APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2

21

APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE II

1) Sistem Gerak Bebas Tak Teredam Model sistem gerak bebas tak teredam adalah sistem gerak dengan gaya luar 𝐹(𝑡) = 0 dan peredam 𝑑 = 0. Model ini menghasilkan Persamaan Diferensial Orde 2. Penyelesaian model ini dilakukan dengan menentukan akar persamaan karakteristik Persamaan Diferensial Orde 2. Penyelesaian model sistem gerak bebas tak teredam pada pembahasan ini dapat ditunjukkan dengan parameter amplitudo, sudut fasa, frekuensi, dan periode gerak benda. Berikut penjelasannya: Model sistem gerak harmonik bebas tak teredam: 𝑑2 𝑦 𝑚 2 + 𝑘𝑦 = 0 𝑑𝑥 Gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan Persamaan Diferensial diatas. Jika persamaan dibagi dengan m, maka persamaan diferensial menjadi: 𝑑2𝑦 𝑘 + 𝑦=0 𝑑𝑥 2 𝑚 𝑑2𝑦 𝑘 2 √ + 𝜔 𝑦 = 0, 𝜔 = 0 0 𝑑𝑥 2 𝑚 Persamaan karakteristik Persamaan Diferensial diatas: 𝑟 2 + 𝜔0 2 = 0 Akar-akar persamaan karakteristik: 𝑟1,2 = ±𝑖𝜔0 sehingga penyelesaian umum PD yang menggambarkan gerak benda: 𝑦(𝑡) = 𝑐1 cos 𝜔0 𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔0 𝑡 Jika persamaan dikali dan dibagi dengan √𝑐1 2 + 𝑐2 2 maka: 𝑐1 𝑐2 𝑦(𝑡) = √𝑐1 2 + 𝑐2 2 [ cos 𝜔0 𝑡 + sin 𝜔0 𝑡] √𝑐1 2 + 𝑐2 2 √𝑐1 2 + 𝑐2 2 Jika didefinisikan: 𝑅 = √𝑐1 2 + 𝑐2 2 𝑐1 cos 𝜃 = √𝑐1 2 + 𝑐2 2 𝑐2 sin 𝜃 = √𝑐1 2 + 𝑐2 2 Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.

MATEMATIKA TEKNIK

22

maka persamaan menjadi: 𝑦(𝑡) = 𝑅[cos 𝜃 cos 𝜔0 𝑡 + sin 𝜃 sin 𝜔0 𝑡] atau 𝑦(𝑡) = 𝑅 cos(𝜔0 𝑡 − 𝜃) dengan 𝑅 disebut amplitudo sistem gerak harmonik 𝜃 disebut sudut fasa 𝑘

𝜔0 disebut frekuensi = √𝑚 Jika satu siklus gerak harmonik yang terjadi digambar dalam unit waktu 2𝜋, maka frekuensi didefinisikan menjadi 𝑓=

𝜔0 2𝜋

Maka periode gerak harmonik adalah 𝑇 = 1⁄𝑓 =

2𝜋 𝑚 = 2𝜋√ 𝜔0 𝑘

Gambar 1. Ilustrasi Gerak Harmonik 𝑦(𝑡) = 𝑅 cos(𝜔0 𝑡 − 𝜃)

Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.

MATEMATIKA TEKNIK

23

Gambar 2. Ilustrasi Hubungan 𝑐1, 𝑐2 , 𝑅, dan 𝜃 Contoh Kasus 1: Sistem gerak harmonik benda yang tergantung pada pegas, jika massa benda 𝑚 = 1⁄4 𝑘𝑔 dan konstanta pegas 𝑘 = 16 𝑁/𝑚, redaman = 0. Pegas saat tertarik benda bertambah panjang 1 m dan mulai bergerak keatas dengan kecepatan 8 𝑚/𝑠. Sistem tidak diberi gaya luar. a. Tentukan model persamaan yang menggambarkan sistem gerak harmonik pada pegas pada contoh kasus diatas! b. Tentukan persamaan gerak benda! c. Tentukan amplitudo, sudut fasa, frekuensi, dan periode gerak benda! Penyelesaian: a. Model persamaan sistem gerak harmonik pada pegas 𝑚

