el diagrama /M / M0 (15.21) 0 | | || f || h | }| E conmuta. I2) El funtor HomA ( , E) es exacto. I3) Toda sucesión exacta 0 → E → M → M 00 → 0 escinde. Dejamos al lector, como un ejercicio, mostrar que estas tres condiciones son equivalentes. Al respecto ver ejercicio 4.3.5,7 y el concepto de suma amalgamada. La construcción de una resolución inyectiva, para un módulo dado, M, no es tarea simple y necesitaremos de algunos lemas de apoyo. L 15.12. Sea N un submódulo del A-módulo M y f :N→F un homomorfismo de A-módulos. Entonces el conjunto (15.22)

M := {(E, g) | N ⊆ E ⊆ M es un A-módulo y g : E → F, g|N = f }

420


˜ g˜ ). puede ser ordenado inductivamente y posee, al menos, un elemento maximal (E, D´. La relación (E, g) 6 (E 0 , g0 ) Ssi E ⊆ E 0 y g0 |E = g, es una relación de orden parcial sobre M. M , ∅, ya que (N, f ) ∈ M. Si C es una cadena de M, entonces ˜ f˜), donde (C, [ C˜ := C y f˜|C = fC . (C, fC )∈C

es una cota superior de C en M. Por consiguiente (M, 6) está inductivamente ordenado y, ˜ g˜ ). por el lema de Zorn, posee, al menos, un elemento maximal (E, Un módulo inyectivo también puede ser caracterizado de la siguiente forma: T 15.13. Un A-módulo Q es inyectivo, Ssi todo homomorfismo de A-módulos ϕ : a → Q, donde a es un ideal de A, se extiende a un homomorfismo de A-módulos ψ : A → Q. D´. Si Q es inyectivo, entonces, por I1), todo A-homomorfismo ϕ : a → Q, posee una extensión ψ a todo A. Supongamos ahora, que todo homomorfismo de un ideal a de A en Q se extienda a todo A y sea f : N → Q, un homomorfismo de A-módulos donde N es un submódulo del A-módulo M. Vamos a mostrar que f posee una extensión a todo M. En efecto, para F := Q, consideremos el conjunto M definido en (15.22), el cual, por lema 15.12, posee ˜ g˜ ). Vamos a mostrar que E˜ = M y que g˜ es la extensión deseada. un elemento maximal (E, ˜ ˜ vamos a mostrar que f pueSupongamos que E , M, entonces existe x ∈ M \ E, ˆ ˜ ˜ g˜ ). de ser extendido al módulo E := E + hxi, en contradicción a la maximalidad de (E, ˆ Consideremos el A-homomorfismo ϕ : A → M, definido por ϕ(a) := ax, y ˜ a := {a ∈ A | ax ∈ E}. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo: /a /A 0 ϕa

/ E˜

0

g˜

Q

/ Eˆ

ψ

ϕ

h

Por hipótesis el homomorfismo g˜ ◦ ϕa : a → Q, posee una extensión ψ : A → Q. Si h : Eˆ → Q, ˜ entonces h está bien definida, es definida por h(z + ax) := g˜ (z) + ψ(a), a ∈ A, z ∈ E, ˆ como decir que no depende de la representación particular escogida de un elemento de E, ˜ ˜ suma de un elemento de E y un elemento de hxi, y es una extensión de f a E. En efecto, supongamos que z + ax = z1 + bx, entonces (b − a)x = z − z1 ∈ E˜ y (b − a) ∈ a y ψ(b) − ψ(a) = ψ(b − a) = g˜ (ϕa (b − a)) = g˜ ((b − a)x) = g˜ (z − z1 ) = g˜ (z) − g˜ (z1 ), de donde resulta h(z + ax) = h(z1 + bx).


421

Sea A un dominio entero. Decimos que un A-módulo Q es divisible, si para todo elemento a ∈ A \ {0}, la homotecia ha : Q → Q, tal que ha (x) := ax, para todo x ∈ Q, es sobreyectiva. Si A es un dominio entero, entonces el campo de fracciones Q(A) es un A-módulo divisible. En particular si A := Z, entonces Q es un Z-módulo divisible. Como un corolario al teorema 15.13 se tiene C 15.14. Si A es un dominio entero principal, entonces un A-módulo Q es inyectivo, Ssi es divisible. D´. Sea Q inyectivo, dado x ∈ Q, y a ∈ A \ {0}, si a := (a), sea ϕ : a → Q, definido por ϕ(a) := x, la cual posee una extensión ψ : A → Q, entonces ψ(a) = aψ(1) = x, por lo que Q es divisible. Por otra parte, si Q es divisible y ϕ : a → Q es un homomorfismo de A-módulos, como A es principal, existe d ∈ A, tal que a = (d). Como Q divisible, existe x ∈ Q, tal que ϕ(d) = dx, entonces el homomorfismo ϕˆ : A → Q, tal que ϕ(a) ˆ := ax es una extensión de ϕ. Por lo tanto Q es inyectivo. L 15.15. Sea A un dominio entero y Q un A-módulo divisible, entonces para cualquier submódulo N de Q, Q/N es divisible. D´. En efecto, para a ∈ A \ {0}, la homotecia ha : Q → Q es sobreyectiva y ha [N] ⊆ N, por lo que ha induce un homomorfismo h¯ a : Q/N → Q/N, que hace conmutar al diagrama /Q

ha

Q π

Q/N

π

h¯ a

/ Q/N

Como π ◦ ha = h¯ a ◦ π y π ◦ ha es sobreyectiva, resulta entonces que h¯ a debe ser también sobreyectiva. Por consiguiente Q/N es divisible. Nuestro siguiente paso será mostrar que todo módulo puede ser inmerso en un módulo inyectivo. Primero consideraremos el caso en que A es un dominio entero principal, por ejemplo A := Z y luego mostraremos que, para cualquier anillo A, todo A-módulo puede ser inmerso en un A-módulo inyectivo. T 15.16. Todo A-módulo M, sobre un dominio entero principal A, puede ser inmerso en un A-módulo inyectivo. D´. Sea FhMi el A-módulo libre generado por M, entonces se tiene un homomorfismo sobreyectivo ϕ : FhMi → M y M ' FhMi/ ker ϕ. FhMi '

M

A

M

y existe una inmersión i:

M M

A→

M M

Q(A),

422


donde Q(A) es el campo de fracciones de A, la cual induce una inmersión M M j:M' A/ ker ϕ → Q(A)/ ker ϕ. M

Como A es dominio entero y

L

M

Q(A) divisible, por lema 15.15, también

M

L

Q(A)/ ker ϕ

M

es divisible y por corolario 15.14, también inyectivo.

C 15.17. Todo A-módulo M puede ser inmerso en un Z-módulo inyectivo. D´. Todo A-módulo es en particular un Z-módulo. Como Z es un dominio entero principal, por teorema 15.16, existe un Z-módulo inyectivo Q, tal que M, en tanto que Z-módulo, puede ser inmerso en Q. Nuestro problema ahora es encontrar un A-módulo inyectivo, en el cual un A-módulo dado esté inmerso. Los siguientes lemas nos ayudarán a la construcción de dicho A-módulo. L 15.18. Sea A un anillo y Q un Z-módulo. Entonces el Z-módulo HomZ (A, Q) puede ser dotado de la estructura de un A-módulo. D´. Dado a ∈ A y ϕ ∈ HomZ (A, Q), por medio de aϕ : A → Q, donde aϕ(b) := ϕ(ab) se define un producto · : A × HomZ (A, Q) → HomZ (A, Q) y se tiene 1. a(ϕ + ψ)(b) = (ϕ + ψ)(ab) = ϕ(ab) + ψ(ab) = aϕ(b) + aψ(b), ∀ b ∈ A, lo que implica que a(ϕ + ψ) = aϕ + aψ. 2. (a + c)ϕ(b) = ϕ((a + c)b) = ϕ(ab + cb) = ϕ(ab) + ϕ(cb) = aϕ(b) + cϕ(b), ∀ b ∈ A, lo que implica (a + c)ϕ = aϕ + cϕ. 3. (ac)ϕ(b) = ϕ((ac)b) = ϕ(a(cb)) = aϕ(cb) = a(cϕ(b)), ∀ b ∈ A, lo que implica que (ac)ϕ = a(bϕ). 4. Obviamente 1ϕ = ϕ. Por consiguiente HomZ (A, Q) es un A-módulo. L 15.19. Sean E un A-módulo y Q un Z-módulo, entonces existe un isomorfismo natural de Z-módulos Φ : HomA (E, HomZ (A, Q)) → HomZ (E, Q). D´. Dado ϕ ∈ HomA (E, HomZ (A, Q)), ϕ(x) : A → Q y definimos Φ(ϕ) := ψϕ , donde ψϕ : E → Q, tal que ψϕ (x) := ϕ(x)(1). Dados ϕ, θ ∈ HomA (E, HomZ (A, Q)), Φ(ϕ + θ) = ψ(ϕ+θ) y ψ(ϕ+θ) (x) = (ϕ + θ)(x)(1) = ϕ(x)(1) + θ(x)(1) = ψϕ (x) + ψθ (x) = Φ(ϕ)(x) + Φ(θ)(x), ∀ x ∈ E, lo que implica que Φ es un homomorfismo de Z-módulos. Por otra parte, si ψ ∈ HomZ (E, Q), podemos darnos un A-homomorfismo ϕψ ∈ HomA (E, HomZ (A, Q)), tal que ϕψ (x)(a) := ψ(ax). Entonces podemos definir Ψ : HomZ (E, Q) → HomA (E, HomZ (A, Q)) como Ψ(ψ) := ϕψ . Dejamos al lector mostrar que Ψ es un Z-homomorfismo y que Ψ y Φ son inversas la una de la otra. T 15.20. Sea Q un Z-módulo inyectivo y A un anillo conmutativo con unidad. Entonces HomZ (A, Q) es un A-módulo inyectivo.


423

D´. La sucesión exacta de A-módulos g

0 → E0 → − E, induce, como Q es un Z-módulo inyectivo, una sucesión exacta de Z-módulos g∗

HomZ (E, Q) −→ HomZ (E 0 , Q) → 0. Por lema 15.19, se tiene una sucesión exacta de A-módulos g∗

HomA (E, HomZ (A, Q)) −→ HomA (E 0 , HomZ (A, Q)) → 0. Entonces, dado un A-homomorfismo ϕ : E 0 → HomZ (A, Q), existe un A-homomorfismo ϕˆ : E → HomZ (A, Q, tal que g∗ (ϕ) ˆ = ϕ, el cual es una extensión de ϕ. Por lo tanto HomZ (A, Q) es un A-módulo inyectivo. T 15.21. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Todo A-módulo M puede ser inmerso en un A-módulo inyectivo. D´. En tanto que Z-módulo, existe un Z-módulo inyectivo Q y una inmersión de Z-módulos ψ

0→M− → Q. Por lema 15.19, a ψ le corresponde un A-homomorfismo ϕψ : M → HomZ (A, Q). Vamos a mostrar que ϕψ es inyectiva. En efecto, sea x ∈ ker ϕψ , entonces, para todo a ∈ A, ϕψ (x)(a) = ψ(ax) = 0, en particular, para a := 1, ϕψ (x)(1) = ψ(x) = 0, entonces x ∈ ker ψ = 0. Por consiguiente ϕψ es una inyección. T 15.22. Todo A-módulo M posee una resolución inyectiva f0

f1

0 → M → Q0 −−→ Q1 −−→ Q2 → · · · D´. Por teorema 15.20, M puede ser inmerso en un A-módulo inyectivo Q0 y se tiene 0 → M → Q0 . Nuevamente por teorema 15.20, el A-módulo Q0 /M puede ser inmerso en un A-módulo inyectivo Q1 y se tiene el diagrama conmutativo 0

/M

0

/ Q0 DD DD f 0 DD π DD " / Q1 / Q0 /M

que nos da la sucesión exacta f0

0 → M → Q0 −−→ Q1 . Aplicando el mismo proceso a Q1 / Im f 0 y en general a Qq / Im f q−1 obtenemos la resolución deseada.


424

˜ dos morfismos de complejos. Decimos que f es hoSean f, g : (C • , d) → (K • , d) motópico a g, denotado f ' g, si existe una sucesión de homomorfismos hn : C n → K n−1 , tal que f n − gn = dñ−1 hn + hn+1 dn . Entonces se dice que la sucesión h := (hn )n∈N es una homotop´ıa entre f y g. El concepto de homotópico viene de la topolog´ıa algebraica. Como veremos dos morfismos homotópicos inducen el mismo homomorfismo f∗ : H(C) → H(K) En la topolog´ıa algebraica se demuestra, que si dos aplicaciones continuas son homotópicas, entonces los morfismos de complejos inducidos por e´ stas son homotópicos y, por consiguiente, generan el mismo homomorfismo entre sus grupos de homolog´ıa. (Ver, por ejemplo [48] Dejamos al lector, como un sencillo ejercicio, demostrar que la relación de homotop´ıa de complejos es una relación de equivalencia. ˜ son homotópicamente equivalentes, si Diremos que dos complejos (C • , d) y (K • , d) existen morfismos de complejos ˜ f : (C • , d) → (K • , d),

˜ → (C • , d), g : (K • , d)

tales que (g ◦ f ) ' 1C • y ( f ◦ g) ' 1K • . Diremos que un complejo (C • , d) es contractible si el morfismo identidad 1C • es homotópico al morfismo 0. En este caso diremos que la homotop´ıa h es una contracción. T 15.23. Dos morfismos de complejos homotópicos inducen el mismo homorfismo entre sus módulos de homolog´ıa respectivos. D´. En efecto, si ˜ f, g : (C • , d) → (K • , d) son homotópicos, entonces existe una sucesión de homomorfismos hn : C n → K n−1 , tal que para cada n ∈ Z, f n − gn = dñ−1 ◦ hn + hn+1 ◦ dn . Dado z ∈ Z n (C), ( f n − gn )(z) = dñ−1 (hn (z)) + hn+1 (dn (z)) = dñ−1 (hn (z)) ∈ Im dñ−1 . Por consiguiente, al pasar al cociente respectivo, f∗n −gn∗ = 0, para cada n ∈ Z y f∗ = g∗ . T 15.24. Consideremos el diagrama de complejos 0

/M

/ E0

/ E1

/ E2

/ ···

/ Q0

/ Q1

/ Q2

/ ···

ϕ

0

/ M0

donde ϕ es un homomorfismo de A-módulos, la primera fila es una resolución de M y para cada ν > 0, Qν es inyectivo. Entonces existe un morfismo de complejos f , tal que f−1 = ϕ y f es u´ nico salvo homotop´ıa. (Escribimos los grados negativos como sub´ındices para no confundir con la aplicación inversa).


425

D´. Como Q0 es inyectivo, el homomorfismo M → Q0 se extiende a un homomorfismo f 0 : E 0 → Q0 que hace conmutar al cuadrado / E0

M ϕ

f0

/ Q0

M0

y f−1 = ϕ. Sea n > 0 y supongamos, por hipótesis de inducción, que hemos construido, para cada 0 6 ν 6 n − 1, un homomorfismo f ν , que hace conmutar cada cuadrado del diagrama 0

0

/M

/ E0

/ E1

/ E2

ϕ

f0

f1

f2

/ Q0

/ M0

/ Q1

/ E n−2

/ ···

f n−2

/ Q2

/ ···

/ Qn−2

/ E n−1

f n−1

/ Qn−1

Para ν = n, el núcleo de la composición fñ−1 := dñ−1 ◦ f n−1 contiene a ker dn−1 por lo que fñ−1 puede ser factorizada a través de E n−1 / ker dn−1 obteniendo el diagrama conmutativo d / En / E n−1 / ker dn−1 TTTT O TTTTf¯n−1 TTTT π fn TTTT TT) / Qn−1 / Qn E n−1 n−1 ñ−1 n−1

0

f

d

Como Qn es inyectivo, f¯n−1 se extiende a un homomorfismo f n que hace conmutar al cuadrado / En E n−1 f n−1

fn

/ Qn

Qn−1

obteniendo entonces un homomorfismo de complejos f con las caracter´ısticas deseadas. Si g es otro morfismo de complejos que satisface g−1 = ϕ, entonces f−1 − g−1 = 0 y podemos escoger h−1 = h0 = 0. Consideremos, para el siguiente paso, el diagrama 0

/ E 0 /M O

d¯0 ψ

πd0

E0

/ E1 < h1

f 0 −g0

" / Q0

Como f 0 , g0 coinciden sobre M, M ⊆ ker( f 0 − g0 ) y se factoriza a través de E 0 /M, obteniendo un homomorfismo ψ : E 0 /M → Q0 , tal que ( f 0 − g0 ) = ψ ◦ π. Como Q0 es inyectivo ψ se extiende a un homomorfismo h1 : E 1 → Q0 y f 0 − g0 = ψ ◦ π = h1 ◦ (d¯0 ◦ π) = h1 ◦ d0


426

considerando que h0 = 0, podemos escribir f 0 − g0 = d˜−1 ◦ h0 + h1 ◦ d0 . Sea entonces n > 0 y supongamos que para todo 0 6 ν 6 n hemos construido hν : E ν → Qν−1 , tal que f ν−1 − gν−1 = d˜ν−2 ◦ hν−1 + hν ◦ dν−1 . Vamos a mostrar que podemos construir hn+1 : E n+1 → Qn , tal que f n − gn = dñ−1 ◦ hn + hn+1 ◦ dn . Vamos a mostrar que Im dn−1 ⊆ ker( f n − gn − dñ−1 ◦ hn ) y procedemos, con este homomorfismo, como en el caso n = 0, para obtener hn+1 . En efecto ( f n − gn − dñ−1 ◦ hn ) ◦ dn−1 = ( f n − gn ) ◦ dn−1 − dñ−1 ◦ hn ◦ dn−1 = ( f n − gn ) ◦ dn−1 − dñ−1 ◦ ( f n−1 − gn−1 − dñ−2 ◦ hn ) ˜ f n−1 − gn−1 ) = ( f n − gn ) ◦ dn−1 − d( =

0.

Invirtiendo el sentido de todas las flechas, se obtiene el siguiente resultado, cuya demostración dejamos al lector, para el caso de una resolución por la izquierda de un Amódulo M y un complejo descendente M 0 de módulos proyectivos: T 15.25. Consideremos el diagrama de complejos / P2 / P1 / P0 / M0 ···

/0

ϕ

···

/ E2

/ E1

/ E0

/M

/0

donde ϕ es un homomorfismo de A-módulos, la segunda fila es una resolución izquierda de M y para cada ν, Pν es un A-módulo proyectivo. Entonces existe un morfismo de complejos descendentes f , tal que f−1 = ϕ y f es u´ nico, salvo homotop´ıa. Como un corolario a los teoremas 15.24 y 15.25 se obtiene el siguiente resultado C 15.26. Dos resoluciones inyectivas (proyectivas) de un A-módulo M son homotópicamente equivalentes. ˜ de un D´. Dadas dos resoluciones inyectivas (proyectivas) (R, d), (S , d), A-módulo M, para ϕ := 1 M podemos construirnos, por los teoremas 15.24 y 15.25, dos morfismos de complejos ˜ → (R, d). f : (R, d) → (S , d) y g : (S , d) Entonces f ◦ g ' 1S y 1R ' g ◦ f .

15.1.5. Ejercicios y Complementos. 1. Mostrar que la suma directa sobre una familia de módulos proyectivos es un módulo proyectivo. 2. Mostrar que el producto directo sobre una familia de módulos inyectivos es un módulo inyectivo. 3. Si 0 → M → X M es una resolución del A-módulo M, mostrar que existe una resolución inyectiva de M, 0 → M → Q M , tal que para cada n > 0, X n ⊆ Qn . 4. Mostrar que todo complejo contractible es ac´ıclico.

15.2. COMPLEJOS ESPECIALES

427

5. Mostrar que el complejo ac´ıclico α

π

Z→ − Z→ − Z/2Z, donde α(n) := 2n, ∀ n ∈ Z no es contractible. 6. Sea A un dominio principal y (C • , d) un complejo libre y ac´ıclico sobre A. Mostrar a) Que existe un homomorfismo sq : Z q+1 (C) → C q que es una inversa por la derecha de dq . b) Mostrar que Im(1C q − sq ◦ dq ) ⊆ Z q (C). c) Mostrar que hq+1 := sq−1 ◦ (1C q − sq ◦ dq ) : C q+1 → C q . d) Mostrar que 1C q = dq−1 ◦ hq − hq+1 dq . e) Concluir que todo complejo libre ac´ıclico, sobre un dominio principal, es contractible. 7. Mostrar que si 0 → M 0 → M → M 00 → 0 es una sucesión exacta de A-módulos que escinde, entonces la sucesión 0 → HomA (M 0 , N) → HomA (M, N) → HomA (M 00 , N) → 0 es exacta, para cualquier A-módulo N. Generalizar este resultado para cualquier sucesión exacta de complejos, ascendentes o descendentes. 15.2.

