UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADOR.
Matemática I
Catedrático: Ing. José cruz López López
TEMA:
Aplicaciones de las funcione funciones s trascendentales trascendent ales en la ingeniería SECCION: 05
Integrantes:
carnet
Bryan Orlando Orellana Martínez -25-4671-2013
Roberto Esaú Perdomo Aragón -25-4645-2013 Luis Enrique Aguilar -___________
Aplicaciones y Funciones Trascendentales a la Ingeniería
En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría. Las funciones cuyos valores no pueden calcularse haciendo un numero fi nito
de oper acio ne saritm´eticas (sumas, productos, potencias, etc.) se denom inan Trascendentes
Como base se puede tomar cualquier número positivo diferente de 1 (pues este valor solo nos daría una función constante). Los exponentes que se usen pueden tener cualquier valor, por lo que su dom in io so n tod os los n úmeros reales. Como al elevar a cualquier potencia siempre se obtiene un nú mero positivo, el reco rr ido cons ta de todo s los n úmeros reales positivos. Esto ind ica que la función exponencial no tiene raíces. Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo
que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido". Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber: Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen. El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f. Observaciones: En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B. Un elemento y E B puede: No ser imagen de ningún elemento x E A Ser imagen de un elemento x E A Ser imagen de varios elementos x E A. La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.
Graficas de las funciones
Hay dos clases de funciones reales. Cualquier función que no sea una función algebraica es llamada función trascendental. Tal función trasciende, lo que significa que no puede ser expresada en forma de operaciones algebraicas, de ahí el nombre de la misma. A la luz de lo anterior se puede concluir que, para un valor de x la salida de una función trascendental no puede ser calculada algebraicamente.
Estas funciones son muy importantes en la solución de problemas de física e ingeniería. Son especialmente utilizados para detectar errores en el análisis dimensional. Esto se debe a que la función trascendental sólo tiene sentido después que sus argumentos se hacen sin dimensiones, esto también puede hacerse utilizando reducciones algebraicas. Para definir una función trascendental elemental, principalmente se emplean tres estrategias. Una de ellas es hacer uso de las series de potencias. Sin embargo, rara vez se utiliza, ya que no forma parte del cálculo elemental. El otro, que se utiliza en gran manera, es el método de la integral definida. Dos de las funciones trascendentales más importantes son las funciones trigonométricas y las funciones exponenciales. Las funciones de los ángulos se conocen como funciones trigonométricas. También se les conoce por el nombre de funciones circulares. Estas funciones forman parte de la trigonometría: coseno, cosecante, cotangente, seno, secante, tangente, etc. Estas funciones son una herramienta muy esencial para relacionar la longitud de los lados de un triángulo con los ángulos del triángulo. Entre muchas de las aplicaciones, estas funciones son importantemente utilizadas para modelar los fenómenos periódicos. En términos más precisos, una función trigonométrica se puede definir como una función que es razón de cualquiera de los dos lados del triángulo con un ángulo específico entre ellos. Algunos de los matemáticos modernos incluso definen tales funciones como una serie de longitud infinita o la solución de ecuaciones diferenciales, extendiendo estas un gran número de negativos así como positivos, incluso números complejos en algunos momentos. 1. El seno de una función puede ser definido como la razón de la longitud perpendicular y la longitud de la hipotenusa del triángulo.
2. El coseno de una función puede ser definido como la razón de la longitud la base y la longitud de la hipotenusa del triángulo.
3. La tangente de una función puede ser definida como la razón de la longitud de la base y la longitud perpendicular del triángulo.
4. La cosecante de una función, que es el inverso del seno de la función, puede ser definida como la razón de la longitud de la hipotenusa y la longitud perpendicular del triángulo.
5. La secante de una función, que es el inverso del coseno de la función, puede ser definida como la razón de la longitud de la hipotenusa y la longitud de la base triángulo.
6. La cotangente de una función, que es el inverso de la tangente de la función, puede ser definida como la razón de la longitud perpendicular y la longitud de la base del triángulo
Una función entera, comúnmente conocida por el nombre de función exponencial es definida como una función f: X Y de la forma, exp(z) = ez Aquí e es el resultado de la ecuación,
tal que
lo que hace a x = e = 2.718. El valor de e siempre debe ser mayor que cero y ambos e y x deben ser números reales. Una función exponencial siempre satisface la siguiente ecuación, e(x + y) = e(x) e(y)
Tome un ejemplo, para evaluar la ecuación f = 5(4)x dado que el valor de x = 2.5. Siga los sencillos pasos de la siguiente manera, • f = 5(4)2.5 (reemplazando el valor de x) • 5(32) = 160
Clases de funciones: Función Cuadrática El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial. Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo. La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son: Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo. Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo. Eje de simetría: x = xv. intersección con el eje y. Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado. Función Logarítmica La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones
logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto). Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud. En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles. El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado a. 1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 1 2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 = a 3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: logb am = m, ya que bm = am 4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero. 5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 01. 6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 01 es positivo si la base es b>1. 8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1. Función Exponencial Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae. En la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log H+,
donde H+ es la concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro. El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón. Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en días. El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años, parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano). En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución. En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual, diaria) y n es el
período de tiempo (año, meses, días, etc.). Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x». Propiedades de la función exponencial y = ax 1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1 2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a 3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0. Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo. 4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente. 5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente. Ecuaciones Exponenciales Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales. No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar. Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades: 1. ax = ay x = y Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base. . Funciones Trigonométricas Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el
origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0. Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1. Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo. Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado. Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, así como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias. En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la
base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.
