1. Invest Investiga iga tres eje ejemp mplos los de la vid vida a cot cotidi idiana ana donde donde se ap apliq lique uen n las funciones.
*Ejemplo 1 Una agencia de renta de autos cobra $0.25 por milla, si el total de millas recorridas no excede de 100. Si el total de millas recorridas excede a 100, la agencia carga $0.25 por milla para las primeras 100 millas, mas $0.15 por cada milla adicional recorrida, si x representa el número de millas recorrido por un vehículo rentado, expresarle cargo por millas recorridas C(X) como una función de x. Encontrar también C (50) y C (150), haciendo la gráfica correspondiente. Solución: Si 0≤ x ≤ 100, entonces C(x)=0.25x Si x>100, entonces
C(x) = =
Cargo para las
cargo para el
Primeras 100 millas
millaje adicional
0.25 (100) 25
+ +
0.15(x-100) 0.15x - 15
= 10 + 0.15x Quedando Quedando determinado determinado con los cálculos anteriores anteriores que C es una función función definida en partes
Recordemos que las funciones definidas por secciones se evalúan determinando primero cual regla se va a aplicar (una de las dos ecuaciones), y después usando
la regla apropiada para hallar el valor de la función. Por ejemplo para evaluar c (50), se usa la primera regla y se obtiene:
C (50) = 0.25 (50) = $12.50 x= 50 satisface 0≤ x ≤ 100
Para evaluar C (150), se usa la segunda regla y se obtiene
C (150) = 10 + 0.15 (150) = $32.50
x= 150 satisface x>100
Para Para graf grafic icar ar C, se cons conside idera ra cada cada regla regla en la defin definic ició ión n para para los los valo valores res indicados de x, haciendo énfasis en los valores de nuestras variables dependiente e independiente:
*Ejemplo 2 Crecimiento demográfico México tiene una población aproximada aproximada de 100 millones de personas y se estima que habrá aumentado aumentado al doble doble en 21 años. Si sigue sigue creciendo creciendo a la misma tasa, ¿cuál será la población: (A) En 15 años a partir de ahora?
(B) en 30 años a partir de ahora?
Para poder resolver resolver este problema investigaremos investigaremos el concepto concepto de crecimiento crecimiento de poblaciones, de personas, animales, insectos y bacterias. Las poblaciones tienden a crecer exponencialmente y a tasas diferentes. Una manera conveniente y fácil de entender la medida de la tasa de crecimiento es el tiempo de duplicación (este es el tiempo que le toma a una población duplicarse). En periodos cortos, se usa a menudo el modelo del crecimiento del tiempo de duplicación para modelar al crecimiento demográfico:
P = P˳2^ (t/ (t/d) Donde
P = población en el tiempo P˳=pobla =població ción n en el el tiemp tiempo o t=0 t=0 D = tiempo de duplicación
Observen que cuando t=d, P = P˳2^ (d/d) = P ˳2 Y la población es el doble de la original como se espera.
SOLUCIÓN AL PROBLEMA Se usa el modelo de crecimiento del tiempo de duplicación P = P˳2^ (t/ (t/d) Sustituyendo Sustituyendo P˳ = 100 y d = 21, se se obtiene obtiene P = 100(2) ^ (t/21)
Obsérvese la gráfica, nomás considérese por motivos de ejecución de gráfica: t=x Que Que sabe sabemo moss perf perfect ectam amen ente te que que es la vari variab able le indep indepen endi dien ente te.. Asim Asimis ismo mo consideramos a P como “y”, siendo esta la variable dependiente de la función.