Complejos Especiales

En esta sección trataremos la construcción de algunos complejos especiales, como el complejo proyectivo asociado a un complejo (C • , d), cuyos módulos de homolog´ıa son isomorfos en todos los grados, el complejo de Koszul, constru´ıdo sobre el a´ lgebra exterior de un módulo y el complejo de de Rham, utilizado en la geometr´ıa y topolog´ıa diferencial. 15.2.1. Complejo Proyectivo Asociado. Dado un complejo (C • , d) se busca cons˜ cuyos módulos de homolog´ıa sean isomorfos a los del complejo truir un complejo (K • , d), • (C , d), pero más fáciles de calcular. Los resultados obtenidos en esta subsección pueden ser generalizados en cualquier categor´ıa abeliana, sin embargo, por razones didácticas, nos limitaremos a trabajar en la categor´ıa Mod A . ˜ → (C • , d) un morfismo de complejos. Decimos que f es un isomorfisSea f : (K • , d) mo de homolog´ıa, si f∗ : H(K) → H(C), es un isomorfismo. Decimos que una familia F de objetos de Mod A es suficiente, si dado cualquier objeto E de Mod A , existe un elemento F ∈ F y un epimorfismo F → E → 0, y F cerrado bajo sumas directas finitas. Un ejemplo clásico, de familia suficiente, con el cual trabajaremos, es la familia F de módulos proyectivos, la cual, por supuesto, incluye a los módulos libres. T 15.27. Sea (C • , d) un complejo, tal que H p (C) , 0, sólo para 0 6 p 6 n. Sea F una familia suficiente de A-módulos proyectivos. Entonces existe un complejo d˜0

dñ−1

0 → K 0 −→ K 1 → · · · −−−→ K n → 0


428

tal que Kp , 0

sólo para 0 6 p 6 n, K ∈ F, ∀ p > 1, ˜ → (C • , d) el cual es un isomorfismo de y existe un morfismo de complejos f : (K • , d) homolog´ıa. p

D´. Para p = n existe K n ∈ F y un epimorfismo fn : K n → Z n (C), el cual induce un epimorfismo fñ : Z n (K) → H n (C), pues, por construcción, Z n (K) = ker dñ = K n . Sea Bn := ker fñ . Debemos construir un K n−1 ∈ F y un homomorfismo dñ−1 : K n−1 → K n , tal que Im dñ−1 = Bn . Entonces H n (C) ' Z n (K)/Bn ' Z n (K)/ Im dñ−1 = H n (K). Para Bn , H n−1 (C), existen K 0 , K 00 ∈ F y epimorfismos δ0 : K 0 → Bn , f˜00 : K 00 → H n−1 (C). Del diagrama no punteado (15.23) f

K 00

00

f˜00

Z; n−1 (C) / H n−1 (C)

/0

0 y del hecho que K 00 es proyectivo, se obtiene un homomorfismo f 00 : K 00 → Z n−1 (C), que hace conmutar al diagrama completo (15.23). Sea Kn−1 := K 0 ⊕ K 00 ∈ F y definamos dñ−1 : K n−1 → K n , como el homomorfismo, tal que dñ−1 |K 0 = δ0 y dñ−1 |K 00 = 0. Entonces fñ [dñ−1 [K n−1 ]] = fñ [δ0 [K 0 ]] = fñ [Bn ] = 0, lo que implica que Im( f n ◦ dñ−1 ) = Im( f n ◦ δ0 ) ⊆ Im dn−1 . Entonces, dado x0 ∈ K 0 , existe y ∈ C n−1 , tal que f n (δ0 (x0 )) = dn−1 (y) y podemos definir un homomorfismo f 0 : K 0 → C n−1 por f 0 (x0 ) := y, el cual satisface dn−1 ◦ f 0 = fn ◦ δ0 . Si definimos f n−1 : K n−1 → C n−1


429

por medio de f n−1 (x0 + x00 ) := f 0 (x0 ) + f 00 (x00 ), entonces el diagrama K n−1 fn−1

dñ−1

/ Kn fn

C n−1

dn−1

/ Cn

es conmutativo, ker dñ−1 = Bn y fn−1 : K n−1 → Z n−1 (C) es un epimorfismo. Entonces f∗n : H n (K) → H n (C) es un isomorfismo. Ahora bien, como K 00 ⊆ ker dñ−1 = Z n−1 (K) y f 00 es sobreyectiva, fn−1 induce un epimorfismo fñ−1 : Z n−1 (K) → Hn−1 (C). Siguiendo el procedimiento para la construcción de K n−1 y de fn−1 , podemos construir K n−2 y fn−2 , tal que f∗(n−1) : H n−1 (K) → H n−1 (C) es un isomorfismo y nuevamente se tiene un epimorfismo fñ−2 : Z n−2 (K) → H n−2 (C). Procedemos de este modo hasta llegar a construir K˜ 0 y homomorfismos fˆ0 y dˆ0 , de modo tal, que f∗1 : H 1 (K) → H 1 (C) es un isomorfismo y la sucesión fˆ

0 K˜ 0 −→ H 0 (C) → 0

es exacta. Esto nos da un u´ ltimo cuadrado conmutativo / K˜ 0

0

dˆ0

fˆ0

/ C0

0

/ K1 f1

d0

/ C1

y se tiene también un epimorfismo f˜0 : ker dˆ0 → H 0 (C), cuyo núcleo es ker dˆ0 ∩ ker fˆ0 . Entonces, si definimos K 0 := K˜ 0 /(ker dˆ0 ∩ ker fˆ0 ), dˆ0 se factoriza a un homomorfismo d˜0 : K˜ 0 /(ker dˆ0 ∩ ker fˆ0 ) → K1 , que hace conmutar al diagrama / 1 p8 K p p pp π pp˜p0 p p d pp K˜ 0 /(ker dˆ0 ∩ ker fˆ0 ) K˜ 0

dˆ0

y fˆ0 se factoriza a un homomorfismo f0 : K˜ 0 /(ker dˆ0 ∩ ker fˆ0 ) → C 0 ,


430

que hace conmutar al diagrama fˆ0

/ C0 pp8 p p pp π pppf0 p p p K˜ 0 /(ker dˆ0 ∩ ker fˆ0 ) K˜ 0

entonces H 0 (K) = ker d˜0 = ker dˆ0 /(ker dˆ0 ∩ ker fˆ0 ) ' H 0 (C). Como el lector comprobará facilmente, la familia F de módulos libres es una familia suficiente. Dado un complejo de cadenas (C • , d). Por una aproximación libre de (C • , d), entenderemos un morfismo de complejos ˜ → (C • , d), τ : (C˜ • , d) tal que a) (C˜ • , d) es un complejo libre sobre A. b) τ es un epimorfismo. ˜ → H(C). c) τ induce un isomorfismo τ∗ : H(C) Entonces se tiene el siguiente C 15.28. Todo complejo (C • , d), que satisface las condiciones del teorema 15.27, posee una aproximación libre, la cual es u´ nica, salvo equivalencia homotópica, si A es un dominio principal. D´. Sólo nos falta mostrar que, si A es un dominio principal, entonces dos aproximaciones libres de (C • , d) son homotópicamente equivalentes, lo cual será una consecuencia inmediata del lema 15.29. L 15.29. Dada una aproximación libre τ : C˜ • → C • del complejo (C • , d), un complejo libre (C 0• , d0 ) y un morfismo de complejos τ0 : C 0• → C • , entonces existe un morfismo de complejos τ˜ : C 0• → C˜ • , tal que τ ◦ τ˜ = τ0 y τ˜ es u´ nica, salvo homotop´ıa. ¯ el complejo definido por C¯ q := ker τq y d¯q := d˜q |ker τ . D´. Sea (C¯ • , δ), Entonces se tiene la sucesión exacta de complejos i

τ

0 → C¯ • → − C˜ • → − C • → 0. ˜ ' H(C), se De la sucesión larga y exacta de homolog´ıa, teniendo en cuenta que H(C) ¯ ¯ obtiene que (C, d) es ac´ıclico y, por ejercicio 15.1.5,6, es contractible con una contracción h : C¯ • → C¯ • . Como τq es un epimorfismo y C 0q es libre, para cada q ∈ Z, existe un homomorfismo ϕq : C 0q → C˜ q , tal que τq ◦ ϕq = τ0 . Entonces podemos darnos un homomorfismo θq : C 0q → C˜ q+1 ,


431

definido por θq := d˜q ◦ ϕq − ϕq+1 ◦ d0q . De la conmutatividad de los diagramas C˜ q+1 O

τq+1

dq

d˜q

CÕ q ϕq

C 0q

/ C q+1 O

τ

/ Cq ; x x τ0q xx x xx xx q

C 0q

d0q

/ C 0q+1

τ0q

Cq

dq

τ0q+1

/ C q+1

se obtiene que τq+1 ◦ θq = τq+1 ◦ d˜q ◦ ϕq − τ0q+1 ◦ d0q = τ0q+1 ◦ d0q − τ0q+1 ◦ d0q = 0, lo que implica que Im θq ⊆ ker τq+1 = Im iq+1 . Entonces τ˜q := ϕq − iq ◦ hq+1 ◦ (iq+1 )−1 ◦ θq , es un homomorfismo τ˜ q : C 0q → C˜ q , el cual induce un morfismo de complejos ˜ τ˜ : (C 0• , d0 ) → (C˜ • , d), tal que τ ◦ τ˜ = τ0 . ˜ es otro morfismo, tal que τ◦˜τ = τ◦˜τ0 , entonces τ◦(˜τ−˜τ0 ) = 0, Si τ˜ 0 : (C 0• , d0 ) → (C˜ • , d) 0 lo que implica que Im(˜τ − τ˜ ) ⊆ Im i y, por consiguiente, existe un morfismo de complejos ¯ tal que (˜τ − τ˜ 0 ) = i ◦ ψ. ψ : (C 0• , d0 ) → (C¯ • , d), Un simple cálculo nos muestra que si h¯ := i ◦ h ◦ ψ, entonces h¯ es una homotop´ıa entre τ˜ y τ˜ 0 . 15.2.2. Cilindro de Aplicación. Otro complejo que es de utilidad es el llamado cilindro de aplicación, asociado a un morfismo entre dos complejos cualesquiera. ˜ → (C • , d), definimos un complejo (M • , δ) Dado un morfismo de complejos f : (K • , d) de la siguiente forma: M p := K p ⊕ C p−1 , ∀ p ∈ Z p p p+1 yδ : M → M por medio de δ p (x, y) := (d˜p (x), f p (x) − d p−1 (y)). Dejamos al lector la verificación sencilla de que δ p+1 ◦ δ p = 0. Al complejo (M • , δ) lo llamamos el cilindro de aplicación asociado al morfismo f . Si (C 0• , d0 ) es el complejo obtenido de (C • , d) por desplazamiento de un grado, es decir 0p C := C p−1 y δ0p := −δ p−1 , ∀ p ∈ Z, entonces se tiene una sucesión exacta de complejos 0 → C 0• → M • → K • → 0 la cual induce una larga sucesión exacta de homolog´ıa (15.24)

· · · → H p (K) → H p+1 (C 0 ) → H p+1 (M) → H p+1 (K) → H p+2 (C 0 ) → · · · ,

donde H p+1 (C 0 ) = H p (C) y la aplicación H p (K) → H p+1 (C 0 ) = H p (C) es la inducida por f p , es decir f∗p . Un concepto más estricto que el de familia suficiente es el de familia completa. Decimos que una familia F de objetos de Mod A es completa, si es suficiente y para cada sucesión exacta 0 → F 0 → F → F 00 → 0

432


donde F 00 , F ∈ F, entonces también F 0 ∈ F. Con ayuda del cilindro de aplicación, demostraremos el siguiente ˜ → (C • , d) un morfismo de complejos, tal que K p , H p (C) , T 15.30. Sea f : (K • , d) 0, sólo para p = 0, . . . , n. Sea F una familia completa y asumamos que K p , C p ∈ F, para todo p, salvo, posiblemente, para K 0 . Entonces, si f es un isomorfismo de homolog´ıa, K 0 ∈ F. D´. Como f es, por hipótesis, un isomorfismo de homolog´ıa, resulta de la sucesión (15.24), que H(M) = 0. También, por hipótesis, M 0 = K 0 , por lo que se tiene una sucesión exacta 0 → K 0 → M 1 → M 2 → · · · → M n+1 → 0. Ahora bien, cada M p ∈ F, para 1 6 p 6 n + 1. Procedamos por inducción sobre n. Para n = 0, se tiene la sucesión exacta 0 → K 0 → M 1 → 0, lo que significa que K 0 ' M 1 ∈ F, por consiguiente K 0 ∈ F. Supongamos, por hipótesis de inducción, que para toda sucesión exacta de los M p , de longitud 6 n, K 0 ∈ F y consideremos la sucesión exacta 0 → K 0 → M 1 → M 2 → · · · → M n+1 → 0. ˜ p := M p+1 y obtenemos la sucesión Cocientando M 1 por K0 , definimos K˜ 0 := M 1 /K 0 y M exacta ˜1 → M ˜2 → ··· → M ˜ n → 0, 0 → K˜ 0 → M y, por hipótesis de inducción, K˜ 0 ∈ F. De la sucesión exacta 0 → K 0 → M 1 → K˜ 0 → 0 y de la completitud de F, resulta entonces que K 0 ∈ F.

Sea F una familia completa y T un funtor covariante aditivo de la categor´ıa Mod A . Decimos que la familia F es exacta para el funtor T , si toda sucesión exacta 0 → F 0 → F → F 00 → 0 de elementos de F, induce una sucesión exacta 0 → T (F 0 ) → T (F) → T (F 00 ) → 0 T 15.31. Sea F una familia completa y exacta para el funtor covariante y ˜ → (C • , d) un morfismo de complejos, tales que K p y C p ∈ F, aditivo T . Sea f : (K • , d) para todo entero p y K p , H p (C) son cero, salvo para un número finito de p’s. Entonces, si f es un isomorfismo de homolog´ıa, también lo será ˜ → (T (C)• , T (d)). T ( f ) : (T (K)• , T (d)) D´. Sea (M • , δ) el cilindro de aplicación asociado a f . Nuevamente, por hipótesis, H(M) = 0 y el complejo (M • , δ) es exacto. Entonces para cada p ∈ Z la sucesión 0 → Z p (M) → M p → Z p+1 (M) → 0 es exacta. Vamos a mostrar que Z p (M) ∈ F, para todo p ∈ Z. Supongamos que p = m + 1 sea el mayor entero, tal que M p , 0, entonces de la sucesión exacta 0 → Z m (M) → M m → Z m+1 (M) = M m+1 → 0


433

y de la completitud de F, resulta que Z m (M) y Z m+1 (M) ∈ F. Supongamos, por hipótesis de inducción retroactiva, que hemos mostrado, que para todo p > q, Z p (M) ∈ F y mostremos que también vale que Z q (M) ∈ F. En efecto se tiene la sucesión exacta 0 → Z q (M) → M q → Z q+1 (M) → 0 donde M q ∈ F, por hipótesis y Z q+1 (M) ∈ F, por hipótesis de inducción. Entonces como F es completa, resulta Z q (M) ∈ F. Entonces se tiene que la sucesión 0 → T (Z p (M)) → T (M) → T (Z p+1 (M)) → 0 es exacta para todo p ∈ Z, lo que implica que el complejo (T (M)• , T (δ)) es exacto y H(T (M)) = 0. Por hipótesis, también la sucesión de complejos 0 → T (C 0• ) → T (M • ) → T (K • ) → 0 es exacta e induce una sucesión exacta de módulos de homolog´ıa · · · → H p (T (K)) → H p+1 (T (C 0 )) → H p+1 (T (M)) → H p+1 (T (K)) → H p+2 (T (C 0 )) → · · · , donde H p (T (M)) = 0, ∀ p ∈ Z y H p+1 (T (C 0 )) = H p (T (C)). Entonces de la exactitud de 0 → H p (T (K)) → H p (T (C)) → 0,

∀ p ∈ Z,

resulta que T ( f ) es un isomorfismo de homolog´ıa.

Como un ejemplo vamos a mostrar que la familia F de los A-módulos planos es una familia completa y exacta respecto del funtor producto tensorial. Por el teorema 14.11 y corolario 14.12, tenemos que F es una familia suficiente. Vamos a mostrar que es completa. L 15.32. Sea F un A-módulo plano y supongamos que la sucesión 0→N→M→F→0 es exacta. Entonces, para cualquier A-módulo E, la sucesión 0→N⊗E → M⊗E →F⊗E →0 es exacta. D´. Para el A-módulo E existe un A-módulo libre L, el cual, por corolario 14.12, es plano, tal que E es cociente de L y se tiene la sucesión exacta 0 → K → L → E → 0.


434

y se tiene el siguiente diagrama conmutativo de sucesiones exactas (15.25)

0

0

N⊗K

/ M⊗K

/ F⊗K

/ N⊗L

/ M⊗L

/ F⊗L

N⊗E

/ M⊗E

0

0

/0

el cual cumple con las condiciones del lema de serpiente 15.4, por consiguiente se tiene que la sucesión 0→N⊗E → M⊗E

es exacta. La completitud de F resulta ahora del siguiente T 15.33. Sea 0 → F 0 → F → F 00 → 0

una sucesión exacta de A-módulos y supongamos que F 00 es plano. Entonces F es plano, Ssi F 0 es plano. De forma más general, dada la sucesión exacta 0 → F 0 → F 1 → F 2 → · · · → F n → 0, donde F 1 , . . . F n son planos, entonces F 0 es plano. D´. Dada la sucesión exacta 0 → E 0 → E, del diagrama exacto y conmutativo 0

/ K0

/K

/0

0

/ F0 ⊗ E0

/ F × E0

/ F 00 ⊗ E 0

0

/ F0 ⊗ E

/ F×E

/ F 00 ⊗ E

/0

donde K 0 , K son los núcleos respectivos de los homomorfismos verticales, resulta que K 0 es isomorfo a K. Entonces K 0 = 0, Ssi K = 0, lo que quiere decir que F 0 plano, Ssi F plano. La segunda afirmación resulta de la primera por inducción retroactiva y dejamos al lector los detalles de la misma. (Ver demostración del teorema 15.31).


435

Si E es un A-módulo y F la familia de los A-módulos planos, entonces F es una familia completa y exacta respecto del funtor T (F) := F ⊗A E. Entonces, si tenemos dos ˜ y (C • , d) que satisfacen las condiciones del teorema 15.31, el morfismo complejos (K • , d) de complejos f ⊗ 1E : (K • ⊗A E, d˜ ⊗ 1E ) → (C • ⊗A E, d ⊗ 1E ) es un isomorfismo de homolog´ıa. 15.2.3. Complejo Producto Tensorial de Complejos. Dados dos complejos de A˜ definimos el complejo producto tensorial de complejos, como módulos, (C • , d), y (K • , d), • el complejo ((C ⊗ K) , ∂), tal que M (C ⊗ K)n := C p ⊗ Kq, p+q=n

y dados c ∈ C , k ∈ K definimos el diferencial p

q

∂ p,q (c ⊗ k) := d p (c) ⊗ k + (−1) p ⊗ d˜q (v) ∈ (C p+1 ⊗ K q ⊕ C p ⊕ K p+1 ). Denotaremos por ∂n :=

X

∂ p,q ,

p+q=n

en el entendido que cada ∂ p,q se aplica al elemento c ⊗ k ∈ C p ⊗ K q . Si p + q = n, entonces c ⊗ k ∈ (C ⊗ K)n y ∂n (c ⊗ k) = ∂ p,q (c ⊗ k) ∈ (C p+1 ⊗ K q ⊕ C p ⊕ K p+1 ) ⊆ (C ⊗ K)n+1 . Si aplicamos la composición ∂n+1 ◦ ∂n al elemento c ⊗ k, obtenemos ∂n+1 (d p (c) ⊗ k + (−1) p ⊗ d˜q (v))

= =

∂ p+1,q (d p (c) ⊗ k) + (−1)p∂ p,q+1 (c ⊗ d˜q (k)) (−1) p+1 d p (c) ⊗ d˜q (k) + (−1) p d p (c) ⊗ d˜q (k)

=

0.

Como un elemento general de (C ⊗ K)n es suma de elementos de la forma c ⊗ k ∈ C p ⊗ K q , resulta que para cada n, ∂n+1 ◦ ∂n = 0, por lo que, en efecto, ∂ cumple las condiciones de un diferencial de complejos. 15.2.4. El Complejo de Koszul. El complejo de Koszul es un complejo asociado al a´ lgebra exterior de un A-módulo y un homomorfismo de A-módulos. Es un complejo que ha adquirido mucha importancia en la geometr´ıa algebraica y en el a´ lgebra conmutativa. Nosotros daremos, a modo de ejemplo, la construcción general del complejo de Koszul y algunos ejemplos sencillos de complejos de Koszul sobre módulos libres de rango finito e ideales finitamente generados. Sea ϕ : M → N un homomorfismo de A-módulos. Consideremos el A-algebra L := V V M ⊗A S A (N), donde A M es el a´ lgebra exterior de M y S A (N) el a´ lgebra simétrica de A N. Dados r, q ∈ N, definimos: ^r ^r−1 ∂qr : M ⊗A S q (N) → M ⊗A S q+1 (N), A

A

por ∂qr ((m1 ∧ · · · ∧ mr ) ⊗ w) :=

r X (−1)r−i (m1 ∧ · · · ∧ m ˆ i ∧ · · · ∧ mr ) ⊗ ϕ(mi ) · w, i=1


436

donde ˆ indica la eliminación del elemento respectivo y “·” es el producto en el a´ lgebra simétrica.1 r X r−i (−1) (m ∧ · · · ∧ m ˆ ∧ · · · ∧ m ) ⊗ ϕ(m ) · w = ∂q+1 1 i r i r−1 i=1 r r X X (−1)r−i (−1)r−1− j (m1 ∧ · · · ∧ m ˆ j ∧ ··· ∧ m ˆ i ∧ · · · ∧ mr ) ⊗ ϕ(mi ) · ϕ(m j ) · w 16 j
i=1

+

r X

(−1)r−1− j−1 (m1 ∧ · · · ∧ m î ∧ ··· ∧ m ˆ j ∧ · · · ∧ mr ) ⊗ ϕ(mi ) · ϕ(m j ) · w = 0.

i< j6r

Ya que en el segundo sumando compadecen los mismos términos que en el primero, pero q con signo cambiado. Entonces ∂q+1 r−1 ◦ ∂r = 0. Sea ^r Kr (M, N) := M ⊗A S A (N) A

Un elemento de Kr (M, N) consta de sumas finitas de elementos de la forma X (m1 ∧ · · · ∧ mr ) ⊗ wq , q∈N

donde wq ∈ S q (N) es 0 salvo para un número finito de q’s. Sea ∂r : Kr (M, N) → Kr−1 (M, N), donde ∂r

X

X q (m1 ∧ · · · ∧ mr ) ⊗ wq ) := ∂r (m1 ∧ · · · ∧ mr ) ⊗ wq ).

q∈N

q∈N q ∂q+1 r−1 ◦ ∂r

Entonces, como para q fijo, = 0, resulta ∂r−1 ◦ ∂r = 0, por lo que (K• , ∂) es un complejo descendente, llamado el complejo de Koszul asociado al homomorfismo ϕ, con coeficientes en S A (N). El módulo Hr (K(M, N)) se llama el r-módulo de homolog´ıa de Koszul asociado al homomorfismo ϕ. En particular, si M es un A-módulo libre de rango n, {e1 , . . . , en } una base de M y N := A, entonces para cada q, S q (A) = A y ^r ^r ^r M ⊗A S q (A) = M⊗A= M. A

A

A

Si ϕ : M → A, tal que ϕ(ei ) := ai ∈ A, entonces el diferencial se reduce a ^r ^r−1 ∂r : M→ M. A

donde ∂r (ei1 ∧ · · · ∧ eir ) =

A

r X (−1)r− j (ei1 ∧ · · · ∧ eˆ i j ∧ · · · ∧ eir )ϕ(ei j ). j=1

El complejo de Koszul respectivo se suele designar por (K• (M), ∂). 1Existen varias formas de definir ∂q , las cuales difieren en un signo, pero para el cálculo de la homolog´ıa r

esta diferencia es irrelevante.


437

Recordemos que si M es un A-módulo libre de rango n, entonces obteniendo un complejo finito ∂n

∂2

∂n−1

Vr

M = 0, ∀ r > n,

∂1

0 → Kn (M) −→ Kn−1 (M) −−−→ · · · −→ K1 −→ K0 (M) → 0, por lo que Hr (K(M)) = 0, ∀ r > n y ∀ r < 0. Una de las aplicaciones más comunes es el complejo de Koszul asociado a un ideal a := (a1 , . . . an ), denotado (K• (a), ∂), donde M := An y ϕ : An → A tal que ϕ(ei ) := ai . Entonces se tiene el complejo ∂1

0 → Kn → · · · → K1 = An −→ K0 = A → 0. En este caso ∂1 (ei ) = ai ∈ a. Si x :=

n X

xi ei ,

i:=1

entonces ∂1 (x) =

n X

xi ai

i=1

Esto quiere decir que Im ∂1 = a. Por otra parte Z0 (K(a)) = A, por lo que H0 (K(a)) = A/a. El módulo Z1 (K(a)) = ker ∂1 que consta de todos aquellos elementos x ∈ An , tales que n X xi ai = 0 i=0

recibe el nombre de submódulo de las syzygias2 del ideal a. Un elemento de Z1 (K(a)) se llama una syzygia del ideal a. Los elementos de la forma a j ei − ai e j , los cuales obviamente están en ker ∂1 , reciben el nombre de syzygias triviales. Como ∂2 (ei ∧ e j ) = a j ei − ai e j , entonces Im ∂1 es el submódulo de todas las syzygias triviales. En el caso general, no todas las syzygias de un ideal a son generadas por syzygias triviales. Cuando e´ ste es el caso se dice que el submódulo de las syzygias es trivial. Expresado en términos de la homolog´ıa de Koszul se tiene el siguiente resultado, obvio de la definición: T 15.34. El submódulo de las syzygias de un ideal finitamente generado a := (a1 , . . . , an ), de un anillo conmutativo con unidad, A, es trivial, Ssi H1 (K(a)) = 0. Menos obvio resulta el siguiente T 15.35. Si Z1 (K(a)) es el sumbódulo de las syzygias del ideal finitamente generado a := (a1 , . . . , an ), de un anillo conmutativo con unidad, A, entonces aZ1 (K(a)) ⊆ B1 (K(a)) por lo que aH1 (K(a)) = 0. D´. Basta mostrar que para cualquier elemento z ∈ Z1 (K(a)) y cualquier ai , ai z ∈ B1 (K(a)). En efecto, si {e1 , . . . , en } es una base del A-módulo libre An , entonces n n X X ai z = ai z j e j y ai z j a j = 0. j=1

Entonces ai zi = −

j=1

X 16 j
2nombre dado por D. Hilbert

a jz j −

X i< j6n

a jz j.