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 +𝑑 + 𝑘𝑦 = 𝐹(𝑡) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Pada contoh kasus diketahui redaman 𝑑 = 0, gaya luar 𝐹(𝑡) = 0, massa 𝑚 = 1⁄4 𝑘𝑔, konstanta pegas 𝑘 = 16 𝑁/𝑚, sehingga model persamaan gerak harmonik pada pegas menjadi: 1 𝑑2 𝑦 + 16𝑦 = 0 4 𝑑𝑡 2 Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.

MATEMATIKA TEKNIK

24

dengan kondisi awal: posisi awal benda 𝑦(0) = 1 dan kecepatan awal benda

𝑑𝑦 𝑑𝑡

(0) = −8.

b. Persamaan gerak benda. Persamaan gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan model PD (a), yaitu: 1 𝑑2 𝑦 + 16𝑦 = 0 4 𝑑𝑡 2 𝑑2 𝑦 + 64𝑦 = 0 𝑑𝑡 2 penyelesaiannya adalah: •

Persamaan karakteristik dari PD diatas 𝑟 2 + 64 = 0

•

Akar-akar persamaan karakteristik: 𝑟 = ±√−64 = ±8𝑖

•

Solusi umum PD, dengan 𝜔0 = 8 𝑦(𝑡) = 𝑐1 cos 8𝑡 + 𝑐2 sin 8𝑡

dengan memasukkan syarat kondisi awal maka: 𝑦(0) = 𝑐1 cos 0 + 𝑐2 sin 0 𝑦(0) = 𝑐1 ∙ 1 + 𝑐2 ∙ 0 𝑦(0) = 𝑐1 = 1 dan dengan menggunakan persamaan 𝑦′(0) atau

𝑑𝑦 𝑑𝑡

(0), jadi:

𝑦 ′ (𝑡) = −8𝑐1 sin 8𝑡 + 8𝑐2 cos 8𝑡 𝑦 ′ (0) = −8𝑐1 sin 0 + 8𝑐2 cos 0 𝑦 ′ (0) = −𝑐1 ∙ 0 + 8𝑐2 ∙ 1 𝑦 ′ (0) = 8𝑐2 −8 = 8𝑐2 𝑐2 = −1 Sehingga peramaan gerak benda: 𝑦(𝑡) = cos 8𝑡 − sin 8𝑡

Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.

MATEMATIKA TEKNIK

25

c. Menentukan amplitudo, sudut fasa, frekuensi, dan periode dengan membentuk persamaan 𝑦(𝑡) = cos 8𝑡 − sin 8𝑡 dalam satu sinus/cosinus. Bentuk umum persamaan satu sinus/cosinus sistem gerak pada pegas: 𝑦(𝑡) = 𝑅 cos(𝜔0 𝑡 − 𝜃) 𝑦(𝑡) = 𝑅 cos(8𝑡 − 𝜃) dengan: 𝑅 = √𝑐1 2 + 𝑐2 2 𝑐2 tan 𝜃 = 𝑐1 𝜔0 𝑓= 2𝜋 𝑇 = 1⁄𝑓 =

2𝜋 𝑚 = 2𝜋√ 𝜔0 𝑘

sehingga: amplitudo 𝑅 = √(1)2 + (−1)2 = √1 + 1 = √2 8

4

frekuensi 𝑓 = 2𝜋 = 𝜋 periode 𝑇 = tan 𝜃 =

𝜋 4

−1 = −1 (𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 𝐼𝑉) 1

sudut fasa 𝜃 =

7𝜋 4

𝑦(𝑡) = 𝑅 cos(8𝑡 − 𝜃) 𝑦(𝑡) = √2 cos (8𝑡 −

7𝜋 ) 4

Gambar 3. Ilustrasi Sudut Fasa Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.

