ÁLGEBRA ÁLGEBRA DEFINICIÓN: Ciencia que estudia las cantidades en su forma más genera generaliz lizada ada posibl posible, e, utiliz utilizand ando o para para esto esto número númeross y letras. Se dice de manera generalizada ya ya que a diferencia del Aritmética; en el Álgebra las cantidades se representan por letras y estas pueden representar a todos los valores generalizaci!n". SÍMBOLOS: #os s$mbolos que se utilizan en Álgebra son los números y las letras. #os #os núme número ross se empl emplea ean n para para repr repres esen enta tarr a las las cantidades conocidas. #as letras se emplean para representar a las cantidades tanto conocidas como desconocidas as$% & &
'ara las cantidades conocidas emplearemos generalmente las primeras letras del alfabeto% a, b, c, ... 'ara las cantidades desconocidas emplearemos generalmente generalmente las últimas letras del alfabeto% ..., (, y, z.,
Si una letra representa diferentes )alores; entonces se emplea la misma letra afectada de comillas o sub$ndices. a*, a*, a** a** a- , a
NOTA: 6entro de las constantes; algunas son% 7" Cons Consta tant ntes es abso absolu luta tas% s% π; 4.2 77" Constantes relati)as% g aceleraci!n de la gra)edad; depende del radio de la tierra" /0ercicios para el lector% 7ndicar las )ariables y constantes en% 4
•
'(,y" 8
•
9(,y" 8 5 ( 2 y π − (y 2 z + 2 log ( + y + z "
2
4 ( 5 y2
+
1 sen ( + y "
T!"MINO AL#EB"AICO: :$nima :$nima e(presi!n e(presi!n algebraica, algebraica, donde no participan participan las operaciones de adici!n ni sustracci!n. /0emplos% 4
•
S(, y" =
•
<(, y, z" =
(1 y
a +b 1
+-
(y (y 2
NOTA: ( = - no es un término algebraico $A"TES DE %N T!"MINO AL#EB"AICO:
, .... .... se lee lee + a prim prima a , + a seg segun unda da ,. ,... .. , .... se lee + a sub uno , + a sub dos ,...
NOTACIÓN MATEMÁTICA: /s una una repr repres esen enta taci ci!n !n simb simb!l !lic ica a de una una e(pr e(pres esi! i!n n matemática matemática que nos permite diferenciar diferenciar las variables y las constantes. ariables: Son Son aque aquellllas as e(pr e(pres esio ione ness que que para para cada cada prob proble lema ma cambian de )alor; se les representa mediante las últimas letras% ...(,y,z.
/(ponentes
Signo
−> 22 1 4 2 ( y z π 'arte literal Coeficientes Constante"
?ariables"
Constantes: Son aquellas e(presiones que tienen un )alor fi0o para todo problema. T!"MINOS SEME&ANTES:
/0emplo%
S
(, y, z "
)ar iables
=
1 5
const
(2 y
z − 4π ( 3 1 yz2
const
+
1
const
Son aquell aquellos os términ términos os algebr algebraic aicos os que presen presentan tan las mismas )ariables afectadas del mismo e(ponente. Son seme0antes los siguientes%
'((
4 ( 1 y5 ;
( 1 y 5
; @( 1 y 5
•
Nota% Nota% #os términos términos que son seme0a seme0ante ntes, s, se pueden pueden sumar o restar; operando los coeficientes y colocando las mismas )ariables con sus mismos e(ponentes. /0emplo% -4 ( 2 y 1 z +@ ( 2 y 1 z −1 ( 2 y 1 z 8 -4 +@ −1"(2 y1 z
=-5(2 y1z
E)$"ESIÓN AL#EB"AICA: Con0unto de números y letras unidos entre si por las diferentes diferentes operaciones operaciones aritméticas aritméticas adici!n, adici!n, sustracci!n, sustracci!n, multiplicaci!n, di)isi!n, potenciaci!n o ra$z aritmética"; en un número número limitado de veces. B(" = 3( 1 • • •
S(, y" = (
2
5 (y
( + y
:(, y" =
( y + 1
+(
' (, y, z "
= 4 ( y −3 (y@ −(z
G
/.A.B./." •
' (, y, z " = -1 + 4 ( 5
− 2y2 +
1 2
z1
G
/.A.B./." E)$"ESIÓN AL#EB"AICA "ACIONAL F"ACCIONA"IA E.A.".F./ /s cuando cuando la parte literal literal se caracteriza caracteriza por tener algún algún /'DE/EF/ /EF/BD E/HAF7?D o tiene letras en el denominador.
&
/0emplos% • 9(,y,z" 8
@(y
1
+2 ( −-z + (y2 G/.A.B.<."
9(,y,z" 8
•
( 2 9 (, y " = 1 ( + y
2
(
+ 5y4 −
•
+ 1 G/.A.B.<."
( 2 y 3 z@
+ 4( 4 y
G
/.A.B.<." &
CLASIFICACIÓN:
E)$"ESIÓN AL#EB"AICA I""ACIONAL
/s cuan cuando do la part parte e liter literal al se cara caracte cteri riza za por por tene tenerr e(ponentes
• De ac*er+o al e,-onente:
Se clasifican en%
/0emplos% E,-resiones E,-resiones Al4ebraicas Al4ebraicas
•
•• 7rracional 7rracional
/(p. /(p. /ntero" /ntero"
/(p. /(p. fraccionario" fraccionario"
•
•• /ntero /ntero ••
E)$"ESIÓN AL#EB"AICA "ACIONAL /s cuan cuando do la part parte e lite litera rall se cara caract cter eriz iza a por por tene tenerr /'DE/ /'DE/EF/ EF/S S /EF/B /EF/BDS DS o tambié también n porque porque el sub radical no tiene letras. /0emplos% •
' (, y, z " =
•
' (, y, z"
2
( y
−1
z
4
+ π
( 1 y2 z5
= 5( −2 +y 4 −-z−5
Se subdi)ide en% & E)$"ESIÓN AL#EB"AICA "ACIONAL ENTE"A E.A.".E./: /s cuando la parte literal se caracteriza por tener /'DE/EF/S /EF/BDS 'DS7F7?DS o no tiene letras en el denominador. /0emplos%
'(3
G
+2(y −@(y
B ( " = 3 (
3
+
(
2
−
1
-5
(
1
G/.A.7."
De ac*er+o al n01ero +e t2r1inos: 'olin 'olinomi omios% os% /(pres /(presion iones es algebr algebraic aicas as racion racionale aless enteras". Atendiendo al número de términos que posea la e(presi!n algebraica; esta se puede clasificar en%
(Exp. (Exp.Entero–positivo) Entero–positivo)
4
B(, y" =- (y
/.A.7." •
•• Bacional Bacional
2
• • • • •
:onomio Iinomio Frinomio Cuatrinomio 'olinomio de cinco términos
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
•
'olinomio de n términos
- término. términos. 2 términos. 4término. 1 términos.
⇒
n términos.
E)$"ESIONES T"ASCENDENTES: #lam #lamad adas as tambi también én + no alge algebr brai aica cas s,, con0 con0un unto to de núme número ross y letr letras as unid unidos os entr entre e si por por las dife difere rent ntes es operaciones operaciones aritmética aritméticass ; en un número ilimitado de veces ; se tienen% a" Frig Frigon onom omét étri rica cass % sen ( ", cos ( ", tan ( ",...etc . b" /(po /(pone nen ncial ciales es % 5 ( +2 , ( ( +c" #oga #ogar$ r$tm tmic ica as % log (, ln (
d" Circulares % arcsen (" , arcsec(", arccot(",... etc. e" Jipe Jiperrb!li b!lica cass % senK ( ", cosK ( ", tanK ( "...etc f" /(pr /(pres esio ione ness de inf infin inititos os tér térmi mino noss %
-+ ( + ( + (2 + ... ( ( (2 -+ + + + ... -L L 2L
Teoría de exponentes TEORÍA DE EXPONENTES Fiene por ob0eto estudiar todas las clases de e(ponentes y las relaciones que se dan entre ellos. #a operaci!n que permite la presencia del e(ponente es la -otenciaci5n. E)$ONENTE NAT%"AL: /s el e(po e(pone nent nte e ente entero ro y posi posititi)o )o que que nos nos indi indica ca el número número de )eces )eces que se repite repite una e(pres e(presi!n i!n como factor. /n general% /0emplos% '/
1
= ....
M1M )eces
6/ 7/
5
5
5
ab . ab .... ab =
5
3n −-
ab "
M 3n −-M )eces
2
2 2 ab . ab ... ab
≠ 2 ab
+
3
1"
; 3n & - ∈ E
3+ 1"
no tiene sentido
no es un número natural.
E)$ONENTE CE"O Fodo número diferente de cero ele)ado al e(ponente cero es la unidad. /0emplo% '/ 1 & 6/
2
@ +
/0emplos% '/
=
2
1
E)$ONENTE F"ACCIONA"IO Fodo e(ponente fraccionario se puede con)ertir en ra$z; numerador al e(ponente y denominador al $ndice. /0emplo% -
2
4
=
=@
42
POTENCIACIÓN Dperaci!n que consiste en repetir como factor un numero llam llamad ado o base base;; tant tantas as )ece )ecess lo indi indica ca otro otro llam llamad ado o e(ponente. Además% '/ '% 'otencia. 6/ b % Iase. 7/ e % /(ponente. •
4
•
an = a ×a ×a ×..... ×a
= × × × = -3 4 )eces
n )eces
= 4 − 4"− + 8 >> indeterminado"
E)$ONENTE NE#ATIO #a e(presi!n diferente de cero ele)ada a un e(ponente negati)o es igual a una fracci!n cuyo numerador es uno y cuyo denominador es igual a la misma e(presi!n pero con e(ponente positi)o. -
= 2 = @
"> 8 -
>
4 -3 "
−2 1
"−2
b ∈B ; e ∈E
3 + 1 " )eces
ya que
6/
=
-1 -1
LE8ES DE LOS E)$ONENTES '/ $ro+* $ro+*ct cto o +e bas bases es i4* i4*al ales es:: Se escribe la misma base y los e(ponentes se suman.
/0emplos% a" ( .( 3 .( 4 .( = ( +3 +4 +- = (-2
'(9
b"
-
2
n
( .( .( ....( = (
-+ +2 +... +n
n n +-"
=(
b"
= > −-3 = -3
a2 +1 ( a2 −1 (
IDENTIDAD F%NDAMENTAL: (/ "a=> +e ra=>: Se coloca un solo $ndice resultado del producto de todos los $ndices. /0emplo%
= a2+1 ( −2−1( " = a-> (
7/ $otencia +e -otencia: Se escribe la misma base y por e(ponente se pone el producto de los e(ponentes.
2 4
/ $otencia +e -ro+*cto: 'ara efectuar esta operaci!n se ele)a a cada factor al mismo e(ponente. /0emplo% a" H
2
/0emplo%
'ara efectuar esta operaci!n se ele)a tanto al numerador como al denominador al mismo e(ponente. /0emplos%
@
2
=
@-
1
>
4
@-
4
-3
=
2
=>
−1"
Se reconoce por la ausencia del signo de colecci!n; para efectuar esta operaci!n se toma de dos en dos de arriba Kacia aba0o. 6onde% n p = (; m ( = y /0emplo% > a" 4 = - = 4
=
-3
34
= 2 a1 . 2 b5
a1b5
9/ "a=> +e cociente: /sta operaci!n se realiza e(trayendo la ra$z tanto del numerador como del denominador.
4
@ 2
/0emplo%
;/ $otencia +e cociente:
a" =
= 4 @- =
@-
3/ "a=> +e -ro+*cto: /sta operaci!n se realiza e(trayendo la ra$z a cada factor.
/0emplo% a" ( 2 "4 ⋅ ( 2 "1 = (- ⋅ (-1 = ( 5
−@ = − puesto que &"2 8 @ única en B".
6/ Divisi5n +e bases i4*ales: Se escribe la misma base y los e(ponentes se restan. /0emplos% > a" -3
2
= −1 =1
INT"OD%CI" %N FACTO" DENT"O DE %N "ADICAL: 'ara introducir un factor a un radical se multiplica el e(ponente del factor por el $ndice del radical y a esta se afecta del radical. /0emplo% 1 =
.1
=
>
"ADICALES S%CESIOS:
RADICACIÓN '/ DEFINICIÓN: 6ados un número real +a y un número natural +n mayor que uno; +b se llama ra$z n&ésima principal de a y se
As$ tenemos% - 4 -3 = ya que 4 8 -3 ra$z principal".
'3?
a
m
b
p
c
=n a .n.m b .n.m.p c
/0emplo% 2
n n denota por b = a si y solo si b = a donde a y b ∈
B y n E & N-O ba0o la condici!n de que si n es par; entonces a, b ∈ B >+
n
6/
1.5 4.3 = 2 1 .2.5 4 .2.5.3 = 2 1 .- 4 .-3
m r n
p
m.n.p r .n.p s.p t ( ys zt = ( .y .z
7/
n
p
m
( r .
( s.
(t
mnp
=
( r .m +s "p +t
Begla de%
/
n
p
mnp
÷ (t = ( r .m −s "p +t Begla de%
(r ÷
(s
Ejercicios de aplicación Nivel A
/
'/ Beduzca % n−4
)eces n )eces 2 2 2 2 /=
4 a +b.-@ a −b
= a +2b
23 a −b
es %
. . ... " . . ... "
a" 4
b" 3
c" @
d" ->
e" -
....."....."
n )eces
a" -
n )eces
n
b" 4
d" 2
c"
e" n
/ = ( +y +z
6/ Simplifique% nP
-.n.n.n2 ...nn MnM sumandos
c" n
d" -
a" (2
e" n
7/ Beducir% -3 2 -@
c" 2
d"
e" 1
/
/ Calcular el )alor de %
=
4 +n
2
a" -
+n
b" (5
c" ( &
a− a a a +- a a " = 2a a a−−- a a a
a" a a
− 2 +n − +n "2 2 +n − 2 +n × + 2n " -+n
− ×2
b"
e" 1
d" ( &1
e" ( &>
3/ Al simplificar la e(presi!n%
-
/
d" -1>
n∈Q & N-O
- -3 4 E = a" @ b" 3
c" 51
−1 −5 −2 (/ Simplificar% ( + ( + ( ; ( ∈ B 2 1 5 ( + ( + (
=
b" n
( +y
Se obtiene% a" 1 b" 1>
n n + n n + n n + ... + nn
a" >
⋅ 51 y+z ⋅ 1 ( +z ( +y +z ⋅ 1 ( +y +z 2
41
−2
c" 2
n
"
2 +n
d" 3
;/ #a simplificaci!n de la e(presi!n
−
+n
−
e" ->
n +-
"
a
− a
; se obtiene %
b" a a −- c" aa +- d" a −a e" a
9/ Si% ( ( ( = ( Jallar% / = ( ( ( +( ( +( a" -3 b" @ c" 4 '?/ Calcular el )alor de % Si% a = a" 4 b" @
/ =a
d" 34 a
e" 2
a +-+a −a -+ a
a
c" -3
d" 34
e" -@
'3'
5
S
a" -
Nivel B
''/ Si la e(presi!n% : = (
41
>
⋅ (( ( ⋅ (
Se reduce a uno. Jallar +n. a" &4P2 b" &4P1 d" &P2 e" Eo e(iste
7"
a a b +-"b b −a
a
c" &-P2
a b
/s% a"
aa −-
a +b b a +b
b"
a" @>
+
2
+
b" 3
6'/ 6ar el )alor proporciones% 7"
c"
ab
−
+4
2
'
d" ab
-
e" ba
3
d" -1
4
( ( (
de
)erdad
4
2
2
2
2
c" 2
( −(
− −
M c M sumados
( +-
=
(
+-
; ∀( ∈ ℜ −
4 2 +2 2 -+- 2
b" <<<
c"
d" ???
c" 4
d" -
e"
2
2
->
z
z2
->
z1
->
z 5 ...
a" P->> b" --P@- c" ->P@- d" -4P- e" -P 67/ Sean Na, b, cO ⊂ E, tales que% a b c + + =4 a +b b+c a +c Jalle el reducido de% a"
d" 1
e" -
b" -
a −b b +c
.
a +c
c" -3
2 2 2 + 4 + 4 + 4 + / = − 2 2 - + 4 + 4 +2 4 + 2
'9/ Calcular el )alor de%
'36
c" 3
d" @
2
b" 2
a −c
2
2 4 2 2+ 2 - 2 -+ 2
c"
d" -
6;/ Simplificar la e(presi!n% e" ->
a aa a a a a a a a a − / = a a a a a a a
a
b −c
d" 2 4
6/ /l )alor mas simple de% /s% a" 2
'3/ Al simplificar la e(presi!n%
Se obtiene% a" b" 4
e" <
66/ 7ndique el e(ponente final de Q en%
- (
b"
{± -}
.
R otorgue como respuesta de% n = 2" ÷ 5 a" 2
siguientes
-
a +b
24
las
−-
n
=
de
e" -
'(/ Si ( ∈ B= & N-O Jalle el )alor de +n que )erifica la igualdad%
2
8 a
( −- ( + 777" Si% ( −-"− = ( ; ∀( ∈ℜ
->
2
a "
M c M sumados
c" ->>
b"
e" -P2
( a + b )c = a + a + +a + b + b + +b∀a, b, c ∈ℜ
a" ??<
a"
d" 2
Nivel C
4
-
c" -P
';/ 7ndique el equi)alente reducido de % =
−
a" 7 , 77 , 777 son falsas. b" Solo 77 es )erdadero. c" Solo 77 y 777 son falsas. d" Solo 77 y 777 son )erdaderas. e" Solo 77 es falsa.
77"
/
− -
∀ a ∈ 9, se tiene
a
b
5
b"
b
a
5
-
a" b 8a b" a 8 4b c" a 8 b d" a 8 b e" a 8 2b '/ Si% ba = a ; la simplificaci!n de /8
.5
Se puede decir que%
−- ⋅ n +- +- = 4 2 + c" 1 d" 5 e"
=
b
− − 5
77" ∀ a ∈ 9, ∀ r ∈ B; e(iste ar 777" ∀ a ∈ 9, ∀ r ∈ B, e(iste ar , entonces e(iste r a
'7/ Jallar la relaci!n entre +a y b si se tiene% b
5
6?/ 6e las afirmaciones% n
MnM )eces
'6/ Jallar +n de% n +a" b" 2
5 5 = 5
[ ]
a a
a
a
a
a
a
a
a
a a a a
2
e" -@ −-
e"
2
2
a" aa
b" a &a
c" a
d"
a
d" Einguno
e" a a a
a
69/ SeUale el )alor numérico de %
−−b-+b +bb
6
b"
-
m −-
6(/ 6etermine el )alor de% Cuando% (8 &->> a" > b" -
- (m + m ( := m m +-
c" d"
e"
-@
−( + (( − ( − ( − + ( ( (
−( ( − ( − ( + ( . (
c" &-
(
(
(
(
/
T
T
- n
- . .2 .4 T
n ∈Ν a" 'ositi)o
−
n
+
4n
-
+
b" Eegati)o
n
+ +
m ∈ Q ∧ m V
c" mm
d"
m
m
e" -Pm
= (. ( " " ⋅ ( 2 "2 "2 ⋅ ( 4 "4 "4 ...M nM factores .
Fal que%
n n n+ - n+ -
( =
->4
∀ n ∈ B & N>,&-O
e" &>>
d" -P34
;
= m +- m.m −- m ;
a" m b" 7?/ Calcular%
63/ 7ndicar el signo de la siguiente e(presi!n% T
e" >
a" 4
b"
c"
d" 2
e" 4
T n
c" A y b
ECUACIONES E!ONENCIALES ECUACIONES EXPONENCIALES
a'(" = a9(" ⇔ '(" = 9(" '(" a = - ⇔ '(" = >
#lamadas también trascendentes; se denomina ecuaci!n e(ponencial a toda igualdad condicional ecuaci!n" que se caracteriza por presentar a su inc!gnita o inc!gnitas formando parte de algún e(ponente. FO"MA #ENE"AL: Sea a V > y '(" '(" y 9(" 9(" funcio funciones nes arbitr arbitrari arias as de de la )ariable +( ' ( "
a
a' ( "
=-
' ( "
E!tese que% a
' ( "
= - como a
=a9 ( "
=a
>
Fener en cuenta los siguientes teoremas% •
Teore1a: Teore1a: Sea a V > .Si .Si +( es una una )ariab )ariable le real real , ( entonces entonces la e(presi!n e(presi!n a es siempre positi)a ; para todo ( ∈ B /s decir% Si Si a V > entonces a( V >; ∀ ( ∈ B
•
Teore1a : Sea a V > ∧ a ≠ -, entonces
/0emplo% •
( −-
.4
(
= @-− (
Se )erifica para% ( 8 5P-5.
C"ITE"IOS DE "ESOL%CIÓN: #as #as ecua ecuaci cion ones es e(po e(pone nenc ncia iale less se tran transf sfor orma man n en ecuaciones algebraicas aplicando ciertas técnicas que describiremos enseguida. I/ BASES I# I#%ALES: A bases bases iguale iguales; s; e(pone e(ponente ntess iguales". Se debe e(presar a la ecuaci!n e(ponencial, de tal manera manera que las potenc potencias ias tengan tengan bases bases iguale iguales, s, luego se igualan los e(ponentes de las potencias y se resuel)e la ecuaci!n obtenida; es decir% Si % a >> ∧a ≠/ntonces % a
(
=a
y
⇔( =y
'37
II/ 'ara los casos donde e(istan términos de la forma T(; se Kace un cambio de )ariable de la forma T( 8 y; mediante el cual se tiene una ecuaci!n algebraica respecto a y /0emplo% Besol)er (
+ 4( = 5
III/ III/ E)$O E)$ONE NENT NTES ES I#%A I#%ALE LES: S: A e(ponentes iguales; bases iguales". ( ( Si % a = b ⇒a = b ; a > > ∧b > > I/ $O" ANALO#ÍA ANALO#ÍA@@ COM$A"ACIÓN@ COM$A"ACIÓN@ SEME&ANA SEME&ANA O $A"E $A"ECI CIDO DO:: Simpl Simpleme emente nte por compar comparaci aci!n !n de bases y e(ponentes".
n
n n n ( ( ( = ( "
•
Si %
Si %
• Si % (
= am "n
. . .
=n ⇒( = n =n ⇒( =n n
( =
b
(2
d" ->>
e" ->
d" 4
e" @
=2
2
Calcule% / 8 ( 2 + ( ( + ( 3 + ( ( 3 a" -
b" 1
c" 25
b" 4
c" 5
a"
=
4
b" -P
d" ->
e" @
, el )alor de +( es%
c" -P4
d" -P@
e" -P-3
c" 2
b" 4
−(
= -@
d" 3
e"
d" @
e" ->
d" -2
e"
d"
e" 4
c" 3
a
a
a
a
. . .
∞
=a a
-
aa
a a
9/ Jallar +n% n nn−- = a" -P2 b" 22 c" 2
.∞ . .
a
b
. . .
'?/ 6el sistema%
- a − a
- − a a
a
(
((
.
.n . .
=a a
b
7/ Si se cumple que%
a"
n
- a − = a
a
c" 2
3/ Jallar +( en% ( −(
.∞ . .
•
b" 4>
( +-3 "
ADICIONALES
4 "
( 2 + @ "
(/ Si% ( ( = 2 2 Calcule% (-@ a" > b" -
9ue resulta de aplicar la propiedad%
(
( ;/ Al resol)er% (
/ Wna Wna de las las prop propie ieda dade dess de mayo mayorr util utilid idad ad es la siguiente%
•
2
Calcule% / 8
a" 2
NOTA: NOTA: /sta última, no siempre podemos concluir que ( 8 a.
"
-
/ Besol)er% ( − 2 ( +2 " = −-@ e indicar la suma de sus ra$ces.
( ( = aa Si% ⇒ ( = a ; ( ≠ N>O ( ( = a a
n m
=
a" 4
Bpta % ( 8 2
a
−( 6/ Si.
( =a ⇒
2 ( + - − .y = - ( y+ 2 + . = 4-
Jallar +(. a" -P b" P2
∞
⇒ ( = b
c" 2P Nivel B
''/ Jallar +a% Nivel A 4 z −-" '/ Si% 2
=
2 "X
y
1
X −2
= 1
a" d"
z
Jalle el )alor de +z a"
'3
b" P2
c" 2P
d" -P
e" 1P@
a
= a − -"a −"
a −b" + e"
'6/ Si% 2 5 "( = 2-23 /ntonces el )alor de% (
+- ; es%
c"
−-
a" 2
b"
c" 53
d" 2
e" 25
1
( -3
'7/ Si se cumple%
(
-
⋅(
--
⋅(
---
->
-- --
(
MnM unos
( @-
=
-41
( @-
Calcular +n% a" 1
b" ->
c" -1
d" >
n n n n '/ Al reducir% ( ( ( ( n n n n 2 n ( ⋅ (n
n
e" 1
d" -
e" -1
5
-> -
5
− n− 2
b" ->>>
'
2
( , si (
b" 3
2 2
2 +-
2 −-
d" ->> =
c"
e" 1>
(
12 (
@-
2
d" -1
2
1
c" 2
2
'9/ Si%
(
a" -P
b"1P
d" -1
(
e" 5
e" 2P1
d" P2
e" P
= 2 2 ( ( "− Calcular% ( b" -P-@
6?/ Jalle +( en% a"
c" 2P
c" -P@->
1
-1 b"
(
2
(
3
(
− (
. . . (
c" 2
= ( +b"
d" 4
c" 2
4 − -1 "( −-> =
(
( + >.1
=
a" -
-
e" 1
d"
2
e"
" −
4 + -1 "( −->
e" ->
e" 2
b"
d"
(
( y +-"
y
( y
'3/ 7ndicar un )alor positi)o de +( aumentando en -P que resulta de% + ( = 3 ⋅ ( 4 −( a" -P
(
b"
(
=2
b"
(
y
1 (1
a" 1
(
(
c" 2
d" 4
e" 1
6
'(/ SeUale un )alor de +( tal que cumpla la relaci!n% 2
−-
a" > b" - c" -@ d" -1 2 6/ Calcular el )alor de% / = ( −1 ( 6onde +( satisface la ecuaci!n% ( ( −-" = ( + - ; es% a" &b" > c" d"
(
c" -1>
1
66/ Calcular el )alor de% / = ( + ( − 6onde +( satisface la ecuaci!n%
4
Calcular n% a" ->
=1
1
1
6;/ Calcular el )alor de% / = 2 ( +- ( ( − 6onde el )alor de +( satisface%
5
=
31 "
a" -
5
5
+
67/ Calcular la suma de las ra$ces de la ecuaci!n%
-
';/ Si se cumple% 1 4
1 1
a" -
->
2
1 (
SeUale +: si% :8
(
4
Se obtiene ( , calcular +n% a" b" 3 c" 2
(
−(
-
=2
y
a" y 8 ( d" ( 8 2y
es %
2
b" ( 8 y e" ( 8 y
c" y 8 2(
6(/ Calcular el )alor de% / = 4 ( ( Si se cumple que% a" -
(
(
b" 2
−@-@-
= @-
c" 4
63/ 6eterminar el )alor de%
d" 1
b"
e" 3
−b"−(
(
b"
@(
Si se sabe que%
>
y
+b"−@ = 5
∧
a" 2
b" &
c" &-
d"
e" -
=-1
c" -1
d" -1
e" -1
69/ Calcular el )alor de +( en la ecuaci!n% 2( + + 2( −2( − + 2( +-
a" 2 Nivel C
7?/ Si% 6'/ #uego de resol)er la ecuaci!n e(ponencial%
b" 1
( +2 ( (
= 5
c" -P2
( + ( = aa (
d" -P1
e"
-−a a
'3;
−
- −( A qué es equi)alente% a ⋅ ( a
a" -
b"
(
c" ((=-
d" (
e" (
E!RESIONES AL IN"INITO EXPRESIONES AL INFINITO
n
n
n
n
(. (. ( ...... ( m radicales
n
m
=
n + -" ⇔ + " n " " ⇔ −
a ± a ± a.....∞ =
m
n −( n −-
n" n=-"
m nm + n n+ n n n n ( M mM impar " ( ÷ ( ÷ ( ÷ ...... ÷ ( = m radicales m nm − n n+ ( M mM par " - m m m m (. (. (.....∞= (. (.[(....∞ ]m
a ± a ± a.....∞
2
(
m
÷
m
(÷
(.....∞
(
=
( m
m
m
( ..∞
-
'3<
=n +-"
Solo para += y se escoge el del medio".
-
m m− = (
( = ( m ...∞
- m - m =( ÷( ÷[( ÷...∞ ]m =m +- (
4a +- ±
n"n=-"n="
-
m
2
a + a +2 a +...∞
=
m
...( ( (( ( ( ) )
m
=( ...
m m m
MT M parentesis
∀ T ∈ E ∧ m ∈ E & N-O
T m −- m m −-
Ejercicios de aplicación (/ 7ndique el e(ponente de (%
Nivel A
'/ Calcule el )alor apro(imado de % 3> 3> 3>...
a" &->
+
2
b" -
3+
2
3+
c" >
/ 2
3 +...
d" 1>
e" 3
6/ Besol)er% 2
−2
a" 2
−2
(
2
(
−2.... =
b" 1
c" 5
+
>
d"
e" --
7/ Si% m
=
>
> +
p
=
-+ 2
n
=
m m m....
2
+...
a" >
c" 2
d" 1
a" >
4
2
b" -
-1
a" -
2
+4
b"
=
5
a" -P1
(
2
(
5
a" a b d" 3
e" ->
b" -P
2
3
3
a4b..
1 3
c" a2b1
b" a b
d" a3b
e" a3b2
d" 4
(.....∞
c" -P2
'?/ Si%
(
=2 1 +
3
+
3
+
3
+...∞
Calcular% / =1 -1 ( +1 -1 ( +1 -1 ( +....∞ a" b" 2 c" 1 d" e" 4
+ 42 -1 +.....∞ c" 2
(
a4b-
∞
1 2
e" 1
4
4 ....
c" 1
-1
−n
4
a4b3
e" 3
;/ Calcular% 2
4
n
n c" 4 + -
3/ Jallar el )alor numérico de la e(presi!n para% a 8 2 2 4 2 1 1 a a a a a / = 4 a 22 41 a a" 4 b" -3 c" 2 d" @ e"
9/ Beducir%
b" -
-A + 2
e"
<=
/ Calcule el )alor apro(imado de%
=
4
2....
Calcule% n = m & p
/
n
b" 4 − -
a" 4 n −d" 4 n
2
(
4
= ( 2 4 ( 2 4 ( 2 .....nradicales
Nivel B
''/ Jallar la suma de los e(ponentes de Ya* y Yy* luego de efectuar% 1 < = a A y 1 aA y.........
d" -P5
e" -P-
a" 1P2
b" 1P
c" 1P--
d" 3P1
e" 2P
'3(
'6/ 6espués de resol)er% ; b = ---> a = @
@
a" -
c" -P2 -
-
-
-
4
@
-3
− + +
b" -
b"
2
-2
d" -P@
c"
-
@-
−
e" -P-3 2
+
d" -P@
'/ Calcular +n en la igualdad% 2
c =
-2
-
a +b
'7/ Calcular% S = - +
a"
;
--
nn
= 5 +
@- c"
d"
2
34
n m
=
a" -P
=
n
n m
c"
d"
5 + n
+-
4⋅
2
4 ⋅...M nM rad ⋅ n
a"
b"
d" -@
e" -@
n
2 ⋅
n −-
3
2 ⋅
n
c"
2
3
-@
n n n
e"
/
n
-@
−-
M nM radicales
n
= n ⋅ n ⋅ n n ⋅....⋅M nM radicales Jallar% A × I a" b" c" 2 d" 4 67/ 6eterminar el )alor de% I
2 ⋅...⋅M nM rad
n.
=
A
2
3
n -P n . n
n
n
2
2
n m
b" -
4⋅
66/ Si%
e" 2
2
2
+
e" ->P5
n
-
';/ Jallar ' 8 nm &- & - si se cumple que% n +m n −m
6'/ Beducir% /
b" -P3
a" ->
->
c +1
=
Jallar% /
Nivel C
=
e" 1
2
1. 2. 1. 2...M ∞M radicales 1 2
( .− (
.− (
(
=
'
2 2
( 4
4
(
4
a" -
a"
b" 4
'(/ /fectuar% a"
2n
d"
n
2
c" -3 2
/ =
n ( 2 −-" n
( 2 −-"
(
42
(
2n
b"
d" 2
42
e" 34
c"
2
c" 2
/=
n ( 2 −-"
n+
n
e" E.A.
n
(
(
n −i
n
..... (
n −i
n n n
.
n+n
..... (
b" (n
c" (n d" (-P equi)alente
+2 4 +2 4 +2 4 +...∞ B = − 2 - + 4 +2 4 +2 4 +...∞ 2
Se encuentra en el inter)alo% a" [- ,2\ b" [1P , 2\ d" [2 , 1\ e" [4, 5\
c" [-P , 5P\
6?/ Calcular el e(ponente final de ( en% S(" 8 2 ( 2 ( 2 (...M nM radicales a" 2n & -Pn b" 2n & -P2n c" 2n & -P d" 2nPn
'33
e"
2n
−-
.2 n
6;/ Si%
e" ( de%
a
a
a
( 2 .
7ndicar%
n/n + n −-
n + ...M
∞M )eces
b" n+- c" n−- d" 4n
a" n
n
Z n Z radicales
a" ( '9/ /l
e" 1
n/n + n −-
Z n Z radicales
n −i n
d" 4
n/n + n −-
'3/ /fectuar% n
...M∞Mradicales
6/ Jallar el )alor de / en%
( 4 .....M nM radicales.
n ( 2 +-"
b"
1
( 2 .
a− -
( 2 .....M aM rad =
e" a ( @ a −-"
a 4 =aa a −
/
a"
b" 4
c" 3
d" @
e" ->
6
=
2
2
4
2
2
4
4...........
4
; de +n radicales n
=2 -3 ÷2 -3 ÷2 -3 ÷.......... ÷2 -3
radicales /ntonces% A × I es% a" 4 b" c" -
d" -P
e" -P4
6(/ 7ndicar el e(ponente final de ( en% 2
a"
1
(.
( 4.
2
-5
( 4 .
b"
( 4> M nM radicales
c" -
d" 2
e"
2
2
63/ Calcular apro(imadamente% A =
4
4.......... .
b" 2 c"
a"
7?/ 6ada la siguiente sucesi!n% ( - = ; ( = ;
d" -3
e"
4
1
Calcular%
69/ Calcular el e(ponente final de +( en% (
2
(
4
a" -
(
21
b"
a"
(2
=
;G
( 4 .(--
( 2 .(-> b" 4
c" 1
d" -P
e" -P4
4
( .........
c" 2
d" -P
e" -P4
!olino#ios CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Entero Entero
Bacional Bacional Fraccionario Fraccionario
7rracional 7rracional
Binomio Binomio (2 (2términos) términos)
'olinomio 'olinomio
∈ Ζ > + ; +n grado del polinomio.
7ndicándose que +n es un entero ≥ o , es llamada un 'D#7ED:7D 6/ HBA6D n en la )ariable +( y siempre que el coeficiente an llamado CD/<7C7/EF/ 'B7EC7'A# sea diferente de cero . Se denota en las formas '("; 9("; B(", etc. NOTA: Wn polinomio de 4ra+o cero es cualquier número constante distinto de cero. /l número C/BD es el único polinomio para el cual el grado ED /SFA 6/<7E76D. "AÍCES DE %N $OLINOMIO:
:onomio :onomio - término" término" Según Según el el Eúmero Eúmero de de Férminos Férminos
n
a> 8 Coeficiente principal no nulo. an 8 Férmino independiente.
E)$"ESIONES E)$"ESIONES AL#EB"AICAS AL#EB"AICAS
Según Según la la Eaturaleza Eaturaleza del del /(ponente /(ponente
6onde%
Trinomio Trinomio (3 (3términos) términos) Cuatrinomio Cuatrinomio (4 (4términos) términos)
$OLINOMIOS% /s una e(presi!n algebraica, cuyos términos son todos racionales enteros, cuando los coeficientes son reales, se dice que es un polinomio en B. NOTACIÓN $OLINOMICA% Si el polinomio tiene una sola )ariable +( su notaci!n será%
'or el teorema del factor sabemos que dado un polinomio '(" con grado mayor o igual que -; un número +r se llama ra$z o cero del polinomio '(" si 'r" 8 > o sea se anula para ( 8 r " /0emplos% • '(" 8 ( & 2( = - tiene por ra$ces a ( 8 - y ( 8 -P 'orque '-" 8 '-P" 8 > D sea se anula para ( 8 - y ( 8 -P •
'(" 8 ( = - ; ∀ ( ∈ B ; no tiene ninguna ra$z real porque todo ( ≥ > /n cambio si consideramos al polinomio '(" sobre el campo C entonces si e(istirán dos ra$ces imaginarias para '(". /ntonces% '(" 8 ( & &- " 8 ( & i " 8 ( = i"( & i". #uego% ( 8 i ; ( 8 & i As$ resulta que el polinomio tiene dos ra$ces comple0as. Becordar que% i = −- →i = −-
Observaci5n:
'39
Si obser)amos los e0emplos anteriores tienen como ra$ces a racionales, reales y comple0as además ocurre que todo polinomio con coeficiente en B y C tiene sus ra$ces en C necesariamente. TEO"EMA F%NDAMENTAL DEL ÁL#EB"A:
•
⇒'a +-" = a + 1a + 2 •
Fodo polinomio de grado positi)o n% ' ( "
n
= a> ( + a-(
n −-
(8(& ⇒' ( − " = ( − " + 2 ( − " −-
⇒' ( − " = ( − ( − 2
+ ... + an −-( + an
con
grado ≥ - y a> ≠ > definido sobre el campo de los números comple0os; tiene por lo menos una ra$z; ya sea real o comple0a.
TEO"EMAS% '/ S*1atoria +e coeicientes : /n todo polinomio, la suma de los coeficientes, se obtiene reemplazando a sus" )ariables" por la unidad.
NME"O DE "AÍCES DE %N $OLINOMIO Fodo polinomio de la forma ' ( "
(8a=⇒'a +-" =a +-" + 2a +-" −-
= a > ( n + a-( n −- + ... + an −-( + an ; a> ≠ >
coeficientes ∑
= '-"
tiene e(actamente +n ra$ces. /0emplo% Sea% ' ( " = ( + 2( −-
"E$"ESENTACIÓN DE AC%E"DO AL #"ADO. • 6e primer grado % a( = b. • 6e segundo grado % a( = b( = c • 6e tercer grado % a(2 = b( = c( = d T!"MINOS SEME&ANTES% Son aquellos que se caracterizan por tener las mismas partes literales, afectada de los mismos e(ponentes, dos o mas términos se pueden sumar o restar solo si son seme0antes. /0emplo% • ⇒ Beduciendo 5 (y ;−(y ; (y 3
•
+
(
2
"(y
y ;
2 (y
2
⇒ Eo son seme0antes
∑coef ='-" =∑coef =2
Corolario: /n un polinomio de más de una )ariable; la suma de coeficientes se Kalla reemplazando cada una de las )ariables por el número -. coef ='-,-" /n '(, y" 8
∑
6/ T2r1ino In+e-en+iente: /n todo polinomio el término independiente F.7." se obtiene reemplazando a sus" )ariables" por cero. F.7. ='> " /0emplo% Sea% ' ( " =(2 +4( +5( −2
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Deinici5n: /s el resultado que se obtiene al reemplazar la )ariable o las )ariables de una e(presi!n por )alores determinados tal que al reemplazar en la e(presi!n original se obtenga una cantidad determinada. /0emplo% Si% ' ( " = ( +2( −#os )alores numéricos serán% 'ara. • (8
⇒' " = + 2" −- ⇒'" = •
( 8 &-
F.7. = ' > " F.7. = −2
= > 2 + 4 > " + 5 > " − 2
Corolario: /n un polinomio de mas de una )ariable; el término independiente se Kalla reemplazando cada una de las )ariables por el número >. /n '(,y" 8 F.7. ='>,>" CAMBIO DE A"IABLE Consiste en reemplazar la )ariable de la e(presi!n o polinomio; por una nue)a )ariable o por un nue)o polinomio de tal manera que el polinomio resultante dependa o quede en funci!n" de dicKo cambio.
⇒' −-" = −-" + 2 −-" −- ⇒' −-" = −2 •
'9?
+2-" −-
/0emplos% Si '(" 8 3( & 5 'ara% ( 8 1z entonces '1z" 8 31z" & 5 8 2>z & 5 .
•
Si '( & " 8 ( = - calcular '1".
$ri1er 12to+o: '( & " 8 ( & " = -4 desdoblando para buscar que se parezcan. AKora % 'y" 8 y = -4
Ejercicios de aplicación a" n
Nivel A
'/ Si% '( & 2" 8 1( & 5; '\<(" = [ 8 ->( & -5; /l )alor de < ( & " es% a" ( = -b" --( & c" --( = d" - e" ( & -6/ Si el polinomio% ' - & (" 8 4( & ( & 1 /l )alor numérico de% '-" = '2" es% a" -> b" - c" -@
d" >
d" 2-
e" 1
f ( "
Calcule ff&4"" a" &4 b" @P1 c" 4
b" 4
d" >
'( > ) '-" + '-"
e" &@P1
'( ) ] ' ( ) ' > "
c" -P
=
− '(-) ' -"
+ '( − -) −'-"
e" nP
( + > ; Jallar % f \ f ( "[ ( −b" ( c" (P d" 2( e" 4(
a" (
'?/ Se define en B=% f( & 3(" 8 ( = @ Calcular% fa" a" a + 2 b" a + d" --= a + e" a = @.
c"
e" -5
a +
Nivel B
''/ Si % <(" 8 <( & -" = <( & "; Además% <-" 8 2 ; <" 8 4. Calcular el )alor de%
"[O a" b" c" 2 d" 4
e" 5
'6/ SeUale el )alor de (--" . Sabiendo que% (a & -" 8 (a = -" & a = -; Además% (2" 8 a" @ b" c" -> d" e" --
' "
d" -P4
( −; ( − Además% < \<("[ 8 Jallar el )alor de% / = ( +- ( +5" ( +4" a" @> b" @c" @ d" @2 e" @4
'7/ Si% < ( " e" -
(/ Si% '(" 8 (n & (n&- = (n& & G = ( & ( = -; n es par Calcular el )alor de% '-" ' −-" + ' −-" '(-) /
d" n & -
3/ 6ado% f ( " =
e" 3
/ Si % Fn 8 - = 2 = 1 = ... = n & -" Jallar el )alor de% B 8 F-> & F"=F@ & F5"=F3 & F1"=F4 &F2"=F & F-" a" 15 b" 12 c" 1d" 11 e" 1
= ( +4 +
c" n = -
9/ Suponiendo que% f\f("[ 8 4( = 5 Calcular% f2". a" -4 b" -1 c" -3 d" -2
7/ Si % '(" 8 a( = b y ''("" 8 @(4 = 4( = c . /l )alor de a = b = c es% a" @ b" 2 c" 2>
;/ 6ado % 2f ( "
b" n
=
'/ Si% J\J(" & - [ 8 J( & " = J( = -" = ∧ J" 8 -
'9'
Calcule% J2". a" &4 b" &
c" >
d"
e" 2
';/ 6ado el polinomio% ' (
−-" = ( − 2 "
n
+ 2 ( − "
n
− 2 ( − "
Jallar +n; tal que el término independiente del polinomio sea igual al doble de la suma de coeficientes del mismo. a" b" c" > d" 2 e" 4 ' b" c" -> d" -1
e" >
'(/ Sean% :(" 8 ( = 4 :\A(" = I("[ 8 1( = -:\A(" & I("[ 8 2( & 5 Calcule% A2" = I-" a" &5 b" 4 c" @
e" -1P
d" -P
'3/ Si% '(" 8 ( & 2 ∧ ' f (" = g(" " 8 ( = Además% 'f(" = g(" " 8 ( = /ntonces el polinomio% 'f(" ⋅ g(" " es. a" 3( = 4 b" 4( & c" 4( = 2 d" 2( & 4 e" 2( = '9/ Sea el polinomio '(" ; el cual )erifica% a + b '[' ( "] ' ( 2 ' ( − − − ≡ a a −b ' a " = ; a ≠ > Calcular el )alor de '". a" 2 b" &2 c"
d" &
Jalle%
b a" a b" a c" d" a & 6/ 6ado% <<<(""" = <<("" = 2<(" 8 3( Calcule% <a = b" = <a & b". a" b b" a c" a d" b n
Nivel C
66/ Si se cumple que% Jallar% <- & y" a" -Py b" y 67/ Sea f(" 8 a( = b
( + -
-
n
d" y
'T " ∑ =
Calcule%
T -
a"
n
n
b"
n + -
d"
+
n
c"
n + -
4 n + -
n
e"
n
−-
6(/ f ( " = - + 2 ( + 1 ( + 5 ( 2 + ( 4 + ... Jalle f-P". a" 3 b" 4 c" d" e" 7nfinito
63/ Sea% g ( "
=
n( n −(
=
6onde% n∈Q ; g g...g ( "..."" 6etermine% ; m ∈ E. Mm Mparentesis
m(
b"
n + m( m(
e"
n − m(
(
c"
m − n( mn(
m( m+(
m + n(
69/ Sean los polinomios idénticos% A ( " = a + b " ( + b + c " ( + a + c , e" -P
( + c
I ( " = abc
e" & y
Calcular% S = a" -P2
a
(
b"
a
+
b
-
+ b + c
a + b + c "
7?/ 6e la e(presi!n%
'96
-
=- + y + y + y2 +...
c" 2y
e" &a
= 6
d"
< y "
e" a & -"n
6;/ Sea una e(presi!n% f ( " = a( + b( + c Fal que% ( ( f − - − f + - = −@ ( + -"; ∀( ∈B . Jalle el m$nimo )alor de f. Además f>" 8 a" & b"&c" d" e" >
a"
6'/ Si % ' ( " = ( − ( − ( + + +... Calcular% ' a" -P2 b" -P1 c" -P4 d" -P3
n=-
e" >
6?/ Sean los polinomios % '(" 8 ( & -1 9(,y" 8 ( = 2y & Jalle el término independiente del polinomio Jt" . Si % Jt" 8 9\ '2",2t & - [ a" &1 b" &-1 c" & d" e" 5
4
MnM )eces a −-" ⋅ f f f f b"""" +-
c" 2
d" ->
e" 22
'
( + - "=( ( −-
− (-@ + 4
Jallar el )alor de% ' 2 ""' −-" a" -@ b" 13 c" -@> d"
e" 4
Grado de expresión al$e%raica GRADO DE EXPRESIÓN ALGEBRAICAS Se denomina grado a la caracter$stica relacionada con los e(ponentes de las )ariables de una e(presi!n algebraica; este 4ra+o es *n n01ero nat*ral. Se distinguen dos tipos. • HA% Hrado absoluto. • HB% Hrado relati)o. '/ #"ADO ABSOL%TO #A/: /sta referido al con0unto de todas las )ariables. a/ EN %N MONOMIO: /l grado absoluto es la suma de los e(ponentes de las )ariables. /0emplo% • :(, y, z" 8 1 ( 4 y 2 z@ X 1 ⇒ HA: 8 4 = 2 = @ 8 -1 Solo se suman los e(ponentes de las )ariables". •
:(, y, z" 8
1 ( 2 y 4
z
⇒ HA: 8 2 = - = - 8 1
Dbser)a que el monomio tiene como )ariables a +(; +y; +z y no as$ a +X el cual se considera constante; desde luego tiene grado cero. b/ EN %N $OLINOMIO: /l grado absoluto es la mayor suma de e(ponentes de )ariables obtenida en uno de sus términos.