(A) encuéntrese encuéntrese P cuando t = 15 años:
P = 100(2) ^ (15/21)
Ejecutando operaciones tenemos:
1.640670696 x 100 = 164067069 ≈ 164 millones de personas
(B) Encuéntrese Encuéntrese P cuando t = 30 años:
P = 100(2) ^ (30/21)
P = 100 X 2.691800332 = 269.1800332 ≈ 269 millones de personas
*Ejemplo 3 MEDICINA Un adulto normal sentado aspira y exhala cerca de 0.82 litros de aire cada 4 segundos. El volumen de aire en los pulmones t segundos despues de exhalar es aproximadamente V(t) = 0.45 – 0.37 cos πt/2
con 0 ≤ t ≤ 8
Grafique la funcion en el intervalo indicado y describa lo que muestra la grafica:
En la grafica anterior, el lugar geometrico de la funcion coseno, esta caracterizada por la linea azul tenue, mientras que la grafica de la funcion: V(t) = 0.45 – 0.37 cos πt/2, se presenta en color rojo. Esta misma nos indica el volumen de aire en los pulmones t segundos despues de exhalar. Para cuestiones de trabajo sobre la grafica, consideraremos y = V, que representa a la variable dependiente, asi como la variable x = t, que representa a la variable independiente y el intervalo de tiempo a considerar. Con estos datos, nos damos cuenta que en este espacio de tiempo, tiempo, la funcion funcion en color rojo denota la cantidad de aire que queda retenida en los pulmones, por lo que el area bajo esa curva, intersectada con la funcion que denota el lugar geometrico del coseno, nos indican por comparacion de volumenes el aire retenido en terminos de superficie debajo de la curva roja. Es necesario aclarar que el volu volume men n a cons consid ider erar ar debe debera ra ser ser unic unicam amen ente te el que que qued queda a dent dentro ro de la inte inters rsecc eccio ion n de el luga lugarr geom geomet etric rico o antes antes espec especifific icado ado y la func funcion ion que nos nos proporcionan como determinanante. 2.
En cada ejemplo, haz lo siguiente: Clasifica las funciones que se presentan en la vida cotidiana en: algebr alg ebraic aicas as,, trig trigon onomé ométri tricas cas y tra trasce scende ndente ntes, s, me media diante nte una expresión funcional.
*En el ejemplo 1 tenemos una función definida por sección, ya que está definida por formulas diferentes para las diversas partes de su dominio, a este grupo pertenecen todas las funciones cuyas definiciones implican más de una formula; estas ocurren de forma natural en muchas aplicaciones. Atendiendo Atendiendo a la naturaleza naturaleza de las funciones aplicadas, aplicadas, pudiéramos pudiéramos decir que en este ejemplo se utilizan funciones algebraicas, ya que las funciones algebraicas son son aque aquellllas as que que se obti obtien enen en al real realiz izar ar un núme número ro fini finito to de adic adicio ione nes, s, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con las funciones en la constante e identidad.
La expresión funcional quedaría determinada por:
*En el ejemplo 2… En el ejemplo 2 tenemos una función trascendental del tipo exponencial, ya que posee las características enumeradas a continuación, denotándose por simple inspección la naturaleza de la función. 1.
x Tod Todas as las las grá gráfi fica cass que pasa pasan n por por el punt punto o (0, (0,1) 1)
2.
Toda Todass las las gráf gráfic icas as son son con contitinu nuas as,, sin sin huec huecos os ni salt saltos os
3.
El eje x es es una una así asíntota hor horiizontal
4.
Si b>1, b>1, ento entonc nces es b^x b^x aume aument nta a conf confor orme me aume aument nta ax
5.
Si 0
La expresión funcional quedaría determinada por:
P = P˳2^ (t/ (t/d)
*En el ejemplo 3 tenemos una función trigonométrica, ya que involucra al coseno, estando tipificado este, dentro de las funciones mencionadas. Nuestra expresión funcional seria: V (t) = 0.45 – 0.37 cos πt/2
con 0 ≤ t ≤ 8
Se aclara que en el caso 3, utilizamos una sustitución de variables, únicamente con la intención de generar adecuadamente la gráfica con el uso de un software en particular, siendo el cambio “y” por “U”, además de “x” por “t”
Elabora las gráficas de los diferentes tipos de funciones *Para el ejemplo 1, considerando los datos proporcionados, su grafica seria:
Que nos hablaria de una funcion definida por secciones, siendo a la vez un conjunto de funciones algebraicas las que definen el lugar geometrico de la
grafica con las condiciones proporcionadas en el problema despues del respectivo analisis matematico.
