FUNCIONES TRASCENDENTALES

P.P de Ing. Biotecnológica UCSM

FUNCIONES TRASCENDENTALES Una función

trascendente es

una funciónque

no

satisface

una ecuación polinómica cuyos coecientes sean a su vez polinomios esto cont!asta con las funciones alge"!aicas# las cuales satisfacen dic$a ecuación. %n ot!as pala"!as# una función trascendente es una función que t!asciende al &lge"!a en el sentido que no puede se! e'p!esada en t(!minos de una secuencia nita de ope!aciones alge"!aicas de suma# !esta y e't!acción de !a)ces. Una función de una va!ia"le

es

t!ascendente

si

es independiente

en

un

sentido

alge"!aico de dic$a va!ia"le.

Ejemplos de funciones trascendentes

! FUNCI"N

E#$ONENCIAL%

%s muy

impo!tante

en

matem&ticas. %s la función con m&s p!esencia en los fenómenos o"se!va"les. *s) p!esentan compo!tamiento e'ponencial+ la !ep!oducción de una colonia de "acte!ias# la desinteg!ación de una sustancia !adiactiva# algunos c!ecimientos demog!&cos# la in,ación# la capitalización de un dine!o colocado a inte!(s compuesto# etc. Pa!a estudia! funciones e'ponenciales# p!ime!o de"emos deni! lo que que!emos deci! po! la e'p!esión a& cuando & es cualquie! n-me!o. %ntonces se dene que en a& pa!a a ' ( y

&

un n-me!o !acional# pe!o a-n no $an sido denidas las potencias i!!acionales.

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 1

P.P de Ing. Biotecnológica UCSM Po! lo tanto# 23u( signica

5√ 3 o 2 ? π

Pa!a deni! a' cuando ' es

i!!acional # ap!o'imamos ' po! medio de n-me!os !acionales+ Po! e4emplo# dado que+ √ 3 ≈ 1.73205 … %s un n-me!o i!!acional# sucesivamente ap!o'imamos

a√ 3

mediante las siguientes potencias !acionales+ 1.7

a ,a

1.73

1.732

,a

,a

1.7320

,a

1.73205

,…

Intuitivamente# podemos ve! que estas potencias !acionales de a se ace!can m&s y m&s a

a√ 3 .Se puede demost!a! mediante

matem&ticas avanzadas que $ay e'actamente un n-me!o al que estas potencias se ap!o'iman. 5enimos que

a√ 3

es este

n-me!o. Po! e4emplo# usando calculado!a# encont!amos+ 5√ 3 ≈ 5

1.732

≈ 16.2411…

√3

Cantos m&s luga!es decimales de

usemos en nuest!o 5√ 3 .

calculo# es me4o! nuest!a ap!o'imación de

Se puede demost!a! que las Leyes de Exponentes todavía son verdaderas cuando los exponentes son números reales.

FUNCIONES E#$ONENCIALES 6a función e'ponencial con "ase

a

est& denida pa!a

todos los n-me!os !eales & po!+ f ( x )= a

x

Donde a > 0 y a ≠ 1. Suponemos que

a ≠ 1 po!que la función

f ( x ) =1 = 1 x

es p!ecisamente

una función constante. * continuación veamos algunos e4emplos de funciones e'ponenciales+ Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 

P.P de Ing. Biotecnológica UCSM f ( x )= 2 g ( x ) =3 h ( x ) =10 x

x

x

 $ropiedades de f)&* + a&, a'(, - diferente de uno% 0odas las g!&cas inte!secan en el punto 89#1:. 0odas las g!&cas son continuas# sin $uecos o saltos. %l e4e de ' es la as)ntota $o!izontal. Si a ; 1 8a# "ase:# entonces a' aumenta confo!me aumenta '. Si 9 < a < 1# entonces a' disminuye confo!me aumenta '. 6a función f es una función uno a uno.

o o o o o o

 $RO$IEDADES DE LAS FUNCIONES E#$ONENCIALES% Pa!a a y -positivos#

donde a y -son

dife!entes

de

uno

y &# . !eales+

! Le.es de los e&ponentes%

/! a' = ay si y sólo si ' = y 0! Pa!a ' dife!ente de ce!o# entonces a ' = "' si y sólo si a = ". E1E2$LO % E3aluación de ecuaciones e&ponenciales Sea

f ( x ) =3

x

y evalu( lo siguiente y o"tene! los valo!es

2 a! f ( 2 )=3 =9

−2

−2

-! f c!