MATEMATIKA TEKNIK

26

2) Sistem Gerak Bebas Teredam Model sistem gerak benda bebas teredam: 𝑚

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 +𝑑 + 𝑘𝑦 = 0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Persamaan gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan PD diatas. Untuk mengilustrasikan gerak benda pada sistem pegas bebas teredam akan diuraikan pada tiga kasus, yaitu sistem teredam kurang (underdamped), sistem teredam krisi (crtically damped), dan sistem teredam lebih (over damped), dimana masing-masing ditentukan dari nilai diskriminan 𝑑 2 − 4𝑚𝑘. Persamaan karakteristik dari model sistem gerak benda bebas teredam adalah: 𝑚 ∙ 𝑑2 − 𝑑 ∙ 𝑟 + 𝑘 = 0 Sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya: 𝑟1,2 =

−𝑑 ± √𝑑 2 − 4𝑚𝑘 2𝑚

a. Sistem Teredam Kurang (underdamped), (𝒅𝟐 − 𝟒𝒎𝒌 < 𝟎) Solusi persamaan gerak benda pada sistem teredam kurang (underdamped) didapatkan jika 𝑑2 − 4𝑚𝑘 < 0, dimana akar-akar persamaan karakteristik adalah: 𝑟1,2 =

−𝑑 ± √4𝑚𝑘 − 𝑑 2 2𝑚

Persamaan solusinya adalah: 𝑑

𝑦 = 𝑐1 𝑒 (𝛼+𝑖𝛽)𝑡 + 𝑐1 𝑒 (𝛼−𝑖𝛽)𝑡 = 𝑒 (−2𝑚)𝑡 (𝐴 cos 𝛽𝑡 + 𝐵 sin 𝛽𝑡) Dimana: 𝛼 = −𝑑/2𝑚 𝛽=

√(4𝑚𝑘 − 𝑑 2 ) 2𝑚

Bentuk satu sinus/cosinus persamaan diatas adalah: 𝑑

𝑦 = 𝑒 (−2𝑚)𝑡 (𝐴 cos 𝛽𝑡 + 𝐵 sin 𝛽𝑡) 𝑅 = √𝐴2 + 𝐵 2 tan 𝜃 = Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.

𝐵 𝐴 MATEMATIKA TEKNIK

27

b. Sistem Teredam Krisis (critically damped), (𝒅𝟐 = 𝟒𝒎𝒌) Pada sistem teredam kritis 𝑑2 = 4𝑚𝑘 sehingga akar-akar persamaan karakteristik sama yaitu: 𝑟1,2 =

−𝑑 2𝑚

Persamaan solusinya: 𝑑

𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2 𝑡)𝑒 (−2𝑚)𝑡 c. Sistem Teredam Lebih (overdamped), (𝒅𝟐 > 𝟒𝒎𝒌) Pada sistem teredam lebih 𝑑2 > 4𝑚𝑘 sehingga akar-akar persamaan karakteristik adalah: 𝑟1,2 =

−𝑑 ± √𝑑 2 − 4𝑚𝑘 2𝑚

Solusi umum persamaan gerak pada sistem teredam lebih adalah: 𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑟1 𝑒 𝑟1𝑡 + 𝑐2 𝑟2 𝑒 𝑟2𝑡 Pada kenyataannya nilai 𝑟1,2 < 0 sehingga untuk 𝑡 → ∞ maka 𝑦(𝑡) = 0. Jika 𝑦(𝑡) diturunkan, yaitu: 𝑦′(𝑡) = 𝑒 𝑟1 𝑡 (𝑐1 𝑟1 + 𝑐2 𝑟2 𝑒 (𝑟2 −𝑟1)𝑡 ) Maka 𝑦 ′(𝑡) = 0 hanya jika (𝑐1 𝑟1 + 𝑐2 𝑟2 𝑒 (𝑟2 −𝑟1 )𝑡 ) = 0 Jadi secara umum gerak benda pada pegas pada sistem teredam lebih mempunyai perilaku sama dengan sistem teredam krisis, yaitu 𝑡 → ∞ maka 𝑦(𝑡) = 0 dan hanya memiliki satu titik puncak maksimum dan minimum pada 𝑡 > 0.

