Aplicaciones del Álgebra Lineal en La Ingeniería Las personas creen saber lo que usan, creen saber lo que manejan, algunas personas de verdad lo saben y otras veces no muestran el interés para informarse sobre cómo es que funciona. En nuestra vida cotidiana usamos tanto las matemáticas, que sin ellas no podríamos vivir, el simple hecho de comprar un dulce de $1 peso y pagar con una moneda de $5 al momento de devolver $4 pesos usaste las matemáticas para determinar cuánto es lo que sobra, eso es un ejemplo sencillo, sencill o, ahora veamos un ejemplo en el que los ingenieros aplicaron el álgebra lineal en la solución de alguna ecuación; lo cual a lado de ese otro ejemplo es algo mucho más complejo. El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
El Álgebra lineal en la Ingeniería Química Las matemáticas en general son un elemento fundamental para cualquier ingeniero, Un Ingeniero debe saber MATEMÁTICAS, no especializados en las demostraciones y teoremas, pero si utilizarlas para SOLUCIONAR problemas, el álgebra lineal da la pauta para poder solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de diferentes métodos, la introducción a los números complejos, espacios vectoriales y transformaciones lineales. Sin embargo; la principal aplicación del Algebra lineal en la Ing. Química es en el balanceo de ecuaciones químicas, utilizando sistemas de ecuaciones lineales. Esto nos ayuda a saber cómo reaccionan los reactivos y con esto poder calcular la cantidad exacta que debe utilizarse para obtener el producto deseado. En el balanceo de ecuaciones químicas se tienen varios métodos entre los más utilizados tenemos: -Método de tanteo -Método Oxido-Reducción (REDOX) -Método algebraico
Balanceo de Ecuaciones por Método Algebraico
Este método está basado en la aplicación del algebra. Requiere construir un sistema de ecuaciones de varias variables y resolverlas simultáneamente. Ejemplo: Este método está basado en la aplicación del álgebra. Para balancear ecuaciones se deben considerar los siguientes puntos 1) A cada formula de la ecuación se le asigna una literal y a la flecha de reacción el signo de igual. Ejemplo: Fe + O2 Fe2O3 ABC 2) Para cada elemento químico de la ecuación, se plantea una ecuación algebraica Para el Fierro A = 2C Para el Oxigeno 2B = 3C 3) Este método permite asignarle un valor (el que uno desee) a la letra que aparece en la mayoría de las ecuaciones algebraicas, en este caso la C Por lo tanto si C = 2 Si resolvemos la primera ecuación algebraica, tendremos: 2B = 3C 2B = 3(2) B = 6/2 B=3 Los resultados obtenidos por este método algebraico son A=4 B=3 C=2 Estos valores los escribimos como coeficientes en las fórmulas que les corresponden a cada literal de la ecuación química, quedando balanceada la ecuación 4Fe + 3O2 2 Fe2O3
Cambio de base
En muchas aplicaciones, un problema descrito usando un sistema coordenado puede resolverse más fácilmente si se cambia a un nuevo sistema coordenado. Esta transformación se consigue por medio de un cambio de variables; en algebra lineal, una base nos proporciona un sistema coordenado para un espacio vectorial, mediante la noción de los vectores coordenados. Si se selecciona la base correcta, a menudo se simplificara en gran medida un problema en particular. Un ejemplo de la aplicación de cambios de base en Ing. Química es: Al considerar la estructura molecular del Zinc presentado en la fig. (a), un científico necesita medir las longitudes de los enlaces entre los átomos, los ángulos entre ellos, etc. Un análisis de este tipo se facilitaría en gran medida si se introducen coordenadas y se emplean las herramientas del algebra lineal. La base estándar y los ejes coordenados (xyz) estándar asociados no son siempre la mejor elección. Como lo ilustra la fig. (b), en este caso {u, v, w} es probablemente una mejor selección de base para IR^3 que la base estándar, en razón de que estos vectores tendrán una mejor alineación con los enlaces entre los átomos de zinc.
Transformaciones Lineales La gran potencialidad del enfoque cinético para el conocimiento de los sistemas enzimáticos no se explota adecuadamente en la investigación bioquímica y a veces se considera a la cinética enzimática como un área muy compleja, altamente especializada y a los cursos de cinética como un viaje a través de un interminable laberinto de algebra para llegar a modelos que a veces resultan demasiado abstractos.
Mecanismo Michaelis-Mente:
El modelo de cinética michaeliana, tiene lugar a una reacción química biomolecular entre la enzima E y el sustrato S, formándose el complejo enzima-sustrato ES. Un ejemplo de esta aplicación se presenta en la catálisis enzimática: Se realiza una transformación lineal tal que es posible determinar la constante de Michaelis Km y la velocidad máxima con un procedimiento de mínimos cuadrados. La enzima ureasa, que cataliza la hidrolisis de la urea, es ampliamente utilizada para determinar los valores de urea en la sangre. La constante de Michaelis para la ureasa a temperatura ambiente es 2.0 mM y K2= 2.5X10^4 S^-1 a un pH 7.5 a) Calcule la velocidad inicial de la reacción cuando la concentración de la ureasa, 5.0 µM, y b) Calcule la Vmaxima A partir de la ecuación 3:
Al comienzo de la reacción [S]= [S]0 y
La siguiente figura revela que d[P]/dt= Vmax a una concentración de sustrato alta:
Y se puede aplicar la siguiente ecuación:
Por lo tanto:
