TUGAS MAKALAH Aplikasi Persamaan Diferensial Pada Hukum Pendingin Newton Ditulis oleh: Alviatun sholihat(3115102293)
Pendidikan Matematika Reguler 2010 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas Negeri Jakarta
BAB I PENDAHULUAN A. Latar belakang Matematika adalah ilmu yang sangat luas pembahasanya, semua ilmu pengetahuan yang ada di dunia ini tidak ada yang tidak punya kaitanya dengan matematika. Matematika yang terdapat dalam setiap materi pengetahuan tersebut bisa didapat dari rumus matematika asli atau turunanya. Dilakukan turunan, karena ada beberapa kasus yang tidak bisa dilakukan dengan penyelesaian biasa. Persamaan diferensial merupakan pelajaran yang penting dalam matematika. Persamaan diferensial sangat luas pembahasanya, bahkan persamaan diferensial diterapkan dalam berbagai bidang, seperti fisika, kima, biologi, dan lain-lain. Dalam pembahasan makalah kali ini, hanya akan membahas aplikasi persamaan diferensial orde satu dalam bidang fisika yaitu aplikasi pada hukum pendingin Newton. B.
Landasan teori Persamaan diferensial orde satu ( )
Persamaan hukum pendingin Newton (
)
( )
BAB II PEMBAHASAN Hukum pendinginan Newton menyatakan bahwa laju perubahan suhu suatu benda sebanding dengan perbedaan antara suhu sendiri dan suhu ruang (yaitu suhu sekitarnya). Hukum Newton membuat pernyataan tentang tingkat perubahan suhu yang seketika. Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya. Dengan demikian bila Suhu benda itu adalah T dan suhu sekitarnya itu adalah Ta maka proses pendinginan Newton terhadap waktu t digambarkan dengan (
)
Dengan menggunakan fakta bahwa turunannya, dan kami terpasang di
untuk
adalah konstan untuk menghilangkan Dengan mendefinisikan variabel baru
ini,
Solusinya adalah
Kita dapat menggunakan hasil ini untuk menyimpulkan (dengan memasang dan
Oleh karena itu,
Kasus khusus :
Yang
1. Asusmsikan bahwa
T 0 T0 T , maka hokum pendinginan Newton dapat
dituliskan :
Dengan metode separasi variable dan mengitegralkan persamaan diatas maka di peroleh :
Jika T 0 T0 maka :
Dan
Oleh sebab itu kita peroleh :
2. Asumsikan bahwa T 0 T0 A Sehingga panas benda dapat di gambarkan seperti pada persamaan berikut :
Dengan cara yang sama seperti pada kasus pertama maka kita dapatkan :
Secara dari kedua kasus diatas maka dapat dituliskan sebagai :
Segera setelah secangkir kopi panas dituang, itu mulai dingin. Proses pendinginan sangat cepat pada awalnya, dan kemudian level off. Setelah jangka waktu yang panjang, suhu kopi akhirnya mencapai suhu kamar. variasi suhu untuk objek pendingin seperti itu dirangkum oleh Newton. Dia menyatakan bahwa tingkat di mana tubuh mendinginkan hangat
kira-kira sebanding dengan perbedaan suhu antara suhu benda hangat dan suhu sekitarnya. Lain matematis: T k T C t
dimana T merupakan perubahan suhu benda selama selang waktu yang sangat kecil, t . T adalah suhu tubuh di instan tertentu, C adalah suhu sekitarnya, dan k adalah konstanta proporsionalitas. Persamaan ini dapat diselesaikan untuk T menggunakan teknik canggih:
T C T T0 e kT T C Te kT T0 e kT mana T0 adalah suhu tubuh saat t = 0. Dalam latihan ini, Anda akanmenyelidiki variasi suhuuntuk objekpendinginan dan berusaha untuk memverifikasimodel matematika yang dikembangkan oleh Newton. dT k Tt Ta dt d Tt Ta dTt dTa dt dt dt dT kT dt
dT k Tt Ta dt d Tt Ta dTt dTa dt dt dt
dT kdt T ln T kt
T e kt T 0 T 0 e kt T t T 0 e kt
Contoh kasus Suatu benda dengan suhu 80oC diletakkan diruangan yang bersuhu 50oC pada saat t=0 Dalam waktu 5 menit suhu benda tersebut menjadi 70oC, maka 1. tentukan fungsi suhu pada saat tertentu 2. tentukan besarnya suhu benda pada 10 menit terakhir 3. Kapan suhu menjadi 60oC Jawab 1. Dengan memahami persoalan ini, maka persamaan diferensialnya dapat ditulis (
)
( )
Ketika t = 0 maka T = 80 ; ketika t = 5 maka T = 70 Persamaan (1) kemudian dilakukan pemisahan variabel sehingga membentuk persamaan linier. (
∫
)
(
)
(
)
( (
∫ ) )
(
)
(
)
Nilai C didapat dengan mensubtitusi T pada saat t = 0, sehinggga
Nilai
didapat dengan mensubtitusi T pada saat t = 5menit, sehinggga
( ) Setelah didapat C dan
, sehingga didapat ( )
Karena T dipengaruhi oleh t, sehingga didapatkan persemaan
( )
( )
2.
Nilai T ketika t = 10 adalah ( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
) (
) (
3.
( )
)
Nilat t ketika suhu 60oC
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
BAB III PENUTUP Demikian makalah ini dibuat, persamaan diferensial memang sangat luas pembahasanya dan dapat diaplikasikan terhadap cabang ilmu manapun. Penurunan persamaan hukum pendingin Newton dilakukan dengan cara pemisahan variabel sehingga didapat fungsi umum yang bersifat umum unutk penyelesaian kasus-kasus hukum pendingin Newton.
DAFTAR PUSTAKA 1.
http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/k/KONVAL/Sites/English_sites/Site4/6/6_03-2.htm
2.
http://www.ziddu.com/download/14014937/bab31.pdf.html
3.
http://www.scribd.com/doc/55743328/Analisis-Kasus-Pada-Persamaan
