APLICACIONES DE ALGEBRA LINEAL

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

I SEMESTRE

³ALGEBRA ³ALGEBRA LINEAL´ Erika Aracely Bolagay N. Diego Raúl Rodríguez T.

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APLICACIONES DEL ALGEBRA LINEAL Para mi trabajo he buscado buscado en la red, diferentes diferentes aplicaciones aplicaciones del algebra algebra lineal tanto tanto a la vida cotidiana, cotidiana, como a la ingeniería ingeniería en sí ; Para presentarlas presentarlas en forma de ensayo. Empezando por aquí, me llamo mucho la atención como es que Google funciona, e investigando investigando un poco al respecto; Google Google es una gran mega -estructura que basa su funcionamiento en algoritmos, matrices, espacios y sub espacios vectoriales, en fin todo lo referido con el algebra lineal. Encontré un detallado análisis donde se explica paso a paso como se lo fue armando y probando hasta el modelo actual de Google, el cual adjunto al al final de este documento y fue tomado de la siguiente página web. http://www.matesco.unican.es/aplicaciones/google_sema.pdf Dentro de este sobresalen las siguientes observaciones, cada una de ellas con su respectiva base de programación, matemática y algebra: 

Hay más de 1.000 programadores y científicos destinados exclusivamente a tareas relacionadas con el buscador web de Google.

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Uno de los problemas más importantes importantes a la hora de rastrar la información de la WWW es que no las páginas web están en cientos de idiomas diferentes, y que además los webmasters no suelen seguir los estándares a la hora de crear documentos web.

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Otro problema es entender entender las cons c onsultas ultas de los usuarios, los cuales suelen utilizar menos de tres palabras por cada búsqueda, lo que complica la tarea. Hace unos meses se publicaron estos datos al respecto: solamente el 26% de los usuarios utilizan cuatro o más términos por búsqueda. Además, hay que recordar que el propio Manber Manber reconocía hace tiempo que una de cuatro búsquedas búsquedas en Google es inédita inédita , lo que complica aún más la labor de devolver resultados con información útil.

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El algoritmo de PageRank se sigue utilizando a día de hoy, pero se ha diluido dentro de un sistema mucho más grande de evaluación de la relevancia de los documentos web. Ahora, además de este parámetro, se tienen en cuenta otros como los modelos del lenguaje (Google procesa ahora las frases que se rastrean, los sinónimos sinónimos o las palabras mal escri tas), o la antigüedad antigüedad o la





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Continuamente se están realizando modificaciones en los algoritmos del buscador, y en concreto en 2007 se lanzaron 450 450 nuevas mejoras (9 por semana de media).

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Se ha implementado recientemente la herramienta de revisión ortográfica (el famoso "Quizás quiso decir") en diferentes idiomas, como el catalán, el serbio o el ucraniano.

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Google ha creado una red de personas en varios países del mundo, que se encargan encargan de "ofrecer feedback a Google", en referencia al laboratorio laboratorio 'Rater Hub', en el que se contrata a usuarios de Internet (también (también de España) para que entrenen entrenen a los algoritmos algoritmos de búsqueda (ver post sobre documento de uso del laboratorio).

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Google cuenta también con un importante grupo de voluntarios dentro de la compañía que les ayuda a mejorar las búsquedas en diferentes idiomas.

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Muy pocos usuarios se l een las páginas páginas de ayuda del buscador web , y son mayoría los que desconocen todas las posibilidades que ofrece. Por ello, nos encontramos cada vez más con información proveniente de otras herramientas de Google dentro de los resultados del buscador web. Es lo que se conoce como 'Google Universal Search', presentado por el propio Manber hace justo un año.

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Hay diferentes grupos de trabajo dentro del Departamento de Calidad del buscador web, y dos de ellos están relacion ados con los webmasters. Uno de ellos, para detectar cualquier intento de engaño por parte de algunos de ellos (el de 'Web Spam'), y otro para abrir un canal de comunicación con Google (el de 'Google Webmasters Webmasters Tools ').