438

Substituyendo se tiene ai z = ai

n X

z j e j = ai zi ei +

−

X

a jz j −

X

n X

ai z j e j =

i< j6n

n X X a j z j ei + ai z j e j = z j (ai e j − a j ei ).

i< j6n

16 j
ai z j e j +

16 j
j=1

n X

1< j6n

j=1 j,i

Por consiguiente ai z ∈ B1 (K(a)).

El resultado del teorema 15.35, puede ser generalizado para todo r > 1. Su demostración requiere un poco más de trabajo. A tal efecto determinaremos una condición necesaria y suficiente que los elementos de Zr (K(a)) deben cumplir. V L 15.36. Sean a := (a1 , . . . an ) un ideal, z ∈ r An , 0 < r 6 n y para cada r-ada de ´ındices (i1 , . . . , ir ), 1 6 i1 < · · · < ir 6 n, zi1 ...ir ∈ A, tales que X zi1 ...ir ei1 ∧ · · · ∧ eir . z := 16ii <···
Entonces z ∈ Zr (K(a)), Ssi para cualquier (r − 1)-ada de ´ındices (i1 , . . . , ir−1 ), tal que 1 6 i1 < · · · < ir−1 6 n X (15.26) π(σk )zσk (i1 )...σk (ir−1 )σk (k) ak = 0, k<{i1 ,...,ir−1 }

donde σk es la permutación de los elementos i1 , . . . ir−1 , k, tal que σk (i1 ) < · · · < σk (ir−1 ) < σk (k) y π(σk ) su paridad correspondiente. D´. En efecto r X X ∂r (z) = zi1 ...ir (−1)r− j ai j ei1 ∧ · · · ∧ eˆ i j ∧ · · · ∧ eir = 16ii <···
X

X

j=1

π(σk )zσk (i1 )...σk (ir−1 )σk (k) ak ei1 ∧ · · · ∧ eir−1 ,

16ii <···
donde σk es la permutación de los elementos i1 , . . . , ir−1 , k, tal que σk (i1 ) < · · · < σk (ir−1 ) < V σk (k). Entonces, como los ei1 ∧ · · · ∧ eir−1 forman una base de r−1 An , se tiene que z ∈ Zr (K(a)), Ssi la ecuación(15.26) se satisface. T 15.37. Sea a := (a1 , . . . , an ) un ideal del anillo conmutativo con unidad, A. Entonces aHr (K(a)) = 0, ∀ r > 0. D´. Como, por reenumeración, podemos intercambiar el orden de los elementos ai , basta mostrar que para cualquier r > 0, a1 Hr (a)) = 0. Debemos mostrar que para cualquier r > 0, si z ∈ Zr (K(a)), a1 z ∈ Br (K(a)). Por lema 15.36, si z ∈ Zr (K(a)), entonces sus coeficientes zi1 ...ir satisfacen la ecuación (15.26). X a1 z = a1 z j1 ... jr e j1 ∧ · · · ∧ e jr = 16 ji <···< jr 6n

X 1= j1 <···< jr 6n

a1 z1... jr e1 ∧ · · · ∧ e jr +

X 26 ji <···< jr 6n

. a1 z j1 ... jr e j1 ∧ · · · ∧ e jr


439

De la ecuación (15.26), se tiene X

π(σ1 )zσ1 (i1 )···σ1 (ir−1 )σ1 (1) a1 = −

(15.27)

π(σk )zσk (i1 )...σk (ir−1 )σk (k) ak .

k<{1,i1 ,...,ir−1 }

Poniendo j1 := 1, j2 := σ1 (i2 ), . . . , jr := σ1 (1) y σ ˆ k := σk ◦ σ−1 1 , donde σk es la permutación de los elementos j2 , . . . jr , k, tal que σ( j2 ) < · · · < σk ( jr )σk (k), y substituyendo en (15.27), se obtiene X π(σ1 )z1 j2 ··· jr a1 = − π(σk )zσˆ k ( j1 )...σˆ k ( jr−1 )σˆ k (k) ak . k<{ j1 ,..., jr }

Multiplicando por la paridad de σ ambos lados y teniendo en cuenta que π(σ) = π(σ−1 ) y que π(σ−1 )π(σk ) = π(σ ˆ k ), resulta X z1 j2 ··· jr a1 = − π(σ ˆ k )zσˆ k ( j1 )...σˆ k ( jr−1 )σˆ k (k) ak . −1

k<{ j1 ,..., jr }

Entonces X

a1 z =

−

1= ji <···< jr 6n

X

π(σ ˆ k )zσˆ k ( j1 )...σˆ k ( jr−1 )σˆ k (k) ak e1 ∧ · · · ∧ e jr +

k<{ j1 ,..., jr }

X

a1 z j1 ... jr e j1 ∧ · · · ∧ e jr .

26 ji <···< jr 6n

Si x ∈

Vr+1

An , r + 1 6 n, entonces, si X x=

x j1 ... jr+1 e j1 ∧ · · · ∧ e jr+1 ,

16 ji <···< jr+1 6n

X

∂r+1 (x) =

xi1 ...ir+1

16ii <···
X

r+1 X

(−1)r+1− j ai j ei1 ∧ · · · ∧ eˆ i j ∧ · · · ∧ eir+1 =

j=1

X

π(σk )xσk (i1 )...σk (ir )σk (k) ak ei1 ∧ · · · ∧ eir =

16ii <···
X

X

π(σk )xσk (i1 )...σk (ir )σk (k) ak ei1 ∧ · · · ∧ eir +

1=ii <···
X

X

π(σk )xσk (i1 )...σk (ir )σk (k) ak ei1 ∧ · · · ∧ eir .

26ii <···
Si escogemos x ∈

Vr+1

An , tal que, para i1 = 1 < · · · < ir

π(σk )xσk (i1 )...σk (ir )σk (k) = −π(σ ˆ k )zσˆ k (i1 )...σˆ k (ir )σˆ k (k) y para 2 6 i1 < · · · < ir π(σk )xσk (i1 )...σk (ir )σk (k) = 0, para k , 1 y entonces ∂

r+1

π(σk )xσk (i1 )...σk (ir )σk (k) = zi1 ...ir , para k = 1, (x) = a1 (z). Lo que muestra el teorema.

Del teorema 15.37, se obtienen los siguientes resultados: C 15.38. Si a es un ideal finitamente generado por a1 , . . . an ∈ A, entonces: a) Hr (K(a)) = 0, ∀ r > n. b) Hn (K(a)) ' Ann a. c) Si A es un dominio entero, entonces Hr (K(a)) = 0, ∀ r > n.


440

D´. a) Es trivial. V b) Dado z ∈ n An , x = xe1 ∧ · · · ∧ en , entonces ∂n (x) = x

n X

(−1)n− j a j e1 ∧ · · · ∧ eˆ j ∧ · · · ∧ en

j=1

y x ∈ Zn (K(a)), Ssi xa j = 0, ∀ j = 1, . . . , n, esto, Ssi x ∈ Ann a. c) Inmediato de a) y b), ya que si A es dominio entero, entonces Ann a = 0. Sea M un A-módulo. Decimos que los elementos a1 , . . . , an forman una M-sucesión regular, si a) a1 no es divisor de 0 en M. b) Para i > 2, ai no es divisor de 0 en M/(a1 , . . . , ai−1 )M. Si M := A, entonces diremos que a1 , . . . , an es una A-sucesión regular. L 15.39. Si un ideal a := (a1 , . . . , an ), donde a1 , . . . , an es una sucesión regular, entonces a/a2 es un A/a-módulo libre de rango n. D´. Vamos a mostrar que a¯ 1 , . . . , a¯ n , donde a¯ ν es la clase módulo a2 de aν , ν = 1, . . . , n, son linealmente independientes. Desarrollaremos la demostración por inducción sobre n. Para n = 1, si a¯ 1 b¯ = 0, donde b¯ es la clase módulo a de b, entonces a1 b ∈ a2 y existe c ∈ A, tal que a1 b = a21 c, lo que implica que a1 (b − a1 c) = 0. Como, por hipótesis, a1 no es divisor de cero en A, resulta que b = a1 c ∈ a, por lo que b¯ = 0. Sea n > 1 y supongamos, por hipótesis de inducción, que el teorema sea verdadero para a1 , . . . , an−1 . Supongamos que n X b¯ i a¯ i = 0 en a/a2 . i=1

entonces

n X

bi ai =

i=1

Tomando las clases

n X

yi ai ,

yi ∈ a.

i=1

(mód (a1 , . . . an−1 )) obtenemos b¯ n a¯ n − y¯ n a¯ n = 0,

(mód (a1 , . . . , an−1 ))

lo que implica que an (b¯ n − y¯ n ) = 0, (mód (a1 , . . . , an−1 )), como an no es divisor de 0 en A/(a1 , . . . , an ), resulta que b¯ n = y¯ n , lo que implica que b ∈ a y por consiguiente b¯ n = 0, en A/a. Lo que muestra el lema. T 15.40. Si a es un ideal generado por una sucesión regular a1 , . . . , an , entonces H1 (K(a)) = 0 = Hn (K(a)). D´. vamos a mostrar que Z1 (K(a)) es generado por las syzygias triviales. Procederemos por inducción sobre la longitud de la sucesión regular. Para n = 1, y xe1 ∈ Z1 (K(a)), xa1 = 0 implica x = 0, ya que a1 no es divisor de cero en A, entonces Z1 (K(a)) = 0.


441

Sea n > 1 y supongamos, por hipótesis de inducción, que el teorema valga para toda sucesión de longitud m 6 n − 1. Dada una sucesión regular a1 , . . . , an , entonces a¯ 2 , . . . , a¯ n es una sucesión regular en A/(a1 ) de longitud n − 1. Si n X xi ei ∈ Z1 (K(a)), x := i:=1

entonces ∂1 (x) =

n X

xi ai = 0.

i=1

Cocientando

(mód (a1 )), resulta n X

x¯i a¯ i = 0

en

A/(a1 ).

i=2

Esto quiere decir que n X

x¯i ei

i:=2

es una syzygia trivial de (¯a2 , . . . , a¯ n ). Entonces n X X α¯ i j (¯a j ei − a¯ i e j ), x¯i ei =

α¯ i j ∈ A/(a1 ),

26i< j6n

i:=2

lo que significa que n X

xi ei =

i:=2

X

αi j (a j ei − ai e j ) + z,

26i< j6n

donde z ∈ An es un elemento con coeficientes en (a1 ), es decir de la forma n X z= α1 j a1 e j , α1 j ∈ A. j=1

Entonces x = x1 e1 +

n X

X

xi ei = x1 a1 +

αi j (a j ei − ai e j ) +

26i< j6n

i:=2

n X

α1 j a1 e j

j=1

y ∂(x) = x1 a1 +

n X

α1 j a1 a j = 0.

j=1

Como a1 no es divisor de 0, resulta x1 = −

n X

α1 j a1 a j ,

j=1

lo que nos da n n X X X X x= − α1 j a j e1 + αi j (a j ei − ai e j ) + α1 j a1 e j = αi j (a j ei − ai e j ). j=1

26i< j6n

j=1

16i\ j6n

Lo que muestra que H1 (K(a)) = 0. Por otra parte, por corolario 15.38, Hn (K(a)) ' Ann a, entonces, en particular, si α ∈ Ann a, αa1 = 0, lo que implica que α = 0, ya que a1 no es divisor de 0. Por lo tanto Hn (K(a)) = 0.


442

T 15.41. Si A es un dominio entero, y a es un ideal generado por los elementos a1 , . . . an , entonces H1 (K(a)) = 0, Ssi a1 , . . . , an es una A-sucesión regular. D´. Del teorema 15.40, sabemos que si a1 , . . . , an es una A-sucesión regular, entonces H1 (K(a)) = 0. Vamos a mostrar la conversa. Como A es dominio entero, entonces a1 no es divisor de cero. Sea i > 1, vamos a mostrar que ai no es divisor de cero en A/(a1 , . . . , ai−1 ). En efecto, supongamos que exista bi ∈ A, tal que ab¯ i = 0 en A/(a1 , . . . , ai−1 ), entonces ai bi ∈ (a1 , . . . , ai−1 ), por lo que existen elementos b1 , . . . , bi−1 ∈ A, tales que i X

b j a j = 0.

j=1

Esto implica que i X

b j e j ∈ Z1 (K(a) = Im ∂2 .

j=1

Entonces existe x ∈

V2

An , tal que i X

b j e j = ∂2 (x).

j=1

Si X

x=

xi1 i2 ei1 ∧ ei2 ,

16i1
entonces del lema 15.36, resulta ∂2 (x) =

n X X j=1

i X π(σk )xσk ( j)σk (k) ak e j = b je j.

k, j

j=1

Comparando coeficientes se obtiene que bi =

i−1 X

π(σk )xσk (i)σk (k) ak ∈ (a1 , . . . , ai−1 ).

k=1

Por consiguiente bi = 0 en A/(a1 , . . . , ai−1 ), lo que muestra que a1 , . . . , an es una Asucesión regular. T 15.42. Sea a el ideal generado por los elementos a1 , . . . , an . Si K(ai ) es el complejo de Koszul asociado al ideal principal (ai ), entonces se tiene un isomorfismo natural K(a) ' K(a1 ) ⊗ · · · ⊗ K(an ). D´. Si, para cada grado 0 6 r 6 n, ϕr es el homomorfismo inducido por ϕr (ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ) := fi1 ∧ · · · ∧ fir ,

1 6 i1 < · · · < ir 6 n,

donde ei es base de K1 (ai ) y { f1 , . . . , fn } base de An = K1 (a)), entonces ψ : K(a1 ) ⊗ · · · ⊗ K(an ) → K(a), donde, para cada grado 0 6 r 6 n, ψn := (−1)r+1 ϕ, es un isomorfismo de complejos. Dejamos al lector los pormenores de mostrar que ψ es un isomorfismo y que para cada


443

grado el diagrama correspondiente: dr

Cr ψr

Kr

/ Cn−1

d˜r

ψr−1

/ Kr−1

es conmutativo.

Dado un ideal a := (a1 , . . . , an ) y un A-módulo M, se define el complejo (K• (M, a), d), donde K• (M, a) := K(a)) ⊗ M y d := ∂ ⊗ 1 M . (K• (M, a), d) es llamado el complejo de Koszul de M asociado al ideal a. Como veremos este complejo nos va a dar una resolución por la izquierda del módulo M/aM, cuando los a1 , . . . , an forman una M-sucesión regular. Obviamente este complejo es de la forma: · · · → K2 (a) ⊗ M → M (n) → M → 0, donde M (n) := An ⊗ M = | M ⊕ {z ··· ⊕ M } y H0 (K(M, a) = M/aM. n

L 15.43. Sean a ∈ A y (C• , d) un complejo, tal que H p (C) = 0, para p > 0. Entonces H p (C ⊗ K(a)) = 0, ∀ p > 1, y se tiene una sucesión exacta a

0 → H1 (C ⊗ K(a))) → H0 (C) → − H0 (C) → H0 (C ⊗ K(a)) → 0. Si a es un elemento H0 (C)-regular, entonces H1 (C ⊗ K(x)) = 0. D´. Se tiene la sucesión exacta de complejos 0 → C• → (C ⊗ K(x))• → (C ⊗ K(x))• /C• → 0 Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de complejos, cuyas filas son exactas

0

/ Cn+1

/ (Cn+1 ⊗ A) ⊕ (Cn ⊗ K1 (a))

/ Cn ⊗ K1 (a)

0

/ Cn

/ (Cn ⊗ A) ⊕ (Cn−1 ⊗ K1 (a))

/ Cn−1 ⊗ K1 (a)

/ Cn−1

/ (Cn−1 ⊗ A) ⊕ (Cn−2 ⊗ K1 (a))

/ Cn−2 ⊗ K1 (a)

00

d⊗1

/0

d⊗1

La u´ ltima columna corresponde al complejo ((C ⊗ K1 (a))• , d ⊗ 1K1 (a) ), y (C ⊗ K1 (a))n+1 = Cn ⊗ K1 (a).

/0

/0

444


Como el lector podrá observar, dn ⊗1K1 (a) (z⊗e) = 0, Ssi dn (z) = 0 y z⊗e ∈ Im dn+1 ⊗1K1 (a) , Ssi z ∈ Im dn+1 , lo que va a implicar que Hn+1 (Cn+1 ⊗ K1 (a)) ' Hn (C), ∀ n. Por teorema15.5 se tiene la sucesión exacta de módulos de homolog´ıa δ

Hn+1 (C) → Hn+1 (C ⊗ K(a)) → Hn+1 (C ⊗ K(a)/C)) → − Hn (C) → · · · , donde (C ⊗ K(a)/C)• ' (C ⊗ K1 (a)) y el homomorfismo de borde δ, por el lema de serpiente, viene, en cada grado, dado por δn+1 := (−1)n a y, por lo anteriormente visto Hn+1 (C ⊗ K(a)/C) ' Hn (C). Entonces, en particular, H p (C ⊗ K(a)) = 0, ∀ p > 2 y en su grado más bajo tenemos la sucesión exacta a

H1 (C) → H1 (C ⊗ K(a)) → H0 (C) → − H0 (C) → H0 (C ⊗ K(a)) → 0. Por hipótesis H1 (C) = 0. Por otra parte, si a es un elemento H0 (C)-regular, entonces el producto por a es un homomorfismo inyectivo y, por consiguiente H1 (C ⊗ K(a)) = 0. T 15.44. Sean M un A-módulo y a el ideal generado por la M-sucesión regular a1 , . . . an . Entonces el complejo K(a, M) es una resolución, por la izquierda, de M/aM. Es decir, se tiene una sucesión exacta 0 → Kn (a, M) → · · · → K1 (a, M) = M (n) → M → M/aM → 0. D´. Por inducción sobre la longitud de la sucesión regular. Para n = 1, el complejo C• := 0 → M → 0 satisface las condiciones del lema 15.43 y a es un elemento H0 (C)-regular, ya que H0 (C) = M, por consiguiente H p (K(a) ⊗ M) = 0 ∀ p > 0 lo que implica que la sucesión 0 → Kn (a, M) → · · · → K1 (a, M) = M (1) → M → M/aM → 0. es exacta. Supongamos ahora, por hipótesis de inducción, que hemos mostrado el teorema para una M-sucesión regular a1 , . . . , an−1 y sea an ∈ A, tal que a1 , . . . , an sea una M-sucesión regular. Si b := (a1 , . . . , an−1 ), entonces el complejo C• := 0 → M ⊗ K(b) → 0 satisface las condiciones del lema 15.43 y an es un elemento regular de H0 (C) = M/bM. Por teorema 15.42, se tiene que (M⊗K(a)) ' (C ⊗K(an )) y por lema 15.43 H p (M⊗K(a)) = 0, ∀ p > 0. De aqu´ı resulta entonces que la sucesión 0 → Kn (a, M) → · · · → K1 (a, M) = M (n) → M → M/aM → 0 es exacta y por consiguiente una resolución de M/aM.

En particular, si M := A y a es el ideal generado por la A-sucesión a1 , . . . , an , entonces se tiene, de forma inmediata, el siguiente C 15.45. Si a es el ideal generado por la A-sucesión a1 , . . . , an , entonces K(a) es una resolución libre de A/a y se tiene la sucesión exacta 0 → Kn (a) → · · · → K1 (a) → A → A/a → 0.


445

15.2.5. Complejo de de Rham. El complejo de de Rham es un complejo ascendente que se construye, en la geometr´ıa y topolog´ıa diferencial, sobre una variedad diferenciable M. Dada una variedad diferenciable real M, sea Ωr (M) el R-espacio vectorial de todas las r-formas diferenciales de grado r sobre M (ver sección de ejercicios y complementos 14.3.3). La derivada exterior d induce un homomorfismo dr : Ωr (M) → Ωr+1 (M),

∀r

y como se vió en la sección de ejercicios y complementos 14.3.3, dr+1 ◦ dr = 0, por lo que (Ω• , d) es un complejo ascendente, llamado el complejo de de Rham. Para r < 0 se define Ωr (M) := 0. Por lo que se tiene un complejo de la forma d

d

0 → Ω0 (M) → − Ω1 (M) → − Ω2 (M) → · · · La homolog´ıa de dicho complejo se denomina la cohomolog´ıa de de Rham de M. Como Ωr (M) es un R-espacio vectorial para cada r, H r (M) posee la estructura de un espacio topológico. La dimensión del espacio H 0 (M) da el número de componentes conexas de M. Si M := U, donde U ⊆ Rn es una vecindad abierta, entonces H 0 (U) consta de todas aquellas funciones que satisfacen la ecuación diferencial d f = 0. Z 1 (U) consta de aquellas formas diferenciales z :=

n X

fi dxi ,

i=i

tales que d(z) =

n X n X ∂ fi ∧ dxi = 0 ∂x j i=1 j=1

es decir de todas aquellas funciones fi : U → R, tales que satisfacen la ecuación diferencial de Stockes ∂ fi ∂ f j − = 0, ∂x j ∂xi

∀ i, j.

Para n = 3, siguiendo el lenguaje del análisis vectorial, z ∈ Z 1 (U), Ssi Rot z = 0. Mientras que B1 (U) := Im d, consta de aquellas 1-formas que son gradientes de alguna función f : U → R. Es decir de las llamadas formas diferenciales exactas. Entonces H 1 (U) es el espacio vectorial formado por las soluciones de la ecuación diferencial de Stockes módulo las 1-formas diferenciales exactas. Esto es equivalente al espacio de las funciones cuya integral de l´ınea, sobre todas los caminos diferenciables γ ⊆ U, que poseen el mismo punto inicial y el mismo punto final, sólo depende de la clase de homotop´ıa de γ, módulo las 1-formas exactas. Para r > 1 se substituye la integral de l´ınea por la integral del r-volumen. Para una profundización sobre la cohomolog´ıa de de Rham, ver, por ejemplo [8].


446

15.3.

Funtores Derivados

En esta sección trataremos los funtores derivados, por la derecha y por la izquierda, asociados a un determinado funtor y a resoluciones derechas e izquierdas de un A-módulo. La teor´ıa aqu´ı desarrollada es generalizable a cualquier categor´ıa abeliana que posea suficientes objetos inyectivos o proyectivos. Por razones didácticas nos limitaremos a la categor´ıa de los A-módulos sobre anillos conmutativos con unidad. En particular estudiaremos el funtor derivado Ext, asociado a una resolución inyectiva y N al funtor HomA y el funtor derivado Tor, asociado a una resolución proyectiva y al funtor . 15.3.1. Funtor Derivado por la Derecha. Sea F un funtor aditivo, covariante y exacto por la izquierda y 0 → M → QM una resolución inyectiva del A-módulo M. Q M es el complejo Q0 → Q1 → Q2 → · · · Denotemos por (Q• , d) al complejo 0 → Q0 → Q1 → Q2 → · · · Aplicando el funtor F a este complejo, obtenemos un complejo 0 → F(Q0 ) → F(Q1 ) → F(Q2 ) → · · · Entonces definimos el funtor derivado por la derecha Rn F por Rn (F)(M) := H n (F(Q)). Como veremos más adelante, este funtor es independiente de la escogencia de la resolución Q M . De la exactitud de F por la izquierda se tiene la exactitud de la sucesión 0 → F(M) → F(Q0 ) → F(Q1 ), de donde resulta que R0 F(M) = H 0 (F(Q0 ) = Z 0 (F(Q0 )) = F(M). Por otra parte, si ϕ:M→N es un homomorfismo de A-módulos, entonces se tiene un diagrama conmutativo F(M) o

F(ϕ)

/ F(N) o

R0 F(M) H(F(ϕ)) / R0 F(N) donde las columnas son isomorfismos. Esto quiere decir que los funtores F y R0 F son naturalmente isomorfos. T 15.46. El funtor Rn F, es, para cada n > 0, un funtor aditivo de la categor´ıa de los A-módulos en la categor´ıa de los A-módulos y es independiente de la resolución inyectiva escogida.

