a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Matemática Aplicada Aplicaciones de funciones cuadraticas y exponenciales
Domi ominio nio de una fun funció ción n a d a c i l p A a c i t á m e t a M
La función tiene un dominio, que conforma el conjunto de valores que pertenecen a la función. La
gráfica
de
una
función
se
obtiene
dibujando todos los puntos (x, y), en donde x pertenece al dominio de f (manejando x e y como como coor coorde dena nada das s cart cartes esia iana nas) s)..
Domi ominio nio de una fun funció ción n a d a c i l p A a c i t á m e t a M
La función tiene un dominio, que conforma el conjunto de valores que pertenecen a la función. La
gráfica
de
una
función
se
obtiene
dibujando todos los puntos (x, y), en donde x pertenece al dominio de f (manejando x e y como como coor coorde dena nada das s cart cartes esia iana nas) s)..
Ejemplo Los a d a c i l p A a c i t á m e t a M
costos
mensuales
de
un
pequeño
fabricante están dados en miles de dólares por C = 10+2x, en donde x es el numero de empleados. El costo promedio por empleado esta dado por f(x) = (10 + 2x) /x Cual es el dominio de la función costo promedio.
f(x) = 10/x + 2 X
Y
1 12.0
a d a c i l p A a c i t á m e t a M
2
7. 0
3
5. 3
4
4. 5
5
4. 0
6
3. 7
7
3. 4
8
3. 3
9
3. 1
10
3.0
El dominio de X son números enteros positivos (pues representa numero de empleados, que no pueden ser fracciones ni menores que 1)
Determinación de dominios a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Determine el dominio de las siguientes funciones: g(x) = (x + 3) / (x – 2) f(x) = raiz (x – 4) <>=
Ejemplo La electricidad se cobra a los consumidores a a d a c i l p A a c i t á m e t a M
una tarifa de 10ctvs por unidad para las primeras 50 unidades y 3ctvs por unidad, para cantidades que excedan las 50 unidades. Determine la función c(x) que dá el costo de usar x unidades de electricidad.
Solución a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Si x <= 50, cada unidad tiene un costo de 10¢, de modo que el costo total de x unidades es de 10x centavos. Así que, c(x) =10x para x <= 50. Cuando x > 50, obtenemos c(50) = 500; el costo de las primeras 50 unidades es igual a 500¢. El costo total es igual al de las primeras 50 unidades más el costo del resto de las unidades usadas. El número de estas unidades que sobrepasan a 50 es x - 50, y cuestan 3¢ cada una, por lo que su costo es de 3( x - 50) centavos. Así que la tarifa total cuando x > 50 es: c(x) = 500 + 3(x - 50) = 500 - 3x - 150 = 350 - 3x
Grafica c (x) = a d a c i l p A a c i t á m e t a M
10x 350 - 3x
si x<=50 si x> 50
Funciones Polinomiales Una función f definida por la relación a d a c i l p A a c i t á m e t a M
f (x) = an xn + an-1 xn-1 + …
+
a1 x + a0
(an <> 0)
Se conoce como funcion polinomial f (x) = 3x7 - 5x4 + 2x – 1, function polinomial de grado 7
Si el grado de una función polinomial es 1, se denomina función lineal . Si el grado de la función polinomial es 2, se denomina función cuadrática En forma análoga, una función polinomial de grado 3 se denomina función cúbica
Funciones cuadráticas y Parábolas f (x) = ax2 + bx + c, se considera una function cuadratica a d a c i l p A a c i t á m e t a M
La forma mas simples es: f (x) = ax2 Las gráficas comunes de esta función en los casos que “a” es positiva o negativa se denominan parábola y el origen (punto mas bajo o mas alto ) se denomina vértice.
TEOREMA 1 La gráfica de la función f (x) = ax2 + bx + c (a <> 0) es una parábola que se abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. Su vértice (que es el punto más bajo si a > 0 y el punto más alto si a < 0) es el punto con coordenadas a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Notas
1. 2. 3.