/0emplo% •
' (, y, z " =
5 2 4 2 2 4 1 ( y z − ( yz + ( y z 3^
@^
- ^
/ntonces como grado absoluto escogemos el mayor de entre los tres que es% HA' 8 -. 6/ #"ADO "ELATIO #"/% /sta referido a una sola )ariable. a/ DE %N MONOMIO: /l grado relati)o de una )ariable es el e(ponente de dicKa )ariable. /0emplo% • :(, y, z" 8 1 ( 2 y @ z #uego% Hrado relati)o respecto a +(% HB( 8 2 Hrado relati)o respecto a +y% HBy 8 @ Hrado relati)o respecto a +z% HBz 8 b/ DE %N $OLINOMIO: /l grado relati)o de una )ariable es el mayor e(ponente que presenta dicKa )ariable en uno de los términos del polinomio. /0emplo% •
'(, y, z" 8
1
( y2 z
+
2 (yz2
− @(1yz4
#uego% Hrado relati)o respecto a +(% /l mayor de , -, 1" ⇒ HB( 8 1 Hrado relati)o respecto a +y% /l mayor de -, -, 2" ⇒ HBy 8 2 Hrado relati)o respecto a +z% /l mayor de -, 2, 4" ⇒ HBz 8 4
'97
"EC%E"DA: 9ue solo se consideran )ariables aquellas que se encuentran dentro de la notaci!n polin!mica. '(, y" 8 2 ( 1 y z Solo son )ariables +( e +y; y no as$ +z que es una constante con grado cero. #"ADO DE LAS O$E"ACIONES AL#EB"AICAS O$E"ACIÓN Adici!n % ' ( "m
#"ADO "ES%LTANTE
/l grado de la suma
m ⇔m≥n
del polinomio de mayor grado
m ⇔m≥n
+9 ( o sustracci!n es el
Sustracci!n% ' ( "m
$"OCEDIMIENTO
−9 (
/l grado del producto es la suma m=n ' ( "m .9 ( de los grados de los polinomios 6i)isi!n% /l grado de la m di)isi!n es la resta ' ( " m&n de los grados de los n 9 ( " polinomios /l grado de la 'otenciaci!n% potenciaci!n es el m ⋅ n m n producto de los ' ( " e(ponentes /l grado de la Badicaci!n% n radicaci!n es el con m ≠ > n m cociente de ' ( " m transformaci!n /l grado de toda constante o término Constante% > independiente siempre es cero NOTA Si solamente nos indican +grado; se refiere e(clusi)amente al Hrado Absoluto. :ultiplicaci!n%
[
'9
]
Ejercicios de aplicación Jalle el grado de%
Nivel A
'/ A continuaci!n se muestran términos seme0antes% ; n +-"( 4 m −-"( n + mn −-"(-−m
J ( "
;
#uego de sumar los tres términos indicar cu coeficiente. a" b" 4 c" 3 d" @ e" -> 6/ Si A; I y C son polinomios de grados 1; 2> y respecti)amente.
−C" Cuál es el grado de% C A +I" I A
a" -
b" --
c" -
d" -4
:(, y" 8
- ⋅ m ⋅ (2m+ n
y
a" -
e" -1
1m−n
Cuyo grado absoluto es > y el grado relati)o a +( es -4. -3 @- a" b" c" @P d" P-3 e" @-P-3 @@
b" -@
: (, y, z "
/s igual a la mitad de la suma de los e(ponentes de todas sus )ariables. /l grado relati)o a y es. a" 2 b" 1 c" d" 4 e" 5
n
n
9 ( " = 5 (
n
n
−1 (
n
+2 "
n
n
;
+3 ( +" ;
B ( " = ( −4 " ; Si el grado del producto de los tres polinomios es 1; entonces el )alor de n es% a" b" 1 c" d" 4 e" 2
(/ 6ados los polinomios% '("; 9(" tal que los grados de% ' 2 ( ".9 ( "; ' ( ".9 2 ( "
Son y - respecti)amente.
d" 4
e" 2>
=n−4 n +-( n−4 n−2 y@ .z-−2n
es m$nimo Calcular +n. a" 2 b" 1
c" 5
d"
e" --
9/ Jallar el grado de%
= ( +-" ( 3 +-" (- +-" ( > +-"...
a" n n +-" d" nn +-" 2
nn + " nn +-" c" 2 2 nn +-"n + " e" 2 b"
'?/ Jallar a y b si el siguiente monomio tiene grado absoluto igual a - i el grado relati)o respecto a +y es igual a 5. '(,y" 8 ( 4 a +b " y 1b −2 a a" -, b" -,1 c" , d" ,> e" ,1
/ Jallar +n si la e(presi!n es de se(to grado% : 8 n ( ⋅ n ( ⋅ n ( 2 ⋅ n ( 4 ...n (n a" 1 b" 3 c" 5 d" e" -;/ Si el grado absoluto del polinomio% ' (, y " = ( a yb + −2 (a yb −- + (a yb
c"
3/ Sabiendo que el grado relati)o a +y en el monomio.
' ( "
7/ Jallar el coeficiente de% n
=' ( ".92 ( " +' 2 ( ".9 ( "
Nivel B
''/ Si % ' es un polinomio definido por % ' (, y "
= n(myp +m( m−-yp−2 + (n−@
Fal que si le restamos - ( 2 y 4 ; Su grado absoluto disminuye; /ntonces el grado relati)o respecto a +( es% a" 1 b" 4 c" 2 d" e" '6/ 6eterminar el )alor de m si el grado del polinomio es 24->. ' ( "
a" ->
= ( +-" (- +-" (23 +-" (@> +-".... b" --
c" -
d" >
e" -
'7/ Si ' es un polinomio definido por % ' ( " = 4( +2"n ( + (2 +-"n− ( +2" Fal que su grado absoluto es 32; entonces el )alor de% coeficiente principal de '(" F = ; es% tér min o independiente de '("
'9;
a"
>.2 −3
b"
d" -4.2−3
c" [email protected]−4
-.2−1
Nivel C
e" -4.2−4
'/ Si ' y 9 son dos polinomios tal que% gr'" 8 1 ∧ gr9"82 , /ntonces indicar el )alor de )erdad de las siguientes afirmaciones% 7" Hrado ' = 9" 8 - 77" Hrado '2 = 9" 8 -> 777" Hrado ' = 9" 8 - a" <
6'/ Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio
' ........ sea -->. a" -@ b" - c" -2 d" -e" -4
67/ 7ndicar el )alor de )erdad de las siguientes afirmaciones% 7" Si% ' ( " = ( 2 + ( ( + /ntonces ' es un polinomio de grado 2 sobre B. 77" Si% 9 (" = ( 4 + ( −2 /ntonces 9 es un polinomio de cuarto grado sobre 9. 777" Si% J ( " = ( −2( +1 /ntonces J(" es un polinomio factorizable sobre C a"
'3/ Jallar +m = n Si el polinomio 2m+n +- m −n +2 ' (, y " = 1 ( y + 5(
(
2m+m + m−
y
2m +n −- m −n+3
y
/s de HA84- y Además el HB(" es al HBy" como 1 es a . a" @ b" c" - d" 5 e" ->
' (, y "
= m( m
n−-4
n −5
−1mn (y"m
/s m-> +-" . /ntonces el )alor de +n es% a" -5 b" -1 c" -4
+ny
d" -3
e" -@
66/ Sea ' un polinomio definido por% ' ( "
= - +2( "n +( +-"n
Si la suma de coeficientes e(cede en 2 al término independiente; entonces indicar el )alor de )erdad de las siguientes afirmaciones% 7" /l polinomio es de grado 77" #a suma de coeficientes es 1 777" /l término cuadrático del polinomio '(" es -( a" ???
b" ?
c" ??<
d"
e" <
6/ Sea un polinomio% ' (, y "
= 4(n−1 yn−3 +5n(n− y@ −n + (n−-y
6eterminar el )alor de )erdad de las siguientes proposiciones% 7" /l m$nimo )alor de +n es par. 77" /l má(imo )alor de +n es impar. 777" /l má(imo grado absoluto que admite '(, y" es . a"
- 23 @> +- " ( + -"( + -" ( +-"... Mm M factores
es 24->. '9/ Jallar el termino independiente de un polinomio de tercer grado '(" tal que% '4" 8 '2" 8 '5" 8 > ∧ '&-"8-53>. a" 4 b" &4 c" 2 d" &2 e" E.A. 6?/ Si ' es un polinomio definido por% n
' ( "
= 2( − 4(
n n −
- −n
+ 5(
+ ( 2
/ntonces el número de )alores enteros que admite +n es% a" b" 2 c" 4 d" 1 e" 3
'9<
a" ->
b" --
c" -
6
d" >
e" - n
n n
n
: ( " =
n( "
n
n
.
n
(
/s de quinto grado. _Cual será el grado de este otro polinomio` n n+2 + (n " B ( " = - + ( + ( +... + ( " ( a" -3 b" -@ c" 4 d" 3 e" n 6(/ /n la e(presi!n%
5
/ = (
5
a
a
13
4
.y
4
b
b
>
n
#os grados relati)os a +( e +y son respecti)amente 5 y 4 según esto. (b 4 .y a5 Calcular el grado de% a" -b" - c" -2 d" -4 e" E.A.
63/ Si el grado del monomio%
: ( "
nn n( =
n −
n
/s 5. _Cuál será el grado de esta otra e(presi!n` n n +2 + (" ' ( " = - + ( + ( +... + ( " ( a" b" 2 c" 5 d" e" ->
69/ Si el monomio% / ( " = 1 /s de grado . Calcular +n
a" 2
b" 4
7?/ Cuál 3
y z
X
b( 4
2
c"
es 4
a(
3> ->
)
c(
4
d(
1
−2n
d" 5
e" 2
el grado ...n −-"factores
de%
Bpta.% nn +-"n +n − " 4
!OLINO&IOS ES!ECIALES POLINOMIOS ESPECIALES
• 6ado un polinomio completo en una )ariable, el
/(isten una )ariedad de polinomios, de entre los cuales tenemos los más importantes; que obedecen a ciertas caracter$sticas y de acuerdo a ello son%
G +e t2r1inos $,/H #A$ '
número de términos es igual a su grado aumentado en -.
' ( "
'/ $OLINOMIO O"DENADO COM$LETO : #os e(ponentes de una de las )ariables llamado )ariable ordenatriz están ordenados y completos de manera que aumentan o disminuyen creciente o decreciente".
= -@ −5 ( − ( +-4 ( 2 − ( 4
/s de grado cuarto; entonces tiene 1 términos". • Si un polinomio es completo y ordenado respecto a
una )ariable, se tiene que los grados relati)os a esa )ariable de dos términos consecuti)os difieren en la unidad. -
' ( "
/0emplos% • 'y" 8 4y
4
+ 1y2 2 y + y 4
6ecreciente" •
' ( "
= 2 − ( + 1 ( − ( 2 Creciente".
•
' ( " = 5 (-4 −1 ( + 3 (->
Eo es ordenado ni completo" •
' ( "
= 4 ( 2 y 1 − ( y + 3 (y 4 + 2
Drdenado en forma decreciente respecto a +( " OBSE"ACIONES:
-
= 5 ( 1 +- ( 4 − ( 2 + 1 ( + 2 ( + 1
• Dbser)a que los términos independientes contienen a +( con e(ponente cero.
6/ $OLINOMIO O"DENADO INCOM$LETO % #os e(ponentes están ordenados pero también incompletos. /0emplo% '(" 8 2(1
+ (2
2
(
+
7/ $OLINOMIO OMO#!NEO : Wn polinomio de dos o más términos y dos o más )ariables es Komogéneo si cada término tiene el mismo grado absoluto. /0emplo%
'9(
2 4 '(, y" 8 1( y −
2
( y1
+
( 4 y 2
HA 8 5 2 términos". /ntonces es Komogéneo de grado +5 o tiene grado de Komogeneidad +5. T!"MINOS SEME&ANTES: 6os o más términos serán seme0antes si presentan la misma )ariable afectada del mismo e(ponente. /0emplo% 4 ( 1 y 2 ; &5 ( 1 y 2 ; - ( 1 y 2 seme0antes"
son
Se pueden sumar o restar% 4 ( 1 y 2 & 5 ( 1 y 2 = - ( 1 y 2 8 ( 1 y 2 / $OLINOMIOS ID!NTICOS O I#%ALES % 6os polinomios reducidos serán idénticos cuando los coeficientes que afectan a sus términos seme0antes son iguales. #uego% ' ( " = a> ( n + a-( n −- + a ( n − +... + an 9 ( " = b> ( n +b-(n −- +b ( n − +... +bn
Son idénticos si y solo si% a> = b> ; a- = b- ; a2 = b2 ; ..... ; an = bn /0emplo% A( +I( + C ≡ m( +n( + q ⇒ A 8 m, I 8 n, C 8 q. 1 ( − b( + 2 ≡ 6 + 1 ( − m( ⇒ m 8 &1, b 8 &1, 6 8 2
;/ $OLINOMIOS EJ%IALENTES% Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual )alor numérico para un mismo sistema de )alores asignados a sus )ariables. /0emplo% ' (, y "
= ( + y " − ( − y " ;
9 (, y "
= 4(y
Jagamos% ( 8 ; y 8 -; /n '(, y" 8 ', -" 8 +-" − −-" = @ Jagamos% ( 8 ; y 8 /n 9(,y" 8 9,-" 8 4"-" 8@ /ntonces% ',-" 8 9,-" /n consecuencia '(,y" 9(,y" son polinomios equi)alentes y se les podrá representar as
%$'93
'(, y" V 9(, y" . Fambién% Si% ' ( " = a> ( n + a-( n −- + a ( n − +... + an /s idénticamente nulo; entonces todos sus coeficientes son cero. #uego% a> = a- = a = ...... = an = > /0emplo% A(
+ I( + C ≡ >
⇒ A 8 I
es idénticamente nulo
8 C8 >
(/ $OLINOMIO ENTE"O EN )% /s aquel que depende únicamente de la )ariable +( siendo sus coeficientes números enteros. /0emplo% ' ( " = 2 ( 2 + 2 ( −- es un polinomio entero en +( de tercer grado". 3/ $OLINOMIO MÓNICO: /s aquel polinomio entero en +( que se caracteriza por ser su coeficiente principal igual a la unidad. /0emplo% ' ( " = ( + 5 ( − 4
polinomio
m!nico
de
segundo grado"
NOTA Se llama coeficiente principal al coeficiente del término de mayor grado.
Ejercicios de aplicación Nivel A
'/ Si ' es un polinomio Komogéneo definido por % ' (, y "
=2p(n −1 y- +1p −q"(p y q +-2q +
/ntonces la suma de coeficientes de polinomio ' es% a" @> b" 1>> c" 41 d" 4>1 e" 226/ /n la siguiente identidad% 3 (
+-"2( + -"
≡
A( + I (
+ 6"
+
C ( +/
6eterminar el )alor de I=2C" a" P-- b" 3P-- c" 5P-d" 2
777" Wn polinomio completo d quince términos es de grado -4. Son falsas% a" 7 y 777 b" 77 y 777 c" Solo 7 d" 7 y 77 e" Fodas 9/ Si la regla polinomial siguiente% '(" 8
5a 3a +
− -"( 2 +
-2b 3b − 1
/s idénticamente nulo. Calcular% a = b = m a" 5 b" 25 c" -5
− "( +
m 4
d" >
e" -@
a
b
c
4
5
−5
'?/ A partir de la identidad % '("8
e" 3
7/ Jallar el )alor de m y n para que el polinomio sea Komogéneo. ',R"8 ( 2m −n y 5 + ( @ y -> + ( m y m +n +a" -> b" > c" 1 d" 4 e" -1
5(
+ ( + 22 = − 2"( + − 1"( +
Calcular% a = b = c a" @@ b" @
c" >
d" -
+ -3
e"
Nivel B
/ Calcular% / =
a +c
''/ ' es un polinomio completo definido por %
b
Si%
−c −m "( + c −a − mn"( + a −b −n " /s idénticamente nulo% a" 4 b" 3 c" @ d" e" b
;/ Cuál es la suma de coeficientes del polinomio Komogéneo% a +4 ' (, y " = a( + 2 ( a y b + b( b +1 a" - b" -2 c" -> d" -@ e"
+c. 2
Si% 2
+ -" + b ( + c " ≅ -> ( + 1 (
a" &-P
b" -2
c" ->
d" -@
e"
A(
a" ->
b" --
= m −"(m− +m −4"(m−2 +m −5"(m−4 + 4m(
/ntonces la suma de coeficientes del polinomio ' es% a" -3 b" > c" d" 4 e" @ '6/ Si a , b y c pertenecen al con0unto de los naturales y el desarrollo de% ' ( " = a (a +-"b c( +"c /s un polinomio completo de @1 términos cuyo término independiente es 5 y su coeficiente principal es 42. /ntonces el )alor de a=b=c" es% a" - b" c" 2 d" 4 e" @'7/ Jallar% a = b = c ; Si% < =
(/ Jallar % +A = I
+I ≅ Si% ( + " ( − 2 "
' ( "
(
−2
c" -
−
2 ( +
d" -2
e"
3/ 6adas las proposiciones% 7" Fodo polinomio completo es Komogéneo. 77" Wn polinomio completo de quinto grado tiene cinco términos.
a −-"( 2
+ b − " ( + c − 2 " ( + @ ( + 2 ( + 4
/s independiente de +(. a" -3 b" -5 c" -@
d" -1
e" -
'/ /n el siguiente polinomio Komogéneo .Jallar la suma de coeficientes. -
' (, y, z " =a(
a" 4
b" 1
a
a
−1acy
c" 3
b
b
+4bcz
d" 5
c
a .b
13 +2c X
e" @
'99
';/ Jallar el número de términos del polinomio ordenado y completo. ' ( "
= n − "( n −5 + n − 2"( n −3 +....
a" 4 b" 3 c" 1 d" n & 5 '
' (, y "
a
= a( a + y c + (
a"
b" 4
c
c
c" -
e" n & 2
' ( " =m −4 "( 2 +-( −m( 2 +( n − +m
a
+by ab"
d" 3
e" 1
'(/ Calcular +ab en el siguiente polinomio Komogéneo. a −b
' (, y, z"
a"
a+b
b
= (a+b" + ya−b" + 1za+b" b" 2 c" 4 d" 1 e" 3
'3/ Si ' es un polinomio Komogéneo definido por % ' (, y "
= 2 ( n y 2 −1 ( n +-y m −- − ( 2n y m −
/ntonces el )alor de% F 8 HB(" & HBy", es% a" b" c" 2 d" 4 e" 1 6?/ Si se cumple que% m( = my = n( & ny & -1( & 5y 8 > 'ara todo )alor real de ( e y; entonces el )alor de% : 8 m ⋅ n; es% a" -3 b" 23 c" 44 d" 5> e" -6'/ Si ' es un polinomio idénticamente nulo definido por%
/ntonces el )alor de% : = b" &-
c" -
b +c ; es% a d"
e" 2
Nivel C
66/ 6e un polinomio '(, y" completo , Komogéneo de grado @ y ordenado en forma creciente con respecto a +( se Kan tomado tres términos consecuti)os m-(,y" ; m(,y" ; m2(,y" tales que % /l HB (" en m- es a; HB y" en m- es b = ; HB (" en m2 es b ; /l HB y" en m 2 es a = . /ntonces el grado relati)o de m con respecto a +y es% a" 1 b" @ c" 2 d" e" 3 67/ 7ndicar el )alor de )erdad de las siguientes proposiciones% 7" Si '(,y" es un polinomio Komogéneo ; entonces '&(,&y" es también Komogéneo.
6??
b"
c" ??<
d"
e" ???
6;/ Sean ' y 9 dos polinomios definidos por % ' (, y, z "
= ( y ( −y " +y z y −z" +z ( z −( "
9 (, y, z"
= ( − y " y −z"z − ("[ A ( + y + z " +I (y + yz + z(" ]
Si ' ≡ 9 entonces el )alor de F 8 A = I es% a" b" c" > d" &e" & 6
= ( ( −yz " +y y −z( " +z z −(y " 9 (, y, z" = ( + y +z "[ ( −y " + y −z" + z ("
' (, y, z "
Fal que '(, y, z" ≡ T9(, y, z" . /ntonces el )alor de T es% a" & b" &c" d"
e" -
= ( + ( +2"a −b" + ( + ( +4"b −c " + ( + ( +1"c −a"
a" &
a" ?
= 2 ( n y 2 −1 ( n +-y m −- − ( 2n y m −
'9/ Si ' es un polinomio Komogéneo definido por%
' ( "
Con respecto al polinomio% m n mn −1 + (ny 9 (, y " = n( y −n( 7ndicar los )alores de )erdad de las siguientes proposiciones% 7" 9(,y" es un polinomio Komogéneo. 77" /l grado del polinomio 9 es un número impar. 777" /l )alor de 9-,-" 8 >
/ntonces el )alor de% F 8 HB(" & HBy" es a" b" c" 2 d" 4 e" 1
' (, y "
77" Si 9(,y" es un polinomio Komogéneo de grado 2 y 9-," 8 1; entonces 9&,&4" 8 &4> 777" Si B(,y" es un polinomio Komogéneo ; entonces B-,-" es la suma de coeficientes del polinomio B. a" ??< b"
6(/ Si ' es un polinomio completo y ordenado por % a +2 a +a + ' (" = a-( - + a( + a2 ( 2 + ... + an Con n ∈ E. /ntonces el )alor de% S = a- + a + a2 + ... + an es% a" &n b" n & - c" n d" n = - e" n 63/ Sean ' y 9 dos polinomios definidos por% ' (, y, z "
= ( y ( − y " + y z y −z " + z ( z − ( "
A ( . + y . + z. " 9 ,( ,y z" = ( − y"y − z"z − (" + I(y + yz + z(" Si ' ≡ 9 entonces el )alor de F 8 A = I es% a"
b" -
c" >
d" &-
e" &
!rod'ctos nota%les PRODUCTOS NOTABLES: Se les da este nombre por ser el resultado de multiplicaciones indicadas, con el agregado de ser notables porque estos resultados tienen formas que resultan fáciles de identificar y que pueden ser escritas en forma directa, sin necesidad de efectuar todos los pasos de la multiplicaci!n. Se presentan los siguientes casos% '/ BINOMIO AL C%AD"ADO: ( a + b) = a + ab + b suma"
( a − b ) = a − ab + b diferencia" 6/ BINOMIO AL C%BO:
( a + b)2 = a2 + 2ab + 2a b + b2 desarrollado" ( a + b)2
= a2 + b2 + 2aba + b " semidesarrollado; equi. de CaucKy"
2 2 ( a − b ) 2 = a − 2a b + 2a b − b desarrollado"
( a −b ) 2 = a2 −b2 − 2aba −b " semidesarrollado; equi. de CaucKy" 7/ DIFE"ENCIA DE C%AD"ADOS: a
a
−b = a +b"a −b"
m
−b n = am + bn "am −bn " Heneral."