15.3. FUNTORES DERIVADOS

447

D´. Dadas dos resoluciones inyectivas de M 0 → M → QM

0 → M → Q0M ,

y

entonces, por corolario 15.26, son homotópicamente equivalentes. Como F es un funtor aditivo, resulta que los complejos 0 → F(Q0 ) → F(Q1 ) → F(Q2 ) → · · · y 0 → F(Q00 ) → F(Q01 ) → F(Q02 ) → · · · son homotópicamente equivalentes y por consiguiente sus módulos de homolog´ıa son isomorfos. La aditividad de Rn F resulta de la aditividad de F y de H n . L 15.47. Sea ϕ

ψ

0 → M0 → − M− → M 00 → 0 una sucesión exacta de A-módulos y Q0 , Q00 módulos inyectivos, tales que las sucesiones θ0

0 → M0 − → Q0

θ00

0 → M 00 −−→ Q00

y

sean exactas. Entonces existe un A-módulo inyectivo Q, tal que el diagrama (15.28)

0

0

0

/ M0

0

/ Q0

0

ϕ

/M

i

/Q

ψ

/ M 00

p

/ Q00

θ

θ0

/0

θ00

/0

es conmutativo y de filas y columnas exactas. D´. En efecto, sea Q := Q0 ⊕ Q00 y θ:M→Q definida por θ(x) := θˆ 0 (x) + θ00 (ψ(x)), donde θˆ 0 es la extensión de θ0 a M. θ es un monomorfismo, ya que θ(x) = 0, Ssi x = 0 ∈ M. i es la inclusión de Q0 en Q y p la proyección de Q sobre Q00 . Por otra parte por ejercicio 15.1.5,2, Q es un módulo inyectivo. L 15.48. Sea ϕ

ψ

0 → M0 → − M− → M 00 → 0 una sucesión exacta de A-módulos y 0

0 → M 0 → Q0M ,

0 → M 00 → Q00M

00

resoluciones inyectivas de M 0 y M 00 respectivamente. Entonces existe una resolución inyectiva Q M de M , tal que la sucesión de resoluciones inyectivas 0 → Q0 → Q → Q00 → 0 es exacta.


448

D´. Por lema 15.47 existe un A-módulo inyectivo Q0 , tal que el diagrama 15.28, es conmutativo para Q0 := Q00 y Q00 := Q000 . Agregando los co-núcleos se obtiene el diagrama conmutativo (15.29)

0

0

0

/ M0

0

/ Q00

ϕ

/M

i

/ Q0

i∗

/ coker θ

/ M 00

ψ

θ

θ0

p

/ coker θ0

/0

π00

p∗

/ coker θ00

0

0

/0

θ00

/ Q000

π

π0

0

0

/0

0

cuyas columnas son exactas y, por construcción, las dos primeras filas también. Vamos a mostrar que también la tercera fila es exacta. En efecto, i∗ y p∗ están bien definidas, ya que i[Im θ0 ] ⊆ Im θ y p[Im θ] ⊆ Im θ00 . Siendo p sobreyectiva, p∗ es también sobreyectiva. Por la conmutatividad del diagrama en todas sus componentes, p∗ ◦ i∗ = 0, por lo que Im i∗ ⊆ ker p∗ . Por otra parte, si x¯ := q¯ 0 + q¯ 00 ∈ ker p∗ , donde q0 ∈ Q00 y q00 ∈ Q000 , entonces p∗ ( x¯) = q¯ 00 = 0, (mód Im θ00 )), lo que implica que q00 ∈ Im θ00 . Entonces existe m ∈ M, tal que q00 = θ00 (ψ(m)) y θ(m) = θˆ 0 (m) + θ00 (ψ(m)) ∈ Im θ. Vamos a mostrar que x := q0 + θ00 (ψ(m)) es congruente con un elemento q˜ 0 ∈ Im i. En efecto si q˜ 0 := (q0 − θˆ 0 (m)) ∈ Q00 , entonces x − i(q0 − θˆ 0 (m)) = (q0 + θ00 (ψ(m))) − (q0 − θˆ 0 (m)) = (θˆ 0 (m) + θ00 (ψ(m)) ∈ Im θ. Por consiguiente x¯ = i∗ (q0 − θˆ 0 (m)) y ker p∗ = Im i∗ . i∗ es un monomorfismo. En efecto, sea x¯ ∈ ker i∗ , entonces x + 0 ∈ Im θ, para cualquier representante x de x¯. Entonces existe m ∈ M, tal que x + 0 = θˆ 0 (m) + θ00 (ψ(M)), lo que implica que x = θˆ 0 (m) y 0 = θ00 (ψ(m)), como θ00 es inyectiva resulta que ψ(m) = 0 y m ∈ Im ϕ = ker ψ. Entonces existe m0 ∈ M 0 , tal que x = θˆ 0 (m) = θ0 (m0 ) ∈ Im θ0 . Por consiguiente x¯ = 0, (mód Im θ0 ). Nuestro siguiente paso es la construcción de los módulos Qn , para n > 1. A tal efecto partimos ahora de la sucesión exacta i∗

p∗

0 → coker θ0 − → coker θ −→ coker θ00 → 0. De la exactitud de las sucesiones θ0

0 → M0 − → Q00 → Q01 ,

θ00

0 → M 00 −−→ Q000 → Q001

se obtienen la exactitud de las sucesiones 0 → coker θ0 → Q01 ,

0 → coker θ00 → Q001

Si definimos Q1 := Q01 ⊕ Q001 , y repitiendo el proceso empleado para Q0 , se obtiene una sucesión exacta 0 → Q01 → Q1 → Q001 → 0, y el correspondiente diagrama conmutativo de filas y columnas exactas 15.29. De aqu´ı partimos ahora para la construcción de Q2 y de manera sucesiva para la construcción de Qn ,


449

para todo n > 1. Obteniendo una resolución inyectiva 0 → M → QM y un diagrama conmutativo de filas y columnas exactas (15.30)

0

0

/ M0

0

/ Q0M0

0 ϕ

0

/M

ψ

/ QM

/ M 00

/0

/ Q00M00

/0

Lo que muestra el lema. T 15.49. Para toda sucesión exacta 0 → M 0 → M → M 00 → 0, se tiene, para cada n > 0, un homomorfismo δn : Rn F(M 00 ) → Rn+1 F(M 0 ), tal que se obtiene una larga sucesión exacta δn

· · · → Rn F(M 0 ) → Rn F(M) → Rn F(M 00 ) −→ Rn+1 F(M 0 ) → · · · D´. Por lema 15.48 la sucesión exacta 0 → M 0 → M → M 00 → 0, induce la sucesión exacta de resoluciones inyectivas 0 → Q0 → Q → Q00 → 0, Como el funtor F es exacto por la izquierda y para cada grado n, Qn es una suma directa de Q0n y Q00n se tiene la sucesión exacta de complejos 0 → F(Q0 ) → F(Q) → F(Q00 ) → 0, obteniendo lo deseado como una consecuencia inmediata del teorema 15.5.

T 15.50. Dado un morfismo de sucesiones exactas /M / M 00 /0 / M0 0

0

/ N0

/N

/ N 00

/0

se tiene un diagrama conmutativo Rn F(M 00 ) Rn F(N 00 )

δn

δ˜ n

/ Rn+1 F(M 0 ) / Rn+1 F(N 0 )

La demostración de este resultado, siendo meramente técnica, la dejamos al lector como ejercicio. (Ver corolario 15.6). T 15.51. Para todo A-módulo inyectivo Q, Rn F(Q) = 0, para cada n > 0.


450

D´. En efecto, como Q es inyectivo posee la resolución inyectiva 0 → Q → Q → 0. Por consiguiente Rn F(Q) = 0, para cada n > 0.

Dado un funtor F, aditivo y exacto por la izquierda. Decimos que un A-módulo X es F-ac´ıclico, si para todo n > 0 Rn F(X) = 0. El teorema 15.51 nos dice que todo A-módulo inyectivo es F-ac´ıclico. Un resultado muy importante y u´ til para el cálculo de los funtores derivados por la derecha es el hecho que, si 0 → M → XM es una resolución F-ac´ıclica, no necesariamente inyectiva, nos induce el mismo funtor derivado. Ya vimos que el funtor Rn F es independiente de la escogencia de la resolución inyectiva de M, por ser homotópicamente equivalentes. Vamos a mostrar que tambén será independiente de la escogencia de cualquier resolución F-ac´ıclica de M. A tal efecto, empezaremos con el siguiete L 15.52. Sea 0 → Y0 → Y1 → Y2 → · · · una sucesión exacta de A-módulos F-ac´ıclicos, donde F es un funtor covariante, aditivo y exacto por la izquierda. Entonces la sucesión 0 → F(Y 0 ) → F(Y 1 ) → F(Y 2 ) → · · · es exacta. D´. Como F es exacto por la izquierda, se tiene la sucesión exacta 0 → F(Y 0 ) → F(Y 1 ) → F(Y 2 ). Vamos a mostrar que en los siguientes grados sigue siendo exacta. Consideremos el siguiente diagrama, en el cual incluimos los co-núcleos correspondientes, que denotaremos, respectivamente por Z ν , ν > 1: 0

/ Y0

/ Y1 AA AA AA A 1

/ Y2 AA ~> ~ AA ~ AA ~~ ~ A ~~

2

/ Y3 ~> ~ ~~ ~~ ~~

> Z AA > Z AA AA AA }} }} } } AA AA }} }} AA A } } A }} }} 0 0 0 La sucesión exacta 0 → Y 0 → Y 1 → Z1 → 0 induce, por teorema 15.49, la sucesión exacta 0 → F(Y 0 ) → F(Y 1 ) → F(Z 1 ) → R1 F(Y 0 ) = 0. Entonces coker(F(Y 0 ) → F(Y 1 )) ' F(Z 1 ). Por otra parte, la sucesión exacta 0 → Z1 → Y 2 → Y 3 induce la sucesión exacta 0 → F(Z 1 ) → F(Y 2 ) → F(Y 3 ).


451

Por consiguiente, la sucesión 0 → F(Y 0 ) → F(Y 1 ) → F(Y 2 ) → F(Y 3 ) es exacta. De la exactitud de la sucesión 0 → Rn F(Y 1 ) = 0 → Rn F(Z 1 ) → Rn+1 F(Y 0 ) = 0, se deduce que Z 1 es F-ac´ıclico y aplicamos el mismo procedimiento a la sucesión exacta 0 → F(Z 1 ) → F(Y 2 ) → F(Y 3 ), para mostrar la exactitud en el siguiente grado. Esto nos permite, entonces, por inducción sobre n, concluir la demostración, dejando los pormenores al lector, como un ejercicio. T 15.53. Sea 0 → M → XM una resolución F-ac´ıclica, no necesariamente inyectiva y 0 → M → QM una resolución inyectiva del A-módulo M. Entonces existe un morfismo de complejos X M → Q M , extensión del homomorfismo identidad sobre M, el cual induce un isomorfismo H n F(X) ' H n F(Q) = Rn F(M), ∀ n > 0. D´. Por ejercicio 15.1.5,3, podemos escoger, para M, una resolución inyectiva 0 → M → QM , tal que para cada n > 0, X n ⊆ Qn . Entonces se tiene el siguiente diagrama conmutativo de columnas exactas y donde las dos primeras filas son exactas:

0

0

0

0

···

0

/ X0

/ X1

/ X2

/ ···

/ Xν /

/M

/ Q0

/ Q1

/ Q2

/ ···

/ Qν /

0

/ Y0

/ Y1

/ Y2

/ ···

/ Yν /

0

0

0

···

0

/M 1M

0

donde los Y ν , ν > 0, son los co-núcleos respectivos de los homomorfismos verticales. Entonces, para cada ν > 0 y para cada grado k > 0, se tiene la sucesión exacta Rk F(Qν ) → Rk F(Y ν ) → Rk+1 F(X ν ), de la cual resulta que Y ν es F-ac´ıclico para todo ν > 0, ya que tanto Qν , como X ν son F-ac´ıclicos, para todo ν > 0. En particular para k = 0 se tiene la sucesión exacta 0 → F(X ν ) → F(Qν ) → F(Y ν ) → R1 F(X ν ) = 0,

452


por lo que se tiene una sucesión exacta de complejos 0 → F(X) → F(Q) → F(Y) → 0, la cual induce la sucesión exacta de módulos de homolog´ıa · · · → H n−1 (F(Y)) → H n (F(X)) → H n (F(Q)) → H n (F(Y)) → · · · . Ahora bien, por lema 15.52, la sucesión 0 → F(Y 0 ) → F(Y 1 ) → F(Y 2 ) → · · · es exacta, por lo que H ν (F(Y)) = 0, ∀ ν > 0, de donde resulta que H n (F(X)) ' H n (F(Q)) = Rn F(M),

∀ n > 0.

15.3.2. Funtor Derivado por la Izquierda. En forma dual al funtor derivado por la derecha se define el funtor derivado por la izquierda, invirtiendo todas las flechas. Sea M un A-módulo y PM → M → 0 una resolución proyectiva de M y T un funtor aditivo y exacto por la derecha. Consideremos el complejo descendente · · · → Pn → · · · → P2 → P1 → P0 → 0. Aplicando el funtor T obtenemos el complejo · · · → T (Pn ) → · · · → T (P2 ) → T (P1 ) → T (P0 ) → 0. Definimos el funtor derivado por la izquierda Ln T , por Ln T (M) := Hn (T (P)). Por la exactitud por la derecha de T , se obtiene de forma inmediata que L0 T (M) ' T (M). Dejamos al lector, como ejercicio, la demostración de los siguientes teoremas, los cuales se obtienen invirtiendo las flechas en los teoremas correspondientes para el funtor derivado por la derecha. T 15.54. El funtor Ln T , es, para cada n > 0, un funtor aditivo de la categor´ıa de los A-módulos en la categor´ıa de los A-módulos y es independiente de la resolución proyectiva escogida. T 15.55. Para toda sucesión exacta 0 → M 0 → M → M 00 → 0, se tiene, para cada n > 0, un homomorfismo δn : Ln T (M 00 ) → Ln−1 T (M 0 ), tal que se obtiene una larga sucesión exacta δn

· · · → Ln T (M 0 ) → Ln T (M) → Ln T (M 00 ) −→ Ln−1 T (M 0 ) → · · ·

15.4. LOS FUNTORES Ext Y Tor

453

T 15.56. Dado un morfismo de sucesiones exactas / M0 /M / M 00 /0 0 / N0

0

/ N 00

/N

/0

se tiene un diagrama conmutativo Ln T (M 00 ) Ln T (N 00 )

δn

δ˜ n

/ Ln−1 T (M 0 ) / Ln−1 T (N 0 )

T 15.57. Para todo A-módulo proyectivo P, Ln T (P) = 0, para cada n > 0. T 15.58. Sea XM → M → 0 una resolución T -ac´ıclica, no necesariamente proyectiva y PM → M → 0 una resolución proyectiva del A-módulo M. Entonces existe un morfismo de complejos P M → X M , extensión del homomorfismo identidad sobre M, el cual induce un isomorfismo Hn T (X) ' Hn T (P) = Ln T (M), ∀ n > 0. 15.4.

Los Funtores Ext y Tor

En esta sección trataremos los funtores derivados para los funtores F := HomA (N, ) y T := N⊗, donde N es un A-módulo fijo. 15.4.1. El funtor Ext. De los ejercicios 10.1.1,10 y 10.1.1,12, resulta que, para un anillo conmutativo A, HomA ( , ) es un bifuntor aditivo, covariante en la segunda variable y contravariante en la primera. Para un A-módulo E fijo HomA (E, ) es exacto por la izquierda.(Ver teorema 4.41 y ejercicio 10.1.1,12 ). En general, el lector podrá comprobar las siguientes propiedades fundamentales del bifuntor HomA ( , ): H1 HomA ( , ) es contravariante en la primera variable y exacto por la izquierda. H2 HomA ( , ) es covariante en la segunda variable y exacto por la izquierda. H3 Si Q es un A-módulo inyectivo, entonces HomA ( , Q) es un funtor exacto. H4 Si P es un A-módulo proyectivo, entonces HomA (P, ) es un funtor exacto. Si F E := HomA (E, ), donde E es un A-módulo fijo, entonces F E es un funtor aditivo y covariante. Entonces definimos ExtnA (E, ) := Rn F E . Dado un A-módulo M, entonces ExtnA (E, M) := Rn F E (M),

ExtA (E, M) :=

M

Extν (E, M).

ν∈N

Cuando no haya confusión respecto de qué anillo estamos considerando los módulos, eliminaremos, por facilidad de notación, al sub´ındice A. De las propiedades del funtor derivado por la derecha, se obtienen las siguientes propiedades para Extn (E, ):

454


1. Ext0 (E, M) = HomA (E, M). 2. Ext(E, M) es independiente de la resolución inyectiva escogida. 3. Toda sucesión exacta 0 → M 0 → M → M 00 → 0, induce, para cada n > 0 un homomorfismo δn : Extn (E, M 00 ) → Extn+1 (E, M 0 ) y una sucesión larga exacta δ0

0 → HomA (E, M 0 ) → HomA (E, M) → HomA (E, M 00 ) −→ Ext1 (E, M 0 ) → · · · δn

→ Extn (E, M 0 ) → Extn (E, M) → Extn (E, M 00 ) −→ Extn+1 (E, M 0 ) → · · · 4. Dado un morfismo de sucesiones exactas /M / M 00 / M0 0 / N0

0

/ N 00

/N

/0 /0

se tiene, para cada n > 0, un diagrama conmutativo Extn (E, M 00 ) Extn (E, N 00 )

δn

δ˜ n

/ Extn+1 (E, M 0 ) / Extn+1 (E, N 0 )

5. Si M es un A-módulo inyectivo, entonces Extn (E, M) = 0,

∀ n > 0.

O´. Algunos autores definen el funtor Extn (E, ) de forma axiomática, utilizando estas propiedades como axiomas. 15.4.2. Ejercicios y Complementos. 1. Si F es un funtor contravariante, aditivo y exacto por la izquierda y PM → M → 0 una resolución proyectiva del A-módulo M, entonces la sucesión exacta · · · → Pn → Pn−1 → · · · → P1 → P0 → M → 0 induce el complejo 0 → F(M) → F(P0 ) → F(P1 ) → · · · → F(Pn ) → · · · Consideremos el complejo 0 → F(P0 ) → F(P1 ) → F(P2 ) → · · · → F(Pn ) → · · · Entonces al funtor rn F(M) := H n (F(P)) lo llamamos el funtor derivado por la derecha del funtor contravariante F. Mostrar que rn F posee las propiedades mostradas para un funtor derivado por la derecha.


455

2. Sea E un A-módulo fijo y F E := HomA ( , E). Definimos extnA (M, E) := rn F E (M). Mostrar que extnA (M, E) satisface las propiedades 1. - 5. (¡Atención con el sentido de las flechas!). En particular se tiene Ext0A (M, E) ' HomA (M, E) ' ext0A (M, E). 3. Sea M un A-módulo y 0 → M → Q M una resolución inyectiva de M. Dada la sucesión exacta 0 → N 0 → N → N 00 → 0 de A-módulos, mostrar que la sucesión corta de complejos 0 → HomA (N 00 , Q M ) → HomA (N, Q M ) → HomA (N 0 , Q M ) → 0 es exacta y por consiguiente induce una sucesión larga y exacta: δ1

0 → HomA (N 00 , Q M ) → HomA (N, Q M ) → HomA (N 0 , Q M ) −→ Ext1A (N 00 , M) → · · · 4. Sea M un A-módulo y P M → M → 0 una resolución proyectiva. Dada una sucesión corta exacta 0 → N 0 → N → N 00 → 0, mostrar que la sucesión corta de complejos 0 → HomA (P M , N 0 ) → HomA (P M , N) → HomA (P M , N 00 ) → 0 es exacta y, por consiguiente induce una sucesión larga y exacta δ1

0 → HomA (M, N 0 ) → HomA (M, N) → HomA (M, N 00 ) −→ ext1A (M, N) → · · · 5. Mostrar que si P es un A-módulo proyectivo, entonces, para cualquier A-módulo N ExtAp (P, N) = extAp (P, N) = 0, para p > 1. 6. Sea E un A-módulo. Una sucesión corta y exacta 0 → K → P → E → 0, donde P es un A-módulo proyectivo, se llama una presentación proyectiva del módulo E. De la presentación proyectiva para E y las sucesiones exactas para ExtA (E, M) y extA (E, M) deducir la exactitud de las siguientes sucesiones: (15.31) (15.32) (15.33) (15.34)

0 → HomA (E, M) → HomA (P, M) → HomA (K, M) → Ext1A (E, M) → 0 0 → ExtAp (K, M) → ExtAp+1 (E, M) → 0,

p > 2.

para

0 → HomA (E, M) → HomA (P, M) → HomA (K, M) → ext1A (E, M) → 0 0 → extAp (K, M) → extAp+1 (E, M) → 0,

para

p > 2.

7. De las sucesiones exactas (15.31) y (15.33), deducir que Ext1A (E, M) = ext1A (E, M).

456


8. Utilizar la exactitud de las sucesiones (15.32) y (15.34) para mostrar, por inducción sobre p que ExtAp (E, M) ' extAp (E, M),

∀p > 0

y deducir, entonces, que el funtor ExtA (E, ) es equivalente al funtor extA (E, ), donde ExtAp (E, M) es obtenido dejando E fijo y utilizando una resolución inyectiva para M y extAp (E, M) es obtenido dejando M fijo y utilizando una resolución proyectiva para E. Cuando en una categor´ıa abeliana no existen suficientes elementos inyectivos, pero s´ı suficientes elementos proyectivos, etonces se substituye Ext por ext. 9. Sea M un A-módulo. Dada una sucesión exacta de A-módulos 0 → K → Pr−1 → Pr−2 → · · · → P0 → M → 0, donde los Pρ son proyectivos, para 0 6 ρ 6 r − 1. Mostrar, por inducción sobre i, que para todo A-módulo N ExtiA (K, N) ' Exti+r A (M, N),

∀ i > 0.

10. Sea N un A-módulo. Dada una sucesión exacta de A-módulos 0 → N → Q0 → Q1 → · · · → Qr−1 → E → 0, donde los Qρ son módulos inyectivos, para 0 6 ρ 6 r − 1. Mostrar, por inducción sobre i, que para todo A-módulo M ExtiA (M, E) ' Exti+r A (M, N),

∀ i > 0.

