Persamaan diferensial Legendre
− ′′ − ′ 2
1
(1) Parameter
2
+
+1
=0
pada (1) adalah bilangan rill yang diberikan. Setiap penyelesaian dari (1)
dinamakan fungsi Legendre. Dengan membagi (1) dengan 1 4.2 yaitu
′′ ′ +
+
−
2
, maka diperoleh bentuk standar (8), Pasal
= ( ) dengan
=
− 2
(1
;
2)
=
−
( +1)
(1
2)
= 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada
dan = 0.
Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
(2)
∞
=
=0
∞
∞
′ − ′′ − − 1
=
&
=
(
=1
2
1)
=2
Substitusikan dan turunan-turunannya ke dalam (1) dan nyatakan konstanta
( + 1)
dengan , maka kita memperoleh
(1
∞
∞
∞
− − − − − 2
)
2
1
1
2
=2
=1
+
=0
=0
Dengan menuliskan pernyataan pertama sebagai dua deret yang terpisah, maka kita memperoleh persamaan (1*)
∞
∞
∞
∞
− − − − − 1
=2
2
(
=2
1)
2
+
=1
=0
=0
1
Yang jabarannya dituliskan
2.1
2
⋯ ⋯ − − ⋯ − − − ⋯ − − − ⋯ − − ⋯ ⋯ ⋯
+ 3.2
+ 4.3
3
2.1
2.1
1
+
+
+2
2
2
+1
+
+2
1
2
2.2
2
+
2
1
+
0
2
4
2
2
+
+
+
Karena ini harus merupakan suatu identitas dalam
=0
apabila (2) merupakan
penyelesaian dari (1), maka jumlah koefisien-koefisien dari setiap pangkat haruslah nol ; karena
= ( + 1), ini memberikan
(3a)
− … 2.
6.
3
2
+
+1
2+
0
=0
+1
1
=0
0
1
= 2, 3, ,
Dan umumnya, jika (3b)
+
− − − +2
+1
+
+2
1
2 +
+1
=0
Sekarang pernyataan dalam kurung [ ... ] dapat dituliskan menjadi
− − − − − − − − − 1
2 +
2
+1 =
+
=
2 +
+1 +
2
+
2
=
+
+1 =
2
+
( + + 1)
Sehingga dapat dituliskan menjadi
− − − +2
+2
+1
+2
+1
+
+2
=
+ +1
=0
+ +1
Jadi dari (3) diperoleh (4)
− − +2
=
+ +1
+2
+1
( = 0,1, ,1,
…
)
2
Ini disebut hubungan rekursi ( recurtion relation) relation) atau rumus rekursi (recurtion (recurtion formula). formula). Rumus ini memberikan untuk setiap koefisien dinyatakan dalam koefisien kedua yang mendahuluinya, kecuali
0 dan
1 yang
merupakan konstanta sebarang.
Kita peroleh secara berurutan
− − − 2
=
4
=
− − − −
( + 1) 2!
2
+3
2
4.3
=
3
=
5
=
− 2
+ 1 ( + 3)
=
0
4!
1 ( + 2)
1
3!
3
+4
3
5.4
− − 3
1
+ 2 ( + 4)
1
5!
dan seterusnya. Dengan memasukkan nilai-nilai ini ke dalam koefisien-koefisen pada (2), kita memperoleh
∞
⋯ − − − − − − ⋯ =
=
+
0
1
+
2
2
+
3
3
+
4
4
+
5
5
+
=0
=
+1
0 +
1
2!
+2
1
3!
3
+
=
1
2
1
+ 2 ( + 4)
1
5!
3
+
5
2
+1
+3
0
4!
4
+
− − − … 0
+1
1
2
2!
+
2
+1
+3
4!
4
+
− − − − − ⋯
+
1
1
3!
+2
3
+
3
1
5!
+ 2 ( + 4)
1
5
+
3
Atau dapat dituliskan sebagai (5)
=
+
0 1
1 2(
)
di mana (6)
− − − … +1
= 1
1
2
2!
2
+
+1
+3
4
+
4!
dan (7)
− − − − − ⋯ − 2
1
=
+2
3!
Deret ini konvergen untuk
3
3
+
1
+ 2 ( + 4)
1
5!
5
+
< 1. Karena (6) memuat hanya pangkat-pangkat genap
dari sedangkan (7) hanya memuat pengkat-pangkat ganjil dari bukan suatu konstanta, sehingga
1 dan
2 tidak
, maka hasil bagi
1 2
sebanding, jadi merupakan penyelesaian
bebas linear. Sehingga (5) merupakan penyelesaian penyelesaian umum (1) pada selang
1<
< 1.