Si b y c = 0, la función cuadrática se reduce a f (x) = ax2. No tiene caso recordar la fórmula en el teorema 1, para la ordenada del vértice. Es más fácil sustituir el valor x = -b/2a en la ecuación de la parábola La parábola es simétrica con respecto a la recta vertical que pasa por el vértice. Esta recta se conoce
Ejemplo Graficar f (x) = ax2 a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Ejemplo La demanda mensual x de cierto articulo al a d a c i l p A a c i t á m e t a M
precio de p dólares por unidad, está dada por la relación: x = 1350 – 45p El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad, y los costos fijos son de $2000 al mes.
Qué precio por unidad p deberá
fijarse al consumidor con el objeto de obtener una utilidad máxima mensual?
Solución CT = CF + CV = 2000 + 5x a d a c i l p A a c i t á m e t a M
x = 1350 – 45p Sustituyendo x en CT: CT = 2000 + 5 (1350 – 45p) CT = 8750 – 225p Ingreso = p(x) = p(1350 – 45p) = 1350p – 45p2 U = I – C = -45p2 + 1350p – (8750 – 225p)
Solución U = -45p2 + 1575p – 8750 a d a c i l p A a c i t á m e t a M
La utilidad es una función cuadrática de p. Puesto que “a” es -45, la gráfica es una parábola que se abre hacia abajo y la utilidad máxima se alcanza en el vértice.
Tenemos: a = -45
b = 1575 c = -8750
Entonces el vértice p = -b / 2a p = -1575 / 2(-45) = 17.5
Solución a d a c i l p A a c i t á m e t a M
En consecuencia, un precio de $ 17.50 por unidad se deberá fijar al consumidor para obtener una máxima utilidad, que será: U = -45(17.50)2 + 1575(17.50) – 8750 U(max) = $ 5,031.25
Ejemplo a d a c i l p A a c i t á m e t a M
El señor Ramirez es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones. Puede alquilar todas si fija un alquiler mensual de $200 por habitación. Con un alquiler más alto, algunas habitaciones quedarán vacías. En promedio, por cada incremento de alquiler de $5, una habitación quedará vacía sin posibilidad de alquilarse. Determine la relación funcional entre el ingreso mensual total y el número de habitaciones vacías. Qué alquiler mensual maximizará el ingreso total y de cuanto será?
Solución Definiendo la variable x como el número de habitaciones vacías. a d a c i l p A a c i t á m e t a M
La cantidad de unidades alquiladas será entonces 60 – x , y el alquiler mensual por habitación será de p = (200 + 5x) I = (p renta unitaria) * (unidades rentadas) I = (200 + 5x) * (60 – x) I = -5x2 + 300x – 200x + 12,000 I = -5x2 +100x + 12000
Solución a d a c i l p A a c i t á m e t a M
el ingreso mensual total I es una función cuadrática de x con : a = -5 , b = 100 , c = 12,000 la gráfica es una parábola que se abre hacia abajo y su vértice de nuevo es el punto máximo. El vértice esta dado por: x = -b / 2a = - 100 / 2 (-5) = 10 I = -5(10)2 + 100(10) + 12 I = Q12,500
Solución a d a c i l p A a c i t á m e t a M
En conclusión si 10 unidades están desocupadas, los ingresos son máximizados. El alquiler por habitación entonces será de (200 + 5x) = 200 + 5(10) = Q250, obteniendo un ingreso total de Q12,500 por mes.
Formula cuadratica Las soluciones de ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Utilizando la formula cuadrática resuelva: 2x2 + 5x – 12 = 0 x1 = -4 x2 = 3/2
Función potencial Una función de la forma: f (x) = axn a d a c i l p A a c i t á m e t a M
con a y n constantes, se denomina función potencial. Consideremos algunos casos especiales: n = 2 : función cuadrática
a d a c i l p A a c i t á m e t a M
n = ½ : f (x) = aѴx la gráfica es la mitad de una parábola que se abre hacia la derecha. Si a > 0 la gráfica es la mitad superior de la parábola y si a < 0 , es la mitad inferior. El dominio es el conjunto de los reales no negativos.
n = -1 : en esta caso f(x) = a / x . El dominio consta de todos los números reales excepto 0. La gráfica se denomina hipérbola a d a c i l p A a c i t á m e t a M
rectangular.
n = 3 : f (x) = ax3 la gráfica es la curva cúbica que se muestra abajo y el dominio es el conjunto de todos los números reales. a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Ejemplo a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Una empresa tiene un ingreso total de $500 al día, sin considerar el precio de su producto. Determine la relación de la demanda y grafique la curva de demanda.