Soal Latihan 1: Sebuah sistem gerak benda pada pegas dengan peredam dimodelkan oleh persamaan berikut: 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑑 +𝑦 =0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑦(𝑡) = 0; 𝑦′(𝑡) = 0 Jika d = 1, 2, dan 4, tentukan persamaan gerak benda! Bagaimana pengaruh perubahan nilai konstanta peredaman d pada gerak benda?

Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.

MATEMATIKA TEKNIK

28

3) Rangkaian Listrik LC Seri Rangkaian LC seri dengan sumber baterai E volt digambarkan pada Gambar 4. Dengan Hukum Tegangan Kirchoff didapatkan model persamaan pada Gambar 4, yaitu: 𝑉𝐿 + 𝑉𝐶 = 𝐸 𝑑𝐼

dengan: 𝑉𝐿 adalah tegangan pada inductor L yaitu 𝐿 𝑑𝑡 1

𝑉𝐶 adalah tegangan pada inductor C yaitu 𝐶 ∫ 𝐼 𝑑𝑡 𝑑𝑄

diketahui bahwa 𝐼 𝑑𝑡 dengan Q adalah muatan dalam Coulomb. Sehingga model persamaan dapat dituliskan: 𝑑𝐼 1 + ∫ 𝐼 𝑑𝑡 = 𝐸 𝑑𝑡 𝐶

𝐿

untuk menghilangkan tanda integral, persamaan diferensialkan, maka: 𝐿

𝑑 𝑑𝐼 1 𝑑 𝑑 ( ) + ∫ 𝐼 𝑑𝑡 = (𝐸) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐿

𝑑2𝐼 1 𝑑 + 𝐼 = (𝐸) 2 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡

Gambar 4. Rangkaian LC Seri Model persamaan untuk Gambar 4 dapat dinyatakan dalam muatan Q(t), yaitu: 𝐿 𝐿

𝑑𝐼 1 + ∫ 𝐼𝑑𝑡 = 𝐸 𝑑𝑡 𝐶

𝑑 𝑑𝑄 1 𝑑𝑄 ( )+ ∫ 𝑑𝑡 = 𝐸 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡 𝐿

𝑑2𝑄 1 + 𝑄=𝐸 𝑑𝑡 2 𝐶

𝑑

Jika sumber baterai 𝐸 = 0 (𝑑𝑡 (𝐸) = 0) Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.

MATEMATIKA TEKNIK

29

Model persamaan rangkaian dinyatakan sebagai: 𝑑2𝐼 1 𝐿 2+ 𝐼=0 𝑑𝑡 𝐶 𝑑2𝐼 1 + 𝐼=0 2 𝑑𝑡 𝐶𝐿 Penyelesaian persamaan homogen orde-2 diatas adalah •