( ) 3

3

=3 ≈ 0.4807

f ( π )= 3 ≈ 4.72288 π

4RAFICA DE FUNCIONES E#$ONENCIALES!


f

.

P.P de Ing. Biotecnológica UCSM P!ime!o g!acamos funciones e'ponenciales al localiza! puntos. ?e!emos que las g!&cas de esas funciones tienen una fo!ma f&cilmente !econoci"le.

E1E2$LO /% 4ra5cado de funciones e&ponenciales al locali6ar puntos! 0!ace la g!&ca de cada función+ x a! f ( x )=3

-!

()

g (x )=

1 3

x

SOLUCI"N% Calculamos valo!es de f ( x ) y g ( x ) y localizamos puntos pa!a t!aza! las g!&cas de la Fi7ura !

4RAFICA DE FUNCIONES E#$ONENCIALES%

Ma> tem&tica II  /unciones 0!ascendentales


E1E2$LO 0% IDENTIFICAR 4RAFICAS DE FUNCIONES E#$ONENCIALES% %ncuent!e la función e'ponencial

f ( x )=a

x

cuyas g!aca se da+

SOLUCI"N% 2 a* Como f ( 2 )= a =25 # vemos que la "ase es a =5 . %ntonces

f ( x )= 5

x

!

1 1 3 -* Como f ( 3 ) =a = 8 # vemos que la "ase es a = 2 . %ntonces

f ( x )=

() 1 2

x

!

E1E2$LO 8% TRANSFOR2ACIONES DE FUNCIONES E#$ONENCIALES%

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales @


DERI9ADA DE LA FUNCI"N E#$ONENCIAL% *plicando la función de la de!ivada se tiene+

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales A

P.P de Ing. Biotecnológica UCSM Po! lo ante!io! se puede deci! que :La ra6ón de cam-io de

cual;uier función e&ponencial es proporcional a la propia función< x u Deri3ada de a y a %

*plicando la !egla de la cadena# es posi"le entonces desc!i"i!+

( )

d d u ( a )=( au ) ln ( a ) u d d x continua y de!iva"le en Siemp!e y cuando u xsea una función

E1E2$LO =% alla! la de!ivada de+ o

o

o

y =3 x = d ( 3 x )= 3x ln ( 3 ) dx d x ( e ) =e x ln ( e ) =e x ( 1 ) =e x dx

y= e

x

y =3

sen ( x )

=

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 

x.

P.P de Ing. Biotecnológica UCSM o

o

o

¿

d sen( x ) (3 ) dx

¿ 3sen ( x ) . ln ( 3 )

d ( Sen ( x ) ) dx

¿ 3sen ( x ) . ln (3 ) ( cos ( x ) )

x Deri3ada de y = e %

E1ERCICIOS $RO$UESTOS Dadas las si7uientes funciones, estudia todas sus caracter>sticas e indica sus as>ntotas! Representa su 7r?5ca! a! f)&* + / &

-! 7)&* + /

@ &

+ )/*&

! Dominio% %l dominio de las funciones e'ponenciales es E. 5om8f: = 5om8g: = E . /! Recorrido% %l !eco!!ido de las funciones e'ponenciales es 89# F G: . Im8f: = Im8g: = 89# F G: .

0! $untos de corte% f89: = 9 = 1 # el punto de co!te con el e4e H es 89# 1:. g89: =  9 = 1 # el punto de co!te con el e4e H es 89# 1:. Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales D


6a funciones f8': y g8': no co!tan al e4e J.