Solución Si p denota el precio por unidad del producto y x es el número de unidades que pueden venderse al precio p, con el propósito de obtener $500, tenemos que: 500 = p * x , es decir p = 500 / x
a d a c i l p A a c i t á m e t a M
X
P
25
20.0
50
10.0
75
5.0
100
4. 0
250
2. 0
500
1. 0
Graficando los puntos obtenemos el grafico de abajo (mitad de una hipérbola rectangular), restringiéndonos al 1er cuadrante (porque ni p ni x pueden ser negativos) .
Función exponencial a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Interés compuesto
a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Se tiene un capital de $100 invertido a una tasa fija anual del 6%. Luego de 1 año, la inversión se habrá incrementado a $106. Si el interés es compuesto, durante el 2do año la suma total de us$106 ganara un interés del 6%. Así que para termino del 2do año se tendrá un capital: 106 + (0.06)(106) = (1+0.06)*(106) = 100*1.06^2 = 112.32 En general, la inversión crece a un factor de 1.06 por año, de modo que después de n años, se tendrá un capital 100*1.06n P = suma invertida R = tasa de interés porciento anual i = R / 100 Valor despues de n años = P(1 + i)n
Ejemplo a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Se realiza una inversión de una suma de $200 a un interés compuesto anual de 5%. Calcule el valor total de la inversión al final de 10 años.
Solución En este caso P = 200, R = 5 , i = 5/100 = 0.05 Después de n años la inversión será 200(1+0.05) n Cuando n = 10, 200(1.05) 10 = $.325.78
Ejemplo a d a c i l p A a c i t á m e t a M
La eficiencia de un obrero común de una fabrica esta determinada por la función f(t) = 100 – 60e-0.2t Donde el operario puede completar f(t) unidades después de haber trabajado t meses a. Cuantas unidades por dia puede hacer un obrero principiante b. Cuantas unidades por dia puede hacer un obrero con un año de experiencia
Ejemplo La población. La población proyectada P de a d a c i l p A a c i t á m e t a M
una ciudad está dada por P = 125.000 (1,12) t/20 donde t es el número de años a partir de 1997. ¿Cuál es la población estimada para el año 2017?.
Solución Como en la ecuación es (1 + r)t y r es la tasa a d a c i l p A a c i t á m e t a M
de crecimiento; podemos deducir que en el ejercicio la tasa de crecimiento por año es de 12 %. Este porcentaje se divide en 100 y entonces tendríamos 0,12. Se hace con todos los porcentajes de crecimiento.
Solución a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Aplicando la ecuación: M (t) = 125.000 (1 + 0,12)t/20 M (t) = 125.000 (1,12)20/20 Ecuación del Ejercicio M (t) = 125.000 (1,12) M (t) = 140.000 Población para el 2017.
Función logarítmica a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Aplicación a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Ejemplo a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Por cuanto tiempo debo invertir $10,000 para que se conviertan en $15,000 a una tasa de interés anual del 5%
Ejemplo a d a c i l p A a c i t á m e t a M
El impuesto i que debe de pagar una fabrica en miles de pesos a la municipalidad por la producción de x numero de artículos esta dado por I(x) = Ln(x)10 a. Cuanto debe pagar la fabrica por la producción de: 10, 50 y 100 artículos b. Grafique
Solucion a d a c i l p A a c i t á m e t a M
I(x) = Ln(x)10 10ln(x) I(10) = 10ln10 = 23 I(50) = 10ln50 = 39 I(100) = 10ln100 = 46 50.0 45.0 40.0 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Cambio de base de un logaritmo a d a c i l p A a c i t á m e t a M
Como en las calculadoras científicas las teclas que hay para calcular logaritmos son de base 10 o base el número e , vamos a dar una fórmula que nos permita calcular cualquier logaritmo con la calculadora :