Persamaan karakteristik dari PD diatas: 𝑟2 +

•

1 =0 𝐶𝐿

Akar-akar persamaan karakteristik: 1 𝑟1,2 = ±𝑖 √ 𝐶𝐿

Sehingga penyelesaian umum PD adalah sebagai berikut: 𝑦 = 𝑐1 𝑒 (𝛼+𝑖𝛽)𝑥 + 𝑐2 𝑒 (𝛼+𝑖𝛽)𝑥 = 𝐴𝑒 𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝐵 sin 𝛽𝑥 dengan 𝑐1, 𝑐2 , 𝐴, 𝐵 = konstanta; 𝑟 = 𝛼 ± 𝑖𝛽 maka: 1 1 𝑦(𝑡) = 𝐴 cos √ 𝑡 + 𝐵 sin √ 𝑡 𝐶𝐿 𝐶𝐿 Contoh Kasus 2: Tentukan kuat arus 𝐼(𝑡) rangkaian LC seperti Gambar 4 jika 𝐿 = 10 henry, 𝐶 = 0,004 farad, 𝐸 = 0 volt! Penyelesaian: Model persamaan rangkaian LC, dengan 𝐿 = 10 henry, 𝐶 = 0,004 farad, 𝐸 = 0 volt: 𝑑2𝐼 + 25𝐼 = 0 𝑑𝑡 2 Persamaan karakteristik dari PD: 𝑟 2 + 25 = 0 Akar-akar persamaan karakteristik: 𝑟1,2 = ±𝑖5 Penyelesaian PD: 𝐼(𝑡) = 𝐴 cos 5𝑡 + 𝐵 sin 5𝑡 Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.

MATEMATIKA TEKNIK

30

4) Rangkaian RLC Seri Rangkaian RCL Seri dengan sumber baterai E volt digambarkan pada Gambar 5. Model persamaan rangkaian didapatkan dengan hokum Tegangan Kirchoff, yaitu: 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿 + 𝑉𝐶 = 𝐸 dengan: 𝑉𝑅 adalah tegangan pada resistor 𝑅 yaitu 𝑅𝐼 𝑑𝑄

𝑉𝐿 adalah tegangan pada induktor 𝐿 yaitu 𝐿 𝑑𝑡 1

𝑉𝐶 adalah tegangan pada induktor 𝐶 yaitu 𝐶 ∫ 𝐼𝑑𝑡 diketahui bahwa 𝐼 =

𝑑𝑄 𝑑𝑡

dengan 𝑄 adalah muatan dalam Coulomb.

Gambar 5 Rangkaian RLC Seri

Model persamaan rangkaian dapat dinyatakan sebagai: 𝑅𝐼 + 𝐿

𝑑𝐼 1 + ∫ 𝐼 𝑑𝑡 = 𝐸 𝑑𝑡 𝐶

untuk menghilangkan tanda integral, persamaan dideferensialkan, maka: 𝑅

𝑑 𝑑 𝑑𝐼 1 𝑑 𝑑 𝐼 + 𝐿 ( ) + ∫ 𝐼 𝑑𝑡 = (𝐸) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑2𝐼 𝑑𝐼 1 𝑑 𝐿 2 + 𝑅 + 𝐼 = (𝐸) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡

Model persamaan untuk Gambar 6 dapat dinyatakan dalam muatan 𝑄(𝑡), yaitu: 𝑅𝐼 + 𝐿 𝑅

𝑑𝐼 1 + ∫ 𝐼 𝑑𝑡 = 𝐸 𝑑𝑡 𝐶

𝑑𝑄 𝑑 𝑑𝑄 1 𝑑𝑄 𝐼+𝐿 ( )+ ∫ 𝑑𝑡 = 𝐸 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡 𝑑2𝑄 𝑑𝑄 1 𝐿 2 +𝑅 + 𝑄=𝐸 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶

Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.

MATEMATIKA TEKNIK

31

Soal Latihan 2: Tentukan muatan 𝑄 dan 𝐼 sebagai fungsi waktu 𝑡 dalam rangkaian RLC seri jika 𝑅 = 16 𝛺, 𝐿 = 0,02 𝐻, 𝐿 = 16 𝛺, 𝐶 = 2 × 10−4 𝐹, dan 𝐸 = 12 𝑣𝑜𝑙𝑡. Anggaplah pada saat 𝑡 = 0, arus 𝐼 = 0 muatan kapasitor 𝑄 = 0.

Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.

MATEMATIKA TEKNIK