/ S%MA DE C%BOS: 2 2 a +b = a + b " a −ab +b " ;/ DIFE"ENCIA DE C%BOS: 2 2 a −b = a −b " a + ab +b "
= a + b + c + ab + ac + bc desarrollado"
( a + b + c ) = a + b + c + ab + ac + bc " semidesarrollado"
(/ T"INOMIO AL C%BO: (a + b + c )2
= a2 + b2 + c 2 + 2a b + 2a c + 2ba + 2b c + 2c a + 2c b + 3abc
( a + b + c )2
= a2 + b2 + c 2 + 2a + b "a + c "b + c " semidesarrollada".
6?'
+ b + c ) 2 = a2 + b2 + c 2 + 2a b + c " + 2b a + c " + 2c a + b" + 3abc
(a
( a + b + c )2 ( a + b + c )2
= a2 + b2 + c 2 + 2a + b + c "ab + ac + bc " − 2abc = 2a + b + c "a + b + c " − a2 + b2 + c 2 " + 3abc
3/ EJ%IALENCIA DE #A%SS: 2 2 2 a + b + c − 2abc = ( a + b + c )a + b + c − ab − ac − bc " 9/ $"OD%CTO DE BINOMIOS: ( + a" ( +b" = ( + (a +b" + ab ( + a" ( +b" ( + c "
= (2 +a +b + c "( +ab + ac +bc"( +abc
'?/ IDENTIDADES DE LE#END"E: a + b " +a −b " = a +b "
a + b "
− a −b " = 4ab a +b "4 − a −b "4 = @ab a +b " ''/ EJ%IALENCIAS DE A"#AND : n + (n +-" ( n − (n +-" = ( 4n + ( n +( ( (
+ (y + y " ( − (y + y " = ( 4 + ( y + y 4
+ ( +-" ( − ( +-" = ( 4 + ( +-
'6/ IDENTIDADES DE LA#"AN#E: a a
+ b " ( + y " = a( + by " + ay − b( " + b + c "( + y + z " = a( + by + cz" + ay − b( " + az − c( " + bz − cy "
IDENTIDADES CONDICIONALES Si%
a = b = c 8 > ; se muestra que%
•
a
•
a
•
a4
+ b 4 + c 4 = a b + a c + b c "
•
a1
+ b 1 + c 1 = −1abc ab + ac + bc "
•
a
+ b + c " = a 4 + b 4 + c 4 "
•
ab + ac + bc "
•
a + b + c a 2 + b 2 + c 2 a 1 + b 1 + c 1 = 2 1
•
a + b + c a 1 + b 1 + c 1 a 5 + b 5 + c 5 = 1 5
2
+ b + c = −ab + ac + bc "
+ b 2 + c 2 = 2abc
= a b + a c + b c
IDENTIDADES A%)ILIA"ES: - a − b" + a − c " + b − c "
a + b + c − ab − ac − bc
=
a + b"a + c "b + c " + abc
= a + b + c "ab + ac + bc "
6?6
2
a −b"
+b −c "2 +c −a"2 = 2a −b"b −c "c −a"
CASOS ES$ECIALES • Si % a + b + c = ab + ac + bc
⇔a=b=c ⇔ a = b = c = ... = z = > = > ⇔ a = b = c = ... = z = >
• Si % an + bn + c n + ... + zn = > • Si % n a + n b + n c + ... + n z
Ejercicios de aplicación Nivel A
'/ Beducir % /8 ( +y −z " ( −y −z " − ( −z " a" y
b" & y
c" z
d" & z
(/ Si %
e" >
( y
+
y (
= 3 ( + y
Calcular% / 8 6/ Sabiendo que % ( + y = Beducir% B = a" -
(4
a" 5
(y ( +y
(y
(
c"
d" &
7/ Calcular% ab = ac = bc si % a = b = c 8 1 ; a + b + c = 5 a" -> b"-@ c" d" --
e" >
a" 2
;/ Si % /8
-
+-=
4
+
a
a"
b"2
d" 4
e" E.A.
. Calcular la ra$z cuadrada de%
a b a+b 5a + b a + 2b b
− ( pq = 4
( y
y (
−3
Jallar% p =
=- , ( + 5y (
b" 4P2
c" 1P
d"
e" 2
'?/ Si% a 4n + a −4n = 24 ; entonces% / 8 an −a −n es% a" &
b" 4
+2
c" -3
e" 3
6onde% ( ∈ Q=. Calcular% / 8 ( mn − ( pq a" 4 b" 3 c" -> d" 1 e" -
a" 2P4
bn
c" -
mn
e" -
an + 1bn + 2cn
b"
d" ->
9/ Si%
/ Si% a + b + c = ab + ac + bc ; ∀ a, b, c ∈ B. Calcular% / 8
c"
3/ Sabiendo que % ( mn + ( pq = 3
+ y4
b"&-
b" @
y (
c"
d" &4
e" 2
Nivel B
d" 4
e" 5
''/ Si% FA + AB + FB
=2
+ F +B = 1 ; / + A = 3 /A = -> Jallar% = F + A + B + / + A
A
+b
= 2.......... .....-" +c =........ "
Calcular% / 8 a +b " +a + c " +b + c " a" b" - c" -@ d" -@ e" -
a" 24
b" 21
c" 23
d" 25
e" 2@
6?7
m
'6/ Si%
n
+
n m
= 3
/l )alor de la e(presi!n%
m +n = mn c" 4 d" 3
/ntonces el )alor de% a" -
2
a"
b"
b" 4
2
c"
e" -P2
a
4
(
+4
(
a
d" 1
1
e"
Nivel C
6'/ Si% ( = y = z8> . Beducir% '7/ Si% a + b + c = -5
#
+ b2 + c 2 = 42 a + b" + b + c " + c + a" = 33 a +b +c Jallar% # = −a + b −- + c −a
2
a" b" 4 '/ /fectuar%
c" -P4
d" 4P-
e" -4
Jallar% / =
(
';/ Sabiendo que%
+( (3
Calcular el )alor de% J = a"
b" -2P3
=
2
a" -P2
;
(
4>
c" 3P-2
[( − -" ( + -" (
a" (
b" -
+
(
4-
+(
a (
a" 2
(
a
@
+
+4
(@
b" 3
+ -"
1
(
d" ( & -
Na, b, c O
+ -"
1
(
@
/
−
e" &(
a
d" -
e" -@
n
n
a nbn
6?/ Sabiendo que%
n
+b n "
b"
(
+
(
a
n
; para% a + b " ≠ >
c" -P a
e" -
+ b + c + a − b" + a − c " + b − c " c" P2
d" 2P
e" EA.
= 2ab + bc + ac ";
=
2
a"
a + b + c " 4 a4
+1
+ b4 + c4 b" 4
a + b + c " 3 a3
+ b3 + c 3
c" 3
d" @
e" -
+ d"a − b − c + d" = a − b + c − d"a + b − c − d
6
+ b 4 + c 4 = @2 a b + b c + c a = - ab + bc + ca = 5
d" 2P4
e" 2P
a" -
b"
c" &
+ b2 + c2 − -abc + 2 d" &-
e" 2
6(/ Si% a − b = b − c = 2 ; Calcular el )alor de% F
=
a" 3
= 5;
a2
Calcular el )alor de% / =
a b '9/ Si se cumple que% + = -2a n + b n " b a @a n
d" >.1
a4
= a + b + c " + a + b − c " + a − b + c " a − b a" 1 b" -> c" -1 d" 2 e" >
1
c" >.
Además% a = ; b = 2 ; c = 3 . Cuanto )ale +d% a" b" c" 4 d" @ e" >
(@
c"
->
c
⊂B
a + b + c
= 45 ;
=
-
6;/ Se sabe que%
(@ a
<
Jallar% /
b
+
/ncontrar el equi)alente de%
'3/ Si% a + b = 1 ; Jallar%
-
b" 2
a + b + c "
2
e" -P5
4
+
6/ Si se )erifica que%
( 4>
d" 5P-
c" &-
'(/ Sabiendo que% Jallar% / = 4
− -"
2
a
a + b + c "
( 4- + ( 2
c" (yz
a
'
-
a" >.1 b" 67/ Simplificar%
a" 4a = b" b" 4a = d"b & c" c" 4b & c" d" a = d"b & c" e" a = b"Pc = d" 1
b" &(yz e" &1P(yz
66/ Si % a2 + b2 + c 2 = 2> a=b=c82 abc 8 4
= a + b + c − d" + a + b − c + d" − ... .... − a − b + c + d" − 4a + c "b − d"
5
+ y 4z + z4 ( + ( 4z + z4 y + y 4 ( ( + y + z
a" (yz d" 1(yz
B
a" -
(4y
=
aa
− bc " + bb − ac " + cc − ab" a +b +c
b" 2
63/ Si se cumple que%
c" -@ 2
(
+- +2
d" (
e" 5
−- =- ;
Calcular el )alor de% 34 ( 2 − - ( + @53 ( a" @13 b" 54 c" @3@ d" 5@4 e" 4@3
6?
+ b + c " = 2 ( −-" a+b+c = 2 6onde% ( ≠ N>,- P O , ( a
69/ 6adas las condiciones% a +b +c
=a + b + c = y 2 2 2 a +b +c =
Calcular B
a2
=
bc
el
+
a" 22
b2 ca
+
c2 ab
b" 4
)alor
; abc
a
Jalle el )alor de% F =
de%
a" -
b"
G7" G77"
+ ab + b + c bc
c" 2
d" 4
e" 1
≠ >"
c" &22
d" &4
e"22P4
7?/ Siendo% a, b , c, (; números reales que )erifican%
(i)isión al$e%raica DIVISIÓN ALGEBRAICA
5 ( 4 z1a@
2 ( za
Deinici5n: /s la operaci!n que consiste en Kallar una e(presi!n denominada cociente dadas otras dos denominadas di)idendo y di)isor. Cumpliéndose%
Besoluci!n% #a di)isi!n puede escribirse% 4 1 @
5 ( z a
E,acta/
6 = d ⋅q
Ine,acta/
6
6 d
2( z a
C/
6onde% • 6% di)idendo. • d% di)isor. • q% cociente. • r% resto o residuo.
( y z
B/
2( z a
1
−
3( a z
2( z a
+
2( z a
2( z a
= 4 ( 4 yz ;
DIISIÓN DE $OLINOMIOS:
• Se ordenan y completan los polinomios en forma
descendente con respecto a una sola letra o )ariable ./n caso e(istan dos o mas letras, se asume a una de ellas como )ariable y las demás Karán el papel de números o constantes; si faltaran uno o más términos, estos se completarán con ceros.
DIISIÓN DE MONOMIOS: 'ara di)idir monomios primero se di)iden los coeficientes de acuerdo a la ley de signos, luego las partes literales de acuerdo a las leyes de e(ponentes. /0emplos% 2
5
$roce+i1iento:
CASOS J%E SE $"ESENTAN:
@(3 y 4z4
( za
C.'/ M2to+o ClKsico: Se enseUa y estudia este método, para deducir las propiedades.
r q+ d
cociente completo
A/
+
= ( z2a 3 + 2 z −-a1 − a2 + -
d ⋅q + r =
=
+ ( za5 − 3( a1 z + 2( za
3 4 4
5a b z
4 2
− 2a b z
= −a 4 z
DIISIÓN DE %N $OLINOMIO ENT"E %N MONOMIO: Se di)ide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio dado. /0emplo%
• Se di)ide el primer término del di)idendo entre el
primero del di)isor, obteniéndose el primero del cociente, luego este resultado se multiplica por cada uno de los términos del di)isor y lo que se obtiene se resta del di)idendo. • Se ba0a el término siguiente del di)idendo y se repite
el paso anterior tantas )eces Kasta que el residuo sea a los mas de un grado menos que el grado del di)isor o en todo caso si la di)isi!n es e(acta el resto será u polinomio idénticamente nulo. /0emplo ilustrati)o%
6?;
6i)idir% (
(
4
+
+ > ( 2 + 4( + @( 4 ÷
+-
(
Besoluci!n% Completando y ordenando el di)idendo. x
+ > x + 4 x + @( ; 4
4
− x
3
4
3
;
2
;
x
2
x
2
x x
2
2
3
( +(+4
q("
+ 2 x + @( + x + ( 4 x + ( ; 4
; x 3
+ −
2
x
2
; 4 x 2 ; 4( ; 4 1( ; @
r("
$ro-ie+a+es: do
•
H
•
H
q"
do
= Hdo 6" −Hdo d"
má( del residuo
= H do d" −-
• Al di)idir dos polinomios Komogéneos el cociente
resultará también otro polinomio Komogéneo. • Si % ( 8 - ⇒ 6-" 8 d-".q-" = B-"
Se obtiene la suma de coeficientes. • Si % ( 8 > ⇒ 6>" 8 d>".q>" = B>"
Se obtiene el término independiente C.6/ M2to+o +e Coeicientes Se-ara+os: /l procedimiento es análogo al anterior, solo que se traba0a con los coeficientes. Wtilizando el e0emplo anterior.
-
−1
>
4
;-
;-
@
;4 -
;-
2
@
-
4
A
;4
-
- − - 4
q("
;4
;4 ;4 1 @
∴ q ( " = ( − ( + 4 r ( " = 1 ( − @
$roce+i1iento: • #os dos polinomios deben estar completos y ordenados respecto a una )ariable; si faltara algún término se completará con C/BD. • /n caso e(istan dos o mas )ariables se asume a una de ellas como tal y las demás Karán el papel de números o constantes. • Se di)ide el primer coeficiente del di)idendo entre el primero del di)isor, obteniéndose el primer coeficiente del cociente. • /ste resultado se multiplica por los demás coeficientes del di)isor que Kan cambiado de signo" obteniéndose la primera fila de resultados parciales ./stos resultados se escriben a partir de la segunda columna. • Se reduce la segunda columna y el resultado se di)ide entre el primero del di)isor, obteniéndose el segundo coeficiente del cociente. • Se repite este proceso a partir del paso +c; Kasta que los resultados parciales lleguen a la última columna del di)idendo. • 'ara obtener los grados del cociente q" y el residuo r" nos basamos en las propiedades )istas en el método clásico. /0emplo ilustrati)o% 6i)idir% @( 3
− 3 (1 −-2( 4 + -(2 − 5( − -3( + 22 ( + ( − 2
Besoluci!n% ?erificando, los polinomios están ordenados y completos, luego% utilizando el método de Jorner
@
&-
&3 &-2 &4
2
r("
- &5 &-3
- 1 &-1 &
DIVISIÓN SINTÉTICA
3 &-
C.7/ M!TODO DE #%ILLE"MO O"NE": /n un método de coeficientes separados que permite encontrar el cociente y el resto de di)idir del polinomio, para esto di)idendo y di)isor deben estar O N completos y ordenados descendentemente respecto # Ia una )ariable. S E D Es*e1a: O I B M A C
6?<
4
&1
&22
- &-- &
>
6e donde%
∴q ( " = 4 ( 4 −1 ( 2 + ( + ( −--
DIIDENDO C./ M!TODO DE $AOLO "%FFINI:
COCIENTE
"esto
2 --
r(" 8 &(
+ i v i s o r
22
Se considera como un caso particular del método de Jorner se utiliza cuando el di)isor es de primer grado o transformable a esta forma a( b". '(" 8 a( b" q("
CASO II: • C*an+o el +ivisor es +e la or1a a, /0emplo ilustrati)o% 6i)idir%
/squema%
5( 4
b/
− 3( + ( + -1 2( − -
Besoluci!n% Drdenando y e(trayendo coeficientes.
DIIDENDO
5
>
&3
-
-1
2
&-
>
5
2
>
-1
2
&-
>
-1
8
COCIENTE
-P2
CASO I: • C*an+o el +ivisor es +e la or1a , /0emplo ilustrati)o% 6i)idir% (
b/
÷ 2
AKora esos cocientes no son )erdaderos son falsos; por eso di)idimos entre 2% 6e donde% ∴q (" = ( 2 + 2( − ( B(" 8 -1
− 5( + 2(4 − 1(2 + -(+
Besoluci!n% Drdenando y e(trayendo coeficientes. 2 &1 &5 --
&
&3
&4@ -->
2 &--
4 &11 --
6e donde%
∴q ( " = 2 ( 2 −--( + 4 ( −11 r(" = -(=8> , H 6
Ejercicios de aplicación Nivel A
'/ 6i)idir (1
%
+ a + -"( 4 + a + b"(2 + b + -"( + a( + b ( + a( + b
6ar como respuesta el resto a"b"&c">
d"4
e"2
6/ /n la siguiente di)isi!n indicada% 3(
4
− a(2 + b( + ->( y el resto B(" 8 ( = 2( − ( + -
7ndique el )alor de ab a" 23 b" 1 c" 2>
d" 1>
e" -14
7/ 6i)idir%
(1
− "( 2 + 5 − ( − +-
+ 2
Calcular el resto. a" b" 4
c" 3
/ Calcular el )alor numérico de% es e(acta. a" -
-
b"
(
d" @ n + - T +-
e" -> si la di)isi!n
− n + T − + c" 4
d" 2
e" 1
;/ 6i)idir% 2(> = ( - = 3( & ( & - entre 2(=- y dar como respuesta el término independiente del cociente. a" b" & c" 2 d" &e"
6?(
a(
1
4
+ b( + . ( − -"
b" &4,&1
c" 4,
d" 1,4 2(
(/ Si en la siguiente di)isi!n
4
2
e" &4,&1
− ( + ( + a( + a ( + ( − -
el residuo no es de primer grado. Calcular dicKo residuo. a" -> b" -c" d" -
'
3/ /n el esquema de JDBE/B, encontrar% a = b = c = d = n" 1 > 3a &2b" &-5c" d &
a" ->
b" --
n=4"
24
c"
2 d" @
A(
la 4
siguiente
2
− ( + -( + I( − 21 2( − 1 ( − 5
di)isi!n% es
e(acta;
entonces indicar el )alor de )erdad de las siguientes proposiciones % 7" A = I 8 - 77" A 8 2 ∧ I 8 3 777" A = I 8 41
5 n&4" n
';/ Si ' es un polinomio definido por% ' ( " = ( 4 + A(2 +I( + ( −Fal que al di)idir ' por un polinomio de segundo grado; se obtiene como cociente a ( −-" y como residuo ( = -". /stablecer la relaci!n correcta entre los )alores de A y I. a" AI V > b" AI > c" A V I d" A 8 I e" I V A
a"
9/ Jallar p = a" para que el polinomio% 4 = p = a, sea di)isible entre% = = 1. a"2> b"4c"@ d"2e"-1
b" ?
c" ???
d"
e" <
'(/ Si la siguiente di)isi!n es ine(acta% @ (1
+ 4(2 + m( + n( + p ; y tiene como residuo a (2 + ( + 2
= 1 ( −2( +5 /ntonces indicar el )alor de las siguientes proposiciones% 7" m = n V p 77" m 8 > y n = p 8 5 777" m = 4n = p 8 > B ( "
'?/ 6eterminar los )alores de m , n y p respecti)amente de manera que el polinomio% '(" 8 1 & 4 & =32 = m = n = p; sea di)isible por 9(" 8 & 2"( = -" & -". a" 2, -, - b" @, 1, &3 c" -, 1, 3 d" -, , 2 e" 1, -3
a"
e" 1
+ a + m" + a + b + n" + ab + a + b
Jallar el )alor de% / = a" -
A( 4
− 2 R − 3 R + R2 − 2R 4 + R − R
/s igual a &-3" cuando R es igual a% a" &2 b" > c" d" 2 '6/ /n la siguiente di)isi!n e(acta% 2
b"
n
+ a m a m + m b
c" 4
d" 1
e" 5
β(1α−2 + αβ( β−5 +-> α2 ( + 2α − β Sabiendo que el di)idendo es completo y ordenado. a" -> b" -@ c" > d" -1 e" 3 '/ 'ara que la di)isi!n sea e(acta. _Cuál debe ser el )alor de +n`.
a" -
6?3
+ z" + y ( + z " + z ( + y " + n ( + y + z " ( +y +z b"
c" 4
d" ??<
e" <
d" 2
− I( 2 + ( −--( −-> 3( − 4( + 1
/s ine(acta y tiene como resto ( = 1" entonces el )alor de I & A" es% a" &4 b" & c" d" -4 e" 43 '9/ Si la di)isi!n% (2
− ( +-" ( − ( + " ( 2 + ( +-
Fiene como resto % B ( " = a( +b( +c entonces el )alor de a = b = c" es% a" - b" -1 c" -@ d" 4 e" 2> 6?/ Si el polinomio
'7/ Dbtener el resto de la di)isi!n siguiente%
( y
c"
'3/ Si la siguiente di)isi!n %
''/ /l residuo de la di)isi!n% 3 4
b" ???
e "1
= a(4 +b( +c( + d /s di)isible por % ( −-" ; /ntonces la relaci!n correcta entre loscoeficientes a, b, c y d es% a" a & b = c 8 d b" b & a 8 1c = d c" d 8 2a = b d" 2a = b = c 8 > e" a = b = c = d 8 ' ( "
Nivel C
6'/ Al efectuar la di)isi!n indicada % ( + n"n
+ ( + "n + n + "n ( − n + "( + n
/l coeficiente de (; en el residuo; tiene un desarrollo cuyo penúltimo término es -@>.