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Como gran referente inicial, o punto de partida si se lo desea decir; para Google fueron fueron las matrices, así como los teoremas teoremas básicos; claro que después después se amplio para dar abast o a los millones de usuarios, como para el doble en fuentes de información, Pero esto nos hace notar que evidentemente el Algebra Lineal Lineal es quien dio dio origen a esta mega -herramienta; -herramienta; por lo cual es para mi una de las mejores aplicaciones del Algebra Lineal en el mundo.

Son tantas las aplicaciones que no se pueden contar; una popular es la descomposición SVD (singular value decomposition, descomposicion del valor singular) en la cual tienes una matriz (también visto como un espacio vectorial) y puedes obtener una representación de esta matriz en factor de tres matrices:





La

SVD

se

usa

para

pro cesamient cesamiento o

de

señales.

Aparte de la SVD está la descomposición QR, ALU, PALU, etc., que son procesos iterativos con características similares. Como puedes darte cuenta, la parte lineal está en encontrar los los valores y vectores vec tores propios propios que generan generan el espaci o de la matriz original. Otra aplicación aplicación y que se usa todo el el tiempo tiempo es el page page rank rank de goog google le (antes mencionada menciona da y explicada) . Básicamente es una matriz gigante la cual se gener genera a mediante median te un proceso de Markov (tiene probabilid probabilidades ades asociadas asociadas a ella y cump le con algunos algun os requisitos). Lo que hacen estos ³buscadores´ ³buscadores´ es sacarle el vector propio principal con métodos iterativos (como el power iteration) para calcular el ranking en las búsquedas. También están las transformaciones También transformaciones de Wavelets Wavelets que te permiten permiten en viar señales acortándolas y alargándolas, permitiendo el ahorro en el bus de envío, sin pérdida de generalidad y calidad.

La transformada transformada de óndula (frecuentemetne (frecuentemetne también transformada transformada wavelet ) es un tipo especial especial de transformada transformada de Fourier Fourier que representa una señal en términos de versiones trasladadas y dilatadas de una onda finita (denominada óndula madre). La teoría de óndulas está relacionada con campos muy variados. Todas las transformaciones de óndulas pueden ser consideradas formas de representación en tiempo-frecuencia tiempo-frecuencia y, por tanto, están relacionadas relacionadas con el análisis análisis armónico. armónico . Las transformadas transformadas de óndulas óndulas son un caso particular de filtro de respuesta finita al impulso. Las óndulas, continuas continuas o discretas, como c ualquier ualquier funci ón L2, responden responden al principio principio de incertidumbre incertidumbre de Hilbert Hilbert (conocido (conocido por los físicos como principio principio de incertidumbre incertidumbre de Heisenberg), Heisenberg), el cual establece que producto de las dispersiones dispersiones obtenidas en el espacio directo y en el de las frecuencias no puede ser más pequeño que una cierta constante geométrica. En el caso de las óndulas discretas, la dispersión de los coeficientes se ha de medir de acuerdo con la norma l2 (norma 2 de series numerables).





La transformación CRC usada en los CD's también es una aplicación bastante usada, claro que no recuerdo pero me parece que se usa un número primo que genera un polinomio de grado mayor a 5 que codifica la entrada.

Aplicaciones del Algebra Lineal en la vida cotidiana El Álgebra Lineal es la rama de las matemáticas que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales, y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central central en las matemáticas matemáticas modernas; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional. El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.; así como también ayuda al desarrollo de ciertas capacidades fundamentales para un ingeniero: capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representar adecuadamente algunos conceptos. Las aplicaciones del Algebra Lineal Lineal en la ciencia, la ingeniería ingeniería y en la vida cotidiana son numerosas ya que la solución de muchos problemas en la física, ingeniería, química, biomédica, graficas computarizada, procesamiento de imágenes requieren de herramientas o métodos dados por el Algebra Lineal. La importancia de la matemática en el desarrollo científico y tecnológico de la humanidad, está determinado por la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de objetos reales ya sea de la ciencia o de la técnica. Con las técnicas clásicas de solución de sistemas de ecuaciones lineales, que se pueden hacer a lápiz y papel y con el avance de la tecnología, el Algebra Lineal también se puede explotar desde lo numérico lo que hace necesario trabajar con cierta parte de la matemática matemática clásica y con el uso de herramientas comput acionales acionales para operar los objetos o elementos del Algebra Lineal. Esto le da un carácter de ³popularización´ a la matemática, que con el advenimiento de la computadora y su inmensa capacidad de cálculo, rapidez, versatilidad, etc., le da la posibilidad de simular y verificar soluciones de modelos matemáticos propios de la ingeniería y en especial de la Ciencias. * Los elementos del Algebra Lineal son también esenciales para poder establecer relaciones entre problemas de asignación de recursos:





* Con la teoría de matrices y determinante se darán elementos para la ingeniería de software, computación grafica y robótica. * Transformaciones lineales y los vectores y valores propios se podrá explotar efectos computaciones de traslados, rotación estiramiento, etc., de diferentes figuras, esto es, elementos para el el procesamiento de imágenes y gráficas gráficas en computadoras. * Teoría de módulos, módulos, que remplaza remplaza al cuerpo en los escalares por un un anillo. anillo. * Algebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, lineal, en el que cada número de l as diferentes diferentes variables se dirige al concepto de tensor. * En la teoría del espectro de los operadores de control de matrices de dimensión infinita, infinita, aplicando aplicando el análisis análisis matemático matemático en una teoría que no es puramente puramente algebraica. * El algebra algebra lineal linea l es utilizada utilizada para: * El diseño estructural de edificios, en donde cada nodo de la estructura es un valor en la matriz que así puede ser de nxm. * La planeación, como en ingeniería de sistemas en donde cada variable se coloca en un elemento de la matriz. * Tiene aplicaciones en geotecnia y en mecánica de fluidos. * En la administración administración y economía para para determinar: determinar: ingresos, ingresos, ventas, pérd idas, etc. * Solucionar mallas con resistencias Eléctricas y redes nodos eléctricos. * En la Electrónica es de vital importancia para poder abordar el desarrollo de Parámetros Híbridos en un transistor, en donde se involucran Impedancias, Entradas, salidas, Transiciones, circuitos equivalentes * Abordar temas de Diseño---Soluciones---Visión de un determinado circuito lógica desarrollada a través de procesos matemáticos * Teoría de la Información. * Teoría de Códigos. * Ecuacio Ec uaciones nes D iferenciales. iferenciales. * Los espacios vectoriales son un tema central en la matemática moderna; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional. * El álgebra álgebra lineal tiene una una representación representación concreta en la geometrí a analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.







* Para sembrar en forma racional (por ejemplo ejemplo tres variedades variedades de soja en 9 parcelas - matriz 3x3). * Para resolver hipótesis estadísticas en análisis inferencial (diferencia de rindes de cosecha). * En bioingeniería (desarrollo de nuevas cepas o variedades transgénicas). * Para estudiar la evolución de sembrados (por cadenas de Markov). * Uno de los buscadores más utilizados, es el Google. El procedimiento que emplea para su búsqueda es el resultado del trabajo que emprendieron un matemático y un informático, Sergei Brin y Lawrence Page, que cursaban el doctorado en informática. Está basado fundamentalmente en Álgebra Lineal y por supuesto contiene también cuestiones probabilísticas. Un estudio honesto honesto del Álgebra Lineal Lineal va más allá de la simple Álgebra Álgebra Matricia l, debido debido a la diversidad diversidad de conceptos conceptos útiles que se infieren infieren de la elaboración elaboración de estos estos modelos. La aplicación del Álgebra Lineal que hace el ingeniero no es inmediata. Exige la utilización creativa del conocimiento y de software, lo cual demanda dedicación; aún más cuando la evolución de la matemática está encaminada hacia su aplicación e interrelación con otras ciencias o áreas del saber. El álgebra lineal se desarrolló fundamentalmente para resolver situaciones de la vida cotidiana. Sin esta valiosa herramienta muchas cosas que hoy son necesarias para llevar nuestro ritmo de vida, no estarían aquí. BIBLIOGRAFIA:       

http://es.wikipedia.org/wiki/Wavelet http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole http://www.buenastareas.com/ensayos/Aplicaciones-Del-Algebra-Lineal-EnLa/186144.html http://www.matesco.unican.es/aplicaciones/google_sema.pdf http://www1.universia.net/catalogaxxi/C10010PPMXII1/S167451/P10401NN1/INDEX. HTML http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=10720

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