25/11/2014
APLICACIONES DEL CÁLCULO EN LA INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL Ensayo Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Instituto de Ciencias Agropecuarias Cálculo Integral M. T. E. Delia Erika Islas Pérez Rosales Lira Clara Estela
INTRODUCCIÓN
En el presente ensayo hablare sobre las aplicaciones que tiene el cálculo en mi carrera ingeniería agroindustrial, con información recabada de algunas entrevistas hechas a ingenieros agroindustriales o a ingenieros que imparten materias de agroindustrial, que tan importante es el cálculo en las actividades que realizan y específicamente en donde lo aplican. Sustentando cada actividad con lo aprendido del curso y en algunos libros. Con la finalidad de comprender como el conocimiento adquirido en cálculo se aplica en las actividades que ya realizamos y en las que más adelante realizaremos siendo profesionistas.
APLICACIONES DEL CÁLCULO EN MI CARRERA
La primera entrevista que realice fue a la doctora Rosa Hayde Alfaro Rodríguez quien es ingeniera agroindustrial egresada del Instituto de Ciencias Agropecuarias actualmente es profesor investigador de dicho instituto, donde su principal función es el desarrollo y generación de conocimientos en diferentes áreas de la ingeniería. La Dra. Hayde eligió esta carrera por el agrado de la parte agrónoma, los procesos industriales y los productos que se elaboran, menciono que las ventajas son muy amplias ya que se puede ingresar en varias industrias tanto alimentarias como no alimentarias y la única desventaja que existe dentro de la carrea son barreras que nosotros mismos nos ponemos al no creernos capaces de poder hacer cualquier cosa. La Dra. Hayde considera al cálculo importante en cualquier proceso y lo aplica en conteos bacterianos, en el control de temperaturas en procesos de cocción y en procesos y reacciones de temperaturas respecto al tiempo. La función exponencial se presenta muy a menudo en los modelos matemáticos de la naturaleza y la sociedad. A continuación se indica brevemente cómo funciona en el crecimiento de la población. Considerando una población de bacterias en un medio nutriente homogéneo. Suponiendo que al muestrear la población a ciertos intervalos se determina que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el tiempo t es p(t), donde t se mide en horas, y la población inicial es p(0) = 1000, 2 3 entonces se tiene: p(1)=2p(0)=2x1000, p(2)=2p(1)= 2 x 1000 y p(3)=2p(2)= 2 x
1000,a
partir
de
este
patrón
en
términos
generales
tenemos
que
p (t )=2t x 1000=( 1000 ) x 2t . La función general para crecimiento de bacterias es f ( t )=2t n 0 . Esta función de población es un múltiplo constante de la función exponencial pude
t
y=2
tabular y
de tal modo que se observa un crecimiento rápido el cual se graficar (figura1)
para
observar
con
mayor
precisión
el
comportamiento de las bacterias. En condiciones ideales (espacio ilimitado así como nutrición y libertad de enfermedades) este crecimiento exponencial es típico de lo que ocurre en realidad en la naturaleza. (Stewart, 2008)
Figura 1
También por medio de la derivada
d x ( a ) lna dx
podemos saber el crecimiento de
bacterias en un tiempo t determinado a partir de la función exponencial de crecimiento poblacional
. (Leithold, 1998)
Para el control de temperaturas en procesos de cocción y en cualquier otro proceso que se involucre la temperatura con respecto al tiempo, el cálculo se aplica por medio de las funciones ya que una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D le pertenece exactamente un elemento, llamado f (x), de un conjunto E. El conjunto D se llama dominio de la función, variable independiente. El número f (x) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f(x), conforme x varía en todo el dominio, variable dependiente. (Purcell, 2007) Sabiendo lo anterior se puede formula la función dependiendo nuestras necesidades, a lo que queremos llegar o saber por ejemplo si evaluamos la temperatura con respecto al tiempo tendríamos que saber primero la temperatura inicial en un tiempo cero y de ahí partir, tomando la función deseada tabulamos en diversos tiempos para saber la temperatura en x tiempo. Otra manera es tomar la temperatura de lo que se esté evaluando cada determinado tiempo y a partir de lo sucedido se saca la función, la cual se puede representar gráficamente (Figura 2) para observar el
comportamiento en dicho tiempo, facilitando la ubicación de x temperatura en x tiempo.