8! Crecimiento . decrecimiento% 6a función f8': es c!eciente ya que a ; 1 . 6a función g8': es dec!eciente ya que 9 < a < 1 . 6as =! Conca3idad . con3e&idad% o o

funciones f8': y g8': son cóncavas.

B! As>ntotas% 6as funciones f8': y g8': tienen una as)ntota en el e4e J.

!

Tabla de valores:

Dada la si7uiente función, estudia todas sus caracter>sticas e indica sus as>ntotas! Representa su 7r?5ca! f)&* + e& ! Dominio% %l dominio de las funciones e'ponenciales es E. 5om8f: = E .

/! Recorrido% %l !eco!!ido de las funciones e'ponenciales es 89# F G: . Im8f: = 89# F G: .

0! $untos de corte% f89: = e9 = 1 # el punto de co!te con el e4e H es 89# 1:. 6a función f8': no co!ta al e4e J.

8! Crecimiento . decrecimiento% 6a función f8': es c!eciente ya que e ; 1 .

=! Conca3idad . con3e&idad% 6as función f8': es cóncava.

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 


B! As>ntotas% 6a función f8': tiene una as)ntota en el e4e J. ! Ta-la de 3alores%

/! FUNCIONES LO4ART2ICAS%



OTRAS $RO$IEDADES%



!

log a ( xy ) = log a x + log a y

/!

log a

0!

log a x

8!

( )= x y n

log a x −log a y

=

n log a x

log a a =1 log b a =

log c a

( cambiodebase )

log c b

=!

B! La funcion logaritmo es inyectiva es decir si :log a x =log a z

⟹

x=z

OSER9ACIONES% x ! f ( x )=e , es una funci ón e'ponencial de "ase

e'ponencial natu!al# donde

/! f ( x )= loge x = ln x ,

e

o función

e =2.7182818284 …

es una función loga!itmo de "ase

e

o

loga!itmo natu!al.

0! f ( x )= log10 x = logx, es la función loga!itmo decimal. 8de "ase 19:.

4RAFICA DE FUNCIONES LO4ART2ICAS%

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 1


K!aca de la función loga!)tmica f ( x )= loga x

E1E2$LO % 4RAFICAR UNA FUNCI"N LO4ART2ICA LOCALIANDO $UNTOS%

0!ace la g!&ca de

f ( x ) = log 2 x .



FI4URA 8

E1E2$LO /% REFLE1AR 4RGFICAS DE FUNCIONES LO4ART2ICAS%

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 1>


E1E2$LO 0% DES$LAAR 4RGFICAS DE FUNCIONES LO4ART2ICAS!

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 1@


•

LO4ARIT2OS CO2UNES% %studiamos loga!itmos comunes

con "ase 19.

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 1A


LO4ARIT2OS NATURALES% a

5e todas las posi"les "ases

pa!a loga!itmos# !esulta que la

opción m&s cómoda pa!a los p!opósitos de c&lculo es el n-me!o e .

6a función de loga!itmo

y = ln x

función e'ponencial natu!al g!acadas en la

y=e

es la función inve!sa de la

x

. *m"as funciones est&n

Fi7uraH. Po! la denición de funciones

inve!sas tenemos.

y

ln x = y ⟺ e

=x

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 1


Si sustituimos

a =e

y esc!i"imos

ln po!

{log} rsub {e}

en las

p!opiedades de loga!itmos ya citadas antes# o"tenemos las siguientes p!opiedades de loga!itmos natu!ales.

E1E2$LO 8% E9ALUAR LA FUNCI"N DE LO4ARIT2O NATURAL!

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 1D


E1E2$LO =% ALLAR EL DO2INIO DE UNA FUNCI"N LO4ART2ICA!

E1E2$LO B% TRAAR LA 4RGFICA DE UNA FUNCI"N LO4ART2ICA!

=

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 1


DERI9ADA DE LA FUNCI"N LO4ARIT2O% Deri3ada de un lo7aritmo natural!