Calcular el )alor de n. a" 1 b" -> c" -1
d" >
n( n
− ( +n ( −-
66/ 6i)idir por Buffini%
e" y da como
respuesta la suma de coeficientes del cociente a" n b" n&-" c" n &-" d" n&" e" n2
− A( 2 + I( − 2-( − -1 4( − 1( − 2
/s e(acta. a" 1 b" 3
c" 5
d" @
e"
+ E + :"( 2 + : + E + ' "( + E + ' "( :( + E( + '
/s e(acta% a" 2 b" -
c" >
&-
2 &4 /l )alor de a = d = f = g" es% a" 1 b" > c" 4
&
1
6(/ Si la di)isi!n
d" 5
e"
6;/ _Cuál es el )alor de +a si al di)idir el polinomio a( 1- + b( + b − a entre% ( & -; #a suma de los coeficientes del cociente es -3- y el residuo es -3` a" b" &c" 2 d" e" &2 6
b c
e
f
g
&
4
2
&2
d" -
e"
2
+ 6( + C( + 6 es e(acta. 6(2 + /
63/ Calcular la suma de coeficientes del polinomio cociente que se obtiene de la siguiente di)isi!n%
+ ( − "1 + ( −( − 1( + 3
a" &3
K
i
3
b" &31
c" &32
d" 32
e" 3
69/ Jallar el )alor de a = b = c, si el resto de la di)isi!n indicada e s a(1
a" -
+ b(4 + c(2 − 1( − 2 es% (2 + ( − ( − b" >
c" 2>
5(
d" 4>
+ @( − 2 e" 1>
7?/ Jallar el )alor de +a+ si al di)idir% (a +-5
a
A(
4
( − 2"5
6/ Calcular% : = E = ' si la di)isi!n% :( 4
-
Jallar una relaci!n entre los coeficientes% a" 6 = / 8 C = A b" AC 8 / c" A6 8 /C d" A = 6 8 C e" AC 8 6/
67/ Calcular A & I si la di)isi!n% - ( 4
d
+ (a +-3 + (a +-1 + + (2 + ( + ( + -
/ntre ( & -, se obser)a que la suma de los coeficientes del cociente es igual a > )eces su resto. a" -2 b" -11 c" -3> d" -32 e" -31
Teore#a del resto TEOREMA DEL RESTO O DE RENATUS DESCARTES Se emplea para Kallar directamente el resto en la di)isi!n, sin necesidad de efectuar toda la operaci!n. /l di)isor debe de ser de la forma +a( = b + ! transformable a ella. Se tiene%
' ( " a( + b
$roce+i1iento:
-" 7gualar el di)isor a cero, despe0ar +(. a( + b
= > ⇒ ( = −b a
" /ste )alor reemplazar en '(" y el )alor obtenido es el resto. Be sto = ' −b P a " De1ostraci5n: Wtilizando el algoritmo de la di)isi!n que se puede e(presar as$% 6(" 8 d(".q(" = B '(" 8 a( = b ".q(" = B 6espe0ando de% a( = b 8 >
6?9
'ara ( 8
'
−b
en la identidad.
a
a.
"8
a
⇒ '
−b
−b
"
b b + b".q − " + B a a
r falso ( "
#uego
cero
" 8 B l.q.q.d
a
6 ( " d ( " r ( " ≡\ [q ( " + : ( " : ( " : ( "
⇒r ( " <> r falso (".: ( "
Simplemente: Si al inicio multiplicas por una cantidad al final tienes que di)idir entre la misma cantidad y )ice)ersa.
"ESID%OS ES$ECIALES Son di)isiones que requieren de ciertas transformaciones y Po adecuaciones de modo tal que se pueda emplear el teorema del resto en forma coKerente. Sea% 6 ( "
≡ d ( ".q ( " + r ( "
-" 6 ( ".: ( "
∧
: ( "
≠>
≡\d ( ".: ( "[q ( " + r ( ". : ( " r falso ( "
⇒ r ( " <>
#uego
r falso ( " : ( "
Ejercicios de aplicación Nivel A
/
'/ /l polinomio%
= ( 2 − ( −-1 ( − a ( + a ( +-1 a se anula para las )alores ( = a y ( 8 1 otro
( − " 2 ( −--"2 ( − " ( − 2"
' ( "
)alor de M(M que también se anula es% a" -
b"
c" &2
d" &
Jallar el resto. a" &@ d" 2>
b" -3 e" &@>
c" &@( = -3
e" &;/ Jallar el residuo en%
6/
(2- − 1 (-3
+ 4( −( − ( +-
n 2n+ + 22 ( Jallar el residuo de% ( +2
a" >
b" 4
c" 2
d" 1
e" &4
a" -- = d" = -
b" -- & e" >
c" & -
7/ /ncontrar el residuo de la di)isi!n % 1n
(
4
2n
+ (4
n
+ (4 +
n
4
+'ara n perteneciente a los naturales. a" &b" 2 c" 4 d" 1 (
(
e" &4
(
2
+ ( −-
+ ( 2> + ( @ + + ( 4 + ( + -
a" 2(
6'?
24
b" 4(
c" (
d" &(
e" (
(/ Calcular el resto de di)idir % 5
( −"
+ ( −2"2 entre
(
a" ( = - b" ( & 1 c" (
(
3/ Jallar el resto de% a" - & (
d" ( & - e" 2( & -
-1
+ ( + ( + ( +-
b" & (
c" 4 & (
d" 3 & (
9/ Calcular el resto en la di)isi!n% a" (
−1( + 3
b" ( & -
c" ( = -
e" 2 & (
(
− (@ + ( ( − -"(
d" ( =
e" ( &
'?/ 6etermine el resto de la di)isi!n% ( − 2 "@
+ ( − 4"1 + 3 ( − 2" ( − 4"
a" ( & d" ( & -
b" ( = e" - & (
c" ( =
Cocientes nota%les 6onde% n ∈ E; n ≥
COCIENTES NOTABLES
Notas: • #as bases tomadas )erticalmente son iguales. • #os e(ponentes en el numerador deben ser iguales.
Deinici5n: Son aquellos cocientes cuyo desarrollo se pueden escribir en forma directa sin necesidad de efectuar
la operaci!n indicada. For1a #eneral:
(
n
± an (±a
CASOS: Se consideran C.E. aquellos cuyo resto o residuo sean iguales a cero, por combinaci!n de los signos encontramos cuatro casos. CASOS (n
+ an i. ( +a ( n + an ii. ( −a ( n − an iii. ( −a
DESARROLLO (n−- − (n−a + (n−2a
RESIDUO
−.... + an−-
(n −- + (n−a + (n −2a
+ .... + an−- +
( n −- + ( n −a + ( n −2a
+.... +an −-
Eulo. /s C.E. si +n es impar 2a n ( 67?7S7E 7E/ACFA
Eulo. Siempre es C.E
6''
i).
( n − an ( +a
(n−- − (n−a + (n−2a
$"O$IEDADES: a. /l desarrollo de un C.E tiene +n términos.
−.... −an−-
Eulo. /s C.E. si +n es par
FÓ"M%LAS ADICIONALES
b.
/l grado del desarrollo de un C.E es +n & -y es un polinomio Komogéneo, completo y ordenado.
c.
Si el di)isor es de la forma +(&a todos los términos de su desarrollo son positi)os.
d.
Si el di)isor es de la forma +(=a los términos de sus desarrollo tienen signos en forma alternada ; lugar impar =", lugar par &".
a/ T2r1ino Central. Solo si el número de términos es impar." n− -
b/ T2r1ino conta+o a -artir +el 0lti1o: FT
= signo ( "
FÓ"M%LA DEL T!"MINO #ENE"AL: FT
Observaci5n: Si se tiene
T T− =signo ( "n − a "
6onde% • FT % Férmino buscado. • n % número de términos del cociente. • ( % 'rimera Iase. • a % Segunda Iase.
n− -
Fc =signo ( " a "
se cumple%
T− -
a "
(p
± yq ( r ± y s
n− T
6a lugar a un C.E. si
p q = = de términos. r s
Además se tiene en un C.E. que% #os e(ponentes de la )ariable +( disminuye de r en r; mientras que los de la )ariable +y aumentan de s en s.
Ejercicios de aplicación a" 31
Nivel A
'/ /n el siguiente cociente notable%
(2n −
−y2n ; ( 4 − y1
/l )alor numérico del tercer término de su desarrollo para% ( 8 ∧ y 8 -P4 es% a" 2 b" 34 c" @ d" e" -3 6/ /n el cociente notable%
( 2n + + y 2n
(
41
(
2
2
( −y ( −y
6'6
es% (22 y
e" 5>
( n −-
; es -. ( 2 −/l número de términos de su desarrollo es% a" - b" 23 c" @ d" -> e" 4
(n − y m (1 − y 2
d" @>
e" >
e" 3
/ Calcular +a = b si el segundo término en el desarrollo del siguiente cociente notable % b
d" 41
;/ Si el grado absoluto del octa)o término del cociente notable%
Fiene -> términos. /l )alor de n & m" es% a" -> b" 2> c" 1>
−42 −2 2
Su coeficiente del término (4 es% a" 5 b" @ c" -> d"
a
c" 51
(2 + y
/l número de términos de dicKo cociente es% a" b" 3 c" @ d" 5 e" - 7/ /n el cociente notable%
b" 11
(/ Si el cociente notable%
( 2>
− ym (n − y
Fiene -> términos. Jallar el )alor de m = n" a" 2 b" c" 1
d" 21
e" 1>
3/ Si la e(presi!n es un C.E.
( 4m +-"
− y1m
(m −- − y m −2
Jallar el )alor de +m. a" 2 b" 3 c" @
d" 1
.
e" 5
9/ 7ndicar el número de términos del siguiente C.E.% a 2m + 1 + b m + 3 a 2m −-
+ bm −3
a" 5
( 1m
b" ->
c" 2
d" -@
(1
a" 4>
d" 41
6eterminar% ' & 9. a" ( b" ( -> c" (
− y @> ( 4 − y5
( 2n +
d" ( 1
e" >
Nivel B
− y 2n . ( 2 − y
a"
b" ->
c" -@
6?/ Jallar el término 3 del C.E.
''/ 9ue lugar ocupa en el desarrollo del C.E. ( 4>
− y > ( − y
d" -
/l término que tiene como grado absoluto 24. a" b" c" 2 d" 4 e" 1 '6/ Si el desarrollo del siguiente C.E.
( 1n −- (
n
− y 4p
−y
p
Fiene un término que contiene a ( 4 y2 6eterminar n = p". a" -> b" 1 c" -1 d" > e" 1
− y 2 , ( − y2
contiene a% ( a" 3> y @ d" - y @
6'/ Jallar el coeficiente del tercer término del desarrollo de % (-
−-3 ( 2 + 4
a" b" &4 66/ Simplificar% /
=
− a 23 en el C.E. 1 2 ( −a c" 3> y ->
'/ Suponiendo que% (-4@y2 se encuentra contenido en el desarrollo del siguiente C.E. ( -n −-2 − y >p
− yp
Jallar +n. a" -2 b" -1
c" -5
d" -
e" -
';/ Calcular % +m ⋅ n si el F4 del cociente notable% ( 21m
− y 3>n ; es % ( 241 y @4 ( 1m − y 4n b" -
c" -1
d" 4
e" -@
( 1m −- − y-m −1 ( m −1
c" &
d" @
e" 4
+ ( 5@ + ( 53 + ....... + ( 4 + ( + 4> ( − ( 2 + ( 2@ − ....... + ( − ( + -
(
@>
a" / = ( 1> + ( 1 + (- + ( 3 + b" / = ( 4> + ( 2 + ( 2@ + ...( + ( + -
m
b" - y -> e" -> y @
e" @1
Nivel C
'7/ 7ndicar el número y el lugar que ocupa el término que (
e" -
( 3
#uego dar la suma de sus e(ponentes. a" 11 b" 41 c" 31 d" 51
>
e" 3>
'9/ Jallar el grado del término de lugar 3 del siguiente C.E.
= (-> − ( + ( @ −........ − ( +- ;
'
c" 1>
/l término que tiene grado absoluto igual a 1. a" 2> b" 2c" 2 d" 22 e" 24
+ (-@ + (-3 + ....... + ( + '= -> @ ( + ( + ( + ....... + ( + -
a" 3
b" 4@
'3/ 9ué lugar ocupa en el desarrollo del C.E.
e" -1
(>
(n
− y 5m ; es 2>. − y5
(-3>
'?/ 6adas las siguientes e(presiones%
9
'(/ Calcular +m si el grado absoluto del F22 en el C.E.
− ym −-
Calcular el HA del término central de su desarrollo. a" 11 b" 3> c" 33 d" 5> e" @>
c" / = ( 2> + ( + ( @ + ........ + ( + ( + d" / = ( 1> + ( 4 + ( 4@ + ........ + ( + ( + e" / = ( > + (- + (-@ + ........ + ( + ( + 67/ 6adas las siguientes e(presiones% '
=
(
>
+ ( -@ + ( -3 + ....... + ( + -> + ( + ( @ + ....... + ( + (
= ( -> − ( + ( @ −........ − ( +- ; 6eterminar% ' & 9. a" ( b" ( -> c" ( d" ( 1 e" > 9
+ a 4n− + .... + a + a + 6/ Simplificar% ' = n−+ a n− + .... + a + a + a a" a n −b" a n c" n −d" a n +e" a n +a
6;/ Si%
4n−-
(m
− @ ; es una di)isi!n notable e(acta, calcule ( −
el )alor numérico de%
6'7
'
=
− m2@ + m25 − .... − m + m − m21 − m2> + m1 − .... − m-> + m1 − -
a"
b" 3-
c" 5
d" ->>
e" 41
6
1
b
a − a
m2
4
a
−
+y
4
a
b − y 1 −
-−
>
a −-
a" a
b" a = -
69/ /fectuar% a" ->
n +-
(
6(/ /n el C.E.%
3m+2
−y
3m −
m −3
(
m−@
−y
.
b"
-> n
->n+- − n
n −- −-> − n d" ->
+ -> − n
7?/ Si F es el penúltimo término del cociente%
( 4>
Calcular % +m,el término -> y el número de términos. a" - , ( 4> y-@ ,1 b" - , ( 41 y-@ ,1 c" - , ( 4> y-1 ,4
−-> − n
e"
e" a
n cifras
n ++ -> − n c" ->
e" 34
d" a & -
= + + + + ...
/s ( -53 y 34 . Calcular el número de términos. a" -> b" -3 c" 1 d" 2>
S
c" a =
d" - , (21 y-@ ,
e" - , (1 y-@ ,1 63/ Jallar el término -, en el siguiente C.E.
(@
−−-
SeUale el término que sigue en el siguiente desarrollo% F + ( 3 y 2 +..... a" (y 3 b" ( y 3 c" ( 2 y 3 d"
4
( y
3
e"
1
( y
3
(i)isi%ilidad polinó#ica DIVISIBILIDAD POLINÓMICA #a di)isibilidad algebraica tiene por ob0eti)o determinar polinomios que no se conocen y calcular restos en di)isiones donde el teorema del resto no se puede aplicar directamente. Se dice que un polinomio 6(" es di)isible entre el ' ( " polinomio d(" si y s!lo si la di)isi!n es e(acta d ( " además se dice que d(" es un factor del polinomio '(".
6(" es di)isible entre d(" ⇔ 6 ( ≡ d ( ⋅ ( 'ara estudiar la di)isibilidad algebraica; necesitaremos conocer los siguientes criterios o principios fundamentales%
C"ITE"IOS DE DIISIBILIDAD:
6'
• Cuando dos polinomios son di)isibles; entonces el
resto es nulo cero" B(" 8 >. • Si un polinomio '(" se anula para ( 8 a; entonces
'(" es di)isible entre ( & a". • Si un polinomio es di)isible por separado entre )arias
e(presiones será di)isible por el producto de ellas. Sea% ' ( " ÷ ( − a" → r ≡ >
' ( " ÷ ( − b " →r ≡ > ' ( " ÷ ( − c " → r ≡ >
/ntonces% ' ( " ÷ ( −a " ( −b " ( −c " →r ≡ > • Si
un polinomio es di)isible entre el producto de )arios factores, será di)isible por cada una de ellas respecti)amente. Si% ' ( " ÷ ( − a " ( − b " ( − c " → r ≡ >
'(" ÷ ( − a" → r ≡ > /ntonces ' (" ÷ ( − b" → r ≡ > '(" ÷ ( − c " → r ≡ > • Si al di)idir un polinomio '(" entre )arias e(presiones
por separado nos da un mismo resto, entonces al di)idir dicKo polinomio entre el producto de ellas nos arro0ara como resto dicKo resto común. As$% sea '(" un polinomio cualquiera y% ' ( " ÷ (
− a" → r ≡ B ' ( " ÷ ( − b " → r ≡ B ' ( " ÷ ( − c " → r ≡ B
/ntonces% ' ( " ÷ (
− a" ( − b" ( − c " → r ≡ B
• Si% '(" es di)isible entre ( & a" entonces ( 8 a;
#uego 'a" 8 >
∴' ( " ≡ ( − a " ⋅ q ( " Además% ( 8 a; es un cero o ra$z de '(". • Becuerde que para determinar la sumatoria de
coeficientes de un polinomio entero en +( por decir '("% ∑ coef ='-"
• Férmino independiente de dicKo polinomio% F.7.
' >"
=
6';
Ejercicios de aplicación c" (2 = 15( & 3 e" &2(2 = 15( & 1
Nivel A
'/ Jallar la suma de los coeficientes del polinomio
[
' ( " = 2 (
a" 41
2
+ ( − 3 b" 43
] [23 ( n+-
c" 45
1
]
− 4 ( 2 +- − [-> ( −-] d" 4@
e" 4
6/ Wn di)isor del polinomio ' ( "
= ( 2 − ( + 2 ( − es
a" ( = -
b" ( &
c" ( & -
d" ( =
e" ( & 2
7/ 9ue )alor debe de tener +a para que ( ± a sea di)isor del polinomio ( + ( + a" > b" &c" d" e" 3 / Wn di)isor de % ( 2 − a2 es% a" ( = a b" ( & a c" a & ( d" a = ( e" ( & a ;/ Calcular +n si el término independiente de% '(" es &23 donde '(" es% n −n n 1 ( −-" ( + 1 " + [ 2 ( +-" ( + 1 "] + ( a" b" - c" -@ d" 4 e" 3> . Jallar la suma de coeficientes. a" b" c" > d" 2 e" 4 (/ Al di)idir un polinomio '(" entre el producto ( = -"( & "( = 2" el resto obtenido es ( & 1( = /ncontrar cuales son los restos que se obtienen al di)idir '(" entre% ( = -"; ( & " y ( = 2" a" 1 ; 5 ; 1 b" ; 1 ; > c" 5 ; &1 ; 1 d" 5 ; 4 ; e" 5 ; 1 ; 1 3/ Al di)idir un polinomio '(" entre ( = 2" se obtu)o por residuo &1 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 2. /ncontrar el residuo de di)idir '(" entre ( & -". a" 1 b" 3 c" 5 d" @ e" 9/ 6eterminar un polinomio '(" de 1^ grado que sea di)isible entre (4 & 2" y que al di)idirlo separadamente entre ( = -" y ( & " los restos obtenidos sean respecti)amente 5 y 2. a" -(1 & 2(4 & -1( = 3 b" ->(1 & 4(4 & -1( = 3 1 4 c" ->( & 4( & -1( = 5 d" ->(1 & 4(4 & -1( = 3 1 4 e" ->( & 2( & -1( = 3 '?/ /ncontrar un polinomio '(" de tercer grado sabiendo que al di)idirlo separadamente entre ( = 2"; ( = " y ( & 1" , se obtenga siempre el mismo residuo &3" y al di)idirlo entre ( = -" el resto sea &4 a" 2(2 & 15( & 1 b" &2(2 = 15( & 1
6'<
d" 2(2 & 15( & 3 Nivel B
''/ 6eterminar el termino independiente de un polinomio de quinto grado que sea di)isible entre ( 4 −2" y que al di)idirlo entre ( = -" y ( & " los restos obtenidos sean respecti)amente 5 y 2. a" 3 b" 1 c" d" 2 e" 4 '6/ Wn polinomio de se(to grado tiene ra$z cuadrada e(acta es di)isible separadamente por ( = -" y ( = 2" y si se le di)ide entre ( = " el resto es 1. Jallar la suma de los coeficientes del polinomio. a" 151 b" 153 c" 155 d" 15@ e" 15 '7/ /ncontrar el resto de la di)isi!n de un polinomio en '(" entre ( & 3" si se sabe que el término independiente del cociente es y del polinomio es & --. a" b" &c" d" & e" > '/ /ncontrar la sumatoria de coeficientes del polinomio de tercer grado sabiendo que al di)idirlo separadamente entre (=2"; (=" y ( & 1" se obtiene siempre el mismo residuo igual a &3 y al di)idirlo entre ( = -" el resto sea &4. a" -1> b" -4> c" &-4> d" &-1> e" -3> ';/ Si se di)ide un polinomio entre ( & -" se obtiene un resto que es 2 y al di)idirlo entre ( = " el resto es . Jallar el resto de di)idirlo entre el producto% ( & -"( = " a" ( = 1 b" 4( = 1 c" 2( = 1 d" &( = 1 e" &( & 1 '
a" 3
− 1( + 3 b" &3
c" 1
d" &1
e" 2
'(/ Al di)idir '(" entre (&-"(&" se Kalla por resto% ( = _9ué resto encontrará si se di)ide '(" entre% ( & "`. a" 1 b" 4 c" &4 d" &1 e" 2 '3/ Wn polinomio de cuarto grado en +( ; cuyo primer coeficiente es la unidad , es di)isible por ( −-" y por ( & 4" y al di)idirlo por ( =2" da como residuo 13. Calcular cuanto dará el residuo al di)idir por% ( & ". a" &4 b" 4 c" &4 d" 4 e" 2> '9/ Jallar el coeficiente principal de un polinomio '(" que cumpla% 7" Sea de tercer grado. 77" Sea di)isible por (&". 777" Se anule para (8&-.
7?" Su término independiente sea &@. ?" Al di)idirlo entre (&2" se tenga @ como resto. a" 4 b" 2 c" d" e" > 6?/ Se sabe que un polinomio entero en +( de tercer grado cuyo primer coeficiente es la unidad, se anula para% ( 8 y para ( 8 2 6eterminar dicKo polinomio si la suma de sus coeficientes es igual a ->. a" ( = "( & 2"( = 4" b" ( & "( & 2"( = 4" c" ( = "( = 2"( = 4" d" ( = "( & 2"( & 4" e" EA. Nivel C
6'/ Al di)idir el polinomio <(" entre los binomios ( & 4" y ( & " se obtiene como residuo y 1 respecti)amente. Calcular el residuo de di)idir <(" entre el producto% ( & 4"( & ". a" ( = 1 b" ( = 4 c" ( = d" & ( = 1 e" &( & 1 66/ Jallar el resto de di)idir% ' ( " = A > ( + " ( −-" ( + 2 " entre ( = -"; Sabiendo que al di)idir '(" entre ( & " el resto es 4>. a" 1> b" &@ c" 4> d" 2> e" 3>
6(/ Wn polinomio de cuarto grado es di)isible entre ( = " tiene ra$z cuadrada e(acta .Al di)idirlo entre ( & " y ( = -" los restos obtenidos son iguales a -3. Calcular la suma de sus coeficientes. a" 23 b" 25 c" 2@ d" 2 e" 4> 63/ Wn polinomio entero en +( de tercer grado se anula para ( 8 5 y para ( 8 &2 y al di)idirlo entre ( & ->" da como residuo 2 si el primer coeficiente del polinomio es 2. Jallar el resto de di)idirlo entre ( & @" a" 1 b" 12 c" 14 d" 11 e" 13 69/ Al di)idir un polinomio '(" separadamente entre ( & a" y ( & b" los restos obtenidos son b = a" y a = b" respecti)amente. Jallar el residuo de di)idir entre% ( & a=b"( = ab. a" &( = a = b" b" ( = a = b" c" &( = a & b" d" ( &a = b" e" &( = a = b" 7?/ Wn polinomio de grado +n y )ariable +( es di)isible entre (n&- = (n& = -" y tiene por término independiente .Además dicKo polinomio disminuido en es di)isible entre ( & -" y disminuido en 2@@ es di)isible entre ( & ". Calcular el )alor de +n a" 2 b" 4 c" 1 d" 3 e" 5
67/ Wn polinomio '(" de tercer grado es tal que al ser di)idido separadamente entre los binomios ( & "; ( = 2" y ( & -" da de resto &4", si se le di)ide entre ( = -" da de resto 44. SeUala el término independiente de dicKo polinomio. a" -> b" ->> c" 4> d" > e" 3> 6/ Al di)idir un polinomio '(" separadamente por ( & -" y ( & " se obtiene como restos 3 y -@ respecti)amente. 6eterminar el resto que se obtendrá al di)idir el polinomio '(" por el producto ( & -"( & ". a" -( = 1 b" -( &1 c" -( & 3 d" -( = 3 e" &( & 1 6;/ Al di)idir un polinomio '(" entre (=" se obtiene como resto &3 y un cociente cuya suma de coeficientes en igual a 2. /l resto de di)idir dicKo polinomio entre ( & -" es% a" b" c" 4 d" 2 e" 3 6
6'(
*actori+ación FACTORIZACIÓN DEFINICIÓN: /s la transformaci!n de un polinomio en un producto indicado de sus factores primos, dentro de un determinado campo numérico. As$% M*lti-licaci5n ( + " ( + 1" = (
+ 5( + ->
/0emplo -% ( = " es factor de ( + 5 ( + -> 'uesto que%
(
+ 5( + -> = (+1 (+
/0emplo % /n '(" 8 ( ( = 2" ( & " Sus factores son% (; ( = 2"; ( & "; ( = 2" ; ............... ; (( = 2" ( & ".
Factori>aci5n Teore1a: #a representaci!n factorizada de un polinomio es única; sal)o el orden de los factores. $OLINOMIO SOB"E %N CAM$O: Wn polinomio esta definido sobre un campo cuando sus coeficientes pertenecen a ese campo. As$% ' ( " = 2(
•
+ 1 (2 −
4 2
( −5
/sta definido sobre los racionales puesto que sus coeficientes son racionales". •
' (, y "
= (2 − ( +
2(
no es racional pero si real; entonces P (x,y) esta sobre los reales". 2
B ( " = ( 1 + i( 2 − 2i( ; i 8 −i no es racional ni real pero si complejo entonces R(x) esta sobre los complejos".
•
#os #os con0untos con0untos numéricos numéricos considerados considerados como como campo campo son son los los racionales racionales 9",los 9",los reales B" y los comple0os C" reales B" y los comple0os C"
"Importante# : •
•
todo polinomio que esta sobre los racionales estará tambin sobre los reales y complejos ; pero que este en los reales o complejos , no implica necesariamente que este en los racionales. !odo polinomio que esta sobre los reales, esta tambin sobre los complejos.
$OLINOMIO I""ED%CTIBLE: /s aquel que no admite ser e(presado como la multiplicaci!n de dos o más factores sobre el mismo campo. /0emplo% • '(" 8 -3(4 & - no es irreductible en los 9 puesto que -3(4 & - 8 4( = -" 4( & -" • '(" 8 4( = -" 4( & -" es irreductible en los 9 pero
no en los B puesto que % '(" 8 4( = -" ( = -" ( & -" • '(" 8 4( = -" ( = -" ( & -" es irreductible en los
B pero no en los comple0os puesto que% '(" 8 ( = i" ( & i" ( = -" ( & -" Teore1a: !odo polinomio de primer "rado es irreductible en cualquier campo numrico.
Factor $ri1o: /s el factor irreductible de un polinomio sobre un determinado campo. /0emplo% ' ( " = ( 4 − 1 •
' ( "
'osee 2 factores primos en B". •
FACTO" DE %N $OLINOMIO: Wn polinomio f(" de grado no nulo es considerado factor de otro polinomio '(" si e(iste un único polinomio q(" tal que% $,/ H ,/ ,/
6'3
= ( + 1 " ( + 1 " ( − 1 "
= ( +
1i" (
−
1i" (
+
1 " (
−
1"
'osee 4 factores primos en C". NOTA: Al factor de un polinomio también se le llama di)isor que no necesariamente es primo.
OBSERVACI! :
Heneralmente el campo en el que se Ka de traba0ar es en de los BAC7DEA#/S 9" sal)o se indique lo contrario.
NME"O DE FACTO"ES:
factores algebraicos % α = -"β = -" γ = -" & -
a" /l número de factores primos depende sobre que campo numérico en que se factorice. /0emplos. •
' ( "
que los di)iden en forma e(acta en el cual no se considera a ninguna constante; es decir en el conteo de los factores algebraicos no se considera a la unidad. Sea% aαbβc γ donde% a; b y c son primos entre si
Ee1-lo:
= ( 4 − " = ( + 2 " ( −2 "
6os factores primos en 9" •
' ( " = (
+2"( +
2 " ( − 2 "
Fres factores primos en B" •
' ( "
= ( +
2i" (
−
2i" (
+
2 " (
−
2"
-
Cuatro factores primos en B"
(
S D C 7 A B I / H # A S / B D F C A <
S / # A F D F S / B D F C A <
y
CONTEO DE FACTO"ES $"IMOS:
/l número de factores primos de un polinomio se obtiene contando el número de actores bKsales; es decir; los factores que se encuentran como base de una potencia y que contenga a la )ariable.
'or f!rmula%(y
NOTA: 'ara realizar el conteo no se debe considerar el número de )eces que actúa un determinado factor.
N%ME"O DE FACTO"ES (y DIISO"ES COM$%ESTOS:
Ee1-los: •
' ( "
H ( "
= ( +2"
(
2
5
+"
Don+e:
= 21 ( +1" ( 4 +-"2
f (, y "
NOTA: • Wn polinomio siempre se factorizará en el campo de los números racionales coeficiente enteros o fraccionarios" sal)o se indique lo contrario.
= ( y ( +y "1 ( −2y "4
Eúmero de factores primos es 4.
• Eormalmente se pedirá calcular el número de factores
N%ME"O DE FACTO"ES TOTALES: Sea% aαbβc γ donde% a; b y c son primos entre si%
algebraicos o di)isores algebraicos; el número de factores primos; factores lineales, factores cuadráticos; etc. Ee1-lo: ' (, y " = ( y 2 •
factores totales % α=-"β=-"γ =-"
Ee1-lo: 6eterminar el número de factores totales de% ' (, y "
O
( −-"
Eúmero de factores primos es . •
COM$%ESTOS
<.C. 8 <.A.F & <.'
Eúmero de factores primos es 2 •
y
= ( −y " ( + y "2 ( + y "
⇒
N%ME"O DE FACTO"ES DIISO"ES AL#EB"AICOS:
AL#EB"AICOS
O
IM$O"TANTE: Si en un e0ercicio nos piden el número de $actores; se sobreentiende que nos piden el número de $actores primos.
Wn polinomio factorizado presenta una cantidad determinada de factores algebraicos es decir e(presiones
6'9
Ejercicios de aplicación '/ :arque la alternati)a correcta donde Kaya un polinomio que este factorizado. a" ( = " = ( b" (( = -" = c" ( & ( = -" d" (( = -" = ( = e" ( = 2"( = 4" 6/ :arque la alternati)a donde esté un polinomio definido sobre 9. a" ( + b" 2 ( +- P c" ( + 2 d" 2 ( + π( e" 2 ( P −7/ Sea '(" 8 (( = "( = -" _/n cuál de las alternati)as no es un factor algebraico de '(" ` a" ( = ( b" ( & ( c" ( = ( d" ( = e" ( = 2( = 2
/ Sea '(" 8 ( & 4( _/n cuál de las alternati)as Kay un factor algebraico de '("`. a" ( = b" ( & c" ( = ( d" ( = 4( e" ( = 4 ;/ Bespecto al polinomio% '(" 8 2( = "( = " 7ndique )erdadero ?" o falso <". 7" 2 no es factor de '(". 77" ( = " es factor de '(". 777" '(" tiene 2 factores algebraicos. 7?" ( = 5( = ->" no es factor de '(". a" ? d" 5 e" @ (/ Sea '(" 8 (3 & :arque la alternati)a donde no Kay un factor algebraico de '(". a" (-3 = - b" (4@ = - c" (4 & - d" (- & - e" (2 = 3/ Si ( =2" es factor de ( = b( & 2 indique el otro factor. a" ( = b" ( = - c" ( & - d" ( = - e" ( & 9/ Si% ( = ( = es factor de ( 4 =2( = ( = a( = b a +b Jalle% / 8 ab a" -P b" 2P4 c" & -P4 d" &2P e"
66?
'?/ Si% ( = ( = -" y ( = a( = b" Son factores de (4 = m( = n" Jalle% / 8 a = b = m = n a" 4 b" c" &2
d" >
e" &-
''/ :arque la alternati)a donde Kaya un polinomio primo y uno no primo respecti)amente. a" ( & 4 ; ( = b" ( & ; ( = 2 c" 4( & - ; ( & 4. d" ( = - ; ( = e" ( = 2 ; ( '6/ Sea '(" 8 (4 & -" ( = ( & 2 " _Cuántos factores primos tiene` a" b" 4 c" 1 d" 2
e" 3
'7/ Sea '(" 8 ( ( = 2( = " 7ndique el número de sus factores primos. a" b" 2 c" d" 1 e" 4 '/ :arque la alternati)a donde no Kay un factor primo de '(,y" 8 (y ( = -" y = - " a" ( b" y c" (y d" ( = - e" y = ';/ Sea % '(" 8 (2 = 2( = ( = 6e las siguientes proposiciones. 7" '(" es primo. 77" '(" no es primo. 777" '(" tiene un factor lineal. Son )erdaderas. a" 7 y 77 b" 77 y 777 c" solo 7 d" solo 77 e" 7 y 777 '
CRITERIOS (E *actori+ación CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
#uego% a
Son técnicas a utilizar, de acuerdo a la forma que presenta al e0ercicio.
I/
FACTO" COMN A#"%$ACIÓN DE T!"MINOS.
a/ FACTO" COMN: Cuando uno o )arias cantidades se repiten. & Se e(trae el )alor que se repite, el cual constituye el factor común. & /l siguiente factor se Kallará, di)idiendo cada uno de los términos del polinomio entre el factor común. a.-" Factor Co10n Mono1io: Cuando el factor común es un monomio. /0emplo-%
−-"a −2"a − +-" = a −-" a −2"
"-ta. b/ A#"%$ACIÓN DE T!"MINOS: Se procede a agrupar los términos buscando factores comunes monomio o polinomio" para luego factorizar. NOTA: 'ara agrupar correctamente, contar el número de elementos del polinomio para as$ saber de cuanto en cuanto agrupar. /0emplo -%
+-" ( +-" "-ta.
/0emplo %
#uego% ' ( " = ( 4 ( + 1 " "-ta.
/0emplo %
B(, y"O = 4( . y2 − .(y4 + 3( 1 y 3
/l factor común es% (y
2
#uego B (, y " = (y2 ( −y +2( 4 y 2 " "-ta. a." Factor Co10n $olino1io: Cuando el factor común es un polinomio. /0emplo -%
= a a + b " + b a + b " + c a + b "
a + b " ab + c "
'/
66'
/ indicar la suma de los coeficientes de los factores primos. a" m = n b" m & n c" n = n d" m = n e" m & n (/ 3/
a
''/ Al factorizar % '(,y,z" 8 (z = 2( = 2yz = (y /s posible afirmar% a" Se obtienen 2 factores primos. b" Se obtienen factores cuya suma de coeficientes es la misma. c" Wn término en uno de los factores es (. d" /l mayor coeficiente obtenido en uno de los factores es . e" Jay correctas.
n n m n b b "a b " − =a m + −
/0emplos% • a − b = a + b"a − b" •
(-
•
a3
− y-> = ( 3 + y 1 " ( 3 − y 1 " − b > = a2 + b-> "a2 + b-> "
c/ S*1a o Dierencia +e C*bos: a 2m + b 2n = a m + b n " a m − a mb n + b n "
9/ Al factorizar % '(" 8 (4 = (2 & @( & @ 7ndicar un factor. a" ( = ( = 4 b" ( & ( & 4 c" ( & 4( = d" ( & ( = e" ( & ( = 4 '?/ 7ndicar la suma de los términos independientes de los factores primos obtenidos en% '(,y" 8 (y = (y &(y & ( = (y-&y" a" b" > c" & d" e" &-
m
a
2m
2n m n m m n n − = − + b a b "a a b + b "
+/ Entre otros: • a 2 ± b 2 ± 2ab a + b " = a ± b "2 •
(
•
(4
+ a + b"( + ab = ( + a" ( + b" + ( + - = ( + ( + -" ( − ( + -"
Nivel A
'/ 6espués de factorizar % '(,y,z" 8 (4yz & 2(yz & (yz 7ndique el número de factores primos. a" 2 b" 4 c" 1 d" 3
e" 5
6/
/n este caso utilizaremos los productos notables pero en sentido in)erso. Cabe recordar% a/ Trino1io C*a+ra+o $erecto T.C.$./. a m
b n = a m ± bn " ±a mbn +
Fener en cuenta que% /n un F.C.'. el doble producto de las ra$ces cuadradas de los términos e(tremos es igual al término central. /s decir%
a
m
b
n
= ( 3 + y 4 + z + ( 2 y − ( 2 z − y z a" ( 2 + y − z " b" (2 − y − z" c" ( 2 + y + z " d" ( + y − z " e" ( 2 + y − z " ' (, y, z "
II/ M!TODO DE LAS IDENTIDADES:
m n
= a
b
7/
a"
Férmino central
b/ Dierencia +e C*a+ra+os:
a" >
c" 4
d" 1
e" 3
= ( 2 ( 2 + y − ( " + +y y 2 − ( − y " b" -
c"
d" 2
e" 3
;/
a" 2
666
b" 2
/
/(tremos
= ( 4 + y 4 + (y ( + y " + 2 ( y
−( 4 yz + ( y 4z −( yz4 + ( 4 yz −(y4z b" 1
c" 5
d" @
e"
= ( 3 +-"2 + ( +-"2 ( −-"2 ( 4 + ( +-"2
a" ( 3 − ( 2 +- b" ( 3 − ( 2 −- c" ( 3 − ( 2 + d" ( 3 − (2 + - e" ( 3 − 2 ( 2 +(/
2
−2(
−-" (
2
−(
'
+-"
d" ( 2 + 2 ( + " ( 2 − ( + -" e" 2 ( 2 + 2 ( −-" ( 2 − ( +-" 3/
= z − y " ( −a " + 4(yz
b" (y2
a" (y
c" z(
d" (yz
e" (yz
9/ Si 9 es un polinomio factorizable definido por% 9(,y" 8 ( = - & 4(2y = 3(y = 4(y2=y4" /ntonces un factor primo es% a" 2(y & y = b" (y & c" ( = y & y d" - & (y & y e" ( & y & ( '?/
'9/ Jallar la suma de factores primos de% '(" 8 (4 = ( = 1 a" ( & -> b" ( = @ ( & @ d" ( = -> e" ( = 3 6?/ Si al factorizar % J(,y" 8 (23 = @-y4 = (y" Se e)alúa cada factor primo para% ( 8 y 8 Jallar el producto de los )alores obtenidos a" 4 b" @4 c" @ d" 3 e" -
9%
III/ AS$A SIM$LE
= (2 +@y2 +2(y ( + y "
Se emplea para factorizar e(presiones de la forma%
/ indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. a" b" c" 2 d" 4 e" 1 Nivel B
''/ Si% ( = -" y ( & 2( & " son dos factores del polinomio% ' ( " = a( 4 + c( 2 −b( − c( + /ntonces el otro factor es% a" ( = 5 b" ( & 2 c" ( = - d" ( & - e" 2( & '6/ e" -
= A( m + I( m y n + Cy n ' ( " = A( n + I( n + C...... AIC ≠ > ' ( "
$"OCEDIMIENTO: •
Se descomponen los e(tremos, cuidando los signos.
•
Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados, si este coincide con el término central, entonces los factores serán las sumas #ori$ontales.
-" (y + 2 y Besoluci!n% 2(=->(y=2y
'7/ 7ndicar aquel polinomio que no es factor de% 9(, y" 8 (2 = (y & 4(y & @y2 & ( = y a" ( & y b" ( = y = c" ( & - = y d" ( = y e" ( = y
(
factor
+- − 4(
2
y
+ 3(
y
−(y + y c" d" ( − (y + +4 (2 −2 (y +(
2
+ 4 (y + y b"
(
=y 8 (y
(
=2y 8 (y ->(y
#os factores se toman Korizontalmente. /ntonces% 2( = y"( = 2y" de%
2
es% a" - − (y −y
2(
'/ 6escomponer en factores % '(" 8 (3 = -"2 = ( = -"2( & -"2(4 = ( = -"2 / indicar el número de factores primos. a" b" c" 2 d" 4 e" 1 ';/ Wn
−−( −2
7ndique el factor de mayor grado obtenido. a" (3 & (2 = b" (3 = ( = c" (4 & ( = d" (3 = (1 = e" (3 = (2 = -
c" ( 2 + 2 ( −-" ( 2 − ( + "
' (, y, z"
=
(-
− (y ++e"
4
";
"
a = b" 8 (a = b"
(
a & b" 8 (a & b" a(
667
'6/
Fomando Korizontalmente. /ntonces% ( = a = b" ( = a & b" Nivel A
'7/
'/
F(a, b, c) (a ! b ! c) 2 ! (a ! b – c) 2!4c(a!b)– "(a!b!c)!2
/ indique el factor primo de mayor término independiente a" a = b = c = b" a = b = c & c" a = b = c & d" a = b = c = e" a = b = c & '/ >a5b3 / indicar el número de factores primos. a" 4 b" 1 c" 3 d" 5
e" @
2
7/
';/
/ Si% ( = m ∧ n( = son factores de 2( = 1( = ; Jalle% m & n; m, n ∈ Q= a" b" & c" > d" e" 2
'y4 / indique el número de factores algebraicos. a" b" c" 2 d" 4 e" 1
;/
+ y " −-- ( − y " −3 ( − y "
a" 2( = y d" 5( = 3y
b" 2( & y e " (y
c" 5y = 3(
9/
'(/ '3/ 9ué polinomio no es factorizable` a" ( = --( = @ b" ( = 4( & 1 c" ( & 4( = 2 d" ( = 5( = @ e " ( & 5( = 3 '9/ Si la e(presi!n % '(" 8 3( = p( = b Se factoriza as$% a( & 1 "( & -" Jallar% a & p = b. a" @ b" 5 c" 3 d" -
e" -2
6?/ Sean % A 8 ((= 2" & y I 8 (4 &( & ( " C8y=(= 7ndicar el número de factores primos lineales que origina% A = I = C. a" b" c" 2 d" 4 e" >
= ( + ( +-" ( − ( +-" + 5 ( −2@1
/ indicar la suma de sus factores primos lineales a" ( b" ( c" 2( d" 4( e" 1( Nivel B
'?/ b" c" d" 2 e" 4 ''/
= a +ab"( +ba − 4b"( +b −a"a
/ indique uno de sus factores primos. a" a( = a & b b" a( = a c" a( & b d" a( = e" a( & -
66
I/ AS$A DOBLE: Eos permite factorizar polinomios de la forma% a(
A(
+ b(y + cy + d( + ey + f
n
+I(nym +Cym +6(n +/ym +<
Consiste en descomponer los términos en ( e y, independientemente en dos factores cada uno de ellos, para luego efectuar los productos en aspa de dicKos factores, la suma algebraica de estos términos obtenidos debe )erificar los tres términos
restantes, cuando esto ocurra los factores serán los que aparezcan en la -era y da l$nea.
Es*e1a #eneral: Factori>ar: a( = b(y = cy = d( = ey = f m(
py
r
n(
qy
s
i"
ii"
iii"
6onde debe cumplir% i y ii
% mq(y = np(y 8 b(y
ii y iii % psy = qry
8 ye
i y iii % ms(= nr(
8 d(
7/
#os factores serán%
−1( y −1y −2( y −1 yz +>z
a" -
m( = py = r"n( = qy = s".
b"
c" 2
d" 4
e" 1
(/
-"
= 2
@(y −44y
a" 4y & 1 d" y & 2
+21( −2y + 4> b" 4y = 1 e" ( = y
3/ Si ' es un polinomio factorizable definido por%
= 1 ( −2 (y − y +23 ( +-2 y +5
2(
y
2
' (, y "
(
&y
-
i"
ii"
iii"
/ntonces un factor primo es. a" ( = y = 5 b" 1( & y = d" 1( = y & e" ( & y = 5
/ntonces% 2( = y = 2"( & y = -" " y. Besoluci!n% Completando. ( = (y &-1y &4( =->y = > (
&1y
>
(
2y
&
i"
ii"
iii"
/ntonces% (&1y"(=2y&"
c" y = 2
c" ( & y & 5
9/ 7ndicar el )alor de )erdad de cada una de las proposiciones con respecto a este polinomio. '(" 8 (1 & 1(4 & (2 = -3( & --( = 7" Wn factor primo es cúbico de término independiente . 77" &1( es un término de un factor primo. 777" &2( es un término de un factor primo cuadrático. a" ??? b" ?<< c" ??< d"
Nivel A
'/
''/ SeUale un factor primo del polinomio A(,y,z" 8 a( = by = cz = d(y =e(z =fyz Si los coeficientes% a, b, c, d, e, f; en ese orden son números enteros consecuti)os cuya suma es 5. a" ( & 2y = 4z b" ( = y = z c" ( = y = 2z d" ( & y = z e " ( = 4y = 2z '6/ 7ndicar la suma de coeficientes de un factor primo de% <(" 8 (3 = 1(1 = 3(4 = --(2 =3( =@ a" 3 b" 5 c" @ d" e" -> '7/ Si uno de los factores primos de% /(,y"83( & 5(y & 1y = -5( & --y=- Adopta la forma% a( = by =c "
66;
6onde% a, b, c; son naturales obtener% / 8 a = b = c. a" b" 2 c" 4 d" 1
Se necesita% e" 3
'/ y & -4z = 5(y = 2@yz & -5(z 6ar un factor primo% a" 2( = 4y & z b" ( = 1y & 5z c" 2( = 4y = z d" ( = 1y & z e" 2( = 1y = z ';/ 6espués de factorizar% <(, y" 8 (4( = 5y" & 2y1y = -" = 4@( 7ndique el término independiente de uno de los factores primos. a" 3 b" -1 c" @ d" - e" -3 '; y V > Jallar % y Si el largo mide >m . Cuando ( 8 5 a" @ b" -> c" 3 d" - e" 1 / AS$A DOBLE ES$ECIAL: Se usa para factorizar polinomios de la forma: A( 4n
+ I( 2n + C( n + 6( n + /
•
Se adecua el polinomio a la forma general, en caso falte uno o más términos, estos se completarán con ceros.
•
Se descomponen con)enientemente los e(tremos, se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados.
•
Se compara el resultado anterior con el término central de la e(presi!n c(" y lo que falte o sobre para que sea igual a este, será la e(presi!n que se tenga que descomponer en las partes centrales de los futuros nue)os dos factores. Cumplidos los pasos anteriores, se concluye que los factores serán las sumas Korizontales.
#uego% 4( 8 &(" &(" Adecuando% , ,7 '',6 ', '?
'/ . Besoluci!n% /l polinomio esta completo y ordenado, entonces seguiremos los pasos indicados. 4
2
( & 4( = --( & -4( = ->
1
Se tiene%
5(
Se debe tener% --(
66<
ii"
&( i"
1
iii"
&(
Al paso ii" comprueba% ("&(" = ("&(" 8 &4(2 iii"
&("" = &("1" 8 &-4(
/ntonces% ( &(=1" ( &(=" Bpta".
Nivel A
'/
c" ( = ( =
6/
indicar
el número de factores
5 ( 4 − 25 ( 2 + 23 ( −2-( +-1
a" -
b"
c" 2
d" 4
e" 1
$"OBLEMAS "ES%ELTOS
4(
+ ( 3 −-3 ( 4 + @ ( −-
a" -
b"
c" 2
d" 4
e" 1
(/ Si ' es un polinomio factorizable definido por % ' ( "
= a (4 − a(2 −a4 −-"( + a2 ( −a
/ntonces un factor primo es% a" a( = b" a( = a & d" ( = a & e" a( & -
c" ( & a = -
3/
= 21(y −1>(y2 −->(2 y + ( 4 +4y4
/ indicar uno de sus factores primos. a" ( = y b" ( = y c" ( & y d" ( = y e" 2( & y
9/
= @ ( 4 + 4 ( 2 + ( + 2 ( +-
6eterminar el )alor de )erdad de las siguientes proposiciones. 7" '(" es primo en el campo 9. 77" '(" tiene dos ipsores primos en 9. 777" '(" carece de ra$ces reales racionales. a" ?<< b" ??? c" <
''/ IT" 8 T4 = 1T2 = ->T = T = 3 '6/ a" & 4 b" 2 1 c" d" &e" 2 3 ';/
( 8 - % '(" 8 - & 5 = 3 8 > ( 8 -% es un cero de '(".
& Si%
( 8 % '(" 8 2 & -4 = 3 8 > ( 8 % es un cero de '(".
For1a +e calc*lar los -osibles ceros +e *n -olino1io:
Se di)ide cada uno de los di)isores del término independiente entre los di)isores del primer coeficiente con su doble signo". '.C
di)isores del termino independie nte = ± di)isores del coeficiente principal
Ee1-los: & '("8(2=2(&1 #os posibles ceros seran % '.C%±-; ±1 & 9("8(5=4(3 &(2 &2 #os posibles ceros seran%
-;2 ± % '.C% ±-; ±2; ±-P -; -" Se anula, luego tendrá un factor ( & -" determinado el otro factor por Buffini. -
&--
2-
&-
-
&->
-
&->
-
>
#uego% /(" 8 ( & -"( & ->( = -" ( &5 (
&2
/ntonces% /(" 8 ( & -"( & 5"( & 2" Nivel A
'/ Si% ( = m( = n es factor de ( 2 & ( & 3 Calcule% m = n. a" b" 5 c" @ d" 2
e" 1
6/
e" 1
7/ 6ado el polinomio% '(" 8 2(2 = --( = 2( & Si al factorizar se e(presa como% '("8 a( = b( = c"m( = n". abc Calcule% mn a" b" -P c" &-P d" e" & / 6ado el polinomio% 9(,y" 8 (2 = a(y = b(y = cy2 Sabiendo que (=y" es un factor de 9 (,y". Calcule% a & b a" b" c" 2 d" 4 e" 1 ;/ Dbtener la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio%
66(
J(" 8 (2 & ( & -5( = 22. a" &2 b" &3 c" &5
d" &1
e" &@
(/
+ 3 (2 − 1 ( − 4 ( + 4>
a" -
b"
c" 2
d" 4
e" 1
3/
'
c" 4
d" @
e" 23
'(/
+ 2 ( 4 −-5 ( 2 − 5 ( + 1 ( + 3>
a" -
b"
c" 2
d" 4
e" 1 II/ $OLINOMIOS "ECÍ$"OCOS O "EC%""ENTES
9/ #os polinomios%
= ( 4 + ( 2 − ( − 9 ( " = ( 2 + 3 ( +--( + 3
' ( "
$OLINOMIO "ECI$"OCO:
Fienen un factor común. 7ndicar la suma de coeficientes de dicKo factor común. a" &b" > c" 2 d" 4 e" 1 '?/
Beciben esta denominaci!n aquellos que se caracterizan por que los coeficientes de los términos equidistantes son iguales en )alor absoluto". As$ en% A(4 = I(2 = C( = 6( = / Si es reciproco% A 8 / ; I 8 6.
e" 1
'ara factorizar a este tipo de polinomios deberá tenerse en cuenta% • C*an+o el -olino1io sea +e 4ra+o -ar:
Se e(trae la parte literal del término central.
Nivel B
''/ SeUalar un factor primo de% '(" 8 (22( = -"2 & 3( = -" & -1 a" ( & - b" ( = - c" ( = d" ( &
e" ( = 2
'6/ Cuantos factores primos tiene el polinomio% '(" 8 (5 & (1 & -. a" b" c" 2 d" 4 e" 1 '7/ /n base al polinomio % :(" 8 (5 & @(3 = -(1 & -1(4 & -1(2 = -( & @( = /stablecer el )alor de )erdad de las siguientes proposiciones. 7" Fiene 4 factores primos. 77" 2 & ( = - es uno de sus ipsores. 777" & 2( = - es un factor primo. a" <
b" ???
c" ??<
d"
e"
'/ Con respecto al polinomio 'z" 8 z3 & z4 = -3z2 & z = 7ndicar el )alor de )erdad de cada una de las proposiciones% 7" Wn factor primo es z = 4z = 77" Wn factor algebraico es z & -"2 777" Fiene solo factores primos m!nicos. a" ??? b"
663
; ( − y se ( ( procede a un cambio de )ariable y a partir de estas se deducen en funci!n del cambio de )ariable%
Se busca la e(presi!n base% (
(
+
(
; (2
+
(2
; (4
+
+
(4
;...etc.
Feniendo en consecuencia las equi)alencias% = m , entonces tenemos% Si% ( + ( ( + = m ; ( (2 + = m2 ; 2m 2 ( (4 + = m 4 − 4m + 4 ( Si% ( −
= m entonces tenemos% (
siguientes
(
−
(2
−
(4
−
( 2
( -
& & & & & & &
= m + = m2 + 2m = m 4 + 4m +
(4 Se escribe la e(presi!n en funci!n del cambio de )ariable y se factoriza la e(presi!n por los métodos ya estudiados. • C*an+o el -olino1io es +e 4ra+o i1-ar: • /stos polinomios tienen la propiedad de anularse
para ( 8 -; ( 8 &- en consecuencia admite un factor ( & -" o ( = -" necesariamente. • 'or Buffini se deduce el otro factor que será
también un polinomio reciproco de grado par, el cual se factorizara utilizando los criterios del caso A. @(4 & (2 = -2( & ( = @ (3 & 4(1 = 2(4 & @(2 = 2( & 4( = 2(1 = 1(4 = 2(2 = 2( = 1( = 2 (5 = @(3 = -5(1 = (4 = (2 = -5( = @( = -
& & & &
- = (( = -"( = "( = 2" 4>a4 = ( & a"( & 2a"( = 4a"( = 3a" ( = 5( = 1" = 2( = -( = 1 ( = ("( = 1( = 3"( = 2( = -" = m = n = -"4 & 1m = n" & ->m = n" & (3a ! 2b)3 – (a ! b)3 ! (2a ! b)2 –(3a ! 2b)(3a ! 3b)(2a ! b)
/l numero total de factores algebraicos y número de factores primos de% '("8(2(&-"2=2(=("( &4(=2"&4>
• J%ITA 8 $ON O "ED%CCIÓN A DIFE"ENCIA DE
C%AD"ADOS Consiste en sumar y restar una misma e(presi!n en forma con)eniente de modo tal que al Kacer agrupaciones, el ob0eti)o, sea llegar a una diferencia de cuadrados. & 23(4 = -1( = 4 & m4n4 = 34p4 & 4(4 = 1y4 & --(y & n4 = n = & -3(@ & -5(4 = -3 & n4 = 24 & 4a4 = 4ab & b4 = & a4 = b4 = c4 & ab & ac & bc • S%MAS 8 "ESTAS ES$ECIALES:
III/A"TIFICIOS DE CALC%LO: • Ca1bio +e variable: Consiste en buscar e(presiones
iguales, directa o indirectamente a tra)és de ciertas transformaciones" para luego proceder a un camilo de )ariable, que permitirá transformar una e(presi!n aparentemente comple0a en otra mucKo mas simple y sencilla.
Consiste en sumar y restar una e(presi!n en forma con)eniente de modo tal que se obtenga uno de los trinomios ( = ( = - " o ( & ( = -" ambos componentes de una diferencia o suma de cubos ( 2 & - ! (2 = -" u otra e(presi!n conocida. & (1 = ( = & (1 = ( & & (5 = (1 = & (-> = (@ = & a1 = a4b = b1
& ( & "( = 2"( = "( & -" = 2
"RACCIONES ALGEBRAICAS FRACCIONES ALGEBRAICAS
=
f (, y "
+5 + 1( + 5
1( (
=
4 (y (
+y
CLASIFICACIÓN: '. F"ACCIONES $"O$IAS: Cuando el numerador es de menor grado que el denominador. /0emplo% ' ( "
; f (, y" =
(
− 2( + 1 ; + 4( + 1
(4 (y +-
(y
+1
6. F"ACCIONES IM$"O$IAS: Cuando el numerador es de mayor o igual grado que el denominador.
669
/0emplo% ' ( "
(@ (4
+ @( + @ ; + 4( + 4
$"O$IEDAD:
g2 + 4 g − @
' g" =
Si la fracci!n%
g2 + g − 5
7. F"ACCIONES OMO#!NEAS: Cuando tienen iguales denominadores. @( + 1 ( + 1( + 5 /0emplo% < ( " ; H ( " 4( − 5 4( − 5
+ by s + c adopta siempre un )alor r s m( + ny + p a(
r
constante para cualquier sistema de )alores permitidos de sus )ariables, o es independiente de sus )ariables se demuestra que%
a
=
m
. F"ACCIONES EJ%IALENTES: Son aquellos que admiten el mismo )alor numérico para cualquier sistema de )alores atribuidos a sus )ariables, a e(cepci!n de aquellos que Kagan cero su denominador. /0emplo%
@ ( − " ( − 2"
<>
(
( +-
E!tese que Y(* no puede tomar los )alores de y 2 porque Kar$a cero a los denominadores.
/0emplo%
(+1 1
' (" -+
-+
(+4
(+@ <. F"ACCIONES I""ED%CTIBLES: Aquellas que no admiten simplificaci!n, es decir sus componentes en forma de factores" del numerador y denominador son primos entre si. ( +1 /0emplo% H ( " ; ( +@ B ( " =
( −
/0emplo%
= cte.
( + ( +2
=
(
+ 4( + 2 − ( + 4 4( + 5 = ( − " ( − 2 " ( − " ( + 2"
( +( +5
"
( +4 ( −1
"=
( (
6el numerador
( (
+ 1( + 4 + ( − 21
+4 ( +( +4 ( −( + 2( − 4 " ÷ " = ". "= −2 ( −( −2 ( +( − ( − 2
D también se puede e(presar% (+4 ( − 2 = ( + 4" ( − -" ( + ( − 2"( + -"
=
(
+ 4( − 1 ( + 5( + ->
+ 2( − 4 ( − ( − 2
(
SIM$LIFICACIÓN DE F"ACCIONES: Simplificar una fracci!n es transformarla en otra equi)alente e irreductible, para ello se sugiere descomponer, tanto numerador y denominador en sus factores primos factorizarlos" para luego eliminar sus factores comunes. /0emplo% Simplificar%
+ +a +b
multiplica
7/ 'ara di)idir fracciones, se in)ierte la fracci!n que Kace de di)isor y se procede como en la multiplicaci!n. /0emplo%
( (
67?
p
( −-
OBSE"ACIÓN: /n toda fracci!n, se )an Ka obser)ar tres signos del numerador, denominador y de la fracci!n propiamente dicKa".
6e la fracci!n
−
/0emplo%
+ y + z ( 2 + y 2 + z2
f =
c
6/ 'ara multiplicar fracciones, se numeradores y denominadores entre si.
(
Sea%
=
/0emplo%
− 1( + 3
;. F"ACCIONES COM$LE&AS O COM$%ESTAS. Cuando tienen como numerador yPo denominador otras fracciones algebraicas. (+
n
O$E"ACIONES CON F"ACCIONES: '/ 'ara sumar o restar fracciones es necesario dar común denominador.
@
b
( − -" ( + 1" ( − -" + 4( − 1 = = + 5( + -> ( + " ( + 1" ( + "
Ejercicios de aplicación 1
Nivel A
-− (
÷ '/ /fectuar% ' = - + ( + 4" ( +2 a" (=2 b" (=2" c" d" a
6/ Simplificar% / = a" d"
a
−(
b"
4 a
e"
− (
7/ Simplificar%
/
=
d"
d"
a
−(
c"
a
a a
a+b−c
a −c
−b
;/ Calcular% S = a" -
−-
−
a
−(
−-
a
a + a a
−−-
a −-
−-
a"
a + c −b a+b−c a + c
a+b−c a+c
+b
a" a &
a
b" a =
/=
( +y +z
a" -
b" 1
=
d" 4
e" 1
− a( +- ( − a − 4 − a +-"( + 2 ( − a − 5 d" @
1( + y + z ( +y +z
c" 5
a" 1
(
− -" ( − " b" - & (
a
− 1a + 3
+
−
e" ->
( + 1y + z ( +y +z
d" -> 2
(
c" ( =
−-
+
4( − 5 (
− 2( + c" 2
=
a ( −-
+
d" 1
b ( −
e" 4
( + a + b + c "( + a + b + d" − cd ( + a + b + c + d"
c" ( = b
'7/ Jallar +a ⋅ b ⋅ c; si% (
a b c + ( += + + ( −-" ( + " − 2 ( + ( −-"
2
b"P
=
(
c"2P1
d"1P
+ + ( − 4
+
e"4P
( + − (
−4
+ − ( − 4 ( + + ( −4 b" ( c" 2( d" ( e" 4( (
e" -4
3/ /fectuar% /
−
b" ab e" ( = b = a
'/ /fectuar%
4
(2
+
e" 4(
c" -Pa=" d" -Pa&" e" 4a
b"
a"-P
4
c" 3
a" -
a" 1(
';/ Jallar% Ya ⋅ b ⋅ c* en% 1(
b c −- ( −-@ a = + + ( ( + 2 " ( − " ( ( +2 ( −
a" -
b" &-2
(/ Calcular% ( + y + 1z
− @a + -1
''/ Jallar% a ⋅ b; si%
(
−b
c" 2
b" 4
d" (
a" a = b d" a = ( c"
− a − b " @a 2 b + @ab 2
(2
a −1
−
'6/ /fectuar% B =
-
I=
2
a− a
a −b −c
a + b"
b"
c" 5(
'?/ /fectuar%
+ b − c + ab + c − b + ac
e"
b" 1(
Nivel B
c"
b"
a+c −b a +b −c
a" (
− (
e" 4a
( + ( − ( + 1 ( + 4 ( + 2 ( + ( + 2 ÷ : = ( − ( − > ( − ( ( − ( − -1 (
1
a − a
+-
/ /fectuar% S = a"
b" a
4a a
e" (=2"P
+ ( " − a ( 3 3 a −(
a+ a
a" 4a
9/ Beducir%
2 (
+ -" − ( "
d" ( = -
e"
'
( (
( +-" ( ( + " (
− ( − 3 − ( − >
− ( − 3 ( + ( − > (
c" &-
d" 4
e" &4
− " ( − 1" + 5 −-3" ( − 3 " + 4@ b"
c"
( (
− ( + 3 − ( − > 67'
d"
( (
( (
+ ( − 3 − ( − >
a" ( = y b" ( & y d" ( = y"P( & y" e"(
e"
− ( − 3 − ( + >
6/ Simplificar% I =
'(/ Simplificar% 2 ( +-" 4 ( +-" 3 ( +-"- ( +-" − 1 := 2- ( + 1 ( " + 4 b" 4 ( +-> ( −-> d" 4( −->( −-
a" 4 ( −-> ( +c" 4 ( +-> ( −-
a" d"
c" (y
-
+
( −-"
( +-
b"
( −-" 4 ( +1
e"
( −-" 4
( −-"2
( −-
c"
( −-" 4 (
+
( −-" 4
(
+ ( + -" 4
+-
( + " 4
e" 4 ( +-> ( +'3/ Jallar Ya ⋅ b* si la fracci!n es independiente de Y(* e Yy*% 4a + b " (
+ 1 (y + 2a −-"y /= a − b "( +-> (y − 5b +-"y a" @
b" &@
- 2 m 5
=
'9/ Simplificar% '
c" @
d" &@
−
6;/ /fectuar% ' = a"
e" 4-
- m n + mn 2 m−n 2
− n2
a
b − a − b + a + ab − 2b b + ab − 2a
b" 4
c" ->
d" @
e" 3
6
=
-3( a + b y c
+ 2( a +b y c + d + -3y c +d ( a @ ( b + y d "
b" ( a y c e" 2 ( a y c
a" (y 1( a y c
c" 4 ( a y c
d"
6(/ /fectuar% a"
m 2
m
−n
b" m
−n d"
6?/ Si% ( =
m
2
- − 2a -+ a
a" 1a & d" a = -
2
+n
c"
+ n e"-
; Calcular% /
(
x 2 + $x +#2 x 2 + %x + ' x 2 + $x +#2 x 2 − ÷ − . = 2 x − &x +#% x 2 − x −#2 x 2 − &x +#% x 2
a" ( & 4
=
- −2(
b" - & a e" 1a&-"P-&a"
( +c" 1a = -
b" (
63/ /fectuar% ' = a" a & b
c" -P(&4" d" 4 a −b
b" a
Eh?/# C 6'/ Si% ( =
69/ Si la fracci!n%
mn m +n
Calcular% A a"
=
. ( + m n − (
b" &
−
c" >
m − ( ( + n
+
4mn (
− 4n
d" -
e" &-
S=
(
(
4
a" ( = 4a d" ( & 4a
a −b
−
c" b
a2
+ a b a b − b 2
d" b
p − " (
e" bPa&b"
+ p + 2q − -"y + 2q @( − 4y + 5
7?/ Simplificar% n
2
2
4
+ a( − a ( + --a ( − 4a − a( 2 − 2a ( + 1a 2 ( − a 4
b" a = ( c" ( = a e" ( = 4a"P( = a"
a( + b( + by + ay 67/ Simplificar% / = a( − ay − by + b(
676
a
toma un )alor constante para todos los )alores reales de +( e y, entonces este )alor constante es. a" b" -P c" &-P d" e" @-
66/ Simplificar% 4
b
+
e" 44
E=
-−
n c
c
+ - −
n
c
− - − "2 P
7ndicar el e(ponente final a" 2P b" -P c" 4P1
n −- P " c
d" &2P
e" 1
Radicación DEFINICIÓN: /s aquella operaci!n matemática a tra)és de la cual, dados dos números llamados radicando e $ndice, se busca encontrar un tercer elemento llamado ra$z n&ésima del radicado de modo que cumpla con la siguiente identidad.
"ADICALES OMO#!NEOS: /stos se caracterizan por tener el mismo $ndice. /0emplos% •
1
a
=b ⇔ a =b n
Ele#entos, n
n
a =b
a b
% $ndice n ∈ Ν ∧ n ≥ " % signo radical. % raicano o cantia sub–raica* % ra$z n&ésima
/0emplo%
= 4 ⇔ 4 2 = 34
•
2
34
•
2
− -1 = −1 ⇔ −1" 2 = −-1
• •
-3 2
@
= 4 ⇔ 4 " = -3
=
⇔
"2
=
a
= n a .n b donde%
b
=
n
a
n
b
OMO#ENIACIÓN DE "ADICALES: /s la operaci!n que consiste en transformar radicales con diferente $ndice en radicales con igual $ndice .Se recomienda tener en cuenta las siguientes reglas. -. Se Kalla el :C: de los $ndices de los radicales, que será el $ndice común. . Se di)ide el $ndice encontrado entre el $ndice original de cada radical y cada cociente se multiplica por el e(ponente también original de la cantidad sub& radical. 2
a;
4
b2 ;
1
c
Resoluci&n: Jallando :C:2,4,1" 8 3>
@
#uego%
a, b ∈ℜ+
= 3> a > 3> ÷ 2 = >.- = > "
2
a
4
b2
= 3> b 41 3> ÷ 4 = -1.2 = 41 "
1
c
= 3> c 4 3> ÷ 1 = -. = 4 "
n ∈Ν−{-}
" Ba$z de un Cociente% n
abc (son +omog. e nice 2).
-
-" Ba$z de un 'roducto% ab
•
b (son +omog. e nice ")
/0emplo% Jomogenizar%
TEO"EMAS DE "ADICACIÓN: 'ro)enientes de la +!eor%a de exponentes; tenemos%
n
21
5 2 ; (yz ; 2
/s la operaci!n in)ersa de la potenciaci!n. n
( ; 1 ab ;
con % b ≠ >
2" Ba$z de Ba$z% m n a = m.n a 4" 'otencia de una Ba$z% n a "m = n a m 1" Además de% n a =n.p a p "ADICALES SEME&ANTES: /stos tienen la misma e(presi!n sub&radical y el mismo $ndice. /0emplo% 2 ( ; ( ;− ( son seme0antes".
INT"OD%CCIÓN DE E)$"ESIONES BA&O EL SI#NO "ADICAL: Se ele)a la e(presi!n que está afuera del radical, a una potencia igual al $ndice del radical. /0emplos% • a bc = a "bc = 4a bc • 1( 2 y 4 1 (yz
= 1 1( 2 y 4 " 1 (yz = 1 2-1 (-3 y -z
E)T"AE" %N FACTO" EN %N "ADICAL: 'ara e(traer un factor radical, cada e(ponente del radicando se descompone si es posible" en la multiplicaci!n de otras dos cantidades, uno de los cuales tiene por e(ponente al mayor múltiplo del $ndice contenido en el e(ponente inicial y se di)ide entre el $ndice de dicKa ra$z. /0emplo% • 1 ( > y 21 z-> = 1 ( > 1 y 21 1 z-> = ( 4 .y 5 .z
677
•
2
42a2b2
=
2
2 4.2.a .a.bb
=
.2 ab 2ab 2
"ED%CCIÓN DE "ADICALES SEME&ANTES: #os radicales seme0antes se reducen como si fueran términos seme0antes. /0emplos% • -4 − @ + 3 = - • 12 5
− 2 5 − 2 5 = 2 5
M%LTI$LICACIÓN 8 DIISIÓN DE "ADICALES: 'ara efectuar estas operaciones los radicales deben ser Komogéneos o en caso contrario reducirlas a Komogéneos. /0emplos% •
4
4
a 2 bc . a 1 b 4 c
m
•
(2 y1 z@ m
(yz
= m ( y 4 z5
• •
= ;−- + −2 ;−- − −2 4 -3 = ;− ;i ;−i donde % i =
-
SI#NO DE %N "ADICAL:
2 .2
+3
4.2
23.2
=
2
+ -
2
3 2
=
- 2 3 2
=
5 Bpta".
2" /fectúe y Kalle el )alor de / = 2 + 2 -3 − 2 34 Besoluci!n% Fransformando y simplificando.