Figura 2
La siguiente entrevistada fue la doctora Margarita Islas Pelcastre quien estudió la licenciatura en química dentro de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, actualmente es profesor investigador del Instituto de Ciencias Agropecuarias donde sus principales funciones son la docencia (agronomía, agroindustrial, alimentos y forestal), la investigación y la extensión, enfocado a la difusión y vinculación de conocimientos y cultura. La doctora menciono que la carrera de agroindustrial es la que más le agrada porque es muy práctica, pertinente y resuelve una necesidad primaria, ve como principal ventaja el autoempleo y como desventaja la falta de oportunidades, en cuestiones de política nacional. Para la Dra. Margarita el cálculo es importante porque se utiliza para observar el comportamiento de los microorganismos (reacción enzimática). Para efectos de la temperatura en función del tiempo, así como en la realización de diseños; otra aplicación sería la de razón de cambio en el comportamiento de fenómenos físico aplicados en materias como la termodinámica y para resolver problemas de ingeniería. Las reacciones enzimáticas se evalúan con la ecuación de Michaelis-Menten V0 frente a [S]0. Donde V= velocidad de reacción y [S]=concentración del sustrato. (Figura 3)
Figura 3
La Vmax corresponde al valor máximo al que tiende la curva experimental, y la KM corresponde a la concentración de sustrato a la cual la velocidad de la reacción es la mitad de la Vmax. Para determinar gráficamente los valores de KM y Vmax es más sencillo utilizar la representación doble recíproca (1/v0 frente a 1/ [S]0), ya que es una línea recta. Esta representación doble recíproca recibe el nombre de representación de Lineweaver-Burk. Donde La pendiente es KM/Vmax, la abscisa en el origen (1/v0 = 0) es -1/KM y la ordenada en el origen (1/ [S]0 = 0) es 1/Vmax. (Figura 4)
Figura 4
Se puede observar que la representación doble reciproca o representación de Lineweaver-Burk es una línea recta que crece de manera proporcional tratándose de una función f ya que es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D le pertenece exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto E. En este caso f(x) es la velocidad de reacción y x la concentración del sustrato. (Purcell, 2007) De esta forma, a partir de los datos experimentales se puede calcular gráficamente, los valores de KM y Vmax de un enzima para diversos sustratos. La obtención de Km y Vmax de una enzima, es importante no sólo porque son parámetros que la identifican, sino también por motivos que, en ocasiones, pueden ser de vital importancia.
Coincide con la Dra. Hayde en que el cálculo se aplica como función en problemas de temperatura y tiempo. La Dra. Margarita menciono que una aplicación distinta del cálculo en la ingeniería agroindustrial es el diseño principalmente de embaces y maquinaria. En el diseño de máquinas resulta útil concebir una función, si x está en el dominio de la función f, entonces cuando x entra en la máquina, se acepta como una entrada y la máquina produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la función. De este modo, se puede concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el rango como el conjunto de todas las salidas posibles (Figura 5). (Stewart, 2008)
Figura 5
La ultima aplicación del cálculo en la ingeniería agroindustrial que dio la Dra. Margarita es como razón de cambio en el comportamiento de fenómenos físicos aplicado en materias como la termodinámica en realidad, los límites de la forma lim
h→0
f ( a+ h )−f (a) h
surgen cuando se calcula una razón de cambio en cualquier
f ´ ( x )=lim
ciencia o ingeniería siendo esta la derivada de una función
h→ 0
f ( a+h ) −f ( a) h
. Suponiendo que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y; y = f (x). Si x cambia de cambio en x (incremento de x) es
en y es
∆ x=x 2−x 1
x1
a
x 2 , por lo tanto el
y el cambio correspondiente
∆ y=f ( x 2 )−f (x 1) . El cociente de diferencias
Δ y f ( x 2) −f ( x 1) = Δx x 2−x 1
se
llama razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo x 1, x2
y se puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ (Figura 6). La velocidad, considera la relación de cambio promedio en intervalos cada vez más pequeños haciendo que x2 tienda a x1 y, por lo tanto, al hacer que ∆x tienda a 0. El límite de estas relaciones de cambio promedio se llama razón (instantánea) de cambio de y con respecto a x en x = x1, lo cual se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva
y=f (x)
en
P( x 1 , f ( x 1 ) ) . (Purcell, 2007)
Figura 6
La última entrevista fue a la doctora Norma Güemes Vera quien estudio ingeniería agroindustrial en el Instituto de Ciencias Agropecuarias, actualmente es profesor investigador de dicho instituto. Menciono que el cálculo le sirve para medir la capacidad de fuerza que deben tener las bandas que permiten mover el producto a través de los diferentes toneles de fermentación, así como para interpretar y correlacionar los datos de textura con los datos de sonido que tienen los alimentos al ser masticados. Existe una conexión entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. El teorema fundamental del cálculo relaciona la integral con la derivada. Galileo descubrió que la distancia que recorre cualquier cuerpo que cae libremente es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (En este modelo de caída libre no se considera la resistencia del aire.) Si la distancia recorrida después de t segundos se denota mediante s (t) y se
mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa con la ecuación s ( t )=4.9 t
2
. La dificultad para hallar la velocidad después de x s es que
trata con un solo instante (t=x), de modo que no interviene un intervalo. Sin embargo puede tener una aproximación de la cantidad deseada calculando la velocidad promedio durante el breve intervalo de una décima de segundo, desde t=x hasta t=x.1
¿
s ( x .1 ) −s (x) .1
Velocidad promedio=
cambio en la posicion tiempotranscurrido
De esta manera se van sacando velocidades promedio
durante periodos sucesivamente más pequeños paraqué conforme acorta el periodo, la velocidad promedio se aproxime a x cifra, de esta manera podemos ir determinando la velocidad en lapsos de tiempo o en un tiempo específico. (Leithold, 1998) Estos cálculos son los mismos que se utilizan para hallar tangentes. La Dra. Norma aplica el cálculo por medio se software especializados que permiten realizar análisis bajo parámetros que se requieran. Un ejemplo que menciono es en la teoría factorial, la cual se utiliza para el análisis de la rugosidad de un alimento, en este se aplica calculo diferencial e integral. Para evaluar la textura de un alimento se requieren diversas medidas, las medidas fundamentales son las que valoran propiedades tales como esfuerzo de ruptura, relación de Poisson, módulo de Young, módulo de cizalla y otros. Medidas empíricas cubren una serie de ensayos empíricos tales como penetración, cizalla, extrusión y otros. Medidas imitativas son las logradas con instrumentos que imitan la acción de la boca al masticar. El perfil de textura está basado en el ensayo fuerza vs tiempo, es decir tenemos una función f(x) en la que a cada elemento x de un conjunto D le
pertenece exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto E. A partir de esta función se logran curvas
que evalúan la textura de
alimentos, estas son arrojadas por medio de maquina Instron (Figura 7) o un texturómetro (Figura 8).