6a de!ivada del loga!itmo natu!al de

u

# 8 u

es el a!gumento: es

una f!acción. %n el nume!ado! la de!ivada del a!gumento# en el denominado! el a!gumento

u tal cual.

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 9


E1E2$LO % ALLAR LA DERI9ADA DE% o

o

y = ln 9 x

%n este caso# el a!gumento es H&# es deci! u+ H&! *plicando la 1e!a fo!mula.

o

o

y = ln ( 7 x + 12 )

%n este cas o# el a!g umento es &J/# es deci! u+ &J/! *plicando la 1e!a fo!mula.



Deri3ada de un lo7aritmo comKn! 6a de!ivada de un loga!itmo en "ase es igual a la de!ivada de la función dividida po! la función# y po! el loga!itmo en -ase

a

e du dx f ( x )= log a u f ( x )= . log a e u '

Como

log a e =

ln e 1 = , ln a ln a tam"i(n se puede e'p!esa! as)+

'

f ( x )= log a u f ( x )=

du dx

. ln a

u '

f ( x )= log a x f ( x ) =

1 1 = . loga e x . ln a x

E1ERCICIOS $RO$UESTOS% Dadas las si7uientes funciones, estudia todas sus caracter>sticas e indica sus as>ntotas! Representa su 7r?5ca! f8': = log'

g8': = log1L'

! Dominio% %l dominio de las funciones loga!)tmicas es 89# F G: .

Dom)f* + Dom)7* + )(, J * ! /! Recorrido% %l !eco!!ido de las funciones loga!)tmicas es E.

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 

de


Im)f* + Im)7* + R ! 0! $untos de corte% o

f81: = log1 = 9 # el punto de co!te con el e4e J es 81# 9:.

o

g81: = log1L1 = 9 # el punto de co!te con el e4e J es 81# 9:.

6a funciones f8': y g8': no co!tan al e4e H

8! Crecimiento . decrecimiento% o

6a función f8': es c!eciente ya que a ; 1 .

o

6a función g8': es dec!eciente ya que 9 < a < 1 .

=! Conca3idad . con3e&idad% o

6as función f8':

es conve'a ya que a ; 1 .

o

6as función g8': es cóncava ya que 9 < a < 1 .

B! As>ntotas% 6as funciones f8': y g8': tienen una as)ntota en el e4e H.

! Ta-la de 3alores%



5ada la siguiente función# estudia todas sus ca!acte!)sticas e indica sus as)ntotas. Eep!esenta su g!&ca. y =  F log  8'  7:

! Dominio% %sta función es una t!aslación de la función loga!)tmica

7)&* + lo7/&! Po! un lado# est& t!aslada ve!ticalmente en  unidades# y po! ot!o# est& t!asladada $o!izontalmente $acia la de!ec$a en 7 unidades. %s deci!# nuest!a función es+

f)&* + / J lo7/ )& @ 0* + / J 7)& @ 0* %l dominio de 7 es )( , * # po! tanto# el dominio de nuest!a función es%

)0 , *!

/! Recorrido% Su !eco!!ido viene dado po! todos los n-me!os !eales+ E

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales >


0! $untos de corte% o co!ta al e4e H# ya que ' = 9 no est& en el dominio de la función+

( M )0 , *!

Punto de co!te con el e4e J+

( + / J lo7/ )( @ 0* + / J lo7/0



) / J lo7 / 0 , (*

8! Crecimiento . decrecimiento% 6a función es c!eciente ya que a + / ' 

) . + lo7a &* .

=! Conca3idad . con3e&idad% 6a función es conve'a ya ;ue

a + / '  ) . + lo7a &* !

B! As>ntotas% 6a función 7)&* + lo7/ & tiene una as)ntota en el e4e ! Como nuest!a función est& t!asladada $o!izontalmente $acia la de!ec$a en 7 unidades con !especto a la función g # su as)ntota tam"i(n queda t!asladada de la misma fo!ma. Po! tanto# nuest!a función tiene una as)ntota ve!tical en & + 0 !