= 2 + 2 @. − 2 34 / = 2 + 2 − 4 /
= 22 − 4 @
+
@
+
@>>
>>
−
+
@@
1>
Besoluci!n% 4 . + 4 . + ->> . + -44 .
:= := :=
4>> . − 1 . + 5 +-> +- > − 1 2- -1
2-1
=
1" /fectuar % : =
2
+ 2 42 2 -@ − 2 -3 14
Besoluci!n%
+ 2 -3. := 2 34. − 2 @. 22 + 32 2 := = 42 − 2 2 :=
=±
a
par
=
2
@
par
->@
4" /fectuar : =
1 =1;−1 2
2 5 + 3 -
Besoluci!n% Beduciendo cada término.
/
= 4 a @b 1 c 2
"AI A"ITM!TICA: Sea +a un número real positi)o y +n un número natural mayor o igual que dos , se llama ra$z n&ésima aritmética de +a al número positi)o +b tal que bn = a ;la cual se denota por. n a = b /0emplo% • 1 = 1 • =2 "AI AL#EB"AICA: Se llama ra$z algebraica de n a donde a ∈ℜ y n ∈ Ν ; n ≥ ; a cada una de las +n ra$ces diferentes de n a /0emplo% •
" Simplificar%
5.
− a =Eúmero 7maginario .
impar impar
=+
a
−a = −
3" Simplificar% '
/0emplos% -" Cual de las ra$ces es menor 1 ; 2 --; 4 23 Besoluci!n% Simplificando para luego Komogénizar. 23
1 2
'
= 3 1 2 = 3 -1
--
= 3 -- = 3 --
= 3 3 2 = 3 -3 AKora% 3 -- < 3 -1 < 3 -3 3
67
3
-- = 2 -- Bpta".
a b − + ab 2 a −b 2
− b2
Besoluci!n%
= 4 3 = 3 #uego :C:,2,"83 4
=
a2 5
=
a − b"2 2 a −b 2
a
a
2
2
= − b" =
−b
Ejercicios de aplicación Nivel A
b"
1
2
-- c" @
6/ /fectuar % : = a" 2-
d" todas
3
+
@
+
>>
@>>
b" 2-P5
−
c" 2-P-1
+
e" E.A.
A
=
2
a" 1P
1>
+ 2 42 2 -@ − 2 -3
2
/ Simplificar% '
a" d"
a 2
a 2
=
+b
a 5
a
b"
( ( (
+
2
d" 2 +
e" P
a b + ab 2 a −b 2
−b
− b2
c"
a
+b
1 ( −2
(y 4 − (y
.
.
(
(
b" ( −n n
b"
....... 2
(
.n 1
+
c"
n ∈Ν
n
d" ( −n e" (
c" ( n 2
−4 n " +- ;
-
−
d"
2
3
e" 1
=
1 (
+ 51y +
(
+ 2y −
(
+ 5y
⋅4 (
+ 3 (y + y b" 4 c" (=2y e" ( + y
a" d" (=y
'6/ #uego de e(traer la ra$z cuadrada de% A
c"
(
-+ - + -
5 + 2 1 "
c"
+-
es%
= x 4 − 8 x 3 + 24 x 2 − 11x + 23
−1 + 3 ( + 4 ( 2 −- ( 6ar la suma de los residuos% a" 1( = 2 b" &-3( & 3 d" -( = 5 e" ( = - I =(
4
c" 1( = -
'7/ Simplificar% - + 2
e" 2
/
=n
⋅
2
(n
−
a" ( b" ( '/ Simplificar%
= ( +- 1 ( −
Se obtiene% a" >P- b" -2P- c" -2P>
y
''/ Simplificar% /
(/ 6e la siguiente e(presi!n% ( −
(y
−4
(y
c"
Nivel B
+ ( +-
-
(
a" -
b" ( − e" -
b"
/8
-
'?/ Simplificar% / 8
+- + ( +-
-
y2
4 − (y
e"
(y
@
−
y y
b"
−(y −4
a" ( n
d" -P
e"
;/ Beducir % : =
−
3(
9/ 6espués de simplificar la e(presi!n se tiene%
a − 2b 2
−b
a" ( + d" ( −-
−
( 4(
d" 2-P-3 e" 2-P
c" --P
+
(y + 4
a"
14
b" 5P
−
2( y
@@
d" 7/ /fectuar % : =
(2 @
1 ; 2 --; 4 23
'/ Cual de las ra$ces es menor a"
3/ 6espués de simplificar
1
/8 x
d" -P- e" -P-
a" (=2
2
⋅
(
c"
x + + 1 x −
x x
2 2
b" @(
(
4
⋅
d"
(
+1 +1
( 2 .....
−
(n
−
x
x
+
x
2 2
n (−
e" (=
(
x
⋅
+ 1 + 1
c" &4(
67;
67/ Calcular el )alor de%
e" ( + +';/ Beducir y dar A × I × C% A = n d"
I
(
=(
+- ⋅ ( 2 −
C =
2 −-"
a" 4
2
/
−-"
b" 2
+ ⋅ n 5 − 4
2
2 +-"
c" -
+-" .
d" @
e"
+(
a" a
b" aPb
/
4@
=
+
/8 a"
2
a" d"
(
n
b"
d" a & b
e" ab
−
b"
4@
−
−-
+-
c" 2
d" 4
e"
6;/ Jallar el )alor de % /
c" & d" &
2
=
2 b. a 2 2 b − a
e" -
+ 2 − 2 2 + - + 2 − - ; es%
−- −
4@
'(/ /l )alor de la siguiente e(presi!n
c" bPa
( + ( −n (
c"
si%
( (
(
6/ Simplificar %
( + n ( + ( − n (
Se obtiene% a" b" n (
b +(
'
b b +(
=
e" -
2
=
(
2
−2( − + ( −-"
(
−4
(
2
−2( + + ( −-"
(
−4
Si% ( 8 a" -
b"
c" 2
×
d" 4
+ ( − (
e" 1
'3/ /fectuar %
a + a −- a − a −- − a −- a − a −- a + a −- -
/8
Si% a ≠a" a b" 4a
c" a
d" 4a
e" a4
'9/ 6e las siguientes afirmaciones % 7" ( = ( ; para todo +( ∈ B. 77" 777"
2
(2 (y
6
a" a = b"a = c"b=c" c" a & b"a & c"b & c" e" a & b"a = c"b & c" 6(/ Si % a = 2
= ( ; para todo +( ∈ B. = ( . y ; para todo +( ∈ B.
b
= 2 −- ; −-
−-
aa + 2" bb + 2" /l )alor de% / 8 + a +- - − b es. a" -P3
'odemos decir que% a" Solo 7 es )erdadero. b" Solo 77 es )erdadero. c" Solo 777 es )erdadero. d" 7 y 77 son )erdaderos. e" Fodas son )erdaderas.
+- ;
b" a = b"a = c"b & c" d" a = b"a & c"b = c"
b" 4P1
c" -
d" P2
e" >
63/ Jallar el resto que resulta de e(traer la ra$z cuadrada de% (4 & 1 = 3( = 4(2 &-(. a" &-2( = - b" &3( & -3 c" -2( & - d" &-3( & 3 e" 1(
6?/ Calcular el )alor numérico de % ( 2 = 2( = ; 'ara% ( = 2 +- −2 −a" @ b" c" -> d" -e" -
69/ Si%
( n
+ ( +
+-
=
(
+-
n
n +-
con ( V >.
Calcular el )alor de m de% n
Nivel C
6'/ Calcule el )alor de% / = a" -
b" -P
2
−-.@ 2 +
3
+-.- 1 − 5 d" - e" -P4
c"
66/ Simplificar la siguiente e(presi!n% /8 a" -
67<
2+ 2
+ 2− 2
2+ 3
b"
c"
d"
P e" 2
( + ( +- + (2 + ( +( m + = n m − 2 ( + ( +- − ( + ( +( a" b" c" 2 d" 4 e" 1
7?/ /l )alor mas simple de % 3 4@ + 5 − -1 -> + 2 -1 F = + −2 1 3 - + ->@ − -@> es % a" 2 b" 2 c" 2 2 d" 4 2 e" 1 2
RA-. CUA(RA(A (E UN !OLINO&IO a" >
RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO "E#LA $"ÁCTICA: • Fener en cuenta que tienen ra$z cuadrada los polinomios de grado par. • /l polinomio tiene que ser ordenado y completo en caso de que este incompleto; completar con ceros. • Agrupar el polinomio de dos en dos de derecKa a izquierda. • Jallar la ra$z cuadrada del primer termino luego multiplicar por si misma con signo cambiado y se suma al polinomio, eliminando la primera columna. • Ia0ar los siguientes dos términos, se duplica la ra$z Kallada, di)idir el primer termino del grupo con el duplicado, el cociente es el segundo termino de la ra$z escrito al lado del doble del primer termino, este binomio multiplicar por el segundo termino con signo cambiado, luego sumar al bloque ba0ado eliminando siempre el primer término del grupo ba0ado. • Subir a la ra$z Kallada el cociente obtenido anteriormente. • Se continúa el procedimiento anterior, Kasta obtener el resto de grado menor en uno de la ra$z o un polinomio idénticamente nulo. /0emplo%
−->(2 + ( −>( + 4 ( & 1( = (" &(" 2 > ->( = ( ( & 1("1(" 2 ->( & 1( ( & ->( = "&"
(4
b" -
c"
d" 2
e" 4
/ Calcular el )alor de m y n, para que la ra$z cuadrada de% -3(4 & 2(2 = 4( = m( = n sea e(acta. a" &@ ; - b" @ ; - c" &3 ; 1 d" 3 ; 1 e" > ; >
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES. Fodo radical doble se puede descomponer en la suma o diferencia de dos radicales simples. CASOS: $"IME" CASO: A
±
=
I
A
+C ±
A
−C
6onde% C = A −I
4
4( &>( = 4 & 4( =>( & 4 > > >
Ba$z % ( & 1( = Besto % > $"ACTICANDO: Jallar las ra$ces de % '/ Jallar la ra$z cuadrada de% -3(4 & 2a(2 = 4a( & @a2( = a4 a" 4( & 4a( = a b" 4( =4a( = a c" 4( &4a( & a d" 4( & a( = a e" ( & 4a( = a 6/ Jallar la ra$z cuadrada de% 4(3 & -( 1 = 1(4 & 44(2 = 1( & 2 e indicar el término independiente de esta. a" b" &1 c" 1 d" e" & 7/ Jallar la ra$z cuadrada de% (3 = 2>(1 = 1(4 & -(2 = 2( = 1 e indicar la suma de coeficientes del resto.
Aplicaci!n% Fransformar%
- +4
5
Resoluci&n: 6ando la forma%
Dperando%
- +
- +
4 .5
42
Calculo de c% - − 42 = 2 Beemplazando en propiedad% - + 2
+
- − 2 -
+2 = 2 +2
Aplicaci!n% Fransformar por forma practica% D0o%
-- +
5
Siempre un dos delante del segundo radical + =2 + -- + -@ 8 Becuerda% /l mayor por delante 9x2
67(
4 +
9+2
1.- +
5 .- +
5 .1 = 1 + - + 5
Además% 4 81 = - = 5 SE#%NDO CASO: Aplicaci!n% A
I
+
C
+
6
+
=
R
+
Q
+
Fransformar%
6onde% = R = Q 8 A
R
Q
RQ
= = =
I
-4
+
->
−
13
−
-4>
/l radical doble es equi)alente a%
C
-4 + -> − -4 −
6
-4 +
1 . −
.5 −
21 5. 1 =
1 + − 5
Dbser)a% /l orden 1. % .5 %5.1 TE"CE" CASO: C%A"TO CASO: A +I −C −6
= ( +y
−z
2
A
( ± y ± I =
Don+e: ) 8 H A (y = I
Don+e:
−
(z = − C
−
yz = − 6
= 4 x 2 − 2 x) y = x − )
(
2
) = (
Forma práctica:
Fransformar
a
4 + 4>
+
223
+
radical
−'
simple%
-4>
Fransformando el radical; recordando un dos por delante de cada radical.
Ejercicios de aplicación Nivel A
'/ Simplificar% /
= -2
a"2
− 4 + 2 + @ + - + @
+ 4 -> − -- − -> + -1 −-> b"c"4 d" e"3
6/ Fransformar% /8 4 -5 +- /s equi)alente a% a"
-
−
d"
c"
/ Beducir% /
=
2 + 5 -2 − 5
c"2 -1 + 4
+-
−
d"1
1− 5 "
e"4
+-" + ( −- + (2 + ( + ( +- + (2 − ( + ( −R luego indicar el producto de los radicales simples obtenidos% Bpta% ( 4 −(
3/ Fransformar% /8 2 -> −
->@
Bpta% - − 2 (
e" -
(/ Si% ( V -; transformar%
e" E.A.
7/ Calcular% S = a"b"
673
b"
Bpta% ( ;/ Fransformar a radicales simples% ( + 4 ( −4 ; dar como respuesta la suma de los radicandos. a" ( b" ( c" 2( d" ( e" Ea.
-4 + -
.(
-2 − -3@
9/ Fransformar% /8 2 3 +-1
2
Bpta% + 2 '?/ Fransformar% / 8 2 2@ −-5
6?/ Si el radical doble% 1
+1b(z 4 + 5ab −c "( 2 yz 4 Se descomponen en radicales simples. Jallar el )alor de cPab" a" 2 b" 4 c" 1 d" 3 e" 2.1 a( y
Bpta% + 1 Nivel B
''/ Calcular% (8 2 3 + 351 +2 3 − a" 4 b" & c" 2 d" > '6/ Jallar la ra$z cúbica de% Bpta% 2 − '7/ /l binomio% a" 4a +b −4 c" 4a −b +4 e" E.A.
2
−--
351
e" &-
ab
equi)ale a% b" a +b
ab
d"
a
−
b
4a
Nivel C
6'/ /fectúe% B = 1 a" b"
a
+b
66/ Beduzca% > a" @ b" -> (
@ ( +4 ( + +4 ( +2 "
67/ Beduzca% + a" @> b" 3
( +2 ( =
d" 3
c" 2
d" 4
/
= 2 ( + +
(
−- −
+2 ( + −
(
a"
2
=
2
d" 2 =
- =
b" =
2
e"
2
- =
e" 4
+ 2 + − 2 +4 3 "4
c" ->>
d" -1
e" 4
6
( + (
( −-- + − ( − - ( +
b" ( =
c" ( & -
( (
− - ; donde ( −-
d" (
e" ( & -
6(/ Sabiendo que el radical doble% 2a( 3 y +
'uede c" 4 2
1b c (z + ( 2 z. ab − (y @
descomponerse
calcular el )alor de% / = a" -
-
d" -1
+(
/ indicar uno de los radicandos. a" ( = b" ( = 2 c" ( d" ( = 4 e" ( & '9/ Fransformar en radicales simples% 2 / = 2 +-- " 2
c" ->>
e" 1
(Va" ( = (
2 + − 2 +4 3 "4
6;/ Beduzca % 4 / = > 3 +4 + 44- +-@> 3 −2 3 a" @ b" -> c" > d" 2 e" -@
'3/ Jallar la ra$z cuadrada de %
3
e" -@
e" 25
'(/ /(traer la ra$z cuadrada de % / = a +2b +4 +4 a +4 2b + 2ab 6ar por respuesta la suma de los radicandos de los radicales simples. a" a = 2b = 4 b" a & 2b & 4 c" a & 2b = 4 d" a = 2b = e" a = 2b & 4
d" 2>
−2
6/ Beduzca% / = a" @> b" 3
/ = 2 + 5 -2 − 5 − 1 − 5
b"
c" >
3
( +: +
'
+4 +4 44- +-@>
e" 54
Calcular el )alor de : = E ". a" -> b" - c" -5
3
= 3
';/ Si se sabe que se cumple la condici!n% 4
--
2 +-
'/ 6eterminar el )alor de % a = ( Si se sabe que% a +3 -- −3 + a" 1 b" 3c" > d" @1
+ 2 + 2 > −-4 4 5 + 13 2 c" 1 d" +e"
2
b"
c" 2
en c ab
radicales
d" 4
sencillos;
e" 1
" 2
679
63/ Calcular A y I de la igualdad -- −- = 4 A −4 I ; A, I"∈ 9 ( 9 ; e indique el )alor de a" 2
b"
4
2
A I
c"
d"
e"
2
4
2
69/ /fectué % B
= 1
2
--
+ 4
a" -
b"
b" #a suma de coeficientes de la ra$z cuadrada es -2 c" /l coeficiente del término cuadrático de la ra$z cuadrada es 2 d" /l coeficiente del término lineal de la ra$z cuadrada es &2" e" /n la ra$z cuadrada e(isten dos términos que tienen sus coeficientes iguales.
2
+ 5 +13 2
c"
1
> −-4
2
2
d"
+-
e"
2 +-
7?/ Fransformar a radicales simples % E
=
"x
+#%- +# −
24.x-
+#'2- 2 +#'2- −%.
/ indicar la suma de los términos independientes de los dos radicandos% a" -
b" 4
c" 3
d" @
e" ->
;/ 6espués de e(traer la ra$z cuadrada al polinomio % /(x)
= 4x & + 2.x $ +#3x % −#4x " + %'x 4 + 2%x 3 −
_9ué enunciado es correcto` a" /l polinomio es un cuadrado perfecto.
Racionali+ación RACIONALIZACION DEFINICIÓN: /s el proceso que consiste en trasformar un denominador o numerador" irracional en otro racional a tra)és de un factor denominado factor racionali$ante.
I/
C%ANDO EL DENOMINADO" ES %NA MONOMIO: /n estos casos el factor racionalizante estará e(presada por otro radical que tenga el mismo $ndice, pero cuyos e(ponentes del radicando estarán e(presados por la diferencia e(istente entre el $ndice original de la ra$z y los e(ponentes que afectan a sus letras.
FACTO" "ACIONALIANTE Fr/: /l factor racionalizante, es una e(presi!n irracional tal que al multiplicar a otra también irracional la con)ierte en una e(presi!n completamente racional. CASOS DE "ACIONALIACIÓN:
6?
As
%$E m
a
con m n
> n ;
'or
an
m
×
m
a m−n a m−n
E a m−n m
=
a
II/ C%ANDO EL DENOMINADO" $"ESENTA n n a ± b "ADICALES DE LA FO"MA : 'ara este caso el factor racionalizante estará e(presada por la con0ugada del denominador que se empleará tantas )eces Kasta que el denominador quede transformada en una e(presi!n algebraica racional. E
As
%$±
a
×
a ± b
b
a
b
=
E a
•
b"
a −b
ab
+ 2 b "
a ±b
$"ESENTE
'ara estos casos debe tomarse en cuenta las siguientes equi)alencias algebraicas.
•
a
2
I/ C%ANDO EL DENOMINADO" "ADICALES DE ÍNDICE S%$E"IO".
•
b
'or
2
/ntonces% E a
•
a2
+ b2 = a + b"a − ab + b " a 2 − b 2 = a − b "a + ab + b " a 1 + b 1 = a + b "a 4 − a 2b + ab − ab2 + b 4 " a1 − b1 = a − b"a 4 + a2b + a b + ab2 + b 4 "
•
/n forma general% n
E n
a
± n b
×
n
a
n
a
n
b
=
E
n n
b
a
a
n
a5
b"
−n b
+ b 5 = a + b"a3 − a 1b + a 4b − a2b2 + a b 4 − ab 1 + b 3 " a 5 − b 5 = a + b"a 3 + a1b + a 4b + a 2b 2 + a b 4 + ab1 + b 3 "
R as$ sucesi)amente. III/ C%ANDO EL DENOMINADO" ES DE LA FO"MA a ± b % 2
As
%$2
E 2
a
±2b
'or
a
±2 b
×
2
a
2
ab
+ 2 b
2
a
2
ab
+ 2 b
Ejercicios de aplicación Nivel A
7/ Al racionalizar el denominador de la e(presi!n % 5 − 3
'/ Al racionalizar el denominador de %
2+
5
+
se obtiene%
3- + 4 -1
a" 3 + 2 d" 1 + 2
b" e"
1 −-
3
/l numerador resultante tiene la forma a −b 3 ; el )alor de a = b es% c"
1 −
2
3 + 2
a" 4@
c" 43
d" 2
e" >
/ Al denominador racionalizado y simplificado de %
6/ /l denominador racional de %
-
+ + 4( + 4 − ( + 2 + 4 ( + @ a" (&b" ( c" ( d" &-
b" -@
(
(
e"
a" -
+
(
b" 4
−
, es% c"
d" (
e" (
6'
;/ Al racionalizar la e(presi!n%
2
5 +1
22 +- 3
d" -1
15 ( y z
a" b" c" -1 d" -> e" 1 3/ Bacionalizar e indicar el denominador de la e(presi!n% 2
c" ( = -
d" -
e"
23
+ -+ 2 3
a" 5
Se obtiene. a" 3 − 1 + 3
−
d"
1
−
3
es%
b" 1
c"
d" 3
e" 4
F
Se obtiene% a" @ b" &-3
a"
+
1
−
+- e"
3
+
1
+
=
c" &4
d" &@
e" -3
+
3
1
b"
−
2
c" 2
'6/ /l )alor de% / =
d" 4
@
a" + 2 −-> c" − 2 − e" + 2 +
1
1
−1 2 b"
c" 2
d" 4
4 5
= + -4
−2
+ 3 + -4
+2 - + -4 −2 d" + 5 − @ e" 2 + + 5
+
2
−-
+
e" 1 -
−
4
−
2
+-
es%
b" 1 +1 3 + d" + 2 −
66
− + 2 1+ + 2 -4 − 2
; se obtiene. b" c"
6?/ Al racionalizar la e(presi!n y simplificar% se obtiene % 2 − 2 a"
2 4
−2
b"
22 4
2 2
4 2
1
b"
e" 1
a −(
+2
3
+2 + 3
a"
1
6onde +a es un número real positi)o. Si ( 8 > entonces : es un número real igual a. a" b" a = - c" a d" a =-e" a &-
4
-5 − 1
−
'9/ Sea% : = a + a( + ( − a − a( + (
''/ Bacionalizar e indicar el denominador%
'7/ Bacionalizar %
4
a +(
a" -
+
b"
− -4
Nivel B
−
3
3
-@ + 3 5
+ 1 2− 1 + /= 2− 1 2+ 1
->
2 +4 2
e" @
'3/ Al racionalizar la e(presi!n%
2
=
+-
2
c"
− 1
a" -
'?/ Al simplificar la e(presi!n %
/
+
'
/
9/ /l denominador racionalizado de % 2
−4 ( + - −-
'(/ Bacionalizar e indicar el denominador%
( −a" ( &b" (
( + -"-P 2
e indicar el nue)o denominador entero. a" 4 b" 1 c" 3 d" 5
e"
es%
3 1 -1
'/ Al racionalizar %
';/ Bacionalizar la e(presi!n %
(/ /l denominador racionalizado y simplificado tiene como coeficiente% (
4
Calcular el )alor que se obtiene cuando% ( 8 >. a" -P b" 2P4 c" d" 4P2 e" -
-
Wna )ez racionalizado es% a" - b" -5 c" -1
-5 − 1
e"
+2
a" 4 − " b" − c" − " d" −4" e" 4 − "
-4 − 2
d"
@
d"
4
+-
e" E.A.
2 c"
-2 − 2 4
Nivel C
c"