Polinom Legendre
Dalam banyak penerapan, parameter
dalam persamaaan Legendre merupakan
bilangan bulat tak negatif. Maka ruas kanan (4) adalah nol jika
+2
= 0,
+6
= 0,
…
Jadi bilangan genap,
1(
= , sehingga
) disederhanakan menjadi suatu polinom berderajat
bilangan ganjil, diperoleh hasil yang sama untuk
2(
. Bila
). Polinom-polinom ini,
dikalikan dengan suatu konstanta, disebut polinom Legendre. Karena polinom-polinom itu dalam praktek, kita akan membahasnya lebih terinci. Untuk keperluan ini, kita selesaikan (4) untuk
, diperoleh
4
(8)
− −
≤−
+ 2 ( + 1)
=
( + + 1)
(
+2
2)
Kita dapat menyatakan semua koefisien-koefisien yang tak-dihilangkan dalam koefisien
dari pangkat
sebarang. Biasanya kita mengambil (9)
=
Pengambilan (9*)
yang paling tinggi pada polinom. Koefisien
2
!
=
2 ( !)2
= 1 jika
1.3.5
mula-mula masih
= 0 dan
… − (2
1)
!
= 1,2,
…
ini dilakukan agar semua polinom ini mempunyai nilai 1 jika
= 1.
− − −− − − − − − −− − −− − − − − − − − − 2
=
2+2
=
2 2
2+1
2
1 2
!
1 2
!
2
+
2+2
2+1
1 2
=
2 2
=
2
(
1)
2(2
1)
1 2
1 2
2 !
1 !
1
2 !
yaitu
− − − − − 2
2
=
2
2 !
1 !
2 !
Dengan cara yang sama,
− − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − 4
4(2
3)
3)
2
4 2
4+1)
4 ( +
2 (
=
=
4+2 (
=
3 2
.
2
2
3 2 1
4+2
4+1) 2 !
1 !
2 2
2
2 !
=
3 (2
3 (
=
2 (
4(2
2 (
4(2
3)2
4)!
4)!
2 !
=
3)
3)
2
3) 2
2 !
1 !
2(
4. 2
2 !
1)
2 !
4 !
5
yaitu
−
=
4
− − − 2
2 2!
4 !
2 !
4 !
Dengan cara yang sama pula
− − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − −− −− −− −− − − −− − − − 6
6+2 (
=
=
=
=
6+1)
6 ( +
4 (
6(2
5)
5)
.
2
6 2
4 !
6(2
4 2
5 (2
2
3 !
4
2 2
6. 2 2!
2 !
6(2
5)
5)
4 (
=
5 2
5 2 2!
2
4 !
2 2!
4
6+2
6+1)
4 (
=
5)2 2!
4
5) 2
2 !
4 !
4 !
6)!
5 (
6)!
6 !
2
3 !
6 !
yaitu
− − − − − − 6
2
=
2 3!
2
dan seterusnya. Umumnya jika (10)
− − 2
6 !
3 !
6)!
> 0,
2 − 2! 2 ! − ! − 2!
= ( 1)
Penyelesaian persamaan diferensial Legendre (1) yang dihasilkan disebut polinom
Legendre berderajat dan dinyatakan oleh
( ). Dan (10) diperoleh
(11)
− − − − − − − − − ⋯ − − =
1
=0
=
2
2 (
2
2
!
!
!)2
2 !
2
2 1!
!
2
2
2 !
1 !
!
2
2 !
+
6
dimana
− =
(
2
1)
2
, yang merupakan suatu bilangan bulat.
Khususnya (Gambar 83). (11‟)
− − =1
0
=
2
4
=
1 8
1 3
(35
(3
4
2
30
− − =
1
1)
2
+ 3)
=
3
5
=
1 8
1 2
(63
(5
3
3 )
5
70
3
+ 15 )
dan seterusnya.
Ini disebut ortogonalitas polinom-polinom ortogonalitas polinom-polinom Legendre.
7
Contoh Soal: Dengan menggunakan (11‟), akan dibuktikan dengan substitusi bahwa
… 0,
,
5
memenuhi persamaan Legendre Penyelesaian:
0
=
1
=
2
=
4
=
3
=
5
=
− − − − 0
=1
1
=
2
=
3
=
4
=
5
=
1 3
1 8 1 2
1 8
2
(3
4
(35
(5
1)
3
(63
30
2
+ 3)
3
+ 15 )
3 )
5
70
Daftar Pustaka Kreyszic,Erwin. “ Advanced Engineering Mathematics”.6 Mathematics ”.6th Edition 1993. United States : John Wiley & Sons,Inc
8