! Ta-la de 3alores%

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales @


Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales A


0! FUNCIONES TRI4ONO2PTRICAS!

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 


FUNCION SENO f)&* +

$ropiedades de la función seno o

Dominio+ E

o

Recorrido+ NO1# 1

o

$er>odo+

o

Continuidad+ Continua en o

Creciente en+

o

Decreciente en+

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales D


2?&imos+

o

2>nimos+

o

Impar+ sen8O': = Osen '

o

Cortes con el eje O#%

FUNCION COSENO f)&* + cos

$ropiedades de la función coseno Dominio+ o

o

Recorrido+ NO1# 1

o

$er>odo+

o

Continuidad+ Continua en

o

Creciente en+

o

Decreciente en+

o

2?&imos+

o

2>nimos+

o

$ar+ cos8O': = cos '

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 


Cortes con el eje O#%

FUNCION TAN4ENTE f)&* + tan

$ropiedades de la función tan7ente Dominio o

+ o

Recorrido+ E

o

Continuidad+ π rad

o

$er>odo+

o

Creciente en% E

o

2?&imos+ o tiene.

o

2>nimos+ o tiene.


Continua en


Impar+ tg8O': = Otg '

o

Cortesconeleje

O#%

FUNCI"N COTAN4ENTE

f)&* + ct7

$ropiedades de la función cotan7ente Dominio o

o

Recorrido+ E

o

Continuidad+

o

$er>odo+

o

Decreciente en% E

o

2?&imos+ o tiene.

o

2>nimos+ o tiene.

π rad


+

Continua en


Impar+ cotg8O': = Ocotg '

o

Cortesconeleje

O#%

FUNCI"N SECANTE f)&* + sec

$ropiedades de la función secante o

Dominio+ o

Recorrido+ 8O G# O1

o

$er>odo+

o


o

Creciente en+

o

Decreciente en+

N1# G:

2 π rad

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 7


2?&imos+

o

o

2>nimos

o

$ar+ sec8O': = sec '

o

Cortes con el eje O#% o co!ta

+

FUNCI"N COSECANTE f)&* + csc

$ropiedades de la función cosecante o

Dominio+

o

Recorrido+ 8O G# O1

o

$er>odo+

o


o

Creciente en+

N1# G:

2 π rad



Decreciente en+

o

2?&imos+

o

2>nimos+

o

Impar+ cosec8O': = Ocosec '

o

Cortes con el eje O#% o co!ta

L2ITES DE LA FUNCION TRI4ONO2ETRICA! Si

c es un n-me!o !eal en el dominio de la función

t!igonom(t!ica indicada# se cumple+

Cuando calculamos l)mites t!igonom(t!icos es necesa!io !eco!da! las siguientes identidades "&sicas+

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 7>


DERI9ADAS DE LAS FUNCIONES TRI4ONO2PTRICAS!

E1ERCICIOS $RO$UESTOS Dada

la

si7uiente

función,

estudia

todas

sus

caracter>sticas! Representa su 7r?5ca!

y = sen 8@': 5om8f: = E

! Dominio% /! Recorrido%

Im8f: = N1 # 1

0! $eriodicidad+ Como la función seno es pe!iódica de pe!)odo Q# la función f)&* + sen )=&* es pe!iódica de pe!)odo%

=&



& + /Q=

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 7@

/Q +

P.P de Ing. Biotecnológica UCSM %s pe!iódica de pe!)odo QL@ . 0am"i(n podemos $alla! el pe!)odo de la función as)+

f)&* + sen)=&* + sen)=& J /Q* + sen = )& J /Q=*  + f)& J QL@*

0am"i(n podemos calcula! el pe!iodo de forma m?s f?cil aplicando di!ectamente la siguiente fó!mula+

$eriodo + /Q= 8! $untos de corte% Calculamos los puntos de co!te que $ayan dent!o del p!ime! pe!)odo de nuest!a función. o