En particular una sucesión exacta 0 → N → Q → E → 0, donde Q es inyectivo, se llama una extensión inyectiva de N. Mostrar que entonces Ext1A (M, N) es isomorfo a un cociente de HomA (M, E). 11. Dado un A-módulo M, mostrar que las siguientes condiciones son equivalentes: i) Existe una sucesión exacta 0 → Pr → Pr−1 → Pr−2 → · · · → P0 → M → 0, donde los Pρ son proyectivos, para 0 6 ρ 6 r. ii) Si se tiene una sucesión exacta 0 → K → Pr−1 → Pr−2 → · · · → P0 → M → 0, donde los Pρ son proyectivos, para 0 6 ρ 6 r − 1. Entonces K es proyectivo. iii) Para cualquier A-módulo N y para todo entero n > r ExtnA (M, N) = 0. iv) Para cualquier A-módulo N Extr+1 A (M, N) = 0. Al número más pequeño r, tal que, para cualquier A-módulo N Extr+1 A (M, N) = 0. lo llamamos la dimensión proyectiva de M, denotada por Proj. dimA M. En caso en que no exista un tal r, definimos Proj. dimA M := ∞. Para M := 0 se define Proj. dimA 0 := −∞. 12. Dado un A-módulo N, mostrar que las siguientes condiciones son equivalentes:


457

i) Existe una sucesión exacta 0 → N → Q0 → Q1 → · · · → Qr → 0, donde los Qρ son inyectivos, para 0 6 ρ 6 r. ii) Si se tiene una sucesión exacta 0 → N → Q0 → P1 → · · · → Qr−1 → E → 0, donde los Qρ son inyectivos, para 0 6 ρ 6 r − 1. Entonces E es inyectivo. iii) Para cualquier A-módulo M y para todo entero n > r ExtnA (M, N) = 0. iv) Para cualquier A-módulo N Extr+1 A (M, N) = 0. Al número más pequeño r, tal que, para cualquier A-módulo M Extr+1 A (M, N) = 0. lo llamamos la dimensión inyectiva de N, denotada por Inj. dimA N. En caso en que no exista un tal r, definimos Inj. dimA N := ∞. Para N := 0 se define Inj. dimA 0 := −∞. 13. Mostrar que sup{Proj. dimA M | M A-módulo} = sup{Inj. dimA M | M A-módulo}, llamada la dimensión cohomológica del anillo A y denotada por Coh. dim A 15.4.3. El Funtor Tor. Sea E un A-módulo fijo. Entonces el funtor T E := E⊗A es un funtor covariante y exacto por la derecha. Entonces, dado un A-módulo M y una resolución proyectiva de M PM → M → 0 definimos TornA (E, M) := Ln T E (M),

TorA (E, M) :=

M

TornA (E, M).

ν∈N

Cuando no haya confusión respecto de qué anillo estamos considerando los módulos, eliminaremos, por facilidad de notación, al super´ındice A. De las propiedades del funtor derivado por la izquierda, se obtienen las siguientes propiedades para Torn (E, ): 1. Torn (E, M) = E ⊗A M. 2. Tor(E, M) es independiente de la resolución proyectiva escogida. 3. Toda sucesión exacta de A-módulos 0 → M 0 → M → M 00 → 0 induce, para cada n > 0 un homomorfismo δn : Torn (E, M 00 ) → Torn−1 (E, M 0 ) y una sucesión larga exacta δn

δn−1

→ Torn (E, M 00 ) −→ Torn−1 (E, M 0 ) → Torn−1 (E, M) → Torn−1 (E, M 00 ) −−−→ Torn−2 (E, M 0 ) → δ1

· · · → Tor1 (E, M 00 ) −→ E ⊗A M 0 → E ⊗A M → E ⊗A M 00 → 0.

458


4. Dado un morfismo de sucesiones exactas / M0 /M / M 00 0

0

/ N0

/ N 00

/N

/0 /0

se tiene, para cada n > 0, un diagrama conmutativo δn

Torn (E, M 00 )

/ Torn−1 (E, M 0 )

δ˜ n / Torn−1 E, N 0 ) Torn (E, N 00 ) 5. Si M es proyectivo, entonces, para cualquier A-módulo E Torn (E, M) = 0,

∀ n > 0.

6. Si E es un A-módulo plano, entonces, para cualquier A-módulo M Torn (E, M) = 0,

∀ n > 0,

ya que, en tal caso, el funtor T E es exacto. O´. A diferencia del bifuntor HomA ( , ) el bifuntor ⊗A es simétrico, por lo que se tiene que Tor(M, E) ' Tor(E, M). Incluso es irrelevante si la resolución es del módulo E o si es del módulo M (Ver serie de ejercicio y complementos 15.4.4). También algunos autores introducen este funtor de forma axiomática, tomando como axiomas las propiedades arriba mencionadas. Particularmente interesante es el caso en que A es un anillo principal, por ejemplo Z. Caso que se dá principalmente en topolog´ıa algebraica, donde el complejo de cadenas, de los simplicios singulares, que se asocia a un espacio topológico es un A-módulo libre, donde A es, por lo usual Z. Como sabemos, si A es un anillo principal, entonces todo submódulo de un A-módulo libre es también libre y todo A-módulo M posee una resolución libre corta de la forma 0 → P1 → P0 → M → 0. Por consiguiente, para cualquier A-módulo E, Torq (E, M) = 0,

∀ q > 1.

Dados dos A-módulos M, N sobre un anillo principal A, se define el producto de torsión como M ∗ N := Tor1 (M, N.) Por definición ∗ es conmutativo, ya que Tor1 (M, N) = Tor1 (N, M). Si M es un A-módulo libre, entonces, de las propiedades de TorA , resulta que, para cualquier A-módulo N M ∗ N = 0. Si M es un A-módulo generado por un u´ nico elemento m, entonces M ' A/(v), donde vm = 0 y se tiene la resolución ϕ

0→A→ − A → M → 0, donde ϕ(a) := av. Dado un A-módulo N obtenemos el complejo 1N ⊗ϕ

0 → N ⊗A A −−−−→ N ⊗A A → 0.


459

Como N ⊗A A ' N, el homomorfismo 1N ⊗ϕ no es otra cosa que producto por v y se obtiene N ∗ M = ker(1N ⊗ ϕ) := {n ∈ N | vn = 0}. El siguiente teorema nos aclara el nombre de producto de torsión. T 15.59. Si N o M son A-módulos libres de torsión, donde A es un dominio principal, entonces M ∗ N = 0. D´. Haremos la demostración para el caso en que M y N son finitamente generados. Si M es finitamente generado, entonces, por ser libre de torsión es libre y por consiguiente M ∗ N = 0. Por otra parte, si N es libre, entonces es plano y M ∗ N = 0. La demostración del teorema 15.59 puede ser generalizado para cualesquier A-módulos libres de torsión sobre un dominio entero. La demostración utiliza el hecho que todo A-módulo es l´ımite directo de sus submódulos finitamente generados y que el producto tensorial conmuta con l´ımites directos. (Ver ejercicios 13.2.8,8 y 14.1.3,9) Si A es un dominio principal, entonces, dados dos A-módulos M, N, y la resolución corta P1 → P0 → M → 0 se tiene la sucesión exacta 0 → M ∗ N → P1 ⊗ N → P0 ⊗ N → M ⊗ N → 0 Si 0 → M 0 → M → M 00 → 0 es una sucesión corta y exacta de A-módulos, donde A es un dominio principal, entonces, para cualquier A-módulo N, de la sucesión larga para TorA se obtiene la sucesión exacta (15.35)

0 → M 0 ∗ N → M ∗ N → M 00 ∗ N → M 0 ⊗ N → M ⊗ N → M 00 ⊗ N → 0.

El siguiente teorema es una consecuencia inmediata de la sucesión exacta larga de TorA : T 15.60. Dada la sucesión exacta 0 → M 0 → M → M 00 → 0 de A-módulos sobre un dominio principal A y dado un A-módulo N, si N o M 00 es libre de torsión , entonces la sucesión 0 → M 0 ⊗ N → M ⊗ N → M 00 ⊗ N → 0 es exacta. 15.4.4. Ejercicios y Complementos. 1. Sea P M → M → 0 una resolución proyectiva del A-módulo M y 0 → E 0 → E → E 00 → 0 una sucesión exacta de A-módulos. Si (P• , d) es el complejo P M → 0, mostrar que la sucesión corta de complejos 0 → E 0 ⊗ P• → E ⊗ P• → E 00 ⊗ P• → 0


460

es exacta y se tiene una sucesión larga y exacta: δn

δn−1

→ Torn (E 00 , M) −→ Torn−1 (E 0 , M) → Torn−1 (E, M) → Torn−1 (E 00 , M) −−−→ Torn−2 (E 0 , M) → δ1

· · · → Tor1 (E 00 , M) −→ E 0 ⊗ M → E ⊗A M → E 00 ⊗ M → 0. 2. Sea Sea PE → E → 0 una resolución proyectiva del A-módulo E. Dado un A-módulo M, consideremos el funtor T M := ⊗A M y definamos M tornA (E, M) := Ln T M (E), torA := torνA (E, M). ν

Mostrar que tor cumple con las propiedades 1.-6. del funtor TorA y también con la propiedad descrita en el ejercicio precedente. En particular tor0A (E, M) = Tor0A (E, M) = E ⊗A M. 3. Sea E un A-módulo y A

0 → K → P → E → 0, presentación proyectiva del módulo E. De la sucesión larga para TorA y torA , inducida por la presentación proyectiva para el módulo E, deducir la exactitud de las siguientes sucesiones: para n > 2.

(15.36)

0 → Torn (E, M) → Torn−1 (K, M) → 0,

(15.37)

0 → Tor1 (E, M) → K ⊗ M → P ⊗ M → E ⊗ M → 0.

(15.38)

0 → torn (E, M) → torn−1 (K, M) → 0,

(15.39)

0 → tor1 (E, M) → K ⊗ M → P ⊗ M → E ⊗ M → 0.

para

n > 2.

4. Deducir de las sucesiones (15.37) y (15.39), que Tor1 (E, M) = tor1 (E, M). 5. De las sucesiones (15.36) y (15.38), deducir, por inducción que, para n > 2 Torn (E, M) ' torn (E, M). Concluir que el funtor torA es equivalente al funtor TorA , por lo que es irrelevante si tomamos una resolución proyectiva para M o si la tomamos para E. 6. Sean α

α0

0 → K 0 −→ P0 → N → 0

0→K→ − P → M → 0,

presentaciones proyectivas de los A-módulos M, N respectivamente. Utilizar la equivalencia de los funtores TorA y torA , para mostrar: a) TornA (M, N) ' Torn−2 (K, K 0 ), para n > 2. b) Tor2A (M, N) ' ker(α ⊗A α0 ). 7. Sea M un A-módulo. Dada una sucesión exacta de A-módulos 0 → K → Pr−1 → Pr−2 → · · · → P0 → M → 0, donde los Pρ son proyectivos, para 0 6 ρ 6 r − 1. Mostrar, por inducción sobre i, que para todo A-módulo N A Tori+r (M, N) ' ToriA (K, N)

para todo i > 0.

y

A Tori+r (N, M) ' ToriA (N, K),


461

¨ 15.4.5. Teorema Universal de los Coeficientes y Fórmula de Kunneth. Una de las aplicaciones del funtor TorA es en la teor´ıa de homolog´ıa con coeficientes en un Amódulo N, utilizada en la topolog´ıa y geometr´ıa algebraicas. En esta subsección trataremos el teorema de los coeficientes universales, el cual nos relaciona la homolog´ıa del complejo (C• ⊗N, d⊗1N ) con la homolog´ıa del complejo (C• , d). Por otra parte la fórmula de Künneth nos relaciona la homolog´ıa del producto tensorial de dos complejos con la homolog´ıa de cada uno de los complejos. Sea entonces (C• , d) un complejo de cadenas y N un A-módulo. Consideremos el complejo (C• ⊗ N, d ⊗ 1N ) y sea Hn (C, N) := Hn (C ⊗ N), entonces M H(C, N) := Hν (C, N) ν∈Z

es llamado el A-módulo graduado de homolog´ıa con coeficientes en N. Dado un morfismo de complejos ˜ ϕ : (C• , d) → (C˜ • , d), e´ ste induce un morfismo de complejos ϕ ⊗ 1N : (C• ⊗ N, d ⊗ 1N ) → (C˜ • ⊗ N, d˜ ⊗ 1N ). De igual manera, si ϕ:N →G es un homomorfismo de A-módulos, entonces induce un morfismo de complejos 1C ⊗ ϕ : (C• ⊗ N, d ⊗ 1N ) → (C• ⊗ G, d ⊗ 1G ), as´ı como homomorfismos de A-módulos graduados ˜ N), ϕ∗ : H(C, N) → H(C,

ϕ∗ : H(C, N) → H(C, G),

respectivamente. Como el lector comprobará facilmente, si z ∈ Zq (C), entonces z ⊗ n ∈ Zq (C ⊗ N) e igualmente, si b ∈ Bq (C), entonces b ⊗ n ∈ Bq (C ⊗ N) y se tiene una aplicación bilineal Hq (C) × N → Hq (C, N), definida por (¯z, n) 7→ z ⊗ n, la cual induce un homomorfismo (15.40)

µ : Hq (C) ⊗ N → Hq (C, N).

Decimos que un complejo (C• , d) posee una propiedad P, si para cada q ∈ Z, Cq posee la propiedad P. Entre otras, P puede ser : ser inyectivo, proyectivo, libre, libre de torsión, etc. Decimos que una sucesión exacta de coplejos 0 → C•0 → C• → C•00 → 0 escinde, si para cada q ∈ Z, la sucesión 0 → Cq0 → Cq → Cq00 → 0 escinde. T 15.61. Sea 0 → C•0 → C• → C•00 → 0 una sucesión exacta de complejos que escinde y N un A-módulo. Entonces existe un homomorfismo δn : Hn (C 00 , N) → Hn−1 (C 0 , N)


462

y una sucesión larga exacta δn

δn−1

· · · → Hn (C 00 , N) −→ Hn−1 (C 0 , N) → Hn−1 (C, N) → Hn−1 (C 00 , N) −−−→ Hn−2 (C 0 , N) → · · · D´. En efecto, como la sucesión escinde, se tiene una sucesión exacta 0 → C•0 ⊗ N → C• ⊗ N → C•00 ⊗ N → 0. El teorema resulta entonces como una consecuencia inmediata del lema de serpiente.

T 15.62. Sea 0 → M 0 → M → M 00 → 0 una sucesión exacta de A-módulos y (C• , d) un complejo libre de torsión, donde A es un dominio principal. Entonces, para cada n ∈ Z existe un homomorfismo δn : Hn (C, M 00 ) → Hn−1 (C, M 0 ) y una sucesión larga y exacta de A-módulos de homolog´ıa δn

δn−1

· · · → Hn (C, M 00 ) −→ Hn−1 (C, M 0 ) → Hn−1 (C, M) → Hn−1 (C, M 00 ) −−−→ Hn−2 (C, M0 ) → · · · D´. En efecto, como M 00 es libre de torsión, por teorema 15.60, la sucesión de complejos 0 → C• ⊗ M 0 → C• ⊗ M → C• ⊗ M 00 → 0 es exacta. El teorema es entonces una consecuencia del lema de serpiente. El homomorfismo de conexión δn : Hn (C, M 00 ) → Hn−1 (C, M 0 ) se llama el homomorfismo de homolog´ıa de Bockstein. T 15.63 (Teorema Universal de los Coeficientes). Sea A un dominio principal, (C• , d) un complejo libre y N un A-módulo. Entonces se tiene una sucesión exacta y funtorial, que escinde (15.41)

µ

0 → Hq (C) ⊗ N → − Hq (C ⊗ N) → Hq−1 (C) ∗ N → 0,

donde µ es el homomorfismo definido en (15.40) ˜ donde Zq := Zq (C), y D´. Consideremos los siguientes complejos: (Z• , d), ¯ donde Bq := bq−1 (C) y d¯q = 0, ∀ q ∈ Z. Entonces se tiene la d˜q = 0, ∀ q ∈ Z. (B• , d), sucesión exacta de complejos β

α

0 → Z• → C• → B• → 0, donde αq (z) := z ∈ Cq , β(b) := dq (b) y la cual escinde, ya que B• es, como subcomplejo de un complejo libre, un complejo libre. Entonces se tiene la sucesión exacta α∗

β∗

δq

· · · → Hq (Z, N) −−→ Hq (C, N) −→ Hq (B, N) −→ Hq−1 (Z, N) → · · · Como d˜ = d¯ = 0, también d˜ ⊗ 1N = d¯ ⊗ 1N = 0, por lo que Hq (Z, N) = Zq ⊗ N y Hq (B, N) = Bq ⊗ N = Bq−1 (C) ⊗ N y la sucesión adquiere la forma γq ⊗1N

γq−1 ⊗1N

· · · → Bq ⊗ N −−−−→ Zq (C) ⊗ N → Hq (C, N) → Bq−1 ⊗ N −−−−−−→ Zq−1 (C) ⊗ N → · · · donde γq es la inclusión Bq (C) ⊆ Zq (C), y, como el lector comprobará, δq+1 := γq ⊗ 1N , ∀ q ∈ Z. Entonces en cada grado q ∈ Z, se tiene la sucesión exacta 0 → coker(γq ⊗ 1N ) → Hq (C.N) → ker(γq−1 ⊗ 1N ) → 0.


463

Como, por hipótesis, Zq (C) es libre, para cada q ∈ Z, la sucesión 0 → Bq (C) → Zq (C) → Hq (C) → 0 es una resolución libre de Hq (C), para cada q ∈ Z y se tiene la sucesión exacta γq ⊗1N

0 → Hq ∗ G → Bq (C) ⊗ G −−−−→ Zq (C) ⊗ N → Hq (C) ⊗ N → 0. Entonces coker(γq ⊗ 1N ) ' Hq ⊗ N y ker(γq ⊗ 1N ) ' Hq (C) ∗ N, lo que nos da la sucesión exacta 0 → Hq (C) ⊗ N → Hq (C ⊗ N) → Hq−1 (P) ∗ N → 0. El lector comprobará facilmente, que el homomorfismo Hq ⊗ N → Hq (C, N) es el homomorfismo µ definido en (15.40). La funtorialidad de (15.41), resulta del corolario 15.6, ya que, si ˜ τ : (C• , d) → (C˜ • , d) es un morfismo de complejos, entonces τ induce un morfismo de sucesiones exactas de complejos 0

/ Z•

α

0

β

τ

τ0

/ Z˜•

/ C•

α˜

/ C˜ •

/ B•

/0

τ00

β˜

/ B˜ •

/0

La sucesión(15.41) escinde: En efecto, como Bq (C) es libre y dq [Cq ] = Bq−1 (C) = Bq , existe un homomorfismo hq : Bq−1 (C) → Cq , tal que dq ◦ hq = 1Bq . Por la conmutatividad del diagrama Bq−1 (C) ⊗ N

hq ⊗1N

γq−1 ⊗1N

Zq−1 (C) ⊗ N

/ Cq ⊗ N

αq−1 ⊗1N

dq ⊗1N

/ Cq−1 ⊗ N

hq ⊗ 1N [ker(γq−1 ⊗ 1N ] ⊆ Zq (C, N). Como ker(γq−1 ⊗ 1N ) ' Hq (C) ∗ N, hq ⊗ 1N induce un homomorfismo Hq (C) ∗ N → Hq (C, N) el cual es un inverso, por la derecha, del homomorfismo Hq (C, N) → Hq (C) ∗ N. Por consiguiente la sucesión (15.41) escinde.

La sucesión (15.42), obtenida de la sucesión exacta para TorA , se puede obtener como un corolario al teorema universal de los coeficientes 15.63, por medio de una resolución libre para el A-módulo N, en lugar de darnos resoluciones de los módulos de la sucesión corta. C 15.64. Dada la sucesión exacta 0 → M 0 → M → M 00 → 0


464

de A-módulos, sobre un dominio principal A y un A-módulo N, entonces se tiene la sucesión exacta (15.42)

0 → N ∗ M 0 → N ∗ M → N ∗ M 00 → N ⊗ M 0 → N ⊗ M → N ⊗ M 00 → 0.

D´. Sea 0 → P1 → P0 → N → 0 una resolución libre de N y consideremos el complejo (P• , d) formado por PN y en el cual Pn := 0, ∀ n > 1 y n < 0, entonces H1 (P) = 0 y H0 (P) ' N. Como el complejo (P• , d) es libre, resulta del teorema 15.60, que la sucesión de complejos 0 → P ⊗ M 0 → P ⊗ M → P ⊗ M 00 → 0 es exacta y por teorema 15.62, induce una larga sucesión exacta δn

δn−1

· · · → Hn (P, M 00 ) −→ Hn−1 (P, M 0 ) → Hn−1 (P, M) → Hn−1 (P, M 00 ) −−−→ Hn−2 (P, M0 ) → · · · Por el teorema universal de los coeficientes 15.63, se tiene las sucesiónes exactas µ

0 → Hq (P) ⊗ M 0 → − Hq (P ⊗ M 0 ) → Hq−1 (P) ∗ M 0 → 0, µ

0 → Hq (P) ⊗ M → − Hq (P ⊗ M) → Hq−1 (P) ∗ M → 0, µ

0 → Hq (P) ⊗ M 00 → − Hq (P ⊗ M 00 ) → Hq−1 (P) ∗ M 00 → 0, Como Hq (P) = 0, ∀ q > 0, entonces Hq (P, M 0 ) = Hq (P, M) = Hq (P, M 00 ) = 0, ∀ q > 1 y para q = 1 se tienen las sucesiones exactas 0 → H1 (P, M 0 ) → H0 (P) ∗ M 0 → 0,

0 → H1 (P, M) → H0 (P) ∗ M → 0,

00

0 → H1 (P, M ) → H0 (P) ∗ M 00 → 0, donde H0 (P) ' N. Substituyendo en la sucesión larga, se obtiene la sucesión (15.42).

Del corolario 15.64 se obtiene el siguiente C 15.65. Sean T (M) y T (N) los submódulos de torsión de los A-módulos M y N respectivamente, donde A es un dominio principal. Entonces M ∗ N = T (M) ∗ T (N). Es decir que el producto de torsión depende u´ nicamente de los submódulos de torsión respectivos. D´. En efecto, consideremos las siguientes sucesiones exactas: (15.43)

0 → T (M) → M → M/T (M) → 0

y (15.44)

0 → T (N) → N → N/T (N) → 0

entonces M/T (M) y N//T (N) son libres de torsión y por teorema 15.59, M ∗ N/T (N) = 0, entonces de la sucesión exacta (15.42), se obtiene la sucesión exacta 0 → M ∗ T (N) → M ∗ N → 0, es decir M ∗ T (N) ' M ∗ N. Por otra parte tensorizando la sucesión (15.44) con T (N) y considerando, que por teorema 15.59, T (N) ∗ M/T (M) = 0, se obtiene, de la sucesión exacta (15.42), la sucesión exacta 0 → T (M) ∗ T (N) → M ∗ N → 0. Por consiguiente M ∗ N ' T (M) ∗ T (N).