*Para el ejemplo 2, considerando los datos proporcionados su grafica seria:
La cual cual repre represen senta ta una una func funcio ion n de tipo tipo expo exponen nenci cial al,, conse conserv rvand ando o las las caracteristicas tipicas que son: 1.
x Todas las graficas que pasan por el punto (0,1)
2. Todas las las graficas graficas son son continuas, continuas, sin huecos huecos ni saltos 3. El eje eje x es es una asinto asintota ta horiz horizont ontal al 4. Si b>1, b>1, entonces entonces b^x aumenta aumenta conforme conforme aumenta aumenta x 5. Si 0
Para el ejemplo 3, considerando los datos proporcionados su grafica seria:
Se observa inmediatamente que estamos hablando de una función trigonométrica, específicamente hablando se trata del coseno. En este caso particular, se denotan los rangos considerados ya que es una función periódica.
Identifica las características de las funciones donde se incluya el dominio y el contradominio de cada tipo de función. Una función es una regla que produce una correspondencia entre dos conjuntos de elementos, tales que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo solo un elem elemen entto del del segu segun ndo conj onjunt unto, sien siendo do est esto lo que que llam llamam amos os correspondencia biunívoca. El primer conjunto se llama dominio y el conjunto de todos los elementos que corresponden al segundo conjunto se conoce como rango, contradominio, imagen o codominio. El dominio de una función se define como el conjunto de todos los elementos de "x" para los cuales se encuentra definida definida la función. función. Por ejemplo, sea f(x)= 1 /x, el dominio de la función son todos los números reales, excepto el cero, ya que 1/0 no existe. Ahora, el rango, contradominio, imagen o codominio de una función, son todos los elem elemen enttos a los los cua cuales les te manda anda la func unción ión cuan cuando do apli aplica cass la reg regla de correspondencia. Por ejemplo, sea f(x)= x², el dominio son todos los #s reales, y el contradominio de f(x), son todos los reales positivos incluyendo al cero, porque para cualquier número "x", positivo o negativo, al elevarlo al cuadrado, siempre resultará un número positivo.
*Para el ejemplo 1 Los valores del dominio y el contradominio se ajustan a los determinados en las funciones funciones que se proporcionan en las secciones secciones definidas previamente, previamente, ya que al ser una función definida por secciones, se deduce que: “Si una función está definida por una ecuación y el dominio no está indicado, entonces se debe suponer, que el dominio está en el conjunto de todos los números reales de reemplazo de la variable dependiente. dependiente. El rango es el conjunto de todos los valores de la variable dependiente que correspondan a esos valores del dominio”
*Para el ejemplo 2 La graficacion para una función función exponencial es bastante específica, específica, ya que hacia sus dos extremos extremos se abre desde el - ∞ hasta el +∞, pasando por el valor 1 en “y”. Para su representación gráfica en forma manual, se selecciona un rango de -3
a 3 en equis (por ejemplo), para construir construir una tabla de valores para y = (1/2) (4) ^ x, y después se grafica la función, uniendo los puntos de forma manual.
*Para el ejemplo 3 La graficacion para la una función trigonométrica, debe especificarse en un rango proporcionado, ya que la función al ser periódica es infinita en el dominio, desde el - ∞ hast hasta a el +∞ en el el eje eje de las las x, x, por por lo que que al al espe especi cifi fica carr un rang rango o característi característico co para lo que se estudia en el momento, conoceremos conoceremos los resultados resultados del experimento plasmado sobre la gráfica. Hay que considerar los valores de 0 a 1 que el lugar geométrico de la función coseno denota al momento de analizar la gráfica en el contradominio de la función.
BIBLIOGRAFÍA http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/7.2.html Precalculo, funciones y gráficas, Raymond A. Barnett, Karl E. Byleen y Michael R. Ziegler (2000) EL CÁLCULO con Geometría Analítica cuarta edición, Louis Leithold