Puntos de co!te con el e4e H+

Si & + (



. + sen (



. + (



)( ,

(* o

Puntos de co!te con el e4e J+

Si . + (



+ Q

& +

(*

 ,

( + sen )=&* ( ó

& +

 Q=

=& + ( 

ó

=&

)( ,

)Q= , (*

=! 2?&imos . m>nimos% Calculamos los m&'imos y m)nimos que se encuent!an dent!o del p!ime! pe!)odo de la función. o

6os puntos m&'imos de la función vend!&n dados po! la ecuación+

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 7A




+

sen

Q( o



)=&*



=&

+

Q/



&

+

)Q( , *

6os puntos m)nimos de la función vend!&n dados po! la ecuación+

@ + s en ) =&* 0Q(





=& + 0 Q/



)0Q( , @*

B! 4RGFICA DE LA FUNCI"N!

5ada la siguiente función# estudia todas sus ca!acte!)sticas. Eep!esenta su g!&ca.

y =  cos8':

! Dominio%

5om8f: = E

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 7

& +


/! Recorrido%

Im8f: = N # 

7. $eriodicidad% Como la función coseno es pe!iódica de pe!)odo Q # la función f8': =  cos8': tiene el mismo pe!)odo+ Q . 0am"i(n podemos saca! el pe!)odo de la función as)+ f8': =  cos8': =  cos8' F Q: = f8' F /Q:

>. $untos de corte% Calculamos los puntos de co!te que $ayan dent!o del p!ime! pe!)odo de nuest!a función. o

Puntos de co!te con el e4e H+ Si ' = 9

o

o

R

y =  cos 9

R

y=

R

89 # :

Puntos de co!te con el e4e J+ Si y = 9

R

9 =  cos8':

= QL

ó

' = 7QL

R

cos8': = 9

R

'

6uego los puntos de co!te con el e4e J son+ 8QL # 9:

#

87QL # 9:

=! 2?&imos . m> nimos% Calculamos los m&'imos y m)nimos que se encuent!an dent!o del p!ime! pe!)odo de la función. 6os puntos m&'imos de la función vend!&n dados po! la ecuación+

/ + / cos)&* /Q





)( , /*

 + cos)&* ,



&+(

ó

&+

)/Q , /*

6os puntos m)nimos de la función vend!&n dados po! la ecuación+

@/ + / cos)&*



@ + cos)&*



Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 7D

&+Q



)Q , @/*


8! FUNCIONES I$ER"LICAS

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales 7


IDENTIDADES I$ER"LICAS

4RGFICA, DO2INIO, RECORRIDO, $UNTOS DE CORTE CON LOS E1ES, SI2ETRA  ASNTOTAS DE LAS FUNCIONES I$ER"LICAS Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales >9


4RGFICA DE SENO I$ER"LICO

Función seno iper-ólico

4RGFICA DE COSENO I$ER"LICO

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales >1


Función coseno iper-ólico

4RGFICA DE TAN4ENTE I$ER"LICA

Función tan7ente iper-ólica

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales >


4RGFICA DE COTAN4ENTE I$ER"LICA

Función cotan7ente iper-ólica

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales >7


4RGFICA DE SECANTE I$ER"LICA

Función secante iper-ólica

4RGFICA DE COSECANTE I$ER"LICA

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales >>


Función cosecante iper-ólica

DERI9ADA DE LAS FUNCIONES I$ER"LICAS! Po! se! com"inación de funciones e'ponenciales# las funciones $ipe!"ólicas son de!iva"les pa!a todo & 8Pa!a cot  y pa!a csc

# & de"e se! no nula: %l siguiente teo!ema !esume las fo!mula s de de!ivación de las funciones $ipe!"ólicas.

$RUEA

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales >@


FUNCIONES I$ER"LICAS IN9ERSAS  SUS DERI9ADAS!

Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales >A


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$ROLE2AS $RO$UESTOS

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Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales @9


Matem&tica II  /unciones 0!ascendentales @1

FUNCIONES TRASCENDENTALES

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