465

Considerando que todo complejo sobre un dominio principal A posee una aproximación libre, u´ nica, salvo equivalencia homotópica, el teorema 15.63 posee la siguiente generalización: T 15.66. Sean (C• , d) un complejo y N un A-módulo, tales que el complejo ((C ∗ N)• , d ∗ 1N ), donde (C ∗ N)q := Cq ∗ N, sea ac´ıclico, entonces existe una sucesión exacta y funtorial µ

0 → Hq (C) ⊗ N → − Hq (C ⊗ N) → Hq−1 (C) ∗ N → 0,

(15.45)

donde µ es el homomorfismo definido en (15.40), la cual escinde. D´. Sea τ : C˜ • → C• una aproximación libre de C• y C¯ • := ker τ, el cual es un complejo libre y ac´ıclico. Se tiene entonces la sucesión exacta de complejos i τ 0 → C¯ • → − C˜ • → − C• → 0,

de la cual se deduce el isomorfismo ˜ ' H(C). H(C) Por otra parte se tiene la sucesión exacta de complejos τ⊗1N

i⊗1N

0 → C• ∗ N → C¯ • ⊗ N −−−→ C˜ • ⊗ N −−−−→ C• ⊗ N → 0, de la cual se deducen las sucesiones exactas 0 → C• ∗ N → C˜ • ⊗ N → Im(i ⊗ 1N ) → 0 τ⊗1N

0 → Im(i ⊗ 1N ) → C˜ • ⊗ N −−−−→→ C• ⊗ N → 0 De la primera sucesión, teniendo en cuenta que, por hipótesis, C• ⊗ N es ac´ıclico y que, por el teorema 15.63, también C¯ • ⊗ N es ac´ıclico, resulta que Im(i ⊗ 1N ) es también ac´ıclico. Entonces de la segunda sucesión resulta que (τ ⊗ 1N )∗ : H(C˜ ⊗ N) → H(C ⊗ N) es un isomorfismo. Entonces el teorema resulta del siguiente diagrama conmutativo, cuyas columnas son isomorfismos y la primera fila es exacta, por teorema 15.63 0

/ Hq (C) ˜ ⊗N

µ

τ∗ ⊗1N

0

/ Hq (C) ⊗ N

/ Hq (C˜ ⊗ N) (τ⊗1N )∗

µ

/ Hq (C ⊗ N)

/ Hq−1 (C) ˜ ∗N

/0

τ∗ ∗1N

/ Hq−1 (C) ∗ N

/0

Del lema 15.29, resulta la independencia de la aproximación libre escogida y la funtorialidad de la sucesión (15.45). ˜ → (C• , d) un morfismo de complejos libres de C 15.67. Sea τ : (C˜ • , d) ˜ torsión, tal que τ∗ : H(C) → H(C) es un isomorfismo. Entonces para cualquier A-módulo N, donde A es un dominio principal, τ induce un isomorfismo ˜ N) → H(C, N) (τ ⊗ 1N )∗ : H(C,


466

˜ (C• , d) son libres de torsión los complejos D´. Como (C˜ • , d), ˜ ˜ ((C ∗ N)• , d ∗ 1N ) y ((C ∗ N)• , d ∗ 1N ) son idénticos al complejo 0 y, por consiguiente, ac´ıclicos. Entonces, por teorema 15.66, se tiene el siguiente diagrama conmutativo 0

/ Hq (C) ˜ ⊗N

µ

τ∗ ⊗1N

0

/ Hq (C) ⊗ N

/ Hq (C˜ ⊗ N) (τ⊗1N )∗

µ

/ Hq−1 (C) ˜ ∗N

/0

τ∗ ∗1N

/ Hq (C ⊗ N)

/ Hq−1 (C) ∗ N

/0

de filas exactas y donde los homomorfismos laterales son isomorfismos, entonces, por el cinco-lema 15.2, el homomorfismo del medio también es un isomorfismo. ˜ (C• , d) dos complejos y ((C ⊗ C) ˜ • , ∂) el complejo producto tensorial. Sean (C˜ • , d), Vamos a ver que el teorema universal de los coeficientes puede ser generalizado a dicho producto tensorial, obteniendo la llamada fórmula de Künneth. Para empezar, el homomorfismo µ, definido en (15.40), se generaliza de forma natural a un homomorfismo ˜ q → Hq (C ⊗ C). ˜ (15.46) µ : (H(C) ⊗ H(C)) Se tiene, entonces, el siguiente ˜ (C• , d) dos complejos, donde T 15.68 (Teorema de Künneth). Sean (C˜ • , d), ˜ es un complejo libre. Entonces se tiene una sucesión exacta (C˜ • , d) (15.47)

µ

˜ q→ ˜ → (H(C) ∗ H(C)) ˜ q−1 → 0, 0 → (H(C) ⊗ H(C)) − Hq (C ⊗ C)

donde µ es el homomorfismo definido en (15.46), la cual es funtorial. Además la sucesión (15.47) escinde, si (C• , d) es también libre. D´. Como en la demostración del teorema 15.63, definimos los complejos, ¯ y ( B˜ • , d), ¯ cuyos diferenciales son triviales y Z˜q := Zq (C) ˜ y B˜ q := Bq−1 (C). ˜ Se tiene (Z˜• , d) entonces la sucesión exacta de complejos 0 → Z˜• → C˜ → B˜ • → 0, la cual escinde, ya que B˜ • es libre, por lo que la sucesión de complejos 0 → C ⊗ Z˜• → C ⊗ C˜ → C ⊗ B˜ • → 0, es exacta, obteniendo, en consecuencia, una sucesión larga y exacta de módulos de homolog´ıa δ

q ˜ → Hq (C ⊗ C) ˜ → Hq (C ⊗ B) ˜ −→ ˜ → ··· · · · → Hq (C ⊗ Z) Hq−1 (C ⊗ Z) Considerando que M ˜ q= ˜ q = ⊕i+ j=qCi ⊗ B˜ j (C ⊗ Z) Ci ⊗ Z˜ j y (C ⊗ B)

i+ j=q

y teniendo en cuenta que tanto Z˜• , como B˜ • son complejos libres, resulta del teorema 15.66 M M M ˜ q= ˜ Hq (C ⊗ Z) Hq (Ci ⊗ Z˜ j ) ' Hi (C) ⊗ Z˜ j = Hi (C) ⊗ Z j (C) i+ j=q

i+ j=q

i+ j=q

y ˜ q= Hq (C ⊗ B)

M i+ j=q

Hq (Ci ⊗ B˜ j ) '

M i+ j=q

Hi (C) ⊗ B˜ j =

M i+ j=q−1

˜ → Z j (C) ˜ → H j (C) ˜ → 0, 0 → B j (C)

˜ Hi (C) ⊗ B j (C).


467

la cual, al tensorizar por Hi (C), induce la sucesión exacta (−1Ci )i ⊗γ j

˜ → Hi (C) ⊗ H j (C) ˜ −−−−−−−→ Hi (C) ⊗ Z j (C) ˜ → Hi (C) ⊗ H j (C) ˜ → 0. 0 → Hi (C) ∗ H j (C) Entonces se obtiene M

(coker((−1Ci )i ⊗ γ j )) =

i+ j=q

M

˜ Hi (C) ⊗ H j (C)

i+ j=q

y M

(ker((−1Ci )i ⊗ γ j )) =

i+i=q−1

M

˜ Hi (C) ∗ H j (C).

i+ j=q−1

Substituyendo obtenemos entonces una suseción exacta ν

˜ q→ ˜ → (H(C) ∗ H(C)) ˜ q−1 → 0. 0 → (H(C) ⊗ H(C)) − Hq (C ⊗ C) Un sencillo cálculo nos muestra que el homomorfismo ν, no es otro que el homomorfismo µ definido en (15.46). Supongamos ahora que el complejo (C• , d) es libre y mostremos que entonces la sucesión (15.47) escinde. A tal efecto mostraremos que µ posee una inversa por la izquierda. Como tanto C• , como C˜ • son libres, existen homomorfismos p : C• → Z• (C) y p˜ : C˜ • → Z˜• , tales que p(c) = c, si c ∈ Z• y p(˜ ˜ c) = c˜ , si c˜ ∈ Z˜• . Entonces p ⊗ p˜ : C• ⊗ C˜ • → Z• (C) ⊗ Z˜• ˜ en el núcleo de mapea B• (C ⊗ C) π⊗˜π ˜ Z• (C) ⊗ Z˜ −−−→ H(C) ⊗ H(C),

˜ ⊆ B• (C) ⊗ C˜ ∪ C ⊗ B• (C). ˜ ya que B• (C ⊗ C) Entonces la composición π⊗˜π ˜ ⊆ C• ⊗ C˜ • −−−→ Z• (C) ⊗ Z˜ −− ˜ Z• (C ⊗ C) −→ H(C) ⊗ H(C), p⊗ p˜

˜ en 0 y se tiene un homomorfismo mapea B• (C ⊗ C) ˜ → H(C) ⊗ H(C), ˜ H(C ⊗ C) el cual es un inverso por la izquierda de µ.

O´. Un resultado similar se obtiene, si en la hipótesis del teorema 15.68 ˜ En el caso en que ambos son es el complejo (C• , d) libre en lugar del complejo (C˜ • , d). complejos libres, G.M Kelley demuestra, en [24], que la sucesión exacta obtenida es la misma. ˜ es un complejo libre y (C• , d) o (C˜ • , d) ˜ es ac´ıclico, entonC 15.69. Si (C˜ • , d) ˜ ces el complejo ((C ⊗ C)• , ∂) es ac´ıclico. ˜ dos complejos, Definimos el complejo ((C ∗ K)• , d ∗ d), ˜ como el Sean (C• , d) y (K• , d) complejo, tal que M (C ∗ K)q :=

Ci ∗ K j

i+ j=q

y diferencial di ∗ d˜ j := di ∗ 1K j + (−1)i 1Ci ∗ d˜ j ,

i + j = q.

El teorema de Künneth 15.68 posee la siguiente generalización


468

˜ dos complejos, tales que el complejo T 15.70. Sean (C• , d) y (K• , d) ˜ ((C ∗ K)• , d ∗ d) sea ac´ıclico. Entonces se tiene una sucesión exacta µ

0 → (H(C) ⊗ H(K))q → − Hq (C ⊗ K) → (H(C) ∗ H(K))q−1 → 0,

(15.48)

donde µ es el homomorfismo definido en (15.46), la cual es funtorial y escinde. D´. La demostración es similar a la demostración del teorema 15.66 y utilizaremos la misma terminolog´ıa. Sean τ : C˜ • → C• , τˆ : K˜ • → K• dos aproximaciones libres, entonces las sucesiones exactas de complejos i τˆ 0 → K¯ • → − K˜ • → − K• → 0

y i τ 0 → C¯ • → − C˜ • → − C• → 0,

donde C¯ • y K¯ • , son complejos ac´ıclicos (ver demostración del teorema 15.66), inducen las sucesiones exactas 1 ⊗ˆτ

¯ • → (C ⊗ K) ˜ • −−C−•−→ (C ⊗ K)• → ‘0 0 → (C ∗ K)• → (C ⊗ K) y τ⊗1K•

˜ • → (C˜ ⊗ K) ˜ • −−−−→ (C ⊗ K) ˜ • → 0, 0 → (C¯ ⊗ K) ya que K˜ • y C˜ • son libres. ¯ • y (C¯ ⊗ K) ˜ • Como (C ∗ K)• es ac´ıclico, por hipótesis, y, por corolario 15.69, (C ⊗ K) ac´ıclicos, se obtienen los isomorfismos ˜ → H(C ⊗ K) (1C• ⊗ τˆ )∗ : H(C ⊗ K)

y

˜ → H(C ⊗ K). ˜ (τ ⊗ 1K˜ • )∗ : H(C˜ ⊗ K)

Entonces la composición ˜ → H(C ⊗ K). (τ ⊗ τˆ )∗ = (1C• ⊗ τˆ )∗ ◦ (τ ⊗ 1K˜ • )∗ : H(C˜ ⊗ K) es un isomorfismo. Entonces la sucesión (15.48), resulta del diagrama conmutativo 0

/ H(C) ˜ ⊗ H(K) ˜

µ

(τ⊗˜τ)∗

τ∗ ⊗ˆτ∗

0

/ H(C) ⊗ H(K)

/ H(C˜ ⊗ K) ˜

µ

/ H(C ⊗ K)

/ H(C) ˜ ∗ H(K) ˜

/0

τ∗ ⊗ˆτ∗

/ H(C) ∗ H(K)

/0

donde los homomorfismos verticales son isomorfismos y la primera fila es exacta, por teorema 15.68. La sucesión (15.48) escinde, ya que la primera fila escinde. La funtorialidad resulta del teorema 15.68 y la independencia de las aproximaciones escogidas resulta del lema 15.29. ˜ y dos A-módulos M, N, donde A es un dominio Dados dos complejos (C• , d) y (K• , d) principal, entonces la composición µ

H(C ⊗ M) ⊗ H(K ⊗ N) → − H((C ⊗ M) ⊗ (K ⊗ N)) → H((C ⊗ K) ⊗ (M ⊗ N)), donde el homomorfismo de la derecha es inducido por el isomorfismo canónico (C ⊗ M)• ⊗ (K ⊗ N)• ' (C ⊗ K)• ⊗ (M ⊗ N),


469

es un homomorfismo funtorial (15.49)

µ0 : H(C, M) ⊗ H(K, N) → H(C ⊗ K, M ⊗ N),

llamado el producto cruz homológico. Dados z ∈ H(C, M) y z0 ∈ H(K, N), entonces z × z0 := µ0 (z ⊗ z0 ) ∈ H(C ⊗ K, M ⊗ N). Entonces del teorema 15.70, se obtiene el siguiente ˜ libres de torsión y dos AC 15.71. Dados dos complejos (C• , d) y (K• , d) módulos M, N, donde A es un dominio principal, tales que M ∗ N = 0, entonces se tiene una sucesión exacta µ0

(15.50) 0 → (H(C, M)⊗H(K, N))q −→ Hq (C ⊗K, M ⊗N) → (H(C, M)∗H(K, N))q−1 → 0, la cual es funtorial y escinde. D´. Vamos a mostrar que el complejo ((C ⊗ M) ∗ (K ⊗ N))• es trivial. Entonces el corolario resulta de forma inmediata del teorema 15.70. En efecto, sea 0 → F 0 → /F → M → 0 una resolución libre de M. Como M ∗ N = 0, se obtiene la sucesión exacta (15.51)

0 → F 0 ⊗ N → /F ⊗ N → M ⊗ N → 0

y como C• y K• son complejos libres de torsión, tensorizando (15.51) primero con C• y luego con K• , se obtiene la sucesión exacta de complejos 0 → (C ⊗ F 0 )• ⊗ (K ⊗ N)• → (C ⊗ F)• ⊗ (K ⊗ N)• → (C ⊗ M)• ⊗ (K ⊗ N)• → 0. También se tiene la sucesión exacta de complejos (15.52)

0 → F 0 ⊗ C• → /F ⊗ C• → M ⊗ C• → 0,

donde F ⊗C• es libre de torsión, como producto tensorial de un módulo libre de torsión y un módulo libre y escinde, por ser F libre. Tensorizando con (K ⊗ N), se obtiene, de la sucesión larga para el producto de torsión, la sucesión exacta: 0 → ((C ⊗ M) ∗ (K ⊗ N))• → ((C ⊗ F 0 ) ⊗ (K ⊗ N))• → ((C ⊗ F) ⊗ (K ⊗ N))• → · · · , que ((C ⊗ M) ∗ (K ⊗ N))• es el núcleo del homomorfismo ((C ⊗ F 0 ) ⊗ (K ⊗ N))• → ((C ⊗ F) ⊗ (K ⊗ N))• , el cual es inyectivo, ya que la sucesión (15.52) escinde. Lo que muestra que ((C ⊗ M) ∗ (K ⊗ N))• es trivial.

El producto cruz homológico posee la siguiente propiedad respecto del homomorfismo de conexión: ˜ y una sucesión exacta de comT 15.72. Dados dos complejos (C• , d) y (K• , d) plejos 0 → C¯ • → C˜ • → C• → 0, que escinde. Sean z ∈ H(C, M) y z0 ∈ H(K, N). Entonces ∂(z × z0 ) = δ(z) × z0 ,

0

δ(z0 × z) = (−1)grad z z0 × δ(z).


470

D´. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de morfismos de complejos / (C¯ ⊗ M)•

0

/ (C˜ ⊗ M)•

τ¯

0

τ˜

/ (C ⊗ M)•

/ ((C˜ ⊗ M) ⊗ (K ⊗ N))•

/ ((C¯ ⊗ M) ⊗ (K ⊗ N))•

τ

/ ((C ⊗ M) ⊗ (K ⊗ N))•

donde los homomorfismos τ mapean un ciclo c en c ⊗ c0 , donde c0 es un representante de z0 . Como los homomorfismos de conexión son funtoriales, se tiene el siguiete diagrama conmutativo H(C ⊗ M)

τ∗

/ H((C ⊗ M) ⊗ (K ⊗ N))

δ

H(C¯ ⊗ M)

τ¯ ∗

∼

/ H((C ⊗ K) ⊗ (M ⊗ N))

∼

/ H((C¯ ⊗ K) ⊗ (M ⊗ N))

δ

/ H((C¯ ⊗ M) ⊗ (K ⊗ N))

δ

en el cual cada homomorfismo δ es el correspondiente homomorfiso de conexión. La fila de arriba mapea z en z × z0 , mientras que la fila de abajo mapea δ(z) en δ(z) × z0 . Lo que nos dá δ(z × z0 ) = δ(z) × z0 . La otra igualdad resulta de considerar, que al invertir los factores, por la definición del diferencial del complejo producto tensorial, tenemos que agregar un 0 correctivo de (−1)grad z . En la topolog´ıa algebraica intervienen las fórmulas de Künneth para el cálculo de la homolog´ıa de un producto cartesiano de espacios topológicos o variedades topológicas, por medio de los teoremas de Eilenberg-Zilber. (Ver, por ejemplo, [48]). 15.4.6. Ejercicios y Complementos. En esta serie de ejercicios y complementos A será siempre un dominio principal, salvo indicación de lo contrario. Dado un complejo ascendente (C • , d), le podemos asociar el complejo descendente ˜ definido por Kq := C −q y dˆq := d−q . Entonces Hq (K) = H −q (C). Utilizar este (Kq , d), complejo para mostrar los siguientes resultados: 1. Teorema universal de los coeficientes para cohomolog´ıa: Dado un complejo ascendente (C • , d) y un A-módulo M, tal que el complejo C • ∗ M sea ac´ıclico, entonces se tiene una sucesión exacta µ

0 → H q (C) ⊗ M → − H q (C ⊗ M) → H q+1 (C) ∗ M → 0. la cual es funtorial y escinde. 2. Teorema de Künneth para cohomolog´ıa: Dados los complejos ascendentes (C • , d) ˆ tales que el complejo (C ∗ D)• sea ac´ıclico, entonces se tiene una sucey (D• , d), sión exacta µ

0 → (H(C) ⊗ H(D))q → − H q (C ⊗ D) → (H(C) ∗ H(D))q+1 → 0. la cual es funtorial y escinde. ˆ y A-módulos M, N, tales 3. Dados dos complejos libres de torsión (C • , d) y (D• , d) que M ∗ N = 0, entonces se tiene una sucesión exacta µ0

0 → (H(C, M) ⊗ H(D, N)))q −→ H q (C ⊗ D, M ⊗ N) → (H(C, M) ∗ H(D, N))q+1 → 0 la cual es funtorial y escinde.

/0

/0


471

15.4.7. Relación entre Homolog´ıa y Cohomolog´ıa. Los resultados que estudiaremos en esta subsección son de particular importancia en la topolog´ıa algebraica. Como dijimos, al inicio de este cap´ıtulo, en la topolog´ıa algebraica se le asocia a un espacio topológico X un complejo de cadenas descendente (C• (X), d), llamado el complejo de cadenas singulares y se define la homolog´ıa del espacio X como la homolog´ıa de este complejo. Aplicando a dicho complejo el funtor contravariante HomA ( , A), donde A es un dominio principal, se obtiene un complejo ascendente de co-cadenas singulares. La homolog´ıa de dicho complejo ascendente constituye la llamada cohomolog´ıa del espacio X. En este caso H q (X) := H q (HomA (Cq (X), A)) y H • ( ) es un funtor contravariante de la categor´ıa Top en la categor´ıa Mod A . A diferencia de la homolog´ıa de un espacio topológico, en la cohomolog´ıa se puede definir una estructura de A-álgebra graduada, por medio del llamado producto cup. También es posible definir un producto entre las clases de homolog´ıa y de cohomolog´ıa de un espacio topológico, llamado el producto cap. Ambos productos juegan un papel muy importante en el estudio de las variedades topológicas y el producto de variedades o espacios topológicos (Ver, por ejemplo, [48]). Dado un A-módulo M y aplicando el funtor contravariante HomA ( , M) obtenemos la cohomolog´ıa con coeficientes en M. Nuestra meta en esta subsección es partir de un complejo de cadenas descendente (C• , d) construir el complejo ascendente (HomA (C• , M), d∗ ), deducir los teoremas equivalentes al teorema universal de los coeficientes y teoremas de Künneth, para dicho complejo y relacionar la homolog´ıa de (C• ⊗ M, d) con la de (HomA (C• , M), la cual llamaremos la cohomolog´ıa de (C• , d) con coeficientes en M. Es decir que definimos H q (C, M) := H q (HomA (C, M)). En toda esta subsección, salvo indicación de lo contrario, A será un dominio principal. Por lo visto en la serie de ejercicios y complementos 15.4.2, en lo que sigue, el lector podrá reemplazar el funtor extA por el funtor ExtA . Dado un A-módulo M, entonces se tiene una resolución libre 0 → P1 → P0 → M → 0, por lo que para cualquier A-módulo N, extqA (M, N) = 0, ∀ q > 1. Sabemos ya, que ext0 (M, N) = Hom(M, N) y, por abuso de lenguaje, denotaremos ext(M, N) := ext1 (M, N). Se tiene la sucesión exacta 0 → Hom(M, N) → Hom(P0 , N) → Hom(P1 , N) → ext(M, N) → 0, de la cual se deduce ext(M, N) = H 1 (P, N) = Hom(P1 , N)/ Im d1∗ = coker d1∗ . O´. Recordamos al lector, que (P• , d) es el complejo 0 → P1 → P0 → 0. Si M es un A-módulo c´ıclico, generado por un elemento m ∈ M, entonces, si AnnA N = (a), se tiene el isomorfismo A/ AnnA M ' M y se tiene la sucesión exacta a

0 → A→ − A → A/ AnnA M → 0, la cual es una resolución libre de M. Dado un A-módulo N, aplicando el funtor HomA ( , N) se obtiene el complejo a∗

0 → HomA (A, N) −→ Hom(A, N) → 0. Entonces Z 1 (M, N) = HomA (A, N) ' N y Im a∗ = a HomA (A, N) ' aN, de donde resuilta que ext(M, N) ' N/aN ' A/(a) ⊗A N ' M ⊗A N.


472

Si M es finitamente generado, entonces se puede expresar como una suma directa de A-módulos c´ıclicos y, por ejercicio 13.2.8,5, HomA ( , N) conmuta con la suma directa finita, por lo que, si M es un A-módulo finitamente generado, entonces ext(M, N) ' M ⊗A N. Dado un complejo (C• , d) y un A-módulo M, entonces se obtiene un complejo de cocadenas ((ext(C, M)• , ∂), donde ext(C, M)q := ext(Cq , M) y ∂ es el homomorfismo inducido por d∗ . Dados un complejo (C• , d) y A-módulos M, N se tiene un homomorfismo natural en C• h : H q (C, M) → HomA (Hq (C, N), M ⊗ N) el cual está definido por h(ϕ) ¯

(15.53)

X

X ci ⊗ ni := ϕ(ci ) ⊗ ni ,

i

i

donde ϕ es un representante cualquiera de ϕ. ¯ Dejamos al lector, como un ejercicio, mostrar que si ϕ, ψ son representantes de ϕ, ¯ entonces ψ(c) = ϕ(c), para cualquier c ∈ Cq . Definimos una aplicación h , i : H p (C, M) × Hq (C, N) → M ⊗ N, por medio de hu, zi := 0, si p , q y hu, zi : h(u)(z), si p = q. Entonces podemos escribir X X hϕ, ci i ⊗ ni , ci ⊗ ni i = hϕ, ¯ i

i

donde hϕ, ci i representa la aplicación bilineal (ϕ, ci ) 7→ ϕ(ci ). Se tiene el siguiente teorema, que nos permite expresar la cohomolog´ıa en términos de la homolog´ıa: T 15.73 (Teorema universal del coeficiente para Cohomolog´ıa). Dados un complejo (C• , d) y un A-módulo M, tal que el complejo (ext(C, M))• sea ac´ıclico, entonces se tiene una sucesión exacta (15.54)

h

0 → ext(Hq−1 (C), M) → H q (C, M) → − HomA (Hq (C), M) → 0,

la cual es funtorial y escinde. D´. La filosof´ıa de la demostración es la misma que la del teorema 15.63. Consideremos primero el caso en que (C• , d) es un complejo libre. Entonces la sucesión exacta de complejos 0 → Z• → C• → B• → 0, donde Zq := Zq (C) y Bq := Bq−1 (C) y diferenciales triviales, escinde, ya que B• es libre. Entonces, por ejercicio 15.1.5,7, la sucesión de complejos 0 → HomA (B• , N) → HomA (C,• , N) → HomA (Z• , N) → 0, es exacta, para cualquier A-módulo N e induce la sucesión larga y exacta de cohomolog´ıa: δq−1

δq

· · · → H q−1 (Z, N) −−−→ H q (B, N) → H q (C, N) → H q (B, N) −→ H q+1 (Z, N) → · · · Como los diferenciales de Z• y B• son triviales, entonces se tiene H q (Z, N) = HomA (Zq , N)

y

H q (B, N) = HomA (Bq−1 (C), N).


473

Por otra parte el homomorfismo de conexión δq = γq∗ , donde γq es la inclusión Bq (C) ⊆ Zq (C). Se tiene, entonces, la sucesión exacta ∗ 0 → coker γq−1 → H q (C, N) → ker γq∗ → 0.

(15.55) De la sucesión exacta

γq

0 → Bq (C) −→ Zq (C) → Hq (C) → 0, la cual es una resolución libre de Hq (C), se obtiene la sucesión exacta para ext: γq∗

0 → HomA (Hq (C), N) → Hom(Zq (C), N) −→ HomA (Bq , N) → ext(Hq (C(, N) → 0. Entonces se obtienen los isomorfismos: ker γq∗ ' HomA (Hq (C), N)

y

coker γq∗ ' ext(Hq (C), N).

Substituyendo en la sucesión (15.55), se obtiene la sucesión (15.54). Dejamos al lector la inquietud de mostrar que, en efecto, el homomorfismo H q (C, N) → HomA (Hq , G), es el homomorfismo h definido en (15.53). La funtorialidad, escisión y el caso general resultan, de forma similar, como en la demostración de los teoremas 15.63 y 15.66, por lo que dejamos al lector, como un ejercicio, completar la demostración. Vimos en la serie de ejercicios y complementos 15.4.6, que para un complejo ascendente (C • , d), se tienen teoremas que nos relacionan la cohomolog´ıa del complejo C • ⊗ M con la cohomolog´ıa del complejo C • . Vamos a ver que en el caso de un complejo (C• , d) también podemos mostrar un teorema universal del coeficiente, que nos relaciona la cohomolog´ıa del complejo HomA (C• , M) con la del complejo HomA (C• , A), donde A es un dominio principal y (C• , d) o M son finitamente generados. Dados tres A-módulos C, M, N, se tiene el siguiente homomorfismo natural µ : HomA (C, M) ⊗ N → HomA (C, M ⊗ N), definido por (15.56)

µ(ϕ ⊗ n)(c) := ϕ(c) ⊗ n,

ϕ ∈ HomA (C, M), n ∈ N, c ∈ C.

L 15.74. Si C es un A-módulo libre y N un A-módulo finitamente generado, entonces, para cualquier A-módulo M, el homomorfismo µ, definido en (15.56), es un isomorfismo. D´. Si N := A, entonces el resultado es trivial, ya que HomA (C, M) ⊗A A ' HomA (C, M) y M ⊗A A ' M. Como tanto el producto tensorial como el funtor HomA ( , M) conmuta con sumas directas finitas, el lema es también válido, si N es libre y finitamente generado. Si N es un A-módulo finitamente generado, entonces, como A es un dominio principal, se tiene una sucesión exacta 0 → N¯ → N˜ → N → 0, donde N¯ y N˜ son módulos libres finitamente generados. Tensorizando con HomA (C, M) y con M, se tienen las sucesiones exactas HomA (C, M) ⊗ N¯ → HomA (C, M) ⊗ N˜ → HomA (C, M) ⊗ N → 0, y M ⊗ N¯ → M ⊗ N˜ → M ⊗ N → 0,


474

Como C es libre, C es proyectivo y la sucesión ¯ → HomA (C, M ⊗ N) ˜ → HomA (C, M ⊗ N) → 0, HomA (C, M ⊗ N) es exacta y se tiene el siguiente diagrama conmutativo de filas exactas HomA (C, M) ⊗ N¯ µ¯

¯ HomA (C, M ⊗ N)

/ HomA (C, M) ⊗ N˜

/ HomA (C, M) ⊗ N

/0

µ

µ˜

/ HomA (C, M ⊗ N) ˜

/ HomA (C, M ⊗ N)

/0

Agregando 0 por la derecha a ambas filas del diagrama y aplicando el cinco-lema 15.2, ya que µ¯ y µ˜ son isomorfismos resulta que µ es también un isomorfismo. Como consecuencia inmediata del lema 15.74, se obtiene el siguiente C 15.75. Si C es un A-módulo libre y finitamente generado, entonces µ : Hom(C, A) ⊗ A → Hom(C, C) es un isomorfismo. El siguiente lema es una conversa parcial del corolario 15.75: L 15.76. Si C es un A-módulo, tal que el homomorfismo µ : Hom(C, A) ⊗ A → Hom(C, C) sea un epimorfismo, entonces C es finitamente generado. D´. Por hipótesis, dado 1C ∈ HomA (C, C), existe un elemento ϕ ⊗ c ∈ HomA (C, A) ⊗ C, tal que µ(ϕ ⊗ c) = 1C . Sean ϕi ∈ HomA (C, A) y ci ∈ C, 1 6 i 6 n, n P tales que ϕ ⊗ c := ϕi ⊗ ci , entonces, dado x ∈ C, i=1

x = 1C (x) = µ

n X

n X ϕi (x)ci , ϕi ⊗ ci (x) =

i=1

i=1

lo que implica que C es finitamente generado.

Dados los A-módulos C, D, M, N, también se tiene un homomorfismo natural µ : HomA (C, M) ⊗ HomA (D, N) → HomA (C ⊗ D, M ⊗ N), definido por µ(ϕ ⊗ ψ)(c ⊗ d) := ϕ(c) ⊗ ψ(d),

(15.57)

ϕ ∈ HomA (C, M), ψ ∈ HomA (D, N), c ∈ C, d ∈ D. En el caso, en que D := A, entonces HomA (A, N) ' N y µ coincide con la aplicación definida en (15.56). L 15.77. Si D es un A-módulo libre finitamente generado, entonces para cualesquier A-módulos C, M µ : HomA (C, M) ⊗ HomA (D, A) → HomA (C ⊗ D, M) es un isomorfismo. D´. El lema es trivial, para D = A. Si D es libre y finitamente generado, D es isomorfo a una suma directa finita de copias de A y el lema resulta de la conmutatividad de HomA ( , A) y del producto tensorial con sumas directas finitas.


475

O´. Con la finalidad de facilitar la comprensión de la demostración del corolario 15.78, recordamos al lector los siguientes isomorfismos: A ⊗A M ' M ⊗A A ' M, para cualquier A-módulo M. Igualmente C ⊗A D ' (C ⊗A D) ⊗A A ' (C ⊗A A) ⊗A (D ⊗A A), para cualesquier A-módulos C y D. C 15.78. Si C, D son A-módulos libres y C y D finitamente generados, o bien D y N finitamente generados, entonces µ : HomA (C, M) ⊗ HomA (D, N) → HomA (C ⊗ D, M ⊗ N) es un isomorfismo D´. Como C y D son libres, entonces también C ⊗A D es libre. Si C y D finitamente generados, entonces también C ⊗A D finitamente generado y se tiene el diagrama conmutativo (Hom(A, M) ⊗ Hom(A, N)) ⊗ (Hom(A, N) ⊗ Hom(D, A)

µ¯

/ Hom(A, M ⊗ N) ⊗ Hom(C ⊗ D, A) µ

µ⊗µ

Hom(C, M) ⊗ Hom(D, N)

/ Hom(C ⊗ D, M ⊗ N)

µ

donde µ((ϕ ¯ 1 ⊗ ψ1 ) ⊗ (ϕ2 ⊗ ψ2 )) := µ(ϕ1 ⊗ ϕ2 ) ⊗ µ(ψ1 ⊗ ψ2 ). Por lema 15.77, µ¯ es un isomorfismo y también los dos homomorfismos verticales. Por consiguiente el homomorfismo µ de la fila de abajo debe ser un isomorfismo. Si D y N son finitamente generados, entonces se tiene el diagrama conmutativo (Hom(C, M) ⊗ Hom(D, A)) ⊗ N

1⊗µ11

/ Hom(C, M ⊗ N) ⊗ Hom(D, N) µ

µ⊗1

Hom(C ⊗ D, M) ⊗ N

µ

/ Hom(C ⊗ D, M ⊗ N)

Por lema 15.74, los homomorfismos horizontales son isomorfismos y, por lema 15.77, el homomorfiso vertical de la izquierda es un isomorfismo, por consiguiente el homomorfismo vertical de la derecha es también un isomorfismo. Para el caso de un complejo libre se tiene el siguiente L 15.79. Sea (C• , d) un complejo libre, tal que H(C) es de tipo finito y finitamen˜ de tipo finito, homotópicamente te generado. Entonces existe un complejo libre (C˜ • , d), equivalente a (C• , d). D´. Es caso particular de los teoremas 15.27, 15.30 y el corolario 15.28. Estamos ahora en condiciones de demostrar el siguiente teorema universal de coeficientes para cohomolog´ıa, para el complejo descendente libre (C• , d): T 15.80 (Teorema universal de coeficientes para cohomolog´ıa). Sea (C• , d) un complejo libre y sea M un A-módulo, tal que H(C) de tipo finito y finitamente generado, o bien, M finitamente generado. Entonces existe una sucesión exacta µ

0 → H q (C, A) ⊗ M → − H q (C, M) → H q+1 (C, A) ∗ M → 0. la cual es funtorial y escinde.

476


D´. Si M es finitamente generado, entonces del lema 15.74 se tiene el isomorfismo µ : HomA (C• , A) ⊗ M → HomA (C• , M). Como Hom(C• , A), ya que A es dominio entero y C es libre, entonces HomA (C• , A)∗ M = 0 y se satisfacen las condiciones del ejercicio 15.4.6,1. Si H(C) de tipo finito y finitamente generado, entonces, por lema 15.79, substitu´ımos el complejo C• por el complejo de tipo finito y finitamente generado C˜ • y de nuevo se cumplen las condiciones del ejercicio 15.4.6,1. En forma análoga se tiene una fórmula de Künneth para la cohomolog´ıa del producto de dos complejos descendentes libres: ˜ dos T 15.81 (Teorema de Künneth para Cohomolog´ıa). Sean (C• , d), (D• , d) complejos libres y M, N dos A-módulos , tales que M ∗ N = 0 y H(C) y H(D) de tipo finito y finitamente generados, o bien, H(D) de tipo finito y finitamente generado y N finitamente generado. Entonces existe una sucesión exacta µ

0 → (H • (C, M) ⊗ H • (D, N))q → − H q (C ⊗ D, M ⊗ N) → (H • (C, M) ∗ H • (D, N))q+1 → 0. la cual es funtorial y escinde. D´. Vamos a mostrar que, en cualquier caso, el complejo HomA (C, M)∗HomA (D, N) es ac´ıclico, cumpliéndose las condiciones del ejercico 15.4.6,2. Si H(C), H(D) son de tipo finito y finitamente generados, entonces, por lema 15.79, podemos remplazar C• y D• por complejos libres de tipo finito y finitamente generados, por lo que la demostración se reduce a mostrar que el teorema vale para complejos libres de tipo finito y finitamente generados. Por corolario 15.78, se tiene un isomorfismo µ : HomA (C, M) ⊗ HomA (D, N) → HomA (C ⊗ D, M ⊗ N). Entonces si mostramos que HomA (C, M) ∗ HomA (D, N) es ac´ıclico, el teorema resulta del ejercicio 15.4.6,2. En efecto, como estamos suponiendo que C• y D• son de tipo finito y finitamente generados, entonces ambos son sumas directas finitas de copias del anillo A, por lo que, tanto HomA (Cq , M), como HomA (D p , N), son sumas directas finitas de copias de M y N respectivamente. Como, por hipótesis, M ∗ N = 0, resulta que HomA (Cq , M) ∗ HomA (D p , N) = 0, para cualesquier q, p ∈ Z, por consiguiente HomA (C, M) ∗ HomA (D, N) = 0. Esto implica que HomA (C, M) ∗ HomA (D, N) es ac´ıclico. Supongamos ahora que H(D) de tipo finito y finitamente generado y N finitamente generado. Entonces, por lema 15.79, podemos limitarnos al caso en que D• es un complejo libre finitamente generado. Nuevamente vamos a mostrar que HomA (C, M) ⊗ N = 0, si N es finitamente generado. Consideremos la resolución libre de N: 0 → N¯ → N˜ → N → 0, donde N˜ es finitamente generado. Como M ⊗ N = 0, se tiene que también la sucesión 0 → M ⊗ N¯ → M ⊗ N˜ → M ⊗ N → 0 es exacta. Como C• es libre, entonces también la sucesión de complejos ¯ → HomA (C• , M ⊗ N) ˜ → HomA (C• , M ⊗ N) → 0 0 → HomA (C• , M ⊗ N) es exacta. Entonces, por lema 15.74, la sucesión 0 → HomA (C• , M) ⊗ N¯ → HomA (C• , M) ⊗ N˜ → HomA (C• , M) ⊗ N → 0


es exacta, lo que implica que HomA (C, M) ∗ N = 0 y, por consiguiente, también HomA (C, M) ∗ HomA (D, N) = 0.

477

Si C es un A-módulo libre y finitamente generado, entonces, como ya sabemos, es suma directa finita de copias del anillo A y como el funtor HomA ( , A) conmuta con sumas directas finitas, se tiene un isomorfismo C ' HomA (C, A), lo que implica que HomA (C, A) es finitamente generado y libre y también se tiene un isomorfismo C ' HomA (HomA (C, A), A). Entonces, por corolario 15.78, se tienen los isomorfismos C ⊗ M ' HomA (HomA (C, A), A) ⊗ HomA (A, M) ' HomA (HomA (C, A), M) Utilizando estas propiedades obtenemos el siguiente teorema, el cual nos permite expresar la homolog´ıa con coeficientes en M en términos de la cohomolog´ıa: T 15.82. Sea (C• , d) un complejo libre, tal que H(C) sea de tipo finito y finitamente generado. Entonces, para cualquier A-módulo M, se tiene la sucesión exacta (15.58)

h

0 → ext(H q+1 (C, A), M) → Hq (C, M) → − HomA (H q (C, A), M) → 0,

la cual es funtorial y escinde. D´. Por lema 15.79, podemos limitarnos al caso en que C• es un complejo libre finitamente generado. Entonces se tiene el isomorfismo C ⊗ M ' HomA (HomA (C, A), M) y el teorema resulta del teorema 15.73, utilizando el complejo HomA (C• , M) con signo cambiado. (Ver serie de ejercicios 15.4.6). Terminamos este cap´ıtulo con una conversa parcial al teorema 15.80: T 15.83. Sea (C• , d) un complejo libre, tal que para cada A-módulo M, el homomorfismo µ : HomA (C, A) ⊗ M → HomA (C, M) induzca isomorfismos entre sus módulos de cohomolog´ıa correspondientes. Entonces H(C) es de tipo finito. D´. (Ver demostración del lema 15.76). En particular, para M := Hq (C), µ induce un isomorfismo H q (HomA (C, A) ⊗ Hq (C)) ' H q (HomA , (C, Hq (C))). Entonces, del teorema 15.73, existen ϕi ∈ HomA (Cq , A) y zi ∈ Hq (C), 1 6 i 6 n, tales que n X hµ ϕi ⊗ zi = 1Hq (C) . i=1

Entonces, para cualquier z ∈ Hq (C) se obtiene n n X X z = hµ ϕi ⊗ zi , zi = hϕi , zizi , i=1

i=1

lo que muestra que Hq (C) está finitamente generado, para cada q. Por consiguiente H(C) es de tipo finito.

478


15.4.8. Ejercicios y Complementos. 1. Sea (C• , d) un complejo libre y N un A-módulo, donde A es un dominio principal. Mostrar que Hq (C ⊗ N) ' (Hq (C) ⊗ N) ⊕ (Hq (C) ∗ N). Si Hq (C) o N son libres de torsión, mostrar que entonces Hq (C ⊗ N) ' Hq (C) ⊗ N. ˜ ˜ 2. Sean (C• , d) y (C, d) dos complejos libres. Mostrar que ˜ ' (H(C) ⊗ H(C) ˜ q ⊕ (H(C) ∗ H(C)) ˜ q. Hq (C ⊗ C) ˜ libres de torsión, entonces Si H(C) o H(C) M ˜ ' (H(C) ⊗ H(C) ˜ q= ˜ Hq (C ⊗ C) Hi (C) ⊗ H j (C). i+ j=q

3. Dado un complejo (C• , d) y N un A-módulo, donde A es un dominio principal, mostrar que H q (C, M) ' HomA (Hq (C), M) ⊕ Ext(Hq−1 (C), M). Si M es un A-módulo inyectivo o Hq−1 (C) proyectivo, entonces H q (C, M) ' HomA (Hq (C), M) 4. Dado un complejo libre (C• , d) y un A-módulo M, donde A es un dominio principal, mostrar que Hq (C, M) ' HomA (H q (C, A), M) ⊕ Ext(H q+1 (C, A), M). Si M es un A-módulo inyectivo o H q+1 (C, A) proyectivo, entonces Hq (C, M) ' HomA (H q (C, A), M)

´ APENDICE A

´ TRASCENDENCIA DE ALGUNOS NUMEROS

F A.1. Leonhard Paul Euler En el cap´ıtulo 12 vimos la definición de número trascendente y mostramos que el conjunto de todos los números algebraicos es un conjunto contable. Sabiendo que C no es un conjunto contable, se infiere que el conjunto de los números trascendentes no puede ser contable. Se cree que dicha definición de número trascendente viene del matemático suizo Leonhard Paul Euler.. (1707-1783). A.1.

´ ´ Numeros de Liouville y Trascendencia del numero e

El término de trascendente fue utilizado por primera vez por Leibniz, en 1682, en su trabajo donde prueba que la función f (x) := sen x no es algebraica, es decir que no es una función polinómica. De hecho sabemos que dicha función posee un número infinito contable de ra´ıces, ya que si α es una ra´ız de sen x, también α+2πn es una ra´ız de sen x. Sin embargo, el primero en demostrar la existencia de números trascendentes fue el matemático francés Joseph Liouville, en 1844. En 1855 muestra la trascendencia de la famosa constante de Liouville ∞ X (A.1) C L := 10−k! = 0,110001000000000000000001 . . . k=1

donde la cifra, en la posición n, es 1 si n = k!, para algún entero positivo k y 0 en caso contrario. ´ A.1.1. Numeros de Liouville. Uno de los méritos de Liouville es el haber mostrado el siguiente resultado, conocido como el lema de Liouville: L A.1. Si α es un número irracional, algebraico, ra´ız de un polinomio de grado n, con coeficientes en Z, entonces existe un número real r > 0, tal que para todos los enteros p, q, q , 0, α − p > r . q qn 479

´ A. TRASCENDENCIA DE ALGUNOS NUMEROS

480

F A.2. Joseph Liouville La demostración del lema de Liouville involucra el teorema del valor medio del cálculo diferencial. D´. En efecto, sea α ra´ız del polinomio P :=

n X

aν X ν , aν ∈ Z, 0 6 ν 6 n,

an , 0.

ν=0

Como α es irracional, P no puede tener todas sus ra´ıces iguales, pues de lo contrario α ∈ Z. Sea {α1 , . . . , αm } el conjunto de las ra´ıces distintas y diferentes de α, del polinomio P. La función P0 (x) es una función continua sobre R y por consiguiente acotada en el intervalo [α − 1, α + 1]. Sea M, tal que | f 0 (x)| < M y escojamos un número real r, tal que 1 , |α − α1 |, . . . , |α − αm |}. M Supongamos, por contradicción, que existan enteros p, q, q > 1, tales que α − p 6 r 6 A < |α − αµ |, 1 6 µ 6 m. q qn r < m´ın{1,

y también α − p 6 r 6 A < 1. q qn p p no es ra´ız de P y ∈ [α − 1, α + 1]. Por el teorema del valor medio del cálculo q q p diferencial, existe entonces x0 entre y α, tal que q p p P(α) − P = P0 (x0 ) α − . q q p Como α es ra´ız de P, pero no, se tiene que P0 (x0 ) , 0 y podemos escribir: q p P q α − p = . q |P0 (x0 )| Entonces

´ ´ A.1. NUMEROS DE LIOUVILLE Y TRASCENDENCIA DEL NUMERO e

Ahora bien

481

n n 1 X p X 1 ν −ν P = aν pν q−ν+n n > n . aν p q = q q q ν=0 ν=0

Entonces

α − p > 1 > r > α − p , q Mqn qn q

lo cual es una contradicción. Como consecuencia de este lema, Liouville mostró el siguiente resultado:

C A.2. Si α es un número y para todo entero positivo n, existen enteros p,q, q > 1, tales que α − p < 1 , (A.2) q qn entonces α es un número trascendente. D´. Vamos a mostrar primero que α no puede ser racional. Supongamos a que α := , b > 0, y sea n, tal que 2n > b, entonces b x − p = a − p = aq − bp > 1 > 1 > 1 . q b q bq bq 2n qn En contradicción a la hipótesis. Supongamos ahora que α fuera algebraico. Entonces por el lema de Liouville, existe un entero positivo n y una constante real r > 0, tales que para cualesquier enteros positivos p, q, q > 1 α − p > r . q qn 1 Si l es un entero positivo, tal que l < r y m := l + n, entonces, como α satisface (A.2), se 2 tiene que existen enteros a, b, b > 1, tales que α − a < 1 = 1 = 1 < r . b bm bl+n bl bn qn Lo cual es una contradicción al lema de Liouville. Por lo tanto α es trascendente. Todo número real que satisface la desigualdad (A.2) recibe el nombre de número de Liouville, los cuales, por corolario A.2 son todos trascendentes. Como una aplicación, vamos a mostrar que la constante de Liouville, (A.1), es un número trascendente. En efecto, dado un entero positivo cualquiera n, definamos pn , qn como n X pn := 10n!−ν! , qn := 10n! . ν=1

entonces ∞ ∞ X X 1 C L − pn = 10−ν! 6 10−(n+1)! 10−ν < 10(10−(n+1)! ) = 10−(n+1)!+1 < 10−n!n+1 6 n . qn q n ν=n+1 ν=0 En la teor´ıa de conjuntos se demuestra, utilizando el procedimiento de la diagonal de Cantor, que el conjunto de todos los números de Liouville no es contable y es denso en R y de medida 0.