Figura 7
Figura 8
Del análisis de las curvas de las figuras se logran siete parámetros texturales, de los cuales cinco se obtienen de medidas y dos se logran por medio de cálculo. Fracturabilidad: es la fuerza en el primer quiebre significativo de la curva. Dureza: es definida como la fuerza pico logrado durante el primer ciclo de compresión.
Cohesividad: es definido como la razón del área positiva lograda durante la segunda compresión y del área positiva de la primera compresión (A2 /A1). Pegajosidad: es definida como el área negativa lograda durante la primera compresión y representa el trabajo necesario para sacar el pistón de la muestra. Elasticidad: es definida como la altura que recupera el alimento durante el tiempo que transcurre entre la primera y la segunda compresión. Gomosidad: es definida como el producto de dureza por cohesividad. Chiclosidad: es definida como el producto de gomosidad por elasticidad (que es igual a dureza por cohesividad y por elasticidad). (Chile, 2009) Cabe mencionar que para cada tipo de alimento son diversos los parámetros ideales de textura, los software ya contienen dicha información e incluso califican el alimento evaluado.
CONCLUSIÓN Al
realizar
las
entrevistas
y
saber
las
actividades
que
realizan
profesionistas con la carrera que estoy estudiando me doy cuenta que existe una gama infinita de dichas actividades y al analizar algunas me pude percatar que en ellas se aplica el cálculo, considero que en la gran mayoría de actividades que realiza un ingeniero se debe involucrar el cálculo muchas veces ya está incluido en formulas, reacciones e inclusive en manejo, activación, diseño y resultados de una máquina. Gracias a lo visto en el curso de cálculo integral fue fácil percatarme de que en la mayoría de actividades se relacionan dos o más variables tratándose de funciones las cuales se puede graficar para tener una mejor interpretación
así
como
saber
datos
específicos
como
tiempos,
temperaturas, distancias, velocidades, etc. Dando pie a razones de cambio, al investigar estos temas me di cuenta que al aplicar matemáticas más avanzadas se va sintetizando el uso del cálculo como lo hemos visto pero considero importante saber de donde parten algunos principios. Me pareció interesante el desmenuzar actividades sencillas y complejas, poder comprender como se va involucrando y transformando el cálculo para que estas actividades se completen.
BIBLIOGRAFÍA Chile, B. D. (2009). Perfil de textura. Sistema de servicios de informacion y bibliotecas, 3. Leithold, L. (1998). El Cálculo. México D.F.: Oxford University Press. Purcell, E. J. (2007). Cálculo. México: Pearson Educación. Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. México D.F.: Cengage Learning Editores.
INFORMACIÓN DE ENTREVISTADOS Dra. Rosa Hayde Alfaro Rodríguez Doctorado: Doctorado en Ciencias en Alimentos. Unidad de Investigación y Desarrollo de Alimentos, del Instituto Tecnológico de Veracruz, Maestría: Maestro en Ciencias en Producción Animal con Área Mayor en Ciencias de la Carne. Facultad de Zootecnia de la Universidad Autónoma del Estado de Chihuahua. Especialidad: Control de Calidad y Productividad. Universidad Autónoma de Hidalgo Licenciatura: Ingeniero Agroindustrial. Universidad Autónoma de Hidalgo Dra. Margarita Islas Pelcastre Doctorado: Maestria: Ciencias de los alimentos. Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Licenciatura: Licenciada en química. Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Dra. Norma Güemes Vera
Doctorado: Doctor en Ciencias de los Alimentos en la ENCB-IPN. Fecha de Titulación 16 de noviembre 2004. Maestría:
Maestría
en
Ciencias
con
Especialidad
en
Alimentos.
Departamento de Graduados e Investigación en Alimentos. Escuela Nacional de Ciencias Biológicas. Periodo 1995-1998. Fecha de Titulación 13 de oct. 1998. Educación
superior:
Ingeniería
Agroindustrial.
Instituto
de
Ciencias
Agropecuarias. Universidad Autónoma de Hidalgo. Rancho Universitario, Tulancingo Hgo. Periodo. 1990-1994. Fecha de Titulación 4 de Diciembre de 1994.