482

Otro resultado interesante, obtenido, de forma independiente, por los matemáticos Gelfond y Schneider, en 1934, es el siguiente: Si a, b son dos números algebraicos y si b es irracional, entonces ab es trascendente. Con este resultado se demuestra la pregunta √ de Hilbert, sobre la trascendencia del número 2 2 . ´ A.1.2. Trascendencia del Numero e. La trascendencia del número e, fue demostrada por el matemático francés Charles Hermite, en 1873. Más tarde Hilbert da una demostración más sencilla de la trascendencia de e. Nosotros transcribiremos, en este libro una variante de la demostración de Hilbert, dada por Hurwitz. Dicha demostración utiliza, como herramienta, el cálculo diferencial.

F A.3. Charles Hermite Si f es una función sobre R, diferenciable, designaremos por f (i) (x0 ) la i-derivada de la función f en el punto x0 . T A.3. El número e es trascendente., D´. Supongamos que f (x) sea una función polinómica de grado r, sobre R y sea r X f (ρ) (x). F(x) := ρ=0

Entonces (e F(x)) = −e f (x). Vamos a aplicar el teorema del valor medio del cálculo diferencial, a la función e−x F(x) en el intervalo cerrado [0, k], donde k es un entero positivo. Entonces −x

(A.3)

0

−x

e−k F(k) − F(0) = −e−θk k f (θk k),

θk ∈ (0, 1).

Multiplicando (A.3) por ek obtenemos (A.4)

(e−k F(k) − F(0))ek = F(k) − F(0)ek = −e(1−θk k) f (θk k).

Haciendo variar k entre 1 y n obtenemos: (A.5)

F(1) − eF(0)

(A.6)

F(2) − e2 F(0) .. .

(A.7)

= −e(1−θ1 ) f (θ1 ), = −2e2(1−θ2 ) f (2θ2 ), .. .

(A.9)

F(ν) − eν F(0) = .. .

−νe(1−θν ) f (νθν ). .. .

(A.10)

F(n) − en F(0)

=

−ne(1−θn ) f (nθn ).

(A.8)

´ ´ A.1. NUMEROS DE LIOUVILLE Y TRASCENDENCIA DEL NUMERO e

483

Definamos εν := −νe(1−θν ) f (νθν ). Si suponemos que e es un número algebraico, ra´ız de un polinomio de grado n con coeficienetes en Z, entonces e debe satisfacer una ralación de la forma (A.11)

c0 + c1 e + · · · + cn en = 0,

cν ∈ Z,

c0 > 0.

En las ecuaciones (A.8), multipliquemos cada una por cν , 1 6 ν 6 n y sumándo los resultados obtenemos c1 F(1) + · · · cn F(n) − F(0)(c1 e + · · · + cn en ) = c1 ε1 + · · · + cn εn . En virtud de la relación (A.11) se obtiene (A.12)

c0 F(0) + c1 F(1) + · · · + cn F(n) = c1 ε1 + · · · + cn εn .

Los resultados obtenidos hasta acá son válidos para cualquier función polinómica. Consideremos ahora el siguiente polinomio espec´ıfico, llamado polinomio de Hermite: 1 x p−1 (1 − x) p (2 − x) p · · · (n − x) p , f (x) := (p − 1)! donde p es un número primo, tal que p > n y p > c0 . Expandiendo los productos se obtiene a0 aν (n!) p p−1 x + xp + · · · + x p+ν + · · · , f (x) = (p − 1)! (p − 1)! (p − 1)! donde a0 , . . . aν , . . . son enteros. Si i > p se puede demostrar(¡ejercicio!) que f (i) (x) es una función polinómica con coeficientes enteros, cada uno múltiplo de p. Entonces, para cualquier entero ν e i > p, f (i) (ν) es un entero múltiplo de p. Por definición de f , f posee ra´ıces de multiplicidad p en 1, . . . n. Entonces para ν = 0, 1, . . . , n f (ν) = f 0 (ν) = · · · = f (p−1) (ν) = 0. Por definición de F(x) se obtiene F(ν) = f (ν) + f 0 (ν) + · · · + f (r) (ν), Donde f (i) (ν) = 0, para 0 6 i 6 (p − 1) y los coeficientes de f (i) son enteros para i > p, por consiguiente F(ν) es un número entero, para 1 6 ν 6 n. Para ν = 0, 0 es una ra´ız de multiplicidad p − 1 de f , y f (0) = f 0 (0) = · · · = f (p−2) (0) = 0. Para i > p, f (i) (0) es un entero múltiplo de p, pero f (p−1) (0) = (n!) p y como p es un número primo p > n, p - (n!) p . Entonces f (p−1) es un entero no múltiplo de p. Como F(0) = f (0) + f 0 (0) + · · · + f (r) (0), resulta entonces, que F(0) es un entero no múltiplo de p. Como p - F(0), pero p | F(ν), 1 6 ν 6 n, y c0 < p, podemos concluir que c0 F(0) + c1 F(1) + · · · + cn F(n) es un entero que no es múltiplo de p. Sin embargo, de (A.12) c0 F(0) + c1 F(1) + · · · + cn F(n) = c1 ε1 + · · · + cn εn , donde εν =

−νeν(1−θν ) (1 − νθν ) p · · · (n − νθν ) p (νθν ) p−1 , (p − 1)!

484


donde θν ∈ (0, 1). Entonces |εν | 6 en

n p (n!) p . (p − 1)!

Cuando p → ∞

n p (n!) p → 0, (p − 1)! y podemos encontrar un número primo p, p > n y p > c0 , lo suficientemente grande, tal que |c1 ε1 + · · · + cn εn | < 1. Pero c0 F(0) + c1 F(1) + · · · + cn F(n) = c1 ε1 + · · · + cn εn , es un entero, por lo que la u´ nica conclusión posible es que en

c0 F(0) + c1 F(1) + · · · + cn F(n) = c1 ε1 + · · · + cn εn = 0, en contradicción a que p - c0 F(0) + c1 F(1) + · · · + cn F(n). Por lo tanto e no puede ser algebraico. Inspirado en la demostración de Hermite, Lindemann logra, en 1882, dar una demostración de la trascendencia del número π. Esta demostración es mucho más complicada que la del número e. Sin embargo, en 1947, Niven, en [41], logra dar una demostración más sencilla de la trascendencia de π. Con ayuda del análisis complejo se puede demostrar el siguiente resultado, conocido como el teorema de Hermite-Lindemann: T A.4 (Hermite-Lindemann). Si α , 0 es un número complejo algebraico, entonces eα es trascendente. De este teorema resulta tanto la trascendencia de e como la de π. Si tomamos α = 1, α es algebraico y e = e1 trascendente. Equivalente al teorema de Hermite-Lindemann es la proposición: Si para un número complejo α , 0, eα es algebraico, entonces α es trascendente. Si tomamos α := 2πi , 0, entonces e2πi = 1 y 1 es algebraico, entonces 2πi y por consiguiente π deben ser trascendentes. El resultado de Gelfond y Schneider también resulta del teorema de Hermite-Lindemann.

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486

36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56.

BIBLIOGRAFÍA

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´ Indice alfabético

µ

Ωσ -estructura algebraica, 30 J-co-potencia, 357 J-diagrama, 355 J-potencia, 356 n-radical, 299

de fracciones, 173 de polinomios, 205 euclideano, 183 factorial o factorización u´ nica, 180 local, 176 noetheriano, 179 principal, 177 semilocal, 176 anulador de un elemento, 196 de un ideal, 159 de un módulo, 196 Apastamba, 2 aplicación, 10 cuadrática, 393 cuadrática homogénea, 393 lineal, 27, 187 aproximación libre, 430 arista dirigida, 332 Arithmetica, 3 Ars Magna, 4 Aryabhata, 3 Aryabhatiya, 3 automorfismo, 23, 331 interno, 72 axioma de adivitivad, 28 de homogeneidad, 28 de positividad, 28 de selección, 13 de simetr´ıa, 28

A-álgebra, 28, 199 libre sobre un monoide, 202 Abel, 5 Abu Al-Hasan, 4 Abu Bakr, 3 acción de grupo, 85 Al Fajri, 3 Al-Jwarizmi, 1, 3 Al-Mahani, 3 a´ lgebra abstracta, 6 af´ın, 245, 265 alterna o exterior, 386 conmutativa, 6 de Boole, 17 de Clifford, 396 de Lie, 6 de Rees, 201, 384 de Weyl, 402 exterior o alterna, 388 graduada, 201 graduada asociada, 201 homológica, 6 simétrica, 380 tensorial, 361, 375 universal, 361 a´ lgebra graduada asociada a un ideal, 386 algoritmo euclideano, 38, 44 algoritmo euclideano, 45 anillo, 26, 153 booleano, 156 cociente, 160, 161 con unidad, 26, 153 conmutativo, 26, 153 de coordenadas, 265 de Dedekind, 185

base de trascendencia, 261 de un módulo libre, 192 Bernoulli, 5 Bhaskara, 4 bifuntor, 344 Bijaganita, 4 bimódulo, 27 bimorfismo, 331 biproducto, 345 487

488

biyección, 10 Bockstein homomorfismo de, 462 Bombelli, 5 borde, 408 boreleano, 10 Born-Jordan relación de, 404 Brahmagupta, 1, 3 Brouwer teorema del punto fijo, 337 cadena, 408 cadena estacionaria ascendente, 179 campo, 26, 154 algebraicamente cerrado, 261 algebraicamente cerrado en, 261 de descomposición, 234 de Galois, 230 perfecto, 240 residual, 386 campo de fracciones, 172 campo primo, 231 caracter´ıstica de un campo, 230 de un dominio entero, 169 Cardano, 4 cardinalidad del continuo, 12 categor´ıa, 329 ´ındice, 355 abeliana, 351 aditiva, 345 discreta, 331 dual, 332 opuesta, 332 pequeña, 332 pre-abeliana, 350 preaditiva, 345 producto, 332 Cauchy, Augustin, 55 Cayley, Arthur, 55 centralizador, 68 de un subgrupo, 70 centro de un anillo, 156 de un grupo, 67 cerradura algebraica, 262 Chakravala, 3 ciclo, 86, 408 cilindro de aplicación, 431 clase de equivalencia, 13 de isomorf´ıa, 73 clase lateral

ÍNDICE ALFABETICO ´

derecha, 61 izquierda, 61 clases de congruencia, 14 Cliford a´ lgebra de, 361 co-borde, 408 co-cadena, 408 co-ciclo, 408 co-cono, 357 co-ecualizador, 350, 357 co-homolog´ıa, 405 co-kernel, 349 co-l´ımite, 355, 357 co-núcleo, 80, 349 cociente, 39 coeficiente principal, 210 complejo ac´ıclico, 409 contractible, 424 de cadenas, 408 de co-cadenas, 406, 408 de de Rham, 445 diferencial, 406 diferencial cerrado, 408 finito o acotado, 406 proyectivo asociado, 427 singular, 405 trivial, 407 complejo de cadenas, 406 complemento, 10 complemento relativo, 10 composición de aplicaciones, 11 condición del m´ınimo, 18 conjunto, 9 potencia, 10 algebraico, 170, 242 bien ordenado, 16 cociente, 14 contable, 12 de generadores, 60 de primos seleccionados, 182 denumerable, 12 finito, 12 inductivamente ordenado, 16 infinito, 12 multiplicativo, 172 numeral, 18 parcialmente ordenado, 15 preordenado, 15 quasiordenado, 15 totalmente ordenado, 15 universal, 18 conmutador, 70 cono, 356 cono normal, 386


construible, 313 con regla y compás, 314 continuo hipótesis del, 12 contracción, 424 contradominio, 10 contraimagen, 10 coproducto de grupos, 144 en una categor´ıa, 341 fibrado, 344 sobre una familia, 341 cota inferior, 16 superior, 15 cuantización, 397 cuanto de acción, 403 de impulso angular, 403 cuaterniones, 23, 29, 399 cuerpo, 26, 154 de Morgan, 10 leyes de, 11 leyes de , 10 de Rham cohomolog´ıa de, 387 complejo de, 387, 405, 427 defecto de una forma cuadrática, 395 definida, 396 negativamente, 396 positivamente, 396 denominador, 50 derivación, 236 derivada, 236 derivada exterior, 392 diagonal, 13 diagrama conmutativo, 14 diferencia de conjuntos, 10 diferencia simétrica, 10 dimensión cohomológica, 457 du un módulo libre, 192 inyectiva, 457 proyectiva, 456 Diophanto, 1, 3 directamente irreducible, 126 directamente reducible, 126 discriminante, 234 divisor, 39, 178 propio, 39 divisor común, 46, 178 divisor de cero, 153 propio, 153 divisor normal, 66 dominio, 10

de acción, 89 dominio entero, 153 ecuación de clase, 69 ecualizador, 348 Eisenstein criterio de, 219 eje radical, 323 elemento algebraico, 252 de torsión, 128 inseparable, 272 inseparable puro, 274 inverso, 57 irreducible, 177 más grande, 15 más pequeño, 16 maximal, 15 minimal, 16 neutro, 21, 57 primitivo, 266 primo, 178 reducible, 177 separable, 272 simétrico, 21, 57 trascendente, 252 universal, 339 elementos asociados, 177 conjugados, 68, 268 endomorfismo, 23, 331 entero gaussiano, 157 gaussianos, 154 envolvente algebraica cerrada, 261 separable, 278 epimorfismo, 23, 330 normal, 351 equivalencia natural, 338 equivalente homotópicamente, 424 escalares, 27 campo de, 27 escisión de sucesión exacta, 369 espacio hiperbólico, 396, 401 espacio normal, 386 espacio tangente, 385, 386 espacio vectorial, 27 espectro, 165 maximal, 166 primo, 165 esquema, 171 af´ın, 171

489

490

estructura algebraica, 21 Euclides, 2 Euler, 479 función de, 49 Euler, Leonhard, 56 Euler-Poincaré aplicación de, 415 caracter´ıstica de, 414, 415 extensión algebraica, 252 de campos, 249 de Galois, 283 inseparable pura, 272 inyectiva, 456 normal, 268 radical, 304 radical simple, 299 separable, 272 simple, 266 trascendente, 252, 260 factorización teorema de, 15 familia completa, 431 suficiente, 427 familia de conjuntos, 10 familia indizada, 11 Fermat, 2, 63 congruencia de, 63 conjetura de, 2 número primo de, 324 Fibonacci, 4 fibrado de Clifford, 400 flecha, 330 forma bilineal, 393 bilineal alterna, 401 bilineal simpléctica, 401 cuadrática, 394 forma bilineal no degenerada, 395 no singular, 395 singular, 395 forma cuadrática anisotrópica, 395 defectuosa, 395 degenerada, 395 isotrópica, 395 no singular, 395 forma diferencial, 386, 392 función algebraica, 225 grado, 184 monomial, 224 polinomial o polinómica, 225 funtor, 329


aditivo, 345 contravariante, 336 covariante, 336 de homolog´ıa, 337 de homotop´ıa, 337 derivado, 446 por la derecha, 446 por la izquierda, 452 exacto, 354 por la derecha, 354 por la izquierda, 354 identidad, 336 representable, 339 Galois grupo de, 56, 259, 281 teor´ıa de, 5, 280 ´ Galois, Evariste, 5, 55, 280 Gauss lema de, 215 lema original de, 216 teorema de, 216 teorema original de, 216 Gauss, Friedrich, 56 Gelfon, 482 grado de inseparabilidad, 278 de separabilidad, 278 de trascendencia, 260 de un a´ lgebra graduada, 201 de un monomio, 205 de un polinomio, 205 de una extensión, 250 reducido, 240 grafo, 332 Grothendieck, 141 grupo de, 139 grupo, 22 abeliano, 22 c´ıclico, 60 cociente, 67 conmutativo, 22 de automorfismos, 72, 165 de conmutadores, 70 de Grothendieck, 141 de homolog´ıa, 405 de isotrop´ıa, 99 de Lie, 56 de los 4 de Klein, 99, 100 de permutaciones, 83 de simetr´ıa, 83 de torsión, 128 de unidades, 156 diédrico, 100 finitamente generado, 60 fundamental, 148 libre abeliano, 139 libre de torsión, 128


lineal, 22 producto directo, 133 simple, 66 soluble, 118 suma directa, 136 transitivo, 95 grupoide, 21 Hölder teorema de, 122 Hamiltonianos, 23, 399 Harriot, 5 Hermite, Charles, 482 Hilbert, 482 Nullstellensatz, 262 teorema abstracto de los ceros, 175 teorema de la base, 217 teorema de la base para módulos, 218 teorema de los ceros, 262 hiperbólica forma bilineal, 396 hipersuperficie, 243 homolog´ıa con coeficientes, 461 de Koszul, 436 homomorfismo, 23 canónico, 74, 161 cero, 346 de A-álgebras, 28 de anillos, 26, 159 de valuación, 189 identidad, 71 interno, 71 homotópico, 424 homotop´ıa, 424 Hurwitz, 482 ideal, 157 bilátero, 157 cero, 157 cociente, 159 de a´ lgebras, 199 de anulación, 243 derecho, 157 intersección, 158 izquierdo, 157 maximal, 165 primario, 169 primo, 165 principal, 157 producto, 158 propio, 158 radical, 169 suma, 158 imagen, 10 ´ındice de un subgrupo, 62 inducción Noetheriana, 19

principio de, 18, 33 transfinita, 19 ´ınfimo, 16 intersección, 10 introducción, 1 involución, 399 inyección, 10 isomorf´ıa teoremas de, 74, 188, 200 isomorfismo, 23, 331 Jia Xian, 3 Jiuzhang Suanshu, 2 Jordan, Camille, 55 kernel, 24, 159, 346 Klein, Felix, 56 Koszul complejo de, 387, 427, 436 homolog´ıa de, 387 Kowa Seki, 5 Kronecker, Leopold, 56 Künneth fórmula de, 466 Kummer, Ernst, 56 Lagrange, Joseph, 55 Leibniz, 5 Leonardo de Pisa, 4 Liber Abaci, 4 libre establemente, 418 Lie, Sophus, 56 l´ımite, 355, 356 directo o inyectivo, 358 inductivo, 358 inductivo o directo, 355 inverso o proyectivo, 355, 356 Liouville, Joseph, 479 localización, 176 máximo común divisor, 46, 178 m´ınimo común múltiplo, 49 módulo, 27, 187 c´ıclico, 198 conormal, 385 de co-homolog´ıa, 407 de fracciones, 196 de homolog´ıa, 407 de Syzygias, 437 divisible, 421 dual, 189 finitamente generado, 189 inyectivo, 419 libre, 190 localizado, 196 noetheriano, 190 plano o llano, 372 producto directo, 193

491

492

proyectivo, 374 reflexivo, 189 suma directa, 194 Madhava de Sangamagramma, 4 magma, 21 abeliano, 21 Mahavira, 3 Micali cadena de ideales de, 385 Minkowski espacio de, 400 métrica de, 400 monoide, 22 abeliano, 22 libre abeliano, 149 monomio simple, 205 monomorfismo, 23, 330 normal, 351 morfismo, 6, 330 constante, 331 identidad, 330 multiplicidad de una ra´ız, 228 núcleo, 346 de homomorfismo de anillos, 159 de un homomorfismo, 24 número algebraico, 252 de Liouville, 481 entero, 41 natural, 18 racional, 50 trascendente, 252 números naturales, 33 nilradical, 169 nomenclatura, 6 normalizador, 68 numerador, 50 objeto, 6, 330 cero, 340 final, 339 inicial, 339 objeto universal atrayente, 339 repelente, 339 objetos, 330 equivalentes, 331 isomorfos, 331 Omar Khayyam, 3 operación n-aria, 30 binaria, 21 cerrada, 21 interna, 21 operador deslizamiento, 156 o´ rbita, 85


orden de un elemento, 60 de un grupo, 60 de una ra´ız, 228 ortogonal, 395 p-grupo, 110 paridad de una permutación, 92 función de, 93 partición, 13 de un entero, 96 Pauli matrices de, 23 peano axiomas de, 18, 33 permutación, 59 c´ıclica, 87 circular, 87 permutaciones, 55 grupo de, 55 semejantes, 91 Planck constante de, 403 plano hiperbólico, 396, 401 polinomio ciclotómico, 295 de división del c´ırculo, 295 de Hermite, 483 homogéneo, 205 inseparable, 240 mónico, 212 minimal, 254 primitivo, 215 separable, 240 predecesor, 44 presentación proyectiva, 455 primo número, 39 primos relativos, 47, 183 producto alterno o exterior, 386 amalgamado, 147 cap, 471 con escalares, 27 cruz homológico, 469 cruz o vectorial, 30 cup, 471 de subgrupos, 123 de torsión, 458 directo, 123 en una categor´ıa, 341 escalar o interno, 28 exterior, 388 fibrado, 135, 343


simétrico, 381 tensorial, 361, 362 producto cartesianano sobre familias indizadas, 13 producto cartesiano, 10 producto libre, 145, 146 producto tensorial de complejos, 435 proyección canónica, 14, 74 pseudoescalar, 397 pull-back, 136, 343 push-out, 138, 344 ra´ız de la unidad, 293 de un polinomio, 226 múltiple, 228 simple, 228 radical, 169 de Jacobson, 176 de un ideal, 169 irreducible, 299 rango, 10 de un grupo abeliano, 131 de un módulo, 199 red, 17 complementada, 17 relación, 10 antisimétrica, 13 de congruencia, 61 de equivalencia, 13 de orden parcial, 15 de orden total, 15 de preorden, 15 de quasiorden, 15 reflexiva, 13 simétrica, 13 transitiva, 13 relación inversa, 10 resolución establemente libre, 418 finita, 417 inyectiva, 419 libre, 417 por la derecha, 419 por la izquierda, 417 proyectiva, 417 resolvente de Lagrange, 301 resta, 42 resto, 39 resto chino teorema del, 167 retracción, 331 Ruffini, Paolo, 55 Schneider, 482 sección, 331

semigrupo, 22 abeliano, 22 conmutativo, 22 serie de composición, 121 signatura, 396 sistema directo o inductivo, 357 inverso o proyectivo, 356 sobreyectiva, 10 soluble por radicación, 304 soporte de un módulo, 196 Steinitz teorema de, 267 subanillo, 156 subcategor´ıa, 332 completa, 332 subconjunto, 9 subespacio definido, 396 hiperbólico, 396 ortogonal, 396 subgrupo, 59 alternante, 93 caracter´ıstico, 72 de Borel, 60 de Borel especial, 60 lineal especial, 60 normal, 66 propio, 59 subgrupos conjugados, 110 submódulo, 188 substracción, 42 sucesión exacta, 77, 351 funtorial, 414 normal, 121 regular, 440 sucesor, 18 de un número entero, 44 suma amalgamada, 147 fibrada, 137 suma conexa, 344 supremo, 15 Sylow, Ludwig Mejdell, 57 Sylow, Ludwig Mejdell, 107 syzygia, 437 trivial, 437 Tartaglia, 4 tensor contravariante, 375 covariante, 375 teorema

493

494

de factorización u´ nica, 182, 213 tipo, 396 de una estructura, 30 topolog´ıa algebraica, 405 combinatoria, 405 torsión elemento de, 196 submódulo de, 196 transformación natural o funtorial, 337 transposición, 83 unión, 10 universo, 9 vértices, 332 valor absoluto, 44 variedad algebraica, 245 algebraica abstracta, 170 algebraica irreducible, 245 espinorial, 400 vectores, 27 Viète, 5 von Dyck, Walther, 56 Zariski topolog´ıa de, 165, 171 Zermelo, 13 Zhu Shijie, 4 Zorn lema de, 16


Introducción al Álgebra Abstracta

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